Уравнение равновесия сопромат: Уравнения равновесия

Содержание

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.

При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат

что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы

из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.

Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.

Пример составления уравнений равновесия

В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F₁

-F₆, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.

Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.

Суммы проекций сил

Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):

— на ось z:

Суммы моментов

Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):

в плоскости xOy:
в плоскости xOz:
в плоскости yOz:

Определение момента от распределенной нагрузки рассмотрено здесь.

Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.

Примеры решения задач >
Краткая теория >

Уравнения равновесия системы сходящихся сил

Сходящаяся система сил находится в

равновесии в случае замкнутости силового многоугольника. Величина равнодействующей при этом равна нулю (R = 0).

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляющих сил на те же оси, т. е.

Модуль равнодействующей определится по формуле:

Оба слагаемых, стоящих под знаком корня, во всех случаях положительны как величины, возведенные в квадрат. Поэтому R = 0 только при выполнении условий:

Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Формулы Σх=0 (сумма проекций всех сил на ось

Х равна нулю), Σy=0 (сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Следовательно, для решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил мы имеем два уравнения. Эти уравнения позволяют определить две неизвестные величины.

Если же задача содержит неизвестные в количестве, превышающем число уравнений равновесия, то эту задачу нельзя решить методами статики абсолютно твердого тела. Задачи подобного типа называют статически неопределимыми. Их решение возможно только при отказе от допущения об абсолютной твердости тел; помимо уравнений равновесия для решения их составляют дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении деформаций

тел. Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

Помощь по сопромату — решение заданий и задач на заказ онлайн

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Как получить помощь в выполнении заданий по сопромату

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько стоит помощь

Стоимость помощи зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения

Минимальный срок выполнения составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки.

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по сопромату, то как я оформляю:

Пример помощи с задачей №1.4

Абсолютно жесткий (недеформирующийся) элемент Р укреплен на шарнирно-неподвижной опоре А и поддерживается стержнем l.

Определить наибольшую допустимую нагрузку F и перемещение т. С (рис. 1.6, а).

Стержень 1 — стальной, швеллер № 10. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Нагрузка F через элемент Р и стержень 1 передается на опоры, где возникают три реакции (

, и — направленная по продольной оси стержня), которые могут быть определены из уравнений равновесия Следовательно, рассматриваемая система является статически определимой.

По таблице сортамента площадь сечения швеллера № 10 (стержень

Длина стержня

Так как стержень 1 соединяется с элементом Р при помощи шарнира, в нем возникает только продольная сила N, т. е. он подвергается деформации растяжения-сжатия.

Для определения продольной силы N система «рассекается» по стержню 1 и для рассматриваемой части системы составляются уравнения равновесия (рис. 1.6, б). Опорные реакции

и для условия задачи интереса не представляют. Рациональным уравнением равновесия будет

откуда

Максимально допустимая продольная сила в стержне 1 из формулы (1.2)

Наибольшая допустимая нагрузка на конструкцию (из уравнения равновесия)

Абсолютная продольная деформация стержня 1 по формуле (1.3)

Абсолютно жесткий элемент Р под действием нагрузки F, вследствие деформации стержня 1, повернется вокруг шарнира А на некоторый угол.

Чтобы построить схему перемещений (рис. 1.6, б), стержень 1 следует мысленно отсоединить от элемента Р в т. D и по его направлению отложить отрезок, изображающий деформацию (удлинение)

,- получим т. .

Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец продеформированного стерня 1 (т.

) нужно свести с точкой D элемента Р.

Вследствие малых упругих деформаций можно допустить, что т.

перемещается по перпендикуляру к продольной оси стержня, т. е. по . Точка D элемента Р по той же причине переместится по перпендикуляру к его продольной оси, т. е. по .

Точка пересечения траекторий перемещений

дает т. -положение узла D в продеформированном состоянии системы.

Из подобия треугольников

и составляется зависимость между перемещением и деформацией :

Тогда получим

откуда перемещение т. С (вниз, по вертикали) будет

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример помощи с задачей №3.4

Для сечения, составленного из двух прокатных профилей (двутавра и неравнополочного уголка), определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.6).

Данные к примеру: двутавр № 22, уголок № 20/12,5/1,1.

В рассматриваемом сечении двутавр расположен иначе, чем в таблице сортамента, поэтому значения моментов инерции нужно записать с учетом его положения.

Выписка из таблиц сортамента:

1) для двутавра № 22

2) для уголка № 20/12,5/1,1

Решение:

Сечение не имеет осей симметрии. Для определения координат центра тяжести сечения выбираются вспомогательные оси

; отмечаются центры тяжести фигур составляющих сечение; проводятся их центральные оси параллельные вспомогательным, и вычисляются расстояния между ними и вспомогательными осями:

Координаты центра тяжести сечения

По значениям

и на сечении отмечается центр тяжести О (рис. 3.6, б). Заметим, что центр тяжести должен лежать на прямой, соединяющей точки и .

Далее проводятся центральные оси

, параллельные вспомогательным, и вычисляются расстояния п и т:

Знаки при т и п назначаются с учетом перехода от центральных осей

, фигур, составляющих сечение, к общим центральным осям

Вычисляем значения осевых и центробежного моментов инерции сечения относительно центральных осей

Значение

положительное (см. рис. 3.1).

Положение главных центральных осей сечения характеризуется углом

, который определяется по формуле (3.3):

Угол

отсчитывается от оси с большим моментом инерции, т. е. от , по ходу часовой стрелки, так как численное значение угла отрицательное. Таким образом определяется положение оси U.

По формуле (3.5) определяем значения главных центральных моментов инерции сечения:

отсюда максимальный момент инерции сечения

, минимальный

Проверяем правильность вычислений, выполненных по формуле (3.5):

Таким образом, рассмотренное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси U и наименьшую — относительно оси V.

Пример помощи с задачей №4.4

Стальной стержень кольцевого сечения скручивается моментом

. Определить наибольшее допустимое значение момента из условий прочности и жесткости, если (рис. 4.10).

Решение:

Вычислим геометрические характеристики заданного сечения.

Допустимый относительный угол закручивания

Из условия прочности (4.2) вычислим значение наибольшего скручивающего момента:

из условия жесткости (4.4)

В качестве допустимого скручивающего момента принимаем его меньшее значение:

Касательные напряжения на наружных и внутренних волокнах стержня вычислим по формуле (4.1):

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 4.10, б.

Пример помощи с задачей №4.5

Стальной стержень прямоугольного поперечного сечения скручивается моментом

Определить размер сторон прямоугольного сечения (h/ b = 2,

и угол закручивания свободного конца стержня (G = = 80 ГПа), рис. 4.11.

Решение:

Геометрические характеристики заданного сечения

Наибольшие касательные напряжения по длинной стороне сечения

Из условия прочности (4.5)

или

откуда b = 3,013 см.

Принимаем

Вычислим наибольшие касательные напряжения по сторонам сечения.

По длинной стороне

Перенапряжение составляет 1 %, что допустимо. По короткой стороне

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 4.11, б.

Абсолютный угол закручивания свободного конца стержня (по формуле (4.6))

Пример помощи с задачей №5.5

Построить эпюры Q и М для составной балки, нагруженной сосредоточенным моментом М и нагрузкой q, распределенной по закону треугольника, с максимальной ординатой q = 6 кН/м (рис. 5.10).

Решение:

В защемлении (сечение А) возникают вертикально направленная реакция

и момент а в шарнирной опоре D — реакция .

Опорные реакции определяются из уравнения равновесия

откуда

При определении реакции распределенная нагрузка была заменена равнодействующей, которая равна площади этой нагрузки (треугольника)

и приложена в центре тяжести.

Плечо равнодействующей относительно сечения С равно

откуда

Проверка:

реакции найдены верно.

Определяем внутренние силы (Q и М) в характерных сечениях балки.

Ход слева.

Сечение А:

Сечение В:

Сечение С:

Для участка балки CD, где нагрузка носит сложный характер, составим подробные выражения для Q и М.

Ход справа:

Ординату распределенной нагрузки

найдем из подобия треугольников (нагрузочного и отсеченного):

откуда

С учетом ординаты нагрузки

получим

-поперечная сила изменяется по квадратической параболе, обращенной выпуклостью вниз;

— изгибающий момент изменяется по кубической параболе, выпуклостью вниз.

Чтобы установить направленность выпуклости эпюры, следует определить значения Q и М еще в одном сечении участка балки (лучше посередине).

Вычисляем значения Q и М на участке CD.

При z = 0

При z = 2,7 м

Эпюры Q и М показаны на рис. 5.10, б, в.

Для отыскания сечения, в котором Q = 0, нужно приравнять ее выражение нулю:

откуда

При

максимальный изгибающий момент в этом сечении балки

Из построенных эпюр внутренних сил следует, что

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример помощи с задачей №5.8

Расположив сечение чугунной балки (рис. 5.16) рационально по отношению к нагрузке, определить ее наибольшее допустимое значение, если расчетное сопротивление на растяжение

, а сопротивление на сжатие Построить эпюры и .

Для вычисления значений Q и М будем намечать сечения, начиная с правого (свободного) конца балки (ход справа). При этом не требуется определять реакции в опоре балки. Составим выражения для

Сечение С:

Сечение В:

Сечение А:

Определим геометрические характеристики сечения балки. Разделим сложное сечение на два прямоугольника. Положение центра тяжести сечения

Осевой момент инерции

где

Статический момент части сечения, расположенной ниже нейтральной оси:

Статический момент части сечения, расположенной выше места соединения полки и стенки, относительно нейтральной оси (точка П):

Наибольшую допустимую нагрузку на балку определим из условия прочности по нормальным напряжениям (5.3), учитывая разные значения расчетного сопротивления.

Опасным является сечение В, где

В этом сечении верхние от нейтральной оси волокна растянуты (так как ординаты эпюры М лежат сверху), а нижние — сжаты.

Поскольку хрупкий материал балки лучше работает на сжатие, чем на растяжение, сечение нужно расположить так, чтобы в точке К были сжимающие напряжения, а в точке D, где сечение шире, — растягивающее. Это положение 1.

Рассматриваем принятое положение сечения (полкой вверх). Из формулы (5.3) наибольший изгибающий момент: по растягивающим напряжениям

сжимающим напряжениям

Чтобы обеспечить выполнение условий прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям, в качестве наибольшего допустимого следует принять меньшее значение изгибающего момента

Наибольшую допустимую нагрузку на балку определим из равенства

откуда F = 14,25 кН.

Следует проверить прочность по нормальным напряжениям в сечении А при принятом положении сечения балки и значении нагрузки F = 14,25 кН.

В сечении А

В точке Д (сжатие)

В точке К (растяжение)

Условие прочности по растягивающим напряжениям не выполняется. Значит, значение нагрузки F следует скорректировать (уменьшить).

Из условия прочности по растягивающим напряжениям (как наиболее опасным)

но

откуда

Окончательно принимаем

Вычислим значения

и , необходимые для построения эпюр напряжений. Для касательных напряжений опасным является сечение А, где

для нормальных — сечение В, где

Нормальные напряжения в характерных точках сечения В

Касательные напряжения в характерных точках сечения А (по формуле (5.2)

Заметим, что в точке П ширина сечения изменяется скачкообразно. Вследствие этого также скачкообразно изменяется значение

(на эпюре скачок).

Эпюры

и приведены на рис. 5.16, в.

Расположив сечение балки полкой вниз (положение 2) и проделав аналогичные вычисления, получим меньшее значение допустимой нагрузки F = 9,5 кН.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример помощи с задачей №5.9

Определить главные напряжения в указанных точках балки (рис. 5.17) и установить вид напряженного состояния. Сечение балки -двутавр № 16.

Решение:

Из таблицы сортамента для двутавра № 16:

Вследствие симметрии нагрузки опорные реакции

Эпюры Q и М показаны на рис. 5.17, a, б.

Заметим, что на участке СД балка подвергается чистому изгибу, так как на этом участке Q = 0.

В исследуемом сечении К

Для определения главных напряжений по формулам (5.1) и (5.2) необходимо вычислить значения нормальных и касательных напряжений в исследуемых точках сечения, а по формуле (5.6) — главные напряжения.

В точке 1

Экстремальные напряжения

Главные напряжения

В точке 1 балки имеет место плоское напряженное состояние, так как действуют два главных напряжения

Направление главных напряжений

Угол

отсчитывается от продольной оси Z. Отрицательное значение — по ходу часовой стрелки (рис. 5.17, в).

В точке 2

— в точке 2 материал испытывает линейное напряженное состояние, так как действует только одно главное напряжение.

В сечении И балки Q = 0, М = 20 кН-м.

В точке 3

Главные напряжения

— в точке 3 материал испытывает линейное напряженное состояние.

Если на участке СД балки

(что чаще имеет место), то в точке 3 материал испытывает плоское напряженное состояние.

Пример помощи с задачей №5.14

Подобрать номер прокатного швеллера для двухконсольной балки из условия жесткости, если

Построить эпюру прогибов.

Решение:

Начало координат помещаем в крайнем левом сечении балки, т. е. на конце консоли (сечение О).

Значения опорных реакций и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 5.25.

Рассматриваемая балка имеет четыре расчетных участка. Уравнение прогибов оси балки

В данном случае, когда начало координат расположено на свободном конце балки, ни один из начальных параметров не равен

нулю. Значения их определим, исходя из деформативных условий на шарнирных опорах А и В, где вертикальные перемещения (прогибы) равны нулю:

Запишем уравнения прогибов для названных сечений. Сечение A (z = 1 м, участок 1)

Сечение В (z = 5 м, участок 3)

или

Из этих уравнений

Прогиб посередине пролета балки (z = 3 м, участок 2)

Требуемый момент инерции сечения для пролетной части балки

Примем

Тогда из заданного условия жесткости

где l — длина пролета (расстояние между опорами). Для сечения из двух швеллеров

На один швеллер момент инерции составит

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 10, для которых

Вычисляем прогибы в характерных сечениях балки. При z = 0 (сечение О)

При z = 3 м (сечение С)

При z = 6 м (сечение Д)

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (рис. 5.25, г).

Проследите соответствие эпюры прогибов эпюре изгибающих моментов.

Правая консоль балки (участок ВД) не нагружена и, следовательно, не деформируется. Ось ее остается прямой, но все сечения перемещаются за счет деформаций остальной части балки.

В завершение примера вычислим значения наибольшего нормального напряжения в балке:

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена, но материал ее недонапряжен на 18 %. Это обусловлено тем, что условие жесткости более «требовательно».

Возможно эта страница вам будет полезна:

Пример помощи с задачей №9.4

Элемент конструкции Р, имеющий большую жесткость, укреплен шарнирно в опоре А и поддерживается двумя стержнями длиной l = 2 м и диаметром d = 4 см (рис. 9.7, а).

Определить наибольшую допустимую нагрузку q из условия прочности и устойчивости стержней, если R = 210 МПа.

Решение:

Нагрузка q, приложенная к элементу P, передается непосредственно на опору А и через стержни 1 и 2 на опоры К и L, где в сумме возникают четыре неизвестные реакции. Поскольку для плоской системы можно составить только три уравнения равновесия, рассматриваемая система является один раз статически неопределимой (4 — 3 = 1).

Для решения задачи нужно знать усилия в стержнях, выраженные через нагрузку q.

Мысленно рассекаем стержни и показываем продольные силы, направляя их с учетом характера деформации (рис. 9.7, б). Нетрудно понять, что стержень 1 растянут (усилие

направлено от сечения), а стержень 2 сжат (усилие направлено к сечению).
Вследствие деформации стержней 1 и 2 ось элемента Р повернется вокруг опоры А на некоторый угол. Уравнение равновесия

Уравнение деформации имеет вид

Используя формулу Гука, получим

Поскольку стержень 2 подвергается сжатию, допускаемое усилие в нем должно быть определено из условия устойчивости (9.7) Характеристики стержня: площадь сечения

момент инерции

радиус инерции

гибкость

коэффициент

Наибольшее допустимое усилие во втором стержне из условия устойчивости

Из равенства (9.10)

усилие в первом стержне

Из уравнения (9.9) наибольшая допустимая нагрузка на систему

откуда

Действующие напряжения в стержнях системы и сопоставление с допускаемыми:

Допускаемое напряжение во втором стержне

При нагрузке q = 38,67 кН/м прочность и устойчивость стержней обеспечены.

Кстати у меня есть готовые задачи на продажу, если нужно они вот тут.

