Сопромат балка на двух опорах примеры решение задач: Определение опорных реакций двухопорной балки

Содержание

Определение опорных реакций двухопорной балки

Пример решения задачи по расчету опорных реакций балки, закрепленной на двух шарнирных опорах и нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.

Задача

Для заданной двухопорной балки с консольной частью, нагруженной комплексом нагрузок: силой F, моментом m и распределенной нагрузкой q, определить величину и направление опорных реакций.

Расчетная схема балки показана на рис.1

рис.1

Длина пролета балки 3м. Длина консольной части – 1,5м.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Пример решения

Рекомендуем посмотреть наш видеоурок. В нем мы постарались подробно показать порядок расчета реакций в опорах балки.

Для решения задачи, обозначим характерные точки (сечения) балки (точки A, B, C и D) и определим положение системы координат y-z, выбрав ее начало например в т. A (рис.2)

рис.2

Обе опоры балки являются шарнирными, поэтому в каждой из них будет возникать только сила, обозначим их соответственно R

A и RC

Видео про реакции в шарнирных опорах

Пример расчета реакций опор для консольной балки

Так как все заданные нагрузки раположены исключительно в вертикальной плоскости (плоский поперечный изгиб) и не дают проекций на ось z, то опорные реакции будут тоже только вертикальными.

Вообще говоря, реакции в опорах являются такими силами, которые необходимы для удержания балки с приложенными к ней нагрузками, в статичном (неподвижном) состоянии. В данном случае эти силы не позволяют ей вращаться и перемещаться в вертикальной плоскости.

Данная балка является статически определимой, т.к. уравнений равновесия достаточно для определения неизвестных усилий в опорах балки.

Для составления уравнений статики, опорные реакции RA и RC предварительно направляются произвольно, например, вверх (рис.3).

рис.3

Для определения двух неизвестных реакций потребуется два уравнения.

Запишем уравнения статики:

  1. Балка не перемещается по вертикали, т.е. сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
  2. Тот факт, что балка не вращается, говорит о том, что сумма моментов относительно любой ее точки тоже равна нулю, т.е.: В данном уравнении, согласно правила знаков для моментов, сосредоточенные силы, моменты и распределенные нагрузки стремящиеся повернуть балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки A записываются положительными и наоборот.
    Как записывается момент распределенной нагрузки показано здесь.
    Сила приложенная в точке относительно которой рассматривается сумма моментов в уравнении не участвует, так как плечо момента для нее равно нулю.

Здесь сумму моментов лучше записывать относительно точки расположенной на опоре (например, A), т.к. в этом случае соответствующая реакция RA в уравнении не участвует.

Из выражения (2) определяем RC:

и подставив его в выражение (1) находим RA:

Направление и величина реакций, как правило, необходимы для дальнейших расчетов балки на прочность и жесткость, поэтому во избежание возможных ошибок рекомендуется выполнять проверку найденных значений.

Проверка опорных реакций балки >
Построение эпюр Q и M для балки >
Другие примеры решения задач >

Определение реакций опор балки - решение задачи

Порядок решения задач на определение реакций опор балок

  • Выбираем систему координат. Можно ось x направить вдоль балки, ось y – вертикально вверх. Ось z будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Центр системы координат можно выбрать в одной из точек опор балки.
  • Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
  • Если есть распределенная нагрузка, то заменяем ее равнодействующей силой. Величина этой силы равна площади эпюры. Точка приложения силы находится в центре тяжести эпюры. Так если нагрузка q равномерно распределена на отрезке AB, то ее равнодействующая имеет величину Q = q·|AB| и приложена посередине отрезка AB.
  • Составляем уравнения равновесия для действующих сил. В общем случае они имеют вид:
    .
    Спроектируем это векторное уравнение на оси координат. Тогда сумма проекций сил на каждую из осей координат равна нулю:
    (1)   .
    Находим проекции сил на оси координат и составляем уравнения (1). Для плоской системы сил, последнее уравнение, с проекциями на ось z, не используется.
  • Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Сумма моментов сил относительно произвольной оси A′A′′ равна нулю:
    (2)   .
    Чтобы составить это уравнение, мы должны выбрать ось, относительно которой вычисляются моменты. Ось лучше выбрать так, чтобы сделать вычисления более простыми. Чаще всего оси выбирают так, чтобы они проходили через точки опор балки, перпендикулярно плоскости рисунка.
  • Решаем уравнения и получаем значения реакций опор.
  • Делаем проверку результата. В качестве проверки можно выбрать какую-нибудь ось, перпендикулярную плоскости рисунка, и относительно нее подсчитать сумму моментов сил, действующих на балку, включая найденные реакции опор. Сумма моментов должна равняться нулю.

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Условие задачи.

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н; G = 22,6 Н; q = 2 Н/м; M = 42,8 Н·м; a = 1,3 м; b = 3,9 м; α = 45°;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A. Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y – вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Силы, действующие на балку.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A, разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция , в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н.
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C – посередине отрезка AD:
AC = CD = b/2 = 1,95 м.

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
;
;
(П1)   .

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;
;
;
(П2)   .

Уравнения равновесия для моментов

Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.

Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A, перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.

Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы , и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
;   ;   .

Сила перпендикулярна плечу AB. Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A, сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.

Сила перпендикулярна плечу AK. Поскольку, относительно оси A, эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.

Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.

Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A равна нулю:
;

;
;
(П3)   .

Решение уравнений равновесия

Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1)   .
(П2)   .
(П3)   .

Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.

Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:


Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A:
Н.

Проверка правильности решения

Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.

Возьмем ось, проходящую через точку E. Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:

.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н. Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм. Мы получили значение -0,03 Нм. Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.

Ответ

Н;   Н;   Н;   Н.

Второй способ решения

Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно – для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.

Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B.
;   ;   ;
;
;
;
;
.

Сумма моментов сил относительно оси B равна нулю:
;

;
;
(П4)   ;

Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1)   .
(П3)   ;
(П4)   .

Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):

Н.

Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями

Содержание:

  1. Пример решения задачи
  2. Составляем уравнения изменения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.
  3. Двутавровое поперечное сечение.
  4. Поперечное сечение из двух швеллеров.

Исходные данные:

Заданная расчетная схема:

Пример решения задачи

1. Определяем опорные реакции (рис.2.1).

Рассматриваемая двухопорная балка является статически определимой. Это означает, что для определения неизвестных опорных реакций и в наложенным внешних связях (двухсвязный шарнир и односвязный шарнир достаточно только уравнений равновесия (независимыми уравнениями для плоской системы являются

Наиболее рациональной является следующая схема определения опорных реакций в двухопорных балках. Из уравнения определяется горизонтальная реакция Как правило, в балках она равна нулю (при отсутствии продольной внешней нагрузки, которая не является характерной нагрузкой при изгибе).

  • Вертикальные опорные реакции на каждой опоре определяются из суммы моментов всей внешней нагрузки относительно противоположной опоры (соответственно

Поскольку в этих уравнениях реакции будут единственными неизвестными, при таком подходе каждая из этих реакций может быть получена в виде дроби, в знаменателе которой будет расстояние между опорами, а в числителе - сумма моментов всей внешней активной нагрузки относительно противоположной опоры, взятых со знаками, противоположными знаку выбранного

направления искомой реакции. Уравнения являются зависимыми, то есть являются по сути одним и тем же уравнением. Поэтому всегда необходимо проверять правильность определения опорных реакций, используя для этого оставшееся независимое уравнение равновесия

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, рациональный алгоритм определения опорных реакций в двухопорных балках имеет следующий вид:

1.1. Определяем опорную реакцию

1.2. Определяем опорную реакцию

1.3. Проверяем правильность определения опорных реакций:

Знак «-» у полученных опорных реакций показывает, что они направлены в сторону, противоположную выбранной (не вверх, а вниз).

Составляем уравнения изменения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.

Поперечная сила и изгибающий момент являются внутренними усилиями (внутренними силовыми факторами) и, как и при других видах напряженного состояния, определяются при помощи метода сечений. Суть метода заключается в том, что балка мысленно рассекается в заданном сечении на две части, отбрасывается одна из частей (как правило, большая), для восстановления равновесия действие отброшенной части на оставшуюся заменяется (компенсируется) внутренними усилиями, которые определяются из уравнений равновесия оставшейся (рассматриваемой) части балки.

  • Однако, в таком общем виде внутренние усилия при изгибе обычно не определяются. Как правило, для составления уравнений достаточно математических определений поперечной силы и изгибающего момента и правила знаков для учета внешней нагрузки.

Математические определений внутренних усилий при изгибе:

Поперечная сила в заданном поперечном сечении балки равна сумме проекций всей внешней нагрузки, действующей с одной стороны от сечения (или в рассматриваемой части балки), на вертикальную ось

Изгибающий момент в заданном поперечном сечении равен сумме моментов относительно оси от всей внешней нагрузки, действующей с одной стороны от сечения (или в рассматриваемой части балки).

Правило знаков необходимо использовать для учета направлений действия внешней нагрузки в математических определениях внутренних усилий. На рис.2.2 показано правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе балок. На схемах указаны направления действия внешней нагрузки, вызывающей положительные значения внутренних усилий в указанном поперечном сечении рассматриваемой левой (правило знаков слева) или правой (правило знаков справа) части балки.

Систематизируя правило знаков слева и справа, можно сформулировать следующие общие определения правила знаков при изгибе:

  • Правило знаков для поперечной силы - если внешняя нагрузка стремится повернуть рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она вызывает в заданном поперечном сечении положительную поперечную силу.
  • Правило знаков для изгибающего момента - если внешняя нагрузка стремится поднять рассматриваемую часть балки вверх, то она вызывает в заданном поперечном сечении положительный изгибающийся момент.

Составление уравнений изменения внутренних усилий при изгибе для каждого участка сопровождается такими обязательными комментариями:

  • а) необходимо обязательно указывать номер участка на расчетной схеме, во всех уравнениях и при вычислении значений внутренних усилий в характерных точках участка;
  • б) так как при изгибе поперечное сечение проводится в произвольной, но фиксированной точке участка, необходимо показывать привязку этой точки к выбранному началу координат (как правило, в крайней левой или крайней правой точке балки) при помощи переменной координаты
  • в) необходимо указывать интервал изменения переменной в пределах каждого участка и указывать, какое правило знаков (слева или справа) используется при составлении уравнений.

Конечной целью определения внутренних усилий является построение эпюр. Для этого необходимо знать значение внутренних усилий в характерных точках участков. Такими точками являются поперечные сечения в начале и конце участка, а также сечения с возможными экстремальными значениями внутренних усилий. Экстремальные (отличные от соседних) значения могут возникать в случае, если уравнение изменения внутренних усилий имеет форму полинома второго и выше порядка.

Для заданной балки уравнения изменения внутренних усилий и их значения в характерных точках для трех участков имеют вид (рис.2.3):

Уравнение изменения изгибающего момента для первого участка имеет форму полинома второй степени и, следовательно, изгибающий момент в пределах первого участка может иметь экстремум. Координату экстремума можно определить, приравняв первую производную функции к нулю. Для этого удобно использовать первую теорему Журавского (2.1). Определяем координату экстремума

Определяем значение экстремального изгибающего момента

Уравнение изменения изгибающего момента для второго участка также имеет форму полинома второй степени. Однако, поперечная сила в пределах участка не меняет свой знак, и, следовательно, ввиду линейности функции в пределах участка не может быть равной нулю. Поэтому экстремального значения изгибающего момента на втором участке не будет.

Уравнение изменения изгибающего момента для третьего участка имеет форму полинома второй степени, а поперечная сила пределах участка меняет свой знак. Следовательно, нужно определять положение экстремума

Определяем значение экстремального изгибающего момента

3. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюрой в сопротивлении материалов называется график, отражающий характер изменения какого-либо параметра вдоль оси одноосного элемента. Эпюры строятся для каждого участка в отдельности. В пределах участка все расчетные параметры изменяются по определенному закону в виде неразрывной функции. Для построения эпюры на каждом участке необходимо знать характер изменения заданного параметра в пределах участка (его математическое выражение) и значения в нескольких характерных точках (как правило, в начале и конце участка и, если необходимо, в точках экстремальных значений параметра).

Согласно полученных ранее уравнений, графиком эпюры поперечных сил на всех участках будет прямая наклонная линия, а графиком эпюры изгибающих моментов - квадратная парабола.

При построении эпюр необходимо соблюдать следующие правила:

а) название эпюры обычно приводится справа или сверху от нее, при этом, если все значения на эпюре поперечных сил приведены в а на эпюре изгибающих моментов - в то размерность не указывается;

б) построение эпюры не требует точного соблюдения масштаба, однако примерная видимая пропорциональность между значениями параметров должна соблюдаться;

в) знаки параметров указываются или в «теле эпюры», или слева от нее;

г) «тело эпюры» заштриховывается поперечной (перпендикулярной по отношению к продольной оси одноосного элемента) штриховкой, при этом величина каждого штриха характеризует значение расчетного параметра в соответствующем сечении.

Под «телом эпюры» понимаются плоские фигуры, ограниченные продольной осью одноосного элемента и графиком уравнений изменения расчетных параметров.

Эпюра поперечных сил для заданной двухопорной балки приведена на рис.2.3г, изгибающих моментов - на рис.2.3г).

Если положительные значения изгибающих моментов на эпюре откладываются вверх, такая эпюра называется «эпюрой по сжатым волокнам». В такой эпюре «тело» эпюры располагается с той стороны балки (вверху или внизу), волокна которой сжаты. Такая эпюра характерна для машиностроителей. Если положительные значения откладываются вниз - эпюра называется «по растянутым волокнам». Она характерна для строителей. а) скачки (резкие изменения значений параметра в одном и том же поперечном сечении) на эпюре поперечных сил должны соответствовать по координате, величине и знаку внешним сосредоточенным силам;

б) скачки на эпюре изгибающих моментов должны соответствовать по координате, величине и знаку внешним сосредоточенным моментам;

в) в соответствии с первой теоремой Журавского (2.1) в поперечных сечениях, в которых поперечная сила равна нулю, изгибающий момент принимает экстремальные значения;

г) в соответствии со второй теоремой Журавского (2.2) при графиком эпюры поперечных сил при движении слева направо будет восходящая прямая линия, справа налево - нисходящая.

д) в соответствии с (2.3) при в поперечных сечениях, в которых поперечная сила равна нулю, экстремумами на эпюре изгибающих моментов будут минимумы, а при - максимумы.

Для построенных эпюр (рис.2.3) все указанные признаки выполняются.

Подбираем поперечное сечение балки из условия прочности в форме двутавра, прямоугольника круга и из двух швеллеров

Для заданной балки максимальный изгибающий момент в опасном сечении равен (рис.2.3г)).

Согласно (2.6) минимально допустимый осевой момент сопротивления поперечного сечения балки определяется зависимостью

Двутавровое поперечное сечение.

Двутавр является стандартным прокатным профилем, все геометрические характеристики которого приводятся в справочных таблицах. Согласно (2.8) минимальное значение момента сопротивления будет равно:

Из справочных таблиц (ГОСТ 8239-86) выбираем двутавр с ближайшим большим значением момента сопротивления. Это двутавр № 36, для которого

Поперечное сечение в форме прямоугольника.

Прямоугольник является сечением простой геометрической формы, для которого все геометрические характеристики определяются по известным аналитическим зависимостям. Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения с соотношением высоты и основания равен

Тогда, согласно (2.6), минимальная ширина прямоугольного сечения балки будет определяется зависимостью При

Для заданной балки

Площадь прямоугольника с основанием равна:

Поперечное сечение в форме круга. Для заданной балки Круг также является сечением простой геометрической формы. Осевой момент сопротивления круга диаметром равен:

Тогда, согласно (2.6) минимальный диаметр круглого поперечного сечения будет определяется зависимостью

Для заданной балки Площадь круга диаметром 18,7 см равна:

Поперечное сечение из двух швеллеров.

Швеллер является стандартным прокатным профилем. Поскольку выбираемое сечение состоит из двух швеллеров, согласно (б) минимальное значение момента сопротивления одного швеллера будет равно

Из справочных таблиц (ГОСТ 8239-86) выбираем швеллер №30, для которого

Площадь поперечного сечения из двух швеллеров будет равна

Все выбранные поперечные сечения являются равнопрочными так как способны воспринимать без разрушения одинаковую внешнюю нагрузку.

6. Сравним выбранные поперечные сечения по металлоемкости.

Поскольку балка является одноосным элементом, ее металлоемкость зависит от площади поперечного сечения. Сведем в таблицу площади выбранных поперечных сечений различной формы и сравним их с площадью двутавра

Сравнение площадей выбранных поперечных сечений показывает, что наиболее экономичным является двутавровое сечение. Площадь, следовательно, погонный вес и металлоемкость прямоугольного сечения в 3,103, круглого - в 4,431, а сечения из двух швеллеров - в 1,308 раза больше площади равнопрочного двутаврового сечения. Поэтому наиболее рациональной формой поперечного сечения при изгибе является двутавровое поперечное сечение.

решение задач. Лекции. Изгиб. Определение напряжений. Определение опорных реакций.

Меню сайта

Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW - считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.

Расчет балок на прочность он-лайн - построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!

Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW - эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.

Лекции - теория, практика, задачи...

Примеры решения задач

Справочная информация - ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Форум сопромата и механики

Книги - разная литература по теме.

Заказать задачу

Друзья сайта (ссылки)

WIKIbetta

Разработчикам (сотрудничество)

Веб-мастерам (партнёрка)

О проекте, контакты

Подпроекты

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

::Оглавление::


3. Изгиб. Определение напряжений.

3.3. Определение опорных реакций.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.1. Определить опорные реакции консольной балки (рис. 3.3).

Решение. Реакцию заделки представляем в виде двух сил Az и Ay, направленных, как указано на чертеже, и реактивного момента MA.

Составляем уравнение равновесия балки.

1. Приравняем нулю сумму проекций на ось z всех сил, действующих на балку. Получаем Az = 0. При отсутствии горизонтальной нагрузки горизонтальная составляющая реакции равна нулю.

2. То же, на ось y: сумма сил равна нулю. Равномерно распределенную нагрузку q заменяем равнодействующей qaз, приложенной посредине участка aз:

Ay - F1 - qaз = 0,

откуда

Ay = F1 + qaз.

Вертикальная составляющая реакции в консольной балке равна сумме сил, приложенных к балке.

3. Составляем третье уравнение равновесия. Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно какой-нибудь точки, например относительно точки А:

откуда

Знак минус показывает, что принятое вначале направление реактивного момента следует изменить на обратное. Итак, реактивный момент в заделке равен сумме моментов внешних сил относительно заделки.

Пример 3.2. Определить опорные реакции двухопорной балки (рис. 3.4). Такие балки обычно называют простыми.

Решение. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то Az = 0

Вместо второго уравнения можно было использовать условие того, что сумма сил по оси Y равна нулю, которое ы данном случае следует применить для проверки решения:
25 - 40 - 40 + 55 = 0, т.е. тождество.

Пример 3.3. Определить реакции опор балки ломаного очертания (рис. 3.5).

Решение.

т.е. реакция Ay направлена не вверх, а вниз. Для проверки правильности решения можно использовать, например, условие того, что сумма моментов относительно точки В равна нулю.

::Оглавление::

Полезные ресурсы по теме "Определение опорных реакций"

1. Он-лайн программа (версия 2004 года), которая выдаст расписанное решение любой балки. Пример результата.
Кроме построения эпюр эта программа так же подбирает профиль сечения по условию прочности на изгиб, считает прогибы и углы поворота в балке.

2. Он-лайн программа (версия 2008 года), которая строит 4 вида эпюр и рассчитывает реакции для любых балок (даже для статически неопределимых).

Сообщество

Вход

Решение задач

Расчет редукторов

Для Android (рекомендую)

NEW Mobile Beam 2.0
Программа для расчета балок на прочность на Вашем Android устройстве...
Java 2 ME

Как найти реакции опор (сопромат)

Способы определения опорных реакций изучаются в курсе теоретической механики. Остановимся только практических вопросах методики вычисления опорных реакций, в частности для шарнирно опертой балки с консолью (рис. 7.4).

Нужно найти реакции: , и . Направления реакций выбираем произвольно. Направим обе вертикальные реакции вверх, а горизонтальную реакцию – влево.

Нахождение и проверка опорных реакций в шарнирной опоре

Для вычисления значений реакций опор составим уравнения статики:

Сумма проекций всех сил (активных и реактивных) на ось z равна нулю: .

Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки (перпендикулярные к оси балки), то из этого уравнения находим: горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры .

Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:.

Правило знаков для момента силы: считаем момент силы положительным, если он вращает балку относительно точки против хода часовой стрелки.

Необходимо найти равнодействующую распределенной погонной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка равна площади эпюры распределенной нагрузки и приложена в центре тяжести этой эпюры (посредине участка длиной ).

Тогда

кН.

Сумма моментов всех сил относительно опоры B равна нулю:.

кН.

Знак «минус» в результате говорит: предварительное направление опорной реакции было выбрано неверно. Меняем направление этой опорной реакции на противоположное (см. рис. 7.4) и про знак «минус» забываем.

Проверка опорных реакций

Сумма проекций всех сил на ось y должна быть равна нулю: .

Силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются на нее со знаком «плюс»:

(верно).

Нахождение опорных реакций в жесткой заделке

Найдем реакции опор в жесткой заделке. Для определения опорных реакций составляются уравнения статики:

Из первого уравнения определяется реакция (обычно равна нулю), из второго – и из третьего – момент в жесткой заделке .

Проверка, как правило, не производится.

Определение опорных реакций - экспресс курс для чайников

Привет! Меня зовут Константин Вавилов и сегодня я решил начать свой экспресс курс: «сопромат для чайников». Начнем продвигаться через дебри «сопротивления материалов» именно с нее. Решение практически любой задачи по сопромату начинается с определения всех действующих, на элемент конструкции, внешних нагрузок. Помимо заданных условием задачи внешних сил, на объект расчета действуют силы, возникающие в связях, которые определяют условия закрепления элемента. Эти силы именуются как опорные реакции, также их называют еще реакциями опор или реакциями связей. Так вот, наша задача в рамках этого урока научиться определять эти реакции, чтобы далее перейти к построению эпюр, подбору сечений и т.д., к тому, чем знаменит сопромат. Ведь реакции опор изучаются еще в теоретической механике, но так как курс рассчитан на чайников, и реакции в сопромате встречаются сплошь и рядом, этот урок более чем уместен. Перейдем непосредственно к обучению!

