3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Основные формулы

,

где -масса материальной точки, — скорость движения.

,

где – тангенциальное (касательное) ускорение,

– нормальное (центростремительное) ускорение.

где – коэффициент трения скольжения; – сила нормального давления.

,

где — величина деформации; — коэффициент жесткости.

,

где – гравитационная постоянная, и – массы взаимодействующих точек, – расстояние между точками.

где — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

,

где — проекция силы на направление перемещения; — угол между направлениями силы и перемещения.

,

где – работа за промежуток времени .

, или .

.

,

где – ускорение свободного падения.

.

.

.

Примеры решения задач

Задача 1. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, подвешены грузы массами и (). Считаем нить и блок невесомыми и пренебрегаем трением в блоке. С каким ускорением движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время движения?

Дано: Решение:

Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме:

Поскольку , считаем, что тело массой движется вниз, а тело массой — вверх. Ось совпадает с направлением ускорения. Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на направление оси :

Складывая почленно эти уравнения, получаем:

.

Подставляя это выражение в одно из уравнений системы, получаем выражение для силы натяжения:

.

Задача 2. В установке (см. рис.2.2) угол наклонной плоскости с горизонтом , массы тели. Считая нить и блок невесомыми, определите ускорение, с которым движутся тела, и силу натяжения нити, если телоопускается. Коэффициент трения телао плоскость равен 0,1.

Дано: Решение:

; ; ; .	 Делаем рисунок, расставляем силы, действующие на каждое тело: Рис.2.2
Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме:

Для каждого тела устанавливаем оси координат и записываем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на направления и :

.

Учитывая, что , получаем систему:

Складываем почленно эти уравнения:

.

Отсюда получаем выражение для ускорения:

.

Подставляем числа:

.

Из уравнения 2) выражаем силу натяжения: .

Подставляем числа: .

Ответ: ;.

Задача 3. Движущееся тело массой ударяется о неподвижное тело массой . Считая удар упругим и центральным, определите, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решите сначала в общем виде, а затем рассмотрите случаи: 1) ; 2) .

. (1)

Для определения скорости второго тела после удара запишем закон сохранения импульса в проекции на направление движения и закон сохранения механической энергии, полагая, что система тел замкнута и в ней действуют только консервативные силы.

(2)

Преобразуем систему (2) к виду

(3)

Разделив одно на другое выражения системы (3), получим , а после подстановки скорости в первую формулу системы (3) получим

. (4)

Отношение энергий (1) приобретает вид

.

1) Если , то =1. При равенстве масс первое тело полностью отдает энергию второму, т.е. первое тело остановится, а второе начнет двигаться со скоростью первого тела.

2) Если , то .

Ответ: 1) =1; 2) .

+50 формул по физике за 7-11 класс с пояснением

Мы собрали основные формулы по физике с пояснениями в картинках. Более пятидесяти формул, разделенные по категориям физики: кинетика, динамика, статика, молекулярка, термодинамика, электричество, магнетизм, оптика, кинетика. Это не статья, а огромная шпаргалка по физике!

Основные формулы по физике: кинематика, динамика, статика

Нужна работа? Есть решение!

Более 70 000 экспертов: преподавателей и доцентов вузов готовы помочь вам в написании работы прямо сейчас.

Подробнее Гарантии Отзывы

Итак, как говорится, от элементарного к сложному. Начнём с кинетических формул:

Также давайте вспомним движение по кругу:

 

Медленно, но уверенно мы перешли более сложной теме – к динамике:

Уже после динамики можно перейти к статике, то есть к условиям равновесия тел относительно оси вращения:

После статики можно рассмотреть и гидростатику:

Куда же без темы “Работа, энергия и мощность”. Именно по ней даются много интересных, но сложных задач. Поэтому без формул здесь не обойтись:

Основные формулы термодинамики и молекулярной физики

Последняя тема в механике – это “Колебания и волны”:

Теперь можно смело переходить к молекулярной физике:

Плавно переходим в категорию, которая изучает общие свойства макроскопических систем. Это термодинамика:

Основные формулы электричества

Для многих студентов тема про электричество сложнее, чем про термодинамика, но она не менее важна. Итак, начнём с электростатики:

Переходим к постоянному электрическому току:

Далее добавляем формулы по теме: “Магнитное поле электрического тока”

Электромагнитная индукция тоже важная тема для знания и понимания физики. Конечно, формулы по этой теме необходимы:

Ну и, конечно, куда же без электромагнитных колебаний:

 

Основные формулы оптической физики

Переходим к следующему разделу по физике – оптика. Здесь даны 8 основных формул, которые необходимо знать. Будьте уверены, задачи по оптике – частое явление:

Основные формулы элементов теории относительности

И последнее, что нужно знать перед экзаменом. Задачи по этой теме попадаются реже, чем предыдущие, но бывают:

Основные формулы световых квантов

Этими формулами приходится часто пользоваться в силу того, что на тему “Световые кванты” попадается немало задач. Итак, рассмотрим их:

На этом можно заканчивать. Конечно, по физике есть ещё огромное количество формул, но они вам не столь не нужны.

Это были основные формулы физики

В статье мы подготовили 50 формул, которые понадобятся на экзамене в 99 случая из 100.

Совет: распечатайте все формулы и возьмите их с собой. Во время печати, вы так или иначе будете смотреть на формулы, запоминая их. К тому же, с основными формулами по физике в кармане, вы будете чувствовать себя на экзамене намного увереннее, чем без них.

Надеемся, что подборка формул вам понравилась!

P.S. Хватило ли вам 50 формул по физике, или статью нужно дополнить? Пишите в комментариях.

Вычисление значений в сводной таблице

В сводных таблицах можно рассчитывать данные разными способами. Вы узнаете о доступных методах вычислений, о влиянии типа исходных данных на вычисления и о том, как использовать формулы в сводных таблицах и на сводных диаграммах.

Доступные методы вычислений

Для вычисления значений в сводной таблице можно использовать любые из описанных ниже методов.

• Функции сведения в полях значений.    В сводной таблице в области значений отображаются сводные данные, вычисленные на основе исходных данных. Рассмотрим пример с такими исходными данными:

• Сводная таблица и сводная диаграмма выглядят, как показано на рисунке ниже. Если создать сводную диаграмму на основе данных из сводной таблицы, то значения на диаграмме будут соответствовать вычислениям в связанной сводной таблице.

• В сводной таблице поле столбца

  Месяц содержит элементы Март и Апрель. Поле строки Регион содержит элементы Север, Юг, Восток и Запад. Значение на пересечении столбца Апрель и строки Север — это общая выручка от продаж, определенная по исходным данным, для которых столбец Месяц содержит значение Апрель, а столбец Регион — значение Север.

• В сводной диаграмме поле Регион может представлять собой поле категорий, в котором элементы Север, Юг, Восток и Запад отображаются как категории. Поле Месяц поле может быть полем рядов, в котором элементы Март, Апрель и Май отображаются как ряды, представленные в легенде. Поле значений с именем Сумма продаж может содержать маркеры данных, которые представляют общую выручку в каждом регионе за каждый месяц. Например, один маркер данных может представлять (своим положением на вертикальной оси, т. е. оси значений) сумму продаж за месяц

  Апрель в регионе Север.

• Ниже перечислены функции сведения, с помощью которых можно вычислять поля значений. Эти функции доступны для всех типов исходных данных, кроме OLAP.

Функция	Сведение данных
Сумма	Сумма значений. Функция по умолчанию для числовых данных.
Количество	Число значений. Действует аналогично функции СЧЁТЗ. Функция по умолчанию для данных, отличных от числовых.
Среднее	Среднее арифметическое.
Максимум	Наибольшее значение.
Минимум	Наименьшее значение.
Произведение	Произведение значений.
Количество чисел	Количество числовых значений. Действует аналогично функции СЧЁТ.
Стандартное отклонение	Оценка стандартного отклонения генеральной совокупности, где выборка является подмножеством всей генеральной совокупности.
Несмещенное отклонение	Стандартное отклонение генеральной совокупности, которая содержит все сводимые данные.
Дисперсия	Оценка дисперсии генеральной совокупности, где выборка является подмножеством всей генеральной совокупности.
Несмещенная дисперсия	Дисперсия генеральной совокупности, которая содержит все сводимые данные.

• Настраиваемые вычисления.    Служат для отображения значений на основе других элементов или ячеек в области данных. Например, можно отобразить значения в поле данных Сумма продаж как процент от продаж за месяц Март или как нарастающий итог по элементам в поле Месяц.

  Для настраиваемых вычислений в полях значений доступны перечисленные ниже функции.

Функция	Результат
Без вычислений	Значение, введенное в данное поле.
% от общей суммы	Значения в процентах от общей суммы всех значений или точек данных в отчете.
% от суммы по столбцу	Все значения в каждом столбце или ряду в процентах от итогового значения по этому столбцу или ряду.
% от суммы по строке	Значение в каждой строке или категории в процентах от итогового значения по этой строке или категории.
Доля	Значения в процентах от значения базового элемента в соответствующем базовом поле.
% от суммы по родительской строке	Рассчитывает значения следующим образом: (значение элемента) / (значение родительского элемента по строкам).
% от суммы по родительскому столбцу	Рассчитывает значения следующим образом: (значение элемента) / (значение родительского элемента по столбцам).
% от родительской суммы	Рассчитывает значения следующим образом: (значение элемента) / (значение родительского элемента в выбранном базовом поле).
Отличие	Значения в виде разности по отношению к значению базового элемента в соответствующем базовом поле.
Приведенное отличие	Значения в виде разности в процентах по отношению к значению базового элемента в соответствующем базовом поле.
С нарастающим итогом в поле	Значение в виде нарастающего итога для последовательных элементов в базовом поле.
% от суммы с нарастающим итогом в поле	Значение в виде нарастающего итога в процентах для последовательных элементов в базовом поле.
Сортировка от минимального к максимальному	Ранг выбранных значений в определенном поле с учетом того, что наименьшему из них присваивается значение 1, а остальным — значения более высокого ранга соответственно.
Сортировка от максимального к минимальному	Ранг выбранных значений в определенном поле с учетом того, что наибольшему значению в поле присваивается значение 1, а каждому меньшему значению — более высокий ранг.
Индекс	Рассчитывает значения следующим образом: ((значение в ячейке) x (общий итог)) / ((итог строки) x (итог столбца)).

• Формулы.    Если функции сведения и настраиваемые вычисления не дают желаемых результатов, вы можете создать собственные формулы в вычисляемых полях и вычисляемых объектах. Например, можно добавить вычисляемый объект с формулой расчета комиссионных за продажу, которые могут быть разными в различных регионах. Эти комиссионные будут автоматически включены в промежуточные и общие итоги в отчете.

Влияние типа источника данных на вычисления

Доступность вычислений и параметров в отчете зависит от того, получены ли исходные данные из базы данных OLAP.

• Вычисления на основе исходных данных OLAP.    При создании сводных таблиц на основе кубов OLAP сводные значения вычисляются на сервере OLAP еще до отображения результатов в Excel. В сводной таблице невозможно изменить способ вычисления этих значений. Например, вы не сможете выбрать другую функцию сведения для вычисления полей данных или промежуточных итогов и добавить вычисляемые поля или вычисляемые объекты.

  Кроме того, если сервер OLAP предоставляет вычисляемые поля, называемые «вычисляемыми элементами», вы увидите их в списке полей сводной таблицы. Вы также увидите все вычисляемые поля и вычисляемые объекты, созданные с помощью макросов, которые написаны на языке Visual Basic для приложений (VBA) и хранятся в книге, но не сможете их изменить. Если вам нужны дополнительные типы вычислений, обратитесь к администратору базы данных OLAP.

  Если исходные данные получены из базы данных OLAP, то при вычислении промежуточных и общих итогов можно включить или исключить значения для скрытых элементов.

• Вычисления на основе исходных данных не из базы данных OLAP.    В сводных таблицах, основанных на внешних данных других типов или на данных листа Excel, для вычисления полей значений, содержащих числовые данные, используется функция «Сумма», а для вычисления полей данных, содержащих текст, — функция «Количество». Для дальнейшего анализа и обработки своих данных вы можете выбрать другие функции сведения, например «Среднее», «Максимум» или «Минимум». Кроме того, можно создавать собственные формулы, в которых используются элементы отчета или другие данные листа. Для этого нужно создать вычисляемое поле или вычисляемый объект в поле.

Использование формул в сводных таблицах

Формулы можно создавать только в отчетах, которые основаны на исходных данных, полученных не из источника данных OLAP. В отчетах, основанных на базе данных OLAP, формулы не поддерживаются. При использовании формул в сводных таблицах нужно учитывать описанные ниже правила синтаксиса и поведения формул.

• Элементы формулы сводной таблицы.    В формулах, которые создаются для вычисляемых полей и вычисляемых объектов, можно использовать операторы и выражения, как и в других формулах на листе. Также можно использовать константы и ссылаться на данные из отчета, но не допускается использование ссылок на ячейки и определенных имен. Невозможно использовать функции листа, для которых нужны аргументы в виде ссылок на ячейки или определенных имен, а также формулы массива.

• Имена полей и элементов.    В Excel имена полей и элементов используются для идентификации этих элементов отчета в формулах. В приведенном ниже примере для данных в диапазоне C3:C9 используется имя поля Молоко. Для вычисляемого объекта в поле Тип, оценивающего объем продаж нового продукта на основе данных о продажах молочных продуктов, можно использовать формулу =Молоко * 115%.

  Примечание: На сводной диаграмме имена полей отображаются в списке полей сводной таблицы, а имена элементов можно просмотреть в каждом раскрывающемся списке полей. Не следует путать эти имена с теми, которые отображаются в подсказках к диаграммам и соответствуют именам рядов и точек данных.

• Формулы работают с итоговыми суммами, а не с отдельными записями.    Формула для вычисляемого поля оперирует суммой исходных данных для каждого используемого поля. Например, формула вычисляемого поля =Продажи * 1,2 умножает сумму продаж для каждого типа и региона на 1,2, а не умножает каждое отдельное значение продаж на 1,2 с последующим суммированием полученных величин.

  Формулы для вычисляемых объектов оперируют отдельными записями. Например, формула вычисляемого объекта =Молоко * 115% умножает каждое отдельное значение продаж молочных продуктов на 115 %, после чего полученные величины суммируются в области «Значения».

