С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При решении задач сопромата, все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижнаяопора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.1,в).

Рис. 1

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть  определены обязательно. Уравнения  статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной — в противном случае.

Пример 1.Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz  в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные — под осью.

рис. 2

3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр.

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр: условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным — в противном случае.

Пример 2.Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Порядок расчета.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

рис. 3

4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр.

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры  Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) — прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой — наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора — поперечная сила  Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной — в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной — в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3.Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

рис. 4

Порядок расчета.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Qy.

3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

7. Балки на двух опорах

В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.

Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

Пример 4. Построить эпюры  Qy, Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.5).

Порядок расчета.

1. Вычисляем реакции опор.

Проверка:

</p>

2. Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

Строим эпюру Qy.

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

рис. 5

Строим эпюру Mx.

8. Правила контроля эпюр Qу и Mx

Дифференциальные зависимости между q, Qy, Mx определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Qy и Mx.

Эпюра Qy является прямолинейной на всех участках; эпюра Mx — криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.

Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.

Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Qy пересекает ось (Qy=0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.

На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy>0 эпюра Mx возрастает слева направо; при  Qy<0 — убывает.

Порядок линии на эпюре Qy всегда на единицу меньше, чем на эпюре Mx. Например, если эпюра Mx — квадратная парабола, то эпюра Qy на этом участке — наклонная прямая; если эпюра Mx — наклонная прямая, то эпюра Qy на этом участке — прямая, параллельная оси; если Mx=const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Qy=0.

Заказать решение           Способ оплаты

Реакция опорная неразрезной балки — Энциклопедия по машиностроению XXL

Порядок расчета неразрезных балок, 1. Над всеми промежуточными опорами (а также над концевыми, если они—заделки) вводятся шарниры и прикладываются опорные моменты. 2. Каждый пролет неразрезной балки рассматривается как простая балка на двух шарнирных опорах, для которой строятся эшоры изгибающих моментов М и поперечных сил Ql от заданной внешней нагрузки, действующей в пределах этого пролета. 3. Вычисляются площади эпюр (грузовые площади со) и находятся положения их центров тяжести а и . 4. Составляются уравнения трех моментов. 5. Решается система уравнений трех моментов и определяются неизвестные опорные моменты. 6. Определяются опорные реакции заданной неразрезной балки  [c.128]

Определение изгибающих моментов, поперечных сил и опорных реакций в неразрезных балках  [c.360]

П7. Двухпролетная неразрезная балка загружена, как указано на рисунке а). Определить опорные реакции, построить эпюры изгибающего момента и поперечной силы. Подобрать сечение балки,  [c.199]

Как вычисляются изгибающие моменты и поперечные силы в произвольном сечении неразрезной балки (а также опорные реакции балки) после определения неизвестных опорных моментов  [c.339]

Полная опорная реакция на л-й опоре неразрезной балки (рис. 9.7, а) определяется из рассмотрения двух смежных пролетов 1 и / +i, которые заменяются двумя простыми балками (рис. 9.7, б), нагруженными данными внешними силами и опорными моментами и которые принимаем поло-  [c.259]

На рис. 1.3, а показана неразрезная балка. Число опорных реакций равно пяти. Для плоской системы можно составить три уравнения равновесия (2Х = 0, 2F = О, Em = 0). Следовательно, балка, изображенная на рис. 1.3, а, является системой статически неопределимой. Под степенью статической неопределимости понимается разность между числом неизвестных (в данном случае числом опорных реакций) и числом уравнений равновесия. Степень статической неопределимости балки, изображенной на рис. 1.3, а, равна двум (5—3 = 2). Покажем, что введение шарнира в балку (рис. 1.3, б) понижает степень ее статической неопределимости на единицу. Рассечем балку по шарниру D (рис. 1.3, в). В месте шарнира возникнут две реакции Уд и Яд. Составляя сумму моментов правых сил относительно шарнира, получим дополнительное уравнение статики, из которого можно определить опорную реакцию V , следовательно, эта балка (рис. 1.3, б) является однажды статически неопределимой.  [c.9]

После определения опорных моментов для построения суммарных эпюр М hQ можно воспользоваться эквивалентной системой. Так как она состоит из ряда простых балок, загруженных внешней нагрузкой и известными опорными моментами, то рассматривая каждую простую балку отдельно, можно легко определить реакции и поставить эпюры М и Q. Если при этом для каждой простой балки эпюры построены от одной базовой линии и в одном и том же масштабе, то полученные эпюры будут являться суммарными эпюрами MnQ для неразрезной балки.  [c.238]

Решив уравнения (151)- и найдя значения опорных моментов, можно вычислить опорные реакции неразрезной балки и построить для нее эпюры М и Q. При этом каждый пролет неразрезной балки можно рассматривать как простую балку, нагруженную, помимо заданной внешней нагрузки, найденными опорными моментами.  [c.212]

Вычислив опорные реакции, можно обычным способом построить эпюру поперечной силы для неразрезной балки.  [c.212]

Неразрезные балки. Балки на многих опорах, из которых одна неподвижна, а остальные подвижны, принято называть неразрезными балками. Очевидно, что всякая неразрезная балка является статически неопределимой, причем число лишних закреплений (а следовательно, и лишних неизвестны.ч опорных реакций) равно общему числу опор без двух..  [c.281]

По формуле (89.7) определяются опорные реакции неразрезной балки.  [c.357]

Для двухпролетной неразрезной балки, жестко защемленной левым концом (рис. 3.129, а), определить опорные моменты, построить эпюры М и Q и определить опорные реакции.  [c.346]

При расчете неразрезной балки за лишние неизвестные можно выбирать промежуточные опорные реакции (основная система — балка на двух крайних опорах). Однако проще за неизвестные принимать изгибающие моменты в сечениях неразрезной балки над опорами (опорные моменты). Соответствующее уравнение деформаций, служащее для отыскания опорных моментов, называется уравнением трех моментов.  [c.236]

Рассмотрим многопролетную неразрезную балку (рис. 155, а). В данном случае система четырежды статически неопределима, так как пренебрегаем горизонтальными реакциями. За неизвестные принимаем опорные моменты балки, т. е. изгибающие моменты в сечениях балки над всеми промежуточными опорами. Для представления опорных моментов в виде внешних воздействий вставляем над всеми промежуточными опорами шарниры (рис. 155, б). Тем самым отбрасывается  [c.236]

На фиг. 370 изображена неразрезная балка, указаны принятые обозначения и изображены возможные реакции опор. Как легко видеть, число лишних опорных реакций равно числу промежуточных опор.  [c.448]

Эти формулы дают опорные реакции лишь одного пролёта чтобы найти полные реакции каждой промежуточной опоры неразрезной балки, надо суммировать реакции смежных пролётов. Так, называя полные реакции буквой Я с одним индексом внизу — номером опоры — получим для л-й опоры (фиг. 379)  [c.456]

В настоящем параграфе рассматриваются только неразрезные балки постоянного сечения, все опоры которых лежат на одной прямой. Опоры балок должны быть сделаны так, чтобы они могли воспринимать как положительные, так и отрицательные опорные реакции. Чтобы воспринять горизонтальную составляющую внешней нагрузки, одна из опор балки должна быть обязательно шарнирно неподвижной, все остальные опоры — шарнирно подвижными. Заметим, что к категории неразрезных могут быть отнесены и балки с заделками на одном или двух концах.  [c.353]

Если опорные моменты найдены, то для каждой балки на двух шарнирных опорах основной системы мы можем из уравнений равновесия определить реакции, выразить Q и М в любом сечении и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и, таким образом, получить эпюры Q и М для всей неразрезной балки.  [c.295]

Балки неразрезные на жёстких опорах — Определение опорных реакций и усилий I (2-я) — 52  [c.17]

БАЛКИ НЕРАЗРЕЗНЫЕ, непрерывный брус, покоящийся более чем на трех не пересекающихся в одной точке стержнях. Брус может быть прямым или ломаным при этом точки излома его оси должны совпадать с точками приложения опорных реакций. В зависимости от характера опирания различают Б. н. на жестких и на упругих опорах. Б. и. (фиг. 1)—конструкция, статически неопределимая, причем степень ее статич. неопределимости измеряется числом т свя-зевых закреплений в опорах бев трех (m—3). Наиболее целесообразной формой расчета является предложенная Клапейроном она состоит в принятии за неизвестные значений изгибающих моментов, имеющих место в се-  [c.113]

Неразрезная балка имеет два пролета ABwB , каждый длиной I. Посредине пролетов АВ и ВС приложены соответственно грузы 2Р и Р. Момент инерции поперечного сечения части АВ вдвое больше, чем части ВС. Найти опорные реакции и изгибающий момент над средней опорой.  [c.209]

Л ожно рекомендовать следующий порядок расчета неразрезной балки. После нумерации опор и пролетов (опор — с нуля, пролетов — с единицы) под исходной балкой изображают основную систему, нагруженную заданной нагрузкой и неизвестными опорными моментами. Далее строят эпюры М для отдельных балочек основной системы только от заданной нагрузки на пролетах. Вычисляют площади Q, этих эпюр и координаты а,, Ь, их центров тяжести. Для каждой промежуточной опоры выписывают уравнение трех моментов. Решая полученную таким образом систему уравнений, определяют неизвестные опорные моменты. Затем определяют реакции и строят эпюру поперечных сил и изгибающих моментов. Последнюю эпюру, как указывалось, можно построить как сумму эпюр моментов от нагрузки и от опорных моментов.  [c.443]

Таким образом, опорная реакция неразрезной балки равна разности поперечных сил, действуюгцих в сечениях, расположенных справа и слева от опоры в непосредственной близости от нее, т. е. величине уступа (скачка) в эпюре поперечных сил в сечении над опорой (рис. 7.71,6).  [c.313]

Коленчатые валы. Рассматривая одноколенчатый вал (рис. 18) как систему жестко связанных между собой стержней т п р q st, свободно опертых в точках т и t, можно на основании уравнений статики определить изгибающий и крутящий моменты в любом поперечном сечении тогда соответствующие главные напряжения определятся, как было выше указано. Задача становится сложнее для многоколенчатых валов. Главное затруднение заключается в неопределенности опорных условий. Зазоры в подшипниках дают некоторую возможность коленчатому валу поворачиваться на опорах, и от этих отклонений зависит само положение опорных точек. Если предположить, что коленчатый вал оперт посредине подшипников и может свободно поворачиваться на опорах, то задача значительно упрощается, и тогда для определения опорных моментов и реакций опор можно составить уравнения, аналогичные уравнениям для неразрезной балки. Такие исследования  [c.590]

Из рассмотренных примеров видно, какой эффект дает неразрезность балки. Ординаты эпюр моментов в пролетах неразрезной балки значительно уменьшаются по сравнению с эпюрами основной системы за счет образования опорных моментов, которые подтягивают эпюры вверх. Это обстоятельство позволяет брать меньшее сечение для неразрезной балки, которая, таким образом, оказывается экономичнее, чем серия простых балок. Кроме того, за счет неразрезности происходит перераспределение опорных реакций.  [c.217]

Данную балку превращаем в простую, статически определимую, эквивалентную данной, отбросив среднюю опору 1 и заделку и приложив взамен отбронтенных св.чзей опорную реакцию к =27,39 кН и реактивный момент Л о= —10,3 кН м (рис. 3.130, а). Определяем прогиб в месте отброшенной опоры он должен быть равен нулю, что и будет служить доказательством правильности расчета неразрезной балки. Грузовые эпюры строим раздельно от распределенной нагрузки, опорной реакции Ух и реактивного момента в заделке (рис. 3.130, б г). Единичная эпюра изображена на рис. 3.130, д  [c.347]

Найдем еще выражение для полной реакции промежуточной опоры неразрезной балки (рис. 155, б). Пусть поперечные силы чуть слева и чуть справа от опорного сечения балки Сплев и Q np- Очевидно, поперечная сила чуть справа от опоры Q np выражается через Q лeв и /  [c.241]

Поперечная сила в любом сечении л-го пролёта неразрезной балки будет отличаться от поперечной силы Q ix) простой балки только за счбт влияния реакций, вызванных опорными моментами тогда (фиг. 380)  [c.457]

Линин влияния и неразрезной балки на упруго-податливых опорах, будут одинаковы. Их можно построить по линии влияния опорного мо.мента в сеч1ении над опорой I, ординаты которой приведены в табл. 11.2, и по линиям влияния опорных реакций из табл. 11.1.  [c.271]

При конструировании неразрезных подкрановых балок необходимо учитывать, что на опорах могут возникать отрицательные опорные реакции, стремящиеся оторвать балку от колонны. Крепление неразрезной балки к колонне 1при наличии отрицательной опорной ре-  [c.28]

Балки неразрезные на упругих опорах — Расчёт 1 (2-я) —54 Балки однопролётные статически неопределимые — Расчёт опорных реакций, усилий и перемещений 1 (2-я) —66, 238 — статически определимые — Расчёт опорных реакций, усилий и перемещений 1 (2-я) —214, 235 Балки переменного сечения — Расчёт 1 (2-я) — 231  [c.17]

Навье первому пришлось столкнуться с проблемой статической неопределимости, возникаюш ей в расчетах неразрезных балок ). В своей книге Resume des legons… он исследует балку на трех опорах и принимает реакцию одной из них как величину, статически неопределимую. В тех случаях, когда число опор превышает три, выбор реакций как лишних неизвестных величин становится затруднительным, поскольку мы получаем столько же уравнений, сколько имеется промежуточных опор, причем в каждое из таких уравнений входят все лишние неизвестные. Исследование частного случая равных пролетов с равномерно распределенной по всей длине балки нагрузкой или с равными сосредоточенными нагрузками, приложенными по середине каждого из пролетов, показывает, что в этих условиях задача упрош ается и что между реакциями трех последовательных опор суш ествует линейное соотношение. Использование этого соотношения позволяет без особого труда вычислить опорные реакции для любого числа пролетов ).  [c.175]

Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. 1960 г. Уманский А.А.

