Растяжение сжатие расчет стержня на: Расчет стержней. Растяжение — сжатие

Содержание

Сопромат. Статически неопределимые задачи растяжения-сжатия

Существует несколько типов статически неопределимых задач на растяжение-сжатие. В данной статье рассмотрим довольно распространенный тип задачи — расчет статические неопределенного стержня, нагруженного осевыми силами. Пусть стержень, состоящий из двух участков площадью поперечного сечения А и 2А, жестко закреплен с обеих концов. Нагрузим стержень осевой силой F. Схема к задаче показана на рисунке

Существует несколько путей решения, мы обычно делаем следующее. Первым делом отбрасываем левую заделку. Вместо нее вводим реакцию опоры R. Направление можно брать произвольно, но в данном случае достаточно очевидно, что левая часть стержня сжата, а правая растянута, так что легко сообразить, что положительное направление реакции R — вправо.

Заодно разбиваем стержень на участки, так же, как мы это делали при решении статически определимых задач. Напоминаем, что разбиение по участкам происходит в тех местах, где меняется профиль сечения, или где приложены сосредоточенные силы, или где заканчивается/начинается действие распределенных сил. У нас, соответственно, два участка.

Далее делаем вид, что сила R — это внешняя нагрузка, и она известна. Этот фокус позволяет нам начать решать задачу как статически определимую по методу РОЗУ. Несложно увидеть, что внутренние усилия на участках

Чтобы определить R и решить задачу, нужно записать и решить уравнение совместности деформаций. Для данной схемы закрепления стержня очевидно, что расстояние между жесткими заделками остается неизменным, значит, сумма деформаций двух участков равна 0.

Эту вещь надо запомнить, для подобного рода стержней она всегда пригодится. 

Теперь расписываем деформации каждого участка. При отсутствии распределенных нагрузок это довольно просто

Внутренние усилия N мы записали, длины, площади, модуль Юнга заданы. Внимательно следите за материалами, из которых изготовлены участки, часто в задачах они отличаются. В нашем случае

Несмотря на то, что интуитивно понятно, что первый участок сжимается, а второй расширяется, деформации пишем с плюсом, без каких-либо импровизаций. Подставляем деформации и внутренние усилия в уравнение совместности деформаций и получаем уравнение с одной переменной.

Сокращаем все, что сокращается, приводим все, что приводится, и получаем уравнение — проще не бывает

Теперь, когда мы знаем значение R, задача действительно стала статически определимой. Подставляя R в уравнения для внутренних усилий, находим силы растяжения/сжатия в каждом участке

Внутреннее усилие в участке 1 оказалось отрицательным, значит, он сжимается; усилие в участке 2 — положительное, значит, он растягивается. Все именно так, как и предполагалось.

Поделив внутренние усилия на площади участков, находим напряжения

Ну и напоследок можно посчитать перемещения в участках по стандартным формулам

По этим зависимостям (внутренние усилия N, нормальные напряжения σ, перемещения W) строятся эпюры. Проверка правильности решения — перемещение крайней точки второго участка должно быть равно нулю (там же заделка).

Это условие выполняется. Построим эпюры.

Собственно, задача решена. Бегло проверим эпюры на адекватность: на эпюрах внутренних усилий и напряжений происходит скачок в точке приложения сосредоточенной силы; напряжения на участках разные из-за разных площадей сечений; знаки внутренних усилий и напряжений совпадают; функция перемещения убывает там, где напряжение отрицательно, и возрастает там, где напряжение положительно; эпюра перемещений выходит из нуля и в нуле заканчивается, так как перемещения в заделках равны нулю.

Для окончательной уверенности в правильности решения проведем проверку энергетическим способом. Потенциальная энергия деформированных участков должна быть равна работе внешних сил.

Потенциальная энергия каждого участка считается по формуле

Соответственно, в нашем случае

Работа внешней силы равна половине произведения внешней силы на перемещение точки ее приложения

Работа получается положительной, так как сила А направлено влево, и перемещение точки ее приложение тоже направлено влево (W<0).

Собственно, это все решение. Если сделаете так же на защите, то ни один преподаватель не докопается.

Всегда ваша, Botva-Project

 

Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней


Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня по формуле 4.3 и установив допускаемое напряжение в соответствии с соображениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемыми:

.

(4.11)

Здесь имеется в виду допускаемое напряжение или на растяжение, или на сжатие в зависимости от того, с каким случаем мы имеем дело — с растяжением или сжатием.

Неравенство (4.11) называется условием прочности при растяжении (сжатии). Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т. е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ±5%. Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала.

2. Определять размеры поперечного сечения стержня (по известным нагрузке и допускаемому напряжению), требуемые по условию его прочности:

.

(4.12)

3. Определять допускаемую продольную силу по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению:

.

(4.13)

Определив допускаемую продольную силу и установив связь между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни кроме расчета на прочность в наиболее ослабленном сечении должны также рассчитываться на устойчивость, так как при определенном значении сжимающей силы может произойти выпучивание (продольный изгиб) сжатого стержня.


    

ЛЕКЦИЯ 6. Осевое растяжение-сжатие стержней. Определение напряжений, деформаций и перемещений. Расчёты на прочность и жёсткость

Осевое или центральное растяжение (сжатие) относят к простым видам сопротивления. Название этого вида деформации обусловлено тем, что линия действия сил (равнодействующей сил), приложенных к стержню, совпадает с осью стержня (ось стержня проходит через центры тяжести поперечных сечений).

Продольное внутреннее усилие (N) будет положительным при растяжении элемента и отрицательным в случае сжатия.

    
 
  
 

Продольное внутреннее усилие (N) в любом сечении равно алгебраической сумме проекций всех внешних сил (включая опорные реакции), взятых по одну сторону от сечения, на продольную ось стержня.

Напряжения в поперечных сечениях характеризуют интенсивность внутренних сил в поперечном сечении.

Соотношение (6.1) позволяет вычислить среднее напряжение по площади поперечного сечения. Бернулли были предложены допущения – гипотезы плоских сечений: поперечные сечения, плоские до нагружения остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси и после нагружения. В силу принятых гипотез σ

y=σz=τyx=τyz=0, σx≠0, поэтому напряженное состояние в элементе объёма – линейное (только одно из главных напряжений отлично от нуля), рис. 6.1. Нормальное напряжение в поперечном сечении при данном виде деформации является функцией от продольного внутреннего усилия Nx и зависит от геометрической характеристики поперечного сечения – площади А. Определяют напряжение по формуле


σ=σx=Nx/A. (6.2)

Знак у напряжения определяется знаком продольной силы.

 
 

Рис. 6.1. Схема деформации элементарного параллелепипеда при одноосном растяжении

При растяжении (сжатии) различают абсолютные ∆l и относительные ε деформации. Абсолютная деформация – это разница между длиной стержня до и после деформации, т.е. та величина, на которую он изменил свою длину ∆l=/l1-l/. Относительная деформация – это, как ясно из названия, отношение абсолютной деформации к первоначальной длине стержня ε=

∆l/l.

Деформации элементов конструкций, материал которых работает в упругой стадии, определяются на основании закона Гука, записанного в случае одноосного(линейного) напряжённого состояния в следующем виде:

(6.3)

Закон Гука (6.3) устанавливает прямопропорциональную зависимость между действующим в рассматриваемой точке нормальным напряжением и относительной линейной деформацией материала (по направлению ). Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля упругости первого рода (модуля продольной упругости, модуля Юнга) и имеет размерность напряжения.

При одноосном растяжении (сжатии) кроме продольной деформации возникают также деформации и в поперечных направлениях, противоположные по знаку деформации (рис. 6.1). Отношение деформации к или к , взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона

(коэффициентом поперечной деформации) ν.


Для изотропных материалов

(6.4)

Коэффициент Пуассона для различных материалов может принимать значения от 0 до 0,5 (для стали обычно = 0,24… …0,33, для алюминиевого сплава – 0,3).

Модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона являются основными характеристиками упругих свойств материала. Они определяются экспериментальным путем. Наиболее просто в техническом отношении осуществляется опыт, в котором Е и определяются по результатам испытания образца на осевое растяжение.

Перемещения сечений происходят в результате деформирования стержня. Перемещения, соответствующие удлинению считаются положительными. Перемещения, вызванные внешними силовыми факторами, определяют с помощью зависимости (6.5).

. (6.5)

В случае, когда в пределах грузового участка внутреннее усилие и жёсткость стержня постоянны, это выражение принимает вид

Перемещения, вызванные изменением температуры, определяются с помощью зависимости

Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении (сжатии).

