{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Пример расчета прогиба балки — Яхт клуб Ост-Вест

Для строительства прочного, надежного и долговечного здания, нужно знать такой показатель, как прогиб балки (формула), то есть величину жесткости.

Данное направление изучается в таких науках (дисциплинах), как “Сопротивление материалов”, “Теория прочности”, “Механика строительная” и прочее.

Прочность и жесткость балки

Современные строительные технологии, применяемые для просчета стройконструкций, называемых также стержневыми, по качествам прочности и жесткости дают уникальную возможность на первом же этапе проектировки вычислить величину прогиба.

Кроме этого, можно, опираясь на рассчитанные данные, составить заключение о вероятности использования строительной конструкции.

Какой вопрос позволяет решать указанная далее формула для расчета жесткости? Данные, полученные таким путем, говорят о самых больших изменениях в геометрии детали, что могут возникнуть в строительной конструкции.

Несмотря на некоторую бюрократизацию методик для вычисления прогиба, используются опытные формулы, а если воздействие реальных нагрузок отличается от идеальных или усредненных, вопрос решается введением дополнительных коэффициентов для запаса прочности. Понятия «жесткость» и «прочность» связаны и абсолютно неразделимы.

Хотя некоторые различия все-таки есть. Но только в том случае, если рассматривать данные показатели в автомашинах. В стройконструкциях главное нарушение конструкции объектов случается потому, что снижаются или нивелируются полностью вопросы, связанные с запасом прочности, вследствие чего здания нельзя эксплуатировать.

Деревянные балки из древесины хвойных пород

На сегодня в таких предметах изучения, как «Сопромат» и другие, приняты 2 метода для расчета прочности и жесткости:

• Простой. При просчитывании показателей на основе этого метода используют увеличенный коэффициент.
• Точный. Тут используются не только коэффициенты, показывающие запас прочности, но также осуществляется вычисление пограничного состояния (какую нагрузку может выдержать балка).

Как рассчитывать прогиб для балки дома

Чтобы просчитать, подходит ли конкретная балка для строительства дома, нужно знать такие показатели:

• M – это тот максимальный момент, который возникает в балке, находящийся по эпюру моментов. Эпюр – это специальный чертеж с изображением пространственная фигура изображается на плоскости.
• W _{n, mіn} – момент сопротивления сечения (его значение находят по таблице).
• R_y – сопротивление, что оказывает материал, из которого изготовлен элемент конструкции дома, изгибаясь от нагрузки.
• У_c – дополнительный показатель (его можно найти в одной из многочисленных таблиц строительных нормативов).

Формула для расчета прогиба представляет из себя неравенство следующего вида (формула № 1):

Чтобы правильно применить формулу, нужно действовать так:

• Нарисовать схематично балку и ее будущее расположение под крышей дома. Чтобы верно изобразить на чертеже все части исследуемого объекта, нужно знать форму и линейные размеры балки, поперечного сечения, характер будущих нагрузок, материал, из которого балка изготовлена.
• Записать ее точные размеры.
• Рассчитать по указанной формуле, чему равно частное максимального момента балки к произведению остальных трех величин.
• Сравнить полученный результат с единицей: если он меньше или равен 1, то вычисления дают положительный ответ.

Зная значение параметров рассматриваемой балки и сил, действующих на нее, сделав нехитрые вычисления, можно быстро справится с задачей вычисления допустимого прогиба балки дома.

Как вычислить вспомогательные величины

Для получения полной информации о значениях, необходимых для достижения конечной цели вычислений, нужно узнать, каков момент сопротивление сечения (формула № 2):

Необходимо обязательно уитывать ориентирование рассматриваемого балочного сечения, так как с уменьшением моментов инерций жесткость балок снижается, чего допускать нельзя. Для выяснения максимального значения нагрузки f, которое может выдержать балка, надо вычислить его по такой формуле № 3:

f = (5 / 384) * [(q_n * L 4 ) / (E * J)] £ [¦], где

• L – продольный размер, в метрах
• E – коэффициент, показывающий упругость (для каждого материала или сплава он будет разным)
• J – момент инерции по сечению
• q_n – это нагрузка, равномерно-распространенная, выражается в кг/м или в Н/м

Показатель J рассчитывается так:

• b – диаметр сечений
• h – вертикальный размер сечения

Примером для сечений, величиной 15 на 20 сантиметров:

J = 0,15 * (0,2) 3 / 12 = 10 000 см 4 или 0,0001 м 4

Кроме указанных расчетных или табличных величин, среди важных факторов, которые нужно учитывать при определении максимальных нагрузок, выделяют такие: статические (которые действуют постоянно, независимо от переменных внешних факторов), периодические (действие ветра, вибрации, ударов).

Пример подсчета прогиба

Прогиб балки (формула, пример расчета) вычисляется так. Допустим, есть балка, для которой нужно рассчитать прогиб, с такими параметрами:

• Материал изготовления – дерево.
• Плотность 600 кг/м 3 .
• Длина балки L – 4 м, остальные размеры: 15 см х 20 см.
• Масса перекрывающих элементов – 60 кг/м².
• Максимальная нагрузка q равна 249 кг/м.
• E (насколько упруго дерево) – 100 000 кгс/ м².
• J балок – 10 кг*м².

Максимально допустимая нагрузка вычисляется с учетом веса не только балочной конструкции, но и перекрытия, а также опор.

Расчет на поперечный прогиб

Не лишним будет учесть тяжесть, которую будут оказывать люди или приборы, механизмы и другие тяжелые вещи, если вычисляется прогиб балок этажа дома. Нужны такие данные, как:

• Сколько весит один пог. метр рассматриваемой балки.
• Сколько весит каждый м 2 перекрытия.
• Какова временная нагрузка на перекрытие.
• Сколько составляет нагрузка от перегородок на 1 м 2 перекрытия.
• Каков коэфф. k (это промежуток, оставляемый между балками).

Чтобы упростить пример расчетов, принимают масс перекрытия за 60 кг/м², нормальную непостоянную нагрузку на каждое перекрытие – 250 кг/м², нагрузки от перегородок равными 75 кг/м², тяжесть части деревянных балок – 18 кг/погонный метр. Когда расстояние между перекрытиями равно составляет 600 мм, тогда коэффициент k равен 0,6. Подставляем в формулу все эти значения:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Изгибающий момент нужно вычислить по формуле №3, учитывая все указанные выше данные. Получается:

f = (5 / 384) * [(q_n * L 4 ) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 4 4 ) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Это – показатель уровня прогиба во время воздействия максимальной нагрузки. Что именно он обозначает? Получается, что менее, чем на один сантиметр прогнется балка при указанной максимальной нагрузке. После этого нужно сравнить полученный результат с единицей: 0,83 меньше 1.

При расчетах деформации важных строящегося здания используют указанные выше простые формулы. Прогиб балки по формуле СНиП является универсальным способом вычисления жесткости балок и величины их прогибания.

