Основные формулы для расчета прогиба балки

Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения. При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

Балки в доме

При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах. Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно. Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению. Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Деревянные перекрытия

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

1. Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
2. Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
3. Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Стальные перекрытия

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

• электросварка;
• заклепки;
• болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео: 

Прочность и жесткость балки

Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.

Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали. Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.

Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:

1. Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.
2. Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.

Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.

Расчет балок на прогиб

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

Где:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

W_n,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

R_y является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γ_c представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

1. Составление расчетной схемы объекта.
2. Расчет размеров балки и ее сечения.
3. Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
4. Определение точки приложения максимальной нагрузки.
5. Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
6. Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

• размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
• размер и форму поперечного сечения;
• особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
• материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:

Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:

Где:

q является равномерно-распределенной нагрузкой;

E – модуль упругости, который является табличной величиной;

l – длина;

I – момент инерции сечения.

Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий. Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

1. Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.
2. Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.
3. Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.
4. Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Пример подсчета прогиба

Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:

• материал изготовления – древесина;
• плотность составляет 600 кг/м3;
• длина составляет 4 м;
• сечение материала составляет 150*200 мм;
• масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;
• максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;
• упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;
• J равно 10 кг*м².

Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:

• вес одного метра балки;
• вес м2 перекрытия;
• расстояние, которое оставляется между балками;
• временная нагрузка;
• нагрузка от перегородок на перекрытие.

Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.

Если подставить все эти значения в формулу, то получится:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.

Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.

Выполнение расчета прогиба деревянной балки

При действии нагрузки деревянные балки могут получать довольно большие прогибы, в результате которых нарушается их нормальная эксплуатация. Поэтому кроме расчетов по первой группе предельных состояний (прочность), необходимо выполнить расчет деревянных балок и по второй группе т. е.

по прогибам. Расчет деревянных балок на прогиб выполняется на действие нормативных нагрузок. Нормативную нагрузку получаем разделением расчетной нагрузки на коэффициент надежности по нагрузке.

Вычесление нормативной нагрузки выполнятся в сервисе расчет деревянных балокавтоматически. Нормальная эксплуатация балок возможна, в случае если расчетный прогиб деревянной балки не превышает прогиб, установленный нормами. Нормативными документами установлены конструктивные и эстетико-психологические требования.

1. Конструктивные требования к прогибам деревянных балок.

Представлены в СП64.13330.2011 “ДЕРЕВЯННЫЕ КОНСТРУКЦИИ” Таблица 19Элементы конструкцийПредельные прогибы в долях пролета, не более1 Балки междуэтажных перекрытий 2 Балки чердачных перекрытий 3 Покрытия (кроме ендов): а) прогоны, стропильные ноги б) балки консольные в) фермы, клееные балки (кроме консольных) г) плиты д) обрешетки, настилы 4 Несущие элементы ендов 5 Панели и элементы фахверха1/2501/2001/2001/1501/3001/250 1/1501/4001/250

1. Эстетическо-психологические требования к прогибам деревянных балок.

Представлены в СП20.13330.2011 “НАГРУЗКИ И ВОЗДЕЙСТВИЯ” Приложение Е.2

Элементы конструкцийВертикальные предельные прогибы 2 Балки, фермы, ригели, прогоны, плиты, настилы (включая поперечные ребра плит и настилов):а) покрытий и перекрытий, открытых для обзора, при пролете l, м: l<1 l<3 l<6 l<12 l<24 1/1201/150 1/2001/2501/300В случае если балка скрыта (к примеру, под подшивным потолком) то соблюдение эстетико-психологических требований не является обязательным. В данном случае необходимо выполнить расчет прогибов балкина соблюдение только конструктивных требований по прогибам.

Чтобы построить деревянный дом необходимо провести расчёт несущей способности деревянной балки. Также особое значение в строительной терминологии имеет определение  прогиба.

Без качественного математического анализа всех параметров просто невозможно построить дом из бруса. Именно поэтому перед тем как начать строительство крайне важно правильно рассчитать прогиб деревянных балок. Данные расчёты послужат залогом вашей уверенности в качестве и надёжности постройки.

Что нужно для того чтобы сделать правильный расчёт

Расчёт несущей способности и прогиба деревянных балок не такая простая задача, как может показаться на первый взгляд. Чтобы определить, сколько досок вам нужно, а также, какой у них должен быть размер необходимо потратить немало времени, или же вы просто можете воспользоваться нашим калькулятором.

Во-первых, нужно замерить пролёт, который вы собираетесь перекрыть деревянными балками.

Во-вторых, уделите повышенное внимание методу крепления. Крайне важно, насколько глубоко фиксирующие элементы будут заходить в стену. Только после этого вы сможете сделать расчёт несущей способности вместе с прогибом и ряда других не менее важных параметров.

Длина

Перед тем как рассчитать несущую способность и прогиб, нужно узнать длину каждой деревянной доски.

Данный параметр определяется длиной пролёта. Тем не менее это не всё. Вы должны провести расчёт с некоторым запасом.

Важно! Если деревянные балки заделываться в стены — это напрямую влияет на их длину и все дальнейшие расчёты.

При подсчёте особое значение имеет материал, из которого сделан дом. Если это кирпич, доски будут монтироваться внутрь гнёзд. Приблизительная глубина около 100—150 мм.

Когда речь идёт о деревянных постройках параметры согласно СНиПам сильно меняются. Теперь достаточно глубины в 70—90 мм. Естественно, что из-за этого  также изменится конечная несущая способность.

Если в процессе монтажа применяются хомуты или кронштейны, то длина брёвен или досок соответствует проёму. Проще говоря, высчитайте расстояние от стены до стены и в итоге сможете узнать несущую способность всей конструкции.

Важно! При формировании ската крыши брёвна выносятся за стены на 30—50 сантиметров. Это нужно учесть при подсчёте способности конструкции противостоять нагрузкам.

К сожалению, далеко не всё зависит от фантазии архитектора, когда дело касается исключительно математики. Для обрезной доски максимальная длина шесть метров. В противном случае несущая способность уменьшается, а прогиб становится больше.

Само собой, что сейчас не редкость дома, у которых пролёт достигает 10—12 метров. В таком случае используется клееный брус.

Он может быть двутавровым или же прямоугольным. Также для большей надёжности можно использовать опоры. В их качестве идеально подходят дополнительные стены или колоны.

Совет! Многие строители при необходимости перекрыть длинный пролёт используют фермы.

Общая информация по методологии расчёта

В большинстве случаев в малоэтажном строительстве применяются однопролётные балки.

Они могут быть в виде брёвен, досок или брусьев. Длина элементов может варьироваться в большом диапазоне. В большинстве случаев она напрямую зависит от параметров строения, которые вы собираетесь возвести.

Внимание! Представленный в конце странички калькулятор расчета балок на прогиб позволит вам просчитать все значения с минимальными затратами времени. Чтобы воспользоваться программой, достаточно ввести базовые данные.

Роль несущих элементов в конструкции выполняют деревянные бруски, высота сечения которых составляет от 140 до 250 мм, толщина лежит в диапазоне 55—155 мм. Это наиболее часто используемые параметры при расчёте несущей способности деревянных балок.

Очень часто профессиональные строители для того чтобы усилить конструкцию используют перекрёстную схему монтажа балок. Именно эта методика даёт наилучший результат при минимальных затратах времени и материалов.

Если рассматривать длину оптимального пролёта при расчёте несущей способности деревянных балок, то лучше всего ограничить фантазию архитектора в диапазоне от двух с половиной до четырёх метров.

Внимание! Лучшим сечением для деревянных балок считается площадь, у которой высота и ширина соотносятся как 1,5 к 1.

Как рассчитать несущую способность и прогиб

Стоит признать, что за множество лет практики в строительном ремесле был выработан некий канон, который чаще всего используют для того, чтобы провести расчёт несущей способности:

M/W<=Rд

Расшифруем значение каждой переменной в формуле:

Буква Мвначале формулы указывает на изгибающий момент. Он исчисляется в кгс*м.Wобозначает момент сопротивления. Единицы измерения см3.

Расчёт прогиба деревянной балки является частью, представленной выше формулы. Буква Муказывает нам на данный показатель. Чтобы узнать параметр применяется следующая формула:

M=(ql2)/8

В формуле расчёта прогиба есть всего две переменных, но именно они в наибольшей степени определяют, какой в конечном итоге будет несущая способность деревянной балки:

Символ q показывает нагрузку, которую способна выдержать доска.В свою очередь буква l— это длина одной деревянной балки.

Внимание! Результат расчёт несущей способности и прогиба зависит от материала из которого сделана балка, а также от способа его обработки.

Насколько важно правильно рассчитать прогиб

Этот параметр крайне важен для прочности всей конструкции. Дело в том, что одной стойкости бруса недостаточно для долгой и надёжной службы, ведь со временем его прогиб под нагрузкой может увеличиваться.

Прогиб не просто портит эстетичный вид перекрытия. Если данный параметр превысит показатель в 1/250 от общей длины элемента перекрытия, то вероятность возникновения аварийной ситуации возрастёт в десятки раз.

Так зачем нужен калькулятор

Представленный ниже калькулятор позволит вам моментально просчитать прогиб, несущую способность и многие другие параметры без использования формул и подсчётов. Всего несколько секунд и данные по вашему будущему дому будут готовы.

В современном индивидуальном строительстве деревянные балки используются почти в каждом проекте. Найти постройку, в которой не используются деревянные перекрытия, практически невозможно. Деревянные балки применяются и для устройства полов, и в качестве несущих элементов, как опоры для межэтажных и чердачных перекрытий.

Формула расчета прогиба балки.

Известно, что деревянные балки, как и любые другие, могут прогибаться под воздействием различных нагрузок.

Эта величина — стрелка прогиба — зависит от материала, характера нагрузки и геометрических характеристик конструкции. Небольшой прогиб вполне допустим. Когда мы ходим, например, по деревянному настилу, то чувствуем, как пол слегка пружинит, однако если такие деформации незначительны, то нас это мало беспокоит.

Насколько можно допустить прогиб, определяется двумя факторами:

Прогиб не должен превышать расчетных допустимых значений.Прогиб не должен мешать эксплуатации здания.

Чтобы узнать, насколько будут деформироваться деревянные элементы в конкретном случае, нужно произвести расчеты на прочность и жесткость. Подробные и детальные расчеты такого рода — это работа инженеров-строителей, однако, имея навык математических вычислений и зная несколько формул из курса сопротивления материалов, вполне можно самостоятельно рассчитать деревянную балку.

Вспомогательная таблица для расчета количества балок.

Любая постройка должна быть прочной.

Именно поэтому балки перекрытия проверяют в первую очередь на прочность, чтобы конструкция могла выдерживать все необходимые нагрузки, не разрушаясь. Кроме прочности конструкция должна обладать жесткостью и устойчивостью. Величина прогиба является элементом расчета на жесткость.

Прочность и жесткость неразрывно связаны между собой. Вначале делают расчеты на прочность, а затем, используя полученные результаты, можно сделать расчет прогиба.

Чтобы правильно спроектировать собственный загородный дом, необязательно знать полный курс сопротивления материалов. Но углубляться в слишком подробные вычисления не стоит, как и просчитывать различные варианты конструкций.

Чтобы не ошибиться, лучше воспользоваться укрупненными расчетами, применяя простые схемы, а высчитывая нагрузки на несущие элементы, всегда делать небольшой запас в большую сторону.

Алгоритм вычисления прогиба

Рассмотрим упрощенную схему расчета, опуская некоторые специальные термины, и формулы для расчета двух основных случаев нагружения, принятых в строительстве.

Нужно выполнить следующие действия:

Составить расчетную схему и определить геометрические характеристики балки.Определить максимальную нагрузку на этот несущий элемент.При необходимости проверить брус на прочность по изгибающему моменту.Вычислить максимальный прогиб.

Расчетная схема балки и момент инерции

Расчетную схему сделать довольно просто. Нужно знать размеры и форму поперечного сечения элемента конструкции, способ опирания, а также пролет, то есть расстояние между опорами. Например, если вы укладываете опорные брусья перекрытия на несущие стены дома, а расстояние между стенами 4 м, то пролет будет l=4 м.

Деревянные балки рассчитывают как свободно опертые. Если это балка перекрытия, то принимается схема с равномерно распределенной нагрузкой q. В случае если нужно определить изгиб от сосредоточенной нагрузки (например, от небольшой печки, выложенной прямо на перекрытии), принимается схема с сосредоточенной нагрузкой F, равной весу, который будет давить на конструкцию.

Для определения величины прогиба f необходима такая геометрическая характеристика, как момент инерции сечения J.4.

Здесь нужно обратить внимание на то, что момент инерции прямоугольного сечения зависит от того, как оно сориентировано в пространстве. Если брус положить широкой стороной на опоры, то момент инерции будет значительно меньше, а прогиб — больше.

Этот эффект каждый может прочувствовать на практике. Все знают, что доска, положенная обычным способом, прогибается гораздо сильнее, чем та же доска, положенная на ребро. Это свойство очень хорошо отражается в самой формуле для вычисления момента инерции.

