При введении ограничений по волнению допускается устанавливать следующие высоты волн для судов класса:

• “М-СП” – 3,0 и 2,5 м;
• “М-ПР” – 2,0 м;
• “О-ПР” – 1,5 м;
• “М” – 2,5 и 2,0 м;
• “О” – 1,5 и 1,2 м;
• “Р” – 0,9 и 0,6 м.

Здесь для всех судов, кроме класса “О” и “Р”, указана высота волн 3 %-ной обеспеченности. Для судов класса “О” и “Р” принимается высота волн 1 %-ной обеспеченности.

Дополнительный волновой изгибающий момент с учетом дополнительных ограничений условий эксплуатации определяется по формуле:

Mдвогр = k3Mдв,          Форм. 30

где:

• M_дв — дополнительный волновой изгибающий момент, определяемый в зависимости от класса судна;
• k₃ — коэффициент, учитывающий уменьшения момента при введении дополнительных ограничений.

Величина k₃ определяется по табл. 11. Промежуточные значения определяются линейной интерполяцией.

Суда внутреннего и смешанного плавания с дополнительными ограничениями по волнению могут быть допущены к эксплуатации в бассейнах, разряд которых соответствует классу судна.3/24EI. Долго не мог понять почему прогиб с кристаллом не сходится

03-11-2016: Доктор Лом

Все верно, еще одна опечатка из-за невнимательного редактирования (надеюсь, что последняя, но не факт). Исправил, спасибо за внимательность.

16-12-2016: иван

Здравствуйте, Доктор Лом. Вопрос следующий: просматривал фото со стройки и заметил одну вещь: Жб заводская перемычка 30*30 см примерно, оперта на трехслойную жб панель сантиметров на 7. (жб панель немного подпилили для опирания на нее перемычки). Проем под балконную раму 1,3 м, по верху перемычки армопояс и плиты перекрытия чердака. Критичны ли эти 7 см, опирание другого конца перемычки больше 30 см, все стоит нормально несколько лет уже

16-12-2016: Доктор Лом

Если есть еще и армопояс, то нагрузка на перемычку может значительно снизиться. Думаю, все будет нормально и там даже при 7 см достаточно большой запас по прочности на опорной площадке. Но вообще нужно конечно же считать.

25-12-2016: Иван

Доктор, а если предположить, ну чисто теоретически
что арматура в армопоясе над балкой полностью разрушена, армопояс треснет и ляжет на балку вместе с плитами перекрытия? Хватит ли этих 7 см опорной площадки?

25-12-2016: Доктор Лом

Думаю, даже в этом случае ничего не случится. Но повторю, для более точного ответа нужен расчет.

09-01-2017: Андрей

В таблице 1 в формуле 2.3 для вычисления прогиба вместо «q» указана «Q». Формула 2.1 для вычисления прогиба, являясь частным случаем формулы 2.3, при вобставлении воответствующих значений (a=c=l, b=0) приобретает другой вид.

09-01-2017: Доктор Лом

Все верно была опечатка, но теперь это не имеет значения. Формулу прогиба для такой расчетной схемы я брал из справочника Фесика С.П., как наиболее короткую для частного случая х = а. Но как вы правильно подметили — эта формула не проходит проверки на граничные условия, поэтому я ее вообще убрал. Оставил только формулу для определения начального угла поворота, чтобы упростить определение прогиба по методу начальных параметров.

02-03-2017: Доктор Лом

В учебных пособиях, насколько я знаю, такой частный случай не рассматривается. Тут поможет только программное обеспечение, например, Лира.

24-03-2017: Еагений

Добрый день в формуле прогиба 1.4 в первой таблице — значение в скобках всегда получаетсья отрицательным

24-03-2017: Доктор Лом

Все правильно, во всех приведенных формулах отрицательный знак в формуле прогиба означает, что балка прогибается вниз по оси у.

29-03-2017: Оксана

Добрый день, доктор лом. Не могли бы Вы написать статейку про крутящий момент в металлической балке — когда он вообще возникает, при каких расчётных схемах, ну и, конечно же, расчёт хотелось бы от Вас увидеть с примерами. У меня — мет балка шарнирно опёртая, один край консольный и на него приходит сосредоточенная нагрузка, а по всей балке распределённая от ж.б. тонкой плиты 100 мм и стены ограждения. Эта балка крайняя. С ж.б. плитой соединяется приваренными к балке с шагом 600 мм стержнями 6 мм. Не могу понять будет ли там крутящий момент, если да — то как его найти и рассчитать сечение балки в связи с ним?

Доктор Лом

Виктор, эмоциональные поглаживания — это конечно хорошо, но их на хлеб не намажешь и семью ими не прокормишь. Для ответа на ваш вопрос требуются расчеты, расчеты — это время, а время — это не эмоциональные поглаживания.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1). Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. 6.1

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной
. До деформации сечения, ограничивающие элемент
, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол
. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется
. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна
, отстоящего на расстоянииот нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги
) равна
. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину
, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что
, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки
получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором
. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента
в поперечном сечении (6.1)

.

Вспомним, что интеграл
представляет собой момент инерции сечения относительно оси

.

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя
) с действующим в сечении моментом. Произведение
носит название жесткости сечения при изгибе, Н·м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы
и изгибающего момента

Поскольку
,

;

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и- главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше — 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

К сведению! Чтобы реально представлять, почему так важно знать величину отклонения от первоначального положения, стоить понимать, что измерение величины прогиба является единственным доступным и достоверным способом определить состояние балки на практике.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е — справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M max = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h — размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача — определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос — почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

Заключение

Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа — это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.

Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.

Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.

При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q у и изгибающий момент М х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым .

Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.

Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений , а момент М – сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.

Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем . Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линие й или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.

Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

1) Выполняется гипотеза плоских сечений.

2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения , определяемые по формуле:

где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону . На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии

Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Выберем некоторое сечение

Для любой точки сечения,назовем ее точкой К , условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

, где н.о. — это нейтральная ось

это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см 3 , м 3 . Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие.

При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные , так и касательные напряжения.

Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.

Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .

Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.

В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.

Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.

Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.

Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.

Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).

Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).

Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.

Относительное удлинение ε x волокна

Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .

Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :

РАСЧЕТ НА СЖАТИЕ С ИЗГИБОМ И ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ — КиберПедия

Общие сведения

Сжато-изгибаемые элементы работают одновременно на сжатие и изгиб. Так работают, например, верхние пояса ферм, в которых кроме сжатия действует еще изгиб от внеузловой нагрузки от веса покрытия. В элементах, где сжимающие силы действуют с эксцентриситетом относительно их осей, тоже возникает сжатие с изгибом. Поэтому они называются также внецентренно сжатыми. Внецентренное сжатие может возникнуть в сечении элемента, имеющего несимметричное ослабление.

