Расчет стержня на растяжение и сжатие: Формулы для расчетов на растяжение-сжатие

Содержание

1. Растяжение, сжатие. Расчет растяжения и сжатия стержня

Похожие главы из других работ:

Авиационный винтовентиляторный двигатель

2.3 Основные расчетные уравнения на растяжение и изгиб рабочих лопаток и определение запасов прочности

П - периферийное сечение; С - среднее сечение; К - корневое сечение. Рисунок 2.1 - Расчетная схема Напряжение растяжения в расчетном сечении пера лопатки определяется по формуле: (2...

Гребной вал морского судна

3.2 Испытание на растяжение

Испытание на растяжение материалов проводят в соответствии с ГОСТ 1497-84. Стандарт устанавливает методы статических испытаний на растяжение черных и цветных металлов для определения при температуре 20°С пределов пропорциональности, упругости...

Изготовление деталей листовой штамповкой

2.4 Проверка на сжатие

Проверку на сжатие осуществляют с учетом продольного изгиба в следующей последовательности. [уcж]= 640 МПа Вначале определяют коэффициент , зависящий от условной гибкости пунсона и учитывающий возможную потерю устойчивости пуансона...

Пластинчатый конвейер

3.2. Расчет винта на сжатие

Усилие, действующее на винт P = 162254 Н (3.10) где[?] - допускаемое натяжение ([?] = 500МПа) (3.11) Принимаем диаметр винта d = 20 мм...

Прикладная механика

Задача № 1 Проверка прочности ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие

Задание: Оценить прочность ступенчатого стержня из хрупкого материала. Определить его деформацию. Стержень изготовлен из чугуна: Е = 1,2*105 МПа; увр = 113 МПа; увсж = 490 МПа...

Прикладная механика

Задача № 2 Расчет оптимального сечения ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие

Задание: Определить оптимальный диаметр сечения круглого стержня на каждом участке по условию прочности. Определить продольные деформации, возникающие на каждом участке стержня. Стержень изготовлен из стали: Е = 2*105 МПа; уТ = 240 МПа...

Принцип работы холодильника

2.3 Сжатие пара в компрессоре

Холодный парообразный насыщенный хладагент поступает в компрессор (точка С`). В процессе сжатия повышаются его давление и температура (точка D). Теплосодержание также повышается на величину, определяемую отрезком НС`-HD...

Разработка комплекта инструментальной оснастки для обработки детали "Ротор"

2.5 Расчет прочности рёбер на растяжение

В процессе резания рёбра жёсткости на оправке, образованные группой отверстий, принимают на себя нагрузку, вызванную силой резания. Одна из составляющих силы резания - Py, нагружает рёбра на растяжение и сжатие. Ребро имеет сложное сечение...

Свойства металлов. Технология азотирования стали. Автомобильный бензин

1. Испытания на растяжение

Рис. 1. Схема испытаний на растяжение: а - образец до испытаний; б - после испытаний Этими испытаниями определяют такие характеристики, как пределы пропорциональности, упругости, прочности и пластичность металлов...

Составление расчетной схемы вала

3.1 Эпюра растяжение-сжатие

Зубчатые колеса посажены на вал с гарантированным натягом и закрепляются гайкой от осевого смещения под действием осевой силы Fx. Растягивающие усилия на валу принимаем равными Fx= 5Fx. Нормальная сила на участках вала будет: NI=Fx2=6...

Цеха металлургического комбината им. Ильича

2.3.1 Сжатие, предварительное охлаждение и комплексная очистка

После сжатия в турбокомпрессоре воздух охлаждается в концевом водяном холодильнике, затем в воздушно/водяной башне, в которую подается охлаждающая вода из заводской сети, а также холодная вода из холодильной машины и и азотно/водяной башни...

Расчет на растяжение стержня - Доктор Лом

где N - продольная растягивающая сила, действующая на стержень;

F - площадь поперечного сечения стержня;

σ - нормальные напряжения, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня в ответ на действие растягивающей продольной силы;

Rр - расчетное сопротивление материала стержня растяжению (для некоторых материалов расчетные сопротивления растяжению, сжатию, изгибу и т.п. могут различаться).

Визуально это может выглядеть так:

Рисунок 525.1. Нормальные напряжения при растяжении прямолинейного стержня.

На рисунке 525.1.а) мы видим прямолинейный стержень длиной l, показанный серым цветом, к которому приложена растягивающая сила

N. При этом точка приложения силы находится на нейтральной оси стержня, совпадающей с осью х, показанной пунктирной линией.

Для упрощения расчетов заменяем опору А соответствующей опорной реакцией А (рис.525.1.б). Исходя из условий статического равновесия:

х = А + N = 0 (149.5.2)

А = - N (525.2)

Это означает, что опорная реакция A равна по значению растягивающей силе N, но направлена в противоположную сторону.

Если взглянуть на эту ситуацию под некоторым углом, то она будет выглядеть так, как показано на рисунке 525.1.в). На этом рисунке мы видим, что нормальные напряжения - это реакция материала на действие растягивающей силы и направлены эти напряжения в сторону, противоположную действию сил. Другими словами нормальные напряжения препятствуют деформации растяжения, и направлены на то, чтобы вернуть материалу исходную форму. Иногда для упрощения восприятия нормальные напряжения, возникающие при растяжении, принято изображать направленными от сечения, как показано на рисунке 525.1.г), а сжимающие напряжения - направленными к сечению. С точки зрения физики такая замена вполне допустима, так как нормальные напряжения (внутренние силы) можно рассматривать как плоскую нагрузку, распределенную по всей площади сечения (внешнюю силу). Как правило растягивающие нормальные напряжения рассматриваются как положительные, а сжимающие - как отрицательные.

Сечение стержня, показанное на рисунке 525.1.в) розовым цветом, является перпендикулярным нейтральной оси стержня и называется поперечным сечением.

Как следует из формулы (525.1) и из приведенного рисунка, длина стержня l на значение нормальных напряжений никак не влияет. А вот параметры поперечного сечения стержня: ширина сечения b и высота сечения h, если сечение прямоугольное, очень даже влияют, так как от этих параметров зависит площадь F поперечного сечения.

Примечание: конечно же поперечное сечение стержня далеко не всегда имеет прямоугольную форму, как показано на рисунке 525.1.в). Поперечное сечение может быть и круглым, и овальным, и ромбическим, и вообще иметь любую сколь угодно сложную форму, тем не менее форма поперечного сечения никак на значение нормальных напряжений не влияет (во всяком случае такое допущение принимается в теории сопротивления материалов), а влияет только площадь сечения, определить которую тем сложнее, чем более сложной является форма поперечного сечения.

Проверить данные постулаты теории сопротивления материалов очень легко и просто. Достаточно взять нитку и попробовать ее разорвать (вариант а)). Затем разорвать нитки с с той же катушки, но б) более короткую и в) более длинную, чем в первом случае. Во всех трех случаях усилие, которое необходимо приложить для разрыва нитки, будет примерно одинаковым.

Но если одну из ниток сложить вдвое и попробовать разорвать, то усилие, необходимое для разрыва нитки, увеличится в 2 раза. Все потому, что условная площадь сечения стержня, работающего на растяжение, увеличится при складывании нитки в 2 раза.

Таким образом известная пословица: "где тонко, там и рвется" в переводе на язык теории сопротивления материалов будет звучать примерно так: "при действии растягивающих нормальных напряжений разрушение материала, обладающего постоянным сопротивлением растяжению по всей длине, будет происходить в сечении с минимальной площадью". Это особенно актуально для стержней с изменяющейся по длине площадью сечения.

С учетом различных факторов формула (525.1) может иметь другой вид:

n/Fn = σ ≤ Rрγs (512.1.2)

где γn - коэффициент надежности по нагрузке (как правило больше единицы), Fn - минимальная площадь сечения (с учетом возможных ослаблений отверстиями, пазами и т.п.), γs - коэффициент условий работы (как правило меньше единицы).

Т.е. теория сопротивления материалов допускает, что нормальные напряжения в стержне могут быть равны расчетному сопротивлению материала на растяжение, умноженному на коэффициент условий работы.

Пример расчета стержня на растяжение

Дано: На стальной стержень (см. рис.525.1.а)) с расчетным сопротивлением Rp = 2250 кг/см2 действует продольная растягивающая сила N = 30 тонн. Коэффициент надежности по нагрузке γ

n = 1.05, коэффициент условий работы γs = 0.9. Собственным весом стержня в виду его незначительности по сравнению с действующей нагрузкой для упрощения расчетов можно пренебречь. Предполагается, что нагрузка прикладывается по всей площади поперечного сечения стержня, т.е. возникающие нормальные напряжения будут равномерно распределенными по всей площади сечения.

Требуется: Подобрать диаметр стержня.

Решение:

1. Определяем требуемую площадь сечения стержня, преобразовав формулу (525.1.2)

F = Nγn/Rpγs = 30000·1.05/(2250·0.9) = 15.56 см2.

2. Определяем диаметр стержня

d = √4F/п = √4·15.56/3.14 = 4.45 см

Как видим сам расчет занимает гораздо меньше времени, чем описание физических характеристик используемых данных и даже формулировка условия задачи.

Сопромат online | 1.1. Расчет ступенчатого стержня без учета собственного веса

Определить реакцию в защемлении стального ступенчатого стержня, нагруженного силами F1=100 кН, F2 = 8О кН, F3  = 60 кН, и построить эпюру нормальных сил (рис. 1.9). Соб­ственным весом стержня пренебречь.

