13.2. Расчеты на прочность при изгибе

13. Изгиб бруса

В случаях, когда длина балки много больше высоты и ширины сечения ( h ), возникающие нормальные напряжения при изгибе значительно больше касательных напряжений. Вследствие этого касательными напряжениями в таких случаях можно пренебречь.

Балки из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), проектируются симметричными относительно оси x (рис. 13.10, а).

Условие прочности для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь), имеет вид

σmax =	Mmax	ymax =	Mmax	≤[σ],	(13.13)
	Jx		Wx

где Mmax – наибольший по абсолютному значению изгибающий мо-

мент от нагрузок; [σ] – допускаемое напряжение; W =	Jx	– момент
x	ymax

сопротивления поперечного сечения балки.

Характер распределения σ(y) для симметричных сечений представлен на рис. 13.10, а, б.

а б в

Рис. 13.10

285

Mmax

И. В. Богомаз. Механика

Из эпюры σ(y) видно, что материал, расположенный у нейтральной оси, нагружен очень мало (рис.13.10, б). В целях экономии и снижения веса балок следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной оси (на рис. 13.10, а пунктирные линии) – рациональная форма. Двутавровое сечение более экономично, чем прямоугольное (рис. 13.10, а, в).

Возьмем две одинаковые прямоугольные балки, закрепленные одним концом в неподвижной опоре с разной геометрией (рис. 13.11) и приложим к свободным концам силу F. Возможные разрушения могут произойти в опасном сечении, совпадающем с заделкой, изгибающий момент Mx, создаваемый силой F в обеих балках, равен

= F и не зависит от закрепления.

В первом варианте (рис. 13.11, а) балка изогнется при сравнительно небольшой величине силы F. Во втором варианте (рис. 13.11, б) для достижения того же результата понадобится значительно большая сила. В первом случае деформируемые слои материала балки в сечении ближе расположены к нейтральной оси х, а во втором – дальше. Из предыдущего материала известно, что нейтральная ось (нулевая линия) – это геометрическое место точек поперечного сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Поскольку основное сопротивление изгибу оказывают наиболее удаленные от нейтральной линии слои материала, целесообразно при изгибе ориентировать сечения балки так, чтобы в плоскости изгиба лежали точки сечения, наиболее удаленные от нейтральной оси. Следовательно, сечение на рис. 13.11, б, более рационально расположено, чем сечение на рис. 13.11, а.

Рис. 13.11

13. Изгиб бруса

Рис.13.12

Способность поперечного сечения сопротивляться деформации изгиба характеризуется осевым моментом сопротивления изгибу Wx Величина Wx зависит от формы и размеров поперечного сечения и от его ориентации по отношению к изгибающей силе. На рис. 13.12 приведена диаграмма соотношения моментов сопротивления Wx и Wy для некоторых профилей проката, широко применяющихся в практике.

Из диаграммы видно, что отношение Wx / Wy колеблется в пределах от 1 до 7. В связи с этим для рационального использования материала в строительных конструкциях с нагрузками в плоскости zy профиль проката следует располагать рационально, т. е. так, чтобы момент сопротивления относительно плоскости изгиба yz был макси-

мальным (Wxmax ), а плоскости xy – минимальным (Wymin ). Для стан-

дартных профилей типа двутавров и швеллеров величины осевых моментов сопротивления изгибу приведены в справочниках.

Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси (тавровое, несимметричное двутавровое, П-образное). При этом целесообразно располагать сечение так, чтобы большаяегочастьсечениянаходиласьвсжатойзоне(рис. 13.13).

При этом приходится отдельно проверять наибольшие напряжения в растянутой и сжатой зоне. Условие прочности (13.7) распадается на два:

σp max =	M x max		;	σc max =	M x max	yc ≤[σc ]. (13.14)
	Jx	yp ≤ σp			Jx
						287

И. В. Богомаз. Механика

где yp и yc – расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек растянутой и сжатой зон; [σp] и [σc] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Рис. 13.13

Пример 13.1. Подобрать сечение двутавровой балки (рис. 13.14), если длина пролета 1 = 3м, консоли 2 =1 м, равномерная нагрузка q = 30 кН/м, расчетное сопротивление материала изгибу R = 240 МПа.

