Подраздел 3.5.2 Диаграммы свободного тела

Как и прежде, мы начинаем наш анализ с рисования диаграммы свободного тела, которая показывает все силы и моменты, действующие на интересующий нас объект. Рисование FBD в трех измерениях может быть затруднено. Иногда бывает трудно увидеть вещи в трех измерениях, когда они нарисованы на двухмерном листе. Следовательно, важно аккуратно обозначать векторы и углы, но не загромождать диаграмму слишком большим количеством и/или ненужной информацией. При работе в двух измерениях вам нужен только один угол, чтобы определить направление вектора, но при работе в трех измерениях вам нужны два или три угла.

Подраздел 3.5.3 Углы

Как сказано выше, при работе в трех измерениях вам нужны три угла для определения направления вектора, а именно угол относительно оси \(x\), угол относительно оси \(y\) и угол относительно оси \(z\). Упомянутые выше три угла не обязательно расположены в какой-либо из координатных плоскостей. Подумайте об этом так: три точки определяют плоскость, и в данном случае это три точки: начало координат, вершина вектора и точка на оси. Плоскость, образованная этими тремя точками, не обязательно является плоскостью \(xy\text{,}\) \(yz\text{,}\) или \(xz\). Скорее всего, это «наклоненная» плоскость.

Инструкции.

Поверните схему, чтобы увидеть силу и углы в пространстве.

Как вы узнали из подраздела 2.4.2, один из способов количественного определения направления вектора – это углы косинуса направления. Эти направляющие косинусы измеряются от положительных осей x, y и z и часто обозначаются \(θ_x\text{,}\) \(θ_y\text{,}\) и \(θ_z\text{,}\) соответственно.

Как и в случае с двумя измерениями, углы можно определить из геометрии — вектора расстояния, идущего в том же направлении, что и вектор силы. Это трехмерный эквивалент подобных треугольников, которые вы использовали в двухмерных задачах.

Если вы знаете, что линия действия вектора силы проходит между двумя точками, то вы можете использовать вектор расстояния, который проходит от одной точки к другой, для определения углов.

Предположим, что линия действия проходит через две точки \(A\) и \(B\text{,}\), а сила направлена ​​от \(A\) к \(B\text{.}\) Первым шагом в определении трех углов является запись вектора расстояния от точки \(A\) к точке \(B\text{.}\) Назовем этот вектор \(\vec{r}_{AB}\text{.}\) Начиная с точки \(A\text{,}\) вам нужно определить, как попасть в точку \(B\), двигаясь в каждом из трех направлений. Спросите себя: чтобы добраться из точки \(A\) в точку \(B\), нужно ли мне двигаться в направлении \(x\)? Если да, то сколько мне нужно ехать? Это становится компонентом \(x\) вектора \(\vec{r}_{AB}\), а именно \(r_{AB_x}\text{.}\). Далее, чтобы добраться из точки \(A\) в точку \(B\), как далеко я должен двигаться в направлении \(y\)? Это расстояние равно \(r_{AB_y}\text{.}\) Наконец, чтобы добраться из точки A в точку B, как далеко я должен двигаться в направлении z? Это расстояние равно \(r_{AB_z}\text{.}\)

При написании этих скалярных компонентов обратите внимание на то, в каком направлении вы перемещаетесь по осям. Если вы перемещаетесь к положительному концу оси, соответствующий скалярный компонент получает положительный знак. Путешествие к отрицательному концу приводит к отрицательному знаку. Знак важен.

