Масса пгс в 1 м3: Масса ПГС — Справочник массы

Содержание

Объемный вес(масса) бетона, песка, щебня и т. д.

Объемной массой называют отношение массы данного материала к занимаемому им объему в свободном естественном состоянии, т. е. с учетом разного рода пустот, пор и т. д.

Однако стоит учесть, что объемная масса — величина непостоянная. К примеру, у свежедобытого и слежавшегося песка одного типа она будет сильно отличаться, причиной тому — эффект уплотнения, когда песок слеживается и мельчайшие его частицы прилегают друг к другу плотнее, чем вначале.

Для того чтобы избежать путаницы, во всех справочниках приводят объемную массу материалов в воздушно-сухом состоянии.

Объемный масса строительных материалов 

Таблица соотношений объема и веса

В таблице приведено примерное соотношение веса и объема при погрузке материалов навалом (насыпная плотность). Так же иногда используют понятие объемный вес материалов. Данные верны только при погрузке/разгрузке без трамбовки или проливки (песка).

Наименование в 1 тонне в 1 м3
Песок речной 0,67 м3 1,5 т
Песок речной обогащенный 0,60 м3 1,66 т
Песок карьерный 0,71 м3
1,4 т
Песчано гравийная смесь, ПГС 0,60 м3 1,66 т
Глина сырая, вынутая экскаватором 0,67 м3 1,49 т
Чернозем сырой, вынутый экскаватором 0,70 м3 1,43 т
Снег лежалый 1,7 м3 0,6 т
Щебень 5 — 20 0,76 м3 1,32 т
Щебень 20 — 40 0,78 м3 1,29 т
Щебень 20 — 80 0,78 м3 1,28 т
Щебень 40 — 70 0,79 м3 1,27 т
Щебень 80 — 120 0,80 м3 1,25 т
Керамзит М-250 любой фракции 4 м3 0,25 т
Керамзит М-300 любой фракции 3,35 м3 0,3 т
Керамзит М-350 любой фракции 2,9 м3 0,35 т
Керамзит М-400 любой фракции 2,5 м3 0,4 т
Асфальтовая крошка 0,58 м3 1,7 т

Удельный вес песка колеблется от 2,54 до 2,65 в зависимости от того, какие минералы в нем преобладают.

Объемный вес песка зависит от ряда факторов:

гранулометрического и минералогического состава, степени уплотнения и влажности. В среднем он равен. 1550 кг/м3, но в отдельных случаях может быть и 1700 кг/м3.


Форма штабелей песка


Песок перевозят навалом, хранят его в конусообразных штабелях или штабелях, имеющих форму усеченного клина.

Объем песка в штабеле-конусе определяют по формуле:

где: D — диаметр основания штабеля; h — высота штабеля; π = 3,14.

Объем песка в штабеле, имеющем форму усеченного клина, подсчитывают по формуле:

где: h — высота штабеля; a и b — длина и ширина штабеля у основания; a1

и b1 — длина и ширина верхней площадки штабеля.

Штабеля обмеряют не раньше, чем через три дня после их отсыпки для того, чтобы дать песку осесть. Полученный объем уменьшают на 10% при влажности песка от 1 до 3% и на 15% при влажности от 3 до 10%. Объем штабелей, насыпанных зимой, уменьшают еще на 15%, учитывая наличие в них снега и льда.

Прочность вяжущих веществ определяют на образцах размером 7,01 X 7,01 X 7,01 см, приготовленных из нормального Вольского песка и вяжущего в соотношении 1:3. Согласно ГОСТ 6139 — 52 нормальным песком считается кварцевый песок крупностью 0,5 — 0,85 мм.

 

Сколько опгс в 1 кубе. Как рассчитать сколько кубов в тонне ПГС?

[REQ_ERR: OPERATION_TIMEDOUT] [KTrafficClient] Something is wrong. Enable debug mode to see the reason.

Что мы хотим узнать сегодня узнать? Нет проблем, можно узнать количество килограмм или количество тонн сразу, масса вес одного кубометра, вес одного куба, вес одного кубического метра, вес 1 м3 указаны в таблице 1.

Однако, количество литров, пригодное для бытовых расчетов, не всегда применимый способ определения объема для хозяйственной деятельности. Кроме того, литры в нашей стране так и не стали общепринятой «производственной» и торговой единицей измерения объема.

Доставка Щебня 24/7

Один кубический метр или в сокращенном варианте — один куб, оказался достаточно удобной и популярной для практического использования единицей объема. Практически все вещества, жидкости, материалы и даже газы мы привыкли измерять в кубометрах.

Сайт продаётся недорого, свяжитесь. Одним из трудных моментов в строительстве, является расчёт материалов.

Это действительно удобно. Ведь их стоимость, цены, расценки, нормы расхода, тарифы, договора на поставку почти всегда привязаны к кубическим метрам кубам , гораздо реже к литрам. Не менее важным для практической деятельности оказывается знание не только объема, но и веса массы вещества занимающего этот объем: в данном случае речь идет о том сколько весит 1 куб 1 кубометр, 1 метр кубический, 1 м3.

Чем мы можем быть полезны?

Знание массы и объема, дают нам довольно полное представление о количестве. Посетители сайта, спрашивая сколько весит 1 куб, часто указывают конкретные единицы массы, в которых им хотелось бы узнать ответ на вопрос.

Как мы заметили, чаще всего хотят узнать вес 1 куба 1 кубометра, 1 кубического метра, 1 м3 в килограммах кг или в тоннах тн. Это тесно связанные единицы определяющие количество.

Вес сыпучих стройматериалов (ОПГС, ПГС, Песок речной, Песок карьерный, Гравий, Щебень)

В принципе возможен довольно простой самостоятельный пересчет веса массы из тонн в килограммы и обратно: из килограммов в тонны. Однако, как показала практика, для большинства посетителей сайта более удобным вариантом было бы сразу узнать сколько килограмм весит 1 куб 1 м3 ОПГС или сколько тонн весит 1 куб 1 м3 ОПГС , без пересчета килограмм в тонны или обратно — количества тонн в килограммы на один метр кубический один кубометр, один куб, один м3.

Разные строители по-разному подходят к расчетам материалов, которые будут использоваться в работе. А вот человеку, в строительстве понимающем не все, это может принести некий дискомфорт. Для правильного перевода разных объемов друг в друга нужно знать показатель насыпной плотности материала.

Поэтому, в таблице 1 мы указали сколько весит 1 куб 1 кубометр, 1 метр кубический в килограммах кг и в тоннах тн. Выбирайте тот столбик таблицы, который вам нужен самостоятельно.

Кстати, когда мы спрашиваем сколько весит 1 куб 1 м3 , мы подразумеваем количество килограмм или количество тонн. Однако, с физической точки зрения нас интересует плотность или удельный вес. Масса единицы объема или количество вещества помещающегося в единице объема — это объемная плотность или удельный вес.

Бетон из ОПГС какие взять пропорции?

В данном случае объемная плотность и удельный вес ОПГС. Плотность ОПГС и удельная масса приводятся в таблице 1, как дополнительная информация. Количество тонн в 1 кубическом метре, количество килограмм в 1 кубометре, в 1 м3.

Объемная плотность, удельная масса. Днепропетровск, ул. Ворота и калитки. Лестницы и перила.

Насыпной плотностью обогащенного ПГС является отношение массы сыпучего строительного материала за вычетом массы емкости к занимаемому объему. Обогащенная ПГС, выпускаемая предприятием, должна быть принята по всем правилам отделом технического контроля предприятия. Партиями производят прием и поставку смеси.

Обмер строительной смеси производят в железнодорожных вагонах, автомобилях. Взвешивание смеси, которая отгружается в автомобилях либо в вагонах, производят на автомобильных либо железнодорожных весах.

Пересчет количества строительной смеси из единиц массы в количество смеси либо обратно производят по значения объемной насыпи массы смеси в условиях естественной влажности. Влажность транспортируемой ОПГС устанавливается соглашением сторон с учетом данных геологической разведки, условий ее добычи, времени года, опыта эксплуатации карьера.

Ежедневно производят определение зернового состава обогащенной ПГС, содержания глинистых и илистых, различных пылевидных частиц.

Сколько весит куб гпс. вес 1 м3 пгс

[REQ_ERR: OPERATION_TIMEDOUT] [KTrafficClient] Something is wrong. Enable debug mode to see the reason.

Прочесть отзывы или оставить свой отзыв, комментарий по теме: Сколько весит 1 куб ПГС, вес 1 м3. Количество тонн в 1 кубическом метре, количество килограмм в 1 кубометре, в 1 м3. Объемная плотность, удельная масса. Днепропетровск, ул. Ворота и калитки. Лестницы и перила. Козырьки и навесы. Люстры, бра, фонари. Кованая мебель. Каминные аксессуары. Решётки на окна.

Двери металлические. Кованые изделия.

Беседки и мостики. Доспехи и оружие. Сколько весит 1 куб ПГС, вес 1 м3, сколько килограмм в кубе, сколько тонн 1 кубическом метре, кг в 1 кубометре, тн в 1 м3.

Вес объема равного одному кубическому метру, одному кубометру, одному м3 выраженный в килограммах кг и в тоннах тн. Обратите внимание, что это не только количество килограмм в 1 кубическом метре или количество тонн в кубометре, но и объемная плотность или удельный вес. Количество килограмм в 1 кубическом метре, количество тонн в 1 кубометре, кг в 1 м3.

Объемная плотность ПГС и удельный вес. Сколько килограмм в кубе, тонн в 1 кубическом метре, кг в 1 кубометре, тн в 1 м3. Сколько весит 1 куб ПГС, вес 1 м3. Сколько килограмм в кубе, вес количество тонн 1 кубическом метре, сколько кг в 1 кубометре, масса количество тонн в 1 м3.

Объемная плотность и удельный вес — единицы измерения плотности и удельной массы граммы на см3. Главная Новости Металлоконструкции Галерея Контакты. Карла Либкнехта 57 Телефон по Украине: или Надеюсь и судя по обратной связи здесь, он выполняет поставленную перед ним задачу и несомненно приносит пользу. Пару месяцев назад, я поставил кнопки от социальных сетей, в надежде, что люди будут нажимать на них, говоря спасибо. Но к моему удивлению, счётчик нажатий не двигается с места!

Круглосуточная продажа песка, щебня, бетона с доставкой.

Помните сказку про мешочек с камушками? Делая доброе дело — клади камешек в мешочек. Я с Вас платы не взимаю никакой за пользование калькулятором, считайте сколько угодно и даже готов дорабатывать его по нуждам трудящихся. Дайте мне понять, что я делаю это не зря, нажмите на кнопки социалок ниже и дайте этому «мешочку» наполняться, удивите меня! Так вы сделаете приятно не только для меня сподвигнув на новые порции альтруизма , но и оставите себе закладочку, если захотите к нему вернуться снова или поделитесь с друзьями, которым он возможно тоже пригодится всё зависит от соц.

Как это не грустно смотреть, но сегодня, на 14 мая года, счётчик выглядит вот так:.

Администратор 27 июня в 0 Спасибо тем, кто двигает счётчик с места, так держать! Некто 24 января в 0 Рад бы помочь, но я не пользуюсь соц. В голосовании помог. Ренат 19 августа в 0 хороший калькулятор! Администратор 25 августа в 0 Спасибо за обратную связь и оценку! Приятно слышать, что калькулятор не теряет актуальности. Это действительно важно, что оставляете комментарии.

И как обычно, просьбы по доработке тоже будут учтены, если такие возникнут. Сергей 18 октября в 0 Спасибо. Администратор 24 ноября в 0 Уважаемые друзья, в правой части экрана наверху открыто голосование.

Классификация

Прошу принять в нём участие. Дело в том, что наш сайт в настоящее время больше привязан к нашему городу Н. Новгород , но я вижу, что нас посещают и из других городов и регионов.

Поэтому интересно знать, будет ли Вам удобен такой сервис, если Вы сможете не только воспользоваться калькулятором, но и после посмотреть объявления по своему городу, чтобы воспользоваться доставкой щебня или других сыпучих грузов. Ваш голос поможет понять актуальность сервиса. И дополнительно буду признателен, если Вы напишите под этим сообщением свой комментарий, из какого Вы города. Прошу, голосуйте, пишите! Спасибо, что посетили этот сайт и надеемся воспользуетесь ещё, ставьте нас в закладки, публикуйте и лайкайте в соц.

На связи. Саня 28 ноября в 0 Да, была бы неплохо. Анна 21 января в 0 Спасибо! Очень удобный калькулятор. Tolian55 26 мая в 0 Омск. Сам строюсь, калькулятор- незаменимый помощник.

Активно пользую калькулятор- всё устраивает.

Калькулятор щебня, песка, расчёт их объёма и массы

Сергей 7 июля в 0 Спасибо! Воспользовался вашим калькулятором,он оперативно помог мне сделать расчёт. Выбираем ПГС, вводим данные 7. Пишет заполнить поля,указала обьем 0. Посчитала вручную по таблице веса. В каком окошке продвигать счётчик наверно q. Администратор 18 августа в 0 Ольга, проверил, действительно Ошибка вот в чём, менее 1 калькулятор не считает, то есть 0. Чтобы воспользоваться автоматическим расчётом, предлагаю просто перевести объём в вёдра 10л и посчитать таким образом через калькулятор.

Азиз 5 сентября в 0 Спасибо! Очень удобно и понятно!!! Саня 52 22 сентября в 0 С весом пгс не согласен минимум кг в кубе получается. Администратор 8 октября в 0 Спасибо Саня за коммент. Можно подробнее? Указанная на этой странице таблица, опирается на общедоступные источники разных авторов строительных организаций.

Тем более, что ПГС тоже бывает «немного» разной по плотности. Предлагаю внести ясность в дискуссии, если есть поправки. Ара 21 ноября в 0 Спасибо Вам большое! Krik 23 января в 0 Спасибо, нужная вещь. Ольга 26 января в 0 Спасибо за калькулятор и таблицы. Закрепила вкладку. Пользуюсь постоянно. Удачи вам! С уважением, ПК «Бетоформ». Тамма 11 февраля в 0 Отлично! Игорь 23 апреля в 0 спасибо.

Олег27ру 16 мая в 0 В калькуляторе задано м3 в кг. А у меня задано: ,75 тонн груза, как перевести в Кубы? Администратор 17 мая в 0 Олег, Вам нужно выбрать нижнюю опцию. Предварительно тонны перевести в килограммы. Эдуард 17 мая в 0 Ко мне приехал уголь,самосвал его вывалил на землю. Вопрос:Как рассчитать,сколько тонн было привезено?

Что такое гравийно-песчаная строительная смесь?

Администратор 17 мая в 0 Эдуард, рассчитывать нужно было в кузове. При случае, напишу подробную статью с привлечением экспертного мнения. Хотя может здесь найдутся бывалые, кто даст советы в комментариях по особенностям национального заказа сыпучих грузов :. Александэр 5 июля в 0 Все привет!

Столкнулся вот с какой проблемой. Заказчик заказал: 1. Вопрос — в тоннах каждой фракции сколько нужно купить? Спасибо заранее! Дмитрий 20 июля в 0 очень удобно! Никр 2 августа в 0 Интересно. Борис 8 сентября в 0 по диаметрам 20 метр высота 45 сантиметра Вот скажите мне пожалуйста тут сколько есть. Михаил 28 сентября в 0 Спасибо за простоту и четкость расчета, завтра закажу 10 кг.

Цветана 10 октября в 0 Благодарю. Очень понадобился при расчете покрытия площадки для расчета сметы по демонтажу объекта. Василий 25 ноября в 0 Здравствуйте! А песчеано щебенчетую смесь С4 как посчитать? Администратор 18 апреля в 0 Друзья! У меня мини блиц-опрос! Кому не сложно, напишите, для каких целей Вы используете калькулятор.

Может строите забор, дорогу или на производстве? Очень интересно. Хотел сделать опрос, чтобы просто ткнуть можно было, но даже не знаю, а кто зачем.

А потом, посмотрю на Ваши ответы и с графиками что-нибудь красивое можно сделать. Спасибо, что посещаете страницу! Андрей 3 мая в 0 Песок и щебень нужны для отмостки.

Андрей 27 июля в 0 Надо было сделать — «ткнуть пальцем». По теме — справочно для СМР. Олег 3 мая в 0 Добавьте ещё котельный шлак. Виктория 2 июля в 0 Какой считается глина снятая со стены для перештукатуривания? Ирина 25 июля в 0 С калькулятором все понятно. А как узнать сколько тебе привезли на участок самом деле? Василий 29 июля в 0 Большое спасибо. Мне, как новичку, очень помогло!

Оставьте заявку

Наиля 3 сентября в 0 Спасибо, большое за помощь в расчете. Мне очень нужно было проверить подрядчика. Ирина 5 сентября в 0 Вы сделали нужное и хорошее дело,а сказать спасибо,увы мы не научили своих детей.

Денис 8 сентября в 0 Спасибо! Очень удобно! Татьяна 15 сентября в 0 Так и смогла посчитать, в выборке нет моего щебня фр. Дядя Вася 19 сентября в 0 Плотность разной глины учтена. Однако, в зависимости от марки — цемент тоже имеет различную плотность. Андрей Андреевич 26 мая в 0 Очень удобный инструмент. Спасибо Вам. Владимир 6 июля в 0 Мы продаем щебень шлаковый сталеплавильный не доменный. Он легкий. Продаем тоннами. Заказчик просит перевести в кубы.

Подсчет объёмов и веса строительных материалов осуществляется еще на этапе проектирования объекта. Щебень 5…20 мм при взведении железобетонных зданий и сооружений доставляют на площадку в больших объёмах, необходимо заранее определить его массу, чтобы правильно подобрать технику для перевозки и заказать нужное количество поставок.

Добавьте строчку в калькулятор. Администратор 23 августа в 0 Здравствуйте Владимир, добавим. Администратор 23 августа в 0 Александр, всё есть на этой странице выше. Или про что Вы? Екатерина 27 августа в 0 Здравствуйте! Тоннаж знаю. Подскажите, пожалуйста. Екатерина 27 августа в 0 Подскажите, пожалуйста. Мне нужно рассчитать м3. Шлак доменный фр. Новости строительства и строительных фирм. Что нужно обязательно знать при покупке и Как добывают и производят щебень? Как же происходит добыча и производство щебня?

Щебень гранитный Щебень гранитный 7 июл 0 0. Щебень гранитный 7 июл 0 0.

Разновидности щебня

Спасибо, очень удобный калькулятор, а можно рассчитать сколько получится ПГС из кг гравия и кг песка Ответить. Администратор 8 апреля в 0. Олег 7 апреля в 0. Юрий 28 апреля в 0.

Администратор 28 апреля в 0. Абылай 3 мая в 0. Куда надо отнести природный балласт — к пгс или гравию? Дмитрий 14 марта в 0. Спасибо, мне удалось посчитать объём тонны гравия и песка и какой будет вес этой «смеси». Какой коэфициент у мытого песка? Администратор 4 мая в 0. Абылай 4 мая в 0. Извините, Вы не ответили на мой 1-вопрос про балласт.

Разные строители по-разному подходят к расчетам материалов, которые будут использоваться в работе. А вот человеку, в строительстве понимающем не все, это может принести некий дискомфорт. Для правильного перевода разных объемов друг в друга нужно знать показатель насыпной плотности материала. Изначально этот показатель высчитывается лабораторным путем:. Но насыпная плотность всех известных сыпучих материалов уже давно рассчитана и приводится в таблице:.

Администратор 9 мая в 0. Я так и не понял, что такое природный балласт. Тимур 3 сентября в 0. Добрый вечер. Некто 24 января в 0. Странно, что вы не знаете основных формул геометрии. Администратор 2 марта в 0. Исправились, спасибо за уточнение. Вот так и строится по песчинке наш полезный калькулятор : Ответить. Спасибо, сейчас попробую посчитать! Администратор 14 мая в 0.

Сайт продаётся недорого, свяжитесь. Одним из трудных моментов в строительстве, является расчёт материалов. И очень часто в строительстве используется щебень различных марок, кубатуру которого нужно рассчитать. А для этого нужно знать табличные данные.

Уважаемые друзья! Как это не грустно смотреть, но сегодня, на 14 мая года, счётчик выглядит вот так: И так он выглядит на других сайтах: Неужели эта страница хуже? Положите своё спасибо в этот счётчик «спасиб», удивите меня! Нажмите на любимую соц. Тем более, что это не стоит ни цента и абсолютно бесплатно, как и этот калькулятор.

Спасибо Вам и от меня, что пользуетесь, приходите снова! Администратор 27 июня в 0. Спасибо тем, кто двигает счётчик с места, так держать!

сколько весит куб фракции 5 20, удельный в кг для гранита

При строительстве необходимо иметь полную информацию по проекту и расчетные формулы для определения затребованного количества материалов. Благодаря тому, что знаете вес куба щебня 5 20, можно рассчитать количество материала. Все дело в том, что чаще всего производится расчет не в весе, а в объеме.

Когда было подсчитано, что необходимо, например, 10 м3 раствора, узнать количество щебня неподкованному человеку весьма проблематично. Предположив, что будет использовано 5 м3 щебня, понимание, сколько его нужно заказать, не появляется, поэтому следует узнать вес и изучить факторы, влияющие на него.

Зачем нужно знать удельный вес кубометра щебня

Для составления проектно-сметной документации нужно знать полную информацию о количестве затрачиваемого материала, а соответственно и стоимости приобретения щебня, и количестве работ по его использованию.

Без тщательного изучения вопроса можно ошибиться с объемом материала, а также количестве потраченных денег на доставку. При этом понимание веса, объема сыпучих материалов позволяет отделять определенное количество места под них.

Вес

Также информация может быть полезна при определении количества цемента, песка и других вспомогательных материалов для замеса раствора. Большинство строительных материалов продаются на вес, поэтому кубатура щебня должна переводиться в общий показатель для расчета количества затребованных ресурсов.

Стоит отметить, что вес щебня 5 20 зависит от множества показателей.

В некоторых случаях даже привезенный щебень с одного карьера может отличаться по весу.

В вопросе определения веса нужно разбираться в деталях, иначе достоверно определиться не удастся.

Разновидности

Самое большое значение, влияющее на вес 1 куб щебня 5 20, играет порода щебня. В зависимости от метода добычи и породы материала могут различаться не только его качественные характеристики (хотя это в первую очередь), но и удельный вес. Рассмотрим наиболее популярные виды щебня и его вес.

Гравийный

Щебень гравийный 5 20 вес 1 куба составляет 1400 кг – это один из наиболее популярных, доступных видов щебня. Он приобрел наибольшее распространение благодаря многочисленным источникам добычи по всей стране.

Гравийный

Его добывают при помощи просеивания гравия из рек, а также разрушения скал на мелкие кусочки.

Речной

Речной гравий обладает более закругленными углами, а дробный преимущественно острыми.

Речной

При этом он обладает хорошими качественными характеристиками, которые отлично подойдут для большинства видов строительства, как домашнего масштаба, так и промышленного. Чаще всего он используется для насыпи в ЖД полотне.

Гранитный

Гранитный щебень более тяжелый и более прочный, его вес 1 м3 составляет 1470 кг.

Этот вариант один из лучших для строительства высокопрочных зданий, в то же время он более дорогой.

Добывается посредством взрыва горных пород, а затем материал дополнительно подвергается дроблению и просеву.

Гранитный

При этом гранит темный, это стоит учесть при строительстве, если эффект является не желаемым. Используется для приготовления наиболее прочного бетона высшей марки. В некоторых случаях может использоваться в качестве декора.

Известняковый

Известняковый щебень 5 20 вес 1 м3 составляет 1300 кг.

При этом природный ресурс весьма плотный, благодаря такой структуре часто используется для строительства дорог, а также дренажных систем.

Активно применяется для облицовочных работ, благодаря красивому цвету и экологичности.

Известняковый

В строительстве наиболее ценным щебнем считается тот, который в своем составе имеет карбонат кальция. Этот компонент придает прочность, но наличие примесей воздействует обратно.

Такой щебень устойчив к перепадам температуры и экологически чистый. При достаточно однородном материале цвет известняка будет немного красный, желтый или бурый.

Боле подробно о известняковом щебне фракции 5 20 смотрите на видео:

Песчаник

Песчаник – это также распространенный вид материала, вес 1м3 щебня 5 20 составляет 1300 кг. Он получается благодаря самостоятельной цементации песчинок. Формирование данного материала составляет минимум 2 тыс лет.

Песчаник

Здесь существует достаточно большой разброс качественных характеристик, ведь все зависит от компонента, из-за которого произошла цементация и возраста щебня.

Существует множество карьеров с песчаником, но характеристики могут отличаться, преимущественно 1300 кг ± 50 кг.

Шлак

Шлаковый щебень производится в металлургической промышленности, где его дробят и обрабатывают. Считается одним из наиболее плотных материалов, ведь у него достаточно большой коэффициент уплотнения. Благодаря этому он пользуется спросом в строительстве и отделке.

Шлаковый

Шлаковый ресурс с момента производства становится все более прочным, вес 1 куб м такого щебня 5 20 составляет 1500 кг.

Мраморный

Мраморный щебень достаточно дорогой, но весьма прочный и обладает красивым внешним видом, вес щебня фракции 5 20 в 1м3 составляет 1500 кг.

Мраморный

Производится посредством дробления мрамора, а в дальнейшем он просеивается.

Терриконовый

Щебенка терриконовая – это весьма дешевый материал, который получается, как вторичное сырье при производстве угля.

Невысокая цена материала выступает следствием того, что себестоимость добычи низкая и направленность в шахтах идет на уголь, а очищать тоннели все равно необходимо.

Терриконовый

Щебень фракции 5 20 вес 1 куба такого шлака составляет 1150 кг. Используется для нетребовательных проектов.

Вторичный

Вторичный щебень – это отходы после определенных видов промышленности, часто можно встретить вторичный асфальт.

Этот материал наиболее дешевый, так как его добыча не производится, он вырабатывается как следствие подготовительных, очистительных работ.

Вес 1 м3 может сильно разниться в зависимости от типа материала, который был использован. Достаточно просто узнать вес первоначального материала, а затем приблизительно предположить его массу.

Вторичный

Обычно плотность становится существенно меньше, поэтому по сравнению с новым ресурсом, вторичный будет иметь вес приблизительно на 100 кг меньше. Существуют и некоторые другие виды щебня, но они малораспространенные. Так как встречаются редко, то и смысла рассматривать их нет.

Лещадность

Лещадность – это еще одна важная характеристика, которая влияет на вес 1 куба щебня 5 20.

Данный параметр выражает количество игловатых, а также пластинчатых крупинок в общей массе материала.

Рассчитывается параметр на основании процентного соотношения с общей массой. Считается, что чем меньшее количество таких компонентов, тем более качественный, а соответственно и тяжелый щебень.

Благодаря кубовидной форме ресурса, он более плотно укладывается в цементный раствор, а соответственно пустоты минимальны, вяжущего вещества необходимо меньше.

Лещадность

Для производства более чистого и, в некоторой степени, ограненного щебня необходимы большие затраты, так как используется специальная технология. Соответственно и цена чистого ресурса будет выше. Лещадость сильно влияет на вес щебня, чем больший процент, тем больше образовывается пустот в насыпи.

