Пример расчета стропильной фермы — Подбор сечений элементов ферм — Фермы

Пример. Расчет стропильной фермы. Требуется рассчитать и подобрать сечения элементов стропильной фермы промышленного здания. На ферме посередине пролета расположен фонарь высотой 4 м.

Пролет фермы L = 24 м; расстояние между фермами b = 6 м; панель фермы d = 3 м. Кровля теплая по крупнопанельным железобетонным плитам размером 6 X 1,6 м. Снеговой район III. Материал фермы сталь марки Ст. 3. Коэффициент условий работы для сжатых элементов фермы m = 0,95, для растянутых m = 1.

1) Расчетные нагрузки. Определение расчетных нагрузок приведено в таблице.

Таблица Определение расчетных нагрузок.

Таблица Расчет узловых нагрузок.

Собственный вес стальных конструкций ориентировочно принят в соответствии с таблицей Ориентировочные веса стального каркаса промышленных зданий в кг на 1м² здания: фермы — 25 кг/м², фонарь — 10 кг/м², связи — 2 кг/м².

Снеговая нагрузка для III района 100 кг/м²; нагрузка от снега вне фонаря вследствие возможных заносов принята с коэффициентом с = 1,4 (смотрите Требования, предъявляемые к стальным конструкциям).

Суммарная расчетная равномерно распределенная нагрузка:

на фонаре q₁ = 350 + 140 = 490 кг/м²;

на ферме q₂ = 350 + 200 = 550 кг/м².

2) Узловые нагрузки. Вычисление узловых нагрузок приведено в таблице.

Узловые нагрузки Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄ получены как произведение из равномерно распределенной нагрузки на соответствующие грузовые площади. К нагрузке Р₃ добавлена нагрузка G₁ складывающаяся из веса бортовой плитки 135 кг/м и веса остекленных поверхностей фонаря высотой 3 м, принимаемого равным 35 кг/м².

Местная нагрузка Р_м, показанная пунктиром на фигуре, возникает вследствие опирания железобетонных плит шириной 1,5 м в середине панели и вызывает изгиб верхнего пояса. Ее величина уже учтена при вычислении узловых нагрузок Р₁ — Р₄.

---

К примеру расчета стропильной фермы

---

3) Определение усилий. Определение усилий в элементах фермы производим графическим путем, строя диаграмму Кремоны-Максвелла. Найденные величины расчетных усилий записываем в таблице. Верхний пояс подвергается, кроме сжатия, также и местному изгибу.

Таблица Даннные для расчета.

Примечание. Расчетные напряжения в сжатых элементах фермы определены с учетом коэффициента условий работы (m — 0,95) с целью сопоставления во всех случаях с расчетным сопротивлением.

Момент от местной нагрузки равен (смотрите Определение усилий в элементах ферм):

в первой панели

 

во второй панели

4) Подбор сечений. Подбор сечений начинаем с самого нагруженного элемента верхнего пояса, имеющего N = — 68,4 т и М2 = 3,3 тм. Намечаем сечение из двух равнобоких уголков 150 X 14, для которого по таблицам сортамента находим геометрические характеристики: F = 2 * 40,4 = 80,8 см², момент сопротивления для наиболее сжатого (верхнего) волокна сечения W_см 1 = 203 X 2 = 406 см³; ρ = W/F = 406/80,8 = 5,05см, r_х = 4,6 см; r_у = 6,6см.

Гибкость: λ_х = lx/rx = 300/4,6 = 65; λ_y = 150/6,6 = 23. По табл. 1 приложения II находим: φ_х = 0,83; φ_у = 0,96. Эксцентриситет е = 330mсм/68,4m = 4,84см. Расчетный эксцентриситет (смотрите формулу (18.II))

Здесь коэффициент η = 1,3 взят по табл. 4 приложения II. Так как е1 < 4, то проверку сечения производим по формуле (17. II), определив предварительно φ_вн по табл. 2 приложения II в зависимости от e₁ = 1,4 и = 65 (интерполяцией между четырьмя ближайшими значениями е₁ и λ): φ_вн = 0,45.

Проверка напряжения

Проверку напряжения в плоскости, перпендикулярной плоскости действия момента, производим но формуле (28.VIII), для чего предварительно определяем коэффициент с по формуле (29.VIII)

Напряжение

Производим для подобранного сечения проверку элемента верхнего пояса В₄. Усилие в элементе N = — 72,5 т, изгибающий момент отсутствует. Сечение из двух уголков 150 X 14. Гибкость

Коэффициенты: φ_х = 0,83; φ_у= 0,68.

Напряжение

Сохраняем принятое сечение пояса по конструктивным соображениям. Первая панель верхнего пояса подвергается только местному изгибу, вследствие чего сечение ее не должно определять выбора профилей уголков пояса, предназначенных в основном для работы на сжатие.

Поэтому, оставляя в первой панели те же два уголка 150 X 14, усилием их вертикальным листом 200 X 12, расположенным между уголками, и проверяем полученное сечение на изгиб.

Определяем положение центра тяжести сечения:

где z₀ и z_л — расстояния до центров тяжести уголков и листа от верхней, кромки уголков;

Момент инерции

Момент сопротивления

Наибольшее растягивающее напряжение

Расчетные данные подобранного сечения верхнего пояса вписываем в таблице выше.

Далее подбираем сечение нижнего пояса из уголков 130 X 90 X 8 и определяем расчетное напряжение

После этого устанавливаем минимальные уголки для средних наименее нагруженных раскосов; для сжатого элемента Д₃ эти уголки определяются требованиями предельной гибкости (для раскосов λ_пр = 150, смотрите таблицу Предельная гибкость λ сжатых и растянутых элементов).

Для этого находим необходимые минимальные радиусы инерции (учитывая, что l_x = 0,8l):

Равнобокие уголки, наиболее соответствующие полученным радиусам инерции, определяем по табл. 1 приложения III. Можно также использовать, данные табл. 32 для равнобоких уголков:

Этим данным наиболее близко отвечают уголки 75 X 6, имеющие r_x = 2,31 см и r_y — 3,52 см.

Соответственные значения гибкости будут равны:

 

Эти уголки и приняты для средних раскосов фермы и занесены в таблице выше. Хотя раскос Д₄ растянут, но, как указывалось выше, в результате возможной несимметричной нагрузки средние раскосы могут испытывать незначительное сжатие, т. е. изменить знак усилия. Поэтому они всегда проверяются на предельную гибкость.

Первый раскос имеет большое усилие, но меньше, чем нижний пояс; однако вследствие того, что он сжат, профиль нижнего пояса из уголков 130 X 90 X 8 для него недостаточен. Приходится вводить еще один, четвертый, профиль — уголок 150 X 100 X 10.

Наконец, для растянутого раскоса Д₂ получаются уголки 65 X 6. Эти же уголки используем для стоек (чтобы не вводить нового профиля). Проверка напряжений, приведенная в таблице выше, показывает, что отсутствуют как перенапряжения в элементах ферм, так и превышения предельных гибкостей.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов

Как рассчитать высоту фермы зная пролет

Определение пролета ферм. Пролет или длина ферм в большинстве случаев определяются эксплуатационными требовани­ями и общекомпоновочным решением сооружения и не всегда могут быть рекомендо­ваны по усмотрению конструктора.

В случаях когда пролет конструкции не диктуется технологическими требованиями (например, эстакады, поддерживающие трубопроводы и т.п.), он должен назначаться на основе экономических соображений с тем, чтобы суммарная стоимость ферм и опор была наименьшей.

Определение высоты треугольных ферм. В треугольных фермах (см. рис. 8.6 д) высота является функцией пролета и уклона кровли, которые зависят от материала кровли. Обычно треугольные фермы проектируют под кровли, требующие значительных укло­нов (25-45°), что дает высоту ферм h = (1/4. 1/2)l.

Высота треугольных ферм, как правило, бывает выше требуемой из условия наи­меньшей массы фермы, поэтому по расходу стали треугольные фермы не экономичны. Высоту фермы посередине пролета можно уменьшить, придав нижнему поясу при­поднятое очертание (рис. 9.6

е). Опорный узел при этом не должен быть слишком острым.

Определение высоты трапецеидальных ферм и ферм с паралллельными поясами. Если нет конструктивных ограничений, высота ферм может быть принята из условия наимень­шей массы фермы, т.е. по экономическим соображениям. Масса фермы складывается из массы поясов и решетки. Масса поясов уменьшается с увеличением высоты фермы, так как усилия в поясах обратно пропорциональны высоте h.

Масса решетки, наоборот, с увеличением высоты фермы возрастает, так как увеличивается длина раскосов и стоек. Следовательно, может быть найдена опти­мальная высота фермы, при которой общая масса поясов и решетки будет наимень­шей.

Расчеты показывают, что при таком подходе оптимальная высота ферм составляет 1/4-1/5 пролета. Это приводит к тому, что уже при пролете 20 м высота фермы получа­ется больше предельной (3,85 м), допустимой по условиям транспортировки. Кроме того, при оптимизации по расходу стали не учитываются увеличение объема помеще­ния и, следовательно, затраты на его отопление, а также дополнительные затраты на устройство стенового ограждения в пределах высоты фермы.

Обычно с учетом требований транспортировки, монтажа, унификации, а также для уменьшения высоты и объема здания высоту ферм принимают в пределах 1/7- 1/12 про­лета (меньшие значения принимаются для легких ферм).

Фермы, перевозимые целиком по железной дороге, или их отправочные элементы по условиям провозного габарита не должны превышать по высоте 3,85 м между край­ними точками выступающих элементов. В фермах трапецеидального очертания помимо высоты посередине пролета необходимо назначить высоту на опоре. Высота опорной стойки стропильных ферм зависит от высоты фермы в пролете и уклона кровли. Обыч­но при уклонах 1/12-1/8 она получается в пределах от 1/15 до 1/10 пролета, что конструк­тивно вполне приемлемо.

Определение высоты ферм из условий жесткости.

Наименьшая возможная высота фермы определяется допустимым прогибом. В обычных кровельных покрытиях жест­кость ферм значительно превосходит требования, предъявляемые условиями эксплуа­тации. В конструкциях, работающих на подвижную нагрузку (стропильные фермы при подвесном транспорте, фермы подкрановых эстакад, мостовых кранов и т.п.), требова­ния жесткости часто являются настолько высокими (f/l = 1/750 — 1/1000), что они диктуют высоту ферм. Иногда бывает необходимо установить высоту ферм из условия жесткости при использовании высокопрочной стали или алюминиевых сплавов.

Прогиб фермы может быт определен аналитически по формуле Мора

где N_p — усилие в стержне фермы от заданной нагрузки; N_i — усилие в том же стержне от силы, равной единице, приложенной в точке определения прогиба по направлению прогиба.

Размеры панели должны соответствовать расстояниям между элементами, переда­ющими нагрузку на ферму, и отвечать оптимальному углу наклона раскосов. Оптималь­ный угол наклона раскосов в треугольной решетке составляет примерно 45°, в раскос­ной решетке

— 35°. Из конструктивных соображений — рационального очертания фасонки в узле и удобства прикрепления раскосов — желателен угол, близкий к 45°. При малых углах фасонки получаются слишком вытянутыми, при больших — высокими, что делает их громоздкими и неэкономичными.

В стропильных фермах размеры панелей принимаются в зависимости от системы кровельного покрытия.

Желательно для исключения работы пояса на изгиб обеспечить передачу нагрузки от кровли в узлах фермы. Поэтому в покрытиях из крупноразмерных железобетонных или металлических плит расстояние между узлами принимается равным ширине плиты (обычно 1,5 или 3 м), а в покрытиях по прогонам — шагу прогонов (обычно от 1,5 до 4 м). Иногда для уменьшения размеров панели пояса применяется шпренгельная решетка (рис. 8.7 д).

Если ширина кровельной панели или шаг прогонов не равны расстоянию между узлами, а также при непрерывном опирании на пояс кровельных элементов (напри­мер, беспрогонное покрытие из профилированного настила) пояс помимо осевых уси­лий работает на изгиб.

Такое решение менее экономично по расходу стали, но проще в изготовлении (умень­шается число элементов и узлов) и может быть рекомендовано при легких кровлях.

Унификация и модулирование геометрических размеров ферм позволяет стандартизи­ровать как сами фермы, так и примыкающие к ним элементы (прогоны, связи и т.д.). Это приводит к сокращению числа типоразмеров деталей и дает возможность при мас­совом изготовлении конструкций применять специализированное оборудование и пе­рейти на поточное производство.

В основу унификации ферм кладется модулирование конструктивно-компоновоч­ных размеров. Унификация ферм должна проводиться по видам сооружений.

В настоящее время унифицированы геометрические схемы стропильных ферм про­изводственных зданий, мостов, радиомачт, радиобашен, опор линий элект­ропередачи.

Строительный подъем. В фермах больших пролетов (более 36 м), а также в фермах из алюминиевых сплавов или высокопрочных сталей возникают большие прогибы, кото­рые ухудшают внешний вид конструкции и во многих случаях недопустимы по услови­ям эксплуатации (например, в производственных зданиях при подвеске к фермам подъем­но-транспортного оборудования).

Провисание ферм предотвращается устройством строительного подъема, т.е. изготов­лением ферм с обратным выгибом, который под действием нагрузки погашается, в ре­зультате чего фермы принимают проектное положение. Строительный подъем назначают равным прогибу от постоянной плюс половину временной нагрузок. При плоских кров­лях и пролетах свыше 36 м строительный подъем следует принимать независимо от вели­чины пролета равным прогибу от суммарной нормативной нагрузки плюс 1/200 пролета.

Строительный подъем обеспечивается путем устройства перегиба в монтажных уз­лах фермы (рис. 8.8).

Рис. 8.8. Схемы строительного подъема при одном (а) и нескольких (б) укрупнительных стыках

Навес является простой архитектурной конструкцией, которая применяется в самых различных целях. В большинстве случаев его изготавливают при отсутствии гаража с накрытием на даче или для того, чтобы защитить площадку для отдыха от сильных лучей солнца. Для обеспечения надежности и прочности подобной постройки небольших размеров понадобится произвести расчет навеса. В конечном итоге можно будет получить данные, которые смогут показать, какие фермы будут использоваться и как их нужно будет варить.