Как определяются опорные реакции?

Опорные реакции определяются из уравнений равновесия статики, которые подразумевают, что рассчитываемая конструкция находится в состоянии равновесия. Существуют всего три формы уравнений равновесия, о чем можно, более подробно, почитать в этой статье.

Мы будем использовать классическую форму записи уравнений, вот эту:

Что значат эти три строчки? Эта система говорит нам, что так как система находится в состоянии равновесия, то для нее должны выполняться следующие условия:

  • суммы проекций всех сил на вертикальную и горизонтальную оси равны нулю;
  • сумма моментов относительно произвольного центра также равна нулю.

Записав правильно эти уравнения для конкретной системы, можно выразить из них искомые опорные реакции. Собственно, давайте рассмотрим пример и научимся записывать эти уравнения.

Пример определения опорных реакций

Возьмем двух опорную балку, загруженную сосредоточенной силой в середине пролета и равной 5 кН:

Эту же балку будем использовать в других статьях для чайников, для наглядности, рассчитаем для нее эпюры, подберем сечение, определим прогибы и т.д. Сегодня же ограничимся опорными реакциями. Продолжение следует.

Решение задач сопромата с помощью NumLock Calculator

Решение задач сопромата с помощью NumLock Calculator

Страница программы NumLock Calculator

ИНСТРУКЦИЯ ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ NL.

Решение задач сопромата

Калькулятор, который мне посчастливилось создать, помогает людям считать - в самых разных задачах, которые ставит реальная жизнь, даже в тех, до которых я бы сам никогда бы не додумался.

В этом тексте, написанном моим давним пользователем и критиком Оконечниковым А.Н., дается пример решения такой задачи – задачи сопромата.  Подробное пошаговое руководство  может служить образцом дотошного отношения к делу, в нем  используются все возможности программы, о некоторых из которых ее автор и не подозревал J .

Потапов Владимир

Прежде, чем вы начнете работать с этим текстом, скачайте пожалуйста файл sopromat.zip и прочитайте readme

Постановка задачи и начало программирования

Пусть перед нами стоит следующая задача: балка лежит на двух опорах. Профиль балки - швеллер, сваренный из полосового материала. Никаких нагрузок, кроме собственного веса, балка не несет. Необходимо определить:

  1. Расчетные параметры поперечного сечения
  2. Реакции опор
  3. Значения максимального изгибающего момента
  4.  Значения максимального нормального напряжения
  5. Угол поворота и прогиб на левом конце балки.

Схема нагружения балки представлена на рис.1.Сечение балки - на рис. 2.

Рис.1

Материал балки - сталь.

С точки зрения программирования мы должны составить программу таким образом, чтобы все вычисления проводились, по возможности, без нашего дополнительного вмешательства, чтобы вводимые и выводимые данные были правильны и понятны, а составленные формулы могли бы быть использованы для других расчетов, то есть были бы, по возможности, универсальными.

Определим  исходные данные и константы, которые будут нам необходимы для решения задачи.

  1. Высота и ширина всех полос: мм.
  2. Длина балки и расстояния до опор: мм
  3. Модуль упругости материала (Е=2E6 кг/см2).
  4. Плотность материала (7.85E-6 кг/мм3).

Отметим для себя, что для того, чтобы промежуточные и окончательные результаты вычислений были правильными, надо внимательно следить за всеми размерностями в составляемых нами формулах.

Рис.2

Определим количество вводимых исходных данных: 3 сечения имеют по 2 размера = 6, размеры балки и расстояния до опор: 3,  2 "константы", которые тоже могут быть переменными (при изменении материала балки). Итого 11 исходных данных.

Как известно, в NL имеются следующие возможности ввода и вывода данных: в строке ввода (списки, разделяющиеся точкой с запятой - только для ввода), из ячеек памяти (их всего 10 - с 0 по 9, каждая из которых допускает ввод и вывод списков, но только вручную), с помощью временных переменных m0-m99 (всего 100 ячеек, которые допускают ввод и вывод только одиночных данных), но которые можно использовать и в программном режиме.

Еще одна особенность NL, которая состоит в том, что для вывода результатов при использовании строки ввода данных необходимо каждый раз вводить эти исходные данные, а при использовании временных переменных m, доступ одновременно ко всем  вводимым данным отсутствует.

Попробуем сначала решить задачу без использования ячеек памяти и временных переменных. Две "константы" для облегчения принимаем равными соответствующим константам для стали.

Прежде, чем перейти к программированию необходимо задать конкретные названия всем исходным данным. Пусть h2, b1 ,h3 ,b2 ,h4 ,b3 - это  высоты и ширины соответственно левой, средней и правой полос сечения. Ab, Bb, Cb - соответственно расстояния от левого конца балки до левой опоры, между опорами и от правой опоры до правого конца балки. Все буквы - латинские (они могут быть любыми, но мы будем использовать только латинские).

Теперь дадим названия выходным данным. Ra, Rb - реакции левой и правой опор. Ixcост_шв - момент инерции составной балки относительно главной оси. Y0 - прогиб левого конца балки, Fi0 - угол говорота левого конца балки. Mmax - максимальный изгибающий момент. Snmax - максимальные нормальные напряжения.

Константы: Pst=7.85E-6 - плотность стали, кг/мм3, Est=2E6 - модуль упругости стали, кг/см2.

Все остальные промежуточные переменные и результаты будем описывать в процессе решения задачи.

Для записи формул создадим (в папке Функции, ее можно открыть через меню Пуск/Программы/NumLock Calculator 3.2) новый текстовый файл с расширением .udf, например, Балка.udf. (Проще всего для этого скопировать существующий файл, например Константы.udf переименовать его и вычистить из копии старое содержимое - там всего пара строк)

Для записи констант создадим новый файл, с тем же расширением, но назовем его "Постоянные.2)/BbRa(Ab;Bb;Cb;Ssum)=q*(Ab+Bb+Cb)-Rbbq=Ssum*Pst*100

Обратите внимание на следующее. У нас появилась новая функция: Rbb. Эта функция является той же самой, что и Rb, только без ввода исходных данных. Таким образом, если мы вычисляем Ra (с вводом списка данных), то вычисляется q, затем складываются Ab+Bb+Cb, затем вычисляется Rbb по второй формуле с использованием исходных данных, а затем выводится правильный результат. Если в третьей формуле использовать не Rbb, а Rb, то будет выдано сообщение об ошибке, поскольку Rb работает только как самостоятельная функция, то есть в связке она использоваться не может. Rbb является связанной функцией и может быть использована в любой (!) пользовательской формуле в качестве аргумента! (Нужно только чтобы в той пользовательской формуле, с которой осуществляется связь, задавались аргументы, необходимые для Rbb)

В четвертой формуле появился множитель 100, который служит лишь для согласования размерности (1см2=100мм2), поскольку плотность мы договорились брать в кг/мм3, а площадь - в см2. Результат, т.е значение реакций будет получаться, соответственно в кг. Ну а Ab, B, и Cb мы договорились брать в миллиметрах. Если интересно, то попробуйте подсчитать общий вес балки. Его можно подсчитать как q*(Ab+Bb+Cb) - это у нас уже встречалось в третьей формуле, только мы отдельно функцию не записывали. Или как сумму реакций опор, т.е. Ra+Rb.

Ну, хорошо. Формулы составили, а считать - то как? Сейчас разберемся. Тут нужен доступ к кнопкам калькулятора, чтобы было на что нажимать для  вывода результатов вычислений на дисплей. (Возможно, конечно просто «вручную» набить и вычислить  формулы в окошке вычислений, но мы же договорились автоматизировать все, что возможно?)

 Кнопки и переключатели NL

Давайте ознакомимся поподробнее с кнопками NL. Выберите в калькуляторе вид под названием "Инженерный". Большинство кнопок на панели NL функциональные, то есть при их нажатии вы видите на дисплее или число или оператор или название функции со скобкой или без нее. Особое положение и назначение имеют кнопки-переключатели. Это кнопки [Inv] и [Hyp]. При их нажатии происходит небольшое изменение внешнего вида и вместо одних названий функциональных кнопок появляются другие. Таким же образом происходит "расширение" возможностей NL, дополнение его интерфейса новыми функциональными кнопками и кнопками-переключателями.

Выберите теперь вид «Конструктор». Вы видите внизу панели NL раздел «Пользовательские функции» и «Библиотеки».  Кнопки в первом разделе  - это переключатели, которые будут вызывать новые функциональные кнопки. Обратите внимание на кнопки [Вычисления1] и [reserv2] – [reserv7]. Пока нажатие на них не вызывает никаких действий - это будут наши первые переключатели и функциональные кнопки для решения этой задачи.

Откройте для редактирования в любом текстовом редакторе файл с названием  "Конструктор.itf". (Пуск-Программы-NumLock Calculator 3.2-Виды). Найдите  в разделе "КНОПКИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЕЙ"

кнопку под названием

[btSwitch8]

и замените написанное там на следующее:

Caption=Балка
Visible=1
Top=325
Left=7
Height=20
Width=101
Tag=1
Font=MS Sans Serif,B,8
Hint=Расчет балки

Далее в конце файла найдите раздел "ФУНКЦИИ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЕЙ"  а в разделе

 [Switch8]

напишите

;[Балка]
reserv7=Rb
reserv6=Ra

Мы сделали следующее. На кнопку-переключатель с номером 8 поместили новое название "Балка", а в подсказке к этой кнопке сделали пояснение "расчет балки". Далее, мы зарезервировали функциональные кнопки, которые в режиме по умолчанию имели заголовки [reserv7] и [reserv6], и задали им выполнение пользовательских функций Ra и Rb.

Сохраните файл. Формулы, которые мы составляли ранее, должны быть также записаны в файл «Балка.udf», а константы - в «Постоянные.udf», а сами файлы сохранены. Обратите внимание, что папки для файлов udf и itf должны быть соответственно «Функции» и «Виды». Теперь снова загрузите вид "Конструкторский". На месте кнопки [Вычисления2] появилась кнопка [Балка]. Нажмите на эту кнопку. Вместо кнопок [reserv7] и [reserv6] Вы видите теперь кнопки, обозначенные [Rb] и [Ra]. Все правильно.

Давайте теперь попробуем что-нибудь вычислить. Для этого вводим исходные данные, например, 1000;1000;1000;200 и нажимаем на кнопку [Rb]. На экране:

Rb(1000;1000;1000;200) = 235,5.

Мы ввели расстояния между опорами и от опор до концов балки по 1 м и выбрали площадь сечений составного швеллера равным 200см2. Получили реакцию опоры В=235.5 кг. Чтобы снова не набирать исходные данные вручную, нажмите два раза на клавиатуре РС клавишу NL. На экране - снова наши исходные данные. Нажимаем теперь кнопку [Ra]. На экране:

Ra(1000;1000;1000;200) = 235,5. То же самое! Балка-то лежит симметрично, значит и реакции опор одинаковые. А сами реакции подсчитаны правильно? Проверим сначала правильно ли подсчитан вес балки. Открываем справочник по стандартным швеллерам. К сожалению стандартных швеллеров с площадью  поперечного сечения 200см2 нет. Находим самый большой. Это №40. Площадь поперечного сечения 61.5см2. Наш больше в 200/61.5 = 3,252032520325 раза. Вес погонного метра у стандартного 48.3. Наш же длиннее ровно в 3 раза. Умножаем 3,252032520325*48,3 *3 = 471,2195121951. А реакция опор при таком же расположении была бы 471.2195121951/2 = 235,6097560976. Значит реакции опор мы подсчитали правильно. А если сдвинуть опоры? Например, Ra(0;1000;1000;200) = 0. Интересный результат. Все понятно. Вся нагрузка приходится на опору В. Балка "повисла" на этой опоре и на опору А не давит.2)/Bb  // Реакция опоры В, кг (расстояния: лев.край-лев.опора, мм; между опорами, мм; прав.край-прав.опора, мм; Сум.сечение,см2). Здесь формула от подсказки отделяется //, а дальше пишется все, что надо знать при использовании формулы: результат, аргументы, размерности, разделители списков и т.д. То есть все то, что необходимо для удобного пользования каждой формулой.

  

Продолжение программирования

А как же быть с суммарным сечением? Теперь придется заняться геометрическими характеристиками сечений. Для расчета балок, подвергающихся изгибу, обычно используются следующие геометрические характеристики: площадь, статический момент, положение центральных осей, момент инерции, момент сопротивления. Все эти характеристики взаимосвязаны, поэтому, определяя их (а это нам тоже нужно), мы, естественно определим и суммарное сечение.

В файле Брус.txt приведены уже готовые формулы (без математических выводов), которые мы и будем использовать. Для порядка скажу только, что за исходные координатные оси были выбраны ось ординат, проходящая по нижней стороне среднего сечения, и ось абсцисс, проходящая по через центр нижней стороны. Т.е. была соблюдена вертикальная симметрия.

Скопируйте весь раздел с формулами геометрических характеристик в Ваш файл «Балка.udf» (Внимание! При копировании функций нужно знать: калькулятор не загрузится, если встретит  функции с одинаковыми именами)

Теперь посмотрим, какие данные необходимо вводить для расчета геометрических характеристик нашего сечения. Их шесть (по три ширины и по три высоты). Все они должны записываться в строку ввода через точку с запятой. Добавим 3 параметра, связанные с длиной балки. Итого 9. Ввод в одну строку будет довольно неудобным, а подсказка получится слишком длинной. Да и задача еще не решена до конца. Впереди ведь еще вычисление моментов, напряжений и прогибов. Поэтому все-таки нам придется использовать сохранение промежуточных значений. Как мы уже знаем хранить данные можно в ячейках памяти или как временные переменные. Попробуем для этого использовать временные переменные m0 - m99. При этом желательно обеспечить следующий алгоритм. Вычисление какого-то параметра, который необходим для последующих вычислений, сохранение его в памяти, затем при вызове очередной формулы, обращение непосредственно за данными в нужную ячейку, запись результата (при необходимости) в следующую ячейку и т. д. К сожалению, эту операцию полностью автоматизировать мы не сможем. NL не умеет последовательно исполнять две несвязанные функции, т.е. нельзя записать последовательно выполнение функции вычисления значения и присвоения этого значения временной переменной. Поэтому операцию сохранения в памяти  придется выполнять вручную.

Сначала определим те параметры, которые нам надо "запомнить" для того, чтобы довести решение до конца. А перед этим попытаемся до конца решить задачу.4)/4!E Ixcост_шв)-Fi0Aa. - это искомый прогиб.

В целом задача решена.

Обратите внимание на то, что здесь, наконец, появился модуль упругости E  (мы о нем уже вспоминали в самом начале) и параметр Ixс, который, к счастью является геометрической характеристикой сечения и уже вычислен. Его тоже надо было бы запомнить после вычисления. Значит всего необходимо "запомнить" 3 промежуточных параметра, которые являются геометрическими характеристиками сечения.

Заменим во всех формулах, где функцию суммарного сечения используется как аргумент на переменную m1, Ixcост_шв - на m2, Wxc - на m3. Если Вы все выполнили правильно, то у Вас должно получиться так же, как в файле «Брус.txt». В этом файле описаны все функции, которые мы вместе составляли (Вы заметили, что описания ранее введенных функций реакций опор стали зависеть уже всего от трех аргументов?)

Теперь необходимо оформить те кнопки, которые будут отвечать за сохранение промежуточных результатов и одновременно закончить с кнопками .

Сначала открываем файл «Балка.udf», который Вы начали создавать, и запишем туда три функции присвоения временным переменным значений, которые находятся в строке ввода:

Func1(X)=m1:=X  // Занести суммарное сечение, см2
Func2(X)=m2:=X  // Занести момент инерции Ixc, см4Func3(X)=m3:=X  // Занести момент сопротивления изгибу Wxc, см3

Сохраним этот файл. Запомним названия функций и откроем файл «Конструктор.itf». Найдем в разделе "ДАННЫЕ ПАМЯТИ" кнопку:

[btNumPad53]
Caption=F(1)
Hint=Это F1
Function=F1
Visible=1
Top=283
Left=516
Height=20
Width=62
Tag=1
Font=MS Sans Serif,B,8

Для нас будут важны три первые строчки. Лучше всего такие названия скопировать, чтобы не ошибаться. Здесь ведь важна не только конкретная привязка названия, подсказки и функции к Caption, Hint or Function, но и то, какие буквы были использованы: латиница, кириллица или их сочетание.  Перейдем теперь в раздел "ФУНКЦИИ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЕЙ" и найдем наш переключатель №8.

Запишем в любом месте этого переключателя следующее:

F(1)=Sсеч
F1=Func1
Это F1=Занести сечение швеллера в ячейку m1
F(2)=Ixc
F2=Func2
Это F2=Занести Ixс швеллера в ячейку m2
F(3)=Wxc
F3=Func3
Это F3=Занести Wxc швеллера в ячейку m3

Порядок записи строк может быть любым. То, что пишется слева от знака равенства должно в точности соответствовать тому, то желаете изменить. Справа от знака равенства Вы должны написать там, где был Caption: то, что хотите видеть на кнопке, Hint: то, что желаете видеть во всплывающей подсказке, Function - то, что вы записали в качестве исполняемых функций, то есть это наши функции запоминания характеристик сечения. Названия кнопок и названия функций могут полностью не совпадать. Названия функций на кнопках служат только для информации. Сохраните файл и перезагрузите NL. Кстати, нажимать кнопку "Выход" в "Главном меню" не обязательно. Достаточно выбрать в разделе "Главного меню" вид "Конструктор" и у Вас будет произведена перезагрузка файла вида и всех файлов udf. Нажмем на кнопку "Балка". Теперь в той области NL, где буквы "ПАМЯТЬ" вместо букв F(1), F(2) и F(3) появились наши Sсеч, Ixc и Wxс. Напишем в строке ввода какое-нибудь число и нажмем на кнопку Sсеч. В строке ввода все исчезло. Как проверить что у нас в памяти. Вводим в строку: m1, нажимаем Enter (на клавиатуре PC) или = на панели NL и видим на дисплее m1= и далее наше число. Это означает, что число попало в ячейку памяти. Те же операции произведем с двумя другими кнопками и убедимся, что все работает. Теперь остается только присвоить кнопкам на функциональной панели NL необходимые для решения нашей задачи функции и приступить к решению конкретного примера.

Опять откроем файл "Балка.=Wxс_шв
reserv5=Mmax
&cos=Snmax
&tan=Y0
cotan&g=Fi0

Сохраним файл и перегрузим NL. Нажимаем кпопку "Балка". Теперь все кнопки "заряжены" и находятся на тех местах, куда мы их определили. Слева - окончательные результаты расчетов, в середине - геометрические характеристики сечения, справа - реакции опор и максимальный момент.

Программирование закончено. Можно приступать к решению задач.

 

Решение задач

 В качестве конкретного примера выберем довольно простую схему размещения балки на опорах. Положим балку таким образом, чтобы она лежала на опорах на своих крайних точках. Длину балки выберем 6метров или 6000мм.

В строке ввода запишем 0;6000;0 и поместим этот список в ячейку памяти (MS) под номером 1. Это сделано для того, чтобы было удобнее вызывать параметры схемы в строку ввода. В качестве составного швеллера принимаем швеллер, аналогичный стандартному №40. Это мы делаем для того, чтобы проверить как правильно считает геометрические характеристики наша программа. Запишем характеристики составного сечения: 115-8;13,5;8;400;115-8;13,5 и разместим этот список в ячейку памяти (MS) под номером 2. Нажимаем кнопку "Балка".

Вычисляем геометрические характеристики.

Sсеч_шв(107;13,5;8;400;107;13,5) = 60.89 (см2)

Заносим это значение в область временных переменных: кнопка [Sсеч]->m1.

[MR(2)]->

Ixcост_шв(107;13,5;8;400;107;13,5) = 779,3222909194 (см4)->[Ixc]->m2.

{MR(2)]->

Wxс_шв(107;13,5;8;400;107;13,5) = 93,08850176815 ->[Wxc] (см3)->m3.

Сравним полученные геометрические характеристики с характеристиками стандартного швеллера из справочника. Они должны не очень сильно отличаться.

Площадь=61.5 см2, Iy=642 см4, Wy=73.4 см3. (значения взяты по оси Y, поскольку наш профиль развернут на 90 градусов.

А сейчас будет еще проще. Вызываем список данных из MR(1).

Rb(0;6000;0) = 143.39595
Ra(0;6000;0) = 143.39595
Mmax(0;6000;0) = 21509.3925
(кгсм)
Snmax(0;6000;0) = 231.0639025384 (кг/см2)
Y0(0;6000;0) = 0 (прогиба на опоре нет)
Fi0(0;6000;0) = -2.760012481437E-5 радиан, поворот по часовой стрелке.
Rb+ Ra=  286.7919 кг.

Вес шестиметрового куска швеллера №40 составляет:

48.3*6 = 289.8 кг. (где 48.3 - вес 1 погонного метра швеллера).

Итак, мы убедились, что составленные нами формулы работают правильно. (небольшое несовпадение цифр относится к наличию скруглений у профиля  стандартного швеллера)

Решим еще одну задачу. Положим нашу балку на опоры симметрично относительно середины балки. Расстояние между опорами теперь пусть будет равно 1м или 1000мм.

Rb(2500;1000;2500) = 143.39595
Ra(2500;1000;2500) = 143.39595
Mmax(2500;1000;2500) = 14937.078125
Snmax(2500;1000;2500) = 160.4610434294
Y0(2500;1000;2500) = -0.05159051108243
Fi0(2500;1000;2500) = 2.263274123957E-5

Как видно из результатов реакции не изменились, максимальный изибающий момент и напряжения стали существенно меньше, появился отрицательный прогиб на левом конце балки (концы балки "провисли" вниз), знак угла поворота изменился на обратный.

Решение задачи заняло несколько секунд.

Мы меняли только размещение опор. А можно ли поменять размеры поперечного сечения? Можно. Более того. Формулы геометрических составлены таким образом, что мы можем "считать" не только швеллера, показанные на рис.2, но и другие профили. Так, например, если мы составим список размеров сечений, где отсутствуют размеры третьей полосы (то есть присутствуют их нулевые значения), то получим профиль уголка буквой L. Если нулевыми будут представлены две из трех полос, то геометрические характеристики будут вычислены для одной единственной полосы. Причем, все характеристики будут подсчитаны для центральных осей выбранного сечения.