Фракция

Щебень вес 1 м3 фракция 5 20 имеет очень усредненный показатель массы. Если необходимости в точных расчетах нет, то можно принимать 1350 кг. Одну из первоочередных ролей в определении веса материала играет его фракция.

Фракция 5 20 мм

Наиболее тяжелыми считаются песчаные типы или крошка 0-5.

Фракция 0-5 мм

Напротив больше всего пустот в большом щебне 40-70. Различия в весе не слишком сильные, но весьма значительные, так разброс может доходить до ±100 кг.

Фракция 40 70 мм

Фракция 5-20 считается средней, не слишком мелкая, позволяя строить большие сооружения, и в то же время небольшая, для отделочных работ. По сути вес для этого размера зерен является «золотой серединой».

Водопоглощение

Немаловажный фактор, который влияет на вес щебня – это количество впитываемой воды.

Чем меньше пор и гигроскопичность материала, тем меньшее количество воды попадет внутрь. Свойство поглощения воды выражается в процентном отношении к общей массе.

Объем водопоглащения всегда будет меньше 100%, масса же может превосходить 100%. Это обусловлено тем, что некоторые породы могут поглощать воду в большем количестве, чем собственная масса. Преимущественно это свойство относится к вторичному щебню, но некоторые типы могут поглощать воду.

Насыпная плотность

Преимущественно плотность зависит от формы, структуры, фракции зерен. Чем меньшее количество пустот между песчинками, тем больший вес. Также плотность (20 40) зависит от лещадности щебня, ведь снижение количества «неудобных» зерен увеличивает просветы в структуре.

Не всегда целесообразно выбирать мелкий щебень из-за того, что он имеет больший вес. Бетон получается качественным и при использовании крупно фракционного материала, зависит от необходимой площади обработки.

Производство бетона

Небольшая фракция приводит к тому, что объем материала, при одинаковом весе, будет значительно меньший, чем крупнозернистый. Таким образом увеличиваются затраты, возможно это не целесообразно, если не обусловлено техническими характеристиками строения.

Уровень загрязнения

Преимущественно на этот фактор застройщик обращает внимание меньше всего, что может стать большой проблемой. Огромное количество примесей может быть только, если производитель ведет нечестный бизнес, а это сегодня встречается часто.

Также некоторые виды щебня более подвержены загрязнению, чем остальные, к примеру, известняковый. Некоторые производители в поисках быстрой наживы исключают некоторые технические процедуры, к примеру, после дробления породы должно использоваться машина Грохот, а недоброкачественные поставщики могут пропустить ее.

Машина Грохот

Самая высокая степень загрязнения у вторичного шлака, так как помимо материала в нем присутствуют и примеси, к примеру смола, цемент и т.д.

То же касается и промышленного щебня, из-за того, что он получается, как нежелательный материал, вторсырье, его качество значительно меньше и присутствуют большие количества примесей. Повышенная загрязненность проявляется из-за большого уровня поглощения влаги, а также повышенной насыпной плотности.

Точные данные сложно определить без доступа к материалу, поэтому указание веса, проведение замеров, расчетов и обследований ложится на производителя. Таким образом в сопроводительных документах можно найти регламентированные характеристики материала.

Трамбовка щебенки

Естественно, что объем материалов в 1 м3 может сильно отличаться в зависимости от плотности щебня. Помимо насыпной плотности (известнякового) следует отметить и то, что в процессе перевозки и других действий он подвергается утряске.

То есть вес 1 м3 щебня насыпи будет значительно меньше, чем вес кубометра утрамбованного материала.

Рекомендуем ознакомиться с материалом который расскажет сколько тонн щебня в 1 м3.

В зависимости от материала, его фракции следует отметить, что предел трамбовки может существенно отличаться. Приблизительно объем может уменьшиться на 10-20% при трамбовке виброплитой. В зависимости от типа трамбовки следует учитывать и вес в 1 м3.

Трамбовка виброплитой

Плотность щебня может увеличиваться при длительном нахождении на складе, при транспортировке, намеренной трамбовке и т.д. Достоверно определить вес до и после трамбовки можно на основании расчетов, но в целом колебания массы могут достигать 200 кг/м3, а иногда и выше.

Этот показатель зависит от породы, формы зерен и количества примесей.

Качественный щебень, который проходит много этапов обработки, меньше всего подвергается трамбовке, так как пустоты в нем, итак незначительны.

В таких случаях разница массы насыпной плотности и трамбовки играет меньшую роль, порядка 10-15%.

Для примера, если используется гранитный щебень, масса которого 1500 кг и подвергнуть его трамбовке, то его плотность увеличится, то есть вес вырастет до 1600-1700 кг/м3. Этот фактор следует учитывать при расчете количества необходимого шлака.

Более точно рассчитать количество материала можно, если учесть коэффициент уплотнения, который в процентном соотношении укажет на возможность снизить объем материала.

Заключение

Составление сметы требует основательного подхода к определению количества и качества материалов, в рамках статьи разобрались с весом щебня, а также факторами, которые влияют на его массу. Все учесть в непредусмотренных для этого условиях вряд ли удастся, но большую часть характеристик можно определить.

Сколько весит куб щебня разных фракций, таблица, насыпная плотность

Наиболее востребованным строительным материалом является щебенка в качестве крупного заполнителя для бетонной смеси или декоративных целей. За счет различных технических характеристик, фракции и происхождения насыпная масса щебня в одном и том же количестве может отличаться.

Оглавление:

  1. Виды пород
  2. Что влияет на массу?
  3. Показатели и правила расчета

Разновидности

Щебень добывается из разных горных пород, в связи с этим подразделяется на несколько видов:

  1. Известняковый – применяется для бетонов низкой марки, а также для изготовления извести по специальной технологии обжига. Рыхлые кальциевые соединения относительно нетяжелые, даже с наличием других примесей.
  2. Гравийный – получается при дроблении скалистых пород, располагающихся в водоемах или горах. Является одним из самых распространенных благодаря оптимальной прочности и небольшой стоимости.
  3. Гранитный – наиболее прочный и долговечный, но в то же время дорогой вид. Зерна практически не имеют пустот, а показатель лещадности не превышает 5 % согласно ГОСТ 8267-93. Позволяет достичь максимальной насыпной плотности щебня.
  4. Шлаковый – образуется вследствие переработки различных металлов. Обладает достаточно высоким весом и прочностными свойствами.
  5. Песчаник – добывается при обработке твердых скальных пород и широко используется в строительной отрасли.
  6. Терриконовый – представляет собой черный стройматериал, который является отходами после угольной промышленности. За счет загрязненности пригоден только для дорожных работ.

Факторы, влияющие на массу

Каждый вид обладает определенными показателями, которые способны влиять на вес щебня. Для его определения при покупке и применении следует принять во внимание такие параметры:

  1. Плотность – напрямую зависит от характеристик породы. Гравийный более плотный по сравнению с известковым, а гранитный считается наиболее плотным, однако величина может варьироваться. Например, материал из тяжелых кварцевых типов гораздо плотнее, чем остатки рудных шахт.
  2. Объемный вес – определяет пористость, поэтому данный показатель по статистике несколько ниже предыдущего. Зачастую на него влияет именно фракционность.
  3. Насыпной вес – определяет более реальную массу, так как в расчет входят поры между камешками. Рассчитывается до момента уплотнения в емкости.
  4. Лещадность – камешки могут быть не только кубовидной, но и игольчатой или плоской формы. Наличие таких включений значительно снижает прочность и качество.

Основные показатели объемного веса

Как правило, абсолютную плотность щебня невозможно определить, что связано с неровностью зерен. При насыпи образуются пустоты, их величина зависит от фракции: чем она крупнее, тем легче будет мешок. Если в его же насыпать мелкий камень, вес увеличится за счет повышения плотности.

Согласно действующим нормативным документам, на основе различных характеристик составляется таблица, указывающая на массу кубического метра, а также перерасчет на стандартное ведро.

Наименование Удельный вес 1 м3 щебня, кг Вес в ведре 10 л, кг
Известняковый 1300-1350 12,9
Гравий 1400-1450 14,1
Гранит 1470-1500 14,5
Шлак 1500-1520 15
Песчаник 1330 12,9
Терриконовый 1200 11,6
Туфовый 800-850 8
Мраморный 1550 15

На массу также может влиять влажность. Зачастую этот показатель не превышает 3% от общего веса насыпи. От повышения размера зерен она способна меняться в меньшую сторону, что также можно рассмотреть на примере гранитного щебня.

Фракция, мм Вес одного куба, кг
0-5 1400
5-10 1390
5-20 1360
20-40 1350
25-60 1380
40-70 1340-1350

Мелкий щебень превосходит по массе благодаря плотному заполнению заданного объема. При выборе фракции 0-70 мм плотность будет наиболее высокой и составит 1450 кг/м³. Это связано с тем, что пустоты между крупными зернами будет полностью заполнять мелкий гравий, поэтому вес получается гораздо выше. Однако в строительстве ее встретить трудно из-за обобщенности. Многие производители предпочитают расфасовывать щебень по конкретным размерам.

Расчет массы 1 м3

Для примера можно взять гравийный щебень в самосвале емкостью до 20 м3. Так как щебень фракции 20-40 мм имеет массу 1,35 т, то кубометр весит: 20 м3 х 1,35 т = 27 т. Если известна масса материала, можно высчитать объем, полученный при его использовании: 20 т / 1,35т = 14,8 м3.

При знании площади, приготовленной под засыпку, стоит учитывать показатель уплотненности. Такой коэффициент является расчетным и определяется на основе определенных параметров и варьируется в пределах 1,05-1,3. Поэтому следует дополнительно умножить результат на полученный показатель уплотнения.


 

Вес 1м3 строительного песка? Сколько весит?

Песок — издавна известный и широко распространённый сыпучий «реагент», включаемый в бетонные и цементные смеси при строительстве новых домов, некоторые сухие стройсмеси для отделки и ремонта всевозможных строений. Ни один дом не обходится без фундамента, ведущую роль в надлежащей прочности которого играет щебень и песок. Также песок — один из ведущих стройматериалов, применяющихся при асфальтировании улиц, проспектов и шоссе, а также при сооружении водоочистных систем и дренажных коммуникаций, материал для засыпки уже проложенных инженерных систем.

Говоря о конкретном объёме проводимых строительных работ, партия песка для удобства расчёта измеряется в кубометрах. При меньших, чем «куб» песка, затратах, ведут подсчёт в килограммах, т. к. кубометр весит не тонну, а куда больше.

Виды песка

Естественный песок — тот самый измельчённый состав, миллионами лет дробимый природными силами. Природный песок — морской, речной, карьерный (подземный), обладает жёлто-оранжевато-коричневатыми оттенками, в ряде случаев песок может быть белёсым, как в некоторых жарких странах на морском пляже. Более точное отношение добываемого песка к конкретному виду — по месту добычи.

Речной, к примеру, имеет зернистость порядка 0,3…0,5 мм, является самым распространённым, т. к. выкачать его со дна реки гораздо проще, чем морской — со дна морей и океанов. Подходит для приготовления любых бетонных и цементных растворов, но имеет недостаток — сравнительно быстрое, в считанные минуты слёживание, что не даёт возможность его применять сразу в больших количествах без бетономешалки. Одинаково хорош как для кладки стен и их оштукатуривания, так и для обустройства септиков, очистных сооружений и иных дренажных систем.

Морской песок, благодаря его долгому нахождению на дне моря или океана, обладает неизменным высоким качеством, одинаково хорош для практически всех видов применения. Но за трудность добычи и отличное качество, как правило, расплачиваются куда большей суммой денег за всё тот же кубометр такого песка.

У карьерного расцветка разнится от жёлтого до коричневого, присутствуют пылевидные частицы, напоминающие отсев дроблёнки. Добыча карьерного песка производится открыто, зернистость имеет значительный разброс — 0,6…3,2 мм. Без очистки подойдёт для обустройства песчаной основы под будущее дорожное полотно или фундамент нового здания/сооружения, тротуар или площадку. Сеяный карьерный песок используют в качестве основной добавки для бетона и штукатурки, мытый — для заливания стяжки пола, оштукатуривания стен зданий и сооружений с внутренней стороны.

Искусственный песок производят методом принудительного дробления и измельчения скальных пород и уже готового отсева щебня. По сути, искусственный песок — это и есть отсев. Белёсый искусственный песок образуется после измельчения мрамора (мраморный песок). Кварцевый — самый дорогой, в основном это элемент декора на уровне штукатурки и в качестве присыпки на обустраиваемых площадках. Окрашивая кварцевый песок, при добавлении в обычную штукатурку можно получить декоративное песчано-цементное покрытие, которое незачем прятать под слоем краски или побелки.

Шлакопесок — измельчённые отходы от чёрной и цветной металлургии. Крупный камень дробится за счёт его резких перепадов температуры. Получаемая зернистость — 0,6…10 мм, подходит в качестве основной добавки в бетон (шлакобетон).
Керамзитный песок получают в основном из отходов при производстве керамзитного гравия, представляет собой отсев керамзита. Хорош как для изготовления бетона, так и в качестве подсыпки в котлованы перед и после укладки фундамента.

Сколько весит один кубометр песка?

Объём, равный одному «кубу», имеет конечный вес. Разделив его на объём, получаем значение плотности в тоннах (или килограммах) на этот же «куб». Точная удельная плотность измеряется в лаборатории, но на практике применяют среднюю (типовую) выборку для расчёта стоимости одного кубометра.

Вид песка Истинная плотность, кг/м3 Насыпная плотность, кг/м3 Пустотность, % Величина зерна Волопотребность, %
Шлаковый 2950 1320 55,2 3 12,8
Речной 2650 1230 53,6 3,1 12

Усреднённая масса, согласно ГОСТу на песок, составляет 1500-1700 килограмм на кубометр.

Вид песка Плотность, кг/м
Речной 1500
Карьерный
Морской 1600
Керамзитный 400-1000
Шлаковый 700-1200
Кварцевый 1400-1900

Наиболее точное значение дадут следующие исходные данные: разброс плотности, химический состав, разброс по зернистости, впитывание воды и лещадность (число остроугольных и длинных песчинок на тот же кубометр, в процентах). Песок, вобравший в себя воду, в среднем прибавляет ещё до 250 килограмм на кубометр. Кубометр сухого песка отличного качества весит приближённо 1300 кг, отчего его стоимость значительно выше, чем у других видов и разновидностей. При обработке песка до такого состояния неизбежны дополнительные трудо- и энергозатраты на производство.

Что влияет на весовые характеристики?

Плотность — величина, указывающая, сколько килограмм песка может поместиться в объём, равный одному кубометру. Этот показатель используют в качестве расчётного количества занимаемых “кубов” сыпучих стройсмесей при определении их расхода. Песок — не сплошной камень, между зёрнами есть воздух, и плотность песка определяется как действительная, технологическая и насыпная. Последняя учитывает объём воздуха, заключённый между зёрнами.

Материал Вес кубометра, кг Вес 12-литрового ведра, кг
Стройпесок (ГОСТ-8736.93) 1550-1700 18,5…20,4
Речной песок 1630 19,5
Песчано-гравийная смесь 1600 19
Гравий 1400 17
Керамзит (ГОСТ-9757.90) 250-800 3…9,6
Щебень гранитный 1470 17,5
Щебень-песчаник 1300 15,5
Щебень терриконовый 1150 14
Щебень туфовый 800 9,5
Щебень мраморный 1500 18
Щебень известняковый 1300 15,5
Щебень шлаковый 1500 18
Известь гашёная 2210 26,5
Известь негашёная 3370 40
Гипс 2200-2400 26,5…29
Цемент 1300 15,5
Вермикулит вспученный (ГОСТ-12865.67) 100-200 1,2…2,4

Полностью уплотнить песок, чтобы в нём исчезли пустоты, нельзя — некоторое количество занимаемого объёма всё равно приходится на воздух. Максимальная же плотность песка — его расчётная масса (всё того же кубометра) при условии, что сам песок был бы уплотнён, однако практическая плотность — именно насыпная.

Зернистость: к крупной относят фракцию песка в 3…3,5 мм, к средней — величину в 2…2,8 мм, к мелкой — всего 0,6…1,5 мм. Зёрна менее полумиллиметра считаются пылевидными включениями, этаким песчаным отсевом. Чем больше зернистость, тем легче вода пройдёт через такой песок; песчаный отсев гораздо хуже пропускает воду, что приближает данный состав к почвенному пропусканию воды, если не к глинистому.

Способность забирать влагу из окружающего пространства, показатель уплотнения. Для определения показателя уплотнения различают натуральное залегание (например, в подземных пластах), вынужденное уплотнение (утрамбовывание), насыпное залегание.

Группа песка Полный остаток на сите №063
Очень крупный свыше 75 единиц
Повышенной крупности 65-75
Крупный 45-65
Средний 30-45
Мелкий 10-30
Очень мелкий менее 10
Тонкий и очень тонкий не определён

Промокший или сырой песок всегда значительно тяжелее сухого. Замороженный влажный песок до 15% тяжелее сухого.

Расчёт массы

Для определения тоннажа песка, например, если вы заказали один самосвальный кузов песка для небольших стройработ на даче (например, расчётные 15 тонн), необходимо сконвертировать объёмный показатель в весовой. Если известно, сколько кубометров песка реально должны подвезти (или подвезли), количество “кубов” умножается на 1,3, именно это число учтёт небольшую потерю песка при хранении и перевозке на место работ. Сведения по насыпной плотности можно узнать в сети магазинов, обладающей сетями транспортировки песка из мест добычи/обработки. Масса, как известно, равна плотности, помноженной на число “кубов”. Средняя прибавка по впитыванию влаги равна приближённо 6,5%; для насквозь же промокшего песка этот показатель утраивается, максимум — 20%.

Сколько тонн в 1 м3 щебня

Сколько в кубе тонн щебня

Большое количество щебня регулярно поставляется на строительные площадки. Но всё дело в том, что плотность у этого материала может быть различной. Обычно его измеряют кубометрами, но ведь плотность камня существенно влияет на массу конструкции, а это основа для архитектурных расчётов. Если принимать во внимание здания этажностью не выше 12, то можно массой и пренебречь, но если нужно строить небоскрёб или же мост с длинными пролетами, то этот фактор оказывает существенное влияние. То, сколько в кубе тонн щебня, может влиять не только на конечную прочность конструкции, но также и на характеристики фундамента будущей постройки. Именно по этой причине обычно площадь давления увеличивают специально на 10-15%, чтобы избежать неприятностей в дальнейшем.

Что влияет на объем щебня?

Единственная характеристика, которая влияет на объём щебня, это его фракция. Если фракция одна, то тогда плотно она не уляжется даже при сильной тряске. За счёт этого получается большое количество пустот, и чем крупнее фракция, тем меньше будет весить кубометр. Самым плотным является так называемый гранитный отсев, который больше напоминает мелкий гравий. Он до такой степени много весит, что необходимо быть осторожным при заполнении грузовиков, чтобы не порвать раму и рессоры.

Объём также сильно зависит от характера породы и от оборудования, которое установлено на горно-обогатительном комбинате. Дело в том, что лучшее уплотнение демонстрируют только кубовидные и призматические фрагменты.

Лещадность щебня очень сильно снижает его плотность, что также затем и скажется на его плотности. Щебень бывает также известняковым. Мало того, что плотность этой горной породы достаточно мала, так ещё и кривые фрагменты, образующие фракцию, очень плохо укладываются между собой. Именно поэтому этот материал годится только для дорожного строительства. В качестве наполнителя для бетона его стоит использовать только в самом крайнем случае. Из него можно построить одноэтажную постройку – дом, гараж или сарай. Второй этаж на бетоне из известнякового щебня уже будет непредсказуем.

Водопоглощение является не менее важным фактором при определении веса кубометра щебня. Пренебрегая этим фактором при расчетах, результат не будет точным. На водопоглощение также оказывают влияние разная пористость пород и разный размер фракций и если их не брать во внимание, то расчёты будут неправильными.

Как перевести объем щебня в массу

Этот перевод крайне сложен и часто бывает затруднен. Можно привести следующую таблицу для того, чтобы можно было производить хотя бы приблизительные расчёты.

Таблица плотности насыпного щебня в зависимости от марки

Материал

Фракция, мм

К, т/м3

Соответственно, закупая определенный объём щебня, можно высчитать его массу по формуле:

Масса щебня = Объём щебня * Коэффициент(из таблицы)

Например, 2,5 кубометра фракции 5-10 будет весить: 2,5*1,38 = 3,45 тонны.

Стоит отметить, что данные показатели действительны только для гранитного щебня из серого гранита высшего качества. А также стоит учитывать, что результат расчётов приблизительный, поскольку на значение коэффициента оказывают влияние вышеперечисленные факторы. Только точное измерение контрольного объёма поможет дать ответы на вопросы.

Таблица примерного веса кубометра различных видов щебня

Наименование вида щебня

Вес 1м 3 щебня, кг

Можно конечно же измерять например с помощью ведра, но это очень трудоёмкий процесс, занимающий много времени. В том случае, если не столь важен именно точный вес 1м 3 щебня, то можно взять среднее значение веса 1м 3 щебня: 1,4 тонны. Каким способом расчёта воспользоваться решает каждый самостоятельно, самое главное, чтобы получить наиболее точный результат, необходимый во время проведения строительных работ.

Плотность щебня — что влияет

На самом деле таких показателей очень много. Но можно попробовать описать хотя бы основные из них:

  • Влажность. Несмотря на то, что материал кажется вообще не смачиваемым, он обладает достаточной гигроскопичностью, особенно если куча постоянно хранится под открытым небом. Поверхность щебня активно увлажняется, и он увеличивает свою массу. От этой же способности зависит и морозостойкость материала. Исключительную устойчивость к расколу от расширения воды при замерзании демонстрирует только один материал – это базальт, но щебень из него имеет огромную массу и стоит очень дорого.
  • Состав. Как известно, гранит состоит из полевого шпата, слюды и кварца. Чем больше первого компонента – тем тяжелее гранит. Кварц также достаточно тяжел, но он очень сильно влияет не столько на плотность, как на прочность образца. Наличие большого количества слюды вообще нежелательно, потому что она расслаивает камень на фрагменты при малейшей нагрузке. Также она хорошо проводит холод, поэтому дом из такого щебня теплым не будет никогда. Если щебень имеет большое количество кварца в своём составе, то он будет более легким, зато будет обладать плохой теплопроводностью. В отдельных странах, например в Норвегии, есть возможность использовать чистый кварцевый щебень. У нас же он будет стоить непомерно дорого.
  • Размер фракции. Фракция действительно может быть различной. Стоит упомянуть только то, что самым легким по праву считается огромный бутовый камень, между фрагментами которого остаются большие просветы.

Если говорить про щебень из известняка, то на его плотность также влияет пористость, и очень сильно влияет влажность. Он может увеличивать свою массу в номинальном объёме едва ли не в два раза при хранении на открытом воздухе. Именно поэтому его применяются только в дорожном строительстве, да и то при плотном трафике он достаточно быстро приходит в негодность. Поэтому ответа на вопрос, сколько в кубе тонн известкового щебня точно дать не сможет ни один специалист. Просто необходимо провести взвешивание перед погрузкой самосвала.

Сказать сколько точно в кубе тонн щебня поможет только взвешивание. Всё дело в том, что у большинства производителей стоит различное оборудование для дробления. Даже размер зуба грохота существенно влияет на форму фракции, а от этого зависит то, как он будет уплотняться при насыпке. В западной практике используется так называемое вибрационное уплотнение, но наши продавцы его обычно не используют. Оптимизация пространства сводится к финансовой выгоде. У нас такая практика недопустима, поэтому можно довольствоваться лишь приблизительными показателями, которые часто очень сильно рознятся.

Если производится бытовое строительство малоэтажных зданий и сооружений, то сколько в кубе тонн щебня совершенно не влияет на конечный результат. Это почва для инженерных изысканий при строительстве стратегически важных и сейсмоустойчивых объектов. Тем более это не стоит учитывать в дорожном или дренажном строительстве.

Сколько тонн в 1 м3 щебня

Щебень тонны в м3. Сколько тонн в 1 м3 щебень? Смотрите ответ в таблице 1.

Примечание: самые часто используемые фракции щебня, вес тонн 1 м3 в тн/м3, которого хотят узнать — это: 0-5 мм, 0-10 мм, 0-40 мм, 20-40 мм, 40-70 мм, 5-20 мм, 10-20 мм, 5-10 мм, 25-60 мм, 20-70 мм, 10-15 мм, 20-60 мм, 25-60 мм, 10-120 мм, 80-120 мм.

Таблица 1. Щебень тонны в м3. Сколько тонн в 1 м3 щебень. .

Некоторые пояснения к вопросу: Щебень тонны в м3. Сколько тонн в 1 м3 щебень.

Удобная штука – интернет, теперь не нужно искать справочник по щебням или листать специальную литературу, которую и найти тяжело, по причине ее редкости. Но, не все так просто, как кажется. Количество тонн в м3, для щебенки – это величина не постоянная, а зависимая, определяющаяся несколькими характеристиками сыпучего строительного материала. Прежде всего, желая узнать, сколько тонн в 1 м3 щебня, было бы хорошо, уточнить, какой именно вид щебенки вы имеете в виду. Как ни странно, видов щебней и разновидностей щебенки, очень много. И для каждого варианта свой вес (точнее объемная масса) – разное количество тонн в одном м3. В чем же разница, на сколько она велика (может быть на бытовом уровне не стоит придавать такого значения) и что нужно уточнять, задавая запрос в поисковую систему Яндекс или ГУГЛ? Прежде всего, сразу скажу, что «разлет» значительный. Самый легкий щебень весит в тн/м3 – 0.25 тонн, а самый тяжелый – 3.1 тонн. Средний вес чаще всего принимается 1.4 тонны. Как вы сами понимаете в таких ситуациях ориентироваться на средний вес, как на чисто статистический параметр, надо очень осторожно.

Для начала желательно определиться с минералогическим составом щебенки. Ниже, в примечании под таблицей 1, мы приведем список видов этого сыпучего материала, своеобразный перечень, возможно, вы удивитесь, какой он длинный. Поэтому и таблица, которая называется: щебень вес — количество тонн в одном м3, получилась большая, но интересная и полезная. Вряд ли вы встречали на других сайтах такое большое количество информации о том, сколько тонн в 1 м3 щебня, сведенное в одну удобную и понятную таблицу. Как минералогический состав щебенки влияет на удельную массу 1 куба этого сыпучего материала? Структура щебневой смеси такова, что объем заполненный этим материалом, примерно на 40 – 50% — это воздух, заключенный между твердыми зернами, а остальной объем занимают мелкие камни, о размерах которых мы еще поговорим ниже. Истинная плотность зерен, «вносит свой вклад» (и достаточно веский) в объемную массу, отчасти определяя удельный вес щебнистой смеси — количество тонн в одном м3 щебня. Так вот, плотность воздуха – величина, в данном случае, постоянная (температурными изменениями ее можно смело пренебречь, по причине их незначительности). А плотность материала, из которого изготавливается щебенка, определяется его минералогическим составом и является одной из физических характеристик, описывающих минерал, горную породу или искусственный материал, послуживший основой для производства щебня на специальном оборудовании для дробления. Чем выше плотность зерен исходного, дробленого вещества, тем больше объемный вес — количество тонн в одном м3 щебня.