Схему закрепления профильных труб можно увидеть на рис. 1.

На рисунке 1 изображена схема закрепления труб

Как рассчитать фермы для навеса своими руками?

Для того чтобы произвести расчет подобной конструкции для навеса, понадобится подготовить:

• Калькулятор и специальное программное обеспечение;
• СНиП 2.01.07-85 и СНиП П-23-81.

При проведении расчетов надо будет выполнить следующие действия:

1. Прежде всего понадобится выбрать схему фермы. Для этого определяются будущие контуры. Очертания нужно выбирать исходя из основных функций навеса, материала и других параметров;
2. После этого надо будет определить габариты изготавливаемой конструкции. Высота будет зависеть от типа кровли и используемого материала, веса и других параметров;
3. Если размеры пролета превышают 36 м, понадобится произвести расчет для строительного подъема. В данном случае имеется ввиду обратный погашаемый изгиб от нагрузок на ферму;
4. Необходимо определить размеры панелей сооружения, которые должны соответствовать расстояниям между отдельными элементами, которые обеспечивают передачу нагрузок;
5. На следующем этапе определяется расстояние между узлами, которое чаще всего равняется ширине панели.

При произведении расчетов следуйте таким советам:

1. Понадобится все значения высчитать в точности. Следует знать, что даже малейший недочет приведет к ошибкам в процессе произведения всех работ по изготовлению конструкции. Если нет уверенности в собственных силах, то рекомендуется сразу же обратиться к профессионалам, которые имеют опыт в проведении подобных расчетов;
2. Для облегчения работы можно использовать готовые проекты, в которые останется лишь подставить имеющиеся значения.

На этом фото изображено металлическое укрытие

В процессе выполнения расчета фермы следует помнить, что в случае ее увеличивающейся высоты будет увеличиваться и несущая способность. В зимнее время года снег на подобном навесе практически не будет накапливаться. Для того чтобы увеличить прочность конструкции, следует установить несколько прочных ребер жесткости.

Для сооружения фермы лучше всего использовать трубу из железа, которая имеет небольшой вес, высокую прочность и жесткость. В процессе определения размеров для подобного элемента понадобится учитывать следующие данные:

1. Для конструкций небольших размеров, ширина которых составляет до 4,5 м, понадобится использовать трубу из металла 40х20х2 мм;
2. Для конструкций, ширина которых составляет менее 5,5 м, нужно использовать трубу с размерами 40х40х2 мм;
3. Если ширина фермы составит более 5,5 м, лучше всего применить трубу 60х30х2 мм или 40х40х3 мм.

В процессе планирования шага ферм следует учитывать, что максимально возможное расстояние между трубами навеса составляет 1,7 м. Только в таком случае можно будет сберечь надежность и прочность конструкции.

Пример расчета ферм для навеса

1. В качестве примера будет рассмотрен навес шириной 9 м уклоном в 8°. Пролет сооружения составляет 4,7 м. Нагрузки снега для региона находятся на уровне 84 кг/м²;
2. Вес фермы составляет приблизительно 150 кг (следует взять маленький запас на прочность). Вертикальная нагрузка составляет 1,1 т на стойку с высотой 2,2 м;
3. Одним концом ферма будет опираться на стенку постройки из кирпича, а вторым — на колонну для опоры навеса с помощью анкерных болтов. Для изготовления фермы используется квадратная труба 45х4 мм. Следует заметить, что с подобным приспособлением достаточно удобно работать;
4. Лучше всего изготавливать фермы с параллельными поясами. Высота каждого из элементов составляет 40 см. Для раскосов используется труба сечением 25х3 мм. Для нижнего и верхнего пояса применяется труба 35х4 мм. Козырьки и другие элементы нужно будет сварить друг с другом, потому толщина стенки будет 4 мм.

В конечном итоге можно будет получить следующие данные:

• Расчетное сопротивление для стали: Ry = 2,45 T/см²;
• Коэффициент надежности — 1;
• Пролет для фермы — 4,7 м;
• Высота фермы — 0,4 м;
• Число панелей для верхнего пояса конструкции — 7;
• Углы нужно будет варить через один.

Все нужные данные для расчетов можно будет найти в специальных справочниках. Однако профессионалы рекомендуют производить расчеты подобного типа с помощью использования программного обеспечения. Если будет допущена ошибка, то изготавливаемые фермы сложатся под воздействием нагрузок снега и ветра.

Как рассчитать ферму для навеса из поликарбоната?

Навес является сложной конструкцией, поэтому перед приобретением определенного количества материала понадобится смета. Каркас для опоры должен иметь возможность выдерживать любые нагрузки.

Для того чтобы произвести профессиональный расчет конструкции из поликарбоната, рекомендуется обратиться за помощью к инженеру с опытом подобной работы. Если навес являет собой отдельную конструкцию, а не пристройку к частному дому, то расчеты усложнятся.

Уличная кровля состоит из столбиков, лаг, ферм и покрытия. Именно эти элементы и нужно будет рассчитывать.

Если планируется изготовить навес из поликарбоната арочного типа, то не получится обойтись без использования ферм. Фермы являются приспособлениями, которые связывают лаги и опорные столбики. От подобных элементов будут зависеть размеры навеса.

Навесы из поликарбоната, в качестве основы которых применяются металлические фермы, изготавливать достаточно сложно. Правильный каркас сможет распределять нагрузку по опорным столбикам и лагам, при этом конструкция навеса не будет разрушаться.

Для монтажа поликарбоната лучше всего использовать профильные трубы. Основной расчет фермы — учет материала и уклона. К примеру, для односкатной навесной конструкции с маленьким уклоном применяется неправильная форма фермы. Если конструкция имеет маленький угол, то можно использовать металлические фермы в форме трапеции. Чем больше радиус структуры арки, тем меньше существует возможностей задержки снега на кровле. В данном случае несущая способность фермы будет большой (рис. 2).

На рисунке 2 изображен будущий навес покрытый поликарбонатом

Если используется простая ферма домиком размерами 6х8 м, то расчеты будут такими:

• Шаг между столбиками для опоры — 3 м;
• Количество металлических столбиков — 8 шт;
• Высота ферм под стропами — 0,6 м;
• Для устройства обрешетки крыши понадобится 12 профильных труб с размерами 40х20х0,2 см.

В некоторых случаях можно сэкономить путем уменьшения количества материала. К примеру, вместо 8-ми стоек можно установить 6. Можно также сократить обрешетку каркаса. Однако не рекомендуется допускать потерю жесткости, так как это может привести к разрушению сооружения.

Подробный расчет фермы и дуги для навеса

В данном случае будет производиться расчет навеса, фермы которого устанавливаются с шагом 1 м. Нагрузка на подобные элементы от обрешетки передается исключительно в узлах фермы. В качестве материала для кровли используется профнастил. Высота фермы и дуги может быть любой. Если это навес, который примыкает к основной постройке, то главным ограничителем является форма кровли. В большинстве случаев сделать высоты фермы больше 1 м не получится. С учетом того, что понадобится делать ригеля между колоннами, максимальная высота составит 0,8 м.

Схему навеса по фермам можно увидеть на рис. 3. Голубым цветом обозначаются балки обрешетки, синим цветом — ферма, которую нужно будет рассчитывать. Фиолетовым цветом обозначаются балки или фермы, на которые будут опираться колонны.

В данном случае будет использоваться 6 ферм треугольной формы. На крайние элементы нагрузка будет в несколько раз меньше, чем на остальные. В данном случае металлические фермы будут консольными, то есть их опоры располагаются не на концах ферм, а в узлах, которые изображены на рис. 3. Такая схема позволяет равномерно распределять нагрузки.

На рисунке 3 изображена схема укрытия по фермам

Расчетная нагрузка составляет Q = 190 кг, при этом снеговая нагрузка равна 180 кг/м². Благодаря сечениям возможно произвести расчет усилий во всех стержнях конструкции, при этом нужно учитывать тот факт, что ферма и нагрузка на данный элемент является симметричной. Следовательно, понадобится рассчитывать не все фермы и дуги, а лишь некоторые из них. Для того чтобы свободно ориентироваться в большом количестве стержней в процессе расчета, стержни и узлы промаркированы.

Формулы, которые понадобится использовать при расчете

Понадобится определить усилия в нескольких стержнях фермы. Для этого следует использовать уравнение статического равновесия. В узлах элементов шарниры, потому значение моментов изгиба в узлах фермы равно 0. Сумма всех сил по отношению к оси x и y тоже равна 0.

Понадобится составить уравнение моментов по отношению к точке 3 (д):

М3 = -Ql/2 + N2-a*h = 0, где l — расстояние от точки 3 до точки приложения силы Q/2, которое составляет 1,5 м, а h — плечо действия силы N2-a.

Ферма имеет расчетную высоту 0,8 м и длину 10 м. В таком случае тангенс угла a составит tga = 0,8/5 = 0,16. Значение угла a = arctga = 9,09°. В конечном итоге h = lsina. Из этого следует уравнение:

N2-a = Ql/(2lsina) = 190/(2*0,158) = 601,32 кг.

Таким же образом можно определить значение N1-a. Для этого понадобится составить уравнение моментов по отношению к точке 2:

М2 = -Ql/2 + N1-a*h = 0;

N1-a = Q/(2tga) = 190/(2*0,16) = 593,77 кг.

Проверить правильность вычислений можно путем составления уравнения сил:

EQy = Q/2 — N2-asina = 0; Q/2 = 95 = 601,32 * 0,158 = 95 кг;

EQx = N2-acosa — N1-a = 0; N1-a = 593,77 = 601,32 * 0,987 = 593,77 кг.

Условия статистического равновесия выполнены. Любое из уравнений сил, которые использовались в процессе проверки, можно использовать для того, чтобы определить усилия в стержнях. Дальнейший расчет ферм производится таким же образом, уравнения не изменятся.

Стоит знать, что расчетную схему можно составить, так чтобы все продольные силы направлялись от поперечных сечений. В таком случае знак «-» перед показателем силы, который получен при расчетах, покажет, что подобный стержень будет работать на сжатие.

Для того чтобы определить усилие в стержне з-и, понадобится первым делом определить значение угла у: h = 3siny = 2,544 м.

Подробную информацию о том как рассчитать навес с помощью программы вы сможете узнать просмотрев это видео:

Ферма для навеса своими руками рассчитывается несложно. Понадобится лишь знать основные формулы и уметь их использовать.

Инструкция для калькулятора расчета треугольной фермы

Введите значения размеров в миллиметрах:

X – Длина треугольной стропильной фермы зависит от размера пролета, который необходимо накрыть и способа ее крепления к стенам. Деревянные треугольные фермы применяют для пролетов длиной 6000-12000 мм. При выборе значения X нужно учитывать рекомендации СП 64.13330.2011 «Деревянные конструкции» (актуализированная редакция СНиП II-25-80).

Y – Высота треугольной фермы задается соотношением 1/5-1/6 длины X.

Z – Толщина, W – Ширина бруса для изготовления фермы. Искомое сечение бруса зависит от: нагрузок (постоянные – собственный вес конструкции и кровельного пирога, а также временно действующие – снеговые, ветровые), качества применяемого материала, длины перекрываемого пролета. Подробные рекомендации о выборе сечения бруса для изготовления фермы, наведены в СП 64.13330.2011 «Деревянные конструкции», также следует учитывать СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия». Древесина для несущих элементов деревянных конструкций должна удовлетворять требованиям 1, 2 и 3-го сорта по ГОСТ 8486-86 «Пиломатериалы хвойных пород. Технические условия».

S – Количество стоек (внутренних вертикальных балок). Чем больше стоек, тем выше расход материала, вес и несущая способность фермы.

Если необходимы подкосы для фермы (актуально для ферм большой протяженности) и нумерация деталей отметьте соответствующие пункты.

Отметив пункт «Черно-белый чертеж» Вы получите чертеж, приближенный к требованиям ГОСТ и сможете его распечатать, не расходуя зря цветную краску или тонер.

Нажмите «Рассчитать».

Треугольные деревянные фермы применяют в основном для кровель из материалов требующих значительного уклона. Онлайн калькулятор для расчета деревянной треугольной фермы поможет определить необходимое количество материала, выполнит чертежи фермы с указанием размеров и нумерацией деталей для упрощения процесса сборки. Также с помощью данного калькулятора Вы сможете узнать общую длину и объем пиломатериалов для стропильной фермы.

Статически определимые фермы — СтудИзба

Основные понятия и определения.

Ферма — такая стержневая система, которая сохраняет геометрическую неизменяемость в случае если во всех местах соединения ее стержней (узлах фермы) врезать шарниры (рис.1). Стержни, представляющие собой верхнюю часть контура фермы, называют верхним поясом фермы, нижнюю часть — нижним поясом фермы. Расстояние между двумя соседними узлами любого из поясов фермы называется панелью фермы. Вертикальные стержни в ферме называют стойками, наклонные — раскосами. Совокупность раскосов и стоек образует решетку фермы.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

В зависимости от конфигурации решетки различают фермы различных типов. Наиболее распространенными являются раскосные фермы (рис.2) и фермы с треугольной решеткой (рис.3). Раскосы, идущие вверх от опор к середине фермы, называют восходящими раскосами (рис.1), идущие наоборот — нисходящими раскосами (рис.2). Фермы, усиленные дополнительными стержнями (шпренгелями), называют шпренгельными фермами (рис.4).

Фермы, как правило, проектируют таким образом, чтобы основная нагрузка на них передавалась через узлы верхнего или нижнего пояса. Наличие шпренгелей позволяет увеличить количество узлов в этом поясе, что может потребоваться для облегчения конструкций, с помощью которых внешняя нагрузка передается на узлы фермы или, например,  для уменьшения ширины плит перекрытий, опирающихся на стропильные фермы здания. (рис.5).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 8

В зависимости от характера опорных закреплений различают балочные фермы (рис.6), консольные фермы (рис.7), консольно-балочные фермы (рис.8) и арочные фермы (рис.9). Кроме того, отдельно рассматриваются различные висячие системы (рис.10) и комбинированные системы (рис.11).

