Реакции опор

Опорными называют реакции связей, возникающие в опорах под действием внешних нагрузок и удерживающие рассматриваемый элемент или конструкцию в статическом равновесии.

Замена опор их реакциями

При расчете элементов конструкций реакции опор также выступают в качестве внешних усилий приложенных к рассматриваемому телу.

Подрообнее о реакциях в различных типах опор смотрите в нашем видео:

Вопрос определения опорных реакций подробно рассматривается в курсе теоретической механики, но на практике часто применяется и при решении задач сопротивления материалов.

При этом некоторые задачи в сопромате можно решить без их определения. Это возможно в случаях, когда за расчетную схему принимается брус, закрепленный в жесткой опоре (заделке) без дополнительных опор, например, статически определимые консольные балки, стержни либо стержневые системы.

Реакции в шарнирных опорах

Реакции в шарнирных опорах могут возникать только по тем направлениям, в которых перемещение исключено:
нормально к опорной поверности и вдоль неё.

Моменты в шарнирных опорах не возникают.

Подробные примеры расчета реакций в опорах

Реакции в шарнирно-неподвижных опорах

В плоской шарнирно-неподвижной опоре исключены линейные перемещения во всех направлениях и возможен только поворот относительно шарнира.
Поэтому в таких опорах могут иметь место реакции, направленные нормально к поверхности и вдоль нее:

Они являются проекциями полной реакции R на вертикальную и горизонтальную оси.

Реакции в шарнирно-подвижных опорах

В шарнирно-подвижной опоре возможно поступательное перемещение вдоль одной из осей, следовательно в данном направлении реакции быть не может.

В данном случае, оставшаяся реакция по величине и направлению, будет равна полной.

Реакции в шарнире

В трехмерном шаровом шарнире аналогично, осевые проекции полной реакции R направляются вдоль всех трех осей:

При этом, в зависимости от схемы нагружения, некоторые из проекций могут быть равны нулю.

Расчет реакций в опорах

Количество и направление реакций зависит как от вида опор, так и от способа нагружения бруса и для статически определимых систем определяются из уравнений равновесия конструкции или ее элементов.

Примеры расчета реакций опор >

Для общего случая нагружения (пространственных систем), при котором может возникать до 6 реакций опор, требуется соответствующее количество уравнений.

Например, из условия, что заданная система относительно опор не перемещается в пространстве (вправо-влево, вверх-вниз, и вперед-назад) можем приравнять к нулю сумму проекций всех сил на оси x, y и z.

∑F(x)=0;
∑F(y)=0;
∑F(z)=0.

Из условия, что система не вращается, приравниваем к нулю суммы моментов всех нагрузок относительно соответствующих осей.

∑m(x)=0;
∑m(y)=0;
∑m(z)=0.

Совместное решение системы полученных уравнений позволяет определить величину и направление реакций в опорах.

Для плоской системы нагружения можно составить максимум три уравнения равновесия для определения до трех искомых усилий в опорах.

Линейно нагруженные элементы позволяют записать лишь одно уравнение равновесия.

Для расчета реакций опор статически неопределимых систем помимо уравнений статики требуются дополнительные зависимости, связывающие усилия с соответствующими им деформациями.

В некоторых случаях опорные реакции могут быть равны нулю. Это говорит лишь о том, что внешние нагрузки и остальные реакции взаимно уравновешены таким образом, что система может оставаться статичной и без соответствующего усилия в данной точке.

Примеры определения опорных реакций >
Внутренние силовые факторы >

Как определить реакции опор или найти опорные реакции: для балки или рамы

Приветствую тебя на ресурсе – SoproMats.ru, меня зовут Константин Вавилов и в этой статье, из серии «сопромат для чайников» поговорим о реакциях опор или их еще называют опорными реакциями. Расскажу, что это такое, как рассчитывается, и зачем собственно нужно. И также я подготовил несколько примеров расчета реакций опор для балок и рам. Изучив эту статью и примеры, вы научитесь без проблем определять опорные реакции.

Что такое реакция опоры или опорная реакция?

Реакция опоры или опорная реакция – это силовой фактор, возникающий в опоре, от действия на конструкцию внешней нагрузки. В опорах, как правило, возникают реактивные силы, которые для удобства ручного расчета раскладываются на две составляющие: вертикальную и горизонтальную проекции. В жестких заделках, которые ограничивают все степени свободы конструкций, в том числе поворот сечений, также могут появляться реактивные моменты.

Зачем определять реакции опор?

На элементы конструкций всегда наложены какие-то связи, в виде опор, жестких заделок, стержней, которые ограничивают степени свободы конструкций. Под действием внешней нагрузки в этих связях возникают реакции. И эти реакции опор нужно обязательно учитывать при расчетах на прочность, жесткость и т. д., так как они являются внешними нагрузками. Практически любая задача по сопромату начинается с нахождения реакций связей, именно поэтому статья будет одной из первых на этом сайте.

Эти реакции, чаще всего, определяются из уравнений равновесия статики. Поэтому перед изучением материала ниже, обязательно почитайте статью про уравнения равновесия.

Пример определения опорных реакций для балки

Давайте рассмотрим пример, на котором я покажу как определяются реакции опор. Причем, постараюсь объяснить максимально просто, буквально на пальцах.

Возьмем простую балку, загруженную сосредоточенной силой F, под действием которой в опорах появляются реакции R_A и R_B. Также сразу вводим систему координат x, y:

Чтобы узнать численное значение эти реакций, воспользуемся первой формой уравнений равновесия:

Первое уравнение равновесия

Записываем первое уравнение. Так как оси x не параллельна ни одна из сил, то соответственно сумма проекций сил на эту ось будет равна нулю:

Таким будет первое уравнение для этой расчетной схемы.

Второе уравнение равновесия

Второе уравнение, связанно с проекциями на вертикальную ось. Здесь все намного лучше, все силы параллельны этой оси, а значит дадут проекции. Вопрос только с каким знаком, каждая сила пойдет в уравнение. Если направление силы, совпадает с направлением оси, то в уравнение она пойдет со знаком «плюс» (R_A и R_B). Если же сила направленна в противоположную сторону, как F, в нашем случае, то в уравнении будем записывать ее с минусом. Таким образом, получим второе уравнение равновесия:

Как видите, во втором уравнении у нас находится 2 неизвестные реакции. Чтобы, наконец, решить задачу, давайте запишем третье уравнение равновесия.

Третье уравнение равновесия

Это уравнение отличается от первых двух, так как тут речь идет о моментах. Напомню, момент – это произведение силы на плечо. В свою очередь,

плечо – это перпендикуляр, опущенный от центра момента до линии действия силы. То есть это кратчайшее расстояние от центра момента до силы. В качестве центра моментов у нас назначена точка A, по условию сумма моментов всех сил должна быть равна нулю относительно этой точки.

Начинаем рассуждать и записывать уравнение. Реакция R_A не дает момента, относительно точки А, так как линия действия этой силы пересекает эту точку и соответственно плечо равно нулю. А там, где нет плеча, нет и момента.

Сила F, относительно точки А, создает момент равный:

F·2

Обратите внимание, плечо в данном случае равно 2 метрам. Кроме того, важен знак момента, для этого традиционно используется правило, которое продвинутым студентам известно еще с теоретической механики:

• Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то момент силы положительный;
• Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает
  ПО часовой стрелке, то момент силы отрицательный.

Для силы F, как видите, момент отрицательный:

Реакция опоры — R_B, создает момент равный R_B · 4, так как сила поворачивает против часовой стрелки, то в уравнение записываем его со знаком плюс:

Вычисление реакций опор

Вот собственно и все, все уравнения составлены. Теперь осталось только решить их и найти искомые значения реакций опор (F=2 кН):

В этой статье, мы рассмотрели достаточно простой пример. Если вы хотите развить свои навыки по определению реакций опор, узнать различные хитрости по их нахождению, научится определять реакции, когда на конструкцию действуют силы под различными углами, учитывать в уравнениях сосредоточенные моменты и распределенную нагрузку, приступайте к изучению статьи – как определить реакции опор для балки.

