Уравнения статики: Уравнения равновесия балки

Содержание

Уравнение статики атмосферы

Рассмотрим в атмосфере вертикальный столб воздуха единичного сечения, причем предположим, что:

  1. воздух находится в покое относительно земной поверхности;

  2. воздух можно рассматривать как идеальный газ;

  3. состав воздуха с высотой не меняется.

Тогда на любом уровне на высоте z для равновесия воздуха необходимо, чтобы его упругость p уравновешивала вес Q всего столба, расположенного выше данного уровня, т.е. чтобы

Q = p

Из этого равенства следует, что по мере поднятия вверх упругость воздуха p уменьшается вследствие уменьшения веса Q и что, измеряя упругость воздуха мы тем самым измеряем силу. Действующую на единицу поверхности, обусловленную весом воздушного столба, расположенного над данным уровнем. Эту силу определяем как силу атмосферного давления, обозначая её также как и упругость, через

p. В случае если воздух находится в движении соотношение Q = p, строго говоря, не выполняется, но подробный анализ этого вопроса показывает, что в реальных условиях в атмосфере движения воздуха и ускорения в большинстве случаев настолько малы, что практически их влиянием можно пренебречь. Лишь в случае очень больших скоростей движений и особенно значительных вертикальных ускорений можно отметить некоторое незначительное их влияние на давление.

Рассмотрим условие, при котором отсутствуют вертикальные перемещения воздуха. Для этого на любой высоте в атмосфере выделим столб единичного сечения. Пусть давление на его нижнем основании будет p, а на верхнем pdp. Тогда очевидно, что при отсутствии разности давлений в горизонтальном направлении уменьшение давления

dp, согласно Q = p, будет определятся весом столба воздуха. Если ρ – плотность воздуха на данной высоте z, а g – ускорение силы тяжести, то

dp = ρgdz

Это соотношение связывает давление и плотность с высотой для идеального газа, находящегося под действием силы тяжести. Оно справедливо при указанных выше условиях статического равновесия воздуха, и называется уравнением статики атмосферы. Из него непосредственно вытекает, что падение давления с высотой прямо пропорционально плотности воздуха. Разделив левую и правую части уравнения на dz получим второй вид основного уравнения статики атмосферы:

,

где dp/dz — вертикальная составляющая градиента давления; gρ – сила тяжести, действующая на единичный объем воздуха, масса которого равна

ρ. Таким образом, основное уравнение статики физически выражает собой равновесие двух сил – градиента давления и силы тяжести.

Из основного уравнения статики атмосферы можно сделать три важных вывода.

1.Если высота возрастает (dz > 0), то в правой части уравнения статики стоит произведение только положительных множителей: ρgdz > 0. поэтому и левая часть также больше нуля dp > 0 или dp < 0.

То есть, увеличению высоты (dz > 0) всегда соответствует отрицательное приращение давления (dp < 0). Это значит, что в атмосфере давление всегда убывает с увеличением высоты. Вывод о том, что этот закон справедлив всегда, вытекает из того, что основное уравнение статики выполняется с высокой степенью точности и в случае движения атмосферы.

2.Выделим в атмосфере вертикальный столб воздуха с поперечным сечением 1м2 и высотой от данного уровня z до верхней границы атмосферы za. Вес этого столба обозначим через Q. Так как вес элементарного столба с высотой dz равен gρ dzdzмасса элементарного столба), то вес всего столба

.

Проинтегрировав правую и левую части уравнения статики в пределах от z, где давление p, до za , где давление равно нулю (по определению верхней границы), получим

или p = Q.

Таким образом, атмосферное давление или давление воздуха на каждом уровне равно весу столба воздуха единичного поперечного сечения и высотой от данного уровня до верхней границы атмосферы. Полученное следствие делает физически ясным и вывод об убывании давления с высотой: увеличение высоты приводит к уменьшению вертикальной протяженности вышележащей части столба воздух, и, следовательно, к уменьшению давления (по сравнению с нижележащими уровнями). В закрытых (негерметизированных) помещениях давление на каком-либо уровне практически не отличается (по закону Паскаля) от давления вне помещения на том же уровне.

3. Основное уравнение статики позволяет сделать выводы и относительно скорости убывания давления с высотой. Согласно этому уравнению, при подъеме на одну и ту же высоту (dz = const) уменьшение давления (dp) тем больше, чем больше плотность воздуха ρ и ускорение свободного падения g. Основную роль играет плотность воздуха. С увеличением высоты она, как правило, убывает. Это значит, что чем выше расположен уровень, тем меньше убывание давления при подъеме на одну и ту же высоту dz.

Если точки А и В расположены на одной и той же изобарической поверхности, то плотность воздуха в этих точках будет зависеть только от температуры воздуха. Если

ТА > ТВ, то при (p = const) по уравнению состояния ρА < ρB . Это в свою очередь означает, что при подъеме на одну и туже высоту (dz=const) понижение давления в точке А с более высокой температурой меньше, чем в точке В с более низкой температурой.

То есть: при увеличении высоты на одно и то же значение относительно некоторой изобарической поверхности понижение давления в более холодной воздушной массе больше, чем в теплой массе. В холодной воздушной массе давление с высотой убывает быстрее, чем в более теплой. Подтверждением этого вывода является тот факт, что на высотах (в средней и верхней тропосфере) в холодных воздушных массах преобладает низкое, а в теплых массах – высокое давление.

Оценим значение вертикального градиента давления dp/dz. При нормальных условиях вблизи уровня моря ρ = 1,29 кг/м3, g = 9,81 м/с2 . Подставив эти значения в

,

получим, что градиент давления при нормальных условиях равен 12,5 гПа/100м. Это значение изменяется в зависимости от температуры и давления. При увеличении высоты вертикальный градиент давления уменьшается.

Вся статика — теоретическая механика

Определение и роль статики в теоретической механике

Статика
– это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил, а также методы преобразования сил в эквивалентные системы.

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Понятие силы

Сила
, действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек – это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
,
где m – масса точки – величина, зависящая от свойств самой точки. Эта формула называется вторым законом Ньютона.

Подробнее, см. «Силы в теоретической механике».

Единицей измерения силы является один Ньютон:
.
В технике широко используется килоньютон:
.

Как следует из определения, сила – это векторная величина, которая, в трехмерном пространстве, имеет три проекции на оси координат. Также задать силу можно с помощью абсолютной величины (модуля) и направления. Для материальной точки, сила приложена к самой точке. Но если мы рассматриваем твердое тело, то кроме вектора силы нам нужно еще указать и точку ее приложения. Таким образом, действие силы на твердое тело характеризуется вектором силы и точкой ее приложения. Если выбрать систему отсчета, то действие силы на твердое тело определяется двумя векторами. Это вектор силы, и вектор, проведенный из начала системы отсчета в точку приложения силы.

Система сил,
действующих на тело – это совокупность векторов сил, приложенных к телу, и точек их приложения.
Эквивалентные системы сил
Две системы сил являются эквивалентными, если законы движения любых точек твердого тела совпадают при действии любой из этих систем.
Эквивалентное преобразование системы сил
– это переход от одной системы сил к эквивалентной ей системе.
Система взаимно уравновешивающихся сил
– это система сил, не меняющая уравнений движения или уравнений равновесия твердого тела. То есть это система, эквивалентная отсутствию сил.
Равнодействующая
– это одна сила, действие которой эквивалентно действию данной системы сил.

Закрепленные, скользящие и свободные векторы

Поскольку действие силы на твердое тело определяется двумя векторами, то часто под силой подразумевают множество, состоящее из двух векторов – вектора силы, и вектора точки ее приложения относительно выбранной системы координат. Такие множества подразделяются на три класса, для которых вводят специальные термины.

Закрепленный вектор
– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два закрепленных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором.
Скользящий вектор
– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, параллельно образующему вектору. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на одной прямой, параллельной образующему вектору.
Свободный вектор
– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.
Линия действия силы
– это прямая, проведенная через точку приложения силы параллельно ее направлению.

Если мы рассматриваем упругое тело, то сила – это закрепленный вектор. Деформации зависят не только от величин и направлений сил, но и от точек их приложения. Если мы рассматриваем движение или равновесие абсолютно твердого тела, то действующая сила является скользящим вектором. Перемещение ее точки приложения вдоль линии ее действия не меняет уравнений движения или уравнений равновесия. Угловая скорость вращения абсолютно твердого тела является свободным вектором. Она характеризует движение в целом, и ее значение одинаково во всех точках тела.

С математической точки зрения, статика – это алгебра скользящих векторов.

Проекции силы на оси координат

Сила в трехмерном пространстве

Вектор силы и ее проекции на оси пространственной системы координат.

Пусть у нас есть декартова система координат Oxyz. И пусть – единичные векторы, направленные вдоль ее осей , и , соответственно. Пусть – проекции вектора силы на оси координат. Тогда разложение силы на составляющие вдоль координатных осей имеет вид:
.
Абсолютное значение (модуль) силы:
.

Введем единичный вектор , направленный вдоль вектора силы . Тогда
.
Эта формула выражает тот факт, что вектор силы можно задать, указав ее модуль F и направление . Вектор имеет три проекции на оси координат: . Поскольку его длина равна единице: , то они связаны соотношением:
.
То есть единичный вектор имеет только две независимые компоненты. Таким образом, для задания вектора силы нужно знать три величины:
либо три проекции на оси координат ;
либо модуль F и направление , которое задается двумя независимыми величинами.

Введем углы между вектором силы и осями координат , и . Тогда проекции силы на оси координат определяются по формулам:
;
.
Косинусы углов называются направляющими косинусами.

Направляющие косинусы
вектора – это косинусы углов между вектором и осями координат. Они являются проекциями единичного вектора , сонаправленного с :
,
и связаны соотношением:
.
Сила на плоскости

Вектор силы и ее проекции на оси плоской системы координат.

Результаты, приведенные выше, можно применить и для плоской декартовой системы координат Oxy. В этом случае имеем:
;
;
;
;
;
;
.
Поскольку , то   . Последнее уравнение представляет собой известную тригонометрическую формулу:
.
Для задания вектора силы , необходимо знать две независимые величины:
либо проекции вектора на оси координат ;
либо модуль F и направление , которое задается одним углом .

Аксиомы статики

Часть аксиом являются основными законами механики. Другая часть относится к законам преобразования сил, действующих на абсолютно твердое тело, и применяется только к задачам теоретической механики. По своей сути, они выражают собой тот факт, что действие силы на тело является скользящим вектором.

1. Аксиома инерции (закон инерции Галилея)
Существуют такие системы отсчета, в которых любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами и точками, движется прямолинейно и равномерно. В частности, если тело покоилось в определенный момент времени, то оно будет покоиться и в последующие моменты.

Такие системы отсчета называются инерциальными. В механике, если это особо не оговорено, под системой отсчета подразумевается именно инерциальная система отсчета. Аксиому инерции иногда формулируют так.

1′. Аксиома инерции
В инерциальной системе отсчета, под действием взаимно уравновешивающихся сил, материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, а первоначально покоившееся тело продолжает покоиться и в последующие моменты времени.

2. Аксиома равновесия двух сил
Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, являются уравновешенными тогда и только тогда, когда они равны по модулю, направлены в противоположные стороны и их линии действия совпадают.

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил
Кинематическое состояние твердого тела не изменится, если к действующей на него системе сил прибавить или отнять уравновешенную систему сил.

То есть, прибавляя или исключая уравновешенную систему сил, мы получаем эквивалентную систему сил.

Следствие аксиом 2 и 3
Действие силы на твердое тело не изменится, если точку приложения силы перенести вдоль ее линии действия. То есть сила, приложенная к твердому телу, является скользящим вектором. Доказательство

4. Аксиома параллелограмма сил
Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно заменить их равнодействующей силой, равной векторной сумме этих сил и приложенной к той же точке.
Верно и обратное. Любую силу можно разложить на две (и более) силы по правилу векторной суммы (по правилу параллелограмма), приложенных в той же точке, что и исходная сила.

То есть, если силы и приложены в одной точке, то их можно заменить равнодействующей , приложенной к той же точке. Сумму векторов можно найти двумя способами.
1) Можно вычислить проекции сил на оси прямоугольной системы координат:
.


Сложение сил по правилу параллелограмма

2) Можно сложить векторы по правилу параллелограмма (см. рисунок).
;
.
Здесь – угол между векторами и . Точкой обозначено скалярное произведение векторов.

5. Аксиома равенства действия и противодействия (3-й закон Ньютона)
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

То есть если мы возьмем все силы, действующие на тело 2 со стороны тела 1, и объединим их с силами, действующими на тело 1 со стороны тела 2, то получим уравновешенную систему сил.

6. Принцип отвердевания
Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Подробнее, см. «Аксиомы статики».

Система сходящихся сил

Сходящиеся силы
– это силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Система сходящихся сил всегда имеет равнодействующую , равную векторной сумме этих сил:
,
и приложена в точке их пересечения.

Таким образом, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на оси координат:
;
.

Условия равновесия системы сходящихся сил
Если тело или система тел, на которые действует сходящаяся система сил, находится в покое, то равнодействующая этих сил равна нулю:
.
Это дает три уравнения равновесия:
.

Теорема о трех непараллельных силах
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, линии действия двух из которых пересекаются в одной точке, то все силы лежат в одной плоскости и являются сходящимися.

Следствие
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то эти силы являются сходящимися.

Параллельные силы

Ранее мы отмечали, что система сходящихся сил имеет равнодействующую. То есть такую систему можно заменить одной силой. Приведем еще важные примеры систем сил, имеющих равнодействующую.

Две силы одного направления


Две параллельные силы F1 и F2 имеют равнодействующую R.

Пусть мы имеем две однонаправленные параллельные силы и . Переместим точки их приложения вдоль линий их действия в точки A и B так, чтобы отрезок AB был перпендикулярен силам. Тогда система сил и имеют равнодействующую , приложенную в точке C. Направление равнодействующей совпадает с направлениями и . Абсолютная величина равна сумме сил:
.
Точка приложения C находится между A и B и делит отрезок AB обратно пропорционально модулям сил:
.

Две противоположно направленные силы


Две не равные противоположно направленные силы F1 и F2 имеют равнодействующую R.

Теперь рассмотрим противоположно направленные силы и , различающиеся по величине, . Пусть . Эта система также имеет равнодействующую , направление которой совпадает с направлением большей по модулю силы, а абсолютное значение равно абсолютному значению разности модулей сил:
.
Точка приложения C равнодействующей находится на продолжении отрезка AB, ближе к наибольшей по модулю силе . Расстояния до точек A и B также обратно пропорциональны и :
.

Момент силы относительно точки

Определение

Моментом силы
, приложенной к телу в точке A, относительно точки O, называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2)   .
Плечом силы
относительно точки O, называется кратчайшее расстояние между линией действия этой силы и точкой O. Другими словами, плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на линию действия силы.

Абсолютное значение момента силы относительно точки O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранной точки O. Направление момента перпендикулярно плоскости, проходящей через точку O и линию действия силы.
Доказательство

Геометрическая интерпретация


Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы  и  расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам  и  , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Пусть α – угол между векторами и . Абсолютное значение момента:
.

Из точки O проведем перпендикуляр OH к линии действия силы . Из прямоугольника OAH имеем: . Тогда
.
То есть абсолютное значение момента силы относительно точки O равно произведению силы F на плечо |OH| этой силы относительно точки O.

Компоненты момента силы в декартовой системе координат

Выберем декартову систему координат Oxyz с началом в точке O. Найдем компоненты вектора момента силы в этой системе координат относительно ее начала.

.
Здесь – единичные векторы в направлении осей ; – координаты точки A в выбранной системе координат: .

Таким образом, момент силы имеет следующие компоненты:
(М.1)   ;
(М.2)   ;
(М.3)   .
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O, от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.
Доказательство

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.
Доказательство

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.
Доказательство

То же самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.
Доказательство

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен векторной сумме моментов сил системы относительно той же точки.

Пара сил

Из предыдущих формул ⇑ видно, что если противоположно направленные силы имеют равные модули: , то система сил не имеет равнодействующей. Действительно, в этом случае . Пытаясь использовать предыдущие формулы, мы получим деление на нуль. Такую систему сил называют парой сил.

Пара сил
– это система из двух сил , равных по абсолютной величине, имеющих противоположные направления, приложенных к разным точкам тела и не лежащих на одной прямой.
Плечо пары сил
– это кратчайшее расстояние h между линиями действия сил, входящих в пару.
Момент пары сил
– это векторная сумма моментов сил, входящих в пару, вычисленная относительно любой точки. Абсолютное значение момента пары равно произведению силы на плечо пары:
.

Теорема о независимости выбора центра при вычислении момента пары
Векторная сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от выбора точки, относительно которой вычисляются моменты.
Теорема об эквивалентности пар
Две пары, имеющие равные векторы моментов, эквивалентны. То есть у пары можно менять модуль силы и длину плеча, оставляя неизменным ее момент.
Теорема о возможности перемещения пары
Пару сил можно переносить в любом направлении. Другими словами, если пару сил переместить параллельным переносом в любое положение, то она будет эквивалентна исходной паре.
Теорема о сложении нескольких пар
Система нескольких пар сил эквивалентна одной паре, вектор момента которой равен векторной сумме моментов исходных пар.
Условие равновесия пар
Система, состоящая только из нескольких пар, является уравновешенной, если векторная сумма моментов пар равна нулю:
.

Момент силы относительно оси

Часто встречаются случаи, когда нам нужно знать не все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а только проекцию момента на выбранное направление.

Момент силы относительно оси,
проходящей через точку O – это проекция вектора момента силы относительно точки O, на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.
Доказательство

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.
Доказательство

Вычисление момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси.

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′.

Построим прямоугольную систему координат. Направим ось z вдоль O′O′′. Из точки A опустим перпендикуляр AO на O′O′′. Через точки O и A проводим ось Ox. Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy. Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′. Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′. Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (М.3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O. Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия

Главный вектор и главный момент

Главный вектор
– это векторная сумма всех сил, приложенных к телу.
Главный момент
относительно данного центра – это векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно выбранного центра.

Подчеркнем, что величина главного момента зависит от выбора центра, относительно которого вычисляются моменты.

Пространственная система сил

Основная форма условий равновесия

Условия равновесия системы сил
Для того, чтобы твердое тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент, относительно произвольной точки C, равнялись нулю:
;
.
Здесь – точка приложения силы , .
Доказательство

Это основная форма условий равновесия. Точка C может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр C выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми. Спроектировав каждое из этих векторных уравнений на три направления, получим шесть уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.

Вторая форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
;
;
.
Доказательство

Третья форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
;
;
;
.
Доказательство

Плоская система сил

Плоская система сил
– это система сил, расположенных в одной плоскости. То есть точки приложения всех сил расположены в одной плоскости, а направления сил параллельны этой плоскости.