Однако, когда мы имеем дело с сыпучими материалами, в том числе и определяем сколько тонн в 1 м3 щебня (объемная масса), нам приходится учитывать и количество воздуха, который содержится в щебенке. Не смотря на то, что плотность воздуха в объеме постоянная, его количество всегда бывает разным и зависит от насыпной плотности щебенки, а точнее от размеров твердых зерен. Размеры зерен определяются фракцией щебневой смеси, ниже, под таблицей 1, мы приведем перечень фракций щебенки. Сейчас важно понять «саму идею», как зависит удельный вес — количество тонн в одном м3 щебня от размеров зерен в его составе. Грубо говоря, чем мельче зерна, тем более плотно можно уложить щебенку в объеме 1 куба (кубометра, кубического метра, м3), тем меньше размеры воздушных полостей, меньше объемная доля воздуха и больше удельная масса 1 куба щебня. Вот такая простая, в первом приближении, зависимость, которая на практике оказывается более сложной, потому что нужно учитывать не только размер зерен, но и их форму. Поэтому, уточняя, сколько тонн в 1 м3 щебня, желательно, «в идеале» знать несколько его характеристик и найти в таблице вариант максимально близкий к вашему случаю. По крайней мере, минералогический состав и фракцию, с формой сложнее, но она меньше влияет на объемный вес. В любом случае среднюю массу вы найдете в таблице 1, чаще всего этого достаточно для приблизительных расчетов, покупки, проектных и строительных работ.

Чаше всего хотят узнать, сколько тонн весит 1 куб щебня кг/м3, для следующих фракций щебенки: 0-5 мм, 0-10 мм, 0-40 мм, 20-40 мм, 40-70 мм, 5-20 мм, 10-20 мм, 5-10 мм, 25-60 мм, 20-70 мм, 10-15 мм, 20-60 мм, 25-60 мм, 10-120 мм, 80-120 мм.

В таблице указан вес количество тонн для объема 1 куба щебня и щебенки следующих видов: гранитный, природный, цветной, черный, песчаниковый, песчанниковый, для строительных работ, из природного камня, бетонный, из бетона, строительный, известняковый, доломитовый, гравийный, шлаковый, мраморный, мраморный ГОСТ 8267-93, кварцитовый, габбро-диоритовый, щебень из амболитов, амболитовый, из гранито-гнейсов, из естественного камня, вторичный, переработанный, кирпичный, известковый, кубовидный, игольчатый, лящевидный, плоский, туфовый, терриконовый, из легкого ракушечника, из плотных пород, из тяжелых ракушечников и известковых туфов, из доменного шлака, шлаковый доменный, из сталеплавильного шлака, сталеплавильный шлаковый, бутовый, из бута, керамический, серпенитовый, легкий пенистый, пористый тормозит, тяжелый шлаковый, перлитовый, базальтовый, из базальта, железисто-кварцитовый, керамзитовый, вермикулитовый, газобетонный, из газобетона, змеевик, андезитовый, аглопоритовый, асбест, альбитофир, щебень отсев, декоративный, ягодный, яккима, черный горячий ГОСТ, мелкой фракции, мраморный белый, белый, известковый, укрепленный цементом, кварцитный, шунгитовый, шлаковый для дорожного строительства, ферросплавный, рядовой, доломитный, средней фракции, диабазовый, меловой.

Сколько тонн в 1 м3 щебня

Щебень тонны в м3. Сколько тонн в 1 м3 щебень? Смотрите ответ в таблице 1.

Примечание: самые часто используемые фракции щебня, вес тонн 1 м3 в тн/м3, которого хотят узнать — это: 0-5 мм, 0-10 мм, 0-40 мм, 20-40 мм, 40-70 мм, 5-20 мм, 10-20 мм, 5-10 мм, 25-60 мм, 20-70 мм, 10-15 мм, 20-60 мм, 25-60 мм, 10-120 мм, 80-120 мм.

Таблица 1. Щебень тонны в м3. Сколько тонн в 1 м3 щебень. .

Некоторые пояснения к вопросу: Щебень тонны в м3. Сколько тонн в 1 м3 щебень.

Удобная штука – интернет, теперь не нужно искать справочник по щебням или листать специальную литературу, которую и найти тяжело, по причине ее редкости. Но, не все так просто, как кажется. Количество тонн в м3, для щебенки – это величина не постоянная, а зависимая, определяющаяся несколькими характеристиками сыпучего строительного материала. Прежде всего, желая узнать, сколько тонн в 1 м3 щебня, было бы хорошо, уточнить, какой именно вид щебенки вы имеете в виду. Как ни странно, видов щебней и разновидностей щебенки, очень много. И для каждого варианта свой вес (точнее объемная масса) – разное количество тонн в одном м3. В чем же разница, на сколько она велика (может быть на бытовом уровне не стоит придавать такого значения) и что нужно уточнять, задавая запрос в поисковую систему Яндекс или ГУГЛ? Прежде всего, сразу скажу, что «разлет» значительный. Самый легкий щебень весит в тн/м3 – 0.25 тонн, а самый тяжелый – 3.1 тонн. Средний вес чаще всего принимается 1.4 тонны. Как вы сами понимаете в таких ситуациях ориентироваться на средний вес, как на чисто статистический параметр, надо очень осторожно.

Для начала желательно определиться с минералогическим составом щебенки. Ниже, в примечании под таблицей 1, мы приведем список видов этого сыпучего материала, своеобразный перечень, возможно, вы удивитесь, какой он длинный. Поэтому и таблица, которая называется: щебень вес — количество тонн в одном м3, получилась большая, но интересная и полезная. Вряд ли вы встречали на других сайтах такое большое количество информации о том, сколько тонн в 1 м3 щебня, сведенное в одну удобную и понятную таблицу. Как минералогический состав щебенки влияет на удельную массу 1 куба этого сыпучего материала? Структура щебневой смеси такова, что объем заполненный этим материалом, примерно на 40 – 50% — это воздух, заключенный между твердыми зернами, а остальной объем занимают мелкие камни, о размерах которых мы еще поговорим ниже. Истинная плотность зерен, «вносит свой вклад» (и достаточно веский) в объемную массу, отчасти определяя удельный вес щебнистой смеси — количество тонн в одном м3 щебня. Так вот, плотность воздуха – величина, в данном случае, постоянная (температурными изменениями ее можно смело пренебречь, по причине их незначительности). А плотность материала, из которого изготавливается щебенка, определяется его минералогическим составом и является одной из физических характеристик, описывающих минерал, горную породу или искусственный материал, послуживший основой для производства щебня на специальном оборудовании для дробления. Чем выше плотность зерен исходного, дробленого вещества, тем больше объемный вес — количество тонн в одном м3 щебня.

Однако, когда мы имеем дело с сыпучими материалами, в том числе и определяем сколько тонн в 1 м3 щебня (объемная масса), нам приходится учитывать и количество воздуха, который содержится в щебенке. Не смотря на то, что плотность воздуха в объеме постоянная, его количество всегда бывает разным и зависит от насыпной плотности щебенки, а точнее от размеров твердых зерен. Размеры зерен определяются фракцией щебневой смеси, ниже, под таблицей 1, мы приведем перечень фракций щебенки. Сейчас важно понять «саму идею», как зависит удельный вес — количество тонн в одном м3 щебня от размеров зерен в его составе. Грубо говоря, чем мельче зерна, тем более плотно можно уложить щебенку в объеме 1 куба (кубометра, кубического метра, м3), тем меньше размеры воздушных полостей, меньше объемная доля воздуха и больше удельная масса 1 куба щебня. Вот такая простая, в первом приближении, зависимость, которая на практике оказывается более сложной, потому что нужно учитывать не только размер зерен, но и их форму. Поэтому, уточняя, сколько тонн в 1 м3 щебня, желательно, «в идеале» знать несколько его характеристик и найти в таблице вариант максимально близкий к вашему случаю. По крайней мере, минералогический состав и фракцию, с формой сложнее, но она меньше влияет на объемный вес. В любом случае среднюю массу вы найдете в таблице 1, чаще всего этого достаточно для приблизительных расчетов, покупки, проектных и строительных работ.

Чаше всего хотят узнать, сколько тонн весит 1 куб щебня кг/м3, для следующих фракций щебенки: 0-5 мм, 0-10 мм, 0-40 мм, 20-40 мм, 40-70 мм, 5-20 мм, 10-20 мм, 5-10 мм, 25-60 мм, 20-70 мм, 10-15 мм, 20-60 мм, 25-60 мм, 10-120 мм, 80-120 мм.

В таблице указан вес количество тонн для объема 1 куба щебня и щебенки следующих видов: гранитный, природный, цветной, черный, песчаниковый, песчанниковый, для строительных работ, из природного камня, бетонный, из бетона, строительный, известняковый, доломитовый, гравийный, шлаковый, мраморный, мраморный ГОСТ 8267-93, кварцитовый, габбро-диоритовый, щебень из амболитов, амболитовый, из гранито-гнейсов, из естественного камня, вторичный, переработанный, кирпичный, известковый, кубовидный, игольчатый, лящевидный, плоский, туфовый, терриконовый, из легкого ракушечника, из плотных пород, из тяжелых ракушечников и известковых туфов, из доменного шлака, шлаковый доменный, из сталеплавильного шлака, сталеплавильный шлаковый, бутовый, из бута, керамический, серпенитовый, легкий пенистый, пористый тормозит, тяжелый шлаковый, перлитовый, базальтовый, из базальта, железисто-кварцитовый, керамзитовый, вермикулитовый, газобетонный, из газобетона, змеевик, андезитовый, аглопоритовый, асбест, альбитофир, щебень отсев, декоративный, ягодный, яккима, черный горячий ГОСТ, мелкой фракции, мраморный белый, белый, известковый, укрепленный цементом, кварцитный, шунгитовый, шлаковый для дорожного строительства, ферросплавный, рядовой, доломитный, средней фракции, диабазовый, меловой.

Почему объемный вес разных типов щебня сильно отличается?

Внимание! Указанная в данной статье плотность сыпучих материалов является только примерной и весьма приблизительной. Чтобы узнать актуальную плотность необходимого материала – просто позвоните нам по телефонам (343) 372-15-80(81,82,83), и наши менеджеры бесплатно проведут для вас все необходимые расчеты.

Независимо от размаха строительных или дорожных работ очень важно разбираться не только в правильности подбора материалов по их качеству, но и в расчетах веса определенного объема материалов. Так если со штучными материалами достаточно все просто, то сыпучие материалы, как щебень, немало доставляют проблем с определением его достаточного количества на рабочем объекте. Расчет, сколько тонн в кубе щебня, можно провести, только учитывая особенности материала.

Отличия щебней, влияющие на его объемный вес

Щебень – натуральный качественный материал для заполнения объема при отливании бетонных объектов или мощения и отсыпки дорог и площадок. Получают щебень путем дробления разных каменистых пород, поэтому щебни существенно отличаются между собой.

Важнейшими параметрами для определения, сколько весит 1 куб щебня, являются:

  1. Вид породы, применяемой для производства щебня, так удельный вес туфового щебня составляет всего 800 кг/м3, а мраморного и шлакового – 1500 кг/м3.
  2. Размер и форма фракции щебня существенно влияет на наполнение объема, при этом выделяют отдельные свойства:
  3. Лещадность – самый важный параметр, описывающий форму щебня с учетом пластинчатости и игольчатости, т.е. какое количество «пластин и иголок» находится в общей массе, ведь от этого сильно зависит степень наполнения объема. Кубовидные формы щебня имеют высокое уплотнение, а вот игольчатые и пластинчатые – создают большое количество пустот, что при использовании в строительстве в качестве наполнителя бетона приводит к повышенному расходу основных материалов. Поэтому принято считать, что для плотного наполнения необходимо использовать щебень с предельно низкой лещадностью до 15%, а для создания отсыпки и «подушки» больше подходит нормальный щебень (25-50%), образующий большое количество пустот.
  4. Водопоглощение щебня – важнейший фактор, дающий погрешность при пересчете тонны в кубы щебень. Водопоглощение напрямую зависит от материала щебня (т.к. пористость очень разная) и от размера фракции (чем мельче фракция, тем больше поверхностное удержание воды). Общее водопоглощение в зависимости от вида материала щебня может быть до 10%, что часто приводит к ошибочным измерениям.
  5. Размер фракции щебня, от которого зависит насыпная плотность материала. Так если фракция щебня 5-20 мм имеет насыпную плотность 1,36 т/м3, то при увеличении фракции до 40-70 мм плотность будет составлять 1,32 т/м3. Поэтому всегда пересчитывая щебень м3 в тонны, необходимо учитывать размер его фракции.

Основы пересчета веса щебня в кубометры

Учитывая вышеперечисленные факторы, подсчет, сколько весит кубометр щебня, можно провести, только имея точные сведения о материале, отраженные в ГОСТе или сопроводительных документах на материал. Пересчет тонны в кубы щебня провести можно несколькими способами:

1. Зная точную плотность материала и насыпную пустотность, учитывающую размерность фракции можно провести расчет, к примеру:

  • Средняя плотность гранита составляет 2600 кг/мз.
  • Пустотность фракции 5-20 мм составляет 43%, а наполненность 57%.
  • Тогда насыпная плотность будет составлять 2600*0,57=1482 кг/м3
  • При тех же физических параметрах песчаника или известняка насыпная плотность будет значительно меньше, т.к. плотность материала составляет 2280 кг/м3, что дает результат 2280*0,57=1300 кг/м3.
  • Из выше полученных результатов можно определить, сколько щебня в 1 м3, так в 5 м3 гранитного щебня будет 7,4 тонны (1482*5=7410), а песчаной щебенки – 1300*5=6500 кг.

2. Зная насыпную плотность щебенки, которую обычно указывают в сопроводительных документах, и приобретаемый объем, узнать его вес не составит труда, к примеру:

  • Щебень гранитный – 1470 кг/м3 * 3 м3 = 4,4 тонны.
  • Щебень терриконовый – 1150 кг/м3 * 3 м3 = 3,45 тонны.
  • Щебень мраморный – 1500 кг/м3 * 3 м3 = 4,5 тонны.
  • Щебень туфовый – 800 кг/м3 * 3 м3 = 2,4 тонны.

Точность расчетов объема и веса щебня

При расчетах веса щебенки обычно используются усредненные показатели насыпной плотности 1400 кг/м3, но не стоит забывать, что материал также имеет параметры водопоглощение и уплотнения при транспортировке и хранении, которые не стоит сбрасывать со счетов. Ведь водопоглощение может составлять около 10%, что соответственно пропорционально увеличит вес и уменьшит объем.

Точно также имеется большое влияние на отношение вес/объем из-за размера и лещадности фракции щебня, ведь кубическая фракция достаточно быстро и легко уплотняется даже под своим весом, а игольчатые и пластинчатые слабо уплотняются даже при механическом воздействии. Поэтому данный параметр обязательно нужно учесть при заказе необходимого объема щебня, т.е. всегда необходимо использовать поправочный коэффициент 1,1-1,2.

Куб щебня: сколько тонн в кубометре вторичного отсева

В процессе строительства соблюдение пропорций и технических норм приготовления цементного раствора – это основополагающая задача. Все виды строительства должны начинаться с составления сметы, которая рассчитывается на основании требующихся ингредиентов. Щебень – это основной сыпучий материал, который испопльзуется в качестве наполнителя или для формирования подушки под фундамент. Его получают как вторичное сырье из строительных материалов или как первичное, при дроблении горных пород. Сколько тонн в 1 кубе щебня поможет сделать правильные расчеты затраты материалов.

Какие причины знать сколько веса в одном кубе щебня фракции 40 70

Вес позволяет определиться с количеством этого материала, который придется закупать. При чем на основании затрат щебня можно рассчитывать и другие материалы.

В основном расчет количества щебня проводится в метрах кубических, так как этот показатель существенно проще в расчетах и только затем он переводится в вес.

Так как щебень используется для насыпи и для бетонирования, в обоих случаях показатели нужно переводить по-разному.

Перевод щебня из м3 в тонны может использоваться для насыпи без дополнительных расчетов, но при формировании бетона количество данного материала существенно меньше, ведь щебень занимает только 60-70% всего объема цементной смеси.

В первую очередь проводится замер сколько кубов раствора или чистого материала потребуется, далее определяется массовая часть щебня 40 70 1 м3 в тоннах. Важно делать этот перерасчет, так как в кубических метрах материал не продается, он поставляется на вес, а не объем.

При этом к расчетному количеству необходимо добавить небольшой процент, учитывая, что не все будет использовано. Дополнительно знать сколько тонн в 1 куб м щебня полезно для того, чтобы знать какую машину заказывать.

Предварительно подготавливают место для хранения материала, учитывают нагрузку от щебня на несущие конструкции, особенно, если он используется для многоуровневых строений. Все эти факторы призваны сэкономить средства и получать ожидаемый результат от вложений.

На самом деле щебень не весь одинаковый, существует множество разновидностей, которые отличаются по весу в зависимости от плотности породы. Существуют и другие показатели, влияющие на вес, но тип порода щебня одна из основных. В зависимости от типа материала отличаются и показатели качества.

Удельный вес каждой породы сильно отличается, поэтому следует рассмотреть их отдельно.

Гравийный щебень – это самый распространенный тип, весит 1 м куб щебня 40 70 – 1600 кг, таким образом можно рассчитать сколько в 1 тонне материала на основании элементарной математики 1000 / 1600, так 1 тонна гравия занимает 0,625 м3.

Данный щебень очень популярный, так как весьма распространенный, соответственно острого дефицита и дорогой доставки нет. Самый распространенный способ добычи – дробление горной породы, в этом случае лещадность будет выше, соответственно цепкость материала улучшается.

Намывание гравия из реки – это альтернативный вариант, его количество ограниченное и мест добычи немного, соответственно выше и цена.

Гравий обладает высокими техническими характеристиками, поэтому он используется во многих сферах и различных масштабах строительства. Встретить щебень фракции 40 70 на основе гравия проще всего взглянув на жд полотно.

Следующий тип материала, с которым нужно определиться – гранит. Итак, сколько тонн в кубе щебня гранитного? – 1380-1400 кг/м3.

Чтобы узнать сколько кубов в тонне гранитного щебня можно использовать предыдущую формулу 1000/1400 = 0,714 м3 в 1 тонне. В силу высокой прочности и востребованности материала он стоит несколько дороже. Чаще всего применяется для отдельных работ или специфических сфер деятельности в силу своего черного цвета.

Процесс добычи – это взрыв горной породы и дальнейшая обработка оставшихся кусков при помощи дробления, просеивания, удаления нежелательных примесей и т.д. На основе гранита приготовляется бетон высшей марки.

По строению гранит схож с мрамором, поэтому сколько весит куб гранитного щебня, столько и мраморной крошки, хотя цена последнего еще выше. Напомним, вес составляет 1390±10 кг/м3.

В строительстве такой материал не используется, так как обладает высокими эстетическими качествами и дорогой, поэтому часто применяется для отделки помещений.

Известняковый

Известняковый щебень 40 70 весьма дешевый, а от этого и популярный, что точно определить сколько тонн в кубе нужно знать его насыпную плотность, характеристики и состав, но в среднем масса составляет 1330 кг/м3. Основная ценность известняка заключается в высокой устойчивости к атмосферным осадкам и промерзанию.

Его часто кладут в основание дорог и систем для дренажа воды. Во внутренней и внешней отделки ценится благодаря красивому внешнему виду и экологичности материала, риск выделения каких-либо вредных веществ минимальный. Цвет не чисто белый, а с красным, желтым, иногда даже бурым оттенком.

Строители предпочитают известняковый щебень, в котором содержится много карбоната калия. Данный компонент увеличивает прочность материала, а наличие примесей действие в обратном направлении.

Неоднородность структуры приводит к хрупкости изделия.

Более подробно о известняковом щебне 40 70 смотрите на видео:

Удельный вес песчаника, в основе которого лежит песок

Сколько весит 1 куб такого щебня – 1250 кг, таким образом рассчитать сколько кубов в тонне щебня несложно – 1000/1250 = 0,8 м3. Данная разновидность тоже экологически чистая и натуральная.

В основе лежит песок, который вследствие цементации образовал прочный материал.

Качественные показатели во многом зависят от типа клеящего вещества.

Шлаковый щебень – это дешевая и прочная разновидность. Нормативная таблица сообщает сколько весит куб щебня фракции 40 70 – 800 кг, но в силу сложности фракцевания кокса частички могут иметь различные размеры, выходящие за диапазон 40-70.

Получают его вследствие разрушения кокса. Высокая прочность обеспечивает качественные показатели приготовленного бетона.

Керамзитовый

Керамзитовый щебень – это материал, который обладает круглой формой, но поверхность обладает множественными порами.

Многие удивятся, сколько весит куб керамзитового щебня – от 210 до 340 кг. Причина такого низкого объемного веса заключается в наличии большого количества отверстий, соответственно его прочность невысокая.

Нормативная таблица не имеет четких определений сколько в кубе щебня тонн, так как все напрямую зависит от типа материала.

Вторичный щебень получается как результат разрушения определенных конструкции или как вторсырье некоторых отраслей производства.

Соответственно, чем больший начальный удельный вес материала и количество примесей в нем содержится, тем большие отклонения веса будут.

В целом очень приблизительно можно ответить сколько тонн в 1 м3 щебня – 1200-3000 кг.

Характеристики

Лещадность

Показатель лещадности указывает на процентное отношение частичек с неправильной формой к нормальным кускам щебня. В основном нежелательными считаются примеси с игловатой и пластинчатой формой.

Так как нормальная плотность материала невозможно при наличии в составе подобных частичек, то образуются пустоты, из-за которых вес щебня снижается. Лещадность определяется в процентном отношении общей массы материала и количества частичек с неправильной формой.

Чем ниже подобных примесей, тем больший вес, а соответственно и качество материала. В нормальном состоянии щебень имеет форму куба, поэтому хорошо укладывается и плотно фиксируется в растворе.

При этом количество смеси требуется меньшее, а так как клеящее вещество имеет меньшую площадь, то общее качество материала увеличивается, так достигается высокопрочный бетон.

На стороне производителя происходит контроль за качеством продукта, возможно используются дополнительные обработки.

На самом деле нормы допускают лещадность, если же производитель желает обеспечить более высокое качество щебня, будут применяться специальные техники устранения частичек. Соответственно такие материалы стоят несколько дороже.

Чистота материала

Конечно тип породы играет важное значение, но наличие примесей резко изменяют качественные характеристики материала и меняют его удельный вес. Тут о удельном весе щебня 5 20 В идеале порода должна быть чистой, но в реальных условиях достичь такого показателя нереально.

Допустимое количество примесей зависит от типа породы щебня и регламентируется отдельно. Производитель сопроводительной документации должен в полной мере раскрыть качественные характеристики поставляемого материала и его состав.

Насыпная плотность

На самом деле насыпная плотность используется только при транспортировке и выгрузке материала, в процессе строительства щебень подвергают трамбовке при помощи катка или вручную.

Качественное сырье меньше подвергается утрамбовке, так как количество пустот итак минимальное. Трамбовка обеспечивается даже при улеживании материала, в процессе транспортировки, при формировании подушки и т.д.

Усадка уменьшает объем материала, то есть в 1 м3 помещается больший вес щебня. Обычно процент усадки составляет 10-20%, но он зависит от способа трамбовки.

Вручную добиться лучшего результата можно только с помощью виброплиты, иначе хорошо использовать каток.

Чем качественнее материал будет закуплен, тем меньше этот показатель будет. Обычно, при правильной форме компонентов щебня усадка достигается только на 7-15%.

Полезная информация – сколько щебня в камазе 10 тонн и в бетоне

Отступая от теории немного в сторону можно рассмотреть реальные ситуации, например, сколько кубов щебня в КАМАЗе 10 тонн. Ведь зная, что необходимо 8 м2 щебня стает вопрос, какая машина сможет доставить его. За основание расчета возьмем стандартный гравийный щебень гост 8267-93 фракции 40 70, который весит 1600 кг.

Чтобы определить, сколько м2 материала привезет КАМАЗ достаточно общий перевозимый вес грузовика и разделить на вес 1 кубического метра. То есть 10 000 / 1 600, выходит 6,25 м2. Исходя из примера получается недостаточное количество щебня.

Дальше можно поступить 2-я путями: выбрать менее тяжелый материал, подходящим объемом будет обладать песчаник или заказать более вместительную машину. В данном случае 8 м2 * 1600 кг = 13 т, такая минимальная грузоподъемность должна быть у автомобиля.

Возьмем за пример вопрос, 10 кубов щебня это сколько тонн. Не меняя тип материала можно рассчитать, что 10 м2 * 1600 кг = 16 т. Так чтобы приобрести 10 м2 гравия придется заказывать несколько автомобилей по 9 т или один на 18 т.

Аналогичный вопрос, 5 кубов щебня это сколько тонн. Только в этот раз рассмотрим на примере известняковой породы, вес которой составляет 1330 кг/м3. Таким образом 5 кубов имеют массу 6650 кг (1330*5), его сможет увезти только автомобиль с грузоподъемностью 8 т.

Другой вопрос – сколько тонн щебня в кубе бетона. Его необходимо знать, так как в основном при строительстве известна лишь площадь поверхности, которая будет заливаться раствором.

Оценив необходимый слой бетона можно рассчитать сколько его потребуется.

Теперь нужно определить долю щебня, но она сильно зависит от соотношения ингредиентов при замешивании бетона. Согласно нормативам для приготовления раствора М300 придется использовать 1207 кг щебня, что составляет 0,816 м3.

В целом узнать сколько весит куб бетона м300 с щебнем несложно – 2389 кг, но вам может пригодиться информация о правильном соотношении компонентов. Например, для приготовления бетона М300 необходимо брать цемент М400 – М600. Если смесь М400, потребуется 385 кг, для М400 – 330 кг, а для М600 – 293 кг.

Теперь количество песка, в первом случае (М400) его требуется меньше всего – 504 кг, для цемента М500 – 550 кг, а для М600 – 582 кг. Остальные параметры статичны, необходимо добавить 1207 кг щебня и 220 л воды.

Необходимо помнить, что при формировании подушки, например, объемом 10 м3 необходимо делать зазор на утрамбовку сыпучего слоя. Таким образом потребуется не 10 м3, а 12 м3 щебня, который уплотнится и покроет поверхность. Рекомендуем также ознакомиться с нашей статьёй о насыпной плотности песка и материалом который подробно расскажет как с помощью калькулятора перевести тонны в м3.

Калькулятор массы

Это основной калькулятор массы, основанный на плотности и объеме. Этот калькулятор берет и генерирует результаты многих распространенных единиц.


Что такое масса?

Масса обычно определяется как количество вещества внутри объекта. Чаще всего она измеряется как инерционная масса, включающая сопротивление объекта ускорению с учетом некоторой чистой силы. Материя, однако, определяется в науке довольно слабо и не может быть точно измерена. В классической физике материя — это любое вещество, имеющее массу и объем.

Количество массы объекта часто коррелирует с его размером, но объекты с большим объемом не всегда имеют большую массу. Например, надутый воздушный шар имел бы значительно меньшую массу, чем мяч для гольфа, сделанный из серебра. Хотя во всем мире для описания массы используется множество различных единиц, стандартной единицей массы в Международной системе единиц (СИ) является килограмм (кг).

