Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

Содержание

2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом и изложенные выше следствия из этих зависимостей позволяют не только контролировать правильность построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе, но и строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным” сечениям. Этот метод существенно отличается от аналитического метода, так как в результате его применения нельзя получить уравнения распределения внутренних силовых факторов в пределах рассматриваемого участка изгибаемого элемента конструкции. С помощью этого метода можно получить лишь численные значения поперечной силы и изгибающего момента в том или ином сечении. Однако такой подход в сочетании с использованием следствий из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом позволяет быстро и качественно строить эпюры различной сложности. “Характерными” будем называть поперечные сечения, расположенные бесконечно близко к границам участка изгибаемого элемента конструкции.

Рассмотрим применения этого метода на примере.

Пример 2.8. Построить эпюры поперечных сил Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениями изгибающих моментовЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямдля изображенной на рис.2.16,а балки по методу“характерных” сечений.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

Рис.2.16

Решение:

1. Определяем опорные реакции. Для этого составим два уравнения равновесия:

; (а)

. (б)

Из уравнения (а) находим величину реакции Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

кН.

Из уравнения (б) находим величину реакции Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

:

кН.

Выполняем проверку. Для этого составим уравнение проекций всех сил, действующих на балку, на вертикальную ось Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

.

2. Разбиваем балку на участки и проставляем “характерные” сечения 1 6 на границах участков.

3. Определяем величины для поперечной силы в каждом из “характерных” сечений:

кН; кН;кН;

кН; кН;кН.

Откладываем от базисной линии найденные значения для поперечной силы в каждом из “характерных” сечений и соединяем полученные точки, руководствуясь следствиями из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

На участке №1 распределенная нагрузка отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей поперечная сила будет постоянной. Соединяем точки, соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №1 и №2, горизонтальной прямой. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. Следовательно, на основании следствия №2 из дифференциальных зависимостей поперечная сила должна меняться по линейному закону. Поэтому соединяем точки соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №3 и №4 наклонной прямой. На участке №3 распределенная нагрузка так же, как и на участке №1, отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей поперечная сила будет постоянной. Соединяем точки, соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №5 и №6 горизонтальной прямой.

При построении эпюры поперечных сил следует обращать внимание на возможные скачки в тех сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы. Так, в сечениях №2 и №3 значения для поперечной силы отличаются на величину силы . В сечениях №4 и №5 значения для поперечной силы отличаются на величину реакции. В сечении №6 также наблюдается скачок на величину силыв направлении ее действия при построении эпюры слева направо.

4. Находим значения для изгибающих моментов в “характерных” сечениях:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям; кНм;кНм;

кНм; кНм;Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям.

Откладываем от базисной линии найденные значения для изгибающих моментов в “характерных” сечениях и соединяем полученные точки, руководствуясь следствиями из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

На участке №1 распределенная нагрузка отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденным в сечениях №1 и №2, наклонной прямой. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. Следовательно, на основании следствия №2 из дифференциальных зависимостей изгибающий момент должен меняться по закону квадратной параболы. При этом на основании следствия №4 выпуклость на эпюре изгибающих моментов должна быть обращена навстречу распределенной нагрузке, т.е. вверх. Соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденным в сечениях №3 и №4 параболой, обращенной выпуклостью вверх. На участке №3 распределенная нагрузка так же, как и на участке №1, отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Поэтому соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденных в сечениях №5 и №6 наклонной прямой. Скачков на эпюре изгибающих моментов не наблюдается, так как отсутствуют сосредоточенные моменты, приложенные к балке. Следует обратить внимание, что в сечениях, в которых имеются скачки на эпюре поперечных сил, на эпюре изгибающих моментов должны быть изломы.

Найдем величину максимального изгибающего момента Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям. На втором участке балки поперечная сила меняет знак, пересекая базисную линию. Сечение, в котором поперечная сила равна нулю, также считается“характерным”. В этом сечении изгибающий момент достигает экстремальной величины на рассматриваемом участке. Для рассматриваемой балки изгибающий момент будет максимальным на основании дифференциальной зависимости (2.15), так как интенсивность распределенной нагрузки Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

.

Для определения максимального изгибающего момента сначала определим координату сечения, в котором момент максимален. Для этого на эпюре поперечных сил сформируем два треугольника (контур одного из треугольников показан пунктиром). Один из рассматриваемых треугольников имеет неизвестный катет длиной Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, который и следует определить. Выделенные треугольники подобны по трем углам. Составим пропорцию:Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, решая которую относительноЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, получимЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямм.