• Пробелы, цифры и символы в именах.    В имени, которое содержит два или несколько полей, их порядок не имеет значения. В примере выше ячейки C6:D6 могут называться ‘Апрель Север’ или ‘Север Апрель’. Имена, которые состоят из нескольких слов либо содержат цифры или символы, нужно заключать в одинарные кавычки.

• Итоги.    Формулы не могут ссылаться на итоговые значения (в примере выше — это Сумма за март, Сумма за апрель и Общий итог).

• Имена полей в ссылках на элементы.    Вы можете включить имя поля в ссылку на элемент. Имя элемента должно быть заключено в квадратные скобки, например: Регион[Север]. Используйте этот формат, чтобы избежать ошибок #ИМЯ?, которые возникают, если два элемента в двух разных полях отчета имеют одинаковые имена. Например, если в отчете есть два элемента с именем «Мясо» в полях «Тип» и «Категория», можно избежать появления ошибок #ИМЯ?, ссылаясь на эти элементы следующим образом: Тип[Мясо] и Категория[Мясо].

• Ссылки на элементы по позиции.    Вы можете сослаться на элемент, указав его позицию в отчете (с учетом того, какие элементы фактически отображаются и как они отсортированы в настоящий момент). Тип[1] — это Молоко, а Тип[2] — Морепродукты. Когда позиции элементов изменятся, например, если какие-то из них будут скрыты или снова отображены, такая ссылка, возможно, будет указывать на другой элемент. Скрытые элементы не учитываются в этом индексе.

  Для ссылки на элементы можно использовать относительные позиции. Они определяются относительно вычисляемого объекта, содержащего формулу. Если текущим регионом является Юг, то Регион[-1] — это Север. Если текущим регионом является Север, то Регион[+1] — это Юг. Например, для вычисляемого объекта можно использовать формулу =Регион[-1] * 3%. Например, для вычисляемого объекта можно использовать формулу =Регион[-1] * 3%. Если позиция, которую вы указали, находится перед первым или после последнего элемента в поле, формула возвращает ошибку #ССЫЛКА!.

Использование формул в сводных диаграммах

Чтобы использовать формулы в сводной диаграмме, их нужно создать в связанной сводной таблице. Там вы увидите отдельные значения, из которых состоят данные, а затем сможете посмотреть на результаты в графическом представлении на сводной диаграмме.

Например, на этой сводной диаграмме представлены данные о продажах для каждого продавца по регионам:

Чтобы посмотреть, как будут выглядеть объемы продаж, если увеличатся на 10 %, можно создать вычисляемое поле в связанной сводной таблице и воспользоваться формулой =Продажи * 110%.

Результат сразу отображается на сводной диаграмме, как показано на этом рисунке:

Чтобы отобразить отдельный маркер данных для продаж в регионе «Север» за вычетом транспортных расходов, которые составляют 8 %, можно создать в поле «Регион» вычисляемый объект с такой формулой: =Север – (Север * 8%).

Диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Однако вычисляемый объект, созданный в поле «Продавец», будет отображаться как ряд, представленный в легенде, и появится на диаграмме в виде точки данных в каждой категории.

Накопитель

Накопитель

Накопитель, так же, как и поток, является основным элементом системно-динамических диаграмм потоков и накопителей. В системной динамике накопители используются для представления таких объектов реального мира, в которых сосредотачиваются некоторые ресурсы — это могут быть деньги, вещества, численности (определенных категорий) людей, какие-то материальные объекты и т.п. Накопители задают статическое состояние моделируемой системы. Их значения изменяются с течением времени согласно существующим в системе потокам. Таким образом, потоки задают динамику системы. Входящие в накопитель потоки увеличивают значение накопителя, а исходящие из него потоки, соответственно, его уменьшают.

Ниже приведем примеры накопителей и потоков:

Накопитель	Входящие потоки	Исходящие потоки
банковский баланс	пополнение депозита	снятие средств
население	рождения иммиграция	смерти эмиграция
бак с горючим	заправка	потребление горючего

Чтобы создать накопитель

1. Перетащите элемент Накопитель из палитры Системная динамика на диаграмму агента.

2. Перейдите в панель Свойства и введите имя накопителя в поле Имя.
3. Задайте начальное значение накопителя в поле Начальное значение. Вы можете ввести здесь какое-то значение, либо формулу,

Согласно нотации системной динамики все взаимосвязи в диаграмме потоков и накопителей должны быть заданы графически, т.е. все упоминаемые в выражении переменные и параметры должны быть соединены с накопителем связями.

Для удобства работы AnyLogic поддерживает механизм быстрого добавления отсутствующих связей — когда вы закончите написание формулы, то увидите, что слева от строки формулы будет отображаться индикатор ошибки:

Щелкнув мышью по этому индикатору, вы увидите контекстное меню, в котором вам будет предложено создать отсутствующие связи с упоминаемыми элементами. Выбирая пункт меню, вы автоматически создаете соответствующую связь.

4. Формула, определяющая, как значение накопителя изменяется с течением времени, по умолчанию не редактируется — она создается автоматически, в соответствии с потоками, втекающими в накопитель и/или вытекающими из него. Но если вам нужно иметь возможность изменять формулу накопителя (например, если вы используете его как элемент системы дифференциальных уравнений в модели динамической системы), то вы можете выбрать в группе кнопок Режим задания уравнения опцию Произвольный — тогда вы сможете редактировать уравнение накопителя, используя в выражении любые функции и переменные модели, самостоятельно задавая правую часть дифференциального уравнения, определяющего значение накопителя, в поле d(имя_накопителя)/dt =.
5. Если у этого накопителя несколько размерностей, объявите его массивом и задайте начальные значения для его элементов, как описано здесь.
6. Если вы задаете для переменных диаграммы потоков и накопителей единицы измерения, сделайте это и для этого накопителя, выбрав флажок Единицы измерения (сист. динамика) в секции Специфические и введя название единицы в этом поле. Более полную информацию о задании единиц измерения и проверке их соответствия в рамках модели вы можете найти здесь.
7. Если нужно, вы можете изменить цвет и размер значка накопителя, см. ниже.

Свойства

Основные свойства

Имя – Имя накопителя. Имя используется для идентификации накопителя и доступа к нему из формул других переменных.

Отображать имя – Если опция выбрана, то имя накопителя будет отображаться в графическом редакторе.

Исключить – Если опция выбрана, то накопитель будет исключен из модели.

Отображается на верхнем агенте – Если опция выбрана, то накопитель будет виден на презентации типа агента, в который будет вложен данный агент.

Видимость – Если опция выбрана, то накопитель будет отображаться на презентации во время выполнения модели.

Цвет – Здесь вы можете изменить цвет значка накопителя.

Массив – Если опция выбрана, то эта переменная будет массивом. Свойства переменных типа массив отличаются от свойств скалярных переменных. Вместо одного поля, в котором задается формула, определяющая значение этого накопителя, может присутствовать сразу несколько таких полей, позволяющих задавать различные формулы для различных подмассивов или отдельных элементов массива. Чтобы добавить новый раздел свойств для задания еще одной формулы, щелкните по кнопке Добавить формулу. Задание формул для элементов массивов и подмассивов описано здесь.

Начальное значение – Начальное значение накопителя. Если значение задано не будет, то автоматически будет подразумеваться, что начальное значение накопителя равно 0.
Если это накопитель-массив, то его проще инициализировать с помощью редактора начальных значений, открываемого по нажатию расположенной рядом кнопки Редактировать…. (Инициализация массива (то есть, задание начальных значений его элементов) описана здесь). Если вы этого не сделаете, то автоматически будет подразумеваться, что все элементы массива изначально равны нулю.

Режим задания уравнения – Есть два режима задания уравнения накопителя:Классический и Произвольный.
В классическом режиме пользователь не может редактировать формулу — она составляется автоматически в соответствии со втекающими в накопитель и вытекающими из него потоками (используется обычно при построении классических моделей системной динамики).
В произвольном режиме уравнение можно редактировать, используя в нем любые переменные, параметры и функции модели, без каких бы то ни было ограничений (используется, например, для задания с помощью накопителей системы дифференциальных уравнений в моделях динамических систем).

d(имя_накопителя)/dt = – [Доступно, если Режим задания уравнения — Произвольный] Здесь вы можете задать правую часть дифференциального уравнения, определяющего, как будет изменяться значение накопителя с течением времени.
Если это переменная - массив, то вы можете добавить дополнительные поля, позволяющие задать формулы для каких-то определенных элементов или подмассивов данного массива. Чтобы добавить новый раздел свойств для задания еще одной формулы, щелкните по кнопке Добавить формулу. Задание формул для элементов массивов и подмассивов описано здесь

Размерности массива

Свойства, расположенные на странице Массив, доступны только в том случае, если данная переменная уже объявлена массивом. Для этого нужно установить флажок Массив в секции выше.

Возможные размерности – Список доступных в модели размерностей.

Выбранные размерности – Список размерностей, которые будут играть роль размерностей этого массива.

С помощью этих свойств задаются размерности массива.
Более подробная информация дана в разделе Задание переменной-массива.

Специфические

Единицы измерения (сист. динамика) – Если опция выбрана, то вы можете задать для потока единицы измерения.

Обычно в накопители (и/или из них) ведут потоки. Вы можете найти всю информацию о потоках и их добавлении здесь. Полностью процесс создания несложной модели системной динамики описан в соответствующем Учебном пособии.

Классический и произвольный режимы задания формулы

AnyLogic поддерживает два режима задания формулы для накопителя: Классический и Произвольный.

Классический

В классическом режиме AnyLogic автоматически создает формулу для накопителя в соответствии с задаваемой пользователем диаграммой потоков и накопителей.

Значение накопителя в каждый момент времени вычисляется в соответствии с дифференциальным уравнением, правая часть которого составляется следующим образом: значения входящих потоков, то есть, тех, которые увеличивают значение накопителя, добавляются, а значения исходящих потоков, соответственно, вычитаются из текущего значения накопителя:

входящий_поток1 входящий_поток2 … — исходящий_поток1 — исходящий_поток2 …

В классическом режиме формула накопителя недоступна для редактирования, в ней могут фигурировать только потоки.

Произвольный

На тот случай, если пользователю нужно выйти за рамки, накладываемые классической нотацией системной динамики (например, если накопитель используется в модели динамической системы), Anylogic поддерживает Произвольный режим задания формулы, в котором пользователь может изменять формулу накопителя, включая в правую часть дифференциального уравнения любые элементы модели без каких бы то ни было ограничений.

Обратите внимание, что если вы выберете Произвольный режим задания формулы, то вам придется самому следить за актуальностью формулы этого накопителя. Если вы переименуете какой-либо элемент, фигурирующий в этой формуле, то вам нужно будет произвести переименование всех ссылок на данный элемент, чтобы элемент был также переименован и в формуле накопителя.

Изменение внешнего вида накопителя

Чтобы изменить цвет накопителя

1. Выделите накопитель, щелкнув по нему в графическом редакторе или в панели Проекты.
2. Перейдите в панель Свойства и выберите нужный вам цвет с помощью параметра Цвет.

Чтобы изменить размер значка накопителя

1. Выделите накопитель, щелкнув по нему в графическом редакторе.

2. Вы увидите маленький прямоугольник — маркер в нижнем правом углу значка накопителя. Перетаскивая мышью этот маркер, вы можете изменять размер накопителя:

Более того, помимо анимации накопителя с помощью его значка, вы можете нарисовать для накопителя анимацию любого уровня сложности, см. приведенную ниже демо модель:

---

См. также

Системная динамика

Потоки

Просмотр значений и графиков переменных

Изменение значений переменных

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Расписание торжественных собраний, посвященных Дню знаний, и начало занятий в университете Поздравляем студентов, профессорско-преподавательский состав и сотрудников с предстоящим Днем знаний и началом учебного года! Занятия студентов очной формы обучения всех направлений подготовки и специальности 2-6 курсов начинаются 1 сентября по расписанию 1-ой недели. 1-го сентября состоятся торжественные собрания для студентов 1-го курса (занятий по расписанию в этот день для 1 курса не будет). Начало занятий студентов 1-го курса со 2 сентября. Списки групп будут размещены на сайте университета 27.08.2021 в первой половине дня.Расписание занятий можно найти на сайте университета в разделе «Студентам», а также в учебных корпусах университета на стендах расписаний. В связи с возможной заменой преподавателей в потоках и группах просим преподавателей и студентов после 1 сентября 2021 года проводить регулярную сверку расписания занятий. Информация об организационных собраниях студентов и расписании очно-заочной и заочной форм обучения …

Центр по внеучебной и воспитательной работе НГАСУ (Сибстрин) поздравляет первокурсников и приглашает присоединиться к творческим коллективам университета! Дорогой первокурсник! Сибстрин – это не только учеба и гарантированное трудоустройство, это место, где ты по-новому откроешь себя и свои возможности! Здесь каждый студент сможет найти занятие по душе, реализовать свой творческий и личностный потенциал и, конечно, найти друзей и единомышленников. Студенческие коллективы вуза принимают участие во множестве университетских мероприятий, а также проектах, конкурсах и фестивалях от городского до международного уровня, где регулярно занимают первые и призовые места. Структура, которая отвечает за данное направление, называется Центр по внеучебной и воспитательной работе НГАСУ (Сибстрин). ЦВВР курирует деятельность творческих коллективов…

Студентов старших курсов приглашают участвовать во Всероссийском конкурсе молодых специалистов строительных вузов MC-Student 2021 Компания МС-Bauchemie – один из ведущих мировых производителей строительных материалов и разработчик технологий их эффективного применения – приглашает студентов последних курсов НГАСУ (Сибстрин) принять участие во Всероссийском конкурсе молодых специалистов строительных вузов MC-Student 2021. MC-Student – российский молодежный ежегодный конкурс, направленный на привлечение и последующий отбор талантливых студентов, обучающихся на строительных специальностях. Он проводится среди студентов российских регионов, обучающихся в строительных вузах. В этом году победители попадают на стажировку в компанию в 2022 году с возможным последующим трудоустройством, а все участники конкурса попадают в кадровый резерв компании….

