Условия равновесия системы сил: Условия равновесия произвольной системы сил

Содержание

Условия равновесия произвольной системы сил

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, MO=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

∑xi =0,      ∑Mix=0;
∑yi =0,      ∑Miy=0;     (1.20)
∑zi =0,      ∑Miz=0
.

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

∑xi=0;
∑yi=0;    (1.21)
∑MO=0
,

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

∑xi =0;
∑MA=0;    (1.22)
∑MB=0
.

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

∑MA=0;
∑MB=0;    (1.23)
∑MC=0
.

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой. 

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

∑xi =0;
∑MO=0. (1.24)



Рисунок 1.26

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

∑zi =0;
∑Mix=0; (1.25)
∑Miy=0
.

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

∑xi =0;
∑yi =0; (1.26)
∑zi =0

и два уравнения для плоской системы:

∑xi =0;
∑yi =0.        (1.27)

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

>> Равновесие системы сходящихся сил

Условия равновесия твердого тела и системы сил

Термины «равновесие тела» и «равновесие системы сил»

Здесь мы рассматриваем условия, при которых твердое тело находится в состоянии равновесия. Под этим мы подразумеваем, что если тело в некоторый момент времени покоилось, то оно будет покоится и в последующие моменты времени, относительно некоторой инерциальной системы отсчета.

Об этом также говорят как об условиях равновесия системы сил. Под системой сил в статике всегда подразумеваются силы, действующие на абсолютно твердое тело, или на систему, которую, в соответствии с принципом затвердевания, можно считать единым твердым телом. Все законы преобразования сил относятся только к силам, действующим на одно тело. Под равновесием системы сил подразумевается уравновешенная система, которую эквивалентными преобразованиями можно свести к отсутствию сил, то есть к их взаимному уничтожению. Тогда если система сил находится в равновесии, то она эквивалентна отсутствию сил. Такая система не оказывает никакого влияния на движение тела. И если оно вначале покоилось, то будет покоиться и в последующие моменты времени.

Термин равновесие системы сил несколько отличается от термина равновесие твердого тела. Различие связано с тем, что силы, действующие на тело можно разбить на несколько систем. Некоторые из этих систем могут находиться в равновесии, и не оказывать влияния на движение. Их можно исключить. В тоже время могут существовать неравновесные системы, приводящие к изменению скорости движения центра масс и момента импульса тела.

Однако, если в систему сил включены все внешние силы, то эти понятия совпадают. Далее мы будем говорить об условиях равновесия твердого тела. Эти условия есть то же самое, что условия равновесия системы сил, если под системой сил подразумевать все внешние силы, действующие на тело.

Основная форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма внешних сил, действующих на тело равнялась нулю, и чтобы векторная сумма моментов этих сил, относительно произвольно выбранного центра  C,  равнялась нулю:
(1.1)   ;
(1.2)   .
Доказательство ⇓

Здесь внешние силы приложены к телу в точках .

Если мы выберем прямоугольную систему координат Cxyz с центром в точке C, то условия (1.1) и (1.2) можно выразить через проекции сил и моментов на оси этой системы. Тогда мы получим шесть уравнений:
;   ;   ;
;   ;   .
Из этих уравнений можно определить шесть неизвестных величин, определяющих реакции опор тела.

Также мы можем произвольным образом выбрать три вектора, не лежащие в одной плоскости, и спроектировать уравнения (1.1) и (1.2) на их направления. В результате мы также получим систему из шести уравнений.

Вторая форма условий равновесия

Условия равновесия можно записать и в других формах, которые могут оказаться более удобными при решении некоторых задач. Вот вторая форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
(2.1)   ;
(2.2)   ;
(2.3)   .
Доказательство ⇓

Если спроектировать условия (2.1) и (2.2) на оси координат, то получим три уравнения (2.1), три уравнения (2.2) и одно уравнение (2.3). Всего получается семь уравнений. Однако, как показано ниже, между шестью уравнениями (2.1) и (2.2) существует одна линейная зависимость (см. «Линейная зависимость моментов относительно двух точек ⇓»). Таким образом, в условиях (2.1-3) имеется 7-1=6 линейно независимых уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.

Третья форма условий равновесия

И наконец, имеется третья форма условий равновесия.

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
(3.1)   ;
(3.2)   ;
(3.3)   ;
(3.4)   .
Доказательство ⇓

Если спроектировать условия (3.1), (3.2) и (3.3) на оси координат, то получим три уравнения (3.1), три уравнения (3.2) и три уравнения (3.3) – всего девять уравнений. Как показано ниже, между шестью уравнениями (3.1) и (3.2) существует одна линейная зависимость (см. «Линейная зависимость моментов относительно двух точек ⇓»). Аналогичным образом, между шестью уравнениями (3.1) и (3.3) существует еще одна линейная зависимость. И наконец, между шестью уравнениями (3.2) и (3.3) существует третья линейная зависимость. То есть, в условиях (3.1-3) имеется три линейных зависимости. Тогда число линейно независимых уравнений равно 9–3=6. Также, как и в предыдущих формах, из этих уравнений можно определить шесть неизвестных величин.

Условия равновесия плоского тела

Теперь рассмотрим плоскую систему, в которой тело может совершать движение только вдоль одной плоскости. При этом силы также направлены в этой плоскости. В этом случае мы выбираем систему отсчета так, чтобы оси x и y лежали в рассматриваемой плоскости, а ось z была ей перпендикулярна. Тогда приведенные выше формы условий равновесия сохраняют свой вид. При этом z – компоненты всех сил равны нулю: , а у моментов сил отлична от нулю только z – компонента: .

Выпишем условия равновесия для плоской системы, расписав их по компонентам.

Основная форма условий равновесия
;
;
.

Вторая форма условий равновесия
;
;
.

Третья форма условий равновесия
;
;
;
.

Здесь во всех формах имеется по три уравнения, из которых можно определить три неизвестных величины.

Доказательство условий равновесия

Основная форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма внешних сил, действующих на тело равнялась нулю, и чтобы векторная сумма моментов этих сил, относительно произвольно выбранного центра  C,  равнялась нулю:
(1.1)  
(1.2)  

Доказательство

Для доказательства воспользуемся законами движения твердого тела. Они описываются уравнениями:
(1.3)   ;
(1.4)   .
Здесь – ускорение центра масс тела; M – его масса; – момент импульса тела относительно произвольно выбранного центра C; – внешние силы, действующие на тело, приложенные в точках .

Необходимость.

Пусть тело находится в состоянии покоя относительно выбранной инерциальной системы координат. Тогда, в этой системе координат, скорость всех точек равна нулю. Отсюда
,   .
Подставляя в (1.3) и (1.4), получаем (1.1) и (1.2).
Необходимость доказана.

Достаточность.

Пусть выполняются условия равновесия (1.1) и (1.2). Подставляя их в уравнения движения (1.3) и (1.4), получаем:
;
.
Отсюда получаем, что скорость движения центра масс и момент импульса постоянны, не меняются со временем. Пусть теперь в начальный момент времени тело покоилось. Тогда скорость движения его центра масс и момент импульса равны нулю. А поскольку они не меняются со временем, то они равны нулю и в последующие моменты времени. То есть тело остается в состоянии покоя во все моменты времени.

Свойство доказано.

Вторая форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
(2.1)  
(2.2)  
(2.3)  

Доказательство

Необходимость.

Пусть тело находится в состоянии равновесия. Возьмем произвольные точки и и выберем произвольный вектор , не перпендикулярный прямой :   . Как уже было доказано при выводе основной формы условий равновесия ⇑, выполняются условия (1.1) и(1.2):
(1.1)   :
(1.2)   .
Поскольку здесь C – произвольная точка, то в качестве нее возьмем точку . В результате получим (2.1):
(2.1)   .
Далее, в качестве C возьмем точку . Получим (2.2):
(2.2)   .
Теперь спроектируем уравнение (1.1) на направление вектора . Получим (2.3):
(2.3)   .
Это уравнение выполняется для любых векторов . В том числе и для тех, направление которых не перпендикулярно :   .
Необходимость доказана.

Достаточность.

Пусть выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.3). Докажем, что тогда тело будет находиться в состоянии равновесия. Воспользуемся векторным уравнением:
(2.4)   .
Подставим его в (2.1):

.
Поскольку из (2.2),   , то   .
Отсюда
(2.5)   ,
где λ – произвольная постоянная. Умножим это уравнение скалярно на и применим (2.3):
(2.6)   .
По условию, . Поэтому .
Тогда, чтобы выполнялось (2.6) нужно положить . В результате из (2.5) получаем уравнение (1.1):
.
Условие (1.2) также выполняется, если положить . Таким образом мы получили, что если выполняются условия (2.1), (2.2) и (2.3), то выполняются условия (1.1) и (1.2):
(1.1)   ;
(1.2)   .
Как мы уже доказали при выводе основной формы условий равновесия ⇑, это означает, что тело находится в равновесии.

Свойство доказано.

Линейная зависимость моментов относительно двух точек

Докажем, что уравнения (2.1) и (2.2) линейно зависимы. Для этого из (2.1) вычтем (2.2) и воспользуемся (2.4):


.
Здесь мы ввели обозначение . Умножим это уравнение скалярно на :
.
В правой части стоит смешанное произведение векторов, в которое входит два одинаковых вектора . Поэтому оно равно нулю. В результате получаем линейную зависимость между уравнениями (2.1) и (2.2):
.

Третья форма условий равновесия

Все формы ⇑ Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
(3.1)   ;
(3.2)   ;
(3.3)   ;
(3.4)   .

Доказательство

Необходимость.

Пусть тело находится в состоянии равновесия. Как уже было доказано при выводе основной формы условий равновесия ⇑, при этом выполняется условие (1.2):
(1.2)   .
Возьмем произвольные точки , и , не лежащие на одной прямой. Поскольку в (1.2)  C – произвольная точка, то в качестве нее возьмем последовательно точки , и . В результате получим уравнения (3.1), (3.2) и (3.3):
(3.1)   ;
(3.2)   ;
(3.3)   .
Эти уравнения выполняются для любых точек , и . В том числе и для тех, которые не лежат на одной прямой:
(3.4)   .
Необходимость доказана.

Достаточность.

Пусть выполняются условия (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4). Докажем, что тело будет находиться в состоянии равновесия. Как и при доказательстве второй формы, воспользуемся векторным уравнением:
(3.5)   .
Подставим его в (3.1):

.
Поскольку из (3.2),   , то   .
Отсюда
(3.6)   ,
где – произвольная постоянная.

Выполняя те же действия с точками и , найдем:
(3.7)   ,
где – также произвольная постоянная. Сравнивая (3.6) и (3.7) имеем:
(3.8)   .
Поскольку векторы   и   не параллельны, то уравнение (3.8) может выполняться только при . Тогда из (3.6) следует, что .
Для доказательства того, что  , достаточно умножить скалярно уравнение (3.8) на вектор, перпендикулярный и вектор, перпендикулярный .

Если обозначить точку как C, то (3.1) примет вид:
.

Итак, мы получили, что если выполняются условия (3.1), (3.2) и (3.3), то выполняются условия (1.1) и (1.2):
(1.1)   ;
(1.2)   .
Как мы уже доказали при выводе основной формы условий равновесия ⇑, это означает, что тело находится в равновесии.

Свойство доказано.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Формы уравнений равновесия

Содержание:

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Формы уравнений равновесия

  • Условие равновесия произвольной плоской системы сил. Форма теоремы уравнения равновесия. Для равновесия свободного твердого тела под действием произвольной плоской силовой системы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра (точки) GL=°, MS=0. (4.9)нужна сертификация.

Приведем плоскую систему произвольных сил с неподвижным телом в равновесии, главный вектор ll, приложенный к центру C, и парный (F, F’) момент массы массы, равный основному времени системы. Для того чтобы система сил сходимости, приложенных к центру С, была сбалансирована, должно быть выполнено условие RGL=0. Для того чтобы сумма моментов присоединенной пары была равна нулю, необходимо выполнить условие MS=0.

Таким образом, для равновесия плоской системы любой силы необходимо одновременное Людмила Фирмаль

выполнение условий (4.)=0-(4-11) * =1k=l K = L уравнение(4.11) представляет собой уравнение равновесия свободного твердого тела под действием произвольной силовой плоской системы. Таким образом, для равновесия свободного твердого тела под действием произвольной плоской системы сил сумма проекций всех сил этой системы для каждой из двух осей

  • координат должна быть равна. Вторая форма уравнения равновесия. Что касается равновесия свободных твердых тел под действием сил любой плоской системы, то сумма проекций всех сил этой системы на произвольно выбранную ось равна нулю, и эти силы равны нулю. 2W)=°-(412) /г=1л=1 1 г=1 Доказательство необходимости. Поскольку тело находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на любую ось и сумма моментов для любой точки плоскости, в которой существует система данной силы. Доказательство адекватности.

Давайте докажем это утверждение противоположным образом. Если выполняются только два условия для данной системы силы (4.12). То есть n_n_2A I o (F/e)=0, 2m in (Fk)=0, система таких сил co-k=\k=I гласная п.)=0. Но с L=1 k=l в нашем случае ось x не перпендикулярна прямой S, поэтому первое выражение в Формуле (4.12) выполняется только в случае Vrav=0.

Третья форма уравнения равновесия. Для равновесия свободного твердого тела под действием силы любой плоской системы теорема гласит, что Людмила Фирмаль

алгебраическая сумма всех силовых моментов этой системы равна нулю, сумма всех силовых моментов системы сил, или сумма всех силовых моментов системы сил в любой точке я не уверен. Доказательство адекватности. Для трех условий (4.13)выполняются только первые два,и все три точки O, B и C находятся на одной прямой. Тогда, исходя из уравнений p-P-2Afo (F) fe)=0 и 2L1B (/7K)=0, результат плоской системы сил должен быть равен нулю, так как в соответствии с k=i k=i§4.3 система таких сил не становится равновесной, и результирующими линиями являются линии S, а не точки O, B и C находятся на одних и тех же линиях. Таким образом,

при выполнении всех трех условий (4.)=°. 2L4V (L)=° — <4-15 A ‘ =1 Таким образом, для равновесия свободного твердого тела под действием плоской системы параллельных сил существуют две произвольно выбранные точки, которые не существуют на одной прямой, параллельной силовой линии.

Смотрите также:

Предмет техническая механика 

Условия и уравнения равновесия твердого тела

Привет! Меня зовут Константин Вавилов и в этой статье я рассказу об условиях, при которых любая система сил, твердое тело, элемент конструкции или конструкция в целом находится в равновесии. А также напишу про уравнения равновесия, которые вытекают из этих условий. Рассмотрим три основные формы этих уравнений.

Условия равновесия произвольной системы сил

Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:

  • либо находится в состоянии покоя;
  • либо движется равномерно прямолинейно.

Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:

\[ \bar { { R }_{ 1 } } +\bar { { R }_{ 2 } } +\bar { { R }_{ 3 } } +\bar { { R }_{ n } } =\bar { R } \]

Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:

\[ \bar { R } =0 \]

Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:

\[ \bar { M } =0 \]

где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.

Условия равновесия плоской системы сил

Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма

условий равновесия для плоской системы сил:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣM }_{ B }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Из данного условия следует, что для равновесия системы достаточно равенство нулю суммы моментов относительно двух точек (A и B), а также суммы проекций всех сил относительно некоторой оси.

Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.

И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣM }_{ B }=0 \\ { ΣM }_{ С }=0 \end{cases} \]

Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.

Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.

Уравнения равновесия для плоской системы сил

Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Сумма моментов относительно точки A:

\[ { ΣM }_{ A }=-q\cdot 4\cdot 4-M+{ R }_{ B }\cdot 8=0 \]

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):

\[ { ΣF }_{ ky }=-q\cdot 4+{ R }_{ A }+{ R }_{ B }-F=0 \]

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):

\[ { ΣF }_{ kx }={ H }_{ A }=0 \]

Условие равновесия пространственной системы сил

Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:

\[ \begin{cases} \begin{matrix} { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \\ { ΣF }_{ kz }=0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} { ΣM }_{ x }=0 \\ { ΣM }_{ y }=0 \\ { ΣM }_{ z }=0 \end{matrix} \end{cases} \]

Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:

\[ { ΣF }_{ kx }=F=0 \]

\[ { ΣF }_{ ky }=P=0 \]

\[ { ΣF }_{ kz }=T-G=0 \]

\[ { ΣM }_{ x }=-T\cdot b+G\cdot b=0 \]

\[ { ΣM }_{ y }=-T\cdot a+G\cdot (a+c)=0 \]

\[ { ΣM }_{ z }=P\cdot a=0 \]

Пространственная система сил. Теорема Вариньона.

Пространственная система сил



Пространственная система сходящихся сил

Система сил, линии действия которых расположены в различных плоскостях, называется пространственной системой сил.

Пространственная система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке.

Теорема: пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей, которая равна векторной сумме этих сил; линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.

Пусть дана пространственная система n сходящихся сил (F1, F2, F3,….Fn). На основании следствия из аксиом III и IV перенесем все силы системы вдоль линий действия в точку их пересечения. Затем на основании аксиомы параллелограмма последовательно сложим все силы и получим их равнодействующую:

FΣ = F1 + F2 + F3 + ….+ Fn,    или    FΣ = ΣFi.

Силовой многоугольник пространственной системы сил не лежит в одной плоскости, поэтому геометрический и графический способы нахождения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил неприемлемы, а применяется только аналитический способ (метод проекций).

Проекция силы на ось в пространстве находится по проецирующим перпендикулярам, и может быть определена при помощи тригонометрических функций. При определении проекций сил пространственной системы потребуется система координат с осями X, Y, Z, поскольку силы системы не располагаются в одной плоскости.

Правило знаков для проекций будет таким же, как и для плоской системы сил – совпадающие по направлению с координатной осью силы считаются положительными, в противном случае – отрицательными. Если вектор силы параллелен какой-либо оси координат, то он проецируется на эту ось в натуральную величину, если же вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось будет равна нулю.

***

Разложение силы по трем осям координат

Пусть дана сила F (см. рисунок 1).
Возьмем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с началом вектора силы F (т. е. с точкой приложения силы). Из конца этого вектора опустим перпендикуляр на плоскость xy и разложим силу F на составляющие Fxy и Fz, а составляющую Fxy – на составляющие Fx и Fy. Тогда:

F = Fx + Fy + Fz.

Достроим полученное изображение до параллелепипеда, у которого составляющие Fx, Fy и Fz являются ребрами, а сила F – диагональю.

Из изложенного можно сделать вывод: равнодействующая трех взаимно-перпендикулярных сил выражается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах.