Максимальный изгибающий момент можно определить двумя способами:

1. Помещая начало координат в точке А балки на левом ее конце, вычислим координату сечения, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины: м, составляем выражение для изгибающего момента в указанном сечении и подставляем в это выражение координатум. Получим:

кНм.

2. Используя следствие №5 из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, максимальный изгибающий момент найдем, прибавив к значению изгибающего момента в сечении №3 площадь эпюры поперечной силы Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямна участке длинойЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямм:

кНм.

Последний способ определения изгибающих моментов в некоторых случаях может оказаться предпочтительнее, так как существенно экономит время.

Пример 2.8. Используя метод “характерных” сечений, построить эпюры распределения поперечных[ сил Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, изгибающих моментовЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениями продольных силЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямдля статически определимой рамы, изображенной на рис. 2.17.

Решение:

1.Определяем опорные реакции:

; (а)

; (б)

. (в)

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

Рис.2.17

Из уравнения (а) находим реакцию Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

кН.

Из уравнения (б) находим реакцию Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

кН.

Из уравнения (в) находим реакцию Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

кН.

Реакции получились положительными. Следовательно, их направления выбраны верно.

Выполним проверку. Для этого составим сумму проекций всех сил на ось Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

. Эта сумма должна тождественно равняться нулю:

.

2. Расставляем реакции, разбиваем раму на участки, выбираем точку наблюдения, расставляем знаки на каждом участке для поперечных сил и изгибающих моментов и расставляем номера “характерных” сечений таким образом, чтобы нумерация сечений производилась слева направо. При этом знак «+» должен находиться над участком, знак «» – под участком.

3. Определяем значения поперечных сил в “характерных” сечениях рамы:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям; кН; кН;кН;

кН; кН;кН;кН.

Строим эпюру поперечных сил (Рис.2.18):

Рис.2.18

4. Определяем значения для изгибающих моментов в “характерных”сечениях рамы:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям;кНм;Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

;кНм;

кНм;кНм;

кНм;Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям.

Строим эпюру изгибающего момента (Рис.2.19):

Рис.3.19

5. Выполняем статическую проверку. Статическая проверка состоит а кинематической проверке расновесия узлов рамы. Вырежем сечениями №2, №4 и №5 первый узел С и изобразим его на рис. 2.20,а. Приложим к узлу моменты, характеризующие влияние отброшенной части рамы на узел. Эти моменты численно равны значениям изгибающих моментов соответственно в сечениях №2, №4 и №5. Направление действия этих моментов определяется правилом знаков для изгибающего момента. Значения моментов на рис 2.20 приведены в кНм.

Рис.2.20

Рассматривая равновесие узла С, выделенного из рамы сечениями №2, №4 и №5, составляем уравнение для суммы моментов относительно центра узла. В данном случае следует учитывать, что на узел С действует внешний заданный момент М.

. (а)

Как видно из уравнения (а) узел С находится в равновесии. Выполним проверку узла D, выделенного из рамы сечениями №6 и №7 (Рис.2.20,б). Составим сумму моментов, действующих на узел D:

. (б)

Как видно из уравнения (б) узел Dтакже находится в равновесии.

6. Определяем величину продольной силы в стержнях рамы. Для этого вырежем сечениями №2, №4 и №5 узел Cи изобразим его на рис. 2.21,а. Приложим к узлуC продольные усилияЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениями поперечные силыЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, характеризующие влияние отброшенной части рамы на узел. Эти усилия численно равны значениям соответственно продольных и поперечных сил в сечениях №2, №4 и №5. Направление действия этих усилий определяется правилом знаков для продолных усилий и поперечных сил. Значения поперечных сил на рис 2.21 приведены в кН.

Составим суммы проекций сил, приложенных к узлу C, на осиЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямиЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

(в)

(г)

Рис.2.21

Рассматривая уравнение (в), обнаруживаем, что в этом уравнении две неизвестных продольных силы Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямиЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям. Решить это уравнение относительно усилийЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямиЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямневозможно. Найдем сначала усилиеЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, рассмотрев равновесие участка рамы, ограниченного сечениями №3 и №4 (Рис.2.22).

Рис.2.22

Составим для изображенного на рис.2.22 стержня условие равновесия приложенных к стержню сил, на ось Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

, (д)

откуда Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям.

