Метод для расчета угла отскока шарика от стены: Как рассчитать угол отскока? — CodeRoad

Содержание

Отскок мяча от стены: оформление задачи на ЕГЭ

Эта задача появлялась уже на моем сайте. Я предложила ее решение, которое казалось мне довольно простым. Ученики спросили, как оформить такую задачу на ЕГЭ, и этот вопрос заставил меня решить задачу заново, теперь уже с точки зрения оформления решения на экзамене.


Задача. Мальчик бросает мяч со скоростью м/с под углом в в сторону стены, стоя на расстоянии м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.

Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.

Пунктир – траектория мяча при отсутствии стены

Вертикальная составляющая начальной скорости мяча:

   

Горизонтальная составляющая начальной скорости:

   

Время полета мяча до верхней точки найдем из условия равенства вертикальной составляющей скорости нулю:

   

   

– время полета мяча до наивысшей точки траектории (при условии отсутствия стенки).

 

Дальность полета мяча до верхней точки траектории:

   

Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:

Отскок мяча от стены

 

Теперь определим время полета мяча до стены.

   

– время полета мяча до стены.

   

Определим ординату точки, в которой мяч ударился о стенку:

   

Тогда, подставив время полета мяча до стены, получим:

   

или

   

После отскока мяча от стены его ордината будет изменяться по закону:

   

Здесь – скорость по оси , которую имел мячик на момент соприкосновения со стеной, – время полета мяча от стены до попадания мальчику в руки, то есть до момента, когда ордината мяча станет нулевой.

Вертикальная составляющая скорости мяча на момент подлета равна:

   

Подставим в выражение (2) координату  (1) и скорость (3):

   

Мяч приземлится, когда :

   

Из этого выражения можно найти время полета мяча от стенки до приземления:

   

   

Тогда расстояние, которое мяч пролетит по горизонтали после отскока от стены (напомню, что скорость мяча по горизонтали не изменилась по модулю, ведь удар был упругий), равно:

   

Осталось всего ничего: подставить числа.

Определим дискриминант численно:

   

   

Тогда

   

Отрицательный корень нас не устраивает по смыслу задачи, следовательно, ответ 6 м.

Ответ: 6 м.

Ялта 2021

Список статей отправленных в Journal of Physics: Conference Series

Онлайн трансляция конференции

Аудитория «Севастополь» суббота 28.09.2021.

Аудитория «Каламита» пятница 27.09.2021.

Аудитория «Севастополь» четверг 26.09.2021.

Аудитория «Севастополь» среда 25.09.2021.

Аудитория «Севастополь» вторник 24.09.2021.

Общая фотография

Уважаемые коллеги!

Приглашаем Вас принять участие в VI Всероссийской конференции «Теплофизика и физическая гидродинамика» (ТФГ2021) и научной молодёжной школе «Теплофизика и физическая гидродинамика: современные вызовы» (ТФГСВ2021). Конференция посвящена фундаментальным проблемам современной теплофизики и гидрогазодинамики и является продолжением серии Всесоюзных конференций молодых исследователей, проводимых при участии Института теплофизики СО РАН (Новосибирск) с 70-х годов. Конференция будет проходить с 22 по 29 августа в г. Севастополь, Республика Крым. Организаторами конференции выступают ведущие научные институты и вузы городов Новосибирска и Севастополя. Целью конференции является обсуждение современных задач в области теплофизики и гидрогазодинамики, поиск путей их решения, а также подготовка научного кадрового резерва высокой квалификации и привлечение молодых ученых к наиболее актуальным исследованиям.

Председатель конференции

Академик РАН, профессор, д.ф.-м.н. Маркович Д.М.

Зам. председателя

Профессор РАН, д.ф.-м.н. Головин С.В.

Профессор РАН, д.ф.-м.н. Марчук И.В.

Учёный секретарь

к.ф.-м.н. Макаров М.С.

Организаторы конференции

Министерство науки и высшего образования РФ, Москва

Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск

Национальный комитет по тепломассообмену РАН, Москва

Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

Новосибирский государственный университет, Новосибирск

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск

Морской гидрофизический институт РАН, Севастополь

Севастопольский государственный университет, Севастополь

Расчет на ударные нагрузки — Доктор Лом

Теоретические предпосылки расчета

Когда мы рассматривали виды нагрузок, то выяснили, что ударная нагрузка является одним из видов динамических нагрузок и отличается от статической нагрузки тем, что при определении максимальных напряжений следует учитывать силы инерции.

Ударной считается нагрузка, прикладываемая в очень короткий промежуток времени. Например, ударная нагрузка возникает при падении одного тела на другое или при быстром изменении давления между рассматриваемыми телами. Все это кажется довольно странным, ведь если тело, например гиря, имеет массу 32 кг, то масса гири не изменится ни до, ни после, ни в момент падения. И это действительно так, но только тогда, когда речь идет о гравитационной массе, однако тщательное исследование явлений окружающего мира показывает, что у любого тела есть еще и инертная или как ее еще называют — инерционная или инерциальная масса. А еще те же исследования показывают, что инертная масса равна гравитационной массе. Так вот, когда речь идет о ударных нагрузках, то создает такую нагрузку не гравитационная, а инертная масса. В общем курсе физики термин «нагрузка» не используется, а используется понятие «сила». И состояние многих материальных тел описывается взаимодействием различных сил. При этом все силы можно условно разделить на внешние и внутренние. В теоретической механике, теории сопротивления материалов, теории упругости, теории прочности и т.п. внешние силы, действующие на рассматриваемую конструкцию, рассматриваются, как нагрузки, а внутренние силы — как напряжения. При этом предполагается, что сумма внешних сил равна сумме внутренних сил, это в итоге и позволяет составлять уравнения равновесия для рассматриваемой системы.

Когда тело, создающее нагрузку, очень долго взаимодействует с телом, в котором под воздействием этой нагрузки возникают напряжения, то скорость обоих тел, точнее центров тяжести обоих тел, при таком взаимодействии согласно принятой системы отсчета практически не изменяется. Это позволяет рассматривать нагрузку и напряжения, как статические, т.е. обусловленные гравитационным взаимодействием. При ударе в зависимости от массы соударяемых тел, скорость одного из тел или обоих тел изменяется очень сильно и в сравнительно короткий промежуток времени. Одной из характеристик тела, двигающегося с некоторой скоростью, является импульс:

p = mиv (288.1)

В данном случае в виду имеется именно инертная масса, и рассматривается поступательное (прямолинейное) движение, т.е. такое движение, для корректного описания которого достаточно рассматривать движение только одной материальной точки, совпадающей с центром тяжести рассматриваемого тела. Для характеристики вращательного движения используются понятия момента инерции и угловой скорости, для сложного движения материальных точек изгибаемой конструкции — коэффициент жесткости, определяющий характер движения различных материальных точек, входящих в состав изгибаемой конструкции в зависимости от значений момента инерции, модуля упругости материала, действующей нагрузки и длины изгибаемой конструкции.

Когда тела сталкиваются с относительно большой скоростью, то из-за изменения скорости в течение короткого промежутка времени возникает ударная сила, точнее две ударные силы, одинаковые по значению и направленные противоположно. Таким образом рассматриваемая система сил по прежнему остается в равновесии:

Рисунок 1. Равновесие сил рассматриваемой системы.

Если рассматривать тело, создавшее ударную нагрузку, то на него будет действовать ударная сила, равная сумме опорных реакций, показанных на рисунке 1.б) и равная — Qу, т.е. направленная противоположно. Однако строителей очень редко интересует судьба падшего тела, им необходимо обеспечить прочность конструкции после удара, т.е. рассчитываемая конструкция должна работать только в области упругих, восстанавливаемых со временем деформаций, а неупругие деформации, могут привести к разрушению конструкции.

Теоретически, если известно время t, в течение которого импульс будет передаваться от одного тела другому, определить ударную силу не проблема, так как

Qу = mиv/t (288.2)

и тогда расчет конструкции можно просто выполнить на действие ударной силы, т.е. по расчетной схеме, показанной на рисунке 1.б). Да вот беда, время, в течение которого импульс передается от одного тела другому, зависит от множества различных факторов (о которых речь ниже) и может измеряться в пределах от микросекунд до секунд. Потому точно определить значение времени, а значит и ударной силы достаточно сложно.

Далее, в процессе удара кинетическая энергия упавшего тела частично трансформируется в потенциальную энергию деформации рассматриваемой конструкции. Например балка, показанная на рисунке 1, прогнется, при этом в момент, когда значение деформации, будет максимальным, скорость движения центра тяжести балки будет равной нулю, а значит систему можно рассматривать как статическую. Вот только упавшее тело, если оно все еще находится на балке, уже не будет создавать ударную нагрузку, а только обычную статическую, поэтому внутренние напряжения начнут уменьшаться, а значит, и величина деформации будет уменьшаться. А в результате действия инерциальных сил, возникающих как при движении груза, так и при движении частиц рассматриваемой конструкции такое движение превратится в колебательное, со временем затухающее из-за перехода части кинетической и потенциальной энергии в тепловую.

Кроме того часть энергии удара преобразуется в звуковые колебания и если верить индийским фильмам, то в звук преобразуется чуть ли не вся энергия удара. Так же при ударе часть энергии переходит в упругие и неупругие деформации падающего тела и местные неупругие деформации рассматриваемого элемента конструкции, а потому точное решение задачи о возникающих при ударе внутренних напряжениях и деформациях материала конструкции с учетом вышеприведенных факторов является не простой задачей. Однако в точном решении задач не всегда есть необходимость и потому в строительной практике получили распространение приближенные методы расчета.

Максимально упростить решение подобных задач помогают следующие допущения и физические модели процесса:

1. Любую балку, плиту, стену, колонну или другую строительную конструкцию можно рассматривать как упругую систему с одной степенью свободы. Этим подразумевается, все деформации будут находиться в области упругих, т.е. восстанавливаемых со временем и то, что колебания будут происходить только относительно одной из осей. Например, при падении тела на рассматриваемую конструкцию под действием силы тяжести перемещение падающего тела происходит только вдоль оси у, возможные смещения тела вдоль осей х и z не учитываются. Некая тело с массой m, соединенное с упругой пружиной, является простейшей линейной механической моделью упругой системы с одной степенью свободы:

Рисунок 2. Амплитуда колебаний

2. Амплитуда колебаний, определяющая максимальное отклонение рассматриваемой точки вдоль оси у, соответствует максимальной деформации рассматриваемой конструкции. При продольном ударе — это относительное изменение длины Δl, при изгибающем ударе — прогиб f, при вращающем ударе — угол поворота φ (далее мы будем рассматривать в основном изгибающий удар). При рассмотрении колебательного движения физических тел, двигающихся по прямолинейной траектории, рассматриваемая точка, совершающая колебания, соответствует центру тяжести тела, если масса изгибаемой конструкции пренебрежимо мала, по сравнению с массой ударяющего тела, то для упрощения расчетов массой изгибаемой конструкции можно пренебречь и рассматривать колебания согласно принятой физической модели (рисунок 2).

3. Так как колебания системы, вызванные ударом, являются затухающими из-за сопротивления окружающей среды (как минимум воздуха) и наличия сил внутреннего трения, постепенно переводящих часть энергии удара в нагрев, то максимальная амплитуда, соответствующая максимальной деформации, будет только в течение первого периода колебания. Таким образом расчет сводится к определению максимально возможной амплитуды в течение первого периода колебания.

