Тип элемента Ворота распашныеВорота откатныеКалитка

Ширина ворот распашных 3.6 метра

Ширина ворот откатных 3.5 метра4.5 метра

Ширина калитки 1 метр

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)2(M)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)2(M)3(K)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)2(M)3(K)4(L)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)3(K)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)4(L)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)2(M)4(L)

На какой стононе будет выбранный элемент? 1(W)3(K)4(L)

Отступ от начала стороны

σ = напряжение (Па (Н / м ² ), psi)

Термическое напряжение

Когда ограниченное расширение «преобразуется» в напряжение — тогда (1 ) , (2) и (3) можно комбинировать с

σ _dt = E ε

= E dl / l _o

= E 905 l _o dt / l _o

= E α dt (4)

где

σ _dt = напряжение из-за изменения температуры (Па (Н / м ² ), фунт / кв. дюйм)

Осевая сила

Осевая сила, действующая на ограниченный стержень из-за изменения температуры, может быть выражена как

F = σ _dt A

= E α dt A (5)

где

F = осевое усилие (Н)

A = площадь поперечного сечения стержня ² , дюйм ² )

Пример — Стальная труба с подогревом — Термическое напряжение и сила с ограниченным расширением

A DN150 Станд.(6 дюймов) стальная труба длиной 50 м (1969 дюймов) нагревается от 20 ^o C (68 ^o F) от до 90 ^o C (194 ^o F) . Коэффициент расширения для стали составляет 12 10 ^-6 м / м · К (6,7 10 ^-6 дюймов / дюйм ^o F) . Модуль упругости для стали составляет 200 ГПа (10 ⁹ Н / м ² ) (29 10 ⁶ фунтов на квадратный дюйм (фунт / дюйм ² )).

Создание 3D-моделей с помощью The Engineering ToolBox Sketchup Extension

Расширение неограниченной трубы:

dl = ( 12 10 ^-6 м / мK ) (50 м) ((90 ^o C) — (20 ^o C))

= 0.042 м

Если расширение трубы ограничено — напряжение, создаваемое из-за изменения температуры, можно рассчитать как

σ _dt = (200 10 ⁹ Н / м ² ) ( 12 10 ^-6 м / мК ) ((90 ^o C) — (20 ^o C))

= 168 10 ⁶ Н / м ² (Па)

= 168 МПа

Примечание ! — если в трубе есть давление — осевое и окружное (кольцевое) напряжение можно добавить к ограниченному температурному напряжению расширения с помощью векторного сложения.

Внешний диаметр трубы составляет 168,275 мм (6,63 дюйма) , а толщина стенки составляет 7,112 мм (0,28 дюйма) . Затем можно рассчитать площадь поперечного сечения стенки трубы:

A = π ((168,275 мм) / 2) ² — π ((168,275 мм) — 2 (7,112 мм)) / 2) ²

= 3598 мм ²

= 3,6 10 ^-3 м ²

Сила, действующая на концах трубы, когда она ограничена, может быть рассчитана как

F = ( 168 10 ⁶ Н / м ² ) (3.6 10 ^-3 м ² )

= 604800 Н

= 604 кН

Неограниченная труба:

dl = (6,7 10 ^-6 дюйм / дюйм ^o F ) (1669 дюймов) ((194 ^o F) — (68 ^o F))

= 1,4 дюйма

Напряжение в трубе с ограничениями:

σ _dt = (29 10 ⁶ фунтов / дюйм ² ) ( 6.7 10 ^-6 дюйм / дюйм ^o F ) ((194 ^o F) — (68 ^o F))

= 24481 фунт / дюйм ² (psi)

Площадь поперечного сечения:

A = π ((6,63 дюйма) / 2) ² — π ((6,63 дюйма) — 2 (0,28 мм)) / 2) ²

= 5,3 дюйма ²

Осевая сила, действующая на концах:

F = ( 24481 фунт / дюйм ² ) (5.3 дюйма ² )

= 129749 фунтов

Пример — Термическое напряжение в армированных или соединенных материалах

Когда соединены два материала с разными коэффициентами температурного расширения — обычно для бетона и стали армирования или в трубах центрального отопления с изоляцией из полиэтилена и т. д. — изменения температуры вызывают напряжение.

Это можно проиллюстрировать на пластиковом стержне из ПВХ 10 м , усиленном стальным стержнем.