В сечении сжато-изгибаемого элемента действуют продольные сжимающие силы N, от которых возникают равномерные напряжения сжатия и изгибающий момент М, от которого возникают и сжимающие, и растягивающие напряжения, максимальные в крайних волокнах и нулевые на нейтральной оси прямоугольного сечения. Максимальные сжимающие напряжения возникают в крайних волокнах сечения в месте действия максимального изгибающего момента.

Разрушение сжато-изгибаемого элемента начинается с потери устойчивости сжатых волокон, что обнаруживается появлением складок и повышенными прогибами, после чего элемент ломается. Такое разрушение частично пластично. Поэтому сжато-изгибаемые элементы работают более надежно, чем растянутые, и их рекомендуется изготовлять из древесины 2-го сорта.

Расчетные формулы

Сжато-изгибаемые элементы рассчитываются по первой и второй группе предельных состояний.

1. Расчет сжато-изгибаемого элемента производится на действие максимальных продольных сжимающих сил N и изгибающих моментов М от расчетных нагрузок по формуле

, (4.1)

где N — расчетная сжимающая сила; М_д — расчетный изгибающий момент от совместного действия поперечной нагрузки и сжимающей силы; A_раси W_рас— соответственно площадь поперечного сечения и момент сопротивления (нетто для элементов цельного сечения).

Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического, полигонального и близких к ним очертаний, а также для консольных элементов М_дследует определять по формуле

, (4.2)

где М — изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы; ξ — коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле

. (4.3)

2. В случаях, когда в шарнирно-опертых элементах эпюры изгибающих моментов имеют треугольное или прямоугольное очертание, коэффициент ξ по формуле (4.3) следует умножать на поправочный коэффициент k_α:

k_α = α_n+ ξ(i — α_n),(4.4)

где α_n — коэффициент, который следует принимать равным 1,22 при эпюрах изгибающих моментов треугольного очертания (от сосредоточенной силы) и 0,8 при эпюрах прямоугольного очертания (от постоянного изгибающего момента).

3. При отношении напряжений от изгиба к напряжениям от сжатия менее 0,1 сжато-изгибаемые элементы следует также проверять на устойчивость по формуле (2.2) без учета изгибающего момента.

4. Расчет на скалывание при изгибе следует проводить по формуле (3.2), при этом поперечную силу определяют по формуле

Q_д = Q /ξ, (4.5)

где Q — максимальная поперечная сила от поперечной нагрузки.

5. Сжато-изгибаемый элемент должен быть также проверен на прочность и устойчивость только при сжатии продольной силой в направлении из плоскости действия изгибающего момента по формуле (2.2).

6. Проверка устойчивости плоской формы деформирования цельных сжато-изгибаемых элементов, как правило, не требуется.

7. Прогиб сжато-изгибаемых элементов следует проверять по формуле

, (4.6)

где f — прогиб, определяемый по формуле (3.5).

Указания по подбору сечения

Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток). Назначенное сечение проверяют по условию прочности (4.1). При несоблюдении условия прочности размеры сечения увеличивают с учетом сортамента пиломатериала. Цель расчета – получение сечения с наименьшей площадью при условии, чтобы суммарные краевые напряжения сжатия были как можно ближе к значению расчетного сопротивления материала. Как правило, рациональной формой сечения будет прямоугольное сечение с высотой в плоскости действия поперечной нагрузки.

Задание

Подобрать прямоугольное сечение сжато-изогнутого деревянного элемента. Исходные данные взять по варианту из табл. 4.1 и 2.1.

Таблица 4.1

Исходные данные

к заданию по подбору сечения сжато-изгибаемого элемента

^*q – равномерно распределенная нагрузка; Р – сосредоточенная сила в середине пролета

Пример расчета

Исходные данные

Стержень из древесины лиственницы 2-го сорта длиной l = 5,5 м не имеет ослабления, и концы его закреплены шарнирно. На стержень от расчетных нагрузок действует продольная сжимающая сила N = 59,4 кН = 0,0594 МН и сосредоточенная сила в середине пролета Р = 10,5 кН = 0,0105 МН в направлении большего размера сечения. Нормативная нагрузка составляет 70 % от расчетной. Условия эксплуатации конструкции: класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А2; установившаяся температура воздуха < 35^ºС; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной > 0,8.

Решение

1. Подберем сечения по прочности. Задаемся размерами сечения по сортаменту 0,15х0,25 м. Расчетное табличное значение сопротивление изгибу древесины сосны 2-го сорта = 15 МПа. Определяем значение расчетного сопротивления с учетом коэффициентов условий работы, породы и коэффициента надежности по ответственности.

МПа.

МПа.

Изгибающий момент от расчетной нагрузки

М = Pl / 4 =10,5·5,5 / 4 = 14,43 кН·м = 0,01443 МН·м.

Площадь и момент сопротивления сечения определяются по формулам:

A = bh = 0,15·0,25 = 0,0375 м²;

м³.

Расчетная длина и гибкость элемента в плоскости изгиба

l₀ = 5,5 м;λ = l₀/ 0,289h = 5,5 / 0,289·0,25 = 76,1 < λ _пр = 150.

По формуле (4.3) определяем коэффициент

.

По формуле (4.4) определяем коэффициент

k_α = α_n+ ξ(i — α_n)= 1,22 + 0,788(1 – 1,22) = 1,047.

Момент с учетом деформаций

МН·м.

По формуле (4.1) проверяем условие прочности

МПа.

2. Проверка прочности и устойчивости из плоскости изгиба.

Расчетная длина, гибкость и коэффициент продольного изгиба следующие:

l_0y = 5,5 м; λ_y = l_0y / 0,289b = 5,5 / (0,289·0,15) = 126,8 > 70,

но < λ_пр = 150.

Так как λ_y > 70, то φ определяем по формуле (2.4)

φ_y = 3000 / (λ_y)² = 3000 / 126,8² = 0,187.

Проверяем элемент на устойчивость по формуле (2.2)

МПа.

3. Делаем расчет на прочность по скалыванию.

Поперечная сила от опоры до места приложения сосредоточенной нагрузки равна Q = Р / 2 = 0,0105 / 2 = 0,00525 МН.

С учетом влияния продольной силы по формуле (4.5)определим Q_д = Q / ξk_α=0,00525/(0,788·1,047) = 0,00636 МН.

Формула (3.2) для прямоугольного сечения примет вид

t = 1,5Q / (h·b_рас),

тогда

t = 1,5×0,00636 / (0,25×0,15) = 0,254 МПа < R_ск = 1,6 МПа.

4. Проверка прогиба.