4. Деформации рассматриваемого элемента конструкции от ударяющего тела распространяются по всей длине элемента, подчиняются закону Гука и пропорциональны деформациям, которые возникают при статическом приложении нагрузки от того же тела и в том же месте, т.е. расчетные схемы, показанные на рисунке 1, могут использоваться для расчета рассматриваемой конструкции.

5. Пропорциональность динамических и статических деформаций δ определяется динамическим коэффициентом удара kд, соответственно пропорциональность динамических и статических напряжений σ также определяется динамическим коэффициентом:

δд = kдδст (288.3.1)

σд = kдσст (288.3.2)

соответственно

Qд = kдQст (288.3.3)

Мд = kдМст (288.3.4)

и так далее.

6. Предполагается, что падающее тело имеет жесткость значительно больше жесткости рассматриваемого элемента конструкции. Это позволяет не учитывать величину упругих деформаций падающего тела при ударе и соответственно исключает развитие неупругих деформаций в упавшем теле. Соответственно время, в течение которого импульс от одного тела передается другому будет минимальным, а значит и значение ударной силы будет максимально возможным. И даже если на железную балку падает железная гиря, имеющая вполне определенную жесткость, то для упрощения расчетов упругие и возможные неупругие деформации гири не учитываются. Результат такого допущения — дополнительный запас по прочности.

7. Предполагается, что падающее тело с момента прикосновения к рассматриваемому элементу конструкции продолжает движение с такой же скоростью, с какой перемещается поперечное сечение элемента под телом в результате развития деформаций, т.е. упавшее тело как бы прилепляется к рассматриваемому элементу и не отскакивает до момента развития максимальных деформаций. Такое допущение справедливо лишь тогда, когда масса упавшего тела не меньше массы элемента. А если масса рассматриваемого элемента пренебрежимо мала по сравнению с массой падающего тела, то в момент столкновения изменением скорости вообще можно пренебречь и рассматривать изменение скорости упавшего тела после столкновения только как результат изменения потенциальной энергии деформации и тогда принятая физическая модель будет наиболее полно соответствовать реальному процессу. Если масса рассматриваемого элемента равна или больше массы падающего тела, то такое допущение также приводит к дополнительному запасу по прочности.

8. Явление удара рассматривается с позиций закона сохранения энергии и соответственно сохранения импульсов. При этом предполагается, что кинетическая энергия Т1 падающего тела — груза в момент удара полностью превращается в потенциальную энергию Uд2 деформации конструкции и кинетическую энергию Т’2 движения рассматриваемой конструкции:

Е = Т1 = Uд2 + Т’2 (288.4.1)

Это допущение справедливо только при рассмотрении столкновения двух равноупругих тел имеющих равную массу, при этом одно из тел до момента столкновения находится в состоянии покоя, т.е. его скорость равна нулю. Поэтому количество кинетической энергии рассматриваемой конструкции Т2 принимается равным нулю, а также принимается равным нулю количество кинетической энергии Т’1 падающего тела сразу после момента столкновения, так как скорость падающего тела в момент столкновения обнуляется.

Если масса рассматриваемого элемента конструкции пренебрежимо мала по сравнению с массой ударяющего тела, то величиной Т2 для упрощения расчетов можно пренебречь и рассматривать изменение кинетической энергии падающего тела как изменение потенциальной энергии деформации рассматриваемого элемента:

Т = Uд (288.4.2)

Это допущение, не учитывающее переход части энергии в звуковую, тепловую и другие воды энергии также дает дополнительный запас по прочности.

Принятие этих допущений позволяет значительно упростить расчет конструкций и даже обеспечить дополнительный запас по прочности для колонны, стойки, балки, плиты и любого другого рассматриваемого элемента конструкции при использовании физической модели, показанной на рисунке 2.

В зависимости от направления удара по отношению к оси рассматриваемого элемента конструкции и характера происходящих деформаций удары рассматриваются как продольный — приводящий к растяжению или сжатию рассматриваемого элемента (колон, стоек, стен, свай), поперечный — вызывающий деформации изгиба (поперечный удар часто называют изгибающим ударом) характерен для стержней, балок, плит перекрытия, и крутильный удар — вызывающий деформации кручения в валах машин и механизмов или в балках при внецентренном приложении ударной нагрузки.

Теория расчета на динамическую нагрузку

Согласно основному закону динамики — второму закону Ньютона — любое тело, имеющее некоторую массу m и движущееся с ускорением свободного падения g = 9.81 м/с2, может рассматриваться как сила Q = mg, а при расчете строительных конструкций внешние силы, как уже говорилось, рассматриваются, как нагрузка. Именно поэтому в формулировке задач по расчету строительных конструкций нагрузки от тел, имеющих некоторую массу m, измеряемую в понятных простому человеку килограммах или тоннах , указываются в не столь хорошо известных и понятных Ньютонах и килоНьютонах. Теоретически это правильно, но вполне допустимо при выполнении расчетов заменять Ньютоны на килограмм-силы. Например, человека весом в 100 кг, можно рассматривать как сосредоточенную нагрузку Q = 1000 Н = 100 кгс или просто 100 кг. При этом уменьшение значения, возникающее при умножении массы на 9.81 обычно не учитывается, что опять таки приводит к дополнительному запасу по прочности.

При этом даже если человек стоит абсолютно неподвижно в течение долгого времени, т.е. скорость его перемещения в рассматриваемой системе отсчета равна нулю, то он все равно создает нагрузку, в данном случае статическую. Этот парадокс устраняется тем, что если опору из под человека убрать, то он полетит к центру Земли, причем с ускорением, мало отличающимся от ускорения свободного падения и значит опора может рассматриваться как такая же сила, только действующая в противоположную сторону, и называется эта сила опорной реакцией. А когда опорная реакция равна опорной силе, то система находится в состоянии равновесия, т.е. никуда не движется (во всяком случае в принятой системе отсчета). При рассмотрении стержней и балок, имеющих две опоры, таких опорных реакций будет две (см. рисунок 1).

Однако все это справедливо только для абсолютно жестких тел. Реальные же тела и в частности строительные конструкции под воздействием нагрузки деформируются, а значит и человек, представляющий собой нагрузку, будет перемещаться в пространстве на величину этой деформации.

Как определяются деформации для сжатых, растянутых и изгибаемых элементов, и при чем тут момент инерции, мы уже знаем, осталось только добавить, что при расчете деформаций от действия статической нагрузки предполагается, что статическая нагрузка прикладывается не моментально, а очень медленно, т.е. значение нагрузки постепенно нарастает от нуля до максимального значения за время, значительно превышающее время деформации. Таким образом скорость перемещения в пространстве тела, создающего нагрузку, стремится к нулю и получается, что наблюдаемые в результате воздействия нагрузки деформации, например вот такие:

Фотография 174.1. Прогиб балки — линейки при действии статической нагрузки — мерного стакана

это результат действия только гравитационной массы тела, создающего нагрузку. Дальнейшее описание будет производиться на примере балки линейки для наглядности.

Если приложить нагрузку мгновенно, например, если поставить мерный стакан на линейку и сразу его отпустить, то прогиб будет значительно больше. Потому что стакан, опускаясь вместе с прогибающейся линейкой, на определенном этапе приобретет достаточно большую скорость, а значит, при расчетах нужно учитывать не только гравитационную, но и инертную  массу тела, а также инертную массу рассматриваемой конструкции. Так как физиками до сих пор считается, что гравитационная масса равна инертной (во всяком случае попытки опровергнуть это утверждение пока ни к чему не привели), то вполне логично предположить, что инертная масса приведет к такой же деформации как и гравитационная масса, а значит деформация от динамической нагрузки будет в 2 раза больше, чем от статической нагрузки, создаваемой тем же телом. В математическом выражении это предположение с учетом теоретических предпосылок (т.е. без учета массы линейки) выглядит так:

— для статической нагрузки kд = 1

— для динамической нагрузки kд = 1 + 1 = 2

Впрочем, такой метод определения динамического коэффициента при мгновенном приложении нагрузки может показаться слишком простым. Что ж, устранить эту проблему не сложно. Для начала вернемся к п.2 и 3 теоретических предпосылок и рассмотрим их более детально.

В общем виде уравнение гармонических колебаний, позволяющее определить значение отклонения по оси у — что в нашем случае соответствует величине деформации f, выглядит так:

Рисунок 3. Амплитуда колебаний, как радиус окружности и гипотенуза прямоугольного треугольника

у = Аsinφ = Asin(φo + ωt) (288.5.1)

где φ = φo + ωt — фаза колебания, соответственно φo — начальная фаза колебания при t =0.

При этом амплитуда рассматривается, как радиус окружности, а фаза колебаний, как угол наклона этого радиуса, что в итоге и дает нам синусоиду для исследуемой точки, показанную на рисунке 2. Так как скорость материальной точки является производной расстояния по времени, то

y’ = v = (Asin((φo + ωt))’ = Aωcos(φo + ωt) (288.5.2)

тогда значение амплитуды по оси х можно рассматривать как t = v/ω. Ну а дальше из установленных Архимедом соотношений сторон прямоугольного треугольника, образованного катетами х и у и гипотенузой А, следует, что:

А = √¯(у2 + х2) = √¯(у2 + (v/ω)2) (288.5.3)

Если придать этой легкой математической формуле тяжелый физический смысл, то получается, что максимальное значение отклонения по оси у, а в нашем случае величина деформации f, будет максимальным, когда скорость материальной точки — стакана будет равна нулю и соответственно максимальная скорость у материальной точки будет в моменты, когда деформация будет равна нулю. Причина этого — в воздействии сил инерции. Так как нас интересует только максимальное значение отклонения, равное амплитуде, т.е. у = А, т.е. при скорости материальной точки, равной нулю, то формулу (288.5.3) можно с учетом этого преобразовать в:

А = √‾(yи2) (288.5.4)

где уи — максимальное значение деформации при действии сил инерции. При этом полное значение деформации с учетом действия гравитационных сил (на примере линейки) составит:

fп = fг + fи = 2fг = 2fи = fг + √¯(fг2) (288.6.1)

Так как прогиб от действия инертной массы равен прогибу от действия гравитационной массы.

Соответственно динамический коэффициент составит

kд = 1 + 1 = 1 + √¯(12) = 2 (288.6.2)

Если вернуться к математической модели, то мы как бы смещаем вниз по оси у синусоиду (рисунок 2) или окружность (рисунок 3) на значение уг, равное уи, и таким образом получаем полное значение деформации в точках экстремума функции.

Таким образом человек, который ходит по помещению и при этом достаточно быстро перебирает ногами, перенося свой вес с одной ноги на другую, создает как минимум динамическую нагрузку и потому при расчете конструкций перекрытия на нагрузку от такого человека статическую нагрузку, создаваемую гравитационной массой человека, следует умножать на динамический коэффициент kд = 2. При этом высота падения и соответственно скорость падения в момент столкновения принимаются равными нулю.

Теория расчета на ударную нагрузку

До этого мы рассматривали деформацию тела (балки) под действием динамической нагрузки, т.е. в ситуации, когда скорость груза в момент касания с конструкцией равна нулю. Если же груз будет падать с некоторой высоты, то в момент касания с конструкцией эта скорость не будет равна нулю (при принятой нами массе балки значительно меньшей, чем масса груза) и тогда для определения амплитуды теоретически можно использовать формулу (288.3.3). Вот только для этого придется сначала определить значение скорости в момент удара.

Скорость тела, падающего с ускорением свободного падения, без учета влияния сопротивления окружающей среды в любой момент времени можно определить по формуле:

v = √¯(vo2 + 2gh) (288.7.1)

где h — высота падения, м.