Определение реакций опор однопролетных и

много­пролетных балок

Существуют два метода определения реакций опор однопролетной и многопролетной балок: аналитический и графический. Первый из них является основным и позволяет вычислить значения реакций опор с вы­сокой степенью точности. Он основан на использовании условий равно­весия плоской системы сил. Если при этом рационально выбрать направления осей проекций и положения моментных точек, то полученные уравнения равновесия окажутся с разделенными неизвестными, т.е. каждое из уравнений будет содержать только одну неизвестную.

Графический способ основан на использовании теории силового и веревочного многоугольников, которые являются замкнутыми для систем, находящихся в равновесии. Этот метод требует строгого соблю­дения масштаба сил и параллельности линий при построении силового и веревочного многоугольников. Он широко используется в статике сооружений при расчете ферм. В остальных случаях применя­ется аналитический метод.

Рассмотрим несколько примеров определения реакций опор однопролетной балки на двух опорах и составной балки.

Пример 10. Балка на двух шарнирных опорах загружена равномер­но распределенной нагрузкой интенсивностью q = 20 кН/м и сосре­доточенной силой

F = 60 кН (рис.5.7). Требуется найти величины и направления реакций опор.

Рис.5.7

 

Решение. Для определения реакций опор заменим равномерно рас­пределенную нагрузку q её равнодействующей , приложенной в цен­тре тяжести участка, на котором приложена эта нагрузка. Модуль равнодействующей равен произведению интенсивности нагрузки q на длину участка её распределения, т.е. кН.

В результате балка будет загружена двумя параллельными силами и , направленными вертикально вниз. Кроме них на балку действуют реакции опор, направления которых устанавливаются в зависи­мости от характера этих опор. Реакция подвижной опоры всегда направлена перпендикулярно направлению её подвижности, в данном случае верти­кально вверх. Реакция неподвижной шарнирной опоры А проходит через её центр, но неизвестна по величине и направлению. В общем случае нагружения балки произвольными силами, её следует разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную , модули которых неизвестны. Однако, в данном примере заданные силы и реакция опоры В параллельны между собою и направлены вертикально, следовательно, реакция опоры А будет иметь только вертикальную составляющую .

Для равновесия балки под действием сил, представленных на рис.5.7 необходимо выполнить следующие условия равновесия:

и

Суммируя момен­ты всех сил относительно опорных точек А и В, получаем следующие уравнения:

1)

2)

Решение этих уравнений при F = 60 кН и R = 80 кН приводит к следующему результату: V_A = 75 кН, V_В = 65 кН.

Положительные значения реакций и подтверждают пра­вильность принятых направлений. Проецируя все силы на вертикаль­ную ось y, и вычисляя их сумму, убеждаемся, что значения реакций опор вы­числены правильно.

— V_A + V_В – F – R =0, 75+65-60-80=0, т.е. 0=0

Пример 11. Балка, представленная на рис.5.8, загружена произ­вольными силами, включая пару сил, момент которой показан стрелкой. Требуется определить реак­ции опор балки, если F = 40 кН m= 50 кНм.

Рис.5.8

 

Решение. Показываем все силы, действующие на балку: активные силы и m и реактивные , и (рис.5.8).

Записываем три условия равновесия системы сил, действующих на балку:

, и

 

Составляем уравнения равновесия:

1) H_А — F∙cos60⁰=0

2) V_В∙5 — F∙cos30⁰∙1,5 – m=0

3) — V_A∙5 + F∙cos30⁰∙3,5 + m=0

Подставляем заданные значения F и m в эти уравнения и вычис­ляем модули искомых реакций: H_А= 20 кН, V_В = 20,39 кН,

V_A= 14,25 кН.

Аналогично определяются реакции опор балки с консолью, представ­ленной на рис.5.9.

Рис.5.9

 

Предлагаем учащимся рационально выбрать условия равновесия, вычислить модули реакций опор и установить их истин­ные направления при q= 30 кН/м, F = 50 кН и m= 60 кНм.

Пример 12. Определить реакции опор составной балки, состоящей из двух стержней, объединенных шарниром С и загруженной силами F₁ = 120 кН , F₂ = 90 кН , F₃ = 60 кН. Направления сил и размеры участков балки (в метрах) показаны на рис.5.10.

Рис.5.10

 

Решение. Кроме внешних заданных сил на балку действуют реакции опор А, В, D и шарнира С. Реакции и шарнирно подвижных опор направлены вертикально (перпендикулярно оси балки). Полагаем, что они действуют вверх. Реакцию неподвижной опоры А разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие.

В точке С объединены два стержня при помощи неподвижного цилиндрического шарнира. Следова­тельно, в этой точке действуют по две равные и противоположно направленные силы: вертикальные и , а также горизонтальные и . При этом силы и приложены к правому концу С левого стержня, а силы и к левому концу С правого стержня. Для определения че­тырех неизвестных реакций опор (по условию не требуется опреде­лять реакции шарнира С) используем следующие четыре условия равновесия:

, , ,

Последние два условия выражают равенство нулю суммы моментов всех сил, соответственно приложенных к правой балке CDи к левой балке АС, относительно точки С.

Составляем уравнения равновесия:

1) ,откуда

кН.

2)

3)

4)

Подставляем в эти уравнения численные значений заданных сил, получаем:

— из уравнения 3 — кН.

— из уравнения 2 — кН.

— из уравнения 4 — кН.

Для контроля правильности решения примера составляем сумму проекций всех сил, дейст­вующих на балку, на вертикальную ось y и прирав­ниваем эту сумму к нулю:

, или 0=0

 

Примечание: Следует иметь в виду, что равные и противоположно направленные силы и , а также и приложены к разным те­лам. Поэтому нельзя говорить, что они взаимно уравновешиваются. В составленных ранее уравнениях равновесия эти силы не содержатся по той причине, что сумма их моментов относительно любой точки, а также сумма проекций на любую ось равны нулю тождественно.

 

Узнать еще:

Как найти реакцию опоры балки

Порядок решения задач на определение реакций опор балок

• Выбираем систему координат. Можно ось x направить вдоль балки, ось y – вертикально вверх. Ось z будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Центр системы координат можно выбрать в одной из точек опор балки.
• Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
• Если есть распределенная нагрузка, то заменяем ее равнодействующей силой. Величина этой силы равна площади эпюры. Точка приложения силы находится в центре тяжести эпюры. Так если нагрузка q равномерно распределена на отрезке AB , то ее равнодействующая имеет величину Q = q· | AB | и приложена посередине отрезка AB .
• Составляем уравнения равновесия для действующих сил. В общем случае они имеют вид:
  .
  Спроектируем это векторное уравнение на оси координат. Тогда сумма проекций сил на каждую из осей координат равна нулю:
  (1) .
  Находим проекции сил на оси координат и составляем уравнения (1). Для плоской системы сил, последнее уравнение, с проекциями на ось z , не используется.
• Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Сумма моментов сил относительно произвольной оси A′A′′ равна нулю:
  (2) .
  Чтобы составить это уравнение, мы должны выбрать ось, относительно которой вычисляются моменты. Ось лучше выбрать так, чтобы сделать вычисления более простыми. Чаще всего оси выбирают так, чтобы они проходили через точки опор балки, перпендикулярно плоскости рисунка.
• Решаем уравнения и получаем значения реакций опор.
• Делаем проверку результата. В качестве проверки можно выбрать какую-нибудь ось, перпендикулярную плоскости рисунка, и относительно нее подсчитать сумму моментов сил, действующих на балку, включая найденные реакции опор. Сумма моментов должна равняться нулю.

