1.2 Расчет статически определимых многопролетных балок на неподвижную и подвижную нагрузки

Многопролетные статически определимые балки представляют собой протяженные балочные конструкции, перекрывающие несколько пролетов и состоящие из простых балок, соединенных между собой шарнирами (рис. 1.14).

Особенность расчета подобных стержневых конструкций заключается в расчленении многопролетной балки в шарнирных соединениях на отдельные простые балки, расчет которых осуществляется по методам сопротивления материалов.

В этом случае составляется поэтажная схема балки, в которой определяются основная (несущая) и вспомогательные балки, опирающиеся на несущую балку, имеющую три связи с землей.

На рис. 1.15, а показана поэтажная схема многопролетной балки, приведенной на рис. 1.14, а. Несущей балкой здесь является балка АС, которая остается неподвижной при удалении других вспомогательных балок СЕ и Е

F.

Статический расчет (расчет на неподвижную нагрузку) начинается с верхней балки. Следующая вспомогательная балка рассматривается под воздействием своей внешней нагрузки и реакции в опорном шарнире и т. д.

Верхняя балка ЕF нагружена активной силой Р, следующая балка СЕ нагружена только реакцией R_е, возникающей в шарнире Е. Аналогично, балка АС будет нагружена только реакцией R_с.

При расчете на подвижную нагрузку наиболее удобным способом построения линий влияния в многопролетных балках является кинематический способ. В качестве иллюстрации на рис. 1.16 приведены линии влияния реакции R_А, поперечных сил и моментов в сечении «n» справа от опоры D.

Пример 1. 2. Для заданной статически определимой многопролетной балки (рис. 1.17,

а) необходимо, используя поэтажную схему балки, построить эпюры внутренних усилий. Построить линии влияния реакций R_A и R_B, линии влияния М и Q в сечениях n (слева от опоры В) и в сечении m. Вычислить по ним внутренние усилия и сравнить со значениями, полученными при построении эпюр.

Решение. 1. Для построения поэтажной схемы многопролетной балки проводим анализ заданной стержневой системы., которая состоит их двух простых балок АС и СD. Балка АС, имеющая три связи с землей, является основной (несущей), а балки СD  вспомогательная. В соответствии с этим и строим поэтажную схему (рис. 1.17, б).

2. Для статического расчета  построения эпюр внутренних усилий  рассмотрим каждую балку. Начинаем расчет с верхней вспомогательной балки

СD (рис. 1.18). Определяем опорные реакции.

m_D = 0, q∙4∙1 — R_c∙3 = 0,

R_C = 40/3 кН.

m_C = 0, R_d∙3 — q∙4∙2 = 0.

R_D = 80/3 кН.

Проверка: y = 0.

R_D  q∙4 + R_C = 80/3  40 + 40/3 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

1й участок. 0 < x₁ < 1 м.

Q₁ = q∙x₁Q_x=0 = 0, Q_x=1 = 10 кН.

M₁ = — q∙x₁²/2, M_x=0 = 0, M_x=1 = 5 кНм,

M_{x=0. 5} = 1.25 кНм

2-й участок. 0<x₂<3 м.

Q₂ = R_C — q∙x₂, Q_x=0 = 13.3 кН, Q_x=3 = — 16,7 кН, Q_m

= Q_x=1 = 3.33 кН;

M₂ = R∙_сx₂ — q∙x₂²/2, М_х=0 = 0, М_х=3 = — 5 кНм.

На участке CD поперечная сила Q меняет знак. Q₂ = R_c — q∙x₀ = 0,

х₀ = R_c/q = 1.33 м и

М_х=1,33 = 13,3∙1,33 — 10∙1,33∙0,67 = 8,89 кНм.

М_m= М_х=1 = 13,3∙1 — 10∙1∙0,5 = 8,3 кНм

По полученным значениям строим эпюры

М и Q для балки DЕ (рис. 1.18).

Рассмотрим теперь балку AC (рис. 1.19), которая находится под воздействием реакции со стороны балки CDR_С. Реакция R_С должна быть направлена в сторону, обратную направлению этой же реакции, приложенной к балке CD, поскольку при совмещении балок в шарнире C эти реакции должны быть взаимно уравновешены. Проводим статический расчет балки AC.

Определяем опорные реакции.

m_A = 0. R_В∙2 – R_С∙4 = 0.

R_В = 80/3 = 26.

7 кН.

m_B = 0. – R_С∙2 + R_А∙2 = 0.

R_А = 13.3 кН.

Проверка реакций. y=0.

 R_А + R_В  R_С =  13.3 + 26,7  13.3 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

3-й участок. 0 < x₃ < 2 м.

Q₃ = R_c 13.3 кН.

M₃ =  R_cx₃. М_х=0 = 0, М_х=2 =  26,7 кНм.

4-й участок. 0 < x₄ < 2 м.

Q

4 =  R_А = — 13. 3 кН.

M₄ =  R_Аx₄, М_х=0 = 0, М_х=2 =  26,7 кНм.

По полученным значениям строим эпюры Q и М в простой балке (рис. 1.19).

Совместим все построенные эпюры внутренних усилий вдоль многопролетной балки в едином масштабе (рис. 1.17, в, г) и проведем окончательную проверку на соответствие их заданной нагрузке.

3. Строим линии влияния двух реакций R_А и R_С и поперечной силы и изгибающего момента для сечений m и n. Построение линий влияния будем проводить кинематическим способом.

Так, при построении линии влияния реакции

R_А убираем связь, препятствующую вертикальному смещению опоры и даем единичное смещение этой опоры по направлению R_А. Это единичное перемещение приведет к повороту консольной балки АС вокруг опоры В. Шарнир С опустится вниз и повернет балку СD вокруг опоры D Полученная в результате схема перемещений и дает вид линии влияния этой реакции. Аналогично получена линия влияния R_С путем вертикального смещения опоры С вверх на единицу.

При построении линий влияния Q и М необходимо убрать связи, воспринимающие поперечную силу и изгибающий момент. То есть, для построения линии влияния Q в сечении n нам необходимо в этом сечении дать торцам взаимное вертикальное смещение на единицу. Отметим, что если торцы стержней параллельны, то параллельны друг другу левый и правый стержни целиком. Аналогично поступаем и с сечением

m при построении линии влияния Q_m.

Врезав поочередно в сечениях n и m шарниры и задав единичное угловое смещение получаем эпюры возможных перемещений, дающих вид линий влияния М_m и М_n (рис. 1.20).

4. Подсчитаем значения внутренних усилий в заданных сечениях по линиям влияния. Для этого нам необходимо интенсивность распределенной нагрузки q умножить на площадь, очерченную линией влияния под нагрузкой. При перемножении используем следующие правила знаков: нагрузки, направленные вниз и ординаты линий влияния и площади, расположенные выше осевой линии  положительны.