Нормативная поперечная нагрузка по заданию равна

Рⁿ= 0,7Р = 0,7×0,0105 = 0,00735 МН.

Модуль упругости Е = 10⁴ МПа.

Момент инерции I = bh³ / 12 = 0,15·0,25³ / 12 = 19531·10^—8 м⁴.

Прогиб без учета деформаций сдвига равен:

м.

Прогиб с учетом деформаций сдвига только от поперечной нагрузки по определяем по формуле (3.5), в которой коэффициенты с и k приняты по табл. 4 прил. 4 СНиП II-22-80.

м.

Для сжато-изогнутого элемента с учетом дополнительного прогиба от влияния продольной силы по формуле (4.6) получим значение относительного прогиба:

.

Расчет на усилия, возникающие при транспортировании

И монтаже

Под влиянием собственного веса и сил инерции в момент подъема колонны при монтаже и транспортировке в ней возникают изгибающие моменты, эпюры которых приведены на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Эпюры изгибающих моментов при монтаже колонны

Изгибающий момент в опасном сечении а–а

кН×м = 105,8 × 10⁶ Н×мм;

кН/м³; (п. 4.25 [5]).

При двойном армировании допускается выполнять расчет сечений на изгибающий момент без учета работы бетона сжатой зоны.

Проверка прочности сечения выполняется по меньшей площади поперечного сечения арматуры, мм². Плечо внутренней пары сил мм.

Несущая способность сечения равна

× 10⁶ Н×мм > 105,8 × 10⁶ Н×мм.

Аналогично, если это необходимо, проверяется прочность сечения а–а в плоскости грани b.

Расчет подкрановой консоли

Размеры консоли и схема армирования показаны на рис. 2.11.

Высота консоли: полная, полезная и по свободному краю соответственно равны мм; мм; мм; вылет консоли мм; расстояние от грани колонны до линии действия нагрузки а = 200 мм; ширина колонны b = 500 мм; ширина площадки передачи нагрузки вдоль вылета консоли мм, здесь мм – ширина нижнего пояса подкрановой балки в месте опирания ее на консоль; мм – расстояние от грани колонны до более удаленного края площадки передачи нагрузки на консоль; – угол наклона сжатой полосы к горизонту , – ширина сжатой полосы.

Достаточность принятых размеров при действии поперечной силы из условия прочности по наклонной сжатой полосе проверяется по зависимости (51)

.

Нагрузка на консоль равна

кН.

Вследствие того что высота консоли h = 1450 мм > 2,5а = 2,5 × 200 = 500 мм, принимается армирование консоли горизонтальными двухветвевыми хомутами диаметром 10 мм класса А240 ( мм², шаг мм) и наклонными стержнями.

Коэффициент армирования хомутами

;

;

.

Так как суммарная площадь поперечного сечения пяти двухветвевых хомутов, пересекающих верхнюю половину линии длиной l, соединяющей точки приложения нагрузки и сопряжения нижней грани консоли с гранью колонны, равна мм², то необходимо предусмотреть отогнутую арматуру в виде 2Æ20А300 с площадью сечения мм².

Несущая способность консоли по прочности по сжатой полосе равна

кН.

При этом соблюдается условие

Н = 1837,5 кН.

Площадь поперечного сечения продольной арматуры класса А400 из условия прочности на изгибающий момент при шарнирном опирании определяется по формуле (54)

мм².

Коэффициент армирования .

Исходя из конструктивного минимума площадь поперечного сечения продольной арматуры

мм².

Принимается по табл. 8, прил. 4 – 3Æ25А400 мм².

Рис. 2.11. Схема армирования консоли

Подбор площади сечения арматуры для двухветвевой колонны

По оси Б

Колонна К2 по оси Б двухветвевая, имеет в надкрановой части сплошное сечение, в подкрановой – две ветви (рис. 2.12).

Исходные данные для расчета

Бетон тяжелый класса В15, подвергнутый тепловой обработке при атмосферном давлении.

МПа, МПа (прил. 4, табл. 2, 4), МПа.

Арматура класса А400 d > 100 мм, МПа, МПа.

Рис. 2.12. Схема армирования колонны по оси Б

При равных крановой нагрузке и пролетах сечения колонны испытывают действие разных по величине изгибающих моментов, поэтому при расчете на все комбинации усилий подбираем симметричную арматуру.

Надкрановая часть колонны

Ширина сечения b = 50 см, высота h = 60 см, см, см.

Подбор сечения арматуры производим по наибольшим расчетным усилиям в сечении II-II, в котором наиболее опасными являются комбинации усилий, приведенные в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Усилие от длительно действующей нагрузки

кН.

Комбинация усилий M_max (M_min) и соответствующая

Продольная сила

В данную комбинацию входят усилия от постоянной вертикальной нагрузки кН (момент от этой нагрузки ).

В эту комбинацию также входит момент от вертикальной крановой нагрузки

кН×м ( )

и момент от горизонтальной крановой и ветровой нагрузок

кН×м ( ).

Усилия от всех нагрузок равны

кН×м;

кН.

Эксцентриситет продольной силы

т. е., согласно п. 3.49 [5], значение момента М не корректируется.

Коэффициент (см. п. 3.53 [5] для сечений в концах элемента при податливой заделке).

Расчетная длина при вычислении коэффициента согласно п. 3.55, б [5] принимается равной

м = 840 см.

При этом гибкость т. е. учет прогиба обязателен.

Полный и продолжительно действующий – моменты относительно центра тяжести растянутой арматуры равны

кН×м,

кН×м,

тогда

Так как d_e= 0,317.

В первом приближении суммарный коэффициент армирования равен:

,

тогда .

Жесткость в предельной стадии определяется по формуле (17):

Критическая сила равна:

кН.

Расчетный момент:

Необходимая площадь сечения арматуры определяется по формуле (24), для чего предварительно вычисляются значения:

;

.

Из табл. 3.2 [5] или табл. 5, прил. 4 находится x_R= 0,531, a_R= 0,390. Так как a_n < x_R, площадь сечения арматуры определяется по формуле (31, 32):

Коэффициент армирования .

Принимается конструктивное армирование 600 мм²; принимаем по табл. 7, прил. 4 3Æ16АIII А_s= 603 мм². Хомуты из стали класса А240, d_w= 6 мм, шаг хомутов S_w= 15 × 16 = 240 мм, принято S_w= 200 мм.

Комбинация усилий N_maxи соответствующий

Изгибающий момент

В данную комбинацию входят постоянная вертикальная нагрузка N_v = 855,9 кН и момент от этой нагрузки М_v = ± 0. В эту же комбинацию входит момент от вертикальной крановой нагрузки M_v = 92,9 × 0,9 = 83,6 кН×м и продольная сила от крана и снега N_v = 0 + 369,4 = 369,4 кН, а также момент от поперечного торможения крана и ветровой нагрузки М_h = ± (6,2 + 80,3) 0,9 = 77,8 кН×м, N_h = 0.

