Расчет на прогиб двутавровой балки: Расчёт металлической балки онлайн (калькулятор).

Технические характеристики деревянных двутавровых балок

Расчет деревянных двутавровых балок перекрытия.

Расчет деревянных балок перекрытия в доме ведется по II предельному состоянию (по прогибам) согласно СП 64.13330.2017 Деревянные конструкции и СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия.

Расчетная несущая способность балок перекрытий определена согласно методике, указанной в п. 5. Рекомендации по проектированию и применению деревянных двутавровых балок и стоек на основе ориентированно-стружечной плиты OSB-3 для строительства и реконструкции малоэтажных зданий, 2010.

На практике это говорит о том, что балка перекрытия при нагружении ее равномерно распределенной нагрузкой 400 кг/м2 или 250, 200 кг/м2 в отдельных случаях, прогнется в центре на величину равную L/250, где L - расчетная длина балки (расстояние между центрами опирания балки).

Например, если расчетная длина балки 6 м (6000 мм), то прогиб в центре при максимальной нагрузке будет 6000/250 = 24 мм. Т.е. в данном примере 24 мм - максимально допустимый прогиб балки, при котором возможна комфортная эксплуатация перекрытия - не будет вибраций, скрипов, ощущения «батута».

При расчете пролетов используются лишь условия равномерной нагрузки, в случае использования других условий необходимо использовать программное обеспечение САПР компании СИПВОЛЛ.

Ниже приведены таблицы соотношения типа двутавровых балок, шага их установки, расчетной нагрузки и максимального пролета, при которых выполняются данные условия.

Таблицы расчета балок межэтажного, чердачного и цокольного перекрытия.

Таблица 5.1. Расчет для нагрузки 400 кг/м².

Высота балки, мм Максимальный пролет, м, при шаге установки балок, м.
шаг 0,3 мшаг 0,4 мшаг 0,5 мшаг 0,6 мшаг 0,7 мшаг 0,8 м
1984,9 м4,2 м3,8 м3,5 м3,2 м3 м
2415,6 м4,9 м4,4 м4 м3,7 м3,4 м
3026,6 м5,7 м5,1 м4,6 м4,3 м4 м
3567,3 м6,3 м5,7 м5,2 м4,8 м4,5 м
4068 м6,9 м6,2 м5,6 м5,2 м4,9 м
4578,6 м7,4 м6,6 м6,1 м5,6 м5,2 м

Таблица 5.2. Расчет для нагрузки 350 кг/м².

Высота балки, мм Максимальный пролет, м, при шаге установки балок, м.
шаг 0,3 мшаг 0,4 мшаг 0,5 мшаг 0,6 мшаг 0,7 мшаг 0,8 м
1985,2 м4,5 м4,1 м3,7 м3,4 м3,2 м
2416 м5,2 м4,7 м4,3 м3,9 м3,7 м
3027,1 м6,1 м5,4 м5 м4,6 м4,3 м
3567,8 м6,8 м6,1 м5,5 м5,1 м4,8 м
4068,5 м7,4 м6,6 м6 м5,6 м5,2 м
4579,2 м7,9 м7,1 м6,4 м6 м5,6 м

Таблица 5.3. Расчет для нагрузки 300 кг/м².

Высота балки, мм Максимальный пролет, м, при шаге установки балок, м.
шаг 0,3 мшаг 0,4 мшаг 0,5 мшаг 0,6 мшаг 0,7 мшаг 0,8 м
1985,7 м4,9 м4,4 м4 м3,8 м3,5 м
2416,5 м5,6 м5 м4,7 м4,3 м4 м
3027,6 м6,6 м5,9 м5,4 м5 м4,6 м
3568,5 м7,3 м6,5 м6 м5,5 м5,2 м
4069,2 м8 м7,1 м6,5 м6 м5,6 м
4579,9 м8,6 м7,7 м7 м6,5 м6,1 м

Таблица 5.4. Расчет для нагрузки 250 кг/м².

Высота балки, мм Максимальный пролет, м, при шаге установки балок, м.
шаг 0,3 мшаг 0,4 мшаг 0,5 мшаг 0,6 мшаг 0,7 мшаг 0,8 м
1986,2 м5,4 м4,8 м4,4 м4,1 м3,8 м
2417,2 м6,2 м5,5 м5 м4,7 м4,4 м
3028,3 м7,2 м6,4 м5,9 м5,4 м5,2 м
3569,3 м8 м7,2 м6,5 м6,1 м5,7 м
40610,1 м8,7 м7,8 м7,1 м6,6 м6,2 м
45710,9 м9,4 м8,4 м7,7 м7,1 м6,6 м

Таблица 5.5. Расчет для нагрузки 200 кг/м².

Высота балки, мм Максимальный пролет, м, при шаге установки балок, м.
шаг 0,3 мшаг 0,4 мшаг 0,5 мшаг 0,6 мшаг 0,7 мшаг 0,8 м
1987 м6 м5,4 м4,9 м4,5 м4,2 м
2418 м6,9 м6,2 м5,6 м5,2 м4,9 м
3029,3 м8,1 м7,2 м6,5 м6,1 м5,7 м
35610,4 м9 м8 м7,3 м6,8 м6,3 м
40611,2 м9,8 м8,7 м8 м7,4 м6,9 м
45712,2 м10,5 м9,4 м8,6 м7,9 м7,4 м

Расчет нагрузки на двутавр – актуальность выполнения и основные методики

Двутавровая балка – это вид металлопроката, особенностью которого является прием большого веса. При использовании продукции в строительстве необходимо выбрать нужный номер. Для этого на основе данных о длине пролета, виде закрепления рассчитывается прочность и прогиб.

Область применения двутавровой балки

Двутавр – это металлический продукт, который состоит из полок и стенки посередине. Зачастую двутавр используют при проектировании сооружений и создании качественной несущей конструкции. Благодаря изделию можно увеличить пролеты жилого или коммерческого здания, а также уменьшить массу несущих конструкций.

При выборе двутавра необходимо учитывать следующие характеристики:

  • высота профиля и средней стенки;

  • ширина полок;

  • толщина стенки, проката и граненых полок;

  • радиус закругления внутри изделия.

Основные параметры для расчета нагрузки

Стоит помнить, что все подсчеты осуществляются на основе справочных обозначений. Так, одним из важных является инерционный момент, значение которого определяется таблицей сортамента, обозначенного в ГОСТах.

Учитывается также центробежный момент, который не внесен в таблицы, поскольку равняется 0.

Влияет на вычисление нагрузки и сопротивление. Данный показатель непосредственно зависит от маркировки стали.

Еще один из признаков – модуль упругости – выходит из особенностей материала, использованного для изготовления двутаврового металлического продукта. В частности речь идет о черном металлопрокате, при котором модуль упругости Е используется для двутавровой стальной балки.

Не нужно забывать о том, что конструкционные характеристики определенного объекта требуют и других параметров расчета, для которых берутся данные из таблицы.

Расчет нагрузки, прогиба и прочности

Для исчисления нагрузки разработаны таблицы, в которых номер балки вычисляется на основе:

Первая характеристика рассчитывается благодаря несущей способности. Стоит обращать внимание на технологию производства (горячекатаный, сварочный, клепаный). Например, при расчете максимальной нагрузки сварного двутавра прибавляется приблизительно 30% к прочности.

