Сопромат основные формулы: Формулы сопромата для решения задач

Содержание

Прикладная механика | ПроСопромат.ру

Случай I  От φ=1

«Основная система»

  1. Определение толщины обжимаемого слоя грунта «Н1».
  2. Вычисление параметров r и s при b1=1,
  3. Введение безразмерной абсциссы .
  4. Начальные параметры для основной системы:

         V0=0, M0=0.

   5.Граничные условия на правом краю:

при ξ=1 (x=d):   V (1)=0,              (1)

                            φ(1)=0.              (2)

«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:

(1):  φ0K(1)+MKvм(1)+Q0KvQ(1)=0,

(2):  φ0

Kφφ(1)+MKφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

откуда:

;

    6. Из условия φ0=1 найдем М:

   7.По найденному значению «М» определяем: М0=М, φ0=1 и Q0.

    8.По третьей и четвертой формулам  при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.

Случай II  От ∆=1

«Основная система»

Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.

4. Начальные параметры:

V0=0, φ0=0.

5. Граничные условия на правом краю:

   φ(1)=0,              (1)

   Q (1)=Р.             (2)

«Развернув» их по формуле (2), получим:

(1): M0Kφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

(2): M0KQм(1)+Q0KQQ(1)=P,

откуда:

6  Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:

M0Kvм(1)+Q0KvQ(1)=1,

                или

откуда:

7) Зная «Р», находим: М0 и Q0.

8)  По третьей и четвертой формулам  определяем значения М и Q в характерных сечениях.

Пример 1. Эпюры  М и Q от φ=1 для бруса длиной

d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

  1. Для конструкции тоннельной обделки интенсивность нагрузки на элемент лотка составляет:

Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной

силы на границе полуплоскости дает для maxσ следующее выражение:

Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σбытгр(h0+h+d2+H1)=1,5 (0,833+1,5+5+Н1)=1,5 (7,333+Н1).

Тогда, Н1 определяется из условия:

maxσ=1,2σбыт:

или ,

откуда .

Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства

.

В нашем случае, при Н1=0,261м:

— значение параметра , характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ0=0,3:

,

— значение параметра , характеризующего работу слоя грунта на срез , что в 252 раза меньше k1,

— а величина коэффициента постели по Винклеру:

Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k1 и коэффициентом постели k составляет всего 9%.

В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания

Винклера).

То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.

Сопромат. Расчеты на устойчивость при продольном изгибе.

Сопротивление материалов

Расчеты на устойчивость при продольном изгибе



Понятие продольного изгиба

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Расчеты на прочность и жесткость, выполняемые для большинства видов деформаций основываются на предположении, что между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы.
Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), называют критическими нагрузками.

Примером явления продольного изгиба может послужить длинная школьная линейка, к одному из концов которой приложена сжимающая сила. Сначала материал линейки сопротивляется нагрузке, и линейка работает, как обычный сжимаемый брус. Затем, по достижении определенной нагрузки, линейка начинает прогрессирующе изгибаться без существенного увеличения сжимающей силы и теряет устойчивость (т. е. гнется без заметных усилий вплоть до поломки).

Явление продольного изгиба можно объяснить тем, что к реальному стержню практически невозможно применить основные гипотезы и допущения сопромата — об однородности, изотропности и непрерывности материала. Поэтому при продольном сжатии стержня, даже если сжимающая сила приложена идеально вдоль его оси (что тоже на практике нереально), отдельные волокна этого стержня неодинаково сопротивляются сжатию (из-за неоднородности и анизотропии материала, из которого он изготовлен). В результате, при достижении сжимающей силой критической величины, стержень начинает изгибаться в сторону наименьшего сопротивления волокон.

На практике этому способствует, также, приложение нагрузки не строго вдоль центральной оси сечения. По мере увеличения изгиба и потери стержнем устойчивости возрастают изгибающие нагрузки, поскольку, чем сильнее изгибается стержень, тем дальше от его оси отклоняется линия действия сжимающей силы, образуя возрастающий момент изгиба. По этой причине стержень изгибается все сильнее даже при небольшом возрастании сжимающей силы (прогрессивно растет плечо изгибающего момента этой силы).
В конечном итоге стержень теряет устойчивость, что чаще всего сопровождается его поломкой или неупругой деформацией (безвозратной потерей прямолинейности или начальной формы).

Если предположить, что материал стержня идеально соответствует принимаемым в сопромате допущениям и гипотезам, а сжимающая сила приложена строго к центру тяжести сечения вдоль оси стержня, то такой стержень будет работать на простое сжатие, и разрушится не из-за потери устойчивости, а из-за превышения предельных прочностных характеристик для сжатия. Если же стержень имеет сечение в виде сложной фигуры, то решающую роль при потере устойчивости играет отклонение продольной нагрузки от главной центральной оси этой фигуры.

Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.

Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, сжимаемый силой F, немного большей критической силы Fкр (см. рисунок 1).

Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искривления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора – продольная сила N = F и изгибающий момент Ми.

Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической Fкр. Обозначим допускаемую сжимающую силу [F], тогда:

[F] = Fкр/[sy],

где: [sy] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [sy] > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей [sy] = 1,8….3; для чугунов [sy] = 5….5,5; для дерева [sy] = 2,8….3,2.

***



Формулы Эйлера и Ясинского для расчетов стержней на устойчивость

Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707-1783 г.г.)

. В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального следования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856-1899 г.г.), опубликовавшим в 1893 году научную работу «Опыт развития продольного изгиба».

Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707 — 1783) — выдающийся ученый, которого в разных источниках называют швейцарским, немецким и российским. Математик, физик, астроном и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и ряда других прикладных наук.
Эйлер — автор более чем 850 научных работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.
Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Л. Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года и до конца жизни был академиком Петербургской академии наук. С 1741 по 1766 год работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии).
Превосходно знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
Некоторые из потомков Л. Эйлера до сих пор живут в России.

Л. Эйлером была предложена формула для определения величины критической силы Fкр, которая приводится здесь без вывода:

Fкр = π2ЕImin / lп2,

где: Е – модуль упругости первого рода; Imin — наименьший из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление происходит в плоскости наименьшей жесткости; lп – приведенная длина стержня, которая может быть определена по формуле:

lп = μl,

где: l – длина стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Наиболее часто встречающиеся способы закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента приведения длины представлены на рисунке 2.

Вывод формулы Эйлера основан на известном законе Гука, который справедлив лишь до предела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользоваться не всегда.
Для определения пределов применимости формулы Эйлера определим критическое напряжение σкр, т. е. напряжение, которое возникает в поперечном сечении площадью А стержня при достижении критической силы:

σкр =Fкр / А = π2ЕImin /[(μl2)A].

Определим наименьший радиус инерции imin поперечного сечения стержня:

imin = √(Imin / A)       (здесь √ — знак квадратного корня).

Перепишем формулу для σкр так:

σкр = π2Е / (μl / imin2).

Введем понятие гибкости стержня: λ = μl / imin. Это безразмерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

σкр = π2Е / λ2.

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:

σкр = π2Е / λ2 ≤ σпц,

где: σпц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть

λ ≥ √( π2Е / σпц) = λпред       (здесь √ — знак квадратного корня).

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.
Условие применимости формулы Эйлера можно записать так: λ ≥ λпред, т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости. Так, для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λ ≥ 100.

В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского:

σкр = a – bλ,

где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.

Если стержень имеет гибкость λ ≤ 40, то его можно рассчитывать на простое сжатие по формуле σс = F / А.

***

Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней – проектный, проверочный и силовой.

Проектный расчет заключается в определении минимального осевого момента инерции поперечного сечения стержня по формуле:

Imin = F[sy](μl)2 / (π2E),

где: F — действующая нагрузка; [sy] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости; μ – коэффициент приведения длины стержня; l – длина стержня; Е – модуль продольной упругости.

Далее находят гибкость стержня по формуле:     λ = μl / imin,

где: imin = √(Imin / A),        (А – площадь сечения стержня).

Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного материала.

Проверочный расчет заключается в определении действительного коэффициента запаса устойчивости sy и сравнении его с допускаемым:

sy = Fкр / F ≥ [sy].

Силовой расчет заключается в определении допускаемой нагрузки [F] по формуле:

[F] = Fкр / [sy].

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:

[F] = φ[σс]A,

где: [σс] – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент продольного изгиба (справочная величина, определяемая по таблицам).

Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее выгодными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сечения, имеющие относительно большой момент инерции.

***

Растяжение и сжатие


Главная страница


Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

«Без сопромата очень опасен». Интервью Алексея Боровкова для журнала «Стимул» — FEA.RU | CompMechLab

Алексей Боровков, проректор Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Фото: Александр Забрин

В последнее время инженерно-техническая общественность России активно обсуждает две темы: проблемы инженерного образования и его наполнения и проблемы современного инжиниринга.

В «Стимуле» эти проблемы уже затрагивались в интервью ректора Сколковского института науки и технологий академика РАН Александра Кулешова , вызвавшем большой резонанс, в интервью генерального директора компании «Миландр» Михаила Павлюка , в статье вице-президента НИУ ВШЭ Игоря Агамирзяна  и в интервью генерального директора компании «Топ Системы» Сергея Кураксина.

Алексей Боровков — специалист, который сочетает работу в обеих этих сферах. Он проректор по перспективным проектам Санкт-Петербургского политехнического университета, научный руководитель Института передовых производственных технологий и руководитель Центра компьютерного инжиниринга (CompMechLab), который вошел в список национальных чемпионов — компаний, которые отмечены Минэкономразвития как лидеры среди быстроразвивающихся высокотехнологических компаний.

Центр компьютерного инжиниринга — исполнитель многих разработок в интересах грандов мирового машиностроения (ABB, Airbus, Audi, Boeing, BMW, Daimler, General Electric, General Motors, LG Electronics, Schlumberger, Volkswagen, China Nuclear Power Corporation и др), а также многих российских корпораций и компаний («Ростех», «Росатом», «Газпром», Объединенные авиастроительная корпорация, Объединенная двигателестроительная корпорация, Объединенная судостроительная корпорация, Объединенная ракетно-космическая корпорация, «Силовые машины», КамАЗ, АвтоВАЗ и многих других.

Алексей Иванович соруководитель рабочей группы по разработке и реализации «дорожной карты» TechNet Национальной технологической инициативы, в которой основное значение отводится формированию «фабрик будущего».

Мы встретились с Алексеем Ивановичем, чтобы обсудить обе эти темы: инженерное образование и развитие инжиниринга. В результате наша беседа фактически распалась на две самостоятельные части. Одна посвящена образованию, другая — инжинирингу. Сегодня мы публикуем первую часть, вторую представим вниманию читателей через несколько дней.

Фото: Александр Забрин

— Какую роль в современном инженерном образовании играют традиционные инженерные дисциплины, скажем, сопромат? Есть точка зрения, что современному инженеру все заменяет компьютер.

— Конечно, есть разделы в разных дисциплинах, которые, скорее, представляют сейчас интерес как часть общего образования, общей инженерной культуры. Может быть, представляют интерес с позиций истории науки и техники. Например, в 1950–1980-е годы было очень популярно операционное («символическое») исчисление, позволяющее в простейших практических случаях решать достаточно сложные математические задачи. Нам его на легендарном физмехе питерского Политеха преподавали чуть ли ни целый семестр. Это был период развития науки с общим увлечением строгими аналитическими методами решения задач на основе простых математических моделей. Сейчас операционное исчисление практически не применяется. То есть можно утверждать, что некоторые разделы математики со временем теряют свою актуальность для инженеров, более актуальными и востребованными становятся другие направления.

Фото: Александр Забрин

С другой стороны, есть базовые дисциплины, такие как сопротивление материалов (популярный термин — сопромат) или теоретическая механика, которые являются неотъемлемым фундаментальным элементом хорошего инженерного образования. Конечно, можно все описать сложными уравнениями в частных производных в рамках таких научных областей, как теория упругости, механика деформируемого твердого тела, механика сплошной среды, уйти в чистую математику (сингулярные интегральные уравнения и так далее), но тогда есть большой риск, что инженер не будет понимать, что же скрывается за этими уравнениями, не будет понимать сложное поведение механических конструкций, которые нас окружают и которые мы используем ежеминутно в своей жизни, зачастую не отдавая себе в этом отчет. Отмечу, что, употребляя термин «конструкция», мы говорим обо всем широком спектре реальных объектов: машины, установки, приборы, сооружения, технические системы и прочее.

Возвращаясь к сопромату, можно утверждать, что он позволяет нам понимать, как ведет себя материал в тех или иных типичных ситуациях нагружения. Подчеркну, сопромат — это элемент культуры инженера, если это выкинуть, то как он вообще узнает о том, что есть различные типы нагружения, простейшие типы напряженного состояния, например, растяжение и сжатие (растянутые и сжатые волокна), поперечный или продольный сдвиг, кручение, изгиб, сложный изгиб? Простейшие примеры из сопромата это очень хорошо иллюстрируют. Конечно, сопромат — это значительное упрощение, но во многих науках мы очень многое начинаем понимать, изучая простые примеры, цепочку специально подобранных примеров.

— Наверное, речь идет не только о сопромате?

— Точно так же инженер должен понимать физику процессов, происходящих в конструкциях. Недостаточно знать уравнения математической физики, описывающие физические явления с помощью математических моделей; как правило, это уравнения в частных производных — например, для решения задач нестационарной нелинейной теплопроводности, теории упругости, гидродинамики или электромагнитных явлений, электромагнитного взаимодействия. Все коэффициенты, присутствующие в этих уравнениях, получаются экспериментальным путем и имеют определенный физический смысл. И очень полезно научиться получать численные решения тех задач, которые имеют аналитическое решение. Решая задачи численно для разных простейших ситуаций, разделяя сложные нестационарные нелинейные явления на составляющие, мы фактически формируем интуицию инженера; более того, на численном решении простых задач, имеющих аналитическое решение, можно отработать фундаментальные вычислительные навыки, например эффекты практической сходимости численных результатов к точному аналитическому решению. Затем, постепенно усложняя модель, ты начинаешь понимать или даже чувствовать физический смысл каждого нового вводимого элемента, например коэффициента Пуассона или, в теории упругости, применимость и ограниченность принципа Сен-Венана, которым мы обычно пользуемся при аналитическом решении простых задач. Главное, ты начинаешь чувствовать и понимать, как это все работает.

Анализ фермы. Метод узлов. Фермы используются для поддержки крыш, укрепления мостов или поддержки башенных опор. Основной вопрос: зачем анализировать ферму? Если вы хотите спроектировать элементы фермы и ее узлы правильно, то должны четко знать, какую нагрузку несет каждый элемент фермы при определенной нагрузке.

Этим глубоким пониманием российские инженеры как раз и отличаются от индусов, например, которые зачастую не знают этих наук. Они научились быстро строить сложные геометрические модели, но эти модели они рассматривают как геометрические объекты, состоящие из простейших «кирпичиков» (треугольники, четырехугольники, кубики, тетраэдры, призмы) — конечных элементов, имеющих, как правило, криволинейные рёбра, поверхности. А мы понимаем, что, например, при численном решении динамических задач есть условие Куранта, выполнение которого необходимо для получения устойчивого численного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Более того, мы понимаем, что для получения корректного решения шаги «по времени» и «по пространству» взаимосвязаны. Об этом, кстати, забывают или попросту не знают многие экономисты.

Короче говоря, для решения сложных реальных задач, в которых скрывается много физических явлений и процессов, нужно хорошо понимать эти явления и процессы, нужно понимать и уметь «строить» корректные математические модели, начиная с простого и переходя к сложному, а эти знания, умения, навыки приобретаются и отрабатываются исключительно при изучении базовых дисциплин, таких как сопротивление материалов, теоретическая механика, математическая физика.

Далее, конечно, важно понимать, что для кого-то сопромат — это вершина, вспомним: «Сдал сопромат — можешь жениться», — а для кого-то, точнее для инженеров, которые обеспечивают нам комфортные условия существования в настоящем или уже сейчас формируют будущее, это лишь первая, простейшая ступенька в понимании сложных явлений и процессов, формирующая общую инженерную культуру, если хотите, мировоззрение, мироощущение… Название дисциплины «сопротивление материалов» — это, скорее всего, дань уважения истории, конечно, сегодня сопромат — это «механика материалов и конструкций». Да, простейших моделей материалов и элементов конструкций, но это фундамент устойчивого развития в области высокотехнологичной промышленности.

— Те, кто говорит, что сопромат не нужен, считают, что все то, о чем вы рассказываете, уже заложено в программе…

— Конечно, сейчас есть современные программные системы компьютерного инжиниринга (Computer-Aided Engineering, CAE), которые позволяют достаточно быстро и правильно решать самые сложные задачи. Но если использовать их без глубокого знания и понимания основ, то возникает риск, что ты превращаешься в человека, который ловко стучит по клавишам компьютера, запускает программу, и дальше свято верит в ту картинку, тот результат, который выдала программа, но, с одной стороны, не способен оценить адекватность и точность полученного численного решения, а с другой — не в состоянии поставить реальную задачу, как правило сложную задачу, не понимая всех тонкостей, о которых мы говорили ранее.

К чему приводят ошибки проектировщиков… 

Если ты эти задачи не решал, что называется, ручками, на пальцах, не писал эти формулы и не видел, что здесь у нас растягивающее напряжение, здесь — сжимающее напряжение, не знаешь, например, что, когда ты увеличиваешь нагрузку, то при превышении интенсивностью напряжений предела текучести материала образуются зоны пластических деформаций, более того, при дальнейшем увеличении нагрузки может сформироваться «пластический шарнир», который и изучают в сопромате, — если ты этого не знаешь, не чувствуешь, не изучал на простых примерах, то для тебя многие эффекты, возникающие в процессе решения сложных задач, могут оказаться неожиданными и необъяснимыми. Ты встретил эффект, который раньше ты не описывал с помощью формул, изучая базовые дисциплины, ты должен в этом быстро разобраться, но для этого у тебя не хватает базового, фундаментального физико-математического образования, ты пропускаешь этот момент, идешь за компьютер снова стучать по клавишам, получаешь — и пропускаешь без объяснения и изучения новый эффект, потом следующий… 

Естественно, не научившись быстро и правильно, с пониманием решать простые задачи, тебя просто нельзя пускать дальше решать сложные задачи, ты становишься просто опасен, опасен для общества, для окружающих. Почему? Да потому, что конструкции — это и стулья, на которых мы сидим, и автомобили, в которых мы ездим, и дома, в которых мы живем, и мосты, и поезда, и корабли, и подводные лодки, и самолеты, и ракетно-космическая техника, наконец.

— А для какого уровня инженерной пирамиды они нужны? Для инженеров всех уровней, то есть это базовая подготовка, или только для творцов?

— Подчеркну, не очень представляю любого инженера без сопромата, как и без математики, без физики. Более того, в этом случае я бы его даже не называл инженером. Скорее я его могу представить без глубоких знаний нелинейной механики деформируемого твердого тела, потому что большинству инженеров придется решать линейные задачи и задачи теории колебаний, которые, собственно, и рассматриваются в базовых дисциплинах — в сопромате и в теории колебаний.

Если мы говорим об инженерах по эксплуатации высокотехнологичного оборудования, такого как многофункциональные многокоординатные станки с числовым программным управлением, сочетающие на единой платформе наряду с традиционными видами обработки еще и аддитивные технологии, скажем лазерное выращивание металлических деталей, то, если выкинуть из их образования такие базовые дисциплины, как сопротивление материалов, математическая физика, теория колебаний и другие, то, скорее всего, в процессе работы из-за непонимания таким «инженером» происходящих физико-механических процессов могут возникать разного рода неожиданности. Если все эти «тонкости» откинуть, то это, конечно, не инженер, это оператор, который нажимает кнопки.

Повторю, сопромат вырабатывает, так же как математическая физика, теория колебаний, некие первичные, основные элементы интуиции. Это очень важно для инженера. Если он изучал базовые дисциплины, то можно быть уверенным, что он не сделает и не пропустит какую-то глупость. У него появляется уверенность, что он может взять ручку и, написав простейшие формулы, сделать оценку, а не сразу начнет городить сложные численные схемы, сложные программы, наконец, применять суперкомпьютеры. Чем больше инженер понимает, чувствует, как ведет себя конструкция, тем лучше он ее спроектирует и будет понимать, как она работает.

— Это еще и вопрос кругозора. Инженер Степан Тимошенко, эмигрировавший после революции…

— Я как раз представляю тот факультет, в основание которого заложены его идеи — физмех питерского Политеха. Вообще говоря, именно этот факультет, «система физмеха», послужил основой для создания московского Физтеха. Тимошенко Степан Прокофьевич учился вместе с Абрамом Федоровичем Иоффе до шестого класса. Один из них, Тимошенко, в 1918 году эмигрировал и фактически создал прикладную механику в США, другой, Иоффе, создал советскую школу физики. Отдыхая в 1911 году в Крыму, они написали первый учебный план выдающегося факультета, который должен был взять все самое лучшее с точки зрения наук из «мехматов и физфаков», но не потерять прикладную инженерную направленность. Этот факультет во многом легендарный. В итоге он был образован в 1919 году, первым заместителем декана был Петр Леонидович Капица, который закончил наш Политехнический институт. А в президиум физмеха входили физик Абрам Федорович Иоффе, кораблестроитель, механик, математик Алексей Николаевич Крылов, теплофизик Михаил Викторович Кирпичев — впоследствии все академики. Потом, спустя четверть века, Петр Капица, творчески переработав идеи, заложенные при создании физмеха, использовал их при создании физико-технического факультета МГУ, который через пять лет был преобразован в МФТИ в Долгопрудном.

Говоря о физмехе, достаточно вспомнить атомный проект, в результате которого была создана советская атомная бомба. Конечно, в работе над атомным проектом СССР участвовали сотни тысяч людей. Однако к 1953 году лишь пятеро из них были первыми в СССР удостоены званий трижды Героев Социалистического Труда и трижды лауреатов Сталинской премии первой степени: Игорь Васильевич Курчатов  — научный руководитель атомного проекта; Юлий Борисович Харитон — Главный конструктор атомного и термоядерного оружия; Кирилл Иванович Щёлкин  — первый заместитель Главного конструктора; Яков Борисович Зельдович  — начальник теоретического отдела; Николай Леонидович Духов — заместитель Главного конструктора. Так вот, все эти ученые и инженеры тесно связаны с физмехом и питерским Политехом, учились или работали в Политехе и Физико-техническом институте, их всех объединил академик Абрам Иоффе — один из создателей легендарного факультета. Я тоже закончил этот факультет.

С физмехом питерского Политеха и ЛФТИ связаны имена многих представителей научно-инженерной элиты, создавших школы и участвовавших в реализации важнейших технологических проектов страны.

— Я вспомнил о Тимошенко, потому что в своей книге он пишет, что русский инженер отличался от американского именно широтой кругозора и способностью решать любые задачи. Это очень помогло им в эмиграции.

— Да, это так, мы принадлежим к той научной школе, для которой такое фундаментальное образование — ключевой элемент.

К сожалению, в настоящее время проблема нашего высшего инженерного образования не в том, что у нас продолжают преподавать сопромат и другие традиционные инженерные дисциплины. Основная проблема современного российского инженерного образования в том, что на старших курсах магистратуры, где читают прикладные курсы, работают преподаватели, которые последние пять, а то и двадцать лет не работали с высокотехнологической промышленностью. Отсюда преподавание устаревших подходов, методов, технологий. Преподаватели зачастую не знают, не понимают, наконец, попросту не успевают за глобальными трендами, уровнем и темпами развития передовых технологий, в первую очередь технологий компьютерного инжиниринга, которые с каждым годом становятся все более наукоемкими и мультидисциплинарными, играют все более важную роль в процессе проектирования глобально конкурентоспособной продукции нового поколения, в том числе с применением аддитивных технологий, других передовых технологий и нового высокотехнологичного оборудования.

Часто мне задают вопрос, можно ли в рамках системы бакалавриата и магистратуры подготовить инженера. Можно. Для этого не надо пытаться в программу подготовки бакалавра запихать все инженерное образование, нужно понимать, что бакалавр и магистр — это две различные ступени образования. А у людей, которые почувствовали, что они никогда не будут инженерами, есть возможность сменить направление обучения. И это с точки зрения и обучающегося, и государства, хорошо, оно не тратит лишние деньги на обучение инженера, который никогда не будет работать инженером.

Тем более что, хотя в среднем каждый год в России выпускается около 250 тысяч инженеров, из них лишь примерно 50 тысяч работают по специальности. В первую очередь это связано с тем, что многие во время обучения просто почувствовали, что это не их дело.

Я бы вообще предложил рассматривать как более рациональную систему подготовки (2 + 2) + 2, когда есть возможность изменить направление подготовки уже в магистратуре, особенно с учетом реального состояния кафедр в университетах. И вообще, такая гибкая образовательная траектория была бы чрезвычайно полезна, по крайней мере для лучших, мотивированных и талантливых студентов, которые, возможно, ошиблись с первоначальным выбором направления подготовки или уже в процессе обучения разобрались с реальной ситуацией в университете, а не на основе рекламных буклетов. Это особенно важно для иногородних студентов.

Нужно понимать, что инженеры бывают трех уровней. Часто говорят, что мы потеряли среднее техническое образование, но за последние годы так усложнилось высокотехнологичное оборудование, что его обслуживание требует как минимум бакалаврского уровня образования. Я бы назвал тех, кто этим занят, инженерами по эксплуатации высокотехнологичного оборудования. И их требуется примерно 20–25 процентов всего инженерного корпуса.