Решение. Обозначим реакцию в защемлении через Вх. На стержень действует уравновешенная система сил, направлен­ных по одной прямой — геометрической оси стержня, т.е. стержень находится под действием осевых сил. Расчет ступенчатого стержня начнем с определения опорной реакции стержня. Для опре­деления неизвестной силы Вх составим условие равновесия в виде (1.10):

Опорная реакция Вх получилась отрицательной. Это означает, что в действительности она направлена вниз и на схеме ее направле­ние необходимо заменить на обратное. Вх = 120 кН.

Рисунок 1.9.

Стержень имеет четыре участка, границами которых явля­ются сечения, где приложены внешние силы и изменяются размеры поперечных сечений.

Мысленно рассечем стержень произвольным поперечным сечением I—I в пределах первого участка. Отбрасывая верх­нюю часть бруса и заменяя ее действие на нижнюю неиз­вестной нормальной силой Nx1, из уравнения равновесия ∑Fx=0 получаем

Нормальная сила Nx1  направлена от сечения. Данный участок испытывает растяжение.

Аналогично поступаем по отношению ко второму участку:

Второй участок также испытывает растяжение. В дальней­шем, чтобы не рассматривать отдельно равновесие отсеченной части стержня, будем считать, что в сечении действует положи­тельная нормальная сила. Действительный знак нормальной силы найдем, решив уравнение равновесия.

Предполагая на третьем участке в сечении III—III нормаль­ную силу Nx положительной, находим ее величину и дей­ствительное направление, проектируя на ось х (на нормаль к сечению) с учетом знаков все внешние силы, приложенные к нижней части стержня:

Нормальная сила получилась отрицательной, т.е. на треть­ем участке стержень испытывает сжатие.

Нормальную силу в сечении IV—IV четвертого участка полу­чаем, проектируя на ось х внешние силы, действующие на верх­нюю часть стержня, и нормальную силу Nx , считая ее поло­жительной:

Так как в уравнения не входят длины участков (координа­та х), то нормальные силы на участках будут постоянными, а их эпюры представляют прямые линии, параллельные оси стержня.

По полученным величинам сил строим для стержня эпюру нормальных сил N, соблюдая принятое правило знаков. Из эпюры нормальных сил следует, что нормальная сила на участ­ках, без учета собственного веса стержня, определяется только приложенными к стержню внешними силами и не зависит от размеров его поперечного сечения.

Расчет ступенчатого стержня и построение эпюр продольных сил

Техническая механика - Тема 2.2. Растяжение и сжатие

Рис. 3. Знак продольной силы N

При расчете стержней, испытывающий деформацию растяжения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от Nz), возникающих в стержне, и нахождение линейных перемещений в зависимости от внешней нагрузки.

Продольные силы (Nz), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений.

График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил (эп. Nz). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.

Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти Nmax при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Перед построением эпюр необходимо освободить брус, в котором будем строить эпюры от опорных связей (выделить объект равновесия) и приложить к нему все действующие внешние силы (активные и реактивные). Затем необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.

Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.

На основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.

Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус – если сжимает.

§2. Напряжение в поперечных сечениях стержня

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил ,остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют - гипотезой плоских сечений. На основании указанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив продольную силу N на площадь А: σ=N/A

Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулe следует подставлять алгебраическое значение N т.е со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия

§3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение σ не превосходит допускаемого [σ] : σ=N/A≤ [σ],

где N - абсолютное продольной силы в сечении;

А - площадь поперечного сечения;

[σ] - допускаемое напряжение пр растяжении или сжатии для материала стержня.

Данное выражение определяет условие прочности при растяжении или сжатии.

С помощью этой формулы решается три вида зада (выполняется три вида расчета):

1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силы N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым [σ].

Превышение рабочего (расчетного) напряжения не должно быть больше 5% , иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочее напряжения значительно ниже допускаемых σ<<[σ], получаются неэкономичные конструкции чрезмерным необоснованным расходом материала. Такие решения являются нерациональными. Следует стремится к максимальному использованию прочности материала и снижения материалоемкости конструкций.

2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия прочности можно определить необходимые размеры сечения, зная продольную силу N и допускаемое напряжение [σ]:

A≥N/[σ]

3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня можно найти по формуле: [N]≤ [σ]·A

Значения допускаемых напряжение для некоторых материалов приведены в табл. 1.

Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.

Растяжение и сжатие - Строительная механика

 

Перейти к примеру задачи.

В сопротивлении материалов при растяжении или сжатии под действием силы Р рассматривают нормальные напряжения σ, распределенные равномерно по поперечному сечению стержня, соответственно:

 где S ‒ площадь поперечного сечения стержня, м2.

Правило знаков в сопромате для нормальных напряжений аналогично правилу для продольных сил в строительной механике: если сила растягивает стержень, то "+", если сжимает "‒".

Под действием силы Р стержень длиной l удлиняется на величину Δl, которая называется абсолютным удлинением. При этом выделяют относительную продольную деформацию, определяемую по формуле:

 Для упругих материалов в сопромате действует Закон Гука, представляющий собой зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε:

 где Е - модуль продольной упругости (модуль Юнга), Па.

Из закона Гука можно определить абсолютное удлинение стержня:

 Абсолютное удлинение стержня под действием только собственного веса определяется по формуле:

 где γ ‒ удельный вес материала стержня, Н/м3.

Проверочный расчет на прочность стальных конструкций в сопротивлении материалов при растяжении-сжатии выполняется по зависимости:

 где [σ] ‒ допускаемое напряжение, Па.

Ниже приведен пример решения задачи по данной теме.

 

Задача

 

Исходные данные: Р=10 кН; S=0,3 м2; Е=2,1·105 МПа.

Необходимо построить эпюры нормальных сил и напряжений. Определить перемещение нижнего конца стержня (бруса), представленного на рисунке 1, а. Все размеры на рисунке 1 даны в метрах.

 

 

 Рисунок 1 ‒ Схема стержня и эпюры напряжений

 

 Вначале стержень разбивается на участки, границами которых являются точки приложения сосредоточенной силы и изменения площади поперечного сечения.

Для каждого участка составляется уравнение равновесия (рисунок 1, б):

Участок 1: 0 ≤ z ≤ 6:

 

 

Участок 2: 6 ≤ z ≤ 8:

 

 

 

Участок 3: 8 ≤ z ≤ 11:

 

 

Строим эпюру нормальных сил (рисунок 1, в).

Для каждого рассмотренного участка определяем нормальные напряжения:

 

 

Строим эпюру нормальных напряжений (рисунок 1, г).

Максимальное нормальное напряжение возникает на первом участке: σ=0,067 МПа.

Определяем перемещение каждого участка стержня:

 

 

 

Определяем перемещение нижнего конца стержня:

 

 

 Оставить свои комментарии и задать вопросы по задаче Вы можете в нашей группе «Вконтакте».

Расчет на растяжение-сжатие

Московский автомобильно-дорожный

государственный технический университет (МАДИ)

Кафедра строительной механики

УТВЕРЖДАЮ:

ЗАВ. КАФЕДРОЙ

СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Д.Т.Н. ПРОФЕССОР

И.В. Демьянушко

Задания по технической механике

Для студентов заочного факультета

Первый семестр

Общие указания по выполнению заданий

Исходные данные Вашего задания зависят от номера группы, номера по списку (две последние цифры в номере зачетной книжки) и года поступления (две первые цифры в номере зачетной книжки).

Каждое задание содержит 30 схем. Номер схемы соответствует номеру по списку.

№№ по списку 1…30 соответствуют №№ схем 1..30

№№ по списку 31…60 соответствуют №№ схем 1..30

61…90 - снова - №№ схем 1..30 и т.д.

Остальные исходные данные указываются в каждом конкретном задании. Каждая задача задания выполняется на отдельном листе миллиметровой или клетчатой бумаги формата А4.Все листы скрепляются степлером вместе с титульным листом, на котором указывается фамилия студента, номер зачетной книжки и фамилия преподавателя. На листе, на котором выполнена данная задача ОБЯЗАТЕЛЬНО указываются исходные данные к этой задаче и вычерчивается ее схема.

Литература

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2000 ( и более поздних лет ).

2. Цвей А.Ю. Лекции по сопротивлению материалов с примерами расчетов. Ч. 1 и 2 .– М.: МАДИ,1997, 1998 (и более поздних лет).

3. Шалашилин В.И., Горшков А.Г., Трошин В.Н.. Сопротивление материалов. – М.: изд-во МАИ, 2000 (и более поздних лет).

Примечания.

1. В учебнике [3] эпюры изгибающих моментов строятся со стороны сжатых волокон, и их необходимо перевернуть.

2. В списке рекомендованной литературы указаны только некоторые учебники, вышедшие в последнее время и имеющиеся в библиотеке. Вполне возможно использование и других учебников и пособий (по усмотрению студента).

ЗАДАНИЕ № 1

Построение эпюр

внутренних сил в статически определимых системах

Требуется:

1. В схемах I…II построить эпюры M и Q,

Указание. В консольных системах вычислять реакции опор не обязательно.

2. Выполнить контроли построения эпюр:

а). В консольных системах проверить эпюры изгибающих моментов по площадям эпюр поперечных сил на каждом участке;

б). В системах с шарнирными опорами проверить найденные значения внутренних сил в одном (любом) сечении, вычислив их, через правые и левые внешние силы;

Принять Р = aql, М = bql2.