Все изложенное для пространственной системы сил является применимым и для плоской системы. Направим оси x и y декартовой системы координат в плоскости действия сил, а ось z – перпендикулярно. Тогда z компоненты координат точек и сил равны нулю: . Также равны нулю x, y компоненты моментов сил относительно произвольной точки C: . То есть момент может иметь отличное от нуля значение только для z компоненты. Поскольку z компонента не входит в плоскую систему координат xy, то, в двумерном пространстве, момент силы уже не является вектором, а является скаляром (точнее псевдоскаляром). Его называют алгебраическим моментом силы относительно центра C (или просто моментом силы относительно центра C), и обозначают символом с маленькой буквы без знака вектора:
.

Величина является моментом силы относительно оси, проходящей через точку C перпендикулярно плоскости действия сил. Момент вычисляют как произведение модуля силы на плечо со знаком плюс или минус:
.
Если, при неподвижном центре C, сила стремится повернуть систему против часовой стрелки, то момент положителен . В противном случае – отрицательный: .

Величину момента от силы , приложенной в точке A, относительно центра C, также можно выразить через компоненты векторов по формуле:
,
где и – координаты точек A и C, соответственно.

Условия равновесия плоского тела

Для плоской системы сил можно составить три уравнения, из которых можно определить три неизвестных величины. Считаем, что сила приложена в точке .

Основная форма условий равновесия
;
;
.

Вторая форма условий равновесия
;
;
.

Третья форма условий равновесия
;
;
;
.

Связи и их реакции

Определения и свойства

Свободное тело
Тело называется свободным, если его перемещения ничем не ограничены.
Несвободное тело
Тело, перемещение которого ограничено другими телами, называется несвободным.
Связи
Тела, ограничивающие перемещения данного тела, называются связями.
Реакции связей
Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.

Принцип освобождаемости
Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к телу.

Основные типы связей и их реакции

Плоские и пространственные задачи

Две гладкие не острые поверхности. Через точку соприкосновения проводим касательную плоскость к этим поверхностям. Реакция является силой, направленной перпендикулярно этой плоскости, то есть, направлена по нормали к обеим поверхностям в точке их соприкосновения.

Одна из гладких поверхностей является острием. Реакция является силой, направленной вдоль нормали не острой поверхности в точке соприкосновения.

Две шероховатые поверхности. То же самое, что и для гладких поверхностей, только в точке соприкосновения добавляем силу трения, лежащую в плоскости касания.

Невесомая нить и стержень. Реакция направлена вдоль нити или стержня. При этом на нить всегда действует сила растяжения. На стержень может действовать как растягивающая, так и сжимающая сила.

Плоские задачи

Следующие связи применяют только в плоских задачах.

Неподвижный шарнир. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Подвижный шарнир, или опора на катках. Реакция является силой, которая проходит через ось шарнира перпендикулярно опорной поверхности.

Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно оси, проходящей через точку соединения перпендикулярно плоскости фигуры. Силу обычно раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Пространственные задачи

Цилиндрический шарнир или петля. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира, перпендикулярно направлению оси. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Сферический подшипник или подпятник. Реакция является силой, проходящей через центр подшипника. Обычно ее раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.

Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно этой точки. Силу и момент обычно раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.

Силы трения

Сила трения
Пусть два тела находятся в соприкосновении. Сила трения – это сила, параллельная плоскости соприкосновения тел, которая возникает между телами при попытке сместить одно тело относительно другого, препятствующая их относительному смещению.

Трение скольжения


Сила трения скольжения Fтр = f·N.

Рассмотрим тело, которое скользит по поверхности другого тела с отличной от нуля скоростью v под действием внешней силы . Если поверхности абсолютно гладкие, то в точках соприкосновения тел возникает только сила давления N, перпендикулярная плоскости соприкосновения тел. Для шероховатых поверхностей, возникает еще сила трения , параллельная плоскости соприкосновения, направленная в сторону, противоположную скорости движения. Величина силы трения пропорциональна силе давления и не зависит от площади соприкосновения поверхностей:
(Т1)   .
Здесь f – безразмерный коэффициент, который называется динамическим коэффициентом трения, или коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов и обработки соприкасаемых поверхностей и почти не зависит от скорости относительного движения. При расчетах его считают постоянной.

Сила трения скольжения
– это сила трения, приложенная к точкам соприкосновения движущихся тел и параллельная плоскости их соприкосновения. То есть это сила, препятствующая скольжению одного тела по поверхности другого. При расчетах, под силой трения скольжения понимают равнодействующую всех сил трения, возникающих в точках соприкосновения тел.

Закон Амонта – Кулона
Сила трения скольжения направлена параллельно плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную их движению, которое возникло бы при отсутствии трения. Она не зависит от площади соприкосновения поверхностей, а зависит от силы давления N одной поверхности на другую, перпендикулярную плоскости соприкосновения тел:
.

Трение сцепления


Сила трения сцепления. Движение возможно при tg φ > f0.

Теперь рассмотрим статическую задачу. Пусть тело покоится, и на него действуют внешние силы с равнодействующей , приложенной под углом φ к нормали поверхности. Разложим ее на две составляющие: параллельную поверхности, и перпендикулярную . На тело также действуют сила реакции , перпендикулярная плоскости соприкосновения тел, и сила трения , которую при отсутствии скольжения называют силой сцепления. Сила сцепления направлена параллельно поверхности, препятствуя движению. Она может принимать значения от нуля до максимальной величины , определяемой аналогично (Т1):
(Т2)   .
Здесь – статический коэффициент трения, который еще называют коэффициентом сцепления. Он не может быть меньше динамического коэффициента трения: .

Если , тело покоится. При этом сила трения сцепления меньше максимальной величины: . При , возникает движение. Когда , сила трения достигает предельной величины, возникает состояние предельного равновесия. Дальнейшее увеличение приводит к потере равновесия.

Сила трения сцепления
– это сила трения скольжения, когда относительное перемещение соприкасающихся тел отсутствует.
Предельная сила трения
– это максимальное значение силы трения сцепления.
Предельное равновесие
– это состояние равновесия, при котором значение силы трения сцепления равно ее максимальному значению.

Из условий равновесия имеем: . Подставим в (Т2):
.
Отсюда получаем, что система будет находиться в равновесии, если
.
Видно, что условие равновесия зависит от угла φ, под которым приложена равнодействующая внешних сил, и не зависит от ее величины. Введем предельный угол трения: . Эту величину также называют просто углом трения. Тогда, условие равновесия можно записать так:
.
Это неравенство определяет конус в пространстве, который называется предельным конусом трения, конусом трения, или конусом сцепления. Если направление силы выходит за пределы этого конуса, то система начинает движение. Если направление силы попадает в конус сцепления, то система остается в состоянии покоя. Такое явление называется заклиниванием механизма.

Заклинивание механизма
– это явление в механике, при котором система остается в состоянии покоя при любом, сколь угодно большом увеличении модуля внешней силы.

Условие возникновения движения при наличии трения
Для того чтобы тело начало движение, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая внешних сил находилась вне конуса трения.

Трение качения


Силы, возникающие при деформации, препятствуют качению тела круглой формы по плоской поверхности.

Рассмотрим случай, когда одно из тел круглой формы катится без проскальзывания по поверхности другого. С точки зрения механики, такие тела соприкасаются в одной точке A. Площадь их соприкосновения бесконечно мала, в результате чего возникает бесконечно большое давление, которое не могут выдержать реальные материалы. Поэтому вблизи точки соприкосновения тел возникает деформация, которая имеет место только в небольшом участке соприкасающихся тел. В основной части тел, удаленных от точек соприкосновения, деформация практически отсутствует, и их можно рассматривать как абсолютно твердые тела. Тогда систему сил, возникающую в результате соприкосновения, можно привести к некоторой равнодействующей силе . При этом оказывается, что точка ее приложения смещена относительно оси симметрии катящегося тела. Это приводит к появлению момента сил относительно точки A, расположенной на оси симметрии круглого тела. Изучение деформированного состояния выходит за рамки теоретической механики. Поэтому мы приводим лишь результаты, применяемые в расчетах.


Расчетная схема трения качения.

1. Поскольку деформации, для небольших значений внешних сил малы, то, считают, что они не влияют на геометрические характеристики тел. То есть считают, что тела округлой формы соприкасаются в одной точке.
2. В точке соприкосновения, на тело действуют:
сила давления , перпендикулярная соприкасающимся поверхностям;
сила сцепления , лежащая в касательной плоскости, проходящей через точку соприкосновения поверхностей;
момент силы трения , препятствующий движению.
Максимальное значение момента силы трения определяется по формуле:
,
где δ – коэффициент трения качения, который имеет размерность длины.
3. Коэффициент трения качения зависит от соприкасающихся материалов и состояния их поверхностей. Он не зависит от кривизны поверхностей и угловой скорости вращения тела. А при движении с проскальзыванием, не зависит от скорости скольжения.

Центр тяжести тела

Центр тяжести в пространстве

Пусть тело состоит из n материальных точек. И пусть на каждую точку Bi действует сила тяжести , . Все силы тяжести, действующие на точки, параллельны. Поэтому мы имеем дело с параллельной системой сил. Как и для системы из двух однонаправленных сил, такая система сил имеет равнодействующую. Найдем ее.

Пусть – главный вектор. Поскольку все силы имеют одинаковое направление, то введем единичный вектор , направленный вдоль сил:
. Отсюда .

Найдем момент сил тяжести относительно произвольно расположенного центра O.
,
где
(ЦТ1)   .

Отсюда видно, что формула вычисления момента имеет вид формулы момента от одной силы , приложенной в точке C. Точка C, положение которой определяется формулой (ЦТ1), называется центром тяжести тела. Таким образом, равнодействующая отдельных сил тяжести точек тела равна главному вектору силы тяжести, приложенному в центре тяжести. Модуль P равнодействующей называют весом тела.

Если бы мы находили равнодействующую сил тяжести, выполняя эквивалентные преобразования сил, то мы бы нашли только линию действия равнодействующей. Далее, если повернуть тело на некоторый угол, то можно найти другую линию действия равнодействующей. При этом все, подобным образом построенные линии, пересекаются в одной точке, которая и является центром тяжести тела.

Центр тяжести твердого тела
– это точка, связанная с телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела, при любом положении тела в пространстве.
Вес тела
– это абсолютное значение равнодействующей сил тяжести частиц, составляющих тело.

Координаты центра тяжести определяются по формулам:
(ЦТ2)   .
Здесь – абсолютное значение равнодействующей сил тяжести, или вес тела. – координаты точек тела. Эти формулы также можно записать в векторном виде.
.
Центр тяжести C связан с телом. Однако его положение может находиться за его пределами. Например, при наличии полости.

В случае, когда силы имеют другое происхождение, но также имеют одинаковое направление, то мы имеем дело с системой параллельных сил. В этом случае, точка C называется центром параллельных сил.

Для сплошного однородного тела, мы от суммирования переходим к интегрированию. Элементарная сила тяжести выражается через плотность ρi элементарной частицы тела, массой , и занимающей объем :
.
Здесь g – ускорение свободного падения. Переходя от суммированию к интегрированию, имеем:
(ЦТ3)   .

Центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру. Выберем двумерную систему координат Oxy. Тогда положение центра тяжести определяется по тем же формулам (ЦТ2) и (ЦТ3), из которых нужно убрать переменную z.

Однородная фигура

Рассмотрим плоскую однородную фигуру. Для такой фигуры, плотность ρ является постоянной; сила тяжести Δpi элементарной частицы пропорциональна площади ΔAi этой частицы: Δpi = ρΔAig. Вес P фигуры пропорционален площади A всей фигуры: P = ρAg.

Подставляя эти величины в формулы, определяющие положение центра тяжести находим:
.
Переходим от суммирования к интегрированию:
.
Мы видим, что сюда не входят плотность ρ и ускорение свободного падения g. Остались величины, зависящие только от геометрии сечения. Таким образом, для тела с постоянной плотностью, центр тяжести является геометрической характеристикой.

В этих формулах, yC есть алгебраическое расстояние от центра тяжести до оси x; yk или y – алгебраическое расстояние элементарного участка до той же оси. xC, xk и x – соответствующие алгебраические расстояния до оси y. В этой связи вводят новую геометрическую характеристику сечения, которую называют статическим моментом.

Статический момент относительно некоторой оси
– это сумма произведений элементарных площадей , входящих в состав фигуры, на алгебраические значения их расстояний до этой оси.

В рассматриваемом нами случае, статические моменты относительно осей x, y определяются по формулам:
.
Статические моменты широко используются при расчете конструкций. Для стандартных профилей, их значения указываются в соответствующих справочниках.

Центры тяжести простейших фигур

Параллелограмм, прямоугольник, квадрат: в точке пересечения диагоналей.
Треугольник: в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в соотношении 1:2.
Дуга окружности с центральным углом 2α: .
Круговой сектор: .

Теоремы, применяемые при расчете центра тяжести

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Центр тяжести фигуры, составленной из n более простых фигур, определяется по формуле:
(ЦТ4)   .
Здесь – площадь всей фигуры; – площадь и координаты центра тяжести простой фигуры, входящей в состав сложной.

Способ отрицательных площадей (объемов)
Если k — я фигура вырезана из объемлющей ее части, то, в формуле (ЦТ4), соответствующая ей площадь считается отрицательной: .

Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести: . Площадь поверхности вращения A, полученной вращением плоской кривой L вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой L на длину окружности, описанной ее центром тяжести: .
Распределенная нагрузка
Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Силу тяжести протяженных тел, на схемах, изображают в виде эпюр. Также встречаются подобные силе тяжести параллельные силы, приложенные не в определенных точках тела, а непрерывно распределенные по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или распределенными нагрузками.

Равномерно распределенная нагрузка q (рисунок А). Ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку, на рисунке А, эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в центре основания эпюры – в точке C: |AC| = |CB|.

Линейно распределенная нагрузка q (рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h, находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Приведение системы сил к центру

Теорема о параллельном переносе силы (лемма Пуансо)
Сила, действующая на данное тело, эквивалентна силе, полученной параллельным переносом исходной силы в любую точку тела и паре сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки ее приложения.

Теорема о приведении системы сил к заданному центру
Любую систему сил, действующих на данное тело, можно привести к заданному центру O – то есть заменить одной силой, равной главному вектору, приложенной к точке приведения O, и парой сил с моментом MO, равным главному моменту относительно центра O.

Статические инварианты

Статические инварианты
пространственной системы сил – это такие величины, которые не зависят от центра приведения.

Такими инвариантами являются:
1) главный вектор ;
2) скалярное произведение главного вектора на главный момент .
Главный вектор равен векторной сумме всех сил и поэтому не зависит от центра приведения O. Главный момент зависит от положения центра O, относительно которого вычисляются моменты. Но величина его скалярного произведения на главный вектор не зависит от того, относительно какой точки вычисляется главный момент.

Хотя главный вектор не зависит от положения центра O, но величины его проекций на оси координат зависят от выбора системы координат. Поэтому они также не являются инвариантами. По той же причине и направление главного вектора не является инвариантом. Единственной численной величиной, которая не зависит от выбора системы координат, является модуль главного вектора. Но, в математическом отношении, проще иметь дело с квадратом модуля. Поэтому мы выберем его в качестве основного инварианта.

Итак, статическими инвариантами являются следующие величины:
– квадрат модуля главного вектора;
– скалярное произведение главного вектора на главный момент. Инвариантами также являются функции от инвариантов. Например, проекция главного момента на направление главного вектора является инвариантом:
.

Динама

Разложим главный момент на компоненту , параллельную главному вектору , и на компоненту , перпендикулярную :
(П1)   .
Тогда .
Отсюда получаем упомянутый выше результат, что инвариантом является алгебраическая величина проекции главного момента на направление главного вектора:
.


Динама – одна из простейших систем сил.

То есть, при изменении положения центра O, меняется вектор , в то время как вектор остается постоянным. Выбором центра приведения O, можно обратить в нуль. Тогда мы получим систему, состоящую из главного вектора и пары сил с моментом , лежащих в плоскости, перпендикулярной главному вектору. Такая система называется динамой или силовым винтом. Система приводится к динаме, если второй статический инвариант не равен нулю.

Динама
– это простейшая система сил, состоящая из силы , приложенной к некоторой точке C, и паре сил, перпендикулярных . При этом момент пары параллелен линии действия силы. Динаму также называют силовым винтом, динамическим винтом, или статическим винтом.
Ось винта
– это линия действия силы динамического винта.

Из (П1) мы находим, что минимальное значение модуля момента равно модулю его проекции на направление главного вектора:
.

Центральная ось системы сил

Пусть и – главный вектор и главный момент относительно некоторого центра O, который выберем за начало координат. И пусть второй инвариант отличен от нуля:
.
Найдем положение такой точки C, относительно которой система сил приводится к динаме. Для этого преобразуем главный момент от центра O к C:

.
Отсюда
(П2)   .
Для динамы, векторы и направлены вдоль одной прямой. Поэтому
, где λ – некоторое число. Отсюда получаем два уравнения:
(П3)   .
Пусть – компоненты вектора . Тогда подставив (П2) в (П3), имеем:
.
Это уравнение прямой в пространстве, которую называют центральной осью системы сил. Относительно точек этой прямой, система сил приводится к динаме, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.

Центральная ось системы сил
– это прямая, обладающая тем свойством, что при приведении системы сил к любой из ее точек, система сил является динамой. При этом главный вектор и главный момент динамы параллельны этой прямой, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.
Приведение системы сил к простейшему виду
Пара сил

Пусть .
Тогда . Второй инвариант также равен нулю: . В этом случае, вектор главного момента не зависит от положения центра O. Система сил приводится к паре с моментом .

Если и , то это уравновешенная система сил. Она эквивалентна отсутствию сил.

Равнодействующая сила

Пусть .
В этом случае существует прямая, относительно точек которой главный момент равен нулю:
.
То есть система приводится к одной силе – равнодействующей, равной главному вектору приложенному к любой из точек упомянутой выше прямой. Эта прямая является линией действия главного вектора. Примеры: система сходящихся сил, система параллельных сил. Это системы, которые имеют равнодействующую.

Динама

При , как показано выше, система сил приводится к динаме.

Использованная литература:
А. А. Яблонский, В.М. Никифорова. Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Уравнения статики атмосферы — Студопедия

Силы, действующие в атмосфере в состоянии равновесия

СТАТИКА АТМОСФЕРЫ

Система находится в равновесии (покое), если результирующая всех сил, действующих на систему равна нулю.

Силы подразделяются на массовые и поверхностные.

Массовыми силами, действующими на атмосферу в целом и на ее части, являются сила тяжести и отклоняющая сила вращения Земли (кориолисова сила).

Поверхностные силы, действующие в атмосфере, — это сила давления и сила трения.

Однако кориолисова сила и сила трения появляются лишь при движении атмосферы относительно поверхности Земли или одних ее частей относительно других. Поэтому силами, действующими в атмосфере в состоянии покоя, являются сила тяжести и сила давления.

