Динамика все формулы: Динамика — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Содержание

Динамика - Физика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Основы динамики

К оглавлению...

Если в кинематике только описывается движение тел, то в динамике изучаются причины этого движения под действием сил, действующих на тело.

Динамика – раздел механики, который изучает взаимодействия тел, причины возникновения движения и тип возникающего движения. Взаимодействие – процесс, в ходе которого тела оказывают взаимное действие друг на друга. В физике все взаимодействия обязательно парные. Это значит, что тела взаимодействуют друг с другом парами. То есть всякое действие обязательно порождает противодействие.

Сила – это количественная мера интенсивности взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела целиком или его частей (деформации). Сила является векторной величиной. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Сила характеризуется тремя параметрами: точкой приложения, модулем (численным значением) и направлением. В Международной системе единиц (СИ) сила измеряется в Ньютонах (Н). Для измерения сил используют откалиброванные пружины. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами. Сила измеряется по растяжению динамометра.

Сила, оказывающая на тело такое же действие, как и все силы, действующие на него, вместе взятые, называется равнодействующей силой. Она равна векторной сумма всех сил, действующих на тело:

Чтобы найти векторную сумму нескольких сил нужно выполнить чертеж, где правильно нарисовать все силы и их векторную сумму, и по данному чертежу с использованием знаний из геометрии (в основном это теорема Пифагора и теорема косинусов) найти длину результирующего вектора.

Виды сил:

1. Сила тяжести. Приложена к центру масс тела и направлена вертикально вниз (или что тоже самое: перпендикулярно линии горизонта), и равна:

где: g - ускорение свободного падения, m - масса тела. Не перепутайте: сила тяжести перпендикулярна именно горизонту, а не поверхности на которой лежит тело. Таким образом, если тело лежит на наклонной поверхности, сила тяжести по-прежнему будет направлена строго вниз.

2. Сила трения. Приложена к поверхности соприкосновения тела с опорой и направлена по касательной к ней в сторону противоположную той, куда тянут, или пытаются тянуть тело другие силы.

3. Сила вязкого трения (сила сопротивления среды). Возникает при движении тела в жидкости или газе и направлена против скорости движения.

4. Сила реакции опоры. Действует на тело со стороны опоры и направлена перпендикулярно опоре от нее. Когда тело опирается на угол, то сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности тела.

5. Сила натяжения нити. Направлена вдоль нити от тела.

6. Сила упругости. Возникает при деформации тела и направлена против деформации.

Обратите внимание и отметьте для себя очевидный факт: если тело находится в покое, то равнодействующая сил равна нулю.

 

Проекции сил

К оглавлению...

В большинстве задач по динамике на тело действует больше чем одна сила. Для того чтобы найти равнодействующую всех сил в этом случае можно пользоваться следующим алгоритмом:

  1. Найдем проекции всех сил на ось ОХ и просуммируем их с учетом их знаков. Так получим проекцию равнодействующей силы на ось ОХ.
  2. Найдем проекции всех сил на ось OY и просуммируем их с учетом их знаков. Так получим проекцию равнодействующей силы на ось OY.
  3. Результирующая всех сил будет находится по формуле (теореме Пифагора):

При этом, обратите особое внимание на то, что:

  1. Если сила перпендикулярна одной из осей, то проекция именно на эту ось будет равна нулю.
  2. Если при проецировании силы на одну из осей «всплывает» синус угла, то при проецировании этой же силы на другую ось всегда будет косинус (того же угла). Запомнить при проецировании на какую ось будет синус или косинус легко. Если угол прилежит к проекции, то при проецировании силы на эту ось будет косинус.
  3. Если сила направлена в ту же сторону что и ось, то ее проекция на эту ось будет положительной, а если сила направлена в противоположную оси сторону, то ее проекция на эту ось будет отрицательной.

 

Законы Ньютона

К оглавлению...

Законы динамики, описывающие влияние различных взаимодействий на движение тел, были в одной из своих простейших форм, впервые четко и ясно сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 год), поэтому эти законы также называют Законами Ньютона. Ньютоновская формулировка законов движения справедлива только в

инерциальных системах отсчета (ИСО). ИСО – система отсчета, связанная с телом, движущимся по инерции (равномерно и прямолинейно).

Есть и другие ограничения на применимость законов Ньютона. Например, они дают точные результаты только до тех пор, пока применяются к телам, скорости которых много меньше скорости света, а размеры значительно превышают размеры атомов и молекул (обобщением классической механики на тела, двигающиеся с произвольной скоростью, является релятивистская механика, а на тела, размеры которых сравнимы с атомными — квантовая механика).

Первый закон Ньютона (или закон инерции)

Формулировка: В ИСО, если на тело не действуют никакие силы или действие сил скомпенсировано (то есть равнодействующая сил равна нулю), то тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии действия на него других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции. Итак, причиной изменения скорости движения тела целиком или его частей всегда является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания изменения движения тела под воздействием других тел необходимо ввести новую величину – массу тела.

Масса – это свойство тела, характеризующее его инертность (способность сохранять скорость постоянной). В Международной системе единиц (СИ) масса тела измеряется в килограммах (кг). Масса тела – скалярная величина. Масса также является мерой количества вещества:

Второй закон Ньютона – основной закон динамики

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела и сила. Первая из этих величин – масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Формулировка: Ускорение, приобретаемое телом в ИСО, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе этого тела:

Однако при решении задач по динамике второй закон Ньютона целесообразно записывать в виде:

Если на тело одновременно действуют несколько сил, то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил. Если равнодействующая сила равна нолю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, т.к. ускорение будет нулевым (первый закон Ньютона).

Третий закон Ньютона

Формулировка: В ИСО тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, лежащими на одной прямой и имеющими одну физическую природу:

Эти силы приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга. Обратите внимание, что складывать можно только силы, которые одновременно действуют на одно из тел. При взаимодействии двух тел возникают силы, равные по величине и противоположные по направлению, но складывать их нельзя, т.к. приложены они к разным телам.

Алгоритм решения задач по динамике

Задачи по динамике решаются с помощью законов Ньютона. Рекомендуется следующий порядок действий:

1.

Проанализировав условие задачи, установить, какие силы действуют и на какие тела;

2. Показать на рисунке все силы в виде векторов, то есть направленных отрезков, приложенных к телам, на которые они действуют;

3. Выбрать систему отсчета, при этом полезно одну координатную ось направить туда же, куда направлено ускорение рассматриваемого тела, а другую – перпендикулярно ускорению;

4. Записать II закон Ньютона в векторной форме:

5. Перейти к скалярной форме уравнения, то есть записать все его члены в том же порядке в проекциях на каждую из осей, без знаков векторов, но учитывая, что силы, направленные против выбранных осей будут иметь отрицательные проекции, и, таким образом, в левой части закона Ньютона они будут уже вычитаться, а не прибавляться. В результате получатся выражения вида:

6. Составить систему уравнений, дополнив уравнения, полученные в предыдущем пункте, в случае необходимости, кинематическими или другими простыми уравнениями;

7. Провести далее все необходимые математические этапы решения;

8. Если в движении участвует несколько тел, анализ сил и запись уравнений производится для каждого из них по отдельности. Если в задаче по динамике описывается несколько ситуаций, то подобный анализ производится для каждой ситуации.

При решении задач учитывайте также следующее: направление скорости тела и равнодействующей сил необязательно совпадают.

 

Сила упругости

К оглавлению...

Деформацией называют любое изменение формы или размеров тела. Упругими называют такие деформации, при которых тело полностью восстанавливает свою форму после прекращения действия деформирующей силы. Например, после того, как груз сняли с пружины, её длина в недеформированном состоянии не изменилась. При упругой деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Ее называют силой упругости. Простейшим видом деформации является деформация одностороннего растяжения или сжатия.

При малых деформациях модуль силы упругости пропорционален деформации тела. При этом сила упругости направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации, и может быть рассчитана по формуле:

где: k – жесткость тела, х – величина растяжения (или сжатия, другими словами: деформации тела), она равна модулю разности между конечной и начальной длиной деформируемого тела. Важно, что величина растяжения или сжатия не равна ни начальной, ни конечной длине тела в отдельности. Жесткость не зависит ни от величины приложенной силы, ни от деформации тела, а определяется только материалом, из которого изготовлено тело, его формой и размерами. В системе СИ жесткость измеряется в Н/м.

Утверждение о пропорциональности силы упругости и деформации называют законом Гука. В технике часто применяются спиралеобразные пружины. При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент k называют жесткостью пружины. В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром.

Таким образом, у каждого конкретного тела (а не материала) есть своя жесткость и она не изменяется для данного тела. Таким образом, если у Вас в задаче по динамике несколько раз растягивали одну и ту же пружину Вы должны понимать, что ее жесткость во всех случаях была одна и та же. С другой стороны если в задаче было несколько пружин разных габаритов, но, например, все они были стальные, то тем не менее у них у всех будут разные жесткости. Так как жесткость не является характеристикой материала, то ее нельзя найти ни в каких таблицах. Жесткость каждого конкретного тела будет либо Вам дана в задаче по динамике, либо ее значение должно стать предметом некоторых дополнительных изысканий при решении данной задачи.

При сжатии сила упругости препятствует сжатию, а при растяжении – препятствует растяжению. Рассмотрим также то, как можно выразить жесткость нескольких пружин соединенных определённым образом. При параллельном соединении пружин общий коэффициент жесткости рассчитывается по формуле:

При последовательном соединении пружин общий коэффициент жесткости может быть найден из выражения:

 

Вес тела

К оглавлению...

Силу тяжести, с которой тела притягиваются к Земле, нужно отличать от веса тела. Понятие веса широко используется в повседневной жизни в неправильном смысле, под весом подразумевается масса, однако это не так.

Весом тела называют силу, с которой тело действует на опору или подвес. Вес – сила, которая, как и все силы, измеряется в ньютонах (а не в килограммах), и обозначается P. При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса. Согласно третьему закону Ньютона вес зачастую равен либо силе реакции опоры (если тело лежит на опоре), либо силы натяжении нити или силе упругости пружины (если тело висит на нити или пружине). Сразу оговоримся - вес не всегда равен силе тяжести.

Невесомость – это состояние, которое наступает, когда вес тела равен нолю. В этом состоянии тело не действует на опору, а опора на тело.

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой. Перегрузка рассчитывается по формуле:

где: P – вес тела, испытывающего перегрузку, P0 – вес этого же тела в состоянии покоя. Перегрузка – безразмерная величина. Это хорошо видно из формулы. Поэтому не верьте писателям-фантастам, которые в своих книгах измеряют ее в g.

Запомните, что вес никогда не изображается на рисунках. Он просто вычисляется по формулам. А на рисунках изображается сила натяжения нити либо сила реакции опоры, которые по третьему закону Ньютона численно равны весу, но направлены в другую сторону.

Итак, отметим еще раз три существенно важных момента в которых часто путаются:

  • Несмотря на то, что вес и сила реакции опоры равны по величине и противоположны по направлению, их сумма не равна нулю. Эти силы вообще нельзя складывать, т.к. они приложены к разным телам.
  • Нельзя путать массу и вес тела. Масса – собственная характеристика тела, измеряется в килограммах, вес – это сила действия на опору или подвес, измеряется в Ньютонах.
  • Если надо найти вес тела Р, то сначала находят силу реакции опоры N, или силу натяжения нити Т, а по третьему закону Ньютона вес равен одной из этих сил и противоположен по направлению.

 

Сила трения

К оглавлению...

Трение – один из видов взаимодействия тел. Оно возникает в области соприкосновения двух тел при их относительном движении или попытке вызвать такое движение. Трение, как и все другие виды взаимодействия, подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело.

Сухое трение, возникающее при относительном покое тел, называют трением покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней вызывающей силе и направлена в противоположную ей сторону. Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения, которое определяется по формуле:

где: μ – безразмерная величина, называемая коэффициентом трения покоя, а N – сила реакции опоры.

Если внешняя сила больше максимального значения силы трения, возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения. Силу трения скольжения можно считать равной максимальной силе трения покоя.

Коэффициент пропорциональности μ поэтому называют также коэффициентом трения скольжения. Коэффициент трения μ – величина безразмерная. Коэффициент трения положителен и меньше единицы. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от качества обработки их поверхностей. Таким образом коэффициент трения является неким конкретным числом для каждой конкретной пары взаимодействующих тел. Вы не сможете найти его ни в каких таблицах. Для Вас он должен либо быть дан в задаче, либо Вы сами должны найти его в ходе решения из каких-либо формул.

Если в рамках решения задачи у Вас получается коэффициент трения больше единицы или отрицательный – Вы неправильно решаете эту задачу по динамике.

Если в условии задачи просят найти минимальную силу, под действием которой начинается движение, то ищут максимальную силу, под действием которой, движение ещё не начинается. Это позволяет приравнять ускорение тел к нулю, а значит значительно упростить решение задачи. При этом силу трения полагают равной ее максимальному значению. Таким образом рассматривается момент, при котором увеличение искомой силы на очень малую величину сразу вызовет движение.

 

Особенности решения задач по динамике с несколькими телами

К оглавлению...

