6.15 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай пространственной системы параллельных сил

1. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Остановимся теперь на случае, когда произвольная пространственная система сил такова, что ее главный вектор и главный вектор-моментотносительно произвольного центра приведенияО одновременно равны нулю:

; (1) или

; .

Очевидно, что такая система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии. Наоборот, если данная система сил находится в равновесии, то должны выполняться условия (1). В самом деле, если бы, например, , но , то данная система сил привелась бы к равнодействующей, приложенной в центре приведенияО, и равновесия не было бы. Если бы , но , то данная система сил привелась бы к одной паре и равновесия также не было бы. Не будет равновесия и в том случае, когдаи, так как сила и пара не могут уравновесить друг друга. Отсюда следует,

что для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный вектор-момент относительно произвольно выбранного центра приведения одновременно были равны нулю.

Условия (1) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной форме. Этим условиям равновесия можно придать более удобную для практических целей аналитическую форму.

Из формул (6, §39 и (9, §39) для модулей главного вектора и главного вектора-моментапроизвольной пространственной системы сил следует, что’и одновременно обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:

(2)

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Условия (2) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме.

Заметим, что условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, приложенных к свободному твердому телу, вообще говоря, не будут условиями равновесия этого тела. Как будет показано в динамике, свободное твердое тело при выполнении условий равновесия (2) может двигаться поступательно, прямолинейно и равномерно вдоль осей координат и одновременно равномерно вращаться вокруг этих осей.

Для того чтобы условия равновесия (2) произвольной пространственной системы сил были одновременно и условиями равновесия свободного твердого тела, к которому эта система сил приложена, необходимо потребовать, чтобы до приложения указанной системы сил тело находилось в покое относительно выбранной системы отсчета. При этом первые три равенства (2) выражают необходимые условия того, чтобы тело не имело перемещений вдоль координатных осей, а последние три являются условиями отсутствия вращений вокруг этих осей.

2. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил.

Пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил (выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (2) произвольной пространственной системы сил).

Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рисунок 110). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы осьz была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства ,иудовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия**. Поэтому система (2) даст только три условия равновесия:

;;. (3)

Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю.

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

Как уже было установлено, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю главный вектор

и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения.

Этим условиям можно придать и более удобную для практических целей аналитическую форму. Из формул (8) и (37) для модулей главного вектора и главного момента пространственной системы сил следует, что они обращаются в нуль при соблюдении следующих шести условий:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и суммы моментов всех сил относительно каждой из трех координатных осей.

Заметим, что при составлении уравнений моментов нет необходимости в том, чтобы оси, относительно которых берутся моменты сил, совпадали с осями проекций. Для простоты решения уравнений рекомендуется оси проекций располагать перпендикулярно к линии действия одной из неизвестных сил, вследствие чего проекции этой силы исключаются из соответствующего уравнения проекций. Ось моментов рекомендуется выбирать в плоскости одной из неизвестных сил. Тогда момент этой силы относительно данной оси будет равен нулю.

Одним словом, оси всегда нужно выбирать так, чтобы в каждое из шести уравнений равновесия вошло возможно меньшее число неизвестных.

Рассмотрим теперь частный случай — условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Пусть мы имеем систему параллельных сил

Так как выбор координатных осей произволен, то возьмем ось

параллельной данным силам и составим шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил. Так как оси и перпендикулярны к данным параллельным силам, то проекции на эти оси каждой из сил системы будут равны .нулю. Следовательно, при таком выборе координатных осей уравнения

удовлетворяются независимо от того, находится ли система в равновесии или нет, а потому перестают быть условиями равновесия. Так как все данные силы параллельны оси г, то проекции их на эту ось равны модулям этих сил, взятым со знаком плюс или минус, в зависимости от того, в какую сторону они направлены. Следовательно, уравнение

можно заменить уравнением

Отпадает также и условие

так как моменты всех сил относительно параллельной им оси

будут всегда порознь равны нулю, при любом значении сил и любом их расстоянии от оси .

Таким образом, для системы параллельных сил остаются только три уравнения равновесия

Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю алгебраическая сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно каждой из двух осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к данным параллельным силам.

Нужно сказать, что все выведенные ранее уравнения равновесия для частных случаев расположения сил можно было бы получить из шести уравнений (38) равновесия произвольной пространственной системы сил, подобно тому как это было сделано выше для пространственной системы параллельных сил.

Для каждого случая расположения сил достаточным является вполне определенное число условий равновесия, и потому для каждого из них можно написать только определенное число независимых уравнений равновесия. Это важно помнить, так как при числе неизвестных, превышающем то число независимых уравнений, которое возможно составить для данного случая расположения сил, задача становится статически неопределенной.

Пример задачи:

На платформе трехколесной тележки в точке

лежит груз . Найти давление каждого колеса тележки на пол, пренебрегая ее собственным весом, если . Точка лежит в середине отрезка (рис. 84).

Решение:

Тележка находится в равновесии под действием пространственной системы параллельных сил: веса

груза и реакции и пола. Имеем три неизвестных и возможно составить три независимых уравнения равновесия.

Возьмем в плоскости, перпендикулярной к линиям действия данных сил, оси

и так, как показано на рис. 84, и найдем моменты всех данных сил относительно этих осей:

Уравнение равновесия имеют вид

Решая систему уравнений и подставляя числовые данные, получим:

Искомые давления колес па пол, очевидно, равны по модулю найденным реакциям.

Пример задачи:

На валу трансмиссии насажены два шкива ременной передачи (рис. 85, а). Диаметры шкивов

от подшипника эти шкивы находятся на расстоянии ; расстояние между подшипниками и равно . Ветви ремня, надетого на первый шкив, образуют с вертикалью угол ; ветви ремня, надетого на второй шкив, горизонтальны. Даны натяжения и ветвей первого ремня и натяжение верхней ветви второго ремня. Найти, при каком натяжении нижней ветви второго ремня вал, находясь под действием приложенных к нему сил, будет в равновесии, а также определить реакции подшипников, вызываемые натяжением ремней.

Решение:

Так как все силы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, то реакции подшипников не будут иметь составляющих, направленных вдоль оси вала (т. е. по оси

). Составляюще

реакций подшипников

и по осям и обозначим соответственно через и . Для их определения спроектируем

все силы приложенные к валу на оси

и и найдем моменты их относительно осей , и (см. таблицу):

Составляя соответствующие уравнения равновесия, получим:

Решая эту систему уравнений и подставляя числовые данные, находим:

Пример задачи:

Прямоугольная дверь, вращающаяся около вертикально оси

открыта на угол Она

удерживается в этом положении грузом

, подвешенным на веревке , перекинутой через блок и концом прикрепленной к двери, и некоторой силой , приложенной в точке двери и направленной перпендикулярно к ее плоскости. Вес двери , ее ширина , высота . Определить модуль силы , а также реакции шарнира в точке и подпятника в точке , если .

Решение:

Дверь находится в равновесии под действием активных сил

и реакций подшипника и подпятника . Проведем координатные оси, как показано на рис. 86, а, и разложим реакции связей на составляющие по этим осям. Так как цилиндрический шарнир допускает скольжение двери в вертикальном направлении, то его реакция не будет иметь вертикальной составляющей и разлагается лишь на две составляющие и . Реакция же подпятника дает составляющие и , направленные по трем координатным осям. Расположение сил показано на рис. 86, а. Для удобства определения проекций и моментов сил и , проекции их на плоскость показаны на рис. 86,6.

Составляем таблицу проекций всех сил на выбранные оси

и моментов сил относительно этих осей.

Уравнения равновесия принимают вид:

Из рис. 86,б находим:

Подставляя в уравнения все данные и решая их, получим:

Отрицательные значения, полученные для

и , означают, что направления этих сил, указанные па рис. 86, надо изменить на противоположные.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

41) Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна силе, равной главному вектору R, и паре сил с моментом, равным главному моменту L0 относительно какого-либо центра О. Чтобы такая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно равенство нулю и главного вектора R, и главного момента L0. Поэтому условия равновесия пространственной системы сил могут быть представлены в векторной форме
Два векторных условия эквивалентны следующим шести аналитическим условиям равновесия:

Условия равновесия можно сформулировать так: для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси декартовой системы координат равнялись нулю и суммы моментов всех сил относительно этих осей также равнялись нулю.