Принять размер а = 2l и g = 1/2.

Таблица 1.1

Год поступления α β
прочие

Таблица 2.1

№ группы q1 q2 P1 P2 M1 M2
2ЗбСс1 q P M
2ЗбСс2 q P M
2ЗбСс3 q P M
2ЗбСс4 q P M
2ЗбСс5 q P M
2ЗбСс6 q P M
2ЗбСс7 q P M
2ЗбСс8 q P M

Указания к оформлению работы:

1. Каждая схема вычерчивается вместе с эпюрами на отдельном листе миллиметровки в масштабе (в долях l). На каждой схеме стрелками изображаются нагрузки и (на схемах с шарнирными опорами) - реакции. Рядом со стрелками указываются значения нагрузок и реакций в долях q, ql или ql2.

2. На том же листе приводятся все необходимые вычисления. Ординаты эпюр изгибающих моментов откладываются со стороны растянутых волокон в долях ql2, крутящих моментов - также в долях ql2, ординаты эпюр поперечных и продольных сил - в долях ql. На всех эпюрах обязательно изображать опорные закрепления.

3. Примечание. Если найденные реакции опор получились со знаком минус, то исправлять их направления не рекомендуется, а в расчетах учитывать, что их истинное направление противоположно стрелке.

СХЕМА 1




СХЕМА 2

3АДАНИЕ №2

Расчет на растяжение-сжатие

12 Прочность и перемещения при центральном растяжении или сжатии

Лекция № 12. Прочность и перемещения при центральном растяжении или сжатии

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ) ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

   Переходя к изучению введенных основных видов деформации стержней, ограничимся рассмотрением стержней постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью, т. е. призматических стержней. Начнем с деформации растяжения (сжатия).

   Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор — продольная сила Nz. Поскольку продольная сила численно равна сумме проекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня (для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz), то растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по одну сторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня (рис. 1). Одна и та же продольная сила Nz при действии на различные части стержня (левую или правую) имеет противоположные направления. Знак Nz зависит от характера вызываемой ею деформации. Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение элемента (рис. 2, а), и она отрицательна, если вызывает сжатие (рис. 2,б).

Рис.1. Расчетная схема

Рис.2. а) Растяжение и б) сжатие

   Для того, чтобы сформулировать предпосылки теории растяжения (сжатия) призматического стержня, обратимся к эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный из какого-либо податливого материала (например, резины), на боковую поверхность которого нанесена система продольных и поперечных рисок (рис. 3, а). Эта ортогональная система рисок остается таковой и после приложения растягивающей нагрузки (рис. 3, б). Поскольку поперечные риски являются следами поперечных сечений на поверхности стержня и остаются прямыми и перпендикулярными к оси стержня то это свидетельствует о выполнении гипотезы плоских сечений (Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон приходим к выводу, что деформация растяжения стержня сводится к одноосному растяжению его продольных волокон, и в поперечном сечении стержня возникают лишь нормальные напряжения а (рис. 4), индекс г у которых опускаем. Ортогональность продольных и поперечных рисок свидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и связанных с ними касательных напряжений т в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рекомендуемые файлы

FREE

Учебный план для ИУ3, ИУ4, ИУ5, ИУ6, ИУ7, РК 6, РЛ6, МТ4, МТ8, МТ11, СМ13

Физика

-60%

Решенные все 35 билетов 2021 (теории + задач)

Физика

FREE

Все Лекции PDF

Физика

FREE

Физика лекции 4 сем (PDF)

Физика

FREE

РК-1 все 30 билетов с полным решением (теория+практика )

Физика

Плоская вертикальная стенка сушилки, находящаяся в закрытом помещении, изготовлена из стального листа

Физика

Рис.3. Модель растянутого стержня

Рис.4. Связь напряжения и усилия

   Тогда продольная сила Nz равная сумме проекции внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении площадью F (рис. 4) очевидно будет равна

.

   Это соотношение является уравнением равновесия статики, связывающим продольную силу Nz, и нормальное напряжение , которое в общем случае является функцией координат х и у и поэтому не может быть найдено из одного лишь 1 уравнения статики. Таким образом, задача определения напряжений даже в самом простом случае деформирования стержня (растяжении или сжатии) оказывается статически неопределимой.

   Необходимое для решения этой задачи дополнительное уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль оси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), то приходим к уравнению =const, из которого ввиду однозначности связи и (для линейно-упругого материала это—закон Гука: .) вытекает, что

Решая совместно уравнения получим, что или

   Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического стержня нормальные напряжения равномерно распределены по поперечному сечению, а касательные напряжения в сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоских сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, является фундаментальным результатом, справедливым, строго говоря, лишь для призматического стержня. Однако в инженерной практике его используют и для приближенной оценки нормальных напряжений в стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо, чтобы площадь поперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль его оси.

   Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

(1)

где —допускаемое напряжение. Напряжение в условии (1) подставляется по модулю, так как знак в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

где и —напряжения растяжения и сжатия, а и — ответствующие им допускаемые напряжения.

   В практике инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.

Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка (в нашем случае ее представляет Nz), сечение стержня F и его материал заданы.

Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]:

где — предельное (или опасное) напряжение, т. е. напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции (напомним, что, например, для стержня из пластичного материала это—предел текучести или условный предел текучести ).

Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по Заданной нагрузке (Nz) определяются размеры поперечного сечения стержня (F) из заданного материала ( дано). Минимальное значение F получим, если в условии прочности (1) принять знак равенства:

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции (F и даны) при выполнении условия прочности.

ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА

   Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестности сечений, содержащих вырезы, выточки, отверстия, трещины, в местах резкого изменения поперечного сечения, а также в местах приложения сосредоточенных сил и т. п. Неравномерное распределение напряжений в указанных местах является следствием искажения плоскостей поперечных сечений или их депланации.

   Поясним это явление на примере подверженной растяжению полосы из податливого материала с круговым отверстием, на поверхности которой нанесены продольные и поперечные риски (рис. 5, а). В зоне отверстия имеет место депланация поперечных сечений, вызванная неравномерным растяжением продольных волокон (рис.5, б). При этом наибольшие удлинения и соответственно напряжения max получают волокна возле отверстия. Такое местное увеличение напряжений возле вырезов, выточек, отверстий и т. п., а также в местах приложения сосредоточенных сил, называется у концентрацией напряжений, а источники концентрации напряжений (вырезы, выточки, отверстия и т. п.) получили название концентраторов напряжений.

Рис.5. Концентрация напряжений: а) исходное состояние, б) деформированное состояние, в) распространение напряжений

   Рассмотренными методами механики деформированного тела, опирающимися на гипотезу плоских сечений, задачи о распределении напряжений в зонах концентрации напряжений не решаются. Такие задачи решаются методами теории упругости или исследуются экспериментально. При этом для практических расчетов вводится так называемый теоретический коэффициент концентрации напряжений , представляющий собой отношение максимальных max и номинальных напряжений: , где номинальные напряжения определяются без учета концентрации напряжений. В приведенном примере растяжения полосы с отверстием , a Fnt площадь поперечного сечения полосы, уменьшенная за счет отверстия («нетто»). Таким образом, играют роль поправочных коэффициентов.

   Однако, как показали эксперименты и точные решения задач теории упругости, местные отклонения от равномерного распределения напряжений, вызванные концентрацией напряжений, быстро затухают по мере удаления от сечения с концентратором, и на расстояниях порядка ширины сечения распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 5, в). Отмеченное свойство является частным случаем широко используемого практически во всех разделах механики деформируемого твердого тела (в том числе и теории упругости) принципа Сен-Венана

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

   Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении , называемое абсолютной продольной деформацией или удлинением, мало по сравнению с его первоначальной длиной . Тогда относительная продольная деформация будет равна

   Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия)

,

где Е—;модуль продольной упругости материала стержня, а нормальные напряжения определяются по формуле (в нашем случае Nz=P), для абсолютной деформации получаем

(2)

   Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии), так как удлинение обратно пропорционально EF.

Рис.6. Модели продольной и поперечной деформаций

   Как показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьшаются (рис. 6), а при сжатии — увеличиваются. Это явление получило название эффекта Пуассона.

   По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения (на рис. 6 ) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформации, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом , являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Как известно, для изотропного материала .

   Формула (2) для удлинения стержня применима только в случае, когда по длине стержня ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const, Nz =const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и Nz (рис. 7) может быть определено как сумма удлинений ступеней, у которых EF и Nz постоянны:

(индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены из различных материалов). В случае, когда Nz и EF меняются по длине стержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту, получаем

   В качестве тестов для практики расчетов определенных интегралов рекомендую воспользоваться системой входных тестов Т-5, указанных в ПРИЛОЖЕНИИ.

Рис.7. Ступенчатый брус

   С упругими продольными деформациями стержня при растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его сечений. На рис. 8 приведены три случая определения таких перемещений, откуда видно, что перемещения поперечных сечений численно равны удлинениям заштрихованных частей стержня:

  • перемещение свободного торцевого сечения 1—1 при неподвижном другом торцевом сечении (рис. 8, а) численно равно удлинению стержня;
  • перемещение промежуточного сечения 2—2 (рис. 8, б) численно равно удлинению части стержня, заключенной между данным сечением и сечением неподвижным;
  • взаимное перемещение сечений 3—3 и 44 (рис, 8, в) численно равно удлинению части стержня, заключенной между этими сечениями.

Рис.8. Модели перемещений

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

В лекции "2.17 Расцвет архитектуры русского барокко" также много полезной информации.

   Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным (рис. 9, а). Поскольку на поперечных и продольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадки являются главными. Причем в случае растяжения , а в случае сжатия .

Рис.9. Напряженное состояние: а ) исходный элемент, б ) компоненты напряжений

   Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под углом , определяются по формулам для упрощенного плоского напряженного состояния:

   Площадки с экстремальными касательными напряжениями (рис. 9, б), как известно, наклонены по отношению к исходным под углами (следует и из формулы для ) и равны .

   Именно с действием экстремальных связывается появление на боковой поверхности образца из малоуглеродистой стали, испытываемого на растяжение, линий скольжения, ориентированных под углом к оси образца. На площадках с экстремальными действуют и нормальные напряжения, равные .

Компрессионный стержень

- обзор

Испытание в форме шляпы

Методика образца в форме шляпы часто используется в компрессионном стержне Хопкинсона (рис. 2.8), который был изобретен в 1977 году Мейером и Хартманном в Институте Фраунгофера (IFAM, Бремен). , Германия) и использовался Hartmann et al. [26] и цитируется Meyer et al. [27]. Образец сдвига (в форме шляпы) расположен между входным и выходным стержнем. Они исследовали различные стали на предмет механических свойств и образования полос сдвига.Образец шляпы часто используют Мейерс [28–31] и Битти и др. [32] (рисунок 2.9).

Рисунок 2.8. Инструментальный аппарат Гопкинсона для получения белых полос в лаборатории, согласно Hartmann et al. [26].

Рисунок 2.9. Геометрия образца в форме шляпы, согласно Beatty et al. [32].

Преимущество теста в форме шляпы состоит в том, что его можно использовать для получения полос сдвига даже в очень пластичных материалах в компрессионной установке Хопкинсона и что можно провести сравнение между малыми и большими деформациями разрушения [33].Благодаря геометрии можно достичь очень высоких деформаций при высоких скоростях деформации, но на измерение напряжения сдвига влияют краевые эффекты. Деформируемость при сдвиге можно измерить и оценить. Чтобы исследовать микроструктуру образования полос сдвига, смещение образца шляпы можно легко ограничить в осевом направлении с помощью стопорных колец.

Битти и др. [32] провели эксперименты со сталью AISI 4340, используя образец шляпы, чтобы изучить формирование полосы сдвига высокопрочной стали при высоких скоростях нагружения.Они исследовали влияние температуры аустенизации на потребление энергии при сдвиговом нагружении.

Не обращая внимания на шляпообразную геометрию [32], где диаметр пуансона и отверстия одинакового размера, в литературе существует несколько исследований, в которых диаметр пуансона меньше диаметра отверстия; большинство исследований проводится на образцах, у которых диаметр пуансона больше диаметра отверстия. Эта конфигурация приводит к дополнительной сжимающей нагрузке, такой как гидростатическое давление.

Образец, у которого диаметр пуансона меньше диаметра отверстия, использовали Миннаар и Чжоу [34] (рис. 2.10). Образцы были загружены в сжатый стержень Гопкинсона и по-разному остановлены, чтобы исследовать эволюцию сдвига. Исследуемые материалы: HY-80, HY-100, HSLA-80, 4340 VAR и Ti – 6Al – 4V. Титан в этом исследовании является самым твердым материалом и показывает ранний выход из строя в отличие от мягких сталей. С подобной геометрией образца, как показано на рис. 2.10, Chung et al.[35] провели динамические испытания в стержне Гопкинсона для стали AISI 4340. Ширина сдвига почти такая же, но общий диаметр больше.

Рисунок 2.10. Образец в форме шляпы, по мнению Миннаара и Чжоу [34].

Пурше [36] и Пурше и Мейер [37] исследовали поведение разрушения при сдвиге различных закаленных и отпущенных сталей с образцом в форме шляпы, у которого диаметр пуансона также меньше диаметра отверстия (рис. 2.11A). Этот образец похож на образец Мейера и Крюгера [33] (Рисунок 2.11Б). Пурше обнаружил линейную корреляцию между разрушением при сдвиге для шляпообразного образца и деформациями разрушения, обнаруженными в условиях двухосного сдвига при сжатии (рис. 2.94).

Рисунок 2.11. Образец в форме шляпы, согласно Пурше [36] (A) и Мейеру и Крюгеру [33] (B).

Изменяя диаметры, если диаметр пуансона больше диаметра отверстия, создаются различные состояния напряжения сдвига при сжатии (гидростатическое давление). Это напряженное состояние препятствовало разрушению, и хрупкий материал может быть проанализирован на предмет предрасположенности к адиабатическому сдвигу.Сюэ [38] использовал такой образец шляпы (рис. 2.12) для исследования статического и динамического поведения нержавеющей стали 304, титана и Ti – 6Al – 4V. Для стали 304 было проанализировано влияние размера зерна.

Рисунок 2.12. Образец в форме шляпы со степенью сжатия по Сюэ [38].

Meyers et al. [28] исследовали микроструктуру материалов, подвергнутых сдвигу, таких как медь, титан и тантал. Методами испытаний были образцы в форме шляпы, загруженные в стержень Гопкинсона, и испытание на толстостенном цилиндре (TWC), которое будет объяснено позже.

Крюгер [39] и Мейер и др. [40] обнаружили, что дополнительное радиальное сжимающее напряжение в зоне сдвига шляпообразного образца уменьшало деформацию разрушения титанового сплава (рисунок 2.13A) и увеличивало деформацию разрушения тяжелого сплава вольфрама (рисунок 2.13B). Компонент радиального сжатия был вызван не самой геометрией образца, а внешним цилиндром для создания радиального давления в зоне сдвига образца.

Рисунок 2.13. Согласно Крюгеру [39] и Мейеру и др., Влияние дополнительного радиального сжимающего напряжения на поведение при разрушении шляпообразных образцов при комнатной температуре.[40].

Couque [41] использовал прямой стержень Гопкинсона (рис. 2.14) для исследования разрушения при сдвиге тяжелого сплава вольфрама и стали при различных боковых давлениях на образце шляпки (рис. 2.15). Кук обнаружил, что длина полосы адиабатического сдвига в калибровочной секции сильно зависит от скорости нагружения. При более высоком боковом давлении деформация разрушения при сдвиге для вольфрамового сплава увеличивается, аналогично результатам Крюгера [39]. Кук объяснил такое поведение уменьшающейся частью пластической работы, преобразующейся в тепло при увеличении давления.

Рисунок 2.14. Прямая сборка Хопкинсона, согласно Couque [41] и Teng et al. [42].

Рисунок 2.15. Образец в форме шляпы с дополнительным напряжением сжатия, согласно Couque [41] и Teng et al. [42].

Teng et al. [42] провели численное исследование на образце в форме шляпы с геометрически индуцированными напряжениями взаимного сжатия, как показано на рис. 2.15 [41]. Использованы материальные данные экспериментальных исследований Couque. Тэн смоделировал образование и распространение полос адиабатического сдвига и последующее распространение трещины.Тэн сравнил смоделированные длины полос сдвига с экспериментальными данными. Он предположил, что горячие точки в полосе сдвига являются местами зарождения трещин. Таким образом, образование трещины в полосе сдвига напоминает соединение небольших трещин.

Meyers et al. [43] исследовали полосы сдвига из нержавеющей стали AISI 304L, которые были изготовлены с образцом в форме шляпы в стержне Кольского и с испытаниями TWC. Полосы сдвига исследуются с помощью методов дифракции обратного рассеяния электронов (EBSD) и просвечивающего электронного микроскопа (ТЕМ).

Clos et al. [44] провели испытания образцов в форме шляпы с двумя различными геометрическими формами: классический цилиндрический образец и образец в форме плоской шляпы с нагрузкой в ​​стержне Гопкинсона (рис. 2.16). Образец в форме плоской шляпы был разработан для уменьшения краевых эффектов. Кроме того, плоский образец позволяет измерять повышение температуры во время деформации с помощью инфракрасного детектора. Clos et al. варьировали состояние напряжения сжатия / сдвига и использовали различные пределы деформации для изучения развития процесса сдвига.Clos использовала стали с содержанием углерода 0,15% и 0,45% и сплав Inconel 718. В стали с содержанием углерода 0,45% и инконелем 718 он обнаружил белые полосы травления (шириной до 20 мкм), а в стали с содержанием углерода 0,15% он обнаружил только темные полосы травления (около 200 мкм). Clos разделил поведение нагрузки-смещения на три стадии. Стадия I - это фаза до локализации, стадия II - это фаза локализации, а стадия III - это фаза после локализации. Локализация создавалась не только нестабильностью равномерно напряженной зоны, но и краевыми эффектами.Разрушение не происходит одновременно по всей зоне сдвига. Полосы сдвига образовывались на этапе пост-локализации в результате трения. Измеренные температуры 0,45% углеродистой стали в начале локализации составляют около 200–250 ° C, 500 ° C в начале фазы после локализации и 850 ° C в конце фазы после локализации.

Рисунок 2.16. Образец шляпы как цилиндрической, так и плоской формы, согласно Clos et al. [44].