Второй уровень этой пирамиды самый большой. Он составляет примерно 70 процентов всех инженеров — это традиционные инженеры-конструкторы, расчетчики, технологи, программисты, экономисты, наконец, маркетологи технических систем и так далее.

Третья часть корпуса инженеров, и я бы сказал, что ее выпуск — самая важная цель системы инженерного образования, — это от пяти, но не более десяти процентов общего количества инженеров. Это, как я его называю, инженерный спецназ, это инженеры, которые обладают компетенциями мирового уровня. Они должны иметь очень хорошую фундаментальную физико-математическую подготовку, очень хорошую техническую подготовку, включая подготовку по информационным и вычислительным технологиям. Это те, кто реально сможет создавать что-то действительно новое, особенно в условиях жесткой конкуренции, если иметь в виду глобальную конкуренцию на высокотехнологических рынках. Все остальные в какой-то мере исполнители, помощники — квалифицированные, но помощники. Как подготовить «инженерный спецназ»? Исключительно в процессе выполнения реальных проектов в магистратуре, проектов по заказам высокотехнологических компаний — это фактически подготовка магистров, а по сути инженеров, в процессе выполнения реальных НИОКР.

Источник: stimul.online

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ — это… Что такое СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ?

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

раздел механики твердого тела, изучающий напряжения и деформации, которые обусловлены силами, действующими на твердые тела — элементы конструкции. Эту дисциплину можно характеризовать и как науку о методах расчета элементов конструкции на прочность, жесткость и устойчивость. Напряжение, создаваемое в твердом теле внешними нагрузками, есть мера (с размерностью силы на единицу площади) интенсивности внутренних сил, действующих со стороны одной, мысленно отсекаемой, части тела на другую, оставшуюся (метод сечений). Внешние нагрузки вызывают деформацию тела, т.е. изменение его размеров и формы. В сопротивлении материалов исследуются соотношения между нагрузками, напряжениями и деформациями, причем исследования ведутся, с одной стороны, путем математического вывода формул, связывающих нагрузки с вызываемыми ими напряжениями и деформациями, а с другой — путем экспериментального определения характеристик материалов, применяемых в строениях и машинах.
См. также
МЕТАЛЛОВ МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА;
МЕТАЛЛОВ ИСПЫТАНИЯ.
По найденным формулам с учетом результатов испытания материалов рассчитываются размеры элементов строений и машин, обеспечивающие сопротивление заданным нагрузкам. Сопротивление материалов не относится к точным наукам, так как многие его формулы выводятся на основе предположений о поведении материалов, которые не всегда точно выполняются. Тем не менее, пользуясь ими, грамотный инженер может создавать надежные и экономичные конструкции. С сопротивлением материалов тесно связана математическая теория упругости, в которой тоже рассматриваются напряжения и деформации. Она позволяет решать те задачи, которые с трудом поддаются решению обычными методами сопротивления материалов. Однако между сопротивлением материалов и теорией упругости нет четкой границы. Хотя почти все задачи о распределении напряжений решены методами математического анализа, при сложных условиях эти решения требуют трудоемких выкладок. И тогда на помощь приходят экспериментальные методы анализа напряжений.
НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ
Виды напряжений. Самое важное понятие в сопротивлении материалов — это понятие напряжения как силы, действующей на малую площадку и отнесенной к площади этой площадки. Напряжения бывают трех видов: растяжения, сжатия и сдвига. Если на металлическом стержне подвешен груз, как показано на рис. 1,а, то такой стержень называется растянутым или работающим на растяжение. Напряжение S, создаваемое силой P в растянутом стержне с площадью поперечного сечения, равной A, дается выражением S = P/A. Если вес груза равен 50 000 Н, то растягивающая сила тоже равна 50 000 Н. Далее, если ширина стержня равна 0,05 м, а толщина — 0,02 м, так что площадь поперечного сечения составляет 0,001 м2, то растягивающее напряжение равно 50 000/0,001 = 50 000 000 Н/м2 = 50 МПа. Растянутый стержень длиннее, чем до приложения растягивающих сил.

Рис. 1. РАСТЯНУТЫЙ (а) И СЖАТЫЙ (б) СТЕРЖНИ
Рассмотрим короткий цилиндр (рис. 1,б), на верхний торец которого положен груз. При этом во всех поперечных сечениях цилиндра действуют напряжения сжатия. Если напряжение равномерно распределено по всему сечению, то справедлива формула S = P/A. Сжатый цилиндр короче, чем в отсутствие деформаций. Напряжение сдвига возникает, например, в болте (рис. 2,а), на котором верхним концом держится растянутый стержень AB с грузом 50 000 Н (рис. 1,а). Болт удерживает стержень, действуя с силой 50 000 Н, направленной вверх, на ту часть стержня, которая расположена непосредственно над отверстием в стержне, а стержень в свою очередь давит на среднюю часть болта с силой 50 000 Н. Силы, действующие на болт, приложены так, как показано на рис. 2,б. Если бы болт был сделан из материала с низким пределом прочности на сдвиг, например из свинца, то он был бы срезан по двум вертикальным плоскостям (рис. 2,в). Если же болт стальной и достаточно большого диаметра, то он не срежется, но в двух его вертикальных поперечных сечениях будут существовать напряжения сдвига. Если напряжения сдвига равномерно распределены, то они даются формулой S = P/A. Полная сила сдвига, действующая в каждом из поперечных сечений, равна 25 000 Н, и если диаметр болта равен 0,02 м (площадь поперечного сечения равна приблизительно 0,0003 м2), то напряжение сдвига Ss будет составлять 25 000 Н/0,0003 м2, т.е. немногим более 80 МПа.

Рис. 2. НАПРЯЖЕНИЯ СДВИГА В БОЛТЕ
Напряжения растяжения и сжатия направлены по нормали (т.е. вдоль перпендикуляра) к площадке, в которой они действуют, а напряжение сдвига — параллельно площадке. Поэтому напряжения растяжения и сжатия называются нормальными, а напряжения сдвига — касательными.
Деформация. Деформацией называется изменение размера тела под действием приложенных к нему нагрузок. Деформация, отнесенная к полному размеру, называется относительной. Если изменение каждого малого элемента длины тела одинаково, то относительная деформация называется равномерной. Относительную деформацию часто обозначают символом d, а полную — символом D. Если относительная деформация постоянна по всей длине L, то d = D/L. Например, если длина стального стержня до приложения растягивающей нагрузки равна 2,00 м, а после нагружения — 2,0015 м, то полная деформация D равна 0,0015 м, а относительная — d = 0,0015/2,00 = 0,00075 (м/м). Почти для всех материалов, применяемых в строениях и машинах, относительная деформация пропорциональна напряжению, пока оно не превысит т.н. предела пропорциональности. Это очень важное соотношение называется законом Гука. Оно было экспериментально установлено и сформулировано в 1678 английским изобретателем и часовых дел мастером Р.Гуком. Данное соотношение между напряжением и деформацией для любого материала выражается формулой S = Ed, где E — постоянный множитель, характеризующий материал. Этот множитель называют модулем Юнга по имени Т.Юнга, который ввел его в 1802, или же модулем упругости. Из обычных конструкционных материалов наибольший модуль упругости у стали; он равен примерно 200 000 МПа. В стальном стержне относительная деформация, равная 0,00075, из приводившегося ранее примера вызывается напряжением S = Ed = 200 000ґ0,00075 = 150 МПа, что меньше предела пропорциональности конструкционной стали. Если бы стержень был из алюминия с модулем упругости около 70 000 МПа, то, чтобы вызвать ту же самую деформацию 0,00075, достаточно было бы напряжения немногим более 50 МПа. Из сказанного ясно, что упругие деформации в строениях и машинах очень малы. Даже при сравнительно большом напряжении 150 МПа из приведенного выше примера относительная деформация стального стержня не превышает одной тысячной. Столь большая жесткость стали — ее ценное качество. Чтобы наглядно представить деформацию сдвига, рассмотрим, например, прямоугольную призму ABCD (рис. 3). Ее нижний конец жестко заделан в твердое основание. Если на верхнюю часть призмы действует горизонтальная внешняя сила F, она вызывает деформацию сдвига, показанную штриховыми линиями. Смещение D есть полная деформация на длине (высоте) L. Относительная деформация сдвига d равна D/L. Для деформации сдвига тоже выполняется закон Гука при условии, что напряжение не превышает предела пропорциональности для сдвига. Следовательно, Ss = Esd, где Es — модуль сдвига. Для любого материала величина Es меньше E. Для стали она составляет около 2/5 E, т.е. приблизительно 80 000 МПа. Важный случай деформации сдвига — деформация в валах, на которые действуют внешние скручивающие моменты.

Рис. 3. ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА определяется как смещение D, отнесенное к исходной высоте L.
Выше речь шла об упругих деформациях, которые вызываются напряжениями, не превышающими предела пропорциональности. Если же напряжение выходит за предел пропорциональности, то деформация начинает расти быстрее, чем напряжение. Закон Гука перестает быть справедливым. В случае конструкционной стали в области, лежащей чуть выше предела пропорциональности, небольшое увеличение напряжения приводит к увеличению деформации во много раз по сравнению с деформацией, соответствующей пределу пропорциональности. Напряжение, при котором начинается столь быстрый рост деформации, называется пределом текучести. Материал, в котором разрушению предшествует большая неупругая деформация, называется пластичным.
ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Допускаемое (допустимое) напряжение — это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку. Можно говорить о допускаемых напряжениях растяжения, сжатия и сдвига. Допускаемые напряжения либо предписываются компетентной инстанцией (скажем, отделом мостов управления железной дороги), либо выбираются конструктором, хорошо знающим свойства материала и условия его применения. Допускаемым напряжением ограничивается максимальное рабочее напряжение конструкции. При проектировании конструкций ставится цель создать конструкцию, которая, будучи надежной, в то же время была бы предельно легкой и экономной. Надежность обеспечивается тем, что каждому элементу придают такие размеры, при которых максимальное рабочее напряжение в нем будет в определенной степени меньше напряжения, вызывающего потерю прочности этим элементом. Потеря прочности не обязательно означает разрушение. Машина или строительная конструкция считается отказавшей, когда она не может удовлетворительно выполнять свою функцию. Деталь из пластичного материала, как правило, теряет прочность, когда напряжение в ней достигает предела текучести, так как при этом из-за слишком большой деформации детали машина или конструкция перестает соответствовать своему назначению. Если же деталь выполнена из хрупкого материала, то она почти не деформируется, и потеря ею прочности совпадает с ее разрушением.
Запас прочности. Разность напряжения, при котором материал теряет прочность, и допускаемого напряжения есть тот «запас прочности», который необходимо предусматривать, учитывая возможность случайной перегрузки, неточностей расчета, связанных с упрощающими предположениями и неопределенными условиями, наличия не обнаруженных (или не обнаружимых) дефектов материала и последующего снижения прочности из-за коррозии металла, гниения дерева и пр.
Коэффициент запаса. Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение. При этом под потерей прочности понимается не только разрушение элемента, но и появление в нем остаточных деформаций. Поэтому для элемента конструкции, выполненного из пластичного материала, предельным напряжением является предел текучести. В большинстве случаев рабочие напряжения в элементах конструкции пропорциональны нагрузкам, а поэтому коэффициент запаса определяется как отношение предела прочности к допускаемому напряжению (коэффициент запаса по пределу прочности). Так, если предел прочности конструкционной стали равен 540 МПа, а допускаемое напряжение — 180 МПа, то коэффициент запаса равен 3.
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
В сопротивлении материалов большое внимание уделяется выводу соотношений между заданными нагрузками, размерами и формой элемента конструкции, несущего эти нагрузки или сопротивляющегося им, и напряжениями, возникающими в определенных сечениях элемента конструкции. Как правило, цель расчетов состоит в том, чтобы найти необходимые размеры элемента, при которых максимальное рабочее напряжение в нем не будет превышать допускаемого. В элементарном курсе сопротивления материалов рассматривается ряд типичных случаев равномерного распределения напряжений: растянутые стержни, короткие сжатые стержни, тонкостенные цилиндры, работающие под давлением внутренней среды (котлы и резервуары), заклепочные и сварные соединения, температурные напряжения и такие статически неопределимые системы, как растянутые стержни из нескольких разных материалов. Если напряжение одинаково во всех точках поперечного сечения, то S = P/A. Конструктор находит необходимую площадь поперечного сечения, поделив заданную нагрузку на допускаемое напряжение. Но нужно уметь отличать случаи, в которых напряжение действительно распределено равномерно, от других, сходных случаев, в которых этого нет. Необходимо также (как в задаче о заклепочных соединениях, в которых существуют напряжения и растяжения, и сжатия, и сдвига) находить плоскости, в которых действуют напряжения разного вида, и определять максимальные местные напряжения.
Тонкостенный цилиндр. Такой резервуар выходит из строя (разрывается), когда напряжение растяжения в его оболочке становится равным пределу прочности материала. Формулу, связывающую толщину стенки t, внутренний диаметр резервуара D, напряжение S и внутреннее давление R, можно вывести, рассмотрев условия равновесия кольца, вырезанного из его оболочки двумя поперечными плоскостями, разделенными расстоянием L (рис. 4,а). Внутреннее давление действует на внутреннюю поверхность полукольца с направленной вверх силой, равной произведению RDL, а напряжения в двух горизонтальных концевых сечениях полукольца создают две направленные вниз силы, каждая из которых равна tLS. Приравнивая, получаем RDL = 2tLS, откуда S = RD/2t.

Рис. 4. ЭЛЕМЕНТ ТОНКОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА (а) и двухзаклепочное соединение внахлестку (б).
Заклепочное соединение. На рис. 4,б представлено двухзаклепочное соединение двух полос внахлестку. Такое соединение может выйти из строя из-за перерезывания обеих заклепок, разрыва одной из полос в том месте, где она ослаблена отверстием под заклепку, или из-за слишком больших напряжений смятия по площади соприкосновения заклепки с полосой. Напряжение смятия в заклепочном соединении вычисляется как нагрузка на одну заклепку, деленная на диаметр заклепки и на толщину полосы. Допускаемой для такого соединения принимается наименьшая из нагрузок, соответствующих допускаемым напряжениям трех указанных видов. Вообще говоря, напряжение, действующее в поперечном сечении растянутого или короткого сжатого стержня, можно с полным основанием считать равномерно распределенным, если равные и противоположно направленные нагрузки приложены так, что равнодействующая каждой из них проходит через центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения. Но нужно иметь в виду, что ряд задач (и к ним относится задача о напряжениях смятия в заклепочном соединении) решается в предположении о равномерном распределении напряжения, хотя это заведомо не соответствует действительности. Допустимость такого подхода проверяется опытным путем.
НЕРАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Многие элементы строений и детали машин нагружаются так, что напряжения во всех их поперечных сечениях распределены неравномерно. Чтобы вывести формулы для расчета напряжений в таких условиях, мысленно разрезают элемент плоскостью, которая дает нужное поперечное сечение, на две части и рассматривают условия равновесия одной из них. На эту часть действуют одна или несколько заданных внешних сил, а также силы, эквивалентные напряжениям в данном поперечном сечении. Действующие напряжения должны удовлетворять условиям равновесия и соответствовать деформациям. Эти два требования составляют основу для решения задачи. Второе из них подразумевает справедливость закона Гука. Типичными элементами с неравномерным распределением напряжений являются нагруженные балки, валы под действием скручивающих сил, растянутые или сжатые стержни с дополнительным изгибом и колонны.
БАЛКИ
Балка — это длинный стержень с опорами и нагрузками, работающий в основном на изгиб. Поперечное сечение балки обычно одинаково по всей ее длине. Силы, с которыми опоры действуют на балку, называются реакциями опор. Наиболее распространены два вида балок: консольная (рис. 5,а) и балка с двумя опорами, называемая простой (рис. 5,б). Под действием нагрузок балка прогибается. При этом «волокна» на ее верхней стороне сокращаются, а на нижней — удлиняются. Очевидно, что где-то между верхней и нижней сторонами балки имеется тонкий слой, длина которого не изменяется. Он называется нейтральным слоем. Изменение длины волокна, расположенного между верхней (или нижней) стороной балки и ее нейтральным слоем, пропорционально расстоянию до нейтрального слоя. Если справедлив закон Гука, то напряжения тоже пропорциональны этому расстоянию.

Рис. 5. ДВА ТИПА БАЛОК: а — консольная, б — простая. P, P1 и P2 — сосредоточенные нагрузки; R1 и R2 — реакции опор; L — длина.
Формула изгиба. На основе указанного распределения напряжений, дополненного условиями статики, выведена т.н. формула изгиба, в которой напряжение выражается через нагрузки и размеры балки. Она обычно представляется в виде S = Mc/I, где S — максимальное напряжение в рассматриваемом поперечном сечении, c — расстояние от нейтрального слоя до наиболее напряженного волокна, M — изгибающий момент, равный сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения, а I — момент инерции поперечного сечения (определенная функция формы и размеров последнего). Характер изменения нормальных напряжений в поперечном сечении балки показан на рис. 6.

Рис. 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ в поперечном сечении балки. P — нагрузка, R — реакция, W — вес (распределенная нагрузка).
В поперечных сечениях балок действуют также касательные напряжения. Их вызывает равнодействующая всех вертикальных сил, приложенных по одну сторону поперечного сечения горизонтальной балки. Сумма всех внешних сил и реакций, действующих на одну из двух частей балки, называется сдвигом в сечении балки и обычно обозначается через V. Касательные напряжения неравномерно распределены по сечению: они равны нулю на верхнем и нижнем краях сечения и почти всегда максимальны в нейтральном слое.
Прогиб балки. Часто требуется рассчитать прогиб балки, вызванный действием нагрузки, т.е. вертикальное смещение точки, лежащей в нейтральном слое. Это очень важная задача, поскольку прогиб и кривизну балки нужно знать при решении задач, относящихся к широкому кругу т.н. статически неопределимых систем. Еще в 1757 Л. Эйлер вывел формулу для кривизны изогнутой балки. В этой формуле кривизна балки выражается через переменный изгибающий момент. Чтобы найти ординату упругой кривой (прогиб), необходимо брать двойной интеграл. В 1868 О.Мор (Германия) предложил метод, основанный на эпюрах изгибающих моментов. Этот графоаналитический метод имеет огромное преимущество перед прежними методами, так как позволяет свести все математические вычисления к сравнительно простым арифметическим выкладкам. Он дает возможность вычислять прогиб и наклон в любой точке балки при любой нагрузке.
Статически неопределимые балки. Многие балки, используемые в строениях и машинах, имеют более двух опор или только две опоры, но с заделкой одного из концов, исключающей возможность поворота. Такие балки называются статически неопределимыми, поскольку уравнений статики недостаточно для определения реакций в опорах и моментов в заделке. Чаще всего рассматриваются подобные балки трех типов: с одним заделанным (защемленным) концом и одной опорой, с заделанными обоими концами и неразрезные балки, имеющие более двух опор (рис. 7).

Рис. 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ: а — с одним заделанным концом; б — с двумя заделанными концами; в — неразрезная трехпролетная. P, P1, P2 — сосредоточенные нагрузки; R — реакция; L1, L2, L3 — длины; W, W1, W2, W3 — веса (распределенные нагрузки).
Первое решение задачи о неразрезных балках было опубликовано французским инженером Б. Клапейроном в 1857. Он доказал т. н. теорему о трех моментах. Уравнение трех моментов представляет собой соотношение между изгибающими моментами в трех последовательных опорах одной неразрезной балки. Например, в случае неразрезной балки с равномерной нагрузкой на каждом пролете это уравнение имеет вид MAL1 + 2MB (L1 + L2) + MCL2 = — (W1L13)/4 — (W2L23)/4. Здесь MA, MB и MC — изгибающие моменты в трех опорах, L1 и L2 — длины левого и правого пролетов, W1 — нагрузка на левый пролет, а W2 — нагрузка на правый пролет. Нужно написать такое уравнение для каждой пары смежных пролетов, а затем решить полученную систему уравнений. Если число пролетов равно n, то число уравнений будет равно n — 1. В 1930 Х. Кросс опубликовал свой метод расчета широкого круга статически неопределимых рам и неразрезных балок. Его «метод распределения моментов» позволяет обходиться без решения систем уравнений, сводя все вычисления к сложению и вычитанию чисел.
НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ
Если к концам вала приложены равные, но противоположно направленные внешние скручивающие моменты, то во всех его поперечных сечениях существуют только касательные напряжения, т.е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. В круговом поперечном сечении вала деформации сдвига и касательные напряжения равны нулю в центре и максимальны на краю; в промежуточных точках они пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения. Обычная формула для максимального касательного напряжения при кручении такова: S = Tc/J, где T — скручивающий момент на одном конце, c — радиус вала и J — полярный момент сечения. Для круга J = pr4/2. Эта формула применима только в случае кругового поперечного сечения. Формулы для валов с поперечным сечением другой формы выводятся путем решения соответствующих задач методами математической теории упругости с привлечением в некоторых случаях методов экспериментального анализа.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Нередко приходится рассчитывать балки, на которые в дополнение к поперечным нагрузкам действуют продольные силы растяжения или сжатия, приложенные к концам. В таких случаях напряжение в любой точке поперечного сечения равно алгебраической сумме нормального напряжения, создаваемого продольной нагрузкой, и изгибного напряжения, создаваемого поперечными нагрузками. Общая формула для напряжения в случае совместного действия изгиба и растяжения-сжатия такова: S = ± (P/A) ± (Mc/I), где знак «плюс» относится к растягивающему напряжению.
КОЛОННЫ
Каркасы зданий и фермы мостов состоят в основном из растянутых стержней, балок и колонн. Колонны — это длинные сжатые стержни, примером которых в каркасах зданий могут служить вертикальные стержни, несущие межэтажные перекрытия. Если длина сжатого стержня более чем в 10-15 раз превышает его толщину, то под действием критических нагрузок, приложенных к его концам, он, потеряв устойчивость, изогнется, даже если нагрузки номинально приложены по его оси (продольный изгиб). Вследствие такого изгиба нагрузка оказывается внецентренной. Если эксцентриситет в среднем поперечном сечении колонны равен D, то максимальное сжимающее напряжение в колонне будет равно (P/A) + (PDc/I). Отсюда видно, что допускаемая нагрузка для колонны должна быть меньше, чем для короткого сжатого стержня. Формулу для устойчивости гибких колонн вывел в 1757 Л. Эйлер. Максимальная нагрузка P, которую может нести гибкая колонна высотой L, равна mEA /(L/r)2, где m — постоянный множитель, зависящий от конструкции основания, A — площадь поперечного сечения колонны, а r — наименьший радиус инерции поперечного сечения. Отношение L/r называется гибкостью (при продольном изгибе). Как нетрудно видеть, допускаемая нагрузка быстро убывает с увеличением гибкости колонны. В случае колонн с малой гибкостью формула Эйлера непригодна, и конструкторы вынуждены пользоваться эмпирическими формулами. В строениях часто встречаются внецентренно нагруженные колонны. В результате точного теоретического анализа таких колонн были получены «формулы секанса». Но расчеты по этим формулам весьма трудоемки, а потому часто приходится прибегать к эмпирическим методам, дающим хорошие результаты.
СЛОЖНЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Напряжение в какой-либо точке той или иной плоскости нагруженного тела, вычисленное по обычным формулам, не обязательно будет наибольшим в этой точке. Поэтому важное значение имеет вопрос о соотношениях между напряжениями в разных плоскостях, проходящих через одну точку. Такие соотношения являются предметом раздела механики, посвященного сложным напряженным состояниям.
Соотношения между напряжениями. Напряженное состояние в некоторой точке любого нагруженного тела можно полностью охарактеризовать, представив напряжения, действующие на грани элементарного куба в этой точке. Часто встречаются случаи, к которым относятся и рассмотренные выше, двухосного (плоского) напряженного состояния с напряжениями, равными нулю, на двух противоположных гранях куба. Напряжения, существующие в точке тела, неодинаковы в плоскостях с разным наклоном. Исходя из основных положений статики, можно сделать ряд важных выводов о соотношении между напряжениями в разных плоскостях. Приведем три из них: 1. Если в некоторой точке заданной плоскости имеется касательное напряжение, то точно такое же напряжение имеется в проходящей через эту точку плоскости, перпендикулярной заданной. 2. Существует плоскость, в которой нормальное напряжение больше, чем в любой другой. 3. В плоскости, перпендикулярной этой плоскости, нормальное напряжение меньше, чем в какой-либо другой. Максимальное и минимальное нормальные напряжения, о которых говорится в п. 2 и 3, называются главными напряжениями, а соответствующие плоскости — главными плоскостями. Необходимость в анализе главных напряжений на основе указанных соотношений не всегда возникает, так как простые формулы, которыми обычно пользуются инженеры, в большинстве случаев дают именно максимальные напряжения. Но в некоторых случаях, например при расчете вала, сопротивляющегося одновременно скручивающему и изгибающему моментам, нельзя обойтись без соотношений для сложного напряженного состояния.
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ
В задачах, о которых говорилось выше, рассматривались напряжения либо равномерно распределенные, либо линейно меняющиеся с удалением от нейтральной оси, где напряжение равно нулю. Однако во многих случаях закон изменения напряжения более сложен. В качестве примера задач с нелинейным распределением напряжений можно привести искривленные балки, толстостенные сосуды, работающие под высоким внутренним или наружным давлением, валы некругового поперечного сечения и нагруженные тела с резкими изменениями поперечного сечения (канавками, буртиками и т.д.). Для таких задач рассчитываются коэффициенты концентрации напряжений. Кроме того, выше речь шла только о статических нагрузках, постепенно прилагаемых и снимаемых. Переменные же и периодически меняющиеся нагрузки, многократно повторенные, могут приводить к потере прочности, даже если они не превышают статического предела прочности рассматриваемого материала. Такие отказы называются усталостными, а проблема их предотвращения приобрела важное значение в наш век машин и механизмов, работающих на необычайно высоких скоростях.
См. также
СТАТИКА;
ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ;
КОНСТРУКЦИОННЫЕ И СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.
ЛИТЕРАТУРА
Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., 1978 Павлов П.А. Механические состояния и прочность материалов. Л., 1980 Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М., 1986 Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. Киев, 1986 Степин П.А. Сопротивление материалов. М., 1988 Бородин Н.А. Сопротивление материалов. М., 1992

Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.

  • ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ
  • ИБАНЬЕС ДЕЛЬ КАМПО Карлос

Смотреть что такое «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» в других словарях:

  • СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ — наука о прочности и деформируемости элементов сооружений и деталей машин. Основные объекты изучения стержни и пластины, исследуемые теоретическими и экспериментальными методами. Главная задача сопротивления материалов создание методов расчета… …   Большой Энциклопедический словарь

  • СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ — наука, изучающая деформации и напряженное состояние различных материалов и изделий из них, а также дающая способы определения прочных размеров отдельных частей сооружений при действии на них тех или других внешних сил. Самойлов К. И. Морской… …   Морской словарь

  • Сопротивление материалов — СОПРОТИВЛЯТЬСЯ, яюсь, яешься; несов., кому чему. Противодействовать натиску, нападению, воздействию кого чего н. С. врагу. С. болезни. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • сопротивление материалов — сущ., кол во синонимов: 1 • сопромат (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Сопротивление материалов — Внешние силовые линии увеличиваются около отверстия, в общем случае концентрации напряжений Сопротивление материалов (в обиходе  сопромат)  часть механики деформируемого твёрдого тела, которая рассматривает методы инженерных расчётов …   Википедия

  • Сопротивление материалов — Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Сопротивление материалов* — Когда, при составлении проекта сооружения или машины, форма, главные размеры частей и силы, которым они будут подвержены, уже определены на основании требований задания, данных механики и технологии, приходится еще определять остальные размеры… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Сопротивление материалов —         наука о прочности и деформируемости элементов (деталей) сооружений и машин. Основные объекты изучения С. м. стержни и пластины, для которых устанавливаются соответствующие методы расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость при действии …   Большая советская энциклопедия

  • сопротивление материалов — [strength of materials] наука о прочности и деформируемости элементов (деталей) сооружений и машин. Основные объекты изучения сопротивления материалов стержни и пластины, для которых устанавливаются соответствующие методы расчета на прочность,… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • сопротивление материалов — наука о прочности и деформируемости элементов сооружений и деталей машин. Основные объекты изучения  стержни и пластины, исследуемые теоретическими и экспериментальными методами. Главная задача сопротивления материалов  создание методов расчёта… …   Энциклопедический словарь


Александров А.В. Сопротивление материалов

Учебник «Сопротивление материалов» написан на основе использования опыта преподавания курса на кафедре «Строительная механика» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ, а). Авторы использовали в некоторой мере нетрадиционную форму представления материала, которая сохранена, как оправдавшая себя, и в данном втором издании учебника.
Укажем на наиболее существенные особенности предлагаемого третьего издания учебника. В технике вообще и в строительстве в частности все более широкое применение находят элементы конструкций, изготовленные из композитных или неоднородных материалов. Этим вопросам уделено значительное внимание.
Расширены и доведены до более удобного в методическом и практическом использовании вопросы учета ползучести в расчетах элементов конструкций.
Наряду с классическими приемами оценки прочности элементов конструкций при сложном напряженном состоянии даются основные понятия механики разрушения — быстро развивающегося направления оценки прочности тел, имеющих трещины. Эти вопросы имеют важное значение для анализа работы существующих и проектируемых конструкций.
Вместе с традиционной для большинства учебников по сопротивлению материалов детерминированной формой постановки вопросов прочности в книге освещены элементы вероятностных методов расчета на прочность.
Уделено внимание долговечности деталей, работающих в условиях переменных нестационарных режимов нагружения. Вопросы расчета рациональных тонкостенных стержневых конструкций дополнены расчетом стержней замкнутого профиля.
Для лучшего усвоения курса в учебнике приводится необходимое число задач с решениями, а также после каждой главы даются контрольные вопросы и задачи с ответами, решение которых позволит студентам закрепить теоретические знания.

Предисловие.

Глава 1. Основные понятия
§ 1.1. Сопротивление материалов в инженерном образовании.
§ 1.2. Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок
§ 1.3. Допущения о свойствах материала элементов конструкций
§ 1.4. Внутренние силы и напряжения.
§ 1.5. Перемещения и деформации.
§ 1.6. Принцип суперпозиции.

Глава 2. Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня
§ 2.1. Метод определения внутренних усилий.
§ 22. Внутренние усилия при растяжении и сжатии.
§ 2.3. Внутренние усилия при кручении.
§ 2.4. Основные типы опорных связей я балок. Определение опорных реакций
§ 2.5. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости между Мх, Qy u qy.
§ 2.6. Усилия в рамах и криволинейных стержнях.

Глава 3. Растяжение и сжатие
§ 3.1. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука.
§ 3.2. Обобщенный закон Гука.
§ 3.3. Напряжения в сечениях, наклоненных к оси стержня, при растяжении и сжатии.
§ 3.4. Определение перемещений в общем случае растяжения и сжатия.
§ 3.5. Статически неопределимые системы.
§ 3.6. Краткие сведения о строительных материалах несущих конструкций.
§ 3.7. Испытание материалов на растяжение и сжатие.
§ 3.8. Диаграммы растяжения пластичных и хрупких материалов.
§ 3.9. Потенциальная энергия деформации и работа, затраченная на разрыв образца.
§ 3.10. Диаграммы сжатия различных материалов.
§ 3.11. Влияние различных факторов на механические характеристики материалов.
§ 3.12. Методы расчета строительных конструкций.
§ 3.13. Основные понятия о вероятностном методе расчета на прочность

Глава 4. Геометрические характеристики поперечных сечении стержня
§ 4.1. Основные понятия.
§ 4.2. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей.
§ 4.3. Зависимость между моментами инерции при повороте осей.
§ 4.4. Главные оси и главные моменты инерции. Понятие о радиусе инерции
§ 4.5. Вычисление моментов инерции тонкостенных сечений.
§ 4.6. Вычисление моментов инерции сложных фигур.

Глава 5. Сдвиг и кручение.
§ 5.1. Чистый сдвиг.
§ 5.2. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Расчеты на прочность.
§ 5.3. Определение углов закручивания. Расчеты на жесткость.
§ 5.4. Статически неопределимые задачи при кручении.
§ 5.5. Кручение в упругопластической стадии.
§ 5.6. Потенциальная энергия деформации при кручении.
§ 5.7. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витка.
§ 5.8. Практические расчеты соединений, работающих на сдвиг.

Глава б. Изгиб. Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня
§ 6.1. Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.
§ 6.2. Вывод формулы для нормальных напряжений в поперечных сечениях
§ 6.3. Плоский изгиб. Расчеты на прочность.
§ 6.4. Балки рационального сечения.
§ 6.5. Косой изгиб.
§ 6.6. Общий случай. Внецентреиное растяжение—сжатие.
§ 6.7. Предельная нагрузка при изгибе балки из упругопластического материала.
§ 6.8. Расчет по ограниченной пластической деформации.
§ 6.9. Напряжения в стержнях, составленных из неоднородных и композитных материалов.
§ 6.10. Напряжения в кривом стержне.

Глава 7. Изгиб. Касательные напряжения и расчеты на прочность по усилиям сдвига.
§ 7.1. Касательные напряжения при изгибе.
§ 7.2. Распределение касательных напряжений в сечениях балок различной формы.
§ 7.3. Центр изгиба сечения.
§ 7.4. Расчет на прочность составных стержней по усилиям сдвига.
§ 7.S. Усилия сдвига и касательные напряжения в балках из неоднородных материалов.
§ 7.6. Напряжения в балках переменного сечения.
§ 7.7. Потенциальная энергия деформации при изгибе.

Глава 8. Перемещения при изгибе.
§ 8.1. Некоторые основные понятия.
§ 8.2. Дифференциальное уравнение для функции прогибов и его разновидности.
§ 8.3. Интегрирование дифференциального уравнения линии прогибов и определение произвольных постоянных.
§ 8.4. Использование локальных систем координат при наличии нескольких участков интегрирования.
§ 8.S. Метод начальных параметров.
§ 8.6. Численное интегрирование уравнений для прогибов методом конечных разностей.
§ 8.7. Дифференциальное уравнение для прогибов с учетом деформаций сдвига.
§ 8.8. Особенности определения больших прогибов.
§ 8.9. Метод Максвелла—Мора.

Глава 9. Основы расчета простейших статически неопределимых систем
§ 9.1. Статически неопределимые системы.
§ 9.2. Основная система метода сил.
§ 9.3. Канонические уравнения метода сил. Примеры расчета статически неопределимых систем.
§ 9.4. Расчет статически неопределимых систем по методу предельного равновесия.

Глава 10. Балка на упругом основании.
§ 10.1. Дифференциальное уравнение для функции прогибов и его общий интеграл.
§ 10.2. Расчет полубесконечной балки. Краевой эффект.
§ 10.3. Бесконечная балка на упругом основании.
§ 10.4. Понятие о расчете коротких балок на упругом основании.

Глава 11. Свободное кручение стержней некруглого сечения.
§ 11.1. Понятие о свободном и стесненном кручении стержня.
§ 11.2. Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля. Определение напряжений.
§ 11.3. Жесткость тонкостенных стержней замкнутого профиля при свободном кручении.
§ 11.4. Определение напряжений и перемещений в тонкостенном стержне замкнутого профиля при растяжении, изгибе и кручении.
§ 11.5. Свободное кручение стержня прямоугольного сечения. Мембранная аналогия.
§ 11.6. Свободное кручение тонкостенного стержня открытого профиля
§ 11.7. Депланация незамкнутого тонкостенного сечения.
§ 11.8. Главные секториальные координаты и техника их определения.

Глава 12. Стесненное кручение тонкостенных стержней.
§ 12.1. Общее понятие о теории стесненного кручения стержней открытого профиля (теории Власова). Основные допущения.
§ 12.2. Нормальные напряжения г.
§ 12.3. Касательные напряжения тш.
§ 12.4. Дифференциальное уравнение для углов закручивания и его общее решение.
§ 12.5. Общий случай нагружения тонкостенного стержня открытого профиля
§ 12.6. Особенности стесненного кручения стержней замкнутого профиля

Глава 13. Напряженное и деформированное состояния в точке.
§ 13.1. Понятия напряженного состояния в точке и его виды.
§ 13.2. Напряжения в наклонных площадках при плоском напряженном состоянии.
§ 13.3. Главные напряжения.
§ 13.4. Экстремальные касательные напряжения.
§ 13.5. Круг напряжений.
§ 13.6. Примеры анализа плоского напряженного состояния.
§ 13.7. Траектории главных напряжений.
§ 13.8. Объемное напряженное состояние.
§ 13.9. Деформированное состояние в точке.
§ 13.10. Экспериментальное определение деформаций и напряжений методом тензометрии.
§ 13.11. Зависимость между модулями упругости при растяжении и при сдвиге.
§ 13.12. Изменение объема материала при деформации.
§ 13.13. Потенциальная энергия при объемном напряженном состоянии.

Глава 14. Критерии прочности и пластичности.
§ 14.1. Основные понятия.
§ 14.2. Критерии наибольших нормальных напряжений и наибольших удлинений.
§ 14.3. Критерии пластичности.,
§ 14.4. Теория прочности Мора.,
§ 14.5. О новых теориях прочности.
§ 14.6. О механике хрупкого разрушения тел при наличии трещин.

Глава 15. Устойчивость сжатых стержней.
§ 15.1. Основные понятия.
§ 15.2. Вывод формулы Эйлера для критической силы.
§ 15.3. Влияние способа закрепления концов стержня на значение критической силы.
§ 15.4. Пределы применимости формулы Эйлера.
§ 15.5. Практический расчет сжатых стержней.
§ 15.6. Расчет внецентренно сжатой гибкой стойки.
§ 15.7. Продольно-поперечный изгиб сжатых стержней.

Глава 16. Ползучесть материалов.
§ 16.1. Влияние фактора времени на деформирование материалов.
§ 16.2. Зависимости между напряжениями и деформациями при линейной ползучести.
§ 16.3. Частный случай линейной ползучести.
§ 16.4. Релаксация напряжений.
§ 16.S. Принцип Вольтёрра.
§ 16.6. Поведение вязкоупругих статически неопределимых систем.
§ 16.7. Длительная прочность материалов.
§ 16.8. Выпучивание вязкоупругого стержня, имеющего начальное искривление.
§ 16.9. Нелинейная ползучесть материалов.

Глава 17. Динамическое действие нагрузки.
§ 17.1. Понятие о динамическом нагружении.
§ 17.2. Движение тела с постоянным ускорением. Динамический коэффициент
§ 17.3. Ударное действие нагрузки.
§ 17.4. Приближенный учет распределенной массы стержней при ударе.
§ 17.5. Понятие о волновой теории удара.

Глава 18. Концентрация напряжений.
§ 18.1. Понятие о концентрации напряжений.
§ 18.2. Контактные напряжения.

Глава 19. Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях.
§ 19.1. Понятие об усталостном разрушении материала и его причины.
§ 19.2. Характеристики циклов напряжений.
§ 19.3. Кривые усталости. Предел выносливости.
§ 19.4. Диаграмма предельных амплитуд.
§ 19.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность материала.
§ 19.6. Коэффициент запаса при циклическом нагружении.
§ 19.7. Усталостная прочность при нестационарных нагруженнях.
§ 19.8. Расчет на прочность при переменных напряжениях.
§ 19.9. Понятие о малоцикловой усталости.

Глава 20. Основы некоторых методов экспериментального исследования напряженно-деформированного состояния тел.
§ 20.1. Вводные замечания.
§ 20.2. Основные уравнения теории упругости для плоской задачи.
§ 20.3. Определение напряжений по найденным из эксперимента перемещениям.
§ 20.4. Метод фотоупругости.
§ 20.5. Метод муаровых полос.
§ 20.6. Метод голографической интерферометрии.

Заключение.
Приложения.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В СОПРОМАТЕ Устойчивость сжатых…

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про обозначения принятые в сопромате, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое обозначения принятые в сопромате , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Устойчивость сжатых стержней

Сопротивление материалов (в обиходе — сопромат) — часть механики деформируемоготвердого тела, которая рассматривает методы инженерных расчетов конструкций напрочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требованийнадежности, экономичности и долговечности.

Определение

Сопротивление материалов базируется на понятии «прочность», что является способностью материала противостоять приложенным нагрузкам и воздействиям без разрушения. Сопротивление материалов оперирует такими понятиями как: внутренние усилия, напряжения, деформации . Приложенная внешняя нагрузка к некоторому телу порождает внутренние усилия в нем, противодействующие активному действию внешней нагрузки. Внутренние усилия, распределенные по сечениям тела, называются напряжениями. Таким образом, внешняя нагрузка порождает внутреннюю реакцию материала, характеризующуюся напряжениями, которые в свою очередь прямо пропорциональны деформациям тела. Деформации бывают линейными (удлинение, укорочение, сдвиг) и угловыми ( поворот сечений). Основные понятия сопротивления материалов, оценивающие способность материала сопротивляться внешним воздействиям:

  1. Несущая способность (прочность) — способность материала воспринимать внешнюю нагрузку не разрушаясь;
  2. Жесткость — способность материала сохранять свои геометрические параметры в допустимых пределах при внешних воздействиях
  3. Устойчивость — способность материала сохранять в стабильности свою форму и положение при внешних воздействиях

Связь с другими науками

В теоретической части сопротивление материалов базируется на математике и теоретической механике, в экспериментальнойчасти — на физике и материаловедении и применяется при проектировании машин, приборов и конструкций. Практически все специальные дисциплины подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления материалов, так как создание работоспособной новой техники невозможно без анализа и расчета ее прочности, жесткости и надежности.

Задачей сопротивления материалов, как одного из разделов механики сплошной среды, является определение деформаций инапряжений в твердом упругом теле, которое подвергается силовому или тепловому воздействию.

Эта же задача среди других рассматривается в курсе теории упругости. Однако методы решения этой общей задачи в том и другом курсах существенно отличаются друг от друга. Сопротивление материалов решает ее главным образом для бруса, базируясь на ряде гипотез геометрического или физического характера. Такой метод позволяет получить, хотя и не во всех случаях, вполне точные, но достаточно простые формулы для вычисления напряжений. Также поведением деформируемых твердых тел под нагрузкой занимается теория пластичности и теория вязкоупругости.

Гипотезы и допущения

Расчет реальных конструкций и их элементов является либо теоретически невозможным, либо практически неприемлемым по своей сложности. Поэтому в сопротивлении материалов применяется модель идеализированного деформируемого тела, включающая следующие допущения и упрощения:

  1. Гипотеза сплошности и однородности: материал представляет собой однородную сплошную среду; свойстваматериала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.
  2. Гипотеза об изотропности материала: физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.
  3. Гипотеза об идеальной упругости материала: тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.
  4. Гипотеза (допущение) о малости деформаций: деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.
  5. Допущение о справедливости закона Гука: перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.
  6. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции): результат воздействия нескольких внешних факторовравен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит отпоследовательности их приложения.
  7. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях: поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.
  8. Принцип Сен-Венана: в делениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.

Эти положения ограниченно применимы к решению конкретных задач. Например, для решения задач устойчивости утверждения 4-6 не справедливы, утверждение 3 справедливо не всегда.

Теории прочности

Прочность конструкций определяется с использованием теории разрушения — науки о прогнозировании условий, при которых твердые материалы разрушаются под действием внешних нагрузок. Материалы, как правило, подразделяются на разрушающиеся хрупко и пластично. В зависимости от условий (температуры, распределения напряжений, вида нагрузки и т. п.) большинство материалов может быть отнесено к хрупким, пластичным или обоим видам одновременно. Тем не менее, для большинства практических ситуаций, материалы могут быть классифицированы как хрупкие или пластичные. Несмотря на то, что теория разрушения находится в разработке уже более 200 лет, уровень ее приемлемости для механики сплошных сред не всегда достаточен.

Математически теория разрушения выражается в виде различных критериев разрушения, справедливых для конкретных материалов. Критерием разрушения является поверхность разрушения, выраженная через напряжения или деформации. Поверхность разрушения разделяет «поврежденное» и «не поврежденное» состояния. Для «поврежденного» состояния трудно дать точное физическое определение, это понятие следует рассматривать как рабочее определение, используемое в инженерном сообществе. Термин «поверхность разрушения», используемый в теории прочности, не следует путать с аналогичным термином, который определяет физическую границу между поврежденными и не поврежденными частями тела . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Довольно часто феноменологические критерии разрушения одного и того же вида используются для прогнозирования хрупкого и пластичного разрушения.

Среди феноменологических теорий прочности наиболее известными являются следующие теории, которые принято называть «классическими» теориями прочности:

  1. Теория наибольших нормальных напряжений.
  2. Теория наибольших деформаций.
  3. Теория наибольших касательных напряжений Треска.
  4. Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения фон Мизеса.
  5. Теория Мора.

Классические теории прочности имеют существенные ограничения для их применения. Так теории наибольших нормальных напряжений и наибольших деформаций применимы лишь для расчета прочности хрупких материалов, причем только для некоторых определенных условий нагружения. Поэтому эти теории прочности сегодня применяют весьма ограниченно. Из перечисленных теорий наиболее часто используют теорию Мора, которую также называют критерием Мора-Кулона. Кулон(Coulomb) в 1781 г. на основе выполненных им испытаний установил закон сухого трения, который использовал для расчета устойчивости подпорных стенок. Математическая формулировка закона Кулона совпадает с теорией Мора, если в ней выразить главные напряжения через касательные и нормальные напряжения на площадке среза. Достоинством теории Мора является то, что она применима к материалам, имеющим разные сопротивления сжатию и растяжению, а недостатком то, что она учитывает влияние только двух главных напряжений — максимального и минимального. Поэтому теория Мора не точно оценивает прочность при трехосном напряженном состоянии, когда необходимо учитывать все три главных напряжения. Кроме того, при использовании эта теория не учитывается поперечное расширение (дилатацию) материала при сдвиге. На эти недостатки теории Мора неоднократно обращал внимание А. А. Гвоздев, который доказал неприменимость теории Мора для бетона.

На смену «классическим» теориям прочности в современной практике пришли многочисленные новые теории разрушения. Большинство из них используют различные комбинации инвариантов тензора напряжений Коши (Cauchy) Среди них наиболее известны следующие критерии разрушения:

  • Друкера-Прагера (Drucker-Prager).
  • Бреслера-Пистера (Bresler-Pister) — для бетона.
  • Вильяма-Варнке (Willam-Warnke) — для бетона.
  • Хенкинсона (Hankinson)- эмпирический критерий, используемый для ортотропных материалов типа древесины.
  • Хила (Hill) — для анизотропных тел.
  • критерий Tsai-Wu — для анизотропных материалов.
  • критерий Hoek-Brown -для скальных массивов.

Перечисленные критерии прочности предназначены для расчета прочности однородных (гомогенных) материалов. Некоторые из них используются для расчета анизотропных материалов.

Для расчета прочности неоднородных (не гомогенных) материалов используется два подхода, называемые макро-моделированием и микро-моделированием. Оба подхода ориентированы на использование метода конечных элементов и вычислительной техники. При макро-моделировании предварительно выполняется гомогенизация — условная замена неоднородного (гетерогенного) материала на однородный (гомогенный). При микро-моделировании компоненты материала рассматриваются с учетом их физических характеристик. Микро-моделирование используют в основном в исследовательских целях, так как расчет реальных конструкций требует чрезмерно больших затрат машинного времени. Методы гомогенизации широко используются для расчета прочности каменных конструкций, в первую очередь для расчета стен-диафрагм жесткости зданий. Критерии разрушения каменных конструкций учитывают многообразные формы разрушения каменной кладки. Поэтому поверхность разрушения, как правило. принимается в виде нескольких пересекающихся поверхностей, которые могут иметь разную геометрическую форму.

Применение

Методы сопротивления материалов широко используются при расчете несущих конструкций зданий и сооружений, в дисциплинах связанных с проектированием деталей машин и механизмов.

Как правило, именно из-за оценочного характера результатов, получаемых с помощью математических моделей этой дисциплины, при проектировании реальных конструкций все прочностные характеристики материалов и изделий выбираются с существенным запасом (в несколько раз относительно результата, полученного при расчетах).

В студенческой среде сопротивление материалов считается одной из наиболее сложных общепрофессиональных дисциплин, в основном из-за тяжелой сухой подачи теории, отсутствия хороших наглядных учебных пособий, компьютерного моделирования и учебного видео, что дало богатую пищу студенческому фольклору и породило целый ряд шуток и анекдотов.