Для расчета на прочность пользуются условием прочности, которое при данном виде сопротивления имеет вид:

(6.8)

В этих выражениях , , — расчетные сопротивления по нормальным напряжениям для хрупкого и пластичного материала соответственно. Максимальное значение напряжения определяют с помощью эпюры напряжений, полученной через отношения Nx/A.


В расчете на жесткость применяют условия жесткости:

. (6.9)

Первое условие для полного перемещения стержня, а второе — для максимального перемещения сечения. В квадратных скобках приведены допустимые значения. Для определения опасного сечения, в котором возникает, строят эпюру перемещений.

Пример построения эпюр.

Расчет статически неопределимого составного стержня, работающего на растяжение-сжатие

(задача № 4)

Условие задачи

  Рис. 1.8. Схема нагрузки на стержень в задаче № 4

Стержень переменного сечения с заданным соотношением площадей поперечного сечения , выполненный из разного материала, загружен силой F (рис. 1.8). Между правым концом стержня и стенкой существует зазор .

Требуется:

1) определить продольные силы, напряжения на каждом участке и проверить прочность стержня от действия заданной нагрузки F.

2) найти дополнительные напряжения, возникающие в стержне при его нагревании на температуру и проверить прочность стержня от температурного воздействия.

Решение

I. Определение напряжений от заданной нагрузки

Прежде всего надо убедиться, что заданная система является статически неопределимой. Найдем абсолютную деформацию стержня, показанного на рис. 1.8, предполагая сначала, что правая стенка отсутствует. Тогда, используя метод сечений, определим продольные силы на трех участках стержня:

на первом участке длиной ;

на втором и третьем участках .

Полное удлинение стержня, равное в общем случае , в данной задаче равно удлинению первого участка и, следовательно, по (1.3)

.

Если под действием нагрузки абсолютная деформация стержня будет больше заданного зазора , то стержень упрется правым концом в стенку и возникнут опорные реакции как в левом защемлении ( ), так и в правом опорном закреплении ( ) (рис. 1.9, а). Для заданной системы можно составить только одно независимое уравнение статики . Таким образом, две неизвестные опорные реакции нельзя найти из одного уравнения, и система в процессе деформации становится один раз статически неопределимой.

  Рис. 1.9. К решению задачи № 4: а – план сил от действия F, б – эпюры продольной силы и напряжений от F

Для раскрытия статической неопределимости используем расчет по упругой стадии деформаций и запишем три группы уравнений:

1) уравнения равновесия. Из них получим:

·* для всего стержня ;

·* для отсеченных частей стержня Заметим, что при составлении уравнений равновесия отсеченных частей стержня сделано предположение, что первая и вторая части стержня растянуты, а третья часть – сжата;

2) уравнение совместности деформаций, смысл которого в данной задаче очень простой: полная деформация стержня равна заданному зазору. При составлении уравнения совместности деформаций важно, чтобы знаки абсолютных деформаций соответствовали сделанным предположениям о направлении усилий. В нашем примере ;

3) физические уравнения

.

Решив полученную систему уравнений, найдем продольные силы, а затем напряжения в разных частях стержня и построим эпюры их распределения по длине стержня (рис. 1.9, б). Если знак усилия после решения системы уравнений получился отрицательным, это означает, что сделанное предположение о направлении продольной силы не подтвердилось. В рассмотренной задаче отрицательным должно получиться усилие , т. е. второй участок длиной b не растянут, а сжат. Знаки N и s на эпюрах ставим в соответствии с правилом знаков для продольной силы.

После определения напряжений производим проверку прочности по формулам (1.5) или (1.7) так же, как в статически определимой системе. Если условие прочности на каком-нибудь участке стержня не выполняется, измените значение F так, чтобы условие прочности соблюдалось.

II.Определение температурных напряжений

Найдем удлинение стержня от температурного воздействия и убедимся в том, что это удлинение больше заданного зазора .

.

Если > , то система является один раз статически неопределимой, раскрытие статической неопределимости производим по той же схеме, что и в предыдущей части задачи:

Рис. 1.10. К решению задачи № 4: а – план сил от действия , б – эпюры продольной силы и напряжений от

Из уравнений равновесия следует, что и . Здесь в соответствии с рис. 1.10, а предполагаем, что стержень всюду сжат. (Силу F при определении температурных напряжений считаем равной нулю.)

Уравнение совместности деформации показывает, что абсолютная деформация стержня, равная разности удлинения стержня от температурного воздействия и укорочения от действия сжимающих продольных сил не может быть больше заданного зазора :

,

где .

Укорочение стержня от действия продольных сил найдем, используя физические уравнения (закон Гука):

и .

После решения полученной системы уравнений найдем усилия в обеих частях стержня. Полученный положительный знак должен подтвердить предположение о том, что стержень сжат. Строим эпюры продольной силы и напряжений (рис. 1.10, б) от температурного воздействия.

Проверяем прочность стержня и в случае невыполнения условия прочности на каком-нибудь участке находим новое значение , при котором условие прочности будет соблюдаться на всех участках.

 

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)

Условие задачи

Стержневая конструкция, состоящая из абсолютно жесткого диска и двух деформируемых стержней длиной l1 и l2, соединенных шарнирами, подвержена действию силы F (рис. 1.11). Примем следующие исходные данные: м, м, , , м, м.

Рис. 1.11. Схема конструкции в задаче № 5

Задача состоит из трех частей:

Часть 1. Расчет по упругой стадии деформации. В зависимости от исходных данных, выписанных из таблицы и являющихся индивидуальными для каждого студента, надо либо определить грузоподъемность конструкции, либо подобрать размеры поперечного сечения расчетом по допускаемым напряжениям.

Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.

Часть 3. Определение дополнительных напряжений, связанных с изменением температуры на DT или неточностью изготовления D одного из стержней. Допустим, что в рассматриваемой задаче стержень 1 охлаждается (DT1 < 0), и найдем возникающие в стержнях конструкции температурные напряжения.

Решение

Прежде всего убедимся, что рассматриваемая конструкция является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: ими являются продольные силы в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции в шарнирно неподвижной опоре в точке А. Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз статически неопределимой.

Часть 1. Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:

·* уравнения равновесия;

·* уравнения совместности деформаций;

·* физические уравнения (закон Гука).

Чтобы составить уравнения равновесия, нарисуем план сил. Для этого рассечем стержни и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями – продольными силами N1 и N2 (рис. 1.12, а). Важно, чтобы на плане сил направления усилий соответствовали плану перемещений. Для того, чтобы выяснить как направлены продольные силы в стержнях, нарисуем приближенный план перемещений (рис. 1.12, б), пользуясь принципами, описанными при решении задачи № 3. Точки В и С жесткого диска поворачиваются с радиусами AB и АС вокруг неподвижной точки А на один и тот же угол g и перемещаются по дугам, которые заменяем перпендикулярами и Для того, чтобы найти абсолютные деформации стержней, надо из точек и (новые положения узлов В и С) опустить перпендикуляры на направления стержней. Как видно из рис. 1.12, б стержень 1 укорачивается на (выделенный жирным отрезок), и поэтому на плане сил усилие N1 показано сжимающим. Стержень 2 согласно плану перемещений удлиняется на , и на рис. 1.12, а продольная сила N2 нарисована растягивающей.

 

Рис. 1.12. К решению задачи № 5: а – план сил от действия F; б – план перемещений от действия F  

Теперь составим три уравнения равновесия:

; ;

; ;

; .

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности деформаций. Поскольку данная система является один раз статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Это геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим на основании плана перемещений. Из подобия треугольников ABB¢ и ACC¢ на рис. 1.12, б . Связывая отрезки BB¢ и CC¢ с деформациями стержней и и учитывая, что AB = a,а , получим уравнение совместности деформаций

.

Поскольку , то окончательно

.

Это уравнение показывает, во сколько раз абсолютное удлинение второго стержня больше абсолютного укорочения первого стержня. При построении плана перемещений в масштабе (что рекомендуется) результаты вычислений можно проверить по рисунку, измерив отрезки и и найдя их отношение.

Теперь надо связать деформации стержней с внутренними усилиями. Предполагая, что материал подчиняется закону Гука (расчет по упругой стадии деформаций), запишем третью группу уравнений

и .

Мы получили полную систему уравнений для определения всех неизвестных ( ). Как правило, нас интересуют только продольные силы в стержнях, поэтому из уравнений равновесия при решении системы используется только последнее уравнение, в которое не входят опорные реакции. Решая полученную систему уравнений, найдем внутренние усилия в стержнях:

;

.