Рис. 13.14

Решение. Вычислим реакции опор RA и RB, сделаем проверку вычисленных значений (рис.13.15, а).Запишем уравнения равновесия:

∑M A = 0, RB 3 −q 2,5 2,75 = 0 → RB = 30 2,5		2,75		= 68,75кH;
	3
∑M B = 0, − RA 3 +30 2,5 0,125 = 0 → RB =	30 2,5		0, 25		= 6, 25 кH.
		3

Проверка: ∑Fy = 6,25 −30 2,5 +68,75 = 0.

13. Изгиб бруса

Построим эпюру Mx и эпюру Qy для контроля эпюры Mx (рис. 13.15, б, в). Из эпюры изгибающего момента Mx видно, что опасное сечение балки находится в сечении В: M xB = M xmax =15 кН м.

Подберем поперечное двутавровое сечение балки. Запишем условие прочности для выявленного опасного сечения D и вычислим требуемый момент сопротивления балки:

						M B
				σmax =		x	≤ R ,
						Wx
W	≥	M xD	=	15 103	= 0,0625 10−3 м3 = 62,5см3 .
x		R γc		240 106

Находим из сортамента подходящее значение момента сопро-

тивления: двутавр № 12 с Wx = 58,4 см3 . Проверим двутавр № 12 на прочность:

						M D		15 103
	σ	max	= σ	№12	=	x	=		= 256,8 MПа.
						W		58, 4 10−6
						x

Рис. 13.15

289

И. В. Богомаз. Механика

Сравниваем:

σmax = σ№12 = 256,8МПа и R = 240 МПа → σmax > R.

Вычислим возникшее перенапряжение

σ№12 − R	100% =	256,8 −240				100% = 6,5% > 5 %, что не допус-
σ№12			256,8
тимо.
Выбираем из сортамента двутавр № 14 с Wx = 81,7 см3.
Проверим двутавр № 14 на прочность:
	σ′max = σ№14		=	M xD	=	15 103		=183,6MПа.
						81,7 10−6
				Wx

Сравниваем:

σ′max = σ№14 =183,6МПа и R = 240 МПа → σ′max < R .

Прочность балки обеспечена с большим запасом. Ответ: выбираем двутавр № 14.

Пример 13.2. Шарнирно опертая двутавровая балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, силой F = 1,2qa и моментом m = 2,4q2 (рис.13.16).

Требуется построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx и вычислить их наибольшие значения; определить несущую способность балки q из условия прочности по нормальным напряжениям; проверить прочность балки по касательным напряжениям при вычисленной нагрузке q.

Рис.13.16

					13. Изгиб бруса
	Дано: Длина пролета балки = 6м,	a1	= 3,	a2	= 4 . Сечение
		a		a

балки – двутавр № 30а. Расчетное сопротивление материала на изгиб R = 210 МПа, на срез RS = 130 МПа.

Решение. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 13.17, а). Запишем уравнения равновесия.

∑M A = 0, VB 10a − F 7a −q 7a 3,5a −m = 0 →

= 1,2qa 7a + 24qa2 + 2,4qa2 =

VB 3,5qa. 10a

∑M B = 0, −m −VA 10a + q 7a 6,5a + F 3a = 0 →

VA = −2,4qa2 + 45,5qa2 +3,6qa2 = 4,67qa. 10a

Проверка:

∑Fy =VA −7qa −1,2qa +VB = 3,53qa −7qa −1,2qa + 4,67qa =

=8, 2qa +8, 2qa = 0.

m = 2,4q2

а

2,4qa2

б

z0

a2 = 4a VA = 4,67qa a1 = 3a l = 10a

10,6qa2

z0

И. В. Богомаз. Механика

Построим

эпюру

Mx

и эпюру

Qy

для

контроля эпюры Mx

(рис. 13.17, б, в). Вычислим Mmax:

M (z) = −m +VA z −

qz

2

,

2

Q

(z

o

)

=

d M x (z)

=V

A

−qz

0

= 0

→ z

0

=

VA

= 4,67a.

x

d z

z=zo

q

qz2

M max (z0 ) = −m +VA z0

−

0

=

2

= −2, 4qa2 + 4,67qa 4,67a −

q(4,67a)2

=13,3qa2 .