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н ; G = 22,6 Н ; q = 2 Н/м ; M = 42,8 Н·м ; a = 1,3 м ; b = 3,9 м ; α = 45° ;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y – вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A , разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция , в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н .
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C – посередине отрезка AD :
AC = CD = b/2 = 1,95 м .

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;
;
;
(П2) .

Уравнения равновесия для моментов

Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.

Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.

Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы , и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
; ; .

Сила перпендикулярна плечу AB . Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A , сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.

Сила перпендикулярна плечу AK . Поскольку, относительно оси A , эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.

Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.

Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A равна нулю:
;

;
;
(П3) .

Решение уравнений равновесия

Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1) .
(П2) .
(П3) .

Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.

Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:

Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A :
Н.

Проверка правильности решения

Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.

Возьмем ось, проходящую через точку E . Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:

.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н . Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм . Мы получили значение -0,03 Нм . Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.

Второй способ решения

Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно – для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.

Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B .
; ; ;
;
;
;
;
.

Сумма моментов сил относительно оси B равна нулю:
;

;
;
(П4) ;

Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1) .
(П3) ;
(П4) .

Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):

Н.

Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-10-2017

Условие задачи

Для заданной двухопорной балки с консольной частью, нагруженной комплексом нагрузок: силой F, моментом m и распределенной нагрузкой q, определить величину и направление опорных реакций.

Расчетная схема балки показана на рис.1

Длина пролета балки 3м. Длина консольной части – 1,5м.

Пример решения

Рекомендуем посмотреть наш видеоурок по расчету опорных реакций балки. В нем мы постарались подробно показать порядок расчета реакций в опорах балки.

Не забудьте подписаться на наш канал 🙂

Для решения задачи, обозначим характерные точки (сечения) балки (точки A, B, C и D) и определим положение системы координат y-z, выбрав ее начало например в т. A (рис.2)

Обе опоры балки являются шарнирными, поэтому в каждой из них будет возникать только сила, обозначим их соответственно R_A и R_C

Так как все заданные нагрузки раположены исключительно в вертикальной плоскости (плоский поперечный изгиб) и не дают проекций на ось z, то опорные реакции будут тоже только вертикальными.

Вообще говоря, реакции в опорах являются такими силами, которые необходимы для удержания балки с приложенными к ней нагрузками, в статичном (неподвижном) состоянии. В данном случае эти силы не позволяют ей вращаться и перемещаться в вертикальной плоскости.

Данная балка является статически определимой, т.к. уравнений равновесия достаточно для определения неизвестных усилий в опорах балки.

Для составления уравнений статики, опорные реакции R_A и R_C предварительно направляются произвольно, например, вверх (рис.3).

Для определения двух неизвестных реакций потребуется два уравнения.

1. Балка не перемещается по вертикали, т.е. сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:

Здесь сумму моментов лучше записывать относительно точки расположенной на опоре (например, A), т.к. в этом случае соответствующая реакция R_A в уравнении не участвует.

Из выражения (2) определяем R_C:

и подставив его в выражение (1) находим R_A:

Направление и величина реакций, как правило, необходимы для дальнейших расчетов балки на прочность и жесткость, поэтому во избежание возможных ошибок рекомендуется выполнять проверку найденных значений.

Что такое реакция опоры или опорная реакция?

Реакция опоры или опорная реакция – это силовой фактор, возникающий в опоре, от действия на конструкцию внешней нагрузки. В опорах, как правило, возникают реактивные силы, которые для удобства ручного расчета раскладываются на две составляющие: вертикальную и горизонтальную проекции. В жестких заделках, которые ограничивают все степени свободы конструкций, в том числе поворот сечений, также могут появляться реактивные моменты.

Зачем определять реакции опор?

На элементы конструкций всегда наложены какие-то связи, в виде опор, жестких заделок, стержней, которые ограничивают степени свободы конструкций. Под действием внешней нагрузки в этих связях возникают реакции. И эти реакции опор нужно обязательно учитывать при расчетах на прочность, жесткость и т. д., так как они являются внешними нагрузками. Практически любая задача по сопромату начинается с нахождения реакций связей, именно поэтому статья будет одной из первых на этом сайте.

Пример определения опорных реакций для балки

Давайте рассмотрим пример, на котором я покажу как определяются реакции опор. Причем, постараюсь объяснить максимально просто, буквально на пальцах.

Возьмем простую балку, загруженную сосредоточенной силой F, под действием которой в опорах появляются реакции R_A и R_B. Также сразу вводим систему координат x, y:

Чтобы узнать численное значение эти реакций, воспользуемся первой формой уравнений равновесия:

Первое уравнение равновесия

Записываем первое уравнение. Так как оси x не параллельна ни одна из сил, то соответственно сумма проекций сил на эту ось будет равна нулю:

Таким будет первое уравнение для этой расчетной схемы.

Второе уравнение равновесия

Второе уравнение, связанно с проекциями на вертикальную ось. Здесь все намного лучше, все силы параллельны этой оси, а значит дадут проекции. Вопрос только с каким знаком, каждая сила пойдет в уравнение. Если направление силы, совпадает с направлением оси, то в уравнение она пойдет со знаком «плюс» (R_A и R_B). Если же сила направленна в противоположную сторону, как F, в нашем случае, то в уравнении будем записывать ее с минусом. Таким образом, получим второе уравнение равновесия:

Как видите, во втором уравнении у нас находится 2 неизвестные реакции. Чтобы, наконец, решить задачу, давайте запишем третье уравнение равновесия.

Третье уравнение равновесия

Это уравнение отличается от первых двух, так как тут речь идет о моментах. Напомню, момент – это произведение силы на плечо. В свою очередь, плечо – это перпендикуляр, опущенный от центра момента до линии действия силы. То есть это кратчайшее расстояние от центра момента до силы. В качестве центра моментов у нас назначена точка A, по условию сумма моментов всех сил должна быть равна нулю относительно этой точки.

Начинаем рассуждать и записывать уравнение. Реакция R_A не дает момента, относительно точки А, так как линия действия этой силы пересекает эту точку и соответственно плечо равно нулю. А там, где нет плеча, нет и момента.

Сила F, относительно точки А, создает момент равный:

Обратите внимание, плечо в данном случае равно 2 метрам. Кроме того, важен знак момента, для этого традиционно используется правило, которое продвинутым студентам известно еще с теоретической механики:

• Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то момент силы положительный;
• Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПО часовой стрелке, то момент силы отрицательный.

Для силы F, как видите, момент отрицательный:

Реакция опоры — R_B, создает момент равный R_B · 4, так как сила поворачивает против часовой стрелки, то в уравнение записываем его со знаком плюс:

Вычисление реакций опор

Вот собственно и все, все уравнения составлены. Теперь осталось только решить их и найти искомые значения реакций опор (F=2 кН):

В этой статье, мы рассмотрели достаточно простой пример. Если вы хотите развить свои навыки по определению реакций опор, узнать различные хитрости по их нахождению, научится определять реакции, когда на конструкцию действуют силы под различными углами, учитывать в уравнениях сосредоточенные моменты и распределенную нагрузку, приступайте к изучению статьи – как определить реакции опор для балки.

Расчетно-графическая работа. Определение опорных реакций балки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ БАЛКИ

Последовательность решения задачи

1. Балку освободить от связей (связи) и их (его) действие заменить силами реакций.

2. Выбрать координатные оси.

3. Составить и решить уравнения равновесия.

Реакции опор можно определить, исходя из трех форм уравнений равновесия:

а)

å F_{i х} = 0;

å F_{i у} = 0;

åМ_А = 0;

б)

å F_{i х} = 0;

åМ_А = 0;

åМ_В = 0;

в)

åМ_А = 0;

åМ_В = 0;

åМ_С = 0.

4. Проверить правильность решения задачи. Проверку необходимо производить по тому уравнению равновесия, которое не было использовано при решении данной задачи (задача решена правильно лишь в том случае, если после постановки значений активных и реактивных сил в уравнение равновесия выполняется условие равновесия).

