Прогиб балки на двух опорах: Расчет Балки Онлайн (в табличной форме онлайн)

Содержание

Определение прогибов балки на двух опрах

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Кафедра Механики композиционных материалов и конструкций

Лабораторная работа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ БАЛКИ

НА ДВУХ ОПОРАХ

Пермь 2012

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ БАЛКИ НА ДВУХ ОПОРАХ

Цель работы

Приобретение практических навыков по измерению прогибов балки.

Содержание работы.

Балка – это стержень, нагруженный силами, действующими в направлении, перпендикулярном его оси. В инженерной практике часто возникает необходимость в определении величины прогибов балки под нагрузкой. Чаще всего это связано с необходимостью ограничения максимального прогиба балки.

Рассмотрим схему балки на двух опорах (шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной), нагруженной сосредоточенной силой Р в произвольной точке С (рис.1). До приложения силы Р продольная ось балки представляла собой прямую. Под действием силы Р ось балки превратилась в кривую АСВ.

Рис. 1. Схема нагружения балки.

Пусть плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки, и все нагрузки действуют в этой плоскости. Тогда кривая АСВ называемая линией прогибов балки, или упругой линией балки, будет также лежать в этой плоскости.

Алгебраическое решение упругой линии балки методом дифференциальных уравнений выглядит так:

прогиб балки на расстоянии z от левой опоры (см. рис. 1)

при 0 ≤ z ≤ a

(1)

при а ≤ z ≤ l

(2)

где Е– модуль упругости материала балки (для стали E = 2·105МПа), J – осевой момент инерции сечения балки ( и ширина и высота сечения балки).

Оборудование и материалы:

  1. Установка ТМт — 12.

  2. Индикатор часового типа ИЧ — 10.

  3. Грузы подвесные.

Установка ТМт-12 (см. рис.2) выполнена в настольном исполнении и состоит из сварного основания 1, на котором закреплены стойки 2 и 3. На стойках установлена контрольная балка 4, левый конец которой располагается на шарнирно-подвижной опоре 5, а правый — на шарнирно-неподвижной опоре 6. Нагружение балки выполняется с помощью подвеса 7 и гирь. Для фиксации положения подвеса 7 на балке нанесены риски с интервалом 50 мм. Вертикальные перемещения балки (прогибы) измеряются индикаторной головкой часового типа 8, закрепленной на кронштейне 9. Кронштейн можно перемещать по направляющей 10 и фиксировать его положение с помощью винтов 11.

Цена одного деления индикатора часового типа– 0,01 мм. Один оборот большой стрелки соответствует вертикальному перемещению штока индикатора на 1 мм. Полный рабочий ход штока– 10 мм.

Рис. 2.Установка ТМт-12

Меры безопасности:

К работе с указанной установкой допускаются лица, ознакомленные с её устройством, принципом действия и порядком проведения работы.

Порядок выполнения работы:

  1. Измерить необходимые размеры балки на двух опорах. Рассчитать осевые моменты инерции и сопротивления сечения балки.

  2. Для выполнения работы с шарнирно-опертой балкой освободить винт на правой опоре. Для выполнения работы с заделкой на правой опоре наоборот, завернуть винт.

  3. Убедиться, что запас хода штока индикаторной головки 8 в нижнем направлении составляет не менее 10 мм, при необходимости переустановить головку.

  4. Получить у преподавателя задание на выполнение работы.

  5. Нагрузить балку подвесными грузами в соответствии с полученным заданием. С помощью индикаторной головки измерить величину прогиба балки в заданных сечениях. При этом перед каждым измерением следует разгружать балку и, переместив кронштейн в нужное положение, выставлять стрелку индикаторной головки на ноль.

  6. С помощью второй индикаторной головки измерить вертикальное перемещение левого края балки. Вычислить угол поворота сечения.

  7. Составить отчет и подготовиться к защите по теоретическим вопросам.

Содержание отчета:

  1. Название и цель работы.

  2. Задание.

  3. Результаты расчетов.

  4. Таблица результатов эксперимента (измерений прогибов)

  5. Графики прогибов балки, построенных по теоретическим и экспериментальным данным.

  6. Выводы.

Варианты заданий:

Произвести 6-7 замеров показаний индикатора часового типа по всей длине нагруженной балки (в местах примерно равноотстоящих друг от друга) при следующих значениях массы подвешиваемого груза 7 (рис.

 2) и расстояний a от левой опоры до места подвеса груза

Таблица 1. Варианты заданий.

Вариант задания

1

2

3

4

5

6

7

Масса груза (кг)

4

5

3

3

4

4

5

Расстояние a (см)

20

25

30

35

40

50

55

Контрольные вопросы по теории:

  1. Как определяются реакции опор для шарнирно-опертой балки?

  2. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях балок при изгибе?

  3. Какой изгиб называется чистым?

  4. Какой изгиб называется поперечным?

  5. Какой изгиб называется прямым?

  6. Какой вид изгиба реализуется на лабораторной установке, используемой в работе?