Частные случаи.

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Если силы, действующие на твердое тело, параллельны между собой, то можно выбрать такую систему координат, когда одна из ее осей, например Oz, параллельна направлению действия сил (рис.). Тогда из шести аналитических условий равновесия три выполняются тождественно, и система параллельных сил будет иметь только три условия равновесия:

Условия равновесия плоской системы сил.

Для плоской системы сил условия равновесия будут частным
случаем уравнений , определяющих условия равновесия пространственной системы сил. Например, если силы расположены в плоскости Оху, то аналитические условия равновесия можно записать в виде:
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма алгебраических моментов этих сил относительно любого центра О были равны нулю. Алгебраическим моментом силы относительно точки называют момент силы относительно оси, проходящей через данную точку перпендикулярно плоскости, в которой расположена сила и
точка.
Вместо иногда удобно применить условия равновесия в виде уравнений трех моментов: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю: .

Необходимость утверждения следует из того, что третье условие справедливо для любой точки. Достаточность докажем методом от противного, используя теорему о приведении произвольной системы сил к центру. Допустим, что плоская система сил не находится в равновесии. Тогда, приводя ее поочередно к точкам А, В, С, будем иметь в этих точках равнодействующую R . Для выполнения равенств равнодействующая должна пройти одновременно через все три точки, а это невозможно, так как точки не лежат на одной прямой. Следовательно, равнодействующая равна нулю и система сил, удовлетворяющая
равенствам , находится в равновесии.

Используются технологии uCoz

Техническая механика — Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

Вопросы для самопроверки:

— Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

— Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

— Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

— Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

— Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

— Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

— Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

— К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

— Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

— Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

— Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

— Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

— Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

— Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

— Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

— Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

— Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

— Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?

5 Приведение системы сил к заданному центру. Условия равновесия

Лекция 5

Краткое содержание:  Приведение силы к заданному центру.  Приведение системы сил к заданному центру.  Условия равновесия пространственной системы  параллельных сил.  Условия равновесия плоской системы сил.  Теорема о трех моментах.  Статически определимые и статически неопределимые задачи.  Равновесие системы тел.

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ.  УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

Приведение силы к заданному центру.

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить  и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.

Теорема о параллельном переносе силы. Силу, приложенную к абсолютно  твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть сила    приложена в точке  A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы.   Полученная система трех сил представляет собой силу   равную   , но приложенную в точке В и пару   с моментом   . Процесс замены силы  силой  и парой сил  называется приведением силы   к заданному центру  В .

Приведение системы сил к заданному центру.

Основная теорема статики (Пуансо).

Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

   

Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов

главного вектора и главного момента

                 

              

Условия равновесия системы сил.

Векторная форма .

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.

                     

Алгебраическая форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

           

                 

Условия равновесия пространственной системы

параллельных сил.

На тело действует  система параллельных сил. Расположим ось Oz  параллельно силам.

Уравнения                

Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.

             

  —  проекция силы на ось Oz.

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.

Условия равновесия плоской системы сил.

На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox  и  Oy  в плоскости действия сил.

Уравнения                   

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся  в плоскости действия сил также была равна нулю.

           

Теорема о трех моментах.

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных  в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой,  были равны нулю.

                 

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия  для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми.

В противном случае задачи статически неопределимы.

Равновесие системы тел.

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом.

Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил.

Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил. 

Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил.

Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела  I           

.

для тела  II   

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем      .

Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Реакция заделки.

Рассмотрим балку один конец которой  АВ  заделан в стену.  Такое крепление конца балки  АВ  называется заделкой в точке В.  Пусть на балку действует плоская система сил.  Определим силы, которые надо приложить к точке В балки, если часть балки АВ отбросить. К сечению балки (В) приложены распределенные силы реакции. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке  В, то в точке  В  получим силу    (главный вектор сил реакции) и пару сил с моментом  М (главный вектор сил реакции относительно точки В) .   Момент  М  называют моментом заделки  или рективным моментом.  Силу  реакции  можно заменить двумя составляющими    и  .

Заделка в отличие от шарнира создает не только неизвестную по величине и направлению реакцию   , но еще и пару сил с неизвестным моментом  М в заделке.

Практическая работа «Простаранственная система сил»

Практическая работа

«Пространственная система сил»

Цели: 1. Обучающая: закрепить знания по теме «Пространственная система сил»

2. Развивающая: сформировать навыки определении реакций опор и составления уравнен уравнений равновесия для конструкций, нагруженных пространственной системой сил

3. Воспитательная: воспитать трудолюбие, аккуратность

Оборудование: инструкция к практической работе, калькулятор, чертежные инструменты

Порядок выполнения работы

1. Запишите в отчет название работы и цель.

2. Прочитайте теоретическое обоснование, внимательно рассмотрите алгоритм решения задачи и приведенные примеры.

3. Самостоятельно выполните задания по предложенному преподавателем варианту.

4. Запишите в отчет ответы на контрольные вопросы.

5. Сформулируйте вывод по практической работе

Теоретическое обоснование

Система, линии действия сил которой расположены в пространстве, называется пространственной. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, то такая система будет сходящейся. Но большинство пространственных систем являются системами произвольно расположенных сил.

Известно, что все силы, которые действуют на тело можно привести к одной точке, при этом вместо сил имеем эквивалентную систему сил, которая состоит из главного вектора и главного момента (пара сил).

Существует четыре случая приведения системы сил к одному центру:

а) и — при приведении получается сила и пара:

б) и — при приведении получается только сила, т.е. главный момент равен равнодействующей;

в) и — при приведении получается только пара;

г) и — равновесие тела.

Т.о. для равновесия произвольной пространственной сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Можно составить шесть уравнений равновесия для пространственной системы сил.

Алгоритм решения задачи

1. По варианту, предложенному преподавателем составить расчетную схему вала.

2. Составить уравнение равновесия вокруг неподвижной оси z, Определить силы и .

3. Составить четыре уравнения равновесия

Из них определить реакции опор.

4. Выполнить проверку правильности решения, составив еще два уравнения равновесия: и

Пример решении задачи

На вал (рисунок 3.1, а) жестко насажены шкив 1 и колесо 2. Определить силы F₂, F_r2=0.4F₂, а также реакции опор А и В если F₁=100Н. При расчете принять

Решение.

1. Изображаем вал с всеми действующими на него силами, а также оси координат. (рисунок 3.1, б)

2. Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось

3. Составляем четыре уравнения равновесия для определения четырех реакций в опорах

Из уравнений равновесии определяем реакции опор

Для проверки правильности решения составляем еще два уравнения равновесия Задание для практической работы

На вал жестко насажены шкив и колесо, нагруженные как показано на рисунке 3.2. Определить силы и , а так же реакции опор, если значение известно. Данные для своего варианта взять в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Исходные данные

,

Н

Вариант

Схема на рис.1

,

Н

1

1050

6

280

1

667

6

595

1

834

6

1000

2

1670

7

1140

2

1250

7

500

2

2200

7

3620

3

825

8

400

3

850

8

1600

3

720

8

1810

4

750

9

1315

4

1900

9

2380

4

1780

9

3240

5

3650

10

590

5

3400

10

1000

5

2320

10

1200

Рисунок 3.2

Вывод о достигнутых целях работы

Контрольные вопросы

1. Какая система сил называется пространственной системой произвольно расположенных сил?

2. Сформулируйте условие равновесия пространственной системы сил.

3. Какие уравнения равновесия можно составить для пространственной системы сил?

Пространственная система сил. (Тема 1.5)

1. Тема 1.5 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

2. Студент должен: иметь представление:

— о пространственных системах сил
и их действии на тело.

3. Знать: — момент силы относительно оси, свойства момента; — аналитический способ определения равнодействующей; -условия равновесия.

4. Уметь: -выполнять разложение силы на три взаимно перпендикулярные оси; -определять момент силы относительно оси; -определять реакции в опор

Уметь:
-выполнять разложение силы на три
взаимно перпендикулярные оси;
-определять момент силы
относительно оси;
-определять реакции в опорах и
выполнить проверку.

5. Пространственная система сил-

Пространственная
система силсистема сил, линии действия
которых расположены в
различных плоскостях.

