Решение статически определимой балки онлайн решение: СОПРОМАТ ГУРУ. Расчет балки онлайн. Построение эпюр

Содержание

Расчет статически неопределимой балки и определение прогибов методом Верещагина

Расчет статически неопределимой балки и определение прогибов методом Верещагина — сопромат

Решение:

1 Расчет начинаем с определения степени статической определимости. Так как неизвестных реакций четыре, а уравнений равновесия можно составить три, то задача один раза статически не определима.
2 Для неразрезной балки в качестве основной системы выбираем такую же балку но с врезанными шарнирами на промежуточной опоре в шарнирах.
3 К основной системе приложим заданную нагрузку, определяем реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки.
Участок АВ

4 Снимаем заданную нагрузку, прикладываем Х1=1 и строим эпюру изгибающих моментов.
5 Составим каноническое уравнение

6 Определим коэффициенты канонического уравнения.
Перемножим эпюру М1 саму на себя

Перемножим эпюру М1 и Мр

7 Решим каноническое уравнение.

8 К каждой из балок прикладываем заданную нагрузку и найденный момент. От них определяем реакции опор и строим эпюры Q и М.

Участок АВ

9 Выполним деформационную проверку.
Перемножим эпюру М1 и Мs

10 Из эпюры изгибающих моментов находим опасное сечение

Из условия прочности
Найдем необходимый момент сопротивления сечения

Для одного швеллера
По таблице сортамента выбираем швеллер №33 ГОСТ 8239 .
11 Определим прогиб и угол поворота в заданных сечениях.
В точке К прикладываем единичную силу, от нее определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов, которую «перемножаем» на эпюру М.



Знак «плюс» указывает на то, что точка К перемещается по направлению единичной силы, т.е. вниз.
В сечении L прикладываем единичный момент, от него строим эпюру изгибающих моментов, которую «перемножаем» на эпюру М.

Знак «плюс» указывает на то, что сечение в L поворачивается в направлении единичного момента, т.е. по часовой стрелке.

Cкачать бесплатно пример решения задач — Расчет статически неопределимой балки и определение прогибов методом Верещагина

Решение задач проектировочный 📝 расчёт многопролетной статически определ

1. Сколько стоит помощь?

Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

2. Каковы сроки?

Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

3. Выполняете ли вы срочные заказы?

Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?

Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

6. Каким способом можно произвести оплату?

Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?

На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

8. Какой у вас режим работы?

Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.

3.11 Примеры расчетов — СтудИзба

3.11 Примеры расчетов

  Рассмотрим приведенный выше алгоритм расчета различных систем методом сил на конкретных примерах статически неопределимых балок и плоских рам.

  Пример 18. Построить эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой балки (рис.36,а).

Рис. 36

Степень статической неопределимости балки:

.

  Основная и эквивалентная система приведены на рис.36,б,в. Так выбор основной системы является наиболее рациональным, но не единственным. Можно было, например, заменить жесткую заделку на шарнирнонеподвижную опору; тогда основная система представляла бы собой статически определимую шарнирную балку, а лишняя неизвестная – сосредоточенный момент X, приложенный к левой опоре.

  Эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки  (рис.36,д) имеет размерность  Кн·м, а единичная эпюра моментов (рис.36,ж) — м.

Рекомендуемые файлы

  Каноническое уравнение метода сил:

Вычисляем коэффициенты и , перемножая соответствующие эпюры по правилу Верещагина:

Реакция лишней связи:

Таким образом, исходная статически неопределимая система, загруженная распределенной нагрузкой q, приведена к статически определимой системе (жестко защемленная балка), загруженной распределенной нагрузкой q и сосредоточенной силой  (рис.36, з).

На рис.37,а,б представлены эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов  для заданной системы.

Отметим, что эпюры Q и  (рис.37) построены непосредственно методом сечений, причем по условиям задачи построение эпюры Q не является обязательным. Тем не менее эта эпюра позволила определить сечение, в котором будет экстремум на эпюре .

Рис. 37

Использование формулы (3.8) в виде:

                                                                                                  (3.8)

не дает ответа на вопрос о месте нахождения экстремума и делает правильное построение эпюры  более сложной задачей, требующей определенных навыков.

Пример 19. Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.38,а).

Степень статической неопределимости рамы:

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.38,б),  т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.38,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой,

(рис. 38,г) строим эпюру моментов  (рис.38,д).

Грузовая эпюра моментов  (рис.38,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.38,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой  В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра ) и от совместного действия F и M (эпюра ). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.38,з и рис.39,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

Реакция лишних связи:

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.39,г) представлены на рис.39,д,е,ж.

Как уже говорилось в гл.1, при построении эпюр и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В обоих рассмотренных примерах универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как балка (пример 18) и рама (пример 19) имеют степень статической неопределимости , а, значит, суммарная единичная эпюра  (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой  . В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов .

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.38,а). Должно выполняться условие:

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.38,д и рис.39,ж) для ригеля (рис.40,а,б) и стойки (рис.40,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.40,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры   с осью (рис.40,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент  определяется в виде:

Пересечение с осью означает, что в этом сечении  поэтому подставляя числовые значения, для определения z при  получим квадратное уравнение:

откуда  (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

Рис. 38

Рис. 39

следовательно, расчет выполнен правильно.

Перейдем к рассмотрению более сложной системы – рамы с двумя лишними связями, для которой алгоритм расчета, приведенный в параграфе 3.3, можно реализовать в полном объеме.

Рис. 40

Пример 20. Для рамы (рис.41,а) построить эпюры  Выполнить промежуточные и окончательные проверки в соответствии с алгоритмом расчета, указанным в параграфе 3.3.

Заданная рама имеет в опорных закреплениях пять связей: две в опоре 1 и три в опоре 2, следовательно, система дважды статически неопределима:

Основную систему целесообразно выбрать путем удаления шарнирной опоры (рис.41,б). Соответствующая эквивалентная система изображена на    рис.41,в.

Рис. 41

Система канонических уравнений:

Для вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений строим единичные  рис.41,г,д) и грузовую (, рис.41, ж,з) эпюры изгибающих моментов, а для выполнения проверок – суммарную единичную эпюру  (рис.41,е).

Коэффициенты системы канонических уравнений вычисляем путем перемножения соответствующих эпюр  по правилу Верещагина. При этом обязательно учитываем разную жесткость элементов рамы (E2I – на левой стойке ригеля; EI – на правой стойке).

Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений используем суммарную единичную эпюру  (рис. 41,е).

 Должны выполняться два условия:

                        1)

                        2)

Вычисляем величины  и .

      

               1)

               2)

таким образом, коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений вычислены правильно.

  Вычисляем реакции лишних связей:

Строим эпюры продольных (Nz) и поперечных (Qy) сил и изгибающих моментов (Мх) для заданной системы с учетом вычисленных реакций лишних связей (рис.43,а-г).

Для выполнения статической  проверки необходимо вырезать жесткие узлы рамы 3 и 4 (рис.43,а) и убедиться в справедливости условий равновесия для каждого из них.

Условия равновесия для узла 3 (рис.42,а):

Условия равновесия для узла 4 (рис.42,б):

Таким образом, статическая проверка выполняется.

Рис. 42

Для выполнения кинематической проверки перемножим суммарную единичную эпюру  (рис.41,е) и окончательную эпюру изгибающих моментов Мх (рис.43,г):

следовательно, все проверки метода сил выполняются, и расчет проделан правильно.

Рис. 43

Теперь рассмотрим примеры, иллюстрирующие различные способы использования симметрии.

Пример 21. Построить эпюры Nz, Qy и Mx для симметричной рамы, загруженной несимметричной внешней нагрузкой (рис.44,а).

Заданная рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, следовательно, ее степень статической неопределимости

Записанная формально, без использования симметрии, система канонических уравнений метода сил имеет вид

Из многих возможных вариантов выбора основной системы наиболее целесообразным, максимально упрощающим расчет, является вариант, представленный на рис.44,б, полученный путем разрезания каждого из ригелей посредине пролета. Так как разрез стержня приводит к появлению трех неизвестных факторов (двух сил и момента), то эквивалентная система (рис.44,в) будет состоять из двух жестко защемленных рам, одна из которых загружена только неизвестными реакциями, а другая – такими же (по величине) реакциями и внешней нагрузкой.

Указанный выбор основной системы позволяет не только получить простые единичные эпюры (рис.44,г-и), но, что особенно важно, при этом целый ряд побочных коэффициентов системы канонических уравнений обращается в ноль. Это те коэффициенты, которые получаются путем перемножения симметричной и кососимметричной эпюр:

В силу теоремы о взаимности перемещений число нулевых коэффициентов удваивается. В результате формально записанная система канонических уравнений распадается на две самостоятельных системы:

I)      

                           II)      

Вычисление коэффициентов этих систем уравнений (с обязательным учетом соотношения жестокостей элементов) приводит к следующим результатам:

Рис. 44

Для выполнения проверки вычисленных перемещений строим суммарную единичную эпюру  от одновременного действия шести единичных факторов (рис.45,б).

Вычисляем коэффициенты   и :

Выполняем проверку:

следовательно, коэффициенты и свободные члены систем канонических уравнений вычислены правильно.

Рис. 45

Подставляя вычисленные значения перемещений, получим системы канонических уравнений I и II в виде:

I.

                                II.

Решение системы I и II дает значения реакций лишних связей:

                             

Окончательные эпюры Nz, Qy, Mx, построенные от одновременного действия вычисленных реакций и внешней нагрузки q (рис.45,в) показаны на рис.45,г,д,е.

Пример 22. Построить эпюры Nz, Qy, Mx  в симметричной раме (рис.46.а).

Рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура,  поэтому она шесть раз статически неопределима. При обычном подходе в этом случае было бы необходимо решить систему шести линейных уравнений, т.е. расчет был бы весьма трудоемким. Использование симметрии, как это будет показано ниже, позволит свести задачу к решению только лишь двух линейных уравнений.

Выберем основную систему, разрезая каждый из ригелей посредине пролета (рис.46,б). Но, в отличие от предыдущего примера, сформируем две эквивалентных системы, одну из которых загрузим симметричными составляющими внешней нагрузки (рис.46,в), а другую – обратно симметричными составляющими (рис.46,г). Легко убедиться в том, что сумма внешних нагрузок, приложенных к обеим эквивалентным системам, равна внешней нагрузке, приложенной к заданной раме.

При действии симметричных самоуравновешенных сил  и       (рис.46,в), приложенных в узлах, в элементах рамы отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, а продольные силы возникают только в ригелях и вычисляются непосредственно из условий равновесия узлов 3 и 5, или, что то же самое, 4 и 6:

При действии обратносимметричных сил  и  (рис.46,г) в разрезах, сделанных по оси симметрии рамы, возникают обратносимметричные   неизвестные поперечные силы Х1,  Х2, а продольные силы и изгибающие моменты обращаются в ноль как симметричные усилия при обратносимметричной нагрузке.

Таким образом, для расчета рамы нужно составить только два канонических уравнения метода сил:

Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов показаны на   рис.46,д,е,ж. Вычислим коэффициенты канонических уравнений путем перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина:

Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов показаны на           рис.46,д,е,ж.

Рис. 45

Вычислим коэффициенты канонических уравнений путем перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина:

Для проверки вычисленных перемещений используем суммарную единичную эпюру изгибающих моментов  (рис.46,з).

Проверка:

После подстановки найденных значений коэффициентов при неизвестных и свободных членов в канонические уравнения и умножения последних на EI получим:

 

отсюда:

Таким образом, в результате раскрытия статической неопределимости исходная, шесть раз статически неопределимая система приведена к статически определимой системе (рис.46,и), загруженной внешней нагрузкой F1 и F2, продольными усилиями N34 и N56, а также вычисленными реакциями X1 и X2.

  Эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для заданной рамы показаны на рис.46,к,л,м.

  Для выполнения универсальной кинематической проверки эпюры Мх используем суммарную единичную эпюру :

следовательно, задача решена правильно.

  Пример 23. Построить эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой рамы (рис.47,а), используя способ введения жестких консолей.

Этот способ используется для ортогонализации эпюр (т.е. для получения нулевых перемещений – коэффициентов канонических уравнений) в пределах каждого замкнутого или открытого с защемленными концами симметричного контура. Для ортогонализации эпюр с помощью жестких консолей соответствующие неизвестных переносятся в некоторую точку, называемую упругим центром. Положение этой точки определяется как положение центра тяжести условного тонкостенного сечения с толщиной

Заданная рама имеет степень статической неопределенности:

Для выбора основной системы (рис.47,б) используем то обстоятельство, что левый (П-образный) контур рамы симметричен. Разрежем его по оси симметрии, что будет эквивалентно удалению трех связей и появлению трех неизвестных реакций. Четвертую связь устраним путем удаления шарнирно-подвижной опоры. Введение в месте разреза жестких консолей с приложенными на их концах реакциями Х1, Х2, Х3 совместно с реакцией Х4 и внешними нагрузками приводит к эквивалентной системе (рис.47,в).