Из рисунка видно, что в случаях разложения силы F по трем взаимно-перпендикулярным направлениям x, y, z составляющие Fx, Fy и Fz равны по модулю проекциям силы F на эти оси.

Зная проекции силы на три взаимно-перпендикулярные оси координат, можно определить модуль и направление вектора силы по формулам:

модуль силы:   F = √(Fx2 + Fy2 + Fz2)    (здесь и далее √ — знак корня);

направляющие косинусы:   cos(F,x) = Fx/F;    cos(F,y) = Fy/F;    cos(F,z) = Fz/F.

***

Аналитический способ определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил

Рассмотренный выше способ разложения силы F на три составляющие по направлению координатных осей x, y, z можно применить для каждой из сходящихся сил пространственной системы. Тогда вместо данной системы n сходящихся сил мы получим эквивалентную ей систему 3n сил, из которых n сил действуют по оси x, n сил – по оси y, и n сил – по оси z.
Равнодействующая проекций сил системы на ось x равна их геометрической сумме, то же самое можно сказать и о равнодействующих проекций сил на оси y и z.
Таким образом, систему 3n сил можно заменить эквивалентной ей системой трех сил, каждая из которых представляет собой равнодействующую проекций сил данной системы на ту или иную ось координат.

Проекции силы на три взаимно-перпендикулярные оси и составляющие силы, направленные по этим осям, равны по модулю, следовательно, проекции равнодействующей равны:

FΣx = ΣX;     FΣy = ΣY;     FΣz = ΣZ.

Очевидно, что равнодействующая трех взаимно перпендикулярных сил выражается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, и по известным проекциям равнодействующей можно определить модуль и направление самой равнодействующей.

***

Аналитические условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Известно, что пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей. Если такая система сил находится в равновесии, т. е. эквивалентна нулю, то можно сделать вывод, что равнодействующая этой системы равна нулю, а следовательно, и проекции равнодействующей тоже равны нулю, причем эти проекции равны сумме проекций составляющих.
Отсюда вытекают условия равновесия пространственной системы сходящихся сил:

ΣX = 0;    ΣY = 0;    ΣZ = 0.

Эти условия формируются следующим образом: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую их трех координатных осей равнялась нулю.

***



Момент силы относительно оси

Рассмотрим колесо червячной передачи, укрепленное на валу, вращающемся в подшипниках (см. рисунок 2). Червяк передает червячному колесу силу F, не лежащую в плоскости, перпендикулярной оси.

Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие F1, F2 и F3.
Составляющую F1 назовем окружной силой, составляющую F2 – осевой силой, а составляющую F3 – радиальной силой.
Из рисунка видно, что составляющая F1 вызывает вращательное действие, которое измеряется произведением силы F1 на радиус колеса r; составляющая F2 стремится сдвинуть червячное колесо вдоль оси, а составляющая F3 стремится изогнуть ось колеса.
Очевидно, что вращающее действие сил F2 и F3 относительно оси колеса равно нулю.
Таким образом, если нужно найти момент силы относительно оси, то следует принимать в расчет только составляющую F1, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси, и не пересекающую ось (иначе ее момент будет равен нулю).

Ранее было отмечено, что проекция вектора силы на ось есть скалярная алгебраическая величина. В отличие от проекции на ось проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как эта проекция характеризуется не только числовым значением, но и положением на плоскости, т. е. направлением.
Поэтому моменту силы относительно оси можно дать такое определение: моментом силы относительно оси называется величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Это определение поясняет рисунок 3.
Момент силы относительно оси условимся записывать следующим образом:

Mz(F) = Fна.

Условимся считать момент силы положительным, если смотреть с положительного конца оси и сила стремится вызвать вращение против часовой стрелки, если же сила стремится вызвать вращение по часовой стрелке, ее момент считаем отрицательным.

Момент силы относительно оси не меняется при перемещении силы вдоль оси ее действия.

Момент силы будет равен нулю в двух случаях (не считая случаев, когда сила равна нулю или направлена вдоль оси):
  • если вектор силы параллелен оси, так как при этом проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю (см. рисунок 3, сила FZ);
  • если линия действия силы пересекает ось, так как при этом плечо равно нулю (сила F3 на рисунке 2).

***

Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Пространственная система сил, в которой линии действия составляющих сил расположены произвольно, т. е. линии их действия могут не пересекаться и находиться в разных плоскостях, называется произвольно расположенной системой сил.

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей была равна нулю.

Строгое обоснование приведенного выше условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил требует знания некоторых вопросов, не предусмотренных программами учреждений среднего профессионального образования, поэтому условие равновесия такой системы здесь приводится без доказательства.

Математически условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил можно записать в виде уравнений:

  • ΣX = 0;     ΣMx(Fi) = 0;
  • ΣY = 0;     ΣMy(Fi) = 0;
  • ΣZ = 0;     ΣMz(Fi) = 0.

Свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а именно: возможность перемещаться в направлениях трех взаимно-перпендикулярных осей координат и возможность вращаться вокруг этих осей. Таким образом, шести степеням свободы тела в пространстве соответствуют шесть условий равновесия.
Если система сил, приложенных к свободному телу, удовлетворяет всем шести условиям равновесия, то возможность трех перемещений и трех вращений тела под действием сил системы исключена, поэтому тело будет находится в равновесии.

Очевидно, что все выведенные ранее условия равновесия для различных систем сил являются частными случаями условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

Так как условия равновесия пространственной системы сил справедливы для любых прямоугольных осей координат, то при решении данной задачи систему координат можно изменять, т. е. часть уравнений равновесия составить для одних осей координат, а часть – для измененных. В некоторых случаях этот прием упрощает решение задач.

***

Теорема о моменте равнодействующей относительно оси


(теорема Вариньона)

Теорема: момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой же оси.

Пусть даны пространственная система n произвольно расположенных сил, приложенных к телу, и равнодействующая этой системы сил FΣ (см. рисунок 4):

(F1, F2, F3,….Fn) ≡ FΣ.

Приложим к телу другую систему сил, равнодействующая которой F’Σ по модулю равна FΣ и направлена по той же линии действия, но в противоположную сторону, т. е. является уравновешивающей данной системы сил.
Тогда можно записать:

(F1, F2, F3,….Fn, F’Σ) ≡ 0 ,   или   (FΣ, F’Σ) ≡ 0.

Так как обе записанные выше системы сил эквивалентны нулю, т. е. уравновешены, то к ним можно применить любое условие равновесия, например

ΣMx(Fi) = 0.

Запишем это условие для обеих систем:

Mx(F1) = Mx(F2) + Mx(F2) + …. + Mx(Fn) + Mx(F’Σ) = 0;
MΣ(FΣ) + Mx(F’Σ) = 0.

Так как правые части этих равенств равны, то будут равны и левые :

Mx(F1) = Mx(F2) + Mx(F3) + …. +Mx(Fn) + Mx(F’Σ) = Mx(FΣ) + Mx(F’Σ).

Сократив общее слагаемое Mx(F’Σ), получим:

Mx(F1) = Mx(F2) + Mx(F3) + …. +Mx(Fn) = Mx(FΣ)   или   ΣMx(Fi) + Mx(FΣ).

Теорема доказана.

***

Трение — сущность явления, законы и зависимости


Главная страница


Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

41) Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи.

Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна силе, равной главному вектору R, и паре сил с моментом, равным главному моменту L0 относительно какого-либо центра О. Чтобы такая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно равенство нулю и главного вектора R, и главного момента L0. Поэтому условия равновесия пространственной системы сил могут быть представлены в векторной форме
Два векторных условия эквивалентны следующим шести аналитическим условиям равновесия:

Условия равновесия можно сформулировать так: для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси декартовой системы координат равнялись нулю и суммы моментов всех сил относительно этих осей также равнялись нулю.

Частные случаи.

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Если силы, действующие на твердое тело, параллельны между собой, то можно выбрать такую систему координат, когда одна из ее осей, например Oz, параллельна направлению действия сил (рис.). Тогда из шести аналитических условий равновесия три выполняются тождественно, и система параллельных сил будет иметь только три условия равновесия:

Условия равновесия плоской системы сил.

Для плоской системы сил условия равновесия будут частным
случаем уравнений , определяющих условия равновесия пространственной системы сил. Например, если силы расположены в плоскости Оху, то аналитические условия равновесия можно записать в виде:
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма алгебраических моментов этих сил относительно любого центра О были равны нулю. Алгебраическим моментом силы относительно точки называют момент силы относительно оси, проходящей через данную точку перпендикулярно плоскости, в которой расположена сила и
точка.
Вместо иногда удобно применить условия равновесия в виде уравнений трех моментов: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю: .

Необходимость утверждения следует из того, что третье условие справедливо для любой точки. Достаточность докажем методом от противного, используя теорему о приведении произвольной системы сил к центру. Допустим, что плоская система сил не находится в равновесии. Тогда, приводя ее поочередно к точкам А, В, С, будем иметь в этих точках равнодействующую R . Для выполнения равенств равнодействующая должна пройти одновременно через все три точки, а это невозможно, так как точки не лежат на одной прямой. Следовательно, равнодействующая равна нулю и система сил, удовлетворяющая
равенствам , находится в равновесии.

Используются технологии uCoz

Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме

Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю. Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:

, или,. (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю:

; ;, (21)

В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно , выбирают перпендикулярной силам, а две другие оси – соответственно в плоскости сил. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, были равны нулю:

; , (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось параллельно силам:для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю:

(23)

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси ив плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю:

(24)

Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю:

(25)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

. (26)

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю, т.е.

. (27)

12.1 Условия статического равновесия

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите физические условия статического равновесия.
  • Нарисуйте диаграмму свободного тела для твердого тела, на которое действуют силы.
  • Объясните, как условия равновесия позволяют нам решать задачи статики.

Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии равновесия , когда его линейное и угловое ускорение равны нулю относительно инерциальной системы отсчета.Это означает, что тело в состоянии равновесия может двигаться, но в этом случае его линейная и угловая скорости должны быть постоянными. Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии статического равновесия , когда оно находится в состоянии покоя в нашей выбранной системе координат . Обратите внимание, что различие между состоянием покоя и состоянием равномерного движения является искусственным, то есть объект может находиться в состоянии покоя в выбранной нами системе отсчета, но для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью относительно нашей системы координат, тот же объект кажется, находится в равномерном движении с постоянной скоростью.Поскольку движение составляет относительно , то, что для нас находится в статическом равновесии, находится в динамическом равновесии для движущегося наблюдателя, и наоборот. Поскольку законы физики идентичны для всех инерциальных систем отсчета, в инерциальной системе отсчета нет различия между статическим равновесием и равновесием.

Согласно второму закону движения Ньютона, линейное ускорение твердого тела вызывается действующей на него чистой силой, или

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = m {\ overset {\ to} {a}} _ {\ text {CM}}.[/ латекс]

Здесь сумма всех внешних сил, действующих на тело, где м — это его масса, а [latex] {\ overset {\ to} {a}} _ {\ text {CM}} [/ latex] — линейное ускорение его центра масс (концепция, которую мы обсуждали в статьях «Линейный импульс и столкновения по импульсу и столкновениям»). В состоянии равновесия линейное ускорение равно нулю. Если установить нулевое ускорение на (рисунок), мы получим следующее уравнение:

Первое условие равновесия

Первое условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает поступательное равновесие:

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ overset {\ to} {0}.[/ латекс]

Первое условие равновесия (рисунок) — это условие равновесия сил, с которым мы столкнулись при изучении приложений законов Ньютона.

Это векторное уравнение эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям для компонентов чистой силы:

[латекс] \ sum _ {k} {F} _ {kx} = 0, \ quad \ sum _ {k} {F} _ {ky} = 0, \ quad \ sum _ {k} {F} _ {kz} = 0. [/ латекс]

Аналогично (рисунок), мы можем утверждать, что вращательное ускорение [латекс] \ overset {\ to} {\ alpha} [/ latex] твердого тела вокруг фиксированной оси вращения вызывается чистым крутящим моментом, действующим на body, или

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} = I \ overset {\ to} {\ alpha}.[/ латекс]

Здесь [латекс] I [/ латекс] — это инерция вращения тела при вращении вокруг этой оси, а сумма составляет более всех крутящих моментов [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} [/ latex] внешних сил в (Рисунок). В состоянии равновесия ускорение вращения равно нулю. Обнуляя правую часть (рисунок), мы получаем второе условие равновесия:

Второе состояние равновесия

Второе условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает вращательное равновесие:

[латекс] \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} = \ overset {\ to} {0}.[/ латекс]

Второе условие равновесия (рисунок) — это условие равновесия для крутящих моментов, с которым мы столкнулись при изучении динамики вращения. Стоит отметить, что это уравнение равновесия обычно справедливо для вращательного равновесия вокруг любой оси вращения (фиксированной или иной). Опять же, это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям для векторных компонентов чистого крутящего момента:

[латекс] \ sum _ {k} {\ tau} _ {kx} = 0, \ quad \ sum _ {k} {\ tau} _ {ky} = 0, \ quad \ sum _ {k} {\ тау} _ {kz} = 0.[/ латекс]

Второе условие равновесия означает, что в равновесии нет чистого внешнего крутящего момента, вызывающего вращение вокруг любой оси.

Первое и второе условия равновесия указаны в конкретной системе отсчета. Первое условие включает только силы и поэтому не зависит от источника системы отсчета. Однако второе условие включает крутящий момент, который определяется как перекрестное произведение, [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} = {\ overset {\ to} {r}} _ {k } \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k}, [/ latex], где вектор положения [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {k} [/ латекс] относительно оси вращения точки приложения силы входит в уравнение.Следовательно, крутящий момент зависит от положения оси в системе отсчета. Однако, когда условия вращательного и поступательного равновесия выполняются одновременно в одной системе отсчета, они также сохраняются в любой другой инерциальной системе отсчета, так что чистый крутящий момент вокруг любой оси вращения по-прежнему равен нулю. Объяснение этому довольно простое.

Предположим, что вектор [latex] \ overset {\ to} {R} [/ latex] — это позиция начала координат новой инерциальной системы отсчета [latex] S \ prime [/ latex] в старой инерциальной системе отсчета S .{\ prime}} _ {k} \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ sum _ {k} ({\ overset {\ to} {r}} _ { k} — \ overset {\ to} {R}) \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {r} } _ {k} \, × \, {\ overset {\ to} {F}} _ {k} — \ sum _ {k} \ overset {\ to} {R} \, × \, {\ overset { \ to} {F}} _ {k} = \ sum _ {k} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} — \ overset {\ to} {R} \, × \, \ сумма _ {k} {\ overset {\ to} {F}} _ {k} = \ overset {\ to} {0}. [/ латекс]

На последнем этапе этой цепочки рассуждений мы использовали тот факт, что в равновесии в старой системе отсчета, S , первый член исчезает из-за (Рисунок), а второй член исчезает из-за (Рисунок).Следовательно, мы видим, что чистый крутящий момент в любой инерциальной системе отсчета [латекс] S \ prime [/ latex] равен нулю, при условии, что оба условия равновесия выполняются в инерциальной системе отсчета S .

Практическое значение этого состоит в том, что при применении условий равновесия для твердого тела мы можем выбрать любую точку в качестве начала отсчета системы отсчета. Наш выбор системы отсчета продиктован физическими особенностями решаемой проблемы. В одной системе отсчета математическая форма условий равновесия может быть довольно сложной, тогда как в другой системе координат те же условия могут иметь более простую математическую форму, которую легко решить.Начало выбранной системы отсчета называется точкой поворота .

В самом общем случае условия равновесия выражаются шестью скалярными уравнениями ((Рисунок) и (Рисунок)). Для плоских задач равновесия с вращением вокруг фиксированной оси, которые мы рассматриваем в этой главе, мы можем сократить количество уравнений до трех. Стандартная процедура состоит в том, чтобы принять систему отсчета, в которой ось z является осью вращения. При таком выборе оси чистый крутящий момент имеет только компонент z , все силы, которые имеют ненулевые крутящие моменты, лежат в плоскости xy , и, следовательно, вклад в чистый крутящий момент поступает только от x — и y — составляющие внешних сил.Таким образом, для плоских задач с осью вращения, перпендикулярной плоскости xy , мы имеем следующие три условия равновесия для сил и моментов:

[латекс] {F} _ {1x} + {F} _ {2x} + \ text {⋯} + {F} _ {Nx} = 0 [/ латекс]

[латекс] {F} _ {1y} + {F} _ {2y} + \ text {⋯} + {F} _ {Ny} = 0 [/ латекс]

[латекс] {\ tau} _ {1} + {\ tau} _ {2} + \ text {⋯} + {\ tau} _ {N} = 0 [/ латекс]

, где суммирование ведется по всем внешним силам N , действующим на тело, и их крутящим моментам.На (Рисунок) мы упростили обозначения, опустив индекс z , но мы понимаем, что здесь суммирование ведется по всем вкладам вдоль оси z , которая является осью вращения. На (Рисунок) z -компонент крутящего момента [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {k} [/ latex] от силы [латекс] {\ overset {\ to} { F}} _ {k} [/ latex] —

[латекс] {\ tau} _ {k} = {r} _ {k} {F} _ {k} \ text {sin} \, \ theta [/ latex]

где [латекс] {r} _ {k} [/ latex] — длина плеча рычага силы, а [latex] {F} _ {k} [/ latex] — величина силы (как вы пила в режиме вращения с фиксированной осью).Угол [latex] \ theta [/ latex] — это угол между векторами [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {k} [/ latex] и [latex] {\ overset {\ to} { F}} _ {k}, [/ latex] измерение от вектора [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {k} [/ latex] до вектора [latex] {\ overset { \ to} {F}} _ {k} [/ latex] в направлении против часовой стрелки ((рисунок)). При использовании (Рисунок) мы часто вычисляем величину крутящего момента и назначаем его значение либо положительным [латекс] (+) [/ латекс], либо отрицательным [латекс] (-), [/ латекс] в зависимости от направления вращения, вызванного только этим крутящим моментом.На (Рисунок) чистый крутящий момент представляет собой сумму членов, каждый член рассчитывается из (Рисунок), и каждый член должен иметь правильное значение . Точно так же на (Рисунок) мы назначаем знак [latex] + [/ latex] компонентам в направлении [latex] + [/ latex] x и знак [latex] — [/ latex] компонентам. в направлении [латекс] — [/ латекс] x . Это же правило должно последовательно соблюдаться на (Рисунок) при вычислении составляющих силы по оси y .

Рисунок 12.2 Крутящий момент силы: (a) Когда крутящий момент силы вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси вращения, мы говорим, что его направление положительное, что означает, что вектор крутящего момента параллелен оси вращения. (b) Когда крутящий момент силы вызывает вращение вокруг оси по часовой стрелке, мы говорим, что его направление отрицательное, что означает, что вектор крутящего момента антипараллелен оси вращения.