Определение максимальной нагрузки

Для определения максимальной нагрузки на балку нужно сложить все ее составляющие: вес самого бруса, вес перекрытия, вес обстановки вместе с находящимися там людьми, вес перегородок.

Все это нужно сделать в пересчете на 1 пог. м балки. Таким образом, нагрузка q будет состоять из следующих показателей:

Расчет на смятие опорных участков балки.

вес 1 пог.

м балки;вес 1 кв. м перекрытия;временная нагрузка на перекрытие;нагрузка от перегородок на 1 кв.3/48*E*J, где:

F — сила давления на брус, например, вес печи или другого тяжелого оборудования.

Модуль упругости Е для разных видов древесины различен, эта характеристика зависит не только от породы дерева, но и от вида бруса — цельные балки, клееный брус или оцилиндрованное бревно имеют различные модули упругости.

Подобные вычисления могут производиться с различными целями. Если вам нужно просто узнать, в каких пределах будут находиться деформации элементов конструкции, то после определения стрелки прогиба дело можно считать завершенным. Но если вас интересует, насколько полученные результаты соответствуют строительным нормам, то необходимо выполнить сравнение полученных результатов с цифрами, приведенными в соответствующих нормативных документах.

Балка является основным элементом несущей конструкции сооружения.

При строительстве важно провести расчет прогиба балки. В реальном строительстве на данный элемент действует сила ветра, нагружение и вибрации. Однако при выполнении расчетов принято принимать во внимание только поперечную нагрузку или проведенную нагрузку, которая эквивалентна поперечной.

При расчете балка воспринимается как жесткозакрепленный стержень, который устанавливается на двух опорах.

Если она устанавливается на трех и более опорах, расчет ее прогиба является более сложным, и провести его самостоятельно практически невозможно.Основное нагружение рассчитывается как сумма сил, которые действуют в направлении перпендикулярного сечения конструкции. Расчетная схема требуется для определения максимальной деформации, которая не должна быть выше предельных значений. Это позволит определить оптимальный материал необходимого размера, сечения, гибкости и других показателей.

Виды балок

Для строительства различных сооружений применяются балки из прочных и долговечных материалов. Такие конструкции могут отличаться по длине, форме и сечению.

Чаще всего используются деревянные и металлические конструкции. Для расчетной схемы прогиба большое значение имеет материал элемента. Особенность расчета прогиба балки в данном случае будет зависеть от однородности и структуры ее материала.

Деревянные

Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.

Для расчета максимального прогиба следует учитывать:

Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.Различные виды нагрузки на материал.

Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.

Конструкции из древесины хвойных пород

Стальные

Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.

Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:

электросварка;заклепки;болты, винты и другие виды резьбовых соединений.

Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.

Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео:

Прочность и жесткость балки

Чтобы обеспечить прочность, долговечность и безопасность конструкции, необходимо выполнять вычисление величины прогиба балок еще на этапе проектирования сооружения. Поэтому крайне важно знать максимальный прогиб балки, формула которого поможет составить заключение о вероятности применения определенной строительной конструкции.

Использование расчетной схемы жесткости позволяет определить максимальные изменения геометрия детали.

Расчет конструкции по опытным формулам не всегда эффективен. Рекомендуется использовать дополнительные коэффициенты, позволяющие добавить необходимый запас прочности. Не оставлять дополнительный запас прочности – одна из основных ошибок строительства, которая приводит к невозможности эксплуатации здания или даже тяжелым последствиям.

Существует два основных метода расчета прочности и жесткости:

Простой. При использовании данного метода применяется увеличительный коэффициент.Точный. Данный метод включает в себя использование не только коэффициентов для запаса прочности, но и дополнительные вычисления пограничного состояния.

Последний метод является наиболее точным и достоверным, ведь именно он помогает определить, какую именно нагрузку сможет выдержать балка.

Расчет на жесткость

Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:

Где:

M – максимальный момент, который возникает в балке;

Wn,min– момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.

Ryявляется расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.

γcпредставляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.

Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:

Составление расчетной схемы объекта.Расчет размеров балки и ее сечения.Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.Определение точки приложения максимальной нагрузки.Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.

Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:

размеры балки, длину консолей и пролет между ними;размер и форму поперечного сечения;особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;материал и его свойства.

Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.

Расчет моментов инерции и сопротивления сечения

Для выполнения расчетов жесткости потребуется значение момент инерции сечения (J) и момента сопротивления (W). Для расчета момента сопротивления сечения лучше всего воспользоваться формулой:

Важной характеристикой при определении момента инерции и сопротивления сечения является ориентация сечения в плоскости разреза. При увеличении момента инерции увеличивается и показатель жесткости.

Определение максимальной нагрузки и прогиба

Для точного определения прогиба балки, лучше всего применять данную формулу:

Где:

q является равномерно-распределенной нагрузкой;

E – модуль упругости, который является табличной величиной;

l – длина;

I – момент инерции сечения.

Чтобы рассчитать максимальную нагрузку, следует учитывать статические и периодические нагрузки. К примеру, если речь идет о двухэтажном сооружении, то на деревянную балку будет постоянно действовать нагрузка от ее веса, техники, людей.

Особенности расчета на прогиб

Расчет на прогиб проводится обязательно для любых перекрытий.

Крайне важен точный расчет данного показателя при значительных внешних нагрузках. Сложные формулы в данном случае использовать необязательно. Если использовать соответствующие коэффициенты, то вычисления можно свести к простым схемам:

Стержень, который опирается на одну жесткую и одну шарнирную опору, и воспринимает сосредоточенную нагрузку.Стержень, который опирается на жесткую и шарнирную опору, и при этом на него действует распределенное нагружение.Варианты нагружения консольного стержня, который закреплен жестко.Действие на конструкцию сложной нагрузки.

Применение этого метода вычисления прогиба позволяет не учитывать материал. Поэтому на расчеты не влияют значения его основных характеристик.

Пример подсчета прогиба

Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:

материал изготовления – древесина;плотность составляет 600 кг/м3;длина составляет 4 м;сечение материала составляет 150*200 мм;масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;J равно 10 кг*м².

Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:

вес одного метра балки;вес м2 перекрытия;расстояние, которое оставляется между балками;временная нагрузка;нагрузка от перегородок на перекрытие.

Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.

Если подставить все эти значения в формулу, то получится:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.

Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины.

Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид.

Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.

Источники:

• rascheta.net
• bouw.ru
• 1poderevu.ru
• viascio.ru

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит  немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

• E – модуль упругости;
• I – момент инерции;
• V_k – прогиб сечения K;
• V_O – прогиб сечения O;
• θ_O – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_k, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, VO и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть V_O=0 и θ_O=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.  Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10⁵ МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см⁴). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Расчет стальной балки на прогиб

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок

Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

формула, механизм и примеры вычисления прогиба по стандартам

Для строительства прочного, надежного и долговечного здания, нужно знать такой показатель, как прогиб балки (формула), то есть величину жесткости.

Данное направление изучается в таких науках (дисциплинах), как “Сопротивление материалов”, “Теория прочности”, “Механика строительная” и прочее.

Прочность и жесткость балки

Балки в доме

Современные строительные технологии, применяемые для просчета стройконструкций, называемых также стержневыми, по качествам прочности и жесткости дают уникальную возможность на первом же этапе проектировки вычислить величину прогиба.

Кроме этого, можно, опираясь на рассчитанные данные, составить заключение о вероятности использования строительной конструкции.

Какой вопрос позволяет решать указанная далее формула для расчета жесткости? Данные, полученные таким путем, говорят о самых больших изменениях в геометрии детали, что могут возникнуть в строительной конструкции.

Несмотря на некоторую бюрократизацию методик для вычисления прогиба, используются опытные формулы, а если воздействие реальных нагрузок отличается от идеальных или усредненных, вопрос решается введением дополнительных коэффициентов для запаса прочности. Понятия «жесткость» и «прочность» связаны и абсолютно неразделимы.

Хотя некоторые различия все-таки есть. Но только в том случае, если рассматривать данные показатели в автомашинах. В стройконструкциях главное нарушение конструкции объектов случается потому, что снижаются или нивелируются полностью вопросы, связанные с запасом прочности, вследствие чего здания нельзя эксплуатировать.

Деревянные балки из древесины хвойных пород

На сегодня в таких предметах изучения, как «Сопромат» и другие, приняты 2 метода для расчета прочности и жесткости:

• Простой. При просчитывании показателей на основе этого метода используют увеличенный коэффициент.
• Точный. Тут используются не только коэффициенты, показывающие запас прочности, но также осуществляется вычисление пограничного состояния (какую нагрузку может выдержать балка).

Как рассчитывать прогиб для балки дома

Чтобы просчитать, подходит ли конкретная балка для строительства дома, нужно знать такие показатели:

• M – это тот максимальный момент, который возникает в балке, находящийся по эпюру моментов. Эпюр – это специальный чертеж с изображением пространственная фигура изображается на плоскости.
• W _{n, mіn} – момент сопротивления сечения (его значение находят по таблице).
• R_y – сопротивление, что оказывает материал, из которого изготовлен элемент конструкции дома, изгибаясь от нагрузки.
• У_c – дополнительный показатель (его можно найти в одной из многочисленных таблиц строительных нормативов).

Формула для расчета прогиба представляет из себя неравенство следующего вида (формула № 1):

М / (W _{n, min}* R_y * У_c) ≤1

Чтобы правильно применить формулу, нужно действовать так:

• Нарисовать схематично балку и ее будущее расположение под крышей дома. Чтобы верно изобразить на чертеже все части исследуемого объекта, нужно знать форму и линейные размеры балки, поперечного сечения, характер будущих нагрузок, материал, из которого балка изготовлена.
• Записать ее точные размеры.
• Рассчитать по указанной формуле, чему равно частное максимального момента балки к произведению остальных трех величин.
• Сравнить полученный результат с единицей: если он меньше или равен 1, то вычисления дают положительный ответ.

Зная значение параметров рассматриваемой балки и сил, действующих на нее, сделав нехитрые вычисления, можно быстро справится с задачей вычисления допустимого прогиба балки дома.

Как вычислить вспомогательные величины

Для получения полной информации о значениях, необходимых для достижения конечной цели вычислений, нужно узнать, каков момент сопротивление сечения (формула № 2):

W_{n(требуемое)} = М _мах / (R_y * У_c)

Необходимо обязательно уитывать ориентирование рассматриваемого балочного сечения, так как с уменьшением моментов инерций жесткость балок снижается, чего допускать нельзя. Для выяснения максимального значения нагрузки f, которое может выдержать балка, надо вычислить его по такой формуле № 3:

f = (5 / 384) * [(q_n * L⁴) / (E * J)] £ [¦], где

• L – продольный размер, в метрах
• E – коэффициент, показывающий упругость (для каждого материала или сплава он будет разным)
• J – момент инерции по сечению
• q_n – это нагрузка, равномерно-распространенная, выражается в кг/м или в Н/м

Показатель J рассчитывается так:

J = b * h³ / 12

Обозначения:

• b – диаметр сечений
• h – вертикальный размер сечения

Примером для сечений, величиной 15 на 20 сантиметров:

J = 0,15 * (0,2)³ / 12 = 10 000 см⁴ или 0,0001 м⁴

Кроме указанных расчетных или табличных величин, среди важных факторов, которые нужно учитывать при определении максимальных нагрузок, выделяют такие: статические (которые действуют постоянно, независимо от переменных внешних факторов), периодические (действие ветра, вибрации, ударов).

Пример подсчета прогиба

Прогиб балки (формула, пример расчета) вычисляется так. Допустим, есть балка, для которой нужно рассчитать прогиб, с такими параметрами:

• Материал изготовления – дерево.
• Плотность 600 кг/м³.
• Длина балки L – 4 м, остальные размеры: 15 см х 20 см.
• Масса перекрывающих элементов – 60 кг/м².
• Максимальная нагрузка q равна 249 кг/м.
• E (насколько упруго дерево) – 100 000 кгс/ м².
• J балок – 10 кг*м².

Максимально допустимая нагрузка вычисляется с учетом веса не только балочной конструкции, но и перекрытия, а также опор.

Расчет на поперечный прогиб

Не лишним будет учесть тяжесть, которую будут оказывать люди или приборы, механизмы и другие тяжелые вещи, если вычисляется прогиб балок этажа дома. Нужны такие данные, как:

• Сколько весит один пог. метр рассматриваемой балки.
• Сколько весит каждый м² перекрытия.
• Какова временная нагрузка на перекрытие.
• Сколько составляет нагрузка от перегородок на 1 м² перекрытия.
• Каков коэфф. k (это промежуток, оставляемый между балками).

