Сопромат расчет на прочность балки: Расчет балок на прочность он-лайн. Расчет балки на изгиб.

Содержание

Сопромат расчет балки на прочность

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость изгибаемой статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [ σ ]=160 МПа и [ τ ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]= l/400

Определение опорных реакций

Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем видеоуроке:

Построение эпюр Q и М

По этим данным построены эпюры Q и М.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как Мmах = 45 кНм, то

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см 3 , Ix= 3460 см 4 , Smax = 163 см 3 , h = 24 см, b

п = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Qmax = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ 1=118 МПа и σ 3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ 1 — σ 3≤ [ σ ].

Так как 118 — ( -16) = 134 θ

откуда θ = -8,48∙10 -3 радиан.

Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.

Расчет по допускаемым напряжениям на прочность при изгибе.

– при симметричном сечении

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

n – коэффициент перегрузки.

– нормативная нагрузка.

Рр – расчетная нагрузка.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

где Rp и Rсж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σт ( в пластичных материалах), и до предела прочности σnч ( в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σт.

W пл – пластический момент сопротивления

– статический момент растянутой и сжатой зон относительно нейтральной оси.

где – коэффициент надежности по материалу.

где R – расчетное сопротивление.

Для прямоугольного сечения:

W пл=bh 2 /4 – для прямоугольного сечения.

W =bh 2 /6 – обычный момент сопротивления.

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ21=>N2>N1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

– уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: – Формула Журавского

где Q – поперечная сила,

Sотс – статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси,

J-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, b – ширина балки на уровне y.

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение:

– формула для сечения на расстоянии у от нейтральной оси.

– формула для сечения на расстоянииу от нейтральной оси.

– формула для сечения под углом α.

3. Двутавровое сечение.

Для стенки двутавра

вычисляют по формуле:

Для полки: условно вертикальные касательные напряжения определяют по формуле:

В полках двутавров возникают касательные напряжения, направленные горизонтально:

На рисунке показан общий характер распределения τ в сечении двутавра.

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

Выделим из балки участок, на который действует максимально поперечная сила Qmax и изгибающий момент Mmax.

Наиболее опасными точками являются сечение A и точка Б.

Прочность проверяется по напряжениям в этих точках.

На практике обычно ограничиваются проверкой сечения A:

сж]

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где Rсрез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ1 и σ2 по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ 1 – σ2≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю;
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

  • Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». < 3 >>< 6 >]

    • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

    Формулы прогибов

    С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

    В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

    Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

    Выражаем угол поворота:

    Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

    Вычисление прогиба

    Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

    Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

    Расчет балки прокатного профиля и выбор ее номера по сортаменту.

    Примеры решения задач по сопротивлению материалов


    

    На этой странице приведен пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет горизонтальной балки, нагруженной поперечными силовыми факторами. По результатам расчетов внутренних силовых факторов осуществлен подбор размеров сечения балки из расчета на прочность.

    Результаты расчетов балки оформлены эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил.

    Здесь можно скачать готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике) для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
    Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

    ***

    Расчет двутавровой балки

    Условие задачи:

    На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки: изгибающий момент М, сосредоточенная сила F и распределенная нагрузка q (см. рис. 3).
    Материал стержня – сталь Ст.3.

    Требуется:

    Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность.

    Исходные данные:

    Нагрузки:

    • М = 6 кН×м;
    • F = -7 кН;
    • q = -8 кН/м;
    • a = 2 м;
    • Сечение балки: двутавр.

    Координаты приложения нагрузок:

    • ZM = 3а - координата приложения изгибающего момента;
    • ZF = а - координата приложения сосредоточенной силы;
    • начало распределенной нагрузки: Zq = 2а;
    • конец распределенной нагрузки: Zq = 3а;
    • ZB = 3а - координата опоры В.

    Указания:

    Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
    Шарнирно-неподвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих участках, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
    Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения QY и MX остаются постоянными.

    Решение:

    1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RА и RВ (см. рис. 3). Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
    При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными.

    ∑МА = М - q×a×2,5а - F×а + RВ×3а = 0,

    откуда находим реакцию RВ:

    RВ = (qa×2,5а + F×а – М)/3а = (8×2×2,5×2 + 7×2 – 6)/3×2 =14,67 кН.

    ∑МВ = М + q×a×0,5а + F×2а – RА×3а = 0,

    откуда находим реакцию RА:

    RА = (М + qa×0,5а + F×2а)/3а = (6 + 8×2×0,5×2 + 7×2×2)/3×2 = 8,33 кН.

    Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:

    ∑FY = RА – F – q×a + RВ = 8,33 – 7 – 8×2 + 14,67 = 0.

    Опорные реакции найдены правильно.

    2. Составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого силового участка балки.

    2.1. Участок I:     0 ≤ Z1 ≤ 2 м.

    • QY1 = RA ;
    • MX1 = - RA×ZY.

    На протяжении всего участка I внутренняя сила равна RA = 8,33 кН.
    Изгибающий момент на этом силовом участке изменяется линейно, поэтому для построения эпюры достаточно рассчитать его значение в двух крайних сечениях участка:

    • МX1=0 = 0;
    • МX1=2 = -8,33×2 = -16,66 кН×м.

    2.2. Участок II:     2 м ≤ Z2 4 м.

    • QY2 = RА – F = 8,33 – 7 = 1,33 кН;
    • MX2 = - RА×( + Z2) + F×Z2.

    Изгибающий момент на этом силовом участке тоже изменяется линейно:

    • МX2=2 = -16,66 кН×м;
    • МX2=4 = -8,33×(2+2) + 7×2 = -19,32 кН×м.

    2.3. Участок III:     4 м ≤ Z3 < 6 м (кроме крайней точки В, где приложен момент М).

    QY3 = RА – F - q×Z3;

    MX3 = - RА×( + Z3) + F×( + Z3) + q×Z3×Z3/2).

    В крайней точке В (Z3 = 2 м) алгебраическая сумма всех изгибающих моментов должна быть равна нулю:

    MX3=6м = - RА×(4 м + Z3=2м) + F×( + Z3=2м) + q×Z3=2м × Z3=2м /2) + М =

    = -8,33×6 +7×4 + 8×2×1 + 6 = 0.


    

    Сила QY3 на силовом участке III изменяется линейно, поэтому для построения эпюры находим ее значение в крайних сечениях участка:

    • QY Z3=0 = RА – F - q×Z3=0 = 8,33 - 7 = 1,33 кН;
    • QY Z3=2 = RА + q×Z3=2 = 8,33 - 7 - 8×2 = -14,67 кН,

    т. е. сила в крайней точке равна реакции опоры B, но направлена в противоположную сторону, что свидетельствует о правильности произведенных расчетов. Поскольку сила на силовом участке III поменяла знак, то изгибающий момент МX при QY = 0 имеет экстремальное значение. Найдем координату экстремальной точки Z3экст и величину экстремального изгибающего момента MXэкст.

    QY = RА – F - q× Z3экст = 0 ,  откуда:  Z3экст = (RА – F) / q = (8,33 – 7)/8 = 0,166 м.

    Подставив полученное значение в уравнение изгибающего момента, получим:

    MXэкст = - RА×( + Z3экст) + F×( + Z3экст) + q×Z3экст×Z3экст/2) =

    = -8,33×4,166+7×2,166 + 8×0,1662/2 = -19,43 кН×м.

    Изгибающий момент на силовом участке III изменяется по квадратичной зависимости, поэтому его эпюра имеет криволинейный вид. Для того, чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в нескольких промежуточных точках.

    • MX3=0 = -8,33×4 +7×2 = -19,32 кН×м;
    • MXэкст = -19,43 кН×м;
    • MX3=0,5м = -8,33×4,5 +7×2,5 + 8×0,52/2 = -18,985 кН×м;
    • MX3=1м = -8,33×5 +7×3 + 8×12/2 = -16,65 кН×м;
    • MX3=1,5м = -8,33×5,5 +7×3,5 + 8×1,52/2 = 15,255 кН×м;
    • MX3=2м = -6,0 кН×м.

    3. По результатам расчетов строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 4 внизу страницы).

    4. По эпюре МX определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине):

    MXmax = 19,43 кН×м.

    Размер сечения (по условию варианта задания - двутавра) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:

    WX = MXmax/[σ] = 19,43×103/160×106 = 0,000121 м3 = 121 см3.

    По таблице сортаментов выбираем двутавр №18, у которого момент сопротивления WX = 143 см3 (ближайший по сортаменту двутавр №16 имеет момент сопротивления сечения равный 109 см3, что недостаточно для выполнения условия прочности).

    ***

    Расчет статически неопределимой балки

    Сопротивление материалов

    
    Главная страница


    Дистанционное образование

    Специальности

    Учебные дисциплины

    Олимпиады и тесты

    Подбор сечения балки (сопромат)

    Балка проверяется на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающие в поперечном сечении балки, где на эпюре наибольший по абсолютному значению изгибающий момент. При поперечном изгибе в балке возникают и касательные напряжения, но они невелики, и при расчете на прочность учитываются только для двутавровых балок.

    Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям: ,

    где допускаемое напряжение принимается, как и при растяжении (сжатии) стержня из такого же материала.

    Формула условия прочности при изгибе по нормальным напряжениям позволяет осуществить подбор сечения балки при заданном материале и максимальном абсолютном значении изгибающего момента. Требуемый момент сопротивления балки при изгибе определяется из условия: .

    При изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения и остается неизменной. Например, для балки прямоугольного поперечного сечения с отношением сторон , расположенной таким образом, что высота прямоугольника h перпендикулярна нейтральной оси x, прочнее той же самой балки повернутой на , в три раза, так как . В выражении для осевого момента сопротивления балки прямоугольного поперечного сечения при изгибе в квадрате стоит тот ее размер, который перпендикулярен нейтральной оси. Следовательно, сечение балки необходимо располагать таким образом, чтобы силовая плоскость совпадала с той из главных центральных осей, относительно которой момент инерции минимален ( ось, относительно которой главный момент инерции поперечного сечения максимален, является нейтральной осью). Это обстоятельство лишний раз подчеркивает важность темы «Определение положения главных центральных осей инерции поперечного сечения стержня».

    Проверка прочности двутавров

    Для тонкостенных балок, например балок двутаврового профиля, проверка прочности производится следующим образом:

    в наиболее удаленных от нейтральной оси точках прочность проверяется по формуле ;

    в точках, где полка соединяется со стенкой прочность определяется по главным напряжениям.

    в точках, расположенных на нейтральной оси, прочность определяется по наибольшим касательным напряжениям:

    cccp3d.ru | Расчет балки на прочность

    У меня в модели получились большие напряжения во внутреннем угле. Пробовал сделать сетку мельче - напряжения стали еще больше! Что делать?