Пример помощи с задачей №9.7

Балка длиной l = 6 м с шарнирными опорами, выполненная из двух швеллеров № 22, нагружена поперечной равномерно распределенной нагрузкой q = 5 кН/м и продольной силой ,F (рис. 9.11, а).

Определить наибольшую допустимую продольную нагрузку F, расположив сечение швеллеров рационально (вариант 1, 2 или 3).

Проверить прочность и жесткость балки при принятом варианте, если

Решение:

Балка подвергается продольно-поперечному изгибу.

Сначала надо выявить рациональное положение сечения балки по отношению к поперечной нагрузке, т. е. при изгибе. Затем определить наибольшую допустимую продольную нагрузку из условия устойчивости балки при различных вариантах расположения ее сечения и только после этого принять рациональное положение сечения балки и проверить ее прочность и жесткость

Геометрические характеристики швеллера № 22

Эпюра изгибающих моментов от поперечной силы показана на рис. 9.11, б. Максимальная ордината эпюры в середине пролета

Деформированная схема балки показана на рис. 9.11, в. Рассмотрим первый вариант расположения сечения (рис. 9.11, г). Вычислим геометрические характеристики сечения относительно главных центральных осей:

площадь

момент сопротивления

моменты инерции

радиусы инерции

гибкость балки

Заметим, что по условию закрепления концов балки коэффициент

Анализируя значения гибкостей балки (можно также и моментов инерции сечения) видим, что гибкость относительно оси Y больше, чем относительно оси X. Значит, потеря устойчивости возможна относительно оси Y, в направлении оси X.

Для

по таблице коэффициент продольного изгиба

Наибольшее допустимое значение сжимающей продольной силы из условия устойчивости (9.8) будет

Рассмотрим второй вариант расположения сечения (рис. 9.11,д). Геометрические характеристики сечения:

Для

коэффициент

Наибольшая допустимая продольная сила

Рассмотрим третий вариант расположения сечения (рис. 9.11, ё). Геометрические характеристики сечения:

Для

коэффициент Наибольшая допустимая продольная сила

Из результатов вычислений следует, что: для продольной сжимающей силы F рациональными будут варианты 2 и 3, так как допускаемая нагрузка для них большая, чем в варианте 1;

для поперечной силы q рациональным будут варианты 1 и 2, поскольку момент сопротивления

в этих случаях больший, чем в варианте 3;

для дальнейшего расчета принимаем расположение сечения балки по варианту 2, при котором будет наибольшая сопротивляемость как поперечному, так и продольному изгибу.

Проверим жесткость балки в принятом варианте расположения сечения.

Максимальный прогиб будет в середине пролета балки (см. рис. 9.11, в).

Прогиб от поперечной нагрузки

Эйлерова сила

Полный прогиб балки

Так как полный прогиб 1,425 см меньше допустимого

жесткость балки обеспечена.

Проверим прочность балки от совместного действия поперечной и продольной нагрузок.

Максимальный изгибающий момент в балке

Максимальное нормальное напряжение в балке

Перенапряжение в балке составляет 1,71 %, что допустимо. Таким образом, положение сечения балки по варианту 2 удовлетворяет требованиям по жесткости и прочности.

Сопромат статически определимые и статически неопределимые системы

В сопромате система называется статически определимой, если число неизвестных в ней равно числу полезных уравнений равновесия.

Для всякой пространственной системы сил (рис. 1.12, а) можно составить систему из 6-и уравнений равновесия и, решив ее, найти 6 неизвестных сил. Однако среди этих уравнений могут быть тождества, обращающиеся в нуль при любых значениях нагрузок. Это бесполезные уравнения и, следовательно, число неизвестных сил должно быть равно числу уравнений минус число тождеств.

Для произвольной плоской системы сил (рис. 1.12, б) можно составить 3 уравнения, не являющихся тождествами, например, сумму проекций всех сил на 2 любые оси и одну сумму моментов всех сил, относительно какой-либо точки.

Для плоской системы сходящихся сил (рис.1.12, в) можно составить лишь 2 уравнения, не являющихся тождествами. Сумма моментов всех сил относительно точки их пересечения тождественно равна нулю. Из 2-х уравнений (любых) можно определить лишь 2 неизвестные силы.

Для плоской системы параллельных сил (рис.1.12, г) бесполезной оказывается сумма проекций на ось, перпендикулярную силам. Соответственно из 2-х любых уравнений равновесия можно найти лишь 2 неизвестные силы.

Для системы коллинеарных сил (действующих вдоль одной прямой линии) (рис. 1.12, д) можно составить лишь одно полезное уравнение — сумму проекций всех сил на эту прямую, которая равна просто сумме сил.

Система называется статически неопределимой, если число неизвестных в ней больше числа полезных уравнений равновесия.

Степень статической неопределимости равна разности между числом неизвестных и числом полезных уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости существуют разные способы, которые будут рассмотрены далее. Заметим лишь, что всякая реакция возникает в местах наложения внешних связей (ограничений движения системы). Нет ограничения — нет реакции. Есть ограничение — есть реакция. В то же время любая наложенная связь (любое ограничение движения) позволяет составить дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности перемещений В результате появляется возможность сделать число уравнений равным числу неизвестных и решить систему уравнений.

На рис. 1.13 приведены примеры различных систем.

Рис. 1.13. Статически определимые и статически неопределимые системы

Схема а) — стержень недостаточно закреплен, он может свободно вращаться под действием силы. Это механизм. Такие задачи требуют учета сил инерции и рассматриваются в курсе теории машин и механизмов.

Схема б) — система из 2-х стержней статически-определимая, два усилия в 2-х стержнях определяются из 2-х уравнений равновесия.

Схема в) — система из трех стержней 1 раз статически-неопределима: неизвестных усилий — 3, полезных уравнений равновесия—2, степень статической неопределимости 3-2=1.

Схема г) — система 3 раза статически-неопределима: неизвестных усилий — 5, полезных уравнений равновесия—2, степень статической неопределимости 5-2=3.

При большом количестве опор и шарниров определить степень статической неопределимости довольно трудно. Проще это сделать следующим образом:

Мысленно отбрасываем связи по одной до тех пор, пока система не превратится в механизм. Верните на место одну связь (любую). Система станет статически определимой. В таком виде число отброшенных связей равно степени статической неопределимости системы.

Решение статически-неопределимых задач в сопромате значительно более сложная и трудоемкая проблема. Практически без использования компьютера можно решить лишь 2 — 3 раза cтатически — неопределимые задачи.

Уравнения равновесия твёрдого тела (Лекция 3)

Пусть О – начало координат; – результирующая сила; – момент результирующей пары. Пусть точка О1 – новый центр приведения (рис.15).

Рис.15.

и : .

Новая система сил:

Заметим:

При изменении точки приведения => меняется только (в одну сторону с одним знаком, в другую – с другим). То есть точка: совпадают линии и

Аналитически: (колинеарность векторов)

Или:

; координаты точки О1.

Рис.16.

Это уравнение прямой линии, для всех точек которой направление результирующего вектора совпадает с направлением момента результирующей пары – прямая называется динамой.

Если на оси динамы => , то система эквивалентна одной результирующей силе, которую называют равнодействующей силой системы. При этом всегда , то есть .

Четыре случая приведения сил:

1.) ; — динама.

2.) ; — равнодействующая.

3.) ; — пара.

4.) ; — равновесие.

Два векторных уравнения равновесия: главный вектор и главный момент равны нулю , .

Или шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовые оси координат:

Здесь:

Сложность вида уравнений зависит от выбора точки приведения => искусство расчётчика.

Нахождение условий равновесия системы твёрдых тел, находящихся во взаимодействии задача о равновесии каждого тела в отдельности, причём на тело действуют внешние силы и силы внутренние (взаимодействие тел в точках соприкосновения с равными и противоположно направленными силами – аксиома IV, рис.17).

Выберем для всех тел системы один центр приведения. Тогда для каждого тела с номером условия равновесия:

, , ( = 1, 2, …, k)

где , — результирующая сила и момент результирующей пары всех сил, кроме внутренних реакций.

, — результирующая сила и момент результирующей пары сил внутренних реакций.

Формально суммируя по и учитывая по IV аксиоме

получаем необходимые условия равновесия твёрдого тела:

Пример.

Равновесие: = ?

Рис.18.

Контрольные вопросы:

1. Назовите все случаи приведения системы сил к одной точке.

2. Что такое динама?

3. Сформулируйте необходимые условия равновесия системы твёрдых тел.

Дальше…

Метод сечений (сопромат)

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой упругости или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений.

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N — продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Вычисление продольной и поперечных сил, крутящего и изгибающих моментов

продольная сила N равна сумме проекций всех сил (активных и реактивных), действующих на любую из частей рассеченного стержня, на ось z;

поперечные силы равны сумме проекций всех сил, действующих на любую из частей стержня, на оси x и y, соответственно;

крутящий момент равен сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно продольной оси z;

изгибающие моменты равны сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно осей x и y, соответственно.

Метод сечений в сопротивлении материалов. Внутренние и внешние силовые факторы. Напряжение.

Сопротивление материалов

Метод сечений. Напряжения

Сущность метода сечений

Для расчетов элементов конструкции на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате приложения внешних сил в разных точках и частях конструкции.
Но как заглянуть внутрь материального тела, чтобы выяснить, какие же силы возникают между его частицами или отдельными частями, при приложении нагрузок? Представление о внутренних усилиях, возникающих в теле или элементе конструкции можно получить лишь с помощью воображения и аксиом статики, поясняющих условия равновесного состояния материальных тел.
Способы определения этих внутренних сил с помощью науки сопротивление материалов включают такой прием, как метод сечений.

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).
При применении этого метода выгоднее отбрасывать ту часть элемента конструкции (тела), для которой проще составить уравнение равновесия. Таким образом, появляется возможность определить внутренние силовые факторы в сечении, благодаря которым оставшаяся часть тела находится в равновесии (прием, часто применяемый в Статике).

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, невозможно найти закон распределения внутренних сил по сечению, но можно определить статические эквиваленты этих сил (равнодействующие силовые факторы).
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус, рассмотрим, какие статические эквиваленты внутренних сил проявляются в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а-а, будут главный вектор F_гл, приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент М_гл = М_и, уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси и лежащую в плоскости сечения. Эти составляющие главного вектора и главный момент называют внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса. Составляющую N называют продольной силой, составляющую Q – поперечной силой, пару сил с моментом М_и – изгибающим моментом.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов применим известные из Статики уравнения равновесия оставленной части бруса:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 2), для определения которых применяют известные из Статики шесть уравнений равновесия оставленной части бруса:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ M_x = 0; Σ M_y = 0; Σ M_z = 0.

Эти силовые факторы в общем случае носят следующие названия: N – продольная сила, Q_x, Q_y – поперечные силы, М_кр – крутящий момент, М_ихи М_иу – изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные силовые факторы.
Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N. Это деформация растяжения (если N направлена от сечения) или сжатия (если N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q. Это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент М_кр. Это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_и. Это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_и и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и продольная сила), то имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

***

Напряжение

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение (обозначается р).
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении, и определяется, как отношение величины внутренней силы к площади сечения.
Напряжение является величиной векторной.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие (рис. 3) – одну вдоль оси сечения, вторую – в плоскости сечения (перпендикулярно оси). Эти составляющие носят название нормальное напряжение (обозначается σ) и касательное напряжение (обозначается τ).
Поскольку нормальные и касательные напряжения расположены под прямым углом друг к другу, модуль полного напряжения p можно определить по теореме Пифагора:

р² = σ² + τ²

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).
1 Па = Н / м². Поскольку эта единица очень мала, в расчетах часто применяют более крупную кратную единицу – мегапаскаль (МПа), который равен миллиону паскалей (10⁶ Па).

Объяснить сущность напряжения можно на таком простом примере.
В соответствии с гипотезой об отсутствии первоначальных внутренних усилий, считается, что когда к телу не приложены внешние нагрузки его частицы не взаимодействуют друг с другом, т. е. абсолютно равнодушны к «соседкам» справа, слева и т. п. Но стоит приложить к телу внешнюю нагрузку, его частицы начинают лихорадочно цепляться друг за друга, пытаясь удержаться в «кучке». Если нагрузка растягивает тело, его частицы держатся друг за дружку, не давая разорвать тело, если нагрузка сжимающая — частицы тела стараются удержать «соседок» на прежнем расстоянии.
Совокупность всех этих усилий внутренних частиц, противостоящих внешним раздражителям-нагрузкам, и является напряжением.
Задачи сопромата чаще всего сводятся к тому, чтобы определить предельные величины нагрузок, способных разорвать связи между частицами, из которых состоит тело или, по известным предельным напряжениям определить, какие нагрузки способно выдержать тело не разрушаясь, не деформируясь и т. д.

Нетрудно заметить, что напряжение измеряется в тех же единицах, что и давление, поэтому можно провести некоторую аналогию между этими физическими понятиями. Принципиальная разница заключается в том, что давление — внешний силовой фактор (т. е. воздействующий на тело или его части извне), а напряжение — внутренний силовой фактор, характеризующий степень взаимодействия (взаимосвязи) частиц тела между собой.

***

Правила построения эпюр

Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильный вариант ответа	3	2	3	2	2	3	1	2	1	2

Сопротивление и удельное сопротивление | Физика II

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Объясните понятие удельного сопротивления.
Используйте удельное сопротивление для расчета сопротивления материалов указанной конфигурации.
Используйте термический коэффициент удельного сопротивления для расчета изменения сопротивления в зависимости от температуры.

Зависимость сопротивления от материала и формы

Сопротивление объекта зависит от его формы и материала, из которого он сделан.Цилиндрический резистор на Рисунке 1 легко анализировать, и таким образом мы можем получить представление о сопротивлении более сложных форм. Как и следовало ожидать, электрическое сопротивление цилиндра R прямо пропорционально его длине L , подобно сопротивлению трубы потоку жидкости. Чем длиннее цилиндр, тем больше зарядов соударяется с его атомами. Чем больше диаметр цилиндра, тем больше тока он может пропускать (опять же, как поток жидкости по трубе).Фактически, R обратно пропорционален площади поперечного сечения цилиндра A .

Рис. 1. Однородный цилиндр длиной L и площадью поперечного сечения A. Его сопротивление потоку тока аналогично сопротивлению, которое труба оказывает потоку жидкости. Чем длиннее цилиндр, тем больше его сопротивление. Чем больше площадь его поперечного сечения A, тем меньше его сопротивление.

Для данной формы сопротивление зависит от материала, из которого состоит объект.Различные материалы обладают разным сопротивлением потоку заряда. Мы определяем удельное сопротивление ρ вещества так, чтобы сопротивление R объекта было прямо пропорционально ρ . Удельное сопротивление ρ является внутренним свойством материала, независимо от его формы или размера. Сопротивление R однородного цилиндра длиной L , площадью поперечного сечения A , изготовленного из материала с удельным сопротивлением ρ , составляет

[латекс] R = \ frac {\ rho L} {A} \\ [/ латекс].

В таблице 1 приведены репрезентативные значения ρ . Материалы, перечисленные в таблице, разделены на категории проводников, полупроводников и изоляторов на основе широких групп удельных сопротивлений. У проводников наименьшее удельное сопротивление, а у изоляторов наибольшее; полупроводники имеют промежуточное удельное сопротивление. Проводники имеют различную, но большую плотность свободных зарядов, тогда как большинство зарядов в изоляторах связаны с атомами и не могут двигаться. Полупроводники являются промежуточными, имеют гораздо меньше свободных зарядов, чем проводники, но обладают свойствами, из-за которых количество свободных зарядов сильно зависит от типа и количества примесей в полупроводнике.Эти уникальные свойства полупроводников находят применение в современной электронике, о чем мы поговорим в следующих главах.