Определим положение упругого центра, т.е. фактически длину жестких консолей (рис.47,г), вычисляя координаты центра тяжести условного тонкостенного П-образного сечения:

                                     Хс=0;    

Единичные эпюры изгибающих моментов показаны на рис.47,д,е,ж,з, а эпюра моментов от внешних нагрузок – на рис.47,и.

Учитывая, что результат перемножения симметричной эпюры на кососимметричную равен нулю, систему канонических уравнений метода сил рассматриваемой рамы запишем в виде:

Вычислим коэффициенты уравнений, используя, как обычно, способ Верещагина:

Рис. 47

  Для проверки правильности вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений построим суммарную единичную эпюру изгибающих моментов  (рис.48,а) и определим коэффициенты  и .

Рис. 48

Бесплатная лекция: «Общественный строй англосаксов» также доступна.

Проверка:

Следовательно, коэффициенты и свободные члены канонических уравнений вычислены правильно. Решение системы канонических уравнений дает следующие значения неизвестных:

Окончательная эпюра моментов для заданной рамы показана на рис.48,б.

Читатель имеет возможность самостоятельно убедиться в правильности построенной эпюры, перемножив ее с суммарной единичной эпюрой  (результат, как известно, должен равняться нулю).

| Расчет балки-стенки методом конечных разностей

Расчетно-графическая работа

на тему: «Расчет балки-стенки методом конечных разностей»

«Расчет балки-стенки методом конечных разностей»

Расчетная схема-4;

Схема загружения-3;

Размеры: ;

Нагрузки:

Нанесем на балку-стенку конечноразностную сетку учитывая симметрию, добавим законтурную область.

Выбираем заменяющую раму в виде контура балки-стенки с шарнирами в узлах. Рама должна быть обязательна геометрически не изменяемой и может быть статически определимой.

;

;

Верхний и нижний ригеля рамы изгибаются, стойки сжимаются. Построим на ригелях эпюры изгибающих моментов, на стойках продольных сил. Каждая стойка сжимается с силой равной половине нагрузки 9так как нагрузка симметрична).

Заменяющая рама с эпюрами внутренних усилий

Вычисление функций напряжений в контурных и законтурных узлах сведем в таблицу

Составим уравнение для внутренних узлов:

Подставим:

После приведения подобных слагаемых получим:

В остальных узлах аналогично.

Запишем систему уравнений в матричном виде:

Таблица

№

Формула

1

—

2

—

3

—

4

—

5

850

6

750

7

0

8

0

9

0

10

0

11

750

12

750

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Нанесем значение функций напряжений на конечно-разностную сетку.

Вычислим значение напряжения в узлах, внутри контура и на контуре сетки.

Формула для вычислений:

Т1:

Т2:

Т3:

Т4:

Т5:

Т6:

Т7:

Т8:

Т9:

Т10:

Т11:

Т12:

Деформационная проверка узла №2:

Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)

Условие задачи

  Рис. 4.51. Схема стержня с нагрузками

Рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.51. Определим максимальные нормальные напряжения в криволинейной части стержня, если м, м, кН, кН×м. Стержень имеет прямоугольное поперечное сечение с высотой м, отношение . Найдем также горизонтальное перемещение левой подвижной опоры.

Решение

  Рис. 4.52. Определение внутренних усилий

Прежде всего, построим эпюры внутренних усилий в стержне. Сначала определим опорные реакции обычным путем, составляя три уравнения равновесия. Найденные опорные реакции показаны на рис. 4.52. Для определения внутренних усилий рассечем стержень на трех участках. На прямолинейной части фиксируем сечение координатой х, на криволинейной части – углом (см. рис. 4.52). В соответствии с методом сечений находим усилия, рассматривая все силы с одной стороны от сечения:

участок 1: ;

;

кН;

;

участок 2: ;

;

;

;

участок 3: ;

;

;

.

По этим выражениям строим эпюры N, Q и М. В криволинейной части стержня считаем величины усилий, задавая значения (или ) через определенные промежутки (например, через 30°). Внесем результаты вычислений в таблицу (табл. 3).

 

Таблица 3

 

Отложим значения усилий в криволинейной части стержня в радиальном направлении, соединим ординаты плавными кривыми и получим эпюры N, Q и М (рис. 4.53). Эпюры штрихуем в радиальном направлении. Заметим, что так же, как и в прямолинейных стержнях, в сечении, где Q = 0, на эпюре М имеет место экстремум. Найдем экстремальное значение момента:

,

отсюда .

кН×м.

В сечении действует так же продольная сила N = – 44,7 кН.

Построим эпюру нормальных напряжений, определив значения напряжений в трех точках (a, b, c на рис. 4.54) опасного сечения по формуле (4.39), добавив в нее напряжения от продольной силы. Так как рассматриваемый криволинейный стержень является стержнем средней кривизны (R/c = R.2/h = 4/0,8 = 5), то допустимо искать величину по приближенной формуле (4.40)

м4;

 

  Рис. 4.53. Эпюры внутренних усилий  

 

м2;

м. [16]

В точке a координата м и напряжение в этой точке

= (– 140 + 1027)10–4 = 0,0887 кН/см2.

Аналогично в точке b м и

= – 0,149 кН/см2.

Наконец, в точке с, находящейся в центре тяжести сечения, напряжение

кН/см2.

Эпюра напряжений построена на рис. 4.54.

 

Найдем напряжения в точках а и b по формуле для прямолинейных стержней

и сравним их с напряжениями, вычисленными по формуле для криволинейных стержней.

м3;

кН/м2 = 0,102 кН/см2;

кН/м2 = – 0,130 кН/см2.

Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, составляет около 15 %. Напомним, что в рассматриваемом стержне отношение . Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, уменьшается с увеличением отношения . Для стержней малой кривизны ( ) можно вычислять s по теории прямолинейных стержней.

Найдем теперь горизонтальное перемещение левой опоры. Для этого приложим в точке А горизонтальную единичную силу (рис. 4.55), найдем опорные реакции и запишем выражения для продольной силы и изгибающего момента, вызванных этой единичной силой, на каждом участке:

участок 1: ;

; ;

участок 2: ;

; ;

участок 3: ;

; .

Рис. 4.55. Стержень под действием единичной силы, соответствующей горизонтальному перемещению точки А

При определении перемещений используем формулу (4.42) для прямолинейных стержней. Подставим в нее выражения для продольной силы и изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичной силы и, принимая во внимание, что на прямолинейном участке интеграл в рассматриваемом примере равен нулю и , получим

.

Используя известные значения определенных интегралов

; ; ; ; ,

найдем

.

Как легко выяснить, числитель первого слагаемого измеряется в кН×м, а числитель второго – в кН×м3. Найдем жесткости стержня при растяжении и изгибе:

кН;

кН×см2

и сосчитаем горизонтальное перемещение точки А:

= 10–4(0,98 + 73,66) =

= 74,6×10-4см.

Первое слагаемое в сумме показывает вклад продольной силы в перемещение. Видно, что он незначителен.

В заключение найдем горизонтальное перемещение точки А по формуле для криволинейных стержней (4.41). Сосчитаем значение третьего интеграла в (4.41):

= – 251,2 кН×м2.

Таким образом, по формуле для криволинейных стержней

см.

Полученный результат показывает, что влияние кривизны стержня на перемещение меньше 3 % и значительно меньше, чем влияние на напряжения. Поэтому для стержней малой и средней кривизны при определении перемещений можно использовать формулу Максвелла – Мора, относящуюся к прямолинейным стержням и учитывающую влияние на перемещения только изгибающего момента.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.

2. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977.

3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989.

4. Сопротивление материалов: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-графическим работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И. А. Куприянов, Н. Б. Левченко, Г.С. Шульман. СПб., 2010.

1. Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-графических работ. Ч. 1. / Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая. СПбГАСУ; СПб., 2011.

1.

1. Дополнительная

1.

1. Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969.

1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М., 1976.

1.

1. СОДЕРЖАНИЕ

1. Общие указания по выполнению расчетно-графических работ…………………..

1. Используемые обозначения…………………………………………………………………………….

1. 4. ИЗГИБ……………………………………………………………………………………………………..

1. 4.1. Расчет статически определимых балок……………………………………………..

1. Примеры решения задач……………………………………………………………………………

1. 4.1.1. Определение внутренних усилий в балках (задачи № 12–15)…………..

1. Пример 1………………………………………………………………………………………………

1. Пример 2………………………………………………………………………………………………

1. 4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)………………………………………………………………………………………….

1. Пример 1……………………………………………………………………………………………..

1. Пример 2. ……………………………………………………………………………………………

1. Пример 3……………………………………………………………………………………………..

1. 4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)…………………………………………………………………………………………..

1. Примеры решения задач

1. Определение перемещений в балках аналитическим способом………………..

1. Определение перемещений в балках методом Максвелла – Мора…………….

1. 4.2. Расчет статически определимых рам………………………………………………..

1. Примеры решения задач………………………………………………………………………..

1. 4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах (задачи № 21, 22)……………

1. 4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22)…………………….

1. 4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам………………………………..

1. Примеры решения задач………………………………………………………………………..

1. 4.3.1. Расчет статически неопределимой балки (задача № 23)…………………..

1. 4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы (задача № 24)…………………..

1. 4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление……………………………………………………………………………………………

1. Пример расчета трубопровода (задача № 26)………………………………………………

1. 4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне…

1. Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)……………………………..

1. Список литературы………………………………………………………………………………………..

1.

1.

1.

1.

1. Нина Борисовна Левченко

1.

1.

1.

1. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

1.

1. Часть 2

1.

1.

1.

1.

1.

1. Редактор

1. Корректор К.И. Бойкова

1. Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

1.

1.

1. ЛР № 020282 от 24.12.96

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1. Подписано к печати. Формат 60х84 1/16. Бум. офсетная.

1. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500. Заказ . «С»

1. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

1. университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

5. Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

[1] В рамах при наличии продольной силы к нормальным напряжениям добавляется слагаемое .

[2] Заметим, что формула Журавского для стержней массивного поперечного сечения дает величину не полного касательного напряжения tx, а его проекции на ось z (txz). Для тонкостенных стержней (двутавр, швеллер) по формуле Журавского можно найти полное касательное напряжение tx в любой точке поперечного сечения.

[3] Не следует путать правило знаков для внешних моментов, которое используется при составлении уравнений равновесия и часто зависит от желания составителя уравнения, с правилом знаков для изгибающего момента – внутреннего усилия.

[4] В балке с заделкой можно строить эпюры Q и М без определения опорных реакций, рассматривая все силы с одной стороны от сечения – со свободного конца. Но студенту, только начинающему осваивать построение эпюр, рекомендуем все же реакции находить. Это дополнительная проверка правильности решения задачи.

[5] При вычислении статического момента не забывайте учитывать знаки координат центра тяжести.

[6] Перемещения точек оси по горизонтали гораздо меньше вертикальных перемещений и ими будем пренебрегать.

[7] Вспомнив, что , можно сказать, что угол поворота положителен, если функция является возрастающей на рассматриваемом участке. Такая формулировка правила знаков для угла поворота не зависит от того, где находится начало отсчета (слева или справа).

[8] Если обе перемножаемые эпюры линейны, то безразлично, какую эпюру разбивать на простые фигуры – М или Мi.

[9] Эпюру М на втором участке можно разбить и на две фигуры: трапецию, у которой основания имеют разные знаки (10 и –25) и сегмент . В этом случае удобно воспользоваться правилом перемножения трапеций (4.24).

[10] Для некоторых рам невозможно определить, где внешняя часть рамы, а где внутренняя. В этом случае знак изгибающего момента не определяется и эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон без знака.

[11] Для наглядности на изогнутой оси перемещения показаны преувеличенно большими (использован разный масштаб для изображения оси рамы и перемещений). В связи с этим на рис. 4.31 для изображения подвижной опоры применено другое обозначение.

[12] Если конструкция два раза статически неопределима, то результат перемножений эпюры М и эпюр М1 и М2 должен равняться нулю.

[13] При определении напряжений от изгиба на криволинейных участках трубы в местах сопряжения вертикальных и горизонтальных стержней рамы не учитываем эффект Кармана, связанный со сплющиванием поперечного сечения трубы и приводящий к уменьшению изгибных напряжений.