Второй федеральный Просветительский марафон «Новое Знание» пройдет с 1 по 3 сентября Второй федеральный просветительский марафон «Новое Знание» стартует по всей стране во Всероссийский День знаний – 1 сентября. На мероприятии выступят звезды науки, культуры, спорта, бизнеса и выдающиеся государственные деятели. В роли лекторов и наставников – свыше 150 выдающихся российских и зарубежных ученых, государственных и общественных деятелей, а также звезды мировой культуры и спорта, историки, изобретатели, публицисты и успешные предприниматели. Они проведут открытие уроки в формате телемоста или записанного ролика ежедневно с 1 по 3 сентября по шести тематическим эфирам: знание, наука и технологии, история и культура, цифровой мир и медиа, спорт, бизнес.

формулы, определение, задачи / Блог / Справочник :: Бингоскул

Кратко о 2 законе Ньютона: формулы, определение, задачи

Ньютон установил связь между ускорением и силой, где F – сила, действующая на тело массой m, вызывает ускорение тела равное – a.

 

Помни!!!

• 2 закон Ньютона называют еще основным законом динамики.
• Под телом подразумевают материальную точку, движение которой рассматривают в инерциальной системе отсчета.

---

1. Формулировка

«В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки»

2. Определение

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение, причем направления силы и ускорения совпадают.

Если на тело действует сила, то оно приобретает ускорение.

3. Формула

Математически второй закон Ньютона записать в виде:

m\overrightarrow { a } =\overrightarrow { F }

• m — масса материальной точки
• \overrightarrow { F } — сила действующая на тело/ускорение материальной точки
• \overrightarrow { a } — ускорение тела

Второй закон Ньютона в импульсной форме:

\frac { d \overrightarrow { p } } { dt } =\overrightarrow { F }

• \overrightarrow { p } — импульс точки,

\overrightarrow { p } = m\overrightarrow { v }

• \overrightarrow { v } — скорость точки.
• \frac { d \overrightarrow { p } } { dt } — производная импульса по времени.

 

Единица измерения — единица силы — 1 Н (1 ньютон) — сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с².

1 Н = 1 кг · 1 м/с² = 1 кг · м/с².

 

Ускорение, приобретаемое материальной точкой в ИСО:

• Прямо пропорционально действующей на точку силе;
• Обратно пропорционально массе точки;
• Направлено в сторону действия силы.

Если на тело одновременно действуют несколько сил — F1,F2 и F3, то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

F=F1+F2+F3

Задачи с ответами смотри в задании 2 по физике.

---

Смотри также:

Динамика — раздел теоретической механики.

Динамика



Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика есть часть теоретической механики, изучающая механическое движение тел в зависимости от сил, влияющих на это движение.

Основы динамики заложил итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642), который опроверг существовавшее в науке со времен Аристотеля (IV в. до н.э.) заблуждение о том, что из двух тел, падающих на Землю, более тяжелое движется быстрее. Галилей установил, что причиной изменения скорости тела является сила, т. е. любое ускорение или замедление вызывается силовым воздействием.
На основе выводов Г. Галилея англичанин И. Ньютон сформулировал основные аксиомы (законы) движения, ставшие фундаментом, на который сотни лет опирается классическая физика, в том числе и современная.

Динамика основывается на ряде положений, которые являются аксиомами и называются законами динамики.
Прежде чем перейти к рассмотрению этих законов, необходимо раскрыть сущность понятий материальной точки и изолированной материальной точки.
Под материальной точкой подразумевают некое тело, имеющее определенную массу (т. е. содержащее некоторое количество материи), но не имеющее линейных размеров (бесконечно малый объем пространства).
Изолированной считается материальная точка, на которую не оказывают действие другие материальные точки.
В реальном мире изолированных материальных точек, как и изолированных тел, не существует, это понятие является условным.

***

Первый закон Ньютона (первый закон динамики)

Первый закон динамики, называемый аксиомой инерции, формулируется в применении к материальной точке так: изолированная материальная точка либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.

В кинематике было установлено, что прямолинейное равномерное движение является единственным видом движения, при котором ускорение равно нулю, поэтому аксиому инерции можно сформулировать следующим образом: ускорение изолированной материальной точки равно нулю.

Итак, изолированная от влияния окружающих тел материальная точка не может сама себе сообщить ускорение. Это свойство тел называют инерцией или инертностью, т. е. инертность (инерция) – свойство тел сохранять скорость по модулю и направлению (в т. ч. и покой – состояние, при котором скорость равна нулю). Изменить скорость, т. е. сообщить материальной точке ускорение способна только приложенная к ней сила.

***

Второй закон Ньютона (второй закон динамики)

Зависимость между силой и сообщаемым ею ускорением устанавливает второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение, сообщаемое материальной точке силой, имеет направление силы и пропорционально ее модулю.

Если сила F₁ сообщает материальной точке ускорение a₁, а сила F₂ сообщает этой же точке ускорение a₂, то на основании второго закона Ньютона можно записать:

F₁/F₂ = a₁/a₂   или   F₁/a₁ = F₂/a₂.

Следовательно, для данной материальной точки отношение любой силы к вызываемому ею ускорению есть величина постоянная. Эту величину (отношение силы к ускорению) называют массой материальной точки, и обозначают ее m:

F/a = m = const.

На основании этого равенства можно сделать выводы:
— две материальные точки, имеющие одинаковые массы, получат от одной и той же силы одинаковые ускорения;
— чем больше масса точки, тем большую силу необходимо приложить, чтобы придать данной точке требуемое ускорение.

***



Что такое масса тела

Масса – одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства. Ньютон называл массой количество материи, заключенной в теле, считая массу каждого тела величиной постоянной.
Современное представление о мире, после открытий, совершенных А. Эйнштейном, опровергает этот вывод И. Ньютона – масса не является постоянной величиной для тела, она зависит от скорости, с которой это тело движется. Так, например, наблюдения за движением заряженных частиц в ускорителях показали, что инертность частицы (т. е. способность сохранять свою скорость) возрастает с увеличением ее скорости.

Теория относительности устанавливает следующую зависимость между массой тела, находящегося в покое, и массой движущегося тела:

m = m₀/√(1 – v²/c²),

где m – масса движущегося тела, m₀ – масса покоящегося тела (масса покоя), v = скорость движения тела, c – скорость света.

Из этой формулы видно, что чем больше скорость движения тела, тем больше его масса и, следовательно, тем труднее сообщить ему дальнейшее ускорение. При скоростях близких к скорости света масса тела стремится к бесконечности, и для дальнейшего ускорения такого тела требуется сила бесконечной величины.
Очевидно, что материальное тело не может двигаться со скоростью света, поскольку не существует реальная сила, способная ускорить его до такого состояния.

На основании теории относительности современная наука дает массе такое определение: масса есть мера инертности тела.
Однако заметное изменение массы (инертности) тела наблюдается лишь при очень больших скоростях, близких к скорости света, поэтому в классической физике массу принимают величиной постоянной, при этом погрешности, возникающие в расчетах, являются ничтожно малыми.

Второй закон Ньютона выражается равенством:

F = ma,

которое называется основным уравнением динамики и читается так: сила есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение.
Основное уравнение динамики является уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Ускорение свободного падения

Опытным путем установлено, что под действием притяжения Земли в вакууме тела падают с одинаковым ускорением, которое называется ускорением свободного падения.

Следует отметить, что это явление будет верным для конкретного географического места на поверхности планеты или над ее поверхностью – ускорение свободного падения не является постоянной величиной и зависит, в частности, от расстояния между центром тяжести тела и центром тяжести нашей планеты, а также от существования центробежной силы инерции, вызываемой вращением Земли.
Так, на полюсах ускорение свободного падения g ≈ 9,83 м/с², а на экваторе g ≈ 9,78 м/с². Но в приближенных расчетах принимают среднее значение, равное примерно g ≈ 9,81 м/с², при этом погрешности результатов незначительны.

Итак, сила тяжести тела равна его массе, умноженной на ускорение свободного падения. Если сила тяжести одного тела G₁ = m₁/g, а второго тела – G₂ = m₂/g, то

G₁/G₂ = (m₁g)/(m₂g) = m₁/m₂,

т. е. силы тяжести тел пропорциональны их массам, что позволяет сравнивать массы различных тел путем взвешивания (сравнивания их сил тяжести при помощи весов).

Из второго закона Ньютона следует, что под действием постоянной силы находившаяся в покое свободная материальная точка движется прямолинейно равнопеременно (с постоянным ускорением).

Движение под действием постоянной силы может быть и прямолинейным и криволинейным (в последнем случае материальная точка имеет начальную скорость, вектор которой не совпадает с вектором силы). Пример движения под действием постоянной силы – свободное падение тел.

***

Третий закон Ньютона

К основным законам динамики относится и рассмотренная в Статике аксиома взаимодействия, или третий закон Ньютона.
Применительно к материальной точке закон формулируется так: силы взаимодействия двух материальных точек по модулю равны между собой и направлены в противоположные стороны (действие равно противодействию).

На основании этого закона можно сделать вывод, что сила, как мера взаимодействия между телами, не может проявляться без пары, т. е. если возникает какое-либо силовое воздействие, то существует и «двойник» этого силового воздействия, равный по модулю и противоположный по вектору.

***

Дифференциальные уравнения движения материальной точки



Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Правильные ответы на тестовые вопросы по разделу «Динамика»:
Тест №1     2-3-2-1-1
Тест №2     4-2-4-3-1
Тест №3     3-1-1-2-4
Тест №4     4-2-1-2-3
Тест №5     1-1-4-3-2
Тест №6     1-3-3-2-4
Тест №7     2-2-4-1-3

Веб-сайт класса физики

Законы движения Ньютона: обзор набора задач

Этот набор из 30 задач нацелен на вашу способность различать массу и вес, определять чистую силу по значениям отдельных сил, связывать ускорение с чистой силой и массой, анализировать физические ситуации, чтобы нарисовать диаграмму свободного тела и решить неизвестная величина (ускорение или значение индивидуальной силы) и объединить анализ второго закона Ньютона с кинематикой для определения неизвестной величины (кинематической величины или значения силы).Проблемы варьируются по сложности от очень простых и простых до очень сложных и сложных. Более сложные задачи обозначены цветом , синие задачи .

Масса против веса

Этот набор из 30 задач нацелен на вашу способность различать массу и вес, определять чистую силу по значениям отдельных сил, связывать ускорение с чистой силой и массой, анализировать физические ситуации, чтобы нарисовать диаграмму свободного тела и решить ее. неизвестная величина (ускорение или индивидуальное значение силы), масса — это величина, которая зависит от количества вещества, присутствующего в объекте; обычно выражается в килограммах.Масса материи, которой обладает объект, не зависит от его местоположения во Вселенной. С другой стороны, вес — это сила тяжести, с которой Земля притягивает к себе объект. Поскольку гравитационные силы меняются в зависимости от местоположения, вес объекта на поверхности Земли отличается от его веса на Луне. Вес, как сила, чаще всего выражается в метрических единицах измерения в ньютонах. Каждое место во Вселенной характеризуется постоянной гравитационного поля, представленной символом g (иногда называемое ускорением свободного падения).Вес (или F _grav ) и масса ( м ) связаны уравнением:

F _грав = m • g

Второй закон движения Ньютона

Второй закон движения Ньютона гласит, что ускорение ( a ), испытываемое объектом, прямо пропорционально чистой силе ( F _net ), испытываемой объектом, и обратно пропорционально массе объекта.В форме уравнения можно сказать, что a = F _net / m . Чистая сила — это векторная сумма всех индивидуальных значений силы. Если величина и направление отдельных сил известны, то эти силы могут быть добавлены как векторы для определения результирующей силы. Следует обратить внимание на векторную природу силы. Направление важно. Поднимающую силу и прижимающую силу можно добавить, присвоив прижимной силе отрицательное значение, а восходящей силе положительное значение. Аналогичным образом, сила, направленная вправо, и сила, направленная влево, могут быть добавлены путем присвоения левой силе отрицательного значения и правой силы положительного значения.

Уравнение a = F _net / m можно использовать как формулу для решения проблем и как руководство к размышлениям. При использовании уравнения в качестве формулы для решения проблемы важно, чтобы числовые значения двух из трех переменных в уравнении были известны, чтобы найти неизвестную величину. При использовании уравнения в качестве руководства к размышлениям необходимо учитывать прямые и обратные отношения между ускорением и чистой силой и массой. Двукратное или трёхкратное увеличение чистой силы вызовет такое же изменение ускорения, удвоение или утроение его значения.Увеличение массы в два или три раза вызовет обратное изменение ускорения, уменьшив его значение в два или три раза.

Диаграммы свободного тела

Диаграммы свободного тела представляют силы, которые действуют на объект в данный момент времени. Отдельные силы, действующие на объект, представлены векторными стрелками. Направление стрелок указывает направление силы, а приблизительная длина стрелки представляет относительную величину силы.Силы обозначены в соответствии с их типом. Схема свободного тела может оказаться полезным подспорьем в процессе решения проблем. Он обеспечивает визуальное представление сил, действующих на объект. Если величины всех отдельных сил известны, диаграмму можно использовать для определения чистой силы. И если ускорение и масса известны, то можно рассчитать чистую силу, и диаграмму можно использовать для определения значения единственной неизвестной силы.

Коэффициент трения

Объект, который движется (или событие, пытающееся двигаться) по поверхности, встречает силу трения.Сила трения возникает из-за того, что две поверхности плотно прижаты друг к другу, вызывая межмолекулярные силы притяжения между молекулами разных поверхностей. Таким образом, трение зависит от природы двух поверхностей и от степени их прижатия друг к другу. Силу трения можно рассчитать по формуле:

F _frict = µ • F _norm

Символ µ (произносится как «мью») представляет коэффициент трения и будет отличаться для разных поверхностей.

Смешение законов Ньютона и кинематических уравнений

Кинематика относится к описанию движения объекта и фокусируется на вопросах, как далеко?, Как быстро?, Сколько времени? а с каким ускорением? Чтобы помочь ответить на такие вопросы, в модуле «Одномерная кинематика» были представлены четыре кинематических уравнения. Четыре уравнения перечислены ниже.

• d = v _o • t + 0.5 • а • т ²
• v _f = v _o + a • t
• v _f ² = v _o ² + 2 • a • d
• d = (v _o + v _f ) / 2 • t

где

• d = рабочий объем
• t = время
• a = ускорение
• v _o = исходная или начальная скорость
• v _f = конечная скорость

Законы Ньютона и кинематика разделяют один из этих общих вопросов: с каким ускорением? Ускорение (a) F _net = m • a уравнение — это то же ускорение, что и в кинематических уравнениях.Таким образом, общие задачи включают:

1. использование кинематической информации для определения ускорения, а затем использование ускорения в анализе законов Ньютона, или
2. использование информации о силе и массе для определения значения ускорения, а затем использование ускорения в кинематическом анализе.

