Примеры решения задач

6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)

Условие задачи

Рис. 6.3. Условие задачи № 34:

а – сжатый стержень;

б – поперечное сечение стержня

Стержень, показанный на рис. 6.3, а, загружен сжимающей силой F. Поперечное сечение стержня, состоящее из двух швеллеров № 30 и двух планок, соединенных со швеллерами четырьмя болтами, изображено на рис. 6.3, б. Размер планок 40012 мм, диаметр болтов 20 мм. Материал – сталь С235 с . Требуется:

1. найти значение критической нагрузки;

2. определить допускаемую нагрузку так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности стержня;

3. вычислить нормируемый коэффициент запаса устойчивости.

Решение

Прежде всего найдем моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей.

Сечение имеет две оси симметрии (оси y и z на рис. 6.3, б), поэтому эти оси и будут главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно этих осей определяем, используя данные из сортамента прокатной стали и формулы (5.16), (5.17):

Минимальным оказался момент инерции относительно оси z. Определяем площадь сечения

и минимальный радиус инерции по формуле (5.10)

Теперь можно найти гибкость стержня. Для заданного условия закрепления стержня в соответствии с рис. 6.2,б коэффициент . Тогда по формуле (6.1)

Сравним величину полученной гибкости стержня с характеристиками и для стали С235. По формуле (6.5)

по таблице, приведенной в [4, с. 29],. Таким образом, и для определения критической силы следует использовать формулу Ясинского (6. 3):

Значения коэффициентов a и b в формуле Ясинского взяты из таблицы на с. 29 [4] и переведены из МПа в кН/см².

Найдем допускаемую нагрузку из условия устойчивости по формуле (6.7). Для определения коэффициента используем таблицу на с. 370 [2]¹⁶. Интерполируем значения , заданные в таблице: соответствует , а – . Тогда гибкости рассматриваемого стержня соответствует . Значение допускаемой нагрузки

Проверим, удовлетворяет ли найденная допускаемая нагрузка условию прочности (6.8). Вычислим площадь нетто, уменьшив полную площадь сечения на площадь, занимаемую четырьмя отверстиями под болты

¹⁷:

Тогда условие прочности

выполняется.

В заключение найдем нормируемый коэффициент запаса устойчивости по формуле (6. 9):

Коэффициент запаса устойчивости находится в пределах .

6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)

Рис. 6.4. К решению примера 1:

а – сжатый стержень;

б – поперечное сечение стержня

Пример 1

Условие задачи

Стержень, показанный на рис. 6.4, а, сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнополочных уголков, изображено на рис. 6.4, б. Материал стержня – сталь С235. Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.

Решение

Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчивости имеем сразу две неизвестные величины ( и ), то одной из них задаемся произвольно. Удобно задаться . Тогда из условия устойчивости (6.6) найдем

Площадь одного уголка Из сортамента прокатной стали выбираем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тонкой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, так как при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гибкость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем меньше гибкость, тем более устойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уголок 18011, площадь которого . Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей

y и z, которыми являются оси симметрии сечения (см. рис. 6.4, б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минимальным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.

Радиус инерции одного уголка относительно оси берем из сортамента: , а расстояние а (см. рис. 6.4, б) сосчитаем:

Таким образом, очевидно, что

и

Теперь найдем гибкость стержня¹⁸

и из таблицы, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости:

Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным, поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уголок их тех, у которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 16010. , и гибкость стержня

По таблице находим и видим, что условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:

Сечение из двух уголков 16010 можно считать экономичным¹⁹. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию .

В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. Поскольку стержень с подобранным сечением из уголков 16010 имеет гибкость , находящуюся в пределах между и , то определяем критическую силу по формуле Ясинского:

Действительный коэффициент запаса устойчивости

Пример 2

Условие задачи

Рис. 6.5. Сжатый стержень

квадратного поперечного

сечения

Деревянная стойка длиной l = 4 м квадратного поперечного сечения сжимается силой F = 100 кН (рис. 6.5). Требуется подобрать размер стороны квадрата а так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15 % площади сечения.