Но усилие Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, так как в сечение №3 отсутствуют силы, действующие вдоль участка стержня 3-4 (Рис.2.17). Следовательно,усилиеЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям. Теперь можно определить остальные продольные усилия, действующие в узле C. Из уравнения (в) находим:

кН.

Из уравнения (г) найдем усилие Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям:

кН.

Найдем продольные усилия в сечениях №6 и №7. Для этого составим уравнения равновесия сил, приложенных к узлу Dна горизонтальную и вертикальную оси координат Х и Y (Рис.2.21,б). При составлении этих уравнений не следует забывать, что к узлуD приложена сосредоточенная силаЭпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям.

; (е)

. (ж)

Из уравнения (е) находим продольную силу в сечении №6:

кН.

Из уравнения (ж) находим продольную силу в сечении №7:

кН.

Откладываем найденные значения для продольной силы и строим эпюру продольных усилий Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям(Рис.2.23).

Рис.2.23

Приведенные примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балок и эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и продольных усилий для рам позволяют получить наглядное представление о преимуществах и недостатках метода “характерных”сечений. К числу преимуществ этого метода можно отнести простоту определения внутренних силовых факторов. К числу недостатков – отсутствие аналитических законов распределения внутренних силовых факторов по длине элементов конструкции. Однако, использования дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом для анализа поведения распределения внутренних усилий и следствий из них в значительной мере компенсирует последний недостаток. Сделанный вывод позволяет рекомендовать метод построения эпюр распределения внутренних силовых факторов по“характерным’сечениям в учебную практику.

studfiles.net

Построение эпюр поперечных сил изгибающих моментов: пример (сопромат)

Порядок построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов на примере балки (см. рис. 7.4).

Разобьем балку на 3 отдельных участка (рис. 7.7, а), границами которых являются точки приложения сосредоточенных усилий и точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. По границам выделенных участков наметим шесть поперечных сечений, в которых будем вычислять значения поперечных сил и изгибающих моментов.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1

Отбросим правую часть балки и заменим ее действие на левую часть поперечной силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления закроем отбрасываемую правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением 1.

Поперечная сила в сечении 1 балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, которые видим после закрытия

Видим только реакцию опоры, направленную вниз. Таким образом, поперечная сила равна:

кН.

Знак «минус» нами взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения против хода часовой стрелки (или потому, что одинаково направлена с направлением поперечной силы по правилу знаков)

Изгибающий момент в сечении 1 балки, равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим после закрытия отброшенной части балки, относительно рассматриваемого сечения 1.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениямВидим два усилия: реакцию опоры и момент M. Однако у силы плечо практически равно нулю. Поэтому изгибающий момент равен:

кН·м.

Здесь знак «плюс» нами взят потому, что внешний момент M изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. (или потому, что противоположно направлен направлению изгибающего момента по правилу знаков)

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 2

В отличие от первого сечения, у силы реакциипоявилось плечо, равное а.

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 3

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН ·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 4

Теперь удобнее закрывать листком левую часть балки.

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН ·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 5

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

кН ·м.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1

поперечная сила и изгибающий момент:

.

По найденным значениям производим построение эпюры поперечных сил (рис. 7.7, б) и изгибающих моментов (рис. 7.7, в).

Контроль правильности построения эпюр

Убедимся в правильности построения эпюр по внешним признакам, пользуясь правилами построения эпюр.

Проверка эпюры поперечных сил

Убеждаемся: под незагруженными участками эпюра поперечных сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклоненной вниз прямой. На эпюре продольной силы три скачка: под реакцией – вниз на 15 кН, под силой P – вниз на 20 кН и под реакцией – вверх на 75 кН.

Проверка эпюры изгибающих моментов

На эпюре изгибающих моментов видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой q эпюра изгибающих моментов изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре изгибающего момента – экстремум, поскольку эпюра поперечной силы в этом месте проходит через нулевое значение.

sopromato.ru

Проверка эпюр изгибающих моментов | Лекции и примеры решения задач механики

Правильность построенных эпюр изгибающих моментов Mx проверяется по “скачкам” и дифференциальной зависимости dM/dz=Q.

Проверим ранее построенную эпюру Mx.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

1. Проверка по “скачкам”

В сечениях балки, где приложен изгибающий момент, на эпюре M будет скачок.