Связанные тела

Алгоритм решения задач по динамике в которых рассматриваются несколько тел связанных нитями:

  1. Сделать рисунок.
  2. Записать второй закон Ньютона для каждого тела в отдельности.
  3. Если нить нерастяжима (а так в большинстве задач и будет), то ускорения всех тел будут одинаковы по модулю.
  4. Если нить невесома, блок не имеет массы, трение в оси блока отсутствует, то сила натяжения одинакова в любой точке нити.
Движение тела по телу

В задачах этого типа важно учесть, что сила трения на поверхности соприкасающихся тел действует и на верхнее тело, и на нижнее тело, то есть силы трения возникают парами. При этом они направлены в разные стороны и имеют равную величину, определяемую весом верхнего тела. Если нижнее тело тоже движется, то необходимо учитывать, что на него также действует сила трения со стороны опоры.

 

Вращательное движение

К оглавлению...

При движении тела по окружности независимо от того, в какой плоскости происходит движение, тело будет двигаться с центростремительным ускорением, которое будет направлено к центру окружности, по которой движется тело. При этом понятие окружность не надо воспринимать буквально. Тело может проходить только дугу окружности (например, двигаться по мосту). Во всех задачах этого типа одна из осей обязательно выбирается по направлению центростремительного ускорения, т.е. к центру окружности (или дуги окружности). Вторую ось целесообразно направить перпендикулярно первой. В остальном алгоритм решения этих задач совпадает с решением остальных задач по динамике:

1. Выбрав оси, записать закон Ньютона в проекциях на каждую ось, для каждого из тел, участвующих в задаче, или для каждой из ситуаций, описываемых в задаче.

2. Если это необходимо, дополнить систему уравнений нужными уравнениями из других тем по физике. Особенно хорошо нужно помнить формулу для центростремительного ускорения:

3. Решить полученную систему уравнений математическими методами.

Так же есть ряд задач на вращение в вертикальной плоскости на стержне или нити. На первый взгляд может показаться, что такие задачи будут одинаковы. Это не так. Дело в том, что стержень может испытывать деформации как растяжения, так и сжатия. Нить же невозможно сжать, она сразу прогибается, а тело на ней просто проваливается.

Движение на нити. Так как нить только растягиваться, то при движении тела на нити в вертикальной плоскости в нити будет возникать только деформация растяжения и, как следствие, сила упругости, возникающая в нити, будет всегда направлена к центру окружности.

Движение тела на стержне. Стержень, в отличие от нити, может сжиматься. Поэтому в верхней точке траектории скорость тела, прикрепленного к стержню, может быть равна нулю, в отличии от нити, где скорость должна быть не меньше определенного значения, чтобы нить не сложилась. Силы упругости, возникающие в стержне, могут быть направлены как к центру окружности, так и в противоположную сторону.

Поворот машины. Если тело движется по твердой горизонтальной поверхности по окружности (например, автомобиль проходит поворот), то силой, которая удерживает тело на траектории, будет являться сила трения. При этом сила трения направлена в сторону поворота, а не против него (наиболее частая ошибка), она помогает машине поворачивать. Например, когда машина поворачивает направо, сила трения направлена в сторону поворота (направо).

 

Закон всемирного тяготения. Спутники

К оглавлению...

Все тела притягиваются друг к другу с силами, прямо пропорциональными их массам и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Таким образом закон всемирного тяготения в виде формулы выглядит следующим образом:

Такая запись закона всемирного тяготения справедлива для материальных точек, шаров, сфер, для которых r измеряется между центрами. Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной. В системы СИ он равен:

Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле или другой планете. Если M – масса планеты, Rп – ее радиус, то ускорение свободного падения у поверхности планеты:

Если же удалиться от поверхности Земли на некоторое расстояние h, то ускорение свободного падения на этой высоте станет равно (при помощи нехитрых преобразований можно также получить соотношение между ускорением свободного падения на поверхности планеты и ускорением свободного падения на некоторой высоте над поверхностью планеты):

Рассмотрим теперь вопрос об искусственных спутниках планет. Искусственные спутники движутся за пределами атмосферы (если таковая у планеты имеется), и на них действуют только силы тяготения со стороны планеты. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Мы рассмотрим здесь только случай движения искусственного спутника по круговой орбите практически на нулевой высоте над планетой. Радиус орбиты таких спутников (расстояние между центром планеты и точкой где находится спутник) можно приближенно принять равным радиусу планеты Rп. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Скорость спутника на орбите вблизи поверхности (на нулевой высоте над поверхностью планеты) называют первой космической скоростью. Первая космическая скорость находится по формуле:

Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу планеты. Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от планеты, гравитационное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника в таком случае находится с помощью формулы:

Закон Кеплера для периодов обращения двух тел вращающихся вокруг одного притягивающего центра:

Если речь идёт о планете Земля, то нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6R3 называется геостационарной.

Более 40 основных формул по физике с объяснением

Сессия приближается, и пора нам переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали о том, что многим студентам было бы  неплохо иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего. Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что накануне было жесточайше вызубрено, такая подборка сослужит отличную службу.

Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество. Их и возьмем!

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика

Начнем с самого простого. Старое-доброе любимое  прямолинейное и равномерное движение.

Формулы кинематики:

 

Конечно, не будем забывать про движение по кругу, и затем перейдем к динамике и законам Ньютона.

 

После динамики самое время рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику

 

Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда же нам без них!

 

Основные формулы молекулярной физики и термодинамики

Закончим раздел механики формулами по колебаниям и волнам и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.

 

Коэффициент полезного действия, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева - все эти милые сердцу формулы собраны ниже.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Формулы, термодинамика

Основные формулы по физике: электричество

Пора переходить к электричеству, хоть его и любят меньше термодинамики. Начинаем с электростатики.

 

Далее берем постоянный и переменный ток.

 

И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами для закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.

 

На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться, а там и вовсе расплавить мозг. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите уточнить что-то или не нашли нужной формулы: спросите у экспертов студенческого сервиса. Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи, как орешки. Обращайтесь, и вскоре любая задача будет вам «по зубам».

Автор: Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Формулы по кинематике, динамике, законам сохранения, молекулярной физике, электричеству, магнетизму, оптике. Тест

Формулы по кинематике, динамике, законам сохранения, молекулярной физике, электричеству, магнетизму, оптике. Тест - курсы по физике Skip navigation
  • Элементы математики
  • действия с векторами
  • выражение неизвестной
  • Физические величины
  • Единицы измерения
  • внесистемные единицы
  • Постоянные величины в физике
  • плотность вещества
  • предел прочности, модуль Юнга
  • скорость звука
  • удельная теплота
  • диэлектрическая проницаемость
  • удельное сопротивление
  • электрохимический эквивалент
  • Формулы
  • I. Механика
  • Кинематика
  • равномерное движение
  • относительность движения
  • неравномерное движение
  • равноускоренное движение
  • ускорение свободного падения
  • графики движения
  • движение по окружности
  • параболическое движение
  • Динамика
  • закон тяготения
  • законы Ньютона
  • силы в природе
  • равнодействующая сила
  • Законы сохранения
  • импульс тела, импульс силы
  • закон сохранения импульса
  • работа и мощность
  • кинетическая и потенциальная энергии
  • закон сохранения энергии
  • Статика
  • плечо и момент силы
  • условия равновесия
  • центр тяжести, центр масс
  • Колебания и волны
  • колебательное движение
  • гармонические колебания
  • маятники
  • превращение энергии при колебаниях
  • упругие волны
  • звуковые волны
  • II. Молекулярная физика
  • Молекулярная физика
  • основные положения мкт
  • давление
  • основное уравнение мкт, температура
  • уравнение идеального газа
  • изопроцессы
  • свойства жидкостей*
  • свойства твердых тел
  • Термодинамика
  • количество теплоты
  • работа, внутренняя энергия
  • первый закон термодинамики
  • второй закон термодинамики
  • тепловые двигатели
  • III. Основы электродинамики
  • Электричество
  • электрический заряд
  • закон Кулона
  • напряженность поля
  • потенциал и работа поля
  • диэлектрики, проводники
  • электроемкость, конденсаторы
  • энергия конденсатора
  • Электрический ток
  • электрический ток, сила и плотность
  • закон Ома для участка цепи
  • работа и мощность тока
  • закон Ома для замкнутой цепи
  • электрический ток в различных средах
  • электрические явления
  • Магнетизм
  • магнитное поле
  • сила Ампера
  • сила Лоренца
  • Электромагнетизм
  • магнитный поток
  • закон электромагнитной индукции
  • самоиндукция, энергия поля
  • электромагнитные колебания
  • электромагнитные волны
  • переменный ток
  • трансформатор*
  • IV. Оптика
  • Волновая оптика
  • свет как электромагнитные волны
  • интерференция
  • дифракция
  • Геометрическая оптика
  • законы распространения света
  • линзы, оптические приборы
  • V. Теория относительности
  • Теория относительности
  • постулаты теории относительности
  • VI. Квантовая физика
  • Световые кванты
  • фотон
  • фотоэффект
  • квантовые постулаты Бора
  • излучение и поглощение света
  • Атомное ядро
  • энергия связи ядра
  • ядерные реакции
  • закон радиоактивного распада
  • элементарные частицы и их свойства
  • Современная физика*
  • физика элементарных частиц
  • мир внутри атомного ядра
  • время расщепляем на мгновения
  • нанотехнологии и нанофизика
  • вещество в экстремальных состояниях
Закрыть

Основные формулы по физике - МЕХАНИКА

Формулы механики. Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. В разделе кинематика рассматриваются такие кинематические характеристики движения, как перемещение, скорость, ускорение. Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил, входящих в эти законы.

Динамика охватывает такие вопросы, как закон сохранения импульса, закон сохранения полной механической энергии, работа силы.

При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками. Здесь вводятся понятия момента силы, момента инерции, момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса.

Смотрите также основные формулы по термодинамике

Таблица основных формул по механике

Физические законы, формулы, переменные

Формулы механики

Скорость мгновенная:

где r - радиус-вектор материальной точки,

t - время;

- производная радиус-вектора материальной точки по времени.

Модуль вектора скорости:

где s - расстояние вдоль траектории движения (путь)

Скорость средняя (модуль):

Ускорение мгновенное:

Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении:

Ускорение при криволинейном движении:

1) нормальное

где R - радиус кривизны траектории,

2) тангенциальное

3) полное (вектор)

4) (модуль)

Скорость и путь при движении:

1) равномерном

2) равнопеременном 

V0- начальная скорость;

а > 0 при равноускоренном движении;

а < 0 при равнозамедленном движении.

1)

 

2)

 

Угловая скорость:

где φ - угловое перемещение.

Угловое ускорение:

Связь между линейными и угловыми величинами:

Импульс материальной точки:

где m - масса материальной точки.

Основное уравнение динамики поступательного движения (II закон Ньютона):

где F - результирующая сила,   <>

Формулы сил:

тяжестиP

где g - ускорение свободного падения

трения Fтр

где μ - коэффициент трения,

N - сила нормального давления,

упругости Fупр

где k - коэффициент упругости (жесткости),

Δх - деформация (изменение длины тела).

 

 

 

Закон сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из двух тел:

где - скорости тел до взаимодействия;

- скорости тел после взаимодействия.

Потенциальная энергия тела:

1) поднятого над Землей на высоту h

2) упругодеформированного

1)

 

2)

 

Кинетическая энергия поступательного движения:

Работа постоянной силы:

где α - угол между направлением силы и направлением перемещения.

Полная механическая энергия:

Закон сохранения энергии:

силы консервативны

силы неконсервативны

где W1 - энергия системы тел в начальном состоянии;

W2 - энергия системы тел в конечном состоянии.

 

Момент инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс):

1) тонкостенного цилиндра (обруча)

где R - радиус,

2) сплошного цилиндра (диска)

3) шара

4) стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера):

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, d - расстояние между осями.

Момент силы(модуль):

где l - плечо силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

где - угловое ускорение,

- результирующий момент сил.

Момент импульса:

1) материальной точки относительно неподвижной точки

где r - плечо импульса,

2) твердого тела относительно неподвижной оси вращения

1)

 

2)

 

Закон сохранения момента импульса:

где L1 - момент импульса системы в начальном состоянии,

L2 - момент импульса системы в конечном состоянии.

Кинетическая энергия вращательного движения:

Работа при вращательном движении

где Δφ - изменение угла поворота.



все самые важные по разделам, обозначение и пояснение

Как подготовится к экзаменам по физике

Чтобы эффективно выучить предмет, недостаточно зазубрить правила, формулы и обозначения величин. Главное — понимать, как устроены законы, принципы, а также иметь хорошую математическую основу. Схема подготовки к экзамену по этому предмету ничем не отличается от других:

  • выберите раздел;
  • прочитайте и изучите его;
  • уделите особое внимание понятиям, принципам и постулатам;
  • выучите формулы, а также разберитесь во взаимосвязях между величинами;
  • закрепите теорию решением задач и тестов.

Разделы, которые будут на экзамене

Механика. Изучает движение тел и взаимодействия между ними. Включает в себя динамику, кинематику, статику, а также законы сохранения. Это большой, но относительно легкий блок.

Молекулярная физика. Это раздел, посвященный термодинамике и молекулярно-кинетической теории (МКТ).

Квантовая физика и составные части астрофизики. В этом блоке рассматривается атом и атомное ядро, корпускулярно-волновой дуализм, астрофизика. Это далеко не самая простая для изучения часть, потому стоит уделить ей достаточно времени.

Электродинамика и специальная теория относительности (СТО). В данном блоке изучается оптика, основы СТО, работа электрического и магнитного поля, постоянный ток, электромагнитная индукция, колебания, волны.

Основные формулы по физике

Для успешной сдачи ЕГЭ по физике требуется знание не только теории, но и умение решать задачи из всех ее  разделов. А количество необходимых для этого формул немаленькое. Мы подготовили разделенную по темам "напоминалку" с пояснениями, в которой находятся основные формулы.