**Таблица 1. Удельное сопротивление ρ различных материалов при 20º C**
Материал	Удельное сопротивление ρ ( Ом м )
Проводники
Серебро	1. 59 × 10 ⁻⁸
Медь	1.72 × 10 ⁻⁸
Золото	2. 44 × 10 ⁻⁸
Алюминий	2. 65 × 10 ⁻⁸
Вольфрам	5. 6 × 10 ⁻⁸
Утюг	9. 71 × 10 ⁻⁸
Платина	10. 6 × 10 ⁻⁸
Сталь	20 × 10 ⁻⁸
Свинец	22 × 10 ⁻⁸
Манганин (сплав Cu, Mn, Ni)	44 × 10 ⁻⁸
Константан (сплав Cu, Ni)	49 × 10 ⁻⁸
Меркурий	96 × 10 ⁻⁸
Нихром (сплав Ni, Fe, Cr)	100 × 10 ⁻⁸
Полупроводники
Углерод (чистый)	3.5 × 10 ⁵
Углерод	(3,5 — 60) × 10 ⁵
Германий (чистый)	600 × 10 ⁻³
Германий	(1−600) × 10 ⁻³
Кремний (чистый)	2300
Кремний	0,1–2300
Изоляторы
Янтарь	5 × 10 ¹⁴
Стекло	10 ⁹ — 10 ¹⁴
Люцит	> 10 ¹³
Слюда	10 ¹¹ — 10 ¹⁵
Кварц (плавленый)	75 × 10 ¹⁶
Резина (твердая)	10 ¹³ — 10 ¹⁶
Сера	10 ¹⁵
тефлон	> 10 ¹³
Дерево	10 ⁸ — 10 ¹¹

Пример 1.Расчет диаметра резистора: нить накала фары

Нить накала автомобильной фары изготовлена из вольфрама и имеет сопротивление холоду 0,350 Ом. Если нить представляет собой цилиндр длиной 4,00 см (ее можно свернуть в бухту для экономии места), каков ее диаметр?

Стратегия

Мы можем переписать уравнение [латекс] R = \ frac {\ rho L} {A} \\ [/ latex], чтобы найти площадь поперечного сечения A нити на основе данной информации. Тогда его диаметр можно определить, предположив, что он имеет круглое поперечное сечение.{-5} \ text {m} \ end {array} \\ [/ latex].

Обсуждение

Диаметр чуть меньше десятой миллиметра. Он состоит только из двух цифр, потому что ρ известен только из двух цифр.

Температурное изменение сопротивления

Удельное сопротивление всех материалов зависит от температуры. Некоторые даже становятся сверхпроводниками (нулевое сопротивление) при очень низких температурах. (См. Рисунок 2.)

Рис. 2. Сопротивление образца ртути равно нулю при очень низких температурах — это сверхпроводник примерно до 4.2 К. Выше этой критической температуры его сопротивление резко возрастает, а затем увеличивается почти линейно с температурой.

И наоборот, удельное сопротивление проводников увеличивается с повышением температуры. Поскольку атомы колеблются быстрее и на больших расстояниях при более высоких температурах, электроны, движущиеся через металл, совершают больше столкновений, эффективно увеличивая удельное сопротивление. При относительно небольших изменениях температуры (около 100 ° C или меньше) удельное сопротивление ρ изменяется с изменением температуры Δ T , как выражено в следующем уравнении

ρ = ρ ₀ (1 + α Δ T ),

, где ρ ₀ — исходное удельное сопротивление, а α — температурный коэффициент удельного сопротивления .(См. Значения α в Таблице 2 ниже.) Для более значительных изменений температуры α может изменяться, или может потребоваться нелинейное уравнение, чтобы найти ρ . Обратите внимание, что α положителен для металлов, что означает, что их удельное сопротивление увеличивается с температурой. Некоторые сплавы были разработаны специально, чтобы иметь небольшую температурную зависимость. Например, у манганина (который состоит из меди, марганца и никеля) α близко к нулю (до трех цифр на шкале в Таблице 2), и поэтому его удельное сопротивление незначительно изменяется с температурой.Это полезно, например, для создания не зависящего от температуры эталона сопротивления.

**Таблица 2. Температурные коэффициенты удельного сопротивления α**
Материал	Коэффициент (1 / ° C)
Проводники
Серебро	3,8 × 10 ⁻³
Медь	3,9 × 10 ⁻³
Золото	3.4 × 10 ⁻³
Алюминий	3,9 × 10 ⁻³
Вольфрам	4,5 × 10 ⁻³
Утюг	5,0 × 10 ⁻³
Платина	3,93 × 10 ⁻³
Свинец	3,9 × 10 ⁻³
Манганин (сплав Cu, Mn, Ni)	0,000 × 10 ⁻³
Константан (сплав Cu, Ni)	0.002 × 10 ⁻³
Меркурий	0,89 × 10 ⁻³
Нихром (сплав Ni, Fe, Cr)	0,4 × 10 ⁻³
Полупроводники
Углерод (чистый)	−0,5 × 10 ⁻³
Германий (чистый)	−50 × 10 ⁻³
Кремний (чистый)	−70 × 10 ⁻³

Обратите внимание, что α отрицателен для полупроводников, перечисленных в таблице 2, что означает, что их удельное сопротивление уменьшается с повышением температуры.Они становятся лучшими проводниками при более высоких температурах, потому что повышенное тепловое перемешивание увеличивает количество свободных зарядов, доступных для переноса тока. Это свойство уменьшения ρ с температурой также связано с типом и количеством примесей, присутствующих в полупроводниках. Сопротивление объекта также зависит от температуры, поскольку R ₀ прямо пропорционально ρ . Для цилиндра мы знаем, что R = ρL / A , и поэтому, если L и A не сильно изменяются с температурой, R будет иметь такую же температурную зависимость, как ρ .(Исследование коэффициентов линейного расширения показывает, что они примерно на два порядка меньше типичных температурных коэффициентов удельного сопротивления, поэтому влияние температуры на L и A примерно на два порядка меньше, чем на ρ .) Таким образом,

R = R ₀ (1 + α Δ T )

— это температурная зависимость сопротивления объекта, где R ₀ — исходное сопротивление, а R — сопротивление после изменения температуры Δ T .Многие термометры основаны на влиянии температуры на сопротивление. (См. Рис. 3.) Одним из наиболее распространенных является термистор, полупроводниковый кристалл с сильной температурной зависимостью, сопротивление которого измеряется для определения его температуры. Устройство небольшое, поэтому быстро приходит в тепловое равновесие с той частью человека, к которой прикасается.

Рис. 3. Эти знакомые термометры основаны на автоматическом измерении сопротивления термистора в зависимости от температуры.(Источник: Biol, Wikimedia Commons)

Пример 2. Расчет сопротивления: сопротивление горячей нити

Хотя следует соблюдать осторожность при применении ρ = ρ ₀ (1 + α Δ T ) и R = R ₀ (1 + α Δ T ). ) для изменений температуры более 100 ° C, для вольфрама уравнения достаточно хорошо работают при очень больших изменениях температуры. Каково же сопротивление вольфрамовой нити в предыдущем примере, если ее температура повышается с комнатной температуры (20ºC) до типичной рабочей температуры 2850ºC?

Стратегия

Это прямое приложение R = R ₀ (1 + α Δ T ), поскольку исходное сопротивление нити было задано равным R ₀ = 0.{-3} / º \ text {C} \ right) \ left (2830º \ text {C} \ right) \ right] \\ & = & {4.8 \ Omega} \ end {array} \\ [/ latex] .

Обсуждение

Это значение согласуется с примером сопротивления фары в Законе Ома: сопротивление и простые цепи.

Исследования PhET: сопротивление в проводе

Узнайте о физике сопротивления в проводе. Измените его удельное сопротивление, длину и площадь, чтобы увидеть, как они влияют на сопротивление провода. Размеры символов в уравнении меняются вместе со схемой провода.

Щелкните, чтобы запустить моделирование.

Сводка раздела

Сопротивление R цилиндра длиной L и площадью поперечного сечения A составляет [латекс] R = \ frac {\ rho L} {A} \ [/ латекс], где ρ — удельное сопротивление материала.
Значения ρ в таблице 1 показывают, что материалы делятся на три группы — проводников, полупроводников и изоляторов .
Температура влияет на удельное сопротивление; при относительно небольших изменениях температуры Δ T удельное сопротивление равно [латекс] \ rho = {\ rho} _ {0} \ left (\ text {1} + \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex], где ρ ₀ — исходное удельное сопротивление, а [латекс] \ text {\ alpha} [/ latex] — температурный коэффициент удельного сопротивления.
В таблице 2 приведены значения для α , температурного коэффициента удельного сопротивления.
Сопротивление R объекта также зависит от температуры: [латекс] R = {R} _ {0} \ left (\ text {1} + \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex], где R ₀ — исходное сопротивление, а R — сопротивление после изменения температуры.

Концептуальные вопросы

1. В каком из трех полупроводниковых материалов, перечисленных в таблице 1, примеси дают свободные заряды? (Подсказка: изучите диапазон удельного сопротивления для каждого из них и определите, имеет ли чистый полупроводник большую или меньшую проводимость.)

2. Зависит ли сопротивление объекта от пути тока, проходящего через него? Рассмотрим, например, прямоугольный стержень — одинаково ли его сопротивление по длине и по ширине? (См. Рисунок 5.)

Рис. 5. Встречается ли ток, проходящий по двум разным путям через один и тот же объект, с разным сопротивлением?

3. Если алюминиевый и медный провода одинаковой длины имеют одинаковое сопротивление, какой из них имеет больший диаметр? Почему?

4. Объясните, почему [латекс] R = {R} _ {0} \ left (1+ \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex] для температурного изменения сопротивления R объекта равен не так точен, как [латекс] \ rho = {\ rho} _ {0} \ left ({1} + \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex], что дает температурное изменение удельного сопротивления ρ .

Задачи и упражнения

1. Каково сопротивление отрезка медного провода 12-го калибра длиной 20,0 м и диаметром 2,053 мм?

2. Диаметр медного провода нулевого сечения — 8,252 мм. Найдите сопротивление такого провода длиной 1,00 км, используемого для передачи энергии.

3. Если вольфрамовая нить диаметром 0,100 мм в лампочке должна иметь сопротивление 0,200 Ом при 20 ° C, какой длины она должна быть?

4. Найдите отношение диаметра алюминиевого провода к медному, если они имеют одинаковое сопротивление на единицу длины (как в бытовой электропроводке).

5. Какой ток протекает через стержень из чистого кремния диаметром 2,54 см и длиной 20,0 см при приложении к нему 1,00 × 10 ³ В? (Такой стержень может быть использован, например, для изготовления детекторов ядерных частиц.)

6. (a) До какой температуры нужно нагреть медный провод, изначально равный 20,0 ° C, чтобы удвоить его сопротивление, не обращая внимания на любые изменения в размерах? (б) Происходит ли это в бытовой электропроводке при обычных обстоятельствах?

7. Резистор из нихромовой проволоки используется там, где его сопротивление не может изменяться более чем на 1.00% от его значения при 20,0ºC. В каком температурном диапазоне его можно использовать?

8. Из какого материала изготовлен резистор, если его сопротивление на 40,0% больше при 100 ° C, чем при 20,0 ° C?

9. Электронное устройство, предназначенное для работы при любой температуре в диапазоне от –10,0 ° C до 55,0 ° C, содержит резисторы из чистого углерода. В какой степени их сопротивление увеличивается в этом диапазоне?

10. (a) Из какого материала сделана проволока, если она имеет длину 25,0 м, диаметр 0,100 мм и сопротивление 77.7 Ом при 20,0 ° C? (б) Каково его сопротивление при 150 ° C?

11. При условии постоянного температурного коэффициента удельного сопротивления, каков максимальный процент уменьшения сопротивления константановой проволоки, начиная с 20,0 ° C?

12. Через матрицу протягивают проволоку, растягивая ее в четыре раза по сравнению с исходной длиной. По какому фактору увеличивается его сопротивляемость?

13. Медный провод имеет сопротивление 0,500 Ом при 20,0 ° C, а железный провод имеет сопротивление 0,525 Ом при той же температуре.При какой температуре их сопротивления равны?

14. (a) Цифровые медицинские термометры определяют температуру путем измерения сопротивления полупроводникового устройства, называемого термистором (который имеет α = –0,0600 / ºC), когда он находится при той же температуре, что и пациент. Какова температура пациента, если сопротивление термистора при этой температуре составляет 82,0% от его значения при 37,0 ° C (нормальная температура тела)? (b) Отрицательное значение для α не может сохраняться при очень низких температурах.Обсудите, почему и так ли здесь. (Подсказка: сопротивление не может стать отрицательным.)

15. Integrated Concepts (a) Повторите упражнение 2 с учетом теплового расширения вольфрамовой нити. Вы можете принять коэффициент теплового расширения 12 × 10 ⁻⁶ / ºC. б) На какой процент ваш ответ отличается от приведенного в примере?

16. Необоснованные результаты (a) До какой температуры необходимо нагреть резистор из константана, чтобы удвоить его сопротивление, при условии постоянного температурного коэффициента удельного сопротивления? б) разрезать пополам? (c) Что необоснованного в этих результатах? (d) Какие предположения необоснованны или какие посылки несовместимы?

Сноски

1 Значения сильно зависят от количества и типа примесей
2 значения при 20 ° C.

Глоссарий

удельное сопротивление:: внутреннее свойство материала, независимо от его формы или размера, прямо пропорциональное сопротивлению, обозначаемое как ρ

температурный коэффициент удельного сопротивления:: эмпирическая величина, обозначаемая α , которая описывает изменение сопротивления или удельного сопротивления материала при температуре

Избранные решения проблем и упражнения

1.0,104 Ом

3. 2,8 × 10 ⁻² м

5. 1,10 × 10 ⁻³ A

7. от −5ºC до 45ºC

9. 1.03

11. 0,06%

13. −17ºC

15. (a) 4,7 Ом (всего) (b) уменьшение на 3,0%

Учебное пособие по физике: Комбинированные схемы

Ранее в Уроке 4 упоминалось, что существует два разных способа соединения двух или более электрических устройств в цепь. Они могут быть соединены посредством последовательного или параллельного соединения.Когда все устройства в цепи соединены последовательным соединением, эта схема называется последовательной схемой. Когда все устройства в цепи соединены параллельными соединениями, тогда схема называется параллельной цепью. Третий тип схемы предполагает двойное использование последовательного и параллельного соединений в схеме; такие схемы называются составными схемами или комбинированными схемами. Схема, изображенная справа, является примером использования как последовательного, так и параллельного соединения в одной и той же цепи.В этом случае лампочки A и B подключаются параллельно, а лампочки C и D подключаются последовательно. Это пример комбинированной схемы .

При анализе комбинированных цепей критически важно иметь твердое понимание концепций, относящихся как к последовательным цепям, так и к параллельным цепям. Поскольку оба типа соединений используются в комбинированных схемах, концепции, связанные с обоими типами схем, применяются к соответствующим частям схемы.Основные понятия, связанные с последовательными и параллельными цепями, представлены в таблице ниже.

Цепи серии

Ток одинаков на всех резисторах; этот ток равен току в батарее.
Сумма падений напряжения на отдельных резисторах равна номинальному напряжению батареи.
Общее сопротивление набора резисторов равно сумме отдельных значений сопротивлений,

R _до = ₁ + R ₂ + R ₃ +…

Параллельные схемы

Падение напряжения одинаково на каждой параллельной ветви.
Сумма тока в каждой отдельной ветви равна току вне ветвей.
Эквивалентное или полное сопротивление набора резисторов определяется уравнением 1 / R _экв. = 1 / R ₁ + 1 / R ₂ + 1 / R ₃ …

Каждое из вышеперечисленных понятий имеет математическое выражение.Комбинирование математических выражений вышеуказанных понятий с уравнением закона Ома (ΔV = I • R) позволяет провести полный анализ комбинированной схемы.

Анализ комбинированных схем

Основная стратегия анализа комбинированных схем включает использование значения эквивалентного сопротивления для параллельных ветвей для преобразования комбинированной схемы в последовательную. После преобразования в последовательную схему анализ можно проводить обычным образом.Ранее в Уроке 4 описывался метод определения эквивалентного параллельного сопротивления, затем общее или эквивалентное сопротивление этих ветвей равно сопротивлению одной ветви, деленному на количество ветвей.

Этот метод соответствует формуле

1 / R _экв. = 1 / R ₁ + 1 / R ₂ + 1 / R ₃ + …

, где R ₁, R ₂ и R ₃ — значения сопротивления отдельных резисторов, подключенных параллельно.Если два или более резистора, находящиеся в параллельных ветвях, не имеют одинакового сопротивления, необходимо использовать приведенную выше формулу. Пример этого метода был представлен в предыдущем разделе Урока 4.

