Сопромат перемещения и деформации: Сопромат.in.ua: Деформация

Содержание

Сопромат.in.ua: Деформация

Перемещение — изменение положения точки тела в пространстве вследствие изменения его формы и размеров под действием нагрузки. Полное перемещение точки в пространстве раскладывается на компоненты u, v и w, параллельные осям x, y и z, соответственно.

Деформация — изменение формы и размеров тела.

Перемещения рассматриваемой точки зависит от деформации всех нагруженных областей тела и включают также в себя перемещения как жесткого целого ненагруженных областей. Поэтому перемещения не могут характеризовать степень деформирования в окрестности рассматриваемой точки. Для этого используют понятие деформации. В отдельных случаях их величины могут совпадать (растяжение стержня), но в общем случае — это разные вещи.

Остановимся еще на одном важном моменте. Очень часто путают два понятия — «деформация» и «перемещение» — хотя ясно, что они не адекватны. Например, представим себе канат, прикрепленный к потолку. По канату на некоторую высоту поднялся человек. Очевидно, что под действием веса человека (пренебрегая весом каната) деформируется (растягивается) только верхняя часть каната, заключенная между потолком и местом, где находится человек. Нижняя часть каната не деформируется, а перемещается как твердое тело. Следовательно, не всегда перемещения сечений какого-то участка стержня непосредственно связаны с его деформацией.

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. 3-е изд. — М.: Высшая школа, 2003.

Деформации могут быть угловые и линейные.

Линейная деформация характеризует изменение размеров тела. Различают абсолютную деформацию ΔL и относительную деформацию ε = ΔL/L.

Угловая деформация характеризует изменение формы тела и чаще всего называется углом сдвига.

Угол сдвига — это изменение первоначально прямого угла.

γ = α + β .

Полная деформация — это сумма линейной и угловой деформации.

Если взять малый элемент тела параллелепипед, ориентированный по осям x, y, z, то соответственно возникает три линейных деформации (вдоль осей x, y, z ) εxy, εz
$$\epsilon _x = {Δdx\over dx}, \quad \epsilon _y = {Δdy\over dy},\quad \epsilon _z = {Δdz\over dz} $$
и три угловые деформации [math]\gamma _{xy}, \gamma _{yz}, \gamma _{zx}[/math] в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях.

Относительные линейные и угловые деформации – величины безразмерные.

Деформации упругие и пластические

Деформации делятся на упругие и пластические (остаточные).

  • Упругими деформациями называются деформации, исчезающие после снятия вызвавших их сил.
  • Пластичными деформациями называются деформации, не исчезающие после снятия вызвавших их сил.

Типы деформаций

В зависимости от приложенных к телу нагрузок различают несколько видов деформации, отличающиеся законом распределения напряжений по сечению тела.

Растяжение-сжатие
в поперечном сечении действует только одно внутреннее усилие, не равное нулю — продольное усилие. Конструкция В этом случае говорят о линейной деформации конструкции (характеризуется абсолютным и относительным удлинением, остальными деформациями пренебрегают).
Чистый сдвиг
в поперечном сечении действует только поперечная сила. В этом случае линейные относительные деформации равны нулю, углы сдвига не равны нулю (характеризуется изменением формы)
Кручение
в поперечном сечении действует только крутящий момент. Линейные относительные деформации равны нулю, углы сдвига не равны нулю.
Изгиб
в поперечном сечении действуют изгибающий момент и поперечная сила.
Сложное сопротивление
одновременное действие нескольких типов простых деформаций — растяжения-сжатия, кручения, изгиба.

Для каждого из указанных видов деформации существуют свои формулы для расчета на прочность.

Ссылки по теме

метки: деформация

Определение перемещений | ПроСопромат.ру

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение  .

  1. Определим опорные реакции.

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим

т.К в середине нагрузки.

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

 

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

Проверим прочность подобранного сечения.

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент .

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп , определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF– все положительные, эп. – тоже.

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

Определим момент инерции Iх для сечения.

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп.  от единичной силы (рис.ж).

Рассмотрим рис. е.

Строим эп. :

Определим прогиб в т. С.

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

(знак «— « говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп.   , 

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

Определим прогиб в точке С.

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

Строим эп.  (рис.л) :

Определим φD  (рис. м):

Строим эп.   — (рис.н).

Определим угол поворота:

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию)

, которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

Проверим жесткость балки  , где f – максимальный прогиб.

Максимальный прогиб   — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

 

 

MYsopromat.ru: Определение деформаций и перемещений


Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии наоборот (Рис. 4.2 б).

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают следующую зависимость между относительным удлинением стержня

ε и напряжением σ:

,

(4.4)

где ε = Δl/l — относительное удлинение стержня; Δl = (l1-l) — абсолютное удлинение стержня; l — длина образца до деформации; l1 — то же, после деформации.

Эта зависимость, как отмечалось выше, носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.

В формуле (4.4) Е — коэффициент, зависящий от материала и называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода, а также модулем Юнга. Он характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться деформированию. Поскольку ε — безразмерная величина, то из формулы (4.4) видно, что единица Е та же, что и σ, т. е. Паскаль (Па). В Табл. 4.1 даны средние значения

E для некоторых материалов.

Табл.4.1. Значения модуля продольной упругости для разных материалов

Материал E, МПа
Сталь 2·105– 2.2·105
Медь 1·105
Дерево 1·104
Алюминий 0.675·105
Чугун 0.75·105 – 1.6·105
Стеклопластики 0.18·105 – 0.4·105

Для других материалов значение Е можно найти в справочниках. Имея в виду, что для стержня постоянного сечения ε = Δl/l, а σ = N/F, из формулы (4.4) можно получить формулу для определения полного (абсолютного) удлинения (укорочения) стержня

.

(4.5)

Между продольной ε и поперечной ε/ деформациями существует установленная экспериментально зависимость

.

(4.6)

Здесь μ — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), характеризующий способность материала к поперечным деформациям. При пользовании приведенной формулой удлинение считается положительным, укорочение — отрицательным. Значение μ для всех материалов колеблется в пределах 0<μ<0.5, а для большинства материалов — от 0.25 до 0.35 (Табл. 4.2).

Для стали при упругих деформациях можно принимать μ ≈ 0.3. Зная ε/, можно определить полное поперечное сужение или расширение стержня Δb:

,

где b первоначальный поперечный размер стержня; b1 — поперечный размер стержня после деформации.

Табл. 4.2 Значения коэффициента Пуассона для разных материалов

Материал μ
Сталь 0.25-0.33
Медь 0.31-0.34
Бронза 0.32-0.35
Чугун 0.23-0.27
Стекло 0.25
Бетон 0.08-0.18
Пробка 0.00
Целлулоид 0.39
Свинец 0.45
Латунь 0.32-0.42
Алюминий 0.32-0.36
Цинк 0.21
Камень 0.16-0.34
Каучук 0.47
Фанера 0.07
    

Законы, гипотезы и допущения, лежащие в основе науки о сопротивлении материалов. Виды нагрузок и деформаций.

Сопротивление материалов

Основные положения сопромата



Наука о сопротивлении материалов (сопромат) опирается на законы теоретической механики, особенно ее раздела — статики, тем не менее, некоторые положения и допущения, принятые в теоретической механике для сопромата не приемлемы.
Так, например, действующие на тело силы или системы сил нельзя заменять равнодействующей или эквивалентной силой, силу нельзя переносить вдоль линии ее действия, пару сил нельзя перемещать в плоскости ее действия.
Эти правила имеют исключение.
Например, силы, приложенные к небольшим участкам поверхности тела, как и в теоретической механике считаются сосредоточенными, т. е. приложенными к точке, а реактивные силы, возникающие в защемленном конце бруса заменяются реактивной силой и реактивным моментом. Такие замены не вносят существенных изменений в условия деформации тела.

Это положение называют принципом смягчения граничных условий, или принципом Сен-Венана, по имени французского ученого, механика и инженера Адемара Жан-Клод Барре Сен-Венана (1797-1886 г.г.)
Принцип Сен-Венана можно сформулировать так: в точках тела, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, модуль внутренних сил мало зависит от конкретного способа приложения сил.

Формула для определения нормальных напряжений σ = F/S справедлива только для достаточно удаленных от места приложения внешней нагрузки поперечных сечений стержня. Вблизи места приложения внешней нагрузки, в общем случае нагружения, гипотеза плоских сечений не выполняется, поскольку здесь распределение деформаций и напряжений носит более сложный характер и требует точных методов определения.

Суть принципа Сен-Венана, предложенного французским ученым Адемар Жан-Клод Барре де Сен-Венаном (A. Saint Venant, 1797 — 1886), заключается в следующем:
Если размеры области приложения внешней нагрузки невелики по сравнению с размерами поперечного сечения стержня, то в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации мало зависят от способа приложения этой нагрузки.
Справедливость принципа Сен-Венана не имеет теоретического доказательства, но она подтверждается многочисленными экспериментами и опытами.

Основываясь на этом принципе, при расчетах принимают, что в местах приложения внешних сил внутренние силы меняются скачкообразно, т. е. вводится понятие локального напряжения, быстро (моментально) убывающего при удалении от места приложения нагрузки. Если же рассматривать на брусе реальный участок приложения внешней нагрузки, то напряжения распределяются в его близлежащих сечениях по сложным закономерностям, тем не менее, они быстро убывают по мере удаления от площадки, к которой приложена нагрузка..

***

Основные гипотезы и допущения, принимаемые в сопромате.

При практических расчетах различных конструкций способами и методами сопротивления материалов принимают некоторые упрощения, вызванные невозможностью установить влияние некоторых свойств реальных материалов или элементов конструкций.
Так, например, материал любой детали или конструкции не является строго однородными по структуре, поскольку в его объеме присутствуют различные дефекты, не поддающиеся учету и расчету.

По этой причине в большинстве случаев приходится условно принимать, что физические свойства материала по всему его объему остаются постоянными, пренебрегая этими дефектами и реальной неоднородностью.
Такие упрощения в сопромате называют гипотезами и допущениями.

Гипотезы и допущения принимаемые при расчетах

Гипотеза об отсутствии первоначальных внутренних усилий предполагает, что если нет причин, вызывающих деформацию тела (нагрузка, температура и т. п.), то во всех его точках внутренние усилия равны нулю. Таким образом, не принимаются во внимание силы взаимодействия между частицами ненагруженного тела.

Допущение об однородности материала — при расчетах полагают, что материал во всех точках тела обладает одинаковыми физико-механическими свойствами.

Допущение о непрерывности материала — согласно этому допущению, материал любого тела имеет непрерывное строение и представляет собой сплошную среду (единый массив). Это допущение позволяет применять при расчетах методы высшей математики (дифференциальное и интегральное исчисления), которые манипулируют понятиями бесконечно малых величин.

Допущение об изотропности материала предполагает, что материал обладает одинаковыми физико-механическими свойствами во всех направлениях. Это допущение хорошо подтверждается практическими исследованиями для таких материалов, как металлы, пластмассы, камень, железобетон.
Но для некоторых материалов может приниматься лишь приближенно, а для таких материалов, как древесина или слюда приниматься не может, поскольку они явно не обладают одинаковыми свойствами в разных направлениях, т. е. анизотропны.

Допущение об идеальной упругости предполагает, что в известных пределах нагружения материал обладает идеальной упругостью, т. е. после снятия нагрузки деформации полностью исчезают.


Гипотезы и допущения, связанные с деформациями элементов конструкций

Допущение о малости перемещений, или принцип начальных размеров предполагает, что деформации тела и связанные с ними перемещения точек и сечений малы по сравнению с размерами тела. На основании этого допущения пренебрегают некоторым изменением направления внешних сил, вызванных деформаций тела (пример: не учитывают, что вектор силы при изгибе бруса несколько отклоняется от начального направления в результате деформации).

Допущение о линейной деформируемости тел предполагает, что перемещения точек и сечений упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения (по сути, это допущение характеризует закон Гука, который применим лишь в определенном интервале нагрузок).

Гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли предполагает, что плоские поперечные сечения, проведенные в теле до деформации, остаются при деформации плоскими и нормальными к оси в известных пределах нагружения.
Эта гипотеза была сформулирована швейцарским ученым Я. Бернулли (1654-1705 г.г.) и положена в основу при изучении основных видов деформаций бруса.

Гипотеза о ненадавливании волокон предполагает, что если мысленно представить брус состоящим из бесконечного количества продольных волокон, то эти волокна не оказывают друг на друга силового воздействия (т. е. не давят друг на друга) в определенном интервале нагрузок и деформаций.

К основным гипотезам сопротивления материалов относится, также, принцип независимости действия сил, предполагающий, что в результате действия на тело нескольких внешних нагрузок, внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации в любом месте могут быть определены, как сумма этих величин, вызываемых каждой нагрузкой в отдельности.
Принцип независимости действия сил применим только для конструкций, подверженных относительно небольшим деформациям, пропорциональным действующим нагрузкам.

***

Виды нагрузок, возникающих в конструкциях и их элементах

В процессе работы машин и сооружений их узлы, детали и составные элементы воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменения внутренних сил и деформацию узлов, деталей и т. п.

Действующие на элементы конструкций нагрузки бывают массовыми или объемными (сила тяжести, сила инерции), либо поверхностными силами контактного взаимодействия рассматриваемого элемента с соседними элементами или прилегающей к нему средой (пар, жидкость и т. п.).

Поверхностные нагрузки бывают сосредоточенные или распределенные.
Кроме того, различают нагрузки статические (постоянные или медленно изменяющиеся) и динамические (изменяющиеся быстроударные, повторно-переменные, инерционные и т. п.).

При расчете конструкций методами сопротивления материалов в число внешних нагрузок включаются реакции связей и силы инерции (при достаточно быстром ускорении).

***

Виды деформаций, возникающих в конструкциях и их элементах

Основные деформации, возникающие в процессе эксплуатации конструкций:

Растяжение (тросы, цепи, вертикально подвешенные брусья и т. п.).

Сжатие (колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов и т. п.).

Смятие (заклепки, болтовые соединения деталей)

Сдвиг (заклепки, болты, швы сварных соединений и т. п.). Деформацию сдвига, доведенную до разрушения материала, называют срезом (резка металла ножницами, штамповка деталей и т. п.) или сколом (хрупкие материалы — камень, стекло и т. п.).

Кручение (валы, передающие мощность при вращательном движении и т. п.).

Изгиб (горизонтальные балки, валы, зубья зубчатых передач и т. п.). Различают несколько видов изгиба — чистый, поперечный, косой, продольный.

