Правило знаков Декарта

Горячая математика

Правило знаков Декарта помогает определить возможное число настоящие корни полинома п ( Икс ) без фактического построения графика или решения. Обратите внимание, что это правило не дает точное количество корней полинома или выявить корни полинома.

Правило гласит, что возможное число положительных корней многочлена равно числу перемен знака в коэффициентах при членах или меньше, чем перемена знака на кратное 2 .

Например, если есть 3 меняются знаки коэффициентов при членах многочлена, то возможное число положительных корней многочлена равно 3 или 1 .

[Прежде чем применять правило знаков Декарта, убедитесь, что члены полинома расположены в порядке убывания показатели .]

Пример 1:

Найдите количество положительных корней многочлена.

Икс 3 + 3 Икс 2 − Икс − Икс 4 − 2

Расположите члены многочлена в порядке убывания показателей степени:

− Икс 4 + Икс 3 + 3 Икс 2 − Икс − 2

Подсчитайте количество изменений знака:

− Икс 4 + ⎴ 1 Икс 3 + 3 Икс 2 − ⎴ 2 Икс − 2

Есть 2 у многочлена меняется знак, поэтому возможное количество положительных корней многочлена равно 2 или 0 .

Следствие из правила знаков Декарта:

Сначала перепишите данный многочлен, заменив − Икс для Икс . Это то же самое, что и отрицание коэффициентов членов нечетной степени.

Правило следствия гласит, что возможное число отрицательных корней исходного полинома равно количеству перемен знака (в коэффициентах при членах после отрицания членов нечетной степени) или меньше, чем изменение знака на кратное 2 .

Пример 2:

Найдите возможное количество действительных корней многочлена и проверьте.

Икс 3 − Икс 2 − 14 Икс + 24

Члены полинома уже находятся в порядке убывания показателей.

Подсчитайте количество изменений знака:

+ Икс 3 − ⎴ 1 Икс 2 − 14 Икс + ⎴ 2 24

Есть 2 меняется знак полинома, а возможное число положительных корней полинома равно 2 или 0 .

Пусть заданный многочлен ф ( Икс ) и заменить − Икс для Икс в многочлен и упростить:

ф ( − Икс ) «=» ( − Икс ) 3 − ( − Икс ) 2 − 14 ( − Икс ) + 24 «=» − Икс 3 − Икс 2 + 14 Икс + 24

Подсчитайте количество изменений знака:

− Икс 3 − Икс 2 + ⎴ 1 14 Икс + 24

Есть 1 изменение знака второго полинома.