Чтобы упростить пример расчетов, принимают масс перекрытия за 60 кг/м², нормальную непостоянную нагрузку на каждое перекрытие – 250 кг/м², нагрузки от перегородок равными 75 кг/м², тяжесть части деревянных балок – 18 кг/погонный метр. Когда расстояние между перекрытиями равно составляет 600 мм, тогда коэффициент k равен 0,6. Подставляем в формулу все эти значения:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Изгибающий момент нужно вычислить по формуле №3, учитывая все указанные выше данные. Получается:

 f = (5 / 384) * [(q_n * L⁴) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 4⁴) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Это – показатель уровня прогиба во время воздействия максимальной нагрузки. Что именно он обозначает? Получается, что менее, чем на один сантиметр прогнется балка при указанной максимальной нагрузке. После этого нужно сравнить полученный результат с единицей: 0,83 меньше 1.

При расчетах деформации важных строящегося здания используют указанные выше простые формулы. Прогиб балки по формуле СНиП является универсальным способом вычисления жесткости балок и величины их прогибания.

Как посчитать балку на изгиб — на видео:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Расчет деревянной балки: прогиб и допустимая нагрузка (хозяину на заметку) | Строю для себя

Иллюстрация автора

Иллюстрация автора

На данной странице приведен расчет деревянной балки на прогиб и на допустимую нагрузку в соответствии с требованиями науки о сопротивлении материалов (сопромат).

По тексту статьи, попытаюсь максимально доходчиво разложить каждый аспект по полкам простыми словами. При вычислении параметров — беру расчетные данные древесины, опираясь на 3-й сорт, т.к. другие сорта очень тяжело найти, и к нашему сожалению, 90% идет на экспорт из страны.

Вычисления занимают немного времени и все они в конце концов сводятся к расчету на действие изгибающего момента (определение момента сопротивления + допустимый прогиб).

Ниже приведена основная таблица зависимости габаритов Вашей балки и момента сопротивления, как раз к которому и сводится весь расчет.

Момент сопротивления прямоугольного сечения деревянной балки

Момент сопротивления прямоугольного сечения деревянной балки

В качестве примера для расчета беру стандартную длину пиломатериала — 6 метров и шаг между балками — 60 см. (Конечно же эти параметры будут у каждого свои)

Основные понятия:

• Шаг балок (a) — расстояние между осями (центрами) балок;
• Длина балки (L) — длина пиломатериала;
• Опорная длина (Loп) — длина части балки, опертая на опорную конструкцию;
• Расчетная длина (Lo) — длина балки между центрами площадок опирания;
• Длина в свету (Lсв) — ширина помещения (от опоры до опоры).

Расчет начинается с функционального назначения помещения. Если наш этаж — жилое помещение, средняя нагрузка, временно создаваемая людьми при проживании — равна 150 кг./кв.м. или 1,5 кПа (Р1). Обязательным параметром в расчете служит коэффициент надежности, равный — 1,2 (К1), который намеренно увеличивает запас конструкции на 20%.

Теперь, просчитываем нагрузку от собственного веса перекрытия (Р2). Она равна весу самих балок + обшивка снизу + утеплитель + черновой и чистовой полы. В среднем, данное значение составляет так же 150 кг/кв.м., что и берем в расчет. На данном этапе закладываем коэффициент запаса 1.3, т.е. 30% (К2). Коэффициент закладывается приличный, так как в дальнейшем пол может быть заменен на более тяжелый или решим подвесить тяжелый потолок.

Считаем суммарную нагрузку: Рсумм = Р1*К1 + Р2*К2 = 1,5 * 1,2 + 1,5 * 1,3 = 3,75 кПа

Считаем нормативную нагрузку: Рнорм = Р1 + Р2 = 1,5 + 1,5 = 3 кПа

Следующий этап, вычисление расчетной длины (Lo).4)/(E*I) , где:

Е — модуль упругости для древесины, принимается 10 000 МПа.

Итак, f = 0.0130208 * (1.8 * 1195.389)/(10 000 * 12672) = 2.21 см.

Получив прогиб (провис) по вертикальной центральной оси — 2,21 см., нам его требуется сравнить с табличным значением по эстетико-психологическим параметрам (см. таблицу Е.1)

Предельные прогибы

Предельные прогибы

По таблице, мы имеем вертикальные предельные прогибы L/ххх. Чтобы сопоставить наше значение с данной характеристикой, нужно получить параметр предельно допустимых величин, поэтому делим расчетную длину на прогиб Lo/f = 5,88/2,21 = 266. Данный параметр обратно пропорционален длине, поэтому он должен быть выше, а не ниже — чем табличный.

Так как мы в расчете использовали балку длиной 6 м., то находим соответствующую строку и ее значение в таблице Е1:

Полученный нами параметр сравниваем с табличным значением прогиба: L/266 < L/200 (прогиб меньше табличного), следовательно прогиб нашей балки будет меньше, поскольку он свободно вписывается в условие.

Выбранная балка — проходит по всем расчетам! На этом всё! Пожалуйста пользуйтесь!

___________________________________

Далее, на канале планируется серия материалов о способах устранения прогиба балок без подпорок и колонн.

Так же в следующих статьях я опишу расчеты швеллеров и двутавровых балок. Поговорим о широкополочных двутаврах, где и какие разновидности оптимальней применять уменьшая высоту перекрытий и увеличивая прочность.

Если данные темы интересны, подписывайтесь на мой канал!

Зная тригонометрию, вам не придётся скакать по крыше с рулеткой. Практические примеры

Как определить высоту объекта вблизи или на расстоянии? Основные 5 способов!

История о сносе: «А разрешение на стройку? Да ладно, потом получим!»

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

• Соответствие прогиба и допустимых значений.
• Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

• Составляется расчетная схема.
• Определяются геометрические характеристики балки.
• Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
• В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
• Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F.3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм.3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

• Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
• Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
• Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
• Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
• Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
• Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное — помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра.

Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a²*b²)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z³/a²*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a²*b²)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)³/a+b²), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b₁h₁³/12, где b₁ и h₁ – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное — знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

Отклонение луча: что это такое?

Отклонение луча: что это такое? (Определение отклонения)

Отклонение, в терминологии структурной инженерии, относится к перемещению балки или узла из исходного положения из-за сил и нагрузок, приложенных к элементу. Это также известно как смещение и может происходить из-за приложенных извне нагрузок или из-за веса самой конструкции и силы тяжести, к которой это относится.

Прогиб может происходить в балках, ферм, каркасах и в основном в любой другой конструкции.Чтобы определить отклонение, возьмем простое отклонение консольной балки, в конце которой стоит человек с весом (W):

Сила человека, стоящего в конце, заставит балку изгибаться и отклоняться от своего естественного положения. На приведенной ниже диаграмме синяя балка соответствует исходному положению, а пунктирная линия имитирует отклонение консольной балки:

Как видите, балка изогнулась или отошла от исходного положения. Это расстояние в каждой точке стержня является значением или определением отклонения.

Как правило, существует 4 основные переменные, которые определяют величину прогиба балки. К ним относятся:

• Какая нагрузка на конструкцию
• Длина неподдерживаемого стержня
• Материал, в частности модуль Юнга
• Размер поперечного сечения, а именно момент инерции (I)

Уравнения отклонения балки

Прогиб балки (прогиб балки) рассчитывается на основе множества факторов, включая материалы, момент инерции секции, приложенную силу и расстояние от опоры.Существует ряд формул и уравнений прогиба балки, которые можно использовать для расчета базового значения прогиба в различных типах балок.

Как правило, прогиб можно рассчитать путем деления двойного интеграла уравнения изгибающего момента M (x) на EI (модуль Юнга x момент инерции).

Какая единица измерения отклонения?

Единица отклонения или смещения — это единица длины и обычно принимается в миллиметрах (для метрических единиц) и дюймах (для британских).Это число определяет расстояние, на которое луч отклонился от исходного положения.

Отклонение консольной балки

Консольные балки — это балки особого типа, которые ограничены только одной опорой, как показано в приведенном выше примере. Эти элементы, естественно, будут отклоняться больше, поскольку они поддерживаются только с одного конца.

Для расчета прогиба консольной балки вы можете использовать приведенное ниже уравнение, где W — сила в конечной точке, L — длина консольной балки, E = модуль Юнга и I = момент инерции.

Просто поддерживаемое отклонение луча

Другим примером отклонения является отклонение балки с простой опорой. Эти балки поддерживаются с обоих концов, поэтому отклонение балки обычно левое и имеет форму, сильно отличающуюся от формы консоли. Под равномерно распределенной нагрузкой (например, собственным весом) балка будет плавно отклоняться к средней точке:

Мы надеемся, что вы нашли эту короткую статью, чтобы определить прогиб балки в проектировании конструкций.Не стесняйтесь оставлять комментарии ниже или попробуйте воспользоваться нашим калькулятором пролета балки, чтобы попробовать на себе и применить эту теоретическую концепцию на практике с помощью программного обеспечения для расчета конструкций.

Расчет профиля полного прогиба и оптимизация модуля Юнга для технических материалов с высокими эксплуатационными характеристиками

Расчет профиля полного прогиба

Образцы были подготовлены и испытаны, как описано в разделах «Методы». Поле смещения балки (рис. 2) дискретизируется в регулярной сетке, и для каждого кадра программа DIC вычисляет вертикальное (d _v ) и горизонтальное (d _h ) смещение каждой ячейки сетки.Среднее вертикальное смещение стержня по горизонтальной оси w ’(x) вычисляется для каждого кадра путем усреднения смещения соответствующих ячеек по высоте балки, как показано в уравнении (1). Среднее вертикальное смещение балки затем корректируется путем фиксации вертикального смещения левой опоры w (x _l ) и правой w (x _r ) на нуле. Это делается путем применения к усредненному вертикальному смещению жесткого переноса C и поворота φ , как определено в уравнениях (2) и схематически показано на рис.3. Эффектами вращения на горизонтальной оси можно пренебречь, поскольку они намного меньше дискретизации ячейки. Скорректированный профиль отклонения может быть рассчитан для каждого кадра записанного эксперимента с помощью уравнения (3), и пример показан на рис. 4.

Рисунок 2

( a ) Пример кадров, используемых для экстраполяции смещения поле балки во время испытания на трехточечный изгиб, ( b ) поле вертикального смещения d _v и ( c ) поле горизонтального смещения d _h до разрушения.

Рисунок 3

( a ) Пример конфигурации до (черный) и во время теста (красный). Схематическое изображение средней коррекции вертикального смещения путем применения ( b ) жесткого вертикального перемещения и ( c ) вращения для получения ( d ) скорректированного профиля полного отклонения каждой рамы.

Рис. 4: Типичная последовательность профилей прогиба до отказа (серый).

В частности, показан профиль при 20% (черный штрих), 60% (черный) и 100% (красный штрих) пиковой нагрузки.

Расчет модуля Юнга

Последовательности профилей отклонения балки были синхронизированы с историей нагрузки, записанной датчиком испытательного стенда, что привело к значению приложенной нагрузки для каждого профиля. Предполагая, что поперечные сечения балки остаются плоскими и перпендикулярными деформированной оси балки, теоретический профиль вертикального смещения (w _EB ), связанный с приложенной нагрузкой, может быть выражен как функция модуля Юнга (E) эквивалентной линейно-упругая изотропная и однородная балка с заданной геометрией.В уравнении (4) теоретическое вертикальное смещение определяется как функция местоположения (x) и E, тогда как момент инерции (I) и промежуток между двумя опорами (опорами) являются двумя константами, которые фиксируются геометрией исследуемой балки. Затем для каждого кадра может быть определено одно значение модуля Юнга, index = i , путем минимизации суммы квадратов разностей между теоретическим и соответствующим экспериментальным отклонением (наименьшие квадраты) по всей длине балки между опоры.Повторяя минимизацию, показанную в уравнении (5) для каждого кадра, можно определить ряд промежуточных модулей Юнга ( E _i ), которые наилучшим образом представляют отклонение балки для каждой приложенной нагрузки в каждом кадре. . Эти промежуточные модули затем можно использовать для определения единственного значения модуля Юнга, которое наилучшим образом представляет линейную зависимость напряжения от деформации для испытуемого материала в любом выбранном диапазоне приложенной нагрузки. Диапазон от 20% до 80% пиковой нагрузки был выбран для определения единственного значения модуля Юнга для каждого образца.Поэтому промежуточные модули были преобразованы в соответствующие им значения прогиба в середине пролета, и линейная регрессия методом наименьших квадратов была проведена для переменной прогиба для приложенной нагрузки в определенном диапазоне. Затем для каждого образца определяли значение модуля Юнга с помощью уравнения (6), где H — высота образца, а м — наклон соответствующей линии наилучшего соответствия.