Свободное расширение стержня из ПВХ без армирования — при изменении температуры 100 ^o C — можно рассчитать от (1) до

дл _PVC = (50,4 10 ^-6 м / мК) (10 м) (100 ^o C)

= 0,054 м

Свободное расширение стального стержня при изменении температуры 100 ^o C — можно рассчитать по формуле (1) от до

dl _сталь = (12 10 ^-6 м / мK) (10 м) (100 ^o C)

= 0.012 м

Если предположить, что стальной стержень намного прочнее, чем стержень из ПВХ (зависит от модуля Юнга и площади материалов), то натяжение стержня из ПВХ можно рассчитать по разнице температурного расширения с ( 4) как

σ _PVC = (2,8 10 ⁹ Па) (0,054 м — 0,012 м) / (10 м)

= 11,8 10 ⁶ Па

= 11,8 МПа

Предел текучести ПВХ составляет приблизительно 55 МПа .

Калькулятор осевой силы теплового расширения

Этот калькулятор можно использовать для расчета осевой силы, создаваемой объектом с ограниченным температурным расширением. Калькулятор является универсальным и может использоваться как для метрических, так и для британских единиц измерения, если используются единообразные единицы.

Длина объекта ограничения (м, дюймы)

Площадь объекта ограничения (м ² , дюйм ² )

Разница температур ( ^o C, ^o F)

Модуль Юнга (ГПа, 10 ⁹ фунтов на кв. Дюйм)

Коэффициент расширения (10 ^-6 м / мК, 10 ^-6 дюймов / дюйм ^o F)

What такое усталостная сила? — Matmatch

Известно, что материалы выходят из строя при повторяющихся напряжениях, которые намного ниже их прочности на растяжение.Подсчитано, что около 90% механических отказов используемых материалов вызваны усталостью или, по крайней мере, ей способствуют. Следовательно, усталость является важным параметром, который следует учитывать для движущихся механических компонентов, которые, как ожидается, будут работать в течение длительного времени [1].

Усталость была признана проблемой с начала 1800-х годов, когда катастрофические отказы были зарегистрированы в металлических компонентах машин, инфраструктуры и сооружений, преимущественно мостов и железных дорог. Однако правильное понимание механизма отказа из-за усталости не было достигнуто до ^-го -го века, когда многие инженеры и ученые опирались на более ранние наблюдения и испытания железнодорожного инженера Августа Велера.

Современные исследования и применение усталостной прочности расширяют масштабы, поскольку допуск на отказ становится меньше, а критерии проектирования становятся более строгими. Больше данных по усталостной прочности создается с помощью анализа усталости для большего количества материалов, и это важный компонент при расчете срока службы или усталостной долговечности изделия или конструкции. Знания о силе усталости жизненно важны для современных приложений, в частности, в аэрокосмической отрасли, медицине и спорте.

Из этой статьи вы узнаете о:

• Что такое усталостная прочность
• Измерение усталостной прочности
• Области применения, где важна усталостная прочность

Что такое усталостная прочность?

Существуют разные виды усталости, а именно [2]:

• Механическая усталость: от колеблющихся напряжений и деформаций
• Усталость при ползучести: в результате циклических напряжений при повышенных температурах
• Термическая усталость: от многократных изменений температуры
• Термомеханическая усталость: комбинация термической и механической усталости
• Усталость от истирания: Усталость от фрикционного износа
• Коррозионная усталость: в результате циклических напряжений в коррозионных условиях

Усталостная прочность, однако, обычно относится к механической усталости и определяется как уровень напряжения, ниже которого не было бы усталостного разрушения , даже если бы к материалу было приложено очень большое количество циклов напряжения.Это механическое напряжение может быть осевым, скручивающим или изгибным. Усталостная прочность часто используется взаимозаменяемо с пределом усталости или пределом выносливости , но это не совсем одно и то же.

Предел усталости — это уровень напряжения, ниже которого не будет усталостного разрушения независимо от количества циклов нагрузки, которым подвергается материал. Но поскольку невозможно испытать материал в течение бесконечного числа циклов, предел выносливости является предположением, выведенным из результатов испытаний.Следует отметить, что некоторые материалы, такие как алюминий и медь, не имеют предела выносливости, потому что они всегда в конечном итоге выходят из строя из-за усталости, когда подвергаются определенному количеству циклических нагрузок, независимо от того, насколько мала нагрузка. Поэтому усталостную прочность таких материалов обычно рассчитывают как уровни напряжений, которые они могут выдержать без сбоев при большом общем количестве циклов, обычно 5×10 ⁸ циклов [1].

Ожидается, что материал, который работает при циклических нагрузках ниже его усталостной прочности, никогда не разрушится в результате одной только усталости в течение определенного количества заданных циклов нагружения.