Кинематика

   

Динамика

 

Статика

 

Гидростатика

 

Работа, энергия, мощность

 

Колебания и волны

 

Молекулярная физика

 

Термодинамика

 

Электростатика

 

Постоянный электрический ток

 

Магнитное поле электрического тока

 

Электромагнитная индукция

 

Электромагнитные колебания

 

Оптика

 

Элементы теории относительности

 

Световые кванты

 

Значения постоянных величин

 

В случае возникновения трудностей, смело обращайтесь к команде профессионалов Феникс.Хелп, которая поможет с любой учебной проблемой.

Механика. Формулы по физике - Физика для всех

Кинематика

ОбозначениеИзмеряется вОписание
Sмпройденный путь
vм/сскорость
tсвремя
xмкоордината
aм/с2ускорение
ωс-1угловая скорость
Tспериод
νГцчастота
εс-2угловое ускорение
Rмрадиус

Скорость и ускорение:

 

Равномерное движение: ν = const

 

Равнопеременное движение: 

 

Криволинейное движение:

 

Вращательное движение:

 

Динамика и статика

ОбозначениеИзмеряется вОписание
FНсила
Pкг*м/симпульс
aм/с2ускорение
mкгмасса
vм/сскорость
pНвес тела
gм/с2ускорение свободного падения
EДжэнергия
AДжработа
NВт мощность
tсвремя
Iкг*м2момент инерции
Lкг*м2момент импульса
MН*ммомент силы
ωс-1угловая скорость

Первый закон Ньютона:
При ∑ F = 0 => v = const

Второй закон Ньютона:

 

Третий закон Ньютона:

 

Основной закон динамики для неинерциальных систем отчета.
ma=ma0+Fинерц ,где а- ускорение в неинерциальной а0- в инерциальной системе отчета.

Скорость центра масс:

 

Закон всемирного тяготения:

 

Вес тела:

 

Сила трения:

 

Закон Гука:

 

Закон Гука: σ = Eε, где Е- модуль Юнга.

 

Динамика и статика вращательного движения:

 

системаосьI
точка по окружностиось симметрииmR2
стержень через середину1/12 mR2
стержень через конец1/3 mR2
шарчерез центр шара2/5 mR2
сферачерез центр сферы2/3 mR2
кольцо или тонкостенный цилиндрось симметрииmR2
диск сплошной цилиндрось симметрии1/2 mR2

Условие равновесия тел  ∑ M = 0

Закон сохранения импульса:

 

Потенциальная и кинетическая энергия. Мощность:

 

Закон сохранения энергии:

 

Глава 7. Вращательное движение. Кинематика и динамика

Как правило, в любом варианте задания ЕГЭ по физике представлены несколько задач на вращательное движение. Приведем основные определения и законы, необходимые для решения такого рода задач. Угловой скоростью тела, совершающего вращательное движение, называется отношение угла поворота к тому времени , за которое этот поворот произошел

(7.1)

В этом определении угол должен измеряться в радианах, поэтому размерность угловой скорости рад/с (или 1/с поскольку радиан - безразмерная величина). В принципе, определение (7.1) позволяет найти как среднюю (для больших интервалов времени ), так и мгновенную (при ) угловую скорость. Однако в школьном курсе физики рассматривается только движение с постоянной угловой скоростью, для которого определение (7.1) дает один и тот же результат для любых интервалов времени . Применяя определение (7.1) к полному обороту тела (угол поворота - радиан), получим связь угловой скорости и периода вращения

(7.2)

Угловую скорость можно ввести не только для точечного тела, но и для протяженного тела. Действительно, при вращении неточечного тела вокруг любой оси все его точки поворачиваются за одинаковое время на одинаковый угол. Поэтому можно говорить об угловой скорости всего тела.

Из формулы (7.2) легко получить связь угловой и обычной скорости вращающегося точечного тела (в этом контексте последнюю всегда называют линейной скоростью). Умножая правую и левую часть формулы (7.2) на радиус окружности и учитывая, что – это длина пути, пройденного за период, получим

(7.3)

Конечно, для неточечного вращающегося тела нельзя ввести понятие линейной скорости, поскольку у разных точек этого тела линейные скорости будут разными.

Очевидно, при вращательном движении тело всегда имеет ускорение. Действительно, согласно определению (2.1) ускорение тела равно нулю, если не меняется вектор скорости этого тела (т.е. как величина скорости, так и ее направление). При вращательном движении направление скорости обязательно меняется. Можно доказать, что при вращательном движении точечного тела с постоянной по величине линейной скоростью вектор его ускорения в любой момент направлен от тела к центру траектории тела, а его величина равна

(7.4)

Ускорение (7.3) принято называть центростремительным. Если использовать связь линейной и угловой скорости тела при вращательном движении (7.3), то формулу для центростремительного ускорения можно записать и в таких формах

(7.5)

Согласно второму закону Ньютона ускорения сообщаются телам силами. Поэтому если тело совершает движение по окружности радиуса с постоянной по величине скоростью (и соответственно угловой скоростью ), на него должна действовать сила, направленная к центру окружности и равная по величине

(7.6)

Силу (7.6) принято называть центростремительной. Отметим, что термин «центростремительная» связан не с природой этой силы, а с тем, как она действует: в разных ситуациях центростремительной силой может быть и сила тяжести, и сила трения, и сила реакции, и другие силы или их комбинации.

Перечисленных законов и определений достаточно для решения любых задач ЕГЭ на вращательное движение. Рассмотрим их применение к решению задач, приведенных в первой части.

Если период вращения тела задан, то его угловая скорость может быть однозначно определена независимо от размеров тела или радиуса орбиты для точечного тела. В частности, секундная стрелка любых часов поворачивается на угол за одну минуту (конечно, при условии, что они идут «правильно»). Поэтому угловая скорость секундных стрелок любых часов равна рад/мин (задача 7.1.1 – ответ 2).

Для нахождения линейной скорости конца секундной стрелки часов (задача 7.1.2) используем связь угловой и линейной скоростей (7.5). Имеем

(правильный ответ – 2).

Применяя определение угловой скорости к колесу (задача 7.1.3), получаем

(правильный ответ 1).

Из формулы (7.2) имеем

(задача 7.1.4 – правильный ответ 4).

Используя известное расстояние от первой точки до оси вращения и ее центростремительное ускорение (задача 7.1.5), из формулы (7.5) находим квадрат угловой скорости диска

А теперь по формуле (7.5) для второй точки получаем

(ответ 2).

Поскольку скорость автомобиля в задаче 7.1.6 не меняется в процессе движения для сравнения центростремительных ускорений автомобиля в разных точках траектории следует использовать формулу (7.4), из которой находим, что ускорение тем больше, чем меньше радиус траектории (правильный ответ – 3).

Ускорение мальчика из задачи 7.1.7 будет равно нулю, если его скорость относительно земли будет равна нулю. Поэтому при движении мальчика против движения карусели, его скорость относительно карусели равна скорости карусели относительно земли . Если мальчик пойдет в другую сторону с той же скоростью относительно карусели, его скорость относительно земли будет равна . Поэтому центростремительное ускорение мальчика будет равно

(ответ 4).

Тело, находящееся на поверхности вращающегося диска и вращающееся вместе с ним (задача 7.1.8), участвует в следующих взаимодействиях. Во-первых, тело притягивается к земле (сила тяжести), и на него действует поверхность диска (сила нормальной реакции и трения), причем сила трения в каждый момент времени направлена к оси вращения (см. рисунок). Действительно, в отсутствии силы трения тело либо будет оставаться на месте, а диск под ним будет вращаться, либо (если тело имеет скорость) слетит с поверхности диска. Именно сила трения «заставляет» тело вращаться вместе с диском. Поэтому сила трения служит в данной задаче цен-тростремительной силой. Остальные перечисления, данные в условии: «на тело действуют силы тяжести, трения, реакции опоры, центростремительная (или центробежная)» являются неправильными, поскольку в них смешиваются характеристики сил разных типов – первые три касаются природы взаимодействий, вторые – результат действия. Поэтому правильный ответ на вопрос задачи – 1. Кроме того, отметим, что центробежная сила возникает только в неинерциальных системах отсчета и в школьном курсе физики не рассматривается (поэтому лучше этим понятием вообще не пользоваться).

Поскольку тело в задаче 7.1.9 вращается с постоянной по величине скоростью по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, туда же направлена и результирующая сила, действующая на тело (ответ 2).

Применяя к данному в задаче 7.1.10 телу второй закон Ньютона и учитывая, что его ускорение равно м/с2, получим для равнодействующей =2 Н (ответ 2).

Используя формулу для центростремительного ускорения , находим отношение ускорений материальных точек из задачи 7.2.1

(ответ 1).

Для сравнения центростремительных ускорений материальных точек в задаче 7.2.2 удобно использовать формулу , поскольку в этой задаче одинаковы угловые скорости точек. Получаем

(ответ 3).

Для сравнения центростремительных ускорений тел в задаче 7.2.3 выразим ускорение через радиус окружности и период. Используя формулу (7.2) для периода и (7.5) для центростремительного ускорения, получим

(7.5)

Поэтому

(ответ 1).

Используя связь угловой и линейной скорости, находим скорости концов часовой и минутной стрелки (задача 7.2.4)

где и – угловые скорости часовой и минутной стрелки соответственно (в рад/час), и – длины часовой и минутной стрелок. Учитывая, что , получаем

(ответ 2).

Телу, вращающемуся вместе с диском на его горизонтальной поверхности (задача 7.2.5), центростремительное ускорение сообщается силой трения

Поэтому при увеличении угловой скорости вращения диска возрастает и сила трения между телом и диском. При некоторой угловой скорости сила трения достигнет максимально возможного для нее значения . Если еще увеличить угловую скорость диска, сила трения уже не сможет удержать тело на диске: тело начнет скользить по поверхности и слетит с поверхности диска. Поэтому значения угловой скорости, при которой тело может вращаться вместе с диском, находится из неравенства

(ответ 4).

В задаче 7.2.6 центростремительной силой является сила натяжения нити. Поэтому из второго закона Ньютона с учетом формулы (7.5) для центростремительного ускорения имеем

(ответ 3).

В задаче 7.2.7 нужно использовать второй закон Ньютона для каждого тела. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Проекция второго закона Ньютона для дальнего тела на координатную ось, направленную к центру диска, дает

(1)

На ближнее тело действуют силы натяжения и двух нитей (см. рисунок). Поэтому для него из второго закона Ньютона имеем

Подставляя в эту формулу силу из формулы (1), находим (ответ 2).

В задаче 7.2.8 необходимо использовать то обстоятельство, что угловая скорость всех точек стержня одинакова. Обозначая расстояния от оси вращения до концов стержня как и , имеем

где = 1 м/с и = 2 м/с – линейные скорости концов стержня, м – его длина. Решая эту систему уравнений, найдем расстояния и , а затем и угловую скорость стержня . В результате получим

(ответ 3).

Среднее ускорение тела за некоторый интервал времени (не обязательно малый) определяется по формуле (2.1):

где и – скорости тела в конце и начале интервала времени . За половину периода вектор скорости поворачивается на 180°, поэтому величина разности равна . Поэтому среднее ускорение тела за половину периода равно

(задача 7.2.9 – ответ 1).

Очевидно, при зубчатой передаче совпадают линейные скорости точек на ободе шестерней. Действительно, если бы эти скорости были разными, между поверхностями шестерней было бы проскальзывание, которому препятствуют зубцы шестерней (задача 7.2.10 – ответ 2).

Часто используемые уравнения - Гипертекст по физике

Часто используемые уравнения - Гипертекст по физике
  • обсуждение
  • сводка
  • практика
  • проблемы
  • ресурсов

Номер ссылки

механика теплофизика, волны и оптика, электричество и маджентизм, современная физика

Механика

уравнения движения
v = v 0 + при
с = с 0 + v 0 t + ½ при 2
v 2 = v 0 2 + 2 a ( с - с 0 )
v = ½ ( v + v 0 )
уравнения вращения
ω = ω 0 + α t
θ = θ 0 + ω 0 t + ½α t 2
ω 2 = ω 0 2 + 2α (θ - θ 0 )
ω = ½ (ω + ω 0 )
крутящий момент
τ = rF sin θ
τ = r × F

Теплофизика

c.o.p.
COP реальный = Q C
Q H - Q C
COP идеальный = T C
T H - T C

Волны и оптика

9002 4
эффект Доплера
f o = λ s = c ± v o
f s λ o c v s
f ∆λ v
f λ c

Электричество и магнетизм


Закон Фарадея
E · d s = - ∂Φ B
t
∇ × E = - B
t
закон ампер
9002 2
25 d с = μ 0 ε 0 ∂Φ E + μ 0 I
t
∇ × B = μ 0 ε 0 E + μ 0 J
t

Современная физика

релятивистская k.е.
K =

1 - 1

mc 2
√ (1 - v 2 / c 2 )
K = (γ - 1) mc 2
уравнение Шредингера
i Ψ ( r , t ) = - 2 2 Ψ ( r , t ) + U ( r ) Ψ ( r , t )
∂t 2 м
E ψ ( r ) = - 9007 8 2 2 ψ ( r ) + U ( r ) ψ ( r )
2 м
механический, термический физика, волны и оптика, электричество и магентизм, современная физика
  • обсуждение
  • сводка
  • практика
  • проблемы
  • ресурсов

Нет постоянных условий.