[14] В рассматриваемом примере опасным сечением может быть также сечение, в котором действуют усилия и .

[15] Если рассматриваемый стержень имеет и прямолинейный, и криволинейный участки, то для того, чтобы не было противоречия из-за разного правила знаков для изгибающего момента в прямолинейной и криволинейной частях стержня, принято строить эпюру изгибающего момента со стороны растянутых волокон без определения знака.

[16] Отметим, что по точной формуле, приведенной в [2, § 46], величина = 0,0269 м.


Узнать еще:

Построение эпюр поперечных сил изгибающих моментов: пример (сопромат)

Порядок построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов на примере балки (см. рис. 7.4).

Разобьем балку на 3 отдельных участка (рис. 7.7, а), границами которых являются точки приложения сосредоточенных усилий и точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. По границам выделенных участков наметим шесть поперечных сечений, в которых будем вычислять значения поперечных сил и изгибающих моментов.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Определение поперечных сил и изгибающих моментов — сечение 1

Отбросим правую часть балки и заменим ее действие на левую часть поперечной силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления закроем отбрасываемую правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением 1.

Поперечная сила в сечении 1 балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, которые видим после закрытия

Видим только реакцию опоры, направленную вниз. Таким образом, поперечная сила равна:

кН.

Знак «минус» нами взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения против хода часовой стрелки (или потому, что одинаково направлена с направлением поперечной силы по правилу знаков)

Изгибающий момент в сечении 1 балки, равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим после закрытия отброшенной части балки, относительно рассматриваемого сечения 1.

Видим два усилия: реакцию опоры и момент M. Однако у силы плечо практически равно нулю. Поэтому изгибающий момент равен:

кН·м.

Здесь знак «плюс» нами взят потому, что внешний момент M изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. (или потому, что противоположно направлен направлению изгибающего момента по правилу знаков)

Определение поперечных сил и изгибающих моментов — сечение 2

В отличие от первого сечения, у силы реакциипоявилось плечо, равное а.

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов — сечение 3

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН ·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов — сечение 4

Теперь удобнее закрывать листком левую часть балки.

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН ·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов — сечение 5

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН ·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов — сечение 1

поперечная сила и изгибающий момент:

.

По найденным значениям производим построение эпюры поперечных сил (рис. 7.7, б) и изгибающих моментов (рис. 7.7, в).

Контроль правильности построения эпюр

Убедимся в правильности построения эпюр по внешним признакам, пользуясь правилами построения эпюр.

Проверка эпюры поперечных сил

Убеждаемся: под незагруженными участками эпюра поперечных сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклоненной вниз прямой. На эпюре продольной силы три скачка: под реакцией – вниз на 15 кН, под силой P – вниз на 20 кН и под реакцией – вверх на 75 кН.

Проверка эпюры изгибающих моментов

На эпюре изгибающих моментов видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой q эпюра изгибающих моментов изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре изгибающего момента – экстремум, поскольку эпюра поперечной силы в этом месте проходит через нулевое значение.

Максимальное усилие сдвига — обзор

6.3 Изгиб многослойных балок

Рассмотрим проблему изгиба, описанную уравнением. (6.34). Интегрирование этих уравнений относительно x из x = 0 дает

(6.38) V = V0 − Vp − VRM = M0 + V0x − Mp − MRθ = θ0 + M0Dx + V02Dx2 − θp − θRw = w0 + 1S ( V0x − Mp − MR) −θ0x − M02Dx2 − V06Dx3 + wp + wR

где V0, M0, θ0 и w0 — начальные значения V, M, θ и w, соответствующие сечению x = 0. Эти значения находятся из граничных условий на концах балки x = 0 и x = l (см. Рис.6.1). Члены нагрузки с индексом « p » соответствуют распределенным нагрузкам и имеют следующий вид:

(6.39) Vp = ∫0xp¯dx, Mp = ∫0xVpdx, θp = 1D∫0xMpdx, wp = ∫0xθpdx

Для равномерного давления p¯ = p¯0,

(6.40) Vp = p¯0x, Mp = 12p¯0x2, θp = 16Dp¯0x3, wp = 124Dp¯0x4

Члены нагрузки с индексом « R » в формуле. (6.38) соответствуют сосредоточенным силам Rm и Fm, показанным на рис. 6.1. Эти члены могут быть записаны с помощью уравнения. (6.39) если представить их в виде p¯ = R¯mδ (x − xm), где R¯m = Rm − Fm, а δ — дельта-функция.Используя правила интегрирования этой функции, мы получаем из уравнения. (6.39)

(6.41) VR = ∑m = 1nVR (m), MR = ∑m = 1nMR (m), θR = ∑m = 1nθR (m), wR = ∑m = 1nwR (m)

где n — количество поперечных сечений балки, в которых действуют силы, и для xm

(6.42) VR (m) = 0, MR (m) = 0, θR (m) = 0, wR (m ) = 0

и для x≥xm

(6.43) VR (m) = R¯m, MR (m) = R¯m (x − xm), θR (m) = R¯m2D (x − xm ) 2, wR (m) = R¯m6D (x − xm) 3

Решение, данное уравнением. Уравнение (6.38) универсально и позволяет исследовать как статически детерминированные, так и избыточные пучки с использованием одной и той же процедуры.Это решение может быть применено также к многопозиционным балкам. Вводя силы Fm в качестве опорных реакций в сечениях опоры x = xm, мы можем найти Fm, используя условия w (x = xm) = 0.

Второй член с S в уравнении. (6.38) для w учитывает деформацию поперечного сдвига. Как видно, учет этой деформации практически не мешает анализу балки. Если деформацией сдвига пренебречь, мы должны взять S → ∞ в уравнении.(6.38) для w . В результате мы приходим к решению, соответствующему классической теории пучков.

Чтобы продемонстрировать применение общего решения, предоставленного уравнением. (6.38) рассмотрим балку, аналогичную балке, поддерживающей пассажирский пол фюзеляжа самолета, показанной на рис. 6.8. Так как поперечное сечение x = 0 зажато, мы должны взять w0 = 0 и θ0 = 0 в уравнении. (6.38). Балка состоит из двух частей, соответствующих 0≤x

Рисунок 6.8. Распределение нормированной поперечной силы V¯ = V / Ql (B), изгибающего момента M¯ = M / Ql2 (C) и прогиба w¯ = Dw / Ql4 (D) вдоль оси x зажатой балка (А).

Vp (1) = — Qx, Mp (1) = — 12Qx2, θp (1) = — Q6Dx3, wp (1) = — Q24Dx4

VR = 0, MR = 0, θR = 0, wR = 0

и решение в уравнении. (6.38) может быть записано как

(6.44) V1 = V0 + QxM1 = M0 + V0x + 12Qx2θ1 = M0Dx + V02Dx2 + Q6Dx3w1 = 1S (V0x + 12Qx2) −M02Dx2 − V06Dx3 − Q24Dx4, для которого

рассматривается как вторая часть p¯ = 0.Затем условия нагрузки в формуле. (6.39) становятся

Vp (2) = ∫0xp¯dx = −∫0cQdx = −Qc

Mp (2) = ∫0xVpdx = ∫0cVp (1) dx + ∫cxVp (2) dx = −12Qc (2x− в)

θp (2) = 1D∫0xMpdx = 1D (∫0cMp (1) dx + ∫0xMp (2) dx) = — Qc6D (c2 + 3×2−3cx)

wp (2) = ∫0xθpdx = ∫0cθp (1) dx + ∫cxθp (2) dx = −Qc24D (4×3 − c3 + 4xc2−6x2c)

Реакция опоры R (см. Рис. 6.8) рассматривается как неизвестная сосредоточенная сила. Тогда уравнение. (6.43) дают

VR = R, MR = R (x − c), θR = R2D (x − c) 2, wR = R6D (x − c) 3

Наконец, для второй части балка

(6.45) V2 = V0 + Qc − RM2 = M0 + V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c) θ2 = M0Dx + V02Dx2 + Qc6D (c2 + 3×2−3cx) −R2D (x − c) 2w2 = 1S [V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c)] — M02Dx2 − V06Dx3 − Qc24D (4×3 − c3 + 4xc2−6x2c) + R6D (x − c) 3

Полученное решение, уравнения. (6.44) и (6.45) включает три неизвестных параметра: V0, M0 и R , которые можно найти из двух условий симметрии, то есть V2 (x = l) = 0, θ2 (x = l) = 0, а условие силы реакции w1 (x = c) = w2 (x = c) = 0. Результат выглядит следующим образом:

(6.46) V0 = R − Qc, M0 = 14Qc2 (1−4ks) −13Rc (1−6ks) R = 12Qc3l (1 + 4ks) −2c4l (1 + 3ks − 3c

, где ks = D / Sc2.

Для численного анализа пренебречь деформацией сдвига, приняв ks = 0. Затем решение в уравнении. (6.46) сводится к

V0 = −Qc (5l − 4c) 2 (4l − 3c), M0 = Qc2 (6l − 5c) 12 (4l − 3c), R = Qc (3l − 2c) 2 (4l− 3c)

Зависимости нормированной поперечной силы, изгибающего момента и прогиба балки от осевой координаты представлены на рис. 6.8.

Отклонения луча часто используются в качестве функций аппроксимации при решении задач изгиба пластин (см. Главу 7: Ламинированные композитные пластины).Решения типовых задач пучка представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1. Решения для балок с равномерным давлением для типичных граничных условий

14 = 12qbk (l − x) 2 9010×3) = −qbk24D [l3−2lx2 + x3
Корпус Тип балки Решение
1 V = −qbk (l − x)
θ = qbk6D (3l2−3lx + x2) x
w = −qbk24D [x3−4lx2 + 6l2x
+ 12DS] x (2l
2 V = 12qbk (2x − l)
M = −12qbk (l − x) x
θ = qbk24D (l3−6lx2 + 410×3
+ 12DS (l − x)] x
3 V = qbk (x − l2)
M = 112−3blx (6 + l2) x
θ = qbk12D (2×2−3lx + l2) x
w = −qbk24D [x (l − x) + 12DS] (l − x) x

Как Например, рассмотрим просто поддерживаемую балку I . нагруженный равномерным давлением q (см. рис.6.9). Балка изготовлена ​​из алюминиевого сплава с E = 70 ГПа и G = 26,9 ГПа. Внизу, где действует максимальное растягивающее напряжение, балка усилена однонаправленным углеродно-эпоксидным слоем с модулем упругости Ec = 140 ГПа и модулем сдвига Gc = 3,5 ГПа. Размеры балки

Рисунок 6.9. Балка I с простой опорой.

(6,47) l = 1250 мм, δ = 2,5 мм, h0 = 100 мм, b = 50 мм

Координаты слоев показаны на рис. 6.10. Луч состоит из четырех слоев со следующими параметрами:

Рисунок 6.10. Координаты слоев.

(6,48) b1 = 50 мм, t0 = 0, t1 = 2,5 мм, h2 = 2,5 мм, E1 = 140 ГПа, G1 = 3,5 ГПа (слой 1) b2 = 50 мм, t2 = 5 мм, h3 = 2,5 мм, E2 = 70 ГПа , G2 = 26,9 ГПа (слой2) b3 = 2,5 мм, t3 = 105 мм, h4 = 100 мм, E3 = 70 ГПа, G3 = 26,9 ГПа (слой 3) b4 = 50 мм, t4 = h = 107,5 мм, h5 = 2,5 мм, E4 = 70 ГПа, G4 = 26,9 ГПа (слой 4)

Сила пучка анализируется в соответствии со следующей процедурой.

1.

Определите максимальное усилие сдвига, изгибающий момент и прогиб. Исследуемая балка соответствует случаю 2 в таблице 6.1 из которого следует

(6.49) Vm = V (x = 0) = — 12qblMm = M (x = l2) = — 18qbl2Wm = w (x = l2) = — 5qbl4384D (1 + α), α = 48D5Sl2

2.

Определите коэффициенты жесткости. Сначала вычислите коэффициенты I , указанные в уравнении. (6.35), то есть

I0 = ∑i = 14Eibihi = 5,25 · 104ГПа · мм2

I1 = 12∑i = 14Eibihi (ti − 1 + ti) = 1,95 · 106ГПа · мм3

I2 = 13∑i = 14Eibihi (ti − 12 + ti − 1ti + ti2) = 1,66 · 108 ГПа · мм4

Координата нейтральной оси может быть найдена из уравнения.(6.11), что дает

e = I1I0 = 37,14 мм

Жесткость балки на изгиб рассчитывается согласно формуле. (6,13) как

D = I2 − I12I0 = 0,936 · 108 ГПа · мм4

Для балки без композитного слоя D = 0,573 · 108 ГПа · мм4, то есть композитный слой увеличивает жесткость балки на изгиб на 63%. .