  7. Правило знаков для внутренних поперечных усилий при изгибе.

  8. Правило знаков для внутренних изгибающих моментов.

  9. Дифференциальные зависимости между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом при поперечном изгибе.

  10. В каких сечениях имеют место скачки на эпюре поперечных сил?

  11. В каких сечениях имеют место скачки на эпюре изгибающих моментов?

  12. На каких допущениях построена теория нормальных напряжений при чистом изгибе?

  13. Что такое нейтральный слой и нейтральная линия?

  14. Откуда следует, что при изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения?

  15. Что такое статически определимая балка?

  16. Что такое статически неопределимая балка?

  17. В чем состоит гипотеза плоских сечений?

  18. Как распределены нормальные напряжения по высоте балки при изгибе?

  19. Как распределены нормальные напряжения по ширине балки при изгибе?

  20. В каких точках сечения наибольшие нормальные напряжения?

  21. Что такое осевой момент инерции сечения балки и какова его размерность?

  22. Что такое осевой момент сопротивления и какова его размерность?

  23. Как вычислить момент инерции относительно центральной оси для прямоугольного поперечного сечения балки?

  24. Как вычислить момент сопротивления для прямоугольного поперечного сечения балки?

  25. Во сколько раз уменьшатся максимальные нормальные напряжения в прямоугольном сечении балки, если ее высота увеличится в два раза?

  26. Что такое жесткость поперечного сечения на изгиб?

  27. Формула для определения кривизны нейтрального слоя через изгибающий момент.

  28. Что такое прогиб, угол поворота сечения?

  29. Дифференциальное соотношение между прогибом и углом поворота сечения.

  30. Дифференциальное соотношение между изгибающим моментом и углом поворота сечения.

Расчет стальной балки на прогиб

Теги: #ЛИРА-САПР #СТК #прогибы

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок


Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96. 7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п. 2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

Калькулятор уравнений прогиба балки с опорой на оба конца с одинарной нагрузкой в ​​центре

Калькулятор уравнений изгиба балки с опорой на обоих концах с одинарной нагрузкой в ​​центре

Формула прогиба и напряжения балки и калькуляторы

Момент инерции площади Уравнения и калькуляторы 9004 Beam 9007 Beam Калькулятор уравнений прогиба и изгиба поддерживается на обоих концах Одиночная нагрузка в центре.

Открытый вычислитель с опорой на обоих концах Одинарная нагрузка в центре

Балка Напряжение между точками нагрузки и опоры

Балка Напряжение в центре постоянного поперечного сечения

Балка Прогиб между нагрузкой и точками опоры 90 Максимум 10 Be

90 прогиб под нагрузкой

Где:

E = Модуль упругости фунтов на кв. дюйм

(Н/мм 2)

Я = Момент инерции в 4 (мм 4)
Ш =   Загрузить фунтов (Н)
с = Напряжение в оцениваемом поперечном сечении фунт/дюйм 2 (Н/мм 2 )
г = Прогиб балки дюймов (мм)
х = Некоторое расстояние, указанное дюймов (мм)
= Некоторое расстояние, указанное дюймов (мм)

Z =

 модуль поперечного сечения балки = I/z в 3 (мм 3)

г =

 расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна (края) дюймов (мм)
  • Обратите внимание, буква «» (строчная буква «L») отличается от буквы «I» (момент инерции).
  • Прогиб относится только к постоянным поперечным сечениям по всей длине

Ссылки:

  • Справочник по любому машинному оборудованию, опубликованный с 1931 года или
  • Справочник по машинному оборудованию, 21-е издание, стр. 404 или
  • Справочник по машинному оборудованию, 23-е издание, стр. 260 или
  • Справочник по машинному оборудованию, 27-е издание, стр. 261

Сопутствующие

  • Уравнения напряжения балки / расчет — оба конца нависают над опорами, нагрузка в любой точке между
  • Уравнения напряжения изгиба и прогиба конструкционной балки / расчет — фиксированный на одном конце, поддерживаемый на другом, нагрузка в центре
  • Уравнения прогиба напряжения балки / Калькулятор — фиксированный на одном конце, поддерживаемый на другом, нагрузка в любой точке
  • Уравнения/калькулятор прогиба напряжения балки — фиксированные на обоих концах, нагрузка в центре
  • Уравнения/калькулятор прогиба напряжения балки — фиксированные на обоих концах, нагрузка в любом месте
  • Уравнения прогиба напряжения балки / Калькулятор с равномерной нагрузкой
  • Уравнения прогиба напряжения балки / Неразрезная балка с двумя неравными пролетами, неравными, равномерными нагрузками
  • Уравнения расчета прогиба напряжения балки — неразрезная балка с двумя равными пролетами, равномерная нагрузка
  • Уравнения расчета прогиба балки с торцами, выступающими за опоры, и двумя равными нагрузками, приложенными к симметричным точкам
  • Уравнения прогиба балки с торцевыми выступающими опорами и одиночной нагрузкой
  • Уравнения калькулятора прогиба балки Консольная балка с одной нагрузкой на конце

TecQuipment Прогиб балок и консолей (конструкции нового поколения)

Конструкции следующего поколения

Прогибы и напряжение

Номер позиции: 

STS4 – эксперимент

Один из ряда экспериментальных модулей, подходящих для платформы Structures  Платформа Structures STS1 (приобретается отдельно), этот продукт помогает (приобретается отдельно). учащиеся должны понимать упругие свойства балок и консолей. Студенты выбирают из набора тестовых балок и прикрепляют их к опорам.