Рис. 11

Если нагрузка на узлы верхнего или нижнего пояса фермы подвижная, например от действия движущегося подвижного состава в фермах пролетных строений мостов, то этот пояс фермы называют ездовой линией или проезжим поясом.

В качестве расчетной схемы фермы применяют шарнирную схему, в которой все узлы фермы считаются идеальными шарнирами.

Фермы используются в качестве пролетных строений мостов, стропильных конструкций зданий, опор линий элекропередач, радио- и телемачт, каркасов зданий, а также в различных машиностроительных конструкциях, например, в качестве стрел подъемных кранов.

Статическая работа ферм.

Фермы часто используются для перекрытия пролетов, т.е. имеют такое же назначение, что и балки сплошного сечения.

Известно, что при изгибе балки нормальные напряжения в ее поперечных сечениях достигают максимальных значений в верхних и нижних точках сечения. Желание использовать материал балки наиболее экономичным образом заставляет сосредотачивать большую часть материала в наиболее напряженных зонах, что достигается применением балок двутаврового поперечного сечения (рис.12). При увеличении пролета и нагрузок высоту балки приходится увеличивать. Следовательно, количество материала в стенке, где напряжения малы, будет расти. Это приведет не только к перерасходу материала в малозагруженной зоне, но и значительно увеличит собственный вес конструкции. Поэтому для экономии материала и облегчения конструкции в вертикальной стенке устраивают вырезы (рис.13). С дальнейшим ростом пролета и нагрузок высота сечения конструкции еще увеличивается, и стенка двутавра постепенно переходит в систему стоек. Для того, чтобы полученная конструкция сохраняла геометрическую неизменяемость, т.е. не “сложилась” при действии горизонтальных нагрузок, к системе стоек добавляют систему раскосов, в результате чего и образуется решетка  фермы (рис.14).

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Таким образом, фермы могут быть использованы для перекрытия больших пролетов при действии высоких нагрузок, когда использование балок сплошного сечения оказывается невыгодным или невозможным.

Как и при изгибе балки на двух опорах под действием нагрузки, направленной вниз, стержни верхнего пояса балочной фермы будут сжатыми, а нижнего — растянутыми. В консольной ферме (рис.7) ситуация будет обратной.

Узлы фермы, как правило, конструктивно выполняются жесткими. Однако, как показал опыт расчетов, напряжения в стержнях ферм, определенные с учетом жесткости узлов, и напряжения, определенные по шарнирной схеме, обычно отличаются не более, чем на несколько процентов. Поскольку выполнять расчет во втором случае значительно легче, жесткостью узлов фермы пренебрегают и расчет ведут по шарнирной схеме. Иными словами, при расчете фермы все ее узлы считают идеальными шарнирами.

Рис. 15

Если все нагрузки на ферму приложены исключительно к узлам, а стержни ферм являются прямыми, то в стержнях ферм действуют только продольные усилия, а изгибающие моменты и перерезывающие усилия отсутствуют. Действительно, вырежем мысленно любой стержень из фермы, заменив действие остальных стержней на него усилиями, передаваемыми через шарниры (рис.15). Поскольку других нагрузок на стержень нет, равнодействующие этих сил должны быть направлены по оси стержня. Если бы это было не так, стержень не мог бы находиться в  равновесии, в чем легко убедиться, составив уравнение моментов относительно любого из шарниров. Очевидно, единственным усилием, которое в этом случае будет возникать в стержне, будет постоянное по его длине продольное усилие.

Геометрическая неизменяемость ферм.

Для обеспечения геометрической неизменяемости необходимо, во-первых, чтобы связей, наложенных на перемещение узлов фермы было достаточно, во-вторых, они были правильно размещены. Следовательно, исследование геометрической неизменяемости фермы состоит из двух шагов: проверки достаточности числа связей и анализе правильности их размещения (структурном анализе фермы).

 Как обычно, при анализе геометрической неизменяемости  смещения, вызванные деформированием стержней в расчет не берутся. Иными словами, при анализе геометрической неизменяемости ферм, как и любых других стержневых систем, будем считать стержни абсолютно жесткими.

Каждый узел плоской фермы имеет две степени свободы, т.е. имеет возможность линейного смещения, например, в вертикальном и горизонтальном направлениях. Следовательно, минимальное количество связей, необходимых для закрепления узлов фермы от смещений, должно равняться удвоенному числу узлов. Часть из этих связей должна обеспечивать закрепление фермы относительно основания. Таким образом, минимальное число стержней в ферме, необходимое для обепечения ее геометрической неизменяемости определяется по формуле:

,

(1)

где -число стержней в ферме, — число узлов , а -число опорных связей.

Условие (1) одновременно является условием статической определимости фермы. Действительно, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия- условия равенства нулю проекций на вертикальную и горизонтальную оси всех действующих на узел внешних сил и сил, действующих со стороны  стержней и реакций опор. Неизвестными же являются продольные усилия в каждом стержне и реакции в опорах. Записав все эти уравнений, получим систему уравнений, которую в матричной форме можно записать в виде:

где Х — вектор неизвестных усилий в стержнях и опорных связях, В — вектор проекций внешних нагрузок на узлы, А-матрица системы.

Для того, чтобы система (2) была замкнутой, необходимо чтобы число уравнений  совпадало с числом неизвестных, т.е. выполнялось условие (1).

Если количество стержней в ферме будет больше, чем требуется согласно (1), то ферма будет статически неопределимой, если меньше — то геометрически изменяемой.

При этом, важно отметить, что условие (1) является необходимым, но не достаточным для обеспечения геометрической неизменяемости. Как уже упоминалось, кроме обеспечения необходимого числа связей, требуется их правильное размещение.

Рис. 16

Систему, в которой невозможны взаимные смещения узлов, в предположении, что все стержни абсолютно жесткие, называют жестким диском.  В шарнирном треугольнике (например, ABC на рис.16) взаимное смещение узлов будет невозможным, следовательно он является жестким диском. Присоединение к такому треугольнику еще одного узла двумя не лежащими на одной прямой связями приведет к образованию системы, в которой также взаимные смещения узлов будут невозможны. Если продолжить этот процесс, то полученная система также будет жеским диском. Примером жесткого диска является простейшая ферма, т.е. ферма, состоящая из шарнирных треугольников (рис.16). Взаимные смещения узлов в такой фермы невозможны. Остается только позаботиться о прикреплении полученной простейшей фермы к основанию.

Для того, чтобы обеспечить неподвижность простейшей фермы относительно основания, необходимы как минимум три опорных связи, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке.

Рассмотрим в качестве примера ферму, изображенную на рис.1. Очевидно, она относится к простейшим фермам. В ней , ,. Равенство (1) выполняется: 25=2×14-3=25. Линии действия трех опорных связей (опорных реакций на рис.1) не параллельны и не пересекаются в одной точке, следовательно ферма геометрически неизменяема.

Теперь выполним перестановку опорных связей. Отбросим на левой опоре одну связь, сделав неподвижную опору катковой, но добавим еще одну катковую опору в центре пролета фермы (рис.17). 

Рис. 17

В результате, количество опорных связей не изменилось, а осталось равным трем, т.е. равенство (1) осталось справедливым. Однако линии  действия опорных связей стали параллельными — направленными вертикально вверх. В результате система получила возможность смещения в горизонтальном направлении, т.е. стала геометрически изменяемой.

Рис. 18

Если же в ферме, изображенной на рис.1, выполнить перестановку стержней, как показано на рис.18, равенство (1) останется неизменным, но система окажется геометрически изменяемой за счет неправильного распределения связей. Это очевидно, т.к. шарнирами C, D, E и F образуется шарнирный квадрат, который при приложении малейшей нагрузки обращается в ромб.

Если ферма образована из двух жестких дисков, то для того, чтобы исключить взаимные смещения узлов в полученной системе, необходимо, чтобы они соединялись между собой как минимум тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке.

В ферме на рис.18 два жестких диска ABCD (он представляет собой простейшую ферму) и FEGH (ферма, образованная из простейшей добавлением одной “лишней” связи) соединются между собой только двумя связями DF и CE, что и приводит к геометрической изменяемости фермы, в чем мы уже убедились.

Рассмотрим арочную ферму, изображенную на рис.9. Здесь , ,. Условие (1) выполняется: 18=11×2-4=18. Эта ферма также образована двумя жесткими дисками (простейшими фермами). Они соединяются между собой шарниром С, т.е., на первый взгляд, только двумя связями, т.к. шарнир препятствует взаимному смещению соединяемых им узлов в вертикальном и горизонтальном направлениях. Однако, поскольку опоры А и В неподвижны, взаимных горизонтальных смещений точек А и В быть не может. Значит, роль третьей связи играет основание. Поэтому рассматриваемая система геометрически неизменяема, а в обеих опорах возникнут горизонтальные распорные реакции.

Выполним перестановку связей в этой ферме. Сделаем одну из опор катковой, сняв таким образом ограничение на взаимные горизонтальные смещения точек А и В. Однако, добавим стержень, который возьмет на себя роль третьей связи, соединяющей простейшие фермы (рис.19). Равенство (1) при этом не нарушится: 19=11×2-3=19, система останется геометрически неизменяемой, а роль основания по восприятию горизонтального усилия перейдет введенному стержню, работающему в качестве затяжки.

Рис. 19

Рис. 20

В качестве еще одного примера рассмотрим ферму Шухова[1] (рис.20). В ней , ,. Условие (1) выполняется: 9=6×2-3=9.

Ферма образована двумя шарнирными треугольниками ABC и DEF, связанными между собой тремя связями- AF, BE, и DC, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Прикрепление образованного в результате жесткого диска к основанию выполнено при помощи одной неподвижной и одной катковой опоры, т.е. также при помощи трех связей, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Следовательно, ферма геометрически неизменяема.

В случаях, когда простым структурным анализом не удается доказать геометрическую неизменяемость фермы, приходится пользоваться более сложными методами. Одним из них является статический метод анализа геометрической неизменяемости ферм. Идея метода заключается в следующем. Для геометрически изменяемой фермы система уравнений (2) не должна иметь решений, следовательно матрица А должна быть особенной, т.е. ее определитель должен быть равен нулю. Как известно, если в однородной системе линейных алгебраических уравнений АХ=0 определитель матрицы А равен нулю, то система кроме тривиального решения Х=0 допускает и ненулевое решение. Поэтому, в стержнях статически определимой, но геометрически изменяемой фермы при нулевой нагрузке может возникнуть система самоуравновешенных сил.

Для того, чтобы доказать геометрическую неизменяемость фермы, необходимо доказать, что при отсутствии внешней нагрузки в ее стержнях не может возникнуть усилий. Если же оказывается, что при отсутствии нагрузки в стержнях фермы могут существовать ненулевые усилия, то это указывает на равенство определителя матрицы А нулю, а значит и на геометрическую изменяемость фермы.

При выполнении анализа подобного рода, как и при выполнении статического расчета фермы, оказываются полезными правила определения нулевых стержней. Нулевым стержнем называется стержень, в котором при рассматриваемой нагрузке усилие равно нулю. Приведем эти правила.

Рис. 21

1. Если в незагруженном узле под углом соединяются два стержня, то оба стержня — нулевые (рис.21). В этом легко убедиться, составив уравнения проекций сил на оси, совпадающие с направлением стержней.

Рис. 22

2. Если в незагруженном узле сходятся сходятся три стержня, причем два лежат на одной прямой, то третий стержень — нулевой (рис.22). В этом легко убедиться, составив уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную двум стержням, лежащим на одной прямой.

Рис. 23

3. Если к узлу, в котором сходятся два стержня, приложена сила, направление действия которой совпадает с одним из них, то второй стержень — нулевой (рис.23). В этом легко убедиться, составив уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную линии действия внешней силы.

4. Если в узле сходятся три и более стержней, то те из них, о которых заранее известно, что они являются нулевыми, при определении остальных нулевых стержней и нахождении усилий в стержнях, очевидно, могут быть мысленно отброшены.

5. Если обо всех стержнях кроме одного, сходящихся в незагруженном узле, известно, что они нулевые, то и последний стержень тоже будет нулевым. В этом легко убедиться, составив уравнение проекций сил на ось, совпадающую с направлением этого стержня.

Рассмотрим в качестве примера ферму, изображенную на рис.24.

Рис. 24

Для нее , ,. Условие (1) выполняется: 22=15×2-8=22. Сделать вывод о ее геометрической неизменяемости на основе структурного анализа не удается, поэтому приходится пользоваться статическим методом анализа геометрической неизменяемости фермы, т.е. проанализировать возможность существования самоуравновешенной системы усилий в ее стержнях при отстутсвии внешней нагрузки.

Из рассмотрения узлов 5 и 7, согласно признаку 2 нулевых стержней следует, что стержени 3-5 и 7-6 — нулевые. Далее, из рассмотрения узла 3, согласно признакам 4 и 2 следует, что стержень 2-3 нулевой. Далее, из рассмотрения узла 2, согласно признакам 4 и 1 следует, что стержни 1-2 и 2-6 — нулевые. Далее, из рассмотрения узла 6, согласно признакам 4 и 2 следует, что стержень 3-6 нулевой, а значит, в соответствии с признаком 5, нулевым будет и стержень 6-8. Далее, из рассмотрения узла 3, согласно признаку 5 следует, что стержень 1-3 нулевой.   Аналогично доказывается, что соответствующие стержни на правой стороне фермы, а именно стержни 8-10, 10-14, 14-15, 9-10, 11-12, 12-14, 10-12 и 12-15 тоже будут нулевыми. Рассмотрим теперь узел 8. В соответствии с признаками 4 и 1  стержень 7-8  будет нулевым. Далее, последовательно рассматривая узлы 7 и 5, пользуясь признаком 5, докажем, что стержни 5-7 и 4-5 — нулевые. Аналогично доказывается, что соответствующие стержни на правой стороне фермы, а именно 8-9, 9-11,11-13, тоже будут нулевыми. Итак, нам удалось доказать, что все стержни фермы при отсутствии нагрузки являются нулевыми. Следовательно, в этом случае в них не может возникнуть ненулевые усилия, а значит ферма геометрически неизменяема.