6. 1. Пространственная системой сходящихся сил (пространственный пучок сил)

Пространственная система сил
называется сходящейся, если линии
действия всех сил системы
пересекаются в одной точке.

7. Теорема о равнодействующей пространственной ССС. Пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей, которая равна в

Теорема о равнодействующей
пространственной ССС.
Пространственная система
сходящихся сил эквивалентна
равнодействующей, которая равна
векторной сумме этих сил; линия
действия равнодействующей
проходит через точку пересечения
линий действия составляющих сил
системы.
F = Fi
Способы определения
равнодействующей силы
пространственной системы
сходящихся сил:
Силовой
многоугольник
пространственной
системы сил не лежит в одной плоскости,
поэтому
геометрический
и
графический
способы
нахождения
равнодействующей
неприемлемы.
Применяется только
аналитический способ
( метод проекций).

9. Проекция силы на ось в пространстве

а) Сила и ось лежат в одной
плоскости
Определение проекций силы на ось, лежащих в
одной плоскости, остаются прежними.

10. Проекция силы на ось в пространстве

б) Сила и ось не лежат в одной плоскости
Для определения проекции силы F на ось ОХ,
мысленно проводят через начало или конец
силы ось О1Х1, параллельную данной оси
ОХ, тогда
Fx1=F•cos ,
так как Fx1=Fx ,
то Fx=F•cos ,

11. Разложение силы по трём осям координат

Равнодействующая трёх взаимно
перпендикулярных сил равна по модулю и
направлена по диагонали параллелепипеда,
построенного на этих силах.
F=Fx+Fy+Fz

12. Модуль и направление равнодействующей силы :

— модуль FƩ
FƩ= Fx2+Fy2+Fz2 = (∑Xi)2+(∑Yi)2+(∑Zi)2
— направление FƩ
Cos(FƩ,X)=Fx/FƩ=∑Xi/FƩ
Cos(FƩ,Y)=Fy/FƩ= ∑Yi/FƩ
Cos(FƩ,Z)=Fz/FƩ= ∑Zi/FƩ

13. Аналитическое условие равновесия пространственной ССС

Для равновесия пространственной ССС
необходимо и достаточно, чтобы
равнодействующая системы, а значит и её
проекции на оси координат X,Y и Z были
равны 0.
FƩ = 0
1) Fix = Х = 0
2) Fiy = У = 0
3) Fiz = Z = 0

14. 2 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Момент силы относительно оси равен
произведению проекции этой силы на плоскость
перпендикулярную к данной оси, на плечо.
МZ(F)= М0(FH)= FH l
Плечо силы h(l) относительно оси — это перпендикуляр
опущенный из точки пересечения оси с плоскостью, на
линию действия проекции

15. Правило знаков

Момент силы относительно оси будем
считать положительным , если сила
стремится вызвать вращение против
часовой стрелки, момент силы
считаем отрицательным, если она
стремится вызвать вращение по
часовой стрелке. При этом необходимо
смотреть на плоскость перпендикулярно
данной оси с её положительного конца.

16. Момент силы относительно оси равен нулю в 2 случаях:

1. Если линия действия силы перпендикулярна оси
F1 Z , т.к. h(l) = 0
2. Если вектор силы параллелен оси
F2 Z , т.к. FH = 0

17. Пример: В червячной передаче червяк передает червячному колесу, укрепленному на валу, силу F, не лежащую в плоскости, перпендикулярной оси.

Разложим силу F на три взаимно
перпендикулярные
составляющие :
F1 (окружная сила), вызывает
вращательное движение,
которое измеряется моментом
Мz(F1)= F1 r
F2 (осевая сила) стремится
сдвинуть колесо вдоль оси
Fз (радиальная сила) стремится
изогнуть ось колеса

18. 3. Пространственная система произвольно расположенных сил —

3. Пространственная система
произвольно расположенных
сил это система сил, линии действия,
которых не лежат в одной плоскости и
не пересекаются в одной точке

19. Приведение произвольной пространственной системы сил к заданному центру (Аналогично плоской системе произвольно расположенных сил – Тем

Приведение произвольной
пространственной системы сил к
заданному центру
(Аналогично плоской системе произвольно
расположенных сил – Тема 1.4)

20. Приведение произвольной пространственной системы сил к заданному центру

Пространственная система произвольно
расположенных сил в общем случае эквивалентна
одной силе, приложенной в центре приведения и
одной паре сил
Произвольная пространственная система сил
приводится к главному вектору и главному моменту.

21. Модуль и направление главного вектора :

— модуль FГЛ
FГЛ= Fx2+Fy2+Fz2 = (∑Xi)2+(∑Yi)2+(∑Zi)2
— направление FГЛ
Cos(Fгл; x)= Xi/ Fгл
Cos(Fгл; y)= Yi/ Fгл
Cos(Fгл; z)= Zi/ Fгл

22. Модуль главного момента :

Алгебраическая сумма моментов всех сил
системы относительно каждой оси.
МГЛ = ( МX(Fi))2+( МY(Fi))2+ ( МZ(Fi))2

23. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Алгебраическая сумма проекций всех сил на три
взаимно перпендикулярные оси координат должна
быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов
всех сил, относительно тех же осей, должна быть
равна нулю
Fгл =0
1) X= Fi x =0
2) Y= Fi y =0
3) Z= Fi z =0
Мгл =0
4) Mx(Fi) =0
5) My(Fi) =0
6) Mz(Fi) =0

Общие системы сил, равновесие твердого тела

• Дитмар Гросс
• Вернер Хаугер
• Йорг Шредер
• Вольфганг А. Уолл
• Нимал Раджапакс

Глава

Первый Интернет: 17 28 августа

Первый онлайн: 17 28 августа В этой главе рассматриваются общие системы сил, т. е. силы, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Для анализа необходимо ввести понятие «момент». Студенты должны узнать, как можно уменьшить компланарные или пространственные системы сил и при каких условиях они находятся в равновесии.Они также должны научиться применять метод сечений для получения диаграммы свободного тела. Правильная диаграмма свободного тела и соответствующее применение условий равновесия являются ключом к решению компланарной или пространственной задачи.

Ключевые слова

Контактная сила жесткого тела Уравнение момента результирующей силы общей системы

Эти ключевые слова были добавлены машиной, а не авторами. Это экспериментальный процесс, и ключевые слова могут обновляться по мере улучшения алгоритма обучения.

Это предварительный просмотр содержимого подписки,

войдите в

, чтобы проверить доступ.

Предварительный просмотр

Невозможно отобразить предварительный просмотр. Скачать превью PDF.

Информация об авторских правах

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009

Авторы и филиалы

• Дитмар Гросс Автор электронной почты
• Вернер Хаугер
• Йорг Шредер
• Вольфганг А. Уолл
• Нимал Раяп Механика твердого тела Дармштадт, Германия
• 2.Технический университет Дармштадт Механика сплошной среды Дармштадт, Германия
• 3. Университет Дуйсбург-Эссен Институт механики Эссен, Германия
• 4. Технический университет Мюнхена Численная механика, Германия
• 5. Факультет прикладных наук, Симон Фрейзер, 9000, 9000,
• 000, Университет Дайсбурга,
• 000, Университет Дайсбурга, 9000, Канада Валовой
• Вернер Хаугер
• Йорг Шредер
• Вольфганг А. Уолл
• Нимал Раджапаксе

Аннотация

Цели: В этой главе рассматриваются общие системы сил, т.е.е., силы, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Для анализа необходимо ввести понятие момент . Студенты должны узнать, как можно уменьшить компланарные или пространственные системы сил и при каких условиях они находятся в равновесии. Они также должны научиться применять метод сечений для получения диаграммы свободного тела. Правильная диаграмма свободного тела и соответствующее применение условий равновесия являются ключом к решению компланарной или пространственной задачи.

Ключевые слова

Контактная сила жесткого тела Уравнение момента результирующей силы общей системы

Эти ключевые слова были добавлены машиной, а не авторами. Это экспериментальный процесс, и ключевые слова могут обновляться по мере улучшения алгоритма обучения.

Это предварительный просмотр содержимого подписки,

войдите в

, чтобы проверить доступ.