2

Вычислим несущую способность балки. Из сортамента

(ГОСТ8239–89) длядвутавра№ 30анаходим: Wx = 518 см3, Jx = 7780 см4, статическиймоментполусеченияSx = 292 см, толщинастенкиs = 6,5 мм.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

			M max				13,3qa2
	σmax =			x		≤ R →		≤ R, откуда
				Wx			Wx
	W R			518	10−6 210 106			0,9
q ≤	x	=							= 22719 Н/м.
	13,3a2					13,3 0,62

Проверим прочность балки по касательным напряжениям. Ус-

ловие прочности по касательным напряжениям имеет вид

τ		=	Qmax S		x max ≤ R .
			y
	max					S
				Ix вy

Здесь

τ	max	=	Qymax расч Sxmax	=	4,67qa Sx max		=
			Ix вy			Ix вy
=	4.67 22719 0,6 292 10−6					= 36,7 MПa.
		7780 10−8 6,5 10−3

studfiles.net

Формулы для расчетов на изгиб

σ — нормальные напряжения,
τ — касательные напряжения,
Q_y – внутренняя поперечная сила,
M_x – внутренний изгибающий момент,
I_x – осевой момент инерции сечения балки,
W_x – осевой момент сопротивления сечения,
[σ], [τ] – соответствующие допустимые напряжения,
E – модуль упругости I рода (модуль Юнга),
y — расстояние от оси x до рассматриваемой точки сечения балки.

Расчет внутренних поперечных сил и изгибающих моментов

Формула кривизны балки в заданном сечении

Расчет нормальных напряжений в произвольной точке сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе (проверочный расчет)

Осевые моменты инерции I и сопротивления W

• прямоугольного сечения
  
  h – высота сечения,
  b – ширина сечения балки.
• круглого сечения балки
  
  D — диаметр сечения

Касательные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле Журавского:

Здесь:

S_x^* — статический момент относительно оси x отсеченной части сечения

b — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

Условие прочности балки по касательным напряжениям

Дифференциальное уравнение линии изогнутой оси балки

Уравнения метода начальных параметров (МНП)

θ_z, y_z — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки на расстоянии z от начала координат,
θ₀, y₀ — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки в начале координат,
m, F, q — соответственно все изгибающие моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки приложенные к балке,
a, b — расстояние от начала координат до сечений где приложены моменты и силы соответственно,
c — расстояние от начала координат до начала распределенной нагрузки q.

Другие формулы >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

isopromat.ru

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

• Соответствие прогиба и допустимых значений.
• Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

• Составляется расчетная схема.
• Определяются геометрические характеристики балки.
• Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
• В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
• Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.

Момент инерции

Геометрическая характеристика, которая получила название момент инерции, важна при проведении расчетов на прогиб балки. Формула позволяет вычислить эту величину, мы приведем ее немного ниже.

При вычислении момента инерции нужно обращать внимание на то, что размер этой характеристики зависит от того, какова ориентация элемента в пространстве. При этом наблюдается обратно пропорциональная зависимость между моментом инерции и величиной прогиба. Чем меньше значение момента инерции, тем больше будет значение прогиба и наоборот. Эту зависимость достаточно легко отследить на практике. Каждый человек знает, что доска, положенная на ребро, прогибается гораздо меньше, чем аналогичная доска, находящаяся в нормальном положении.

Подсчет момента инерции для балки с прямоугольным сечением производится по формуле:

J=b*h^3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм. В этом случае нужный нам коэффициент составит 0,6.

В результате вычисления максимальной нагрузки получаем следующий результат: q=(60+250+75)*0,6+18=249 кг/м.

Когда значение получено, можно переходить к расчету максимального прогиба.

Вычисление значения максимального прогиба

Когда проводится расчет балки, формула отображает в себе все необходимые элементы. При этом стоит учитывать, что формула, используемая для расчетов, может иметь несколько иной вид, если расчет проводится для разных типов нагрузок, которые будут оказывать влияние на балку.

Сначала приведем вашему вниманию формулу, используемую для расчета максимального прогиба деревянной балки с распределенной нагрузкой.

f=-5*q*l^4/384*E*J.

Обратите внимание, что в данной формуле Е – это постоянная величина, которая получила название модуль упругости материала. Для древесины эта величина равна 100 000 кгс/ м².

Продолжив вычисления с нашими данными, использованными для примера, получим то, что для балки из древесины, сечение которой составляет 0,15х0,2 м, а длина равна 4 м, величина максимального прогиба при воздействии распределенной нагрузки равна 0,83 см.

Обращаем внимание, что когда производится расчет прогиба с учетом схемы с сосредоточенной нагрузкой, формула приобретает следующий вид:

f=-F*l^3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

• Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
• Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
• Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
• Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
• Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
• Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное — помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра.

Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a²*b²)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z³/a²*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a²*b²)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)³/a+b²), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b₁h₁³/12, где b₁ и h₁ – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное — знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

fb.ru