Прогиба расчет: Расчет прогиба балки онлайн калькулятор. Площадь поперечного сечения профиля. Расчет на прочность.

Содержание

ScadSoft - Расчет прогиба плиты

Цель: Проверка расчета плиты по деформациям

Задача: Проверить правильность вычисления прогиба

Ссылки: Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры (к СП 52-101-2003), 2005, с. 173-174.

Файл с исходными данными:

Example 45.SAV
отчет – Arbat 45.doc.

Соответствие нормативным документам: СП 52-101-2003, СП 63.13330.2012. 

Исходные данные:

l=5,6 м Пролет плиты
b×h = 1000×200 мм Размеры сечения плиты
а = 27 мм Расстояние от центра тяжести арматуры до сжатого края сечения
As = 769 мм2 (5Ø14) Площадь сечения арматуры
q  = 7 кН/м Полная равномерно распределенная нагрузка
ql = 6,5 кН/м Часть полной равномерно распределенной нагрузки от постоянных и длительных нагрузок

Класс бетона
Класс арматуры

В15
A400

 

Исходные данные АРБАТ:
Коэффициент надежности по ответственности  γn = 1
Коэффициент надежности по ответственности (2-е предельное состояние)  = 1

Конструктивное решение

Сечение

b = 1000 мм
h = 200 мм
a1 = 20 мм
a2 = 20 мм

 

 

 

Арматура

Класс

Коэффициент условий работы

Продольная

A400

1

Поперечная

A240

1

Заданное армирование

Пролет

Участок

Длина (м)

Арматура

Сечение

пролет 1

1

5,6

S1 - 5Ø14

 

Бетон

Вид бетона: Тяжелый
Класс бетона: B15
Плотность бетона 2,5 Т/м3

Коэффициенты условий работы бетона

γb1

учет нагрузок длительного действия

1

γb2

учет характера разрушения

1

γb3

учет вертикального положения при бетонировании

1

γb5

учет замораживания/оттаивания и отрицательных температур

1

 

Влажность воздуха окружающей среды - 40-75%

Условия эксплуатации
Режим влажности бетона - Естественная влажность
Влажность воздуха окружающей среды - 40-75%

Сравнение решений

Проверка

максимальный прогиб

Пособие

31,5 мм

АРБАТ

32,847 мм

Отклонение, %

4,2 %

 

Комментарий. Различие в результатах связано с тем, что в Пособии используются приближенные эмпирические формулы.

7.2.3 Определение прогиба

7.2.3.1 Прогиб плиты перекрытия рассчитывают по формуле


(27)

где frc - прогиб плиты от действия нагрузок в стадии эксплуатации (без учета собственной массы), см;
fadd - дополнительный прогиб плиты за счет податливости анкерных связей, см;
l - пролет плиты, см.

При отсутствии расчетной надопорной стержневой арматуры прогиб плиты определяется как для однопролетной, свободно опирающейся по формуле


(28)

где 1/r - расчетная кривизна плиты на участке с наибольшим изгибающим моментом;
σ - коэффициент по таблице 5.
Дополнительный прогиб fadd рекомендуется определять как для однопролетной балки с моментами на опорах по формуле (31), принимая коэффициент σ - 1,8.
Кривизна определяется по формуле


(29)

где Mn., span - наибольший изгибающий положительный момент в пролете от нормативной нагрузки, при которой определяется прогиб, без учета собственной массы плиты, нм;

Ired - момент инерции приведенного сечения плиты в пролете, см4;
φb1, φb2 - коэффициенты, учитывающие влияние соответственно кратковременной и длительной ползучести бетона, принимаемые по СНиП 52-01-2003.

Если при определении прогиба учитываются кратковременные и длительные нагрузки, то расчетная кривизна принимается равной сумме кривизн, определяемых раздельно для изгиба оси нагрузок кратковременного и длительного действия


(30)

Таблица 5

Схема приложения нагрузки σ
1/12
(3-а2)24
1/8
5/48
Примечание - При наличии расчетной надопорной стержневой арматуры, обеспечивающей неразрезность перекрытия, расчет прогиба выполняется как для неразрезной конструкции

Дополнительную кривизну, обусловленную податливостью анкерных связей, определяют по формуле

(31)

где k = 2 - для однопролетных плит;
k - 1,5 и 1,0- соответственно для крайних и средних пролетов неразрезных плит;
k= 1,5 - для средних пролетов неразрезных плит, являющихся крайними для настила;
Δ - сдвиг настила относительно бетона, определяемый по формуле

(32)

где εa - коэффициент жесткости анкера

(33)

где nan - число вертикальных анкерных стержней в одном гофре.

Момент инерции приведенного сечения плиты в пролете следует определять относительно его центра тяжести, принимая коэффициенты приведения площади сечения настила

аn и стержневой арматуры as к площади бетона принимаются соответственно

(34)

При расчете момента инерции приведенного сечения плиты площадь растянутого бетона исключают, полагая возможность образования в нем трещин.

Положение центра тяжести приведенного сечения плит, занимаемое относительно крайней сжатой грани бетона х, следует определять по следующим формулам:

а) если нейтральная линия (ось), на которой находится центр тяжести приведенного сечения, не пересекает ребра плиты

(35)

ΣAred - сумма приведенных площадей сечения арматуры, см2;
Sred - статический момент площади Ared относительно крайней сжатой грани сечения плиты, см3;

б) если нейтральная линия пересекает ребро плиты (профилированный настил), то

(36)

где ΣAred - сумма приведенных площадей сечений арматуры и площади свесов таврового сечения бетона плиты, см2;
Sred - статический момент площади Ared относительно крайней сжатой грани сечения плиты, см.

в) если нейтральная линия (ось) совпадает с нижней гранью полки плиты (на уровне верхней полки профилированного настила), то

(37)

Сумму приведенных площадей сечения ΣAred и ΣAred вычисляют по формулам:

(38)

(39)

где Аb - площадь свесов бетона таврового сечения;
аn, as - по формуле (34).

7.2.4 Расчет монолитной неразрезной плиты по раскрытию трещин на промежуточных опорах выполняется в соответствие с требованиями СНиП 52-01-2003. Предельно допустимое значение ширины раскрытия трещин следует принимать не более 0,3 мм.

Расчет прогиба пластины в Excel

Опубликовано 26 Мар 2016
Рубрика: Механика | 108 комментариев

При выполнении расчетов стенок емкостей, стенок конструкций или различных покрытий возникает задача определения напряжений и прогибов. Хочется ответа на простые вопросы — на сколько и как выгнется пластина под нагрузкой, и не разрушится ли она? Теория предлагает...

...по заданной известной функции нагрузки найти функцию прогибов. Для этого нужно решить неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. От одного прочтения предыдущего предложения, я думаю, многим читателям стало грустно и тоскливо. А если добавить, что для практической реализации одного из методов предстоит решить систему из 15-и уравнений и найти 15 неизвестных, то большинство на этом просто прекратят чтение и потеряют всякий интерес к теме, либо продолжат поиск программ, выполняющих автоматически подобные расчеты. Эти программы, выполняющие расчет прогиба пластин, чаще всего реализуют приближенные численные методы конечных элементов и конечных разностей и стоят приличных денег.

Но есть и другой путь… (Как известно, выходов всегда не меньше двух...) Эта дорога старая, заросшая лесом новых теорий, но не до конца забытая!

Этот путь является достаточно узким и индивидуальным для различных форм пластин, способов закрепления контуров и относительных величин прогибов. Для каждой расчетной схемы – свои таблицы коэффициентов к расчетным формулам! Расчет прогиба пластины по старым методикам прост – это несомненный плюс, но не универсален – это существенный минус.

Цель данной статьи – рассказать, как наши деды — инженеры прошлого века — решали такие практические вопросы, и показать простой пример модернизированного расчета в Excel задачи об изгибе пластины для одного из наиболее распространенных случаев в практике.

Из-за отсутствия каких-либо машин для выполнения рутинных сложных расчетов (кроме светлой головы, листка бумаги, карандаша, таблиц функций и логарифмической линейки ничего не было) ученые в начале и в середине 20-ого века стремились вооружить простого инженера короткими и понятными алгоритмами, «привязанными» к  рассчитанным в НИИ номограммам и таблицам. Такой подход обеспечивал значительное упрощение и ускорение работы инженеров, хотя и не давал им полного понимания теории.

Расчет прогиба пластины изучается в общей теории оболочек, которая является сложным самостоятельным разделом механики, давно выделившимся из недр классического сопромата.

Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина h менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане a.

Тонкие пластины делят на 3 класса в зависимости от величины максимального прогиба w:

жесткие — w<0,25h

гибкие — 0,25h<w<5h

абсолютно гибкие — w>5h

Попадание конкретной пластины в тот или иной класс, как видите, зависит от прогиба, а значит — от величины нагрузки. Важно отметить, что одна и та же пластина при разных нагрузках может быть отнесена к разным классам, и расчет её будет производиться по различным формулам.

Далее в примере рассматривается тонкая жесткая пластина.

Расчет в Excel  прогиба пластины. Пример.

Прямоугольная пластина из изотропного материала (Сталь Ст3) жестко закреплена по всему контуру. В перпендикулярном направлении к плоскости пластины приложена равномерно распределенная по всей площади нагрузка.

Требуется вычислить наибольший прогиб пластины от действия нагрузки и найти максимальные возникающие в теле листа напряжения.

Исходные данные:

Первые три параметра являются справочными характеристиками свойств материала пластины.

1. Предел текучести для пластичных материалов или прочности для хрупких материалов [σ] в Н/мм2 записываем

в ячейку  D3: 245

Этот параметр не участвует в расчетах и нужен лишь для сравнения с полученными в результате расчета напряжениями. Правильнее вместо него использовать допускаемые напряжения материала с учетом всех запасов для конкретного случая применения.

2. Модуль упругости или модуль Юнга E в Н/мм2 заносим

в D4: 210000

3. Коэффициент Пуассона μ вписываем

в D5: 0,28

В примечаниях к ячейкам D4 и D5 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для некоторых материалов.

4.,5.,6. Далее вводим в таблицу размеры пластины h, a и b в мм

в ячейку  D6: 5,0

в D7: 500

в D8: 1000

В примечаниях к ячейкам D6, D7 и D8 записаны ограничения, которые должны соблюдаться. В случае их нарушения цифры окрашиваются инверсным белым цветом, а поле ячейки – красным, сообщая пользователю об ошибке ввода данных.

7. Значение распределенной равномерно по всей площади нагрузки q в Н/мм2 вносим

в D9: 0,016

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-progiba-plastiny (xls 90,5KB).

Результаты расчета:

8. Цилиндрическую жесткость пластины D в Н*мм (аналог EI – линейной жесткости для стержней) вычисляем

в ячейке D11: D=(E*h3)/(12*(1- μ2)=2373589

9.,11. Безразмерные коэффициенты k1 и k2, зависящие от формы и размеров пластины, а также от способов закрепления контурных сторон, можно найти в таблицах старых справочников (Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин). Правда, k2 зависит еще и от μ, а в таблицах приведены значения только для стали μ≈0,3 и бетона μ≈1/6, но, проанализировав ряд таблиц, можно увидеть, что эта зависимость не очень значительная…

Выполнив аппроксимацию в Excel табличных данных, получим аналитические выражения для расчетов коэффициентов

в ячейке D12: при 0,5<a/b<1

k1=0,16747*(a/b)6-0,766*(a/b)5+1,4455*(a/b)4-1,4342*(a/b)3+0,78433*(a/b)2-0,22506*(a/b)+0,029239=0,0254

при 0<a/b<0,5

k1=-0,00012*(a/b)+0,0026=0,0254

в D14: при 0,5<a/b<1

k2=0,71922*(a/b)6-3,1489*(a/b)5+5,6353*(a/b)4-5,1372*(a/b)3+2,3658*(a/b)2-0,50294*(a/b)+0,12003=0,0829

при 0<a/b<0,5

k1=-0,0008*(a/b)+0,0833=0,0829

Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δабс и относительным Δотн погрешностям, так и по величине достоверности R2.

10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его

в ячейке D13: w=k1*q*a4/D=1,07

Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.

12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины Mmax возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм

в ячейке D15: Mmax=k2*q*a2=332

13. Наибольшие напряжения в пластине σmax в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм2

в ячейке D16: σmax=6* Mmax/h2=80

Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.

Заключение.

По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.

Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.

Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов  k1 и k2 также индивидуальны!

Возможно развитие программы для решения других вариантов задач по вашим, уважаемые читатели, индивидуальным запросам.

В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.

Напишите ваше мнение о статье или возникшие вопросы  в комментариях.

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Пример расчета прогиба балки - Яхт клуб Ост-Вест

Для строительства прочного, надежного и долговечного здания, нужно знать такой показатель, как прогиб балки (формула), то есть величину жесткости.

Данное направление изучается в таких науках (дисциплинах), как “Сопротивление материалов”, “Теория прочности”, “Механика строительная” и прочее.

Прочность и жесткость балки

Современные строительные технологии, применяемые для просчета стройконструкций, называемых также стержневыми, по качествам прочности и жесткости дают уникальную возможность на первом же этапе проектировки вычислить величину прогиба.

Кроме этого, можно, опираясь на рассчитанные данные, составить заключение о вероятности использования строительной конструкции.

Какой вопрос позволяет решать указанная далее формула для расчета жесткости? Данные, полученные таким путем, говорят о самых больших изменениях в геометрии детали, что могут возникнуть в строительной конструкции.

Несмотря на некоторую бюрократизацию методик для вычисления прогиба, используются опытные формулы, а если воздействие реальных нагрузок отличается от идеальных или усредненных, вопрос решается введением дополнительных коэффициентов для запаса прочности. Понятия «жесткость» и «прочность» связаны и абсолютно неразделимы.

Хотя некоторые различия все-таки есть. Но только в том случае, если рассматривать данные показатели в автомашинах. В стройконструкциях главное нарушение конструкции объектов случается потому, что снижаются или нивелируются полностью вопросы, связанные с запасом прочности, вследствие чего здания нельзя эксплуатировать.

Деревянные балки из древесины хвойных пород

На сегодня в таких предметах изучения, как «Сопромат» и другие, приняты 2 метода для расчета прочности и жесткости:

  • Простой. При просчитывании показателей на основе этого метода используют увеличенный коэффициент.
  • Точный. Тут используются не только коэффициенты, показывающие запас прочности, но также осуществляется вычисление пограничного состояния (какую нагрузку может выдержать балка).

Как рассчитывать прогиб для балки дома

Чтобы просчитать, подходит ли конкретная балка для строительства дома, нужно знать такие показатели:

  • M – это тот максимальный момент, который возникает в балке, находящийся по эпюру моментов. Эпюр – это специальный чертеж с изображением пространственная фигура изображается на плоскости.
  • W n, mіn – момент сопротивления сечения (его значение находят по таблице).
  • Ry – сопротивление, что оказывает материал, из которого изготовлен элемент конструкции дома, изгибаясь от нагрузки.
  • Уc – дополнительный показатель (его можно найти в одной из многочисленных таблиц строительных нормативов).