Возьмем металлическую полосу высотой 10 мм, шириной 50 мм и длиной 6 метров. Положим ее на последнюю из выбранных нами схем опирания бруса.

0;0;10;50;0;0 - первый список;2500;1000;2500 - второй список.Sсеч_шв(0;0;10;50;0;0) = 5Ixcост_шв(0;0;10;50;0;0) = 0.4166666666667Wxс_шв(0;0;10;50;0;0) = 0.8333333333333Rb(2500;1000;2500) = 11.775Ra(2500;1000;2500) = 11.775Mmax(2500;1000;2500) = 1226.5625Snmax(2500;1000;2500) = 1471.875Y0(2500;1000;2500) = -7.923593749999Fi0(2500;1000;2500) = 0.003476078125

Обратите внимание на то, что значения напряжений стали значительно выше. Если их сравнить с пределом текучести стали при растяжении (2500 кг/см2), то видно, что достаточно приложить по концам полосы небольшие дополнительные силы (например, встать вдвоем на края полосы), и она "потечет", то есть потеряет свои упругие свойства и согнется.

Попробуем в последнем примере заменить характеристики стали на характеристики стекла. Временно меняем:

Est=500000

Pst=2.5E-6

И тогда получим:

Snmax(2500;1000;2500) = 468.75

Это значение напряжение выше, чем временный предел прочности стекла (400 кг/см2), что говорит о том, что при данной схеме полоса стекла переломится под собственным весом.

В конце файла Брус.txt записаны функции вычисления налогов. Это примерный аналог тех формул, которые Вы можете увидеть в виде Финансовый. Скопируйте эти файлы в Ваш рабочий файл Балка.udf и попробуйте разобраться самостоятельно с действиями кнопок TAX… при включении переключателя Финансовый в виде Конструктор. 

Выводы 

В результате программирования исходной задачи мы получили доступ к решению целого класса задач прикладной механики (сопротивления материалов). Хотелось бы обратить внимание на следующее. Мы выполняли вычисления по нескольким направлениям. Первое - это вычисления геометрических характеристик сечения (они не зависят ни от материала, ни от расположения опор и длины балки). Второе - это вычисления, связанные с свойствами материала балки, расположением опор и длины балки. Второе направление можно было бы разделить еще на два: выбор материала и его характеристик и другое - то, которое зависит от схемы нагрузки балки, материала и сечения. ТОЛЬКО ПОСЛЕДНЕЕ ИЗ НИХ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ДВУХ ПЕРВЫХ, А ПЕРВЫЕ ДВА ЯВЛЯЮТСЯ НЕЗАВИСИМЫМИ! Имеется в виду следующее. Геометрические характеристики сечения могут быть вычислены независимо от схемы нагрузки и исходных материалов. Материалы, естественно, зависят только от нашего выбора. И только завершающие расчеты мы не можем провести без первых двух. Таким образом, логично было бы для правильной организации библиотек создавать независимые друг от друга блоки вычислений. Для такого узкого круга задач по сопромату, как расчеты статически определимых систем (балок) такими библиотеками могут быть:

  1. Библиотека расчетов геометрических характеристик сечений (пруток, труба, двутавр, швеллер, уголок и др.
  2. Библиотека различных схем нагрузки балок (сочетания распределенных нагрузок, сосредоточенных нагрузок и изгибающих моментов).
  3. Библиотека механических характеристик наиболее часто используемых конструкционных материалов.

Уже сейчас NL позволяет программировать и решать очень сложные линейные задачи, создавать практически неограниченное количество библиотек пользовательских формул, констант и различных коэффициентов.

Оконечников Александр.

Страница программы NumLock Calculator

12.2 Примеры статического равновесия - University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Выявление и анализ ситуаций статического равновесия
  • Создание диаграммы свободного тела для протяженного объекта в статическом равновесии
  • Установка и решение условий статического равновесия для объектов, находящихся в равновесии, в различных физических ситуациях

Все примеры в этой главе относятся к планарным задачам.Соответственно, мы используем условия равновесия в компонентной форме от (Рисунок) до (Рисунок). Мы ввели стратегию решения проблем на (Рисунок), чтобы проиллюстрировать физический смысл условий равновесия. Теперь мы обобщим эту стратегию в виде списка шагов, которые необходимо соблюдать при решении задач статического равновесия для протяженных твердых тел. Мы выполняем пять практических шагов.

Стратегия решения проблем: статическое равновесие
  1. Укажите объект для анализа. Для некоторых систем, находящихся в равновесии, может потребоваться рассмотреть более одного объекта.Определите все силы, действующие на объект. Определите вопросы, на которые вам нужно ответить. Определите информацию, содержащуюся в проблеме. В реальных задачах некоторая ключевая информация может быть неявной, а не явной.
  2. Создайте диаграмму свободного тела для объекта. (a) Выберите опорную рамку xy для задачи. Нарисуйте для объекта диаграмму свободного тела, включая только силы, действующие на него. Если возможно, представьте силы в виде их компонентов в выбранной системе отсчета.Когда вы делаете это для каждой силы, вычеркните исходную силу, чтобы ошибочно не включить одну и ту же силу в уравнения. Обозначьте все силы - это понадобится вам для правильного расчета чистых сил в направлениях x и y . Для неизвестной силы направление должно быть задано произвольно; думайте об этом как о «рабочем направлении» или «предполагаемом направлении». Правильное направление определяется знаком, который вы получаете в окончательном решении. Знак плюс

    означает, что рабочее направление является фактическим направлением.Знак минус

    означает, что фактическое направление противоположно предполагаемому рабочему направлению. (б) Выберите положение оси вращения; Другими словами, выберите точку поворота, относительно которой вы будете вычислять моменты действующих сил. На схеме свободного тела укажите расположение оси и плеч рычага действующих сил - это понадобится вам для правильного расчета крутящих моментов. При выборе шарнира имейте в виду, что шарнир можно разместить где угодно, но руководящий принцип заключается в том, что лучший выбор максимально упростит расчет чистого крутящего момента вдоль оси вращения.

  3. Составьте уравнения равновесия для объекта. (a) Используйте диаграмму свободного тела, чтобы записать правильное состояние равновесия (рисунок) для компонентов силы в направлении x . (b) Используйте диаграмму свободного тела, чтобы записать правильное состояние равновесия (рисунок) для компонентов силы в направлении y . (c) Используйте диаграмму свободного тела, чтобы записать правильное состояние равновесия (рисунок) для крутящих моментов вдоль оси вращения. Используйте (Рисунок) для оценки величин и значений крутящего момента.
  4. Упростите и решите систему уравнений равновесия, чтобы получить неизвестные величины. На данный момент ваша работа связана только с алгеброй. Имейте в виду, что количество уравнений должно быть таким же, как и количество неизвестных. Если количество неизвестных больше, чем количество уравнений, проблема не может быть решена.
  5. Оцените выражения для неизвестных величин, которые вы получили в своем решении. В ваших окончательных ответах должны быть правильные числовые значения и правильные физические единицы.В противном случае используйте предыдущие шаги, чтобы отследить ошибку до ее источника и исправить ее. Кроме того, вы можете самостоятельно проверить свои числовые ответы, переместив точку поворота в другое место и снова решив проблему, что мы и сделали на (рисунок).

Обратите внимание, что построение диаграммы свободного тела для задачи равновесия твердого тела является наиболее важным компонентом в процессе решения. Без правильной настройки и правильной диаграммы вы не сможете записать правильные условия равновесия.Также обратите внимание, что диаграмма свободного тела для протяженного твердого тела, которое может совершать вращательное движение, отличается от диаграммы свободного тела для тела, которое испытывает только поступательное движение (как вы видели в главах, посвященных законам движения Ньютона). В поступательной динамике тело представляется как его ЦМ, в котором все силы прилагаются к телу, а крутящие моменты отсутствуют. Это не относится к динамике вращения, где протяженное твердое тело не может быть представлено одной точкой. Причина этого в том, что при анализе вращения мы должны идентифицировать крутящие моменты, действующие на тело, а крутящий момент зависит как от действующей силы, так и от плеча рычага.Здесь диаграмма свободного тела для протяженного твердого тела помогает нам определить внешние моменты.

Пример

Балансировка крутящего момента

Три гири прикреплены к единой измерительной линейке, как показано на (Рисунок). Масса измерительного стержня составляет 150,0 г, а массы слева от точки опоры равны

.

и

Найдите массу

, который уравновешивает систему, когда она прикреплена к правому концу ручки, и нормальную силу реакции на опоре, когда система уравновешена.

Рисунок 12.9 При балансировке крутящего момента горизонтальная балка опирается на точку опоры (обозначена буквой S), а массы прикрепляются к обеим сторонам оси. Система находится в статическом равновесии, когда балка не вращается. Он уравновешен, когда луч остается ровным.
Стратегия

Для схемы, показанной на рисунке, мы выделяем следующие пять сил, действующих на измерительную линейку:

- масса массы

- масса массы

- вес всей измерительной линейки;

- масса неизвестной массы

- нормальная сила реакции в точке опоры S .

Мы выбираем систему отсчета, в которой направление оси y - это направление силы тяжести, направление оси x - вдоль измерительной ручки, а ось вращения (ось z - ) перпендикулярна оси x и проходит через точку опоры S . Другими словами, мы выбираем ось в точке соприкосновения измерительной линейки с опорой. Это естественный выбор для поворота, потому что эта точка не перемещается при вращении ручки.Теперь мы готовы создать диаграмму свободного тела для измерительной ручки. Мы указываем ось и присоединяем пять векторов, представляющих пять сил, вдоль линии, представляющей стержень измерителя, располагая силы относительно оси (рисунок). На этом этапе мы можем идентифицировать рычаги пяти сил, учитывая информацию, предоставленную в задаче. Для трех висящих грузов проблема явно связана с их расположением вдоль стержня, но информация о расположении груза w дается неявно.Ключевое слово здесь - «униформа». Из наших предыдущих исследований мы знаем, что ЦМ однородной палки находится в ее средней точке, поэтому именно здесь мы прикрепляем груз w на отметке 50 см.

Рисунок 12.10 Схема свободного тела для измерительной рукоятки. Поворот выбирается в точке поддержки S.
Решение

Используя (Рисунок) и (Рисунок) для справки, мы начинаем с нахождения плеч рычагов пяти сил, действующих на рукоять:

Теперь мы можем найти пять крутящих моментов относительно выбранной оси:

Второе условие равновесия (уравнение для крутящих моментов) для измерительной ручки -

При подстановке значений крутящего момента в это уравнение мы можем опустить крутящие моменты, дающие нулевой вклад.Таким образом, второе условие равновесия равно

.

Выбор

- направление параллельно

первое условие равновесия ручки -

Подставляя силы, первое условие равновесия становится

Мы решаем эти уравнения одновременно для неизвестных значений

и

В (Рисунок) мы отменяем коэффициент g и переставляем члены, чтобы получить

Для получения

делим обе стороны на

, так что у нас

Чтобы найти нормальную силу реакции, переставляем члены в (Рисунок), переводя граммы в килограммы:

Значение

Обратите внимание, что (рисунок) не зависит от значения г .Таким образом, баланс крутящего момента может использоваться для измерения массы, поскольку изменения значений г и на поверхности Земли не влияют на эти измерения. Это не относится к пружинным весам, поскольку они измеряют силу.

Проверьте свое понимание

Повторите (рисунок), используя левый конец измерительной ручки для расчета крутящих моментов; то есть, поместив ось на левый конец измерительной ручки.

[show-answer q = ”fs-id11637134 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11637134 ″]

316.7 г; 5.8 N

[/ hidden-answer]

В следующем примере мы покажем, как использовать первое условие равновесия (уравнение для сил) в векторной форме, заданной (Рисунок) и (Рисунок). Мы представляем это решение, чтобы проиллюстрировать важность подходящего выбора системы отсчета. Хотя все инерциальные системы отсчета эквивалентны, а численные решения, полученные в одном кадре, такие же, как и в любом другом, неподходящий выбор системы отсчета может сделать решение довольно длинным и запутанным, тогда как мудрый выбор системы отсчета делает решение простым.Мы покажем это в эквивалентном решении той же проблемы. Этот конкретный пример иллюстрирует применение статического равновесия к биомеханике.

Пример

Силы в предплечье

Тяжелоатлет держит в предплечье гирю весом 50,0 фунтов (эквивалент 222,4 Н), как показано на (Рисунок). Его предплечье находится на отметке

.

относительно его плеча. Предплечье поддерживается сокращением двуглавой мышцы, которое вызывает крутящий момент вокруг локтя.Предполагая, что напряжение в двуглавой мышце действует в вертикальном направлении, определяемом силой тяжести, какое напряжение должна прикладывать мышца, чтобы удерживать предплечье в показанном положении? Какая сила действует на локтевой сустав? Предположим, что вес предплечья незначителен. Дайте окончательные ответы в единицах СИ.

Рисунок 12.11 Предплечье вращается вокруг локтя (E) за счет сокращения двуглавой мышцы, что вызывает напряжение.

Стратегия

Мы идентифицируем три силы, действующие на предплечье: неизвестная сила

в локтевом суставе; неизвестное напряжение

в мышце; и вес

с магнитудой

Мы принимаем систему отсчета с осью x вдоль предплечья и шарниром в локтевом суставе.Вертикальное направление - это направление веса, которое совпадает с направлением плеча. Ось x составляет угол

с вертикалью. Ось y перпендикулярна оси x . Теперь создадим диаграмму свободного тела для предплечья. Сначала мы рисуем оси, точку поворота и три вектора, представляющие три идентифицированные силы. Затем располагаем угол

и представьте каждую силу ее компонентами x и y , не забывая перечеркнуть исходный вектор силы, чтобы избежать двойного счета.Наконец, мы помечаем силы и их рычаги. Схема свободного тела для предплечья показана на (Рисунок). На этом этапе мы готовы создать условия равновесия для предплечья. Каждая сила имеет компоненты размером x и y ; следовательно, у нас есть два уравнения для первого условия равновесия, по одному уравнению для каждой составляющей чистой силы, действующей на предплечье.

Рис. 12.12. Схема свободного тела для предплечья: ось расположена в точке E (локоть).

Обратите внимание, что в нашей системе отсчета вклад во второе условие равновесия (для крутящих моментов) происходит только от y -компонент сил, потому что x -компоненты сил параллельны плечам их рычагов, поэтому что на любой из них у нас

в (рисунок). Для компонентов y у нас есть

в (рисунок). Также обратите внимание, что крутящий момент силы в локте равен нулю, потому что эта сила приложена к шарниру.Таким образом, вклад в чистый крутящий момент вносят только крутящие моменты

.

и

Решение

Из диаграммы свободного тела видно, что составляющая чистой силы x удовлетворяет уравнению

и y -компонент чистой силы удовлетворяет

(рисунок) и (рисунок) - это два уравнения первого условия равновесия (для сил).Затем мы читаем из диаграммы свободного тела, что чистый крутящий момент вдоль оси вращения равен

.

(рисунок) - второе условие равновесия (по крутящему моменту) для предплечья. На диаграмме свободного тела показано, что рычаги имеют длину

.

и

На этом этапе нам не нужно преобразовывать дюймы в единицы СИ, потому что, пока эти единицы согласованы на (рис.), Они сокращаются. Снова используя диаграмму свободного тела, находим величины составляющих сил:

Мы подставляем эти величины в (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), чтобы получить, соответственно,

Когда мы упрощаем эти уравнения, мы видим, что остались только два независимых уравнения для двух неизвестных величин силы, F и T , потому что (Рисунок) для компонента x эквивалентен (Рисунок) для компонента y .Таким образом, мы получаем первое условие равновесия для сил

и второе условие равновесия моментов

Величина напряжения в мышце получается путем решения (Рисунок):

Сила в локте определяется решением (рисунок):

Отрицательный знак в уравнении говорит нам, что действительная сила в локте антипараллельна рабочему направлению, принятому для построения диаграммы свободного тела.В окончательном ответе мы переводим силы в единицы силы СИ. Ответ

Значение

Здесь стоит отметить два важных момента. Первый касается преобразования в единицы СИ, который может быть выполнен в самом конце решения, если мы сохраняем согласованность в единицах. Второй важный вопрос касается шарнирных соединений, например, локтевого. При первоначальном анализе проблемы следует всегда предполагать, что шарнирные соединения прилагают силу в произвольном направлении , а затем вы должны решить для всех компонентов шарнирной силы независимо.В этом примере сила в локтевом суставе оказывается вертикальной, потому что задача предполагает, что напряжение бицепса также является вертикальным. Однако такое упрощение не является общим правилом.

Решение

Предположим, мы принимаем опорную систему с направлением оси y вдоль 50-фунтового груза и шарнира, расположенного в колене. В этой системе отсчета все три силы имеют только y -компоненты, поэтому у нас есть только одно уравнение для первого условия равновесия (для сил).Мы рисуем диаграмму свободного тела для предплечья, как показано на (Рисунок), с указанием оси поворота, действующих сил и их плеч рычагов по отношению к оси поворота, а также углов

.

и

что силы

и

(соответственно) с их рычагами. В определении крутящего момента, данном (Рисунок), угол

- угол направления вектора

отсчитывает против часовой стрелки и от радиального направления плеча рычага, который всегда направлен от оси вращения.По такому же соглашению угол

измеряется против часовой стрелки от радиального направления плеча рычага до вектора

Выполненный таким образом ненулевой крутящий момент легче всего вычислить путем прямой подстановки в (рисунок) следующим образом:

Рис. 12.13. Схема свободного тела предплечья для эквивалентного решения. Ось находится в точке Е (колено).

Второе условие равновесия,

теперь можно записать как

Из диаграммы свободного тела первое условие равновесия (для сил) равно

(рисунок) идентичен (рисунок) и дает результат

(рисунок) дает

Мы видим, что эти ответы идентичны нашим предыдущим ответам, но второй выбор системы отсчета приводит к эквивалентному решению, которое является более простым и быстрым, поскольку не требует разделения сил на их прямоугольные составляющие.

Проверьте свое понимание

Повторите (рисунок), предполагая, что предплечье представляет собой объект однородной плотности, который весит 8,896 Н.

[показывать-ответ q = ”fs-id1163709773449 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163709773449 ″]

[/ hidden-answer]

Пример

Лестница, упирающаяся в стену

Единая лестница

в длину и весит 400.0 Н. Лестница упирается в скользкую вертикальную стену, как показано на (Рисунок). Угол наклона лестницы к черновому полу -

Найдите силы реакции пола и стены на лестницу и коэффициент трения покоя

на стыке лестницы с полом, что предотвращает скольжение лестницы.

Рисунок 12.14 Лестница длиной 5,0 м упирается в стену без трения.
Стратегия

Мы можем выделить четыре силы, действующие на лестницу. Первая сила - это сила нормальной реакции N, от пола в вертикальном направлении вверх. Вторая сила - это сила трения покоя

.

направлен горизонтально по полу к стене - эта сила предотвращает скольжение лестницы. Эти две силы действуют на лестницу в точке ее контакта с полом. Третья сила - это вес лестницы w , прикрепленный к ее CM, расположенной посередине между ее концами.Четвертая сила - это сила нормального противодействия F от стены в горизонтальном направлении от стены, приложенная в точке контакта со стеной. Других сил нет, потому что стена скользкая, что означает отсутствие трения между стеной и лестницей. Основываясь на этом анализе, мы принимаем систему отсчета с осью y в вертикальном направлении (параллельно стене) и осью x в горизонтальном направлении (параллельно полу).В этом кадре каждая сила имеет либо горизонтальную, либо вертикальную составляющую, но не обе, что упрощает решение. Подбираем ось в точке соприкосновения с полом. На схеме со свободным телом для лестницы мы указываем ось, все четыре силы и их плечи рычагов, а также углы между плечами рычагов и силами, как показано на (Рисунок). При нашем выборе положения оси вращения отсутствует крутящий момент ни от нормальной силы реакции N , ни от трения покоя f , потому что они оба действуют на ось.

Рисунок 12.15 Схема свободного тела лестницы, упирающейся в стену без трения.
Решение

На диаграмме свободного тела чистая сила в направлении x составляет

чистая сила в направлении y составляет

, а чистый крутящий момент по оси вращения в точке поворота равен

.

где

- это крутящий момент веса Вт, и

.

- это крутящий момент реакции F .Из диаграммы свободного тела мы определяем, что плечо рычага реакции у стены равно

.

и плечо рычага веса

С помощью диаграммы свободного тела мы определяем углы, которые будут использоваться на (Рисунок) для крутящих моментов:

для крутящего момента от силы реакции со стенкой и

для крутящего момента из-за веса. Теперь мы готовы использовать (рисунок) для вычисления крутящих моментов:

Подставляем крутящие моменты в (рисунок) и решаем

Получаем нормальную силу реакции с полом, решая (рисунок):

Величина трения получается путем решения (рисунок):

Коэффициент трения покоя

Чистая сила, действующая на лестницу в точке контакта с полом, представляет собой векторную сумму нормальной реакции пола и сил статического трения:

Его величина

.

и его направление

Здесь мы должны выделить два общих замечания о практическом использовании.Во-первых, обратите внимание, что когда мы выбираем точку поворота, нет никаких ожиданий, что система действительно развернется вокруг выбранной точки. Лестница в этом примере совсем не вращается, а твердо стоит на полу; тем не менее, его точка контакта с полом - хороший выбор для шарнира. Во-вторых, обратите внимание, когда мы используем (рисунок) для вычисления отдельных крутящих моментов, нам не нужно разделять силы на их нормальные и параллельные компоненты по отношению к направлению плеча рычага, и нам не нужно учитывать смысл крутящий момент.Если угол на (Рис.) Правильно определен - с помощью диаграммы свободного тела - как угол, измеренный против часовой стрелки от направления плеча рычага к направлению вектора силы, (Рис.) Дает как величину и чувство крутящего момента. Это связано с тем, что крутящий момент представляет собой векторное произведение вектора рычага на плечо, пересекаемого с вектором силы, и (рисунок) выражает прямоугольную составляющую этого векторного произведения вдоль оси вращения.