5. Сделать анализ решенной задачи (если при решении задачи реакции опор или реактивный момент получается отрицательным, то их действительное направление противоположно принятому).

Пример 1. Определить реакции опор балки, если известно

F = 20 кН, М =10 кН м, q = 1 кН/м (рис. 1).

Рис. 1 — Схема задачи

Решение:

1. Изображаем балку вместе с нагрузками.

2. Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3. Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, накопленную к оси балки под углом α, заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими

F_х = F сos 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН

F_у = F сos 60 = 20 0,5 = 10 кН,

а равномерно распределенную нагрузку — её равнодействующей

Q = q  CD = 1  2 = 2 кН,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD, в точке К (рис. 2).

Рис. 2 — Схема преобразования заданных активных сил

4.Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат (рис 3).

Рис. 3 — Схема реакций балки

5.Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.

å М_А = 0; F_у  АВ + M + Q AK — R_Dy AD = 0 (1)

å М_D = 0; R_Ay AD — F_у  ВD + M — Q KD = 0 (2)

å F_{iх = 0; RAх — Fх = 0 (3)}

6. Определяем реакции опор балок R_Ay, R_Dy и R_Aх решая уравнения.

Из уравнения ( 1 ) получаем

R_Dy = F_у  АВ + M + Q AK / AD = 10  1 + 10 + 2  3 / 4 = 6,5 кН

Из уравнения ( 2 ) получаем

R_Ay = F_у  ВD — M + Q KD / AD =10  3 — 10 + 2 / 4 = 5,5 кН

Из уравнения ( 3 ) получаем

R_Aх = F_х = F сos 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН

7. Проверяем правильность найденных результатов:

å F_{i y} = 0; R_Ay — F_у — Q + R_Dy = 5,5 — 10 — 2 + 6,5 = 0

Условие равновесия å F_{i y} = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Пример 2. Определить реакции заделки, если известно

F = 20 кН, М =10 кН м, q = 1 кН/м (рис. 4).

Рис. 4 — Схема задачи

Решение:

1. Изображаем балку вместе с нагрузками.

2. Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3. Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, накопленную к оси балки под углом α, заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими

F_х = F сos 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН

F_у = F сos 60 = 20 0,5 = 10 кН,

а равномерно распределенную нагрузку — её равнодействующей

Q = q  CD = 1  2 = 2 кН,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD, в точке К (рис. 5).

Рис. 5 — Схема преобразования заданных активных сил

4.Освобождаем балку от заделки, заменив её опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат и реактивным моментом (моментом заделки, М₃)(рис 6).

Рис. 6 — Схема реакций балки

5.Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.

å М_А = 0; M₃ + F_у  АВ + M + Q AK = 0 (1)

å М_В = 0; M₃ + R_Ay AВ + M + Q ВK = 0 (2)

å F_{iх = 0; RAх — Fх = 0 (3)}

6. Определяем реакции опор балки R_Aх , R_Ay и момента заделки М_{3решая уравнения.}

Из уравнения ( 1 ) получаем

M₃ = — F_у  АВ — M — Q AK = — 10  1 — 10 — 2  3 = — 26 кН м

Из уравнения ( 2 ) получаем

R_Ay = — Q ВK — M — M₃ / AВ = — 2  2 — 10 -(-26) / 1 = 12 кН

Из уравнения ( 3 ) получаем

R_Aх = F_х = F сos 30 = 20 0,866 = 17, 32 кН

7. Проверяем правильность найденных результатов:

å F_{i y} = 0; R_Ay — F_у — Q = 12 — 10 — 2 = 0

Условие равновесия å F_{i y} = 0 выполняется, следовательно, реакции опоры найдены верно.

Задача 1. Определить реакции опор двухопорной балки (рисунок 7). Данные своего варианта взять из таблицы 1

Таблица 1 — Исходные данные

Номер схемы на рисунке 7

F

q

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Варианты

кH

кH/м

кHм

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

2

28

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

30

4

8

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

40

2

24

Рис. 7 — Схема задачи

Задача 2. Определить реакции заделки (рисунок 8). Данные своего варианта взять из таблицы 1

Таблица 1 — Исходные данные

Номер схемы на рисунке 8

F

q

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Варианты

кH

кH/м

кHм

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

2

38

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

22

2

12

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

34

2

14

Рис. 8 — Схема задачи

Задача 3. Определить реакции опор балки (рисунок 9).

Рис. 9 — Схема задачи

Методика решения задач по статике

1 этап. Изучить задачу (что дано, что определить, что главное, что второстепенное – для этого иногда следует несколько раз читать условие задачи).

2 этап. Выбрать объект равновесия (им может быть узел, тело любой формы, сложная конструкция или ее часть, машина, механизм и прочее).

3 этап. Показать заданные (известные) силы, приложенные к выбранному объекту равновесия.

4 этап. Установить связи, действующие на объект, определить типы связей и показать их реакции.

5 этап. Определить вид системы сил, действующей на объект, и записать для нее уравнения равновесия (каждый вид имеет свои уравнения).

6 этап. Выполнить действия, предусмотренные уравнениями равновесия (спроектировать силы, вычислить их моменты и прочее), найти искомые величины, результаты проанализировать.

Равновесие произвольной плоской системы сил

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на две оси и сумма моментов сил относительно любой точки равнялись нулю, т.е.

. (8)

Вместо уравнений (9) иногда лучше использовать другую систему уравнений

, (9)

где и– произвольные точки; осьне перпендикулярна к прямой, или третью

, (10)

где и– произвольные точки, не лежащие на одной прямой.

Для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси равнялись нулю, т.е.

(11)

Задание С 1

Определить опорные реакции балки, если известны ее размеры и схема нагрузки. Весом балки пренебречь.

Варианты задания показаны на рис. С 1-1 – С 1-2, а необходимые для решения данные приведены в табл. С 1.

Таблица С 1

Вариант	Схема	Нагрузка		Размеры, м				Углы, в градусах
		, кН	, кН	а		b	c
1	1	3	—	3		1	2	30	90
2		4	—	4		2	1	45	120
3	2	4	—	8		4	5	45	30
4		6	—	12		6	7	90	45
5	3	3	—	8		3	2	45	45
6		4	—	10		4	3	60	30
7	4	4	—	3		2	—	120	45
8		10	—	6		4	—	120	30
9	5	4	—	5		5	—	30	60
10		8	—	15		10	—	60	120
11	6	5	—	2		2	—	30	45
12		9	—	2		3	—	30	90
13	7	—	2	10		5	—	—	60
14		—	4	16		6	—	—	30
15	8	—	3	14		7	4	30	45
16		—	4	15		6	5	60	60
17	9	—	2	4		3	—	—	60
18		—	8	10		9	—	—	30
19	10	—	1	6		2	10	—	30
20		—	5	10		4	8	—	60
21	11	5	—	5		7	2	90	60
22		8	—	8		10	4	60	90
23	12	—	2	10		3	4	—	60
24		—	5	20		5	5	—	30
25	13	—	4	10		10	—	45	30
26		—	9	16		10	—	30	60
27	14	—	3	7		3	4	—	60
28		—	8	11		7	10	—	30
29	15	—	4	8		8	—	60	30
30		—	6	10		12	—	60	45
1					2
3					4
5					6
7					8

Рис. С 1 – 1

Рис. С 1 – 2

Задание С 2

Найти реакции опор конструкции. Схемы конструкций представлены на рис. С 2 – 1 – С 2 – 4 (размеры в м), нагрузка указана в табл. С 2.