Во многих ситуациях равновесия одной из сил, действующих на тело, является его вес.На диаграммах свободного тела вектор веса привязан к центру тяжести тела. Для всех практических целей центр тяжести идентичен центру масс, как вы узнали из статей «Линейный импульс» и «Столкновения» о линейном импульсе и столкновениях. Только в тех случаях, когда тело имеет большую пространственную протяженность, так что гравитационное поле неоднородно по всему его объему, центр тяжести и центр масс расположены в разных точках. Однако на практике даже такие большие объекты, как здания или круизные лайнеры, находятся в однородном гравитационном поле на поверхности Земли, где ускорение свободного падения имеет постоянную величину [латекс] g = 9.{2}. [/ latex] В этих ситуациях центр тяжести идентичен центру масс. Поэтому в этой главе мы используем центр масс (CM) как точку, к которой прикреплен вектор веса. Напомним, что ЦМ имеет особый физический смысл: когда внешняя сила приложена к телу точно в его ЦМ, тело в целом совершает поступательное движение, и такая сила не вызывает вращения.

Когда ЦМ расположен вне оси вращения, на объекте возникает чистый гравитационный момент .Гравитационный момент — это крутящий момент, вызванный весом. Этот гравитационный момент может вращать объект, если нет опоры для его балансировки. Величина гравитационного момента зависит от того, как далеко от оси находится ЦМ. Например, в случае самосвала ((Рисунок)) ось поворота расположена на линии, где шины соприкасаются с поверхностью дороги. Если CM расположен высоко над поверхностью дороги, гравитационный момент может быть достаточно большим, чтобы перевернуть грузовик.Легковые автомобили с низко расположенной КМ, близкой к тротуару, более устойчивы к опрокидыванию, чем грузовики.

Рисунок 12.3 Распределение массы влияет на положение центра масс (CM), к которому прикреплен вектор веса [latex] \ overset {\ to} {w} [/ latex]. Если центр тяжести находится в зоне опоры, погрузчик возвращается в исходное положение после опрокидывания [см. Левую панель в (b)]. Но если центр тяжести находится за пределами зоны опоры, грузовик перевернется [см. Правую панель в (b)].Оба транспортных средства в (b) находятся вне равновесия. Обратите внимание, что автомобиль на (а) находится в равновесии: низкое расположение центра тяжести затрудняет опрокидывание.

Пример

Центр тяжести автомобиля

Легковой автомобиль с колесной базой 2,5 м имеет 52% веса на передние колеса на ровной поверхности, как показано на (Рисунок). Где находится ЦМ этого автомобиля по отношению к задней оси?

Рисунок 12.4 Распределение веса между осями автомобиля.Где находится центр тяжести?

Стратегия

Вес автомобиля w нам неизвестен. Все, что мы знаем, это то, что когда автомобиль стоит на ровной поверхности, 0,52 w давит на поверхность в точках контакта передних колес, а 0,48 w толкает вниз на поверхность в точках контакта задних колес. Также точки контакта отделены друг от друга расстоянием [латекс] d = 2,5 \, \ text {m}. [/ latex] В этих точках контакта автомобиль испытывает нормальные силы реакции с величиной [латекс] {F} _ {\ text {F}} = 0.52 Вт [/ латекс] и [латекс] {F} _ {\ text {R}} = 0,48 Вт [/ латекс] на передней и задней осях соответственно. Мы также знаем, что автомобиль является примером твердого тела, находящегося в равновесии, весь вес которого w действует на его ЦМ. CM находится где-то между точками, где действуют нормальные силы реакции, где-то на расстоянии x от точки, где действует [латекс] {F} _ {R} [/ латекс]. Наша задача найти х . Таким образом, мы идентифицируем три силы, действующие на тело (автомобиль), и можем нарисовать диаграмму свободного тела для расширенного твердого тела, как показано на (Рисунок).

Рисунок 12.5 Диаграмма свободного тела для автомобиля четко указывает векторы сил, действующих на автомобиль, и расстояния до центра масс (CM). Когда CM выбран в качестве точки поворота, эти расстояния представляют собой плечи рычага нормальных сил реакции. Обратите внимание, что величины векторов и рычаги не нужно рисовать в масштабе, но все релевантные величины должны быть четко обозначены.

Мы почти готовы записать условия равновесия (рисунок) — (рисунок) для автомобиля, но сначала мы должны определиться с системой отсчета.Предположим, мы выбрали ось x по длине кабины, ось y — вертикальную, а ось z — перпендикулярно этой плоскости xy . При таком выборе нам нужно только написать (рисунок) и (рисунок), потому что все компоненты y тождественно равны нулю. Теперь нам нужно определиться с расположением точки поворота. Мы можем выбрать любую точку в качестве местоположения оси вращения ( z -ось). Предположим, мы разместили ось вращения на CM, как показано на схеме свободного тела для автомобиля.На этом этапе мы готовы написать условия равновесия для автомобиля.

Решение

Каждое условие равновесия содержит только три члена, потому что на автомобиль действуют силы [latex] N = 3 [/ latex]. Первое условие равновесия (рисунок) читается как

.

[латекс] + {F} _ {\ text {F}} — w + {F} _ {\ text {R}} = 0. [/ латекс]

Это условие тривиально выполняется, потому что, когда мы подставляем данные, (рисунок) становится [латекс] + 0,52w-w + 0,48w = 0. [/ latex] Второе условие равновесия (рисунок) читается как

.

[латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} + {\ tau} _ {w} + {\ tau} _ {\ text {R}} = 0 [/ латекс]

где [латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} [/ latex] — это крутящий момент силы [латекс] {F} _ {\ text {F}}, \, {\ tau} _ {w } [/ latex] — это гравитационный момент силы w , а [latex] {\ tau} _ {\ text {R}} [/ latex] — это крутящий момент силы [latex] {F} _ {\ text {Р}}.[/ latex] Когда ось расположена в CM, гравитационный момент идентично нулю, потому что плечо рычага веса относительно оси, которая проходит через CM, равно нулю. Линии действия обеих нормальных сил реакции перпендикулярны плечам их рычагов, поэтому на (Рисунок) мы имеем [latex] | \, \ text {sin} \, \ theta | = 1 [/ latex] для обеих сил. Из диаграммы свободного тела мы читаем, что крутящий момент [латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} [/ latex] вызывает вращение по часовой стрелке вокруг оси в CM, поэтому его смысл отрицательный; и крутящий момент [latex] {\ tau} _ {\ text {R}} [/ latex] вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси в CM, поэтому его смысл положительный.Имея эту информацию, запишем второе условие равновесия как

[латекс] \ text {-} {r} _ {\ text {F}} {F} _ {\ text {F}} + {r} _ {\ text {R}} {F} _ {\ text {R}} = 0. [/ латекс]

С помощью диаграммы свободного тела мы определяем величины силы [латекс] {F} _ {\ text {R}} = 0,48w [/ латекс] и [латекс] {F} _ {\ text {F }} = 0,52w, [/ latex] и соответствующие им плечи [латекс] {r} _ {\ text {R}} = x [/ latex] и [latex] {r} _ {\ text {F}} = dx. [/ latex] Теперь мы можем записать второе условие равновесия (рисунок) в явном виде в терминах неизвестного расстояния x :

[латекс] -0.52 (г-х) ш + 0,48 х ш = 0. [/ латекс]

Здесь вес w отменяется, и мы можем решить уравнение для неизвестного положения x CM. Ответ: [латекс] x = 0,52d = 0,52 (2,5 \, \ text {m}) = 1,3 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

Решение

Выбор шарнира в положении передней оси не меняет результата. Схема свободного тела для этого места поворота представлена ​​на (Рисунок). Для этого выбора точки поворота второе условие равновесия равно

.

[латекс] \ text {-} {r} _ {w} w + {r} _ {\ text {R}} {F} _ {\ text {R}} = 0.[/ латекс]

Когда мы подставляем числа, указанные на диаграмме, получаем

[латекс] \ text {-} (d-x) w + 0,48dw = 0. [/ латекс]

Ответ, полученный путем решения (рисунок), опять же, [латекс] x = 0,52d = 1,3 \, \ text {m}. [/ латекс]

Рисунок 12.6 Эквивалентная диаграмма свободного тела для автомобиля; точка поворота четко обозначена.

Значение

Этот пример показывает, что при решении задач статического равновесия мы можем выбрать точку поворота.Для различных вариантов выбора точки поворота у нас есть разные наборы условий равновесия, которые необходимо решить. Однако любой выбор приводит к одному и тому же решению проблемы.

Проверьте свое понимание

Решите (рисунок), выбрав шарнир в месте расположения задней оси.

Показать решение

[латекс] x = 1,3 \, \ text {m} [/ латекс]

Проверьте свое понимание

Объясните, какая из следующих ситуаций удовлетворяет обоим условиям равновесия: (а) теннисный мяч, который не вращается при движении в воздухе; (б) пеликан, который парит в воздухе с постоянной скоростью на одной высоте; или (c) коленчатый вал двигателя припаркованного автомобиля.

Особый случай статического равновесия возникает, когда все внешние силы на объект действуют на оси вращения или вдоль нее, или когда пространственное протяжение объекта можно не принимать во внимание. В таком случае объект можно эффективно рассматривать как точечную массу. В этом частном случае нам не нужно беспокоиться о втором условии равновесия (рисунок), потому что все крутящие моменты тождественно равны нулю, а первое условие равновесия (для сил) является единственным условием, которое должно выполняться. Диаграмма свободного тела и стратегия решения задач для этого особого случая были изложены в «Законах Ньютона» и «Приложениях законов Ньютона».В следующем примере вы увидите типичную ситуацию равновесия, включающую только первое условие равновесия.

Пример

Разрывное напряжение

Маленькая кастрюля массой 42,0 г поддерживается двумя струнами, как показано на (Рисунок). Максимальное натяжение, которое может выдержать струна, составляет 2,80 Н. Масса постепенно добавляется к чаше, пока одна из струн не сломается. Какая это струна? Какую массу нужно добавить, чтобы это произошло?

Рисунок 12.7 Масса постепенно добавляется к кастрюле, пока одна из струн не лопнет.

Стратегия

Эта механическая система, состоящая из струн, масс и сковороды, находится в статическом равновесии. В частности, узел, который привязывает струны к кастрюле, находится в статическом равновесии. Узел можно рассматривать как точку; следовательно, нам нужно только первое условие равновесия. Три силы, тянущие к узлу: натяжение [латекс] {\ overset {\ to} {T}} _ {1} [/ latex] в 5,0-сантиметровой струне, натяжение [латекс] {\ overset {\ to } {T}} _ {2} [/ latex] в веревке длиной 10,0 см и вес [латекс] \ overset {\ to} {w} [/ latex] сковороды, удерживающей гири.Мы принимаем прямоугольную систему координат с осью y , направленной противоположно направлению силы тяжести, и рисуем диаграмму свободного тела для узла (см. (Рисунок)). Чтобы найти компоненты натяжения, мы должны определить углы направления [латекс] {\ alpha} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ alpha} _ {2} [/ latex], которые образуют струны с горизонтальным направление оси x . Как вы можете видеть на (Рисунок), струны составляют две стороны прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить этот треугольник, показанный на (Рисунок), и найти синус и косинус углов [латекс] {\ alpha} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ alpha} _ {2}.[/ latex] Затем мы можем разложить натяжения на их прямоугольные составляющие, подставить в первое условие равновесия ((Рисунок) и (Рисунок)) и найти натяжения в струнах. Первой порвется струна с большим натяжением.

Рисунок 12.8 Схема свободного тела для узла на (Рисунок).

Решение

Вес w , натягивающий узел, обусловлен массой M кастрюли и массой m , добавленной к кастрюле, или [латекс] w = (M + m) g.[/ latex] С помощью диаграммы свободного тела на (Рисунок) мы можем установить условия равновесия для узла:

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ text {в направлении} \, x \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill \ text {-} {T} _ {1x} + {T} _ {2x} & = \ hfill & 0 \ hfill \\ \ text {в направлении} \, y \ text {,} \ hfill & & \ hfill \ text {+} {T} _ {1y} + { T} _ {2y} -w & = \ hfill & 0. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Из диаграммы свободного тела, величины компонентов в этих уравнениях равны

.

[латекс] \ begin {array} {ccc} {T} _ {1x} = {T} _ {1} \ text {cos} \, {\ alpha} _ {1} = {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5}, \ hfill & & {T} _ {1y} = {T} _ {1} \ text {sin} \, {\ alpha} _ {1} = 2 {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5} \ hfill \\ {T} _ {2x} = {T} _ {2} \ text {cos} \, {\ alpha} _ {2} = 2 {T} _ {2} \ text {/} \ sqrt {5}, \ hfill & & {T} _ {2y} = {T} _ {2} \ text {sin} \, {\ alpha} _ { 2} = {T} _ {2} \ text {/} \ sqrt {5}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

Подставляем эти компоненты в условия равновесия и упрощаем. Затем мы получаем два уравнения равновесия для натяжений:

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ text {in} \, x \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill {T} _ {1} & = \ hfill & 2 {T} _ {2} \ hfill \\ \ text {in} \, y \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill \ frac {2 {T} _ {1}} {\ sqrt {5}} + \ frac {{T} _ {2}} {\ sqrt {5}} & = \ hfill & (M + m) g. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение равновесия для направления x говорит нам, что натяжение [латекс] {T} _ {1} [/ латекс] в 5.0-сантиметровая струна вдвое превышает натяжение [латекс] {T} _ {2} [/ latex] в 10-сантиметровой струне. Таким образом, более короткая струна порвется. Когда мы используем первое уравнение, чтобы исключить [латекс] {T} _ {2} [/ latex] из второго уравнения, мы получаем соотношение между массой [латекс] м [/ латекс] на сковороде и натяжением [латекс ] {T} _ {1} [/ latex] в более короткой строке:

[латекс] 2,5 {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5} = (M + m) г. [/ латекс]

Струна разрывается, когда натяжение достигает критического значения [латекс] {T} _ {1} = 2.{2}} — 0,042 \, \ text {kg} = 0,277 \, \ text {kg} = 277,0 \, \ text {g.} [/ Latex]

Значение

Предположим, что механическая система, рассматриваемая в этом примере, прикреплена к потолку внутри лифта, поднимающегося вверх. Пока лифт движется вверх с постоянной скоростью, результат остается неизменным, потому что вес [латекс] w [/ латекс] не меняется. Если лифт движется вверх с ускорением, критическая масса меньше, потому что вес [латекса] M + m [/ латекса] становится больше на кажущийся вес из-за ускорения лифта.Тем не менее, во всех случаях более короткая струна рвется первой.

Сводка

  • Тело находится в равновесии, когда оно остается либо в равномерном движении (поступательном и вращательном), либо в состоянии покоя. Когда тело в выбранной инерциальной системе отсчета не вращается и не движется в поступательном движении, мы говорим, что тело находится в статическом равновесии в этой системе отсчета.
  • Условия равновесия требуют, чтобы сумма всех внешних сил, действующих на тело, была равна нулю (первое условие равновесия), а сумма всех внешних моментов от внешних сил была равна нулю (второе условие равновесия).Эти два условия должны одновременно выполняться в состоянии равновесия. Если один из них не удовлетворен, тело не находится в равновесии.
  • Диаграмма свободного тела для тела — полезный инструмент, который позволяет нам правильно подсчитать все вклады от всех внешних сил и моментов, действующих на тело. Диаграммы свободного тела для равновесия вытянутого твердого тела должны указывать точку поворота и плечи рычага действующих сил по отношению к оси.

Концептуальные вопросы

Что вы можете сказать о скорости движущегося тела, находящегося в динамическом равновесии?

При каких условиях вращающееся тело может находиться в равновесии? Приведите пример.

Какие три фактора влияют на крутящий момент, создаваемый силой относительно определенной точки поворота?

Показать решение

Величина и направление силы, а ее плечо рычага

Механики иногда кладут кусок трубы на рукоятку гаечного ключа, пытаясь открутить очень тугой болт. Как это помогает?

Для следующих четырех задач оцените утверждение как истинное или ложное и объясните свой ответ.

Если на объект действует только одна внешняя сила (или крутящий момент), он не может находиться в равновесии.

Показать решение

Верно, поскольку в этом случае сумма сил не может быть равна нулю, если сама сила не равна нулю.

Если объект находится в равновесии, на него должно действовать четное число сил.

Если на объект действует нечетное количество сил, объект не может находиться в равновесии.

Показать решение

Ложь, если силы складываются в ноль как векторы, тогда может быть достигнуто равновесие.

Тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью, находится в равновесии вращения.

Для чего нужен длинный и гибкий шест, который переносят канатоходцы?

Показать решение

Помогает канатоходцу сохранять равновесие.

Проблемы

При затяжке болта вы нажимаете гаечный ключ перпендикулярно с усилием 165 Н на расстоянии 0,140 м от центра болта. Какой крутящий момент вы прикладываете относительно центра болта?

При открытии двери вы нажимаете на нее перпендикулярно с силой 55.0 Н на расстоянии 0,850 м от петель. Какой крутящий момент вы прикладываете к петлям?

Показать решение

[латекс] 46,8 \, \ text {N} · \ text {m} [/ латекс]

Найдите величину натяжения каждого поддерживающего троса, показанного ниже. В каждом случае вес подвешенного тела составляет 100,0 Н, а массой кабелей можно пренебречь.

Какая сила должна быть приложена в точке P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Можно ли приложить силу к P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Двое детей толкают противоположные стороны двери во время игры. Оба толкаются горизонтально и перпендикулярно двери. Один ребенок толкает с силой 17,5 Н на расстоянии 0,600 м от петель, а второй ребенок толкает на расстоянии 0,450 м. Какую силу должен приложить второй ребенок, чтобы дверь не двигалась? Предположим, трение незначительно.

Небольшой внедорожник массой 1000 кг имеет колесную базу 3,0 м. Если 60%, если его вес приходится на передние колеса, насколько далеко позади передних колес находится центр масс фургона?

Унифицированные качели сбалансированы в центре масс, как показано ниже. Маленький мальчик справа имеет массу 40,0 кг. Какая масса у его друга?