Поперечная жесткость балки на сдвиг определяется уравнением. (6.35), что дает

S = h3∑i = 14hiGibi = 7,68 · 103 ГПа · мм2

3.

Рассчитайте осевое напряжение, используя уравнения. (6.36) и (6.49), согласно которым

σx (i) = EiMmD (t − e) = — Eiqbl2h8D (t¯ − e¯)

, где t¯ = t / h, e¯ = eh, и ti − 1≤t≤ti. Для балки с размерами согласно Ур. Согласно (6.47) и (6.48) максимальное растягивающее напряжение в композитном слое соответствует t = 0 и равно σx (1) = 542q. Максимальное растягивающее напряжение в металлической части составляет σx (2) (t = t1) = 253q. Максимальное сжимающее напряжение в металлической части составляет σx (4) (t = h) = — 514q.

4.

Рассчитайте напряжение сдвига. Наиболее опасным является напряжение сдвига, которое действует между композитным слоем 1 и металлическим слоем 2 и может вызвать расслоение. Это напряжение определяется формулой. (6.37) что дает

τxz (1,2) = — Vm2DbE1b1h2 (t1−2e) = ql4DE1bh2 (h2−2e)

Для исследуемой балки τxz (1,2) = — 4.2q.

5.

Рассчитайте максимальный прогиб. Прогиб определяется третьим уравнением уравнения. (6.49) в котором α = 0,075. Таким образом, учет деформации поперечного сдвига увеличивает максимальный прогиб на 7.5%.

Кажется, мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.ЯЗЫК}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

% PDF-1.7 % 355 0 объект > эндобдж xref 355 204 0000000016 00000 н. 0000005645 00000 н. 0000005881 00000 н. 0000005908 00000 н. 0000005957 00000 н. 0000005993 00000 н. 0000006411 00000 н. 0000006521 00000 н. 0000006629 00000 н. 0000006740 00000 н. 0000006849 00000 н. 0000006958 00000 п. 0000007066 00000 н. 0000007177 00000 н. 0000007286 00000 н. 0000007396 00000 н. 0000007507 00000 н. 0000007618 00000 н. 0000007729 00000 н. 0000007885 00000 н. 0000008027 00000 н. 0000008168 00000 п. 0000008327 00000 н. 0000008496 00000 н. 0000008646 00000 н. 0000008726 00000 н. 0000008806 00000 н. 0000008885 00000 н. 0000008965 00000 н. 0000009045 00000 н. 0000009125 00000 н. 0000009205 00000 н. 0000009285 00000 н. 0000009365 00000 п. 0000009443 00000 п. 0000009522 00000 н. 0000009602 00000 н. 0000009682 00000 н. 0000009762 00000 н. 0000009842 00000 н. 0000009922 00000 н. 0000010002 00000 п. 0000010082 00000 п. 0000010162 00000 п. 0000010242 00000 п. 0000010322 00000 п. 0000010402 00000 п. 0000010482 00000 п. 0000010562 00000 п. 0000010642 00000 п. 0000010722 00000 п. 0000010802 00000 п. 0000010882 00000 п. 0000010962 00000 п. 0000011042 00000 п. 0000011122 00000 п. 0000011202 00000 п. 0000011282 00000 п. 0000011362 00000 п. 0000011442 00000 п. 0000011522 00000 п. 0000011602 00000 п. 0000011682 00000 п. 0000011762 00000 п. 0000011842 00000 п. 0000011922 00000 п. 0000012002 00000 п. 0000012082 00000 п. 0000012162 00000 п. 0000012239 00000 п. 0000012317 00000 п. 0000012396 00000 п. 0000012475 00000 п. 0000012554 00000 п. 0000012633 00000 п. 0000012712 00000 п. 0000012791 00000 п. 0000012870 00000 п. 0000012949 00000 п. 0000013028 00000 п. 0000013107 00000 п. 0000013186 00000 п. 0000013265 00000 п. 0000013344 00000 п. 0000013423 00000 п. 0000013502 00000 п. 0000013581 00000 п. 0000013660 00000 п. 0000013739 00000 п. 0000013818 00000 п. 0000013897 00000 п. 0000013976 00000 п. 0000014055 00000 п. 0000014134 00000 п. 0000014213 00000 п. 0000014292 00000 п. 0000014371 00000 п. 0000014450 00000 п. 0000014529 00000 п. 0000014608 00000 п. 0000014687 00000 п. 0000014766 00000 п. 0000014845 00000 п. 0000014924 00000 п. 0000015003 00000 п. 0000015082 00000 п. 0000015161 00000 п. 0000015240 00000 п. 0000015319 00000 п. 0000015396 00000 п. 0000015474 00000 п. 0000015553 00000 п. 0000015632 00000 п. 0000015711 00000 п. 0000015790 00000 п. 0000015869 00000 п. 0000015948 00000 п. 0000016027 00000 п. 0000016106 00000 п. 0000016185 00000 п. 0000016264 00000 п. 0000016343 00000 п. 0000016422 00000 п. 0000016501 00000 п. 0000016580 00000 п. 0000016659 00000 п. 0000016738 00000 п. 0000016815 00000 п. 0000016893 00000 п. 0000016972 00000 п. 0000017051 00000 п. 0000017130 00000 п. 0000017209 00000 п. 0000017288 00000 п. 0000017366 00000 п. 0000017444 00000 п. 0000017522 00000 п. 0000017600 00000 п. 0000017678 00000 п. 0000017756 00000 п. 0000017836 00000 п. 0000017917 00000 п. 0000017997 00000 н. 0000018232 00000 п. 0000018945 00000 п. 0000019113 00000 п. 0000019775 00000 п. 0000020005 00000 п. 0000020302 00000 п. 0000020380 00000 п. 0000026710 00000 п. 0000027252 00000 п. 0000027641 00000 п. 0000028061 00000 п. 0000033511 00000 п. 0000033922 00000 п. 0000034329 00000 п. 0000035151 00000 п. 0000035297 00000 п. 0000035757 00000 п. 0000039590 00000 н. 0000039927 00000 н. 0000040288 00000 п. 0000040493 00000 п. 0000041397 00000 п. 0000042286 00000 п. 0000043058 00000 п. 0000043855 00000 п. 0000044639 00000 п. 0000044990 00000 н. 0000045843 00000 п. 0000046534 00000 п. 0000069367 00000 п. 0000076543 00000 п. 0000077007 00000 п. 0000077204 00000 п. 0000077488 00000 п. 0000077550 00000 п. 0000078776 00000 п. 0000079011 00000 п. 0000079346 00000 п. 0000079442 00000 п. 0000079752 00000 п. 0000079968 00000 н. 0000080024 00000 п. 0000081549 00000 п. 0000081823 00000 п. 0000082353 00000 п. 0000082467 00000 п. 0000123041 00000 н. 0000123080 00000 н. 0000123138 00000 н. 0000123313 00000 н. 0000123416 00000 н. 0000123517 00000 н. 0000123636 00000 н. 0000123751 00000 н. 0000123898 00000 н. 0000124010 00000 н. 0000124130 00000 н. 0000124276 00000 н. 0000124397 00000 н. 0000005474 00000 п. 0000004465 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 558 0 объект > поток xT [PSW] & (P`4>.2} \ right], \ quad M \ le M_L. \ end {align} $$

(А.8)

В фазе роста повреждений перед распространением трещины из граничного условия (43) получаем

$$ \ begin {align} C_5 = \ frac {{\ delta} _c} {2}. \ end {align} $$

(А.9)

Из условий непрерывности (45) получаем

$$ \ begin {выровнено} D_i (L_ {cz}) = \ frac {D_ {i1} + C_6 (L_ {cz}) \ D_ {i2}} { D_0}, \ quad i = 1, \ ldots, 4, \ end {align} $$

(А.2), & D_ {42} & = -D_ {22}. \ end {align} $$

(A.11)

Параметр \ (C_6 (L_ {cz}) \) определяется как для \ (C_j (L_ {cz}) \) в (55). Выражения (57) для \ (M (L_ {cz}) \) и (61) для \ (\ Delta (L_ {cz}) \) справедливы также для \ (\ omega = 1 \).

В фазе распространения трещины постоянная \ (C_5 \) по-прежнему получается из (A.9), а константы \ (D_i \) из выражения, аналогичного (62), то есть

$$ \ begin {выровнено} D_i = \ frac {D_ {i1} + C_6 \ D_ {i2}} {D_0}, \ quad i = 1, \ ldots, 4, \ end {align} $$

(А.3} \ right], \ quad F \ le F_L. \ end {align} $$

(A.17)

Для второй фазы решения снова получаем (П.9) и (П.10) из условия (43) и условий непрерывности (45) соответственно. Константа \ (C_6 (L_ {cz}) \) определяется как для \ (C_j (L_ {cz}) \) в (81), где определения (A.11) для констант \ (D_ {i1} \) и \ (D_ {i2} \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)) должны использоваться. Мы можем выразить \ (F (L_ {cz}) \) с помощью (80) и \ (\ Delta (L_ {cz}) \) с помощью (83).

Для фазы распространения трещины вычисляем \ (D_i \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)) согласно (А.12), где \ (C_6 (L_ {cz}) \) вычисляется как \ (C_j (L_ {cz}) \) в (85) с определениями (A.11) для констант \ (D_ {i1} \) и \ (D_ {i2} \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)). Константа \ (C_5 \) по-прежнему определяется согласно (A.9). Функции \ (F (L_ {cz}) \) и \ (a (L_ {cz}) \) вычисляются из (78) и (87) соответственно. Наконец, \ (\ Delta (L_ {cz}) \) можно вычислить из (88).

Приложение B: Решения для теории пучков Эйлера – Бернулли

В этом разделе мы будем предполагать, что рукава DCB деформируются сдвигом, позволяя \ (\ mu \ rightarrow \ infty \).Это просто преобразует решения теории балок Тимошенко, представленные в Разделах. 3 и 4 в решения теории пучков Эйлера – Бернулли.

Согласно (9) \ (_ 2 \) и (10) \ (_ 2 \), в пределах \ (\ mu \ rightarrow \ infty \) как \ (\ omega \), так и \ (\ psi \) стремятся к 0. Это означает, что на неповрежденной части интерфейса решение будет определено, как и в случае, когда \ (\ omega <1 \) в разд. 2.2.1. Установив \ (\ omega = \ psi = 0 \), из (15) и (22), соответственно, теперь мы получаем

$$ \ begin {align} \ zeta _3 = \ zeta _4 = \ frac {\ sqrt { 2}} {2}, \ quad \ text {и} \ quad \ xi _1 = \ xi _2 = 1.{- \ lambda _E \ x} \ left [\ sin (\ lambda _E \ x) C_3 \ right. \ nonumber \\ & \ quad \ left. + \ cos (\ lambda _E \ x) C_4 \ right], \ quad \ text {for} x \ ge 0, \ end {align} $$

(БИ 2)

$$ \ begin {выровнено} v_2 (x) & = \ sin (\ kappa \ x) D_1 + \ cos (\ kappa \ x) D_2 + \ sinh (\ kappa \ x) D_3 \ nonumber \\ & \ quad + \ cosh (\ kappa \ x) D_4 + \ frac {{\ delta} _c} {2}, \ quad \ text {for} x \ in [-L_ {cz}, 0], \ end {align} $$

(В.3)

соответственно, где \ (\ lambda _E = \ sqrt {2} \ lambda / 2 \).2, \ quad M \ le M_L. \ end {align} $$

(В.6)

Для фазы роста повреждений перед распространением трещины мы используем (50) для определения констант \ (D_i \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)), где теперь \ (C_j (L_ {cz} ) = C_3 (L_ {cz}) \). Из (44) мы знаем, что

$$ \ begin {align} C_4 = \ frac {{\ delta} _0} {2}. \ end {align} $$

(В.7)

С учетом (Б.1) из (51) получаем

$$ \ begin {выравнивание} D_0 = 4, \ end {выравнивание} $$

(Б.2), \ nonumber \\ D_ {41} = & D_ {21}, & D_ {42} = & — D_ {22}, \ end {align} $$

(В.9)

где \ (\ eta _E = \ lambda _E / \ kappa \). Константа \ (C_3 (L_ {cz}) \) выражается из (55) для \ (j = 3 \) и читается как

$$ \ begin {align} C_3 (L_ {cz}) = — \ frac { D_ {21} \ sin (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {11} \ cos (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {41} \ sinh (\ kappa \ L_ {cz}) — D_ { 31} \ cosh (\ kappa \ L_ {cz})} {D_ {22} \ sin (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {12} \ cos (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {42 } \ sinh (\ kappa \ L_ {cz}) — D_ {32} \ cosh (\ kappa \ L_ {cz})}.{\ prime} (L_ {cz}) \) получаются из (B.3).