Сюэ и Грей [45] исследовали отожженную нержавеющую сталь AISI 316L в сборке стержня Гопкинсона с использованием шляпообразных образцов с определенным сжимающим напряжением.Они охарактеризовали формирование полосы сдвига через этапы деформации с различным временем нагружения. Комплексные исследования микроструктуры, включая наблюдения с помощью ПЭМ, этой стали были выполнены Xue et al. [46]. Xue et al. [47] провели геометрические эксперименты с материалами, подвергнутыми предварительному удару (304 и 316L), с тем же образцом в форме шляпы. Состояние материала, подвергшегося предварительному удару, показывает более высокий предел текучести и более короткую стадию деформационного упрочнения, чем материал без ударов. Деформация разрушения также ниже по сравнению с состоянием без сотрясения.

Lins et al. [48] ​​также использовали шляпообразный образец с дополнительным напряжением сжатия для исследования горячекатаной стали без зазоров в узле Гопкинсона с различными пределами деформации для исследования микроструктурного внешнего вида полос сдвига.

Ли и др. [49] использовали образец в форме шляпы с немного большим диаметром пуансона в качестве отверстия. Исследуемые материалы представляли собой углеродистые стали с содержанием углерода 0,15%, 0,45% и 1,16%. Испытания проводятся с использованием стержня Хопкинсона.Ли исследовал образование полос адиабатического сдвига. Деформированная полоса для 0,15% -ной стали и преобразованные полосы, для которых наблюдается среднее и высокое содержание углерода. Ли также исследовал влияние скорости нагружения на формирование полосы сдвига.

Xu et al. [29] исследовали микроструктурные аспекты локализации адиабатического сдвига на различных материалах, таких как низкоуглеродистая сталь, нержавеющая сталь, титан и его сплавы, алюминиевый сплав и другие. Материалы были испытаны среди других методов с образцами в форме шляпы в сборке стержня Гопкинсона.

Peirs et al. [50] провели динамические испытания шляпообразных образцов Ti – 6Al – 4V с стержнем Гопкинсона. Он исследовал влияние радиуса кромки образца и ширины сдвига на формирование полос сдвига. Ширина обеспечивает однородность распределения напряжения и деформации, а также гидростатического давления. Конфигурация радиуса определяет возникновение полос адиабатического сдвига. Были проведены дополнительные исследования относительно эволюции полос сдвига и расчетов методом конечных элементов (КЭ).

Образец в форме шляпы использовался для титана Ti – 6Al – 4V [30], титанового сплава Ti – 6Al – 4V [51], алюминиевого сплава [38,52], тантала [31,53], циркония [54]. ] и медь [55].

Закон Крюка - Прочность (механика) материалов

Закон Гука - Прочность (механика) материалов

Механика материалов Содержание

Закон Гука - Если металл слегка нагружен, имеет место временная деформация, предположительно разрешенная упругим смещением атомов в пространственной решетке.Снятие напряжения приводит к постепенному возвращению металлу первоначальной формы и размеров. В 1678 году английский ученый Роберт Гук провел эксперименты, в ходе которых были получены данные, которые показали, что в диапазоне упругости материала деформация пропорциональна напряжению. Удлинение стержня прямо пропорционально растягивающей силе и длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

Экспериментальный закон Гука может быть дан как:

Где:

P = усилие, создаваемое удлинением стержня (фунт-сила)
l = длина стержня (дюйм.)
A = площадь поперечного сечения стержня (дюймы 2 )
d = общее удлинение стержня (дюймы)
E = постоянная упругости материала, называемая модулем упругости или модулем Юнга (фунт-сила / дюйм) 2 )

Величина E, отношение единичного напряжения к единичной деформации, представляет собой модуль упругости материала при растяжении или сжатии и часто называется модулем Юнга .

Растягивающее напряжение или просто напряжение было приравнено к нагрузке на единицу площади или силе, приложенной к площади поперечного сечения, перпендикулярной силе, измеренной в фунтах силы на квадратный дюйм.

Деформация растяжения или удлинение стержня на единицу длины определяется по:

Для описанных выше уравнений мы можем адекватно выразить закон Гука для упругих материалов. Для материалов, находящихся под напряжением, деформация (e) пропорциональна приложенному напряжению s.

Где:

E = модуль Юнга (фунт-сила / дюйм. 2 )
s = напряжение (фунт / кв. Дюйм)
e = деформация (дюйм / дюйм)

1,16. Композитные стержни при растяжении или сжатии

Предварительный текст

1.16. Композитные стержни при растяжении или сжатии Композитный стержень - это стержень, сделанный из двух материалов, таких как стальные стержни, залитые в бетон. Конструкция стержня такова, что составляющие компоненты одинаково расширяются или сжимаются под нагрузкой. Чтобы проиллюстрировать поведение таких стержней, рассмотрим стержень, сделанный из двух материалов, 1 и 2, рисунок Рисунок 1.20. Композитные, жестко соединенные на концах, они загораживают, если стержни имеют одинаковое удлинение. A1, A2 - площади стержней, а E1, E2 - значения модуля. Мы предполагаем, что стержни жестко соединены друг с другом в то время для совместимости, продольные деформации должны быть одинаковыми, когда композитный стержень растягивается, мы должны иметь 2 E1 E2 (1.18), где 1 и 2 - напряжения в двух стержнях. Но из соображений равновесия P 1 A1 2 A2 (1.19) Уравнения (1.18) и (1.19) дают PE1 PE2, A1E1 A2 E2 A1E1 A2 E2 (1.20) Задача 1.12 Бетонная колонна, квадрат 50 см, армирована четырьмя стальными стержнями, каждый диаметром 2,5 см, заделанными в бетон около углов квадрата. Если модуль упругости 2 2 для стали составляет 200 GN м, а для бетона - 14 GN м, оцените сжимающие напряжения в стали и бетоне, когда общая нагрузка на колонну составляет 1 МН. Решение Предположим, что индексы c и s относятся к бетону и стали соответственно. Площадь стали As 4 3 м 2, а площадь бетона 2 Ac Ac m равна 2 Уравнениям (1.20), затем дают 106 МН м 2 200 0,248 1,96 3 14 6 10 МН м 2 14 0,248 1,96 3 200 Задача 1.13 Равномерная балка весом 500 Н удерживается в горизонтальном положении тремя вертикальными тросами, по одной прикрепленной к каждому концу балки, и один у края. Наружные проволоки выполнены из латуни диаметром 0,125 см, а центральная проволока из стали диаметром 0,0625 см. Если балка жесткая, а тросы одинаковой длины и не подвергались напряжению до прикрепления балки, оцените напряжения в тросах. модуль для латуни 2 2 составляет 85 GN м, а для стали - 200 GN м.Решение Рассматривая вместе две внешние латунные проволоки, мы можем принять систему как составную, состоящую из одного латунного элемента и стального элемента. Площадь

Штанги растяжения-сжатия: одномерный случай

Страница из

НАПЕЧАТАНО ИЗ ОНЛАЙН-СТИПЕНДИИ ОКСФОРДА (oxford.universitypressscholarship.com). (c) Авторские права Oxford University Press, 2021. Все права защищены. Отдельный пользователь может распечатать одну главу монографии в формате PDF в OSO для личного использования.дата: 22 августа 2021 г.

Глава:
(стр.13) 2 штанги растяжения-сжатия: одномерный случай
Источник:
Engineering Mechanics of Deformable Solid
Автор (ы):

Санджай Говинджи (веб-страница автора)

Издатель:
Oxford University Press Oxford University Press

DOI: 10.1093 / acprof: oso / 9780199651641.003.0002

В этой главе обсуждаются основные аспекты механики тонких механических элементов под действием осевых нагрузок при растяжении и сжатии.Он охватывает фундаментальную кинематику; понятия средней деформации и напряжения; и закон Гука с одномерным тепловым расширением. Разработана концепция точечного равновесия в терминах равнодействующих, а элементарное понятие сохранения энергии представлено в качестве методологии анализа. Читатель далее знакомится с понятием инженерного проектирования на основе напряжений, а также с физическим и дифференциальным уравнением для формулирования и решения задач растяжения-сжатия.Рассмотрены неопределенные и детерминированные проблемы.

Ключевые слова: нормальное напряжение, нормальная деформация, внутренние силы, кинематическое допущение, закон Хука, стержень растяжения-сжатия, сохранение энергии, статически неопределенный

Для получения доступа к полному тексту книг в рамках службы для получения стипендии

Oxford Online требуется подписка или покупка. Однако публичные пользователи могут свободно искать на сайте и просматривать аннотации и ключевые слова для каждой книги и главы.

Пожалуйста, подпишитесь или войдите для доступа к полному тексту.

Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этой книге, обратитесь к своему библиотекарю.

Для устранения неполадок, пожалуйста, проверьте наш FAQs , и если вы не можете найти там ответ, пожалуйста связаться с нами .

Длина анкеровки - бетонные конструкции Еврокод

Эти значения получены по следующим формулам: (при Yc = 1.= (0,36 / fck) / Yc

- стержни с высокими облигациями, fbd = (2.25fctk 0,05) / * c, где fck и fctk 0,05 определены в главе 3.1.

(3) В случае поперечного давления p в Н / мм2 (поперек возможной плоскости расщепления) значения таблицы 5.3 следует умножить на | 1 / (1 - 0,04 p) d 1,4 |, где p - среднее поперечное давление.

5.2.2.3 Базовая длина анкерного крепления

P (1) Базовая длина анкеровки - это прямая длина, необходимая для анкеровки с усилием As.fyd в стержне, предполагая постоянное напряжение связи, равное fbd; при установке базовой длины анкеровки следует учитывать тип стали и свойства сцепления стержней.

(2) Базовая длина анкеровки, необходимая для анкеровки стержня диаметром 0, составляет:

Значения fbd приведены в таблице 5.3.