Применяя свое понимание эквивалентного сопротивления параллельных ветвей к комбинированной схеме, комбинированную схему можно преобразовать в последовательную. Затем понимание эквивалентного сопротивления последовательной цепи можно использовать для определения общего сопротивления цепи.Рассмотрим следующие диаграммы ниже. Схема A представляет собой комбинированную схему с резисторами R ₂ и R ₃, размещенными в параллельных ветвях. Два параллельных резистора 4 Ом эквивалентны сопротивлению 2 Ом. Таким образом, две ветви можно заменить одним резистором с сопротивлением 2 Ом. Это показано на диаграмме B. Теперь, когда все резисторы включены последовательно, можно использовать формулу для общего сопротивления последовательных резисторов для определения общего сопротивления этой цепи: Формула для последовательного сопротивления составляет

. R _до = ₁ + R ₂ + R ₃ +…

Итак, на схеме B полное сопротивление цепи составляет 10 Ом.

После определения общего сопротивления цепи анализ продолжается с использованием закона Ома и значений напряжения и сопротивления для определения значений тока в различных местах. Весь метод проиллюстрирован ниже на двух примерах.

Пример 1:

Первый пример — самый простой — резисторы, включенные параллельно, имеют одинаковое сопротивление.Цель анализа — определить ток и падение напряжения на каждом резисторе.

Как обсуждалось выше, первым шагом является упрощение схемы путем замены двух параллельных резисторов одним резистором с эквивалентным сопротивлением. Два последовательно подключенных резистора 8 Ом эквивалентны одному резистору 4 Ом. Таким образом, два резистора ответвления (R ₂ и R ₃) можно заменить одним резистором с сопротивлением 4 Ом. Этот резистор 4 Ом включен последовательно с R ₁ и R ₄.Таким образом, общее сопротивление составляет

. R _до = R ₁ + 4 Ом + R ₄ = 5 Ом + 4 Ом + 6 Ом

R _общ = 15 Ом

Теперь уравнение закона Ома (ΔV = I • R) можно использовать для определения полного тока в цепи. При этом необходимо использовать общее сопротивление и общее напряжение (или напряжение батареи).

I _общ = ΔV _общ / R _общ = (60 В) / (15 Ом)

I _до = 4 А

Расчет тока 4 А представляет собой ток в месте расположения батареи.При этом резисторы R ₁ и R ₄ включены последовательно, а ток в последовательно соединенных резисторах везде одинаков. Таким образом,

I _до = I ₁ = I ₄ = 4 А

Для параллельных ветвей сумма тока в каждой отдельной ветви равна току вне ветвей. Таким образом, I ₂ + I ₃ должно равняться 4 ампер. Существует бесконечное количество возможных значений I ₂ и I ₃, которые удовлетворяют этому уравнению.Поскольку значения сопротивления равны, значения тока в этих двух резисторах также равны. Следовательно, ток в резисторах 2 и 3 равен 2 А.

I ₂ = I ₃ = 2 А

Теперь, когда известен ток в каждом отдельном месте резистора, можно использовать уравнение закона Ома (ΔV = I • R) для определения падения напряжения на каждом резисторе. Эти расчеты показаны ниже.

ΔV ₁ = I ₁ • R ₁ = (4 А) • (5 Ом)
ΔV ₁ = 20 В
ΔV ₂ = I ₂ • R ₂ = (2 А) • (8 Ом)
ΔV ₂ = 16 В
ΔV ₃ = I ₃ • R ₃ = (2 А) • (8 Ом)
ΔV ₃ = 16 В
ΔV ₄ = I ₄ • R ₄ = (4 А) • (6 Ом)
ΔV ₄ = 24 В

На этом анализ завершен, и его результаты представлены на диаграмме ниже.

Пример 2:

Второй пример — более сложный случай — резисторы, включенные параллельно, имеют другое значение сопротивления. Цель анализа та же — определить ток и падение напряжения на каждом резисторе.

Как обсуждалось выше, первым шагом является упрощение схемы путем замены двух параллельных резисторов одним резистором с эквивалентным сопротивлением.Эквивалентное сопротивление резистора 4 Ом и 12 Ом, включенного параллельно, можно определить, используя обычную формулу для эквивалентного сопротивления параллельных ветвей:

1 / R _экв = 1 / R ₁ + 1 / R ₂ + 1 / R ₃ …

1 / R _экв = 1 / (4 Ом) + 1 / (12 Ом)

1 / R _экв. = 0,333 Ом ^-1

R _экв = 1 / (0,333 Ом ^-1)

R _экв = 3.00 Ом

На основании этого расчета можно сказать, что два резистора ответвления (R ₂ и R ₃) можно заменить одним резистором с сопротивлением 3 Ом. Этот резистор 3 Ом включен последовательно с R ₁ и R ₄. Таким образом, общее сопротивление составляет

. R _до = R ₁ + 3 Ом + R ₄ = 5 Ом + 3 Ом + 8 Ом

R _общ = 16 Ом

Теперь уравнение закона Ома (ΔV = I • R) можно использовать для определения полного тока в цепи.При этом необходимо использовать общее сопротивление и общее напряжение (или напряжение батареи).

I _общ = ΔV _общ / R _общ = (24 В) / (16 Ом)

I _до = 1,5 А

Расчет тока 1,5 А представляет собой ток в месте расположения батареи. При этом резисторы R ₁ и R ₄ включены последовательно, а ток в последовательно соединенных резисторах везде одинаков.Таким образом,

I _tot = I ₁ = I ₄ = 1,5 А

Для параллельных ветвей сумма тока в каждой отдельной ветви равна току вне ветвей. Таким образом, I ₂ + I ₃ должно равняться 1,5 А. Существует бесконечное множество значений I ₂ и I ₃, которые удовлетворяют этому уравнению. В предыдущем примере два параллельно включенных резистора имели одинаковое сопротивление; таким образом, ток распределялся поровну между двумя ветвями.В этом примере неравный ток в двух резисторах усложняет анализ. Ветвь с наименьшим сопротивлением будет иметь наибольший ток. Для определения силы тока потребуется использовать уравнение закона Ома. Но для его использования сначала необходимо знать падение напряжения на ветвях. Таким образом, направление решения в этом примере будет немного отличаться от более простого случая, проиллюстрированного в предыдущем примере.

Чтобы определить падение напряжения на параллельных ветвях, сначала необходимо определить падение напряжения на двух последовательно соединенных резисторах (R ₁ и R ₄).Уравнение закона Ома (ΔV = I • R) можно использовать для определения падения напряжения на каждом резисторе. Эти расчеты показаны ниже.

ΔV ₁ = I ₁ • R ₁ = (1,5 А) • (5 Ом)
ΔV ₁ = 7,5 В
ΔV ₄ = I ₄ • R ₄ = (1,5 А) • (8 Ом)
ΔV ₄ = 12 В

Эта схема питается от источника 24 В.Таким образом, совокупное падение напряжения заряда, проходящего по контуру цепи, составляет 24 вольта. Произойдет падение 19,5 В (7,5 В + 12 В) в результате прохождения через два последовательно соединенных резистора (R ₁ и R ₄). Падение напряжения на ответвлениях должно составлять 4,5 В, чтобы компенсировать разницу между общим значением 24 В и падением 19,5 В на R ₁ и R ₄. Таким образом,

ΔV ₂ = V ₃ = 4,5 В

Зная падение напряжения на параллельно соединенных резисторах (R ₁ и R ₄), можно использовать уравнение закона Ома (ΔV = I • R) для определения тока в двух ветвях.

I ₂ = ΔV ₂ / R ₂ = (4,5 В) / (4 Ом)
I ₂ = 1,125 A
I ₃ = ΔV ₃ / R ₃ = (4,5 В) / (12 Ом)
I ₃ = 0,375 A

На этом анализ завершен, и его результаты представлены на диаграмме ниже.

Разработка стратегии

Два приведенных выше примера иллюстрируют эффективную концептуально-ориентированную стратегию анализа комбинированных схем.Подход требовал твердого понимания концепций последовательностей и параллелей, обсуждавшихся ранее. Такие анализы часто проводятся, чтобы решить физическую проблему для указанного неизвестного. В таких ситуациях неизвестное обычно меняется от проблемы к проблеме. В одной задаче значения резистора могут быть заданы, а ток во всех ветвях неизвестен. В другой задаче могут быть указаны ток в батарее и несколько значений резистора, и неизвестная величина становится сопротивлением одного из резисторов.Очевидно, что разные проблемные ситуации потребуют небольших изменений в подходах. Тем не менее, каждый подход к решению проблем будет использовать те же принципы, что и при подходе к двум приведенным выше примерам проблем.

Начинающему студенту предлагаются следующие предложения по решению задач комбинированной схемы:

Если схематическая диаграмма не предоставлена, найдите время, чтобы построить ее. Используйте условные обозначения, такие как те, что показаны в примере выше.
При решении проблемы, связанной с комбинированной схемой, найдите время, чтобы организовать себя, записав известные значения и приравняв их к символу, например I _до, I ₁, R ₃, ΔV ₂ и т. Д. Схема организации, использованная в двух приведенных выше примерах, является эффективной отправной точкой.
Знать и использовать соответствующие формулы для эквивалентного сопротивления последовательно соединенных и параллельно соединенных резисторов. Использование неправильных формул гарантирует неудачу.
Преобразуйте комбинированную схему в строго последовательную, заменив (по вашему мнению) параллельную секцию одним резистором, значение сопротивления которого равно эквивалентному сопротивлению параллельной секции.
Используйте уравнение закона Ома (ΔV = I • R) часто и надлежащим образом. Большинство ответов будет определено с использованием этого уравнения. При его использовании важно подставлять в уравнение соответствующие значения. Например, при вычислении I ₂ важно подставить в уравнение значения ΔV ₂ и R ₂.

Для дальнейшей практики анализа комбинированных схем рассмотрите возможность анализа проблем в разделе «Проверьте свое понимание» ниже.

Мы хотели бы предложить … Зачем просто читать об этом и когда можно с этим взаимодействовать? Взаимодействовать — это именно то, что вы делаете, когда используете одно из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного средства построения цепей постоянного тока.Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Построитель цепей постоянного тока предоставляет учащемуся набор для построения виртуальных цепей. Вы можете легко перетащить источники напряжения, резисторы и провода на рабочее место, а также расположить и подключить их так, как захотите. Вольтметры и амперметры позволяют измерять ток и падение напряжения. Нажатие на резистор или источник напряжения позволяет изменять сопротивление или входное напряжение. Это просто. Это весело. И это безопасно (если вы не используете его в ванне).

Проверьте свое понимание

1. Комбинированная схема показана на схеме справа. Используйте диаграмму, чтобы ответить на следующие вопросы.

а. Ток в точке A равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке B.

г. Ток в точке B равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке E.

г. Ток в точке G равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке F.

г. Ток в точке E равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке G.

e. Ток в точке B равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке F.

ф. Ток в точке A равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке L.

г. Ток в точке H равен _____ (больше, равен, меньше) ток в точке I.

2. Рассмотрим комбинированную схему на схеме справа. Используйте диаграмму, чтобы ответить на следующие вопросы. (Предположим, что падение напряжения в самих проводах пренебрежимо мало.)

а. Разность электрических потенциалов (падение напряжения) между точками B и C составляет _____ (больше, равно, меньше) разности электрических потенциалов (падение напряжения) между точками J и K.

г. Разность электрических потенциалов (падение напряжения) между точками B и K составляет _____ (больше, равно, меньше) разности электрических потенциалов (падение напряжения) между точками D и I.

г. Разность электрических потенциалов (падение напряжения) между точками E и F составляет _____ (больше, равно, меньше) разности электрических потенциалов (падение напряжения) между точками G и H.

e. Разность электрических потенциалов (падение напряжения) между точками J и K составляет _____ (больше, равно, меньше) разности электрических потенциалов (падение напряжения) между точками D и I.

ф. Разность электрических потенциалов между точками L и A составляет _____ (больше, равно, меньше) разности электрических потенциалов (падение напряжения) между точками B и K.

3.Используйте концепцию эквивалентного сопротивления, чтобы определить неизвестное сопротивление идентифицированного резистора, которое сделало бы схемы эквивалентными.

4. Проанализируйте следующую схему и определите значения полного сопротивления, общего тока, а также тока и падения напряжения на каждом отдельном резисторе.

5. Обращаясь к диаграмме в вопросе №4, определите …

а. … номинальная мощность резистора 4.
г. … скорость, с которой энергия потребляется резистором 3.

9.3 Удельное сопротивление и сопротивление — Университетская физика, том 2

9.3 Удельное сопротивление и сопротивление

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Разница между сопротивлением и удельным сопротивлением
Определите термин проводимость
Опишите электрический компонент, известный как резистор
Укажите взаимосвязь между сопротивлением резистора и его длиной, площадью поперечного сечения и удельным сопротивлением.
Укажите взаимосвязь между удельным сопротивлением и температурой

Что движет током? Мы можем думать о различных устройствах, таких как батареи, генераторы, розетки и т. Д., Которые необходимы для поддержания тока.Все такие устройства создают разность потенциалов и называются источниками напряжения. Когда источник напряжения подключен к проводнику, он прикладывает разность потенциалов В, , которая создает электрическое поле. Электрическое поле, в свою очередь, воздействует на свободные заряды, вызывая ток. Величина тока зависит не только от величины напряжения, но и от характеристик материала, через который протекает ток. Материал может сопротивляться потоку зарядов, и мера того, насколько материал сопротивляется потоку зарядов, известна как удельное сопротивление .Это удельное сопротивление грубо аналогично трению между двумя материалами, которые сопротивляются движению.

Удельное сопротивление

Когда к проводнику прикладывается напряжение, создается электрическое поле E → E →, и заряды в проводнике ощущают силу, создаваемую электрическим полем. Полученная плотность тока J → J → зависит от электрического поля и свойств материала. Эта зависимость может быть очень сложной. В некоторых материалах, включая металлы при данной температуре, плотность тока приблизительно пропорциональна электрическому полю.В этих случаях плотность тока можно смоделировать как

где σσ — удельная электропроводность. Электропроводность аналогична теплопроводности и является мерой способности материала проводить или передавать электричество. Проводники имеют более высокую электропроводность, чем изоляторы. Поскольку электропроводность σ = J / Eσ = J / E, единицы равны

σ = [Дж] [Э] = А / м2В / м = АВ · м. σ = [Дж] [Э] = А / м2В / м = АВ · м.

Здесь мы определяем единицу, называемую ом с греческим символом омега в верхнем регистре, ΩΩ.Устройство названо в честь Георга Симона Ома, о котором мы поговорим позже в этой главе. ΩΩ используется, чтобы избежать путаницы с числом 0. Один Ом равен одному вольту на ампер: 1Ω = 1V / A1Ω = 1V / A. Таким образом, единицы электропроводности равны (Ом · м) -1 (Ом · м) -1.

Электропроводность — это внутреннее свойство материала. Другим внутренним свойством материала является удельное сопротивление или удельное электрическое сопротивление. Удельное сопротивление материала — это мера того, насколько сильно материал противостоит прохождению электрического тока.Символ удельного сопротивления — строчная греческая буква ро, ρρ, а удельное сопротивление — величина, обратная удельной электропроводности:

Единицей измерения удельного сопротивления в системе СИ является ом-метр (Ом · м) (Ом · м). Мы можем определить удельное сопротивление через электрическое поле и плотность тока,

Чем больше удельное сопротивление, тем большее поле необходимо для создания заданной плотности тока. Чем ниже удельное сопротивление, тем больше плотность тока, создаваемого данным электрическим полем. Хорошие проводники обладают высокой проводимостью и низким удельным сопротивлением.Хорошие изоляторы обладают низкой проводимостью и высоким удельным сопротивлением. В таблице 9.1 приведены значения удельного сопротивления и проводимости для различных материалов.