Предварительный просмотр

Невозможно отобразить предварительный просмотр. Скачать превью PDF.

Информация об авторских правах

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

Авторы и филиалы

• Дитмар Гросс Автор электронной почты
• Вернер Хаугер
• Йорг Шредер
• Вольфганг А.Стена
• Nimal Rajapakse

1. 1.Solid MechanicsTU DarmstadtDarmstadtGermany
2. 2.Continuum MechanicsTU DarmstadtDarmstadtGermany
3. 3.Institute из MechanicsUniversität Дуйсбург-EssenEssenGermany
4. 4.Computational MechanicsTU MünchenGarchingGermany
5. 5.Faculty прикладной SciencesSimon Фрейзера UniversityBurnabyCanada

(PDF) РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА, НАГРУЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМОЙ СИЛ

ГОРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, Том.60, Часть ȱȱȱ, Механизация, электрификация и автоматизация шахт, 2017

81

Заключение

Фактические направления реакции x

B и реактивные моменты

zyx MandMM, противоположны отображаемым —

см. Рис. .1.

Представленное исследование, в котором задача решается как «вручную»

, так и с помощью пакета MathCAD для математических исследований

, дает четкое представление о преимуществах приложения MathCAD

по сравнению с решением «вручную». «.

Решение «вручную» иногда сопровождается не только

трудностями, упомянутыми во введении, но и ошибками

. Последние трудно обнаружить, потому что процесс отслеживания решения

длится дольше, чем с пакетом MathCAD

. Более того, если проблема решена правильно,

может быть допущена стандартная ошибка в ходе проверки

,

.

Когда линейная система из шести уравнений с шестью неизвестными

решается «вручную», необходимо правильно применить метод Гаусса-Жордана

, т.е.е. ) (1

oAEEA. Правдоподобное представление

распределенной нагрузки) (

2yq на схеме вручную (см.

рис.1.) Требует использования инструментов для рисования (расчет

схема в Рис.1 нарисован в AutoCAD).

Частично автоматизированное решение балки с пакетом

MathCAD быстрое и компактное, и оно точно

представляет функцию квадрата) (

2yq — см. рис. 2.

Решение проблемы с пакетом MathCAD

не может гарантировать отсутствие ошибок, но их легко найти в краткой и понятной записи

— см. Рис. 2.

Использование графического редактора в пакете MathCAD помогает для

установить связь между геометрическим параметром или параметром силы

и силами реакции и моментами реакции.

Благодарности:

Автор благодарит своего коллегу Л.Георгиев, который прочитал материал

и сделал ценные замечания, улучшившие его внешний вид

.

Каталожные номера

Ȼɟɪɬɹɟɜ, ȼ. Ɦɟɯɚɧɢɤɚ ɧɚ ɛɚɡɟ MathCAD

ɩɪɚɤɬɢɤɭɦ, – ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ, «Ȼɏȼ – ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ», 2005,

739 ɫ. (Бертяев, В. Теоретическая механика на базе

MathCAD praktikum, Санкт-Петербург, «БХВ-Петербург»,

2005, 739 с.)

Ⱦɨɟɜ, ȼ.ɋ., Ɏ.Ⱥ. Ⱦɨɪɨɧɢɧ. ɩɨ

ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɦɟɯɚɧɢɤɟ ɧɚ ɛɚɡɟ MathCAD,

ɉɟɬɟɪɛɭɪɝ, Ɇɨɫɤɜɚ, Ʉɪɚɫɧɨɞɚɪ, Ʌɚɧɶ, 2016, 585.

(Доев В.С., Доронин Ф.А., Сборник задач по

теоретической механике на базе MathCAD, Санкт-

Петербург, М., Краснодар, Ланы, 2016, 585с.)

ɂɜɚɧɨɜ ɂɜɚɧɨɜ., Ɉɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɨ ɢɡɫɥɟɞɜɚɧɟ ɥɟɬɟɠɚ ɧɚ ɬɟɧɢɫ

ɬɨɩɤɚ, ɫɩ. Ɇɟɯɚɧɢɤɚ ɧɚ ɦɚɲɢɧɢɬɟ, ɬɨɦ 2, ɝɨɞ. XII, 2014,

34y37 ɫ. (Иванов А., Пространственное исследование лета

на тенис топка, пр. Механика на машините, том 2, год

XII, 2014, 34 л 37п.)

ɋɬɨɹɧɨɜ, Ⱥ.Ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟɬɨ ɧɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɚ

ɫɢɫɬɟɦɚ ɫɢɥɢ ɩɨɫɪɟɞɫɬɜɨɦ MathCAD, XIV

Ɇɟɠɞɭɧɚɪɨɞɧɚ ɧɚɭɱɧɚ ɤɨɧɮɟɪɟɧɰɢɹ ȼɋɍ’2014, 2014ɝ.

44–47 ɫ. (Стоянов А.А., Определение равновесия на

пространства системы сили посредством MathCAD, XIV

Международная научная конференция ВГУ’2014, 44–

№

47)

ɋɬɨɹɧɨɜ, ɜ. , ȻȽ,

ɋɨɮɢɹ 2016, 165ɫ.(Стоянов, А. Матричные операции с

MathCAD в третичной механике Statica, С.

Кинезиология БГ, 2016, 165 стр.)

Иванов А., Яворова Ю., Трехмерный полет мяча для гольфа, J. ​​

Tehnomus, P-ISNN-1224-029X, E-ISNN-2247-6016,

2017, 54 y61 p.

Рецензию на статью проводят проф. Д-р Михаил Валков и доц. Проф. Д-р А.

Иванов.

12.1 Условия статического равновесия

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определите физические условия статического равновесия.
• Нарисуйте диаграмму свободного тела для твердого тела, на которое действуют силы.
• Объясните, как условия равновесия позволяют нам решать задачи статики.

Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии равновесия , когда его линейное и угловое ускорение равны нулю относительно инерциальной системы отсчета. Это означает, что тело в состоянии равновесия может двигаться, но в этом случае его линейная и угловая скорости должны быть постоянными. Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии статического равновесия , когда оно находится в состоянии покоя в нашей выбранной системе отсчета .Обратите внимание, что различие между состоянием покоя и состоянием равномерного движения является искусственным, то есть объект может находиться в состоянии покоя в выбранной нами системе отсчета, но для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью относительно нашей системы координат, тот же объект кажется, находится в равномерном движении с постоянной скоростью. Поскольку движение составляет относительно , то, что для нас находится в статическом равновесии, находится в динамическом равновесии для движущегося наблюдателя, и наоборот. Поскольку законы физики идентичны для всех инерциальных систем отсчета, в инерциальной системе отсчета нет различия между статическим равновесием и равновесием.

Согласно второму закону движения Ньютона, линейное ускорение твердого тела вызывается действующей на него чистой силой, или

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = m {\ overset {\ to} {a}} _ {\ text {CM}}. [/ латекс]

Здесь сумма всех внешних сил, действующих на тело, где м — его масса, а [latex] {\ overset {\ to} {a}} _ {\ text {CM}} [/ latex] — линейное ускорение его центра масс (концепция, которую мы обсуждали в статьях «Линейный импульс и столкновения по импульсу и столкновениям»).В состоянии равновесия линейное ускорение равно нулю. Если мы установим ускорение на ноль на (Рисунок), мы получим следующее уравнение:

Первое состояние равновесия

Первое условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает поступательное равновесие:

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ overset {\ to} {0}. [/ латекс]

Первое условие равновесия (рисунок) — это условие равновесия сил, с которым мы столкнулись при изучении приложений законов Ньютона.