Глоссарий

центр тяжести
точка, к которой прикреплен вектор весов
равновесие
Тело
находится в равновесии, когда его линейное и угловое ускорения равны нулю относительно инерциальной системы отсчета
первое условие равновесия
выражает поступательное равновесие; все внешние силы, действующие на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю
гравитационный момент
крутящий момент на корпусе, вызванный его весом; возникает, когда центр тяжести тела не расположен на оси вращения
второе состояние равновесия
выражает вращательное равновесие; все крутящие моменты от внешних сил, действующих на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю
статическое равновесие
Тело находится в статическом равновесии, когда оно покоится в выбранной нами инерциальной системе отсчета

12.1 Условия статического равновесия — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите физические условия статического равновесия.
  • Нарисуйте диаграмму свободного тела для твердого тела, на которое действуют силы.
  • Объясните, как условия равновесия позволяют нам решать задачи статики.

Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии равновесия , когда его линейное и угловое ускорение равны нулю относительно инерциальной системы отсчета.Это означает, что тело в состоянии равновесия может двигаться, но в этом случае его линейная и угловая скорости должны быть постоянными. Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии статического равновесия , когда оно находится в состоянии покоя в нашей выбранной системе координат . Обратите внимание, что различие между состоянием покоя и состоянием равномерного движения является искусственным, то есть объект может находиться в состоянии покоя в выбранной нами системе отсчета, но для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью относительно нашей системы координат, тот же объект кажется, находится в равномерном движении с постоянной скоростью.Поскольку движение составляет относительно , то, что для нас находится в статическом равновесии, находится в динамическом равновесии для движущегося наблюдателя, и наоборот. Поскольку законы физики идентичны для всех инерциальных систем отсчета, в инерциальной системе отсчета нет различия между статическим равновесием и равновесием.

Согласно второму закону движения Ньютона, линейное ускорение твердого тела вызывается действующей на него чистой силой, или

Здесь сумма всех внешних сил, действующих на тело, где м, — его масса, а

— это линейное ускорение его центра масс (концепция, которую мы обсуждали в статьях «Линейный импульс и столкновения по импульсу и столкновениям»).В состоянии равновесия линейное ускорение равно нулю. Если установить нулевое ускорение на (рисунок), мы получим следующее уравнение:

Первое условие равновесия

Первое условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает поступательное равновесие:

Первое условие равновесия (рисунок) — это условие равновесия сил, с которым мы столкнулись при изучении приложений законов Ньютона.

Это векторное уравнение эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям для компонентов чистой силы:

Аналогично (рисунок) можно констатировать, что ускорение вращения

твердого тела вокруг фиксированной оси вращения вызывается чистым крутящим моментом, действующим на тело, или

Здесь

— это инерция вращения тела при вращении вокруг этой оси, и сумма составляет более всех моментов

внешних сил в (рисунок).В состоянии равновесия ускорение вращения равно нулю. Обнуляя правую часть (рисунок), мы получаем второе условие равновесия:

Второе состояние равновесия

Второе условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает вращательное равновесие:

Второе условие равновесия (рисунок) — это условие равновесия для крутящих моментов, с которым мы столкнулись при изучении динамики вращения.Стоит отметить, что это уравнение равновесия обычно справедливо для вращательного равновесия вокруг любой оси вращения (фиксированной или иной). Опять же, это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям для векторных компонентов чистого крутящего момента:

Второе условие равновесия означает, что в равновесии нет чистого внешнего крутящего момента, вызывающего вращение вокруг любой оси.

Первое и второе условия равновесия указаны в конкретной системе отсчета.Первое условие включает только силы и поэтому не зависит от источника системы отсчета. Однако второе условие связано с крутящим моментом, который определяется как перекрестное произведение,

, где вектор положения

относительно оси вращения точки приложения силы входит в уравнение. Следовательно, крутящий момент зависит от положения оси в системе отсчета. Однако, когда условия вращательного и поступательного равновесия выполняются одновременно в одной системе отсчета, они также сохраняются в любой другой инерциальной системе отсчета, так что чистый крутящий момент вокруг любой оси вращения по-прежнему равен нулю.Объяснение этому довольно простое.

Предположим вектор

— позиция начала новой инерциальной системы отсчета

в старой инерциальной системе отсчета S . Из нашего исследования относительного движения мы знаем, что в новой системе отсчета

вектор положения

точки, где действует сила

относится к

через уравнение

Теперь мы можем просуммировать все крутящие моменты

всех внешних сил в новой системе отсчета,

На последнем этапе этой цепочки рассуждений мы использовали тот факт, что в равновесии в старой системе отсчета, S , первый член исчезает из-за (Рисунок), а второй член исчезает из-за (Рисунок).Следовательно, мы видим, что чистый крутящий момент в любой инерциальной системе отсчета

равно нулю при условии, что оба условия равновесия выполняются в инерциальной системе отсчета S .

Практическое значение этого состоит в том, что при применении условий равновесия для твердого тела мы можем выбрать любую точку в качестве начала отсчета системы отсчета. Наш выбор системы отсчета продиктован физическими особенностями решаемой проблемы. В одной системе отсчета математическая форма условий равновесия может быть довольно сложной, тогда как в другой системе координат те же условия могут иметь более простую математическую форму, которую легко решить.Начало выбранной системы отсчета называется точкой поворота .

В самом общем случае условия равновесия выражаются шестью скалярными уравнениями ((Рисунок) и (Рисунок)). Для плоских задач равновесия с вращением вокруг фиксированной оси, которые мы рассматриваем в этой главе, мы можем сократить количество уравнений до трех. Стандартная процедура состоит в том, чтобы принять систему отсчета, в которой ось z является осью вращения. При таком выборе оси чистый крутящий момент имеет только компонент z , все силы, которые имеют ненулевые крутящие моменты, лежат в плоскости xy , и, следовательно, вклад в чистый крутящий момент поступает только от x — и y — составляющие внешних сил.Таким образом, для плоских задач с осью вращения, перпендикулярной плоскости xy , мы имеем следующие три условия равновесия для сил и моментов:

, где суммирование ведется по всем внешним силам N , действующим на тело, и их крутящим моментам. На (Рисунок) мы упростили обозначения, опустив индекс z , но мы понимаем, что здесь суммирование ведется по всем вкладам вдоль оси z , которая является осью вращения.На (Рисунок) z — составляющая крутящего момента

от силы

это

где

— длина плеча рычага силы и

— это величина силы (как вы видели в разделе «Вращение с фиксированной осью»). Угол

— угол между векторами

и

измерение от вектора

в вектор

в направлении против часовой стрелки ((Рисунок)).При использовании (рисунок) мы часто вычисляем величину крутящего момента и присваиваем ее значение положительному значению

.

или отрицательное

в зависимости от направления вращения, вызванного только этим крутящим моментом. На (Рисунок) чистый крутящий момент представляет собой сумму членов, каждый член рассчитывается из (Рисунок), и каждый член должен иметь правильное значение . Аналогично на (Рисунок) мы назначаем

Знак

для принудительного включения компонентов в

x — направление и

знак компонентов в

x — направление.Это же правило должно последовательно соблюдаться на (Рисунок) при вычислении составляющих силы по оси y .

Рис. 12.2 Крутящий момент силы: (a) Когда крутящий момент силы вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси вращения, мы говорим, что его направление положительное, что означает, что вектор крутящего момента параллелен оси вращения. (b) Когда крутящий момент силы вызывает вращение вокруг оси по часовой стрелке, мы говорим, что его направление отрицательное, что означает, что вектор крутящего момента антипараллелен оси вращения.

Во многих ситуациях равновесия одной из сил, действующих на тело, является его вес. На диаграммах свободного тела вектор веса привязан к центру тяжести тела. Для всех практических целей центр тяжести идентичен центру масс, как вы узнали из статей «Линейный импульс» и «Столкновения» о линейном импульсе и столкновениях. Только в тех случаях, когда тело имеет большую пространственную протяженность, так что гравитационное поле неоднородно по всему его объему, центр тяжести и центр масс расположены в разных точках.Однако на практике даже такие большие объекты, как здания или круизные лайнеры, находятся в однородном гравитационном поле на поверхности Земли, где ускорение свободного падения имеет постоянную величину

.

В этих ситуациях центр тяжести идентичен центру масс. Поэтому в этой главе мы используем центр масс (CM) как точку, к которой прикреплен вектор веса. Напомним, что ЦМ имеет особый физический смысл: когда внешняя сила приложена к телу точно в его ЦМ, тело в целом совершает поступательное движение, и такая сила не вызывает вращения.

Когда ЦМ расположен вне оси вращения, на объекте возникает чистый гравитационный момент . Гравитационный момент — это крутящий момент, вызванный весом. Этот гравитационный момент может вращать объект, если нет опоры для его балансировки. Величина гравитационного момента зависит от того, как далеко от оси находится ЦМ. Например, в случае самосвала ((Рисунок)) ось поворота расположена на линии, где шины соприкасаются с поверхностью дороги.Если CM расположен высоко над поверхностью дороги, гравитационный момент может быть достаточно большим, чтобы перевернуть грузовик. Легковые автомобили с низко расположенной КМ, близкой к тротуару, более устойчивы к опрокидыванию, чем грузовики.

Рисунок 12.3 Распределение массы влияет на положение центра масс (CM), где вектор веса

прилагается. Если центр тяжести находится в зоне опоры, погрузчик возвращается в исходное положение после опрокидывания [см. Левую панель в (b)].Но если центр тяжести находится за пределами зоны опоры, грузовик перевернется [см. Правую панель в (b)]. Оба транспортных средства в (b) находятся вне равновесия. Обратите внимание, что автомобиль на (а) находится в равновесии: низкое расположение центра тяжести затрудняет опрокидывание.

Пример

Центр тяжести автомобиля

Легковой автомобиль с колесной базой 2,5 м имеет 52% веса на передние колеса на ровной поверхности, как показано на (Рисунок). Где находится ЦМ этого автомобиля по отношению к задней оси?

Рисунок 12.4 Распределение веса между осями автомобиля. Где находится центр тяжести?
Стратегия

Вес автомобиля w нам неизвестен. Все, что мы знаем, это то, что когда автомобиль стоит на ровной поверхности, 0,52 w давит на поверхность в точках контакта передних колес, а 0,48 w толкает вниз на поверхность в точках контакта задних колес. Также точки соприкосновения удалены друг от друга на расстояние

В этих точках контакта автомобиль испытывает нормальные силы реакции с величиной

.

и

на передней и задней оси соответственно.Мы также знаем, что автомобиль является примером твердого тела, находящегося в равновесии, весь вес которого w действует на его ЦМ. КМ находится где-то между точками действия нормальных сил реакции, где-то на расстоянии x от точки, где

акта. Наша задача найти х . Таким образом, мы идентифицируем три силы, действующие на тело (автомобиль), и можем нарисовать диаграмму свободного тела для расширенного твердого тела, как показано на (Рисунок).

Рисунок 12.5 Диаграмма свободного тела для автомобиля четко указывает векторы сил, действующих на автомобиль, и расстояния до центра масс (CM). Когда CM выбран в качестве точки поворота, эти расстояния представляют собой плечи рычага нормальных сил реакции. Обратите внимание, что величины векторов и рычаги не нужно рисовать в масштабе, но все релевантные величины должны быть четко обозначены.

Мы почти готовы записать условия равновесия (рисунок) — (рисунок) для автомобиля, но сначала мы должны определиться с системой отсчета.Предположим, мы выбрали ось x по длине кабины, ось y — вертикальную, а ось z — перпендикулярно этой плоскости xy . При таком выборе нам нужно только написать (рисунок) и (рисунок), потому что все компоненты y тождественно равны нулю. Теперь нам нужно определиться с расположением точки поворота. Мы можем выбрать любую точку в качестве местоположения оси вращения ( z -ось). Предположим, мы разместили ось вращения на CM, как показано на схеме свободного тела для автомобиля.На этом этапе мы готовы написать условия равновесия для автомобиля.

Решение

Каждое условие равновесия содержит только три члена, потому что их

силы, действующие на автомобиль. Первое условие равновесия (рисунок) читается как

.

Это условие тривиально выполняется, потому что, когда мы подставляем данные, (рисунок) становится

Второе условие равновесия (рисунок) читается как

.

где

— момент силы

— это гравитационный момент силы w , а

— момент силы

Когда шарнир расположен в CM, гравитационный момент идентично нулю, потому что плечо рычага груза относительно оси, проходящей через CM, равно нулю.Линии действия обеих нормальных сил реакции перпендикулярны плечам их рычагов, поэтому на (Рисунок) мы имеем

для обеих сил. Из диаграммы свободного тела мы читаем, что крутящий момент

вызывает вращение по часовой стрелке вокруг оси CM, поэтому его направление отрицательное; и крутящий момент

вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси CM, поэтому его направление положительное. Имея эту информацию, запишем второе условие равновесия как

С помощью диаграммы свободного тела определяем величины силы

и

и соответствующие им рычаги

и

Теперь мы можем записать второе условие равновесия (рисунок) в явном виде в терминах неизвестного расстояния x :

Здесь вес w отменяется, и мы можем решить уравнение для неизвестного положения x CM.Ответ

Решение

Выбор шарнира в положении передней оси не меняет результата. Схема свободного тела для этого места поворота представлена ​​на (Рисунок). Для этого выбора точки поворота второе условие равновесия равно

.

Когда мы подставляем числа, указанные на диаграмме, получаем

Ответ, полученный путем решения (рисунок), опять же:

.

Рисунок 12.6 Эквивалентная диаграмма свободного тела для автомобиля; точка поворота четко обозначена.
Значение

Этот пример показывает, что при решении задач статического равновесия мы можем выбрать точку поворота. Для различных вариантов выбора точки поворота у нас есть разные наборы условий равновесия, которые необходимо решить. Однако любой выбор приводит к одному и тому же решению проблемы.

Проверьте свое понимание

Решите (рисунок), выбрав шарнир в месте расположения задней оси.

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713143559 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713143559 ″]

[/ hidden-answer]

Проверьте свое понимание

Объясните, какая из следующих ситуаций удовлетворяет обоим условиям равновесия: (а) теннисный мяч, который не вращается при движении в воздухе; (б) пеликан, который парит в воздухе с постоянной скоростью на одной высоте; или (c) коленчатый вал двигателя припаркованного автомобиля.

[show-answer q = ”fs-id1163709667984 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163709667984 ″]

(б), (в)

[/ hidden-answer]

Особый случай статического равновесия возникает, когда все внешние силы на объект действуют на оси вращения или вдоль нее, или когда пространственное протяжение объекта можно не принимать во внимание. В таком случае объект можно эффективно рассматривать как точечную массу. В этом частном случае нам не нужно беспокоиться о втором условии равновесия (рисунок), потому что все крутящие моменты тождественно равны нулю, а первое условие равновесия (для сил) является единственным условием, которое должно выполняться.Диаграмма свободного тела и стратегия решения задач для этого особого случая были изложены в «Законах Ньютона» и «Приложениях законов Ньютона». В следующем примере вы увидите типичную ситуацию равновесия, включающую только первое условие равновесия.

Пример

Разрывное напряжение

Маленькая кастрюля массой 42,0 г поддерживается двумя струнами, как показано на (Рисунок). Максимальное натяжение, которое может выдержать струна, составляет 2,80 Н. Масса постепенно добавляется к чаше, пока одна из струн не сломается.Какая это струна? Какую массу нужно добавить, чтобы это произошло?

Рисунок 12.7 Масса добавляется в кастрюлю постепенно, пока одна из струн не лопнет.
Стратегия

Эта механическая система, состоящая из струн, масс и сковороды, находится в статическом равновесии. В частности, узел, который привязывает струны к кастрюле, находится в статическом равновесии. Узел можно рассматривать как точку; следовательно, нам нужно только первое условие равновесия. Три силы, тянущие к узлу, — это натяжение

.

в районе 5.Струна 0 см, натяжение

в тетиве 10,0 см, а гиря

чаши, удерживающей массы. Мы принимаем прямоугольную систему координат с осью y , направленной противоположно направлению силы тяжести, и рисуем диаграмму свободного тела для узла (см. (Рисунок)). Чтобы найти компоненты натяжения, необходимо определить направления углов

и

, что струны образуют горизонтальное направление оси x .Как вы можете видеть на (Рисунок), струны составляют две стороны прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить этот треугольник, показанный на (Рисунок), и найти синус и косинус углов

.

и

Затем мы можем разложить напряжения на их прямоугольные составляющие, подставить в первое условие равновесия ((Рисунок) и (Рисунок)) и решить для напряжений в струнах. Первой порвется струна с большим натяжением.

Рисунок 12.8 Схема свободного тела для узла (рисунок).

Решение

Вес w , тянущий за узел, связан с массой M чаши и массой m , добавленной к чаше, или

С помощью диаграммы свободного тела на (Рисунок) мы можем установить условия равновесия для узла:

Из диаграммы свободного тела, величины компонентов в этих уравнениях равны

.

Подставляем эти компоненты в условия равновесия и упрощаем.Затем мы получаем два уравнения равновесия для натяжений:

Уравнение равновесия для направления x говорит нам, что натяжение

в 5,0-сантиметровой тетиве вдвое превышает натяжение

в 10,0-сантиметровую тетиву. Таким образом, более короткая струна порвется. Когда мы используем первое уравнение для исключения

из второго уравнения получаем соотношение между массой

на сковороде и натяжение

в более короткой строке:

Струна рвется, когда натяжение достигает критического значения

.

Предыдущее уравнение может быть решено для критической массы м , которая разрывает струну:

Значение

Предположим, что механическая система, рассматриваемая в этом примере, прикреплена к потолку внутри лифта, поднимающегося вверх.Пока лифт движется вверх с постоянной скоростью, результат остается неизменным, потому что вес

не меняется. Если лифт движется вверх с ускорением, критическая масса меньше, потому что вес

становится больше на кажущуюся массу из-за ускорения лифта. Тем не менее, во всех случаях более короткая струна рвется первой.

Сводка

  • Тело находится в равновесии, когда оно остается либо в равномерном движении (поступательном и вращательном), либо в состоянии покоя.Когда тело в выбранной инерциальной системе отсчета не вращается и не движется в поступательном движении, мы говорим, что тело находится в статическом равновесии в этой системе отсчета.
  • Условия равновесия требуют, чтобы сумма всех внешних сил, действующих на тело, была равна нулю (первое условие равновесия), а сумма всех внешних моментов от внешних сил была равна нулю (второе условие равновесия). Эти два условия должны одновременно выполняться в состоянии равновесия. Если один из них не удовлетворен, тело не находится в равновесии.
  • Диаграмма свободного тела для тела — полезный инструмент, который позволяет нам правильно подсчитать все вклады от всех внешних сил и моментов, действующих на тело. Диаграммы свободного тела для равновесия вытянутого твердого тела должны указывать точку поворота и плечи рычага действующих сил по отношению к оси.

Концептуальные вопросы

Что вы можете сказать о скорости движущегося тела, находящегося в динамическом равновесии?