  1. Механика
    1. Кинематика
      1. Движение
      2. Расстояние и перемещение
      3. Скорость и скорость
      4. Разгон
      5. Уравнения движения
      6. Свободное падение
      7. Графики движения
      8. Кинематика и расчет
      9. Кинематика в двух измерениях
      10. Снарядов
      11. Параметрические уравнения
    2. Динамика I: Сила
      1. Силы
      2. Сила и масса
      3. Действие-реакция
      4. Масса
      5. Динамика
      6. Статика
      7. Трение
      8. Силы в двух измерениях
      9. Центростремительная сила
      10. Кадры справки
    3. Энергия
      1. Работа
      2. Энергия
      3. Кинетическая энергия
      4. Потенциальная энергия
      5. Сохранение энергии
      6. Мощность
      7. Простые машины
    4. Dynamics II: Импульс
      1. Импульс и импульс
      2. Сохранение импульса
      3. Импульс и энергия
      4. Импульс в двух измерениях
    5. Вращательное движение
      1. Кинематика вращения
      2. Инерция вращения
      3. Вращательная динамика
      4. Статика вращения
      5. Угловой момент
      6. Энергия вращения
      7. Прокатный
      8. Вращение в двух измерениях
      9. Сила Кориолиса
    6. Планетарное движение
      1. Геоцентризм
      2. Гелиоцентризм
      3. Вселенская гравитация
      4. Орбитальная механика I
      5. Гравитационная потенциальная энергия
      6. Орбитальная механика II
      7. Плотность вытянутых тел
    7. Периодическое движение
      1. Пружины
      2. Простой генератор гармоник
      3. Маятники
      4. Резонанс
      5. Эластичность
    8. Жидкости
      1. Плотность
      2. Давление
      3. Плавучесть
      4. Расход жидкости
      5. Вязкость
      6. Аэродинамическое сопротивление
      7. Режимы потока
  2. Теплофизика
    1. Тепло и температура
      1. Температура
      2. Тепловое расширение
      3. Атомная природа вещества
      4. Газовые законы
      5. Кинетико-молекулярная теория
      6. Фазы
    2. Калориметрия
      1. Явное тепло
      2. Скрытое тепло
      3. Химическая потенциальная энергия
    3. Теплопередача
      1. Проводимость
      2. Конвекция
      3. Радиация
    4. Термодинамика
      1. Тепло и работа
      2. Диаграммы давление-объем
      3. Двигатели
      4. Холодильники
      5. Энергия и энтропия
      6. Абсолютный ноль
  3. Волны и оптика
    1. Волновые явления
      1. Природа волн
      2. Периодические волны
      3. Интерференция и суперпозиция
      4. Интерфейсы и барьеры
    2. Звук
      1. Природа звука
      2. Интенсивность
      3. Эффект Доплера (звук)
      4. Ударные волны
      5. Дифракция и интерференция (звук)
      6. Стоячие волны
      7. ударов
      8. Музыка и шум
    3. Физическая оптика
      1. Природа света
      2. Поляризация
      3. Эффект Доплера (световой)
      4. Черенковское излучение
      5. Дифракция и интерференция (свет)
      6. Тонкопленочная интерференция
      7. Цвет
    4. Геометрическая оптика
      1. Отражение
      2. Преломление
      3. Зеркала сферические
      4. Сферические линзы
      5. Аберрация
  4. Электричество и магнетизм
    1. Электростатика
      1. Электрический заряд
      2. Закон Кулона
      3. Электрическое поле
      4. Электрический потенциал
      5. Закон Гаусса
      6. Проводников
    2. Электростатические приложения
      1. Конденсаторы
      2. Диэлектрики
      3. Батареи
    3. Электрический ток
      1. Электрический ток
      2. Электрическое сопротивление
      3. Электроэнергия
    4. цепей постоянного тока
      1. Резисторы в цепях
      2. Батареи в цепях
      3. Конденсаторы в цепях
      4. Правила Кирхгофа
    5. Магнитостатика
      1. Магнетизм
      2. Электромагнетизм
      3. Закон Ампера
      4. Электромагнитная сила
    6. Магнитодинамика
      1. Электромагнитная индукция
      2. Закон Фарадея
      3. Закон Ленца
      4. Индуктивность
    7. Цепи переменного тока
      1. Переменный ток
      2. RC цепи
      3. Цепи РЛ
      4. Цепи LC
    8. Электромагнитные волны
      1. Уравнения Максвелла
      2. Электромагнитные волны
      3. Электромагнитный спектр
  5. Современная физика
    1. Теория относительности
      1. Пространство-время
      2. Масса-энергия
      3. Общая теория относительности
    2. Quanta
      1. Излучение черного тела
      2. Фотоэффект
      3. Рентгеновские снимки
      4. Антиматерия
    3. Волновая механика
      1. Волны материи
      2. Атомарные модели
      3. Полупроводники
      4. Конденсированные вещества
    4. Ядерная физика
      1. Изотопы
      2. Радиоактивный распад
      3. Период полураспада
      4. Энергия связи
      5. Деление
      6. Fusion
      7. Нуклеосинтез
      8. Ядерное оружие
      9. Радиобиология
    5. Физика элементарных частиц
      1. Квантовая электродинамика
      2. Квантовая хромодинамика
      3. Квантовая динамика вкусов
      4. Стандартная модель
      5. Помимо стандартной модели
  6. Фонды
    1. шт.
      1. Международная система единиц
      2. Гауссова система единиц
      3. Британо-американская система единиц
      4. Разные единицы
      5. Время
      6. Преобразование единиц
    2. Измерение
      1. Значащие цифры
      2. По порядку величины
    3. Графики
      1. Графическое представление данных
      2. Линейная регрессия
      3. Подгонка кривой
      4. Исчисление
    4. Векторы
      1. Тригонометрия
      2. Сложение и вычитание векторов
      3. Векторное разрешение и компоненты
      4. Умножение векторов
    5. ссылку
      1. Специальные символы
      2. Часто используемые уравнения
      3. Физические константы
      4. Астрономические данные
      5. Периодическая таблица элементов
      6. Люди в физике
  7. Назад дело
    1. Предисловие
      1. Об этой книге
    2. Связаться с автором
      1. гленнелерт.нас
      2. Behance
      3. Instagram
      4. Твиттер
      5. YouTube
    3. Аффилированные сайты
      1. hypertextbook.com
      2. midwoodscience.org

Dynamics - The Physics Hypertextbook

Обсуждение

Почему существует эта страница?

Это не страница о каком-то фундаментальном принципе физики. Это страница о решении конкретной (и распространенной) проблемы механики.

Неформально динамика - это исследование сил и движения. Говоря более формально, динамика - это раздел механики, изучающий влияние сил на движение объектов. Напротив, статика - это изучение сил без движения; или, более формально, раздел механики, который имеет дело с силами при отсутствии изменений в движении. Динамика предполагает изменение. Статика предполагает неизменность. Важное изменение - это ускорение.

Цель этого раздела этой книги - служить хранилищем проблем в динамике.Ускорение в каждой задаче будет отличным от нуля в одном направлении. Это верно только для этого раздела. Идея состоит в том, чтобы увидеть, каково решать такие проблемы, чтобы вы могли распознать их, когда они появятся позже.

Увеличить

Аккуратная сила

Возьмите первый закон движения Ньютона и разделите его на две части. «Покоящийся объект имеет тенденцию оставаться в покое, а объект в движении имеет тенденцию продолжать движение с постоянной скоростью…». В этом длинном главном предложении живет статика.«Если только на это не действует чистая внешняя сила». В этом коротком придаточном предложении мы находим динамику.

Слово «чистая» во фразе чистая сила означает общую, комбинированную или общую. Это то, что вы получаете, когда все обдумываете. Слово «сеть» связано со словом «аккуратный». Поиск чистой стоимости - это что-то вроде уборки математического беспорядка (или, по крайней мере, уменьшения беспорядка). Это может быть записано как ∑ F (с использованием греческой буквы сигма для обозначения суммы и жирным шрифтом, чтобы указать, что силы являются векторами) или как F net (используя индексированное слово net, чтобы сделать символ более похожим на разговорный язык и курсив, чтобы указать, что знание величины силы часто имеет значение) или другие подобные варианты.

Сила - это векторная величина, что означает, что направление имеет значение. Используйте положительные значения для сил, которые указывают в предпочтительном направлении, и отрицательные значения для сил, которые направлены в противоположном направлении. Если проблема двумерная, выберите два предпочтительных направления под прямым углом - что-то вроде вверх и вправо. Выбирайте предпочтительные направления, которые облегчат вашу жизнь. Законы физики не заботятся о том, называете ли вы правое положительное или левое положительным. Пространство в математическом смысле изотропно .Он измеряет одинаково во всех направлениях.

Второй закон движения Ньютона описывает, как связаны чистая сила, масса и ускорение. По сути, чистая сила вызывает ускорение, а масса ему сопротивляется. Лучше всего писать не словами, а символами. Примерно так…

F = м a или F нетто = ма

Теперь вы готовы начать следующий этап обучения.

Например

Возьмем беспрецедентный пример обычного велосипеда, который безупречно крутили педалями по ничем не примечательной ровной и ровной дороге. Какие силы действуют на велосипед и гонщика (вместе в целом)?

Начните с очевидного. Все имеет вес и вес указывает вниз. Велосипед стоит на твердой поверхности, поэтому нормальная сила направлена ​​перпендикулярно этой поверхности. Поверхность ровная, нормальное направление - вверх.Всадник крутит педали. Это означает, что есть какая-то сила, толкающая велосипед вперед. Я не хочу чрезмерно анализировать ситуацию, поэтому давайте просто назовем эту силу push . Даже правильно накачанные шины сопротивляются качению, ось может нуждаться в смазке, а может и не нуждаться в смазке, и воздух определенно затягивает движущееся тело. Давайте упростим жизнь и назовем все эти силы трением . Гонщик толкает велосипед вперед, а трение толкает назад.

Мы готовы сделать свободную схему тела.Нарисуйте рамку, изображающую велосипед и всадника. Нарисуйте четыре стрелки, выходящие из центра прямоугольника, чтобы обозначить четыре силы, действующие на велосипед и гонщика. Хотя это не всегда необходимо, следует попытаться нарисовать стрелки, длина которых соответствует относительным величинам сил. Длинные стрелки для сильных сил. Короткие для слабых.

Начните с легкой пары - веса и нормальной. В этом сценарии ничего не происходит в вертикальном направлении. Дорога ровная, и гонщик не выполняет трюков.Вес и нормальный вес уравновешивают друг друга. Нарисуйте одну стрелку вниз, а другую вверх и придайте им одинаковую длину.

Завершите работу несколько менее легкой парой - толчком и трением. Что-то - это , происходящее в горизонтальном направлении. Движение происходит в горизонтальном направлении. Велосипед куда-то едет. Это должно быть для чего-то полезно. Разве не должно?

Извините, но нет. Движение не имеет значения. Изменение движения - вот что важно. Велосипед ускоряется или движется с постоянной скоростью? Ускорение делает ситуацию динамичной.Отсутствие ускорения делает его статичным. Направление чистой силы определяет ускорение. Сила, направленная в направлении чистой силы, будет более сильной из двух.

Если велосипед ускоряется, значит, гонщик толкает велосипед вперед больше, чем трение толкает его назад. Если велосипед движется с постоянной скоростью, толчок и трение равны. Если велосипед замедляется, сила трения побеждает силу, толкающую велосипед вперед.

Вот несколько рисунков, которые показывают то, что я только что сказал.

Вот набор уравнений, которые показывают то, что я только что сказал. Мне нравится использовать «вверх» и «вправо» в качестве положительных направлений, но это не закон физики. Это просто предпочтение.

вертикально
F y = 0
Н - Вт = 0
N = Вт
горизонтально
F x = мА
P - f = мА
ускорение
п. > f
а > 0
постоянная скорость
п. = f
а = 0
замедление
п. < f
а <0

Идите и решайте проблемы.

Перевернутые (деформированные) координаты

два тела, соединенные струной

Кинематика вращательного движения | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Соблюдайте кинематику вращательного движения.
  • Составьте кинематические уравнения вращения.
  • Оценить стратегии решения проблем для вращательной кинематики.

Просто используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как вращательные величины, такие как θ , ω и α , связаны друг с другом.Например, если колесо мотоцикла имеет большое угловое ускорение в течение довольно длительного времени, оно быстро вращается и совершает много оборотов. С технической точки зрения, если угловое ускорение α колеса велико в течение длительного периода времени t , то конечная угловая скорость ω и угол поворота θ будут большими. Вращательное движение колеса в точности аналогично тому, что большое поступательное ускорение мотоцикла дает большую конечную скорость, и пройденное расстояние также будет большим.

Кинематика - это описание движения. Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем. Начнем с поиска уравнения, связывающего ω , α и t . Чтобы определить это уравнение, вспомним знакомое кинематическое уравнение поступательного или прямолинейного движения:

[латекс] v = {v} _ {0} + {at} \\ [/ latex] (константа a )

Обратите внимание, что во вращательном движении a = a t , и с этого момента мы будем использовать символ a для тангенциального или линейного ускорения.Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что a является постоянным, что означает, что угловое ускорение α также является постоянным, потому что a = . Теперь давайте подставим v = и a = в приведенное выше линейное уравнение:

= 0 + крыс.

Радиус r сокращается в уравнении, давая

ω = ω 0 + ат. (константа a )

где ω 0 - начальная угловая скорость. Это последнее уравнение представляет собой кинематическое соотношение между ω , α и t , то есть оно описывает их соотношение без ссылки на силы или массы, которые могут влиять на вращение. Он также точно аналогичен по форме своему трансляционному аналогу.

