Меню сайтаРасчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.
Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной
сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн. Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы. Лекции — теория, практика, задачи… Примеры решения задач Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое. Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое). Форум сопромата и механики Книги — разная литература по теме. Заказать задачу Друзья сайта (ссылки) WIKIbetta Разработчикам (сотрудничество) Веб-мастерам (партнёрка) О проекте, контакты Подпроекты |
Добро пожаловать!!Сопротивление материалов , или просто сопромат. Считается, что сопромат — один из самых сложных предметов младших курсов. Cопротивление материалов является одной из наиболее систематизированных технических наук. Чтобы рассчитывать типовые инженерные задачи касающиеся проверки на прочность, прочностного проектирования нет необходимости каждый раз «ломать голову». Решение задач по сопромату сводится обычно к выбору подходящего метода для решения задачи, и последующему решению её. Для того, чтобы помочь решить задачи как можно большему числу людей всрок, на сайте есть: Подробнее о всех программах в разделе Программы. Как можно решить балку на паре?Есть 2 способа. Как можно рассчитать раму на паре?ЗаработайтеМини блогВертикальное перемещение точки в пространственной рамеhttps://ru.files.fm/thumb_show.php?i=afmduuvv&view Консультация по динамической нагрузкеЗдравствуйте! Полностью… Нужен сопроматчик с хорошей математической подготовкойПривет. В команду проекта по разработке расчетного ПО для зданий ищем специалиста по сопромату с хорошей математической подготовкой для помощи нам в составлении расчетов, алгоритмов расчетов, поиска наилучших расчетов. Работа удаленная. Договор. Пишите, если интересно. Пообщаемся по деталям…. Полностью… нагрузка сверху вниз вдоль оси балкинадо найти максимальную нагрузку, которую может выдержать балка с нагрузкой сверху вниз вдоль оси балки, нагрузка 620 кг, длина балки 1030 мм ps Полностью… + Добавить статью или истрию (необходима авторизация) |
СообществоВходРешение задачРасчет редукторовДля Android (рекомендую)NEW Mobile Beam 2.0 Программа для расчета балок на прочность на Вашем Android устройстве… Java 2 ME |
Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций (Лекция №35)
Общие понятия и метод расчета.
До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.
Рис.1. Схемы статически неопределимых балок
Например, для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах (Рис.1, а) можно поставить опору еще посредине, а для уменьшения деформаций балки, защемленной одним концом (Рис.1, б), можно подпереть ее свободный конец.
Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции.
Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть, превышает число уравнений статики, например, для балок рис.2. Соответственно: четыре, четыре и пять опорных реакций.
Рис.2. Механизм появления дополнительных связей
Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакции.
Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки q рис.3. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная и опорный момент , на опоре В возможно появление лишь одной реакции В. Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.
Одна из реакций является добавочной, как говорят, «лишней» неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно.
Рис.3. Исходная расчетная схема статически неопределимой балки.
Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Поэтому мы будем пользоваться термином «лишняя опорная реакция», «лишняя неизвестная» лишь условно.
Составим все уравнения статики для нашей балки, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А. Получим систему:
,
Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция Для определения трех других остаются лишь два уравнения.
За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трех: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВ, защемленной концом
Попробуем теперь превратить основную систему без опоры В в систему, полностью совпадающую с заданной статически неопределимой балкой (Рис.3).
Рис.4. Эквивалентная система
Для этого загрузим ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В (Рис.4).
Однако этого мало: в балке, представленной на рис.4, точка В может перемещаться по вертикали под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю:
Это и будет добавочное уравнение, определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры.
Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами.
Способ сравнения деформаций.
Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.
Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного , вызванного лишь нагрузкой q, и другого , вызванного реакцией В. Таким образом,
(1) |
Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (рис.4, а).
Рис.4. Расчет прогиба от исходной нагрузки а) и реакции б)
Тогда прогиб точки В будет равен:
При нагружении основной системы реакцией В (Рис.4,б) имеем:
Подставляя эти значения прогибов в уравнение (1), получаем:
Отсюда
В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называют способом сравнения деформаций.
Рис.5. Эпюры поперечных сил и внутренних изгибающих моментов.
Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики, получаем
Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (Рис.4) и подставляя значение В:
Поперечная сила Q выражается формулой
Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис.5. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствует абсциссе , определяемой равенством
т.е.
Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна:
Дальше…
РГЗ №1 Расчет многопролетной СО балки
жёсткую заделку или две наземные опоры. Второстепенные балки могут иметь только одну наземную опору (передаточные) или не имеют их вовсе (подвесные). Недостающими опорами для них служат соединительные шарниры.
Нагрузка, действующая на основные элементы, не передается на вышележащие второстепенные части; нагрузка же, действующая на второстепенные (вышележащие) части балки, передается и на основные, которые служат опорами.
Начертим схему взаимодействия элементов заданной многопролетной балки – «поэтажную» схему (рис. 2, б). Из нее видно, что балка состоит из двух основных балок АВC, DEG и вспомогательной (подвесной) балки CD. Для обеспечения геометрической неизменяемости и статической определимости правую опору балки DEG делаем шарнирно-неподвижной (добавляем один опорный стержень), а правую опору балки CD – шарнирно-подвижной (убираем один опорный стержень).
2.4. Построение эпюр M и Q
Поэтажная схема позволяет строить эпюры для каждого «этажа» в отдельности методами, рассмотренными ранее в курсах дисциплин «Техническая механика» и «Сопротивление материалов».
Расчет многопролетной шарнирно-консольной балки с использованием поэтажной схемы (первым способом) следует вести по частям, начиная от самых «верхних» балок и последовательно переходя к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учитывать не только ту нагрузку, которая к ним непосредственно приложена, но и силы взаимодействия с вышележащими балками, равные опорным реакциям последних, но имеющих обратное направление.
Построив эпюры внутренних силовых факторов, нужно выполнить статическую проверку для всей многопролетной балки, т. е. сумма заданных сил и реакций опор должна быть равна нулю.
Кроме этого, необходимо проверить, соблюдается ли дифференциальная зависимость для каждого участка балки, т.е. Q = dM /dх.
11
Правила определения внутренних усилий в балке приведены в Приложении А, правила контроля эпюр в Приложении Б.
2.4.1. Первой рассчитываем самую «верхнюю» балку СD
(рис. 2, в).
В шарнире С приложена сила F2, которую можно отнести к одной из балок АВС или СD. Будем считать, что сила F2 действует на балку АВС, а значит, при расчете балки СD она не учитывается.
а) Начинаем с определения реакций опор, используя три уравнения статики для плоской системы: ∑МC = 0; ∑МD = 0; ∑FУ = 0.
MC RD 6 F3 2 q 6 6 / 2 0
RD | q 6 6 / 2 F3 | 2 |
| 5 6 3 9 2 | 12 кН; | ||||||
6 |
|
|
|
|
| 6 |
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
MD q 6 6 / 2 RC 6 F3 4 0 | |||||||||||
RC |
| q 6 3 F3 | 4 |
| 5 6 3 9 4 | 9 кН. | |||||
| 6 |
|
|
|
|
| 6 | ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
Проверяем ∑FУ = RC + RD + F3 – q · 6 = 9 + 12 + 9 – 5 · 6 = 0. | |||||||||||
б) Строим для данной балки СD эпюры поперечных сил и изги- | |||||||||||
бающих моментов (рис. 2, в). |
|
| |||||||||
Участок Cn: 0 ≤ х1 ≤ 2 м. |
|
|
| ||||||||
Q = RC – q · х1; | Для линейного уравнения достаточно найти зна- | ||||||||||
чение функции в | крайних | участках, чтобы построить ее график | |||||||||
(эпюру Q). |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
При х1 = 0: Q = RC = 9 кН;
при х1 = 2 м: Q = RC – q · 2 = 9 – 5 · 2 = – 1 кН.