Неопределенность и оптические искажения

Предлагаемый подход основан на предположении, что плоскость цели не смещается значительно в направлении, перпендикулярном этой плоскости, то есть к камере или от нее, что может ложно указывать на расширение или сжатие. соответственно.Для этих экспериментов это можно считать правдой, поскольку максимальные смещения в плоскости в направлении нагрузки, которые были бы доминирующими, составляли всего лишь 1 или 2 пикселя. Для оценки ошибки возможного оптического искажения был рассмотрен независимый эксперимент. Постоянное вертикальное смещение было применено к идентичной спекл-панели, соединенной с верхним штампом установки для трехточечной гибки, как показано на рис. 5 (а). Эксперимент проводился в режиме управления вытеснением, со скоростью ползуна 0.4 мм / сек, что в среднем соответствует вертикальному смещению 0,8 µ м на кадр. Поскольку максимальное вертикальное смещение до исправления, которое испытывали стержни в среднем до разрушения, обычно составляло 30-40 мкм м, в зависимости от испытуемого образца, например на рис. 2 ошибка была консервативно оценена на 100 кадрах, что соответствует общему вертикальному смещению 80 µ м, что в два раза больше типичного диапазона смещения испытанного образца. Та же процедура, что и для образцов пучка, была использована для расчета горизонтального профиля вертикального смещения спекл-панели.На рис. 5 (б) показано исправленное отклонение луча для каждого рассматриваемого кадра. Поскольку панель подвергается жесткому вертикальному перемещению без отклонения, погрешность оценки для каждого местоположения профиля отклонения, рассчитанного с помощью предлагаемой методики, может быть определена как максимальное абсолютное значение профиля отклонения в каждом кадре. Расчетная ошибка, как показано на рис. 5 (c) (пунктирная линия), стремится к значению от 0,1 до 0,2 мкм м. Эта ошибка слишком консервативна, когда профиль прогиба используется для расчета модуля Юнга.В этом случае все местоположения профиля отклонения вместо этого сравниваются с теоретическим отклонением в процессе оптимизации. Оценка ошибки отклонения в этом случае может быть определена как максимальное отклонение (на полпути между двумя опорами) наилучшей интерполяционной кривой, заданной теоретическим профилем отклонения Эйлера-Бернулли. В этом случае расчетная ошибка, показанная на рис. 5 (c) (сплошная линия), ниже, чем предыдущая. Максимальное значение этой оценочной ошибки стремится к 0.1 μ м и соответствует вертикальному смещению, аналогичному максимальному до отказа в реальных испытаниях. Поскольку модуль Юнга для любой приложенной нагрузки является линейной функцией максимального (среднего) значения профиля отклонения балки, и это значение варьируется от 15 до 20 мкм м, в зависимости от испытуемого образца, относительная погрешность, вызванная Оптические искажения по последним оценкам модуля Юнга, рассчитанного до разрушения, составляют от 0,5% до 0,7%.

Рис. 5

( a ) Конфигурация балки до и после применения движения твердого тела.( b ) Оптическое искажение горизонтального профиля вертикального смещения спекл-панели во время эксперимента. ( c ) Тенденция расчетных максимальных ошибок для каждого кадра.

Прецизионность и точность

Ниже приводится сравнение предлагаемой методологии и стандартных подходов, предложенных в EN 843-2: 2006, с использованием данных смещения и деформации, извлеченных в дискретных точках из данных деформации DIC с полным полем поля. Как показано на рис.6 (а), сравниваем следующее:

• Предлагаемая методика;

• Три виртуальных смещения (средний пролет и на обеих опорах, три набора, размещенные на разной высоте на видимой поверхности балки;

• Два виртуальных тензодатчика, расположенные близко к нижней поверхности балки (с поправкой на указывают значение деформации на нижней поверхности).

Рисунок 6

( a ) Представление точек, из которых вертикальные смещения рассчитываются стандартным методом с использованием трех различных наборов виртуальных датчиков смещения (оранжевые квадраты , синие треугольники и красные кресты) и площадь, использованная в предлагаемой методике (черная пунктирная линия).Две стрелки (зеленая и пурпурная) показывают расположение двух виртуальных тензодатчиков. ( b ) Схематическое изображение различных определений вертикальных смещений стандартным методом по трем точкам данных в двух разных местах (желтый, синий и красный) и с помощью предлагаемой методики на основе наилучшей интерполяции полного профиля прогиба (черный ).

Для этого сравнения использовались наборы данных из одного репрезентативного испытания на изгиб.Алгоритм, предложенный в EN 843-2: 2006 для датчиков смещения, эквивалентен вычислению модуля Юнга по теории изгиба Эйлера-Бернулли, но с использованием только максимального вертикального смещения в середине пролета относительно среднего вертикального смещения на двух опорах, так как показано на рис. 6 (б).

В предлагаемом методе используется весь набор данных вертикального смещения, охватывающий всю наблюдаемую поверхность балки, чтобы получить полный профиль отклонения для образца.Этот профиль отклонения корректируется, чтобы исключить смещение и вращение твердого тела, затем анализируется для определения кривой отклонения Эйлера-Бернулли наилучшего соответствия, как показано на рис. 6 (b). Повторяя этот процесс для каждого кадра, можно определить серию промежуточных модулей Юнга, которые наилучшим образом представляют отклонение балки для каждой приложенной нагрузки на каждом кадре. Эти промежуточные модули могут впоследствии использоваться для определения единственного значения модуля Юнга, которое наилучшим образом представляет линейную зависимость напряжения от деформации для испытуемого материала.Использование большего набора данных смещения для определения изгиба балки и более сложного метода учета перемещений и вращения твердого тела являются ключевыми особенностями, которые позволяют предлагаемому методу иметь более высокий уровень точности по сравнению с стандартный метод с тремя датчиками перемещения.

Чтобы сравнить уровни точности двух методологий, промежуточные модули Юнга, определенные с помощью предложенной методологии, были преобразованы обратно в соответствующие им значения прогиба в середине пролета для каждой приложенной нагрузки.Таким образом, можно сравнивать кривую сила-отклонение, полученную по предложенной методологии (то есть в полном поле), с кривой, полученной с помощью стандартного метода, эквивалентного DIC, на основе наборов виртуальных датчиков смещения, размещенных на разной высоте балки. Значения силы и прогиба при 20% и 80% пиковой нагрузки затем использовались для оценки модуля Юнга по трем кривым в соответствии с процедурой, предложенной в EN 843-2: 2006, Раздел 4.

Кривые сила-прогиб изображенный на рис.7 (а) предполагают, что стандартный метод может быть чувствительным к выбору расположения виртуальных датчиков на поверхности луча, в частности, к тому, расположены ли виртуальные датчики рядом с внутренней или внешней дугой отклоняющего луча. Эта вариабельность результатов стандартного метода указывает на более низкую точность, поскольку в наших примерах он генерирует три значения модуля Юнга, которые отличаются более чем на 3%, с более низким значением, полученным в самых нижних положениях, которые аналогичны положения преобразователя указаны в стандарте EN 843-2: 2006, раздел 4.В вспомогательной ссылке на EN 843-2: 2006 ²² отмечается, что стандартный метод квазистатического изгиба обычно дает более низкие значения, чем другие стандартные методы для керамических материалов. Вместо этого в предлагаемой методике используются данные со всей поверхности луча, от внутренней до внешней дуги, что устраняет изменчивость из-за выбора местоположения виртуального преобразователя. Предлагаемая методология генерирует более высокий модуль упругости, чем те, которые определены виртуальными датчиками смещения (с использованием данных DIC) и применением стандартных методов расчета.Это говорит о том, что предлагаемая методология обеспечивает более высокую точность и может устранить потенциальное смещение в сторону более низких значений, которое может быть наложено стандартным методом квазистатического изгиба.

Рисунок 7

( a ) Сравнение кривых сила-прогиб, рассчитанных стандартным методом из трех наборов трех точек данных (оранжевый, синий и красный), и с предложенной методологией на основе наилучшей интерполяции полной прогиб профиль (черный). ( b ) Подмножество данных, показанных в ( a ), с силой в процентах от пиковой нагрузки и ограничено диапазоном 20% и 80%.Соответствующие линейные тренды (серые пунктирные линии), полученные из модуля Юнга, экстраполированного из двух кривых при 20% и 80% пиковой нагрузки, также нанесены на график для каждого набора. ( c ) Сравнение кривых «сила-деформация» двух виртуальных тензодатчиков и предложенной методики. Соответствующие линейные тренды (серые пунктирные линии), полученные из модуля Юнга, экстраполированного из трех кривых при 20% и 80% пиковой нагрузки, также представлены на графике.

На рис.7 (b) сила была нормализована с пиковой нагрузкой, а диапазон данных был ограничен до 20–80% от пиковой нагрузки (в пределах диапазона 10–90%, указанного в EN 843-2: 2006). Также нанесены линии тренда, определенные стандартным методом анализа, который учитывает значения только в двух выбранных оператором оценочных точках (например, 20% и 80% пиковой нагрузки). Количественная оценка уровня точности может быть получена путем вычисления суммы квадратов остатков (SSR) между значениями, указанными линейным трендом, и фактическими данными отклонения, которые представляют собой отклонение измерения от значения, указанного этим трендом.Предлагаемая методология полного поля имеет более низкую SSR (таблица на рис. 7 (b), 4,28 против 5,51, 7,60 и 8,10 мкм ² ) и, следовательно, более высокий уровень точности. Промежуточные модули Юнга из предложенной методологии также использовались для обратного расчета соответствующих значений горизонтальной деформации на нижней поверхности образца в середине пролета для каждого значения приложенной нагрузки. Сопоставимые значения горизонтальной деформации также были извлечены непосредственно из данных деформации ДИК в полном поле в двух дискретных точках чуть выше нижнего края наблюдаемой поверхности.Каждый из них был скорректирован до эквивалентного значения на нижней поверхности. Полученные в результате данные усилие-деформация (от 20% до 80% пиковой нагрузки) представлены на рис. 7 (с). Значения силы и деформации при 20% и 80% пиковой нагрузки затем использовались для оценки модуля Юнга, как предложено в EN 843-2: 2006, Раздел 4. Опять же, количественная оценка уровня точности также может быть получена из расчет SSR между значениями, указанными линейным трендом, и фактическими данными деформации. Предлагаемая методология, основанная на полнополевом ДИК, имеет SSR на два порядка меньше, чем полученные стандартным методом (таблица на рис.7 (c) 2,07 10 ⁻⁸ против 1,44 10 ⁻⁶ и 2,08 10 ⁻⁶ ), и, следовательно, гораздо более высокий уровень точности.

Это сравнение было выполнено для эксперимента, который был записан с использованием современного оборудования, и поэтому только изображения с высоким разрешением были проанализированы с использованием DIC. Разумно предположить, что повышение точности предлагаемой методологии будет более значительным для изображений с более низким разрешением, потому что был использован весь набор данных о деформации (поддержка для поддержки и по всей высоте), а не гораздо меньшие подмножества этих данных, представляющих всего несколько отдельных локаций.

Легкий прогиб стальной балки

Верулам, инженер-строитель Том. 70, No. 12, 16 июня 1992 г.

Легкое отклонение луча

Г-н А. Н. Бил из Лидса прислал нам записку с предложением простой процедуры приблизительного ручного расчета прогибов стальных балок. Хотя его вклад оказался слишком длинным, чтобы его можно было полностью включить в Verulam, его сокращенная версия может заинтересовать многих читателей. Г-н Бил отмечает, что, хотя расчет вручную изгибающих напряжений в балке обычно не является трудным, расчет прогибов может быть гораздо более трудоемким.Поскольку обычно нет необходимости знать прогиб с какой-либо большой степенью точности (в пределах 10%, вероятно, будет адекватным), предлагается следующий подход.

Случай с балкой с простой опорой, поддерживающей равномерную нагрузку, иллюстрирует подход.

Если мы возьмем формулу прогиба (Δ = 5WL³ / 384EI) и выразим ее через изгибающий момент (M = WL / 8), то получится Δ = 5ML³ / 48EI.

Теперь для стальной балки напряжение упругого изгиба fbt = M / Z, где Z = 2I / D, что дает fbt = MD / 2I.
(Z — модуль упругости, I — момент инерции, D — общая глубина сечения.)

Подставив это в формулу прогиба, мы получим Δ = 5 fbtL³ / 24ED. При E 210 кН / мм² это становится:

Δ (мм) = 0,992 фбтL² / д. . . (1)

Здесь fbt, L и D выражены в их обычных единицах измерения: Н / мм², м и мм соответственно.

Для всех практических целей формула

Δ = fbtL² / D. . . (2)

удобен в использовании, легко запоминается и отличается точностью до 1%.

Г-н Бил затем переходит к рассмотрению других распределений нагрузки, аналогичным образом связывая центральный прогиб Δ с экстремальным напряжением волокна fbt, давая результаты, показанные в первом столбце результатов таблицы 1. Во втором столбце приведены значения для балок с фиксированными концами , которые Г-н Бил предлагает использовать его для оценки прогибов непрерывных балок.

Наконец, г-н Бил показывает, как его методика может использоваться для сложных нагрузок, вычисляя отклонение нагруженной балки с простой опорой, как показано на рис. 1:

Фиг.1

Центральный изгибающий момент, рассчитанный как 444,3 кНм.
Для сечения балки, Z = 2474 см³, D = 539,5 мм, что дает

фут = 179,6 Н / мм².