    Тебе повезло - это сингулярность. Рано или поздно с нею сталкивается любой расчетчик. Про нее рассказывают сказки на ночь, ею пугают конструкторов и проектировщиков. Ею объясняют любые нестыковки в результатах расчета: если уверенно сказать "это сингулярность", то сразу видно - человек шарит.
    Для начала рассмотрим силу, приложенную к одной единственной точке поверхности. Когда мы захотим посчитать напряжения под этой силой, нам надо будет поделить эту силу на некоторую площадь. Если речь пойдет о расчете МКЭ, то мы возьмем площадку, очерченную линией, соединяющей центры прилежащих элементов. Ну, плюс-минус, в зависимости от конкретной реализации. Взяв конечную площадку и конечную силу, мы получим конечное напряжение. Очевидно, что если конечные элементы будут меньше, то и площадку будет меньше, а сила при этом останется той же. В пределе (когда размеры элементов стремятся к нулю) площадка будет иметь нулевую площадь, а значение напряжений будет бесконечным - сингулярность. В рассмотренном случае в точке приложения силы точным решением являются бесконечно большие напряжения( математически), а в результате решения методом конечных элементов получаем конечное решение, которое тем ближе к бесконечности, чем меньше сетка.
    Аналогичная ситуация возникает в точечном закреплении, ведь в закреплении есть сила реакции, а, соответственно, приходим к первому случаю.
    И еще один способ "вызвать сингулярность" - острый угол в модели, который пытаются раскрыть. Острый угол вызывает катастрофическую концентрацию напряжений, математически - на бесконечность. Отличный пример из жизни - надрезы на упаковках. Если надреза нет, то очень трудно порвать пластик/полиэтилен, но если производитель позаботился и сделал заранее небольшой надрез, то открыть упаковку не составит труда. Почему? Потому что на острие надреза ооочень большие напряжения.
    Итак, сингулярность - точка(место) в модели, где в аналитическом решении возникают бесконечные напряжения. Дает о себе знать как раз указанным способом - при измельчении сетки вблизи сингулярности напряжения неограниченно растут.
    Что делать? Есть три принципиально отличающихся варианта (возможно, больше):
    - игнорировать;
    - разрешить;
    - учесть пластику.

    Игнорировать. Самый простой по затраченным ресурсам вариант. В таком случае мы имеем в модели большие напряжения, понимаем, что это сингулярность и авторитетно заявляем, что ничего страшного - это маленькая область, напряжения срелаксируют в пластическое течение металла и остальной конструкции не повредят. На эпюрах в отчете либо корректируем шкалу, либо оставляем как есть и комментируем в тексте.

    Разрешить. В смысле - получить решение. В реальной модели острых углов нет, там всегда есть какой-никакой радиус скругления. А вот для радиуса скругления, в отличие от острого угла, можно получить конечное решение и сеточную сходимость. То есть при измельчении сетки рано или поздно напряжения выйдут на конечный конкретный уровень. Но чем меньше радиус скругления, тем сильнее придется мельчить сетку для разрешения сингулярности. Этот вариант самый дорогой по машинным ресурсам, поэтому редко бывает целесообразным. К тому же, предел текучести, вполне вероятно, все равно будет превышен. Тем не менее, это вариант есть и иногда используется.

    Учесть пластику. Бесконечные напряжения возникают только если модель материала линейная (см.соседние вопросы/ответы). Если же заложить в модель хотя бы упруго-пластическую модель Прандтля, то при достижении в точке сингуярности предела текучести напряжения перестанут расти, внутренние усилия будут перераспределяться на соседние точки. Представь себе с десяток мужиков, которые стоят в шеренге, положили руки друг другу на плечи и стали приседать. Через час один из них выдохся и ноги его больше не могут поднять бренное тело - материал в точке потек. Но он держится руками за соседей, а соседи держатся за него - в металле есть атомные связи. Поэтому он, не прикладывая уже никаких усилий, не сопротивляясь, будет продолжать общее движение, будет выдерживать нагрузку. Нагрузка (в данном случае вес) при этом перераспределится на соседей. Через какое-то время выдохнутся(потекут) и соседи и нагрузка перераспределится на следующих. И так пока все не рухнут. В этой метафоре время и усталость человеческих мыщц являются аналогом увеличения нагрузки. Итак, при учете пластического течения материала усилия в точке сингулярности перераспределяются в соседние точки, вызывая пластическое течение материала. Если область пластического течения получится небольшая, то мы можем сказать "да, пластика будет, но это не страшно". Отличие от первого варианта в том, что мы это показали и доказали расчетом, а не просто опирались на интуицию и опыт. А иногда, в результате учета пластики, мы увидим, что под действием имеющихся нагрузок образуется "пластический шарнир", течет целое поперечное сечение модели, а значит деталь разделяется на две части, разрушается со всеми вытекающими.
    Вариант учета пластики, как правило, средний из трех предложенных по затрачиваемым ресурсам, при этом - самый физичный, близкий к реальности.

    3. Расчет балок на прочность

    Детали машин и элементы конструкций, работающие на изгиб, рассчитываются на прочность по допускаемым напряжениям. Условие прочности записывается в виде:

    или ,

    где - наибольшее нормальное напряжение, возникающее в сечении, где действует наибольший изгибающий момент (в опасном сечении) в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси;

    - момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси;

    - допускаемое нормальное напряжение, определяемое

    - для пластичных материалов , где:

    - предел текучести материала; - коэффициент запаса по пределу текучести;

    - для хрупких материалов , где

    - предел прочности материала; - коэффициент запаса по пределу прочности.

    Короткие балки при расчете на прочность рассчитываются и по наибольшим касательным напряжениям. При этом условие прочности по нормальным напряжениям дополняют условием прочности по касательным напряжениям:

    .

    Это условие формулируется для сечений, где действует максимальная поперечная сила для точек, лежащих на нейтральной оси, где - допускаемое касательное напряжение;

    - для пластичных материалов , - для хрупких материалов , где , - предел текучести и предел прочности материала при чистом сдвиге, которые определяются опытным путем при кручении тонкостенной трубки.

    4. Рациональные формы поперечных сечений балки

    Нормальные напряжения при плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях распределяются неравномерно. Материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях его экономии и снижения веса конструкций следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси. Таким образом, наиболее рациональным сечением из представленных является двутавровое, а наименее рациональным - круглое (рис. 66).

    Расположение прямоугольника и двутавра при вертикальной силовой плоскости более выгодно как показано на рис. 67а, чем на рис. 67б, так как наибольшая часть материла на рис. 67а наиболее удалена от нейтральной оси.

    Перемещения при изгибе.

    1. Основные понятия.

    Рассмотрим схему деформации балки (рис. 68).

    – ось бруса (балки) до деформации прямая линия, – изогнутая ось бруса, называемая упругой линией.

    Деформация изгиба характери­зуется двумя параметрами: прогибом и уг­лом поворота сечения.

    П

    Рис. 68.

    рогибом называется перемещение центра тяжести сечения балки в направлении, перпендикулярном начальной оси.

    Обозначения:

    Свяжем с балкой систему координат . По рисунку видно, что величина прогиба изменяется при изменении координаты сечения

    - уравнение упругой линии (кривой )

    После деформации все поперечные сечения остаются перпендикулярными оси, то есть все они повернутся на некоторый угол . Величины углов зависят от положения сечений, т.е. от координаты .

    - уравнение углов поворота.

    Прогиб и угол поворота связаны между собой дифференциальной зависимостью. Проводим касательную к упругой линии в сечении , она составляет с осью угол . Из математики известно:

    Ввиду малости деформаций . Откуда .

    Производная от прогиба равна углу поворота сечения.

    сборная двутавровая балка- сопромат - Теория машин и механизмов

    [quote name='Allent' date='Oct 26 2009, 23:40 ' post='353077'

     

    пояснения - на эскизике сделаном на скорую руку три детали сверху и сборочка в сечении по серединой линии прямоугольных отверстий.

     

     

    Вот изображение этого сечения на рисунке вызывает сомнение в правильности.Скорей всего линия сечения разреза смещена.

     

    Расчет прочности такой балки скорей всего сведется к расчету прочности самого шипового соеденения.Скорей всего сечения расклепанной или сварной ее части в районе начала или конца паза полки.Фактически прочность будет определятся прочность внешнего сечения (6мм) полки на разрыв, поставленной на ребро с концентраторами напряжений в виде прямоугольного шипа.

    Достаточно дополнительно для наглядности построить разрез по шипу в районе начала любого паза под шип.И произвести расчет на прочность.

    Несколько добавит прочности такой балки выполнение угловых швов вдоль незашипованных частей этой балки.

    Тогда в расчете можно наверное учесть шиповые соеденения как дефекты и площади их сечений просто исключить из расчетов.

    Но неприятно,что на наружней полке будут имется нагруженные дефекты виде надрезов шириной 6мм или сварочного шва с катетом Хмм.Придется наверное общитывать все же и это.учитывая напряжения в шве.

     

    Есть предложенный еще один оригинальный вариант расчета: расматривать это как взаимодействие шестерни с большим радиусом с прямоугольными зубьями с перфорированной стальной лентой.Которая находится с ней в жестком зацеплении.

     

    Мне нравится второй вариант(с шестерней)Но там тоже похоже вся нагрузка на разрыв полки прикладывается к сечению 6Х6 мм.Так,что картина сильно не меняется.

    Общая ошибочность данной конструкции в том,что внешняя полка двутавра не имеет сплошного сечения.

    Изменено пользователем Kyzmich

    Расчет балок переменного сечения (Лекция №30)

    Подбор сечений балок равного сопротивления.

       Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.

    Ниже рассмотрено несколько примеров подбора сечения и определения деформаций балок переменного профиля.

       Так как изгибающие моменты обычно меняются по длине балки то, подбирая ее сечение по наибольшему изгибающему моменту, мы получаем излишний запас материала во всех сечениях балки, кроме того, которому соответствует . Для экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок применяют балки равного сопротивления. Под этим названием подразумевают балки, у которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и должно быть равно допускаемому.

    Условие, определяющее форму такой балки, имеет вид

    и

       Здесь М(х) и W(x) — изгибающий момент и момент сопротивления в любом сечении балки; W(х) для каждого сечения балки должен меняться пропорционально изгибающему моменту.

       Эти условия справедливы и для сечения с наибольшим изгибающим моментом; если обозначить — момент сопротивления балки в сечении с наибольшим изгибающим моментом , то можно написать:

    (1)

       Покажем ход вычислений на примере. Рассмотрим балку пролетом l, защемленную концом А и нагруженную на другом конце силой Р (Рис.1). Выберем сечение этой балки в виде прямоугольника; задачу о надлежащем изменении момента сопротивления можно решать, меняя высоту или ширину балки или тот и другой размер вместе.