На третьем этапе мы получаем константы \ (D_i \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)) из (62), используя выражения (B.8) и (B.9) для \ (D_0 \), \ (D_ {i1} \) и \ (D_ {i2} \) и предполагая, что теперь \ (C_j = C_3 \). Уравнение (64) теперь принимает вид

$$ \ begin {выровненный} C_3 = \ frac {D_ {11} \ \ sin (\ kappa \ {\ overline {L}} _ {cz}) — D_ {21} \ cos (\ kappa \ {\ overline {L}} _ {cz}) + D_ {31} \ \ sinh (\ kappa \ {\ overline {L}} _ {cz}) — D_ {41} \ \ cosh (\ каппа \ {\ overline {L}} _ {cz})} {- D_ {12} \ sin (\ kappa \ {\ overline {L}} _ {cz}) + D_ {22} \ \ cos (\ каппа \ {\ overline {L}} _ {cz}) — D_ {32} \ \ sinh (\ kappa \ {\ overline {L}} _ {cz}) + D_ {42} \ \ cosh (\ kappa \ {\ overline {L}} _ {cz})}.2 + 1 \ right] \ right \}, \ quad F \ le F_L. \ end {align} $$

(В.14)

На втором этапе мы определяем \ (D_i (L_ {cz}) \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)) согласно (50), где мы используем (B.8) и ( B.9) и предположим, что \ (C_j (L_ {cz}) = C_3 (L_ {cz}) \). Последний определяется в соответствии с (81) как

$$ \ begin {align} C_3 (L_ {cz}) = \ frac {\ beta _1 \ \ sin (\ kappa \ L_ {cz}) + \ beta _2 \ \ cos (\ kappa \ L_ {cz}) + \ beta _3 \ \ sinh (\ kappa \ L_ {cz}) + \ beta _4 \ \ cosh (\ kappa \ L_ {cz})} {\ beta _5 \ \ sin (\ kappa \ L_ {cz}) + \ beta _6 \ \ cos (\ kappa \ L_ {cz}) + \ beta _7 \ \ sinh (\ kappa \ L_ {cz}) + \ beta _8 \ \ cosh ( \ kappa \ L_ {cz})}, \ end {align} $$

(Б.15)

, где

$$ \ begin {align} \ beta _1 & = D_ {11} + {a} _0 \ \ kappa \ D_ {21}, & \ beta _2 & = -D_ {21} + {a} _0 \ \ kappa \ D_ {11}, \ nonumber \\ \ beta _3 & = -D_ {31} + {a} _0 \ \ kappa \ D_ {41}, & \ beta _4 & = D_ {41} — {a} _0 \ \ kappa \ D_ {31}, \ nonumber \\ \ beta _5 & = -D_ {12} — {a} _0 \ \ kappa \ D_ {22}, & \ beta _6 & = D_ {22} — {a} _0 \ \ kappa \ D_ {12}, \ nonumber \\ \ beta _7 & = D_ {32} — {a} _0 \ \ kappa \ D_ {42}, & \ beta _8 & = -D_ {42} + {a} _0 \ \ kappa \ D_ {32}, \ end {align} $$

(Б.{max} \) определяется из уравнения. (58) которое решается численно. Смещение устья трещины рассчитывается по формуле (83).

На третьем этапе мы используем (85) для выражения \ (C_3 (L_ {cz}) \) как

$$ \ begin {align} C_3 (L_ {cz}) = \ frac {D_ {11} \ \ sin (\ kappa \ L_ {cz}) — D_ {21} \ \ cos (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {31} \ sinh (\ kappa \ L_ {cz}) — D_ {41} \ \ cosh (\ kappa \ L_ {cz})} {- D_ {12} \ \ sin (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {22} \ \ cos (\ kappa \ L_ {cz}) — D_ {32} \ \ sinh (\ kappa \ L_ {cz}) + D_ {42} \ \ cosh (\ kappa \ L_ {cz})}, \ end {align} $$

(Б.17)

, где \ (D_ {i1} \) и \ (D_ {i2} \) (\ (i = 1, \ ldots, 4 \)) определены в (B.9). Функция \ (F (L_ {cz}) \) получается из условий (78) и (49), тогда как \ (a (L_ {cz}) \) выражается с помощью (87). Наконец, смещение раскрытия устья трещины для третьей фазы может быть вычислено согласно (88).

Приложение C: Решения теории балок Эйлера – Бернулли для DCB с линейно-упругой границей раздела с хрупким разрушением (EBT)

Приложение C.1: DCB с заданными вращениями

В линейно-упругой фазе до распространения трещины мы вычисляем смещение устья трещины по (Б.2, \ quad a \ ge {a} _0, \ end {align} $$

(В.1)

где \ (M_ {max} \) определено в (93).

Приложение C.2: DCB с заданным смещением

Смещение устья трещины в линейно-упругой фазе до распространения трещины рассчитывается согласно (B.14). Пиковая нагрузка, как определено в (95), теперь становится равной

$$ \ begin {align} F_ {max} = \ frac {\ sqrt {EI \ b \ G_c}} {{a} _0 + \ frac {1} {\ lambda _E}}. \ end {align} $$

(С.2 + 1 \ right] \ right \}, \ quad a \ ge {a} _0, \ end {align} $$

(C.3)

где согласно (97) теперь у нас есть

$$ \ begin {выровнено} F (a) = \ frac {\ sqrt {EI \ b \ G_c}} {a + \ frac {1} {\ lambda _E} }. \ end {align} $$

(C.4)

Приложение D: LEFM-решения для DCB с использованием теории пучка Эйлера – Бернулли (SBT)

Приложение D.1: DCB с заданными поворотами

Пусть \ (\ mu \ rightarrow \ infty \) в (105) и (106 ) или \ (\ lambda _E \ rightarrow \ infty \) в (B.2} {EI}, \ nonumber \\ & \ quad \ text {во время распространения трещины} (a \ ge {a} _0), \ end {align} $$

(D.2)

где \ (M_ {max} \) определено в (93). В отличие от формул (105) и (106), в которых используется теория пучка Тимошенко, из этих выражений очевидно, что для теории пучка Эйлера – Бернулли плечи DCB в предельном случае LEFM действительно действуют так, как если бы они были зажимается на вершине трещины.

Приложение D.2: DCB с заданным смещением

Если допустить \ (\ mu \ rightarrow \ infty \) в (113) и (115) или \ (\ lambda _E \ rightarrow \ infty \) в (B.3} {3 \ EI}, \ nonumber \\ & \ quad \ text {во время распространения трещины} (a \ ge {a} _0), \ end {align} $$

(D.4)

, где

$$ \ begin {align} F_ {max} = \ frac {\ sqrt {EI \ b \ G_c}} {{a} _0} \ quad \ text {and} \ quad F (a) = \ frac {\ sqrt {EI \ b \ G_c}} {a}. 2} {b \ EI}, \ end {align} $$

(Д.3 \ EI}}. \ end {align} $$

(D.7)

Эта формула требует знания (экспериментального измерения) только \ (\ Delta \) и \ (F \), тогда как знание длины трещины \ (a \) не имеет значения. Обратите внимание, что выражение для \ (G_c \) согласно теории пучка Тимошенко, которое требует знания только \ (\ Delta \) и \ (F \), также может быть получено путем объединения (117) и (115), но это процедура менее прямолинейна и требует решения кубического уравнения.{\ prime} \), \ (\ varphi _1 \), \ (\ sigma \), \ ({{\ mathcal {T}}} _ 1 \) и \ ({{\ mathcal {M}}} _ 1 \ ) для предельного случая LEFM

Мы уже упоминали, что для предельного случая LEFM \ ({\ delta} _0 = {\ delta} _c \ rightarrow 0 \) и \ (\ sigma _ {max} \ rightarrow \ infty \), что приводит к \ (\ lambda \ rightarrow \ infty \) и \ (\ omega \ rightarrow \ infty \). Это означает, что только решение для \ (v_1 (x) \), когда \ (\ omega> 1 \) (см. {- \ lambda \ zeta _2 x} \ C_2.2 \ rho _2 \), в отличие от \ (1 / \ rho _1 \), менее удобен для компьютерной реализации. Из (E.6) следует, что

$$ \ begin {align} \ lim _ {\ lambda \ rightarrow \ infty} v_1 (x) = 0, \ quad \ text {for} \ quad x \ ge 0 . \ end {align} $$

(E.8)

Согласно (89) мы можем написать

$$ \ begin {align} \ sigma (x) = \ frac {\ sigma _ {max}} {{\ delta} _0} \ delta (x) = \ frac {2 \ \ sigma _ {max}} {{\ delta} _0} v_1 (x), \ end {align} $$

(Э.{- \ sqrt {\ frac {{\ mu} {A} _s} {EI}} x} -M \ sqrt {\ frac {{\ mu} {A} _s} {EI}} {{\ mathcal {H }}} (x) + c_1, \ end {align} $$

(E.18)

, где

$$ \ begin {align} {{\ mathcal {H}}} (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & {} \ text {for} x = 0, \\ 1 & {} \ text {for} x> 0, \ end {array} \ right. \ end {align} $$

(E.19)

— это функция Хевисайда (шаг), а \ (c_1 \) — постоянная интегрирования. {- \ sqrt {\ frac {{\ mu} {A} _s} {EI}} x} \ nonumber \\ & + \ frac {F} {b} \ left (1+ {a} _0 \ sqrt {\ frac {{\ mu} {A} _s} {EI}} \ right) {{\ mathcal {D}}} (x), \ quad \ text {for} x \ ge 0, \ end {align} $$

(Э.L (x) & = F \ {a} _0 (1 — {{\ mathcal {H}}} (x)). \ end {align} $$

(E.54)

Эти выражения подтверждают, что рукава DCB не деформируются в вершине трещины и перед ней, когда они моделируются как балки Эйлера – Бернулли. Аналогичные выражения для фазы распространения трещины можно получить, заменив \ (M \) на \ ({M} _ {max} \), \ (F \) на \ (F (a) \) и \ ({a } _0 \) с \ (a \).

1.9: Линии влияния для статически определенных структур

Глава 9

Линии влияния для статически определенных конструкций

9.1 Введение

Конструкции, такие как мосты и мостовые краны, должны быть спроектированы таким образом, чтобы выдерживать движущиеся нагрузки, а также их собственный вес. Поскольку конструкции рассчитаны на критические нагрузки, которые могут возникать в них, линии влияния используются для определения положения на конструкции, в котором движущаяся нагрузка вызовет наибольшее напряжение. Линии влияния можно определить как график, ординаты которого показывают изменение величины определенной функции отклика конструкции при прохождении единичной нагрузки по конструкции.Функции реакции конструкции могут включать осевые силы в элементах, опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные силы и прогиб в определенных точках конструкции.

Очень важно подчеркнуть, что учащимся необходимо полностью усвоить приведенное выше определение, поскольку большая часть путаницы и трудностей, возникающих при рисовании линий влияния, происходит из-за непонимания разницы между этой темой и изгибающим моментом и сдвигом. темы силы подробно описаны в четвертой главе.Диаграмма силы сдвига или изгибающего момента показывает величину силы сдвига или изгибающих моментов в различных точках конструкции из-за статических или стационарных нагрузок, действующих на конструкцию, в то время как линии влияния для определенных функций конструкции при заданном точка конструкции показывает величину этой функции в указанной точке, когда единица движущейся нагрузки пересекает конструкцию. Линии влияния определенных структур могут быть получены методом статического равновесия, кинематическим методом или методом Мюллера-Бреслау.Линии влияния, полученные методом статического равновесия, называются количественными линиями влияния, поскольку они требуют некоторых расчетов, а линии влияния кинематического метода известны как качественные линии влияния, поскольку этот метод позволяет анализатору получить правильную форму линий влияния без любые количественные усилия. В следующих разделах студенты рассмотрят, как построить линии влияния для балок и ферм, используя эти два метода.

9.2 Линии влияния для статически определенных балок методом статического равновесия

Чтобы понять основную концепцию линий влияния, рассмотрим простую балку, показанную на рисунке 9.1а. Статика помогает определить величину реакций на опорах A, и B , а также усилие сдвига и изгибающий момент на участке n , как единичная нагрузка произвольной единицы, перемещается справа налево.

Рис. 9.1a. Простая балка.