Как посчитать балку на изгиб — на видео:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Для заданной балки двутаврового сечения ( = 210 МПа, Е = 2 х 10 5 МПа) и нагрузок требуется;

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. Определить нормальные и касательные напряжения в сечениях с наибольшим моментом и поперечной силой на расстоянии h/4 от нейтральной оси;

3. Определить прогиб конца балки точки В.

При построении эпюр Q и М необходимо соблюдать правило зна­ков. Положительное направление сил показано на схеме.

1. Определяем опорные реакции

2. Методом сечений определяем ординаты поперечной силы в характерных сечениях. Для этого балку разбиваем на два участка. Границы участков – места изменения нагрузки. Построение эпюры на­чинаем с правого свободного конца балки.

Максимум изгибавшего момента находится в сечении, где поперечная сила равна нулю. Положение этого сечения определяем из условия:

3. Методом сечений определяем изгибающие моменты в характерных сечениях и строим эпюру моментов. Экстремум в т. х = 2 м.

Наиболее нагруженным сечением в балке является сечение А у заделки, где М_max = 120 кН м, Q_mах = – 80 кН.

4. Из условий прочности по нормальным напряжениям определяем требуемый момент сопротивления сечения.

По сортаменту ГОСТ 8509-72 принимаем двутавр № 33.

Максимальные напряжения в опасном сечении будут равны

5. Определяем нормальное напряжение в точке Е сечения на расстоянии h/4 = 8,25 см от нейтральной оси (рис. 4.9.).

Для определения касательного напряжения в точке Е вычислим статический момент отсеченной выше точки Е площади относительно центральной оси Х.

6. Определяем прогиб балки в точке В, используя универсаль­ное уравнение прогибов

Для заданной консольной балки граничные условия будут: угол поворота сечения А ; прогиб сечения А

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9825 – | 7406 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е – справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M_max = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Заключение

Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Расчет прогиба плоской рамы с произвольным числом панелей в системе Maple методом индукции

Постулат. 2019. №3 ISSN 2414-4487

Индукция по 14 фермам дает формулу для прогиба вида:

3 3 3 3 3 3 2

( )/(9216 )

n n n n n n

P a A c C g G f F p P h H h      

. (1)

При обнаружении общего члена последовательности коэффициентов

при

в случае, когда m=k=2 потребовалось проанализировать 14

выражения прогиба и получить следующие натуральные числа: 1354752,

419328, 4552704, 576000, 8782848, 658944, 14192640, 815616, 20929536,

1193472, 29140992, 1939968, 38974464, 3202560. Найти общий член этой

последовательности обычными методами затруднительно. Оператором

rgf_findrecur пакета genfunc системы Maple для членов последовательности

можно получить линейное однородное рекуррентное уравнение седьмого

порядка:

1 2 3 4 5 6 7

3 3 3 3

n n n n n n n n

A A A A A A A A

      

      

.

Оператор rsolve находит решение уравнения, задающее искомую

формулу для коэффициента при

 

32

512 6 (54 96( 1) ) (1389 864( 1) ) 13) 554( 1 .

n n n

n

A n n n        

Аналогично, при анализе численного ряда 873, 81, 873, 81 и т.д.,

находим, что коэффициент

удовлетворяет однородному уравнению

второго порядка

и имеет вид

 

9 53 44( 1)n

n

C  

.

Для коэффициента G получен числовой ряд 26226, 8514, 26226, 8514,

26226, 8514, 26226, 8514,26226, 8514, 26226, 8514, 26226, 8514, выведено

однородное уравнение второго порядка вида:

Решение данного уравнения имеет вид:

 

18 965 492( 1)n

n

G  

Числовая последовательность при коэффициенте

совпала с

последовательностью для коэффициента С, а значит однородное уравнение

имеет решение:

 

9 53 44( 1)n

n

F  

Для коэффициента Р получена следующая последовательность:

193536, 124416, 202752, 133632, 211968, 142848, 221184, 152064, 230400,

161280, 239616, 170496, 248832, 179712. Из данного числового ряда выведено

рекуррентное однородное уравнение третьего порядка

1 2 3n n n n

P P P P

  

  

,

решение которого имеет вид:

 

4608 8( 1) .33

n

n

Pn  

В свою очередь, для коэффициента

из числового ряда: 230400,

82944, 230400, 82944,230400, 82944, 230400, 82944,230400, 82944, 230400,

82944, 230400, 82944, получено следующее однородное уравнение второго

порядка:

, а его решение имеет вид:

 

1

17 (216 1)9 8

nn

H



.

Кривые на рисунке 4 построены по формуле (1) для безразмерного

относительного прогиба

/ ( )

s

EF LP



  

при длине пролета L=100 м. Длина

панели a зависит от пролета: a=L/(2n). Высота h указана в метрах.

Расчет круглых пластин. Часть 3

В части III выполнены расчеты круглых пластин под действием нагрузки, распределенной по кольцу и линейно убывающей от внешнего края пластины до окружности заданного диаметра, на котором она принимает нулевое значение. Такие расчеты иногда необходимы, например, при вращательном движении механизма. В результате вычислений, как и в предыдущем случае, определяются радиальный и окружной изгибающие моменты в рассматриваемой точке, величина прогиба, угол поворота и эквивалентные напряжения.

Исходные данные:

D — наружный диаметр пластины, в миллиметрах;

d — внутренний диаметр пластины, в миллиметрах;

t — толщина пластины, в миллиметрах;

D₀ — внутренний диаметр распределенной нагрузки, в миллиметрах;

D_i — диаметр, по которому необходимо найти изгибающие моменты, угол поворота, прогиб диска и эквивалентные напряжения, в миллиметрах;

q — распределенная нагрузка, в ньютонах / метр ²;

ν — коэффициент Пуассона;

Е — модуль упругости материала диска, в паскалях.

Расчет пластины # 1.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

M_rd = 0 — радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Q_d = 0 — реакция опоры по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

M_rD = 0 — радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.1

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 2.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнему диаметру, со скользящей опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

θ_d = 0 — угол поворота по внутреннему диаметру;

Q_d = 0 — реакция опоры по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

M_rD = 0 — радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.2

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 3.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнему и внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

M_rd = 0 — радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

M_rD = 0 — радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.3

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 4.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, шарнирно закрепленной по внешнемудиаметру, защемленной по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

θ_d = 0 — угол поворота по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

M_rD = 0 — радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.4

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 5.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, консольно защемленной по внешнемудиаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

M_rd = 0 — радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Q_d = 0 — реакция опоры по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

θ_D = 0 — угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.5

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 6.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, защемленной по внешнемудиаметру, со скользящей опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

θ_d = 0 — угол поворота по внутреннему диаметру;

Q_d = 0 — реакция опоры по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

θ_D = 0 — угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.6

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 7.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, защемленной по внешнемудиаметру, с шарнирной опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

М_rd = 0 — радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

θ_D = 0 — угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.7

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 8.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, защемленной по внешнему и внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

θ_d = 0 — угол поворота по внутреннему диаметру;

Y_D = 0 — прогиб по наружному диаметру;

θ_D = 0 — угол поворота по наружному диаметру.