Это векторное уравнение эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям для компонентов чистой силы:

[латекс] \ sum _ {k} {F} _ {kx} = 0, \ quad \ sum _ {k} {F} _ {ky} = 0, \ quad \ sum _ {k} {F} _ {kz} = 0. [/ латекс]

Аналогично (рисунок), мы можем утверждать, что ускорение вращения [латекс] \ overset {\ to} {\ alpha} [/ latex] твердого тела вокруг фиксированной оси вращения вызывается чистым крутящим моментом, действующим на кузов, или

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} = I \ overset {\ to} {\ alpha}.[/ латекс]

Здесь [латекс] I [/ латекс] — это инерция вращения тела при вращении вокруг этой оси, а сумма превышает все крутящих момента [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} [/ latex] внешних сил в (Рисунок). В состоянии равновесия ускорение вращения равно нулю. Обнуляя правую часть (рисунок), мы получаем второе условие равновесия:

Второе состояние равновесия

Второе условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает вращательное равновесие:

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} = \ overset {\ to} {0}.[/ латекс]

Второе условие равновесия (рисунок) — это условие равновесия для крутящих моментов, с которым мы столкнулись при изучении динамики вращения. Стоит отметить, что это уравнение равновесия обычно справедливо для вращательного равновесия вокруг любой оси вращения (фиксированной или иной). Опять же, это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям для векторных компонентов чистого крутящего момента:

[латекс] \ sum _ {k} {\ tau} _ {kx} = 0, \ quad \ sum _ {k} {\ tau} _ {ky} = 0, \ quad \ sum _ {k} {\ тау} _ {kz} = 0.[/ латекс]

Второе условие равновесия означает, что в равновесии нет чистого внешнего крутящего момента, вызывающего вращение вокруг какой-либо оси.

Первое и второе условия равновесия указаны в конкретной системе отсчета. Первое условие включает только силы и поэтому не зависит от источника системы отсчета. Однако второе условие включает крутящий момент, который определяется как перекрестное произведение, [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} = {\ overset {\ to} {r}} _ {k } \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k}, [/ latex], где вектор положения [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {k} [/ латекс] относительно оси вращения точки приложения силы входит в уравнение.Следовательно, крутящий момент зависит от положения оси в системе отсчета. Однако, когда условия вращательного и поступательного равновесия выполняются одновременно в одной системе отсчета, они также сохраняются в любой другой инерциальной системе отсчета, так что чистый крутящий момент вокруг любой оси вращения по-прежнему равен нулю. Объяснение этому довольно простое.

Предположим, что вектор [latex] \ overset {\ to} {R} [/ latex] — это позиция начала координат новой инерциальной системы отсчета [latex] S \ prime [/ latex] в старой инерциальной системе отсчета S .{\ prime}} _ {k} \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ sum _ {k} ({\ overset {\ to} {r}} _ { k} — \ overset {\ to} {R}) \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {r} } _ {k} \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k} — \ sum _ {k} \ overset {\ to} {R} \, × \, {\ overset { \ to} {F}} _ {k} = \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} — \ overset {\ to} {R} \, × \, \ сумма _ {k} {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ overset {\ to} {0}. [/ латекс]

На последнем этапе этой цепочки рассуждений мы использовали тот факт, что в равновесии в старой системе отсчета, S , первый член исчезает из-за (Рисунок), а второй член исчезает из-за (Рисунок).Следовательно, мы видим, что чистый крутящий момент в любой инерциальной системе отсчета [латекс] S \ prime [/ latex] равен нулю, при условии, что оба условия равновесия выполняются в инерциальной системе отсчета S .

Практическое значение этого состоит в том, что при применении условий равновесия для твердого тела мы можем выбрать любую точку в качестве начала отсчета системы отсчета. Наш выбор системы отсчета продиктован физическими особенностями решаемой проблемы. В одной системе отсчета математическая форма условий равновесия может быть довольно сложной, тогда как в другой системе координат те же условия могут иметь более простую математическую форму, которую легко решить.Начало выбранной системы отсчета называется точкой поворота .

В самом общем случае условия равновесия выражаются шестью скалярными уравнениями ((Рисунок) и (Рисунок)). Для плоских задач равновесия с вращением вокруг фиксированной оси, которые мы рассматриваем в этой главе, мы можем сократить количество уравнений до трех. Стандартная процедура состоит в том, чтобы принять систему отсчета, в которой ось z является осью вращения. При таком выборе оси чистый крутящий момент имеет только компонент z , все силы, которые имеют ненулевые крутящие моменты, лежат в плоскости xy , и, следовательно, вклад в чистый крутящий момент поступает только от x — и y — составляющие внешних сил.Таким образом, для плоских задач с осью вращения, перпендикулярной плоскости xy , мы имеем следующие три условия равновесия для сил и моментов:

[латекс] {F} _ {1x} + {F} _ {2x} + \ text {⋯} + {F} _ {Nx} = 0 [/ latex]

[латекс] {F} _ {1y} + {F} _ {2y} + \ text {⋯} + {F} _ {Ny} = 0 [/ латекс]

[латекс] {\ tau} _ {1} + {\ tau} _ {2} + \ text {⋯} + {\ tau} _ {N} = 0 [/ латекс]

, где суммирование ведется по всем внешним силам N , действующим на тело, и их крутящим моментам.На (Рисунок) мы упростили обозначения, опустив индекс z , но мы понимаем, что здесь суммирование ведется по всем вкладам вдоль оси z , которая является осью вращения. На (Рисунок) z -компонент крутящего момента [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} [/ latex] от силы [латекс] {\ overset {\ to} { F}} _ {k} [/ latex] —

[латекс] {\ tau} _ {k} = {r} _ {k} {F} _ {k} \ text {sin} \, \ theta [/ latex]

где [латекс] {r} _ {k} [/ latex] — длина плеча рычага силы, а [latex] {F} _ {k} [/ latex] — величина силы (как вы пила в режиме вращения с фиксированной осью).Угол [латекс] \ theta [/ latex] — это угол между векторами [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {k} [/ latex] и [latex] {\ overset {\ to} { F}} _ {k}, [/ latex] размером от вектора [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {k} [/ latex] до вектора [latex] {\ overset { \ to} {F}} _ {k} [/ latex] в направлении против часовой стрелки ((рисунок)). При использовании (Рисунок) мы часто вычисляем величину крутящего момента и назначаем его значение либо положительным [латекс] (+) [/ латекс], либо отрицательным [латекс] (-), [/ латекс] в зависимости от направления вращения, вызванного только этим крутящим моментом.На (Рисунок) чистый крутящий момент представляет собой сумму членов, каждый член вычисляется из (Рисунок), и каждый член должен иметь правильное значение . Точно так же на (Рисунок) мы назначаем знак [latex] + [/ latex] компонентам в направлении [latex] + [/ latex] x и знак [latex] — [/ latex] компонентам. в направлении [латекс] — [/ латекс] x . Это же правило должно последовательно соблюдаться на (Рисунок) при вычислении компонентов силы по оси y .

Рисунок 12.2 Крутящий момент силы: (a) Когда крутящий момент силы вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси вращения, мы говорим, что его направление положительное, что означает, что вектор крутящего момента параллелен оси вращения. (b) Когда крутящий момент силы вызывает вращение вокруг оси по часовой стрелке, мы говорим, что его направление отрицательное, что означает, что вектор крутящего момента антипараллелен оси вращения.

Во многих ситуациях равновесия одной из сил, действующих на тело, является его вес.На диаграммах свободного тела вектор веса привязан к центру тяжести тела. Для всех практических целей центр тяжести идентичен центру масс, как вы узнали из статей «Линейный импульс» и «Столкновения» о линейном импульсе и столкновениях. Только в тех случаях, когда тело имеет большую пространственную протяженность, так что гравитационное поле неоднородно по всему его объему, центр тяжести и центр масс расположены в разных точках. Однако на практике даже такие большие объекты, как здания или круизные лайнеры, находятся в однородном гравитационном поле на поверхности Земли, где ускорение свободного падения имеет постоянную величину [латекс] g = 9.{2}. [/ latex] В этих ситуациях центр тяжести идентичен центру масс. Поэтому на протяжении всей главы мы используем центр масс (CM) как точку, к которой прикреплен вектор веса. Напомним, что ЦМ имеет особый физический смысл: когда внешняя сила применяется к телу точно в его ЦМ, тело в целом совершает поступательное движение, и такая сила не вызывает вращения.

Когда ЦМ расположен вне оси вращения, на объект возникает чистый гравитационный момент .Гравитационный момент — это крутящий момент, вызванный весом. Этот гравитационный момент может вращать объект, если нет опоры для его балансировки. Величина гравитационного момента зависит от того, как далеко от оси находится ЦМ. Например, в случае самосвала ((Рисунок)) ось поворота расположена на линии, где шины соприкасаются с поверхностью дороги. Если CM расположен высоко над поверхностью дороги, гравитационный момент может быть достаточно большим, чтобы перевернуть грузовик.Легковые автомобили с низко расположенной КМ, близкой к тротуару, более устойчивы к опрокидыванию, чем грузовики.