(3) Для сварных тканей с двумя стержнями диаметр 0 в уравнении (5.3) должен быть заменен эквивалентным диаметром 0n = 0/2.

5.2.3 Анкоридж

5.2.3.1 Общие

P (1) Арматурные стержни, проволока или сварные сетчатые ткани должны быть закреплены таким образом, чтобы внутренние силы, которым они подвергаются, передавались на бетон и чтобы избежать продольного растрескивания или отслаивания бетона. При необходимости предусмотреть поперечную арматуру.

P (2) Если используются механические устройства, их эффективность должна быть подтверждена испытаниями, а их способность передавать сосредоточенную силу в анкеровке должна быть проверена с особой тщательностью.

5.2.3.2 Методы анкеровки

(1) Обычные методы крепления показаны на Рисунке 5.2.

(2) Прямые анкерные крепления или изгибы [Рисунок 5.2 a) или Рисунок 5.2 c)] не должны использоваться для анкеровки гладких стержней диаметром более 8 мм.

(3) Изгибы, крюки или петли не рекомендуется использовать при сжатии, за исключением гладких стержней, которые могут подвергаться растягивающим усилиям в зонах анкеровки при определенных нагрузках.

(4) Отслаивание или раскалывание бетона можно предотвратить, соблюдая Таблицу 5.1 и избегая скопления креплений.

Рисунок 5.2 - Требуемая длина анкерного крепления д) приварной поперечный стержень

Рисунок 5.2 - Требуемая длина анкерного крепления

5.2.3.3 Поперечная арматура параллельно бетонной поверхности

(1) В балках должна быть предусмотрена поперечная арматура:

- для анкеров при растяжении, если нет поперечного сжатия из-за реакции опоры (например, в случае непрямых опор).

- для всех сжатых анкеров.

(2) Минимальная общая площадь поперечной арматуры (опоры, параллельные слою продольной арматуры) составляет | 25l процентов площади одной анкерной балки (рисунок 5.3).

n = количество стержней по длине анкеровки

Ast = площадь одного стержня поперечной арматуры

(3) Поперечная арматура должна быть равномерно распределена по длине анкеровки. По крайней мере, один стержень должен быть помещен в область крюка, изгиба или петли крепления изогнутого стержня.

(4) Для стержней в сжатии поперечная арматура должна окружать стержни, концентрироваться на конце анкерного крепления и выходить за его пределы на расстояние, по крайней мере, в 4 раза превышающее диаметр закрепленного стержня [см. Рисунок 5.5 b). ].

5.2.3.4 Требуемая длина анкерного крепления

5.2.3.4.1 Прутки и проволока

(1) Требуемая длина анкеровки, фунт, нетто может быть рассчитана по следующей формуле:

фунта определяется уравнением (5.3), см. 5.2.2.3 (2)

Asreq и Asprov соответственно обозначают площадь арматуры, требуемую по проекту, а фактически предоставленные фунты, min обозначают минимальную длину анкеровки:

- для анкеров на растяжение

- для анкеров на сжатие фунт, мин = 0.3 фунта (@ 10 0)

aa - коэффициент, который принимает следующие значения: aa = 1 для прямых стержней aa = 0,7 для изогнутых стержней при растяжении (см. Рисунок 5.2), если бетонное покрытие, перпендикулярное плоскости кривизны, составляет не менее | | в районе крючка, изгиба или петли.

5.2.3.4.2 Сетки сварные из проволоки с высоким сцеплением

(1) Можно применить уравнение (5.4)

(2) Если в анкеровке имеются сварные поперечные стержни, коэффициент | 0,7 | следует применять к значениям, заданным уравнением (5.4).

5.2.3.4.3 Сетки сварные из гладкой проволоки

(1) Их можно использовать при соблюдении соответствующих стандартов. 5.2.3.5 Крепление механическими устройствами

P (1) Пригодность механических анкерных устройств должна быть подтверждена сертификатом Agrément.

(2) Для передачи сосредоточенных сил анкеровки на бетон см. 5.4.8.1 5.2.4 Соединения

P (1) Детализация стыков между стержнями должна быть такой, чтобы:

- обеспечена передача усилий от одного стержня к другому;

- скола бетона в районе швов не происходит;

- ширина трещин в конце стыка существенно не превышает значений, приведенных в разделе 4.4.2.1.

5.2.4.1 Соединения внахлест для стержней или проволоки

5.2.4.1.1 Расположение стыков внахлест

(1) Насколько это возможно:

- перехлесты между стержнями должны быть расположены в шахматном порядке и не должны находиться в зонах повышенного напряжения (см. Также Раздел 2.5.3, Анализ).

- перехлесты на любом участке должны располагаться симметрично и параллельно внешней грани элемента,

(2) Пункты 5.2.3.2 (1) - (4) также применимы к соединениям внахлест.

(3) Свободное пространство между двумя притертыми стержнями в стыке должно соответствовать значениям, указанным на Рисунке 5.4.

5.2.4.1.2 Поперечная арматура

(1) Если диаметр 0 притертых стержней меньше | 16 мм |, или если процент притертых стержней в одном сечении составляет менее 20%, то минимальная поперечная арматура, предусмотренная по другим причинам (например, сдвигающая арматура, распределительные стержни), считается достаточной.

(2) Если 0 T I 16 мм |, то поперечная арматура должна:

- иметь общую площадь (сумму всех ветвей, параллельных слою сращиваемой арматуры, см. Рисунок 5.5,) площадью не менее площади А сращиваемого стержня (CAst T 1.0 As)

- иметь форму звеньев, если r I 10 01 (см. Рисунок 5.6), и быть прямыми в остальных случаях

- поперечная арматура должна размещаться между продольной арматурой и бетонной поверхностью.

(3) Для распределения поперечной арматуры применяются 5.2.3.3 (3) и (4).

5.2.4.1.3 Длина нахлеста

(1) Необходимая длина нахлеста:

ls = lb, net '! 1 @ ls, min (5.7)

с:

фунта нетто в соответствии с уравнением (5.4)

лс, мин при 0,3 • aa.a1 фунт при 15 0 при 200 мм (5,8)

Рисунок 5.5 - Поперечное армирование для стыков внахлест

Коэффициент a1 принимает следующие значения:

! = 1 для длины нахлеста стержней при сжатии и длины нахлеста при растяжении, когда нахлест менее 30% стержней в сечении и, согласно рисунку 5.6, где a @ | 10 0 | и b @ | 5 01.

a1 = 1,4 для длины нахлеста при растяжении, когда либо i) 30% или более стержней на участке перекрываются, либо ii) в соответствии с рисунком 5.6, если a <| 10 p I или b <| 5_p |, но не то и другое вместе.

a1 = 2 для длины натяжения нахлеста, если оба вышеуказанных пункта i) и ii) применяются одновременно.

5.2.4.2 Перехлесты для сетчатых сварных тканей из проволоки с высоким сцеплением

5.2.4.2.1 Перехлесты основной арматуры

(1) Следующие правила относятся только к наиболее распространенному случаю, когда нахлестки выполняются путем наложения листов.Правила проходов с переплетенными листами приводятся отдельно от настоящего Кодекса.

(2) Перехлесты, как правило, должны располагаться в зонах, где эффекты воздействий при редких сочетаниях нагрузок не превышают | 80% | расчетной прочности секции.

(3) Если условие (2) не выполняется, эффективная толщина стали, учитываемая в расчетах в соответствии с разделом 4.3.1, должна применяться к слою, наиболее удаленному от поверхности растяжения.

(4) Допустимый процент основной арматуры, которая может быть наложена внахлест в любом одном сечении, по отношению к общему поперечному сечению стали составляет:

- 100%, если удельная площадь поперечного сечения сетки, обозначенная As / s, такова, что

- 60%, если As / s> 1 200 мм / м и если данная проволочная сетка является внутренней сеткой.для прутков с высоким сцеплением

As, req и As, prov определены в 5.2.3.4.1 (1)

As / s в мм2 / м ls, min = 0,3! 2 фунта (@ 200 мм (@ st, где st обозначает расстояние между поперечными сварными проволоками. (6) Дополнительное поперечное усиление не требуется в зоне притирки.

5.2.4.2.2 Перехлесты поперечной распределительной арматуры

(1) Вся поперечная арматура может быть наложена внахлест в одном месте.

Минимальные значения длины нахлеста ls приведены в таблице 5.4; не менее двух поперечных стержней должны быть в пределах длины нахлеста (одна ячейка).

Таблица 5.4 - Рекомендуемая длина нахлеста в поперечном направлении

Расчет дважды армированных бетонных прямоугольных балок на примере

🕑 Время чтения: 1 минута

Конструкция балки из дважды армированного бетона может потребоваться, когда поперечное сечение балки ограничено по архитектурным или другим соображениям. В результате бетон не может развивать силу сжатия, необходимую для сопротивления заданному изгибающему моменту.В этом случае стальные стержни добавляются в зону сжатия балки, чтобы улучшить ее при сжатии.

Таким образом, балка, армированная стальным растяжением и компрессионной сталью, называется балкой из дважды армированного бетона. Момент сопротивления дважды армированной бетонной балки больше, чем у одноармированной бетонной балки для того же поперечного сечения, марки стали и бетона.

Использование компрессионной арматуры значительно сократилось из-за использования метода расчета прочности, который учитывает полный потенциал прочности бетона в зоне сжатия.Тем не менее, компрессионная арматура может использоваться по причинам, отличным от прочности, например, для уменьшения длительного прогиба балки, учета нагрузки с минимальным моментом и удержания хомутов на своих местах.