Измерение усталостной прочности

Усталостная прочность рассчитывается экспериментально с помощью нескольких методов, а иногда экстраполируется с помощью численного анализа усталости на основе существующих эмпирических данных. Диаграмма S − N — это наиболее широко используемая концепция при расчете усталостной прочности. Это график, который отображает постоянное циклическое напряжение амплитудой S , приложенное к образцу материала, в зависимости от количества циклов нагружения N , которое образец может выдержать до того, как в конечном итоге сломается.Количество циклов, необходимых для отказа, часто достигает миллионов, особенно при низких уровнях нагрузки, поэтому ось x обычно строится логарифмически [3].

Рисунок 1. Кривые S − N для алюминия и низкоуглеродистой стали [1].

Результаты тестов сильно различаются. Вот почему проводится как можно больше тестов, а диаграмма S − N представляет собой среднее значение данных нескольких тестов.Уровень напряжения, ниже которого материал не разрушается и теоретически может подвергаться бесконечному циклу, известен как предел выносливости и определяется как уровень напряжения, при котором кривая становится горизонтальной линией. Однако для некоторых материалов пределы выносливости четко не определены, и определенное количество циклов нагружения, которое считается достаточным для срока службы материала, указано и нанесено на график. Уровень напряжения при таком количестве циклов, обычно от 1×108 до 5×108, считается усталостной прочностью для этого материала.

Ниже приведены некоторые важные параметры, которые используются для построения диаграммы S-N , по которой можно определить усталостную прочность. Они также используются для расчетов усталостной прочности с помощью численного анализа [4].

Коэффициент напряжений: `R = \ frac {\ sigma_ {min}} {\ sigma_ {max}}`

Среднее напряжение: `\ sigma_ {m} = \ frac {\ sigma_ {min} + \ sigma_ {max}} {2}`

Диапазон напряжений: `\ Delta \ sigma = \ sigma_ {max} — \ sigma_ {min}`

Амплитуда напряжения: `\ sigma_ {a} = \ frac {\ Delta \ sigma} {2}`

Соотношение амплитуд: `A = \ frac {\ sigma_ {a}} {\ sigma_ {m}} = \ frac {1-R} {1 + R}`

, где σ _мин — минимальное напряжение; σ _max — максимальное напряжение.

Усталостная прочность при Н циклах обозначается σ _N и может быть рассчитана с указанными выше параметрами по нескольким формулам, таким как формулы Гудмана, Гербера и Содерберга [1].

Применения усталостной прочности

Усталостная прочность в первую очередь применяется в дизайне. Инженерное проектирование требует пределов напряжения, чтобы гарантировать, что усталостного разрушения не произойдет до того, как будет достигнут срок службы используемых материалов.Определение коэффициентов безопасности от усталостного разрушения — сложная задача, поскольку существует множество факторов, влияющих на материал во время его эксплуатации. К таким факторам относятся состав, микроструктура, обработка, температура, физические размеры, диапазон напряжений и тип нагрузки [5].

Таблица 1. Усталостная прочность некоторых товарных материалов.

Существует несколько методологий или «философий», определяющих допуски усталостного разрушения при проектировании [1].

Расчет с неограниченным сроком службы — это старейшая и наиболее консервативная методика, которая гарантирует, что материал выдерживает только нагрузки значительно ниже его усталостной прочности в течение всего срока службы.

Безопасный дизайн учитывает пластическую деформацию, а не разрушение, как критерий разрушения. Конструкция такова, что деталь рассчитана на ограниченный срок службы, после чего ее необходимо заменить.

Отказоустойчивая конструкция предполагает, что трещины, вызванные усталостью, будут обнаружены и устранены до того, как произойдет отказ.Конструкция такова, что ни один компонент, даже если он выйдет из строя, не может вызвать катастрофический отказ всей конструкции. Эта методология была разработана в авиационной промышленности и зависит от тщательных проверок (неразрушающих испытаний) и сертификации.

Устойчивый к повреждениям дизайн — наименее консервативный метод, основанный на глубоком понимании образования и распространения трещин. Это зависит от знания того, когда распространение трещины достигнет критической точки, которая приведет к усталостному разрушению, и обеспечения того, чтобы материал не достиг этой точки.

[1] F .C. Кэмпбелл, «Усталость», в Элементы металлургии и инженерные сплавы , F.C. Кэмпбелл, Эд. ASM International, 2008, стр. 243–264. [Онлайн]. Доступно: https://www.asminternational.org/documents/10192/1849770/05224G_Chapter14.pdf. [Доступно 27 мая 2020 г.].