При анализе словесной проблемы физики целесообразно идентифицировать известные величины и систематизировать их либо как кинематические, либо как величины типа F-m-a.

Привычки эффективно решать проблемы

Эффективный решатель проблем по привычке подходит к физическим проблемам таким образом, чтобы отражать набор дисциплинированных привычек. Хотя не все эффективные специалисты по решению проблем используют один и тот же подход, все они имеют общие привычки. Эти привычки кратко описаны здесь. Эффективное решение проблем …

• …. внимательно читает задачу и создает мысленную картину физической ситуации. При необходимости они набрасывают простую схему физической ситуации, чтобы помочь визуализировать ее.
• … определяет известные и неизвестные величины в организованном порядке, часто записывая их на диаграмме. Они приравнивают заданные значения к символам, используемым для представления соответствующей величины (например, v _o = 0 м / с, a = 2,67 м / с / с, v _f = ???).
• …построит стратегию решения неизвестной величины; стратегия, как правило, сосредоточена вокруг использования физических уравнений и во многом зависит от понимания физических принципов.
• … определяет подходящую (ые) формулу (ы) для использования, часто записывая их. При необходимости они выполняют необходимое преобразование количеств в правильные единицы.
• … выполняет подстановки и алгебраические манипуляции, чтобы найти неизвестную величину.

Подробнее …

Дополнительная литература / Учебные пособия:

Следующие страницы учебного пособия «Физический класс» могут быть полезны для понимания концепций и математики, связанных с этими проблемами.

Набор задач о законах движения Ньютона

Просмотреть набор задач

Законы Ньютона о движении Решения с аудиосистемой

Ознакомьтесь с аудиогидом решения проблемы:

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30

3.4 Движение с постоянным ускорением — University Physics Volume 1

3.4 Движение с постоянным ускорением

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определите, какие уравнения движения следует использовать для решения неизвестных.
• Используйте соответствующие уравнения движения для решения задачи преследования двух тел.

Вы можете догадаться, что чем больше ускорение, скажем, у автомобиля, удаляющегося от знака «Стоп», тем больше смещение автомобиля за данный момент времени.Но мы не разработали конкретное уравнение, которое связывает ускорение и смещение. В этом разделе мы рассмотрим некоторые удобные уравнения кинематических отношений, начиная с определений смещения, скорости и ускорения. Сначала мы исследуем движение одного объекта, называемого движением одного тела. Затем мы исследуем движение двух объектов, называемое задачами преследования двух тел.

Обозначение

Во-первых, сделаем несколько упрощений в обозначениях. Принятие начального времени равным нулю, как если бы время измерялось секундомером, является большим упрощением.Поскольку прошедшее время равно Δt = tf − t0Δt = tf − t0, принятие t0 = 0t0 = 0 означает, что Δt = tfΔt = tf, последнее время на секундомере. Когда начальное время принимается равным нулю, мы используем индекс 0 для обозначения начальных значений положения и скорости. То есть x0x0 — это начальная позиция , а v0v0 — начальная скорость . Мы не ставим индексы на окончательные значения. То есть t — это последнее время , x — это конечное положение , а v — это конечная скорость . Это дает более простое выражение для затраченного времени: Δt = tΔt = t.Это также упрощает выражение для смещения x , которое теперь равно Δx = x − x0Δx = x − x0. Кроме того, это упрощает выражение для изменения скорости, которое теперь равно Δv = v − v0Δv = v − v0. Подводя итог, используя упрощенные обозначения, с начальным временем, принятым равным нулю,

Δt = tΔx = x − x0Δv = v − v0, Δt = tΔx = x − x0Δv = v − v0,

, где нижний индекс 0 обозначает начальное значение, а отсутствие нижнего индекса означает конечное значение в любом рассматриваемом движении.

Теперь мы делаем важное предположение, что ускорение постоянно .Это предположение позволяет нам избегать использования расчетов для определения мгновенного ускорения. Поскольку ускорение постоянно, среднее и мгновенное ускорения равны, то есть

a– = a = постоянная. a– = a = постоянная.

Таким образом, мы можем использовать символ a для ускорения в любое время. Предположение, что ускорение является постоянным, не серьезно ограничивает ситуации, которые мы можем изучить, и не ухудшает точность нашего лечения. Во-первых, ускорение постоянно равно в большом количестве ситуаций.Кроме того, во многих других ситуациях мы можем точно описать движение, приняв постоянное ускорение, равное среднему ускорению для этого движения. Наконец, для движения, во время которого ускорение резко меняется, например, когда автомобиль разгоняется до максимальной скорости, а затем тормозит до остановки, движение можно рассматривать в отдельных частях, каждая из которых имеет собственное постоянное ускорение.

Смещение и положение от скорости

Чтобы получить наши первые два уравнения, мы начнем с определения средней скорости:

Подставляя упрощенные обозначения для ΔxΔx и ΔtΔt, получаем

v– = x − x0t.v– = x − x0t.

Решение относительно x дает нам

x = x0 + v – t, x = x0 + v – t,

3.10

, где средняя скорость

v– = v0 + v2.v– = v0 + v2.

3.11

Уравнение v– = v0 + v2v– = v0 + v2 отражает тот факт, что при постоянном ускорении v – v– представляет собой простое среднее значение начальной и конечной скоростей. Рисунок 3.18 графически иллюстрирует эту концепцию. В части (а) рисунка ускорение является постоянным, а скорость увеличивается с постоянной скоростью. Средняя скорость в течение 1-часового интервала от 40 км / ч до 80 км / ч составляет 60 км / ч:

v– = v0 + v2 = 40 км / ч + 80 км / ч3 = 60 км / ч.v– = v0 + v2 = 40 км / ч + 80 км / ч3 = 60 км / ч.

В части (b) ускорение не является постоянным. В течение 1-часового интервала скорость ближе к 80 км / ч, чем к 40 км / ч. Таким образом, средняя скорость больше, чем в части (а).

Фигура 3,18 (а) График зависимости скорости от времени с постоянным ускорением, показывающий начальную и конечную скорости v0andvv0andv. Средняя скорость равна 12 (v0 + v) = 60 км / ч22 (v0 + v) = 60 км / ч. (б) График зависимости скорости от времени с изменением ускорения со временем. Средняя скорость не равна 12 (v0 + v) 12 (v0 + v), но превышает 60 км / ч.

Решение окончательной скорости по ускорению и времени

Мы можем вывести еще одно полезное уравнение, манипулируя определением ускорения:

Подстановка упрощенных обозначений для ΔvΔv и ΔtΔt дает

а = v − v0t (константа). a = v − v0t (константа).

Решение для v дает

v = v0 + at (constanta). v = v0 + at (constanta).

3,12

Пример 3,7

Расчет конечной скорости

Самолет приземляется с начальной скоростью 70.0 м / с, а затем ускоряется против движения со скоростью 1,50 м / с ² за 40,0 с. Какова его конечная скорость?

Стратегия

Сначала мы идентифицируем известные: v0 = 70 м / с, a = -1,50 м / с2, t = 40sv0 = 70 м / с, a = -1,50 м / с2, t = 40 с.

Во-вторых, мы идентифицируем неизвестное; в данном случае это конечная скорость vfvf.

Наконец, мы определяем, какое уравнение использовать. Для этого мы выясняем, какое кинематическое уравнение дает неизвестное в терминах известных. Мы рассчитываем окончательную скорость, используя уравнение 3.12, v = v0 + atv = v0 + at.

Решение

Подставьте известные значения и решите: v = v0 + при = 70,0 м / с + (- 1,50 м / с2) (40,0 с) = 10,0 м / с v = v0 + при = 70,0 м / с + (- 1,50 м / с2) (40,0 с) = 10,0 м / с.

Рисунок 3.19 представляет собой эскиз, показывающий векторы ускорения и скорости.

Фигура 3,19 Самолет приземляется с начальной скоростью 70,0 м / с и замедляется до конечной скорости 10,0 м / с, прежде чем направиться к терминалу. Обратите внимание, что ускорение отрицательное, потому что его направление противоположно его скорости, которая положительна.

Значение

Конечная скорость намного меньше начальной скорости, требуемой при замедлении, но все же положительная (см. Рисунок). С реактивными двигателями обратная тяга может поддерживаться достаточно долго, чтобы остановить самолет и начать движение назад, на что указывает отрицательная конечная скорость, но в данном случае это не так.

Помимо полезности при решении задач, уравнение v = v0 + atv = v0 + at дает нам представление о взаимосвязях между скоростью, ускорением и временем.Мы видим, например, что

• Конечная скорость зависит от того, насколько велико ускорение и как долго оно длится
• Если ускорение равно нулю, то конечная скорость равна начальной скорости ( v = v ₀ ), как и ожидалось (другими словами, скорость постоянна)
• Если a отрицательно, то конечная скорость меньше начальной скорости

Все эти наблюдения соответствуют нашей интуиции. Обратите внимание, что всегда полезно исследовать основные уравнения в свете нашей интуиции и опыта, чтобы убедиться, что они действительно точно описывают природу.

Решение для конечного положения с постоянным ускорением

Мы можем объединить предыдущие уравнения, чтобы найти третье уравнение, которое позволяет нам вычислить окончательное положение объекта, испытывающего постоянное ускорение. Начнем с

Добавление v0v0 к каждой стороне этого уравнения и деление на 2 дает

v0 + v2 = v0 + 12at. v0 + v2 = v0 + 12at.

Так как v0 + v2 = v – v0 + v2 = v– для постоянного ускорения, имеем

v– = v0 + 12at.v– = v0 + 12at.

Теперь мы подставляем это выражение для v – v– в уравнение для смещения, x = x0 + v – tx = x0 + v – t, что дает

х = х0 + v0t + 12at2 (константа).х = х0 + v0t + 12at2 (константа).

3,13

Пример 3.8

Расчет смещения ускоряющегося объекта

Драгстеры могут развивать среднее ускорение 26,0 м / с ² . Предположим, драгстер ускоряется из состояния покоя с этой скоростью в течение 5,56 с. Рис. 3.20. Как далеко он пролетит за это время?

Фигура 3.20 Пилот американской армии Top Fuel Тони «Сержант» Шумахер начинает гонку с контролируемого выгорания. (Источник: подполковник Уильям Термонд.Фото любезно предоставлено Армией США.)

Стратегия

Сначала нарисуем набросок Рис. 3.21. Нас просят найти смещение, которое составляет x , если мы примем x0x0 равным нулю. (Думайте о x0x0 как о стартовой линии гонки. Она может быть где угодно, но мы называем ее нулевой и измеряем все остальные позиции относительно нее.) Мы можем использовать уравнение x = x0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2 когда мы идентифицируем v0v0, aa и t из постановки задачи.

Фигура 3,21 Эскиз разгонного драгстера.

Решение

Во-первых, нам нужно определить известные. Запуск из состояния покоя означает, что v0 = 0v0 = 0, a задается как 26,0 м / с ² и t задается как 5,56 с.

Во-вторых, мы подставляем известные значения в уравнение, чтобы найти неизвестное:

x = x0 + v0t + 12at2.x = x0 + v0t + 12at2.

Поскольку начальное положение и скорость равны нулю, это уравнение упрощается до

Подстановка идентифицированных значений на и т дает

х = 12 (26.0 м / с2) (5,56 с) 2 = 402 м. X = 12 (26,0 м / с2) (5,56 с) 2 = 402 м.

Значение

Если мы переведем 402 м в мили, мы обнаружим, что пройденное расстояние очень близко к четверти мили, стандартному расстоянию для дрэг-рейсинга. Итак, наш ответ разумный. Это впечатляющий водоизмещение всего за 5,56 с, но первоклассные драгстеры могут преодолеть четверть мили даже за меньшее время. Если бы драгстеру была присвоена начальная скорость, это добавило бы еще один член в уравнение расстояния. Если в уравнении использовать те же ускорение и время, пройденное расстояние будет намного больше.

Что еще мы можем узнать, исследуя уравнение x = x0 + v0t + 12at2? X = x0 + v0t + 12at2? Мы видим следующие отношения:

• Смещение зависит от квадрата истекшего времени, когда ускорение не равно нулю. В примере 3.8 драгстер преодолевает только четверть общего расстояния за первую половину прошедшего времени.
• Если ускорение равно нулю, то начальная скорость равна средней скорости (v0 = v -) (v0 = v–), и x = x0 + v0t + 12at2becomesx = x0 + v0t.x = x0 + v0t + 12at2becomesx = x0 + v0t.

Расчет конечной скорости по расстоянию и ускорению

Четвертое полезное уравнение может быть получено путем другой алгебраической обработки предыдущих уравнений. Если мы решим v = v0 + atv = v0 + at для t , мы получим

Подставляя это и v– = v0 + v2v– = v0 + v2 в x = x0 + v – tx = x0 + v – t, получаем

v2 = v02 + 2a (x − x0) (constanta). v2 = v02 + 2a (x − x0) (constanta).

3,14

Пример 3.9

Расчет конечной скорости

Рассчитайте конечную скорость драгстера в Примере 3.8 без использования информации о времени.

Стратегия

Уравнение v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0) идеально подходит для этой задачи, поскольку оно связывает скорости, ускорение и смещение и не требует информации о времени.

Решение

Сначала мы идентифицируем известные значения. Мы знаем, что v ₀ = 0, поскольку драгстер запускается из состояния покоя. Мы также знаем, что x — x ₀ = 402 м (это был ответ в примере 3.8). Среднее ускорение было равно , а = 26.0 м / с ² .

Во-вторых, мы подставляем известные в уравнение v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0) и решаем относительно v :

v2 = 0 + 2 (26,0 м / с2) (402 м). v2 = 0 + 2 (26,0 м / с2) (402 м).

Таким образом,

v2 = 2,09 × 104 м2 / с2 v = 2,09 × 104 м2 / с2 = 145 м / с. v2 = 2,09 × 104 м2 / с2v = 2,09 × 104 м2 / с2 = 145 м / с.

Значение

Скорость 145 м / с составляет около 522 км / ч или около 324 миль / ч, но даже эта головокружительная скорость не достигает рекорда для четверти мили. Также обратите внимание, что квадратный корень имеет два значения; мы взяли положительное значение, чтобы указать скорость в том же направлении, что и ускорение.