Простое приблизительное отклонение с использованием ур. (2) это

ΔAPP = 179,6 x 7² / 539,5 = 16,3 мм = L / 429 OK.

Для более точной оценки, учитывая, что большая часть момента создается центральной точечной нагрузкой, мы могли бы взять коэффициент, более близкий к значению точечной нагрузки, равному 0.8 (скажем, 0,85), что дает

Δ = 0,85 футов x L² / D = 13,9 мм

Для сравнения, точный компьютерный анализ той же балки дал отклонение 13,8 мм.

Следовательно, для большинства практических целей нам нужно запомнить только четыре простые формулы для прогиба прямопертой или непрерывной стальной балки, как показано в Таблице 2.

Эти формулы не только упрощают жизнь для простых равномерных и точечных нагрузок — они означают, что прогиб при более сложных схемах нагружения может быть рассчитан без труда.Они также особенно подходят для проверки компьютерных рисунков «обратной стороной конверта». Лучше всего то, что их легко запомнить.

Есть желающие?

Лучшее руководство по определению прогиба в балках переменного поперечного сечения — опытный инженер

Таблицы балок дают информацию и предполагают, что прогиб расчет основан на постоянном сечении. Итак, что делать, если у нашей балки есть крест сечение, которое меняется по длине балки?

Чтобы определить величину отклонения в балка переменного сечения, необходимо интегрировать формулу прогиба балки с моментом инерции, являющимся переменной по отношению к длине и применить граничные условия.Луч Формула отклонения: v ’’ = M (x) / [E * I (x)].

Непрерывная или дискретная — Есть два типа секций балки: непрерывная и дискретная. Большинство балок представляют собой непрерывных балок и имеют либо постоянное сечение, либо сечение, которое постепенно изменяется по длине балки. Кровельные балки в больших стальных зданиях — отличный пример непрерывной переменной балки. Балка относительно короткая на концах и очень высокая посередине.

Дискретные балки балки которые имеют внезапные разрывы в разрезе.Вы не поверите, но иногда это проще для расчета, потому что дискретные участки обычно постоянны, что приводит к более легкий расчет.

Формула отклонения балки — универсальная формула, которая позволяет настраивать несколько нагрузок и балку разделы. Предупреждаю, что чем больше чем точнее должны быть ваши расчеты, тем сложнее будет выполнить математику. Упрощение здесь сэкономит много времени и усилия. Как упоминалось ранее, формула:

в ’’ = M (x) / [E * I (x)]

Где v ’’ — вторая производная отклонения ( ускорение прогиба), M — момент, который обычно является функцией положение по длине балки, x. E — модуль упругости, I — момент инерции поверхности луч. Все табличные балки будут считайте это постоянной величиной, и поэтому ни одна из формул прогиба может быть использован.

Теперь, когда мы проинтегрируем приведенное выше уравнение, мы будем выполнение неопределенного интеграла, что означает, что мы должны добавить константу, C _n, к многочлену каждый раз, когда мы интегрируем. Поскольку мы будем интегрировать уравнение два раза, мы получим две константы. Если у нас есть дискретный В этом случае у нас будет два или более уравнений.

Граничные условия — это требования, которым должна соответствовать формула прогиба балки, когда она находится в окончательном виде. Окончательная форма приходит только тогда, когда мы используем граничные условия для решения констант образованный неопределенным интегралом. Общий случаи: концы балки с опорой должны быть равны 0 (дюймы, мм и т. д.) или наклон консольной балки должен быть 0 радиан.

В этой статье мы рассмотрим три примера распространенных балок переменного сечения.

1. Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.
2. Двухсекционная балка, свободно поддерживаемая собственным весом.
3. Постоянно изменяющаяся непрерывная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.

Лучшее руководство по минимизации отклонения луча

Пример 1: Двухсекционная консольная балка с точечной нагрузкой на конце.

Эта проблема состоит из 100-дюймового консольная стальная балка с нагрузкой 500 фунтов.4.

Теперь мы определим момент и дважды проинтегрируем уравнение прогиба балки, каждый раз добавляя переменную для неопределенного интеграла. Я решил, что моя система координат (переменная x) начинается с основания. Это немного усложняет интегрирование, но переменные C ₁ и C ₂ будут сокращаться из-за граничных условий 1 и 2. Вы увидите через секунду.

Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I ₁ на I ₂ в уравнениях.Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия. Нам нужно, чтобы положение и наклон на фиксированном конце балки составляли 0 дюймов и 0 радиан. Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этом положении должны быть одинаковыми.

Решим граничные условия 1 и 2

Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C1 и C2 будет равно 0, когда я выберу, чтобы система координат начиналась с основание.

Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

Обратите внимание на проверку, которую я вставил в блок поиска, чтобы чтобы мы могли проверить, что v ₁ = v ₂ и s ₁ = s ₂ при 50 дюймахЭто подтверждает что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены. Как видите, линии пересекаются и касаются друг друга на расстоянии 50 дюймов. Кроме того, v ₁ не имеет прогиба или наклона в основании.

Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как видите, отклонение быстро увеличивается после 50 дюймов от основания. Это четко указано на обоих графиках.

4 лучших способа улучшить характеристики торсионной балки

Пример 2: Двухсекционная стальная балка с простой опорой под собственным весом.

Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов с распределенной нагрузкой 30 фунтов / дюйм на левом конце. На правом конце распределенная нагрузка составляет 50 фунтов.4.

Теперь определим момент и проинтегрируем уравнение отклонения балки дважды каждый раз, добавляя переменную. Я выбрал две системы координат. Координата x идет слева направо и координата y идет справа налево. Их связывает:

г = L-x

Я выбрал эту систему координат, чтобы C ₂ и C ₄ будут сокращаться, когда мы решаем граничные условия 1 и 2. Это также упрощает математические вычисления. чрезвычайно.Вы увидите через секунду.

Мне нужно выполнить интегрирование только для одного из разделов, а затем изменить I ₁ на I ₂ и w ₁ на w ₂ в уравнениях. Для уравнений правого сечения я также заменю «y» на «x». Я также сохранил переменную «v» как отклонение балки, но изменил первую производную отклонения на переменную «s», чтобы указать наклон. Я также указал переменные.

Теперь, когда проблема определена, давайте установим граничные условия.Нам нужно, чтобы концы балки были отклонены на 0 дюймов (BC 1 и 2). Также нам понадобятся еще два граничных условия на стыке сегментов. Наклон и положение в этой позиции должны быть такими же, как и в месте соединения сегментов.

Решим граничные условия 1 и 2

Как упоминалось выше, я предвидел, что переменные C ₂ и C ₄ будет равно 0, если я выберу координату система запускается на базе.

Далее мы рассмотрим граничные условия 3 и 4. Они немного сложнее.

Обратите внимание на проверку, которую я вставил в блок поиска, чтобы чтобы мы могли проверить, что v ₁ = v ₂ и s ₁ = с ₂ при 200 дюйм. Это подтверждает что положение и наклон в этой точке будут непрерывными.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине.Мы ищем четыре граничных условия, которые должны быть выполнены.

Ой, что случилось !? Линии определенно пересекаются на расстоянии 200 дюймов, и каждый конец имеет 0 дюймов прогиб, но они не касаются на пересечении. Я не только показываю силу график решения для точности, но также демонстрируя, что с помощью двух разные системы координат создают проблему. Согласно уравнениям склоны приближаются к месту расположения стык на равном по величине нисходящем склоне.Однако сделать эту работу одной из склонов на самом деле нужно подойти. Мы можем исправьте эту проблему, внеся одно небольшое изменение.

с ₁ = -s ₂

Давайте внесем это изменение и приступим к решению.

Да, намного лучше! Наконец, мы объединим два графика вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как и ожидалось, более длинная и жесткая часть меньше прогибается.

Как рассчитать данные о пучке, когда вашего дела нет в таблице

Пример 3: Постоянно изменяющаяся неразрезная балка с простой опорой и постоянной распределенной нагрузкой.

Эта проблема состоит из стальной балки с простой опорой длиной 300 дюймов и распределенной нагрузки 1000 фунтов / дюйм поперек балки. Сечение начинается на высоте 10 дюймов, линейно увеличивается к центру, где достигает высоты 24 дюйма. Затем он снова сужается до 10 дюймов.

Чтобы определить, как момент инерции изменяется по отношению к x, мы будем моделировать в Solidworks и делать сечения каждые 30 дюймов. Мы сведем эти данные в таблицу и подгоним к ним линию.

Вы, наверное, заметили, что я сделал таблицу только для значений от 0 до 150 дюймов. Это потому, что я собираюсь использовать симметрию, чтобы упростить эту сложную задачу. Мы можем использовать симметрию, потому что и нагрузка, и сечение балки симметричны относительно середины балки. Из-за симметрии нам нужно, чтобы конечная точка имела прогиб 0 дюймов, а наклон в середине балки был 0 градусов. Затем мы можем отразить это, чтобы получить непрерывное отклонение луча. В этом случае координата x будет идти слева направо.

Здесь вы можете видеть, что вычисленные значения I (x) близко соответствуют тому, что указано в таблице выше. Я назвал вторую производную от положения «а1» (ускорение). Как видите, верхняя и нижняя части имеют переменную «x», и интегрировать это будет очень весело. Итак, вам нужно знать обо мне одну вещь. У меня есть ограничения относительно того, что я не буду делать. Интеграция — одна из таких вещей. Вот почему у нас есть MathCAD!

Как видите, очень утомительная работа по интеграции была замалчена, и мы смогли напрямую решить для нашей границы условия.В уравнениях s (x) и v (x), на самом деле были натуральные бревна и каким-то образом появилась обратная касательная (не показаны). Я до сих пор не жалею позволяя MathCAD делать всю работу.

Следующим шагом является проверка результатов. Это делается в два этапа. Первый — нанести каждый сегмент по всей длине. Мы ищем, чтобы наши граничные условия были выполнены. Как видите, отклонение при x = 0 дюймов составляет 0 дюймов, а наклон кажется плоским при x = 150 дюймов.

Наконец, мы отразим графики вместе, образуя окончательное уравнение для отклонения нашей консольной балки.

Как видите, отклонение составляет 0 дюймов в конечных точках и имеет максимальное отклонение в центре.

Лучшее руководство по решению статически неопределимых балок

Заключение

В этой статье рассматриваются три популярных варианта нагружения, когда балка имеет переменное поперечное сечение. Хотя это действительно связано с исчислением, часто это очень легко сделать вручную, потому что это многочлены. Если нет, то будьте благодарны за такие надежные программы, как MathCAD, которые сделают это за вас.Эта статья должна дать вам хорошее представление о процедуре, используемой для анализа подобных балок. Если ваша балка не загружена именно так, вы всегда можете найти расчет момента в таблице и интегрировать свое сердце.

Связанные

Калькулятор консольной балки | calcresource

Теоретические основы

Содержание

Введение

Консольная балка — одна из самых простых конструкций. Он имеет только одну опору на одном из концов.Опора представляет собой так называемую фиксированную опору , которая запрещает все движения, включая вертикальные или горизонтальные смещения, а также любые вращения. Другой конец не имеет опоры, поэтому он может свободно перемещаться или вращаться. Этот свободный конец часто называют наконечником кантилевера .

Консоль имеет только одну фиксированную опору.

Удаление единственной опоры или установка внутреннего шарнира превратят консольную балку в механизм: тело движется без ограничений в одном или нескольких направлениях.Это нежелательная ситуация для несущей конструкции. В результате консольная балка не обеспечивает избыточности с точки зрения опор. Если произойдет локальный сбой, вся конструкция рухнет. Эти типы структур, которые не предлагают избыточности, называются критическими или детерминантными структурами . Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного перемещения, называется избыточной или неопределенной конструкцией .Консольная балка — определяющая конструкция.

Допущения

Статический анализ любой несущей конструкции включает оценку ее внутренних сил и моментов, а также ее прогибов. Обычно для плоской конструкции с плоской нагрузкой интересующими внутренними воздействиями являются осевая сила N, поперечная поперечная сила V и изгибающий момент M. Для консольной балки, несущей только поперечные нагрузки, осевое усилие всегда равно нулю. при условии небольших прогибов.Поэтому осевыми силами часто пренебрегают.

Результаты расчетов на этой странице основаны на следующих предположениях:

• Материал однороден и изотропен (другими словами, его характеристики одинаковы во всех точках и в любом направлении)
• Материал линейно эластичный
• Нагрузки прикладываются статически (они не меняются со временем)
• Поперечное сечение одинаково по всей длине балки
• Прогибы небольшие
• Каждое поперечное сечение, которое изначально является плоским, а также перпендикулярно продольному ось, остается плоской и перпендикулярной отклоненной оси.Это тот случай, когда высота поперечного сечения значительно меньше длины балки (в 10 и более раз), а также поперечное сечение не является многослойным (не сечение сэндвич-типа).

Последние два предположения удовлетворяют кинематическим требованиям теории пучка Эйлера-Бернулли, которая здесь также принята.