Здесь введено обозначение – погонная жесткость i-го стержня.

Заметим, что, как видно из полученных формул, усилия зависят не только от величины нагрузки и геометрических размеров конструкции, как в статически определимых системах, но и от отношения погонных жесткостей стержней. Эта важная закономерность справедлива для любой статически неопределимой конструкции и позволяет влиять на распределение усилий в стержнях без изменения ее геометрической схемы. Для принятых в данной задаче исходных данных получим и .

Определив внутренние усилия в стержнях, находим напряжения и выбираем наиболее напряженный стержень. Из условия прочности этого (наиболее напряженного) стержня либо определяем допускаемую нагрузку, либо подбираем размеры поперечных сечений стержней (заданное отношение площадей сечения необходимо сохранить). Напряжения в стержнях , . Из сравнения видно, что наиболее напряженным является стержень 2. Из условия прочности этого стержня

находим либо значение F, либо А1 (А2 по заданному отношению равно А1/2).

Для проверки рекомендуем после определения допускаемой нагрузки (либо размеров площадей сечения) еще раз найти напряжения в стержнях и убедиться в том, что условие прочности выполняется в обоих стержнях.

Часть 2. Сделаем расчет конструкции по предельному пластическому состоянию. Поскольку заданная система является один раз статически неопределимой, то в предельном состоянии должны потечь два стержня, то есть все деформируемые стержни конструкции. Для определения предельной нагрузки нарисуем план сил в предельном состоянии (рис. 1.13). Направления усилий снова должны соответствовать плану перемещений. Составим одно уравнение равновесия в предельном состоянии (такое уравнение, в которое не входят неизвестные опорные реакции):

; .

Из этого уравнения можно найти значение предельной нагрузки. Для конкретных исходных данных, использованных в первой части задачи, получим:

.

  Рис. 1.13. План сил в предельном состоянии

Из условия прочности конструкции по предельному состоянию либо находим значение допускаемой нагрузки, либо подбираем размер А1.

Сравним величины допускаемых нагрузок, найденных разными методами для рассмотренного примера. Допускаемая нагрузка, определенная расчетом по упругой стадии деформации

,

оказалась меньше допускаемой нагрузки, полученной расчетом по предельному пластическому состоянию , на 56%.

Часть 3. Найдем дополнительные напряжения в стержнях конструкции, связанные с охлаждением стержня 1 на градусов. Предполагая, что в процессе деформации материал стержней остается упругим, расчет ведем по той же схеме, что и в первой части задачи, т. е. составляем три группы уравнений:

·* уравнения равновесия;

·* уравнения совместности деформаций;

·* физические уравнения.

Уравнения равновесия составляем по плану сил (рис. 1.14, а), уравнения совместности деформаций – по плану перемещений (рис. 1.14, б). План сил и план перемещений, как и раньше, должны соответствовать друг другу. Поясним особенности построения плана перемещений от температурного воздействия. Если бы конструкция была статически определимой, т. е. стержень 2 отсутствовал, то стержень 1 при охлаждении уменьшил бы свою длину на величину , жесткий диск повернулся бы на угол g¢ и узел В переместился в положение В¢¢. Поскольку конструкция статически неопределима, то лишний стержень 2 препятствует такой деформации. В результате жесткий диск повернется только на угол g, точка В перейдет в положение В¢. Стержень 1 окажется растянутым на величину (выделенный жирным отрезок на плане перемещений рис. 1.14, б) и в нем возникнет растягивающее усилие N1. В свою очередь стержень 2 в процессе деформации также будет растянут на величину продольной силой N2. В соответствии с планом перемещений на плане сил (см. рис. 1.14, а) оба стержня показаны растянутыми.

  Рис. 1.14. К решению задачи № 5: а – план сил от температурного воздействия; б – план перемещений от температурного воздействия  

Теперь запишем систему уравнений для определения внутренних усилий в заданной конструкции:

уравнение равновесия

; ;

уравнение совместности деформации [3]

и физические уравнения

; ; .

Решая эту систему уравнений, найдем усилия в стержнях системы, а далее по формуле (1.1) температурные напряжения. Заметим, что отрицательный знак используется только при построении плана перемещений (стержень укорачивается от действия температуры), при решении системы уравнений величину следует принять положительной.

Примечание. Определение монтажных напряжений, связанных с неточностью изготовления одного из стержней , производится так же, как температурных напряжений. Например, если в рассмотренном примере стержень 1 будет изготовлен короче, чем требуется, на величину (эта величина в таблице исходных данных [4] задана отрицательной), то при сборке конструкции стержень 1 надо будет растянуть и при этом стержень 2 тоже растянется. На плане перемещений отрезок заменим на и решение задачи будет справедливо, если в полученной системе уравнений всюду заменить на заданную величину .(Отрицательный знак при решении системы уравнений не учитывается.)


Напряжение, деформация и прогиб

Напряжение и деформация


Напряжения бывают растягивающими или сжимающими. Конструкционные материалы выбираются по их способности противостоять силам растяжения или сжатия, в зависимости от области применения. Большинство материалов лучше сопротивляются тому или иному. Например, бетон прочен на сжатие и относительно слаб на растяжение. Сталь одинаково прочна как на растяжение, так и на сжатие. В проектировании конструкций есть два типа сил: растяжение и сжатие .

НАПРЯЖЕНИЕ: Сила тяги
Представьте себе силу, ощущаемую в ваших руках, когда вы висите на перекладине.
Подверженный растяжению элемент конструкции имеет удлиненную форму.
СЖАТИЕ: Сила сжатия
Представьте себе силу, ощущаемую в ваших руках, когда вы стоите на руках.
Укороченный элемент конструкции, подвергаемый сжатию.

Напряжение определяется как сила на единицу площади, на которую действует сила. Таким образом,
Напряжения бывают растягивающими или сжимающими. Конструкционные материалы выбираются по их способности противостоять силам растяжения или сжатия, в зависимости от области применения. Большинство материалов лучше сопротивляются тому или иному. Например, бетон прочен на сжатие и относительно слаб на растяжение. Сталь одинаково прочна как на растяжение, так и на сжатие.


Примером элемента конструкции, работающего на растяжение, может быть кабель.
Примером сжатого структурного элемента может быть колонна.

Деформация определяется как изменение длины напряженного элемента конструкции, деленное на исходную длину ненагруженного элемента. Таким образом,

\ [\ epsilon = \ frac {\ Delta L} {L_0} \]

где, \ [= \ Delta L = L’-L_0, \]

Прочность материала на растяжение определяется в лаборатории путем вытягивания образца до его разрушения.Во время проведения теста регистрируются как напряжение, так и деформация. Максимальное напряжение, которое может выдержать образец, называется пределом прочности этого конкретного материала. С точки зрения проектирования нас в основном интересует напряжение, при котором материал перестает упруго вести себя.

Материал ведет себя эластично, когда он возвращается к своей исходной форме, когда приложенная нагрузка больше не применяется. Эта точка находится путем построения графика зависимости напряжения от деформации во время испытания и определения напряжения, при котором график становится нелинейным.Это напряжение называется пределом текучести , s y .

Наклон кривой напряжение-деформация в упругой области определяется как модуль упругости , E. Конструкции должны быть спроектированы таким образом, чтобы любая приложенная нагрузка не приводила к тому, что напряжение в конструкции превышало s y .

Балки — это элементы конструкции, которые подвергаются изгибающим силам. При изгибе балка одновременно подвергается растяжению и сжатию.

Представьте себе пучок губки. Скажем, мы рисуем сетку сбоку от балки, так что губка разделена на два ряда прямоугольников одинаковой длины, L o , и высоты, h / 2.

При приложении силы к балке прямоугольники деформируются.

Верхние части прямоугольников верхнего ряда укорачиваются, а низы нижнего ряда прямоугольников удлиняются. Таким образом, мы видим, что верх балки сжимается, а нижняя часть балки растягивается.

Обратите внимание, что середина балки не подвержена растяжению или сжатию. Это называется нейтральной осью . Напряжение изгиба на нейтральной оси равно нулю.

Ключом к проектированию балки является определение точки максимального напряжения. Для балки с простой опорой при равномерной нагрузке максимальное напряжение возникает в центральной точке. Максимальное сжимающее напряжение в верхней части балки, s cmax , и максимальное растягивающее напряжение в нижней части балки, s tmax , определяются следующими уравнениями:

, где h — высота балки, b — ширина балки, а M max — максимальный момент в середине пролета балки.