[2] В. Казимирович, «Очень многоцикловая усталость конструкционных материалов», Отчет об исследовании, факультет технологии и науки, инженерия материалов, Карлстадский университет, Карлстад, Швеция, 2009.[Онлайн]. Доступно: http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:210661/FULLTEXT02.pdf [доступ 27 мая 2020 г.].

[3] Д. Ройланс, «Усталость», Департамент материаловедения и инженерии

Массачусетский технологический институт, Кембридж, Массачусетс, 2001. [Online]. Доступно: http://web.mit.edu/course/3/3.11/www/modules/fatigue.pdf [по состоянию на 27 мая 2020 г.].

[4] T. Aldeeb и M. Abduelmula, «Усталостная прочность низкоуглеродистой стали S275 при циклическом нагружении», Int. Дж.Мин. Встретились. Mater ., Т. 12, 10, pp. 564–570, октябрь 2018 г.

[5] A. Nyilas, Сборник данных об усталости и оценка усталости при проектировании . Kernforschungszentrum Karlsruhe GmbH, Карлсруэ, Германия, 1985. [Online]. Доступно: https://publikationen.bibliothek.kit.edu/270021434/3812910 [дата обращения: 27 мая 2020 г.].

Преподавание механики твердого тела для искусственного интеллекта — быстрое решение для гетерогенных материалов

Краткое изложение механики упругопластических деформаций при больших деформациях

Здесь мы представляем краткое изложение механики упруго-пластических твердых тел при больших деформациях, реализованной в Düsseldorf Advanced Комплект для моделирования материала (DAMASK) ⁸ .Полное описание, а также детали различных числовых реализаций, алгоритмов идентификации параметров и решения можно найти в оригинальных статьях ^8,12 . Предполагая большие деформации, пренебрегая инерционными и телесными силами, сильная форма механического равновесия в непрерывной области равна

$$ \ begin {array} {lll} {\ rm {Div}} \ {\ bf {P}} & = & {\ bf {0}} \ \ {\ rm {in}} \ \ {{{\ varOmega}}} _ {0} \\ {\ bf {P}} & = & {{\ bf {P }}} _ {{\ rm {BC}}} \ \ {\ rm {on}} \ \ {{{\ varGamma}}} _ {P} \\ {\ bf {u}} & = & {{ \ bf {u}}} _ {{\ rm {BC}}} \ \ {\ rm {on}} \ \ {{{\ varGamma}}}} _ {u} \\ \ end {array} $$

(1)

, где P — первый тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа (PK), а Ω ₀ — объемная область.Вышеприведенное уравнение в частных производных (PDE) вместе с граничными условиями (заданными как тяга или смещение на неперекрывающихся поверхностях Γ _P и Γ _u Ω ₀ ) описывают сильную форму механического равновесия. Под действием внешних или внутренних нагрузок домен будет деформироваться, и материальные точки будут перемещаться из своих исходных положений x в свои текущие положения x через поле деформации x .В контексте механики твердого тела при больших деформациях градиент деформации \ ({\ bf {F}} = {\ rm {Grad}} \ {\ boldsymbol {\ chi}} \) мультипликативно разлагается на упругий ( F _e ) и пластмассовые ( F _p ) детали

$$ {\ bf {F}} = {{\ bf {F}}} _ {{\ rm {e}}} {{\ bf {F}}} _ {{\ rm {p}}} $$

(2)

с правилом пластического течения

$$ {\ dot {{\ bf {F}}}} _ {{\ rm {p}}} = {{\ bf {L}}} _ {{\ rm { p}}} {{\ bf {F}}} _ {{\ rm {p}}}. {{\ rm {-T}}}.$$

(9)

Первое напряжение ПК, введенное выше, должно удовлетворять механическому равновесию в уравнении. (1), которая решается численно в DAMASK с помощью спектрального решателя ^13,14 . Нелинейные системы уравнений, описанные выше, решаются итерациями до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. Эти решения служат здесь в качестве эталона для обучения, а также для оценки качества и прогностической способности метода машинного обучения.