Пусть атмосфера находится в состоянии покоя по отношению к земной поверхности. Тогда горизонтальная составляющая градиента давления должна обращаться в нуль (в противном случае воздух придет в движение). Для этого необходимо и достаточно, чтобы изобарические поверхности совпадали с уровенными.

Выделим в атмосфере две изобарические поверхности, расположенные на высотах z и z+dz (рис.). Между изобарическими поверхностямиp p+dp выделим объем воздуха с горизонтальными основаниями 1 м2. На нижнее основание действует сила давления p, направленное снизу вверх; на верхнее – сила давления p+dp, направленная сверху вниз. Силы давления, действующие на боковые грани выделенного объема взаимно уравновешиваются.


Рис. К выводу уравнения статики.

На этот объем действует сила тяжести Р, направленная по вертикали вниз и равная по модулю

.

Спроектируем все силы на ось z. Поскольку сумма всех сил равна нулю, то и сумма этих проекций равна нулю:

.

Подставив выражение силы тяжести, получим .

Разделив на dz определим второй вид основного уравнения статики атмосферы:

.

Левая часть представляет собой вертикальную составляющую градиента давления, правая – силу тяжести, действующую на единичный объем воздуха. Таким образом, уравнение статики выражает равновесие двух сил – градиента давления и силы тяжести.

Из уравнения статики можно сделать три важных вывода:

1. Увеличению высоты (dz>0) соответствует отрицательное приращение давления (dp>0), что означает убывае давления с высотой. Уравнение статики выполняется с высокой точностью и в случае движения атмосферы.

2. Выделим в атмосфере вертикальный столб воздуха с основанием 1м2 и высотой от уровня z до верхней границы атмосферы . Вес этого столба равен . Проинтегрировав обе части () в пределах от z , где давление р, до , давление равно 0 (по определению верхней границы), получим: , или .

Таким образом, приходим ко второму определения понятия давления. Атмосферное давление на каждом уровне равно весу столба воздуха единичного поперечного сечения и высотой от данного уровня до верхней границы атмосферы. Отсюда понятен физический смысл убывания давления с высотой.


3. Уравнения статики позволяют сделать вывод о скорости убывания давления с высотой. Уменьшение давления тем больше, чем больше плотность воздуха и ускорение свободного падения. Основную роль играет плотность. Плотность воздуха с увеличением высоты падает. Чем выше расположен уровень, тем меньше убывание давления.

Если точки расположены на одной и той же изобарической поверхности, то плотность воздуха будет зависеть только от температуры в этих точках. В точке с более низкой температурой плотность выше. Это означает, что при подъеме на одну и ту же высоту понижение давления в точке с более высокой температурой меньше, чем в точке с более низкой температурой.

В холодной воздушной массе давление с высотой убывает быстрее, чем в теплой. Подтверждением этого вывода является тот факт, что на высотах (в средней и верхней тропосфере) в холодных воздушных массах преобладает низкое давление, а в теплых – высокое.

Оценим значение вертикального градиента. При нормальных условиях вблизи уровня моря r=1.29 кг/м3, g=9.81 м/с2. Подставив эти значения в (), найдем: G=12ю5 гПа/100м.

Составление уравнений систем автоматического управления

Для того, чтобы провести анализ системы автоматического управления САУ необходимо иметь ее математическое описание – интегродиффернциальные или  дифференциальные уравнения. Если система с распределенными параметрами, то уравнения представлены в частных производных. Они будут определять поведение системы автоматического регулирования САР в динамических режимах – переходные процессы, а также приложение или снятие возмущающих воздействий.

Ели уравнения описывают изменения входящих в них переменных во времени, то их называют уравнениями динамики. Не прилагая особых усилий из уравнений динамики можно получить уравнения статики – если предположить, что все входящие в них воздействия и производные равны нулю или равны константам (постоянны). Уравнениями статики описываются системы в установившемся режиме.

Для упрощения записи уравнений динамики САР ее, как правило, разбивают на отдельные звенья, и записывают уравнения каждого звена по отдельности. Созданную таким образом систему уравнений можно преобразовать к одному уравнению, путем исключения промежуточных переменных.

Уравнения звена необходимо составлять так, чтоб оно выражало зависимость между выходящим и входящим сигналом. Также следует учитывать, что звено может иметь не одно входное значение (при наличии обратных связей), а также следует учесть, что звено может иметь возмущение из вне.

Дифференциальные уравнения составляются на основании законов физических процессов, которые будут протекать в звене.

Все факторы или переменные, от которых зависит изучаемый процесс, выявляются при составлении дифференциального уравнения. Уравнения статики не линейны для большого диапазона изменений регулируемой величины. Если рассмотреть на примере генератора независимого возбуждения, то при небольшом изменении напряжения возбуждения уравнение цепи будет иметь линейный вид:

Где: Uг – выходное генераторное напряжение, Uв – напряжение на обмотке возбуждения, α – коэффициент, выражающий зависимость Uв от  Uг.

Если изменения магнитного поля машины будут существенны, то тогда придется учитывать режим насыщения, а это вводит в систему определенную нелинейность:

Если для малых отклонений регулируемой величины вполне можно использовать линеаризованные уравнения, то для больших отклонений используют нелинейные уравнения вида:

Где x, y, z – значения абсолютные регулируемой величины, а также регулирующего и возмущающего воздействий.

Изображение данных статических уравнений называют статическими характеристиками – кривыми, построенными в координатах x, z или x,y.

В качестве примера такой характеристики может послужить характеристика статическая электронного усилителя постоянного тока Uвых = f(Uвх):

Или же машины постоянного тока Ω = f(Uу):

Где: Ω – скорость вала, рад/с; Uу  — якорное напряжение управления;

Из показанных выше характеристик видно, что они не линейные. Для того, чтоб упростить себе жизнь и не проводить расчет нелинейной САУ было введено понятие линеаризация, которая возможна для небольшого диапазона изменений входных и выходных величин:

Точка С, на характеристике Ω = f(Uу), имеет координаты  Ω0 и Uу0, которые соответствуют номинальной скорости вращения машины. Величины ΔΩ и ΔUу  — достаточно малые отклонения напряжения и скорости, поэтому нелинейный участок характеристики принадлежащий точке С вполне можно заменить прямой (секущей или касательной). Рассматриваемый участок кривой можно рассматривать в отдельных осях (ΔΩ и ΔUу), которые обозначают отклонение величин Ω и ΔUу от их номинальных значений. Замену нелинейной характеристики линейной, основанной на малых отклонениях, называют линеаризацией. Рабочий участок можно обновить формулой ΔΩ = k0ΔUу, где  k0 – крутизна характеристики, k0 = tgα.

Также необходимо отметить, что существую и САР со значительно нелинейными характеристиками, которые не подлежат линеаризации. Такие системы рассматривает раздел нелинейной теории автоматического регулирования.

Уравнения динамики и статики. Линеаризация

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Подробнее

Лекция 4. Типовые динамические звенья

Лекция 4 Типовые динамические звенья Системы автоматического регулирования удобно представлять в виде соединения элементов, каждый из которых описывается алгебраическим или дифференциальным уравнением

Подробнее

Непрерывно-детерминированные модели

Непрерывно-детерминированные модели Непрерывно-детерминированные модели используются для анализа и проектирования динамических систем с непрерывным временем, процесс функционирования которых описывается

Подробнее

1. Дайте определение:

Задана структурная схема линейной САУ K 1 S K 2 1 + T 2 S K 3 1 + T 3 S — K ос ПФ Регулятора ПФ Объекта 1. Дайте определение: 1.1 САУ, САР, СС, системы стабилизации 1.2 Динамическое звено. Типы динамических

Подробнее

Математические схемы: D-схемы

Математические схемы: D-схемы Непрерывно-детерминированные модели используются для анализа и проектирования динамических систем с непрерывным временем, процесс функционирования которых описывается детерминированными

Подробнее

Лабораторная работа 1 ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ

Лабораторная работа 1 1 ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ 1. Цель работы Исследовать динамические характеристики типовых звеньев систем автоматического управления (САУ), а также познакомиться с основными правилами структурного

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

Тема 5. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 5 ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ Свойства линейных стационарных систем: линейность, стационарность, физическая реализуемость Дифференциальное уравнение Передаточная функция Частотная передаточная функция

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ 19/30/2 Одобрено кафедрой «Железнодорожная автоматика, телемеханика и связь» ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Задание на контрольную работу с методическими

Подробнее

Примеры решения задач

. Динамические характеристики линейных систем Примеры решения задач Пример. Алгоритм нахождения обратной матрицы. C T транспонированная матрица алгебраических дополнений; Полученная матрица A и будет обратной.

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ

Лабораторная работа 5 АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ Цель работы: определение параметров автоколебаний нелинейной системы регулирования угла поворота вала двигателя. Теоретическая часть Нелинейными

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1. Основные термины и определения На любую САУ всегда действуют внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спроектированная САУ должна

Подробнее

Баширова Э.М., Свободина Н.Н.

1 УДК 62.179.14 Баширова Э.М., Свободина.. ОЦЕКА ТЕКУЩЕГО СОСТОЯИЯ МЕТАЛЛА ЕФТЕГАЗОВОГО ОБОРУДОВАИЯ С ПОМОЩЬЮ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕДАТОЧОЙ ФУКЦИИ Оборудование, используемое для переработки нефти, работающее

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Тема 8 ДИСКРЕТНЫЕ САУ

Тема 8 ДИСКРЕТНЫЕ САУ Лекция 7 Общие понятия и определения теории дискретных САУ. Основные сведения о математическом аппарате теории линейных дискретных стационарных систем. Математическое описание процессов

Подробнее

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ»

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ» (часть. лекция 6) Понятие устойчивости. Работа А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (проф.в.н.шамберов) Основы современной теории устойчивости были

Подробнее

6М Автоматизаци и управление

6М07000 -Автоматизаци и управление «Элементы и устройства автоматики».устройство и принцип действия двигателей постоянного тока.. Основные характеристики трехфазного асинхронного двигателя с фазным ротором.

Подробнее

Исследование линейных стационарных систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Курганский государственный университет Кафедра автоматизации производственных процессов Исследование линейных стационарных систем Методические указания

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие… 11

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие… 11 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ.15.Глава 1. Основные понятия теории управления… 15 1.1.Понятия об управлении и системах управления… 15 1.2.Объекты

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n — общий член последовательности.

Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х — общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Теория автоматического управления

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» УТВЕРЖДАЮ Декан АВТФ С. А. Гайворонский 2009

Подробнее

Точность по задающему воздействию.

Точность по ающему воздействию. Статическая точность при гармоническом входном воздействии. Самым простым методом изучения точности является использование передаточной функции по ошибке. ( ) ( ). U ; (

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Статика — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Основы статики

К оглавлению…

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел. Равновесием называют такое состояние тела или системы тел, в котором оно не движется в данной системе отсчета. Различают три вида равновесия:

  • Устойчивое равновесие. Если систему вывести из состояния устойчивого равновесия, то она самопроизвольно в него вернется, то есть при выведении из положения равновесия возникает сила, возвращающая систему к равновесию. Для этого необходимо, чтобы потенциальная энергия системы в состоянии устойчивого равновесия имела минимальное значение. Любая физическая система стремится к состоянию устойчивого равновесия. Это значит, что любой самопроизвольный процесс всегда проходит с уменьшением потенциальной энергии.
  • Неустойчивое равновесие. В данном случае при выведении из состояния равновесия возникают силы, уводящие систему от равновесия, и система самопроизвольно не может в него вернуться. В состоянии неустойчивого равновесия потенциальная энергия системы имеет максимальное значение.
  • Безразличное равновесие. При выведении из состояния равновесия в системе не возникает ни возвращающих, ни уводящих в сторону сил.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к невращающемуся телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение (действительно, ведь ускорение тела при этом равно нулю). В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей силы все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс. Центр масс (или центр тяжести) – точка к которой приложена сила тяжести, действующая на тело.

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю. Иными словами, векторная сумма всех сил, приложенных к телу должна быть равна нолю:

 

Момент силы. Правило моментов

К оглавлению…

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил. Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения. Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.

Для описания причин вызывающих вращения и условия равновесия тела в статике вводится новое понятие — момент силы. Произведение модуля силы F на плечо d и называется моментом силы M. Таким образом момент силы в статике вычисляется по формуле:

Обычно в физике используется следующее правило знаков: если сила поворачивает тело по часовой стрелке, то ее момент считается положительным, а если против – то отрицательным. Момент силы может и равняться нулю, если сила проходит (сама или продолжением) через ось. Обратите внимание: если Вы перепутаете, и возьмете знаки моментов наоборот (по часовой стрелке со знаком минус, а против часовой со знаком плюс), то ничего страшного не произойдет. Поэтому, важно запомнить, что моменты сил, вращающих тело в различных направлениях относительно часовой стрелки, берутся с различными знаками.

Обратите внимание, что момент силы зависит не только от величины силы, но и от ее плеча. Следовательно, одно и то же значение момента можно получить двумя способами: взять большую силу и малое плечо или взять малую силу и большое плечо. Вывод: чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо прилагать для получения одного и того же результата.

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

При записи этого условия в ходе решения конкретной задачи по статике моменты сил необходимо записывать с учётом их знаков. В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в ньютоно-метрах (Н∙м).

Обратите внимание: в общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов.

Алгоритм решения задач на правило моментов (задач по статике):

  1. Нарисовать рисунок. Следует помнить, что сила тяжести, действующая на тело изображается один раз. Если же в задаче идет речь об изломанной палочке, то удобнее рисовать отдельно силы тяжести, действующие на каждую часть палочки, считая массы частей пропорциональными их длинам. В отличие от динамики, где силы изображаются из одной точки, в статике важно точно указать точку приложения силы.
  2. Выбрать ось вращения в точке приложения самой ненужной в задаче силы или сил (той силы, которую определять не надо и не хочется из-за природного чувства лени). При этом плечо (и, следовательно, момент) этой силы обратится в нуль независимо от ее величины, и в дальнейших вычислениях эту силу можно не учитывать совсем.
  3. Записать правило моментов относительно данной оси, на забывая про правило знаков.
  4. При необходимости записать также условие согласно которому равнодействующая сила равна нолю.
  5. Выразить искомую силу.

 

Рычаги и блоки

К оглавлению…

Как вы знаете из практики, иногда необходимо изменить направление силы, увеличить или уменьшить ее величину. Этой цели служат простые механизмы: устройства, преобразующие величину или направление силы с помощью механических явлений. Для всех простых механизмов справедливо золотое правило механики: выиграл в силе – проиграл в перемещении (или наоборот). Это значит, что при увеличении силы за счет некоторого механизма неизбежно будет уменьшено и перемещение. Рассмотрим основные типы простых механизмов изучаемых в школьной физике:

  • Равноплечий рычаг (весы). Рычаг, ось вращения которого проходит через его геометрический центр.
  • Неравноплечий рычаг. Рычаг ось вращения которого проходит через произвольную точку.
  • Неподвижный блок. Это диск с закрепленной осью, через который переброшена нить. Неподвижный блок используется для изменения направления приложения силы. Если трение в блоке отсутствует, нить невесома, то сила ее натяжения до и после блока не изменяется. Таким образом, неподвижный блок не дает ни выигрыша в силе, ни проигрыша в перемещении.
  • Подвижный блок. Это диск, ось которого может двигаться поступательно. Подвижный блок позволяет уменьшить силу в два раза, одновременно с этим вдвое увеличивая перемещение.
  • Наклонная плоскость. Это устройство применяется для поднятия тяжестей. При достаточно малых значениях угла наклона и небольшом коэффициенте трения сила, которую необходимо приложить чтобы поднимать некоторое тело вдоль наклонной плоскости может быть значительно меньше веса тела. Таким образом, подъем становится легче. Естественно, при этом в полном соответствии с «золотым правилом» увеличивается перемещение тела.

 

Центр тяжести тела

К оглавлению…

Центр масс (или центр тяжести) – точка к которой приложена сила тяжести, действующая на тело. В общем случае центр тяжести может и не лежать внутри тела, а выходить за его пределы (например, различные изогнутые длинные предметы, кольца, полукольца и так далее).

Рассмотрим основные методы определения положения центра масс тел для некоторых конкретных случаев, возникающих при решении задач по статике:

1. У однородных тел правильной формы (шары, прямоугольники, стержни) центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Следует запомнить, что центр тяжести однородной треугольной пластины лежит в точке пересечения ее медиан. Для однородных симметричных тел центр тяжести всегда расположен на оси симметрии.

2. Определение положения центра тяжести системы из двух тел с известными центрами тяжести. Здесь можно использовать замечательное свойство центра тяжести. Подперев центр тяжести, мы обеспечим равновесие тела. Таким образом, центр тяжести системы из двух тел лежит на отрезке, соединяющем их центры тяжести, и делит его в отношении, обратном отношению масс тел:

где: l1 – расстояние от центра масс до тела с массой m1, а l2 – до тела с массой m2.

3. Определение положения центра тяжести любой системы тел с известными положениями центров тяжести. Необходимо ввести систему координат (естественно, начало координат выбрать в точке, относительно которой необходимо рассчитать положение центра тяжести), определить в ней координаты центров тяжести всех тел и найти координаты центра тяжести системы по формуле:

Аналогичные уравнения получаются для остальных координатных осей, если таковые необходимо рассматривать в задаче (просто переменная x меняется на y или z соответственно).

4. Однородное тело правильной формы с вырезом правильной формы. Проще всего свести задачу к обратной: мысленно вставить вырез обратно и получить тело правильной формы с известным положением центра тяжести. Далее представить его в виде двух тел: страшного с вырезом и самого выреза. А теперь все просто. У одного из тел (выреза) мы знаем положения центра тяжести. У другого – нет. Зато знаем положение центра тяжести системы двух тел. Составив уравнение для определения общего центра тяжести получим выражение с одной неизвестной – центром тяжести тела с вырезом. Решив уравнение получим искомый ответ.

5. Теорема Паппа. Применяется для определения положения центра тяжести плоской пластины, которая при вращении вокруг некоторой оси образует тело с легко вычисляемым объемом. Необходимо мысленно повернуть пластину на один оборот, нарисовать рисунок и применить теорему:

Формулировка теоремы: объем тела, полученного при вращении пластины, равен произведению ее площади на путь, пройденный центром тяжести при вращении:

Дифференциальное уравнение статики идеальной

жидкости (уравнение Эйлера).

Перед тем, как начать изучать движение газов, следует рассмот­реть условие их равновесия. Это необходимо для выяснения условий поведения газа при малых скоростях движения, где его состояние близ­ко к равновесному, и для получения исходных предпосылок для последующих выводов. При этом изучают зависимость давления в данной точке от объемного веса газа и геометрического положения точки.

