Примеры решения задач по сопротивлению материалов
Задачи с решениями по сопромату и технической механике с необходимыми пояснениями, графическими построениями и видеоуроками.
Задачи по условию
Определение опорных реакций
Примеры определения опорных реакций при растяжении-сжатии и плоском поперечном изгибе, определение неизвестного крутящего момента для вала.
Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:
Расчеты на прочность
Примеры решения задач по расчету стержней, балок и валов на прочность.
Подбор сечений, проверка на прочность и определение грузоподъемности.
Построение эпюр
Примеры построения эпюр внутренних усилий, напряжений и перемещений при растяжении-сжатии, кручении, изгибе и других видах деформации.
Расчет напряжений
Примеры расчетов нормальных, касательных и главных напряжений при различных видах деформации. Рассмотрены аналитические и графический способ (круг Мора) определения напряжений.
Расчет деформаций и перемещений
Примеры расчетов деформации бруса при различных видах нагружения.
Задачи по видам нагружения
Растяжение-сжатие
Примеры решения задач и расчетно-графических работ по теме растяжение-сжатие стержней и стержневых систем.
Кручение
Примеры решения задач и РГР на тему кручение валов.
Изгиб
Примеры решения задач и РГР по теме плоский поперечный изгиб балок.
Расчет балки
Примеры расчетов двухопорных и консольных балок.
Другие примеры решения задач по сопротивлению материалов представлены в нашей подборке:
Примеры решения задач для олимпиад по сопротивлению материалов.
Другие задачи
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Подробнее
Как решать задачи по сопромату
Рассказываем как решать задачи по сопротивлению материалов чтобы не совершать часто встречающихся ошибок и не запутаться в расчетах.
Чтобы сдать экзамен или зачет по сопротивлению материалов часто бывает достаточно решить одну задачу.
Чтобы сделать это, вам надо знать несколько простых правил.
Рассмотрим общий алгоритм решения задач по сопромату и технической механике:
- Получив экзаменационный билет, первым делом определите вид нагружения соответствующего прилагаемой задаче, например:
- Если все приложенные силы действуют вдоль продольной оси бруса, то это деформация растяжения/сжатия;
- Если имеется сосредоточенный момент в плоскости перпендикулярной к продольной оси бруса, такая деформация называется кручением;
- Если хотя бы одна сила или распределенная нагрузка действуют перпендикулярно к продольной оси, или есть момент в плоскости, совпадающей с ней – это изгиб.
- Совместное действие указанных нагрузок говорит о том, что это случай сложного сопротивления.
- Аккуратно начертите расчетную схему в масштабе и с указанием размеров и численных значений приложенных нагрузок.
- В случае необходимости определите величину и направление опорных реакций, проверив найденные значения.
- В зависимости от способа нагружения запишите соответствующее условие прочности.
- Выразите из условия прочности искомую величину (переменную).
- Некоторые промежуточные данные для решения задачи можно получить, построив соответствующие эпюры.
- Проверьте на адекватность полученный результат. Если деформации для рассчитываемых систем получаются слишком большими, значит, в вычислениях имеются ошибки.
Будьте внимательны при расчетах.
Желаем удачи!
Примеры решения задач >
Почему говорят «Сдал сопромат – можно жениться»? >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Подробнее
Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль
Здравствуйте!
Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.
Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.
Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.
У меня конфиденциальность и безопасность высокого уровня. Никто не увидит Ваше задание, кроме меня и моих преподавателей, потому что WhatsApp — это закрытая от индексирования система , в отличие от других онлайн-сервисов (бирж и агрегаторов), в которые Вы загружаете своё задание, и поисковые системы Yandex и Google индексируют всё содержимое файлов, и любой пользователь сможет найти историю Вашего заказа, а значит, преподаватели смогут узнать всю историю заказа. Когда Вы заказываете у меня — Вы получаете максимальную конфиденциальность и безопасность.
Моё видео:
Как вы работаете?
Вам нужно написать сообщение в WhatsApp (Контакты ➞ тут) . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.
Сколько может стоить заказ?Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.
Какой срок выполнения заказа?Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.
Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.
Какие гарантии и вы исправляете ошибки?В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.
Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.
Теперь напишите мне в Whatsapp или почту (Контакты ➞ тут) и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.
Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.
Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.
После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.
Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.
В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!
Жду ваших заказов!
С уважением
Пользовательское соглашение
Политика конфиденциальности
Примеры решения задач по сопромату
Приветствую тебя, читатель сайта — sopromats.ru, на котором размещено много полезной и интересной информации о сопромате и не только. Сегодня я решил написать большую статью о примерах решения задач по сопромату, которые размещены на этом ресурсе. Все примеры было решено классифицировать на три категории: по виду деформации, по виду рассчитываемого объекта и по типу расчета. Эти категории имеют три уровня вложенности. Например, в категории — по виду деформации входят задачи, связанные с изгибом, кручением, растяжением (сжатием) и сложным сопротивлением. В свою очередь, решения на изгиб классифицируются на статически определимые и неопределимые. Для того, чтобы найти нужную категорию перемещайтесь по указанным ссылкам на страничках. Также хотелось бы отметить, что на данный момент на сайте преобладают рукописные примеры решения. Но наша команда, активно работает над добавлением электронных материалов: с качественными схемами и набранными в цифровом виде расчетами. По мере развития сайта, все рукописные записи, планируется заменить цифровыми. Ну что же перейдем непосредственно к нашим примерам.
Классификация по виду деформации
Как уже говорилось выше, здесь все примеры отсортированы по виду деформации: растяжению и сжатию, кручению, изгибу и сложному сопротивлению. В категорию задач на сложное сопротивление попадают такие популярные решения на такие темы как изгиб с кручением, внецентренное растяжение (сжатие), косой изгиб. Теперь давайте перейдем непосредственно к категориям и не забывайте переходить по ссылкам на интересующую вас подкатегории.
Что можно найти в данной категории задач?
- определение реакций в опорах из уравнений равновесия статики;
- расчет ВСФ методом сечений;
- вычисление продольной и поперечной силы;
- расчет изгибающего момента;
- расчет нормальных и касательных напряжений;
- вычисление перемещений поперечных сечений;
- раскрытие статической неопределимости с использованием уравнения совместности деформации.
Растяжение и сжатие
Задачи на растяжение и сжатие, разделены следующим образом:
- статически определимые брусья;
- статически неопределимые брусья;
- статически определимые стержневые системы;
- статически неопределимые стержневые системы.
Кручение
Примеры задач на кручение распределены по 2 основным категориям:
- статически определимое кручение;
- статически неопределимое кручение.
Изгиб
Задачи на изгиб подразделяются по тем же признакам:
- статически определимый изгиб;
- статически неопределимый изгиб.
Классификация по типу рассчитываемого объекта
В этом разделе все решения распределены по типу рассчитываемого объекта: на балки, рамы, фермы и т. д. Каждая представленная здесь категория имеет укрупненную классификацию, которую можно изучить, перейдя по соответствующим ссылкам.
Балки
Примеры данной категории можно разделить на две основные подкатегории:
- статически определимые балки;
- статически неопределимые балки.
Валы
Данные задачи можно поделить на два основных вида:
- статически определимые валы;
- статически неопределимые валы.
Рамы
Данные решения можно классифицировать на 2 основные категории:
- статически определимые рамы;
- статически неопределимые рамы.
Фермы
Все примеры про фермы решено было поместить в одну большую категорию. В этой категории можно встретить задачи на:
- определение реакций в опорах фермы;
- определение продольных усилий в стержнях методом вырезания узлов, либо методом Риттера.
- построение линий влияния.
Сечения
В разделе про сечения, связанные с расчетом геометрических характеристик, принята следующая классификация:
- симметричные и несимметричные сечения, состоящие из геометрических примитивов;
- симметричные и несимметричные сечения, состоящие из металлопрокатных профилей.
Классификация по типу расчета
В этом разделе материалы разделены по типу расчета. Сюда попали расчеты на прочность, жесткость и устойчивость. Здесь же находятся задачи, связанные с расчетом напряжений, эпюр внутренних силовых факторов и другие.
Прочность
В этой категории находятся задачи, связанные с расчетом прочности, при различных видах деформации: изгибе, кручении, растяжении (сжатии) и сложном сопротивлении. Здесь можно встретить как проверочные, так и проектировочные расчета. Найти расчеты на грузоподъемность какой-либо системы.
Жесткость
В расчетах на жесткость, можно найти задачах, в которых исследуются различные элементы конструкций: балки, рамы, валы и другие. Во всех задачах проверяется жесткость, путем сравнения расчетных значений перемещений с допустимыми значениями.
Устойчивость
В примерах на устойчивость, можно найти задачи, связанные с подбором сечения стоек из условия устойчивости, либо расчетом грузоподъемности.
Эпюры
Данная категория, связанна с расчетом эпюр внутренних силовых факторов, при различных видах деформации: растяжении и сжатии, кручении, изгибе и сложном сопротивлении. Есть эпюры, которые откладываются со стороны растянутых волокон (строителям) и сжатых волокон (машиностроителям).
Решение задач по 📝 сопромату быстро и качественно без посредников
Сопротивление материалов – самый сложный предмет вузовской программы обучения. Большая часть учебного времени студентов уходит именно на решение задач по сопромату. Трудные, разнообразные, многовариантные задачи часто вызывают у молодых людей панику или ступор. Студентам, которые не хотят тратить свое время на решение задач по сопромату, мы предлагаем прекрасный выход из ситуации – решение задач по сопромату онлайн.
Механика материалов решение задач
У студентов технических факультетов уже много лет существует поговорка: «сдал сопромат – можешь жениться!». То есть те, кто сдал этот сложнейший экзамен, могут больше ничего не бояться в жизни. Однако, почти никому не удается сдать сопромат с первой попытки. При освоении такого сложного раздела как механика материалов, решение задач часто не получается у студентов.