М = RC · х1 – q · х1 · х1/2. Так как имеем квадратное уравнение, находим значение функции при трех значениях аргумента – в начале, в конце и середине участка (для построения параболы).
При х1 = 0: М = 0;
при х1 = 1 м: М = RC · 1 – q · 1 · 1/2 = 9 · 1 – 5 ·0,5 = 6,5 кН·м; при х1 = 2 м М = RC · 2 – q · 2 · 2/2 = 9 · 2 – 5 · 2 · 1 = 8 кН·м.
Участок Dn: 0 ≤ х2 ≤ 4 м
Q = – RD + q · х2; М = RD · х2 – q · х2 · х2/2. При х2 = 0: Q = – RD = – 12 кН; М = 0.
12
Cn = 0
При х2 = 2 м: М = RD · 2 – q · 2 · 2/2 = 12 · 2 – 5 · 2 · 1 = 14 кН·м. При х2 = 4 м: Q = – RD + q · 4 = – 12 + 5 · 4= 8 кН;
М = RD · 4 – q · 4 · 4/2 = 12 · 4 – 5 · 4 · 2 = 8 кН·м.
На участках Cn и Dn эпюра Q пересекает нулевую линию. Из курса сопротивления материалов известна зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой: Q = dM /dх. В сечениях х0, где Q = dM /dх = 0 на эпюре М, будут экстремумы.
Участок Cn: Q0 = dM /dх = RC – q · х0
х0Cn = RC /q = 9/5 = 1,8 м.
МmaxCn = RC · х0Cn – q · х0Cn · х0Cn/2 = 9 · 1,8 – 5 · 1,8 · 1,8/2 =
=8,1 кН·м.
Участок Dn: Q0 = dM /dх = – RD + q · х0Dn = 0
х0Dn = – RD /q = – = 12/5 = 2,4 м.
М maxDn = RD · х0Dn – q · х0Dn · х0Dn/2 = 12 · 2,4 – 5 · 2,4 · 2,4/2 = =14,4 кН·м.
2.4.2. Переходим к основной балке ABC (рис. 2, г).
К нагрузкам, действующим на балку q и , добавим R´C = 9 кН – силу взаимодействия с вышележащей балкой CD. Сила R´C приложена в точке С и направлена вниз (противоположно силе RС, действующей со стороны балки DЕG на балку CD).
а) Опорные реакции балки ABC:
M | A | = R/ | 5 F 5 q 5 5/ 2 R 3 0 |
|
|
| ||||||||
|
| C | 2 |
|
| B |
|
|
|
|
| |||
|
|
|
| R/ 5 F 5 q 5 5/ 2 |
| 9 5 6 5 5 5 2,5 | 45,83 кН; | |||||||
RB = |
|
| C | 2 |
|
|
|
|
| |||||
|
|
| 3 |
|
| 3 |
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
M | B |
| = R 3 q 3 3/ 2 q 2 2 / 2 R/ | 2 F 2 0 |
| |||||||||
|
|
| A |
|
|
|
| C |
| 2 |
|
| ||
| q 3 3/ 2 q 2 2 / 2 R/ | 2 F 2 |
|
|
|
|
| |||||||
RA = |
|
|
|
|
| C |
|
| 2 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
5 3 3/ 2 5 2 2 / 2 9 2 6 2 5,83 кН. 3
Проверяем ∑FУ = RA + RB – R´C – F2 – q · 5 = – 5,83 + 45,83 – 9 – 6
– 5 · 5 = 0.
13
б) Затем строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки ABC (рис. 2, г).
Участок АВ: 0 ≤ х3 ≤ 3 м.
Q = RА – q · х3; М = RC · х3 – q · х3 · х3/2. При х3 = 0: Q = RА = – 5,83 кН; М = 0.
При х3 = 1,5 м: Q = RА – q · 1,5 = – 5,83 – 5 · 1,5= – 13,33 кН;
М= RА · 1,5 – q · 1,5 · 1,5/2 = – 5,83 · 1,5 – 5 · 1,5 · 0,75 =
=– 14,37 кН·м.
При х3 = 3 м: Q = RА – q · 3 = – 5,83 – 5 · 3= – 20,33 кН;
М = RА · 3 – q · 3 · 3/2 = – 5,83 · 3 – 5 · 3 · 1, 5 = – 40 кН·м.
Участок СВ: 0 ≤ х4 ≤ 2 м
Q = R´C + F2 + q · х4; М = – (R´C + F2) · х4 – q · х4 · х4/2.
При х4 = 0: Q = R´C + F2 + q · 0= 9 + 6 = 15 кН; М = 0. При х4 = 1 м: Q = R´C + F2 + q · 1= 9 + 6 + 5 · 1= 20 кН;
М= – (R´C + F2) · 1 – q · 1 · 1/2 = – (9 + 6) · 1 – 5 · 1 · 1/2 =
=17,5 кН·м.
При х4 = 2 м: Q = R´C + F2 + q · 1= 9 + 6 + 5 · 2= 25 кН;
М= – (R´C + F2) · 2 – q · 2 · 2/2 = – (9 + 6) · 2 – 5 · 2 · 2/2 =
=– 40 кН·м.
2.4.3.Следующей рассчитываем основную балку DЕG (рис. 2, д).
Кроме заданных нагрузок М и F1, в точке D на нее действует сила R´D = 12 кН от вышележащей балки СD.
а) Опорные реакции балки DЕG:
M | =R/ | 1 F 3 M R 5 0 |
| |
E | D | 1 | G |
|
RG | R/ | 1 F 3 M |
| 12 1 20 3 8 | 8 кН; | |||||||
| D | 1 |
|
|
|
| ||||||
|
| 5 |
| 5 |
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
M | G | R/ | 6 F 2 M R 5 0 |
|
|
| ||||||
|
| D | 1 |
|
|
| E |
|
|
| ||
RE |
| R/ | 6 F 2 M |
| 12 6 20 2 8 | 24 кН. | ||||||
| D |
| 1 |
|
|
|
| |||||
|
|
| 5 |
|
| 5 |
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
Проверяем ∑FУ = RG + RE – R´D – F1 = 8 + 24– 12 – 20 = 0.
б) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки DЕG (рис. 2, д).
14
Участок DE: 0 ≤ х5 ≤ 1 м.
Q = – R´D = – 12 кН;
М = – R´D · х5: при х5 = 0: М = 0; при х5 = 1 м: М = – 12 · 1 =
= – 12 кН·м.
Участок Ek: 0 ≤ х6 ≤ 3 м.
Q = – R´D + RE = – 12 + 24 = 12 кН;
М= – R´D · (1+ х6) + RE · х6: при х6 = 0: М = – 12 · (1+ 0) + 24 · 0 =
=– 12 кН·м;
при х6 = 3: М = – 12 · (1+ 3) + 24 · 3 = 24 кН·м.
Участок kG: 0 ≤ х7 ≤ 2 м.
Q = – R´D + RE – F1 = – 12 + 24 – 20 = – 8 кН;
М = – R´D · (4+ х7) + RE · (3+ х7) – F1 · х7 – M:
при х7 = 0: М = – 12 · (4+ 0) + 24 · (3 + 0) – 20 · 0 – 8 = 16 кН·м;
при х7 = 2: М = – 12 · (4+ 2) + 24 · (3 + 2) – 20 · 2 – 8 = 0.
2.4.4.Построение окончательных эпюр внутренних усилий и их
проверка
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной многопролетной балки (рис. 3, а) строятся путем объединения на общих осях эпюр Q и M, построенных для каждого элемента в отдельности (рис. 3, б, в).
Отметим, что скачки на эпюре Q равняются внешним силам, приложенным к балке. В шарнирах, к которым не приложены внешние силы, скачки отсутствуют (шарнир D).
Более подробно проверка эпюр M и Q описана в Приложении Б.