Материал	Электропроводность, σσ (Ом · м) −1 (Ом · м) −1	Удельное сопротивление, ρρ (Ом · м) (Ом · м)	Температура Коэффициент, αα (° C) -1 (° C) -1
Проводники
Серебро	6.29 × 1076,29 × 107	1,59 × 10–81,59 × 10–8	0,0038
Медь	5,95 × 1075,95 × 107	1,68 × 10–81,68 × 10–8	0,0039
Золото	4,10 × 1074,10 × 107	2,44 × 10–82,44 × 10–8	0,0034
Алюминий	3,77 × 1073,77 × 107	2,65 × 10–82,65 × 10–8	0,0039
Вольфрам	1,79 × 1071,79 × 107	5.60 × 10–85,60 × 10–8	0,0045
Утюг	1,03 × 1071,03 × 107	9,71 × 10–89,71 × 10–8	0,0065
Платина	0,94 × 1070,94 × 107	10,60 × 10-810,60 × 10-8	0,0039
Сталь	0,50 × 1070,50 × 107	20,00 × 10-820,00 × 10-8
Свинец	0,45 × 1070,45 × 107	22,00 × 10–822,00 × 10–8
Манганин (сплав Cu, Mn, Ni)	0.21 × 1070,21 × 107	48,20 × 10-848,20 × 10-8	0,000002
Константан (сплав Cu, Ni)	0,20 × 1070,20 × 107	49,00 × 10–849,00 × 10–8	0,00003
Меркурий	0,10 × 1070,10 × 107	98,00 × 10-898,00 × 10-8	0,0009
Нихром (сплав Ni, Fe, Cr)	0,10 × 1070,10 × 107	100,00 × 10-8100,00 × 10-8	0,0004
Полупроводники [1]
Углерод (чистый)	2.86 × 1042,86 × 104	3,50 × 10–53,50 × 10–5	-0,0005
Углерод	(2,86–1,67) × 10–6 (2,86–1,67) × 10–6	(3,5-60) × 10-5 (3,5-60) × 10-5	-0,0005
Германий (чистый)		600 × 10-3600 × 10-3	-0,048
Германий		(1-600) × 10-3 (1-600) × 10-3	-0,050
Кремний (чистый)		2300	−0.075
Кремний		0,1−23000,1−2300	-0,07
Изоляторы
Янтарь	2,00 × 10–152,00 × 10–15	5 × 10145 × 1014
Стекло	10−9−10−1410−9−10−14	109−1014109−1014
Люцит	<10-13 <10-13	> 1013> 1013
Слюда	10-11-10-1510-11-10-15	1011−10151011−1015
Кварц (плавленый)	1.33 × 10–181,33 × 10–18	75 × 101675 × 1016
Резина (твердая)	10−13−10−1610−13−10−16	1013−10161013−1016
Сера	10-15 10-15	10151015
Тефлон ^TM	<10-13 <10-13	> 1013> 1013
Дерево	10-8-10-1110-8-10-11	108−1011108−1011

Таблица 9.1 Удельное сопротивление и проводимость различных материалов при 20 ° C [1] Значения сильно зависят от количества и типов примесей.

Материалы, перечисленные в таблице, разделены на категории проводников, полупроводников и изоляторов на основе широких групп удельного сопротивления. У проводников наименьшее удельное сопротивление, а у изоляторов наибольшее; полупроводники имеют промежуточное удельное сопротивление. Проводники имеют разную, но большую плотность свободных зарядов, тогда как большинство зарядов в изоляторах связаны с атомами и не могут двигаться.Полупроводники являются промежуточными, имеют гораздо меньше свободных зарядов, чем проводники, но обладают свойствами, из-за которых количество свободных зарядов сильно зависит от типа и количества примесей в полупроводнике. Эти уникальные свойства полупроводников находят применение в современной электронике, о чем мы поговорим в следующих главах.

Проверьте свое понимание 9,5

Проверьте свое понимание Медные провода обычно используются для удлинителей и домашней электропроводки по нескольким причинам.Медь имеет самый высокий рейтинг электропроводности и, следовательно, самый низкий рейтинг удельного сопротивления среди всех недрагоценных металлов. Также важна прочность на разрыв, где прочность на разрыв является мерой силы, необходимой для того, чтобы подтянуть объект к точке, где он сломается. Прочность материала на разрыв — это максимальная величина растягивающего напряжения, которое он может выдержать перед разрушением. Медь имеет высокий предел прочности на разрыв, 2 × 108 Нм22 × 108 Нм2. Третья важная характеристика — пластичность. Пластичность — это мера способности материала вытягиваться в проволоку и мера гибкости материала, а медь обладает высокой пластичностью.Подводя итог, можно сказать, что проводник является подходящим кандидатом для изготовления проволоки, по крайней мере, с тремя важными характеристиками: низким удельным сопротивлением, высокой прочностью на разрыв и высокой пластичностью. Какие еще материалы используются для электромонтажа и в чем преимущества и недостатки?

Температурная зависимость удельного сопротивления

Вернувшись к таблице 9.1, вы увидите столбец «Температурный коэффициент». Удельное сопротивление некоторых материалов сильно зависит от температуры. В некоторых материалах, таких как медь, удельное сопротивление увеличивается с повышением температуры.Фактически, в большинстве проводящих металлов удельное сопротивление увеличивается с повышением температуры. Повышение температуры вызывает повышенные колебания атомов в структуре решетки металлов, которые препятствуют движению электронов. В других материалах, таких как углерод, удельное сопротивление уменьшается с повышением температуры. Во многих материалах зависимость является приблизительно линейной и может быть смоделирована с помощью линейного уравнения:

ρ≈ρ0 [1 + α (T − T0)], ρ≈ρ0 [1 + α (T − T0)],

9,7

, где ρρ — удельное сопротивление материала при температуре T , αα — температурный коэффициент материала, а ρ0ρ0 — удельное сопротивление при T0T0, обычно принимаемое как T0 = 20.00 ° CT0 = 20,00 ° C.

Отметим также, что температурный коэффициент αα отрицателен для полупроводников, перечисленных в Таблице 9.1, что означает, что их удельное сопротивление уменьшается с увеличением температуры. Они становятся лучшими проводниками при более высоких температурах, потому что повышенное тепловое перемешивание увеличивает количество свободных зарядов, доступных для переноса тока. Это свойство уменьшения ρρ с температурой также связано с типом и количеством примесей, присутствующих в полупроводниках.

Сопротивление

Теперь рассмотрим сопротивление провода или компонента.Сопротивление — это мера того, насколько сложно пропустить ток через провод или компонент. Сопротивление зависит от удельного сопротивления. Удельное сопротивление является характеристикой материала, используемого для изготовления провода или другого электрического компонента, тогда как сопротивление является характеристикой провода или компонента.

Для расчета сопротивления рассмотрим участок токопроводящего провода с площадью поперечного сечения A , длиной L и удельным сопротивлением ρ.ρ. Батарея подключается к проводнику, обеспечивая на нем разность потенциалов ΔVΔV (Рисунок 9.13). Разность потенциалов создает электрическое поле, которое пропорционально плотности тока, согласно E → = ρJ → E → = ρJ →.

Фигура 9,13 Потенциал, обеспечиваемый батареей, прикладывается к сегменту проводника с площадью поперечного сечения A и длиной L .

Величина электрического поля на отрезке проводника равна напряжению, деленному на длину, E = V / LE = V / L, а величина плотности тока равна току, деленному на поперечную площадь сечения, J = I / A.J = I / A. Используя эту информацию и вспоминая, что электрическое поле пропорционально удельному сопротивлению и плотности тока, мы можем видеть, что напряжение пропорционально току:

E = ρJVL = ρIAV = (ρLA) I.E = ρJVL = ρIAV = (ρLA) I.

Сопротивление

Отношение напряжения к току определяется как сопротивление R :

Сопротивление цилиндрического сегмента проводника равно удельному сопротивлению материала, умноженному на длину, разделенную на площадь:

R≡VI = ρLA.R≡VI = ρLA.

9.9

Единицей измерения сопротивления является ом, ΩΩ. Для данного напряжения, чем выше сопротивление, тем ниже ток.

Резисторы

Обычным компонентом электронных схем является резистор. Резистор можно использовать для уменьшения протекания тока или обеспечения падения напряжения. На рисунке 9.14 показаны символы, используемые для резистора в принципиальных схемах цепи. Два широко используемых стандарта для принципиальных схем предоставлены Американским национальным институтом стандартов (ANSI, произносится как «AN-см.») И Международной электротехнической комиссией (IEC).Обе системы обычно используются. Мы используем стандарт ANSI в этом тексте для его визуального распознавания, но отметим, что для более крупных и сложных схем стандарт IEC может иметь более четкое представление, что упрощает чтение.

Фигура 9,14 Обозначения резистора, используемого в принципиальных схемах. (а) символ ANSI; (b) символ IEC.

Зависимость сопротивления от материала и формы

Резистор можно смоделировать как цилиндр с площадью поперечного сечения A и длиной L , изготовленный из материала с удельным сопротивлением ρρ (Рисунок 9.15). Сопротивление резистора R = ρLAR = ρLA.

Фигура 9.15 Модель резистора в виде единого цилиндра длиной L и площадью поперечного сечения A . Его сопротивление потоку тока аналогично сопротивлению трубы потоку жидкости. Чем длиннее цилиндр, тем больше его сопротивление. Чем больше его площадь поперечного сечения A , тем меньше его сопротивление.

Чаще всего для изготовления резистора используется углерод.Углеродная дорожка намотана на керамический сердечник, к нему прикреплены два медных вывода. Второй тип резистора — это металлопленочный резистор, который также имеет керамический сердечник. Дорожка сделана из материала оксида металла, который имеет полупроводниковые свойства, аналогичные углеродным. Опять же, в концы резистора вставляются медные провода. Затем резистор окрашивается и маркируется для идентификации. Резистор имеет четыре цветные полосы, как показано на рисунке 9.16.

Фигура 9,16 Многие резисторы имеют вид, показанный на рисунке выше.Четыре полосы используются для идентификации резистора. Первые две цветные полосы представляют собой первые две цифры сопротивления резистора. Третий цвет — множитель. Четвертый цвет обозначает допуск резистора. Показанный резистор имеет сопротивление 20 × 105 Ом ± 10% 20 × 105 Ом ± 10%.

Сопротивление может быть разным. Некоторые керамические изоляторы, например те, которые используются для поддержки линий электропередач, имеют сопротивление 1012 Ом 10 12 Ом или более. Сопротивление сухого человека может составлять 105 Ом 105 Ом, в то время как сопротивление человеческого сердца составляет около 103 Ом 103 Ом.Кусок медного провода большого диаметра длиной в метр может иметь сопротивление 10-5 Ом10-5 Ом, а сверхпроводники вообще не имеют сопротивления при низких температурах. Как мы видели, сопротивление связано с формой объекта и материалом, из которого он состоит.

Пример 9,5

Плотность тока, сопротивление и электрическое поле для токоведущего провода

Рассчитайте плотность тока, сопротивление и электрическое поле медного провода длиной 5 м и диаметром 2.053 мм (калибр 12), пропускающий ток I = 10 мА I = 10 мА.

Стратегия

Мы можем рассчитать плотность тока, сначала найдя площадь поперечного сечения провода, которая составляет A = 3,31 мм2, A = 3,31 мм2, и определив плотность тока J = IAJ = IA. Сопротивление можно найти, используя длину провода L = 5,00 мл = 5,00 м, площадь и удельное сопротивление меди ρ = 1,68 · 10-8 Ом · м · м · м = 1,68 · 10-8 Ом · м, где R = ρLAR = ρLA. Удельное сопротивление и плотность тока можно использовать для определения электрического поля.

Решение

Сначала рассчитываем плотность тока: J = IA = 10 × 10−3A3.31 × 10−6m2 = 3,02 × 103Am2.J = IA = 10 × 10−3A3,31 × 10−6m2 = 3,02 × 103Am2.

Сопротивление провода

R = ρLA = (1,68 × 10–8 Ом · м) 5,00 м3,31 × 10–6 м2 = 0,025 Ом. R = ρLA = (1,68 × 10–8 Ом · м) 5,00 м3,31 × 10–6 м2 = 0,025 Ом.

Наконец, мы можем найти электрическое поле:

E = ρJ = 1,68 × 10–8 Ом · м (3,02 × 103Am2) = 5,07 × 10–5Vm. E = ρJ = 1,68 × 10–8 Ом · м (3,02 × 103Am2) = 5,07 × 10–5Vm.

Значение

Исходя из этих результатов, неудивительно, что медь используется для проводов, проводящих ток, потому что сопротивление довольно мало. Обратите внимание, что плотность тока и электрическое поле не зависят от длины провода, но напряжение зависит от длины.

Сопротивление объекта также зависит от температуры, поскольку R0R0 прямо пропорционально ρ.ρ. Для цилиндра мы знаем, что R = ρLAR = ρLA, поэтому, если L и A не сильно изменяются с температурой, R имеет ту же температурную зависимость, что и ρ.ρ. (Исследование коэффициентов линейного расширения показывает, что они примерно на два порядка меньше типичных температурных коэффициентов удельного сопротивления, поэтому влияние температуры на L и A примерно на два порядка меньше, чем на ρ.) ρ.) Таким образом,

R = R0 (1 + αΔT) R = R0 (1 + αΔT)

9.10

— это температурная зависимость сопротивления объекта, где R0R0 — исходное сопротивление (обычно принимаемое равным 20,00 ° C) 20,00 ° C), а R — сопротивление после изменения температуры ΔT.ΔT. Цветовой код показывает сопротивление резистора при температуре T = 20,00 ° CT = 20,00 ° C.

Многие термометры основаны на влиянии температуры на сопротивление (рисунок 9.17). Один из наиболее распространенных термометров основан на термисторе, полупроводниковом кристалле с сильной температурной зависимостью, сопротивление которого измеряется для определения его температуры.Устройство небольшое, поэтому быстро приходит в тепловое равновесие с той частью человека, к которой прикасается.

Фигура 9,17 Эти знакомые термометры основаны на автоматическом измерении сопротивления термистора в зависимости от температуры.

Пример 9,6

Расчет сопротивления

Хотя следует соблюдать осторожность при применении ρ = ρ0 (1 + αΔT), ρ = ρ0 (1 + αΔT) и R = R0 (1 + αΔT) R = R0 (1 + αΔT) для температурных изменений более 100 ° C 100 ° C , для вольфрама уравнения достаточно хорошо работают при очень больших изменениях температуры.Вольфрамовая нить накала при 20 ° C20 ° C имеет сопротивление 0,350 Ом 0,350 Ом. Каким будет сопротивление при повышении температуры до 2850 ° C 2850 ° C?

Стратегия

Это прямое применение R = R0 (1 + αΔT) R = R0 (1 + αΔT), поскольку исходное сопротивление нити накала задается как R0 = 0,350ΩR0 = 0,350Ω, а изменение температуры составляет ΔT = 2830 ° CΔT. = 2830 ° С.

Решение

Сопротивление более горячей нити накала R получается путем ввода известных значений в приведенное выше уравнение: R = R0 (1 + αΔT) = (0.350 Ом) [1+ (4,5 × 10−3 ° C) (2830 ° C)] = 4,8 Ом.R = R0 (1 + αΔT) = (0,350 Ом) [1+ (4,5 × 10−3 ° C) ( 2830 ° C)] = 4,8 Ом.

Значение

Обратите внимание, что сопротивление изменяется более чем в 10 раз, когда нить накала нагревается до высокой температуры, а ток через нить зависит от сопротивления нити и приложенного напряжения. Если нить накаливания используется в лампе накаливания, начальный ток через нить накала при первом включении лампы будет выше, чем ток после того, как нить накаливания достигнет рабочей температуры.

Проверьте свое понимание 9,6

Проверьте свое понимание Тензодатчик — это электрическое устройство для измерения деформации, как показано ниже. Он состоит из гибкой изолирующей основы, поддерживающей рисунок из проводящей фольги. Сопротивление фольги изменяется по мере растяжения основы. Как меняется сопротивление тензодатчика? Влияет ли тензодатчик на изменение температуры?

Пример 9,7

Сопротивление коаксиального кабеля

Длинные кабели иногда могут действовать как антенны, улавливая электронные шумы, которые являются сигналами от другого оборудования и приборов.Коаксиальные кабели используются во многих случаях, когда требуется устранение этого шума. Например, их можно найти дома через кабельное телевидение или другие аудиовизуальные соединения. Коаксиальные кабели состоят из внутреннего проводника с радиусом riri, окруженного вторым внешним концентрическим проводником с радиусом roro (рисунок 9.18). Пространство между ними обычно заполнено изолятором, например полиэтиленовым пластиком. Между двумя проводниками возникает небольшой ток радиальной утечки.Определите сопротивление коаксиального кабеля длиной L .

Фигура 9,18 Коаксиальные кабели состоят из двух концентрических жил, разделенных изоляцией. Они часто используются в кабельном телевидении или других аудиовизуальных средствах связи.

Стратегия

Мы не можем напрямую использовать уравнение R = ρLAR = ρLA. Вместо этого мы смотрим на концентрические цилиндрические оболочки толщиной dr и интегрируем.

Решение

Сначала мы находим выражение для dR , а затем интегрируем от riri до roro, dR = ρAdr = ρ2πrLdr, R = ∫rirodR = ∫riroρ2πrLdr = ρ2πL∫riro1rdr = ρ2πLlnrori.dR = ρAdr = ρ2πrLdr, R = ∫rirodR = ∫riroρ2πrLdr = ρ2πL∫riro1rdr = ρ2πLlnrori.

