Построение эпюр консольной балки | buildingbook.ru

Мы уже рассматривали типовые эпюры консольной балки, теперь расскажем про построение эпюры консольной балки если на нее воздействуют сразу несколько нагрузок.

Чтобы легче было понять материал разберемся на примере:

Значения нагрузок:

q1=10 кН/м

q2=60 кН/м

F1=10 кН

M1=20 кН·м

Расстояния между точками равны т,е. a=b=c=d=1м

Опорные реакции

Построение эпюр, как правило, начинают с определения опорных реакций.

Определяем поперечную силу и изгибающий момент в точке А.

Для начала зададим направление опорных реакций

Т.к. система не подвижна, то сумма сил должна равняться нулю.

Нагрузки, направленные вверх, принимаются со знаком плюс.

Нагрузки, направленные вниз, принимаем со знаком минус.

Направление Ra мы приняли вверх. Если в процессе решения уравнение значение Ra будет отрицательным, значит она направлена в другую сторону.

Из этого уравнения вычисляем значение опорной реакции Ra:

Подставляем значения нагрузок и вычисляем значение опорной реакции Ra:

Мы вычислили значение опорной реакции Ra. Значение положительное, значит направление нагрузки мы назначили правильно.

Далее составляем уравнение равновесия изгибающих моментов вокруг точки A. Если система неподвижна, сумма моментов вокруг любой точки равна нулю.

Уравнение равновесия моментов вокруг точки A для нашего примера будет выглядеть следующим образом:

Значение момента от действия силы вокруг определенной точки равно произведению этой силы на расстояние от заданной точки до центра приложения нагрузки. Чтобы было понятно какой изгибающий момент создает каждый вид нагрузки, давайте рассмотрим их по отдельности.

Изгибающий момент M1 влияет на опорный момент вне зависимости от того где он приложен, т.е. не важно приложен он в середине балки или на конце на опорный момент он будет влиять одинаково.

Сосредоточенная сила F1 создает изгибающий момент равный произведению его значения на плечо (расстояние от рассматриваемой точки до точки приложения силы). Т.е. чем больше плечо, тем больший изгибающий момент создает сила F1.

Равномерно-распределенная сила q1 создает момент, равный произведению этой нагрузки на длину приложения этой нагрузки и на плечо (расстояние от рассматриваемой точки до центра равномерно-распределенной нагрузки). Т.е. мы можем представить распределенную нагрузку как сосредоточенную в центре этой нагрузки и умножить это значение на плечо.

Переменная нагрузка сила q2 создает момент, равный произведению половины произведения этой нагрузки на длину приложения и на плечо (расстояние от рассматриваемой точки, до центра приложения нагрузки, который расположен на расстоянии 1/3 от общей длины приложения этой нагрузки, ближе к максимальному значению). В данном примере это выглядит так:

Из этого уравнения мы можем вычислить значение опорного момента Ma:

Подставляем значения и вычисляем значение опорного момента в точке A:

Мы вычислили значение опорного момента Ma. Значение опорного момента Ma положительное, поэтому направление действия момента задано правильно.

Назначение контрольных точек

Для начала определяем контрольные точки на балке. 2-е точки естественно будут начало и конец балки, а промежуточные точки будут места приложения нагрузок (в случае равномерно-распределенной или переменной нагрузки точками будут начало и коней приложения нагрузки). Рассмотрим на примере разделение консольной балки на участки:

Точку заделки мы обозначили буквой «А».

Далее ближайшая точка «В» — это место приложения начала равномерно-распределенной нагрузки q1. Расстояние между точкой «А» и «B» равно a.

Далее следующая точка «С» — это конец приложения равномерно-распределенной нагрузки q1. Расстояние между точкой «B» и «C» равно b.

Следующая точка «D» — это начало приложения переменной нагрузки q1 и точка приложения силы F1. Расстояние между точкой «C» и «D» равно c.

Следующая точка «E» — это конец приложения переменной нагрузки q1, точка приложения изгибающего момента M1 и конец балки. Расстояние между точкой «D» и «E» равно d.

Построение эпюры Q (поперечной силы)

Разбиваем балку на участки между контрольными точками, т.е. участок AB (между точками A и B), участок BC (между участками B и C) и т.д.