Существуют и другие общие определения массы, включая активную гравитационную массу и пассивную гравитационную массу.Активная гравитационная масса — это мера того, сколько гравитационной силы проявляет объект, в то время как пассивная гравитационная масса — это мера гравитационной силы, действующей на объект в пределах известного гравитационного поля. Хотя они концептуально различны, не было проведено убедительных однозначных экспериментов, которые продемонстрировали бы существенные различия между гравитационной и инертной массой.

Зависимость массы от веса

Слова «масса» и «вес» часто используются как синонимы, но даже несмотря на то, что масса часто выражается путем измерения веса объекта с помощью пружинных весов, они не эквивалентны.Масса объекта остается постоянной независимо от того, где находится объект, и, следовательно, является внутренним свойством объекта. Вес, с другой стороны, изменяется в зависимости от силы тяжести, поскольку он является мерой сопротивления объекта его естественному состоянию свободного падения. Например, сила тяжести на Луне составляет примерно одну шестую, чем на Земле, из-за ее меньшей массы. Это означает, что человек с массой 70 кг на Земле будет весить примерно одну шестую своего веса на Земле, находясь на Луне.Однако их масса на Луне все еще составляла бы 70 кг. Это соответствует уравнению:

В приведенном выше уравнении F — сила, G — гравитационная постоянная, m 1 и m 2 — масса Луны и объекта, на который она действует, а r — радиус луны. В обстоятельствах, когда гравитационное поле постоянно, вес объекта пропорционален его массе, и нет проблем с использованием одних и тех же единиц для выражения обоих.

В метрической системе вес измеряется в Ньютонах по уравнению W = mg , где W — вес, m — масса и g — ускорение, вызванное гравитационным полем. На Земле это значение составляет примерно 9,8 м / с 2 . Важно отметить, что независимо от того, насколько сильным может быть гравитационное поле, объект, который находится в свободном падении, невесом. В случаях, когда объекты подвергаются ускорению за счет других сил (например, центрифуги), вес определяется путем умножения массы объекта на общее ускорение от свободного падения (известное как собственное ускорение).

Хотя масса определяется как F = ma, в ситуациях, когда известны плотность и объем объекта, масса также обычно вычисляется с использованием следующего уравнения, как в калькуляторе:

м = ρ × V

В приведенном выше уравнении м — масса, ρ — плотность, а V — объем. Единица измерения плотности в системе СИ — килограмм на кубический метр, или кг / м 3 , объем выражается в м 3 , а масса — в кг .Это перестановка уравнения плотности. Более подробная информация доступна на калькуляторе плотности.

ХИМИЯ 311

ХИМИЯ 31

Осень, 2017

Домашнее задание 1.1 Текст Решения

гл. 1: 1а, 5, 12, 16, 22, 26, 29, 34, 37 отложено установить 1,2

1. a) Перечислите СИ единицы длины, массы, времени, электрического тока, температуры и количества вещество

длина

масса

время

электрический ток

температура

количество вещества

Блок

метр

килограмм

секунда

ампер

кельвин

моль

Аббревиатура

м

кг

с

А

К

моль

5. Сожжение окаменелостей топлива, произведенного людьми, в 2012 г. внесено около 8 петаграмм (Пг) углерода в год в атмосферу в виде СО 2 .

а) Сколько кг C было помещается в атмосферу каждый год?

кг C Год -1 = (8 Пг C год -1 ) (10 15 г C / 1 Pg C) (1 кг C / 1000 г C) = 8 x 10 12 кг C год -1

б) Сколько кг CO 2 помещались в атмосферу каждый год?

кг CO 2 год -1 = (8 x 10 12 кг C год -1 ) (44.01 г CO 2 / моль CO 2 ) (1 моль C / 12,01 г C) = кг

CO 2 года -1 = 3 x 10 13 кг CO 2 год -1

c) Метрическая тонна равна 1000 кг. Сколько метрических тонн CO 2 помещаются в атмосферу каждый год? На Земле 7 миллиардов человек. Найдите норму производства CO 2 на душу населения (тонн CO 2 на человека в год).

Метрические тонны на человека -1 год -1 = (3 x 10 13 кг CO 2 год -1 ) (1/7 x 10 9 человек) (1 метрическая тонна / 1000 кг)

Метрические тонны на человека -1 год -1 = 4 метрических тонны на человека -1 год -1

12. Пыль падает на Чикаго в из расчета 65 мг м -2 сут.Основные металлические элементы в пыли включают Al, Mg, Cu, Zn, Mn и Pb. Pb накапливается при скорость 0,03 мг · м -2 сутки -1 . Сколько метрических тонн (1 метрическая тонна = 1000 кг) свинца выпадает на 535 квадратных километров Чикаго в год?

метрическая тонна Pb год -1 = (0,03 мг Pb m -2 день -1 ) (1 г / 1000 мг) (1 кг / 1000 г) (1 метрическая тонна / 1000 кг)

(365 сут / 1 год) (1000 м / 1 км) 2 (535 км 2 )

метрическая тонна Pb -1 год = 6 метрических тонн Pb год -1

16. Сколько грамм метанол (CH 3 OH, FM 32.04) содержится в 0,100 л 1,71 М водный метанол (т.е. 1,71 моль CH 3 OH / л раствора)?

Масса CH 3 OH = (1,71 моль CH 3 OH / л soln) (32,04 г CH 3 OH / моль CH 3 OH) (0,100 л) = 5,48 г

22. Сколько граммов хлорной кислоты HClO 4 содержится в 37.6 г 70,5 мас.% водного раствора хлорной кислоты кислота? Сколько граммов воды в такое же решение?

г. HClO 4 = (70,5 г HClO 4 /100 г раствора) (37,6 г раствора) = 26,5 г

г H 2 O = (100% — 70,5% г воды) (37,6 г раствора) = 11,1 г

26. Концентрация сахар (глюкоза, C 6 H 12 O 6 ) в диапазонах крови человека примерно от 80 мг / дл перед едой до 120 мг / дл после еды.В сокращение dL означает децилитр = 0,1 л. Найдите молярность глюкозы до и после принимать пищу.

Для завершения преобразования нам нужна молекулярная масса C 6 H 12 O 6 .

МВт (C 6 H 12 O 6 ) = 12,0 * 6 + 1,01 * 12 + 16,00 * 6 = 180,1 г / моль

Перед едой: (80 мг глюкозы / 100 мл) (1 г глюкоза / 1000 мг глюкозы) (1 моль глюкозы / 180,1 г глюкоза) (1000 мл / л) = 0.0044 М

После еды = 0,0067 M

29. Рекомендуется питьевая вода содержит 1,6 ppm фторида (F ) для профилактики зубного налета. разлагаться. Рассмотрим резервуар с диаметром 4,50 х 10 2 м и глубиной 10,0 м. (Объем пр 2 ч, где r — радиус, h — высота.) Сколько граммов F следует добавить, чтобы получить 1.6 частей на миллион? Фторид обеспечивается гексафторсиликатом водорода, Н 2 SiF 6 . Как много граммы H 2 SiF 6 содержат столько F ?

Мы можем подойти к этой проблеме, используя размеры резервуара выяснить объем и массу воды. Затем мы можем использовать желаемую концентрацию для определения массы F . и H 2 SiF 6 должны быть добавлены.

Объем = (3.1416) (4,50 x 10 2 м / 2) 2 (10,0 м) = 1,59 x 10 6 м 3

Масса воды = (1,59 x 10 6 м 3 ) (100 см / 1 м) 3 (1,00 г воды / см 3 воды) = 1,59 x 10 12 г воды

1,6 ppm = 1,6 г F /10 6 г воды

Масса F = (1,6 г F /10 6 г воды) (1,59 x 10 12 г воды) = 2.5 x 10 6 г F

Масса H 2 SiF 6 — это просто масса F деленная на массовую долю F в H 2 SiF 6

(= 6 (19,00) / [2 (1,01) + 28,08 + 6 (19,00)] = 0,7911)

Масса H 2 SiF 6 = 2,5 x 10 6 г F / 0,7911 = 3,2 x 10 6 г

34. Флакон концентрированного водная серная кислота, обозначенная 98,0 мас.% H 2 SO 4 , имеет концентрацию 18,0 м.

а) Сколько миллилитров реагент необходимо разбавить до 1.000 л, чтобы получить 1.00 M?

M конц V конц = M dil V dil и мы решаем для V conc

или V конц = M dil V dil / M конц = (1.00 M) (1.000 л) (1000 мл / л) / (18.0 M) = 55.6 мл

б) Рассчитайте плотность 98,0 мас.% H 2 SO 4 .

Плотность = г раствора / мл раствора

= (100 г раствора / 98,0 г H 2 SO 4 ) (98,1 г H 2 SO 4 / моль H 2 SO 4 ) (18,0 моль H 2 SO 4 / л) (1 Л / 1000 мл) =

1,80 г / мл

Расчет плотности

К концу этого урока вы сможете:

  • вычислить одну переменную (плотность, массу или объем) из уравнения плотности
  • вычисляет удельную массу объекта, а
  • определяет, будет ли объект плавать или тонуть, учитывая его плотность и плотность окружающей среды.

Введение в плотность

Плотность — это масса объекта, деленная на его объем.

Плотность часто выражается в граммах на кубический сантиметр (г / см 3 ). Помните, что граммы — это масса, а кубические сантиметры — это объем (такой же объем, как 1 миллилитр).

Ящик с большим количеством частиц будет более плотным, чем такой же ящик с меньшим количеством частиц.

Плотность — фундаментальное понятие в науке; вы увидите это во время учебы.Он довольно часто используется при идентификации горных пород и минералов, поскольку плотность веществ редко меняется значительно. Например, золото всегда будет иметь плотность 19,3 г / см 3 ; если минерал имеет другую плотность, это не золото.

Вероятно, вы интуитивно чувствуете плотность часто используемых материалов. Например, у губок низкая плотность; они имеют низкую массу на единицу объема. Вы не удивитесь, когда большую губку легко поднять. Напротив, железо плотное.Если вы возьмете железную сковороду, она будет тяжелой.

Студенты и даже учителя часто путают массу и плотность. Слова «тяжелый» и «легкий» сами по себе относятся к массе, а не к плотности. Очень большая губка может весить много (иметь большую массу), но ее плотность низкая, потому что она все еще весит очень мало на единицу объема . Что касается плотности, вам также необходимо учитывать размер или объем объекта.

Как определить плотность?

Бетонный куб будет весить больше, чем куб воздуха того же размера, потому что он более плотный. Плотность не измеряется напрямую.Обычно, если вы хотите узнать плотность чего-либо, вы его взвешиваете, а затем измеряете объем. Вы собираете валун и приносите его обратно в лабораторию, где вы его взвешиваете и обнаруживаете, что его масса составляет 1000 г. Затем вы определяете объем 400 см 3 . Какова плотность вашего валуна? Плотность — это масса, разделенная на объем,
В данном случае масса 1000 г, а объем 400 см 3 , поэтому вы разделите 1000 г на 400 см 3 , чтобы получить 2.5 г / см 3 .

Еще одна сложность, связанная с плотностью, заключается в том, что вы не можете добавлять плотности. Если у меня есть порода, состоящая из двух минералов, один с плотностью 2,8 г / см 3 , а другой с плотностью 3,5 г / см 3 , порода будет иметь плотность между 3,5 и 2,8 г / см 3 , а не 6,3 г / см 3 . Это потому, что и будут добавлены масса и объем двух минералов, и поэтому, когда они разделены для получения плотности, результат будет между двумя.

Типичная плотность газов составляет порядка тысячных граммов на кубический сантиметр. Жидкости часто имеют плотность около 1,0 г / см 3 , и действительно, пресная вода имеет плотность 1,0 г / см 3 . Породы часто имеют плотность около 3 г / см 3 , а металлы часто имеют плотность выше 6 или 7 г / см 3 .

Как рассчитать удельный вес?

Чтобы рассчитать удельную массу (SG) объекта, вы сравниваете плотность объекта с плотностью воды:

Потому что плотность воды в г / см 3 равна 1.0 удельная плотность объекта будет почти такой же, как его плотность в г / см 3 . Однако удельный вес — это безразмерное число, и оно то же самое в метрической системе или любой другой системе измерения. Это очень полезно при сравнении плотности двух объектов. Поскольку удельный вес является безразмерным, не имеет значения, была ли измерена плотность в г / см 3 или в каких-либо других единицах (например, фунт / фут 3 ).

У вас есть образец базальта плотностью 210 фунтов / фут 3 .Плотность воды 62,4 фунта / фут 3 . Каков удельный вес базальта? Удельный вес — это плотность вещества, деленная на плотность воды, поэтому

Таким образом, мы разделим базальт (210 фунтов / фут 3 ) на плотность воды (62,4 фунта / фут 3 ) и получим S.G. = 3,37 .

Зачем нужно рассчитывать плотность или удельный вес?

Плотность имеет решающее значение для многих применений. Одним из наиболее важных является то, что плотность вещества будет определять, будет ли оно плавать на другом.Менее плотные вещества будут плавать (или подниматься) на более плотные вещества. Вот несколько примеров того, как это объясняет повседневные явления:

  • Вы задавались вопросом, почему поднимаются воздушные шары? Когда воздух нагревается, он становится менее плотным, пока общая плотность шара не станет меньше плотности атмосферы; Воздушный шар буквально парит в более плотном и холодном воздухе.
  • Вы когда-нибудь замечали, что в озере или океане вода теплее на поверхности и холоднее на дне? Это связано с тем, что более теплая вода немного менее плотная и, как следствие, плавает на более плотной и холодной воде
  • Вы знаете, почему извергаются вулканы? Эта огромная лодка много весит, но ее плотность должна быть меньше единицы.0 г / см 3 , потому что он плавает. Основная причина того, что магма поднимается на поверхность для извержения вулканов, заключается в том, что она менее плотная, чем окружающие ее породы.

Корабль, плывущий по воде, является прекрасной иллюстрацией разницы между массой и плотностью. Корабль должен иметь плотность менее 1,0 г / см 3 (плотность воды), иначе оно затонет. Корабли имеют большую массу, потому что они сделаны из стали, но из-за большого объема их плотность меньше единицы.0 г / см 3 . Если к ним добавить достаточно массы, так что их плотность превышает 1,0 г / см 3 , они утонут.

Чтобы попробовать несколько практических задач, перейдите на страницу с примером проблемы!


Где плотность используется в науках о Земле?

Галенит, свинцовая руда, является одним из самых плотных обычных минералов.

с http://mineral.galleries.com/.

  • Isostasy — определение того, насколько высоко континенты будут располагаться на мантии
  • Тектоника плит — механизмы, приводящие в движение тектонику плит
  • Минералы — определение названия минерала по его плотности
  • Скалы — определение названия и состава породы по ее плотности
  • Гипсометрическая кривая — исследование причин изменения высоты на Земле
  • Океанография — некоторые океанические течения и циркуляция океана контролируются плотностью


Следующие шаги

Готова к ПРАКТИКЕ! Если вы думаете, что разбираетесь во всех перечисленных выше вещах, нажмите на эту панель, чтобы попробовать несколько практических задач с отработанными ответами!
Или, если вы хотите еще больше практики, перейдите по ссылкам ниже

Дополнительная помощь с плотностью

Электронная лаборатория Edinformatics по массе, объему и плотности создана NYU.Это позволяет вам просматривать изображения измерений и вводить данные.

Hyperphysics, в штате Джорджия есть страница о плотности и преобразователе плотности . Сюда входит несколько связанных страниц, включая инструкции по измерению плотности с использованием принципа Архимеда.

На странице Википедии, посвященной удельному весу, объясняется, что такое удельный вес и как он используется, и даже обсуждается его использование в геонауках и минералогии. Однако содержание статей Википедии может измениться, поэтому вы можете быть осторожны.

На странице Википедии «Плотность» дается общее обсуждение плотности, ее истории, расчета и единиц измерения. Однако содержание статей Википедии может измениться, поэтому вы можете быть осторожны.


Эта страница была написана и скомпилирована доктором Эриком М. Бэром, геологическая программа, Общественный колледж Хайлайн, и доктором Дженнифер М. Веннер, геологический факультет, Университет Висконсина, Ошкош

14-й РП: единицы Мероприятия

% PDF-1.6 % 1 0 obj> поток 2016-08-04T10: 44: 05-04: 002016-08-05T09: 41: 02-04: 002016-08-05T09: 41: 02-04: 00Adobe InDesign CS4 (6.0.6)