Изучение уравнения v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0) может дать дополнительное понимание общих соотношений между физическими величинами:

• Конечная скорость зависит от величины ускорения и расстояния, на котором оно действует.
• При фиксированном ускорении автомобиль, который едет вдвое быстрее, просто не останавливается на удвоенном расстоянии. Чтобы остановиться, нужно гораздо дальше. (Вот почему у нас есть зоны с пониженной скоростью возле школ.)

Объединение уравнений

В следующих примерах мы продолжаем исследовать одномерное движение, но в ситуациях, требующих немного большего количества алгебраических манипуляций.Примеры также дают представление о методах решения проблем. Следующее примечание предназначено для облегчения поиска необходимых уравнений. Имейте в виду, что эти уравнения не являются независимыми. Во многих ситуациях у нас есть два неизвестных, и нам нужно два уравнения из набора для решения неизвестных. Для решения данной ситуации нам нужно столько уравнений, сколько неизвестных.

Сводка кинематических уравнений (константа

a ) х = х0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2 v2 = v02 + 2a (x − x0) v2 = v02 + 2a (x − x0)

Прежде чем мы перейдем к примерам, давайте более внимательно рассмотрим некоторые уравнения, чтобы увидеть поведение ускорения при экстремальных значениях.Переставляя уравнение 3.12, получаем

Из этого мы видим, что в течение конечного времени, если разница между начальной и конечной скоростями мала, ускорение невелико и приближается к нулю в том пределе, когда начальная и конечная скорости равны. Напротив, в пределе t → 0t → 0 при конечной разности начальной и конечной скоростей ускорение становится бесконечным.

Аналогичным образом, переставляя уравнение 3.14, мы можем выразить ускорение в терминах скоростей и смещения:

а = v2-v022 (х-х0).а = v2-v022 (х-х0).

Таким образом, при конечной разнице между начальной и конечной скоростями ускорение становится бесконечным, в пределе смещение приближается к нулю. Ускорение приближается к нулю в пределе, разница в начальной и конечной скоростях приближается к нулю для конечного смещения.

Пример 3.10

Как далеко уезжает машина?

На сухом бетоне автомобиль может ускоряться противоположно движению со скоростью 7,00 м / с ² , тогда как на мокром бетоне он может ускоряться противоположно движению со скоростью всего 5.00 м / с ² . Найдите расстояния, необходимые для остановки автомобиля, движущегося со скоростью 30,0 м / с (около 110 км / ч) по (а) сухому бетону и (б) мокрому бетону. (c) Повторите оба вычисления и найдите смещение от точки, где водитель видит, что светофор становится красным, принимая во внимание время его реакции 0,500 с, чтобы он нажал ногу на тормоз.

Стратегия

Для начала нам нужно нарисовать набросок Рис. 3.22. Чтобы определить, какие уравнения лучше всего использовать, нам нужно перечислить все известные значения и точно определить, что нам нужно решить.

Фигура 3,22 Образец эскиза для визуализации ускорения, противоположного движению и тормозному пути автомобиля.

Решение

1. Во-первых, нам нужно определить известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что v ₀ = 30,0 м / с, v = 0 и a = −7,00 м / с ² ( a отрицательно, потому что оно находится в направлении, противоположном скорости) . Возьмем x ₀ равным нулю.Ищем смещение ΔxΔx, или x — x ₀ .
   Во-вторых, мы определяем уравнение, которое поможет нам решить проблему. Лучшее уравнение для использования — v2 = v02 + 2a (x − x0). v2 = v02 + 2a (x − x0). Это уравнение лучше всего, потому что оно включает только одно неизвестное, x . Нам известны значения всех других переменных в этом уравнении. (Другие уравнения позволили бы нам решить для x , но они требуют, чтобы мы знали время остановки, t , которое мы не знаем.Мы могли бы их использовать, но это потребовало бы дополнительных вычислений.)
   В-третьих, мы изменим уравнение, чтобы найти x : x − x0 = v2 − v022ax − x0 = v2 − v022a и подставляем известные значения: x − 0 = 02− (30,0 м / с) 22 (−7,00 м / с2). x − 0 = 02− (30,0 м / с) 22 (−7,00 м / с2). Таким образом, x = 64,3 м на сухом бетоне. x = 64,3 м на сухом бетоне.
2. Эта часть может быть решена точно так же, как (a). Единственное отличие состоит в том, что ускорение составляет −5,00 м / с ² . Результат xwet = 90,0 м по мокрому бетону. xwet = 90.0м по мокрому бетону.
3. Когда водитель реагирует, тормозной путь такой же, как в (a) и (b) для сухого и влажного бетона. Итак, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вычислить, как далеко проехал автомобиль за время реакции, а затем добавить это время ко времени остановки. Разумно предположить, что скорость остается постоянной в течение времени реакции водителя.
   Для этого мы снова определяем известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что v– = 30,0 м / св– = 30,0 м / с, treaction = 0.500streaction = 0.500s, а areaction = 0areaction = 0. Примем x0-реакцию x0-реакцию равной нулю. Ищем xreactionxreaction.
   Во-вторых, как и раньше, мы определяем лучшее уравнение для использования. В этом случае x = x0 + v – tx = x0 + v – t работает хорошо, потому что единственное неизвестное значение — x , что мы и хотим найти.
   В-третьих, мы подставляем известные для решения уравнения: x = 0 + (30,0 м / с) (0,500 с) = 15,0 м. x = 0 + (30,0 м / с) (0,500 с) = 15,0 м. Это означает, что автомобиль проезжает 15,0 м, пока водитель реагирует, создавая общие перемещения в двух случаях: сухой и мокрый бетон 15.На 0 м больше, чем если бы он среагировал мгновенно.
   Наконец, мы добавляем смещение во время реакции к смещению при торможении (рис. 3.23), xbraking + xreaction = xtotal, xbraking + xreaction = xtotal, и найдите (а) равным 64,3 м + 15,0 м = 79,3 м в сухом состоянии и (б) равным 90,0 м + 15,0 м = 105 м во влажном состоянии.

Фигура 3,23 Расстояние, необходимое для остановки автомобиля, сильно варьируется в зависимости от дорожных условий и времени реакции водителя. Здесь показаны значения тормозного пути для сухого и мокрого асфальта, рассчитанные в этом примере для автомобиля, едущего с начальной скоростью 30.0 м / с. Также показаны общие расстояния, пройденные от точки, когда водитель впервые видит, что свет загорается красным, при условии, что время реакции составляет 0,500 с.

Значение

Смещения, обнаруженные в этом примере, кажутся разумными для остановки быстро движущегося автомобиля. Остановка автомобиля на мокром асфальте должна длиться дольше, чем на сухом. Интересно, что время реакции значительно увеличивает смещения, но более важен общий подход к решению проблем. Мы идентифицируем известные и определяемые величины, а затем находим соответствующее уравнение.Если существует более одного неизвестного, нам нужно столько независимых уравнений, сколько неизвестных необходимо решить. Часто есть несколько способов решить проблему. Фактически, различные части этого примера могут быть решены другими методами, но представленные здесь решения являются самыми короткими.

Пример 3.11

Время расчета

Предположим, автомобиль въезжает в движение по автостраде на съезде длиной 200 м. Если его начальная скорость равна 10,0 м / с, а он ускоряется со скоростью 2,00 м / с ² , сколько времени потребуется машине, чтобы преодолеть 200 м по рампе? (Такая информация может быть полезна транспортному инженеру.)

Стратегия

Сначала мы рисуем набросок Рис. 3.24. Нам предлагается решить за время т . Как и раньше, мы идентифицируем известные величины, чтобы выбрать удобное физическое соотношение (то есть уравнение с одной неизвестной, t ).

Фигура 3,24 Эскиз автомобиля, ускоряющегося на съезде с автострады.

Решение

Опять же, мы идентифицируем то, что нам известно, и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что x0 = 0, x0 = 0,
v0 = 10 м / с, a = 2,00 м / с2v0 = 10 м / с, a = 2.00 м / с2 и x = 200 м.

Нужно решить для т . Уравнение x = x0 + v0t + 12at2x = x0 + v0t + 12at2 работает лучше всего, потому что единственной неизвестной в уравнении является переменная t , которую нам нужно решить. Из этого понимания мы видим, что когда мы вводим известные в уравнение, мы получаем квадратное уравнение.

Нам нужно изменить уравнение, чтобы найти t , затем подставив известные значения в уравнение:

200 м = 0 м + (10,0 м / с) t + 12 (2.00 м / с2) t2. 200 м = 0 м + (10,0 м / с) t + 12 (2,00 м / с2) t2.

Затем мы упрощаем уравнение. Единицы измерения отменяются, потому что они есть в каждом члене. Мы можем получить единицы секунд для отмены, взяв t = t s, где t — величина времени, а s — единица измерения. Остается

.

Затем мы используем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти t ,

t2 + 10t − 200 = 0t = −b ± b2−4ac2a, t2 + 10t − 200 = 0t = −b ± b2−4ac2a,

, что дает два решения: t = 10.0 и t = −20,0. Отрицательное значение времени неразумно, так как это будет означать, что событие произошло за 20 секунд до начала движения. Мы можем отказаться от этого решения. Таким образом,

Значение

Всякий раз, когда уравнение содержит неизвестный квадрат, есть два решения. В некоторых проблемах имеют смысл оба решения; в других случаях разумно только одно решение. Ответ 10,0 с кажется разумным для типичной автострады на съезде.

Проверьте свое понимание 3.5

Ракета ускоряется со скоростью 20 м / с. ² во время пуска.Сколько времени нужно, чтобы ракета достигла скорости 400 м / с?

Пример 3,12

Ускорение космического корабля

Космический корабль покинул орбиту Земли и направляется к Луне. Разгоняется со скоростью 20 м / с ² за 2 мин и преодолевает расстояние в 1000 км. Каковы начальная и конечная скорости космического корабля?

Стратегия

Нас просят найти начальную и конечную скорости космического корабля. Глядя на кинематические уравнения, мы видим, что одно уравнение не дает ответа.Мы должны использовать одно кинематическое уравнение для решения одной из скоростей и подставить его в другое кинематическое уравнение, чтобы получить вторую скорость. Таким образом, мы решаем два кинематических уравнения одновременно.

Решение

Сначала мы решаем для v0v0, используя x = x0 + v0t + 12at2: x = x0 + v0t + 12at2: x − x0 = v0t + 12at2x − x0 = v0t + 12at2 1,0 × 106 м = v0 (120,0 с) +12 (20,0 м / с2) (120,0 с) 21,0 × 106 м = v0 (120,0 с) +12 (20,0 м / с2) (120,0 с) 2 v0 = 7133,3 м / с. v0 = 7133,3 м / с.

Затем мы подставляем v0v0 в v = v0 + atv = v0 + at, чтобы найти окончательную скорость:

v = v0 + at = 7133.3 м / с + (20,0 м / с2) (120,0 с) = 9533,3 м / с. V = v0 + at = 7133,3 м / с + (20,0 м / с2) (120,0 с) = 9533,3 м / с.

Значение

Есть шесть переменных смещения, времени, скорости и ускорения, которые описывают движение в одном измерении. Начальные условия данной задачи могут быть множеством комбинаций этих переменных. Из-за такого разнообразия решения могут быть не такими простыми, как простая подстановка в одно из уравнений. Этот пример показывает, что решения кинематики могут потребовать решения двух одновременных кинематических уравнений.

Освоив основы кинематики, мы можем перейти ко многим другим интересным примерам и приложениям. В процессе разработки кинематики мы также увидели общий подход к решению проблем, который дает как правильные ответы, так и понимание физических взаимоотношений. Следующий уровень сложности в наших задачах кинематики включает движение двух взаимосвязанных тел, называемых задачами преследования двух тел .

Задачи преследования двух тел

До этого момента мы рассматривали примеры движения с участием одного тела.Даже для задачи с двумя автомобилями и тормозным путем на мокрой и сухой дороге мы разделили эту задачу на две отдельные задачи, чтобы найти ответы. В задаче преследования двух тел движения объектов связаны, то есть искомое неизвестное зависит от движения обоих объектов. Чтобы решить эти проблемы, мы пишем уравнения движения для каждого объекта, а затем решаем их одновременно, чтобы найти неизвестное. Это показано на Рисунке 3.25.

Фигура 3,25 Сценарий преследования с двумя телами, где автомобиль 2 имеет постоянную скорость, а автомобиль 1 идет сзади с постоянным ускорением.Автомобиль 1 догонит автомобиль 2 позже.

Время и расстояние, необходимое для того, чтобы автомобиль 1 догнал автомобиль 2, зависит от начального расстояния, на которое автомобиль 1 находится от автомобиля 2, а также от скорости обоих автомобилей и ускорения автомобиля 1. Кинематические уравнения, описывающие движение обоих автомобилей, должны быть решил найти эти неизвестные.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 3,13

Гепард ловит газель

Гепард прячется за кустом.Гепард замечает пробегающую мимо газель со скоростью 10 м / с. В тот момент, когда газель проходит мимо гепарда, гепард из состояния покоя ускоряется со скоростью 4 м / с ² , чтобы поймать газель. а) Сколько времени нужно гепарду, чтобы поймать газель? б) Что такое смещение газели и гепарда?

Стратегия

Мы используем систему уравнений для постоянного ускорения, чтобы решить эту проблему. Поскольку есть два движущихся объекта, у нас есть отдельные уравнения движения, описывающие каждое животное. Но то, что связывает уравнения, — это общий параметр, который имеет одинаковое значение для каждого животного.Если мы внимательно посмотрим на проблему, становится ясно, что общим параметром для каждого животного является их положение x , позднее t . Поскольку оба они начинаются с x0 = 0x0 = 0, их смещения будут такими же в более позднее время t , когда гепард догонит газель. Если мы выберем уравнение движения, которое решает смещение для каждого животного, мы можем затем установить уравнения, равные друг другу, и решить для неизвестного, то есть времени.