Как только вы определили компоненты вектора расстояния \(r_{AB}\text{,}\), вы можете определить общее расстояние от точки \(A\) до \(B\), используя трехмерную теорему Пифагора

Наконец, углы определяются направляющими косинусами, а именно

\begin{align*} \cos \theta_x \amp = \dfrac{r_{AB_x}}{r_{AB}} \amp \cos \theta_y \amp = \dfrac{r_{AB_y}}{r_{AB}} \amp \cos \theta_z \amp = \dfrac{r_{AB_z}}{r_{AB}} \конец{выравнивание*}

Поскольку вектор силы имеет ту же линию действия, что и вектор расстояния, по трехмерной версии подобных треугольников

\begin{align*} \dfrac{r_{AB_x}}{r_{AB}} \amp = \dfrac{F_x}{F} \amp \dfrac{r_{AB_y}}{r_{AB}} \amp = \dfrac{F_y}{F} \amp \dfrac{r_{AB_z}}{r_{AB}} \amp = \dfrac{F_z}{F} \end{выравнивание*}

. Итак,

\begin{align*} F_x \amp = \left(\dfrac{r_{AB_x}}{r_{AB}}\right) F \amp F_y \amp = \left(\dfrac{r_{AB_y}}{r_{AB}}\right) F \amp F_z \amp = \left(\dfrac{r_{AB_z}}{r_{AB}}\right) F \конец{выравнивание*}

Немного математики, но важно помнить следующее:

• Вы можете использовать три угла, чтобы определить направление силы в трех измерениях.

• Вы можете использовать геометрию, чтобы получить их из вектора расстояния, который лежит вдоль линии действия силы. 92 = 1 \тег{3.5.2} \end{equation}

  , поэтому, если вы знаете два угла косинуса направления, вы можете найти третий из этого соотношения.

  Подраздел 3.5.4 Общая процедура

  Общая процедура решения трехмерного равновесия частиц по существу такая же, как и для двумерного равновесия частиц с использованием метода компонентов. Основные отличия заключаются в том, что вы должны тщательно находить каждый компонент вектора, используя методы из Раздела 2.4. Процесс следует тому же пятиэтапному методу создания диаграммы свободного тела, за которым следуют шаги для решения ваших уравнений равновесия.

  Нарисуйте диаграмму свободного тела:

  1. Выберите и изолируйте частицу. «Свободное тело» на диаграмме свободного тела означает, что частица или соединение с параллельной силой должны быть изолированы от опор, которые физически удерживают ее на месте. Это означает создание отдельной диаграммы свободного тела из эскиза задачи.

  2. Установите систему координат. Нарисуйте правую систему координат, чтобы использовать ее в качестве основы для ваших уравнений равновесия. Посмотрите вперед и выберите систему координат, которая минимизирует количество компонентов силы. Это упростит вашу векторную алгебру. Выбор технически произволен, но правильный выбор упростит ваши расчеты и сократит ваши усилия.

  3. Определите все нагрузки. Добавьте векторы силы на диаграмму свободного тела, представляющие каждую приложенную нагрузку, толкающую или тянущую тело, в дополнение к весу тела, если им можно пренебречь. Если вектор силы имеет известное направление, начертите его. Если его направление неизвестно, предположим, что оно одно, и ваша дальнейшая алгебра проверит ваше предположение. Каждый вектор должен иметь описательное имя переменной и четкую стрелку, указывающую его направление.

  4. Определите все реакции. Реакции представляют собой сопротивление физических опор, которые вы вырезаете, изолируя тело на шаге 1. Все опоры частиц представляют собой некоторый тип двухсиловых элементов с силами реакции растяжения или сжатия. Все эти реакции будут сопровождаться нагрузками на тело из шага 2. Пометьте каждую реакцию описательным именем переменной и четкой стрелкой. Опять же, если направление вектора неизвестно, просто предположите его.

  5. Подпишите схему. Убедитесь, что каждый размер, угол, сила и момент помечены либо значением, либо символическим именем, если значение неизвестно. На наш взгляд, размеры необязательны. Наличие информации, необходимой для расчетов, полезно, но не загромождайте диаграмму ненужными деталями. Ваша окончательная диаграмма свободного тела должна быть отдельной презентацией и основой ваших уравнений равновесия.

  Создание и решение уравнений равновесия

  1. Разбить вектор на компоненты. . Вычислите компоненты x, y и z каждой силы, используя инструменты, описанные в разделе 2.4. В то время как компоненты в двумерных задачах часто можно найти с помощью тригонометрии прямоугольного треугольника, в трехмерных задачах часто используются единичные векторы.