Изгиб и прогиб и его уравнения Рисунок ii-1) напряжения и моменты, действующие в поперечном сечении балки; (a) поперечное сечение, (b) нормальные и касательные напряжения, действующие по поперечному сечению, (c) момент
и поперечная сила, равная нормальным и касательным напряжениям
Рисунок ii-2) Соглашение о знаках для моментов и поперечных сил

Балки на рис. Ii-1 и ii-2 показывают нормальное напряжение и прогиб, которые можно ожидать, когда балка изгибается вниз.Бывают ситуации, когда части балки изгибаются вверх, и в этих случаях знаки нормальных напряжений будут противоположны показанным на первом рисунке. Однако моменты (и поперечные силы), показанные на рис. Ii-1, будут считаться положительными. Это условное обозначение, которое будет использоваться, показано на рис. Ii-2

. Связь между моментом, поперечной силой и нагрузкой

Связь между приложенными нагрузками и внутренней поперечной силой и изгибающим моментом в балке можно установить, рассмотрев небольшой элемент балки шириной dx,

Плоские сечения остаются плоскими в теории элементарной балки
Деформация волокон материала в элементе балки

Балка — это трехмерный объект, и поэтому в целом он будет испытывать довольно сложное трехмерное напряженное состояние.Ниже мы покажем, что простое одномерное приближение, \ [\ sigma = \ epsilon E \], без учета всех других напряжений и деформаций, будет достаточно точным для наших целей.

Изгибное напряжение балки

Рассмотрим балку AB, которая изначально прямая и горизонтальная в ненагруженном состоянии. Если под действием нагрузок балка отклоняется в положение A’B ’под нагрузкой или фактически, мы говорим, что ось балки изгибается до формы A’B’. Принято называть A’B ’изогнутой осью балки упругой линией или кривой прогиба.В случае изгиба балки под действием поперечных нагрузок, действующих в плоскости симметрии, изгибающий момент M изменяется по длине балки, и мы представляем изменение изгибающего момента на диаграмме B.M. Далее предполагается, что справедливо простое уравнение теории изгиба.

Уравнение прогиба балки Метод интеграции Метод прогиба балки Пример свободно опертой балки методом прямого интегрирования
Пары и силы

Уравнения растягивающего и сжимающего напряжения и деформации — стенограмма видео и урока

Растяжение и сжатие

В зависимости от силы, приложенной к объекту, он может подвергаться различным видам напряжения и деформации.Двумя наиболее распространенными типами являются растягивающее и сжимающее напряжение и деформация. Когда объект находится под напряжением , он увеличивается в длине. Растягиваемая резинка — типичный пример объекта, испытывающего растягивающее напряжение и деформацию. Противоположность растяжению — сжатие , когда объект подвергается уменьшению в длине. Если вы когда-либо сжимали в руках резиновый мяч или игрушку-писк домашнего животного, вы создавали сжимающее напряжение и деформацию в объекте.

В случае деформации растяжения и сжатия математическое определение — это изменение длины, деленное на исходную длину объекта. Разница между ними в том, как изменяется длина. Для растяжения это увеличение длины, а для сжатия — уменьшение длины. Если мы хотим разделить их на два разных уравнения, мы можем записать их следующим образом.

Модуль упругости и закон Гука

Любой объект может испытывать растягивающие и сжимающие напряжения и деформации, но не все реагируют на это напряжение в одинаковой степени.Представим, что у вас в руках два небольших кубика. Один из стали, другой — из резины. Если к ним обоим приложить одинаковую нагрузку, кто будет испытывать большее напряжение? Какой будет растягиваться или сжиматься дальше? Вы знаете, что это будет резиновый блок. Стальной блок намного жестче, чем резиновый, и не растягивается и не сжимается так сильно.

В физике мы можем использовать так называемый модуль упругости для измерения жесткости материала.Оказывается, все, что нам нужно для определения модуля упругости, — это напряжение, приложенное к объекту, и деформация, которую он испытывает. Мы можем записать модуль упругости как отношение двух. Таким образом, модуль упругости равен напряжению, деленному на деформацию.

Модуль упругости на самом деле постоянный. Это означает, что любой материал всегда будет иметь один и тот же модуль упругости. Если мы изменим уравнение, чтобы получить стресс сам по себе, мы увидим кое-что интересное.Мы можем получить уравнение в виде

Это не сразу очевидно, но вы, возможно, уже видели подобное уравнение раньше. У вас есть напряжение, сила на единицу площади, равная постоянной, умноженной на деформацию, смещение. Это очень похоже на закон Гука, который вы, возможно, видели для пружин, где сила равна постоянной пружины, умноженной на смещение.

Оказывается, наше преобразованное уравнение модуля упругости также является законом Гука.Наше преобразованное уравнение модуля упругости является более общей формой закона Гука, применимого ко всем материалам, а не только к пружинам. Закон Гука показывает нам, что напряжение, необходимое для растяжения или сжатия материала, прямо пропорционально расстоянию, на которое он растягивается или сжимается.

Кривая напряжения-деформации

Еще один интересный способ сравнить напряжение и деформацию — это посмотреть на график этих двух величин.

Для создания этого графика к материалу прикладывается напряжение до тех пор, пока он не сломается.Мы можем немного узнать о материале, глядя на кривую графика. В начале нашего графика есть крутая диагональная линия, направленная вверх. После крутой диагональной линии вы видите, что кривая начинает изгибаться. В начале этого изгиба находится предел пропорциональности . После этого закон Гука больше не применяется к нашему материалу. После предела пропорциональности на пике изгиба нашей кривой находится предел упругости . Диапазон от начала кривой до предела упругости известен как упругая область .В этой области, если вы перестанете подвергать наш материал нагрузке, он вернется к своей первоначальной форме.

По истечении предела упругости материал теряет эластичность. Мы называем диапазон от этой точки до конца нашего графика пластиковой областью , потому что материал становится пластичным, как пластик. После приложения напряжения материал не полностью вернется к своей первоначальной длине. В конце нашего изгиба, где кривая снова начинает выпрямляться, находится предел текучести .С этого момента достаточно небольшого напряжения, чтобы значительно изменить длину нашего материала. Мы можем видеть это, потому что кривая стала намного менее крутой, чем раньше. Наконец, в конце нашей кривой, где она внезапно останавливается, находится точка перелома . Здесь материал порвался. Например, если материал испытывал напряжение растяжения, в этот момент он мог расколоться на две части.

Краткое содержание урока

Когда на объект действует сила, она может создавать в нем напряжение и деформацию. Напряжение — это внутренняя сила на единицу площади, а деформация, которой подвергается объект из-за напряжения, — это деформация . Двумя наиболее распространенными типами напряжения и деформации являются растягивающее и сжимающее напряжение и деформация. Растяжение означает увеличение длины объекта, а сжатие означает уменьшение длины.

Из напряжения и деформации мы можем определить модуль упругости материала , который является мерой жесткости материала.Затем мы можем использовать модуль упругости, чтобы найти формулу закона Гука, которая работает для всех материалов, а не только для пружин. Эта общая форма закона Гука показывает нам, что напряжение, необходимое для растяжения или сжатия материала, прямо пропорционально расстоянию, на которое он растягивается или сжимается.

Наконец, мы можем многому научиться, глядя на график зависимости напряжения от деформации для материала. Мы можем видеть диапазон напряжений и деформаций, для которых материал обладает упругими свойствами и для которых он податлив, как пластик.Мы называем эти два диапазона упругой областью и пластической областью . При переходе между этими двумя областями мы также можем увидеть точку, в которой закон Гука перестает применяться к материалу, и точку, в которой начинает действовать лишь небольшое напряжение, чтобы вызвать большую деформацию. Наконец, кривая резко обрывается в точке разрыва материала из-за напряжения.

Результаты обучения

Достигните следующих целей после изучения тем в этом уроке:

  • Различите стресс и напряжение и перечислите два общих типа
  • Контраст растяжения и сжатия
  • Запишите модуль упругости и вычислите формулу закона Гука
  • Изобразите график кривой зависимости напряжения от деформации и поймите, что он показывает
Расчетное напряжение крепления анкеровки

— Руководство по конструкции

Расчетное напряжение связки анкеровки

Расчет длин анкеровки

Длину, необходимую для анкеровки арматурного стержня, можно рассчитать с помощью уравнений, приведенных в разделе 3.12.8.3 BS 8110 Часть 01 1997. Однако код также предоставляет упрощенные значения в таблице 3.27, которые можно использовать для расчета длин анкеровки при растяжении и сжатии.

В этой статье мы сконцентрируемся на расчете анкеровки арматуры.