Q_m =

q∙(- 0,5∙1∙1/3 + 0,5∙2∙2/3) = 10∙(-1/6 + 2/3)= 3.33 кН,

М_n = q∙( — 0,523 + 0.512/3) = 10∙(-3 + 1/3)=  26.7 кНм.

Q_n = q∙(- 0,5∙1∙3 + 0,5∙1∙1/3) = 10∙(-3/2 + 1/6)= — 13.3 кН,

M_m = q∙(0,52/3∙3 — 0.511/3) = 10∙(1 — 1/6)= 8.3 кНм.

Значения внутренних усилий, полученные по линиям влияния, совпадают со значениями расчета на постоянную нагрузку.

Пример 1.3. Для заданной статически определимой многопролетной балки (рис. 1.21, а) необходимо, используя поэтажную схему балки, построить эпюры внутренних усилий. Построить линии влияния двух опорных реакций и линии влияния М и Q в сечениях m и n. Вычислить по ним внутренние усилия и сравнить со значениями, полученными при построении эпюр. В расчетах принять d = 1,5 м, Р = 45 кН, q = 6 кН/м.

Решение. 1. Для построения поэтажной схемы многопролетной балки проводим анализ заданной стержневой системы, которая состоит их трех простых балок АВ, ВD и DЕ . При этом видно, что консольная балка АВ, имеющая три связи с землей, является основной (несущей), а балки ВD и DЕ  вспомогательными. В соответствии с этим и строим поэтажную схему, представив балку АВ как опорную (рис. 1.8, б).

2. Для статического расчета  построения эпюр внутренних усилий  рассмотрим каждую балку отдельно. Начинаем расчет с верхней вспомогательной балки DЕ (рис. 1.22). Определяем опорные реакции.

m_D = 0,  P∙2d+R_E∙3d = 0, R_E = 30 кН.

m_E=0, — R_D∙3d + P∙d = 0. R_D = 15 кН.

Проверка:

y = 0. R_D  P + R_E =15  45 + 30 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

1й участок. 0 < x₁ < 1,5 м.

Q₁ =  R_е, Q_x=0 = Q_x=1,5 =  30 кН.

M₁ = R_ex₁, M_x=0 = 0, M_x=1,5 = 45 кНм.

2-й участок. 0 <x₂ <3 м.

Q₂ = R_D, Q_x=0 = Q_x=3 = 15 кН;

M₂ = R_dx₂, М_х=0 = 0, М_х=3 = 45 кНм.

По полученным значениям строим эпюры М и Q для балки DЕ (рис. 1.22).

Рассмотрим теперь балку ВD (рис. 1.23), которая находится под воздействием реакции со стороны балки DE R_D. Реакция R_D должна быть направлена в сторону, обратную направлению этой же реакции, приложенной к балке DЕ, поскольку при совмещении балок в шарнире D эти реакции должны быть взаимно уравновешены. Проводим статический расчет балки ВD.

m_B = 0. R_C∙2d – R_D∙3d = 0.

R_C = 22,5 кН.

m_С = 0. – R_B∙2d – R_D∙d = 0.

R_B =  7,5 кН.

Знак минус у реакции R_Bозначает, что она направлена в обратную сторону. Направим ее вниз, зачеркнув первоначально выбранное направление и в дальнейших расчетах значение реакции R_Bбудем принимать положительным.

Проверка реакций. y=0.

 R_B + R_C  R_D =  7,5 + 22,5  15 = 0.

Вычисляем по участкам внутренние усилия.

3-й участок. 0<x₃<1,5 м.

Q₃ = R_D, Q_x=0 = Q_x=1,5 = 15 кН.

M₃ =  R_Dx₃. М_х=0 = 0, М_х=3 =  22,5 кНм.

4-й участок. 0 < x₄ < 3 м.

Q₄ =  R_B, Q_x=0 =Q_x=3 =  21,5 кН.

M₄ =  R_Bx₄, М_х=0 = 0, М_х=3 =  22,5 кНм.

По полученным значениям строим эпюры Q и М во второй простой балке (рис. 1.23).

Консольная балка АВ нагружена распределенной нагрузкой и реакцией R_Bсо стороны балки ВD, направленной вверх (рис. 1.24). В данном случае при вычислении внутренних усилий можно обойтись без определения реакций, рассматривая правую часть балки.

5-й участок. 0 < x₅ < 6 м.

Q₅ = q∙x₅  R_B,

Q_x=0 =  7, ∙5 кН, Q_x=6 = 28,5 кН,

M₅ = R_B∙x₅  q∙x²/2,

М_х=0=0, М_х=3=4,5 кНм,

М_х=6=63 кНм.

Поскольку Q на 5-м участке меняет знак, найдем координату х₀, при которой:

Q₅ = q∙x₀  R_B = 0,

тогда х₀ = 7,5/6 = 1,25 м.

М_х=1,25 = 4,7 кНм.

Эпюры М и Q для основной балки показаны на рис. 1.24.

Совместим все построенные эпюры внутренних усилий вдоль многопролетной балки в едином масштабе (рис. 1.21, в, г) и проведем окончательную проверку на соответствие их заданной нагрузке.

3. Строим линии влияния двух реакций R_A и R_C и поперечной силы и изгибающего момента для сечений m и n (рис. 1 25). Построение линий влияния будем проводить кинематическим способом.

Так, при построении линии влияния реакции вертикальной R_А убираем связь, препятствующую вертикальному смещению опоры, и даем единичное смещение этой опоры по направлению R_А. Поскольку опора А – заделка, которая при воздействии малой поперечной силы не перемещается, то единичное перемещение приведет к перемещению консольной балки АВ параллельно самой себе. Полученная в результате схема перемещений и дает вид линии влияния этой реакции R_А. Аналогично получена линия влияния R_С путем вертикального смещения опоры С на единицу (рис. 1.25,в).

При построении линий влияния Q и М необходимо убрать связи, воспринимающие поперечную силу и изгибающий момент. То есть для построения линии влияния Q в сечении m нам необходимо в этом сечении дать торцам взаимное вертикальное смещение на единицу (рис. 1.25, г). Отметим, что если торцы стержней параллельны, то параллельны друг другу левый и правый стержни целиком. Аналогично поступаем и с сечением n при построении линии влияния Q_n (рис. 1.25, е)

Врезав поочередно в сечениях m и n шарниры и задав единичное угловое смещение получаем эпюры возможных перемещений, дающих вид линий влияния М_m и М_n (рис. 1.25, д, ж).