Примем допускаемое напряжение на сжатие для дерева

Решение

Поскольку размеры сечения могут быть любыми, используем метод последовательных приближений. Выполним первое приближение. Примем . Из условия устойчивости (6.6) найдем площадь сечения, подставив :

.

Поскольку , то . Найдем минимальный радиус инерции сечения. Для квадрата любая ось является главной и радиус инерции относительно любой оси

.

Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле (6.1):

.

По таблице находим для дерева . Полученное значение еще сильно отличатся от величины , принятой в начале первого приближения, поэтому выполним второе приближение. Найдем как среднее арифметическое между и :

и повторим все действия, выполненные в первом приближении:

Этой гибкости соответствует . Выполним еще одно, третье, приближение:

Соответствующее этой гибкости значение отличается от на 1,2 %. Такая точность достаточна, поэтому примем . Для этого размера в условии устойчивости

достигнуто желаемое равенство.

В заключение проверим условие прочности, считая .

.

Репетиторы по сопромату в Краснодаре

240

На Repetit.ru представлена база профессиональных репетиторов по сопромату. Грамотный учитель составит план обучения и подготовит к сдаче экзаменов. При выборе преподавателя изучайте рейтинг, отзывы учеников и цены занятий. Обратите внимание, учителя проводят уроки через скайп.

Развернуть

Популярные категории репетиторов математики: Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ (ГИА) Школьный курс Репетиторы на дом Занятия по скайпу Высшая математика

Найдено 240 репетиторов

Сбросить фильтры

Виктор Олегович

Частный преподаватель Стаж 7 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 2 000 руб / час

свободен

Павел Григорьевич

Преподаватель вуза Стаж 44 года

от 500 руб / час

свободен

Ирина Александровна

Частный преподаватель Стаж 7 лет

от 1 350 руб / час

свободен

Алина Александровна

Частный преподаватель Стаж 14 лет

от 2 500 руб / час

свободен

Алексей Евгеньевич

Школьный преподаватель Стаж 22 года

от 400 руб / час

свободен

Сергей Александрович

Частный преподаватель Стаж 3 года

от 2 500 руб / час

свободен

Стефано Фило

Носитель языка Стаж 16 лет

от 2 000 руб / час

свободен

Григорий Анатольевич

Преподаватель вуза Стаж 13 лет

от 5 000 руб / час

свободен

Максим Алексеевич

Частный преподаватель Стаж 13 лет

от 3 000 руб / час

свободен

Михаил Александрович

Частный преподаватель Стаж 7 лет

от 2 000 руб / час

свободен

Отзывы о репетиторах по сопромату

---

Я хочу выразить огромную благодарность Димитрию Леонидовичу за помощь по физике. Замечательный и отзывчивый человек, специалист, отлично объясняет. Моя дочь учится в 9классе и мы за очень короткое время исправили оценки, всем очень рекомендую.

Гузалия Фаизовна замечательный педагог!!! Дочка поняла объяснения учителя с первого занятия, общий язык найден. Очень отрадно, что есть такие Педагоги с большой буквы. Спасибо сайту репетит.ру, за индивидуальный подход.

Максим грамотный репетитор, чуткий, внимательный, знания на высоком уровне. Сын студент занимается по четырем предметам высшей математики, занятиями доволен. Как сдаст экзамен пока не знаю, на данный момент занятия продолжаются.