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713268541 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713268541 ″]

постоянная

[/ hidden-answer]

При каких условиях вращающееся тело может находиться в равновесии? Приведите пример.

Какие три фактора влияют на крутящий момент, создаваемый силой относительно определенной точки поворота?

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713358733 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713358733 ″]

Величина и направление силы, а ее плечо рычага

[/ hidden-answer]

Механики иногда кладут кусок трубы на рукоятку гаечного ключа, пытаясь открутить очень тугой болт. Как это помогает?

Для следующих четырех задач оцените утверждение как истинное или ложное и объясните свой ответ.

Если на объект действует только одна внешняя сила (или крутящий момент), он не может находиться в равновесии.

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713282665 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713282665 ″]

Верно, поскольку в этом случае сумма сил не может быть равна нулю, если сама сила не равна нулю.

[/ hidden-answer]

Если объект находится в равновесии, на него должно действовать четное число сил.

Если на объект действует нечетное количество сил, объект не может находиться в равновесии.

[показывать-ответ q = ”fs-id11637096

″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11637096

″]

Ложь, если силы складываются в ноль как векторы, тогда может быть достигнуто равновесие.

[/ hidden-answer]

Тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью, находится в равновесии вращения.

Для чего нужен длинный и гибкий шест, который переносят канатоходцы?

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713272740 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713272740 ″]

Помогает канатоходцу сохранять равновесие.

[/ hidden-answer]

Проблемы

При затяжке болта вы нажимаете гаечный ключ перпендикулярно с усилием 165 Н на расстоянии 0,140 м от центра болта. Какой крутящий момент вы прикладываете относительно центра болта?

При открытии двери вы нажимаете на нее перпендикулярно с усилием 55,0 Н на расстоянии 0,850 м от петель. Какой крутящий момент вы прикладываете к петлям?

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713470139 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713470139 ″]

[/ hidden-answer]

Найдите величину натяжения каждого поддерживающего троса, показанного ниже.В каждом случае вес подвешенного тела составляет 100,0 Н, а массой кабелей можно пренебречь.

Какая сила должна быть приложена в точке P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

[show-answer q = ”264812 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 264812 ″] 153,4 ° [/ hidden-answer]

Можно ли приложить силу к P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Двое детей толкают противоположные стороны двери во время игры. Оба толкаются горизонтально и перпендикулярно двери. Один ребенок толкает с силой 17,5 Н на расстоянии 0,600 м от петель, а второй ребенок толкает на расстоянии 0,450 м. Какую силу должен приложить второй ребенок, чтобы дверь не двигалась? Предположим, трение незначительно.

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713183876 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713183876 ″]

23.3 N

[/ hidden-answer]

Небольшой внедорожник массой 1000 кг имеет колесную базу 3,0 м. Если 60%, если его вес приходится на передние колеса, насколько далеко позади передних колес находится центр масс фургона?

Унифицированные качели сбалансированы в центре масс, как показано ниже. Маленький мальчик справа имеет массу 40,0 кг. Какая масса у его друга?

[показать-ответ q = ”5 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 5 ″] 80.0 кг [/ hidden-answer]

Глоссарий

центр тяжести
точка, к которой прикреплен вектор весов
равновесие
Тело
находится в равновесии, когда его линейное и угловое ускорения равны нулю относительно инерциальной системы отсчета
первое условие равновесия
выражает поступательное равновесие; все внешние силы, действующие на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю
гравитационный момент
крутящий момент на корпусе, вызванный его весом; возникает, когда центр тяжести тела не расположен на оси вращения
второе состояние равновесия
выражает вращательное равновесие; все крутящие моменты от внешних сил, действующих на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю
статическое равновесие
Тело находится в статическом равновесии, когда оно покоится в выбранной нами инерциальной системе отсчета

Состояние равновесия — обзор

Контроль кристаллической фазы

Кристаллическая фаза тонкопленочных материалов в основном контролируется температурой роста и химическим составом тонких пленок.Кристаллическая фаза тонкопленочных материалов в основном основана на фазовой диаграмме объемных материалов. Однако кристаллическая фазовая диаграмма тонких пленок существенно отличается от объемных, поскольку тонкие пленки выращиваются в условиях нетеплового равновесия.

Условие нетеплового равновесия вызывает уникальные структурные свойства тонких пленок, включая релаксацию растворимости и образование метастабильной кристаллической фазы. Скорость роста тонких пленок также является другим важным параметром, влияющим на кристаллическую фазу и / или ориентацию кристаллов тонких пленок.Объемная фазовая диаграмма тонких пленок должна быть составлена ​​тщательно, чтобы лучше понять кристаллическую фазу составных тонких пленок. Типичная фазовая диаграмма PbTiO 3 для тонких пленок показана на Рис. 5.17 (a) 13 , а фазовая диаграмма объемного PbTiO 3 показана на Рис. 5.17 (b). b

Рисунок 5.17. Фазовая диаграмма напыленных тонких пленок PbTiO 3 (а) и объемной керамики (б).

Из-за нетеплового равновесия процесса осаждения тонких пленок, существуют уникальные процессы контроля фазы для сложных тонких пленок.Один из них — закалка после напыления, другой — периодическое напыление.

Известно, что скорость охлаждения после эпитаксиального роста влияет на ориентацию кристаллов эпитаксиальных тонких пленок. Например, тетрагональные тонкие пленки PbTiO 3 , эпитаксиально выращенные на подложках (001) MgO при эпитаксиальной температуре 600 ° C с последующим естественным охлаждением, демонстрируют ориентацию (100) PbTiO 3 , поскольку параметр решетки c близок к параметр решетки MgO.Однако, если эпитаксиальные тонкие пленки PbTiO 3 закаливают после эпитаксиального осаждения, распыленные тонкие пленки показывают ориентацию (001) PbTiO 3 , как показано на рис. 5.18 14 , который будет подробно описан в предыдущей главе. . Ориентация кристалла контролируется скоростью охлаждения.

Рисунок 5.18. Картины рентгеновской дифракции распыленных тонких пленок PbTiO 3 , толщиной 120 нм, на (001) MgO: (а) быстрое охлаждение; (б) медленное охлаждение.

Химический состав напыленных тонких пленок в основном такой же, как и состав мишени.Однако химический состав напыленных тонких пленок отличается от целевого состава слоистых комплексных соединений. Типичными примерами являются двухслойные перовскитные соединения, показанные на рис. 5.19. 15 Существует несколько типов двухслойных перовскитных соединений, включая BSCCO (BiSrCaCuO): Для осаждения распылением BSCCO с небольшими количествами Cu целевые составы переносятся на тонкие пленки, как показано в уравнении. (5.10). Когда количество Cu увеличивается, состав тонких пленок отличается от целевого, как показано в формуле.(5.11) из-за разложения при росте пленки.

Рисунок 5.19. Послойное нанесение Bi 2 Sr 2 Ca n −1 Cu n O x .

Однако, если напыление проводится путем послойного осаждения слоев BiO и SrCaCuO с выдержкой времени между нанесением слоя BiO и слоя SrCaCuO, состав получаемой пленки такой же, как и у мишени. Время ожидания около 4 мин.

Целевые тонкие пленки

(5.10) Bi2Sr2Ca2Cu3O10 → Bi2Sr2Ca2Cu3O10

(5.11) Bi2Sr2Ca3Cu4O12 → Bi2Sr2Ca2Cu3O10 + CaCuO2

(5,12) Bi2Sr2Ca3Cu4O12 → Bi2Sr2Ca3Cu4O12intermitted

Разновидности процессов распыления доступны для управления фазой распыленных соединения тонких пленок. c

Равновесие сил

Очень простая концепция при работе с силы это идея равновесия или баланса .В общем, на объект могут действовать несколько сил. в то же время. Сила — это векторная величина что значит что он имеет как величину (размер), так и направление, связанное с ним. Если размер и направление сил, действующих на объект, равны точно сбалансировано, тогда на объект не действует чистая сила и объект находится в состоянии равновесия . Поскольку на объект в состоянии равновесия не действует результирующая сила, затем из Ньютона первый закон движения, неподвижный объект останется в покое, а объект в движении останется в движении.

Начнем с простейшего примера двух сил, действующих на объект. Затем мы покажем примеры три силы, действующие на планер, и четыре силы, действующие на летательный аппарат с двигателем.

В примере 1 на слайде мы показываем синий шар, который толкает две силы, обозначенные Force # 1 F1 и Force # 2 F2 . Помни это силы — это векторные величины, и направление важно. Две силы одинаковой величины, но разные направления не равные силы.По факту,

F1 = — F2

для показанной системы координат с буквой X под мячом. Если сложить силы, действующие на мяч, получаем силовое уравнение слева:

F1 + F2 = F сеть = 0

где F net — чистая сила, действующая на мяч. Поскольку результирующая сила равна нулю, силы в примере 1 равны действует в равновесии.

В Примере 1 на мяч не действует чистая сила.Поскольку мяч изначально находится в состоянии покоя (скорость равна нулю), мяч останется в покое согласно Ньютону. первый закон движения. Если бы мяч двигался с постоянной скоростью, он продолжал бы двигаться. с той же скоростью.

В Примере 2 мы увеличили величину Силы №1, так что она намного больше. чем Force # 2. Силы больше не находятся в равновесии. Уравнение силы остается прежним, но результирующая сила не равна нулю.Величина чистой силы определяется по формуле:

F1> — F2

F1 + F2 = F нетто

| F net | = | F1 | — | F2 |

где «| |» символы указывают величину количества, заключенного между концами. Направление чистой силы будет в положительном направлении X , потому что F1 больше F2 . По мнению Ньютона второй закон движения мяч начинал ускоряться вправо.Потому что в Пример 2, силы не находятся в равновесии.

Навигация ..


Руководство для начинающих Домашняя страница

Равновесие и статика

Когда все силы, действующие на объект, уравновешены, то говорят, что объект находится в состоянии равновесия . Силы считаются уравновешенными , если правые силы уравновешиваются левыми, а восходящие силы уравновешиваются нисходящими.Однако это не обязательно означает, что все силы равны друг другу. Рассмотрим два объекта, изображенных на силовой диаграмме, показанной ниже. Обратите внимание, что два объекта находятся в равновесии, потому что силы, действующие на них, уравновешены; однако отдельные силы не равны друг другу. Сила 50 Н не равна силе 30 Н.


Если объект находится в равновесии, силы уравновешены. Сбалансированный — ключевое слово, используемое для описания ситуаций равновесия.Таким образом, результирующая сила равна нулю, а ускорение равно 0 м / с / с. Объекты в состоянии равновесия должны иметь ускорение 0 м / с / с. Это происходит из первого закона движения Ньютона. Но наличие ускорения 0 м / с / с не означает, что объект находится в состоянии покоя. Объект в состоянии равновесия либо …

  • в состоянии покоя и в состоянии покоя, или
  • в движении и продолжает движение с той же скоростью и направлением.

Это тоже происходит от первого закона движения Ньютона.


Анализ ситуации статического равновесия

Если объект находится в состоянии покоя и в состоянии равновесия, то мы бы сказали, что объект находится в «статическом равновесии». «Статический» означает в неподвижном состоянии или в состоянии покоя . Обычная физическая лаборатория заключается в том, чтобы подвесить объект на двух или более нитях и измерить силы, действующие под углом на объект, чтобы выдержать его вес. Состояние объекта анализируется с точки зрения сил, действующих на объект. Объект представляет собой точку на струне, на которую действуют три силы. См. Диаграмму справа. Если объект находится в состоянии равновесия, то результирующая сила, действующая на объект, должна быть 0 Ньютонов. Таким образом, если все силы складываются вместе как векторы, то результирующая сила (векторная сумма) должна быть 0 Ньютонов. (Напомним, что результирующая сила — это «векторная сумма всех сил» или результат сложения всех отдельных сил по направлению «голова к хвосту».) Таким образом, можно построить точно нарисованную диаграмму сложения векторов для определения равнодействующей.Ниже приведены примеры данных для такой лаборатории.

Сила А Force B Сила C

Величина

3.4 с.ш. 9.2 с.ш. 9.8 с.ш.

Направление

161 град. 70 град. 270 град.


Для большинства студентов результат был 0 Ньютонов (или, по крайней мере, очень близок к 0 Н).Это то, что мы ожидали — поскольку объект находился в состоянии равновесия, результирующая сила (векторная сумма всех сил) должна быть 0 Н.


Другой способ определения чистой силы (векторной суммы всех сил) включает использование тригонометрических функций для разделения каждой силы на ее горизонтальную и вертикальную составляющие. Как только компоненты известны, их можно сравнить, чтобы увидеть, сбалансированы ли вертикальные силы и горизонтальные силы.На схеме ниже показаны векторы A, B и C и их соответствующие компоненты. Для векторов A и B вертикальные компоненты могут быть определены с использованием синуса угла, а горизонтальные компоненты могут быть проанализированы с помощью косинуса угла. Величина и направление каждого компонента для выборочных данных показаны в таблице под диаграммой.


Данные в таблице выше показывают, что силы почти уравновешивают .Анализ горизонтальных компонентов показывает, что левый компонент A почти уравновешивает правый компонент B. Анализ вертикальных компонентов показывает, что сумма восходящих компонентов A + B почти уравновешивает нисходящий компонент C. Векторная сумма всех сил ( почти ) равна 0 Ньютону. Но как насчет разницы в 0,1 Н между направленными вправо и влево силами и разницы в 0,2 Н между силами, направленными вверх и вниз? Почему компоненты силы только почти уравновешивают? Данные образца, используемые в этом анализе, являются результатом данных измерений на реальной экспериментальной установке.Разница между фактическими результатами и ожидаемыми результатами связана с ошибкой, возникшей при измерении силы A и силы B. Мы должны сделать вывод, что этот низкий предел экспериментальной ошибки отражает эксперимент с превосходными результатами. Можно сказать, что это «достаточно близко для работы правительства».


Анализ висящего знака

Приведенный выше анализ сил, действующих на объект в состоянии равновесия, обычно используется для анализа ситуаций с объектами в состоянии статического равновесия.Наиболее распространенное применение включает анализ сил, действующих на знак, который находится в состоянии покоя. Например, рассмотрите картину справа, висящую на стене. Картина находится в состоянии равновесия, и поэтому все силы, действующие на картину, должны быть уравновешены. То есть все горизонтальные компоненты должны составлять 0 Ньютонов, а все вертикальные компоненты должны составлять 0 Ньютонов. Натяжение троса А влево должно уравновешивать натяжение троса В вправо, а сумма натяжения троса А и троса В вверх должна уравновешивать вес знака.

Предположим, что измеренное натяжение обоих кабелей составляет 50 Н, а угол, который каждый кабель образует с горизонталью, составляет 30 градусов. Какой вес у знака? На этот вопрос можно ответить, проведя силовой анализ с использованием тригонометрических функций. Вес знака равен сумме восходящих компонентов натяжения двух тросов. Таким образом, для определения этой вертикальной составляющей можно использовать тригонометрическую функцию. Схема и сопроводительные работы показаны ниже.


Поскольку каждый трос тянет вверх с силой 25 Н, общая сила тяги знака вверх составляет 50 Н. Следовательно, сила тяжести (также известная как вес) составляет 50 Н вниз. Знак весит 50 Н.

В приведенной выше задаче натяжение в тросе и угол , который трос образует с горизонталью, используются для определения веса знака.Идея в том, что натяжение, угол и вес связаны. Если известны любые два из этих трех, то третья величина может быть определена с помощью тригонометрических функций.

В качестве еще одного примера, иллюстрирующего эту идею, рассмотрим симметричное развешивание знака, как показано справа. Если известно, что знак имеет массу 5 кг и если угол между двумя тросами составляет 100 градусов, то можно определить натяжение троса. Предполагая, что знак находится в состоянии равновесия (хорошее предположение, если он остается в состоянии покоя), два троса должны обеспечивать достаточную восходящую силу, чтобы уравновесить нисходящую силу тяжести.Сила тяжести (также известная как вес) составляет 49 Н (Fgrav = m * g), поэтому каждый из двух тросов должен тянуть вверх с силой 24,5 Н. Поскольку угол между кабелями составляет 100 градусов, каждый кабель должен составлять 50 градусов с вертикалью и 40 градусов с горизонталью. Набросок этой ситуации (см. Диаграмму ниже) показывает, что натяжение кабеля можно определить с помощью синусоидальной функции. Треугольник ниже иллюстрирует эти отношения.

Мыслить концептуально

Существует важный принцип, который вытекает из некоторых из выполненных выше тригонометрических вычислений .Принцип состоит в том, что по мере увеличения угла к горизонтали величина силы натяжения, необходимая для удержания знака в состоянии равновесия, уменьшается. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим картинку с напряжением 10 Ньютон, удерживаемую тремя разными ориентациями проводов, как показано на схемах ниже. В каждом случае для поддержки изображения используются два провода; каждый провод должен выдерживать половину веса знака (5 Н). Угол между проводами и горизонтом варьируется от 60 до 15 градусов. Используйте эту информацию и приведенную ниже диаграмму, чтобы определить натяжение проволоки для каждой ориентации.По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.


В заключение, равновесие — это состояние объекта, в котором все силы, действующие на него, уравновешены. В таких случаях чистая сила равна 0 Ньютонам. Зная силы, действующие на объект, тригонометрические функции могут использоваться для определения горизонтальных и вертикальных компонентов каждой силы. В случае равновесия все вертикальные компоненты должны уравновешиваться, а все горизонтальные компоненты должны уравновешиваться.


Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов».Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.


Проверьте свое понимание

Следующие вопросы предназначены для проверки вашего понимания ситуаций равновесия. Нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы на эти вопросы.

1.На стене висит следующая картина. Используйте тригонометрические функции, чтобы определить вес изображения.

2. Табличка внизу висит снаружи класса физики, рекламируя самую важную истину, которую можно найти внутри. Знак опирается на диагональный трос и жесткий турник. Если вывеска имеет массу 50 кг, определите натяжение диагонального троса, поддерживающего его вес.

3. Следующий знак можно найти в Гленвью. Знак имеет массу 50 кг. Определите натяжение тросов.

4. После самой последней доставки печально известный аист объявляет хорошие новости. Если знак имеет массу 10 кг, то какова сила натяжения в каждом тросе? Используйте тригонометрические функции и эскиз, чтобы помочь в решении.

5. Предположим, что ученик тянет с двумя большими силами (F 1 и F 2 ), чтобы поднять книгу весом 1 кг за два троса. Если кабели образуют угол в 1 градус с горизонталью, то каково натяжение кабеля?