Теперь рассмотрим ферму, изображенную на рис.25.

Рис. 25

Для нее , ,. Условие (1) выполняется: 10=7×2-4=10. Сделать вывод о ее геометрической неизменяемости на основе структурного анализа не удается, поэтому приходится пользоваться статическим методом анализа геометрической неизменяемости фермы, т.е. проанализировать возможность существования самоуравновешенной системы усилий в ее стержнях при отстутсвии внешней нагрузки.

Рассмотрим узел 1. Поскольку на него может действовать только вертикальная опорная реакция, в соответствии с признаком 3 нулевых стержней стержень 1-3 является нулевым. Из рассмотрения узла 7 тот же вывод можно сделать о стержне 5-7. Рассмотрим далее узел 3. На основании признаков 2 и 4 нулевых стержней можно заключить, что стержень 3-5 нулевой.

Предположим, что в стержне 1-2 возникло растягивающее усилие N_1-2=N. Рассмотрим равновесие узла 2 (рис.26). Составим для него уравнения проекций действующих на узел усилий на вертикальную и горизонтальную оси: , , откуда следует, что , а . Рассмотрим далее равновесие ула 6 (рис.27). Из аналогичных уравнений равновесия, составленных для этого узла, получим:, . Отсюда следует, что , а .

Рис. 28

Рис. 27

Рис. 26

Рассмотрим далее равновесие опорных узлов. Учитывая отсутствие усилий в стержнях 1-3, 3-5 и 3-7, из рассмотрения равновесия узлов 3 и 5 (из уравнения проекций сил на оси, совпадающие с направлением стержней 2-3 и 6-5) легко заключить, что  и . Из уравнения равновесия проекций сил на вертикальную ось для узла 4 (рис.28), получим: , где V₄-вертикальная опорная реакция. Отсюда следует, что .

Легко убедиться, что в каждой их двух других опор действует вертикальная реакция величиной N, направленная вверх. Составим для фермы уравнение проекций всех сил на вертикальную ось. Поскольку внешняя нагрузка отсутствует, в него будут входить только опорные реакции. Очевидно, их равнодействующая равна нулю, а значит система находится в равновесии.

 Таким образом, мы доказали, что в стержнях фермы при отсутствии внешней нагрузки может иметься система самоурановешенных сил, что говорит о том, что ферма геометрически изменяема.

Если бы в процессе подобных рассуждений мы столкнулись с противоречием (например, невозможностью удовлетворить уравнениям равновесия) или доказали бы, что все стержни фермы — нулевые, то отсюда следовала бы невозможность существования такой системы усилий, а значит ферма была бы геометрически неизменяемой.

Статический расчет фермы

Статический расчет фермы заключается в определении реакций в ее опорах и нахождении усилий в ее стержнях.

Для статически определимых ферм для решения данной задачи, как известно, достаточно только уравнений равновесия. Составив для каждого узла по два уравнения равновесия проекций всех сил на вертикальную и горизонтальную оси, получим замкнутую систему уравнений (2), решив которую найдем усилия во всех стержнях фермы и реакции опор. Данный алгоритм может быть относительно просто реализован в виде программы для ЭВМ. Кроме того, статический расчет фермы может быть выполнен с применением программных комплексов на основе метода конечных элементов, о котором речь пойдет во второй части учебника.

В то же время, при расчете ферм с небольшим количеством стержней, а также при проверке результатов расчетов, полученных на ЭВМ, может потребоваться использование простейших приемов определения усилий в стержнях ферм. К ним относятся вырезание узлов и сечения.

Способ вырезания узлов уже использовался нами при статическом анализе геометрической неизменяемости фермы. Он заключается в мысленном вырезании узла фермы с заменой действия на него стержней соответствующими усилиями. Эти усилия связаны между собой и приложенной к стержню внешней нагрузкой (или опорными реакциями) посредством статических уравнений равновесия. Для любого узла можно составить два таких уравнения — равенства нулю суммы проекций всех сил, например, на вертикальную и горизонтальную оси. Очевидно, если в узле сходятся два стержня (например, рис.21 и рис.23), то из этих уравнений могут быть найдены усилия в обоих из них. Если узел соединяет три стержня, но усилие в одном из них уже найдено из рассмотрения равновесия другого узла или использованием способа сечений, то из этих двух уравнений могут быть найдены усилия в двух оставшихся стержнях.

Способ сечений состоит в мысленном рассечении фермы на две части и рассмотрении равновесия одной из них. При этом действие отбрасываемой части на рассматриваемую должно быть заменено усилиями в стержнях ферм. Если провести сечение таким образом, чтобы оно проходило через три стержня, то можно составить уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы таким образом, чтобы найти усилия во всех трех стержнях.

В качестве примера рассмотрим ферму, изображенную на рис.1. Для определения усилия в любом из ее раскосов, а также в любом стержне верхнего или нижнего пояса достаточно провести вертикальное сечение в соответствующей панели фермы и рассмотреть равновесие любой  отсеченной части. Очевидно, выгоднее рассматриваить равновесие той части, для которой проще составить уравнение равновесия (рис.29).

Рис. 29

Если составить уравнение равновесия моментов относительно точки А, то в это уравнение войдет только одно неизвестное усилие — усилие N_НП в стержне нижнего пояса. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения. Если составить уравнение равновесия моментов относительно точки В, то в это уравнение также войдет только одно неизвестное усилие — усилие N_ВП в стержне верхнего пояса. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения. Если составить уравнение равновесия проекций всех сил на вертикальную ось, то в это уравнение войдет только одно неизвестное усилие — усилие в раскосе N_Р. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения. Для определения усилия в стойке сечение нужно выполнять так, чтобы оно проходило через нее (рис.30).  

Рис. 30

Если составить уравнение равновесия проекций всех сил на вертикальную ось, то в это уравнение войдет только одно неизвестное усилие — усилие в стойке N_С. Следовательно, это усилие может быть определено из этого уравнения.

Если в сечение попадает количество стержней превышающее три, то чаще всего приходится комбинировать способ сечений и способ вырезания узлов, определяя усилия в части из стержней в сечении из рассмотрения равновесия узлов или при выполнении других сечений.

Таким образом, усилие в любом стержне статически определимой фермы может быть определено в один или несколько шагов путем последовательных вырезаний узлов и/или рассмотрением равновесия отсеченных определенным образом частей фермы.

Очевидно, при использовании этих способов необходимо предварительное определение опорных реакций из уравнений равновесия фермы.

Пример расчета фермы на неподвижную нагрузку.

Выполним статический расчет фермы, изображенной на рис.31.

Рис. 31

Для данной фермы , ,. Условие (1) выполняется: 17=10×2-3=17. Следовательно, необходимое условие статической неопределимости и геометрической неизменяемости фермы выполняется.

Теперь исследуем правильность расстановки связей в ферме. Данная ферма образована двумя жесткими дисками. Контур первого из них ограничен узлами 1,4,6,5,2. Действительно, жесткий диск образован тремя шарнирными треугольниками, к которым двумя стержнями, не лежащими на одной прямой, присоединен узел 5. Второй диск, контур которого ограничен узлами 6,8,7,10,9, также образован тремя шарнирными треугольниками, т.е. представляет собой простейшую ферму. Два диска соединены между собой тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке,- в узле 6 и стержнем 5-7. Таким образом, вся конструкция также представляет собой жесткий диск. Он прикреплен к основанию тремя связями, линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке. Следовательно, на основе структурного анализа можно сделать вывод, что данная ферма является геометрически неизменяемой.

Определим опорные реакции в ферме. Горизонтальная нагрузка на систему отстутствует, следовательно горизонтальная реакция в левой опоре равна нулю . Поскольку данная ферма симметрична и находится под действием симметричной нагрузки, очевидно, вертикальные реакции и  должны быть равными. Найдем их из уравнения проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось: . Следовательно, .

Теперь приступим к определению усилий в стержнях фермы. Прежде всего выделим нулевые стержни. Из рассмотрения узла 5 на основании признака 2 нулевых стержней следует, что стержень 5-6 нулевой.

Мысленно рассечем ферму сечением, изображенным на рис.32 и рассмотрим равновесие левой части. Напомним, что положительное значение продольного усилия соответствует растяжению стержня, а отрицательное — сжатию. Поэтому при составлении уравнений равновесия будем считать неизвестные стержневые усилия растягивающими.

Рис. 32

Из уравнения моментов относительно точки А  находим , а из уравнения моментов относительно точки В (ее положение легко определяется из подобия треугольников А43 и АВС)  находим N_3-6=60КН.

Усилие N_4-6 можно определить из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось . Угол  можно определить, например, из треугольника АВС: . Следовательно, .

Усилия в остальных стержнях левой половины фермы можно найти, например вырезанием узлов 2, 3 и 4.

Рис. 33

Рассотрим равновесие узла 2 (рис.33). Он соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено — усилие в стержне 2-5 является сжимающим и равно 40КН. Следовательно, двух уравнений равновесия  этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из треугольника 123 следует, что . Составим уравнения проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси:  и  . Сопоставляя эти два уравнения, учитывая, что , получим:  и  .

Рис. 34

Рассмотрим равновесие узла 4 (рис.34). Он также соединяет три стержня, но в одном из них усилие уже найдено — усилие в стержне 4-6 является сжимающим и равно 22,361КН. Следовательно, двух уравнений равновесия  этого узла будет достаточно, чтобы определить усилия в двух других стержнях. Из уравнения проекций сил на горизонтальную ось следует: . Из уравнения проекций сил на вертикальную ось  следует:  

Рис. 35

Теперь рассмотрим равновесие узла 3 (рис.35). Усилия в трех стержнях из четырех, соединяющихся в этом узле, уже известны. Из уравнения проекций всех сил на горизонтальную ось находим . Запишем уравнение проекций сил на вертикальную ось: . Полученное равенство является истинным, что подтверждает правильность полученных значений усилий в стержнях ферм.

Итак, значения усилий в стержнях левой половины фермы определены. Усилия в стержнях на правой половине фермы находятся исходя из симметрии фермы и симметричности приложенной к ней нагрузки. Значения усилий (КН), определенные в результате расчета, приводятся на рис.36.

Рис. 36

Проверки правильности определения усилий в стержнях фермы также можно осуществить вырезанием узлов или использованием способа сечений.

Сопоставление балочных ферм различных типов.

Перед проектировщиком может встать задача выбора фермы наиболее рациональной конструкции. Под наиболее рациональной  понимается такая конструкция, при которой усилия в стержнях фермы оказываются минимальными, что позволяет уменьшить расход материала, а значит и ее собственный вес. Кроме того, необходимо принимать во внимание вопросы, связанные с технологией изготовления, транспортировки и монтажа конструкций ферм.

Рассмотрим четыре фермы, перекрывающие один и тот же пролет -30м, имеющие одинаковую высоту в середине пролета — 5м, характеризующиеся одним и тем же числом панелей- 6 и находящиеся под действием одной и той же нагрузки — ко всем узлам верхнего пояса приложены напрвленные вертикально вниз силы величиной 10КН, а ко всем узлам нижнего пояса — 30КН.

Первая ферма — с параллельными поясами и нисходящими раскосами (рис.37), вторая — с параллельными поясами и треугольной решеткой с дополнительными вертикальными стойками (рис.38), третья — с параболическим очертанием верхнего пояса и нисходящими раскосами (рис.39), четвертая — треугольная стропильная ферма с нисходящими раскосами (рис.40). На рисунках приводятся значения усилий (КН) в стержнях ферм, полученные в результате их статического расчета[2].

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Как и следовало ожидать, стержни верхнего пояса во всех четырех случаях оказались сжатыми, а нижнего — растянутыми.

В балочных фермах с параллельными поясами в стержнях верхнего и нижнего поясов усилия увеличиваются от опор к центру пролета. Поэтому, если стержни верхнего и нижнего поясов выполняются постоянного по длине пролета сечения, то материал стержней поясов вблизи опор используется нерационально. Изготовление же стержней поясов фермы переменного по длине фермы сечения обычно является нерациональным из технологических соображений. Поэтому фермы с параллельными поясами не используют при очень больших пролетах и нагрузках, когда задача экономии материала и облегчения конструкции фермы приобретает особую важность.

Нисходящие раскосы в фермах с параллельными поясами работают на растяжение, восходящие — на сжатие, причем замена раскоса с нисходящего на восходящий приводит к изменинению знака усилия в нем, но абсолютная величина усилия остается постоянной.

Балочные фермы с параболическим очертанием верхнего пояса лишены основного недостатка ферм с параллельными поясами. Усилия в стержнях  нижнего пояса постоянны по длине пролета, а верхнего пояса — меняются незначительно. Раскосы в такой ферме вообще практически не работают. То есть ферма этого типа представляется наиболее выгодной с точки зрения напряженного состояния. В то же время технология такой фермы несколько сложнее. Поэтому фермы с параболическим или близким к нему, трапецеидальным очертанием верхнего пояса используют для перекрытия весьма больших пролетов и при действии достаточно высокой нагрузки.

В треугольной ферме величины усилий в стержнях заметно выше, чем в фермах других типов. Усилия в верхнем и нижнем поясах распределены крайне неравномерно по длине пролета, увеличиваясь от середины пролета к опорам. Таким образом, треугольные фермы являются наименее выгодными по сравнению с фермами других типов. Их имеет смысл использовать там, где применение ферм других типов нерационально по конструктивным соображениям, например, в качестве стропильных ферм в двускатных зданиях небольшой ширины.

Расчет ферм на подвижную нагрузку.

Подвижной нагрузкой будем называть такую, как правило, вертикальную нагрузку, которая может перемещаться в пределах сооружения. Подобная нагрузка создается, например, движущимся по мосту транспортом или перемещающимися по подкрановым путям мостовыми кранами. При этом усилия, возникающие в сооружении, будут зависеть от положения нагрузки. Будем считать, что нагрузка перемещается по сооружению с небольшими ускорениями, поэтому динамическими эффектами, возникающими при этом можно пренебречь.