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА. Чл.-корр. АН УССР д-р физ.-мат. наук проф. И. Я. Штаерман 19
1.1. Алгебра 19
1.1.1. Степени и корни 19
1.1.2. Логарифмы 19
1.1.3. Прогрессии 20
1.1.4. Факториал 20
1.1.5. Соединения 20
1.1.6. Бином Ньютона 20
1.1.7. Определители (детерминанты) 20
1.1.8. Линейные уравнения 21
1.1.9. Матрицы (канд. техн. наук В. В. Новицкий) 22
1.1.10. Уравнения высших степеней 23
1.1.11. Приближенное решение уравнений 24
1.2. Геометрия 25
1.2.1. Плоские фигуры. Многоугольники .Круг и его части. Площади, ограниченные кривыми второго порядка 25
1.2.2. Тела. Тела, ограниченные плоскостями. Цилиндр и конус. Шар и его части. Некоторые другие тела. Тела вращения (теоремы Гюльдена). Призматоид. Рампа 26
1.3. Тригонометрия 27
1.3.1. Измерение углов 27
1.3.2. Тригонометрические (круговые) функции . . 27
1.3.3. Функции суммы и разности углов, кратных углов и половинного угла 29
1.3.4. Степени функций 29
1.3.5. Приведение к виду, удобному для логарифмирования 29
1.3.6. Зависимости между функциями трех углов, сумма которых равна 180° 29
1.3.7. Зависимости между обратными тригонометрическими функциями 30
1.3.8. Формулы, применяемые при решении треугольников 30
1.3.9. Гиперболические функции 31
1.4. Аналитическая геометрия 31
1.4.1. Точка на плоскости 31
1.4.2. Прямая линия 32
1.4.3. Окружность 32
1.4.4 Парабола 32
1.4.5. Эллипс и гипербола 33
1.4.6. Построение конических сечений 34
1.4.7. Цепная линия. Циклоида. Спираль 34
1.4.8. Точка в пространстве 34
1.4.9. Плоскость 35
1.4.10. Прямая в пространстве 35
1.4.11. Поверхности второго порядка 35
1.5. Дифференциальная геометрия 36
1.5.1. Плоские кривые 36
1.5.2. Пространственные кривые 38
1.5.3. Поверхности 39
1.6. Дифференциальное исчисление 39
1.6.1. Функция, предел, непрерывность 39
1.6.2. Производная и дифференциал 40
1.6.3. Раскрытие неопределенностей 41
1.6.4. Исследование функций 41
1.6.5. Функция двух переменных 41
1.7. Интегральное исчисление 42
1.7.1. Неопределенный интеграл 42
1.7.2. Интегрирование рациональных функций 43
1.7.3. Интегрирование иррациональных функций 44
1.7.4. Интегрирование трансцендентных функций 44
1.7.5. Определенный интеграл 46
1.7.6. Кратные интегралы 47
1.7.7. Криволинейные интегралы 48
1.8. Ряды 48
1.8.1. Числовые ряды 48
1.8.2. Степенные ряды 49
1.9. Дифференциальные уравнения 51
1.9.1. Основные понятия 51
1.9.2. Уравнения первого порядка 51
1.9.3. Уравнения второго порядка 51
1.9.4. Линейные уравнения второго порядка 52
1.9.5. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 53
1.9.6. Метод начальных параметров 53
1.9.7. Общие решения дифференциального уравнения четвертого порядка с биквадратным характеристическим уравнением (канд. техн. наук А. И. Тюленев) 54
1.9.8. Приближенные методы 54
1.9.9. Уравнения математической физики 58
1.9.10. Квазилинейные уравнения 59
1.10. Функции комплексной переменной 60
1.10.1. Комплексные числа 60
1.10.2. Комплексные функции 60
1.10.3. Конформные отображения 61
1.11. Вариационное исчисление 61
1.11.1. Постановка задачи 61
1.11.2. Основные случаи 62
1.11.3. Прямые методы 63
1.12. Разностное исчисление 63
1.12.1 Определение разностей 63
1.12.2. Разностные уравнения 63
1.13. Интегральные уравнения 64
1.13.1. Уравнения Фредгольма. Методы решения однородного уравнения. Методы решения неоднородного уравнения 64
1.13.2. Уравнения Вольтерра второго рода 65
1.13.3. Уравнения Абеля 65
1.13.4. Сингулярные уравнения 65
1.14. Специальные функции 66
1.14.1. Полиномы Лежандра 66
1.14.2. Полиномы Чебышева 66
1.14.3. Гамма-функция 66
1.14.4 Функции Бесселя 66
1.15. Операционное исчисление 67
1.15.1. Преобразование Лапласа 67
1.15.2. Применение операционного исчисления 68
1.16. Векторное и тензорное исчисления 68
1.16.1. Векторная алгебра 68
1.16.2. Векторный анализ 69
1.16.3. Тензоры 69
1.17. Приближенные вычисления 70
1.17.1. Общие положения 70
1.17.2. Приближенные формулы 71
1.18. Номография 71
1.18.1. Функциональная шкала 71
1.18.2. Номограммы из выравненных точек 71
1.18.3. Сетчатые номограммы 72
1.18.4. Номограммы для уравнений с числом переменных более трех 72
1.19. Приближенное представление функций 72
1.19.1. Постановка задачи 72
1.19.2. Интерполяционные формулы 72
1.19.3. Приближение функций по методу наименьших квадратов 74
1.19.4. Приближенное вычисление определенных интегралов 75
1.20. Ряды Фурье 76
1.20.1. Разложение функций в ряд Фурье 76
1.20.2. Интеграл Фурье 79
1.20.3. Приближенный гармонический анализ 80
1.21. Теория вероятностей 81
1.21.1. Понятие вероятности 81
1.21.2. Случайные величины 82
1.21.3. Обработка наблюдений 82
1.21.4. Основы теории корреляции 83
1.22. Математические таблицы 84
1.22.1. Степени, корни, натуральные логарифмы 84
1.22.2. Тригонометрические функции. Синусы и косинусы 92
1.22.3 Круговые, показательные и гиперболические функции 94
1.22.4. Некоторые постоянные 97
1.22.5. Соотношение между английскими и метрическими мерами 97
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Д-р техн. наук проф. А. Н. Обморшев. 99
СТАТИКА 99
2.1. Геометрическая статика 99
2.1.1. Основные положения 99
2.1.2. Сложение и разложение сил 100
2.1.3. Моменты сил и пар 100
2.1.4. Параллельные силы 101
2.1.5. Произвольная система сил 101
2.1.6. Правила прикрепления твердого тела 104
2.1.7. Системы с трением 104
2.1.8. Центр тяжести 105
2.2. Графостатика 106
2.2.1. Веревочный многоугольник 106
2.2.2. Применение веревочного многоугольника к определению опорных реакций 108
2.2.3. Определение усилий в стержнях плоских статически определимых ферм 109
2.2.4. Разложение силы по трем прямым, пересекающимся в одной точке и не лежащим в одной плоскости 110
2.2.5. Разложение силы по шести произвольно расположенным прямым 110
2.3. Аналитическая статика 111
2.3.1. Работа. Мощность 111
2.3.2 Потенциальная энергия 112
2.3.3. Принцип возможных перемещений 113
КИНЕМАТИКА 113
2.4. Кинематика точки 113
2.4.1 Прямолинейное движение точки 113
2.4.2. Криволинейное движение точки 114
2.4.3. Относительное движение точки 115
2.5. Кинематика твердого тела 115
2.5.1. Поступательное движение 115
2.5.2. Вращение вокруг неподвижной оси 115
2.5.3. Винтовое движение 116
2.5.4. Плоско-параллельное движение 116
2.5.5. Движение тела около неподвижной точки 117
2.5.6. Сложение скоростей или бесконечно малых перемещений при сложном движении твердого тела. Статико-кинематическая аналогия 117
2.5.7. Элементы кинематики механизмов 118
2.5.8. Кинематические пары, входящие в расчетные схемы сооружений 118
ДИНАМИКА 120
2.6. Механические единицы 120
2.6.1. Правило размерностей 120
2.7. Динамика точки 121
2.7.1. Основные законы 121
2.7.2. Прямолинейное движение точки 121
2.7.3. Криволинейное движение точки 122
2.7.4. Кинетостатика точки. Относительное движение 122
2.8. Динамика системы 122
2.8.1. Общие теоремы динамики 122
2.8.2. Общие принципы динамики системы 123
2.8.3. Моменты инерции 124
2.9. Динамика твердого тела 125
2.9.1. Вращение тела вокруг неподвижной оси 125
2.9.2. Физический маятник 125
2.9.3. Давление вращающегося тела на опоры 126
2.9.4. Плоско-параллельное движение 126
2.10. Удар 126
2.10.1. Основные положения 126
2.10.2. Удар двух тел 126
2.10.3. Действие удара на вращающееся твердое тело 127
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ. Д-р техн. наук И. И. Трапезин 129
3.1. Напряжения 129
3.1.1. Основные понятия 129
3.1.2. Одноосное напряженное состояние 129
3.1.3. Плоское напряженное состояние 130
3.1.4. Объемное напряженное состояние 130
3.1.5. Преобразование компонентов напряжения к новым осям координат 132
3.1.6. Интенсивность напряжений в данной точке 132
3.1.7. Круги Мора 133
3.2. Деформации 134
3.2.1. Компоненты деформаций 134
3.2.2. Определение угловой деформации и величин главных удлинений по удлинениям в трех направлениях в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния 135
3.2.3. Интенсивность деформаций 135
3.3. Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости 136
3.3.1. Закон Гука для изотропного тела 136
3.3.2. Закон Гука для анизотропного тела 137
3.3.3. Плоскость симметрии в отношении упругих свойств 137
3.3.4. Ортотропное упругое тело 137
3.3.5. Потенциальная энергия упругого тела 138
3.4. Связь между напряжениями и деформациями за пределами упругости 138
3.4.1 Условия пластичности 138
3.4.2 Напряжения и деформации при простом нагружении и при разгрузке 138
3.4.3 Диаграммы растяжения 139
3.4.4 Схематизация истинных диаграмм растяжения 139
3.4.5. Построение кривой зависимости 140
РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ. Кандидаты техн. наук доценты А. И. Коданев, В. Г.Чернашкин, Б. А. Дзержкович, чл.-корр. АСиА СССР канд. техн. наук С. А. Семенцов, канд. техн. наук Л. Н. Пицкель, д-р техн. наук проф. В. Н. Быковский, д-р техн. наук А. Б. Губенко, кандидаты техн. наук А. Г. Иммерман, Л В. Клепиков, В. А. Отставнов 141
4.1. Прочность материалов (А. И. Коданев) 141
4.1.1. Упругость, пластичность и разрушение 141
4.1.2. Влияние характера напряженного состояния 141
4.1.3. Влияние температуры 144
4.1.4. Влияние длительности нагружения 144
4.1.5. Влияние переменности нагрузки 145
4.1.6. Влияние концентрации напряжений 147
4.1.7. Влияние скорости приложения нагрузки 147
4.2. Строительные стали (В. Г. Чернашкин) 148
4.2.1. Основные понятия и обозначения 148
4.2.2. Физические свойства углеродистой стали 148
4.2.3. Химический состав и механические свойства углеродистой стали. Сталь углеродистая горячекатаная обыкновенного качества пс ГОСТ 380-50. Сталь углеродистая для мостостроения. Сталь углеродистая для армирования железобетонных конструкций 149
4.2.4. Химический состав и механические свойства низколегированной стали. Сталь низколегированная 10ХНДП (СХЛФ) с повышенным содержанием фосфора. Сталь низколегированная марки 10Г2СД (МК). Сталь низколегированная марок 14ХГС и 19Г. Сталь низколегированная марки 15ГС 156
4.3. Сплавы алюминия для строительства(Б. А. Дзержкович) 162
4.4. Бетон (С. А. Семенцов) 164
4.4.1. Прочность 164
4.4.2 Деформация 166
4.5. Каменные материалы (С. А. Семенцов) 171
4.5.1. Прочность 171
4.5.2 Деформации 173
4.6. Армированные материалы (Л. Н. Пицкель) 174
4.6.1. Общие сведения 174
4.6.2. Железобетон 175
4.6.3. Армоцемент 179
4.6.4. Армированные каменные конструкции 179
4.6.5. Армированный асбестоцемент 180
4.7. Древесина (В. Н. Быковский) 181
4.7.1. Общие сведения 181
4.7.2. Механические свойства 181
4.8 Пластмассы в строительных конструкциях (А. Б. Губенко) 183
4.8.1. Конструктивные пластмассы 183
4.8.2. Конструкции с применением пластмасс 185
4.8.3. Клеи и склеивание конструкций с применением пластмасс 186
4.9 Методы расчета конструкций 186
4.9.1. Метод расчета по расчетным предельным состояниям (Л. В. Клепиков, В. А. Отставнов) 186
4.9.2. Метод расчета по разрушающим нагрузкам (А. Г. Иммерман) 191
4.9.3. Метод расчета по допускаемым напряжениям (А. Г. Иммерман) 192
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ. Д-р техн. наук проф. А. А. Уманский 195
5.1. Основные положения технической теории бруса 195
5.1.1. Определения 195
5.1.2. Основные факторы работы бруса. Статико-кинематическая аналогия. Нагрузки и усилия. Деформации и перемещения. Статико-кинематическая аналогия 195
5.1.3. Интегральные соотношения между напряжениями и усилиями в поперечных сечениях 197
5.1.4. Соответствующие силы и перемещения, усилия и дислокации 197
5.1.5. Начальная, температурная и упругая распределенные деформации 199
5.1.6. Две системы координатных осей упругого бруса с несимметричным сечением 200
5.1.7. Упругое основание 200
5.1.8. Плоский неразветвленный упругий брус. Обобщенная статико-кинематическая аналогия 200
5.2. Определение нормальных напряжений 202
5.2.1. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев 202
5.2.2. Определение моментов инерции относительно исходных осей 203
5.2.3. Редуцирование площадей при вычислении моментов инерции 203
5.2.4. Общая формула нормального напряжения при растяжении-сжатии и изгибе. Нейтральная линия 205
5.2.5. Максимальные нормальные напряжения 206
5.2.6. Ядро сечения 206
5.2.7. Случай переменного модуля Е 207
