Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестности сечений, содержащих вырезы, выточки, отверстия, трещины, в местах резкого изменения поперечного сечения, а также в местах приложения сосредоточенных сил и т. п. Неравномерное распределение напряжений в указанных местах является следствием искажения плоскостей поперечных сечений или их депланации.

   Поясним это явление на примере подверженной растяжению полосы из податливого материала с круговым отверстием, на поверхности которой нанесены продольные и поперечные риски (рис. 5, а). В зоне отверстия имеет место депланация поперечных сечений, вызванная неравномерным растяжением продольных волокон (рис.5, б). При этом наибольшие удлинения и соответственно напряжения max получают волокна возле отверстия. Такое местное увеличение напряжений возле вырезов, выточек, отверстий и т. п., а также в местах приложения сосредоточенных сил, называется у концентрацией напряжений, а источники концентрации напряжений (вырезы, выточки, отверстия и т. п.) получили название концентраторов напряжений.

Рис.5. Концентрация напряжений: а) исходное состояние, б) деформированное состояние, в) распространение напряжений

   Рассмотренными методами механики деформированного тела, опирающимися на гипотезу плоских сечений, задачи о распределении напряжений в зонах концентрации напряжений не решаются. Такие задачи решаются методами теории упругости или исследуются экспериментально. При этом для практических расчетов вводится так называемый теоретический коэффициент концентрации напряжений , представляющий собой отношение максимальных max и номинальных напряжений: , где номинальные напряжения определяются без учета концентрации напряжений. В приведенном примере растяжения полосы с отверстием , a F_nt — площадь поперечного сечения полосы, уменьшенная за счет отверстия («нетто»). Таким образом, играют роль поправочных коэффициентов.

   Однако, как показали эксперименты и точные решения задач теории упругости, местные отклонения от равномерного распределения напряжений, вызванные концентрацией напряжений, быстро затухают по мере удаления от сечения с концентратором, и на расстояниях порядка ширины сечения распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 5, в). Отмеченное свойство является частным случаем широко используемого практически во всех разделах механики деформируемого твердого тела (в том числе и теории упругости) принципа Сен-Венана

   Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении , называемое абсолютной продольной деформацией или удлинением, мало по сравнению с его первоначальной длиной . Тогда относительная продольная деформация будет равна

   Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия)

,

где Е—;модуль продольной упругости материала стержня, а нормальные напряжения определяются по формуле — (в нашем случае N_z=P), для абсолютной деформации получаем

   Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии), так как удлинение обратно пропорционально EF.

Рис.6. Модели продольной и поперечной деформаций

   Как показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьшаются (рис. 6), а при сжатии — увеличиваются. Это явление получило название эффекта Пуассона.

   По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения (на рис. 6 ) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформации, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом , являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Как известно, для изотропного материала .

   Формула (2) для удлинения стержня применима только в случае, когда по длине стержня ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const, N_z =const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и N_z (рис. 7) может быть определено как сумма удлинений ступеней, у которых EF и N_z постоянны:

(индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены из различных материалов). В случае, когда N_z и EF меняются по длине стержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту, получаем

   В качестве тестов для практики расчетов определенных интегралов рекомендую воспользоваться системой входных тестов Т-5, указанных в ПРИЛОЖЕНИИ.

Рис.7. Ступенчатый брус

   С упругими продольными деформациями стержня при растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его сечений. На рис. 8 приведены три случая определения таких перемещений, откуда видно, что перемещения поперечных сечений численно равны удлинениям заштрихованных частей стержня:

• перемещение свободного торцевого сечения 1—1 при неподвижном другом торцевом сечении (рис. 8, а) численно равно удлинению стержня;
• перемещение промежуточного сечения 2—2 (рис. 8, б) численно равно удлинению части стержня, заключенной между данным сечением и сечением неподвижным;
• взаимное перемещение сечений 3—3 и 4—4 (рис, 8, в) численно равно удлинению части стержня, заключенной между этими сечениями.