    Рис.1. Расчетная схема балки равного сопротивления

     

       Пусть высота балки будет постоянной , а ширина переменной—. Момент сопротивления в сечении на расстоянии х от свободного конца будет , а изгибающий момент ; момент сопротивления опорного сечения , a наибольший изгибающий момент в опорном сечении . В расчете имеют значения лишь абсолютные величины М(х) и

    По формуле (1) получаем:

    откуда

    т. е. ширина меняется по линейному закону в зависимости от х. При ширина равна .

       Вид балки в фасаде и плане показан на Рис.1. Такое очертание балки получается, если учитывать ее прочность только по отношению к нормальным напряжениям; ширина в сечении В обращается в нуль.

       Однако необходимо обеспечить прочность и по отношению к касательным напряжениям. Наименьшая ширина балки, требуемая этим условием, определится из уравнения

    или, так как

       Таким образом, исправленное очертание балки предопределяет минимальный размер ширины и утолщение свободного края консоли.

     

    Определение деформаций балок переменного сечения.

       При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнутой оси принимает вид

    где J(x) — переменный момент инерции сечений балки.

       До интегрирования этого уравнения можно выразить J(x) надлежащей подстановкой через J, т. е. через момент инерции того; сечения, где действует ; после этого вычисления производятся так же, как и.для балок постоянного сечения.

       Покажем это на примере, разобранном выше. Определим прогиб балки равного сопротивления, защемленной одним концом, нагруженной на другом конце силой Р и имеющей постоянную высоту. Начало координат выберем на свободном конце балки.

    Тогда

    Дифференциальное уравнение принимает вид:

    Интегрируем два раза:

    Для определения постоянных интегрирования имеем условия: точке А при прогиб и угол поворота или

    и

    отсюда

    и

    Выражения для у и принимают вид;

    Наибольший прогиб на свободном конце балки В получится при : он равен

    Если бы мы всю балку сделали постоянного сечения с моментом инерции J, то наибольший прогиб был бы

    т. е. в 1 раза меньше.

       Таким образом, балки переменного сечения обладают большей гибкостью по сравнению с балками постоянной жесткости при одинаковой с ними прочности. Именно поэтому, а не только ради экономии материала, они и применяются в таких конструкциях, как рессоры.


    Дальше...

    Краткий справочник по анализу пучка (формула)

    ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.


    На этой странице представлена ​​краткая справочная таблица формул для расчета напряжений и прогибов в балках.

    Сила сдвига и изгибающий момент

    Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при граничных условиях.Затем сделайте разрезы по длине балки и решите реакции на каждом разрезе, как показано ниже. Выбранная сторона разреза не повлияет на результаты.

    Подписать Конвенцию

    Ножницы Изгибающий момент
    Положительный сдвиг вызывает вращение выбранной секции балки по часовой стрелке, отрицательный сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки. Положительный момент сжимает верхнюю часть балки и удлиняет нижнюю (т.е. это заставляет луч "улыбаться"). Отрицательный момент заставляет луч «хмуриться».

    Диаграммы сдвига и момента

    Сдвиг и изгибающий момент в балке обычно выражаются с помощью диаграмм сдвига и момента. Здесь показан пример диаграммы момента сдвига.

    Общие правила построения диаграмм момента сдвига приведены в таблице ниже.

    Диаграмма сдвига Схема моментов
    • Точечные нагрузки вызывают вертикальный скачок на диаграмме сдвига в том же направлении, что и знак точечной нагрузки.
    • Равномерно распределенные нагрузки образуют прямую наклонную линию, наклон которой равен значению распределенной нагрузки.
    • Диаграмма сдвига горизонтальна для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки.
    • Сдвиг в любой точке балки равен наклону момента в этой же точке:
    • Для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки диаграмма моментов представляет собой прямую наклонную линию с наклоном, равным значению сдвига.
    • Равномерно распределенные нагрузки приводят к параболической кривой на диаграмме моментов.
    • Максимальные / минимальные значения момента возникают там, где линия сдвига пересекает ноль.
    • Момент в любой точке балки равен площади под диаграммой сдвига до этой точки:

      M = ∫ V dx


    Напряжения изгиба в балках

    Напряжение изгиба в балке равно нулю на нейтральной оси и линейно увеличивается с расстоянием от нейтральной оси в соответствии с формулой изгиба :

    Формула изгиба (напряжение изгиба в зависимости отрасстояние от нейтральной оси):
    Максимальное напряжение изгиба возникает в крайнем волокне:

    где M - момент в точке по длине балки, взятый из диаграммы моментов.


    Напряжение изгиба в несимметричной балке:


    Модуль упругости сечения , S характеризует сопротивление изгибу поперечного сечения одним термином:

    Максимальное напряжение изгиба в балке:

    Напряжения сдвига в балках

    Максимальное напряжение сдвига для общих поперечных сечений:

    Таблицы отклонения балки

    Таблицы уравнений прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных конечных условий и нагрузок можно найти на этой странице.



    Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.

    • Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
    • Строит диаграммы сдвига и момента
    • Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

    Список литературы

    1. Будинас-Нисбетт, "Машиностроительный проект Шигли", 8-е изд.
    2. Гир, Джеймс М., "Механика материалов", 6-е изд.
    3. Линдебург, Майкл Р., "Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму", 13-е изд.
    4. "Руководство по анализу напряжений", Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

    Beam Strength - обзор

    6.3 Изгиб многослойных балок

    Рассмотрим проблему изгиба, описываемую уравнением. (6.34).Интегрирование этих уравнений относительно x из x = 0 дает

    (6.38) V = V0 − Vp − VRM = M0 + V0x − Mp − MRθ = θ0 + M0Dx + V02Dx2 − θp − θRw = w0 + 1S ( V0x − Mp − MR) −θ0x − M02Dx2 − V06Dx3 + wp + wR

    где V0, M0, θ0 и w0 - начальные значения V, M, θ и w, соответствующие сечению x = 0. Эти значения могут быть найдены из граничных условий на концах балки x = 0 и x = l (см. Рис. 6.1). Члены нагрузки с индексом « p » соответствуют распределенным нагрузкам и имеют следующий вид:

    (6.39) Vp = ∫0xp¯dx, Mp = ∫0xVpdx, θp = 1D∫0xMpdx, wp = ∫0xθpdx

    Для равномерного давления p¯ = p¯0,

    (6.40) Vp = p¯0x, Mp = 12p ¯0x2, θp = 16Dp¯0x3, wp = 124Dp¯0x4

    Члены нагрузки с индексом « R » в уравнении. (6.38) соответствуют сосредоточенным силам Rm и Fm, показанным на рис. 6.1. Эти члены могут быть записаны с помощью уравнения. (6.39) если представить их в виде p¯ = R¯mδ (x − xm), где R¯m = Rm − Fm, а δ - дельта-функция. Используя правила интегрирования этой функции, мы получаем из уравнения.(6.39)

    (6.41) VR = ∑m = 1nVR (m), MR = ∑m = 1nMR (m), θR = ∑m = 1nθR (m), wR = ∑m = 1nwR (m)

    где n - количество поперечных сечений балки, в которых действуют силы, и для xm

    (6.42) VR (m) = 0, MR (m) = 0, θR (m) = 0, wR (m ) = 0

    и для x≥xm

    (6.43) VR (m) = R¯m, MR (m) = R¯m (x − xm), θR (m) = R¯m2D (x − xm ) 2, wR (m) = R¯m6D (x − xm) 3

    Решение, данное уравнением. Уравнение (6.38) универсально и позволяет исследовать как статически детерминированные, так и избыточные пучки с использованием одной и той же процедуры.Это решение может быть применено также к многопозиционным балкам. Вводя силы Fm в качестве опорных реакций в поперечных сечениях опоры x = xm, мы можем найти Fm, используя условия w (x = xm) = 0.

    Второй член с S в уравнении. (6.38) для w учитывает деформацию поперечного сдвига. Как видно, учет этой деформации практически не мешает анализу балки. Если деформацией сдвига пренебречь, мы должны взять S → ∞ в уравнении.(6.38) для w . В результате мы приходим к решению, соответствующему классической теории пучков.

    Чтобы продемонстрировать применение общего решения, предоставленного уравнением. (6.38) рассмотрим балку, аналогичную балке, поддерживающей пассажирский пол фюзеляжа самолета, показанной на рис. 6.8. Поскольку поперечное сечение x = 0 зажато, мы должны взять w0 = 0 и θ0 = 0 в уравнении. (6.38). Балка состоит из двух частей, соответствующих 0≤x

    Рисунок 6.8. Распределения нормированной поперечной силы V¯ = V / Ql (B), изгибающего момента M¯ = M / Ql2 (C) и прогиба w¯ = Dw / Ql4 (D) вдоль оси x зажатой балка (А).

    Vp (1) = - Qx, Mp (1) = - 12Qx2, θp (1) = - Q6Dx3, wp (1) = - Q24Dx4

    VR = 0, MR = 0, θR = 0, wR = 0

    и решение в уравнении. (6.38) можно записать как

    (6.44) V1 = V0 + QxM1 = M0 + V0x + 12Qx2θ1 = M0Dx + V02Dx2 + Q6Dx3w1 = 1S (V0x + 12Qx2) −M02Dx2 − V06Dx3 − Q24Dx4, для которого

    рассматриваем вторую часть p¯ = 0.Затем условия нагрузки в формуле. (6.39) становятся

    Vp (2) = ∫0xp¯dx = −∫0cQdx = −Qc

    Mp (2) = ∫0xVpdx = ∫0cVp (1) dx + ∫cxVp (2) dx = −12Qc (2x− в)

    θp (2) = 1D∫0xMpdx = 1D (∫0cMp (1) dx + ∫0xMp (2) dx) = - Qc6D (c2 + 3x2−3cx)

    wp (2) = ∫0xθpdx = ∫0cθp (1) dx + ∫cxθp (2) dx = −Qc24D (4x3 − c3 + 4xc2−6x2c)

    Реакция опоры R (см. Рис. 6.8) рассматривается как неизвестная сосредоточенная сила. Тогда уравнение. (6.43) дают

    VR = R, MR = R (x − c), θR = R2D (x − c) 2, wR = R6D (x − c) 3

    Наконец, для второй части балка

    (6.45) V2 = V0 + Qc − RM2 = M0 + V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c) θ2 = M0Dx + V02Dx2 + Qc6D (c2 + 3x2−3cx) −R2D (x − c) 2w2 = 1S [V0x + 12Qc (2x − c) −R (x − c)] - M02Dx2 − V06Dx3 − Qc24D (4x3 − c3 + 4xc2−6x2c) + R6D (x − c) 3

    Полученное решение, уравнения. (6.44) и (6.45) включает три неизвестных параметра: V0, M0 и R , которые можно найти из двух условий симметрии, то есть V2 (x = l) = 0, θ2 (x = l) = 0, а условие силы реакции w1 (x = c) = w2 (x = c) = 0. Результат выглядит следующим образом:

    (6.46) V0 = R − Qc, M0 = 14Qc2 (1−4ks) −13Rc (1−6ks) R = 12Qc3l (1 + 4ks) −2c4l (1 + 3ks − 3c

    , где ks = D / Sc2.