5.2.8. Пользование центральными неглавными осями 207
5.3. Определение касательных напряжений и деформаций в брусьях. Особенности тонкостенных сечений 208
5.3.1. Расчет на срез (сдвиг) 208
5.3.2. Расчет на направленный срез (сдвиг). Формулы для погонных касательных усилий и напряжений 208
5.3.3. Касательные напряжения при изгибе. Центр изгиба 210
5.3.4. Деформация сдвига при изгибе брусьев с массивным сечением и двутавровых балок 212
5.3.5. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба открытых тонкостенных сечений 212
5.3.6. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба замкнутых тонкостенных сечений 215
5.3.7. Касательные напряжения и относительный угол закручивания при свободном кручении. Геометрические характеристики 217
5.3.8. Депланация при свободном кручении. Эпюры единичной депланаций при свободном кручении для тонкостенных сечений 219
5.3.9. Стесненное кручение 219
5.3.10. Сложное сопротивление тонкостенных брусьев. Приведение нагрузок к типам усилий 221
5.4. Классификация систем брусьев и общие методы строительной механики 222
5.4.1. Основные определения 222
5.4.2. Виды систем Балки. Арки. Рамы. Фермы. Комбинированные системы. Спаренные плоские системы (биконструкции) 223
5.4.3. Статический метод определения перемещений и кинематический метод определения усилий на примере балки. Инфлюенты (линии и поверхности влияния). Статический метод определения перемещения в статически определимой системе. Кинематический метод определения усилия в статически определимой системе. Обобщенная теорема о взаимности работ активных факторов, действующих на упругую систему. Формулы для перемещения в упругой с. н. системе. Формулы для усилия в с. н. системе. Теоремы о взаимности единичных перемещений и усилий 226
5.4.4 Метод потенциальной энергии. Выражение энергии деформации через обобщенные силы и обобщенные перемещения. Выражение энергии деформации через силы и единичные перемещения. Выражение энергии деформации системы брусьев через усилия. Теорема Кастильяно. Теорема о минимуме энергии деформации. Случай заданных (температурных или начальных) деформаций. Выражение энергии деформации через перемещения или дислокации. Теорема об экстремуме полной энергии. Случай нелинейно-деформируемой системы, когда энергия деформации не есть функция второй степени от нагрузок 229
5.5. Балки 231
5.5.1. Определение усилий и перемещений и построение эпюр в балках по методу начальных параметров. Общие положения. Обыкновенная балка постоянного сечения. Обыкновенная балка переменного сечения . «Графоаналитический» метод определения перемещений в обыкновенных балках. Концевые углы поворота сечений простой балки как фиктивные реакции 231
5.5.2. Абсолютно жесткая балка на упругом основании и обыкновенная балка с защемленными концами. Уравнения эпюр. Абсолютно жесткие балки со свободными концами на упругом основании. Обыкновенные балки с защемленными концами 238
5.5.3. Приемы, упрощающие построение эпюр и инфлюент статически определимых балок 240
5.5.4. Равнопролетные неразрезные балки на жестких опорах. Метод бесконечной основной системы. Полубесконечная балка. Бесконечная балка. Построение инфлюент. Конечная равнопролетная балка 241
5.5.5. Равнопролетные неразрезные балки постоянного сечения на упруго оседающих опорах. Метод начальных параметров. Бесконечная и полубесконечная балки. Расчет конечных равнопролетных балок по таблицам для бесконечных балок 243
5.5.6. Балка на упругом (винклеровском) основании. Общие данные. Уравнения эпюр. Однопролетная балка. Бесконечная двусторонняя балка. Полубесконечная балка. Использование бесконечной балки для расчета конечных балок (Метод компенсирующих нагрузок). Практические указания. Дополнительная литература 248
5.5.7. Общий метод расчета неразрезных балок на жестких опорах. Уравнение трех опорных моментов 253
5.5.8. Решение системы уравнений трех моментов и общих трехчленных уравнений. Аналитический способ. Графический способ. Определение чисел влияния. Построение инфлюент усилий Qu и Мu в промежуточных сечениях неразрезной балки и инфлюент реакций Vn 255
5.5.9. Неразрезная балка на упруго оседающих опорах. Уравнение пяти опорных моментов 262
5.6. Арки и простые рамы 263
5.6.1. Общие положения 263
5.6.2. Трехшарнирная арка. Реакции и усилия при постоянной нагрузке. Инфлюенты (линии влияния). Эпюры углов поворота и прогибов арки 263
5.6.3. Статически неопределимые арки. Универсальные формулы для усилий. Характеристики фиктивного профиля. Определение факторов Рф, Lx, Ly. Определение опорных моментов и опорных реакций. Инфлюенты усилий в бесшарнирной арке. Использование общих формул для расчета одно- и двухшарнирной арок. Упруго защемленная арка 266
5.6.4. Двухшарнирная арка. 269
5.6.5. Упрощенный расчет двухшарнирных и бесшарнирных параболических арок. Учет обжатия 270
5.6.6. Одноконтурные (простые) рамы. Статически определимые рамы. Статически неопределимые рамы. Упрощения в расчете геометрических характеристик гибкости и фиктивных нагрузок 272
5.6.7. Бесшарнирные арки и рамы под нагрузкой, перпендикулярной их плоскости 275
5.7. Сложные рамы 276
5.7.1. Классификация методов 276
5.7.2. Расчет рам по способу трех и четырех моментов. Закрепленная эстакада. Свободная эстакада. Простая балка переменного сечения как элемент основной системы. Ступенчатая стойка. Ломаная или криволинейная балка. Уравнение трех моментов для неразрезной балки с пролетами в виде параболических арок с затяжками. Зависимости между перемещениями и уравнения равновесия в сложных случаях 277
5.7.3. Метод перемещений. Общие положения. Формулы для усилий (реакций) защемлений от местной нагрузки или заданной деформации и перемещений торцов. Составление уравнений из условий равновесия. Стандартные формулы для составления уравнений метода перемещений. Канонические уравнения метода перемещений для свободной рамной эстакады 281
6.7.4. Метод сил. Общие положения. Выбор основной системы, составление и решение канонических уравнений. Специальные приемы упрощения и контроля расчета по методу сил. Дополнительная литература 287
5.8 Расчет рам методом последовательных приближений 291
5.8.1. Способ распределения моментов (инженеры А. Н. Газарян и Я. К. Канонов) . Несвободные рамы. Свободные рамы. Многоярусные рамы. Дополнительная литература 291
5.8.2. Способ распределения углов поворота (канд. техн. наук П. М. Сосис) 296
5.8.3. Расчет многоэтажных рам на горизонтальную нагрузку (канд. техн наук доц. Я. Б. Львин). Однопролетная рама. Применение однопролетной схемы к расчету многопролетных рам 298
5.8.4. Метод фокусов (фокусных отношений). Общие положения. Формулы и приемы метода моментных фокусов. Формулы метода угловых фокусов. Область применения метода фокусов 300
5.9. Расчет пространственных рам с взаимно перпендикулярными брусьями по методу перемещений 304
5.9.1. Основные зависимости и формулы 304
5.9.2. Пример 306
5.10. Тонкостенные брусья 307
5.10.1. Прямые тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и пренебрежимо малой жесткостью свободного кручения 307
5.10.2. Тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и конечной жесткостью свободного кручения 309
5.10.3. Кривые тонкостенные брусья и арки с жестким поперечным сечением 311
5.10.4. Рамы из тонкостенных брусьев и бирамы 312
5.10.5. Поперечные изгибающие моменты и учет деформации контура поперечного сечения в тонкостенных брусьях 312
5.10.6. Приближенный расчет тонкостенных брусьев и цилиндрических оболочек с открытым деформируемым поперечным сечением (д-р техн. наук проф. С. Н. Кан и канд. техн. наук доц. П. А. Школьный) 313
5.11. Специальные вопросы 316
5.11.1. Конструкции типа составных брусьев. Многоэтажные рамы под горизонтальной нагрузкой. Каркасно панельные стены. Составная балка с пенсами, работающими на изгиб, и стенкой, работающей на сдвиг. Многопоясные составные брусья 316
5.11.2. Комбинированные и предварительно напряженные конструкции. Комбинированные конструкции. Предварительно напряженные металлические балки 321
5.11.3. Гибкие нити. Общие положения. Провисание непологой нити под действием собственного веса. Пологая нить (канд. техн. наук Р. Н. Мацелинский). Примеры расчета (Р. Н. Мацелинский). Стальные канаты. Дополнительная литература 323
5.11.4. Пневматические конструкции (доц. В. Н. Архангельский и инж А. Н Глухарев). Определения и основные сведения. Особенности расчета ПК. Расчет оболочки, работающей на избыточное давление. Расчет аэробалки. Определение деформаций ПК. Материалы для ПК. Литература 329
РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Действ, член АСиА СССР д-р техн. наук проф.Б. Н. Жемочкин, д-р техн. наук проф.А. А. Уманский 339
6.1. Способ Гаусса 339
6.1.1. Схемы вычислений 339
6.1.2. Примеры 341
6.1.3. Решение трехчленных уравнений 344
6.1.4. Числа влияния и их определение по способу Гаусса 344
6.2. Способ последовательных приближений (способ итерации) 345
6.3. Решение уравнений с помощью настольных вычислительных машин (инженеры К. П. Вишневский и Б. Л. Тарнопольский) 348
6.3.1. Компактные схемы способа Гаусса 348
6.3.2. Метод квадратных корней 351
6.4. Механизация решений уравнений 351
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ. Канд. техн. наук доц. В. В. Новицкий 353
7.1. Геометрические характеристики при растяжении-сжатии и изгибе 353
7.2. Приближенные значения радиусов инерции 362
7.3. Положение центра изгиба некоторых сечений 363
7.4. Геометрические характеристики при свободном кручении 365
7.5. Положение центра изгиба и бимоменты инерции сечений составных профилей 367
7.6. Геометрические характеристики двутавров и швеллеров при свободном и стесненном кручении 368
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ. Инж. М. С. Волчегорский, инж. Д. Л. Шапиро, д-р техн. наук проф. А. А. Уманский 369
8.1. Балки 369
8.1.1. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от различных нагрузок 369
8.1.2. Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы и углы поворота концевого сечения 372
8.1.3. Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты, прогибы, углы поворота опорных сечений, грузовые члены 374
8.1.4. Однопролетные балки с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами. Опорные реакции и опорные моменты 384
8.1.5. Прогибы однопролетных балок с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами 389
8.1.6. Прогибы в сечениях с простой балки от сосредоточенного груза Р в сечении х 390
8.1.7. Коэффициенты приведения нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной интенсивностью Pэк для определения опорных моментов в неразрезных балках 393
8.1.8. Неразрезные равнопролетные балки. Изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузок а) Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки. б) Бесконечная балка с равными пролетами. в) Определение абсциссы (х0) максимальных пролетных моментов в неразрезных балках 394
8.1.9. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы в сечениях (через 0.1l) и опорные реакции от равномерно распределенной нагрузки: постоянной g и временной р (таблицы Винклера) 401
8.1.10. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы а различных сечениях и опорные реакции от сосредоточенных грузов: постоянных G и временных Р 403
8.1.11. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с одним защемленным концом 406
8.1.12. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с обоими защемленными концами 406
8.1.13. Прогибы в равнопролетных неразрезных балках (в середине пролета) 408
8.1.14. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках при осадке опор а) Двух-, трех-, четырех- ч пятипролетные балки. б) Полубесконечная балка. в) Бесконечная балка 410
8.1.15. Ординаты инфлюент (линий влияния) изгибающих моментов и поперечных сил для неразрезных равнопролетных балок 411
8.1.16. Данные для расчета однопролетных подкрановых балок под один кран 413
8.1.17. Данные для расчета неразрезных пятипролетных балок с равными пролетами под два одинаковых крана. Огибающие эпюры М и Q 414