Мы предлагаем вам помощь в сдаче контрольных работ и экзамена по сопромату. Заказав на нашем сайте решение задач по сопромату онлайн, вы можете не волноваться за свою оценку по предмету. Решение задач по сопромату онлайн выполняется нашими специалистами прямо во время вашей аудиторной контрольной работы или экзамена. Вам нужно только заранее договориться с исполнителем, а потом прислать ему условия задач. Специалист оперативно выполнит сопромат на заказ, а в конце экзамена вам останется только переписать работу своим почерком и сдать преподавателю.
Исполнителя, который будет выполнять для вас решение задач по сопромату онлайн, вы сможете выбрать сами на сайте vsesdal.com. У вас будет возможность просмотреть анкету каждого специалиста, выяснить, приходилось ли ему выполнять заказы на такие предметы как механика материалов, решение задач по разным темам сопромата. Также вы сможете прочитать отзывы прежних клиентов и узнать, насколько они довольны работой данного исполнителя. Таким образом, вы будете знать всю информацию, которая требуется, чтобы решить, готовы ли вы доверить данному исполнителю решение задач по сопромату онлайн.
Заручившись поддержкой специалистов нашего сайта, вы можете не бояться идти сдавать сопротивление материалов. Решение задач онлайн, выполненное специально для вас, окажет вам неоценимую помощь на контрольной работе или экзамене.
Сопромат на заказ
У некоторых студентов «западают» определенные темы из курса предмета сопромат. Решение задач на изгиб вы можете выполнять легко, а вот решение задач на кручение вам может не удаваться. Исполнители сайта vsesdal.com готовы выполнить для вас решение задач по сопромату онлайн на любую тему. Решение задач на устойчивость или решение задач на расширение, сжатие быстро и правильно выполнят наши специалисты, которые прекрасно знают сопромат. Если у вас вызывает сложности такая тема как устойчивость сжатых стержней, решение задач, тогда выполненное грамотным исполнителем задание, может очень пригодиться вам на экзамене.
Вам не придется тратить несколько вечеров на проработку тем, вызывающих сложности, не придется искать в Интернете материалы по запросу «сложное сопротивление решение задач», «сопромат решение задач на изгиб» или «механика материалов решение задач». Всей информацией по этим темам владеют наши специалисты. Они отлично разбираются в таком предмете как сопромат. Заказать задачи намного проще, чем решать их самим!
Вы можете обратиться к нашим специалистам для подстраховки в том случае, если предпочитаете решать задачи самостоятельно, но все-таки не уверены, что сможете сдать сопротивление материалов. Решение задач онлайн, которое выполнит наш специалист, вы можете просто сверить с собственным в конце экзамена. Если в своем решении вы обнаружите ошибки или неточности, вы сможете легко исправить их. А если ваше решение окажется правильным, вам не придется нервничать, ожидая экзаменационной оценки.
Сопромат на заказ – это отличная возможность:
· Проверить собственные знания, сверив свою работу с готовым решением;
· Без труда получить хорошую оценку, завоевать расположение преподавателя и зарекомендовать себя как прилежного студента;
· Обеспечить себе хорошую успеваемость в течение всего семестра;
· Легко сдать зачетную сессию;
· С первой попытки сдать сложный экзамен;
· Сэкономить огромное количество времени и сил, которое вы сможете посвятить своим делам. А наши специалисты тем временем выполнят для вас решение задач по сопромату онлайн.
На нашем сайте вы можете не только заказать сопромат, но и обратиться к специалистам за помощью в написании любой работы по любому предмету учебного курса. Мы можем оказать вам онлайн помощь по информатике во время экзамена или тестирования. Мы можем взять на себя написание контрольных работ по таким предметам как органическая химия или теоретическая механика, решение задач по физике и математике, составление отчета по практике. Также наши специалисты выполняют дипломы и курсовые работы на заказ.
Задачи на изгиб | ПроСопромат.ру
Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:
Покажем балку с построенными эпюрами Q и М
Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором МС=Мmax=48,3кНм.
Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σmax=MC/WX≤σadm. Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.
Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:
Для сечения в виде двух швеллеров согласно сортаменту прокатной стали принимаем два швеллера №20а, момент инерции каждого швеллера Ix=1670см4, тогда осевой момент сопротивления всего сечения:
Перенапряжение (недонапряжение) в опасных точках посчитаем по формуле: Тогда получим недонапряжение:
Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям. Согласно эпюре поперечных сил опасными являются сечения на участке ВС и сечение D. Как видно из эпюры, Qmax=48,9 кН.
Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:
Для швеллера №20 а: статический момент площади Sx1=95,9 см3, момент инерции сечения Ix1=1670 см4, толщина стенки d1=5,2 мм, средняя толщина полки t1=9,7 мм, высота швеллера h1=20 см, ширина полки b1=8 см.
Для поперечного сечения из двух швеллеров:
Sx= 2Sx1=2·95,9=191,8 см3,
Ix=2Ix1=2·1670=3340 см4,
b=2d1=2·0,52=1,04 см.
Определяем значение максимального касательного напряжения:
τmax=48,9·103·191,8·10−6/3340·10−8·1,04·10−2=27МПа.
Как видно, τmax <τadm (27МПа<75МПа).
Следовательно, условие прочности выполняется.
Проверяем прочность балки по энергетическому критерию.
Из рассмотрения эпюр Q и М следует, что опасным является сечение С, в котором действуют MC=Mmax=48,3 кНм и QC=Qmax=48,9 кН.
Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С
Схема сечения балки и эпюры напряжений для анализа напряженного состояния
Определим нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения)
Уровень 1-1: y1-1=h1/2=20/2=10см.
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 2−2: y2-2=h1/2−t1=20/2−0,97=9,03см.
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 3−3: y3-3=h1/2−t1=20/2−0,97=9,03см.
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 4−4: y4-4=0.
Нормальные и касательные напряжения:(в середине нормальные напряжения равны нулю, касательные максимальны, их находили в проверке прочности по касательным напряжениям)
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 5−5:
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 6−6:
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
Уровень 7−7:
Нормальные и касательные напряжения:
Главные напряжения:
Экстремальные касательные напряжения:
В соответствии с выполненными расчетами эпюры напряжений σ, τ, σ1, σ3, τmax и τmin представлены на рис. Схема сечения балки и эпюры напряжений для анализа напряженного состояния
Анализ этих эпюр показывает, что в сечении балки опасными являются точки на уровне 3-3 (или 5-5), в которых:
Используя энергетический критерий прочности, получим
Из сравнения эквивалентного и допускаемого напряжений следует, что условие прочности также выполняется
(135,3 МПа<150 МПа).
Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения
Содержание:
- Пример построение эпюры крутящих моментов
- Пример эпюры внутренних сил в двухопорной балке
На рис. 1.1,а изображен брус, загруженный сосредоточенными силами и равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью Силу надо определить из условия, что вся система внешних сил находится в равновесии. Требуется построить эпюру внутренних продольных сил
Кроме общей системы координат всего стержня для отдельных его участков введем местные системы в целях удобства записи уравнений. Найдем силу
При определении внутренних сил используем метод сечений.
Участок 1. Сечением положение которого определим координатой разрежем стержень на две части и рассмотрим, как более простую, левую отсеченную часть (рис. 1.1,Ь).
В центре сечения прикладываем неизвестную внутреннюю силу которую считаем (предполагаем) положительной, то есть растягивающей и направленной от сечения вправо. Она выражает взаимодействие левой и правой частей стержня, передаваемое через сечение Величину и действительный знак найдем из условия равновесия отсеченной части стержня:
Формула для выражает уравнение прямой, которую строим по двум точкам:
По этим точкам построена прямая на участке 1 (рис. 1.2). Аналогично поступаем с участками стержня 2 и 3.
Участок 2 (рис. 1.1,с) :
Участок эпюры см. на рис. 1.2.
Участок 3. Рассмотрим, как более простую, правую отсеченную часть (рис. 1.1 ,d). По-прежнему считаем внутреннюю силу то есть растягивающей и потому направленной от сечения.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Поэтому вектор приложенный к правой отсеченной части, будет направлен влево.
Функция и на длине третьего участка изображается горизонтальной линией с ординатой (рис. 1.2).
Окончательная эпюра продольной силы вместе со схемой стержня и его нагрузкой показана на рисунке 1.2. В точке приложения внешней сосредоточенной силы функция имеет разрыв первого рода, обычно называемый «скачком». Ордината относится к сечению, бесконечно близкому слева от точки приложения а ордината — справа. Абсолютное значение скачка будет Численно оно равно внешней сосредоточенной силе Аналогичный скачок имеется и в точке приложения силы По скачкам удобно делать качественную проверку правильности построенной эпюры.
Пример построение эпюры крутящих моментов
При построении эпюр внутренних моментов, возникающих от деформации кручения, будем придерживаться правила знаков, изображенного на рис.2.1. На этом рисунке показаны два возможных случая взаимодействия рассеченных частей скручиваемого стержня.
Момент считается положительным, если при взгляде на сечение с конца его внешней нормали видим момент вращающим по ходу часовой стрелки. Для отрицательного момента — он будет направлен против часовой стрелки.
В технике употребляется терминология « винт с правой нарезкой» или «…с левой нарезкой…», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент а при свинчивании гайки — отрицательный.
На рис. 2.2 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу изображена суммарная эпюра
В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3 — го участка.
Участок 3 (рис. 2.2, Ь). Неизвестный момент прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части :
Участок 2 (рис. сечении, где соединены торец стержня и заделка.
Предварительные указания
Изгиб балок является более сложной деформацией, чем деформации центрального растяжения или сжатия и кручения, рассмотренные ранее в примерах 1 и 2. Даже при плоском изгибе (которым мы здесь ограничиваемся) в поперечных сечениях возникают не одно, а два внутренних усилия: поперечная сила и изгибающий момент
При построении и проверке правильности эпюр важно учитывать так называемые дифференциальные зависимости, выражающие условия равновесия элемента стержня Ниже приводятся правила знаков для и и упомянутые дифференциальные зависимости.
Правило знаков для дано на рис. 3.1, а для — на рис 3.2.