Р — сосредоточенная сила (условно как бы приложенная в одной точке)
g — интенсивность распределенной нагрузки, сила на единицу длины (Н/м, МН/м)
М — внешний момент, действующий на элемент конструкции (изгибающий или крутящий)
у — удельный вес материала
— нормальное напряжение (сигма )
т — касательное напряжение (тау т)
— допускаемое нормальное напряжение
— допускаемое нормальное напряжение при растяжении
— допускаемое нормальное напряжение при сжатии
[т] — допускаемое касательное напряжение [т] = (0,5…0,6) []
— главные напряжения (экстремальные нормальные)
— максимальные напряжения
— напряжения по произвольной наклонной площадке
n, ny — коэффициенты запаса прочности и устойчивости
N — продольная сила
Qx, Qy — поперечные силы
Мx, Мy — изгибающие моменты относительно осей X и У
Мp — крутящий момент (относительно продольной оси Z)
Е — модуль упругости Юнга для широкого круга материалов (Е = 2-105МПа)
G — модуль сдвига (G= 8 • 104 МПа) или G градиент местных напряжений
— коэффициент Пуассона
— предел текучести
— предел прочности
— предел пропорциональности
— относительное продольное удлинение (в тексте просто линейное перемещение от единичной силы)
— относительное поперечное сужение
u — потенциальная энергия деформации
А — работа внешней силы
— угловые сдвиговые деформации в разных плоскостях
— главные относительные деформации
— относительное продольное удлинение (или укорочение)
— угол закручивания поперечного сечения вала при кручении или коэффициент снижения основного до пускаемого напряжения
d — диаметр круглого стержня
у — прогиб балки при изгибе
Z — координата произвольной точки сечения при рассечении по методу РОЗУ
F — площадь поперечного сечения стержней, балок и валов
— обобщенные динамические и аст статические перемещения
GB — вес груза
— изменение длины стержня при динамическом и статическом действии силы
U — потенциальная энергия
Т — кинетическая энергия
dm — масса частицы упругой системы
v — скорость
Т — температура абсолютной хрупкости
— предел выносливости при отнулевом (пульсирующем) цикле стандартных образцов
— коэффициенты, характеризующие чувствительность материала к ассиметрии цикла
— теоретический коэффициент концентрации напряжений
— номинальное значение напряжения в делали без концентратора
-пределы выносливости образца с концентрацией напряжений
— эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении
— коэффициенты, учитывающие масштабный фактор детали
— предел выносливости гладких образцов диаметром d
G — градиент местных напряжений
— коэффициенты чувствительности металла к концентрации напряжений и масштабному фактору
— коэффициенты, учитывающие влияние на пределы выносливости детали качества обработки поверхности
— пределы выносливости образца с заданным качеством поверхности
— предел выносливости образца в коррозионной среде
— предел выносливости образца на воздухе
— сдвиг критической температуры от степени концентрации напряжений
— сдвиг критической температуры от увеличения размеров трещин
— сдвиг критической температуры от многократного циклического по вреждения
— коэффициент концентрации напряжений
— окружное напряжение в окрестностях трещины
— единичный коэффициент канонического уравнения метода сил
— грузовой член канонического уравнения метода сил
— нормальные и касательные динамические напряжения
— предел выносливости упрочненного образца
— коэффициенты снижения предела выносливости детали, соответственно при изгибе и кручении
— пределы выносливости детали
— коэффициенты запаса прочности соответственно по нормальным касательным напряжениям
— интенсивность отказов
— число изделий, отказавших за время t
— функция неразрушимости

См. также

  • Теория упругости
  • Момент инерции
  • Жесткость
  • Прочность
  • Прогиб
  • Момент силы
  • Металлоконструкция
  • Закон Гука
  • Модуль Юнга
  • Коэффициент Пуассона
  • Поляризованная световая модель

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про обозначения принятые в сопромате Надеюсь, что теперь ты понял что такое обозначения принятые в сопромате и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Устойчивость сжатых стержней

Гипотезы сопромата


Для построения теории сопротивления материалов принимают ряд гипотез о структуре и свойствах материалов, а также о характере деформации.


1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что материал полностью заполняет занимаемый им объем. Атомистическая теория дискретного строения вещества во внимание не принимается.


2. Гипотеза об однородности и изотропности. Предполагается, что свойства материала одинаковы во всех точках и в каждой точке — во всех направлениях. В некоторых случаях предположение об изотропии материала неприемлемо. Так, анизотропными являются древесина, свойства которой вдоль и поперек волокон существенно различны, а также армированные материалы или так называемые композиционные материалы.

3. Гипотеза о малости деформации (гипотеза относительной жесткости материала). Предполагается, что деформации малы по сравнению с размерами деформируемого тела. На этом основании пренебрегают изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела при деформации и уравнения статики составляют для недеформированного тела. В некоторых случаях от этого принципа приходится отступать, что оговаривается особо.


4. Гипотеза о совершенной упругости материала. Все тела предполагаются абсолютно упругими. В действительности реальные тела можно считать упругими только до определенных величин нагрузок, и это необходимо учитывать, применяя формулы сопротивления материалов,


5. Гипотеза о линейной зависимости между деформациями и нагрузками. Предполагается, что для большинства материалов справедлив закон Гука, устанавливающий прямо пропорциональную зависимость между деформациями и нагрузками.
Как следствие гипотез о малости деформаций и о линейной зависимости между деформациями и усилиями при решении большинства задач сопротивления материалов применим принцип суперпозиции (принцип независимости действия и сложения сил). Например, усилия в любом элементе конструкции, вызванные различными факторами (несколькими силами, температурными воздействиями), равны сумме усилив, вызванных каждым из этих факторов, и не зависят от порядка их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.


6. Гипотеза плоских сечений. Предполагается, что мысленно проведенные плоские сечения, перпендикулярные к оси стержня, в процессе его деформирования остаются плоскими и перпендикулярными к оси.


Эти, а также некоторые другие гипотезы позволяют решать широкий круг задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость, результаты таких расчетов обычно хорошо согласуются с данными эксперимента.

Сопромат касательного напряжения. Основы сопромата. Определение касательных напряжений

Мы видели, что при чистом изгибе только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводят к изгибающему моменту в поперечном сечении. В случае поперечного изгиба в поперечном сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Эта сила является равнодействующей элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается возникновением угловых деформаций. Следовательно, помимо основных перемещений, присущих чистому изгибу, каждая элементарная платформа секции получает некоторые дополнительные угловые перемещения из-за смещения. Напряжения сдвига распределены по поперечному сечению неравномерно; следовательно, угловые смещения будут распределяться неравномерно. Это означает, что при боковом изгибе, в отличие от чистого hbp, поперечные сечения не остаются плоскими.На рис. На рис. 4.24 показана типичная картина кривизны поперечных сечений.

Однако искажение плоскости поперечных сечений не оказывает заметного влияния на величину нормальных напряжений. В частности, если поперечная сила не изменяется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8), полученные для случая чистого изгиба, дадут полностью точные результаты в случае поперечного изгиба. Действительно, с кривизной всех участков происходит одинаково (рис.4.25). Следовательно, при взаимном вращении двух соседних секций удлинение продольного волокна AB будет одинаковым, независимо от того, останется ли участок плоским или нет.

Для поперечной силы, которая изменяется вдоль оси стержня, чистый изгиб формулы дают некоторую ошибку для a. Простым анализом можно показать, что эта погрешность имеет порядок по сравнению с единицей, где — размер поперечного сечения в плоскости изгиба; — длина стержня. Согласно определению, данному в п. В2, характерной особенностью стержня является то, что его размеры в поперечном сечении намного меньше их длины.Следовательно, отношение сравнительно невелико и, соответственно, указанная погрешность мала.

Все вышесказанное дает основание принять гипотезу о плоских участках. Далее будем предполагать, что множество точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует даже после изгиба плоскость, повернутую в пространстве. Это предположение приемлемо в той степени, в которой угловые деформации 7 в поперечном сечении можно считать значительно меньшими, чем угловые смещения, вызванные изменением кривизны.

Особенностью поперечного изгиба является также наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях балки, т.е. напряжений между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе и очень малы.

Таким образом, в рамках сделанных предположений формулы (4.6) и (4.8), полученные для определения нормальных напряжений, применимы не только для чистого изгиба, но и для поперечного. Уравнение (4.5), которое дает зависимость кривизны стержня от изгибающего момента, также применимо.

Теперь определим приблизительно касательные напряжения при боковом изгибе. Эти напряжения проще всего рассчитать через парные касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выбираем из бруса элемент длиной (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не идентичны и отличаются продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии от нейтрального слоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части.Результирующая нормальных сил в левом сечении внутри заштрихованной области, очевидно, равна

или, согласно формуле (4.6),


где сквозной, в отличие от y, отмечена текущая ордината участка (см. Рис. 4.26, б). Результирующий интеграл представляет собой статический момент относительно оси x части площади, расположенной над продольным сечением (над уровнем. Обозначим этот статический момент как Then

В правом сечении нормальная сила будет другой :

Разность этих сил

должна уравновешиваться тангенциальными силами, возникающими в продольном сечении элемента (см. Рис.4.26, б и в).

В первом приближении мы предполагаем, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине сечения. Тогда

Полученная формула называется формулой Журавского в честь русского ученого прошлого века, который первым провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Выражение (4.12) позволяет рассчитать касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня, равны им, как парные.Зависимость от у в сечении определяется через статический момент 5. При приближении к верхней кромке сечения площадь заштрихованной части (см. Рис. 4.26, б) уменьшается до нуля. Таким образом, здесь при приближении к нижнему краю заштрихованная часть покрывает все сечение. Поскольку ось центральная, то и здесь касательные напряжения, как следует из формулы (4.12), равны нулю в верхней и нижней точках сечения.


Для стержня прямоугольного сечения со сторонами и (рис.4.27, а) имеем

Следовательно,

и диаграмма касательных напряжений по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение возникает при

Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) с помощью простой операции интегрирования можно найти

Кроме того,

Для стержня, имеющего сечение в виде треугольника с основанием c и высотой (рис. 4.27, c),

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтрали. axis:

Последние два примера ясно показывают приблизительный характер выполняемых операций.Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси y, но и по оси x. Действительно, возьмем, как это было сделано выше, что для точек A, расположенных вблизи контура сечения (рис. 4.28), напряжение сдвига направлено по оси y. Разобьем вектор на две составляющие — нормальную к контуру и касательную. В соответствии с условиями нагружения внешняя поверхность стержня свободна от касательных сил. Поэтому парных напряжений нет.Поэтому, хотя полное напряжение сдвига вблизи контура направлено по касательной к контуру, предположение, что оно направлено вдоль оси y, оказывается неверным. Таким образом, обнаруживается наличие компонентов по оси x. Для определения этих компонентов следует прибегнуть к более сложным методикам, чем

.

рассмотрено ранее. Используя методы теории упругости, можно показать, что в большинстве случаев компоненты вдоль оси x играют гораздо меньшую роль, чем вдоль оси y.

Из приведенных выше примеров можно сделать вывод, что зона максимальных касательных напряжений находится примерно в средней части высоты сечения, а для неместенных сечений порядка

Можно сравнить абсолютные значения максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеем

Это означает, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота поперечного сечения к длине стержень, т.е. напряжения сдвига значительно меньше нормальных. Указанная оценка, за некоторыми исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней. Что касается тонкостенных стержней, это особый вопрос.

Из-за малости tm расчет прочности при поперечном изгибе выполняется только при нормальных напряжениях, как при чистом изгибе. Напряжения сдвига не учитываются. Это тем более естественно, что в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения, т.е. в наиболее опасных, касательные напряжения в сечении равны нулю.

Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и их парные напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности конструкции. стержень. Например, при поперечном изгибе короткой деревянной балки разрушение возможно не по поперечному сечению в заделке, а срезание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е.е. где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).

Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей взаимосвязи между слоями стержня при поперечном изгибе. Если эта связь разорвана в некоторых слоях, характер изгиба стержня меняется. Например, в стержне из листов (рис. 4.31, а) каждый лист при отсутствии сил трения изгибается независимо. Внешняя сила на лист равна, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа составляет

.

Напряжение — это вектор, и, как любой вектор, он может быть представлен нормальной (относительно площадки) и касательной составляющими (рис.2.3). Нормальную составляющую вектора напряжений будем обозначать касательной. Экспериментальными исследованиями установлено, что влияние нормальных и касательных напряжений на прочность материала различно, и поэтому в будущем необходимо будет всегда отдельно рассматривать компоненты вектора напряжений.

Рис. 2.3. Нормальные и касательные напряжения на площадке


Рис. 2.4. Касательное напряжение при нарезании болта

При растяжении болта (см. Рис.2.2) в поперечном сечении действует нормальное напряжение

Когда болт работает в разрезе (рис. 2.4), в сечении П должна возникать сила, уравновешивающая силу.

Из условий равновесия следует, что

Фактически последнее соотношение определяет некоторое среднее напряжение по поперечному сечению, которое иногда используется для приближенных оценок прочности. На рис. 2.4 показан вид болта после приложения значительных усилий. Началось разрушение болта, и одна половина его сместилась относительно другой: произошла сдвиг или деформация сдвига.

Примеры определения напряжений в элементах конструкций.

Разберем простейшие примеры, на которых предположение о равномерном распределении напряжений можно считать практически приемлемым. В таких случаях значения напряжений определяются методом поперечных сечений из уравнений статики (уравнений равновесия).

Кручение тонкостенного круглого вала.

Тонкостенный круглый вал (труба) передает крутящий момент (например, от авиационного двигателя на воздушный винт).Требуется определить напряжения в поперечном сечении вала (рис. 2.5, а). Нарисуйте плоскость сечения П перпендикулярно оси вала и учитывайте равновесие отрезной части (рис. 2.5, б).


Рис. 2.5. Кручение тонкостенного круглого вала

Из условия осевой симметрии, учитывая малую толщину стенки, можно предположить, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы.

Строго говоря, такое предположение справедливо только для очень малой толщины стенки, но в практических расчетах оно используется, если толщина стенки

где — средний радиус сечения.

Внешние силы, приложенные к отрезанной части вала, сводятся только к крутящему моменту, поэтому нормальных напряжений в поперечном сечении не должно быть. Крутящий момент уравновешивается касательными напряжениями, момент которых равен

Из последнего соотношения находим напряжение сдвига в сечении вала:

Напряжения в тонкостенном цилиндрическом сосуде (трубе).

В тонкостенном цилиндрическом сосуде действует давление (рис. 2.6, а).


Нарисуйте разрез плоскости P, перпендикулярной оси цилиндрической оболочки, и рассмотрите равновесие срезанной части. Давление, действующее на крышку сосуда, создает

Эта сила уравновешивается силами, возникающими в поперечном сечении оболочки, а интенсивность — указанных сил — напряжения — будет равна

. толщина оболочки 5 считается малой по сравнению со средним радиусом, напряжения считаются равномерно распределенными во всех точках поперечного сечения (рис.2.6, б).

Однако на материал трубы действуют не только напряжения в продольном направлении, но и окружные (или кольцевые) напряжения в перпендикулярном направлении. Для их идентификации выделим кольцо длины I в двух участках (рис. 2.7), а затем проведем диаметральный участок, разделяющий половину кольца.


На рис. 2.7, и показаны напряжения на поверхностях сечения. На внутренней поверхности трубы с радиусом давления

5.4. Касательные напряжения изгиба

Изгибающие касательные напряжения возникают в результате действия поперечной силы. При выводе формулы для касательных напряжений мы делаем следующие допущения:

1. Сдвиговые напряжения в каждой точке поперечного сечения считаются параллельными поперечной силе (это верно только для прямоугольного поперечного сечения)

2. Сдвиговые напряжения постоянны по ширине сечения.

http://pandia.ru/text/78/010/images/image002_70.gif «выровнять =» влево «ширина =» 150 «высота =» 134 «> два поперечных

разрезов I-I и II-II, а также продольный разрез III-III, проведенный на расстоянии y от нейтрального слоя. В разделе I-I он действует

http://pandia.ru/text/78/010/images/image004_56.gif «width =» 61 «height =» 51 «>. Gif» width = «59» height = «51 src» = «> =; http: //pandia.ru/text/78/010/images/image009_36.gif «ширина =» 95 «высота =» 25 «>

Поскольку этот элемент находится в равновесии, из уравнения равновесия

http: // pandia.ru / text / 78/010 / images / image011_32.gif «ширина =» 140 «высота =» 28 «>

..gif «width =» 123 «height =» 51 src = «> — статический момент той части сечения, которая расположена выше исследуемой точки, относительно оси X

Тогда http://pandia.ru/text/78/010/images/image019_15.gif «ширина =» 84 «высота =» 34 «> — это условие напряжения сдвига. Находим напряжение сдвига в балка прямоугольная

поперечный разрез (рис.5.1.6).

http://pandia.ru/text/78/010/images/image022_13.gif «ширина =» 206 «высота =» 50 «>, при y = ± h / 2 t = 0.

Для балки круглого сечения .. gif «ширина =» 128 высота = 61 «высота =» 61 «>. Значения приведены в Приложении 1.

5.5. Дифференциальное уравнение криволинейной оси балки

и его интеграция.

Под действием нагрузки на балку (рис.5..gif «width =» 47 height = 30 «height =» 30 «>. Проведите касательную к балке в точке B1..gif» width = «41» height = «28 src» = «>, то угол наклона касательной определяется по формуле ..gif» ширина = «86» высота = «30»>.


Из аналитической геометрии известно, что зная уравнение http://pandia.ru/text/78/010/images/image036_7.gif «ширина =» 153 «высота =» 107 «>.

В данном случае http: // pandia.ru / text / 78/010 / images / image038_8.gif «width =» 83 «height =» 54 «>. Подставляем сюда значение кривизны (Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки http: // pandia.ru/text/78/010/images/image040_7.gif «ширина =» 145 «высота =» 28 «>

Это уравнение можно интегрировать напрямую.

http://pandia.ru/text/78/010/images/image042_7.gif «ширина =» 267 «высота =» 49 src = «>

Здесь C и D — постоянные интегрирования, которые определяются из условий на опорах балки.Эти условия таковы: для однопролетной балки (рис. 5.1, а) с http://pandia.ru/text/78/010/images/image045_7.gif «ширина =« 47 »высота =» 26 «>. Gif» width = «48» height = «19 src =»>. Gif «width =» 78 «height =» 26 «>. Gif» width = «46» height = «24 src =»>. Gif «ширина =» 132 «высота =» 27 «>.

Рассмотрим пример определения перемещений свободного конца балки — консоль (рис.5.19) прямым интегрированием уравнения (5.8).

Выражение для изгибающего момента: подставить в (5.8) и проинтегрировать два раза.

Первая интеграция

http://pandia.ru/text/78/010/images/image055_4.gif «ширина =» 188 «высота =» 26 «>, получаем 0 = 0 + 0 + C, откуда C \ u003d 0.

Интегрируем второй раз с учетом C = 0

http://pandia.ru/text/78/010/images/image057_4.gif «width =» 95 «height =» 25 src = «>, получаем 0 = 0 + 0 + D, откуда D = 0.

Таким образом, http://pandia.ru/text/78/010/images/image059_4.gif «ширина =» 348 «высота =» 59 src = «>

Максимальные значения прогиба и угла поворота секций достигают точки В, то есть при z = 0.

; . (5.10)

Знак минус для отклонения указывает, что он направлен вниз, а ось y направлена ​​вверх. Знак минус для угла поворота указывает на то, что изогнутая ось балки выпуклая вверх.

5.6. Первоначальный метод

При прямом интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси балки в каждом сечении балки существует два постоянных интегрирования. При количестве участков более двух определение этих констант затруднено. При использовании метода начальных параметров необходимо определить только два неизвестных начальных параметра для любого количества секций балки. Приведем окончательные результаты метода начальных параметров, так называемых «универсальных» уравнений для определения прогибов и углов поворота секций балки.Эти уравнения приведены в соответствии с направлениями нагрузок, показанными на рис. 5.20. Начало координат находится на одном конце балки. В уравнения необходимо включать только те нагрузки, которые находятся между началом координат и участком, перемещение которого определяется. Начальными параметрами являются отклонение балки y0 и угол поворота секции балки j0 в начале координат, которые находятся из условий на опорах балки, см. Раздел 5.5.


http: // pandia.ru / text / 78/010 / images / image064_4.gif «width =» 525 «height =» 57 src = «>. (5.12)

Рассмотрим пример определения перемещений свободного конца балки — консоль (рис. 5.19) методом начальных параметров.

Запишем универсальные уравнения для этой балки

http://pandia.ru/text/78/010/images/image066_4.gif «ширина =» 275 «высота =» 48 src = «>

В данном случае v0 = 0, j0 = 0, (см. П.5.5), m0 = Fl, R0 = F, a = 0, b = 0.

Тогда
или ;

http://pandia.ru/text/78/010/images/image070_4.gif «width =» 132 «height =» 46 src = «> , что совпадает с (5.8) и (5.9 ).

5.7. Мора Интегралс

Для определения смещений можно использовать и другие методы, например теорему Кастилиано и интегралы Мора.

Теорема Кастилиано. Пусть упругое тело нагружено произвольной системой сил (рис. 5.21, а), потенциальная энергия деформации от их действия — U. Одна из сил — Fn дает приращение dFn, тогда. Измените порядок приложения сил (рис. 5.21, б). Сначала применяем dFn. Проекцию смещения на направление силы dFn обозначим ddn. Рабочая сила dFn равна. Затем приложите к системе внешние силы. Если бы не было силы dFn, то потенциальная энергия деформации была бы U, но сила dFn при деформации тела совершает работу dFndn (без 1/2, поскольку она уже приложена).Здесь dn — полное смещение тела в направлении силы Fn. Итак, в данном случае:

http://pandia.ru/text/78/010/images/image075_3.gif «ширина =» 72 «высота =» 24 src = «>

.

.

Последним членом пренебрегаем, так как он второго порядка малости, а остальные — первого порядка.

Укорочение до http://pandia.ru/text/78/010/images/image079_3.gif «ширина =» 74 высота = 53 «высота =» 53 «>

Частная производная потенциальной энергии деформации действующей системы равна смещению точки приложения силы в направлении этой силы.

Рассмотрим пример применения теоремы Кастилиано для определения смещений изгиба . Поскольку для использования теоремы Кастилиано необходимо знать значение потенциальной энергии деформации при изгибе, рассчитываем ее. Влияние силы сдвига не учитывается из-за его малости. При нахождении потенциальной энергии деформации при кручении мы проводим те же расчеты, что и в разделе 4.5. При изгибе материал испытывает деформацию растяжения — сжатия, поэтому воспользуемся выражением (2.10) для удельной потенциальной энергии деформации ..gif «width =» 21 «height =» 39 src = «> udAdz = http://pandia.ru/text/78 / 010 / images / image082_3. gif «width =» 26 «height =» 41 src = «> udAdz = = = http://pandia.ru/text/78/010/images/image086_3.gif» width = » 51 «высота =» 49 src = «>. Gif» width = «357» height = «59 src =»> .gif «width =» 41 height = 20 «height =» 20 «>. Затем к изгибающему моменту от заданной нагрузки в сечении добавляется единичный изгибающий момент от, обозначаем его.Если сила приложена в этом направлении A в заданном направлении, то пропорциональность силовых факторов нагрузке, изгибающий момент от фиктивной силы будет в F раз больше, чем одинарный -http: //pandia.ru/text/78/ 010 / images / image095_3.gif «width =» 154 «height =» 28 src = «>. Воспользуемся теоремой Кастилиано для определения смещения балки в направлении силы Ф

. . Этот интеграл называется интегралом Мора.

Для приближенного вычисления интегралов Мора можно использовать метод Симпсона.Для начала необходимо построить схемы грузовых (рис. 5.22, а) и одиночных (рис. 5.22, б) изгибающих моментов. На строительном участке длиной l написан интеграл Мора

http://pandia.ru/text/78/010/images/image100_3.gif «ширина =» 315 «высота =» 31 src = «>

Рассмотрим пример применения интегралов Мора и метода Симпсона для определения смещений изгиба . Определим прогиб свободного конца кантилевера, нагруженного силой F (рис.5) Зададим заданную нагрузку F (рис. 5.24, а). Построим изгибающие моменты груза MXF (рис. 5.24, б). В конце кантилевера, где мы хотим определить смещение, в направлении желаемого смещения — по вертикали прикладываем единичную фиктивную силу F1 = 1 (рис. 5.24, в) и строим график единичных изгибающих моментов (Рис. 5.24, г).

, что совпадает с выражением (5.10).

http://pandia.ru/text/78/010/images/image103_3.gif «ширина =» 521 «высота =» 123 src = «> (5.15)

Здесь hx и hy — коэффициенты формы сечения. Они возникают из-за неравномерного распределения касательных напряжений по поперечному сечению, уравнению (Например, для некоторых сечений значения коэффициента формы поперечного сечения показаны на рис. 5.24 ..

Затем мы используем принцип суперпозиции и складываем коэффициенты силы нагрузки с коэффициентами единичной силы, увеличенными в F, подставляем их в (5, используем теорему Кастилиано

— продифференцируем полученное выражение по Ф, приравняем Ф = 0, и получим выражение для интегралов Мора в общем случае нагружения.

Наличие поперечных сил при поперечном изгибе указывает на наличие касательных напряжений в поперечном сечении.

Существование касательных напряжений легко проверить в следующем простом эксперименте. Рассмотрим балку, состоящую из двух свободно уложенных друг на друга брусков (рис. 7.1, а). Нагружая ее поперечным усилием, мы увидим, что концы верхней балки будут перемещаться по нижней балке и примут ступенчатую форму (рис. 7.1, б). Если эти стержни соединить дюбелями, то сдвига между стержнями не произойдет (рис.7.1, в). Если эти дюбели окажутся недостаточно прочными, они могут отколоться, и тогда стержни будут двигаться друг по другу (рис. 7.1, г).

В неразрезной балке упругие силы, возникающие в продольных слоях балки, противодействуют продольному сдвигу.


Рис. 7.1

Из-за сдвигов гипотеза о плоских участках при поперечном изгибе нарушается, плоские участки слегка изгибаются перед деформацией.Влияние этого эффекта на величину нормальных напряжений невелико, поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений пренебрегают. Поэтому допускаем использование гипотезы плоских участков для случая поперечного изгиба.

Рассмотрим прямоугольное сечение консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой (рис. 7.2, а).

Два близких сечения

и

выделяют элемент балки длиной

(рис.7.2, б). Как видно из схем, в обоих сечениях

и

плюс, и

сечения


;

,

и в п.


;

,

Нормальные напряжения на левом и правом концах выбранного элемента (рис. 7.2, в)


(7.1)

Отрезаем часть балочного элемента, проводя горизонтальную плоскость

на расстояние от нейтральной линии (рис.7.2, д-г).


Рис. 7.2

Равнодействующая нормальных напряжений

, распределенная по поверхности

с площадью

Поскольку

представляет статический момент площади


(7.2)

Аналогично на грани

с площадью

нормальные напряжения


(7.3)

Предположим, что напряжения сдвига в поперечном сечении параллельны поперечной силе и имеют постоянное значение для ширины сечения на заданном уровне (

) Согласно паре касательных напряжений на на грани

также возникнут касательные напряжения (рис.7.2, д)


Результирующее напряжение сдвига

Запишем условие равновесия параллелепипеда


(7.4)

Выведенная зависимость была впервые получена российским ученым Дмитрием Ивановичем Журавским и носит его имя.