Здесь к балке приложено два момента: M в точке A и m в точке B.

Проверим наличие скачков в указанных сечениях:

В точке A изгибающий момент M равен 30кНм.
Скачок значений на эпюре M также равен 30.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

В точке B изгибающий момент m равен 70кНм.
Как видно, скачок значений составляет 70 (от -10 до +60).

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

2. Проверка дифференциальной зависимости dM/dz=Q

Выполним проверку эпюры по дифференциальной зависимости dM/dz=Q.

На участках балки, где эпюра Q параллельна базовой линии (I с.у.) эпюра M имеет вид прямой наклонной линии.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

На участках балки с распределенной нагрузкой, где Q≠const (II с.у.) эпюра моментов M имеет вид параболы.

В сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию, на эпюре Mxопределяется экстремум.

Все условия выполнены, значит, эпюра Mx построена правильно.

Примеры построения эпюр >
Краткая теория >

isopromat.ru

3.3 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Расчет на прочность при изгибе

Плоский поперечный изгиб отличается от рассмотренных видов нагружения тем, что в этом случае в поперечных сечениях балки появляется два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М, которые определяются методом разрезов.

3.3.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил на ось y, действующих на балку до рассматриваемого сечения:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям(3.7)

Поскольку речь идет об алгебраической сумме, в которой необходимо учитывать знак действующих сил, принимают правило знаков при определении значений поперечной силы в сечении: внешние силы активные и реактивные, лежащие по левую сторону от сечения, считаются положительными, если они направлены вверх, отрицательными – вниз, а по правую сторону – наоборот (рисунок 3.7).

Изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме моментов относительно этого сечения всех внешних сил и моментов, действующих на балку до рассматриваемого сечения:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям(3.8)

Рисунок 3.7 - Правило знаков поперечной силы

Правило знаков при определении значения изгибающего момента: момент, изгибающий балку выпуклостью вниз, считается положительным, а вверх - отрицательным (рисунок 3.8). При изгибе выпуклостью вниз сжатое волокно вверху – момент на эпюре откладывается вверх – плюс. Значение изгибающего момента откладывается в сторону сжатого волокна.

Рисунок 3.8 – Правила знаков изгибающего момента

Между выражениями изгибающего момента Мх, поперечной силы Qy и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют следующие дифференциальные зависимости:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям, Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

и, следовательно,

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям. (3.9)

На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей можно сделать ряд выводов о характере эпюр Qy и Mx в зависимости от действующих на балку нагрузок.

Для эпюры поперечных сил:

1) на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки;

2) на участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки;

3) под сечением балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре поперечных сил имеется скачок, равный по величине приложенной силе;

4) в сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения;

5) в концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1) на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу действию нагрузки;

2) на участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается наклонной прямой;

3) под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил;

4) изгибающий момент в концевом сечении балки всегда равен нулю; если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в этом сечении равен по величине моменту приложенной пары;

5) на участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, а эпюра изгибающих моментов – прямая, параллельная оси балки;

6) изгибавший момент принимает экстремальное значение в сечении, где на эпюре сил наклонная прямая пересекает ось.

Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определяются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю.

Последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

1) Определить опорные реакции и найденные их значения проверить.

2) Балку разделить на участки, границы которых должны совпадать с точками, изменения сечений и приложения силовых факторов.

3) Определить функции эпюр поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки.

4) Вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру.

5) Определить функции эпюр изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки.

6) Вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру.

Пример 3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рисунке 3.9. Подобрать сечение швеллера и сравнить его с прямоугольным.

Дано:

Решение. Определяем опорные реакции:

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям;

Определим функции внутренних силовых факторов на каждом участке.

I участок: 0 ≤ z ≤ а

при z=0,

при z=а, .

II участок: а ≤ z ≤ 3а

при z=a,

при z=3a,

На участке СД эпюра моментов – парабола. Следовательно, необходимо исследовать на экстремум.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

,

Рисунок 3.9 – Расчетная схема балки

III участок: 3а ≤ z ≤ 4а

;

MIII=;

.

IV участок: 4а ≤ z ≤ 5а

H;

Условие выполняется, что является проверкой правильности построения эпюры ЭQ:

Проверкой правильности последнего уравнения является равенство нулю момента в шарнире В.

studfiles.net

Построение эпюр изгибающих моментов — КиберПедия

Как тонко подметил Архимед, любая сила, приложенная с некоторым плечом относительно рассматриваемой точки, создает вращающий момент. И чем больше плечо, тем больше значение вращающего момента при одном и том же значении приложенной силы.