9.2.1 Реакции пучка

Принимая момент около B , когда единичная нагрузка перемещается на расстояние x от правого конца, можно предположить следующее:

Установка P = 1 предполагает следующее:

Уравнение 9.2 — выражение для расчета линии влияния для реакции левого конца свободно опертой балки. Линия влияния для R A может быть представлена ​​графически, подставив в уравнение некоторые значения x . Поскольку уравнение линейное, двух точек должно хватить.

Когда x = 0, R A = 0

Когда x = L , R A = 1

Графическое представление линии влияния для R A показано на рисунке 9.1b, а ордината диаграммы, соответствующая любому значению x , дает величину R A в этой точке.

Рис. 9.1b. Линия влияния для R A .

Аналогично, выражение для линии влияния для реакции R B находится, взяв момент около A .

Установите P = 1 в уравнение 9.3 предполагает следующее:

Уравнение 9.4 — это выражение для расчета линии влияния для реакции правого конца свободно опертой балки. Подстановка некоторых значений для x в уравнение помогает построить диаграмму линии влияния для R B .

Когда x = 0, R B = 1

Когда x = L , R B = 0

Графическое представление линии влияния для R B показано на рисунке 9.1c.

Рис. 9.1c. Линия влияния для R B .

9.2.2 Сила сдвига на участке n

Когда единичная нагрузка находится на правой стороне секции, поперечная сила в секции может быть вычислена с учетом поперечных сил на левой стороне секции следующим образом:

Когда единичная нагрузка находится на левой стороне секции, легче вычислить поперечную силу в секции, учитывая силы на правой стороне секции, как показано ниже:

Графическое представление линии влияния силы сдвига на участке n простой балки показано на рисунке 9.1г.

Рис. 9.1d. Линия влияния на сдвиг на участке n .

9.2.3 Изгибающий момент на участке n

Когда единичная нагрузка находится на правой стороне секции, изгибающий момент в секции может быть вычислен следующим образом:

Когда единичная нагрузка находится на левой стороне секции, изгибающий момент в секции может быть вычислен следующим образом:

Графическое изображение линии влияния изгибающего момента на участке n простой балки показано на рисунке 9.1e.

Рис. 9.1д. Линия влияния на момент на участке n .

9.3 Строительство линий влияния

На практике в основном строятся линии влияния, а значения функций определяются геометрией. Процедура построения линий влияния для простых балок, составных балок и ферм будет описана ниже, а затем будет приведен решенный пример, чтобы прояснить проблему. Для каждого случая один пример будет решен сразу после схемы.

9.3.1 Простые балки, поддерживаемые на концах

Процедуры построения линий влияния (I.L.) для некоторых функций балки, поддерживаемой с обоих концов, следующие:

9.3.1.1 Линия влияния для реакции опоры левого конца, R A (рис. 9.2)

(a) В позиции левой конечной опоры (точка A ) по оси y- нанесите значение +1 (точка A ′).

(b) Проведите линию, соединяющую точку A ‘и нулевую ординату в точке B .Точка B находится в позиции поддержки B .

(c) Треугольник AA ‘ B является линией влияния для реакции левой поддержки. Идея здесь в том, что когда единичная нагрузка перемещается поперек балки, ее максимальное влияние на реакцию левого конца будет, когда он лежит непосредственно на левой боковой опоре. По мере того, как нагрузка перемещается от левой концевой опоры, ее влияние на реакцию левого конца будет продолжать уменьшаться до тех пор, пока она не достигнет наименьшего значения нуля, когда она лежит непосредственно на правой концевой опоре.

Рис. 9.2. Линия влияния для R A .

9.3.1.2 Линия влияния для реакции опоры правого конца R B (рис. 9.3)

(a) На правом конце опоры (точка B ) постройте ординату значения +1 (точка B ′).

(b) Проведите линию, соединяющую точку B ′ и точку A.

(c) Треугольник AB ′ B является линией влияния для реакции опоры правого конца.Объяснение линии влияния для реакции опоры на правом конце аналогично тому, что дано для реакции опоры на левом конце. Максимальный эффект от единичной нагрузки возникает, когда она лежит непосредственно на правой опоре. По мере удаления груза от правой концевой опоры его влияние на реакцию опоры уменьшается до нуля, когда груз лежит непосредственно на левой опоре.

Рис. 9.3. Линия влияния для R B .

9.3.1.3 Линия воздействия поперечной силы на участке №

(a) На левом конце опоры (точка A) отложите ординату, равную +1 (точка A ′), как показано на рисунке 9.4b.

(b) Проведите линию, соединяющую точку A ‘и нулевую ординату в точке B .

(c) На правом конце опоры (точка B ) постройте ординату, равную –1 (точка B ′).

(d) Проведите линию, соединяющую B ‘и нулевую ординату в точке A .

(e) Проведите вертикальную линию от рассматриваемого сечения до линий разреза A ‘ B и AB ‘ в точках N, ‘и N ″, соответственно.

(f) Диаграмма ABN ′ N ″ является линией влияния поперечной силы на участке n .

(g) Используйте аналогичный треугольник для определения ординат n-N ’и n-N» следующим образом:

Рис. 9.4. Линия влияния на сдвиг ( b ) и момент ( c ) на участке м .

9.3.1.4 Линия влияния изгибающего момента на участке №

(a) На левой концевой опоре (точка A ) отложите ординату значения, равного расстоянию от левой концевой опоры до секции n . Например, расстояние a на рисунке 9.4c (обозначено как точка Y на рисунке 9.4c).

(b) Проведите линию, соединяющую точку Y и нулевую ординату в точке B на правом конце опоры.

(c) Проведите вертикальную линию, проходящую через участок n и пересекающую линию AZ в точке Q .

(d) Нарисуйте прямую линию AQ , соединяющую A и Q .

(e) Треугольник AQB является линией влияния на данный момент на участке n . Либо игнорируйте шаги (b), (c) и (d) и переходите к шагу (f).

(f) На правом конце опоры (точка B ) отложите ординату, равную + b. Например, расстояние от правой торцевой опоры до участка n (обозначается точкой Z ).

(g) Проведите линию, соединяющую Z и нулевую ординату на A (положение левой концевой опоры).

(h) На левой конечной опоре (точка A ) отложите ординату, равную + a. Например, расстояние от левого торца опоры до участка n (обозначена точкой Y ).

(i) Проведите линию, соединяющую Y и нулевую ординату на B (положение правой концевой опоры).

(j) Линии AZ и BY пересекаются в точке Q .

(k) Треугольник AQB является линией влияния на данный момент на участке n . Если правильно нарисовать, с правильным чувством пропорциональности, пересечение Q должно лежать прямо на вертикальной линии, проходящей через участок n .

(l) Значение ординаты nQ можно получить, используя аналогичный треугольник, как показано ниже:

Пример 9.1

Для двойной выступающей балки, показанной на Рисунке 9.5a, постройте линии влияния для опорных реакций на B и C , а также силы сдвига и изгибающего момента на участке n .

Рис. 9.5. Двойная нависающая балка.

Решение

I.L. для B г.

Шаг 1. В позиции поддержки B (точка B ) отложите ординату +1.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую обозначенную точку (+1) с нулевой ординатой в положении опоры C .

Шаг 3. Продолжайте прямую линию из шага 2 до конца выступов на обоих концах балки. Линия влияния для B y показана на рисунке 9.5b.

Шаг 4. Определите ординаты линии влияния на выступающих концах, используя аналогичный треугольник, как показано ниже:

Ордината A :

Ордината D :

I.L. для C г.

Шаг 1.В позиции поддержки C (точка C ) отложите ординату +1.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую обозначенную точку (+1) с нулевой ординатой в положении опоры B .

Шаг 3. Продолжайте прямую линию из шага 2 до конца выступов на обоих концах балки. Линия влияния для B y показана на рисунке 9.5c.

Шаг 4. Определите ординаты линии влияния на выступающих концах, используя аналогичный треугольник, как показано ниже:

Ордината D :

Ордината A :

И.Л. для сдвига Вн.

Шаг 1. В позиции поддержки B (точка B) отложите ординату +1.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую обозначенную точку (+1) с нулевой ординатой в положении опоры C . Продолжайте движение по прямой C до конца выступа в конце D .

Шаг 3. В позиции поддержки C (точка C ) отложите ординату –1.

Шаг 4. Проведите прямую линию, соединяющую обозначенную точку (–1) с нулевой ординатой в положении опоры B .Продолжайте движение по прямой B до конца свеса A .

Шаг 5. Проведите вертикаль, проходящую через сечение, поперечное сечение которого требуется для пересечения линий на шаге 2 и шаге 3.

Шаг 6. Соедините пересечения, чтобы получить линию влияния, как показано на Рисунке 9.5d.

Шаг 7. Определите ординаты линий влияния в других точках, используя аналогичные треугольники, как показано ранее.

I.L. для Moment M n.

Шаг 1. В точке B отложите ординату, равную +2 м.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую ординату, нанесенную на шаге 1, с нулевой ординатой в опоре C .

Шаг 3. В точке C отложите ординату, равную +2 м.

Шаг 4. Проведите прямую линию, соединяющую ординату, нанесенную на шаге 3, с нулевой ординатой на опоре B .

Шаг 5. Продолжайте прямые линии от пересечения линий, проведенных на шагах 2 и 4, через опоры до выступающих концов, как показано на Рисунке 9.5e.

Шаг 6. Определите значения линий влияния в других точках, используя аналогичные треугольники, как показано ранее.

Пример 9.2

Для балки с одним концом выступающей опоры B, как показано на рисунке 9.6, постройте линии влияния изгибающего момента на опоре B , поперечной силы на опоре B , реакций опоры на B и C. , а усилие сдвига и изгибающий момент на участке « k .”

Рис. 9.6. Балка с одной нависающей опорой.

Решение

Линии влияния в примере 9.2 для требуемых функций были построены на основе процедуры, описанной в предыдущем разделе и примере.

9.3.2 Составные балки

Чтобы правильно провести линию влияния для любой функции в составной балке, необходимо хорошее понимание взаимодействия элементов балки, как обсуждалось в главе 3, раздел 3.3. Учащийся должен вспомнить из предыдущего раздела, что составная балка состоит из основной и дополнительной конструкции. Всегда следует помнить о двух приведенных ниже фактах, поскольку от них зависит степень распространения линии влияния составных балок. Запоминание этих фактов также послужит временной проверкой правильности проведенной линии влияния.

Движущаяся единичная нагрузка будет влиять на функции первичной конструкции, когда она расположена в любой точке, не только на первичной конструкции, но также и на дополнительной конструкции, поскольку последняя представляет собой нагрузку на первую.

Подвижная единичная нагрузка будет влиять только на функции дополнительной конструкции, если она расположена внутри дополнительной конструкции; он не будет влиять на какую-либо функцию дополнительной структуры, когда она находится в любой точке первичной структуры.

Вышеуказанные факты будут продемонстрированы на следующих примерах.

Пример 9.3

Для составной балки, показанной на рисунке 9.7, постройте линии влияния и укажите критические ординаты для опорных реакций на A , B и D , изгибающий момент на B и сдвиг на шарнире. С .

Рис. 9.7. Составная балка.

Решение

Перед построением линий влияния для желаемых функций необходимо сначала наблюдать за протяженностью линий влияния через схематическую диаграмму взаимодействия элементов, как показано на рисунке 9.7b.

I.L. для A y . Реакция A y является функцией первичной конструкции, поэтому единичная нагрузка будет влиять на эту функцию, когда она находится в любой точке балки, как было ранее указано в разделе 9.3.2. С учетом этого постройте линию влияния A y следующим образом:

Шаг 1. В точке A постройте ординату +1.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую ординату, нанесенную на шаге 1, с нулевой ординатой в опоре B и продолжайте эту линию до конца выступающего конца первичной конструкции, как показано на диаграмме взаимодействия.

Шаг 3. Проведите прямую линию, соединяющую ординату на конце выступа с нулевой ординатой на опоре D .Линия влияния показана на рисунке 9.7c.

Шаг 4. Используя аналогичный треугольник, вычислите ординаты линии влияния

.

I.L. для B y . Линия влияния этой реакции будет охватывать всю длину балки, потому что это опорная реакция в первичной структуре. Обладая этими знаниями, постройте линию влияния для B y следующим образом:

Шаг 1. В точке B постройте ординату +1.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую ординату, нанесенную на шаге 1, с нулевой ординатой в опоре A . Продолжайте линию в опоре B до конца выступающего конца основной конструкции, как показано на схеме взаимодействия.

Шаг 3. Проведите прямую линию, соединяющую ординату на выступающем конце с нулевой ординатой на опоре D . Линия влияния для B y показана на рисунке 9.7г.