Плстина под распределенной переменной нагрузкой вар.8

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 9.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, со скользящей опорой по внешнему диаметру, с шарнирной опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

М_rd = 0 — радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Q_D = 0 — реакция опоры по наружному диаметру;

θ_D = 0 — угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.9

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 10.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, со скользящей опорой по внешнему диаметру, защемленной по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

θ_d = 0 — угол поворота по внутреннему диаметру;

Q_D = 0 — реакция опоры по наружному диаметру;

θ_D = 0 — угол поворота по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.10

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 11.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, с шарнирной опорой по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

М_rd = 0 — радиальный изгибающий момент по внутреннему диаметру;

Q_D = 0 — реакция опоры по наружному диаметру;

М_rD = 0 — радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.11

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

Расчет пластины # 12.3

Расчет радиального и окружного изгибающих моментов, угла поворота, прогиба и эквивалентных напряжений в произвольно заданной точке пластины, консольно защемленной по внутреннему диаметру под действием переменной распределенной нагрузки.

Граничные условия:

Y_d = 0 — прогиб по внутреннему диаметру;

θ_d = 0 — угол поворота по внутреннему диаметру;

Q_D = 0 — реакция опоры по наружному диаметру;

М_rD = 0 — радиальный изгибающий момент по наружному диаметру.

Пластина под распределенной переменной нагрузкой вар.12

Радиальный момент М_ri, Н*м

Тангенциальный момент М_ti, Н*м

Угол поворота α_i, град

Вертикальное смещение Y_i, мм

Эквивалентные напряжения σ_i, МПа

©ООО»Кайтек», 2020. Любое использование либо копирование материалов или подборки материалов сайта, может осуществляться лишь с разрешения автора (правообладателя) и только при наличии ссылки на сайт www.caetec.ru

Библиотека проектирования конструкций> Расчетные модули> Балки> Результаты прогиба

Важно понимать, что на вкладке «Итоговые результаты» любого из балочных модулей программа сообщает об условиях, которые обеспечивают контролируемые коэффициенты прогиба … не обязательно максимальные значения прогиба.

Чтобы понять важность этого различия, рассмотрим следующую балку с консолью:

Допустим, загрузка выглядит так:

Программа будет делать следующее:

1.Выполните структурный анализ балки для каждого варианта основной нагрузки (статическая нагрузка, временная нагрузка, снеговая нагрузка и т. Д.).

2. Определите прогибы для каждого варианта нагружения с множеством небольших приращений по длине балки.

3. Объедините прогибы при каждом небольшом приращении в пропорциях, продиктованных коэффициентами нагрузки в комбинациях рабочих нагрузок.

4. Определите максимальные отклонения вверх и вниз для каждого пролета в балке.

5. Рассчитайте результирующее отношение для каждого пролета в балке, разделив длину пролета на максимальные отклонения вверх и вниз для этого пролета.

6. Сообщите (на вкладке «Сводные результаты») условия, при которых достигается коэффициент регулирования для:

• Максимальное отклонение вниз, основанное только на временных нагрузках

• Максимальное отклонение вверх, основанное только на временных нагрузках

• Максимальное отклонение вниз на основе при полной нагрузке

• Максимальное отклонение вверх при общей нагрузке

Еще одна деталь, которую важно иметь в виду, заключается в том, что для консолей принято рассчитывать коэффициент прогиба путем деления удвоенной длины пролета на прогиб.

Теперь, когда мы установили, что на самом деле происходит, чтобы получить результаты отклонения, вот результаты для балки, указанной выше:

Обратите внимание, что общий максимальный прогиб вниз происходит в пролете 2 (на свободном конце консоли) и составляет 0,457 дюйма из-за статических и снеговых нагрузок. Тем не менее, передаточное отношение фактически создается на участке 1, который имеет немного меньшую величину отклонения.Поэтому программа сообщит об участке 1 на вкладке «Итоговые результаты». Это хороший пример того, как эти значения отклонения могут дать интересные результаты. Это также иллюстрирует важное различие между управлением отклонениями и коэффициентами отклонения. Если в вашей конструкции вызывают беспокойство абсолютные прогибы, то вы можете изучить их на вкладке «Отклонения служебной нагрузки» на вкладке «Сводка M-V-D».

— обзор

4.4.2 Применение уравнений наклона-прогиба к устойчивости рамы

Хотя метод дифференциального уравнения, рассмотренный в предыдущем разделе, теоретически применим к любой раме, в действительности он становится чрезмерно сложным, особенно в системе с множеством кинематических степеней свободы. Чтобы продемонстрировать универсальность уравнений отклонения на склоне, мы вернемся к тому же примеру, рассмотренному выше.

Снова предполагается, что осевое сжатие в элементе BC будет пренебрежимо малым.

Начиная с θa≡0, момент на верхнем стыке стержня AB равен

(4.4.23) Mba = (S1k¯) 1θb

, где k¯i = [(EI) / ℓ] i

Момент в горизонтальном стержне

(4.4.24) Mbc = (S1k¯) 2θb + (S2k¯) 2θc

As θ _c = — θ _b для режима потери устойчивости, показанного на Рис. 4-7 (а), уравнение. (4.4.24) уменьшается до

(4.4.25) Mbc = [(S1k¯) 2− (S2k¯) 2] θb

Поскольку в элементе нет осевой силы BC , ( S ₁ ) ₂ = 4 и ( S ₂ ) ₂ = 2.

Для совместного равновесия M _ba и M _bc одинаковы по величине и противоположны по знаку. Таким образом,

(4.4.26) ∑Mb = 0⇒Mba + Mbc = 0

ForI2 = I1 = Iandℓ2 = ℓ1 = ℓ, уравнение (4.4.26) сводится к

(4.4.27) S1EIℓθb = [(4 −2) EIℓ] θb

, откуда

(4.4.28) S1 = 2

Уравнение (4.4.28) приведет к критической нагрузке Pcr = (25.18EI) / ℓ2.

Для режима потери устойчивости, показанного на рис. 4-7 (b), θ _b = θ _c .Сохраняя θ _b и θ _c как неизвестные независимые переменные, анализ можно обобщить. Неизвестные моменты в стыке C равны

(4.4.29) Mcd = (S1k¯) 1θc

и

(4.4.30) Mcb = (S1k¯) 2θc + (S2k¯) 2θb

Условие равновесия при B требуется

∑Mb = 0⇒ [(S1k¯) 1+ (S1k¯) 2] θb + (S2k¯) 2θc = 0

, откуда

(4.4.31) (S1 + 4) θb + 2θc = 0

Аналогично, моментное равновесие при C требует

(4.4.32) ∑Mc = 0⇒ [(S1k¯) 1+ (S1k¯) 2] θc + (S2k¯) 2θb = 0

, откуда

(4.4.33) 2θb + (S1 + 4) θc = 0

Установка определителя матрицы коэффициентов неизвестных θ _b и θ _c для условия устойчивости дает

| S1 + 422S1 + 4 | = 0⇒ (S1 + 4) 2−4 = 0 ⇒S1 = −2, −6

Используя Maple® , BISECT или любую другую программу решения трансцендентных уравнений, можно получить kℓ = 5,01818 и 5,52718 для S ₁ = −2 и −6.