Выполнение подключений Кинематика вращательного движения полностью аналогична поступательной кинематике, впервые представленной в «Одномерной кинематике».Кинематика занимается описанием движения без учета силы или массы. Мы обнаружим, что поступательные кинематические величины, такие как смещение, скорость и ускорение, имеют прямые аналоги во вращательном движении.

Исходя из четырех кинематических уравнений, которые мы разработали в Одномерной кинематике, мы можем вывести следующие четыре кинематических уравнения вращения (представленные вместе с их аналогами для поступательного движения):

Таблица 1. Кинематические уравнения вращения
Вращающийся Трансляционный
[латекс] \ theta = \ bar {\ omega} t \\ [/ latex] [латекс] x = \ bar {v} t \\ [/ latex]
ω = ω 0 + αt v = v o + at (постоянная α , a )
[латекс] \ theta = {\ omega} _ {0} t + \ frac {1} {2} {\ alpha t} ^ {2} \\ [/ latex] [латекс] x = {v} _ {0} t + \ frac {1} {2} {\ text {at}} ^ {2} \\ [/ latex] (постоянная α , a )
ω 2 = ω 0 2 + 2 α θ v 2 = v o 2 + 2ax (постоянная α , a )

В этих уравнениях индекс 0 обозначает начальные значения ( θ 0 , x 0 и t 0 - начальные значения) и среднюю угловую скорость [латекс] \ bar {\ omega} \\ [/ latex] и средняя скорость [latex] \ bar {v} \\ [/ latex] определяются следующим образом:

[латекс] \ bar {\ omega} = \ frac {{\ omega} _ {0} + \ omega} {2} \ text {и} \ overline {v} = \ frac {{v} _ {0} + v} {2} \\ [/ латекс].

Уравнения, приведенные выше в таблице 1, можно использовать для решения любой задачи вращательной или поступательной кинематики, в которой a и α постоянны.

Стратегия решения проблем для вращательной кинематики
  1. Изучите ситуацию, чтобы определить, задействована ли кинематика вращения (вращательное движение) . Должно быть задействовано вращение, но без учета сил или масс, влияющих на движение.
  2. Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные) .Набросок ситуации полезен.
  3. Составьте список того, что дано или может быть выведено из указанной проблемы (укажите известные) .
  4. Решите соответствующее уравнение или уравнения для определяемой величины (неизвестное значение) . Может быть полезно думать в терминах трансляционного аналога, потому что теперь вы знакомы с таким движением.
  5. Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численные решения вместе с единицами измерения .Обязательно используйте радианы для углов.
  6. Проверьте свой ответ, чтобы узнать, разумен ли он: Имеет ли смысл ваш ответ ?

Пример 1. Расчет ускорения рыболовной катушки

Глубоководный рыбак ловит большую рыбу, которая отплывает от лодки, вытаскивая леску из своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в состоянии покоя, а леска разматывается с катушки на радиусе 4,50 см от ее оси вращения. Катушке дается угловое ускорение 110 рад / с 2 для 2.00 с, как показано на рисунке 1. (a) Какова конечная угловая скорость барабана? (b) С какой скоростью леска покидает катушку по прошествии 2,00 с? (c) Сколько оборотов делает катушка? (d) Сколько метров лески сошло с катушки за это время?

Стратегия

В каждой части этого примера стратегия такая же, как и для решения задач линейной кинематики. В частности, идентифицируются известные значения, и затем ищется взаимосвязь, которая может использоваться для решения неизвестного.

Решение для (a)

Здесь даны α и t , и необходимо определить ω . Наиболее простое уравнение для использования - ω = ω 0 + αt , потому что неизвестное уже находится на одной стороне, а все остальные члены известны. Это уравнение утверждает, что

ω = ω 0 + αt .

Нам также дано, что ω 0 = 0 (начинается с состояния покоя), так что

ω = 0 + (110 рад / с 2 ) (2.00 с) = 220 рад / с

Решение для (b)

Теперь, когда известно ω , скорость v проще всего найти, используя соотношение

v = ,

, где радиус r катушки задан равным 4,50 см; таким образом,

v = (0,0450 м) (220 рад / с) = 9,90 м / с.

Еще раз обратите внимание, что радианы всегда должны использоваться в любых вычислениях, касающихся линейных и угловых величин.{2} = \ text {220 рад}. \ End {array} \\ [/ latex]

Преобразование радианов в обороты дает

[латекс] \ theta = (220 \ text {rad}) \ frac {1 \ text {rev}} {2 \ pi \ text {rad}} = 35.0 \ text {rev} \\ [/ latex]

Решение для (d)

Количество метров лески x , которое может быть получено через ее соотношение с θ:

x = = (0,0450 м) (220 рад) = 9,90 м.

Обсуждение

Этот пример показывает, что отношения между вращательными величинами очень похожи на отношения между линейными величинами.Мы также видим в этом примере, как связаны линейные и вращательные величины. Ответы на вопросы реалистичны. После раскручивания в течение двух секунд катушка вращается со скоростью 220 рад / с, что составляет 2100 об / мин. (Неудивительно, что барабаны иногда издают высокие звуки.) Длина разыгранной лески составляет 9,90 м, что примерно соответствует тому моменту, когда клюет большая рыба.

Рис. 1. Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно. В примерах 10.3 и 10.4 рассматриваются отношения между вращательными и линейными величинами, связанными с рыболовной катушкой.

Пример 2. Расчет продолжительности, когда рыболовная катушка замедляется и останавливается

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если рыбак затормозит вращающуюся катушку, получив угловое ускорение -300 рад / с 2 . Как долго катушка останавливается?

Стратегия

Нас просят найти время t , за которое барабан остановится. Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка.Теперь мы видим, что начальная угловая скорость равна ω 0 = 220 рад / с, а конечная угловая скорость ω равна нулю. Угловое ускорение равно α = -300 рад / с 2 . Изучая доступные уравнения, мы видим все величины, но t известны в ω = ω 0 + αt , что упрощает использование этого уравнения.

Решение

Уравнение утверждает

ω = ω 0 + αt .{2}} = 0 \ text {.} \ Text {733 s} \\ [/ latex].

Обсуждение

Обратите внимание, что следует проявлять осторожность со знаками, указывающими направление различных величин. Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда ломается из-за участвующих в ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе плавать некоторое время, прежде чем затормозить катушку. Уставшая рыба будет медленнее, требуя меньшего ускорения.

Пример 3. Расчет медленного ускорения поездов и их колес

Большие грузовые поезда очень медленно ускоряются. Предположим, что один такой поезд ускоряется из состояния покоя, придавая своим колесам радиусом 0,350 м угловое ускорение 0,250 рад / с 2 . После того, как колеса совершат 200 оборотов (предположим, что проскальзывания нет): а) Как далеко поезд продвинулся по рельсам? б) Какова конечная угловая скорость колес и линейная скорость поезда?

Стратегия

В части (а) нас просят найти x , а в (b) нас просят найти ω и v .Нам даны число оборотов θ , радиус колес r и угловое ускорение α .

Решение для (a)

Расстояние x очень легко найти из соотношения между расстоянием и углом поворота:

[латекс] \ theta = \ frac {x} {r} \\ [/ latex].

Решение этого уравнения для x дает

x = rθ.

Прежде чем использовать это уравнение, мы должны преобразовать количество оборотов в радианы, потому что мы имеем дело с соотношением между линейными и вращательными величинами:

[латекс] \ theta = \ left (\ text {200} \ text {rev} \ right) \ frac {2 \ pi \ text {rad}} {\ text {1 rev}} = \ text {1257} \ текст {рад} \\ [/ латекс].{1/2} \\ & = & \ text {25,1 рад / с.} \ End {array} \\ [/ latex]

Мы можем найти линейную скорость поезда, v , через ее отношение к ω :

v = = (0,350 м) (25,1 рад / с) = 8,77 м / с.

Обсуждение

Пройденное расстояние довольно велико, а конечная скорость довольно мала (чуть менее 32 км / ч).

Существует поступательное движение даже для чего-то, вращающегося на месте, как показано в следующем примере.На рис. 2 изображена муха на краю вращающейся пластины микроволновой печи. В приведенном ниже примере вычисляется общее пройденное расстояние.

Рис. 2. На изображении показана микроволновая пластина. Муха совершает обороты, пока еда разогревается (вместе с мухой).

Пример 4. Расчет расстояния, пройденного мухой на краю плиты микроволновой печи

Человек решает использовать микроволновую печь, чтобы разогреть обед. При этом муха случайно влетает в микроволновку, приземляется на внешний край вращающейся пластины и остается там.Если тарелка имеет радиус 0,15 м и вращается со скоростью 6,0 об / мин, рассчитайте общее расстояние, пройденное мухой за 2,0-минутный период приготовления. (Игнорируйте время запуска и замедления.)

Стратегия

Сначала найдите общее количество оборотов θ , а затем пройденное линейное расстояние x . [latex] \ theta = \ bar {\ omega} t \\ [/ latex] можно использовать, чтобы найти θ потому что [latex] \ bar {\ omega} \\ [/ latex] задано равным 6,0 об / мин.

Решение

Ввод известных значений в [latex] \ theta = \ bar {\ omega} t \\ [/ latex] дает

[латекс] \ theta = \ bar {\ omega} t = \ left (\ text {6.0 об / мин} \ right) \ left (\ text {2.0 min} \ right) = \ text {12 rev} \\ [/ latex].

Как всегда, необходимо преобразовать обороты в радианы перед вычислением линейной величины, такой как x , из угловой величины, такой как θ :

[латекс] \ theta = \ left (\ text {12 rev} \ right) \ left (\ frac {2 \ pi \ text {rad}} {\ text {1 rev}} \ right) = 75,4 \ text { рад} \\ [/ латекс].

Теперь, используя соотношение между x и θ , мы можем определить пройденное расстояние:

x = = (0.15 м) (75,4 рад) = 11 м.

Обсуждение

Довольно поездка (если выживет)! Обратите внимание, что это расстояние - это полное расстояние, пройденное мухой. Смещение фактически равно нулю для полных оборотов, потому что они возвращают муху в исходное положение. Различие между общим пройденным расстоянием и перемещением было впервые отмечено в «Одномерной кинематике».

Проверьте свое понимание

Вращательная кинематика имеет множество полезных взаимосвязей, часто выражаемых в форме уравнений.Являются ли эти отношения законами физики или они просто описательны? (Подсказка: тот же вопрос относится к линейной кинематике.)

Решение

Вращательная кинематика (как и линейная кинематика) носит описательный характер и не отражает законы природы. С помощью кинематики мы можем описать многие вещи с большой точностью, но кинематика не учитывает причины. Например, большое угловое ускорение описывает очень быстрое изменение угловой скорости без учета его причины.

Сводка раздела

Задачи и упражнения

1. С помощью струны гироскоп из состояния покоя разгоняется до 32 рад / с за 0,40 с. а) Каково его угловое ускорение в рад / с 2 ? б) Сколько революций происходит в процессе?

2. Допустим, на компакт-диске оказался кусок пыли. Если скорость вращения компакт-диска составляет 500 об / мин, а пылинка находится на расстоянии 4,3 см от центра, какое общее расстояние проходит пыль за 3 минуты? (Игнорируйте ускорения из-за вращения компакт-диска.)

3. Гироскоп замедляется от начальной скорости 32,0 рад / с до 0,700 рад / с 2 . а) Сколько времени нужно, чтобы успокоиться? б) Сколько оборотов он делает до остановки?

4. При очень быстрой остановке автомобиль замедляется со скоростью 700 м / с 2 .

(a) Каково угловое ускорение его шин радиусом 0,280 м, если предположить, что они не скользят по тротуару?
(b) Сколько оборотов делают шины перед остановкой, если их начальная угловая скорость равна 95.0 рад / с?
(c) Сколько времени нужно автомобилю, чтобы полностью остановиться?
(d) Какое расстояние машина проезжает за это время?
(e) Какова была начальная скорость автомобиля?
(f) Кажутся ли полученные значения разумными, учитывая, что эта остановка происходит очень быстро?

Рис. 3. Йо-йо - это забавные игрушки, которые демонстрируют значительную физику и созданы для повышения производительности на основе физических законов. (Источник: Beyond Neon, Flickr)

5. Повседневное применение: Предположим, у йо-йо есть центральный вал с цифрой 0.Радиусом 250 см и натянута струна.

(a) Если струна неподвижна и йо-йо ускоряется от нее со скоростью 1,50 м / с 2 , каково угловое ускорение йо-йо?
(b) Какова угловая скорость через 0,750 с, если она начинается из состояния покоя?
(c) Внешний радиус йо-йо составляет 3,50 см. Каково тангенциальное ускорение точки на краю?

Глоссарий

кинематика вращательного движения:
описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем.

Избранные решения проблем и упражнения

1.{2} \\ [/ latex] (b) 1.0 изм.

3. (а) 45,7 с (б) 116 об.

5. (а) 600 рад / с 2 (б) 450 рад / с (в) 21,0 м / с

Моделирование динамики транспортного средства - уравнения движения квадрокоптера

В этом посте мы увидим, как мы можем описать движение квадрокоптера - или любого другого транспортного средства - как систему дифференциальных уравнений.

Этот пост является вторым в серии, посвященной моделированию и симуляции динамики квадрокоптера. Полная серия будет включать все следующие сообщения:

  1. Моделирование динамики транспортного средства - углы Эйлера
  2. Моделирование динамики транспортного средства - уравнения движения квадрокоптера
  3. Моделирование динамики транспортного средства - Нелинейное моделирование 6DOF

Содержание этого поста будет основано на концепциях множественных систем отсчета и углов Эйлера.Если вы не знакомы с ними, возможно, вы захотите прочитать первую публикацию из этой серии.