Условные обозначения

Для расчета внутренних сил и моментов при любом разрезе сечения балки необходимо условное обозначение. Здесь приняты следующие значения:

1. Осевая сила считается положительной, когда она вызывает натяжение детали.
2. Сдвигающая сила положительна, когда она вызывает вращение детали по часовой стрелке.
3. Изгибающий момент является положительным, когда он вызывает растяжение нижнего волокна балки и сжатие верхнего волокна.

Эти правила, хотя и не являются обязательными, но достаточно универсальны. Другой набор правил, если следовать им последовательно, также даст те же физические результаты.

Положительный знак для внутренней осевой силы, N, поперечной силы, V и изгибающего момента, M

Обозначения

• E: модуль упругости материала (модуль Юнга)
• I: момент инерции поперечного сечения вокруг упругой нейтральной оси изгиба
• L: общая длина балки
• R: реакция опоры
• d: прогиб
• M: изгибающий момент
• V: поперечная поперечная сила
• \ theta: наклон

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Нагрузка w распределена по пролету консоли, имеет постоянную величину и направление.Его размеры — сила на длину. Общее количество силы, приложенной к консольной балке, составляет W = w L, где L — длина балки. В зависимости от обстоятельств может быть задана либо общая сила W, либо распределенная сила на длину w.

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статический отклик консольной балки при равномерно распределенной нагрузке w.

Консольная балка с равномерной распределенной нагрузкой (UDL)
Количество	Формула
Реакции:	R_0006 R_A = wL 9 }
Концевые уклоны:	\ theta_A = 0 \ theta_B = — {wL ^ 3 \ over 6EI}
Предельный изгибающий момент:	M_u = — {wL ^ 2 2}
Предельное усилие сдвига:	V_u = w L
Предельное отклонение:	d_u = \ frac {w L ^ 4} {8 EI}
Изгибающий момент при x:	M (x) = — w {(Lx) ^ 2 \ over 2}
Сила сдвига при x:	V (x) = w (Lx)
Прогиб при x:	d (x ) = \ frac {wx ^ 2 (6L ^ 2 — 4Lx + x ^ 2)} {24 EI}
Наклон в точке x:	\ theta (x) = — \ frac {wx (3L ^ 2 — 3Lx + x ^ 2)} {6 EI}

Консольная балка с точечной силой на конце

Сила сосредоточена в одной точке, расположенной на свободном конце балки.Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь, хотя размеры этой области должны быть существенно меньше, чем длина кантилевера. В непосредственной близости от приложения силы ожидаются концентрации напряжений, и в результате отклик, предсказываемый классической теорией балки, может быть неточным. Однако это только местное явление. По мере удаления от места расположения силы результаты становятся действительными в силу принципа Сен-Венана.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статический отклик балки кантилевера под действием сосредоточенной силы P, приложенной к наконечнику.2 (3L-x)} {6EI} Уклон в точке x: \ theta (x) = — \ frac {Px (2L — x)} {2EI}

Консольная балка с точечной силой в произвольном месте

Сила сосредоточена в одной точке в любом месте по длине консоли. Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь. Однако, чтобы считать силу сосредоточенной, размеры области приложения должны быть существенно меньше длины балки. 2 (3L-a) \ over 6EI} Изгибающий момент в x: M (x) = \ left \ {\ begin {align} — & P (ax) &, x \ le a \\ & 0 &, x> a \ end {align} \ right.2 (3x — a) \ over 6EI} &, x> a \ end {align} \ right. Наклон в точке x: \ theta (x) = \ left \ {\ begin {align} — & {Px (2a — x) \ over 2EI} &, x \ le a \\ & \ theta_B & , x> a \ end {выровнено} \ right.

Консольная балка с точечным моментом

В этом случае момент прикладывается к одной точке балки в любом месте пролета. С практической точки зрения, это может быть пара сил или элемент на кручение, соединенный из плоскости и перпендикулярно балке.

В любом случае область приложения момента должна распространяться на небольшую длину консоли, чтобы ее можно было успешно идеализировать как сосредоточенный момент в точке. Хотя в непосредственной близости от области применения ожидается, что результаты, предсказанные с помощью классической теории пучка, будут неточными (из-за концентраций напряжений и других локализованных эффектов), предсказанные результаты становятся совершенно достоверными, когда мы удаляемся, как заявил Св. -Венантный принцип.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статический отклик консольной балки под действием сосредоточенного момента M точки, приложенного на расстоянии a от неподвижной опоры.

прогиб:

Консольная балка с острием момента
Количество	Формула
Реакции:	R_A = 0 905 905 905 905 905 905 Наклоны: EndA50 M_ \ theta_A = 0 \ theta_B = \ frac {M a} {EI}
Предельный изгибающий момент:	M_u = M
Предельное усилие сдвига:	V_u = 0
d_u = — {Ma (2L-a) \ over 2EI}
Изгибающий момент в x:	M (x) = \ left \ {\ begin {align} & M &, x \ le a \\ & 0 &, x> a \ end {align} \ right.2} {2 E I} &, x \ le a \\ & — \ theta_B \ left (x- {a \ over2} \ right) &, x> a \ end {align} \ right.
Наклон в точке x:	\ theta (x) = \ left \ {\ begin {align} & \ frac {M x} {EI} &, x \ le a \\ & \ theta_B &, x> а \ конец {выровнено} \ право.

Консольная балка с переменной распределенной нагрузкой

Нагрузка распределяется по длине консоли с линейно изменяющейся величиной, начиная с w_1 на неподвижной опоре и заканчивая w_2 на свободном конце.Размеры w_1 и w_2 — сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {L \ over2} (w_1 + w_2), где L — длина консоли.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

Если w_1 = 0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с возрастающей величиной (пик на вершине).

Если w_2 = 0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с уменьшающейся величиной (пик на неподвижной опоре).3} {24EI}

где:

w_x = w_1 + {(w_2-w_1) \ over L} x

Консольная балка с трапециевидным распределением нагрузки плитного типа

Такое распределение нагрузки является типичным для консольных балок, поддерживающих плиту. 2 &, x> a \ end {align} \ right.3} {6EI} &, x> a \ end {align} \ right.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть длины консоли с постоянной величиной w, в то время как оставшаяся длина разгружается. Размеры w — сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = w \ left (L-a-b \ right), где L — длина консоли, а a, b — длины без нагрузки с левой и правой стороны балки, соответственно.

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статический отклик консольной балки при частично распределенной равномерной нагрузке.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой
Кол-во	Формула
Реакции:	R_A = wL_w L_выб. 2} \ right)
Концевые уклоны:	\ theta_A = 0 \ theta_B = — \ frac {w (L_b ^ 3- a ^ 3)} {6 EI}
Ultimate изгибающий момент:	M_u = M_A
Предельная сила сдвига:	V_u = V_A
Предельный прогиб:	d_u = \ frac {w \ left (3L ^ 4 — 8L ^ 3 b + 6L 2 b ^ 2 — 4L a ^ 3 + a ^ 4 — b ^ 4 \ right)} {24 EI}
Изгибающий момент в точке x:	M (x) = \ left \ {\ begin {align} & R_A x + M_A &, x \ le a \\ & R_Ax + M_A- \ frac {w x_a ^ 2} {2} &, a {<} x {<} Lb \\ & 0 &, x \ ge Lb \ end { выровнено} \ вправо.3} {6EI} &, a {<} x {<} L-b \\ & \ theta_B &, x \ ge L-b \ end {align} \ right.
где: x_a = xa L_w = Lab L_b = Lb

Консольная балка с частично распределенной трапециевидной нагрузкой

Нагрузка распределяется по части консоли, имеющей длину линейно меняющаяся величина от w_1 до w_2, а оставшаяся длина не загружается. Размеры w_1 и w_2 — сила на длину.Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {L-a-b \ over2} (w_1 + w_2), где L — длина балки, а a, b — длины без нагрузки с левой и правой стороны балки соответственно.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

Это самый общий случай. Формулы для частично распределенных равномерных и треугольных нагрузок можно получить, соответствующим образом задав значения w_1 и w_2.Кроме того, соответствующие случаи для полностью нагруженного пролета можно получить, установив a и b на ноль. 2} {6} &, a {<} x {<} Lb \\ & 0 &, x \ ge Lb \ end {align} \ right.3} {24EI} &, a {<} x {<} L-b \\ & \ theta_B &, x \ ge L-b \ end {align} \ right.

где:

x_a = xa

L_w = Lab

L_1 = L + ab

L_b = Lb
w_ {m} = {w_1 + w_2 \ over2}

w_x = w_1 -w_1) \ over L_w} (xa)

Статьи по теме

Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

конструкций — Как рассчитать прогиб простой балки с нагрузкой в ​​центре?

Я имею в виду деревянную балку… Википедия предлагает мне также знать «момент инерции площади поперечного сечения», но я не знаю, как это получить.

Если вы используете пиломатериалы стандартных размеров, Американский совет по древесине (AWC) публикует таблицу различных размеров и свойств сечения в Приложении NDS 2015, раздел 3.1. Например, рассмотрим скриншот ниже

.

Если вы использовали балку 6×12, ее момент инерции, $ I_x $, равен 697,1 из ⁴ вокруг ее главной оси.Это одна часть измерения жесткости балки или ее сопротивления прогибу — другая часть — это ее модуль упругости , как вы уже определили.

---

Если у вас еще нет формулировки, прогиб балки с простой опорой при точечной нагрузке в середине пролета определяется следующим образом (в соответствии с 14-м изданием AISC. Руководство по стальным конструкциям ):

Вы решаете переменную $ \ Delta_ {max} $.Как вы сказали, у вас есть все детали, необходимые для расчета прогиба, за исключением $ I $. Ответ @ GlenH7 уже дает вам формулировку для определения $ I $, если у вас есть форма, не охваченная дополнением NDS, поэтому я не буду повторять эту информацию здесь.

Обратите внимание, что NDS содержит код для проектирования деревянных конструкций. Этот или другой подобный код обычно является кодексом записи для деревянных конструкций, спроектированных в Соединенных Штатах. Есть дополнительные положения, которые следует учитывать, если вы выполняете «правильный» анализ прогиба в соответствии с кодом, которые выходят за рамки этого вопроса, но я чувствую, что вам действительно не нужно вдаваться в подробности.

---

Как бы то ни было, этот тип сценария очень легко разработать методом проб и ошибок, если все, что вы пытаетесь сделать, это посмотреть, можно ли сесть на деревянную балку. И учитывая, насколько дешевый размерный пиломатериал (по крайней мере, в Соединенных Штатах), я бы просто проявил осторожность и выбрал больший размер, чем вы думаете, что вам нужно, и это будет , вероятно, сработает.

Модифицированная модель для расчета прогиба железобетонной балки с деформированной арматурой из стеклопластика

Авторы провели экспериментальные и аналитические исследования для оценки прочности на изгиб и соотношения момент-прогиб бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика.Предлагаемая модель для прогнозирования эффективного момента инерции для ж / б балки с стержнями из стеклопластика была разработана эмпирически на основе уравнения Брэнсона, чтобы иметь лучшую точность и знакомый подход инженеру-строителю. Для лучшего прогнозирования зависимости момент-прогиб до достижения предельной прочности также учитывался нелинейный параметр (). Этот параметр был введен, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещин для железобетонного элемента, включая более низкий коэффициент усиления и модуль упругости стержня из стеклопластика.В сравнительном исследовании с использованием шести уравнений, предложенных другими, предложенная модель показала лучшее согласие с результатами экспериментальных испытаний. Было подтверждено, что эмпирическая модификация, основанная на уравнении Брэнсона, действительна для прогнозирования эффективного момента инерции R / C балок с стержнем из стеклопластика в этом исследовании. Чтобы оценить общность предложенной модели, было проведено сравнительное исследование с использованием результатов предыдущих тестов из литературы и результатов этого исследования. Было обнаружено, что предложенная модель имеет лучшую точность и знакома инженерам-строителям для прогнозирования и оценки поведения прогиба.

1. Введение

Срок службы железобетонных (ЖБИ) конструкций может быть уменьшен за счет ряда факторов, включая суровые условия окружающей среды и неожиданные чрезмерные внешние нагрузки. Одним из основных факторов, способствующих ухудшению состояния конструкции, является коррозия стальной арматуры. Следовательно, использование некоррозионной арматуры может быть эффективным решением для увеличения срока службы железобетонных конструкций. Во многих регионах стержни из армированного волокном полимера (FRP) представляют значительный интерес для инженеров-строителей (строителей) и инженеров-строителей для усиления и армирования бетона в качестве замены стальным стержням.Их высокое отношение прочности к весу, антикоррозионные свойства и простота обращения во время строительства считаются преимуществами для применения в строительных конструкциях. Большое количество структурных исследований с использованием стержней из стеклопластика было выполнено в полевых условиях, и в настоящее время существуют руководящие принципы для проектирования и строительства бетона, армированного стержнями из стеклопластика, такие как Спецификация проектирования мостов AASHTO LRFD, рекомендации ACI 440 и Канадские нормы проектирования [1–1] 3].