Формула для расчета прогиба представляет из себя неравенство следующего вида (формула № 1):

Чтобы правильно применить формулу, нужно действовать так:

  • Нарисовать схематично балку и ее будущее расположение под крышей дома. Чтобы верно изобразить на чертеже все части исследуемого объекта, нужно знать форму и линейные размеры балки, поперечного сечения, характер будущих нагрузок, материал, из которого балка изготовлена.
  • Записать ее точные размеры.
  • Рассчитать по указанной формуле, чему равно частное максимального момента балки к произведению остальных трех величин.
  • Сравнить полученный результат с единицей: если он меньше или равен 1, то вычисления дают положительный ответ.

Зная значение параметров рассматриваемой балки и сил, действующих на нее, сделав нехитрые вычисления, можно быстро справится с задачей вычисления допустимого прогиба балки дома.

Как вычислить вспомогательные величины

Для получения полной информации о значениях, необходимых для достижения конечной цели вычислений, нужно узнать, каков момент сопротивление сечения (формула № 2):

Необходимо обязательно уитывать ориентирование рассматриваемого балочного сечения, так как с уменьшением моментов инерций жесткость балок снижается, чего допускать нельзя. Для выяснения максимального значения нагрузки f, которое может выдержать балка, надо вычислить его по такой формуле № 3:

f = (5 / 384) * [(qn * L 4 ) / (E * J)] £ [¦], где

  • L – продольный размер, в метрах
  • E – коэффициент, показывающий упругость (для каждого материала или сплава он будет разным)
  • J – момент инерции по сечению
  • qn – это нагрузка, равномерно-распространенная, выражается в кг/м или в Н/м

Показатель J рассчитывается так:

  • b – диаметр сечений
  • h – вертикальный размер сечения

Примером для сечений, величиной 15 на 20 сантиметров:

J = 0,15 * (0,2) 3 / 12 = 10 000 см 4 или 0,0001 м 4

Кроме указанных расчетных или табличных величин, среди важных факторов, которые нужно учитывать при определении максимальных нагрузок, выделяют такие: статические (которые действуют постоянно, независимо от переменных внешних факторов), периодические (действие ветра, вибрации, ударов).

Пример подсчета прогиба

Прогиб балки (формула, пример расчета) вычисляется так. Допустим, есть балка, для которой нужно рассчитать прогиб, с такими параметрами:

  • Материал изготовления – дерево.
  • Плотность 600 кг/м 3 .
  • Длина балки L – 4 м, остальные размеры: 15 см х 20 см.
  • Масса перекрывающих элементов – 60 кг/м².
  • Максимальная нагрузка q равна 249 кг/м.
  • E (насколько упруго дерево) – 100 000 кгс/ м².
  • J балок – 10 кг*м².

Максимально допустимая нагрузка вычисляется с учетом веса не только балочной конструкции, но и перекрытия, а также опор.

Расчет на поперечный прогиб

Не лишним будет учесть тяжесть, которую будут оказывать люди или приборы, механизмы и другие тяжелые вещи, если вычисляется прогиб балок этажа дома. Нужны такие данные, как:

  • Сколько весит один пог. метр рассматриваемой балки.
  • Сколько весит каждый м 2 перекрытия.
  • Какова временная нагрузка на перекрытие.
  • Сколько составляет нагрузка от перегородок на 1 м 2 перекрытия.
  • Каков коэфф. k (это промежуток, оставляемый между балками).

Чтобы упростить пример расчетов, принимают масс перекрытия за 60 кг/м², нормальную непостоянную нагрузку на каждое перекрытие – 250 кг/м², нагрузки от перегородок равными 75 кг/м², тяжесть части деревянных балок – 18 кг/погонный метр. Когда расстояние между перекрытиями равно составляет 600 мм, тогда коэффициент k равен 0,6. Подставляем в формулу все эти значения:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Изгибающий момент нужно вычислить по формуле №3, учитывая все указанные выше данные. Получается:

f = (5 / 384) * [(qn * L 4 ) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 4 4 ) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Это – показатель уровня прогиба во время воздействия максимальной нагрузки. Что именно он обозначает? Получается, что менее, чем на один сантиметр прогнется балка при указанной максимальной нагрузке. После этого нужно сравнить полученный результат с единицей: 0,83 меньше 1.

При расчетах деформации важных строящегося здания используют указанные выше простые формулы. Прогиб балки по формуле СНиП является универсальным способом вычисления жесткости балок и величины их прогибания.

Как посчитать балку на изгиб — на видео:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Для заданной балки двутаврового сечения ( = 210 МПа, Е = 2 х 10 5 МПа) и нагрузок требуется;

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. Определить нормальные и касательные напряжения в сечениях с наибольшим моментом и поперечной силой на расстоянии h/4 от нейтральной оси;

3. Определить прогиб конца балки точки В.

При построении эпюр Q и М необходимо соблюдать правило зна­ков. Положительное направление сил показано на схеме.

1. Определяем опорные реакции

2. Методом сечений определяем ординаты поперечной силы в характерных сечениях. Для этого балку разбиваем на два участка. Границы участков – места изменения нагрузки. Построение эпюры на­чинаем с правого свободного конца балки.

Максимум изгибавшего момента находится в сечении, где поперечная сила равна нулю. Положение этого сечения определяем из условия:

3. Методом сечений определяем изгибающие моменты в характерных сечениях и строим эпюру моментов. Экстремум в т. х = 2 м.

Наиболее нагруженным сечением в балке является сечение А у заделки, где Мmax = 120 кН м, Qmах = – 80 кН.

4. Из условий прочности по нормальным напряжениям определяем требуемый момент сопротивления сечения.

По сортаменту ГОСТ 8509-72 принимаем двутавр № 33.

Максимальные напряжения в опасном сечении будут равны

5. Определяем нормальное напряжение в точке Е сечения на расстоянии h/4 = 8,25 см от нейтральной оси (рис. 4.9.).

Для определения касательного напряжения в точке Е вычислим статический момент отсеченной выше точки Е площади относительно центральной оси Х.

6. Определяем прогиб балки в точке В, используя универсаль­ное уравнение прогибов

Для заданной консольной балки граничные условия будут: угол поворота сечения А ; прогиб сечения А

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9825 – | 7406 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб


Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

  • Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
  • Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
  • Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб


Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

  1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
  2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
  3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е – справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил


Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования


На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

  • Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
  • По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
  • По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Заключение


Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Расчет прогиба плоской рамы с произвольным числом панелей в системе Maple методом индукции

Постулат. 2019. №3 ISSN 2414-4487

Индукция по 14 фермам дает формулу для прогиба вида:

3 3 3 3 3 3 2

( )/(9216 )

n n n n n n

P a A c C g G f F p P h H h      

. (1)

При обнаружении общего члена последовательности коэффициентов

при

в случае, когда m=k=2 потребовалось проанализировать 14

выражения прогиба и получить следующие натуральные числа: 1354752,

419328, 4552704, 576000, 8782848, 658944, 14192640, 815616, 20929536,

1193472, 29140992, 1939968, 38974464, 3202560. Найти общий член этой

последовательности обычными методами затруднительно. Оператором

rgf_findrecur пакета genfunc системы Maple для членов последовательности

можно получить линейное однородное рекуррентное уравнение седьмого

порядка:

1 2 3 4 5 6 7

3 3 3 3

n n n n n n n n

A A A A A A A A

      

      

.

Оператор rsolve находит решение уравнения, задающее искомую

формулу для коэффициента при

 

32

512 6 (54 96( 1) ) (1389 864( 1) ) 13) 554( 1 .

n n n

n

A n n n        

Аналогично, при анализе численного ряда 873, 81, 873, 81 и т.д.,

находим, что коэффициент

удовлетворяет однородному уравнению

второго порядка

и имеет вид

 

9 53 44( 1)n

n

C  

.

Для коэффициента G получен числовой ряд 26226, 8514, 26226, 8514,

26226, 8514, 26226, 8514,26226, 8514, 26226, 8514, 26226, 8514, выведено

однородное уравнение второго порядка вида:

Решение данного уравнения имеет вид:

 

18 965 492( 1)n

n

G  

Числовая последовательность при коэффициенте

совпала с

последовательностью для коэффициента С, а значит однородное уравнение

имеет решение:

 

9 53 44( 1)n

n

F  

Для коэффициента Р получена следующая последовательность:

193536, 124416, 202752, 133632, 211968, 142848, 221184, 152064, 230400,

161280, 239616, 170496, 248832, 179712. Из данного числового ряда выведено

рекуррентное однородное уравнение третьего порядка

1 2 3n n n n

P P P P

  

  

,

решение которого имеет вид:

 

4608 8( 1) .33

n

n

Pn  

В свою очередь, для коэффициента

из числового ряда: 230400,

82944, 230400, 82944,230400, 82944, 230400, 82944,230400, 82944, 230400,

82944, 230400, 82944, получено следующее однородное уравнение второго

порядка:

, а его решение имеет вид:

 

1

17 (216 1)9 8

nn

H



.

Кривые на рисунке 4 построены по формуле (1) для безразмерного

относительного прогиба

/ ( )

s

EF LP

  

при длине пролета L=100 м. Длина

панели a зависит от пролета: a=L/(2n). Высота h указана в метрах.

Расчет круглых пластин. Часть 3

В части III выполнены расчеты круглых пластин под действием нагрузки, распределенной по кольцу и линейно убывающей от внешнего края пластины до окружности заданного диаметра, на котором она принимает нулевое значение. Такие расчеты иногда необходимы, например, при вращательном движении механизма. В результате вычислений, как и в предыдущем случае, определяются радиальный и окружной изгибающие моменты в рассматриваемой точке, величина прогиба, угол поворота и эквивалентные напряжения.

Исходные данные:

D - наружный диаметр пластины, в миллиметрах;

d - внутренний диаметр пластины, в миллиметрах;

t - толщина пластины, в миллиметрах;

D0 - внутренний диаметр распределенной нагрузки, в миллиметрах;

Di - диаметр, по которому необходимо найти изгибающие моменты, угол поворота, прогиб диска и эквивалентные напряжения, в миллиметрах;

q - распределенная нагрузка, в ньютонах / метр 2;

ν - коэффициент Пуассона;

Е - модуль упругости материала диска, в паскалях.

Расчет пластины # 1.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Mrd = 0 - радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Qd = 0 - реакция опоры по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

MrD = 0 - радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.1


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 2.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнему диаметру, со скользящей опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

θd = 0 - угол поворота по внутреннему диаметру;

Qd = 0 - реакция опоры по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

MrD = 0 - радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.2


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 3.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнему и внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

Mrd = 0 - радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

MrD = 0 - радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.3


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 4.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнемудиаметру, защемленной по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

θd = 0 - угол поворота по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

MrD = 0 - радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.4


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 5.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, консольно защемленной по внешнемудиаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Mrd = 0 - радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Qd = 0 - реакция опоры по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

θD = 0 - угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.5


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 6.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, защемленной по внешнемудиаметру, со скользящей опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

θd = 0 - угол поворота по внутреннему диаметру;

Qd = 0 - реакция опоры по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

θD = 0 - угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.6


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 7.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, защемленной по внешнемудиаметру, с шарнирной опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

Мrd = 0 - радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

θD = 0 - угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.7


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 8.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, защемленной по внешнему и внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

θd = 0 - угол поворота по внутреннему диаметру;

YD = 0 - прогиб по наружному диаметру;

θD = 0 - угол поворота по наружному диаметру.

Плстина под распределенной переменной нагрузкой вар.8


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 9.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, со скользящей опорой по внешнему диаметру, с шарнирной опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

Мrd = 0 - радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

QD = 0 - реакция опоры по наружному диаметру;

θD = 0 - угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.9


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 10.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, со скользящей опорой по внешнему диаметру, защемленной по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

θd = 0 - угол поворота по внутреннему диаметру;

QD = 0 - реакция опоры по наружному диаметру;

θD = 0 - угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.10


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 11.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, с шарнирной опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

Мrd = 0 - радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

QD = 0 - реакция опоры по наружному диаметру;

МrD = 0 - радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.11


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа


Расчет пластины # 12.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, консольно защемленной по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Yd = 0 - прогиб по внутреннему диаметру;

θd = 0 - угол поворота по внутреннему диаметру;

QD = 0 - реакция опоры по наружному диаметру;

МrD = 0 - радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.12


Радиальный момент Мri, Н*м

Тангенциальный момент Мti, Н*м

Угол поворота αi, град

Вертикальное смещение Yi, мм

Эквивалентные напряжения σi, МПа

©ООО"Кайтек", 2020. Любое использование либо копирование материалов или подборки материалов сайта, может осуществляться лишь с разрешения автора (правообладателя) и только при наличии ссылки на сайт www.caetec.ru

Библиотека проектирования конструкций> Расчетные модули> Балки> Результаты прогиба

Важно понимать, что на вкладке «Итоговые результаты» любого из балочных модулей программа сообщает об условиях, которые обеспечивают контролируемые коэффициенты прогиба ... не обязательно максимальные значения прогиба.

Чтобы понять важность этого различия, рассмотрим следующую балку с консолью:

Допустим, загрузка выглядит так:

Программа будет делать следующее:

1.Выполните структурный анализ балки для каждого варианта основной нагрузки (статическая нагрузка, временная нагрузка, снеговая нагрузка и т. Д.).

2. Определите прогибы для каждого варианта нагружения с множеством небольших приращений по длине балки.

3. Объедините прогибы при каждом небольшом приращении в пропорциях, продиктованных коэффициентами нагрузки в комбинациях рабочих нагрузок.

4. Определите максимальные отклонения вверх и вниз для каждого пролета в балке.

5. Рассчитайте результирующее отношение для каждого пролета в балке, разделив длину пролета на максимальные отклонения вверх и вниз для этого пролета.

6. Сообщите (на вкладке «Сводные результаты») условия, при которых достигается коэффициент регулирования для:

• Максимальное отклонение вниз, основанное только на временных нагрузках

• Максимальное отклонение вверх, основанное только на временных нагрузках

• Максимальное отклонение вниз на основе при полной нагрузке

• Максимальное отклонение вверх при общей нагрузке

Еще одна деталь, которую важно иметь в виду, заключается в том, что для консолей принято рассчитывать коэффициент прогиба путем деления удвоенной длины пролета на прогиб.

Теперь, когда мы установили, что на самом деле происходит, чтобы получить результаты отклонения, вот результаты для балки, указанной выше:

Пролет

1

2

Длина

360 дюймов

240 дюймов

Максимальное отклонение вниз

0.447 дюймов из-за D + L

0,457 дюйма из-за D + S

Коэффициент

360 / 0,447 = 805

2x240 / 0,457 = 1050

Обратите внимание, что общий максимальный прогиб вниз происходит в пролете 2 (на свободном конце консоли) и составляет 0,457 дюйма из-за статических и снеговых нагрузок. Тем не менее, передаточное отношение фактически создается на участке 1, который имеет немного меньшую величину отклонения.Поэтому программа сообщит об участке 1 на вкладке «Итоговые результаты». Это хороший пример того, как эти значения отклонения могут дать интересные результаты. Это также иллюстрирует важное различие между управлением отклонениями и коэффициентами отклонения. Если в вашей конструкции вызывают беспокойство абсолютные прогибы, то вы можете изучить их на вкладке «Отклонения служебной нагрузки» на вкладке «Сводка M-V-D».