Поперечная сила положительна, если она стремится вращать элемент балки по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 3.1). При этом на эпюре ординаты откладываются вверх, а отрицательные — вниз от оси
Изгибающий момент будем считать положительным, если он создает такую кривизну элемента балки, что его выпуклость обращена вниз (при этом растянутыми оказываются нижние продольные волокна балки). Для отрицательного момента наоборот выпуклость вверх и удлинение верхних продольных волокон (рис. 3.2).
Особенность эпюры состоит в том, что на графике ординаты откладываются не вверх, а вниз от оси а отрицательные — вверх (сравните эп. на рис.3.1 и 3.2). Можно сказать, что ордината при любом знаке момента всегда откладывается в сторону растянутых волокон. Говорят, что эпюра строится всегда «на растянутых волокнах изгибаемого стержня».
- Это последнее утверждение особенно полезно при построении эпюр в наклонных и вертикальных стержнях, чем будем пользоваться в дальнейших разделах курса.
Рассмотрим теперь дифференциальные зависимости, получаемые из рис.3.3. Вектор интенсивности распределенной нагрузки если он ориентирован в положительном направлении оси Из условий для элемента балки на рис. 3.3, можно получить:
Из (3.1) и (3.2) легко получить еще одно равенство: Путем интегрирования (3.1) и (3.3) придем к следующим важным выводам.
Если на данном участке балки отсутствует распределенная нагрузка, т.е. то На таком участке эпюра постоянна, а эпюра — прямолинейная.
Если то эпюра прямолинейная, а изменяется по квадратной параболе.
При переменной распределенной нагрузке обе эпюры и будут криволинейными.
С учетом сделанных указаний, перейдем к рассмотрению примера.
Пример построения эпюр в консольной балке
Балка имеет два участка, для которых указаны местные системы координат На первом участке в качестве отсеченной части будем рассматривать левую часть балки относительно линии разреза 1, а на втором — правую по отношению к сечению 2.
Участок 1. В сечении разреза 1 (рис.3.4, надо приложить поперечную силу и изгибающий момент предполагая их направления положительными. Только в этом случае мы найдем эти внутренние усилия из уравнений равновесия правильными и по величине и по знаку. Для левой отсеченной части найдем
Полученные уравнения прямой для и квадратной параболы для иллюстрируют общие выводы, данные выше в указаниях. Прямую строим по крайним точкам: Для момента в крайних точках получим Нулевая точка в эпюре поперечных сил соответствует локальному экстремуму изгибающего момента в этой точке, что изображено на рис.3.4,с. Это следует из зависимости (3.2), а также из правила отыскания экстремума кривых, известного в аналитической геометрии. dM, dz Согласно этому правилу надо приравнять нулю первую производную, найти абсциссу и вычислить что для кривой дает
Напомним геометрический смысл первой производной от некоторой функции: она равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в рассматриваемой точке. Так на эпюре в произвольной точке В точке экстремума касательная будет горизонтальной и
Участок 2. Так как рассматриваем правую отсеченную часть, необходимо заранее вычислить реакции в заделке Составляем условия равновесия всей балки и из них вычисляем реакции
Знаки минусы указывают на то, что фактические направления реакций противоположны указанным на рис.3.4,а. На рисунке 3.4,б на отсеченной части второго участка показаны их истинные направления, а числовые значения — без знаков минусов. Теперь найдем формулы для
Для крайних точек имеем: Общий вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов приведен на рис. 3.4,с. Качественная проверка по разрывам в эпюрах («по скачкам») показывает, что везде, где имеют место точки приложения сосредоточенных внешних сил (включая реакции) на эпюре имеются соответствующие скачки. Сосредоточенные моменты дают скачки в эпюре При этом скачки (разрывы) точно соответствуют значениям сил и моментов.
На участке, загруженном распределенной нагрузкой — эпюра криволинейная, а на свободном от нее — линейная.
Пример эпюры внутренних сил в двухопорной балке
Рассмотрим балку, изображенную на рис. 4.1,а , где показана разбивка балки на участки и их нумерация. В состав внешней нагрузки, кроме указанной на схеме, входят и опорные реакции, которые надо предварительно определить из условий равновесия всей балки.
Определение опорных реакций. Реакции находим из условий а равенство нулю суммы проекций на вертикальную ось используем как проверку.
Проверка выполняется.
Последовательно составляем условия равновесия отсеченных частей балки (рис.4.1,б), откуда получаем формулы для внутренних усилий в балке
Напомним, что к отсеченным частям искомые внутренние усилия прикладываем как заведомо положительные, в соответствии с принятым правилом знаков (смотрите Пример 3).
Участок 1 (рис.4.1,б) . Его представляет левая отсеченная часть балки:
Участок 2 (рис.4.1,б). Для левой отсеченной части имеем:
выражает уравнение прямой, которую построим по крайним точкам:
Участок 3 (рис.4.1,Ь). Для левой отсеченной части найдем:
Прямую для строим по точкам: Для момента квадратную параболу строим по крайним точкам а также делаем вычисления для точки где функция имеет локальный экстремум. В этой точке первая производная от момента, равная поперечной силе, обращается в ноль, т.е. Теперь находим
Участок 4 Более просто рассмотреть правую отсеченную часть, для которой получим:
Для точек найдём
Полные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов вместе с нагрузкой на балку даны на рис 4.2. Для правильного изображения эпюры изгибающих моментов следует особое внимание обращать на точки сопряжения соседних участков. Так например, сопряжение 2-го и 3-го участков должно быть плавным, так как производная функции момента в этой точке не имеет разрыва.
Это видно по эпюре , где нет скачка. Напротив, в точке эпюра имеет разрыв и на эпюре моментов это отражается в виде «перелома касательных». При этом острие перелома направлено в сторону действия силы Подчеркнем, что получить правильное очертание эпюр можно, только тщательно соблюдая масштаб и ординат и длин участков при изображении эпюры.
Внизу рис. 4.2 дано качественное изображение кривой изгиба балки, построенное по эпюре моментов. Положительным моментам отвечает искривление выпуклостью вниз, а отрицательным — вверх. На границах их разделяют точки перегиба, где
Прочность материалов | Механика материалов
ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.
Сопротивление материалов , также известное как Механика материалов , ориентировано на анализ напряжений и прогибов в материалах под нагрузкой. Знание напряжений и прогибов позволяет безопасно проектировать конструкции, способные выдерживать предполагаемые нагрузки.
Напряжение и деформация
Когда к конструктивному элементу прикладывается сила, в этом элементе в результате силы возникают как напряжение, так и деформация. Напряжение — это сила, переносимая элементом на единицу площади, и типичными единицами измерения являются фунт-сила / дюйм 2 (фунт / кв. Дюйм) для стандартных единиц США и Н / м 2 (Па) для единиц СИ:
где F — приложенная сила, а A — площадь поперечного сечения, на которую действует сила. Приложенная сила вызовет деформацию конструктивного элемента на некоторую длину, пропорциональную его жесткости.Деформация — это отношение деформации к исходной длине детали:
где L — деформированная длина, L 0 — исходная недеформированная длина, а δ — деформация (разница между ними).
Существуют различные типы нагрузки, которые приводят к различным типам напряжений, как показано в таблице ниже:
| Тип нагрузки | Тип напряжения | иллюстрация |
|---|---|---|
| Осевое усилие |
| |
| Усилие сдвига | Напряжение поперечного сдвига | |
| Изгибающий момент | Напряжение изгиба | |
| Кручение | Торсионное напряжение |
Осевое напряжение и изгибающее напряжение являются формами нормального напряжения , σ, поскольку направление силы перпендикулярно области, противодействующей силе.Поперечное напряжение сдвига и напряжение скручивания являются формами напряжения сдвига , τ, поскольку направление силы параллельно области, противодействующей силе.
| Нормальное напряжение | |
|---|---|
| Осевое напряжение: | |
| Напряжение изгиба: | |
| Напряжение сдвига | |
|---|---|
| Поперечное напряжение: | |
| Торсионное напряжение: | |
В уравнениях для осевого напряжения и поперечного напряжения сдвига F — это сила, а A — площадь поперечного сечения элемента.В уравнении для изгибающего напряжения M — изгибающий момент, y — расстояние между центральной осью и внешней поверхностью, а I c — центроидный момент инерции поперечного сечения относительно соответствующей оси. В уравнении для напряжения скручивания T — это кручение, r — радиус и J — полярный момент инерции поперечного сечения.
В случае осевого напряжения на прямом участке напряжение распределяется равномерно по всей площади.В случае напряжения сдвига распределение максимально в центре поперечного сечения; однако среднее напряжение определяется как τ = F / A, и это среднее напряжение сдвига обычно используется при расчетах напряжений. Более подробное обсуждение можно найти в разделе о касательных напряжениях в балках. В случае напряжения изгиба и скручивания максимальное напряжение возникает на внешней поверхности. Более подробное обсуждение можно найти в разделе о напряжениях изгиба в балках.
Так же, как основными типами напряжения являются нормальное напряжение и напряжение сдвига, основными видами деформации являются нормальная деформация и деформация сдвига .В случае нормальной деформации деформация перпендикулярна области, на которую действует сила:
В случае деформации поперечного сдвига деформация параллельна области, на которую действует сила:
где γ — деформация сдвига (безразмерная) и & phiv; — деформированный угол в радианах.
В случае деформации кручения элемент поворачивается на угол & phiv; вокруг своей оси.Максимальная деформация сдвига возникает на внешней поверхности. В случае круглого стержня максимальная деформация сдвига определяется как:
где & phiv; — угол закручивания, r — радиус стержня, а L — длина.
Деформации сдвига пропорциональны внутренней части стержня и связаны с максимальной деформацией сдвига на поверхности следующим образом:
где ρ — радиальное расстояние от оси стержня.
Закон Гука
Напряжение пропорционально деформации в упругой области кривой напряжения-деформации материала (ниже предела пропорциональности, когда кривая является линейной).
Нормальное напряжение и деформация связаны между собой:
σ = E & varepsilon;
где E — модуль упругости материала, σ — нормальное напряжение, а & varepsilon; это нормальный штамм.