2.4.5.Выполним статическую проверку для всей многопролетной балки (сумма заданных сил и реакций опор должна быть равна нулю):
∑FУ = RA + RB + RE + RG – q · 11 – F2 + F3 – F1 = – 5,83 + 45,83 + 24 + 8 – 5 · 11 – 6 + 9 – 20 = 0. Условие проверки выполнено.
15
Рис. 2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
16
Рис. 3. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для многопролётной балки (б, в), определение перемещений сечения k (г, д, е, ж)
17
2.5. Построение линий влияния
2.5.1. Общие сведения по линиям влияния Линией влияния (ЛВ) какого-либо фактора (опорной реакции, из-
гибающего момента и поперечной силы в определённом сечении сооружения) называется график, изображающий закон изменения этого фактора при движении груза F 1 по всей длине сооружения.
Ордината ЛВ – это значение соответствующего усилия в рассматриваемом сечении или опоре, когда груз находится на балке над этой ординатой. В соответствии с этим определением:
-ордината ЛВ поперечной силы в сечении k – это значение поперечной силы в сечении k, для которого построена линия влияния, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой;
-ордината ЛВ изгибающего момента в сечении k – это значение изгибающего момента в сечении k, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой;
-ордината ЛВ опорной реакции – это значение реакции в опоре, для которой построена линия влияния, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой.
Отметим, что при построении ЛВ учитывается только подвижная единичная нагрузка. Заданная неподвижная нагрузка (см. рис. 2, а) при построении ЛВ не учитывается.
При построении ЛВ единичный груз F 1 считаем положительным, если он направлен сверху вниз. Опорные реакции считаем положительными, когда они направлены снизу вверх (см. реакции RA
иRB на рис. 4, а).
Всвязи с тем, что ЛВ строятся при движении безразмерной еди-
ничной силы, их размерность определяется зависимостью:
размерность ординаты ЛВ = размерность искомой величины . размерность силы (кН)
Поэтому ординаты ЛВ
-поперечных и продольных сил будут безразмерными кН/кН =
= б/р,
-изгибающего момента имеют размерность кН·м/кН = м,
18
— прогибов = м/кН.
Для построения ЛВ могут применяться статический, кинематический, статико-кинематический способы. В настоящем пособии рассмотрено применение статического способа построения ЛВ.
При применении статического метода груз F 1 фиксируется в выбранной системе координат на заданном участке его движения, и, записав уравнение равновесия статики (при помощи ранее рассмотренных приемов), получают зависимость усилия от текущей абсциссы х груза F 1. Задавая х определенные значения, строят график изменения усилия – его линию влияния.
Заметим, что в статически определимых системах найденные зависимости изменения реакций и внутренних усилий описываются линейными уравнениями, и соответствующие линии влияния при движении груза по прямой изображаются отрезками прямых линий, что значительно облегчает построение, в то время как в статически неопределимых системах линии влияния усилий являются криволинейными, и на их построение требуется гораздо больше времени.
Во всех учебниках по строительной механике подробно выводятся аналитические выражения ЛВ различных усилий и приводятся их графики для консольной балки и для однопролетной балки с консолями. Такие простейшие ЛВ показаны на рис. 4, их называют табличными.
Линии влияния для статически определимых балок с жёсткой заделкой приведены в Приложении В.
2.5.2. Анализ ЛВ позволяет рекомендовать следующие правила построения ЛВ в многопролетных шарнирно-консольных балках
Для построения ЛВ в многопролетной балке удобно пользоваться «поэтажной» схемой (рис. 5, б).
Возможны два варианта построения ЛВ в зависимости от расположения рассматриваемого сечения (на каком «этаже» балки оно находится).
1). Если рассматриваемое сечение или опора находятся в пределах верхнего второстепенного элемента, то ЛВ строится как для простой балки (табличная) и располагается в пределах длины этого
19
элемента. Ниже расположенные элементы не оказывают влияние на верхние.
В этом случае на поэтажной схеме находим ту балку, для сечения которой требуется построить искомую ЛВ. График (табличный) для этой балки переносим с рис. 4. Если в искомой балке какая-то консоль (или обе консоли) отсутствует, то и в табличной ЛВ консоль (или обе консоли) нужно отбросить.
2) Если рассматриваемое сечение или опора располагаются на основной или передаточной балке, то
а) ЛВ в пределах длины этого элемента строится как для простой балки.
б) На выше расположенных элементах (по отношению к искомой балке) рассматривают движение груза F 1, зная из анализа уравнений равновесия, что:
-в земных опорах ЛВ проходят через ноль (нулевая точка), а на консолях левые и правые ветви ЛВ имеют продолжения;
-в шарнирах ЛВ имеют перелом.
г) Движение груза F 1 по балкам, лежащим ниже искомой, не рассматриваем, так как нагрузка, приложенная к ним, не вызывает усилий в верхних этажах, т.е. искомая ЛВ на этих участках будет нулевой.
Ординаты ЛВ определяются из соотношения сторон подобных треугольников.
20
1
%PDF-1.5 % 1 0 obj > /Metadata 2 0 R /PageLayout /OneColumn /Pages 3 0 R /StructTreeRoot 4 0 R /Type /Catalog >> endobj 5 0 obj /CreationDate (D:20121226123658+06’00’) /Creator /Keywords () /ModDate (D:20121226123711+06’00’) /Producer (Adobe PDF Library 10.0) /SourceModified (D:20121221063901) /Subject () /Title (1) >> endobj 2 0 obj > stream 2012-12-26T12:37:11+06:002012-12-26T12:36:58+06:002012-12-26T12:37:11+06:00Acrobat PDFMaker 10.0 для Worduuid:9cce1d56-766c-4473-ab7c-2276bc4dee79uuid:0ebe25cc-e601-4721-afc2-9c776b978f16
Построение эпюр однопролетной шарнирно-опертой балки
Мы уже рассматривали типовые эпюры и построение эпюры консольной балки.
В этой статье мы рассмотрим как построить эпюру однопролетной шарнирно-опертой балки.
Эпюра однопролетной балки строится также ка эпюра консоли с той лишь разницей, что для определения опорных реакций необходимо решить систему уравнений. После нахождения опорных реакций метод построения эпюры аналогичен описанной в статье «Построение эпюр консольной балки».
Давайте рассмотрим построение эпюры балки на данном примере:
Значения нагрузок:
q1=20 кН/м
M1=10 кН·м
F1=30 кН
Расстояния между точками равны т,е. a=b=c=d=1м
Опорные реакции
Чтобы вычислить опорные реакции необходимо решить систему уравнений
Т.к. система неподвижна, а узлы вокруг точки A и B шарнирные, то сумма изгибающих моментов вокруг точек A и B равны нулю (если одна или обе опоры жестко закреплены, то это условие не работает и этот способ нахождения опорных реакций не работает).
Давайте обозначим опорные реакции в узлах крепления балки
Опорных изгибающих моментов в точках A и B нет, да и на эпюрах изгибающий момент в данных точках должен быть равен нулю (может быть не равен нулю только если в этом узле прикладывается изгибающий момент или балка многопролетная/с жестким соединением в узле).
Давайте напишем условие равенства изгибающих моментов относительно точки A
Реакции опоры Ra нет в уравнении т.к. плечо приложения нагрузки равно нулю, поэтому он не создает изгибающий момент в этой точке.
Из уравнения, приведенного выше, мы можем вычислить реакцию Rb:
Теперь напишем уравнение равенства изгибающих моментов вокруг точки B
Из уравнения находим значение опорной реакции Ra:
Вычисленные значения опорных реакций необходимо проверить по формуле:
Равенство верно, поэтому значение опорных реакция мы нашли правильно.
Назначение контрольных точек
Чтобы построить эпюру изгибающих моментов балки важно правильно определить все контрольные точки, для которых мы будем вычислять значения напряжения. Прежде всего это будут все точки, в которых приложена нагрузка, а также начинается или заканчивается равномерно-распределенная нагрузка. Также надо рассмотреть точки, в которых эпюра Q принимает значение равное нулю — в этой точке изгибающий момент может принимать максимальное значение (вы можете увидеть это на примере 2-х пролетной балки, рассмотренной в статье «Построение эпюр балки»).