Усилия от всех нагрузок равны:

кН×м;

кН.

Эксцентриситет продольной силы:

.

Значение коэффициента h_v, расчетной длины l₀ и гибкости l см. расчет на первую комбинацию усилий.

Значения моментов М₁ и М_1l относительно центра тяжести растянутой арматуры равны:

кН×м,

кН×м.

Тогда , так как принимается d_е = 0,22.

.

Жесткость в предельной стадии

Критическая сила равна:

кН,

Расчетный момент

кН×м.

Проверяется прочность сечения с армированием, принятым по результатам расчета на усилия М_max (А_s= = 603 мм²) согласно п. 3.56 [5]

(см. табл. 5),

следовательно, мм.

Н×мм =

т. е. прочность сечения при принятом симметричном армировании 3Æ16А400 обеспечена.

Подкрановая часть колонны

Подбор сечения арматуры производится по наибольшим расчетным усилиям в сечении IV-IV (см. табл. 2.3). Сечение колонны состоит из двух ветвей, высота всего сечения двухветвевой колонны 140 см, сечение ветви b × h = 50 × 30 см (см. рис. 2.12), a = a¢= 3 см, h₀ = 27 см, расстояние между осями ветвей с = 110 см. Расстояние между осями распорок s = 180 см.

Значение момента от продолжительного действия нагрузки M_l = 0.

Расчетная длина подкрановой части колонны

м.

Приведенный радиус инерции сечения двухветвевой части колонны в плоскости изгиба рассчитываем по формуле (43):

м²,

м.

Приведенная гибкость сечения

.

Необходим учет влияния прогиба элемента на его прочность.

Расчет на сжатие с изгибом и внецентренное сжатие

Общие сведения

Сжато-изгибаемые элементы работают одновременно на сжатие и изгиб. Так работают, например, верхние пояса ферм, в которых кроме сжатия действует еще изгиб от внеузловой нагрузки от веса покрытия. В элементах, где сжимающие силы действуют с эксцентриситетом относительно их осей, тоже возникает сжатие с изгибом. Поэтому они называются также внецентренно сжатыми. Внецентренное сжатие может возникнуть в сечении элемента, имеющего несимметричное ослабление.

В сечении сжато-изгибаемого элемента действуют продольные сжимающие силы N, от которых возникают равномерные напряжения сжатия и изгибающий момент М, от которого возникают и сжимающие, и растягивающие напряжения, максимальные в крайних волокнах и нулевые на нейтральной оси прямоугольного сечения. Максимальные сжимающие напряжения возникают в крайних волокнах сечения в месте действия максимального изгибающего момента.

Разрушение сжато-изгибаемого элемента начинается с потери устойчивости сжатых волокон, что обнаруживается появлением складок и повышенными прогибами, после чего элемент ломается. Такое разрушение частично пластично. Поэтому сжато-изгибаемые элементы работают более надежно, чем растянутые, и их рекомендуется изготовлять из древесины 2-го сорта.

Расчетные формулы

Сжато-изгибаемые элементы рассчитываются по первой и второй группе предельных состояний.

1. Расчет сжато-изгибаемого элемента производится на действие максимальных продольных сжимающих сил N и изгибающих моментов М от расчетных нагрузок по формуле

, (4.1)

где N — расчетная сжимающая сила; М_д — расчетный изгибающий момент от совместного действия поперечной нагрузки и сжимающей силы; A_раси W_рас— соответственно площадь поперечного сечения и момент сопротивления (нетто для элементов цельного сечения).

Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического, полигонального и близких к ним очертаний, а также для консольных элементов М_дследует определять по формуле

, (4.2)

где М — изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы; ξ — коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле

. (4.3)

2. В случаях, когда в шарнирно-опертых элементах эпюры изгибающих моментов имеют треугольное или прямоугольное очертание, коэффициент ξ по формуле (4.3) следует умножать на поправочный коэффициент k_α:

k_α = α_n+ ξ(i — α_n),(4.4)

где α_n — коэффициент, который следует принимать равным 1,22 при эпюрах изгибающих моментов треугольного очертания (от сосредоточенной силы) и 0,8 при эпюрах прямоугольного очертания (от постоянного изгибающего момента).

3. При отношении напряжений от изгиба к напряжениям от сжатия менее 0,1 сжато-изгибаемые элементы следует также проверять на устойчивость по формуле (2.2) без учета изгибающего момента.

4. Расчет на скалывание при изгибе следует проводить по формуле (3.2), при этом поперечную силу определяют по формуле

Q_д = Q /ξ, (4.5)

где Q — максимальная поперечная сила от поперечной нагрузки.

5. Сжато-изгибаемый элемент должен быть также проверен на прочность и устойчивость только при сжатии продольной силой в направлении из плоскости действия изгибающего момента по формуле (2.2).

6. Проверка устойчивости плоской формы деформирования цельных сжато-изгибаемых элементов, как правило, не требуется.

7. Прогиб сжато-изгибаемых элементов следует проверять по формуле

, (4.6)

где f — прогиб, определяемый по формуле (3.5).

Указания по подбору сечения

Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток). Назначенное сечение проверяют по условию прочности (4.1). При несоблюдении условия прочности размеры сечения увеличивают с учетом сортамента пиломатериала. Цель расчета – получение сечения с наименьшей площадью при условии, чтобы суммарные краевые напряжения сжатия были как можно ближе к значению расчетного сопротивления материала. Как правило, рациональной формой сечения будет прямоугольное сечение с высотой в плоскости действия поперечной нагрузки.

Задание

Подобрать прямоугольное сечение сжато-изогнутого деревянного элемента. Исходные данные взять по варианту из табл. 4.1 и 2.1.

Таблица 4.1

Исходные данные

к заданию по подбору сечения сжато-изгибаемого элемента

^* q – равномерно распределенная нагрузка; Р – сосредоточенная сила в середине пролета

Пример расчета

Исходные данные

Стержень из древесины лиственницы 2-го сорта длиной l = 5,5 м не имеет ослабления, и концы его закреплены шарнирно. На стержень от расчетных нагрузок действует продольная сжимающая сила N = 59,4 кН = 0,0594 МН и сосредоточенная сила в середине пролета Р = 10,5 кН = 0,0105 МН в направлении большего размера сечения. Нормативная нагрузка составляет 70 % от расчетной. Условия эксплуатации конструкции: класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А2; установившаяся температура воздуха < 35^ºС; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной > 0,8.