  2. Напишите уравнения равновесия. Теперь представьте вашу диаграмму свободного тела в виде уравнений равновесия. Для трехмерной задачи равновесия частиц у вас может быть до трех уравнений равновесия сил, соответствующих балансу сил в трех независимых направлениях x, y и z. Каждое уравнение должно начинаться с управляющего уравнения, например, ΣF_x=0.

  3. Подсчет известных и неизвестных. К этому моменту у вас должно остаться не более трех неизвестных. Если у вас больше трех, перечитайте задачу и найдите пропущенную информацию.

  4. Найдите неизвестные. Используйте алгебру, чтобы упростить уравнения равновесия и найти неизвестные. С несколькими неизвестными, разбросанными по нескольким уравнениям, линейная алгебра может быть более эффективной, чем подстановка. Предположим, что все ответы имеют единицы, если только вы не докажете, что это не так. Наконец, подчеркните или отметьте свои ответы.

  5. Проверьте свою работу. Если сложить компоненты сил, получится ли в сумме ноль? Являются ли результаты разумными, учитывая ситуацию? Вы включили соответствующие единицы?

  Теперь давайте посмотрим, как этот процесс выглядит на примере задачи.

  Пример 3.5.3. Воздушный шар.

  Воздушный шар \(\ft{30}\) над землей привязан тремя тросами, как показано на схеме.

  Если шар тянет вверх с силой \(\lb{900}\text{,}\) каково натяжение каждого из трех тросов?

  Линии сетки на плоскости земли расположены на расстоянии \(\ft{10}\) друг от друга.

  Ответ.

  \begin{выравнивание*} A \amp = \lb{464} \amp B \amp = \lb{402} \amp C \amp = \lb{309} \end{align*}

  Решение.
  1. Стратегия.

     Три напряжения — это неизвестные, которые мы можем найти, применяя три уравнения равновесия.

     Мы установим систему координат с началом непосредственно под воздушным шаром и вертикальной осью \(y\), затем нарисуем и обозначим диаграмму свободного тела.

     Далее мы будем использовать данную информацию, чтобы найти две точки на каждой линии действия, чтобы найти компоненты каждой силы с точки зрения неизвестных.

     Когда компоненты \(x\text{,}\) \(y\) и \(z\) всех сил могут быть выражены через известные величины, уравнения равновесия могут быть решены.

  2. Геометрия.

     Из схемы координаты точек

     \начать{выровнять*} \text{A} \amp= (-20,0,0)\amp \text{B}\amp= (30,0,20) \amp \text{C}\amp= (0,0,-20) \amp \text{D} \amp = (0,30,0) \end{выравнивание*}

     Используйте координаты точки, чтобы найти \(x\text{,}\) \(y\) и \(z\) компоненты сил.

     \начать{выровнять*} A_x \amp = \frac{-20}{L_A} A \amp A_y \amp = \frac{-30}{L_A} A \amp A_z \amp = \frac{0}{L_A} A \\ B_x \amp = \frac{30}{L_B} B \amp B_y \amp = \frac{-30}{L_B} B \amp B_z \amp = \frac{20}{L_B} B \\ C_x \amp = \frac{0}{L_C} C\amp C_y \amp = \frac{-30}{L_C} C\amp C_z \amp = \frac{-20}{L_C} C \конец{выравнивание*}

     Где \(L_A\text{,}\) \(L_B\) и \(L_C\) — длины трех кабелей, найденные по формуле расстояния. 92} \amp= \ft{36.1} \конец{выравнивание*}

  3. Уравнения равновесия.

     Применение трех уравнений равновесия дает три уравнения относительно трех неизвестных напряжений.