12.1 Условия статического равновесия — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите физические условия статического равновесия.
  • Нарисуйте диаграмму свободного тела для твердого тела, на которое действуют силы.
  • Объясните, как условия равновесия позволяют нам решать задачи статики.

Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии равновесия , когда его линейное и угловое ускорение равны нулю относительно инерциальной системы отсчета. Это означает, что тело в состоянии равновесия может двигаться, но в этом случае его линейная и угловая скорости должны быть постоянными. Мы говорим, что твердое тело находится в состоянии статического равновесия , когда оно находится в состоянии покоя в нашей выбранной системе координат .Обратите внимание, что различие между состоянием покоя и состоянием равномерного движения является искусственным, то есть объект может находиться в состоянии покоя в выбранной нами системе отсчета, но для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью относительно нашей системы координат, тот же объект кажется, находится в равномерном движении с постоянной скоростью. Поскольку движение составляет относительно , то, что для нас находится в статическом равновесии, находится в динамическом равновесии для движущегося наблюдателя, и наоборот. Поскольку законы физики идентичны для всех инерциальных систем отсчета, в инерциальной системе отсчета нет различия между статическим равновесием и равновесием.

Согласно второму закону движения Ньютона, линейное ускорение твердого тела вызывается действующей на него чистой силой, или

[латекс] \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} = m {\ mathbf {\ overset {\ to} {a}}} _ {\ text {CM}}. [/ Latex]

Здесь сумма всех внешних сил, действующих на тело, где м — это его масса и [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {a}}} _ {\ text {CM}} [ / latex] — это линейное ускорение его центра масс (концепция, которую мы обсуждали в статьях «Линейный импульс и столкновения по линейному импульсу и столкновениям»).В состоянии равновесия линейное ускорение равно нулю. Если мы установим ускорение на ноль на рисунке, мы получим следующее уравнение:

Первое условие равновесия

Первое условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает поступательное равновесие:

[латекс] \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} = \ mathbf {\ overset {\ to} {0}}. [/ Latex]

Первое условие равновесия, рисунок, является условием равновесия сил, с которым мы столкнулись при изучении приложений законов Ньютона.

Это векторное уравнение эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям для компонентов чистой силы:

[латекс] \ sum _ {k} {F} _ {kx} = 0, \ quad \ sum _ {k} {F} _ {ky} = 0, \ quad \ sum _ {k} {F} _ {kz} = 0. [/ latex]

Аналогично рисунку, мы можем утверждать, что вращательное ускорение [latex] \ mathbf {\ overset {\ to} {\ alpha}} [/ latex] твердого тела вокруг фиксированной оси вращения вызывается действующим чистым крутящим моментом на корпусе, или

[латекс] \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {\ tau}}} _ {k} = I \ mathbf {\ overset {\ to} {\ alpha}}.[/ латекс]

Здесь [латекс] I [/ latex] — это инерция вращения тела при вращении вокруг этой оси, а сумма составляет более всех моментов [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {\ tau}}} _ {k} [/ latex] внешних сил на рис. В состоянии равновесия ускорение вращения равно нулю. Обнуляя правую часть рисунка, мы получаем второе условие равновесия:

Второе состояние равновесия

Второе условие равновесия для статического равновесия твердого тела выражает вращательное равновесие:

[латекс] \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {\ tau}}} _ {k} = \ mathbf {\ overset {\ to} {0}}.[/ латекс]

Второе условие равновесия, рисунок, является условием равновесия для крутящих моментов, с которым мы столкнулись при изучении динамики вращения. Стоит отметить, что это уравнение равновесия обычно справедливо для вращательного равновесия вокруг любой оси вращения (фиксированной или иной). Опять же, это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям для векторных компонентов чистого крутящего момента:

[латекс] \ sum _ {k} {\ tau} _ {kx} = 0, \ quad \ sum _ {k} {\ tau} _ {ky} = 0, \ quad \ sum _ {k} {\ тау} _ {kz} = 0.[/ латекс]

Второе условие равновесия означает, что в равновесии нет чистого внешнего крутящего момента, вызывающего вращение вокруг любой оси.

Первое и второе условия равновесия указаны в конкретной системе отсчета. Первое условие включает только силы и поэтому не зависит от источника системы отсчета. Однако второе условие включает крутящий момент, который определяется как перекрестное произведение, [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {\ tau}}} _ {k} = {\ mathbf {\ overset {\ to} {r}}} _ {k} \ times {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k}, [/ latex] где вектор положения [latex] {\ mathbf {\ overset {\ to} {r}}} _ {k} [/ latex] относительно оси вращения точки приложения силы входит в уравнение.Следовательно, крутящий момент зависит от положения оси в системе отсчета. Однако, когда условия вращательного и поступательного равновесия выполняются одновременно в одной системе отсчета, они также сохраняются в любой другой инерциальной системе отсчета, так что чистый крутящий момент вокруг любой оси вращения по-прежнему равен нулю. Объяснение этому довольно простое.

Предположим, что вектор [latex] \ mathbf {\ overset {\ to} {R}} [/ latex] — это позиция начала координат новой инерциальной системы отсчета [latex] S \ prime [/ latex] в старом инерциальном Система отсчета S .{\ prime}} _ {k} \ times {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} = \ sum _ {k} ({\ mathbf {\ overset {\ to} {r }}} _ {k} — \ mathbf {\ overset {\ to} {R}}) \ times {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} = \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {r}}} _ {k} \ times {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} — \ sum _ {k} \ mathbf { \ overset {\ to} {R}} \ times {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} = \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {\ tau}}} _ {k} — \ mathbf {\ overset {\ to} {R}} \ times \ sum _ {k} {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} = \ mathbf {\ overset {\ to} {0}}. [/ latex]

На последнем этапе этой цепочки рассуждений мы использовали тот факт, что в равновесии в старой системе отсчета S первый член исчезает из-за рисунка, а второй член исчезает из-за рисунка.Следовательно, мы видим, что чистый крутящий момент в любой инерциальной системе отсчета [латекс] S \ prime [/ latex] равен нулю, при условии, что оба условия равновесия выполняются в инерциальной системе отсчета S .

Практическое значение этого состоит в том, что при применении условий равновесия для твердого тела мы можем выбрать любую точку в качестве начала отсчета системы отсчета. Наш выбор системы отсчета продиктован физическими особенностями решаемой проблемы. В одной системе отсчета математическая форма условий равновесия может быть довольно сложной, тогда как в другой системе координат те же условия могут иметь более простую математическую форму, которую легко решить.Начало выбранной системы отсчета называется точкой поворота .

В самом общем случае условия равновесия выражаются шестью скалярными уравнениями (рисунок и рисунок). Для плоских задач равновесия с вращением вокруг фиксированной оси, которые мы рассматриваем в этой главе, мы можем сократить количество уравнений до трех. Стандартная процедура состоит в том, чтобы принять систему отсчета, в которой ось z является осью вращения. При таком выборе оси чистый крутящий момент имеет только компонент z , все силы, которые имеют ненулевые крутящие моменты, лежат в плоскости xy , и, следовательно, вклад в чистый крутящий момент поступает только от x — и y — составляющие внешних сил.Таким образом, для плоских задач с осью вращения, перпендикулярной плоскости xy , мы имеем следующие три условия равновесия для сил и моментов:

[латекс] {F} _ {1x} + {F} _ {2x} + \ cdots + {F} _ {Nx} = 0 [/ латекс]

[латекс] {F} _ {1y} + {F} _ {2y} + \ cdots + {F} _ {Ny} = 0 [/ латекс]

[латекс] {\ tau} _ {1} + {\ tau} _ {2} + \ cdots + {\ tau} _ {N} = 0 [/ латекс]

, где суммирование ведется по всем внешним силам N , действующим на тело, и их крутящим моментам. На рисунке мы упростили обозначения, опустив нижний индекс z , но мы понимаем, что здесь суммирование ведется по всем вкладам вдоль оси z , которая является осью вращения.На рисунке z -компонент крутящего момента [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {\ tau}}} _ {k} [/ latex] от силы [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} [/ latex] —

[латекс] {\ tau} _ {k} = {r} _ {k} {F} _ {k} \ text {sin} \, \ theta [/ latex]

где [латекс] {r} _ {k} [/ latex] — длина плеча рычага силы, а [latex] {F} _ {k} [/ latex] — величина силы (как вы пила в режиме вращения с фиксированной осью). Угол [latex] \ theta [/ latex] — это угол между векторами [latex] {\ mathbf {\ overset {\ to} {r}}} _ {k} [/ latex] и [latex] {\ mathbf { \ overset {\ to} {F}}} _ {k}, [/ latex] измерение от вектора [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {r}}} _ {k} [/ latex ] в вектор [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {F}}} _ {k} [/ latex] в направлении против часовой стрелки (рисунок).При использовании рисунка мы часто вычисляем величину крутящего момента и назначаем его значение либо положительным [латекс] (+) [/ латекс], либо отрицательным [латекс] (-), [/ латекс] в зависимости от направления вращения, вызванного этим. только крутящий момент. На рисунке чистый крутящий момент представляет собой сумму членов, каждый член вычисляется по рисунку, и каждый член должен иметь правильное значение . Точно так же на рисунке мы назначаем знак [latex] + [/ latex] компонентам в направлении [latex] + [/ latex] x и знак [latex] — [/ latex] компонентам в [латекс] — [/ латекс] х -направление.Это же правило должно последовательно соблюдаться на рисунке при вычислении компонентов силы по оси y .

Рис. 12.2 Крутящий момент силы: (a) Когда крутящий момент силы вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси вращения, мы говорим, что его направление положительное, что означает, что вектор крутящего момента параллелен оси вращения. (b) Когда крутящий момент силы вызывает вращение вокруг оси по часовой стрелке, мы говорим, что его направление отрицательное, что означает, что вектор крутящего момента антипараллелен оси вращения.

Во многих ситуациях равновесия одной из сил, действующих на тело, является его вес. На диаграммах свободного тела вектор веса привязан к центру тяжести тела. Для всех практических целей центр тяжести идентичен центру масс, как вы узнали из статей «Линейный импульс» и «Столкновения» о линейном импульсе и столкновениях. Только в тех случаях, когда тело имеет большую пространственную протяженность, так что гравитационное поле неоднородно по всему его объему, центр тяжести и центр масс расположены в разных точках.{2}. [/ Latex] В этих ситуациях центр тяжести совпадает с центром масс. Поэтому в этой главе мы используем центр масс (CM) как точку, к которой прикреплен вектор веса. Напомним, что ЦМ имеет особый физический смысл: когда внешняя сила приложена к телу точно в его ЦМ, тело в целом совершает поступательное движение, и такая сила не вызывает вращения.

Когда ЦМ расположен вне оси вращения, на объекте возникает чистый гравитационный момент .Гравитационный момент — это крутящий момент, вызванный весом. Этот гравитационный момент может вращать объект, если нет опоры для его балансировки. Величина гравитационного момента зависит от того, как далеко от оси находится ЦМ. Например, в случае самосвала (рисунок) ось поворота расположена на линии, где шины соприкасаются с поверхностью дороги. Если CM расположен высоко над поверхностью дороги, гравитационный момент может быть достаточно большим, чтобы перевернуть грузовик.Легковые автомобили с низко расположенной КМ, близкой к тротуару, более устойчивы к опрокидыванию, чем грузовики.

Рис. 12.3 Распределение массы влияет на положение центра масс (CM), к которому прикреплен вектор веса [latex] \ mathbf {\ overset {\ to} {w}} [/ latex]. Если центр тяжести находится в зоне опоры, погрузчик возвращается в исходное положение после опрокидывания [см. Левую панель в (b)]. Но если центр тяжести находится за пределами зоны опоры, грузовик перевернется [см. Правую панель в (b)].Оба транспортных средства в (b) находятся вне равновесия. Обратите внимание, что автомобиль на (а) находится в равновесии: низкое расположение центра тяжести затрудняет опрокидывание.

Пример

Центр тяжести автомобиля

Легковой автомобиль с колесной базой 2,5 м имеет 52% веса на передних колесах на ровной поверхности, как показано на рисунке. Где находится ЦМ этого автомобиля по отношению к задней оси?

Рисунок 12.4 Распределение веса между осями автомобиля.Где находится центр тяжести?
Стратегия

Вес автомобиля w нам неизвестен. Все, что мы знаем, это то, что когда автомобиль стоит на ровной поверхности, 0,52 w давит на поверхность в точках контакта передних колес, а 0,48 w толкает вниз на поверхность в точках контакта задних колес. Кроме того, точки контакта отделены друг от друга расстоянием [латекс] d = 2,5 \, \ text {m}. [/ Latex] В этих точках контакта автомобиль испытывает нормальные силы реакции величиной [латекс] {F} _ {\ text {F}} = 0.52 Вт [/ латекс] и [латекс] {F} _ {\ text {R}} = 0,48 Вт [/ латекс] на передней и задней осях соответственно. Мы также знаем, что автомобиль является примером твердого тела, находящегося в равновесии, весь вес которого w действует на его ЦМ. CM находится где-то между точками, где действуют нормальные силы реакции, где-то на расстоянии x от точки, где действует [латекс] {F} _ {R} [/ латекс]. Наша задача найти х . Таким образом, мы идентифицируем три силы, действующие на кузов (автомобиль), и можем нарисовать диаграмму свободного тела для расширенного твердого тела, как показано на рисунке.

Рис. 12.5 На диаграмме свободного тела для автомобиля четко указаны векторы сил, действующих на автомобиль, и расстояния до центра масс (CM). Когда CM выбран в качестве точки поворота, эти расстояния представляют собой плечи рычага нормальных сил реакции. Обратите внимание, что величины векторов и рычаги не нужно рисовать в масштабе, но все релевантные величины должны быть четко обозначены.

Мы почти готовы записать условия равновесия с рисунка по рисунок для автомобиля, но сначала мы должны определиться с системой отсчета.Предположим, мы выбрали ось x по длине кабины, ось y — вертикальную, а ось z — перпендикулярно этой плоскости xy . При таком выборе нам нужно написать только Figure и Figure, потому что все компоненты y тождественно равны нулю. Теперь нам нужно определиться с расположением точки поворота. Мы можем выбрать любую точку в качестве местоположения оси вращения ( z -ось). Предположим, мы разместили ось вращения на CM, как показано на схеме свободного тела для автомобиля.На этом этапе мы готовы написать условия равновесия для автомобиля.

Решение

Каждое условие равновесия содержит только три члена, потому что на автомобиль действуют силы [latex] N = 3 [/ latex]. Первое условие равновесия, рисунок, читается как

.

[латекс] + {F} _ {\ text {F}} — w + {F} _ {\ text {R}} = 0. [/ Latex]

Это условие тривиально выполняется, потому что, когда мы подставляем данные, Figure становится [latex] + 0,52w-w + 0,48w = 0. [/ Latex] Второе условие равновесия, Figure, читается как

[латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} + {\ tau} _ {w} + {\ tau} _ {\ text {R}} = 0 [/ латекс]

где [латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} [/ latex] — это крутящий момент силы [латекс] {F} _ {\ text {F}}, \, {\ tau} _ {w } [/ latex] — это гравитационный момент силы w , а [latex] {\ tau} _ {\ text {R}} [/ latex] — это крутящий момент силы [latex] {F} _ {\ text {Р}}.[/ latex] Когда ось расположена в CM, гравитационный момент идентично нулю, потому что плечо рычага веса относительно оси, которая проходит через CM, равно нулю. Линии действия обеих нормальных сил реакции перпендикулярны плечам их рычагов, поэтому на рисунке мы имеем [latex] | \, \ text {sin} \, \ theta | = 1 [/ latex] для обеих сил. Из диаграммы свободного тела мы читаем, что крутящий момент [латекс] {\ tau} _ {\ text {F}} [/ latex] вызывает вращение по часовой стрелке вокруг оси в CM, поэтому его смысл отрицательный; и крутящий момент [latex] {\ tau} _ {\ text {R}} [/ latex] вызывает вращение против часовой стрелки вокруг оси CM, поэтому его направление положительное.Имея эту информацию, запишем второе условие равновесия как

[латекс] \ text {-} {r} _ {\ text {F}} {F} _ {\ text {F}} + {r} _ {\ text {R}} {F} _ {\ text {R}} = 0. [/ Latex]

С помощью диаграммы свободного тела мы определяем величины силы [латекс] {F} _ {\ text {R}} = 0,48w [/ латекс] и [латекс] {F} _ {\ text {F }} = 0,52w, [/ latex] и соответствующие им рычаги [латекс] {r} _ {\ text {R}} = x [/ latex] и [latex] {r} _ {\ text {F}} = dx. [/ latex] Теперь мы можем записать второе условие равновесия, рисунок, явно через неизвестное расстояние x :

[латекс] -0.52 (d-x) w + 0,48xw = 0. [/ Латекс]

Здесь вес w отменяется, и мы можем решить уравнение для неизвестного положения x CM. Ответ: [латекс] x = 0,52d = 0,52 (2,5 \, \ text {m}) = 1,3 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

Решение

Выбор шарнира в положении передней оси не меняет результата. Схема свободного тела для этой точки поворота представлена ​​на рисунке. Для этого выбора точки поворота второе условие равновесия равно

.

[латекс] \ text {-} {r} _ {w} w + {r} _ {\ text {R}} {F} _ {\ text {R}} = 0.[/ латекс]

Когда мы подставляем числа, указанные на диаграмме, получаем

[латекс] \ text {-} (d-x) w + 0,48dw = 0. [/ Latex]

Ответ, полученный путем решения рисунка, опять же, [латекс] x = 0,52d = 1,3 \, \ text {m}. [/ Latex]

Рисунок 12.6 Эквивалентная диаграмма свободного тела для автомобиля; точка поворота четко обозначена.
Значение

Этот пример показывает, что при решении задач статического равновесия мы можем выбрать точку поворота.Для различных вариантов выбора точки поворота у нас есть разные наборы условий равновесия, которые необходимо решить. Однако любой выбор приводит к одному и тому же решению проблемы.

Проверьте свое понимание

Решите фигуру, выбрав шарнир в месте расположения задней оси.

Показать решение

[латекс] x = 1,3 \, \ text {m} [/ latex]

Проверьте свое понимание

Объясните, какая из следующих ситуаций удовлетворяет обоим условиям равновесия: (а) теннисный мяч, который не вращается при движении в воздухе; (б) пеликан, который парит в воздухе с постоянной скоростью на одной высоте; или (c) коленчатый вал двигателя припаркованного автомобиля.