Наименьший корень для kℓ = 5,01818 дает критическую нагрузку 25,18 EI / ℓ ² для режима потери устойчивости, показанного на рис. 4-7 (a), а kℓ = 5,52718 дает критическая нагрузка 30,55 EI / ℓ ² для режима потери устойчивости, показанного на рис. 4-7 (b). Интересно отметить, что критическая нагрузка больше для режима антисимметричного продольного изгиба, чем для режима симметричного изгиба в пределах той же скрепленной рамы.Это различие можно объяснить, исследуя формы режима продольного изгиба, показанные на рис. 4-7. В режиме антисимметричного изгиба балка деформировалась таким образом, чтобы создать точку перегиба в середине элемента (уменьшая эффективную длину вдвое), тем самым увеличивая ее жесткость. Повышенная жесткость балки, в свою очередь, обеспечивает немного большее ограничение в верхней части колонны, что сокращает эффективную длину колонны.

Следующий пример — потеря устойчивости жестко связанного равностороннего треугольника, показанного на рис.4-8.

Рисунок 4-8. Равносторонний треугольник

Возьмем момент против часовой стрелки и вращение как положительные величины, принятые при выводе уравнений отклонения на склоне в главе 3. Поскольку соединения считаются жесткими, исходный угол в 60 градусов будет сохраняться на протяжении всей истории деформаций. . Следовательно,

(4.4.34) θab = θac = θaθba = θbc = θbθcb = θca = θc

Момент на каждом конце каждого элемента тогда определяется как

(4.4.35) Mab = k¯ (S1θa + S2θb), Mac = k¯ (S1θa + S2θc) Mba = k¯ (S1θb + S2θa), Mbc = k¯ (S1′θb + S2′θc) Mca = k¯ (S1θc + S2θa), Mcb = k¯ ( S1′θc + S2′θb)

, где k¯ = EI / ℓ, а S1′ и S2 ′ отражают растягивающую силу в элементе BC .

Совместимость жесткого соединения требует следующего условия равновесия моментов в каждом соединении:

(4.4.36) Mab + Mac = 0Mba + Mbc = 0Mca + Mcb = 0

Подставляя уравнение. (4.4.35) в уравнение. (4.4.36) дает

(4.4.37) (S1θa + S2θb) + (S1θa + S2θc) = 0 (S1θb + S2θa) + (S1θb + S2θc) ′ = 0 (S1θc + S2θa) + (S1θc + S2θb ) ′ = 0

Преобразование уравнения. (4.4.37) дает

(4.4.38) 2S1θa + S2θb + S2θc = 0S2θa + (S1 + S1 ′) θb + S2′θc = 0S2θa + S2′θb + (S1 + S1 ′) θc = 0

Переписывание уравнения . (4.4.38) в матричной форме дает

(4.4.39) [2S1S2S2S2S1 + S1′S2′S2S2′S1 + S1 ′] {θaθbθc} = {000}

Установка определителя расширенной матрицы равным нулю для условия устойчивости (нетривиальное решение) дает

(4.4. 40) det = 0 = (S1 + S1′-S2 ′) [S1 (S1 + S1 ′ + S2 ′) — S22] = 0

Две формы потери устойчивости обозначены уравнением. (4.4.40).

S1 + S1′ − S2 ′ = 0orS1 (S1 + S1 ′ + S2 ′) — S22 = 0

Из Maple® или BISECT, S ₁ ( S ₁ + S ₁ ′ + S ₂ ′) — S ₂ ² = 0 дает kℓ = 4.0122⇒Pcr = 16,1EI / ℓ2

Из Maple® или BISECT, S ₁ + S ₁ ′ — S ₂ ′ = 0 дает kℓ = 5,3217⇒Pcr EI / ℓ2

Для kℓ = 4,0122, S1 = 1,1490, S2 = 3,0150, S1 ′ = 4,9763, S2 ′ = 1,7861.

Подставляя эти значения в матричное уравнение, Eq. (4.4.39) дает

(4.4.41) [2.2983.0153.0153.0156.12531.78613.0151.78616.1253] {θaθbθc} = {000}

Напомним, что определитель был равен нулю.Следовательно, расширенная матрица в формуле. (4.4.41) является сингулярной матрицей и поэтому не может быть обращена.

Можно получить только нормализованный собственный вектор или форму моды. Собственный вектор может просто показать форму деформации структуры в соседнем положении равновесия. Следовательно, точная величина формы моды в задачах на собственные значения не имеет значения.

Пусть θ _a = 1 и раскроем первую и вторую строки матричного уравнения Eq. (4.4.41), чтобы уступить,

2.298 + 3.015θb + 3.015θc = 0

, откуда

(4.4.42) θb = 13.015 (−2.298−3.015θc)

и

(4.4.43) 3.015 + 6.1253θb + 1.7861θc = 0

Подставляя уравнение. (4.4.42) в уравнение. (4.4.43) дает

3,015 + 6,12533,015 (−2,298−3,015θc) + 1,7861θc = 0

, откуда

(4.4.44) θc = −0,381

Подставляя уравнение. (4.4.44) в уравнение. (4.4.43) дает

(4.4.45) θb = −0,381

Форма режима потери устойчивости приведена на рис. 4-9.

Рисунок 4-9.Равносторонний треугольник антисимметричный режим потери устойчивости

Forkℓ = 5,3217, S1 = −3,9419, S2 = 6,2624, S1 ′ = 5,6170, S2 ′ = 1,6751

Подставляя эти значения в матричное уравнение, Eq. (4.4.39) дает

(4.4.46) [- 7.88386.26246.26246.26241.67511.67516.26241.67511.6751] {θaθbθc} = {000}

Снова расширенная матрица в уравнении. (4.4.46) — сингулярная матрица. Получить относительную деформационную форму конструкции можно только в соседнем равновесном (изогнутом) положении. В силу рис.4-9, в этом случае ожидается симметричная форма моды. Пусть θ _a = 0 и раскроем вторую и третью строки матричного уравнения Eq. (4.4.46), чтобы уступить,

(4.4.47) θb = −θc = 1,0

Форма режима потери устойчивости графически представлена ​​на рис. 4-10.

Рисунок 4-10. Симметричный режим продольного изгиба равностороннего треугольника

Хотя в нагруженной вершине треугольника нет совместного перемещения, критическая нагрузка, соответствующая антисимметричной форме продольного изгиба, меньше, чем соответствующая симметричному режиму продольного изгиба.Изучение формы симметричного режима продольного изгиба, показанного на рис. 4-10, показывает, что в сжимающем элементе существует точка перегиба, благодаря чему эффективная длина колонны значительно меньше, чем в антисимметричном режиме продольного изгиба. Это заставляет сжимающие элементы в режиме симметричного изгиба нести большую нагрузку.