Рис.8. Модели перемещений

   Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным (рис. 9, а). Поскольку на поперечных и продольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадки являются главными. Причем в случае растяжения , а в случае сжатия .

Рис.9. Напряженное состояние: а ) исходный элемент, б ) компоненты напряжений

   Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под углом , определяются по формулам для упрощенного плоского напряженного состояния:

   Площадки с экстремальными касательными напряжениями (рис. 9, б), как известно, наклонены по отношению к исходным под углами (следует и из формулы для ) и равны .

   Именно с действием экстремальных связывается появление на боковой поверхности образца из малоуглеродистой стали, испытываемого на растяжение, линий скольжения, ориентированных под углом к оси образца. На площадках с экстремальными действуют и нормальные напряжения, равные .

Основные типы расчетов на прочность — КиберПедия

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методические указания для самостоятельной

работы студентов

Красноярск 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

1. Растяжение-сжатие……………………………………………………………….5

Задача 1. Расчёт статически определимой стержневой системы

при растяжение (сжатии)…………………………………………….…6

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса

при растяжение (сжатие)………………………………………………14

Задача 3. Расчёт статически неопределимого ступенчатого бруса

при растяжение (сжатие)…………………………….…………………20

2. Плоский изгиб…………………………………………………………………27

Задача 4. Плоский изгиб балки………………………………………………….28

3. Кручение вала ………………………………………………………………….34

Задача 5. Кручение вала……………………………………………………….…34

Введение

Современная действительность требует ускорения научно-технического прогресса, повышения конкурентоспособности выпускаемой продукции, снижения материалоемкости конструкции, повышения производительности, долговечности, надежности машин. Исключительная роль в обеспечении этого процесса принадлежит инженерам, конструкторам, машиностроителям. Значительная роль в формировании облика инженеров широкого профиля отводится дисциплинам общеинженерного цикла и, в частности, дисциплине «Сопротивление материалов». Создавая новую конструкцию, инженер назначает первоначальные размеры ее элементов, проводя прочностные расчеты методами сопротивления материалов. Дальнейший расчет конструкций, как правило, производится с помощью ЭВМ численными методами с использованием пакетов прикладных программ. Однако для анализа достоверности получаемых результатов используется сравнение с результатами расчетов по упрощенным моделям методами сопротивления материалов.

В решении задачи по ускорению развития агропромышленного комплекса страны важная роль принадлежит науке о прочности материалов и конструкций, назначение которой – повысить качество расчета и проектирования, дать теоретическую основу для разработки новых эффективных материалов и конструкций и тем самым способствовать повышению эффективности качества, надежности и экономичности сооружений конструкций машин и приборов.

Цель курса «Сопротивление материалов» — выработка у студента умения производить расчеты на прочность, жесткость и устойчивость элементов инженерных конструкций, применяемых в агропромышленном комплексе, подготовить его к правильному выбору методов расчета и проектирования, с целью обеспечения надежности, экономичности и снижения материалоемкости этих конструкций.

У студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов», наибольшие трудности обычно возникают при решении задач. Настоящее методическое указание призвано облегчить процесс изучения данного курса, а главное помочь овладеть методикой решения задач и получить необходимый навык в их решении.

Методическое указание содержит материал, относящийся к разделам: растяжение-сжатие, плоский поперечный изгиб, кручение вала.

В данное методическое указание включены задания для самостоятельной работы студента (30 вариантов задач на каждую тему) и примеры решения типовых задач.

Номер схемы определяется по сумме двух последних цифр шифра зачётной книжки, а номер варианта – по последней цифре шифра.

Растяжение-сжатие

Осевым растяжением бруса называется вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси. В этом случае в поперечных сечениях стержня из шести внутренних силовых факторов возникает только один – продольная осевая сила N.

Для определения внутренних усилий используется метод сечений.

Сущность метода заключается в следующем:

1. Рассекают (мысленно) тело на две части плоскостью, перпендикулярной продольной оси тела (поперечным сечением).