Это правило рычага действительно и при построении эпюр изгибающих моментов. Вот только моменты называются не вращающими, а изгибающими, но суть от этого не меняется. Так предполагается, что в любом поперечном сечении балки, находящемся на расстоянии х от начала балки (начала координат) могут действовать изгибающие моменты.

Например в нашем случае в начале балки приложена сосредоточенная сила - опорная реакция А = 6 кг, соответственно эта сила будет создавать изгибающий момент Ах, где х - плечо действия силы. При этом равномерно распределенная нагрузка также будет создавать изгибающий момент. А чтобы определить значение этого момента, сначала определяется общее значение нагрузки -qx, что мы и делали при построении эпюры поперечных сил. Общее значение распределенной нагрузки в рассматриваемом сечении можно рассматривать как равнодействующую сосредоточенную силу, а прикладывается эта сила в центре тяжести эпюры нагрузки. Т.е. в этом случае мы рассматриваем эпюру нагрузки, как некое физическое тело, имеющее плотность и соответственно центр тяжести. Впрочем с точки зрения теории сопротивления материалов в этом нет ничего удивительного.

Определить положение центра прямоугольной эпюры нагрузки несложно. Подобными упражнениями мы занимались в школе, когда определяли центр тяжести линейки. И находится этот центр тяжести посредине длины линейки, а в данном случае посредине рассматриваемой части эпюры нагрузки и составляет х/2.Таким образом плечо действия равнодействующей сосредоточенной силы при равномерно распределенной нагрузке составляет х/2. При этом функциональное уравнение изгибающих моментов, необходимое для построения эпюры моментов, будет иметь следующий вид:

M = Ax - qx·x/2 = Ax - qx2/2 (545.5.1)

Примерно такой же результат мы получим, если проинтегрируем уравнение поперечных сил:

M = ∫(A - qx)dx = M0 + Ax - qx2/2 (545.5.2)

Где М0 = 0 - это опять же постоянная интегрирования. В данном случае - значение момента на опоре А. Так как мы рассматриваем однопролетную безконсольную балку на шарнирных опорах, то в этом частном случае значение момента на опоре А равно нулю. Кроме того значение момента на опоре В для шарнирной безконсольной балки также равно нулю, так как шарнирные опоры повороту сечений ни как не препятствуют. Эта особенность в частности используется при определении опорных реакций однопролетной безконсольной балки на шарнирных опорах. Другими словами, зная, что момент на опоре В равен нулю, мы можем определить значение опорной реакции А из уравнения (45.5.2):



МВ = 0 = Аl - ql2/2 (545.5.3)

A = (ql2/2)/l = ql/2 (545.5.4)

В общем случае значение момента в начале координат может быть не равно 0.

А теперь рассмотрим еще одну особенность изгибающих моментов: для рассматриваемого сечения не имеет принципиального значения, какой будет знак у момента, положительный или отрицательный, так как при любом знаке в сечении будет как растягиваемая, так и сжимаемая зона сечения. А вот какая именно зона сечения будет растягиваемой, верхняя или нижняя - имеет большое значение, потому что не все материалы имеют равное сопротивление растяжению и сжатию, а кроме того форма сечения далеко не всегда бывает прямоугольной.

В связи с этим при построении эпюр изгибающих моментов принято следующее правило:

Эпюра моментов строится с той стороны, где будет растянутая зона сечения. При этом момент, пытающийся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке, считается положительным, а против часовой стрелки - отрицательным.

Примечание: это правило не является общепринятым. В некоторых справочниках и учебниках по теории сопротивления материалов положительный момент строится сверху от оси х, что в общем то логично, но при этом получается, что положительный момент там, где сжатая зона сечения. В других он строится с той стороны, где растянутая зона сечения, но при этом может показываться со знаком "-", если строится снизу от оси х. Но как я уже говорил выше, принципиального значения это не имеет, главное понимать общий смысл изгибающих моментов.

Если мы посмотрим на направление действия опорной реакции А и распределенной нагрузки q (рисунок 545.4), то увидим, что относительно любого из рассматриваемых сечений опорная реакция А пытается вращать это сечение по часовой стрелке, а распределенная нагрузка q - против. Это означает, что функциональное уравнение, описывающее изменение изгибающих моментов по длине балки, составлено у нас правильно.