Давление на конструкцию рассчитывается с учетом ее веса. Эту цифру умножают на показатель надежности, выбирая момент сопротивления из табличных показаний. Уже в результате процесса определяется профильный номер.

Чтобы проверить двутавровую балку на прочность, нужно акцентировать внимание на нормативных напряжениях, воздействии сил, а также крутящих моментах.

Металл, из которого производится двутавр, имеет значение. Если в его основе содержится черный стальной прокат, то главный критерий – маркировка. Если древесина, то речь идет о породе. Важно знать, что прочность материала уменьшает габариты готового изделия. Вследствие этого снижается давление на конструкцию.

Для определения прочности материала нужно разложить по осям прилагаемую силу, после чего установить максимальные моменты вокруг каждой из них. Полученные показатели сравниваются и определяется наиболее подходящее значение.

 

Для расчета прогиба выделяются такие параметры:

При этом стоит обращать внимание на предназначение конструкции.  Для того чтобы уменьшить величину прогиба, нужно изменить исходные параметры или уменьшить расстояние между опорными точками.

Компания «Металл Холдинг» предлагает клиентам широкий ассортимент двутавровых балок с указаниями марок, стандартов и габаритов.

Изгибаемые элементы. Расчет на изгиб

Расчёт на прочность

Расчет на изгиб. Расчёт на прочность элементов (кроме балок с гибкой стенкой, с перфорированной стенкой и подкрановых балок), изгибаемых в одной из главных плоскостей, следует выполнять по формуле:

Значения касательных напряжений τ в сечениях изгибаемых элементов должны удовлетворять условию:

Расчёт на прочность разрезных балок сплошного сечения при изгибе в двух плоскостях и несущих статическую нагрузку следует выполнять по формуле:

где СхСу – коэффициенты, принимаемые по таблице

КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ РАСЧЁТА НА ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ СТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЁТОМ РАЗВИТИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Коэффициенты С (Сх ), Су , n

Расчет на устойчивость

Расчёт на устойчивость балок двутаврового сечения, изгибаемых в плоскости стенки, следует выполнять по формуле:

Wc – следует определять для сжатого пояса;

ϕb – коэффициент, определяемый по прил. 7

При определении значения ϕb за расчётную длину балки lef следует принимать расстояние между точками закреплений сжатого пояса от поперечных смещений.

Для балок двутаврового сечения с двумя осями симметрии для определения коэффициента ϕb необходимо вычислить коэффициент ϕ1 по формуле:

где значения ψ следует принимать по таблицам в зависимости от характера нагрузки и параметра α, который должен вычисляться по формулам:

а) для прокатных двутавров:

l ef – расчётная длина балки или консоли, определяемая согласно требованиям п. 5.15;

h – полная высота сечения;

J t – момент инерции сечения при кручении.

б) для сварных двутавров, составленных из трёх листов, а также для двутавровых балок с поясными соединениями на высокопрочных болтах:

где обозначено:

для сварных двутавров:

t – толщина стенки

b f и t 1 – ширина и толщина пояса балки;

h – расстояние между осями поясов;

a – размер, равный 0,5 h.

для двутавровых балок с поясными соединениями на высокопрочных болтах:

t – сумма толщин стенки и вертикальных поясных уголков;

b f – ширина листов пояса;

t 1 – сумма толщин листов пояса и горизонтальной полки поясного уголка;

h – расстояние между осями пакета поясных листов;

a – сумма толщины листов пояса и высоты вертикальной полки поясного уголка.

Значение коэффициента ϕb в формуле (7) необходимо принимать:

при ϕ 1 ≤ 0,85 ϕb = ϕ 1 ; при ϕ 1 > 0,85 ϕb = 0,68+0,21⋅ϕ1 , но не более 1,0.

Коэффициенты ψ для двутавровых балок с двумя осями симметрии

Коэффициенты ψ для жёстко заделанных консолей двутаврового сечения с двумя осями симметрии

Прогиб балок

Прогиб балок следует проверять по формуле:

f пред – предельный прогиб от нормативной нагрузки, приведённый в таблице

p.s.: Расчет Центрально-растянутых и центрально-сжатых элементов смотрите ЗДЕСЬ

 

Поделиться ссылкой:

Похожее

несущая способность, расчет на прогиб, момент сопротивления швеллера

Расчет нагрузки на швеллер (расчет на прочность)

Зачастую швеллер применяется для изготовления металлоконструкций (крановых мостов, ферм, лестниц, цеховых пролетов и пр.), при монтаже быстровозводимых зданий и сооружений, каркасов гаражей, стеллажей складских помещений, перекрытий, оснований крыш, армирования и усиления узлов. Основное достоинство этого проката – высокая несущая способность, которая имеет место благодаря форме его сечения (П-образное), при относительно малой металлоемкости.

Методика расчета размера швеллера, таблица моментов сопротивления швеллера по ГОСТ - смотрите здесь.

П-образный профиль, как горячекатаный, так и гнутый в металлоконструкциях чаще всего работает либо просто на изгиб, либо на изгиб + растяжение/сжатие. Расчет швеллера на прогиб (на прочность) – является обязательным при проектировании изделия, в состав которого входит данный профиль. Он может быть проверочным и проектировочным. Рассмотрим на примере расчет распределенной нагрузки на швеллер, который имеет шарнирное закрепление.

Пусть имеется швеллер 10П, изготовленный из стали 09Г2С. Длина балки составляет 10 метров. Для того, чтобы определить допустимое значение нагрузки на швеллер (допустимые значения), необходимы некоторые справочные данные. Возьмем их из соответствующих ГОСТов и СНиПов.

Предел текучести стали 09Г2С (или нормативное сопротивление) составляет Rун = 345 МПа. Моменты сопротивления швеллера 10П берем из ГОСТ 8240-97, и их значения относительно осей Х и Y составляют: Wx=34,9 см3, Wy=7,37 см3. Максимальный изгибающий момент возникает балке с таким типом закрепления и нагружения посередине, и определяется из выражения: М = W∙Rун.

Произведем расчет допустимого момента для двух случаев расположения швеллера: 1) стенка расположена вертикально; 2) стенка расположена горизонтально. Тогда:

  • М1 = 34,9∙345=12040,5 Н∙м
  • М2 = 7,37∙345=2542,65 Н∙м

Зная момент, определим допустимые значения распределенной нагрузки на швеллер. Она составит: 

q1 = 8∙М1/L2 = 8∙12040,5/102 = 963,24 Н/м или 96,3 кгс/м
q2 = 8∙М2/L2 = 8∙2542,65/102 = 203,4 Н/м или 20,3 кгс/м

Получив значения допустимых распределенных нагрузок на швеллер, можно сделать вывод, что при данных условиях несущая способность швеллера расположенного по вертикали примерно в пять раз больше, чем в случае его расположения по горизонтали.

Момент сопротивления швеллера при проектировании перекрытий

При проектировании перекрытий, несущих металлоконструкций не достаточно одного прочностного расчета нагрузки на швеллер. Чтобы обеспечить надежность проектируемой конструкции, необходимо также произвести расчет на жесткость швеллера. Прогиб в данном случае не должен превышать допустимое значение. Эта проверка профиля является обязательной при проектировании перекрытий для жилых и прочих помещений. Для примера возьмем ту же балку, что и ранее. Распределенная нагрузка, действующая на нее, составляет 50 кгс/м или 500 Н/м. Момент инерции швеллера 10П имеет значение Ix = 175 см4. При проверке балки на жесткость, определяется ее относительный прогиб по формуле:

  • f/L = М∙L/(10∙Е∙Ix)≤[f/L], где

М – изгибающий момент, Н∙м
L = 1000 см – длина хлыста
E = 2,1∙105 МПа – модуль упругости стали
Ix = 175 см4 – момент инерции сечения швеллера

Момент сопротивления швеллера, изгибающий момент равен: М = q∙L2/8 = 500∙102/8 = 6250 Н∙м. 