Уравнение отклонения

- обзор

4.4.2 Применение уравнений наклона-прогиба к устойчивости рамы

Хотя метод дифференциального уравнения, рассмотренный в предыдущем разделе, теоретически применим к любой раме, в действительности он становится чрезмерно сложным, особенно в системе с множеством кинематических степеней свободы. Чтобы продемонстрировать универсальность уравнений отклонения на склоне, мы вернемся к тому же примеру, рассмотренному выше.

Снова предполагается, что осевое сжатие в элементе BC будет пренебрежимо малым.

Начиная с θa≡0, момент на верхнем стыке стержня AB равен

(4.4.23) Mba = (S1k¯) 1θb

, где k¯i = [(EI) / ℓ] i

Момент в горизонтальном стержне

(4.4.24) Mbc = (S1k¯) 2θb + (S2k¯) 2θc

As θ c = - θ b для режима потери устойчивости, показанного на Рис. 4-7 (а), уравнение. (4.4.24) уменьшается до

(4.4.25) Mbc = [(S1k¯) 2− (S2k¯) 2] θb

Поскольку в элементе нет осевой силы BC , ( S 1 ) 2 = 4 и ( S 2 ) 2 = 2.

Для совместного равновесия M ba и M bc одинаковы по величине и противоположны по знаку. Таким образом,

(4.4.26) ∑Mb = 0⇒Mba + Mbc = 0

ForI2 = I1 = Iandℓ2 = ℓ1 = ℓ, уравнение (4.4.26) сводится к

(4.4.27) S1EIℓθb = [(4 −2) EIℓ] θb

, откуда

(4.4.28) S1 = 2

Уравнение (4.4.28) приведет к критической нагрузке Pcr = (25.18EI) / ℓ2.

Для режима потери устойчивости, показанного на рис. 4-7 (b), θ b = θ c .Сохраняя θ b и θ c как неизвестные независимые переменные, анализ можно обобщить. Неизвестные моменты в стыке C равны

(4.4.29) Mcd = (S1k¯) 1θc

и

(4.4.30) Mcb = (S1k¯) 2θc + (S2k¯) 2θb

Условие равновесия при B требуется

∑Mb = 0⇒ [(S1k¯) 1+ (S1k¯) 2] θb + (S2k¯) 2θc = 0

, откуда

(4.4.31) (S1 + 4) θb + 2θc = 0

Аналогично, моментное равновесие при C требует

(4.4.32) ∑Mc = 0⇒ [(S1k¯) 1+ (S1k¯) 2] θc + (S2k¯) 2θb = 0

, откуда

(4.4.33) 2θb + (S1 + 4) θc = 0

Установка определителя матрицы коэффициентов неизвестных θ b и θ c для условия устойчивости дает

| S1 + 422S1 + 4 | = 0⇒ (S1 + 4) 2−4 = 0 ⇒S1 = −2, −6

Используя Maple® , BISECT или любую другую программу решения трансцендентных уравнений, можно получить kℓ = 5,01818 и 5,52718 для S 1 = −2 и −6.

Наименьший корень для kℓ = 5,01818 дает критическую нагрузку 25,18 EI / 2 для режима потери устойчивости, показанного на рис. 4-7 (a), а kℓ = 5,52718 дает критическая нагрузка 30,55 EI / 2 для режима потери устойчивости, показанного на рис. 4-7 (b). Интересно отметить, что критическая нагрузка больше для режима антисимметричного продольного изгиба, чем для режима симметричного изгиба в пределах той же скрепленной рамы.Это различие можно объяснить, исследуя формы режима продольного изгиба, показанные на рис. 4-7. В режиме антисимметричного изгиба балка деформировалась таким образом, чтобы создать точку перегиба в середине элемента (уменьшая эффективную длину вдвое), тем самым увеличивая ее жесткость. Повышенная жесткость балки, в свою очередь, обеспечивает немного большее ограничение в верхней части колонны, что сокращает эффективную длину колонны.

Следующий пример - потеря устойчивости жестко связанного равностороннего треугольника, показанного на рис.4-8.

Рисунок 4-8. Равносторонний треугольник

Возьмем момент против часовой стрелки и вращение как положительные величины, принятые при выводе уравнений отклонения на склоне в главе 3. Поскольку соединения считаются жесткими, исходный угол в 60 градусов будет сохраняться на протяжении всей истории деформаций. . Следовательно,

(4.4.34) θab = θac = θaθba = θbc = θbθcb = θca = θc

Момент на каждом конце каждого элемента тогда определяется как

(4.4.35) Mab = k¯ (S1θa + S2θb), Mac = k¯ (S1θa + S2θc) Mba = k¯ (S1θb + S2θa), Mbc = k¯ (S1′θb + S2′θc) Mca = k¯ (S1θc + S2θa), Mcb = k¯ ( S1′θc + S2′θb)

, где k¯ = EI / ℓ, а S1′ и S2 ′ отражают растягивающую силу в элементе BC .

Совместимость жесткого соединения требует следующего условия равновесия моментов в каждом соединении:

(4.4.36) Mab + Mac = 0Mba + Mbc = 0Mca + Mcb = 0

Подставляя уравнение. (4.4.35) в уравнение. (4.4.36) дает

(4.4.37) (S1θa + S2θb) + (S1θa + S2θc) = 0 (S1θb + S2θa) + (S1θb + S2θc) ′ = 0 (S1θc + S2θa) + (S1θc + S2θb ) ′ = 0

Преобразование уравнения. (4.4.37) дает

(4.4.38) 2S1θa + S2θb + S2θc = 0S2θa + (S1 + S1 ′) θb + S2′θc = 0S2θa + S2′θb + (S1 + S1 ′) θc = 0

Переписывание уравнения . (4.4.38) в матричной форме дает

(4.4.39) [2S1S2S2S2S1 + S1′S2′S2S2′S1 + S1 ′] {θaθbθc} = {000}

Установка определителя расширенной матрицы равным нулю для условия устойчивости (нетривиальное решение) дает

(4.4. 40) det = 0 = (S1 + S1′-S2 ′) [S1 (S1 + S1 ′ + S2 ′) - S22] = 0

Две формы потери устойчивости обозначены уравнением. (4.4.40).

S1 + S1′ − S2 ′ = 0orS1 (S1 + S1 ′ + S2 ′) - S22 = 0

Из Maple® или BISECT, S 1 ( S 1 + S 1 ′ + S 2 ′) - S 2 2 = 0 дает kℓ = 4.0122⇒Pcr = 16,1EI / ℓ2

Из Maple® или BISECT, S 1 + S 1 ′ - S 2 ′ = 0 дает kℓ = 5,3217⇒Pcr EI / ℓ2

Для kℓ = 4,0122, S1 = 1,1490, S2 = 3,0150, S1 ′ = 4,9763, S2 ′ = 1,7861.

Подставляя эти значения в матричное уравнение, Eq. (4.4.39) дает

(4.4.41) [2.2983.0153.0153.0156.12531.78613.0151.78616.1253] {θaθbθc} = {000}

Напомним, что определитель был равен нулю.Следовательно, расширенная матрица в формуле. (4.4.41) является сингулярной матрицей и поэтому не может быть обращена.

Можно получить только нормализованный собственный вектор или форму моды. Собственный вектор может просто показать форму деформации структуры в соседнем положении равновесия. Следовательно, точная величина формы моды в задачах на собственные значения не имеет значения.

Пусть θ a = 1 и раскроем первую и вторую строки матричного уравнения Eq. (4.4.41), чтобы уступить,

2.298 + 3.015θb + 3.015θc = 0

, откуда

(4.4.42) θb = 13.015 (−2.298−3.015θc)

и

(4.4.43) 3.015 + 6.1253θb + 1.7861θc = 0

Подставляя уравнение. (4.4.42) в уравнение. (4.4.43) дает

3,015 + 6,12533,015 (−2,298−3,015θc) + 1,7861θc = 0

, откуда

(4.4.44) θc = −0,381

Подставляя уравнение. (4.4.44) в уравнение. (4.4.43) дает

(4.4.45) θb = −0,381

Форма режима потери устойчивости приведена на рис. 4-9.

Рисунок 4-9.Равносторонний треугольник антисимметричный режим потери устойчивости

Forkℓ = 5,3217, S1 = −3,9419, S2 = 6,2624, S1 ′ = 5,6170, S2 ′ = 1,6751

Подставляя эти значения в матричное уравнение, Eq. (4.4.39) дает

(4.4.46) [- 7.88386.26246.26246.26241.67511.67516.26241.67511.6751] {θaθbθc} = {000}

Снова расширенная матрица в уравнении. (4.4.46) - сингулярная матрица. Получить относительную деформационную форму конструкции можно только в соседнем равновесном (изогнутом) положении. В силу рис.4-9, в этом случае ожидается симметричная форма моды. Пусть θ a = 0 и раскроем вторую и третью строки матричного уравнения Eq. (4.4.46), чтобы уступить,

(4.4.47) θb = −θc = 1,0

Форма режима потери устойчивости графически представлена ​​на рис. 4-10.

Рисунок 4-10. Симметричный режим продольного изгиба равностороннего треугольника

Хотя в нагруженной вершине треугольника нет совместного перемещения, критическая нагрузка, соответствующая антисимметричной форме продольного изгиба, меньше, чем соответствующая симметричному режиму продольного изгиба.Изучение формы симметричного режима продольного изгиба, показанного на рис. 4-10, показывает, что в сжимающем элементе существует точка перегиба, благодаря чему эффективная длина колонны значительно меньше, чем в антисимметричном режиме продольного изгиба. Это заставляет сжимающие элементы в режиме симметричного изгиба нести большую нагрузку.

CSc 110 - Прогиб моста

CSc 110 - Прогиб моста - Бенджамин ДикенCSc 110 - Прогиб моста - Бенджамин Дикен

Проектирование прочных, прочных и экономичных мостов - обычная задача в области гражданского строительства.Необходимо принять во внимание множество факторов, которые могут повлиять на окончательный дизайн, включая, помимо прочего:

  • Какой тип моста строить (существует много типов, например, неразрезной, вантовый, арочный и т. Д.)
  • Какова длина моста?
  • Какова высота моста?
  • Какие погодные условия должен выдерживать этот мост?
  • Какой вес / трафик должен поддерживать этот мост?
  • Насколько мост прогибается при разной нагрузке?

В этом задании по программированию вы напишете программу, которая распечатает мост заданного размера и выполнит расчеты прогиба в различных точках моста.Если вы не знаете, что такое прогиб и как его рассчитать, не волнуйтесь! Будет объяснено отклонение, и вам будет предложена формула для расчета. Итак, что такое прогиб?

Отклонение

Прогиб - это, по сути, изгиб или кривая, которые могут иметь различные материалы при приложении к ним силы. В качестве простого примера представьте себе деревянную доску, подвешенную между двумя опорами (скажем, по кирпичу на каждом конце). Если бы вы прыгнули на середину доски, доска, вероятно, изогнулась бы (отклонилась), как показано на анимации ниже:

Вы можете думать об этом как о действительно простом мосту.Величина, на которую мост (или кусок дерева) будет отклоняться между двумя опорами, может варьироваться в зависимости от материала, из которого сделан мост, размера материала и формы материала.

Если кусок дерева, подвешенный между двумя кирпичами, был тонким (скажем, кусок пиломатериала размером 2 на 2 дюйма), то древесина, вероятно, сильно отклонялась бы. Может даже сломаться! Если бы у вас был кусок большего размера (скажем, 4 на 4 дюйма), он бы меньше отклонялся. Величина прогиба также зависит от расстояния между опорами и от того, где вы стоите.Если расстояние между двумя кирпичами составляет 10 футов, и вы стоите посередине, он будет отклоняться больше, чем если бы между двумя опорами было всего 5 футов. Вы не поверите, но на самом деле дорожные мосты могут отклоняться (до некоторой степени), когда вы проезжаете по ним на машине. Ниже представлена ​​(возможно, театрализованная) анимация, показывающая движение моста (включая отклонение), когда по нему проезжают автомобили.

В этом задании вы будете выполнять некоторые расчеты прогиба для горизонтального непрерывного моста с нулевым или большим количеством опор между двумя концами.Непрерывный мост очень похож на серый, изображенный выше. Мост пролетает на некотором расстоянии, а вдоль пролета расположены опоры. Величина отклонения зависит, помимо прочего, от того, насколько близко вес находится к опоре.

Расчет отклонения

Чтобы вычислить прогиб в заданной точке на простом пролете, вы должны использовать следующее уравнение:

  • y - прогиб (число, которое вы должны вычислить!)
  • w - сила, приложенная к точке, отклонение которой вы рассчитываете (сила в Ньютонах).Для справки один фунт-сила равен 4,44822 Ньютона. Итак, вы можете представить себе 140-фунтового человека, стоящего на мосту, прикладывающего около 623 Ньютона силы, или 2000-фунтового автомобиля, прикладывающего силу 8896 Ньютонов.
  • x - это расстояние до ближайшей поддержки от точки, в которой вы измеряете.
  • E - модуль упругости Юнга. Для этого PA мы будем предполагать, что мост сделан из железа, и железо имеет модуль упругости 210. Таким образом, просто используйте значение 210 для переменной E .
  • I - момент инерции площади. Для этого PA просто используйте значение 500. В действительности значение этой переменной зависит от формы балки.
  • L - это расстояние между ближайшими опорами по обе стороны от точки.

Эту формулу также можно записать в синтаксисе, подобном Python, так:

y = ((w * x) / (48 * E * I)) * ((3 * L ** 2) - (4 * x ** 2))

ПА

У вас будет два коротких PA и один обычный PA для работы, связанные с темами мостов и прогибов.Два коротких PA напрямую связаны с длинным PA, поэтому сначала поработайте над ними, а затем вы можете повторно использовать код из них для работы с обычным PA! Ссылки на каждый из них приведены ниже.