• Москва и Московская область
• Санкт-Петербург и Ленинградская область
• Абакан и Республика Хакасия
• Анадырь и Чукотский автономный округ
• Архангельск и Архангельская область
• Астрахань и Астраханская область
• Барнаул и Алтайский край
• Белгород и Белгородская область
• Биробиджан и Еврейская автономная область
• Благовещенск и Амурская область
• Брест и Брестская область
• Брянск и Брянская область
• Великий Новгород и Новгородская область
• Витебск и Витебская область
• Владивосток и Приморский край
• Владикавказ и Респ. Северная Осетия-Алания
• Владимир и Владимирская область
• Волгоград и Волгоградская область
• Вологда и Вологодская область
• Воронеж и Воронежская область
• Гомель и Гомельская область
• Горно-Алтайск и Республика Алтай
• Гродно и Гродненская область
• Грозный и Республика Чечня
• Екатеринбург и Свердловская область
• Иваново и Ивановская область
• Ижевск и Удмуртская республика
• Иркутск и Иркутская область
• Йошкар-Ола и Республика Марий Эл
• Казань и Республика Татарстан
• Калининград и Калининградская область
• Калуга и Калужская область
• Кемерово и Кемеровская область
• Киров и Кировская область
• Кострома и Костромская область
• Краснодар и Краснодарский край
• Красноярск и Красноярский край
• Курган и Курганская область
• Курск и Курская область
• Кызыл и Республика Тыва
• Липецк и Липецкая область
• Магадан и Магаданская область
• Майкоп и Республика Адыгея
• Махачкала и Республика Дагестан
• Минск и Минская область
• Могилев и Могилевская область
• Мурманск и Мурманская область
• Назрань и Республика Ингушетия
• Нальчик и Кабардино-Балкарская Респ.
• Нарьян-Мар и Ненецкий автономный округ
• Нижний Новгород и Нижегородская область
• Новосибирск и Новосибирская область
• Омск и Омская область
• Орел и Орловская область
• Оренбург и Оренбургская область
• Пенза и Пензенская область
• Пермь и Пермский край
• Петрозаводск и Республика Карелия
• Петропавловск-Камчатский и Камчатский край
• Псков и Псковская область
• Ростов-на-Дону и Ростовская область
• Рязань и Рязанская область
• Салехард и Ямало-Ненецкий авт. округ
• Самара и Самарская область
• Саранск и Республика Мордовия
• Саратов и Саратовская область
• Севастополь
• Симферополь и Республика Крым
• Смоленск и Смоленская область
• Ставрополь и Ставропольский край
• Сыктывкар и Республика Коми
• Тамбов и Тамбовская область
• Тверь и Тверская область
• Томск и Томская область
• Тула и Тульская Область
• Тюмень и Тюменская область
• Улан-Удэ и Республика Бурятия
• Ульяновск и Ульяновская область
• Уфа и Республика Башкортостан
• Хабаровск и Хабаровский край
• Ханты-Мансийск и Ханты-Мансийский авт. округ
• Чебоксары и Чувашская республика
• Челябинск и Челябинская область
• Черкесск и Карачаево-Черкесская Респ.
• Чита и Забайкальский край
• Элиста и Республика Калмыкия
• Южно-Сахалинск и Сахалинская область
• Якутск и Республика Саха (Якутия)
• Ярославль и Ярославская область
• Города России и зарубежья

Искусство решения проблем

Онлайн-курсы по математике

Присоединяйтесь к нашим живым интерактивным математическим занятиям с опытными преподавателями и талантливыми сверстниками.

Зарегистрироваться сейчас

Книги по математике

Получите важные стратегии решения проблем, необходимые для успеха в колледже и карьере.

Купить

Как видно в

Добро пожаловать в мир AoPS Online: мир, наполненный сложными проблемами, для решения которых требуются творческий подход и настойчивость. Мир, в котором студенты учатся у впечатляющих наставников и образцовых инструкторов. Мир, наполненный вдохновляющими сверстниками, разделяющими их любовь к учебе.

Наша программа углубленного изучения математики позволяет учащимся максимально раскрыть свой потенциал. А связи, которые учащиеся устанавливают в классе AoPS и онлайн-сообществе, сохраняются на всю жизнь.

• Каждый урок, который я проходил с AoPS, был фантастическим. Все делают большую работу, помогая учащимся добиться успеха, получая удовольствие от процесса изучения математики. Мне нравится, что сами студенты всегда готовы помочь друг другу.