На следующем рисунке показано уравнение, приведенное в коде для расчета напряжений сцепления.

На приведенном выше рисунке показано уравнение 48 кода, и если мы знаем другие параметры, мы можем рассчитать длины анкеровки.f b , что является напряжением сцепления, зависит от марки бетона и коэффициента сцепления. Методика расчета напряжения сцепления заключается в следующем.

Уравнение 49 стандарта BS 8110, часть 01, устанавливает уравнение для расчета напряжения сцепления. Нам нужно найти коэффициент связи, чтобы рассчитать напряжение связи.

В зависимости от типа используемых стержней и от того, находится ли голый на растяжении или сжатии, считается, что определяется коэффициент сцепления. Его можно найти в таблице 3.26 кода.

Используя значения, указанные в таблице, мы можем рассчитать напряжение сцепления.

Рассмотрим пример расчета длины анкерного крепления при растяжении

Марка бетона 25
Деформированные стержни типа II

Напряжение связи = β√fcu
= 0,5√25
= 2,5

Рассмотрим стержень диаметром 16 мм и стержень является напряженным. до податливости.
Тогда напряжение в голом состоянии составляет 0,95fy

Сила в стержне = 0,95f y xA s
Fs = 0.95x460x200
= 87400 Н

f b = Fs / πφ e l
l = Fs / πφ e f b
= 87400 / π x 16 x 2,5
= 695,5 мм

Расчетное значение длины анкеровки 695,5 мм. Таким образом, мы можем предоставить анкеровку длиной 700 мм.

Это значение можно найти из таблицы 3.27 стандарта BS 8110. Коэффициент, относящийся к бетону марки 25 и деформированным стержням типа 2, составляет 44

Длина анкерного крепления при растяжении = 44 × 16
= 704 мм

Отсюда можно сделать вывод что, когда стержень полностью напряжен (уступает), оба метода дают одинаковые ответы, и мы можем использовать таблицу 3.27 вместо длительных вычислений для определения длины нахлеста и анкеровки.

% PDF-1.3 % 200 0 объект > эндобдж xref 200 83 0000000016 00000 н. 0000002029 00000 н. 0000002126 00000 н. 0000003599 00000 н. 0000003757 00000 н. 0000004401 00000 п. 0000005018 00000 н. 0000005070 00000 н. 0000005111 00000 п. 0000005162 00000 н. 0000005214 00000 н. 0000005432 00000 н. 0000008064 00000 н. 0000008656 00000 н. 0000008886 00000 н. 0000009122 00000 п. 0000009760 00000 н. 0000010364 00000 п. 0000010588 00000 п. 0000011003 00000 п. 0000011236 00000 п. 0000011574 00000 п. 0000011798 00000 п. 0000011939 00000 п. 0000012160 00000 п. 0000012390 00000 п. 0000012552 00000 п. 0000012869 00000 п. 0000013977 00000 п. 0000014986 00000 п. 0000015435 00000 п. 0000017182 00000 п. 0000017512 00000 п. 0000039078 00000 п. 0000068731 00000 п. 0000076235 00000 п. 0000095936 00000 п. 0000122711 00000 н. 0000130120 00000 н. 0000130223 00000 п. 0000132902 00000 н. 0000133435 00000 н. 0000133572 00000 н. 0000133651 00000 п. 0000134271 00000 н. 0000134526 00000 н. 0000134749 00000 н. 0000134958 00000 н. 0000146894 00000 н. 0000147111 00000 н. 0000209121 00000 н. 0000212198 00000 н. 0000219109 00000 н. 0000221982 00000 н. 0000223333 00000 н. 0000224325 00000 н. 0000229327 00000 н. 0000229456 00000 н. 0000229611 00000 н. 0000229750 00000 н. 0000229905 00000 н. 0000230044 00000 н. 0000230193 00000 п. 0000230334 00000 п. 0000230489 00000 н. 0000230636 00000 н. 0000230797 00000 н. 0000230940 00000 н. 0000231095 00000 н. 0000231230 00000 н. 0000231383 00000 н. 0000231518 00000 н. 0000231671 00000 н. 0000231812 00000 н. 0000231976 00000 н. 0000232115 00000 н. 0000232279 00000 н. 0000232434 00000 н. 0000232569 00000 н. 0000232718 00000 н. 0000232855 00000 н. 0000002278 00000 н. 0000003576 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 201 0 объект > эндобдж 202 0 объект `Dz — # _ m_} g) / U (q | jcL% ~ M ~ @> o) / P -60 / V 1 / Длина 40 >> эндобдж 281 0 объект > транслировать Lv ՙ h ^

Силы сжатия и растяжения в бетонных столешницах

Балка — это горизонтальный элемент конструкции, который охватывает некоторое открытое пространство и поддерживается рядом с концами.Балка может поддерживать некоторый вес, помещенный на нее где-то между концевыми опорами. Балка перекрытия — это балка. Бетонные столешницы — это тоже балки.

Когда на балку помещен груз, этот груз заставляет балку отклоняться (изгибаться). Небольшой вес на жестких балках почти не вызывает прогиба, в то время как большой вес на гибких балках вызывает значительный прогиб. Отклонение балки вызывает две вещи: верхняя поверхность балки сжимается и пытается стать короче, а нижняя поверхность находится в напряжении и пытается удлиниться.

Между ними происходит что-то важное. Сжатие противоположно растяжению, поэтому по мере продвижения вниз по балке от верхней поверхности к нижней, напряжение сжатия постепенно уменьшается до нуля, а затем напряжения меняются, переходя в растяжение и постепенно увеличиваясь по направлению к нижней части балки. Если неармированная балка имеет симметричное поперечное сечение (например, прямоугольник), переключение напряжения происходит в средней точке между верхней и нижней гранями.

Это важно, потому что, учитывая отсутствие напряжения растяжения или сжатия в средней части столешницы, размещение арматуры там абсолютно бесполезно.Точка, в которой происходит это переключение, называется нейтральной осью, и ее можно рассматривать как воображаемую линию, проходящую параллельно длине луча.

Если столешница сделана из традиционного сборного железобетона (без армирования), любой значительный вес, помещенный на нее, приведет к ее разрушению в нижней части столешницы, потому что напряжения растяжения в нижней части столешницы будут превышать растяжение прочность бетона. На дне образуется трещина, которая продвигается вверх буквально со скоростью звука.

Обратите внимание, что в случае столешниц из бетона GFRC структурное армирование обеспечивается не сталью, а смешанными стекловолокнами AR. Буквально это «бетон, армированный стекловолокном». Пожалуйста, ознакомьтесь с обширными бесплатными статьями GFRC на этом сайте, чтобы понять, как работает GFRC.

Некоторые утверждают, что, поскольку бетонные столешницы обычно охватывают только ширину шкафа (обычно максимум 36 дюймов), они представляют собой довольно короткие балки, и поэтому возникающие напряжения не так велики.Это правда, но как насчет случая, когда сборная плита длиной 8 футов берется в магазине и загружается на грузовик для транспортировки? В цехе возникают самые большие нагрузки и самый большой риск растрескивания. После того, как плиты будут установлены, только установка шкафов или здания создаст большую нагрузку.

В этом видео гораздо более подробно рассматривается вопрос о силах сжатия и растяжения в бетонных столешницах.

формул для изгиба, сдвига и нормального напряжения

Напряжения в балках

В отдельной статье, озаглавленной «Ключевые факторы для расчета и анализа несущих балок», было краткое обсуждение напряжений и их функции в структурном анализе.В этой статье мы более подробно рассмотрим нормальное напряжение, изгибающее напряжение и напряжение сдвига.

Формула для нормального напряжения

Нормальное напряжение — это напряжение, которое возникает, когда элемент нагружается осевой силой. Значение нормальной силы для любого призматического сечения — это просто сила, деленная на площадь поперечного сечения.

Нормальное напряжение возникает, когда элемент подвергается растяжению или сжатию. Примеры элементов, испытывающих чисто нормальные силы, включают колонны, воротниковые стяжки и т. Д.

Формула напряжения изгиба

Когда элемент нагружается, как показано на рисунке, возникает одно изгибающее напряжение (или изгибающее напряжение). Напряжение изгиба — это более специфический тип нормального напряжения. Когда балка испытывает нагрузку, подобную показанной на рисунке 1, верхние волокна балки испытывают нормальное сжимающее напряжение. Напряжение в горизонтальной плоскости нейтрали равно нулю. Нижние волокна балки испытывают нормальное растягивающее напряжение. Таким образом, можно сделать вывод, что величина напряжения изгиба будет линейно изменяться с расстоянием от нейтральной оси.