и nbsp

© Бенджамин Дикен, 2016-2021

и nbsp

Расчет прогиба профиля кулачка из-за контактного давления Герца | Журнал механики

"> Абстрактные

Изгибное отклонение профиля кулачка было проанализировано для трех путей контакта и различного контактного давления Герца.Удар произошел между кулачком диска и роликовым толкателем в зависимости от параметров контакта. Параметры контакта: жесткость контактного тела, скорость скользящего контакта, показатель степени и глубина проникновения. Система дискового кулачка и роликового толкателя обсуждалась и анализировалась на предмет динамической реакции толкателя и изгибного отклонения профиля кулачка. Целью данной статьи было изучить влияние контактной нагрузки на прогиб при изгибе. Система с пружинной жесткостью ( k ) и коэффициентом вязкого демпфирования ( c ) на конце ведомого штока использовалась для уменьшения прогиба при изгибе профиля кулачка.Теория круглой пластины была применена для получения аналитического решения изгибного прогиба. Динамический отклик ведомого был определен с помощью программного обеспечения SolidWorks на основе параметров контакта. Экспериментальная установка была сделана с помощью устройства инфракрасной камеры. Анализ методом конечных элементов использовался для численного расчета прогиба профиля кулачка при изгибе. Конечно-элементный анализ проводился с использованием пакета ANSYS версии 19.2. Результаты аналитики и моделирования проверяются и проверяются на прогиб при изгибе в точке контакта.Степень уменьшения прогиба при изгибе составила 73,425% для пути № (1), 85,925% для пути № (2) и 61,467% для пути № (3).

" data-legacy-id="sec1"> 1. ВВЕДЕНИЕ

Глобоидальный кулачок с роликовым толкателем широко используется в бумагоделательных машинах и автоматических сборочных линиях. Целью этого исследования было уменьшение прогиба при изгибе в точке контакта с помощью системы пружина-демпфер. Следовательно, во время контакта между кулачком и толкателем образовалась небольшая эллиптическая или полуэллипсоидная область, в которой она проявляла очень высокое контактное напряжение.Было предпринято множество попыток изучить проблему контакта, чтобы снизить уровень шума и вибрации на высокой скорости. Крепулат и др. . (см. [1]) использовали стандартное уравнение Герца для расчета контактного напряжения в системе ролик-толкатель. Они использовали численное моделирование, такое как анализ методом конечных элементов, чтобы подтвердить аналитический результат контактного напряжения. Ким и др. . предложил косвенный метод измерения динамической деформации в указанной точке толкателя пальца и экспериментального прогнозирования контактных сил (см. [2]).Кроме того. Хуа и др. . обнаружили, что гладкая поверхность профиля кулачка обеспечивает снижение на 53% максимального подповерхностного напряжения по фон Мизесу (см. [3]). Контактное напряжение было уменьшено до 41% экспериментально с учетом использования рабочего хода при постоянной скорости для кулачка (см. [4]). Фабьен и др. . выбран профиль кулачка "выдержка-подъем-выдержка" для уменьшения пика контактного напряжения в диапазоне скоростей (см. [5]). Ондрашек пришел к выводу, что усталостное повреждение имеет вид полостей (точечная коррозия) или трещин на рабочей поверхности кулачка или толкателя, используя метод конечных элементов контактной механики (см. [6]).Анхелес и др. . рассчитали контактное давление в серии гармонических волн локальной деформации и полей подповерхностных напряжений (см. [7]). Абдулкарим изучил влияние геометрии кулачка, такой как радиус толкателя, ширина грани, углы подъема и возврата, а также модуль упругости на уменьшение контактного напряжения, используя фотоупругий подход для анализа напряжений кулачка в плоско поляризованном свете (см. [8]). Она использовала программу ANSYS версии 15 в качестве решателя методом конечных элементов для проверки результатов фотоупругого метода.С другой стороны, Ciulli et al . использовали цифровую обработку изображений для описания цветовых составляющих полос интерференционных изображений в точке контакта (см. [9]). Экспериментально проанализированы линейные контакты кулачка-толкателя со смазкой по Герцу и эластогидродинамической смазкой. Циафис и др. . (см. [10]) изучали влияние эксцентриситета на угол давления и контактное напряжение для кулачка с плоским ведомым механизмом, используя технику генетического алгоритма. Джаякумар пришел к выводу, что угол поворота кулачка напрямую влияет на контактное давление, и максимальное контактное давление возникает на переднем конце кулачка (см. [11]).Целью данной работы является изучение влияния контактной нагрузки на прогиб глобоидального кулачкового профиля. Насколько известно автору, уменьшение прогиба при изгибе в точке контакта с помощью системы пружина-демпфер на конце ведомого стержня еще не изучалось.

" data-legacy-id="sec2"> 2. РАСЧЕТ КОНТАКТНОЙ НАГРУЗКИ

Перед тем, как кулачок начал вращаться, пружина с упругими постоянными, такими как жесткость пружины ( k 1 = 38.0611 Н / мм), длина ( l = 28 мм), индекс пружины ( C = 7), удлинение предварительного натяга (Δ = 37 мм), диаметр змеевика ( d = 0,8 мм) и внешний диаметр (OD = 6,4 мм). Сила пружины была выражена в программном обеспечении SolidWorks как внешнее усилие, обеспечивающее постоянный контакт кулачка и толкателя. Механизм кулачкового толкателя рассматривался как система с одной степенью свободы, как показано на рис. 1 (см. [12]), с массой ( м = 0,2759 кг), жесткостью пружины ( k = 7 Н / мм) и коэффициент вязкого демпфирования ( c = 0.875 Н · с / мм) (см. [13]).

Рисунок 1

Одна степень свободы для ведомого.

Рисунок 1

Одна степень свободы ведомого.

Сила пружины была приложена в точке, в которой она имеет координаты ( x : 0, y : 161,76 мм, z : 0) между корпусом толкателя и установочным столом. Формула контактного усилия без использования системы пружина-демпфер выглядит следующим образом:

$$ \ begin {eqnarray} P = k_ {1} (\ Delta + x (t)) - ш.\ end {eqnarray} $$

(1) Система пружина-демпфер была применена в конечной точке штока толкателя, где она имеет координаты ( x : 0, y : 227,79 мм, z : 0). Контакт между глобоидальным кулачком и роликовым толкателем показан на рис. 2 (см. [14]).

Рисунок 2

Контакт между глобоидальным кулачком и роликовым толкателем.

Рисунок 2

Контакт между глобоидальным кулачком и роликовым толкателем.

Формула силы контакта с системой пружина-демпфер выглядит следующим образом (см. [15]):

$$ \ begin {eqnarray} P = k_ {1} (\ Delta + x (t)) - k x (t) -c \ dot {x} (t) - \ frac {w} {g} \ ddot {x} (t).\ end {eqnarray} $$

(2)

" data-legacy-id="sec3"> 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОТВЕТА ПОСЛЕДУЮЩИХ

В этой работе система пружина-демпфер использовалась для уменьшения величины прогиба профиля кулачка в точке контакта (см. [16]). Предполагался толкатель с простым гармоническим движением, поскольку он широко использовался и прост в конструкции. 2}.2} \ cos (\ Omega t). \ end {eqnarray} $$

(9)

" data-legacy-id="sec4"> 4. РАСЧЕТ КОНТАКТНОГО ДАВЛЕНИЯ ГЕРЦИАНА

Глобоидальный кулачок и роликовый толкатель были приняты как параллельные цилиндры при расчете контактной нагрузки. Радиус роликового толкателя составлял R 2 = 11 мм, в то время как глобоидальный кулачок имел шесть различных радиусов кривизны в точке контакта ( R 1 = 10, 96, 15, 126, 58 и 84 мм), как показано на рис. 2. Считалось, что выпуклые поверхности профиля кулачка имеют положительный радиус кривизны и отрицательный для вогнутых поверхностей (см. [17]).В этой статье контактная нагрузка показала, что интенсивность давления между контактирующими поверхностями может быть представлена ​​эллиптическими или полуэллипсоидными областями, как показано на рис. 3 (см. [18, 19]).

Рисунок 3

Распределение контактной нагрузки между двумя изогнутыми телами [19].

Рисунок 3

Распределение контактной нагрузки между двумя изогнутыми телами [19].

Более того, когда высокое контактное напряжение распределяется на небольшом участке, особенно когда максимальная нагрузка толкателя была приложена к кулачку (см. [4]).{-1} (\ frac {B_ {1}} {A_ {1}}) $ | (см. [15]).

Таблица 1

Значения м 1 и n 1 для различных значений угла контакта α [19].

α . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 90 .
м 1 3.778 2.731 2.136 1.754 1.486 1.284 1.128 1
н 900 900 0,493 0,567 0,641 0,117 0,802 0,893 1
α . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 90 .
м 1 3.778 2.731 2.136 1.754 1.486 1.284 1.128 1
н

8

0,493 0,567 0,641 0,117 0,802 0,893 1
Таблица 1

Значения м 1 и n 1 для различных значений угла связаться с α [19].

α . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 90 .
м 1 3.778 2.731 2.136 1.754 1.486 1.284 1.128 1
н 900 900 0,493 0,567 0.641 0,117 0,802 0,893 1
0,9
α . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 90 .
м 1 3.778 2,731 2,136 1,754 1,486 1,284 1,128 1
n 1 0,408 0,493 0,567 0,641 0,893 1

" data-legacy-id="sec5"> 5. {2})} $ | ⁠.4} {4!} - \ cdots \ right) = \ cos (r \ theta) \ end {eqnarray} $$

и

r m + 2 sin ( m θ) = sin ( r θ)

r m + 2 cos ( м θ) = cos ( r θ).

Однородное решение уравнения. (12) равно (см. [21])

$$ \ begin {eqnarray} w (r, \ theta, t) _ {\ rm H} = [A \ sin (r \ theta) + B \ cos (r \ theta)] \ sin (\ omega _ {n} t), \ end {eqnarray} $$

(14) где A и B - константы.3} {\ theta _ {\ rm P} D} \ right) r \ theta \ sin (\ Omega t). \ end {eqnarray} $$

(18) Применяя граничные условия в формуле. (16) получаем константы A и B как

$$ \ begin {eqnarray} При (r = r_1), \ quad (\ theta = \ theta_P), \ quad t = t_1, \ quad w (r, \ theta, t) = 0, \ end {eqnarray} $$

$$ \ begin {eqnarray} В (r = r_1), \ quad (\ theta = \ theta _P), \ quad t = t_ {1}, \ quad \ frac {\ partial w (r, \ theta, t)} {\ partial r} = 0. 3} {\ theta _ {\ rm P} D} \ right) (\ sin (r_ {1} \ theta _ {\ rm P}) \\ && \ quad - \, \ theta _ {\ rm P} \ cos (r_ {1} \ theta _ {\ rm P})) \ frac {\ sin (\ Omega t_ {1})} {\ sin (\ омега _ {n} t_ {1})}.3} {\ theta _ {\ rm P} D} \ right] r \ theta \ sin (\ Omega t), \ end {eqnarray} $$

(19) где

$$ \ begin {eqnarray} \ Displaystyle t_ {1} = \ frac {\ theta _ {\ rm P}} {\ Omega}. \ end {eqnarray} $$

Шероховатость - это отсутствие гладкости поверхности (см. [16]). В данной работе рассматривался контакт гладкости. Наконец, предполагалось, что вход в контакт полностью затоплен, а шероховатость поверхности достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь (предполагались гладкие поверхности) (см. [22]). Как упоминалось ранее, кулачок и толкатель изготовлены из среднеуглеродистой стали, подвергающейся горячей обработке, для поддержания температуры.Нижний предел температуры горячей обработки определяется температурой его рекристаллизации. Нижний предел горячей рабочей температуры составляет 60% от температуры плавления (см. [23]). Твердость увеличивается с повышением температуры (см. [24]). Кулачок может быть частично погружен в масляный резервуар для смазки разбрызгиванием, для чего требуются очень умеренные температуры окружающей среды и тепловые условия, а также скоростные режимы (в данном исследовании использовалось Н, = 500 об / мин) (см. [16]) .

" data-legacy-id="sec6"> 6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Программное обеспечение SolidWorks использовалось для построения глобоидального кулачка, роликового толкателя и двух направляющих для анализа линейного смещения, скорости и ускорения толкателя в точке контакта (см. [25]). В программе SolidWorks площадь контакта предполагалась полуэллипсоидом с прямоугольной зоной контакта полушириной b и длиной L (контакт между двумя параллельными цилиндрами), как показано ниже (см. [26, 27]) :

$$ \ begin {eqnarray} б = K_ {b} \ sqrt {P,} \ end {eqnarray} $$

(20) где

$$ \ begin {eqnarray} K_ {b} = \ sqrt {\ left (\ frac {2} {\ pi L} \ right) \ frac {(1- \ nu _ {1} ^ 2) / E_ {1} + (1- \ nu _ {2} ^ 2) / E_ {2}} {(1 / d_ {1} + 1 / d_ {2})}}. {2}} {E_ {2}} $ | ⁠.Скорость скользящего контакта между кулачком и толкателем была получена путем отсоединения на высокой скорости, как показано в следующем уравнении:

$$ \ begin {eqnarray} V _ {\ rm C} = \ sqrt {2g \ Delta h}. \ end {eqnarray} $$

(23)

Диапазон показателя n был от 1,5 для (сферический штамп) до 2 для (клиновидный штамп) (см. [27,29]). Параметры контакта, такие как сила контакта ( P ), жесткость тела контакта ( K b ), коэффициент демпфирования (ζ), проникновение (δ), скорость скользящего контакта ( V C ) и показатель степени ( n ) использовались в программе SolidWorks для расчета линейного смещения, скорости и ускорения ведомого.В таблице 2 показаны параметры контакта.

Определение параметра . Значение . Агрегат .
Динамическая скорость скольжения 10,16 мм / с
Статическая скорость скольжения 0,1 мм / с
Динамический коэффициент трения 0,1 —-
Статический коэффициент трения 0.15 —-
Жесткость контактного тела 1149,92 Н / мм
Показатель 2 —-
Максимальное демпфирование 0,588 Н / (мм / с)
Проникновение 0,1 мм
Определение параметра . Значение . Агрегат .
Динамическая скорость скольжения 10,16 мм / с
Статическая скорость скольжения 0,1 мм / с
Динамический коэффициент трения 0,1 —-
Статический коэффициент трения 0,15 —-
Жесткость контактного тела 1149,92 Н / мм
Экспонента 2 —-
Максимальное демпфирование 0.588 Н / (мм / с)
Проникновение 0,1 мм
Определение параметра . Значение . Агрегат .
Динамическая скорость скольжения 10,16 мм / с
Статическая скорость скольжения 0,1 мм / с
Динамический коэффициент трения 0.1 —-
Статический коэффициент трения 0,15 —-
Жесткость контактного тела 1149,92 Н / мм
Экспонента 2 —-
Максимальное демпфирование 0,588 Н / (мм / с)
Проникновение 0,1 мм
Определение параметра . Значение . Агрегат .
Динамическая скорость скольжения 10,16 мм / с
Статическая скорость скольжения 0,1 мм / с
Динамический коэффициент трения 0,1 —-
Статический коэффициент трения 0,15 —-
Жесткость контактного тела 1149.92 Н / мм
Экспонента 2 —-
Максимальное демпфирование 0,588 Н / (мм / с)
Пенетрация 0,1 мм

" data-legacy-id="sec7"> 7. МОДЕЛЬ SOLIDWORKS SIMULATION

(1) Детали и сборка создаются в программе SolidWorks. Создано четыре файла модели: polydynecam.SLDPRT, Knightfollower.SLDPRT, guide.SLDPRT и cam после сборки.SLDASM. Направляющие толкателя были собраны на установочной колонне и установочном столе, в то время как кулачок и толкатель соединяются вместе с помощью механического сопряжения кулачка. (2) Анализ движения выбирается в SolidWorks, щелкнув вкладку исследования движения в нижней части графической области, чтобы открыть окно MotionManager . При анализе движения выберите как можно больше кадров в секунду, чтобы симуляция была более точной. Всегда проверяйте систему единиц в меню Инструменты > Параметры и выбирайте вкладку Свойства документа в диалоговом окне Свойства документа - Единицы , а затем щелкните узел Единицы .Следует выбрать MMGS . Закройте диалоговое окно. (3) Кнопка гравитации определяется на панели инструментов Motion , чтобы вызвать диалоговое окно Gravity . Выберите направление Y. В графической области в правом нижнем углу появляется стрелка, указывающая вниз, указывая направление силы тяжести. (4) При нажатии кнопки Motor на панели инструментов Motion открывается окно Motion . Выберите Rotary Motor (по умолчанию).Переместите указатель мыши в графическую область и выберите геометрию кулачка вращательного движения. Появится круговая стрелка, указывающая направление вращения роторного двигателя. Выберите Постоянная скорость и введите об / мин. для скорости. Вы должны увидеть RotaryMotor1 , добавленный в дерево MotionManager . (5) Кнопка Contact выбирается на панели инструментов Motion для имитации контакта между кулачком и толкателем, а также между толкателем и двумя направляющими. (6) Кнопка Force выбирается на панели инструментов Motion для выражения внешней силы пружины.