Для начала мы назначим точки только в точках приложения нагрузки, в начале и конце приложения равномерно-распределенной нагрузки, но после построения эпюры Q может добавится еще точки для построения эпюры M.
Построение эпюры Q (поперечной силы)
Я уже рассматривал построение эпюры Q для консольной балки в статье «Построение эпюр консольной балки», для построения эпюры поперечной силы одно-пролетной балки мы пользуемся тем же методом.
Эпюру Q мы строим перемещаясь от точки A в сторону точки B вычисляя значение поперечной силы в каждой точке и строя график в зависимости от вида нагрузки, приложенной к данному участку.
Для точки, в которой приложена сосредоточенная сила F нужно вычислить значение слева от точки (без учета этой силы) и справа (с учетом этой силы). В этой точке будет скачок поперечной силы. В остальных случаях поперечная сила изменяется прямолинейно (для равномерно-распределенной) или по кривой (для переменной нагрузки).
Не забываем про правило знаков:
Если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой части, стремится повернуть сечение на заданном участке по часовой стрелке, то значение будет положительным и откладывается вверх.
Если внешняя нагрузка стремится повернуть сечение на заданном участке против часовой стрелки, то значение будет отрицательным и откладывается вниз.
Определяем напряжения Q на участке AC
Значение поперечной силы в точке А равно значению опорной реакции Ra, которое мы вычислили ранее. Не забываем про правило знаков — если сила стремится повернуть рассматриваемый участок по часовой стрелке, то значение принимается со знаком плюс, если против часовой, то со знаком минус. Мы как-бы откидываем закрепление балки в точке А, заменив ее силой Ra, и закрепляем в точке C. Сила Ra стремится повернуть участок вокруг точки C по часовой стрелке, поэтому Ra принимается со знаком плюс.
На участке AC действует равномерно-распределенная нагрузка q1. Нагрузка q1 стремится повернуть рассматриваемый участок против часовой стрелки, поэтому данная нагрузка принимается со знаком минус. Рассчитываем значение поперечной силы в точке C
На участке AC нагрузка изменяется прямолинейно, поэтому эпюра Q на участке AC выглядит следующим образом:
Определяем напряжения Q на участке CD
На участке CD нет нагрузки, поэтому значение поперечной силы на данном участке не изменяется. В точке D приложен изгибающий момент, но он не влияет на поперечную силу (влияние момента на поперечную силу отражено в реакции опоры). Поэтому значение Q в точке D равно:
На участке CD значение не Q не изменилось, поэтому эпюра Q выглядит следующим образом:
Определяем напряжения Q на участке DE
На участке DE нет нагрузок, поэтому значение Q не изменяется. В самой точке E приложена сосредоточенная сила F1, т.е. справа от точки E будет скачок поперечной силы на величину F, сила F будет со знаком минус т.к. она стремится повернуть сечение против часовой стрелки (относительно точки E справа).
Эпюра на участке DE будет выглядеть следующим образом:
Определяем напряжения Q на участке EB
На участке нет нагрузок, поэтому напряжение на участке не изменяется. В самой точке B эпюра Q должна быть равна -Rb, что мы и видим
Итоговая эпюра Q
Построим эпюру Q на основе всех этих данных
Эпюра в конце балки должна быть равна -Rb, что мы и имеем. То, что значение эпюры Q имеет знак минус в точке B не значит, что тут сечение растянуто, здесь сечение также сжато, но по правилу знаков значение отрицательное т.к. сил которые стремятся повернуть сечение против часовой стрелки больше чем сил стремящихся повернуть по часовой.
Можно отметить следующие закономерности при построении эпюры Q:
1) На участке приложения равномерно-распределенной нагрузки значение поперечной силы изменяется прямолинейно
2) На участке приложения переменной нагрузки изменение поперечной силы криволинейно
3) В точках приложения сосредоточенной силы эпюра Q имеет скачок напряжения
4) Изгибающий момент сам по себе не влияет на поперечную силу, но он воздействует на опорную реакцию, что конечно создает поперечное напряжение в балке
Построение эпюры M (изгибающих моментов)
Эпюра изгибающих моментов строится по тому же принципу, что описан в статье «Построение эпюр консольной балки».
Для построения эпюры М мы используем те же контрольные точки и те же участки, что мы использовали при построении эпюры Q.
Последовательно передвигаясь от точки А к точке B мы вычисляем значения моментов в контрольных точках и соединяем их в график который и будет указывать изгибающий момент в любой точке балки.
Изгибающий момент вычисляется произведением силы или центра приложения силы на плечо.
Для сосредоточенной силы мы умножаем значение нагрузки на расстояние до рассматриваемой точки. На графике эпюра M от действия сосредоточенной силы имеет прямую линию.
Чтобы определить изгибающий момент от действия равномерно-распределенной нагрузки определяем расстояние до середины рассматриваемого участка равномерно-распределенной нагрузки, умножаем на длину рассматриваемого участка и на величину нагрузки. На графике эпюра М от действия равномерно-распределенной нагрузки напоминает изогнутую линию, гиперболу.
Для переменной нагрузки изгибающий момент определяем следующим образом: определяется центр приложения нагрузки (длина приложения нагрузки делится в соотношении 1/3-2/3, центр приложения нагрузки находится ближе к максимальной нагрузке), определяем длину от этой точки до рассматриваемой, умножаем на длину приложения нагрузки, и умножаем на половину от приложенной нагрузки (q).На графике эпюра М от действия переменной нагрузки также как и для равномерно-распределенной напоминает изогнутую линию, но с большим изгибом.
Приложенный момент в точке просто суммируется с вычисляемым изгибающим моментом от других нагрузок. В точке где приложен момент эпюра совершает скачок. Значение момента не умножается на расстояние, а остается неизменным по всей длине.
Правило знаков для построения эпюры M
Тут есть 2-а метода: метод которым пользуются строители и метод, которым пользуются машиностроители.
У строителей изгибающий момент считается положительным, если внешняя нагрузка приводит к растяжению верхних волокон и график откладываем вверх. Если внешняя нагрузка приводит к растяжению нижних волокон, то изгибающий момент считается отрицательным и график откладывается вверх. Т.е. график всегда откладывается в сторону растянутых волокон.
У машиностроителей все наоборот — положительное значение откладывается в сторону сжатых волокон.
Ни в том, ни в другом случае ошибки нет, просто разные методы и итоговые значения будут одинаковыми, только знаки противоположными.
Не могу с уверенностью сказать почему у строителей изгибающий момент направлен в сторону растянутых волокон. Возможно из-за того, что при данном рассмотрении эпюра моментов во многих случаях повторяет изгиб балки.
Мы будем рассматривать метод, которым пользуются строители.
Определяем напряжения M на участке AC
Рассмотрим участок от точки A до точки C.
Значение изгибающего момента в точке A равно нулю, в точке B тоже равно нулю т.к. мы имеем однопролетную шарнирно-опертую балку.
На значение изгибающего момента в точке C влияют следующие силы:
1) Опорная реакция Ra. Действие силы растягивает нижние волокна (если рассматривать силу Ra вокруг точки C), поэтому значение изгибающего момента учитывается со знаком минус. Значение изгибающего момента от действия силы Ra равно произведению этой силы на плечо (расстояние от A до C в данном случае)
2) Равномерно-распределенная нагрузка q1. Действие силы растягивает верхние волокна, поэтому значение изгибающего момента от действия нагрузки q1 принимается со знаком плюс. Значение изгибающего момента от действия равномерно-распределенной нагрузки q1 равно произведению значения этой нагрузки (q1*a) на плечо (расстояние от центра равномерно-распределенной нагрузки до заданной точки, в данном случае a/2)
Вычислим значения изгибающего момента в точке C:
Т.к. на данном участке действует равномерно-распределенная нагрузка, то форма эпюры M на данном участке имеет изгиб в сторону действия нагрузки. Эпюра M на данном участке будет выглядеть следующим образом:
Определяем напряжения M на участке CD
На участке между точками C и D нет никаких нагрузок, а в точке D приложен изгибающий момент M1, поэтому необходимо считать вначале значение изгибающего момента без учета M1 (точка D слева), затем считать с учетом изгибающего момента M1 (точка D справа). На эпюре в точке D будет скачок напряжения изгибающих моментов.