В нашем примере у нас есть 4 участка: AB, BC, CD,DE.

Эпюру поперечных сил Q мы можем строить перемещаясь от точки А до точки E, рассчитывая значения в каждой точке, либо наоборот от точки E до точки A. В данном примере мы будем следовать от точки A, до точки E.

На каждом участке мы определяем значения и строим эпюру. По горизонтальной оси будут откладываться координаты, по вертикали откладываются значения (вверх от консольной балки откладываются положительные значения, вниз откладываются отрицательные значения).

Далее необходимо соединить эти точки линиями. Все точки, кроме точек между началом и концом переменной нагрузки, соединяются по прямой линии. Переменная нагрузка от начала, до конца соединяется изогнутой линией, напоминающей гиперболу, изогнутой вниз если нагрузка возрастает к месту заделки (если заделка слева) и изогнутой вверх если нагрузка к месту заделки спадает.

Правило знаков для построения эпюры Q

Если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой части, стремится повернуть сечение на заданном участке по часовой стрелке, то значение будет положительным и откладывается вверх.

Если внешняя нагрузка стремится повернуть сечение на заданном участке против часовой стрелки, то значение будет отрицательным и откладывается вниз.

Точка, вокруг которой поворачивают заданный участок не обязательно точка закрепления. Это точка, которую мы задаем на заданном участке в направлении к которой мы строим эпюру: если мы строим эпюру слева направо (как в данном примере), то это самая правая точка на заданном участке, если строим эпюру справа налево, то это самая левая точка на заданном участке.

Определяем напряжения Q на участке AB.

Рассмотрим участок AB. При рассмотрении участка AB мы как бы отбрасываем все остальные участки и не учитываем их на данном этапе. Кроме этого вначале мы не учитываем силы, приложенные в точке B.

Значение поперечной силы в точке А равно значению опорной реакции Ra, которое мы вычислили ранее. Не забываем про правило знаков — если сила стремится повернуть рассматриваемый участок по часовой стрелке, то значение принимается со знаком плюс, если против часовой, то со знаком минус. Мы как-бы откидываем закрепление балки в точке А, заменив ее силой Ra, и закрепляем в точке B. Сила Ra стремится повернуть участок вокруг точки B по часовой стрелке, поэтому Ra принимается со знаком плюс.

С правилом знаков поначалу возникают некоторые проблемы. Точка, вокруг которой мы мысленно вращаем данный участок, это не точка закрепления балки, а точка на участке, который мы в данный момент рассматриваем. Если мы строим эпюру слева направо (как в данной примере), это это будет самая правая точка, на рассматриваемом участке. Если строим эпюру справа налево, то это будет самая левая точка, на рассматриваемом участке.

Далее мы рассматриваем участок от точки А, до точки B, но при этом не учитываем нагрузки, которые приложены в самой точке B.

Пунктирной линией на рисунке обозначен участок, который мы рассматриваем.

На данном участке нет поперечных сил, кроме Ra, поэтому

Т.е. мы пока не учитываем силы, которые справа от этой точки и сила которая приложена именно в этой точке. Естественно силы, приложенные правее правее точки B влияют на значение поперечных сил на данном участке и они сейчас выражены в опорной реакции Ra. Как уже ранее выяснили сила Ra стремится повернуть сечение по часовой стрелке, поэтому Ra принимается со знаком «плюс» и откладывается вверх от оси.

Т.к. значение поперечной силы не изменилось, то эпюра Q на данном участке будет выглядеть как прямоугольник:

По вертикали мы откладываем значение поперечной силы, по горизонтали координаты балки.

Далее мы рассматриваем участок AB с учетом точки B, но принимаем участок не много правее точки B (на рисунке участок отсечен пунктирной линией)

В точке B начинается равномерно-распределенная нагрузка q1, но мы рассматриваем участок правее точки как бы равный нулю, т.е. нагрузка q1 приложена в точке B, но еще имеет нулевую длину приложения нагрузки, поэтому она не изменяет значение поперечной силы в точке B.

Тут мы опять действуем согласно правилу знаков: точка, вокруг которой мы вращаем участок, находится не много правее точки B. Сила Ra стремится повернуть данный участок по часовой стрелке, поэтому она принимается со знаком «плюс».  Чтобы было проще при построении эпюры слева направо сила, направленная вверх всегда будет со знаком «плюс», а сила направленная вниз будет со знаком «минус».

