1.3 Для балки с врезанным шарниром требуется:

1 Определить опорные реакции;

2 Построить эпюры Q_y, M_x;

3 Подобрать по M_max размеры кольцевого сечения.

Исходные данные: [σ] = 160 МПа, α = d / D = 0.8.

Дано: Балка с врезанным шарниром; L = 1 м; M = 30 кН*м; q= 40 кН/м; F = 50 кН (см. приложение В).

1 Определение опорных реакций

В данной задаче балка закреплена при помощи трех опор – шарнирно-неподвижной и двух шарнирно-подвижных, а также в ней присутствует врезанный шарнир. Следовательно, данную балку можно разбить на две составляющие – основную и подвесную. Основной будет балка AD, а подвесной – балка DC (см. приложение В). При этом в подвесной балке в точке D шарнир следует рассмотреть как шарнирно-неподвижную опору. Найдя ее вертикальную реакцию R_D, следует перенести ее в точку D основной балки. В этой точке будет действовать та же сила R

D^’, равная по величине реакции R_D, но действующая в противоположном направлении.

Рассмотрим для начала подвесную балку. Для этого составим уравнения равновесия, определив из них значения опорных реакций. При этом из расчетной схемы балки видно, что реакция H_D = 0, так как на балку не действует ни одна продольная сила.

ΣM_D = 0: – M + R_C*3L = 0

Отсюда R_C = M/(3*L) = 30/(3*1) = 10 кН

ΣM_C = 0: — M — F*3L + R_D*3L = 0

Отсюда R_D = (M + F*3L) /3L = (30 + 50*3*1) /(3*1) =

60 кН

Теперь рассмотрим основную балку. Для этого также составим уравнения равновесия, определив из них значения опорных реакций. При этом из расчетной схемы балки видно, что реакция H_B = 0, так как на балку не действует ни одна продольная сила.

ΣM_A = 0: — q*3L*1.5L – R_D^’*3L — F*3L + R_B*L = 0

Отсюда R_B = (q*3L*1.5L + R_D^’*3L + F*3L) /L = 40*3*1.5 + 60*3 + 50*3) = + 510 кН

ΣM_B = 0: — q*3L*0.5L – R_D^’*2L — F*2L — R_A*L = 0

Отсюда R_A = — (q*3L*0.5L + R_D^’*2L + F*2L) / L = — (40*3*0.5 + 60*2 + 50*2) = — 280 кН

Положительные значения свидетельствуют о том, что первоначальное направление реакций выбрано верно. Отрицательные означают, что необходимо поменять первоначально выбранное направление данной реакции на противоположное.

2 Построение эпюр Qy, Mx

Теперь можно переходить к рассмотрению каждой из составных частей балки. Необходимо будет сделать разрезы в каждой из них. Затем, отбросив одну из частей, заменить ее действие соответствующим изгибающим моментом M_x и поперечной силой Q_y – разумеется, следуя общепринятому правилу знаков.

Итак, рассмотрим каждый из участков – всего их будет 3 (см. приложение В), и составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из них:

I участок: 0 ≤ z₁ ≤ 3L

Q_y(z₁) = — R_C = — 10 кН = const

M_x(z₁) = — M + R_C*z₁ (линейное уравнение)

Тогда M_x(z₁ = 0) = — 30+ 10*0 = — 30 кНм

M_x(z₁ = 3L = 3) = — 30+ 10*3 = 0

II участок: 0 ≤ z₂ ≤ L

Q_y(z₂) = —

R_A — q*z₂ (линейное уравнение)

Тогда Q_y (z₂ = 0) = – 280 – 40*0 = — 280 кН

Q_y (z₂ = L = 1) = – 280 – 40*1 = — 320 кН

M_x(z₂) = — R_A*z₂ — (квадратное уравнение)

Тогда M_x(z₂ = 0) = -280*0 — = 0

M_x(z₂ = L = 1) = -280*1 — = -300 кНм

III участок: 0 ≤ z₃ ≤ 2L

Q_y(z₃) = — R_A – q*(z₃ + 1) + R_B (линейное уравнение)

Тогда Q_y (z₃ = 0) = — 280 – 40*(0+ 1) + 510 = 190 кН

Q_y (z₃ = 2L = 2) = — 280 – 40*(2 + 1) + 510 = 110 кН

M_x(z₃) = — R_A*(z₃ + 1) + R_B*z₃ – q*(квадратное уравнение)

Тогда M_x(z₃ = 0) = — 280*(0 + 1) + 510*0 – 40*= — 300 кНм

M_x(z₃ = 2L = 2) = — 280*(2 + 1) + 510*2 – 40*= 0

По полученным значениям строятся соответственно эпюры Q_y и M_x (см. приложение В).

Узлы опирания наслонных стропил на прогон и мауэрлат

Наслонная система стропил может быть распорной или безраспорной конструкцией. От правильного выбора узлов опирания и сочленения стропильных ног зависит будут стропила распирать стены или не будут, нужно под них предусматривать различные мероприятия для перехвата распора или не нужно.