" data-legacy-id="sec8"> 8. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА ПРОФИЛЯ КУЗОВА

Численное моделирование прогиба при изгибе было рассчитано с использованием пакета ANSYS версии 19.2 (см. [30]). Линейная упругая изотропная модель была использована для расчета изгибного прогиба профиля кулачка. Элемент (PLANE 42) был назначен для создания сетки для анализа методом конечных элементов. Этот элемент был определен в пакете ANSYS четырьмя узлами, которые имели две степени свободы в каждом узле: трансляции в узловых направлениях x , y .Предполагалось, что степени свободы перемещения равны нулю (фиксированные граничные условия) на радиусе ступицы, когда r = r 1 вала двигателя. В контактном анализе элементы TARGE 170 и CONTA 174 использовались для создания контактной сетки между целью и контактными поверхностями. В этой модели глобоидальный кулачок представлял собой источник, а роликовый толкатель - цель. В этом моделировании для анализа прогиба при изгибе использовались два шага нагрузки.На первом этапе нагружения поверхность мишени подвергалась небольшому смещению из-за малого радиуса кривизны. На втором этапе нагрузки небольшое наложенное смещение было удалено, и сила была приложена в точке контакта. Два типа анализа, включая модальный и гармонический, были выполнены, чтобы найти собственную частоту и динамический отклик прогиба при изгибе, соответственно. На рисунке 4 показано построение сетки анализа методом конечных элементов для глобоидального кулачка и роликового следящего механизма.

Рисунок 4

Создание сетки для анализа методом конечных элементов.

Рисунок 4

Создание сетки для анализа методом конечных элементов.

В этом исследовании профиль глобоидального кулачка был разделен на три дорожки в точке контакта.

(1) Путь №. (1) [нос (1), бок (1) и нос (2)]

(2) Номер пути. (2) [сбоку (2) и носу (1)]

(3) Номер пути. (3) [нос (2) и бок (3)]

№ тракта. (1) образовалась из точек 4, 7, 10, 12, 15 и 18, а путь №(2) была сформирована из точек 4,72,70,68,66 и 64, как показано на рис. 5. Путь №. (3) располагалась из точек 18, 24, 26, 28, 30 и 32.

Рисунок 5

Точки контакта для профиля кулачка.

Рисунок 5

Точки контакта для профиля кулачка.

" data-legacy-id="sec9"> 9. РАСЧЕТ ПРОГИБА ИЗГИБА С ПОМОЩЬЮ ANSYS

Каждая точка на рис. 5 определяется в ANSYS на основе положения θ и радиуса r .Процедура ANSYS применяется следующим образом: (1) Щелкните препроцессор, чтобы выбрать тип элемента> Добавить / Редактировать / Удалить и выберите элемент SHELL99. (2) Нажмите «Свойства»> «Модели материалов»> «Структурные»> «Линейные»> «Эластичные»> «Изотропные». (3) Нажмите «Препроцессор»> «Создание сетки»> «Инструмент сетки». (4) Нажмите «Решение»> «Определить нагрузки»> «Применить»> «Конструкция»> «Смещение»> «На узлах». (5) Нажмите «Решение»> «Тип анализа»> «Новый анализ»> «Гармоника». (6) Нажмите «Решение»> «Определить нагрузки»> «Применить»> «Конструкция»> «Сила / момент»> «На узлах».(7) Нажмите «Решение»> «Загрузить шаги шага»> «Частота и подшаги». (8) Щелкните Решение> Решить> Текущий LS.

" data-legacy-id="sec10"> 10. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОГО ОТВЕТА ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО

Для удержания двух механических частей в постоянном контакте использовалась эластичная пружина. В экспериментальной установке использовалась методика сбора данных с использованием подхода обработки сигналов. Обычно для следящего движения требовался маркер в обратном цикле, чтобы гарантировать, что анимированный объект достиг своей позиции (см. [31]).Движение ведомого было обработано экспериментально с помощью инфракрасной 3D-камеры. Встроенная программно-аппаратная схема блока управления использовалась для отслеживания сигнала движения ведомого. Позиция последователя была сохранена в виде файла Excel. На рис. 6 показана экспериментальная установка испытательного стенда с кулачковым толкателем.

Рисунок 6

Рисунок 6

" data-legacy-id="sec11"> 11. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

На рисунках 7–9 показано изменение линейного смещения, скорости и ускорения ведомого во времени.В этом моделировании использовался механизм кулачок-толкатель с системой пружина-демпфер и без нее при угловой скорости кулачка N = 500 об / мин. Это моделирование было выполнено в точке контакта с помощью программного обеспечения SolidWorks. Пики линейного перемещения толкателя, скорости и ускорения уменьшились до 31,87,5 и 94,44% и 60,63 и 97% для точек (18) и (4), соответственно. Точки (18) и (4) были расположены на носу (2) и носу (1) соответственно.

Рисунок 7

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное перемещение толкателя.

Рисунок 7

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное перемещение толкателя.

Рисунок 8

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейную скорость толкателя.

Рисунок 8

Влияние использования системы пружина-демпфер на линейную скорость толкателя.

Рисунок 9

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное ускорение толкателя.

Рисунок 9

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное ускорение толкателя.

На рисунке 10 показан тест сходимости в зависимости от количества элементов для точек (18) и (4) на носу (2) и носу (1), соответственно. Конечно-элементный анализ кривой сходимости определяет взаимосвязь между интервалом сетки и точностью анализа. Пакет ANSYS использовался при сходимости сетки для расчета точного значения прогиба при изгибе без использования системы пружина-демпфер. Точки (18) и (4) были выбраны в сходимости сетки, которая имела наибольшее значение прогиба изгиба.

Рисунок 10

Сходимость сетки отклонения изгиба с использованием пакета ANSYS.

Рисунок 10

Сходимость сетки отклонения изгиба с использованием пакета ANSYS.

На рисунках 11, 12 и 13 показана зависимость контактной нагрузки от угла контакта пути №. (1), путь нет. (2) и путь нет. (3) соответственно, с использованием системы пружина – демпфер. Контактная нагрузка была уменьшена до 21,673, 28,275, 27,643, 24,952, 33,194 и 30,36% для точек 18, 15, 12, 10, 7 и 4 на пути №.(1), тогда как контактная нагрузка была снижена до 45,092, 33,222, 31,145, 34,282 и 29,313% для точек 72, 70, 68, 66 и 64 соответственно на пути №. (2). Более того, контактная нагрузка была снижена до 37,784, 37,968, 37,941, 41,907 и 34,842% для точек 32, 30, 28, 26 и 24 соответственно на пути №. (3).

Рисунок 11

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 11

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути №(1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 12

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 12

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 13

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 13

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

На рисунках 14, 15 и 16 показано отклонение при изгибе профиля кулачка в зависимости от угла контакта на каждом временном шаге для пути №. (1), путь нет. (2) и путь нет. (3), соответственно, с использованием и без использования системы пружина-демпфер. На рисунках 16 и 17 отклонение при изгибе изменялось по синусоиде в зависимости от угла контакта, потому что толкатель перемещался с простым гармоническим движением.Прогиб при изгибе уменьшился до 82,101, 67,478, 87,558, 72,983, 46,691 и 83,743% для точек 18, 15, 12, 10, 7 и 4 соответственно на пути №. (1). Кроме того, прогиб при изгибе был уменьшен до 90,167, 80,754, 96,771, 82,898 и 79,035% для точек 72, 70, 68, 66 и 64 соответственно на пути №. (2). Прогиб при изгибе был уменьшен до 85,601, 31,034, 54,179, 60 и 76,522% для точек 32, 30, 28, 26 и 24 соответственно на пути №. (3).

Рисунок 14

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути №(1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 14

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 15

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 15

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 16

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 16

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 17

Проверка прогиба пути № (1) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 17

Проверка прогиба пути №(1) без использования системы пружина-демпфер.

На рисунках 17, 18 и 19 показана проверка отклонения изгиба в зависимости от угла контакта для пути №. (1), путь нет. (2) и путь нет. (3) соответственно. Аналитическое решение уравнения. (19) и пакет ANSYS использовались при проверке без использования системы пружина-демпфер. В пакете ANSYS площадь контакта кулачка и толкателя предполагалась прямоугольной (контакт между двумя параллельными цилиндрами). В аналитическом решении уравнения.В (19) контакт предполагался как объем небольшой эллиптической области (контакт между двумя криволинейными поверхностями). В целом аналитические результаты очень близки к результатам ANSYS. На рисунке 17 максимальная разница между двумя наборами результатов составила 8,858% в точке (10) и 8,319% в точке (70), как показано на рисунке 18. На рисунке 19 максимальная разница между двумя Наборы результатов составили 8,620% в точке (30).

Рисунок 18

Проверка прогиба при изгибе пути №.(2) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 18

Проверка прогиба пути № (2) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 19

Проверка прогиба при изгибе пути №. (3) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 19

Проверка прогиба при изгибе пути №. (3) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 20

Динамический отклик ведомого.

Рисунок 20

Динамический отклик ведомого.

На рис. 20 показан динамический отклик толкателя в зависимости от угла контакта с использованием системы пружина-демпфер для одного цикла вращения кулачка. В данной работе был выбран профиль кулачка с подъемом – возвратом – подъемом – возвратом – задержкой – подъемом. Кулачок начал вращаться с восходящим движением 45 , за которым последовал обратный ход с 30 . Произошел подъем для следующих 35 , сопровождавшийся обратным ходом с 40 .Движение задержки для следующего 180 было разработано для сохранения контакта между кулачком и толкателем. Цикл кулачка закончился ходом подъема для следующих 30 . Аналитическое решение уравнения. (9), моделирование SolidWorks и экспериментальная установка были использованы для проверки и проверки динамического отклика ведомого.

На рисунке 21 показана аналитическая проверка динамического отклика ведомого на основании увеличения коэффициента вязкого демпфирования от 0.875 от 1 до 1,25 и жесткость пружины от 7 до 10 до 13. Пик динамического отклика уменьшается с увеличением жесткости пружины и значений коэффициента вязкого демпфирования.

Рисунок 21

Аналитическая проверка реакции ведомого с использованием различных значений коэффициента вязкого демпфирования и жесткости пружины.

Рисунок 21

Аналитическая проверка реакции ведомого с использованием различных значений коэффициента вязкого демпфирования и жесткости пружины.

На Рисунке 22 показано моделирование контактной нагрузки между кулачком и толкателем для жирного и сухого трения. Моделирование контактной нагрузки было выполнено с помощью SolidWorks. Значения контактной нагрузки для сухого и жирного трения были практически одинаковыми. Контактные силы между кулачком и толкателем в интервале от 0,002 до 0,006 с отсутствовали из-за рабочего хода профиля кулачка.

Рисунок 22

Моделирование контактной нагрузки для жирного и сухого трения.

Рисунок 22

Моделирование контактной нагрузки для жирного и сухого трения.

" data-legacy-id="sec12"> 12. ВЫВОДЫ

Глобоидальный кулачок и роликовый толкатель были проанализированы аналитически, численно и экспериментально для расчета прогиба при изгибе и динамической реакции в точке контакта. Система пружины-демпфера была добавлена ​​на конце штока толкателя для уменьшения прогиба при изгибе. Степень уменьшения прогиба при изгибе составила 73,425% для пути № (1), 85,925% для пути № (2) и 61,467% для пути № (3). Степень уменьшения контактной нагрузки составила 27.682% для пути нет. (1), 34,61% для пути № (2) и 38,088% для пути № (3).

" data-legacy-id="sec13"> 13. РЕКОМЕНДАЦИЯ БУДУЩЕЙ РАБОТЫ

Рекомендации будущей работы: (1) уменьшение прогиба при изгибе с использованием метода генетического алгоритма и (2) изучение влияния контактного напряжения Герца на прогиб изгиба профиля кулачка.

"> НОМЕНКЛАТУРА

" data-legacy-id="ack1"> БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарен факультету машиностроения Багдадского университета за полную поддержку.Автор также хотел бы поблагодарить рецензентов за внимательное чтение этой статьи и полезные предложения.

" data-legacy-id="ref1"> ССЫЛКИ

1.

Krepulat

W.

,

Dusik

M.

,

Korte

V.

Усовершенствованный метод расчета контактного напряжения в системах роликовых следящих клапанов

.

транзакции SAE

2002

;

1425

-

1433

.2.

Ким

W.-J.

,

Joen

H.-S.

,

Парк

Ю.-С.

Прогнозирование силы прикосновения и экспериментальная проверка на кулачковой системе с кулачковым механизмом типа «палец-толкатель»

.

Экспериментальная механика

1991

;

31

(

2

):

150

-

156

. 3.

Hua

D.

,

Farhang

K.

,

Seitzman

L.

Анализ и проверка многомасштабной системы для улучшения жизненного цикла контактной усталости системы кулачковых роликов

.

Трибологический журнал

2007

;

129

(

2

):

321

-

325

.4.

Лар

D.F.

,

Hong

D.W.

Механизмы снижения контактных напряжений для бесступенчатой ​​трансмиссии с кулачковым механизмом

. В: Tzou H.-S. Джалили Н. (ред.).

Материалы международных технических конференций по проектированию и проектированию ASME 2007 и Конференция "Компьютеры и информация в машиностроении"

2007

;

449

-

456

.5.

Fabien

B.

,

Longman

R.

,

Freudenstein

F.

Проектирование высокоскоростных кулачков типа «подъем-подъем-остановка» с использованием линейно-квадратичной теории оптимального управления

.