Решение

1. Уравнение для газели: Газель имеет постоянную скорость, которая является ее средней скоростью, поскольку она не ускоряется.Поэтому мы используем уравнение 3.10 с x0 = 0x0 = 0: x = x0 + v – t = v – t. x = x0 + v – t = v – t. Уравнение для гепарда: гепард ускоряется из состояния покоя, поэтому мы используем уравнение 3.13 с x0 = 0x0 = 0 и v0 = 0v0 = 0: x = x0 + v0t + 12at2 = 12at2.x = x0 + v0t + 12at2 = 12at2. Теперь у нас есть уравнение движения для каждого животного с общим параметром, который можно исключить, чтобы найти решение. В этом случае мы решаем для t : x = v – t = 12at2t = 2v – a.x = v – t = 12at2t = 2v – a. Газель имеет постоянную скорость 10 м / с, что составляет ее среднюю скорость.Ускорение гепарда составляет 4 м / с ² . Оценив т , время, за которое гепард достигнет газели, имеем t = 2v – a = 2 (10 м / с) 4m / s2 = 5s.t = 2v – a = 2 (10 м / с) 4m / s2 = 5s.
2. Чтобы получить смещение, мы используем уравнение движения гепарда или газели, поскольку оба они должны дать одинаковый ответ.
   Смещение гепарда: x = 12at2 = 12 (4 м / с2) (5) 2 = 50 м. x = 12at2 = 12 (4 м / с2) (5) 2 = 50 м. Водоизмещение газели: x = v – t = 10 м / с (5) = 50 м. x = v – t = 10 м / с (5) = 50 м.Мы видим, что оба смещения равны, как и ожидалось.

Значение

Важно анализировать движение каждого объекта и использовать соответствующие кинематические уравнения для описания отдельного движения. Также важно иметь хорошую визуальную перспективу задачи преследования двух тел, чтобы увидеть общий параметр, который связывает движение обоих объектов.

Проверьте свое понимание 3,6

Велосипед имеет постоянную скорость 10 м / с. Человек начинает с отдыха и начинает бежать, чтобы догнать велосипед через 30 секунд, когда велосипед находится в том же положении, что и человек.Какое ускорение у человека?

% PDF-1.4 5 0 obj > эндобдж 8 0 объект (Элементарная механика) эндобдж 9 0 объект > эндобдж 12 0 объект (Ньютоновская механика) эндобдж 13 0 объект > эндобдж 16 0 объект (Уравнение движения одиночной частицы) эндобдж 17 0 объект > эндобдж 20 0 объект (Угловое движение) эндобдж 21 0 объект > эндобдж 24 0 объект (Энергия и работа) эндобдж 25 0 объект > эндобдж 28 0 объект (Гравитация) эндобдж 29 0 объект > эндобдж 32 0 объект (Сила гравитации) эндобдж 33 0 объект > эндобдж 36 0 объект (Гравитационный потенциал) эндобдж 37 0 объект > эндобдж 40 0 объект (Динамика систем частиц) эндобдж 41 0 объект > эндобдж 44 0 объект (Ньютоновские механические концепции для систем частиц) эндобдж 45 0 объект > эндобдж 48 0 объект (Теорема вириала) эндобдж 49 0 объект > эндобдж 52 0 объект (Столкновения частиц) эндобдж 53 0 объект > эндобдж 56 0 объект (Лагранжева и гамильтонова динамика) эндобдж 57 0 объект > эндобдж 60 0 объект (Лагранжев подход к механике) эндобдж 61 0 объект > эндобдж 64 0 объект (Степени свободы, ограничения и обобщенные координаты) эндобдж 65 0 объект > эндобдж 68 0 объект (Виртуальное перемещение, виртуальная работа и обобщенные силы) эндобдж 69 0 объект > эндобдж 72 0 объект (Принцип Даламбера и обобщенное уравнение движения) эндобдж 73 0 объект > эндобдж 76 0 объект (Лагранжиан и уравнения Эйлера-Лагранжа) эндобдж 77 0 объект > эндобдж 80 0 объект (Гамильтониан) эндобдж 81 0 объект > эндобдж 84 0 объект (Циклические координаты и канонический момент) эндобдж 85 0 объект > эндобдж 88 0 объект (Резюме) эндобдж 89 0 объект > эндобдж 92 0 объект (Больше примеров) эндобдж 93 0 объект > эндобдж 96 0 объект (Особые неконсервативные случаи) эндобдж 97 0 объект > эндобдж 100 0 объект (Преобразования симметрии, сохраняющиеся величины, циклические координаты и теорема Нётер) эндобдж 101 0 объект > эндобдж 104 0 объект (Вариационное исчисление и динамика) эндобдж 105 0 объект > эндобдж 108 0 объект (Вариационное исчисление и уравнение Эйлера) эндобдж 109 0 объект > эндобдж 112 0 объект (Принцип наименьшего действия и уравнение Эйлера-Лагранжа) эндобдж 113 0 объект > эндобдж 116 0 объект (Введение ограничений в вариационной динамике) эндобдж 117 0 объект > эндобдж 120 0 объект (Включение неголономных ограничений в вариационную динамику) эндобдж 121 0 объект > эндобдж 124 0 объект (Гамильтонова динамика) эндобдж 125 0 объект > эндобдж 128 0 объект (Преобразования Лежандра и уравнения движения Гамильтона) эндобдж 129 0 объект > эндобдж 132 0 объект (Фазовое пространство и теорема Лиувилля) эндобдж 133 0 объект > эндобдж 136 0 объект (Разделы теоретической механики) эндобдж 137 0 объект > эндобдж 140 0 объект (Канонические преобразования и производящие функции) эндобдж 141 0 объект > эндобдж 144 0 объект (Симплектическая запись) эндобдж 145 0 объект > эндобдж 148 0 объект (Скобки Пуассона) эндобдж 149 0 объект > эндобдж 152 0 объект (Переменные действия-угла и адиабатическая инвариантность) эндобдж 153 0 объект > эндобдж 156 0 объект (Уравнение Гамильтона-Якоби) эндобдж 157 0 объект > эндобдж 160 0 объект (Колебания) эндобдж 161 0 объект > эндобдж 164 0 объект (Простой гармонический осциллятор) эндобдж 165 0 объект > эндобдж 168 0 объект (Равновесия и колебания) эндобдж 169 0 объект > эндобдж 172 0 объект (Решение простого гармонического осциллятора) эндобдж 173 0 объект > эндобдж 176 0 объект (Демпфированный простой гармонический осциллятор) эндобдж 177 0 объект > эндобдж 180 0 объект (Управляемый простой и затухающий гармонический осциллятор) эндобдж 181 0 объект > эндобдж 184 0 объект (Поведение при приближении к резонансу) эндобдж 185 0 объект > эндобдж 188 0 объект (Связанные простые гармонические осцилляторы) эндобдж 189 0 объект > эндобдж 192 0 объект (Пример связанного маятника) эндобдж 193 0 объект > эндобдж 196 0 объект (Общий метод решения) эндобдж 197 0 объект > эндобдж 200 0 объект (Примеры и приложения) эндобдж 201 0 объект > эндобдж 204 0 объект (Вырождение) эндобдж 205 0 объект > эндобдж 208 0 объект (Волны) эндобдж 209 0 объект > эндобдж 212 0 объект (Загруженная строка) эндобдж 213 0 объект > эндобдж 216 0 объект (Непрерывная строка) эндобдж 217 0 объект > эндобдж 220 0 объект (Волновое уравнение) эндобдж 221 0 объект > эндобдж 224 0 объект (Фазовая скорость, групповая скорость и волновые пакеты) эндобдж 225 0 объект > эндобдж 228 0 объект (Движение и рассеяние центральной силы) эндобдж 229 0 объект > эндобдж 232 0 объект (Общая проблема центральной силы) эндобдж 233 0 объект > эндобдж 236 0 объект (Уравнение движения) эндобдж 237 0 объект > эндобдж 240 0 объект (Формальные следствия уравнений движения) эндобдж 241 0 объект > эндобдж 244 0 объект (Частный случай гравитации — проблема Кеплера) эндобдж 245 0 объект > эндобдж 248 0 объект (Форма решений проблемы Кеплера) эндобдж 249 0 объект > эндобдж 252 0 объект (Временная зависимость решений задачи Кеплера) эндобдж 253 0 объект > эндобдж 256 0 объект (Сечения рассеяния) эндобдж 257 0 объект > эндобдж 260 0 объект (Постановка проблемы) эндобдж 261 0 объект > эндобдж 264 0 объект (Общее сечение) эндобдж 265 0 объект > эндобдж 268 0 объект (Первый потенциал) эндобдж 269 ​​0 объект > эндобдж 272 0 объект (Вращающиеся системы) эндобдж 273 0 объект > эндобдж 276 0 объект (Математическое описание вращений) эндобдж 277 0 объект > эндобдж 280 0 объект (Бесконечно малые вращения) эндобдж 281 0 объект > эндобдж 284 0 объект (Конечные вращения) эндобдж 285 0 объект > эндобдж 288 0 объект (Интерпретация вращений) эндобдж 289 0 объект > эндобдж 292 0 объект (Скаляры, векторы и тензоры) эндобдж 293 0 объект > эндобдж 296 0 объект (Комментарии к алгебрам Ли и группам Ли) эндобдж 297 0 объект > эндобдж 300 0 объект (Динамика во вращающихся системах координат) эндобдж 301 0 объект > эндобдж 304 0 объект (Второй закон Ньютона во вращающихся системах координат) эндобдж 305 0 объект > эндобдж 308 0 объект (Приложения) эндобдж 309 0 объект > эндобдж 312 0 объект (Лагранжева и гамильтонова динамика во вращающихся системах координат) эндобдж 313 0 объект > эндобдж 316 0 объект (Вращательная динамика твердых тел) эндобдж 317 0 объект > эндобдж 320 0 объект (Основной формализм) эндобдж 321 0 объект > эндобдж 324 0 объект (Движение без крутящего момента) эндобдж 325 0 объект > эндобдж 328 0 объект (Движение под действием внешних моментов) эндобдж 329 0 объект > эндобдж 332 0 объект (Специальная теория относительности) эндобдж 333 0 объект > эндобдж 336 0 объект (Специальная теория относительности) эндобдж 337 0 объект > эндобдж 340 0 объект (Постулаты) эндобдж 341 0 объект > эндобдж 344 0 объект (Законы трансформации) эндобдж 345 0 объект > эндобдж 348 0 объект (Математическое описание преобразований Лоренца) эндобдж 349 0 объект > эндобдж 352 0 объект (Физические последствия) эндобдж 353 0 объект > эндобдж 356 0 объект (Лагранжева и гамильтонова динамика в теории относительности) эндобдж 357 0 объект > эндобдж 360 0 объект (Математическое приложение) эндобдж 361 0 объект > эндобдж 364 0 объект (Условные обозначения математических символов) эндобдж 365 0 объект > эндобдж 368 0 объект (Системы координат) эндобдж 369 0 объект > эндобдж 372 0 объект (Векторные и тензорные определения и алгебраические тождества) эндобдж 373 0 объект > эндобдж 376 0 объект (Векторное исчисление) эндобдж 377 0 объект > эндобдж 380 0 объект (Расширение Тейлора) эндобдж 381 0 объект > эндобдж 384 0 объект (Вариационное исчисление) эндобдж 385 0 объект > эндобдж 388 0 объект (Преобразования Лежандра) эндобдж 389 0 объект > эндобдж 392 0 объект (Сводка физических результатов) эндобдж 393 0 объект > эндобдж 396 0 объект (Элементарная механика) эндобдж 397 0 объект > эндобдж 400 0 объект (Лагранжева и гамильтонова динамика) эндобдж 401 0 объект > эндобдж 404 0 объект (Колебания) эндобдж 405 0 объект > эндобдж 408 0 объект (Центральные силы и динамика рассеяния) эндобдж 409 0 объект > эндобдж 412 0 объект (Вращающиеся системы) эндобдж 413 0 объект > эндобдж 416 0 объект (Специальная теория относительности) эндобдж 417 0 объект > эндобдж 420 0 obj> транслировать x ڍ KK09 & `b & ֣ EE7k-.Dů | Dhin ֪ \ hwkmQ \\, 2U \ W

Уравнения кинематики и постоянное ускорение

В своих «Диалогах двух новых наук» Галилей вывел взаимосвязь между пройденным расстоянием и временем, когда шары катились по наклонной плоскости. Это часто называют законом падающих тел. Интересно, что в доказательстве Галилея использовалась классическая евклидова геометрия (которая была бы незнакома современному изучающему геометрию из учебников) вместо алгебры, которую мы здесь и представим. Учащиеся продвинутого уровня могут выводить те же уравнения с помощью математического анализа.

Основа Закона падающих тел заключается в том, что по мере того, как мяч катится по рампе, он ускоряется. По мере увеличения его скорости увеличивается расстояние, которое он проходит за каждую единицу времени. Галилей определил это с помощью колокольчиков спускового крючка катящегося шарика.

Процитируем Галилея в переводе:

По сути, Галилей представил, что не только ускорение вниз по рампе из-за постоянной силы тяжести, но и что скорость увеличивается линейно с временем .Он представил, что положение увеличивается с квадратом времени, что часто называют Законом падающих тел. Последний пункт в этом отрывке, который он представил, заключается в том, что скорость увеличивается с квадратом расстояния вниз по рампе.

Основываясь на том, что вы уже узнали и что представил Галилей, у нас есть то, что мой учитель физики, Гленн Глейзер, любил называть пятью священными уравнениями кинематики для постоянного ускорения. В этих уравнениях v — скорость, x — положение, t — время и a — ускорение.Помните, что Δ означает изменение.

1. или Δx = v _ср. Δt

2. или v _f = v _o + aΔt или Δv = aΔt

3.

4. Δx = v _o Δt + ½ a Δt ²

5. v _f ² = v _o ² + 2aΔx

Первые два уравнения, которые мы видели ранее. Важно отметить, что в первом уравнении используется средняя скорость , тогда как во втором уравнении используется изменение между исходной скоростью и конечной скоростью .Связь между ними представлена ​​в третьем уравнении, которое представляет собой просто закон средних чисел. Средняя скорость — это среднее значение исходной и конечной скорости.

Из этих трех основных определений мы можем вывести следующие два уравнения, используя либо геометрию, либо алгебру (или исчисление).

Используя алгебру, мы можем вывести уравнение №4.

Исходя из уравнения № 1

Δx = v _ср. Δt

Затем мы подставляем определение средней скорости из уравнения №3.

Отсюда мы подставляем окончательную скорость, полученную в уравнении № 2

Затем мы распределяем член Δt и упрощаем, комбинируя члены v _o .

Мы упрощаем оставшиеся два члена, чтобы получить

.