Решение

1. Подберем сечения по прочности. Задаемся размерами сечения по сортаменту 0,15х0,25 м. Расчетное табличное значение сопротивление изгибу древесины сосны 2-го сорта = 15 МПа. Определяем значение расчетного сопротивления с учетом коэффициентов условий работы, породы и коэффициента надежности по ответственности.

МПа.

МПа.

Изгибающий момент от расчетной нагрузки

М = Pl / 4 =10,5·5,5 / 4 = 14,43 кН·м = 0,01443 МН·м.

Площадь и момент сопротивления сечения определяются по формулам:

A = bh = 0,15·0,25 = 0,0375 м²;

м³.

Расчетная длина и гибкость элемента в плоскости изгиба

l₀ = 5,5 м;λ = l₀/ 0,289h = 5,5 / 0,289·0,25 = 76,1 < λ _пр = 150.

По формуле (4.3) определяем коэффициент

.

По формуле (4.4) определяем коэффициент

k_α = α_n+ ξ(i — α_n)= 1,22 + 0,788(1 – 1,22) = 1,047.

Момент с учетом деформаций

МН·м.

По формуле (4.1) проверяем условие прочности

МПа.

2. Проверка прочности и устойчивости из плоскости изгиба.

Расчетная длина, гибкость и коэффициент продольного изгиба следующие:

l_0y = 5,5 м; λ_y = l_0y / 0,289b = 5,5 / (0,289·0,15) = 126,8 > 70,

но < λ_пр = 150.

Так как λ_y > 70, то φ определяем по формуле (2.4)

φ_y = 3000 / (λ_y)² = 3000 / 126,8² = 0,187.

Проверяем элемент на устойчивость по формуле (2.2)

МПа.

3. Делаем расчет на прочность по скалыванию.

Поперечная сила от опоры до места приложения сосредоточенной нагрузки равна Q = Р / 2 = 0,0105 / 2 = 0,00525 МН.

С учетом влияния продольной силы по формуле (4.5)определим Q_д = Q / ξk_α=0,00525/(0,788·1,047) = 0,00636 МН.

Формула (3.2) для прямоугольного сечения примет вид

t = 1,5Q / (h·b_рас),

тогда

t = 1,5×0,00636 / (0,25×0,15) = 0,254 МПа < R_ск = 1,6 МПа.

4. Проверка прогиба.

Нормативная поперечная нагрузка по заданию равна

Р^{n= 0,7Р = 0,7×0,0105 = 0,00735 МН.}

Модуль упругости Е = 10⁴ МПа.

Момент инерции I = bh³ / 12 = 0,15·0,25³ / 12 = 19531·10^—8 м⁴.

Прогиб без учета деформаций сдвига равен:

м.

Прогиб с учетом деформаций сдвига только от поперечной нагрузки по определяем по формуле (3.5), в которой коэффициенты с и k приняты по табл. 4 прил. 4 СНиП II-22-80.

м.

Для сжато-изогнутого элемента с учетом дополнительного прогиба от влияния продольной силы по формуле (4.6) получим значение относительного прогиба:

.

Конструкции из дерева и пластмасс

содержание   ..  1  2  3  4  ..

9

ф

р

M

k

h

l

b

2

140





,                                              (10) 

где 

b

 — ширина поперечного сечения; 

h

 — максимальная высота поперечного сечения на участке 

р

l

; 

ф

k

 — коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов 

на участке 

р

l

, определяемый по табл. 2 прил. 4 СНиП II-25-80. 

Расчет  на  устойчивость  плоской  формы  деформирования  допуска-

ется не производить, если выполняется условие: 

б

р

hm

b

l

2

140



,                                                   (11) 

где 

б

m

 — коэффициент, принимаемый по табл. 7 СНиП II-25-80. 

Формулу (11) удобно  использовать  для  определения  предельного 

расстояния  между  узлами  прикрепления  скатных  связей,  раскрепляющих 
плоские стропильные конструкции из плоскости их деформирования. 

Расчет устойчивости изгибаемых элементов с линейно меняющейся 

по  длине  высотой  поперечного  сечения  и  постоянной  шириной  произво-
дится  также  по  формуле (10), при  этом  коэффициент 

M



  дополнительно 

умножается на коэффициент 

жM

k

 или 

пM

k

, определяемые в соответствии с 

п. 4.14 СНиП II-25-80. 

Расчет  изгибаемых  элементов  на  прочность  по  скалыванию  в  об-

щем случае производится по формуле: 

ск

расч

бр

бр

R

b

I

QS



,                                                 (12) 

где 

Q

 — расчетная поперечная сила; 

бр

S

 — статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения 

элемента относительно нейтральной оси; 

бр

I

 — момент  инерции  брутто  поперечного  сечения  элемента  относи-

тельно нейтральной оси; 

расч

b

 — расчетная  ширина  элемента  в  сечении,  в  котором  определяются 

касательные напряжения; 

ск

R

 — расчетное сопротивление скалыванию при изгибе. Для цельных и 

дощатоклееных конструкций оно различно. При этом учитывается 
возможность скалывания между слоями вдоль клеевого шва, проч-
ность  которого  из-за  технологических  дефектов  может  оказаться 
пониженной по сравнению с прочностью древесины.  

10

Для элементов прямоугольного поперечного сечения после подста-

новки в формулу (12) выражений для вычисления статического момента и 
момента  инерции  получается  более  простая  формула  проверки  на  скалы-
вание: 
                                                         

ск

R

bh

Q 

2

3

.                                                  (13) 

Проверка прогибов изгибаемых элементов производится по общей 

формуле 

u

f

l

h

c

k

f

f



































2

0

1

,                                               (14) 

где 

0

f

 — прогиб балки постоянного сечения высотой 

h

 без учета деформа-

ций сдвига; 

h

 — наибольшая  высота  поперечного  сечения  рассчитываемого  эле-

мента; 

l  –  пролет балки; 

k

 — коэффициент,  учитывающий  переменность  высоты  сечения,  при-

нимаемый равным 1 для балок постоянного сечения; 

с

 — коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от попе-

речной  силы.  Значения  коэффициентов  k  и  c  принимаются  по 
табл. 3 прил. 4 СНиП II-25-80. 

u

f

 — предельный прогиб элемента, определяемый в соответствии с тре-

бованиями разд. 10 СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия. 

Для  наиболее  распространенного  случая  загружения  однопролет-

ной шарнирно опертой балки равномерно распределенной нагрузкой про-
гиб без учета деформаций сдвига определяется по формуле 

EI

l

q

f

н 4

0

384

5



,                                               (15) 

где 

н

q

 — нормативное  значение  погонной  равномерно  распределенной  на-

грузки на балку; 

E

 — модуль  упругости,  принимаемый  для  древесины  всех  пород  рав-

ным 10000 МПа; 

I

 —  момент инерции сечения с наибольшей высотой. 