Почему в балке используется арматура сжатия?
  1. Для повышения прочности бетонной балки.
  2. Для уменьшения длительных прогибов элементов.
  3. Для минимальной моментной нагрузки.
  4. Для позиционирования хомутов (путем привязки их к прижимным стержням) и удержания их на месте во время укладки бетона и вибрации.

Когда сжатая арматура добавляется для целей, отличных от прочности, наличие сжатых стержней не учитывается в расчетах на изгиб.

Рекомендации по проектированию

1. Геометрия балки

Разработчик может не иметь большого контроля над размером балки из-за архитектурных или любых других соображений, которые ограничивают геометрию балки.

Размеры балки устанавливаются инженерами-архитекторами, поэтому инженер-строитель знает размер балки, и единственное, что неизвестно, - это площадь армирования.

2.

Стальная арматура

ACI 318-19 определяет максимальный коэффициент усиления при растяжении ( p max ), который может быть помещен в одноармированную бетонную балку. ( p max ) можно рассчитать, используя следующее выражение:

Если расчетный коэффициент армирования ( p ) рассматриваемой балки больше, чем ( p max ), она должна быть спроектирована как балка из дважды армированного бетона.

ACI 318-19 также определил максимальный коэффициент армирования ( p max ), который может быть помещен в дважды армированную бетонную балку для обеспечения текучести стальных стержней в зоне растяжения балки. Следовательно, ( p max ) гарантирует, что балка разрушится из-за текучести стали при растяжении вместо дробления бетона, что является внезапным и нежелательным.

Где:

B 1 : равно 0,85, если (fc '= <28 МПа), в противном случае используйте уравнение 3 для его вычисления.

fc ': прочность бетона на сжатие, МПа

фу: предел текучести стального проката, МПа

Epsilon, cu: предельная деформация сжатия бетона, равная 0,003 согласно ACI 318-19

.

p ': степень армирования при сжатии, которая рассчитывается согласно уравнению 4

3.

Размеры стального прутка

Обычно рекомендуется избегать использования стержней больших размеров для балок. Это связано с тем, что такие стержни вызывают растрескивание при изгибе и требуют большей длины для развития их прочности.Однако стоимость размещения бруса большого размера ниже, чем стоимость установки большого количества бруса малых размеров.

Кроме того, стандартные размеры стержней для балок находятся в диапазоне от № 10 до № 36 (единица СИ) или от № 3 до № 10 (обычная единица США), а два стержня большего диаметра № 43 (№ 14) и № 57 (№ 18) используются для столбцов.

Кроме того, можно комбинировать прутки разных диаметров для более точного соответствия требованиям к площади стали. Наконец, максимальное количество стержней, установленных в балке заданной ширины, определяется диаметром стержня, минимальным расстоянием, максимальным размером заполнителя, диаметром хомута и требованиями к бетонному покрытию.

Рисунок 1: Различные размеры стержней

4.

Расстояние между стержнями

ACI 318-19 определяет минимальное расстояние между стержнями, равное диаметру стержня или 25 мм. Это минимальное расстояние должно поддерживаться, чтобы гарантировать правильное размещение бетона вокруг стальных стержней и предотвратить образование воздушных карманов под арматурой, которые, следовательно, обеспечивают хорошее сцепление между стальными опорами и бетоном. Если в балку уложены два слоя стальных стержней, то расстояние между ними должно быть не менее 25 мм.

5.

Защита бетона для арматуры

Проектировщик должен поддерживать минимальную толщину бетонного покрытия за пределами самой внешней стали, чтобы обеспечить достаточную защиту бетона от огня и коррозии.

В соответствии с Кодексом ACI рекомендуется бетонное покрытие толщиной 40 мм для монтируемых балок, не подвергающихся прямому воздействию земли или погодных условий, и покрытие толщиной не менее 50 мм, если бетонная поверхность должна подвергаться воздействию погодных условий или контакта.

Для упрощения конструкции и снижения затрат габаритные размеры балок b и h почти округлены до ближайших 25 мм.

Рисунок-2: Бетонное покрытие

Расчет дважды железобетонных балок

Обычно балки проектируются как отдельно армированные бетонные балки, но неспособность бетона развивать адекватную силу сжатия потребует добавления стальных стержней в зону сжатия бетона.

Распределение напряжений и деформаций в дважды армированной бетонной балке показано на Рисунке 1.Когда арматура добавляется в зону сжатия балки, такое же количество добавляется в зону растяжения балки, чтобы противостоять силе сжатия стального стержня, как показано на рисунке 1, напряжение-деформация (B).

Рисунок-3: Диаграмма напряжения-деформации дважды армированной бетонной балки

Возможны два варианта расчета двояковыпуклой бетонной балки по режимам разрушения балки:

Случай 1: сталь для растяжения и сжатия при пределе текучести

Предположим, что и компрессионная сталь (A's), и растяжимая сталь (As) подвергаются напряжению до разрушения (предел текучести (fy)):

fs = fs ' = fy

Полный момент сопротивления балки можно разделить на две части.Первая часть (Mn 1 ) обеспечивается парой, состоящей из силы сжатия стали (A 's) и силы в зоне равного растяжения стали; см. Рисунок 1, диаграмма напряжений (B):

Вторая часть (Mn 2 ) представляет собой вклад оставшейся растянутой стали (As-A), действующей на сжатый бетон; см. Рисунок 1, диаграмма напряжений (A):

Где:

А: компрессионная сталь, мм 2

фу: предел текучести стального проката, МПа

d: эффективная глубина, измеренная от поверхности сжатия до центра стального стержня в зоне растяжения, мм

d ': расстояние от поверхности сжатия до центра сжатых стальных стержней, мм

As: общая площадь стали в растянутой зоне балки, мм 2

a: глубина прямоугольного блока напряжений, мм, может быть вычислена по уравнению 3

Где:

fc ': прочность бетона на сжатие, МПа

б: ширина бетонной балки, мм

Полный момент сопротивления дважды армированной бетонной балки можно рассчитать по следующей формуле:

Случай 2: Сталь для сжатия ниже предела текучести

Арматура сжатия может не достигать предела текучести, если:

  1. Балка широкая или неглубокая.
  2. Имеет необычное бетонное покрытие над сжатой арматурой.
  3. Коэффициент усиления балки при растяжении низкий.
  4. Или балка армирована сталью с высоким пределом текучести.

Когда сжатые стали ниже предела текучести при разрушении балки, предположение ( fs = fs ' ) больше не действует, поэтому следует разработать новые уравнения для учета напряжения сжатия стали, которое ниже предел текучести.

Используйте минимальный коэффициент усиления при растяжении ( p - cy ), чтобы определить, поддается ли компрессионная сталь или нет:

Если коэффициент усиления при растяжении ( p ) меньше минимального коэффициента усиления при растяжении ( p - cy ), нейтральная ось достаточно высока, чтобы сжатие стали меньше предела текучести.

Итак, новые уравнения для сжатия стали (f ' s ) и прочности на изгиб будут следующими:

Где:

E s : модуль упругости стали 200000 МПа

c: глубина нейтральной оси, мм, см. Рисунок-1.

Краткое изложение методики проектирования дважды железобетонной балки

Шаг 1: Рассчитайте максимальный момент или момент сопротивления (M n ), которому может противостоять недостаточно армированная секция с ρ = ρ max .Соответствующая площадь растяжения стали As = ρ max bd,

Вычислите (a) из уравнения 7 и вычислите (d), используя следующее уравнение:

d = высота балки-крышка-диаметр хомута-0,5 * диаметр продольного стержня Уравнение 14

Шаг 2: Найдите избыточный момент (M 1 ), если он есть, которому необходимо сопротивление, и установите M 2 = M n , как рассчитано на шаге 1:

Где применяется M u или предельный момент, рассчитанный исходя из приложенных нагрузок.

Шаг 3: Определите (As), которое рассчитывается на шаге 1, как As2, т. Е. Ту часть растянутой стальной площади в дважды армированной балке, которая работает с силой сжатия в бетоне, в (As-A's = As 2 ).

Шаг 4: Предположим, что fs ′ = fy, затем вычислите площадь сжатой стали (A), используя уравнение 5.

Шаг 5: Добавьте дополнительное количество растяжимой стали (As 1 = A 's), тогда общая площадь растянутой стали (As) в растянутой зоне балки будет (As 2 ) из шага 2 плюс (As 1 ).

Шаг 6: Проанализируйте дважды армированную бетонную балку, чтобы убедиться, что fs ′ = fy, то есть проверьте коэффициент армирования при растяжении ( p ) относительно ρ - cy . Вычислите ( p ) с помощью уравнения 4 и используйте (As) из (, шаг 5, ).

Шаг 7: Если ρ> ρ - cy , напряжение стали сжатия равно (fy), и расчет завершен. Однако при ρ <ρ cy напряжение стали при сжатии меньше (fy), и площадь стали при сжатии должна быть увеличена для обеспечения необходимой силы.

Шаг 8: Рассчитайте глубину нейтральной оси, которая равна прямоугольному блоку напряжений, деленному на B 1 , то есть либо 0,85, либо значение из уравнения 3.

Шаг 9: Рассчитайте напряжение стали при сжатии с помощью уравнения 10 и, наконец, оцените измененную площадь армирования при сжатии с помощью уравнения 5, в котором значение пробки (fs ') вместо (fy).