Значение

Сопротивление коаксиального кабеля зависит от его длины, внутреннего и внешнего радиусов и удельного сопротивления материала, разделяющего два проводника. Поскольку это сопротивление не бесконечно, между двумя проводниками возникает небольшой ток утечки. Этот ток утечки приводит к ослаблению (или ослаблению) сигнала, передаваемого по кабелю.

Проверьте свое понимание 9,7

Проверьте свое понимание Сопротивление между двумя проводниками коаксиального кабеля зависит от удельного сопротивления материала, разделяющего два проводника, длины кабеля и внутреннего и внешнего радиуса двух проводников.Если вы разрабатываете коаксиальный кабель, как сопротивление между двумя проводниками зависит от этих переменных?

10.3: Последовательные и параллельные резисторы

Цели обучения

К концу раздела вы сможете:

Определите термин эквивалентное сопротивление
Рассчитайте эквивалентное сопротивление резисторов, включенных последовательно
Вычислить эквивалентное сопротивление резисторов, включенных параллельно

В статье «Ток и сопротивление» мы описали термин «сопротивление» и объяснили основную конструкцию резистора.По сути, резистор ограничивает поток заряда в цепи и представляет собой омическое устройство, где \ (V = IR \). В большинстве схем имеется более одного резистора. Если несколько резисторов соединены вместе и подключены к батарее, ток, подаваемый батареей, зависит от эквивалентного сопротивления цепи.

Эквивалентное сопротивление комбинации резисторов зависит как от их индивидуальных значений, так и от способа их подключения. Самыми простыми комбинациями резисторов являются последовательное и параллельное соединение (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)).В последовательной цепи выходной ток первого резистора течет на вход второго резистора; следовательно, ток в каждом резисторе одинаков. В параллельной цепи все выводы резистора на одной стороне резисторов соединены вместе, а все выводы на другой стороне соединены вместе. В случае параллельной конфигурации каждый резистор имеет одинаковое падение потенциала на нем, и токи через каждый резистор могут быть разными, в зависимости от резистора.Сумма отдельных токов равна току, протекающему по параллельным соединениям.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) При последовательном соединении резисторов ток одинаков в каждом резисторе. (b) При параллельном соединении резисторов напряжение на каждом резисторе одинаковое.

Резисторы серии

Считается, что резисторы

включены последовательно, когда ток течет через резисторы последовательно. Рассмотрим рисунок \ (\ PageIndex {2} \), на котором показаны три последовательно включенных резистора с приложенным напряжением, равным \ (V_ {ab} \).Поскольку заряды проходят только по одному пути, ток через каждый резистор одинаков. Эквивалентное сопротивление набора резисторов при последовательном соединении равно алгебраической сумме отдельных сопротивлений.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): (a) Три резистора, подключенные последовательно к источнику напряжения. (b) Исходная схема сокращается до эквивалентного сопротивления и источника напряжения.

На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) ток, идущий от источника напряжения, протекает через каждый резистор, поэтому ток через каждый резистор одинаков.Ток в цепи зависит от напряжения, подаваемого источником напряжения, и сопротивления резисторов. Для каждого резистора происходит падение потенциала, равное потере электрической потенциальной энергии при прохождении тока через каждый резистор. Согласно закону Ома, падение потенциала \ (V \) на резисторе при протекании через него тока рассчитывается по формуле \ (V = IR \), где \ (I \) — ток в амперах (\ (A \)), а \ (R \) — сопротивление в Ом \ ((\ Omega) \).N V_i = 0. \]

Это уравнение часто называют законом петли Кирхгофа, который мы рассмотрим более подробно позже в этой главе. Для рисунка \ (\ PageIndex {2} \) сумма падения потенциала каждого резистора и напряжения, подаваемого источником напряжения, должна равняться нулю:

\ [\ begin {align *} V — V_1 — V_2 — V_3 & = 0, \\ [4pt] V & = V_1 + V_2 + V_3, \\ [4pt] & = IR_1 + IR_2 + IR_3, \ end { выровнять *} \]

Решение для \ (I \)

\ [\ begin {align *} I & = \ frac {V} {R_1 + R_2 + R_3} \\ [4pt] & = \ frac {V} {R_ {S}}. N R_i.\ label {серия эквивалентных сопротивлений} \]

Одним из результатов подключения компонентов в последовательную цепь является то, что если что-то происходит с одним компонентом, это влияет на все остальные компоненты. Например, если несколько ламп подключены последовательно и одна лампа перегорела, все остальные лампы погаснут.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): эквивалентное сопротивление, ток и мощность в последовательной цепи

Батарея с напряжением на клеммах 9 В подключена к цепи, состоящей из четырех последовательно соединенных резисторов \ (20 \, \ Omega \) и одного \ (10 \, \ Omega \) (Рисунок \ (\ PageIndex {3 } \)).Предположим, что батарея имеет незначительное внутреннее сопротивление.

Рассчитайте эквивалентное сопротивление цепи.
Рассчитайте ток через каждый резистор.
Рассчитайте падение потенциала на каждом резисторе.
Определите общую мощность, рассеиваемую резисторами, и мощность, потребляемую батареей.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Простая последовательная схема с пятью резисторами.

Стратегия

В последовательной цепи эквивалентное сопротивление представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений.2R \), а общая мощность, рассеиваемая резисторами, равна сумме мощности, рассеиваемой каждым резистором. Мощность, подаваемая батареей, можно найти с помощью \ (P = I \ epsilon \).

Решение

Эквивалентное сопротивление — это алгебраическая сумма сопротивлений (Уравнение \ ref {серия эквивалентных сопротивлений}): \ [\ begin {align *} R_ {S} & = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 \\ [4pt ] & = 20 \, \ Омега + 20 \, \ Омега + 20 \, \ Омега + 20 \, \ Омега + 10 \, \ Омега = 90 \, \ Омега.2 (10 \, \ Omega) = 0,1 \, W, \ nonumber \] \ [P_ {рассеивается} = 0,2 \, W + 0,2 \, W + 0,2 \, W + 0,2 \, W + 0,1 \, W = 0,9 \, W, \ nonumber \] \ [P_ {источник} = I \ epsilon = (0,1 \, A) (9 \, V) = 0,9 \, W. \ nonumber \]

Значение

Есть несколько причин, по которым мы использовали бы несколько резисторов вместо одного резистора с сопротивлением, равным эквивалентному сопротивлению цепи. Возможно, резистора необходимого размера нет в наличии, или нам нужно отводить выделяемое тепло, или мы хотим минимизировать стоимость резисторов.Каждый резистор может стоить от нескольких центов до нескольких долларов, но при умножении на тысячи единиц экономия затрат может быть значительной.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Некоторые гирлянды миниатюрных праздничных огней закорачиваются при перегорании лампочки. Устройство, вызывающее короткое замыкание, называется шунтом, который позволяет току течь по разомкнутой цепи. «Короткое замыкание» похоже на протягивание куска проволоки через компонент. Луковицы обычно сгруппированы в серию по девять луковиц.Если перегорает слишком много лампочек, в конце концов открываются шунты. Что вызывает это?

Ответ

Эквивалентное сопротивление девяти последовательно соединенных лампочек составляет 9 R . Ток равен \ (I = V / 9 \, R \). Если одна лампочка перегорит, эквивалентное сопротивление составит 8 R , и напряжение не изменится, но ток возрастет \ ((I = V / 8 \, R \). Чем больше лампочек перегорят, ток станет равным. В конце концов, ток становится слишком большим, что приводит к сгоранию шунта.№ Р_и. \]

Одинаковый ток протекает последовательно через каждый резистор.

Отдельные последовательно включенные резисторы не получают полное напряжение источника, а делят его. Общее падение потенциала на последовательной конфигурации резисторов равно сумме падений потенциала на каждом резисторе.

Параллельные резисторы

На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) показаны резисторы, включенные параллельно, подключенные к источнику напряжения. Резисторы включены параллельно, когда один конец всех резисторов соединен непрерывным проводом с незначительным сопротивлением, а другой конец всех резисторов также соединен друг с другом непрерывным проводом с незначительным сопротивлением.Падение потенциала на каждом резисторе одинаковое. Ток через каждый резистор можно найти с помощью закона Ома \ (I = V / R \), где напряжение на каждом резисторе постоянно. Например, автомобильные фары, радио и другие системы подключены параллельно, так что каждая подсистема использует полное напряжение источника и может работать полностью независимо. То же самое и с электропроводкой в вашем доме или любом здании.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Два резистора, подключенных параллельно источнику напряжения.(b) Исходная схема сокращается до эквивалентного сопротивления и источника напряжения.

Ток, протекающий от источника напряжения на рисунке \ (\ PageIndex {4} \), зависит от напряжения, подаваемого источником напряжения, и эквивалентного сопротивления цепи. В этом случае ток течет от источника напряжения и попадает в переход или узел, где цепь разделяется, протекая через резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \). По мере прохождения зарядов от батареи часть заряда проходит через резистор \ (R_1 \), а часть — через резистор \ (R_2 \).Сумма токов, протекающих в переходе, должна быть равна сумме токов, текущих из перехода:

\ [\ sum I_ {in} = \ sum I_ {out}. {- 1}.{-1}. \ label {10.3} \]

Это соотношение приводит к эквивалентному сопротивлению \ (R_ {P} \), которое меньше наименьшего из отдельных сопротивлений. Когда резисторы подключены параллельно, от источника течет больше тока, чем протекает для любого из них по отдельности, поэтому общее сопротивление ниже.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Анализ параллельной цепи

Три резистора \ (R_1 = 1,00 \, \ Omega \), \ (R_2 = 2,00 \, \ Omega \) и \ (R_3 = 2,00 \, \ Omega \) подключены параллельно.Параллельное соединение подключается к источнику напряжения \ (V = 3,00 \, V \).

Какое эквивалентное сопротивление?
Найдите ток, подаваемый источником в параллельную цепь.
Рассчитайте токи в каждом резисторе и покажите, что в сумме они равны выходному току источника.
Рассчитайте мощность, рассеиваемую каждым резистором.
Найдите выходную мощность источника и покажите, что она равна общей мощности, рассеиваемой резисторами.

Стратегия

(a) Общее сопротивление для параллельной комбинации резисторов определяется с помощью уравнения \ ref {10.3}. (Обратите внимание, что в этих расчетах каждый промежуточный ответ отображается с дополнительной цифрой.)

(b) Ток, подаваемый источником, можно найти из закона Ома, заменив \ (R_ {P} \) на полное сопротивление \ (I = \ frac {V} {R_ {P}} \).

(c) Отдельные токи легко вычисляются по закону Ома \ (\ left (I_i = \ frac {V_i} {R_i} \ right) \), поскольку каждый резистор получает полное напряжение.{-1} = 0.50 \, \ Omega. \ Nonumber \] Общее сопротивление с правильным количеством значащих цифр равно \ (R_ {eq} = 0.50 \, \ Omega \). Как и предполагалось, \ (R_ {P} \) меньше наименьшего индивидуального сопротивления.

Полный ток можно найти из закона Ома, заменив полное сопротивление \ (R_ {P} \). Это дает \ [I = \ frac {V} {R_ {P}} = \ frac {3.00 \, V} {0.50 \, \ Omega} = 6.00 \, A. \ nonumber \] Текущий I для каждого устройства намного больше, чем для тех же устройств, подключенных последовательно (см. предыдущий пример).Схема с параллельным соединением имеет меньшее общее сопротивление, чем резисторы, включенные последовательно.

Отдельные токи легко вычислить по закону Ома, поскольку каждый резистор получает полное напряжение. Таким образом, \ [I_1 = \ frac {V} {R_1} = \ frac {3.00 \, V} {1.00 \, \ Omega} = 3.00 \, A. \ nonumber \] Аналогично, \ [I_2 = \ frac {V } {R_2} = \ frac {3.00 \, V} {2.00 \, \ Omega} = 1.50 \, A \ nonumber \] и \ [I_3 = \ frac {V} {R_3} = \ frac {3.00 \, V } {2.00 \, \ Omega} = 1.50 \, A. \ nonumber \] Полный ток — это сумма отдельных токов: \ [I_1 + I_2 + I_3 = 6.2} {2.00 \, \ Omega} = 4.50 \, W. \ nonumber \]

Общую мощность также можно рассчитать несколькими способами. Выбор \ (P = IV \) и ввод общей текущей доходности \ [P = IV = (6.00 \, A) (3.00 \, V) = 18.00 \, W. \ nonumber \]

Значение

Общая мощность, рассеиваемая резисторами, также 18,00 Вт:

\ [P_1 + P_2 + P_3 = 9,00 \, W + 4,50 \, W + 4,50 \, W = 18,00 \, W. \ nonumber \]

Обратите внимание, что общая мощность, рассеиваемая резисторами, равна мощности, подаваемой источником.

Упражнение \ (\ PageIndex {2A} \)

Рассмотрим одну и ту же разность потенциалов \ ((V = 3,00 \, V) \), приложенную к одним и тем же трем последовательно включенным резисторам. Будет ли эквивалентное сопротивление последовательной цепи больше, меньше или равно трем резисторам, включенным параллельно? Будет ли ток в последовательной цепи выше, ниже или равен току, обеспечиваемому тем же напряжением, приложенным к параллельной цепи? Как мощность, рассеиваемая последовательно подключенными резисторами, будет сравниваться с мощностью, рассеиваемой параллельно резисторами?

Решение: Эквивалент последовательной схемы будет \ (R_ {eq} = 1.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega = 5.00 \, \ Omega \), что выше эквивалентного сопротивления параллельной цепи \ (R_ {eq} = 0.50 \, \ Omega \ ). Эквивалентное сопротивление любого количества резисторов всегда выше, чем эквивалентное сопротивление тех же резисторов, соединенных параллельно. Ток через последовательную цепь будет \ (I = \ frac {3.00 \, V} {5.00 \, \ Omega} = 0.60 \, A \), что меньше суммы токов, проходящих через каждый резистор в параллельная цепь, \ (I = 6.00 \, А \). Это неудивительно, поскольку эквивалентное сопротивление последовательной цепи выше. Ток при последовательном соединении любого количества резисторов всегда будет ниже, чем ток при параллельном соединении тех же резисторов, поскольку эквивалентное сопротивление последовательной цепи будет выше, чем параллельной цепи. Мощность, рассеиваемая последовательно подключенными резисторами, будет равна \ (P = 1,800 \, Вт \), что ниже мощности, рассеиваемой в параллельной цепи \ (P = 18.00 \, Вт \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2B} \)

Как бы вы использовали реку и два водопада, чтобы смоделировать параллельную конфигурацию двух резисторов? Как разрушается эта аналогия?

Решение

Река, текущая горизонтально с постоянной скоростью, разделяется на две части и течет через два водопада. Молекулы воды аналогичны электронам в параллельных цепях. Количество молекул воды, которые текут в реке и падает, должно быть равно количеству молекул, которые текут над каждым водопадом, точно так же, как сумма тока через каждый резистор должна быть равна току, текущему в параллельном контуре.Молекулы воды в реке обладают энергией благодаря своему движению и высоте. Потенциальная энергия молекул воды в реке постоянна из-за их одинаковой высоты. Это аналогично постоянному изменению напряжения в параллельной цепи. Напряжение — это потенциальная энергия на каждом резисторе.

При рассмотрении энергии аналогия быстро разрушается. В водопаде потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию молекул воды. В случае прохождения электронов через резистор падение потенциала преобразуется в тепло и свет, а не в кинетическую энергию электронов.

Суммируем основные характеристики резисторов параллельно:

Эквивалентное сопротивление находится по формуле \ ref {10.3} и меньше любого отдельного сопротивления в комбинации.
Падение потенциала на каждом параллельном резисторе одинаковое.
Параллельные резисторы не получают суммарный ток каждый; они делят это. Ток, поступающий в параллельную комбинацию резисторов, равен сумме токов, протекающих через каждый резистор, включенный параллельно.

В этой главе мы представили эквивалентное сопротивление резисторов, соединенных последовательно, и резисторов, соединенных параллельно. Как вы помните, в разделе «Емкость» мы ввели эквивалентную емкость конденсаторов, соединенных последовательно и параллельно. Цепи часто содержат как конденсаторы, так и резисторы. Таблица \ (\ PageIndex {1} \) суммирует уравнения, используемые для эквивалентного сопротивления и эквивалентной емкости для последовательных и параллельных соединений.