Таблица С 2

Вариант (схема)		P	М, кН·м	q, кН/м	, град.	Вариант (схема)	G	Р	М, кН·м	q, кН/м	, град.
	кН						кН
1	10	5	20	1	30	10	10	8	9	1	30
2	12	8	10	4	60	11	–	4	7	0,5	45
3	8	4	5	2	60	12	10	6	8	–	45
4	14	–	8	3	30	13	12	10	6	2	30
5	–	6	7	1	45	14	10	6	10	1	45
6	–	10	4	2	60	15	4	4	4	2	60
7	–	6	5	1	45	16	20	10	–	2	45
8	16	7	6	2	60	17	25	5	–	0,5	45
9	6	6	4	2	30	18	20	10	10	–	30
19	–	4	8	1	45	25	–	14	20	0,5	45
20	–	10	6	0,5	45	26	–	16	14	1	30
21	–	8	7	0,5	30	27	5	4	8	2,5	45
22	–	10	8	1	30	28	–	10	7	3	30
23	–	7	10	2	30	29	–	6	8	1	15
24	–	6	7	1,5	30	30	15	10	14	–	30

Рис. С 2 – 1

Рис. С 2 – 2

Рис. С 2 – 3

Рис. С 2 – 4

29

30

Рис. С 2 – 5

Задание С 3

Варианты 1 – 6 (рис. С 3 – 1, С 3 – 2)

1. Определить давление балки АВ на опорные поверхности, если 20 Н/м,F = 25 Н, 40 Н·м,,АС = ВС = 3 м.

2. На П-образную балку АВ действует сила Н, пара сил с моментомН·м и нагрузкаН/м, изменяющаяся по линейному закону. Определить реакции опорА и В, если ,АС = 2 м, СD = 1,5 м.

3. Определить реакции опор однородной балки АВ весом 20 Н, если М = 10 Н·м, Н/м,,АВ = 2 м, ВС = 1,5 м.

4. Стержни АС и ВС соединены шарнирно в точке С. Определить реакции опор А и В, если F = 15 Н, m = 8 Н·м, Н/м,AD = CD = 3 м, .

5. Балка AD соединена шарнирно с невесомым стержнем BD. Определить реакции опор А и В, если F = 6 кН, m = 25 кН·м, кН/м,АЕ = СЕ = 2 м, ,СК = КD = 3 м.

6. На конце однородной горизонтальной балки весом 8 кН лежит однородная бетонная плита весом 4 кН. Определить реакции жесткой заделки А, если F = 6 кН, М = 20 кН·м, АС = BD = CD = 2 м, .

Рис. С 3 – 1

Рис. С 3 – 2

Варианты 7 – 8 (рис. С 3 – 3)

7. Однородный стержень АВ весом 10 кН упирается концом А в выступ и свободно лежит на гладкой поверхности полуцилиндра. Определить реакции опор, если m = 10 кН·м, кН/м,,АС = 3/4 АВ, АВ = 4 м.

8. Определить реакции опор балки АВ весом 20 кН, если кН/м,m = 9 кН·м, АС = ВС = 3 м, .

Рис. С 3 – 3

Варианты 9 – 14 (рис. С 3 – 4)

9. Определить реакции, возникающие в заделке А балки АВ, если F = 8 кН, Р = 10 кН, кН/м,m = 30 кН·м, ,AC = CD = BD = 2 м.

10. Определить реакции опор А и В балки AD, если F = 12 кН, ,q = 1,4 кН/м, m = 22 кН·м, AC = CD = 4 м.

11. Определить реакции опор А и В балки AС и ее вес, если m = 20 кН·м, q = 0,8 кН/м, AB = 2,5 м, ВС = 2 м и в положении равновесия угол .

12. Определить реакции опор балки АВ, если F = 9 кН, q = 3 кН/м, m = 32 кН·м, АС = ВС = 1,5 м, .

Рис. С 3 – 4

Варианты 13 – 14 (рис. С 3 – 5)

13. На балку AD действует сила F = 8 кН, пара сил с моментом m = 26 кН·м и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 0,8 кН/м. Определить реакции опор А и В, если ,,АЕ = СЕ = CD = 1 м.

14. Определить реакции опоры А Г-образной балки, изображенной на чертеже, и невесомого стержня ВС, если F = 6 кН, кН/м,m = 24 кН·м, ,АС = СЕ = ED = 3 м.

Рис. С 3 – 5

Варианты 15 – 20 (рис. С 3 – 6)

15. Консольная балка находится под действием пары сил с моментом m = 16 Н·м и распределенной нагрузки интенсивности q = 2 Н/м. К концу балки В подвешен груз Р = 30 Н. Определить реакцию заделки, если ,АС = ВС = 1 м.

16. Определить реакции опор А и В балки, изображенной на чертеже, если F = 8 кН, m = 30 кН·м, q = 1,2 кН/м, ,АЕ = ЕС = BD = 2 м.

17. Определить реакцию жесткой заделки Г-образной балки АВС, если F = 6 кН, Р = 10 кН, кН/м,,АВ = ВС = 3 м.

18. Найти реакции опор Г-образной балки АВ, если F = 5 кН, m = 30 кН·м, q = 0,9 кН/м, ,АС = ВС =2 м, CD = BD.

19. Однородная балка АВ весом 40 кН и длиной 4 м упирается концом А в выступ пола, а промежуточной точкой D опирается о ребро ступени. Определить реакции опор, если кН/м,m = 18 кН·м, BD = 0,5 м, CD = 1 м, .

20. Однородная балка АВ весом 25 Н и длиной 6 м находится под действием пары сил с моментом m = 8 Н·м и равномерно распределенной нагрузки интенсивности q = 4 Н/м, АС = ВС. Определить реакции опор.

Рис. С 3 – 6

Варианты 21 – 26 (рис. С 3 – 7)

21. Определить реакции опор балки АС, если F = 8 кН, М = 30 кН·м, кН/м,,BC = BD = AD = 2 м.

22. Балка АВ весом 10 кН и длиной 4 м опирается одним концом на наклонную плоскость, а в точке А на цилиндрическую поверхность радиуса R = 1 м. Определить давление балки на опорные поверхности, если q = 1 кН/м, m = 32 кН·м, ,BD = 1,5 м, .

23. Определить усилия в стержнях, поддерживающих балку АС, если F = 6 кН, m = 25 кН·м, q = 0,8 кН/м, ,АВ = 2ВС = 2 м.

24. Однородный стержень АВ весом 50 Н удерживается в равновесии невесомым стержнем CD и грузом Р, подвешенным к веревке, перекинутой через блок О. Определить реакцию опоры А и усилие в стержне, если Р = 100 Н, q = 60 Н/м, m = 12 Н·м, ,BD = 0,5AD = 2 м.

Рис. С 3 – 7

Варианты 25 – 30 (рис. С 3 – 8)

25. Определить давление балки АВ на опорные плоскости, если H, m = 1,6 H·м, q = 20 H/м, ,АС = СВ = 0,8 м.

26. Определить реакцию жесткой заделки Т-образной балки, если F = 15 H, q = 10 H/м, m = 14 H·м, ,BС = ВD = 1 м, AB = 3 м.

27. Определить реакции опор А и В однородной балки АС длиной 2 м и ее вес, если m = 15 H·м, ,R = 0,8 м.

28. Определить реакции опор А и В балки, если q = 15 H/м, m = 12 H·м, AC = 1 м, BC = 2 м, .

29. Определить реакцию опоры А и усилие, возникающее в невесомом стержне ВС, если, F = 25 H, m = 10 H·м, ,АЕ = ЕС = СД = 1,5 м.

30. Определить реакцию жесткой заделки балки АВ, если F = 40 H, m = 18 H·м, ,АС = 1,5 м, ВС = 2,5 м.