Напряжение сдвига и деформация связаны между собой:
τ = G γ
где G — модуль сдвига материала, τ — напряжение сдвига, а γ — деформация сдвига.Модуль упругости и модуль сдвига связаны соотношением:
где ν — коэффициент Пуассона.
Закон Гука аналогичен уравнению силы пружины F = k δ. По сути, все можно рассматривать как пружину. Закон Гука можно перестроить, чтобы получить деформацию (удлинение) в материале:
| Осевое удлинение (от нормального напряжения) | ||
| Угол кручения (от напряжения сдвига / скручивания) |
Энергия деформации
Когда к конструктивному элементу прикладывается сила, этот элемент деформируется и накапливает потенциальную энергию, как пружина.Энергия деформации (то есть количество потенциальной энергии, накопленной из-за деформации) равна работе, затраченной на деформацию элемента. Полная энергия деформации соответствует площади под кривой отклонения нагрузки и имеет единицы дюйм-фунт-сила в обычных единицах США и Н-м в единицах СИ. Энергия упругой деформации может быть восстановлена, поэтому, если деформация остается в пределах упругости, то вся энергия деформации может быть восстановлена.
Энергия деформации рассчитывается как:
| Общая форма: | U = Работа = ∫ F dL | (площадь под кривой нагрузки-прогиб) |
| В пределах предела упругости: | (площадь под кривой нагрузки-прогиб) | |
| (потенциальная энергия пружины) |
Обратите внимание, что есть два уравнения для энергии деформации в пределах упругого предела.Первое уравнение основано на площади под кривой прогиба нагрузки. Второе уравнение основано на уравнении для потенциальной энергии, запасенной в пружине. Оба уравнения дают один и тот же результат, просто они выводятся несколько по-разному.
Более подробную информацию об энергии деформации можно найти здесь.
Жесткость
Жесткость, обычно называемая жесткостью пружины, — это сила, необходимая для деформации элемента конструкции на единицу длины.Все конструкции можно рассматривать как совокупность пружин, а силы и деформации в конструкции связаны уравнением пружины:
F = k δ макс
где k — жесткость, F — приложенная сила, а δ max — максимальное отклонение при прогибе в элементе.
Если прогиб известен, то жесткость элемента можно найти, решив k = F / δ max . Однако максимальный прогиб обычно неизвестен, поэтому жесткость необходимо рассчитывать другими способами.Таблицы прогиба балки можно использовать в общих случаях. Два наиболее полезных уравнения жесткости, которые необходимо знать, — это уравнения для балки с приложенной осевой нагрузкой и для консольной балки с концевой нагрузкой. Обратите внимание, что жесткость зависит от модуля упругости материала E, геометрии детали и конфигурации нагрузки.
Торсионный эквивалент уравнения пружины:
Т = к & phiv;
Особый интерес представляет жесткость вала при скручивающей нагрузке:
| Жесткость [дюйм * фунт-сила / рад] | Максимальный прогиб [рад] | иллюстрация | |
|---|---|---|---|
| Вал с крутильной нагрузкой: |
Конструкция с несколькими путями нагружения
Если в конструкции есть несколько путей загрузки (т.е. в конструкции есть несколько элементов, которые разделяют нагрузку), нагрузка будет выше в более жестких элементах. Чтобы определить нагрузку, которую несет любой отдельный элемент, сначала вычислите эквивалентную жесткость элементов на пути нагружения, рассматривая их как пружины. В зависимости от их конфигурации они будут рассматриваться как некоторая комбинация пружин, включенных последовательно, и пружин, включенных параллельно.
Если элементы на пути нагружения нельзя рассматривать только как пружины, включенные последовательно или как пружины, включенные параллельно, а скорее представляют собой комбинацию пружин, включенных последовательно и параллельно, тогда проблему необходимо будет решать итеративно.Найдите подгруппу элементов, которые находятся либо последовательно, либо параллельно, и используйте приведенные уравнения для расчета эквивалентной жесткости, силы и прогиба в подгруппе. Затем подгруппу можно рассматривать как одну пружину с рассчитанными жесткостью, силой и прогибом, и эту пружину затем можно рассматривать как часть другой подгруппы пружин. Продолжайте группировать участников и решать, пока не будет достигнут желаемый результат.
Концентрации напряжений
Можно подумать, что силы и напряжения протекают через материал, как показано на рисунке ниже.Когда геометрия материала изменяется, линии потока перемещаются ближе друг к другу или дальше друг от друга, чтобы приспособиться. Если в материале имеется разрыв, такой как отверстие или выемка, напряжение должно течь вокруг неоднородности, и линии потока будут уплотняться вместе вблизи этого разрыва. Это внезапное уплотнение потоковых линий вызывает скачок напряжения — это пиковое напряжение называется концентрацией напряжений . Элемент, вызывающий концентрацию напряжений, называется подъемником напряжений .
Концентрации напряжений учитываются с помощью коэффициентов концентрации напряжений . Чтобы найти фактическое напряжение в вязкости несплошности, рассчитайте номинальное напряжение в этой области и затем увеличьте его с помощью соответствующего коэффициента концентрации напряжений:
σ макс = K σ ном
где σ max — фактическое (масштабированное) напряжение, σ nom — номинальное напряжение, а K — коэффициент концентрации напряжений.При расчете номинального напряжения используйте максимальное значение напряжения в этой области. Например, на рисунке выше должна использоваться наименьшая площадь у основания галтеля.
Многие справочные руководства содержат таблицы и кривые коэффициентов концентрации напряжений для различных геометрических форм. Двумя наиболее полными наборами факторов концентрации напряжения являются факторы концентрации напряжения Петерсона и формулы Рорка для напряжения и деформации. MechaniCalc также предоставляет набор интерактивных графиков для общих факторов концентрации стресса.
По мере того, как мы удаляемся от источника стресса, концентрация стресса рассеивается. Принцип Сен-Венана — это общее практическое правило, гласящее, что расстояние, на котором рассеивается концентрация напряжений, равно наибольшему размеру поперечного сечения, несущего нагрузку.
Расчет концентрации напряжений особенно важен, когда материалы очень хрупкие или когда существует только один путь нагрузки. В пластичных материалах местная податливость позволит перераспределить напряжения и снизит напряжение вокруг стояка.По этой причине коэффициенты концентрации напряжений обычно не применяются к элементам конструкции из пластичных материалов. Коэффициенты концентрации напряжений также обычно не применяются при наличии избыточного пути нагружения, и в этом случае податливость одного элемента позволит перераспределить силы на элементы на других путях нагружения. Примером этого является набор болтов. Если один болт начинает прогибаться, другие болты в шаблоне принимают на себя большую нагрузку.
Комбинированные напряжения
В любой точке нагруженного материала общее состояние напряжения можно описать тремя нормальными напряжениями (по одному в каждом направлении) и шестью напряжениями сдвига (по два в каждом направлении):
Индексы нормальных напряжений σ указывают направление нормальных напряжений.Индексы касательных напряжений τ состоят из двух компонент. Первый указывает направление нормали к поверхности, а второй указывает направление самого напряжения сдвига.
Обычно напряжения в одном направлении равны нулю, так что полное напряжение возникает в одной плоскости, как показано на рисунке ниже. Это называется плоское напряжение . Плоское напряжение возникает в тонких пластинах, но оно также возникает на поверхности любой нагруженной конструкции. Напряжения на поверхности обычно являются наиболее критическими напряжениями, поскольку напряжение изгиба и скручивания максимизируется на поверхности.
На рисунке выше σ x и σ y — нормальные напряжения, а τ — напряжение сдвига. Напряжения уравновешиваются, так что точка находится в статическом равновесии. Поскольку все касательные напряжения равны по величине, для простоты индексы опущены. (Обратите внимание, однако, что знак напряжений на грани x будет противоположен знаку напряжений на грани x .)
Правильные условные обозначения показаны на рисунке.Для нормального напряжения растягивающее напряжение положительное, а сжимающее — отрицательное. Для напряжения сдвига значение по часовой стрелке положительное, а против часовой стрелки — отрицательное.
Если напряжения из рисунка выше известны, можно найти нормальное напряжение и напряжение сдвига в плоскости, повернутой на некоторый угол θ относительно горизонтали, как показано на рисунке ниже. Приведенные ниже уравнения преобразования дают значения нормального напряжения и напряжения сдвига на этой повернутой плоскости.
| Нормальное напряжение: | |
| Напряжение сдвига: |
Обратите внимание, что на рисунке выше θ отсчитывается от оси x, а положительное значение θ — против часовой стрелки.
В любой точке материала можно найти углы плоскости, при которых нормальные напряжения и напряжения сдвига максимизируются и минимизируются.Максимальное и минимальное нормальные напряжения называются главными напряжениями . Максимальные и минимальные напряжения сдвига называются крайними напряжениями сдвига . Углы главных напряжений и крайних касательных напряжений находятся путем взятия производной каждого уравнения преобразования по θ и нахождения значения θ, при котором производная равна нулю.
| Углы главного напряжения: | |
| Предельные углы напряжения сдвига: |
Указанные выше углы можно подставить обратно в уравнения преобразования, чтобы найти значения главных напряжений и экстремальных касательных напряжений:
| Основные напряжения: | |
| Экстремальные напряжения сдвига: |
Углы, при которых возникают основные напряжения, составляют 90 ° друг от друга.Главные напряжения всегда сопровождаются нулевым напряжением сдвига. Углы возникновения экстремальных касательных напряжений составляют 45 ° от углов главных напряжений. Экстремальные напряжения сдвига сопровождаются двумя равными нормальными напряжениями (σ x & plus; σ y ) / 2.