Тогда относительный прогиб швеллера 10П составит: f/L = 6250∙1000/(10∙2,1∙105∙175) = 0,017 = 1/59

Если сравнивать с допустимыми значениями относительно прогиба согласно СНиПам, то данный швеллер нельзя использовать для межэтажных перекрытий, так как там допустимое значение составляет 1/200. Следовательно, несмотря на обеспечение прочности данной конструкции, необходимо подбирать больший профиль швеллера, и проверять его на жесткость.

Расчёт балок на прочность при изгибе

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения Smax:

Тогда:

б) Проверка прочности:

по условию прочности нормальных напряжений:

по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

М(С) = М(z1) +F·z1=0,

ММ(z1) = -F·z1= — 30 ·z1 —

– уравнение прямой.

При z1 = 0:      М = 0,

z1 = 2:      М =- 60 кНм.

у= — F — Q(z1) = 0,

Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z2=0:     М = 0,

z2=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,

z2=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.

у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,

Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,

при  z2 = 0:     Q = -30,

        z2 = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

для круглого сечения 

для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

 

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М(А) = – М1 F  ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М1А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,

откуда 

Проверка:

у = АFq · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

М(С) = М(z1) - М1=0,

М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.   

у= — Q(z1) = 0,

Q(z1) = 0.

II участок 

парабола.

Приz2=0:       М = 40 кНм,

z2=1м:    М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z2=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.

у=А q·z2 — Q(z2) = 0,

Q(z2) =Аq·z2 = 104 –  20·z2  – уравнение прямой,

при  z2 = 0:       Q = 104кН,

        z2 = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz3=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z3=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z3=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

у=В q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,

Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 )   – уравнение прямой,

при  z3 = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z3 = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

- парабола.

z4=0:       М = 0кНм,

z4=1м:    М = – 10кНм,

z4=2м:    М = — 40кНм.

у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 20·z4  – уравнение прямой.

Приz4 = 0:       Q = 0,

        z4 = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

 

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

 

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

 

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

М(А) = F · 2 + М1 - М2q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М1М2А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

М(С) = М(z1) + F·z1=0,

М(z1) = - F·z1= -20·z1.

При z1=0:     М = 0,

        z1=2м:  М = – 40кНм,

у= - FQ(z1) = 0,

Q(z1) = — 20кН.

II участок

        z2=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z2=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

у=- F + А Q(z2) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

- парабола.

Приz3=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z3=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)2 = 420 – 320 = 100кНм,

z3=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)2 = 840 – 720 = 120кНм.

у= Q(z3) + В q·(2+z3) = 0,

Q(z3) = — В + q·(2+z3) = — 210 + 40·(2+z3) – уравнение прямой.

Приz3 = 0:       Q = -130кН,

        z3 = 4м:     Q = 30кН.

Q(z0) = — 210 + 40·(2+z0) = 0,

— 210 + 80 + 40·z0 = 0,

40·z0 = 130,

z0 =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz4=0:      М = 0 кНм,

z4=1м:   М = – 20кНм,

z4=2м:   М = — 80кНм.

у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 40·z4  – уравнение прямой,

        z4 = 0:        Q = 0,

        z4 = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σР]=30МПа, [σс]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту Wх=953см3. Это №40: Ix=19062см4, Sх=545см3, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м   →  d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба  

b1= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h1= h — 2= 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр —  А = 72,6см2 = 72,6·10-4 = 0,00726м2,

круглая труба

прямоугольная труба

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

 

% PDF-1.3 % 790 0 объект> эндобдж xref 790 87 0000000016 00000 н. 0000003638 00000 н. 0000002077 00000 н. 0000003742 00000 н. 0000003768 00000 н. 0000003814 00000 н. 0000004206 00000 н. 0000004286 00000 п. 0000004366 00000 н. 0000004446 00000 н. 0000004526 00000 н. 0000004606 00000 н. 0000004686 00000 н. 0000004766 00000 н. 0000004846 00000 н. 0000004926 00000 н. 0000005006 00000 н. 0000005086 00000 н. 0000005166 00000 н. 0000005246 00000 н. 0000005326 00000 н. 0000005405 00000 н. 0000005484 00000 н. 0000005563 00000 н. 0000005642 00000 н. 0000005721 00000 н. 0000005800 00000 н. 0000005879 00000 п. 0000005958 00000 п. 0000006037 00000 н. 0000006116 00000 п. 0000006195 00000 н. 0000006274 00000 н. 0000006353 00000 п. 0000006432 00000 н. 0000006511 00000 н. 0000006590 00000 н. 0000006669 00000 н. 0000006748 00000 н. 0000006827 00000 н. 0000006906 00000 н. 0000006985 00000 п. 0000007064 00000 н. 0000007143 00000 н. 0000007222 00000 н. 0000007301 00000 п. 0000007380 00000 н. 0000007459 00000 н. 0000007538 00000 н. 0000007616 00000 н. 0000007694 00000 п. 0000007772 00000 н. 0000008144 00000 н. 0000012271 00000 п. 0000012850 00000 п. 0000013048 00000 н. 0000013549 00000 п. 0000019289 00000 п. 0000019998 00000 п. 0000020324 00000 п. 0000020906 00000 н. 0000027647 00000 н. 0000028472 00000 п. 0000028889 00000 п. 0000028957 00000 п. 0000029405 00000 п. 0000030554 00000 п. 0000030916 00000 п. 0000031438 00000 п. 0000032252 00000 п. 0000032281 00000 п. 0000032366 00000 п. 0000032798 00000 п. 0000033385 00000 п. 0000034526 00000 п. 0000034622 00000 п. 0000034714 00000 п. 0000035389 00000 п. 0000036044 00000 п. 0000036678 00000 п. 0000036774 00000 п. 0000037386 00000 п. 0000038153 00000 п. 0000038785 00000 п. 0000039357 00000 п. 0000039385 00000 п. 0000003444 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 792 0 obj> поток xb``b`tg`