Рисунок 12.3 Распределение массы влияет на положение центра масс (CM), к которому прикреплен вектор веса [latex] \ overset {\ to} {w} [/ latex]. Если центр тяжести находится в зоне опоры, погрузчик возвращается в исходное положение после опрокидывания [см. Левую панель в (b)]. Но если центр тяжести находится за пределами зоны опоры, грузовик перевернется [см. Правую панель в (b)].Оба транспортных средства в (b) находятся вне равновесия. Обратите внимание, что автомобиль на (а) находится в равновесии: низкое расположение центра тяжести затрудняет опрокидывание.

Пример

Центр тяжести автомобиля

Легковой автомобиль с колесной базой 2,5 м имеет 52% веса на передние колеса на ровной поверхности, как показано на (Рисунок). Где находится ЦМ этого автомобиля по отношению к задней оси?

Рисунок 12.4 Распределение веса между осями автомобиля.Где находится центр тяжести?

Стратегия

Вес автомобиля w нам неизвестен. Все, что мы знаем, это то, что когда автомобиль стоит на ровной поверхности, 0,52 w давит на поверхность в точках контакта передних колес, а 0,48 w толкает вниз на поверхность в точках контакта задних колес. Также точки контакта отделены друг от друга расстоянием [латекс] d = 2,5 \, \ text {m}. [/ latex] В этих точках контакта автомобиль испытывает нормальные силы реакции с величиной [латекс] {F} _ {\ text {F}} = 0.52 Вт [/ латекс] и [латекс] {F} _ {\ text {R}} = 0,48 Вт [/ латекс] на передней и задней осях соответственно. Мы также знаем, что автомобиль является примером твердого тела в равновесии, весь вес которого w действует на его CM. CM находится где-то между точками, где действуют нормальные силы реакции, где-то на расстоянии x от точки, где действует [латекс] {F} _ {R} [/ латекс]. Наша задача найти x . Таким образом, мы идентифицируем три силы, действующие на тело (автомобиль), и можем нарисовать диаграмму свободного тела для расширенного твердого тела, как показано на (Рисунок).

Рис. 12.5 На диаграмме свободного тела для автомобиля четко указаны векторы сил, действующих на автомобиль, и расстояния до центра масс (CM). Когда CM выбран в качестве точки поворота, эти расстояния являются плечами рычагов нормальных сил реакции. Обратите внимание, что величины векторов и рычаги не нужно рисовать в масштабе, но все релевантные величины должны быть четко обозначены.

Мы почти готовы записать условия равновесия (рисунок) — (рисунок) для автомобиля, но сначала мы должны определиться с системой отсчета.Предположим, мы выбрали ось x по длине кабины, ось y — вертикальную, а ось z — перпендикулярно плоскости xy . При таком выборе нам нужно только написать (рисунок) и (рисунок), потому что все компоненты y тождественно равны нулю. Теперь нам нужно определиться с расположением точки поворота. Мы можем выбрать любую точку в качестве местоположения оси вращения ( z -axis). Предположим, мы разместили ось вращения на CM, как показано на схеме свободного тела для автомобиля.На этом этапе мы готовы написать условия равновесия для автомобиля.

Решение

Каждое условие равновесия содержит только три члена, потому что на автомобиль действуют силы [latex] N = 3 [/ latex]. Первое условие равновесия (рисунок) читается как

.

[латекс] + {F} _ {\ text {F}} — w + {F} _ {\ text {R}} = 0. [/ латекс]

Это условие тривиально выполняется, потому что, когда мы подставляем данные, (Рисунок) становится [latex] + 0,52w-w + 0,48w = 0. [/ latex] Второе условие равновесия (рисунок) читается как

.

[латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} + {\ tau} _ {w} + {\ tau} _ {\ text {R}} = 0 [/ латекс]

где [latex] {\ tau} _ {\ text {F}} [/ latex] — это крутящий момент силы [латекс] {F} _ {\ text {F}}, \, {\ tau} _ {w } [/ latex] — это гравитационный момент силы w , а [latex] {\ tau} _ {\ text {R}} [/ latex] — это крутящий момент силы [latex] {F} _ {\ text {Р}}.[/ latex] Когда ось расположена в CM, гравитационный момент идентично нулю, потому что плечо рычага веса относительно оси, которая проходит через CM, равно нулю. Линии действия обеих нормальных сил реакции перпендикулярны плечам их рычагов, поэтому на (Рисунок) мы имеем [latex] | \, \ text {sin} \, \ theta | = 1 [/ latex] для обеих сил. Из диаграммы свободного тела мы читаем, что крутящий момент [латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} [/ latex] вызывает вращение по часовой стрелке вокруг оси в CM, поэтому его смысл отрицательный; и крутящий момент [latex] {\ tau} _ {\ text {R}} [/ latex] вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси CM, поэтому его направление положительное.Имея эту информацию, запишем второе условие равновесия как

[латекс] \ text {-} {r} _ {\ text {F}} {F} _ {\ text {F}} + {r} _ {\ text {R}} {F} _ {\ text {R}} = 0. [/ латекс]

С помощью диаграммы свободного тела мы определяем величины силы [латекс] {F} _ {\ text {R}} = 0,48w [/ латекс] и [латекс] {F} _ {\ text {F }} = 0,52w, [/ latex] и соответствующие им плечи [латекс] {r} _ {\ text {R}} = x [/ latex] и [latex] {r} _ {\ text {F}} = dx. [/ latex] Теперь мы можем записать второе условие равновесия (рисунок) в явном виде в терминах неизвестного расстояния x :

[латекс] -0.52 (г-х) ш + 0,48 х ш = 0. [/ латекс]

Здесь вес w отменяется, и мы можем решить уравнение для неизвестного положения x CM. Ответ: [латекс] x = 0,52d = 0,52 (2,5 \, \ text {m}) = 1,3 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

Решение

Выбор шарнира в положении передней оси не меняет результата. Схема свободного тела для этого места поворота представлена ​​на (Рисунок). Для этого выбора точки поворота второе условие равновесия —

.

[латекс] \ text {-} {r} _ {w} w + {r} _ {\ text {R}} {F} _ {\ text {R}} = 0.[/ латекс]

Когда мы подставляем величины, указанные на диаграмме, получаем

[латекс] \ text {-} (d-x) w + 0,48dw = 0. [/ латекс]

Ответ, полученный при решении (рисунок), опять же, [латекс] x = 0,52d = 1,3 \, \ text {m}. [/ латекс]

Рисунок 12.6 Эквивалентная диаграмма свободного тела для автомобиля; точка поворота четко обозначена.

Значение

Этот пример показывает, что при решении задач статического равновесия мы можем выбрать точку поворота.Для различных вариантов выбора точки поворота у нас есть разные наборы условий равновесия, которые необходимо решить. Однако любой выбор приводит к одному и тому же решению проблемы.

Проверьте свое понимание

Решите (рисунок), выбрав шарнир в месте расположения задней оси.

Показать решение

[латекс] x = 1,3 \, \ text {m} [/ latex]

Проверьте свое понимание

Объясните, какая из следующих ситуаций удовлетворяет обоим условиям равновесия: (а) теннисный мяч, который не вращается при движении в воздухе; (б) пеликан, который парит в воздухе с постоянной скоростью на одной высоте; или (c) коленчатый вал двигателя припаркованного автомобиля.

Особый случай статического равновесия возникает, когда все внешние силы на объект действуют на оси вращения или вдоль нее, или когда пространственное протяжение объекта можно не принимать во внимание. В таком случае объект можно эффективно рассматривать как точечную массу. В этом частном случае нам не нужно беспокоиться о втором условии равновесия (рисунок), потому что все крутящие моменты тождественно равны нулю, а первое условие равновесия (для сил) является единственным условием, которое должно выполняться. Диаграмма свободного тела и стратегия решения задач для этого особого случая были изложены в «Законах Ньютона» и «Приложениях законов Ньютона».В следующем примере вы увидите типичную ситуацию равновесия, включающую только первое условие равновесия.