 Задача расчета сооружений на подвижную нагрузку состоит в определении внутренних усилий в ее сечениях при любом ее положении. В частности, важно найти невыгоднейшее или опасное положение нагрузки, т.е. такое положение, при котором усилие в данном элементе конструкции достигает максимального по модулю значения. По усилиям, возникающим при невыгоднейшем положении груза, и выполняется подбор сечения стержней в системе.

Поскольку фермы часто используются в пролетных строениях мостов, в качестве несущих конструкций эскалаторов в метрополитенах, как стрелы подъемных кранов, их часто приходится расcчитывать на действие подвижной нагрузки.

Расчет стержневых систем на подвижную нагрузку выполняется при помощи линий влияния. Линия влияния внутреннего усилия в каком -либо сечении стержня — график зависимости этого усилия от положения единичной вертикальной силы на ездовой линии.

Рассмотрим вначале простую балку на двух опорах, перекрывающую пролет L (рис.41). Построим линии влияния реакции в левой опоре  и изгибающего момента  в сечении в центре балки.

Пусть единичная сила приложена на расстоянии х от левой опоры. Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем . Из условия равенства нулю суммы всех приложенных к системе моментов относительно точки А имеем . Отсюда следует, что . График данной зависимости и представляет собой линию влияния опорной реакции  (рис.41). При построении линий влияния ее положительные ординаты принято откладывать вверх.

Рис. 41

Итак, при перемещении груза от левой опоры к правой величина опорной реакции  уменьшается от единицы до нуля по линейному закону.

Для построения линии влияния изгибающего момента необходимо рассмотреть два случая, когда груз находится левее и правее рассматриваемого сечения С. В первом случае () выражение для изгибающего момента имеет вид  . Во втором случае .  Соответственно, линия влияния состоит из двух ветвей (рис.41). Изгибающий момент в центре пролета балки равен нулю при нахождении груза на опорах и достигает максимального значения, когда положение единичной силы совпадает с рассматриваемым сечением (при  ).

Важно четко уяснить разницу между эпюрой и линией влияния. При построении эпюры определяются внутренние усилия в различных сечениях системы при неподвижной нагрузке, а при построении линии влияния определяется усилие в каком-то одном сечении при разных положениях единичной силы, действующей на систему.

В фермах нагрузка обычно передается на узлы посредством вспомогательных конструкций, например через настил и систему продольных и поперечных балок (рис.42). То есть, если единичная сила находится на ездовой линии и не над узлом фермы, то все равно имеет место узловая передача нагрузки, а значит в стержнях фермы не возникает никаких усилий, кроме продольных.

Рис. 42

Для построения линий влияния в стержнях ферм применяют те же приемы, что и при определении усилий в них от действия неподвижной нагрузки, в частности способ сечений. Необходимо только задаться координатой единичной силы на ездовой линии и проанализировать зависимость величины усилия в стержне от ее изменения.

В некоторых фермах со сложной решеткой, например шпренгельных, линии влияния могут иметь довольно сложный вид.

В раскосных фермах и фермах с треугольной решеткой ситуация несколько проще. Усилие в стержне при нахождении единичной силы слева от панели (рис.43), в которой находится этот стержень, будет меняться по одному закону, при нахождении справа от нее (рис.44) — по другому закону, а при нахождении в пределах данной панели (рис.45) — по третьему закону. В последнем случае необходимо учитывать, что часть от единичного усилия через вспомогательные конструкции передается на узел, лежащий на ездовой линии, слева от рассматриваемой панели, т.е. на часть фермы слева от сечения, а оставшаяся часть — на узел справа от рассматриваемой панели, т.е. с другой стороны от сечения. Таким образом, линии влияния продольного усилия в стержнях таких ферм в общем случае имеют три участка (рис.46), причем часть линии влияния в пределах панели, которой принадлежит данный стержень, носит название передаточной прямой.

Рис. 43

Рис. 44

После того, как для стержня построена линия влияния, с ее помощью можно решить следующие задачи.

Рис. 46

Рис.45

1. Пусть на ездовой линии находится груз величиной Р. Тогда усилие в стержне составит , где y — ордината линии влияния под точкой приложения силы Р. Действительно, y -усилие, возникающее в стержне от действия приложенной в данной точке единичной силы. В силу линейности задачи, при увеличении нагрузки в Р раз, усилие в стержне тоже возрастет во столько-же раз.

На основании принципа независимости действия сил, если на ездовой линии имеется система из n сил, то усилие в стержне будет определяться по формуле:

,

(3)

где — ордината линии влияния под i-ой силой величиной P_i (рис.47). Таким образом, линии влияния могут быть использованы и для определения усилий в стержнях ферм и при действии неподвижной нагрузки. Это может быть удобно, если нужно выполнить большое число расчетов для различных комбинаций нагрузок, приложенных к ферме.

Рис. 47

2. Пусть на участке длиной  ездовой линии действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q. Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь как и ранее, так и далее, считается, что нагрузка приложена к вспомогательным конструкциям, а с них — передается на узлы фермы. В этом случае усилие в стержне фермы определяется по формуле:

,

(4)

где — площадь, ограниченная линией влияния под зоной действия нагрузки q (рис.48). Действительно, выделим в зоне действия нагрузки q участок бесконечно малой длиной dx (рис.48). Элементарная равнодействующая сила, действующая  на ферму, с этого участка составляет , а усилие, возникающее от ее действия  в стержне, в соответствии с формулой (3) составит .Для того, чтобы найти усилие в стержне от действия всей нагрузки, необходимо проинтегрировать dN по длине :.

Очевидно, площадь  в (4) необходимо определять с учетом знака. То есть, часть площади w снизу от горизонтальной оси учитывается со знаком “минус”.

Рис. 48

3. Пусть система грузов перемещается по ездовой линии, причем расстояния между грузами остаются постоянными. Такая ситуация имеет место, например, при движении поезда или мостового крана по пролетному строению моста или по подкрановым путям. Невыгоднейшее положение данной системы грузов возможно только при условии, что один из грузов находится над какой-либо вершиной линии влияния (рис.49). Подчеркнем, что это условие необходимое, но недостаточное. Иными словами, не при любом подобном положении нагрузки усилие в стержне имеет экстремальное значение.

Рис. 49

Например, для случая, приведенного на рис.49, усилие от системы грузов в соответствии с (3) составляет . При сдвиге системы грузов вправо на величину  такую, что ни одна из сил, приложенных к системе, не перейдет при этом через какую-либо вершину линии влияния и не выйдет за пределы фермы, усилие в стержне АВ составит:

.

При сдвиге влево на ту же величину  оно составит .

Здесь  и  — абсолютные значения изменения ординаты линии влияния под i-м грузом при сдвиге системы грузов вправо и влево соответственно, — абсолютное значение угла наклона линии влияния на i-м ее участке (рис.49).

Таким образом, изменение величины усилия в стержне при сдвиге груза вправо составит , а при сдвиге влево . Очевидно, эти значения могут быть как одного так и разных знаков. Если  и  оказываются одного знака, то это значит, что при сдвиге системы грузов как вправо так и влево усилие в стержне либо уменьшается, либо увеличивается, то есть оно имеет локальный экстремум.

В то же время, для случая когда ни один из грузов не находится над вершиной линии влияния, величины и  могут быть только разных знаков, а значит эктремум усилия в стержне в этом случае невозможен.

Действительно, рассмотрим в качестве примера ситуацию, изображенную на рис.50. В этом случае при сдвиге вправо:

, .

А при сдвиге влево:

, .

Рис. 50

Сопоставляя выражения для  и , можно сделать вывод, что они не могут быть одного знака.

Итак, для поиска максимально и минимально возможных усилий в стежнях фермы при действии на нее подвижной системы грузов достаточно рассматривать только такие положения этой системы, при которых хотя бы один из грузов находится над какой-либо вершиной линии влияния.

Пример расчета фермы на подвижную нагрузку.

Рассмотрим ферму, изображенную на рис.31. Необходимо:

1. Используя теорию линий влияния, определить усилие в стержне фермы 2-3 от действия неподвижной системы сил, изображенной на рис.31.

2. Определить максимальное и минимальное усилия в стержне фермы 2-3 при движении по ездовой линии (по горизонтали от узла 1 к узлу 10) системы из двух сил (рис.51).

Рис. 51

3. Определить усилие от постоянной равномерно распределенной нагрузки q=10КН/м, приложенной к поясу фермы, совпадающему с ездовой линией (рис.52).

Рис. 52

Построим линию влияния для стержня фермы 2-3[3]. Для этого достаточно определить усилие в этом стержне при различных положениях единичной силы на ездовой линии.

Если единичная сила находится на расстоянии х от левой опоры, то реакция в последней будет составлять , а в правой опоре —  (рис.53).

Рис. 53

Рис. 54

Cоставим уравнения равновесия узла 2 (рис.54):

, , откуда следует, что . Поскольку , нагрузки к узлу 2 не приложены, т.к. он не лежит на ездовой линии, это уравнение справедливо при любом положении грузов на ней. Для определения  воспользуемся способом сечений, причем рассмотрим два случая, когда единичный груз находится слева от панели, в которой располагается стержень 2-5 (рис.55), и справа от нее (рис.56).

Рис. 55

Для первого случая (рис.55) уравнения равновесия моментов относительно точки А примет вид:

Рис. 56

, откуда: . Следовательно, при нахождении единичного груза слева от рассеченной панели (x<2м) , а .

Согласно этой формуле, при x=0 ордината линии влияния, как и следовало ожидать, равна нулю, а при x=2м она равна 1/2. По этим точкам строится левая ветвь линии влияния (до точки С на рис.57)

Для второго случая (рис.56) из аналогичных рассуждений получим: , откуда: . Следовательно, при нахождении единичного груза справа от рассеченной панели (x>4м) , а . Таким образом, при x=4м ордината линии влияния равна 1 (точка D на рис.57), а на правой опоре, как и следовало ожидать -нулю. По этим точкам строится правая ветвь линии влияния, и далее передаточная прямая CD. В рассматриваемом случае ее направление, как мы видим, совпадает с направлением левой ветви линии влияния, а сама линия влияния оказалась симметричной.

Теперь приступим к определению усилий в стержне 2-3.

Для заданной неподвижной узловой нагрузки (рис.31) в соответствии с формулой (3) найдем величину усилия в стержне: . Этот же ответ был получен нами ранее в разделе “Пример расчета фермы на неподвижную нагрузку” без использования линий влияния, что подтверждает правильность проделанных вычислений.

Рис. 57

Рис. 58

Наиневыгоднейшим положением подвижной системы двух сил на ездовой линии (рис.51) будет положение, когда одна из них находится ровно посередине пролета фермы (рис.58), т.к. в этом случае одна из сил оказывается над единственной в рассматриваемом случае вершиной линии влияния. Ордината линии влияния под силой в центре фермы равна 1, ординату под точкой приложения второй силы легко определить из подобия треугольников:  , откуда y=0,8 (рис.58). В соответствии с (3) усилие в стержне составит . В силу симметрии линии влияния, в случае, когда над ее вершиной в центре пролета фермы окажется не левая, а правая сила, результат будет тем же.

Построенная линия влияния не имеет отрицательных ординат, следовательно, при любом положении системы сил на ездовой линии в стержне будут возникать только растягивающие усилия. Поэтому, максимальным возможным усилием  в стержне 2-3 для рассматриваемой подвижной нагрузки является 36КН, минимальным -0 КН.

 Наконец, определим усилие в стержне от действия неподвижной равномерно распределенной по всей длине ездовой линии нагрузки (рис.52) q=10 КН/м. Площадь фигуры, ограниченной линией влияния (рис.57) составляет . Размерность площади фигуры оказалась такой, поскольку единичная сила, а следовательно и ординаты линии влияния продольного усилия не имеют размерности.

 Теперь, в соответствии с формулой (4), определим усилие в стержне: .

Глоссарий

Висячие системы

Ездовая линия

Жесткий диск

Комбинированные системы

Линия влияния

Невыгоднейшее положение нагрузки

Нулевой стержень

Опасное положение нагрузки

Панель фермы

Передаточная прямая

Подвижная нагрузка

Пояс фермы верхний

Пояс фермы нижний

Проезжий пояс

Раскос

Раскос восходящий

Раскос нисходящий

Решетка фермы

Статический метод анализа геометрической неизменяемости ферм

Стойка

Структурный анализ фермы

Узлы фермы

Ферма

Ферма арочная

Ферма балочная

Ферма консольная

Ферма консольно-балочная

Ферма простейшая

Ферма раскосная

Ферма с треугольной решеткой

Лекция «Моделирование поведения потребителей» также может быть Вам полезна.

Ферма шпренгельная

Шарнирная схема

Шпренгель

Как рассчитать и построить навес из профильной трубы своими руками

Навес из труб и поликарбоната становится все более популярной архитектурной формой на приусадебном участке. Ничего удивительного, ведь это строение может выполнять множество функций, начиная от открытого гаража для автомобиля, дровяного склада, крытой игровой площадки и заканчивая зоной отдыха с мангалом и мягкими креслами.

Ключевым преимуществом является возможность изготовления такой конструкции своими руками. В представленной статье будут даны рекомендации по выбору материала, примеры расчетов опор и ферм и как сварить навес из профильной трубы.

Invalid Displayed Gallery

Расчет оптимальной формы навеса

Длина стропила зависит от угла наклона фермы. Для различных величин углов оптимально использование разного кровельного материала:

• 22-30 – оптимальный угол наклона для строений в областях со значительными снеговыми нагрузками. В качестве конструкция навеса из профильной трубы с таким углом предусматривает преимущественно треугольную форму. Она оптимальна для асбестовых прямых и волнистых листов, различного типа металлопрофиля и этернитового кровельного покрытия.
• 15-22 – так же являются двухскатными с металлическими типами кровельных покрытий. Такой угол наклона характерен для регионов с увеличенными ветровыми нагрузками. Максимальная величина пролета треугольной фермы с таким углом 20 м.
• 6-15 – преимущественно односкатные трапециевидные фермы с покрытием из поликарбоната и профнастила.