Расчет максимального напряжения изгиба имеет решающее значение для определения соответствия балок, стропил, балок и т. Д.

Формула напряжения сдвига

Нормальное напряжение — это результат нагрузки, приложенной перпендикулярно стержню. Напряжение сдвига, однако, возникает, когда нагрузка прикладывается параллельно к области. Снова посмотрев на рисунок 1, можно увидеть, что будут возникать как изгибающие, так и касательные напряжения. Как и в случае напряжения изгиба, напряжение сдвига будет варьироваться по площади поперечного сечения.

Расчет максимального напряжения сдвига также имеет решающее значение для определения соответствия балок, стропил, балок и т. Д.

Программа для расчета балок

упрощает расчет напряжений

При проектировании балок любого типа использование программного обеспечения для проектирования конструкций значительно упростит весь процесс расчета напряжений. Для проектирования балок, колонн или фундамента доступно несколько различных пакетов программного обеспечения для инженерного проектирования. Если вы работаете на рынке, попробуйте Vitruvius с бесплатной 30-дневной пробной версией, без каких-либо ограничений!

Фермерских построек… — Ch5 Структурное проектирование: Механика материалов-Конструкционные элементы и нагружение-Расчет элементов в условиях прямого напряжения-Свойства структурных сечений

Фермерские конструкции … — Ch5 Структурное проектирование: Механика материалов-Конструкционные элементы и нагружение-Расчет элементов в прямом напряжении-свойствах структурных сечений
Механика материалов

Содержание — Предыдущая — Следующая

Прямое напряжение

Когда сила передается через тело, тело стремится изменить свою форму.Хотя эти деформации можно увидеть редко. невооруженным глазом многие волокна или частицы, составляющие корпус, передают силу по всей длине и сечению тело, и волокна, выполняющие эту работу, как говорят, находятся в состоянии стресс. Таким образом, стресс можно описать как мобилизованную внутреннюю реакция, которая сопротивляется любой тенденции к деформации. С действие силы распределяется по поперечному сечению области тела стресс определяется как передаваемая сила или сопротивлялись на единицу площади.

Таким образом, напряжение = Сила / Площадь

Единица измерения напряжения в S.l. это ньютоны на квадратный метр (Н / м). Это также называется паскалем (Па). Однако часто бывает Удобнее использовать кратное Н / мм.

Обратите внимание, что 1 Н / мм = 1 МН 1 м = 1 М Па

Растягивающее и сжимающее напряжение, возникающее в результате сил действуя перпендикулярно плоскости рассматриваемого поперечного сечения, известны как нормальное напряжение и обычно обозначаются символом ( Греческая буква сигма), иногда дается суффикс t для напряжения (at) или c для сжатия (c).Напряжение сдвига создается силами действуют параллельно или касательно плоскости поперечного сечения и обозначается буквой r (греческая буква тау).

Растягивающее напряжение

Пример 8

Рассмотрим стальной стержень, который тоньше в середине длины, чем где-либо еще, и которая подвержена осевому растяжению 45 кН.

Если штанга откажется от натяжения, это произойдет из-за разрыв там, где количество материала минимально.Общая сила, ведущая к разрушению стержня, составляет 45 кН на всем поперечном секций, но в то время как действие силы распределяется по площадь поперечного сечения 1200 мм для части длины стержня, он распределяется только на 300 мм в среднем положении. Таким образом, растягивающее напряжение наибольшее в середине и составляет: при = 300 2 = 15ON / мм

Напряжение сжатия

Пример 9

Кирпичный пирс — 0.Площадь 7 м, высота 3 м, вес 19 кН / м. Он выдерживает осевую нагрузку от колонны 490 кН. Загрузка равномерно распределяется по верхней части пирса, поэтому стрелка, показанная просто представляет собой результат нагрузки. Рассчитайте а) напряжения в кирпичной кладке непосредственно под колонной, б) напряжение на дне пирса.

Решение а

Площадь поперечного сечения = 0,49 м

Напряжение = s c = 490 кН / 0,49 м 2 = 1000 кН / м или 1 Н / мм

Решение b

Вес пирса: = 0.7 м x 0,7 м x 3,0 м x 19 кН / м = 28 кН

Общая нагрузка = 490 + 28 = 518 кН и

Напряжение = s c = 518 кН / 0,49 м 2 = 1057 кН / м или 1,06 Н / мм

Напряжение сдвига

Пример 10

Заклепка соединяет две части плоского стального листа. Если нагрузки достаточно велики, заклепка могла выйти из строя при сдвиге, т. е. не разрыв, но скольжение его волокон. Рассчитайте напряжение сдвига заклепка, когда стальные стержни подвергаются осевому натяжению 6кН.

Диаграммы

Обратите внимание, что заклепки действительно усиливают соединение за счет сжатие двух стальных стержней вместе, но эта сила из-за трение, не может быть легко рассчитано и поэтому им пренебрегают, т.е. предполагается, что заклепка придает всю прочность связь.

Площадь поперечного сечения заклепки = 1/4 x P x 10 2 = 78,5 мм
Напряжение сдвига = r = 6 кН / 78.5 мм 2 = 76 Н / мм

Штамм

Когда к телу прикладываются нагрузки любого типа, тело будет всегда претерпевают изменения размеров, это называется деформацией. Таким образом, растягивающие и сжимающие напряжения вызывают изменения длины; крутильно-сдвиговые напряжения вызывают скручивание и опорные напряжения вызвать вмятину на опорной поверхности.

В хозяйственных постройках, где в основном возникает одноосное напряженное состояние. Считается, что основная деформация происходит в осевом направлении.В двух других всегда есть небольшие деформации. размеры, но они редко имеют значение.

Прямая деформация = Изменение длины / Исходная длина = e = D L

По определению деформация — это коэффициент изменения и, следовательно, безразмерная величина.

Эластичность

Все твердые материалы деформируются при нагрузке и напряжение увеличивается, деформация тоже увеличивается.Во многих случаях, когда снимается нагрузка, вызывающая деформацию, материал возвращается к своему первоначальному размеру и форме и считается эластичный. Если напряжение постоянно увеличивается, достигается точка когда после снятия нагрузки не все индуцированные напряжение восстанавливается. Это предельное значение напряжения называется предел упругости. В диапазоне упругости деформация пропорциональна к стрессу, вызывающему это. Это называется модулем эластичность. Наибольшее напряжение, при котором еще сохраняется напряжение пропорциональное называется пределом пропорциональности (Гука закон).

Таким образом, если построен график зависимости напряжения от деформации как нагрузка прикладывается постепенно, первая часть графика будет прямая линия. Наклон этой прямой — постоянная пропорциональности, модуля упругости (E) или модуля Юнга и его следует рассматривать как меру жесткости материал.

Модуль упругости = E = напряжение / деформация = FL / AD L

Модуль упругости будет иметь те же единицы, что и напряжение. (Н / мм).Это потому, что у деформации нет единиц.

Удобный способ продемонстрировать упругое поведение — построить график график результатов простого испытания на растяжение, проведенного на тонкий стержень из мягкой стали. Штанга подвешивается вертикально и серия силы, приложенные к нижнему концу. Две точки замера отмечены на стержень и расстояние между ними, измеренное после каждого усилия добавлен инкремент. Испытание продолжается до тех пор, пока стержень перерывы.

Рисунок 4.1 Поведение стержень из низкоуглеродистой стали под напряжением.

Пример 11

Два деревянных столбика, квадрат 150 мм и высота 4 м, подлежат осевая нагрузка по 108 кН. Один столб изготовлен из соснового бруса (E = 7800 Н / мм), а другой — австралийское черное дерево (E = 15300 Н / мм). Насколько они укорачиваются из-за нагрузки?

Площадь поперечного сечения А = 22500мм; длина L = 4000мм

Сосна: D L = FL / AE = (108000 x 4000) / (22500 х 15300) = 1.3 мес.

Австралийское черное дерево: D L = (108000 x 4000) / (22500 x 15300) = 1,3 мм

Фактор безопасности

Разумеется, допустимые напряжения должны быть меньше стрессы, которые могут привести к отказу членов состав; другими словами, должен быть достаточный запас прочности. (В 2000 г. до н.э. строительный кодекс объявил, что жизнь застройщика конфисковано, если дом рухнет и убьет хозяина).

Также необходимо ограничить деформации из-за чрезмерного прогиба может вызвать такие неприятности, как растрескивание потолка, перегородки и отделки, а также отрицательно влияющие на функциональные потребности.