Стоит отметить, что происходит, когда исходная скорость v _o, равна нулю. Это уравнение еще больше упрощается и становится

.

Если мы предположим, что исходная позиция и время равны нулю, мы можем дополнительно уменьшить это до

.

Используя геометрию, мы можем исследовать область под кривой графика зависимости скорости от времени для движения с постоянным ускорением.

Если мы посмотрим на область под кривой, мы можем разбить ее на прямоугольник и треугольник. Красный прямоугольник — это вклад исходной скорости объекта. Смещение из-за ускорения представлено зеленым треугольником. Треугольник имеет ширину Δt и высоту aΔt, которые мы знаем из уравнения №2. Член ½ происходит от формулы площади треугольника.

Мы также можем использовать исчисление для вывода этого уравнения путем интегрирования удвоенного ускорения по времени.

Пятое священное уравнение может быть получено аналогичными заменами, и его оставят как домашнее задание.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров задач: Численное решение задач.

Пример 1

По легенде, Галилей уронил мяч из Пизанской башни. Если башня имеет высоту 55,9 м и пренебрегает сопротивлением воздуха, сколько времени потребуется свинцовому мячу, чтобы достичь земли?

Гивенс: a = g ≈ 10 м / с ²

Δx = 55.9 м

Неизвестно: t = ???

Уравнение, связывающее эти переменные, — это священное уравнение 4 ^-го .

Δx = v _o Δt + ½ a Δt ²

Как упоминалось ранее, поскольку начальная скорость равна нулю, уравнение упрощается.

Δx = v _o Δt + ½ a Δt ² = ½ a Δt ²

Поскольку мы хотим изолировать переменную для времени, мы пересекаем умножение, чтобы переместить ½ и член ускорения на другую сторону.

Затем извлекаем квадратный корень из обеих частей.

Это дает выражение для времени. Обратите внимание, что я вставил несколько дополнительных скобок, которые могут вам не понадобиться.

При подключении номеров это довольно просто то, что мы называем «подключи и забей». Однако с агрегатами нужно быть осторожным. Вы, наверное, догадались, что время будет измеряться в секундах. Однако у вас должна быть возможность отменить фактические единицы, чтобы получить время в секундах.

Пример 2

Койот падает со скалы высотой 25 метров. Как быстро койот падает, когда ударяется о землю? Если проблема койота

При x = 25 м

a = g ≈ 10 м / с ²

Неизвестно: v = ???

Эту проблему можно решить несколькими способами. Можно использовать комбинацию или Священные уравнения №2 и №4. Или вы можете напрямую использовать уравнение № 5.

Использование v _f ² = v _o ² + 2aΔx

Это упрощается, поскольку исходная скорость v _o, равна нулю.

Если извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения

Обратите внимание, как вы извлекаете квадратный корень из единиц, чтобы получить м / с .

Мы оставим решение этой задачи с двумя уравнениями для домашней задачи.

Краткий обзор графиков, а также проблем уклона и площади под кривыми

Изучая графики положения, скорости и ускорения, вы сможете рисовать их как взаимозаменяемые.

Вчера в классе вы видели, что график объекта, ускоряющегося вниз по склону, выглядит следующим образом:

В этом примере мы используем программное обеспечение для анализа изображений.Это пример с мячом, катящимся с холма. Следует отметить, что график ускорения не показывает фактическую скорость, а показывает только то, как она меняется. Точно так же график скорости не дает вам фактического положения объекта, а только того, как он изменяется. Щелкнув по мячу и нажав кнопку трека, вы увидите график положения и скорости.

Здесь вы можете увидеть результаты построения графика движения. График положения представляет собой параболу, а график скорости — линейный.

Калькулятор SUVAT

«Но сэр, — мы слышим, как вы спрашиваете, — , — почему я должен изучать все эти формулы SUVAT, если я могу просто выйти в Интернет и использовать калькулятор SUVAT? ». Затем ваш учитель, очевидно, отвечает: «Может ли этот калькулятор уравнений SUVAT научить вас , что означает SUVAT? Знает ли он все формулы SUVAT и может ли он использовать их для вычисления двух неизвестных в любой ситуации? Предоставляет ли он вам несколько вопросов по SUVAT , чтобы проверить, действительно ли вы знаете свои вещи? Можете ли вы взять их на экзамен? » Что ж, вы можете сказать своему учителю, что этот калькулятор может делать все эти вещи! (Omni Calculator не рекомендует пытаться использовать этот калькулятор на экзамене, независимо от того, насколько мало вы его редактировали.)

Что касается экзаменов, если вы являетесь учеником GCSE или A-level и хотите знать, как вы справились с прошлой работой, мы рекомендуем вам проверить наш калькулятор оценок за тест, а если вам нужно знать, сколько оценок вам нужно на выпускном экзамене, чтобы получить желаемую оценку, воспользуйтесь нашим калькулятором итоговой оценки.

Для преобразования между единицами измерения используйте встроенные конвертеры единиц рядом со входом или используйте наш конвертер длины, конвертер скорости или конвертер времени.

Это простой калькулятор кинематики, полный инструмент можно найти в калькуляторе движения снаряда.

Формулы СУВАТ — скорости

Существует пять формул SUVAT (или формул SUVAT, если вам нравится). Эти пять формул описывают все, что нужно знать о движущейся системе , если она имеет равномерное ускорение , то есть . Они обычно используются в физике, так как описывают широкий спектр систем. Если вам известна начальная скорость объекта u , конечная скорость v и время t , которое потребовалось для достижения скорости v от скорости до , вы можете найти пять SUVAT уравнения…

Выше мы, , построили график зависимости скорости от времени , используя u , v и t , которые мы обсуждали выше. Это означает, что ускорение a — это градиент нарисованной нами прямой. Итак:

a = Δскорость / Δвремя .

Как мы знаем и начальную, и конечную скорость, Δvelocity = v - u , и, если мы предположим, что мы начали строить график в момент времени = 0, Δtime = t . Таким образом, вы получаете

а = v - ед / т ,

, который можно переставить на

v = u + при .

Если вас интересует SUVAT, мы предполагаем, что вы сможете сделать эту перестановку самостоятельно.

Формулы СУВАТ — водоизмещение

В этом калькуляторе SUVAT мы еще не упомянули рабочий объем двигателя s . Смещение — это расстояние, которое объект преодолевает за время t относительно его исходного положения. Этот последний бит важен, поскольку смещение — это не то же самое, что расстояние; , если он попадает в точку начала, то его смещение равно нулю .На графике скорость-время, который мы построили выше, с — это область под графиком. Поскольку у нас есть линейный график, площадь под ним определяется умножением средней скорости (u + v) / 2 на затраченное время t . Записывая это и упрощая, получаем:

s = 1 / 2 (u + v) * t

Иногда бывает полезно иметь больше уравнений для работы; никогда не знаешь, какие переменные будут у вас .Вы можете получить следующее уравнение, подставив v = u + на . Результат:

s = 1 / 2 (u + u + at) * t ,

, что упрощается до s = 1 / 2 (2ut + at 2 ) , что, в свою очередь, также может быть записано как:

s = ut + 1 / 2 при 2 .

Это было не так уж сложно, просто немного алгебры, ты, должно быть, снова почувствуешь себя тринадцатилетним.Чтобы получить другую форму, выполните те же действия, что и предыдущий, но используйте u = v - вместо :

s = vt - 1 / 2 при 2 .

В качестве своего рода вопроса о SUVAT, мы оставим этот вопрос на ваше усмотрение — , мы знаем, что для вас это не будет проблемой :

Формулы SUVAT — пропуск времени

Последняя формула SUVAT требует немного более сложной перестройки, так что, возможно, вы почувствуете себя четырнадцатилетним, делая это.Если мы сделаем t предметом первого выведенного нами уравнения , мы получим:

t = (v - u) / а ,

, которое, если мы подставим во второе выведенное нами уравнение , мы получим:

s = 1 / 2 (u + v) ((v - u) / a) .

Умножая обе стороны на 2a , получаем:

2as = (u + v) (v - u) ,

, который теперь требует самого сложного для освоения навыка — квадратичного расширения! Итак, после большого количества крови, пота и слез у вас должно получиться:

2as = v 2 - u 2 .

Перестановка для v 2 дает вам:

v 2 = u 2 + 2as .

Ух ты, действительно мастер математики!

Итак, это все формулы SUVAT . Если вы нашли этот текст ужасно скучным и непонятным (что не исключено), мы рекомендуем вам это видео на Youtube по этой теме.

Что означает SUVAT?

Вы, вероятно, уже догадались об этом, читая этот калькулятор SUVAT до сих пор (если вы не можете догадаться, вы, возможно, просто пропустили всю эту бессвязную болтовню выше). SUVAT — это аббревиатура пяти переменных , которые описывают систему в движении с постоянным ускорением: смещение с , начальная скорость u , конечная скорость v , ускорение a и время t .

Порядок этих букв совершенно произвольный, так что вы можете не спать ночью , задаваясь вопросом, почему он не называется TUAVS, SAVUT или USAVT (хотя мы думаем, что, вероятно, лучше всего, чтобы начальная и конечная скорости оставались рядом друг с другом, поэтому может лучше квадроциклы или STAUV).

Несколько простых вопросов по SUVAT

«Хорошо, хорошо, хорошо», — говорит сейчас ваш учитель . может помочь вам решить любые вопросы! «Что ж, мы можем понять, что он может быть раздражен прямо сейчас — вы задерживали класс в течение десяти минут , пока вы загружаете эту страницу и показываете классу все ее удивительные возможности .Но больше всего его, вероятно, раздражает то, что вы закончили изучать SUVAT много лет назад и теперь перешли на трение и нормальную силу (и что это тоже класс статистики). Но не волнуйтесь, мы подготовили несколько типовых вопросов , чтобы помочь вам максимально эффективно использовать этот калькулятор SUVAT.

1. Вы видите, как ваш учитель злится на вас. Вы решили, что пора бежать. Из остального вам потребуется 4 секунды, , чтобы добраться до двери, которая находится на расстоянии 7 м от .Как быстро вы идете, когда доберетесь до двери?
2. Вы, , останавливаетесь, когда открываете дверь и проходите через нее. Вы сейчас в коридоре. 50 м дверь, ведущая на улицу. Там ты будешь в безопасности. Вы начинаете бег с с постоянным ускорением 0,75 м / с ² . Какая у вас скорость , когда вы подходите к двери?
3. Через две секунды после того, как вы двинулись по коридору, учитель врывается в дверь, буря.Он снова запускает из состояния покоя , и, движимый не более чем чистой ненавистью, когда вы показываете его перед всем классом, начинает ускоряться со скоростью 2 м / с ² . Сможет ли он связаться с вами , прежде чем вы сможете заявить о своей свободе?
4. А что насчет , если дверь класса была открыта , когда вы подошли к нему, что позволяет сохранить скорость ? Если вы начнете ускорение со скоростью 0,75 м / с ² с этой скорости по коридору, а учитель все равно остановится у двери (чтобы посмотреть, куда вы пошли), вы были бы свободны?

Ответы:

Динамика твердого тела

Двумерная динамика твердого тела

Для двумерных задач динамики твердого тела тело испытывает движение в одной плоскости из-за сил, действующих в этой плоскости.

Обычное твердое тело, на которое действуют произвольные силы в двух измерениях, показано ниже.

Полный набор скалярных уравнений, описывающих движение тела:

Где:

м — масса кузова.

ΣF _x — сумма сил в x-направлении

ΣF _y — сумма сил в направлении y

a _Gx — это ускорение центра масс G в направлении x относительно инерциальной системы отсчета xyz, которая в данном случае является землей.

a _Gy — ускорение центра масс G в направлении y относительно земли.

α — угловое ускорение твердого тела относительно земли.

ΣM _G — это сумма моментов относительно оси, проходящей через центр масс G (в направлении оси z, указывая за пределы страницы).Это определяется как сумма крутящего момента Στ из-за сил, действующих на тело (вокруг оси, проходящей через центр масс G и указывающей в направлении оси z). Использование ΣM _G — это просто другое соглашение об именах.

I _G — инерция вращения твердого тела вокруг оси, проходящей через центр масс G и указывающей в направлении оси z (вне страницы)

Обратите внимание, что если твердое тело вращается вокруг фиксированной точки O , уравнение конечного момента сохранит ту же форму, если мы выберем точку O вместо точки G .Итак, уравнение будет выглядеть следующим образом:

Рисунок ниже иллюстрирует эту ситуацию.

Где точка O — фиксированная точка, прикрепленная к земле. Конкретным примером этого может быть маятник, качающийся вокруг фиксированной точки.

Вот несколько примеров задач, решаемых с помощью двумерных уравнений динамики твердого тела:

Физика качелей для гольфа
Trebuchet Physics (Физика Требушета)

Трехмерная динамика твердого тела

Для трехмерных задач динамики твердого тела тело испытывает движение во всех трех измерениях из-за сил, действующих во всех трех измерениях.Это наиболее общий случай твердого тела.

Обычное твердое тело, подверженное произвольным силам в трех измерениях, показано ниже.

Первые три из шести скалярных уравнений, описывающих движение тела, являются уравнениями силы. Они есть:

Где:

a _Gx — ускорение центра масс G в направлении x относительно земли (инерциальная система отсчета)

a _Gy — это ускорение центра масс G в направлении y относительно земли.

a _Gz — это ускорение центра масс G в направлении z относительно земли.

Обратите внимание, что индексы x, y, z указывают, что величины разрешены по осям xyz .Например, сила, действующая вдоль оси Z, разлагается на компоненты вдоль осей xyz в трех приведенных выше уравнениях. Обычно это можно сделать с помощью тригонометрии.

Однако нет необходимости разрешать величины по оси xyz . Вместо этого для трех приведенных выше уравнений силы можно разрешить величины по осям XYZ.

Для решения трехмерных задач динамики твердого тела необходимо вычислить шесть членов инерции для твердого тела, соответствующих дополнительной сложности трехмерной системы.Для этого необходимо определить локальные оси xyz , которые лежат внутри твердого тела и прикреплены к нему (как показано на рисунке выше), так что он перемещается вместе с телом. Шесть членов инерции вычисляются относительно xyz и зависят от ориентации xyz относительно твердого тела. Таким образом, другая ориентация xyz (относительно твердого тела) приведет к другим условиям инерции. Причина, по которой xyz «движется вместе с телом», заключается в том, что члены инерции не изменяются со временем при движении тела.Таким образом, вам нужно только один раз вычислить члены инерции в начальном положении твердого тела, и все готово. Это дает то преимущество, что математика остается как можно более простой. Дополнительным преимуществом перемещения xyz с твердым телом является моделирование движения тела во времени. Мы можем отслеживать ориентацию тела, отслеживая ориентацию xyz (поскольку они движутся вместе).