На значение изгибающего момента в точке D влияют следующие силы:
1) Опорная реакция Ra. Действие силы растягивает нижние волокна (если рассматривать силу Ra вокруг точки D), поэтому значение изгибающего момента учитывается со знаком минус. Значение изгибающего момента от действия силы Ra равно произведению этой силы на плечо (расстояние от A до D в данном случае)
2) Равномерно-распределенная нагрузка q1. Действие силы растягивает верхние волокна, поэтому значение изгибающего момента от действия нагрузки q1 принимается со знаком плюс. Значение изгибающего момента от действия равномерно-распределенной нагрузки q1 равно произведению значения этой нагрузки (q1*a) на плечо (расстояние от центра равномерно-распределенной нагрузки до заданной точки, в данном случае a/2+b)
3) Изгибающий момент M1. Значение изгибающего момента не зависит от расстояния до нагрузки. Для расчета необходимо вначале рассчитать значение слева от точки где приложен данный момент, не учитывая его, и справа с учетом действия этого момента. Т.к. изгибающий момент растягивает нижние волокна, то учитываем его со знаком минус.
Вычислим значение изгибающего момента в точке D слева:
Вычислим значение изгибающего момента в точке D справа:
Эпюра M между точками C и D изменяется прямолинейно т.к. между этими нет сил. Эпюра на этом участке выглядит следующим образом:
Определяем напряжения M на участке DE
На участке между точками D и E нет никаких нагрузок, а в точке E приложена сосредоточенная нагрузка F1, но т.к. плечо в данной точке равно нулю, то и изгибающий момент сила F не создает в точке E.
На значение изгибающего момента в точке E влияют следующие силы:
1) Опорная реакция Ra. Действие силы растягивает нижние волокна (если рассматривать силу Ra вокруг точки E), поэтому значение изгибающего момента учитывается со знаком минус. Значение изгибающего момента от действия силы Ra равно произведению этой силы на плечо (расстояние от A до E в данном случае)
2) Равномерно-распределенная нагрузка q1. Действие силы растягивает верхние волокна, поэтому значение изгибающего момента от действия нагрузки q1 принимается со знаком плюс. Значение изгибающего момента от действия равномерно-распределенной нагрузки q1 равно произведению значения этой нагрузки (q1*a) на плечо (расстояние от центра равномерно-распределенной нагрузки до заданной точки, в данном случае a/2+b+c)
3) Изгибающий момент M1. Значение изгибающего момента не зависит от расстояния до нагрузки. Для расчета необходимо вначале рассчитать значение слева от точки где приложен данный момент, не учитывая его, и справа с учетом действия этого момента. Т.к. изгибающий момент растягивает нижние волокна, то учитываем его со знаком минус.
Вычислим значение изгибающего момента в точке E:
Эпюра M между точками D и E изменяется линейно т.к. между этими нет сил. Эпюра на этом участке выглядит следующим образом:
Определяем напряжения M на участке EB
На участке между точками E и B нет никаких нагрузок, а в точке B приложена опорная нагрузка Rb, но т.к. плечо в данной точке равно нулю, то и изгибающий момент опорная сила Rb не создает.
Изгибающий момент в точке B должен быть равен нулю, мы это сейчас проверим.
На значение изгибающего момента в точке B влияют следующие силы:
1) Опорная реакция Ra. Действие силы растягивает нижние волокна (если рассматривать силу Ra вокруг точки E), поэтому значение изгибающего момента учитывается со знаком минус. Значение изгибающего момента от действия силы Ra равно произведению этой силы на плечо (расстояние от A до B в данном случае)
2) Равномерно-распределенная нагрузка q1. Действие силы растягивает верхние волокна, поэтому значение изгибающего момента от действия нагрузки q1 принимается со знаком плюс. Значение изгибающего момента от действия равномерно-распределенной нагрузки q1 равно произведению значения этой нагрузки (q1*a) на плечо (расстояние от центра равномерно-распределенной нагрузки до заданной точки, в данном случае a/2+b+c+d)
3) Изгибающий момент M1. Значение изгибающего момента не зависит от расстояния до нагрузки. Для расчета необходимо вначале рассчитать значение слева от точки где приложен данный момент, не учитывая его, и справа с учетом действия этого момента. Т.к. изгибающий момент растягивает нижние волокна, то учитываем его со знаком минус.
4) Сила F1. Действие силы растягивает верхние волокна, поэтому учитывается со знаком плюс. Плечо действия силы равно d.
Вычислим значение изгибающего момента в точке B:
В принципе это тоже самое уравнение, которое мы решали при определении опорных реакций.
Т.к. на участке EB нет никаких нагрузок, то изменение изгибающего момента происходит прямолинейно.
Итоговая эпюра M
Теперь нарисуем всю эпюру M для данного примера
Можно отметить следующие правила при построении эпюры изгибающих моментов:
1) на участке приложения равномерно-распределенной или переменной нагрузки эпюра имеет изгиб
2) на участках где не приложены силы эпюра изменяется прямолинейно
3) в точке где приложен изгибающий момент происходит скачок напряжения
Итоговая эпюра Q и M
Удачи в учебе.
Как определить расчетный пролет балки (плиты, перемычки)
При расчете любого изгибаемого элемента, будь то плита, балка или перемычка, прежде всего, следует определить расчетный пролет. При переводе объемных конструкций в плоскую расчетную схему очень важно задаться правильными размерами элементов. Ведь в расчетной схеме все просто: балка – это стержень, а опора – точка. На самом же деле опора имеет свой размер – глубину опирания, и балка не зависает на краях стены (от точки до точки), часть ее работает в пролете, но часть – «отдыхает» на опорах.
Создавая расчетную схему, мы сталкиваемся с двумя величинами: реальной длиной балки и расстоянием в свету между опорами. Какую из этих величин следует принять за расчетную? Если брать полную длину балки, это будет неверно, т.к. все-таки та ее часть, которая лежит на опоре, не подвержена таким напряжениям, как в пролете. Но брать за расчетную длину расстояние между опорами можно только в отдельных случаях, ниже мы рассмотрим, что да как.
Далеко не всегда расчетная длина балки совпадает с пролетом в свету между опорами.
Есть два варианта размера расчетного пролета.
1) Если опирание жесткое, т.е. балка защемлена на опоре (либо является частью монолитной конструкции), то расчетный пролет L0 равен расстоянию в свету между опорами.
2) Если же опирание шарнирное, то расчетный пролет всегда больше этого расстояния.
Рассмотрим глубже определение расчетного пролета при шарнирном опирании элемента. Во-первых, следует четко определиться с требованиями глубины опирания шарнирных элементов (поможет статья «В чем разница между шарнирным опиранием и жестким защемлением»). Если вы делаете расчет шарнирно опираемой железобетонной балки (плиты и т.п.), глубина ее опирания должна быть не более высоты сечения – иначе, это будет уже защемление или переходное состояние между шарниром и защемлением, а там и расчет другой, и длина расчетного пролета – согласно пункту 1. Т.е. если вы плиту толщиной 200 мм опираете на 450 мм с каждой стороны, то пользоваться нижеприведенным расчетом не следует.
Для ленивых во многих учебниках есть правило: L0 = 1.05L, т.е. берем расстояние между опорами в свету и умножаем на 1,05.
Но сейчас мы постараемся понять, в чем же суть увеличения расчетного пролета, и как поточнее его определить.
При расчете балки мы привыкли получать реакции на опоре в виде сосредоточенных сил.