% PDF-1.5 % 4 0 obj > эндобдж 7 0 объект (Предисловие) эндобдж 8 0 объект > эндобдж 11 0 объект (Вступление) эндобдж 12 0 объект > эндобдж 15 0 объект (Обжатие куска резины) эндобдж 16 0 объект > эндобдж 19 0 объект (Закон Гука) эндобдж 20 0 объект > эндобдж 23 0 объект (Коробление балки) эндобдж 24 0 объект > эндобдж 27 0 объект (Продольная нагрузка) эндобдж 28 0 объект > эндобдж 31 0 объект (Инженерное напряжение) эндобдж 32 0 объект > эндобдж 35 0 объект (Схематичное представление) эндобдж 36 0 объект > эндобдж 39 0 объект (Эксперименты) эндобдж 40 0 объект > эндобдж 43 0 объект (Теория потери устойчивости балки) эндобдж 44 0 объект > эндобдж 47 0 объект (Момент луча) эндобдж 48 0 объект > эндобдж 51 0 объект (Изгибающий момент) эндобдж 52 0 объект > эндобдж 55 0 объект (Расчет момента) эндобдж 56 0 объект > эндобдж 59 0 объект (Второй момент площади) эндобдж 60 0 объект > эндобдж 63 0 объект (Эйлер \ 205Бернулли, баланс сил и момента) эндобдж 64 0 объект > эндобдж 67 0 объект (Баланс силы и момента) эндобдж 68 0 объект > эндобдж 71 0 объект (Общее решение дифференциального уравнения) эндобдж 72 0 объект > эндобдж 75 0 объект (Кривая "сила-деформация") эндобдж 76 0 объект > эндобдж 79 0 объект (Прямой режим) эндобдж 80 0 объект > эндобдж 83 0 объект (Пристегнутый режим) эндобдж 84 0 объект > эндобдж 87 0 объект (Граница между двумя режимами) эндобдж 88 0 объект > эндобдж 91 0 объект (Конфигурации с одной балкой) эндобдж 92 0 объект > эндобдж 95 0 объект (Навесная балка) эндобдж 96 0 объект > эндобдж 99 0 объект (Решение дифференциального уравнения) эндобдж 100 0 объект > эндобдж 103 0 объект (Силовая инженерная кривая деформации) эндобдж 104 0 объект > эндобдж 107 0 объект (Относительная сила) эндобдж 108 0 объект > эндобдж 111 0 объект (Балка навесная с поворотной пружиной) эндобдж 112 0 объект > эндобдж 115 0 объект (Граничные условия) эндобдж 116 0 объект > эндобдж 119 0 объект (Решение дифференциального уравнения) эндобдж 120 0 объект > эндобдж 123 0 объект (Кривая относительной силовой инженерной деформации) эндобдж 124 0 объект > эндобдж 127 0 объект (Нагрузка при продольном изгибе и наклон кривой инженерной деформации после изгиба) эндобдж 128 0 объект > эндобдж 131 0 объект (Конфигурации с большим количеством балок) эндобдж 132 0 объект > эндобдж 135 0 объект (Конфигурация с двумя лучами) эндобдж 136 0 объект > эндобдж 139 0 объект (Формулы прогиба балок для заданного угла.) эндобдж 140 0 объект > эндобдж 143 0 объект (Длина балок) эндобдж 144 0 объект > эндобдж 147 0 объект (Импульсный баланс) эндобдж 148 0 объект > эндобдж 151 0 объект (Силовая инженерная кривая деформации) эндобдж 152 0 объект > эндобдж 155 0 объект (Сеть с множеством лучей) эндобдж 156 0 объект > эндобдж 159 0 объект (Обсуждение) эндобдж 160 0 объект > эндобдж 163 0 объект (Выводы) эндобдж 164 0 объект > эндобдж 167 0 объект (Общие результаты из модели) эндобдж 168 0 объект > эндобдж 171 0 объект (Силовая инженерная кривая деформации для конкретных конфигураций) эндобдж 172 0 объект > эндобдж 175 0 объект (Уклон одинарной балки с пружиной после продольного изгиба) эндобдж 176 0 объект > эндобдж 179 0 объект (Пределы жесткости пружины до нуля и бесконечности) эндобдж 180 0 объект > эндобдж 183 0 объект (Список используемых обозначений) эндобдж 184 0 объект > эндобдж 187 0 объект (Список используемой литературы) эндобдж 188 0 объект > эндобдж 192 0 объект> ручей х څ TM0WHY7jm8n! H i ': 3 +' RlouR 'ׯ WJ # @ e

Введение

Введение

Гибка балки

Джон Джонстон, Ph.Д., П.Е. и Эдвард Даммель, доктор философии.

Департамент гражданского строительства

Калифорнийский государственный университет Сакраменто

Октябрь 1999

Введение

В этом упражнении мы нагружаем балку с простой опорой и измеряем результирующий прогиб в центре. Построив график прогибов в зависимости от нагрузки, мы сможем вычислить модуль упругости материала балки, что является важным показателем прочности материала.Хотя это измерение само по себе имеет некоторое практическое значение, более широкая полезность этого упражнения заключается в том, что оно служит трамплином для нескольких важных тем в инженерной практике. К ним относятся эластичность, факторы безопасности, выбор материалов, важность формы в сопротивлении нагрузкам, а также учет нескольких видов нагрузки и видов отказов. По мере продвижения будут предложены несколько домашних заданий - как математических, так и физических.

Фон

Чтобы понять, как балка будет реагировать на нагрузку, полезно сначала узнать кое-что о поведении инженерных материалов.Многие инженерные материалы, особенно металлы, обладают так называемым упругим поведением . Если, например, вы потянете за концы стального стержня, он растянется. (См. Рис. 1.) Затем, когда вы ослабите усилие (также известное как нагрузка ), штанга вернется к своей исходной форме. Так работает пружина или резинка, за исключением того, что изменение длины будет составлять лишь доли дюйма или миллиметра. В большинстве эластичных материалов это явление одинаково, когда вы вытягиваете ( растяжение сил) или толкаете ( сжатие сил) образец.

Когда материал действует упруго, изменение длины из-за силы прямо пропорционально силе. Обычно мы выражаем изменение длины как деформация (e ) - изменение длины на единицу длины.

e = D L / L (уравнение 1)

где

e = деформация (длина / длина или без единицы измерения)

D L = изменение длины из-за нагрузки

L = исходная (без патронов) длина

Мы также измеряем силу как напряжение - силу, приходящуюся на площадь поперечного сечения.

с = F / A (уравнение 2)

где

с = напряжение (фунт / дюйм 2 или Н / мм 2 или аналогичные единицы)

F = приложенная сила (фунты или Н)

A = площадь поперечного сечения образца (дюймы 2 или м 2 или аналогичные единицы)

Сказать, что изменение длины пропорционально силе, - это то же самое, что сказать, что деформация пропорциональна напряжению.Константа пропорциональности называется модулем упругости (E).

с = E e (уравнение 3)

где

с = напряжение (сила / площадь)

e = деформация (длина / длина)

E = модуль упругости (единицы силы / площади)

Как это связано с изгибом? Когда балка изгибается, верхняя часть балки сжимается, а нижняя - раздвигается. (См. Рисунок 2.Другими словами, верхняя часть балки испытывает сжатие, а нижняя - растяжение. Степень деформации балки под действием этих сил зависит от модуля упругости. Таким образом, было бы логично, что E появится в любом уравнении, которое мы могли бы придумать для прогнозирования прогиба из-за нагрузки. На самом деле так и происходит.

Когда балка длиной L просто поддерживается на концах (т. Е. Опирается на опоры, которые не ограничивают ее и не препятствуют ее перемещению) и нагружена посередине с силой P, отклонение балки в средняя точка -

(уравнение 4)

где

y = прогиб посередине (знак "-" означает, что балка отклоняется вниз)

L = длина балки

P = нагрузка (сила)

E = модуль упругости

I = момент инерции

Момент инерции (I) является функцией формы поперечного сечения балки.Это все, что нам нужно знать для проведения эксперимента. Мы вернемся к этой теме позже.