Если начальная скорость vo = 0, то формула (288.6.1) примет вид

v = √(2gh) (288.7.2)

Теперь попробуем определить значение циклической частоты ω (или угловой скорости — это кому как больше нравится). Так как ускорение — это вторая производная расстояния по времени, то:

y» = a = (Asin((φo + ωt))» = — Aω2sin(φo + ωt) (288.8)

Физический смысл этой формулы в том, что ускорение движения тела а, подобно скорости v и величине смещения y, подчиняется гармоническому закону, но колебания ускорения на полпериода (на угол П) расходятся с колебаниями смещения и находятся как бы в противофазе смещению. То есть когда смещение (в нашем случае прогиб f) максимально, то ускорение а также максимально, но направлено в сторону, противоположную смещению. Так же здесь заметим, что колебания скорости смещены на четверть периода или на угол П/2, по отношению к колебаниям смещения.

Таким образом из формул (288.3.1) и (288.7) можно вывести уравнение гармонических колебаний:

a/ω2 + y = 0 или у» + ω2y = 0 (288.9)

соответственно

ω2 = — [a/y] или ω2 = Q/my = g/yи (288.10.1)

В данном случае имеется в виду инертная масса груза, а масса балки не учитывается. Тогда согласно формул (288.5.3), (288.7.2) и (288.10.1)

у = √¯(уи2 + 2ghyи/g) = √¯(уг2 + 2hyг) (288.11.1)

Тогда полное значение деформации составит:

уп = уг + √¯(уг2 + 2hyг) (288.11.2)

тогда

kд = упг = 1 + √1 + 2h/yг = 1 + √1 + 2h/уст (288.11.3)

Как правило никакой разницы между деформациями от динамической и ударной нагрузки не делается, а динамическая нагрузка рассматривается как частный случай ударной нагрузки, при которой скорость падающего груза в момент контакта с рассматриваемой конструкцией равна нулю, понятие «ударный коэффициент» — не используется, величина деформации от действия гравитационной массы обозначается как статическая деформация уст. Сути дела это не меняет, но упомянуть об этом стоит, равно как и о том, что формулы (288.11) можно вывести и другими способами. Здесь же приведен, возможно и не самый простой, но по моему мнению самый наглядный способ. И еще, если присмотреться, то формулы для определения скорости, вертикального смещения, и многих других не приведенных здесь параметров, достаточно похожи, а роднит их принцип определения гипотенузы прямоугольного треугольника. Вот такие дела.

Если вернуться к математической модели, то при определении амплитуды при ударной нагрузке мы рассматривали как бы не всю, а только нижнюю часть синусоиды, при этом амплитуда рассматриваемой синусоиды соответствует амплитуде колебаний, создаваемой при динамической нагрузке грузом, имеющим массу, умноженную на динамический коэффициент.

Для упрощения расчетов при h/yст > 10 единицей в подкоренном выражении можно пренебречь и тогда формула (288.11.3) примет вид:

kд = 1 + √2h/уст (288.11.4)

А если h/yст > 100, то можно не учитывать и единицу перед квадратным корнем, тогда:

kд = √2h/уст (288.11.5)

Пример расчета балки на ударную нагрузку

Имеется шарнирно закрепленная балка перекрытия длиной 4 м из древесины сечением 20х10 см. На средину балки с высоты 50 см падает гиря весом в 32 кг. Требуется определить прочность балки при ударной нагрузке.

1. Определим прогиб балки при воздействии статической нагрузки

f = Ql3/48EI = 32х4003/(48х100000х6666.667) = 0.064 см

где Е = 105 кгс/см2 — модуль упругости древесины, I = bh3/12 = 6666.667 см4 — момент инерции поперечного сечения.

2. Если определять динамический коэффициент с учетом того, что высота падения значительно больше статического прогиба, то

kд = 1 + √(2х50/0.064) = 40.53

3. Тогда максимальный прогиб составит

fд = 0.064х40.53 = 2.59 см

4. Это достаточно большой прогиб, но намного важнее выяснить, выдержит ли такую ударную нагрузку балка

Мд = Qlkд/4 = 32х400х40.53/4 = 129696 кг·см

5. Тогда при расчетном сопротивлении R = 140 кг/см2 требуемый момент сопротивления составит

Wтр = М/R = 129696/140 = 926.4 см3

6. Момент сопротивления для балки сечением 20х10 см составит W = 2I/h = 6666.667/10 = 666.67см3 < Wтр = 926.4 см3.

Вывод: балка под действием такой ударной нагрузки разрушится.

Пример расчета балки на ударную нагрузку от груза, падающего не посредине балки

Имеется все та же шарнирно закрепленная балка перекрытия длиной 4 м из древесины сечением 20х10 см. На расстоянии 1 м от опоры балки с той же высоты 50 см падает все та же гиря весом в 32 кг. Требуется определить прочность балки при ударной нагрузке.

1. Определим прогиб балки в месте падения груза при воздействии статической нагрузки

f = Qа2b2/3lEI = 32х1002x3002/(3х400×100000х6666.667) = 0.036 см

kд = √2х50/0.036 = 52.7

как видим, за счет смещения места падения груза к одной из опор динамический коэффициент даже увеличился, но нас по прежнему интересует прочность балки

Мд = Qabkд/l = 32х100×300х52.7/400 = 126491 кг·см

так как максимальное значение изгибающего момента почти не изменилось, то и без дальнейших расчетов понятно, что балка такую ударную нагрузку не выдержит. А вот если груз упадет очень близко к одной из опор, например на расстоянии 10 см, то

f = Qа2b2/3lEI = 32х102x3902/(3х400×100000х6666.667) = 0.00061 см

kд = √2х50/0.00061 = 405.42

Мд = Qabkд/l = 32х10×390х229.4/400 = 126491 кг·см

Вывод: на каком бы расстоянии от опоры ни упал груз, балка под действием такой ударной нагрузки разрушится.

Пример расчета балки на ударную нагрузку с учетом жесткости падающего груза

Как видим, если рассматривать соударение балки с гирей, как абсолютно жестким телом, то у балки никаких шансов на выживание нет, она разрушится. Однако любое физическое тело имеет вполне определенную жесткость, а это значит, что такое тело будет также деформироваться. А значит, время контакта при столкновении двух тел из-за упругих и возможных неупругих деформаций ударяющего тела будет больше и соответственно ударная сила, действующая на балку, будет меньше. Это подтверждают эксперименты со сталкивающимися телами из любых материалов. Например, когда относительно легкий стальной шарик падает на очень массивную стальную пластину, то теоретически после соударения относительно легкий металлический шарик должен отскочить от очень массивной пластины на высоту, примерно равную высоте, с которой шарик упал. Однако в реальности высота отскока значительно меньше, и разница доходит до 3 раз. На основании этого можно определить коэффициент восстановления:

kв = √h’/h (288.12)

где h’ — высота отскока, а h — высота падения.

Этот коэффициент будет показывать, насколько уменьшится ударная сила с учетом упругих свойств падающего груза и тогда

kуд = 1 + √1 +2h’/fстили kyд = kдkв (288.13)

ниже приведены значения коэффициента восстановления для некоторых веществ:

Таблица 1. Коэффициенты восстановления при частично упругом соударении тел

Вещество k
Древесина 0.5
Пробка 0.55
Сталь 0.55
Слоновая кость 0.889
Стекло 0.9375

Помимо всего прочего изучение этой таблицы позволяет понять, почему раньше для изготовления бильярдных шаров использовалась именно слоновая кость. Но в данном случае нас интересует сталь, точнее гиря изготовленная с применением железа. Конечно же на значение коэффициента восстановления будет влиять геометрическая форма падающего тела, и чем ближе эта форма к шару тем ближе значение коэффициента восстановления к указанному в таблице. Поэтому значение коэффициента восстановления следует дополнительно умножить на поправочный коэффициент kп = 0.5 — 1, учитывающий форму падающего тела в зависимости от материала сталкивающихся тел. Определение более точного значения поправочного коэффициента — отдельная большая тема. Однако для упрощения расчетов лучше не уменьшать значение коэффициента восстановления, а наоборот увеличить, умножив на коэффициент надежности по нагрузке γ = 1.1 — 1.3.

Например, при столкновении железной гири с деревянной балкой можно использовать коэффициент γ = 1.2 и тогда:

kд = 40.53х0.55х1.2 = 26.75

тогда максимальный прогиб составит

fд = 0.064х26.75 = 1.71 см

Мд = Qlkд/4 = 32х400х26.75/4 = 85600 кг·см

Wтр = М/R = 85600/140 = 611.4 см3

момент сопротивления W = 6666.667/10 = 666.67см3 > Wтр = 611.4 см3.

Вывод: балка выдержит такую ударную нагрузку, однако существует очень высокая вероятность того, что после удара на поверхности балки останется порядочная вмятина, а выражаясь научным языком, изменятся размеры поперечного сечения балки, что приведет к изменению несущей способности балки. Поэтому даже если балка и выдержит один удар, то нет никакой гарантии, что балка выдержит много ударов и такую балку желательно избавить от такого насилия. Обычно это происходит по умолчанию, когда на балки перекрытия укладываются доски напольного покрытия. И тогда в результате падения тяжелых грузов с относительно большой высоты будет страдать уже не балка, а точнее не только балка, но и доски, а если это доски чернового пола, то покрытие по черновому полу. А потому обычно выполняется дополнительная защита пола в местах, где падение груза на перекрытие достаточно вероятно. Принцип такой защиты прост — чем толще защитное покрытие и чем меньше модуль упругости материала защитного покрытия, тем меньше будет в итоге ударная сила, действующая на конструкции перекрытия. Да и поменять защитное покрытие намного быстрее и дешевле, чем балки или плиты перекрытия.

Кстати на эффекте развития местных неупругих деформаций основаны различные методы неразрушающих методов определения прочности бетона, в частности для этого может использоваться молоток Кашкарова, но это уже совсем другая тема.

И еще, борцы тоже не любят бороться на жестком бетонном полу, а все больше на специальных покрытиях и вовсе не потому, что заботятся о надежности перекрытия, в этом случае за основу берется прочность главной несущей конструкции человеческого организма — скелета и в частности черепа.

Карта сайта

  • О нас
    • Сведения об образовательной организации
    • Дружины
    • «ФОКСТРОТ»
    • Структура и органы управления образовательной организацией
    • Документы
    • Образование
    • Образовательные стандарты
    • Руководство. Педагогический (научно-педагогический) состав
    • Материально-техническое обеспечение и оснащенность образовательного процесса
    • Стипендии и иные виды материальной поддержки
    • Платные образовательные услуги
    • Финансово-хозяйственная деятельность
    • Вакансии
    • Вакантные места для приема (перевода) обучающихся
    • Онлайн трансляция
    • Контактная информация
    • Обращения граждан
    • Температурный режим внутри помещений
    • Информация об условиях питания и охраны здоровья
    • Доступная среда
    • Международное сотрудничество
    • Противодействие коррупции
  • Родителям
    • Родительское собрание
    • Оздоровление
    • Отдых
    • Примите участие в опросе
    • Юридическая помощь
    • Права ребенка
    • Условия для индивидуальной работы с обучающимися
    • Сектор психолого-педагогической работы
    • Полезная информация
  • Путевки
    • Смены
    • График смен
    • График бронирования
    • Нормативные документы
    • Положение о распределении путевок
    • Пакет «ПАК» (документы о сертификации питания)
    • О возмещении
    • Путевки онлайн
    • Всероссийские детские центры
  • Проекты
    • Медиацентр
    • Человек «Созвездия»
    • Интервью с вожатым
    • Фирменный стиль
    • Аллея звезд
    • «Открытие года»
    • Онлайн Конкурсы
    • Я помню! Я горжусь!
    • Региональный этап ВсОШ 2020/2021
  • Wiki Лавка
    • Наши публикации
    • Педагогам дополнительного образования
    • Методистам
    • Вожатым
  • Вожатым
    • Детское объединение «Я — вожатый»
    • Краевая школа подготовки вожатых
    • Золотой Вожатый
    • ДОбрый конкурс
    • Школа вожатского мастерства
    • Курсы старших вожатых

c # — Как рассчитать угол отскока?