2.Отбрасывают правую или левую часть тела. Чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, по плоскости сечения должны действовать внутренние силы.

3.Заменяют действие одной части на другую внутренними силами. Так как отсеченная часть тела находится в равновесии, то для определения внутренних усилий, в общем случае нагружения, составляют шесть уравнений статического равновесия:

При растяжении в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор — нормальная сила N.

Нормальная сила считается положительной, если она растягивает отсеченную часть стержня, (направлена по внешней нормали), при сжимающем действии нормальная сила считается отрицательной, что можно изобразить графически, как показано на рис.1.1.

Нормальная сила в сечении бруса является равнодействующей нормальных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения

Закон распределения напряжений может быть определен из эксперимента. Установлено, что если на стержень нанести прямоугольную сетку, то после приложения продольной нагрузки вид сетки не изменится, она по-прежнему останется прямоугольной, а все линии прямыми. Поэтому можно сделать вывод о равномерном по сечению распределении продольных деформаций, а на основании закона Гука () и нормальных напряжений s = const. Тогда N = s F , откуда получим формулу для определения нормальных напряжений в поперечном сечении при растяжении

.

Подставляя напряжение в закон Гука получим

От сюда .

Эта формула выражает закон Гука для абсолютных удлинений. Произведение EF называется жёсткостью поперечного сечения при растяжении и сжатии.

Полное удлинение участка длиной l получим, суммируя удлинения всех бесконечно малых участков.

При растяжение (сжатии)

Для статически определимой стержневой системы (см. схемы к задаче 1), загруженной силой Р (см. таблица 1.1) необходимо:

1. Определить продольную силу в каждом из стержней, поддерживающих жёсткий брус.

2. Подобрать размеры поперечного сечения стержней.

Стержень 1 стальной, круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 2 деревянный, квадратного поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 3 дюралюминиевый, трубчатого поперечного сечения. Допускаемое напряжение . Отношение наружного и внутреннего диаметра составляет . Высоту жёсткого бруса считать малой по сравнению с размерами конструкции и в расчётах её не учитывать.

Схемы к задаче 1

Схемы к задаче 1

Схемы к задаче 1

Схемы к задаче 1

Таблица 1.1

Пример решения задачи 1

Для статически определимой стержневой системы (см рис. 1.2), загруженной силой Р необходимо:

1. Определить продольную силу в каждом из стержней, поддерживающих жёсткий брус.

2. Подобрать размеры поперечного сечения стержней.

Рис. 1.2 Схема к примеру решения задачи 1

Стержень 1 стальной, круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 2 деревянный, квадратного поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 3 дюралюминиевый, трубчатого поперечного сечения. Допускаемое напряжение . Отношение наружного и внутреннего диаметра составляет .

Высоту жёсткого бруса считать малой по сравнению с размерами конструкции и в расчётах её не учитывать.

Р=2кН; а=2м; в=2,5; с=0,5м; α=30⁰.

Решение

Рассмотрим равновесие жёсткого бруса (рис.1.2). Для освобождения бруса от связей мысленно рассечем стержни и заменим связи их реакциями , и . Внутренние усилия, возникающие в стержнях, определим, составив уравнения равновесия.

Из рис.1.2 не трудно заметить, что угол наклона стержня 1 и стержня 3 к оси х одинаков. Обозначим этот угол через α.

Уравнение проекций всех сил на ось х:

. (1.1)

Рис. 1.3 Расчётная схемак примеру решения задачи 1

Уравнение проекций всех сил на ось у:

. (1.2)

Сумма моментов всех сил относительно точки О:

. (1.3)

Определим cosα и sinα.

Решая систему трёх уравнений найдём усилия в стержнях.

Из уравнения (1.3) определяем усилие в первом стержне N₁:

.

Из уравнения (1.1) определяем усилие в третьем стержне N₃:

.

Из уравнения (1.2) определяем усилие во втором стержне N₂:

Получили усилия в стержнях одинаковые. Что бы убедиться в правильности наших вычислений сделаем проверку. Составим проверочное уравнения – сумма моментов от всех сил относительно точки А:

Размеры поперечных сечений определяют из условия прочности при растяжении-сжатии:

.