На практике очень часто элементы конструкций подвергаются действию нагрузок, вызывающих одновременно несколько основных деформаций.

***

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Метод сечений. Напряжения


Главная страница


Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты


№ вопроса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Правильный вариант ответа

2

2

3

1

3

2

1

3

1

3

ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные и поперечные размеры (рис.2.4).
Рис. 2.4
При растяжении:
Длина бруса меняется на  (удлинение),
Ширина бруса меняется на  (сужение).
При сжатии:
 (укорочение)
 (увеличение
Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией:
или, если представить в другом виде:
где Е — модуль продольной упругости.
Это физическая постоянная материапа, характеризующая его способность сопротивпяться упругому деформированию.
EF — жесткость поперечного сечения бруса при эастяжении-сжатии.

абсолютная деформация (см, м)

относительная деформация безразмерная


коэффициент поперечной деформации , коэффициент Пуассона

l продольная


продопьная

b поперечная


поперечная

Деформация бруса (растяжение ипи сжатие) вызывает перемещение поперечных сечений.
Рассмотрим три случая нагружения при растяжении.
В первом случае при растяжении бруса сечение n-n перемещается в положение n1-n1 на величину  . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Здесь: перемещение сечения равно деформации (удлинению) бруса  = l. (рис.2.5).
Рис. 2.5
Во втором случае растяжения (рис. 2.6)
Рис. 2.6
l-ый участок бруса деформируется (удлиняется) на величину l1, сечение n-n перемещается в положение n1-n1 на величину лев = l1.
ll-ой участок бруса не деформируется, так как здесь отсутствует продольная сила N, сечение m-m перемещается в положение m1-m1 на величину
В третьем случае рассмотрим деформации бруса при схеме нагружения, представленной на рисунке (рис.2.7).
Рис. 2.7
В этом примере: перемещение сечения n-n (лев) равно удлинению 1-ого участка бруса:
Сечение m-m переместится в положение m1-m1 за счет деформации 1-ого участка бруса, а в положение m2-m2 за счет своего собственного удлинения (рис.2.8):
Суммарное перемещение сечения m-m:
В данном случае:
Рис. 2.8
С использованием эпюры N получаем такой же результат (снимаем N с эпюры) (рис.2.9).
Рис. 2.9
Перемещение конца консоли можно получить, используя только внешние силы (2Р,Р). Тогда:

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ. НАПРЯЖЕНИЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ

В процессе производственной деятельности перед инженером по разведочному бурению нередко возникает необходимость в проведении простейших проверочных и проектных расчетов прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций различных буровых устройств и вспомогательных приспособлений. Подобные расчеты производятся на основе методов и моделей сопротивления материалов. В главе приведены основные методики и расчетные формулы, позволяющие решать соответствующие более или менее простые задачи. Объем предлагаемого материала примерно соответствует ■ объему курса сопротивления материалов для специальности «Технология и техника разведки полезных ископаемых». При составлении главы автор использовал методику изложения и обозначения принятые в работе [27], частично использовались также работы [8, 24].

Все твердые тела в той или иной мере обладают свойств. ами прочности и жесткости, т. е. способны в известных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и без существенного изменения геометрических размеров. Сопротивление материалов—это наука о прочности и жесткости элементов ин­женерных конструкций. Основные положения этой науки опираются на законы и теоремы теоретической механики и в первую очередь на законы статики.

В сопротивлении материалов наиболее существенный элемент— свойства деформируемых тел. Эта наука дает практически достаточно простые приемы расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций.

При ведении инженерных расчетов методы сопротивления матери­алов следует применять творчески и помнить, что успех практического расчета не столько в применении сложного математического аппарата, сколько в умении вникать в существо исследуемого объекта, найти наиболее удачные упрощающие предположения и довести расчет до окончательного числового результата.

В сопротивлении материалов так же, как и в теоретической механике, важное значение имеет умение правильно составить рас­четную схему. Под ней понимается реальный материальный объект, освобожденный от несущественных особенностей. Выбор расчетной схемы в сопротивлении материалов начинается со схематизации свойств материалов. . Считается общепринятым рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от особен — 230 гостей их микроструктуры. Сплошная среда при выборе расчетной схемы наделяется свойствами, отвечающими свойствам реального материала. Свойство тел восстанавливать свои первоначальные раз­меры называется упругостью. При решении большей части задач в сопротивлении материалов среда считается совершенно упругой. Однако тело, особенно при больших нагрузках, проявляет не только свойство упругости, но и свойство пластичности (появление остаточ­ных деформаций).

При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реального объекта. Основной упрощающий прием — приведение гео­метрической формы тела к схеме бруса. Под брусом понимается тело, одно из измерений которого (длина) намного больше двух других. Геометрический брус может быть образован путем перемеще­ний плоской фигуры вдоль некоторой кривой (или прямой) линии. Эта линия называется осью бруса, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется его поперечным сечением. Брус может иметь постоянное и переменное сечение. Многие сложные конструкции могут рассматриваться состоящими из элемен­тов, имеющих форму бруса.

Второй типовой геометрической схемой, применяемой в сопротив­лении материалов, является схема оболочки. Под оболочкой понима­ется тело, одно из измерений которого (толщина) намного меньше двух других.

В подавляющем большинстве случаев силы, прикладываемые к материальным объектам, в сопротивлении материалов рассмат­риваются как сосредоточенные. Однако нередко изучается воздействие на объект распределенных сил.

Если конструкция рассматривается изолированно от других окружа­ющих тел, то действие последних на конструкцию заменяют силами, которые называются внешними. К внешним силам относятся и реакции связей, дополняющие систему сил до равновесной. Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта внутри самого объекта характеризуется внутренними силами или внутренними силовыми факторами. Внутренние силы, возникающие в брусе, выявляются только в том случае, если мысленно рассечь брус на две части. Такой прием выявления внутренних силовых факторов носит название метода сечений. Следует иметь в виду, что одна часть рассеченного бруса действует на другую точно так же, как последняя на первую. Независимо от характера распределения внутренних сил по сечению они должны быть такими, чтобы не нарушались условия равновесия любой части бруса.

Внутренние силы должны быть распределены по сечению так, чтобы деформированные поверхности сечения при совмещении первой и вто­рой частей бруса в точности совпадали. Такое условие в сопротивлении материалов носит название условия неразрывности деформаций.

Если воспользоваться правилами статики и привести систему внутренних сил к центру тяжести сечения, то в результате получим главный вектор R и главный момент М0. Если теперь спроецировать

главный вектор и главный момент на три взаимно перпендикулярные оси, одна из которых перпендикулярна к сечению, получим шесть составляющих: три силы и три момента. Эти составляющие называ­ются внутренними силовыми факторами в сечении бруса.

Составляющая внутренних сил по нормали к сечению N называется нормальной или продольной силой. Силы, располагающиеся в плоскости сечения, называются поперечными. Момент относительно нормальной оси А/к называется крутящим, а моменты относительно двух других осей — изгибающими. При известных внешних силах все шесть внут­ренних силовых факторов определяются из шести уравнений равно­весия, которые могут быть составлены для отсеченной части бруса.

По аналогии с приведенными наименованиями производится классификация основных видов нагружения бруса. Так, если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только нормальная сила N, а прочие внутренние силовые факторы обращают­ся в нуль, то на этом участке отмечается растяжение или сжатие в зависимости от направления силы N. Если в поперечном сечении возникает только момент Мк, то брус в данном сечении работает на кручение. Наконец, в случае, когда внешние силы приложены к брусу таким образом, что ‘И поперечных сечениях возникает только изгиба­ющий момент Мх (или Му), отмечается чистый изгиб в соответствую­щих плоскостях. Обычно в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом возникает и поперечная сила. Такой случай нагружения называется поперечным изгибом. Возможны случаи нагрузок, когда брус работает на кручение и изгиб или растяжение одновременно.

Чтобы охарактеризовать закон распределения внутренних сил, для них по сечению вводится числовая мера, называемая напряжением. Если в окрестности какой-либо точки сечения бруса выделить элементарную площадку AF. в пределах которой действует внутренняя сила AR, то векторная величина, определяемая равенством

AR dR

1ш — «—=/), (13. )

дт-,0 AF dF

представляет собом полное напряжение в точке. Напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь (Па).

Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция вектора полного напряжения на нормаль обознача­ется через о и называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обо­значаются буквой х. В зависимости от расположения и наименования осей о и т снабжаются системой индексов.

Если через ту же точку в сечении провести другую секущую площадку, напряжение р в этой точке будет другим. Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке. *

В Все существующие в природе материалы не являются абсолютно Лвердыми и под действием внешних сил меняют свою форму К размеры (деформируются). Вектор, имеющий начало в точке Пнёдеформированного тела, а конец в той же точке деформированного ■тепа, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции Bha оси носят название перемещений по осям. Они обозначаются ■через и, v и w соответственно осям х, у и z. Кроме линейного J перемещения вводится понятие углового перемещения (угол между

отрезками прямой, соединяющей две близкие точки тела, до дефор­мации и после деформации).

Г Если на систему тел наложены связи, достаточные для того, {чтобы исключить ее перемещение как жесткого целого, то система Р Называется кинематически неизменяемой. В этих системах перемещения сточек считаются малыми, что дает основание ввести так называемый 1’принцип начальных размеров. Согласно этому принципу, при состав­лении уравнений статики (уравнений равновесия) тело рассматривают {как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, f какие оно имело до нагружения внешними силами. Однако этот {принцип можно применять не всегда.

: Отношение приращения длины отрезка в теле к его длине до

г деформации назовем средним удлинением еср. Если теперь уменьшать (длину начального отрезка, можно получить линейную деформацию к в точке, например, А по направлению А В—еср. Если рассматриваются деформации по направлению координатных осей, то в обозначение ■ е вводятся соответствующие индексы е*, еу и е?. Кроме линейной деформации, вводится понятие угловой деформации, обозначаемой. буквой у (угол сдвига). В координатных плоскостях углы сдвига обозначаются уху, уу, и Совокупность линейных и угловых

деформаций по различным направлениям и плоскостям для одной точки образует деформированное состояние в точке.

Многочисленные наблюдения за поведением твердых тел показы­: вают, что в подавляющем большинстве случаев перемещения в опре­деленных пределах пропорциональны действующим силам. Впервые указанная закономерность была сформулирована Гуком (1676 г.) и получила название закона Гука. В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и дефор­мацией. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представ­ляют собой физические константы материала.

Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, илжпринципу независимости действия сил. В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются не зависящими от порядка приложения внешних сил.

Наиболее распространенный метод расчета деталей машин и эле­ментов сооружений на прочность—расчет по напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что критерием надежности

конструкции является напряжение или, точнее, напряженное состояние! в точке. На основании анализа конструкции выявляется та точка? в Terfe, в которой возникают наибольшие напряжения. Найденная] величина напряжений сопоставляется с предельной величиной для] данного материала, полученной на основе предварительных лаборатор-1 ных испытаний. Из сопоставления найденных расчетных напряжений! и предельных напряжений делается заключение о прочности конст-‘l рукции. Однако такой подход не является единственно возможным.) Е некоторых случаях используется метод расчета по разрушающим■] нагрузкам. В этом методе путем расчета определяют не напряжения, а находят предельную нагрузку, которую может выдержать конст­рукция, не разрушаясь или не изменяя существенно свою форму.

Если необходимо добиться наименьших изменений формы кон­струкции, то производится расчет по допускаемым перемещениям или j расчет на жесткость. Это не исключает одновременной проверки! системы на прочность по напряжениям.

Наряду с упомянутыми методами расчета существуют многие’ другие методы, связанные с качественно отличными явлениями,; такими, как устойчивость, эффект повторных нагрузок, динамическое ■ воздействие и др.

Кислов_Сопромат.indd

%PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream 2015-10-09T12:34:24+05:002015-10-09T12:34:51+05:002015-10-09T12:34:51+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:c0b5ddbe-ae81-408b-b2ed-5d4c39a8ffe7xmp.did:A3EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cxmp.id:FB8F4473576EE511ABCB888544D53873proof:pdf1xmp.iid:3BE0A1D64E6EE511ABCB888544D53873xmp.did:A7EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cxmp.did:A3EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cdefault

  • convertedfrom application/x-indesign to application/pdfAdobe InDesign CS6 (Windows)/2015-10-09T12:34:24+05:00
  • application/pdf
  • Кислов_Сопромат.indd
  • Adobe PDF Library 10.0.1FalsePDF/X-1:2001PDF/X-1:2001PDF/X-1a:2001 endstream endobj 3 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 9 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 31 0 obj > endobj 32 0 obj > endobj 33 0 obj > endobj 34 0 obj > endobj 35 0 obj > endobj 56 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 57 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text/ImageC]/XObject>>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 58 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 59 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]/XObject>>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 60 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 61 0 obj >/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text/ImageC]/XObject>>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 62 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 63 0 obj >/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/TrimBox[0.0 0.0 481.89 680.315]/Type/Page>> endobj 83 0 obj >stream HWMo7QpkFPXnQ$][email protected];veYFZ3o|jgv_߬gNW xBL:Y}{У=`փGzpПLЪyq8q h5?*x:霣[email protected]{[email protected]!Qa3{цLm +hπ$»kvocBwnEɫ\9s ,}`#cLc$,^GQ4z1j_/.’dL}aTyb6#

    Кривая смещения нагрузки — обзор

    Свойства при растяжении

    Типичный набор кривых растягивающее напряжение – деформация показан на рисунке 6.6, где ПТГ двух различных плотностей, 220 и 460 кг / м 3 , используются в 30– 60 об.% Количества. Эти кривые показывают линейную зависимость напряжения от деформации с последующим хрупким разрушением. Эпоксидная матрица представляет собой несущую непрерывную фазу, которая играет важную роль в определении свойств растяжения и разрушения синтаксических пен эпоксидной смолы / HGM.Эпоксидные смолы демонстрируют режим хрупкого разрушения при растягивающей нагрузке, что также отражается в разрушении синтаксических пен этих смол. Кривые напряжение-деформация при растягивающем нагружении заметно отличаются от кривых, полученных при сжатии. Удлиненная область плато напряжений при сжатии представляет собой исключительную способность синтаксических пенопластов к поглощению энергии, которая отсутствует при растяжении. Это одна из основных причин того, что большинство применений синтаксической пены полагаются на их сжимающие свойства.Например, гидростатическое сжатие, встречающееся в подводных применениях, идеально подходит для получения преимуществ от свойств синтаксических пен в конструкционных приложениях.