Односкатный навес из профильной трубы, фото строения с кровлей из профнастила

Расчет навеса из поликарбоната из профильной трубы производится в соответствии со СНиП П-23-81 «Стальные конструкции» и СНиП 2,01,07-85 «Нагрузки и воздействия».

Технологические требования к ферме и последовательность расчета следующая. В соответствие с техническим заданием определяется требуемая величина пролета. По представленной схеме подставляем габариты пролета и определяем высоту конструкции. Производится задание угла наклона фермы и оптимальной формы крыши навеса. Соответственно определяются контуры верхнего и нижнего пояса фермы, общие очертания и тип кровельного покрытия.

Важно!  Максимальное расстояние, на котором размещаются фермы при изготовлении навеса из профильной трубы – 1,75 м.  Схема зависимости длины стропил от угла крыши при расчете фермы из профильной трубы для навеса

Выбор профиля

В качестве материала для сборки стропильной фермы можно использовать швеллера, тавры, уголки и другой профилированный прокат который изготовлен из стали марки Ст3СП или 09Г2С (в соответствии с ГОСТ). Однако все эти материалы имеют существенный недостаток по сравнению с профилированной трубой – они намного тяжелее имеют большую толщину при сопоставимых прочностных характеристиках.

Рекомендуемые размеры сечения труб для навеса

Размеры элементов каркаса для навеса из профильной трубы зависят от габаритов строения. В соответствии с ГОСТ 23119-78 и ГОСТ 23118-99 для создания навеса из квадратной трубы собственными руками используют следующие материалы:

• Для компактных строений с шириной пролета до 4,5 м – 40х20х2 мм;
• Сооружения средних размеров с пролетом до 5,5 м изготавливаются из профтрубы 40х40х2мм;
• Строения значительной величины с пролетами более 5,5 м монтируют из профильных труб различного сечения 40х40х3 мм или 60х30х2мм.
• Размер стойки для навеса из профтрубы – 80 80 на 3 мм.

Чертежи, размеры и основные узлы соединений

Прежде чем приступить к сборке навеса из профильной трубы своими руками необходимо начертить детальный план всего сооружения с указаниями точных размеров всех элементов. Это поможет рассчитать точное количество материалов каждого вида и рассчитать стоимость строительства.

Чертеж навеса из профильной трубы с указанием основных габаритных размеров

Кроме того желательно сделать дополнительный чертеж наиболее сложных конструкций. В этом случае это односкатная ферма и узлы креплений ее основных элементов.

Схема для изготовления фермы из профильной трубы для навеса с основными крепежными узлами

Одним из основных достоинств профильной трубы является возможность безфасоночного соединения. Это проявляется в простоте конструкции и низкой стоимости фермы при длине стропильных пролетов до 30 м. при этом кровельный материал может опираться непосредственно на верхний пояс фермы, при условии его достаточной жесткости.

Узлы крепления для сборки навеса из профильной трубы своими руками, на фото а – треугольная решетка, б – опорная, в – раскосная решетка

Преимуществами безфасоночного сварного соединения является:

• Существенное снижение массы фермы, по сравнению с клепанными или болтовыми конструкциями до 20% и 25 % соответственно.
• Снижения трудозатрат и стоимости изготовления, как единичных изделий, так и при мелкосерийном производстве.
• Невысокая стоимость сварки и возможность автоматизировать процесс путем использования аппаратов с устройством непрерывной подачи сварной проволоки.
• Равнопрочность сварного шва и соединяемых изделий.

Из недостатков можно отметить:

• Необходимость иметь довольно дорогостоящее оборудования;
• Необходим опыт в сварочных работах.

Болтовые соединения при производстве  изделий из профильной трубы встречаются довольно часто. Обычно они используются в разборных навесах из профильной трубы или в изделиях, производимых для массового потребления.

Болтовые соединения наиболее простые для монтажа навеса из профильной трубы своими руками, фото присоединенного элемента каркаса

Основными достоинствами таких соединений являются:

• Простота выполнения сборки;
• Нет необходимости в дополнительном оборудовании;
• Возможность полного демонтажа сооружения.

Недостатки:

• Увеличивается вес конструкции;
• Необходимы дополнительные детали крепежа;
• Прочность и надежность болтовых соединений несколько ниже, чем сварных.

Подведя итоги

В статье была рассмотрена конструкция и методы изготовления самого простого односкатного навеса из профильной трубы своими руками, однако, профилированная труба довольно «гибкий» материал из которого можно сделать сложные и эстетически привлекательные конструкции.

Сложная конструкция для создания навеса из профтрубы своими руками, фото односкатного, купольного сооружения

Методы соединений: анализ и расчет ферм

Как рассчитать осевые силы ферменной системы методом соединений?

В этом руководстве мы объясним, как использовать метод соединений для расчета внутренних сил стержня в системе или конструкции фермы.

Эти силы известны как осевые силы и очень важны при расчете фермы. Если вам непонятно, что такое ферма, в нашей статье — Что такое ферма. Метод соединений в основном включает рассмотрение каждого из «сочленений» (где встречаются элементы) и применение статических уравнений для решения.

Шаг 1. Рассчитайте реакции на опорах

Мы начнем с рассмотрения простого примера стропильной системы из 5 элементов:

Чтобы рассчитать изгибающий момент в этой ферменной системе, мы сначала принимаем сумму моментов левой реакции равной нулю. Мы делаем это, игнорируя все элементы и просто глядя на силы и опоры в конструкции. Это тот же метод, который использовался в реакции на изгибающий момент в нашем предыдущем уроке.

∑MA (3 м) (- 5 кН) + (6 м) (RB) RB = 0 = 0 = 2.5 кН∑MA = 0 (3 м) (- 5 кН) + (6 м) (RB) = 0RB = 2,5 кН

Из приведенных выше уравнений мы решаем силу реакции в точке B (правая опора). В нашем примере это составляет 2,5 кН в направлении вверх. Теперь, если мы возьмем сумму сил в направлении y (вертикальном), мы обнаружим, что опора A (левая опора) также равна 2,5 кН.

∑Fy = 0RA + 2,5 кН − 5 кН = 0RA = 2,5 кН∑Fy = 0RA + 2,5 кН − 5 кН = 0RA = 2,5 кН

Шаг 2: Рассмотрим одну из опор:

Теперь, когда у нас есть силы реакции, мы можем приступить к анализу остальной части этой ферменной конструкции.Во-первых, мы смотрим на одну из известных нам сил — в этом случае мы будем рассматривать реакцию левой опоры +2,5 кН. Поскольку мы знаем, что эта сила возникает в этой точке, мы рассмотрим только этот момент отдельно. Мы повторяем этот процесс несколько раз, поэтому важно попрактиковаться и изучить этот процесс, чтобы иметь хорошее представление о том, как решать осевые силы в ферменных конструкциях. Итак, снова рассмотрим первую точку поддержки:

.

Увеличивая эту точку, мы видим все известные силы, действующие на нее.Из статики мы знаем, что силы в направлениях x и y должны в сумме равняться нулю. Соответственно, если мы знаем, что существует восходящая вертикальная сила, тогда должна существовать нисходящая сила, чтобы противодействовать ей. Поскольку у нас уже есть значение силы, направленной вверх, мы сначала попытаемся оценить член номер 1.

Здесь нам потребуются некоторые знания векторов. Важно помнить, что все силы должны в сумме равняться нулю как для x, так и для y-направлений. В нашем примере горизонтальное расстояние составляет 3 метра, а вертикальное — 5 метров, в результате чего гипотенуза равна примерно 5.83 м. Используя это, мы можем сделать вывод, что составляющая нормальной силы элемента 1 равна (5,83) / (5), умноженным на вертикальную силу 2,5 кН. Это равно 2,92 кН и ДОЛЖНО быть направленной вниз силой, если точка должна оставаться неподвижной.

Элемент 2 можно рассчитать примерно так же. Если мы знаем, что член 1 действует вниз, то мы знаем, что он также должен действовать влево. Соответственно, мы знаем, что элемент 2 должен создавать силу, которая тянет точку вправо, чтобы поддерживать силы в x-направлении.Это значение рассчитывается как (3 / 5,83) x 2,92 кН и равно 1,51 кН.

Начните решение ваших ферм с помощью бесплатного калькулятора ферм SkyCiv:

Шаг 3: переход к другой точке:

Рассчитав внутренние силы первого элемента в нашей ферме, мы теперь посмотрим на другую точку, чтобы повторить процесс:

Опять же, мы увеличим масштаб до точки отсчета и рассмотрим все известные силы, действующие на точку:

Примерно так же, как и раньше, если мы просуммируем известный вертикальный компонент 2.92 кН (2,5 кН в вертикальном направлении) и сила — 5 кН, направленная вниз, то у нас есть превышение в направлении вниз 2,5 кН (5 — 2,5). Соответственно, мы знаем, что элемент 1 должен вызывать силу в направлении вверх, чтобы острие оставалось неподвижным. Эта сила должна иметь вертикальную составляющую 2,5 кН, а поскольку она находится под тем же углом, что и предыдущий элемент, внутренняя осевая сила также должна составлять 2,92 кН.

Теперь рассмотрим силы в x-направлении. В этой точке вся вертикальная сила от элемента 1 противостоит вертикальной силе ранее рассчитанного элемента.Это означает, что сумма сил в направлении x уже равна нулю. Соответственно, в элементе 2 не может быть силы, иначе точка станет неуравновешенной и перестанет оставаться статичной.

Шаг 4: Переход к другой точке:

Глядя на эту точку, мы видим, что это особый случай. В этой ситуации любая сила, толкающая вверх, не будет иметь возможного сопротивления, поскольку нет другого элемента, который мог бы обеспечить силу, направленную вниз, чтобы удерживать точку в статике. Соответственно, поскольку сумма сил должна быть равна нулю, этот элемент не может иметь связанную с ним силу.Следовательно, он не имеет силы и известен как нулевой член.

Опять же, если мы посмотрим на суммирование сил в x-направлении, мы увидим, что есть только один элемент, который имеет любую силу в x-направлении. Соответственно, это также должно иметь нулевое осевое усилие, чтобы сумма сил равнялась нулю.

Окончательное решение

Наконец, мы получили следующий результат для нашей фермы. Мы можем видеть все возникающие осевые силы внутри элемента и реакции на опорах.Следующий результат был взят из нашего бесплатного калькулятора фермы — попробуйте, это бесплатно!

Простые шаги

• Всегда начинать с расчета реакций на опорах
• Выберите точку с известной силой и рассмотрите отдельно
• Используйте векторную геометрию и сумму сил = 0 для решения других сил стержня
• Повторяйте процесс, пока не будут решены все элементы.
• Не забывайте остерегаться нулевых участников

Бесплатный калькулятор фермы

Решающая ферма методом сечений

p {font-size: 15px! important;}
]]>

Учебное пособие: как решить ферменную конструкцию с использованием метода сечений

В этом руководстве мы исследуем и изучим преимущества использования метода сечений для решения вашей ферменной конструкции.Что такое фермы? Если вы не уверены в этом, посетите наш учебник «Что такое ферма». Метод сечений используется для быстрого и простого решения больших стропильных конструкций. Он включает в себя «разрез» ряда элементов для оценки их осевых сил и использование этого в качестве основы для решения остальной части конструкции фермы. Итак, сначала давайте рассмотрим пример вопроса:

Вопрос: Используя метод сечений, определите силы в элементах 10, 11 и 13 следующей конструкции фермы:

Шаг 1. Рассчитайте реакции на опорах

Как и большинство статических структурных расчетов, мы должны сначала начать с определения местоположения и решения реакций на опорах.Это даст нам граничные условия, необходимые для дальнейшего решения ферменной конструкции. Упрощение конструкции за счет включения нагрузок и опор:

Не тратя слишком много времени на подсчет реакций, вы обычно начинаете с суммирования моментов относительно точки. Суммируя моменты с левой опорой, получаем:

.

Таким образом, реакция на правой опоре (R _B ) составляет 17,5 кН в направлении вверх. Теперь, взяв сумму сил в y, мы получим реакцию R _A как 7.5 кН в восходящем направлении:

Шаг 2: Сделайте надрез по интересующим элементам

А вот и самая важная часть решения фермы методом сечений. Это включает в себя разрезание членов, которых вы хотите решить. Этот метод структурного анализа чрезвычайно полезен при попытке решить некоторые из элементов без необходимости решать всю конструкцию с использованием метода соединений. Итак, в нашем примере это будет наш срез:

Сфокусируясь только на левой стороне, у вас останется следующая структура:

Теперь подумайте об этой структуре как о единственной стоящей конструкции.Законы статики по-прежнему действуют — поэтому сумма моментов и сил должна быть равна нулю. Элементы со стрелками (F ₁₃ , F ₁₀ , F ₁₁ ) — это то, что стабилизирует реакцию и силы, приложенные к конструкции. Обратите внимание, что сумма моментов берется около узла 7, что исключает силы элементов 13 и 10, оставляя F ₁₁ изолированным.

Используя приведенную выше диаграмму свободного тела, мы можем получить следующие формулы:

Сумма сил в направлении y:

Сумма моментов относительно узла 7:

Сумма сил в направлении x:

Окончательное решение

Мы можем использовать эти результаты для решения оставшихся элементов ферменной конструкции.Мы надеемся, что этот пример был полезен, и не стесняйтесь комментировать свои вопросы ниже. В качестве справки, результаты для всей конструкции фермы можно найти ниже (с помощью нашего калькулятора фермы), который отлично подходит для проверки ваших ответов!

Простые шаги

• Всегда начинать с расчета реакций на опорах
• Сделайте разрез членов, которых вы хотите решить
• Рассматривать полуконструкция как отдельную статическую ферму
• Решите ферму, взяв сумму сил = 0
• Возьмите момент об узле из более чем одного неизвестного члена

Бесплатный калькулятор фермы

Как рассчитать размеры фермы крыши

Крыши бывают разных стилей, но самый простой в строительстве — не считая плоских или односкатных крыш — вероятно, с открытым фронтоном.При правильной конструкции с использованием правильного оборудования фермы открытой двускатной крыши равномерно распределяют нагрузку на крышу и не требуют никакой поддержки, кроме стен. Чтобы вычислить размеры фермы, вы можете применить теорему Пифагора, потому что каждая ферма может быть уменьшена до пары прямоугольных треугольников, расположенных спиной к спине.