    Для численного анализа пренебречь деформацией сдвига, приняв ks = 0. Затем решение в уравнении. (6.46) сводится к

    V0 = −Qc (5l − 4c) 2 (4l − 3c), M0 = Qc2 (6l − 5c) 12 (4l − 3c), R = Qc (3l − 2c) 2 (4l− 3c)

    Зависимости нормированной поперечной силы, изгибающего момента и прогиба балки от осевой координаты представлены на рис. 6.8.

    Отклонения луча часто используются в качестве функций аппроксимации при решении задач изгиба пластин (см. Главу 7: Ламинированные композитные пластины).Решения типовых задач пучка представлены в таблице 6.1.

    Таблица 6.1. Решения для балок, нагруженных равномерным давлением для типичных граничных условий

    Вариант Тип балки Решение
    1 V = −qbk (l − x)
    M = 12qbk (l − x) 2
    θ = qbk6D (3l2−3lx + x2) x
    w = −qbk24D [x3−4lx2 + 6l2x
    + 12DS (2l − x)] x
    2 V = 12qbk (2x − l)
    M = −12qbk (l − x) x
    θ = qbk24D (l3−6lx2 + 4x3)
    w = −qbk24D [l3−2lx2 + x3
    + 12DS (l − x)] x
    3 V = qbk (x − l2)
    M = 112qbk (6x3−6lx + l2) x
    θ = qbk12D (2x2−3lx + l2) x
    w = −qbk24D [x (l − x) + 12DS] (l − x) x

    Как Например, рассмотрим балку I с простой опорой. нагруженный равномерным давлением q (см. рис.6.9). Балка изготовлена ​​из алюминиевого сплава с E = 70 ГПа и G = 26,9 ГПа. Внизу, где действует максимальное растягивающее напряжение, балка усилена однонаправленным углеродно-эпоксидным слоем с модулем упругости Ec = 140 ГПа и модулем сдвига Gc = 3,5 ГПа. Размеры балки

    Рисунок 6.9. Балка I с простой опорой.

    (6,47) l = 1250 мм, δ = 2,5 мм, h0 = 100 мм, b = 50 мм

    Координаты слоев показаны на рис. 6.10. Луч состоит из четырех слоев со следующими параметрами:

    Рисунок 6.10. Координаты слоев.

    (6,48) b1 = 50 мм, t0 = 0, t1 = 2,5 мм, h2 = 2,5 мм, E1 = 140 ГПа, G1 = 3,5 ГПа (слой1) b2 = 50 мм, t2 = 5 мм, h3 = 2,5 мм, E2 = 70 ГПа , G2 = 26,9 ГПа (слой2) b3 = 2,5 мм, t3 = 105 мм, h4 = 100 мм, E3 = 70 ГПа, G3 = 26,9 ГПа (слой 3) b4 = 50 мм, t4 = h = 107,5 мм, h5 = 2,5 мм, E4 = 70 ГПа, G4 = 26,9 ГПа (слой 4)

    Сила луча анализируется в соответствии со следующей процедурой.

    1.

    Определите максимальное усилие сдвига, изгибающий момент и прогиб. Исследуемая балка соответствует случаю 2 в таблице 6.1 из которого следует

    (6.49) Vm = V (x = 0) = - 12qblMm = M (x = l2) = - 18qbl2Wm = w (x = l2) = - 5qbl4384D (1 + α), α = 48D5Sl2

    2.

    Определите коэффициенты жесткости. Сначала вычислите коэффициенты I , определенные уравнением. (6.35), то есть

    I0 = ∑i = 14Eibihi = 5,25 · 104ГПа · мм2

    I1 = 12∑i = 14Eibihi (ti − 1 + ti) = 1,95 · 106ГПа · мм3

    I2 = 13∑i = 14Eibihi (ti − 12 + ti − 1ti + ti2) = 1,66 · 108 ГПа · мм4

    Координата нейтральной оси может быть найдена из уравнения.(6.11), что дает

    e = I1I0 = 37,14 мм

    Жесткость балки на изгиб рассчитывается согласно формуле. (6,13) как

    D = I2 − I12I0 = 0,936 · 108 ГПа · мм4

    Для балки без композитного слоя D = 0,573 · 108 ГПа · мм4, то есть композитный слой увеличивает жесткость балки на изгиб на 63%. .

    Поперечная жесткость на сдвиг балки определяется формулой. (6.35), что дает

    S = h3∑i = 14hiGibi = 7,68 · 103 ГПа · мм2

    3.

    Рассчитайте осевое напряжение, используя уравнения. (6.36) и (6.49), согласно которым

    σx (i) = EiMmD (t − e) = - Eiqbl2h8D (t¯ − e¯)

    , где t¯ = t / h, e¯ = eh, и ti − 1≤t≤ti. Для балки с размерами согласно Ур. Согласно (6.47) и (6.48) максимальное растягивающее напряжение в композитном слое соответствует t = 0 и равно σx (1) = 542q. Максимальное растягивающее напряжение в металлической части составляет σx (2) (t = t1) = 253q. Максимальное сжимающее напряжение в металлической части составляет σx (4) (t = h) = - 514q.

    4.

    Рассчитайте напряжение сдвига. Наиболее опасным является напряжение сдвига, которое действует между композитным слоем 1 и металлическим слоем 2 и может вызвать расслоение. Это напряжение определяется формулой. (6.37) что дает

    τxz (1,2) = - Vm2DbE1b1h2 (t1−2e) = ql4DE1bh2 (h2−2e)

    Для исследуемой балки τxz (1,2) = - 4.2q.

    5.

    Рассчитайте максимальный прогиб. Прогиб определяется третьим уравнением уравнения. (6.49) в котором α = 0,075. Таким образом, учет деформации поперечного сдвига увеличивает максимальный прогиб на 7.5%.

    Разработка уравнения прочности на сдвиг для соединений балка – колонна в железобетонных и стальных композитных системах | Международный журнал бетонных конструкций и материалов

    Сравнение результатов уравнений прочности на сдвиг с результатами испытаний

    Для проверки предложенных уравнений результаты предложенного нами уравнения, а также других уравнений прочности на сдвиг были сопоставлены с результатами испытаний. В общей сложности 49 образцов для испытаний соединения композитной системы RCS разрушения при сдвиге были отобраны из предыдущих исследований (Dierlein 1988; Sheikh and Deierlein 1989; Kanno 1993; Kei et al.1990, 1991; Ли и др. 2004; Choi et al. 2003 г.). Образцы для испытаний были разделены на четыре типа, в зависимости от деталей соединения: группа A, без срезных шпонок или поперечных балок; Группа B, срезные шпонки, но без поперечных балок; Группа C, поперечные балки, но без срезной шпонки; и Группа D имеет как срезную шпонку, так и поперечную балку. Все детали подключения (в зависимости от группы) показаны на рис. 4.

    Рис. 4

    Детали подключения для каждой группы: a группа A, b группа B, c группа C и d Группа D.

    Затем мы использовали эти испытательные образцы для сравнения значений прочности на сдвиг, полученных из всех уравнений, с результатами испытаний, как показано на рис. 5. На рис. 5 ось x представляет расчетные значения (CalQc), а y - ось результатов теста (ExpQc). Эти сравнения показывают, что уравнение ASCE недооценивает прочность соединения на сдвиг с большим расхождением между результатами испытаний для образцов с поперечными балками. Это связано с тем, что уравнение ASCE не содержит параметра, связанного с наличием поперечной балки в соединении.Оценки прочности на сдвиг по уравнению Канно лучше согласуются с результатами испытаний по сравнению с результатами ASCE. Однако результаты испытаний со сварной крышкой показывают большое расхождение между уравнениями Канно и М-Канно, даже если используется упрощенный метод расчета. Результаты Стандарта архитектурного расчета стальных железобетонных конструкций (AIJ-SRC) Японского архитектурного института дали средние результаты точности ~ 86% со стандартным отклонением 0,37 (наибольшее значение среди всех уравнений).M-AIJ-SRC привело к стандартному отклонению 0,27, что больше, чем у уравнений ASCE и Канно; это связано с тем, что AIJ-SRC и M-AIJ-SRC не учитывают срезные шпонки, такие как E-FBP или ленточная пластина.

    Рис. 5

    Сравнение уравнений с результатами испытаний: a уравнение Американского общества инженеров-строителей (ASCE), b уравнение Канно, c уравнение M-Канно, d Архитектурный институт Японии (AIJ) уравнение, e уравнение M-AIJ и f предложенное нами уравнение.

    Размер выборки

    Размер выборки в рамках статистического анализа должен быть определен для обеспечения надежности и диапазона. В обычном статистическом анализе размер выборки определяется, чтобы гарантировать целевые уровни надежности и диапазон. {2 }}} $$

    (17)

    , где α = 0.3 (стандартное отклонение совокупности) и e = ± 0,1 (допустимый предел погрешности).

    Мы обнаружили, что необходимо от 35 до 59 образцов, чтобы гарантировать уровни надежности 95 и 99% соответственно. Таким образом, в этом исследовании было использовано 49 образцов, чтобы обеспечить уровень надежности 95%.

    Результаты статистического анализа

    Статистический анализ был проведен для 49 результатов испытаний для исследования всех уравнений прочности на сдвиг (как показано в Таблице 5). Отношение расчетной прочности на сдвиг из уравнения ASCE к результатам испытаний варьировалось от 0.47 до 1,16; это уравнение занижает прочность на сдвиг на 27% по сравнению с результатами испытаний. В качестве альтернативы уравнения Канно показали расхождение только на 6% по сравнению с результатами испытаний. Наше предложенное уравнение показало наименьшее значение стандартного отклонения (0,11) и наилучшее соответствие результатам испытаний в отношении прочности на сдвиг. Усредненная стандартная ошибка представляет собой усредненную ошибку, полученную с использованием коэффициентов стандартного отклонения и надежности. Наше предложенное уравнение показало наименьшую усредненную стандартную ошибку, а также наименьшее стандартное отклонение.Таким образом, предлагаемое нами уравнение точно предсказывает прочность на сдвиг соединений в композитных системах RCS.

    Таблица 5 Результаты статистического анализа.

    Асимметрия представляет наклонный угол и направление распределения данных, а эксцесс представляет резкость распределения данных; асимметрия и эксцесс для каждого уравнения показаны в таблице 5. Асимметрия была больше нуля для всех уравнений, так что большинство расчетных значений и значений результатов испытаний были больше 1, что указывает на то, что уравнения обеспечивают безопасную оценку прочности на сдвиг.Асимметрия для уравнений ASCE и M-AIJ была больше, чем для других уравнений, что указывает на то, что эти уравнения недооценивают прочность на сдвиг в большей степени, чем другие. Эксцесс всех уравнений также был больше 0. Это означает, что распределение данных более резкое, чем стандартные нормальные распределения, где данные сосредоточены вокруг определенного значения. Значение эксцесса для уравнения Канно было несколько большим; однако это не было серьезной проблемой, поскольку данные были сосредоточены вокруг среднего значения, как показано на гистограмме на рис.6. С другой стороны, данные были сосредоточены в нескольких конкретных разделах с нерегулярным распределением для уравнений AIJ и M-AIJ, что затрудняло удовлетворение нормального распределения этих уравнений.