Но если рассмотреть точнее, нагрузка от балки на опору передается в виде распределенной нагрузки, причем даже не равномерно распределенной: максимальная ее величина расположена у края опоры, а к концу балки она сходит на нет.
По общепринятым правилам перевода распределенной нагрузки в сосредоточенную, положение сосредоточенной нагрузки будет в центре тяжести треугольника, т.е. на расстоянии 1/3 от края опоры. В этом же месте будет расположена искомая реакция. А расстояние между этими реакциями будет равно расчетному пролету.
Таким образом, если глубина опирания балки с одной стороны равна А, а с другой стороны В, то расчетный пролет мы найдем по формуле:
L0 = L + A/3 + B/3.
Если же глубина опирания с двух сторон одинаковая и равна А, то
L0 = L + 2A/3.
Такое увеличение расчетного пролета по отношению к реальному (в районе 5%) дает определенный запас прочности и приближает нас к реальному положению вещей – ведь длина балки может быть разной, а глубина опирания обычно одинаковая. И пять процентов при трехметровом пролете значительно отличается от пяти процентов при восьмиметровом.
Надеюсь, статья оказалась вам полезной.
class=»eliadunit»> Добавить комментарийСопротивление сдвигу — обзор
Вязкость
Вязкость — это сопротивление сдвигу между соседними слоями жидкости. Рассмотрим на рис. 4.1 действие сдвига между двумя параллельными плоскостями, каждая из которых имеет площадь A , разделенных расстоянием Y . Касательная сила F для данной области, необходимая для скольжения одной пластины по другой со скоростью ( v ) параллельно друг другу, равна
Рисунок 4.1. Вязкость.
(4,8) F = мквЯ.
Коэффициент пропорциональности µ — это динамическая вязкость жидкости в единицах сила × время / длина 2 и выражается в Н с / м 2 или Па с.
Исследование термодинамических свойств жидкостей в таблицах показывает, как вязкость изменяется в зависимости от температуры. Чтобы получить общее представление об этом, рассмотрите данные в таблицах тепловых свойств жидкостей и различные значения при разных температурах.
Другой единицей вязкости является кинематическая вязкость v . Это отношение вязкости к плотности. Обычными единицами измерения, используемыми для этого, являются сток (1 см 2 / с) и сантисток (1 мм 2 / с).
Поскольку изменение скорости в направлении y линейно, уравнение. (4.8) можно записать как
(4.9) F = μdvdyA.
При напряжении сдвига τ = F / A ,
(4,10) τ = μdvdy.
Для большинства жидкостей напряжение сдвига τ линейно пропорционально изменению скорости; следовательно, вязкость µ не зависит от dv / dy . Жидкость, обладающая этими характеристиками, называется ньютоновской жидкостью.
Если вязкость является функцией dv / dy , жидкость классифицируется как неньютоновская жидкость. Жидкости этого типа выходят за рамки данной главы.
Особым случаем ньютоновской жидкости является идеальная жидкость, в которой вязкость µ = 0. Идеальных жидкостей не существует; однако во многих некритических приложениях трением можно пренебречь для упрощения расчетов.
Таким образом, вязкость не зависит от dv / dy и не зависит от давления.Однако это функция температуры.
Вязкость несжимаемых жидкостей зависит от температуры как
(4,11) μμ0 = exp (BC + T + BC + T0),
, где µ — вязкость при любой температуре T , µ 0 — вязкость при любой температуре T 0 , а B и C — константы, зависящие от природы жидкости.
Вязкость газа зависит от температуры согласно
(4.12) μμ0 = S + T0S + T (TT0) 2/3,
, где S — постоянная, специфичная для газа. Иногда используется упрощенная версия:
(4.13) μμ0 = (TT0) n.
Кинематическая вязкость v — это отношение динамической вязкости µ и плотности ρ
(4,14) v = µρ.
Кинематическая вязкость газа является функцией давления, а его размер — это квадрат длины, деленный на время, единица измерения — м 2 / с.
В старой литературе встречается система cgs, в которой динамическая вязкость измеряется в сантипуазах = 0.1 пуаз = 0,001 дин / см 2
(4,15) 1 сП = 10-2 г / (см) = 10-3 кг / (мс).
Несистемная единица кинематической вязкости — сантистокс
(4,16) 1 сСт = 10-2 см2 / с = 10-6 м2 / с.
Сопротивление изгибу композитных секций с соединителями, не подверженными упругому сдвигу, и соединением с частичным сдвигом
В статье представлен нелинейный анализ поперечного сечения композитных железобетонных балок с различной степенью соединения сдвигом. Анализ основан на волокнах, то есть интегрирование по поперечному сечению выполняется численно, и любая одноосная нелинейная модель материала может быть назначена стальной и бетонной частям поперечного сечения или арматурным стержням.Анализ предполагает полное взаимодействие между сталью и бетоном и, следовательно, подходит для анализа поперечных сечений композитной сталебетонной балки с соединителями, не подверженными упругому сдвигу. Его точность проверена на нескольких экспериментальных результатах. Представленный анализ сечения используется в исследовании параметров для оценки различных методов, предлагаемых проектными нормативами для определения сопротивления изгибающему моменту композитных поперечных сечений с соединителями, не работающими на сдвиг, и различными степенями соединения сдвига.Рассмотрены следующие эффекты: вариация моделей бетона и стали, наличие арматуры плиты и ползучесть бетона. Особое внимание уделяется двум различным конструктивным методам: подпиранию и без подпорки. Выявлены недостатки метода упрощенного расчета при определении сопротивления изгибающему моменту и сформулированы рекомендации для практического анализа конструкции.
1. Введение
Композитные железобетонные конструкции находят все большее применение за последние несколько десятилетий [1–3].В композитных балках с типичными поперечными сечениями, показанными на рисунке 1, композитное действие между бетонной плитой и стальной секцией достигается за счет сдвиговых соединителей, размещенных на границе раздела сталь-бетон. Поведение этих балок определяется нелинейным поведением каждой составной части: стального профиля, бетонной плиты и соединителей, работающих на сдвиг [4].
Что касается соединителей, работающих на сдвиг, сопротивление изгибу композитного профиля зависит от типа используемых соединителей, работающих на сдвиг, их характеристик и конструкции соединения, работающего на сдвиг.В зависимости от прочности соединения, работающего на сдвиг, соединения, работающие на сдвиг, подразделяются на полные и частичные. Использование соединения частичного сдвига является обычным в случаях, когда предел прочности композитной секции не влияет на расчет. Например, когда жесткость составной балки определяется исходя из критериев прогиба, или, в конструкции без опор, когда размеры стальной балки определяются на критическом этапе во время строительства.
В соответствии с пластичностью соединителей, работающих на сдвиг, соединители классифицируются как пластичные и непластичные [1].Эта классификация основана на характеристиках нагрузки и скольжения соединителей, работающих на сдвиг. Поведение балок с пластичными и неэластичными соединителями, работающими на сдвиг, значительно различается, и по этой причине в расчетных нормах предлагаются различные типы анализа. Сопротивление изгибу составной секции с пластичными соединителями, которые также удовлетворяют дополнительным требованиям к размерам и распределению соединителей в соединении, работающем на сдвиг, определяется с помощью метода простого равновесия и анализа жесткой пластичности [5, 6].С другой стороны, когда соединители, работающие на сдвиг, не удовлетворяют предписанным требованиям пластичности либо из-за своего типа, либо из-за конструкции соединения, работающего на сдвиг, сопротивление изгибу не может быть определено в соответствии с расчетом жесткой пластичности. В этих случаях необходимо использовать упругий или нелинейный анализ [6].