При выводе основных соотношений статики газов исходят из сле­дующих положений:

  1. Газ или жидкость находится в равновесии, если для каждой произвольно выбранной части объема результирующая всех при­ложенных сил будет равна нулю.
  2. Для любой выделенной части поверхности газа (жидкости), нахо­дящегося в равновесии, поверхностные силы перпендикулярны к поверхности и направлены внутрь ее.

Для вывода уравнения равновесия жидкости выделим в ней элемен­тарный прямоугольный параллелепипед с ребрами

dх, dу, dz и объемом dV=dx,dy,dz на этот параллелепипед действуют силы тяжести и силы давления, действующие на. каждую грань (рис.5 ).

Обозначим проекции ускорения силы тяжести на оси координат через gx, gy ,gz. Тогда проекции самой силы тяжести на оси координат будут соответственно равняться

(17)

Эти силы должны быть уравновешены разностью давлений, приходя­щейся на соответствующие грани параллелепипеда.

При переходе от одной грани к противоположной давление, в общем случае, Р должно изменяться.

Рис. 5 К выводу уравнения движения Эйлера

И поэтому силу давления на грань «а» и на противоположную грань «в» можно запи­сать

Сила на грань «в» войдет в уравнение проекций со знаком минус.

И для грани, перпендикулярной к оси X, равнодействующая сил давле­ния равна:

(18)

Проек­ция объемной силы равна произведению массы ρ·dx·dy ·dz на проекцию ускорения gx , если рассматривать направление по оси Х.

ρ·dx·dy ·dz ·gx = gx ·ρ·dV (19)

а сумма сил, действующих в направлении оси X равна:

(20)

Если уравнение разделим на ρ·dV, получим

=0

Условие равновесия для всех трех координат будет иметь следующий вид:

(21)

или

(21.б)

Эта система носит название системы уравнений Эйлера- уравнений статики жидкости и газа. Умножил уравнение (2.17) первое на и последующее на dу, dz

и, склады­вая их, получим:

Трехчлен в левой части уравнения (2.18) представляет полный дифференциал давления, поэтому

(23)

Это уравнение называют основным уравнением статики жидкостей и газов. Уравнение (2.19) содержит две неизвестных функции Р и ρ поэтому для решения необходимо еще одно урав-нение. Таким является так называемое характеристическое уравнение или уравнение состояния, которое, в общем случае, определяет зависимость плотности от давления и температуры. Таким образом для газов уравнением состоя­ния является уравнение Клапейрона –Менделеева

,

где Р — абсолютное давление;

R — газовая постоянная, разная для различных газов, но не

зависящая от температу­ры и давления;

Т — абсолютная температура.

Если направить силу тяжести по координате у, то

(24)

Интегрируя последнее уравнение, получим:

Постоянную интегрирования С определяем из уравнения (2.21) в условиях сечения уо, где газ соприкасается с атмосферой и имеет давление Ро. Подставим вместо у = уои Р= Ро получим

(25)

Далее можно рассмотреть два случая.

 

 

Рис.6 К определению следствий из уравнения Эйлера

В первом случае (рис.6 а) газ соприкасается с воздухом снизу своего объема Обозначим разность геометрических отметок через Н = у — уо> уо) , получим:

 

Р = Роρ·gН

Если в сосуде на высоте Н поставить Vобразный манометр, то он покажет разность давлений ΔР между сосудом и окружающим воздухом, равную ΔР= РгРв

(26)

где — соответственно плотности холодного воздуха и

горячего газа.

Т.к. ρвг, то ΔР > 0, т.е. должно быть положительное давление. Этот вывод подтверждается практикой работы печей, в кото­рых наблюдается увеличение давления газов от пода печи к своду.

Во втором случае газ соприкасается с воздухом в верхней части занимаемого объема, как видно из рисунка 6.б. При этом

у > уои Н = уо у отсюда

Р = Ро + ρ·gН

Рассуждая аналогично предыдущему, будем иметь

(27)

Эта зависимость лежит в основе расчета статики дымовых труб, т.е. можно рассчитать статическое разряжение у основания дымовой трубы.

 

8. Уравнение неразрывности движения жидкостей и газов

Теория движения газов строится из предположения неразрывности течения (сплошности). Это основное уравнение газовой динамики мы выведем .для элементарной струйки газа, поперечные размеры которой настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать постоянным все основные параметры потока: скорость, давление, температуру и плотность газа.

Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим стационар­ное (установившееся) движение элементарной струйки газа (рис.7).

При стационарном движении в любой точке пространства сохраня­ются неизменными во времени скорость движения и состояние жидкости или газа (плотность, давление и температура). Траектория частиц при таком движении называется линиями тока. Боковая поверхность струйки, носящей название поверхности тока, является для жидкости (газа) не­проницаемой.

Рассмотрим некоторый участок элементарной струйки между двумя нормальными поверхностями тока сечениями I и 2, заметим, что в ука­занном на рис.7 направлении 1-2 приток газа осуществляется только через поперечное сечение I, а расход газа только через сечение 2.

Рис.7 К выводу уравнения неразрывности

За бесконечно малый промежуток времени выделенная часть струйки переместится в новое положение 1´-2´ . Перемещение состоит в том, что за время заштрихованный объем I´-2 вместит газ, вытесненный из области I-I´, а известное количество газа за то же время вытечет из этого объема и заполнит область 2-2´. Приток газа в объеме 1´-2 составит:

(28)

где ρ1 — плотность газа в поперечном сечении I

F1 — площадь поперечного сечения I .

Расстояние между сечениями I и I´ равно произведению скорости движения на элементарный промежуток времени.

(29)

где W1 — скорость в сечении I, откуда

(30.а)

Расход газа из объема 1´-2 равен, очевидно

(30.б)

При установившемся режиме и отсутствии разрывов сплошности в движущейся среде приток газа должен равняться расходу:

(31.а)

Отсюда, после соответствующей подстановки, получаем уравнение нераз­рывности- закон сохранения массы для единичной струйки жидкости или газа при установившемся течении

(31.б)

В случае несжимаемой жидкости, т.е. при ρ = const уравнение (31.б) принимает более простую форму

(32)

Уравнение постоянства расхода газа G =gρWF = const можно пред­ставить так же в дифференциальной форме

поделив почленно это соотношение на , получим

(33)

В общем случае неразрывного движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид

(34)

— это закон сохранения энергии.

Формула статического трения

Статическое трение — это сила, которая удерживает объект в неподвижном состоянии. Его необходимо преодолеть, чтобы начать движение объекта. Когда объект движется, он испытывает кинетическое трение. Если к объекту приложена небольшая сила, статическое трение имеет равную величину в противоположном направлении. Если усилие увеличить, в какой-то момент будет достигнуто значение максимального статического трения, и объект сдвинется. Коэффициент статического трения обозначается греческой буквой «мю» (μ) с нижним индексом «s».Максимальная сила статического трения μ с, в раз превышающая нормальную силу, действующую на объект.

сила трения покоя ≤ (коэффициент трения покоя) (нормальная сила) максимальная сила трения покоя = (коэффициент трения покоя) (нормальная сила)

F с ≤ μ с η и F с max = μ с η

F с = сила трения покоя

μ с = коэффициент трения покоя

η = нормальная сила (греческая буква «эта»)

≤ означает «меньше или равно»

F с max = максимальная сила статического трения

Формула статического трения Вопросы:

1) К сани, набитой дровами, в заснеженном лесу прилагается усилие 5500 Н.Лыжи санок имеют коэффициент трения покоя μ s = 0,75 со снегом. Если полностью загруженные салазки имеют массу 700 кг, какова максимальная сила статического трения и достаточно ли приложенной силы для ее преодоления?

Ответ: На плоской поверхности нормальная сила, действующая на объект, составляет η = мг. Используя это, можно найти максимальную силу статического трения:

F с макс = μ с η

F с макс = μ с мг

F с макс = (0.75) (700 кг) (9,8 м / (с 2 ))

F с макс = 5145 кг ∙ м / с 2

F с макс = 5145 N

Максимальная сила трения покоя составляет 5145 Н, поэтому приложенной силы 5500 Н достаточно, чтобы преодолеть ее и начать движение салазок.

2) Человек, строящий машину для производства кирпича, хочет измерить коэффициент статического трения между кирпичом и деревом. Для этого она ставит 2.00 кг кирпича на плоском куске дерева, постепенно прикладывая все большее и большее усилие, пока кирпич не сдвинется. Она обнаружила, что кирпич двигается при приложении силы ровно 11,8 Н. Что такое коэффициент статического трения?

Ответ: Приложенная сила была именно той величиной, которая необходима для преодоления статического трения, поэтому она равна F s max . На плоской поверхности нормальная сила, действующая на объект, составляет η = мг. Коэффициент трения покоя можно найти, переписав формулу максимальной силы статического трения:

μ с = 0.6020 …

Дайте ответ с тремя значащими цифрами, чтобы соответствовать другим числам в уравнении:

мкм с ≈ 0,602

Мы находим коэффициент статического трения между кирпичом и деревом равным 0,602.

Решение статических задач | Безграничная физика

Методы решения проблем

При решении статических задач вам необходимо определить все силы и моменты, подтвердить направления, решить уравнения и проверить результаты.

Цели обучения

Сформулируйте и примените шесть шагов для решения статических проблем

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Во-первых, убедитесь, что проблема, которую вы решаете, на самом деле является статической, т. Е. Что ускорение (включая угловое) не задействовано.
  • Выберите точку поворота — используйте место, в котором у вас больше всего неизвестных.
  • Напишите уравнения для сумм крутящих моментов и сил в направлениях x и y .
  • Решите уравнения для неизвестных алгебраически и вставьте числа, чтобы найти окончательные ответы.
Ключевые термины
  • крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)
  • момент инерции : мера сопротивления тела изменению его угловой скорости вращения

Статика — это изучение сил в равновесии. Напомним, что второй закон Ньютона гласит:

[латекс] \ sum \ text {F} = \ text {ma} [/ latex]

Следовательно, для всех объектов, движущихся с постоянной скоростью (включая скорость 0 — неподвижные объекты), чистая внешняя сила равна нулю.Силы действуют, но они уравновешены, то есть «находятся в равновесии». ”

При решении задач равновесия можно использовать следующие шаги:

  1. Во-первых, убедитесь, что проблема, которую вы решаете, на самом деле является статической, т. Е. Что ускорение (включая угловое) не задействовано. Помните: [latex] \ sum \ text {F} = \ text {ma} = 0 [/ latex] для таких ситуаций. Если задействовано вращательное движение, также должно выполняться условие [latex] \ sum \ tau = \ text {I} \ alpha = 0 [/ latex], где — крутящий момент, — момент инерции и — угловое ускорение.
  2. Выберите точку поворота. Часто это очевидно, потому что проблема связана с шарниром или неподвижной точкой. Если выбор неочевиден, выберите точку поворота как место, в котором у вас больше всего неизвестных. Это упрощает работу, поскольку силы в точке поворота не создают крутящего момента из-за перекрестного произведения: [latex] \ tau = \ text {rF} [/ latex]
  3. Напишите уравнение для суммы крутящих моментов, а затем запишите уравнения для сумм сил в направлениях x и y .Установите эти суммы равными 0. Будьте осторожны со своими знаками.
  4. Решите свои неизвестные.
  5. Вставьте числа, чтобы найти окончательный ответ.
  6. Проверьте, является ли решение разумным, исследуя величину, направление и единицы ответа. Важность этого последнего шага невозможно переоценить, хотя в незнакомых приложениях может быть сложнее судить о разумности. Однако с опытом эти суждения становятся все легче.
Уравнение статического равновесия

— обзор

5.2.2. Упругость армированного грунта как двухфазной системы

Уравнения, управляющие упругодинамикой свайно-армированного грунта, смоделированного как упругая двухфазная система , точно такие же, как те, которые приведены в главе 4, за исключением того, что статическая Уравнения равновесия заменяются следующими уравнениями динамического баланса, выраженными для каждой фазы отдельно как:

[5.22] divσ¯¯m + I¯ − ρmξ¨¯m = 0

для матрицы , фазы , представляющей почву, и:

[5.23] divσre¯x⊗e¯x + τre¯y⊗e¯x − I¯ − ρrξ¨¯r = 0divmre¯z⊗e¯x + τre¯z = 0

для фазы армирования , где ξ ¨¯m и ξ¨¯r — ускорений в любой точке матрицы и фазы подкрепления, соответственно. Обратите внимание, что вращательные эффекты инерции фазы подкрепления не учитывались в [5.23].

Набор вышеупомянутых основных уравнений относительно динамического поведения линейной упругой многофазной модели теперь применяется для описания макроскопического динамического поведения поперечного сдвига грунта, армированного сваями, где смещения обеих фаз предполагаются равными быть идентичным (состояние идеального склеивания) вида:

[5.24] ξ¯m = ξ¯r = uxte¯y

, а вращение фазы армирования соответствует многофазному эквиваленту кинематического условия Навье – Бернулли :

[5.25] ωrxt = ∂uxt∂x

В этих условиях объединение уравнений динамического баланса [5.22] и [5.23] с определяющими упругими уравнениями обеих фаз приводит к следующему единственному дифференциальному уравнению:

[5.26] Gm∂2u∂x2 − γr∂4u∂x4 − ρm + ρr⏞ρhom∂2u∂t2 = 0

В конкретной ситуации, когда гармоническая поперечная волна распространяется в направлении армирования, поперечное смещение имеет вид:

[5.27] uxt = U0expiωt − x / c *

и уравнение [5.26] приводит к следующему уравнению для скорости волны c *:

[5.28] Gmc * 2 + γrω2 − ρhomc * 4 = 0

единственное реальное решение которого гласит:

[5.29] c * = Gm + Gm2 + 4γrρhomω21 / 22ρhom1 / 2

Таким образом, получается, что усиленный сваями грунт ведет себя как однородная, но диспергирующая среда , потому что поперечная волна скорость — возрастающая функция угловой частоты. Эта особенность, очевидно, связана с наличием в [5.29] параметра γ r ! связанные с жесткостью сваи на изгиб. Пренебрегая последним (то есть учитывая, что арматура ведет себя как гибких растягивающих и сжимающих нагрузочных элементов), выражение скорости волны сводится к:

[5.30] c * γr = 0 = Gmρhom1 / 2≅cs = Gsρs1 / 2

, которая представляет собой не что иное, как обычную скорость поперечной волны неупрочненного грунта.

Стоит отметить, что упомянутое выше дифференциальное уравнение [5.26] имеет точно такой же вид, как полученный в [BOU 11] или [SOU 12] на основе методов асимптотического разложения, применяемых к динамике упругих периодических сред. Кроме того, чтобы оценить достоверность теоретической модели, Boutin et al. № [BOU 12] провел экспериментальные испытания физической модели свайно-армированного грунта, в котором группа свай была представлена ​​массивом стальных стержней, встроенных в блок из мягкой полиуретановой пены, имитирующей поведение грунта. Наблюдаемое ими довольно хорошее количественное согласие между теоретическими предсказаниями, полученными на основе фундаментального управляющего уравнения [5.26] и экспериментальные измерения явно обеспечивают значительную проверку ранее описанной многофазной модели.

В качестве дополнения к предыдущим работам [HAS 05] и [HAS 06] в контексте статической или квазистатической нагрузки (но с учетом, например, поведения текучести материала), код конечных элементов, имеющий отношение к моделированию Были поставлены задачи эластодинамики с участием большой группы свай, которые затем использовались для проектирования свайных фундаментов-плотов в условиях динамического нагружения [NGU 14].Конечно-элементная формулировка эластодинамики такой двухфазной системы может быть представлена ​​в следующей матричной форме:

[5.31] MU¨ + CU. + KU = F

, где { U } — вектор всех переменные узлового смещения и вращения, [ M ] — матрица масс, [ C ] — матрица демпфирования рэлеевского типа и, наконец, [ K ] — матрица жесткости, которая включает в себя три вида терминов: термины, классически связанные к линейно-упругому поведению матричной фазы; связанные с линейно-упругим осевым, сдвигающим и изгибным поведением фазы армирования; и, наконец, члены, соответствующие возможным линейным законам упругого взаимодействия между обеими фазами, когда такие законы взаимодействия должны быть учтены.

Сила • Статическое равновесие

Статика — это раздел механики, изучающий силы, действующие на тела в статическом или динамическом равновесии. Статическое равновесие — это состояние, в котором тела находятся в покое; динамическое равновесие — это состояние, при котором тела движутся с постоянной скоростью (прямолинейное движение). В обоих случаях сумма действующих на них сил равна нулю.

Схема свободного тела


На схеме свободного тела изображено интересующее тело (спортсмен) и внешние силы, действующие на него.


Рисунок 5 Схема свободного тела 14 . F R — это сумма сил реакции, действующих на обе ноги 15 и F G — сила тяжести, действующая на тело спортсмена.

Представим себе простую ситуацию, когда спортсмен стоит на земле (рис. 5). На спортсмена действуют две силы. Первый — это бесконтактная гравитационная сила. Если бы на спортсмена действовала только эта сила, он бы двигался вниз с ускорением 9,81 мс -2 .Поскольку это, очевидно, не так, должна существовать другая сила, вызывающая состояние статического равновесия, чтобы спортсмен находился в состоянии покоя. Это сила реакции земли, действующая вверх на ноги спортсмена.

Диаграмма свободного тела — ценный инструмент, позволяющий проводить механический анализ.

Статический анализ

Математически ситуацию стоящего человека можно описать следующим образом:

Σ F = o

Это уравнение статического равновесия.Выражение Σ F представляет результирующую внешнюю силу, другими словами, векторную сумму сил, действующих на стоящего человека; o — нулевой вектор (0, 0, 0).

Если силы, действующие на человека, лежат в одной строке, мы можем просто сложить их. Их направление вверх отмечено как положительное, а направление вниз — как отрицательное.

В случае стоящего человека сила реакции земли действует на человеческое тело вверх и, в соответствии с нашим соглашением, имеет положительное направление.Однако его масштабы нам неизвестны. Гравитационная сила действует вниз и поэтому имеет отрицательное направление.


Если только две силы действуют на тело в состоянии статического или динамического равновесия, они имеют равную величину, но противоположное направление.


Тяжелоатлет весом 70 кг поднял штангу весом 90 кг и держит ее над головой (рис. 6). Пока он держит штангу, оба тела (штангист и штанга) находятся в статическом равновесии.Какая сила должна действовать на ноги штангиста, чтобы удерживать его в статическом равновесии?

Рисунок 6 Схема свободного тела — тяжелоатлет со штангой.

Если мы рассмотрим случай обоих тел (штангиста и штанги) вместе, решение может быть довольно простым. Суммируем веса обоих тел. Результирующая сила реакции, действующая на ноги штангиста, тогда является суммой этих двух гравитационных сил, но с противоположным (то есть восходящим) направлением.Сила F R равна 1570 Н, то есть весу штангиста плюс вес штанги, и действует вертикально вверх.