CSc 110 — Прогиб моста

Проектирование прочных, прочных и экономичных мостов — обычная задача в области гражданского строительства.Необходимо принять во внимание множество факторов, которые могут повлиять на окончательный дизайн, включая, помимо прочего:

• Какой тип моста строить (существует много типов, например, неразрезной, вантовый, арочный и т. Д.)
• Какова длина моста?
• Какова высота моста?
• Какие погодные условия должен выдерживать этот мост?
• Какой вес / трафик должен поддерживать этот мост?
• Насколько мост прогибается при разной нагрузке?

В этом задании по программированию вы напишете программу, которая распечатает мост заданного размера и выполнит расчеты прогиба в различных точках моста.Если вы не знаете, что такое прогиб и как его рассчитать, не волнуйтесь! Будет объяснено отклонение, и вам будет предложена формула для расчета. Итак, что такое прогиб?

Отклонение

Прогиб — это, по сути, изгиб или кривая, которые могут иметь различные материалы при приложении к ним силы. В качестве простого примера представьте себе деревянную доску, подвешенную между двумя опорами (скажем, по кирпичу на каждом конце). Если бы вы прыгнули на середину доски, доска, вероятно, изогнулась бы (отклонилась), как показано на анимации ниже:

Вы можете думать об этом как о действительно простом мосту.Величина, на которую мост (или кусок дерева) будет отклоняться между двумя опорами, может варьироваться в зависимости от материала, из которого сделан мост, размера материала и формы материала.

Если кусок дерева, подвешенный между двумя кирпичами, был тонким (скажем, кусок пиломатериала размером 2 на 2 дюйма), то древесина, вероятно, сильно отклонялась бы. Может даже сломаться! Если бы у вас был кусок большего размера (скажем, 4 на 4 дюйма), он бы меньше отклонялся. Величина прогиба также зависит от расстояния между опорами и от того, где вы стоите.Если расстояние между двумя кирпичами составляет 10 футов, и вы стоите посередине, он будет отклоняться больше, чем если бы между двумя опорами было всего 5 футов. Вы не поверите, но на самом деле дорожные мосты могут отклоняться (до некоторой степени), когда вы проезжаете по ним на машине. Ниже представлена ​​(возможно, театрализованная) анимация, показывающая движение моста (включая отклонение), когда по нему проезжают автомобили.

В этом задании вы будете выполнять некоторые расчеты прогиба для горизонтального непрерывного моста с нулевым или большим количеством опор между двумя концами.Непрерывный мост очень похож на серый, изображенный выше. Мост пролетает на некотором расстоянии, а вдоль пролета расположены опоры. Величина отклонения зависит, помимо прочего, от того, насколько близко вес находится к опоре.

Расчет отклонения

Чтобы вычислить прогиб в заданной точке на простом пролете, вы должны использовать следующее уравнение:

• y — прогиб (число, которое вы должны вычислить!)
• w — сила, приложенная к точке, отклонение которой вы рассчитываете (сила в Ньютонах).Для справки один фунт-сила равен 4,44822 Ньютона. Итак, вы можете представить себе 140-фунтового человека, стоящего на мосту, прикладывающего около 623 Ньютона силы, или 2000-фунтового автомобиля, прикладывающего силу 8896 Ньютонов.
• x — это расстояние до ближайшей поддержки от точки, в которой вы измеряете.
• E — модуль упругости Юнга. Для этого PA мы будем предполагать, что мост сделан из железа, и железо имеет модуль упругости 210. Таким образом, просто используйте значение 210 для переменной E .
• I — момент инерции площади. Для этого PA просто используйте значение 500. В действительности значение этой переменной зависит от формы балки.
• L — это расстояние между ближайшими опорами по обе стороны от точки.

Эту формулу также можно записать в синтаксисе, подобном Python, так:

y = ((w * x) / (48 * E * I)) * ((3 * L ** 2) — (4 * x ** 2))

ПА

У вас будет два коротких PA и один обычный PA для работы, связанные с темами мостов и прогибов.Два коротких PA напрямую связаны с длинным PA, поэтому сначала поработайте над ними, а затем вы можете повторно использовать код из них для работы с обычным PA! Ссылки на каждый из них приведены ниже.

и nbsp

© Бенджамин Дикен, 2016-2021

и nbsp

Расчет прогиба профиля кулачка из-за контактного давления Герца | Журнал механики

» data-legacy-id=»sec1″> 1. ВВЕДЕНИЕ

Глобоидальный кулачок с роликовым толкателем широко используется в бумагоделательных машинах и автоматических сборочных линиях. Целью этого исследования было уменьшение прогиба при изгибе в точке контакта с помощью системы пружина-демпфер. Следовательно, во время контакта между кулачком и толкателем образовалась небольшая эллиптическая или полуэллипсоидная область, в которой она проявляла очень высокое контактное напряжение.Было предпринято множество попыток изучить проблему контакта, чтобы снизить уровень шума и вибрации на высокой скорости. Крепулат и др. . (см. [1]) использовали стандартное уравнение Герца для расчета контактного напряжения в системе ролик-толкатель. Они использовали численное моделирование, такое как анализ методом конечных элементов, чтобы подтвердить аналитический результат контактного напряжения. Ким и др. . предложил косвенный метод измерения динамической деформации в указанной точке толкателя пальца и экспериментального прогнозирования контактных сил (см. [2]).Кроме того. Хуа и др. . обнаружили, что гладкая поверхность профиля кулачка обеспечивает снижение на 53% максимального подповерхностного напряжения по фон Мизесу (см. [3]). Контактное напряжение было уменьшено до 41% экспериментально с учетом использования рабочего хода при постоянной скорости для кулачка (см. [4]). Фабьен и др. . выбран профиль кулачка «выдержка-подъем-выдержка» для уменьшения пика контактного напряжения в диапазоне скоростей (см. [5]). Ондрашек пришел к выводу, что усталостное повреждение имеет вид полостей (точечная коррозия) или трещин на рабочей поверхности кулачка или толкателя, используя метод конечных элементов контактной механики (см. [6]).Анхелес и др. . рассчитали контактное давление в серии гармонических волн локальной деформации и полей подповерхностных напряжений (см. [7]). Абдулкарим изучил влияние геометрии кулачка, такой как радиус толкателя, ширина грани, углы подъема и возврата, а также модуль упругости на уменьшение контактного напряжения, используя фотоупругий подход для анализа напряжений кулачка в плоско поляризованном свете (см. [8]). Она использовала программу ANSYS версии 15 в качестве решателя методом конечных элементов для проверки результатов фотоупругого метода.С другой стороны, Ciulli et al . использовали цифровую обработку изображений для описания цветовых составляющих полос интерференционных изображений в точке контакта (см. [9]). Экспериментально проанализированы линейные контакты кулачка-толкателя со смазкой по Герцу и эластогидродинамической смазкой. Циафис и др. . (см. [10]) изучали влияние эксцентриситета на угол давления и контактное напряжение для кулачка с плоским ведомым механизмом, используя технику генетического алгоритма. Джаякумар пришел к выводу, что угол поворота кулачка напрямую влияет на контактное давление, и максимальное контактное давление возникает на переднем конце кулачка (см. [11]).Целью данной работы является изучение влияния контактной нагрузки на прогиб глобоидального кулачкового профиля. Насколько известно автору, уменьшение прогиба при изгибе в точке контакта с помощью системы пружина-демпфер на конце ведомого стержня еще не изучалось.