Изгибная способность железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика была проблемой при проектировании конструкций из-за относительно низкого модуля упругости, который вызывает больший прогиб и ширину трещин.Таким образом, поведение при изгибе железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика должно быть дополнительно исследовано с точки зрения эксплуатационной пригодности. Прогнозирование прогиба — один из наиболее важных критериев при оценке и обеспечении работоспособности бетонного элемента. ACI 318-14 [4] использует уравнение момента инерции на основе уравнения Брэнсона [5] для расчета прогиба железобетонных балок. Недавно ACI 440.1R-15 [2] рекомендовал новую модель момента инерции для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика, которая не была основана на уравнении Брэнсона в отличие от ACI 440.1Р-06 [6]. Уравнение на основе Брэнсона уже давно знакомо большинству инженеров-строителей при проектировании изгибаемых бетонных элементов. Для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика уравнение Брэнсона было изменено для максимально точного прогнозирования прогиба. Существенные изменения заключались в корректировке мощности и добавлении параметра.

В этом исследовании мы предлагаем модифицированный эффективный момент инерции и провели сравнительное исследование поведения прогиба ж / б балок с стержнем из стеклопластика с экспериментальными испытаниями.Для сравнительного исследования были рассмотрены шесть уравнений, в том числе некоторые из индивидуальных исследований. Предлагаемая модель была разработана на основе уравнения Брэнсона, чтобы обеспечить знакомый подход к вычислению момента инерции для R / C балок с стержнем из стеклопластика. Эта модель была эмпирически изменена в соответствии с результатами испытаний шести образцов для испытаний с переменными коэффициентом усиления. Для лучшего прогнозирования прогиба до достижения предельной прочности был введен эмпирический нелинейный параметр, чтобы уменьшить влияние момента инерции трещины.Среди уравнений была проанализирована степень точности предсказания поведения отклонения для нового момента инерции, предложенная в этом исследовании, и обсуждалась предсказуемость.

2. Существующие и предлагаемые уравнения момента инерции для изгибаемых стержней из армированного стеклопластиком бетона

Уравнение Брэнсона обычно недооценивает прогиб балок из армированного стеклопластом бетона. Benmokrane et al. [7] изменили уравнение, чтобы сделать его более подходящим для оценки прогиба армированных FRP балок на основе экспериментальных данных.Уравнение выглядит следующим образом: где — полный момент инерции ( ⁴ мм), — момент инерции трансформированного участка с трещиной ( ⁴ мм), — момент растрескивания (Н · м) и является максимальным рабочий момент нагрузки в стержне (Н · м).

Заметная разница заключается в модификации и. отражает уменьшенное композитное действие между бетоном и стержнями FRP. Однако не имеет физического значения, потому что не было оснований для уменьшения. и были 0.84 и 7 соответственно.

ACI 440.1R-06 [6] рекомендовал уравнение для эффективного момента инерции на основе модели Брэнсона. Был дополнительный фактор для рассмотрения уменьшенной жесткости при растяжении железобетонных элементов из FRP. Эта модель обычно использовалась для расчета момента инерции элементов из армированного стекловолокном бетона, чтобы можно было рассчитать прогиб секции с трещинами: где — коэффициент уменьшения, связанный с уменьшенной жесткостью при растяжении, проявляемой элементом R / C с FRP. bar () — коэффициент армирования стержня из стеклопластика и сбалансированный коэффициент армирования стержня из стеклопластика.

Тутанджи и Саафи [9] эмпирически предложили уравнение для эффективного момента инерции для железобетонной балки с стержнем из стеклопластика. Их уравнение сосредоточено на коэффициенте модификации мощности в (1). Фактор был основан на применении отношения модуля к коэффициенту армирования стержня из стеклопластика. Изменяя только степень, традиционная форма уравнения, знакомая инженерам-строителям, была сохранена. Уравнение хорошо предсказало прогиб испытанных ж / б балок с GFRP.Посмотрим где.

Для канадских норм для железобетонных элементов с стержнем из стеклопластика CAN / CSA S806-12 [3] предлагает следующее уравнение (см. (4)) для расчета прогиба. Уравнение было основано на обычном уравнении для расчета прогиба при четырехточечной нагрузке. Он использует момент инерции при трещине, в то время как ACI 440.1R-15 [2] использует эффективный момент инерции. Однако были включены дополнительные члены уравнения, относящиеся к пролету сдвига, длине пролета и длине без трещин в половине балки.Это уравнение требует интенсивных вычислений, допускающих человеческую ошибку; таким образом, код также предоставляет уравнения в замкнутой форме для общих условий нагрузки и поддержки. Следовательно, где — пролет сдвига (мм), — общая приложенная нагрузка (Н), — длина пролета (мм), — длина без трещин в половине балки (мм) (), — это модуль упругости бетон (МПа),.

Недавно была предложена другая полуэмпирическая модель путем модификации уравнения Брэнсона в соответствии с экспериментальными результатами и подходом на основе генетического алгоритма [10].Для лучшего прогноза некоторые факторы были разработаны эмпирически. Модель, которая имеет два множителя и экспоненциальный фактор, была проанализирована с использованием экспериментальных данных для 55 армированных FRP балок для зависимости нагрузки от прогиба. Влияние модуля упругости стержней из стеклопластика, коэффициента армирования и уровня нагрузки на мощность в уравнении Брэнсона учитывается в (5) следующим образом: где, — модуль упругости стержня из стеклопластика (МПа), и — модуль упругости стального стержня (МПа).

ACI 440.1R-15 [2] предложил уравнение для расчета эффективного момента инерции для железобетонных балок с стержнем из стеклопластика. Это уравнение основано на подходе, предложенном Бишоффом, который представляет собой средневзвешенное значение гибкости (), как показано в (6). Сообщается, что уравнение одинаково хорошо работает как для стальных, так и для армированных стеклопластиком элементов без эмпирического параметра [11]. Следовательно, где — параметр, учитывающий изменение жесткости по длине элемента при четырехточечном изгибе.Следовательно, Intelligent Sensing для инновационных конструкций [12] рекомендовал следующий (8) эффективный момент инерции для балок из армированного стержнем из стеклопластика. Это уравнение добавило дополнительные корректирующие члены в модифицированное уравнение Брэнсона с большим количеством экспериментальных данных. Обозначения введены выше в уравнениях от (1) до (6). Здесь

3. Экспериментальные испытания

3.1. Описание стержня из стеклопластика

Арматурный стержень из стеклопластика, используемый в этом исследовании, представляет собой развитую арматуру, имеющую внешнюю форму, аналогичную обычной стальной арматуре.Он состоит из непрерывных продольных стекловолокон с объемной долей 67% в термореактивной эпоксидной смоле. Был принят типичный процесс пултрузии. Для повышения сопротивления сдвигу при склеивании на сердечнике из стеклопластика были сформированы ребра из фрезерованного стекловолокна. Для формирования волоконных ребер в процессе отверждения использовалась стальная форма. Ребристая секция стержня из стеклопластика была изготовлена ​​путем смешивания измельченного стекловолокна и эпоксидной смолы в соотношении 1: 1 по весу и отверждена в течение 15 минут при температуре выше 160 ° C. Детали внешней формы стержня из стеклопластика с волоконными ребрами были предоставлены Джу и О [8] (рис. 1 (б)).

(a) Детализация арматурного стержня GFRP
(b) Рисунок поверхности арматурного стержня GFRP
(a) Детализация арматурного стержня GFRP
(b) Рисунок поверхности арматурного стержня GFRP стержень, используемый для области растяжения, имел номинальный диаметр 9,53 мм. Испытания на растяжение были проведены с восемью образцами для испытаний в соответствии с ACI 440.3R-04 [13]. Образцы на растяжение были загружены через толстые пластины на закрепленных концах. Использовалась универсальная испытательная машина (UTM) грузоподъемностью 2000 кН, скорость нагружения составляла 17.8 кН / мин. Среди испытанных образцов максимальная прочность на разрыв составила 871,4 МПа. В таблице 1 приведены значения прочности на разрыв стержня из стеклопластика. Расчетный гарантированный предел прочности на разрыв со стандартным отклонением составил 616,0 МПа. Расчетная прочность на растяжение была рассчитана путем умножения фактора снижения воздействия окружающей среды (0,7, для внешнего воздействия) в соответствии с ACI 440.1R-15 [2], что дало 539,1 МПа. Модуль упругости оказался равным 42,9 ГПа в пределах общего диапазона модуля упругости стержней из стеклопластика.