В этой работе мы исследуем два основных тестовых случая для чисто упругих и упругопластических материалов с идеальным пластическим (нулевое деформационное упрочнение) откликом. Здесь для простоты рассматривается только изотропная упругость. Эти основополагающие допущения сводят свойства материала к двум (трем) параметрам: модуль Юнга Y , коэффициент Пуассона ν (и предел текучести S _y ) в случае упругого (эластопластического) материала, соответственно. Затем механическая неоднородность материала отображается как топологический агрегат (имитирующий поликристалл), где каждый домен принимает набор различных значений параметров материала в диапазонах [60, 120] ГПа, [0.1, 0,4] и [50, 200] МПа для Y , ν и S _y соответственно. Обратите внимание, что, хотя эти значения свойств не основаны на каком-либо конкретном материале, они примерно соответствуют пластичным поликристаллическим металлам.

Подход машинного обучения, основанный на U-Net

Использование машинного обучения и особенно глубоких нейронных сетей стало повсеместным в материаловедении (см. Ссылки ^{15,16,17,18,19,20,21,22,23, 24,25,26} для обзора). Большинство текущих инноваций в области материаловедения и инженерии, связанных с машинным обучением, успешно нацелены на ускоренное открытие материалов ^27,28,29,30 , эффективное развитие межатомного потенциала ^31,32,33,34 или идентификацию функций в сложной структуре, которая имеет значение по исполнению материалов ^{35,36,37,38,39} .Тем не менее, мы показываем здесь, что ML также может помочь в корне изменить способ решения (нелинейных) систем уравнений в частных производных в сочетании с расширенными конститутивными законами, которые описывают сложные микроструктуры материала, намного быстрее, чем с помощью классических конечно-элементных или спектральных решателей ^11,40 . Это изменение принципа может произвести революцию в моделировании материалов на основе континуума, позволяя существенно повысить доступность материалов и топологий высокой сложности, размера и скорости для количественного прогнозирования.

Внедрение альтернативы глубокого обучения для схемы решения, основанной на физике, должно осуществляться со строгой оценкой производительности и качества решений (см. Ссылки ^41,42 для обзора проблем внедрения ИИ в качестве инструмента в материаловедение). Необходимость количественной оценки качества прогнозов, среди других факторов, мотивирована конкретной общей проблемой, связанной со всеми подходами к глубокому обучению: в отличие от обычных схем решателя, где решение напрямую строится на фундаментальных управляющих уравнениях (например,г., уравнение. (1)), при глубоком обучении сеть учится только тому, чтобы воспроизводить правильный вывод на основе данных обучения. Набор обучающих данных имеет правильное значение выходных данных, которое рассчитывается обычным решателем, основанным на физике (следовательно, обученным теории AI ⁴⁰ ), и это устанавливает косвенный способ воздействия на сеть физики проблема. Другими словами, нейронная сеть изучает отображение между входами и соответствующими выходами, которые вычисляются физическим решателем.Хотя сеть напрямую не включает физические законы, она может имитировать выходы, основанные на этих физических законах. Это означает, что глубокое обучение предназначено для таких задач и хорошо приспособлено для очень эффективного переваривания и воспроизведения особенностей паттернов и соотнесения паттернов с топологиями, но само по себе это не включает понимание лежащего в основе физического происхождения некоторых особенностей таких паттернов (за исключением топологические). Таким образом, при использовании глубокого обучения в первую очередь в качестве эффективного решателя, а не в качестве инструмента физики, кажется, используется его самая большая сила в текущем контексте.Это отсутствие прямого включения физических законов (и в целом человеческого знания) побудило изобретать процедуры, чтобы пролить свет на то, как нейронные сети делают свои прогнозы; эти методы обычно называют объяснимыми методами искусственного интеллекта (например, см. ссылки ^43,44,45,46 ). В этой статье, в отличие от общих подходов в объяснимом ИИ (например, Ref. ^{, 47,48} ), мы развиваем понимание взаимосвязи между внутренней структурой предлагаемой нейронной сети и ее способностью находить приближенное суррогатное решение для поставила краевую задачу с помощью ряда тестов.Используя эти результаты, мы устанавливаем связи между деталями решения машинного обучения и четко определенными алгоритмами решения, используемыми для решения PDE с помощью обычных спектральных решателей.

Нейронные сети различаются по своим основным нейронным блокам, расположению этих блоков в слоях и их связности, характеру функций потерь (например, с точки зрения количественной оценки отклонений прогнозируемых значений относительно эталонных значений в обучающие данные) и «редукционистский» дух дизайна сети (например,g., см. ссылки. ^49,50,51 ). Такое разнообразие возможных архитектурных деталей отражает разнообразие приложений. Для приложений с особыми характеристиками (и ограничениями) может потребоваться разработать топологию сети и сетевой рабочий процесс, которые более адекватно соответствуют решаемым задачам. Примеры таких архитектур, которые были адаптированы для конкретных приложений в физике и материаловедении, можно найти в работах. ^52,53 .