Вот пара полезных отношений:
| σ 1 и плюс; σ 2 = σ x и плюс; σ y | Сумма нормальных напряжений постоянна. |
| Максимальное напряжение сдвига составляет половину разницы главных напряжений. |
Круг Мора
Круг Мора — это способ визуализировать состояние напряжения в точке нагруженного материала. Это дает интуитивное представление о уравнениях преобразования напряжений и показывает, как напряжения на элементе изменяются в зависимости от угла поворота θ. Из круга Мора также становится ясно, каковы основные напряжения, экстремальные напряжения сдвига и углы, под которыми возникают эти напряжения.Пример круга Мора показан на рисунке ниже:
Чтобы построить круг Мора, сначала найдите центр круга, взяв среднее значение нормальных напряжений:
Поместите точки на окружности, представляющие напряжения на гранях x и y элемента напряжения. Напряжения на грани x будут иметь координаты (σ x , −τ), а напряжения на грани y будут иметь координаты (σ y , τ).Поместите точки на окружности для главных напряжений. Максимальное главное напряжение будет иметь координаты (σ 1 , 0), а минимальное главное напряжение будет иметь координаты (σ 2 , 0). Поместите точки на окружности для экстремальных касательных напряжений. Максимальное экстремальное напряжение сдвига будет иметь координаты (σ c , τ 1 ), а минимальное экстремальное напряжение сдвига будет иметь координаты (σ c , τ 2 ).
Все точки будут лежать по периметру круга.Круг имеет радиус, равный величине предельных касательных напряжений:
Напряженное состояние на гранях x и y элемента напряжения представлено черной линией в круге Мора, соединяющим точки (σ x , −τ) и (σ y , τ). Эта линия в круге Мора соответствует невращающемуся элементу на рисунке ниже. Если эту линию повернуть на некоторый угол, то значения точек на конце повернутой линии дадут значения напряжения на гранях x и y повернутого элемента.Важно отметить, что 360 градусов круга Мора эквивалентны 180 градусам на элементе напряжения. Например, точки для грани x и грани y расположены на 180 градусов друг от друга на круге Мора, но они всего на 90 градусов на элементе напряжения.
Чтобы получить более интуитивное представление о том, как круг Мора связывает напряжения в элементе напряжения и как состояние напряжения изменяется в зависимости от угла поворота, см. Прилагаемый калькулятор круга Мора.
Приложения
Есть много структурных компонентов, которые обычно подвергаются анализу напряжений. Подробности анализа этих компонентов приведены в других разделах:
Расчет допустимого напряжения
Знание напряжений и прогибов позволяет безопасно проектировать конструкции, способные выдерживать предполагаемые нагрузки. Всегда желательно, чтобы напряжения в конструкции оставались в пределах прочности конструкции.Предел текучести материала обычно выбирается как предел прочности, с которым сравниваются расчетные напряжения.
Коэффициент запаса прочности , FS, рассчитывается как:
где σ фактическое — это расчетное напряжение в конструкции, а предел — это максимальный предел напряжения, обычно прочность материала, например предел текучести (S ty ). Коэффициент запаса прочности показывает, насколько фактическое напряжение ниже предельного напряжения.Значение FS должно быть больше или равно 1, чтобы конструкция не вышла из строя, но инженеры почти всегда будут проектировать с некоторым требуемым коэффициентом безопасности, превышающим 1. Требуемый коэффициент безопасности будет варьироваться в зависимости от критичности конструкции (т. Е. последствия разрушения конструкции), а также условия нагружения (т. е. какие типы нагрузок применяются, насколько они предсказуемы и т. д.). Высокое значение FS приведет к очень безопасной конструкции, но если значение FS слишком велико, конструкция может стать настолько большой и тяжелой, что больше не сможет успешно выполнять свою функцию.Поэтому при выборе подходящего запаса прочности приходится идти на компромиссы. Типичные значения FS варьируются от 1,15 до 10.
Запас прочности рассчитывается как:
В приведенном выше уравнении любое значение выше нуля указывает на то, что фактическое напряжение ниже предельного напряжения. Хотя запасы прочности обычно указываются в виде десятичных значений, гораздо более интуитивно понятно думать о запасах в процентах. Например, если предельное напряжение конструкции равно 1.В 5 раз превышающее фактическое напряжение, запас прочности составляет 50% (MS = 0,5).
Когда сообщается о факторах безопасности и запасах прочности, иногда требуемый коэффициент безопасности будет «вплетаться» в сообщаемые факторы. Например, инженеры могут потребовать, чтобы конструкция поддерживала коэффициент безопасности не менее 2, так что FS req = 2. Чтобы обеспечить требуемый коэффициент безопасности, сообщаемые FS и MS рассчитываются как:
Обратите внимание, что при включении необходимого коэффициента безопасности, FS req , сообщаемые FS и MS фактически являются запасами по отношению к FS req , а не по напряжению.
PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации, основанный на этой справочной странице о прочности материалов. Этот курс можно использовать для выполнения требований к кредитам PDH для поддержания вашей лицензии PE.
Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, получите за нее кредит!
Список литературы
- Будинас-Нисбетт, «Машиностроительный проект Шигли», 8-е издание
- Доулинг, Норман Э., «Механическое поведение материалов: инженерные методы деформации, разрушения и усталости», 3-е издание.
- Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е издание
- Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е издание
- Пилки, Уолтер Д. и Пилки, Дебора Ф., «Факторы концентрации стресса Петерсона», 3-е издание.
- «Формулы Рорка для стресса и деформации», 8-е издание
Прикладная прочность материалов в машиностроении
% PDF-1.7 % 1 0 объект > эндобдж 2 0 obj > поток 2016-11-16T10: 05: 25-08: 002016-11-16T10: 05: 25-08: 002016-11-16T10: 05: 25-08: 00Appligent AppendPDF Pro 5.5uuid: 2afc424e-a45d-11b2-0a00- 782dad000000uuid: 2afc877d-a45d-11b2-0a00-f09a2b3ffd7fapplication / pdf
Решение проблем прочности материалов
Предварительный текст
Сопротивление материалов Решение проблемы x 10500 psi, Растяжение y psi xy psi 0 Главные напряжения: 2 y 2 xy 2 2 xy2 Замещающие значения из приведенных выше выходов: 1 psi 2 psi Максимальное напряжение сдвига определяется этими двумя основными напряжениями как: max, 12 max, 13 max, 23) max, 12 max 2 max, 1,3 3 2 2 8944 psi 2 макс, 23 2 Обратите внимание, что другие максимальные напряжения сдвига меньше этого значения.Задача Общая деформация: общая t 0,05 L 100 Эта общая деформация равна: M Подставляя: F EA t E 30 10 6 A 6,5 10 100 и решая для F, получаем: фунты Напряжение сжатия составляет 4500 фунтов на квадратный дюйм. Задача фунт 6 футов Q фунт 4,5 фута 4,5 фута Фунты создают в точке Q напряжение изгиба, которое является растягивающим и равным: Mzy Iz Где M z 4,5 d 2 4 Iz 64 Подставляя в формулу изгиба, получаем x 17188 psi Напряжение из-за осевой нагрузки является сжимающей и равна: F 1591 psi A (2) 2 Общее напряжение: 15600 Напряжение на внутреннем радиусе (критическая точка) составляет: M (rn ri) 2) 57945 psi eAri (3 2 .8854) (2) (2) Существует также осевое напряжение в фунтах на квадратный дюйм, действующее на то, чтобы общее напряжение стало общим 62945 фунтов на квадратный дюйм Проблема Крутильные напряжения Максимальное напряжение сдвига при скручивании составляет: Tr 16T 6 3 11460 фунтов на квадратный дюйм 3 Дж (4) Форма Задача 3, нормальное напряжение на поверхности составляет 15600 фунтов на квадратный дюйм. Напряженное состояние показано ниже: Основные напряжения рассчитываются, как и прежде, с использованием: 2 x xy2 21662 и 2 2 2 Максимальное напряжение сдвига в точке Q составляет: max Проблема 21662 6062 13860 фунтов на квадратный дюйм 2 6062 фунтов на квадратный дюйм Силы в верхней части ( Fu) и нижняя часть (FL): FU KU F KU KL FL KL F KU KL Где KU EA 30 и KL EA 20 Подстановка в выражения силы: FU 1 30 1 1 30 20 3 FL F 480 5 2 (800) 320 фунтов 5 Максимальное напряжение составляет фунты на квадратный дюйм Задача 4 фута 6 футов YZ VQ 250 (1 6) (4.5) 11,8 IZb 285,6 (2) psi Проблема Для этой трубки: T 200 34,6 МПа 2 При 2 (38 38) 2 Угол поворота: TSL (4 38) 50 0,011 рад 4 A2Gt 4 (38 38) 2 79 2 0,66 град. Проблема Критическая точка — это внутренний радиус. Касательное напряжение равно: Pi ri 2 Po ro2 ri 2 ro2 o 2 ir ro2 ri 2 Установка, и мы получаем 2ro2 2 (0,875) 2 t Po 2 2 45733 psi ro ri 0,8752 0,6252 Состояние напряжения просто — это касательное напряжение, также главный стресс. Теоретически мы знаем, что на этих поверхностях нет касательных напряжений, когда элемент напряжения ориентирован радиальными краями.Коэффициент надежности: SF 1,25 45733 Проблема Критической точкой является внутренний радиус. Использование формулы: S15 S16 Задача Использование формулы удара и упрощение для 2hk 2 1 2,5 106 3 Fe W () 70. 7 10 Вт AE 1 30 106 2,5 106 L 12 фунтов Напряжение составляет 70,7 тысяч фунтов на квадратный дюйм. Проблема Две штанги образуют пару из двух последовательно соединенных пружин. Эквивалентная пружина: K1 K 2 A1 A2 E 1 (2) 30106 Ke (() 33,3 K 1 K 2 A1 A2 L1 2 6 2hk Fe W макс. 81,6 тыс. Фунтов на дюйм дюйм 2 1 3,33 106 81,6 103 фунта Проблема Площадь, момент инерции и радиус вращения: A 2 1.767 и 4 64 (1,5) 4 64 .2485 I .375 A Коэффициент гибкости: l 60 160 k .375 Предел для использования формулы Эйлера-Джонсона: k 2 CE Sy 2 (1) (30) 93.3 Поскольку коэффициент гибкости превышает предел, применяется формула Эйлера: Pcr C 2 EI 2 L 2 (30) (. 2485) 60 2 Коэффициент безопасности: 3,6 b) Для этого случая: A 0,60 I 0,0288 k 0,219 Коэффициент гибкости: 20438 Поскольку это главное напряжение, а другое главное напряжение равно нулю (радиальное напряжение равно нулю на внутреннем радиусе), мы приравниваем это напряжение к S ut.2 1428 рад-сек 13600 об / мин Проблема В этой задаче возникает вопрос о запасе прочности против возможного усталостного разрушения. Сначала мы рассчитываем максимальное номинальное напряжение сдвига: Tr 56 (103) (10) 35,6 МПа J 4 (20) 32 Мы применим коэффициент концентрации усталостного напряжения к номинальному напряжению, чтобы получить фактическое напряжение 1,48 (35,6) 52,8 МПа. найти напряжение Фон Мизеса и сравнить его с прочностью v, a 2 91,4 МПа С точки зрения прочности оценка предела выносливости вращающегося образца на усталость при изгибе составляет половину предела прочности на растяжение для сталей: (0.5) 518 259 МПа Применение поправочных коэффициентов для оценки предела выносливости этой детали: Se (0,9) (0,78) (256) 182 МПа Коэффициент безопасности: 182 91Напряжение и деформация — Сопротивление материалов Дополнение к мощности Инженерное дело
напряжение-деформация
Цели обучения
После завершения этой главы вы сможете:
- Определите нормальное напряжение и напряжение сдвига и деформацию и обсудите взаимосвязь между расчетным напряжением, пределом текучести и предельным напряжением
- Расчетные элементы, испытывающие нагрузки на растяжение, сжатие и сдвиг
- Определение деформации элементов при растяжении и сжатии
Механическое напряжение
В этом разделе обсуждается влияние механических нагрузок (сил), действующих на элементы.В следующей главе будут рассмотрены эффекты тепловых нагрузок (тепловое расширение).