Эпюра Q на данном участке получается следующая:

Определяем напряжения Q на участке BС.

Далее мы рассматриваем участок от точки B до точки C.

Пунктирными линиями я указал рассматриваемый участок.

Значение поперечной силы в точке B справа мы уже вычислили ранее — это Q(B справа)=Ra=30 кН (именно значение, что справа).

На участке от точки B до точки C действует сила q1. По правилу знаков данная нагрузка стремится повернуть участок BC вокруг точки C против часовой стрелки, поэтому оно учитывается со знаком минус. Значение Q слева от точки C равно:

Строим эпюру поперечных сил на данном участке

Далее рассматриваем участок BC, с точкой несколько правее точки C

В точке C справа ничего не изменилось, поэтому

Эпюра Q на участке от A до C будет выглядеть следующим образом:

Определяем напряжения Q на участке СD.

Рассмотрим участок от точки C до точки D. Вначале рассматриваем участок левее точки D.

На данном участке нет поперечных сил, поэтому поперечная сила Q на данном участке не изменяется:

Эпюра на данном участке выглядит следующим образом:

Далее рассмотрим участок с учетом сил, действующих в точке D

В точке D действует сосредоточенная сила F1 и начинает действовать переменная сила q2. Переменная сила q2 не влияет на поперечную силу в точке D т.к. она еще имеет нулевую длину приложения (правее этой точки она будет влиять, но это будет рассмотрено на участке DE). А сила F1 создает скачок поперечной нагрузки. Т.к. сила F1 стремится повернуть участок CD вокруг точки D по часовой стрелке сила F1 учитывается со знаком плюс (сила F1 вообще не может повернуть сечение вокруг точки D т.к. она приложена именно к этой точке, но тут точку вращения мы принимаем не много правее точки D т.к. это значение будет правее точки D).

Строим эпюру Q с учетом силы F1

На эпюре мы видим скачок поперечной силы.

Определяем напряжения Q на участке DE.

Рассмотрим участок от точки D до точки E (слева)

На участке от точки D до точки E приложена переменная нагрузка q2.

Определим значение Q в левее точки E. Сила q2 стремится повернуть сечение DE вокруг точки E против часовой стрелки, поэтому принимается со знаком минус. Значение поперечной силы в точке E слева равно:

Эпюра на этом участке будет выглядеть как изогнутая линия т.к. переменная нагрузка с увеличением длины уменьшает свое влияние на поперечную силу и сводится к нулю в конце участка

Далее рассматриваем участок DE с участком правее точки E

В точке E действует изгибающий момент M1, но он не влияет на поперечную силу, поэтому

Эпюра Q

В итоге эпюра поперечной силы Q для данного примера выглядит следующим образом:

Как видим максимальная поперечная нагрузка, в данном примере, находится на участке от точки А до точки В, а также в точке D и равна Ra=30кН.

Вообще не во всех случаях обязательно рассматривать участок левее и правее заданной точки — только если в точке приложена сосредоточенная сила F эпюра Q осуществляет скачок, во всех остальных случаях Q(слева)=Q(справа). Я просто показал принцип построения эпюры.

В консольной балке напряжения Q в конце балки должны быть равны нулю. Конечно если на конце приложена сила F будет скачок напряжения, но  Q(справа) будет равна нулю.

Построение эпюры M (изгибающий момент)

Для построения эпюры М мы используем те же контрольные точки и те же участки, что мы использовали при построении эпюры Q.

Последовательно передвигаясь от точки А к концу балки мы вычисляем значения моментов в контрольных точках и соединяем их в график который и будет указывать изгибающий момент в любой точке балки.

Изгибающий момент вычисляется произведением силы или центра приложения силы на плечо.

Для сосредоточенной силы мы умножаем значение нагрузки на расстояние до рассматриваемой точки. На графике эпюра M от действия сосредоточенной силы имеет прямую линию.

Чтобы определить изгибающий момент от действия равномерно-распределенной нагрузки определяем расстояние до середины рассматриваемого участка равномерно-распределенной нагрузки, умножаем на длину рассматриваемого участка и на величину нагрузки. На графике эпюра М от действия равномерно-распределенной нагрузки напоминает изогнутую линию, гиперболу.