Пример

Разрывное напряжение

Маленькая кастрюля массой 42,0 г поддерживается двумя струнами, как показано на (Рисунок). Максимальное натяжение, которое может выдержать струна, составляет 2,80 Н. Масса постепенно добавляется к чаше, пока одна из струн не сломается. Какая это струна? Какую массу нужно добавить, чтобы это произошло?

Рисунок 12.7 Масса постепенно добавляется к кастрюле, пока одна из струн не лопнет.

Стратегия

Эта механическая система, состоящая из струн, масс и сковороды, находится в статическом равновесии. В частности, узел, который привязывает струны к кастрюле, находится в статическом равновесии. Узел можно рассматривать как точку; следовательно, нам нужно только первое условие равновесия. Три силы, тянущие к узлу: натяжение [латекс] {\ overset {\ to} {T}} _ {1} [/ latex] в 5,0-сантиметровой струне, натяжение [латекс] {\ overset {\ to } {T}} _ {2} [/ latex] в веревке длиной 10,0 см и вес [латекс] \ overset {\ to} {w} [/ latex] сковороды, удерживающей гири.Мы принимаем прямоугольную систему координат с осью y , направленной противоположно направлению силы тяжести, и рисуем диаграмму свободного тела для узла (см. (Рисунок)). Чтобы найти компоненты натяжения, мы должны определить углы направления [латекс] {\ alpha} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ alpha} _ {2} [/ latex], которые образуют струны с горизонтальным направление оси x . Как вы можете видеть на (Рисунок), струны составляют две стороны прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить этот треугольник, показанный на (Рисунок), и найти синус и косинус углов [латекс] {\ alpha} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ alpha} _ {2}.[/ latex] Затем мы можем разложить натяжения на их прямоугольные составляющие, подставить в первое условие равновесия ((Рисунок) и (Рисунок)) и найти натяжения в струнах. Первой порвется струна с большим натяжением.

Рис. 12.8 Схема свободного тела для узла на (Рис.).

Решение

Вес w , натянутый на узел, связан с массой M кастрюли и массой m , добавленной к кастрюле, или [латекс] w = (M + m) g.[/ latex] С помощью диаграммы свободного тела на (Рисунок) мы можем установить условия равновесия для узла:

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ text {в направлении} \, x \ text {,} \ hfill & & \ hfill \ text {-} {T} _ {1x} + {T} _ {2x} & = \ hfill & 0 \ hfill \\ \ text {в направлении} \, y \ text {,} \ hfill & & \ hfill \ text {+} {T} _ {1y} + { T} _ {2y} -w & = \ hfill & 0. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Из диаграммы свободного тела, величины компонентов в этих уравнениях равны

[латекс] \ begin {array} {ccc} {T} _ {1x} = {T} _ {1} \ text {cos} \, {\ alpha} _ {1} = {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5}, \ hfill & & {T} _ {1y} = {T} _ {1} \ text {sin} \, {\ alpha} _ {1} = 2 {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5} \ hfill \\ {T} _ {2x} = {T} _ {2} \ text {cos} \, {\ alpha} _ {2} = 2 {T} _ {2} \ text {/} \ sqrt {5}, \ hfill & & {T} _ {2y} = {T} _ {2} \ text {sin} \, {\ alpha} _ { 2} = {T} _ {2} \ text {/} \ sqrt {5}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

Подставляем эти компоненты в условия равновесия и упрощаем. Затем мы получаем два уравнения равновесия для натяжений:

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ text {in} \, x \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill {T} _ {1} & = \ hfill & 2 {T} _ {2} \ hfill \\ \ text {in} \, y \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill \ frac {2 {T} _ {1}} {\ sqrt {5}} + \ frac {{T} _ {2}} {\ sqrt {5}} & = \ hfill & (M + m) g. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение равновесия для направления x говорит нам, что натяжение [латекс] {T} _ {1} [/ латекс] в 5.0-сантиметровая струна вдвое превышает натяжение [латекс] {T} _ {2} [/ latex] в 10-сантиметровой струне. Таким образом, более короткая струна порвется. Когда мы используем первое уравнение, чтобы исключить [латекс] {T} _ {2} [/ latex] из второго уравнения, мы получаем соотношение между массой [латекс] м [/ латекс] на противне и натяжением [латекс ] {T} _ {1} [/ latex] в более короткой строке:

[латекс] 2,5 {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5} = (M + m) г. [/ латекс]

Струна разрывается, когда натяжение достигает критического значения [латекс] {T} _ {1} = 2.{2}} — 0,042 \, \ text {kg} = 0,277 \, \ text {kg} = 277,0 \, \ text {g.} [/ Latex]

Значение

Предположим, что механическая система, рассматриваемая в этом примере, прикреплена к потолку внутри лифта, поднимающегося вверх. Пока лифт движется вверх с постоянной скоростью, результат остается неизменным, потому что вес [латекс] w [/ латекс] не меняется. Если лифт движется вверх с ускорением, критическая масса меньше, потому что вес [латекса] M + m [/ latex] становится больше на кажущийся вес из-за ускорения лифта.Тем не менее, во всех случаях более короткая струна рвется первой.

Сводка

• Тело находится в равновесии, когда оно остается либо в равномерном движении (поступательном и вращательном), либо в состоянии покоя. Когда тело в выбранной инерциальной системе отсчета не вращается и не движется в поступательном движении, мы говорим, что тело находится в статическом равновесии в этой системе отсчета.
• Условия равновесия требуют, чтобы сумма всех внешних сил, действующих на тело, была равна нулю (первое условие равновесия), а сумма всех внешних крутящих моментов от внешних сил была равна нулю (второе условие равновесия).Эти два условия должны одновременно выполняться в состоянии равновесия. Если один из них не удовлетворен, тело не находится в равновесии.
• Диаграмма свободного тела для тела — полезный инструмент, который позволяет нам правильно подсчитывать все вклады от всех внешних сил и моментов, действующих на тело. Диаграммы свободного тела для равновесия вытянутого твердого тела должны указывать точку поворота и плечи рычага действующих сил по отношению к оси вращения.

Концептуальные вопросы

Что вы можете сказать о скорости движущегося тела, находящегося в динамическом равновесии?

При каких условиях вращающееся тело может находиться в равновесии? Привести пример.

Какие три фактора влияют на крутящий момент, создаваемый силой относительно определенной точки поворота?

Показать решение

Величина и направление силы и ее плечо рычага

Механики иногда кладут кусок трубы на рукоятку гаечного ключа, пытаясь открутить очень тугой болт. Как это помогает?

Для следующих четырех задач оцените утверждение как истинное или ложное и объясните свой ответ.

Если на объект действует только одна внешняя сила (или крутящий момент), он не может находиться в равновесии.

Показать решение

Верно, поскольку в этом случае сумма сил не может быть равна нулю, если сама сила не равна нулю.

Если объект находится в равновесии, на него должно действовать четное число сил.

Если на объект действует нечетное количество сил, объект не может находиться в равновесии.

Показать решение

Неверно, если силы складываются в ноль как векторы, равновесие может быть достигнуто.

Тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью, находится в равновесии вращения.

Для чего служит длинный и гибкий шест, который переносят канатоходцы?

Показать решение

Помогает канатоходцу сохранять равновесие.

Проблемы

При затяжке болта вы нажимаете гаечный ключ перпендикулярно с усилием 165 Н на расстоянии 0,140 м от центра болта. Какой крутящий момент вы прикладываете относительно центра болта?

При открытии двери вы нажимаете на нее перпендикулярно с силой 55.0 Н на расстоянии 0,850 м от петель. Какой крутящий момент вы прикладываете к петлям?

Показать решение

[латекс] 46,8 \, \ text {N} · \ text {m} [/ латекс]

Найдите величину натяжения в каждом поддерживающем тросе, показанном ниже. В каждом случае вес подвешенного тела составляет 100,0 Н, а массой кабелей можно пренебречь.

Какая сила должна быть приложена в точке P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Можно ли приложить силу к P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Двое детей толкают противоположные стороны двери во время игры. Оба толкаются горизонтально и перпендикулярно двери. Один ребенок толкает с силой 17,5 Н на расстоянии 0,600 м от петель, а второй ребенок толкает на расстоянии 0,450 м. Какую силу должен приложить второй ребенок, чтобы дверь не двигалась? Предположим, трение незначительно.