Нормальные, растягивающие и сжимающие напряжения
Растяжение или сжатие в элементе создают нормальные напряжения; они называются «нормальными», потому что поперечное сечение, которое выдерживает нагрузку, перпендикулярно (перпендикулярно) направлению приложенных сил. И растягивающие, и сжимающие напряжения рассчитываются по формуле:
Если элемент имеет переменное поперечное сечение, площадь, которая должна использоваться в расчетах, является минимальной площадью поперечного сечения; это даст вам максимальное напряжение в элементе, что в конечном итоге будет определять дизайн.
При сдвиге площадь поперечного сечения, выдерживающая нагрузку, параллельна направлению приложенных сил. В дополнение к этому, при оценке площади сдвига вы должны учитывать, сколько поперечных сечений вносит вклад в общую прочность сборки.
Например, если вы считаете, что штифт дверной петли подвергается сдвигающей нагрузке, вы должны подсчитать, сколько поперечных сечений выдерживает эту нагрузку.
Формула для расчета напряжения сдвига та же:
При штамповке область, которая сопротивляется сдвигу, имеет форму цилиндра для круглого отверстия (представьте себе формочку для печенья).Следовательно, площадь сдвига будет найдена путем умножения длины окружности формы на толщину пластины.
Обратите внимание:Глядя на цифры из учебника, вы заметите, что указаны две силы. Это не означает, что сила, которую вы используете в формуле, равна (2 × Сила P), но просто указывает, что одна сила — это сила действия, а вторая — реакция.
Деформация и модуль упругости
Элемент при растяжении или сжатии будет упруго деформироваться пропорционально, помимо других параметров, исходной длине.Деформация, также называемая единичной деформацией, является безразмерным параметром, выражаемым как:
Если вы решили использовать отрицательное значение для деформации сжатия (уменьшение длины), вы также должны выразить эквивалентное напряжение сжатия как отрицательное значение.
Модуль упругости
Кривая напряжение-деформация построена в результате испытания на растяжение. В упругой области графика деформация прямо пропорциональна нагрузке. Разделив нагрузку на площадь поперечного сечения (константу) и деформацию на исходную длину (константа), можно получить графическое представление зависимости деформации от деформации.Стресс. Постоянное соотношение напряжения и деформации — это модуль Юнга или модуль упругости, свойство каждого материала.
Упругая деформация
Объединение двух приведенных выше соотношений для деформации и модуля упругости приводит к единой формуле для упругой деформации при растяжении или сжатии.
Это соотношение применимо к элементам с однородным поперечным сечением из однородного материала, подверженным растягивающим или сжимающим нагрузкам, которые приводят к напряжениям ниже пропорционального предела (прямая линия на кривой σ-ε).
Расчетное напряжение и факторы безопасности
Эти темы были рассмотрены в 1 -м году года «Сопротивление материалов» и представлены здесь в виде краткого обзора.
Стержни, подвергающиеся чрезмерному напряжению, могут выйти из строя из-за разрушения, когда фактическое рабочее напряжение превышает предельное напряжение, или из-за чрезмерной деформации, которая в таком случае становится неработоспособной. Рассмотрим тяжелую линию конденсата, которая прогибается сверх допустимого предела, и, хотя она не ломается, во фланцевых соединениях на концах линий будут возникать утечки из-за углового перемещения.
Расчетное напряжение σ d — это максимальный уровень фактического / рабочего напряжения, который считается приемлемым с точки зрения безопасности. Расчетное напряжение определяется по:
Коэффициент безопасности выбирается проектировщиком на основе опыта, суждений И руководящих принципов / правил соответствующих норм и стандартов, на основе нескольких критериев, таких как риск травм, точность проектных данных, вероятность, отраслевые стандарты и, что не менее важно, стоимость. . Стандарты коэффициентов безопасности были установлены инженерами-строителями на основе точных оценок и многолетнего опыта.Стандарты постоянно развиваются, отражая новую и улучшенную философию дизайна. Пример:
Дизайнерские шкафы
При решении задач ученики могут столкнуться с разными сценариями. Хотя теоретические концепции одинаковы, пути к окончательным ответам могут быть разными в зависимости от каждого подхода.
- Оценка безопасности конструкции / конструкции
- Дано: величина и распределение нагрузок, свойства материала, форма и размеры элемента
- Найти: фактическое напряжение и сравнить с расчетным напряжением; в качестве альтернативы найдите коэффициент безопасности и решите, является ли он приемлемым на основе применимых стандартов
- Выбор подходящего материала
- Дано: величина и распределение нагрузок, форма и размеры стержня
- Найдите: какой тип или марка материала обеспечит прочность (предел текучести или предельную) большую, чем требуется, с учетом выбранного или заданного запаса прочности.
- Определение формы и размеров поперечного сечения элемента
- Дано: величина и распределение нагрузок, свойства материала
- Найдите: форму и размеры элемента таким образом, чтобы фактическая площадь поперечного сечения была больше требуемого минимума.
- Оценка максимально допустимой нагрузки на компонент
- Дано: тип и распределение нагрузки, свойства материала, форма и размеры элемента
- Найти: максимальная величина нагрузки, которая приводит к приемлемому напряжению
Стержни из двух разных материалов
Бывают случаи, когда стержень при нормальных напряжениях изготавливается из двух (или более) материалов. Одна из целей таких задач — найти напряжение в каждом компоненте.
Например, у вас может быть короткая колонна из стальной трубы, заполненной бетоном, как на рисунке. Учитывая общую нагрузку, свойства материалов и геометрические размеры, мы должны найти индивидуальное напряжение в каждом компоненте.
И стальная труба, и бетонное ядро работают вместе, поддерживая нагрузку, поэтому мы должны найти дополнительные отношения, которые объединяют две проблемы в одну. Обычно ищем:
- отношение, которое описывает распределение силы между двумя материалами
- соотношение, которое коррелирует деформации каждого материала
Для этой конкретной задачи мы можем сказать, что:
Уравнение 1: Общая нагрузка P = нагрузка, поддерживаемая сталью P , сталь + нагрузка, поддерживаемая бетоном P , бетон
, следовательно, P = Напряжение , сталь × Площадь , сталь + Напряжение , бетон × Площадь , бетон
Уравнение 2: деформации обоих материалов одинаковы
поэтому Деформация сталь = Деформация бетон
Учитывая, что модуль упругости = напряжение / деформация, уравнение (2) дает соотношение между напряжением и упругостью обоих материалов
Подстановка этого последнего соотношения в уравнение (1) и решение для Напряжения для бетона приводит к следующему соотношению
Далее можно найти Stress , сталь .
Обратите внимание, что в зависимости от проблемы исходные два отношения могут отличаться, поэтому каждый раз может потребоваться полный пошаговый вывод.
Разумные ответыПри решении обычных задач «напряжение — деформация», особенно в системе СИ, вы должны суметь оценить, являются ли ваши ответы разумными или нет.
Пример: Пруток длиной 1 м, диаметром 20 мм, стержень из углеродистой стали A 36 (свойства материалов в приложении B, таблица B2) выдерживает нагрузку 6 тонн.Оцените напряжение и деформацию штанги.
Обратите внимание, что обычно нагрузки выражаются в кН, площади поперечного сечения 10 -3 м 2 и результирующие напряжения в МПа.
Кроме того, поскольку модули упругости выражены в ГПа, деформация (безразмерная) будет в диапазоне 10 -3 . Этот стержень будет растягиваться на 0,9 мм при данной нагрузке.
Назначенные задачиПри решении этих вопросов необходимо использовать приложения учебника.Это ценные справочные материалы по свойствам материалов, геометрическим размерам и т. Д.
Задача 1: Конденсатопровод номинальным диаметром 152 мм, изготовленный из трубы из углеродистой стали сортамента 40, поддерживается подвесами для стержней с резьбой, расположенных на расстоянии 2,5 м от центра к центру. Подвески из углеродистой стали, длиной 50 см, диаметром основания 12 мм. Рассчитайте напряжение и деформацию в подвесках. Для материала подвесов используйте E = 200 ГПа.
Проблема 2: Крепежная скоба со шпилькой 1/2 дюйма используется в подъемной машине для магазинов.Если штифт изготовлен из стали A36, определите максимальную безопасную нагрузку, используя коэффициент безопасности 2,5, основанный на пределе текучести.