    Рисунок 6.6. Кривые растяжения синтаксических пен эпоксидная смола / HGM, содержащих частицы массой 220 (а) и 460 кг / м (б) 3 в количестве 30–60 об.%.

    По материалам Gupta and Nagorny [27].

    Тенденции прочности на разрыв и модуля упругости анализируются относительно плотности пены на Рисунках 6.7 (a) и (b), соответственно, для различных типов синтаксических пен на основе эпоксидной смолы / HGM.Тенденции, наблюдаемые на этих рисунках, качественно аналогичны наблюдаемым для прочности на сжатие и модуля упругости. Замечено, что пены с более высокой плотностью имеют более высокий предел прочности на разрыв. Учитывая линейное изменение прочности на разрыв по отношению к плотности синтаксической пены в данных, представленных на Рисунке 6.7 (а), наклон набора данных рассчитывается как 0,06 МПа / кг / м 3 . Этот результат означает, что все факторы, влияющие на плотность синтаксической пены, также влияют на предел прочности при растяжении аналогичным образом.Следует также отметить, что межфазная прочность не является параметром в существующих исследованиях, представленных на Рисунке 6.7 (а). Некоторое улучшение прочности может произойти, если поверхность раздела HGM – эпоксидная смола сделать более прочной, чтобы обеспечить более эффективную передачу напряжения.

    Рисунок 6.7. Предел прочности на разрыв (а) и (б) модуль упругости эпоксидных / HGM синтаксических пен по отношению к плотности композита.

    Данные по прочности на разрыв получены от Wouterson et al. [26], Гупта и Нагорный [27]. Данные модуля упругости при растяжении получены от Wouterson et al.[26], Гупта и Нагорный [27].

    Также можно заметить, что модуль упругости эпоксидной смолы / синтаксической пены HGM уменьшается с увеличением объемной доли тонкостенных HGM, но для толстостенных HGM тенденция меняется на противоположную. Влияние межфазного разрыва на растяжение и сжатие было подробно изучено в теоретических исследованиях и исследованиях с помощью моделирования. Наблюдается, что межфазные трещины имеют тенденцию закрываться при сжатии, и сжимающая матрица способна передавать напряжение частицам даже при наличии межфазных дефектов или трещин [48,49].Однако раскрытие межфазных трещин или разрывов в условиях растягивающей нагрузки приводит к ухудшению свойств.

    Максимальные значения модуля упругости и прочности на разрыв для всех составов синтаксической пены эпоксидная смола / HGM оказались равными 3,75 ГПа и 45 МПа, соответственно. Сравнение рисунков 6.5 и 6.7 показывает, что максимальная прочность на разрыв, составляющая около 45 МПа, значительно ниже максимальной прочности на сжатие, которая составляет около 100 МПа. Это большое различие ясно отражает тот факт, что в текущих применениях эпоксидные синтаксические пены обычно используются для получения преимуществ сжимающих свойств.Прочность на разрыв эпоксидной синтаксической пены сильнее зависит от свойств смолы, таких дефектов, как пористость матрицы и отслоение HGM-эпоксидной смолы, по сравнению с прочностью на сжатие, которая в большей степени зависит от свойств HGM.

    Низкая прочность на разрыв синтаксических пен является проблемой при разработке новых приложений. Возможный способ преодоления этой проблемы — усиление синтаксической пены микро- или наноразмерными армирующими элементами [2]. Стекловолокно, углеродные волокна, углеродные нанотрубки и углеродные нановолокна были включены в синтаксические пены для повышения их прочности на разрыв.

    Наличие теоретических моделей полезно для определения композиций, которые могут обеспечить желаемый набор свойств в синтаксических пенах. Одной из проблем при разработке моделей для синтаксических пен является высокая объемная доля HGM в таких композитах, где взаимодействие частиц с частицами становится важным, а более простые решения, разработанные для разбавленного диспергирования частиц в матрице, больше не применимы. Сейчас доступно несколько теоретических подходов [36–38]. Также доступны имитационные исследования, в которых были проанализированы от простых одночастичных моделей до сложных случайно распределенных многочастичных моделей [39,40].Модель, основанная на дифференциальной схеме, используется здесь, чтобы проиллюстрировать возможность прогнозирования свойств эпоксидных / HGM синтаксических пен [38]. В этой модели схема гомогенизации используется для вычисления модуля разбавленной дисперсии HGM в матрице на первом этапе. На следующем этапе гомогенизированный материал берется в качестве матрицы и снова добавляется небольшая объемная фракция частиц. Эта схема используется итеративно до тех пор, пока не будет получена желаемая объемная доля частиц. Дифференциальная схема имеет номер

    (6.3) dEE = fE (Eb, νb, Em, νm, η) dΦmb (1 − Φmb / Φm)

    (6.4) dνν = fν (Eb, νb, Em, νm, η) dΦmb (1 − Φmb / Φm )

    , где E b и ν b — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала полых частиц, а E m и ν m — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала матрицы, соответственно, а Φ mb — объемная доля полого наполнителя.Подробные выражения для уравнений (6.3) и (6.4) можно найти в [38]. Экспериментальные значения вместе с теоретическими оценками представлены на рисунке 6.8. На этом рисунке видно, что предсказания модели хорошо согласуются с экспериментальными значениями. Некоторые отклонения между расчетными и экспериментальными значениями наблюдаются только при 60 об.% HGM, что близко к пределу упаковки.

    Рисунок 6.8. График нормализованного модуля упругости для эпоксидной смолы / синтаксической пены HGM, содержащей Φ mb из (a) 30%, (b) 40%, (c) 50% и (d) 60%, а также прогнозы из теоретическая модель [38].

    Экспериментальные данные получены от Гупты и Нагорного [27].
    Свойства изгиба

    Кривые изгибная нагрузка-смещение для эпоксидных / HGM синтаксических пен аналогичны кривым растягивающая нагрузка-смещение, где нагрузка изменяется линейно по отношению к смещению до разрушения [50]. При изгибе синтаксических пен преобладают свойства образца при растяжении. Разрушение образца происходит от растянутой до сжимающей стороны образца. Значения прочности на изгиб и модуля упругости взяты из Wouterson et al.и построены относительно плотности на рис. 6.9 [26]. Максимальная прочность на изгиб и модуль синтаксической пены эпоксидной смолы / HGM, как измерено, составляют 58 МПа и 3,8 ГПа, соответственно, что близко к тем, которые наблюдаются для модуля упругости при растяжении аналогичных составов.

    Рисунок 6.9. График прочности на изгиб (а) и (б) модуля эпоксидной смолы / HGM синтаксических пен в зависимости от плотности композита.

    Экспериментальные данные получены от Wouterson et al. [26].

    Прочность на изгиб и модуль для чистой эпоксидной смолы составляли 80 МПа и 2.8 ГПа. Прочность на изгиб синтаксических пен эпоксидной смолы / HGM ниже. Наличие пористости матрицы, особенно на поверхности, и поверхностных дефектов может привести к снижению прочности на изгиб и преждевременному разрушению. Поведение модуля упругости при изгибе было аналогично поведению модуля упругости при растяжении, где можно наблюдать, что модуль упругости уменьшался с увеличением объемной доли тонкостенных HGM, тогда как для толстостенных HGM тенденция обратная. Насколько известно автору, в настоящее время существует только одно исследование, посвященное свойствам эпоксидной смолы / синтаксической пены HGM на изгиб.Лучшее понимание свойств изгиба требует более систематических исследований различных составов эпоксидных синтаксических пен. В других системах синтаксической пены, включая синтаксические пены на основе сложного винилового эфира / HGM, наблюдается, что стандартное отклонение прочности на изгиб больше, чем значения прочности на сжатие. Разрушение при изгибе очень чувствительно к свойствам поверхности, таким как шероховатость поверхности и наличие воздушных пустот в матрице. Такие дефекты могут привести к преждевременному выходу из строя и вызвать большое стандартное отклонение значений прочности.

    Кривая деформации — обзор

    Результаты, описанные выше, основаны на теории мелкой оболочки. Фактически, подавляющее большинство исследований, посвященных проблемам устойчивости оболочек, используют эту теорию. Причину такого предпочтения легко понять. Это касается относительной простоты основных уравнений теории пологих оболочек, обусловленной основным предположением, что метрики недеформированной средней поверхности оболочки могут быть заменены метрикой ее базовой плоскости.Это приближение, конечно, не всегда допускается, и в этом случае следует использовать более общие уравнения.

    Существует несколько доступных формулировок, которые превосходят ограничения, накладываемые уравнениями для мелкой оболочки, в разной степени (см. Раздел 1.1). Это связано с тенденцией к упрощению формулировок с целью облегчить решение окончательных основных уравнений.

    Современное состояние дел в области компьютерных методов численного решения позволяет решать задачи теории нелинейных оболочек без использования упрощающих предположений.Другими словами, численные методы решения не требуют упрощения уравнений, а это означает, что мы можем использовать наиболее точную версию теории. Поэтому мы начнем с обзора решений, которые получаются из общих уравнений осесимметрично деформированных сферических крышек [см. Шилкрут, 1969b, 1974; Герлаку, Морар и Шилкрут, 1970] (см. Раздел 1.1).

    a) Колпачки, нагруженные внешними изгибающими моментами (чистый изгиб), равномерно распределенными по краю

    В общем случае поведение сферического колпачка определяется двумя параметрами вместо одного, как в случае неглубокой оболочки.Безразмерный подъем вершины ξ¯ теперь определяется точным соотношением:

    (5.13) ξ¯ = W * h = Rh2 − cos⁡θ0,

    , где h — толщина оболочки, R — радиус средней поверхности крышки, θ 0 — половина центрального угла недеформированной крышки, а W * — физическая величина подъема вершины. Когда θ 0 мало (т.е. θ 0 <<1), мы можем записать:

    (5.14) ξ¯≈Rhθ022.

    Это выражение используется в формулировке мелкой скорлупы.

    Симметрия и граничные условия для чистого изгиба и неподвижной, свободно опертой кромки следующие (см. Раздел 1.1):

    (5.15) Φ0 = u0 = 0

    (5.16) uθ0 = 0; Mξθ0 = M.

    Для подвижных опор условия (5.16) необходимо заменить на:

    (5.17) Nξθ0 = N или Hθ0 = H

    (см. Выражения (1.1) — (1.12)). M , N и H здесь представляют собой внешний изгибающий момент кромки и равнодействующие кромочные силы в радиальном и горизонтальном направлениях соответственно.Первое из условий (5.17) соответствует случаю свободы движения кромки Φ¯ = θ0 в радиальном направлении, а второе условие (5.17) относится к подвижности кромки в горизонтальном направлении. В случае пологих оболочек два условия (5.17) эквивалентны друг другу. В нашем обзоре будет рассматриваться только первый случай ( N ξ 0 ) = N ) из ​​(5.17) простой опоры.

    Основные уравнения для случая, когда не учитываются температурные эффекты, даются уравнениями (1.25) и (1.26). Наконец, стоит отметить, что после перехода к безразмерным параметрам полученные уравнения (1.25) и (1.26) содержат параметры R / h (в случае колпачков) или a / h (в случае пластин) явно, что является одним из существенных изменений, которое отличает общие уравнения оболочки от уравнений мелкой оболочки.

    Теперь мы представим некоторые результаты, которые были получены для оболочек из изотропного упругого материала (коэффициент Пуассона v = 0.3) [см. Также Герлаку, Морар и Шилкрут, 1970; Барладеану, Вырлан, Герлаку, Шевандронов и Шилкрут, 1973; Шилкрут, Барладеану, Вырлан, Герлаку, Фишберг, Черкезов, 1978]. На рисунках 5.18-5.23 представлены первые части кривых деформации M k = M k (ξ) для неподвижной шарнирной кромки для ряда отношений радиуса к толщине R / h . M k — безразмерный краевой момент Mk = Mξθ0 = Mξ * θ0RD, D = Eh4121 − v2.

    Рисунок 5.18. Результаты для глубокой оболочки, неподвижно навесной, R / h = 10.

    Рис. 5.19. Результаты для глубокой оболочки, неподвижной шарнирной, R / h = 20.

    Рисунок 5.20. Результаты для глубокой оболочки, неподвижно навесной, R / h = 50.

    Рисунок 5.21. Результаты для глубокой оболочки, неподвижно навесной, R / h = 100.

    Рисунок 5.22. Результаты для глубокой оболочки, неподвижно навесной, R / h = 200.

    Рисунок 5.23. Результаты для глубокой оболочки, подвижной шарнирной, R / h = 500.

    Безразмерный параметр ξ = w * 0R на этих рисунках характеризует прогиб вершины крышки. Каждая кривая деформации отмечена значением параметра θ0 / ξ¯, для которого кривая была получена. (Обратите внимание, что в этом случае двумя параметрами, которые описывают геометрию недеформированной крышки, являются отношения R / h и θ0 / ξ¯).

    Рисунок 5.24. Кривые решения, подвижный навесной, R / h = 500.

    Зависимость предельной нагрузки M k + от θ 0 для разных значений R / h показано на рисунке 5.25. Все графики на этом рисунке основаны на фиксированном значении M k + = 1,3, которое оказывается минимальным значением (для рассматриваемого класса крышек), при котором предельные точки возникают для первого время.Как и минимальное значение M k + = 1,3, оказывается, что величина подъема вершины ξ¯, при которой предельные точки возникают впервые, является константой, определяемой как ξ¯≅0,7. Значения θ 0 , которые соответствуют этой особой точке, как и следовало ожидать, зависят от отношения радиуса к толщине R / h (см. Рис. 5.25). Действительно, когда R / h = 20, тогда θ¯0 = 0,26, например; если R / h = 100, то θ¯0 = 0.12; если R / h = 1000, θ¯0 = 0,037; и так далее. Во всех этих случаях ξ¯ = ξ¯≅0,7. Те же характеристики присущи неподвижной шарнирной неглубокой крышке (см. Раздел 3.7).

    Рисунок 5.25. Предельные нагрузки для глубокой оболочки в зависимости от θ 0 для различных значений R / h .

    При ξ¯ = ξ¯0≅0,7 соответствующее значение M k + и M k , определяется как M k + = M k = 1.3, в соответствии со свойством симметрии негладких оболочек, описанным в разделе 2.9, где соотношение (5.18) между верхним M + и нижним M предельными нагрузками было дано как

    (5.18) M + + M− = 21 + v

    Непосредственно из (5.18) следует, что наименьшее значение M + = M = 1,3 принадлежит кепке с ξ¯ = ξ¯0≅0,7, что соответствует центру симметрии C соответствующей кривой деформации (см. раздел 2.9). График M k = M k 0 ) (для фиксированного R / h ) является зеркальным отображением графика M k + = M k + 0 ) относительно ординаты M k = 1,3 (см. Рис. 5.25). Этот эффект является следствием соотношения (5.18).Рисунок 5.25 показывает, что кривые M k + = M k + 0 ), и, следовательно, также M k = M k 0 ) ( R / h фиксированный), почти прямые, за исключением области, близкой к M k + = 1.3.