. Подсчитаем значения внутренних усилий в заданных сечениях по линиям влияния. Для этого нам необходимо силу Р умножать на ординаты соответствующих линий влияния, а интенсивность распределенной нагрузки q на площадь, очерченную линией влияния под нагрузкой q. При перемножении используем следующие правила знаков: нагрузки, направленные вниз, ординаты линий влияния и площади, расположенные выше осевой линии  положительны.

Q_m =  P∙0,167 + q∙12d =  7,5 + 18 = 10,5 кН,

М_m = Р∙d/3  q(0,52d2d) = 22,5  27 =  4,5 кНм.

Q_n =  P∙2/3 =  30 кН (Сила Р находится слева от сечения n, поэтому умножили ее на левую ординату л.в. Q_n).

M_n = P∙2d/3 = 45 кНм.

Значения внутренних усилий, полученные по линиям влияния, совпадают со значениями расчета на постоянную нагрузку.

Расчет статически определимой многопролетной балки

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные  балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n=С_оп—Ш-3

где n – степень статической определимости,

      С_оп – количество неизвестных опорных реакций,

      Ш — количество шарниров,

      3 – количество уравнений статики.

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: С_оп = 2+3=5. Балка имеет два шарнира, значит, Ш=2

Тогда  n=5-2-3=0. Балка является статически определимой.

2. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок.

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

Балки, которые опираются только на свои опоры, называются основными. Балки, которые опираются на другие балки, называются  подвесными. Балка СD – основная, остальные – подвесные.

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т. е. с подвесных. Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком.

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно, строим для нее эпюры Q и М. Начинаем с подвесной балки АВ.

Определяем реакции R_А, R_В.

Наносим реакции на схему.

Строим Эп Q методом сечений.

 

Строим Эп М методом характерных точек.

В точке, где Q=0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум. Определим положение т.К, для этого приравниваем уравнение для Q₂ к 0, а размер z заменим на х.

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР.

Балка ЕР относится к простым балкам, эпюры для которых известны.

 

 

 

Теперь рассчитываем основную балку СD. В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции R_Ви R_Е, направленные в обратную сторону.

Рассчитываем реакции балки СD.

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений.

Строим эпюру М методом характерных точек.

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка.

Строим эпюру М.

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки, при этом не допускаем переломов на эпюре М.  Задача решена.

 

Метод распределения моментов

– рабочие примеры

доктора Шона Кэрролла

|

Опубликовано: 23 июля 2022 г.

|

Учебник

В этом уроке мы рассмотрим метод распределения моментов. Это отличный метод для быстрого определения эпюр поперечной силы и изгибающего момента для неопределенных балочных и рамных конструкций . В этом уроке мы сосредоточимся на применении метода распределения моментов к балкам.

Мы начнем с четкого понимания этапов процедуры, а затем применим то, что узнали, к более сложному рабочему примеру в конце. Если вы предпочитаете посмотреть, как я объясняю решение, вы можете посмотреть видео ниже.

Этот учебник основан на моем курсе Неопределенные конструкции и метод распределения моментов . После того, как вы закончите этот учебник, вы можете продолжить обучение.

Если вы читаете это, я предполагаю, что вы уже умеете рисовать диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для статически определимых балок. Если нет, сначала пройдите этот урок.

1.0 Введение в метод распределения моментов

Начнем с суммирования основных особенностей метода распределения моментов; метод направлен на определение изгибающих моментов во внутренних соединениях посредством итеративного процесса применения балансирующих и перераспределяющих моментов.

Итерации продолжаются, последовательно уменьшая дисбаланс моментов, пока не будет достигнуто равновесие моментов во всех соединениях конструкции. Когда эти внутренние моменты установлены, пролетные моменты, поперечные силы и опорные реакции определяются с использованием диаграмм свободного тела и простой статики.

Начнем с фиксации всех внутренних соединений от проворачивания. Это часто называют блокировкой конструкции . В многопролетной балке это приводит к ряду сегментов балки, изолированных друг от друга замковыми соединениями. Далее определяем изгибающие моменты, возникающие в каждом замковом соединении в результате нагрузки на каждый сегмент балки. Как правило, в каждом суставе будет моментный дисбаланс. В этот момент мы вступаем в итеративный процесс балансировки моментов; на каждый сустав по очереди мы:

• применить уравновешивающий момент для устранения дисбаланса
• распределить уравновешивающий момент между элементами, сходящимися в стыке, пропорционально их жесткости на изгиб
• переносят более 50% распределенного момента на другой конец каждого из элементов, встречающихся в стыке — при условии, что соседний шарнир способен выдерживать моменты — мы поясним это ниже)

Этот переносной момент снова разбалансирует соединения в конструкции. Это означает, что нам нужно повторить процесс балансировки и распределения. Этот процесс повторяется снова и снова, однако с каждой итерацией моментные диспропорции в структуре становятся все меньше и меньше.

Как обычно, единственный реальный способ понять это — посмотреть на это в действии, поэтому давайте рассмотрим простой пример.

2.0 Простой пример

Рассмотрим простую двухпролетную неразрезную недетерминированную балку на рис. 1 ниже. Этот пучок является статически неопределимым, поскольку имеется более трех неизвестных реакций. Таким образом, мы не можем определить их значения только с помощью 3 уравнений статики. Это делает структуру первым кандидатом для анализа распределения моментов.

Рис. 1. Двухпролетная неразрезная балка неопределенного сечения.

2.1 Блокировка стыков от проворачивания

Первым шагом является блокировка любого стыка, который еще не зафиксирован от проворачивания, в данном случае это стык B. Теперь конструкция состоит из двух изолированных пролетов, AB и BC с нагрузкой на один пролет не влияет на другой.

Рис. 2. Балка со всеми соединениями, зафиксированными от вращения.

Далее мы можем определить моменты, возникающие в каждом замковом соединении из-за пролетной нагрузки в каждом сегменте балки. Самый быстрый способ сделать это — использовать таблицы моментов неподвижных концов. Приведена таблица общих моментов на неподвижных концах, рис. 3.

Рис. 3. Общие моменты неподвижных концов.

Мы видим, что в этом случае суставные моменты, возникающие из-за нагрузки между AB, равны . Совместные моменты, вызванные нагрузкой на BC, равны . Другой способ представить моменты на неподвижных концах состоит в том, что это реактивные моменты, возникающие на неподвижных концах в ответ на приложенную нагрузку.

Рис. 4. Моменты на неподвижных концах, возникающие в заблокированных соединениях.