В случае, если силы, действующие на тело, не находятся на одной линии и их направления не являются ни вертикальными, ни горизонтальными, мы должны разделить эти силы на их горизонтальную и вертикальную составляющие. Затем мы решаем уравнения статического равновесия отдельно для вертикального и горизонтального направлений. После этого мы рассчитаем величину равнодействующей силы с помощью теоремы Пифагора и ее направление с помощью тригонометрии.

14 Центр тяжести смещен вверх относительно 3-го и 4-го крестцовых позвонков. Спортсмен не стоит в базовой анатомической позе. Zpět

15 На самом деле силы реакции возникают в месте контакта ступней с землей. Однако ради этой диаграммы свободного тела мы можем изобразить результирующую силу реакции, точка приложения которой находится в так называемом «центре давления», то есть вдали от места контакта между ступнями и землей.Zpět

Параллельные решения статических уравнений Гамильтона-Якоби для моделирования геологических складок | Journal of Mathematics in Industry

В этом разделе мы рассмотрим серию численных экспериментов, проведенных для изучения производительности новых решателей, предложенных в этой статье. Эти эксперименты включают изотропные и анизотропные задачи, для которых могут быть получены аналитические решения, и изотропные задачи с изменяющейся скоростью и препятствиями, которые являются непроницаемыми или очень медленно проницаемыми.Наш последний случай — это моделирование геологической складки на основе полевых сейсмических данных.

Определения

Для любого скалярного поля ξ , представленного значениями в каждом узле сетки (i, j, k), мы применим дискретную норму L2

∥ξ∥L2 = ∑i, j, kξi, j, к2Н,

(12)

, где суммирование выполняется по всем N узлам в домене. Мы называем сетку равномерной только тогда, когда dx = dy = dz.

Вычислительные платформы

Представленные здесь численные эксперименты были проведены на 16-ядерном ЦП, именуемом SandyBridge , и графическом процессоре Nvidia Tesla K20, в дальнейшем называемом K20 .Возможности этих платформ приведены в таблицах 1 и 2 соответственно.

Таблица 1 Технические характеристики Intel Xeon E5-2650 2×8 -ядерный процессор (один из двух идентичных NUMA-доменов). Таблица 2 Технические характеристики графического процессора NVIDIA Tesla K20.

Все время вычислений, представленное в этом разделе, основано на реализациях алгоритмов: один вариант многоядерного процессора с использованием OpenMP [49] и один вариант с графическим процессором с использованием CUDA [50].Для всех тестовых случаев мы сообщаем о самом быстром решении, полученном как минимум из трех выполнений выбранного алгоритма на выбранной платформе. В общем, мы заметили, что время вычислений имеет лишь незначительные изменения от одного запуска к другому.

Размер субдоменов

В целом 3D PMM — это эффективный алгоритм со значительными параллельными возможностями. Для каждого субдомена необходимо хранить как внутренние узлы, так и призрачные узлы в субдомене. Декомпозиция доменов немного перекрывается, учитывая, что призрачные узлы являются внутренними узлами других подобластей.Следовательно, чем меньше становятся субдомены, тем больше становится доля призрачных узлов относительно внутренних узлов. С глобальной точки зрения уменьшение размера поддомена увеличит объем памяти и накладные расходы на связь из-за хранения и обработки растущего числа призрачных узлов. Тем не менее, относительно небольшой размер подобласти может дать преимущество в том, что список может лучше имитировать переднее распространение, что приводит к более эффективному использованию лежащей в основе причинности.Более того, узловые значения меньших субдоменов с большей вероятностью уместятся в быстрых ячейках памяти, тем самым увеличивая скорость вычислений на субдомен.

Мы экспериментировали с различными кубическими размерами подобластей для ряда задач. Для реализации ЦП оптимальный размер подобласти зависит от точной постановки задачи и общего количества узлов. Изменение размера поддомена имеет лишь небольшое влияние на производительность реализации ЦП. Поэтому мы сосредоточились на реализации GPU при выборе размера поддомена для наших вычислений.Поддомены с 14 3 узлами обеспечивают лучшую производительность графического процессора с точки зрения времени настенных часов, используемых для решения. Поскольку вычисления включают обновления призрачных узлов, всего (14 + 2) 2 потока используются для вычисления поддомена, подробности см. В Приложении B.2. Все графические процессоры, используемые для анализа, имеют размер деформации 32, то есть минимум 32 идентичных операции на одну инструкцию выполняются в режиме SIMD (Single Instruction Multiple Data) [47]. Если количество потоков не кратно размеру деформации, некоторые потоки графического процессора будут простаивать, а другие будут выполнять вычисления.Проанализировав нашу реализацию с помощью калькулятора CUDA Device Occupancy [51], мы пришли к выводу, что размер субдомена 14 3 обеспечивает как лучшую занятость, так и самое короткое время вычислений. Этот размер подобласти остается постоянным на протяжении всех экспериментов, описанных в этой статье.

3.1 Синтетические примеры

Алгоритмы LAS и SOLAS, предложенные в разделе 2.2, были протестированы на ряде проблем, которые ставят решатели перед несколькими проблемами. Здесь мы кратко резюмируем наши выводы, представив пять из этих примеров.Для всех этих примеров мы вычислили решения для сеток с 84, 168, 336 и 504 узлами вдоль каждой оси, сгруппированными соответственно в 6 3 , 12 3 , 24 3 и 36 3 подобластей. То есть эти сетки представляют от 592, 704 до 128, 024, 064 неизвестных. Расчеты проводились на платформах SandyBridge (CPU) и K20 (GPU). Во всех экспериментах решатели останавливаются, когда все подобласти заблокированы для вычислений, а расписания пусты.

Приведенные ниже показатели производительности основаны на вычислениях с двойной точностью.Из-за специфических аппаратных характеристик графических процессоров переход от центрального процессора к графическому процессору гораздо более привлекателен для вычислений с одинарной точностью. Для расчетов, сделанных в этой статье, можно использовать арифметику одинарной точности без заметной потери точности. Эта тема более подробно обсуждается в разделе 3.2.

3.1.1 Пример с аналитическим решением

В первом примере используется анизотропная формула (3) с параметрами постоянной скорости F = 1,4 и ψa = (0,9, -0,75, -0,07). В качестве граничного условия мы использовали 13 точечных источников, неравномерно распределенных в прямоугольной области, определяемой как (0,0,0) ≤x≤ (10,13,9).Отношение между максимальной и минимальной скоростями, называемое коэффициентом анизотропии, для этой задачи составляет 11,2. Визуализация анизотропного решения приведена на рисунке 8.

Рисунок 8

Изоповерхности анизотропного решения с 13 точечными источниками, расположенными нерегулярно в прямоугольной области в качестве граничного условия ( ExA ).

Как показано для случая ExA на рис. 9 (a), реализации GPU всегда превосходят по производительности аналоги CPU.Обратите внимание, что SOLAS работает немного лучше, чем LAS для больших сетей на обеих платформах. Разница между этими двумя решателями более заметна в процессоре, чем в вычислениях на базе графического процессора.

Рисунок 9

Производительность на платформах SandyBridge и K20 для изотропного тестового случая с 13 нерегулярно расположенными точечными источниками ( ExA ). ( a ) Наблюдаемое время вычисления (в секундах) для 16 ядер. ( b ) Наблюдаемое время вычислений представлено в логарифмической шкале.

КПД и для восьми и 16 ядер составляет 83–88% для SOLAS, тогда как для LAS он снижается до 65–75%. Многие поддомены активны одновременно в ExA, поэтому дополнительный заказ SOLAS имеет смысл. Эти коэффициенты эффективности хороши, учитывая последовательное построение расписаний и синхронизацию потоков между процедурами ComputeSchedule () и SyncFromSchedule (). Переходя от архитектуры CPU к архитектуре GPU, мы наблюдаем в 6,9 и 8,5 раз более быстрые вычисления для случая ExA при использовании решателя SOLAS и LAS на самых больших сетках, соответственно.Мы также решаем ту же задачу с изотропной настройкой, ψa = 0. Для изотропного случая LAS вместо этого немного быстрее, чем SOLAS на больших сетках. По сравнению с изотропным аналогом время анизотропных вычислений увеличивается в 7-12 раз на CPU и в 5-8 раз на GPU. Анизотропный шаблон значительно сложнее изотропного, а зависимости решения в анизотропном случае увеличивают общее количество активированных подобластей.

На рисунке 9 (b) мы повторили время вычислений из рисунка 9 (a), используя логарифмические шкалы по обеим осям.Тонкие пунктирные линии показывают линейные зависимости от N . То есть, рисунок показывает, что все протестированные методы имеют вычислительную стоимость, которая масштабируется с размером сетки, близким к O (N), или даже сверхлинейно , то есть время вычислений, похоже, увеличивается менее чем линейно с ростом размера задачи. . Аналогичное поведение наблюдается во всех наших численных исследованиях. Есть несколько факторов, которые могут помочь объяснить это наблюдение. Небольшие наборы данных приводят к простоям большего количества вычислительных блоков, тем самым снижая наблюдаемую скорость вычислений.Когда набор данных увеличивается в размере, уровень параллелизма увеличивается и достигается лучший баланс нагрузки между процессорами. Время, необходимое для передачи данных в и из GPU, включено в измерения времени. Накладные расходы, связанные с (синхронной) передачей данных между ЦП и ГП, уменьшаются по мере увеличения набора данных. Поэтому стоимость передачи данных относительно выше для небольших наборов данных. Хотя мы формально не анализировали вычислительную стоимость новых алгоритмов, они, скорее всего, будут иметь линейную сложность из-за того, что они полуупорядочены и имеют плавный тип.Таким образом, сверхлинейное поведение вызвано другими артефактами, как описано выше.

Точность и сходимость В этом примере есть аналитические решения [30], позволяющие изучить, как численное решение сходится к истинному решению. Пусть hk будет длиной ребра k -й сетки в последовательности все более мелких сеток, используемых для численного решения задач. Обозначая соответствующую ошибку e (k), предполагаемая скорость сходимости составляет

p = log (∥e (k) ∥L2 / ∥e (k + 1) ∥L2) log (hk / hk + 1).

(13)

Для размеров сетки в этом исследовании наши оценки сходимости составляют 0,70, 0,74, 0,76 и 0,77 как для анизотропных, так и для изотопных результатов. Оценки сходимости решений с одинарной и двойной точностью для всех практических целей идентичны. Чтобы достичь сходимости первого порядка, количество узлов, которым изначально присвоены аналитические значения, должно оставаться постоянным [16]. Таким образом, предполагаемые скорости сходимости являются удовлетворительными.

3.1.2 Примеры с криволинейными характеристиками

Итерационные алгоритмы чувствительны к криволинейным характеристикам [32]. Поэтому принято исследовать, как алгоритмы работают для задач с препятствиями, которые заставляют характеристики резко меняться [18, 29, 38].

В тестовых примерах ExB и ExC мы рассматриваем кубический объем, разделенный девятью стенками с небольшими отверстиями в верхнем левом или нижнем правом углах. Стены имеют толщину в один узловой слой и являются полупроницаемыми (F = 0.03dz для ExB) или непроницаемый (F = 0 для ExC). За пределами этих стенок изотропная скорость установлена ​​на F = 1. Самый быстрый путь от начальной точки в углу домена до противоположного угла — зигзагообразно проходить через небольшие отверстия в стенах. Пример решения представлен на рисунке 10 (а) [38, 52].

Рисунок 10

Иллюстрации решений для примеров с изогнутыми характеристиками. ( a ) Поле расстояний при наличии полупроницаемых препятствий, организованных в виде девяти стен (примеры ExB и ExC).( b ) Трехмерная визуализация поля расстояний, полученная путем решения задачи скорости шахматной доски (пример ExD). ( c ) Двумерный плоский разрез через поле расстояний между кубами скорости (пример ExD).

В последнем примере ExD вычислительная область разделена на набор кубов одинакового размера. Скорость постоянна внутри каждого куба и имеет значение 1 или 2. Для куба со значением скорости 1 все смежные кубы, имеющие одну сторону с ним, будут иметь скорость, равную 2, и наоборот.Всего мы поместили 11 3 таких кубов скорости в вычислительную область размером 10 единиц длины по каждой оси. Граничное условие — один точечный источник в центре области. На рисунке 10 (b) показан объемный вид вычисленного решения, а на рисунке 10 (c) показан планарный разрез решения через центр области [34, 40].

Эффективность решения проблем с препятствиями Примеры ExB и ExC, имеющие барьеры, встроенные в вычислительные области, являются сложными, поскольку передняя часть вынуждена перемещаться по траекториям неправильной формы.На рисунках 11 и 12 показаны время вычислений и коэффициенты ускорения для этих двух задач.

Рисунок 11

Производительность на платформах SandyBridge и K20 для примера с полупроницаемыми барьерами ( ExB ). ( a ) Наблюдаемое время вычисления (в секундах) для 16 ядер. ( b ) Наблюдаемое ускорение LAS при переходе от одного (t (1)) к множеству (t (p), p = 2,4,8,16) ядер и для 16 ядер относительно графического процессора.

Рисунок 12

Производительность на платформах SandyBridge и K20 для примера с непроницаемыми барьерами ( ExC ). ( a ) Наблюдаемое время вычисления (в секундах) для 16 ядер. ( b ) Наблюдаемое ускорение SOLAS при переходе от одного (t (1)) к множеству (t (p), p = 2,4,8,16) ядер и для 16 ядер относительно графического процессора.

Барьеры имеют толщину всего в один узел для всех сеток, и доля узлов, являющихся препятствиями, уменьшается по мере того, как сетка становится более тонкой. Фронт небольшой, так как он распространяется только между двумя слоями стен. Для более крупных сеток большее количество подобластей помещается между двумя барьерами, и возможности параллельной обработки возрастают по мере того, как передняя часть активирует больше подобластей.Тем не менее, многие расписания построены на вычислении этих примеров. Изменяющаяся динамика проблем приводит к тому, что время вычислений меняется довольно своеобразно в зависимости от размеров сетки, особенно LAS, поскольку дополнительный порядок в SOLAS снижает эффекты. При достаточно большом размере сетки решатели LAS изменяются до такой степени, что время решения уменьшается для большего размера сетки. Неравномерное поведение LAS присутствует как в реализациях CPU, так и в GPU. Хотя различия для каждой платформы находятся на одном уровне с точки зрения вычислительной мощности платформы, эта проблема наиболее актуальна в среде ЦП из-за, как правило, более длительного времени вычислений.

Для ExB, где барьеры полупроницаемые, LAS оказывается наиболее эффективным решателем для больших N , независимо от платформы. Для непроницаемых барьеров в ExC, SOLAS будет предпочтительным методом, хотя поведение очень близко к поведению LAS, когда сетка становится большой. Для сетки 504 3 версии LAS и SOLAS с графическим процессором вычисляют решение за 4,5 секунды, в то время как реализациям ЦП требуется около 15 секунд. Следует отметить, что для полупроницаемого случая требуется примерно в два-три раза больше времени вычислений, чем для решения непроницаемой задачи, независимо от решающих программ и платформ.

Рисунок 11 (b) показывает, что LAS, примененный к проблеме ExB, дает очень хорошее ускорение даже на восьми и 16 ядрах, для которых эффективность составляет 82% и 84% соответственно. Переходя к графическому процессору, метод LAS работает в 5,5 раз быстрее, чем 16 ядер ЦП. Ускорение SOLAS на восьми ядрах такое же, как у LAS, но при переходе на 16 ядер эффективность падает до 77%. Подобно наблюдению, которое мы сделали для ExA, это падение ускорения не распространяется на GPU, где SOLAS работает на том же уровне, что и LAS.Как показано на Рисунке 12 (b), время вычислений, полученное для применения LAS и SOLAS к шкале ExC с количеством вышедших из строя ядер, аналогично факторам, наблюдаемым для ExB. Однако прирост производительности при переходе с 16 ядер на GPU меньше для непреодолимой проблемы в ExC, где коэффициент ускорения находится в диапазоне 3,2–3,8.

Производительность для задачи кубов скорости Для задачи кубов скорости ExD, рисунок 13 иллюстрирует плавное поведение всех алгоритмов в зависимости от времени вычислений в зависимости от размера сетки.Что касается двух примеров со встроенными барьерами, СОЛАС оказывается эффективным решателем. Он работает стабильно лучше, чем LAS, особенно на платформе ЦП. На графическом процессоре решение может быть вычислено для самой большой сетки за 5,7 секунды, по сравнению с 33,9 секундами, необходимыми для 16 ядер ЦП. И LAS, и SOLAS демонстрируют отличное ускорение процессора, обеспечивая 80-88% теоретического потенциала для восьми и 16 ядер. Для обоих методов вычисления на GPU выполняются в 6-7 раз быстрее, чем для 16 ядер.

Рисунок 13

Производительность на платформах SandyBridge и K20 для примера полупроницаемых барьеров ( ExD ). ( a ) Наблюдаемое время вычисления (в секундах) для 16 ядер. ( b ) Наблюдаемое ускорение при переходе от одного (t (1)) к множеству (t (p), p = 2,4,8,16) ядер и для 16 ядер относительно графического процессора.

Общая производительность синтетических примеров Объединив наблюдения из синтетических тестовых примеров, обсужденных выше, мы пришли к выводу, что предлагаемые методы хорошо подходят для эффективных вычислений на многоядерных процессорах и графических процессорах.Даже для сложных задач эти алгоритмы предлагают вычислительную эффективность, которая может поддерживать интерактивные программные приложения, в том числе при работе с мелко разнесенными сетками. Такое поведение связано с методами, разработанными для эффективного использования причинности распространяющегося фронта.

Для анизотропных проблем реализации LAS и SOLAS на GPU в среднем тратят около 96% времени на вычисления, 3-4% на синхронизацию и менее 1% на построение списков. Для изотропных задач вычисления занимают около 90% общего времени на графических процессорах.Вычисления еще больше преобладают на процессорах, где 98-99% общего времени тратится на вычисления поддоменов, а оставшееся время используется для синхронизации. В этом случае создание списка занимает менее 0,1% от общего времени и, следовательно, незначительно. Как и следовало ожидать, синхронизация значений немного дороже для SOLAS, чем для алгоритма LAS.

Независимо от тестовых случаев реализации GPU предлагают стабильно более быстрые вычисления, чем реализация CPU, работающая на 16 ядрах.Коэффициенты ускорения при переходе от 16 ядер к графическому процессору варьируются от 3 до 8 при среднем значении 6. Для вычислений с одинарной точностью этот коэффициент ускорения изменяется от 6 до 16 при среднем значении 10. LAS предпочтительнее для изотропных или умеренно анизотропных. проблемы, тогда как СОЛАС — лучший выбор для задач со сложными профилями скорости.