    Семейство кривых M k + ( R / h ) для θ 0 = const, (неподвижные петли) представлено на рисунке 5.26. На рисунке 5.27 представлена ​​кривая равновесия для случая R / h = 500, θ 0 = 0,3 и неподвижных краев (только половина общей кривой отклика — до центра его симметрии C . — Показано). Первая часть этой кривой уже была отображена на Рисунке 5.23. Следует отметить, что с качественной точки зрения поведение аналогично неглубокой оболочке (см., Например, рис. 2.7 и 2.8).

    Рисунок 5.26. Предельные нагрузки по сравнению с R / h для θ 0 = 0.2.

    Рисунок 5.27. Кривая отклика для глубокой оболочки, частный случай R / h = 500, θ 0 = 0,3.

    Интересно, что мы также показываем некоторые результаты для плит с подвижными и неподвижными опорами на рисунках 5.28 и 5.29, соответственно.

    Рисунок 5.28. Результаты для плит с подвижными опорами.

    Рисунок 5.29. Результаты для плит с неподвижными опорами.

    Как можно видеть, существуют существенные различия между поведением круглых пластин, описываемых теорией мелких оболочек, и поведением, описываемым общей нелинейной теорией оболочек.В последнем случае кривые деформации, в отличие от первого, зависят от отношения радиуса к толщине a / h , где a — начальный радиус пластины. Например, для фиксированного M k смещение центра пластины уменьшается, когда a / h увеличивается.

    Здесь необходимо подчеркнуть, что круговой край пластины может значительно изменить свою величину во время деформации, поскольку теория негладких оболочек не ограничивает величины смещений или вращений.Это означает, что нелинейное поведение пластины можно сравнить с поведением балки Эйлера в известной задаче Эйлера об упругости [см., Например, Тимошенко и Гир, 1963]. Обратите внимание, например, на поворот кривой деформации в случае подвижных кромок, показанный на рисунке 5.28.

    Таким образом, если кривая деформации M k = M k (ξ) пластины является монотонной согласно теории пологих оболочек, она перестает быть монотонной при применении общей теории.Этот эффект малоизвестен. Вероятно, это является следствием того обстоятельства, что при больших значениях M k деформированная форма пластины имеет такой тип, что некоторые окружности, лежащие на средней поверхности в недеформированном состоянии, деформируются в окружности с большим радиусом. Деформированное состояние в таком случае принимает форму, которая чем-то напоминает «поварскую шляпу», которая у вершины шире, чем у основания. Обратите внимание, что это форма, которую нельзя описать теорией мелкой оболочки.

    Сравнение численных результатов, полученных с помощью двух различных теорий для пластин, показывает, что для достижения одинакового центрального прогиба ξ «мелким» пластинам требуется на 20-40% больший краевой момент, чем «неглубоким» пластинам. Это означает, что «мелкие» пластины ведут себя так, как будто они жестче, чем «неглубокие» пластины.

    Возвращаясь к проблеме шапки, можно сказать, что, вообще говоря, трудно охарактеризовать разницу между решениями, порождаемыми обеими теориями.Это можно увидеть, например, на рисунке 5.30, где три кривые равновесия ( M k 0 ) в зависимости от ξ, показаны для крышки с подъемом вершины ξ¯ = 4 для трех различных величин. θ 0 : θ 0 = 1,8, 1,4 и 0,7 (крышка неподвижно шарнирно закреплена). Численные решения показывают, что кривые, похоже, сходятся к результату, который мы ожидаем для мелкой оболочки при θ 0 <1/3. Как можно заключить из изложенного выше, проблема деформирования оболочек, описываемая более точной общей теорией, охватывающей глубокие (негладкие) оболочки, требует дальнейшего исследования.

    Рисунок 5.30. Некоторые кривые равновесия для оболочек разной глубины.

    b) Глубокие крышки, подверженные внешнему давлению

    Эта проблема была исследована для гидростатического давления Валишвили [1976] с использованием основных уравнений, которые почти эквивалентны (1.25) и (1.26). Рассмотрены следующие шесть краевых условий:

    1.

    Шарнирно-подвижный в меридиональном направлении.

    2.

    Неподвижные шарнирные опоры.

    3.

    Зажимной, с возможностью перемещения в меридиональном направлении.

    4.

    Неподвижно зажимается.

    5.

    Навесной, подвижный в плоскости основания крышки.

    6.

    Зажимной, подвижный в плоскости основания крышки.

    Результаты для упругого изотропного материала с v = 0,3 представлены в таблице. 5.1. Цифры в первом столбце соответствуют типу опоры, перечисленному выше, а второй столбец зарезервирован для угла основания θ 0 (запись S означает неглубокую оболочку).Результаты собраны в семи столбцах для различных значений параметра оболочки λ = [12 (1 — v 2 )] 1/4 θ 0 ( R / h ) 1 / 2 . Каждая запись представляет собой первую предельную нагрузку в отклике крышки с точки зрения безразмерного давления, определяемого как q = 31-v2q * R2 / 2Eh3, где q * — истинное давление q. Значения θ 0 даны в радианах. Отсутствие прыжка означает отсутствие предельной точки.Отсутствие записи означает, что результатов нет. Анализ данной таблицы показывает, что:

    Таблица 5.1.

    12 12 906 86 0,857 86 0,857 86 0,857 13 0,425 13 0,425 13 0,47 0,361 5 13 — 13 — 13 — 906 906 .192 6 6 6 0,413 6 0,413
    Тип опоры λ θ 0 4 6 8 10 12 18 30
    28 905 0,165 0,174 0,179 0,182 0,187 0,191
    0.3 0,137 0,166 0,181 0,185
    0,5 0,137 0,168 123 0,179 0,168 0,179 0,179
    0,8 0,197
    2 S 0,663 0.743 0,789 0,752 0,853 0,898 0,940
    0,3 0,671 0,799 0,803 0,863
    0,8 0,726 0.880
    3 S без скачка 0,311 0,367 0,386 0,396 0,413 0,413 0,413 0,380 0,392
    0,5 0,292 0,350 0,370 0,383 0.402 0,417
    0,8 0,320
    4 0,8 906 0,959 0,920 0,951
    0,3 0,573 0,983 1,117 0,836 0,965 0,588 1,004 1,139 0,825 0,966 0,951
    0,8
    5 S 0,137 0,165 0,174 0,179 0,182 0,187 0,191
    0,3
    0,5 0,144 0,174 0,189 0.200 0,205
    0,8 0,8
    6 S без скачка 0,311 0,367 0,386 0,396 0,413 0,425
    3
    0,5 0,336
    0,8
    1)

    В пределах диапазона 9003 036 θ 900 и λ ≤ 30 первые предельные нагрузки близки как в мелком, так и в неглубоком случаях.Различия между результатами для подвижных и неподвижных опор наиболее велики для опор, подвижных в меридиональном направлении, и они увеличиваются при увеличении θ 0 . λ здесь не играет важной роли, а это означает, что влияние θ 0 и ( R / h ) 1/2 имеет такой же порядок величины в этой задаче.

    2)

    Предельное давление q увеличивается, когда θ 0 или R / h увеличиваются, за исключением случая зажатой кромки, когда она перемещается в меридиональном направлении.В последнем случае предельное давление q уменьшается, когда θ 0 увеличивается при фиксированном λ.

    Эти два основных свойства, наблюдаемые для случая нагружения гидростатическим давлением, очень хорошо соответствуют свойствам для предыдущего случая нагружения краевыми моментами.

    Чтобы выявить влияние равномерно распределенной внешней нагрузки (собственного веса) по сравнению со случаем гидростатического давления, Валишвили [1976] также исследовал случай с первым типом нагрузки для λ = 10 и θ 0 = 0.5 для полностью прижатой и подвижной (в меридиональном направлении) откидной кромки. В обоих случаях результаты были примерно такими же, как и для сопоставимых случаев с гидростатическим давлением.

    Насколько нам известно, вопрос о силах, зависящих от конфигурации, на устойчивость негладких сферических крышек серьезно не исследовался; но в статье Симитсеса и Коула [1968] показано, что поведение внешнего давления в трех различных случаях: (i) собственный вес в вертикальном направлении, (ii) давление, направленное перпендикулярно деформируемой поверхности (гидростатическое давление) , или (iii) распределение давления, которое остается направленным к центру — не влияет существенно на значение бифуркационной нагрузки продольного изгиба.Анализ был основан на уравнениях Сандерса [1963]. Можно категорически заявить, что для неглубоких сферических крышек эти различия в приложении нагрузки не очень значительны.

    Проблема деформации сферических крышек под действием гидростатического давления рассматривалась также Гоцуляком, Гуляевым и Мельниченко [1974], Господариковым и Терентьевым [1977], а также Кобрицем и Терентьевым [1977] с результатами, которые хорошо согласуются с данными. в таблице 5.1. На рис. 5.31 мы представляем некоторые из графиков силовых перемещений, полученных Гоцуляком, Гуляевым и Мельниченко [1974], которые действительны для крышек с шарнирными опорами, которые могут перемещаться в меридиональном направлении.Эти результаты получены для следующих значений параметров: R / h = 250; E = 2,1 × l0 6 кгс / см 2 ; v = 0,3. Давление отложено по вертикальной оси в единицах q *, истинное давление в кгс / см 2 . Для θ 0 = 10 ° ≈ 0,17 рад. ξ¯≈3,8; λ = 2,69, кривая отклика практически совпадает с кривой, полученной по теории пологих оболочек [см. Валишвили, 1976; Шилкрут, Шевандронов, Морар, Максимов, 1969], а также рисунок 2.10 для случая ξ¯ = −4 и M = 0.

    Рисунок 5.31. Результаты, полученные Gotsuljak, Guliajev & amp; Мельниченко [1974].

    Для θ 0 = 20 ° ≈ 0,35 рад. (λ = 5,34), как можно видеть, нижняя предельная нагрузка все еще отрицательна, а разница между верхним и нижним предельными нагрузками заметно больше, чем в предыдущем случае. Но для θ 0 = 30 ° ≈ 0,52 рад. (λ ≈ 15) эта разница начинает уменьшаться, и при θ 0 = 40 ° ≈ 0,7 рад. (λ ≈ 20) предельные точки исчезают.Таким образом, в последнем случае замыкание в подпространстве осесимметричного класса деформаций невозможно. Это явление также описывается теорией мелких оболочек.

    Исследования того же типа были проведены Воровичем и Минаковой [1968a, b], которые использовали основные уравнения, которые можно поместить между уравнениями для мелкой оболочки и наиболее общими уравнениями. Результаты этих исследований представляют собой дополнительное подтверждение справедливости уравнений для мелкой оболочки при использовании в том диапазоне, для которого они получены.

    Следует также отметить, что упрощенные уравнения Э. Рейсснера (см. Раздел 1.1) также дают результаты, которые сравниваются с результатами, полученными с помощью уравнений для мелкой оболочки.

    Что такое тензодатчик?

    Введение в тензодатчики

    Тензодатчик (иногда называемый тензодатчиком) — это датчик, сопротивление которого зависит от приложенной силы; Он преобразует силу, давление, натяжение, вес и т. Д., в изменение электрического сопротивления, которое затем можно измерить. Когда к неподвижному объекту прикладываются внешние силы, в результате возникают напряжение и деформация. Напряжение определяется как внутренние силы сопротивления объекта, а деформация — как возникающие смещение и деформация.

    Тензодатчик — один из наиболее важных датчиков в технике электрических измерений, применяемых для измерения механических величин. Как указывает их название, они используются для измерения деформации.Технический термин «деформация» состоит из деформации растяжения и сжатия, различающихся положительным или отрицательным знаком. Таким образом, тензодатчики можно использовать для измерения расширения, а также сжатия.

    Напряжение тела всегда вызвано внешним воздействием или внутренним воздействием. Деформация может быть вызвана силами, давлением, моментами, теплом, структурными изменениями материала и т.п.Если выполняются определенные условия, количество или значение влияющей величины может быть получено из измеренного значения деформации. Эта функция широко используется в экспериментальном анализе напряжений. Экспериментальный анализ напряжений использует значения деформации, измеренные на поверхности образца или детали конструкции, для определения напряжения в материале, а также для прогнозирования его безопасности и долговечности. Специальные преобразователи могут быть разработаны для измерения сил или других производных величин, например моментов, давлений, ускорений, перемещений, вибраций и других.Преобразователь обычно содержит чувствительную к давлению диафрагму с прикрепленными к ней тензодатчиками.

    Узнайте больше о тензодатчиках и истории измерительных датчиков.

    Подробнее о тензодатчиках

    Прецизионные тензодатчики общего назначения


    Прецизионные тензодатчики общего назначения — это тензодатчики из константановой фольги, предлагаемые в широком спектре моделей для научного, промышленного и экспериментального анализа напряжений.Эти прецизионные тензодатчики могут использоваться для экспериментального анализа напряжений, мониторинга промышленного оборудования или различных научных приложений. В разделе «Тензодатчики общего назначения» вы найдете образцы тензодатчиков рядом с номерами деталей, чтобы вы могли видеть геометрию тензодатчика. Габаритные размеры также указаны в единицах СИ (метрическая, мм) и американская (английская, дюймы). Прецизионные тензодатчики общего назначения предлагаются в линейных конфигурациях, схемах с двойной параллельной сеткой, тройниковых розетках (0/90 °), прямоугольных или дельтовидных (45 ° или 60 °), штабелированных или плоских розетках и схемах сдвига.

    Тензодатчики качества преобразователя


    Тензодатчики уровня преобразователя предназначены для клиентов, которые производят преобразователи или аналогичные чувствительные устройства. Тензодатчики, соответствующие качеству преобразователя, имеют более жесткие допуски на размеры трима держателя, что позволяет при необходимости использовать край держателя для выравнивания тензодатчика. Они также имеют более жесткие допуски на номинальные значения сопротивления. Эти датчики могут быть настроены на ползучесть в соответствии со спецификациями производителя преобразователя, а также могут быть настроены в соответствии с уникальными требованиями преобразователя.Они также являются отличными стандартными приборами для экспериментального анализа напряжений и / или проектов проверки деформации.