Для двумерных задач динамики твердого тела необходимо учитывать только один член инерции, и это I _G , как указано выше.Для этих задач I _G можно рассчитать относительно любой ориентации твердого тела, и она всегда будет одинаковой, поскольку задача плоская. Следовательно, нам не нужно определять оси xyz , которые прикреплены к твердому телу и имеют определенную ориентацию относительно него (как мы это делаем в трехмерных задачах). Это связано с тем, что для плоских задач (где движение происходит в одной плоскости) I _G не будет зависеть от ориентации xyz (относительно твердого тела).

Для общего случая (где у нас есть произвольная ориентация xyz внутри твердого тела), последние три уравнения, описывающие движение твердого тела, являются уравнениями момента (крутящего момента). Они есть:

Где:

ΣM _Gx — сумма моментов относительно оси x , проходящей через центр масс G

ΣM _Gy — сумма моментов относительно оси y , проходящей через центр масс G

ΣM _Gz — сумма моментов относительно оси z , проходящей через центр масс G

w _x , w _y , w _z — компоненты угловой скорости твердого тела относительно земли, разрешенные по местным осям xyz.Чтобы вычислить эти компоненты, необходимо сначала определить вектор угловой скорости твердого тела относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по направлениям x , y , z , чтобы найти компоненты w _x , w _y , w _z . Часто это делается с помощью тригонометрии.

α _x , α _y , α _z — компоненты углового ускорения твердого тела относительно земли, разрешенные по локальному xyz осей.Чтобы вычислить эти компоненты, необходимо сначала определить вектор углового ускорения твердого тела относительно глобальных осей XYZ, а затем разрешить этот вектор по направлениям x , y , z , чтобы найти компоненты α _x , α _y , α _z . Часто это делается с помощью тригонометрии.

I _Gx — инерция вращения твердого тела относительно оси x , проходящей через центр масс G

I _Gy — инерция вращения твердого тела относительно оси y , проходящей через центр масс G

I _Gz — инерция вращения твердого тела относительно оси z , проходящей через центр масс G

I _Gxy — произведение инерции ( xy ) твердого тела относительно xyz

I _Gyz — произведение инерции ( yz ) твердого тела относительно xyz

I _Gzx — произведение инерции ( zx ) твердого тела относительно xyz

Шесть членов инерции оцениваются следующим образом с использованием интегрирования:

Ориентацию xyz относительно твердого тела можно выбрать так, чтобы

Эта ориентация определяется как главное направление xyz .

При таком упрощении уравнения моментов становятся:

Они известны как уравнения движения Эйлера . Ясно, что лучше выбрать ориентацию xyz так, чтобы она лежала в основном направлении. Для каждого твердого тела существует главное направление. Если тело имеет две или три плоскости симметрии, главные направления будут совмещены с этими плоскостями. Для случая, когда в теле нет плоскостей симметрии, главное направление все же можно найти, но это требует решения довольно сложного кубического уравнения.

Обратите внимание, что для трех уравнений момента и шести членов инерции их количества должны быть относительно осей xyz (в отличие от первых трех уравнений сил, где это необязательно). Что касается терминов инерции, причина этого очевидна, поскольку именно так они определяются. Но на данный момент причина в уравнениях довольно сложная, но в основном она сводится к тому, как они выводятся, что обсуждается здесь.

Например, момент, действующий вокруг оси Y, должен быть разделен на его составляющие по осям xyz , чтобы использовать приведенные выше уравнения моментов.Обычно это можно сделать с помощью тригонометрии.

Обратите внимание, что если твердое тело вращается вокруг фиксированной точки O , приведенные выше уравнения моментов и шесть членов инерции сохранят ту же форму, если мы выберем точку O вместо точки G . Вы просто заменяете индекс G на индекс O , а все остальное остается прежним. Обратите внимание, что оси xyz будут иметь начало в точке O вместо точки G .

Рисунок ниже иллюстрирует эту ситуацию.

Где точка O — фиксированная точка, прикрепленная к земле. Конкретным примером этого может быть волчок, прецессирующий вокруг фиксированной точки.

Для двумерных задач динамики твердого тела вектор углового ускорения всегда направлен в том же направлении, что и вектор угловой скорости. Однако для трехмерных задач динамики твердого тела эти векторы могут указывать в разных направлениях, как показано ниже.

Эти векторы могут быть выражены как:

В двух измерениях, чтобы найти угловое ускорение, вы просто дифференцируете величину угловой скорости по времени. В трехмерном пространстве вы должны учитывать изменение величины и направления вектора угловой скорости (поскольку оба могут измениться со временем), так что это немного усложняет ситуацию. Это делается путем вычисления разности вектора угловой скорости за очень малый временной шаг Δt , где Δt → 0.Для иллюстрации см. Рисунок ниже.

С помощью расчетов угловое ускорение рассчитывается следующим образом (принимая предел как Δt → 0):

Три уравнения сил и три уравнения моментов, показанные здесь для трехмерных задач динамики твердого тела, «полностью описывают» все возможные движения твердого тела. Они включают полную систему уравнений , необходимую для решения наиболее общих задач динамики твердого тела. Все упрощения можно сделать из этих шести уравнений.Например, если предположить плоское движение, шесть уравнений сводятся к двумерным уравнениям динамики, приведенным выше.

Обратите внимание, что положительные направления отдельных осей X, Y, Z соответствуют направлениям, показанным на первом рисунке. Точно так же положительные направления отдельных осей x , y , z также находятся в направлениях, показанных на первом рисунке. Этот выбор соглашения о знаках важен при использовании приведенных здесь уравнений динамики твердого тела (особенно уравнений моментов).Это объясняется на странице уравнений движения.

Дополнительную справочную информацию см .:

Теорема о параллельной оси и параллельной плоскости
Более пристальный взгляд на скорость и ускорение

Вот несколько примеров задач, решаемых с использованием трехмерных уравнений динамики твердого тела:

Физика боулинга
Физика диска Эйлера
Гироскоп с физикой

Чтобы получить более полное представление о динамике твердого тела, см. «Механические волны».

Вернуться на страницу Полезные физические формулы

Вернуться на Реальные проблемы физики домашняя страница

пожаловаться на это объявление

ДИНАМИКА АВТОМОБИЛЯ

ДИНАМИКА АВТОМОБИЛЯ

Динамика автомобиля — сложный аналитический и экспериментальная технология, которая используется для изучения и понимания откликов автомобиль в различных ситуациях движения.В сфере обучения водителей нет необходимости иметь дело с особенности этой технологии, а скорее с некоторыми из основных физических принципы, вовлеченные в это. В следующие принципы будут обсуждаться в этом разделе.

I. Кинетическая энергия

II. Центробежная сила

III. Инерция

IV. Трение

В. Тяга

Там не имеет намерения дать полное техническое определение каждого принципа, но представьте их таким образом, чтобы понять, почему автомобиль действует так, как это делает.

Кинетическая энергия — это термин, описывающий энергию a автомобиль имеет благодаря своей массе и скорости.Его формула проста, но говорит о многом.

Кинетическая энергия = (масса) x (скорость) ²

Это показывает, что кинетическая энергия транспортного средства увеличивается как квадрат скорости. Это означает, что если скорость увеличивается вдвое, энергия увеличивается в четыре раза. раз. Это увеличение энергии не вызывает проблема, если ее не нужно быстро рассеять или перенаправить.

Один способ, которым кинетическая энергия может рассеиваться очень быстро, — это когда автомобиль сталкивается с твердый объект.В этом случае, когда скорость увеличивается вдвое, в четыре раза больше энергии, доступной для повреждения транспортного средства и травмировать пассажиров. Кинетический Энергия автомобиля весом 4000 фунтов, движущегося со скоростью 100 миль в час, равна 1,36 миллиона фут-фунтов достаточно, чтобы поднять человека весом 175 фунтов на 1,5 мили. Чтобы остановить этот автомобиль, необходима огромная энергия. рассеиваться. Это можно сделать ударом или тормозами. Остановка расстояние связано с квадратом скорости; следовательно, для скорости 30 миль в час требуется четыре умноженное на расстояние до остановки, превышающее 15 миль в час.Многие водители никогда не задумываются о последствиях увеличения скорости, но они должны осознавать связанные с этим риски.

ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА

Когда автомобиль поворачивается, центробежная сила действует на автомобиль и пытается толкнуть его вне кривой. Формула это:

Центробежная сила = (масса) X (скорость) ² / радиус поворота

Это показывает, что центробежная сила увеличивается как квадрат скорости.Также при заданной скорости малый (узкий) радиус повороты производят больше силы, чем повороты с большим радиусом. Большое количество центробежной силы требует одинаково больших количеств противодействующей силы от шин, если автомобиль должен оставаться на Дорога. Шины можно рассматривать как струны от каждого конца транспортного средства к центру поворота. Если центробежная сила выше, чем шины могут противодействовать, одна или обе струны порвутся. После этого автомобиль покинет поворот.

ИНЕРЦИЯ

Инерция сопротивление изменению направления или скорости тела в состоянии покоя. или в движении.В данном случае это связанные с изменением курса или направления транспортного средства; то есть изменение от движения прямо до поворота.

The важность инерции и распределения веса, поскольку они связаны с вождением, заключается в том, что они влияют на количество времени, необходимое для перехода от прямого к поворот или наоборот. Хотя эти изменения при обычной загрузке транспортного средства невелики, водителю следует распознавать необычную загрузку транспортного средства, например, размещение большого груза на задней двери универсала (или добавление тяжелого груза на крыша транспортного средства) вызовет изменения в способе движения транспортного средства и регулировки должно производиться в управлении автомобилем соответственно.

С инерция диктует, что движущееся тело будет продолжать движение по прямой линии, необходимо приложить силу, чтобы заставить автомобиль повернуть. Эта сила называется Центростремительная сила , и возникает в результате растяжения шин при движении автомобиля с прямой дороги. Центробежная сила должна превышать центробежную. усилие для поворота автомобиля.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ:

А. Шаг силы, ощущаемой при ускорении или торможении, вокруг (Горизонтальная ось) автомобиля

Б. Сила ощущается при повороте, движение из стороны в сторону (Боковое ось) автомобиля

С. Рыскание — сила, ощущаемая при вращении вокруг (вертикальной оси) автомобиль

ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Очень важная концепция обращения, которая диктует готовность автомобиля изменить направление движения, если это называется полярным моментом. инерции.Полюса инерции просто другой способ сказать центр концентрации веса. Момент в этой концепции определяется расположением центра тяжести спереди назад. Автомобиль поворачивает (меняет направление) вокруг своего центр тяжести в углу, поэтому чем дальше центры тяжести концентрации расположены от центра тяжести (что является их общим центр), тем больше момент.

Высокий полярный момент инерции присутствует, когда весовые концентрации велики и далеко друг от друга.Низкий полярный момент инерции обнаруживается, когда вес концентрации невелики и близки друг к другу. Другими словами, легче управлять транспортным средством с низкой полярностью. момент инерции.

Автомобиль с низким полярным моментом инерции дает быстрое реагирование на команды рулевого управления. А автомобиль с высоким полярным моментом имеет высокую курсовую устойчивость (т.е. сопротивляется изменению своего направления).

Трение определяется как сопротивление движению между двумя поверхностями.Есть четыре основных типа трения.

А. Статическая удерживающая сила между двумя неподвижными поверхностями

Б. Скольжение сопротивления движению между двумя поверхностями, которые перемещаются друг через друга

С. Rolling Сопротивление движению катящегося объекта, как мяча, цилиндр или колесо

Д. Внутреннее сопротивление движению в упругих объектах (шины получают нагреваются от внутреннего трения при изгибе)

The величина трения между двумя поверхностями зависит от:

1) вещество материала

2) шероховатость поверхностей

3) величина силы, прижимающей поверхности друг к другу

4) наличие смазочных материалов

The Величина трения между двумя поверхностями называется коэффициентом трения .

КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ

Термин «коэффициент трения» определяется как максимальная сила, которую может создать шина на заданном дорожном покрытии состояние, разделенное на вес шины. Его формула:

Максимальное возможное усилие

Коэффициент трения = вес шины

ИЛИ

Максимальное доступное усилие = коэффициент трения X Вес нагрузки на колесо

Таким образом, маневренность автомобиля на сухом Дорога зависит в первую очередь от дорожного покрытия и веса транспортного средства.На мокрой дороге другие факторы, например, шина состояние также необходимо учитывать.

По мере ускорения или замедления автомобиля больше быстро, или когда автомобиль поворачивает на более высоких скоростях, он требует большего тяговые силы от автопоезда. Комбинация шины и дороги будет создавать эти силы вплоть до предел трения.

Тяга определяется как сцепление шины с поверхностью дороги.Тяговых сил три:

1) Driving Traction Для ускорения автомобиля

2) Торможение тяги Для замедления или остановки автомобиля

3) Тяга на повороте Для поворота автомобиля

в каждый раз, когда сила тяги становится больше, чем коэффициент трения, автомобиль выйдет из-под контроля.

А водитель может задействовать три силы. Для любой ситуации существует определенный уровень трения. (коэффициент) для приложения этих сил и, следовательно, для маневрирования автомобиль. Когда водитель напрягает либо тормозная сила, либо сила ускорения при одновременном приложении сила поворота, вы должны добавить силы, учитывая доступные трение. Другими словами, сумма тяговое усилие при вождении или торможении и тяговое усилие на поворотах не должно превышать предел трения, иначе автомобиль выйдет из-под контроля.По возможности избегайте торможения или ускоряется при прохождении поворотов. Этот позволяет использовать все имеющееся трение при прохождении поворотов.

А вращающаяся шина не может обеспечить полное сцепление с дорогой при ускорении. Если водитель вызывает пробуксовку ведущего колеса при при прохождении поворотов автомобиль может выйти из-под контроля.

А заблокированная шина обеспечивает no сцепление на поворотах и ​​пониженное торможение тяга. Когда водитель блокирует колеса в углу, не будет реагировать на рулевое управление .