Они могут установить балки только на одну опору, образуя консоль. Они также могут устанавливаться между двумя опорами с различными способами крепления, образуя просто опертые и фиксированные или «инкастровые» балки. Каждая опора включает в себя указатели, которые работают со шкалой на платформе для точного позиционирования.

Учащиеся прикладывают нагрузку к любому месту вдоль балки и измеряют результирующий прогиб, а также в любой точке балки. Они используют уравнения балки из учебника, чтобы предсказать прогиб для любой заданной нагрузки и сравнить результаты расчетов с результатами измерений. Это помогает подтвердить надежность уравнений учебника и точность результатов эксперимента.

Этот продукт включает в себя набор «образцов» балок из различных металлов и сечений для сравнения упругих свойств и значения «I». Это также позволяет учащемуся изменять эффективную длину балки, чтобы увидеть, как это влияет на величину прогиба для любой заданной нагрузки.

Индикатор отклонения имеет собственный дисплей, но его можно подключить к концентратору интерфейса USB платформы Structures для компьютерного отображения и сбора данных.

*Существует 21 различных экспериментов в линейке структур следующего поколения.

Основные характеристики

  • Один из ряда экспериментальных модулей, обучающих принципам построения
  • Подходит для платформы Structures (STS1) для эргономичного использования и компактного хранения
  • Выбираемые условия фиксации балки с полностью регулируемыми положениями измерения нагрузки и отклонения для увеличения диапазона эксперимента
  • Включает балки из другого материала и с другим поперечным сечением для сравнения модуля упругости (Юнга) и второго момента площади (значение «I»)
  • Цифровой индикатор отклонения с высоким разрешением для максимальной точности измерений
  • Включает штангенциркуль для измерения поперечного сечения
  • Поставляется с лотком для мелких предметов
  • Работает с удобным программным обеспечением (VDAS ® )

Результаты обучения

  • Формула изгиба балки и структурная «жесткость»
  • Прогиб из-за точечных нагрузок и UDL (равномерно распределенных нагрузок)
  • Влияние крепления балки на прогиб:
    • Свободно опертых балок
    • Неподвижные или «инкастровые» балки
    • Консольные балки
    • Опорная консоль
  • Форма отклоненной балки
  • Длина балки и прогиб
  • Материал балки и прогиб — модуль упругости (Юнга)
  • Поперечное сечение и прогиб балки — второй момент площади (значение «I»)
  • Чистый изгиб балки
  • Теорема взаимности (Максвелл-Бетти)

Посетите TecQuipment для получения дополнительной информации.

Запросить информацию

Компания TecQuipment проектирует, разрабатывает и производит широкий спектр продуктов для обучения инженеров. Компания хорошо известна как ведущий поставщик технического учебного оборудования для школ, колледжей, университетов и промышленных учебных центров по всему миру.

Компания TecQuipment использует процесс постоянного совершенствования продукции , чтобы гарантировать, что учебное оборудование опережает конкурентов и отвечает потребностям клиентов. Ассортимент продукции пересматривается и обновляется, а новые продукты разрабатываются по мере изменения учебных программ. Производство на месте позволяет группе инженеров работать вместе с производством, чтобы гарантировать разработку и производство качественной продукции, обеспечивающей конечным пользователям безопасное, точное и надежное использование в течение многих лет.

Поддержание высокого качества всей продукции TecQuipment имеет решающее значение. Строгие правила контроля качества на каждом этапе разработки гарантируют, что продукция неизменно соответствует самым высоким стандартам. Эти системы надежны и рассчитаны на длительную и активную работу в лабораториях и аудиториях, а также обеспечивают надежную работу в течение многих лет. Все продукты TecQuipment включают в себя подробных руководств пользователя , которые содержат соответствующую теорию, техническую информацию и эксперименты. Комплексный уровень поддержки помогает учащимся понять принципы каждого эксперимента, что позволяет им применять теорию на практике.

TecQuipment проектирует, разрабатывает и производит широкий спектр продукции для технического образования и инженерно-образовательного оборудования для школ, колледжей, университетов и промышленных учебных центров по всему миру. Продукты охватывают дисциплины в рамках курсов механики, гражданского строительства, электротехники и строительства.

Инженерное образовательное оборудование TecQuipment включает в себя высококачественные руководства пользователя, которые содержат соответствующую теорию, техническую информацию и эксперименты.