Журнал механического проектирования

1994

;

116

(

3

):

306

-

310

.6.

Ондрашек

J.

Общая кинематическая пара кулачкового механизма

, In: Joseph M (ed).

Кинематический анализ и приложения IntechOpen

,

Лондон, Великобритания

.

2019

.7.

Angeles

J.

,

Saha

S.

,

Lo’pez Caju’n

C.

Конструкция кулачковых механизмов с перемещающимися плоскими толкателями при ограничениях по кривизне

.

Журнал механического проектирования

1994

;

116

(

1

):

306

-

310

.8.

Абдулкарим

А.A.

Теоретический и экспериментальный анализ напряжений кулачка с простым гармоническим движением

.

Инженерный журнал

2016

;

22

(

1

):

198

-

214

.9.

Ciulli

E.

,

Pugliese

G.

,

Fazzolari

F.

Оценка толщины и формы пленки при контакте линии кулачкового толкателя с цифровой обработкой изображений

.

Смазочные материалы

2019

;

7

(

4

):

29

.10.

Tsiafis

I.

,

Mitsi

S.

,

Bouzakis

K.

,

Papadimitriou

A.

Оптимальная конструкция кулачкового механизма с перемещающимся генетическим повторителем с плоским торцом алгоритм

.

Журнал трибологии в промышленности

2013

;

35

(

4

):

255

-

260

. 11.

Джаякумар

К.

,

Олдрин Радж

Дж.

,

Somesh Subramanian

S.

Теоретический анализ и анализ методом конечных элементов для определения контактного давления, напряжений фонмисса и износа кулачка и толкателя для различных углов поворота кулачка в двигателе IC

.

Журнал производственной инженерии

2019

;

14

(

2

):

76

-

82

. 12.

Felszeghy

S.F.

Установившиеся остаточные колебания в высокоскоростных системах неподвижного кулачкового толкателя с вращающимся диском

.

Журнал вибрации и акустики

2005

;

127

(

1

):

12

-

17

. 13.

Rao

S.S.

,

Gavane

S.

Анализ и синтез механической погрешности в системах кулачкового толкателя

.

Журнал механического проектирования

1982

;

104

(

1

):

52

-

62

. 14.

Куанг

J.-H.

,

Hsu

C.-M.

,

Hu

C.-C.

Динамическое поведение глобоидальных кулачковых систем с механизмами компенсации крутящего момента

.

Теория механизмов и машин

,

2010

;

45

(

8

):

1201

-

1214

.15.

Ротанг

S.S.

Теория машин

.

Нью-Дели, Индия

:

Tata McGraw-Hill Education

,

2014

. 16.

Ротбарт

H.A.

,

Klipp

D.L.

Руководство по проектированию кулачков

, Vol.

394

.

McGraw-Hill Нью-Йорк

,

2004

. 17.

Bhushan

B.

Справочник по современной трибологии, набор из двух томов

,

Hoboken, New Jersey

:

CRC press

,

2000

. 18.

Бхушан

Б.

Введение в трибологию

,

Бока-Ратон, Флорида, США

:

John Wiley & Sons

,

2013

.19.

Хирн

E.

Механика материалов

. Тт.

1-2

,

Pergamon Press

,

Headington Hill Hall, Oxford OX 3 0 BW, UK

,

1985

.20.

Szilard

R.

Теории и приложения анализа пластин: классические, численные и инженерные методы

.

заявл. Мех. Ред.

2004

;

57

(

6

):

B32

-

B33

.21.

Тимошенко,

С.П.

,

Войновски-Кригер

С.

Теория пластин и оболочек

,

Нью-Йорк, США

:

Макгроу-Хилл

,

1959

.22.

Алахрамсинг

S.S.

,

de Rooij

M.

,

Schipper

D.J.

,

van Drogen

M.

Анализ смазки и трения кулачковых толкателей

.

Труды Института инженеров-механиков, часть J: Журнал инженерной трибологии

2018

;

232

(

3

):

347

-

363

. 23.

Черный

J.T.

,

Kohser

R.A.

Материалы и процессы ДеГармо на производстве

,

Хобокен, Нью-Джерси

:

John Wiley & Sons

,

2017

.24.

Меллули

Д.

,

Haddar

N.

,

Köster

A.

,

Ayedi

H.F.

Влияние твердости на термическое усталостное повреждение стали горячего инструмента, л

.

Анализ технических сбоев

,

2014

;

45

:

85

-

95

. 25.

Planchard

D.

Справочное руководство по SOLIDWORKS 2017

,

Mission, KS, USA

:

Sdc Publications

,

2017

.26.

Юсуф

Л.С.

,

Маргиту

Д. Б.

Нелинейный динамический анализ кулачка с плоским рычажным механизмом

. В: Стивен Д. Це (ред.).

Материалы Международного конгресса и выставки по машиностроению ASME 2017

.

Тампа, Флорида, США

:

ASME

,

2017

. 27.

Шигли

J.E.

Машиностроительный проект Шигли

,

Нью-Йорк, США

:

Tata McGraw-Hill Education

,

2011

.28.

Slocum

A.H.

Прецизионное проектирование машин

, Конгрессы

, США

:

Общество инженеров-производителей

,

1992

.29.

Gheadnia

H.

,

Cermik

O.

,

Marghitu

DB

.

Экспериментальный и теоретический анализ упругопластического косого удара стержня с плоскостью

.

Международный журнал ударной инженерии

2015

;

86

,

307

-

317

.30.

Thompson

MK

,

Thompson

JM

.

ANSYS Mechanical APDL для анализа методом конечных элементов

,

Heinemann, UK

:

Butterworth-Heinemann

,

2017

. 31.

Himelblau

H.

,

Wise

J.

,

Piersol

A.

,

Grundvig

MR.

Справочник по сбору и анализу динамических данных - Рекомендуемая практика IES 012.1

,

Beacon, США

:

NASA

.

© Автор (ы) 2020. Опубликовано Oxford University Press от имени Общества теоретической и прикладной механики Китайской Республики, Тайвань.

Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая разрешает неограниченное повторное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии, что оригинал работа правильно процитирована.Подмости

- Максимальный прогиб платформы

Прогиб - это степень смещения элемента конструкции под действием нагрузки. Это может относиться к углу или расстоянию.

Чтобы настил лесов оставался в пределах своей безопасной несущей способности, нельзя допускать отклонения более чем на 1/ 60 пролета между опорами.

Расстояние между опорами Расчет Максимальный прогиб
10 футов 120 дюймов / 60 дюймов 2 дюйма 84/80
7 футов 60 дюймов 1 дюйм
5 футов 60 дюймов / 60 дюймов 1 дюйм

Отклонение относится к перемещению балки или узла из исходного положения из-за сил и нагрузок, приложенных к элементу.Прогиб, также известный как смещение, может происходить из-за внешних приложенных нагрузок или из-за веса самой конструкции и силы тяжести, к которой это относится. Это может происходить в балках, фермах, шпангоутах и ​​практически любой другой конструкции. Чтобы определить отклонение, возьмем простое отклонение консольной балки, на конце которой стоит человек с массой (W)

Сила человека, стоящего в конце, заставит балку изгибаться и отклоняться от своего естественного положения.На приведенной ниже диаграмме синяя балка соответствует исходному положению, а пунктирная линия имитирует отклонение консольной балки

.

Балка изогнулась или сместилась из исходного положения. Это расстояние в каждой точке стержня является значением или определением отклонения. Обычно существует 4 основных переменных, которые определяют, насколько сильно прогибается балка;

  • Какова нагрузка на конструкцию
  • Длина неподдерживаемого элемента
  • Материал, в частности модуль Юнга
  • Размер поперечного сечения, в частности момент инерции (I)

Прогиб балки (прогиб балки) рассчитывается на основе множества факторов, включая материалы, момент инерции секции, приложенную силу и расстояние от опоры.Существует ряд формул и уравнений прогиба балки, которые можно использовать для расчета базового значения прогиба в различных типах балок.

Прогиб можно рассчитать путем деления двойного интеграла уравнения изгибающего момента M (x) на EI (модуль Юнга x момент инерции).

Единица отклонения или смещения - это единица длины и обычно принимается в миллиметрах (для метрических единиц) и в дюймах (для британских). Это число определяет расстояние, на которое луч отклонился от исходного положения.

Консольные балки - это балки особого типа, которые ограничиваются только одной опорой. Эти элементы, естественно, будут отклоняться больше, поскольку они поддерживаются только с одного конца. Чтобы рассчитать прогиб консольной балки, вы можете использовать приведенное ниже уравнение, где W - сила в конечной точке, L - длина консольной балки, E = модуль Юнга и I = момент инерции.

Другим примером отклонения является отклонение балки с простой опорой .Эти балки поддерживаются с обоих концов, поэтому отклонение балки обычно остается левым и имеет форму, сильно отличающуюся от формы консоли. Под действием равномерно распределенной нагрузки (например, собственного веса) балка будет плавно отклоняться к средней точке

Методы расчета прогибов - Бетонные конструкции Еврокод

Два метода расчета прогиба представлены ниже, и они основаны на рекомендациях в TR58 Прогибы в бетонных плитах и ​​балках8

Строгий метод

Строгий метод расчета прогибов является наиболее подходящим методом для определения реалистичной оценки прогиба.Однако он подходит только для использования с компьютерным программным обеспечением. Concrete Center выпустил ряд таблиц, в которых этот метод используется для расчета прогиба различных плит и балок9. Они предлагают рентабельный способ выполнения подробных расчетов прогиба и включают возможность учитывать влияние нагрузки на бетон в раннем возрасте. Рисунок 3 иллюстрирует принципы метода и показывает, как факторы, влияющие на прогиб, учитываются при строгих расчетах прогиба.

Анализ методом конечных элементов также может использоваться для получения оценок прогиба. В этом случае следует применять принципы, показанные на Рисунке 3, для получения достоверных результатов.

Панель 1

Определение длительного модуля упругости

Рисунок 3

Схема строгого метода расчета прогиба

Рассчитайте модуль длительной упругости, ELT из:

Ea = rw / I - - + ~ - + - + -

где

Wn = Нагрузка для эксплуатационной пригодности на стадии n H = Коэффициент ползучести при соответствующем времени нагружения и продолжительности tM

Сопоставить входные данные

■ Размеры элементов, детали и компоновки арматуры из расчета по предельному состоянию

■ Последовательность загрузки e.г.

• Обрезка опалубки

• Заливка перекрытия выше

• Монтаж перегородок и / или облицовки

• Применение отделки

Последовательность будет варьироваться от проекта к проекту

■ Свойства бетона (см. Таблицу 1)

• Средняя прочность на сжатие (фут · см)

• Средняя прочность на разрыв (fctm или fctm, fl)

• Модуль упругости (Ec28) = 1,05 Ecm

■ Критическое расположение действий

(или повторите расчеты для каждой схемы, чтобы определить критический случай)

Проверить, есть ли в элементе растрескивание при изгибе

■ Определите стадию критической нагрузки, на которой впервые возникает растрескивание.(См. «Растрескивание» на стр. 3)

■ Рассчитайте следующие свойства:

• Коэффициенты ползучести, h (Приложение B Еврокода 2 или рисунок 4)

• Модуль долговременной упругости, ELT (см. Панель 1)

• Коэффициент эффективного модуля упругости, ae из: ae = Es / ELT

• Глубина нейтральной оси для состояния без трещин, xu (см. Панель 2)

• Второй момент площади для состояния без трещин, Iu (см. Панель 2)

• Рассчитайте момент растрескивания, Mcr из:

Mct = fctmIu / (h - xu), используя соответствующее значение для fam.

■ Превышает ли момент на стадии критической нагрузки момент растрескивания?

• Если да, то на всех последующих этапах в элементе есть трещины. Z = 1–0,5 (Mcr / M) 2 [5 = 0 для ситуации без трещин]

Используйте эти критические значения fctm и 5 для последующих этапов.

• Если нет, элемент не треснет ни на одном этапе.

Определить кривизну плиты

■ Если плита треснула, рассчитайте следующие свойства на рассматриваемой стадии нагрузки, используя соответствующие значения для fctm, 5 и ELT:

• Глубина нейтральной оси для участка с трещиной, xc (см. Панель 2)

• Второй момент площади для состояния трещины, Ic (см. Панель 2)

■ Расчет кривизны изгиба:

■ Рассчитайте кривизну из-за деформации усадки 1 / rcs (см. Панель 2)

■ Рассчитайте общую кривизну, 1 / rt = 1 / rfl + 1 / rcs

Повторяйте вычисления с частыми интервалами (скажем, в 1/20 точек) и дважды интегрируйте, чтобы получить общий прогиб.

Если требуется прогиб, влияющий на облицовку и / или перегородки, повторите расчеты для частой комбинации и нагрузки во время установки перегородок и / или облицовки.

Расчетный прогиб:

■ Общий прогиб (квазипостоянная комбинация)

■ Прогиб, влияющий на перегородки / облицовку (частый комбинированный прогиб за вычетом прогиба во время установки)

Таблица 1

Свойства бетона fck МПа 20 25 28 30 32 35 40 50

Таблица 1

Свойства бетона fck МПа 20 25 28 30 32 35 40 50

/ см = (fck + 8)

МПа

28

33

36

38

40

43

48

58

fctm = (0.3 fck (2/3) C50 / 60)

МПа

2,21

2,56

2,77

2,90

3,02

3,21

3,51

4,07

футм / см * = (0,3 фут / см (2/3) C50 / 60) a

МПа

2.77

3,09

3,27

3,39

3,51

3,68

3,96

4,50

Ecm = (22 [фут / см) / 10] 03

ГПа

30,0

31,5

32,3

32,8

33,3

34.1

35,2

37,3

£ c28 = (1,05 Ecm)

ГПа

31,5

33,0

33,9

34,5

35,0

35,8

37,0

39,1

£ CD, 0 CEM класс R, RH = 50%

микроштамм

746

706

683

668

653

632

598

536

£ CD, 0 CEM класс R, RH = 80%

микроштамм

416

394

381

372

364

353

334

299

£ CD, 0 CEM класс N, RH = 50%

микроштамм

544

512

494

482

471

454

428

379

£ CD, 0 CEM класс N, относительная влажность = 80%

микроштамм

303

286

275

269

263

253

239

212

£ CD, 0 CEM класс S, RH = 50%

микроштамм

441

413

397

387

377

363

340

298

£ CD, 0 CEM класс S, RH = 80%

микроштамм

246

230

221

216

210

202

189

166

£ caH

микроштамм

25

38

45

50

55

63

75

100

a / ctm * можно использовать при забастовке менее 7 дней или если учитывается перегрузка при строительстве...to)

Упрощенный метод

Упрощенный метод расчета прогиба представлен на рисунке 5. Эти расчеты можно выполнить вручную, и их можно использовать для грубой проверки результатов прогиба с помощью компьютерного программного обеспечения или использовать там, где компьютер недоступен.