Шаг 4. С помощью аналогичного треугольника определите значения ординаты линии влияния.

I.L. для D y . Реакция D y является функцией дополнительной конструкции и будет зависеть, когда единичная нагрузка находится в любой точке вдоль дополнительной конструкции. На него не повлияет, когда единичная нагрузка пересекает основную конструкцию, как было указано в разделе 9.3.2. Таким образом, протяженность линии влияния будет длиной дополнительной структуры.Зная это, проведите линию влияния для D y .

Шаг 1. В точке D отложите ординату +1.

Шаг 2. Проведите прямую линию, соединяющую ординату, нанесенную на шаге 1, с нулевой ординатой на шарнире C . Линия влияния для D y показана на рисунке 9.7e.

Линии влияния на момент B и сдвиг C показаны на рисунках 9.7f и 9.7g, соответственно.

Пример 9.4

Для составной балки, показанной на рисунке 9.8a, постройте линии влияния и укажите критические ординаты для опорных реакций при F, и G, , поперечной силы и изгибающего момента при D, , и момента при F. .

Рис. 9.8. Составная балка.

Решение

На рисунках с 9.8c по 9.8g показаны линии влияния для требуемых функций.Схематическая диаграмма взаимодействия элементов, показанная на рисунке 9.8b, неизмеримо помогает первоначальному восприятию диапазона линии влияния каждой функции. Построение линий влияния следует описанию, приведенному в предыдущих разделах.

9.3.3 Линии воздействия для балок, поддерживающих системы перекрытий

До сих пор в примерах и тексте рассматривались только случаи, когда движущаяся единичная нагрузка прикладывается непосредственно к конструкции. Но на практике это может быть не всегда.Например, иногда нагрузки от полов здания или настилов мостов передаются через второстепенные балки, такие как стрингеры и поперечные балки, на балки, поддерживающие систему перекрытий здания или моста, как показано на рисунке 9.9. Колонны, опоры или опоры, в свою очередь, поддерживают балки.

Рис. 9.9. Передача нагрузки на балку системой стрингеров и балок перекрытия.

Как показано на Рисунке 9.9, автомобильная нагрузка от настила моста передается на балку в точках 1, 2, 3, 4 и 5, называемых точками панели, где балки перекрытия контактируют с балкой.Сегмент между двумя последовательными точками контакта известен как панель. Для иллюстрации построения линий влияния в случае косвенного приложения нагрузок балки перекрытия и балка на рисунке 9.9 отделены от всей системы, как показано на рисунке 9.10. Предположим, что длина каждой панели равна 4 метрам. Постройте линии влияния для момента в точке 4 и для момента и сдвига в сечении n в средней точке 3 и 4 (точка, лежащая на панели 3-4). Линия влияния на данный момент в точке 4 показана на рисунке 9.10b; обратите внимание, что построение линии влияния для момента в этой точке точно такое же, как в случаях, рассмотренных в предыдущих разделах, где движущаяся нагрузка прикладывается непосредственно к балке. Когда единичная нагрузка перемещается вправо от 4 и влево от 3, линия влияния на данный момент для любой секции в панели 3-4 будет постоянной, как показано на рисунке 9.10c. Построение линии влияния для сдвига любой секции внутри панели 3-4 получается таким же образом, как и при непосредственном приложении удельной нагрузки к балке, за исключением того, что проводится диагональная линия для соединения точек, где вертикальная линия, проведенная из точек, пересекается с линией построения.

Рис. 9.10. Линии воздействия при косвенном приложении нагрузок.

Пример 9,5

Проведите линии влияния для момента C и сдвига в панели BC балки перекрытия, показанной на рисунке 9.11.

Рис. 9.11a. Балка перекрытия.

Решение

Линия влияния для M C . Чтобы получить значения линии влияния M, C , последовательно расположите нагрузку в 1 кН в точках панели A, , B , C , D и E .Для определения момента воспользуйтесь уравнением статики. Значения M C в соответствующих точках панели представлены в таблице 9.1. Когда единичная нагрузка расположена на B , как показано на рисунке 9.11b, значение M C определяется следующим образом:

Рис. 9.11b. Удельная нагрузка при B .

Сначала определите опорные реакции в балке, используя уравнение статического равновесия.

Затем, используя вычисленную реакцию, определите M C следующим образом:

M c = 0.25 (12) = 3 кН — м

Таблица 9.1. Значения M C в соответствующих точках панели.

Рис. 9.11c. Линия влияния для M C .

Линия влияния для V BC . Чтобы получить значения линии влияния MV BC , нагрузка в 1 кН последовательно размещается в точках панели A, , B , C , D и E .Для определения поперечной силы используйте уравнение статики. Значения V C в соответствующих точках панели представлены в таблице 9.2.

Таблица 9.2. Значения V C в соответствующих точках панели.

Рис. 9.11d. Линия влияния для V BC .

9.3.4 Линии влияния для ферм

Процедура построения линий влияния для элементов фермы аналогична процедуре для балки, поддерживающей систему перекрытий, рассмотренную в разделе 9.3.3. Нагрузки могут передаваться на элементы фермы через верхние или нижние узлы панели. На рис. 9.12 нагрузка передается на элементы через узлы верхней панели. При перемещении динамических нагрузок по ферме они передаются на узлы верхней панели поперечными балками и стрингерами. Линии влияния осевых сил в элементах фермы можно построить, соединив ординаты линий влияния в узлах панели прямыми линиями.

Рис. 9.12. Нагрузка переносится системой стрингеров и поперечных балок.

Чтобы проиллюстрировать процедуру построения линий влияния для ферм, рассмотрим следующие примеры.

Пример 9.6

Проведите линии влияния для реакций A y , F y и для осевых сил в элементах CD , HG и CG , когда единичная нагрузка перемещается через верхнюю часть фермы, как показано на рисунке 9.13.

Рис. 9.13. Ферма.

Решение

Чертеж линий влияния для ферм аналогичен чертежу балки.Первым шагом к построению линий влияния осевых сил в указанных элементах является прохождение воображаемого сечения через элементы, как показано на рис. 9.13b, и применение равновесия к деталям по обе стороны от сечения. Ниже приводится пошаговая процедура построения линии влияния для каждого из членов.

Линия влияния осевой силы в элементе CD . Когда единичная нагрузка расположена в любой точке справа от D , с учетом равновесия левого сегмента AH (рис.9.13c), это предполагает следующее:

Полученное выражение F CD через A y свидетельствует о том, что линия влияния для F CD в части DE может быть определена путем умножения соответствующей части линии влияния для реакции A y на — 2. Линия влияния для A y показана на рисунке 9.13e.

Когда единичная нагрузка расположена в любой точке слева от C , с учетом равновесия правого сегмента GF (рис. 9.13d), это предполагает следующее:

Полученное выражение F CD через F y свидетельствует о том, что линия влияния для F CD в части AH может быть определена путем умножения соответствующей части линии влияния на реакцию F y by — 1.Линия влияния для F y показана на рисунке 9.13f.

Линия влияния осевой силы в элементе CD , построенная на основе линий влияния для реакций A y и F y показана на рисунке 9.13g.

Линия влияния для стержня HG . Когда единичная нагрузка расположена в любой точке справа от D , с учетом равновесия левого сегмента AH (рис.9.13c), это предполагает следующее:

Полученное выражение F HG через A y подразумевает, что линия влияния для F HG в части DE идентична линии влияния A y в пределах соответствующий сегмент.

Когда единичная нагрузка расположена в любой точке слева от C , с учетом равновесия правого сегмента GF (рис.9.13d), это предполагает следующее:

Полученное выражение F HG через F y свидетельствует о том, что линия влияния для F HG в части AH может быть определена путем умножения соответствующей части линии влияния на реакцию F y на 2.

Линия влияния осевой силы в элементе HG , построенная на основе линии влияния для реакций A y и F y , также показана на рисунке 9.13ч.

Линия влияния осевой силы в элементе CG . Когда единичная нагрузка расположена в любой точке справа от D , с учетом равновесия левого сегмента AH (рис. 9.13C), это предполагает следующее:

Полученное выражение F CG со ссылкой на A y подразумевает, что линия влияния для F CG в части DE может быть определена путем умножения соответствующей части линия влияния на реакцию A y на 1.41.

Когда единичная нагрузка расположена в любой точке слева от C , с учетом равновесия правого сегмента GF (рис. 9.13d), это предполагает следующее:

Полученное выражение F CG через F y свидетельствует о том, что линия влияния для F CG в части AH может быть определена путем умножения соответствующей части линии влияния на реакцию F y by — 1.41.

Линия влияния осевой силы в элементе CG , построенная на основе линии влияния для реакций A y и F y показана на рисунке 9.13i.

Пример 9.7

Нарисуйте линии влияния силы в элементе CH по мере того, как единичная нагрузка перемещается через верх фермы, как показано на рисунке 9.14a.

Рис. 9.14. Ферма.

Решение

Чтобы получить выражение для линии влияния для осевой силы в элементе CH , сначала пропустите воображаемый участок, который прорезает этот элемент, как показано на рисунке 9.14а.

Когда единичная нагрузка расположена в любой точке справа от G , с учетом равновесия левого сегмента AH (рис. 9.14 C), это предполагает следующее:

Полученное выражение F CH через A y показывает, что линия влияния для F CH в части AH может быть определена путем умножения соответствующей части линии влияния для реакции A y by — 1.

Когда единичная нагрузка расположена в любой точке слева от H , с учетом равновесия правого сегмента GF (рис. 9.14d), это предполагает следующее:

Полученное выражение F CH через F y подразумевает, что линия влияния для F CH в части GF идентична линии влияния F y в пределах соответствующий сегмент.

Линия влияния CG показана на рисунке 9.14g.

9.4 Использование линий влияния

9.4.1 Использование линий влияния для определения функций отклика конструкций, подверженных сосредоточенным нагрузкам

Величина функции отклика конструкции из-за сосредоточенных нагрузок может быть определена как сумма произведения соответствующих нагрузок и соответствующих ординат линии влияния для этой функции отклика. Пример 9.5 и пример 9.6 иллюстрируют такие случаи.

Пример 9.8

Простая балка подвергается трем сосредоточенным нагрузкам, как показано на рисунке 9.15a. Определите величину реакций, поперечную силу и изгибающий момент в средней точке балки с помощью линий влияния.

Рис. 9.15. Простая балка.

Решение

Сначала проведите линию влияния для опорных реакций, силы сдвига и изгибающего момента в средней точке балки (см.рис.9.15b, Рис. 9.15c, Рис. 9.15d и Рис. 9.15e). После того, как линии влияния для функций нарисованы, вычислите величину функций отклика следующим образом:

Величина опорных реакций с использованием диаграмм линий влияния на рисунках 9.15b и 9.15c.

Величина поперечной силы в сечении n , используя диаграмму линии влияния на рисунке 9.15d.

Величина изгибающего момента на участке n с использованием диаграммы линий влияния на Рисунке 9.15e.

Пример 9.9

Составная балка подвергается трем сосредоточенным нагрузкам, как показано на рисунке 9.16a. Используя линии влияния, определите величины сдвига и момента на A и реакцию опоры на D .

Рис. 9.16. Составная балка.

Решение

Сначала проведите линию влияния поперечной силы V A , изгибающего момента M A и реакции C y .Линии влияния этих функций показаны на рисунках 9.16b, 9.16c и 9.16d. Затем вычислите величину этих функций отклика следующим образом:

Величина сдвига на участке n с использованием диаграммы линии влияния на рис. 9.16b.

Величина изгибающего момента на участке n с использованием диаграммы линии влияния на рисунке 9.16c.

Величина опорной реакции C y с использованием диаграммы линии влияния на рисунке 9.16d.

9.4.2 Использование линий влияния для определения функций отклика конструкций, подверженных распределенным нагрузкам

Величина функции отклика конструкции, подверженной распределенным нагрузкам, может быть определена как произведение интенсивности распределенной нагрузки и площади линии влияния. Рассмотрим балку, подвергающуюся равномерной нагрузке ω x , как показано на рисунке 9.17a. Сначала преобразуйте равномерную нагрузку в эквивалентную сосредоточенную нагрузку.Эквивалентная элементарная сосредоточенная нагрузка для распределенной нагрузки, действующей на дифференциальную длину dx , составляет:

Величину функции отклика ( rf ) на элементарную сосредоточенную нагрузку, действующую на конструкцию, можно выразить следующим образом:

где

y = ордината линии влияния в точке приложения нагрузки dP .

Рис.9.17. Балка подвергается равномерной нагрузке.