Шаг 10: Определите количество стержней и нарисуйте детали конструкции.

Пример:

Спроектируйте прямоугольную балку, которая должна выдерживать рабочую нагрузку 45 кН / м и расчетную статическую нагрузку 20 кН / м (включая собственный вес) на 5.Пролет 5 м ограничен в поперечном сечении по архитектурным причинам шириной 250 мм и общей глубиной 500 мм. Если fy = 420 МПа и fc ′ = 28 МПа.

Решение:

1- Первоначально вычислите предельную распределенную нагрузку (w u ), используя подходящую комбинацию нагрузок, предоставленную ACI 318-19:

w u = 1,2DL + 1,6LL = 1,2 (15,5) +1,6 (38) = 79,4 кН / м

2- Рассчитайте приложенный или предельный момент, используя уравнение максимального момента для балки без опоры:

M u = (w u l 2 ) / 8 = (79.4 * 5,5 2 ) / 8 = 300,23 кН.м

Используйте уравнение 13, чтобы оценить максимальный момент сопротивления (M n ), который может обеспечить балка из монолитного железобетона:

Определите неизвестные параметры уравнения 13:

Используйте уравнение 14, чтобы определить эффективную глубину (d), принимая диаметр стержня 29 мм, два слоя стержней и размер стержня 10 мм для хомутов.

d = 500-40-10-29- (25/2) = 408,5 мм

Примечание:

Если уравнение 1 используется для вычисления ( p max ) , то значение коэффициента снижения прочности для балки равно 0.9, следует проверить. Вот почему ACI 318-19 рекомендует использовать деформацию растяжения 0,005 в уравнении 1 вместо 0,004, чтобы избежать этой проверки и обеспечить коэффициент снижения прочности 0,9:

.

p макс = 0,85 * 0,85 * (28/420) * (0,003 / (0,003 + 0,005)) = 0,01806

As = p bd = 0,01806 * 250 * 412,5 = 1862,695 мм 2 , это значение будет определено как As2 (обсуждается в шаге 3 процедуры расчета), если балка спроектирована как балка из дважды армированного бетона

а = (1862.695 * 420) / (0,85 * 28 * 250) = 131,484 мм

M n = 1862,695 * 420 * (408,5- (131,484 / 2)) = 268150517,4 Н · мм = 268,150 кН · м

M d = коэффициент снижения прочности * M n = 0,9 * 268,150 = 241,335 кН.м

Начиная с M d < M u , балка должна быть спроектирована как дважды армированная бетонная балка.

3- Рассчитайте избыточный момент (M 1 ) по уравнению 15:

M 1 = (300.23 / 0,9) -241,335 = 92,253 кН.м

4- Предположим, что напряжение сжатия стали достигает предела текучести fs '= fy, затем вычислите площадь сжатой стали (A) с помощью уравнения 5. Для вычисления (d') предположите, что диаметр стержня сжатия составляет 22 мм.

d '= диаметр крышки стержня хомутов + 0,5 * диаметр продольного стержня

d '= 40 + 10 + 11 = 61 мм

A = ( 92,253 * 10 6 ) / (420 * ( 408,5 -61)) = 632,086 мм 2 = As1

5- Вычислить общую площадь растягиваемой арматуры и проверить, если (fs ′ = fy):

As = As1 + As2 = 1862.695+ 632,086 = 2494,78 мм 2

p = As / bd = 2494,78 / (250 * 408,5) = 0,02442

p '= A's / bd = 632,086 / (250 * 408,5) = 6,189 * 10 -3

p - cy = 0,85 * 0,85 * (28/420) * (61 / 408,5) * (0,003 / (0,003-0,0021)) + 6,189 * 10 -3 = 0,03016

Начиная с p - cy > p , компрессионная сталь не поддается деформации, и площадь компрессионной стали следует пересмотреть.

6- Вычислить глубину нейтральной оси (c):

c = a / B 1 = 131,484 / 0,85 = 154,687 мм

7- Используйте уравнение 7 для расчета напряжения в стали на сжатие:

фс ' = 0,003 * 200000 * ((154,687-61) / 154,687) = 363,393 МПа

As '= (92,253 * 10 6 ) / (363,393 * (408,5-61)) = 730,548 мм 2

8- Определите количество стержней для арматуры на сжатие и растяжение:

№стержней для зоны растяжения = Общая площадь армирования / площадь одиночного стержня

Кол-во стержней = 2494,78 / (PI / 4 * 29 2 ) = 3,7 = 4

Количество стержней для зоны сжатия = Общая площадь армирования / площадь одиночного стержня

Кол-во стержней = 730,548 / (PI / 4 * 22 2 ) = 1,92 = 2

Таким образом, имеется четыре стержня в двух слоях на стороне растяжения балки и два стержня в одном слое на стороне сжатия балки.

Следует знать, что количество стержней было округлено, поэтому площадь армирования как в зоне сжатия, так и в зоне растяжения увеличивается.Новые стальные площадки следующие:

As = 4 * (PI / 4 * 29 2 ) = 2642,079 мм 2

As '= 2 * (PI / 4 * 22 2 ) = 760,265 мм 2

Поскольку площадь армирования увеличивается, мы должны проверить, достигает ли компрессионная сталь 363,393 МПа или нет:

As-As '= 2642.079-632.086 = 2009.993 мм 2

a = (2009,993 * 420) / (0,85 * 28 * 250) = 141,881 мм

с = 141,881 / 0.85 = 166,919 мм

фс ' = 0,003 * 200000 * ((166,919-61) / 166,919) = 380,733 МПа> 363,393 МПа

Для получения более подробной информации о проверке и оценке коэффициента снижения прочности щелкните здесь.

dt = 500-40-10- (29/2) = 435,5 мм

c / dt = 166,919 / 435,5 = 0,383> 0,375, поэтому коэффициент снижения прочности равен 0,9.

Наконец, используйте уравнение для оценки момента сопротивления (M d ) балки, и оно должно быть больше приложенного момента ( M u = 300.23 ):

Наконец, используйте уравнение 12 для оценки проектного сопротивления моменту (M d ) балки, и оно должно быть больше приложенного момента ( M u = 300,23 ):

M n = 2009,993 * 420 * (408,5- (141,881 / 2)) + 380,733 * 760,265 (408,5-61) = 385553383,5 Н · мм = 385,553 кН · м

M d = 0,9 * 385,553 = 346,998 кН.м > 300,23 , поэтому конструкция безопасна.

Рисунок-4: Деталь конструкции балки

Часто задаваемые вопросы

Что такое двояковыпуклая бетонная балка?

Железобетонная балка со стальной арматурой как в зоне растяжения, так и в зоне сжатия называется балкой двойного армирования.

Почему в бетонных балках предусмотрено армирование на сжатие?

Для увеличения несущей способности балок предусмотрена компрессионная арматура. Можно увеличить несущую способность балки, увеличив ее размер.
Однако не всегда возможно изменить размеры по архитектурным соображениям. Следовательно, дважды армированная бетонная балка будет единственным вариантом, который следует рассмотреть.

В чем разница между двояковыпуклой бетонной балкой и однокомпонентной железобетонной балкой?

Балка, армированная только в зоне растяжения, называется одноармированной бетонной балкой, в то время как балка из дважды армированного бетона армируется как на растянутой, так и на сжатой поверхности.

Каковы преимущества компрессионной арматуры помимо повышения прочности?

1- Уменьшение долговременного прогиба балки.
2- Удерживает хомуты в их положении во время заливки и уплотнения бетона.
3. Для минимального нагружающего момента

В каких случаях компрессионная арматура может не поддаваться воздействию?

1- Балка неглубокая или широкая.
2- Низкий коэффициент усиления балки при растяжении.
3. Марка арматуры высокая.
4- На сжатую арматуру нанесено необычное бетонное покрытие.

Подробнее

Расчет прямоугольной железобетонной балки

Как рассчитать несущую способность существующей балки для ремонта?

Общие сведения о передаче нагрузок с плиты на балки

Калькулятор формулы деформации напряжением

Калькулятор формулы деформации напряжения для расчета растягивающее напряжение (или сжимающее напряжение), нормальное / касательное напряжение на любом наклонном сечение стержня, продольная / поперечная деформация, продольный / поперечный прогиб и полная энергия деформации согласно формулам напряжения и деформации.

Напряжение - это средняя сила на единицу площади, которая приводит к деформации материала. Единица измерения напряжения - Н / мм 2 (МПа). Деформация - это любое принудительное изменение размеров материал и деформация - безразмерная величина. Формулы напряжения и деформации для стержня под осевой нагрузкой приведены в следующей таблице.

Если прямой стержень любого поперечного сечения из однородного материала находится в осевом направлении под нагрузкой штанга удлиняется при растяжении и укорачивается при сжатии.На любом В правом сечении к нагрузке возникает равномерное растягивающее (или сжимающее) напряжение. На любом наклонном сечении имеется однородная нормаль на растяжение (или сжатие). напряжение и равномерное напряжение сдвига.

- Напряжение не превышает пропорциональный предел.



ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Параметр Значение
Растягивающее напряжение [σ] --- МПапсикси
Нормальное напряжение в любой наклонной плоскости [σ θ ] ---
Напряжение сдвига в любой наклонной плоскости [τ θ ] ---
Продольная деформация [ε] --- ---
Боковое напряжение [ε '] ---
Продольный прогиб [δ] --- ---
Боковое отклонение [δ '] ---
Total Strain Enegy [U] --- Jft-lbin-lb

Примечание: используйте точку ".