     \начать{выровнять*} \Сигма F_x \амп = 0\\ \амп A_x + B_x + C_x = 0\\ \amp — \frac{20}{36.1} A + \frac{30}{46.9} B + 0\, C = 0\\ А \амп= 1,153\, В \ампер (1)\\\\ \Сигма F_z \amp= 0\\ \амп A_z + B_z + C_z = 0\\ \amp 0\, A + \frac{20}{46.9}B -\frac{20}{36.1} C = 0\\ С \амп = 0,769 \,В \ампер (2)\\\\ \Сигма F_y \amp= 0\\ \амп A_y + B_y + C_y + D = 0\\ \amp -\frac{30}{36.1} A -\frac{30}{46.9} B — \frac{30}{36.1} C + 900 = 0\\ \amp 0,832\, A + 0,640\, B + 0,832\, C = \lb{900} \amp (3) \конец{выравнивание*}

     Одновременное решение этих уравнений дает ответы, которые мы ищем. Один из способов сделать это — подставить уравнения (1) и (2) в (3), исключить \(A\) и \(C\) и решить полученное уравнение для \(B\text{.}\)

     \начать{выровнять*} 0,832\, (1,153\, В) + 0,640\, В + 0,832\, (0,769 \,В) \amp= \lb{900}\\ 2,24 Б \amp = \lb{900}\\ B \amp = \lb{402} \конец{выравнивание*}

     Зная \(B\), подставьте его в уравнения (1) и (2), чтобы найти \(A\) и \(C\text{. }\)

     \начать{выровнять*} А \амп = 1,153\, В \амп С \амп =0,769\, В \\ \amp = \lb{464} \amp \amp = \lb{309} \конец{выравнивание*}

  Пример 3.5.4. Скайкам.

  Skycam на стадионе Стэнфордского университета имеет массу \(\kg{20}\) и поддерживается тремя кабелями, как показано на рисунке. Считая, что в данный момент он находится в равновесии, найти натяжение каждого из трех поддерживающих канатов.

  Инструкции.

  Вращение интерактивной диаграммы может помочь вам визуализировать ситуацию.

  Ответ.

  \begin{выравнивание*} A \amp = \N{196,4} \amp B \amp = \N{192,2} \amp C \amp = \N{98,5} \end{align*}

  Решение.

  В этой ситуации направления всех четырех сил задаются углами на диаграмме свободного тела, а величина веса известна. Три неизвестных — это величины сил \(\vec{A}\text{,}\) \(\vec{B}\text{,}\) и \(\vec{C}\text{.}\)

  \begin{уравнение*} W = m g = \kg{20}\ \aSI{9,81} = \N{196,2} \end{equation*}

  Сначала мы найдем единичные векторы в направлениях четырех сил, изучив диаграмму свободного тела. Этот шаг требует визуализации единичных векторов компонента и определения углов, которые каждый из них образует с осью координат.

  \begin{выравнивание*} \hat{\vec{W}} \amp = \langle 0, -1, 0 \rangle \\ \hat{\vec{A}} \amp = \langle \cos \ang{35}, \cos{55} , 0 \rangle\\ \шляпа{\vec{B}} \amp = \langle -\cos \ang{15} \cos \ang{30}, \cos \ang{75} , -\cos \ang{15} \cos \ang{60} \rangle\\ \hat{\vec{C}} \amp = \langle 0, \cos{70} , \cos \ang{20} \rangle \end{выравнивание*}

  Равновесие частиц требует, чтобы \(\sum \vec{F} = 0\text{.}\)

  \begin{equation*} A\ \hat{\vec{A}} + B\\hat{\vec{B}} + C\ \hat{\vec{C}} = — W\ \hat{\vec{W}} \end{equation*}

  Это 3 \(\times\) 3 система из трех одновременных уравнений, по одному для каждого направления координат, которую необходимо решить для \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) и \(C\text{.}\)

  \begin{align*} A \cos \ang{35} — B \cos \ang{15} \cos \ang{30} + 0 \amp = 0 \amp \amp \amp (\Sigma F_x \amp= 0)\\ A \cos \ang{55} + B \cos \ang{75} + C \cos \ang{70} \amp = \N{196.