Полная функция отклика ( RF ) из-за распределенной нагрузки, действующей на сегмент BC балки, получается интегрированием следующим образом:

Интеграл — это площадь под частью линии влияния, соответствующей нагруженному сегменту балки (см. Заштрихованную область на рис. 9.17b).

Пример 9.10

Используя линии влияния, определите поперечную силу и изгибающий момент в средней точке нагруженной простой балки, как показано на рисунке 9.18а.

Рис. 9.18. Нагруженная простая балка.

Решение

Сначала проведите линию влияния поперечной силы и изгибающего момента в середине пролета балки. Линии влияния для этих функций показаны на рис. 9.18b и 9.18c. Затем вычислите величину этих функций отклика следующим образом:

Из диаграммы линии влияния, показанной на рисунке 9.18b, величина сдвига в точке B составляет:

Величина изгибающего момента в точке B с использованием диаграммы линий влияния на Рисунке 9.18c, выглядит следующим образом:

Пример 9.11

Составная балка подвергается комбинированной нагрузке, как показано на рисунке 9.19a. Используя линии влияния, определите величины реакций на опорах A , B, и C .

Рис. 9.19. Составная балка подвергается комбинированному нагружению.

Решение

Величина опорной реакции A y , используя диаграмму линии влияния на рисунке 9.19b.

Величина опорной реакции B y , используя диаграмму линии влияния на рисунке 9.19c.

Величина опорной реакции D y , используя диаграмму линии влияния на Рисунке 9.19d.

9.4.3 Использование линий влияния для определения максимального эффекта в точке из-за движущихся сосредоточенных нагрузок

При анализе и проектировании конструкций, таких как мосты и краны, подверженных движущимся нагрузкам, часто бывает желательно найти положение движущейся нагрузки (й), которая будет оказывать максимальное влияние в точке.Для некоторых структур это может быть определено простым осмотром, в то время как для большинства других может потребоваться метод проб и ошибок с использованием линий влияния. Примеры 9.12 и 9.13 иллюстрируют процесс проб и ошибок, связанный с использованием линий влияния для вычисления величины определенных функций балки, подвергающейся действию серии сосредоточенных движущихся нагрузок.

Пример 9.12

Используя линии влияния, определите поперечную силу и изгибающий момент в средней точке k балки, показанной на рисунке 9.20а. Балка подвергается действию серии движущихся сосредоточенных нагрузок, которые показаны на рис. 9.20b.

Рис. 9.20. Луч.

Решение

Максимальный сдвиг V k из рисунка 9.20c.

Максимальный положительный сдвиг = 7,8 k

Максимальный отрицательный сдвиг = 9,3 к

Максимальный момент M k из рисунка 9.20d.

Пример 9.13

Составная балка, показанная на рисунке 9.21a, подвергается серии движущихся сосредоточенных нагрузок, которые показаны на рисунке 9.21b. Используя линии влияния, определите величины реакций на опорах A , B и C и изгибающий момент на участке n .

Рис. 9.21. Составная балка.

Решение

9.4.4 Использование линий влияния для определения абсолютной максимальной функции отклика в любой точке вдоль конструкции

В предыдущих разделах объясняется использование линий влияния для определения максимальной функции отклика, которая может возникнуть в определенных точках конструкции.В этом разделе объясняется определение абсолютного максимального значения функции отклика, которое может возникнуть в любой точке вдоль всей конструкции из-за сосредоточенных нагрузок от движущихся нагрузок.

Абсолютная максимальная сила сдвига для консольной балки будет возникать в точке рядом с неподвижным концом, а для балки с простой опорой — вблизи одной из ее реакций. Абсолютный максимальный момент для консольной балки также будет иметь место вблизи фиксированного конца, в то время как момент для балки с простой опорой неизвестен и, таким образом, потребует некоторого анализа.Чтобы определить положение, в котором абсолютный максимальный момент возникает в балке с простой опорой, рассмотрим балку, подверженную трем движущимся сосредоточенным нагрузкам P 1 , P 2 и P 3 , как показано на Рисунок 9.22.

Хотя из статики очевидно, что абсолютный максимальный момент будет возникать при одной из сосредоточенных нагрузок, необходимо определить конкретную нагрузку, при которой он будет возникать, и его местоположение вдоль балки.Сосредоточенная нагрузка, при которой будет возникать абсолютный максимальный момент, может быть определена путем осмотра или методом проб и ошибок, но местоположение этой нагрузки должно быть установлено аналитически. Предположим, что сосредоточенная нагрузка, при которой возникает абсолютный максимальный момент, составляет P 3 , а расстояние P 3 от центральной линии балки составляет x . Чтобы получить выражение для x , сначала определите результирующую P R сосредоточенных нагрузок, действующих на расстоянии x ′ от нагрузки P 3 .

Чтобы определить правильную реакцию балки, возьмем момент около опоры A следующим образом:

Рис. 9.22. Балка подвергается трем движущимся сосредоточенным нагрузкам.

Для определения правильной реакции балки возьмем момент опоры A следующим образом:

Таким образом, изгибающий момент под M 3 составляет:

Расстояние x , для которого M 3 является максимальным, можно определить путем дифференцирования уравнения 9.9 относительно x и приравняв его нулю, следующим образом:

Следовательно,

Уравнение 9.10 заключает, что абсолютный максимальный момент в свободно опертой балке возникает при одной из сосредоточенных нагрузок, когда нагрузка, при которой возникает момент, и равнодействующая системы нагрузок находятся на одинаковом расстоянии от центра балки.

Пример 9.14

Определите абсолютный максимальный изгибающий момент в мосту с простой опорой на балках длиной 16 м, который подвергается нагрузке движущимся грузовиком, как показано на Рисунке 9.23.

Рис. 9.23. Балка балки с простой опорой.

Решение

Используя статику, сначала определите значение и положение равнодействующей движущихся нагрузок.

Результирующая загрузка.

Положение результирующей нагрузки. Чтобы определить положение результирующей нагрузки, возьмите момент относительно точки n , которая находится непосредственно под нагрузкой 20 кН, следующим образом:

Рис. 9.24. Результирующая нагрузка и нагрузка на равном расстоянии от осевой линии балки.

Если предполагается, что абсолютный максимальный момент возникает при нагрузке 50 кН, расположение результирующей и этой нагрузки на равном расстоянии от центральной линии балки показано на рисунке 9.24. Перед вычислением абсолютного максимального момента сначала определите реакцию B y с помощью статики.

Абсолютный максимальный момент при нагрузке 50 кН составляет:

M 50 = (92,2) (9,22) — (90) (3,78) = 509.88 кН. м

Рис. 9.25. Результирующая нагрузка и нагрузка на равном расстоянии от осевой линии балки.

Если предполагается, что абсолютный максимальный момент возникает при нагрузке 90 кН, расположение результирующей и этой нагрузки на равном расстоянии от центральной линии балки будет таким, как показано на рисунке 9.25.

Перед вычислением абсолютного максимального момента сначала определите реакцию B y с помощью статики.

Абсолютный максимальный момент при нагрузке 90 кН составляет:

Из двух возможных случаев, рассмотренных в решении, очевидно, что абсолютный максимум момента возникает при силе 50 кН.

Краткое содержание главы

Линии влияния для статически определенных конструкций: Влияние движущейся нагрузки на величину определенных функций конструкции, таких как опорные реакции, прогиб, поперечная сила и момент, в секции конструкции изменяется в зависимости от положения движущийся груз. Линии влияния используются для изучения максимального воздействия движущейся нагрузки на эти функции в целях проектирования. Линии влияния для определенных структур могут быть получены методом статического равновесия, кинематическим методом или методом Мюллера-Бреслау.Линии влияния по первому методу можно определить количественно, а по второму методу можно получить качественно, как было продемонстрировано в этой главе. Решено несколько примеров задач, показывающих, как построить линии влияния для балок и ферм, используя вышеупомянутые методы.

Практические задачи

9.1 Проведите линию влияния поперечной силы и момента на участке n в середине пролета свободно опертой балки, показанной на рисунке P9.1.

Рис. P9.1. Балка с простой опорой.

9.2 Нарисуйте линии влияния реакции в точке A и B , а также сдвига и изгибающего момента в точке C балки с выступающими концами, как показано на рисунке P9.2.

Рис. P9.2. Балка с вылетом.

9.3 Проведите линию влияния реакций на опоре консольной балки, показанной на рисунке P9.3.

Рис. P9.3. Консольная балка.

9.4 Проведите линию влияния опорных реакций в точках B и D , а также срезающих и изгибающих моментов в сечении n балки, показанной на рисунке 9.4.

Рис. P9.4. Балка

9.5 Проведите линии влияния опорных реакций в точках C и D и в точке B составной балки, показанной на рисунке P9.5.

Рис. P9.5. Составная балка.

9.6 Проведите линии влияния поперечной силы и момента на участках n s и k составной балки, показанной на рисунке P9.6.

Рис. P9.6. Составная балка.

9.7 Определите абсолютный максимальный изгибающий момент в мосту с простой опорой на балках длиной 65 футов, который подвергается нагрузке движущимся грузовиком, как показано на рисунке P9.7.

Рис. P9.7. Несущий мост с простой опорой.

9.8 Определите абсолютный максимальный изгибающий момент в мосту с простой опорой на балках длиной 12 м, который подвергается загрузке движущимся грузовиком, как показано на рисунке P9.8.

Рис. P9.8. Несущий мост с простой опорой.

9.9 Определите абсолютный максимальный изгибающий момент в мосту с простой опорой на балках длиной 40 футов, который подвергается нагрузке движущимся грузовиком, как показано на рисунке P9.9.

Рис. P9.9. Несущий мост с простой опорой.

9.10 Определите абсолютный максимальный изгибающий момент в мосту с простой опорой на балках длиной 14 м, который подвергается нагрузке движущимся грузовиком, как показано на рисунке P9.10.

Рис.P9.10. Несущий мост с простой опорой.

9.11 Нарисуйте линии влияния для момента B и силы сдвига в панели CD балки перекрытия, показанной на рисунке P9.11.

Рис. P9.11. Балка перекрытия.

9.12 Нарисуйте линии влияния для момента C и силы сдвига в панели BC балки перекрытия, показанной на рисунке P9.12.

Рис. P9.12. Балка перекрытия.

9.13 Нарисуйте линии влияния на момент B и сдвиг в панели CD балки перекрытия, показанной на рисунке P9.13.

Рис. P9.13. Балка перекрытия.

9.14 Проведите линии влияния для момента D и силы сдвига в панели DE балки перекрытия, показанной на рисунке P9.14.

Рис. P9.14. Балка перекрытия.

9.15 Нарисуйте линии влияния для момента D и силы сдвига в панели AB балки перекрытия, показанной на рисунке P9.15.

Рис. P9.15. Балка перекрытия.

9.16 Проведите линии влияния сил в элементах CD , CF и GF , когда единичная нагрузка перемещается через верх фермы, как показано на рисунке P9.16.

Рис. P9.16. Ферма.

9.17 Нарисуйте линии влияния сил в элементах DE , NE и NM , когда единичная временная нагрузка передается на верхние пояса фермы, как показано на рисунке P9.17.

Рис.P9.17. Ферма.

9.18 Проведите линии влияния сил в элементах DE , DH , IH и HG , когда единичная динамическая нагрузка передается на нижние пояса фермы, как показано на рисунке P9.18.

Рис. P9.18. Ферма.

9.19 Нарисуйте линии влияния сил в элементах BC , BF , FE и ED , когда единичная нагрузка перемещается по нижним поясам фермы, как показано на рисунке P9.3)) / (3 * E * I * L)

В чем разница между изгибом и прогибом?

Под «изгибом» вы действительно имеете в виду изгибающий момент. Изгибающий момент при внутреннем напряжении в элементе (обычно балке), который позволяет ему нести нагрузку. Прогиб измеряет фактическое изменение материала, которое можно назвать «изгибом». Он измеряет физическое смещение элемента под нагрузкой.3)) / (3 * Модуль Юнга * Момент инерции балки * Длина балки) для расчета статического прогиба. Статический прогиб для фиксированной балки с формулой эксцентрической точечной нагрузки определяется как прогиб в результате приложенной нагрузки. который остается после снятия нагрузки. Статический прогиб обозначается символом δ .

Как рассчитать статический прогиб для неподвижной балки с эксцентричной точечной нагрузкой с помощью этого онлайн-калькулятора? Чтобы использовать этот онлайн-калькулятор для статического прогиба для неподвижной балки с эксцентрической точечной нагрузкой, введите Эксцентрическая точечная нагрузка (w) , расстояние нагрузки от одного конца (a) , расстояние нагрузки от другого конца (b) , Модуль Юнга (E) , Момент инерции балки (I) и Длина балки (L) и нажмите кнопку расчета.