Мини-эксперимент № 1

Раскройте скрепку так, чтобы она превратилась в плоский провод. Прижмите один конец проволоки к краю стола, чтобы другой конец выходил в воздух. Слегка потяните пальцем свободный конец вниз и отпустите. Он возвращается к своей первоначальной форме, не так ли? это эластичное поведение. Теперь, если вы нажмете слишком сильно, вы превысите так называемый предел текучести проволоки, и она будет изгибаться безвозвратно.Это поведение пластика . Поскольку мы не хотим, чтобы балки в зданиях или мостах прогибались, инженеры обычно используют в своих расчетах коэффициент запаса прочности , чтобы конструкция никогда не была нагружена настолько, чтобы вызвать остаточную деформацию. Исключением из этого правила является расчет на сейсмостойкость. Здесь конструкции позволяют прогибаться, пока она не упадет.

Экспериментальные процедуры

Если переставить уравнение 4, получится

Вы можете узнать это как уравнение линии:

г = м P

, где m = наклон = L 3 / (48IE).

В этом эксперименте мы произведем ряд парных измерений нагрузки (P) и прогиба (y) на трех круглых балках - одной из стали, одной из алюминия и одной из латуни. После сбора данных нанесите на график нагрузку по оси x и отклонение по оси y. Данные должны попадать на прямую линию. Резкий «перегиб» на линии означал бы, что мы превысили предел упругости и заставили балку деформироваться. (Посмотрите на балку. Вернулась ли она к своей первоначальной форме?) В этом случае используйте только линейную часть кривой (т.е.е., меньшие нагрузки). Измерьте наклон на графике и вычислите E, учитывая длину балки и момент инерции. Уравнение для момента инерции твердого круглого сечения:

I x = p г 4 /4 = р г 4 /64

Экспериментальная установка будет продемонстрирована во время семинара. Фотографии будут сделаны и размещены на домашней странице доктора Джонстона:

(https://www.csus.edu/indiv/j/johnstonj)

Также будет размещен полный список материалов и предложения по материалам для тестирования.Обратите внимание, что в аппарате нет ничего волшебного. То, что мы продемонстрируем на семинаре, было построено из того, что у нас было под рукой в ​​нашей лаборатории. Любая установка , которую вы придумаете, которая позволяет вам измерять нагрузку и прогиб, подойдет. Если вы хотите поделиться своим дизайном с другими, отправьте нам фотографии или заметки по электронной почте для публикации. Или, если вы разместите их на сайте своей школы, пришлите нам адрес, чтобы мы могли предоставить ссылку на ваш сайт.

Инженерные приложения

1. Выбор материала

Инженеры всегда выбирают, какой материал использовать в конструкции. Доступен ряд материалов - сталь, бетон, дерево, железо, алюминий и, в последнее время, пластик. Каждый из этих материалов имеет свой набор характеристик, которые следует учитывать при разработке. Модуль упругости (E) является одним из примеров. Таблица 1 содержит информацию по ряду других материалов.

Некоторые материалы, например сталь, действуют одинаково как при растяжении, так и при сжатии.Другие, например бетон, действуют по-разному, в зависимости от того, как они загружены. Бетон, например, очень силен на сжатие, но очень слаб на растяжение. Другими словами, его сложно раздавить, но относительно легко разобрать. Если изогнуть бетонную балку, в растянутом участке быстро образуются трещины, и балка выходит из строя. Чтобы противодействовать этому, в бетон закладывают арматурные стержни из стали (прочной на растяжение) (см. Рисунок 3). Когда железобетон изгибается, сталь обеспечивает прочность на разрыв, поэтому балка не трескается.

Несмотря на то, что прочностные характеристики очень важны, они являются лишь одним из факторов, учитываемых при выборе материала для конкретного применения. Еще о чем следует подумать инженерам:

  • вес (в конструкции вес самой конструкции является частью нагрузки)
  • стоимость самих материалов
  • простота строительства (иногда стоит использовать более дорогой материал, если вы сэкономите достаточно денег на строительстве), и
  • (стальные балки должны изготавливаться на металлургическом заводе).

Возможная домашняя задача № 1

Учитывая набор параметров - нагрузку, форму, длину и максимально допустимый прогиб, выберите подходящий материал из таблицы 2. Учащиеся будут использовать предоставленную информацию для определения требуемого E с помощью уравнения 4. Затем они могут выбрать материал с значение E, равное или превышающее требуемое значение E.

Расширение: укажите учащимся, что редко бывает только один технически правильный ответ.Попросите их выбрать несколько материалов, которые подойдут, и написать небольшую памятку с описанием плюсов и минусов каждого из них.

2. Выбор формы

До сих пор мы отмечали, что отклонение зависит от момента инерции, который, в свою очередь, зависит от формы. Момент инерции - это второй момент относительно некоторой оси. По математике это:

где

I x = момент инерции относительно оси x

y = расстояние от оси x до дифференциальной области dA

Без математических расчетов и дополнительных знаний в области механики трудно объяснить слишком много подробностей об I.К счастью, доступны уравнения для вычисления I для ряда фигур (см. Таблицу 2). Выбор оси важен. При вертикальных нагрузках и изгибе в вертикальной плоскости следует использовать I x .

Мини-эксперимент № 2

Выберите значение нагрузки, обеспечивающее умеренный прогиб круглых балок. Теперь примените эту нагрузку к нескольким другим формам. Например, попробуйте положить плоский приклад «плашмя», а затем такой же брус уложить «набок».Прогибы очень разные. Это отражено в уравнении 4 как изменение в I. Вычислите I x для двух случаев, используя уравнения в таблице 2. Попробуйте другие формы, чтобы увидеть эффект не только формы, но и поворота той же формы и нагрузки. это с другой стороны.

Возможная домашняя задача № 2

Дайте ученикам набор параметров - нагрузку, максимально допустимый прогиб, материал и длину - и попросите их выбрать форму и размеры.Они могут сделать это, сначала вычислив требуемый I x из уравнения 4, а затем выбрав методом проб и ошибок форму из таблицы 2.

Расширение: укажите размеры помещения (например, 3 дюйма в ширину, 5 дюймов в высоту и длину L), в которое должны входить их балки.

Удлинитель: запросите наиболее экономичную форму. Это будет форма, в которой используется наименьшее количество материала, что можно рассчитать, умножив площадь поперечного сечения на длину.

3. Рассмотрение нескольких дел

Вы, наверное, заметили, что чем выше балка, тем меньше она отклоняется от вертикальной нагрузки. Что, если бы мы довели это до крайности и использовали очень высокий и очень тонкий срез, как кусок алюминиевой фольги. Если бы мы нагружали его, он не прогибался бы, но не выдержал бы изгиба. Чрезмерный прогиб в вертикальной плоскости - это только одна из причин отказа. Другое дело - коробление. (Устойчивость к устойчивости - довольно сложный предмет, и мы не будем пытаться его здесь предсказать.) Другой вид отказа - чрезмерный прогиб в горизонтальной плоскости из-за горизонтальных нагрузок, таких как ветер.

Дело в том, что инженер должен думать обо всех различных вещах, которые могут произойти с его или ее структурой - о различных вещах, которые могут быть загружены в конструкцию (люди, машины, картотеки, станки), о влиянии лед, снег или лужа воды на крыше, ветровые нагрузки и землетрясения (которые являются горизонтальными, а не вертикальными) - и попытайтесь предсказать, как конструкция будет реагировать (вертикальные прогибы, горизонтальные прогибы, изгиб, скручивание) для каждого из них.Необходимо рассмотреть очень много случаев. Раньше у инженерных фирм были комнаты, заполненные людьми, выполняющими эти расчеты, и они не охватывали все возможные случаи. Сегодня компьютерные модели помогают нам гораздо быстрее анализировать гораздо больше случаев.