Несмотря на то, что усилия в стержнях получились одинаковые, размеры поперечных сечений будут отличаться, так как они выполнены из различных материалов, с разными допускаемыми напряжениями.

1 стержень стальной круглого поперечного сечения. Определим из условия прочности диаметр поперечного сечения стержня:

.

2 стержень деревянный квадратного поперечного сечения. Определим сторону квадрата поперечного сечения:

.

3 стержень дюралюминиевый трубчатого поперечного сечения. Определим внешний и внутренний диаметры поперечного сечения:

D=1,2d=86,9мм

При растяжение (сжатие)

Для статически определимого ступенчатого бруса с жёстко защемлённым концом (см. схемы к задаче 2), нагруженного продольными усилиями Р₁ ,Р₂ , q₁и q₂ (см. таб. 1.2), необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений для всех участков бруса из условия прочности по допускаемым нормальным напряжениям при растяжении и сжатии.

Таблица 1.2

Принять для всех вариантов следующие соотношения: , , Е=10⁵МПа, а=1м.

Схемы к задаче 2

Схемы к задаче 2

Схемы к задаче 2

Пример решения задачи 2

Для ступенчатого бруса (см. рис.1.4,а) с жёстко защемлённым концом необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса из условия прочности по нормальным напряжениям, используя следующие числовые значения:

Р₁=30 кН; Р₂=20 кН; q₂=20 кН/м; а=1м; ; ; Е=1,8×10⁵МПа; F₁=F; F₂=2F; F₃=3F.

Решение

1. Брус состоит из трёх участков. Границами участков являются сечения, к которым приложены внешние силы, или сечения, где изменяются размеры поперечных сечений.

Величину внутренних продольных усилий определим, используя метод сечений. При этом рассматриваем всё время правую отсечённую часть бруса.

Продольную силу N считаем положительной, если нагрузка, её создающая, вызывает растяжение рассматриваемого участка, т.е. направлена от рассматриваемого сечения. Нагрузка, вызывающая сжатие рассматриваемой части бруса, т.е. направленная к сечению, создаёт отрицательную продольную силу. В соответствии с расчётной схемой (рис. 2.1,а) аналитические зависимости для N будут иметь следующий вид:

тогда

.

После подстановки численных значений, получим:

.

На основании полученных значений строим эпюру продольных сил (рис.2.1,б).

Рис. 1.4 Схема нагружения и эпюры N, σ и Δl для ступенчатого

статически определимого бруса

2. Эпюру нормальных напряжений s получим, разделив значения продольной силы N на соответствующие площади поперечных сечений бруса (рис. 1.4,в). Знак продольной силы N определяет и знак соответствующего нормального напряжения s.

, подставляя 2 крайних значения х₂ будем иметь:

3. Из условия прочности по нормальным наибольшим напряжениям растяжения и сжатия определим параметр F, а затем площади поперечных сечений каждого участка бруса.

Из условия прочности по растягивающим нормальным напряжениям находим:

,

отсюда .

Из условия прочности по сжимающим нормальным напряжениям находим:

,

отсюда .

Окончательно выбираем параметр F=250мм².

Определим площади поперечных сечений каждого участка:

F₁=F=250мм², F₂=2F=500мм², F₃=3F=750мм².

3. Зная площади поперечных сечений можно построить эпюру перемещений (рис.1.4, г). Проще расчёт перемещений вести от заделки, т.е. за точку отсчёта брать сечение, перемещение которого равно 0.

Т.к. уравнение для перемещения на втором участке содержит квадратичную функцию, то графиком функции перемещения на втором участке будет являться парабола, причём в сечении, где парабола будет иметь экстремум. Приравняв уравнение для продольной силы к 0, получим расстояние до этого сечения.

где — расстояние до сечения, в котором .

Подставляя, полученное значение для , получим значение экстремума на параболе:

По найденным значениям строим эпюру перемещений (рис.1.4, г).