    Рис.6

    Гистограммы и кривые нормального распределения: a уравнение ASCE, b уравнение Канно, c уравнение M-Канно, d уравнение AIJ, e уравнение M-AIJ и f предложенное нами уравнение.

    Частотные гистограммы и нормальные распределения представлены на рис.6; на этом рисунке ось x представляет отношение оценки / испытания, а ось y - частоту. Гистограммы хорошо согласовывались с нормальными распределениями для уравнений Канно, М-Канно и предложенного нами уравнения, в то время как распределение данных из уравнений AIJ и M-AIJ было далеко от нормального. Диапазон прочности на сдвиг 0,63–0,75 был самым популярным для уравнения ASCE. Таким образом, предлагаемое нами уравнение обеспечивает наиболее точное предсказание прочности на сдвиг, учитывая, что оно имеет наименьшее стандартное отклонение, среднюю стандартную ошибку и нормальное распределение данных.

    Факторный анализ

    Затем мы провели факторный анализ, чтобы уменьшить параметры до тех, которые оказывают наибольшее влияние на прочность соединения на сдвиг. Из факторного анализа было выбрано пять основных факторов, и каждый фактор (фактор 1–5) был сопоставлен с уравнениями испытания и прочности на сдвиг, как показано в таблице 6. В таблице 6 также показана степень корреляции между каждым фактором и группой соединений (рис. . 4). Например, группа А показала высокую степень корреляции между результатами теста и фактором 4 (0.96). Группы B, C и D также показали высокую степень корреляции с факторами 2, 3 и 1 (соответственно), как показано в таблице 6. Фактор 5 имел низкую степень корреляции с группами A – D (наибольшая степень корреляция составила 0,41), поэтому в данном исследовании учитывались только факторы 1–4. Для факторов 1–4 каждый показал сильную связь с определенной группой связи:

    Таблица 6 Результаты факторного анализа.
    1. (1)

      Фактор 1 был связан с E-FBP и поперечными балками (Группа D),

    2. (2)

      Фактор 2 был связан с E-FBP и отсутствием поперечной балки (Группа B),

    3. (3)

      Фактор 3 был связан с поперечной балкой и отсутствием E-FBP (Группа C),

    4. (4)

      Фактор 4 не был связан с отсутствием E-FBP или поперечных балок (Группа A).

    Факторы 1, 2, 3 и 4 тесно связаны с группами D, B, C и A соответственно. Тем не менее, Группа A больше всего связана с Фактором 3 для уравнения ASCE. Таким образом, уравнение ASCE может не подходить для прогнозирования прочности на сдвиг материалов группы A. Кроме того, группа A показала неоднозначную корреляцию с факторами для уравнений AIJ и M-AIJ; таким образом, уравнения AIJ и M-AIJ следует осторожно применять к соединениям RCS группы A.

    Корреляционный анализ

    Был проведен корреляционный анализ между результатами испытаний и уравнениями прочности на сдвиг; результаты показаны в Таблице 7. Уравнения ASCE, AIJ и M-AIJ показали низкие значения корреляции (<0,7) для Группы A, в которой не было установлено срезной шпонки или поперечных балок. Корреляция с группой B была слабее, чем с другими для уравнения Канно. Кроме того, группа C (которая не содержит E-FBP, но содержит поперечные лучи) показала слабую корреляцию со всеми уравнениями, даже если уравнение ASCE показало самую сильную корреляцию с группой C.Это означает, что параметры, относящиеся к E-FBP, плохо представлены в уравнениях прочности на сдвиг. Наше предложенное уравнение показало самую сильную корреляцию для Группы D; Таким образом, наше уравнение точно охватывает эффекты E-FBP и поперечных балок в расчетах прочности на сдвиг. Взятые вместе, эти результаты демонстрируют, что предлагаемое нами уравнение лучше всего предсказывает прочность на сдвиг RCS-соединений по сравнению со всеми уравнениями.

    Таблица 7 Коэффициенты корреляции.

    (PDF) Метод расчета прочности поперечного сечения железобетонного элемента изгиба с использованием криволинейной диаграммы напряжения бетона согласно EN-2

    1318 Ipolitas Židonis / Procedure Engineering 57 (2013) 1309 - 1318

    Таким образом

    p

    σ

    можно вычислить и для действия

    RdEd

    MM =

    момент, т.е.е. когда

    pyds

    - = Δ

    ,

    . Тогда значения

    из

    nc

    ω

    и

    mc

    ω

    известны заранее, так как они не меняются и не нуждаются в повторных вычислениях коррекции. Таким образом можно рассчитать минимальное значение предварительного напряжения

    мин, p

    σ

    .

    4. Выводы

    Формулы метода ZI, представленные в этой статье для расчета прочности поперечного сечения бетонных элементов на изгиб, не

    только обычно, но и сильно армированные, а также в соответствии с криволинейными диаграммами деформаций сжатого бетона Еврокода-2 -

    позволяет решить многие проблемы следующим образом.

    1. Это применимо не только для случаев обычного и обильного армирования, но и тогда, когда зона сжатия выходит из строя.

    Предварительная текучесть арматуры на растяжение, поскольку арматура высокой прочности не подвергается предварительному напряжению или недостаточно предварительно напряжена.

    2. Величина предварительного напряжения

    p

    σ

    арматуры в зоне растяжения изгибающегося элемента с трещинами в зоне растяжения, подвергшая

    действию изгибающего момента особой величины

    RdEd

    MM ≤

    может быть определено таким образом, чтобы получить желаемое значение напряжения

    pSds

    σσσ - = Δ

    ,

    .Здесь

    S

    σ

    - величина напряжения в арматуре, возникающего с начала ее деформации.

    3. Можно рассчитать минимальное значение предварительного напряжения арматуры

    min, p

    , которое позволяет при расчете

    Rd

    M

    до

    считать, что предел текучести арматуры достигается, если предварительное напряжение не меньше указанного минимум, т.е. е. Расчет

    выполнен по не сильно (обычно) армированным элементам.

    4. Расчет предельного значения момента

    Rd

    M

    , соответствующего любой выбранной деформации нисходящей части диаграммы

    , а также возможное максимальное значение

    Rd

    M

    . .

    5. В статье приведены формулы для прямоугольных элементов с прямоугольной зоной сжатия, когда армируется только зона растяжения

    . Расчет в случаях, когда зона сжатия обеспечивается арматурой и / или фланцами, если известны силы

    , действующие в такой арматуре и / или фланцах на последней стадии.Силы, действующие в сжимающей арматуре и фланцах

    , также можно скорректировать, повторив расчет.

    6. Расчетные формулы применимы для определения параметров напряженно-деформированного состояния поперечного сечения трещины в

    остаточной ситуации из-за действия изгибающего момента

    RdEk

    MM <

    , т.е. е. значение

    Ek

    M

    дано, но не известно ни значение

    w

    ε

    , ни

    s

    ε

    и

    w

    ξ

    , в то время как c

    f <σ

    и

    ys

    <

    .В отличие от метода STR, значение

    w

    ξ

    рассчитывается не по эмпирической формуле

    , а теоретически, а диаграмма напряжений сжатия не прямоугольная, а криволинейная.

    7. Надежность, указанная в Еврокоде-2, обеспечивается с использованием частного коэффициента

    95,1 =

    Fc

    γ

    для результирующего

    см

    F

    сила прямоугольного

    криволинейная диаграмма напряжений и изгибающего момента в зоне сжатия

    см

    M

    относительно нейтральных осей вместо частичного коэффициента для прочности бетона

    5.1 =

    C

    γ

    . Это делает возможным в предложенном методе расчета

    Rd

    M

    с использованием формулы (3) и прочности бетона

    и деформационных характеристик, приведенных в таблице 2 EN-2.

    8. Расчет методом ZI не более трудоемок, чем расчет методом EN-2, когда используются данные таблицы 2, обработанные автором

    .

    9. Метод ZI и формулы, представленные в статье, по-видимому, могут быть использованы для расчета ширины трещины и кривизны стержня

    .Это предмет дальнейших исследований.

    Ссылки

    [1] EN 1992-1-1. Еврокод 2: Проектирование бетонных конструкций. Часть 1-1: Общие правила и правила для построек. Брюссель, 2004, 225 с.

    [2] STR 2.05.05: 2005. Betonini ir gelžbetonini konstrukcijų projektavimas (Проектирование бетонных и железобетонных конструкций). Вильнюс: Рекона, 2005.

    123 с. (на литовском языке).

    [3] LST EN 1992-1-1: 2005. Eurokodas 2.Gelžbetonini konstrukcijų projektavimas.1-1 дали. Bendrosios ir pastatų taisyklės (Проектирование бетонных конструкций

    . Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий). Вильнюс: Рекона, 2005. 232 с. (на литовском языке).

    [4] Дулинскас, Э., Замблаускайте, Р., Забулионис, Д., 2010. «Анализ напряженно-деформированного состояния упругопластического поперечного сечения стержня при чистом изгибе», Современные строительные материалы, конструкции

    и методы, т. II. Вильнюс: Техника, стр. 599-603.

    [5] Валивонис, Дж., Скутурна, Т., 2007. Растрескивание и прочность железобетонных конструкций при изгибе, усиленных ламинатами из углеродного волокна, Журнал

    Гражданское строительство и менеджмент13 (4), стр. 317-323.

    [6] Алиавдин, П., Касабуцки, С., 2009. Анализ предельных значений и износостойкости поперечных сечений стержней ЖБИ, Журнал гражданского строительства и управления 15 (1),

    , стр. 59-66.

    [7] Замблаускайте, Р., Каклаускас, Г., Бачинскас, Д., 2005. Анализ деформации предварительно напряженных высокопрочных бетонных элементов с использованием конститутивной модели на изгиб

    , Журнал гражданского строительства и менеджмента 11 (2), стр. .145-151.

    [8] Танкунас, М., Урбонас, В., Жидонис, И., 2012. Sijų stiprumo statmename pjūvyje apskaičiavimas pagal kreivinę euronormų gniuždomo betono įtempių

    diagramą (Расчет прочности в поперечных сечениях балок в соответствии с криволинейным бетоном евронормы, диаграмма напряжений 3-х тысячных ученых) С. 140-148 (на литовском яз.).

    [9] Жидонис И., Венцкявичюс В., 2007. Упрощенный вариант легко интегрируемой зависимости напряжения от деформации для бетона, Lietuvos taikomųjų mokslų

    akademijos mokslo darbai.Tarptautinis inovacinis taikomųjų mokslo darbų žurnalas (Журнал прикладных исследований. Официальный журнал Литовской академии прикладных наук

    ) 4, стр.71-77.