2.2 Балансировка сустава

Если мы теперь сосредоточимся на суставе B, мы увидим дисбаланс момента из-за движения по часовой стрелке от AB и против часовой стрелки от BC. Если мы теперь представим себе освобождение этого сустава, теоретически он испытает результирующий момент против часовой стрелки . В ответ на это мы добавим уравновешивающий момент по часовой стрелке для устранения дисбаланса моментов, рис. 5.

Рис. 5. Момент дисбаланса в точке B и приложенный уравновешивающий момент.

2.3 Распределение уравновешивающего момента

При добавлении уравновешивающего момента к шарниру он должен быть распределен между всеми элементами, которые сходятся в соединении. Это распределение выполняется пропорционально изгибной жесткости элементов, встречающихся в стыке. Подробнее о том, как определяются эти жесткости, мы поговорим ниже, а пока просто предположим, что отрезок балки AB в два раза жестче отрезка BC.

Это будет означать, что уравновешивающий момент распределяется между AB и BC в соотношении 2:1. Итак, в член AB и в BC. В результате сустав теперь уравновешен моментами уравновешивания друг друга по обе стороны от сустава.

Рис. 6. Распределение уравновешивающего момента.

2.4 Переносной момент

Мы еще не закончили, последним шагом будет распространение переносного момента на противоположные концы каждого сегмента балки. Поскольку конструкция имеет фиксированные опоры в точках А и С, мы не можем применить уравновешивающие моменты в точке В без соответствующего момента, развивающегося на внешних опорах.

Поскольку опоры полностью закреплены, уравновешивающие моменты будут перенесены, рис. 7. Если бы A или B были штифтовой или роликовой опорой, которая не оказывает сопротивления вращению, переносящие моменты были бы равны нулю.

Рис. 7. Переносные моменты.

Теперь мы можем суммировать конечные моменты в каждом соединении, рис. 8. Это было относительно простое распределение, требующее только одной итерации балансировки. Для конструкций с более чем одним внутренним замковым соединением требуется несколько итераций балансировки — мы увидим пример этого ниже.

Рис. 8. Суммирование окончательных моментов соединения конструкции.

Для более сложных структур с несколькими итерациями мы можем использовать таблицу, чтобы отслеживать анализ. A simple table tracking this analysis is shown below, Table 1.

.0014

0 9013.

3.0 Коэффициенты относительной жесткости и распределения моментов

В последнем примере мы предполагали соотношение жесткостей между сегментами балки. Это было просто для того, чтобы мы могли проработать анализ от начала до конца, не отвлекаясь.

На самом деле нам нужно более тщательно оценить относительную жесткость каждого элемента. Мы обсудим, как это сделать дальше. Изгибная жесткость балочного элемента зависит от следующих факторов:

• Материал балки, снятый с использованием модуля Юнга,
• Форма поперечного сечения, захваченная вторым моментом площади,
• Длина балки между опорами,
• Степень ограничения вращения на опорах.

С точки зрения вращательной фиксации сегмент балки будет иметь одну из двух возможных жесткостей. Если на обоих концах балки обеспечена полная вращательная фиксация или сопротивление вращению, жесткость будет равна

(1)  

Однако, если один конец балки закреплен и, следовательно, не оказывает сопротивления вращению на этом конце, жесткость балки будет равна

(2)  

. связанные с ними жесткости графически, рис. 9.

Рис. 9. Жесткости элементов балки на основе вращательной фиксации на опорах.

Получив эту дополнительную информацию, давайте вернемся к нашему примеру вопроса и обновим его, указав правильную жесткость элементов. Сначала рассмотрим AB; он зафиксирован от вращения в точке A, и, поскольку он непрерывен на опоре B, его жесткость будет равна

(3)  

Те же рассуждения применимы к сегменту BC, поэтому его жесткость будет равна

(4)  

Теперь мы можем рассчитать более точные коэффициенты распределения, определяющие степень распределения уравновешивающего момента на каждый элемент. . Коэффициент распределения для члена AB определяется как

(5)  

Поскольку в соединении B встречаются только два члена, мы знаем, что коэффициент распределения для BC равен . Однако для полноты мы также приведем полное выражение,

(6)  

Repeating the distribution analysis with the correct distribution factors reveals the actual final set of support moments for the structure, Table 2.

Joint	A	B	B	C
Member	АВ	ВА	ВС	CB
Distribution Factor		0.66	0.33
Fixed-end moments	-100	100	-208.3	208.3
Distribution		72.2	36.1
. Перенос	-63.9 КНМ	172,2 КНМ	-172,2 КНМ	226,4 КНМ

Joint	A	B	B	C
Member	AB	BA	BC	CB
Distribution Factor		0.56	0.44
Fixed-end moments	-100	100	-208.3	208.3
Distribution		(0.56×108.3) = 60.65	(0.44×108.3)= 47.65
Carry-over	30.33			23.83
Final	-69,67 КНМ	160,65 КНМ	-160,65 КНМ	232. 13 КН

0. ТАЛЕЙ 2.

4.0 Реакции, поперечные силы и изгибающие моменты

Наш анализ выявил изгибающие моменты в каждом соединении. Но чтобы завершить анализ и построить диаграммы поперечной силы и изгибающего момента, нам еще предстоит проделать большую работу.

К счастью, недостающую информацию можно легко получить с помощью простой статики и диаграмм свободного тела. Рассмотрим диаграмму свободного тела сегмента балки АВ, рис. 10.9.0003 Рис. 10. Диаграмма свободного тела сегмента балки AB.

Здесь у нас есть два неизвестных, поперечные силы в точках A и B. Мы можем определить поперечную силу непосредственно слева от B, вычислив сумму моментов относительно A. Будем считать, что моменты по часовой стрелке положительны.

(7)  

(8)  

(9)  

Далее мы можем оценить сумму вертикальных сил, чтобы определить .

(10)  

(11)  

(12)  

Поскольку на сегмент балки действует одноточечная нагрузка, мы знаем, что будет пиковый момент под точечной нагрузкой, и что момент будет линейно изменяться между этим пик и два опорных момента.

Точно так же мы знаем, что диаграмма поперечной силы будет состоять из двух горизонтальных прямых линий. На этом этапе процесса вам необходимо иметь хорошее представление об основах построения диаграмм поперечной силы и изгибающего момента — просмотрите этот учебник сейчас, если это необходимо.

Мы можем определить внутренний изгибающий момент под точечной нагрузкой, сделав разрез в конструкции в этом месте, чтобы выявить внутренний момент, , рис. 11.

рис. моменты о резке урожайности,

(13)  

(14)  

(15)  

Теперь мы можем повторить этот процесс для сегмента балки BC, рис. 12.

Рис. 12. Схема свободного тела сегмента балки BC.