Рис. С 3 – 8

Реакция — опора — балка

Реакция — опора — балка

Cтраница 1

Реакции опор балки от сплошной нагрузки р и от ее равнодействующей R pa одинаковы, следовательно, эпюры М и Q на участках АС и DB будут также одинаковыми.  [1]

Реакции опор балки в том и другом случаях, конечно, одинаковы.  [2]

Реакции опор балки от сплошной нагрузки р и от ее равнодействующей R pa одинаковы, следовательно, эпюры М и Q на участках АС и DB будут также одинаковыми. Рассматривая часть, срезанную хордой C D, замечаем, что она соответствует эпюре моментов, построенной для простой балки пролетом а. Это следует и из непосредственных вычислений.  [3]

Находим реакции опор балки.  [4]

Находим реакции опор балок.  [5]

Для определения величины реакций опор балок должны быть составлены уравнения равновесия всех внешних сил, действующих на балку. Если этих уравнений доста -; точно, чтобы определить величины всех реакций — балка статически определима; в противном случае балка статически неопределима и для определения реакций ее опор необходимо составлять дополнительные уравг — нения, исходя из условий деформации балки.  [6]

Для определения величины реакций опор балок должны быть составлены уравнения равновесия всех внешних сил, действующих на балку.  [7]

После определения момента в защемлении, реакции опор балки VA и VB можно найти из уравнений равновесия моментов всех сил, приложенных к балке, относительно точек В и А.  [8]

После определения моментов в защемлении, реакции опор балки VA и VB можно найти из уравнений равновесия моментов всех сил, приложенных к балке, относительно точек В и А.  [9]

Внешние силы, действующие на балки, уравновешиваются реакциями опор балок, величина и направление которых зависят как от величины внешних сил, так и от типа устройства опор.  [10]

Для консоли нагрузка и чпюра Q остаются такие же, как и у балки на двух опорах, только на свободном конце консоли добавляется сила, равная реакции соответствующей опоры балки.  [11]

Для консоли нагрузка и эпюра Q остаются такие же, как и у балки на двух опорах, только на свободном конце консоли добавляется сила, равная реакции соответствующей опоры балки.  [12]

Заметим, что неизвестные силовые факторы — поперечная сила So и изгибающий момент Л — Jj — представляют собой реакцию стенки, которая защемляет левый конец балки. Это дает основание утверждать, что методы редукции краевых задач плоского изгиба можно рассматривать как способы определения реакций опор балок с помощью АВМ.  [13]

Рассмотрим затем равновесие целой ( не составной. Задача определения реакций опор трехопорной целой балки является статически неопределенной. Эта задача может быть решена методами сопротивления материалов с учетом изгиба балки.  [14]

Такое представление дает большое упрощение, когда движение звена заранее известно. Так, реакции опор равномерно вращающегося вала легко могут быть определены, если вообразить, что вал не вращается, а на него действуют центробежные силы инерции, которые в этом случае приводятся к довольно простой системе сил; в этом смысле и говорят о центробежных силах, действующих на вращающееся звено. Подобно этому могут быть определены реакции опор балки, поднимающейся ( вместе с опорами) вертикально вверх с ускорением. Если же в обоих случаях рассмотреть внутренние напряжения, то они окажутся в точности такими, как если бы звенья были неподвижны, а силы инерции были распределены согласно распределению масс и ускорений точек звена. В этом смысле и принято говорить, что звенья нагружены силами инерции, так как все расчеты на прочность производятся по уравнениям равновесия. В таком же смысле говорят, что вращающийся маховик находится под действием центробежных сил, которые при большой угловой скорости могут повести даже к разрыву.  [15]

Страницы:      1    2

Опорные реакции балки с простой опорой: артикул

Опорные реакции балки с простой опорой

Содержание

Введение

Балка с простой опорой — одна из самых простых конструкций. У него всего две опоры, по одной с каждой стороны. Одна — это опора с штифтами, а другая — роликовая опора. В этой конфигурации лучу запрещается любое вертикальное движение на обоих концах, в то время как он может свободно вращаться. Благодаря роликовому опору он также может расширяться или сжиматься в осевом направлении, хотя свободному горизонтальному перемещению препятствует другая опора.

Удаление любой из опор при вставке внутреннего шарнира приведет к превращению балки с простой опорой в механизм, то есть тело движется без ограничений в одном или нескольких направлениях. Очевидно, это нежелательно для несущей конструкции. Следовательно, балка с простой опорой не обеспечивает избыточности с точки зрения опор, и если произойдет локальный отказ, вся конструкция рухнет. Структуры такого типа, которые не обеспечивают избыточности, называются критическими структурами или детерминантными структурами.Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной структурой.

Статический анализ — как найти реакции

Поскольку балка без опоры является детерминированной конструкцией, можно получить ее статический отклик, используя только уравнения равновесия. Эти уравнения требуют, чтобы сумма всех сил и моментов, действующих на конструкцию в любом направлении, включая приложенные нагрузки и опорные реакции, была равна нулю.{any point} = 0

Первые два уравнения обеспечивают равновесие сил в направлениях x и y (декартова система осей, которую можно определить произвольно, в зависимости от случая). Третье уравнение обеспечивает равновесие всех моментов вокруг определенной точки, которая может быть любой точкой на плоскости.

Пример 1: опорные реакции свободно опертой балки с точечной нагрузкой

Определите опорные реакции центрально нагруженной свободно опертой балки с точечной силой P в середине

Присвоение неизвестных опорных реакций переменным R_A, H_A и R_B, как показано на рисунке, три уравнения равновесия определены следующим образом:

• В направлении x к конструкции не приложена сила.Есть только неизвестная реакция поддержки H_A. Таким образом, первое уравнение равновесия:

\ sum F_x = 0 \ Rightarrow H_A = 0

• Вдоль направления y приложенная сила P приложена к центру балки, а также опорные реакции R_A и R_B. Таким образом, первое уравнение равновесия:

\ sum F_y = 0 \ Rightarrow R_A + R_B-P = 0

• Для третьего уравнения мы должны выбрать одну точку, вокруг которой рассчитываются моменты. Часто удобнее выбрать точку, через которую направляются некоторые силы (например, точка A в нашем примере), потому что результирующие моменты для этих сил будут равны нулю.{A} = 0 \ Rightarrow H_A 0 + R_A 0-P {L \ over2} + R_B L = 0

  Есть три неизвестных, и у нас есть три уравнения, поэтому можно решить систему уравнений и получить неизвестные реакции поддержки. H_A находится непосредственно из первого уравнения, равного нулю. Если вдоль продольной оси балки не действует нагрузка, эта реакция всегда будет равна нулю. Из третьего уравнения мы можем напрямую получить R_B:

  -P {L \ over2} + R_B L = 0 \ Rightarrow

  R_B = {P \ over2}

  И, наконец, подставив R_B во второе уравнение, R_A должно быть тоже найдено:

  R_A + {P \ over2} -P = 0 \ Rightarrow

  R_A = {P \ over2}

  Когда наложенная нагрузка является распределенной, процедура остается той же, при условии, что вы замените ее на эквивалентная точечная сила, имеющая:

  • в том же направлении
  • величину, равную общей силе распределенной нагрузки
  • точка приложения в центре тяжести распределенной нагрузки

  Пример 2: опорные реакции свободно опертой балки с распределенной нагрузкой

  Найдите реакции следующей балки с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой, приложенной к ее половине пролета.

  Перед тем, как перейти к уравнениям равновесия, мы заменим распределенную нагрузку эквивалентной точечной силой W. Эта сила должна иметь то же направление вниз и величину, равную полной нагрузке, то есть W = wL / 2. Его точка приложения должна быть расположена в центре тяжести распределенной нагрузки, которую он заменяет, в данном случае на расстоянии четверти длины от правого конца балки. На следующем рисунке показана балка с эквивалентной нагрузкой, которую мы собираемся использовать для равновесия.

  Затем мы назначаем неизвестные реакции опоры переменным R_A, H_A и R_B, и мы определяем оси x, y, как показано на рисунке ниже.