Вы можете подумать, что, поскольку ваши стены выровнены с осями координат, имеет смысл написать специальный код случая (для вертикальной стены отрицайте координату x скорости; для горизонтальной стены отрицайте координату y оси скорость). Однако, как только вы научитесь хорошо работать с вертикальными и горизонтальными стенами, вы, вероятно, подумаете следующее: «А что насчет стен под произвольными углами?» Так что об общем случае стоит задуматься с самого начала.

В общем случае предположим, что ваша ракета имеет скорость v и попадает в стену с нормалью к поверхности n .

Разделите v на компоненты u перпендикулярно стене и w параллельно ей.

Где:

u = ( v · n / n · n ) n
w = v u

Здесь v · n — это скалярное произведение векторов v и n .См. Ссылку, чтобы узнать, как это вычислить. Скалярное произведение n · n оценивается как квадрат длины вектора нормали; если вы всегда сохраняете свои нормали в виде единичных векторов, тогда n · n = 1, и вы можете опустить деление.

После отскока на составляющую движения, параллельную стенке, действует трение f , а на составляющую, перпендикулярную стенке, действует упругость, которая может быть задана в виде коэффициента восстановления r .

Таким образом, скорость после столкновения равна v ′ = f w r u . В a идеально упругое столкновение без трения, v ′ = w u ; то есть движение отражается относительно нормали в точке столкновения, как на диаграмме, приведенной в ответе Билла.

Этот подход работает точно так же и в трех измерениях.

(Очевидно, это очень упрощенное понятие подпрыгивания; оно не принимает во внимание угловой момент или деформацию.Но для многих видов видеоигр такого упрощения вполне достаточно.)

Иллюстративная математика

Задача

Пабло тренирует броски с борта на стандартном бильярдном столе размером 4 на 8 футов, у которого есть стена с каждой стороны, карман в каждом углу и карман в середине каждой восьмифутовой стороны.

Пабло ставит биток в одном футе от южной стены стола и в одном футе от западной стены, как показано на схеме ниже.Он хочет сбить биток с восточной стены в карман в середине северной стены.

  1. В какой момент биток должен ударить по восточной стене?
  2. После того, как Пабло попрактикуется отбрасывать биток от восточной стены, он пытается поместить восьмерку в двух футах от восточной стены, как показано на схеме ниже, чтобы, если он бросит биток точно так же, как и раньше, Биток ударит по восьмерке прямо и вонзит восьмерку в северную лузу.На каком расстоянии от северной стены Пабло должен поместить шар-восьмерку?

IM Комментарий

Стандартный G-SRT.5 призывает учащихся «использовать критерии совпадения и сходства треугольников для решения задач». Это задание просит студентов использовать сходство для решения проблемы в контексте, который будет знаком многим, хотя большинство студентов привыкли использовать интуицию, а не геометрические рассуждения, чтобы настроить кадр.

Для решения этой задачи учащиеся должны использовать тот факт, что когда объект отскакивает от стены, угол падения равен углу отражения; то есть угол, под которым объект ударяется о стену, равен углу, под которым объект рикошетом отскакивает от стены.Студентам, которые не изучали курс физики, возможно, потребуется сообщить об этом факте (или попросить их предположить его после обдумывания нескольких примеров столкновений).

Решения

Решение: Решение 1

  1. Пусть $ x $ будет расстоянием от северо-восточного угла стола, на котором Пабло хочет, чтобы биток ударил по восточной стене. Начнем с рисования двух прямоугольных треугольников, как показано на схеме выше: один, гипотенуза которого представляет собой отрезок от желаемой точки соприкосновения с восточной стеной до северной лунки, и тот, гипотенуза которого является отрезком от битка до точки контакт с восточной стеной.У бывшего прямоугольного треугольника есть катеты длиной 4 фута и $ x $ футов; последний имеет ноги длиной 7 футов (потому что биток начинается на расстоянии одного фута от западной стены) и $ (3 — x) $ ft. (потому что он начинается на расстоянии одного фута от южной стены).

    Поскольку угол, под которым биток ударяется о стену, равен углу, под которым он отскакивает от нее, и поскольку два прямоугольных треугольника уже имеют по одному прямому углу, мы знаем, что эти два треугольника похожи по сходству АА, и следовательно $$ \ frac {7} {(3 — x)} = \ frac {4} {x}.$$ Умножение каждой стороны на $ x (3 — x) $ дает $$ 7x = 4 (3 — x) $$, и мы получаем $ x = \ frac {12} {11} $ ft. Следовательно, Пабло хочет, чтобы биток касался восточной стены $ \ frac {12} {11} $ ft. от северо-восточного угла стола.

  2. Предположим, мы образовали еще один прямоугольный треугольник, проведя перпендикуляр от шара-восьмерки к северной стене. В результате получается прямоугольный треугольник, похожий на тот, что находится в правом верхнем углу таблицы. Поскольку основание перпендикуляра составляет 2 фута.вдали от северного кармана масштабный коэффициент между двумя треугольниками равен $ \ frac12 $. Таким образом, шар-восьмерка должен быть помещен на половину $ \ frac {12} {11} $ ft. Или $ \ frac {6} {11} $ ft. От северной стены.

Решение: Решение 2

Это альтернативное решение использует умную стратегию, в которой мы представляем отражение бильярдного стола через восточную стену. Поскольку угол падения равен углу отражения, когда биток сталкивается с восточной стеной, если мы отразим продолжение траектории мяча через восточную стену, это отражение сформирует прямую линию с начальной траекторией мяча.Мы можем использовать этот факт, чтобы точно определить, где биток должен «пересекать» восточную стену на этой диаграмме. (Фактически, если бы бильярдный стол был с зеркалами на каждой стене, Пабло мог бы использовать эту стратегию для точного прицеливания, поскольку он мог бы просто направить свой выстрел на отражение северного кармана в зеркале восточной стены.)

  1. Нарисуем прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок от битка до отражения северной лузы. Катеты этого прямоугольного треугольника 7 футов.+ 4 фута = 11 футов и 3 фута, так как биток начинается в одном футе от западной стены и в одном футе от южной стены. Пусть расстояние от желаемой точки соприкосновения с восточной стеной и горизонтальным участком этого прямоугольного треугольника составляет $ y $ футов. Тогда наш прямоугольный треугольник содержит другой, похожий прямоугольный треугольник (по сходству AA), ноги которого имеют длину $ y $ ft. И 7 футов. Следовательно, масштабный коэффициент между этим меньшим треугольником и исходным прямоугольным треугольником равен $ \ frac {7} { 11} $. Затем, чтобы вычислить $ y $, мы умножаем 3 на $ \ frac {7} {11} $, чтобы получить $ \ frac {21} {11} $.Таким образом, мяч должен удариться о восточную стену $ \ frac {21} {11} $ ft. К северу от горизонтальной пунктирной линии на диаграмме. Это $ 3 — \ frac {21} {11} = \ frac {12} {11} $ футов от северо-восточного углового кармана.

  2. Проведем перпендикуляр от отражения желаемой позиции восьмерки к отражению северной стены. С отражением от северной стены этот перпендикуляр образует прямоугольный треугольник, подобный тому, который имеет длину ног 3 фута и 11 футов по сходству AA (с учетом того факта, что наименьший угол нового треугольника и наименьший угол старого треугольник — это чередующиеся внутренние углы для двух параллельных горизонтальных линий).Горизонтальная часть нового треугольника имеет длину 2 фута, поэтому коэффициент масштабирования между двумя треугольниками равен $ \ frac {2} {11} $. Итак, чтобы вычислить длину перпендикуляра от отражения шара-восьмерки до отражения северной стены, мы умножаем 3 фута на $ \ frac {2} {11} $, чтобы получить $ \ frac {6} {11} $ футов. Таким образом, шар-восемь следует разместить на расстоянии $ \ frac {6} {11} $ футов от северной стены.

столкновений и импульсов: прыгающие шары — Урок

(0 Рейтинги)

Быстрый просмотр

Уровень оценки: 8 (7-9)

Требуемое время: 45 минут

Зависимость урока: Нет

Тематические области: Физические науки, физика

Ожидаемые характеристики NGSS:


Поделиться:

Резюме

В продолжение темы потенциальной и кинетической энергии этот урок знакомит с понятиями импульса, упругих и неупругих столкновений.Многие виды спорта и игры, такие как бейсбол и пинг-понг, иллюстрируют идеи импульса и столкновений. Учащиеся могут использовать соответствующие упражнения для изучения этих концепций, отскакивая разные шары по разным поверхностям и вычисляя импульс для каждого шара. Эта инженерная программа соответствует научным стандартам нового поколения (NGSS).

Инженерное соединение

Crunch! Это звук, который вы слышите, когда две машины врезаются друг в друга.Этот беспокоящий звук может быть хорошей вещью, если он является звуком замечательной инновации в области безопасности, разработанной инженерами и называемой зоной деформации. При проектировании автомобилей инженеры-механики учитывают импульс и столкновения. Зона смятия предназначена для автомобилей, чтобы поглотить основное воздействие энергии, передаваемой во время аварии, чтобы люди внутри не пострадали. Подушки безопасности — еще одно усовершенствование инженерной безопасности для защиты пассажиров от столкновений.

Цели обучения

После этого урока учащиеся должны уметь:

  • Вычислить импульс движущегося объекта.
  • Признайте, что импульс пропорционален массе и скорости.
  • Объясните, что в замкнутой системе импульс сохраняется как при упругих, так и при неупругих столкновениях.
  • Опишите, как столкновения и импульс играют важную роль в проектировании безопасных автомобилей.

Образовательные стандарты

Каждый урок или задание TeachEngineering соотносится с одним или несколькими научными предметами K-12, образовательные стандарты в области технологий, инженерии или математики (STEM).

Все 100000+ стандартов K-12 STEM, охватываемых TeachEngineering , собираются, обслуживаются и упаковываются сетью стандартов достижений (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты иерархически структурированы: сначала по источникам; например , по штатам; внутри источника по типу; например , естественные науки или математика; внутри типа по подтипу, затем по классу, и т. д. .

NGSS: научные стандарты нового поколения — наука
Ожидаемые характеристики NGSS

HS-PS2-2. Используйте математические представления, чтобы поддержать утверждение о том, что общий импульс системы объектов сохраняется, когда на систему нет чистой силы.(9–12 классы)

Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Нажмите, чтобы просмотреть другие учебные программы, соответствующие этим ожиданиям от результатов.
Этот урок посвящен следующим аспектам трехмерного обучения NGSS:
Наука и инженерная практика Основные дисциплинарные идеи Общие концепции
Используйте математические представления явлений для описания объяснений.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Импульс определяется для конкретной системы отсчета; это масса, умноженная на скорость объекта.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Если система взаимодействует с объектами вне себя, общий импульс системы может измениться; однако любое такое изменение уравновешивается изменениями количества движения объектов вне системы.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

При исследовании или описании системы необходимо определить границы и начальные условия системы.