Значение

Этот результат не зависит от длины лестницы, поскольку L отменяется во втором состоянии равновесия (рисунок).Неважно, какой длины или длины лестница, при условии, что ее вес составляет 400 Н, а угол с полом равен

.

наши результаты остаются в силе. Но лестница соскользнет, ​​если чистый крутящий момент станет отрицательным (рисунок). Это происходит для некоторых углов, когда коэффициент статического трения недостаточно велик, чтобы предотвратить скольжение лестницы.

Проверьте свое понимание

Для ситуации, описанной на (Рисунок), определите значения коэффициента

статического трения, при котором лестница начинает скользить, учитывая, что

- угол между лестницей и полом.

[показывать-ответ q = ”fs-id1163713423927 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713423927 ″]

[/ hidden-answer]

Пример

Усилие на дверных петлях

Распашная дверь весом

поддерживается петлями A, и B, , так что дверь может качаться вокруг вертикальной оси, проходящей через петли (рисунок). Дверь имеет ширину

и дверная плита имеет однородную массовую плотность.Петли располагаются симметрично у края двери таким образом, чтобы вес двери равномерно распределялся между ними. Расстояние между петлями

Найдите силы на петлях, когда дверь приоткрыта.

Рисунок 12.16 Распашная вертикальная дверь 400-N поддерживается двумя петлями, прикрепленными в точках A и B.
Стратегия

Силы, которые дверь оказывает на петли, можно найти, просто изменив направление сил, которые петли воздействуют на дверь.Следовательно, наша задача найти силы от петель на двери. На дверную плиту действуют три силы: неизвестная сила

от петли

неизвестная сила

от петли

и известная масса

прикреплен в центре масс дверной плиты. CM расположен в геометрическом центре двери, потому что плита имеет однородную массовую плотность.Мы принимаем прямоугольную систему отсчета с осью y вдоль направления силы тяжести и осью x в плоскости плиты, как показано на панели (a) (Рисунок), и разрешаем все силы на их прямоугольные составляющие. Таким образом, у нас есть четыре неизвестных составляющих силы: две составляющие силы

и

и две составляющие силы

и

На схеме свободного тела мы представляем две силы на шарнирах их векторными компонентами, предполагаемые ориентации которых произвольны.Потому что есть четыре неизвестных

и

мы должны составить четыре независимых уравнения. Одно уравнение - это условие равновесия сил в направлении x . Второе уравнение - это условие равновесия сил в направлении y . Третье уравнение - это условие равновесия крутящих моментов при вращении вокруг шарнира. Поскольку вес равномерно распределяется между петлями, мы имеем четвертое уравнение:

Чтобы установить условия равновесия, мы рисуем диаграмму свободного тела и выбираем точку поворота на верхнем шарнире, как показано на панели (b) (Рисунок).Наконец, мы решаем уравнения для неизвестных компонентов силы и находим силы.

Рисунок 12.17 (a) Геометрия и (b) диаграмма свободного тела двери.
Решение

Из диаграммы свободного тела для двери мы имеем первое условие равновесия сил:

Выбираем шарнир в точке P (верхний шарнир, согласно диаграмме свободного тела) и записываем второе условие равновесия для крутящих моментов при вращении вокруг точки P :

Мы используем диаграмму свободного тела, чтобы найти все члены в этом уравнении:

При оценке

мы используем геометрию треугольника, показанного в части (а) рисунка.Теперь подставляем эти моменты в (рисунок) и вычисляем

Следовательно, значения горизонтальных составляющих сил равны

.

Силы на двери

Силы на петлях находятся из третьего закона Ньютона как

Значение

Обратите внимание, что если бы задача была сформулирована без предположения о том, что вес равномерно распределен между двумя петлями, мы не смогли бы ее решить, потому что количество неизвестных было бы больше, чем количество уравнений, выражающих условия равновесия.

Проверьте свое понимание

Решите проблему, показанную на (Рисунок), приняв положение поворота в центре масс.

[show-answer q = ”fs-id1163713175857 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713175857 ″]

[/ hidden-answer]

Проверьте свое понимание

Человек массой 50 кг стоит на расстоянии 1,5 м от одного конца унифицированных лесов длиной 6,0 м и массой 70,0 кг. Найдите натяжение двух вертикальных тросов, поддерживающих подмости.

[показать-ответ q = ”478065 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 478065 ″] 711,0 N; 466.0 N [/ hidden-answer]

Проверьте свое понимание

Знак 400.0-N висит на конце форменной стойки. Стойка имеет длину 4,0 м и вес 600,0 Н. Стойка поддерживается шарниром у стены и тросом, другой конец которого привязан к стене на высоте 3,0 м над левым концом стойки. Найдите натяжение опорного троса и усилие петли на стойке.

[показать-ответ q = ”723276 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 723276 ″] 1167 N; 980 с.ш. направлено вверх на

.

над горизонтом [/ hidden-answer]

Сводка

  • Разнообразные инженерные задачи могут быть решены путем применения условий равновесия для твердых тел.
  • В приложениях идентифицируйте все силы, которые действуют на твердое тело, и отметьте их рычаги, вращающиеся вокруг выбранной оси вращения.Постройте диаграмму свободного тела для тела. Чистые внешние силы и крутящие моменты можно четко определить по правильно построенной диаграмме свободного тела. Таким образом, вы можете установить первое условие равновесия для сил и второе условие равновесия для крутящих моментов.
  • При установке условий равновесия мы можем принять любую инерциальную систему отсчета и любое положение точки поворота. Все варианты приводят к одному ответу. Однако некоторые варианты могут чрезмерно усложнить процесс поиска решения.Независимо от того, какой выбор мы делаем, мы получаем один и тот же ответ. Единственный способ овладеть этим навыком - практиковаться.

Концептуальные вопросы

Можно ли упереть лестницу в неровную стену, когда пол без трения?

Покажите, как с помощью пружинных весов и простой точки опоры можно взвесить объект, вес которого превышает максимальное показание на весах.

[показывать-ответ q = ”fs-id1163709751583 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163709751583 ″]

(Проба)

[/ hidden-answer]

Художник поднимается по лестнице.Будет ли лестница соскользнуть с большей вероятностью, когда художник находится внизу или вверху?

Проблемы

Равномерная доска стоит на ровной поверхности, как показано ниже. Доска имеет массу 30 кг и длину 6,0 м. Какую массу можно поместить на его правый конец, прежде чем он наклонится? ( Подсказка: Когда доска собирается опрокинуться, она соприкасается с поверхностью только по краю, который становится мгновенной осью вращения.)

Унифицированные качели, показанные ниже, уравновешены на точке опоры, расположенной 3.0 м от левого конца. Маленький мальчик справа имеет массу 40 кг, а больший мальчик слева имеет массу 80 кг. Какая масса у доски?

[show-answer q = ”3 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 3 ″] 40 кг [/ hidden-answer]

Чтобы вытащить свою машину из грязи, мужчина привязывает один конец веревки к переднему бамперу, а другой конец - к дереву на расстоянии 15 м, как показано ниже. Затем он тянет за центр веревки с силой 400 Н, в результате чего ее центр смещается на 0.30 м, как показано. Какова сила троса на машине?

Единые подмости весом 40,0 кг и длиной 6,0 м поддерживаются двумя световыми кабелями, как показано ниже. Маляр весом 80,0 кг стоит на расстоянии 1,0 м от левого конца строительных лесов, а его малярное оборудование - в 1,5 м от правого конца. Если натяжение левого троса вдвое больше, чем правого троса, найдите натяжение тросов и массу оборудования.

[показать-ответ q = ”512258 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 512258 ″] правый кабель, 444.3 Н; левый кабель, 888,5 Н; вес оборудования 156,8 Н; 16,0 кг [/ hidden-answer]

Когда конструкция, показанная ниже, поддерживается в точке P , она находится в состоянии равновесия. Найдите величину силы F и силу, приложенную в точке P . Вес конструкции незначительный.

Чтобы подняться на крышу, человек (массой 70,0 кг) приставляет алюминиевую лестницу длиной 6,00 м (массой 10,0 кг) к дому на бетонную площадку с основанием лестницы 2.00 м от дома. Лестница упирается в пластиковый водосточный желоб, который, как мы можем предположить, не имеет трения. Центр масс лестницы находится на расстоянии 2,00 м от низа. Человек стоит на высоте 3,00 м от дна. Найдите нормальные силы реакции и трения лестницы у ее основания.

[show-answer q = ”fs-id1163713204708 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1163713204708 ″]

784 N, 376 N

[/ hidden-answer]

Единая горизонтальная стойка весит 400.0 Н. Один конец стойки прикреплен к шарнирной опоре у стены, а другой конец стойки прикреплен к знаку, который весит 200,0 Н. Стойка также поддерживается тросом, прикрепленным между концом стойки. и стена. Предполагая, что весь вес знака прикреплен к самому концу стойки, найдите натяжение троса и усилие на шарнире стойки.

Предплечье, показанное ниже, расположено под углом

относительно плеча и 5.Масса 0 кг удерживается в руке. Общая масса предплечья и кисти составляет 3,0 кг, а их центр масс находится на расстоянии 15,0 см от локтя. (а) Какова величина силы, которую двуглавая мышца прилагает к предплечью для

?

(b) Какова величина силы, действующей на локтевой сустав для того же угла? (c) Как эти силы зависят от угла


[show-answer q = ”233949 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 233949 ″] a.539 Н; б. 461 Н; c. не зависят от ракурса [/ hidden-answer]

Унифицированная стрела, показанная ниже, весит 3000 Н. Она поддерживается горизонтальной растяжкой и шарнирной опорой в точке A . Какие силы действуют на стрелу из-за троса и опоры в A ? Действует ли сила в A вдоль стрелы?

Унифицированная стрела, показанная ниже, весит 700 Н, а объект, свисающий с ее правого конца, весит 400 Н. Стрела поддерживается световым кабелем и шарниром на стене.Рассчитайте натяжение троса и усилие на шарнире на стреле. Действует ли сила, действующая на шарнир, вдоль стрелы?

[раскрыть-ответ q = ”612620 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 612620 ″] натяжение 778 Н; на петле 778 Н на

выше горизонтали; нет [/ hidden-answer]

Стрела 12,0 м, AB , крана, поднимающего груз массой 3000 кг, показана ниже. Центр масс стрелы находится в ее геометрическом центре, а масса стрелы составляет 1000 кг.Для показанного положения рассчитайте натяжение троса T и усилие на оси A .

Унифицированный люк, показанный ниже, имеет размер 1,0 м на 1,5 м и весит 300 Н. Он поддерживается одной петлей (H) и легкой веревкой, привязанной между серединой двери и полом. Дверь удерживается в показанном положении, где ее плита составляет

.

Угол

с горизонтальным полом и веревкой составляет

угол с полом.Найдите натяжение веревки и усилие на петле.

[раскрыть-ответ q = ”460173 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 460173 ″] 1500 Н; 1620 N при

[/ hidden-answer]

Мужчина весом 90 кг ходит на козле, как показано ниже. Длина козлы 2,0 м, высота 1,0 м, масса 25,0 кг. Рассчитайте нормальную силу реакции на каждую ногу в точке контакта с полом, когда человек находится на расстоянии 0,5 м от дальнего конца козлы.( Подсказка: На каждом конце сначала найдите общую силу реакции. Эта сила реакции представляет собой векторную сумму двух сил реакции, каждая из которых действует вдоль одной ноги. Нормальная сила реакции в точке контакта с полом является нормальной (с относительно пола) составляющая этой силы.)

Гравитация

Падающее яблоко

Гравитация повсюду вокруг нас. Он может, например, заставить яблоко упасть на землю:

Гравитация постоянно действует на яблоко, поэтому оно движется все быстрее и быстрее... Другими словами, он ускоряется.

Игнорируя сопротивление воздуха, его скорость увеличивается на 9,8 метра в секунду каждую секунду . То есть два лота «в секунду» и пишется:

9,8 м / с 2

9,8 м / с 2 - ускорение под действием силы тяжести у поверхности Земли. Почти все в нашей жизни происходит вблизи поверхности Земли, поэтому это значение часто используется и записывается как small g :

г = 9.8 м / с 2

Среднее значение г составляет 9,80665 м / с 2 , но значения различаются по всему миру, например, в Калькутте 9,78548, Лондоне 9,81599 и Токио 9,79805.

Таким образом, большинство людей просто используют 9,8 м / с 2

Чтобы удержать яблоко против силы тяжести, нужна сила.

Сила - это масса, умноженная на ускорение ( F = m a ), и в этом случае ускорение составляет g :

F = m г

Пример: сколько силы удерживать яблоко массой 0.1 кг?

F = m г

F = 0,1 кг × 9,8 м / с 2

F = 0,98 кг м / с 2

Сила измеряется в Ньютонах ( Н ), что совпадает с кг м / с 2

F = 0,98 N

Итак, чтобы удерживать яблоко, требуется сила около 1 Ньютона .

Мы также говорим, что вес яблока равен 0.98 Н.

Чтобы преобразовать массу в кг в силу в Ньютонах, умножьте на 9,8 м / с 2

Другой пример:

Пример: стальная балка весом 100 кг равномерно установлена ​​на двух опорах. Сколько силы приходится на каждую опору?

На балку действует сила тяжести, направленная вниз:

F = m г

F = 100 кг × 9,8 м / с 2 = 980 N

Поскольку каждая опора располагается на опоре равномерно, она выдерживает половину веса (980/2 = 490):

Но что такое гравитация?

Теперь вы знаете, как справиться с гравитацией здесь, на Земле (просто умножьте массу на 9.8 м / с 2 , чтобы получить силу), но что такое гравитация на самом деле?

Что ж, масса и энергия делают пространство искривленным (или искаженным), поэтому для объектов естественно следовать по пути друг к другу.


Здесь объект естественным образом следует за пространством-временем в направлении Земля

Это приводит к тому, что объекты притягиваются друг к другу , что мы называем Гравитацией .

Гравитация : притяжение объектов с массой или энергией друг к другу.

Это притяжение проявляется в виде силы:

    На
  • меньше для удаленных объектов
  • На
  • больше для объектов большей массы (например, Солнца)

Представьте себе всего два шара:

Каждый шар состоит из множества кусочков массы и энергии, которые притягиваются друг к другу:


(На самом деле нужно на лота еще частиц!)

Но мы обычно упрощаем это, представляя, что масса и энергия каждого шара находятся в его центре, называемом Центром тяжести.

(Но помните, что мы просто представляем, что вся масса находится в центре, чтобы упростить вычисления.)

Ньютон разработал формулу силы притяжения:

  • F - сила (в Ньютонах), равная, но противоположная по направлению для обоих объектов
  • G - гравитационная постоянная, приблизительно 6,674 × 10 -11 Н · м 2 / кг 2
  • m 1 и m 2 - две массы (в кг)
  • d - расстояние между центрами каждой массы (в метрах)

Пример: две машины массой 800 кг и 1500 кг находятся на расстоянии 3 м друг от друга

Гравитационное притяжение между двумя автомобилями составляет:

F = G м 1 м 2 д 2

Факс = 6.674 × 10 -11 Н м 2 / кг 2 × 800 кг × 1500 кг (3 м) 2

F ≈ 0,000009 N

Они очень слабо (всего 9 миллионных долей Ньютона) притягиваются друг к другу!

Пример: яблоко и Земля

Яблоко массой 0,1 кг

Земля имеет массу 5,972 × 10 24 кг

От центра яблока до центра Земли составляет 6371 км (6.371 × 10 6 м)

F = G м 1 м 2 д 2

F = 6,674 × 10 -11 Н м 2 / кг 2 × 0,1 кг × 5,972 × 10 24 кг (6,371 × 10 6 м) 2

F = 0,98 N

(Это то же значение, что и в предыдущем расчете, так что это кажется вполне правильным!)

В обе стороны

Яблоко тянет и Землю!

Но Земля настолько невероятно массивна, что почти не влияет на нее.

Рассчитаем ускорение для яблока и для Земли:

Пример (продолжение): Зная, что сила равна 0,98 Н, каково ускорение яблока

и Земли?

Для яблока :

F = m a
Мы знаем, что F составляет 0,98 Н, а m равно 0,1 кг 0.98 Н = 0,1 кг a
Разделите обе стороны на 0,1 кг 0,98 Н / 0,1 кг = a
Поменять местами a = 0,98 Н / 0,1 кг
Ответ: a = 9,8 м / с 2

Это ускорение свободного падения g, которое мы все испытываем каждый день.

А для Земли :

F = m a
F составляет 0,98 Н, а m равно 5,972 × 10 24 кг 0,98 N = 5,972 × 10 24 кг a
Разделите обе стороны на 5,972 × 10 24 кг 0,98 Н / 5,972 × 10 24 кг = a
Поменять местами a = 0.98 Н / 5.972 × 10 24 кг
Ответ: a = 1,64 × 10 -25 м / с 2

Это очень маленькое ускорение , неудивительно, что мы не замечаем, как Земля движется из-за яблока.

Но гораздо более крупный объект, такой как Луна (с массой 7.342 × 10 22 кг ), действительно оказывает заметное влияние на Землю.

Луна вращается вокруг Земли на расстоянии около 384000 км каждые 27,3 дня

И Земля также имеет "орбиту" (больше похожую на колебание) с Луной около 5000 км (что на самом деле меньше радиуса Земли), также каждые 27,3 дня.

Ваша очередь: попробуйте вычислить силу притяжения между Землей и Луной.

Играй

Поиграйте с гравитацией в Gravity Freeplay.

Сводка

  • Пространство кривой массы и энергии, которое естественным образом заставляет объекты двигаться навстречу друг другу
  • этот аттракцион мы называем гравитацией
  • это постоянное притяжение заставляет объекты ускоряться навстречу друг другу
  • ускорение имеет соответствующую силу ( F = m a )
  • у поверхности Земли ускорение свободного падения составляет 9.8 м / с 2
  • , так что массой 1 кг испытывает гравитационное притяжение 9,8 Ньютона силы

11-Решенная проблема 4-5-Как спроектировать стальную балку?

Решенная проблема 4-5-Как спроектировать стальную балку?

Краткое содержание видео.

За решенную Решенную задачу 4-5. Балка из стали марки 50 с простой опорой закреплена по бокам с интервалами 4 фута, длина балки не указана, связи обозначены знаком X как указание на боковые связи.

Если балка подвергается действию единообразного факторизованного изгибающего момента 270 футов-тысяч фунтов (LRFD), этот момент является предельной нагрузкой, рассчитанной уже как LRFD, или 180 футов-тысяч фунтов -ASD, расчет допустимой прочности, данное значение Cb = 1.

Определите (а) самую легкую адекватную W-образную форму. это была часть видео с субтитрами и закрытыми субтитрами на английском языке.

Если вы хотите просмотреть соответствующие иллюстрации и изображения, продолжайте читать.

Вы можете щелкнуть любое изображение для увеличения, а затем нажать маленькую стрелку справа, чтобы просмотреть все остальные изображения в виде слайд-шоу.

Решенная задача 4-5.

Решенная задача 4-5 из Справочного руководства по проектированию конструкций профессора Алана Вильямса.

Расчет балки согласно LRFD для части а.

Это проблема проектирования, для которой расстояние между распорками балки составляет Lb . Для конструкции LRFD:
1-Оцените предварительное значение Zx, учитывая, что φb * Mn = Mult, поскольку Mn = Zx * Fy.
Мы можем получить Zx = Mult / (φb * Fy). 2-Из таблицы 3-2 выберите самую светлую секцию w, которая предварительно дает Zx> Zx.

2 - из таблицы 3-2 мы получаем сечение W16x 40, у которого Zx = 73,0 дюйма4> 72,0 дюйма4, предварительное значение для Zx.
Требуемую длину распорки можно получить из таблицы 3-2 на пластиковом столике Lp .
Lp можно оценить по соответствующей формуле Lp = ry * (300 / sqrt (Fy)), но нам нужно иметь значение ry.

3- Из таблицы 1-1 получите значение Sx, ry для выбранного раздела, и примените его по уравнению LP = ry * 300 / sqrt (fy) или из таблицы 3-2.4- Поскольку данная длина распорки Lb меньше, чем Lp, сечение компактное, φb * Mn = φb * Zx * Fy, которое нужно разделить на 12, чтобы получить значение в Ft-kips-LRFD.

То же значение φb * Mn можно получить из Таблицы 3-2, как мы видим на следующем слайде.

Расчет балки согласно ASD по части а.

Для расчета ASD, как показано на следующем слайде.
1-Получите предварительное значение Zx, учитывая, что (1 // Ω) * Mn = Mtotal, поскольку Mn = Zx * Fy.

Мы можем получить Zx = Mtotal / (1 / Ω) * Fy). 2-Из таблицы 3-2 выберите самую светлую секцию w, которая предварительно дает Zx> Zx.
Выбранное сечение W - W16x40, Zx выбранного сечения = 73,00 дюйма4, что составляет> 72,144 дюйма4 согласно требованиям.

2- Из таблицы 3-2 мы получаем сечение W16x 40, у которого Zx = 73,0 дюйма4> 72,0 дюйма4, предварительное значение для Zx.

Требуемую длину распорки можно получить из таблицы 3-2 на пластиковом столике Lp . Lp можно оценить по соответствующей формуле Lp = ry * (300 / sqrt (Fy)), но нам нужно иметь значение ry.

3- Из таблицы 1-1 получите значение Sx, ry для выбранного раздела, и примените его по формуле LP = ry * 300 / sqrt (fy) или из таблицы 3-2.

4- Поскольку данная длина распорки Lb меньше, чем Lp, сечение компактное, (1 / Ω) * Mn = (1 / Ω) * Zx * Fy, которое нужно разделить на 12, чтобы получить значение в Ft- тысяч фунтов-ASD.
5- Убедитесь, что оценка (1 / Ом) * Mn> = общий момент Mt.

То же значение (1 / Ом) * Mn можно получить из таблицы 3-2, как мы можем видеть со следующего слайда.

Расчет балки согласно LRFD для части b.

Это деталь b, форма W с минимальной глубиной , согласно LRFD, для выбора на основе минимальной глубины.
Мы выберем W10x60, поскольку глубина меньше <глубина W 16 × 40, как показано на следующем слайде, затем проверим, что φb * Mn> Mult.