  • JPEG256256 / 9j / 4AAQSkZJRgABAgEASABIAAD / 7QAsUGhvdG9zaG9wIDMuMAA4QklNA + 0AAAAAABAASAAAAAEA AQBIAAAAAQAB / + 4AE0Fkb2JlAGQAAAAAAQUAAiMA / 9sAhAAKBwcHBwcKBwcKDgkJCQ4RDAsLDBEU EBAQEBAUEQ8RERERDxERFxoaGhcRHyEhISEfKy0tLSsyMjIyMjIyMjIyAQsJCQ4MDh8XFx8rIx0j KzIrKysrMjIyMjIyMjIyMjIyMjIyMjI + Pj4 + PjJAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQED / wAARCAEA AMYDAREAAhEBAxEB / 8QBogAAAAcBAQEBAQAAAAAAAAAABAUDAgYBAAcICQoLAQACAgMBAQEBAQAA AAAAAAABAAIDBAUGBwgJCgsQAAIBAwMCBAIGBwMEAgYCcwECAxEEAAUhEjFBUQYTYSJxgRQykaEH FbFCI8FS0eEzFmLwJHKC8SVDNFOSorJjc8I1RCeTo7M2F1RkdMPS4ggmgwkKGBmElEVGpLRW01Uo GvLj88TU5PRldYWVpbXF1eX1ZnaGlqa2xtbm9jdHV2d3h5ent8fX5 / c4SFhoeIiYqLjI2Oj4KTlJ WWl5iZmpucnZ6fkqOkpaanqKmqq6ytrq + hEAAgIBAgMFBQQFBgQIAwNtAQACEQMEIRIxQQVRE2Ei BnGBkTKhsfAUwdHhI0IVUmJy8TMkNEOCFpJTJaJjssIHc9I14kSDF1STCAkKGBkmNkUaJ2R0VTfy o7PDKCnT4 / OElKS0xNTk9GV1hZWltcXV5fVGVmZ2hpamtsbW5vZHV2d3h5ent8fX5 / c4SFhoeIiY qLjI2Oj4OUlZaXmJmam5ydnp + So6SlpqeoqaqrrK2ur6 / 9oADAMBAAIRAIRAxEAPwCbeU / KflW58q6L cXGi6fNNNp9rJJJJaws7u0MbMzM0ZJJJ3OKpt / gzyf8A9WHTf + kOD / qnirv8GeT / APqw6b / 0hwf9 U8Vd / gzyf / 1YdN / 6Q4P + qeKu / wAGeT / + rDpv / SHB / wBU8Vd / gzyf / wBWHTf + kOD / AKp4q7 / Bnk // AKsOm / 8ASHB / 1TxV3 + DPJ / 8A1YdN / wCkOD / qnirv8GeT / wDqw6b / ANIcH / VPFXf4M8n / APVh03 / p Dg / 6p4q7 / Bnk / wD6sOm / 9IcH / VPFXf4M8n / 9WHTf + kOD / qnirv8ABnk // qw6b / 0hwf8AVPFXf4M8 n / 8AVh03 / pDg / wCqeKu / wZ5P / wCrDpv / AEhwf9U8Vd / gzyf / ANWHTf8ApDg / 6p4q7 / Bnk / 8A6sOm / wDSHB / 1TxV3 + DPJ / wD1YdN / 6Q4P + qeKu / wZ5P8A + rDpv / SHB / 1TxV3 + DPJ // Vh03 / pDg / 6p4q7 / AAZ5P / 6sOm / 9IcH / AFTxV3 + DPJ // AFYdN / 6Q4P8Aqnirv8GeT / 8Aqw6b / wBIcH / VPFXf4M8n / wDV h03 / AKQ4P + qeKpTrPlPyrFqOgJFounok + oSRyqtrCA6Cwv5OLgR7jkimh7gYqm3kz / lD9B / 7Ztn / AMmI8VTK / uJrWzluLeA3Usa8khU0LnwBo36sVY7 / AIq8wf8AUt3H / Iw / 9UMVd / irzB / 1Ldx / yMP / AFQxV3 + KvMH / AFLdx / yMP / VDFXf4q8wf9S3cf8jD / wBUMVd / irzB / wBS3cf8jD / 1QxV3 + KvMH / Ut 3H / Iw / 8AVDFXf4q8wf8AUt3H / Iw / 9UMVTvSL671C0NxeWb6fJzK + jIeRoKfFUqnWvhiqPxVj935i 1S2upYItDubhI2KrKh + FwP2h8B64qo / 4o1j / AKl67 + // AK94q7 / FGsf9S9d / f / 17xV3 + KNY / 6l67 + / 8A694q7 / FGsf8AUvXf3 / 8AXvFXf4o1j / qXrv7 / APr3irv8U6xSp8vXf3n / AKp4q1 / irV / + pevP x / 6p40rv8Vav / wBS9efj / wBU8aV3 + KtX / wCpevPx / wCqeNK7 / FWr / wDUvXn4 / wDVPGlXReaNWklR G0C7RWYKXNaKCep / d40rJcVSXXf + Op5c / wC2lJ / 3TtSxV3kz / lD9B / 7Ztn / yYjxVMdRvRp1jNesj SiBeZRep9hirF / 8AlYkH / VtufwxV3 / KxIP8Aq23P4Yq7 / lYkH / VtufwxV3 / KxIP + rbc / hirv + ViQ f9W25 / DFWY4q7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYqkuu / 8dTy5 / 20pP8AunalirvJ n / KH6D / 2zbP / AJMR4qmd692lpK9iiy3IWsSOaKzeBNRiqQfXvPX / AFbLT / kb / wBfMVd9e89f9Wy0 / wCRv / XzFU20ibWJoHbWbeO2mD0RYm5ArQbn4m74qmGKuxV2KuxVarK1eJBpsaGtMVXYq7FUJqcm oRWbvpcST3QI4RyHipFfi3qvbFUk + veev + rZaf8AI3 / r5irvr3nr / q2Wn / I3 / r5iqd6ZJqEtmj6p EkF0SeccZ5KBX4d6t2xVF4q7FXYq7FXYq7FXYq7FUl13 / jqeXP8AtpSf907UsVd5M / 5Q / Qf + 2bZ / 8mI8VRmtJG + lXSSrG6GMhlmkMUZH + VICOIxValtYW + itb2AjayED + mDITGUYMd5eRPE161xVimhW + gW2oLc3SabaeiC8UsWoGRvUqABxeWlKE4qzmOSOWNZYmDxuAyOpBVlIqCCOoOKrsVY55ugtJ0tB eRWsqh4p9buTbUrxrw4unLFXeYLXTf0FaQRR2s1mjx + gLi5aGLj6b8SsocFjQ7b7jFWOW2i2t7IY rPTNNuJAORSLUZXYKCBWiynbfFU3tNM1ixnjubPRLGCWGP0kZJ3Hwnry7Mf8o1OKpj9b84f9W + 0 / 5Hn + mKp6teI5bGm4HjiqX69FNNpskcEc0zkrRLaUQyGjDpIemKr9QikbSZYY0lkf0goSOQJKSKdJ D0PvirEP0bqn / LBq3 / cQT + mKr4bLVYZUmGnaoxjYOFe / QqaGtGFNxirLdMvL28jdr2yawZSAqu6v yFOvwYqlHmW0vLi6ia2tr2dRHQtaXSwKDU7MrDc ++ KpN + jdU / wCWDVv + 4gn9MVTXy7bX1tflp7O + hR42UvdXazoN1bZAOu3XFWUYq7FXYq7FUl13 / jqeXP8AtpSf907UsVd5M / 5Q / Qf + 2bZ / 8mI8VRms uiaXcu5hChCSbhS8X + zQAkjFUNp8jN5e9WV7Vl9FyrQxstvwAbj + 7IrxA6imKsO + u2P + / дБ / 6QpP + qeKp7pd15i1C3rpV5pkkEFIgI4plVaAUUA8egxVHRxecRIvq3FgUqOYVJa0rvTfFVLzbNDFHa + q 1ivJnC / X4WmB2X7AVWp74qoalOF8tWMt1JpxDOvBpoHe148ZPTEUfElTwp28cVQGkzXT3Kro02kp cTIxrHaSxFlDfFwfgnJfhHfriqdej50 / 5aNP / wCAl / riqeR8 + C + pQvQcivSvemKrsVQeqyalHZO + kRxzXYK8EmNEIqOVfiTt74qkP138wv8Aq32P / BH / ALKMVd9d / ML / AKt9j / wR / wCyjFU10SbzDN6 / 6et4Lfjw9D0DXlXlz5fvJPbFU1xV2KuxV2KuxV2KuxV2KpLrv / HU8uf9tKT / ALp2pYq7yZ / yh + g / 9s2z / wCTEeKo7VmZdNuGRnRgho0SCVx / qxnZsVQOlTyy6FKzyXDSRrKvqTQCOXYFgVhGxpXbxxVJ NNh2HU52gj1G9gKoX5XFhFGpAIFAT3 + LFWW2NtJaWqQTS / WJFrzmKhC5r1KrtiqIxVIfNMs0cdv6 MtzFVmr9Vt1uSdl + 0G + ziqDnurhvLts4nvVlWco0os1aZhSQ / FATRV6b + 2KpUL7UFoVvdUFNhTTk 2 / HFVRdS1Acud9q7EiiUsEFGqNz1riqdx + bLdUVWsdRdlABY2xFSO / XFUx0zV4tV9X07e4t / R41 + sxGPly5fZr1 + zvirtaBNl9gyUkjJUSiDYOprzbw8O / TFWtaHq6TOI0M / JQQiTCAt8S9JjsuKsQtk urW4juY9LkLxMHUPq8TLUeIPXFWdxTQzAmGRZANiUIan3YqkvmqJ5beAJbtckOdku1tKbdeT / a + W Kq / mBBLpFIYzdDknFUuFtyR4 + s239cVYvbWJluI47mxmt4WYCSX9LRvwU9W4ruaYqnsHl7QfVQw3 szuGBVRdFqkb9OW + KsixV2KuxV2KpLrv / HU8uf8AbSk / 7p2pYq7yZ / yh + g / 9s2z / AOTEeKo / VA50 + cRrM7lNlt24Sn / UbscVU7dJF0ZVK3HqegfhketxUqdvU / n98VYr6Oo / 8s2vf9JgxVMrHVNTsbcW 40jUbihJ9S4lWR9 + 3InFU103U7y + leO406axVV5B5SpDGtOI4nFUN5kS4dIPQjvpSC1fqE3okbD7 fj7Yq1qkVwNGtY4kv5ZFMfIW83C4HwNX1ZP2vf3xVB6F641BFe21KKisJHu7n1UJO4LpyO / YYqyj FXYq7FULqENjcW / oaiqPBI6Jxk6M5YBB8y1KYqh9Zjhi0WaIJB6UaKoS5JWEKCoAcjemKpVouj + W 9StA72tjLcJUTC1YvGtS3Hcmu6jFU9sdMsNMRo7CBbdZDyYJtUjbFUr81JHJDbI8dlKWkIVb92Ra kfscepxVS1CKWDy4kGoQWEbRsq + jK7rbKoNEo32q0xVJ9Ng0Ka6ijvk0gpLVeFuz8w5NECs7kPy + QpirK00LR47lLyOziSeOhR1XiRTbam2KphirsVdirsVSXXf + Op5c / wC2lJ / 3TtSxV3kz / lD9B / 7Z tn / yYjxVHarbm7064tlhW4MqFRE7FFb2LLQjFVsVksGjiwigVQIDGLfmxWpU1TmTypU9cVYtaeUF e4jW80S2igJ / eOl3OzAew54qzCzs7bT7aOztE9OCIEIlS1ATXqxJ74qr4qkXmbSn1SO3VLGK / wDS LEiaZ4eFQvT0yK1pirWr6MLjRrXT7exiuVt2Qi3kmkjVAqMtQ6tyNK03OKpdp2iXtpd2ci6LZ24t nNJo53Miq5o5Nd3IBNOVadsVZfirsVdiqWeYJjb6Y8wmFuyOhWVovX4kMKH0 / H9WKoBdQF35YmuJ LsTOlUkuXtjxJ5gj / R2G + zAYqx + DWJLUEW2rxwhvtCPTCtaePFRiqIh8yXSyo02tGSMMC6DT3BZQ dxWm1RiqbeYNRgl0 + yvYbhbeOVi0by2puCdv5CtVPviqGfVVvPL8jzXyzSRTKr3ElkWXfdV9Bl3 + eKpOt + OSFNRhLR7pTSt1AJeo + Ham5xVm + kalBqlmJoJGl9MiKR2Ro + ThVLEKwH82Ko7FXYq7FXYq kuu / 8dTy5 / 20pP8AunalirvJn / KH6D / 2zbP / AJMR4qmOoC7NlMLGRIrkr + 6kl + wreLbN + rFWOi18 / leY1GwK + IBp / wBQ + Kp7pkl1HYxJqtxDNeDl6rxEBD8TcabL + zTtiqMV0cVRgw9jXFV2KrWdE + 2w WvSppiq31oaV9Raf6wxVcro4qjBh7GuKrsVdirsVQ1 / bTXds0EFw9o7EETR0LChr38cVUU0 + 6XTW sTfStOa0uyF9QVbl8vbFUB / h / VP + r7d / 8Cn9MVT7FUFqdjc30aJbXstiUJJaEAlhToeWKoddJvls Hszqk7TNJzF0QvNVoBwG1KbYqhj5f1Hbjrl2DT4j8JqanehG22KpzbRPBbxwySNO6KFaV / tOR + 0a Yqq4q7FXYq7FUl13 / jqeXP8AtpSf907UsVd5M / 5Q / Qf + 2bZ / 8mI8VRmshG0u5EixSIUNVnf04yP8 t6igxVD2Fs1roDW01tDbBY5f3CyEw8W5NvIxrQ13OKsVtdHS9DGy0jTLkJQMYbx3pXpXixxVluga cunWPpm0jspJGLyRQuzrXoDyYnsBiqZ4qx3zalu8dr9Yhs5wGfiL2f0ANl + weS198VQF5otjYaNG 82nWME80y + tFNctHD8Il4FZGYVbienucVXeX7q4gmWy0y201YZHEk62136rhaqruFqx2GKsvxV2K uxVLPMK2D6VKupvLHbVTk0FedeQpTiGPXFUjn8p + Xrex / SMtxei3CLJUOS3FqU + EJXviqH0q88o6 PdG7tbi9dyhSkqSMtCQenpjwxVmVtcRXdvHcwkmOZQ6Egg0O42O + KofU9XstIjSS9ZlWQlV4Iz7g V / YBxVbLrVhDpyapIzi2kpxIRi3xbD4AOWKoD / Gmg / 78m / 5ES / 8ANGKu / wAaaD / vyb / kRL / zRirv 8aaD / vyb / kRL / wA0YqitO8xaXqtwbazeRpApejxugoKDqygd8VTTFXYqkuu / 8dTy5 / 20pP8Aunal irvJn / KH6D / 2zbP / AJMR4qjNaeNNKunlaNEEZLNNGZYwP8qMA8hiqja3sV75f + tieOZGgflN6bCM lAyOfSZeXGqnamKse0LzJoOmCcXN9aAS8SotLOWDpyrz4xb9RTFWXWd5bahbR3lo / qQSglHoVqAa dGAPbFVfFWN + cJ7WGK1NzNawgs / H63bG5B2X7IVG44qs1rULS48u2V5NdWrJK6Az3Fs80TuEkDcY ihZSSpoadMVSnRbkT36Q6Rfaaty4P9zYPExUfEw58F8PHFWe4q7FXYql2vet + jZPQ + s86rT6lT1v tD7PL8cVb1N5ZdIkkjW5jkdFYJb0FwpJU0Wu1R3xVCeWluRBO9y18SXAC6jTkAB1Tj2NcVTvFUk8 y / WfQg + rfXq8zX9HU5Up + 3y7Yq7UHuZNAieNL + OUiMFYOIuttjyrt88VY7 / uU / 7 + H / hMVTm10S5v YEul1HVLESV / 0eaWrpQld + fM70r1xVW / w1df9XvUP + Ri / wDNOKu / w1df9XvUP + Ri / wDNOKqltoFx b3Ec7avfTCNgxjkcFGp2YcemKp1iqS67 / wAdTy5 / 20pP + 6dqWKu8mf8AKH6D / wBs2z / 5MR4qjtVd o9OuHVpYyqEhrdeco / 1F7nFVK2u / rWjGdfrEZETLykj4z1QFefD + Y0qMVY5YatJaXKzzy6xdooIM MlqApqKfs + GKpt / i21 / 6t + of9Izf1xVG6ZrMOqO8cdtc25jAYm4iMYNdvhJO + KoTzNNLClv6c95B yZgTYxCUn7P269PbFVPU75ptEtrqF7 + 2LyBSYYeVweIkU + pGegJWv3Yqh9CvZ0vES4k1O4W6UrH9 bgVY14n7RKMSv2SN8VZRirsVdiqXa9bvdaZJDHatfMxU + gs3oFqMD / edqYqg2slt / LLWv1JlJXk1 m1yAQzOGK / WSafTirHU0aeVQ8flyR1PRl1VSD9IOKs7gUrBGpXgVRRwJ5caDpy70xVJfNUImt4Ab P69RyeP1oWnHbryYjl8sVQf1NE8sCMacfjm5m0 + vL1rx5fWa0 / Z6Yqg7G1W2ns7pNMhjZJaUGpB5 IwTQvJX4XHgATirNsVdirsVdirsVSXXf + Op5c / 7aUn / dO1LFXeTP + UP0H / tm2f8AyYjxVHaqkkmn XCRJJI7IQqQuI5Cf8lz0OKoTTfrb6LJBcWs9vJGjxJHJMrzOONQ3qr0JJpiqUaZLrOler6ekX1x6 3Gv1m8jk48eX2ajb7W + Ksk0 + 5ubq2Et3atZSkkGFmDkAdDVdt8VRWKpH5mt7m4jtxbQXVwVLchaX AtyKhftFga4qhrxNRutCt4msbxJoZVT0orpUmKIjKJHlpQ17jxxVLbS21a0uY7ldN1ORojyCS36M h / 1lpviqdLrWutX / AHBSLQE7zx707dDiqbWc01xbRzXEBtZXBLQswYrvT7S7Yqr4qg9UvDYWn1n1 IYVV0DvccuAQsA32N + VOnviqE1O8s7 / Qbi5tpLaa3YUD3PL0DRwDz4fF18MVY3a + YL6xgS1tLzQo YY68UU3NBUlj + JxVm1tKJ7aKcMriVFcMleJ5AGq17eGKpH5v9L6tb + r9Rp6hp + kfU4dP2PR3riqn qMmjv5c46WbE2UcoVRc8 / q4avIj938VatirG4UgklRIR5eaRmCoB9ZqWJ2p9OKsrZfOwpwbS2qAW 5CcUbuFoTUYqjNM / xBzf9M / U + FB6f1T1a178vV7YqmWKuxV2KpLrv / HU8uf9tKT / ALp2pYq7yZ / y h + g / 9s2z / wCTEeKplfteJZytp6JJdBf3SSfZLe + 6 / rxVJ9MufOMl9Emq2drDZnl6rxElx8Lcafvm / ap2xVkGKuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KoXUHeO1Z0tTfMCP3A41bf8Ay9tsVQ + p27SaNLBbwujOqkRW / BXBJUkKW + GuKsYsvL17c3Cw3A1G0jIJMryW7KKDwRSd8VTyDy3PBJGw1e + ZIipEZdeBCn7JAXpi qO1WWSKOMx6edSJY1RSg47df3hGKrZ2MWnJJFpvrM / Fms19MFWYb1r8NVxVLxe3SkMvluQEbghoK g / 8ABYqnVnPNcWyTTwNayNXlC5DMtCQKlSRvSuKq + KuxV2KuxVJdd / 46nlz / ALaUn / dO1LFXeTP + UP0H / tm2f / JiPFUdqyPJptxGkbTMyECNZBCW9hIfs / PFVqPNc6QXkg4SyQsDAsqkg8SOImX4f9li rHdIl1XS5GWLR34TlBI82pRS8QpO4BH + VirLVliY8VdWPgCDiq / FUh80281xHbCG0ku + LPUR3a2n GoXqW + 1irtbFzf6NbSfUmlmd0d7eK7SHhVHr + / 8AssBWlB164qkun6Q817FFe6fcWsDE8pTqaygE AlR6aUJ5EUxVnGKuxV2KoTU5NQis3fS4knugRwjkPFSK / FvVe2KpJ9e89f8AVstP + Rv / AF8xV317 z1 / 1bLT / AJG / 9fMVd9e89f8AVstP + Rv / AF8xV317z1 / 1bLT / AJG / 9fMVd9e89f8AVstP + Rv / AF8x V317z1 / 1bLT / AJG / 9fMVd9e89f8AVstP + Rv / AF8xVWtLzzi91El5p9tHbswErpJVlXuQPUOKsgxV 2KuxVJdd / wCOp5c / 7aUn / dO1LFXeTP8AlD9B / wC2bZ / 8mI8VTHURZNYzDUeP1Qr ++ 5EgcfemKpWv mDyotr9SW8gFvw9L0wSBwI40 + 7FVGy8ueTtRh + sWVtFPFUrzRnpUdR9r3xVMLLy5omnXC3VlaLDM gIVwWJAIoerHFUzxVBajpGnassa6jAJxESUDEihNK / ZI8MVdd6Rpt9ax2N1brJbwkNHHuApUFR9k jscVQ9r5Y0GyuEurWzSOaI1R6saGlK0ZiMVTXFXYq7FUNf2f1 + 2a29ea15Eh2bZ / TkFDXZqHrirU 9l69h9R + sTx / AqfWI34zfDT4udOppviqWR + V / TkWT9Mao / AhuLXNVNDWhHDpiqe4qgNT0v8ASaxr 9curL0yTW0l9ItWn2vhatKYqhdaiS30mGCSfUKRGNPWsmrctxUirtTev7R8cVY3ztf8Alq8zfe3 / ADTirudr / wAtXmb72 / 5pxV3O1 / 5avM33t / zTirJ / LsscliyRteuI3IL6kD6xqAeppVd8VTbFXYqk uu / 8dTy5 / wBtKT / unalirvJn / KH6D / 2zbP8A5MR4qmGpnjYTn6ul5Rf955WVUf8AyWaSqj6cVQtt ouiTW8crabY8nUFvTijdOVPiCtwFRXFVHULqTQlig0jTIJIpOTOqzQ2iqRT9lgOVcVULbzFqktxH Hc6ZFbwswEkv16B + Cnq3FdzTFWQAhgGU1B3BHQjFUNqNzPZ2UlzbQi5lTjxiaRYQ1WCn94 / wigNc VQ9vqV1Npcl61vGLmMMfqyTowDAVCNMPgBOKpX / ibW / + rNF / 3ELf + mKpxYaiLmCNrow29xJ1gSZZ Su + w5LSp + WKo7FXYqoXd5a2EDXN5IsMK0DO3QVNBiqX / AOK / Lv8A1cIfvP8ATFXf4r8u / wDVwh + 8 / wBMVd / ivy7 / ANXCH7z / AExV3 + K / Lv8A1cIfvP8ATFULqOteVtTt / q1xqSogYPWKRkaor3X54qlf o + Sf + rtL / wBJMmKo + y8u6BqMP1iyu7meKpXmlw9KjqPxxVEf4P0v / f13 / wBJD / 1xVH6Zo9rpPq / V nlf1uPL1pGkpx5Upy6faxVh5q7FUl13 / AI6nlz / tpSf907UsVd5M / wCUP0H / ALZtn / yYjxVGa1x / RV1z9Hj6Zr9Z5ej / AM9OHxU + WKpPYS + aprKCTTG0drbiVQoLgL8LMtF + 7FVPzbwrZ / Wv0Z6nBuX1 / wBbr8NfS9Lt88VY7 / на / fvf9PWKsw0r / E3K2 + sfo39H8R / vN6 / Phx + Dhz28OuKonzHw / Q1z6n1f j8FfrnL0P7xPt + n8Xy98VSvS5LRvLV5HEdOPprJ6og9T6qOQ29Tl8fTrirH7W0S + nS1tI / L800le KL9ZqaAsfwGKprB5b1y2mS4gstEjliIZHAuagjoRviqc2n + LvrMf179G / Vq / vfR9f1Kf5PPauKpz iqA1oxDT5DNZ / pBKrW3 + h5txv8e23XFWN / 7j6sP8Lp8HU1h43p8Hj1 + 7FWnbTIxVvK60pyqPRoB7 1p9OKtc9N / 6lX8If64q7npv / AFKv4Q / 1xV3qaYCAfK256bQ / 1xV3PTf + pV / CH + uKo201trGL0LPQ JoI6luEbRKKnvQN7Yqrf4nvf + rNcf8HH / wA1YquXzHqL7pol01PBoz / xtiqKsNXvru5WCfSri0Rg SZpCpUUFf2T3xVNsVSXXf + Op5c / 7aUn / AHTtSxV3kz / lD9B / 7Ztn / wAmI8VRusSelplzJ6gi4oT6 hj9UL7 + n + 18sVX6dc2l5Zx3NiONu / LgOBToxU / CQKbjFUl813f1aS2h2tLXkh3e0 + s8qFe9DxxVF aXqGg6s7QWkKvJGnJ + VuUFKgftoPHFU5ACgKooBsAOgGKpfr8vo6TcS + qIOPD940XrgVdB / db1xV AWeo2dzoNzJayqHgiInn + rFVL8a8 / RKjl8sVSK0vbyWaL6rqaK0kiwpKNN4gSSbKpagpXFU // R3m z / q8w / 8ASKv / ADViqYaZb6rbrINUvEvCxHplIhFxArXoTXFUdiqHvbG11G3a0vYxNC5BZCSAaGo6 EYqln + DvLX / LAn / BP / zXira + UPLaMGWwSqmoqzncfNsVa / wd5a / 5YE / 4J / 8AmvFXf4O8tf8ALAn / AAT / APNeKtjyh5bUMBYJRhQ / E / SoP83tirX + DvLX / LAn / BP / AM14q7 / B3lr / AJYE / wCCf / mvFXf4 O8tf8sCf8E // ADXiqP0 / StP0pHj0 + EQLIeTgEmpG37ROKozFXYqkuu / 8dTy5 / wBtKT / unalirvJn / KH6D / 2zbP8A5MR4qmV9dGys5bpYnnMS8hFGKs3suKsd / wAaz / 8AVkvv + AP / ADTirv8AGs // AFZL 7 / gD / wA04qitM80S6jfRWbaXd2ol5fvpVIReKs25p3pTFWQYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7F XYq7FXYq7FXYq7FXYqkuu / 8AHU8uf9tKT / unalirvJn / ACh + g / 8AbNs / + TEeKo7VZZIdOuJYpWgd EJWVI / VZT4iM / a + WKpV5e1ozt9Ruri4vbiRmdZpLT6sqqFHwfDt2O / viqC1zU7 + 31SeGDVbi1jXh SGPT1nVaop2lJ + Kta / hiqnp3mGe2uDJqGoXd / DxIEX6PEXxbUbklTiqar5v0xmCiG7qTTe3fv9GK rfM97dWn1X6tfS2PP1OXo2ouudOFK8vs0r9OKobT / NMFtbCK / lu76YEkzfUzFUHoOCVG2KqWqeYJ Ln0ptOvbrT4 / iRk + oesWYcTX46U + 1iqX / pnVf + r3d / 8AcKT + uKp7H5v05UVXju3YABm + rOKnuaUx VE2fmWxvrlLWCK5DydC8LKo + ZOKpvirsVdirsVdirsVdirsVdirsVdirsVSXXf8AjqeXP + 2lJ / 3T tSxV3kz / AJQ / Qf8Atm2f / JiPFUw1K6eysJ7tOHKJeQ9U8U / 2TdsVVoGd4Y3lAV2VS4U1AJG9DirB fMxsxrdz6qW7P + 7qZLuWJv7tOqJsMVSrlp / ++ 7T / AKT58VTm283XNpbx20I08RwqEQG5cmg2G5Wu Kqv + Nr7 / ALV3 / SQ3 / NOKu / xtff8Aau / 6SG / 5pxVUg863DTxrcNYJCXUSMs7FlSvxEDj1piqdf4r8 u / 8AVwh + 8 / 0xVXs9d0jUJhb2V3HPKQW4Kd6DriqYYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYqkuu / 8dTy5 / 20pP8AunalirvJn / KH6D / 2zbP / AJMR4qmd7bvdWstvHJ6LSLxEnEPx9 + LbHFULpdhf2Rk + u6g9 + HACB41j4UrWnDxxVCaj5fvL28kuotR + rpJxpF9Xik40UL9pxU9MVQv + FdQ / 6u3 / AE6Qf0xV H6ZoZsvV + vTrqHPjw5wRx8Kcq04DetcVdqehm99L6jOun8OXPhBHJzrxpXmNqUxVfpuirZxOl7Il + 7NyWR4Y0Kig + GiDFUp8zQvBPALKK6RShLfUbKK4Wtf2y5WhxVKrWS8inSaa31WeKIhnibTIVDio + Goev3YqncfmG2ibnFoGpRt05LZgH8HxVWXzTyYL + htVFTSptdh8 / jxVPsVdirsVdirsVdirsVdi rsVdirsVdiqS67 / x1PLn / bSk / wC6dqWKu8mf8ofoP / bNs / 8AkxHiqO1WF7jTriBIvrDSIQIufp8v bmOmKoHy1pr6fbTGW0NlLK + 8frm4BVQOLcj03Y7YqleuaLdXeqT3Eek / WkfhSb640PKiKv8Adg7U pTFUB / hy + / 6sX / cxb + uKsg8safcWC3Kz2P1EOUK / 6QbjnTlXr9mmKteZ9On1D6r6Nj9e9P1K / wCk G34cuHh9qtPoxVF + X7SSy05YJbb6mwdj6XqmalT15nFUB5l0y4v54Hg0 / wCvBFILfWTBxNenEdcV Qeh6LdWeqQXEmlfVUTnWb6403GqMv92eta0xVl2KuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KuxVJdd / wCOp5c / 7aUn / dO1LFXeTP8AlD9B / wC2bZ / 8mI8VTO9 + ufVJfqHD61x / derXhy / yqYqkH / O // wDa u / 5KYqjtI / xP9Zb9NfVfq / A8fq / LlzqtK8u1K4qnGKuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KuxV2KuxV2 KuxV2KuxV2KuxVJdd / 46nlz / ALaUn / dO1LFXeTP + UP0H / tm2f / JiPFUZrKh9LuVZBIChqjSeiD85 NuPzxVLvLN1bQWn1N / QtX9Q + lCt0twzcqb8uVevbFUo8w20UmsXDtZwzE8PjfUPQY / AnWLkOP + Zx VT0eX9GXizQWdrF6gEUjtqSycULKWIVmO / w4qy79LaV / y22 // I1P + asVSXzUsF2llIsUV2hEhVmv BbCh9P7J5DnX8MVRfly6to7GOxYwW8iMwjgS5W4YgnnXlyJO5OKsZvbSFr24Y2MDEyueR1QIT8R3 Kc / h + WKojRrLTFvkmvYba0Sh51Y6h69Xh3Rw50 + / FWcAhgGU1B3BHQjFW8VdirsVdirsVdirsVdi rsVdirsVdirsVSXXf + Op5c / 7aUn / AHTtSxV3kz / lD9B / 7Ztn / wAmI8VTHUbeS6sZreJYmeReKrOC 0ZP + WB2xVA6b5fsLaOGW4srQXsZ5GSCPioYHYpXfFUDq3l / UL3UJrqCDTHjk40a5hZ5TRVX4mHy2 9sVR0HlrRhBGLnT7Vpwi + qUiAUvT4uNRWlemKqn + G9A / 6t1v / wAi1 / piqG1nQ5bqK1g063sfStg4 4XcRcKG40EYXp03xVFWWhaXaGGdbO3juo1FZIowtGpRivemKpJc + WdTmuZZUt9JKyOzAyQOXIJJ + I + PjiqmPK2rAgi30YEbg + g + KpkIPOYAAuNOAGwAjl / rirfo + dP8Alo0 // gJf64qnq8uI5fapvTpX FW8VdirsVdirsVdirsVdirsVdirsVSXXf + Op5c / 7aUn / AHTtSxV3kz / lD9B / 7Ztn / wAmI8VTrFXY q7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FUl13 / jqeXP + 2lJ / 3TtSxV3k z / lD9B / 7Ztn / AMmI8VTrFXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7F Ul13 / jqeXP8AtpSf907UsVd5M / 5Q / Qf + 2bZ / 8mI8VTrFXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FXY q7FXYq7FXYq7FXYq7FXYq7FUl13 / AI6nlz / tpSf907UsVSnyn5s8q23lXRbe41rT4ZodPtY5I5Lq FXR1hjVlZWkBBBG4xVMLzzP5Iv7WSzudc01oZl4uovYRUfMS4qkf1X8qv + rrp / 8A3EU / 6rYq76r + VX / V10 // ALiKf9VsVd9V / Kr / AKuun / 8AcRT / AKrYq76r + VX / AFddP / 7iKf8AVbFXfVfyq / 6uun / 9 xFP + q2Ku + q / lV / 1ddP8A + 4in / VbFXfVfyq / 6uun / APcRT / qtirvqv5Vf9XXT / wDuIp / 1WxV31X8q v + rrp / 8A3EU / 6rYq76r + VX / V10 // ALiKf9VsVTTSta8gaLC8Gn61p0ccjc2Bvom + KgH7Up8MVR3 + M / J // V + 03 / pMg / 6qYq7 / ABn5P / 6v2m / 9JkH / AFUxV3 + M / J // AFftN / 6TIP8Aqpirv8Z + T / 8Aq / ab / wBJkH / VTFXf4z8n / wDV + 03 / AKTIP + qmKu / xn5P / AOr9pv8A0mQf9VMVd / jPyf8A9X7Tf + kyD / qp irv8Z + T / APq / ab / 0mQf9VMVd / jPyf / 1ftN / 6TIP + qmKu / wAZ + T / + r9pv / SZB / wBVMVd / jPyf / wBX 7Tf + kyD / AKqYqlOs + bPKsuo6A8Wtae6QahJJKy3UJCIbC / ​​j5ORJsOTqKnuRir // Z
  • uuid: 8c35deaf-1433-5b43-b026-ee125992b9a8xmp.сделал: FD7F1174072068118A6D8C7D404xmp.did: 74117FE420071168B84085A1E69F88E0proof: pdf
  • createdxmp.iid: 74117FE420071168B84085A1E69F88E02010-11-15T23es: 9070-05A
  • savedxmp.iid: 74117FD

    11689C29E6A8BA4C6B212010-11-15T23: 37: 19-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: 74117FDA200711689C29E6A8BA4C6B212010-11-15T23: 37: 19-05: 00Adobe InDesign 6.0 / метаданные
  • savedxmp.iid: 74117FDB200711689C29E6A8BA4C6B212010-11-15T23: 40: 04-05: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • savedxmp.iid: 74117FDB20071168BDA6F8E414E561DC2010-11-17T15: 37: 12-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE220071168BDA6F8E414E561DC2010-11-17T16: 00: 45-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE3200711689273879FEF0A0C612010-11-18T11: 36: 46-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE4200711689273879FEF0A0C612010-11-18T12: 09: 41-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 74117FE5200711689273879FEF0A0C612010-11-18T12: 09: 57-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE6200711689273879FEF0A0C612010-11-18T12: 29: 14-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE7200711689273879FEF0A0C612010-11-18T12: 29: 48-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE8200711689273879FEF0A0C612010-11-18T12: 34: 45-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE3200711688F14FACD87FD74DE2010-11-18T19: 28: 50-05: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • savedxmp.iid: 74117FE4200711688F14FACD87FD74DE2010-11-18T19: 48: 37-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE320071168A9D2A39F6F456FAC2010-11-19T11: 22: 39-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE420071168A9D2A39F6F456FAC2010-11-19T11: 50: 58-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE320071168BCC4F1ED0EB948442010-11-19T21: 24: 36-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 74117FD

    1168A2E2A31E697063342010-11-20T13: 47: 22-05: 00 Adobe InDesign 6.0 /

  • Savedxmp.iid: 74117FDA20071168A2E2A31E697063342010-11-20T14: 01: 52-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FDB20071168A2E2A31E697063342010-11-20T14: 42: 24-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE320071168B215D22EF2FAD1442010-11-21T12: 53: 03-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE420071168B215D22EF2FAD1442010-11-21T13: 25: 18-05: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • Savedxmp.iid: 74117FE620071168B215D22EF2FAD1442010-11-21T13: 50: 17-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE320071168BE88A8522811B3712010-11-22T12: 55-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE420071168BE88A8522811B3712010-11-22T13: 18: 33-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE520071168BE88A8522811B3712010-11-22T13: 54: 08-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 74117FE620071168BE88A8522811B3712010-11-22T14: 14: 22-05: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE720071168BE88A8522811B3712010-11-22T14: 23: 12-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FD

    116898F8F3DF7BA1F2422010-11-23T12: 04: 18-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: 74117FDA2007116898F8F3DF7BA1F2422010-11-23T12: 30: 46-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE320071168A3A990F740766BD62010-11-23T16: 05: 23-05: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • Savedxmp.iid: 74117FD

    11688A198CC11313C73A2010-11-23T18: 13: 41-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: 74117FDA200711688A198CC11313C73A2010-11-23T18: 22: 12-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDB200711688A198CC11313C73A2010-11-23T18: 49: 26-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDC200711688A198CC11313C73A2010-11-23T19: 17: 37-05: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 74117FE3200711688BC0F698C8DCA8042010-11-23T21: 47: 02-05: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FE3200711689A1FA69381B464872010-11-24T20: 19: 10-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE4200711689A1FA69381B464872010-11-24T20: 37: 42-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FE5200711689A1FA69381B464872010-11-24T21: 49: 16-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FD

    11689A9FAAD82E9304AA2010-11-26T14: 56: 05-05: 00 Adobe InDesign 6.0/

  • savedxmp.iid: 74117FDB200711689A9FAAD82E9304AA2010-11-26T15: 58: 55-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDC200711689A9FAAD82E9304AA2010-11-26T16: 28: 28-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FD