Сначала вычисляем сумму моментов относительно B.

(16)  

(17)  

(18)  

Теперь вычисляем сумму сил в вертикальном направлении.

(19)  

(20)  

(21)  

На этот сегмент балки действует равномерно распределенная нагрузка (UDL), что означает, что поперечная сила будет линейно изменяться слева и справа.

Максимальный момент будет там, где поперечная сила равна нулю. Таким образом, чтобы определить это расстояние справа от B, мы можем разделить сдвиг слева на скорость, с которой он уменьшается, из-за UDL,

(22)  

Здесь мы можем сделать наш разрез чтобы выявить максимальный пролетный момент, рис. 13

Рис. 13. Диаграмма свободного тела сегмента балки с указанием местоположения максимального момента.

Оценка суммы моментов относительно места разреза,

(23)  

(24)  

(25)  

Теперь у нас есть вся информация, необходимая для построения полных диаграмм поперечной силы и изгибающего момента для этой балки, рис. 14.

Рис. График сил и изгибающих моментов.

В этом пошаговом руководстве по анализу продемонстрирован полный метод распределения моментов. Теперь вы должны хорошо понимать различные этапы и осознавать потенциал, который предлагает этот метод для ручного анализа как балочных, так и рамных конструкций. В следующем разделе мы рассмотрим немного более сложный пример балки, который потребует от нас реализации решения, состоящего из нескольких итераций.

5.0 Метод распределения моментов: многократный рабочий пример

Для этого примера рассмотрим многопролетную неразрезную балку, показанную ниже, рис. 15. Мы снова будем считать, что для этой балки постоянна. На этом примере мы увидим, что с относительно сложным пролетом и расположением нагрузки можно довольно быстро справиться, используя процесс распределения моментов.

При некоторой практике обработка может стать очень упорядоченной и несколько шаблонной для реализации. Вы можете продолжить чтение решения или посмотреть видео с полным решением ниже.

Рис. 15. Многопролетная неразрезная балка.

5.1 Жесткости элементов

Основываясь на предыдущем обсуждении жесткостей элементов, мы можем утверждать следующее: сегмент DE, так как в этот сегмент не будет передаваться уравновешивающий момент. Это потому, что мы уже знаем, каким будет последний момент в этом месте из-за того, что это консоль.

5.2 Коэффициенты распределения

Рассчитываем коэффициенты распределения для каждого внутреннего шарнира обычным способом, опять же особо отмечая, что уравновешивающий момент не будет распределяться на DE и, следовательно, коэффициент распределения для DC будет равен 1.

(29 )

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

5,3 Моменты с фиксированным кондиционером

Рассмотрение сегмента AB First, Fig 16, фиксированные моменты. получаются как,

(35)  

(36)  

Рис. 16. Моменты на неподвижных концах, отрезок AB.

Затем мы можем оценить сегмент балки BC, рис. 17.

(37)  

(38)  

Рис. 17. Моменты на неподвижных концах, сегмент BC.

При расчете моментов на концах отрезка CD фиксируем соединение C как обычно. Однако, поскольку балка может свободно вращаться справа от D, т. е. она не ограничена из-за того, что она является консолью справа от D, мы оставляем это соединение закрепленным. Таким образом, момент на неподвижном конце рассчитывается для модели консоли с подпиранием, рис. 18.9.0003

(39)  

(40)  

Рис. 18. Моменты на неподвижных концах, сегмент CD.

Наконец, мы можем определить моменты на неподвижных концах в точках DE и ED, которые на самом деле представляют собой просто консольные моменты, оцениваемые из простой статики.

(41)  

(42)  

5.4 Распределение моментов

Теперь, когда мы установили всю входную информацию, мы можем построить таблицу распределения моментов и обработать распределение, Таблица 3. В отличие от нашего предыдущего примера , так как эта конструкция имеет несколько внутренних соединений, нам потребуется выполнить несколько итераций балансировки и распределения, чтобы постепенно уменьшить дисбаланс моментов на каждой опоре.

Первые четыре строки таблицы содержат всю информацию о структуре и загрузке, которую мы только что определили. После этого мы:

1. Определение момента дисбаланса в каждом соединении и расчет балансирующего момента для распределения на каждый элемент на основе коэффициентов распределения.
2. После того, как все шарниры сбалансированы, мы переносим уравновешивающий момент на соседние заблокированные суставы. Обратите внимание еще раз, что к постоянному току не применяется переносной момент, поскольку консольный момент в этом месте уже определен.
3. Переносные моменты снова разбалансировали суставы, поэтому нам нужно определить новый уравновешивающий момент для каждого шарнира, поэтому мы возвращаемся к первому шагу и повторяем процесс.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока прилагаемые уравновешивающие моменты не станут достаточно малыми. Практически мы можем прекратить балансировку, как только моменты уменьшатся примерно до 1 или 2 процентов от начальных моментов фиксированного конца. Это оставляет нам сбалансированные внутренние суставы.