Терминология кровли

Кровельщики называют расстояние между внешними сторонами стен, которые будут поддерживать крышу, «пролетом», а половину этого расстояния они называют «пробегом».«Прогон образует основание прямоугольного треугольника с высотой, равной« подъему »крыши, а гипотенуза образует« стропила ». Большинство крыш немного нависают над боковыми стенами — от 12 до 18 дюймов. — и важно помнить об этом при расчете длины стропил.

«Уклон» крыши, то есть величина ее уклона, является важным параметром, и хотя математики выражают это как угол, кровельщики предпочитают чтобы выразить это как отношение. Например, крыша, которая поднимается на 1 дюйм на каждые 4 дюйма горизонтального расстояния, имеет уклон 1/4.Оптимальный шаг зависит от кровельного покрытия. Например, битумная черепица требует минимального шага 2/12 для надлежащего дренажа. В большинстве случаев уклон не должен превышать 12/12, иначе по крыше становится слишком опасно ходить.

Расчет длины стропил по высоте

После измерения пролета крыши следующим шагом в проектировании двускатной крыши является определение подъема на основе желаемого кровельного материала и других конструктивных соображений. Это определение также влияет на длину стропил крыши.Рассмотрение всей фермы как пары соединенных спиной к спине прямоугольных треугольников позволяет вам основывать вычисления на теореме Пифагора, которая говорит вам, что a ² + b ² = c ² , где a — пролет, b — подъем, с — длина стропила.

Если вы уже знаете высоту подъема, легко определить длину стропил, просто подставив числа в это уравнение. Например, для крыши шириной 20 футов и высотой 7 футов требуются стропила, которые являются квадратным корнем из 400 + 49 = 21.2 фута, не считая дополнительной длины, необходимой для свесов.

Расчет длины стропил по уклону

Если вы не знаете, какой подъем крыши, вы можете знать уклон на основе рекомендаций производителя для кровли, которую вы планируете использовать. Этой информации все еще достаточно, чтобы рассчитать длину стропил по простому соотношению.

Иллюстрация показывает это: предположим, что желаемый шаг равен 4/12. Это эквивалентно прямоугольному треугольнику с основанием 12 дюймов, что составляет 1 фут, и подъемом на 4 дюйма.Длина гипотенузы этого треугольника равна квадратному корню из ² + b ² = 12 ² + 4 ² = 144 дюйма + 16 дюймов = 12,65 дюйма. Преобразуем это в футы, потому что длины пролета и стропил измеряются в футах: 12,68 дюйма = 1,06 фута. Следовательно, длина гипотенузы этого маленького треугольника составляет 1,06 фута.

Предположим, что измеренное основание реальной крыши составляет 40 футов. Вы можете установить следующую эквивалентность: основание треугольника / основание реальной крыши = гипотенуза треугольника / гипотенуза крыши.Подставив числа, вы получите 1/40 = 1,06 / x, где x — необходимая длина стропил. Решая для x, вы получаете x = (40) (1,06) = 42,4 фута.

Теперь, когда вы знаете длину стропил, у вас есть два варианта определения подъема. Вы можете установить аналогичное соотношение или решить уравнение Пифагора. Выбирая вариант 2, мы знаем, что подъем (b) равен квадратному корню из c ² — a ² , где c — длина стропила, а a — пролёт. Следовательно, рост равен: корень (42.4 ² -40 ² ) = корень (1797,8 — 1600) = 14,06 футов.

Анализ фермы — изучите методы с примерами

🕑 Время чтения: 1 минута

Изучите методы анализа фермы на примерах. В статье поясняется анализ ферм по способам стыков и по методам сечения. Мы знаем основы равновесия тел; Теперь обсудим фермы, которые используются для изготовления устойчивых несущих конструкций. Примерами этого являются стороны мостов или высоких телебашен или башен, по которым проходят электрические провода.Принципиальная схема конструкции на стороне моста изображена на рисунке 1. Структура, показанная на рисунке 1, по существу является двухмерной структурой. Это известно как плоская ферма. С другой стороны, микроволновая печь или вышка для мобильных телефонов — это трехмерная конструкция. Таким образом, есть две категории ферм — плоские фермы, как на сторонах моста, и космические фермы, такие как телебашни. В этом курсе мы сконцентрируемся на плоских фермах, в которых базовые элементы склеены в плоскости.Чтобы проиллюстрировать структуру плоской фермы, позвольте мне взять тонкий стержень (12) между точками 1 и 2 и прикрепить его к фиксированному штифтовому соединению в точке 1 (см. Рисунок 2). Теперь я вставляю штифт (штифт 2) в точку 2 на верхнем конце и навешиваю на него груз W. Вопрос в том, если мы хотим удерживать вес в этой точке, какие еще минимальные опоры мы должны предоставить? Для стержней делаем только штифтовые соединения (мы предполагаем, что все находится в этой плоскости и конструкции не опрокидываются боковыми путями). Поскольку стержень (12) имеет тенденцию вращаться по часовой стрелке, мы останавливаем движение точки 2 вправо, присоединяя к ней стержень (23), а затем останавливаем движение точки 3 вправо, соединяя ее с точкой 1 другим стержнем (13).Все соединения в этой конструкции — штыревые. Однако, несмотря на все это, вся конструкция все еще имеет тенденцию поворачиваться по часовой стрелке, потому что на нее действует крутящий момент из-за W. Чтобы противодействовать этому, мы прикрепляем колесо к точке 3 и ставим его на землю. Это минимум, который нам необходим для удержания веса на месте. Треугольник из стержней составляет основу плоской фермы. Примечание: Здесь можно спросить, зачем нам нужен горизонтальный стержень (13). Это потому, что в противном случае точка 3 будет продолжать двигаться вправо, делая всю конструкцию нестабильной.На стержень (13) действуют две силы: одна вертикальная сила, создаваемая колесом, а другая — на конце 2. Однако эти две силы не могут быть коллинеарными, поэтому без стержня (13) система не будет находиться в равновесии. Как правило, в ферме каждое соединение должно быть связано как минимум с тремя стержнями или двумя стержнями и одной внешней опорой. Давайте теперь проанализируем силы в только что сформированной структуре. Для простоты я считаю, что длины всех стержней равны. Чтобы получить силы, я смотрю на все силы на каждом штифте и нахожу условия, при которых штифты находятся в равновесии.Первым делом отметим, что каждый стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных штифтами на их концах. Как я обсуждал в предыдущей лекции, в этой ситуации силы должны быть коллинеарными и, следовательно, только вдоль стержней. Таким образом, каждый стержень находится под действием растягивающей или сжимающей силы. Таким образом, стержни (12), (23) и (13) испытывают силы, как показано на рисунке 3. Обратите внимание, что мы приняли все силы как сжимающие. Если действительные силы растягивающие, ответ будет отрицательным.Теперь посмотрим на штифт 2. На штифт 2 действуют только силы F ₁₂ из-за стержня (12) и F ₂₃ из-за стержня (23). Далее его тянет вниз груз W. Таким образом, силы, действующие на штифт 2, выглядят так, как показано на рисунке 4. Применение условия равновесия к выводу (2) дает Давайте теперь посмотрим на вывод 3 (см. Рисунок 4). Он находится в равновесии под действием сил F ₂₃ , нормальной реакции N и горизонтальной силы F ₁₃ . Применение условия равновесия дает Поскольку направление F ₁₃ выходит отрицательным, направление должно быть противоположным предполагаемому.Баланс сил в вертикальном направлении дает Таким образом, мы видим, что этими тремя стержнями удерживается вес. Конструкция определена и удерживает вес на месте. Даже если мы заменим штифтовые соединения небольшой пластиной (известной как косынка) с двумя или тремя штифтами в них, анализ останется в значительной степени таким же, потому что штифты расположены так близко друг к другу, что они почти не создают каких-либо моментов в суставах. Даже если стержни сварены вместе в местах соединения, с большой степенью точности большая часть силы передается продольно на стержни, хотя некоторый очень небольшой (незначительный) момент создается стыками и может быть вызван возможным изгибом стержней. .Теперь мы готовы построить ферму и проанализировать ее. Мы собираемся построить его, складывая вместе все больше и больше треугольников. Как видите, когда мы складываем эти треугольники, член шарнира j и количество стержней (стержней) m связаны следующим образом:

m = 2j — 3

Это делает ферму статически определимой. Это легко понять следующим образом. Сначала рассмотрите всю ферму как одну систему. Если он должен быть определен статически, на нем должны быть только три неизвестные силы, потому что для сил в плоскости существует три состояния равновесия.Зафиксируйте один из его концов штифтовым соединением и поместите другой на ролик (ролик также дает дополнительное преимущество в том, что он может помочь отрегулировать любое изменение длины элемента из-за деформаций). Если мы хотим определить эти внешние силы и силу в каждом элементе фермы, общее количество неизвестных составит м + 3 . Мы решаем эти неизвестные, записывая условия равновесия для каждого штифта; таких уравнений будет 2j . Чтобы система была определимой, мы должны иметь m + 3 = 2j , что является условием, приведенным выше.Если мы добавим еще членов, они станут избыточными. С другой стороны, меньшее количество стержней сделает ферму нестабильной и она разрушится при нагрузке. Это произойдет потому, что ферма не сможет обеспечить необходимое количество сил для выполнения всех условий равновесия. Статически определенные фермы известны как простые фермы. Exercise 1: На рисунке 5 показаны три обычно используемые фермы по сторонам мостов. Покажите, что все три из них — простые фермы.Вы спросите, зачем мы ставим на мосты фермы. Как покажет наш дальнейший анализ, они распределяют нагрузку по всем элементам и тем самым делают мост более прочным. Теперь мы хотим получить силы, возникающие в различных плечах фермы при внешней нагрузке. Это делается при следующих предположениях:

1. Если средняя линия элементов фермы встречается в точке, эта точка считается шарнирным соединением. Это очень удачное предположение, потому что, как мы видели ранее, вводя ферму (треугольник с шарнирным соединением), нагрузка передается на другой элемент фермы, так что силы остаются по существу коллинеарными с элементом.
2. Все внешние нагрузки приложены к штыревым соединениям.
3. Вес всех элементов поровну делится на соединительные штифты.

Существует два метода определения сил в элементах фермы — метод соединений и метод сечения. Начнем с метода стыков:

Анализ фермы — Метод соединений: В методе соединений мы смотрим на равновесие штифта в соединениях. Поскольку силы параллельны на штифте, нет уравнения момента, а только два уравнения равновесия, а именно.. Поэтому мы начинаем наш анализ с точки, где имеется одна известная нагрузка и не более двух неизвестных сил. Вес каждого элемента разделен на две половины, которые поддерживаются каждым штифтом. В какой-то мере мы уже упоминали этот метод при введении ферм. Проиллюстрируем это двумя примерами. Пример 1: В качестве первого примера я беру ферму ABCDEF, как показано на рисунке 6, и загружаю ее в точке E на 5000N. Длина мелких элементов фермы составляет 4 м, а длина диагональных элементов — м.Теперь я найду силы в каждом элементе этой фермы, считая их невесомыми. Мы принимаем каждую точку за шарнирное соединение и начинаем уравновешивать силы на каждом из штифтов. Поскольку контакт E имеет внешнюю нагрузку 5000N, можно начать с него. Однако точка E имеет более 2 неизвестных сил, поэтому мы не можем начать с E. Поэтому сначала мы рассматриваем ферму в целом и обнаруживаем реакции земли в точках A и D, потому что тогда в точках A и D их останутся только две неизвестные силы. . Горизонтальная реакция Nx в точке A равна нулю, потому что на систему нет внешней горизонтальной силы.Чтобы найти N ₂ , я использую момент около A, чтобы получить что через уравнение дает Что касается метода соединений, давайте теперь начнем с штифта А и уравновесим различные силы. Мы уже прогнозируем направление и показываем их примерно в точке А (рисунок 7). Все углы, которые образуют диагонали, составляют 45 °. Единственные уравнения, о которых мы сейчас беспокоимся, — это уравнения баланса сил. Имейте в виду, что сила, действующая на стержни AB и AF, будет противоположна силам, действующим на штифт (закон Ньютона III ^rd ).Следовательно, сила на элементе AB является сжимающей (отталкивает штифт A), тогда как сила на AF является растягивающей (притягивает A к себе). Далее я рассматриваю соединение F, в котором известна сила AF, а две силы BF и FE неизвестны. Для пинты F Затем я перейду к точке B, так как теперь там есть только две неизвестные силы. В точке B Отрицательный знак показывает, что, хотя мы показали, что F _BE сжимает, на самом деле он растягивается. Затем я рассматриваю точку C и уравновешиваю там силы. Я уже предвидел направление сил и показал, что F _CE является растягивающим, тогда как F _CD — сжимающим. Затем я перехожу к выводу D, где нормальная реакция — N, и уравновешиваю силы.Таким образом были определены силы в различных элементах фермы. Они есть Вам может быть интересно, как мы получили все силы, не используя уравнения во всех суставах. Напомним, так мы получили условие статической определенности. Нам не нужно было использовать все соединения, потому что мы уже рассмотрели систему в целом и получили оттуда два уравнения. Таким образом, одно соединение — в данном случае E — не подлежит анализу. Однако, учитывая, что ферма определена статически, все эти силы также должны уравновешиваться в точке E, где была приложена нагрузка.Я оставлю это вам в качестве упражнения. Затем я спрашиваю, как бы изменилась ситуация, если бы каждый элемент фермы имел вес. Предположим, что каждый элемент весит 500 Н, тогда, предполагая, что нагрузка делится поровну между двумя штифтами, удерживающими элемент, нагрузка на ферму будет выглядеть, как показано на рисунке 8 (нагрузка из-за веса, как показано красным). За исключением точек A и D нагрузка из-за веса составляет 750 Н; в точках A и D — 500N. Теперь внешняя реакция на каждом конце будет. Дополнительные 2000 Н можно рассчитать либо из уравнения момента, либо сразу, зная, что новый добавленный вес идеально симметричен относительно центра фермы и, следовательно, будет поровну разделен между двумя опорами.Для уравновешивания сил на других штифтах мы следуем той же процедуре, что и выше, учитывая при этом, что каждый штифт теперь имеет внешнюю нагрузку из-за веса каждого элемента. Я найду силы в каком-нибудь элементе фермы. Глядя на вывод A, получаем Затем мы переходим к точке F и видим, что силы равны Аналогичным образом можно решить и другие штифты в ферме, и я оставляю это вам в качестве упражнения. Продемонстрировав вам метод соединения, мы перейдем к рассмотрению метода секций, который непосредственно передает силу на желаемый элемент фермы.