  – Мэтью

• После прохождения курса AoPS Introduction to Geometry у меня появилось больше уверенности в математике. В процессе решения более сложных задач, чем я когда-либо мог себе представить, я также начал рассматривать геометрию как искусство. Я получаю удовольствие от математики все больше и больше!

  — онлайн-студент AoPS

• Курсы

  AoPS представляют собой прекрасный баланс задач и рекомендаций, постоянно напрягающих студентов и предлагающих им бороться с проблемами в своем собственном темпе, пока они не достигнут прозрения. Браво! Я бы хотел, чтобы AoPS существовал, когда я учился в старшей школе.

  – Онлайн-родитель AoPS

• Мой инструктор был великолепен. Она всегда была готова дать совет и знала, сколько советов нужно дать, чтобы проблемы оставались выполнимыми, но при этом приносили удовлетворение.

  — онлайн-студент AoPS

• Мой сын поглощает ваши уроки. Он всегда любил математику, но сейчас не может ею насытиться. Его прокачивают каждую среду. Способ предоставить лучший образовательный продукт, который этот папа нашел где угодно!

  – Джон С.

• Сочетание видео, учебников, онлайн-задач и задач из книг было фантастическим для наших мальчиков. Мне нравится, что они могут делать это в своем собственном темпе, и насколько они мотивированы теперь, когда сами несут ответственность за свое обучение.

  — Онлайн-родитель AoPS

Все члены команд Международной математической олимпиады США 2015–2022 гг. являются выпускниками AoPS.

Категории онлайн-курсов по математике

Онлайн-курсы AoPS проводятся еженедельно в нашем интерактивном онлайн-классе. Опытные инструкторы проводят группы через увлекательные и сложные задачи, а студенты работают со сверстниками, творчески решая проблемы вместе.

5–10 классы и старше
От алгебры до геометрии

Узнать больше 

Классы 8–12+
Алгебра от среднего до предварительного исчисления

Подробнее 

9–12 классы+
Исчисление к олимпиадной геометрии

Подробнее 

9–12 классы
Всемирная онлайн-олимпиада Обучение по математике, Физика и химия

Подробнее 

6–12 классы
Подготовка к математическим олимпиадам

Узнать больше 

Классы 6–12+
Курсы программирования

Подробнее 

Книги по математике

AoPS предлагает учебники по продвинутой математике как в онлайновом, так и в бумажном формате. Наша комплексная учебная программа по математике охватывает как предалгебру, так и подготовку к соревнованиям по математике.

Просмотреть все 

Введение в математику

Полная вводная учебная программа по математике для учащихся 5–10 классов, которая подробно охватывает стандартную серию преалгебры/алгебры/геометрии, а также важные отдельные математические темы.

Посмотреть 

Математика для среднего и продвинутого уровня

Учебники по математике для начинающих, которые готовят учащихся 8–12 классов к продвинутым математическим предметам в средней школе, колледже и карьере в областях STEM.

Просмотр 

Подготовка к соревнованиям по математике

Уже более 25 лет победители математических соревнований полагаются на руководства по решению задач AoPS для подготовки к соревнованиям. Подходит для 6–12 классов и написана обладателями медалей в MATHCOUNTS, AMC, AIME и USAMO.

Просмотр 

Другие программы AoPS

Art of Problem Solving предлагает две другие многогранные программы. Beast Academy — это онлайн-учебная программа по математике, основанная на комиксах, для учащихся в возрасте от 6 до 13 лет. А Академия AoPS предлагает нашу методологию учащимся 2–12 классов на небольших очных занятиях в местных кампусах.

Благодаря нашим трем программам AoPS предлагает самый полный курс математики с отличием в мире. Посмотрите полное сравнение наших программных предложений.

Бесплатные ресурсы для учащихся

Art of Problem Solving предлагает широкий выбор бесплатных ресурсов для заядлых специалистов по решению проблем, в том числе сотни видеороликов и интерактивных инструментов, таких как Alcumus, наша популярная система адаптивного обучения.