  Поскольку отсутствует горизонтальная составляющая приложенных нагрузок, реакция H_A должна быть равна нулю в силу уравнения равновесия \ sum F_x = 0. Остальные два нетривиальных уравнения равновесия записаны ниже с учетом положительных направлений. , обозначенное нашей системой осей:

  \ sum F_y = 0 \ Rightarrow R_A + R_B- {wL \ over 2} = 0

  \ \ circlearrowleft \ sum M ^ {A} = 0 \ Rightarrow R_A 0- {wL \ over 2} {3L \ over4} + R_B L = 0

  Из последнего уравнения мы можем найти R_B:

  — {3wL ^ 2 \ over4} + R_B L = 0 \ Rightarrow

  R_B = {3wL \ over8}

  Подставляя R_B в первое уравнение, мы можем найти оставшуюся неизвестную реакцию R_A:

  R_A + {3wL \ over8} — {wL \ over 2} = 0 \ Rightarrow

  R_A — {wL \ over8} = 0 \ Rightarrow

  R_A = {wL \ over8}

  Похожие страницы

  Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

  Статика вопрос: Когда мне нужно найти реакцию поддержки?

  Я изучил некоторый материал по статике и, недавно обнаружив этот оставшийся без ответа вопрос, могу дать некоторые указания с точки зрения физики того, что происходит.

  Фундаментальный вопрос в статике состоит в том, чтобы определить значения сил, действующих на жесткую конструкцию (обычно из стержней), где все находится в равновесии. (Примеры, которые я рассмотрел, являются двумерными, поэтому я предполагаю, что в дальнейшем; но можно добавить аналогичные уравнения для трехмерного изображения, хотя суть вопроса OP может быть обсуждена в двухмерном режиме.)

  Доступны уравнения из законов сохранения Ньютона:

  $ \ Sigma F_x = 0 $ — сумма сил по оси абсцисс равна нулю

  $ \ Sigma F_y = 0 $ — сумма сил по оси ординат равна нулю

  $ \ Sigma M_a = 0 $ — момент (крутящий момент) относительно точки (следовательно, любой точки) равен нулю

  Таким образом, эти уравнения будут верны в любой точке, особенно в точках соединения на конструкции (часто называемой «фермой»).

  Переменные, которые образуются в этих уравнениях, — это Силы в заданных точках системы: точнее, x- и y-компоненты Сил.

  Система (ферма) будет размещена на земле в N точках; в каждой из этих точек мы имеем «опорную реакцию» на ферму. Таким образом, будет N неизвестных опорных реакций (скажем, по оси Y), которые необходимо найти в принципе: с пометкой $ V_1 $, $ V_2 $, …., скажем, $ V_N $.

  Также, вероятно, будет какая-то внешняя сила в проблеме.Эта внешняя Сила $ F $ обычно считается приложенной в определенной точке конструкции и может иметь горизонтальный (ось x) компонент и нисходящий вертикальный (-ve компонент оси y). Я должен отметить здесь, что в более широком классе физических и инженерных задач предполагается, что сила F распределена на по всей конструкции, а не расположена только в одной точке: основным примером такой силы может быть гравитация. Однако математические методы для решения этой проблемы включают в себя исчисление и поэтому выходят за рамки базовой теории статики, которую я видел и которая рассматривается здесь.Итак, предположим, что одна сила действует на точку извне. Можно ли решить эту проблему всеми силами?

  Оказывается, здесь есть математическая проблема, которую я объясню на нескольких простых примерах.

  Пример 1: Балка с 2 опорами и внешней силой

  Пусть длина балки составляет L единиц, опоры (A, B) на каждом конце и внешняя сила F, действующая на балку чисто вертикально на расстоянии $ a $ от A, $ b $ от B (следовательно, $ L = a + b $).Далее надо решить (знаки важны в целом):

  [1] $ \ Sigma F_y $ = $ V_A + V_B — F = 0 $

  [2] $ \ Sigma M_A $ = $ aF — (a + b) V_B = 0 $

  Здесь известны $ F $, $ a $ и $ b = L-a $, а $ V_A $ и $ V_B $ неизвестны. Ключевым моментом здесь является то, что у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Решение легко увидеть:

  $ V_A = (б / а + б) F = (б / л) F $

  $ V_B = (a / a + b) F = (a / L) F

  $

  Итак, это называется статически определяемой системой .Однако простейшие модификации могут привести к статически неопределимой системе .

  Пример 2: Балка с 3 опорами

  Я не буду вдаваться в подробности этой статьи в Википедии. Дело в том, что есть те же уравнения, за исключением того, что теперь есть третья сила реакции $ V_C $. Следовательно, существует слишком много переменных, и эта проблема не может быть решена (одной Статикой). В каком-то смысле это довольно общий случай.

  Однако остается инженерная задача — смоделировать силы на соединенной ферме.Метод соединений выполняет это, проходя через ферму итеративно: в каждой точке соединения всего с несколькими силами и переменными, так что проблема является определяемой и определяется новая неизвестная сила. В конце концов, повторным применением этой техники можно определить все силы, действующие на все балки фермы.

  Однако о любой физической системе всегда можно задать другой вопрос: а именно, какие силы действуют на конкретную точку? Эта проблема не всегда требует полного решения сил, действующих на все остальные определенные точки, прежде чем на нее можно будет ответить.Итак, идея состоит в том, чтобы построить диаграмму свободного тела, которая извлекает ключевую физику (в данном случае статику) проблемы. Выполнение этого в задачах, подобных статической ферме, называется методом сечений . Ключевые уравнения — это уравнения силы и крутящего момента Ньютона, используемые в статике, но применяемые выборочно.

  Этот метод определения места «разрезания» фермы выглядит как искусство, хотя, похоже, некоторые принципы, использованные в учебном материале, который я видел.Вот одна из таких ферм — метод сечений.

  Расчет опорных реакций — статически детерминированная балка

  Задача 4-1

  Найти реакции на опоре следующей балки, показанной на рисунке 4-1 (а).

  Рисунок 4-1 (а)

  Решение:

  В данная балка рассматривается как двухмерная структура.Свободное тело Схема балки приведена на рисунке 4-1 (b), на котором показаны все компоненты реакции ( A _x , A _y , B _y ) и прикладной нагрузки. Этот луч статически определен, так как может иметь только 3 компоненты реакции; 2 на шарнирной опоре в точке A и 1 в точке роликовая опора в точке B, и есть 3 возможных уравнения статическое равновесие ΣF _x = 0, ΣF _y = 0, ΣM _z = 0; ( Ось x и Ось Y, как показано на рисунке, а ось Z перпендикулярна плоскость x-y.)

  Рисунок 4-1 (b) Схема свободного тела

  Применяя уравнения статики равновесие:

  ΣF _x = 0; A _x = 0; (ур. 1)

  ΣF _y = 0; A _y + B _y 10 20 4 = 0;

  A _y + B _y = 90 кН; (ур.2)

  Учитывая ось z, проходящую через A, и принимая момент всех сил вокруг оси z (принимая по часовой стрелке ve и против часовой стрелки + ve) ;

  ΣM _z = 0; B _y 10-10 8 20 4 2 = 0 (уравнение 3)

  Решение уравнения. 3 урожая B _y = 24 кН;

  Подставляем значение B _y в экв.4-2 дает A _y = 66 кН.

  Вы можете посетить следующие ссылки на решенные примеры по расчету изгибающего момента и поперечной силы и построению диаграмм
  

  Поддерживающие реакции — Равновесие

  Равновесие тела требует как баланса сил, предотвращающих поступательное движение тела или ускоренного движения по прямой или изогнутой траектории, так и баланса моментов, препятствующих вращению тела.

  Любая система статических сил будет находиться в равновесии, если результирующая сила и результирующий момент равны нулю.

  Статическое равновесие в трехмерной системе может быть выражено как

  ΣF = Σ F _x = Σ F _y = Σ F = 0 (1)

  Σ M = Σ M _x = Σ M _y = Σ z 2)

  , где

  F = сила (Н, фунт)

  M = момент (Нм, фут-фунт)

  x, y, z = ортогональные оси

  Часто Нагрузку тела можно упростить до двухмерной системы с копланарными силами в плоскости xy.Уравнение 1 и 2 могут быть уменьшены до

  Σ F = Σ F _x = Σ F = _y

  Σ M = Σ M _z = 0 (4)

  Лучший способ учесть все силы, действующие на тело, — это построить диаграмму свободного тела. .Диаграмма свободного тела показывает относительную величину и направление всех сил, действующих на объект в данной ситуации.