На сегодняшний день существует несколько экспериментальных и численных исследований, посвященных анализу составных балок с частичным соединением сдвига и пластичными соединителями, работающими на сдвиг [4, 7–13].Большинство численных моделей представляют собой либо трехмерные модели, в которых используются твердотельные конечные элементы, либо одномерные модели конечных элементов. Трехмерные числовые модели [14] очень эффективны и точны для прогнозирования как глобального поведения составных балок, так и локального поведения, такого как концентрации напряжений вблизи соединителей сдвига и локальное изгибание. Однако эти модели очень дороги в вычислительном отношении и не подходят для обычной инженерной практики. Среди одномерных конечных элементов наиболее распространенным подходом является элемент на основе волокна, в котором используются различные нелинейные одноосные определяющие соотношения для стали, бетона и соединителей, работающих на сдвиг [4, 7, 10, 12].Хотя эти элементы находят баланс между вычислительной эффективностью и точностью, тем не менее, их использование на практике очень ограничено. В основном это происходит из-за того, что эти модели нелегко получить, и для правильного использования требуются глубокие знания нелинейного структурного анализа. По этим причинам исследование, представленное в этой статье, объясняет простую нелинейную модель для расчета сопротивления изгибу балок с соединителями, не работающими на сдвиг, и соединителями с частичным сдвигом, которые подходят для использования на практике.Мотивация к исследованию также исходит из того факта, что неэластичные соединители, работающие на сдвиг, находят свое применение как в мостах, так и в зданиях. Кроме того, общая тенденция использования филигранных конструктивных элементов в строительных конструкциях инициирует разработку новых типов соединителей, работающих на сдвиг, которые не удовлетворяют требованиям пластичности, предписываемым нормами проектирования [15], и не могут быть проанализированы как соединители, работающие на сдвиг. Однако экспериментальных и численных исследований, посвященных этой проблеме, немного [16].
Метод нелинейного анализа, представленный в этой статье, может быть использован для определения сопротивления изгибу композитного профиля с соединителями, не работающими на сдвиг, и различными степенями соединения сдвига. Метод прост и подходит для использования в инженерной практике. Он основан на анализе сечения волокна [17] и может использоваться в сочетании с любыми одноосными определяющими соотношениями материала для конструкционной стали, бетона и арматуры. Метод учитывает способ строительства: подпертый и без подпорки.Предложенная численная модель проверена на имеющихся экспериментальных исследованиях и более сложных численных моделях других авторов. Затем эта модель используется для проведения серии параметрических анализов ряда составных секций сталеобетонных балок. Результаты также сравниваются с упрощенным методом, предписанным большинством проектных норм, и выявляются ограничения упрощенного метода.
2. Обзор методов анализа кодов проектирования для неупругих соединителей
Соединители, работающие на сдвиг, классифицируются как пластичные и неэластичные в соответствии с их кривыми скольжения нагрузки (рис. 2).
В отношении соединения, работающего на сдвиг, используются термины соединение полного и частичного сдвига в зависимости от прочности соединения, работающего на сдвиг. Соединение с полным сдвигом подразумевает, что прочность соединения, работающего на сдвиг, достаточно высока, а максимальный момент сопротивления определяет предельную нагрузку. Следовательно, использование большего количества соединителей, работающих на срез, не приведет к увеличению значения предельной нагрузки. Когда используются соединители с меньшим усилием сдвига, максимальный момент сопротивления не может развиться, и соединение, работающее на сдвиг, обозначается как частичное [2, 16].Наконец, когда нет соединителей, работающих на сдвиг, только стальная балка определяет предельные нагрузки. Таким образом, балки с частичным соединением сдвига выходят из строя из-за выхода из строя соединителей сдвига.
Чтобы рассчитать предельную нагрузку на балку, необходимо определить сопротивление изгибу композитного железобетонного поперечного сечения для критических поперечных сечений балки. Поведение балок с частичным соединением сдвига существенно различается в зависимости от используемого количества соединителей сдвига и их деформационных характеристик.Когда используются пластичные соединители, работающие на сдвиг, как только достигается предельная нагрузка соединителя, работающего на сдвиг, соединители могут деформироваться и проскальзывать на границе раздела сталь / бетон. Следовательно, нейтральные оси в стальной балке и бетонной плите различаются [16]. В этих случаях, согласно нормам проектирования, сопротивление изгибу составного профиля с пластичными соединителями может быть определено с помощью метода простого равновесия и анализа жесткой пластичности [5, 6, 16]. Соединители также должны удовлетворять дополнительным требованиям к размерам и положению соединителя в соединении, работающем на срез.Сила продольного сдвига при разрыве равна сумме сопротивлений соединителей сдвига. Ряд экспериментальных и численных исследований подтвердили этот подход [11, 18–20].
Когда используются неэластичные жесткие соединители, работающие на сдвиг, при достижении предельной нагрузки соединителей, работающих на сдвиг, достигается предельная нагрузка на балку, поскольку соединители не обладают способностью к деформации. При выходе из строя нейтральные оси стальной балки и бетонной плиты совпадают. Сила продольного сдвига при разрыве равна сумме сопротивлений соединителей сдвига или меньше в зависимости от их распределения по длине сдвига.В действительности, соединители, работающие на сдвиг, не являются абсолютно жесткими, и некоторое скольжение действительно происходит на границе раздела сталь-бетон, особенно при более низких степенях сдвига соединения [16]. Однако этот промах очень мал, и на всякий случай конструкторские нормы рекомендуют не обращать на него внимания. Это подтверждают и экспериментальные исследования [16]. Следовательно, сопротивление изгибу композитного профиля с невлагающимися соединителями не может быть определено в соответствии с жестким пластическим анализом [21]. Коды проектирования позволяют использовать либо сверхконсервативный упругий анализ, либо нелинейный анализ [6].Кроме того, следует отметить, что в некоторых случаях сопротивление изгибу балок с пластичными соединителями, работающими на сдвиг, не может быть получено согласно анализу жесткой пластичности: например, когда соединители, работающие на сдвиг, не удовлетворяют предписанным требованиям к пластичности либо из-за своего типа, либо пластичность, или конструкция (распределение и положение в соединении сдвига).
При нелинейном анализе необходимо учитывать нелинейные определяющие соотношения для конструкционной стали, бетона и арматуры.Кроме того, анализ может учитывать реальное поведение соединителей при проскальзывании под нагрузкой. Поскольку это соотношение не всегда доступно, и поскольку расчет скольжения на границе раздела сталь-бетон включает использование усовершенствованных численных моделей, проектные нормы (например, Еврокод 4 [22]) предлагают полностью игнорировать скольжение на границе раздела при невыдерживаемом сдвиге. разъемы используются. Также следует учитывать предварительную нагрузку на стальную балку и эффекты ползучести и усадки.
Описанный выше нелинейный анализ не подходит для практических приложений.Таким образом, проектные нормы предлагают простую процедуру, как показано на рисунке 3.
Этот метод предполагает, что связь между сопротивлением изгибающему моменту и степенью соединения сдвигу является линейной для большей, чем степень соединения сдвига, которая соответствует упругому элементу. сопротивление моменту M el, Rd . Степень срезающего соединения определяется как отношение между расчетным значением сжимающей силы в бетонной плите ( Н c ) и расчетным значением сжимающей силы в бетонной плите с полным срезным соединением ( Н см. ).Соединение с полным сдвигом () определяется как соединение с количеством соединителей, работающих на сдвиг, достаточным для достижения полного сопротивления пластическому изгибу композитного профиля, M pl, Rd . С другой стороны, в соединении частичного сдвига количество соединителей сдвига меньше, чем требуется для достижения полного пластического сопротивления M pl, Rd , а сопротивление изгибу уменьшается до M Rd который меньше, чем M pl, Rd . Как показано на Рисунке 3, разные кривые соответствуют методу строительства с подпоркой и без подпорки. Сопротивление упругому моменту и сила в бетонной плите, которые соответствуют M el, Rd , обозначены как M el, Rd, p , M el, Rd, u , N c, el, p и N c, el, u , соответственно, для подпираемых и не подпираемых конструкций. Для конструкций без подпорок M a, Ed — расчетный изгибающий момент, действующий только на стальную секцию.