Соглашение о выравнивании: Спасибо за ваш отзыв!

Общие основные государственные стандарты — математика
  • Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.(Оценка 7) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решите линейные уравнения с одной переменной.(Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Перегруппируйте формулы, чтобы выделить интересующее количество, используя те же рассуждения, что и при решении уравнений.(Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии — Технология
  • Студенты разовьют понимание отношений между технологиями и связи между технологиями и другими областями обучения.(Оценки К — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Знания, полученные в других областях исследований, имеют прямое влияние на разработку технологических продуктов и систем.(Оценки 6 — 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

ГОСТ
Колорадо — математика
  • Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.(Оценка 7) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Решите линейные уравнения и неравенства с одной переменной, включая уравнения с коэффициентами, представленными буквами.(Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Перегруппируйте формулы, чтобы выделить интересующее количество, используя те же рассуждения, что и при решении уравнений.(Оценки 9 — 12) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Колорадо — наука
  • Используйте математические выражения для описания движения объекта (Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

  • Собирать, анализировать и интерпретировать данные для описания различных форм энергии и передачи энергии. (Оценка 8) Подробнее

    Посмотреть согласованную учебную программу

    Вы согласны с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Предложите выравнивание, не указанное выше

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Введение / Мотивация

Понятие импульса часто используется в спорте.Диктор может сказать: «У Денвер Наггетс действительно есть импульс к четвертой четверти!» или заголовок в газете мог бы гласить: «Лавина в Колорадо набирает обороты!» Это означает, что команда держится вместе и движется вперед как единое целое, а не играет по отдельности и никуда не денется. В мире инженерии и физики импульс относится к качеству движения, которое имеет объект, и зависит от массы и скорости объекта:

Импульс = масса x скорость

Итак, если бы Colorado Avalanche все катались вместе в тесной группе на высокой скорости, у них был бы большой физический импульс.

Покажите классу мяч для настольного тенниса и мяч для гольфа. Хотя они примерно одинакового размера, мяч для гольфа тяжелее. Объясните: если вы бросите каждый мяч с одинаковой скоростью, мяч для гольфа будет иметь больший импульс. Это становится до боли очевидным на примере. Спросите учащихся, играли ли они когда-нибудь в «вышибалы» или в подобную игру. Спросите студентов, предпочитают ли они играть мячом для пинг-понга или мячом для гольфа. Пока студенты стонут при мысли о том, что их ударили мячом для гольфа, объясните, что это причинит больше боли, потому что у него будет значительно больше импульса, чем у мяча для пинг-понга.В этом случае больший импульс происходит из-за большей массы (веса) мяча для гольфа, и импульс мяча для гольфа приведет к большому синяку на вашей ноге!

Предпосылки и концепции урока для учителей

Краткий обзор концепций потенциальной и кинетической энергии (подробно рассмотренных в предыдущем уроке) и импульса приведен ниже:

Потенциальная энергия — это энергия, которую объект имеет из-за своего положения. Потенциальная энергия также может рассматриваться как запасенная энергия. — энергия, которую объект имеет, как неотъемлемую характеристику, но не используется. Иногда ее называют гравитационной потенциальной энергией (ПЭ). Математически это можно выразить следующим образом:

PE = масса x г x высота

, где PE — потенциальная энергия, измеренная в Джоулях (Дж), а g — ускорение свободного падения. На уровне моря g = 9,81 м / сек 2 . Пример потенциальной энергии — книга, лежащая на краю стола.Если бы вы оттолкнули ее от края стола, книга упала бы на пол и издала бы громкий звук. Это выражение кинетической энергии. Кинетическая энергия — это энергия, которую объект имеет из-за своего движения ; любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Падающая книга в этом примере является иллюстрацией кинетической энергии. Кинетическая энергия зависит как от массы, так и от скорости и математически может быть выражена следующим образом:

Импульс можно представить как «движущуюся массу» , и он выражается выражением:

Импульс = масса x скорость

Количество импульса объекта зависит как от его массы , так и от его скорости . Например, более тяжелый объект, движущийся с той же скоростью, что и более легкий, будет иметь больший импульс. Иногда, когда объекты сталкиваются друг с другом, импульс может передаваться от одного объекта к другому. Есть два типа столкновений, связанных с импульсом: упругие и неупругие. В закрытой системе, что означает отсутствие внешних сил, действующих на сталкивающиеся объекты, оба типа столкновений подчиняются Закону сохранения количества движения, который гласит: «Общее количество количества движения перед столкновением равно общему количеству импульса. импульс после столкновения.«

Наблюдение за игрой в бильярд — идеальное место для наблюдения за столкновениями шаров. Авторское право

Copyright © Microsoft Corporation 1983-2001.

В упругом столкновении сохраняется не только импульс, но и кинетическая энергия. Полная кинетическая энергия системы (включая сталкивающиеся объекты) одинакова до и после столкновения. Примером упругого столкновения может быть супер-прыгучий мяч. Если бы вы его уронили, он отскочил бы до исходной высоты, на которой он был сброшен.Другой пример упругого столкновения можно увидеть во время игры в пул. Наблюдайте, как движущийся биток попадает в покоящийся бильярдный шар. При ударе биток останавливается, но передает весь свой импульс и кинетическую энергию другому шару, в результате чего ударный шар катится с начальной скоростью битка.

В неупругом столкновении импульс сохраняется, но не сохраняется полная кинетическая энергия системы. Когда происходит столкновение, некоторая кинетическая энергия передается другому виду энергии, например теплу или внутренней энергии.Упавший шар глины демонстрирует крайне неупругое столкновение. Он совсем не отскакивает и теряет кинетическую энергию. Вместо этого вся энергия уходит на деформацию шара в плоскую каплю.

В реальном мире нет чисто упругих или неупругих столкновений. Несмотря на то, что резиновые шары, шары для пула (при ударе друг о друга) и шары для пинг-понга можно считать чрезвычайно эластичными, в их столкновениях все же присутствует некоторая неэластичность. Если бы не было, резиновые мячи отскакивали бы вечно.Обратитесь к упражнению «Прыгающие шары: столкновения, импульс и математика в спорте», чтобы попросить учащихся изучить принцип сохранения количества движения в отношении упругих и неупругих столкновений. Дополнительные испытания см. В упражнении «Прыгающие шары: столкновения, импульс и математика» (для старших классов). Степень упругости или неупругости чего-либо обычно определяется экспериментально.

Следующая демонстрация показывает импульс в действии при упругом столкновении. Эту демонстрацию сложно провести правильно с первого раза, поэтому потренируйтесь несколько раз, прежде чем представлять ее классу.Сначала отбейте мяч для пинг-понга об пол, уронив его с уровня плеч. Лучше всего это работает на кафельном полу. Если у вас в классе ковровое покрытие, бросайте шары на шлакоблок или большой кирпич, положенный на ковер. Пусть один из студентов-добровольцев отметит на доске, насколько высоко он подпрыгнул. Затем бросьте мяч для гольфа с той же высоты и отметьте, насколько высоко он отскочил. Затем удерживайте мяч для гольфа и мяч для пинг-понга вместе так, чтобы мяч для пинг-понга находился прямо на мяче для гольфа. Бросьте их обоих и наблюдайте, как мяч для пинг-понга подпрыгивает на высоте 10 футов.

Для демонстрации сохранения импульса мяч для пинг-понга держится сверху мяча для гольфа, и они сбрасываются вместе. Авторское право

Авторские права © Мэтт Лундберг и Крис Якацки, Программа ITL, Университет Колорадо в Боулдере

В нижней части При падении ученики должны понимать, что мяч для гольфа имеет больше импульса, чем мяч для пинг-понга. Уловка заключается в том, что импульс от мяча для гольфа передает мячу для пинг-понга. Когда мяч для гольфа ударяется об пол, он подпрыгивает и сталкивается с мячом для пинг-понга.Это действие передает больший импульс мяча для гольфа на мяч для пинг-понга, который в ответ поднимается все быстрее и выше. А поскольку мяч для гольфа передает большую часть своего импульса мячу для пинг-понга, мяч практически не подпрыгивает. Эта демонстрация иллюстрирует сохранение импульса , в котором говорится, что импульс может передаваться от одного объекта к другому, но полный импульс должен оставаться неизменным .

Другой способ понять столкновения — использовать 3-й закон Ньютона, который гласит, что «на каждое действие есть равное и противоположное противодействие».Когда мяч для гольфа ударяется об пол, сила, прилагаемая мячом к полу, равна и противоположна силе, прилагаемой к мячу полом. Это заставляет мяч для гольфа подпрыгивать и двигаться вверх. Когда мяч для гольфа сталкивается с мячом для пинг-понга, сила, действующая на мяч для пинг-понга со стороны мяча для гольфа, равна силе, действующей на мяч для пинг-понга, и противоположна ей. Как мы знаем, мяч для гольфа (из-за его большего веса) имеет больший импульс, чем мяч для пинг-понга, поэтому он передает импульс мячу для пинг-понга, и поэтому мяч для пинг-понга идет выше в этом сценарии, чем если бы он упал один (без столкновений).Помните, что в соответствии с Законом сохранения импульса после столкновения мяча для гольфа и мяча для пинг-понга общий импульс системы сохраняется. Это означает, что если вы добавите импульс двух шаров перед столкновением и добавите импульс двух шаров после столкновения, общий результат будет таким же.

Инженеры учитывают импульс при проектировании транспортных средств для обеспечения безопасности. При лобовом столкновении передняя часть автомобиля деформируется, что делает столкновение неэластичным.Чтобы смять переднюю часть автомобиля, требуется энергия, и это то, что поглощает часть удара. Это делает аварию менее серьезной для всех, кто находится в машине. Вместо того, чтобы поглощать всю силу удара, пассажиры амортизируются неупругим столкновением. (Примечание: эта «подушка» не так удобна, как подушка, но она спасет жизни во время несчастных случаев.)

Инженеры также учитывают динамику при разработке тормозов для транспортных средств. Для остановки тяжелых грузовиков и гоночных автомобилей требуются мощные тормозные системы.Вы когда-нибудь задумывались, почему у машин для драг-рейсинга есть парашюты, чтобы их остановить? Причина в том, что обычные тормоза недостаточно мощны, чтобы остановить их на ограниченном расстоянии. Эти автомобили едут так быстро, что их импульс слишком велик, чтобы хватило обычных тормозов.

Оценка

Оценка перед уроком

Голосование: Попросите студентов проголосовать по следующему вопросу.

  • Что имеет больше импульса, катящийся шар для боулинга или пинг-понга, движущийся с такой же скоростью? (Ответ: Шар для боулинга, потому что он имеет большую массу.)

Мозговой штурм: В небольших группах предложите учащимся участвовать в открытом обсуждении. Напомните студентам, что никакая идея или предложение не являются «глупыми». Все идеи следует уважительно выслушивать. Спросите у студентов:

  • Какие факторы определяют, какой импульс имеет объект? (Ответ: масса и скорость. Такие ответы, как размер и плотность, или если объект уронили, являются приемлемыми ответами, потому что они могут влиять как на массу, так и на скорость.)

Оценка после введения

Вопрос для обсуждения: Задайте ученикам и обсудите в классе:

  • Как может мяч для пинг-понга иметь достаточно инерции, чтобы остановить движущийся шар для боулинга? (Ответ: Если бы мяч для пинг-понга двигался очень, очень быстро.)