Для произвольного сечения (рис. 7.3) входящие в формулу (7.4) величины имеют следующие значения:


— абсолютное значение поперечной силы в сечении, где рассчитываются касательные напряжения;

— момент инерции этого участка относительно его нейтральной линии;


— ширина профиля на уровне где;


— абсолютное значение статического момента относительно нейтральной линии

Фиг.7,3

части площади

, которая заключена между линией

, где определяют, и краем участка.

Сделаем общие выводы о распределении касательных напряжений в поперечном сечении при поперечном изгибе:


, (7,5)

где —

— статический момент половины площади поперечного сечения.

Формулу (7.5) можно представить как


. (7.6)

Вот коэффициент, зависящий от формы сечения.Для прямоугольника

; для круглого сечения

;

    Формулу Журавского можно использовать для расчета касательных напряжений в любых точках массивных профилей.

Расчет полной прочности на изгиб.

Когда балка изгибается в поперечном направлении, ее материал находится в неоднородном напряженном состоянии. Условие должно быть записано для так называемой опасной точки, то есть точки, в которой материал находится в наиболее напряженном состоянии.

Одна из следующих трех точек будет опасной:

а) точка, в которой нормальное напряжение достигает максимального значения;

б) точка, в которой напряжение сдвига достигает максимального значения;

c) точка, в которой нормальные и касательные напряжения, хотя и не принимают наибольших значений, но в их комбинации создают наиболее неблагоприятную комбинацию, т.е.е. наибольшее эквивалентное напряжение согласно принятой теории прочности. В этом случае точек может быть несколько.

Для первой точки условие записывается как


. (7.7)

Для второй точки


(7.8)

Для третьей точки условие прочности будет зависеть от выбранной теории прочности.


(7.9)


(7.11)


(7.12)

Для расчета балок из пластических материалов рекомендуется использовать условия прочности, полученные по III и IV теориям (формулы (7.10) и (7.11)).

Практика нанесения и расчета балок показала, что в подавляющем большинстве реальных случаев крайняя точка участка

. Поэтому на практике расчет балок на прочность выглядит следующим образом:


(7.13)

    Определив необходимый момент сопротивления балки и приняв определенный профиль поперечного сечения, определяют ее размеры;

    Если балка имеет тонкостенное сечение (двутавр, швеллер) и к ней приложена значительная поперечная нагрузка, то их проверяют на все условия прочности ((7.7), (7.8), (7.9) — (7.12).

Дифференциальное уравнение криволинейной оси

Ранее рассматривались вопросы, связанные с расчетом балок на прочность. В большинстве случаев при практическом расчете деталей, работающих на изгиб, необходимо также рассчитать их по жесткости.

Под расчетом жесткости понимается оценка упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и выбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать пределы, установленные нормами.

Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе (рис. 7.4). Ось балки под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции (плоскость

), изгибается в этой же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательное движение. Изогнутая ось балки называется эластичной линией .

Перемещение центра тяжести секции в направлении, перпендикулярном оси балки (), называется отклонением балки в данном сечении .


Рис. 7.4

Наибольшее отклонение называется стрелкой отклонения ().

Угол θ, на который каждая секция поворачивается относительно своего исходного положения, называется углом секции .

Мы согласны с тем, что оси координат всегда должны располагаться следующим образом: начало координат расположить на левом конце балки, ось направлена ​​вдоль оси балки вправо, а ось — вверх.

Чтобы определить прогиб балки, мы используем уравнение, связывающее кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.


(7.1)

Из курса высшей математики известна следующая формула кривизны прямой


, (7.2)

где

;

.

Подставляя (7.2) в (7.1), получаем


(7.3)

Выражение (7.3) представляет собой точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии). Интегрирование этого уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной

ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь.Тогда получим упрощенное уравнение упругой линии:


(7.4)

В дальнейшем уравнение (7.4) будем называть основным дифференциальным уравнением упругой линии (для малых деформаций).

Решение задачи аналитическим способом, углы поворота

и прогибы

рассчитываются путем последовательного интегрирования основного дифференциального уравнения (7.4). Впервые интегрируя уравнение, получаем выражение для угла поворота

:


, (7.5)

, содержащий одну произвольную константу. Проинтегрируя второй раз, находим выражение для погибших

:


, (7.6)

Значения и определяются из условий крепления балки. Итак, по балке.

Пример. Определяем максимальные значения прогиба и угла поворота сечения для консоли постоянного сечения с сосредоточенной силой на свободном конце.

Изгибающий момент секции рассчитаем в результате действия сил, расположенных справа от секции:


.

Подставляя выражение для

в уравнение (7.4), получаем


Проинтегрируем дважды:



.

Для определения констант и у нас есть граничные условия:


Рис. 7.5

Из второго условия


,


Из первого условия


Окончательные уравнения отклонения и угла поворота следующие:



Линия упругости представляет собой параболу третьей степени.

Легко проверить, что

и

находятся на свободном конце балки в точке (в)

.



Отрицательное значение означает, что отклонение происходит в направлении, противоположном оси (то есть вниз). Положительный угол поворота показывает, что секция вращается против часовой стрелки.

Сравнивая выражения и с выражениями для констант, убедитесь, что угол поворота равен углу поворота крайней левой секции и равен прогибу крайней левой секции консоли.

В прочности материалов приняты следующие буквенные обозначения. Основные понятия и определения устойчивости материалов

1. Основные понятия и предположения. Жесткость — способность конструкции в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и значительного изменения геометрических размеров. Прочность — способность конструкции и ее материалов выдерживать нагрузки. Устойчивость — способность конструкции сохранять форму первоначального баланса. Endurance — прочность материалов в условиях нагружения. Гипотеза о непрерывности и однородности: материал, состоящий из атомов и молекул, заменяется твердым однородным телом. Непрерывность означает, что сколь угодно малый объем содержит вещество. Однородность означает, что все точки материала одинаковы. Использование гипотезы позволяет применить систему. координирует и изучать интересующие нас функции, использовать математический анализ и описывать действия с помощью различных моделей. Гипотеза изотропии: предполагает, что во всех направлениях Священные острова из материала одинаковы. Анизотропное явл дерево, у которого св-ва вдоль и поперек волокон существенно различаются.

2. Механические характеристики материала. Под пределом текучести понимается σ T — напряжение, при котором деформация растет без заметного увеличения нагрузки. Под пределом упругости понимается σ Y как наибольшее напряжение, до которого материал не подвергается остаточным деформациям. Предел прочности на разрыв (σ B) — это отношение максимальной силы, которую может выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения. Предел пропорциональности (σ PR) — максимальное напряжение, до которого материал подчиняется закону Гука. Величина E представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода. G-значение наименование модуль сдвига или модуль упругости 2-го рода. (G = 0,5E / (1 + µ)). µ — безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона, характеризует свойство материала, определяется экспериментально, для всех металлов числовые значения находятся в пределах 0.25 … 0,35.

3. Силы. Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта составляет внутренних сил. Они возникают не только между отдельными взаимодействующими единицами конструкции, но и между всеми соседними частицами нагружаемого объекта. Внутренние силы определяются методом сечения. Различают поверхностных и объемных внешних сил. Поверхностные силы могут применяться к небольшим участкам поверхности (это сосредоточенные силы, такие как P) или к конечным участкам поверхности (это распределенные силы, такие как q).Они характеризуют взаимодействие конструкции с другими конструкциями или с внешней средой. Объемные силы распределены по объему тела. Это силы тяжести, магнитного напряжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции.

4. Понятие напряжения, допустимого напряжения. Напряжение Измеряет интенсивность внутренних сил. Lim∆R / ∆F = p — полное напряжение. Общее напряжение можно разложить на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения.Нормальная составляющая вектора полного напряжения обозначается σ и называется нормальным напряжением. Компоненты в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются τ. Допустимое напряжение — [σ] = σ PREV / [n] — зависит от марки материала и запаса прочности.

5. Деформация при растяжении-сжатии. Растяжение (сжатие) — вид нагружения, для которого из шести внутренних силовых факторов (Qx, Qy, Mx, My, Mz, N) пять равны нулю, а N ≠ 0.σ max = N max / F≤ [σ] + — условие прочности на разрыв; σ max = N max / F≤ [σ] — — условие прочности на сжатие. Математическое выражение Zn Гука: σ = εЕ, где ε = ∆L / L 0. ∆L = NL / EF — расширенная зона Гука, где EF — жесткость поперечного сечения стержня. ε — относительная (продольная) деформация, ε ‘= ∆а / а 0 = ∆в / в 0 — поперечная деформация, при которой под нагрузкой a 0, при 0 уменьшилась на величину ∆a = a 0 -a, ∆w = 0 -b.

6. Геометрические характеристики плоских участков. Статический момент площади: S x = ∫ydF, S y = ∫xdF, S x = y c F, S y = x c F. Для сложной фигуры S y = ∑S yi, S x = ∑S xi. Осевые моменты инерции : J x = ∫y 2 dF, J y = ∫x 2 dF. Для прямоугольника J x = bh 3/12, J y = hb 3/12, для квадрата J x = J y = a 4/12. Центробежный момент инерции : J xy = ∫xydF, если сечение симметрично хотя бы по одной оси, J xy = 0. Центробежный момент инерции асимметричных тел будет положительным, если большая часть площади расположена в 1-й и 3-й квадрант. Полярный момент инерции : J ρ = ∫ρ 2 dF, ρ 2 = x 2 + y 2, где ρ — расстояние от центра координат до dF. J ρ = J x + J y. Для окружности J ρ = πd 4/32, J x = πd 4/64. Для кольца J ρ = 2J x = π (D 4 -d 4) / 32 = πD 4 (1-α 4) / 32. Моменты сопротивления : для прямоугольника W x = J x / y max, где y max — расстояние от центра тяжести сечения до границ по y. W x = bh 2/6, W x = hb 2/6, для круга W ρ = J ρ / ρ max, W ρ = πd 3/16, для кольца W ρ = πD 3 (1-α 3) / 16… Координаты центра тяжести : x c = (x1F1 + x2F2 + x3F3) / (F1 + F2 + F3). Основные радиусы вращения: i U = √JU / F, i V = √JV / F. Моменты инерции для параллельного перемещения осей координат: J x 1 = J xc + b 2 F, J y 1 = J uc + a 2 F, J x 1 y 1 = J x cyc + abF.

7. Деформации сдвига и кручения. Чистый сдвиг такое напряженное состояние вызывается, когда на гранях выбранного элемента появляются только касательные напряжения τ.Под кручением понимают тип движения, при котором в поперечном сечении стержня возникает силовой коэффициент Mz ≠ 0, остальное Mx = My = 0, N = 0, Qx = Qy = 0. Изменение внутренней силы факторов по длине изображается в виде диаграммы с использованием метода сечения и правила знаков. При деформации сдвига напряжение сдвига τ связано с угловой деформацией γ соотношением τ = Gγ. dφ / dz = θ — относительный угол закрутки Угол взаимного поворота двух секций, относящийся к расстоянию между ними.θ = М К / ГДж ρ, где ГДж ρ — жесткость поперечного сечения на кручение. τ max = M Kmax / W ρ ≤ [τ] — условие прочности на скручивание круглых стержней. θ max = М К / ГДж ρ ≤ [θ] — условие жесткости на кручение круглых стержней. [θ] — зависит от типа опор.

8. Изгиб. Под изгибом понимают такой вид нагружения, при котором ось стержня изгибается (изгибается) от действия нагрузок, расположенных перпендикулярно оси. Валы всех машин подвергаются изгибу от действия сил, пары сил — момента в местах посадки шестерен, шестерен, полумуфт.1) Изгиб назовите чистый , если в поперечном сечении стержня появляется единственный фактор силы — изгибающий момент, остальные факторы внутренней силы равны нулю. Образование деформации при чистом изгибе можно рассматривать как результат вращения плоских поперечных сечений относительно друг друга. σ = М у / J x — формула Навье для определения напряжений. ε = у / ρ ​​- продольная относительная деформация. Разница в зависимости: q = dQz / dz, Qz = dMz / dz. Условие прочности: σ max = M max / W x ≤ [σ] 2) Имя изгиба плоский , если плоскость силы, т.е.е. плоскость действия нагрузок совпадает с одной из центральных осей. 3) Изогните обозначение косым , если плоскость действия нагрузок не совпадает ни с одной из центральных осей. Геометрическое место точек на сечении, удовлетворяющее условию σ = 0, называется линией нейтрального сечения, оно перпендикулярно плоскости кривизны изогнутого стержня. 4) Изгиб с наименованием поперечный , если в поперечном сечении возникают изгибающий момент и поперечная сила. τ = QS x ot / bJ x — формула Журавского, τ max = Q max S xmax / bJ x ≤ [τ] — условие прочности.Полная проверка прочности балок при поперечном изгибе заключается в определении размеров поперечного сечения по формуле Навье и дальнейшей проверке касательных напряжений. Поскольку наличие τ и σ в сечении относится к сложному нагружению, то оценка напряженного состояния при их совместном действии может быть рассчитана с использованием 4 теории прочности σ eq4 = √σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ].

9. Напряженное состояние. Исследуем напряженное состояние (NS) в окрестности точки A, для этого выберем бесконечно малый параллелепипед, который нанесем в увеличенном масштабе в системе координат.Действия отброшенной детали заменяются внутренними силовыми факторами, интенсивность которых можно выразить через главный вектор нормальных и касательных напряжений, которые разложим по трем осям — это составляющие НС точки А. Неважно. насколько тяжело нагружено тело, всегда можно выделить взаимно перпендикулярные участки, для которых касательные напряжения равны нулю. Такие сайты называют основными. Линейная NS — при σ2 = σ3 = 0, плоская NS — при σ3 = 0, объемная NS — при σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 ≠ 0.σ1, σ2, σ3 — главные напряжения. Напряжения на наклонных участках в ПНС: τ β = -τ α = 0,5 (σ2-σ1) sinα, σ α = 0,5 (σ1 + σ2) +0,5 (σ1-σ2) cos2α, σ β = σ1sin 2 α + σ2cos 2 α .

10. Теории прочности. В случае LNS оценка прочности выполняется в соответствии с условием σ max = σ1≤ [σ] = σ перед / [n]. При наличии σ1> σ2> σ3 в случае НС экспериментальное определение опасного состояния затруднительно из-за большого количества экспериментов с различными комбинациями напряжений.Поэтому используется критерий, позволяющий выделить преобладающее влияние одного из факторов, который будет называться критерием и ляжет в основу теории. 1) первая теория прочности (высшие нормальные напряжения): напряженные состояния равнопрочны для хрупкого разрушения, если они имеют равные растягивающие напряжения (без учета σ2 и σ3) — σ eq = σ1≤ [σ]. 2) вторая теория прочности (наибольшие деформации при растяжении — Т. Мариотта): напряженные состы одинаково прочны при хрупком разрушении, если имеют наибольшие деформации при растяжении.ε max = ε1≤ [ε], ε1 = (σ1-μ (σ2 + σ3)) / E, σ эквивалент = σ1-μ (σ2 + σ3) ≤ [σ]. 3) третья теория прочности (максимальное напряжение — кулоновское): напряжения равны по прочности по появлению недопустимых пластических деформаций, если они имеют максимальное напряжение τ max = 0,5 (σ1-σ3) ≤ [τ] = [σ ] / 2, σ eq = σ1-σ3≤ [σ] σ eq = √σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ]. 4) четвертая теория удельной потенциальной энергии изменения формы (энергетическая): при деформации потенциала затраты энергии на изменение формы и объема U = U f + UV напряжены с одинаковой силой в соответствии с появлением неприемлемой пластичности. деформации, если они имеют равные удельные потенциалы энергии изменения формы.U экв = U f. С учетом обобщенного z-na Гука и математики преобразований σ eq = √ (σ1 2 + σ2 2 + σ3 2 -σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1) ≤ [σ], σ eq = √ (0.5 [(σ1-σ2 ) 2 + (σ1-σ3) 2 + (σ3-σ2) 2]) ≤ [τ]. В случае PNS σeq = √σ 2 + 3τ 2. 5) Пятая теория прочности Мора (обобщение теории предельных состояний): опасное предельное состояние определяется двумя основными напряжениями, naib и naim σ eq = σ1 -kσ3≤ [σ], где k — коэффициент неравной прочности, учитывающий способность материала противостоять неравномерному растяжению и сжатию до = [σ p] / [σ comp].

11. Энергетические теоремы. Изгибающее движение — в инженерных расчетах встречаются случаи, когда балки, удовлетворяющие условию прочности, не обладают достаточной жесткостью. Жесткость или деформируемость балки определяется перемещениями: θ — угол поворота, Δ — прогиб. Под нагрузкой балка деформируется и представляет собой упругую линию, которая деформируется по радиусу ρ A. Прогиб и угол поворота в t A формируются касательной упругой линией балки и осью z.Рассчитать жесткость — это значит определить максимальный прогиб и сравнить его с допустимым. Метод Мора — универсальный метод определения перемещений для плоских и пространственных систем с постоянной и переменной жесткостью, удобный тем, что его можно программировать. Чтобы определить прогиб, нарисуйте фиктивную балку и примените единичную безразмерную силу. Δ = 1 / EJ x * ∑∫MM 1 dz. Чтобы определить угол поворота, нарисуйте фиктивную балку и примените единичный безразмерный момент θ = 1 / EJ x * MM ’1 dz. Правило Верещагина — удобно тем, что при постоянной жесткости интегрирование можно заменить алгебраическим умножением диаграмм изгибающих моментов нагрузки и единичного состава балки. Явл является основным методом раскрытия информации в СНС. Δ = 1 / EJ x * ∑ω p M 1 c — Правило Верещагина, в котором смещение обратно пропорционально жесткости балки и прямо пропорционально произведению площади несущей балки на ординату центр тяжести.Особенности применения: диаграмма изгибающих моментов разбита на элементарные фигуры, ω p и M 1 c учитываются с учетом знаков, если q и P или R действуют одновременно на площадке, то диаграммы необходимо расслоить, т.е. построить отдельно от каждой загрузки или применять разные техники наслоения.

12. Статически неопределимые системы. СНС называется системой, для которой уравнения статики недостаточны для определения реакций опор, т.е.е. в нем больше связей, реакций, чем необходимо для их баланса. Разница между общим количеством опор и количеством независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для данной системы , степень статической неопределенности S . Ссылки, наложенные на систему лишнего, называются лишними или дополнительными. Введение дополнительных опорных креплений приводит к уменьшению изгибающих моментов и максимального прогиба, т.е.е. увеличивается прочность и жесткость конструкции. Для выявления статической неопределенности добавляется дополнительное условие совместимости деформаций, которое позволяет определить дополнительные реакции опоры, а затем решение для определения диаграмм Q и M выполняется как обычно. Основная система получается из данной путем отбрасывания ненужных подключений и нагрузок. Эквивалентная система — получается путем загрузки основной системы нагрузками и ненужными неизвестными реакциями, заменяющими действия отброшенного соединения.Используя принцип независимости действия сил, находим отклонение от нагрузки P и реакцию x1. σ 11 x 1 + Δ 1p = 0 — каноническое уравнение совместимости деформации, где Δ 1р — перемещение в точке приложения x1 от силы P. Δ 1р — Мр * М1, σ 11 -М1 * М1 — удобно выполнить это методом Верещагина. Деформационная проверка раствора — для этого выбираем другую базовую систему и, определив угол поворота в опоре, должен быть равен нулю, θ = 0 — M ∑ * M ’.

13. Циклическая прочность. В инженерной практике до 80% деталей машин разрушаются из-за статической прочности при напряжениях намного меньших, чем σ, в случаях, когда напряжения переменные и циклически изменяющиеся. Процесс накопления повреждений при циклических изменениях. напряжение называется усталостью материала. Процесс сопротивления усталостному стрессу называется циклической силой или выносливостью. Т-период цикла. σmax τmax — нормальные напряжения. σm, τm — среднее напряжение; r-коэффициент асимметрии цикла; факторов, влияющих на предел выносливости: а) концентраторы напряжения: канавки, галтели, шпонки, резьбы и шлицы; это учитывается эффективными коэффициентами торцевых напряжений, которые обозначаются K σ = σ -1 / σ -1k K τ = τ -1 / τ -1k; б) Шероховатость поверхности: чем грубее обработка металла, тем больше дефектов металла во время литья, тем ниже предел выносливости детали.Любая микротрещина или вмятина после фрезы могут быть источником усталостной трещины. Это учитывается коэффициентом влияния качества поверхности. К Fσ К Fτ -; в) Масштабный коэффициент влияет на предел выносливости, при увеличении размера детали вероятность появления дефектов увеличивается, поэтому чем больше размер детали, тем хуже при оценке ее выносливости, при этом учитывается коэффициент влияние абсолютных размеров поперечного сечения. K dσ K dτ.Коэффициент дефекта: K σD = / Kv; Kv — коэффициент упрочнения зависит от вида термообработки.

14. Устойчивое развитие. Переход системы из устойчивого состояния в нестабильное состояние называется потерей устойчивости, а соответствующая сила называется критической силой Ркр В 1774 году Э. Эйлер провел исследование и математически определил Rcr. Согласно Эйлеру, Rcr — это сила, необходимая для наименьшего наклона колонны. Rcr = P 2 * E * Imin / L 2; Гибкость стержня λ = ν * л / i мин; Критическое напряжение σ кр = P 2 E / λ 2. Предельная гибкость λ зависит только от физико-механических свойств материала стержня и постоянна для данного материала.

Сопротивление материалов — раздел механики деформируемого твердого тела, в котором рассматриваются методы расчета элементов машин и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность — это способность материала противостоять внешним силам, не разрушаясь и не вызывая остаточных деформаций.Расчеты на прочность позволяют определить размер и форму деталей, способных выдержать заданную нагрузку, при наименьших материальных затратах.

Жесткость — это способность тела сопротивляться образованию деформаций. Расчеты жесткости гарантируют, что изменения формы и размера тела не превышают допустимых пределов.

Устойчивость — это способность сооружений сопротивляться усилиям по выводу их из равновесия. Расчет устойчивости предотвращает внезапную потерю равновесия и деформацию элементов конструкции.

Долговечность заключается в способности конструкции сохранять служебные свойства, необходимые для работы, в течение заданного периода времени.

Пруток (рис. 1, а — в) — тело, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. Осью стержня является линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений. Различают прутки постоянного и переменного сечения. Балка может иметь прямую или изогнутую ось. Штанга с прямой осью называется штангой (рис.1, а, б). Тонкостенные элементы конструкции делятся на пластины и оболочки.

Оболочка (рис. 1, г) представляет собой тело, один из размеров (толщины) которого намного меньше других. Если поверхность оболочки плоская, то объект называется пластиной (рис. 1, д). Тела — это тела, у которых все размеры одного порядка (рис. 1, е). К ним относятся фундаменты конструкций, подпорные стены и т. Д.

Эти элементы сопротивления материалов используются для составления расчетной схемы реального объекта и проведения его инженерного анализа.Под расчетной схемой понимается некая идеализированная модель реальной конструкции, в которой отброшены все незначительные факторы, влияющие на ее поведение под нагрузкой

Допущения относительно материального имущества

Материал считается твердым, однородным, изотропным и идеально эластичным.
Непрерывность — материал считается непрерывным. Однородность — физические свойства материала одинаковы во всех точках.
Изотропия — свойства материала одинаковы во всех направлениях.
Совершенная эластичность — свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размер после устранения причин деформации.

Допущения по деформации

1. Гипотеза об отсутствии начальных внутренних усилий.

2. Принцип неизменности исходных размеров — деформации небольшие по сравнению с исходными размерами тела.

3. Гипотеза о линейной деформируемости тел — деформации прямо пропорциональны приложенным силам (закон Гука).

4. Принцип независимости действия сил.

5. Гипотеза плоских сечений Бернулли — плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и перпендикулярными оси стержня после деформации.

6. Принцип Сен-Венана — напряженное состояние тела на достаточном удалении от зоны действия местных нагрузок очень мало зависит от детальной методики их применения

Внешние силы

Воздействие на структуру окружающих тел заменяется силами, которые называются внешними силами или нагрузками.Рассмотрим их классификацию. К нагрузкам относятся активные силы (для восприятия которых была создана конструкция) и реактивные (реакции связи) — силы, уравновешивающие конструкцию. По способу применения внешние силы можно разделить на сосредоточенные и распределенные. Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью и могут быть линейными, поверхностными или объемными. По характеру воздействия нагрузки внешние силы бывают статическими и динамическими. Статические силы включают нагрузки, изменения которых во времени невелики, т.е.е. ускорениями точек элементов конструкции (силами инерции) можно пренебречь. Динамические нагрузки вызывают такие ускорения в конструкции или отдельных ее элементах, которыми нельзя пренебрегать при расчетах.

Внутренние силы. Метод сечения.

Действие внешних сил на тело приводит к его деформации (изменяет взаимное расположение частиц тела). В результате между частицами возникают дополнительные силы взаимодействия. Это силы сопротивления изменению формы и размеров тела под действием нагрузки, называемые внутренними силами (усилиями).С увеличением нагрузки увеличиваются внутренние усилия. Разрушение конструктивного элемента происходит, когда внешние силы превышают определенный максимальный уровень внутренних сил для данной конструкции. Следовательно, оценка прочности нагруженной конструкции требует знания величины и направления возникающих внутренних сил. Значения и направления внутренних сил в нагруженном теле определяются для заданных внешних нагрузок методом сечения.