    Тензорезисторы Karma



    Рекомендации по выбору тензодатчиков


    1. Длина манометров
    2. Количество калибров в шаблоне
    3. Расположение датчиков по образцу
    4. Сопротивление сети
    5. Чувствительный к деформации сплав
    6. Несущий материал
    7. Ширина колеи
    8. Язычок под пайку
    9. Конфигурация выступа под пайку
    10. Наличие
    Omega предлагает полную линейку тензодатчиков Karma.Тензодатчики Karma могут использоваться для различных статических и динамических приложений. Тензодатчики Karma используются для датчиков, где требуется долговременная стабильность или использование при более высоких температурах. При использовании при комнатной температуре для измерения статической деформации преобразователь будет иметь очень хорошую стабильность в течение месяцев или даже лет. Тензодатчики Karma также предлагаются для измерения статической деформации в широком диапазоне температур от -75 до 200 ° C (от -100 до 392 ° F) из-за их хорошей линейности в этом широком диапазоне температур.Тензодатчики Karma часто используются в конструкциях датчиков, рассчитанных на усталость. Усталостная долговечность сплава Karma, как правило, намного лучше, чем у константана, поэтому датчики, использующие тензодатчики Karma, обеспечивают хорошую усталостную долговечность. Karma — это никель-хромовый сплав, который был выбран в качестве материала для тензодатчиков из-за его способности компенсировать модуль упругости, что позволяет значительно уменьшить сдвиг диапазона в конструкции преобразователя.

    Для сплавов Karma коэффициент толщины имеет тенденцию уменьшаться с повышением температуры. Этот эффект уменьшения модуля упругости приведет к уменьшению сдвига пролета.У сплавов Karma есть недостатки, например, их сложно паять без специальных флюсов. У OMEGA есть решение. Мы устранили эту проблему, предложив наши тензодатчики Karma с медными контактными площадками под пайку. Никаких специальных флюсов или процедур не требуется.

    Тензорезисторы из фольги


    Первый тензодатчик с металлической проволокой был разработан в 1938 году. Тензорезистор с металлической фольгой состоит из сетки из проволочной нити (резистора) приблизительно 0 Ом.001 дюйм (0,025 мм) толщиной, приклеивается непосредственно к деформируемой поверхности тонким слоем эпоксидной смолы. Когда к поверхности прикладывается нагрузка, результирующее изменение длины поверхности передается на резистор, и соответствующая деформация измеряется в единицах электрического сопротивления фольги, которое изменяется линейно с деформацией. Диафрагма из фольги и клеящий связующий агент должны работать вместе, передавая напряжение, в то время как клей должен также служить в качестве электрического изолятора между сеткой из фольги и поверхностью.При выборе тензодатчика необходимо учитывать не только деформационные характеристики датчика, но также его стабильность и температурную чувствительность. К сожалению, наиболее желательные материалы для тензодатчиков также чувствительны к колебаниям температуры и имеют тенденцию изменять сопротивление по мере старения. Для кратковременных применений это может не быть серьезной проблемой, но для непрерывных промышленных измерений необходимо включать компенсацию температуры и дрейфа.

    Выберите подходящий тензодатчик

    Тензодатчики с предварительно подключенной проводкой
    Прецизионные манометры с присоединенным изолированным проводом длиной 1 м или 3 м для упрощения установки.Манометры серии KFH доступны в линейных формах, тройниковых розетках или плоских розетках 0/45/90. Тензодатчики для приложений сдвига или крутящего момента
    Полумостовые тензодатчики для приложений сдвига или крутящего момента.Их прочная конструкция, надежность и гибкость делают их подходящими для высокоточных статических и динамических преобразователей.

    Часто задаваемые вопросы

    Цепи тензодатчиков


    Чтобы измерить деформацию с помощью тензодатчика сопротивления, он должен быть подключен к электрической цепи, способной измерять мельчайшие изменения сопротивления, соответствующие деформации.В тензодатчиках обычно используются четыре элемента тензодатчика, которые электрически соединены и образуют мостовую схему Уитстона. На рисунке 1 показана типичная диаграмма тензодатчика. Мост Уитстона — это схема с разделенным мостом, используемая для измерения статического или динамического электрического сопротивления. Выходное напряжение моста Уитстона выражается в выходных милливольтах на входной вольт. Схема Уитстона также хорошо подходит для температурной компенсации. Количество активных тензодатчиков, которые необходимо подключить к мосту, зависит от области применения.Например, может быть полезно соединить датчики, которые находятся на противоположных сторонах балки, один при сжатии, а другой при растяжении. В такой конфигурации можно эффективно удвоить выходную мощность моста при той же деформации. В установках, где все рычаги подсоединены к тензодатчикам, температурная компенсация выполняется автоматически, поскольку изменение сопротивления (из-за колебаний температуры) будет одинаковым для всех плеч моста.

    Тензодатчики на заказ


    OMEGA может изготовить тензодатчики на заказ.Мы понимаем, что нашим клиентам может потребоваться нестандартный узор, изготовленный в соответствии с их спецификациями. Пользовательские тензодатчики могут быть разработаны для упрощения установки тензодатчиков для конкретного применения или для среды с ограниченным пространством. Если вы не нашли то, что вам нужно в нашем стандартном ассортименте, сообщите нам об этом. Мы можем настроить ваш тензодатчик в соответствии с вашими потребностями, в том числе:
    • Изменение стандартной ширины колеи
    • Создание собственной розетки или шаблона тензодатчика
    • Установите несколько манометров на общий держатель
    • Обеспечьте нестандартную длину проводов
    • Использовать нестандартные материалы
    • Переставьте контактные площадки для пайки или обеспечьте дополнительные точки подключения
    • Изготовление обрезков определенного размера или формы для устранения препятствий
    Мы можем предоставить индивидуальные характеристики ползучести в соответствии с вашим пружинным элементом, чтобы максимизировать производительность вашего датчика.Наша команда будет работать с вами над повышением или понижением компенсации ползучести в зависимости от результатов ваших испытаний. OMEGA может предоставить 1/2 или полные мосты Уитстона или индивидуальные розетки. Мы стремимся сделать покупку нестандартного тензодатчика быстрой и простой. Просто отправьте в OMEGA свой индивидуальный чертеж вместе с вашими спецификациями и требуемым количеством тензодатчиков. Команда OMEGA будет работать с вами над вашим приложением и предоставить расценки на специальные тензодатчики.Мы можем изготовить контрольные образцы нестандартных калибров всего за 2 недели. С объемами производства вскоре после этого. Для вашего тензодатчика будет создан индивидуальный номер детали, чтобы сделать будущий заказ быстрым и легким.

    Тензодатчик | Сопутствующие товары

    ↓ Посмотреть эту страницу на другом языке или регионе ↓

    Напряжение, деформация и модуль Юнга

    Напряжение

    Напряжение — это отношение приложенной силы F к площади поперечного сечения , определяемой как « сила на единицу площади ».

    • растягивающее напряжение — напряжение, которое имеет тенденцию к растяжению или удлинению материала — действует нормально по отношению к напряженной области
    • сжимающее напряжение — напряжение, которое имеет тенденцию к сжатию или укорачиванию материала — действует нормально к напряженной области
    • напряжение сдвига — напряжение, которое имеет тенденцию к сдвигу материала — действует в плоскости напряженной области под прямым углом к ​​сжимающему или растягивающему напряжению
    Растягивающее или сжимающее напряжение — нормальное напряжение

    Растягивающее или сжимающее напряжение перпендикулярно плоскости обычно обозначается как « нормальное напряжение » или « прямое напряжение » и может быть выражено как

    σ = F n / A (1)

    где

    σ = нормальное напряжение (Па (Н / м 2 ), фунт / кв. дюйм (фунт f / дюйм 2 ))

    F n = нормальная сила, действующая перпендикулярно площади (Н, фунт f )

    A = площадь (м 2 , дюйм 2 )

    • a kip — британская система мер единица силы — равна 1000 фунтов f (фунт-сила)
    • 1 кип = 4448.2216 Ньютонов (Н) = 4,4482216 килограммов Ньютонов (кН)

    Нормальная сила действует перпендикулярно площади и возникает всякий раз, когда внешние нагрузки имеют тенденцию толкать или тянуть два сегмента тела.

    Пример — Растягивающая сила, действующая на стержень

    Сила 10 кН действует на круглый стержень диаметром 10 мм . Напряжение в стержне можно рассчитать как

    σ = (10 10 3 Н) / (π ((10 10 -3 м) / 2) 2 )

    = 127388535 (Н / м 2 )

    = 127 (МПа)

    Пример — Сила, действующая на квадратную стойку из пихты Дугласа

    Сжимающая нагрузка 30000 фунтов действует на короткий квадрат 6 x 6 дюймов столб из пихты Дугласа.Размер опорной стойки составляет 5,5 x 5,5 дюйма , а напряжение сжатия можно рассчитать как

    σ = (30000 фунтов) / ((5,5 дюйма) (5,5 дюйма) )

    = 991 (фунт / дюйм 2 , фунт / кв. дюйм)

    Напряжение сдвига

    Напряжение, параллельное плоскости, обычно обозначается как « напряжение сдвига » и может быть выражено как

    τ = F p / A (2)

    где

    τ = напряжение сдвига (Па (Н / м 2 ), фунт / кв. Дюйм (фунт f / дюйм 2 ))

    F p = поперечная сила в плоскости площади (Н, фунт f )

    A = площадь (м 2 , в 2 )

    Поперечная сила лежит в плоскости области и возникает, когда внешние нагрузки имеют тенденцию вызывать два сегмента тела скользить друг по другу.

    Деформация (деформация)

    Деформация определяется как «деформация твердого тела под действием напряжения».

    • Нормальная деформация — удлинение или сжатие отрезка линии
    • Деформация сдвига — изменение угла между двумя отрезками прямой, первоначально перпендикулярными

    Нормальная деформация, может быть выражена как

    ε = дл / л o

    = σ / E (3)

    где

    dl = изменение длины (м, дюйм)

    l o = начальная длина (м, дюйм)

    ε = деформация — без единиц

    E = Модуль Юнга (модуль упругости) (Па, (Н / м 2 ), фунт / кв. дюйм (фунт f / дюйм 2 ))

      Модуль Юнга
    • можно использовать для прогнозирования удлинения или сжатия объекта при воздействии силы.

    Обратите внимание, что деформация является безразмерной единицей, поскольку это отношение двух длин.Но также общепринято указывать это как отношение двух единиц длины — например, м / м или дюйм / дюйм .

    Пример — напряжение и изменение длины

    Стержень в приведенном выше примере имеет длину 2 м и и изготовлен из стали с модулем упругости 200 ГПа (200 10 9 Н / м 2 ) . Изменение длины можно рассчитать путем преобразования (3) в

    dl = σ l o / E

    = (127 10 6 Па) (2 м) / (200 10 9 Па)

    = 0.00127 м

    = 1,27 мм

    Энергия деформации

    Напряжение объекта сохраняет в нем энергию. Для осевой нагрузки запасенная энергия может быть выражена как

    U = 1/2 F n дл

    , где

    U = энергия деформации (Дж (Н · м), фут-фунт)

    Модуль Юнга — модуль упругости (или модуль упругости) — закон Гука

    Большинство металлов деформируются пропорционально приложенной нагрузке в диапазоне нагрузок.Напряжение пропорционально нагрузке, а деформация пропорциональна деформации в соответствии с законом Гука .

    E = напряжение / деформация

    = σ / ε

    = (F n / A) / (дл / л o12 ) 4)

    , где

    E = модуль Юнга (Н / м 2 ) (фунт / дюйм 2 , psi)

    Модуль упругости или модуль Юнга обычно используется для металлов и металлических сплавов и выражается в единицах 10 6 фунтов f / дюйм 2 , Н / м 2 или Па .Модуль упругости при растяжении часто используется для пластмасс и выражается в единицах 10 5 фунтов f / дюйм 2 или ГПа.

    Модуль упругости при сдвиге — или модуль жесткости

    G = напряжение / деформация

    = τ / γ

    = (F p / A) / (с / d) (5)

    , где

    G = модуль упругости при сдвиге — или модуль жесткости (Н / м 2 ) (фунт / дюйм 2 , psi)

    τ = напряжение сдвига ((Па) Н / м 2 , psi)

    γ = мера деформации сдвига без единицы измерения

    F p = сила, параллельная граням, на которые они действуют

    A = площадь (м 2 , в 2 )

    s = смещение граней (м, дюйм)

    d = ди положение между смещенными гранями (м, дюйм)

    Объемный модуль упругости

    Объемный модуль упругости — или объемный модуль — является мерой сопротивления вещества равномерному сжатию.Объемный модуль упругости — это отношение напряжения к изменению объема материала, подвергающегося осевой нагрузке.

    Модули упругости

    Модули упругости для некоторых распространенных материалов:

    Стекло 9058 6
    Материал Модуль упругости
    — E —
    Модуль упругости
    — G —
    Модуль упругости —1158 —1158
    (ГПа)
    (10 6 фунтов на кв. Дюйм)
    (ГПа)
    (10 6 фунтов на кв. Дюйм)
    (ГПа)
    (10 фунтов на кв. )
    Алюминий 70 24 70
    Латунь 91 36 61
    Медь 55 23 37
    Железо 91 70 100
    Свинец 16 5.6 7,7
    Сталь 200 84 160
    • 1 ГПа = 10 9 Па (Н / м 2 )
    • 39 psi = 1 Mpsi = 10 3 ksi

    1 Введение

    1 Введение

    Глава 1


    Введение Этот курс основывается на концепциях, изученных в курс «Механика материалов», также известный как «Сопротивление материалов».По курсу «Механика материалов» можно было бы изучить два новых понятий «стресс» и «напряжение» в дополнение к пересмотру концепции «Сила» и «смещение», которые можно было бы освоить на первом курсе по механике, а именно «Инженерная механика». Также можно было бы подверглись четырем уравнениям, связывающим эти четыре понятия, а именно уравнение деформации-смещения, материальное уравнение, уравнение равновесия и уравнение совместимости. На рисунке 1.1 наглядно представлены концепции. что эти уравнения связаны.Таким образом, соотношение деформации смещения позволяет один для вычисления деформации при смещении; учредительное отношение дает значение напряжения для известного значения деформации или наоборот; уравнение равновесия грубо связывает возникающие в теле напряжения с приложенные к нему силы и момент; и, наконец, уравнение совместимости накладывает ограничения на то, как деформации могут варьироваться по телу, чтобы непрерывное поле смещения может быть найдено для предполагаемой деформации поле.