Прежде чем вдаваться в подробности об уравнениях движения, мы должны определить, что мы пытаемся описать. Мы должны ответить на два вопроса:

Какие переменные необходимы для описания движения?

В первом посте мы уже обсуждали концепцию 6 степеней свободы (6DOF), где мы хотим знать трехмерное положение в дополнение к трехмерной ориентации транспортного средства.Но чтобы описать движение тела, мы действительно хотим знать, как они меняются с течением времени.

Следовательно, нам потребуются переменные, которые представляют как линейную, так и угловую скорость транспортного средства. Линейная скорость в раме кузова транспортного средства определяется как:

Угловая скорость вращающейся системы отсчета, закрепленной на теле, определяется как:

Нам также необходимо знать силы, влияющие на движение автомобиля. Мы снова определяем это как для линейной поступательной силы, так и для углового момента:

Наконец, некоторые влияния могут быть в инерциальной системе отсчета (например, гравитация), в то время как некоторые могут быть связаны с телом (например, движущей силой транспортного средства).Следовательно, углы Эйлера также необходимо отслеживать для преобразования между инерциальной системой отсчета и системой отсчета тела.

Какие дополнительные переменные полезны?

Указанных выше переменных достаточно для описания всей динамики квадрокоптера, однако они не определяют фактическое положение транспортного средства в пространстве. Это связано с тем, что динамика в одном месте должна быть такой же, как и в любом другом месте (вещи, которые меняются в зависимости от местоположения, такие как аэродинамика и гравитация, мы будем считать постоянными и вводим уравнения только через переменные силы и момента).

Это желательно, поскольку мы ожидаем, что квадрокоптер будет вести себя одинаково независимо от того, откуда он стартует. Но учитывая начальную точку, уравнения движения позволят нам распространить это начальное положение вперед во времени к новому положению, если мы знаем все переменные «состояния», определенные выше.

С учетом сказанного, иногда полезно включать дополнительные переменные состояния для наблюдения. Для навигации или планирования движения, как правило, необходимо отслеживать инерциальное положение, а также его изменения с течением времени.Поэтому мы определим еще три переменные для положения в инерциальной системе отсчета:

Я буду рассматривать эти навигационные координаты как в модели Плоской Земли, где предполагается, что координаты представляют собой прямолинейную сетку. Однако можно расширить эти уравнения до сферической системы координат, чтобы выразить положение по широте и долготе и даже учесть вращение Земли.

Условные обозначения

Все уравнения динамики будут использовать правую систему координат.В системе управления полетом компонент X должен быть выровнен по прямому направлению движения транспортного средства. Предполагается, что прямое направление имеет направление 0 градусов, когда оно совмещено с севером в инерциальной системе отсчета. Это приводит к несколько странному соглашению о том, что [ X , Y , Z ] является системой отсчета [Север, Восток, Вниз ], чтобы сохранить праворукость.

Однако для навигации имеет смысл определять высоту как положительную в направлении вверх.Следовательно, наш навигационный фрейм, который мы будем обозначать буквой (E) для Земли, по отношению к инерциальному (n) фрейму будет иметь условное обозначение:

При разработке этих выражений необходимо иметь в виду одну вещь: в какой системе отсчета выражаются переменные и по отношению к какой системе отсчета они меняются? При желании см. Ссылку [2] для более подробного объяснения.

Инерционное движение, выраженное в компонентах корпуса

Движение, которое мы хотим классифицировать как по смещению, так и по вращению, относится к инерциальной системе отсчета (например.грамм. земля). Фактически, мы предполагаем твердое тело, что означает, что не может быть движения по отношению к корпусу тела. Рама кузова прикреплена к транспортному средству, и любое движение транспортного средства относительно этой исходной точки будет означать гибкий изгиб или перемещение компонентов транспортного средства.

Рама кузова полезна, потому что к ней прикреплены наши автомобильные датчики, а также наша движущая сила (пропеллеры). Следовательно, выведенные нами уравнения движения будут инерционным движением (изменение положения и ориентации относительно земли), но выражаться в системе координат осей нашего тела.

Однако, как только мы выведем окончательную систему уравнений, вы должны заметить, что инерциальное положение не является необходимым для этих уравнений динамики. Уравнения движения представляют только изменение этих значений с точки зрения транспортного средства. В этом смысле они очень полезны, поскольку их можно применять для определения будущего движения транспортного средства из любой инерциальной отправной точки.

Синхронный перевод и вращение - правило цепочки

Теперь, когда мы установили, что хотим представить инерционное движение в системе координат транспортного средства, мы должны понять, что это означает математически.При выводе уравнений движения мы захотим взять производную векторов, которые выражаются в системе отсчета тела. Используя правила исчисления, мы должны использовать цепное правило вывода для учета как изменения, вызванного производной вектора в системе координат по времени, так и производной по времени вращения системы координат. Позвольте мне показать это с помощью скалярного выражения временной дифференциации вектора скорости, фиксированного телом:

Компоненты в первом наборе круглых скобок представляют изменение инерционной скорости в системе координат корпуса.Компоненты во втором наборе круглых скобок представляют собой воспринимаемое изменение скорости из-за вращения системы координат. Мы можем переписать это уравнение как теорему Кориолиса, где вращение системы отсчета представлено угловой скоростью, пересекаемой с вектором скорости:

Перекрестное произведение можно переписать как кососимметричную матрицу перекрестного произведения, предварительно умножив вектор скорости.

Мы вернемся к этой формуле, когда посмотрим на ускорение.

[Для более подробного обсуждения теоремы Кориолиса щелкните здесь]

Мы начнем со 2-го закона Ньютона, который обычно обозначают как сила, равная изменению количества движения, или для систем с постоянной массой сила равна массе, умноженной на ускорение - производная скорости:

Это уравнение определяет изменение количества движения, однако мы также можем выразить аналог вращения. Пересекая обе части уравнения с вектором положения из некоторого начала, мы получаем закон вращения вокруг начала координат.Мы можем упростить уравнение до момента, равного изменению углового момента, или, для систем с постоянным распределением масс, момент равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение - производную угловой скорости.

Мы будем использовать как линейную, так и вращательную формы этого закона, чтобы вывести полные уравнения движения транспортного средства. Но сначала отметьте, в какой системе отсчета мы будем работать.

Мы будем выводить уравнения для сдвига и вращения по отдельности, но рассмотрение уравнений рядом может помочь проиллюстрировать сходство между ними.


Перевод

Инерционная скорость в системе координат, связанной с телом, будет выражена как:

Используя цепное правило для вращающейся рамы тела, закон движения принимает следующий вид:


Внешние силы и моменты

Чтобы начать формулировать уравнения движения, левая часть 2-го закона Ньютона требует наличия всех сил, действующих на тело. Для квадрокоптера это сводится к нашей силовой установке (тяге, создаваемой пропеллерами) и гравитации.

Тяга гребного винта

В этом посте мы не будем вдаваться в динамику пропеллера, а просто предположим, что каждый из четырех пропеллеров квадрокоптера обеспечивает силу тяги, перпендикулярную винту, и крутящий момент относительно центра тяжести транспортного средства.

Сила тяги для каждого из 4 гребных винтов представлена ​​в виде. И все выровнены параллельно вертикальной оси квадрокоптера.

Тогда вектор силы в системе координат рамы тела может быть представлен как:

Обратите внимание, что, поскольку наша конструкция рамы корпуса имеет положительное значение в направлении вниз на , тяга от гребных винтов является отрицательной.

Моменты представлены компонентами L, M, N для вращений вокруг осей соответственно. Поскольку момент измеряется как сила, умноженная на расстояние, нам понадобятся расстояния двигателя от центра тяжести, как показано на изображении выше. Для тангажа и крена половина двигателей обеспечивает положительный момент, а другая половина - отрицательный, в зависимости от того, на какой стороне оси они расположены.

Для рыскания квадрокоптер использует четыре вращающихся винта.Половина пропеллеров установлена ​​для вращения по часовой стрелке (№ 3 и № 4), а другая половина - против часовой стрелки (№ 1 и № 2). Каждый пропеллер, когда он толкает воздух, также прикладывает крутящий момент к центру квадрокоптера в направлении его вращения в зависимости от его тяги, радиуса пропеллера и расстояния от центра тяжести. Мы определим этот крутящий момент как функцию и можем выразить момент рыскания транспортного средства как:

Сила тяжести в координатах тела

Гравитация всегда действует по направлению к центру Земли и выражается в инерциальной системе отсчета как:

Где g = 9.81 м / с 2 , гравитационная постоянная. Помните, что наша инерциальная координата z направлена ​​вниз, поэтому сила тяжести - это положительное ускорение.

Но все остальные наши силы определяются в раме автомобиля. Чтобы включить гравитацию в наши уравнения движения, мы также должны преобразовать ее в компоненты каркаса тела. Используя нашу матрицу преобразования угла Эйлера из инерциальной системы координат в систему координат тела, это просто:

Масса и момент инерции

Момент инерции - это вращательный аналог массы или «угловой массы».«Масса объекта сообщит вам, сколько силы потребуется, чтобы ускорить неподвижный объект или остановить движущийся (свойство инерции). Момент инерции аналогичным образом описывает, насколько большой момент требуется, чтобы повернуть неподвижный объект или остановить его вращение вокруг оси. Поскольку инерция вращения зависит от оси, вокруг которой она вращается, это свойство представлено матрицей для нашего трехмерного мира.

Момент инерции определяется в физике для скаляров как:

Матрица моментов инерции (I)

Более общее представление, в котором масса интегрирована по всему телу объекта:

Чтобы представить это в матричной форме, мы предположим, что это некоторая координата с компонентами относительно начала координат системы отсчета.Затем, используя матрицу перекрестных произведений, мы можем оценить:

Давайте попробуем понять физический смысл этих математических выражений. Диагональные члены этой матрицы называются моментами инерции. Недиагональные члены называются продуктами инерции.

Если вместо непрерывного тела массы мы представим тело как совокупность точечных масс, то мы можем переписать как сумму всех материальных точек:

Это означает, что каждая точка массы тела умножается на квадрат ее расстояния от оси x - точно так же, как в скалярной форме I = mr 2 .Таким образом, чем дальше масса от оси, тем больше угловая инерция относительно этой оси.

Симметрия

Продукты инерции можно рассматривать как перекрестную связь инерций различных осей друг с другом. Но если транспортное средство симметрично относительно оси, тогда мы увидим, что некоторые из произведений инерции будут равны нулю, и упростим наши уравнения!

Если мы снова представим их в дискретной форме, произведение инерции будет суммой всех материальных точек:

С моментами инерции расстояние от оси возводится в квадрат, и поэтому всегда дает положительное значение.Однако здесь мы можем иметь как положительные, так и отрицательные значения, поскольку расстояния и находятся от центра транспортного средства.

Если транспортное средство симметрично относительно оси, это будет означать, что вся масса одной стороны равна массе другой стороны и все на одинаковом расстоянии. Например, если распределение массы транспортного средства симметрично относительно оси x, то сумма точек масс в отрицательном направлении равна сумме точек масс в положительном направлении, а положительное и отрицательное расстояния по оси x взаимно компенсируются.

Если квадрокоптер сконструирован таким образом, что он симметричен относительно осей x и y, то матрица инерции будет иметь вид:

Разгон

Последний компонент, который мы должны выразить, чтобы завершить наши уравнения движения, - это ускорение. Поскольку ускорение является производной скорости по времени, мы будем представлять ускорение как производную наших определенных членов инерционной скорости для линейного и вращательного движения.

Линейное ускорение

Мы уже узнали, что мы должны использовать теорему Кориолиса для представления инерционной производной скорости в системе отсчета вращающегося тела.И мы пришли к формуле:

Если мы введем нашу номенклатуру для и, мы получим:

Поступательное движение

Теперь мы получили представления для всех компонентов силы, массы и ускорения нашей системы при перемещении. Включение их в формулу Ньютона дает нам первую систему уравнений движения.

Угловое ускорение и вращательное движение

Мы следуем аналогичной процедуре, чтобы найти угловое ускорение и закон вращения.Снова используя теорему Кориолиса для производной угловой скорости по времени, мы можем вычислить формулу вращательного движения следующим образом:

Но если мы предположим, что наш квадрокоптер симметричен относительно осей x и y корпуса, то все произведения инерции будут равны нулю, и это станет:

Дополнительные преобразования кадра координат

Угловая скорость в зависимости от угловой скорости Эйлера

Теперь у нас есть уравнение того, как угловая скорость изменяется во времени.Это значения, которые датчик гироскопа будет измерять на борту квадрокоптера. Одно предостережение заключается в том, что угловая скорость относительно неподвижной рамы не совпадает со скоростью изменения углов Эйлера.

Это связано с тем, что углы Эйлера представляют собой последовательность поворотов, каждый в своей собственной промежуточной системе отсчета, тогда как угловая скорость - это мгновенная угловая скорость относительно каждой из осей, закрепленных на теле. Мы можем использовать преобразования координат, чтобы выразить угловую скорость как функцию производных угла Эйлера, преобразовав их все в систему отсчета тела.

Чтобы прояснить это, я обозначил промежуточные системы отсчета в приведенной ниже последовательности вращений Эйлера буквами b ”и b’. Итак, если мы хотим знать, как будет представлено в кадре тела (b), мы должны преобразовать его из его промежуточного кадра. Здесь мы видим скорость вращения вокруг единичного вектора в кадре b ”, поэтому мы будем называть его. Однако в последнем кадре с фиксированным телом, b, этот единичный вектор был повернут на второй и третий углы Эйлера в последовательности.