8.1.18. Данные для расчета балок и ригелей рам с вутами а) Симметричная шарнирно опертая по концам балка с вутами. б) Симметричная с защемленными концами балка с вутами. в) Балка с левым односторонним вутом, шарнирно опертая по концам .г) Балка с левым односторонним вутом, защемленная левым концом и шарнирно опертая правым .д) Балка с левым односторонним вутом и обоими защемленными концами. е) Неразрезные равнопролетные балки с симметричными вутами 417
8.1.19. Ординаты инфлюент опорного момента бесконечной балки на упруго оседающих опорах 423
8.1.20. Ординаты инфлюент опорного момента Мг полубесконечной балки на упруго оседающих опорах 423
8.1.21. Данные для расчета перекрытий с перекрестными балками (кессонные перекрытия).а) Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках. б) Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане перекрытиях 424
8.1.22. Усилия в элементах шпренгельной балки. а) Статически определимый шпренгель. б) Статически неопределимый шпренгель 425
8.1.23. Данные для расчета балок с защемленными концами, с ломаной в плане осью 427
8.2. Арки 430
8.2.1. Геометрические данные осей параболической и круговой арок 430
8.2.2. Симметричные трехшарнирные арки любого очертания. Распоры, опорные реакции и изгибающие моменты от различных нагрузок 431
8.2.3. Трехшарнирные круговые и параболические арки. Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от равномерно распределенной нагрузки 433
8.2.4. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от сосредоточенного груза 435
8.2.5. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 435
8.2.6. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 436
8.2.7. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 437
8.2.8. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от действия вертикальной сосредоточенной силы 440
8.2.9. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции от симметричной равномерно распределенной нагрузки 441
8.2.10. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузки 442
8.2.11. Бесшарнирные параболические арки а) Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок. б) Инфлюенты распора, опорной реакции, опорного момента и момента в середине пролета 443
8 2.12. Дополнительные геометрические данные для параболических, круговых и эллиптических арок 447
8.2.13. Бесшарнирная параболическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 447
8.2.14. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной параболической арке переменной толщины 449
8.2.15. Опорные моменты от собственного веса бесшарнирных параболических арок переменной толщины 449
8.2.16. Бесшарнирная круговая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 450
8.2.17. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной круговой арке переменной толщины 452
8.2.18. Опорные моменты и распоры от собственного веса бесшарнирных круговых арок переменной толщины 452
8.2.19. Бесшарнирная эллиптическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 453
8.2.20. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной эллиптической арке переменной толщины 454
8.3. Рамы 455
8.3.1. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем. а) Ригель и стойка шарнирно оперты. б) Ригель шарнирно оперт, стойка защемлена 455
8.3.2. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и защемленной стойкой 457
8.3.3. Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и защемленной стойкой 459
8.3.4. Моменты в Т-образной раме с защемленными ригелем и стойкой 461
8.3.5. Моменты и реакции П-образной рамы с шарнирно прикрепленным ригелем. а) Стоики постоянного сечения. б) Стойки ступенчатого сечения 463
8.3.6. Моменты и реакции П-образной рамы. а) С шарнирно прикрепленными стойками. б) С защемленными стойками 465
8.3.7. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 467
8.3.8. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 468
8.3.9. Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 470
8.3.10. Моменты в Т-образной раме с защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 472
8.3.11. Простые симметричные рамы. Вспомогательные формулы к 5.6.6 а) Характеристики гибкости рамы, увеличенные в ЕI раз. б) Эпюры M и фиктивные нагрузки ломаного ригеля приведенные к точкам А, С, В. в) Эпюры М и фиктивные нагрузки левой ступенчатой стойки, увеличенные в ЕI раз. Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце 474
8.3.12. Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце 477
8.3.13. Коэффициенты k0 для определения в ступенчатых стойках: а) перемещения верха защемленной внизу стойки от силы Х=1. б) реакции Нb в случае стойки, защемленной внизу и шарнирно опертой наверху, от взаимного горизонтального смещения опор на =1; в) реакции Нb от поворота нижнего сечения на угол = 1 479
8.3.14. Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым верхним концом. а) Реакции Нb от действия момента Мв = Ра. б) Реакции Hb от действия момента Ми=Ран. в) Реакции Hb от действия горизонтальной силы Р. г) Реакции Нb от действия горизонтальной силы Pн. д) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рв. е) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рн. ж) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки по всей высоте стойки. з) Реакции Нb от действия горизонтальной треугольной нагрузки 480
8.3.15 Моменты и реакции ступенчатой стойки с защемленными концами 487
8.3.16. Ступенчатая стойка с защемленными концами. Моменты защемления при различных n и l.а) от поворота верхнего сечения на угол = 1; б) от поворота нижнего сечения на угол =1; в) от взаимного смещения опорных сечений на =1; г) от равномерно распределенной нагрузки; д) от сосредоточенной силы; е) от внешнего момента 488
8.3.17. Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми ригелями и ступенчатыми защемленными стойками. а) Горизонтальная сосредоточенная нагрузка. б) Горизонтальная равномерно распределенная нагрузка. в) Действие внешнего момента на стойку рамы. г) Примеры 491
8.3.18. Изгибающие моменты в одноэтажных многопролетных рамах. а) Двухпролетные рамы. б) Трехпролетные рамы. в) Четырехпролетные рамы. г) Примеры 495
8.3.19. Изгибающие моменты в ригелях многоэтажных рам с равными пролетами 503
8.3.20. Формулы для подсчета интегралов Мора 506
8.4. Балки на упругом (винклеровском) основании 508
8.4.1. Гиперболо-круговые функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров 508
8.4.2. Начальные параметры балок на упругом основании 513
8.4.3. Затухающие функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров 514
8.4.4. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенной силы Р= 1 (инфлюенты) 516
8.4.5. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенного момента L= 1 (инфлюенты) 517
РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА. Канд. техн. наук доц. Ю. П. Григорьев 519
9.1. Нагрузка в плоскости кривизны 519
9.1.1. Круговые брусья. Основные обозначения и общие указания. Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках. Общие формулы для усилий и перемещений. Усилия в ключевом сечении бруса, защемленного двумя концами 519
9.1.2. Круговые кольца. Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках. Расчет круговых шпангоутов. Формулы для расчета круговых колец, нагруженных произвольным числом сосредоточенных сил и моментов 524
9 2. Нагрузка, перпендикулярная плоскости кривизны 531
9.2.1. Круговые брусья. Основные обозначения и общие указания. Формулы для усилий и перемещений кругового бруса при простейших нагрузках. Общие формулы для расчета 6pуca, нагруженного сосредоточенными силами и моментами. Усилия в ключевом сечении тонкостенного бруса, защемленного двумя концами. Монорельс на трех и на четырех равноотстоящих опорах 531
9.2.2. Расчет массивных и тонкостенных круговых колец при статически определимом опирании 541
9.2.3. Расчет круговых колец на равноотстоящих опорах 546
9.3. Брусья большой кривизны. Напряжение при изгибе. Перемещения при изгибе в плоскости кривизны 551
Раздел 10. ФЕРМЫ. Канд. техн. наук А. Г. Иммерман 553
10.1. Плоские фермы 553
10.1.1. Элементы и классификация плоских ферм 553
10.1.2. Основные положения расчета 553
10.1.3. Определение усилий в статически определимых фермах при неподвижной нагрузке. Установление неработающих стержней и стержней, усилия в которых определяются местной нагрузкой. Аналитическое определение усилий. Графическое определение усилий. Определение усилий по готовым формулам, таблицам и графикам. Расчет ферм на внеузловую нагрузку. Расчет составных ферм. Фермы с гибкими пересекающимися раскосами. Фермы с «окном». Способ замены стержней. Тонкостенные фермы. Распорные и комбинированные фермы 555
10.1.4. Перемещения узлов статически определимых ферм. Исходные данные для определения перемещений. Аналитическое определение перемещений. Графическое определение перемещений. Построение эпюры прогибов пояса фермы по способу фиктивных грузов 560
10.1.5. Инфлюенты усилий и перемещений в статически определимых фермах. Статический способ построения инфлюент усилий. Кинематический способ построения инфлюент усилий. Инфлюента перемещения. Невыгодная установка грузов на инфлюенте 563
10.1.6. Определение усилий в статически неопределимых фермах при неподвижной нагрузке. Приближенные способы расчета. Метод сил. Метод заданных напряжений. Фермы с нецентрированными узлами. Учет жесткости узлов. Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннами. Работа нулевых стержней. Проверка расчета ферм 566
10.1.7. Определение перемещений в статически неопределимых фермах 569
10.1.8. Инфлюенты усилий в статически неопределимых фермах 569
10.2. Плоские фермы, соединенные связями (биконструкции) 570
10.2.1. Определение и классификация 570
10.2.2. Основные положения расчета 570
10.2.3. Определение усилий в биконструкциях 571
10.2.4. Статически неопределимые и многорядные биконструкции 572
10.3. Пространственные фермы 573
10.3.1. Классификация и основные положения образования и расчета 573
10.3.2. Общие методы определения усилий 574
10.3.3. Расчет куполов 576
10.3.4. Расчет башен и мачт 576
10.4. Предварительно напряженные фермы 577
10.4.1. Определение. Основные положения расчета и конструирования 577
10.4.2. Фермы с предварительно напряженными отдельными стержнями 577
10.4.3. Предварительно напряженные фермы с затяжками 578
РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. Д-р техн. наук проф. И. И. Гольденблат 581
11.1. Основные уравнения теории упругости 581
11.1.1. Уравнения равновесия 581
11.1.2. Уравнения совместности деформаций 582
11.1.3. Определение перемещений по заданным составляющим тензора деформаций 583
11.1.4. Схемы решения задач теории упругости. Уравнения Ляме 584
11.1.5. Потенциальная энергия деформации. Начало наименьшей работы 585
11.1.6. Некоторые частные решения 585
11.2. Плоская задача 585
11.2.1. Плоское напряженное состояние 585
11.2.2. Плоская деформация 585
11.2.3. Функция напряжений для плоской задачи 586
11.2.4. Плоская задача в полярных координатах 586
11.2.5. Сведение плоской задачи к задаче об изгибе пластинки 587
11.3. Вариационные методы решения задач теории упругости 588
11.3.1. Метод Ритца 588
11.3.2. Метод Галеркина 590
11.3.3. Метод Треффца (метод смягчения граничных условий) 591
11.4. Метод сеток 591
11.4.1. Тринадцатичленное уравнение 591
11.4.2. Применение метода конечных разностей к расчету балки-стенки 592
11.5. Сводка некоторых решений теории упругости 594
11.5.1. Чистый изгиб 594
11.5.2. Поперечный изгиб консоли 594
11.5.3. Поперечный изгиб балки 595
11.5.4. Изгиб кривого бруса (задача X. С. Головина) 596
11.5.5. Клин, сжатый сосредоточенной силой 596
11.5.6. Толстостенные цилиндры и сферический сосуд 596
11.5.7. Упругая полуплоскость и упругое полупространство 597
11.6. Концентрация напряжений 597
11.6.1. Концентрация напряжений при растяжении 597
11.6.2. Концентрация напряжений при изгибе (инж. Г. Ю. Ратновская). Балка с круглым отверстием. Балка с отверстием квадратной формы 598
11.7. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения 599
11.8. Балки-стенки 600
11.8.1.Однопролетная балка-стенка 600
11.8.2. Многопролетная балка-стенка 600
11.9. Панели крупнопанельных и каркасно-панельных зданий 605
РАЗ