» data-legacy-id=»sec3″> 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОТВЕТА ПОСЛЕДУЮЩИХ

» data-legacy-id=»sec5″> 5. {2})} $ | ⁠.4} {4!} — \ cdots \ right) = \ cos (r \ theta) \ end {eqnarray} $$

и

r ^{m + 2} sin ( m θ) = sin ( r θ)

r ^{m + 2 cos ( м θ) = cos ( r θ).}

Однородное решение уравнения. (12) равно (см. [21])

$$ \ begin {eqnarray} w (r, \ theta, t) _ {\ rm H} = [A \ sin (r \ theta) + B \ cos (r \ theta)] \ sin (\ omega _ {n} t), \ end {eqnarray} $$

(14) где A и B — константы.3} {\ theta _ {\ rm P} D} \ right) r \ theta \ sin (\ Omega t). \ end {eqnarray} $$

(18) Применяя граничные условия в формуле. (16) получаем константы A и B как

$$ \ begin {eqnarray} При (r = r_1), \ quad (\ theta = \ theta_P), \ quad t = t_1, \ quad w (r, \ theta, t) = 0, \ end {eqnarray} $$

$$ \ begin {eqnarray} В (r = r_1), \ quad (\ theta = \ theta _P), \ quad t = t_ {1}, \ quad \ frac {\ partial w (r, \ theta, t)} {\ partial r} = 0. 3} {\ theta _ {\ rm P} D} \ right) (\ sin (r_ {1} \ theta _ {\ rm P}) \\ && \ quad — \, \ theta _ {\ rm P} \ cos (r_ {1} \ theta _ {\ rm P})) \ frac {\ sin (\ Omega t_ {1})} {\ sin (\ омега _ {n} t_ {1})}.3} {\ theta _ {\ rm P} D} \ right] r \ theta \ sin (\ Omega t), \ end {eqnarray} $$

(19) где

$$ \ begin {eqnarray} \ Displaystyle t_ {1} = \ frac {\ theta _ {\ rm P}} {\ Omega}. \ end {eqnarray} $$

Шероховатость — это отсутствие гладкости поверхности (см. [16]). В данной работе рассматривался контакт гладкости. Наконец, предполагалось, что вход в контакт полностью затоплен, а шероховатость поверхности достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь (предполагались гладкие поверхности) (см. [22]). Как упоминалось ранее, кулачок и толкатель изготовлены из среднеуглеродистой стали, подвергающейся горячей обработке, для поддержания температуры.Нижний предел температуры горячей обработки определяется температурой его рекристаллизации. Нижний предел горячей рабочей температуры составляет 60% от температуры плавления (см. [23]). Твердость увеличивается с повышением температуры (см. [24]). Кулачок может быть частично погружен в масляный резервуар для смазки разбрызгиванием, для чего требуются очень умеренные температуры окружающей среды и тепловые условия, а также скоростные режимы (в данном исследовании использовалось Н, = 500 об / мин) (см. [16]) .

» data-legacy-id=»sec7″> 7. МОДЕЛЬ SOLIDWORKS SIMULATION

(1) Детали и сборка создаются в программе SolidWorks. Создано четыре файла модели: polydynecam.SLDPRT, Knightfollower.SLDPRT, guide.SLDPRT и cam после сборки.SLDASM. Направляющие толкателя были собраны на установочной колонне и установочном столе, в то время как кулачок и толкатель соединяются вместе с помощью механического сопряжения кулачка. (2) Анализ движения выбирается в SolidWorks, щелкнув вкладку исследования движения в нижней части графической области, чтобы открыть окно MotionManager . При анализе движения выберите как можно больше кадров в секунду, чтобы симуляция была более точной. Всегда проверяйте систему единиц в меню Инструменты > Параметры и выбирайте вкладку Свойства документа в диалоговом окне Свойства документа — Единицы , а затем щелкните узел Единицы .Следует выбрать MMGS . Закройте диалоговое окно. (3) Кнопка гравитации определяется на панели инструментов Motion , чтобы вызвать диалоговое окно Gravity . Выберите направление Y. В графической области в правом нижнем углу появляется стрелка, указывающая вниз, указывая направление силы тяжести. (4) При нажатии кнопки Motor на панели инструментов Motion открывается окно Motion . Выберите Rotary Motor (по умолчанию).Переместите указатель мыши в графическую область и выберите геометрию кулачка вращательного движения. Появится круговая стрелка, указывающая направление вращения роторного двигателя. Выберите Постоянная скорость и введите об / мин. для скорости. Вы должны увидеть RotaryMotor1 , добавленный в дерево MotionManager . (5) Кнопка Contact выбирается на панели инструментов Motion для имитации контакта между кулачком и толкателем, а также между толкателем и двумя направляющими. (6) Кнопка Force выбирается на панели инструментов Motion для выражения внешней силы пружины.

» data-legacy-id=»sec9″> 9. РАСЧЕТ ПРОГИБА ИЗГИБА С ПОМОЩЬЮ ANSYS

Каждая точка на рис. 5 определяется в ANSYS на основе положения θ и радиуса r .Процедура ANSYS применяется следующим образом: (1) Щелкните препроцессор, чтобы выбрать тип элемента> Добавить / Редактировать / Удалить и выберите элемент SHELL99. (2) Нажмите «Свойства»> «Модели материалов»> «Структурные»> «Линейные»> «Эластичные»> «Изотропные». (3) Нажмите «Препроцессор»> «Создание сетки»> «Инструмент сетки». (4) Нажмите «Решение»> «Определить нагрузки»> «Применить»> «Конструкция»> «Смещение»> «На узлах». (5) Нажмите «Решение»> «Тип анализа»> «Новый анализ»> «Гармоника». (6) Нажмите «Решение»> «Определить нагрузки»> «Применить»> «Конструкция»> «Сила / момент»> «На узлах».(7) Нажмите «Решение»> «Загрузить шаги шага»> «Частота и подшаги». (8) Щелкните Решение> Решить> Текущий LS.

» data-legacy-id=»sec11″> 11. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

На рисунках 7–9 показано изменение линейного смещения, скорости и ускорения ведомого во времени.В этом моделировании использовался механизм кулачок-толкатель с системой пружина-демпфер и без нее при угловой скорости кулачка N = 500 об / мин. Это моделирование было выполнено в точке контакта с помощью программного обеспечения SolidWorks. Пики линейного перемещения толкателя, скорости и ускорения уменьшились до 31,87,5 и 94,44% и 60,63 и 97% для точек (18) и (4), соответственно. Точки (18) и (4) были расположены на носу (2) и носу (1) соответственно.