Следовательно, скорости вращения, измеренные в фиксированной к телу системе отсчета из-за скорости изменения первого угла Эйлера, будут равны вращению, преобразованному вращениями и.(Поскольку его угол поворота также параллелен инерциальной оси, вы можете получить тот же ответ, умножив его на все три угла поворота Эйлера с преобразованием инерциальных координат тела, полученным в Моделирование динамики транспортного средства - Углы Эйлера).

Второе вращение Эйлера обрабатывается аналогично и не требует вращения, поскольку единичный вектор, вокруг которого он вращается, является единичным вектором в системе отсчета тела, b.

Последовательность вращений угла Эйлера (тело 3-2-1) от инерциальной системы отсчета к неподвижной системе отсчета с промежуточными системами отсчета b ”и b '

Взаимосвязь между измеренными скоростями гироскопа и скоростями угла Эйлера может быть выражена в скалярной форме, умноженной на единичные векторы как:

Однако, если мы выразим это в матричной форме, мы можем воспользоваться преимуществами наших матриц вращения для обработки разрозненных опорных кадров:

Чтобы упростить чтение и уместить на странице, я собираюсь использовать сокращение для тригонометрических функций: и.Вышеприведенное выражение можно упростить, перемножив матрицы.

Итак, наконец, мы приходим к системе уравнений:

Эти уравнения также можно переписать для производных углов Эйлера:

Координаты навигации

Чтобы определить движение транспортного средства в нашей системе координат навигации, мы просто преобразуем состояния скорости в системе координат нашего тела с помощью нашей матрицы преобразования угла Эйлера.Также мы определяем нашу переменную высоты h как отрицательное значение для нашего инерциального фрейма North-East-Down, чтобы получить навигационный фрейм North-East-Up. Итак, ниже я произвел замену.

Уравнения движения квадрокоптера

Наконец, мы собрали все части, чтобы полностью описать движение квадрокоптера. Собирая все уравнения в один набор и переставляя их, получаем:

где

и положительный в направлении вверх.

Вверх следующий

Приведенная выше система уравнений описывает движение квадрокоптера как набор нелинейных дифференциальных уравнений. По-прежнему необходимы модели для функций силы и крутящего момента гребного винта, а также значения, включенные в переменные массы и момента инерции. Но простых оценок и приближений было бы достаточно, чтобы приступить к моделированию динамики транспортного средства.

В следующем посте мы рассмотрим, как мы можем запрограммировать моделирование, которое может решить для временной истории этого движения путем численного интегрирования этих уравнений с течением времени из заданного начального условия.

Дополнительные ссылки:

[1] Нельсон, Роберт, «Устойчивость полета и автоматическое управление»
Хорошая отправная точка с прямым текстом о выводе основных уравнений движения твердого тела для самолета. Книги Эткина и Роскама также являются общими ресурсами для этого.

[2] Шмидт, Дэвид К., «Современная динамика полета»

Это хороший справочник для подробного описания основ вывода этих уравнений в различных системах отсчета.В других главах он также обеспечивает вывод уравнений движения для упругих тел, а также для общих линеаризованных уравнений движения. Математические обозначения могут потребовать некоторого привыкания по сравнению с некоторыми из более классических текстов, поскольку все уравнения описываются как интегрирование всех точечных масс по объему транспортного средства. Однако текстовые описания легко понять.

[3] Стенгель, Роберт Ф., «Динамика полета»

Этот автор дает очень четкие формулировки уравнений, а также предоставляет полезную информацию о их численном интегрировании.Также включает динамику моделей для различных источников подъемной силы и тяги, включая гребные винты, на основе теории приводных дисков.

[4] Льюис, Фрэнк Л., Стивенс, Брайан Л., «Управление самолетом и моделирование»

Эта книга - отличный ресурс для практических примеров уравнений, используемых для моделирования транспортных средств.

Формулы и версии формул - Управление цепочкой поставок | Динамика 365

  • 6 минут на чтение

В этой статье

Формула определяет материалы, ингредиенты и результаты конкретного процесса непрерывного производства.Вместе с соответствующим маршрутом формула определяет весь процесс непрерывного производства. Формулы используются для планирования и производства продуктов в непрерывном производстве.

Формула состоит из ингредиентов и количеств, необходимых для производства определенного количества элемента формулы. В зависимости от выполняемой задачи вы можете получить доступ к функциям формулы из управления запасами и складом или из управления информацией о продукте.

Формулы и строки формул

Формула состоит из одной или нескольких строк формулы, которые определяют ингредиенты или элементы, составляющие формулу.Строка формулы может содержать элементы ведомости материалов (BOM), элементы формулы, элементы промежуточного веса, приобретенные элементы, сопутствующие продукты или побочные продукты. Поскольку многие элементы используются в нескольких продуктах, элемент можно использовать в нескольких формулах.

Примером формулы является рецепт печенья с шоколадной крошкой. Ингредиенты для этой формулы состоят из нескольких линий, таких как мука, сахар, яйца, масло и шоколадная стружка. Формула печенья с шоколадной крошкой содержит ингредиенты, которые, вероятно, используются в других формулах.Пока вы готовите печенье с шоколадной крошкой, могут остаться остатки, например, крошки, или некоторые из печенья могут быть пережарены или недоварены. Эти элементы могут быть настроены как побочные продукты или побочные продукты, в зависимости от производственных операций.

При создании строки формулы вы используете тип строки, чтобы указать, как система должна обрабатывать строку при выполнении сводного планирования и создании пакетных заказов. Каждый тип линии дает разный результат. В следующей таблице описаны типы линий, которые вы можете выбрать.

Тип линии Описание
Арт. Выберите Товар , если товар является сырьем или полуфабрикатом, выбранным из запасов, или когда товар является услугой.
Фантом Выберите Phantom , если нужно расчленить все элементы формулы нижнего уровня, содержащиеся в строках формулы. Когда вы оцениваете пакетный заказ и элементы формулы разнесены, элементы-компоненты отображаются в виде строк формулы в пакетном заказе.Дополнительно к производственному маршруту добавляются соответствующие маршруты. Элементы формулы разнесены с использованием текущей конфигурации. При использовании типа линии Phantom вы можете обрабатывать конфигурации производства и измерения, которые возникают на разных уровнях формулы. Если вы выберете Phantom для продукта на экспресс-вкладке Engineer страницы Released Product Details , а затем используете этот продукт в формуле, тип строки формулы изменится на Phantom .Вы не можете выбрать Phantom для элемента с контролируемым весом или для элементов, для которых тип производства - Сопутствующий продукт , Побочный продукт или Элемент планирования .
Привязанная поставка Выберите Обособленная поставка , чтобы создать заказ партии, производственный заказ, канбан, заказ на перемещение или заказ на поставку для ингредиента, который содержится в строке формулы. Связанный заказ определяется на основе настроек заказа по умолчанию и типа производства ингредиента и создается при оценке заказа партии.Требуемые количества ингредиентов зарезервированы для заказа партии.
Продавец Выберите Поставщик , если в производственном процессе используется субподрядчик, и вы хотите создать субпроизводство или заказ на поставку для субподрядчика. Услуга или работа, которую выполняет субподрядчик, должны быть созданы с использованием элемента формулы или элемента услуги. Вы можете прикрепить элемент к родительскому элементу в виде строки формулы. Маршрут должен содержать операцию, назначенную операционному ресурсу субподрядчика.Эта операция добавляется к строке формулы с помощью Oper. № поле.

Формула-версии

При создании новой формулы необходимо сначала создать версию формулы, прежде чем добавлять элементы строк формулы и их конкретные характеристики. У каждой формулы должна быть хотя бы одна версия. Кнопка Утверждено в версии формулы становится доступной только после успешного сохранения записи версии. Каждая запись версии формулы связана с одним или несколькими сопутствующими и побочными продуктами, которые могут быть произведены при производстве готового продукта.Многие продукты могут быть изготовлены из одних и тех же ингредиентов в разных размерах партий, в нескольких количествах или с использованием разных выходов. Вы можете создать столько версий формулы, сколько вам нужно.

Для управления несколькими активными версиями формулы используйте диапазоны дат действия или поля количества "от". Несколько активных версий формулы могут существовать только в том случае, если диапазон дат и количество «с» не перекрываются.

В отличие от спецификаций, где одна спецификация часто связана со многими версиями спецификаций, для каждой формулы обычно существует только одна версия формулы.Помните, что только одна версия формулы может быть активирована для измерений покрытия и количества для данного продукта. Однако многие версии формул могут существовать по другим причинам, и вы можете выбрать их вручную при создании заказа на партию.

Утверждение и активация формул и версий формул

Формулы и версии формул должны быть утверждены, прежде чем их можно будет использовать для планирования и производства. Формулы обычно активируются перед использованием. Однако во время производства вы можете выбрать версию формулы, которая утверждена, но не активирована.

Чтобы защитить формулу или версию формулы, вы можете установить параметры Блокировать редактирование и Блокировать удаление утверждения на странице Параметры управления производством .

Если выбрать Блокировать редактирование и формула утверждена, никакие поля в строках формулы нельзя удалить или изменить. Однако, если вы удалите утверждение формулы, вы можете удалить и изменить строки формулы. Вы также можете создавать новые формулы и новые версии формул.

При выборе Блокировать удаление утверждения нельзя удалить утверждение утвержденной формулы или версии формулы. Однако вы можете создавать новые формулы и новые версии формул, а также удалять активацию версии формулы.

Вы можете добавить больше уровней контроля, используя функцию электронной подписи. Если пользователь настроен так, что во время утверждения формулы требуется электронная подпись, при активации формулы отображается страница Подпись .Пользователь должен быть авторизован для электронной подписи, и сертификат должен быть успешно проверен, прежде чем изменение можно будет зафиксировать. Если подпись не может быть аутентифицирована, утверждение или удаление утверждения отклоняется, а изменение, инициировавшее утверждение или удаление утверждения, возвращается в исходное состояние.

Используйте масштабируемую функцию

Функция масштабирования доступна только в том случае, если для всех компонентов элемента в формуле задано значение Переменное потребление .Эта функция недоступна, если для компонентов элемента установлено значение Фиксированное потребление или Шаговое потребление . При использовании функции «Масштабируемость» при изменении ингредиента в формуле количество других выбранных ингредиентов корректируется. Размер формулы также корректируется. Аналогичным образом, если вы измените размер формулы, изменится количество всех масштабируемых ингредиентов. Эта функция предназначена специально для создания и обслуживания формул. Он не указывает, будет ли количество ингредиента увеличиваться или уменьшаться в заказе партии.

Использование Шаг потребления

Поэтапное потребление устраняет необходимость вводить количество ингредиента на вкладке Строка формулы . Вместо этого потребление шага настроено так, что оно имеет значение Из серии и значение Количество . Выбирается информация из записи «Шаговое потребление на серию», которая соответствует количеству в заказе партии. Поэтапное потребление полезно, когда скорость потребления не является линейной по отношению к размеру заказа партии и увеличивает потребность только при достижении определенного порогового значения количества.Чтобы включить эту функцию для новой формулы, в группе Расчет потребления измените настройку формулы для применимого ингредиента с Стандарт на Шаг . Этот метод потребления указывается на вкладке Настройка страницы Строка формулы .

Формул динамического массива в Excel

Динамические массивы - самое большое изменение формул Excel за последние годы. Может быть, самое большое изменение когда-либо. Это связано с тем, что динамические массивы позволяют легко работать с несколькими значениями одновременно в формуле.Для многих пользователей это будет первый раз, когда они поймут и используют формулы массива.

Это большое обновление и долгожданное изменение. Динамические массивы решат некоторые действительно сложные проблемы в Excel и коренным образом изменят способ проектирования и построения рабочих листов.

Наличие

Динамические массивы и новые функции, указанные ниже, доступны только в Excel 365. Excel 2016 и Excel 2019 не поддерживают формулы динамического массива. Для удобства я буду использовать «Динамический Excel» (Excel 365) и «Традиционный Excel» (2019 или более ранние версии), чтобы различать версии ниже.

Новые функции

В рамках обновления динамических массивов Excel теперь включает 8 новых функций, которые напрямую используют динамические массивы для решения проблем, которые традиционно трудно решить с помощью обычных формул. Щелкните ссылки ниже, чтобы получить подробные сведения и примеры для каждой функции:

Функция Назначение
ФИЛЬТР Отфильтровать данные и вернуть соответствующие записи
RANDARRAY Сгенерировать массив случайных чисел
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Сгенерировать массив последовательных чисел
СОРТ Сортировать диапазон по столбцу
СОРТБИ Сортировать диапазон по другому диапазону или массиву
УНИКАЛЬНЫЙ Извлечь уникальные значения из списка или диапазона
XLOOKUP Современная замена для VLOOKUP
XMATCH Современная замена функции ПОИСКПОЗ

Видео: Новые функции динамических массивов в Excel (около 3 минут).

Примечание. XLOOKUP и XMATCH не входили в исходную группу новых функций динамического массива, но они отлично работают с новым механизмом динамического массива. XLOOKUP заменяет VLOOKUP и предлагает современный гибкий подход, использующий массивы. XMATCH - это обновление функции ПОИСКПОЗ, предоставляющее новые возможности для формул ИНДЕКС и ПОИСКПОЗ.