Для других схем загружения и условий закрепления элемента про-

гиб 

0

f

  вычисляется  общими  методами  строительной  механики  (интеграл 

Мора) или для некоторых частных случаев – по формулам справочных по-
собий.  Например,  для  шарнирно  опертой  балки,  загруженной  сосредото-
ченной силой P в середине пролета , 

EI

Pl

f

3

0

48

1



.                                                  (16) 

11

Для  иных  схем  загружения  балок  сосредоточенными  силами  изменяется 
коэффициент перед дробью в правой части этой формулы. 

Прогиб  клееных  элементов  из  фанеры  с  древесиной  определяется 

также по формулам (14) и (15). При этом жесткость сечения в знаменателе 
формулы (15) принимается равной 

пр

EI

7

,

0

, а геометрические характеристи-

ки поперечного сечения приводятся к одному из материалов – фанере или 
древесине. Соответственно, используется модуль упругости того материа-
ла, к которому приведены геометрические характеристики. 

3.2. Косой изгиб 

На косой изгиб работают в основном деревянные конструкции по-

крытий: настилы, бруски обрешетки, прогоны, расположенные в плоскости 
ската  кровли.  При  этом  направление  действия  нагрузок  от  собственного 
веса и снеговой не совпадает с направлением осей симметрии их попереч-
ных сечений. В таком случае расчетные усилия или нагрузки представляют 
в виде двух составляющих, направленных вдоль осей симметрии сечения. 

Проверка прочности нормальных сечений при косом изгибе произ-

водится по формуле 

и

y

y

x

x

R

W

M

W

M





,                                              (17) 

где 

x

M

 и 

y

M

 — составляющие расчетного изгибающего момента для глав-

ных осей сечения x и y; 

x

W

 и 

y

W

 — моменты сопротивлений поперечного сечения нетто относи-

тельно этих главных осей. 

Полный прогиб элемента при косом изгибе вычисляется по форму-

ле 

2

2

y

x

f

f

f





,                                              (18) 

где 

x

f

 и 

y

f

 — составляющие прогиба вдоль главных осей симметрии сече-

ния.  

Касательные напряжения при косом изгибе от двух составляющих 

поперечной силы действуют по взаимно перпендикулярным площадкам и 
поэтому не суммируются.

4. СЖАТИЕ С ИЗГИБОМ 

Расчет  прочности  деревянных  элементов  при  сжатии  с  изгибом 

производится  по  деформированной  схеме  с  учетом  увеличения  изгибаю-
щего момента от действия продольной силы с эксцентриситетом, вызван-

Просто поддерживаемые формулы пучка UDL

• Ниже приведены формулы балок и соответствующие им SFD и BMD

Балка с простой опорой — это наиболее простая конструкция конструкции. Балка поддерживается на каждом конце, и нагрузка распределяется по ее длине. Балка с простой опорой не может иметь никаких поступательных смещений в точках опоры, но никаких ограничений на вращение опор не накладывается.

Рис. 1 Справа показаны формулы для расчета балок с равномерно распределенной нагрузкой.

Рис. 2 Диаграмма поперечной силы и изгибающего момента для равномерно распределенной нагрузки на балке с опорой

Рис. 3 Формулы для расчета свободно опертой балки с равномерно распределенной нагрузкой на среднем пролете

Рис. 4 SFD и BMD для несущей балки UDL с простой опорой в середине пролета

Рис. 5 Диаграмма поперечного усилия и изгибающего момента для свободно опертой равномерно распределенной нагрузки на левой опоре

Рис. 6 Формулы для определения моментов и реакций на различных участках балки с простой опорой, имеющей UDL на правой опоре

Рис .: 7 SFD и BMD для UDL на обоих концах

Рис. 8 Формулы для расчета балки с SFD и BMD на обоих концах

Рис. 9 Сборник формул для анализа балки с свободно опертой опорой, имеющей равномерно изменяющуюся нагрузку по всей ее длине

Рис. 10 Диаграмма поперечного усилия и диаграмма изгибающего момента для балки с простой опорой, имеющей UVL вдоль ее пролета

Рис. 11 SFD и BMD для балки с простой опорой, имеющей UVL от середины пролета до обоих концов

Рис. 12 Формулы для расчета моментов и реакций на балке с прямой опорой, имеющей UVL от середины пролета до обоих концов

Сообщите нам в комментариях, что вы думаете о концепциях в этой статье!

Максимальный изгибающий момент — обзор

Пример 5-5 Простая опора коллектора трубы

Проблема: A 30 дюйм.Коллектор для сырой нефти ϕ просто поддерживается трубой, опирающейся на сталь. В соответствии с процедурой компании требуются седловые опоры с подушками для трубопроводов с номинальным размером трубы 30 дюймов (номинальный размер трубы) и более. В случае невозможности установки опоры седельной трубы необходимо провести анализ линии на наличие локальных напряжений. Возник вопрос: не чрезмерно ли напряжена труба, опирающаяся на сталь? Если он чрезмерно нагружен, почему он не вышел из строя, ведь он эксплуатируется уже тринадцать лет?

Решение: Если процедура компании определяет опору седла для линий 30 дюймов.и больше, то этот стандарт должен соблюдаться. Что касается напряженного состояния, то труба, опирающаяся на сталь в определенной точке, не вызывает контактного напряжения. Контактные напряжения называются напряжениями Герца и относятся к приложенным твердым телам (например, зубчатым колесам или шарикоподшипникам). Они не используются для полых поверхностей (например, труб или сосудов). Классическим примером этого является анализ Цика горизонтальных барабанов, опирающихся на два седла — контактные напряжения не учитываются в анализе.

В случае, когда труба опирается на стальную опору, ситуация похожа на кольцо.Поперечное сечение трубы, лежащей на твердой поверхности, представляет собой переборку или опорное кольцо в трубе, поддерживаемое снизу и несущее полную нагрузку ( W ), передаваемую тангенциальным сдвигом ( v ), распределенным, как показано в Рорке. Таблица 9.2. Случай 20 [Ссылка 6]. Модель Рорка, используемая в Варианте 20, называется тангенциальным сдвигом , где вертикальная реакция на опору трубы применяется для противодействия весу трубы, который включает вес металла и его содержимое.Реакция опоры вызывает обтекание стенки трубы сдвигом, имитирующим поведение трубы как балки. Кольца очень распространены в структурном дизайне. Этот случай показан на Рис. 5-32 .

Рисунок 5-32. Таблица Рорка 9.2 Пример 20.