При растяжение (сжатие)

Для статически неопределимого бруса с жёстко защемлёнными концами, нагруженного продольной нагрузкой как показано на схеме к задаче 3 необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений ;

2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок,

Необходимые данные для решения задачи взять из таблицы 1.3.

Схемы к задаче 3

Схемы к задаче 3

Схемы к задаче 3

Таблица 1.3

Пример решения задачи 3

Для ступенчатого бруса (см. рис. 1.5а) построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений ; подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок если Р₁=3Р; Р₂=2Р.

Решение

Задача один раз статически неопределима в силу плоской системы сил, действующих по одной прямой, для которой как известно можно составить только одно уравнение равновесия:

,

в котором два неизвестных: и .

Отбросим правую опору, заменив её действие на брус реакцией .

Перемещение сечения в точке В равно нулю, т.к. это сечение жёстко заделано. Используя принцип независимости действия сил, получим уравнение совместности деформаций:

Распишем эти деформации по закону Гука:

,

отсюда, после сокращения на а и EF, кН.

Рис. 1.5 Расчётная схема и эпюры для примера решения задачи 3

В соответствии с расчётной схемой рис. 1.5б аналитические зависимости N, и будут следующими:

Участок 1

кН ; ; .

Подставим в уравнение для перемещения два крайних значения , после подстановки будем иметь:

.

Участок 2

кН; ; .

Подставляя пределы получим:

.

Участок 3

кН; ; .

Подставляя пределы получим:

.

На основании данных аналитических зависимостей строим эпюры N, и (рис. 1.5 в, г,д).

Построение эпюры перемещений может служить проверкой правильности решения задачи. Перемещение на участке 1 при z₁=0 равно нулю, перемещение на участке 3 при z=a также должно равняться нулю, т.к. эти два сечения соответствуют жёсткому закреплению бруса, перемещения которых невозможны.

2. На эпюре нормальных напряжений найдём максимальное напряжение: .

Для определения площади поперечного сечения воспользуемся условием прочности по нормальным напряжениям:

.

Приравняв максимальное нормальное напряжение к допускаемому, определим площадь поперечного сечения F:

.

Таким образом, на участке 1 площадь поперечного сечения должна быть , а на участке 2 в два раза больше, т.е. .

Плоский изгиб

Изгиб называется плоским, если плоскость действия изгибающей нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения.

Если изгибающий момент M_x является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Построение эпюр поперечной силы Q_yи изгибающего момента M_x является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Q_y и M_x определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения .

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила .

Между поперечной силой и изгибающим моментом существует следующая зависимость:

,

то есть первая производная от изгибающего момента по длине участка равна поперечной силе.

Это соотношение в общем виде было получено Журавским и носит название теоремы Журавского.

На основании теоремы Журавского могу быть сформулированы правила проверки эпюр:

1. В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Q_y должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.

2. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре M_xдолжен быть скачок, равный по величине и по знаку приложенному моменту.

3. На участке, где приложена распределенная нагрузка, эпюра Q_y является наклонной прямой (наклон по направлению действия нагрузки), а эпюра M_x — параболой, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.

4. На участках, где Q_y > 0, M_x возрастает, на участках, где Q_y< 0, M_x убывает, если Q_y = 0 (эпюра пересекает нулевую линию), то эпюра М_x имеет экстремум.

5. В тех точках, где на эпюре Q_y имеется скачок, на эпюре М_x будет излом.

6. Чем больше по модулю величина Q_{y ,} тем круче изменяется эпюра М_x.

7. На свободных концах балки изгибающий момент равен нулю.

Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении

.

Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений

Схемы к задаче 4

Схемы к задаче 4

Пример решения задачи 4

Для балки работающей на изгиб (рис. 2.1,а) необходимо:

1. Определить значение поперечной силы Q и изгибающего момента М, построить соответствующие эпюры.