    1168ACAFEF39D5D71F2A2010-11-26T19: 54: 21-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: 74117FDA20071168ACAFEF39D5D71F2A2010-11-26T20: 34: 01-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 74117FDB20071168ACAFEF39D5D71F2A2010-11-26T21: 06: 09-05: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FD

    1168BCC4EEEBAFACD4A

    -11-27T13: 16: 14-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDA20071168BCC4EEEBAFACD4A

    -11-27T13: 44: 06-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDB20071168BCC4EEEBAFACD4A

    -11-27T14: 08: 09-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDD20071168BCC4EEEBAFACD4A

    -11-27T14: 36: 01-05: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • savedxmp.iid: 74117FDE20071168BCC4EEEBAFACD4A

    -11-27T14: 40: 45-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 74117FDB20071168B699B07567E4F6D82011-05-12T16: 33: 43-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 74117FD

    1168B699C0B744A426662011-05-12T16: 52: 02-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: 74117FDA20071168B699C0B744A426662011-05-12T16: 52: 15-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 0180117407206811871F93EE036BFC8

    -09-22T15: 06: 48-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: F77F11740720681188C6F88F03FA175C2013-11-19T14: 55: 18-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F97F11740720681188C6F88F03FA175C2013-11-19T15: 02: 55-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F77F11740720681192B0AEBD80EAE16C2013-11-19T15: 05: 21-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F87F11740720681192B0AEBD80EAE16C2013-11-19T15: 09: 05-05: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • savedxmp.iid: F97F11740720681192B0AEBD80EAE16C2013-11-19T15: 13: 25-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F87F1174072068118A6D

    A1615C02014-02-14T12: 19: 44-05: 00Adobe InDesign 6.0 / метаданные

  • savedxmp.iid: F97F1174072068118A6D

    A1615C02014-02-14T12: 19: 44-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • Savedxmp.iid: FA7F1174072068118A6D

    A1615C02014-02-14T12: 31: 53-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • сохраненный xmp.iid: FB7F1174072068118A6D

    A1615C02014-02-14T12: 32: 50-05: 00 Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: 0460713

    681192B0FA18D2355F182014-02-14T14: 42: 33-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: CD4240DD1520681188C6BEE

    014-02-18T20: 05: 23-05: 00 Adobe InDesign 6.0 / метаданные

  • savedxmp.iid: CE4240DD1520681188C6BEE

    014-02-18T20: 05: 23-05: 00Adobe InDesign 6.0 /

  • savedxmp.iid: D895FA311820681188C6BEE

    014-02-18T20: 05: 56-05: 00 Adobe InDesign 6.0/

  • savedxmp.iid: 64FF656A1E2068118A6DD9D2B924F9252014-02-19T14: 33: 15-05: 00Adobe InDesign 6.0 / метаданные
  • savedxmp.iid: 65FF656A1E2068118A6DD9D2B924F9252014-02-19T14: 33: 15-05: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 0A801174072068118A6DCAFCEEDC64262014-03-13T20: 37: 46-04: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • Savedxmp.iid: 06801174072068118A6DB922255E27AC2014-03-14T16: 15: 27-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: FB7F11740720681192B098E0ACA4C74

    -03-14T19: 42: 01-04: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: DFA18C8F0920681192B098E0ACA4C74

    -03-14T20: 16: 20-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 5D8D88E50E2068118A6DE4E02081935E2014-03-25T10: 22: 48-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 608D88E50E2068118A6DE4E02081935E2014-03-25T10: 24: 35-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F97F1174072068119109E0CDA3C176482014-03-29T13: 15: 59-04: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • Savedxmp.iid: FD7F1174072068119109E0CDA3C176482014-03-29T13: 21: 12-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: FB7F11740720681192B08782BE96FFA

    -03-31T11: 31: 52-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 008011740720681192B08782BE96FFA

    -03-31T11: 38: 30-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: FB7F1174072068118A6DDA0E29B722222014-07-21T14: 41: 51-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: 018011740720681192B088C2F2C313522014-08-27T10: 39: 37-04: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F77F1174072068118A6DDBF1AF7412FA2016-04-18T11: 38: 25-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F87F1174072068118A6DDBF1AF7412FA2016-04-18T11: 47: 12-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: F77F1174072068118A6DEB14D154BAA22016-06-14T11: 47: 26-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: 04801174072068118A6DFE3F3D32ED142016-07-07T15: 47: 12-04: 00 Adobe InDesign 6.0/
  • savedxmp.iid: FC7F1174072068118A6D8C7D4042016-08-03T18: 53: 01-04: 00Adobe InDesign 6.0 / метаданные
  • savedxmp.iid: FD7F1174072068118A6D8C7D4042016-08-03T18: 53: 01-04: 00Adobe InDesign 6.0 /; / метаданные
  • savedxmp.iid: FE7F1174072068118A6D8C7D4042016-08-03T18: 53: 49-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • savedxmp.iid: FF7F1174072068118A6D8C7D4042016-08-03T18: 55: 14-04: 00Adobe InDesign 6.0 /
  • сохраненный xmp.iid: FE7F1174072068118A6D881B2859DE1E2016-08-04T10: 43: 52-04: 00 Adobe InDesign 6.0 /
  • xmp. Adobe PDF Library 9.0 Ложь конечный поток эндобдж 2 0 obj} \) BB99) / Размер 8046 >> / Подтип / текст # 2fhtml / Фильтр / FlateDecode / Длина 1915 / DL 8046 >> поток HWmo8 * [7) w8Ҥ &] p (hxD-I 37ubD $ 53z} 8lOt1q? E) 2 ْ NS3tX3 ƓL ‘+ Gsz-o {6’u2Xr |?; L5r_hҢN «YjJQH / (ɅuҟD? MGGRt ֨` lD), AH} C_R9q @ & tN͔V ~ IY $ {‘.Dq> + 7 = ة 2% (G ‘& SГ (n 嘮 3e ~ N | m% W {

    5.6 Расчет центров масс и моментов инерции — Объем расчетов 3

    Цели обучения

    • 5.6.1 Используйте двойные интегралы, чтобы найти центр масс двумерного объекта.
    • 5.6.2 Используйте двойные интегралы, чтобы найти момент инерции двумерного объекта.
    • 5.6.3 Используйте тройные интегралы, чтобы найти центр масс трехмерного объекта.

    Мы уже обсудили несколько приложений множественных интегралов, таких как нахождение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области.В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью. Плотность обычно считается постоянным числом, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.

    Центр масс в двух измерениях

    Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле.Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке 5.64 показана точка PP как центр масс пластинки. Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.

    Фигура 5,64 Пластина идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластины находится на шпинделе.

    Чтобы найти координаты центра масс P (x−, y−) P (x−, y−) пластинки, нам нужно найти момент MxMx пластинки относительно оси x оси x и момент MyMy об оси y.ось y. Еще нам нужно найти массу пластинки в миллиметрах. Тогда

    x− = Mymandy− = Mxm.x− = Mymandy− = Mxm.

    Обратитесь к разделу «Моменты и центры масс» для получения определений и методов однократного интегрирования для нахождения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня). Мы собираемся использовать здесь аналогичную идею, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластину, и мы используем двойной интеграл.

    Если мы допускаем постоянную функцию плотности, то x− = Mymandy− = Mxmx− = Mymandy− = Mxm дает центроид пластинки.

    Предположим, что пластинка занимает область RR в плоскости xy, плоскости xy, и пусть ρ (x, y) ρ (x, y) будет ее плотностью (в единицах массы на единицу площади) в любой точке (x , у). (х, у). Следовательно, ρ (x, y) = limΔA → 0ΔmΔA, ρ (x, y) = limΔA → 0ΔmΔA, где ΔmΔm и ΔAΔA — масса и площадь небольшого прямоугольника, содержащего точку (x, y) (x, y) и предел берется, поскольку размеры прямоугольника идут до 00 (см. следующий рисунок).

    Фигура 5,65 Плотность пластинки в точке — это предел ее массы на площадь в небольшом прямоугольнике вокруг точки, когда площадь стремится к нулю.

    Как и раньше, разделим область RR на крошечные прямоугольники RijRij с площадью ΔAΔA и выберем (xij *, yij *) (xij *, yij *) в качестве точек выборки. Тогда масса mijmij каждого RijRij равна ρ (xij *, yij *) ΔAρ (xij *, yij *) ΔA (рисунок 5.66). Пусть kk и ll — количество подынтервалов в xx и y, y соответственно. Также обратите внимание, что форма не всегда может быть прямоугольной, но ограничение все равно работает, как показано в предыдущих разделах.

    Фигура 5,66 Разделение пластинки на крошечные прямоугольники Rij, Rij, каждый из которых содержит точку выборки (xij *, yij *).(xij *, yij *).

    Следовательно, масса пластинки равна

    . m = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lmij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rρ (x, y) dA.m = limk , l → ∞∑i = 1k∑j = 1lmij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rρ (x, y) dA.

    (5.13)

    Давайте посмотрим на пример определения полной массы треугольной пластинки.

    Пример 5,55

    Определение полной массы пластинки

    Рассмотрим треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3), (3,0) (3,0) и плотностью ρ (x, y ) = xy кг / м2.ρ (x, y) = xy кг / м2. Найдите общую массу.

    Решение

    Набросок области RR всегда полезен, как показано на следующем рисунке.

    Фигура 5,67 Пластинка в xy-planexy-плоскости с плотностью ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy.

    Используя полученное выражение для массы, мы видим, что

    m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxydydx = ∫x = 0x = 3 [xy22 | y = 0y = 3 − x] dx = ∫x = 0x = 312x (3 − x) 2dx = [9×24 − x3 + x48] | x = 0x = 3 = 278.m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxydydx = ∫x = 0x = 3 [xy22 | y = 0y = 3 − x] dx = ∫x = 0x = 312x (3 − x) 2dx = [9×24 − x3 + x48] | x = 0x = 3 = 278.

    Вычисление несложное и дает ответ m = 278kg.m = 278kg.

    Контрольно-пропускной пункт 5,33

    Рассмотрим ту же область RR, что и в предыдущем примере, и используем функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите общую массу. Подсказка: Используйте тригонометрическую замену x = 3sinθx = 3sinθ, а затем используйте формулы уменьшения степени для тригонометрических функций.

    Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.Момент MxMx относительно оси x оси x для RR является пределом сумм моментов областей RijRij относительно оси x. оси x. Следовательно,

    Mx = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ryρ (x, y) dA.Mx = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ryρ (x, y) dA.

    (5.14)

    Аналогично, момент MyMy вокруг оси y для RR является пределом сумм моментов областей RijRij относительно оси y.оси y. Следовательно,

    My = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rxρ (x, y) dA.My = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rxρ (x, y) dA.

    (5.15)

    Пример 5,56

    В поисках моментов

    Рассмотрим ту же треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (0,3), (3,0) (0,0), (0,3), (3,0) и плотностью ρ (x, у) = ху. р (х, у) = ху. Найдите моменты MxMx и My.My.

    Решение

    Используйте двойные интегралы для каждого момента и вычислите их значения:

    Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxy2dydx = 8120, Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxy2dydx = 8120, My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xx2ydydx = 8120.My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xx2ydydx = 8120.

    Расчет довольно прост.

    Контрольно-пропускной пункт 5,34

    Рассмотрим ту же пластину RR, что и выше, и воспользуемся функцией плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите моменты MxMx и My.My.

    Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс через интегралы. Обозначим координату центра масс x через x − x− и координату y через y − .y−. В частности,

    x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dAandy− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA.x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dAandy− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA.

    (5.16)

    Пример 5,57

    Нахождение центра масс

    Снова рассмотрим ту же треугольную область RR с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3), (3,0) (3,0) и с функцией плотности ρ ( х, у) = ху. р (х, у) = ху. Найдите центр масс.

    Решение

    По разработанным формулам имеем

    x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65, x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65.y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65.

    Следовательно, центром масс является точка (65,65). (65,65).

    Анализ

    Если мы выберем плотность ρ (x, y) ρ (x, y) вместо однородной по всей области (т. Е. Постоянной), такой как значение 1 (подойдет любая константа), то мы сможем вычислить центроид,

    xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = 9/29/2 = 1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = 9/29/2 = 1. xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = 9/29/2 = 1 , yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = 9/29/2 = 1.

    Обратите внимание, что центр масс (65,65) (65,65) не совсем такой же, как центроид (1,1) (1,1) треугольной области.Это связано с переменной плотностью R.R. Если плотность постоянна, мы просто используем ρ (x, y) = cρ (x, y) = c (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.

    Контрольно-пропускной пункт 5,35

    Снова используйте ту же область RR, что и выше, и функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите центр масс.

    Еще раз, основываясь на комментариях в конце Примера 5.57, у нас есть выражения для центроида области на плоскости:

    xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm∬RydA∬RdA.xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm∬RydA∬RdA.

    Мы должны использовать эти формулы и проверить центроид треугольной области RR, упомянутой в последних трех примерах.

    Пример 5,58

    Определение массы, моментов и центра масс

    Найти массу, моменты и центр масс пластинки с плотностью ρ (x, y) = x + yρ (x, y) = x + y, занимающей область RR под кривой y = x2y = x2 в интервал 0≤x≤20≤x≤2 (см. следующий рисунок).

    Фигура 5,68 Определение центра масс пластинки RR с плотностью ρ (x, y) = x + y.р (х, у) = х + у.
    Решение

    Сначала мы вычисляем массу m.m. Нам нужно описать область между графиком y = x2y = x2 и вертикальными линиями x = 0x = 0 и x = 2: x = 2:

    m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2 (x + y) dydx = ∫x = 0x = 2 [xy + y22 | y = 0y = x2] dx = ∫x = 0x = 2 [x3 + x42] dx = [x44 + x510] | x = 0x = 2 = 365.m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫ y = 0y = x2 (x + y) dydx = ∫x = 0x = 2 [xy + y22 | y = 0y = x2] dx = ∫x = 0x = 2 [x3 + x42] dx = [x44 + x510] | х = 0х = 2 = 365.

    Теперь вычислим моменты MxMx и My: My:

    Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2y (x + y) dydx = 807, Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫ y = 0y = x2y (x + y) dydx = 807, My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2x (x + y) dydx = 17615.My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2x (x + y) dydx = 17615.

    Наконец, оцените центр масс,

    x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 176/1536/5 = 4427, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 80/736/5 = 10063. x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 176/1536/5 = 4427, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 80/736/5 = 10063.

    Следовательно, центр масс равен (x−, y -) = (4427,10063). (X−, y -) = (4427,10063).

    Контрольно-пропускной пункт 5,36

    Вычислите массу, моменты и центр масс области между кривыми y = xy = x и y = x2y = x2 с функцией плотности ρ (x, y) = xρ (x, y) = x в интервал 0≤x≤1.0≤x≤1.

    Пример 5,59

    В поисках центроида

    Найдите центр тяжести области под кривой y = exy = ex на интервале 1≤x≤31≤x≤3 (см. Следующий рисунок).

    Фигура 5,69 Нахождение центра тяжести области ниже кривой y = ex.y = ex.
    Решение

    Чтобы вычислить центроид, мы предполагаем, что функция плотности постоянна и, следовательно, она сокращает:

    xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm = ∬RydA∬RdA, xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exxdydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3xexdx∫x = 1x = 3exdx = 2e3e3 − e = 2e2e2−1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exydydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3e2x2dx∫x = 1x = 3exdx = 14e2 (e4−1) e (e2−1) = 14e (e2 + 1).xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm = ∬RydA∬RdA, xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exxdydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3xexdx∫x = 1x = 3exdx = 2e3e3 − e = 2e2e2−1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exydydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3e2x2dx∫x = 1x = 3exdx = 14e2 (e4−1) e (e2−1) = 14e (e2 + 1).

    Таким образом, центр тяжести области

    (xc, yc) = (2e2e2−1,14e (e2 + 1)). (xc, yc) = (2e2e2−1,14e (e2 + 1)).

    Контрольно-пропускной пункт 5,37

    Вычислить центр тяжести области между кривыми y = xy = x и y = xy = x с равномерной плотностью в интервале 0≤x≤1.0≤x≤1.

    Моменты инерции

    Для четкого понимания того, как рассчитывать моменты инерции с использованием двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению моментов и центров масс в Разделе 6.6 Тома 1. Момент инерции частицы массой мм относительно ось mr2, mr2, где rr — расстояние частицы от оси. Из рисунка 5.66 видно, что момент инерции подпрямоугольника RijRij относительно оси x оси x равен (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA.(yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. Точно так же момент инерции подпрямоугольника RijRij относительно оси y равен (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. (Xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. Момент инерции связан с вращением массы; в частности, он измеряет тенденцию массы сопротивляться изменению вращательного движения вокруг оси.

    Момент инерции IxIx относительно оси x оси x для области RR является пределом суммы моментов инерции областей RijRij относительно оси x. оси x. Следовательно,

    Ix = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ry2ρ (x, y) dA.Ix = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ry2ρ (x, y) dA.

    Аналогично, момент инерции IyIy относительно оси y для RR является пределом суммы моментов инерции областей RijRij относительно оси y.оси y. Следовательно,

    Iy = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rx2ρ (x, y) dA.Iy = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rx2ρ (x, y) dA.

    Иногда нам нужно найти момент инерции объекта относительно начала координат, который известен как полярный момент инерции.Обозначим это через I0I0 и получим, сложив моменты инерции IxIx и Iy.Iy. Следовательно,

    I0 = Ix + Iy = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA.I0 = Ix + Iy = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA.

    Все эти выражения можно записать в полярных координатах, подставив x = rcosθ, x = rcosθ, y = rsinθ, y = rsinθ и dA = rdrdθ.dA = rdrdθ. Например, I0 = ∬Rr2ρ (rcosθ, rsinθ) dA.I0 = ∬Rr2ρ (rcosθ, rsinθ) dA.

    Пример 5,60

    Нахождение моментов инерции треугольной пластинки

    Используйте треугольную область RR с вершинами (0,0), (2,2), (0,0), (2,2) и (2,0) (2,0) и с плотностью ρ (x, y) = xyρ (x, y) = xy, как в предыдущих примерах.Найдите моменты инерции.

    Решение

    Используя установленные выше выражения для моментов инерции, имеем

    Ix = ∬Ry2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xxy3dydx = 83, Iy = ∬Rx2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xx3ydydx = 163, I0 = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA = ∫02∫0x (x2 + y2) xydydx = Ix + Iy = 8. Ix = ∬Ry2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xxy3dydx = 83, Iy = ∬Rx2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xx3ydydx = 163, I0 = ∬R (x2 + y2) ρ (x , y) dA = ∫02∫0x (x2 + y2) xydydx = Ix + Iy = 8.

    Контрольно-пропускной пункт 5,38

    Снова используйте ту же область RR, что и выше, и функцию плотности ρ (x, y) = xy.р (х, у) = ху. Найдите моменты инерции.

    Как упоминалось ранее, момент инерции частицы массой мм вокруг оси равен mr2mr2, где rr — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения.

    Следовательно, радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат равны

    Rx = Ixm, Ry = Iym и R0 = I0m, Rx = Ixm, Ry = Iym и R0 = I0m,

    соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, на каком расстоянии (перпендикулярном расстоянии) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда бывает необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.

    Пример 5,61

    Определение радиуса вращения треугольной пластинки

    Рассмотрим ту же треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (2,2), (0,0), (2,2) и (2,0) (2,0) и с плотностью ρ (x , y) = xyρ (x, y) = xy, как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат.

    Решение

    Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что m = 2.m = 2. Мы нашли моменты инерции этой пластинки в Примере 5.58. Исходя из этих данных, радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно равны

    . Rx = Ixm = 8/32 = 86 = 233, Ry = Iym = 16/32 = 83 = 263, R0 = I0m = 82 = 4 = 2, Rx = Ixm = 8/32 = 86 = 233, Ry = Iym = 16/32 = 83 = 263, R0 = I0m = 82 = 4 = 2.

    Контрольно-пропускной пункт 5,39

    Используйте ту же область RR из примера 5.61 и функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат.

    Центр масс и моменты инерции в трех измерениях

    Все выражения двойных интегралов, обсуждавшиеся до сих пор, можно изменить, чтобы они стали тройными интегралами.

    Определение

    Если у нас есть твердый объект QQ с функцией плотности ρ (x, y, z) ρ (x, y, z) в любой точке (x, y, z) (x, y, z) в пространстве, то его масса

    m = ∭Qρ (x, y, z) dV.m = ∭Qρ (x, y, z) dV.

    Его моменты относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz равны

    Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV.Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV.

    Если центром масс объекта является точка (x−, y−, z -), (x−, y−, z−), то

    x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym. x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym.

    Кроме того, если твердый объект однороден (с постоянной плотностью), то центр масс становится центроидом твердого тела.Наконец, моменты инерции относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy равны

    . Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x , y, z) dV.Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iz = ∭Q ( x2 + y2) ρ (x, y, z) dV.

    Пример 5,62

    Определение массы твердого тела

    Предположим, что QQ — сплошная область, ограниченная x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями, и имеет плотность ρ (x, y, z) = x2yz.ρ (x, y, z) = x2yz. Найдите общую массу.

    Решение

    Область QQ представляет собой тетраэдр (рисунок 5.70), пересекающий оси в точках (6,0,0), (0,3,0), (6,0,0), (0,3,0) и (0,0,2). (0,0,2). Чтобы найти пределы интегрирования, пусть z = 0z = 0 в наклонной плоскости z = 13 (6 − x − 2y) .z = 13 (6 − x − 2y). Затем для xx и yy найдите проекцию QQ на плоскость xy, плоскость xy, которая ограничена осями и прямой x + 2y = 6.x + 2y = 6. Отсюда масса

    m = ∭Qρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yzdzdydx = 10835 ≈3.086.m = ∭Qρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yzdzdydx = 10835≈3,086. Фигура 5,70 Определение массы трехмерного твердого тела Q.Q.

    Контрольно-пропускной пункт 5,40

    Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите массу.

    Пример 5,63

    Нахождение центра масс твердого тела

    Предположим, что QQ — сплошная область, ограниченная плоскостью x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями с плотностью ρ (x, y, z) = x2yzρ (x, y, z) = x2yz ( см. рисунок 5.70). Найдите центр масс с помощью десятичного приближения. Используйте массу, найденную в Примере 5.62

    .
    Решение

    Мы уже использовали этот тетраэдр и знаем пределы интегрирования, поэтому можем сразу приступить к вычислениям. Во-первых, нам нужно найти моменты относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz: yz-plane:

    Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yz2dzdydx = 5435 ≈1.543, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2y2zdzdydx = 8135≈2.314, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x3yzdzdydx = 24335≈6,943. Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x− 2y) x2yz2dzdydx = 5435≈1,543, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 −x − 2y) x2y2zdzdydx = 8135≈2,314, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1 / 3 (6 − x − 2y) x3yzdzdydx = 24335≈6,943.

    Следовательно, центр масс

    x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym, x− = Myzm = 243/35108/35 = 243 · 108 = 2,25, y− = Mxzm = 81/35108/35 = 81108 = 0,75, z− = Mxym = 54/35108/35 = 54108 = 0,5. X− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym, x− = Myzm = 243/35108/35 = 243108 = 2.25, y− = Mxzm = 81/35 · 108/35 = 81 · 108 = 0,75, z− = Mxym = 54/35 · 108/35 = 54 · 108 = 0,5.

    Центром масс тетраэдра QQ является точка (2,25,0,75,0,5). (2,25,0,75,0,5).

    Контрольно-пропускной пункт 5,41

    Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите центр масс.

    Мы завершаем этот раздел примером нахождения моментов инерции Ix, Iy, Ix, Iy и Iz.Iz.

    Пример 5,64

    Нахождение моментов инерции твердого тела

    Предположим, что QQ — сплошная область и ограничена x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями с плотностью ρ (x, y, z) = x2yzρ (x, y, z) = x2yz (см. рисунок 5.70). Найдите моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy. Xy.

    Решение

    И снова мы можем почти сразу записать пределы интегрирования и, следовательно, мы можем быстро перейти к оценке моментов инерции. Используя формулу, изложенную ранее, моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz-planeyz равны

    . Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x , y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV,

    и

    Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x, y, z) dV, где ρ (x, y, z) = x2yz.Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x, y, z) dV, где ρ (x, y, z) = x2yz.

    Продолжая вычисления, имеем

    Ix = ∭Q (y2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (y2 + z2) x2yzdzdydx = 11735≈ 3.343, Iy = ∭Q (x2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + z2) x2yzdzdydx = 68435≈19,543, Iz = ∭Q (x2 + y2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + y2) x2yzdzdydx = 72935≈20,829.Ix = ∭Q (y2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (y2 + z2) x2yzdzdydx = 11735≈3,343, Iy = ∭Q (x2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) ( x2 + z2) x2yzdzdydx = 68435≈19.543, Iz = ∭Q (x2 + y2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + y2) x2yzdzdydx = 72935≈20,829.

    Таким образом, моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy равны 117 / 35,684 / 35 и 729 / 35,117 / 35,684 / 35 и 729/35 соответственно.

    Контрольно-пропускной пункт 5,42

    Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.

    Раздел 5.6. Упражнения

    В следующих упражнениях область RR, занятая пластиной, показана на графике. Найдите массу RR с функцией плотности ρ.ρ.

    297 .

    RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy. (6 , 0); ρ (x, y) = xy.

    298 .

    RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1), (0,0), (1,1), (0,5); ρ (x, y) = x + y. ( 0,5); ρ (x, y) = x + y.

    299 .

    RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3), (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0) ; (6,0); р (х, у) = ху.р (х, у) = ху.

    300 .

    RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3), (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1) ; (3,1); ρ (x, y) = x2y. ρ (x, y) = x2y.

    301 .

    RR — область трапеции, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = 2, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; x = 0; ρ (x, y) = 3xy.ρ (x, y) = 3xy.

    302 .

    RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.

    303 .

    RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (х, у) = х2 + y2−2x − 4y + 5.ρ (х, у) = х2 + y2−2x − 4y + 5.

    304 .

    RR — единичный диск; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.

    305 .

    RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.

    306 .

    R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2. ρ (x, y) = 9×2 + y2.

    307 .

    RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2; y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2 ; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.

    308 .

    RR — это область, ограниченная y = 1x, y = 2x, y = 1, y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y).у = 2; р (х, у) = 4 (х + у).

    В следующих упражнениях рассмотрим пластину, занимающую область RR и имеющую функцию плотности ρρ, указанную в предыдущей группе упражнений. Используйте систему компьютерной алгебры (CAS), чтобы ответить на следующие вопросы.

    1. Найдите моменты MxMx и MyMy относительно оси x, оси x и оси y, оси y, соответственно.
    2. Вычислить и построить центр масс пластинки.
    3. [T] Используйте CAS, чтобы найти центр масс на графике R.Р.
    309 .

    [T] RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy. (6,0); ρ (x, y) = xy.

    310 .

    [T] RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y. (0,0), ( 1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y.

    311 .

    [T] RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0); (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0); р (х, у) = ху. р (х, у) = ху.

    312 .

    [T] RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1); (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1); р (х, у) = х2у.р (х, у) = х2у.

    313 .

    [T] RR — трапециевидная область, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; y = 2 и x = 0; ρ (x, y) = 3xy.ρ (x, y) = 3xy.

    314 .

    [T] RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x , y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.

    315 .

    [T] RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5. ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5.