Для переменной нагрузки изгибающий момент определяем следующим образом: определяется центр приложения нагрузки (длина приложения нагрузки делится в соотношении 1/3-2/3, центр приложения нагрузки находится ближе к максимальной нагрузке), определяем длину от этой точки до рассматриваемой, умножаем на длину приложения нагрузки, и умножаем на половину от приложенной нагрузки (q).На графике эпюра М от действия переменной нагрузки также как и для равномерно-распределенной напоминает изогнутую линию, но с большим изгибом.

Приложенный момент в точке просто суммируется с вычисляемым изгибающим моментом от других нагрузок. В точке где приложен момент эпюра совершает скачок. Значение момента не умножается на расстояние, а остается неизменным по всей длине.

Правило знаков для построения эпюры M

Тут есть 2-а метода: метод которым пользуются строители и метод, которым пользуются машиностроители.

У строителей изгибающий момент считается положительным, если внешняя нагрузка приводит к растяжению верхних волокон и график откладываем вверх. Если внешняя нагрузка приводит к растяжению нижних волокон, то изгибающий момент считается отрицательным и график откладывается вверх. Т.е. график всегда откладывается в сторону растянутых волокон.

У машиностроителей все наоборот — положительное значение откладывается в сторону сжатых волокон.

Ни в том, ни в другом случае ошибки нет, просто разные методы и итоговые значения будут одинаковыми, только знаки противоположными.

Не могу с уверенностью сказать почему у строителей изгибающий момент направлен в сторону растянутых волокон. Возможно из-за того, что при данном рассмотрении эпюра моментов во многих случаях повторяет изгиб балки.

Мы будем рассматривать метод, которым пользуются строители.

Определяем напряжение M на участке AB

Также как и при определении эпюры Q, эпюру М также строим по тем же участкам.

Значение изгибающего момента в точке равно значению опорного момента Ma, который мы вычислили ранее.

Также как и при построении эпюры Q мы рассматриваем участок с точкой левее точки B и правее этой точки, но если при построении эпюры Q мы не учитывали изгибающие моменты, то при построении эпюры изгибающих моментов мы должны учитывать и изгибающие моменты, и поперечные силы.

Изгибающий момент Ma стремится повернуть сечение вокруг точки B против часовой стрелки, а опорная реакция Ra по часовой стрелке. Теперь обратимся к правилу знаков. Изгибающий момент Ma стремится растянуть верхние волокна и сжать нижние, поэтому мы его учитываем со знаком плюс (читаем правило знаков для эпюры M). Опорная реакция Ra напротив стремится сжать верхние волокна и растянуть нижние, поэтому принимается со знаком минус. Напоминаю, что мы вращаем участок вокруг точки B, заделка в точке A заменена опорными реакциями Ra и Ma, т.е. если мы вместо заделки приложим эти силы, то система будет неподвижна.

Изгибающий момент в точке B слева будет равен:

На участке между точками A и B изгибающий момент изменяется прямолинейно т.к. на этом участке только реакция Ra изменяет значение, поэтому эпюра M на данном участке будет выглядеть так:

Теперь рассмотрим участок до точки B справа

Тут добавляется равномерно распределенная нагрузка q1, но длина ее приложения еще равна нулю, поэтому она не влияет на изгибающий момент в точке B справа. Изгибающий момент справа от точки B буден равен значению слева от точки B.

Эпюра M выглядит следующим образом:

Определяем напряжение M на участке BС

Рассмотрим участок BC взяв участок без учета нагрузок в точке C (ну или как мы приняли левее точки C).

При вычислении изгибающего момента в точке C мы рассматриваем участок от точки A до С. Изгибающий момент в точке B вычисленный ранее является только значением в точке B и на точку C уже не влияет т.к. значение изгибающего момента изменяется в зависимости от плеча (расстояние от точки приложения нагрузки до рассматриваемой точки).

Изгибающий момент в точке С формируется из следующих составных:

1) Изгибающий момент Ma — опорная реакция в точке A. Значение изгибающего момента на изменяется от расстояния. Также как и для точки B значение изгибающего момента принимаем со знаком плюс т.к. он растягивает верхние волокна в точке C.