    Рисунок 1.1. Основные понятия и уравнения механики


    В этом курсе мы также будем изучать те же четыре концепции и четыре уравнения. На курсе «Механика материалов» один был представлены различные компоненты напряжения и деформации, а именно нормальные и сдвиговые, в задачах решено не более одного компонент напряжения или деформации произошел одновременно.Здесь мы будем изучение этих проблем, в которых более одного компонента стресса или напряжение происходит одновременно. Таким образом, в этом курсе мы будем обобщать эти концепции и уравнения для облегчения трехмерного анализа конструкции.

    Прежде чем приступить к обобщению этих понятий и уравнений, несколько недостатки определений и идей, которые можно было почерпнуть из предыдущий курс необходимо выделить и уточнить. Это мы будем делать в разделах 1.1 и 1.2. В частности, в разделе 1.1 мы рассмотрим четыре концепции механики. а в разделе 1.2 мы рассмотрим уравнения механики. Эти разделы также служат в качестве мотивации для математических инструментов, которые мы будем развивать в глава 2. Затем в разделе 1.3 мы рассмотрим различные идеализации отклик материалов и математической основы, используемой для изучения их. Однако в этом курсе мы сосредоточимся только на упругих отклик или, точнее, недиссипативный отклик материалов.Наконец-то, в разделе 1.4 мы описываем три способа решения проблем в механика.

    1.1 Основные понятия механики

    1.1.1 Что такое сила?

    Сила — это математическая идея для изучения движения тел. Это не «реально», поскольку многие так думают. Однако это может быть связано с подергиванием мышца, ощущение тяжести массы, линейный перевод мотора и тд и тп вперед. Несмотря на то, что мы видим только смещения, мы связываем это с его причиной — силой, поскольку концепция силы теперь укоренилась.

    Давайте посмотрим, почему сила — это идея, которая возникает из математической потребности. Скажем, позиция (x o ) и скорость (v o ) тела известна в какое-то время, t = t o , тогда интересно знать, где это тело будет позже, t = t 1 . Оказывается математически, если ускорение (а) тела в любой более поздний момент в время указано, тогда положение тела может быть определено с помощью Тейлора серии.Это если

    (1,1)

    затем из серии Тейлора


    (1,2)
    , что при записи в виде x o , v o и a уменьшает к

    (1.3)
    Таким образом, если известна функция f a , то положение тела в любом другом момент времени может быть определен.Эта функция — не что иное, как сила на единицу масса, как согласно второму закону Ньютона, который дает определение силы. Это показывает, что сила — это функция, которую можно определить математически так, чтобы положение тело в любой более поздний момент можно получить, зная его текущее положение и скорость.

    Уместно отметить, что эта функция f a также может быть задана с использованием положение x и скорость v тела, которые сами по себе являются функцией времени, t и, следовательно, f a все равно будет функцией времени.Таким образом, f a = g (x (t), v (t), t). Однако f a не может произвольно зависеть от t, x и v. На этом этапе достаточно говорят, что два других закона Ньютона и определенные требования объективности имеют должны быть выполнены этой функцией. Посмотрим, что это за требования объективности. и как прописать функции, отвечающие этому требованию, впоследствии в Глава 6.

    Теперь давайте разберемся, что такое сила. Другими словами это сила скаляр или вектор и почему? Поскольку положение — это вектор, а ускорение — второе. производная положения по времени, это также вектор.Тогда из уравнения (1.1) следует что f a также должен быть вектором. Следовательно, сила — это векторная величина. Многочисленные эксперименты также показывают, что сложение сил подчиняется закону сложения векторов (или параллелограммный закон сложения). В главе 2 мы увидим, как вектор сложение отличается от скалярного сложения. На самом деле это правило сложения отличает вектор от скаляра и, следовательно, подтверждает, что сила вектор.

    В итоге мы показали, что сила — это математическая конструкция, которая используется математически описывать движение тел.

    1.1.2 Что такое стресс?

    Как видно из рисунка 1.1, напряжение является величиной, производной от силы. В общепринятые определения напряжений во вводном курсе механики находятся:

    • Напряжение — сила, действующая на единицу площади.
    • Напряжение — это сопротивление, оказываемое телом действующей на него силе.

    . определение справедливо только для простого случая нагружения.Можно построить ряд примеры, где определение 1 не выполняется. Представлены следующие два случая просто в качестве примера. Случай -1: консольная балка прямоугольного сечения с равномерное давление p, приложенное к верхней поверхности, как показано на рисунке 1.2a. Согласно определению 1 напряжение в балке должно быть p, но оно равно нет. Случай 2: Кольцевой цилиндр, находящийся под давлением p на его внутренней стороне. поверхность, как показано на рисунке 1.2b. Чистая сила, действующая на цилиндр, равна нулю. но напряжения не равны нулю в любом месте.Кроме того, напряжение не p, в любом месте внутри цилиндра. Это состояние первого определение, второе определение бесполезно, поскольку оно не говорит, как вычислить напряжение. Эти определения не говорят о том, что существуют различные компоненты напряжения, ни то, как площадь, на которую действует сила Распределенными считаются деформированные или недеформированные. Они не различать тягу (или вектор напряжений), t (n) и тензор напряжений, σ.


    (а) Консольная балка с равномерным давление на его верхнюю поверхность.(б) Кольцевой цилиндр, подверженный внутреннее давление.

    Рисунок 1.2: Конструкции, подверженные нагрузке давлением


    Тяга — это распределенная сила, действующая на единицу площади поверхности реза или граница тела. Эта тяга помимо различающейся пространственно и во времени также зависит от плоскости разреза, характеризующейся своей нормальностью.Этот величина, интегрированная по поверхности реза, дает чистую силу, действующую на эту поверхность. Следовательно, поскольку сила является векторной величиной, эта сила тяги равна также векторная величина. Составляющая тяги по нормали направление , n называется нормальным напряжением (σ (n) ). Величина составляющей тяга действующее параллельно плоскости называется напряжением сдвига (τ (n) ).

    Если сила распределена по деформированной области, то соответствующий тяга называется тягой Коши (t (n) ), и если сила распределяется по недеформированная или исходная область, которая называется тяговым усилием Пиолы. (стр. (n) ).Если деформированный участок существенно не отличается от исходного площадь, то обе эти тяги будут иметь примерно одинаковую величину и направление. Более подробная информация об этих тягах представлена ​​в главе 4.

    Тензор напряжений — это линейная функция (грубо говоря, матрица), которая связывает вектор нормали n к силе тяги, действующей в той плоскости, нормаль которой равна n. В тензор напряжений может изменяться в пространстве и во времени, но не меняется в зависимости от плоскость реза. Точно так же, как есть тяга Коши и Пиолы, в зависимости от в какой области распределяется сила, имеется два тензора напряжений.Коши (или истинно) тензор напряжений σ и тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа (P). Пока эти двое тензоры могут быть почти одинаковыми, если деформированная область незначительно отличные от исходной области, качественно эти тензоры отличаются. Удовлетворить в момент равновесия в отсутствие пар тел тензор напряжений Коши имеет быть симметричным тензором (грубо симметричной матрицей) и напряжением Пиолы-Кирхгофа тензор не может быть симметричным. Фактически, транспонирование напряжения Пиолы-Кирхгофа тензор называется инженерным напряжением или номинальным напряжением.Кроме того, есть много других мер напряжения, полученных из стресса Коши. и градиент смещения, который должен быть изучен в главе 4.

    1.1.3 Что такое смещение?

    Разница между векторами положения материальной частицы в двух разных моменты времени называют смещением. В общем, смещение материальная частица будет зависеть от времени; случаи, между которыми смещение ищется.Также возможно смещение разных частиц. по-разному между одними и теми же двумя временами. Таким образом, смещение в целом варьируется в пространстве и во времени. Смещение — это то, что можно наблюдать и измеряется. Тензоры сил, тяги и напряжений вводятся для объяснения (или математически уловить) это перемещение.

    Поле смещения по крайней мере дважды дифференцируемо во времени, так что ускорение можно было вычислить. Это связано с наблюдениями, что местоположение или скорость тела не меняется резко.Точно так же основные Суть механики сплошной среды состоит в том, что поле смещения является непрерывным пространственно и кусочно дифференцируема пространственно как минимум дважды. Это пока поле смещения должно быть непрерывным по всему телу быть дважды дифференцируемым не обязательно по всему телу, а только по подмножествам тела. Таким образом, в механике сплошной среды взаимопроникновение двух поверхностей или исключается расслоение и образование новых поверхностей. Срок действия теория останавливается прямо перед тем, как тело ломается.Несмотря на это множество попытаться использовать концепции механики сплошной среды, чтобы понять процесс перелом.

    Тело подвергается смещению твердого тела, если расстояние между ними две частицы, принадлежащие телу, остаются неизменными. То есть в твердом теле смещения частицы, принадлежащие телу, не двигаются относительно каждого Другие. Тело называется твердым, если оно всегда испытывает только твердое тело. смещение под действием любой силы. С другой стороны, тело считается деформируемым, если он допускает относительное перемещение своих частиц под действием некоторой силы.Хотя все реальные тела деформируемы, при раз можно было идеализировать данное тело как твердое под действием определенных силы.

    1.1.4 Что такое штамм?

    Наблюдается, что смещения твердого тела не приводят к возникновению каких-либо стрессы. Кроме того, напряжения возникают только при относительном смещении материальные частицы.Следовательно, для этого требуется мера (или метрика). относительное смещение, чтобы его можно было связать с напряжением. Уникальная мера относительного смещения — это степень растяжения λ (A) , определяемая как отношение деформированная длина до исходной длины материального волокна вдоль заданном направлении, A. (Обратите внимание, что здесь A — единичный вектор.) Однако это мера имеет недостаток в том, что когда тело не деформируется, растягивается отношение равно 1 (в силу того, что деформированная длина такая же, как у исходной length) и, следовательно, неудобно записывать определяющее соотношение форма

    (1.4)

    где σ (A) обозначает нормальное напряжение на плоскости, нормаль которой равна A. Поскольку напряжение равно нулю, когда тело не деформируется, функция f должна быть такой, что f (1) = 0. Математическая реализация этого условия, что f (1) = 0 и что Считается, что функция f является взаимно однозначной, когда f является нелинейной функцией. λ (А) . Следовательно, ищется другая мера относительного смещения. который будет равен 0, если тело не деформировано, и меньше нуля, когда сжатый и больше нуля при растяжении.Эта мера называется как деформация (A) . Не существует единственного способа получения штамма из коэффициент растяжения. Следующие функции удовлетворяют требованиям напряжение:

    (1,5)

    где m — некоторое действительное число, а ln — натуральный логарифм. Таким образом, если m = 1 в 1.5а), то результирующая деформация называется инженерной деформацией, если m = -1, она называется истинной деформацией, если m = 2 — деформацией Коши-Грина. Секунда функция, в которой ϵ (A) = ln (λ (A) ), называется деформацией Генки или логарифмической напряжение.

    Точно так же, как тяга и, следовательно, нормальное напряжение изменяется с ориентацией плоскости, степень растяжения также изменяется с ориентацией, вдоль которой она измеряется. В главе 3 мы увидим, что тензор, называемый Коши-Грина тензор деформации несет всю информацию, необходимую для вычисления коэффициент растяжения в любом направлении.Это похоже на тензор напряжений, который когда известно, мы можем вычислить тягу или нормальное напряжение в любом самолет.

    1.2 Основные уравнения механики

    Получив поверхностное понимание четырех концепций механики а именно сила, напряжение, смещение и деформация, давайте посмотрим на четыре уравнения, которые связывают эти концепции и рассуждения, используемые для получения их.

    1.2.1 Уравнения равновесия

    Уравнения равновесия — это второй закон Ньютона, который гласит, что скорость изменение количества движения будет равно по величине и направлению сети приложенная сила.Деформируемые тела подвергаются двум видам сил, а именно: контактная сила и сила тела. Как следует из названия, контактная сила возникает за счет благодаря тому, что тело находится в контакте с окружающей средой. Тяга возникает только благодаря к этим контактным силам, а значит, и к тензору напряжений. Величина сила контакта зависит от площади контакта между телом и его окружение. С другой стороны, телесные силы — это силы, действующие на расстоянии. Примеры телесной силы — гравитационная сила, электромагнитная сила.В величина этих объемных сил зависит от массы тела и, следовательно, обычно выражаются в расчете на единицу массы тела и обозначаются б.

    При дальнейшем предположении, что второй закон Ньютона выполняется для любой части тело и что поле напряжений непрерывно дифференцируется внутри тела уравнения равновесия можно записать как:

    (1,6)

    где ρ — плотность, a — ускорение, а масса принимается равной законсервировано.Подробный вывод вышеуказанного уравнения приведен в главе 5. Значение оператора div (⋅) можно найти в главе 2.

    Кроме того, скорость изменения углового момента должна быть равна чистой прикладываемый момент на теле. Предполагая, что момент генерируется только контактных сил и массовых сил, это условие требует, чтобы напряжение Коши тензор должен быть симметричным. То есть при отсутствии пар тел σ = σ t , где верхний индекс (⋅) t обозначает транспонирование.Здесь снова предположения, сделанные получить уравнение равновесия сил (1.6), должно выполняться. См. Главу 5 для подробностей. вывод.