2. Подобрать размеры поперечного сечения балки из условия прочности по допускаемым напряжениям на изгиб для 3-ёх вариантов:

а) двутавра;

б) прямоугольного поперечного сечения со сторонами b и h при соотношении h/b=2;

в) круглого поперечного сечения.

Дано: М=10 кН×м; Р=10 кН; q₁=50кН/м; а=1м; в=1м; с=1м; .

Решение

1. Опорные реакции и (рис. 2.1,б) направим вверх. На балку не действуют горизонтальные силы, поэтому на опоре А будет только вертикальная реакция. Для определения реакций опор составим 2 уравнения равновесия:

Рис. 2.1 Схема и эпюры внутренних усилий к примеру решения задачи4

;

.

Из этих уравнений определим реакции и :

; .

После подстановки численных значений получим: кН; кН.

Дополнительное уравнение можно использовать для проверки полученного результата:

;

12,5+27,5-50+10=0;

2. В поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q.

При решении задачи используем правило знаков внутренних усилий: поперечная сила Q в сечении положительна, если равнодействующая внешних сил стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке относительно центра тяжести сечения.

Изгибающий момент М в сечении будем считать положительным, если балка изгибается таким образом, что растянутые волокна находятся в нижней части балки, а сжатые – в верней части.

Разобьём балку на 3 силовых участка. Границами участков являются сечения, к которым приложены сосредоточенные моменты и силы, а также конец и начало распределённой нагрузки.

Первый участок: .

Составим аналитические выражения для определения величины поперечной силы и момента, используя метод сечений и учитывая правило знаков.

;

Второй участок: .

Эпюрой изгибающего момента на 2-ом участке является квадратная парабола (рис.2.1,г). Поэтому для её построения надо знать координаты трёх точек: в начале, в конце участка и в точке, где эпюра имеет экстремум. Экстремум на параболе будет в том же сечении балки, в котором поперечная сила Q равна нулю. Расстояние до сечения, в котором на эпюре момента будет экстремум, обозначим через z₀. Значение z₀ найдём из следующего уравнения:

.

Подставим значение z₀ в уравнение для и найдём экстремум на параболе.

.

Третий участок: .

По найденным значениям Q и М строим эпюры поперечной силы (рис.4,в) и изгибающего момента (рис.2.1,г).

3. Из условия прочности балки по нормальным напряжениям подберём размеры поперечного сечения балки для 3-ёх вариантов.

Опасным сечением является сечение балки, проходящее через экстремум на параболе, т.к. в этом сечении будет наибольший изгибающий момент по абсолютной величине . Из условия прочности:

для стальной балки определим :

.

а) По найденному значению подберём номер двутавра по ГОСТ 8239-72. Ближайшая величина момента сопротивления , что соответствует двутавру № 18а .

б) Для прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления сечения имеет следующую зависимость: , при отношении h/b=2 будем иметь: , откуда высота сечения , а ширина сечения b=h/2=6,08 см .

в) Для круглого поперечного сечения момент сопротивления сечения следующий: .

Из этого выражения определим диаметр: .

Кручение вала

Кручением называется вид нагружения, при котором к брусу прикладываются внешние скручивающие моменты, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор — крутящий момент M_к.

Брусья, передающие крутящий момент называются валами.

Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. В местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного внешнего момента.

Условие прочности при кручении формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

.

Величина называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления сечения

Для сплошного круглого сечения

.

Для кольцевого сечения

, где .

Из условия прочности можно определить диаметр вала:

— для сплошного сечения

,

— для кольцевого сечения

,

Задача 5. Кручение вала

К стальному валу круглого поперечного сечения (см. схемы к задаче 5) приложены сосредоточенный момент М и распределённый момент m необходимо:

1. Составить аналитические выражения для определения внутреннего крутящего;

2. По полученным выражениям построить эпюру крутящего момента;

3. Из условия прочности по касательным напряжениям определить диаметр поперечного сечения;

4. Построить эпюру углов закручивания.

Численные значения приведены в таблице 3.1.