В этой статье наша цель — разработать и использовать архитектуру нейронной сети, которая способна оценивать локальные поля напряжений в гетерогенных средах, подверженных внешним нагрузкам, используя только локальные свойства материала и топологию микроструктуры (например,g., домен, зернистость или фазовая структура) в качестве входной информации. Для этого требуется, чтобы сеть могла (i) эффективно захватывать локальные особенности, а также (ii) иметь одинаковые размеры для входных и выходных данных. Это также требования для многих задач компьютерного зрения, таких как сегментация и обнаружение объектов. Поэтому в качестве первого шага мы реализуем одну из наиболее распространенных архитектур нейронных сетей в компьютерном зрении, известную как «U-Net» ⁵⁰ . U-Net изначально был разработан для сегментации биологических изображений и с тех пор является одной из наиболее часто используемых архитектур для решения задач компьютерного зрения.

Другое соображение, которое способствует использованию архитектуры U-Net, вытекает из основного уравнения, которое необходимо решить, т. Е. Уравнения. (1). Оператор в этом уравнении является производной, которую можно эффективно зафиксировать с помощью сверточных слоев U-Net. С учетом всех вышеупомянутых соображений мы считаем адаптацию этой архитектуры особенно многообещающей для применения решения механического равновесия и локального отклика материала в механике твердого тела.

Создание данных моделирования

Мы использовали тесселяцию Вороного для создания 1000 двумерных случайных геометрий с 20 различными доменами в каждом блоке моделирования.Обратите внимание, что разница между каждым доменом заключается не в кристаллографической ориентации в нашей текущей схеме обучения, а в свойствах упругого и пластического материала в каждом домене. Для простоты в эластопластическом корпусе используется модель изотропной пластичности (а не более сложные модели, такие как пластичность кристаллов). Размер окна моделирования составляет 256 × 256 × 1 точек сетки. Рассмотрены два случая: один с изотропной упругостью, а второй с упруго-идеально-пластическим откликом (т.е., без деформационного упрочнения). Свойства материала каждой области назначаются случайным образом из наборов, перечисленных в таблице 1.

Случайный выбор модуля Юнга Y и коэффициента Пуассона ν из таблицы 1 (упругий столбец) назначается доменам (имитирующим зерна) в 1000 различных геометриях, которые были созданы для проведения полнополевого моделирования в ДАМАСКА. Затем моделирование DAMASK служит обучающими данными для U-Net.{-3} \) s ^-1 приняты в качестве значений параметров в уравнении скорости пластической деформации, т.е. (5). Эти параметры приводят к идеальной пластической модели (упрочнение с нулевой деформацией) с различными напряжениями текучести в соседних областях (т. Е. Зернах).

После того, как геометрия и свойства материала были назначены, все блоки моделирования (т.е. агрегаты поликристаллов) были нагружены до деформации растяжения E _{x x} = 0,01 или E _{x x} = 0.001 для упругого и эластопластического корпусов соответственно (координаты см. На рис. 7). Упругопластическая нагрузка была установлена ​​на умеренное значение, которое находилось в середине диапазона значений предела текучести, чтобы повысить сложность, то есть получить смесь областей в упругом и упругопластическом режимах. Кроме того, обратите внимание, что минимальный предел текучести в данных обучения составляет всего 50 МПа, поэтому приложенная внешняя нагрузка в упругопластическом случае ниже по сравнению с чисто упругим случаем.Компоненты напряжения во всех других нормальных направлениях (т.е. y y и z z ), а также деформация недиагональных компонентов были установлены на ноль. В случае поведения эластичного материала нагрузка прикладывалась мгновенно за один шаг, в то время как в случае упругопластического материала нагрузка прикладывалась последовательно за один шаг. Расчеты проводились с использованием пакета программ микромеханического моделирования с открытым исходным кодом DAMASK ⁸ . Обратите внимание, что даже в случае линейной упругой модели, PDE не являются линейными из-за нелинейного характера лежащей в основе модели деформации, представленной в формуле.(8), способная моделировать как большие деформации, так и жесткие вращения. Хотя нанесенный краситель невелик (1%), локальные деформации выше из-за концентрации напряжений на стыках доменов и связанных топологических особенностей высокого механического контраста. Однако здесь мы ограничиваемся исследованием междоменных различий в почти линейной гетерогенной системе из упругого материала, подверженного небольшим деформациям, и для нелинейного случая упругопластического поведения.