При этом растянутой будет нижняя зона сечения балки по той причине, что балка прогнется вниз при таком действии нагрузки. Следовательно эпюру моментов в данном случае следует строить снизу от оси координат х.

Теперь у нас есть все данные для построения эпюры изгибающих моментов. Судя по уравнению (545.5.2) это будет квадратная парабола, а максимальное значение изгибающего момента будет посредине балки, так как нагрузка у нас симметричная, и составит М = 6·2 -3·22/2 = 6 кгм.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

Рисунок 545.5.г) эпюра изгибающих моментов, как график функции у = 6х - 3х2/2

В общем случае, когда нагрузка несимметричная, как показано на рисунках 545.2.а) и б) или на балку действуют несколько распределенных нагрузок, то определить сечение в пролете балки, в котором действует максимальный изгибающий момент. можно, воспользовавшись следующим общим правилом:

cyberpedia.su

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил в балках — Мегаобучалка

 

Для оценки прочности и жесткости изгибаемых элементов необходимо знать изменение изгибающего момента и поперечной силы по длине балки, а также их экстремальное значение. С этой целью строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил - представляют собой график, изображающий аналитическую зависимость Mxи Qy по длине балки. Ординаты на эпюрах откладываются в масштабе или соразмерно их численным значениям.

Для определения Mxи Qy в пределах каждого участка балки пользуются методом сечений.

Границами участков на балке являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, точки начала и конца действия распределенной нагрузки.

В пределах каждого участка проводим нормальное к оси балки сечение и рассматриваем в равновесии целиком правую или левую часть балки. Действие отброшенной части балки заменяем внутренними силовыми факторами, которые прикладываются в положительном направлении. Для рассматриваемой части составляем уравнения равновесия статики и находим Mxи Qy, которые при этом считаются внешними силовыми факторами. На основании полученных аналитических зависимостей определяем значение Mxи Qy в граничных и промежуточных точках, а затем строим эпюры.

На эпюре Qy положительная ордината откладывается вверх, а на эпюре Mx вниз. Это связано с принятым правилом знаков. Принято говорить, что эпюра Mxстроится со стороны растянутого волокна балки.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям Пример 8.2.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, нагруженной, как показано на рис. 8.11.

1. Определяем реакции в балке: Ra=4кН, Rc = 8 кН.

2. Балка имеет два участка АВ и ВС.

3. Участок АВ. На расстоянии z1 от точки А проводим сечение 1:1 и рассматриваем в равновесии левую часть балки. Сечение может быть проведено в любом месте между точками А и В. Следовательно,

0 ≤ z1 ≥ 4

ΣFy = 0 A – Qy = 0 → Qy = A = 4 кН

 

Пользуясь принятым правилом знаков, для поперечной силы можно записать

Qy = A = 4 кН

Сила А приложена слева от сечения и направлена вверх.



ΣMx = 0 Az – Mx = 0 → Mx = Az

 

В дальнейшем будем рассуждать так: момент в рассматриваемом сечении из условия равновесия левой части равен

Mx = Az.

 

Находим значения изгибающего момента в граничных точках участка:

M0 = 0, M4 = 4·4 = 16 кНм

 

Участок ВС. Проводим сечение 2:2 на расстоянии z2 от точки С и рассматриваем в равновесии правую часть балки.

Qy = – C = 8кН, Mx = Cz M0 = 0, M2 = 8·2 = 16 кНм

 

По найденным значениям Mxи Qy строим соответствующие эпюры.

Пример 8.3.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, нагруженной как показано на рис. 8.12.

1. Определяем опорные реакции балки:

ΣFz = 0 → H = 0

Σmc = 0, A·6 – q·4·4 = 0 → A = 8 кН

Σma = 0, Cc·6 – q·4·2 = 0 → C= 4 кН

ΣFy = Aq·4 + B = 8 – 12 + 4 = 0

Реакции определены верно.

В дальнейшем будем полагать, что горизонтальная реакция при вертикальной нагрузке равна нулю и соответствующее уравнение для ее нахождения можно не записывать.

2. Балка имеет два участка АВ и ВС.