3393

Соединение	A	B	B	C	C	D	D	E
Member	AB	BA	до н. э.	CB	CD	DC	DE	ED
Дистрибутивные коэффициенты				393																									.0096	0.57	0.47	0.53	1	0
Fixed-end Moments	-53.3	53.3	66.7	-33.3	-10	0	— 50	50
Распределение		(-120) -51,6	(-120) -68,4	(43,317) -68,4	(43,31717 20,317 -68,4	(43,317) 20,317 0000 9.9007.9007. -68,4 .0133 Carry-over -25. 8 10.18 -34.2 25 Distribution -4.38 -5.8 (9.2) 4.32 (9.2) 4.88 Carry-over -2.19 2.16 -2.9 Distribution -0.93 -1.23 1.36 1.54 Final -81.29 kNm -3.61 kNm 3.61 kNm -44,37 КНМ 44,37 КНМ 50 КНМ -50 КН 50114 9999013 013013013013013013013013013013001300100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 . В этот момент мы можем использовать диаграммы свободного тела и уравнения статики для оценки оставшихся неизвестных поперечных сил и изгибающих моментов. Я не буду подробно описывать это здесь, потому что процесс почти такой же, как в предыдущем примере. Если вы хотите увидеть каждый шаг, вы можете посмотреть видео решения, где я прохожу весь процесс. Окончательные диаграммы поперечной силы и изгибающих моментов приведены ниже, рис. 19. Рис. 19. Эскиз окончательных диаграмм поперечной силы и изгибающего момента. В качестве средства подтверждения этого результата мы можем ввести эту структуру в наш решатель 2D-балки и каркаса Python и получить тот же результат, правда, намного быстрее, рис. 20. Рис. 20. Графический вывод из решателя 2D-балки и каркаса построен это конечно . Я надеюсь, что это руководство дало вам представление о том, насколько полезным может быть метод распределения моментов. Это особенно удобный инструмент для анализа подрамника, позволяющий быстро определить поперечные силы и изгибающие моменты. На практике вы, скорее всего, будете использовать программу для выполнения анализа — не в последнюю очередь потому, что она ускоряет итерации анализа, когда, например, вам нужно изменить нагрузку на конструкцию. Тем не менее, неплохо иметь в рукаве метод ручного анализа! Несмотря на то, что здесь мы продемонстрировали ключевые особенности метода распределения моментов, есть еще что рассказать, чтобы проанализировать рамные конструкции, особенно качающиеся рамы. Если вы хотите продолжить изучение метода распределения моментов вместе со мной, обратите внимание на следующие курсы: — Неопределенные структуры и метод распределения моментов ( начните здесь сначала ) — Метод распределения моментов: учебный курс по анализу (, затем возьмите этот второй ) Пока это все, увидимся в следующем. Линкедин Твиттер YouTube Автор Доктор Шон Кэрролл Бакалавр искусств (с отличием), MSc, PhD, CEng MIEI, FHEA Привет, я Шон, основатель DegreeTutors. com. Я надеюсь, что вы нашли этот урок полезным. Проведя 10 лет в качестве преподавателя в университете по проектированию конструкций, я запустила DegreeTutors.com, чтобы помочь большему количеству людей понять инженерию и получить такое же удовольствие от ее изучения, как и я. Не стесняйтесь связаться или подписаться на DegreeTutors в любой из социальных сетей. Если вам нужен полный доступ ко всей библиотеке курсов DegreeTutors (и коду!) за небольшую ежегодную плату, рассмотрите возможность подписки на Programme All Access Membership . Подробнее о преимуществах членства можно прочитать здесь или просмотреть заголовки и подписаться непосредственно ниже. Если вы учитесь в колледже или университете, станьте студенческим участником DegreeTutors, чтобы получить доступ к ряду премиальных курсов совершенно бесплатно. Доступ ко всем курсам и инструментам $ 279 / Год (меньше кофе в неделю ☕) Гарантия цен — избегайте будущего повышения цен, когда мы выращиваем .  Неограниченный доступ к инструментам онлайн-анализа. 🛠️ Упакованный план разработки курсов и инструментов 🏗️ Доступ к хабу участников DegreeTutors:Labs 🧪 Неограниченная потоковая передача всех текущих и будущих курсов Ранний доступ к новым курсам Доступ ко всем загрузкам, руководствам в формате pdf и кодам Python Сертификаты об окончании курса Приоритетная поддержка вопросов и ответов Модель механического состояния многопролетной глубокой неразрезной балки под действием сосредоточенной нагрузки На этой странице АннотацияВведениеВыводыСсылкиАвторское правоСтатьи по теме модели была рассчитана двухпролетная неразрезная глубокая балка. И результаты расчетов согласуются с результатами ANSYS, которые показывают, что модель без предположения о плоском сечении является точной и применимой. Изменения прогиба и деформации сечения по высоте балки анализировались при изменении высоты балки. Результаты показали, что нормальное напряжение и напряжение сдвига сосуществуют в поперечном сечении многопролетной сплошной глубокой балки, а это означает, что напряжение сдвига может вызвать деформацию поперечного сечения, в то время как нормальное напряжение может привести к тому, что сечение будет параллельным экструзия нейтрального слоя. Кроме того, мы случайно обнаружили, что с увеличением высоты балки постепенно увеличивается влияние деформации потери устойчивости и деформации выдавливания на изгиб балки. Новый метод расчета, обеспечиваемый устоявшейся механической моделью многопролетной неразрезной глубокой балки, расширил возможности метода расчета традиционной неразрезной глубокой балки. 1. Введение Многопролетная сплошная глубокая балка в основном используется для восприятия вертикальной нагрузки, и в поперечном сечении конструкции возникают нормальное напряжение и напряжение сдвига, когда глубокая балка несет сосредоточенную нагрузку, в то время как сдвиг напряжение может привести к короблению поперечного сечения, а нормальное напряжение может привести к выдавливанию в сечении параллельно нейтральному слою [1]. С увеличением высоты балки деформация сдвига и деформация выдавливания все больше влияют на изгиб балки, но влияние деформации выдавливания намного меньше, чем деформации сдвига. Теория Тимошенко также приняла предположение о плоском сечении для изучения деформации поперечного сдвига глубокой балки, и с точки зрения двух факторов деформации сдвига и вращательной инерции конструкции было указано, что вращение поперечного сечения было вызванные изгибом и деформацией поперечного сдвига. Этот метод не может ни рассчитать точную сдвиговую деформацию, ни одновременно удовлетворить несдвиговые граничные условия на верхней и нижней поверхностях [2–4]. Левинсон [5, 6] выдвинул теорию деформации сдвига высокого порядка без предположения о плоском сечении. Он удовлетворял граничным условиям несдвига на верхней и нижней поверхностях. Но модель не была построена на вариационном принципе, потому что определяющие дифференциальные уравнения были установлены с условием равновесия сечения балки. Гао Ван [7] использовал общее решение Папковича-Нойбера и оператора Люра, чтобы напрямую получить различные одномерные уравнения, составляющие уточненную теорию симметрии деформации балки. Между тем, метод конечных элементов, метод конечного интегрирования и метод рядов были также введены в области механики о глубокой балке [8–12]. Напряжение поперечного изгиба глубокой балки при равномерной нагрузке широко изучалось в литературе [13]. Механические характеристики глубокой балки при сосредоточенной нагрузке также исследовались в условиях больших деформаций [14]. Методом