Опорные реакции балки с простой опорой: артикул

Опорные реакции балки с простой опорой

Содержание

Введение

Балка с простой опорой является одной из самых простых конструкций. У него всего две опоры, по одной с каждой стороны. Одна — это опора с штифтами, а другая — роликовая опора. В этой конфигурации лучу запрещается любое вертикальное движение на обоих концах, в то время как он может свободно вращаться. Благодаря роликовому опору он также может расширяться или сжиматься в осевом направлении, хотя свободному горизонтальному перемещению препятствует другая опора.

Удаление любой из опор при вставке внутреннего шарнира приведет к тому, что балка с простой опорой перейдет в механизм, то есть тело перемещается без ограничений в одном или нескольких направлениях. Очевидно, это нежелательно для несущей конструкции. Следовательно, балка с простой опорой не обеспечивает избыточности в плане опор, и в случае локального отказа вся конструкция рухнет. Структуры такого типа, которые не обеспечивают избыточности, называются критическими структурами или детерминантными структурами.Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной структурой.

Статический анализ — как найти реакции

Поскольку балка без опоры является детерминированной структурой, можно получить ее статический отклик, используя только уравнения равновесия. Эти уравнения требуют, чтобы сумма всех сил и моментов, действующих на конструкцию в любом направлении, включая приложенные нагрузки и опорные реакции, была равна нулю.{any point} = 0

Первые два уравнения обеспечивают равновесие сил в направлениях x и y (декартова система осей, которую можно определить произвольно, в зависимости от случая). Третье уравнение обеспечивает равновесие всех моментов вокруг определенной точки, которая может быть любой точкой на плоскости.

Пример 1: опорные реакции свободно опертой балки с точечной нагрузкой

Определите опорные реакции центрально нагруженной свободно опертой балки с точечной силой P в середине

Назначение неизвестных опорных реакций переменным R_A, H_A и R_B, как показано на рисунке, три уравнения равновесия определены следующим образом:

• В направлении x к конструкции не приложена сила.Есть только неизвестная реакция поддержки H_A. Таким образом, первое уравнение равновесия:

\ sum F_x = 0 \ Rightarrow H_A = 0

• Вдоль направления y приложенная сила P приложена к центру балки, а также опорные реакции R_A и R_B. Таким образом, первое уравнение равновесия:

\ sum F_y = 0 \ Rightarrow R_A + R_B-P = 0

• Для третьего уравнения мы должны выбрать одну точку, вокруг которой рассчитываются моменты. Часто удобнее выбрать точку, через которую направляются некоторые силы (например, точка A в нашем примере), потому что результирующие моменты для этих сил будут равны нулю.{A} = 0 \ Rightarrow H_A 0 + R_A 0-P {L \ over2} + R_B L = 0

  Есть три неизвестных, и у нас есть три уравнения, поэтому можно решить систему уравнений и получить неизвестные реакции поддержки. H_A находится непосредственно из первого уравнения, равного нулю. Если вдоль продольной оси балки не действует нагрузка, эта реакция всегда будет равна нулю. Из третьего уравнения мы можем напрямую получить R_B:

  -P {L \ over2} + R_B L = 0 \ Rightarrow

  R_B = {P \ over2}

  И, наконец, подставив R_B во второе уравнение, R_A должно быть также найдено:

  R_A + {P \ over2} -P = 0 \ Rightarrow

  R_A = {P \ over2}

  Когда наложенная нагрузка является распределенной, процедура остается той же, при условии, что вы замените ее на эквивалентная точечная сила, имеющая:

  • в том же направлении
  • величину, равную общей силе распределенной нагрузки
  • точка приложения в центре тяжести распределенной нагрузки

  Пример 2: опорные реакции свободно опертой балки с распределенной нагрузкой

  Найдите реакции следующей балки с простой опорой и равномерно распределенной нагрузкой, приложенной к ее половине пролета.

  Перед тем, как перейти к уравнениям равновесия, мы заменим распределенную нагрузку эквивалентной точечной силой W. Эта сила должна иметь то же направление вниз и величину, равную полной нагрузке, то есть W = wL / 2. Его точка приложения должна быть расположена в центре тяжести распределенной нагрузки, которую он заменяет, в данном случае на расстоянии четверти длины от правого конца балки. На следующем рисунке показана балка с эквивалентной нагрузкой, которую мы собираемся использовать для равновесия.

  Затем мы назначаем неизвестные реакции опоры переменным R_A, H_A и R_B, и мы определяем оси x, y, как показано на рисунке ниже.

  Поскольку отсутствует горизонтальная составляющая приложенных нагрузок, реакция H_A должна быть равна нулю в силу уравнения равновесия \ sum F_x = 0. Остальные два нетривиальных уравнения равновесия записаны ниже с учетом положительных направлений. , обозначенное нашей системой осей:

  \ sum F_y = 0 \ Rightarrow R_A + R_B- {wL \ over 2} = 0

  \ \ circlearrowleft \ sum M ^ {A} = 0 \ Rightarrow R_A 0- {wL \ over 2} {3L \ over4} + R_B L = 0

  Из последнего уравнения мы можем найти R_B:

  — {3wL ^ 2 \ over4} + R_B L = 0 \ Rightarrow

  R_B = {3wL \ over8}

  Подставляя R_B в первое уравнение, мы можем найти оставшуюся неизвестную реакцию R_A:

  R_A + {3wL \ over8} — {wL \ over 2} = 0 \ Rightarrow

  R_A — {wL \ over8} = 0 \ Rightarrow

  R_A = {wL \ over8}

  Похожие страницы

  Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

  Реакции пучков и диаграммы — Приложение к сопротивлению материалов для энергетики

  Диаграммы

  Цели обучения

  В конце этой главы вы должны уметь:

  • Определение реакции свободно опертых, выступающих и консольных балок
  • Рассчитайте и начертите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента балок, подверженных сосредоточенным нагрузкам, равномерно распределенным нагрузкам и их комбинациям.

  Балки обзор

  Балки — это структурные элементы для различных инженерных применений, таких как крыши, мосты, механические узлы и т. Д. В целом балки являются тонкими, прямыми, жесткими, изготовлены из изотропных материалов и, что наиболее важно, подвергаются нагрузкам, перпендикулярным их продольной оси. Если вместо перпендикулярных нагрузок тот же элемент конструкции будет подвергаться продольным нагрузкам, он будет называться колонной или стойкой. Если тот же самый элемент будет подвергаться крутящему моменту, он будет называться и рассматриваться как вал.Поэтому при определении механических или конструктивных компонентов очень важно учитывать способ нагрузки.

  Обратите внимание, что когда дело доходит до ориентации, балки могут быть горизонтальными, вертикальными или с любым наклоном между ними (например, погруженные пластины, анализируемые в гидромеханике)… при условии, что нагрузка перпендикулярна их главной оси.

  Опоры балок:

  Нагрузки на балку :

  Нагрузки	Символ	Примеры	Покрытый
  Точка, также называемая		колеса автомобиля колонки человек на трамплине	Есть
  Равномерное распределенное		вес балки Снеговая нагрузка на ферму крыши	Есть
  Переменная Распределенная		гидростатическая нагрузка на подводную поверхность свая из заполнителя Балка переменного сечения	Есть
  Концентрированные моменты			№

  Типы балок:

  Решение для лучевых реакций

  При решении для реакций рекомендуются следующие шаги:

  1. Нарисуйте диаграмму тела без балки
  2. Замените равномерно распределенную нагрузку (если есть) эквивалентной точечной нагрузкой
  3. Решите ΣM _A = 0 (сумма моментов относительно опоры A).Это даст вам R _B (реакция на поддержку B).
  4. Решите ΣM _B = 0. Это даст вам R _A .
  5. Используя R _A и R _B , найденный на шагах 3 и 4, проверьте, удовлетворяется ли ΣV = 0 (сумма всех вертикальных сил).
     1. Обратите внимание, что шаги 4 и 5 можно поменять местами.
     2. Для консольной балки используйте ΣV = 0, чтобы найти вертикальную реакцию на стене, и ΣM _wall = 0, чтобы найти моментную реакцию на стене. Другого уравнения для подтверждения ваших результатов нет.

  Диаграммы поперечных сил и изгибающих моментов

  Обратите внимание:

  «Сдвиговые силы — это внутренние силы, развивающиеся в материале балки для уравновешивания приложенных извне сил для обеспечения равновесия всех частей балки.

  Изгибающие моменты — это внутренние моменты, возникающие в материале балки для уравновешивания тенденции внешних сил вызывать вращение любой части балки ». [3]

  Сила сдвига в любом сечении балки может быть найдена путем суммирования всех вертикальных сил слева или справа от рассматриваемого сечения.

  Точно так же изгибающий момент в любом сечении балки может быть найден путем сложения моментов слева или справа от рассматриваемого сечения. Опорной точкой момента является рассматриваемое место.

  По соглашению внутренние сдвигающие силы, действующие вниз, считаются положительными. Они противодействуют восходящим внешним силам. Следовательно, при представлении поперечных сил вы можете нарисовать их в направлении внешних сил. Это визуально проще, чем следовать условным обозначениям.

  Моменты по часовой стрелке обычно считаются отрицательными, а моменты против часовой стрелки — положительными. При представлении изменения изгибающего момента обратитесь к следующей таблице, в которой показаны качественные кривые изгибающего момента в зависимости от формы графиков поперечной силы.

  .

  При построении диаграмм поперечного усилия и изгибающего момента, хотя условные обозначения важны, согласованность имеет решающее значение. Например, рассмотрим простую балку, нагруженную точечной нагрузкой, приложенной к нагрузке UD.Запуск диаграмм на опоре A, глядя на страницу, выдаст следующее:

  Теперь переверните луч горизонтально на 180 ° (или измените точку наблюдения, глядя на луч с противоположной стороны) и начертите диаграммы, начиная с той же точки A. Диаграммы будут выглядеть следующим образом:

  Обратите внимание, что, хотя диаграммы поперечных сил выглядят как зеркальные изображения (перевернутые по горизонтали), на диаграмму изгибающего момента это не влияет. Кроме того, наиболее важный результат этого анализа показывает, что значения максимальной силы сдвига и изгибающего момента всегда будут одинаковыми.

  КПП КПП

  При построении схем балок необходимо учитывать следующее:

  Диаграммы поперечных сил:

  • На концах балки с простой опорой сила сдвига равна нулю.
  • У стены консольной балки поперечная сила равна вертикальной реакции у стены. На свободном конце балки поперечная сила равна нулю.
  • На любом сегменте балки, где отсутствуют нагрузки, поперечная сила остается постоянной (горизонтальная линия).
  • Точечная нагрузка или реакция на диаграмме поперечных сил приводит к резкому изменению диаграммы в направлении приложенной нагрузки.
  • Равномерно распределенная нагрузка, действующая на балку, представлена ​​прямой поперечной силой с отрицательным или положительным наклоном, равной нагрузке на единицу длины.