    [10] Жидонис И., 2007. Альтернативный метод расчета параметров напряженно-деформированного состояния в нормальных сечениях элементов конструкций, Механика 5 (67),

    с. 24-32.

    [11] idonis, I., 2007. Простая для интегрирования формула напряжения как функции деформации в бетоне и процедура ее описания, Механика 4 (66), стр.23-30.

    Границы | Расчет на сдвиг высокопрочных бетонных балок в MRF

    Введение

    Высокопрочный бетон (HSC) все чаще используется в строительной отрасли благодаря своим преимуществам. Этот тип бетона обычно изготавливается с низким водоцементным соотношением и имеет высокую прочность на сжатие в диапазоне от 50 до 100 МПа. По сравнению с бетоном нормальной прочности (NSC), HSC имеет повышенный модуль упругости, химическую стойкость, сопротивление замораживанию и таянию, более низкую ползучесть, меньшую усадку при высыхании и более низкую проницаемость.

    HSC также используется в каркасах с моментным сопротивлением (MRF), подвергающихся как монотонным, так и циклическим нагрузкам. Хорошо известно, что в MRF наличие сдвига может вызвать значительное снижение прочности балки на изгиб по сравнению со случаем чистого изгиба, и, следовательно, балки могут подвергнуться хрупкому разрушению без каких-либо предупреждающих знаков Ahmad and Lue (1987). Столь сложное явление исследовалось в большом количестве исследований, особенно в случае балок, армированных только продольной арматурой.Среди прочего, в Hong and Ha (2012), Kunthia et al. (1999), Kunthia и Stajadinovic (2001), Mphonde и Frantz (1986) исследуются так называемые «конкретные механизмы». Для балок, состоящих из HSC, аналитические выражения, которые в настоящее время приводятся в основных строительных нормах и правилах для прогнозирования прочности на сдвиг, могут давать неконсервативные значения прочности на сдвиг, как показано в некоторых недавних исследованиях, доступных в литературе (Zararis, 2003; Arslan, 2008; Руссо и др., 2013). Поэтому некоторые авторы недавно предложили надежные выражения для расчета сопротивления сдвигу балок HSC, хотя и ограничили исследование случаем балки без стремена (Mphonde and Frantz, 1986; Kunthia et al., 1999).

    В этой статье исследование направлено на оценку сопротивления вклада, обеспечиваемого не только бетоном и продольной арматурой в «бетонном механизме», но и поперечной арматурой, обычно выполненной в виде поперечных хомутов, расположенных вдоль оси балки. Прочность, обеспечиваемая поперечной арматурой, можно учесть, добавив в аналитическую модель вклад так называемого «ферменного механизма». Поэтому представлена ​​аналитическая формула для расчета прочности на сдвиг балок HSC в MRF.Аналитическая модель имеет то преимущество, что она основана на упрощенных механических схемах, а не на сложных эмпирических уравнениях (Ahmad and Lue, 1987). В литературе было предложено множество уравнений для оценки предела прочности на сдвиг ж / б балок. Среди прочего, уравнение Zsutty (1968) получено из множественного регрессионного анализа; Уравнение Базана (полученное Базаном и Кимом) основано на нелинейной механике разрушения и учитывает размерный эффект в механизме сопротивления; уравнение кода модели CEB-FIP использует коэффициенты, полученные эмпирически.В этой статье номинальная прочность на сдвиг железобетонных балок с хомутами принимается как сумма двух различных составляющих: сопротивления хомутов в результате действия фермы и сопротивления бетона. Последнее является вкладом первостепенной важности при проектировании балок RC, где сила сдвига близка к значению, необходимому для возникновения диагонального растрескивания при растяжении. В исследовании, ранее проведенном Арсланом (2008), уравнения для прогнозирования прочности на сдвиг при растрескивании работали почти так же, как упрощенное уравнение Комитета 318 ACI (2008) с точки зрения коэффициента вариации; И наоборот, с точки зрения среднего значения ACI 318 обеспечил прогноз прочности на сдвиг, в целом, более консервативный, чем расчет, полученный с помощью уравнений Арслана.В настоящем исследовании уравнения Арслана для прочности на сдвиг при растрескивании используются для учета вклада бетона, в то время как вклад хомутов добавляется к вкладу бетона для получения прочности на сдвиг армированных балок HSC. Значения прочности на сдвиг, предсказанные с помощью аналитической модели, наконец, сравниваются с результатами испытаний на сдвиг балок RC со стременами, доступными в литературе (Elzanaty et al., 1986; Mphonde and Frantz, 1986; Ahmad and Lue, 1987; Yoon et al. ., 1996; Пендьяла и Мендис, 2000; Зарарис, 2003; Хонг и Ха, 2012).

    Аналитическая модель

    Классический подход для расчета сдвиговой способности RC-балок был предложен Базантом и Кимом (1984). Их аналитический подход основан на механической модели, в которой конкретный вклад дается суммой двух эффектов: действия дуги и балки соответственно. Такие механизмы сопротивления изображены на Рисунке 1.

    Рисунок 1 . Арочные и балочные эффекты.

    В частности, для равновесия части балки в пределах пролета сдвига и для каждого поперечного сечения должно выполняться следующее уравнение:

    M = V⋅x = T⋅jd (1)

    , где поперечная сила V связана с изгибающим моментом M следующим соотношением:

    V = dMdx = jod⋅dTdx + T⋅d (jd) dx (2)

    В уравнении (2) разделены два вклада: эффект дуги и пучок. В частности, эффект луча здесь обозначен как:

    V1 = j0d⋅dT (x) dx (3)

    , где член j 0 d является постоянным, а растягивающая сила T является переменной.Следовательно, для расчета V 1 необходимо оценить изменение растягивающего усилия, как показано на рисунке 2.

    Рисунок 2 . Вклады лучевого эффекта.

    Изменение растягивающего усилия может быть рассчитано, исходя из условия разрушения скрепления, т.е. с учетом остаточных расщепляющих напряжений скрепления q res , передаваемых продольной балкой:

    dTdx = π⋅∑i = 1nqresi⋅Di (4)

    , где D i - диаметр i-го стержня, относящегося к основной арматуре области A s .Следовательно, используя уравнение (3) и уравнение (4), получаем следующее выражение для вклада в сопротивление эффекту луча:

    V1 = jo⋅d⋅dTdx = jo⋅d⋅π⋅∑i = 1nqresi⋅Di (5) v1 = (j0π∑i = 1nqresDi) / b (6)

    Для оценки вклада v 1 необходимо оценить остаточные напряжения связи q res . В известном исследовании Eligehausen et al. (1983) для обычного бетона показано, что напряжения связи при расщеплении пропорциональны квадратному корню из цилиндрического сопротивления сжатию fc ', в то время как другие исследования и коды, такие как (Еврокод 2, 2004), предполагают, что q res пропорционально мощность 1/3.Для HSC Harajli (2004) продемонстрировал, что напряжения раскола равны:

    qresi≅0,33 · fc ′ · (δDi) 0,66 (в МПа) (7)

    δ - покрытие продольных стержней, а D и - эквивалентный диаметр продольных стержней. Следовательно, если принять δDi = 1, то напряжения связи можно рассчитать как qresi≅0.33⋅fc ′. Такое значение может быть сопоставимо со значением прочности материала на разрыв (Комитет 318 ACI, 2008 г.), если принять соответствующий коэффициент уменьшения (в данном случае 0.33), и такое свидетельство дополнительно мотивируется механической моделью, которая управляет разрывом связи.

    Другие авторы предлагают аналогичные выражения для учета разрушения связи при расчете прочности на сдвиг. Чунмин и Лепинг (2011) предлагают следующее выражение:

    vc = 2⋅ρ0.33⋅ft (8)

    , где f t - предел прочности бетона на растяжение, который можно принять в соответствии с кодом Комитета 318 (2008) ACI в форме ft = 0,3⋅fc ′ ′.Следовательно, прочность на сдвиг равна:

    vc = 0,6⋅ρ0,33⋅fc ′ (9)

    Аналогичное выражение получено Хонг и Ха (2012), предполагая разрушение соединения при расщеплении, когда окружные растягивающие напряжения достигают прочности бетона на растяжение:

    vc = 0,2⋅fc ′ (10)

    Наконец, в ACI Committee 318 (2008) используется то же выражение, что и в уравнении (10), при условии, что коэффициент 1/7 вместо 0,2.

    На Рисунке 3 сравниваются различные модели, показывающие прочность на сдвиг в зависимости от геометрического соотношения стальной арматуры в соответствии с уравнениями (6), (9), (10) и предписаниями Комитета 318 (2008) ACI: сравнение показывает, что при низком содержании стали прочность на сдвиг завышена, а при ρ> 0.025 предел 0,2⋅fc ′ кажется подходящим.

    Рисунок 3 . Изменение прочности на сдвиг из-за расщепления связки в зависимости от геометрического соотношения стальных стержней.

    Если необходимо учесть влияние коррозии, остаточные напряжения раскалывания можно оценить, как в Coronelli (2002), с учетом разрушения из-за коррозии, как показано на рисунке 4, где q res обозначено как τmaxres. В этом случае выражение, первоначально предложенное Rodriguez et al. (1994) можно использовать:

    τmaxres = τconcrete + τtie = 0.6 (0,5 + δD) fct (1 − βXμ) + kAswfyw / (sDi) (11)

    Рисунок 4 . Ухудшение связи из-за коррозии.

    Остаточное напряжение сцепления τmaxres оценивается как сумма двух вкладов: вклад бетона, с одной стороны, и вклад поперечных хомутов в сцепление. Напряжения раскола также зависят от X-фактора, который представляет собой проникновение коррозии. Наконец, в уравнении (11) f ct - предел прочности бетона на растяжение, A sw и f yw - уменьшенная площадь и напряжение текучести хомутов (Комитет 318 ACI, 2008), размещенных на расстоянии s и β , μ , k - эмпирические константы.

    Для оценки общего сопротивления сдвигу в соответствии с уравнением (2) теперь необходимо оценить второй вклад V 2 названный эффект дуги:

    V2 = T⋅d⋅djdx (12)

    Со ссылкой на уравнение (12) должен быть получен аналитический закон изменения для внутреннего плеча рычага j. Используя формулировку Базанта и Кима (1984), изменение j можно принять как:

    dj (x) dx = j0⋅αa⋅ (xa) α-1 (13)

    с α = 1 в случае линейного изменения, как предполагают Свами и др.(1993).