Особый случай статического равновесия возникает, когда все внешние силы на объект действуют на оси вращения или вдоль нее, или когда пространственное протяжение объекта можно не принимать во внимание. В таком случае объект можно эффективно рассматривать как точечную массу. В этом частном случае нам не нужно беспокоиться о втором условии равновесия, рис., Потому что все крутящие моменты тождественно равны нулю, а первое условие равновесия (для сил) является единственным условием, которое должно выполняться. Диаграмма свободного тела и стратегия решения задач для этого особого случая были изложены в «Законах Ньютона» и «Приложениях законов Ньютона».В следующем примере вы увидите типичную ситуацию равновесия, включающую только первое условие равновесия.

Пример

Разрывное напряжение

Маленькая кастрюля массой 42,0 г поддерживается двумя струнами, как показано на рисунке. Максимальное натяжение, которое может выдержать струна, составляет 2,80 Н. Масса постепенно добавляется к чаше, пока одна из струн не сломается. Какая это струна? Какую массу нужно добавить, чтобы это произошло?

Рисунок 12.7 Масса добавляется в кастрюлю постепенно, пока одна из струн не лопнет.
Стратегия

Эта механическая система, состоящая из струн, масс и сковороды, находится в статическом равновесии. В частности, узел, который привязывает струны к кастрюле, находится в статическом равновесии. Узел можно рассматривать как точку; следовательно, нам нужно только первое условие равновесия. Три силы, тянущие узел, — это натяжение [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {T}}} _ {1} [/ latex] в 5,0-сантиметровой струне, натяжение [латекс] {\ mathbf {\ overset {\ to} {T}}} _ {2} [/ latex] в строке длиной 10,0 см и вес [латекс] \ mathbf {\ overset {\ to} {w}} [/ latex ] сковороды, удерживающей массы.Мы принимаем прямоугольную систему координат с осью y , направленной противоположно направлению силы тяжести, и рисуем диаграмму свободного тела для узла (см. Рисунок). Чтобы найти компоненты натяжения, мы должны определить углы направления [латекс] {\ alpha} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ alpha} _ {2} [/ latex], которые образуют струны с горизонтальным направление оси x . Как вы можете видеть на рисунке, струны составляют две стороны прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить этот треугольник, показанный на рисунке, и найти синус и косинус углов [latex] {\ alpha} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ alpha} _ {2 }.[/ latex] Затем мы можем разложить натяжения на их прямоугольные составляющие, подставить в первое условие равновесия (рисунок и рисунок) и найти натяжения в струнах. Первой порвется струна с большим натяжением.

Рисунок 12.8 Схема свободного тела для узла на рисунке.

Решение

Вес w , натягивающий узел, обусловлен массой M кастрюли и массой m , добавленной к кастрюле, или [латекс] w = (M + m) g.[/ latex] С помощью диаграммы свободного тела на рисунке, мы можем установить условия равновесия для узла:

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ text {в направлении} \, x \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill \ text {-} {T} _ {1x} + {T} _ {2x} & = \ hfill & 0 \ hfill \\ \ text {в направлении} \, y \ text {,} \ hfill & & \ hfill \ text {+} {T} _ {1y} + { T} _ {2y} -w & = \ hfill & 0. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Из диаграммы свободного тела, величины компонентов в этих уравнениях равны

.

[латекс] \ begin {array} {ccc} {T} _ {1x} = {T} _ {1} \ text {cos} \, {\ alpha} _ {1} = {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5}, \ hfill & & {T} _ {1y} = {T} _ {1} \ text {sin} \, {\ alpha} _ {1} = 2 {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5} \ hfill \\ {T} _ {2x} = {T} _ {2} \ text {cos} \, {\ alpha} _ {2} = 2 {T} _ {2} \ text {/} \ sqrt {5}, \ hfill & & {T} _ {2y} = {T} _ {2} \ text {sin} \, {\ alpha} _ { 2} = {T} _ {2} \ text {/} \ sqrt {5}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

Подставляем эти компоненты в условия равновесия и упрощаем. Затем мы получаем два уравнения равновесия для натяжений:

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ text {in} \, x \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill {T} _ {1} & = \ hfill & 2 {T} _ {2} \ hfill \\ \ text {in} \, y \ text {-direction,} \ hfill & & \ hfill \ frac {2 {T} _ {1}} {\ sqrt {5}} + \ frac {{T} _ {2}} {\ sqrt {5}} & = \ hfill & (M + m) g. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Уравнение равновесия для направления x говорит нам, что натяжение [латекс] {T} _ {1} [/ латекс] в 5.0-сантиметровая струна вдвое превышает натяжение [латекс] {T} _ {2} [/ latex] в 10-сантиметровой струне. Таким образом, более короткая струна порвется. Когда мы используем первое уравнение, чтобы исключить [латекс] {T} _ {2} [/ latex] из второго уравнения, мы получаем соотношение между массой [латекс] м [/ латекс] на сковороде и натяжением [латекс ] {T} _ {1} [/ latex] в более короткой строке:

[латекс] 2,5 {T} _ {1} \ text {/} \ sqrt {5} = (M + m) г. [/ латекс]

Струна разрывается, когда натяжение достигает критического значения [латекс] {T} _ {1} = 2.{2}} — 0,042 \, \ text {kg} = 0,277 \, \ text {kg} = 277,0 \, \ text {g.} [/ Latex]

Значение

Предположим, что механическая система, рассматриваемая в этом примере, прикреплена к потолку внутри лифта, поднимающегося вверх. Пока лифт движется вверх с постоянной скоростью, результат остается неизменным, потому что вес [латекс] w [/ латекс] не меняется. Если лифт движется вверх с ускорением, критическая масса меньше, потому что вес [латекса] M + m [/ latex] становится больше на кажущийся вес из-за ускорения лифта.Тем не менее, во всех случаях более короткая струна рвется первой.

Сводка

  • Тело находится в равновесии, когда оно остается либо в равномерном движении (поступательном и вращательном), либо в состоянии покоя. Когда тело в выбранной инерциальной системе отсчета не вращается и не движется в поступательном движении, мы говорим, что тело находится в статическом равновесии в этой системе отсчета.
  • Условия равновесия требуют, чтобы сумма всех внешних сил, действующих на тело, была равна нулю (первое условие равновесия), а сумма всех внешних моментов от внешних сил была равна нулю (второе условие равновесия).Эти два условия должны одновременно выполняться в состоянии равновесия. Если один из них не удовлетворен, тело не находится в равновесии.
  • Диаграмма свободного тела для тела — полезный инструмент, который позволяет нам правильно подсчитать все вклады от всех внешних сил и моментов, действующих на тело. Диаграммы свободного тела для равновесия вытянутого твердого тела должны указывать точку поворота и плечи рычага действующих сил по отношению к оси.

Концептуальные вопросы

Что вы можете сказать о скорости движущегося тела, находящегося в динамическом равновесии?

При каких условиях вращающееся тело может находиться в равновесии? Приведите пример.

Какие три фактора влияют на крутящий момент, создаваемый силой относительно определенной точки поворота?

Показать решение

Величина и направление силы и ее плечо рычага

Механики иногда кладут кусок трубы на рукоятку гаечного ключа, пытаясь открутить очень тугой болт. Как это помогает?

Для следующих четырех задач оцените утверждение как истинное или ложное и объясните свой ответ.

Если на объект действует только одна внешняя сила (или крутящий момент), он не может находиться в равновесии.

Показать решение

Верно, поскольку в этом случае сумма сил не может быть равна нулю, если сама сила не равна нулю.

Если объект находится в равновесии, на него должно действовать четное число сил.

Если на объект действует нечетное количество сил, объект не может находиться в равновесии.

Показать решение

Неверно, если силы добавляются к нулю как векторы, тогда равновесие может быть достигнуто.

Тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью, находится в равновесии вращения.

Для чего нужен длинный и гибкий шест, который переносят канатоходцы?

Показать решение

Помогает канатоходцу сохранять равновесие.

Проблемы

При затяжке болта вы нажимаете гаечный ключ перпендикулярно с усилием 165 Н на расстоянии 0,140 м от центра болта. Какой крутящий момент вы прикладываете относительно центра болта?

При открытии двери вы нажимаете на нее перпендикулярно с силой 55.0 Н на расстоянии 0,850 м от петель. Какой крутящий момент вы прикладываете к петлям?

Показать решение

[латекс] 46.8 \, \ text {N} \ cdot \ text {m} [/ latex]

Найдите величину натяжения каждого поддерживающего троса, показанного ниже. В каждом случае вес подвешенного тела составляет 100,0 Н, а массой кабелей можно пренебречь.

Какая сила должна быть приложена в точке P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Можно ли приложить силу к P , чтобы удерживать показанную конструкцию в равновесии? Вес конструкции незначительный.

Двое детей толкают противоположные стороны двери во время игры. Оба толкаются горизонтально и перпендикулярно двери. Один ребенок толкает с силой 17,5 Н на расстоянии 0,600 м от петель, а второй ребенок толкает на расстоянии 0,450 м. Какую силу должен приложить второй ребенок, чтобы дверь не двигалась? Предположим, трение незначительно.

Небольшой внедорожник массой 1000 кг имеет колесную базу 3,0 м. Если 60%, если его вес приходится на передние колеса, насколько далеко позади передних колес находится центр масс фургона?

Унифицированные качели сбалансированы в центре масс, как показано ниже. Маленький мальчик справа имеет массу 40,0 кг. Какая масса у его друга?

Глоссарий

центр тяжести
точка, к которой прикреплен вектор весов
равновесие
Тело
находится в равновесии, когда его линейное и угловое ускорения равны нулю относительно инерциальной системы отсчета
первое условие равновесия
выражает поступательное равновесие; все внешние силы, действующие на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю
гравитационный момент
крутящий момент на корпусе, вызванный его весом; возникает, когда центр тяжести тела не расположен на оси вращения
второе состояние равновесия
выражает вращательное равновесие; все крутящие моменты от внешних сил, действующих на тело, уравновешиваются и их векторная сумма равна нулю
статическое равновесие
Тело находится в статическом равновесии, когда оно покоится в выбранной нами инерциальной системе отсчета

Фермерских построек… — Ch5 Структурное проектирование: Основные принципы статики

Фермерские конструкции … — Ch5 Структурное проектирование: Основные принципы статики
Базовый принципы статики

Содержание Назад Вперед

Конструктивное проектирование связано с прочностью, жесткость и устойчивость таких конструкций, как здания, плотины, мосты и подпорные стены.Хотя здание построено от основания вверх дизайнер должен начинать сверху с крышей и продвигайтесь вниз. Есть два разных этапы проектирования конструкций. Сначала инженер-строитель с его опыт, интуиция и знания создают образное выбор эскизного проекта по планировке, материалам и методы эрекции. Приведены оценки различных форм нагрузки. сделано, а затем выбранный дизайн подвергается детальному анализу основанный на принципах статики.Статика — одна из основных ветвей механика и имеет дело с силами, действующими на тела, находящиеся в состоянии покоя. (статическое равновесие). Другая основная ветвь, динамика, занимается движущиеся тела, например, части машин.

Статическое равновесие

Силы, действующие в одной плоскости (т. Е. В одной плоскости) и в равновесии должен удовлетворять одному из следующих наборов условий:

S F x = 0 S F x = 0 S F y = 0 S M a = 0

S F y = 0 или S M a = 0 или S M a = 0 или S M b = 0

S M a = 0 S M b = 0 S M b = 0 S M c = 0

, где F относится к силам, а M относится к моментам сил.

Статическая определенность

Если тело находится в равновесии под действием компланарного сил, должны применяться приведенные выше уравнения статики. В целом тогда три независимых неизвестных могут быть определены из трех уравнения. Обратите внимание: если приложенные и противодействующие силы параллельны (т.е. только в одном направлении) только два отдельных уравнения дают и тогда можно определить только два неизвестных. Такие системы силы называются статически определенными.

Усилие

Сила определяется как любая причина, которая имеет тенденцию изменять состояние или покой тела или его состояние равномерного движения по прямой линия. Сила может быть определена количественно как произведение масса тела, на которое действует сила, и ускорение силы.

P = ma, где
P = приложенная сила
m = масса тела (кг)
a = ускорение, вызванное силой (м / с 2 )

Таким образом, единицей измерения силы Sl является кг м / с 2 , что обозначается Ньютоном (N).Следующие кратные числа часто используемый:

1 кН = 1 000 Н, 1 МН = 1 000 000 Н

Все объекты на Земле стремятся ускоряться к центру Земля из-за гравитационного притяжения, следовательно, сила гравитация, действующая на тело массой (м), является продуктом масса и ускорение свободного падения (g), которое имеет магнитудой 9,81 м / с2.

F = mg = vr g где:
F = сила (Н)
m = масса (кг)
g = ускорение свободного падения (9.8 м / с2)
v = объем (м)
r = плотность (кг / м)

Вектор

Большинство сил имеют величину и направление и могут быть показаны как вектор. Также необходимо указать его точку применения. Вектор изображается линией, длина которой пропорциональна величина в некоторой шкале и стрелка, показывающая направление.

Сложение векторов

Сумма двух или более векторов называется результирующей.В равнодействующая двух параллельных векторов получается путем построения векторная диаграмма двух векторов.

Добавляемые векторы располагаются по схеме «кончик к хвосту». Если нужно добавить три или более вектора, их можно расположить таким же образом, и это называется многоугольником. Линия, проведенная к закрыть треугольник или многоугольник (от начала до конечной точки) формирует результирующий вектор.

Вычитание вектора определяется как сложение соответствующий отрицательный вектор.

Разрешение силы

При анализе и расчетах часто удобно учитывать эффекты силы в других направлениях, кроме силы сам, особенно по декартовой оси (xx-yy). Сила эффекты вдоль этих осей называются векторными компонентами и полученный обращением метода сложения векторов.

F y — компонент F в направлении y F y = F sin q

F x — компонент F в направлении x F x = F cos q

Параллельные копланарные силы

Силы, линия действия которых встречается в одной точке, называются одновременный.Копланарные силы лежат в одной плоскости, тогда как некопланарные силы должны быть связаны с трехмерным пространство и требуют двух элементов данных направления вместе с величина. Две копланарные непараллельные силы всегда будут одновременный.

Равновесие частицы

Когда равнодействующая всех сил, действующих на частицу, равна нулю, частица находится в равновесии, т. е. не нарушена его существующее состояние покоя (или равномерного движения).

Замкнутый треугольник или многоугольник является графическим выражением равновесие частицы.

Равновесие частицы, к которой приложена единственная сила. применяется может поддерживаться применением второй силы, равной по величине и направлению, но противоположной по смыслу, к первой силе. Эта вторая сила, поскольку она восстанавливает равновесие, называется равновесным. Когда частица действует при действии двух или более сил равновесие должно быть равным и противоположно равнодействующей системы.Таким образом, равновесие вектор, нарисованный закрывающий векторную диаграмму и соединяющий от конечной точки до отправной точки.

Схема свободного тела Частица

Известен эскиз, показывающий физические условия проблемы. как пространственная диаграмма. Это можно свести к диаграмме, показывающей частица и все силы, действующие на нее. Такая диаграмма называется диаграммой свободного тела.

Пример 1 Определите натяжение каждого из канатов AB и AC

Пример 2 Жесткий стержень шарнирно прикреплен к вертикальной опоре и удерживается на 50 к горизонтали с помощью троса, когда вес 250N подвешен, как показано на рисунке.Определите напряжение в тросе и сжатие в стержне без учета веса стержня.

Схема пространства

Схема свободного тела

Треугольник силы

Силы можно также рассчитать по закону синусов:

(сжатие в стержне / sin 45) = (натяжение в кабеле / ​​sin 40) = (250Н / грех 65)

Точка параллелизма

Три копланарных силы, которые находятся в равновесии, должны пройти все через ту же точку.Это не обязательно относится к большему количеству чем три силы.

Если две силы (не параллельные) не встречаются на своих точки соприкосновения с телом, например, конструктивным элементом, их линии действия могут быть продлены до тех пор, пока они не встретятся.

Коллинеарные силы

Коллинеарные силы параллельны и совпадают. Сумма силы должны быть равны нулю, чтобы система находилась в равновесии.

Копланарные, непараллельные, параллельные силы Три или более требуются параллельные силы.Они будут в равновесии, если сумма сил равна нулю, а сумма моментов вокруг точка на плоскости равна нулю. Равновесие также обозначается две суммы моментов равны нулю.

Таблица 4 1 Действия и Реакция

Реакция

Структурные компоненты обычно поддерживаются в равновесии за счет крепится к жестким точкам крепления; это часто другие части та же структура.Точки крепления или опоры будут реагировать против тенденции приложенных сил (нагрузок) вызывать член двигаться. Таким образом, силы, возникающие в опорах, равны называется реакцией.

Как правило, конструктивный элемент должен удерживаться или поддерживаться на минимум две точки (исключение — консоль). Любой, кто пробовал «уравновесить» длинный шест или что-то подобное поймете, что хотя теоретически только одна опора необходимые два используются для обеспечения удовлетворительной стабильности.

Результат сил гравитации

Можно предположить, что весь вес тела воздействует на центр. силы тяжести тела с целью определения поддержки реакции системы сил, находящихся в равновесии. Примечание что для других целей силы гравитации не всегда могут быть лечили таким образом.

Пример 3

Лестница упирается в гладкую стену и человек весом 900Н стоит на нем посередине.Вес лестницы 100Н. Определите опорные реакции у стены (RW) и у земля (RG)

Схема свободного хода лестницы

Диаграмма сил

Так как стена гладкая, реакция RW должна быть справа. наклонен к поверхности стены и, следовательно, расположен горизонтально. А вертикальный компонент указывал бы на силу трения между лестница и стена. Внизу лестница опирается на грунт не ровный, и поэтому реакция RG должен иметь как вертикальную, так и горизонтальную составляющую.

Поскольку две силы веса в этом примере имеют одну и ту же линию действия, они могут быть объединены в единую силу, уменьшающую проблема от одного, имеющего четыре силы, до одного, имеющего только три силы. Затем можно найти точку параллелизма (A), давая направление силы реакции земли. Это, в свою очередь, позволяет диаграмму вектора силы, которую нужно нарисовать, и, следовательно, стену и реакции грунта определены.

Пример 4

Каркас (ферма) с шарнирным соединением воспринимает две нагрузки, как показано.Конец A прикреплен к жесткой опоре, в то время как конец B имеет роликовая опора. Определите опорные реакции графически:

  • 1 Объедините две приложенные силы в одну и найдите линию действия.

1 Объедините два применяемых силы в одну и найдите линию действия.

  • 2 Из-за опоры ролика реакция RB будет вертикальный. Следовательно, результирующая линия (RL) должна быть вытянут, чтобы пересечь вертикальную реакцию опоры B.Эта точка является точкой параллелизма для результирующего нагрузка, реакция в точке B и реакция в точке A.
  • 3 От этой точки параллелизма проведите линию через опорный штифт в A. Это дает линию действия реакция на А.
  • 4 Используйте эти три направления силы и величину RL, чтобы нарисовать силовую диаграмму, из которой можно определить RA и RB. найденный.