3.2 Арифметика с одинарной и двойной точностью

Разница в пиковой производительности между одинарной и двойной точностью ЦП SandyBridge предполагает идеально векторизованный код.К сожалению, большое количество логических ветвлений запрещает векторизацию доминирующего в вычислительном отношении этапа обновления. Благодаря аппаратной конструкции графические процессоры вычисляют значительно быстрее с одинарной точностью, чем с двойной точностью. В частности, архитектура Kepler от Nvidia, такая как наша платформа K20, подробно описанная в таблице 2, способна выполнять в три раза больше операций в секунду с одинарной точностью, чем с двойной точностью. Помимо возможностей обработки исходных данных, значениям, представленным с одинарной точностью, требуется только половина объема памяти, необходимая для значений, хранящихся с двойной точностью.Следовательно, можно уместить большие наборы данных в ограниченную память графического процессора, если используется одинарная точность. Таким образом, приложения с интенсивным использованием данных получат дополнительное повышение производительности за счет лучшего использования быстрой памяти и меньшего перетасовки данных между графическим процессором и главным компьютером. По всему спектру синтетических задач, исследованных в разделе 3.1, мы наблюдали среднее ускорение на 2,1 при сравнении вычислений с одинарной и двойной точностью на платформе K20. Для сравнения, соответствующее ускорение на 1.2 для 16-ядерного процессора SandyBridge довольно скромно. На обеих платформах эти факторы ускорения не зависят от решателей. Это наблюдение согласуется с тем фактом, что в общем времени, затрачиваемом алгоритмами, в значительной степени преобладают арифметические операции, а не передача памяти и синхронизация.

Учитывая преимущество арифметики с одинарной точностью, актуально исследовать, могут ли вычисления с одинарной точностью обеспечить удовлетворительный уровень числовой точности при решении задач вида (3).Эмпирически мы заметили, что решение с одинарной точностью, Tf, практически идентично решению с двойной точностью, Td. Для самой большой сетки N = 5043 мы заметили, что ∥Td − Tf∥L2 = O (10p), где p = −7 для ExA, p = −6 для ExA и ExD и p = −4 для сложных случаи ExB и ExC. По неравенству треугольника

∥T − Tf∥L2 = ∥T − Tf + Td − Td∥L2

(14)

≤ (1 + ε) ∥T − Td∥L2,

(15)

, где ε = ∥Td − Tf∥L2 / ∥T − Td∥L2.То есть, если ε <1, ошибка одинарной точности будет того же порядка, что и для вычислений с двойной точностью. Мы эмпирически оценили ε для ExA, у которых есть аналитические решения. В зависимости от проблемы и размера сетки этот объект остается в диапазоне от 10 −5 до 10 −3 и, таким образом, значительно меньше единицы. Кроме того, мы вычислили отношение β = ∥Td − Tf∥L2 / ∥Td∥L2, которое можно получить также для задач, которые не могут быть решены аналитически.Затем мы наблюдали, что β остается между 10 −5 и 10 −8 для ExA-ExD во всех размерах сетки, и что β становится меньше по мере увеличения N , что указывает на сходимость.

На основании этих эмпирических исследований мы пришли к выводу, что вычисления с одинарной точностью обеспечивают достаточно высокую точность при использовании алгоритмов, предложенных в этой статье, с шаблонами первого порядка для моделирования распространения фронта на основе (3). При использовании арифметики двойной точности для вычислений повторно активируется больше поддоменов, чем в случае одинарной точности.Поддомен повторно активируется только тогда, когда он получает новое значение. Поскольку наименьшее заметное изменение одинарной точности составляет 10 −7 , подобласти с меньшими изменениями не будут повторно активированы при вычислениях одинарной точности, а только при вычислениях двойной точности. Увеличение количества реактиваций способствует увеличению времени, необходимого для вычислений при двойной точности по сравнению с одинарной точностью. Обратите внимание, что субдомен может быть повторно активирован только в том случае, если новое значение tnew отличается от старого значения, указанного больше, чем выбранный пороговый предел, чтобы ограничить количество повторных активаций.Другими словами, чтобы уменьшить количество вычислений подобласти, подобласть может быть активирована, только если указано-tnew> c для некоторого эмпирически выбранного значения c . Во всех наших численных экспериментах мы использовали c = 0.

3.3 Моделирование складок

Используя программное обеспечение CES, пользователь может легко сегментировать структурированные поверхности из наборов сейсмических данных с помощью автоматического отслеживания. На рисунке 14 (a) показана поверхность, отслеживаемая автоматически в программе CES, извлеченная из трехмерного сейсмического объема, как показано прозрачными сейсмическими разрезами.Физическая область имеет размеры 6700, 4975 и 11055 метров по осям x , y и z соответственно. Значения в узлах непосредственно выше и ниже извлеченного горизонта были вычислены в CES для сеток с 256 3 и 512 3 узлами, соответственно. Эти значения затем использовались в качестве граничных условий в наших численных экспериментах. Параллельно сложенные слои моделировались путем решения изотропного уравнения эйконала для различных сеток. Пример вычисленного решения визуализирован на рисунке 14 (б).

Рисунок 14

Иллюстрации имитации складки. ( a ) Поверхность, извлеченная в приложении CES, с двумя поперечными сечениями в трехмерном морском сейсмическом массиве. ( b ) Сложенные слои смоделированы на основе извлеченной поверхности и изотропного состава.

Мы сравнили наши новые алгоритмы с решателем CES. Решатель имитации свертки в CES основан на алгоритме отслеживания и, следовательно, является последовательным.При измерении производительности решателя CES мы использовали 4-ядерный процессор Intel Ivy Bridge Core i7-3770K с тактовой частотой 3,5 ГГц и кэш-памятью третьего уровня объемом 8 МБ. Это самая быстрая из доступных платформ, на которой можно запускать программное обеспечение CES. Применяя новые алгоритмы на K20 и SandyBridge, мы измерили время вычислений для арифметики как с одинарной, так и с двойной точностью. Из-за размеров подобластей сетки, используемые новыми алгоритмами, немного больше, чем сетки, используемые решателем CES. Новые сети состоят из 266 3 и 518 3 узлов соответственно.Эти сетки содержат от 343 000 до более 138 миллионов неизвестных. В таблице 3 показано время вычисления арифметических операций с двойной и одинарной точностью, а также ускорение, достигаемое за счет замены решателя CES на основе Ivy. Коэффициенты ускорения имеют префикс «×».

Таблица 3 Сравнение времени вычислений (в секундах) для решателя CES на Ivy и решателя LAS и SOLAS на SandyBridge и K20, включая коэффициенты ускорения («×») относительно CES.

Анализируя результаты, мы видим, что разница между временем решения для LAS и SOLAS незначительна при запуске на одной платформе и с одинаковым арифметическим разрешением. Мы также заметили, что ускорение для платформ GPU выше, чем для платформ CPU. Как отмечалось в разделе 3.2, нет разницы в качестве решения между вычислениями с одинарной и двойной точностью. Однако время вычислений значительно ниже при вычислениях с одинарной точностью, особенно на GPU.Время вычислений для графического процессора сокращается примерно вдвое при переходе от вычислений с двойной точностью к вычислениям с одинарной точностью. Для самой большой сетки с одинарной точностью реализация K20 SOLAS более чем в 100 раз быстрее, чем решающая программа CES на Ivy. b Мы не ожидаем, что ускорение будет столь же впечатляющим во всех симуляциях складывания. Однако взаимодействие с пользователем значительно улучшается, когда моделирование складок выполняется с использованием новых алгоритмов. Даже в самых больших сетках время вычислений составляет несколько секунд вместо минут, когда LAS или SOLAS используют K20 вместо текущего метода решения.На основе этого и нескольких других численных экспериментов с данными сейсмического поля предложенные алгоритмы в настоящее время внедряются в промышленный код.

Задача моделирования свернутого объема существенно отличается от синтетических примеров, рассмотренных вначале. Для моделирования складок исходная геологическая поверхность, определяющая граничное условие, будет содержать значительное количество подобластей. Из-за этого список, используемый для планирования поддоменов, будет довольно длинным с самого начала.Когда этот список длинный, легче полностью использовать доступные вычислительные ресурсы, что приводит к значительному эффекту распараллеливания. Для более простых задач, где граничное условие представлено одним или несколькими точечными источниками, только несколько подобластей будут запланированы как активные. Таким образом, некоторые из доступных вычислительных ресурсов будут простаивать до более поздних этапов процесса решения, когда списки станут длиннее. Поскольку графические процессоры обладают внутренней способностью обрабатывать большое количество субдоменов одновременно, моделирование геологических складок на основе LAS или SOLAS особенно подходит для графических процессоров.

Лекция 10: Решение нелинейных статических уравнений СЭ I | Нелинейный анализ | Процедуры с использованием метода конечных элементов для твердых тел и структур

Следующий контент предоставляется по лицензии Creative Commons. Ваша поддержка поможет MIT OpenCourseWare продолжать предлагать высококачественные образовательные ресурсы бесплатно. Чтобы сделать пожертвование или просмотреть дополнительные материалы из сотен курсов MIT, посетите MIT OpenCourseWare по адресу ocw.mit.edu.

ПРОФЕССОР: Дамы и господа, добро пожаловать на эту лекцию по нелинейному конечно-элементному анализу твердых тел и конструкций.

В этой лекции я хотел бы обсудить с вами методы решения, которые мы используем для решения уравнений конечных элементов в нелинейном статическом анализе.

В предыдущих лекциях мы вывели эту систему уравнений, где tK — касательная матрица жесткости. Дельта Ui — это вектор узловых точек инкрементных смещений, соответствующих итерации i. t плюс дельта t R — вектор внешней приложенной нагрузки, соответствующий времени t плюс дельта t. И t плюс дельта t F i минус 1 равно вектору силы узловой точки, соответствующему напряжениям внутренних элементов в момент времени t плюс дельта t, и в конце итерации i минус 1.

Смещения обновляются, как показано здесь. Delta Ui, конечно, рассчитывается по этой системе уравнений. Мы добавляем дельту Ui к предыдущим смещениям, которые соответствовали итерации t плюс дельта — ко времени t плюс дельта t и итерации i минус 1. Это конец итерации i минус 1. И эта правая часть дает нам новый вектор смещения. соответствующий итерации i, конец итерации i.

Это одна из схем, которая используется для решения уравнений конечных элементов.Мы называем это умеренным методом Ньютона-Рафсона. Однако есть и другие схемы. И схемы, которые есть в определенных задачах, намного эффективнее. Поскольку так важно использовать эффективный метод для решения уравнений конечных элементов, поскольку в противном случае затраты могут быть очень высокими, мы должны быть знакомы с этими другими методами. И сейчас я хотел бы поделиться ими с вами.

Поэтому в этой лекции мы рассмотрим другие методы решения уравнений конечных элементов.И, конечно, нужно обсудить критерии конвергенции. Очень важно использовать соответствующие критерии сходимости. В противном случае вы повторяете слишком долго и / или, с другой стороны, вы можете фактически прекратить итерацию до того, как добьетесь правильной сходимости.

Итак, позвольте мне перейти к моим графикам просмотра и начать обсуждение здесь. Здесь приведена основная система уравнений, которую мы хотели бы решить. Заметьте, что R — это вектор приложенных извне узловых точечных сил в момент времени t плюс дельта t.И F — вектор узловых точечных сил, соответствующих напряжениям внутреннего элемента в момент времени t плюс дельта t. Конечно, этот вектор неизвестен, и мы хотим как-то перебрать его, чтобы найти его и, конечно же, убедиться, что в конце этой итерации, если у нас есть правильный вектор F, R равно F или R минус F равно 0.

Мы предполагаем, что нагружение не зависит от деформации. Если, скажем, нагрузка зависит от деформации, мы также можем справиться с этой ситуацией. Но нам придется добавить дополнительные термины в нашу итеративную схему.И я вернусь к этому чуть позже.

Обратите внимание, что F в общей лагранжевой формулировке, как мы обсуждали ранее, оценивается этим продуктом, интегрированным по исходному объему для одного элемента, а для формулы UL F рассчитывается, как показано здесь. Здесь, конечно, мы интегрируем текущий объем или объем, который мы действительно хотим вычислить. Обратите внимание, что в итерации, конечно, этот объем здесь будет t плюс дельта t V i минус 1, как мы только что обсудим.Потому что во время итерации мы всегда обновляем этот интеграл и этот интеграл с помощью счетчика итераций, который у нас есть в правой части системы уравнений.

Используемые нами методы основаны на методе Ньютона-Рафсона, который действительно очень широко используется для поиска корней уравнения.

Небольшая историческая справка:

Ньютон дал первую версию метода в 1669 году. Затем Рафсон обобщил и упростил метод в 1690 году.

Оба математика использовали одну и ту же концепцию.И оба алгоритма дали действительно одинаковые результаты. Но очень уместно называть методы, которые мы используем, методом Ньютона-Рафсона, потому что Рафсон действительно внес немалый вклад в этот метод.

Итак, давайте теперь рассмотрим одну итерацию Ньютона-Рафсона. То, как вы, возможно, уже сталкивались с этим ранее, изучая методы решения корней алгебраического уравнения. По сути, вы делаете вот что. Вы говорите, что если xi минус 1, вы вычисляете f как xi минус 1.Вы делите это значение на простое число f, равное xi минус 1. И тогда эта правая часть дает вам лучшее значение, лучшее приближение к корню уравнения.

Когда у вас есть xi, вы повторяете процесс и получаете xi плюс 1. Вы продолжаете повторять процесс до тех пор, пока в основном f xi здесь не станет близко к 0. Потому что тогда у вас есть корень.

Что ж, если мы воспользуемся этой формулой Ньютона-Рафсона, довольно интересно посмотреть, как она была получена. Мы можем записать это уравнение для любой точки xi, соседней точки xi минус 1, прямо здесь с помощью разложения в ряд Тейлора.И если мы пренебрегаем членами более высокого порядка, мы получаем, что f xi приблизительно равно этому соотношению в правой части.

Ну, так как f of xi предполагается равным 0, поскольку мы ищем 0 в уравнении, мы устанавливаем его равным 0. И здесь вы непосредственно видите формулу, которую я показал вам ранее. Это очень быстрый вывод процедуры Ньютона-Рафсона.

Давайте посмотрим на математический пример, чтобы увидеть, как работает метод, и получить некоторое представление о технике.Давайте выберем очень простой пример, не имеющий ничего общего с анализом методом конечных элементов. Допустим, что f для x равно синусу x и что наше начальное значение равно 2 для итерации. Конечно, вы всегда должны выбирать начальное значение для итерации.

Затем в этом столбце отображаются значения, вычисленные в последовательных итерациях. И здесь мы тоже показываем ошибку. Интересно отметить, что когда вы близки к корню, у вас есть квадратичная сходимость. Это означает, что здесь ошибка, эпсилон становится ошибкой.Здесь Эпсилон в квадрате. Это кратко показано на этом графике просмотра.

Математически, если у нас есть эта ошибка, Ei минус 1, здесь задается этим уравнением. Конечно, здесь есть примерная примета. Тогда ошибка на следующей итерации будет именно такого порядка. Так что сближение действительно происходит очень быстро, когда мы приближаемся к корню.

Здесь мы видим, однако, что если мы не находимся близко к корню — другими словами, если мы слишком далеко от корня, и мы выбираем плохое значение, то мы не достигаем желаемого корня. , то есть пи.Но мы получаем значение, очень далекое от числа Пи. Это также корень, но, конечно, не тот корень, который нас интересует.

Итак, итерация Ньютона-Рафсона не всегда сходится напрямую, сходясь непосредственно к результату, который мы хотели бы получить. Когда мы используем эту итеративную схему, нужно проявлять осторожность. На самом деле, мы должны быть достаточно близки, чтобы по сути сказать, что должно произойти. Мы должны быть достаточно близко к корню, чтобы иметь сходимость с корнем, который мы ищем.И в конечном итоге, если мы сходимся к этому корню, мы получим квадратичную сходимость к корню. И это, конечно, очень желательно. Но начальное значение имеет решающее значение, как вы можете видеть здесь на этом графике просмотра.

Рассмотрим наглядно процесс решения. Здесь у нас есть синусоидальная функция. И ищем этот рут.

На итерации 1 мы в основном устанавливаем касательную к этой синусоидальной функции в начальном значении x0. И мы вычисляем x1, используя эту касательную как еще одну оценку интересующего нас значения.

Теперь на итерации 2 мы накладываем касательную к функции f. Это, конечно, синус x при новом значении, соответствующем x1. И с помощью этой касательной мы получаем это значение. И уже видно, что мы приблизились к желаемому значению. Изначально мы были так далеко. Тогда так далеко. И теперь мы только так далеко. Обратите внимание, что наша синусоидальная функция имеет здесь это значение. И, конечно же, это еще не 0. Таким образом, мы прокладываем еще одну касательную в этой точке. И это делается на этом графике просмотра здесь.

Еще одна касательная, и теперь мы приближаемся к желаемому значению. Вот тут x3 уже совсем близко. Но недостаточно близко, как показывает это значение. Это еще не достаточно близко к 0, эта длина здесь. И теперь мы прокладываем еще одну касательную к этой точке. И это теперь показано на этом графике просмотра. И мы можем видеть, что синяя линия является касательной в этой точке, мы получаем x4 очень близко к значению 0, которое нас действительно интересует. Конечно, на этом графике просмотра вы больше не видите никакой разницы между x4 и желаемым ценить.Таким образом, это в основном процесс, который мы выполняем, когда переходим от итерации 1 к итерации 2, затем итерации 3 и к итерации 4.

Прекрасная сходимость в этом конкретном примере. Причина в том, что x0 достаточно близко к желаемому значению, желаемому корню. Что само по себе, конечно, близко к х4. Четыре

Что ж, если, однако, мы должны были взять значение, которое недостаточно близко, и тогда мы, как я показал ранее, не сходимся к фактическому корню. И это здесь показано.Например, если мы возьмем касательную в точке, где простое число f почти равно нулю, то, конечно, эта касательная отбрасывает нас далеко от этого корня. И мы сойдемся к какому-то другому корню. Конечно, мы не хотим использовать здесь точный 0, потому что у нас есть f x, деленное на f, простое x. Таким образом, с точным 0 мы не могли [НЕРАЗБОРЧИВО]. Но касательная, близкая к 0, простое значение f, близкое к 0, отбросит нас далеко от желаемого корня. И это показывает некоторые трудности с использованием — фактически, почти всех итерационных схем, которые мы, возможно, недостаточно быстро доведем до нашего корня.И на самом деле, мы можем никогда не добраться до корня, который ищем.

Что ж, давайте тогда посмотрим на итерацию Ньютона-Рафсона для нескольких степеней свободы. Здесь у нас есть R минус F, которое мы хотим установить равным 0. Или, скорее, мы хотим найти смещения t плюс дельта t U, которые являются решением, потому что эти смещения t плюс дельта t u дадут нам этот вектор силы. И этот вектор силы уравновешивает вектор R. Значение f для U, это маленькое f для U, равно 0. И это, конечно, то, чего мы хотим достичь.