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): Сводка по эквивалентному сопротивлению и емкости в последовательной и параллельной комбинациях
	Комбинация серий	Параллельная комбинация
Эквивалентная емкость	\ [\ frac {1} {C_ {S}} = \ frac {1} {C_1} + \ frac {1} {C_2} + \ frac {1} {C_3} +.N R_i \ nonumber \]	\ [\ frac {1} {R_ {P}} = \ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} +. . . \ nonumber \]

Сочетание последовательного и параллельного

Более сложные соединения резисторов часто представляют собой просто комбинации последовательного и параллельного соединения. Такие комбинации обычны, особенно если учесть сопротивление проводов. В этом случае сопротивление провода включено последовательно с другими сопротивлениями, включенными параллельно.

Комбинации последовательного и параллельного соединения могут быть уменьшены до одного эквивалентного сопротивления, используя технику, показанную на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).Различные части могут быть идентифицированы как последовательные или параллельные соединения, уменьшенные до их эквивалентных сопротивлений, а затем уменьшенные до тех пор, пока не останется единственное эквивалентное сопротивление. Процесс занимает больше времени, чем труден. Здесь мы отмечаем эквивалентное сопротивление как \ (R_ {eq} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): (а) Исходная схема из четырех резисторов. (b) Шаг 1: резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены последовательно, и эквивалентное сопротивление равно \ (R_ {34} = 10 \, \ Omega \). (c) Шаг 2: сокращенная схема показывает, что резисторы \ (R_2 \) и \ (R_ {34} \) включены параллельно, с эквивалентным сопротивлением \ (R_ {234} = 5 \, \ Omega \).(d) Шаг 3: сокращенная схема показывает, что \ (R_1 \) и \ (R_ {234} \) включены последовательно с эквивалентным сопротивлением \ (R_ {1234} = 12 \, \ Omega \), которое является эквивалентное сопротивление \ (R_ {eq} \). (e) Уменьшенная схема с источником напряжения \ (V = 24 \, V \) с эквивалентным сопротивлением \ (R_ {eq} = 12 \, \ Omega \). Это приводит к току \ (I = 2 \, A \) от источника напряжения.

Обратите внимание, что резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены последовательно. Их можно объединить в одно эквивалентное сопротивление. {- 1} = 5 \, \ Omega.\ nonumber \]

Этот шаг процесса сокращает схему до двух резисторов, показанных на рисунке \ (\ PageIndex {5d} \). Здесь схема сводится к двум резисторам, которые в данном случае включены последовательно. Эти два резистора можно уменьшить до эквивалентного сопротивления, которое является эквивалентным сопротивлением цепи:

\ [R_ {eq} = R_ {1234} = R_1 + R_ {234} = 7 \, \ Omega + 5 \ Omega = 12 \, \ Omega. \ nonumber \]

Основная цель этого анализа схемы достигнута, и теперь схема сводится к одному резистору и одному источнику напряжения.

Теперь мы можем проанализировать схему. Ток, обеспечиваемый источником напряжения, равен \ (I = \ frac {V} {R_ {eq}} = \ frac {24 \, V} {12 \, \ Omega} = 2 \, A \). Этот ток проходит через резистор \ (R_1 \) и обозначается как \ (I_1 \). Падение потенциала на \ (R_1 \) можно найти с помощью закона Ома:

\ [V_1 = I_1R_1 = (2 \, A) (7 \, \ Omega) = 14 \, V. \ nonumber \]

Глядя на рисунок \ (\ PageIndex {5c} \), это оставляет \ (24 \, V — 14 \, V = 10 \, V \) отбрасывать через параллельную комбинацию \ (R_2 \) и \ ( R_ {34} \).Ток через \ (R_2 \) можно найти с помощью закона Ома:

\ [I_2 = \ frac {V_2} {R_2} = \ frac {10 \, V} {10 \, \ Omega} = 1 \, A. \ nonumber \]

Резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены последовательно, поэтому токи \ (I_3 \) и \ (I_4 \) равны

\ [I_3 = I_4 = I — I_2 = 2 \, A — 1 \, A = 1 \, A. \ nonumber \]

Используя закон Ома, мы можем найти падение потенциала на двух последних резисторах. Потенциальные капли равны \ (V_3 = I_3R_3 = 6 \, V \) и \ (V_4 = I_4R_4 = 4 \, V \).2 (4 \, \ Omega) = 4 \, W, \\ [4pt] P_ {рассеивается} & = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 48 \, W. \ end {align *} \]

Общая энергия постоянна в любом процессе. Следовательно, мощность, подаваемая источником напряжения, составляет

\ [\ begin {align *} P_s & = IV \\ [4pt] & = (2 \, A) (24 \, V) = 48 \, W \ end {align *} \]

Анализ мощности, подаваемой в цепь, и мощности, рассеиваемой резисторами, является хорошей проверкой достоверности анализа; они должны быть равны.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): объединение последовательных и параллельных цепей

На рисунке \ (\ PageIndex {6} \) показаны резисторы, подключенные последовательно и параллельно.Мы можем считать \ (R_1 \) сопротивлением проводов, ведущих к \ (R_2 \) и \ (R_3 \).

Найдите эквивалентное сопротивление цепи.
Какое падение потенциала \ (V_1 \) на резисторе \ (R_1 \)?
Найдите ток \ (I_2 \) через резистор \ (R_2 \).
Какую мощность рассеивает \ (R_2 \)?

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Эти три резистора подключены к источнику напряжения так, чтобы \ (R_2 \) и \ (R_3 \) были параллельны друг другу, и эта комбинация была последовательно с \ (R_1 \).

Стратегия

(a) Чтобы найти эквивалентное сопротивление, сначала найдите эквивалентное сопротивление параллельного соединения \ (R_2 \) и \ (R_3 \). Затем используйте этот результат, чтобы найти эквивалентное сопротивление последовательного соединения с \ (R_1 \).

(b) Ток через \ (R_1 \) можно найти с помощью закона Ома и приложенного напряжения. Ток через \ (R_1 \) равен току от батареи. Падение потенциала \ (V_1 \) на резисторе \ (R_1 \) (которое представляет собой сопротивление в соединительных проводах) можно найти с помощью закона Ома.{-1} = 5.10 \, \ Omega. \ Nonumber \] Общее сопротивление этой комбинации является промежуточным между значениями чистой серии и чисто параллельной (\ (20.0 \, \ Omega \) и \ (0.804 \, \ Omega \) ), соответственно).

Ток через \ (R_1 \) равен току, обеспечиваемому батареей: \ [I_1 = I = \ frac {V} {R_ {eq}} = \ frac {12.0 \, V} {5.10 \, \ Omega} = 2.35 \, A. \ nonumber \] Напряжение на \ (R_1 \) равно \ [V_1 = I_1R_1 = (2.35 \, A) (1 \, \ Omega) = 2.35 \, V. \ nonumber \] Напряжение, приложенное к \ (R_2 \) и \ (R_3 \), меньше напряжения, подаваемого батареей, на величину \ (V_1 \).Когда сопротивление провода велико, это может существенно повлиять на работу устройств, представленных \ (R_2 \) и \ (R_3 \).

Чтобы найти ток через \ (R_2 \), мы должны сначала найти приложенное к нему напряжение. Напряжение на двух параллельных резисторах одинаковое: \ [V_2 = V_3 = V — V_1 = 12.0 \, V — 2.35 \, V = 9.65 \, V. \ nonumber \] Теперь мы можем найти ток \ (I_2 \) через сопротивление \ (R_2 \) по закону Ома: \ [I_2 = \ frac {V_2} {R_2} = \ frac {9.65 \, V} {6.00 \, \ Omega} = 1.2 (6.00 \, \ Omega) = 15.5 \, W. \ nonumber \]

Значение

Анализ сложных схем часто можно упростить, сведя схему к источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Даже если вся схема не может быть сведена к одному источнику напряжения и одному эквивалентному сопротивлению, части схемы могут быть уменьшены, что значительно упрощает анализ.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Рассмотрите электрические цепи в вашем доме.Приведите по крайней мере два примера схем, которые должны использовать комбинацию последовательных и параллельных схем для эффективной работы.

Решение

Все цепи верхнего освещения параллельны и подключены к основному питанию, поэтому при перегорании одной лампочки все верхнее освещение не гаснет. У каждого верхнего света будет по крайней мере один переключатель, включенный последовательно с источником света, так что вы можете включать и выключать его.

В холодильнике есть компрессор и лампа, которая загорается при открытии дверцы.Обычно у холодильника есть только один шнур для подключения к стене. Цепь, содержащая компрессор, и цепь, содержащая цепь освещения, параллельны, но есть переключатель, включенный последовательно со светом. Термостат управляет переключателем, который включен последовательно с компрессором, чтобы контролировать температуру холодильника.

Практическое применение

Одним из следствий этого последнего примера является то, что сопротивление в проводах снижает ток и мощность, подаваемую на резистор.Если сопротивление провода относительно велико, как в изношенном (или очень длинном) удлинителе, то эти потери могут быть значительными. Если потребляется большой ток, падение IR в проводах также может быть значительным и может проявляться из-за тепла, выделяемого в шнуре.

Например, когда вы роетесь в холодильнике и включается мотор, свет холодильника на мгновение гаснет. Точно так же вы можете увидеть тусклый свет в салоне, когда вы запускаете двигатель вашего автомобиля (хотя это может быть связано с сопротивлением внутри самой батареи).

Что происходит в этих сильноточных ситуациях, показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \). Устройство, обозначенное символом \ (R_3 \), имеет очень низкое сопротивление, поэтому при его включении протекает большой ток. Этот увеличенный ток вызывает большее падение IR в проводах, обозначенных \ (R_1 \), уменьшая напряжение на лампочке (которое равно \ (R_2 \)), которое затем заметно гаснет.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Почему свет тускнеет, когда включен большой прибор? Ответ заключается в том, что большой ток, потребляемый двигателем прибора, вызывает значительное падение IR в проводах и снижает напряжение на свету.

Стратегия решения проблем: последовательные и параллельные резисторы

Нарисуйте четкую принципиальную схему, обозначив все резисторы и источники напряжения. Этот шаг включает список известных значений проблемы, поскольку они отмечены на вашей принципиальной схеме.
Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные). Письменный список полезен.
Определите, подключены ли резисторы последовательно, параллельно или в комбинации последовательно и параллельно.Изучите принципиальную схему, чтобы сделать эту оценку. Резисторы включены последовательно, если через них должен последовательно проходить один и тот же ток.
Используйте соответствующий список основных функций для последовательных или параллельных подключений, чтобы найти неизвестные. Есть один список для серий, а другой — для параллелей.
Проверьте, являются ли ответы разумными и последовательными.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): объединение последовательных и параллельных цепей

Два резистора, соединенных последовательно \ ((R_1, \, R_2) \), соединены с двумя резисторами, включенными параллельно \ ((R_3, \, R_4) \).Последовательно-параллельная комбинация подключается к батарее. Каждый резистор имеет сопротивление 10,00 Ом. Провода, соединяющие резисторы и аккумулятор, имеют незначительное сопротивление. Через резистор \ (R_1 \) проходит ток 2,00 А. Какое напряжение подается от источника напряжения?

Стратегия

Используйте шаги предыдущей стратегии решения проблем, чтобы найти решение для этого примера.

Решение

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Чтобы найти неизвестное напряжение, мы должны сначала найти эквивалентное сопротивление цепи.