Итоги урока Оценка

One and Done: Попросите учеников подумать о виде спорта, который включает в себя столкновение и передачу импульса, и поднимите руки (или покажите большой палец вверх), когда у них будет пример. (Возможные ответы: бейсбол, пул, боулинг, футбол [например, филд-гол или плоскодонка и т. Д.]). Попросите учеников наугад сообщить свой ответ (вид спорта и описание столкновения). Студенты опускают руки после того, как они ответили.Повторные ответы не допускаются.

Вычисления: Попросите учащихся выполнить следующие вычисления, чтобы проверить свои новые знания об импульсе:

  • Давайте вычислим импульс мяча для гольфа в приведенном выше примере. Если мяч для гольфа имеет массу 0,05 кг и скорость 15 м / с, то каков его импульс? (Ответ: импульс = 0,05 кг * 15 м / с = 0,75 кг · м / с)
  • Что, если бы мы теперь вместо этого роняли камень? Какова масса породы при импульсе 220 кг м / с и скорости 20 м / с? (Ответ: m = импульс / скорость = 220/20 = 11 кг)

Toss-a-Question: Попросите учащихся самостоятельно придумать ответ на каждый из приведенных ниже вопросов и написать его на половине листа бумаги.Попросите учащихся сложить и бросить лист другому члену команды, который затем добавит свою идею. После того, как все студенты записали идеи, попросите их бросить бумажный пакет другой команде, которая зачитает ответы классу вслух. Обсудите ответы с классом.

  • Как эластичность и неэластичность мячей влияют на спорт?
  • Почему бейсбольные мячи не сделаны из сверхэластичной резины? (Ответ: Если бы бейсбольные мячи были сделаны из резины и были сверхэластичными, каждый мог бы легко сделать хоумран.)
  • Почему шары для пула не сделаны из глины? (Ответ: Если бы шары для пула были сделаны из глины, было бы почти невозможно перемещать шары по столу.)

Изменение импульса и импульс

Как упоминалось в предыдущей части этого урока, импульс — это широко используемый термин в спорте. Когда спортивный комментатор говорит, что у команды есть импульс, он имеет в виду, что команда действительно в движении и будет трудно остановить . Термин , импульс — это физическая концепция.Любой объект с инерцией будет трудно остановить. Чтобы остановить такой объект, необходимо приложить силу против его движения в течение заданного периода времени. Чем больше инерции у объекта, тем труднее его остановить. Таким образом, для остановки такого объекта потребовалось бы большее количество силы или больше времени, или и то, и другое. Поскольку сила действует на объект в течение заданного времени, скорость объекта изменяется; и, следовательно, импульс объекта изменяется.

Понятия, изложенные в предыдущем абзаце, не должны казаться вам абстрактной информацией. Вы наблюдали это несколько раз, если смотрели футбол. В футболе защитники применяют силу в течение заданного времени, чтобы остановить импульс атакующего игрока, владеющего мячом. Вы также неоднократно сталкивались с этим во время вождения. Когда вы останавливаете свой автомобиль при приближении к знаку остановки или светофору, тормоза служат для приложения силы к автомобилю в течение заданного времени, чтобы изменить инерцию автомобиля.Объект с импульсом может быть остановлен, если к нему приложить силу против в течение заданного промежутка времени .

Сила, действующая в течение заданного времени, изменит импульс объекта. Другими словами, неуравновешенная сила всегда ускоряет объект — либо ускоряя, либо замедляя его. Если сила действует противоположно движению объекта, она замедляет его. Если сила действует в том же направлении, что и движение объекта, то сила ускоряет объект.В любом случае сила изменит скорость объекта. И если скорость объекта изменяется, то изменяется и импульс объекта.

Импульс

Эти концепции являются просто результатом второго закона Ньютона, который обсуждался в предыдущем разделе. Второй закон Ньютона (F net = m • a) гласил, что ускорение объекта прямо пропорционально чистой силе, действующей на объект, и обратно пропорционально массе объекта.В сочетании с определением ускорения (a = изменение скорости / времени) получаются следующие равенства.

F = m • a

или

F = m • ∆v / t


Если обе части приведенного выше уравнения умножить на величину t, получится новое уравнение.

F • t = m • ∆v

Это уравнение представляет собой один из двух основных принципов, используемых при анализе столкновений во время этого блока.Чтобы по-настоящему понять уравнение, важно понять его значение словами. Другими словами, можно сказать, что сила, умноженная на время, равна массе, умноженной на изменение скорости. В физике величина Сила • время известна как импульс . И поскольку величина m • v является импульсом, величина m • Δv должна быть изменением импульса . Уравнение действительно говорит, что

Импульс = Изменение импульса Одной из основных задач данного модуля является понимание физики столкновений.Физика столкновений подчиняется законам количества движения; и первый закон, который мы обсуждаем в этом блоке, выражается в приведенном выше уравнении. Уравнение известно как уравнение изменения импульса-импульса . Закон можно выразить так:
При столкновении на объект действует сила в течение определенного времени, что приводит к изменению количества движения. Результатом действия силы в течение заданного времени является то, что масса объекта либо ускоряется, либо замедляется (или меняет направление).Импульс, испытываемый объектом, равен изменению количества движения объекта. В форме уравнения: F • t = m • Δ v.

При столкновении предметы испытывают импульс; импульс вызывает и равен изменению количества движения. Представьте, что футбольный полузащитник бежит по футбольному полю и сталкивается с защитником. Столкновение изменило бы скорость полузащитника и, следовательно, его импульс. Если бы движение было представлено графиком тикерной ленты, оно могло бы выглядеть следующим образом:

Примерно в десятой точке диаграммы происходит столкновение, которое длится определенное время; Что касается точек, то столкновение длится примерно девять точек времени.При столкновении полузащитника с защитником на спине полузащитник испытывает силу, действующую в течение определенного времени, чтобы изменить его импульс. Поскольку столкновение приводит к замедлению движущегося вправо полузащитника, сила, действующая на полузащитника, должна быть направлена ​​влево. Если полузащитник испытал силу 800 Н в течение 0,9 секунды, то можно было бы сказать, что импульс был 720 Н • с. Этот импульс вызовет изменение количества движения на 720 кг • м / с. При столкновении импульс, испытываемый объектом, всегда равен изменению количества движения.

Представляет Отскок Столкновение

Теперь рассмотрим столкновение теннисного мяча со стеной. В зависимости от физических свойств мяча и стены скорость, с которой мяч отскакивает от стены при столкновении с ней, будет варьироваться. На диаграммах ниже показано изменение скорости одного и того же шара. Для каждого представления (векторная диаграмма, график скорости-времени и шаблон бегущей ленты) укажите, в каком случае (A или B) наблюдается наибольшее изменение скорости, наибольшее ускорение, наибольшее изменение импульса и наибольший импульс.Поддержите каждый ответ. Нажмите кнопку, чтобы проверить свой ответ.

Векторная диаграмма
Наибольшее изменение скорости?
Наибольшее ускорение?
Наибольшее изменение импульса?
Величайший импульс?


График скорости-времени
Наибольшее изменение скорости?
Наибольшее ускорение?
Наибольшее изменение импульса?
Величайший импульс?


Схема тикерной ленты
Наибольшее изменение скорости?
Наибольшее ускорение?
Наибольшее изменение импульса?


Обратите внимание, что каждое из вышеперечисленных столкновений связано с отскоком мяча от стены.Заметьте, что чем больше эффект отскока , тем больше ускорение, изменение импульса и импульс. Отскок — это особый тип столкновения, включающий изменение направления в дополнение к изменению скорости. Результатом изменения направления является большое изменение скорости. Иногда при столкновении с отскоком объект будет поддерживать ту же или почти такую ​​же скорость, что и до столкновения. Столкновения, при которых объекты отскакивают с той же скоростью (и, следовательно, с тем же импульсом и кинетической энергией), что и до столкновения, известны как упругих столкновений .Как правило, упругие столкновения характеризуются большим изменением скорости, большим изменением импульса, большим импульсом и большой силой.


Используйте принцип изменения импульса-импульса, чтобы заполнить пробелы в следующих строках таблицы. При этом помните об этих трех основных истинах:

  • Импульс, испытываемый объектом, — это сила • время.
  • Изменение количества движения объекта — это изменение массы • скорости.
  • Импульс равен изменению импульса.

Нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

Усилие
(Н)

Время
(с)

Импульс
(Н * с)

Мам.Смена
(кг * м / с)

Масса
(кг)

Вел. Смена
(м / с)

1. 0,010 10 -4
2. 0,100 -40 10
3. 0,010 -200 50
4. -20 000 -200 -8
5. -200 1.0 50


В приведенной выше таблице можно сделать несколько наблюдений, которые относятся к вычислительной природе теоремы об изменении импульса-импульса.Во-первых, обратите внимание, что ответы в приведенной выше таблице показывают, что третий и четвертый столбцы всегда равны; то есть импульс всегда равен изменению импульса. Также обратите внимание, что если известны любые два из первых трех столбцов, то можно вычислить оставшийся столбец. Это верно, потому что импульс = сила • время. Зная две из этих трех величин, мы можем вычислить третью величину. И, наконец, обратите внимание, что знание любых двух из последних трех столбцов позволяет нам вычислить оставшийся столбец.Это верно, поскольку изменение количества движения = масса • изменение скорости.

Можно также сделать несколько наблюдений, относящихся к качественной природе теоремы об изменении импульса-импульса. Анализ строк 1 и 2 показывает, что сила и время обратно пропорциональны; при том же изменении массы и скорости десятикратное увеличение времени удара соответствует десятикратному уменьшению силы удара. Изучение строк 1 и 3 показывает, что масса и сила прямо пропорциональны; при том же изменении времени и скорости пятикратное увеличение массы соответствует пятикратному увеличению силы, необходимой для остановки этой массы.Наконец, анализ строк 3 и 4 показывает, что изменение массы и скорости обратно пропорционально; при той же силе и времени двукратное уменьшение массы соответствует двукратному увеличению изменения скорости.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom.Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего Egg Drop Interactive. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Egg Drop Interactive погружает учащегося в действие Virtual Egg Drop, чтобы исследовать влияние высоты падения, массы яйца и посадочной поверхности на исход яйца.


Проверьте свое понимание

Выразите свое понимание теоремы об изменении импульса-импульса, ответив на следующие вопросы.Нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

1. Тележка 0,50 кг (# 1) тянется с усилием 1,0 Н в течение 1 секунды; другая тележка весом 0,50 кг (№2) тянется с усилием 2,0 Н в течение 0,50 секунды. Какая тележка (№1 или №2) имеет наибольшее ускорение? Объяснять.

Какая тележка (№1 или №2) имеет наибольший импульс? Объяснять.

Какая тележка (№1 или №2) имеет наибольшее изменение импульса? Объяснять.

2. На демонстрации физики два одинаковых шара (A и B) перемещаются по комнате по горизонтальным направляющим тросам. Диаграммы движения (отображающие относительное положение воздушных шаров с интервалами времени 0,05 секунды) для этих двух шаров показаны ниже.


Какой воздушный шар (A или B) имеет наибольшее ускорение? Объяснять.

Какой воздушный шар (A или B) имеет наибольшую конечную скорость? Объяснять.

Какой воздушный шар (A или B) имеет наибольшее изменение импульса? Объяснять.



Какой воздушный шар (A или B) испытывает наибольший импульс? Объяснять.

3.Две машины равной массы едут по Лейк-авеню с равной скоростью. Оба они останавливаются в разное время. Образцы тикерных лент для каждой машины показаны на схеме ниже.


В каком приблизительном месте на диаграмме (в точках) каждая машина начинает испытывать импульс?

Какой автомобиль (A или B) испытывает наибольшее ускорение? Объяснять.