    316 .

    [T] RR — дисковый агрегат; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.

    317 .

    [T] RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.

    318 .

    [T] R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y ≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2. ρ (x, y) = 9×2 + y2.

    319 .

    [T] RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2, y = x, y = −x, y = x + 2 и y = −x + 2; у = −x + 2; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.

    320 .

    [T] RR — это область, ограниченная y = 1x, y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; y = 2x, y = 1 и y = 2; р (х, у) = 4 (х + у).р (х, у) = 4 (х + у).

    В следующих упражнениях рассмотрим пластину, занимающую область RR и имеющую функцию плотности ρρ, указанную в первых двух группах упражнений.

    1. Найдите моменты инерции Ix, Iy, Ix, Iy и I0I0 относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно.
    2. Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно.
    321 .

    RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy.(6,0); ρ (x, y) = xy.

    322 .

    RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1), (0,0), (1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y. (0,5); ρ (x, y) = x + y.

    323 .

    RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3), (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0) ; ρ (x, y) = xy. (6,0); ρ (x, y) = xy.

    324 .

    RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3), (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1) ; ρ (x, y) = x2y. (3,1); ρ (x, y) = x2y.

    325 .

    RR — область трапеции, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = 2, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; ρ (x, y ) = 3xy.х = 0; р (х, у) = 3xy.

    326 .

    RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.

    327 .

    RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5. ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5.

    328 .

    RR — единичный диск; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.

    329 .

    RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.

    330 .

    R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2.R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2.

    331 .

    RR — это область, ограниченная значениями y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2; y = x, y = −x, y = x + 2, andy = −x + 2. ; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.

    332 .

    RR — это область, ограниченная значениями y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y). Y = 1x, y = 2x, y = 1, andy = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y).

    333 .

    Пусть QQ будет твердым единичным кубом. Найдите массу твердого тела, если его плотность ρρ равна квадрату расстояния от произвольной точки QQ до плоскости xy. Xy.

    334 .

    Пусть QQ будет твердой единичной полусферой. Найдите массу твердого тела, если его плотность ρρ пропорциональна расстоянию от произвольной точки QQ до начала координат.

    335 .

    Твердое тело QQ постоянной плотности 11 находится внутри сферы x2 + y2 + z2 = 16×2 + y2 + z2 = 16 и вне сферы x2 + y2 + z2 = 1.×2 + y2 + z2 = 1. Покажите, что центр масс твердого тела не находится внутри твердого тела.

    336 .

    Найдите массу твердого тела Q = {(x, y, z) | 1≤x2 + z2≤25, y≤1 − x2 − z2} Q = {(x, y, z) | 1≤x2 + z2 ≤25, y≤1 − x2 − z2}, плотность которого равна ρ (x, y, z) = k, ρ (x, y, z) = k, где k> 0.к> 0.

    337 .

    [T] Тело Q = {(x, y, z) | x2 + y2≤9,0≤z≤1, x≥0, y≥0} Q = {(x, y, z) | x2 + y2≤9,0≤z≤1, x≥0, y≥0} имеет плотность, равную расстоянию до xy-plane.xy-plane. Используйте CAS, чтобы ответить на следующие вопросы.

    1. Найдите массу Q.Q.
    2. Найдите моменты Mxy, Mxz и MyzMxy, Mxz и Myz относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz, плоскости yz соответственно.
    3. Найдите центр масс Q.Q.
    4. Изобразите график QQ и найдите его центр масс.
    338 .

    Рассмотрим твердое тело Q = {(x, y, z) | 0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3} Q = {(x, y, z) | 0≤x≤1, 0≤y≤2,0≤z≤3} с функцией плотности ρ (x, y, z) = x + y + 1. ρ (x, y, z) = x + y + 1.

    1. Найдите массу Q.Q.
    2. Найдите моменты Mxy, Mxz и MyzMxy, Mxz и Myz относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz, плоскости yz соответственно.
    3. Найдите центр масс Q.Q.
    339 .

    [T] Масса твердого тела QQ определяется тройным интегралом ∫ − 11∫0π4∫01r2drdθdz.∫ − 11∫0π4∫01r2drdθdz. Используйте CAS, чтобы ответить на следующие вопросы.

    1. Покажите, что центр масс QQ расположен в плоскости xy. Xy.
    2. Изобразите график QQ и найдите его центр масс.
    340 .

    Тело QQ ограничено плоскостями x + 4y + z = 8, x = 0, y = 0 и z = 0. x + 4y + z = 8, x = 0, y = 0 и z = 0. Его плотность в любой точке равна расстоянию до плоскости xz.xz плоскости. Найдите моменты инерции IyIy твердого тела относительно плоскости xz.xz плоскости.

    341 .

    Тело QQ ограничено плоскостями x + y + z = 3, x + y + z = 3, x = 0, y = 0, x = 0, y = 0 и z = 0.г = 0. Его плотность равна ρ (x, y, z) = x + ay, ρ (x, y, z) = x + ay, где a> 0.a> 0. Покажите, что центр масс твердого тела расположен в плоскости z = 35z = 35 для любого значения a.a.

    342 .

    Пусть QQ — твердое тело, расположенное вне сферы x2 + y2 + z2 = zx2 + y2 + z2 = z и внутри верхней полусферы x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 + z2 = R2, где R> 1.R > 1. Если плотность твердого тела равна ρ (x, y, z) = 1×2 + y2 + z2, ρ (x, y, z) = 1×2 + y2 + z2, найти RR такое, что масса твердого тела равна 7π2,7π2 .

    343 .

    Масса твердого тела QQ определяется выражением ∫02∫04 − x2∫x2 + y216 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2) ndzdydx, ∫02∫04 − x2∫x2 + y216 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2) ndzdydx, где nn — целое число.Определите nn так, чтобы масса твердого тела была (2−2) π. (2−2) π.

    344 .

    Пусть QQ — твердое тело, ограниченное над конусом x2 + y2 = z2x2 + y2 = z2 и под сферой x2 + y2 + z2−4z = 0.×2 + y2 + z2−4z = 0. Его плотность — постоянная k> 0. k> 0. Найдите такое kk, чтобы центр масс твердого тела находился на 77 единицах от начала координат.

    345 .

    Тело Q = {(x, y, z) | 0≤x2 + y2≤16, x≥0, y≥0,0≤z≤x} Q = {(x, y, z) | 0≤x2 + y2≤16, x≥0, y≥0,0≤z≤x} имеет плотность ρ (x, y, z) = k.ρ (x, y, z) = k. Покажите, что момент MxyMxy относительно плоскости xy составляет половину момента MyzMyz относительно плоскости yz.yz-самолет.

    346 .

    Тело QQ ограничено цилиндром x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2, параболоидом b2 − z = x2 + y2, b2 − z = x2 + y2 и плоскостью xy, плоскостью xy, где 0 <а <б. 0 <а <б. Найдите массу твердого тела, если его плотность равна ρ (x, y, z) = x2 + y2. Ρ (x, y, z) = x2 + y2.

    347 .

    Пусть QQ — твердое тело постоянной плотности k, k, где k> 0, k> 0, которое находится в первом октанте, внутри кругового конуса x2 + y2 = 9 (z − 1) 2, x2 + y2 = 9 (z − 1) 2, а над плоскостью z = 0. z = 0. Покажите, что момент MxyMxy относительно плоскости xy — это то же самое, что момент MyzMyz относительно плоскости xz.xz-плоскость.

    348 .

    Твердое тело QQ имеет массу, определяемую тройным интегралом ∫01∫0π / 2∫0r2 (r4 + r) dzdθdr.∫01∫0π / 2∫0r2 (r4 + r) dzdθdr.

    1. Найдите плотность твердого тела в прямоугольных координатах.
    2. Найдите момент MxyMxy относительно плоскости xy. Xy.
    349 .

    Твердое тело QQ имеет момент инерции IxIx относительно плоскости yz-planeyz, задаваемый тройным интегралом ∫02∫ − 4 − y24 − y2∫12 (x2 + y2) x2 + y2 (y2 + z2) (x2 + y2) ) dzdxdy.∫02∫ − 4 − y24 − y2∫12 (x2 + y2) x2 + y2 (y2 + z2) (x2 + y2) dzdxdy.

    1. Найдите плотность Q.Q.
    2. Найдите момент инерции IzIz относительно плоскости xy. Xy.
    350 .

    Твердый QQ имеет массу, определяемую тройным интегралом ∫0π / 4∫02secθ∫01 (r3cosθsinθ + 2r) dzdrdθ.∫0π / 4∫02secθ∫01 (r3cosθsinθ + 2r) dzdrdθ.

    1. Найдите плотность твердого тела в прямоугольных координатах.
    2. Найдите момент MxzMxz относительно плоскости xz.xz-плоскости.
    351 .

    Пусть QQ — твердое тело, ограниченное плоскостью xy, плоскостью xy, цилиндром x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2 и плоскостью z = 1, z = 1, где a> 1a> 1 — настоящий номер.Найти момент MxyMxy твердого тела относительно плоскости xy-planexy, если его плотность, заданная в цилиндрических координатах, равна ρ (r, θ, z) = d2fdr2 (r), ρ (r, θ, z) = d2fdr2 (r), где ff — дифференцируемая функция с непрерывной и дифференцируемой первой и второй производными на (0, a). (0, a).

    352 .

    Твердое тело QQ имеет объем, определяемый формулами ∬D∫abdAdz, ∬D∫abdAdz, где DD — проекция твердого тела на плоскость xy, xy, a 353 .

    Рассмотрим твердое тело, окруженное цилиндром x2 + z2 = a2x2 + z2 = a2 и плоскостями y = by = b и y = c, y = c, где a> 0a> 0 и b 354 .

    [T] Средняя плотность твердого QQ определяется как ρave = 1V (Q) ∭Qρ (x, y, z) dV = mV (Q), ρave = 1V (Q) ∭Qρ (x, y , z) dV = mV (Q), где V (Q) V (Q) и mm — объем и масса Q, Q соответственно. Если плотность единичного шара с центром в начале координат равна ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, используйте CAS для найти его среднюю плотность. Округлите ответ до трех десятичных знаков.

    355 .

    Покажите, что моменты инерции Ix, Iy, и IsIx, Iy и Iz относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy, плоскости xy, соответственно, единичного шара с центром в начале координат, плотность которого равна ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, одинаковы.Округлите ответ до двух десятичных знаков.

    »Насколько велика клетка E. coli и какова ее масса?

    Насколько велика клетка E. coli и какова ее масса?

    Reader Mode

    Таблица 1: Соотношение между бактериальной массой и временем деления. Сухая масса на ячейку дана как функция времени генерации (удвоения). Предполагается, что масса увеличивается примерно по экспоненте со скоростью роста, как первоначально наблюдали M. Schaechter и др. J. Gen.Microbiol., 19: 592, 1958. Сухой вес клеток рассчитывали, используя значение 173 мкг на единицу OD460 в 1 мл (BNID 106437). Используемый штамм — это штамм B / r, широко используемый в ранних исследованиях физиологии бактерий. Значения взяты из F. C. Neidhardt, «Escherichia coli and Salmonella: Cellular and Molecular Biology», Vol. 1., Глава 3, ASM Press, 1996.

    Размер типичной бактерии, такой как E. coli , служит удобной стандартной линейкой для характеристики шкал длины в молекулярной и клеточной биологии.«Эмпирическое правило», основанное на нескольких поколениях измерений световой и электронной микроскопии для размеров клетки E. coli , состоит в том, чтобы присвоить ей диаметр около ≈1 мкм, длину ≈2 мкм и объем ≈1 мкм 3 (1 фл) (BNID 101788). По форме можно представить сфероцилиндр, то есть цилиндр с полусферическими крышками. Учитывая указанные диаметр и длину, мы можем вычислить более точную оценку объема ≈1,3 мкм 3 (5π / 12, чтобы быть точным). Разница между этим значением и приведенным выше значением эмпирического правила показывает уровень несогласованности, с которым мы комфортно живем при использовании эмпирических правил.Один из простейших способов оценки массы бактерии — использовать объем ≈1 мкм 3 клетки E. coli и предположить, что она имеет ту же плотность, что и вода. Эта наивная оценка приводит к другому стандартному значению, а именно, что бактерия, такая как E. coli , имеет массу ≈1 пг (пико = 10 -12 ). Поскольку большинство клеток составляют примерно 2/3 или воды (BNID 100044, 105482), а другие компоненты, такие как белки, имеют характерную плотность около 1.В 3 раза больше плотности воды (BNID 101502, 104272), преобразование объема клеток в массу дает точность примерно 10%.

    Рис. 1: Соотношение между объемом клеток и скоростью роста. С помощью микроскопии и микрофлюидных устройств объем клетки можно измерить на уровне отдельной клетки в различных условиях, подтверждая, что средний объем клетки растет экспоненциально со скоростью роста. Напротив, вариации между ячейками для данного состояния масштабируются по-разному. Вариации в поведении отдельных клеток используются для тестирования моделей регулирования размера клеток.(По материалам S. Taheri-Araghi et al., Curr. Biol. 25: 385, 2015.)

    Один из классических результатов бактериальной физиологии подчеркивает, что пластичность свойств клеток происходит из зависимости клеточной массы от скорости роста. Проще говоря, более высокие темпы роста связаны с более крупными клетками. Это наблюдение относится к физиологическим изменениям, когда среды, которые увеличивают скорость роста, также дают более крупные клетки, как показано на рисунке 1. Это также подтверждается генетически, когда долгосрочные экспериментальные исследования эволюции, которые привели к более быстрым темпам роста, показали большие объемы клеток (BNID 110462). ).Такие наблюдения помогают нам развеять миф о «клетке» — когда люди, часто неосознанно, используют измерения одной клетки, чтобы сделать выводы о других типах клеток или о том же типе клеток в разных условиях. Классические исследования Денниса и Бремера систематизировали эти измерения и обнаружили, что сухая масса варьируется, как показано в таблице 1, от среднего значения 148 фг для клеток, делящихся каждые 100 минут, до 865 фг для клеток с 24-минутным временем деления, что означает более 5- кратная разница в зависимости от скорости роста.Аналогичная тенденция наблюдалась и у других организмов (например, у почкующихся дрожжей, BNID 105103). При примерно 70% воды эти значения соответствуют диапазону примерно от 0,4 до 2,5 мкм 3 в единицах объема. Как мы можем рационализировать большие размеры клеток, растущих более быстрыми темпами? Этот вопрос обсуждается и по сей день (Molenaar D. et al. MSB 5: 323, 2009; Amir, A., Phys. Rev, Let., 112: 208102, 2014). Объяснения варьируются от предположения, что он имеет преимущество в способе распределения ресурсов, до утверждения, что на самом деле это всего лишь побочный эффект наличия встроенного периода около 60 минут с момента, когда клетка решает, что она накопила достаточно массы, чтобы начать подготовку. для деления и до тех пор, пока не завершится репликация ДНК и акт деления.Этот примерно постоянный период «задержки» приводит к экспоненциальной зависимости средней клеточной массы от скорости роста в этой линии рассуждений (Amir, A., Phys. Rev, Let., 112: 208102, 2014).

    Способы измерения объема клеток варьируются от использования счетчика Коултера ((BNID 100004), который определяет объем на основе изменений сопротивления небольшого отверстия при прохождении клетки в нем, до более прямых измерений с использованием флуоресцентной микроскопии, измеряющей длину клеток и диаметры в различных условиях (Рисунок 1 и BNID 106577, 111480).Удивительно, но тот факт, что разные лаборатории не всегда приходят к одним и тем же значениям, может быть связан с различиями в методах калибровки или точных штаммах и условиях роста. Беспрецедентная возможность измерения клеточной массы достигается за счет эффективного взвешивания клеток на микроскопическом кантилевере. Как показано на фиг. 2A, поток жидкости используется для перемещения ячейки вперед и назад в выдолбленном кантилевере. При измерении используется тот факт, что масса клетки влияет на частоту колебаний кантилевера.Эту частоту можно измерить с феноменальной точностью и использовать для определения массы с точностью фемтограммы. При изменении направления потока жидкости ячейка задерживается на несколько минут или более, и скорость ее массового накопления непрерывно измеряется на уровне отдельной ячейки. При первоначальном применении этого метода было показано, что отдельные клетки, которые больше по размеру, также быстрее накапливают массу, проливая свет на давний вопрос: является ли рост клеток линейным во времени или, что более точно, описывается приблизительно экспоненциальным трендом? Различия могут быть незначительными, но с этими революционными возможностями было ясно видно, что последний сценарий лучше отражает ситуацию в нескольких протестированных типах клеток, как показано на рисунке 2B.

    Рис. 2: Использование плавучей массы для измерения роста отдельных клеток. (A) Кантилевер микронного размера колеблется с высокой частотой, и массу клеток можно определить по изменению частоты колебаний. (B) При измерении во времени это дает кривую накопления массы отдельных клеток, как показано. (C) Здесь показаны клетки B. subtilis. Сравнение прогнозов моделей линейного и экспоненциального роста показано как наиболее подходящие. Сходство демонстрирует, насколько близки две модели в диапазоне только двукратного увеличения в течение клеточного цикла.Сухая масса клетки примерно в 4 раза больше плавучей массы. (По материалам M. Godin et al., Nature Meth. 7: 387, 2010.)

    123178 Всего просмотров 4 просмотров сегодня

    M3 / M-Cubed — eoPortal Directory

    M 3 / M-Cubed (Michigan Multipurpose Minisat)

    M 3 (или M-Cubed, также обозначаемый как MCubed) является студенческой инициативой CubeSat Мичиганского университета (UM), Анн-Арбор, Мичиган. Функциональная цель M-Cubed — продемонстрировать цветные изображения с самым высоким на сегодняшний день разрешением (<200 м) поверхности Земли с не менее 60% суши и не более 20% облачности с одной платформы CubeSat.Мичиганская лаборатория S3FL (Студенческая лаборатория по изготовлению космических систем) также разрабатывает автобус M-Cubed с намерением сделать его традиционным, что позволит выполнять будущие миссии на том же автобусе.

    Проект был начат летом 2007 года. Основная образовательная цель состоит в том, чтобы предоставить студентам учебную среду «проектирование-сборка-испытание в полете» для обучения будущих специалистов по космическим системам. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

    Рисунок 1: Фотография летной модели M-Cubed CubeSat (изображение предоставлено UM)

    Космический корабль:

    Спутниковая шина состоит из собственных подсистем космических кораблей, разработанных студентами, построенных из аппаратного обеспечения COTS (коммерческое готовое оборудование).Космический аппарат соответствует стандарту форм-фактора 1U CubeSat по размерам (10 см x 10 см x 10 см) и массе (≤ 1 кг). Основная конструкция состоит из шести прямоугольных изосеточных панелей, прикрепленных к четырем рельсам в каждом углу. Панели из решетки обеспечивают жесткость, но при этом имеют меньшую массу, чем сплошные панели. Направляющие, к которым прикреплены эти панели, будут полыми с нижней стороны для уменьшения массы, а также для обеспечения канала, через который подсистема питания и электрическая подсистема может получить доступ к подпружиненному поршню, необходимому для индикации высвобождения M-Cubed из корпуса. P-POD (поли-пикоспутниковый орбитальный развертыватель).

    Рис. 2: Базовая структура космического корабля M-Cubed (кредит изображения: UM)

    ACS (подсистема контроля ориентации): M-Cubed использует подсистему пассивного магнитного контроля ориентации для достижения правильной ориентации для получения изображений Земли. Узел состоит из одного постоянного магнита, выровненного по одной оси корпуса CubeSat, а также дополнительных материалов магнитного гистерезиса, выровненных по каждой дополнительной перпендикулярной оси корпуса. В этой конфигурации постоянный магнит выравнивает одну ось корпуса CubeSat с местным направлением магнитного поля Земли.Поскольку магнит по-прежнему позволяет CubeSat вращаться вокруг этой единственной оси, добавляются гистерезисные материалы, чтобы гасить нежелательное вращение. Гистерезисные материалы HuMy80, выбранные из-за их высокой магнитной проницаемости, создают внутренний ток, поскольку они вращаются под действием местного магнитного поля. Это рассеивает энергию вращения в виде тепла, эффективно демпфируя вращательное движение CubeSat.

    На практике эта пассивная система ориентации позволит получать изображения Земли только на определенной части орбиты M-Cubed.В идеале камера должна постоянно указывать в направлении надира или прямо вниз к Земле. Однако, поскольку камера выровнена вдоль оси постоянного магнита, ее направление относительно надира определяется орбитальным положением CubeSat. На рисунке 3 показана форма силовых линий магнитного поля Земли, а также ориентация камеры в каждой точке типичной полярной орбиты.

    Этот тип пассивной системы управления, несмотря на ограниченную производительность, был выбран по нескольким причинам.По сравнению с активными системами ориентации, такими как магнитные катушки крутящего момента, пассивные системы этого типа требуют меньшей массы и не потребляют энергию. Кроме того, пассивные системы ориентации предлагают надежную и простую стратегию управления, которая может похвастаться обширным опытом полетов в аналогичных миссиях CubeSat по съемке Земли.

    Рисунок 3: Схема силовых линий магнитного поля Земли и ориентации камеры на полярной орбите (фото предоставлено UM)

    EPS (подсистема электроэнергии): M-Cubed использует солнечные батареи для выработки электроэнергии, которые устанавливаются на поверхность вне CubeSat.Энергия, собранная солнечными элементами, передается через датчики тока и напряжения, подключенные к микроконтроллеру, а затем через преобразователь напряжения 5 В, где она распределяется между активными шинами, управляемыми переключателями (в режиме разряда), или в зарядное устройство (во время заряда). Режим). Когда M-Cubed находится в режиме разряда, мощность солнечного элемента дополняется энергией батареи через преобразователь напряжения 3,3 В или 12 В для питания других шин. Ожидается, что для спутника потребуется 1.2 Вт средней мощности и 4,7 Вт пиковой мощности.

    Рисунок 4: Блок-схема EPS (изображение предоставлено UM)

    Подсистема C&DH (обработка команд и данных): C&DH отвечает за все встроенные функции мониторинга и управления. Это включает также управление операциями камеры с полезной нагрузкой и сжатие изображений (рис. 5).

    В качестве OBC используется микроконтроллер Stamp9G20 от Taskit. Это компьютер на модульном устройстве, то есть он содержит все жизненно важные части компьютера на одной печатной плате.Stamp9G20 имеет ядро ​​ARM9 400 МГц, 54 МБ SDRAM, 128 МБ флэш-памяти NAND и обширный набор портов для подключения. Stamp9G20 работает под управлением операционной системы Linux реального времени и может быть расширен для будущих миссий. Первоначальные испытания показывают успешную работу даже в условиях теплового вакуума.

    Подсистема C&DH обеспечивает командный интерфейс для модуля интерфейса полезной нагрузки, полезной нагрузки JPL (алгоритм MSPI OBP) и подсистемы телеметрии. Микроконтроллер постоянно включен и контролируется внешним сторожевым таймером.Система работает на частоте 8 МГц на шине 3,3 В и может обмениваться данными по протоколам SPI (последовательный периферийный интерфейс), I 2 C (межинтегрированная связь) и USART (универсальный синхронный / асинхронный передатчик-приемник). USART используется для связи с радиоприемопередатчиками и управления ими. Шина I 2 C реализована для связи с полезной нагрузкой PXA270 и данными о состоянии EPS.

    Подсистема C&DH требуется для управления камерой и для выборки изображений для отклонения изображений космоса, облаков или открытого океана.После выбора приемлемого изображения подсистема C&DH сжимает изображение для передачи. Кроме того, подсистема C&DH должна собирать данные о напряжении системы и текущем состоянии работоспособности для передачи на землю.

    Рисунок 5: Блок-схема C & DHS (кредит изображения: UM)

    Радиочастотная связь: Основная задача подсистемы связи — передавать данные от бортового M-Cubed на наземную станцию. Используя канал вверх 144 МГц (VHF) и канал вниз 430 МГц (UHF), для управления и приема данных со спутника будут использоваться любительские радиодиапазоны.Базовый сигнал радиомаяка, содержащий данные о состоянии спутников, будет периодически передаваться во время работы. Радиосвязь Li-1 (Lithium-1) CubeSat Kit компании Astronautical Development LLC, Саннивейл, Калифорния, используется для связи в диапазоне УВЧ / УКВ.

    Выделенный приемник будет работать все время, в то время как выделенный передатчик будет работать только для отправки сигнала маяка или передачи данных изображения. И приемник, и передатчик представляют собой один и тот же компонент, Analog Devices ADF7020-1, жестко привязанный к их независимым задачам, чтобы сэкономить время и средства на разработку.От передатчика сигнал будет усилен до 1 Вт, необходимой расчетной мощности передачи. Монополь 16 см и монополь 40 см — соответствующие антенны для нисходящей линии связи и восходящей линии связи. Данные и команды будут передаваться с использованием протокола AX.25, стандарта любительской радиопередачи данных.

    Рисунок 6: Фотография радиостанции AD7020-1 (изображение предоставлено UM)

    Рисунок 7: Компьютерный чертеж в M-Cubed с полезной нагрузкой JPL FPGA (изображение предоставлено JPL)

    Запуск : M-Cubed был запущен в качестве дополнительной полезной нагрузки космического корабля НАСА NPP (подготовительный проект NPOESS) 28 октября 2011 года.Стартовая площадка — ВАФБ, Калифорния. Ракета-носитель была Delta-2-7920-10 компании Boeing, провайдер запуска — ULA (United Launch Alliance).

    Вторичные полезные нагрузки: Вторичные полезные нагрузки были частью инициативы НАСА ElaNa-3 (Образовательный запуск наноспутников). Все вторичные полезные нагрузки были развернуты из стандартных P-POD (Poly Picos satellite Orbital Deployer). 7)

    • DICE (Dynamic Ionosphere CubeSat Experiment), два наноспутника консорциума DICE (Университет штата Юта, Логан, Юта) общей массой 4 кг.

    • E1P-2 (Explorer-1 PRIME-2), миссия CubeSat МГУ (Университет штата Монтана), Бозман, штат Монтана, США.

    • AubieSat-1, CubeSat высотой 1U от AUSSP (Студенческая космическая программа Обернского университета). Обернский университет расположен в Оберне, штат Алабама, США.

    • RAX-2 (Radio Aurora eXplorer-2), 3U CubeSat Университета Мичигана, Анн-Арбор, Мичиган, спонсируемый NSF.

    • M-Cubed (Многоцелевой мини-спутник Мичиган), 1U CubeSat Университета Мичигана, Анн-Арбор, Мичиган.

    Орбита вторичных полезных нагрузок: После развертывания основной миссии АЭС ракета-носитель переводит все вторичные полезные нагрузки на эллиптическую орбиту для последующего развертывания.Это должно соответствовать стандарту CubeSat о 25-летнем сроке службы на спуске с орбиты, а также научным требованиям, предъявляемым к полезной нагрузке на этой ракете. Ракета позаботится о маневрировании, и когда она достигнет правильной орбиты, она развернет все вспомогательные полезные нагрузки на орбиту ~ 830 км x ~ 350 км, наклонение ~ 99º .

    Орбита: Солнечно-синхронная почти круговая орбита основной миссии, высота = 824 км, наклон = 98,7 °, период = 101 минута, LTDN (местное время на нисходящем узле) в 10:30 часов.