2) Опорная реакция Ra. Значение изгибающего момента в точке C напрямую зависит от плеча приложения нагрузки, поэтому в точке C опорная реакция Ra создает изгибающий момент в 2-а раза больше чем в точке B. Опорная реакция также сжимает верхние волокна, поэтому принимается со знаком минус.

3) Равномерно-распределенная нагрузка q1 создает изгибающий момент в точке C равный произведению этой нагрузки на длину ее приложения и на расстояние до центра ее приложения. По правилу знаков нагрузка q1 растягивает верхние волокна и принимается со знаком плюс.

Значение изгибающего момента в точки С слева равно:

На участке действия равномерно-распределенной нагрузки эпюра M имеет изогнутую форму. Изгиб направлен в сторону действия нагрузки. Эпюра на участке от A до C имеет следующий вид:

Теперь рассмотрим участок правее точки C

В принципе тут ничего не изменяется, новых нагрузок не появляется, расстояние (плечо) тоже остается тоже, поэтому эпюра с учетом этого участка выглядит также

Определяем напряжение M на участке СD

Также рассматриваем участок слева от точки D

Изгибающий момент в точке D формируется из следующих составных:

1) Изгибающий момент Ma — опорная реакция в точке A. Значение изгибающего момента на изменяется от расстояния. Также как и для точки B значение изгибающего момента принимаем со знаком плюс т.к. он растягивает верхние волокна в точке D.

2) Опорная реакция Ra. Значение изгибающего момента в точке Dнапрямую зависит от плеча приложения нагрузки, поэтому в точке D опорная реакция Ra создает изгибающий момент в 3-и раза больше чем в точке B. Опорная реакция также сжимает верхние волокна, поэтому принимается со знаком минус.

3) Равномерно-распределенная нагрузка q1 создает изгибающий момент в точке D равный произведению этой нагрузки на длину ее приложения и на расстояние до центра ее приложения. По правилу знаков нагрузка q1 растягивает верхние волокна и принимается со знаком плюс.

Значение изгибающего момента в точки D слева равно:

На участке CD нет никаких нагрузок, поэтому изменение напряжения M прямолинейно

Рассмотрим точку D справа

В точке D начинается приложение переменной нагрузки q2 и приложена сосредоточенная сила F1, но плечо приложения нагрузки еще равно нулю, поэтому значение изгибающего момента M в точке D справа не изменяется и равно значению слева от точки D.

Определяем напряжение M на участке DE

Рассматриваем участок слева от точки E

Изгибающий момент в точке E слева формируется из следующих составных:

1) Изгибающий момент Ma — опорная реакция в точке A. Значение изгибающего момента на изменяется от расстояния. Также как и для точки B значение изгибающего момента принимаем со знаком плюс т.к. он растягивает верхние волокна в точке E.

2) Опорная реакция Ra. Значение изгибающего момента в точке E напрямую зависит от плеча приложения нагрузки, поэтому в точке E опорная реакция Ra создает изгибающий момент в 4-ре раза больше чем в точке B. Опорная реакция также сжимает верхние волокна, поэтому принимается со знаком минус.

3) Равномерно-распределенная нагрузка q1 создает изгибающий момент в точке E равный произведению этой нагрузки на длину ее приложения и на расстояние до центра ее приложения. По правилу знаков нагрузка q1 растягивает верхние волокна и принимается со знаком плюс.

4) Сосредоточенная сила F1 создает изгибающий момент, равный произведению силы на плечо. Т.к. действие силы стремится сжать верхние волокна (напоминаю мы рассматриваем действие силы вокруг точки E), то изгибающий момент принимаем со знаком минус.

5) Переменная нагрузка q2 создает изгибающий момент, равный произведению половины от максимальной силы, на длину приложения и на расстояние от центра сил (точка находится примерно 1/3 участка приложения сил ближе к максимальной нагрузке) до рассматриваемой точки

Значение изгибающего момента в точки E слева равно:

На участке DE изменение изгибающего момента не равномерно т.к. на этом участке имеется переменная нагрузка, эпюра имеет изогнутый вид

Теперь рассмотрим точку E с учетом приложенной к нему нагрузок (точка E справа)

Тут добавляется момент M1. Действие изгибающего момента M1 стремится сжать верхние волокна поэтому мы принимаем его со знаком минус.