    Кроме того, оценка тягового усилия может быть сделана с учетом вклада стали как T s = σ s · ρ · b · d, где σ s - напряжение в продольном стержне. Последнюю трудно оценить, поскольку она зависит от остаточных напряжений связи в пределах расстояния между трещинами s rm . Расстояние между трещинами можно определить, как это предлагается в Еврокоде 2 (2004), и, следовательно, напряжение в продольных стержнях можно рассчитать как:

    σs = 4⋅srm⋅qresi∑in⋅Di (14)

    с srm = (50 + 0.1 · Dρeff) и ρeff = 3,14 · ∑Di24 · 1b · (h-xc).

    Равновесие внутренних сил в промежутке между трещинами можно записать как:

    srm⋅π⋅∑qresi⋅Di = σs⋅π4 · ∑Di2 (15)

    Следовательно, подставляя уравнения (13) - (15) в уравнение (12), можно получить следующее выражение для вклада эффекта дуги:

    v2 = job⋅d⋅da⋅σs⋅ρ⋅b⋅d (16)

    Наконец, сопротивление сдвигу v c может быть получено суммой уравнений (6) и (16).

    В этой модели верхний предел прочности на сдвиг может быть установлен с учетом дробления бетона.В частности, предельная осевая сила в бетонной стойке рассчитывается как:

    Nu = υ⋅fc′⋅b⋅xc⋅cosα (17)

    , где υ - коэффициент смягчения, который может быть установлен равным 0,5 в соответствии с Еврокодом 2 (2004) и α = arctan (j · da).

    Для равновесия сил V u = N u · sinα и, следовательно, предельное напряжение сдвига, связанное с раздавливанием арки, составляет:

    vuc = υ⋅fc′2⋅xcd⋅sin (2α) (18)

    Проверка модели

    В следующих разделах представлены наиболее распространенные выражения для прогнозирования прочности на изгиб и сдвиг балок HSC, которые сравниваются с выражениями текущей модели.Последовательно описываются результаты экспериментальных испытаний RC-балок с поперечными скобами, которые используются для проверки аналитических моделей.

    Аналитические ориентиры

    Для аналитической оценки прочности на изгиб наиболее распространенные строительные нормы и правила различают чрезмерно армированные и недостаточно армированные поперечные сечения. Когда балки, разработанные на практике, недостаточно усилены, сила текучести в растяжимой стали контролирует их прочность на изгиб. В этих случаях большинство современных кодексов используют подход блока напряжений для определения предельной прочности на изгиб балки, пренебрегая ограниченным вкладом сжатых стержней (см. Рисунок 5).

    Рисунок 5 . Напряженно-блочный подход для расчета прочности на изгиб.

    Со ссылкой на символы, используемые на Рисунке 5, равновесие поперечного сечения определяется выражением:

    Mu = As⋅fy⋅ (d − 0,50⋅β⋅xc) (19) с xc = As⋅fyα⋅fc′⋅β⋅b (20)

    В уравнениях (19, 20) M u - это предельный изгибающий момент, а x c - глубина нейтральной оси, в то время как другие символы: A s площадь продольных стержней на растяжение, b ширина балка, d эффективная глубина α и β коэффициенты блока напряжений.В таблице 1 приведены наиболее распространенные значения α, β и ε ( у.е. ( (предельная деформация сжатия бетона) при сжатии) для нескольких кодов и авторов.

    Таблица 1 . Параметры стресс-блока.

    Уравнения (19, 20) также могут быть записаны как функции механического отношения основной стали ωl = Asb⋅d⋅fyfc ′ и, следовательно, могут быть получены следующие выражения:

    xcd = Asb⋅d⋅fyfc′⋅1α⋅β = ρl⋅fyfc′⋅1α⋅β = ωlα⋅β (21)

    с ρl = Asb · d

    Mub⋅d21fc ′ = ωl⋅ (1−0.5⋅ωlα) (22)

    При этом должно выполняться условие:

    xcd≤xclimd = εuεy + εu (23)

    Уравнение (23) проверяется, когда считается, что стальные стержни поддаются текучести, а бетон подлежит раздроблению.

    Используя уравнения (21) и (23), можно получить предельное геометрическое соотношение продольной стали:

    ρlim = α⋅β⋅fc′fy⋅εuεy + εu (24)

    Что касается прочности на сдвиг, для конкретного вклада Комитет 318 ACI (2008) предлагает:

    vuc = (0,157⋅fc ′ + 17.2⋅ρ⋅da) <0,30⋅fc ′ (25)

    , а для хомута принято:

    vus = Aswb⋅s⋅fyw = ρsw⋅fyw (26)

    Таким образом, в ACI Committee 318 (2008) прочность на сдвиг выражается как сумма вкладов бетона и хомутов:

    Точно так же Канадская ассоциация стандартов (2004 г.) основана на механизме сопротивления сдвигу, который состоит в виде диаграммы свободного тела концевой части балки. Эта часть разрезает область сжатия при изгибе, а также продольную арматуру и хомуты после диагональной трещины сдвига.Если пренебречь действием дюбеля, уравнение прочности на сдвиг будет:

    vu = Φcβfc ′ + Φsρswfywcotθ≤0.25Φcfc ′ (28)

    , где φ c , φ s - коэффициенты уменьшения материала для бетонных и стальных хомутов, β представляет способность элемента противостоять совокупным напряжениям блокировки, а θ - угол главных сжимающих напряжений. Для расчета β и θ можно использовать формулировку Бенца и Коллинза (2006).

    В Еврокоде 2 (2004) предполагается метод переменного наклона стойки.Согласно этому методу прочность на сдвиг рассчитывается как минимальное значение между:

    vuc = min {(0,9⋅ [0,6⋅ (1-fc′250)] ⋅fc′γc⋅1cotθ + tanθ); 0.90⋅ρsw⋅fywγs⋅cotgθ} (29) с ρsw⋅fywγs⋅≤0,5⋅ [0,6⋅ (1 − fc′250)] ⋅fc′γc (30) и 0,4≤cotθ≤2,5 (31)

    Некоторые другие выражения взяты у Зарариса (2003), Арслана (2008) и Руссо и др. (2013). В частности, Зарарис (2003) показывает, что номинальное напряжение сдвига при диагональном растяжении трещин является произведением отношения глубины нейтральной оси к эффективной глубине балки и прочности бетона на разрыв при раскалывании.Вклад хомутов, которые предположительно деформировались, учитывается в области расщепления, и выражение прочности на сдвиг оказывается равным:

    vuc = ξ⋅ (fc ′) 0,66⋅xcd + (0,5 + 0,25⋅ad) ⋅ρsw⋅fyw (32)

    , где ξ = 0,3 · (1,2-0,2 · ad · d) - термин, используемый для учета размерного эффекта.

    Арслан (2008) рассчитывает прочность на сдвиг тонких балок и учитывает податливость хомутов и главную трещину, наклоненную под углом 45 °. Таким образом, получается следующее выражение:

    vuc = 0.12⋅fc ′ + 0,02⋅ (fc ′) 0,65 + ρsw⋅fyw (33)

    Наконец, согласно Russo et al. (2013) прочность на сдвиг может быть рассчитана по довольно сложной формуле в зависимости от эмпирического коэффициента:

    vuc = 1 + 5.08da1 + d25⋅da⋅ [ρ0.4⋅fc′0.39 + 0.5⋅ρ0.83 · fy0.89⋅ (ad) −1.2−0.45⋅ad] + 0.36⋅ρ0.2⋅fc′⋅ (ρsw⋅fyw) 0,6 (34)

    , в котором d a представляет максимальный размер заполнителя, а a - интервал сдвига.

    Сравнение с экспериментальными данными

    Экспериментальные данные, доступные в литературе, используются для проверки выражений прогноза прочности на изгиб и сдвиг.В частности, что касается прочности на изгиб, экспериментальные результаты, предоставленные Саркаром и Адван (1997), Пэм и др. (2001), Ашур (2000) и Бернардо и Лопес (2004) из. Все испытания проводятся на подармированных балках с прочностью бетона на сжатие от 36 до 107 МПа, эффективной глубиной от 215 до 26 мм, процентным содержанием стали ρ от 0,76 до 3,61% и пределом текучести f и от 300 до 579 МПа. Полученные результаты представлены на графиках Фиг.6, где соотношение между экспериментальным и аналитическим моментом показано с изменением прочности на сжатие (Фиг.6A) и процентного содержания стали (Рисунок 6B).В частности, из рисунка 6A можно наблюдать постепенное увеличение недооценки момента, когда прочность бетона увеличивается (см. Линию наилучшего соответствия). И наоборот, из рисунка 6B можно заметить, что предел 0,025 [т. Е. Верхний предел, указанный Комитетом 318 ACI (2008)] слишком консервативен, чтобы гарантировать, что стальные стержни текут до дробления бетона, и поэтому могут быть более высокие значения. принято, хотя при проектировании стержней в сейсмической зоне это ограничение должно быть соответствующим образом проверено.

    Рисунок 6 . Изменение соотношения экспериментального и аналитического момента при: (A) прочность бетона на сжатие; (B) процент армирования стали.

    Наконец, в таблице 2 приведены средние значения и коэффициенты вариации для всех исследованных случаев. В целом можно заметить, что все модели недооценивают эффективную способность балок к изгибу, и в большинстве случаев получены консервативные результаты.

    Таблица 2 .Прогноз прочности на изгиб.

    Для проверки моделей сдвига экспериментальные результаты, использованные Зарарисом (2003) и доступные у Мфонда и Франца (1986), Эльзанати и др. (1986), Ахмад и Лю (1987), Юн и др. (1996), Пендьяла и Мендис (2000) и Хонг и Ха (2012). Данные, использованные Зарарисом (2003), относятся к образцам с прочностью бетона на сжатие от 12,8 до 103 МПа, эффективной глубиной от 95 до 1200 мм, a / d от 2,4 до 5,05, ρ от 0.От 5 до 4,54%, ρ v от 0,06 до 0,84, f y от 242 до 844 МПа. И наоборот, другие данные относятся к образцам с прочностью бетона на сжатие от 40 до 94 МПа, эффективной глубиной между 160 и a / d от 2 до 6, ρ между 0,6 и 6,64%, ρ v между 0,08 и 1, f y от 370 до 430 МПа.

    На рис. 7 показано изменение предельной экспериментальной прочности на сдвиг в зависимости от аналитического прогноза, рассчитанного для всех моделей.В таблице 3 приведены средние значения и коэффициенты вариации для всех исследованных случаев. Из результатов следует, что большинство предложенных выражений могут достаточно точно предсказать прочность балок на сдвиг.

    Таблица 3 . Прогноз прочности на сдвиг.

    Наконец, на рисунке 8 показано изменение предельного напряжения сдвига, безразмерное относительно 0,2fc, в зависимости от механического отношения хомутов ρ sw f sw . На том же графике прогноз с текущей моделью и с Руссо и др.Приведены модели (2013) и Zararis (2003). Также представлена ​​наиболее подходящая линия. Следует подчеркнуть, что все экспериментальные данные находятся в диапазоне, ожидаемом от модели Zararis (2003), в то время как в некоторых случаях Russo et al. (2013) модель переоценивает экспериментальную прочность балок на сдвиг. Напротив, предлагаемая модель дает самые консервативные результаты.