Схемы к задаче 5

Схемы к задаче 5

2.5. Расчеты на жесткость при растяжении

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.

бар | Инженерная библиотека

На этой странице представлены разделы по анализу стержней из «Руководства по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Другие соответствующие главы из «Руководства по анализу напряжений» ВВС можно увидеть справа.

3.1 Введение в стержневой анализ

Стержни — это тонкие конструктивные элементы. В этой главе приведены процедуры для определения сопротивления податливости стержней при статических нагрузках, а также их сопротивления усталостному разрушению при переменных нагрузках.Нагрузка на растяжение стержней рассматривается подробно, и в этой главе есть ссылки на информацию, применимую к нагрузкам на сжатие, изгиб и скручивание стержней, приведенную в других главах.

3.2 Номенклатура стержневого анализа

3.3 Статическая растягивающая нагрузка стержней

Основная формула для напряжения в элементе с площадью поперечного сечения A под действием статической растягивающей нагрузки P имеет вид

(3-1)

Однако это уравнение несколько ограничено. Для того, чтобы он был действительным, элемент должен иметь центральную нагрузку, сечение, в котором возникает σ, должно быть хорошо удалено от точки приложения нагрузки, и вблизи участка, где возникает σ, не должно быть концентраторов напряжений.

Стержни обычно проектируются так, что растягивающие нагрузки прикладываются централизованно.Если это не так, их можно рассматривать как балки, испытывающие комбинированные растягивающие и изгибающие нагрузки, и обрабатывать их материалом, указанным в главе 1. Хотя концевые части стержня так же важны, как и центральные, они здесь не рассматриваются, поскольку информация о них более уместна при рассмотрении соединений, например, в главе, посвященной анализу выступов в этой работе. Согласно принципу Сен-Венана, модели напряжений становятся регулярными на расстоянии от точки приложения нагрузки.В этом случае напряжения становятся однородными на расстоянии от точки приложения осевой растягивающей нагрузки. Здесь будут рассмотрены факторы, повышающие стресс, и когда они присутствуют, уравнение (3-1) больше не применяется.

Если в штанге, нагруженной при растяжении, присутствует усилитель напряжения,

(3-2)

где K — коэффициент концентрации напряжений. Уравнение (3-2) указывает, что напряжение на неоднородности в K раз больше напряжения, которое возникло бы, если бы не было концентратора напряжения.Коэффициент концентрации напряжений может быть определен теоретически с помощью теории упругости, метода фотоупругости и т. Д., Где он обозначен как K _t . Однако эти значения обычно неточны и обычно не используются напрямую, как будет обсуждаться позже. На следующих рисунках приведены значения теоретического коэффициента концентрации напряжений для различных форм поперечного сечения и несплошностей.

Теоретический коэффициент концентрации напряжений может быть довольно высоким, как показано на следующих страницах; однако это значение обычно согласуется с экспериментом.Чтобы учесть это несоответствие, эффективный коэффициент концентрации напряжений K _e определяется как тот, который сохраняется в реальной ситуации. Коэффициент чувствительности к надрезу q используется для связи этих двух факторов и определяется уравнением (3-3):

(3–3)

Значение коэффициента чувствительности к надрезу зависит от материала, размера и формы неоднородности.

Для пластичных материалов, которые статически нагружены почти до предела, податливость вблизи несплошности может почти устранить концентрацию напряжений там, так что K _e приблизительно равно единице, а q довольно низко.

Хрупкие однородные материалы не обладают такой способностью к локальной деформации, так что K _e приблизительно равно K _t и, следовательно, q приблизительно равно единице согласно уравнению (3-3). Однако чугун толщиной менее 45 мм с хлопьями графита эффективно насыщен концентраторами напряжений, так что добавление еще одной неоднородности, по-видимому, мало влияет на его усталостную прочность. Таким образом, для чугуна q примерно равно нулю.