Возможная домашняя задача № 3

Выполните домашнюю задачу №2, за исключением того, что укажите горизонтальную нагрузку и максимально допустимый горизонтальный прогиб. Горизонтальные нагрузки обычно намного меньше вертикальных (скажем, 5-10%).Уравнение 4 можно использовать для расчета прогиба, за исключением того, что следует использовать I y вместо I x .

Таблица 1

(выдержки из: Beer and Johnston, Mechanics of Materials , McGraw-Hill, 1981)

Материал

Модуль упругости (10 6 psi)

СТАЛЬ

Структурный (ASTM-A36)

29

Высокопрочный низколегированный ASTM-A514

29

Закаленный и отпущенный сплав ASTM-A514

29

Нержавеющая сталь (302) - холоднокатаная

28

Нержавеющая сталь (302) - отожженная

28

ЧУГУН

Серый, 4.5% C, ASTM A-48

10

Гибкий, ASTM A-47

24

АЛЮМИНИЙ

Сплав 1100-h24 (99% Al)

10,1

Сплав 2014-T6 (4,4% Cu)

10,6

Сплав 6061-T6 (1% Mg)

10

ЖЕЛТАЯ ЛАТУНЬ (65% Cu, 35% Zn)

Холоднокатаный

15

Отожженный

15

ФОСФОР БРОНЗА

Холоднокатаный

15.9

Пружина

16

ДЕРЕВО, воздушная сушка

Пихта Дугласа

1,8

Ель восточная

1,3

Сосна южная

1.6

БЕТОН

Средняя прочность

3,6

Высокая прочность

4,5

НЕЙЛОН формованный

0,3

ПОЛИСТИРОЛ

0.45

ГРАНИТ

10

СТЕКЛО, 98% кремнезема

9,6

Таблица 2

(ссылка: Lindeburg, M., Справочное руководство по гражданскому строительству , Professional Publications, Inc, 1992)

Отклонение в App Store

Deflection - это наиболее интерактивное, быстрое и точное приложение, доступное для расчета несущих балок.Создавайте визуально и мгновенно получайте инженерные результаты, графики и уравнения!

Просто поместите нагрузки и опоры на балку и посмотрите, как она изгибается. Найдите поперечное сечение во встроенной библиотеке или определите индивидуальную форму. Прогиб, внутренние напряжения и другие полезные результаты обновляются автоматически.

Это программное обеспечение является результатом более шести лет непрерывных разработок и инноваций, направленных на машиностроение, гражданское строительство и строительство.Этот инструмент поможет вам применять теорию упругости балки с первого дня, когда вы изучаете Механику материалов, и в любое время в будущем он станет вашим карманным справочником.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Получение результатов проектирования и диаграмм в режиме реального времени.

• Сила сдвига
• Изгибающий момент
• Расстояние прогиба
• Внутреннее напряжение изгиба
• Внутреннее напряжение сдвига

БАЗЫ ДАННЫХ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Укажите значения напрямую или найдите общие формы и материалы с помощью встроенных баз данных.

• США
• Европа
• Япония
• Индия
• Россия
• Великобритания
• Канада
• Австралия
• Китай

РЕДАКТОР СЕЧЕНИЙ

Редактировать встроенные поперечные сечения. Свойства формы рассчитываются автоматически.

• Момент инерции
• Площадь

НЕОГРАНИЧЕННЫЕ НАГРУЗКИ И ОПОРЫ

Просто перетащите любой груз или опору на балку.

• Сосредоточенные точечные нагрузки
• Распределенные нагрузки
• Моментные нагрузки
• Простые опоры
• Фиксированные опоры
• Фиксированные петли
• Плавающие петли Гербера

ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

• Применить собственный вес балки по желанию
• Автоматическое определение локальных максимумы и минимумы на диаграммах
• Неограниченное количество файлов для проектирования
• Шаблоны для быстрого старта
• Метрические и стандартные единицы измерения

КОНТАКТ

Мы хотим услышать от вас! Проблемы, вопросы или запросы? Отправьте отзыв или свяжитесь по электронной почте @ ketchep.com

Тригонометрическое аналитическое решение горизонтально опертой составной двутавровой балки с учетом тангенциального проскальзывания

В этой статье представлено аналитическое решение горизонтальной составной изогнутой двутавровой балки с простой опорой на основе тригонометрических рядов с учетом эффекта частичного взаимодействия в тангенциальном направлении. Основные уравнения и граничные условия получены с использованием теории изогнутой балки Власова и принципа минимума потенциальной энергии.Функции отклонения и функции множителя Лагранжа выражаются в виде тригонометрических рядов, чтобы удовлетворять основным уравнениям и ограничениям с опорой на обоих концах. Численные результаты прогибов и сил, полученные этим методом, сравниваются как с результатами МКЭ, так и с результатами экспериментов, и неточность между аналитическими решениями в этой статье и результатами МКЭ мала и разумна.

1. Введение

Составная балка может быть определена как «частично составная балка», когда количество соединителей, работающих на сдвиг, меньше, чем требуется для полностью составной конструкции; следовательно, сила сдвига границы раздела ограничена прочностью соединителей сдвига.В отличие от полностью составной балки, скольжение между слоями может быть значительным и приводит к снижению упругой жесткости частично составной балки. Составная балка, демонстрирующая частичное сдвиговое взаимодействие, будет выдерживать большее отклонение, чем балка, демонстрирующая полное сдвиговое взаимодействие. При допущении полного сдвигового взаимодействия расчет отклонения для балки с частичным сдвиговым взаимодействием может быть недооценен. Поскольку вопросы эксплуатационной пригодности часто определяют конструктивную конструкцию композитной секции, точный расчет прогиба имеет решающее значение.Частичное взаимодействие применяется не только в железобетонных композитных балках, но и в других типах композитных балок, таких как многослойные деревянные балки, системы паркетных полов и другие многослойные ламинированные композитные конструкции [1, 2].

Ранние исследования поведения частично составной балки в основном сосредоточены на прямой составной балке. Первая статья, посвященная анализу составных балок с частичным взаимодействием, была завершена Newmark et al. [3]. После этого Гудман и Попков [4, 5] провели аналитическое и численное исследование относительного скольжения между слоями и обнаружили, что относительное скольжение между слоями оказывает существенное влияние на общие характеристики композитной балки с уменьшением количества соединителей, работающих на сдвиг. жесткость.Girhammar et al. [6, 7] применили теорию взаимодействия частичного сдвига для композитной балки, подвергающейся статическим и динамическим нагрузкам. Ван [8] разработал метод расчета прогиба частично составной балки на основе жесткости соединителей, работающих на сдвиг. Далл'Аста [9] разработал трехмерную теорию для составной балки с частичным взаимодействием сдвига, имеющую дело с комбинацией изгиба в плоскости симметрии, кручения и поперечного изгиба в плоскости, параллельной границе раздела соединителя, работающего на сдвиг.Ни и Кай [10] изучали влияние сдвигового скольжения на прогиб сталебетонной композитной балки. Ранци и Брэдфорд [11] представили аналитические решения для зависимого от времени поведения частично составной балки. Лю и др. В [12] найдено решение сдвигового скольжения для железобетонной композитной балки при сосредоточенной нагрузке. Кампи и Монетто [13] представили новую постановку для анализа двухслойной линейно-упругой балки Тимошенко с межслойным скольжением. В аспекте исследований численного моделирования были предложены различные виды численных формулировок и формулировок методом конечных элементов для анализа композитной балки с межслойным скольжением [1, 14–19].