3. Участок АВ: 0 ≤ z1 ≥ 4

Qy = Aq·z1Q0 = A = 8 кН, Q4 = 8 – 3·4 = – 4 кН

Mx = A·z1q·z1· = A·z1 M0 = 0, M4 = 8 кНм

= Aq·z1 =0 → z1 = =2,66 м, М2,66 = 10,67 кН

= – q кривая выпуклая

4. Участок ВС: 0 ≤ z2 ≥ 2

Qy = – С = – 4 кН

Mx = С·z2M0 = 0, M2 = 4·2 = 8 кНм

По найденным значениям Mx и Qy строим соответствующие эпюры.

Пример 8.4.

Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для консольной балки, нагруженной как показано на рис. 8.13.

При построении эпюр в консольной балке реакции в заделке можно не находить. В этом случае рассматривают равновесие части балки, расположенной со стороны ее свободного конца. Балка имеет два участка АВ и ВС.

I. Участок АВ: 0 ≤ z1 ≥ 3

Qy = – q·z1Q0 = 0, Q3 = – 12 кН

Mx = Mq·z1· = M M0 = 6 кНм,

М4 = – 6 кН

II. Участок ВС: 0 ≤ z2 ≥ 1

Qy = – q·3 + P = – 2 кН

Mx = M q·3·(1,5 + z2) + P·z2M0 = 12 кНм,

M1 = – 14 кНм

По найденным значениям Mx и Qy строим соответствующие эпюры.

 

megaobuchalka.ru

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюрыпоперечных сил Qyи изгибающих моментов Мх – это графики изменения их значений вдоль балки. Они позволяют получить максимальные значения сил Qyмоментов Мх, необходимых для расчёта.

Построение эпюр Qyи Мх выполняют по значениям поперечных сил Qyи изгибающих моментов Мх, полученных по грузовым участкам балки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты и силы, или имеется начало и конец распределённой нагрузки.

Для каждого участка применяется правило РОЗУ метода сечений:

1) Разрезать балку на 2 части.

2) Отбросить одну из частей.

3) Заменить воздействие отброшенной части на оставленную усилиями Qyи Мх.

4) Уравновесить внешнюю нагрузку и внутренние усилия Qyи Mx, составив два уравнения равновесия отсечённой части:

(5.4)

Заметим, что здесь за точку О выбираем центр тяжести текущего сечения, и составляем уравнение моментов относительно этой точки от всех воздействий, действующих на оставленную часть балки.

Разобьём балку на два грузовых участка(рис. 5.4, а) и рассмотрим вычисление усилий Qyи Mxна каждом.

1-й участок: , где z1– координата текущего сечения.

Рассмотрим кусок первого участка балки длиной z1, расположенный по левую сторону от сечения. В сечении возникают изгибающие моменты Мх1 и поперечные силы Qy1, которые предполагаем положительного направления: поперечная сила положительна, если её вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент Mxв сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной вниз.

 

а б в г   Эпюра изгибающих моментов – 2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

 

Рис. 5.4

 

Слева от сечения расположена только сила RA(рис. 5.4, б), поэтому записываем:

, .

 

Выражение поперечной силы Qy1 не содержит переменных, следовательно, значение Qyпостоянно и равно 14,4 кН. Отложим вверх от базисной линии это значение в масштабе и построим на 1-м участке эпюры Qyпрямоугольник (рис. 5.4, в).

Выражение Мх1 соответствует уравнению прямой. Подсчитаем величины моментов при граничных значениях (z1= 0 и z1= l):

При z= 0 ; при м кН∙м.

На базисной линии отложим эти значения и проводим наклонную прямую эпюры Mхна 1-м участке (рис. 5.4, г).

Рассмотрим 2-й участок: . Возьмём участок балки слева от сечения и по (5.2) получаем

 

Подсчитаем и для граничных значений :

при z2= 0

приz2= 3 м кН; .

По этим значениям построим эпюры Qyи Mxна 2-м участке.

Сила изменяется линейно. Отложим в начале участка кН и в конце кН и соединим эти точки наклонной прямой (рис. 5.4, в), прямая пересекла базисную линию в точке К.

Так как функция момента имеет второй порядок по отношению к переменной z2(это результат наличия распределённой нагрузки на этом участке), то при изображении момента должны изобразить параболу.

Уточним вид этой параболы с помощью эпюры Qy и выражения (5.1), записанное по теореме Д.И. Журавского об интегрально-дифференциальной зависимости функций Qy и Мx. Пересечение наклонной линии Qy с базисной прямой в точке К вносит следующую поправку в изображение параболы: в точке К получается перегиб кривой, т.е. момент получает экстремальное значение .