Ответ: RA = 12.2 кН на расстоянии 21 от горизонтали. RB = 12,7 кН вертикальный.

Многоугольник связи (см. Инженерное руководство) также может быть используется для определения реакции на балку или ферму, хотя обычно быстрее и легче получить реакцию расчет, метод, показанный в Примере 4, или комбинация расчет и черчение.

Однако должны быть выполнены следующие условия.

  • 1 Все силы (кроме двух реакций) должны быть известны полностью, т.е.е., масштабы, направление действий и направление.
  • 2 Линия действия одной из реакций должна быть известный.
  • 3 По крайней мере, одна точка на линии действий для другой реакция должна быть известна. (2 и 3 уменьшают количество неизвестных, связанных с уравнениями равновесия приемлемый уровень.)

Моменты сил

Действие силы на твердое тело зависит от его точки применение, а также его масштабы и направление.Это обычно знание того, что небольшое усилие может иметь большой эффект поворота или использовать. В механике термин момент используется вместо эффект поворота.

Момент силы с величиной (F) относительно точки поворота (O) определяется как: M = F x d, где d — перпендикуляр расстояние от O до линии действия силы F. Расстояние d часто называют рычагом. Момент имеет размеры силы раз длина (Нм). Направление момента относительно точки или оси равно определяется направлением вращения, к которому стремится сила дать телу.Момент по часовой стрелке обычно рассматривается как имеющий положительный знак и момент против часовой стрелки отрицательный знак.

Определение момента силы в компланарном система будет упрощена, если сила и ее точка приложение разложено на горизонтальное и вертикальное составные части.

Схема свободного тела для жесткого тела

При решении проблемы необходимо учитывать все силы. воздействуя на тело, и исключить любую силу, которая непосредственно не наносится на тело.Первый шаг в решении проблемы Поэтому следует рисовать диаграмму свободного тела.

  • 1 Выберите свободное тело, которое будет использоваться, изолируйте его от любых другое тело и нарисуйте его контур.
  • 2 Найдите все внешние силы на свободном теле и четко отметьте их величину и направление. Это должно включать вес свободного тела, приложенный к центр тяжести.
  • 3 Найдите и отметьте неизвестные внешние силы и реакции, на диаграмме свободного тела.
  • 4 Включите все размеры, указывающие местоположение, и направление сил.

Продолжение примера 3

Поскольку лестница в Примере 3 находится в состоянии покоя, условия равновесие для твердого тела можно использовать для расчета реакции. Обращая внимание на то место, где лестница упирается в землю, момент реакции РГ можно не учитывать поскольку у него нет плеча рычага (момент равен нулю).Согласно третье условие равновесия, сумма моментов должна равняться ноль, следовательно:

(6 x R W ) — (900N x 1,5 м) — (100N x 1,5 м. = 0

R W = 250N

Вертикальная составляющая RG должна, согласно второму условие, быть равным, но противоположным сумме веса лестнице и вес человека на лестнице, так как те два — это единственные вертикальные силы и сумма вертикальных силы должны равняться нулю.т.е.

R Gy = 1000N

Используя первое условие равновесия, можно увидеть, что горизонтальная составляющая RG должна быть одинаковой, но противоположной в направление на RW т.е .;

R GX = 250N

Так как RG — это третья сторона силового треугольника, где две другие стороны — это горизонтальная и вертикальная составляющие, Величина RG может быть рассчитана как:

1000 2 + 250 2 = 1030N

Результат параллельных сил

Если две или более параллельных силы приложены к горизонтальному балка, то теоретически балку можно удерживать в равновесии с помощью приложение единой силы (реакции), которая равна и напротив результирующего, R.Равновесие нисходящего силы должны быть равны и противоположны их равнодействующей. Этот обеспечивает метод вычисления равнодействующей системы параллельные силы. Однако необходимы две реакции, чтобы гарантировать необходимая стабильность и более вероятное расположение будет иметь две и более опоры.

Обе реакции RA и RB должны быть вертикальными, так как есть нет горизонтальной составляющей силы. Кроме того, сумма силы реакции RA и RB должны быть равны сумме силы, действующие вниз.

Реакции пучка

Величину реакции можно узнать из приложения третьего условия равновесия, т. е. алгебраической суммы моментов сил относительно любой точки должны быть равны нулю.

Возьмите моменты вокруг точки A, затем:

(80 x 2) + (70 x 4) + (100 x 7) + (30 x 10) — (R B х 12) = 0;

R B = 120 кН

RA теперь легко найти с применением второго условие равновесия.

R A = 75-70-100-30+ R B = 0; RB = 120 кН дает:

R A = 160 кН.

Пары

Две равные, параллельные и противоположные, но не коллинеарные силы действуют. говорят, что это пара.

Пара, действующая на тело, производит вращение. Обратите внимание, что пару нельзя уравновесить одной силой. Производить равновесие другая пара равного и противоположного момента обязательный.

Пары

Погрузочные системы

Перед любым из различных воздействий нагрузки (растяжение, сжатие, изгиб и т. д.), приложенные нагрузки должны быть рационализирован в ряд упорядоченных систем. Неравномерная загрузка трудно справиться точно, но даже самые нестандартные нагрузки могут быть уменьшены и приближены к количеству обычных системы. Затем с ними можно справиться математически, используя принцип наложения для оценки общей комбинированной эффект.

Сосредоточенные нагрузки — это нагрузки, которые, как можно предположить, действуют на единственная точка, например, груз, свисающий с потолка, или человек толкая коробку.

Концентрированные нагрузки представлены одной стрелкой, нарисованной на направление и через точку действия силы. В всегда указывается величина силы.

Равномерно распределенные нагрузки, обозначаемые как u.d.l. те, которые можно предположить, что действует равномерно по площади или по длине конструктивного элемента, e.г., нагрузки на крышу, ветровые нагрузки, влияние веса воды на горизонтальной поверхности и т. д.

Для целей расчета u.d.l. обычно рассматривается в плоскости и представляется, как показано.

При расчете реакций равномерно распределенные нагрузки могут большинство, но не все случаи могут быть представлены сосредоточенной нагрузкой равной общей распределенной нагрузке и проходящей через центр тяжести распределенной нагрузки.

Этот метод нельзя использовать для расчета сдвига. сила, изгибающий момент или прогиб.

Пример 5

Рассмотрим подвесной пол, в котором нагрузки поддерживаются набор неравномерно расположенных балок. Пусть нагрузка, возникающая от вес самого пола и вес любого уложенного материала поверх него (например, хранимого зерна) должно быть 10 кН / м. Обозначить u.d.l. воздействует на луч A и луч C.

ЭТАЖНАЯ ЧАСТЬ

Из рисунка ниже видно, что балка A несет нагрузки на перекрытие, создаваемые половиной площади между балками А и B i.е., заштрихованная область L. Балка C несет по заштрихованной зоне м.

Секция пола, часть 2

Следовательно, балка A несет общую нагрузку:

1 м x 4 м x 10 кН / м = 40 кН или 40 кН / 4 = 10 кН / м.

Таким же образом можно рассчитать нагрузку на балку C 25кН / м. Затем можно использовать нагрузку на метр пробега для расчета необходимый размер балок.

Распределенные нагрузки с линейным изменением — еще одна распространенная нагрузка. ситуация.

Нагрузочная форма треугольная и является результатом такого действия как давление воды на подпорные стены и плотины.

Загрузка балки C

Сила сдвига и изгибающий момент

Балка — это элемент конструкции, подверженный боковой нагрузке в которое проявленное сопротивление деформации является изгибным персонаж. Эффект первичной нагрузки, на который рассчитана балка. сопротивление — это изгибающие моменты, но, кроме того, необходимо учитывать поперечные или вертикальные силы сдвига.

Рассмотрим консоль AB, показанную на (а). Для равновесия сила реакции в точке A должна быть вертикальной и равной нагрузке W.

Следовательно, консоль должна передавать воздействие нагрузки W на поддержка в точке A путем развития сопротивления (по вертикали плоскости сечения между грузом и опорой) к Эффект нагрузки называется силой сдвига. Неспособность передать сила сдвига в любом заданном сечении, например, сечении x-x, будет привести к разрушению балки, как показано на рисунке (b).Изгибающий эффект нагрузка вызовет деформацию балки, как показано в (c). Чтобы предотвратить вращение балки на опоре A должен быть момент реакции при A, обозначенный как M A , что равно произведению нагрузки W и расстояние от W до точки A.

Усилие сдвига и изгибающий момент, передаваемые через сечение x-x можно рассматривать как силу и момент соответственно, которые необходимы для поддержания равновесия, если разрез производится рассечение балки в точках x-x.Диаграммы свободного тела две части балки показаны на (d).

Тогда сила сдвига между A и C = Q x = W

и изгибающий момент между A и C = M x = W x

Примечание: сила сдвига и изгибающий момент будут ноль между C и B.

Сила сдвига, часть 1

Сила сдвига, часть 2

Определения

Сила сдвига (Q) — это алгебраическая сумма всех поперечных силы, действующие слева или справа от выбранного участка.

Изгибающий момент (M) на любом поперечном сечении прямая балка — это алгебраическая сумма моментов, взятых около ось, проходящая через центр тяжести поперечного сечения, всех силы, приложенные к балке по обе стороны от выбранного креста раздел.

Таблица 4.2. Изгибающие силы

Изменение силы сдвига

Концентрированные нагрузки изменяют значение поперечной силы только в тех местах, где они возникают, т.е.е., поперечная сила остается постоянная между ними. Когда нагрузка распределена равномерно, однако сила сдвига будет изменяться с постоянной скоростью. Таким образом будет видно, что равномерные нагрузки вызывают постепенное и равномерное изменение сдвига, в то время как сосредоточенные нагрузки приводят к внезапному изменению значение поперечной силы.

Вариация изгибающего момента

Сосредоточенные нагрузки вызывают равномерное изменение изгиба момент между точками действия нагрузок.На случай, если равномерно распределенные нагрузки, скорость изменения изгиба момент будет параболическим. Максимальные значения изгибающего момента будут возникают там, где сила сдвига равна нулю или когда она меняет знак.

Диаграммы поперечных сил и изгибающих моментов

Типичные диаграммы распределения усилия сдвига и изгибающий момент часто требуются на нескольких этапах процесс проектирования. Эти диаграммы получены путем построения графиков. с балками в качестве основы и значениями конкретных эффект в виде ординат.Эти диаграммы обычно строят в наборы из трех, представляющие распределение нагрузок, сдвиг силы и изгибающие моменты соответственно. Эти графические Представительства предоставляют полезную информацию относительно:

  • a наиболее вероятный участок, где балка может разрушиться при сдвиге или в гибке
  • b, где усиление может потребоваться в определенных типах балки, например, бетонные балки
  • c диаграмма поперечного усилия предоставит полезную информацию о изгибающем моменте в любой точке
  • d диаграмма изгибающего момента дает полезную информацию о отклоненная форма балки.

В следующем примере показано, как выглядят три диаграммы. построено:

Пример 6.1

Нарисуйте диаграмму нагрузки на балку, показывающую все нагрузки и соответствующие Габаритные размеры. Это просто диаграмма свободного тела балки.

2 Определите реакции на опорах. Сначала используйте условие равновесия моментов около точки

S M E = 0
M E = (P x a) + (w 1 x b x b 2 ) + w 2 x c (b + c / 2) — R G (b + c) = 0
M E = — (10 x 10) + (2 x 10 x 5) + 4 x 10 x (15) — R G (20) = 0
R G = 30 кН
S F y = 0, следовательно,
S F y = R E + R G -P- (w 1 x b) — (w 2 x c) = 0
S F y = R E + 30-10 — (2 x 10) — (4 x 10) = 0
R E = 40 кН

3 Нарисуйте диаграмму поперечных сил (SFD) непосредственно под диаграмму нагрузки и выберите удобный масштаб для представления сдвигающая сила.

Рассчитайте значения поперечной силы слева и справа от всех критических точек. Критические точки:

  • при сосредоточенных нагрузках
  • при реакции
  • в точках, где величина распределенной нагрузки изменения.
  • a Рассмотрим разрез балки слева от D, и найти алгебраическую сумму всех вертикальных сил для слева от этого раздела.S F y = 0:. поперечная сила слева от D равна нулю
  • b Рассмотрим участок справа от D, алгебраический сумма сил слева от этой секции составляет 10 кН до левый. Следовательно, поперечное усилие справа от D составляет 10 кН (отрицательное)
  • c Тот же результат, что и в 2) выше, будет найден для любого такое сечение между D и E. Диаграмма поперечной силы Таким образом, между D и E проходит горизонтальная линия -10 кН.
  • d Рассмотрим участок справа от E, алгебраический Сумма сил слева от этого участка складывается из P и RE, поперечная сила равна (-10 + 40) кН = + 30 кН, то есть слева от раздела. Таким образом, при силе сдвига E диаграмма изменяется от -10кН до + 30кН.
  • По мере приближения к правому концу балки находим математику легче считать правой частью любого раздел.
  • e Сечение слева от F. поперечное усилие = (4 кН / м x 10 м) — (30 кН) с использованием знакового соглашения для определения положительного или отрицательный. Сдвигающая сила здесь составляет + 40 — 30 = + 10 кН.
  • f Сечение справа от F. поперечное усилие = + 40-30 = + 10 кН (т.е. без резких изменений при F). g Раздел только для слева от G. поперечная сила = -30 кН ч Изменение сдвига под a u.d.l. должен быть линейным.

Пример 6.1

Обратите внимание на следующее на диаграмме поперечного усилия:

  • Максимальное усилие сдвига возникает в точках E и G, где значения составляют + 30кН и 30кН соответственно. Эти два поперечных разделы — две наиболее вероятные точки отказа в сдвиг.
  • Максимальный изгибающий момент возникает там, где сдвиг сила равна нулю или где сила сдвига меняет знак. Однако учтите, что консольные балки всегда будут иметь максимальный изгиб на фиксированном конце.

SFD в приведенном выше примере имеет две точки, где сдвиг сила равна нулю. Один находится в E, а другой — H между и G. положение H можно вычислить из того факта, что при F сдвиг усилие 10 кН и под действием у.д. 1. справа от F снижается со скоростью 4 кН / м. Он будет читать значение ноль через 2,5 м, т.е. точка H находится на 2,5 м правее F.

4 Постройте диаграмму изгибающего момента (BMD) непосредственно под SFD. и выберите удобный масштаб для представления изгибающего момента.Рассчитайте значения изгибающего момента во всех критических точках. Критические точки для изгибающего момента:

  • концы балки
  • , где сила сдвига равна нулю или меняет знак
  • других точек, которые по опыту известны критический.

Значения изгибающего момента рассчитываются с использованием определения и подписать соглашение, учитывая каждую нагрузку (с одной стороны точка) отдельно.Это эффект, который одна нагрузка оказала бы на изогнутая форма в выбранной точке, определяющая знак.

a Для B.M. в D рассмотрим левую часть этой точки M p = 0

b Для B. M. в E рассмотрим левую часть этой точки M E = P x a, и балка примет форму излома;

M F = — (10 x 10) = -100 кНм

c Для B. M. при F учитывать нагрузки справа от точки, провисание балочные результаты и:

M F = — (4 x 10 x 10/2) + (30 x 10) = 100 кНм

д Б.М. у G явно ноль

e В точке H мы имеем максимальный изгибающий момент: учитывая силы справа от этой точки дает

MH = — (4 x 7 512 x 7 5) + (30 x 7 5) = 112,5 (провисание)

f Изменение изгибающего момента под действием u.d.l. параболический

г Если включение других точек было бы полезно при рисовании кривую, их также следует нанести на график.

Обратите внимание на следующее на диаграмме изгибающего момента:

  • Возникает максимальный отрицательный изгибающий момент (100 кНм) при E и максимальном положительном прогибе изгибающего момента ( 112.5 кНм) возникает в точке между F и G. проектирование балок из таких материалов, как бетон, сталь арматура должна быть размещена в соответствии с этими моменты.

Рисунок

  • BMD также покажет, как загружен луч отклонится. Положительные изгибающие моменты (провисание) вызывают сжатие в верхних волокнах балки, следовательно они склонны гнуть балку вогнутой стороной вниз.
  • На опорных концах простой балки и на свободных конец консольной балки, где не может быть сопротивление изгибу, изгибающий момент всегда равен нулю.

Усилие в рамах с шарнирным соединением

При проектировании каркаса необходимо найти силы в участники. Для расчета первичных напряжений каждый элемент считается соединенным штифтом на каждом конце, так что он может передавать осевое усилие только в направлении линии соединяя штыревые соединения на каждом конце.Сила может быть чистой напряжение (условно обозначенное как положительное), и в этом случае член называется стяжкой или чистым сжатием (условно обозначается отрицательным), когда элемент называется распоркой.

Это внутренние силы, которые должны быть в равновесии с внешние приложенные силы.

Для определения сил в стержнях можно использовать ряд разные техники.

Совместный анализ: он основан на рассмотрении равновесия каждого сустава по очереди и используя диаграмму свободного тела для каждого соединение.

Метод сечения: Рассматриваемая диаграмма свободного тела предназначена для часть каркаса в ту или иную сторону от разреза раздел. Силы в элементах, разрезаемых секцией, равны включены в диаграмму свободного тела. Применение уравнений равновесия решит неизвестные силы в разрезе. Это дает аналитическое решение и наиболее полезно, когда требуя ответов только для одного или двух участников.

Пример 7

Найдите силы и их направление в членах BH и HG. методом секций.

FHG можно найти, остановившись на точке C, учитывая правая часть разреза 1-1 находится в равновесии. В Силы FHC и FBC не имеют никакого отношения к точке CBL, поскольку они пересекаются и проходят через точку.

S M c = 0 (F HG x CG) + (9 x CD) — (R E x 20) = 0

CG = FX = 10 загар 30 = 5,774

CD = DE = FE / cos 30

FE = EX / cos 30 = 11.547м

CD = 11 547 / cos 30 = 13 333 м

RE = (9 + 12 + 12) / 2 = 15 кН

Следовательно (F HG x 5,774) + (9 x 13,333) — (15 x 20) = 0

F HG = 31,17

Взять раздел 2-2.

Так как HC = FE = 11,547 (FBH x 11547) + (9 x 13,333) — (15 x 20) = 0 FBH = 15,59 кН

Видно, что FC; H, FBH и FBH должны быть повернуты по часовой стрелке, чтобы имеют равновесие около точки C.