Обратите внимание, что у нас, конечно, теперь n степеней свободы. Следовательно, необходимо решить n уравнений.

Ранее мы рассматривали только одно уравнение.

Если мы применим тот же принцип, что и раньше, к этой маленькой f, а именно разложим f в ряд Тейлора относительно t плюс дельта t U i минус 1, то мы получим это уравнение в правой части. И, конечно же, в левой части у нас есть f из t плюс дельта t Ui. Обратите внимание, что это более высокие члены, которыми мы пренебрегаем, как мы это делали ранее для единственного уравнения.Поскольку мы ищем разложение в ряд Тейлора относительно t плюс дельта t U i минус 1.

Если мы пренебрегаем этой частью здесь, мы получим прямо здесь это уравнение. 0 в левой части, потому что мы снова ищем значения смещений, для которых f равно 0. Поэтому мы намеренно устанавливаем это значение равным 0. А в правой части мы имеем ft плюс дельта t. U i минус 1 плюс частичный f относительно U, умноженный на дельту U. Эта дельта U, конечно, неизвестна, которую мы хотим вычислить.И эта дельта U есть не что иное, как разница между значением U на итерации i и значением U на итерации i минус 1.

Обратите внимание, что это f оценивается при t плюс дельта t U i минус 1.

Давайте посмотрим теперь на этом уравнении. И если мы напишем немного больше, мы обнаружим, что в левой части у нас, конечно же, есть вектор нулей. В правой части у нас есть вектор компонентов f i, от f1 до fn. Все они вычисляются при t плюс дельта t U i минус 1.

И тогда у нас есть матрица, которая представляет собой квадратную матрицу, в которой отдельные элементы являются частичными элементами f i по отношению к Uj.Например, f1, здесь частичное f1 по отношению к U1. Здесь частичное fn по отношению к U n и так далее.

Эта матрица даст нам касательную матрицу жесткости. Обратите внимание, что эта матрица умножается на вектор возрастающих смещений узловых точек, соответствующих итерации i.

Если мы вспомним, что f, маленькое f, в t плюс дельта t U i минус 1 равно R минус 2 плюс дельта t F i минус 1. Заглавная F здесь, маленькая f там, помните?

Затем с помощью этого уравнения задается частичное малой f по отношению к U в точке t плюс дельта t U i минус 1.

Теперь учтите, что часть R по отношению к U равна 0, если нагрузки не зависят от деформации. Конечно, если нагрузки зависят от деформаций, другими словами, если нагрузки зависят от перемещений U, тогда это не будет 0, и нам нужно будет фактически ввести здесь член, перенести этот член в решение нелинейных уравнений. Но пока мы этим пренебрегаем. Мы предполагаем, что нагрузки не зависят от деформации. И тогда этот член равен 0.

Это дает нам касательную матрицу жесткости. И это здесь записано.

Матрица касательной жесткости — это не что иное, как частные капитала F по отношению к U-образным смещениям.

Окончательный результат отображается на этом графике просмотра. Мы подставляем всю информацию, которой я поделился с вами, в разложение в ряд Тейлора вокруг t плюс дельта t U i минус 1. Мы получаем прямо здесь это уравнение.

Обратите внимание на матрицу касательной жесткости, соответствующую времени t плюс дельта t и итерации i минус 1.Дельта U i, соответствующая итерации i, мы должны четко понимать, что это приращение смещения от времени t плюс дельта t итерации i минус 1 до итерации i.

И, конечно же, вектор узловой точечной силы. Сюда входят приложенные извне узловые точечные силы. И это вектор узловой точечной силы, соответствующий напряжениям внутреннего элемента в момент времени t плюс дельта t и в конце итерации i минус 1. Оценивается иначе в общей лагранжевой формулировке, чем мы оцениваем ее в обновленной лагранжевой формулировке. .

Об этом векторе мы много говорили в предыдущих лекциях. Об этом векторе мы, конечно же, говорили и на предыдущих лекциях. На предыдущих лекциях здесь, в tK, у нас была матрица постоянной касательной жесткости, которая была создана в начале всего этого интерактивного процесса и никогда не обновлялась.

Итак, теперь мы обновляем эту матрицу жесткости. И я думаю, если вы просмотрите информацию, которую я только что с вами обсудил, вы поймете, почему мы ее обновляем.Мы делаем это, потому что мы всегда начинаем с нового разложения в ряд Тейлора относительно точки i минус 1. Эта система уравнений, если, конечно, решена для дельты Ui. Мы добавляем дельту Ui к уже имеющимся смещениям, чтобы получить новую оценку смещений узловых точек.

Важно понимать, что матрица K, которую мы используем в процессе решения, является симметричной. Потому что, прежде всего, мы используем симметричные меры напряжения и деформации в нашем основном уравнении.

Помните, что когда мы применяем принцип виртуальной работы, мы используем напряжения Коши и бесконечно малые виртуальные деформации. Теперь обратите внимание, что оба этих времени являются симметричными. Конечно, это те времена, которые мы используем в UL, в обновленной лагранжевой формулировке. В общей лагранжевой формулировке мы используем второе напряжение Пиолы-Кирхгофа в деформации Грина-Лагранжа. Обе эти меры снова являются симметричными. Оба времени являются симметричными.

Если бы мы ввели для формулировки несимметричные времена, например, несимметричный натяжитель напряжений и, конечно, сопряженный по энергии несимметричный натяжитель деформаций, мы получили бы несимметричную матрицу K, которая была бы справиться гораздо сложнее.Намного менее рентабельно в процессе решения.

Также обратите внимание, что мы интерполировали реальные смещения и виртуальные смещения с точно такими же функциями. В то время как здесь эта точка является точкой механики сплошной среды, на самом деле это точка конечных элементов.

Если бы мы использовали разные функции интерполяции для реальных смещений, затем для виртуальных смещений или наоборот, то мы не обязательно получили бы симметричную K-матрицу. Конечно, наиболее естественной процедурой является использование тех же функций интерполяции для виртуальных смещений, которые мы использовали для реальных смещений, что мы и сделали.

Наконец, мы также предположили, что нагрузка не зависит от деформации.

Если у нас есть нагрузка, зависящая от деформации, то, если вы вернетесь к более раннему графику вида, тогда, конечно, этот правый вектор R здесь будет зависеть от смещений. И есть два основных подхода, которые можно использовать.

В первом подходе просто обновляют этот вектор с помощью итерации или с учетом текущего или последнего вычисленного объема и площадей поверхности для элементов.Таким образом, мы бы просто поставили здесь i минус 1 наверху.

Левую часть матрицы оставляем без изменений. И если это быстро сходится, это, безусловно, очень эффективный подход. Мы широко используем этот подход.

Однако другой подход состоит в том, чтобы на самом деле дифференцировать R относительно U, как мы рассматривали это ранее на более раннем графике представления, а затем вы получаете некоторые компоненты, которые вы добавляете в матрицу K. И тогда эта K-матрица может оказаться несимметричной.

Однако, если нагрузка не зависит от деформации, то дифференциация R относительно смещений U равна 0, и никакая составляющая этого дифференцирования не входит в матрицу K. И наше K, конечно, при условии, что они также удовлетворяются, является симметричным.

Итерационная схема, которую мы только что обсудили, называется полным методом Ньютона-Рафсона. Полный, потому что мы настраиваем новую матрицу K в начале каждой итерации.

Полный метод Ньютона-Рафсона показывает математически квадратичную сходимость, как мы обсуждали это немного ранее в лекции.И это, конечно, всегда так, если вы достаточно близко к корню. Эта квадратичная сходимость имеет место только при условии, что вы достаточно близки к корню, когда решаете свои уравнения.

При анализе методом конечных элементов также важно осознавать, что необходимо выполнить ряд требований. Например, при упругопластическом анализе напряжения и деформации должны быть правильно определены — пластические деформации должны быть правильно обновлены. Точно так же вращения в расчете оболочки должны быть правильно обновлены.Таким образом, не обязательно, чтобы вы автоматически получали квадратичную сходимость, когда выполняете объявления конечных элементов с помощью полного метода Ньютона-Рафсона. Также очень важно, на уровне обновления напряжений и вращений, действительно правильно делать все в кавычках, чтобы получить полную квадратичную сходимость метода Ньютона-Рафсона.

Итерационный процесс можно изобразить двумя эквивалентными способами. Здесь показан первый способ, слева. И это действительно то, как мы только что обсуждали, что решение f равно R минус заглавная буква F.Где мы хотим найти корень, 0 этого уравнения.

Обратите внимание, что здесь красным цветом изображена маленькая буква F. Обратите внимание, что здесь мы имеем t плюс дельта t капитала F i минус 1. И t плюс дельта t R — это значение.

Теперь, когда мы приближаемся к корню, который, конечно же, является точкой, где красная кривая пересекает эту ось U, по мере того, как мы приближаемся к корню, эта заглавная буква F будет все ближе и ближе к R. то есть, конечно, когда маленькое f равно 0. Это все, что мы здесь показываем.Обратите внимание, что мы устанавливаем простой наклон f в точке, соответствующей i минус первой итерации. И этот наклон подводит нас к этой точке, которая будет следующей точкой для … или следующей отправной точкой для следующей итерации. Я бы сказал, точка начала следующей итерации.

Это один из способов взглянуть на итерационный процесс. Мы также можем посмотреть на это, как показано здесь.

Обратите внимание, что R теперь отображается горизонтально. Смещение по вертикали. Обратите внимание, что R в конкретный момент времени t плюс дельта t показаны этой пунктирной линией.И мы действительно хотим найти здесь именно эту точку и, конечно же, соответствующее U-смещение.

В этот момент маленькое f равно 0, и соответствующее смещение U здесь внизу. Обратите внимание, что на итерации i минус 1, это конец итерации i минус 1, мы получили эту точку здесь. Смещение U, соответствующее этой точке, получается путем проецирования вниз по осям смещения. И этот наклон здесь, синяя линия, дает нам наклон матрицы жесткости по касательной.

Это два эквивалентных способа.Здесь это больше похоже на кривую отклонения силы, и теперь мы будем широко использовать это представление. Но имейте в виду, что это действительно то же самое, если присмотреться.

Ну, модификации итерационной схемы заключаются в следующем. Если мы оставим матрицу жесткости постоянной на протяжении всего процесса решения — другими словами, здесь тау равно 0. Он никогда не обновлялся. Мы говорим о методе начального стресса.

Если tau равно t, где t, конечно, соответствует конкретному шагу решения и означает, что матрица K является постоянной, но она обновляется в начале шага решения.Затем поговорим о модифицированном методе Ньютона. Модифицированный метод Ньютона-Рафсона.

Или мы также можем счесть эффективным обновлять K-матрицу только на определенных этапах решения, только в определенное время.

Отметим, что метод начального напряжения и модифицированные методы Ньютона, конечно, намного дешевле, чем полный метод Ньютона на итерацию. Мы должны добавить, что необходимо гораздо больше итераций для достижения той же точности, если мы не устанавливаем новую матрицу K на каждой итерации.Метод начального напряжения и модифицированный метод итераций Ньютона не демонстрируют квадратичной сходимости, потому что для получения квадратичной сходимости вам необходимо установить новую матрицу K на каждой итерации. И, конечно же, вы должны быть достаточно близко к корню, к решению, которое вы ищете.

Давайте теперь посмотрим на простой пример. Пример, где у нас есть только одна степень свободы. И где мы имеем дело с двумя ступенями нагрузки.

Здесь мы показываем силу, приложенную к проблеме или конструкции.На первом этапе нагрузки мы применяем 1R. А затем на втором шаге нагрузки 2R.

Обратите внимание, здесь я рисую горизонтально смещения. Кривая силового смещения показана красной линией.

Теперь, чтобы получить решение для этого смещения, U1, и этого смещения U2, мы, как мы обсуждали, устанавливаем матрицу K, которая соответствует наклону, наклону на красной кривой. И мы переходим к искомым решениям.

Здесь у нас есть итерационный процесс с использованием метода начального напряжения.Другими словами, где тау равно 0 в наших основных уравнениях конечных элементов.

Это означает, что мы изначально устанавливаем K-матрицу, и что K-матрица здесь изображена наклоном, синим наклоном, который вы видите.

Теперь с этим наклоном и приложенной нагрузкой мы получаем смещение, показанное здесь. Обратите внимание, что левый верхний индекс означает шаг загрузки 1. Правый верхний индекс означает решение после итерации 1. И это решение, полученное из этого треугольника. Обратите внимание, там вверху идет синяя линия, и там, где эта синяя линия пересекает пунктирную линию, мы видим вертикальную тонкую черную линию.И эта вертикальная черная линия пересекает оси смещения при этом конкретном значении. Итак, это решение нашей первой итерации.

Теперь, рассчитав это значение смещения, мы поднимаемся вверх по вертикали и попадаем на красную линию, красную кривую. И эта красная кривая, конечно, соответствует внутренним силам. Я бы сказал, внутренней силе, соответствующей этому смещению. Прямо на красной кривой есть красная точка. И в этой красной точке мы снова настроили матрицу K.

Теперь обратите внимание, что в методе начального напряжения мы сохраняем постоянную матрицу K.Это означает, что наклон здесь этой синей линии, которая проходит через эту красную точку, такой же, как наклон, который мы имели здесь ранее. С этим наклоном и несбалансированной нагрузкой — и давайте теперь очень внимательно рассмотрим — что соответствует расстоянию между этой красной точкой и пунктирной линией с этой несбалансированной нагрузкой и этим синим наклоном, мы получаем приращение смещения. показано прямо здесь. И это приращение смещения, добавленное к предыдущему смещению, дает нам это значение здесь.И на самом деле это значение очень близко к правильному решению, точному решению, которое здесь соответствует решению, соответствующему пунктирной вертикальной линии. Обратите внимание, что пунктирная вертикальная линия является точным решением этой пунктирной горизонтальной линии. И наша вертикальная черная линия, которую мы вычисляем, фактически находится на этой пунктирной черной линии. Итак, теперь мы можем принять конвергенцию.

Теперь перейдем к следующему этапу загрузки. На следующем этапе загрузки мы снова хотим иметь дело с K-матрицей. И в методе начального напряжения мы используем одну и ту же матрицу K во всем решении.Это означает, что теперь наклон, который мы накладываем на красную кривую, а этот наклон является этой синей линией, является тем же наклоном, который мы использовали ранее в первых двух итерациях.

С этим наклоном и несбалансированной нагрузкой, соответствующими расстоянию между этой горизонтальной линией, пунктирной горизонтальной линией и этой пунктирной горизонтальной линией, потому что мы выполняли преобразование на первом шаге нагрузки. С этой несбалансированной нагрузкой мы получаем инкрементное смещение, показанное отсюда туда. И это инкрементное смещение, добавленное к предыдущему смещению, дает нам это значение смещения.Обратите внимание на время t плюс дельта t или шаг нагрузки t плюс дельта t, которые здесь. Загрузите шаг 2 и итерацию 1, конец итерации 1. Теперь это наше текущее смещение.

С этим текущим смещением, опять же, которое происходит из этого треугольника, с этим текущим смещением, мы идем вертикально вверх и добираемся до той красной точки, которая лежит на кривой силового смещения — более точно кривой смещения внутренней силы. И теперь у нас есть эта красная точка, и мы настроили или снова используем K-матрицу.Конечно, в методе начального напряжения мы используем постоянную матрицу K. Итак, этот уклон совпадает с этим наклоном.

А теперь внимательно следите. Из этого треугольника, который соответствует этой несбалансированной нагрузке, которая совпадает с несбалансированной нагрузкой. Несбалансированная нагрузка получается нанесением здесь горизонтальной линии. Обратите внимание: разница между пунктирной линией вверху и горизонтальной линией, обозначенной моим указателем, является несбалансированной нагрузкой. Что, конечно, совпадает с расстоянием между этой красной точкой и пунктирной линией.Несбалансированная нагрузка с таким наклоном дает нам еще одно увеличение смещения, которое приводит нас к этому значению.

Мы повторяем этот процесс и итеративно приближаемся к правильному решению, точному решению, которое здесь обозначено пунктирной вертикальной линией для смещения. Потому что по этой пунктирной вертикальной линии мы подходим к красной кривой.

Теперь это метод начального напряжения. И опять же, дело в том, что мы сохранили одну и ту же матрицу K на протяжении всего процесса решения.

Конечно, если бы вы теперь взглянули на эту итеративную схему для получения более быстрого решения, вы бы захотели установить новую матрицу K. Другими словами, как только вы рассчитали это значение смещения, вы хотите обновить наклон, соответствующий наклону красной кривой. И если вы это сделаете — другими словами, вы обновите этот синий наклон в соответствии с красными точками, которые вы получили в своей итерационной схеме. Эти красные точки, конечно, отличаются от того, что вы видите здесь сейчас. Тогда у вас будет полный метод Ньютона-Рафсона.

Если вы обновляете только матрицу K или синюю касательную, которую мы видим здесь всякий раз, когда вы приближаетесь к точке равновесия. Это означает, что в данном конкретном случае вы сошлись в соответствии с первым шагом нагрузки. Если вы обновляете матрицу жесткости только после того, как вы приблизились к этой нагрузке — для этого шага нагрузки, тогда у вас будет модифицированный метод Ньютона-Рафсона.

Я думаю, если вы посмотрите на это изображение с этими возможностями, вы поймете, что полный метод Ньютона-Рафсона с обновлением наклона после каждой итерации будет сходиться быстрее всего.И модифицированный метод Ньютона-Рафсона будет сходиться немного медленнее, чем полный метод Ньютона-Рафсона, но все же быстрее, чем метод начального напряжения.

Итак, на этом мы подошли к концу обсуждения этого примера. Сейчас я хотел бы познакомить вас с другой схемой, которая может быть очень важной при решении нелинейных уравнений, уравнений конечных элементов. И эта схема является схемой поиска строк.

Здесь снова изображены основные уравнения, которые мы рассматриваем и которые мы хотим решить.Матрица касательной жесткости, вектор приращения смещения, внешние нагрузки, узловые точечные силы, соответствующие напряжениям внутренних элементов в момент времени t плюс дельта t, и, конечно, в конце итерации i минус 1, начало итерации i.

Обратите внимание, что у меня здесь нет i, я просто хочу обозначить это на данный момент как вектор смещения инкрементальной узловой точки, который, однако, несет на себе полосу.

Давайте рассмотрим формирование Fi с помощью этого уравнения, где бета неизвестна.

Мы хотим сейчас разумно выбирать бету. Мы хотим выбрать бета так, чтобы в некотором смысле R минус Fi было мало. И мы, конечно же, должны рассмотреть механизм, который мы используем, чтобы в некотором смысле уменьшить R минус F.

Ну, в качестве примечания, мы понимаем, что, когда это уравнение здесь равно 0 для всех возможных U, тогда ясно, что это должно быть 0.