Пример типичного набора карт распределения входных свойств материала (слева) и соответствующих выходных данных в терминах эквивалентного распределения напряжений по Мизесу (справа), рассчитанных с помощью программного пакета микромеханического моделирования с открытым исходным кодом DAMASK ⁸ . Одноосная растягивающая нагрузка прилагается в направлении x . Полноценное прямое моделирование служит в качестве обучающих данных для решающей программы машинного обучения на основе U-Net.

Входными данными для алгоритма машинного обучения являются распределения свойств материала ( Y , ν в случае упругого материала и Y , ν , S _y в случае упругопластического отклика соответственно), представленные в виде изображений с цветовой кодировкой. Выход или, соответственно, цель обучения ML заключается в предсказании эквивалентных по фон Мизесу значений второго ПК-стресса, S _vM , как определено в уравнении.(6), который отображается в конце каждого моделирования в виде цветного изображения. Обратите внимание, что каждая точка сетки в моделировании представлена ​​одним пикселем во входных / выходных изображениях (т.е. все изображения имеют размер 256 × 256). Следовательно, область моделирования ограничена этим размером. Пример набора таких входных и выходных изображений показан на рис. 7.

Для лучшей визуализации для читателей смоделированные карты в этом документе имеют цветовую кодировку с использованием цветных карт viridis или сейсмических карт. Однако обратите внимание, что нейронная сеть обучается и работает с монохромными изображениями для каждого из скалярных полей.

Сетевая архитектура

Используемая сетевая архитектура является адаптацией U-Net ⁵⁰ , см. Рис. 8. Сеть состоит из двух отдельных частей: контрактной и расширяющей. Контрактирующая часть состоит из N _s = 4 шага, где каждый шаг представляет собой повторяющееся наложение контрактных модулей, где каждый модуль состоит из сверточного слоя, нелинейной функции активации и уровня пакетной нормализации, который является за которым следует слой понижающей дискретизации.Сверточный слой увеличивает количество каналов, а понижающая дискретизация уменьшает количество строк и столбцов данных (то есть ширину и высоту изображения). После этих N _s шагов, выполненных в контрактной части, начинается расширяющаяся часть сети, которая также состоит из N _s шагов. Каждый шаг в расширяющей части аналогичен сжатой части, за исключением того, что в этом случае сверточные слои уменьшают количество каналов, а понижающая дискретизация заменяется повышающей дискретизацией, которая увеличивает количество строк и столбцов.Следуя архитектуре U-Net, на каждом этапе понижающей дискретизации ширина и высота изображения уменьшаются в два раза. В соответствии с каждым шагом понижающей дискретизации реализуется шаг повышающей дискретизации, где коэффициент масштабирования снова равен двум. Поскольку количество шагов понижающей дискретизации равно количеству шагов повышающей дискретизации, выходные данные имеют те же размеры, что и входные. Эта архитектура также позволяет нам передавать информацию о каждом шаге последовательности понижающей дискретизации непосредственно в соответствующую часть повышающей дискретизации, как это сделано в исходной версии U-Net, а также ⁵⁰ .За последним этапом сжатия следует сверточный слой, который уменьшает количество каналов до 1 и применяет сигмовидную функцию, которая отображает значения в диапазон [0, 1]. Несмотря на общее сходство с исходной структурой U-Net, вариант нейронной сети, который мы здесь используем, отличается от первоначального дизайна, как объясняется ниже.

Здесь для именования слоев принято обозначение Tensorflow ⁵⁵ .Слои состоят из разделяемых сверточных слоев (SeparableConv2D) с выпрямленным линейным блоком (ReLu) или сигмоидной функцией активации для извлечения функций и применения нелинейностей, пакетной нормализацией (BatchNormalization) для преобразования выходных данных слоев к среднему значению ноль и стандартное отклонение 1, максимальное объединение (MaxPooling2D) для крупнозернистого изображения и повышающая дискретизация (UpSampling2D) для перехода от крупнозернистого изображения к изображению с высоким разрешением. Пропускающие соединения отправляют изображения с каждого этапа контракта его расширяющемуся аналогу.