Главное упрощение состоит в том, что эффекты нагрузки в раннем возрасте явно не рассматриваются; скорее, их влияние делается на поправку при расчете момента растрескивания. Используются упрощенные коэффициенты ползучести, а отклонение от кривизны плиты аппроксимируется с помощью коэффициента.¿О)]

2 Рассчитайте коэффициент эффективных модулей упругости a из a = Es / Ef, где Es - модуль упругости арматуры (200 ГПа)

3 Рассчитайте глубину до нейтральной оси для состояния без трещин, Xu

4 Вычислить второй момент площади для состояния без трещин, lu

0,9 футм / ед

Рассчитайте момент растрескивания, Mrr из: Mcr = -

(Обратите внимание, что в этот метод был введен коэффициент 0,9, поскольку последовательность нагружения не учитывается)

Рассчитайте глубину до нейтральной оси для состояния трещин, Xc, и вычислите второй момент площади для состояния трещин, lc

Расчет кривизны при изгибе

1 = Mqp., к)

4 Приблизительный прогиб обшивки и перегородок составляет

Погрузка

AI AI

Таблица 2 Значения для Kh

Рисунок 7

Коэффициент развития ползучести во времени после нагружения

0,55

0,50

0,45

0,40

0,35

0,30

0,55

0,50

0,45

0,40

0,35

0,30

0.25

300 500

300 500

-t = 90, к =

3

t = 90, к =

7

- t = 60, к =

3

- t = 60, к

7

- t = 28, к

3

т = 28, к

7

Примечания t = Возраст бетона при наложении перегородок / облицовки t0 = Возраст бетона на момент удара fk = 30 (gcm = 38), однако коэффициент не особенно чувствителен к классу бетона

Примечания t = Возраст бетона при наложении перегородок / облицовки t0 = Возраст бетона на момент удара fk = 30 (г · см = 38), однако коэффициент не особо чувствителен к классу бетона

Рисунок 8

Предварительная каменизация плит

Предкамбер

Непосредственно перед установкой перегородок

Рисунок 8

Предварительная каменизация плит

Предкамбер

Непосредственно перед установкой перегородок

Прогиб из-за квазипостоянной комбинации

Прогиб из-за частой комбинации

Прогиб перегородок

Прогиб из-за квазипостоянной комбинации

Прогиб из-за частой комбинации

Читать здесь: Precamber

Была ли эта статья полезной?

Прогноз прогиба железобетонных балок, армированных полимером, армированным волокном

Abstract

В статье анализируется расчет прогиба железобетонных балок, армированных полимером, армированным волокном.В этой статье особое внимание уделяется оценке прогиба при достижении текучести арматуры. В статье предлагается простой метод расчета прогиба, который сравнивался с экспериментально предсказанным прогибом. Проведенное сравнение показало, что предложенный метод подходит не только для усиленных балок, но и для железобетонных балок с различным коэффициентом армирования. Предлагаемый метод расчета основан на действующем моменте инерции, таком как тот, который введен в Требования Строительных норм Комитета ACI 318 для конструкционного бетона (ACI318).Развитие прогиба было разделено на три этапа, и были предложены уравнения для эффективного момента инерции, рассматривающие отдельные этапы. Кроме того, в предложенные уравнения были внесены дополнительные относительные коэффициенты, оценивающие изменение глубины нейтральной оси.

Ключевые слова: упрочнение , FRP, прогиб, податливость, эффективный момент инерции

1. Введение

Одним из самых больших преимуществ, которое может обеспечить упрочнение с помощью полимера, армированного углеродным волокном (CFRP), является увеличение гибкости луч.Разрушение железобетонной балки связано с податливостью стали, разрушением бетона или разрушением при сдвиге. Краткосрочные и долгосрочные эксперименты показали, что усиление RC-балок углепластиком может замедлить текучесть стали [1,2,3,4,5,6]. Равномерно, если достигается текучесть стали или сталь заржавела, усиленные балки могут служить до тех пор, пока не произойдет разрыв, отслоение слоя углепластика, усталостное разрушение стали или разрушение бетона [7,8,9,10,11]. Благодаря высокой прочности и эластичности растянутый слой углепластика может воспринимать растягивающие усилия (напряжения) при достижении текучести арматуры.Поэтому может развиваться прогиб балки, что на более позднем этапе приводит к податливости арматуры. Однако существует опасность преждевременного отслоения слоя углепластика. Чтобы предотвратить это, правильное дополнительное закрепление может отсрочить это явление [12]. Кроме того, монтируемый на поверхности углепластик из-за большего отношения периметра к площади сечения может обеспечить лучшее сцепление [13].

Различные исследования показывают, что развитие прогиба и достигаемая текучесть зависят от соотношения арматуры (стали) [14,15].Это может быть связано с эксплуатацией сжатого бетона. Если коэффициент армирования низкий, эксплуатация сжатого бетона также значительно снижается до тех пор, пока не будет достигнута текучесть арматуры. Следовательно, прогиб (при достижении текучести арматуры) усиленных балок с низким коэффициентом усиления является наибольшим. Это связано с неиспользованной деформируемостью сжатого бетона.

Существующие методы расчета прогиба позволяют выполнять оценку до тех пор, пока не будет достигнута текучесть арматуры.Наиболее распространенные и простые методы основаны на рекомендациях по проектированию ACI318 [16] и Еврокоде 2 [17]. Кроме того, многослойный метод можно использовать для расчета прогиба усиленных балок; Однако этот метод не так удобен для инженеров и поэтому не будет обсуждаться в этой статье. Метод расчета, основанный на ACI318 [16], оценивает эффективный момент инерции, а метод, основанный на Еврокоде 2 [17], обычно оценивает среднюю кривизну изгибаемого элемента.Оба метода оценивают момент инерции всего поперечного сечения и момент инерции поперечного сечения, в котором раскрывается трещина. Однако эти методы оценивают напряженно-деформированное состояние в поперечном сечении до достижения пределов текучести в арматуре. Существует несколько методов [18,19,20,21], с помощью которых можно оценить напряженно-деформированное состояние в поперечном сечении после достижения напряжений текучести, но эти методы трудно применять проектировщику. Доступны несколько вкладов, основанных на моделировании моментной кривизны [22,23].Точность предложенной модели [22,23] впечатляет, однако некоторые параметры, такие как момент инерции, глубина нейтральной оси, остаются неизвестными.

Несущая способность усиленных балок может значительно увеличиться, так что повышенная эксплуатационная нагрузка может находиться в диапазоне кривой прогиба нагрузки, где достигается текучесть стали. Основная цель этой статьи - рассчитать прогиб усиленной балки при достижении текучести стали и когда только слой углепластика перехватывает растягивающие усилия.

2. Анализируемые балки

Ж / б балки с различным коэффициентом усиления были выбраны для выполнения расчета прогиба. Данные о балках были получены в результате различных исследований. Ссылки и названия анализируемых балок с кратким описанием представлены в. Выбранные балки подходят для анализа прогиба, поскольку прогиб возникает при достижении текучести арматуры. Как упоминалось выше, более низкий коэффициент армирования позволяет увеличить прогиб при достижении текучести арматуры.

Таблица 1

Характеристики исследуемых экспериментальных пучков.

5 5 175 9350 × 0,18 5 1080 9350

× 75

60 900) 9 Hosseini et al., 2014 [33] БН-1-2 2Ø8 5

00 .6

9350
Автор Название балки l, m Положения нагрузки, м b, m h, m A s1 A s2 d 1 m d 2 , m A f
Barros et al., 2005 [24] V1 1,5 0.5 + 0,5 + 0,5 0,1 0,178 2Ø6 2Ø8 0,024 0,025 -
V1R1 0,17 2Ø6 1 × 1,45 × 9002 900 9,5609 0,173 3Ø6 -
V2R2 0,177 3Ø6 2 × 1,45 × 9,59
V3 0,175 2Ø6 - 2Ø6 -
2 Ø6 + Ø8 2 × 1,45 × 9,59
V4 0,175 3 Ø8 0,025 -
V4R3 0,18 3 Ø8 3 Ø8
Bilotta et al., 2015 [25] Ref_c_no_1 2,1 0,925 + 0,25 + 0,925 0,12 0,16 2Ø10 2Ø10 0,05 0,035 0,05 0,035 0,05 0,035 900_ 0,035 Распределенная нагрузка -
EBR_c_1.4 × 40_1 0,925 + 0,25 + 0,925 56 мм 2
EBR_c_1.4 × 40_2 56 мм 2
EBR_d_1.4 × 40_1 Распределенная нагрузка 56 мм 2
EBR_d_1.4 × 40_2 56 мм 2
NSM_c_2_1.4 × 10_1 0.925 + 0.25 + 0.925 28 мм 2
.4 NSM 10_1 Распределенная нагрузка 28 мм 2
NSM_c_3_1.4 × 10_1 0,925 + 0,25 + 0,925 42 мм 2
NSM_d_3_1.4 × 10_1 Распределенная нагрузка 42 мм 2
David et al., 2003 [26] P1 2,8 0,9 + 1,0 + 0,9 0,15 0,3 2 Ø14 2 Ø8 0,027 0,024 -
P2 1,2 (см 2 9027 900)
П5 2.4 (см 2 )
EL-Gamal et al., 2016 [27] REF 2,36 0,93 + 0,5 + 0,93 0,2 0,3 2Ø12 2Ø8 0,04 0,032 -
CN1 71,26 (мм 2 )
CN2 2 × 71,26 (мм 2 )
GN1 71,3 2 2
GN2 2 × 71.3 (мм 2 )
CHYB 71,26 + 25,8 (мм 2 )
GHYB 71,3 + 25,8 (мм 2 )
REF-II

80

4 -
CN1-II 71,26 (мм 2 )
CN2-II 2 × 71,26 (мм 2 )
Ferrier et al., 2003 [28] A1 2,0 0,7 + 0.6 + 0,7 0,15 0,25 2 Ø14 2 Ø8 0,025 0,025 -
A2 120 (мм 2 )
Gao et al., 2004 [ ] CON1 1,5 0,5 0,15 0,2 2Ø10 2Ø8 0,038 0,027 -
A0 0,22 × 75
A20 0,22 × 75
B0 0,44 × 75
B10 0,44 × 75
B20 0,44 × 75
Gao и др. ., 2006 [30] 2O 1,5 0,5 0,15 0,2 2 Ø10 2 Ø8 0,038 0,027 -
2N6 900 6 × 0,11 × 0,11
2T625-1
2T650-1
2T675-1
2N4 4 × 0.11 × 150
2T450-1
2T4100-1
Хеффернан 1997 [31] Обычный 4,8 1,6 + 1,6 + 1,6 0,3 0,5739 2Ø25 + Ø25 + Ø25 + 2 Ø10 0,074 0,067 -
Усиленный углепластик 65,5 (мм 2 )
Heffernan and Erki 2004 [32] Обычный 2.85 1,1 + 0,65 + 1,1 0,15 0,3 2 Ø20 + Ø10 2 Ø10 0,041 0,037 -
CFRP усиленный 89,4 (мм
SREF 2,4 0,9 + 0,6 + 0,9 0,6 0,12 4Ø8 3Ø6 0,024 0,023 -
S2L- 2 × 1.4 × 20
S2L-20
S2L-40
Khalifa et al., 2016 [34] BC 2,2 0,95 + 0,3 + 0,95 0,15 0,26 2 Ø12 2 Ø12 0,041 0,031 -
BS-2 60 (мм 2 )
BS-4 120 (мм 2 )
60 (мм 2 )
БН-2-2 60 (мм 2 )
БН-2-4 120 (мм 2 )
Kotynia et al., 2008 [35] B-08S 4,2 1,4 + 1,4 + 1,4 0,15 0,3 3Ø12 2Ø10 0,03 * 0,03 ** 60 (мм 2 )
B-083m 58,5 (мм 2 )
Kotynia et al., 2011 [36] G1 6,0 1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 1,0 0,22 7 Ø12 7 Ø8 0.03143 * 0,024 ** -
G2 120 (мм 2 )
G3 120 (мм 2 )
G4 120 (мм 2 )
Kotynia et al., 2014 [37] B12-a 6,0 1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 0,5 0,22 4Ø12 4Ø8 0,031 0,029 1,2 × 100
B12-asp 1.2 × 100
B16-asp 1,2 × 100
Омран и др., 2012 [38] B0 5,0 2 + 1 + 2 0,2 0,4 3Ø15 2Ø10 0,057 0,036 -
B1-NP 2 × 2 × 16
B1-P1
B1-P2
B1-P60
Rezazadeh et al., 2014 [39] Контроль 2.2 0,9 + 0,4 + 0,9 0,15 0,3 2 Ø10 2 Ø10 0,035 0,025 -
Без предварительного напряжения 1,4 × 20
900 с предварительным напряжением
Предварительное напряжение 30%
Предварительное напряжение 40%
Sharaky et al., 2014 [40] CB 2,4 0,8 + 0,8 + 0,8 0,16 0,28 2Ø12 2Ø8 0.036 0,034 -
LB1C1 1Ø8
LB1G1 1Ø8
LB2C1 2Ø8 LB2C1 2Ø8
LB2G1
LB2G1 LA2G1 2 Ø8
LB1G2 1 Ø12
Soudki et al., 2007 [41] C-0 2,25 0,75 0.15 0,25 2 Ø10 2 Ø6 0,025 0,023 -
T-0 4 × 0,11
S-0 50 × 1,2
Teng ., 2006 [42] B0 3,0 1,2 + 0,6 + 1,2 0,15 0,3 2Ø12 2Ø8 0,036 0,034 -
B500 2 × 16
B1200
B1800
B2900
Valivonis et al., 2010 [14] B6.1C 1,2 0,4 + 0,4 + 0,4 100 200 2Ø6 2Ø6 0,025 0,025 0,167 (см 2 )
B6.2C
B6.5 -
B8.1C 2Ø8 0,167 (см 2 )
B8.2C
B8.3 -
B12.1C 203 2 Ø12 2 Ø8 0,167 (см 2 )
B12.2C 200
B12.5 104 198 -
105 201
Wu et al., 2014 [43] Control 1,8 0,6 + 0,6 + 0,6 0,15 0,3 3Ø14 2Ø6 0,037 0.033 -
B11 Ø7.9
B21 2Ø7.9
B22
BP11 Ø7.9
BP12
BP14
Xiong et al., 2007 [44] Па 2,1 0,7 0,125 0,2 2 × 10 2 × 8 0,03 0.024 -
2C 0,22 × 100
Pb 2 × 12 0,031 -

Механические параметры материала, такие как модуль упругости и предел прочности на разрыв необходимы для расчета прогиба балки. Этот и другие механические параметры представлены в.

Таблица 2

Механические характеристики материалов исследуемых экспериментальных балок.