Таким образом, расчетное уравнение для стержня, находящегося под статической растягивающей нагрузкой P, который не должен подвергаться большой деформации, выглядит следующим образом:

(3-4)

Для прутка из ковкого или чугуна K _e можно принять равным единице, а A — это уменьшенная площадь на участке, где возникает несплошность.Для стержня из хрупкого однородного материала K _e можно принять равным K _t , а A — либо площадь поперечного сечения стержня без нарушения сплошности, либо уменьшенная площадь в поперечном сечении, где возникает неоднородность. . Какая из этих областей должна использоваться, показано в формуле под каждой диаграммой K _t на рисунках с 3-1 по 3-12.

Описанная ранее процедура дает консервативные результаты для хрупких однородных материалов и наоборот для чугуна и пластичных материалов.Если требуется низкий запас прочности для пластичных материалов и чугуна, значение q, равное 0,2, обычно достаточно для учета эффектов концентраторов напряжений.

Ранее обсуждавшийся материал стержней при статической растягивающей нагрузке представлен в Таблице 3-1.

3.4 Пример задачи — стержень под статическими растягивающими нагрузками

Дано : Круглый стержень должен быть изготовлен из однородного хрупкого материала, для которого F _ty = 45 000 фунтов на кв. Дюйм. Он должен выдерживать статическую растягивающую нагрузку 50 000 фунтов с коэффициентом запаса прочности 1,5. Он должен иметь U-образный вырез секции, показанной на Рисунке 3-13.

Найти : Диаметр

Решение : Вставка коэффициента безопасности в уравнение (3-4) дает

Таким образом, D равно 1,05 дюйма. Если предполагаемое значение D не удовлетворяет уравнению, необходимо пробовать другие значения, пока не будет найдено значение D, удовлетворяющее этому уравнению.

3.5 Циклическое нагружение стержней на растяжение

3.7 Сжимающая нагрузка на стержни

Стержни, которые подвергаются сжимающим нагрузкам, можно рассматривать как колонны. Поведение столбцов можно узнать, обратившись к главе 2.

3.8 Изгибающие нагрузки на стержни

Стержни, которые подвергаются изгибающим нагрузкам, могут рассматриваться как балки и обрабатываться материалом на балках при изгибе, указанном в главе 1.

3.9 Кручение стержней

Стержни, которые выдерживают скручивающую нагрузку, можно изучить, используя информацию о балках при кручении в главе 1 или информацию о валах при кручении в главе 10.

3.10 Шнуровка стержней в колоннах

Функция шнуровочных стержней в колонне, состоящей из каналов или других структурных форм, соединенных ими, заключается в противодействии поперечному сдвигу из-за изгиба. Хотя эти стержни шнуровки как группа противостоят сдвигу, каждый отдельный стержень подвергается либо растяжению, либо сжатию, если его концы могут считаться штифтами.Например, тип нагрузки на каждую из планок шнуровки на Рисунке 3-17 обозначен буквой «Т» на этой планке, если она находится в состоянии растяжения, или буквой «С», если она находится в состоянии сжатия.

Эти стержни шнуровки можно изучить с помощью информации, приведенной в начале этой главы, если они находятся в состоянии растяжения, или их можно рассматривать как отдельные столбцы и изучить с помощью информации, приведенной в главе 2, если они находятся в состоянии сжатия. Помимо прочности стержней шнуровки как отдельных элементов, необходимо учитывать их влияние на общее поведение колонны.Этот эффект рассматривается в главе 2.

Формула развертки — как рассчитать разверточную длину стали

Длина развертки — это длина стальных стержней, которые должны быть встроены в бетон других элементов, чтобы обеспечить прочное соединение между элементами, такими как колонна, балка, плита и т. Д. Формула длины развертки стали приведена ниже.

Например, если вам нужно соединить балку с колонной, то стальные стержни балки следует немного заделать в бетон, чтобы обеспечить соединение между ними.Эта длина встроенных стальных стержней известна как длина развертки.

Расчетное растяжение и сжатие в любом стержне на любой секции должно быть создано с каждой стороны секции с помощью соответствующей развертки длиной или торцевого анкерного крепления или их комбинации .

Формула длины развертки L