    Развертывание антенны M-Cubed: M-Cubed требует механизма развертывания для обеих антенн, необходимых для связи с наземной станцией. Приемная антенна 130 МГц представляет собой диполь длиной 0,33 м, а передающая антенна 435 МГц представляет собой монополь длиной 0,5 м. Обе антенны изготовлены из медной ленты, форма которой обеспечивает прямой профиль. Несимметричная антенна закреплена на одном конце, а диполь — посередине. Обе антенны будут обернуты вокруг конструкции перпендикулярно друг другу.Затем оставшиеся концы привязываются к внутренней части конструкции с помощью нейлоновой нити с обернутой вокруг них нихромовой (NiCr) проволокой. Когда антенны необходимо развернуть, через нихромовую проволоку будет проходить ток, расплавляя нейлоновую нить и позволяя антеннам вернуться в свое прямое развернутое положение.

    Рисунок 8: Фотография AubieSat-1, E1P-2 и M-Cubed (слева) вместе с P-POD перед запуском на VAFB (изображение предоставлено MSU / SSEL)


    Статус миссии:

    • Март 2013: С момента запуска до сих пор нет разделения между двумя CubeSats MCubed и HRBE [Исследователь радиационного пояса Хискока, ранее известный как E1P-2 (Explorer-1 PRIME-2) из МГУ] после вывода на орбиту.- Команда проекта MCubed из Мичиганского университета завершила обширное исследование орбитального соединения между MCubed и HRBE CubeSats. Моделирование показало, что магнитное соединение между MCubed и HRBE возможно. 8)

    Примечание: соединение в основном является проблемой для MCubed. MCubed все еще жив и ведет передачу, но команда проекта не смогла управлять космическим кораблем. Гипотеза состоит в том, что это происходит из-за расстроенной антенны, учитывая непосредственную близость HRBE — возможно, HRBE застрял в антенне.Попытки команды управлять космическим кораблем в основном осуществлялись через УВЧ-радио. В рамках проекта планируется провести дополнительные испытания, чтобы пройти через УКВ. Команда HRBE из МГУ смогла выполнить свою собственную миссию, и у них нет данных датчиков для дальнейшего понимания природы соединения. 9)

    28 октября 2011 года шесть спутников CubeSat были запущены в качестве вспомогательной полезной нагрузки со спутником NASA NPP на борту ракеты Delta II. Два спутника CubeSats высотой 1U, MCubed и HRBE , случайно оказались на орбите.Это соединение было проверено с помощью доплеровских характеристик периодических телеметрических передач обоих спутников и того факта, что JSpOC США (Объединенный центр космических операций) предоставляет один двухстрочный набор элементов для обоих объектов.

    Точная причина соединения неизвестна, и предполагается, что оно было вызвано магнитами в обоих спутниках. Оба спутника CubeSat оснащены постоянным магнитом для пассивного управления ориентацией. В рамках проекта было разработано моделирование, чтобы определить, возможно ли магнитное соединение, и если да, то в каком диапазоне начальных условий.Используя фактическую массу и магнитные свойства обоих спутников, было показано, что магнитное соединение возможно, если начальная скорость поступательного разделения между спутниками CubeSats после развертывания P-POD составляет менее 2,1 см / с. Естественным продолжением этой работы для повышения точности моделирования было бы включение в моделирование геомагнитного поля, модели спутниковых магнитов ближнего поля и третьего CubeSat в P-POD, AubieSat-1.

    В этом исследовании содержатся полезные уроки, извлеченные разработчиками CubeSat, а также метод дальнейшего изучения динамики развертывания CubeSat.

    Таблица 1: Эта таблица представляет собой сокращенный обзор исследований, проведенных командой проекта MCubed (Ссылка 8)

    • В апреле 2012 года ситуация с M-Cubed оставалась неизменной, несмотря на многочисленные попытки связаться с космическим кораблем с большой посторонней помощью и тщательный анализ восстановления. 10)

    Доступная информация свидетельствует о необычном поведении космического корабля:

    1) M-Cubed имел некоторые необычные и вызывающие беспокойство данные телеметрии

    — Две солнечные панели развивают потенциал, но практически не генерируют ток

    — Полученный сигнал Индикатор мощности (RSSI) за пределами шкалы (> -30 дБм)

    — Счетчик сбросов показал, что космический аппарат часто сбрасывался

    2) Каждый четвертый маяк был на намного сильнее, чем предыдущие три, и перекрывался с передачами маяка E1P

    3) Объединенный центр космических операций НЕ наблюдал никаких других объектов, связанных с запуском АЭС с момента первого обнаружения другого вспомогательного космического корабля.

    Как такое могло случиться ??

    — Было исследовано несколько возможностей (например, спутывание антенны)

    — Наиболее убедительные доказательства, имеющиеся в настоящее время, предполагают, что магнитное соединение

    — E1P и M-Cubed использовали относительно сильные магниты по сравнению с другими 1U для пассивного контроля ориентации

    — Магниты, используемые обоими спутниками, НЕ были обращены друг к другу в P-POD — соединение должно было произойти ПОСЛЕ развертывания P-POD

    — Неработающие солнечные панели на M-Cubed соответствуют оси магнита (телеметрия).

    Операции по восстановлению в SRI:

    — Невозможно управлять M-Cubed с наземной станции в Мичигане из-за высокого минимального уровня шума, создаваемого электроникой M-Cubed в диапазоне УВЧ

    — Расчеты показали, что проекту требовалось гораздо большее EIRP, чем доступно на UMich для восходящего канала

    — К счастью, проекту был предоставлен доступ к 18-метровой антенне SRI

    — Однако все попытки восходящего канала, сделанные почти на каждом проходе в течение 3-дневного периода, были безуспешными, несмотря на наличие достаточного запаса по минимальному уровню шума.

    Наноспутник RAX-2 продолжает сохранять положительную мощность даже с двумя неработающими солнечными панелями .

    Тем временем НАСА одобрило средства на постройку второго M-Cubed! (Ссылка 10)

    • 6 декабря 2011 г. Проект подозревает, что, возможно, M-Cubed все еще привязан к E1P-2 (Explorer-1 Prime-2) CubeSat МГУ. После изучения доплеровских сдвигов обоих спутников проект заметил, что постоянное соответствие между двумя спутниками — это гораздо больше, чем совпадение.Кроме того, NORAD не обнаружил никаких дальнейших спутников между двумя объектами, предположительно M-Cubed и E1P-2 (ссылка 11).

    • 10 ноября 2011 г. Проект получил множество обновлений, касающихся передачи маяков M-Cubed по всему миру, и несколько раз слышал M-Cubed, когда он проезжает мимо Анн-Арбора. Однако в проекте не обнаружено никаких доказательств того, что он получил какую-либо из переданных команд. У проекта есть множество теорий, которые проверяются в лаборатории; есть надежда, что этот вопрос будет решен в ближайшее время.Тем временем проект продолжает посылать различные команды M-Cubed, пока он находится в Анн-Арборе. 11)


    Комплект датчиков: (камера, COVE)

    Камера:

    Основная полезная нагрузка M-Cubed — это чип камеры OmniVision 2 Mpixel CMOS (OV2655), который будет принимать качественные цвета изображения Земли с НОО (низкая околоземная орбита) с разрешением <200 м. Для этого требуется передача данных с разрешением 1600 x 1200 пикселей (3.76 МБ / изображение) с камеры на бортовой компьютер M-Cubed с использованием протоколов I 2 C (Inter -Integrated Circuit) и ISI (Image Sensor Interface).

    Цветная КМОП-камера с плосковыпуклой линзой 9,6 мм EFL (эффективное фокусное расстояние) (рисунок 9). Камера сделает снимок и сохранит его в микропроцессоре Colibri PXA270 с разрешением 1280 x 1024 пикселей, каждый пиксель имеет размер 3,6 мкм x 3,6 мкм. Это позволяет получать изображения Земли с разрешением от умеренного до высокого после постобработки.Даже с объективом, установленным на правильном фокусном расстоянии, вся подсистема полезной нагрузки камеры довольно мала и занимает всего 55 см 3 объема (поз. 16). КМОП-камера также обозначается как µEye .

    Рисунок 9: Фотография CMOS-камеры (слева) и микропроцессора Colibri (справа), кредит изображения: UM, JPL)

    Для сохранения проекта M-Cubed был выбран микропроцессор Stamp9G20 компании Taskit GmbH, Берлин, Германия. и обработайте изображения.

    Stamp9G20 — это небольшой и компактный модуль ЦП.Все компоненты, такие как процессор или блок памяти, интегрированы на плату размером всего 53 мм x 38 мм x 6 мм. Он был задуман для промышленных приложений и хорошо подходит в качестве основы для разработки мобильных устройств и встраиваемых вычислительных решений. Типичные области применения Stamp9G20 включают, например, регистрацию данных, преобразование журнала или системы измерения всех типов.

    Stamp9G20 поставляется с операционной системой с открытым исходным кодом Linux и предустановленным загрузчиком U-Boot.Linux предлагает все функции современной операционной системы. Многозадачность, управление виртуальной памятью и динамически загружаемые библиотеки делают Linux идеальным решением для многих областей применения.

    Рисунок 10: Схема M-Cubed с COVE и платами камеры и другими элементами (кредит изображения: UM)

    COVE (эксперимент по валидации бортовой обработки CubeSat)

    Сотрудничество между университетом из Мичигана и JPL (Лаборатория реактивного движения) была одобрена для финансирования НАСА ESTO (Управление по технологиям науки о Земле) ATI (Инициатива передовых технологий) в мае 2010 года с целью повышения TRL (уровня технологической готовности) нового устройства Virtex-5 SIRF. реализован с помощью алгоритма OBP (бортовой обработки) MSPI (Multiangle SpectroPolarimetric Imager).- Ключевой технологической разработкой, необходимой для MSPI, полезной нагрузки в миссии Decadal Survey Aerosol-Cloud-Ecosystem (ACE), является OBP (бортовой процессор) для расчета поляриметрических данных, отображаемых каждой из 9 камер, образующих инструмент. . 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)

    Эта новая задача называется COVE (CubeSat On-board processing Validation Experiment ). Задача COVE — это 18-месячные усилия по разработке готового к полету M-Cubed CubeSat UM со встроенной полезной нагрузкой JPL OBP.Планируемая дата завершения — сентябрь 2011 года.

    Поскольку FPGA Virtex-5QV еще не прошла квалификацию для космических полетов; Эта проверка технологии в полете в миссии CubeSat с предварительным курсором (M-Cubed) чрезвычайно важна для повышения уровня технологической готовности как ПЛИС, так и поляриметрического алгоритма OBP для MSPI и миссии ACE.

    Рисунок 11: Дизайн MSPI. MSPI будет измерять свойства облаков и аэрозолей с помощью 1 фиксированной и 8 подвесных камер (фото предоставлено NASA / JPL)

    Рисунок 12: Фотография процессорной платы COVE FPGA (изображение предоставлено NASA / JPL)

    Плата COVE предназначен для передачи данных изображения в общую бортовую память без включения FPGA (самого энергоемкого устройства на плате).ПЛИС включается только тогда, когда это необходимо для обработки уже полученных данных изображения; тем не менее, режим прямой передачи данных действительно существует для обстоятельств, когда желательно продлить работу ПЛИС в космической среде (после того, как будут выполнены основные задачи миссии). Номинально ПЛИС будет работать только на время, достаточное для обработки данных изображения и передачи их результатов.

    Для того, чтобы удобно разместиться внутри рамы сателлита M-Cubed, плата COVE была разработана с размерами 90 мм x 90 мм.Размер одной только ПЛИС составляет 42,5 x 42,5 мм. Оставшееся пространство на плате должно было разместить память, конфигурационные PROM (программируемое постоянное запоминающее устройство), регуляторы, АЦП (аналого-цифровые преобразователи) и другие вспомогательные компоненты.

    Интерфейс питания: M-Cubed обеспечивает исходное напряжение батареи в диапазоне 6,0–8,4 В для полезной нагрузки COVE. Плата COVE регулирует вторичные напряжения, необходимые для всех ее компонентов, как указано ниже:

    • FPGA: 3,3 В, 2,5 В, 1,0 В

    • Конфигурация PROM: 3.3 В, 1,8 В

    • Магниторезистивное ОЗУ: 3,3 В

    • Флэш-память: 3,3 В

    • АЦП: 3,3 В, 1,25 В

    • Буферы, мультиплексоры: 3,3 В.

    M-Cubed дополнительно доступен для Регулируемая мощность COVE 3,3 В и 5 В с ограничением тока 2 А на каждой линии. Хотя конструкция COVE для MSPI OBP могла работать с этим интерфейсом источника питания с двумя входами (как показано в проекте EM), было две причины, по которым в проекте было выбрано использование одного нерегулируемого входа шины питания для окончательной конструкции FM (Flight Model). .

    — Первая причина заключается в том, что, не ограничивая входную мощность до 2 А, можно приспособиться к будущим проектам FPGA, которые потребляют больше энергии, чем проект MSPI OBP (посредством реконфигурации загрузки).

    — Во-вторых, также для соответствия будущим приложениям полезной нагрузки COVE, требования к интерфейсу упрощены, а тестирование упрощено за счет того, что требуется только один вход источника питания с широким диапазоном напряжения (в рамках проекта были выбраны преобразователи постоянного тока в постоянный ток, которые могут работать с любым входным напряжением в диапазон 5.От 5 В до 26,5 В).

    Архитектура полезной нагрузки COVE, представленная на рисунке 13, может быть подразделена на следующие логические подсистемы:

    • FPGA, PROM, ресурсы синхронизации

    • Совместно используемая память

    • Неразделяемая память

    • Измерение состояния системы

    • Power

    • Буферы изоляции.

    В отличие от FPGA коммерческого класса Virtex-5, V5QV не имеет встроенного процессора PowerPC. Алгоритм MSPI OBP требует использования процессора, который контролирует и контролирует алгоритм, работающий в матрице FPGA.В V5QV в проекте используется программный процессор MicroBlaze вместо PowerPC.

    Поскольку V5QV представляет собой энергозависимую ПЛИС на основе SRAM, ему требуются энергонезависимые конфигурационные PROM для загрузки потока битов при включении питания. В проекте используются два ППЗУ XQF32P с расширенным температурным диапазоном для хранения одного битового потока конфигурации ПЛИС. Эти PROM можно перепрограммировать через интерфейс JTAG, доступный только на земле. Перед окончательной интеграцией с M-Cubed проект программирует эти PROM с помощью последней прошивки FPGA и программного обеспечения MicroBlaze.

    На плате COVE требуется только один источник синхронизации. В проекте используется генератор 100 МГц для обеспечения основной системной тактовой частоты для ПЛИС. Внутри FPGA блоки PLL (Phase Lock Loop) и DCM (Digital Clock Manager) выполняют все необходимое распределение тактовых импульсов.

    Общая память: Основной метод передачи данных изображения в FPGA и обработки результатов в M-Cubed — через устройство общей флэш-памяти. Вторичный механизм передачи данных существует через передачу по шине SPI напрямую от M-Cubed к FPGA.В этом режиме FPGA должна оставаться включенной при передаче данных (и последующей обработке изображений). Флэш-память Numonyx P5QPCM доступна через шину SPI. На плате COVE шина SPI флэш-памяти мультиплексирована между FPGA и M-Cubed, что позволяет любому устройству иметь независимый доступ к общей памяти. При доступе с помощью M-Cubed питание ПЛИС может быть отключено.

    Память без сегментов: плата COVE также заполнена энергонезависимой MRAM (магниторезистивной памятью с произвольным доступом), предназначенной для использования в качестве дополнительного хранилища инструкций и данных для процессора MicroBlaze и FPGA.Хотя алгоритм OBP полностью умещается во встроенной памяти FPGA (BRAM), наличие дополнительной внешней RAM позволяет в будущем загружать проекты, требующие памяти, на плату COVE.

    Измерение состояния системы: два АЦП Analog Devices AD7714 и датчик температуры Maxim MAX6627 измеряют напряжение платы, ток и рабочую температуру ПЛИС. Все три устройства работают через независимые шины SPI, напрямую связанные с FPGA. Данные от АЦП и датчика температуры записываются ПЛИС и передаются в M-Cubed вместе с результатами обработки изображений.

    Рис. 13: Блок-схема COVE (изображение предоставлено JPL)

    Интерфейс связи: COVE обменивается данными с M-Cubed через 26-контактный ленточный кабель, который используется совместно с другими подсистемами CubeSat. Из 26 линий ввода-вывода 15 выделены для связи с COVE.

    Питание: два сдвоенных 4-амперных преобразователя постоянного тока LTM4619 Linear Technology питаются от нерегулируемого напряжения батареи M-Cubed и выходного вторичного напряжения 3,3 В (VIF), 3,3 В (VCC), 2,5 В и 1,0 В.Один стабилизатор с двойным малым падением напряжения (LDO) Linear Technology LT3029 генерирует оставшиеся слаботочные вторичные напряжения, сначала понижая напряжение на шине 2,5 В до 1,8 В, а затем с 1,8 В до 1,25 В. Контакты включения на этих деталях используются для переключения включение / выключение питания, устраняющее громоздкие схемы переключения на основе MOSFET, используемые на плате EM. Вторичные токи питания отслеживаются с помощью усилителей с датчиком тока Maxim MAX9634, управляющих АЦП.

    Изоляционные буферы: Поскольку ПЛИС на плате COVE не включена постоянно, необходимо проявлять особую осторожность, чтобы не задействовать линии ввода-вывода, привязанные к ПЛИС, когда она находится в выключенном состоянии.Мы используем буферы с тремя состояниями и инверторы, чтобы изолировать ПЛИС от M-Cubed и других компонентов платы, которые могут находиться в состоянии питания, когда ПЛИС выключена. Кроме того, эти буферы поддерживают функцию удержания шины iv , гарантируя, что все операции ввода-вывода для других устройств на плате COVE будут удерживаться на неплавающем логическом уровне.

    Рисунок 14: Фотография собранной полезной нагрузки EM COVE (кредит изображения: JPL)

    Принцип действия COVE: Плата COVE разработана с целью минимизировать энергопотребление, предлагая при этом все возможности обработки данных V5QV FPGA .Это достигается путем выборочного включения / выключения интерфейса и ПЛИС. В следующем разделе круглые скобки указывают на конкретный компонент в проекте M-Cubed / COVE, но могут быть обобщены для других приложений CubeSat.

    COVE Основная задача: Во время большей части работы M-Cubed плата COVE отключена. Хотя регуляторы напряжения получают питание от батареи, их линии управления настроены на отключение выхода напряжения.

    Когда M-Cubed получил изображение (снятое с помощью встроенной камеры OmniVision) и готово для обработки на борту, COVE отправляет команду на включение его интерфейса SPI и флэш-памяти.Затем M-Cubed записывает необработанные данные изображения по заранее определенному адресу в совместно используемой флэш-памяти. Этот процесс может занять около 3 минут для стандартного образа 5,76 МБ, поскольку микропроцессор (Stamp9G20) на M-Cubed ограничен в скорости передачи SPI примерно до 30 секунд на МБ. Однако потребляемая мощность на этом этапе очень низка (~ 0,25 Вт), так как только несколько устройств на плате COVE находятся во включенном состоянии.

    После того, как полный образ был передан в совместно используемую флеш-память, микропроцессор (Stamp9G20) передает управление совместно используемой флеш-памятью и дает команду COVE включить FPGA.V5QV FPGA загружает битовый поток конфигурации из PROM и начинает читать и обрабатывать данные из совместно используемой флеш-памяти. Результаты обработки данных (алгоритм MSPI) записываются обратно в совместно используемую флэш-память в заранее определенное адресное пространство.

    FPGA уведомляет микроконтроллер (Stamp9G20) о завершении обработки данных. Затем микроконтроллер получает управление совместно используемой флеш-памятью и дает команду ПЛИС на выключение. Обработанные данные затем считываются микроконтроллером (Stamp9G20), и действие полезной нагрузки COVE завершается.На последнем этапе микроконтроллер выдает команду полезной нагрузке COVE на отключение его интерфейса SPI и флеш-памяти.

    Использование COVE в будущем: После выполнения основной задачи плата COVE может быть предоставлена ​​другим клиентам для демонстрации их технологии на основе FPGA на V5QV FPGA. Чтобы приспособиться к будущему использованию полезной нагрузки COVE, плата разработана с возможностью загрузки новых конфигураций в FPGA, пока M-Cubed находится на орбите. В дополнение к XQF32P PROM, которые хранят «золотой» битовый поток (не обновляемый на орбите), FPGA также может настраиваться из общей флеш-памяти.Область совместно используемой флэш-памяти зарезервирована для хранения потока битов вторичной конфигурации. Этот поток битов может быть загружен во флэш-память из микроконтроллера таким же образом, как данные изображения передаются в эту память.

    COVE также предоставляет энергонезависимые MRAM для внешнего кода и хранения данных, которые могут потребоваться в будущих приложениях MicroBlaze, интенсивно использующих память. Этот вариант использования активируется путем первой загрузки нового потока битов конфигурации в общую флеш-память, включая дополнительный контент для вставки в MRAM.После настройки FPGA может быть проинструктировано скопировать определенное содержимое совместно используемой флэш-памяти в MRAM, а затем начать загрузку процессора MicroBlaze.


    1) «M-Cubed (Многоцелевой мини-спутник штата Мичиган)», URL: http://www.umcubed.org/

    2) Кирил А. Дончев, Картик Горакави, Кэмерон Э. Хааг, Томас М. Лю. , Рафаэль Рамос, «M-Cubed: Многоцелевой мини-спутник Мичиганского университета с полезной нагрузкой оптического формирователя изображения», документ AIAA, URL: http://www-personal.umich.edu/~mjregan/MCubed/Pages/Documents/M-CubedAIAAPaper.pdf

    3) Кирилл Дончев, «Michigan Multipurpose MiniSat M-Cubed», Летний семинар CubeSat: 8-9 августа 2009 г., Сан-Луис-Обиспо, Калифорния, США, URL: http://mstl.atl.calpoly.edu /~jfoley/Summer2009/Sun_1015_M-Cubed%20Cal%20Poly%20Summer%2009%20Talk.pdf

    4) «M-Cubed (Michigan Multipurpose MiniSat)», семинар разработчиков CubeSat, CalPoly, Сан-Луис-Обиспо, США, США 8-9 апреля 2008 г., URL: http://mstl.atl.calpoly.edu/%7Ebklofas/Presentations/DevelopersWorkshop2008/session1/3-MCubed-Kiril_Dontchev.pdf

    5) «Попытка построить спутник по дешевке», Michigan Daily, 10 апреля 2008 г., URL: http://www.michigandaily.com/content/trying-build-s satellite-cheap

    6) http://www-personal.umich.edu/~mjregan/MCubed/Pages/Home.html

    7) «CubeSat ELaNa III Launch on NPP Mission», НАСА, октябрь 2011 г., URL: http: //www.nasa .gov / pdf / 598567main_65121-2011-CA000-NPP_CubeSat_Factsheet_FINAL.pdf

    8) Джон С. Спрингманн, Эндрю Бертино-Рейбштейн, Джеймс В. Катлер, «Исследование соединения на орбите между MCubed и HRBE CubeSats 978» -1-4577-0557-1 / 13 / $ 31: 00 © 2013, IEEE, URL: http: // exploration.engin.umich.edu/blog/wp-content/uploads/2013/03/MCubed-E1p-IEEE-main.pdf

    9) Информация предоставлена ​​Джоном С. Спрингманном, доктором философии. кандидат аэрокосмической техники в Мичиганском университете, Анн-Арбор, Мичиган.

    10) Мэтт Беннетт, Эндрю Бертино, Джеймс Катлер, Чарльз Нортон, Паула Пингри, Джон Спрингманн, Скотт Трипп, «Миссия M-Cubed / COVE», 9 th Ежегодный семинар разработчиков Spring CubeSat, Государственный университет Калифорнии, Калифорния, США. Сан-Луис-Обиспо, Калифорния, США, 18–20 апреля 2012 г., URL: http: // mstl.atl.calpoly.edu/~bklofas/Presentations/DevelopersWorkshop2012/Bennett_M-Cubed_Docked.pdf

    11) http://www.umcubed.org/

    12) Паула Дж. Пингри, «Повышение уровня технологической готовности (TRL) бортовая платформа обработки данных MSPI для миссии ACE Decadal Survey », ESTF 2011 (Форум технологий науки о Земле 2011), Пасадена, Калифорния, США, 21-23 июня 2011 г., URL: http://esto.nasa.gov/ конференции / estf2011 / paper / Pingree_ESTF2011.pdf

    13) Паула Дж. Пингри, Дмитрий Л. Беккер, Томас А.Верне, Тор О. Уилсон, «Этап разработки прототипа эксперимента по валидации бортовой обработки данных CubeSat», 2011 IEEE Aerospace Conference, Big Sky, MT, USA, 5-12 марта 2011 г., статья: 2.0402

    14) Томас А. Верне, Дмитрий Л. Беккер, Паула Дж. Пингри, «Обработка данных в реальном времени для усовершенствованной системы визуализации с использованием ПЛИС Xilinx Virtex-5», Материалы конференции IEEE Aerospace Conference 2010, Big Sky, MT, США, март 6-13, 2010 г.

    15) Паула Дж. Пингри, «Валидация бортовой обработки изображений с наземной камеры MSPI в реальном времени», ESTF (Форум технологий земных наук), Арлингтон, Вирджиния, UAS, 22-24 июня 2010 г., URL: http: // esto.nasa.gov/conferences/estf2010/presentations/Pingree_ESTF2010_a4P3.pdf

    16) Дмитрий Л. Беккер, Томас А. Верне, Тор О. Уилсон, Паула Дж. Пингри, Кирил Дончев, Майкл Хейвуд, Рафаэль Рамос, Брэд Фрейберг, Фернанд Фрейберг Сака, Брайан Гилкрист, Алек Галлимор, Джеймс Катлер, «Проект CubeSat для проверки ПЛИС Virtex-5 для обработки изображений из космоса», Материалы конференции IEEE Aerospace 2010, Биг Скай, Мт, США, 6-13 марта 2010 г.

    17) Дмитрий Л. Беккер, Паула Дж. Пингри, Томас А.Верне, Тор О. Уилсон, Брайан Р. Франклин, «Полезная нагрузка COVE — реконфигурируемый процессор на базе FPGA для CubeSats», Материалы 25-й ежегодной конференции AIAA / USU по малым спутникам, Логан, Юта, США, 8 августа. 11, 2011, статья: SSC11-I-2

    18) «НАСА запускает эксперимент по науке о Земле, созданный JPL», Space Daily, 2 ноября 2011 г., URL: http://www.spacedaily.com/reports/NASA_Launches_JPL_Built_Earth_Science_Experiment_999 .html

    19) Чарльз Д. Нортон, Майкл П. Пашиуто, Паула Пингри, Стив Чиен, Дэвид Райдер, «Подтверждение космических полетов технологий NASA ESTO», Труды IGARSS (Международный симпозиум по геонаукам и дистанционному зондированию), Мюнхен, Германия , 22-27 июля 2012 г.


    Информация, собранная и отредактированная в этой статье, предоставлена ​​ Herbert J.Крамером из его документации: «Наблюдение за Землей и ее окружающей средой: обзор миссий и датчиков» (Springer Verlag), а также из многих других источников после публикации 4-го издания в 2002 году.