Другими словами, если бы мы сказали себе, давайте сделаем это уравнение 0 для все возможные U. Тогда действительно, мы бы решили это равным 0.Причина, конечно, в том, что мы могли выбрать здесь для U вектор, который несет 0 везде, кроме 1 в одном месте.

И если это конкретная строка, то соответствующая этой строке, конечно, этот вектор здесь, этот R минус F, соответствующий этой строке, должен быть равен 0.

Итак, если бы мы просто использовали здесь единичную матрицу, или если бы мы построили единичную матрицу, разрешив n U, которые линейно независимы, конечно, потому что все они составляют такой вектор, но с 1 в другом месте.Фактически, мы хотим использовать U1 с 1 здесь и 0 везде. U2, 1 здесь, 0 здесь, везде 0 и так далее. Чтобы построить здесь единичную матрицу. Тогда с этой единичной матрицей очевидно, что R минус F будет 0 всюду.

Конечно, это не жизнеспособная схема. Но мы хотим выбрать здесь конкретный вектор, чтобы R минус F в каком-то смысле оставался равным нулю. И вектор, который выбирается довольно эффективно, — это вектор, который мы получаем из решения K delta U bar, равного R минус F.

Если мы используем этот вектор здесь, в основном проецируем букву R, заглавную R, минус F на этот вектор. И мы ищем, чтобы это было 0. Затем мы должны, так сказать, искать в направлении бара дельты U и сделать дельту U, транспонированную раз этот вектор здесь, равным 0.

Как работает эта схема? Что ж, мы добавляем бета-шкалу дельты U к значению, которое у нас уже было с предыдущей итерации. И мы ищем по бета-версии, так что верхняя часть здесь намного меньше нижней. Другими словами, STOL должен быть допуском схождения.

Обратите внимание, как это работает. Выбираем значение бета. Когда бета известна, мы добавляем это количество к этому. Мы получаем здесь ценность. Мы берем это значение, вычисляем Fi, соответствующее этому значению, смотрим, выполняется ли допуск сходимости. Если нет, мы должны выбрать новую бета-версию. И таким образом мы выбираем новые бета-версии, пока не удовлетворим этот допуск сходимости. Это то, что мы называем линейным поиском. Мы ищем по линии, заданной дельта U bar, пока это не будет удовлетворено.

Это очень важная схема, и эту схему можно комбинировать с модифицированной итерацией Ньютона, с методом начального напряжения и с полной итерацией Ньютона.И это значительно повышает стабильность решения, общего решения или нелинейных уравнений. Мы найдем или обсудим приложения прямо сейчас. Но на этом этапе нам нужно остановиться на минуту, потому что нам нужно перейти на новую ленту.

Наконец, я хотел бы обсудить с вами метод, который, как мы считаем, очень эффективен при нелинейных вычислениях методом конечных элементов. А именно метод BFGS. BFGS расшифровывается как Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno. И в этом методе мы действуем следующим образом.

Мы вычисляем или определяем дельту i, как показано здесь в этом уравнении. И мы определяем гамму i, как показано в этом уравнении. Мы хотим вычислить матрицу коэффициентов так, чтобы это уравнение здесь удовлетворялось. Другими словами, для заданных delta i и gamma i мы хотим использовать матрицу коэффициентов, которая удовлетворяет этому уравнению. И это в основном то, что делается в схеме BFGS.

Тогда наглядно мы можем показать систему с одной степенью свободы, скажем, букву F, нанесенную на эту ось.По этой оси отложены U-перемещения.

Обратите внимание, здесь зеленым цветом показана дельта i. И мы показываем здесь зеленую гамму i. И обратите внимание, что матрица, которую мы хотим использовать, обозначена синим наклоном. Другими словами, это определяется дельтой i и гаммой i.

Итак, метод BFGS — это итерационный алгоритм, который производит последовательные приближения к эффективной матрице жесткости. На самом деле, мы действительно работаем с обратной матрицей жесткости, о чем я сейчас подробно расскажу.Это действительно компромисс между методом полной итерации Ньютона и модифицированным методом итерации Ньютона. Он показывает отличные характеристики сходимости при решении многих типов задач. Давайте посмотрим на отдельные шаги, которые мы используем, когда применяем метод BFGS.

Сначала вычисляем направление приращения смещения. Здесь мы имеем дельту U bar i, равную K инверсии, обратной матрице K, соответствующей итерации i минус 1. И здесь у нас есть вектор несбалансированной нагрузки.

Обратите внимание, что мы не вычисляем фактически инверсию матрицы. Мы вычисляем LDL-факторизацию транспонированной матрицы, а затем, как я только что покажу, обновляем эту инверсию в итерации BFGS с помощью определенных матриц ранга 2. Мы подошли к этому только сейчас.

Итак, вычислив эту дельту U bar i, мы используем эту дельту U bar i в поиске линии, чтобы получить лучший вектор смещения, вектор смещения, соответствующий итерации i. Лучшее значение, чем просто добавить к нему столбец дельты U i, настроив бета.

Другими словами, мы выбираем бета таким образом, чтобы здесь выполнялось это уравнение. Это, конечно, уравнение, с которым мы теперь знакомы как с уравнением, показывающим, что сходимость была достигнута при поиске строки.

Теперь, вычислив t плюс дельта t Ui и соответствующее t плюс дельта t Fi, мы можем вычислить дельту i и гамму i. И поэтому применяем метод BFGS. И это теперь третий шаг, вычисление новой матрицы секущих.

K, обратная итерации i, равна Ai, транспонированная k, обратная итерации i, минус 1, умноженная на Ai.Эта матрица A получается, как показано здесь. v будет транспонирован.

vi и wi даны как функция дельты i, гаммы i и значения K i минус 1. Вам следует взглянуть на учебник, чтобы узнать подробности реальной оценки vi и wi. Но как только у вас есть vi, wi, вы можете вычислить A. И ясно, что с помощью этого уравнения вы получите новую матрицу жесткости.

Важно отметить, что в этой итерационной схеме для получения vi и wi необходимы только векторные произведения.

Также важно отметить, что для вычисления дельты U-бара i используются только векторные произведения.

Если это не так, особенно здесь. Тогда, конечно, итерационная схема будет очень дорогой.

Позвольте мне показать вам немного деталей, почему нам нужно использовать только векторные произведения, чтобы получить решение.

Вот один типичный шаг итерации. Обратите внимание, что с левой стороны у нас есть дельта-U-образный стержень i. Значение приращения смещения, которое мы хотим вычислить.

В правой части у нас есть транспонированные i плюс wi минус 1 vi минус 1.Другими словами, Ai минус 1 переставил. И у нас будут такие матрицы, пока мы не дойдем до транспонированной матрицы A1.

Тогда у нас есть обратная матрица жесткости. Здесь соответствует времени tau. И затем у нас есть матрицы Ai, как показано здесь.

Теперь обратите внимание, что эта общая сумма затем умножается на R минус F i минус 1, вектор несбалансированной нагрузки.

Давайте теперь рассмотрим вычисления, необходимые для получения дельты U bar i.

Здесь у нас есть дельта R. Эта дельта R, вектор несбалансированной нагрузки, который я просто называю дельтой R, умножает эту матрицу. Но если вы посмотрите на это умножение, мы обнаружим, что эта дельта R, умноженная на w i минус 1, транспонированная, является просто числом. Итак, умножение на одно векторное дает нам число.

Это число, умноженное на v i минус 1, является просто умножением числа на вектор. Все очень просто. И обратите внимание, конечно, эта дельта R i минус 1 также умножает единичную матрицу.Итак, на этом шаге у нас действительно нет ничего, кроме векторного умножения. Единственное векторное умножение, которое на самом деле существует, это это значение, этот вектор здесь, умноженный на этот вектор там, транспонированный. Это дает нам число. Это число умножается на векторную [НЕРАЗБОРЧИВО] операцию. И, конечно, здесь, умноженная на матрицу i, и есть этот вектор.

Итак, на этом этапе мы получаем просто еще один вектор. Берем этот вектор и повторяем процесс. А поскольку повторение — это как раз то, что мы уже обсуждали, мы обнаруживаем, что нам нужны только векторные умножения, чтобы свести все эти умножения сюда.

Тогда у нас есть вектор, умноженный на K обратный. Что ж, это снова включает в себя только векторные умножения, потому что мы уже перенесли факторизацию LDL tau k.

Результатом умножения векторов снова является вектор. И этот вектор, умноженный на эти матрицы здесь так же, как мы поступили здесь, снова означает только векторные умножения. Таким образом, этот очень важный шаг здесь требует только векторного умножения. И это делает весь этот процесс действительно эффективным.

Таким образом, у нас есть следующие процедуры решения, которые мы считаем очень эффективными. Ужасная итерация Ньютона-Рафсона с поиском строк.

Здесь мы имеем основное модифицированное итерационное уравнение Ньютона. И здесь у нас есть уравнение поиска строки. Мы, конечно, после каждого такого решения оцениваем эффективную бету. Бета, которая делает U— t плюс дельта U i хорошим вектором при измерении по критериям линейного поиска, как я это обсуждал.

И эти два уравнения действительно суммируют модифицированную итерацию Ньютона с линейным поиском.

Еще одна эффективная схема — метод BFGS. Мы всегда используем метод BFGS для строкового поиска.

И затем, в качестве третьего варианта, полная итерация Ньютона-Рафсона с поиском строк или без него. Полная итерация Ньютона-Рафсона с поиском по строкам, конечно, наиболее эффективна. Но это также самое дорогое за итерацию.

Следует отметить, что эти методы, которые я обсуждал до сих пор, не могут быть применены для анализа после потери устойчивости. Мы рассмотрим решение реакции после того, как возникло продольное изгибание, после того, как уровень нагрузки элемента будет достигнут на следующей лекции.

На следующих графиках представлены эти схемы: модифицированный метод Ньютона-Рафсона, метод BFGS и полный метод Ньютона-Рафсона. И я хотел бы очень быстро пройти через весь процесс решения для каждого из этих методов.

В модифицированной итерационной технике Ньютона мы инициализируем наши смещения, соответствующие началу первой итерации, концу нулевой итерации как tU. Точно так же мы инициализируем вектор нашей силы, соответствующий напряжениям внутренних элементов.Мы устанавливаем i равным 1, а счетчик итераций равным 1. Мы вычисляем матрицу K в начале шага загрузки и сохраняем эту матрицу K постоянной.

Затем мы переходим к этому шагу, где вычисляем несбалансированные нагрузки. Рассчитайте новый вектор смещения. В этом поле мы измеряем, сошлись ли мы уже. Конечно, эту сходимость можно будет измерить только после того, как мы пройдем, скажем, по крайней мере дважды итерационный процесс. Вернее, мы дважды вычисляли это приращение вектора смещения.Поскольку в начале, соответствующем i, равному 1, теперь у нас есть эта довольно большая несбалансированная нагрузка. Мы только что увеличили вектор нагрузки. Следовательно, это значение прямо внутри должно быть ненулевым. И мы получили бы прирост смещений. И чтобы измерить, насколько велико это приращение смещения, мы действительно хотим пройти весь этот цикл, по крайней мере, еще раз.

Затем мы, вычислив этот вектор приращения смещения с полосой на нем, выполняем линейный поиск, как мы обсуждали, чтобы обновить наши смещения, соответствующие итерации i.Конечно, мы прошли через это только один раз, поэтому i по-прежнему равно 1. И это дает нам принятое значение смещений, соответствующее первой итерации.

Теперь мы увеличиваем наш счетчик итераций и переходим ко второй итерации.

Обратите внимание, что теперь во второй итерации мы имеем R минус t плюс дельта t F1. Рассчитываем дельту U стержня 2. А теперь обязательно измерим сходимость. А сейчас я расскажу о том, как мы измеряем конвергенцию.

Если мы еще не сходимся, мы продолжаем циклически проходить здесь, пока действительно не достигнем сходимости.

Отличительной чертой модифицированной итерации Ньютона является то, что у нас есть постоянная K-матрица. То, что мы не обновляем матрицу K, является здесь итерационным циклом. Он остается постоянным.

Помните, что в методе начального напряжения, метод начального напряжения, мы даже не обновляли бы матрицу K даже после первого ее расчета. Но в модифицированной итерации Newton мы обновляем ее в начале каждого шага загрузки.

В методе BFGS мы действуем следующим образом.Мы снова инициализируем наши перемещения и вектор узловой силы, соответствующие напряжениям внутреннего элемента. Рассчитываем tK. Мы вычисляем наш вектор приращения смещения с полосой вверху. Мы измеряем сходимость, если i больше или равно. Как я только что упомянул, нет смысла измерять сходимость, когда вы проходите здесь впервые. Затем мы выполняем линейный поиск, вычислив фактическое приращение смещения узловой точки, которое мы хотим добавить к предыдущим смещениям узловой точки, чтобы добраться до этого вектора смещения.У нас, конечно, тоже есть этот вектор силы.

Теперь мы можем обновить нашу обратную матрицу, нашу обратную секретную матрицу, как мы это обсуждали. И увеличиваем наш счетчик. И мы продолжаем здесь циклически перемещаться, пока не найдем в этой коробке, что мы сошлись.

В полной итерации Ньютона с поиском строк мы снова инициализируем наш вектор смещения, наш вектор силы, наш счетчик итераций. Теперь мы вычисляем новую матрицу K, соответствующую последним условиям на перемещения и внутренние силы, конечно.

Мы входим сюда, чтобы вычислить наш вектор приращения смещения с матрицей K, которая была только что оценена. И мы снова измеряем сходимость только тогда, когда i больше, чем. Мы выполняем строковый поиск, чтобы определить здесь бета. Поэтому мы обновляем наш вектор смещения до смещений, которые теперь соответствуют концу итерации i. Обновляем наш счетчик итераций. Или, скорее, увеличьте наш счетчик итераций. И мы вычисляем новую матрицу жесткости, соответствующую последнему вычисленному смещению.

Это, конечно, отличительная черта полного метода Ньютона-Рафсона, заключающаяся в том, что мы вычисляем новую матрицу K в начале каждой итерации.

Итак, эти графы представлений суммируют полный процесс итерации для модифицированного Ньютона, BFGS и полного метода Ньютона. Обратите внимание, что я включил линейный поиск в качестве опции.

Если у вас нет строкового поиска, конечно, это будет просто означать, что вы установили бета равную 1 и пропустили этот конкретный шаг строкового поиска.Но во многих случаях поиск по строке очень важен. И, конечно, может понадобиться в некоторых типах задач.

Давайте теперь посмотрим, что здесь происходит в этой коробке. Как мы измеряем сходимость?

В каждой из этих итерационных схем у нас был такой ящик. А теперь мне нравится более внимательно смотреть на то, как мы измеряем конвергенцию.

Мера конвергенции, конечно, должна сказать нам, насколько хорошо мы удовлетворяем равновесию? И в основном можно использовать три предмета.А именно энергия, сила или момент, смещение и вращение, конечно, тоже соответственно. Но это те элементы, с которыми можно работать, чтобы измерить сходимость.

Если вы используете критерий энергетической конвергенции, который нам очень нравится. Вы можете использовать это уравнение здесь: дельта U bar i, транспонированная, умноженная на несбалансированную нагрузку, деленная на дельту U bar 1, транспонированную, умноженную на t плюс дельта t R минус tF.

Теперь обратите внимание, это приращение сил в узловых точках или несбалансированная нагрузка в начале шага нагрузки.Итак, это энергия, соответствующая началу шага нагрузки. И мы сравниваем здесь аналогичное количество, но соответствующее текущей нагрузке. Соответствует текущей итерации.

И если это частное здесь очень мало, измеренное на этом допуске сходимости, то мы говорим, что мы сошлись. Важным моментом является то, что в этой мере сходимости мы входим со смещениями и несбалансированными нагрузками. Оба входят в эту меру сходимости.

И, пожалуйста, поймите также, что если нагрузки не увеличиваются от времени t до t плюс дельта t, это означает, что здесь это равно вектору 0-0.Тогда, конечно, мы получаем здесь 0. И мы не могли косвенно применить этот критерий конвергенции. Следовательно, мы бы сделали здесь вместо 0 разумное небольшое число в компьютерной программе.

Также обратите внимание, что мы применяем этот тест здесь перед поиском строки. В строчном поиске, конечно, после строчного поиска, эта верхняя часть здесь небольшая. И поэтому мы не хотим применять здесь эту схему или эту меру сходимости после поиска строки. Мы должны сделать это перед поиском строки.

Здесь мы можем использовать это уравнение для измерения сходимости сил.Обратите внимание на несбалансированные нагрузки. Мы берем евклидову норму для несбалансированных нагрузок и сравниваем ее с RNORM, введенной пользователем, аналитиком.

Интересно, важно отметить, что мы вводим здесь только компоненты, соответствующие поступательным степеням свободы. И здесь, конечно, эта РНОРМ — это тоже сила, соответствующая, так сказать, поступательной степени свободы.

Если бы у нас были еще и вращательные степени свободы, то мы бы взяли вместо RNORM, RMNORM.И мы извлекаем из этих векторов только компоненты, соответствующие вращательным степеням свободы. Дело в том, что мы хотим, чтобы здесь наверху были те же единицы, что и здесь. Силы, силы, моменты, моменты. И мы не хотим смешивать компоненты из этих количеств.

Конечно, RMNORM и RNORM должны выбираться аналитиком. Они являются входными данными для анализа, как определено во входных данных компьютерной программы.

Обычно RTOL составляет 0,01. RNORM — это просто максимум из NORM прилагаемых нагрузок.Обратите внимание, что эта евклидова норма вычисляется, как показано ниже для вектора a. Символика, две полоски с каждой стороной с цифрой 2, означает не что иное, как взятие квадратов всех компонентов вектора и сложение этих квадратов. А затем извлеките из этого сложения квадратный корень.

По смещениям мы также можем измерить сходимость. И вот уравнение, которое можно использовать. Евклидова норма вектора инкрементного смещения. И это сравнивается с DNORM. Опять же, ДНОРМ.

Обратите внимание, что это снова ввод аналитика в компьютерную программу.Это часть входных данных, предоставляемых для анализа. И это эталонное смещение.

Обратите внимание, тогда, конечно, мы должны включать сюда только смещения, другими словами, смещения поступательного движения.

Если есть, то степени свободы вращения. Тогда мы включили бы сюда только компоненты вращательных степеней свободы и использовали бы здесь DMNORM. Таким образом, мы снова сравниваем одно количество с определенными единицами с количеством, имеющим те же единицы. Один раз для переводов и один раз для ротаций.

Итак, когда у нас есть вращательные степени свободы в анализе, мы таким образом действительно убеждаемся, что инкрементные смещения и инкрементальные повороты при сходимости малы. На этом мы завершаем то, чем я хотел поделиться с вами в этой лекции. Спасибо вам большое за ваше внимание.

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

  • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
  • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
  • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

.