Небольшой внедорожник массой 1000 кг имеет колесную базу 3,0 м. Если 60%, если его вес приходится на передние колеса, насколько далеко позади передних колес находится центр масс фургона?

Унифицированные качели сбалансированы в центре масс, как показано ниже. Маленький мальчик справа имеет массу 40,0 кг. Какая масса у его друга?

Глоссарий

центр тяжести

точка, к которой прикреплен вектор весов

равновесие

Тело

находится в равновесии, когда его линейное и угловое ускорения равны нулю относительно инерциальной системы отсчета

первое условие равновесия

выражает поступательное равновесие; все внешние силы, действующие на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю

гравитационный момент

крутящий момент на корпусе, вызванный его весом; возникает, когда центр тяжести тела не расположен на оси вращения

второе состояние равновесия

выражает вращательное равновесие; все моменты от внешних сил, действующих на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю

статическое равновесие

тело находится в статическом равновесии, когда оно находится в покое в нашей выбранной инерциальной системе отсчета

Пример задачи о равновесии системы

Пример задачи о равновесии системы

Лекция 7

Пример задачи Уравнения равновесия

---

Дано:
две системы сил, как показано выше.
Определите:
, было ли достигнуто равновесие.

Решение:
Чтобы система находилась в равновесии, она должна удовлетворять всем трем уравнениям равновесия:
Sum Fx = 0, Sum Fy = 0 и Sum M = 0.

Начнем с суммы уравнений сил. Самый простой способ решить эти силовые системы — разбить диагональные силы на составляющие части. По наблюдениям, каждая диагональ — это сторона «5» треугольника 3-4-5.Таким образом, сторона с пометкой » 3 «имеет значение 3/5 значения диагонали, а сторона, отмеченная цифрой» 4 «, равна 4/5 значения диагонали.

Теперь, используя компоненты, решите уравнения суммы сил.

Sum Fy = 4/5 (60k) — 3/5 (80k) = 48 — 48 = 0
Sum Fy = 100k — 3/5 (60) — 4/5 (80) = 100 — 36 — 64 = 0
Обе системы удовлетворяют уравнениям суммы сил для равновесия.

Теперь решите уравнение суммы моментов.Система слева находится в моментном равновесии, потому что это система параллельных сил. Возьмите сумму моментов в точке их пересечения. Для каждой силы плечо момента равно нулю. Однажды равняться ibrium был установлен с использованием этой единственной точки, сумма моментов для этой силовой системы будет равна нулю для любой точки на этой плоскости.

Система сил справа — это , а не в момент равновесия. Взяв сумму моментов вокруг той же точки, что и раньше, плечо момента двух диагональных сил равно нулю, но сила 100 # вызовет вращение по часовой стрелке.Эта система не может быть ut в равновесие с помощью одной силы, потому что это нарушит уравнение суммы сил. Самым простым решением будет приложенный момент, равный по величине моменту, вызванному силой 100 #, но противоположный по смыслу.

---

Авторские права 1995, 1996 Крис Х. Любкеман и Дональд Петинг
Авторские права 1997 Крис Х. Любкеман

Карта механики — Уравнения равновесия для систем параллельных сил

Если тело находится в статическом равновесии, то по определению это тело не ускоряется.Если мы знаем, что тело не ускоряется, тогда мы знаем, что сумма сил, действующих на это тело, должна быть равна нулю . Это основа для анализа равновесия частицы.

Чтобы найти какие-либо неизвестные в нашем уравнении суммы сил, нам на самом деле нужно превратить одно векторное уравнение в набор скалярных уравнений. Для двумерных задач мы разделим одно векторное уравнение на два скалярных уравнения. Мы делаем это, суммируя все компоненты x векторов силы и устанавливая их равными нулю в нашем первом уравнении, и суммируя все компоненты y векторов силы и устанавливая их равными нулю во втором уравнении.

\ [\ sum \ vec {F} = 0 \]
\ [\ сумма F_x = 0 \]	\ [\ сумма F_y = 0 \]

Мы делаем нечто подобное в трехмерных задачах, за исключением того, что мы разбиваем все наши векторы сил на компоненты x, y и z, устанавливая сумму компонентов x равной нулю для нашего первого уравнения, сумму всех y компоненты равны нулю для нашего второго уравнения, и сумма всех наших компонентов z равна нулю для нашего третьего уравнения.

\ [\ sum \ vec {F} = 0 \]
\ [\ сумма F_x = 0 \]	\ [\ сумма F_y = 0 \]	\ [\ sum F_z = 0 \]

После того, как мы выписали уравнения равновесия, мы можем решить уравнения для любых неизвестных сил.

Поиск уравнений равновесия:

Первый шаг в нахождении уравнений равновесия — это нарисовать диаграмму свободного тела анализируемого тела.На этой диаграмме должны быть показаны все известные и неизвестные векторы сил, действующих на тело. На схеме свободного тела укажите значения для любых известных величин или направлений векторов силы и укажите имена переменных для любых неизвестных (величин или направлений).

Первым шагом в анализе равновесия является построение диаграммы свободного тела. Это делается путем удаления всего, кроме тела, и втягивания всех сил, действующих на тело. Также полезно обозначить все силы, ключевые размеры и углы.

Далее вам нужно будет выбрать оси x, y и z. Эти оси должны быть перпендикулярны друг другу, но они не обязательно должны быть горизонтальными или вертикальными. Если вы выберете оси координат, которые совпадают с некоторыми из ваших векторов силы, вы упростите последующий анализ.

После того, как вы выбрали оси, вам нужно разбить все векторы силы на компоненты по направлениям x, y и z (см. Страницу векторов в Приложении 1, если вам нужны дополнительные указания по этому поводу). Ваше первое уравнение будет суммой величин компонентов в направлении x, равной нулю, второе уравнение будет суммой величин компонентов в направлении y, равных нулю, а третье (если вы есть трехмерная задача) будет сумма величин в направлении z, равная нулю.В совокупности они известны как уравнения равновесия .

Когда у вас есть уравнения равновесия, вы можете решить их для неизвестных с помощью алгебры. Количество неизвестных, которые вы сможете решить, будет количеством имеющихся у вас уравнений равновесия. В случаях, когда у вас больше неизвестных, чем уравнений, проблема известна как статически неопределенная задача , и вам потребуется дополнительная информация для решения данных неизвестных.

Параллельные силы

A. СИЛЫ И СТАТИКА Force Сопутствующие силы Коллинеарные силы Вещи для установки разрешение сил Консоль Простой Ферма Мост Башня Б. СВОЙСТВА РАЗДЕЛА Раздел Характеристики В. АНАЛИЗ ФЕРМ Ферма Анализ Д.АНАЛИЗ ПУЧКА Луч Анализ Дом

В В системе параллельных сил все силы проходят через общую точку. в в предыдущем случае, связанном с приложением двух сил к телу, это было необходимо, чтобы они были коллинеарными, противоположными по направлению и равными по величина, необходимая для того, чтобы тело было в равновесии.Если приложены три силы к телу, как показано на рисунке, они должны проходить через общую точку (O), иначе условие, SM o = 0, не будет выполнено и тело будет вращаться из-за неуравновешенности момент. Причем величины сил должны быть такими, чтобы уравнения силового равновесия, SF x = 0, SF y = 0, довольны. Одновременный Силы Это справедливо легко увидеть обоснование первого условия.Рассмотрим две силы, Факс 1 и F 2 , пересекаются в точке O на рисунке. Сумма моментов этих двух силы вокруг точки 0, очевидно, равны нулю, потому что они оба проходят через 0. Если F 3 не проходит через 0, с другой стороны, у него будет какой-то ненулевой момент об этом. Поскольку этот ненулевой момент заставит тело вращаться, тело не будет в равновесии. Следовательно, не только три непараллельных силы, приложенные к телу, должны быть одновременными чтобы тело находилось в состоянии равновесия, но их величины и направления должны быть такими, чтобы выполнялись условия равновесия сил (SF x = SF y = 0). Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт 2019 © Все права защищены.