  Пример диаграммы свободного тела — силы тяжести и трения, действующие на тело на наклонной плоскости

  Пример — Опорные реакции на балку с эксцентрической нагрузкой

  Балка длиной 6 м имеет эксцентрическую нагрузку из 9000 N 4 м из опоры 1 . Применяя уравнения равновесия, получаем

  F _x = R _1x = R _2x = 0 (5)

  F _y — (R _1y + R _2y ) = 0 (6)

  M ₁ = F _y a — R _2y (a + b) = 0 (7)

  Изменение порядка (7) на экспресс R _2y

  R _2y = F a / (a + b) (7b)
  

  Ур. (7b) со значениями

  R ₂ = (9000 Н) (4 м) / ((4 м) + (2 м))

  = 6000 Н

  = 6 кН

  Перестановка (6) на R _{1 год} 3 F _y — R _2y (6b)

  Ур. (6b) со значениями

  R _{1 год} = (9000 Н) — (6000 Н)

  = 3 кН
  

  определить силы реакции на опоре A и опоре ролика б найти диаграмму моментов для…

• Использовать метод интеграции Определите реакцию на роликовой опоре и начертите диаграмму изгибающего момента …

  Использовать метод интеграции Определите реакцию опоры ролика и нарисуйте диаграмму изгибающего момента для балки и показанной нагрузки. L / 2

• 2. [1251 Определите реакцию опоры на ролике B, используя метод силы. Поддержка в A i …

  пожалуйста, мне нужно, чтобы кто-то сделал это четко. 2. [1251 Определите опорную реакцию на ролике B, используя метод силы.Опора в точке A представляет собой ролик, а C — штифт. 500 фунтов 120 фунтов / фут 12 футов 5 футов 5 футов a. 130) Напишите условие совместимости. Включите эскизы первичной конструкции и избыточного состояния с коэффициентом гибкости. Выберите B как избыточную силу b. 160] Решите для ABy с помощью виртуальной работы 130] Нарисуйте сдвиг и …

• Определите величину реакции на роликовой опоре. (в кипах) и величиной …

  Определите величину реакции на роликовой опоре. (в тысячах фунтов) и величине фиксированного конечного момента (тысячи фунтов-фут).P = 5 тысяч фунтов, a = 3 фута и L = 7 футов.

• Проблема № 2: (1) Найдите силы реакции на опоре A и итого -50 баллов на диаграммах моментов …

  Задача № 2: (1) Найдите силы реакции на опоре A и Всего -50 точек на диаграммах моментов для балки (весь компонент ABC). vix) I M (x) i Схема свободного тела Задача № 2: (1) Найдите силы реакции на опоре A и Всего -50 точек на диаграммах моментов для балки (весь компонент ABC). vix) I M (x) i Схема свободного тела

• Для показанной неразрезной балки рассчитайте реакции опоры, используя метод последовательной деформации…

  Нарисуйте также диаграммы сдвига и изгибающего момента Для показанной неразрезной балки рассчитайте реакции опоры, используя метод согласованных деформаций, приняв реакцию опоры B как избыточную. Также нарисуйте диаграммы сдвига и изгибающего момента. Балка подвергается сосредоточенной нагрузке 20 тысяч фунтов в середине левого пролета плюс 1,5-дюймовая осадка опоры B. Используйте формулы прогиба для определения прогибов в точке B. Предположим, E-29000 тысяч фунтов на квадратный дюйм и I-750 дюймов …

• Для показанной балки определите реакцию на роликовой опоре, когда Wo 10 тысяч фунтов / фут.(Круглый…

  Для показанной балки определите реакцию на роликовой опоре, когда Wo 10 тысяч фунтов / фут. (Округлите окончательный ответ до двух десятичных знаков.) WWo (/ L A Â L 12 футов Реакция на роликовой опоре составляет тысяч фунтов f

• Пожалуйста, покажите четко, особенно формулу МКЭ и уравнения момента 11-7. Определите момент в точке B, затем нарисуйте диаграмму моментов для балки. Предположим, что опоры в точках A и C являются штифтами, а B — роликом ….

  пожалуйста, покажите работоспособно четко особенно формула МКЭ и моментные уравнения 11-7.Определите момент в точке B, затем нарисуйте диаграмму моментов для балки. Предположим, что опоры в точках A и C являются штифтами, а B — роликом. Эл постоянна. 40 кН 20 кН LA 6 м Вероятн. 11-7 11-7. Определите момент в точке B, затем нарисуйте диаграмму моментов для балки. Предположим, что опоры в точках A и C являются штифтами, а B — роликом. Эль …

• Определите реакции и нарисуйте сдвиг и изгибающий момент. диаграмма. Используйте метод последовательного …

  Определите реакции и нарисуйте сдвиг и изгибающий момент. диаграмма.Воспользуйтесь методом последовательных деформаций и выберите реакция на опору ролика должна быть избыточной. 18k 2k / ft А C T 30 футов 30 футов 31 E = постоянная OB 10 футов 1 РИС. P13.16, P13.59

• 7. Найдите реакции на шарнирной опоре и на роликовой опоре. Затем определите …

  7. Найдите реакции на шарнирной опоре и на роликовой опоре. Затем определите диаграмму поперечной силы и изгибающего момента как функцию r 48 кН / м 6 м

• Для балки ниже решите a) Силы реакции 20% b) Диаграмму поперечных сил в Matlab или…

  Для балки ниже решите: a) Силы реакции 20% b) Диаграмма поперечных сил в Matlab или excel 20% e) Напишите уравнение изгибающего момента для каждой секции балки в единицах xd) Диаграмма изгибающего момента в Matlab или 40% excel 20 % 30 кН 20 кН / м 10 кН (м) 2 8 Для балки ниже решите а) Силы реакции 20% б) Диаграмму поперечных сил в Matlab или Excel 20% д) Напишите уравнение изгибающего момента для каждого сечения …

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ТОВАРЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Типы опор :: Основы :: База знаний :: SAFAS

В архитектурных конструкциях опоры относятся к той части конструкции, которая может помочь другим частям выдерживать нагрузки.Колонны, стены и фундаменты — очевидные опорные системы в архитектурной конструкции. Кроме того, одна балка может поддерживать другую балку.

Чтобы упростить понимание действий поддержки, мы обычно делим их на три типа:

• Роликовая опора : Это тип опоры, который удерживает конструкцию от движения только в одном или двух перпендикулярных направлениях. Однако конструкция может двигаться в других направлениях, а также может вращаться.Шарнир, поддерживаемый роликовой опорой, имеет четыре или пять степеней свободы.

  Роликовая опора Если конструкция действует как двухмерная система, роликовая опора ограничивает перемещение формы узла только в одном направлении. В общем, существует реакция опоры (сила, действующая от опоры на конструкцию) в направлении ограниченной степени свободы.Следовательно, роликовые опоры имеют одну или две опорные реакции. Роликовые опоры используются в мостах и ​​пространственных конструкциях для обеспечения тепловых перемещений.

• Опора для штифта : Опора для штифта или шарнира используется, когда нам нужно предотвратить перемещение конструкции или ограничить ее поступательные степени свободы. Большинство опор архитектурных сооружений (кроме бетонных) относятся к этому типу.При использовании в пространственных конструкциях эти опоры имеют три реакции; однако в двумерных структурах есть только две реакции.
• Неподвижная опора : Неподвижная опора предотвращает любые движения и повороты в точке, где она прикреплена к конструкции. Соединение с неподвижной опорой не имеет степеней свободы, поэтому существует шесть опорных реакций, приложенных от опоры к конструкции.