Расчет балки согласно ASD по части b.

Это деталь b, форма W с минимальной глубиной , согласно ASD, для выбора на основе минимальной глубины.
Мы выберем W10x60, поскольку глубина меньше <глубина W 16 × 40, как показано на следующем слайде, затем проверим, что (1 / Ω) * Mn> Mt.

Для полезного внешнего источника перейдите по этой ссылке .
Для следующего поста, Обзор информации Lp, Lr, Fcr.

Решение шести типичных проблем с каркасом для нового строительства, реконструкция

За последние 25 лет в качестве строителя, строительного инспектора и представителя лесной промышленности я инспектировал множество каркасов по всей стране.Хотя терминология и методы различаются от региона к региону, некоторые проблемы формирования рамок остаются неизменными. Давайте посмотрим на некоторые распространенные проблемы кадрирования и на то, как их исправить или избежать.

Распорка узких стен у больших проемов

С появлением новых международных строительных норм и правил происходят изменения, с которыми нам всем приходится иметь дело. Ключевыми моментами являются более строгие требования к распоркам для стен.

Размещение окон из угла в угол на пристройке - обычное дело.Но вы должны не забыть обеспечить прочное пространство для стен по обе стороны от этих больших стеклянных поверхностей, чтобы обеспечить боковую устойчивость конструкции от ветра и сейсмических сил.

Код говорит, что у вас должна быть стеновая панель шириной 4 фута на каждом углу конструкции и через каждые 25 футов по длине стены. Было бы идеально, если бы дизайнеры предусмотрели эти панели на каждом углу в своих планах, но этого просто не происходит. Когда проектируются пристройки, стены часто недостаточно широки, чтобы уместить 8 футов сплошных скрепленных панелей, а также окна, которые хочет домовладелец.В итоге вы получаете узкие стены и большие стеклянные просторы.

Испытания и опыт показали, что узкие стеновые панели не обеспечивают бокового сопротивления, необходимого во многих случаях для противостояния боковым нагрузкам, прикладываемым к конструкции. В кодексе есть альтернативное положение распорок, которое позволяет вам уменьшить эти 4-футовые стеновые панели до 32 дюймов, если вы выполните определенные действия со своим рисунком гвоздей и закрепите эти узкие участки стены предписанным способом.

Однако до сих пор существуют конструкции, в которых стены шириной менее 32 дюймов ставятся рядом с большими проемами.Давайте посмотрим, что делать со стенами шириной всего 24 дюйма или даже 16 дюймов.

СВЯЗАННЫЙ: Польза переделщиков от передовых методов создания каркаса?

Хотите больше? Ознакомьтесь с нашей историей о продвинутом кадрировании.

Первое, что нужно понять, это то, что боковые силы, действующие на здание, создают нагрузки, заставляющие здание соскальзывать с фундамента. Этой силе скольжения, называемой сдвигом в основании, противодействуют анкерные болты.Поэтому, если здание не может скользить, следующее, что делают боковые силы, - это ломают стены. Правильная фиксация препятствует этому процессу стеллажа. Если вы сделаете стены достаточно жесткими, чтобы снизить вероятность стеллажа, вы столкнетесь с другой проблемой, называемой опрокидыванием. Исследования показали, что узкие стеновые панели обеспечивают небольшое сопротивление стеллажу, если все края не прибиты гвоздями с очень точным графиком. Тогда вы получите очень большую опрокидывающую силу.

Прижимные анкеры противостоят опрокидывающим силам, прикрепляя каркас к фундаменту.Но заголовки также могут оказать большое сопротивление этим силам. Когда коллектор заканчивается на краю оконного или дверного проема в случае гаражных ворот, силам опрокидывания нужно только согнуть двойную верхнюю пластину, чтобы повернуть узкую скрепленную панель рядом с проемом. Однако, если жатка проходит полностью в каждый угол, с двойными штырями на каждом конце и двойными триммерами с каждой стороны оконного или дверного проема, несущие панели структурных панелей, идущие от пластины к пластине на этих узких стенах, могут связать стену и коллектор. вместе как один.Теперь опрокидывающие силы в узкой стеновой панели должны сгибать перемычку, чтобы панель могла вращаться и переворачиваться. Это вряд ли, учитывая глубину заголовка. В районах с высокой сейсмичностью и сильным ветром по-прежнему необходимы удержания на обоих концах каждой панели. На других участках достаточно по одному удержанию на каждом конце линии стены.

Если вы столкнулись со стенами шириной менее 16 дюймов, проконсультируйтесь с инженером, чтобы определить требования к распоркам и удерживанию для вашей ситуации, чтобы избежать проблем с каркасом.

Для тех, кто сталкивается со стенами шириной от 16 до 24 дюймов по обе стороны от больших окон или дверей, не забудьте сделать следующее, и у вас будет стена, которая может работать и при этом соответствовать назначению кода:

1) Поместите жатку там, где находится груз, под двойной верхней пластиной. Если необходимо, заполните под заголовком до верхней части проема.

2) Протяните жатку до угла с помощью двойных шпилек на каждом конце и двойных триммеров на каждой стороне оконного или дверного проема.

3) Прикрепите не менее 3/8-дюймовой структурной панели непрерывно от нижней пластины к верхней пластине и прибейте края к обоим двойным штифтам и обоим двойным триммерам с шагом 3 дюйма в центре. Также прибейте края нижней и верхней пластин на расстоянии 3 дюйма по центру. Наконец, прибейте поле жатки на расстоянии 3 дюймов по центру как по горизонтали, так и по вертикали.

4) Прикрепите жатку к двойному триммеру на внутренней стене, чтобы уменьшить возможное влияние петель, особенно в районах с сильным ветром и высокой сейсмичностью.

5) Используйте зажимы на обоих концах каждой панели в районах с сильным ветром и высокой сейсмичностью; на других участках должно хватить по одному зажиму на каждом конце линии стены. Помните, что анкерные болты по-прежнему требуются в дополнение к зажимам.

Неправильная установка гвоздей на балках

Многие строители и ремонтники используют гвозди для подвешивания балок, чтобы поддерживать вешалки, которые они используют для крепления балок или даже балок. Это кажется логичным, потому что они называются гвоздями для подвешивания балок.По правде говоря, эти гвозди предназначены для удержания балки в вешалке, а не для поддержки вешалки. Вот почему они всего 1 1/2 дюйма в длину. Вы же не хотите, чтобы они прошли через балку и вышли с другой стороны.

Две вещи влияют на способность гвоздя удерживать вешалку: прочность на сдвиг и сопротивление выдергиванию. Гвоздь-вешалка для балки - это короткий гвоздь 10d, поэтому он имеет прочность на сдвиг. С другой стороны, будучи всего 1 1/2 дюйма в длину, он не имеет сопротивления выдергиванию, которое имеет обычный гвоздь длиной 3 дюйма длиной 10d.Таким образом, для одиночных подвесок требуется не менее 10d общих гвоздей в головку или балку, поддерживающую подвеску. Двойные вешалки должны поддерживаться как минимум 16d общими гвоздями. Для ремоделировщиков, использующих грузила 16d, они эквивалентны обычному гвоздю 10d. Следовательно, их можно использовать для поддержки одинарных, но не двойных подвесок.

Иногда гвозди для подвешивания балок можно использовать для поддержки вешалок, несущих более легкие грузы. Подвеска с одинарной балкой, поддерживаемая гвоздями для балки, может выдерживать только 77% предполагаемой грузоподъемности.Когда дело доходит до двойных вешалок, вы уменьшаете нагрузку до 64%, если используете гвозди для подвешивания балок для поддержки вешалки.

На некоторых вешалках указан необходимый размер опорного гвоздя. Ищи это. Но если вы не найдете размер на вешалке, помните, что обычные гвозди 10d поддерживают одиночные вешалки, а обычные гвозди 16d поддерживают двойные вешалки. Гвозди для подвешивания балок удерживают балку в подвесе. Обратитесь к производителю за конкретной информацией о различных требованиях к установке подвески.

Также обратите внимание на типы лицевых вешалок, которые вы получаете от своего поставщика. Многие из того, что мы называем подвесами с двойным сдвигом, продаются. Эти вешалки можно отличить от обычных лицевых вешалок по куполу или язычку, торчащему со стороны вешалки. Подвески с двойным сдвигом требуют забивания гвоздями лицевой стороной к опорному элементу, а также гвоздями на ногах через эти купола или выступы. Носочные гвозди устанавливаются в балку и перемычку, распределяя нагрузку по двум точкам на каждом гвозде для большей прочности, отсюда и термин «двойной сдвиг».Очевидно, что гвозди для балок нельзя использовать в вешалках этого типа. Для поддержки вешалок с двойным сдвигом необходимо использовать обычные гвозди.

Когда дело доходит до поддержки деревянных двутавровых балок, подвеска должна поддерживать нижний и верхний фланцы. Если длина подвески недостаточна для поддержки не менее 3/8 дюйма верхнего фланца, то потребуется ребро жесткости стенки. Для лицевых вешалок шириной до 2 дюймов обычно требуются обычные гвозди 10d для поддержки вешалки. Для вешалок шириной более 2 дюймов обычно требуются общие гвозди 16d для поддержки вешалок.Вешалки, устанавливаемые сверху, обычно требуют 10d общих гвоздей для поддержки вешалки. Всегда уточняйте у производителя вешалки для правильного применения гвоздей в зависимости от стиля вешалки.


Хотите больше? Узнайте, почему этот профессионал предпочитает конструкционные шурупы FastenMaster LOK по дереву.

Консольные балки

Что касается консолей, я уверен, что все слышали эмпирическое правило «один на два». Это относится только к консолям без подшипников.Например, у вас может быть эркер, сидящий на конце 2-футовой консоли, и это будет считаться не несущим, потому что обычно коллектор находится на линии основной стены, чтобы выдерживать любые нагрузки сверху. Следовательно, вы можете выступить на 2 фута для эркера, и пока вы возвращаетесь на 4 фута, применяется практическое правило.

Итак, как далеко вы можете установить консольные балки и поставить несущую стену на конце консоли, не создавая балки? Нагрузки передаются под углом 45 градусов через все, что их поддерживает.Следовательно, если балки 2x10, которые на самом деле имеют глубину 9 1/4 дюйма, поддерживают несущую стену на расстоянии 9 1/4 дюйма от опоры внизу, нагрузки будут передаваться под углом 45 градусов назад к этой опоре, и никаких инженерных работ не потребуется. . Итак, ответ - это глубина балки от опоры. Консоли за пределами этого расстояния должны быть спроектированы.

Вы также должны помнить, что балки перекрытия 2х10 из пихты Дугласа №2 или южной сосны могут быть консольными на 2 фута, выдерживая только нагрузку на крышу, и они будут работать.То же самое и с деревянными двутавровыми балками. Они также могут выступать на консолях на 2 фута до тех пор, пока несут нагрузку только на крышу.

Стропила опорные

Одна из последних работ, сделанных на пристройке, - это обрамление крыши. Чтобы связать новую крышу с существующей линией крыши, стропила часто опираются на носок, а не на пятку сиденья, или имеют слишком глубокие выемки над верхней пластиной. Эти ситуации ослабляют стропило в точке опоры и могут расколоть стропило. Всегда старайтесь, чтобы стропила опиралась на пятку среза сиденья.Это делает две вещи. Это означает, что вся стропила опирается на верхнюю пластину, поэтому вам не нужно беспокоиться о раскалывании стропил. Это также означает, что вы можете получить большую изоляцию поверх внешней стены, обеспечивая гораздо лучшую энергоэффективность.

В некоторых случаях для обеспечения полной опоры в месте среза пятки может потребоваться опускание наружной стены на несколько дюймов. Высоту стены можно определить по планам и перепроверить в полевых условиях. Однако вместо того, чтобы опускать стену, на стропилах часто делают выемки.Если стропила надрезаны слишком глубоко над верхней пластиной (что-то вроде перевернутого «птичьего рта»), они могут расколоться на внутреннем крае верхней пластины из-за сдвиговых напряжений, вызванных изгибом стропил под нагрузкой. В этом случае можно использовать балочные подвесы для поддержки пятки стропил, что устранит проблему. Просто прикрепите вешалку к двойной верхней пластине и установите пятку стропила в вешалку. Помните, что изготавливаются подвесы с верхним фланцем, которые также хорошо подходят в этих случаях.

Опорные стропила вальмы и впадины

Думайте о стропилах вальмы и впадины как о балках, поддерживающих крышу.Балки, конечно, должны поддерживаться с обоих концов. Следовательно, бедра и впадины должны поддерживаться внешней стенкой (нижний конец) и выступом (верхний конец). «У гребня», а не «у гребня». Существует большая разница. В зависимости от длины бедра или стропила вам также может понадобиться промежуточная опора.

Во-первых, убедитесь, что у вас есть хорошая опора для стропил вальмы и впадины на верхней плите внешней стены. Эти стропила должны стоять прямо на стене для несения.Убедитесь, что прямо под ними есть шпильки. К сожалению, стропила долины иногда прибивают ногами к другому стропилам возле внешней стены, но не растягиваются настолько, чтобы опираться на эту стену. Это означает, что всего несколько гвоздей должны выдерживать всю нагрузку на стропило. Одни гвозди не должны нести нагрузку. Элементы каркаса должны поддерживать другие элементы каркаса, т. Е. От балок до шпилек, от шпилек до балок, от балок до фундамента.

Нижний конец как тазобедренного, так и впадинного стропил должен прилегать к внешней стене, а вырез сиденья должен прилегать как можно ближе к пятке.Это сложно сделать с бедрами и впадинами, поэтому иногда вам нужно удвоить или даже утроить эти элементы, чтобы обеспечить большую площадь опоры у опорной стены.

Если вы используете конструкционные изделия из дерева для стропил вальмы и впадины, помните, что они не должны иметь конус или надрез на стороне растяжения элемента. Они должны полностью прилегать к срезу пятки или проверяться инженером на предмет срезания.

Вверху, то есть на линии гребня, концы вальмовых и долинных стропил должны поддерживаться опорами вниз к несущей стене или балке.Конец конька также может нуждаться в опоре в зависимости от конструкции крыши. Если эти ноги 8 футов или больше, они должны быть Т-образными, чтобы они не прогибались под нагрузкой. Эти ножки чрезвычайно важны, когда основная крыша опускается на слуховое окно меньшего размера. Всегда лучше, если слуховое окно можно обрамить над основной крышей. Это, конечно, требует наличия перемычки для поддержки основного каркаса крыши.

Наконец, если стропило вальмы или впадины очень длинное, может потребоваться промежуточная опора.Убедитесь, что эта опора находится выше средней точки пролета стропил. Если установить его слишком низко, пятка бедра или стропила может оторваться от стеновой плиты в условиях нагрузки.


Вы ремонтируете ванную комнату? Посмотрите этот проект, который за один день превратился из каркаса в строительство роскошного душа.

Балка для резки конусом

Вам необходимо внимательно следить за обрезкой конусов балок или балок. Обычно это становится проблемой для потолочных балок под низкосклонными крышами или когда вы используете балку в качестве верхнего перекрытия.Возможно, вам не хватит высоты над линией плит по периметру здания, чтобы обеспечить надлежащую глубину в точке опоры. Вы не хотите, чтобы балка или балка были разрезаны до точки, где они упираются в верхнюю пластину. Это означает, что у вас недостаточно поперечного сечения на конце этой балки, чтобы выдержать нагрузку, которую она должна нести.

Если поперечное сечение на конце балки слишком мало, сдвиг может стать проблемой. Для этого потребуется сконструировать луч. Чтобы увеличить глубину в точке опоры, вы можете поместить балку в карман балки.Длина конического среза может в три раза превышать глубину элемента, поэтому длина конического среза обычно не является проблемой.

Дэвид А. Аттербек владеет TimberTek Consulting в Оверленд-Парке, штат Канзас. Фирма специализируется на строительных нормах и проверках, а также на учебных семинарах по деревянным каркасам и строительным нормам.

Рычаги и момент

Рычаги и момент

Рычаги и момент

Цели
  • Рычаги исследования
  • Рассчитать крутящий момент
  • Рассчитать механическое преимущество
Настройка
  • Метр
  • Весы пружинные
  • Строка
  • Масса.
Теория
Рычаги

используют крутящий момент, чтобы помочь нам поднимать или перемещать объекты. Крутящий момент крест произведение силы на расстояние от точки опоры (центральной точки о котором крутится система). Перекрестное произведение берет только компонент сила, действующая перпендикулярно расстоянию. С помощью тригонометрии определяется крутящий момент. как:

Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × sin (θ)

Помните, что работа также была силой, умноженной на расстояние, но это была точка произведение и использовал косинус угла между силой и расстоянием: сила × расстояние × cos (θ).

В этой лаборатории сила будет перпендикулярна (90 °) расстоянию. В синус 90 ° равен единице, поэтому крутящий момент будет:

Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × sin (θ)
Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × sin (90 °)
Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры × 1
Крутящий момент = Сила × Расстояние до точки опоры

Процедура, сбор данных и расчеты
Пробный рычаг класса I: d
e = d r

В рычаге класса 1 точка опоры находится между силой сопротивления (F r ) и сила усилия (F e ).В классе один рычаг сила усилие (F e ), умноженное на расстояние усилия от точки опоры (d e ) равна силе сопротивления (F r ), умноженной на расстояние сопротивление от точки опоры (d r ). Усилие и сопротивление продолжаются. противоположные стороны точки опоры. Плоскогубцы являются примером рычага первого класса.

На схеме масса обеспечивает сопротивление, пружинная шкала измеряет наше сопротивление. усилия. Пружинная шкала откалибрована в граммах.Граммы - это не единица измерения силы как таковой, но в этой лаборатории мы будем использовать термин "грамм-сила" как сила, действующая на один грамм у поверхности Земли за счет ускорения свободного падения. Один «грамм-сила» будет эквивалентна 980 см / сек 2 (дин).

Для диаграммы: F e × d e = F r × d r
Механическое преимущество = F r / F e

  1. Повесьте гирю 200 граммов на 10 см, подвесьте пружинную шкалу на отметке 90 см, подвесьте измерительную линейку на отметке 50 см.
  2. Найдите F e , d e , F r , d r в граммах сила. К Определите грамм-силу массы (F r ) с помощью весов балансира. d e и d r должен быть 40 см при правильной настройке. F e можно узнать из Весенняя граммовая шкала напрямую.
  3. Вычислить F e × d e и F r × d r .
  4. Укажите, является ли F e × d e = F r × d r .
  5. Рассчитайте механическое преимущество F r / F e .
Факс e д д F e × d e F r д р F r × d r F e d e = F r d r ? M.A.
________ ________ ________ ________ ________ ________ Да | Нет ________
Класс I Рычаги испытание два: d
e > d r

Для диаграммы: F e × d e = F r × d r
Механическое преимущество = F r / F e

  1. Переключите массы на массу 500 грамм или две 200-граммовые гирьки все вместе.
  2. Поместите груз массой 500 грамм на отметку 10 см, а шкалу пружины на отметку 90 см, подвесьте метр от отметки 30 см.
  3. Найдите F e , d e , F r , d r в граммах сила.
  4. Вычислить F e × d e и F r × d r .
  5. Укажите, является ли F e × d e = F r × d r .
  6. Рассчитайте механическое преимущество F r / F e .
Факс e д д F e × d e F r д р F r × d r F e d e = F r d r ? M.A.
________ ________ ________ ________ ________ ________ Да | Нет ________
Рычаги класса II

В рычаге второго класса сопротивление находится между силой усилия и точка опоры.В рычаге класса два сила усилия, умноженная на расстояние усилие от точки опоры противоположно и равно силе сопротивления умноженное на расстояние сопротивления от точки опоры. Усилия и Сопротивления находятся с одной стороны от точки опоры, но направлены в противоположные стороны.

Расстояние усилия (также иногда называемое «рычагом усилия») на длиннее чем расстояние сопротивления.

Тачки и гигантские столбы для копания таро (когда мы отжимаемся на шесте) являются примерами рычаги второго класса.

Обратите внимание, что наш выбор пуха как положительного в первой части лабораторной работы означает, что вверх теперь отрицательный в этом разделе. Итак, F e - отрицательная сила. Запишите F e как отрицательное в таблице, а затем -F e × d e будет будь позитивным.

Для диаграммы: -F e × d e = F r × d r
Механическое преимущество = | F r / F e | где | означает "абсолютный значение. "Механическое преимущество всегда положительно.

  1. Переместите гирю 500 грамм (или две гири по 200 грамм) примерно на 30 см. Отметьте метку и пружинную шкалу на отметке 90 см, подвесьте измерительную штангу на отметке 10 см. Возможно, вам придется отрегулировать положение вашей массы в соответствии с возможностями вашего пружинная шкала для обеспечения точных показаний. Вы не хотите читать очень маленькие граммовые силы или граммовые силы слишком большие для вашей пружинной шкалы. Если вы отрегулируете положения, не забудьте измерить фактические d e и d r , которые вы используете!
  2. Найдите F e , d e , F r , d r в граммах сила.
  3. Вычислить F e × d e и F r × d r .
  4. Укажите, является ли -F e × d e = F r × d r .
  5. Рассчитайте механическое преимущество F r / F e .
Факс e д д -F e × d e F r д р F r × d r -F e d e = F r d r ? М.А.
________ ________ ________ ________ ________ ________ Да | Нет ________
Рычаги класса III

В рычаге третьего класса сопротивление находится между силой усилия и точка опоры. В рычаге третьего класса сила усилия, умноженная на расстояние усилия от точки опоры противоположны и равны силе сопротивления умноженное на расстояние сопротивления от точки опоры.Усилия и Сопротивления находятся с одной стороны от точки опоры, но направлены в противоположные стороны.

Расстояние усилия (также иногда называемое «рычагом усилия») на короче чем расстояние сопротивления.

Для диаграммы: -F e × d e = F r × d r
Механическое преимущество = | F r / F e | где | означает "абсолютный значение. "Механическое преимущество всегда положительно.