05 - 5 554.32 5 NSM_c_2_1.4 × 10_1 5 NSM_c_2_1.4 × 10_1 .4 × 10_1 am 935 2016 [27] 5 900 CNY 1588 * 900 900 и др. 0 23505 2N6 nan и Heffer 9370 9370 153,2 0 172 900 B 3,4 1 3 900 2800 942 942 Резазаде и др., 2014 [39] 939 2 5 9350 9350 2 5 6 . 5 8 9350 C
Автор Имя луча f c , МПа f ct , МПа E c , GPa f y1 , МПа f , МПа , МПа E s1 , GPa E s2 , GPa f f, fe , MPa E f, fe , GPa
Barros et al., 2005 [24 ] V1 46,1 3.37 33,35 730 554,32 200 200 - -
V1R1 2740 158,8
V2 46,18

46,18 36,18 - -
V2R2 2740 158,8
V3 46,1 3,21 34,89 730 - 2740 158,8
V4 46,1 3,43 35,86 554,32 - -
V4R3 2740 159 900 2015 [25] Ref_c_no_1 17,4 1,34 25,98 540 540 200 200 - -
Ref_d_no_1 900_9001 9001 900 .4 × 40_1 2052 171
EBR_c_1.4 × 40_2
EBR_d_1.4 × 40_1
EBR_d_1.4 × 40_2
NSM_c_2_1.4 × 10_1
NSM_c_3_1.4 × 10_1
NSM_d_3_1.4 × 10_1
Дэвид и др., 2003 [26] P1 38,7 2,94 1 2 500 500 205 3 205 3 - -
P2 39.2 2,97 1 33,14 2 2400 150
P5 40,1 3,03 1 33,37 2
REF 49,62 2,99 35,57 2 480 455 205 3 205 3 - - 119.4
CN2
GN1 1185 52,34
GN2
CHYB 2096 * 147,47 *
GHYB
REF-II - -
CN1-II 1588 119,4
CN2-II
Ferrier et al., 2003 [28] A1 39 2.96 1 31 550 550 3 210 210 3 - -
A2 650 80
, 2004 [29] CON1 35,7 2,75 1 25 531 400 200 200 - -
A0 42005
A10
A20
B0
B10
B20
Gao et al., 2006 [30] 2O 62,1 4,29 1 37,1 460 460 200 205 - -
2N6
2T625-1
2T650-1
2T675-1
2N4
2T450-1
2T4100-1
Heffernan 1997 [ Обычный 32.9 2,56 1 31,45 2 - - 200 200 - -
Углепластик усиленный 325
] Обычный 37 2,83 1 32,57 2 511 и 411 411 210 210 - -
CFRP
Hosseini et al., 2014 [33] SREF 46,7 3,43 1 29,7 486 464 200 200 - -
S2L-0
S2L-20
S2L-40
Khalifa et al., 2016 [34] BC 35 2,7 1 28 400 400 200 200 2800 165
BS-2
BS-4
BN-1-2
BN-2-2
BN-2 -4
Kotynia et al., 2008 [35] B-08S 32,3 2,52 1 31,27 2 490 524 195 209 2915
34,4 2,66 1 31,87 2 436 524 220 209 3500 230
Kotynia et al., 2011 [36] 45 3.33 1 34,55 2 554 561 200 200 - -
G2 46,2 3,4 1

0 9350

165
G3 45,9 3,39 1 34,75 2
G4 45,6 3,37 1 34.68 2 2235 149
Kotynia et al., 2014 [37] B12-a 45,3 3,35 24,3 539,6 416,2 416,2 191 2800 173,3
B12-asp 32,2 2,51 23,7 511,4 583,2 191,4 200,7
B16-asp 3 7 25,4 595 555,8 198 196,4
Omran et al., 2012 [38] B0 40 3,02 1 27,84 200 200 - -
B1-NP 2610 130,5
B1-P1
B1-P2
B1-P60

0

Control 32,2 2,51 1 27,4 585 585 208 208 - -
Без предварительного напряжения61 19224
Предварительное напряжение 20%
Предварительное напряжение 30%
Предварительное напряжение 40%
Sharaky et al., 2014 [40] CB 32,4 2.8 31,7 545 545 205 205 - -
LB1C1 2350 170
LB1G1 1350 9350 9350
2350 170
LB2G1 1350 64
LA2C1 2350 170
LA2G1 1350 64
64
Soudki et al., 2007 [41] C-0 35 2,7 32,04 460 460 205 205 - -
T-0 3480 230
S-0 2800 165
Teng et al., 2006 [42] B0 44 3,27 1 1 34,31 2 - 210 210 - -
B500 2068 131
B1200
B1800
B2900
Valivonis, 2010 [14] B6.1C 34,4 2,93 32,45 358 358 205 205 4800 231
B6.2C
- -
B8.1C 29,7 2,63 30,91 557 358 195 205 4800 231
B8.3 - -
B12.1C 30,4 2,67 31,14 318 420 204,9 204,1 4800 4800
B12.2C
B12.5 28,7 2,56 30,55 - -
B12.6 - -
Wu et al., 2014 [43] Контроль 34,4 2,66 1 31,87 2 340 240 200 200 - -
B 2611 170
B21
B22
BP11
BP12
BP13
BP14
Xiong et al., 2007 [44] Па 30,71 2,41 1 30,8 2 411 233 200 210 - -
3652 900 252
Pb 606 210 - -

3. Расчет прогиба

Развитие прогиба усиленной и неупрочненной балки делится на этапы.На первом этапе прогиб развивается до тех пор, пока в растянутой части поперечного сечения не откроются вертикальные трещины. На втором этапе при раскрытии вертикальной трещины возникает прогиб до достижения предела текучести растянутой арматуры. На третьем этапе прогиб развивается, когда достигается предел текучести арматуры, и только слой углепластика перехватывает силу растяжения. Таким образом, существует две стадии развития прогиба для неупрочненных балок и три стадии для усиленных ().Изгибающие моменты M , I и M I.S показаны в (), что представляет собой момент растрескивания неупрочненной и усиленной балки соответственно. Из-за слоя углепластика вклад усиленной балки в растрескивание немного больше, чем у неупрочненной балки (M I.S > MI). Изгибающие моменты (M I.S и M I ) соответствуют концу первой стадии. Максимальный несущий изгибающий момент неупрочненной балки (M R = M II ) меньше изгибающего момента усиленной балки (M II.S ) при достижении текучести арматуры. Эти изгибающие моменты соответствуют концу второй стадии. Максимальный несущий изгибающий момент усиленной балки обозначен как M R.S = M III и соответствует концу третьей стадии.

Развитие прогиба усиленной и неупрочненной балки.

На прогиб балок на определенном этапе влияет разная жесткость на изгиб. Обычно на жесткость на изгиб E · I (произведение модуля упругости и момента инерции) влияет момент инерции.Современные методы расчета прогиба обычно оценивают модуль упругости, как и для упругого материала. Далее развитие прогиба проходит все стадии, в растянутой части поперечного сечения появляются трещины, следовательно, момент инерции непостоянен. Таким образом, на определенном этапе глубина нейтральной оси и момент инерции различны. Изменение глубины нейтральной оси усиленной и неупрочненной балки представлено в и. Таким образом, есть участки поперечного сечения, содержащие и не имеющие трещин.Следовательно, следует оценить эффективный момент инерции. Прогноз глубины нейтральной оси на каждом этапе подтверждает, что распределение деформаций является линейным. Напряжения в сжатой части сечения находятся в упругом диапазоне. Кроме того, верна гипотеза о плоском сечении. Деформация внутренней и внешней арматуры равна деформации окружающего бетона (сцепление не оценивается).

Изменение глубины нейтральной оси железобетонной усиленной балки: ( a ) Поперечное сечение усиленной балки; ( b ) глубина нейтральной оси до открытия вертикальных трещин; ( c ) глубина нейтральной оси при открытии вертикальных трещин; ( d ) глубина нейтральной оси при достижении текучести стали.

Изменение глубины нейтральной оси ж / б балки: ( a ) Поперечное сечение балки ( b ) глубина нейтральной оси до открытия вертикальных трещин; ( c ) глубина нейтральной оси при открытии вертикальных трещин.

Прогиб усиленной балки на этапе 1 до растрескивания растянутой части поперечного сечения можно предсказать с помощью уравнения:

ωI.S (MI) = 3⋅l2−4⋅a224⋅MIEcm⋅ II ред.

(1)

где l - длина пролета балки, a - расстояние от опоры до положения внешней нагрузки, M I - действующий момент, E см - модуль упругости бетона I Я . красный - приведенный момент инерции полного поперечного сечения по нейтральной оси поперечного сечения.

На этапе 1 расчетный рабочий момент равен 0 < M I M I . S , а предельный изгибающий момент 1-й ступени - это трещинный момент:

Mcrc = MI.S = fct⋅II.redyc.I.

(2)

где f ct - предел прочности бетона на разрыв, y c . I - центр тяжести поперечного сечения на стадии 1. Центр тяжести можно предсказать с помощью следующих уравнений:

Ared = b⋅h + αf⋅Af + (αs1−1) ⋅As1 + ( αs2−1) ⋅As2,

(3)

Sred = b⋅h⋅ (h3 + tf) + αf⋅Af⋅tf2 + (αs1−1) ⋅As1⋅ (d1 + tf) + (αs2−1) ⋅As2⋅ (h + tf − d2),

(4)

где A красный - приведенное поперечное сечение усиленной балки, A f - поперечное сечение углеродных волокон, A s 1 , A s 2 - поперечное сечение стальных стержней, S красный - статический момент приведенного поперечного сечения усиленной балки, α f , α s 1 , α s 2 - коэффициенты обжатия, E f - модуль упругости волокон, E s 1 , E s 2 - модуль упругости стальных прутков.

Приведенный момент инерции поперечного сечения можно предсказать с помощью следующего уравнения:

II.red = b⋅h412 + b⋅h⋅ (h3 + tf − yc.I) 2 + αf⋅Af⋅ (yc.I − tf2) 2+ (αs1−1) ⋅As1⋅ (yc.I − tf − d1) 2+ (αs2−1) ⋅As2⋅ (h + tf − yc.I − d2) 2.

(9)

Прогиб усиленной балки на этапе 2, когда в растянутой части поперечного сечения есть трещины и не достигается податливость растянутой арматуры, можно предсказать по уравнению:

ωII ( MII) = 3⋅l2−4⋅a224⋅MIIEc⋅III (MII).

(10)

Действующий изгибающий момент на ступени 2 составляет M II , а момент M I . S < M II M II . С . Момент достижения текучести арматуры - M II . С . Эффективный момент инерции оценивается с помощью уравнения Брэнсона [45] для параметра I II :

III (MII) = II.red⋅ (MI.uMII) 3 + III.red − III.red⋅ (MI.uMII) 3.

(11)

Если оценивается изменение нейтральной оси, то уравнение (11) изменяется следующим образом:

III (MII) = II.red⋅ (MI.uMII) 3 + III.red⋅γ1.c ⋅γ1.t − III.red⋅ (MI.uMII) 3⋅γ1.c⋅γ1.t.

(12)

где I II . красный - приведенный момент инерции поперечного сечения раскрытия вертикальной трещины. Этот момент инерции можно предсказать с помощью уравнения:

III.красный = b⋅xII312 + b⋅xII⋅ (xII2) 2 + αf⋅Af⋅ (h + tf − xII − tf2) 2 + αs1⋅As1⋅ (h − xII − d1) 2+ (αs2−1) ⋅As2 ⋅ (xII − d2) 2.

(13)

Коэффициенты γ 1. c и γ 1. t оценивают изменение нейтральной оси и могут быть предсказаны уравнениями:

γ1.t = h + tf − xIIh + tf − xI.

(15)

Глубина нейтральной оси на этапе 1 предсказывается уравнением:

Прогноз глубины нейтральной оси в секции с открытой трещиной основан на ранее упомянутых предположениях.Гипотеза плоских участков верна. Распределение деформаций по высоте сечения линейное (б). Тогда по подобию треугольников можно выразить деформации в каждом слое, пропорциональные деформации сжатого слоя бетона, а глубину нейтральной оси следует выразить из квадратного уравнения. Глубину нейтральной оси на этапе 2 можно предсказать с помощью уравнения:

xII = −B + B2 + 4⋅A⋅C2⋅A.

(17)

где коэффициенты A , B и C :

B = αf⋅Af + αs1⋅As1 + (αs2−1) ⋅As2,

(19)

C = αf⋅Af⋅ (h + tf2) + αs1⋅As1⋅d + (αs2−1) ⋅As2⋅d2.

(20)

Напряженно-деформированное состояние в усиленной железобетонной балке до достижения текучести арматуры: ( a ) Глубина нейтральной оси; ( b ) распределение штаммов; ( c ) распределение напряжений; ( d ) внутренние силы.

Прогиб усиленной балки на этапе 3, когда достигается предел текучести растянутой арматуры, можно предсказать по уравнению:

ωIII (MIII) = 3⋅l2−4⋅a224⋅MIIIEc⋅IIII (MIII) .

(21)

Действующий изгибающий момент на ступени 3 составляет M III , а момент M II . u < M III M III . u . Предельный изгибающий момент на стадии 3 составляет M III . u . Новый эффективный момент инерции оценивается в уравнении для параметра I III :

IIII (MIII) = II.red⋅ (MI.uMIII) 3 + III.red⋅ (MII.uMIII) 3 − III.red⋅ (MI.uMIII) 3 + IIII.red⋅ (MIIIMIII) 3 − IIII.red⋅ (MII.uMIII) 3 .

(22)

Если оценивается изменение нейтральной оси, то уравнение (22) изменяется следующим образом:

IIII (MIII) = II.red⋅ (MI.uMIII) 3 + III.red⋅ (MII. uMIII) 3⋅γ1.c⋅γ1.t − III.red⋅ (MI.uMIII) 3⋅γ1.c⋅γ1.t + IIII.red⋅ (MIIIMIII) 3⋅γ2.c⋅γ2.t − IIII. красный⋅ (MII.uMIII) 3⋅γ2.c⋅γ2.t.

(23)

где I III . красный - приведенный момент инерции поперечного сечения раскрытия вертикальной трещины.Этот момент инерции можно предсказать с помощью уравнения:

IIII.red = b⋅xIII312 + b⋅xIII⋅ (xIII2) 2 + αf⋅Af⋅ (h + tf − xIII − tf2) 2+ (αs2−1) ⋅As2⋅ (xIII − d2) 2.

(24)

Коэффициенты γ 2. c и γ 2. t :

γ2.t = h + tf − xIIIh + tf − xII

(26)

Глубина нейтральной оси на этапе 3 также предсказывается по подобию треугольников (b).

Напряженно-деформированное состояние в усиленной железобетонной балке при достижении текучести арматуры: ( a ) Глубина нейтральной оси; ( b ) распределение штаммов; ( c ) распределение напряжений; ( d ) внутренние силы.

Глубина нейтральной оси на этапе 3 предсказывается уравнением:

xIII = −B + B2 + 4⋅A⋅C2⋅A.

(27)

Были коэффициенты A , B и C :

B = αf⋅Af + (αs2−1) ⋅As2;

(29)

C = αf⋅Af⋅ (h + tf2) + (αs2−1) ⋅As2⋅d2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

[an error occurred while processing the directive]