Нарисуйте четкую принципиальную схему (Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).
Неизвестно напряжение аккумулятора. Чтобы определить напряжение, подаваемое батареей, необходимо найти эквивалентное сопротивление.
В этой схеме мы уже знаем, что резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \) включены последовательно, а резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) включены параллельно. Эквивалентное сопротивление параллельной конфигурации резисторов \ (R_3 \) и \ (R_4 \) последовательно с последовательной конфигурацией резисторов \ (R_1 \) и \ (R_2 \).{-1} = 5,00 \, \ Омега. \ nonumber \] Эта параллельная комбинация включена последовательно с двумя другими резисторами, поэтому эквивалентное сопротивление схемы равно \ (R_ {eq} = R_1 + R_2 + R_ {34} = (25.00 \, \ Omega \). поэтому напряжение, подаваемое батареей, равно \ (V = IR_ {eq} = 2.00 \, A (25.00 \, \ Omega) = 50.00 \, V \).
Один из способов проверить соответствие ваших результатов — это рассчитать мощность, подаваемую батареей, и мощность, рассеиваемую резисторами. Мощность, обеспечиваемая аккумулятором, равна \ (P_ {batt} = IV = 100.2R_4 \\ [4pt] & = 40.00 \, W + 40.00 \, W + 10.00 \, W + 10.00 \, W = 100. \, W. \ end {align *} \]
Поскольку мощность, рассеиваемая резисторами, равна мощности, выделяемой батареей, наше решение кажется последовательным.
Значение
Если проблема имеет комбинацию последовательного и параллельного соединения, как в этом примере, ее можно уменьшить поэтапно, используя предыдущую стратегию решения проблемы и рассматривая отдельные группы последовательных или параллельных соединений.При нахождении \ (R_ {eq} \) для параллельного соединения необходимо с осторожностью относиться к обратному. Кроме того, единицы и числовые результаты должны быть разумными. Эквивалентное последовательное сопротивление должно быть больше, а эквивалентное параллельное сопротивление, например, должно быть меньше. Мощность должна быть больше для одних и тех же устройств, подключенных параллельно, по сравнению с последовательными и т. Д.
Авторы и авторство
- Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами.Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).
Сопротивление резистора
— стенограмма видео и урока
Расчет сопротивления
Поскольку сопротивление резистора зависит от материала, из которого он сделан, это учитывается в формуле для расчета сопротивления, которую математически можно интерпретировать как:
В этом уравнении R обозначает сопротивление.Греческая буква ρ, похожая на букву p , обозначает удельное сопротивление материала, из которого изготовлен резистор. L обозначает длину резистора. А A обозначает площадь поперечного сечения резистора. Сопротивление измеряется в Ом.
Возможно использование двух резисторов одинакового размера из разных материалов с разным сопротивлением. Но не думайте, что сопротивление есть только у резисторов. Провода, которые сами проводят электричество, также имеют определенное сопротивление.Все, что проводит электричество, имеет определенное сопротивление. Провода обычно имеют гораздо меньшее сопротивление, чем резистор, предназначенный для защиты от электричества. Вы можете иметь сопротивление от нескольких Ом до миллионов Ом.
Вот пример расчета сопротивления углеродного резистора длиной 0,005 метра (5 миллиметров) и диаметром 0,001 метра (1 миллиметр). Этот конкретный углеродный резистор имеет удельное сопротивление 45 x 10-5 Ом-метр.Итак, в основном, мы умножаем это удельное сопротивление на 0,005 метра и делим его на π, умноженный на 0,0005 метра в квадрате.
Как мы видим, этот угольный резистор имеет сопротивление примерно 2,86 Ом. Обратите внимание, что символ ома — большая греческая буква омега (Ω).
Закон Ома
Все цепи, проводящие электричество, подчиняются так называемому закону Ома. Этот закон говорит вам, как ваше напряжение и ток связаны с вашим сопротивлением.
R обозначает сопротивление, В обозначает напряжение, а I обозначает ток. Единицами измерения являются омы для сопротивления, вольт для напряжения и амперы для тока. Эта формула говорит вам, что ваше сопротивление всегда равно напряжению, деленному на ток. Вы также можете сказать, что ваше напряжение равно вашему току, умноженному на ваше сопротивление, или В = IR в форме уравнения, где R = В / I .
Итак, если ваш резистор в вашей цепи имеет сопротивление 100 Ом, а ток, протекающий по цепи, составляет 0,5 А, тогда напряжение вашей цепи рассчитывается следующим образом:
Напряжение в вашей цепи составляет 50 В.
Расположение резисторов
Способ размещения резисторов также может по-разному изменить значение сопротивления.
Если ваши резисторы расположены последовательно, так что они соединены друг с другом, как в ожерелье, то полное или эквивалентное сопротивление является суммой значений ваших резисторов.Ток, протекающий через каждый резистор, будет одинаковым, но напряжение, протекающее через каждый резистор, разное.
Например, у вас есть резисторы на 200, 50 и 25 Ом, включенные последовательно. Общее сопротивление вашей цепи составляет 200 + 50 + 25 = 275 Ом.
Если ваши резисторы расположены параллельно, то есть каждый резистор подключен к одному источнику напряжения, то эквивалентное сопротивление находится по следующей формуле:
Напряжение для каждого резистора будет одинаковым, но ток, проходящий через каждый резистор, будет разным.
Например, у вас есть те же резисторы на 200, 50 и 25 Ом, подключенные параллельно. Общее сопротивление можно найти следующим образом:
1/200 + 1/50 + 1/25 = 1/200 + 4/200 + 8/200 = 13/200 = 1 / 15,38
Обратите внимание, как последний шаг делит числитель и знаменатель на числитель. Это дает вам единицу по общему сопротивлению. Как только вы это сделаете, ваше полное сопротивление окажется 15,38 Ом.
Итоги урока
Хорошо, давайте рассмотрим.Резистор — это кусок материала, препятствующий прохождению электрического тока. Сопротивление резистора рассчитывается по следующей формуле:
Как мы узнали, в этой формуле R означает сопротивление. Греческая буква ρ, похожая на букву p , обозначает удельное сопротивление материала, из которого изготовлен резистор. L обозначает длину резистора. И, наконец, A обозначает площадь поперечного сечения резистора.Сопротивление измеряется в омах, а ваша длина и площадь измеряются в метрах.
Все цепи следуют закону Ома, который говорит вам, что напряжение в цепи равно току, умноженному на сопротивление, или В = IR в форме уравнения, где R = В / I . И в этом случае R обозначает сопротивление, V обозначает напряжение, а I обозначает ток. Единицами измерения являются омы для сопротивления, вольт для напряжения и амперы для тока.
Если ваши резисторы включены последовательно, то эквивалентное сопротивление, которое видит схема, является суммой значений ваших резисторов. С другой стороны, если ваши резисторы размещены параллельно, то эквивалентное сопротивление определяется путем сложения значений, обратных вашим значениям резисторов.
Равновесный поток — обзор
Гидравлическое сопротивление
Рассматривая однородный равновесный поток по прямоугольному каналу, составьте уравнение количества движения. Для широкого прямоугольного канала выведите выражение нормальной глубины как функции коэффициента трения Дарси, расхода на единицу ширины и уклона пласта.
Для равномерного потока по открытому каналу: (a) Напишите уравнение Чези. Четко определите все ваши символы. (b) В каких единицах СИ используется коэффициент Шези? (c) Дайте выражение для коэффициента Шези как функции коэффициента трения Дарси – Вайсбаха. (d) Напишите уравнение Гоклера – Мэннинга. Четко определите свои символы. (e) В каких единицах СИ используется коэффициент Гоклера – Мэннинга?
Учитывая постепенно изменяющийся поток в прямоугольном открытом канале, общий расход равен 2.4 м ³ / с и глубина потока 3,1 м. Ширина канала 5 м, днище и боковины выполнены из гладкого бетона. Оцените: (а) коэффициент трения Дарси и (б) среднее граничное напряжение сдвига. Жидкость — вода при 20 ° C.
Прямоугольный бетонный канал (ширина 5,5 м) обеспечивает расход 6 м. ³ / с. Продольный уклон русла 1,2 м / км. а) Какова нормальная глубина при однородном равновесии? (б) Каково среднее граничное напряжение сдвига при равномерном равновесии? (c) При нормальных условиях потока поток является докритическим, сверхкритическим или критическим? Вы бы охарактеризовали канал как мягкий, критический или крутой? Для искусственных каналов выполните расчеты гидравлического сопротивления на основе коэффициента трения Дарси – Вайсбаха.
Решение : (a) d = 0,64 м, (b) τ _o = 6,1 Па и (c) Fr = 0,68: поток, близкий к критическому, хотя и докритический (отсюда небольшой наклон) (см. обсуждение потока, близкого к критическому, в разделе 5.1.2).
В прямоугольном открытом канале (граничная шероховатость: ПВХ) глубина равномерного равномерного потока равна 0,9 м. Ширина русла 10 м, наклон русла 0,0015 °. Жидкость — вода при 20 ° C. Рассчитайте (a) расход, (b) число Фруда, (c) число Рейнольдса, (d) относительную шероховатость, (e) коэффициент трения Дарси и (f) среднее граничное напряжение сдвига.
Учитывая однородный равновесный поток в водном пути трапециевидной формы (ширина дна: 15 м, уклон боковой стенки: 1V: 5H), глубина потока составляет 5 м, а продольный уклон дна составляет 3 м / км. Предположим, что коэффициент Гоклера – Мэннинга равен 0,05 с / м ^1/3 (пойма и легкая кисть). Жидкость — вода при 20 ° C. Рассчитайте: (a) расход, (b) критическую глубину, (c) число Фруда, (d) число Рейнольдса и (e) коэффициент Шези.
Норман-Крик в Южном Брисбене имеет следующие характеристики русла во время наводнения: глубина воды: 1.16 м, ширина: 55 м, уклон грядки: 0,002 и короткая трава: k _s = 3 мм. Предположим, что поток в прямоугольном канале имеет равномерное равновесие. . Рассчитайте гидравлические характеристики потока в паводке.
Решение : Q = 200 м ³ / с и V = 3,1 м / с.
Во время наводнения измерения в Оксли-Крик, в Брисбене, дали: глубина воды: 1,16 м, ширина: 55 м, наклон дна: 0,0002 и короткая трава: k _s = 0.003 г. Предполагая условия однородного равновесия потока в квазипрямоугольном канале, вычислите расход.
Решение : В = 0,99 м / с и В _* = 0,047 м / с.
С учетом равномерного равномерного потока в бетонном канале трапециевидной формы (ширина дна: 2 м и уклон боковых стенок: 30 °), общий расход составляет 10 м. ³ / с. Уклон русла 0,02 °. Жидкость — вода при 20 ° C. Оценка: (a) критическая глубина, (b) нормальная глубина, (c) число Фруда, (d) число Рейнольдса и (e) коэффициент трения Дарси.
С учетом поймы, изображенной на рис. E.4.2, средний уклон русла составляет 0,05 °. Русло реки выложено бетоном, пойма — каменной наброской (эквивалентная высота неровностей: 8 см). Жидкость представляет собой воду с большим количеством взвешенных отложений (плотность жидкости: 1080 кг / м ³). Предполагается, что течение является равномерно равновесным. Вычислите и дайте значения (и единицы) следующих величин: (a) Объемный расход в русле реки. (б) Объемный сток в пойме.(c) Общий объемный сток (русло реки + равнина луд). (d) Общий массовый расход (русло реки + пойма). (e) Поток является докритическим или сверхкритическим? Четко обоснуйте свой ответ. (Предположим, что на границе между потоком в русле реки и потоком поймы нет трения (и потерь энергии).)
Рис. E.4.2. Эскиз поймы.
Если рассматривать русло реки с поймами с каждой стороны (рис. E.4.3), русло выложено готовым бетоном.Самая низкая пойма подвержена затоплению (это земля, используемая в качестве системы удержания паводковых вод), а ее русло состоит из гравия ( k _s = 20 мм). Правобережная равнина покрыта травой (сороконожка, n _Manning ~ 0,06 единиц СИ). Продольный уклон русла реки 2,5 км.
Рис. E.4.3. Эскиз поймы.
Для паводка 1 раз в 50 лет ( Q = 500 м ³ / с) вычислите (а) глубину потока в основном русле, (б) глубину потока в правой пойме, (c) расход в основном канале, (d) расход в системе удержания паводковой воды и (e) расход в правой пойме.(Предположим, что на границе между потоком в русле реки и потоками поймы нет трения (и потерь энергии).) поймы равны: W ₁ = 2,5 м, W ₂ = 25 м и Δ z ₁₂ = 1,2 м. Основной канал выложен готовым бетоном. Пойма подвержена затоплению. (Он используется как система удержания паводковой воды.) Пойма состоит из светлых кустов. (Полевые наблюдения предполагают, что n _Manning = 0,04 с / м ^1/3.) Продольный уклон русла реки составляет 1,5 м / км.
Рис. E.4.4. Эскиз поймы.
Во время шторма наблюдаемая глубина воды в основном (более глубоком) русле составляет 1,9 м. Предполагая условия однородного равновесного потока, вычислите (а) расход в основном канале, (б) расход в системе удержания паводковой воды, (в) общий расход и (г) какое число Фруда для потока в глубине канал а в системе удержания? (Предположите потерю энергии на границе между потоком русла реки и впадинами поймы.)
Для искусственных каналов ОБЯЗАТЕЛЬНО выполняйте расчеты гидравлического сопротивления на основе коэффициента трения Дарси – Вайсбаха.
Решение : (а) 18,4 м ³ / с, (б) 13,1 м ³ / с, (в) 31,5 м ³ / с и (г) Fr = 0,7 и 0,3, соответственно (см. раздел 3.4).
Рассматривая русло реки с поймой на каждой стороне (рис. E.4.5), характеристики поперечного сечения равны W ₁ = 5 м, W ₂ = 14 м, Δ z ₁₂ = 0.95 м, W ₃ = 58 м, Δ z ₁₃ = 1,35 м. Русло реки выложено готовым бетоном. Самая низкая пойма (пойма № 2) подвержена затоплению и ее русло состоит из гравия ( k _s = 20 мм). Левобережная равнина (пойма № 2) — травянистая территория (сороконожка, n _Manning ~ 0,06 единиц СИ). Продольный уклон русла реки составляет 3,2 м / км. Для паводка 1 раз в 50 лет ( Q = 150 м ³ / с) рассчитайте (а) глубину потока в главном русле, (б) глубину потока в правой пойме, (с ) расход в основном канале, (d) расход в системе удержания паводковой воды и (e) расход в правой пойме.
Рис. E.4.5. Эскиз поймы.
Предположим отсутствие трения ( и отсутствие потерь энергии ) на границе между потоком в русле реки и потоками поймы. Для искусственно созданных каналов DO выполняет расчеты гидравлического сопротивления на основе коэффициента трения Дарси – Вайсбаха.
Решение : (a) d ₁ = 2,17 м, (d) Q ₂ = 53,2 м ³ / с и (e) Q ₃ = 39.2м ³ / с.
Уравнение динамического равновесия — обзор
5.8 Эффект внутреннего демпфирования материала
Эффект внутреннего демпфирования материала может быть учтен в анализе с использованием различных подходов. Один из них, прямой и простой, заключается в формальном обобщении системы уравнений динамического равновесия (5.15) путем добавления «сил внутреннего трения», которые прямо пропорциональны вектору скорости U˙t:
[5.27] MU¨t + CU˙t + KUt = Rt
Здесь C — не зависящая от времени «матрица демпфирования».Второй возможный подход заключается в добавлении члена «рассеяния энергии» D ^{( q )} ( t ) к функции Лагранжа (уравнение 5.4). Этот дополнительный член может быть в конечном итоге выражен в форме, аналогичной другим энергетическим членам (уравнения 5.10–5.12), но, конечно, с другими выражениями для компонентов матрицы. Результирующая система уравнений динамического равновесия получается в той же форме, что и уравнение. 5.27, но с другой матрицей C . Третий возможный подход — обобщение соотношений напряжение-деформация (уравнение.5.1) путем добавления некоторых интегральных членов, отвечающих за вязкоупругое поведение материала. В этом случае необходимо пройти долгий и трудный путь выводов, чтобы прийти к результирующей системе уравнений динамического равновесия, которая оказывается системой интегрально-дифференциальных уравнений вместо системы дифференциальных уравнений (уравнение 5.27 ). Первый и второй подходы реализованы в коде 3D MOSAIC.
В каждом из вышеупомянутых трех случаев возникает другая серьезная проблема — как связать «коэффициенты демпфирования» (также известные как «коэффициенты демпфирования») с физически измеряемыми константами материала, которые характеризуют внутреннее трение, рассеяние энергии или вязкоупругие свойства, соответственно.Углубление в эту проблему уведет нас далеко за рамки темы данной статьи; читателям будут предложены фундаментальные книги по динамике конструкций, анализу методом конечных элементов и вязкоупругости; см., например, книги Clough and Penzien (1975), Bathe (1996) и Christensen (2003), где эти вопросы были рассмотрены очень подробно.
Здесь, с чисто иллюстративной целью, мы следуем первому из вышеупомянутых подходов и предполагаем, что все коэффициенты демпфирования в матрице C системы уравнений (5.27) имеют одинаковые значения; два конкретных значения, 0,1 или 0,5, были выбраны для численных примеров. Эти произвольные числовые значения были приняты без указания их физического смысла. Результаты анализа сравниваются на рисунках 5.30 и 5.31 для коэффициентов демпфирования, которые все равны 0 (упругое решение), 0,1 и 0,5. На рис. 5.30 показаны результаты для начального временного интервала t = 50 μ с, а на рис. 5.31 показаны результаты для более длительного временного интервала t = 500 μ с.
5.30. Временные изменения u _z (а), ε _x (б), σ _x (в), ε _z (г) и σ _z ( e) до t = 50 μ сек, вычисленных в центре верхней границы раздела панели № 1 с различными значениями коэффициента демпфирования (используется сетка 6).
5.31. Временные изменения u _z (а), ε _x (б), σ _x (в) и ε _z (г) до t = 500 мкм сек вычислено в центре верхней границы раздела Панели №1 с различными значениями коэффициента демпфирования (используется сетка 6).
Временные изменения u _z на рис. 5.30a показывают отсутствие влияния демпфирования на поперечное смещение, а рисунки 5.30b – 5.30e показывают значительное влияние демпфирования на деформации и напряжения. В частности, величина ε _x становится все меньше и меньше с увеличением коэффициента демпфирования. Влияние демпфирования на ε _z , σ _x и σ _z совершенно иное — сверхвысокочастотные колебания подавляются демпфированием, а кривые на рис 5.30c – 5.30e становятся гладкими. Однако затухание не влияет на средние временные изменения этих характеристик.
Результаты, представленные для изменения одних и тех же характеристик во времени в течение более длительного периода, показанные на рис. 5.31, также демонстрируют отсутствие влияния демпфирования на u _z и некоторое незначительное влияние на ε _x , σ _x и ε _z . Этот незначительный эффект проявляется в основном в подавлении ультравысокочастотных колебаний.Чтобы получить более глубокое объяснение этих эффектов, нам нужно сначала определить, что на самом деле означают значения коэффициентов демпфирования 0,1 и 0,5 и как они соотносятся с фактическими внутренними демпфирующими свойствами материалов, включенных в этот анализ.

Уравнения равновесия

Пример составления уравнений равновесия

Суммы проекций сил

Суммы моментов

Уравнения равновесия системы сходящихся сил

Помощь по сопромату — решение заданий и задач на заказ онлайн

Сопромат статически определимые и статически неопределимые системы

Уравнения равновесия твёрдого тела (Лекция 3)

Метод сечений (сопромат)

Этапы метода сечений

Внутренние силы в методе сечений

Вычисление продольной и поперечных сил, крутящего и изгибающих моментов

Метод сечений в сопротивлении материалов. Внутренние и внешние силовые факторы. Напряжение.

Сопротивление материалов

Метод сечений. Напряжения

Сущность метода сечений

Напряжение

Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Сопротивление и удельное сопротивление | Физика II

Цели обучения

Зависимость сопротивления от материала и формы

Пример 1.Расчет диаметра резистора: нить накала фары

Температурное изменение сопротивления

Пример 2. Расчет сопротивления: сопротивление горячей нити

Сводка раздела

Концептуальные вопросы

Задачи и упражнения

Сноски

Глоссарий

Избранные решения проблем и упражнения

Учебное пособие по физике: Комбинированные схемы

9.3 Удельное сопротивление и сопротивление — Университетская физика, том 2

9.3 Удельное сопротивление и сопротивление

Цели обучения

Удельное сопротивление

Проверьте свое понимание 9,5

Температурная зависимость удельного сопротивления

Сопротивление

Сопротивление

Резисторы

Зависимость сопротивления от материала и формы

Пример 9,5

Плотность тока, сопротивление и электрическое поле для токоведущего провода

Стратегия

Решение

Значение

Пример 9,6

Расчет сопротивления

Стратегия

Решение

Значение

Проверьте свое понимание 9,6

Пример 9,7

Сопротивление коаксиального кабеля

Стратегия

Решение

Значение

Проверьте свое понимание 9,7

10.3: Последовательные и параллельные резисторы

Резисторы серии

Параллельные резисторы

Сочетание последовательного и параллельного

Практическое применение

Авторы и авторство

— стенограмма видео и урока

Расчет сопротивления

Закон Ома

Расположение резисторов

Итоги урока

Равновесный поток — обзор

Гидравлическое сопротивление

Уравнение динамического равновесия — обзор

5.8 Эффект внутреннего демпфирования материала

Добавить комментарий Отменить ответ