Метод сечения (см. Рис.2) состоит в том, что стержень, находящийся в равновесии под действием системы внешних сил, мысленно разрезается на две части (рис. 2, а), причем считается равновесие одной из них, заменяя действие отброшенного Часть стержня представляет собой систему внутренних сил, распределенных по сечению (рис. 2, б). Обратите внимание, что внутренние силы стержня в целом становятся внешними для одной из его частей. Более того, во всех случаях внутренние силы уравновешивают внешние силы, действующие на отрезанную часть стержня.

В соответствии с правилом параллельной передачи статических сил, мы переносим все распределенные внутренние силы в центр тяжести сечения. В результате получаем их главный вектор R и главный момент M системы внутренних сил (рис. 2, в). Выбирая систему координат O xyz так, чтобы ось z была продольной осью стержня и проецируя на ось главный вектор R и главный момент M внутренних сил, получаем шесть факторов внутренней силы в сечении стержня: продольная сила N , поперечные силы Q x и Q y, изгибающие моменты M x и M y, а также крутящий момент T.По типу внутренних силовых факторов можно определить характер нагружения балки. Если в поперечных сечениях балки появляется только продольная сила N, а других силовых факторов нет, то происходит «растяжение» или «сжатие» балки (в зависимости от направления силы N). Если в секциях действует только поперечная сила Q x или Q y, это случай «чистого сдвига». В случае «кручения» в сечениях стержня действуют только моменты T. В «чистом изгибе» только изгибающие моменты M.Возможны также комбинированные виды нагружения (изгиб с растяжением, кручение с изгибом и др.) — это случаи «комплексного сопротивления». Для наглядного представления характера изменения факторов внутренней силы по оси стержня построены их графики, называемые диаграммами. Схемы позволяют определить наиболее нагруженные участки балки и установить опасные участки.

  • 2.6. Предел прочности
  • 2.7. Условие прочности
  • 3. внутренние силовые факторы (wf)
  • 3.1. Случай внешних сил, действующих в одной плоскости
  • 3.2. Основные соотношения между линейной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx
  • Отсюда следует соотношение, называемое первым уравнением равновесия для балочного элемента
  • 4.Spf-диаграммы
  • 5. Правила управления черчением
  • 6. Общий случай напряженного состояния
  • 6.1 Нормальные и касательные напряжения
  • 6.2. Закон спаривания касательных напряжений
  • 7. Деформации
  • 8.Основные допущения и законы прочности материалов
  • 8.1. Основные допущения, используемые при определении прочности материалов
  • 8.2. Основные законы прочности материалов
  • При перепаде температуры тела меняют свой размер прямо пропорционально этому перепаду температуры.
  • 9. Примеры использования законов механики для расчета строительных конструкций
  • 9.1. Расчет статически неопределимых систем
  • 9.1.1. Статически неопределимая железобетонная колонна
  • 9.1.2 Температурные напряжения
  • 9.1.3. Установочные напряжения
  • 9.1.4. Расчет колонки по теории предельного равновесия
  • 9.2. Особенности температурных и установочных напряжений
  • 9.2.1. Независимость температурных напряжений от габаритов корпуса
  • 9.2.2. Независимость монтажных напряжений от габаритов корпуса
  • 9.2.3. О температуре и установочных напряжениях в статически определяемых системах
  • 9.3. Независимость предельной нагрузки от самоуравновешенных начальных напряжений
  • 9,4. Некоторые особенности деформации стержней при растяжении и сжатии с учетом силы тяжести
  • 9,5. Расчет элементов конструкций с трещинами
  • Порядок расчета тел с трещинами
  • 9,6. Структурный анализ на прочность
  • 9.6.1. Прочность железобетонной колонны при наличии ползучести бетона
  • 9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов
  • 9.7 Теория накопления микроповреждений
  • 10. Расчет штанг и стерневых систем на жесткость
  • Композитные стержни
  • Стержневые системы
  • 10.1. Формула Мора для расчета смещения конструкции
  • 10.2. Формула Мора для стержневых систем
  • 11. Закономерности уничтожения материалов
  • 11.1. Закономерности сложного напряженного состояния
  • 11.2. Зависимость u от касательных напряжений
  • 11.3. Основные напряжения
  • Расчет
  • 11,4. Виды разрушения материалов
  • 11,5 Теории краткосрочной силы
  • 11.5.1 Первая теория силы
  • 11.5.2 Вторая теория силы
  • 11.5.3 Третья теория прочности (теория максимальных касательных напряжений)
  • 11.5.4 Теория четвертая (энергия)
  • 11.5.5. Пятая теория — критерий Мора
  • 12.Краткое изложение теории прочности в задачах сопротивления материалов
  • 13. Расчет цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления
  • 14. Усталостное разрушение (циклическое сопротивление)
  • 14.1. Расчет конструкций при циклическом нагружении по диаграмме Велера
  • 14.2. Расчет конструкций при циклическом нагружении по теории развития трещин
  • 15. Гибка балок
  • 15.1. Нормальные напряжения.Формула Навье
  • 15.2. Определение положения нейтральной линии (ось абсцисс) в сечении
  • 15,3 Момент сопротивления
  • 15.4 Ошибка Галилея
  • 15,5 Сдвиговые напряжения в балке
  • 15.6. Напряжения сдвига в полке двутавра
  • 15.7. Анализ формул для напряжений
  • 15.8. Эффект Эмерсона
  • 15,9. Парадоксы формулы Журавского
  • 15.10. Максимальные касательные напряжения (τzy) max
  • 15.11. Расчет прочности балки
  • 1. Разрушение изгибом
  • 2. Разрушение сдвигом (расслоение).
  • 3. Расчет балки на основные напряжения.
  • 4. Расчет по III и IV теориям прочности.
  • 16. Расчет жесткости балки
  • 16.1. Формула Мора для расчета прогиба
  • 16.1.1 Методы вычисления интегралов. Формулы Трапеции и Симпсона
  • Формула трапеции
  • Формула Симпсона
  • … Расчет прогибов путем решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки
  • 16.2.1 Решение дифференциального уравнения оси криволинейной балки
  • 16.2.2 Правила Клебша
  • 16.2.3 Условия определения c и d
  • Пример расчета прогиба
  • 16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера
  • 16,4. Уравнение криволинейной оси балки на упругом основании
  • 16,5. Бесконечная балка на упругом основании
  • 17.Потеря устойчивости
  • 17,1 Формула Эйлера
  • 17.2 Прочие условия обеспечения.
  • 17.3 Максимальная гибкость. Удочка длинная.
  • 17.4 Формула Ясинского.
  • 17,5 Устойчивость к устойчивости
  • 18. Кручение валов
  • 18.1. Кручение круглых валов
  • 18.2. Напряжения в сечениях вала
  • 18,3. Расчет жесткости вала
  • 18,4. Свободное кручение тонкостенных прутков
  • 18,5. Напряжения свободного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля
  • 18.6. Угол закрутки тонкостенного замкнутого профиля
  • 18,7. Кручение открытых профильных стержней
  • 19. Сложная деформация
  • 19.1. Графики внутренних силовых факторов (wf)
  • 19.2. Растяжка на изгиб
  • 19,3. Максимальные растягивающие изгибающие напряжения
  • 19.4 Изгиб косой
  • 19,5. Проверка прочности круглого прутка на кручение с изгибом
  • 19,6 Смещение центра сжатия. Ядро раздела
  • 19.7 Построение ядра секции
  • 20.Динамические задачи
  • 20.1. Хит
  • 20.2 Объем формулы коэффициента динамичности
  • Выражение коэффициента динамизма через скорость удара тела
  • 20,4. Принцип Даламбера
  • 20,5. Колебания упругих стержней
  • 20.5.1. Свободные колебания
  • 20.5.2. Вынужденные колебания
  • Как бороться с резонансом
  • 20.5.3 Вынужденные колебания штока с демпфером
  • 21. Теория предельного равновесия и ее использование при проектировании конструкций
  • 21.1. Проблема изгиба балки. Предельный момент.
  • 21.2. Применение теории предельного равновесия для расчета
  • Литература
  • Контент
    1. Статические отношения. Они записываются в виде следующих уравнений равновесия.

      Закон Гука ( 1678): чем больше сила, тем больше деформация и прямо пропорциональна силе … Физически это означает, что все корпуса пружинные, но с большой жесткостью. При простом растяжении стержня продольной силой Н = F этот закон можно записать как:

    Здесь
    продольная сила, l, — длина стержня, А, — площадь его поперечного сечения, E — коэффициент упругости первого рода ( модуль Юнга ).

    С учетом формул для напряжений и деформаций закон Гука записывается следующим образом:
    .

    Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментах между касательными напряжениями и углом сдвига:

    .

    G называются модуль сдвига , реже — модуль упругости второго рода. Как и любой закон, закон Гука имеет предел применимости. Напряжение
    , для которого действует закон Гука, называется пределом пропорциональности (это наиболее важная характеристика в материалах сопротивления).

    Изобразим зависимость от грн. графически (рисунок 8.1). Эта картина называется Схема растяжения … После точки B (т.е. в точке
    ) эта зависимость перестает быть однозначной.

    В точке
    после разгрузки в теле появляются остаточные деформации, поэтому они называются пределом упругости .

    Когда напряжение достигает значения σ = σt, многие металлы начинают проявлять свойство, называемое текучестью … Это означает, что даже при постоянной нагрузке материал продолжает деформироваться (то есть ведет себя как жидкость). Графически это означает, что диаграмма параллельна оси абсцисс (участок DL). Напряжение σ t, при котором материал течет, называется . предел текучести .

    Некоторые материалы (ст. 3 — строительная сталь) после непродолжительного растекания снова начинают сопротивляться. Сопротивление материала продолжается до определенного максимального значения σ пр, затем начинается постепенное разрушение.Величина σ пр — , предел прочности (синоним для стали: предел прочности на разрыв, для бетона — кубическая или призматическая прочность). Также используются следующие обозначения:

    = R b

    Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментах между касательными напряжениями и сдвигами.

    3) Закон Дюамеля-Неймана (линейное тепловое расширение):

    При перепаде температуры тела изменяют свой размер прямо пропорционально этому перепаду температуры.

    Пусть есть разница температур
    … Тогда этот закон имеет вид:

    Здесь α — коэффициент линейного теплового расширения , л длина стержня, Δ л его удлинение.

    4) Закон ползучести .

    Исследования показали, что все материалы очень неоднородны в мелочах. Схематическая структура стали показана на рисунке 8.2.

    Некоторые компоненты обладают жидкими свойствами, поэтому многие материалы под нагрузкой со временем получают дополнительное удлинение.
    (рис. 8.3.) (Металлы при высоких температурах, бетон, дерево, пластмассы при нормальных температурах). Это явление называется ползучестью материала .

    Для жидкости верен закон: чем больше сила, тем больше скорость движения тела в жидкости … Если это соотношение линейно (т. Е. Сила пропорциональна скорости ), то вы можете записать его в виде:

    E
    Если перейти к относительным силам и относительным удлинениям, то получим

    Здесь индекс « cr ”Означает, что учитывается часть удлинения, вызванная ползучестью материала.Механическая характеристика называется коэффициентом вязкости.

      Закон сохранения энергии.

    Рассмотрим нагруженную балку

    Введем понятие перемещения точки, например,

    — вертикальное перемещение точки B;

    — горизонтальное смещение точки C.

    Силы
    выполняют некоторую работу U . Учитывая, что силы
    начинают постепенно увеличиваться, и предполагая, что они увеличиваются пропорционально смещениям, мы получаем:

    .

    Согласно закону сохранения: никакая работа не исчезает, она тратится на выполнение другой работы или переходит в другую энергию ( энергия Это работа, которую может совершить тело.)

    Рабочая сила
    , расходуется на преодоление сопротивления упругих сил, возникающих в нашем теле. Для расчета этой работы учтем, что тело можно рассматривать как состоящее из мелких упругих частиц. Рассмотрим одну из них:

    Со стороны соседних частиц на нее действует напряжение… Результирующие напряжения будут

    Под действием частица удлиняется. Относительное удлинение определяется как удлинение на единицу длины. Затем:

    Рассчитаем работу dW , которую выполняет сила dN (здесь также учтено, что силы дН начинают постепенно увеличиваться и увеличиваются пропорционально смещениям):

    Для всего тела получаем:

    .

    Работы W , которые были совершены, называются энергией упругой деформации.

    По закону сохранения энергии:

    6) Принцип возможных перемещений .

    Это один из вариантов записи закона сохранения энергии.

    Пусть силы действуют на стержень F 1 , Факс 2 , … Они вызывают движение точки в теле
    и напряжение
    … Придадим телу дополнительные малые возможные смещения
    … В механике запись вида
    означает фразу «возможное значение количества , но ». Эти возможные движения вызовут в теле дополнительные возможные деформации
    … Они приведут к появлению дополнительных внешних сил и напряжений.
    , г. δ.

    Рассчитаем работу внешних сил на дополнительных возможных малых перемещениях:

    Здесь
    — дополнительные перемещения тех точек, в которых действуют силы F 1 , Факс 2 ,

    Рассмотрим снова небольшой элемент сечением dA и длиной дз (см. Рис.8.5. и 8.6.). По определению дополнительное удлинение dz этого элемента рассчитывается по формуле:

    dz =  dz.

    Сила растяжения элемента составит:

    dN = ( + δ) дА дА ..

    Работа внутренних сил на дополнительные перемещения рассчитывается для малого элемента следующим образом:

    dW = dN dz = dA  dz =  dV

    С
    Суммируя энергию деформации всех малых элементов, получаем полную энергию деформации:

    Закон сохранения энергии Вт знак равно U дает:

    .

    Это соотношение называется принципом возможного смещения (также называется принципом виртуальных перемещений ). Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют и касательные напряжения. Тогда можно получить, что к энергии деформации W добавляется следующий член:

    Здесь  — напряжение сдвига,  — сдвиг небольшого элемента. Тогда принцип возможных смещений примет вид:

    В отличие от предыдущей формы записи закона сохранения энергии, здесь нет предположения, что силы начинают постепенно увеличиваться, и они увеличиваются пропорционально смещениям

    7) Эффект Пуассона.

    Рассмотрим картину удлинения образца:

    Явление укорочения элемента тела поперек направления удлинения называется эффектом Пуассона .

    Найдем продольную относительную деформацию.

    Поперечная относительная деформация будет:

    Коэффициент Пуассона величина называется:

    Для изотропных материалов (сталь, чугун, бетон) коэффициент Пуассона

    Это означает, что в в поперечном направлении деформация меньше продольного .

    Примечание : современные технологии позволяют создавать композитные материалы с коэффициентом Пуассона> 1, то есть поперечная деформация будет больше продольной. Например, это относится к материалу, армированному жесткими волокнами под малым углом
    , т.е. чем меньше, тем больше коэффициент Пуассона.

    Рисунок 8.8. Рисунок 8.9

    Еще более удивителен материал, показанный на (Рис. 8.9.), И для такого армирования имеет место парадоксальный результат — продольное удлинение приводит к увеличению размеров корпуса в поперечном направлении.

    8) Обобщенный закон Гука.

    Рассмотрим элемент, который растянут в продольном и поперечном направлении. Найдем деформации, возникающие в этих направлениях.

    Рассчитайте деформацию, возникающую в результате воздействия:

    Рассмотрите деформацию от воздействия, которая возникает в результате эффекта Пуассона:

    Общая деформация будет:

    Если верно и, добавьте один большее сокращение в направлении оси x
    .

    Следовательно:

    Аналогично:

    Эти отношения называются обобщенным законом Гука .

    Интересно, что при написании закона Гука делается предположение о независимости деформаций удлинения от деформаций сдвига (о независимости от напряжений сдвига, что одно и то же) и наоборот. Эксперименты хорошо подтверждают эти предположения. Забегая вперед, отметим, что прочность, наоборот, сильно зависит от сочетания касательных и нормальных напряжений.

    Примечание: Приведенные выше законы и предположения подтверждаются многочисленными прямыми и косвенными экспериментами, но, как и все другие законы, имеют ограниченную область применимости.

    Прочность материалов — sopromat.org.ua / Strength-of-materials-sopromat-org-ua.pdf / PDF4PRO

    1 Раздел 5 Прочность материалов Почетный профессор машиностроения Института Джорджии В.HAWKINS, последний менеджер по стандартам продукции и услуг, Columbus McKinnon Corporation, Тонаванда, руководитель D. DODGES (в отставке), качество продукции и технологии контроля, разработка производства, Ford Motor. -2 Разрушение при низких напряжениях .. 5-7 Усталость .. 5-8 Ползучесть .. 5-10 Твердость .. 5-12 Испытания материалов .. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ Дж.

    2 П. Видошич Простые напряжения и деформации .. 5-15 Комбинированные напряжения .. 5-18 Пластический расчет .. 5-19 Расчетные напряжения .. 5-20 Балки .. 5-20 Кручение .. 5-36 Колонны .. 5-38 Эксцентриковые нагрузки .. 5-40 Изогнутые Балки .. 5-41 Удар .. 5-43 Теория упругости .. 5-44 Цилиндры и сферы .. 5-45 Давление между телами с искривленными поверхностями .. 5-47 Плоские пластины .. 5-47 Теории разрушения. 5-48 Пластичность .. 5-49 Вращающиеся диски .. 5-50 Экспериментальные напряжения Анализ .. ИЗГИБНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ТРУБОПРОВОДА Гарольд В. Хокинс Напряжения изгиба трубопровода.. НЕДЕСТРУКТИВНОЕ ИСПЫТАНИЕ Дональд Д. Додж Неразрушающее тестирование.

    3 5-61 Методы магнитных частиц .. 5-61 Пенетрантные методы .. 5-61 Радиографические методы .. 5-65 Ультразвуковые методы .. 5-66 Вихретоковые методы .. 5-66 Микроволновые методы .. 5-67 Инфракрасные методы .. 5-67 Анализ акустических сигнатур .. 5-675-1 Авторские права (C) 1999, McGraw-Hill Companies, Inc. Все права защищены. Использование этого продукта регулируется условиями лицензионного соглашения. Щелкните здесь, чтобы увидеть МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ Джона Симондса, дополнено персоналом ССЫЛКИ: Davis et al., Испытания и инспекция инженерных материалов , МакГроу-Хилл, Тимошенко, Прочность из материалов , pt.

    4 II, Ван, Инженерное дело Материалы Наука, Уодсворт. Надаи, Пластичность, Макгроу-Хилл. Тетельман и МакЭвили, Разрушение конструкционных материалов , Wiley. Механика разрушения, ASTM STP-833. Макклинток и Аргон (ред.), Механическое поведение материалов , Аддисон-Уэсли. Дитер, механик-металлурги, МакГроу-Хилл.Данные о ползучести, ASME. Стандарты ASTM, ASTM. Блазнинский (ред.), Пластичность и современная технология обработки металлов, ДИАГРАММЫ Напряжение деформация Кривая Инженерная кривая растяжения Деформация кривая получена путем статического нагружения стандартного образца, то есть путем приложения нагрузки достаточно медленно, чтобы в любой момент все части образца находятся в равновесии.

    5 Кривая обычно получается путем контроля скорости нагружения в растяжной машине.Стандарты ASTM требуют, чтобы скорость нагрузки не превышала 100 000 фунтов / дюйм2 (70 кгс / мм2) / мин. Альтернативный метод получения кривой состоит в том, чтобы указать степень деформации в качестве независимой переменной, и в этом случае скорость нагружения непрерывно регулируется для поддержания требуемой скорости деформации . Обычно используется скорость деформации дюйм / дюйм / (мин). Обычно его измеряют экстензометром, прикрепленным к измерительной длине образца. На рисунке показаны несколько диаграмм напряжений , , , , .(1) Мягкая латунь; (2) низкоуглеродистая сталь; (3) твердая бронза; (4) холоднокатаная сталь; (5) сталь среднеуглеродистая, отожженная; (6) среднеуглеродистая сталь, теплотехника Материалы , кривая будет иметь начальную линейно-упругую область (рис.)

    6, в которой деформация обратима и не зависит от времени. Наклон в этой области равен модулю Юнга E. Пропорциональный предел упругости (PEL) — это точка, в которой кривая начинает отклоняться от прямой линии. Предел упругости (часто неотличимый от PEL) — это точка на кривой, за которой наблюдается пластическая деформация после снятия нагрузки.Если усилие увеличивается дальше, кривая напряжение- деформация все больше и больше отклоняется от прямой линии. Разгрузка образца в точке X (рис.), Часть XX9 является линейной и по существу параллельна исходной линии Ox99. Горизонтальное расстояние ОХ9 называется постоянным набором, соответствующим напряжению является основой для построения произвольной текучести Предел прочности , прямая линия ХХ9 проводится параллельно начальной упругой линии ОХ99, но смещена от нее на произвольное значение постоянной деформации .

    7 Постоянная деформация Обычно используется в процентах от исходной измерительной длины. Пересечение этой линии с кривой определяет значение напряжения , которое называется пределом текучести Прочность . В отчете о поле Прочность следует указывать количество постоянного набора. Произвольный предел текучести Прочность используется специально для тех материалов , которые не имеют естественного предела текучести, таких как цветные металлы; но этим не ограничивается.Пластическое поведение в некоторой степени зависит от времени, особенно при высоких температурах. Также при высоких температурах может быть обнаружена небольшая величина зависящей от времени обратимой деформации , ориентировочное напряжение — деформация растяжение Прочность (UTS) — максимальная нагрузка, которую выдерживает образец, деленная на площадь поперечного сечения исходного образца. .

    8 Процент удлинения при разрушении — это пластическое удлинение образца при отказе, выраженное как (изменение исходной измерительной длины 4100), деленное на исходную измерительную длину.Это расширение является суммой единообразных и неоднородных расширений. Равномерное удлинение — это то, что происходит до UTS. Это имеет однозначное значение, поскольку связано с одноосным напряжением , тогда как неравномерное удлинение, которое происходит во время локализованного растяжения (образования шейки), связано с трехосным неоднородным удлинением, будет зависеть от геометрии, в частности отношения длины L0 образца к диаметруD или квадратному корню из площади поперечного сечения A.

    9 Стандарты ASTM определяют геометрию испытуемого образца для нескольких размеров образцов.Отношение L0 / A поддерживается на уровне для образцов с плоским и круглым сечением. Первоначальная измерительная длина всегда должна быть указана в отчетах об удлинении образца. Процент уменьшения площади (RA) — это сокращение площади поперечного сечения на изломе, выраженное в процентах от исходной площади. Его получают путем измерения поперечного сечения сломанного образца в месте разрушения. RA вместе с нагрузкой при разрыве можно использовать для получения напряжения разрушения , то есть нагрузки разрушения, разделенной на площадь поперечного сечения в трещине.

    10 См. Таблицу «Тип разрушения при растяжении» дает некоторые показания о качестве материала , но на это значительно влияют температура испытания, скорость испытания, форма и размер испытательного образца и другие условия. Усадка наиболее высока в вязких и пластичных материалах , а наименьшая — в хрупких материалах . Как правило, переломы относятся к типу сдвигового сдвига (потери сцепления). Плоские образцы из пластичных металлов на растяжение часто демонстрируют разрушение при сдвиге, если отношение ширины к толщине больше 6: 1.Полностью разрушение сдвигового типа может заканчиваться на режущей кромке для плоского образца или точечным разрывом для круглого образца. Разрушение происходит в хрупких материалах , например, на круглых образцах из пластичного металла часто встречаются разрушения, связанные как с сдвигом, так и с разделением. .

    Ролик прямой поперечной гибки. Плоский изгиб прямых стержней. Дом Эпур и Балкс


    Общие понятия.

    Деформация колеса заключается в искривлении оси прямой штанги или в изменении начальной кривизны прямой штанги (рис.6.1). Познакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

    Прутки гибочные, называемые балками.

    Чистый Отводом называют изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним коэффициентом мощности, возникающим в поперечном сечении балки.

    Чаще в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает поперечная сила. Этот изгиб называется поперечным.

    Плоский (прямой) Изгиб называется, когда плоскость изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из основных центральных осей поперечного сечения.

    С косым изгибом Плоскость изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

    Изучение деформации изгиба сначала для случая чистого плоского изгиба.

    Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

    Как уже упоминалось, при чисто плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних коэффициентов мощности только изгибающий момент не равен нулю (рис.6.1, В): ​​

    ; (6.1)

    Эксперименты на упругих моделях показывают, что если линию линий приложить к поверхности модели (рис. 6.1, а), то чистый изгиб деформируется следующим образом. (Рис. 6.1, б):

    а) продольные линии скручены по длине окружности;

    б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

    в) линейные контуры сечений повсюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

    Исходя из этого, можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

    Рис.

    Придумав длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние — ударной. Очевидно, можно найти такие волокна, длина которых не меняется. Комбинация волокон, не меняющих своей длины при изгибе балок, называется нейтральным слоем (п. П.). Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (n. L.).

    Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим сечение балки в деформированном и недеформированном состоянии (рис. 6.2).

    Рис.