  Диаграмма изгибающих моментов:

  • На концах свободно опертой балки изгибающие моменты равны нулю.
  • У стенки консольной балки изгибающий момент равен моменту реакции.На свободном конце изгибающий момент равен нулю.
  • В том месте, где поперечная сила пересекает нулевую ось, соответствующий изгибающий момент имеет максимальное значение.
  • Форма кривой изгибающего момента между двумя точками балки показана в двух приведенных выше таблицах.
  • Изменение изгибающего момента между двумя точками балки равно площади под диаграммой поперечных сил между теми же двумя точками.

  Приведенные выше рекомендации помогут вам в построении диаграмм направленности; они также служат проверкой.

  Назначенные задачи

  Рассчитайте реакции балки и нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для следующих балок.

  При решении диаграмм пучка в классе и дома вы можете проверить свои ответы с помощью бесплатного онлайн-калькулятора пучка: SkyCiv Cloud Engineering Software

  Задача 1: Укажите максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента.

  Задача 2: Укажите максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента.
  

  Проблема 3: Балка длиной 24 метра просто опирается на 3 метра с каждого конца. Балка несет точечную нагрузку 18 кН на левом конце и 22 кН на правом конце балки. Балка весит 400 кг / м. Нарисуйте схемы балок и определите место на балке, где изгибающий момент равен нулю.

  Задача 4: Простая свисающая балка длиной 112 футов выступает над левой опорой на 14 футов. Балка несет сосредоточенную нагрузку в 90 тысяч фунтов на 12 футов от правого конца и равномерно распределенную нагрузку в 12 тысяч фунтов / фут на 40 футов. раздел с левого конца.Нарисуйте схемы балок и определите поперечную силу и изгибающий момент на участке в 50 футах от левого конца.

  Проблема 5: Предложите улучшение этой главы.

  Расчет опорных реакций — статически детерминированная балка

  Задача 4-1

  Находить реакции на опоре следующей балки, показанной на рисунке 4-1 (а).

  Рисунок 4-1 (a)

  Решение:

  В данная балка рассматривается как двухмерная структура. Свободное тело Схема балки приведена на рисунке 4-1 (b), на котором показаны все компоненты реакции ( A _x , A _y , B _y ) и прикладной нагрузки. Этот луч статически определен, так как может иметь только 3 компоненты реакции; 2 на шарнирной опоре в точке A и 1 в точке роликовая опора в точке B, и есть 3 возможных уравнения статическое равновесие ΣF _x = 0, ΣF _y = 0, ΣM _z = 0; ( Ось X и Ось Y, как показано на рисунке, а ось Z перпендикулярна плоскость x-y.)

  Рисунок 4-1 (b) Схема свободного тела

  Применяя уравнения статики равновесие:

  ΣF _x = 0; A _x = 0; (ур. 1)

  ΣF _y = 0; A _y + B _y 10 20 4 = 0;

  A _y + B _y = 90 кН; (ур.2)

  Учитывая ось z, проходящую через A, и принимая момент всех сил вокруг оси z (принимая по часовой стрелке ve и против часовой стрелки + ve) ;

  ΣM _z = 0; B _y 10-10 8 20 4 2 = 0 (уравнение 3)

  Решение уравнения. 3 выхода B _y = 24 кН;

  Подставляем значение B _y в экв.4-2 дает A _y = 66 кН.

  Вы можете посетить следующие ссылки на решенные примеры по расчету изгибающего момента и поперечной силы и построению диаграмм
  

  Калькулятор нагрузки на балку

  Этот калькулятор нагрузки на балку поможет вам определить реакции на опорах балки с простой опорой из-за вертикальных точечных нагрузок или сил. В этом калькуляторе вы узнаете, что такое реакция опоры , и научитесь основам расчета грузоподъемности балки.

  Знание того, как найти опорные реакции, — отличное место для начала при анализе балок, например, при определении отклонения балки. Продолжайте читать, чтобы узнать больше.

  Что такое реакция поддержки?

  Согласно третьему закону движения Ньютона , каждая сила, действующая на объект, имеет равную и противоположную реакцию. Если вы пытаетесь оттолкнуться от чего-то, скажем, стены, вам кажется, что стена тоже отталкивается от вас. Именно это и описывает третий закон движения Ньютона.

  В машиностроении элементы конструкции, такие как балки и колонны, взаимодействуют друг с другом в точках, где они встречаются. Представьте себе балку, которая поддерживается на месте двумя колоннами. Вес балки давит на колонны, и, благодаря третьему закону движения Ньютона, мы можем также сказать, что колонны оказывают на балку эквивалентную противоположную силу реакции. Мы называем эти силы реакции опорными реакциями .

  На балке с простой опорой реакции опоры на каждом конце балки могут быть одинаковыми или иметь разные значения.Их значения зависят от приложенных нагрузок на балку. Если на более близком расстоянии к одной опоре находится больше нагрузок, эта опора испытывает большую силу и, следовательно, большую реакцию.

  Как рассчитать опорные реакции в балке?

  Поскольку опорные реакции действуют в направлении, противоположном силе, мы можем сказать, что вся система находится в равновесии. Это означает, что балка не движется, а сумма сил и моментов дает ноль. Приравнивая моменты от нагрузки к моментам от опорных реакций , мы можем затем определить реакции на опорах.

  Так же, как при расчете крутящего момента, мы также можем выполнить суммирование моментов на каждой опоре, чтобы найти реакции. Ниже мы выражаем суммирование, Σ , моментов на опоре A, чтобы найти реакцию на опоре B, обозначенную как R B , как показано ниже:

  Σ (F * x) - (R B * диапазон) = 0

  (F 1 * x 1 ) + (F 2 * x 2 ) + (F 3 * x 3 ) +... + (F n * x n ) - (R B * диапазон) = 0

  где:

  • F , F 1 , F 2 , F 3 и F n — Точечные нагрузки на балку на расстоянии x , x 1 , x 2 x 3 и x n от опоры A соответственно;
  • R B — Реакция на опоре B; и
  • пролет — Длина балки между опорой A и опорой B.

  Переставив уравнение, мы можем выделить R B следующим образом:

  R B * диапазон = (F 1 * x 1 ) + (F 2 * x 2 ) + (F 3 * x 3 ) + ... + ( F n * x n )

  R B = ((F 1 * x 1 ) + (F 2 * x 2 ) + (F 3 * x 3 ) +... + (F n * x n )) / диапазон ✔

  Теперь, когда у нас есть выражение для нахождения R B , и поскольку мы знаем, что общие приложенные силы равны сумме реакций, теперь мы также можем найти реакцию на опоре A R A , используя следующие уравнения:

  Σ (F) = Rᴀ + Rʙ

  R A = Σ (F) - Rʙ ✔

  Пример расчета реакции опоры

  Предположим, у нас есть 4.0-метровая балка с простой опорой длиной с приложенной точечной нагрузкой 10,0 килоньютон (кН) на расстоянии 2,0 метра от опоры A и другой точечной нагрузкой 3,5 кН на расстоянии 1,5 метра от опоры B , как показано ниже:

  Для расчета R _B сформулируем уравнение равновесия моментов следующим образом:

  R B = (F 1 * x 1 + F 2 * x 2 ) / диапазон

  R B = (10 кН * 2.0 м + 3,5 кН * (4,0 м - 1,5 м)) / 4,0 м

  R B = (20 кН-м + 3,5 кН * 2,5 м) / 4,0 м

  R B = (20 кН-м + 8,75 кН-м) / 4,0 м

  R B = 7,1875 кН

  Произведя сложение сил, получим:

  Σ (F n ) = 0

  Факс 1 + Ф 2 + (-Rᴀ) + (-Rʙ) = 0

  10 кН + 3.5 кН + (-Rᴀ) + (-7,1875 кН) = 0

  R A = 10 кН + 3,5 кН - 7,1875 кН

  R A = 6,3125 кН

  Обратите внимание, что для этого суммирования , мы рассмотрели все силы, направленные вниз, , как положительные, и все силы, направленные вверх, , как отрицательные . Основываясь на наших расчетах выше, мы теперь получили реакции на опорах A и B, которые составляют 6,3125 кН и 7,1875 кН , соответственно.

  Также обратите внимание, что в этом примере и в калькуляторе нагрузки на балку мы предполагали, что балка невесома. Однако, если указан вес балки, вы можете рассматривать ее как еще одну направленную вниз точечную нагрузку в центре или центроиде балки.

  Использование нашего калькулятора нагрузки на балку

  Наш калькулятор легок и прост в использовании. Все, что вам нужно сделать, это ввести пролет балки , величину точечных нагрузок и их расстояния от опоры A .Сначала вы увидите поля только для двух нагрузок (Нагрузка 1 и Нагрузка 2), но как только вы введете значение для x ₂ , появятся поля для Нагрузки 3 и так далее.

  Если вы хотите ввести восходящую нагрузку, просто введите отрицательное значение для величины нагрузки. Всего в наш калькулятор нагрузки на балку можно ввести до 11 точечных нагрузок.

  Хотите узнать больше?

  Теперь, когда вы узнали, как рассчитать допустимую нагрузку на балку, определив реакции на опорах, возможно, вы также захотите узнать больше о том, что такое прогиб балки и изгиб балки.

  Непрерывная балка — опорные силы момента и реакции

  Непрерывная балка с распределенной нагрузкой

  Для неразрезной балки с 3, 4 или 5 опорами и распределенной нагрузкой силы реакции опоры могут быть рассчитаны как

  R = c _r q L (1)

  где

  R = сила реакции опоры (Н, фунт _f )

  c _r = коэффициент силы реакции опоры из рисунка выше

  q = распределенная нагрузка (Н / м, фунт _f / фут)

  L = длина пролета (м, фут)

  Моменты могут быть рассчитаны как

  M = c _м q L ² (2)

  где

  M = момент балки (Нм, фунт _f футов)

  c _м = коэффициент момента Пример из рисунка выше

  Пример — Непрерывная балка с распределенной нагрузкой

  Силы реакции в концевых опорах для неразрезной балки с 3 опорами и распределенной нагрузкой 1000 Н / м можно рассчитать как

  R _конец = (0.375) (1000 Н / м)

  = 375 Н
  

  = 0,38 кН

  Силу реакции в центральной опоре можно рассчитать как

  R _центр = (1,250) (1000 Н / м)

  = 1250 Н

  = 1,25 кН

  Моменты балки в середине пролета с длиной пролета 1 м можно рассчитать как

  M _конец = (0.070) (1000 Н / м) (1 м) ²
  

  = 70 Нм

  Момент балки в центральной опоре можно рассчитать как

  M _центр = (0,125) (1000 Н / м) (1 м) ²
  

  = 125 Нм

  Непрерывная балка с точечными нагрузками

  Для неразрезной балки с 3, 4 или 5 опорами и точечными нагрузками силы реакции опоры могут рассчитывается как

  R = c _r F (3)

  , где

  c _r = коэффициент опорной силы реакции из рисунка выше

  F = точечная нагрузка (Н, фунт _f )

  Моменты могут быть рассчитаны как

  M = c _m FL (4)

  , где

  c _m = моментный коэффициент из рисунка выше

  Пример — Сплошная балка с точечными нагрузками

  Силы реакции в концевых опорах для неразрезной балки с 3 опорами и точечными нагрузками 2 1000 N можно рассчитать как

  R _конец = (0.313) (1000 Н)

  = 313 Н
  

  = 0,31 кН

  Силу реакции в центральной опоре можно рассчитать как

  R _центр = (1,375) (1000 Н)

  = 1375 Н

  = 1,4 кН

  Моменты балки при точечных нагрузках с длиной пролета 1 м можно рассчитать как

  M _конец = (0.156) (1000 Н) (1 м)
  

  = 156 Нм

  Момент балки в центральной опоре можно рассчитать как

  M _{в центре} = (0,188) (1000 Н) (1 м )
  

  = 188 Нм

  1.3: Равновесные конструкции, реакции опор, определенность и устойчивость балок и рам

  Глава 3

  Равновесные конструкции, реакции опор, определение и устойчивость балок и рам

  3.1 Равновесие конструкций

  Инженерные конструкции должны оставаться в равновесии как снаружи, так и внутри, когда подвергаются воздействию системы сил. Требования к равновесию для конструкций в двух и трех измерениях изложены ниже.