Рисунок 7

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное перемещение толкателя.

Рисунок 7

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное перемещение толкателя.

Рисунок 8

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейную скорость толкателя.

Рисунок 8

Влияние использования системы пружина-демпфер на линейную скорость толкателя.

Рисунок 9

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное ускорение толкателя.

Рисунок 9

Влияние использования системы пружина – демпфер на линейное ускорение толкателя.

На рисунке 10 показан тест сходимости в зависимости от количества элементов для точек (18) и (4) на носу (2) и носу (1), соответственно. Конечно-элементный анализ кривой сходимости определяет взаимосвязь между интервалом сетки и точностью анализа. Пакет ANSYS использовался при сходимости сетки для расчета точного значения прогиба при изгибе без использования системы пружина-демпфер. Точки (18) и (4) были выбраны в сходимости сетки, которая имела наибольшее значение прогиба изгиба.

Рисунок 10

Сходимость сетки отклонения изгиба с использованием пакета ANSYS.

Рисунок 10

Сходимость сетки отклонения изгиба с использованием пакета ANSYS.

На рисунках 11, 12 и 13 показана зависимость контактной нагрузки от угла контакта пути №. (1), путь нет. (2) и путь нет. (3) соответственно, с использованием системы пружина – демпфер. Контактная нагрузка была уменьшена до 21,673, 28,275, 27,643, 24,952, 33,194 и 30,36% для точек 18, 15, 12, 10, 7 и 4 на пути №.(1), тогда как контактная нагрузка была снижена до 45,092, 33,222, 31,145, 34,282 и 29,313% для точек 72, 70, 68, 66 и 64 соответственно на пути №. (2). Более того, контактная нагрузка была снижена до 37,784, 37,968, 37,941, 41,907 и 34,842% для точек 32, 30, 28, 26 и 24 соответственно на пути №. (3).

Рисунок 11

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 11

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути №(1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 12

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 12

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 13

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 13

Контактная нагрузка в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

На рисунках 14, 15 и 16 показано отклонение при изгибе профиля кулачка в зависимости от угла контакта на каждом временном шаге для пути №. (1), путь нет. (2) и путь нет. (3), соответственно, с использованием и без использования системы пружина-демпфер. На рисунках 16 и 17 отклонение при изгибе изменялось по синусоиде в зависимости от угла контакта, потому что толкатель перемещался с простым гармоническим движением.Прогиб при изгибе уменьшился до 82,101, 67,478, 87,558, 72,983, 46,691 и 83,743% для точек 18, 15, 12, 10, 7 и 4 соответственно на пути №. (1). Кроме того, прогиб при изгибе был уменьшен до 90,167, 80,754, 96,771, 82,898 и 79,035% для точек 72, 70, 68, 66 и 64 соответственно на пути №. (2). Прогиб при изгибе был уменьшен до 85,601, 31,034, 54,179, 60 и 76,522% для точек 32, 30, 28, 26 и 24 соответственно на пути №. (3).

Рисунок 14

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути №(1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 14

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (1) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 15

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 15

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (2) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 16

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 16

Отклонение при изгибе в зависимости от угла контакта для пути № (3) с использованием и без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 17

Проверка прогиба пути № (1) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 17

Проверка прогиба пути №(1) без использования системы пружина-демпфер.

На рисунках 17, 18 и 19 показана проверка отклонения изгиба в зависимости от угла контакта для пути №. (1), путь нет. (2) и путь нет. (3) соответственно. Аналитическое решение уравнения. (19) и пакет ANSYS использовались при проверке без использования системы пружина-демпфер. В пакете ANSYS площадь контакта кулачка и толкателя предполагалась прямоугольной (контакт между двумя параллельными цилиндрами). В аналитическом решении уравнения.В (19) контакт предполагался как объем небольшой эллиптической области (контакт между двумя криволинейными поверхностями). В целом аналитические результаты очень близки к результатам ANSYS. На рисунке 17 максимальная разница между двумя наборами результатов составила 8,858% в точке (10) и 8,319% в точке (70), как показано на рисунке 18. На рисунке 19 максимальная разница между двумя Наборы результатов составили 8,620% в точке (30).

Рисунок 18

Проверка прогиба при изгибе пути №.(2) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 18

Проверка прогиба пути № (2) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 19

Проверка прогиба при изгибе пути №. (3) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 19

Проверка прогиба при изгибе пути №. (3) без использования системы пружина-демпфер.

Рисунок 20

Динамический отклик ведомого.

Рисунок 20

Динамический отклик ведомого.

На рис. 20 показан динамический отклик толкателя в зависимости от угла контакта с использованием системы пружина-демпфер для одного цикла вращения кулачка. В данной работе был выбран профиль кулачка с подъемом – возвратом – подъемом – возвратом – задержкой – подъемом. Кулачок начал вращаться с восходящим движением 45 ^○ , за которым последовал обратный ход с 30 ^○ . Произошел подъем для следующих 35 ^○ , сопровождавшийся обратным ходом с 40 ^○ .Движение задержки для следующего 180 ^○ было разработано для сохранения контакта между кулачком и толкателем. Цикл кулачка закончился ходом подъема для следующих 30 ^○ . Аналитическое решение уравнения. (9), моделирование SolidWorks и экспериментальная установка были использованы для проверки и проверки динамического отклика ведомого.

На рисунке 21 показана аналитическая проверка динамического отклика ведомого на основании увеличения коэффициента вязкого демпфирования от 0.875 от 1 до 1,25 и жесткость пружины от 7 до 10 до 13. Пик динамического отклика уменьшается с увеличением жесткости пружины и значений коэффициента вязкого демпфирования.

Рисунок 21

Аналитическая проверка реакции ведомого с использованием различных значений коэффициента вязкого демпфирования и жесткости пружины.

Рисунок 21

Аналитическая проверка реакции ведомого с использованием различных значений коэффициента вязкого демпфирования и жесткости пружины.

На Рисунке 22 показано моделирование контактной нагрузки между кулачком и толкателем для жирного и сухого трения. Моделирование контактной нагрузки было выполнено с помощью SolidWorks. Значения контактной нагрузки для сухого и жирного трения были практически одинаковыми. Контактные силы между кулачком и толкателем в интервале от 0,002 до 0,006 с отсутствовали из-за рабочего хода профиля кулачка.

Рисунок 22

Моделирование контактной нагрузки для жирного и сухого трения.

Рисунок 22

Моделирование контактной нагрузки для жирного и сухого трения.

» data-legacy-id=»sec13″> 13. РЕКОМЕНДАЦИЯ БУДУЩЕЙ РАБОТЫ

Рекомендации будущей работы: (1) уменьшение прогиба при изгибе с использованием метода генетического алгоритма и (2) изучение влияния контактного напряжения Герца на прогиб изгиба профиля кулачка.

» data-legacy-id=»ack1″> БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарен факультету машиностроения Багдадского университета за полную поддержку.Автор также хотел бы поблагодарить рецензентов за внимательное чтение этой статьи и полезные предложения.