Необходимо найти этот момент. Для вычисления сначала определим абсциссу этого сечения (рис. 5.4, в), составив уравнение :

.

 

 

Отсюда получаем

м.

Теперь подсчитаем значение экстремального момента . Подставим в выражение момента М2 вместо z2 значение 1,52 м:

кН·м.

Отложим полученные значения моментов в начале, в конце участка и в сечении К, построим на эпюре моментов параболу (рис. 5.4, г).

Так как целью построения эпюр является получение максимального (расчётного) значения Mmax, то выписываем

Mmax=28,8кН·м.

Подбор сечений

Подберём размеры указанных трёх вариантов сечений: двутавровое, кольцевое и коробчатое.

Подбор выполняем, используя условие прочности по допускаемым напряжениям (5.2). Из этого условия при значении момента Mmax= 28,8 кН·м и допускаемом напряжении [s]=200 Мпа найдём требуемое значение момента сопротивления сечения Wx:

 

 

Выполним подбордвутаврого сечения балки, длякоторого момент сопротивления поперечного сечения

По таблице ГОСТ 8239-89 (см. табл. П.4 Приложения) выбираем двутавр № 18, для которого

Выполним подбор диаметра кольцевого сечения балки, длякоторого выражение момента сопротивления сечения имеет вид:

,

где имеем согласно рисунку задаваемого сечения (рис. 5.2) отношение внутреннего диаметра к внешнему

= 0,6.

Так как момент сопротивления Wx≥ 144 см3, то требуемый диаметр кольцевого сечения

Принимаем диаметр кольцевого сечения d= 12см.

Коробчатое сечениедолжно иметь то же значение момента сопротивления Wx≥ 144 см3.

Запишем выражение момента сопротивления коробчатого сечения используя (5.3). Сечение состоит из двух прямоугольников размерами b 2bи 0,6b 1,2b.

Тогда

где ̶ моменты инерции прямоугольников, вычисляемые по формуле .

Из полученного выражения момента сопротивления Wxнайдём требуемое значение b:

= .

Принимаем b= 6,5 см.

Сравним расход материала по площади поперечного сечения.

Для двутавра № 18 площадь сечения по таблице ГОСТ 8239-89 (см. табл. П.4)

Для кольцевого сечения диаметром d= 12см площадь сечения

=

Для коробчатого сечения с b= 6,5 см площадь сечения

=

Двутавровое сечение, как сечение с меньшей площадью, принимаем за более экономичное.

Таблица 5.1. Исходные значения к задаче 5

Номер вари­анта Длина участков, м Интенсивность нагрузки, кН/м Сила, кН Сосредоточенный момент, кН∙м
l1 l2 q1, q2, P1 P2 М1 М2
2,8 2,2 -32
2,0 2,6 -12 -22
3,0 1,8
1,9 2,8 -13 -20
2,8 2,0
2,5 3,0 -17 -25
3,0 2,0
2,2 2,8 -15 -26 -28
2,5 2,5 -26
2,0 2,5 -18
2,5 2,6 -20 -24
2,2 3,0
2,5 2,2 -28
2,3 2,8 -14
1,8 3,0 -26 -33
3,0 1,5 -27 -40
1,5 2,5 -30 -12
2,5 1,2 -12 -24
1,2 3,0 -12 -32
3,0 1,7 -10
1,6 2,4 -25
2,4 1,9 -20 -10
1,8 2,6 -15 -25
2,6 1,9 -30 -32
1,8 2,8 -10 -42
2,7 2,5 -15
2,2 2,8 -45 -20 -13
2,8 2,5 -15 -36
3,0 1,5 -18
2,3 1,8 -19 -16

Задача 6
Подбор диаметра вала при изгибе с кручением

Условие задачи

Стальной вал, схемы которого занесены в табл. 6.1, передаёт заданную мощность при известной угловой скорости ω. Исходные значения мощности N, угловой скорости ω, длины l, диаметра D1 даны в табл. 6.2.

Требуется:

Используя IV теорию прочности, подобрать диаметр вала, приняв допускаемое напряжение [σ] = 180 МПа.

Значение диаметра вала должно быть принятым из стандартного ряда по ГОСТ 6636-60:

10; 10,5; 11; 11,5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 33; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130 мм и далее через 10 мм.


Рекомендуемые страницы:

lektsia.com