Alcumus — наша бесплатная адаптивная обучающая система. Он предлагает учащимся индивидуальный подход к обучению, приспосабливаясь к их успеваемости, чтобы решать задачи, которые бросят им вызов. Alcumus соответствует нашим онлайн-курсам и учебникам по вводной математике, средней алгебре и предварительному исчислению.

НАЧАТЬ ОБУЧЕНИЕ 

Наша видеотека содержит сотни видеороликов с участием основателя AoPS Ричарда Ручика. Многие из видеороликов связаны с нашими книгами и классами «Преалгебра», «Введение в алгебру» и «Введение в счет и вероятность».

ПОСМОТРЕТЬ СЕЙЧАС 

Тренер по MATHCOUNTS содержит тысячи задач из предыдущих школьных, государственных и национальных соревнований по MATHCOUNTS. Полные решения предоставляются для каждой проблемы, поэтому начинающие математики MATHCOUNTS могут научиться подходить даже к самым сложным вопросам.

НАЧАТЬ ОБУЧЕНИЕ 

Соревнуйтесь с учащимися средних школ со всего мира с помощью For the Win! (FTW), вдохновленный раундом обратного отсчета MATHCOUNTS.

НАЧАТЬ ИГРУ 

Просмотреть все ресурсы 

© 2023 AoPS Incorporated

Обучение самых ярких умов сегодняшнего дня решать проблемы завтрашнего дня

МЫ ЗАДАВАЕМ СТУДЕНТАМ

Наши напряженные занятия по математике, естественным наукам и словесности не только готовятся к экзаменам, но и вдохновляют учащихся на раскрытие своего полного потенциала.

ПОСМОТРЕТЬ КУРСЫ

ОТ ПОБЕРЕЖЬЯ К ПОБЕРЕЖЬЮ

Мы предлагаем учебную программу AoPS для активных учащихся в сообществах по всей территории Соединенных Штатов.

ПОСМОТРЕТЬ МЕСТА

Где исследование встречает вызов

Art of Problem Solving с 1993 года является лидером в области математического образования для учащихся с высокими показателями успеваемости. В 2016 году мы запустили Академию AoPS, чтобы предложить нашим строгим учебным планам и опытным преподавателям классы по всей территории Соединенных Штатов. Имея кампусы в 8 штатах (и число их растет!), наш подход воспитывает любовь к решению сложных задач, которая полностью включена во все наши курсы по математике, естественным наукам и словесности. Самое главное, наши студенты становятся частью сообщества целеустремленных учащихся, которое помогает им достичь новых высот.

Вас интересует Академия AoPS?

Запланируйте бесплатную консультацию о пригодности вашего ученика.

ГРАФИК КОНСУЛЬТАЦИИ

Мой младший сын очень активно учится, и он полностью отключился от математики из-за работы по «запоминанию и повторению», которую он проделал перед тем, как поступить в Академию AoPS. Он дрался с каждым учителем по математике. Теперь он просматривает рабочие тетради Beast Academy и онлайн-практику. Всего за короткое время с вашей математической программой он стал маленьким математиком!

Джин Р. , родитель Академии AoPS

Мои дети любят Академию AoPS и с нетерпением ждут занятий каждую неделю. AoPS поддерживает высокие стандарты, уделяя особое внимание учащимся с высокой успеваемостью и избирательному процессу приема. Я искренне восхищаюсь умением сотрудников удерживать внимание студентов и бросать им вызов.

Сумали С., родитель Академии AoPS

Персонал Академии AoPS делает большую работу, помогая учащимся полностью раскрыть свой потенциал. Мои дети научились мыслить логически и творчески, решая сложные задачи. Я рад, что мы нашли этот ценный ресурс!

Уша Д., родитель Академии AoPS

В Академии AoPS превосходная учебная программа и выдающиеся преподаватели. Если бы только мы могли испытать математику, как это, когда мы были молоды!

Молли и Ричард Т., родители Академии AoPS

Наш сын любит математику и естественные науки и действительно чувствует себя в Академии AoPs как дома. Там он нашел сообщество сверстников, которые ценят его способности, и он понял, что хорошо разбираться в математике — это нормально.