  1. Перейти на массу 100 грамм.
  2. Переместите гирю 100 грамм на отметку 90 см, а шкалу пружины примерно на отметку 65 см. см до отметки 70 см, удерживая измерительную линейку подвешенной на отметке 10 см. Снова при необходимости отрегулируйте шкалу пружины и положение масс, чтобы получить точные показания Весенняя шкала.
  3. Найдите F e , d e , F r , d r в граммах сила.
  4. Вычислить F e × d e и F r × d r .
  5. Укажите, является ли -F e × d e = F r × d r .
  6. Рассчитайте механическое преимущество F r / F e .
Факс e д д -F e × d e F r д р F r × d r -F e d e = F r d r ? М.А.
________ ________ ________ ________ ________ ________ Да | Нет ________

В рычаге класса III механическое преимущество можно назвать механическим. недостаток. Почему? (Предложение: подумайте о силе усилия, меньше силы сопротивления или больше силы сопротивления?)

Обратите внимание, что нижняя часть руки человека является рычагом третьего класса: бицепс, прикрепленный чуть ниже локоть, можно использовать для поднятия груза, удерживаемого в руке в конце нижнего рука.

Рычаги непрерывного действия: Отвертки

Отвертка на самом деле представляет собой форму рычага, в которой ручка с большим радиусом обеспечивает механическое преимущество при повороте лезвия с меньшим радиусом. Всевозможные циркулярные устройства используют эту форму механического преимущества. Круглые ручки водяного клапана, шина утюги, торцевые ключи, гаечные ключи и многие другие предметы используют это время круговой рычаг.

Измерьте радиус ручки отвертки, а затем измерьте радиус лезвие.Рассчитайте механическое преимущество: d e / d r .

Обратите внимание, что механическое преимущество круглого устройства снижается, в то время как механическое. нареч. для рычага было Fr / Fe. Обратите внимание, что кажущийся «триггер» дроби не ошибка.

Считаем, что F e × d e = F r × d r . Крест деление на F e и d r дает:

 d  e  = F  r 
- - = механическое преимущество
d  r  F  e  

SC 130 Домашняя страница
Домашняя страница курсов Ли Линга
На домашнюю страницу COM-FSM

Определение механических свойств разрушения бетона и анализ прочности на сдвиг железобетонных балок без поперечного армирования

Материалы (Базель).2020 июн; 13 (12): 2788.

Кафедра строительных материалов и диагностики конструкций, Факультет гражданского строительства, VSB-Технический университет Остравы, Ludvíka Podéště 1875/17, 708 00 Острава-Поруба, Чешская Республика; [email protected]; Тел .: + 420-597-321-382

Поступила 26.03.2020 г .; Принято в 2020 г. 25 мая.

Лицензиат MDPI, Базель, Швейцария. Эта статья представляет собой статью в открытом доступе, распространяемую в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution (CC BY) (http: // creativecommons.org / licenses / by / 4.0 /). Эту статью цитировали в других статьях в PMC.

Abstract

Изучение новых и инновационных квазихрупких материалов открывает новые возможности для использования в строительстве, но требуется детальное знание их поведения и механических свойств. Использование новых материалов при проектном решении конструкции обычно связано с численными методами, которые имеют ряд как достоинств, так и недостатков. Сложные численные методы без достаточно подробных входных знаний могут дать очень изменчивые результаты с небольшой информативной ценностью.Основная цель данной статьи - представить процедуру идентификации механических параметров разрушения для конкретного бетона с использованием разработанного обратного анализа, сочетающего многокритериальный анализ решений, стохастическое моделирование и нелинейный анализ. Впоследствии идентифицированные механические параметры бетона используются для параметрического исследования сопротивления сдвигу структурных балок без армирования сдвигом, как альтернативный или обобщенный подход к изучению повреждений бетона и бетонных конструкций.Это исследование включает экспериментальную программу с использованием 24 железобетонных балок и подробное определение основных и конкретных механических свойств во время лабораторных испытаний. Подробно проиллюстрирован процесс обратного анализа решаемой задачи. Использование нелинейного анализа для детального моделирования отказов основано на трехмерной вычислительной модели и модели пластического материала разрушения для бетона. Наконец, результаты экспериментальной программы и численного моделирования обсуждаются, что приводит к ряду выводов.

Ключевые слова: бетон, сталь, железобетон, балка, механические параметры, испытание на изгиб, сдвиг, обратный анализ

1. Введение

Бетон является одним из наиболее важных материалов [1], используемых в строительной отрасли в качестве конструкционного материала. элемент. Однако бетон имеет определенные механические свойства и дефекты в зависимости от типа напряжения или нагрузки. Бетон имеет множество применений, и существует множество составов и технологий производства. Среди созданных вариантов бетона - самоуплотняющийся бетон с высокими характеристиками [2], бетон со сверхвысокими характеристиками [3,4] и бетон, армированный фиброй [5,6].Эти материалы можно классифицировать как квазихрупкие, и их механические свойства и поведение могут сильно отличаться от других вариантов бетона; поэтому необходимо их исследовать [7,8].

Механика разрушения [9] подходит для более широкого и общего описания повреждений и поведения бетона и квазихрупких материалов. Более широкое использование механики разрушения для бетона и композитов ограничено доступностью исчерпывающей информации в базах данных или рекомендациями.На механические параметры разрушения материалов может влиять множество факторов. Поскольку механика разрушения является частым объектом исследований, много информации можно найти в литературе [9,10,11,12]. Тем не менее, в доступной информации существует много ограничений, так что она бесполезна для анализируемых составных типов, поскольку до настоящего времени в центре внимания исследований находился типичный бетон. Базы данных имеют довольно ограниченный объем [9,10,11,12] и используют ограниченные размеры выборки или геометрические диапазоны. Испытания часто проводились на бетонах разных партий и возрастных категорий, в разных средах или с использованием разных методик испытаний на образцах разных типов и размеров.Поэтому несоответствия можно наблюдать при сравнении поведения разрушения между образцами. По этой причине идентификация параметров трещин требует применения сложных методов и адекватной проверки идентифицированных свойств [6].

Поскольку прямое определение некоторых параметров, например, энергии разрушения или функции разупрочнения при растяжении [13], требует больших экспериментальных усилий, существует возможность использовать сложные методы во время инверсионного анализа и использовать результаты лабораторных испытаний в сочетании с численным моделированием. для выявления неизвестных параметров.

Проектный подход обратного анализа включает использование ряда методов, в частности, использование многокритериального анализа [14] для процесса принятия решений по идентификации характеристик материала в сочетании с нелинейным анализом и стохастическим моделированием. Существует множество подходов к обратному анализу, таких как деревья решений, сетевые модели, нейронные сети, модели баланса, нечеткая логика или многокритериальный анализ решений (MCDA) [14]. Информация о механических свойствах трещин может быть использована для детального изучения выбранной исследовательской задачи.Однако аналитические методы в проектных нормах часто используют только ограниченные примеры в отношении рекомендаций, а в некоторых случаях вообще не используют. Типичные случаи могут включать ремонт или усиление железобетонных (RC) конструкций полимером, армированным волокном (FRP) [15] и полимером, армированным углеродным волокном (CFRP) [16,17].

Использование новых материалов в конструкциях обычно связано с численными методами [18], которые имеют ряд достоинств и недостатков. Сводные результаты исследований и ряд рекомендаций по бетонным и бетонным конструкциям для численного моделирования можно найти в коде модели 2010 [19].Исходя из этого, существует несколько возможностей использования моделей материалов, включая модель поля возмущенных напряжений для железобетона [20], модель микроплоскости [21] или модель трещиновато-пластичного материала [22,23] для нелинейного анализа [24,25]. ].

Использование нелинейного анализа и моделей материалов связано также с другими численными методами, а именно с методом конечных элементов [18], методом непрерывных полос и методом граничных элементов.

Основные критерии проектирования включают проверку на изгибающий момент (сжатие бетона, растяжение стали), разрушение при сдвиге [26,27] или продавливание [28,29].В случае железобетонных конструкций без армирования сдвигом важно правильное понимание механизмов разрушения [30,31,32,33] и определение результирующей несущей способности.

Типичные конструкции включают не только железобетонные балки без поперечной арматуры, но и другие более сложные случаи [28,33], такие как сплошные плиты, балки, оболочки подпорных стен или фундаменты [31]. Решаемой областью также является проблема пробивки, местных нагрузок или опор. В рамках темы исследования разрушения при сдвиге существует множество подходов в расчетных кодах или теориях с эмпирическими формулами для оценки прочности на сдвиг железобетонных балок без поперечного армирования.

Экспериментальная программа и численное моделирование будут сосредоточены на железобетонных балках без поперечной арматуры. Это исследование включает экспериментальную программу с 24 ж / б балками со специализированным бетоном, где существующие аналитические подходы недостаточно применимы. Экспериментальная программа также включает подробное определение основных и конкретных механических свойств посредством лабораторных испытаний. Проиллюстрирован процесс обратного анализа решенной задачи. Использование нелинейного анализа для детального моделирования отказов основано на трехмерной вычислительной модели и модели пластического материала разрушения для бетона.

2. Обратный анализ

Требования к обобщенной спецификации поведения квазихрупких материалов, таких как бетон, в механике разрушения выражаются основными параметрами материала, включая прочность на сжатие, модуль упругости, предел прочности при растяжении, а также спецификацией смягчение и энергия, необходимая для разрушения. В частности, в случае последнего свойства это значение оказывает значительное влияние на общую точность последующих нелинейных расчетов строительных конструкций.

Поскольку прямое определение удельной энергии разрушения для распространения трещины экспериментально очень сложно, есть возможность использовать сложные методы в рамках обратного анализа и использовать результаты лабораторных испытаний в сочетании с численным моделированием для определения неизвестных параметров [6] . Представленный подход обратного анализа включает использование ряда методов, включая многокритериальный анализ [14,34,35] для процесса принятия решений по идентификации характеристик материала, в сочетании с нелинейным анализом [24] и стохастическим моделированием [ 36].

Процедура обратного анализа показана на. После определения механических параметров разрушения может быть выполнен структурный анализ железобетонных балок, стен, плит и трехмерных железобетонных конструкций. Общий процесс обратного анализа можно описать следующими шагами.

Блок-схема обратного и структурного анализа конструктивных элементов.

2.1. Стохастическое моделирование

Ключевыми этапами инверсионного анализа являются стохастическое моделирование и генерация входных параметров для идентификации характеристик материала.В частности, использовались метод выборки из латинского гиперкуба (LHS) [36] и программа FREeT (инструмент для расчета вероятной надежности) [37]. Статистические характеристики были использованы для известных механических свойств из лабораторных испытаний. Для определения параметров вначале использовались оценочные или известные рекомендации. Выбор начального значения влияет на скорость сходимости решения.

2.2. Метод конечных элементов и нелинейный анализ

Входные данные стохастического моделирования [36] были обработаны, и был произведен нелинейный анализ с подходящей конечно-элементной моделью лабораторных испытаний, куда в итоге были экспортированы результирующие изменения диаграмм нагрузки-смещения.Численный анализ проводился в программе ATENA (усовершенствованный инструмент инженерного нелинейного анализа) [38]. Сгенерированные исходные данные и полученные диаграммы нагрузка-смещение (LD) были обработаны с использованием многокритериального анализа. Используемый вариант деформации метода конечных элементов был основан на следующем решенном уравнении:

Из индивидуальной жесткости конечных элементов K, векторов неизвестной деформации конечного элемента u и вектора нагрузки конечного элемента F, решение для всего впоследствии была подготовлена ​​вычислительная модель.В случае нелинейного анализа и расчета методом конечных элементов результирующая матрица жесткости конструкции выражается как

Для разупрочнения бетона при растяжении использовалась форма закона раскрытия трещин [38], в которой соотношение выражается следующим образом:

σftef = {1+ (c1wwc) 3} exp (−c2wwc) −wwc (1 + c13) exp (−c2)

(3)

Впоследствии это было основано на экспериментах, модифицированных следующим образом:

где w - раскрытие трещины, w c - раскрытие трещины при полном снятии напряжения, σ - нормальное напряжение в трещине, G f - энергия разрушения и f t ef - эффективная прочность на разрыв.

2.3. Многокритериальный анализ принятия решений

Использованный многокритериальный анализ [34,35] был основан на матрице критериев, состоящей из оценок индивидуальных критериев для отдельных сценариев / расчетов. Математическая основа метода может быть выражена как

« макс » q = f ( x ) = ( f 1 ( x ), ..., f k ( x ) )

(5)

И

q Q = { f ( x ): x X , X Rn }

(6)

где X - возможный набор вариантов, а x - отдельные элементы переменных с вектором размера n .

Расчет был основан на вычислении множителей P i критериев каждого варианта на основе доступной информации. Кроме того, множитель отдельных вариантов расчета определялся как

Расчет также должен включать веса отдельных критериев w i . Расчет продолжился с нормализацией данных до безразмерных величин. После настройки всех членов матрицы критериев был рассчитан суммарный множитель вариантов, из которого в результате идентификации был выбран наиболее подходящий вариант.Подробное описание теории и применения многокритериального анализа приведено в [34,35].

Сгенерированные входные данные, полученные диаграммы нагрузка-смещение (LD) численной модели и экспериментов сравнивались и обрабатывались с использованием многокритериального анализа в MATLAB. Когда не было достаточного результата (т. Е. Требуемая точность результата не была достигнута, критерии не были соблюдены), весь процесс повторялся, предполагая, что были использованы актуальные результаты и приняты во внимание при следующем генерировании входных данных.Оценка выявленных значений проводилась далее на многоуровневом сравнении.

Другими подходами к идентификации механических параметров, включенных в обратный анализ, являются нейронные сети и стохастическое моделирование [39].

Основная концепция экспериментальной программы и численное моделирование представлены в.

Экспериментальная программа: базовое испытание, испытание на изгиб и структурное испытание.

3. Теоретический аспект прочности на разрыв при сдвиге и анализ в соответствии с проектными нормами

Конкретная проблема разрушения при сдвиге выбрана для численного анализа структурных балок.Для более глубокого понимания разрушения при сдвиге железобетонных балок без поперечного армирования представлены основные подходы, основанные на нормах проектирования или текущих направлениях исследований. Типичное разрушение железобетонной балки показано на.

Типичные отказы железобетонной балки.

Сложность проблемы разрушения при сдвиге можно проиллюстрировать, сравнив общую несущую способность для исследуемого типа балок, изготовленных из различных бетонов из предыдущих исследований автора.Все железобетонные балки из экспериментов имели разрушение при сдвиге. Детальное изучение значений в и позволяет различить, что ряд параметров, которые не имеют одинакового эффекта, входят в общую грузоподъемность.

Сравнение несущей способности железобетонных балок и прочности на сжатие.

Таблица 1

Несущая способность железобетонных балок.

61 22 E c [МПа] 925 61 Нагрузка [кН]
Материал Мелкозернистый бетон Бетон Щелочно-активированный материал (AAM) Бетон, армированный волокном (FRC) Высокопроизводительный бетон (HPC)
c, куб [МПа] 56.4 25,3 62,0 28,1 102,0
f т, испытание на раздельное растяжение [МПа] 3,0 2,2 3,4 3,6 5,8
27,1 18,5 26,3 18,3 42,1
Максимальное количество агрегатов [мм] 4 16 16 16
16
Коэффициент усиления для полного поперечного сечения [-] 0.0083 0,0083 0,0083 0,0083 0,0124
Каталожный номер - [40] [41] - [42]
37–41 56 57 67

Теоретическое сопротивление сдвигу и разрушение балок можно сформулировать [33] следующим образом:

VR = ∫ξ = 0d´τ⋅b⋅dξ = b∫ξ = 0d´τ⋅dξ,

(8)

где b - ширина поперечного сечения, d ’- глубина балки и τ - напряжение сдвига.Механизм разрушения при сдвиге показан в [33]. Из этого видно, что разрушение при сдвиге можно разделить на части трещины с участками растяжения или сжатия. Фактическое определение результирующей нагрузки сдвига дополнительно усложняется стальной арматурой.

Возможные действия передачи сдвига в балках без поперечной арматуры, скорректированные в соответствии с [33].

Текущий подход в Еврокод 2 [43] устанавливает расчет допустимой сдвиговой нагрузки без поперечной арматуры в соответствии с (9) с минимальным значением в соответствии с соотношением (10).

VR = [Cc.k. (100.ρl.fc) 1/3] bw.d≤Vmin,

(9)

Vmin = (0,035. K2 / 3fc) bw.d,

(10 )

где C c - эмпирический коэффициент 0,18; k - параметр, учитывающий размерный эффект; f c - прочность бетона на сжатие; b w - ширина поперечного сечения; d - эффективная глубина поперечного сечения; ρl - коэффициент усиления продольной арматуры.Минимальная прочность на сдвиг железобетонных элементов без поперечного армирования решает статья [32].

Новые подходы в решаемой области включают теорию трещин критического сдвига (CSCT) [33] от профессора Муттони. Прочность на сдвиг можно выразить как:

VR = b⋅dfc⋅f (w, dg),

(11)

где V R относится к сопротивлению сдвигу, b к ширине элемента, d к его глубине, f c к прочности бетона на сжатие, d g к заполнителю размер, а w - это исходное значение критического раскрытия трещин сдвига.Предельное усилие сдвига балок и односторонних плит [31] без поперечной арматуры можно записать как

VR = fct⋅b⋅d⋅ (vc + vw),

(12)

где f ct - прочность одноосного бетона на растяжение, b - ширина элемента, d - его глубина, v c - параметр хорды сжатия и v w - параметр трещин в бетонном полотне. Эффект растрескавшейся бетонной стенки [31] можно записать как

vw = 167fctEc (1 + 2EcGffct2d),

(13)

где f ct - прочность одноосного бетона на растяжение, d - его глубина, E c - модуль упругости бетона и G f - энергия разрушения бетона.

Среди известных рекомендаций по расчету энергии разрушения для бетона - Код модели 2010 [19]:

где f c - прочность на сжатие. Состав не влияет напрямую, например, на размер заполнителя или прочность на разрыв. Другие известные связи с VOS 1983 [38] включают:

где f ct - прочность на разрыв одноосного бетона. Из новой рекомендации [44] можно отметить соотношение из

Gf = 28fcm0.18⋅dmax0.32,

(16)

где f см - среднее значение прочности бетона на сжатие, а d max - максимальный размер заполнителя.

Проблема разрушения при сдвиге также актуальна для железобетонных балок со сдвиговой арматурой. и показать однотипные балки (геометрия, арматура), которые отличаются только используемым материалом. Это были балки типа А1 по программе исследований [45,46], их длина составляла 4,1 м, а сечение - 300 × 550 мм.показан луч с щелочно-активированным материалом (AAM) [41]. показана железобетонная балка из высокопрочного бетона (HPC) [42]. В случае железобетонной балки с высокоэффективным бетоном (HPC) [42] разрушение при сдвиге было локализовано в одной значительной трещине. Обрушение железобетонной балки произошло внезапно. Более широкая сетка трещин, образованная в железобетонной балке с щелочно-активированным материалом (ААМ) [41]. Лишь непосредственно перед обрушением трещина была значительно локализована и постепенно разрушила балку.

Железобетонные балки с поперечным армированием (A1) - экспериментальная программа для щелочно-активированного материала (AAM).

Ж / б балки с поперечным армированием (A1) - экспериментальная программа для материала из высокопрочного бетона (HPC).

Таким образом, исследование разрушения при сдвиге часто основывается на упрощенных схемах испытаний, которые не подходят для сложных железобетонных конструкций или конкретных бетонов. Эти исследовательские подходы различаются конечными конструктивными формулировками, но также и входными параметрами, интерпретацией механизмов разрушения и передачей управляющего сдвига.Нет единого мнения о решении исследовательской задачи, когда результирующая несущая способность часто сильно отличается.

Существует ряд других теоретических подходов, которые различаются краткостью и объемом необходимой информации. Однако из вышеизложенного ясно, что целесообразно применять обобщенное решение в области разрушения при сдвиге, которое может быть представлено расширенным численным моделированием с трехмерными расчетными моделями [4,24]. Однако численное моделирование должно основываться на квазихрупкой природе бетона [47] с использованием нелинейного анализа и механики разрушения.

4. Экспериментальная программа

Экспериментальная программа включала комплексный набор базовых и специализированных лабораторных испытаний, за которым следовала комплексная серия железобетонных балок без поперечного армирования с различной степенью армирования. Было обнаружено, что специфический мелкозернистый Baumit ProofBeton © с мелким заполнителем размером до 4 мм обладает следующими характеристиками: он был водонепроницаемым, морозостойким, солевым и подходящим для контакта с питьевой водой [48].Основные испытания включали испытания на прочность на сжатие кубов и цилиндров, прочность на разрыв при разделении и модуль упругости. После основных испытаний были проведены испытания на изгиб балок малого диаметра. Было выбрано два варианта: типовой вариант включал испытание на трехточечный изгиб с надрезом; и специальное испытание небольших железобетонных балок, которое предназначалось для дальнейшей оценки в рамках обратного анализа. Помимо сравнения результатов с лабораторной программой, были выбраны рекомендации по расчету модуля упругости и прочности на разрыв.Большое внимание было уделено исследованиям связи между [49] модулем упругости и прочностью на сжатие, а также прочностью бетона на растяжение при разделении [50,51,52,53,54,55,56,57,58 , 59,60]. Общее соотношение прочности на растяжение при разделении и модуля упругости как функции прочности на сжатие наиболее часто определяется с помощью уравнений (17) и (18):

где f c - прочность на сжатие, а k , n , α и β - безразмерные коэффициенты, которые можно найти в.

Таблица 2

Коэффициенты k, n, α, β [49].

, АО 57]
Источник к n α β
JCI [50] 0,13 0,85 6,3 0,45
JSCE [51] 0,44 0,5 4,7 0,5
0,5
0.23 0,66 9 0,33
AIJ [53] 0,18 0,75 8,56 0,33
CEB-FIB [54] 0,3 0,6 0,6 0,33
ACI318-11 [55] 0,56 0,5 4,73 0,5
Рафаэль [56] 0,313 0,66 - - GG - 0.33 0,66 3,24 0,63
Oluokun et al. [58] 0,216 0,79 - -
Олуокун [59] 0,2 0,7 - -
Arioglu et al. [60] 0,387 0,63 - -

Для использования соотношений важно отметить, что в большинстве случаев испытания прочности на разрыв при разделении проводились на цилиндрах.Указанные отношения были определены и основаны на оценке обширного набора тестов, где каждое отношение также отражало местные условия и специфику тестовых программ. Коэффициент k в интервале 0,2–0,4 и коэффициент n в интервале 0,6–0,8 обычно используются для разделения прочности на растяжение. В случае модуля упругости разница этих коэффициентов больше. Взаимосвязь модуля упругости как функции прочности на сжатие часто ограничена и искажает результаты.Качество заполнителей и водоцементное соотношение также имеют значение.