— Максимальный прогиб платформы

Прогиб — это степень смещения элемента конструкции под действием нагрузки. Это может относиться к углу или расстоянию.

Чтобы настил лесов оставался в пределах своей безопасной несущей способности, нельзя допускать отклонения более чем на 1/ ^{₆₀ -й} пролета между опорами.

Отклонение относится к перемещению балки или узла из исходного положения из-за сил и нагрузок, приложенных к элементу.Прогиб, также известный как смещение, может происходить из-за внешних приложенных нагрузок или из-за веса самой конструкции и силы тяжести, к которой это относится. Это может происходить в балках, фермах, шпангоутах и ​​практически любой другой конструкции. Чтобы определить отклонение, возьмем простое отклонение консольной балки, на конце которой стоит человек с массой (W)

Сила человека, стоящего в конце, заставит балку изгибаться и отклоняться от своего естественного положения.На приведенной ниже диаграмме синяя балка соответствует исходному положению, а пунктирная линия имитирует отклонение консольной балки

Балка изогнулась или сместилась из исходного положения. Это расстояние в каждой точке стержня является значением или определением отклонения. Обычно существует 4 основных переменных, которые определяют, насколько сильно прогибается балка;

• Какова нагрузка на конструкцию
• Длина неподдерживаемого элемента
• Материал, в частности модуль Юнга
• Размер поперечного сечения, в частности момент инерции (I)

Прогиб балки (прогиб балки) рассчитывается на основе множества факторов, включая материалы, момент инерции секции, приложенную силу и расстояние от опоры.Существует ряд формул и уравнений прогиба балки, которые можно использовать для расчета базового значения прогиба в различных типах балок.

Прогиб можно рассчитать путем деления двойного интеграла уравнения изгибающего момента M (x) на EI (модуль Юнга x момент инерции).

Единица отклонения или смещения — это единица длины и обычно принимается в миллиметрах (для метрических единиц) и в дюймах (для британских). Это число определяет расстояние, на которое луч отклонился от исходного положения.

Консольные балки — это балки особого типа, которые ограничиваются только одной опорой. Эти элементы, естественно, будут отклоняться больше, поскольку они поддерживаются только с одного конца. Чтобы рассчитать прогиб консольной балки, вы можете использовать приведенное ниже уравнение, где W — сила в конечной точке, L — длина консольной балки, E = модуль Юнга и I = момент инерции.

Другим примером отклонения является отклонение балки с простой опорой .Эти балки поддерживаются с обоих концов, поэтому отклонение балки обычно остается левым и имеет форму, сильно отличающуюся от формы консоли. Под действием равномерно распределенной нагрузки (например, собственного веса) балка будет плавно отклоняться к средней точке

Методы расчета прогибов — Бетонные конструкции Еврокод

Два метода расчета прогиба представлены ниже, и они основаны на рекомендациях в TR58 Прогибы в бетонных плитах и ​​балках8

Строгий метод

Строгий метод расчета прогибов является наиболее подходящим методом для определения реалистичной оценки прогиба.Однако он подходит только для использования с компьютерным программным обеспечением. Concrete Center выпустил ряд таблиц, в которых этот метод используется для расчета прогиба различных плит и балок9. Они предлагают рентабельный способ выполнения подробных расчетов прогиба и включают возможность учитывать влияние нагрузки на бетон в раннем возрасте. Рисунок 3 иллюстрирует принципы метода и показывает, как факторы, влияющие на прогиб, учитываются при строгих расчетах прогиба.

Анализ методом конечных элементов также может использоваться для получения оценок прогиба. В этом случае следует применять принципы, показанные на Рисунке 3, для получения достоверных результатов.

Панель 1

Определение длительного модуля упругости

Рисунок 3

Схема строгого метода расчета прогиба

Рассчитайте модуль длительной упругости, ELT из:

Ea = rw / I — — + ~ — + — + —

где

Wn = Нагрузка для эксплуатационной пригодности на стадии n H = Коэффициент ползучести при соответствующем времени нагружения и продолжительности tM

Сопоставить входные данные

■ Размеры элементов, детали и компоновки арматуры из расчета по предельному состоянию

■ Последовательность загрузки e.г.

• Обрезка опалубки

• Заливка перекрытия выше

• Монтаж перегородок и / или облицовки

• Применение отделки

Последовательность будет варьироваться от проекта к проекту

■ Свойства бетона (см. Таблицу 1)

• Средняя прочность на сжатие (фут · см)

• Средняя прочность на разрыв (fctm или fctm, fl)

• Модуль упругости (Ec28) = 1,05 Ecm

■ Критическое расположение действий

(или повторите расчеты для каждой схемы, чтобы определить критический случай)

Проверить, есть ли в элементе растрескивание при изгибе

■ Определите стадию критической нагрузки, на которой впервые возникает растрескивание.(См. «Растрескивание» на стр. 3)

■ Рассчитайте следующие свойства:

• Коэффициенты ползучести, h (Приложение B Еврокода 2 или рисунок 4)

• Модуль долговременной упругости, ELT (см. Панель 1)

• Коэффициент эффективного модуля упругости, ae из: ae = Es / ELT

• Глубина нейтральной оси для состояния без трещин, xu (см. Панель 2)

• Второй момент площади для состояния без трещин, Iu (см. Панель 2)

• Рассчитайте момент растрескивания, Mcr из:

Mct = fctmIu / (h — xu), используя соответствующее значение для fam.

■ Превышает ли момент на стадии критической нагрузки момент растрескивания?

• Если да, то на всех последующих этапах в элементе есть трещины. Z = 1–0,5 (Mcr / M) 2 [5 = 0 для ситуации без трещин]

Используйте эти критические значения fctm и 5 для последующих этапов.

• Если нет, элемент не треснет ни на одном этапе.

Определить кривизну плиты

■ Если плита треснула, рассчитайте следующие свойства на рассматриваемой стадии нагрузки, используя соответствующие значения для fctm, 5 и ELT:

• Глубина нейтральной оси для участка с трещиной, xc (см. Панель 2)

• Второй момент площади для состояния трещины, Ic (см. Панель 2)

■ Расчет кривизны изгиба:

■ Рассчитайте кривизну из-за деформации усадки 1 / rcs (см. Панель 2)

■ Рассчитайте общую кривизну, 1 / rt = 1 / rfl + 1 / rcs

Повторяйте вычисления с частыми интервалами (скажем, в 1/20 точек) и дважды интегрируйте, чтобы получить общий прогиб.

Если требуется прогиб, влияющий на облицовку и / или перегородки, повторите расчеты для частой комбинации и нагрузки во время установки перегородок и / или облицовки.

Расчетный прогиб:

■ Общий прогиб (квазипостоянная комбинация)

■ Прогиб, влияющий на перегородки / облицовку (частый комбинированный прогиб за вычетом прогиба во время установки)

Таблица 1

Свойства бетона fck МПа 20 25 28 30 32 35 40 50

Таблица 1

Свойства бетона fck МПа 20 25 28 30 32 35 40 50