На расчетных схемах в узлах конструкций рисуют кружочки, означающие шарнирное соединение. Шарниры лапками соединяются с условными опорами, по которым можно визуально представить степень свободы узла. Шарнир с двумя заделанными в опору лапками предполагает, что узел неподвижен, но балка может крутиться в шарнире, то есть узел обладает одной степенью свободы — поворотом. Шарнир с лапками, стоящими на скользящей опоре или ползуне, показывает, что узел обладает двумя степенями свободы — возможностью поворота балки и горизонтального смещения. Три степени свободы узла позволяют горизонтальное, вертикальное смещение и поворот, такой узел рисуется просто кружочком и может быть врезан в стержень, обозначающий балку.

Если узел врезан в балку, то ее называют разрезной, то есть балки, находящиеся слева и справа от шарнира, с некоторыми допущениями могут рассматриваться как отдельные элементы. Если кружочек (шарнир) нарисован под балкой, то балка, лежащая на нем, называется неразрезной. Шарнир с тремя степенями свободы, врезанный в балку, во многих случаях, делает ее мгновенно изменяемой системой, то есть довольно неустойчивой конструкцией. Узел с нулевой степенью свободы означает жесткое защемление конца балки и запрещает ей всякие смещения: горизонтальное, вертикальное и поворот (рис. 19).

рис. 19. Примеры схематического изображения узлов

В расчетных схемах могут применяться и другие схематические изображения узлов, но все они в обшем-то понятны, а если вдруг возникнут неясности, надо просто мысленно представить в какую сторону может «пойти» узел при приложении к нему нагрузки. Поперечные размеры балок относительно их длины малы, поэтому балки (стропила и пр.) рисуются как стержни, а нагрузка в них распределяется как бы только вдоль продольной оси элемента и расчет всей конструкции ведется для стержневой схемы.

Необходимо отметить, что слова: горизонтальное смещение и поворот совсем не означают, что, например, ползун — узел с двумя степенями свободы произвольно передвигается в горизонтальном направлении. На самом деле, этот узел достаточно хорошо закреплен, но допускает возможность перемещения конца балки от нагрузки, температурных и влажностных изменений без чрезмерного развития в нем внутренних напряжений. Этот узел просто не передает распора, а поворот при изгибе балки возможен только в нормативных пределах. По настоящему ползун поползет (простите за тавтологию) только при нагрузках превышающих предельно допустимые. Слово «шарнир» тоже не нужно понимать буквально. Да, концы балок могут соединяться болтом или настоящим специально спроектированным шарниром, но, чаще всего, это обычное гвоздевое соединение. Например, можно взять доску и приколотить ее одним концом 3–4 гвоздями, предположим, к деревянной стене. Ничто не мешает нам взять ее за другой конец и преспокойно повернуть на некоторый угол.

В данном случае, гвоздевое крепление выступает как шарнир. Однако если количество гвоздей увеличить и рассчитать их на нагрузку не допускающую среза (изгиба), то поворот становится невозможном, здесь мы получаем балку с защемленным концом, но при нагрузке превышающей расчетную, узел опять становится шарниром. Поэтому очень важно изначально определить нагрузку под которой будет работать система. Поскольку превышение фактической нагрузки сверх расчетной, приводит к изменению схемы работы узлов и разрушению всей конструкции.

Сопряжения наслонных стропил относящиеся к различным схематичным изображениям узлов представлены на рисунке 20.

рис. 20.1. Узлы опирания стропил на прогон и мауэрлат. Шарнир с одной степенью свободы (только поворот)рис. 20.2. Узлы опирания стропил на прогон и мауэрлат. Ползун — шарнир с двумя степенями свободы (поворот и сдвиг)рис. 20.3. Узел опирания стропил на прогон. Жесткое защемление

В зависимости от решаемой задачи при проектировании крыши узловые сочленения стропил могут быть отличными от представленных на рисунках 20. Главное, это запроектировать в узлах с двумя степенями свободы: поворот, возникающий от изгиба стропил и сдвиг в горизонтальном направлении. А в узлах с одной степенью свободы — поворот стропила. Как правило, сдвиг верха или низа стропил обеспечивают горизонтальные врубки, а ограничение сдвига — упор стропил друг в друга и/или в стыкуемый элемент: мауэрлат либо прогон.

Попробуем объяснить принцип закрепления стропилины на примере. Все мы легко можем представить себе обычную приставную лестницу. Лестница, как лестница, ничего особенного: две жерди (тетивы) и поперечные палки–ступени.  Мысленно приставим такую лестницу к стене, а для чистоты эксперимента сведем к минимуму силы трения — обольем пол и стену маслом. Что будет если нагрузить лестницу — залезть на нее? Лестница рухнет. В нижней и верхней опоре у нее по две степени свободы. В нижнем, у нее есть поворот и горизонтальное смещение, в верхнем — поворот и вертикальное смещение. Что нужно сделать, чтобы лестница стала устойчивой и держала нагрузку (вес человека)? А нужно всего-то лишить ее одной (из четырех) степени свободы: горизонтальной в нижней либо вертикальной в верхней опоре.