В основной программе испытаний участвовали 24 железобетонные балки без поперечного армирования. Для испытаний выбраны четыре серии, различающиеся степенью армирования, при этом каждая серия состояла из шести балок. В частности, железобетонная балка была испытана на трехточечный изгиб. Балка имела прямоугольное сечение 100 × 190 мм и типичный пролет 900 мм. Схема испытания на трехточечный изгиб приведена на рис.Балки были усилены двумя поперечными сечениями железобетонной арматуры В500 по нижнему краю. Покрытие усиления составляло 20 мм. Армирование железобетонной балки для серий с 1 по 4 составляло 2 × ø6 B500, 2 × ø8 B500, 2 × ø10 B500 и 2 × ø12 B500 соответственно. Целью лабораторных испытаний было оценить диаграмму смещения нагрузки во время испытания на нагрузку. Вертикальный прогиб балок измерялся в середине пролета на нижней поверхности с помощью экстензометров.Балка нагружалась деформационной нагрузкой.

Балка железобетонная без поперечного армирования - схема испытания.

Для ясности общий обзор основных, изгибных и структурных испытаний [61,62,63,64] показан на.

Таблица 3

Испытание Образец Размеры корпуса [мм]
Испытание на сжатие - куб 30 150 × 150 × 150
Испытание на сжатие - цилиндр 912 6 150 × 300
Модуль упругости 3 150 × 300
Испытание на разрыв 30 150 × 150 × 150
Испытание на трехточечный изгиб 3 150 × 150 × 600 (пролет 500, вырез 25)
Испытание на изгиб малых железобетонных балок 12 150 × 150 × 700 (пролет 600)
Железобетонные балки без поперечного армирования 24 100 × 190 × 1150 (пролет 900)

5.Результаты основных испытаний механических свойств

Сводные результаты основных испытаний [61,62,63,64] показаны на рис. В результате ряда лабораторных испытаний прочности на сжатие и разделение были описаны более подробные статистические характеристики. Прочность бетона на сжатие для кубиков составила 56,47 МПа; статистические характеристики приведены в. Полученное стандартное отклонение составило 3,58 МПа для испытания 30, а коэффициент вариации - 0,06. Испытания на растяжение при разделении показали больший разброс результатов: средняя прочность на разрыв при разделении составляла 3.07 МПа со стандартным отклонением 0,33 МПа и коэффициентом вариации 0,11. Средняя прочность на сжатие для цилиндрических составляла 48,85 МПа. Отношение цилиндрической прочности к кубической составляло 0,865; это значение близко к рекомендуемому коэффициенту 0,85. Статический модуль упругости, который имел значение 27,13 ГПа, был измерен для выбранных образцов.

Таблица 4

Свойства материалов для основных испытаний.

61 3,19 925 эластичность
Свойства материала Среднее [МПа] Стандартное отклонение [МПа]
Куб прочности на сжатие 56.47 3,58
Цилиндры для прочности на сжатие 48,85 1,08
Прочность на разрыв 3,07 0,33
Прочность на растяжение при изгибе
27,130 960

Таблица 5

Свойства материалов испытаний прочности на сжатие и растяжения.

61 2,31285 925 925 925 Энергия разрушения - важный механический параметр, но ее лабораторное определение затруднено, и существует больше методов испытаний, которые дают разные результаты. Однако на основе лабораторных испытаний было проведено сравнение с рекомендациями в.Коэффициент уменьшения 0,9 был использован для преобразования разделенной прочности на разрыв в одноосную прочность. Полученные значения колеблются от 69 до 147 Н / м. Однако используемые отношения имеют ограниченную применимость здесь, как и для типичных бетонов.

Таблица 6

Свойства материала энергии разрушения [Н / м].

Свойства материала Прочность на сжатие [МПа] Прочность на растяжение при разделении [МПа]
Среднее значение 56.47 3,07
Минимум 50,31 2,42
Максимум 64,63 3,70
Квантиль 0,01 48,16
2,31287
Квантиль 0,05 50,56 2,53
Квантиль 0,95 62,38 3,61
Квантиль 0.975 63,49 3,71
Квантиль 0,99 64,78 3,83
Стандартное отклонение 3,58 0,33
CoV61 [-]
VOS 1983 [38] (14) Код модели 2010 [19] (15) Mari et al. [44] (16)
69 147 88

6.Результаты специализированного испытания механических свойств и рекомендации

Три контрольных испытания были выполнены для проверки правильности расчета прочности на разрыв в испытании на трехточечный изгиб с надрезом 25 мм; результаты показаны в. Предел прочности при изгибе при растяжении составил 3,14 МПа. Результаты испытаний цилиндров на сжатие должны были быть сопоставлены с рекомендациями, приведенными в. Результаты представлены в.

Таблица 7

Результаты механических свойств f ct, st и E c для коэффициентов k, n, α, β.

925] 12

912,596

912,596

Источник f ct, st [МПа] E c [ГПа]
JCI [50] 3,54
361296 JSCE [51] 3,08 32,85
JSCE [52] 2,99 32,48
AIJ [53] 3,33 30,89
3.91 34,28
ACI318-11 [55] 3,91 33,06
Рафаэль [56] 4,08 -
Гарднер 925 [57]
Oluokun et al. [58] 4,66 -
Олуокун [59] 3,04 -
Arioglu et al. [60] 4,48 -

Всего было проведено двенадцать испытаний в трех испытаниях на изгиб небольших железобетонных балок с арматурой, при этом в каждой серии испытаний использовалось по три балки.Полученная несущая способность оценивается графически в. Различия в несущей способности в отдельных сериях арматурных балок обычно были небольшими, хотя различия были больше для арматуры диаметром 10 мм. При увеличении диаметра арматуры увеличивается общая несущая способность.

Несущая способность небольших железобетонных балок без поперечного армирования: показаны эксперименты и результаты обратного анализа.

В качестве примера выбраны балка с арматурой диаметром 6 мм и балка с арматурой 12 мм.Очевидно, что для небольших балок с арматурой диаметром 6 мм механизм разрушения больше соответствует разрушению при растяжении. Балка диаметром 12 мм продемонстрировала механизм разрушения типичной трещины сдвига.

Малые железобетонные балки без поперечного армирования - испытание на трехточечный изгиб с пролетом 600 мм.

Результаты малых железобетонных балок были использованы в обратном анализе для определения энергии разрушения. Для используемой мелкозернистой бетонной смеси соотношения энергии разрушения (14–16) не подходят.Использовалась процедура обратного анализа, описанная в разделе 2. Идентифицированный параметр - энергия разрушения. Остальные механические свойства бетона были взяты из лабораторных испытаний. Коэффициент уменьшения 0,9 был использован для преобразования разделенной прочности на разрыв в одноосную прочность. Для проверки точности обратного анализа компьютерное моделирование трехмерных расчетных моделей с трещинами показано на рис. Во время моделирования были соблюдены рекомендации [24] и использовалась модель пластического материала разрушения для бетона [23].Идентифицированное значение энергии разрушения составляет 44,3 Н / м, и оно использовалось для расчета, обозначенного зеленой галочкой в. Сводные характеристики материала для бетона и модели материала приведены в.

Малые железобетонные балки без поперечной арматуры, показывающая числовую трехмерную модель с трещиной (мин. 0,2 мм).

Таблица 8

Результаты механических свойств для бетона.

Свойства материала Значение Единицы
Прочность на сжатие - куб 56.47 МПа
Прочность на сжатие - цилиндры 48,85 МПа
Модуль упругости 27,13 ГПа
Предел прочности при растяжении 44,3 Н / м
Максимальный агрегат 4 мм

Сравнение эксперимента с численными расчетами с использованием другой энергии разрушения для выбранной малой балки с диаметром арматуры 12 приведено в .

Таблица 9

Грузоподъемность [кН] малой железобетонной балки без поперечного армирования (диаметр 12 мм).

VOS 1983 [10] (12) Код модели 2010 [28] (13) Mari et al. [36] (14) Обратный анализ Эксперименты (среднее)
82 103 89 72 70

7. Параметрический анализ сдвиговой способности железобетона Балки

Основная часть программы исследований и экспериментов была сосредоточена на конструктивных элементах железобетонных балок без поперечного армирования.Однако, в отличие от типичных аналитических моделей в рекомендациях и нормах проектирования, анализ и этап теории трещин сдвига были решены с помощью расширенного трехмерного численного моделирования, учитывающего распространение трещин в бетоне. Программа экспериментов включала четыре серии балок, где поперечное сечение арматуры составляло от 0,3% до 1,2%.

Железобетонные балки были усилены арматурой диаметром 6, 8, 10 и 12 мм. Специфика исследовательской программы заключалась в том, что в каждую серию входило по 6 балок.Диапазон был выбран потому, что прочность бетона на растяжение также важна для режима разрушения, т. Е. Можно ожидать большего разброса результатов разрушения при сдвиге. Как правило, предел прочности на разрыв имеет более широкий диапазон значений, что подтверждается в. Следовательно, это также позволяет проводить статистическую оценку результатов путем определения стандартного отклонения и коэффициента вариации. Результаты представлены в. Суммарная несущая способность балок составляла от 26 кН до 49 кН. При более высоком армировании увеличивалась общая несущая способность.Однако это относится не ко всем экспериментам. Например, максимальное значение (41 кН) было для диаметра арматуры 8 мм, а минимальное значение (38 кН) было получено для диаметра арматуры 10 мм. Обзор четырех типов балок после испытания показан на. Разрушение при сдвиге хорошо видно в балках с арматурой диаметром от 8 до 12 мм. Для балки с диаметром арматуры 6 мм характер разрушения был другим. В этой балке видны вертикальная трещина растяжения в середине нижнего края балки и трещина сдвига.

Балки железобетонные без поперечного армирования после испытаний.

Таблица 10

Результаты железобетонной балки без поперечного армирования: эксперименты - допустимая нагрузка [кН].

Армированный Диаметр [мм] 2 × 6 2 × 8 2 × 10 2 × 12
Коэффициент усиления для полного поперечного сечения [-] 0,003 0.012 0,008 0,012
Образец [Образец] 6 6 6 6
Максимум [кН] 30 41 42 49
Минимум [кН] 26 34 38 41
Стандартное отклонение [кН] 1,47 2.35 1,32 2,51
VoC [-] 0,051 0,062 0,033 0,055
Среднее значение экспериментов [кН] 29 38 40 46
3D Модель Моделирование 28 36 42 46
Эксперимент / 3D Модель 1.033 1,041 0,956 1,009

Диапазон коэффициентов вариации составлял от 3% до 6% для бетонных балок индивидуально армированного типа, а среднее значение составляло 5%. После этого было проведено численное 3D моделирование экспериментов с использованием выявленных механических свойств бетона. Численное моделирование, параметры расчета и расчетная модель отличались только используемым армированием. Отдельные вычислительные модели показаны на.Очевидно, что режим отказа был очень похож для численных моделей и экспериментов. Кроме того, численная модель позволяет получить результаты максимальной трещины: ширина трещины составляла от 0,48 мм до 1,02 мм. приведены результаты диаграммы несущей способности для экспериментов и численного 3D моделирования для железобетонных балок с диаметром арматуры 10 мм. Результаты относятся к максимальному теоретическому изгибающему моменту M max в поперечном сечении и относительной деформации, рассчитанной для максимальной деформации w max 1/200 пролета балок.показывает начало линейной нагрузки. Впоследствии в железобетонных балках образуется трещина сдвига, которая постепенно распространяется. В области распространения трещин сдвига результаты показывают больший разброс жесткости. Испытание завершается значительным раскрытием трещины и уменьшением усилия. Нагрузка балок происходила контролируемой деформацией.

Железобетонные балки без поперечного армирования - 3D модели с трещиной (мин. 0,2 мм).

Результаты для железобетонных балок без поперечного армирования, арматура 10 мм: эксперимент 1–6 и 3D модель.

Более крупные трещины были обнаружены в балках с меньшим диаметром арматуры. Сводка результатов представлена ​​в. Наибольшая разница между расчетом и экспериментом составила 4,1%, а средняя разница составила 1%. Результаты экспериментов и численного моделирования также представлены в.

Обобщенные результаты по несущей способности железобетонных балок без поперечного армирования.

8. Обсуждение

На основании экспериментальной программы было установлено, что средняя прочность на сжатие 48.85 МПа на цилиндрах было в обычном отношении к прочности на сжатие 56,47 МПа на кубах: полученное соотношение 0,865 очень близко к обычному соотношению 0,85. Влияние мелкозернистых заполнителей бетона не оказало существенного влияния на форму используемого образца для испытаний. Определенная прочность на разрыв и ее пересчитанная прочность на разрыв одноосного бетона были меньше, чем большинство рекомендаций. Коэффициент уменьшения 0,9 был использован для преобразования сильных сторон. Принимая во внимание прочность на сжатие куба и прочность на разрыв при разделении, можно сделать вывод, что коэффициент вариации был значительно выше для прочности на разрыв при разделении.Однако в обоих случаях значения тестового набора находились в интервале квантиля 0,01–0,99. Параметр энергии разрушения также связан с одноосным пределом прочности на разрыв. Сравнивая рекомендации по расчету энергии разрушения и результаты обратного анализа, становится ясно, что использование формул для типичного бетона обычно не подходит: разница в допустимой нагрузке на балку и в эксперименте может достигать примерно 47 %. Использование обратного анализа для определения параметра энергии разрушения оказалось более подходящим подходом.

Сам процесс анализа должен учитывать и соответствовать следующим критериям:

  • Обеспечить наличие достаточного набора основных механических свойств (прочность на сжатие, прочность на поперечное растяжение, модуль упругости).

  • Выберите соответствующие тесты для прямого или косвенного определения конкретных параметров (например, энергии разрушения) или используйте рекомендации. Для решения этой конкретной проблемы использовались небольшие железобетонные балки.Чувствительность самих механических параметров разрушения широко обсуждается в [40].

  • Если используется обратный анализ, выберите подходящие методы, чтобы результаты были достаточно надежными. Среди возможных методов представлен представленный метод сочетания многокритериального анализа решений (MCDA) [14], стохастического моделирования [36,37] и нелинейного анализа [22].

  • Использование численного моделирования и нелинейного анализа требует соответствующего выбора модели материала и соблюдения рекомендаций по нелинейным решениям.Параметры расчета включают тип конечного элемента, сетку конечных элементов, математический решатель и критерии преобразования. Моделирование в этом исследовании было основано на рекомендациях [24].

В результате идентифицированная энергия разрушения составила 44,3 Н / м. Численное моделирование и анализ разрушения при сдвиге были выполнены на основе полного набора механических свойств используемого бетона. Трехмерное численное моделирование позволило учесть распространение трещин в бетоне.

Результаты испытаний и численного моделирования можно интерпретировать в виде прочности балки на сдвиг в зависимости от степени усиления поперечного сечения. Функция регрессии сдвиговой нагрузки также была определена для экспериментов и численных моделей, как показано в уравнениях (19) и (20):

Vexperiment = 886,5x + 12,721, (R2 = 0,9243)

(19)

Vmodel = 960,21 х + 12,072, (R2 = 0,9303)

(20)

где x - степень армирования поперечного сечения.В обоих случаях уровень достоверности превышает 92%. Прогнозируемые сдвиговые способности и отказ численных 3D-моделей можно считать очень хорошими.

Допустимая нагрузка на сдвиг железобетонной балки без поперечного армирования.

9. Выводы

В данном исследовании представлен подход к определению механических параметров разрушения специализированного мелкозернистого бетона, для которого невозможно использовать имеющиеся рекомендации. Представленный обратный метод сочетает в себе многокритериальный анализ решений (MCDA), стохастическое моделирование с выборкой из латинского гиперкуба (LHS) и нелинейный анализ.

Часть исследовательской и экспериментальной программы была посвящена определению несущей способности железобетонных балок без поперечного армирования и моделированию разрушения при сдвиге. Однако знание подробных механических параметров бетона необходимо для понимания проблемы; особенно в случае конкретных и высокоэффективных бетонов, механизм повреждения и поведение могут отличаться от типичных бетонов. Этот случай был решен этим исследованием, которое представляло собой специализированный мелкозернистый бетон с заполнителями до 4 мм.Для определения сопротивления балки сдвигу использовалось численное моделирование с использованием трехмерной вычислительной модели и модели трещинопластического материала. Такой подход позволил эффективно описать общую несущую способность, а также механизм разрушения и обрушения самой балки. Можно сделать следующие выводы:

  • Лабораторные испытания специализированного бетона на прочность на сжатие и разрывное растяжение показывают, что коэффициент вариации для поперечного сопротивления растяжению почти в два раза больше.

  • Прочность на разрыв мелкозернистой бетонной смеси была значительно ниже, чем предусмотрено в рекомендациях.

  • Хорошо известный коэффициент 0,85 хорошо подходит для преобразования прочности на сжатие кубов и цилиндров.

  • Модуль упругости значительно меньше, чем указано в большинстве рекомендаций и исследований.

  • В случае определения энергии разрушения для ее определения можно использовать обратный анализ, но это требует использования специальной программы испытаний и численных методов.Рекомендации по расчету энергии разрушения могут быть только обычно предназначены для типовых бетонов;

  • Выбранный подход к моделированию разрушения при сдвиге позволяет правильно понять нагрузочную способность и механизм разрушения. Сложные механические свойства бетона и численное моделирование затем можно использовать для более сложных конструкций, которые не могут быть представлены аналитическими моделями.

Еще одно преимущество подхода, представленного для анализа и моделирования бетонных конструкций, заключается в том, что он позволяет расширить задачу за счет проблем долговечности и надежности конструкций.В дальнейших исследованиях автор сосредоточится на оптимизации метода определения механических параметров и возможности использования фибробетона для балок без поперечной арматуры, так как это исследование относится к решаемой задаче.

Благодарности

Эта работа была поддержана посредством концептуального развития науки, исследований и инноваций, порученного VŠB-TUO Министерством образования, молодежи и спорта Чешской Республики.

Финансирование

Концептуальное развитие науки, исследований и инноваций поручено VŠB-TUO Министерством образования, молодежи и спорта Чешской Республики.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Список литературы