функций суммы решены упругие плоские задачи и проанализировано напряженное состояние свободно опертой глубокой балки при треугольной нагрузке. В то же время решения в виде рядов Фурье были представлены в литературе [15]. Вышеупомянутые теории рассматривали влияние деформации сдвига и деформации выдавливания на глубокую балку, но все они делали разные предположения для изучения распределения двух видов деформации. Для более точного расчета мы не могли принять допущение о плоском сечении и допущение о невыдавливании продольных волокон для исследования деформирования многопролетной неразрезной глубокой балки под действием сосредоточенной нагрузки [16], так как распределение внутренней силы постепенно усложняется с увеличением степени статической неопределенности, особенно в многопролетных неразрезных балках глубокого заложения. Согласно литературным данным, до настоящего времени имеется мало исследований по многопролетной неразрезной глубокой балке при сосредоточенной нагрузке; кроме того, в действующем Кодексе проектирования бетонных конструкций нет пояснений по расчету многопролетной неразрезной глубокой балки под сосредоточенной нагрузкой, даже не так много исследований закона распределения напряжений. То есть не существует осуществимого и разумного метода расчета конструкции, поэтому имеет практическое значение для изучения механических характеристик и метода расчета многопролетной неразрезной глубокой балки при сосредоточенной нагрузке, а также имеет теоретическое значение для изучения распределения напряжений. закон глубокого луча. В этом исследовании анализировалась многопролетная непрерывная глубокая балка под действием сосредоточенной нагрузки без предположения о плоском сечении и, следовательно, эффективно уменьшался масштаб многомерного расчета; это откроет новый путь к многопролетной области исследования непрерывной глубокой балки. 2. Уравнение механики многопролетной неразрезной глубокой балки под действием сосредоточенной нагрузки 2.1. Создание сетки многопролетной глубокой балки С точки зрения высокой глубокой балки и большого напряжения сдвига в поперечном сечении глубокой балки, многопролетная непрерывная глубокая балка была разделена на несколько тонких этажных балок в соответствии с составом материала и точность расчета, как показано на рисунке 1. 2.2. Разрешение механики и метод обработки на средних опорах Многопролетная неразрезная глубокая балка была разделена на несколько тонких этажных балок в соответствии с условиями сплошности перемещений и равновесия напряжений между соседними границами конструктивных слоев. Затем средние опоры глубокой балки были удалены, и эквивалентные вертикальные силы были приложены к местам расположения средних опор, чтобы убедиться, что места расположения средних опор не имеют вертикального смещения, как показано на рисунке 2. 2.3. Создание модели состояния балки каждого этажа Взяв любую балку этажа с первого этажа на й этаж, мы установили локальную систему координат для изучения напряженного состояния любой точки в балке го этажа, как показано на рисунке 3. (1) Уравнение баланса балки 1-го этажа: (2)Физическое уравнение балки 1-го этажа: (3)Геометрическое уравнение балки 1-го этажа: где и — перемещение некоторой точки вдоль направления и в балке. (4) Уравнение состояния установления балки 1-го этажа. С помощью (1), (2) и (3) мы устанавливаем первое производное уравнение состояния относительно направления: (5) Введение ряда Фурье. Предполагать где и – компоненты смещения и напряжения. Из (6) и (5) мы можем получить переменную состояния Очевидно, что (5) и (6) все удовлетворяют граничным условиям, , , , и . (6)Решение уравнения состояния балки 1-го этажа. Подставляя (6) в (4), мы можем получить следующее: Очевидно, что матрица коэффициентов в (8) переведена в матрицу постоянных коэффициентов; предполагать Тогда (8) упрощается до По методу матричной экспоненты решение (10) получается Предполагать Тогда (11) упрощается до При , (13) преобразуется в где () — значение координаты верха балки 1-го этажа, — значение координаты низа балки 1-го этажа (равно общей высоте балки 1-го этажа), — вектор-столбец перемещений и составляющих напряжений в месте , и является вектор-столбцом компонентов смещения и напряжения в месте . 2.4. Уравнение состояния Комбинация Связываем все балки этажей по условиям непрерывности перемещений и равновесия напряжений между соседними границами раздела конструктивных слоев по (14), и при , можем получить Из (15) свяжем балку каждого этажа сверху вниз: Последняя строка в (16) представляет собой уравнение состояния всей композитной структуры. Предположим, ; тогда модель состояния всей структуры можно записать в виде 2. 5. Обсуждение разрешимости уравнения модели ( 1) Известное количество и неизвестное количество в компонентах состояния. Уравнение (17) можно переписать как Все матрицы коэффициентов в (18) являются постоянными матрицами, а неизвестные величины и представляют собой значения составляющих напряжений и перемещений в верхней и нижней части глубокой балки. ( 2) Граничное условие. Берем двухпролетную неразрезную балку глубокого заложения; например, мы устанавливаем граничные условия нагрузки верхней и нижней балки на рисунке 1. Граничное условие верхней поверхности глубокой балки: где – сосредоточенная нагрузка на верхнюю поверхность глубокой балки. Граничное условие нижней поверхности глубинной балки: где — опорная сила каждой средней опоры. Прогиб средней опоры неразрезной балки отвечает где – координата направления th средней опоры, , а Сосредоточенная сила на верхней поверхности балки может быть представлена ​​в виде ряда Фурье. где – координата направления сосредоточенной силы на верхней поверхности балки, а . ( 3) Решение неизвестной величины в компоненте состояния. В соответствии с указанными выше граничными условиями и разложением механических величин в ряд Фурье мы можем решить выражения для компонентов напряжения и конкретный процесс решения следующим образом: Прогиб средней опоры Только неизвестная переменная в компонентах напряжения , но может быть решена по нулевому прогибу на нижней поверхности средней опоры. Таким образом, все компоненты напряжения являются известными переменными, а две другие компоненты также могут быть решены с помощью (18). Таким образом, все компоненты напряжения верхней поверхности глубокой балки решены. Смещение и значение составляющей напряжения неразрезной глубокой балки могут быть решены с помощью (18) и представления решенных составляющих в выражениях ряда Фурье смещения и напряжения, поэтому механические параметры многопролетной непрерывной глубокой балки могут быть также решен. 3. Пример 3.1. Пример Введение Высота балки 0,65 м, прочность бетона C40, длина балки 3,00 м, расчетный пролет одного пролета 1,40 м, ширина балки 0,12 м, диаметры стальных стержней 12 и 8 , соответственно, а нагрузка на вершину глубокой балки составляет 2,5 т (рис. 4). 