3. Секция Анализ волокна
Чтобы оценить методы анализа, описанные в предыдущем разделе, определена следующая численная модель для нелинейного анализа секции. Анализ основан на модели сечения волокна и принимает допущение о линейном распределении деформации по высоте составного сечения (отсутствие проскальзывания между стальной частью и бетонной плитой). Рассматриваемое поперечное сечение на Рисунке 1 (а) состоит из бетонной плиты и стального профиля. Сечение разделено на несколько слоев, так как проведенный анализ учитывает только изгиб вокруг сильной оси.Для случаев двухосного изгиба потребуется дискретизация на волокна. Следует отметить, что различные сечения, например, сечения с композитной плитой на стальном профилированном листе или с разными стальными профилями, также могут быть проанализированы одинаковым образом. Поскольку использование неупругих соединителей сдвига обычно связано с секциями с полной бетонной плитой и I стальной секцией, представленное исследование сосредоточено на поперечном сечении на Рисунке 1 (а).
Пластичные соединители, работающие на сдвиг, могут быть равномерно распределены по критической длине, поскольку позволяют перераспределять продольную силу сдвига по длине.Напротив, оптимальная конструкция с неупругими соединителями предполагает распределение сдвигающих соединителей, основанное на распределении продольной сдвигающей силы [16]. Таким образом, продольная сила сдвига при разрушении становится равной сумме сопротивлений соединителей сдвига. На практике это распределение обычно определяется из упругого анализа. Для других распределений соединителей, работающих на сдвиг, предельная нагрузка достигается, как только сила продольного сдвига на соединителе с наибольшей нагрузкой сравняется с его сопротивлением.В представленном исследовании предполагается, что соединители, работающие на сдвиг, распределены оптимально. Та же самая кривая сопротивления изгибу сечения с правильно рассчитанным продольным сдвигающим усилием при разрыве может быть использована и для других распределений соединителей, работающих на сдвиг.
Нелинейные одноосные модели конститутивного напряжения-деформации присваиваются каждому слою. В исследовании по валидации нелинейная модель бетонного материала, предписанная Еврокодом 2, назначается бетонным слоям (рис. 4 (а)).
Связь между напряжением бетона и деформацией при сжатии определяется положительными значениями при сжатии, где — пиковое напряжение деформации, — пиковое напряжение бетона, а
Модуль упругости бетона в ГПа определяется как (в МПа), а бетон Предел деформации
Прочностью бетона на растяжение пренебрегают.
Для арматуры принято простое упругое и идеально пластичное соотношение (рис. 4 (b)) с пределом текучести арматуры, обозначенным как. Закаливание не было включено, поскольку в изученных примерах не было данных о нем.
Простая трехлинейная определяющая связь с деформационным упрочнением принята для конструкционной стали (рис. 4 (c)). На этом рисунке обозначает модуль Юнга стали, является пределом текучести, является пределом прочности и является деформацией текучести.Начало твердения определяется с помощью коэффициента as, и аналогичным образом предельная деформация определяется с помощью коэффициента as. Модуль упрочнения составляет. Предполагаются одинаковые отношения при растяжении и сжатии.
Кроме того, предполагается, что предотвращаются эффекты локальной нестабильности, такие как коробление стального профиля. Предлагаемый анализ рассматривает оба метода строительства, как на подпорках, так и без подпорок. Эффекты ползучести учитываются посредством модульного отношения при расчете сопротивления упругому моменту M el, Rd , и этот эффект обсуждается позже при анализе параметров.Эффектом усадки пренебрегают.
На первом этапе анализа, в зависимости от метода строительства, выполняется инициализация напряжений (и деформаций). Для конструкции с подпоркой напряжения во всех слоях устанавливаются равными нулю. Для метода строительства без подпорок напряжения, соответствующие моменту M a , действующему только на стальную балку, назначаются слоям стального профиля, а напряжения в других слоях присваиваются нулю. На втором этапе предполагается линейное распределение деформации по высоте поперечного сечения композита.Соответствующий вектор деформации сечения для 2D-анализа обозначается: где — деформация в начале исходной оси, а — кривизна (рис. 5).
Чтобы рассчитать кривую сопротивления изгибу секции для всех степеней соединения сдвига (т. Е. От 0 до 1), деформации в верхней части бетона (Рисунок 5) должны изменяться от 0 до конечное значение,. Таким образом, алгоритм состоит из двух этапов: один — это увеличение деформаций в верхней части бетонной плиты, а другой — итерации.Во время итераций для постоянной деформации в верхней части бетона деформация в нижней части стального фланца изменяется до тех пор, пока не будет выполнено уравнение равновесия для осевой силы:
В уравнении (7) — заданная осевая сила что равно 0 для рассматриваемой задачи чистого изгиба; — осевая сила, соответствующая предполагаемым деформациям сечения,. Сила вместе с изгибающим моментом определяется для каждого вектора деформации сечения (т. Е. Для каждого распределения деформации) путем интегрирования (т.е.е., суммирование) по поперечному сечению: где — напряжения в серединах всех слоев, определенные из известных определяющих соотношений и рассматриваемого распределения деформаций. Общее количество слоев и,, и — соответственно начальное напряжение, координата и площадь слоя. На следующем этапе выполняется проверка того, удовлетворяется ли уравнение равновесия (7) (с точностью до допуска). Если это условие выполняется, результирующая сила в бетонной плите рассчитывается путем интегрирования (т.е.д., суммирование) только по слоям бетонной плиты. Наконец, соответствующая степень соединения сдвига определяется путем деления этого значения на.
В начале анализа предполагается, что = 0. Во время фазы приращения с приращением деформаций бетона приращение деформации в нижней части стального фланца определяется следующим образом: где частные производные и являются элементами первой строки матрицы жесткости по касательной к сечению, обозначает общую высота составного сечения, а T c — начало отсчета оси с ее положением от верха бетонной плиты.Для рассматриваемой задачи из-за отсутствия осевой силы начало системы координат может быть размещено в любом месте плоскости поперечного сечения. Один интересный выбор — это верх бетонной плиты, поскольку в этом случае становится, и изменение деформации в нижней части стальной секции вызывает только изменения кривизны. Однако приведенное здесь решение показано для других положений начала отсчета оси отсчета.
Если уравнение равновесия (7) с не выполняется с точностью до допуска, начинаются итерации, и деформация в нижней части стального профиля изменяется, в то время как деформация остается неизменной.Во время этих итераций приращение деформации рассчитывается следующим образом:
Выражения из уравнений (9) и (11) возникают в результате разложения уравнения (7) в ряд Тейлора и после его линеаризации. Процесс сходится быстро. Например, для допуска осевой силы 10 -12 решение получается после 3-4 итераций.
После достижения сходимости после увеличения деформации процесс определения состояния повторяется, начиная с деформации из последнего состояния схождения.Блок-схема процедуры показана на рисунке 6.
4. Проверка предложенного метода анализа сечений
Для проверки предложенного выше метода анализа сечений проводится численный анализ семи экспериментально исследованных тестов. Первая группа испытаний включает образцы Чжао и Юаня [11] изгибных свойств сталебетонных композитных балок. Балки состояли из сварной стальной I секции и бетонной плиты. Размеры сечения стальных балок удовлетворяли требованиям Еврокода 4 для компактных профилей.Данные о поперечном сечении и свойства использованного материала приведены в таблицах 1 и 2 соответственно. Значения переменных приведены на рисунке 1 (a) для b футов = b fb = b f и t ft = t fb = t f .
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для каждого поперечного сечения класс бетона варьировался среди следующих g классов C25 / 30, C30 / 37, C35 / 45, C40 / 50, C45 / 55 и C50 / 60 со свойствами, указанными в таблице 4.Здесь f ck — это характеристическая прочность цилиндра на сжатие бетона через 28 дней, а E см — секущий модуль упругости бетона.
. Таблица 5.Модуль Юнга стали принимается равным E a = 210 ГПа.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||