955 9055 9055 9055 9055 [2]: среднее — 3 стандартных отклонения. Коэффициент снижения воздействия на окружающую среду () применяется равным 0,7, при воздействии земли и погодных условий. Средняя прочность на разрыв (МПа) Гарантированная прочность на разрыв (МПа) Гарантированная предельная деформация (%) Расчетная прочность на разрыв (МПа) Расчетная прочность на разрыв Модуль упругости (ГПа) 841,0 ± 23,6 770,2 1,65 539,1 1,16 4212 3.2. Испытательная установка Для стержня из стеклопластика обычная конструкция пластичности, используемая для стальных стержней, не подходит из-за отсутствия предела текучести. Три типа ж / б балок с стержнем из стеклопластика были разработаны в соответствии с ACI 440.1R-15 [2]: разрыв из стеклопластика (FB-1), сбалансированный (FB-2) и разрушение при раздавливании бетона (FB-3). Были использованы три различных количества продольного армирования стержня из стеклопластика: 2D10 для FB-2, 3D10 для FB-3 и 4D10 для FB-4.D указывает номинальный диаметр стержня из стеклопластика. Для уравновешенного FB-2 это можно рассматривать как разрушение FRP с дроблением бетона. Каждый образец состоял из двух одинаковых балок. Испытание на изгиб проводилось четырехточечным изгибом. На Рисунке 2 показаны испытательная установка и подробные сведения об измерениях. Размеры испытательных балок были следующими: ширина 180 мм, глубина 230 мм и длина 2000 мм. Чистый пролет составлял 1600 мм. Предел прочности на сдвиг, который может определять регулируемое поведение изгибной балки, был рассчитан между 3.7 и 3,9; таким образом, балка считалась подверженной изгибу. Чтобы контролировать структурное поведение балки, линейные переменные дифференциальные трансформаторы (LVDT) были установлены на нижней поверхности бетона в средней части. Два тензодатчика электрического сопротивления были прикреплены к поверхности центрированного стержня из стеклопластика для FB-2 и внешнего стержня из стеклопластика для FB-1 и FB-3 в средней части. Две нагрузки были автоматически приложены к балке со скоростью 2 кН в минуту с помощью погрузочной машины MTS.Все данные (силы, деформации и отклонения) были собраны автоматизированной системой сбора данных. Для ширины трещины использовалась мера трещины, и ширина трещины исследовалась визуально на отдельном этапе нагружения. Для бетона средняя 28-дневная прочность на сжатие составила 27,0 МПа, а предел прочности бетона на изгиб при растяжении составлял приблизительно 2,4 МПа. 3.3. Результаты испытаний на изгиб и их обсуждение Разрушение при изгибе и структура трещин показаны на Рисунке 3.Образцы не выдержали типичного разрушения при изгибе. FB-1 показал растрескивающую нагрузку 12,0 кН. Разрушение было обусловлено разрывом стержней из стеклопластика. Максимальная ширина трещины в средней части была исследована визуально и составила 0,9 мм. Образец FB-2 изначально разрушился из-за раздавливания бетона, а затем окончательно разрушился из-за разрыва стержня из стеклопластика. Следовательно, разрушения показали разрушение при сжатии и растяжении с разрывом стержня из стеклопластика, а максимальная ширина трещины составила 0,7 мм. В случае образца FB-3 он показал обычное разрушение бетона при раздавливании без разрыва стержня из стеклопластика.Максимальная ширина трещины была измерена как 0,4 мм в средней части. Что касается прочности на изгиб, было обнаружено, что расчетные режимы разрушения представляют собой экспериментальные режимы разрушения, и ширина трещины была уменьшена по мере увеличения коэффициента усиления. Трещины в зоне изгиба в основном состояли из вертикальных трещин, перпендикулярных направлению максимального главного напряжения, вызванного чистым изгибающим моментом. Трещины возникли в середине пролета, а затем распространились по направлению к опорам. В конце концов напряжение сдвига стало более важным и привело к появлению наклонных трещин. При достижении предела прочности трещины при изгибе распространялись по направлению к точкам нагрузки на сжимаемой поверхности балок. Все испытательные балки показали значительные изгибные трещины до того, как наклонные трещины присоединились к изгибным трещинам. Для аналитического подхода в отношении номинального изгибающего момента использовалось уравнение из ACI 440.1R-15 [2] с изменяющимся коэффициентом усиления. Когда контролирующим предельным состоянием является разрыв стержня из стеклопластика, и можно рассчитать номинальную прочность на изгиб.На основе равновесия сил и совместимости деформаций можно получить (10). В противном случае, когда, расчетная прочность на растяжение () в (10) изменяется на напряжение в FRP () при растяжении (см. (9)). В таблице 2 показаны экспериментально и аналитически полученные значения прочности на изгиб R / C балок с стержнем из стеклопластика. Теоретическая сила момента была оценена и была примерно на 20% ниже, чем сила момента в экспериментальном испытании. Это может быть связано с отклонениями из-за небольшого количества образцов для испытаний.Тем не менее, расчетная моментная сила вполне может представлять конструктивную способность в качестве консервативного прогноза. Для жесткости конструкции, определенной путем деления средней нагрузки на средний прогиб при предельной прочности, FB-1, FB-2 и FB-3 показали значения 1,58, 1,65 и 2,78 соответственно. Было обнаружено, что жесткость конструкции увеличивалась в соответствии с увеличением степени армирования стержня из стеклопластика: где — номинальная прочность на изгиб (кН · м), — глубина эквивалентного прямоугольного блока напряжений (мм), — это напряжение в Бар из стеклопластика при растяжении (МПа), это расчетная прочность на растяжение стержня из стеклопластика (МПа), это расчетный или гарантированный модуль (МПа), это предельная деформация в бетоне (0.003), является эмпирическим фактором, представляет собой заданную прочность бетона на сжатие (МПа), представляет собой коэффициент армирования FRP и является сбалансированным коэффициентом армирования FRP, как указано Комитетом 440 ACI [2]. 905 Образец Коэффициент усиления (сбалансированный) Средняя нагрузка при начальном растрескивании (кН) Средняя нагрузка в конечном состоянии (кН) Средний прогиб в конечном состоянии (мм) Номинальный момент (эксп.) (кН⋅м) Номинальный момент (кал.) (кН⋅м) Вид отказа FB-1 0,00427 (0,0069) 12,0 54,4 34,4 18,6 13,6 Разрыв FRP FB-2 0,0064 (0,0069) 10,0 64,8 39,1 905 905 Напряжение 22,2 -3 0.00903 (0,0069) 12,0 74,0 26,6 25,4 21,0 Раздавливание бетона Прогиб. Существующие модели для расчета эффективного момента инерции В этой статье предлагается полуэмпирическая модель прогнозирования эффективного момента инерции. Модель основана на уравнении Брэнсона, а методология модификации следовала эмпирическому подходу Тутанжи и Саафи [9].Как показано на рисунке 4, на прогиб R / C балки со стержнями из стеклопластика повлиял коэффициент усиления стержней из стеклопластика, а также модуль упругости стержня из стеклопластика. Примечательным параметром, отражающим нелинейное поведение R / C балок с стержнем из стеклопластика, эмпирически считается, что он обеспечивает хорошее согласие с экспериментальными испытаниями в этом исследовании (см. (11)). Этот фактор был использован для уменьшения влияния момента инерции трещин для железобетонного элемента, включая более низкий коэффициент усиления и модуль упругости для стержня из стеклопластика.Этот рассматриваемый параметр является коэффициентом аппроксимации кривой. Его концепция была получена эмпирически путем исследования результатов зависимости момент-прогиб из уравнения, которое прокомментировано выше в этом исследовании. На рисунке 6 рассматриваемые уравнения показали жесткую кривую как билинейное поведение вплоть до разрушения испытуемого образца. Однако результат теста показал нелинейное поведение вплоть до отказа, так что можно было оценить необходимость уменьшения коэффициента для хорошего соответствия кривой экспериментальным результатам.Это привело к уменьшению эффективного момента инерции, так что расчетный прогиб увеличивался в соответствии с увеличением приложенной нагрузки. Рисунок 4 иллюстрирует основную концепцию рассмотрения в предлагаемой модели. Используя, можно немного смягчить жесткость отклонения. Эта аналитическая концепция может быть более подходящей для бетонного элемента, армированного материалом с более низким коэффициентом армирования и модулем упругости: где и — нелинейный параметр. Всего было исследовано шесть кодов и разработанных уравнений для сравнительного исследования момента инерции и отклонения нагрузки в соответствии с экспериментальными испытаниями и моделью, предложенной в этом исследовании. Для этого репрезентативный образец для каждой группы армирования был рассмотрен для сравнительного исследования из-за их сходства с результатами испытаний. Есть некоторые исследования, показывающие, что оценка структурной способности FRP стержневой железобетонной балки с использованием только одного репрезентативного образца для каждой группы армирования была успешно проведена [14, 15].На рисунке 5 показаны результаты сравнительного исследования эффективного момента инерции. Существует заметное расхождение между экспериментом и уравнением, приближающееся к приложенному моменту 5 кН · м. Комитет ACI 440 [6], Toutanji и Saafi [9] и предложенная модель показали лучшее согласие с хорошим нелинейным предсказанием экспериментально полученного эффективного момента инерции после растрескивания бетона. Другие уравнения, например, ACI Committee 440 [2], ISIS Canada [12], Mousavi et al.[10] и Benmokrane et al. [7], показали большие падения полного момента инерции () после растрескивания бетона. Они плохо отражают поведение упрочнения экспериментальных результатов. Две модели прогнозирования, модифицированные на основе уравнения Брэнсона, показали хорошее согласие с экспериментальными результатами, в то время как две другие модели с модифицированными уравнениями Брэнсона показали относительно большие расхождения. Это было вызвано применением эмпирических параметров, таких как степень или постоянные умножения. На рис. 6 показана кривая момента и прогиба в середине пролета для образца FB-1, который состоял из двух ж / б балок с стержнем из стеклопластика. За исключением Toutanji и Saafi [9], ACI 440 Committee [6] и Benmokrane et al. [7], поведение пластичности было обнаружено после растрескивания. Эти уравнения недооценивают растрескивание образца FB-1, в то время как экспериментальные результаты показывают поведение упрочнения с приложенным моментом. Уравнение Мусави и др. [10] показали самую высокую жесткость при прогнозировании прогиба.Они использовали почти одинаковую постоянную умножения для полного и разорванного моментов инерции; однако мощность была иной, чем у Benmokrane et al. [7]. Это различие может сделать жесткость на изгиб при прогнозе отклонения более расслабленным, чем у Benmokrane et al. [7]. Комитет ACI 440 [6] и Тутанджи и Саафи [9] показали хорошее соответствие поведения отклонения примерно до половины приложенного момента; однако после этапа нагружения эти модели вели себя как линейно-зависимый прогноз прогиба.Таким образом, разница в прогнозе прогиба увеличивалась до конечного момента. Для предложенного уравнения с нелинейным параметром было обнаружено, что оно лучше всего предсказывает поведение отклонения в экспериментальных испытаниях до разрушения. На рисунках 7–10 аналитический эффективный момент приложенного инерционного момента силы момента и кривые момента отклонения, полученные из шести уравнений и предложенной модели, сравниваются с экспериментальными результатами для образцов FB-2 и FB-3. Тенденции в предсказании прогиба были аналогичны таковому для образца FB-1, где Комитет ACI 440 [6], Toutanji и Saafi [9], и предложенные модели все же показали лучшее согласие с хорошими нелинейными предсказаниями экспериментальных полученный эффективный момент инерции после растрескивания бетона.Экспериментальные кривые момент-прогиб FB-2 и FB-3 не показали хорошего согласия с аналитическими кривыми, полученными из шести рассмотренных здесь уравнений, но хорошо согласуются с предложенной моделью. Шесть уравнений оценивали реакцию на отклонение момента, которая была линейной по сравнению с фактической реакцией образцов для испытаний после растрескивания до достижения предела прочности. В отличие от ACI 440.1R-06 [6], Toutanji and Saafi [9] и предложенной модели, другие уравнения не отражали эффект жесткости при растяжении испытательных образцов до примерно половины предела прочности.Причина может заключаться в том, что уравнения оценивают эффективный момент инерции как гораздо меньший, чем у испытуемого образца до стадии нагружения, а затем они реагируют прогнозом линейного упрочнения до предела прочности. Предложенная модель, однако, хорошо представляла отклик на отклонение от момента, даже с нелинейным поведением, до предела прочности. 5. Сравнительное исследование для проверки предложенной модели Для оценки общности предложенной модели были рассмотрены некоторые из предыдущих результатов испытаний: образец A1 от Aiello и Ombres [16], образец BC2HA от Thériault and Benmokrane [17] ], образец F1 из Pecce et al.[18], серия образцов 1 из Benmokrane et al. [7], а также образцы группы 2 из Al-Salloum et al. [19]. Кроме того, испытанные образцы, FB-1, FB-2 и FB-3, из этого исследования также сравнивались в соответствии с порядком вычисленного значения эквивалентного отношения армирования с отношением модулей,. нормализовал отношение армирования стержня из стеклопластика к свойствам стального стержня и должен быть важным показателем для исследования валидации поведения момента отклонения с помощью предлагаемой модели. Критерии применения могут быть определены для оценки структурного поведения бетонных балок, армированных с различными соотношениями армирования.На рисунке 11 показаны результаты сравнительного исследования с использованием предложенной модели. Результаты показали, что предложенная модель разумно описывает поведение момента отклонения рассматриваемых испытательных образцов, когда он изменялся от 0,00068 до 0,006. Однако предложенная модель показала переоценку, так как она была увеличена, например, до 0,006 для группы 2, так что границы приложения должны быть исследованы дополнительно. Серия FB показала относительно хорошее согласие с экспериментальными испытаниями благодаря эталонным образцам, использованным в этом исследовании. Для других образцов восходящий тренд был хорошо описан экспериментальными результатами, и после появления трещин были обнаружены некоторые расхождения. Есть некоторые влияющие параметры, такие как свойства бетона, размерный эффект и тип стержня для свойства склеивания. В частности, характеристики сцепления стержня из стеклопластика в бетонной балке могут больше зависеть от изгибных нагрузок, чем от одноосной растягивающей нагрузки из-за различной обработки поверхности, включая свойства химической адгезии.Дальнейший точный анализ этого требует экспериментального и аналитического исследования. 6. Выводы В этом исследовании мы провели экспериментальные и аналитические исследования, чтобы оценить способность к изгибу и соотношение момент-прогиб бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика. Предлагаемая модель, предложенная для эффективного момента инерции R / C балок с стержнем из стеклопластика, могла бы разумно описать соотношение момент-отклонение. Сделанные выводы заключаются в следующем: (i) Это исследование предложило новое уравнение для эффективного момента инерции для бетонных балок, армированных стержнями из стеклопластика.Новое уравнение было модифицировано из уравнения Брэнсона, которое давно используется в этой области инженерами-строителями. Мощность была изменена на основе уравнения Тутанджи и Саафи [9], а также введен нелинейный параметр. Этот фактор был использован для уменьшения влияния момента инерции трещин для бетонного элемента, армированного с более низким коэффициентом армирования и материала с более низким модулем упругости. Для сравнения с экспериментальными испытаниями были спроектированы и испытаны три типа ж / б балок с стержнем из стеклопластика.Была оценена предсказуемость предложенной модели. (Ii) В сравнительном исследовании использовались шесть уравнений и предложенная модель для расчета эффективного момента инерции и зависимости приложенного момента, и было обнаружено, что уравнения ACI 440.1R-06 [6], Toutanji и Саафи [9], и предложенные модели показали лучшее согласие с экспериментальными результатами. Остальные три уравнения значительно занижали момент инерции сразу после растрескивания бетона. На основе этого результата было подтверждено, что эмпирическая модификация, основанная на уравнении Брэнсона, действительна для прогнозирования эффективного момента инерции и приложенного момента R / C балок с стержнем из стеклопластика.(iii) Для предсказания прогиба в экспериментальных испытаниях предложенная модель показала лучшую предсказуемость среди рассмотренных уравнений. Новая модель показала лучшее согласие с поведением прогиба балки из армированного стеклопластиком бетона до предела прочности, даже в отношении нелинейного поведения. Чтобы оценить универсальность предложенной модели, было проведено сравнительное исследование с использованием результатов предыдущих испытаний, а также результатов этого исследования в отношении отношения момент-отклонение.Для дальнейшего изучения, в отношении разницы в свойствах сцепления стержней из стеклопластика, предложенная модель могла бы разумно описать соотношение момент-прогиб для результатов испытаний, рассмотренных в предыдущих исследованиях, и результатов испытаний в этом исследовании. предсказуемость предложенной модели по эффективному моменту инерции. Было обнаружено, что применима методология модификации с эмпирическим подходом. Что касается будущих исследований, важно провести сравнительное исследование с различными коэффициентами армирования, связующими свойствами стержней из стеклопластика и размерными эффектами бетонных балок. Конкурирующие интересы Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов. Благодарности Работа поддержана грантом (2015R1A2A2A01005286) Национального исследовательского фонда Кореи (NRF) и грантом (16CTAP-C117247-01) программы НИОКР Министерства земли, инфраструктуры и транспорта Правительство Кореи. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт 2019 © Все права защищены.