Значение изгибающего момента справа от точки E равно:

Действие изгибающего момента создает скачок в точке E. В итоге мы получаем такую эпюру изгибающих моментов для данного примера:

Значение изгибающего момента для консольной балки всегда равно нулю на свободном конце. Только если в конце балки приложен момент он будет отличатся на графике и будет равен значению этого момента, но изгибающий момент для E справа все равно будет равен нулю.

Также как и для эпюры Q не всегда обязательно рассматривать значения справа и слева от рассматриваемой точки. Только для точки в которой приложен изгибающий момент нужно рассматривать отдельно с учетом этого момента и без т.к. изгибающий момент создает скачок на эпюре моментов.

Эпюра Q и M

Покажем эпюры Q и M вместе чтобы увидеть где будут максимальные нагрузки

Надеюсь моя статья поможет в освоении азов сопротивления материалов.

Также ознакомитесь со статьей «Типовые эпюры консольной балки»

Для консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Пример задачи 5.1

Для консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.6).

Решение

На расчетной схеме балки размещается система координатных осей X, Y,Z с началом в крайнем левом сечении балки.

Действующие на балку нагрузки и передаются на опору (защемление), где возможны три опорные реакции (, и ), которые предварительно направляются произвольно.

Для определения трех опорных реакций используются три уравнения равновесия Значит, рассматриваемая система (балка) является статически определимой.

Рекомендуется следующий порядок определения опорных реакций, пригодный для всех схем балок.

Составляются уравнения моментов относительно крайних сечений балки (здесь точки А и С):

откуда

Знак «минус» при указывает на то, что момент направлен в противоположную сторону. На схеме показывается действительное направление , и далее знак «минус» не учитывается.

откуда = 20 кН (направление правильное).

Из уравнения определяем реакцию :

Уравнение используется для проверки правильности определения реакций:

— реакции определены верно.

При расположении нагрузки перпендикулярно продольной оси балки реакция опоры вдоль оси Z всегда равна нулю. Поэтому в последующих задачах она не будет указываться.

Для определения Q и М на балке выделяются расчетные участки (здесь — два), в пределах которых помечаются сечения I и II и отмечается их положение в системе координатных осей

Составим выражения для определения поперечной силы Q и изгибающего момента М для каждого участка балки.

Участок 1

Рассматриваем левую от сечения часть балки (ход слева):

— линейная зависимость.

При

при

Проверим знаки слагаемых в составленных выражениях.

В выражении для Q реакция дает положительное слагаемое, так как пытается повернуть рассматриваемую часть балки относительно сечения I по ходу часовой стрелки.

В выражении для М опорный момент дает отрицательное слагаемое, так как стремится изогнуть рассматриваемую часть балки относительно сечения I выпуклостью вверх, а реакция положительное значение, так как стремится изогнуть балку выпуклостью вниз.

Участок 2.

Рассматриваем левую от сечения часть балки (ход слева):

— линейная зависимость.

При

при

О знаках слагаемых. Сила в выражении для Q дает отрицательное слагаемое, так как стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно сечения II против хода часовой стрелки, а в выражении для М также дает отрицательное слагаемое, так как стремится изогнуть балку выпуклостью вверх.

Заметим, что значения Q и М на концах балки согласуются с действующими здесь нагрузками (реакциями). Так, вычисленное значение Q в сечении С численно равно приложенной здесь силе , а вычисленное значение М численно равно приложенному здесь моменту М (в данном случае М = 0).

Для определения Q и М можно рассматривать и правую часть балки (с началом отсчета ординаты Z в сечении С).

Так, для второго участка (ход справа):

— линейная зависимость.

При

при

Значения Q и М совпадают с ранее полученными.

Второй вариант составления выражений для Q и М (ход со стороны свободного конца) для консольной балки имеет преимущество в том, что не требуется определения опорных реакций. Но при этом контрольные значения (,) отсутствуют.

По полученным значениям Q и М в характерных сечениях балки в выбранном масштабе строятся эпюра Q (рис. 5.6, б) и эпюра М (рис. 5.6, в). Положительные значения Q откладываются вверх от оси эпюры, а положительные значения М — вниз.

При таком направлении ординат М эпюра изгибающих моментов оказывается построенной со стороны растянутых волокон балки, что удобно в строительном проектировании.