    Рисунок 8 . Изменение предельного напряжения сдвига от ρ sw f sw .

    В этой статье представлена ​​аналитическая модель для расчета прочности на изгиб и сдвиг балок HSC при наличии поперечной арматуры.Модель дана в аддитивной форме, предполагая два разных вклада в сопротивление сдвигу, то есть сдвиговую способность, обеспечиваемую бетоном, и вклад за счет поперечных хомутов. Прочность бетона на сдвиг рассчитывается в соответствии с классическим подходом, первоначально предложенным Базантом и Кимом (1984), определяя два механизма сопротивления, названные действием «арка» и «балка». Модель также учитывает дробление бетона, вводя верхний предел доли материала при сжатии.Для проверки модели проводится обзор нескольких аналитических формулировок, доступных в литературе, и модели применяются для интерпретации результатов набора экспериментальных данных в литературе. Сравнение показывает, что растет недооценка прочности на изгиб балки с увеличением значений прочности бетона на сжатие; результаты также показывают, что предел 2,5% для доли стали является чрезмерно консервативным для обеспечения текучести стальной арматуры до дробления бетона, даже несмотря на то, что в сейсмических районах этот предел следует тщательно проверять.Наконец, все модели для прогнозирования прочности на сдвиг могут дать довольно точные результаты. В частности, модель, предложенная Руссо и др. (2013) дает наиболее точное среднее значение отношения экспериментального и теоретического сопротивления сдвигу, равное 1,12, в то время как текущая модель дает довольно точное среднее значение (равное 1,24) и оказывается наиболее надежной моделью с наименьшим значением. коэффициента вариации, равного 15,6%. Наконец, текущая модель способна обеспечить наиболее консервативный результат с точки зрения безразмерного предельного напряжения сдвига при изменении механического отношения поперечной арматуры.

    Авторские взносы

    GC: главный исследователь. CC и AM: второстепенные следователи. AM: исполнитель анализов и автор статьи.

    Заявление о конфликте интересов

    Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

    Список литературы

    Комитет 318 ACI (2008). Требования к строительным нормам для конструкционного бетона и комментарии .Фрамингтон-Хиллз, Мичиган: Американский институт бетона.

    Ахмад, С. Х., и Лю, Д. М. (1987). Изгибно-сдвиговое взаимодействие армированных высокопрочных бетонных балок. ACI Struct. J . 84, 330–341.

    Google Scholar

    Арслан Г. (2008). Прочность на сдвиг железобетонных балок со стременами. Mater. Struct . 41, 113–122. DOI: 10.1617 / s11527-007-9223-3

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ашур, С. А. (2000).Влияние прочности на сжатие и коэффициента усиления при растяжении на поведение при изгибе высокопрочных бетонных балок. Eng. Struct . 22, 413–423. DOI: 10.1016 / S0141-0296 (98) 00135-7

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Бэ С., Байрак О. (2003). Параметры напряженного блока для высокопрочных железобетонных элементов. ACI Struct. J . 100, 626–636. DOI: 10.14359 / 12804

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Базант, З.П., Ким, С.С. (1984). Размерный эффект при разрушении продольно армированных балок при сдвиге. ACI Struct J . 81, 456–468.

    Google Scholar

    Бенц, Э. К., и Коллинз, М. П. (2006). «Упрощенная форма модифицированной теории поля сжатия (MCFT) для анализа балок», в ID 3-56 Proceeding of Second International . Неаполь .

    Бернардо, Л. Ф. А., и Лопес, С. М. Р. (2004). Глубина нейтральной оси в зависимости от пластичности при изгибе в высокопрочных бетонных балках. ASCE J. Struct. Eng . 130, 425–459. DOI: 10.1061 / (ASCE) 0733-9445 (2004) 130: 3 (452)

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Канадская ассоциация стандартов (2004 г.). CAN CSA A23.3-04 Проектирование бетонных конструкций . Онтарио: CSA.

    Чунмин Д., Лепинг Н. (2011). «Общий метод сопротивления сдвигу для железобетонных балок», Международная конференция 2011 г. по гражданскому строительству, ICETCE 2011 - Proceedings (Lushan), 17-20.

    Google Scholar

    Коронелли Д. (2002). Моделирование коррозионного растрескивания и прочности сцепления корродированных стержней в железобетоне. ACI Struct. J . 99, 267–276. DOI: 10.14359 / 11910

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Элигехаузен, Р., Попов, Э. П., и Бертеро, В. В. (1983). Зависимость локального напряжения связи от проскальзывания на деформированных стержнях при обобщенных возбуждениях . Отчет N.O.UCB / ERC-83/23, 1-168.

    Эльзанаты, Х., Нильсон, Ф. О., и Слейт, А. Х. (1986). Прочность на сдвиг железобетонных балок из высокопрочного бетона. ACI Struct. J . 83, 290–296.

    Google Scholar

    Еврокод 2 (2004 г.). Проектирование бетонных конструкций - Часть 1: Общие правила и правила для зданий . Европейский комитет по стандартизации (CEN).

    Хараджли, М. (2004). Сравнение прочности сцепления стальных стержней в нормальном и высокопрочном бетоне. J. Mater. Civ. Eng .16, 365–374. DOI: 10.1061 / (ASCE) 0899-1561 (2004) 16: 4 (365)

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Хонг, С. Г., и Ха, Т. (2012). Эффективная способность диагональной стойки по прочности на сдвиг железобетонных балок без армирования на сдвиг. ACI Struct. J . 109, 139–148.

    Google Scholar

    Kunthia, M., and Stajadinovic, B. (2001). Прочность на сдвиг железобетонных балок без поперечного армирования. ACI Struct. J .98. 648–656. DOI: 10.14359 / 10618

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Кунтия М., Стоядинович Б. и Гоэль С. К. (1999). Сопротивление сдвигу нормальных и высокопрочных фибробетонных балок без хомутов. ACI Struct. J . 965: 282–289.

    Mphonde, G., и Frantz, G.C. (1986). Испытания на сдвиг бетонных балок высокой и низкой прочности без хомутов. ACI Struct. J . 81, 350–357.

    Google Scholar

    Пэм, Х.Дж., Кван, А. К., Ислам, М. С. (2001). Прочность на изгиб и пластичность армированных бетонных балок нормальной и высокой прочности. Struct. Сборка . 146, 381–389. DOI: 10.1680 / stbu.2001.146.4.381

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Pendyala, R. S., and Mendis, P. (2000). Экспериментальное исследование прочности на сдвиг высокопрочных бетонных балок. ACI Struct. J . 97, 564–571. DOI: 10.1016 / j.engstruct.2005.04.010

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Родригес, Х., Ортега, Л., и Гарсия, А. (1994). Коррозия арматурных стержней и срок службы ж / б конструкций: коррозия и ухудшение связи. Proc. Int. Конф. II , 315–326.

    Руссо, Г., Митри, Д., и Паулетта, М. (2013). Расчетная формула прочности на сдвиг для ж / б балок со скобами. Eng. Struct . 51, 226–235. DOI: 10.1016 / j.engstruct.2013.01.024

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Саркар С., Адван О. и Мандей Дж. Г. (1997). Высокопрочный бетон: исследование поведения при изгибе высокопрочного бетона R.С. балки. Struct. Eng . 75, 115–121.

    Google Scholar

    Свами Р. Н., Джонс Р. и Чиам А. Т. П. (1993). Влияние стальной фибры на сопротивление сдвигу двутавровых балок из легкого бетона. ACI Struct. J . 90, 103–114.

    Google Scholar

    Юн, Ю. С., Кук, В. Д., и Митчелл, Д. (1996). Армирование с минимальным сдвигом в бетонных балках нормальной, средней и высокой прочности. ACI Struct. J . 93, 576–584.

    Google Scholar

    Зарарис, П.Д. (2003). Прочность на сдвиг и минимальное усилие сдвига железобетонных тонких балок. ACI Struct. J . 100, 203–214. DOI: 10.14359 / 12484

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Zsutty, T. C. (1968). Прогноз прочности балки на сдвиг на основе анализа имеющихся данных. ACI Struct. J . 65: 943–951.

    Google Scholar

    Кажется, мы не можем найти эту страницу

    (* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

    {{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

    {{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

    {{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ТОВАРЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

    {{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

    {{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}

    {{article.content_lang.display}}

    {{l10n_strings.AUTHOR}}

    {{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

    {{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

    Калькулятор максимального касательного напряжения для двутавровых балок

    Профили поперечного сечения двутавровых балок очень распространены в инженерных сооружениях. Также много расчетов проводится для двутавров.При проектировании конструкций очень важны напряжения сдвига.

    Инженеры обычно рассчитывают самые большие касательные напряжения, возникающие в элементах конструкции. Здесь вы можете найти информацию о максимальных напряжениях сдвига в поперечных сечениях двутавровой балки и их вычислитель.

    Как использовать калькулятор максимального напряжения сдвига для двутавровых балок?

    Пример иллюстративного поперечного сечения двутавровой балки (Источник изображения: Д. К. Сингх - Strength of Materials-Springer, 2020, стр. 233).

    Вы можете увидеть типичное сечение двутавровой балки.На этом поперечном сечении есть определения размеров. В этом поперечном сечении могут возникать касательные напряжения из-за приложения поперечной силы по вертикали к этому поперечному сечению балки.

    Скажите "F" для этой силы сдвига. Затем вы можете использовать калькулятор ниже, чтобы рассчитать максимальное напряжение сдвига на двутавровой балке.

    Прежде всего, необходимо вычислить момент инерции площади этого двутаврового поперечного сечения. После этого расчета вы можете использовать калькулятор ниже, чтобы рассчитать максимальное напряжение сдвига;

    Калькулятор контактного напряжения для цилиндрических зубчатых пар

    Чтобы использовать этот калькулятор, введите требуемые значения в скобках.Затем нажмите кнопку «Рассчитать!», Чтобы рассчитать максимальное напряжение сдвига. Если вы хотите произвести еще один расчет, нажмите кнопку «Сброс» и повторно введите все значения.

    Введите значения «d» и «D», как показано на рисунке выше. «F» - поперечная сила, а «I» - момент инерции площади поперечного сечения I.

    Позаботьтесь об устройствах. Для получения правильных результатов с помощью этого калькулятора вам необходимо использовать согласованные наборы единиц.

    Для преобразования единиц измерения можно использовать инструмент «Конвертер единиц MB».

    Когда вы рассчитываете максимальные напряжения сдвига на двутавровой балке, вам необходимо сравнить этот результат с максимально допустимым значением напряжения вашего материала. Также нужно учитывать запас прочности.

    Заключение

    Расчет максимальных касательных напряжений на двутавровой балке очень прост.

    Mechanical Base не несет ответственности за расчеты, сделанные пользователями в калькуляторах.