Было выполнено много значительных исследований в отношении поведения прямой частично составной балки. В то же время различные ученые провели исследования теории изогнутой балки. Одна из самых ранних работ, посвященных устойчивости криволинейных балок, была выдвинута Власовым [20]. После этого ученые рассмотрели различные расширения и усовершенствования модели Власова [21–26]. Эти исследования способствуют развитию теории составных балок. Однако очень мало литературы посвящено изогнутой частично составной балке, такой как горизонтально составной изогнутый стальной двутавровый мост.Thevendran et al. [27] и Shanmugam et al. [28] провели эксперименты с изогнутой композитной балкой из стали и бетона, чтобы исследовать поведение при предельной нагрузке. В их исследовании программа конечных элементов ABAQUS использовалась для анализа поведения испытуемых образцов. Предполагалось полное комбинированное воздействие между стальной балкой и бетонной плитой. Результаты деформаций, распределения напряжений и предела прочности, полученные методом конечных элементов, оказались в хорошем согласии с экспериментальными результатами.После этого Топкая и др. [29] провели экспериментальные и численные исследования, чтобы установить поведение композитного изогнутого моста во время строительства. В своем исследовании с помощью различных программ были созданы две модели FEM для прогнозирования поведения изогнутой стальной трапециевидной балки коробчатого сечения, и авторы пришли к выводу, что разумная модель конечных элементов может точно фиксировать поведение балки во время строительства. Джуссани и Мола [30] разработали аналитическое уравнение для упругой композитной балки, изогнутой в плоскости с долгосрочным поведением.Но частичное взаимодействие между стальной балкой и бетонной плитой в исследовании не рассматривалось. Эркмен и Брэдфорд [31] решили уравнение составной изогнутой балки с учетом двухслойного частичного взаимодействия, предоставив высокоэффективный трехмерный конечный элемент балки. Результаты демонстрируют, что разработанная формулировка точна и эффективна для определения поведения составных балок, изогнутых в плоскости.

Несмотря на то, что некоторые предыдущие исследования этих методологий оценки были выполнены, все еще отсутствует фундаментальное понимание поведения системного уровня на общих характеристиках составной изогнутой балки с частичным взаимодействием сдвига.Кроме того, хотя точные решения могут быть получены с помощью трехмерной конечно-элементной модели, это очень сложно и требует много времени. Поэтому процедуры анализа методом конечных элементов не подходят для первоначального проектирования. Это исследование направлено на предоставление аналитической теории горизонтально составной изогнутой балки с учетом частичного взаимодействия в тангенциальном направлении. Предполагается, что балка статически определена с постоянным радиусом кривизны вдоль продольной оси. Основные уравнения и граничные условия получены с использованием теории изогнутой балки Власова и принципа изменения энергии.Неопределенные вертикальное отклонение, крутильное отклонение и множители Лагранжа будут аппроксимированы рядом Фурье для решения основных уравнений теории составной балки с частичным взаимодействием в процедурах. Представлены численные результаты прогибов и сил, полученные с использованием предложенной теории, и проведено их сравнение с результатами МКЭ и экспериментальными результатами. Результаты сравнения показывают, что расчет может быть простым и точным, что является большим преимуществом этого метода.

2. Основные допущения и условия

Это исследование проводится на горизонтально составной изогнутой двутавровой балке, модель которой показана на Рисунке 1, а примечательные особенности этого исследования показаны следующим образом: (1) Плита и I - балки - это линейно-упругие разные материалы, а поперечные сечения из обоих материалов жесткие в своей плоскости. В этом исследовании не учитываются эффекты сдвиговой деформации, деформации коробления и деформации деформации. Структурный анализ балки основан на теории криволинейной балки Власова (для каждой части балки).(2) Межслойные соединители между плитой и двутавровой балкой являются гибкими, непрерывными в тангенциальном направлении и жесткими в радиальном направлении. Поведение соединителей под нагрузкой и проскальзыванием (на единицу длины) в тангенциальном направлении описывается в линейно-упругом диапазоне с постоянным модулем скольжения. (3) Подъем между плитой и двутавровой балкой не учитывается. Радиус кривизны постоянен вдоль балки.


Отклонения в тангенциальном направлении, вертикальном направлении и радиальном направлении (-направление, -направление и -направление) обозначаются как, и, соответственно.Двутавровая балка имеет такие же крутильные и вертикальные отклонения, что и плита. В этом документе нижний индекс «1» относится к поперечному сечению плиты, а нижний индекс «2» относится к поперечному сечению двутавровой балки, так что прогибы плиты и двутавровой балки могут быть представлены как и, соответственно. Геометрические отношения между деформациями и прогибами могут быть записаны в виде где - осевая деформация, - кривизна в -направлении, - кривизна в -направлении и - кривизна в -направлении.Где , .

Основные уравнения следующие: где,, и - внутренняя осевая сила в -направлении, внутренний изгибающий момент в -направлении, внутренний изгибающий момент в -направлении и внутренний крутящий момент в -направлении, соответственно.

Силовая диаграмма микроблока горизонтально составной изогнутой двутавровой балки показана на рисунке 2, на котором показаны внешняя распределительная сила и крутящий момент. Уравнения баланса плиты: Уравнения баланса двутавровой балки: где - распределенный изгибающий момент, вызванный поперечной силой, - распределенный крутящий момент, вызванный поперечной силой, - поперечная сила в -направлении и - поперечная сила в -направлении. .Для поперечных сил, и есть


. Исключив и из первых трех уравнений (3) и (4), мы можем получить, когда нет осевой силы и изгибающего момента в -направлении двутавровой балки вызванное внешними силами, мы можем получить

3. Равновесие на границе раздела

На границе раздела с учетом прогибов, описанных на рисунке 3, поперечная сила, описанная на рисунке 2, может быть записана как где и представляет собой величину отклонения на границе раздела. в тангенциальном направлении.Таким образом, равновесие на границе раздела в тангенциальном направлении можно записать как


С учетом отклонения, описанного на рисунке 4, равновесие на границе раздела в радиальном направлении можно записать как


Для решения рассматриваемой задачи , удобно переставить (9) и (10), как подробно описано ниже. Во-первых, взяв производную от (9) один раз по компоненту, затем исключив и вставив производное уравнение и (10) в первую формулу (1), и, наконец, используя первую и вторую формулы из (2) , можно получить следующее:

Аналогично, взяв производную дифференциального уравнения (9) один раз и дважды взяв производную от (10) по составляющей, а затем исключив и вставив эти два производных уравнения во вторую формулы (1), используя (2), можно получить следующее: где и.

4. Постановка задачи

Основные дифференциальные уравнения пучка будут выведены по принципу минимума потенциальной энергии. Потенциальная энергия балки имеет следующий вид:

- энергия деформации изгиба за счет внутренних изгибающих моментов и. Где.

- энергия деформации кручения за счет внутренних крутящих моментов и. Где.