Проанализируем характер эпюр Q и М на участках балки. На участках балки, где нет распределенной нагрузки (q = 0), эпюра Q -прямолинейна, параллельна оси балки, а эпюра М — прямолинейна, наклонна к оси балки.

В сечениях А, В и С, где действуют активные и реактивные сосредоточенные силы, на эпюре Q имеются скачки на величину этих сил.

Если смотреть со стороны крайнего левого сечения балки, то скачки на эпюре Q направлены в сторону действия сосредоточенной силы (активной и реактивной). Так, сила направлена вниз -скачок на эпюре Q также вниз, а в сечении С — вверх, так как сила направлена вверх.

В сечении балки В, где приложена сосредоточенная сила , на эпюре М имеется излом.

В сечении балки А, где действует момент , на эпюре М имеется скачок на величину этого момента, направленный вверх, так как направлен против хода часовой стрелки.

Из эпюр Q и М следует, что на участке балки AD верхние волокна растянуты (ординаты М лежат сверху от оси эпюры), а нижние сжаты. На участке DC нижние волокна растянуты, верхние сжаты.

Из построенных эпюр Q и М следует, что

Эти значения нужны для последующих расчетов.

Этот пример решения задачи взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета «Сопротивление материалов»:

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Дополнительные задачи которые вам будут полезны:

Построение эпюры Qx — Мегаобучалка

Из теоретического курса известно, что на участке балки с равномерно распределённой нагрузкой эпюра Q_x ограничивается наклонной прямой, а на участке, на котором нет распределённой нагрузки, — прямой, параллельной оси, поэтому для построения эпюры поперечных сил достаточно определить значения Q_x в начале и конце каждого участка. В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки (на бесконечно близком расстоянии от неё) и чуть правее её; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно .

Рис.9 Рис.10

Проведем мысленно ось Y перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять её положение, пока не пройдем всю балку от С до Е. рассматривая левые отсечённые по характерным точкам части балки, проецируем на ось Y действующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем:

Qc = 0;

=-q*a = -10*0.5 =-5 kH;

= + R_AY = — 5 + 13.3 = 8.3 kH;

Q_D = R_AY — q ( а + b ) = 13.3 — 10 (0.5 + 2.5 ) = — 16.7 kH;

= Q_D = R_AY-Q = -16.7 kH;

= + R_BY = -16.7 + 31.7 = 15 kH;

₌ = 15 kH.

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях, пройдите балку аналогичным способом , но с правого конца. Тогда отсечёнными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменится. Результат должен получиться тот же.

Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Q. Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Qx (рис.9 б).

б) Для консольной балки(рис. 10а) характерные точки: А — точка приложения опорной реакции R_AY; С — точка приложения сосредоточенной силы, D и В — начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балке. Итак, при ходе слева:

= R_AY =10 kH;

= R_AY — F = 10 — 8 = 2 kH;

= Q_A = 10 kH;

= + R_AY = — 5 + 13.3 = 8.3 kH;

Q_D = =2 kH;

Q_B = Q_D – q*с = 2 — 2 = 0 kH.

Строим эпюру Q_x по полученным значениям поперечных сил (рис. 106). Построив эпюру обратите внимание на следующее: Эпюра под распределённой нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками -отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, равный значению силы. Если наклонная линия под распределённой нагрузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, она пригодится для эпюры изгибающих моментов. Сосредоточенный момент на эпюре Q_x себя никак не проявляет, так как сумма проекций сил, образующих пару, равна нулю.

Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, методом характерных точек, ходом слева.

Известно, что на участке балки с равномерно-распределённой нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией (квадратичной параболой), для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значения изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном промежуточном сечении.

Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение , в котором эпюра Qx пересекает нулевую линию, т.е. где Q_x = 0. На эпюре М в этом сечении должна находиться вершина параболы. Если же эпюра Q_x не пересекает нулевую линию, то эпюру М можно строить по двум точкам (начала и конца действия распределённой нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если нагрузка действует сверху вниз. Существует старое правило «дождя», которое очень помогает при построении параболической части эпюры М. Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределённая нагрузка — это дождь, подставьте под него зонт в перевёрнутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нём. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и будет выглядеть очертание эпюры моментов под распределённой нагрузкой.

Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определять в произвольном сечении, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значения изгибающих моментов в соответствующих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределённой нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соответствующих началу и концу участка, так как эпюра М на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислить изгибающий момент чуть левее места приложения сосредоточенного момента и чуть правее его.

Строим эпюру М_хметодом характерных точек, ходом слева.

а) Для двухопорной балкихарактерные точки следующие: С и D — начало и конец распределённой нагрузки, А — опора балки, В — вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента, Е — правый конец балки, точка К соответствующая сечению балки, в котором Q_x = 0.

Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем (возьмите лист бумаги и прикройте им отброшенную часть балки). Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.

Итак,

М_С = 0;

М_А = — q*а*а/2 = — 10*0,5*0,25 = -1,25 kH m;

Прежде чем определять момент в сечении К, необходимо найти расстояние х = АК. Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его нулю (ход слева).

Q_K = — q*а + R_AY – q*х = 0, откуда х = (- q*а + R_AY) / q = (- 10*0,5 + 13,3) /10 =

= 0,83 м.

Это расстояние можно найти из подобия треугольников KLN и K1G на эпюре Q_x (рис.9 б).

Определяем момент в точке К

М_к = — q (а + х)² /2 + R_AY х = 2,2 kH m;

M_D = R_AY b — Q(a + b)² /2 = — 11,7 kH m;

Пройдём оставшуюся часть балки ходом справа, учитывая при этом изменения в правиле знаков:

М_Е = 0;

= -F*d = -15 kH m;

= — М = — 20 kH m;

M_D = — F (c+d) — М + R_BY с = 11,7 kH m.

Как видим, момент в сечении D при ходе слева и справа получился одинаковый — эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру. Положительные значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные — вверх (рис.9в).

б) Для консольной балки(рис.10 а) эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.

Характерные точки для этой балки следующие: А — опора; С — точка приложения сосредоточенного момента и силы F; D и В — начало и конец действия равномерно распределённой нагрузки. Поскольку эпюра Q_x на участке действия распределённой нагрузки нулевую линию не пересекает, эпюру моментов на данном участке можно строить по двум точкам D и В. Ход слева :

М_А= -М_А = — 17 kH m;

М_с^лев = — М_А + R_AY а = -12 kH m;

М_с^прав= — М_А + R_AY а + М = — 2 kH m;

M_D = — М_А + R_AY (а + b) + М – F*b = -1 kH m.

Ходом справа находим Мв = 0.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рис. 13 в).

4 Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе

Лекция № 4. Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе.

   Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.

Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и внутренний изгибающий момент.

Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р, рис. 1 а., …

а) расчетная схема, б) левая часть, в) правая часть, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

Рис.1. Построение эпюр поперечных сил и внутренних изгибающих моментов при прямом изгибе:

Прежде всего вычислим реакции в связи на базе уравнений равновесия:

Рекомендуемые файлы

-25%

 \ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0 

 \ sum F_y = 0
\\ R_ {VA} -W = 0
\\ R_ {VA} = W 

 S.F_x = R_ {VA} -w [L-x]
\\ S.F_x = wL-wL + wx = wx 

 S.F = R_ {VA} -wL
\\ S.F_B = wL-wL = 0 

 \ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0 

 \ sum F_y = 0
\\ R_ {VA} -wL = 0
\\ R_ {VA} = 200 Н 

 200 * \ frac {10} {2} -M_A = 0
\\ M_A = 1000 \; Нм 

 S.F_A = R_ {VA} = wL
\\ S.F_A = 200 N 

 S.F_x = R_ {VA} -w [L-x]
\\ S.F_x = wL-wL + wx = wx 

 S.F = R_ {VA} -wL
\\ S.F_B = wL-wL = 0 

 \ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma_b} {y} = \ frac {E} {R} 

 \ sum F_y = 0, \ sum F_x = 0, \ sum M_A = 0 

 \ sum F_y = 0
\\ R_ {VA} -wL = 0
\\ R_ {VA} = 200 Н 

 200 * \ frac {10} {2} -M_A = 0
\\ M_A = 1000 \; Н-м 

 σ = \ frac {1000 * 50 * 10 ^ {- 3}} {2 * 722 * 10 ^ {- 8}}