1. Сетарех М., Дарвас Р. Бетонные конструкции. 2-е изд. Springer; Берлин / Гейдельберг, Германия: 2016 г. [Google Scholar] 2. Хадзимэ О. Самоуплотняющийся бетон с высокими эксплуатационными характеристиками. Concr. Int. 1997; 19: 50–54. [Google Scholar] 3. Ли К., Фэн З., Ке Л., Пан Р., Ни Дж. Экспериментальное исследование характеристик сдвига монолитных бетонных конструкций со сверхвысокими характеристиками. Материалы. 2019; 12: 3254.DOI: 10.3390 / ma121. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 4. Валихани А., Джахроми А.Дж., Мантави И.М., Азизинамини А. Численное моделирование прочности связи между бетоном и UHPC. Материалы. 2020; 13: 1379. DOI: 10.3390 / ma13061379. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 5. Брандт А. Армированные волокном композиты на основе цемента (FRC) после более чем 40-летнего развития в строительстве и гражданском строительстве. Compos. Struct. 2008; 86: 3–9. DOI: 10.1016 / j.compstruct.2008.03.006.[CrossRef] [Google Scholar] 6. Сучарда О., Паяк М., Поникевски Т., Конечны П. Идентификация механических свойств и свойств разрушения самоуплотняющихся бетонных балок с различными типами стальных волокон с помощью обратного анализа. Констр. Строить. Матер. 2017; 138: 263–275. DOI: 10.1016 / j.conbuildmat.2017.01.077. [CrossRef] [Google Scholar] 7. Chen H.-J., Yu Y.-L., Tang C.-W. Механические свойства бетона со сверхвысокими характеристиками до и после воздействия высоких температур. Материалы. 2020; 13: 770. DOI: 10.3390 / ma13030770. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 8. Чхве Г., Кан С., Канг Х. Механические свойства бетона, содержащего сжиженный красный грязь, подвергнутого одноосным нагрузкам сжатия. Материалы. 2020; 13: 854. DOI: 10.3390 / ma13040854. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar] 9. Базант З.П., Бек-Жиро Э. Статистическое прогнозирование параметров разрушения бетона и последствия для выбора стандарта испытаний. Джем. Concr. Res. 2002. 32: 529–556. DOI: 10.1016 / S0008-8846 (01) 00723-2.[CrossRef] [Google Scholar] 10. Тан Т., Базант З.П., Янг С., Золлингер Д. Метод одноразмерных испытаний с переменным надрезом для определения энергии разрушения и длины технологической зоны. Англ. ГРП. Мех. 1996; 53: 383–404. DOI: 10.1016 / 0013-7944 (96) 00030-6. [CrossRef] [Google Scholar] 11. Малвар Дж. Л., Уоррен Г. Э. Энергия разрушения для испытаний на трехточечный изгиб балок с односторонним надрезом. Exp. Мех. 1988. 28: 266–272. DOI: 10.1007 / BF02329022. [CrossRef] [Google Scholar] 12. Гувер К.Г., Бажант З.П. Модели когезионных трещин, размерного эффекта, полосы трещин и работы разрушения по сравнению с комплексными испытаниями на разрушение бетона.Int. J. Fract. 2014; 187: 133–143. DOI: 10.1007 / s10704-013-9926-0. [CrossRef] [Google Scholar] 13. Базант З., Планас Дж. Разрушение и размерный эффект в бетоне и других квазихрупких материалах. CRC Press; Бока-Ратон, Флорида, США: 1998. [Google Scholar] 14. Wątrobski J., Jankowski J., Ziemba P., Karczmarczyk A., Zioło M. Обобщенная структура для выбора многокритериальных методов. Омега. 2019; 86: 107–124. DOI: 10.1016 / j.omega.2018.07.004. [CrossRef] [Google Scholar] 15. Эбрахимпур Комлех Х., Магсуди А.А. Прогнозирование коэффициента пластичности кривизны для усиленных FRP балок RHSC с использованием ANFIS и регрессионных моделей.Comput. Concr. 2015; 16: 399–414. DOI: 10.12989 / cac.2015.16.3.399. [CrossRef] [Google Scholar] 16. Хашеми С.Х., Магсуди А.А., Рахгозар Р. Пластичность при изгибе армированной балки HSC, усиленной листами из углепластика. Struct. Англ. Мех. 2008. 30: 403–426. DOI: 10.12989 / sem.2008.30.4.403. [CrossRef] [Google Scholar] 17. Хашеми С.Х., Магсуди А.А., Рахгозар Р. Армированные балки HSC, усиленные плитами из углепластика при изгибе. Kuwait J. Sci. Англ. 2009; 36: 1–31. [Google Scholar] 18. Ромбах Г.А. Конечноэлементное проектирование бетонных конструкций: практические проблемы и их решения.2-е изд. ICE Publishing; Лондон, Великобритания: 2011. [Google Scholar] 20. Монтойя Э., Веккио Ф.Дж., Шейх С.А.Моделирование поля сжатия замкнутого бетона: определяющие модели. J. Mater. Civ. Англ. 2006; 18: 1–8. DOI: 10.1061 / (ASCE) 0899-1561 (2006) 18: 4 (510). [CrossRef] [Google Scholar] 21. Базант З.П., Адли М.Д., Кэрол И., Йирасек М., Акерс С.А., Рохани Б., Карджил Дж.Д., Канер Ф.С. Обобщение модели микроплоскости при больших деформациях для бетона и его применения. J. Eng. Мех. 2000; 126: 971–980. DOI: 10.1061 / (ASCE) 0733-9399 (2000) 126: 9 (971).[CrossRef] [Google Scholar] 22. Червенка В., Червенка Ю., Пукл Р. АТЕНА-Инструмент для инженерного анализа разрушения бетона. Садхана. 2002. 27: 485–492. DOI: 10.1007 / BF02706996. [CrossRef] [Google Scholar] 23. Червенка Ю., Папаниколау В.К. Трехмерная комбинированная модель трещинопластического материала для бетона. Int. J. Plast. 2008; 24: 2192–2220. DOI: 10.1016 / j.ijplas.2008.01.004. [CrossRef] [Google Scholar] 24. Сучарда О., Конечны П. Рекомендации по моделированию трехмерного нелинейного анализа испытаний ж / б балок.Comput. Concr. 2018; 21: 11–20. DOI: 10.12989 / cac.2018.21.1.011. [CrossRef] [Google Scholar] 25. Кралик Дж. Нелинейный вероятностный анализ разрушения железобетонной конструкции атомной электростанции с учетом эффектов деградации. Прил. Мех. Матер. 2013; 249–250: 1087–1098. DOI: 10.4028 / www.scientific.net / AMM.249-250.1087. [CrossRef] [Google Scholar] 26. Фенвик Р.С., Полей Т. Механизмы сопротивления сдвигу бетонных балок. J. Struct. Div. 1968; 94: 2325–2350. [Google Scholar] 27. Коллинз М.П., Бенц Э., Шервуд Э. Где требуется усиление сдвига? Обзор результатов исследований и процедур проектирования. ACI Struct. J. 2008; 105: 590–600. [Google Scholar] 28. Мари А., Кладера А., Оллер Э., Байран Дж.М.Механическая модель продавливания среза для железобетонных плоских плит с усилением сдвига и без него. Англ. Struct. 2018; 166: 413–426. DOI: 10.1016 / j.engstruct.2018.03.079. [CrossRef] [Google Scholar] 29. Огюстин Т., Филло Л., Халвоник Дж., Марсис М. Сопротивление продавливанию плоских плит с отверстиями - экспериментальное исследование.Твердотельный Феном. 2018; 272: 41–46. DOI: 10.4028 / www.scientific.net / SSP.272.41. [CrossRef] [Google Scholar] 30. Классен М. Теория распространения трещин при сдвиге (SCPT) - механическое решение загадки сдвига в железобетонных элементах без поперечной арматуры. Англ. Struct. 2020; 210: 110207. DOI: 10.1016 / j.engstruct.2020.110207. [CrossRef] [Google Scholar] 31. Мари А., Кладера А., Байран Дж. М., Оллер Э., Рибас К. Механическая модель прочности на сдвиг и изгиб для проектирования и оценки железобетонных балок, подверженных точечным или распределенным нагрузкам.Фронт. Struct. Civ. Англ. 2014. 8: 337–353. DOI: 10.1007 / s11709-014-0081-0. [CrossRef] [Google Scholar] 32. Фернандес Руис М., Муттония А., Сагасетаб Дж. Прочность на сдвиг бетонных элементов без поперечного армирования: механический подход для последовательного учета эффектов размеров и деформации. Англ. Struct. 2015; 99: 360–372. DOI: 10.1016 / j.engstruct.2015.05.007. [CrossRef] [Google Scholar] 33. Муттони А., Фернандес Руис М. От экспериментальных данных к механическому моделированию и конструктивным выражениям: Теория критических трещин при сдвиге для расчета сдвига.Struct. Concr. 2019; 20: 1464–1480. DOI: 10.1002 / suco.201
  • 3. [CrossRef] [Google Scholar] 34. Триантафиллу Э. Принятие решений по нескольким критериям: сравнительное исследование. Springer; Дордрехт, Нидерланды: 2000. [Google Scholar] 35. Карветски К.В., Ламберт Дж. Х., Линьков И. Анализ возникающих условий и множественных критериев при определении приоритетов инфраструктуры для развивающихся стран. J. Multi Crit. Decis. Анальный. 2009. 16: 125–137. DOI: 10.1002 / mcda.444. [CrossRef] [Google Scholar] 36. Хантингтон Д.Э., Лиринцис К.S. Улучшения и ограничения выборки латинского гиперкуба. Вероятностный англ. Мех. 1998. 13: 245–253. DOI: 10.1016 / S0266-8920 (97) 00013-1. [CrossRef] [Google Scholar] 37. Новак Д., Воречовский М., Русина Р. FReET v.1.5-Программная документация. Руководства пользователя и теории. [(доступ 26 марта 2020 г.)]; 2011 VUT Brno and Cervenka Consulting, CZ. Доступно в Интернете: http: //www.freet.cz.39. Штраус А., Циммерманн Т., Лехки Д., Новак Д., Керснер З. Стохастические механические параметры разрушения для проектирования бетонных конструкций с учетом характеристик.Struct. Concr. 2014; 15: 80–394. DOI: 10.1002 / suco.201300077. [CrossRef] [Google Scholar] 40. Сучарда О., Матецкова П., Билек В. Нелинейный расчет железобетонной балки без поперечной арматуры с исследованием чувствительности свойств материала бетона. Словацкий J. Civil Eng. 2020; 28: 33–43. DOI: 10.2478 / sjce-2020-0005. [CrossRef] [Google Scholar] 41. Сухарда О., Билек В., Матецкова П., Паздера Л. Аам для структурных балок и расчет балок без поперечной арматуры. Твердотельный Феном. 2019; 292: 3–8.DOI: 10.4028 / www.scientific.net / SSP.292.3. [CrossRef] [Google Scholar] 42. Сухарда О., Билек В., Матецкова П. Испытания и механические свойства высокопрочного бетона. IOP Conf. Сер. Матер. Sci. Англ. 2019; 549: 012012. DOI: 10.1088 / 1757-899X / 549/1/012012. [CrossRef] [Google Scholar] 43. EN 1992-1-1: 2019: Еврокод 2: Проектирование бетонных конструкций - Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий. Чешское агентство по стандартизации; Прага, Чешская Республика: 2019. [Google Scholar] 44. Мари А., Байран Дж. М., Кладера А., Оллер Э., Рибас К. Механическая модель прочности на сдвиг и изгиб для проектирования и оценки железобетонных балок. Struct. Инфраструктура. E. 2014 DOI: 10.1080 / 15732479.2014.964735. [CrossRef] [Google Scholar] 45. Веккио Ф.Дж., Шим В. Экспериментальное и аналитическое повторное исследование классических испытаний бетонных балок. J. Struct. Англ. 2004. 130: 460–469. DOI: 10.1061 / (ASCE) 0733-9445 (2004) 130: 3 (460). [CrossRef] [Google Scholar] 46. Бреслер Б., Скорделис А.С. Прочность железобетонных балок на сдвиг. Варенье.Concrete Inst. 1963; 60: 51–72. [Google Scholar] 47. Карихалоо Б. Механика разрушения бетона. Longman Scientific & Technical; Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: 1995. [Google Scholar] 48. Baumit ProofBeton © - Технические данные. [(доступ 26 марта 2020 г.)]; Доступно в Интернете: https://baumit.cz/49. Рос С., Шима Х. Взаимосвязь между прочностью на растяжение и прочностью на сжатие бетона в раннем возрасте с различными типами цемента и историей температуры отверждения. Concr. Inst. Proc. 2013; 35: 427–432.[Google Scholar] 50. JCI. Руководство по борьбе с растрескиванием массового бетона. Японский институт бетона; Токио, Япония: 2011. [Google Scholar] 51. JSCE. Стандартные технические условия на бетонные конструкции, материалы и конструкции. Японское общество инженеров-строителей; Токио, Япония: 2002. [Google Scholar] 52. JSCE. Стандартные технические условия на бетонные конструкции, материалы и конструкции. Японское общество инженеров-строителей; Токио, Япония: 2007. [Google Scholar] 53. AIJ. Рекомендации по борьбе с термическим растрескиванием массивного бетона в строительстве.Архитектурный институт Японии; Токио, Япония: 2008. стр. 69. [Google Scholar] 54. Код модели 1990 CEB-FIP: Кодекс проектирования. Thomas Telford Ltd .; Лондон, Великобритания: 1993. Окончательная версия. [Google Scholar] 55. Комитет ACI 318. Требования Строительных норм для конструкционного бетона (ACI 318-11) и комментарии. Американский институт бетона; Фармингтон-Хиллз, Мичиган, США: 2011. стр. 111. [Google Scholar] 56. Рафаэль Дж.М. Предел прочности бетона. ACI J. Proc. 1984. 81: 158–165. [Google Scholar] 57. Гарднер Н.Дж. Влияние температуры на ранние свойства бетонов типа I, типа III и типа I / золы-уноса.ACI Mater. J. 1990; 87: 529–536. [Google Scholar] 58. Олуокун Ф.А., Бурдетт Э.Г., Deatherage J.H. Разделение соотношений прочности на разрыв и прочности на сжатие в раннем возрасте. ACI Mater. J. 1991; 88: 115–121. [Google Scholar] 59. Олуокун Ф.А.Предсказание прочности бетона на растяжение по его прочности на сжатие: оценка существующей зависимости для бетона с нормальным весом. ACI Mater. J. 1991; 88: 302–309. [Google Scholar] 60. Ариоглу Н., Гиргин З.К., Ариоглу Э. Оценка соотношения между прочностью на разрыв при расщеплении и прочностью на сжатие для бетона до 120 МПа и его применение в критерии прочности.ACI Mater. J. 2006; 103: 18–24. [Google Scholar] 61. CSN EN 12390-3: 2020: Испытания затвердевшего бетона - Часть 3: Прочность образцов для испытаний на сжатие. Чешское агентство по стандартизации; Прага, Чешская Республика: 2020. [Google Scholar] 62. CSN EN 12390-5: 2019: Испытания затвердевшего бетона - Часть 5: Прочность на изгиб образцов для испытаний. Чешское агентство по стандартизации; Прага, Чешская Республика: 2019. [Google Scholar] 63. CSN EN 12390-6: 2010: Испытания затвердевшего бетона - Часть 6: Предел прочности при растяжении испытательных образцов. Чешское агентство по стандартизации; Прага, Чехия: 2010.[Google Scholar] 64. CSN ISO 1920-10: 2016: Испытания бетона - Часть 10: Определение статического модуля упругости при сжатии. Чешское агентство по стандартизации; Прага, Чешская Республика: 2016. [Google Scholar]

    вопросов и числовых задач по напряжению изгиба

    Напряжение изгиба

    1. Определите чистый изгиб вместе с аккуратным эскизом
    2. Сформулируйте допущения для простого изгиба
    3. Определите модуль упругости сечения, а также выведите его уравнение для прямоугольных, круглых, треугольных, полых прямоугольных и полых круглых сечений. .
    4. Выведите выражение M / I = f / y = E / R
    5. Определите момент сопротивления и нейтральную ось.

    Проблемы с напряжением изгиба

    1. А консольная балка длиной 2 м выходит из строя при приложении нагрузки 2 кН в свободном конец. Если размер сечения 40 мм x 60 мм, найдите напряжение при разрыве. Длина балки = 2 м или 2000 мм Размеры секции = 40 мм X 60 мм Шаг 2: Расчет момента инерции Шаг 3: Расчет изгибающего момента относительно неподвижного конца Расчет напряжения изгиба Заменять для выше (где y = глубина / 2 = 60/2 = 30 мм) 2. А прямоугольная балка глубиной 200 мм и шириной 300 мм просто поддерживается на протяжении 8м. Какую равномерно распределенную нагрузку на метр может нести балка, если напряжение изгиба не превышает 120 Н / мм2. Длина балка = 8м или 8000мм Раздел размеры = 300 мм X 200 мм максимум напряжение изгиба = σ = 120 Н / мм 2 . условие: равномерно распределенная нагрузка для балки без опоры Шаг 2: Расчет изгибающего момента для вышеуказанного условия
    Шаг 3: Расчет момента инерции Заменять для выше (где y = глубина / 2 = 200/2 = 100 мм) 8wX10 6 / 2X10 8 = 120/100 w = 3X10 4 Н / м или 30 Н / мм 3. Балка просто поддерживается и несет равномерно распределенная нагрузка 40 кН / м по всему пролету. Раздел балка прямоугольная с глубиной 500 мм. материал балки 120 Н / мм 2 и момент инерции сечения 7x10 8 мм 4 , найти пролет балки. максимальное напряжение изгиба = σ = 120 Н / мм2. момент инерции = 7x10 8 мм 4 Шаг 2: Расчет изгибающего момента для вышеуказанного условия Шаг 3: Расчет длины балки Заменять для выше (где y = глубина / 2 = 500/2 = 250 мм) 5L 2 / 7x10 8 = 120/250 4.Рассчитайте максимальное напряжение, вызванное в труба чугунная наружным диаметром 40мм, внутренним диаметром 20мм и длиной 4 м, когда труба поддерживается на концах и выдерживает точечную нагрузку 80 Н при его центр. Длина балки = 4 м или 4000 мм состояние: точечная нагрузка для просто поддерживаемых луч Расчет максимального изгибающего момента Шаг 3: Расчет момента инерции I = π (D 4 –d 4 ) / 64 I = π (40 4 –20 4 ) / 64 Шаг 4: Расчет напряжения изгиба Заменять для выше (где y = глубина / 2 = 40/2 = 20 мм) 80X1000 / 117809.7 = Σ / 20 5. Прямоугольная балка глубиной 300 мм. просто поддерживается на протяжении 4 метров. Определите равномерно распределенную нагрузку на метр, который может выдержать балка, если напряжение изгиба не должно превышать 120 Н / мм 2 . Возьмем I = 8x10 6 мм 4 . Длина балки = 4 м или 4000 мм Глубина балки = 300 мм максимальное напряжение изгиба = σ = 120 Н / мм 2 состояние: udl для балки с простой опорой Шаг 2: Расчет максимального изгибающего момента Шаг 3: Расчет udl 2 X10 6 Вт / 8x10 6 = 120 / 150 6. Брус квадратный 20ммх20мм сечением 2м long поддерживается на концах. Балка выходит из строя, когда точечная нагрузка 400 Н наносится по центру луча. Какая равномерно распределенная нагрузка на метр длина сломает консоль из того же материала шириной 40 мм, глубиной 60 мм и 3 м долго? Шаг 1: Данные: случай 1: приложение точечной нагрузки на центр луча Длина балки = 2 м или 2000 мм Поперечное сечение балки = 20ммх20мм состояние: балка без опоры Шаг 2: Расчет максимального изгибающего момента Шаг 3: Расчет момента инерции Шаг 4: Расчет напряжения изгиба 2 Х10 5 / 13333.33 = σ / 10 Шаг 5: Случай 2: расчет величины udl при изменении размеров балки Длина балки = 3 м или 3000 мм состояние: консольная балка Шаг 6: Расчет максимального изгибающего момента Шаг 7: Расчет момента инерции Шаг 8: Расчет нагрузки Ш (3000) 2 /2 / 72x10 4 = 150 / 30
    7.Деревянная балка прямоугольного сечения должна выдерживать нагрузку 20 кН, равномерно распределенную по пролет 3,6 м при простой опоре балки. Если глубина должна быть вдвое больше ширину, а напряжение в древесине не превышает 7 Н / мм 2 , найти размеры поперечного сечения. Как можно было изменить размеры с помощью 20 кН сосредоточенной нагрузки присутствует в центре с таким же соотношением ширины и глубины. Шаг 1: случай 1: когда балка на опоре длина 3,6 м выдерживает нагрузку 20 кН, а глубина в два раза больше ширины = 20 X 1000X3.6 = 5,56 Н М = 5,56 х 1000 х 3,6 / 8 M = 2499,75 Н-мм Шаг 2: Расчет размеров поперечного сечения луч 2499,75 / (ш.д. 3 /12) = 7 / (д / 2) Шаг 3: Случай 2: когда балка длиной 3,6 м несёт точечная нагрузка 20 кН, а глубина в два раза больше ширины М = 20 Х 10 6 Х 3,6 / 4 M = 18X 10 6 Н-мм Шаг 4: Расчет размеров поперечного сечения луч 18X 10 6 / (bd 3 /12) = 7 / (d / 2) 8. А стальной лист шириной 120 мм и толщиной 20 мм согнут по дуге окружности радиус 10 м. Определите максимальное индуцированное напряжение и изгибающий момент, который будет производят максимальное напряжение. Возьмем E = 2x10 5 Н / мм 2 . 9. А брус прямоугольного сечения 8м легко опирается. Луч несет UDL 12 кН / м по всей длине и точечная нагрузка 10 кН на расстоянии 3 м слева служба поддержки. Если глубина в два раза больше ширины и напряжение в древесине не превысить 8 Н / мм 2 .Найдите подходящие размеры секции. 10. А Водопроводная магистраль с внутренним диаметром 500 мм и толщиной 20 мм заполнена. Вода Основная часть сделана из чугуна и поддерживается в двух точках на расстоянии 10 м друг от друга. Найдите максимум напряжение в металле. Вес чугуна и воды 72000Н / м 3 и 10000 Н / м 3 соответственно. 11. Доказать что отношение глубины к ширине самого прочного бруса, которое можно вырезать из Круглое бревно диаметром d составляет 1. 414. Следовательно, рассчитайте глубину и ширину бревна. самая прочная балка, которая может распилить цилиндрическое бревно диаметром 300 мм. 12. А чугунная испытательная балка сечением 25 мм x 25 мм и длиной 1 м с опорой на концах выходят из строя при приложении к нему центральной нагрузки 800 Н. Что UDL сломает консоль из того же материала шириной 50 мм, глубиной 100 мм и длиной 2 м? 13. А чугунная труба имеет внутренний диаметр 300 мм и толщину металла 10 мм и поддерживается заканчивается в 10 м друг от друга. Если вес чугуна 70 Н / мм3, а вес воды 9,81 КН / м 3 , определяют максимальное напряжение в металле. 14.Три балки имеют одинаковую длину; такое же допустимое напряжение и тот же изгибающий момент. В поперечное сечение балок квадратное, прямоугольное, глубиной в два раза больше ширины и круг. Найдите отношения весов круглых и прямоугольных балок с по отношению к квадратным балкам. 15. А балка прямоугольного сечения должна выдерживать нагрузку 20 кН по пролету 4м. Если глубина секции должна быть вдвое больше ширины, и напряжение в балка не должна превышать 69,4 Н / мм 2 , найти размеры креста раздел.Какое изменение сечения требуется, если данная нагрузка является сосредоточенная нагрузка, размещенная в центре с таким же соотношением ширины и глубины. 16. А балка симметричного сечения и глубиной 200 мм просто поддерживается на протяжении 4 метров. Найдите i) UDL, которое он может выдержать, если напряжение изгиба не превышает 100 Н / мм 2 . Ii) Максимальное напряжение изгиба, если балка несет центральную нагрузку 40 кН. Возьмем I = 10x10 6 мм 4 . 17. А деревянная балка 200 мм x 200 мм просто поддерживается на 6-метровом пролете.когда луч нагруженный нагрузкой 14 кН в каждой третьей точке пролета, он вышел из строя. Найди модуль разрыва. 18. А легкоопорная балка пролетом 10 м имеет глубину 350 мм. Сечение балки симметричный. Момент инерции секции 9. 5x10 7 мм 4 . допустимое напряжение изгиба составляет 120 Н / мм 2 , найти а) безопасная точечная нагрузка, которую можно приложить в центре пролета. б) безопасный UDL, который можно применять на пролете. 19. А 3м высокий столб стоит в виде вертикальной консоли, закрепленной на его основании. Он должен поддерживать горизонтальная нагрузка 10 кН наверху. а) Найти минимальный диаметр, необходимый, если столб деревянный, если допустимый напряжение изгиба составляет 15 Н / мм2. б) В качестве альтернативы, если полая алюминиевая трубка толщиной в одну восьмую предусмотрен внешний диаметр, каким должен быть внешний и внутренний диаметры трубки? Допустимое напряжение изгиба для алюминия составляет 50 Н / мм 2 . 20. момент инерции секции балки глубиной 500 мм составляет 69. 49x10 7 мм 4 . Найти самый длинный пролет, на котором балка данного сечения, когда она просто поддерживается, мог нести равномерно распределенную нагрузку 50 кН на метр пробега. Фланец напряжение не должно превышать 110 Н / мм 2 . 21. Найти максимальное напряжение, создаваемое круглым стальным стержнем диаметром 50 мм и длиной 9 м из-за собственного веса, когда он просто поддерживается на концах. Сталь весит на 77000Н / куб. 22. А чугун с внутренним диаметром 450 мм имеет толщину 15 мм и опирается на пролет. 8м. Найдите максимальное напряжение в трубе, когда она заполнена водой. Брать удельный вес чугуна = 71600 Н / м 3 , а воды = 9810 Н / м 3 .