  3.1.1 Равновесие в двух измерениях

  Для того, чтобы конструкция, на которую действует система сил и пар, лежащих в плоскости xy , оставалась в состоянии покоя, она должна удовлетворять следующим трем условиям равновесия:

  Вышеупомянутые три условия обычно называют уравнениями равновесия для плоских конструкций.∑ F _x и ∑ F _y — это сумма составляющих x и y всех сил, действующих на конструкцию, а ∑ M _z — сумма составляющих пара моментов и моментов всех сил относительно оси z , перпендикулярной плоскости xy действия сил.

  3.1.2 Трехмерное равновесие

  Трехмерная конструкция, то есть в пространстве, должна удовлетворять следующим шести требованиям, чтобы оставаться в равновесии при воздействии внешних сил:

  3.2 типа опор и их характеристики

  Тип опоры конструкции важен для обеспечения ее устойчивости. Опоры соединяют элемент с землей или с некоторыми другими частями конструкции. Предполагается, что студент уже знаком с несколькими типами опор для твердых тел, поскольку это было введено в курсе статики. Однако характеристики некоторых опор описаны ниже и показаны в Таблице 3.1.

  3.2.1 Опора штифта или шарнира

  Опора для штифта позволяет вращаться вокруг любой оси, но предотвращает перемещение в горизонтальном и вертикальном направлениях.Его идеализированное представление и реакции показаны в таблице 3.1.

  3.2.2 Роликовая опора

  Роликовая опора допускает вращение вокруг любой оси и поступательное движение (горизонтальное движение) в любом направлении, параллельном поверхности, на которую она опирается. Он удерживает конструкцию от движения в вертикальном направлении. Идеализированное изображение ролика и его реакции также показано в Таблице 3.1.

  3.2.3 Коромысло

  Характеристики коромысла такие же, как у роликовой опоры.Его идеализированная форма изображена в таблице 3.1.

  3.2.4 Ссылка

  У звена есть две петли, по одной с каждой стороны. Он допускает движение во всех направлениях, кроме направления, параллельного его продольной оси, которая проходит через два шарнира. Другими словами, сила реакции звена действует в направлении звена вдоль его продольной оси.

  3.2.5 Фиксированная опора

  Фиксированная опора ограничивает вращение в любом направлении и предотвращает перемещение как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях.

  3.3 Определение и устойчивость балок и рам

  Перед выбором аналитического метода важно установить определенность и стабильность структуры. Определенная структура — это структура, неизвестная внешняя реакция или внутренние элементы которой могут быть определены с использованием только условий равновесия. Неопределенная конструкция — это такая конструкция, неизвестные силы которой не могут быть определены только условиями статического равновесия, и для ее полного анализа потребуется, кроме того, рассмотрение условий совместимости различных частей конструкции.Кроме того, конструкции должны быть стабильными, чтобы выполнять свои желаемые функции. Конструкция считается устойчивой, если она сохраняет свою геометрическую форму под действием внешних сил.

  3.3.1 Формулировки для определения устойчивости и определения балок и рам

  Условия определенности, неопределенности и нестабильности балок и рам можно сформулировать следующим образом:

  где

  r = количество опорных реакций.

  C = уравнения состояния (два уравнения для одного внутреннего ролика и одно уравнение для каждого внутреннего пальца).

  м = количество стержней.

  j = количество соединений.

  Таблица 3.1. Виды опор.

  3.3.2 Альтернативная формулировка определения и устойчивости балок и рам

  где

  r = количество опорных реакций.

  F _i = количество сил реакции, передаваемых внутренним шарниром или внутренним роликом.

  м = количество стержней.

  Пример 3.1

  Классифицируйте лучи, показанные на рисунках с 3.1 по 3.5, как стабильные, определенные или неопределенные, и укажите степень неопределенности, если это необходимо.

  Рис. 3.1. Луч.

  Решение

  Сначала нарисуйте диаграмму свободного тела каждой балки. Для определения классификации используйте уравнение 3.3 или уравнение 3.4.

  Используя уравнение 3.3, r = 7, м = 2, c = 0, j = 3.Применение уравнения приводит к 3 (2) + 7> 3 (3) + 0 или 13> 9. Следовательно, луч статически неопределен до 4 °.

  Используя уравнение 3.4, r = 7, m = 1, F _i = 0. Применение уравнения приводит к 7 + 0> (3) (1) или 7> 3. Следовательно , луч статически неопределенен до 4 °.

  Примечание. При использовании уравнения 3.3 части по обе стороны от внутренней опоры считаются отдельными элементами.

  Рис. 3.2. Луч.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 6, m = 3, c = 0, j = 4. Применение уравнения приводит к 3 (3) + 6> 3 (4) + 0 или 15 > 12. Следовательно, луч статически неопределенен до 3 °.

  Используя уравнение 3.4, r = 6, m = 1, F _i = 0. Применение уравнения приводит к 6 + 0> (3) (1) или 6> 3.Следовательно, луч статически неопределенен до 3 °.

  Рис. 3.3. Луч.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 5, m = 3, c = 1, j = 4. Применение уравнения приводит к 3 (3) + 5> 3 (4) + 1, или 14 > 13. Следовательно, луч статически неопределенен с точностью до 1 °.

  Используя уравнение 3.4, r = 5, m = 2, F _i = 2. Применение уравнения приводит к 5 + 2> 3 (2) или 7> 6.Следовательно, луч статически неопределенен с точностью до 1 °.

  Рис. 3.4. Луч.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 5, m = 4, c = 1, j = 5. Применение уравнения приводит к 3 (4) + 5> 3 (5) + 1, или 17 > 16. Следовательно, уравнение статически неопределимо с точностью до 1 °.

  Используя уравнение 3.4, r = 5, м = 2, F _i = 2.Применение уравнения приводит к 5 + 2> 3 (2) или 7> 6. Следовательно, луч статически неопределен до 1 °.

  Рис. 3.5. Луч.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 5, m = 5, c = 2, j = 6. Применение уравнения приводит к 3 (5) + 5 = 3 (6) + 2 или 20 = 20. Следовательно, балка статически определима.

  Используя уравнение 3.4, r = 5, м = 3, F _i = 4.Применение уравнения приводит к 5 + 4> 3 (3) или 9 = 9. Следовательно, луч статически определен.

  Пример 3.2

  Классифицируйте кадры, показанные на рисунках с 3.6 по 3.8, как стабильные или нестабильные, а также определяемые или неопределенные. Если неопределенность, укажите степень неопределенности.

  Рис. 3.6. Рамка.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 3, м = 3, c = 0, j = 4.Применение уравнения приводит к 3 (3) + 3 = 3 (4) + 0 или 12 = 12. Таким образом, кадр является статически определенным.

  Используя уравнение 3.4, r = 3, m = 1, F _i = 0. Применение уравнения приводит к 3 + 0 = (3) (1) или 3 = 3. Следовательно , кадр статически определен.

  Примечание. При использовании уравнения 3.3 для классификации рамы рама должна быть разобрана по ее соединениям, чтобы правильно определить количество элементов.

  Рис. 3.7. Рамка.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 6, m = 3, c = 1, j = 4. Применение уравнения приводит к 3 (3) + 6> 3 (4) + 1, или 15 > 13. Следовательно, рамка статически неопределима до 2 °.

  Используя уравнение 3.4, r = 6, m = 2, F _i = 2. Применение уравнения приводит к 6 + 2> 3 (2) или 8> 6.Следовательно, рамка статически неопределима до 2 °.

  Рис. 3.8. Рамка.

  Решение

  Используя уравнение 3.3, r = 4, m = 9, c = 0, j = 8. Применение уравнения приводит к 3 (9) + 4> 3 (8) + 0 или 31 > 24. Следовательно, рамка статически неопределима до 7 °.

  Используя уравнение 3.4, r = 4, м = 1, F _i = 9.Применение уравнения приводит к 4 + 9> (3) (2) или 13> 6. Следовательно, рамка статически неопределима до 7 °.

  Примечание. При использовании уравнения 3.4 для классификации рамы с замкнутым контуром, как указано здесь, контур должен быть разрезан методом сечения, а внутренние реакции в разрезе должны учитываться при анализе.

  3.4 Расчет опорных реакций для плоских конструкций

  Опорные реакции для статически определенных и устойчивых конструкций на плоскости определяются с помощью уравнений равновесия.Процедура расчета описана ниже.

  Порядок расчета реакций поддержки

  • Нарисуйте схему структуры в виде свободного тела, указав все неизвестные реакции с помощью стрелочной диаграммы.

  • Проверьте устойчивость и определимость конструкции с помощью уравнения 3.3 или 3.4. Если структура классифицируется как детерминированная, приступайте к анализу.

  • Определите неизвестные реакции, применив три уравнения равновесия. Если рассчитанная реакция приводит к отрицательному ответу, то первоначально предполагаемое направление неизвестной реакции, указанное стрелкой на диаграмме свободного тела, неверно и должно быть исправлено, чтобы показать противоположное направление.После внесения коррекции величина силы должна быть указана как положительное число в исправленном острие стрелки на диаграмме свободного тела

  .

  Пример 3.3

  Консольная балка подвергается равномерно распределенной нагрузке и наклонной сосредоточенной нагрузке, как показано на рисунке 3.9a. Определите реакции на опоре A .

  Рис. 3.9. Балка

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рисунке 3.9b. Реакции опоры, как показано на диаграмме свободного тела, составляют A _y , A _x и M .

  Расчет реакций. Перед расчетом опорных реакций распределенную нагрузку следует заменить единственной равнодействующей силой, а наклонную нагрузку разделить на вертикальную и горизонтальную составляющие. Величина результирующей силы равна площади под прямоугольной нагрузкой, и она действует через центр тяжести прямоугольника.Как видно на рисунке 3.9c, P = [(4 кН / м) (2 м)], и его положение находится в центре тяжести прямоугольной нагрузки. Применение уравнений статического равновесия дает следующее:

  Пример 3.4

  Простая балка длиной 12 футов несет равномерно распределенную нагрузку 2 тысячи фунтов / фут по всему пролету и сосредоточенную нагрузку 8 тысяч фунтов в середине пролета, как показано на рисунке 3.10a. Определите реакции на опорах A и B балки.

  Рис. 3.10. Простая балка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рисунке 3.10b.

  Расчет реакций. Распределенная нагрузка сначала заменяется единственной равнодействующей силой, как показано на рисунке 3.10c. Величина результирующей силы равна площади прямоугольного нагружения (распределенной силы). Таким образом, P = [(2 k / ft) (12 ft)], и его положение находится в центре тяжести прямоугольной нагрузки. Поскольку в этом примере существует симметрия нагрузки, реакции на обоих концах балки равны, и их можно определить с помощью уравнений статического равновесия и принципа суперпозиции, а именно:

  Пример 3.5

  Балка с выступом подвергается изменяющейся нагрузке, как показано на рисунке 3.11a. Определите реакции на опорах A и B .

  Рис. 3.11. Балка с вылетом.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рис. 3.11b.

  Расчет реакций. Обратите внимание, что распределенная нагрузка в балке имеет треугольную форму. Распределенная нагрузка сначала заменяется единственной равнодействующей силой, как показано на рисунке 3.11c. Величина единственной равнодействующей силы равна площади под треугольной нагрузкой. Таким образом, P = () (6 м) (10 кН / м), а его центр тяжести находится в центре нагрузки (6 м). Применение уравнений равновесия дает следующее:

  Пример 3.6

  Балка с выступающими концами выдерживает три сосредоточенных нагрузки в 12 тысяч фунтов, 14 тысяч фунтов и 16 тысяч фунтов и момент 100 тысяч фунтов на фут, как показано на рисунке 3.12a. Определите реакции на опорах A и B .

  Рис. 3.12. Балка с свисающими концами.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рис. 3.12b.

  Расчет реакций. Применение уравнений равновесия дает следующее:

  Пример 3,7

  Составная балка подвергается нагрузкам, показанным на рисунке 3.13a. Найдите реакции опоры в точках A и B балки.

  Рис.3.13. Составная балка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рис. 3.13b.

  Идентификация первичных и дополнительных структур. Для правильного анализа составной структуры необходимо определить первичную и дополнительную части структуры для правильного понимания их взаимодействия. Взаимодействие этих частей показано на рисунке 3.13c. Первичная структура — это часть составной конструкции, которая может выдерживать приложенную внешнюю нагрузку без помощи дополнительной конструкции.С другой стороны, дополнительная структура — это часть составной конструкции, которая зависит от первичной конструкции, чтобы выдерживать приложенную внешнюю нагрузку. Для данной структуры часть AC является первичной структурой, а часть CB — дополнительной структурой.