Проблема 3: Котел поддерживается на нескольких коротких колоннах, как показано на рисунке, изготовленных из серого чугуна класса 35. Каждая колонна выдерживает нагрузку 50 тонн. Требуемый коэффициент запаса прочности для этой конструкции равен 3. Безопасны ли колонны?
Используйте следующие размеры: A = 30 мм, B = 80 мм, C = 50 мм, D = 140 мм
Проблема 4: Натяжной элемент в ферме крыши подвергается нагрузке в 25 тысяч фунтов.Конструкция требует использования уголка L2x2x1 / 4 с поперечным сечением 0,944 дюйма 2 . Для строительных конструкций Американский институт стальных конструкций рекомендует использовать расчетное напряжение 0,60 × S y . Используя таблицу B2 приложения B, укажите подходящий стальной материал.
Задача 5: Гидравлический цилиндр со стяжной тягой, показанный на рисунке, изготовлен из 6-дюймовой трубы из нержавеющей стали Schedule 40 и длиной 15 дюймов. Шесть стяжных шпилек представляют собой шпильки с резьбой 1 / 2-13 UNC с диаметром впадины 0.4822 дюйма и шаг резьбы 13 TPI. При сборке цилиндра требуется усилие зажима, эквивалентное одному полному обороту гайки из положения затяжки вручную.
Определите напряжение в цилиндре и стяжных шпильках. Также рассчитайте деформацию в каждом компоненте, используя модуль упругости E ss = 28 × 10 6 фунтов на квадратный дюйм и стержень E = 30 × 10 6 фунтов на квадратный дюйм.
Задача 6: Предложите одно улучшение для этой главы.
Основы и уравнения прочности материалов | Механика материалов
Прочность / Механика материалов Меню
Сопротивление материалов , также называемое механикой материалов , является предметом, который имеет дело с поведением твердых объектов, подверженных напряжениям и деформациям.
В материаловедении прочность материала — это его способность без разрушения выдерживать приложенную нагрузку.Нагрузка, приложенная к механическому элементу, будет вызывать внутренние силы внутри элемента, называемые напряжениями, когда эти силы выражаются в единицах. Напряжения, действующие на материал, по-разному вызывают деформацию материала. Деформация материала называется деформацией, если и эти деформации относятся к единице. Приложенные нагрузки могут быть осевыми (растягивающими или сжимающими) или сдвигающими. Напряжения и деформации, возникающие в механическом элементе, должны быть рассчитаны, чтобы оценить нагрузочную способность этого элемента.Для этого требуется полное описание геометрии элемента, его ограничений, нагрузок, приложенных к элементу, и свойств материала, из которого он состоит. Имея полное описание нагрузки и геометрии элемента, можно рассчитать состояние напряжения и состояние деформации в любой точке внутри элемента. Когда состояние напряжения и деформации внутри элемента известно, можно рассчитать прочность (несущую способность) этого элемента, его деформации (характеристики жесткости) и его стабильность (способность сохранять свою первоначальную конфигурацию).Рассчитанные напряжения затем можно сравнить с некоторой мерой прочности элемента, такой как текучесть материала или предел прочности. Рассчитанный прогиб элемента можно сравнить с критериями прогиба, основанными на использовании элемента. Расчетную нагрузку на продольный изгиб элемента можно сравнить с приложенной нагрузкой. Расчетная жесткость и распределение массы элемента можно использовать для расчета динамического отклика элемента, а затем сравнить его с акустической средой, в которой он будет использоваться.
Под прочностью материала понимается точка на инженерной кривой «напряжение-деформация» (предел текучести), за которой материал испытывает деформации, которые не будут полностью устранены после снятия нагрузки, и в результате элемент будет иметь постоянный прогиб. Предел прочности относится к точке на инженерной кривой «напряжение – деформация», соответствующей напряжению, вызывающему разрушение.
Ниже приведены основные определения и уравнения, используемые для расчета прочности материалов.
Напряжение (нормальное)
Напряжение — это отношение приложенной нагрузки к площади поперечного сечения растягиваемого элемента, выраженное в фунтах на квадратный дюйм (psi) или кг / мм 2 .
Нагрузка | л | |||
Напряжение, σ | = | = | ||
Площадь | А |
Штамм (нормальный)
Безразмерная мера деформации материала.
изменение длины | Δ L | |||
Деформация, ε | = | = | ||
исходная длина | л | |||
Кривая деформации напряжения
Предел пропорциональности — это точка на кривой зависимости напряжения от деформации, в которой она начинает отклоняться от прямолинейная связь между напряжением и деформацией.См. Сопроводительный рисунок в (1 и 2).
Предел упругости — это максимальное напряжение, которому образец может подвергаться и вернитесь к исходной длине после снятия нагрузки. Говорят, что материал подчеркнут в упругая область, когда рабочее напряжение не превышает предела упругости, и подвергаться напряжению в пластической области, когда рабочее напряжение действительно превышает предел упругости. Предел упругости для стали практически такой же, как и предел пропорциональности.См. Сопроводительный рисунок в (1, 2).
Предел текучести — это точка на кривой напряжения-деформации, в которой происходит внезапное увеличение деформации. без соответствующего увеличения стресса. Не все материалы имеют предел текучести. См. Сопроводительный рисунок в (1).
Предел текучести, S y , это максимальное напряжение, которое может быть приложено без остаточной деформации. образца для испытаний.Это значение напряжения на пределе упругости для материалов для который существует предел упругости. Из-за трудности определения предела упругости и поскольку многие материалы не имеют упругой области, предел текучести часто определяется метод смещения, как показано на прилагаемом рисунке в (3). Предел текучести в таком case — значение напряжения на кривой напряжения-деформации, соответствующее определенному количеству постоянных набор или напряжение, обычно 0.1 или 0,2% от исходного размера.
Модуль упругости
Деформация металла пропорциональна приложенным нагрузкам в диапазоне нагрузок.
Поскольку напряжение пропорционально нагрузке, а деформация пропорциональна деформации, это означает, что напряжение пропорционально деформации. Закон Гука утверждает эту пропорциональность.
| Напряжение | σ | |||
| = | = | E | ||
| Штамм | ε | |||
Константа E — это модуль упругости, модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, а также жесткость материала.Модуль Юнга составляет 10 6 psi или 10 3 кг / мм 2 . Если материал подчиняется закону Гука, он эластичен. Модуль не зависит от состояния материала. Нормальная сила напрямую зависит от модуля упругости.
Предел пропорциональности
Наибольшее напряжение, при котором материал способен выдерживать приложенную нагрузку без отклонения от пропорциональности напряжения к деформации.Выражается в фунтах на квадратный дюйм (кг / мм 2 ).
Предел прочности (растяжение)
Максимальное напряжение, которое материал выдерживает при приложении нагрузки. Значение определяется делением нагрузки при разрушении на исходную площадь поперечного сечения.
Предел упругости
Точка на кривой «напряжение-деформация», за которой материал необратимо деформируется после снятия нагрузки.
Предел текучести
Точка, в которой материал превышает предел упругости и не возвращается к своей исходной форме или длине, если напряжение снимается. Это значение определяется путем оценки диаграммы напряжение-деформация, полученной во время испытания на растяжение.
Коэффициент Пуассона
Отношение поперечной деформации к продольной — это коэффициент Пуассона для данного материала.
| боковая деформация | |||
| мкм | = | ||
| продольная деформация | |||
Коэффициент Пуассона — это безразмерная константа, используемая для анализа напряжений и прогибов таких конструкций, как балки, пластины, оболочки и вращающиеся диски.
Алюминий | 0,334 | Нейзильбер | 0,322 |
Бериллиевая медь | 0,285 | Фосфорная бронза | 0.349 |
Латунь | 0,340 | Резина | 0,500 |
Чугун, серый | 0,211 | Сталь литая | 0.265 |
Медь | 0,340 | высокоуглеродистый | 0,295 |
Инконель | 0,290 | легкая | 0.303 |
Свинец | 0,431 | никель | 0,291 |
Магний | 0,350 | Кованое железо | 0.278 |
Металлический монель | 0,320 | цинк | 0,331 |
Напряжение изгиба
При сгибании куска металла одна поверхность материала растягивается при растяжении, а противоположная поверхность сжимается.Отсюда следует, что между двумя поверхностями есть линия или область нулевого напряжения, называемая нейтральной осью. Сделайте следующие предположения в простой теории изгиба:
- Балка изначально прямая, ненапряженная и симметричная.
- Материал балки линейно эластичный, однородный и изотропный.
- Пропорциональный предел не превышен.
- Модуль Юнга материала одинаков при растяжении и сжатии.
- Все прогибы небольшие, поэтому плоские поперечные сечения остаются плоскими до и после изгиба.
Используя классические формулы балки и свойства сечения, можно получить следующую взаимосвязь:
| 3 PL | ||
| Напряжение изгиба, σ b | = | |
| 2 вес 2 | ||
| PL 3 | ||
| Модуль упругости при изгибе или изгибе, E b | = | |
| 4 вес 3 y | ||
| Где: | п | = | нормальная сила |
| л | = | длина балки | |
| w | = | ширина луча | |
| т | = | толщина балки | |
| л | = | прогиб в точке нагрузки |
Сообщаемый модуль упругости при изгибе обычно является начальным модулем из кривой зависимости напряжения от деформации при растяжении.
Максимальное напряжение возникает на поверхности балки, наиболее удаленной от нейтральной поверхности (оси), и составляет:
| Mc | м | |||
| Макс.поверхностное напряжение, σ макс | = | = | ||
| I | Z | |||
| Где: | м | = | изгибающий момент |
| с | = | расстояние от нейтральной оси до внешней поверхности, где возникает максимальное напряжение | |
| I | = | момент инерции | |
| Z | = | I / c = модуль упругости сечения |
Для прямоугольной консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на одном конце максимальное поверхностное напряжение определяется по формуле:
| Где: | д | = | прогиб балки под нагрузкой |
| E | = | Модуль упругости | |
| т | = | толщина балки | |
| л | = | длина балки |
Урожайность
Податливость возникает, когда расчетное напряжение превышает предел текучести материала. Расчетное напряжение обычно представляет собой максимальное поверхностное напряжение (простая нагрузка) или напряжение фон Мизеса (сложные условия нагружения). Критерий текучести фон Мизеса утверждает, что текучесть происходит, когда напряжение фон Мизеса превышает предел текучести при растяжении.Часто в результатах анализа напряжений методом конечных элементов используются напряжения фон Мизеса. Стресс фон Мизеса:
| σ v = | (σ 1 — σ 2 ) 2 + (σ 2 — σ 3 ) 2 + (σ 1 — σ 3 ) 2 | |
2 |
где σ 1 , σ 2 , σ 3 — главные напряжения.