    Два бесконечно малых поперечных сечения подчеркивают длину элемента. До деформации поперечного сечения ограничивающие элементы были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации несколько наклонялись, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не изменяется.Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости рисования буквы. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отделенного от нейтрального слоя.

    Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получаем, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

    Его относительная деформация

    Очевидно, поскольку длина волокна, лежащего в нейтральном слое, не изменилась.Тогда после подстановки получаем

    (6,2)

    Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстояниям волокна от нейтральной оси.

    Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не толкают друг друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолированно, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. Учитывая (6.2)

    , (6.3)

    т.е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых участков от нейтральной оси.

    Подставить зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в сечении (6.1)

    Напомним, что интеграл — это момент инерции поперечного сечения относительно оси

    или

    (6,4)

    Зависимость (6.4) является ветвью изгиба, так как связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с моментом, действующим в поперечном сечении. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н · м 2.

    Запасной (6.4) в (6.3)

    (6,5)

    Это искомая формула для определения нормальных напряжений в чисто изгибаемой балке в любой точке ее поперечного сечения.

    Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия, подставить значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента

    Поскольку,

    , что

    (6,6)

    (6,7)

    Равенство (6.6) указывает, что ось является нейтральной осью сечений — проходит через центр тяжести сечения.

    Равенство (6.7) показывает, что обе являются главной центральной осью сечения.

    Согласно (6.5) наибольшее значение напряжения достигается в волокнах наиболее удаленной от нейтрали линии

    Положение — это осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, что означает

    Значение для простейших поперечных сечений следующее:

    Для прямоугольного сечения

    , (6,8)

    где — сторона перпендикулярной оси поперечного сечения;

    Односторонняя параллельная ось;

    Для круглого сечения

    , (6.9)

    где — диаметр круглого сечения.

    Условие прочности при нормальном растяжении при изгибе можно записать как

    (6,10)

    Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, основанные на выводах, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что при поперечном изгибе балок и рам, когда еще есть продольная сила и поперечная сила в сечении, кроме изгибающего момента, можно использовать формулы, приведенные для чистого изгиба.Погрешность получается незначительной.

    Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

    Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки существует два внутренних коэффициента мощности и.

    Перед определением и определением реакций опор балки (рис. 6.3, а) составляем равновесие статики.

    Для определения и применения метода сечений. В интересующем для работы месте сделаем пучок мысленного надреза, например, на расстоянии от левой опоры.Закидываем одну из частей балки, например, правую, и рассматриваем равновесие левой стороны (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки сменится внутренними усилиями и.

    Мы устанавливаем следующие правила для знаков и:

    • Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся повернуть рассматриваемое сечение по часовой стрелке;
    • Изгибающий момент в секции положительный, если он вызывает сжатие верхних волокон.

    Рис.

    Для определения этих усилий мы используем два уравнения равновесия:

    1.; ; .

    2.;

    Таким образом,

    а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической величине выступов на поперечной оси сечения всех внешних сил, действующих с одной стороны поперечного сечения;

    б) Изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести) внешних сил, действующих на одной стороне этого сечения.

    При практическом расчете руководствуются обычно следующим образом:

    1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке (рис. 6.4, б), то в выражении для нее присутствует положительный член.
    2. Если внешняя нагрузка создает по отношению к рассматриваемому сечению момент, вызывающий сжатие волокон верхней балки (рис. 6.4, а), то в выражении для этого сечения он дает положительный член.

    Рис.

    Корпус Эпура и в балках.

    Рассмотрим двуниточный луч (рис. 6.5, а). Балка действует в точке сосредоточенным моментом, в точке — сосредоточенной силой и на площадке — равномерно распределенной интенсивностью нагрузки.

    Определить опорные реакции и (рис. 6.5, б). Равномерно распределенная нагрузка равна, а линия ее действия проходит через центр площадки. Составим уравнения моментов относительно точек и.

    Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольных сечениях, расположенных на участке на удалении от точки А (рис. 6.5, Б).

    (рис. 6.5, г). Расстояние может варьироваться в пределах ().

    Величина поперечной силы не зависит от координаты поперечного сечения, поэтому на всех участках сечения поперечные силы одинаковы и эпира имеет форму прямоугольника. Изгибающий момент

    Изгибающий момент изменяется по линейному закону.Определяем ординаты Эпуры для границ участка.

    Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольных сечениях, расположенных на участке на удалении от точки (рис. 6.5, д). Расстояние может варьироваться в пределах ().

    Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определяем границы участка.

    Изгибающий момент

    Наращивание изгибающих моментов в этой зоне будет параболическим.

    Для определения экстремального значения изгибающего момента приравнять к нулю производную изгибающего момента на отрезке абсцисс:

    отсюда

    Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет

    В результате получаем линию поперечных сил (рис.6.5, д) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

    Дифференциальная зависимость от изгиба.

    (6,11)

    (6,12)

    (6,13)

    Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности бушующих моментов и поперечных сил:

    Н. и участков, где нет распределенной нагрузки, плоскогубцы ограничиваются прямой, параллельной нулевой линией отвеса, а участки в общем случае — наклонными прямыми.

    Н. и участков, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, EPUR ограничивается наклонными прямыми, а EPUR — квадратичными параболами с выпуклостью, обращенными противоположно направлению действия нагрузки.

    IN Сечения, где касательная к сцене параллельна нулевой линии эппуры.

    н. И участки, где момент увеличивается; в областях, где момент уменьшается.

    IN сечения, где сосредоточенные силы приложены к балке, на сцене будут скачки по величине приложенных сил, а на сцене будут трещины.

    В сечениях, где к балке прилагаются сосредоточенные моменты, будут скачки величин этих моментов.

    Ординаты опоры пропорциональны углу касательной язычка к сцене.

    Отвод

    Взаимодействие с другими людьми

    Основные понятия о гибке

    Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или исходной формы линии балки (ее оси) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия пучка плавно меняет свою форму.
    Несложно убедиться, что сопротивление изгибу влияет не только на площадь поперечного сечения балки (брус, стержень и т. Д.).), но и геометрическую форму этого сечения.

    Поскольку изгиб корпуса (балки, бруса и т. Д.) Выполняется относительно любой оси, на сопротивление изгибу влияет величина осевого момента инерции поперечного сечения корпуса относительно этой оси.
    Для сравнения, при деформации взрыва сечение корпуса стягивается относительно полюса (острия), следовательно, полярный момент инерции этого сечения влияет на сопротивление резанию.

    Многие элементы конструкции — оси, валы, балки, зубья, зубья, рычаги, тяги и т. Д. Могут работать на изгибе.

    В сопротивлении материалов учитывают несколько типов изгибов:
    — в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к грузу, различают чистый изгиб и Поперечный изгиб ;
    — в зависимости от расположения плоскости изгибающей нагрузки относительно оси стержня — прямой изгиб и наклонный изгиб .

    Балка для прямой и поперечной гибки

    Чистый изгиб называется таким типом деформации, при котором только изгибающий момент появляется в любом сечении стержня ( рис. 2. ).
    Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому бустеру в плоскости, проходящей через ось, приложить два одинаковых по размеру и противоположных знаку пары сил. Тогда в каждом поперечном сечении брус будет только гнуть.

    Если изгиб возникает в результате приложения поперечной силы bru ( рис.3. ), то такой изгиб называется поперечным. При этом поперечная сила действует в каждом сечении стержня, а изгибающий момент (кроме сечения, к которому приложена внешняя нагрузка).

    Если брус имеет хотя бы одну ось симметрии, и плоскость нагрузки нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб, если это условие не выполняется, то наклонный изгиб.

    Изучая деформацию изгиба, мы мысленно представим себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных параллельных осей волокон.
    Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, мы проведем опыт с резиновым стержнем, на который нанесена сетка продольных и поперечных линий.
    Подвергая такую ​​ленту прямому изгибу, можно отметить, что ( рис. 1 ):

    Поперечные линии останутся прямыми, но повернуты под углом друг к другу;
    — поперечные сечения планки будут расширяться в поперечном направлении на вогнутой стороне и сужаться на выпуклой стороне;
    — Продольные прямые колючие.

    Из этого опыта мы можем сделать вывод, что:

    При чистом изгибе гипотеза плоских участков верна;
    — Волокна, лежащие на выпуклой стороне, растянуты, на вогнутой стороне — сжимаются, а на границе между ними находится нейтральный слой волокон, которые только скручиваются без изменения своей длины.

    Полагая справедливую гипотезу о том, что волокна не прижимаются, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникают только нормальные напряжения и напряжения сжатия, неравномерно распределенные по поперечному сечению.
    Поперечное сечение нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

    Изгибающий момент и поперечная сила

    Как хорошо известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяются путем составления и решения уравнений равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов и определения внутренних коэффициентов мощности в стержнях мы учитывали реакции звеньев наравне с внешними нагрузками, действующими на стержни.
    Для определения внутренних коэффициентов мощности мы используем метод сечений, и изобразим балку только одной линией — осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузка и реакция соединений).

    Рассмотрим два случая:

    1. К балке прикреплены две равные противоположные пары.
    Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2 ), мы видим, что во всех сечениях возникает только изгибающий момент M и, равный снаружи.Таким образом, это чистый изгиб.

    Изгибающий момент — это результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

    Обращаем внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это указывает на непригодность правила статических знаков при определении знака изгибающего момента.


    2. Балка прилагает активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей) перпендикулярно оси ( рис.3. ). Рассматривая равновесие частей балок, расположенных слева и справа, видим, что изгибающий момент M должен действовать в сечениях , и . и поперечная сила Q.
    Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

    Поперечная сила — это релаксирующие внутренние касательные силы в поперечном сечении балки.

    Обращаем внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что свидетельствует о непригодности знаков статики при определении знака поперечной силы.

    Изгиб, при котором изгибающий момент в поперечном сечении действует на изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.

    Взаимодействие с другими людьми

    В балке, находящейся в равновесии воды с плоской системой сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; Следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на лист левой секции, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку справа от поперечного сечения.
    Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения.

    На балке, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. Е. Систем параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; Следовательно, сумма внешних сил, действующих на левую секционную балку, численно равна алгебраической величине сил, действующих на балку справа от секции.
    Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от поперечного сечения.

    Поскольку правила статических знаков недопустимы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, то установим для них другие правила знаков, а именно: если внешняя нагрузка стремится прогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечение считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изгибаться. Балка изгибается вверх, изгибающий момент в сечении считается отрицательным (, рис. 4, a ).

    Если сумма внешних сил, лежащих на левой стороне сечения, дает относительную, направленную вверх, поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена ​​вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной. ; Для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными ( рис. 4, Б. ). Используя эти правила, он должен мысленно представить себе поперечное сечение плотно сжатой балки и взаимосвязь с переоценкой и замененными реакциями.

    Еще раз отметим, что для определения реакций звеньев используются правила статических знаков, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы — правила знаков сопротивления материалов.
    Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют «Руиной дождя», что означает, что в случае выпуклости образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак «Положительный»), и наоборот — если под действием нагрузок балка натянута дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

    Материалы раздела «Отвод»:

    Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой в ​​интенсивности КН / М и сосредоточенной точки КН · М (рис. 3.12), требуется: построить графики повторного преодоления сил и изгиба моментов, подберите балку круглого сечения с допустимым напряжением кН / см2 и проверьте прочность балки по касательным напряжениям с касательным напряжением кН / см2. Размеры коробки M; м; м.

    Расчетная схема задания на прямой поперечный изгиб

    Рис. 3.12.

    Решение задачи «Прямой поперечный изгиб»

    Определение опорных реакций

    Горизонтальная реакция в уплотнении равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси Z на балку не действуют.

    Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в уплотнении: вертикальная реакция пошлёт, например, вниз, а момент — по часовой стрелке.Их значения определяются из уравнений статики:

    Составляя эти уравнения, мы считаем момент положительным при вращении против вращения по часовой стрелке, а проекция силы положительна, если ее направление совпадает с положительным направлением оси Y ось.

    Из первого уравнения находим момент в уплотнении:

    Из второго уравнения — вертикальная реакция:

    Положительные значения, полученные нами для момента и вертикальная реакция в уплотнении, указывают на то, что мы угадали их направления.

    В соответствии с характером крепления и нагружения балки, мы делим ее длину на две части. По границам каждой из этих областей выделяются четыре поперечных сечения (см. Рис. 3.12), в которых мы будем рассчитывать значения усиливающих сил и изгибающих моментов.

    Раздел 1. Постучите мысленно по правой стороне балки. Я заменю его действие на оставшуюся левую часть, высвободив силу и изгибающий момент.Для удобства расчета их значений закройте правую часть бумажного листа, совмещая левый край листка с рассматриваемым участком.

    Напомним, что обратная сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновешивать все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую часть балки). Следовательно, сила повторного высвобождения должна быть равна алгебраическая сумма всех сил, которые мы видим.

    Мы также даем правило знаков для обратной силы: внешняя сила, действующая на вышеуказанную часть балки и кажущийся «поворот» этой части этой части относительно сечения по часовой стрелке вызывает положительное усилие сборки в поперечном сечении.Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму, которую нужно определить знаком «плюс».

    В нашем случае мы видим только реакцию опоры, которая поворачивает видимую часть балки относительно первой секции (относительно края листа бумаги) против времени по часовой стрелке. следовательно

    кн.

    Изгибающий момент в любом сечении должен уравновешивать момент, созданный нашими видимыми внешними усилиями относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, она равна алгебраической сумме моментов всех усилий, действующих на рассматриваемую часть балки, относительно рассматриваемого сечения (другими словами, относительно края листа бумаги).В этом случае внешняя нагрузка — изгиб рассматриваемой части балки выпуклостью вниз — вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, включается в алгебраическую сумму, которую нужно определить знаком «плюс».

    Мы видим два усилия: реакцию и момент в запечатывании. Однако плечо плеча относительно участка 1 равно нулю. следовательно

    кн · м.

    Знак «Плюс» нами взят потому, что изогнутая струя загибает видимую нам часть балки навалом вниз.

    Раздел 2. Тем не менее, мы продолжим закрывать лист бумаги справа от балки. Теперь, в отличие от первого раздела, в силе появилось плечо: m. Следовательно,

    кун; кн · м.

    Участок 3. Замыкнув правую часть балки, находим

    кн;

    Разрез 4. Закройте левую часть балки. Тогда

    кн · м.

    кн · м.

    .

    По найденным значениям строим шлейфы отпускающей силы (рис.3.12, б) и изгибающие моменты (рис. 3.12, б).

    Под ненагруженными участками график отпускающих сил расположен параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой Q — наклонным вертикально вверх. Под реакцией опоры на сцене происходит скачок на величину этой реакции, то есть 40 кН.

    На графике изгибающих моментов мы видим пробой под реакцией опоры. Угол завтрака направлен в сторону опоры подставки. При распределенной нагрузке q EPUR изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена ​​навстречу нагрузке.На участке 6 на этапе — экстремум, так как эпира отпускающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

    Определить требуемый диаметр поперечного сечения балки

    Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

    ,

    где — момент сопротивления балки. Для балки круглого сечения он равен:

    .

    Наибольшее абсолютное значение изгибающего момента возникает в третьем сечении балки: kn · см.

    Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

    см.

    Взять мм. Тогда

    кН / см2 кН / см2.

    «Перенапряжение» — это

    ,

    , что разрешено.

    Проверка прочности балок по наибольшей касательной

    Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении круглого поперечного сечения балки, рассчитываются по формуле

    ,

    где — площадь поперечного сечения.

    Согласно Eppure, наибольшее алгебраическое значение входящей силы равно kn.Тогда

    кн / см2 кн / см2,

    то есть выполняется условие прочности и по касательным напряжениям, причем с большим запасом.

    Пример решения задачи «Прямой поперечный изгиб» №2

    Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

    Для шарнира рабочей балки, нагруженного распределенной нагрузкой в ​​интенсивности интенсивность CN / M, сконцентрированная мощностью CN и сосредоточенной точкой KN · M (рис.3.13), необходимо построить эпюры сил отталкивания и изгибающих моментов и выбрать луч постороннего поперечного сечения, если это допускается нормальным напряжением кН / см2 и допустимым касательным напряжением кН / см2. Пролетные балки м.

    Пример задачи для прямого гиба — расчетная схема


    Рис. 3.13

    Решение примера задачи прямого изгиба

    Определение опорных реакций

    Для данной шарнирной балки необходимо было найти три опорные реакции: и.Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю:.

    Направления вертикальных реакций выбираем произвольно. Отправим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для расчета их значений составим два уравнения статики:

    Напомним, что релаксирующая картина равномерно распределена на линии L Лена L, равна, то есть равна площади графика этой нагрузки и он наносится в центре тяжести этого участка, то есть посередине длины.

    ;

    кн.

    Делаем чек:.

    Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси Y, рассчитаны (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

    то есть вправо.

    Клещи для снятия прочности и изгибающих моментов

    Делим длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенного усилия (активного и / или струйного), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки.В нашей задаче три таких сайта. По границам этих участков они составят шесть сечений, в которых мы будем рассчитывать значения сил повторной подачи и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

    Раздел 1. Постучите мысленно по правой стороне балки. Для удобства расчета силы отрыва и изгибающего момента, возникающих на этом участке, закройте листок бумаги, который совмещает левый край бумажного листа с самим поперечным сечением.

    Сила повторного высвобождения в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В этом случае мы видим реакцию опоры и иловую нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Расслабляющая картина равна нулю. следовательно

    кн.

    Знак плюс взят потому, что сила поворачивает часть балки вместе с нами относительно первой секции (края листа бумаги) по стрелке по часовой стрелке.

    Изгибающий момент в сегменте балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листа бумаги).Мы видим реакцию опоры и нагрузку ряда q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако сила плеч равна нулю. Расслабляющая силовая нагрузка также равна нулю. Поэтому

    Раздел 2. Тем не менее, мы продолжим закрывать бумажный лист все справа от балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку Q, действующую на длину участка. Расслабляющий рисунок равен. Применяется посередине участка. поэтому

    Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем часть балки от всех фактических поддерживающих креплений и представляем ее как зажатую в рассматриваемом сечении (то есть левый край листа бумаги мысленно преподносится жесткое уплотнение).

    Раздел 3. Закройте правую сторону. Получите

    Раздел 4. Закройте правую часть балки. Тогда

    Теперь, чтобы проверить правильность расчетов, закройте листок бумаги левой частью балки. Мы видим сосредоточенную силу p, реакцию правой опоры и нагрузку ряда q, распределенную на бесконечно малой длине. Расслабляющая картина равна нулю. следовательно

    кн · м.

    То есть все верно.

    Раздел 5. Еще закройте левую часть балки.Будет

    кун;

    кн · м.

    Раздел 6. Снова просмотрите левую часть балки. Получите

    кун;

    По найденным значениям строим сантехнические участки (рис. 3.13, б) и изгибающие моменты (рис. 3.13, в).

    Убеждены, что под ненагруженным участком участок врезания сил идет параллельно оси балок, а под распределенной нагрузкой Q — по прямой, имеющей наклон вниз. На сцене три прыжка: по реакции — до 37.5 кН, при противодействии — до 132,5 кН и под усилием P — до 50 кН.

    На графике изгибающих моментов мы видим изгибы под действием сфокусированной силы p и опорных реакций. Углы предохранителей направлены в сторону этих сил. При распределенной нагрузке по интенсивности q ЭПУР изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена ​​навстречу нагрузке. Под сосредоточенной точкой — прыжок на 60 кН · м, то есть по величине момента. На участке 7 на этапе — экстремум, так как эпира обратной силы для этого сечения проходит через нулевое значение ().Определите расстояние от секции 7 до левой опоры.

    Изгиб Это деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. Е. Продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Самый простой случай изгиба получается, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не будут давать проекций на эту ось. Такой случай изгиба называется поперечным изгибом. Бывают плоские изгибы и косые.

    Плоский изгиб — Это тот случай, когда криволинейная ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

    Косой (сложный) изгиб — Это случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости внешней силы.

    Гибочный стержень обычно называют тюком .

    При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат могут возникнуть два внутренних усилия — поперечная сила Q y и изгибающий момент M X; В дальнейшем для них вводятся обозначения. Q. и M. Если в сечении или на участке балки нет поперечной силы (Q = 0), а изгибающий момент не равен нулю или M — const, то такой изгиб называется чистый .

    Поперечная сила В любом сечении балки она численно равна алгебраическому количеству выступов на ось всех сил (включая опорные реакции), расположенных в одном направлении (любом) от сечения.

    Изгибающий момент В сечении балки он численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая опорные реакции), расположенных в одном (любом) направлении от поперечного сечения относительно центра тяжести этой балки. сечение, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести.

    Power Q. — это с участием , распределенного по поперечному сечению внутренних касательных напряжений , и момента M. сумма моментов вокруг центральной оси поперечного сечения внутренней нормали стрессы.

    Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

    , который используется при построении и проверке EPUR Q и M.

    Так как часть волокон пучка растягивается, а часть сжимается, и переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в середине пучка находится слой, волокна которого только изогнуты, но не изогнуты. есть растяжение или сжатие.Такой слой называется , нейтральный слой . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральными линиями -го или нейтральной осью сечения. На оси балок наклепаны нейтральные линии.

    Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти экспериментальные данные позволяют подтвердить выводы гипотезы формул плоских участков. Согласно этой гипотезе сечение балки, плоское и перпендикулярное ее оси до изгиба, остается плоским и оказывается перпендикулярным изогнутой оси балки при ее изгибе.Поперечное сечение балок искажено. Из-за поперечной деформации размер поперечного сечения в сжатой зоне балок увеличивается, а в растянутой — сжимается.

    Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

    1) Гипотеза плоских сечений выполнена.

    2) Продольные волокна не давят друг на друга и, следовательно, под действием нормальных напряжений работают линейное растяжение или сжатие.

    3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения.Следовательно, нормальные напряжения, изменяющие высоту сечения, остаются неизменными по ширине.

    4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

    5) Материал балки подчиняется закону горловины, и модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

    6) Соотношение размеров балок таково, что они работают в условиях плоского изгиба без деформации или скручивания.

    При чистом изгибе балки на кортах в своем поперечном сечении действительны нормальных напряжений , определяемых по формуле:

    где y — координата произвольной точки сечения, полученная от нейтральной линии — главной центральной оси x.

    Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре разделенных участков равны нулю.

    Характер нормальных напряжений Эпура для симметричных участков относительно нейтральной линии

    Характер ЭПУР нормальных напряжений для участков, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

    Опасными считаются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

    Выберите какой-нибудь раздел

    Для любой точки сечения назовем ее точкой TO Условие прочности балки при нормальных напряжениях имеет вид:

    , где Н.О. — это нейтральная ось

    это осевой момент сопротивления относительно нейтральной оси. Его размер см 3, м 3. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размера поперечного сечения на величину напряжения.

    Условие прочности при нормальных напряжениях:

    Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту поперечного сечения нейтральной оси.

    Если материал неравномерно сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с подвешенным растяжением; Для зоны сжатия с допустимым напряжением сжатия.

    При поперечном изгибе балки на кортах в своем сечении выступают как нормальные , т. Е. I. касательные Напряжение.

    Задача. Постройте действия Q и M для статически неопределимой балки. Расчет балок по формуле:

    п. = Σ пр. Sh — 3 = 4-0 — 3 = 1

    Луч один раз Статически неопределенный, значит один Из реакций «Такой» неизвестен . За «избыток» неизвестно возьмем реакцию опоры IN R B..

    Статически заданная балка, которая получается из соединения, заданного удалением «ненужного» соединения, называется основной системой (b).

    Сейчас для этой системы должно быть представлено эквивалента комплекта. Для этого загрузите основную систему , указав нагрузку, а в точке IN Примените реакцию «Расширение» R B. (рис. в ).

    Однако для эквивалента этого недостаточно , потому что в такой точке луча IN может перемещаться по вертикали , причем в заданном пучке (рис., и ) Этого не может быть. Следовательно, добавляем , условие , что прогиб t. IN В основной системе должно быть 0 . Прогиб т. IN состоит из отклонения от активной нагрузки Δ F. и отклонение от от «лишней» реакции Δ R.

    Затем составить Состояние раздельных перемещений :

    Δ F. + Δ R. = 0 (1)

    Теперь осталось вычислить эти хода (отклонение ).

    Загрузить Basic Система Установленная нагрузка (Рис г) И сборка грузовой Эплеру M F. (рис. д. ).

    ИН т. IN Применяем и строим ЕП. (Рис. ёжик ).

    По формуле Симпсона определим отклонение от текущей нагрузки .

    Теперь определим отклонение от действия «лишней» реакции R B. Для этого загрузите основную систему R B. (рис. z. ) и построить много моментов из его действия M R. (рис. , и ) ).

    Составляем и решаем уравнение (1) :

    , сборка , eP. Q. и M. (рис. к, л. ).

    Build Epleru Q.

    Build Epleru M. Метод характерных точек . Ставим на балку точки — это точки начала и конца балки ( D, A. ), сфокусированный момент ( Б. ), а также отметим характерную точку середины равномерно распределенной нагрузки ( К. ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

    Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. -.

    Момент в т. IN Определим следующее. Сначала мы определяем:

    Пункт К Возьмите Б. средний Участок с равномерно распределенной нагрузкой.

    Build Epleru M. . Участок AU параболическая кривая (Umbrella rule), участок Cd. прямая косая линия .

    Для балки определите опорные реакции и создайте сочетание изгибающих моментов ( M. ) и поперечных сил ( Q. ).