Таблица Рорка 9.2 Пример 20 дает изгибающий момент из-за напряжения сдвига, вызванного весом трубы и внутренней жидкости. Этот изгибающий момент действует через стенку трубы. Будучи изгибающим моментом, он имеет компоненты сжатия и растяжения в поперечном сечении трубы.Напряжение внутреннего давления действует только при напряжении. Таким образом, когда напряжение давления комбинируется с напряжением изгибающего момента сдвига, одна сторона стенки добавляется, а другая сторона стены вычитается из напряжения растягивающего давления. Условные обозначения для изгибающего момента сдвига не относительны, так как напряжение будет иметь одно значение на каждой соответствующей поверхности (мы добавляем растягивающие напряжения и добавляем и вычитаем растягивающие и сжимающие напряжения). Это показано на Рис. 5-33 .

Рисунок 5-33.Напряжение кольца и изгибающее напряжение момента сдвига в стенке трубы.

При вычислении изгибающего момента при сдвиге ( I ), Таблица 9.2 Рорка Случай 20, сопротивление поперечного сечения действует в плоскости бумаги. Эффективная ширина этого поперечного сечения определяется, как показано на Рис. 5-34 .

Рисунок 5-34. Эффективная длина трубы, выдерживающей изгибающее напряжение сдвигающего момента.

Сдвиг действует под углом 45 °; таким образом, сопротивление поперечному сечению будет представлять собой диагональные линии под углом 45 °, проведенные от точки реакции к оси трубы.Как видно на рис. 5-34 , эффективная длина составляет 2 R _o . Обычно эффективная длина поперечного сечения составляет минимум 2 R _o или 40 t _nom , где t _nom — номинальная толщина стенки трубы. Напряжение изгиба, вызванное изгибающим моментом при сдвиге, рассчитывается следующим образом:

Ур. 5-59be = MAX [40tnom, 2R0], см. Рисунок 5-34

Eq.5-60S = (be) tnom26

, где S = модуль упругости сечения трубы, дюйм ³

t _nom = номинальная толщина стенки трубы, дюйм

Эта формула выводится из соотношения

S = IC = bd312d2 = bd26, для прямоугольной площади поперечного сечения

, где I = момент инерции, дюйм ⁴

В нашем случае будет = 30 дюймов, так как 40 т _nom = 40 (1.358) дюйм = 54,32 дюйма. Таким образом, изгибающее напряжение момента сдвига составляет

Ур. 5-61σ = Mshears

Изгибающие моменты меняются по окружности трубы. На рисунке показано распределение изгибающего момента для трубы, заполненной водой.

Рисунок 5-35. Изгибающий момент при сдвиге поперек трубы, опирающейся на простую опору.

Максимальный изгибающий момент возникает при 105,32 ° от верхней точки трубы. Мы загрузили трубу сырой нефтью, используя удельный вес 0.825 для оперативного корпуса. Предполагалось, что труба не будет работать при полном давлении, загруженном водой. Комбинируя напряжение внутреннего давления и изгибающее напряжение момента сдвига для значений угла от 0 ° до 180 °, мы получаем следующие комбинированные напряжения для трубы, нагруженной сырой нефтью:

Комбинированные напряжения для трубы, нагруженной сырой нефтью

Гипотеза модуля сечения: Критерии, упомянутые ранее в отношении эффективной площади сопротивления изгибающему моменту, вызванному сдвигом при опоре трубы, были источником предположений в течение многих лет.В решении о кольце, нагруженном на сдвиг и создающем момент в плоскости трубы, трехмерное сечение, сопротивляющееся изгибающему моменту, не рассматривается, поскольку кольцо представляет собой двумерную задачу. В , рис. 5-34, эффективная длина поперечного сечения, выдерживающего изгибающий момент, вызванный сдвигом, показана как 2 R _o . Максимальное эффективное сечение составляет 40 т _ном или 2 R _o ; однако в конструкциях часто применяется минимальное значение 40 т _nom или 2 R _o .В механических приложениях, где внутреннее давление сочетается с весом и тепловыми нагрузками, напряжения могут быть значительно высокими — иногда в несколько раз превышающими предел прочности материала трубы. Однако в действительности эти трубы, опирающиеся на простые опоры, не выходят из строя, а это означает, что в уравнениях есть ошибка — теория не соответствует действительности.

Одним из авторов, обращающихся к этому явлению, является Беднар [Ссылка 7], где в своей блестящей работе он обсуждает эту проблему на странице 170.Беднар утверждает, что, чтобы использовать полученное уравнение для изгибающего момента и привести результирующие напряжения в оболочке в соответствие с фактическими измеренными напряжениями, мы используем то, что он описывает как «фиктивную сопротивляемую ширину» пластины оболочки, которая меньше 4 R _o или L /2, где R _o — радиус оболочки, а L — длина между опорами. Конечно, Беднар обсуждает горизонтальные сосуды, опирающиеся на опоры, тогда как здесь мы обсуждаем сплошные трубопроводы, такие как сплошная балка.Рисунок 6.5 Беднара на странице 168 — это то же решение для кольца, которое мы использовали у Рорка, но они получены из разных источников.

Другой автор, Троицкий [Ссылка 8], использует то же решение для кольца, где сдвиг вызывает изгибающий момент от нагрузки в точке контакта с опорой трубы, за одним исключением. Он работает с конвейерными трубчатыми конструкциями, поддерживаемыми кольцевыми балками. Троицкий использует раздел сопротивления на страницах 12–19 со следующим выражением:

Ур.5-62c = 1,56rt + b

Где r — радиус цилиндра, t — толщина цилиндра, b — ширина кольцевой балки, а c — эффективная ширина, сопротивляющаяся сдвигу. индуцированный изгибающий момент.

Основываясь на этих критериях, мы используем следующее, чтобы вычислить эффективную ширину, чтобы получить модуль упругости сечения, как показано ниже:

Ур. 5-63beff = be + 1,56R (tnom-CA)

, где R = средний радиус, CA = припуск на коррозию, а быть определено в формуле.5-59. Таким образом, уравнение. 5-60 становится

Ур. 5-64S = beff (tnom2) 6 ​​

Теперь необходимо рассмотреть критерий напряжения. В этом случае труба подвергается первичной и вторичной нагрузке. Таким образом, максимальная интенсивность напряжения σ _max основана на первичных или местных напряжениях мембраны плюс первичном напряжении изгиба плюс вторичном напряжении ( P _м или P _L + P _b + Q ), используя номенклатуру ASME Раздел VIII Раздел 2 Приложение 4.Значение σ _max не может превышать 3 S _м , где все напряжения могут быть вычислены в рабочих условиях. Должен быть соблюден следующий критерий:

3Sm≤2 (SMYS)

Значение 3 S _м определяется как трехкратное среднее из табличных значений S _м для самая высокая и самая низкая температура во время рабочего цикла. При вычислении максимального диапазона интенсивности первичного и вторичного напряжений может потребоваться рассмотреть суперпозицию циклов различных условий, которые создают общий диапазон, превышающий диапазон любого отдельного цикла.Значение 3 S _m может изменяться в зависимости от каждого цикла или комбинации циклов, поскольку максимальные температуры могут быть разными в каждом случае. Таким образом, необходимо соблюдать осторожность, чтобы гарантировать, что применимое значение 3 S _м для каждого цикла и комбинации циклов не будет превышено, за исключением случаев, разрешенных ASME, раздел VIII, раздел 2, приложение 4, параграф 4-136.4. Это требование редко требуется в трубопроводных системах, если только в трубе не используются разные сервисы с разными температурами и давлениями.