3.2. Сравнение и обсуждение Чтобы проверить точность теоретической модели, мы сравнили результаты теоретической модели с ANSYS. ( 1) Кривые прогиба. На рис. 5 представлены кривые прогиба двухпролетной неразрезной глубокой балки. Результаты расчетов теоретической модели согласуются с результатами ANSYS, и две кривые перекрываются вместе, что может свидетельствовать о справедливости и применимости этой установленной модели, а также предполагает, что установленную механическую модель можно использовать для анализа механического поведения многопролетная сплошная глубокая балка. ( 2) Кривые распределения касательного напряжения по высоте балки. На рис. 6(б) показано распределение напряжения сдвига по высоте балки (так как на рис. 6(а) показано расположение наблюдаемых поперечных сечений). Совершенно очевидно, что теоретические результаты согласуются с результатами ANSYS, а касательное напряжение на верхней и нижней поверхности конструкции отсутствует, что согласуется с фактом. ( 3) Кривые распределения поперечных деформаций по высоте балки. На рис. 7 показано распределение поперечной деформации по высоте балки (так как на рис. 6(а) показано расположение наблюдаемых поперечных сечений). Совпадение на рисунке 7 хорошее, и единственная ошибка для модели ANSYS и теоретической модели связана с различием в построении сетки, упрощении модели и выборе параметров. В настоящем исследовании кривые распределения поперечной деформации согласуются не с линейным соотношением, а с кривым соотношением; так же, как и другие исследования, которые показывают, что глубокая балка больше не соответствует предположению о плоском сечении [17]. Причина в том, что в поперечном сечении балки есть напряжение сдвига и нормальное напряжение, и напряжение сдвига может привести к деформации поперечного сечения, в то время как нормальное напряжение может привести к сечению, параллельному экструзии нейтрального слоя. . На рис. 8 представлена ​​кривая распределения поперечной деформации при различной высоте балки ( = 0,65 м, = 0,55 м, = 0,45 м, = 0,35 м, = 0,25 м) в сечении 2. При изменении высоты балки кривая поперечной деформации становится линейной зависимостью и постепенно соответствует допущению о плоском сечении, потому что балка принадлежит к непрерывной мелкой балке вместо непрерывной глубокой балки с уменьшением высоты балки, и допущение о плоском сечении можно использовать снова. . Схема на Рисунке 8 аналогична прежним исследовательским достижениям [17], которые еще раз подтвердили правильность расчетной модели. ( 4) Кривые деформаций вертикального сжатия различных грунтов в среднем сечении крепи. На рис. 9 показаны кривые деформации вертикального сжатия в различных точках средней секции опоры. Чем выше высота балки, тем больше деформации вертикального сжатия различных точек в средней части опоры, а чем ниже высота балки, тем меньше деформации вертикального сжатия. С увеличением высоты балки деформации вертикального сжатия все больше влияют на деформацию изгиба многопролетной неразрезной глубокой балки. 4. Выводы В этой статье мы использовали теорию пространства состояний для анализа многопролетной непрерывной глубокой балки и предложили новый способ решения конструкции многопролетной непрерывной глубокой балки, который расширит область применения теория пространства состояний. Модель была построена без предположения о плоском сечении и предположениях о напряжении и перемещении, поэтому она более эффективна при построении и расчете, чем модель ANSYS; также он имеет более широкий диапазон применения и более высокую точность, особенно при расчете большой композитной конструкции. В этой статье показано, что в поперечном сечении балки существуют касательное напряжение и нормальное напряжение; напряжение сдвига может привести к искривлению поперечного сечения, а нормальное напряжение может привести к сечению, параллельному экструзии нейтрального слоя. С увеличением высоты балки вертикальные деформации сжатия могут все больше влиять на деформацию изгиба многопролетной непрерывной глубокой балки. Расчетное решение согласуется с решением ANSYS, а модель механики, выявленная моделью, аналогична прежним исследовательским достижениям, что позволяет предположить, что модель может быть использована для практических расчетов. Ссылки Z.-Z. Ван, Дж.-З. Чжу, Л. Чен, Ж.-Л. Го, Д.-Ю. Тан и У.-Дж. Ми, «Метод расчета напряжения для глубоких балок с деформацией связи изгиба при сдвиге при сосредоточенной нагрузке», Engineering Mechanics , vol. 25, нет. 4, стр. 115–120, 2008. Посмотреть по адресу: Google Scholar Г. Р. Каупер, «Коэффициент сдвига в теории балки Тимошенко», Журнал прикладной механики , том. 33, нет. 2, с. 335–340, 1966. Посмотреть по адресу: Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH С. П. Тимошенко и Дж. М. Гир, Прочность материалов , Vannostrand Company, New York, NY, USA, 1972. Р. Д. эластичные пластины», Journal of Applied Mechanics , vol. 18, стр. 31–38, 1951. Посмотреть по адресу: Google Scholar М. Левинсон, «Новая теория прямоугольного луча», Journal of Sound and Vibration , vol. 74, нет. 1, стр. 81–87, 1981. Посмотреть по адресу: Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH М. Левинсон, «Дальнейшие результаты новой теории пучков», Journal of Sound and Vibration , vol. 77, нет. 3, стр. 440–444, 1981. Посмотреть по адресу: Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH Ю. Гао и М. З. Ван, «Уточненная теория деформации симметрии прямоугольной балки», Наука в Китае G , том. 4, стр. 517–522, 2009 г. (китайский). Просмотр по адресу: Google Scholar Б.Ю. Ян, С.Т. Ву и Х.П. Ли, «Исследование точности численного расчета смещения коротких или глубоких балок при сдвиге и изгибе», Журнал прикладных наук Механика , вып. 20, нет. 2, pp. 145–146, 2003. Посмотреть по адресу: Google Scholar П. Л. Мэй и Д. С. Цзэн, «Точное решение глубоких балок», Механика и практика , вып. 24, нет. 3, стр. 58–60, 2002 г. (китайский). Посмотреть по адресу: Google Scholar Г. Ф. Ван, «Анализ напряжения свободно поддерживаемых глубоких балок», Журнал Чэндуского университета науки и технологий , том. 70, нет. 3, стр. 70–76, 1993 (китайский). Посмотреть по адресу: Google Scholar Д. Дж. Дин и В. К. Лю, «Решение глубоких балок на основе механики стержневой системы», Engineering Mechanics , том. 10, нет. 1, стр. 10–18, 1993 г. (китайский). Просмотр по адресу: Google Scholar Л. З. Чен и З. З. Ли, «Последовательное решение непрерывной глубокой балки при распределенной нагрузке», Design and Research , vol. 32, нет. 9, стр. 30–32, 2005 г. (китайский). Просмотр по адресу: Google Scholar З. З. Ван и Дж. Д. Ша, «Расчет нормального напряжения и прогиба при поперечном изгибе главной балки в выпускных воротах», Журнал гидротехники , том. 9, стр. 40–46, 1995 (китайский). Посмотреть по адресу: Google Scholar C. M. Wang, K. Y. Lam, X. Q. He, and S. Chucheepsakul, «Большие отклонения балки с торцевой опорой, подвергнутой точечной нагрузке», International Journal of Non-Linear Mechanics , том. 32, нет. 1, стр. 63–72, 1997. Посмотреть по адресу: Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH Y.-C. Цзян, X.-F. Ху и Х. Чен, «Последовательное решение метода суммирующих функций для простой глубокой балки с опорой», Журнал Сычуаньского университета , том. 38, нет. 6, стр. 63–67, 2006 г. (китайский). Просмотр по адресу: Google Scholar З. З. Ван и Л. К. Ли, «Критическое отношение глубины пролета тонкостенной стальной балки», Механика в машиностроении, , том. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт 2019 © Все права защищены.