    1.2.2 Соотношение деформация-смещение

    Связь, которая связывает поле смещения с деформацией: называется отношением деформации смещения. Как указывалось ранее не является однозначным определением деформации и, следовательно, существуют различные деформации. тензоры.Однако все эти деформации в некоторой степени зависят от градиента поле деформации, F; обычно называется градиентом деформации. Поле деформации — это функция, которая дает вектор положения любого материальная частица, которая принадлежит телу в любой момент времени с материальная частица идентифицирована по ее местонахождению в некоторый момент времени t o . Потом, в главе 3 мы показываем, что степень растяжения в заданном направлении A является,

    (1,7)

    где C = F t F, называется правым тензором деформации Коши-Грина.Когда тело недеформировано, F = 1 и, следовательно, C = 1 и λ (A) = 1. Вместо глядя на поле деформации, можно получить выражение для растяжения соотношение, учитывая также поле смещения. Теперь поле смещения может быть функция координат материальных частиц в эталоне или в недеформированном состоянии или координаты в текущем или деформированном состоянии. Если смещение является функцией координат материальных частиц в эталонная конфигурация называется лагранжевым представлением поле смещения и градиент этого лагранжевого поля смещения называется как лагранжев градиент смещения и обозначается H.С другой стороны если смещение является функцией координат материальной частицы в деформированное состояние, такое представление поля перемещений называется Эйлера и градиент этого эйлерова поля смещения называется Градиент эйлерова смещения и обозначается h. Тогда можно показать, что (см. главу 3),

    (1.8)

    где 1 обозначает тождественный тензор (его определение см. в главе 2). Теперь право Тензор деформации Коши — Грина можно записать через лагранжиан градиент смещения как,

    (1,9)

    Обратите внимание: если тело недеформировано, то H = 0. Следовательно, если тело не видно смещения тела, то вполне вероятно, что компоненты Градиент смещения Лагранжа будет небольшим, скажем, порядка 10 -3 .Тогда компоненты тензора H t H будут порядка 10 -6 . Следовательно, уравнение (1.9) для этого случая, когда компоненты Градиент смещения лагранжиана небольшой, можно приблизительно рассчитать в качестве,

    (1,10)

    куда

    (1.11)

    называется линеаризованной лагранжевой деформацией. В главе 3 мы увидим, что когда компоненты лагранжевого градиента смещения малы, степень растяжения (1.7) сводится к

    (1,12)

    Таким образом, мы находим, что ϵ L содержит информацию об изменении длины вдоль любого заданном направлении, A, когда компоненты лагранжевого градиента смещения маленькие. Следовательно, она называется линеаризованной лагранжевой деформацией.Мы будем в В главе 3 выводятся различные тензоры деформации, соответствующие различным определениям деформаций, заданных в уравнении (1.5).

    Далее, поскольку FF -1 = 1, из (1.8) следует, что

    (1,13)

    которое, когда компоненты как лагранжевого, так и эйлерового смещения градиент мал, можно аппроксимировать как H = h. Таким образом, когда компоненты градиентов лагранжевых и эйлеровых смещений малы, градиенты смещения такие же.Следовательно, эйлерова линеаризованная деформация определяется в качестве,

    (1,14)

    и лагранжева линеаризованная деформация ϵ L будет такой же, когда компоненты градиентов смещения невелики.

    Уравнение (1.14) представляет собой соотношение деформации смещения, которое мы использовали бы для решать краевые задачи в этом курсе, поскольку мы ограничиваемся случаями, когда компоненты лагранжевого и эйлерового градиента смещения равны небольшой.

    1.2.3 Уравнение совместимости

    Из определения линеаризованной лагранжевой деформации (1.11) видно, что она — симметричный тензор. Следовательно, у него всего 6 независимых компонентов. Теперь один не может произвольно задавать эти шесть компонент, поскольку гладкая дифференцируемая Поле смещения должно быть получено из этих шести предписанных компонентов. В ограничения на то, как эти шесть компонентов штамма могут варьироваться пространственно, так что можно получить гладкое дифференцируемое поле смещения называется уравнением совместимости.Таким образом, условие совместимости является

    (1,15)

    Вывод этого уравнения, а также компонентов оператора rot (⋅) в декартовых координатах представлена ​​в главе 3.

    Следует также отметить, что условие совместимости в случае больших деформации еще предстоит получить.Это если компоненты правильного Задан тензор деформации Коши-Грина C, ограничения, которые должны на эти заданные компоненты так, чтобы гладкая дифференцируемая поле деформации может быть получено неизвестно, за исключением некоторых специальных случаи.

    1.2.4 Материальное отношение

    В широком смысле определяющая связь — это уравнение, которое связывает напряжение (и напряжение скорости) с градиентом смещения (и скоростью градиента смещения). В то время как три приведенных выше уравнения — уравнения равновесия, соотношение деформация-перемещение, уравнения совместимости — не зависят от материала, из которого изготовлен корпус до и / или процесса, которому подвергается тело, определяющее отношение в зависимости от материала и процесса.Учредительное отношение требуется для привнести зависимость материала в реакцию тела и получить столько уравнений, сколько неизвестных, как будет показано в главе 6.

    Точность прогнозов, а именно вероятное смещение или напряжение для данная сила зависит только от определяющего отношения. Это потому, что другой три уравнения одинаковы независимо от материала, из которого изготовлено тело из. Следовательно, проводится множество исследований, чтобы достичь лучших результатов. учредительные отношения для материалов.

    Трудно иметь определяющее соотношение, которое могло бы описать реакцию материал, подвергнутый любой обработке. Следовательно, обычно определяющие отношения предписано для конкретного процесса, которому подвергается материал. Переменные в определяющее отношение зависит от изучаемого процесса. В один и тот же материал может подвергаться различным процессам в зависимости от раздражителей; например, один и тот же материал может реагировать упруго или пластично. в зависимости от, скажем, величины нагрузки или температуры.Следовательно, это может квалифицировать только процесс, а не материал. Однако это также принято квалифицировать материал, а не процесс. Это мы будем воздержаться.

    Традиционно считается, что определяющее отношение зависит от того, материал ведет себя как твердое тело или жидкость, и каждый уточняет, как классифицировать данный материал как твердое тело или жидкость.Материал, который не является твердым, определяется как жидкость. Это означает, что нужно определить, что такое твердое тело. Несколько определений твердого тела: перечислено ниже:

    • Твердый — это материал, который может противостоять постоянным поперечным силам без непрерывного деформирующий
    • Solid — это тот, который не принимает форму контейнера.

    Хотя эти определения интуитивно понятны, они неоднозначны. Класс материалов под названием «Вязкоупругие твердые тела», не принимают форму контейнера и не сопротивляются силам сдвига. без постоянной деформации.Кроме того, тот же материал будет вести себя как твердое вещество, такое как смесь твердого вещества и жидкости или как жидкость, в зависимости, скажем, от температура и механическое напряжение, которому он подвергается. Эти побуждает нас сказать, что данный материал ведет себя как твердое тело или жидкость манера. Однако, как мы увидим, эта классификация данного материала как твердое или жидкое не имеет значения. Если обратиться к термодинамике для классификации процессов, реакция материалов может быть классифицирована на основе on (1) Происходит ли преобразование энергии из одной формы в другую во время процесса, и (2) является ли процесс термодинамически уравновешен.Хотя в следующем разделе мы классифицируем реакцию материалов, основанных на термодинамике, мы также приводим общепринятые определения и обсудить их недостатки. В этом курсе, как и во всех В этих классификациях предполагается отсутствие химических изменений происходящие в теле, и, следовательно, состав тела остается постоянный.

    1.3 Классификация отклика материалов

    Во-первых, следует уточнить, что не следует путать с настоящим телом. и его математическая идеализация.Моделирование — это идеализация, ведущая к предсказания, близкие к наблюдениям. Чтобы проиллюстрировать, земля и солнце предполагается, что это точечные массы, когда кто-то интересуется движением планет. Одинаковый Земля считается твердой сферой, если кто-то заинтересован в изучении затмения. Эти предположения сделаны для того, чтобы решить возникшую проблему. без потери требуемой точности.В том же духе весь материал реакции, некоторое количество механической энергии преобразуется в другие формы энергии. Однако в некоторых случаях эта потеря механической энергии составляет мал, что его можно идеализировать как без потерь, т. е. недиссипативным процесс.

    1.3.1 Недиссипативная характеристика

    Отклик считается недиссипативным, если нет преобразования механических энергию к другим формам энергии, а именно к тепловой энергии. Обычно материал ответ таким образом считается эластичным.Общие определения эластичного отклик,

    • Если первоначальный размер и форму тела можно восстановить при разгрузке, процесс загрузки называется эластичным.
    • Процессы, в которых состояние напряжения зависит только от текущей деформации, считается эластичным.

    Первое определение бесполезно, потому что требует дополнительного процесс (разгрузка), чтобы решить, следует ли классифицировать процесс как быть эластичным.Второе определение, хотя и полезно для определения переменных в конститутивное отношение, оно также требует выполнения дополнительного процесса (разгрузить и снова загрузить), чтобы решить, является ли первый процесс эластичным. В определение, основанное на термодинамике, лишено этого недостатка. В главе 6 мы приводим примеры, в которых эти три определения не эквивалент. Однако многие процессы (приблизительно) удовлетворяют всем трем определения.

    Этот класс процессов также протекает через термодинамически уравновешенные состояния.То есть, если тело изолировано в любой момент нагрузки (или смещения) тогда напряжение, смещение, внутренняя энергия, энтропия не изменяются с время.

    Идеальный газ, жидкость — лучший пример материала, который реагирует на недиссипативный способ. Металлы до определенного уровня стресса, называемого доходностью стресс, также идеализируются как недиссипативная реакция. Таким образом, представление о том, что только твердые тела реагируют недиссипативным образом, не является верный.

    Таким образом, для этих недиссипативных, термодинамически уравновешенных процессов Напряжение Коши и градиент деформации в общем случае могут быть связаны через неявная функция. То есть для изотропных материалов (см. Главу 6 для когда материал называется изотропным), f (σ, F) = 0. Однако в классическом эластичности принято считать, что напряжение Коши в изотропном материале является функцией градиента деформации, σ = (F). По требованию ограничение из-за объективности и соблюдения второго закона термодинамики можно показать что если σ = (F), то

    (1.16)

    где ψ R = R (J 1 , J 2 , J 3 ) — свободная энергия Гельмольца, определенная на единицу объема в эталонная конфигурация, также называемая накопленной энергией, B = FF t и J 1 = tr (B), J 2 = tr (B -1 ), J 3 =. Когда компоненты смещения градиент мал, то (1.16) сводится к

    (1.17)

    при пренебрежении старшими степенями лагранжевого градиента смещения и где λ и μ называются константами Лама. Уравнение (1.17) — это знаменитый закон Гука для изотропных материалов. В этом курсе закон Гука материальное уравнение, которое мы будем использовать для решения граничного значения проблемы.

    Перед тем, как завершить этот раздел, необходимо уточнить еще одно неправильное название. Сканирование Как видно из уравнения (1.16), связь между напряжением Коши и Градиент смещения может быть нелинейным, когда отклик не является диссипативным.Только иногда, как в случае с материалом, подчиняющимся закону Гука, это отношение линейный. Верно также и то, что если ответ диссипативный, отношения Градиент между напряжением и градиентом смещения всегда нелинейный. Однако нелинейная зависимость между напряжением и смещением градиент не означает, что ответ диссипативный. То есть нелинейный взаимосвязь между напряжением и градиентом смещения — это всего лишь необходимое условие диссипативности отклика, но не достаточное состояние.

    1.3.2 Диссипативный ответ

    Отклик считается диссипативным, если происходит преобразование механической энергии в другие формы энергии. Обычно говорят, что материал, отвечающий подобным образом, быть неэластичным. Есть три типа диссипативного отклика, которые мы увидим в некоторая деталь.

    Пластиковый отклик

    Материал считается пластически деформируемым, если процесс деформации продолжается. через термодинамически уравновешенные состояния, но является диссипативным.То есть, если тело изолируется в любой момент нагрузки (или смещения), затем напряжение, смещение, внутренняя энергия, энтропия не меняются со временем. В силу диссипативный процесс, напряжение в данный момент будет зависеть от истории деформация. Однако напряжение не зависит от скорости нагружения или за счет процесса, протекающего термодинамически равновесные состояния.

    Предполагается, что для пластического отклика классическое определяющее соотношение имеет вид форма,

    (1,18)

    где F p , q 1 , q 2 — внутренние переменные, значения которых могут изменяться деформация и / или напряжение. Для иллюстрации мы использовали два скалярных внутренних переменные и одну внутреннюю тензорную переменную второго порядка, в то время как могут быть любые количество тензорных или скалярных внутренних переменных.В некоторых теориях внутреннее переменным дана физическая интерпретация, но в целом эти переменные не нуждаются в имеют любое значение и предлагаются для целей математического моделирования Только.

    Таким образом, когда материал пластически деформируется, он не возвращается в исходное состояние. оригинальная форма в разряженном состоянии; возникнет необратимая деформация. Следовательно, процесс необратим. Ответ не зависит от скорость нагрузки (или смещения). Металлы, такие как сталь при комнатной температуре пластично реагировать на стресс, превышающий определенный предел, называемый доходностью стресс.

    Вязкоупругий отклик

    Если диссипативный процесс протекает через состояния, не входящие в термодинамические равновесие, тогда он называется вязкоупругим. Следовательно, если тело изолировано на каком-то момент нагрузки (или смещения), затем смещение (или напряжение) продолжает меняться со временем. Вязкоупругий материал при воздействии постоянное напряжение приведет к деформации, которая меняется со временем которая называется ползучестью.Кроме того, когда вязкоупругий материал подвергается к постоянному полю деформации его напряжение изменяется со временем, и это называется снятием напряжения. Это в отличие от эластичного или пластикового материал, который при постоянном напряжении будет иметь постоянную напряжение.

    Основное соотношение вязкоупругого отклика имеет вид

    (1,19)

    где обозначает производную по времени от напряжения и производную по времени от градиент деформации.Хотя здесь мы сократили время до первого заказа производные, общая теория допускает производные более высокого порядка по времени тоже.

    Таким образом, реакция вязкоупругого материала зависит от скорости, с которой он загружен (или смещен) отдельно от истории нагружения (или смещения). В реакция вязкоупругого материала изменяется в зависимости от того, контролируется или смещение контролируется. Этот процесс тоже необратим и есть будет невосстановленная деформация сразу после снятия нагрузки.В величина невосстановленной деформации через долгое время (асимптотически) могла бы стремятся к нулю или остаются тем же постоянным значением, что и сразу после снятие нагрузки.

    Материальные отношения формы,

    (1,20)

    которое является частным случаем вязкоупругого определяющего соотношения (1.19), является вязкая жидкость.

    При некоторых методах лечения пациента вязкоупругий материал называется комбинация вязкой жидкости и упругого твердого тела и вязкоупругих моделей получаются объединением пружин и тормозных колодок. Есть несколько философских проблемы, связанные с этой точкой зрения, о которых мы не можем подробно рассказать здесь.

    Вязкопластический отклик

    Этот процесс также является диссипативным и проходит через состояния, не входящие в термодинамическое равновесие.Однако для моделирования этого класса реакции конститутивное отношение должно иметь форму,

    (1,21)

    где F p , q 1 , q 2 — внутренние переменные, значения которых могут изменяться деформация и / или напряжение. Их значение такое же, как и для пластика. отклик. Как легко видеть, форма определяющего соотношения для вязкопластической отклик (1.21) включает вязкоупругий, пластический и упругий отклик как особый кейс.