Какой автомобиль (A или B) испытывает наибольшее изменение оборотов? Объяснять.

Какой автомобиль (A или B) испытывает наибольший импульс? Объяснять.

4.На диаграмме справа показаны скорости автомобиля до и после столкновения со стеной. В случае А автомобиль отскакивает от стены. В случае B машина мнется и прилепляет к стене.

а. В каком случае (A или B) изменение скорости наибольшее? Объяснять.

г. В каком случае (A или B) изменение импульса наибольшее? Объяснять.



г. В каком случае (А или В) импульс наибольший? Объяснять.

г. В каком случае (A или B) сила, действующая на автомобиль, является наибольшей (предположим, что время контакта одинаково в обоих случаях)? Объяснять.

5.Дженнифер, имеющая массу 50,0 кг, едет со скоростью 35,0 м / с на своей красной спортивной машине, когда ей приходится резко нажать на тормоз, чтобы не сбить оленя, переходящего дорогу. Она ударяет по подушке безопасности, и ее тело останавливается за 0,500 с. Какое среднее усилие на нее оказывает ремень безопасности?


Если бы у Дженнифер было , а не была пристегнута ремнем безопасности и не имела подушки безопасности, то лобовое стекло остановило бы ее голову в 0.002 с. Какую среднюю силу приложило бы к ней лобовое стекло?



6. Хоккеист прикладывает среднее усилие 80,0 Н к хоккейной шайбе массой 0,25 кг в течение 0,10 секунды. Определите импульс, испытываемый хоккейной шайбой.

7. Если на объект весом 5 кг действует сила 10 Н в течение 0.10 секунд, тогда каково изменение импульса объекта?

Наука о поверхности: где баскетбол лучше всего отскакивает?

Принесите науку домой

Физическая задача от приятелей науки

Реклама

Ключевые концепции
Энергия
Гравитация
Физика
Спортивные

Введение
Игра в баскетбол может быть тяжелой работой.Игроки должны не только бегать по площадке, но и просто вести баскетбольный мяч — это тоже требует серьезных усилий. Вы когда-нибудь задумывались, почему это так? Проблема связана с тем, как баскетбол отскакивает. Когда мяч ударяется о площадку, его отскок фактически теряет импульс, передавая часть своей энергии в другую форму. Это означает, что для того, чтобы мяч подпрыгивал на одной и той же высоте, игроки должны постоянно вкладывать энергию в мяч при каждом отскоке. В этом упражнении вы исследуете, насколько высоко баскетбольный мяч отскакивает от разных поверхностей по сравнению с высотой, с которой он был сброшен.Какая поверхность позволяет баскетбольному мячу отскакивать выше всего? Возьмите баскетбольный мяч и попробуйте это занятие, чтобы узнать!

Фон
Игра в баскетбол может быть отличным упражнением, и одна из частей тренировки — это просто ведение мяча. Почему это? Когда баскетбольный мяч ударяется о землю (и когда он летит по воздуху), он фактически преобразует часть своей энергии в другую форму. Если игроки не вернут в мяч достаточно энергии, они не смогут эффективно вести мяч.

Когда баскетбольный мяч отскакивает, он имеет два разных типа энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия — это энергия, которую объект получает из-за своего движения. Потенциальная энергия — это то, что хранится в объекте — его потенциал движения — например, из-за его высоты над землей. Например, когда вы держите баскетбольный мяч на уровне талии, он обладает некоторой потенциальной энергией. Если вы уроните баскетбольный мяч, сила тяжести тянет его вниз, и когда мяч падает, его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую.Когда баскетбольный мяч ударяется о пол, часть кинетической энергии преобразуется в звук или тепло, часть ее на короткое время меняет форму мяча (слегка сглаживая его), а часть поглощается поверхностью пола.

Материалы

  • По крайней мере, две разные поверхности, по которым баскетбольный мяч будет отскакивать, по крайней мере, с одной твердой поверхностью и одной мягкой поверхностью (например, вы можете использовать ковер, бетон, траву, линолеум и баскетбольную площадку. Поверхность должна быть плоской, а затем к стене или другой большой перпендикулярной поверхности.)
  • Рулетка или мерка
  • Малярный скотч или малярный скотч
  • Баскетбол
  • Помощник
  • Видеокамера и доступ к компьютеру или большому экрану для просмотра записанного видео (необязательно)

Препарат
  • Подготовьте стены или другие вертикальные поверхности рядом с типами пола, которые вы хотите протестировать, чтобы вы могли оценить высоту отскока баскетбольного мяча. Для этого используйте рулетку или мерку вместе с малярной или малярной лентой, чтобы отметить каждые восемь дюймов, начиная с того места, где стена встречается с полом и до 40 дюймов в высоту на стене.У вас должно получиться по пять отметок ленты на каждой стене.
  • Если вы используете видеокамеру, попросите добровольца настроить ее так, чтобы все отмеченные размеры стен и пола были видны. Когда вы будете готовы испытать баскетбольный мяч на поверхности, попросите добровольца включить видеокамеру.
  • Если вы не пользуетесь видеокамерой, попросите добровольца подготовиться посмотреть, как вы роняете баскетбольный мяч, чтобы примерно оценить, насколько высоко он подпрыгивает после первого удара о землю.

Процедура
  • Держите баскетбольный мяч так, чтобы его нижняя часть совпала с верхним краем самой высокой отметки ленты, которую вы сделали.
  • Брось мяч. (Не давите на нее.)
  • Позвольте баскетбольному мячу отскочить вверх, а затем второй раз удариться о землю, прежде чем поймать его руками (затем прекратите запись, если вы это делали). Насколько высоко, по словам вашего добровольца, баскетбольный мяч отскочил после первого удара об землю ?
  • Повторите это, бросив баскетбольный мяч на ту же поверхность еще несколько раз, чтобы получить хорошее представление о том, насколько высоко он подпрыгивает при падении с определенной высоты.
  • Повторите весь этот процесс с другими поверхностями, которые вы хотите протестировать. Насколько высоко баскетбольный мяч отскакивает от другой поверхности по сравнению с первой, которую вы тестировали? Как вы думаете, почему это так?
  • Совет: Если вы тестируете поверхность, которая имеет совершенно другую температуру (например, бетон на улице в холодный день), вам нужно будет провести тестирование быстро, чтобы мяч не слишком сильно менял температуру. Изменение температуры мяча также может повлиять на его отскок.
  • Если вы снимали на видео отскоки баскетбольного мяча, посмотрите видео, чтобы попытаться более точно оценить высоту отскока баскетбольного мяча от различных поверхностей.
  • Дополнительно: Попытайтесь количественно оценить ваши результаты от этой деятельности. Для этого вам нужно будет записать на видео свои попытки отскока и внимательно посмотреть видео на большом экране, чтобы определить точную высоту баскетбольного мяча до его падения и самую высокую точку его первого отскока. Вы даже можете построить график своих результатов. Насколько точно баскетбольный мяч отскакивает от разных поверхностей?
  • Extra: Баскетбольный мяч теряет кинетическую энергию, передавая ее в другие формы при отскоке мяча. Но сколько отскоков может сделать баскетбольный мяч, прежде чем он потеряет всю свою кинетическую энергию и перестанет подпрыгивать? И как это изменится, если вы измените некоторые факторы, такие как тип поверхности, по которой мяч отскакивает, или высота падения? Проведите эксперимент, чтобы выяснить, сколько прыжков может сделать баскетбольный мяч и как различные факторы влияют на это количество, а затем попробуйте его!


Наблюдения и результаты
Баскетбольный мяч отскакивал на более твердом покрытии намного выше, чем на более мягком?

Одним из факторов, который может повлиять на столкновение баскетбольного мяча с землей, является тип поверхности, с которой мяч сталкивается.Когда баскетбольный мяч отскакивает от поверхности, часть его энергии поглощается этой поверхностью. Некоторые поверхности поглощают больше энергии, чем другие. (Количество поглощенной энергии определяет, сколько энергии игрок должен вложить обратно в мяч, чтобы он продолжал подпрыгивать.) Твердая поверхность, такая как бетон, поглощает меньше энергии по сравнению с мягкой поверхностью, такой как ковровое покрытие. Чем больше энергии поглощается поверхностью, тем меньше остается у мяча, чтобы он отскочил. Вот почему вы должны были видеть, что, когда вы отскакивали от баскетбольного мяча по относительно твердой поверхности, он отскакивал выше (он терял меньше энергии) по сравнению с тем, когда он отскакивал от более мягкой поверхности (где он терял больше энергии).Например, в зависимости от типа баскетбольного мяча и поверхности, вы могли видеть, как мяч отскакивал примерно 15 дюймов от ковра и примерно 25 дюймов от бетона.

Больше для изучения
Физика ведения баскетбольного мяча, из физики
Упругие и неупругие столкновения, из HyperPhysics, Государственный университет Джорджии
Развлечения, научные занятия для вас и вашей семьи, из Science Buddies
Прыгающие баскетбольные мячи: сколько энергии дает дриблинг Взять ?, из Science Buddies

Это мероприятие предоставлено вам в сотрудничестве с Science Buddies

ОБ АВТОРЕ (-АХ)

Последние статьи от Science Buddies

Информационный бюллетень

Станьте умнее.Подпишитесь на нашу новостную е-мэйл рассылку.

Поддержите научную журналистику

Откройте для себя науку, меняющую мир. Изучите наш цифровой архив 1845 года, в который входят статьи более 150 лауреатов Нобелевской премии.

Подпишитесь сейчас!

Impulse: определение, уравнение, расчет и примеры — видео и стенограмма урока

Примеры Impulse

Давайте рассмотрим несколько примеров.

В этом первом примере мы рассмотрим импульс для объекта, который сталкивается со стеной и останавливается после столкновения.Если объект весом 2,0 кг движется со скоростью 10 м / с до удара о стену, то можно рассчитать импульс.

Δ p = pf — pi

Δ p = mvf — mvi

Δ p = (2,0 кг) (0 м / с) — (2,0 кг) (10 м / с) = -20 кг м / с

Во втором примере мы рассмотрим импульс для объекта, который сталкивается со стеной и отскакивает после столкновения. Если объект весом 2,0 кг движется со скоростью 10 м / с до удара о стену и со скоростью -10 м / с после столкновения (отрицательной, потому что он отскакивает в обратном направлении), то импульс можно рассчитать как следует:

Δ p = pf — pi

Δ p = mvf — mvi

Δ p = (2.0 кг) (- 10 м / с) — (2,0 кг) (10 м / с) = -20 кг м / с — 20 кг м / с = -40 кг м / с

В следующем примере мы рассчитаем импульс другим способом. Какой импульс вызывает средняя сила в 10 Ньютонов, если она действует на мяч в течение 2,0 секунд? Здесь импульс можно рассчитать как:

Применение импульса

Теперь, когда мы можем вычислить импульс, мы можем взглянуть на некоторые интересные примеры импульса в повседневной жизни.Наиболее ярким примером является автомобильная система подушек безопасности. Подушки безопасности установлены в автомобилях, чтобы уменьшить повреждение водителя или пассажира при столкновении.

Если импульс — это сила, умноженная на время, то сила — это импульс, разделенный на время. Подушка безопасности увеличивает время, необходимое для остановки движения пассажира или водителя. Если это время увеличить, то сила удара уменьшается. Если время удара короткое, сила удара возрастает и может нанести серьезный ущерб находящимся в автомобиле.