- энергия осевой деформации за счет внутренних осевых сил и.

- энергия деформации изгиба за счет внутренних изгибающих моментов и.

- энергия деформации из-за прогибов соединителя.

- потенциальная энергия из-за внешней нагрузки. Где, и - изгибающий момент, поперечная сила и крутящий момент балки соответственно. Используя метод множителей Лагранжа, принцип минимальной потенциальной энергии в расширенной форме теперь может быть записан как где параметры и являются множителями Лагранжа, а и являются условиями равновесия на границе раздела, соответствующими (11) и (12), соответственно.В (20),,,,, и - независимые переменные. Вариации iswhere и рассчитываются из вариации, которые приведены в Приложении A. Каждый член в (21) должен быть тождественно равен нулю. Это делает,,,,, и; то есть заниженные множители Лагранжа и

Уравнение (22) отмечает, что множители Лагранжа и отклонения (и) связаны. Таким образом, в этой задаче будет четыре, а не шесть независимых переменных. Мы можем взять,, и в качестве независимых переменных.Остальные основные уравнения - это,, и, которые можно переставить и представить в виде матрицы, как показано ниже. Мы можем получить соответствующие граничные условия:

Очевидно, что (23) представляет собой обыкновенный дифференциал десятого порядка. уравнение. У нас есть десять граничных условий для балки, то есть по пять граничных условий для каждого конца. Для выполнения граничных условий (см. (24)) используются следующие альтернативы на каждом конце, показанные в таблице 1.


6Аналитическое решение от Trigonometric Series

В этом разделе получено решение замкнутой формы горизонтальной составной изогнутой двутавровой балки с простой опорой. Функции отклонения и функции множителя Лагранжа выражаются в виде неопределенных коэффициентов и известных тригонометрических рядов для удовлетворения основных уравнений и жестких торсионных ограничений на каждом конце. Предполагается, что прогиб и множитель Лагранжа имеют следующую форму: где,, и - неизвестные коэффициенты Фурье, которые необходимо определить для каждого, а - длина пролета.Приложенная распределенная нагрузка и разлагаются в один тригонометрический ряд, где и являются коэффициентами Фурье. Умножая обе части (26) на каждый тригонометрический ряд и затем интегрируя их, наконец, по тригонометрическим коэффициентам, можно легко определить свойства ортогональности. Подставляя (25) - (26) в (23) и решая (23), можно определить неизвестные параметры,, и. Неизвестные коэффициенты Фурье задаются следующим образом: где, и - соответствующие коэффициенты, которые приведены в Приложении B.

6. Численный пример

Сталь-бетонная композитная изогнутая двутавровая балка, рассчитанная Тевендраном и др. [27] взят в качестве числового примера, чтобы показать точность и надежность настоящего тригонометрического решения балки. Балка просто поддерживается с обоих концов, как показано на рис. 1. Балка подвергается вертикальной нагрузке в средней части пролета. Свойства материала и размеры изогнутой двутавровой балки (балка SP4) показаны в таблице 2.


Тип Граничные условия




58399 (Плотность

Модуль Юнга
(ГПа)
Коэффициент Пуассона ) кг / м) Ширина
(мм)
Толщина
(мм)
Центральный угол Радиус кривизны
(м)

Стальная балка 2063 7850 Фланец: 332
Веб: 172
Фланец: 13
Веб: 8
24
Бетонная плита 26 0,27 699 2400 902

Программа конечных элементов ANSYS используется для моделирования описанной конструкции (рис. 5). В модели FEM и бетонная плита, и стальная двутавровая балка моделируются как элементы пространственной балки, а соединение между плитой и двутавровой балкой моделируется с помощью многоточечных ограничений (MPC), которые моделируются двумя жесткими связями, соединенными через узлы стыковки плиты с двутавровой балкой.Пружинные элементы используются в тангенциальном направлении, чтобы обеспечить возможность движения. Степени свободы сцепления используются для предотвращения проблемы подъема.


Вертикальное отклонение, тангенциальное отклонение, радиальное отклонение и крутильное отклонение ограничиваются, чтобы удовлетворить ограничениям простой опоры на обоих концах. Хотя элемент BEAM4 в ANSYS не может учитывать эффект деформации, этот элемент довольно хорошо соответствует теории этой статьи.Итак, 120 элементов BEAM4 выбраны в качестве пространственных балочных элементов. Элемент MPC 184 с номером 122 моделируется как элемент многоточечных ограничений. Кроме того, элемент COMBIN 14 с номером 61 используется, когда учитывается тангенциальное скольжение.

Для случая полного взаимодействия параметры скольжения приняты равными. На рисунке 6 показан вертикальный прогиб на основе МКЭ, решения, рассчитанного в этой статье, и Тевендран и др. экспериментальные результаты соответственно.Для этого бумажного решения количество коэффициентов Фурье (в (25)) может быть выбрано настолько большим, насколько это возможно для достижения требуемой точности. В качестве иллюстрации сходимости результатов мы покажем результаты из этой статьи, взяв число как 1, 5 и 10 членов, соответственно. На Рисунке 6 видно, что вертикальные отклонения решены на основе этой статьи и Тевендрана и др. Эксперименты находятся в разумном согласии (разница в пределах 12%), а решенные результаты этой статьи и МКЭ находятся в хорошем согласии.


Принимая во внимание только вертикальные отклонения, доступные из экспериментов Тевендрана и др., Другие результаты решения, рассчитанного в этой статье и с помощью МКЭ, сравниваются на рисунках 7–12. Результатами являются угол кручения, изгибающий момент (), осевая сила (), изгибающий момент, поперечная сила и крутящий момент, соответственно.







Из рисунков 7–12 видно, что результаты, полученные в этой статье, могут быстро сходиться, и можно получить очень хорошие результаты, взяв более 5 членов.При изменении жесткости соединителей, работающих на срез, вертикальный прогиб и угол кручения в средней части пролета показаны на рисунках 13 и 14 соответственно. На рисунке 13 можно увидеть, что вертикальные отклонения сходятся к минимуму, когда параметр скольжения больше, чем. Более того, изменения параметра скольжения указывают на жесткость соединителя сдвига в экспериментальной модели Тевендрана и др. с диапазоном от до. Как видно из рисунков 13 и 14, характеристики изогнутой составной двутавровой балки становятся значительно жесткими, когда жесткость соединителя, работающего на сдвиг, увеличивается с до.Уменьшение жесткости соединителей, действующих на сдвиг, между слоями оказывает значительное влияние на вертикальный прогиб и угол скручивания в средней части пролета.



Неточность значений вертикального отклонения и крутильного угла между аналитическими решениями в этой статье и результатами МКЭ на рисунках 6–14 мала и разумна. Таким образом, модель, созданная в этой статье, может быть достаточно применена для практических целей.

7. Выводы

В этой статье было разработано и представлено аналитическое решение для горизонтальной составной изогнутой двутавровой балки с простой опорой.Он в основном используется для решения статической задачи двухслойной составной изогнутой балки с гибким соединением сдвига в тангенциальном направлении. Тригонометрические ряды принимаются в выражении решения в терминах координаты пролета. Как определяющие уравнения, так и граничные условия получены с использованием теории изогнутой балки Власова и принципа минимума потенциальной энергии. Точность результатов расчетов, основанных на теории, представленной в этой статье, проверена путем сравнения с FEM и Thevendran et al.