    В этом случае постоянная нагрузка вызывает деформацию, которая изменяется со временем. Также, постоянная деформация вызывает изменение приложенной нагрузки со временем. В реакция материала зависит от скорости нагрузки или смещения. В процесс необратим, и на снятие нагрузки. Величина этой невосстановленной деформации меняется в зависимости от скорость загрузки, время и будет стремиться к значению, которое не равно нулю. Этот зависимость постоянной величины, к которой стремится невосстановленная деформация скорость нагружения, может быть принята как характеристика вязкопластической отклик.

    На рисунке 1.3 показано типичное изменение деформации для различных реакций, когда материал загружается, удерживается при постоянной нагрузке и разгружается, как описано выше. Этот вид нагрузки называется ползучестью и восстановительной загрузкой. различать разные виды ответов.



    Рисунок 1.3: Схема изменения деформации во времени для различных отклики при загрузке и разгрузке материала.


    Как уже упоминалось, в этом курсе мы сосредоточимся на эластичных или только недиссипативный ответ.

    1.4 Решение краевых задач

    Краевая задача — это задача, в которой мы указываем силу тяги, приложенную к поверхность тела и / или смещение границы тела и являются заинтересованы в обнаружении смещения и / или напряжения в любой внутренней точке тело или часть границы, где они не были указаны.Этот определение граничной тяги и / или смещения называется граничным состояние. Граничное условие в некотором смысле является определяющим соотношением для граница. Он рассказывает, как взаимодействуют тело и его окружение. Таким образом, в краевой задаче необходимо задать геометрию тела, определяющее отношение материала, из которого состоит тело, для процесса он будет подчиняться и граничному условию. Используя эту информацию нужно найти смещение и напряжение, которым подвергается тело.Найденные таким образом поля перемещений и напряжений должны удовлетворять равновесию уравнения, определяющие соотношения, условия совместности и граничные условия.

    Целью постановки и решения краевой задачи является к:

    • Для обеспечения того, чтобы напряжения находились в установленных пределах
    • Для обеспечения смещения в установленных пределах
    • Чтобы найти распределение сил и моментов на части границы где указаны смещения

    Существует четыре типа граничных условий.Они есть

    • Граничное условие смещения: Здесь смещение указывается только вся граница тела. Это также называется Граничное условие Дирихле
    • Граничное условие тяги: Здесь тяга на всей указывается только граница тела.Это также называется Нейманом. граничное условие
    • Смешанное граничное условие: здесь смещение указано на часть границы и тяги указывается на оставшейся части граница. Тяга и смещение не указаны. над любой частью границы
    • Граничное условие Робина: здесь и смещение, и тяги указаны на той же части границы.

    Существует три метода, с помощью которых поле смещения и напряжения в тело может быть найдено, удовлетворяющее всем требуемым управляющим уравнениям и граничные условия.Краткое описание этих методов представлено далее. Выбор метод зависит от типа граничного условия.

    1.4.1 Метод перемещения

    Здесь за основное неизвестное принято поле смещения. Затем, используя штамм соотношение перемещения, (1.14) вычисляется деформация. Этот штамм заменен в определяющее соотношение (1.17) для получения напряжения. Тогда стресс подставляемую в уравнение равновесия (1.6), чтобы получить 3 частичные дифференциальные уравнения через компоненты поля перемещений в качестве,

    (1.22)

    где Δ (⋅) обозначает оператор Лапласа, а t обозначает время. Деталь вывод этого уравнения приведен в главе 7. Уравнение (1.22) называется Уравнения Навье-Лама. Таким образом, в методе перемещения уравнение (1.22) имеет вид решается вместе с заданным граничным условием.

    Если трехмерные твердотельные элементы используются для моделирования тела в конечном элементных программ, то ослабленная форма уравнения (1.22) решается для заданные граничные условия.

    1.4.2 Метод напряжений

    В этом методе предполагается, что поле напряжений удовлетворяет равновесию уравнения, а также заданные граничные условия тяги. Например, в отсутствие объемных сил и статического равновесия, легко увидеть, что если Декартовы компоненты напряжения выводятся из потенциала, ϕ = (x, y, z) называется стрессовым потенциалом Эйри,

    (1,23)

    тогда выполняются уравнения равновесия.Достигнув стресса, деформация рассчитывается с использованием

    (1,24)

    полученное обращением определяющего соотношения (1.17). Для того, чтобы быть способный найти плавное поле смещения из этой деформации, оно должно удовлетворять условие совместимости (1.15). Эта процедура сформулирована в главе 7. и используется для решения некоторых краевых задач в главах 8 и 9.

    1.4.3 Полуинверсный метод

    Этот метод используется для решения задач, когда определяющее соотношение не задано. по закону Гука (1.17). Когда определяющее отношение не задается Закон Гука, метод смещения приводит к трем связанным нелинейным частным дифференциальные уравнения для составляющих перемещений, которые трудно подобрать. решать. Следовательно, для поля смещения делаются упрощающие предположения: при этом задано поле смещения, но для некоторых констант и / или некоторые функции.За исключением случаев, когда определяющее отношение вида (1.16) необходимо сделать предположение о компонентах напряжения, которое было бы отличным от нуля для этого заданного смещения поле. Затем эти ненулевые компоненты поля напряжений находятся в терминах постоянных и неизвестных функций в поле перемещений. На подставив эти компоненты напряжения в уравнения равновесия и граничные условиях, получаем дифференциальные уравнения для неизвестных функций и алгебраические уравнения для поиска неизвестных констант.Рецепт поле смещения выполнено таким образом, чтобы в результате возникали обычные дифференциальные уравнения, определяющие вид неизвестных функций. С задаются смещение детали и напряжение детали, это называется полуобратным метод. Этот метод решения уравнений не будет проиллюстрирован в этой статье. курс.

    Наконец, мы говорим, что краевая задача корректна, если (1) Там существует поле перемещений и напряжений, удовлетворяющее граничным условиям и определяющие уравнения (2) Существует только одно такое поле смещений и напряжений (3) Небольшие изменения граничных условий вызывают лишь небольшие изменения в поля перемещений и напряжений.Краевая задача, полученная при Закон Гука (1.17) используется для того, чтобы, как известно, определяющее соотношение было корректно сформулировано: как будет обсуждаться в главе 7.

    1.5 Резюме

    Таким образом, в этой главе мы представили четыре концепции механики, четыре уравнения, связывающие эти концепции, а также методологии, используемые для решения краевые задачи. В следующих главах мы подробно рассмотрим те же темы. Не предполагается, что при первом чтении этой главы один разберутся во всех деталях.Однако, читая ту же главу на В конце этого курса следует оценить детали. Эта глава обобщает концепции, которые следует усвоить и усвоить во время этого курс.

    Деформация горных пород

    Поднятие и изостазия

    Тот факт, что морские известняки встречаются на вершине горы.Эверест указывает на то, что деформация может вызвать значительное вертикальное движение земной коры. Такое вертикальное движение земной коры называется поднятием . Поднятие вызвано деформацией, которая также включает утолщение коры с низкой плотностью и, поскольку кора «плавает» на мантии с более высокой плотностью, включает другой процесс, который контролирует высоту гор.

    Открытие этого процесса и его последствий было связано с измерениями силы тяжести. Гравитацию измеряют с помощью устройства, известного как гравиметр.Гравиметр может измерить разница в силе тяжести составляет всего 1 часть на 100 миллионов. Измерения гравитация может обнаруживать области, где есть недостаток или избыток массы под поверхностью земли. Эти недостатки или избытки массы называются аномалиями силы тяжести .

    Положительная аномалия силы тяжести указывает на то, что под областью выходит избыток массы. Отрицательная аномалия силы тяжести указывает на то, что под областью меньше массы.

    Отрицательные аномалии существуют под горными хребтами и отражают топографию и земную корку. толщина, определенная сейсмическими исследованиями. Таким образом, континенты с низкой плотностью кажутся плавает на мантии с более высокой плотностью.

    Выступы коры в мантию называются корнями коры. Нормальная толщина земной коры, измеренная от поверхности до Мохо, составляет от 35 до 40 км. Но под горными поясами обычна толщина земной коры от 50 до 70 км.В общем, чем выше горы, тем толще кора.

    Причиной этого является принцип i sostasy . Принцип можно продемонстрировать, поместив в ванну или раковину деревянные блоки разного размера с низкой плотностью. Более крупные блоки будут плавать выше и переходить на более глубокие уровни воды и имитировать то, как континенты плавают на мантии (см. Рисунок 11.26 в вашем тексте).

    Однако следует иметь в виду, что плавает не только кора, но и вся литосфера.Таким образом, литосферная мантия под континентами также простирается на более глубокие уровни и толще под горными хребтами, чем обычно. Поскольку литосфера плавает в астеносфере, которая более пластична, чем хрупкая литосфера, мягкая астеносфера может течь, чтобы компенсировать любое изменение толщины коры, вызванное эрозией или деформацией.

    Принцип изостазии гласит, что существует флотационный баланс между породы низкой плотности и породы высокой плотности.т.е. породы земной коры низкой плотности плавают на более высоких плотность мантийных пород. Высота, на которой плавают породы с низкой плотностью, зависит от мощность пород низкой плотности. Континенты стоят высоко, потому что они состоят из низких Породы плотности (гранитный состав). Океанические бассейны стоят низко, потому что они состоят из более плотные базальты и габброиды.

    Изостазия лучше всего иллюстрируется эффектами оледенения. Во время ледникового периода коровые породы покрытые льдом, подавляются весом вышележащего льда.Когда лед тает, участки, ранее покрытые льдом, подвергаются поднятию.

    Горы растут только до тех пор, пока есть силы, вызывающие подъем. По мере того, как горы поднимаются, они разрушаются. Первоначально эрозия заставит горы подняться выше в результате изостатической компенсации. Но, в конце концов, вес горы начинает сдавливать нижнюю кору и субконтинентальную литосферу до уровней, на которых они начинают нагреваться и становиться более пластичными. Затем эта более горячая литосфера начнет вытекать наружу от лишнего веса, и вышеупомянутое начнет разрушаться.

    Более горячие породы могут в конечном итоге частично расплавиться, что приведет к изверженным интрузиям по мере продвижения магмы на более высокие уровни, или вся более горячая нижняя кора может начать подниматься в результате их более низкой плотности. Эти процессы в сочетании с эрозией на поверхности приводят к эксгумации , в результате чего породы из глубинной коры в конечном итоге оказываются обнаженными на поверхности.

    Справочная информация о деформационной способности, требуемой Еврокодом

    В Еврокоде 8 нет явных требований к деформационной способности полной статьи 6.6.4 (3), элемент, когда полный элемент предназначен для использования в качестве рассеивающей зоны, как в случае с 6.6.4 (4), диагонали рам с концентрическими связями. Причина отсутствия явного требования 6.6.4 (5) заключается в том, что способность к удлинению стального материала, применяемого к длинным элементам 6.7.3, безусловно, обеспечивает способность к пластической деформации, необходимую в сейсмических условиях (см. 6.8.2 (10 ), обратите внимание на пример на стр. 148). Требования являются явными для структурных типологий, в которых 6.8.4 (2) диссипативные зоны достаточно локализованы.Они выражаются в единицах абсолютной прочности 7.7.4 (1), деформации, связанной с классом пластичности конструкции, выбранным проектировщиком: 7.8.3 (1),

    • В стойких к моменту рамах пункт 6.6.4 (3) определяет минимальные требуемые значения способности пластмассового шарнира к вращению в балках или в соединениях на концах балок как 25 мрад для среднего класса пластичности (DCM) и 35 мрад для пластичности. Класс High (DCH).

    • Для рам с эксцентриковыми связями в пункте 6.8.2 (10) указывается способность к деформации, обеспечиваемая пластичными связями.

    • Для рам с распорками, концентрическими или эксцентрическими, в которых проектировщик намеревается добиться пластической деформации в соединении частичной прочности, пункты 6.7.3 (9) (a) и 6.8.4 (2) (a) в EN 1998 -1 указывают, что требуемая деформационная способность, обеспечиваемая локализованными диссипативными зонами, должна быть связана с вычисленной глобальной деформацией конструкции. Эта оценка способности к локальной деформации не требует очень высокой точности. Запрос на расчетное сейсмическое воздействие можно получить из анализа следующим образом, используя символы на рис.6.3:

    Анализ конструкции дает относительное межэтажное смещение dT в ULS. Если анализ расчетного сейсмического воздействия является линейным и основан на расчетном спектре реакции (т. Е. Упругий спектр с 5% демпфированием, деленный на коэффициент поведения q), то значение относительного межэтажного смещения при расчетном сейсмическом воздействии равно величине от анализ, умноженный на коэффициент поведения q (т.е. dv = qd] Cl): если анализ является нелинейным, смещение между этажами определяется непосредственно из анализа расчетного сейсмического воздействия.

    — Тогда требуемое удлинение dl можно вычислить как d / = djcos a, где cos a = U (I2 + h3) xa. dl следует сравнить с суммой возможностей удлинения в соединениях на диагональных концах (при условии, что оба соединения активированы, что требует кривой поведения с деформационным упрочнением).

    — Например, если djh = 3,5%, / = 6 м, h = 3 м; тогда cos a = 0,894, dT = 0,035 x 3 = 0,105 и dl = 0,117 м = 117 мм.

    Примечание: если бы диагональ была местом для этого расширения, это означало бы: e = d // (/ 2 + h3) ia = 0.017 = 1,7%, что легко достигается диагональю.

    Для стойких к моменту рам требования являются явными: например, пластиковый шарнир в стойкой к моменту раме DCH должен иметь вращательную способность 35 мрад или 3,5% в циклических пластических условиях, вызванных землетрясением. Эти требования к локальной пластичности могут быть приблизительно связаны с характеристиками общей пластичности конструкции: рис. 6.4 показывает, что моментная рама с соединением DCH должна выдерживать общий относительный дрейф около 3.5%.

    Требуемая деформационная способность диссипативных зон была определена для обеспечения безопасности в наихудшей европейской ситуации: среднеэтажные здания в регионах с высокой сейсмичностью. Реальная деформационная способность, необходимая в диссипативных зонах, может быть меньше при других обстоятельствах, что может быть вычислено путем явной оценки dJH. Таким образом, требования кодекса по способности к локальной деформации в моментных рамах могут показаться чрезмерными. Однако эти требования имеют другое обоснование, которое является результатом огромных исследовательских усилий после наблюдения крайне плохого поведения моментных связей во время землетрясений в Нортридже (1994) и Кобе (1995).Эксперименты показали, что хорошо спроектированные и качественно изготовленные стальные компоненты могут без труда достичь целевых значений, упомянутых выше, в то время как плохие конструкции терпят неудачу.