Конструктивное проектирование — это не точная наука, а расчет значения реакций, стрессов и т. д., хотя они могут быть математически корректно для теоретической структуры (т. е. модель), может быть только приблизительным, насколько фактическое поведение структура обеспокоена.

По этим и другим причинам необходимо выполнить конструкцию напряжение, рабочее напряжение, допустимое напряжение и допустимое напряжение меньше предельного напряжения или предела текучести. Эта маржа клеточный запас прочности.

Расчетное напряжение = [Предельное напряжение (или предел текучести)] / Коэффициент безопасности

В случае такого материала, как бетон, который не имеют четко определенный предел текучести или хрупкие материалы, которые ведут себя линейно вплоть до отказа, запас прочности равен относящиеся к предельному напряжению (максимальное напряжение перед поломкой).Другие материалы, такие как сталь, имеют предел текучести, при котором внезапно происходит увеличение деформации, и в этот момент напряжение ниже чем окончательный стресс. В этом случае запас прочности равен связаны с пределом текучести, чтобы избежать недопустимого деформации.

Значение запаса прочности следует выбирать с учетом множество условий, например:

  • точность допущений по нагрузке
  • постоянство нагрузок
  • вероятность несчастных случаев или больших экономических потерь в случай отказа
  • целевое назначение дома
  • однородность строительного материала
  • мастерство, ожидаемое от строителя
  • прочностные свойства материалов
  • уровень контроля качества, гарантирующий, что материалы соответствуют их техническим условиям
  • вид возникающих напряжений
  • стоимость стройматериалов

Однако обычно выбираются значения от 3 до 5, когда коэффициент безопасности связано с предельным напряжением и значениями 1.От 4 до 2,4 когда это связано с пределом текучести.

В случае строительных материалов, таких как сталь и древесина, разные факторы безопасности иногда рассматриваются как общие системы загрузки и для исключительных систем загрузки, чтобы сохранить материалы. Обычные нагрузки — это те, которые происходят часто, в то время как меньший запас прочности может рассматриваться как исключительный нагрузки, которые происходят реже и редко при полной интенсивность, например, давление ветра, землетрясения и т. д.

Структурные элементы и нагрузки

Прикладные нагрузки

Они делятся на три основные категории: постоянные нагрузки, ветровые нагрузки. и другие накладываемые нагрузки.

Постоянные нагрузки — это нагрузки от собственного веса всех постоянных конструкции, включая крышу, стены, пол и т. д. вес некоторых частей конструкции, например, кровли, может быть рассчитывается по паспортам производителя, но собственный вес элементов конструкции не может быть точно определяется до завершения проектирования.Следовательно, оценки собственный вес некоторых членов должен быть произведен до начала анализ конструкции и значения, проверенные по завершении дизайн.

Ветровые нагрузки — это наложенные нагрузки, но обычно рассматриваются как отдельную категорию в силу их преходящего характера и их сложность. Очень часто ветровая нагрузка оказывается самой сильной. критическая нагрузка на сельскохозяйственные постройки. Ветровые нагрузки естественно зависит от скорости ветра, но также и от местоположения, размера, форма, высота и конструкция здания.

Специальная информация о различных типах грузов. представлены в главе 5.

При проектировании конструкции необходимо учитывать, какие сочетание статических и приложенных нагрузок может привести к наибольшему критическое состояние нагрузки. Не все приложенные нагрузки будут обязательно одновременно достигают своих максимальных значений. В некоторых случаях, например, легких открытых навесов, ветровые нагрузки могут вызывать конструкцию крыши, которую нужно поднять, создавая эффект, противоположный направление к статической нагрузке.

Возникающие нагрузки — это нагрузки, связанные с использованием конструкции. и к условиям окружающей среды, например, весу хранимых продукты, оборудование, скот, автомобили, мебель и люди кто использует здание. К возложенным нагрузкам относятся землетрясения, ветровые нагрузки и снеговые нагрузки, если применимо; и иногда называются наложенными нагрузками, потому что они мертвым нагрузкам.

Динамическая нагрузка возникает из-за изменения нагрузки, в результате непосредственно от перемещения грузов.Например, зерновой бункер может быть под действием динамической нагрузки при внезапном заполнении из подвешенного бункер; недостаточно учитывать нагрузку только тогда, когда bin либо пуст, либо полон.

Принцип суперпозиции

Это говорит о том, что влияние ряда нагрузок, приложенных на в то же время является алгебраической суммой воздействия нагрузок, применяется по отдельности.

Используя стандартные загружения и применяя принцип суперпозиция, сложные схемы нагружения могут быть решены.Стандарт случайные значения поперечной силы, изгибающего момента или прогиба при конкретные позиции вдоль элемента могут быть оценены, а затем суммарное значение таких параметров для реальной системы загрузки найдено алгебраическим суммированием.

Влияние нагрузки

Когда нагрузки были преобразованы в определяемую нагрузку систем, проектировщик должен затем рассмотреть, как нагрузки будут передается через структуру. Нагрузки не передаются как такие, но как эффекты нагрузки.

При рассмотрении конструктивного элемента, занимающего определенную пространстве, декартову ось z-z обычно ориентируют вдоль оси длина стержня и оси x-x и y-y вдоль горизонтальная и вертикальная оси поперечного сечения соответственно.

Воздействие первичной нагрузки

Эффект первичной нагрузки определяется как прямой результат сила или момент, который имеет определенную ориентацию с относительно трех осей.Любая отдельная загрузка или комбинация нагрузки могут вызвать один или несколько из этих основных эффектов нагрузки. В большинстве случаев член будет рассчитан на то, чтобы поддерживать одного эффект нагрузки, обычно тот, который дает наибольший эффект. В более сложные ситуации, в которые разрешаются силы и моменты их компоненты вдоль осей, и тогда влияние нагрузки сначала изучал отдельно для одной оси за раз, а затем позже их комбинированные эффекты учитываются при предоставлении члену размер и форма.

На выбор материала для члена могут повлиять некоторые протяженность по типу загрузки. Например, в бетоне мало или нет силы в напряжении и поэтому вряд ли может быть использован сам как галстук.

Растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб и кручение — все это эффекты первичной нагрузки. Вторичные эффекты нагрузки, такие как прогиб получены из эффектов первичной нагрузки.

Конструкционные элементы

Кабель

Кабели, шнуры, струны, канаты и провода являются гибкими, потому что их малых боковых размеров по отношению к их длине и поэтому имеют очень ограниченное сопротивление изгибу.Кабели наиболее эффективные структурные элементы, поскольку они позволяют каждому волокну поперечного сечения, чтобы выдерживать приложенные нагрузки до любых допустимое напряжение. Однако их приложения ограничены Дело в том, что их можно использовать только в напряжении.

Колонна

Стержни или стержни при сжатии являются основой для вертикальных конструктивные элементы, такие как колонны, стойки, опоры и столбы. Они часто используются для передачи нагрузок от балок, плиты и стропильные фермы к фундаменту.Они могут быть загружены в осевом направлении или, возможно, они должны быть спроектированы так, чтобы противостоять изгибу при нагрузка эксцентричная.

Стяжки и распорки

Когда стержни соединяются штифтовыми соединениями и в результате конструкции, нагруженной на стыки, структурный каркас, называемый Получается шарнирно-сочлененная ферма или решетчатый каркас. Члены только подвергнутые осевым нагрузкам и растянутые элементы называются Связи, когда элементы находятся в состоянии сжатия, называются распорками.

Стойки

Балка

Балка — это элемент, используемый для противодействия нагрузке, действующей на ее продольная ось за счет передачи эффекта на расстояние между опорами — именуется пролетом.

Балка

Нагрузка на балку вызывает продольное растяжение и сжатие напряжения и напряжения сдвига. Величина их будет варьироваться. вдоль и внутри балки.

Пролет, который балка может эффективно покрыть, ограничен из-за собственный вес балки, т.е.е., со временем он достигнет длины когда он способен поддерживать только себя. Эта проблема преодолеть до некоторой степени с помощью полой балки и решетки ферма или каркас. Безопасный пролет для длинных легконагруженных балок может можно несколько увеличить за счет удаления материала с полотна даже хотя способность к сдвигу будет уменьшена.

Балка полая

Арка может иметь такую ​​форму, чтобы при определенной нагрузке все секции арки подвергаются простой компрессии без изгиб.Арки оказывают вертикальное и горизонтальное воздействие на их опоры, которые могут оказаться проблематичными при проектировании опорных стены. Эта проблема горизонтальной тяги может быть устранена соединение натяжного элемента между точками опоры.