    1. Обозначить Поддержка букв И и IN и отправить справочные реакции R A. и R B. .

    Составьте уравнений уравнения .

    Чек

    Записываемые значения R A. и R B. по расчетная схема .

    2. Построение Эпура поперечных сил Метод сечения . Разделы располагаются по характерным участкам (между изменениями). По размерной резьбе — 4 участка, 4 участка .

    сеч. 1-1 переместить влево .

    Участок проходит по площадке с равномерно распределенной нагрузкой , отмечен Размер z. 1 Слева от раздела до начала сайта . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q. — см.

    Отталкиваемся от найденного значения epleur Q. .

    сеч. 2-2 двигаться вправо .

    Поперечное сечение снова проходит по области равномерно распределенной нагрузки, обозначьте размер z. 2 Прямо из раздела до начала сайта. Длина участка 6 м.

    Build Epleru Q. .

    сеч. 3-3 повернуть направо .

    сеч. 4-4 Время направо.

    Здание epleur Q. .

    3. Корпус Эпура М. Метод характерных точек .

    Характерная точка — Дело в том, насколько заметно на луче.Это точка И , В , ОТ , D. а также пункт К , при этом Q. = 0 Изгибающий момент и имеет экстремум . также в середине Консоли поставили лишнюю точку E. т.к. на этой площади под равномерно распределенной нагрузкой Epura M. Описывает кривую линию , а она построена не менее 3 Очков.

    Итак, точки расставлены, приступаем к определению значений в них. изгибающий момент . Правило знаков — см. .

    Участки Na, AD. параболическая кривая (Зонтичное правило для механических специальностей или «Правило парусов» от строительства), участки DC, St. прямые косые.

    Момент в точке Д. должен определяться как слева, так и справа Из точки D. .Момент в этих выражениях исключил . В точке Д. Получите два Значения S. разность По величине м. скачок на по своей величине.

    Теперь следует определить момент в точке К ( кв. = 0). Однако сначала определите точку положения от до , обозначая расстояние от нее до начала участка неизвестным ч. .

    Т. К принадлежит второй характеристический участок, его уравнение поперечной мощности (см. Выше)

    Но поперечная сила в т.н. К равно 0 и z. 2 равно неизвестно ч. .

    Получаем уравнение:

    Теперь зная ч. , г. Определяем момент в точке К с правой стороны.

    Build Epleru M. . Построение для выполнения для специальностей Mechanical , отложив положительные значения вверх От нулевой линии и используя правило зонтика.

    Для заданной схемы консольной балки необходимо построить поперечную мощность q и изгибающий момент M, выполнить конструкторский расчет, подобрав круглое сечение.

    Материал дерево, расчетное сопротивление материала R = 10МПа, м = 14кн · м, q = 8кн / м

    Построить шлейфы в консольной балке с жестким уплотнением можно двумя способами — нормальным, заранее определяя опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать сечения, идущие от свободного конца балки и закидываем левую часть с печатью.Сборка Эпура обычным способом .

    1. Определите опорных реакций .

    Равномерно распределенная нагрузка q. Заменить условную мощность Q = Q · 0,84 = 6,72 кН

    В жестком уплотнении три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и моментная, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

    Найдите Вертикально Опора реакции R A. Опорный момент и M. A. из уравнения уравнений.

    На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q = 0. , в лазании — значение реакции R A.
    3. Построить выражения для определения их на графиках. Построил моменты на волокнах, то есть на самом низком уровне.

    (Эпур одиночных моментов уже построен ранее)

    Решите уравнение (1), уменьшите EI

    Раскрыта статическая неопределенность , Значение «лишней» реакции найдено.Можно начать создание EPUR Q и M для статически неопределимой балки … отшлифовать заданную схему балки и указать значение реакции R B. . В этом реакционном луче можно не определить, идем ли мы вправо.

    Building Epura Q. Для статически неопределимой балки

    Build Eppura Q.

    Здание Эппура М.

    Определяем М в точке экстремума — в точке ДО .Сначала определим его положение. Обозначим расстояние до него как неизвестное « ч. » Тогда

    Билд Эппура М.

    Определение касательных напряжений в чужом поперечном сечении . Рассмотрим сечение iTODEUS. S х = 96,9 см 3; Yh = 2030 см 4; Q = 200 кН

    Для определения касательного напряжения применяется формула , где q — поперечная сила в сечении, S x 0 — статический момент поперечной части поперечного сечения на одной стороне слоя, в которой определяются касательные напряжения. , ix — момент инерции всего поперечного сечения, B — ширина участков в месте определения касательного напряжения

    Рассчитать максимум Напряжение Таннера:

    Рассчитайте статический момент для верхних полок:

    Сейчас вычисляется касательных напряжений:

    Building Tanner напряжения:

    Проектные и поверочные расчеты.Для балок с встроенными внутренними усилиями выбирайте сечение в виде двух каналов из силы нормальных напряжений. Проверяют прочность балок, используя условие касательных напряжений и энергетический критерий прочности. Дано:

    Покажем балку со встроенными эпурами Q и M

    По вспомогательным изгибающим моментам опасен сечение при котором M c = m max = 48,3кн.

    Прочность Условие прочности Эта балка имеет вид Σ max = m C / W x ≤σ доп. Требуется выбрать сечение Из двух каналов.

    Определяем необходимое расчетное значение Осевое сопротивление крутящему моменту:

    Для секции в виде двух каналов согласно accept Two schwello №20A , момент инерции каждого chavellor I x = 1670см 4 , затем осевой момент сопротивления всего сечения:

    Перенапряжение (короткое замыкание) в опасных местах считаем по формуле: тогда получаем нескользящий :

    Теперь проверьте прочность балки на основании Условий касательной прочности. Согласно Eppure поперечных сил опасными являются сечения на участке Солнца и сечение D. Как видно из графика, Q max = 48,9 кН.

    Условие напряженной прочности Таннера Имеет вид:

    Для канала № 20 А: Статический момент квадрата S x 1 = 95,9 см 3, момент инерции поперечного сечения I x 1 = 1670 см 4, толщина стенки d 1 = 5,2 мм, средняя толщина полки Т 1 = 9.7 мм, высота швеллера H 1 = 20 см, ширина полки B 1 = 8 см.

    Для поперечных сечений двух каналов:

    S x = 2s x 1 = 2 · 95,9 = 191,8 см 3,

    I x = 2i x 1 = 2 × 1670 = 3340 см 4,

    b = 2D 1 = 2 · 0,52 = 1,04 см.

    Определите значение максимального касательного напряжения:

    τ Макс = 48.9 · 10 3 · 191,8 · 10-6 / 3340 · 10-8 · 1,04 · 10 -2 = 27МПа.

    Как видно, макс. τ (27 МПа

    Следовательно, Условие прочности выполнено.

    Проверить прочность балок по энергетическому критерию .

    Из рассмотрения Epur Q и M следует, что опасным является сечение с, в котором действуют M c = m max = 48,3 кНм и q c = q max = 48.9 кН.

    Проведем анализ напряженного состояния на участках участка с

    Определить нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмеченных на сечении сечения)

    Уровень 1-1: y 1-1 = H 1/2 = 20/2 = 10 см.

    Нормальное и касательные напряжение:

    Основное напряжение:

    Уровень 2-2: Y 2-2 = H 1/2 — T 1 = 20 / 2-0.97 = 9,03см.


    Основные напряжения:


    Уровень 3-3: Y 3-3 = H 1/2 — T 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03см.

    Нормальные и касательные напряжения:

    Основные напряжения:

    Крайние касательные напряжения:

    Уровень 4-4: Y 4-4 = 0.

    (В середине нормальные напряжения нулевые, касательная максимальная, они были при проверке касательной прочности)

    Основные напряжения:

    Крайние касательные напряжения:

    Уровень 5-5:

    Нормальные и касательные напряжения:

    Основные напряжения:

    Крайние касательные напряжения:

    Уровень 6-6:

    Нормальные и касательные напряжения:

    Основные напряжения:

    Крайние касательные напряжения:

    Уровень 7-7:

    Нормальные и касательные напряжения:

    Основные напряжения:

    Крайние касательные напряжения:

    В соответствии с расчетами эпюр напряжений σ, τ, σ 1, σ 3, τ max и τ min , представленных на рис.

    Анализ Эти epur показывают , что в секции балки Опасны точки на уровне 3-3 (или 5-5 ), в которых:

    Используя энергетический критерий прочности , Получите

    Из сравнения эквивалентного и допустимого напряжений следует, что условие прочности также выполняется

    (135,3 МПа

    Сплошная балка нагружена во всех пролетах. Построить действия Q и M для непрерывных балок.

    1. Определить степень статической неопределенности Балки по формуле:

    n = SOP-3 = 5-3 = 2, Где SOP — количество неизвестных реакций, 3 — количество уравнений статики . Для решения этой балки потребовалось двух дополнительных уравнений.

    2. Обозначим номеров опоры с нулем по порядку ( 0,1,2,3 )

    3. Обозначим количество пролетов от первых по порядку ( ι 1, ι 2, ι 3 )

    4.Каждый пролет мы рассматриваем, как простая балка и строим для каждой простой балки Q и M. Что относится к простой балке Обозначим с индексом «0 » Что относится к Эффективная балка обозначим без этого индекса. Таким образом, это поперечная сила и изгиб для простой балки.

    Нанесение изгибающих моментов

    При приложении поперечной силы к балке возникают изгибающие моменты, которые являются основным разрушающим фактором, поэтому при проектировании конструкций очень важно рассчитывать силу изгибающих моментов в различных сечениях.Чтобы наглядно изобразить действие изгибающих моментов, постройте их сюжет.

    Инструкция по эксплуатации

    1

    Нарисуйте проектную диаграмму, которая представляет собой схематическое изображение балки, ее опор и их реакций, а также действующих нагрузок. Пример расчетной схемы представлен на рисунке 1.

    2

    Реакции опор основаны на том факте, что в шарнирно-подвижной опоре происходит только поперечная реакция, в опоре шарнирно-сочлененного движения — продольные и поперечные реакции, оба типа реакций и реактивный момент при сильном защемлении.Выбирать реакции опор можно произвольно, если в результате дальнейших расчетов получится отрицательное значение одной из реакций, значит нужно сменить направление. После того, как вы определитесь с типами опор и проставите их реакции, вам нужно разбить балку на секции, исходя из того, что секции не должны, и изменить существующие силы.

    3

    Теперь необходимо составить уравнения равновесия для осей x и y и действующих моментов.Для этого нужно знать, что сумма всех моментов, действующих на балку, равна нулю, и сумма всех сил по осям также равна нулю. Если на балку действует распределенная нагрузка, то при составлении уравнений равновесия ее необходимо заменить сосредоточенной силой, которая будет равна произведению силы распределенной нагрузки на длину участка, на который она действует. Используя систему трех уравнений равновесия, определите реакции опор.

    4

    Теперь рассчитайте величину продольных сил и изгибающих моментов в каждой секции.2) / 2 + Q0 * x + M0, где M0 — значение момента в начале участка.

    5

    Теперь у вас есть все данные для построения графика, который представляет собой график изменения величины нагрузки по длине балки. Сначала нанесите на график поперечные силы, выбрав масштаб, отметив величину нагрузки в начале каждого раздела и соединив полученные точки. Теперь отметьте значения изгибающих моментов в сечениях и соедините точки, учитывая, что если диаграмма поперечных сил в этом сечении представляет собой прямую линию, параллельную балке, то диаграмма изгибающих моментов будет иметь наклонная линия, но если диаграмма поперечных сил представляет собой наклонную линию, то диаграмма изгибающих моментов образует параболу.

    Строительный журнал

    1.02
  • -8172 Строительный журнал14520141-120ЧРРУС5-50000-0003-2533-9732SamarinOlegНациональные исследования Московский государственный строительный университет[email protected] Итоги 5-го Международного научно-технического форума «Теоретические основы тепло-, газоснабжения» и вентиляция »Представлена ​​информация 5-го Форума« Теоретические основы HVAC ». В документе изложена структура конференции и тематика наиболее важных презентаций; отмечает роль форума в развитии науки о HVAC.10.5862 / MCE.45.1forumheatgas supply and ВентиляцияЭнергосбережение конкурс молодых исследователей https://engstroy.spbstu.ru/article/2014.45.1/01.pdfRARRUS6-11IevzerovIsaakLLC PRAYM [email protected]Проблемы устойчивости стержней и плитПроблемы устойчивости для считаются прутки и пластины. Для задач устойчивости используются вариационные формулировки. Исследована положительная определенность функционала потенциальной энергии. Осуществлен переход от задачи трехмерной устойчивости к соответствующим задачам для стержней и пластин.Представления о перемещениях по сечению стержня и толщине пластины используются для геометрически нелинейных задач. Эти концепции основаны на предположении об исчезновении деформации через плоскость поперечного сечения стержня или толщину пластины. Рассчитаны вторые вариации нелинейных деформаций. Интегрирование по поперечному сечению стержня и толщине пластины было выполнено с использованием известных формул для усилий и уравнения равновесия. Получены функционалы устойчивости стержней и пластин.Проведено сравнение с известными ранее результатами. Приведено решение тестовой задачи для центрально сжатой консольной балки с поперечным сечением Pi, моделированной пластинами. 10.5862 / MCE.45.2 Проблемы устойчивости стержней и пластин вариации формулировок https://engstroy.spbstu.ru/article/2014.45 .2 / 02.pdfRARRUS12-22ЧернухаНикитаАО «АТОМПРОЕКТ» [email protected]
    197183, Россия,
    , Санкт-Петербург, ул. Савушкина, 82А Структурный анализ зданий при взрывных воздействиях в SCAD В данной статье рассматриваются методы расчета конструкций зданий и сооружений при взрывных воздействиях.Во введении дается обзор видов взрывов и особенностей их воздействия на конструкции. В теоретической части исследования основной задачей было представить различные методы расчета конструкций зданий при взрывах. Представлено определение волновых параметров и процесс дифракции волн. Описано импульсное нагружение строительных конструкций в SCAD. В статье также показано, как модуль «Прямое интегрирование уравнений движения» в SCAD может быть использован для решения задач динамики взрыва.В эмпирической части исследования основной задачей было сравнение напряженно-деформированного состояния строительных конструкций при взрывах с использованием различных методов структурного анализа. Автоматический анализ был выполнен в SCAD, который реализует метод конечных элементов (FEM). Результаты исследования демонстрируют преимущества и недостатки описанных методов, а также функциональные возможности SCAD при решении задач динамики взрыва. 10.5862 / MCE.45.3 Типы взрывов структурная динамикаквазистатический методимпульсное воздействиепрямая интеграциядифракция волнFEMSCADhttps: // engstroy .spbstu.ru/article/2014.45.3/03.pdfRARRUS23-40BeninAndreyPetersburg State [email protected]enovArtemДрезденский технологический университет[email protected] 67017517050000-0002-7889-1996БорисМельников Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого[email protected]
    Политехническая, 29
    Моделирование разрушения связи между арматурными стержнями и бетоном.Часть 2. Модели без учета разрыва связи Для повышения точности оценки прочности действующих железобетонных конструкций рационально использовать модель с дискретным расположением арматурных стержней с фактическими характеристиками сцепления с арматурой бетона. Проблема вытягивания арматурного стержня из бетонного блока актуальна для практики, поскольку представляет собой наиболее распространенный метод экспериментальной оценки характеристик поведения железобетонного сцепления.Разрушение связки при вытягивании арматуры из бетона — сложный многоступенчатый процесс, характеризующийся наличием неоднородной и неупругой деформации, разрывом адгезионных связей, зарождением и распространением трещин различной формы и ориентации, наличием контактных и трибологических явления. Нелинейные конечно-элементные решения вытягивания арматурного стержня из задачи о бетонном блоке были получены с использованием различных моделей поведения сцепления и растрескивания бетона.Приведено и обсуждено сравнение полученных численных результатов с экспериментальными данными. Первая часть статьи посвящена моделям с учетом разрывности связи. Вторая часть посвящена моделям без явного учета неоднородностей. 10.5862 / MCE.45.4 деградация железобетонной связиматематические модели имитация бесконечных элементовиспытание на вырыв трещины повреждениеотказ https://engstroy.spbstu.ru/article/2014.45.4/04.pdfRARRUS41-52Selyagarevlad State Universitymossrorm @ яндекс.ruНеверовВячеслав Огарев Мордовский государственный университет снижается влияние различных факторов (температура, влажность, газовая среда), несущая способность и жесткость при эксплуатации.В статье рассматриваются проблемы оценки остаточного ресурса и долговечности бетонных конструкций. Проведены экспериментальные исследования взаимодействия образцов бетона с агрессивной сульфатной средой. Измеряя микротвердость, изохроны разрушения, что позволяет экспериментам определять скорость продвижения фронта разрушения вглубь продукта; получены интенсивные изменения прочностных свойств поверхности материала и другие характеристики, характеризующие процесс деградации.В статье исследуются механизмы коррозионных процессов в железобетоне в условиях сульфатной коррозии. В статье предлагается расчетная модель и метод, прогнозирующий долговечность бетонных конструкций. 10.5862 / MCE.45.5 Durabilitysulfate коррозия бетонаразрушение функции разложения цемента. Университет в Кошицемохамаде[email protected] Технический университет в Кошицемичале[email protected]Анализ сопротивления тонкостенных холодногнутых сжатых стальных стержня с замкнутым поперечным сечением. Часть 2 В части 1 статьи представлена ​​фундаментальная информация об экспериментальных и теоретических исследованиях, направленных на определение сопротивления тонкостенных холодногнутых сжатых стальных элементов с замкнутым поперечным сечением [1]. Исследуемые элементы были изготовлены из однородного материала. Теоретический анализ был направлен на определение сопротивления упомянутых элементов в соответствии с европейскими и словацкими стандартами, в то время как экспериментальное исследование было направлено на проверку теоретических результатов и изучение поведения упомянутых выше элементов во время процесса нагружения [2].Часть 2 посвящена численному анализу достигнутых результатов, а также 3D-моделированию и моделированию экспериментальных испытаний. 10.5862 / MCE.45.6 Тонкостенные профили холодного формования начальные дефекты https://engstroy.spbstu.ru/article/ 2014.45.6 / 06.pdfRARRUS59-70Санкт-Петербургский политехнический университет им. Сергея Петра Великого[email protected]
    Россия, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29 Корихин Николай Санкт-Петербургский политехнический университет Петра ВеликогоKor440 @ mail333.com
    Россия, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, Россия
    Головин Александр Петра Великого Санкт-Петербургский политехнический университет [email protected]
    Россия, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29,
    Экспериментальное исследование напряженного состояния некоторых принципиальных конструкций крупных гидроэнергетических зданий В статье проводится экспериментальное исследование напряженного состояния принципиальных конструкций гидроэнергетических зданий: напорной «вилки» большого гидроагрегата и упруго закрепленных тяжелых арок, ослабленных круглым сечением. дыры.Точное знание напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкции на этапе проектирования имеет важное значение для долговечности конструкции. Аналитические методы расчетов, в том числе численные (например, метод конечных элементов — МКЭ), развиваются и совершенствуются. Экспериментальные методы исследования напряженно-деформированного состояния конструкций на моделях дополняют аналитические расчеты и эффективно сочетаются с ними. Исследования проводились методом «замораживания» деформаций фотоупругости с использованием способности эпоксидных полимеров сохранять постоянную оптическую анизотропию, возникающую при нагружении модели, после разгрузки.Результаты позволили уточнить распределение напряжений в значимых критических сечениях конструкции, оценить достоверность оценок концентраций напряжений по отверстиям в дугах, выполненных методом конечных элементов. 10.5862 / MCE.45.7 Вилка напорного трубопровода с отверстиями методом фотоупругости моделирование деформации «Замораживающая» напряженная концентрация государственного напряжения https://engstroy.spbstu.ru/article/2014.45.7/07.pdfRARRUS71-79LiangLiСанкт-Петербургский политехнический университет Петра Великогоhitliliang @ gmail.com
    Политехническая, 29
    Шхинек Карла Петра Великого Санкт-Петербургский политехнический университет [email protected]
    Политехническая, 29
    В данной статье исследуется динамическое взаимодействие льда и наклонной конструкции Действие льда на наклонные конструкции. Ранее эта задача рассматривалась много раз, но, как правило, учитывались только квазистатические и двумерные решения. В частности, эти допущения предлагаются в широко используемом решении Кроасдейла для наклонных конструкций.Некоторые улучшения 2D-решения, предложенные Croasdale, не могут учесть всех особенностей 3D-явления. В статье используется численное исследование задачи на основе программы ANSYS. Рассмотрены следующие темы: а) в чем разница максимальных ледовых нагрузок в 3D и 2D решениях; б) как динамика процесса взаимодействия льда с конструкцией влияет на нагрузки; в) как ледовая нагрузка зависит от основных факторов — прочности льда, толщины льда и угла наклона конструкции.10.5862 / MCE.45.8 ширина конструкции ледяная нагрузка сваи наклонная гидротехническая конструкция ANSYShttps: //engstroy.spbstu.ru/article/2014.45.8/08.pdfRARRUS80-89555867100000000-0002-6498-5043SultanovTakhirjonT Ташкентский институт ирригации и механизации сельского хозяйства [email protected]
    Ташкент, Республика Узбекистан
    ХоджаевДадаханТашкентский институт ирригации и механизации сельского хозяйстваru
    ул. Кори Ниёзий, 39, Ташкент, Узбекистан, 100000
    Оценка динамического поведения гетерогенных систем с учетом нелинейных вязкоупругих свойств грунта В статье подробно рассматривается современное состояние задачи расчета нелинейных реологических свойств грунта при оценке напряженно-деформированного состояния грунтовых конструкций. . Приведены математическая постановка, методы и алгоритмы оценки динамического поведения земляных конструкций с учетом неоднородных особенностей конструкции, линейных, нелинейно-упругих, нелинейно-вязкоупругих свойств грунта при различных динамических воздействиях.Результатом динамического расчета является исследование нестационарных вынужденных колебаний ряда земляных плотин с учетом нелинейных вязкоупругих свойств грунта и неоднородных особенностей конструкции. Полученные результаты позволяют выявить ряд механических эффектов, имеющих теоретическое и практическое значение. Выявлено, что при высокочастотном интенсивном воздействии характер колебаний конструкций, имеющих низкочастотный спектр, имеет три ярко выраженных стадии: начальную, характеризующуюся малыми амплитудами, переходную, когда происходит раскачивание конструкции; и стадия свободных колебаний с реализованной амплитудой и частотой собственных колебаний.Несмотря на высокую интенсивность высокочастотного воздействия, вызывающего большие напряжения в теле обсуждаемых плотин, расчет нелинейной деформации материала не сильно искажает картину линейно-упругой конструкции. 10.5862 / MCE.45.9 реология плотины, неоднородность, нелинейность, вязкоупругость, ускорение, гидростатическое давление, кинематический эффект https://engstroy.spbstu.ru/article/2014.45.9/09.pdf Расчет надежности фундамента по несущей способности (смещению) при эксплуатации Предложены новые методы расчета надежности фундамента по критерию смещения при воздействии на основание горизонтальных (смещающих) сил.Исходная статистическая информация ограничена. Случайные величины в расчетной модели описываются функциями распределения возможностей (из теории возможностей), функциями распределения, полученными из неравенства Чебышева; сочетание функций. Объем измерений контролируемых параметров (статистической информации) для расчета надежности на практике невелик и иногда не позволяет провести их статистический анализ с использованием вероятностных и статистических методов расчета надежности фундаментов.Значительное снижение надежности основания фундамента вызывает увлажнение почвы, как, например, сейчас на Дальнем Востоке Российской Федерации. При недостатке времени на сбор информации для оценки безопасности зданий и сооружений можно использовать разработанные методики. В данной работе такая ситуация проиллюстрирована на примере. 10.5862 / MCE.45.10foundation bed надежностьfailurelimited informationpossibilitydistribution functionprobabilityriskhttps: //engstroy.spbstu.ru / article / 2014.45.10 / 10.pdf

    Кривизна диаграммы изгибающего момента балки — выпуклая или вогнутая?

    • Чтобы определить, будет ли кривая МПК выпуклой или вогнутой, необходимо внимательно понять следующее основное уравнение:

    dM / dX = Q ……………… ..eqn1.1

    Где,

    dM / dX — Наклон кривой изгибающего момента

    Q — Сила сдвига

    • Вы поняли намек? Да, вы правы, в любой точке балки, если значение поперечной силы равно отрицательному , то наклон диаграммы изгибающего момента балки также будет отрицательным и наоборот.
    • Что означает отрицательный наклон кривой?

    Наклон = подъем / ход… уравнение 1.2

    Вы проводите касательную к данной точке данной кривой, теперь, если значение «Rise» (координата Y ) или «Run» (координата X ) становится отрицательным , тогда наклон равен отрицательный , иначе положительный.

    • Обратите внимание на касательные, которые я нарисовал пунктирной линией ниже:

    • Наклоны касательных красного цвета отрицательные , а значение силы сдвига , связанное с касательной красного цвета, находится между от -20 до -30 (т.е.е. отрицательный).
    • Наклоны касательных к зеленому цвету равны положительному значению и, следовательно, значения поперечной силы связаны с касательной зеленого цвета.

    Заключение

    Кривизна диаграммы изгибающего момента балки в точке зависит от значения поперечной силы в этой точке.