Коэффициент запаса прочности является функцией расчетного напряжения и предела текучести. Следующее уравнение обозначает коэффициент безопасности f s .
Где Y S — предел текучести, а D S — расчетное напряжение.
Дополнительную информацию см. На странице «Существенные условия и ссылки».
Связанный:
- Прочность материалов Методы измерения момента площади для расчета прогиба в балках, спецификации и характеристики материалов — черные и цветные, опорные колонны и изгиб, момент инерции, модуль упругости сечения, радиусы уравнения вращения, треугольные, шестигранные сечения Момент инерции, Модуль сечения, радиусы круговорота, уравнения круговой, эксцентрической формы, момент инерции, модуль сечения, радиусы вращения
- Сопротивление материалов Н.М. Беляев Премиум-подписка на 648 страниц, необходимая для просмотра документа / книги
- Прогиб балки и расчет конструкции
- Сечение Момент площади Вычислители инерции
- Допуски, проектные пределы и посадки
© Авторские права 2000-2021, Engineers Edge, LLC www.engineeringsedge.com
Все права защищены
Отказ от ответственности | Обратная связь | Реклама
| Контакты
Дата / Время:
Механика материалов: напряжение »Механика тонких конструкций
Добро пожаловать в Механику материалов. Этот курс основан непосредственно на основах, которые мы изучили в статике, — вычислении статического равновесия различных конструкций при различных нагрузках.В статике мы рассматриваем внешних сил , действующих на твердых тел . В действительности все тела деформируемы , и эти внешние силы создают внутренних напряжений . Ну тогда что за стресс?
Напряжение — это мера внешней силы , действующей на площадь поперечного сечения объекта. Напряжение имеет единицы силы на площадь: Н / м 2 (СИ) или фунт / дюйм 2 (США). Единицы СИ обычно называют паскалями, сокращенно Па .Поскольку 1 Па является неудобно малым по сравнению с напряжениями, которые испытывает большинство конструкций, мы часто будем сталкиваться с 10 3 Па = 1 кПа (килопаскаль), 10 6 Па = МПа (мегапаскаль) или 10 9 Па = ГПа (гигапаскаль).
Существует два типа напряжения, которое может испытывать конструкция: 1. Нормальное напряжение и 2. Напряжение сдвига . Когда сила действует перпендикулярно (или «нормально») к поверхности объекта, она вызывает нормальное напряжение. Когда сила действует параллельно поверхности объекта, возникает напряжение сдвига.
Рассмотрим светильник, подвешенный к потолку на веревке. Поперечное сечение веревки круглое, а вес света тянется вниз перпендикулярно веревке. Эта сила создает нормальное напряжение внутри каната.
Хорошо, как мы пришли к этому уравнению. За кадром существует множество предположений. На протяжении всего этого курса мы будем предполагать, что все материалы однородны, изотропны и эластичны. Мы также предположим, что объект «призматический», то есть поперечные сечения одинаковы по всей его длине (например,г. огурец призматический, а тыквенный — нет). Все эти предположения позволяют утверждать, что объект будет деформировать равномерно в каждой точке своего поперечного сечения. Нормальное напряжение в точке поперечного сечения определяется как (с аналогичными уравнениями в направлениях x и y ). :
На каждый небольшой участок поперечного сечения действует одинаковая сила, и сумма всех этих сил должна равняться внутренней равнодействующей силе P .Если мы позволим ΔA перейти к dA, а ΔF перейти к dF, то мы сможем просто проинтегрировать обе части уравнения, и мы придем к нашему соотношению для нормального напряжения.
Это соотношение для нормального напряжения более точно соответствует среднему нормальному напряжению , поскольку мы усреднили внутренние силы по всему поперечному сечению.
Понятие стресса часто бывает трудно понять, потому что его нелегко заметить. Оказывается, размещение прозрачного объекта через кросс-поляризованный свет позволяет непосредственно наблюдать напряжение в материале на основе концепции, называемой фотоупругостью:
Напряжение действительно может существовать в материале при отсутствии приложенной нагрузки.Это называется остаточным напряжением, и его можно использовать как способ упрочнения материалов, например, при изготовлении японского меча катана. И наоборот, нежелательные остаточные напряжения могут стимулировать рост трещин и привести к разрушению, как, например, при обрушении Серебряного моста в Западной Вирджинии в 1967 году. Возможно, самый яркий пример остаточного напряжения связан с быстрым охлаждением расплавленного стекла, известным как « Капля принца Руперта »:
Давайте посмотрим на другой пример.Рассмотрим болт, соединяющий две прямоугольные пластины, и растягивающее усилие, перпендикулярное болту. Из диаграммы свободного тела мы видим, что приложенная извне сила оказывает силу, параллельную круглому поперечному сечению болта. Эта внешняя сила приводит к напряжению сдвига внутри болта.
Теперь формальные определения напряжения сдвига принимают форму, аналогичную описанным выше. Рассмотрим напряжение сдвига, действующее на z -грань элемента:
Напряжение сдвига — это касательное напряжение, действующее по касательной к поперечному сечению, и оно принимает среднее значение:
Важно отметить, что напряжения, которые мы только что описали, составляют средних напряжений .Мы предположили, что вся внешняя сила была равномерно распределена по площади поперечного сечения конструкции — это не всегда так, и мы будем пересматривать это предположение на протяжении всего курса.
Когда вы смотрите на элемент при сдвиге, все кажется немного сложнее. Рассмотрим небольшой кубический элемент внутри конструкции при сдвиге, как показано ниже.
Теперь равновесие требует, чтобы напряжение сдвига, действующее на τ zy , сопровождалось напряжениями сдвига в других плоскостях.Но давайте рассмотрим равновесие сил в направлении y . Зная, что силу можно записать как напряжение (тау), умноженное на площадь (ΔxΔy), мы можем записать это силовое равновесие как:
Поскольку площади куба по определению одинаковы, это означает, что τ zy = τ ‘ zy . Аналогичное силовое равновесие в направлении z -направление приводит к τ yz = τ ‘ yz . Рассмотрим моментное равновесие относительно оси x . Зная, что мы можем записать силу, как и раньше, а плечо момента будет Δz, этот баланс моментов станет:
Это простое соотношение говорит нам, что τ zy = τ yz, и, следовательно, все четыре касательных напряжения имеют равные величины и должны указывать навстречу или от друг друга на противоположных краях элемента.Это соотношение известно как «чистый сдвиг».
1,2 Фактор безопасностиИнженеры используют стресс при проектировании конструкций. Внешняя нагрузка и геометрия конструкции говорят нам, какое напряжение действует в материале, но ничего не говорят нам о самом материале. Каждый материал имеет предельное напряжение — мера того, какое напряжение может выдержать материал до разрушения. Чтобы правильно спроектировать безопасную конструкцию, мы должны убедиться, что приложенное напряжение от внешней нагрузки никогда не превышает предельное напряжение материала. Отчасти сложность этой задачи заключается в том, что мы не всегда точно знаем, какова внешняя нагрузка — она может изменяться непредсказуемо, и конструкции, возможно, придется выдерживать неожиданно высокие нагрузки. Чтобы учесть эту неопределенность, мы включили в нашу конструкцию коэффициент безопасности . Коэффициент безопасности — это просто отношение разрушающей нагрузки или напряжения к допустимой нагрузке или напряжению. Разрушение или конечное значение — это свойство материала , в то время как допустимое значение определяется внешней силой и геометрией конструкции.
Сводка
В этой лекции мы представили понятие стресса. Напряжение — это мера того, что материал ощущает от приложенных извне сил. Это просто отношение внешних сил к площади поперечного сечения материала. Силы, приложенные перпендикулярно поперечному сечению, составляют нормальных напряжений , в то время как силы, приложенные параллельно поперечному сечению, составляют касательных напряжений .Хотя представленные здесь концепции не слишком чужды, большая часть трудностей с этим материалом связана с проблемой правильного расчета статического равновесия . Расчет статического равновесия скажет нам величину и направление приложенных сил, которые мы затем можем использовать для расчета напряжений. Если следующие примеры видео и домашнее задание вызывают у вас затруднения, сейчас самое время вернуться и просмотреть некоторые концепции из вашего курса статики.
Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта No.1454153. Любые мнения, выводы, заключения или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат автору (авторам) и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда.
Прочность материалов | Дом
«Сопротивление материалов» посвящен прочности материалов и конструктивных элементов, подверженных различным видам силовых и тепловых нагрузок, критериям предельной прочности конструкций и теории прочности конструкций.Рассмотрены реальные условия эксплуатации, проблемы трещиностойкости и теории разрушения, теория колебаний реальных механических систем и расчеты напряженно-деформированного состояния элементов конструкций.
Сопротивление материалов — перевод рецензируемого украинского журнала Проблемы прочности . Русскоязычное издание издается и охраняется авторским правом Институтом проблем прочности им. Писаренко Национальной академии наук Украины.
- Основное внимание уделяется прочности материалов и конструктивных элементов, подверженных различным видам силовых и термических нагрузок
- Исследует материалы, подверженные различным видам силовых и термических нагрузок.
- Подчеркивает фактические условия эксплуатации
Журнал информации
- Главный редактор
- Валерий Владимирович Харченко
- Издательская модель
- Подписка
Показатели журнала
- 0.620 (2020)
- Импакт-фактор
- 0,741 (2020)
- Пятилетний импакт-фактор
- 33,172 (2020)
- Загрузки