Поскольку рассматриваемая труба находится в рабочем состоянии, мы можем использовать рекомендованную практику API 579, пригодную для эксплуатации, для допустимого напряжения, которое составляет 20 000 (1,2) = 24 000 фунтов на кв. Дюйм из рисунка B.1 API 579. В этом случае толщина стенки трубы достаточно велика, чтобы выдерживать уровни напряжений. Выход компьютера для углового положения 105,23 °, точки максимального изгибающего момента, выглядит следующим образом.

Глядя на Рисунок 5-36 , мы находим напряжения в 30 дюймов.трубы приемлемы, потому что, как упоминалось ранее, это угловое положение максимального изгибающего момента, вызванного сдвигом. Однако, если мы возьмем другую трубу с более тонкой стенкой, величины напряжений будут другими. Рассмотрим 24-дюймовую линейную загрузку той же сырой нефти на том же предприятии. Труба имеет стенку 3/8 дюйма и является бесшовной, что составляет т _nom , с меньшим допуском фрезерования, 0,328 дюйма. Для максимального изгибающего момента в том же угловом положении, равного 105, получены следующие результаты.23 °.

Рисунок 5-36а. Таблица с уравнениями для трубы ϕ 30 дюймов.

Рисунок 5-36b. Таблица переменных, показывающая результаты и ответы для трубы ϕ 30 дюймов.

Теперь рассмотрим трубу 24 ″ ϕ с номинальной толщиной стенки 0,328 дюйма, лежащую на твердой поверхности, как мы сделали для трубы 30 ″ ϕ. Используется та же методология, и результаты показаны на рис. 5-37a и b .

Рисунок 5-37а. Таблица с уравнениями для трубы ϕ 24 дюйма.

Рисунок 5-37b. Переменный лист на 24 дюйма.ϕ труба.

Читатель заметит, что внешняя стена сжимается, а внутренняя — растягивается из-за изгибающего момента. Таким образом, только часть стены подвергается значительному напряжению, а не вся стенка трубы. В этом случае через стенку трубы не возникает высокого напряжения, что позволяет избежать пластической деформации.

Как упоминалось ранее, на плоских твердых поверхностях лежат сотни труб, которые не разрушаются и не деформируются. 30 дюйм.Указанная труба ϕ была проверена на наличие трещин и деформаций, и их не было. Труба эксплуатируется 13 лет и прошла все возможные циклы эксплуатации. То же самое верно для трубы ϕ 24 дюйма и многих других. Сделан вывод, что эта методология адекватно предсказывает поведение трубы, опирающейся на простую опору или плоскую поверхность. Однако многие компании считают хорошей инженерной практикой размещение труб диаметром 30 дюймов ϕ и более на седловых опорах. Также следует отметить, что для тонких цилиндров большого диаметра, лежащих на земле на складских дворах и на строительных площадках, угловые балки, расположенные под углом 90 ° друг к другу, привариваются прихваточным швом к внутренней поверхности для предотвращения чрезмерной овальности.

В заключение, для новой трубы требуется седловая опора.

Примечание: Напряжение внутреннего давления было вычислено по следующей формуле, которая получена из уравнения. 2-13 (a), где Y = 0,4 и D = R _o /2:

t = PR0σEW + 0,4P

, где W = 1 для температуры ниже 950 ° F , как в этом случае.

Решая для напряжения, мы имеем следующее:

σ = PE (Do2t − 0.4)

, где D _o = внешний диаметр

R _o = внешний радиус

Полное руководство по диаграммам сдвига и моментов

В этом посте мы подробно рассмотрим диаграммы сдвига и момента. Составление диаграмм сдвига и момента является важным навыком для любого инженера. К сожалению, это, вероятно, единственный навык структурного анализа, с которым больше всего сталкивается большинство студентов.

Это проблема.Без понимания сил сдвига и изгибающих моментов, возникающих в конструкции, невозможно завершить проектирование. Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента говорят нам о состоянии напряжений, лежащих в основе конструкции. Естественно, они являются отправной точкой в ​​любом процессе проектирования.

Еще одна причина, по которой каждому выпускающемуся инженеру необходимо хорошо разбираться в силах сдвига и изгибающих моментов, заключается в том, что они обязательно будут проверяться почти на каждом собеседовании с выпускниками. Самый быстрый способ отличить хорошего составителя резюме от отличного дипломированного инженера — это попросить его нарисовать качественную диаграмму изгибающего момента для данной конструкции и сочетания нагрузок!

Итак, в этом посте мы подробно расскажем о поперечных силах, изгибающих моментах и ​​о том, как рисовать диаграммы сдвига и момента.Мы не сможем охватить все в этом посте, но, надеюсь, вы дойдете до конца, зная больше, чем когда начинали! Если вы хотите совершить глубокое погружение, чтобы по-настоящему закрепить этот навык, вам следует взглянуть на мой курс, Освоение диаграмм силы сдвига и изгибающего момента [🎓 ТЕПЕРЬ БЕСПЛАТНО ДЛЯ СТУДЕНТОВ] . В нем мы рассмотрим фундаментальную теорию и применим ее на практике с множеством отработанных примеров.

В этом посте мы рассмотрим…

1.0 Что такое изгибающий момент?

Начнем с основного вопроса; что такое изгибающий момент? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно рассмотреть, что происходит внутри конструкции под нагрузкой. Рассмотрим балку с простой опорой, подверженную равномерно искаженной нагрузке.

Балка прогибается под действием нагрузки. Чтобы луч отклонялся, как показано, волокна в верхней части луча должны сжиматься или становиться короче. Волокна в нижней части балки должны удлиняться.

Можно сказать, что верхняя часть балки сжимается, а нижняя — растягивается (обратите внимание на направление стрелок на волокнах в отклоненной балке).Теперь в каком-то месте в глубине балки сжатие должно превратиться в растяжение. В балке есть плоскость, где происходит переход между растяжением и сжатием. Эта плоскость называется нейтральной плоскостью или иногда нейтральной осью.

Представьте, что вы делаете вертикальный разрез балки на некотором расстоянии