Арка

Дизайн элементов, находящихся под прямым напряжением

Системы растяжения

Системы натяжения позволяют максимально использовать материал, потому что каждое волокно поперечного сечения можно удлинить, чтобы противостоять приложенные нагрузки до любого допустимого напряжения.

Как и другие конструкционные системы, натяжные системы требуют глубина для экономичной передачи нагрузок по пролету. Как провисание (h) уменьшается, натяжение троса (T1 и T2) увеличивается. Дальнейшее уменьшение прогиба снова увеличило бы величину T1 и T2 до конечного состояния, бесконечной силы, потребуется для передачи вертикальной нагрузки по кабелю, который горизонтально (очевидно, что невозможно).

Силовая диаграмма

Отличительной особенностью натяжных систем является то, что вертикальное нагрузки вызывают как вертикальные, так и горизонтальные реакции.Потому что кабели не могут сопротивляться изгибу или сдвигу, они переносят все нагрузки в натяжение по длине. Подключение кабеля к его опоры действуют как шарнирные соединения (шарниры), в результате чего реакция (R) должна быть точно равна и противоположна напряжению в кабель (T). R можно разложить на вертикаль и горизонтальные направления, создающие силы V и H. горизонтальная реакция (H) известна как тяга.

Значения компонентов реакций могут быть получены используя условия статического равновесия и разрешая натяжения кабеля на вертикальные и горизонтальные составляющие на точки опоры.

Пример 12

Два одинаковых каната выдерживают нагрузку P в 5 кН, как показано на фигура. Рассчитайте необходимый диаметр каната, если он предел прочности составляет 30 Н / мм, а коэффициент запаса прочности составляет 4,0. применяемый. Также определите реакцию горизонтальной опоры на B.

Допустимое напряжение в канате 30/4 = 7,5 Н / мм

Напряжение = Сила / требуемая площадь = (4,3 x 10 3 ) / 7.5 = 573 мм

A = p r 2 = p d 2 /4

таким образом

При поддержке Б. реакция состоит из двух компонентов.

B v = T 2 sin 30 = 2,5 sin 30 = 1,25 кН

B H = T 2 cos 30 = 2,5 cos 30 = 2,17 кН

Короткие колонны

Колонна короткая (т. Е. Высота мала по сравнению с площадь поперечного сечения), вероятно, выйдет из строя из-за раздавливания материал.

Однако обратите внимание, что тонкие колонны, будучи высокими по сравнению с площадь поперечного сечения, с большей вероятностью выйдет из строя из-за потери устойчивости намного меньшая нагрузка, чем та, которая может вызвать отказ из-за дробление. Устойчивость к короблению рассматривается позже.

Пример 13

Квадратная бетонная колонна высотой 0,5 м состоит из номинальная бетонная смесь 1: 2: 4, с допустимой прямой напряжение сжатия 5,3 Н / мм. Какой нужен крест площадь сечения, если колонна должна выдерживать осевую нагрузку 300кН?

A = F / s = 300000N / 5.3N / мм 2 = 56600 мм

, т. Е. Столбец должен иметь квадрат не менее 240 мм.

Тонкие колонны

Недвижимость конструкционных профилей

Это понадобится, например, при проектировании балок в изгиб, столбцы при продольном изгибе и т. д., чтобы обозначить ряд основных геометрические свойства поперечных сечений конструктивных члены.

Площадь

Площадь поперечного сечения (A) обычно рассчитывается в мм, поскольку размеры большинства элементов конструкции даны в мм, а значения расчетных напряжений, указанные в таблицах, обычно приводятся в Н / мм.

Центр тяжести или центроид

Это точка, площадь разреза которой равномерно распределены. Обратите внимание, что центроид иногда находится за пределами фактическое сечение конструктивного элемента.

Базовые оси

Обычно считают опорными осями несущих конструкций. секции как проходящие через центроид. В целом ось x-x проведена перпендикулярно наибольшему поперечному размеру сечения, а ось y-y проведена перпендикулярно оси ось x-x, пересекающая ее в центре тяжести.

Базовые оси

Момент инерции

Момент инерции площади (1), или, как его правильно называют, второй момент площади — это свойство, которое измеряет распределение площади вокруг определенной оси поперечного сечения, и является важным фактором устойчивости к изгибу.Другой такие факторы, как прочность материала, из которого сделана балка. сделаны, также важны для устойчивости к изгибу и являются разрешено другими способами. Момент инерции только измеряет как геометрические свойства или форма сечения влияют на его значение в виде балки или тонкой колонны. Лучшая форма для сечения тот, который занимает большую часть своей площади, насколько это возможно от его центральной нейтральной оси.

В целях проектирования необходимо использовать момент инерция секции относительно соответствующей оси или осей.

Расчет момента инерции

Рассмотрим прямоугольник и пусть он состоит из бесконечного числа полос. Момент инерции относительно оси x-x такого полоса — это площадь полосы, умноженная на квадрат перпендикулярное расстояние от его центра тяжести до оси x-x, то есть: b x y x y 2

Расчет момента Инерция

Сумма всех таких произведений составляет момент инерции около ось x-x для всего поперечного сечения.

Применяя исчисление и интегрируя следующим образом, точное может быть получено значение момента инерции.

Для круглого сечения:

I XX = p D 4 / 64

Моменты инерции для других сечений приведены позже. и в таблице 4.3. Для конструкционных профилей из стального проката момент инерции можно найти в таблицах в справочниках.Некоторые примеры приведены в Приложении V: 3.

Принцип параллельности осей Принцип параллельности осей состояния: чтобы найти момент инерции любой области (например, верхней полки балки, показанной ниже) вокруг любой оси, параллельной ее центральная ось, произведение площади формы и квадрат перпендикулярного расстояния между осями должен быть добавлен к моменту инерции относительно центральной оси этого форма.

Пример 14

Определите момент инерции относительно оси x-x и y-y. ось для двутавра, изображенного на рисунке.Балка имеет сетку из Фанера толщиной 10 мм и фланцы из древесины 38 на 100 мм, которые прибиваются и приклеиваются к фанерному полотну.

Пример 14

Полное сечение балки и сечение балки у паутины оба центроида находятся на оси x-x, что следовательно, это их центральная ось. Точно так же ось F-F центральная ось верхнего фланца.

I xx шк 3 /12 = (10 x 300 3 ) / 12 = 22.5×10 6 мм 4

Момент промежутка одного фланца относительно его собственного центра тяжести ось (F-F):

I FF одного фланца = (86 x 100 3 ) / 12 = 7,2 x 10 6 мм 4 и по принципу параллельности осей l xx одного фланца равняется:

7,2 x 10 6 + 86 x 100 x 200 2 = 351,2 x 10 6 мм 4

Итого I xx стенки плюс два фланца, таким образом равно:

Я х х = 22.5 х 10 6 + 351,2 х 10 6 + 351,2 x 10 6 = 725 x 10 6 мм 4

I yy вышеуказанного сечения балки легче всего найдено путем сложения I yy из трех прямоугольников который он состоит, потому что ось y-y является их общей нейтральной оси, и моменты инерции могут быть добавлены или вычтены, если они относятся к одной оси.

I yy = 2 x [(100 x 86 3 ) / 12] + (300 x 10 3 ) / 12

= 2 х 5.3 x 10 6 + 0,025 x 10 6

= 10,6 x 10 6 мм 4

Модуль упругости сечения

В задачах, связанных с изгибающими напряжениями в балках, свойство называется модулем сечения (Z). Это соотношение момент инерции (1) относительно нейтральной оси сечения к расстояние (C) от нейтральной оси до края раздел.

Несимметричные поперечные сечения

Сечения, для которых центральная опорная ось не является осью симметрии будет иметь два модуля сечения для этой оси.

Z xx1 = I xx / y 1 ;

Z xx2 = I xx / y 2

Несимметричный крест Разделы

Радиус вращения

Радиус вращения (r) — свойство поперечного сечения который измеряет распределение площади поперечного сечения по отношению к оси. В конструкционном дизайне используется в отношение к длине элементов сжатия, таких как колонны и стойки, чтобы оценить их коэффициент гибкости и, следовательно, их склонность к короблению.Тонкие компрессионные элементы имеют тенденцию к изгибу вокруг оси, для которой радиус вращения минимален ценить. Из приведенных ниже уравнений видно, что наименьшее радиус вращения связан с осью, вокруг которой меньше всего возникает момент инерции.

(общее соотношение I = Ar 2 )

Таблица 4.3 Свойства Структурные профили

Содержание — Предыдущая — Следующая

.