Пример

Прежде чем мы углубимся в подробности, давайте рассмотрим простой пример. Ниже мы используем новую функцию UNIQUE для извлечения уникальных значений из диапазона B5: B15 с единственной формулой , введенной в E5:

 
 = UNIQUE (B5: B15) // вернуть уникальные значения в B5: B15 

Результатом является список из пяти уникальных названий городов, которые появляются в E5: E9.

Как и все формулы, UNIQUE обновляется автоматически при изменении данных. Ниже Ванкувер заменил Портленд в строке 11. Результат UNIQUE теперь включает Ванкувер:

Разлив - одна формула, много значений

В динамическом Excel формулы, возвращающие несколько значений, будут «перетекать» эти значения прямо на рабочий лист. Это сразу станет более логичным для пользователей формул. Это также полностью динамическое поведение - при изменении исходных данных немедленно обновляются разлитые результаты.

Прямоугольник, в котором заключены значения, называется «диапазоном разлива». Вы заметите, что диапазон разлива имеет специальную подсветку. В УНИКАЛЬНОМ примере выше диапазон разлива E5: E10.

При изменении данных диапазон разлива будет расширяться или сокращаться по мере необходимости. Вы можете увидеть добавленные новые значения или исчезновение существующих. Таким образом, диапазон разлива представляет собой новый вид динамического диапазона.

Примечание: если разлив заблокирован другими данными, вы увидите ошибку #SPILL.Как только вы освободите место для разлива, формула автоматически разольется.

Видео: Разлив и зона разлива

Обозначение дальности разлива

Для обозначения диапазона разлива используйте символ решетки (#) после первой ячейки в диапазоне. Например, чтобы ссылаться на результаты вышеупомянутой функции UNIQUE, используйте:

 
 = E5 # // ссылка на УНИКАЛЬНЫЕ результаты 

Это то же самое, что ссылка на весь диапазон разлива, и вы увидите этот синтаксис, когда напишете формулу, которая относится к полному диапазону разлива.

Вы можете ввести ссылку на диапазон утечки напрямую в другие формулы. Например, чтобы подсчитать количество городов, возвращаемых UNIQUE, вы можете использовать:

 
 = COUNTA (E5 #) // подсчитываем уникальные города 

При изменении диапазона разлива формула будет отражать последние данные.

Массивное упрощение

Добавление новых формул динамического массива означает, что некоторые формулы можно значительно упростить. Вот несколько примеров:

Сила одного

Одно из самых сильных преимуществ подхода «одна формула, много значений» - это меньшая зависимость от абсолютных или смешанных ссылок.Поскольку формула динамического массива переносит результаты на рабочий лист, ссылки остаются неизменными, но формула дает правильные результаты.

Например, ниже мы используем функцию ФИЛЬТР для извлечения записей в группе «A». В ячейке F5 вводится единственная формула:

 
 = FILTER (B5: D11, B5: B11 = "a") // ссылки являются относительными 

Обратите внимание, что оба диапазона являются разблокированными относительными ссылками, но формула работает отлично.

Это огромное преимущество для многих пользователей, поскольку оно значительно упрощает процесс написания формул.Другой хороший пример смотрите в таблице умножения ниже.

Объединение функций

Все становится по-настоящему интересным, когда вы объединяете в цепочку более одной функции динамического массива. Возможно, вы хотите отсортировать результаты, возвращаемые UNIQUE? Легкий. Просто оберните функцию SORT вокруг функции UNIQUE следующим образом:

Как и раньше, при изменении исходных данных автоматически появляются новые уникальные результаты, хорошо отсортированные.

Собственное поведение

Важно понимать, что поведение динамического массива является встроенным и глубоко интегрированным в . Когда любая формула возвращает несколько результатов, эти результаты будут перенесены в несколько ячеек на листе. Сюда входят более старые функции, изначально не предназначенные для работы с динамическими массивами.

Например, в традиционном Excel, если мы дадим функции LEN диапазон текстовых значений, мы увидим единичный результат . В Dynamic Excel, если мы дадим функции LEN диапазон значений, мы увидим несколько результатов . На этом экране ниже показано старое поведение слева и новое поведение справа:

Это огромное изменение, которое может повлиять на все виды формул.Например, функция ВПР предназначена для получения одного значения из таблицы с использованием индекса столбца. Однако в Dynamic Excel, если мы зададим ВПР более одного индекса столбца, используя такую ​​константу массива:

 

ВПР вернет несколько столбцов:

Другими словами, хотя функция ВПР никогда не была предназначена для возврата нескольких значений, теперь она может это делать благодаря новому механизму формул в Dynamic Excel.

Все формулы

Наконец, обратите внимание, что динамические массивы работают со всеми формулами , а не только с функциями.В приведенном ниже примере ячейка C5 содержит единственную формулу:

.
 

Результат разбивается на диапазон 10 на 10, который включает 100 ячеек:

Примечание. В традиционном Excel вы можете увидеть несколько результатов, возвращаемых формулой массива, если вы используете F9 для проверки формулы. Но если вы не вводите формулу как формулу массива с несколькими ячейками, на листе будет отображаться только одно значение.

Массивы становятся популярными

С появлением динамических массивов слово «массив» будет появляться гораздо чаще.Фактически, вы можете увидеть, что «массив» и «диапазон» почти взаимозаменяемы. Вы увидите массивы в Excel, заключенные в фигурные скобки, например:

 
 {1,2,3} // горизонтальный массив
{1; 2; 3} // вертикальный массив 

Массив - это программный термин, который относится к списку элементов, которые появляются в определенном порядке. Причина, по которой массивы так часто используются в формулах Excel, заключается в том, что массивы могут идеально выражать значения в диапазоне ячеек.

Видео: Что такое массив?

Операции с массивами становятся важными

Поскольку формулы динамического Excel могут легко работать с несколькими значениями, операции с массивами станут более важными.Термин «операция с массивом» относится к выражению, которое запускает логическую проверку или математическую операцию с массивом. Например, приведенное ниже выражение проверяет, равны ли значения в B5: B9 "ca"

.
 
 = B5: B9 = "ca" // state = "ca" 

, поскольку в B5: B9 5 ячеек, результатом будет 5 значений ИСТИНА / ЛОЖЬ в массиве:

 
 {ЛОЖЬ; ИСТИНА; ЛОЖЬ; ИСТИНА; ИСТИНА} 

Операция с массивом ниже проверяет суммы, превышающие 100:

 
 = C5: C9> 100 // суммы> 100 

Последняя операция с массивом объединяет тест A и тест B в одном выражении:

 
 = (B5: B9 = "ca") * (C5: C9> 100) // состояние = "ca" и сумма> 100 

Примечание: Excel автоматически переводит значения ИСТИНА и ЛОЖЬ в 1 и 0 во время математической операции.

Чтобы вернуть это к формулам динамического массива в Excel, приведенный ниже пример демонстрирует, как мы можем использовать точно такую ​​же операцию с массивом внутри функции ФИЛЬТР, что и аргумент include :

ФИЛЬТР возвращает две записи, где состояние = "ca" и сумма> 100.

Для демонстрации см .: Как фильтровать по двум критериям (видео).

Новые и старые формулы массива

В динамическом Excel нет необходимости вводить формулы массива с помощью Ctrl + Shift + Enter.При создании формулы Excel проверяет, может ли формула возвращать несколько значений. В этом случае она будет автоматически сохранена как формула динамического массива, но фигурных скобок вы не увидите. В приведенном ниже примере показана типичная формула массива, введенная в Dynamic Excel:

Если вы откроете ту же формулу в традиционном Excel, вы увидите фигурные скобки:

Если пойти в другом направлении, при открытии «традиционной» формулы массива в динамическом Excel вы увидите фигурные скобки в строке формул.Например, на экране ниже показана простая формула массива в традиционном Excel:

Однако при повторном вводе формулы без изменений фигурные скобки удаляются, и формула возвращает тот же результат:

Суть в том, что формулы массива, введенные с помощью Control + Shift + Enter (CSE), по-прежнему работают для обеспечения совместимости, но вам не нужно вводить формулы массива с помощью CSE в Dynamic Excel.

Символ @

С появлением динамических массивов вы увидите, что в формулах будет чаще появляться символ @.Символ @ включает поведение, известное как «неявное пересечение». Неявное пересечение - это логический процесс, в котором многие значения сводятся к одному значению.

В традиционном Excel неявное пересечение - это скрытое поведение, используемое (при необходимости) для сведения нескольких значений к одному результату в одной ячейке. В Dynamic Excel это обычно не требуется, так как на лист могут попадать несколько результатов. Когда это необходимо, неявное пересечение вызывается вручную с помощью символа @.

При открытии электронных таблиц, созданных в более старой версии Excel, вы можете увидеть, что символ @ автоматически добавляется к существующим формулам, которые имеют потенциал для возврата многих значений.В традиционном Excel формула, возвращающая несколько значений, не попадет на рабочий лист. Символ @ вызывает такое же поведение в Dynamic Excel, чтобы формула вела себя так же и возвращала тот же результат, что и в исходной версии Excel.

Другими словами, @ добавляется, чтобы старая формула не отображала несколько результатов на листе. В зависимости от формулы вы можете удалить символ @, и поведение формулы не изменится.

Сводка

  • Динамические массивы значительно упростят написание определенных формул.
  • Теперь вы можете легко фильтровать совпадающие данные, сортировать и извлекать уникальные значения с помощью формул.
  • Формулы
  • динамического массива могут быть объединены в цепочку (вложены) для выполнения таких операций, как фильтрация и сортировка.
  • Формулы, возвращающие более одного значения, будут автоматически отображаться.
  • Нет необходимости использовать Ctrl + Shift + Enter для ввода формулы массива.
  • Формулы динамического массива доступны только в Excel 365.

Полный список всех формул, прилагаемых к динамике

Voorbeeld tekst

Обзор формул динамики

I. Частицы

####### Кинематика

####### Одномерное движение

DS против dt

#######  (1)

дв а в с dt

#######    (2)

####### реклама вдв (3)

####### Плоское движение

() ()

др т vt dt

#######  (4)

2

2

() () ()

д р т дв т в dt dt

#######  (5)

####### Системы координат

####### декартово

####### r t () () () x t i y t jˆˆ (6)

####### v t () () () x t i y t jˆˆ (7)

####### a t () () () x t i y t jˆˆ (8)

####### Полярный

####### r t () rer (9)

() р v tre r e 

 (10)

2

a t () ( r r) (2er r r e)  (11)

####### Путь

т

др
e
DS
 (12)

т n

de е ds

 (13)

1 det

dx

#######  (14)

в вет

DS vv dt

  

####### (15)

2

тн

дв в a e e

dt 

#######  (16)

####### Кинетика

####### Второй закон Ньютона

####### fPm AP P (17)

####### Работа и энергия

####### Работа

####### dUf dr (18)

####### Энергия

12

2

####### T mv (19)

2 0

1 () 2

e

####### V k r r (20)

г

####### V mgy (21)

1,

без потребления У Т В В

#######     (22)

####### Мощность

####### Pf v (23)

Импульс-импульс

Линейный импульс-импульс

2

1

т

т

fdt 

(24)

G mv (25)

fG (26)

2

21 1

т

т

f dt G   G G 

(27)

Угловой импульс-импульс

22

11

тт

O tt

M dtr fdt 

(28)

HO   r G r () mv (29)

MHOO (30)

2

21

1

() () ()

т

ОООО

т

M dt H  H  H

(31)

Одномерное центральное столкновение

''

м v m v1 1  2 2 м v m v1 1 2 2 (32)

'' 12

21

vv е vv

  

Идеальная резинка: e =

Идеальная пластмасса: e =

(33)

II.Системы частиц

Кинетика

Общие определения

i я

мм

(34)

i ii G

г-н р M

(35)

Уравнение движения

доб. iG я

f Ma

(36)

Работа и энергия

Работа

U1,2T T 2 1

Включая внешние и внутренние силы

(37)

Энергия

12

2

и

TT m vii (38)

1122

22

T mi i MvG (39)

1,2 2 1

(2 2) (1 1)

без минусов U E E

Т В Т В

   

   

В включает как внешние, так и интернет-силы

(40)

Импульс-импульс

Линейный импульс-импульс

i i i G ii

GG м v Mv

(41)

доб.

Ffi i (42)

FG (43)

####### Радиус вращения

г G

I

M

  (71)

####### Угловой импульс-импульс

ˆ

HGGIk (72)

1

К

G i i я

Mf

#######  (73)

ˆ

MGHG IGk (74)

####### HA  HG rAG MvG (75)

HAIG Mv hG (скаляр!)

h - перпендикулярное расстояние между

линия действия Vg и точка A

(76)

####### MA  HG rAG MaG (77)

MAIG Ma dG (скаляр!)

d - расстояние по перпендикуляру между точкой

A и центр масс

(78)

ˆ

MBI k rB  BG MaB

Для точки, прикрепленной к твердому телу

(79)

####### Работа и энергия

####### Работа

1,2 2 1

####### U T T (80)

####### Энергия

1122

22

Т в дм в дм 

 

чистый перевод твердого тела

(81)

12

2

####### T M v

####### чистый перевод однородного твердого тела

(82)

12

2

O

TI 

Чистое вращение твердого тела вокруг центра

тяжести

(83)

1122

22

TMvGGI

Полная кинетическая энергия

(84)

12

2

TI C

Полная кинетическая энергия около мгновенного

центр вращения

(85)

1,2 2 1

(2 2) (1 1)

без минусов U E E

Т В Т В

   

   

####### (86)

2 0

1 () 2

e

####### V k r r (87)

г

####### V mgyG (88)

.