Прежде всего, размер ядра сверточного слоя в нашей модели ( k = 9) намного больше, чем размер ядра, обычно используемый в U-Net (т.е. k = 3). Здесь ядро ​​размером k относится к матрице k × k , элементы которой должны быть изучены во время обучения сети. Ядро, то есть размер его матрицы, является ключевой особенностью сверточных нейронных сетей, которая применяется поэтапно в виде скользящего массива по данным шаблона.Этот процесс направлен на усиление, идентификацию и извлечение определенных функций из входного изображения. Обычно он кодируется в виде простой матрицы (гораздо более низкого ранга по сравнению с размером изображения), которая последовательно скользит по изображению и умножается в каждой последовательной позиции на подмножество входного массива, так что выходные данные улучшают определенные топологические характеристики. особенности шаблона, такие как края, углы, градиенты и т. д. Обоснование нашего выбора увеличения размера ядра с 3 до 9 заключается в том, что больший размер ядра может привести к более точной оценке производной.Фактически, как показано в разделе результатов, мы наблюдаем, что для небольших размеров ядра способность сети прогнозировать результаты значительно снижается. Анализ показывает, что размер матрицы ядра действительно является важным параметром для превращения этого подхода в жизнеспособную альтернативу решателю, способную, например, улавливать локальные пики напряжения и особенности градиента напряжений. Эти особенности местного напряжения связаны с вариациями механического контраста, характерными для неоднородных материалов.

Еще одна важная модификация, которую мы реализовали в нашей версии U-Net, заключается в замене обычных сверточных слоев на разделяемые сверточные слои. В отличие от сверточного слоя, использованного в исходном проекте U-Net, где выходные данные, полученные путем применения ядра к каждому каналу, суммируются для всех каналов, в нашем подходе выходные данные складываются вместе с полученными весами. Использование невзвешенной суммы является более подходящим выбором для приложений сегментации, поскольку можно ожидать высокой корреляции между различными входными каналами, например.g., между красным, зеленым и синим цветами изображения. Однако для нашего приложения мы не ожидаем такой высокой корреляции между различными свойствами материала (то есть между модулем Юнга, коэффициентом Пуассона и пределом текучести). Глубина U-Net (то есть количество шагов сжатия / расширения), а также количество каналов изменены в нашей реализации. Эффекты, возникающие в результате увеличения глубины U-Net, систематически изучаются и обсуждаются в разделе результатов.

Входные данные: случайные микроструктуры

Входные данные включают в данном случае пространственное распределение свойств материала, включая локальный модуль Юнга Y , локальный коэффициент Пуассона ν , а в случае эластичности -пластичность, значения местного предела текучести S _y . Мы упорядочиваем эту информацию, складывая ( w , h ) массивы из Y и ν , чтобы сформировать массив ( w , h , 2), с w = 256 и h = 256.Для решения упруго-пластических проблем добавляется дополнительный канал, который содержит значения напряжения текучести S _y в качестве изотропной меры сопротивления материала неупругому изменению формы. Мы также вводим дополнительный канал для Y / ν . Выбор этой дополнительной характеристики мотивирован общей формой решений, вытекающих из теории упругости, где Y и ν появляются в смешанных выражениях: Y / ν или Y / (1 + ν ).Значения в каналах смещаются и масштабируются таким образом, что все они попадают в диапазон [0, 255].

Выходные данные: распределение напряжения по Мизесу

Используя входные данные, то есть масштабированные свойства материала, мы стремимся предсказать распределение напряжения по Мизесу, введенное в уравнение. (6), снова в масштабированной форме. Значение напряжения фон Мизеса является эквивалентной мерой напряжения, которая сводит тензорную форму к скалярному суррогату для изотропных случаев. В общем, здесь мы сосредотачиваемся на измерении напряжения фон Мизеса, поскольку это параметр первого порядка, который позволяет выявить наиболее важные ключевые особенности механической неоднородности в изотропных средах, подверженных упруго-пластическим нагрузкам.

Обратите внимание, что в нашем AI-подходе мы не вычисляем напряжение по Мизесу путем отдельного прогнозирования отдельных компонентов напряжения, а рассчитываем его непосредственно в сквозном подходе, то есть с использованием упомянутых выше входных данных. Мы предполагаем, что вычисление отдельных компонентов тензора напряжений было бы более простым для нейронной сети, но это потребовало бы использования большего количества выходных каналов. Однако для случаев с высокой механической анизотропией было бы уместно рассчитывать компоненты тензора напряжений индивидуально (и извлекать из них также вторичные измерения, такие как значения эквивалентных напряжений).

Обучение сети

Нейронная сеть реализована, обучена и протестирована с использованием Keras ⁵⁴ , который представляет собой интерфейс прикладного программирования (API), написанный на Python, работающий поверх платформы машинного обучения TensorFlow ⁵⁵ .