Мягкий пол в спортзале — еще одно применение концепции импульса. Чтобы уменьшить силу удара при приземлении на пол, набивка увеличивает время контакта человека с полом. Так же, как и с подушками безопасности, когда время контакта увеличивается, сила удара уменьшается.

Вот пример, который вы можете сделать дома. Вы и ваши друзья хотите поэкспериментировать с импульсами и яйцами. Если вы уроните яйца на твердую поверхность, вы все знаете, что яйцо разобьется.Время удара между полом и яйцом короткое, а это означает, что сила (которая представляет собой импульс, разделенный на время) становится достаточно большой, чтобы яйцо раскололо. Если у вас есть четверо ваших друзей, которые держат простыню на несколько дюймов над полом и снова бросают яйцо, яйцо не разобьется. Почему? Простыня увеличила время столкновения и, как следствие, уменьшила силу удара.

Impulse всегда присутствует и в спорте. В теннисе, когда мяч ударяется взад и вперед, между мячом и теннисной ракеткой возникает импульс.В футболе, когда по мячу бьют кулаком, импульс может помочь определить силу удара, если мы знаем время контакта между ногой и мячом. В теннисе, бейсболе и гольфе (среди других видов спорта) чем быстрее вы замахиваетесь мячом, тем сильнее вы даете мячу импульс. Затем мяч уходит быстрее или дальше.

Краткое содержание урока

Импульс и импульс являются взаимосвязанными величинами. Импульс — это мера силы объекта, а также того, насколько сложно изменить движение объекта.начальный

Чем больше время столкновения или удара, тем меньше сила. Между тем, короткое время столкновения или удара вызывает большую силу удара при столкновении.

Автомобильные подушки безопасности и мягкие спортивные залы являются примерами использования концепции импульса для уменьшения силы удара. Высокая скорость головки ракетки увеличивает силу, действующую на теннисный мяч. начальный

Импульс используется, чтобы помочь подушкам безопасности в автомобилях, чтобы уменьшить повреждение водителя во время столкновения.

Результаты обучения

Узнав об импульсе на этом уроке, вы сможете

  • Определить импульс.
  • Объясните взаимосвязь между импульсом и импульсом.
  • Вспомните формулы для импульса и импульса и вычислите импульс.
  • Обсудите несколько реальных применений импульса.

Введение в игровую математику: прыгающий мяч: блоги Appstore

Спросите любого непрограммиста, что нужно для написания компьютерного кода, и предварительный ответ может быть примерно таким: «Вы должны хорошо разбираться в математике?»

Как разработчики, конечно, мы знаем, что это неправда, но это распространенное заблуждение, которое работает в нашу пользу.В опросе, проведенном для Change the Equation, 30 процентов американцев говорят, что они лучше уберут ванную, чем решат математическую задачу. Пока это правда, наша репутация милых математических гениев в безопасности.

Я разговариваю с множеством разработчиков, которым просто не терпится попробовать свои силы в играх, и часто возникает вопрос математики. Плохая новость заключается в том, что разработка игр обычно включает математику (по крайней мере, в большей степени, чем некоторые другие виды программирования). Хорошая новость в том, что игровая математика на самом деле не так уж и сложна (в основном.Некоторые из них очень и очень сложно). Распространение фреймворков, таких как Unity, в целом успокаивает математическую тревогу среди начинающих программистов, но правда в том, что понимание математики, лежащей в основе этих фреймворков, делает игры лучше.

Итак, с чего мы начнем наши поиски математической грамотности в стремлении к созданию превосходных игр? Давай прыгнем мячом! Это хороший пример, потому что простое перемещение чего-либо по экрану может быть поучительным, но это также проблема удивительной глубины.Выполняя это простое упражнение, нам предстоит изучить множество интересных отверстий и касательных.

Начнем с основ. У нас на экране кружок. Мы хотим, чтобы он двигался по прямой с постоянной скоростью. Мы хотим, чтобы края экрана действовали как «стены», отражая движение круга.

Чтобы все это произошло, нам нужно отслеживать несколько вещей. Круг (наш низкотехнологичный шар) имеет положение и скорость. Экран имеет ширину и высоту.Мы пока будем игнорировать такие сложности, как трение, эластичность и диаметр шара (но оставляем за собой право добавить их позже, если мы будем амбициозны).

Для простоты мы рассматриваем нижний левый угол экрана как начало (0, 0) нашей системы координат, где x увеличивается вправо, а y увеличивается по мере продвижения к верхней части экрана. Это расположение, обычно используемое в математике и принятое во многих популярных средах разработки игр, поэтому кажется естественным.

Теперь мы можем представить положение шара с помощью пары координат (x, y). Точно так же мы представляем скорость мяча парой дельт, v x и v y , которые добавляются к x и y (соответственно) каждый раз, когда мы обновляем экран. Технически дельты v x и v y описывают вектор, но мы часто записываем их как точки, например (v x , v y ), потому что точки и векторы так тесно связаны, и часто манипулируют вместе.

Векторы — это величины с направлением и величиной. Мы рисуем их в виде стрелок, чтобы передать обе эти характеристики одновременно, поскольку стрелка (очевидно) имеет направление, а ее длина может указывать величину. Мы обозначаем их жирным шрифтом или маленькой стрелкой, как на схеме выше.

Векторы не имеют собственного местоположения, но их можно использовать для изменения местоположения объектов, которые имеют его, например, нашего мяча. Мы можем складывать и вычитать векторы для создания новых векторов и комбинировать их с точками, чтобы перемещать эти точки.Они также полезны для определения углов и расстояний и имеют решающее значение для 96,57% графики компьютерных игр (приблизительно). Иногда показаны голые векторы, начинающиеся с начала координат.

Как вы можете видеть выше, сложение векторов приводит к их расположению «голова к хвосту». Добавление единицы к точке перемещает точку в направлении вектора на расстояние, равное длине вектора. Вы также можете умножить вектор на скаляр, который, как следует из названия, является просто коэффициентом масштабирования.Чтобы умножить v на скаляр 6/5, умножьте каждый компонент на скалярное значение, чтобы получить (6/5 v x , 6/5 v y ). Вычитание вектора аналогично изменению его направления со скаляром -1 с последующим сложением.

Вооруженные ничем иным, как точками и векторами, мы можем начать думать о том, как наш мяч на самом деле будет отскакивать от экрана. Учитывая начальное положение (x, y) и скорость (v x , v y ), мы всегда можем выяснить, где он окажется после следующего обновления.


Конечно, новая позиция может быть за пределами экрана, и именно здесь происходит отскок. Например, если y новый находится за пределами поля, мы перемещаем мяч на расстояние, равное тому, на сколько он вышел за границу. , но в обратном направлении. То есть, если новая позиция будет на n пикселей по вертикали от экрана, мы вычтем 2n из нового компонента y, чтобы переместить мяч обратно на экран на ту же величину. Мы также меняем знак вертикальной скорости, чтобы с этого момента мяч двигался в противоположном вертикальном направлении, от стены, в которую он только что «попал».”

В следующий раз, когда мячу потребуется обновить, мы снова добавим его текущее положение и скорость — сейчас (v x , −v y ), поскольку последний отскок изменил его вертикальное направление движения. На этот раз, возможно, xnew выйдет за границы, пропустив m пикселей за край экрана. Мы компенсируем так же, как и для вертикальной составляющей: мы корректируем горизонтальное положение на -2 м и меняем знак горизонтальной скорости.

Поскольку все границы в этом упрощенном сценарии идеально горизонтальны или идеально вертикальны, эти простые вычисления отскока довольно легко реализовать в коде.Например:

  // Базовый прыгающий мяч
public class Ball {
   частный int x, y;
   частный int vx, vy;

   public Ball (int x, int y, int vx, int vy) {
      this.x = x;
      this.y = y;
      this.vx = vx;
      this.vy = vy;
   }

   // Вызывается каждый кадр с текущей шириной и высотой экрана.
   public void move (int width, int height) {
      // Добавляем скорость к положению.
      х + = vx;
      у + = vy;

      // При необходимости оттолкнитесь от вертикальных стен.if (0> x || x> = ширина) {
         // Переворачиваем горизонтальную скорость.
         vx = -vx;

         // Если x отрицательно (мяч находится вне экрана слева),
         // тогда достаточно просто перевернуть его знак, чтобы переместить его туда, где
         // мы хотим, чтобы это было. В противном случае (мяч улетает за пределы экрана, чтобы
         // справа), нам нужно взять лишнюю ширину x и вычесть
         // это от ширины экрана, что дает x = width - (x - width) =
         // ширина - x + ширина = 2 * ширина - x.В любом случае мы отрицаем x. В
         // первый случай, мы закончили; во втором нам просто нужно
         // добавляем 2 * ширины.
         х = -х;
         if (0> x) // если теперь отрицательное, то должен быть 2-й случай
            х + = ширина << 1;
      }

      // При необходимости оттолкнитесь от горизонтальных стен.
      if (0> y || y> = height) {
         // Следуйте той же логике, что и выше.
         vy = -vy;
         y = -y;
         если (0> у)
            у + = высота << 1;
      }
   }
}
  

Обратите внимание, что в большинстве случаев мы, вероятно, не увидим самого отскока.Это связано с тем, что между кадрами будет казаться, что мяч перескочил из своего исходного положения в свое окончательное «отскоченное» положение. (Мы увидим, что он действительно касается стены только в том случае, если добавление его скорости и положения помещает его в прямой контакт с границей.) Однако оказывается, что это не проблема, потому что наш мозг может «заполнить» недостающее действие . Он объединяет старое и новое местоположение, а также то, что ему известно о предыдущей скорости и траектории мяча, чтобы сделать вывод о том, что произошел отскок, даже если мы на самом деле этого не наблюдали.

Но здесь есть морщинка, которую мы не рассмотрели. Что происходит, когда скорость мяча настолько велика, что он ударяется о несколько стен за одно обновление? Это не так патологично, как кажется - просто представьте, как быстро мяч летит в угол или ограничен каким-то контейнером на экране.

Мы должны немного скорректировать наш код, чтобы учесть все возможные отказы; мы должны обрабатывать положение мяча до тех пор, пока результат не станет допустимым местоположением на экране (см. выделенный цикл ниже).Опять же, сами отскоки не обязательно будут видны, поскольку мяч просто перемещается из исходного положения в конечное.

  public void move (int width, int height) {
   // Добавляем скорость к положению.
   х + = vx;
   у + = vy;

   while (0> x || x> = ширина || y> 0 || y> = высота) {

      // Тот же код вертикального отскока, что и раньше.
      if (0> x || x> = ширина) {
         vx = -vx;
         х = -х;
         если (0> x)
            х + = ширина << 1;
      }

      // Аналогично для кода горизонтального отскока.if (0> y || y> = height) {
         vy = -vy;
         y = -y;
         если (0> у)
            у + = высота << 1;
      }
   }
}

  

Теперь, когда у нас есть базовое понимание того, что такое вектор (направление и величина), как мы представляем его (как точку, координаты x и y которой измеряют дельту вдоль соответствующей оси) и почему они полезны в играх. (они могут моделировать скорость и движение), мы можем изучить общие способы управления ими для достижения интересных эффектов.Мы уже видели, как мы можем использовать векторы для отражения движения - по крайней мере, пока отражающая поверхность находится прямо вверх и вниз или идеально ровная, - но что, если мы хотим отразить наш мяч на наклонной поверхности? Что, если мы не обязательно хотим двигаться по прямой? Что, если мы хотим, чтобы наша скорость менялась со временем?

Оказывается, векторы могут помочь во всех этих ситуациях, и это хорошо, потому что все они часто встречаются в типичной игре.