  Расчет реакций. Анализ составной структуры всегда должен начинаться с анализа дополнительной структуры, поскольку дополнительная структура поддерживается первичной структурой.С помощью уравнений равновесия опорные реакции балки определяются следующим образом:

  Анализ дополнительной структуры CB.

  Расчет опорной реакции. Схема изолированного свободного тела дополнительной конструкции показана на рис. 3.13c. Во-первых, распределенная нагрузка заменяется единственной равнодействующей силой ( P ), которая равна площади прямоугольной нагрузки, как показано на рисунках 3.13d и 3.13e. Применяя уравнения равновесия и учитывая, что из-за симметрии нагрузки, реакции опоры в точке C и B равны по величине, получаем следующее:

  Анализ первичной структуры AC.

  Расчет опорной реакции. Обратите внимание, что перед вычислением реакций реакция в точке C в дополнительной структуре применяется к первичной структуре в качестве нагрузки.Величина прилагаемой нагрузки такая же, как у дополнительной конструкции, но противоположная по направлению. Применение уравнений равновесия предполагает следующее:

  Пример 3.8

  Найдите реакции на опорах A , C и E составной балки, несущей равномерно распределенную нагрузку 10 тысяч фунтов / фут по всей ее длине, как показано на рисунке 3.14a.

  Рис.3.14. Составная балка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рис. 3.14b.

  Идентификация первичных и дополнительных структур. Схема взаимодействия данной структуры показана на рисунке 3.14c. AB является первичной структурой, а BD и DE являются дополнительными структурами.

  Расчет реакций.

  Анализ комплементарной структуры DE.

  Расчет опорной реакции. Схема изолированного свободного тела показана на рис. 3.14c. Во-первых, распределенная нагрузка заменяется единственной равнодействующей силой ( P ), равной площади прямоугольной нагрузки, как показано на рисунке 3.14d. Применяя уравнения равновесия и отмечая, что из-за симметрии нагрузки, реакции опоры в точке D и E равны по величине, позволяет предположить следующее:

  Анализ комплементарной структуры БД.

  Расчет опорной реакции. Схема изолированного свободного тела показана на рис. 3.14e. Во-первых, распределенная нагрузка заменяется единственной равнодействующей силой ( P ), равной площади прямоугольной нагрузки, как показано на рисунке 3.14f. Нагрузка от дополнительной конструкции приложена в точке D . Применение уравнений равновесия предполагает следующее:

  Анализ первичной структуры AB.

  Расчет опорной реакции.Обратите внимание, что перед вычислением реакций равномерная нагрузка заменяется единственной равнодействующей силой, а реакция в точке B в дополнительной конструкции применяется к первичной конструкции в качестве нагрузки. Применение требования равновесия дает следующее:

  Пример 3.9

  Найдите реакции на опорах A , B , E и F нагруженной составной балки, как показано на рисунке 3.15a.

  Рис. 3.15. Составная балка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рис. 3.15b.

  Идентификация первичной и дополнительной структуры. Схема взаимодействия данной структуры показана на рисунке 3.15c. CD является дополнительной структурой, а AC и DF являются первичными структурами.

  Расчет реакций.

  Анализ комплементарной структуры CD.

  Расчет опорной реакции. Схема изолированного свободного тела показана на рисунке 3.15c. Во-первых, распределенная нагрузка заменяется единственной равнодействующей силой ( P ), которая равна площади прямоугольной нагрузки, как показано на рисунке 3.15d. Применяя уравнения равновесия и отмечая, что из-за симметрии нагрузки, реакции опоры в точке C и D равны по величине, позволяет предположить следующее:

  Анализ первичной структуры AC.

  Расчет опорной реакции. Обратите внимание, что реакция на ° C дополнительной структуры применяется как направленная вниз сила той же величины в той же точке на первичной структуре. Применение уравнения равновесия предполагает следующее:

  Анализ первичной структуры DF.

  Расчет опорной реакции. Схема изолированного свободного тела показана на рисунке 3.15f. Во-первых, распределенная нагрузка заменяется единственной равнодействующей силой ( P ), равной площади треугольной нагрузки, как показано на рисунке 3.15g. Применяя уравнения равновесия и отмечая, что реакция опоры в точке D дополнительной конструкции действует как нагрузка на первичную конструкцию, позволяет предположить следующее:

  Пример 3.10

  Определите реакции на опорах A и D рамы, показанной на рисунке 3.16а.

  Рис. 3.16. Рамка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рис. 3.16b.

  Расчет реакций. Распределенные нагрузки в колонне AB и балке BC сначала заменяются единичными равнодействующими силами, определяемыми как площадь их соответствующего оттенка нагрузки, как показано на рисунке 3.16c. Применение условий равновесия предполагает следующее:

  Пример 3.11

  Жесткая рама нагружается, как показано на Рисунке 3.17a. Определите реакции на опоре D .

  Рис. 3.17. Жесткий каркас.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема свободного тела всей балки показана на рис. 3.17b.

  Расчет реакций. Распределенная нагрузка в части AB рамы сначала заменяется единственной равнодействующей силой, как показано на рисунке 3.17c. Применение уравнений равновесия предполагает следующее:

  Пример 3.12

  Найдите реакции на опорах E и F рамы, показанной на рисунке 3.18a.

  Рис. 3.18. Рамка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема рамы со свободным телом показана на рис. 3.18b.

  Расчет реакций. Распределенные нагрузки сначала заменяются одиночными равнодействующими силами, как показано на рисунке 3.18c. Применение уравнений статического равновесия предполагает следующее:

  Пример 3.13

  Определите реакции на опоре A жесткой рамы, показанной на рисунке 3.19a.

  Рис. 3.19. Жесткий каркас.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема рамы со свободным телом показана на рис. 3.19b.

  Расчет реакций. Распределенная нагрузка в колонне AB сначала заменяется единственной равнодействующей силой, как показано на рисунке 3.19c. Применение уравнений статического равновесия предполагает следующее:

  Пример 3.14

  Определите реакции на опорах A и E рамы, шарнирно закрепленной на C , как показано на рисунке 3.20a.

  Рис. 3.20. Рамка.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема рамы со свободным телом показана на рис. 3.20b.

  Расчет реакций. Реакции в составном каркасе вычисляются с учетом диаграмм свободного тела как всего кадра, так и его части.Перед расчетом реакций распределенная нагрузка в колонне заменяется единственной равнодействующей силой. Вертикальные реакции на E и A и горизонтальные реакции на A находятся путем применения уравнений статического равновесия и рассмотрения диаграммы свободного тела всей рамы. Горизонтальная реакция в точке E находится, рассматривая часть CDE диаграммы свободного тела.

  Отрицательный знак означает, что первоначально предполагаемое направление A _y было неправильным.Следовательно, A _y действует вниз, а не вверх, как предполагалось изначально. Это следует исправить при последующем анализе.

  Чтобы определить E _x , рассмотрите момент силы в элементе CDE относительно шарнира.

  Пример 3.15

  Найдите реакции на опоре A и B нагруженной рамы на рис. 3.21a. Рама навесная на D .

  Рис. 3.21. Загруженный кадр.

  Решение

  Схема свободного тела. Схема рамы со свободным телом показана на рис. 3.21b.

  Расчет реакций. Распределенная нагрузка в колонне AC сначала заменяется одной равнодействующей силой путем определения области нагрузки, как показано на рис. 3.21Figurec. Реакция на B вычисляется, принимая момент сил в части DB рамы относительно штифта на D , а другие реакции определяют, применяя другие условия равновесия.

  Отрицательный знак означает, что первоначально предполагаемое направление A _y было неправильным. Следовательно, A _y действует вниз, а не вверх, как предполагалось изначально. Это следует исправить при последующем анализе.

  Краткое содержание главы

  Условия статического равновесия: Конструкция находится в состоянии статического равновесия, если равнодействующая всех сил и моментов, действующих на нее, равна нулю.Математически это выражается следующим образом:

  ∑ F = 0∑ M = 0

  Для тела в плоскости существуют следующие три уравнения равновесия:

  ∑ F _x = 0∑ F _y = 0∑ M ₀ = 0

  Типы опор: Различные символьные представления используются для моделирования различных типов опор для конструкций. Ролик используется для моделирования опоры, которая предотвращает вертикальное движение конструкции, но допускает горизонтальное перемещение и вращение.Штифт используется для моделирования опоры, которая предотвращает горизонтальные и вертикальные движения, но допускает вращение. Фиксированная опора моделирует опору, предотвращающую горизонтальные и вертикальные движения и вращение.

  Детерминированность, неопределенность и стабильность структур: Структура определена, если количество неизвестных реакций равно количеству статического равновесия. Таким образом, уравнений статического равновесия достаточно для определения опор такой конструкции.С другой стороны, статически неопределенная структура — это структура, в которой количество неизвестных реакций превышает количество уравнений равновесия. Для анализа неопределенной конструкции необходимы дополнительные уравнения, и эти уравнения могут быть получены с учетом совместимости конструкции. Неопределенные конструкции иногда необходимы, когда необходимо уменьшить размеры элементов или увеличить их жесткость. Стабильная структура — это структура, в которой реакции поддержки не параллельны и не совпадают друг с другом.Формулировки устойчивости и определенности балок и рам следующие:

  Балки и рамы:	3 м + r <3 j + C Конструкция нестабильная
  	3 м + r = 3 j + C Структура определенная
  	3 м + r > 3 j + C Структура неопределенная

  Практические задачи

  3.1 Классифицируйте конструкции, показанные на рисунках P3.1a – P3.1p, как статически определенные или неопределенные, а также статически устойчивые или нестабильные. Если неопределенность, укажите степень неопределенности.

  Рис. P3.1. Классификация конструкций.

  3.2. Определите опорные реакции для балок, показанных на рисунках с P3.2 по P3.12.

  Рис. P3.2. Луч.

  Рис. P3.3. Луч.

  Рис.P3.4. Луч.

  Рис. P3.5. Луч.

  Рис. P3.6. Луч.

  Рис. P3.7. Луч.

  Рис. P3.8. Луч.

  Рис. P3.9. Луч.

  Рис. P3.10. Луч.

  Рис. P3.11. Луч.

  Рис. P3.12. Луч.

  3.3. Определите реакции опоры для рам, показанных на рисунках с P3.13 по P3.20.

  Рис.P3.13. Рамка.

  Рис. P3.14. Рамка.

  Рис. P3.15. Рамка.

  Рис. P3.16. Рамка.

  Рис. 3.17. Рамка.

  Рис. 3.18. Рамка.

  Рис. 3.19. Рамка.

  Рис. 3.20. Рамка.

  3.4 Определите опорные реакции для ферм, показанных на рисунках с P3.21 по P3.27.

  Рис. P3.21. Ферма.

  Рис. P3.22. Ферма.

  Рис. P3.23. Ферма.

  Рис. P3.24. Ферма.

  Рис. P3.25. Ферма.

  Рис. P3.26. Ферма.

  Рис. P3.27. Ферма.

  Пример 6

  Пример 6: Для консольной балки и нагрузки показано, определить реакции на опоре.

  Решение: Мы начнем наш анализ с рисования диаграммы свободного тела балки.После определения неизвестных реакционных нагрузок мы решаем их, используя уравнения равновесия.

  Схема балки со свободным телом: Балка закреплена в точке A. Следовательно, в этой точке действуют две силы реакции и один момент реакции, как показано ниже.

  Мы предполагаем направление для каждой реактивной нагрузки. Также для упрощения расчетов распределенная сила представлена ​​ее равнодействующей, действующей в ее центре тяжести.,

  Реакционные нагрузки: Как показано на диаграмме свободного тела, существуют три неизвестные реакции, которые необходимо решить для использования условия равновесия.Поскольку это двумерная система сил, мы можем использовать только три уравнения равновесия.

  Мы начинаем решение с использования равновесия моментов с точкой A в качестве центр момента. Мы выбираем точку A, так как она устранит вклады двух неизвестных сил реакции.

  Отрицательный знак указывает на то, что направление QA противоположно тому, которое показано на диаграмма свободного тела. Теперь приступим к решению двух сил реакции.Использование равновесия сил в направлении x дает

  =>

  Горизонтальная сила реакции в точке А равна нулю, поскольку другой горизонтальной сила, действующая на балку.

  Проверка результатов: Мы можем проверить решение суммируя моменты относительно D или любой другой точки, чтобы увидеть, равно ли оно нулю.

  Если e равно нулю, мы уверены, что в решении нет ошибок.

  В отличие от примеров 4 и 5, вся нагрузка поддерживается в точке А.