Анализ фермы — Метод секций: Как следует из названия, в методе секций мы делаем секции через ферму, а затем вычисляем силу в элементах фермы, через которые выполняется разрез. Например, если я возьму задачу, которую мы только что решили в методе соединений, и сделаю сечение S ₁ , S ₂ (см. Рисунок 9), мы сможем определить силы в элементах BC, BE и FE. с учетом равновесия части слева или справа от секции.Позвольте мне сейчас проиллюстрировать это. Как и в случае метода соединений, мы начинаем с определения реакций внешней опоры фермы, рассматривая ее как твердое тело в целом. В данном конкретном случае это дает N в D и N в A. Теперь давайте рассмотрим сечение фермы слева (см. Рисунок 10). Поскольку вся эта секция находится в равновесии,. Обратите внимание, что теперь мы используем все три уравнения равновесия, поскольку силы в отдельных элементах не совпадают.Направление силы в каждом элементе можно в значительной степени угадать при осмотре. Таким образом, сила в секции элементов BE должна быть направлена ​​вниз, потому что нет другого элемента, который может дать направленную вниз силу, чтобы уравновесить реакцию N в точке A. Это ясно говорит нам, что F BE является растягивающим. Точно так же, чтобы противодействовать крутящему моменту вокруг B, создаваемому силой Н, в точке A, сила на FE также должна быть от F до E. Таким образом, эта сила также является растягивающей. Если мы теперь рассмотрим баланс крутящего момента относительно A, N и F _FE не дает никакого крутящего момента относительно A.Таким образом, чтобы противодействовать крутящему моменту, создаваемому F _BE , сила на BC должна действовать в направлении B, тем самым делая силу сжимающей. Давайте теперь посчитаем отдельные силы. F _FE рассчитать проще всего. Для этого мы возьмем момент о B. Это дает 4 × = 4 × F FE F FE = N Затем мы вычисляем F _BE . Для этого воспользуемся уравнением. Это дает Наконец, чтобы вычислить F _BC , мы можем использовать либо уравнение относительно A, либо Таким образом, мы определили силы в этих трех элементах напрямую, без расчета сил, идущих от одного сустава к другому, и сэкономили много времени и усилий в этом процессе.Силы на правой секции будут противоположны силам на левой секции в точках, через которые секция разрезана. Это можно использовать, чтобы проверить наш ответ, и я оставляю это вам в качестве упражнения. После этой иллюстрации позвольте мне описать шаги, которые предпринимаются для определения сил в элементах фермы методом сечений: 1. Сделайте разрез, чтобы разделить ферму на секции, пропуская разрез через элементы там, где требуется усилие. 2. Сделайте разрез через три элемента фермы, потому что с тремя уравнениями равновесия, а именно.мы можем решить максимум за три силы. 3. Примените условия равновесия и найдите желаемые силы. В применении метода сечений изобретательность заключается в том, чтобы сделать правильный. Метод после способа прямого вычисления желаемой силы, избегая тяжелой работы, связанной с применением метода суставов, где нужно решать для каждого сустава.

% PDF-1.3 % 4544 0 объект > эндобдж xref 4544 81 0000000016 00000 н. 0000001975 00000 н. 0000004248 00000 н. 0000004952 00000 н. 0000006224 00000 н. 0000006403 00000 п. 0000007676 00000 н. 0000007800 00000 н. 0000007953 00000 н. 0000008127 00000 н. 0000008150 00000 н. 0000009422 00000 н. 0000009591 00000 н. 0000010545 00000 п. 0000010568 00000 п. 0000011473 00000 п. 0000011496 00000 п. 0000011668 00000 п. 0000012941 00000 п. 0000013719 00000 п. 0000013742 00000 п. 0000013906 00000 п. 0000015178 00000 п. 0000016023 00000 п. 0000016046 00000 п. 0000016828 00000 п. 0000016851 00000 п. 0000017712 00000 п. 0000017735 00000 п. 0000018548 00000 п. 0000018571 00000 п. 0000018798 00000 п. 0000018822 00000 п. 0000020050 00000 н. 0000020074 00000 п. 0000020098 00000 н. 0000024247 00000 п. 0000024271 00000 п. 0000024514 00000 п. 0000033237 00000 п. 0000033261 00000 п. 0000034477 00000 п. 0000034501 00000 п. 0000034524 00000 п. 0000034548 00000 п. 0000035342 00000 п. 0000035366 00000 п. 0000036628 00000 п. 0000036866 00000 н. 0000038090 00000 п. 0000039299 00000 н. 0000039534 00000 п. 0000043974 00000 п. 0000044207 00000 п. 0000046987 00000 п. 0000047011 00000 п. 0000047583 00000 п. 0000047605 00000 п. 0000047627 00000 п. 0000047682 00000 п. 0000047708 00000 п. 0000198684 00000 н. 0000198909 00000 н. 0000199249 00000 н. 0000199513 00000 н. 0000199796 00000 н. 0000199820 00000 н. 0000199874 00000 н. 0000204309 00000 н. 0000204364 00000 н. 0000204419 00000 н. 0000204474 00000 н. 0000204529 00000 н. 0000204602 00000 н. 0000204656 00000 н. 0000204710 00000 н. 0000204764 00000 н. 0000204819 00000 н. 0000204873 00000 н. 0000002060 00000 н. 0000004224 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 4545 0 объект > эндобдж 4623 0 объект > транслировать HW} pg w7 \ / 4v: ߷ G.0Z

1.5: Внутренние силы в плоских фермах

Глава 5

Внутренние силы в плоских фермах

5.1 Введение

Ферма — это конструкция, состоящая из прямых тонких элементов, соединенных на своих концах с помощью пальцев или шарниров без трения. Ферму можно разделить на простую, составную или сложную. Простая ферма — это ферма, построенная из трех тонких элементов, образующих базовую треугольную ячейку. Дополнительные соединения могут быть сформированы в ферме путем последующего добавления двух элементов за раз к базовой ячейке, как показано на рисунке 5.1а. Составная ферма состоит из двух или более простых ферм, соединенных вместе, как показано на Рисунке 5.1b. Сложная ферма не является ни простой, ни сложной, как показано на рис. 5.1c; его анализ более строгий, чем у ранее заявленных ферм.

Рис. 5.1. Классификация ферм.

5.2 Типы ферм

Ниже приведены примеры различных типов ферм для мостов и крыш.

Рис. 5.2. Часто используемые мостовые фермы.

Рис. 5.3. Обычно используемые стропильные фермы.

5.3 Детерминированность и устойчивость ферм

Условия определенности, неопределенности и неустойчивости ферм можно сформулировать следующим образом:

где

м = количество стержней.

r = количество опорных реакций.

j = количество стыков.

5.4 Допущения при анализе ферм

1. Стержни на концах соединены бесфрикционными штифтами.

2. Стержни прямые, поэтому на них действуют только осевые силы.

3. Деформации стержней под нагрузками незначительны и имеют незначительную величину, чтобы вызвать заметные изменения в геометрии конструкции.

4. Нагрузки прикладываются только к соединениям из-за расположения элементов.

5.5 Совместная идентификация и обозначение силы элементов

Соединения фермы можно обозначить с помощью букв или цифр, в зависимости от предпочтений аналитика.Тем не менее, необходимо поддерживать последовательность в выбранном способе идентификации, чтобы избежать путаницы во время анализа. Сила стержня может быть представлена ​​любой буквой ( F или N или S ) с двумя нижними индексами, обозначающими элемент. Например, сила стержня F, _AB, , в ферме, показанной на рисунке 5.4, является силой в соединениях элементов A, и B .

Рис. 5.4. Идентификация соединения ( a ) и сила стержня ( b ).

Пример 5.1

Классифицируйте фермы, показанные на рисунках 5.5–5.9, как стабильные, определенные или неопределенные, и укажите степень неопределенности, когда это необходимо.

Рис. 5.5. Ферма.

r = 3, m = 9, j = 6. Из уравнения 3.5 9 + 3 = 2 (6). Статически определен.

Рис. 5.6. Ферма.

r = 3, м = 10, j = 6.Из уравнения 3.5: 10 + 3> 2 (6). Статическая неопределенность до 1 °.

Рис. 5.7. Ферма.

r = 3, m = 9, j = 6. Из уравнения 3.5 9 + 3 = 2 (6). Статически определен.

Рис. 5.8. Ферма.

r = 3, m = 24, j = 14. Из уравнения 3.5, 24 + 3 <2 (14). Статически нестабилен.

Рис. 5.9. Ферма.

r = 5, м = 11, j = 7.Из уравнения 3.5: 11 + 5> 2 (7).

Сатически неопределенный до 2 °.

5.6 Методы анализа ферм

Существует несколько методов расчета фермы, но два наиболее распространенных — это метод соединения и метод сечения (или момента).

5.6.1 Соглашение о знаках

При анализе фермы отрицательная осевая сила элемента означает, что элемент или соединения на обоих концах элемента находятся в состоянии сжатия, в то время как положительная осевая сила элемента указывает, что элемент или соединения на обоих концах элемента находятся в состоянии растяжения.

5.6.2 Анализ ферм методом стыков

Этот метод основан на том принципе, что если структурная система представляет собой тело в равновесии, то любое соединение в этой системе также находится в равновесии и, таким образом, может быть изолировано от всей системы и проанализировано с использованием условий равновесия. Метод соединения включает в себя последовательную изоляцию каждого соединения в системе фермы и определение осевых сил в элементах, встречающихся в соединении, путем применения уравнений равновесия.Подробная процедура анализа этим методом изложена ниже.

Процедура анализа

• Проверьте стабильность и определенность конструкции. Если ферма устойчивая и детерминированная, то переходите к следующему шагу.

• Определите реакции опоры в ферме.

• Определите элементы нулевой силы в системе. Это неизмеримо уменьшит вычислительные затраты, связанные с анализом.

• Выберите соединение для анализа. Ни в коем случае не должно быть более двух неизвестных сил стержня в анализируемом соединении.

• Нарисуйте диаграмму изолированного свободного тела выбранного соединения и обозначьте осевые силы во всех элементах, встречающихся в соединении, как растягивающие (т. Е. Как отталкивающие от соединения). Если это первоначальное предположение неверно, определенная осевая сила элемента будет отрицательной в анализе, что означает, что элемент находится в состоянии сжатия, а не растяжения.

• Примените два уравнения Σ F _x = 0 и Σ F _y = 0 для определения осевых сил стержня.

• Продолжите анализ, переходя к следующему стыку с двумя или меньшим количеством неизвестных сил стержня.

Пример 5.2

Используя метод соединения, определите осевую силу в каждом элементе фермы, показанном на рисунке 5.10a.

Рис. 5.10. Ферма.

Решение

Поддерживающие реакции. Применяя уравнения статического равновесия к диаграмме свободного тела, показанной на рисунке 5.10b, опорные реакции могут быть определены следующим образом:

Анализ стыков.Анализ начинается с выбора соединения с двумя или меньшим количеством неизвестных сил стержня. Схема свободного тела фермы показывает, что соединения A, и B удовлетворяют этому требованию. Чтобы определить осевые силы в элементах, встречающихся в соединении A , сначала изолируйте соединение от фермы и укажите осевые силы элементов как F _AB и F _AD, , как показано на рисунке 5.10c. Первоначально предполагается, что две неизвестные силы являются растягивающими (т.е. отрываясь от сустава). Если это первоначальное предположение неверно, вычисленные значения осевых сил будут отрицательными, что означает сжатие.

Анализ стыка А .

После завершения анализа соединения A, соединение B или D может быть проанализировано, так как есть только две неизвестные силы.

Анализ стыка Д .

Анализ стыка B .

5.6.3 Члены нулевой силы

Сложный анализ фермы можно значительно упростить, если сначала определить «элементы с нулевым усилием». Элемент с нулевым усилием — это элемент, который не подвергается какой-либо осевой нагрузке. Иногда такие элементы вводятся в стропильную систему, чтобы предотвратить коробление и вибрацию других элементов. Расстановки ферменных элементов, которые приводят к элементам с нулевым усилием, перечислены ниже:

1.Если существует неколлинеарность между двумя элементами, встречающимися в месте соединения, которое не подвергается никакому внешнему воздействию, то эти два элемента являются элементами с нулевым усилием (см. Рисунок 5.11а).

2. Если три стержня встречаются в стыке без внешней силы, и два стержня коллинеарны, третий стержень является стержнем с нулевым усилием (см. Рисунок 5.11b).

3. Если два элемента встречаются в соединении, и приложенная сила в соединении параллельна одному элементу и перпендикулярна другому, то элемент, перпендикулярный приложенной силе, является элементом с нулевой силой (см. Рисунок 5.11c).

Рис. 5.11. Члены с нулевой силой.

5.6.4 Анализ ферм по методике п.

Иногда определение осевой силы в определенных элементах ферменной системы методом соединения может быть очень сложным и трудоемким, особенно когда система состоит из нескольких элементов.В таких случаях использование метода секционирования может сэкономить время и, следовательно, предпочтительнее. Этот метод заключается в пропускании воображаемого участка через ферму, чтобы он разделил систему на две части и прорезал элементы, осевые силы которых требуются. Затем определяются осевые силы стержня с использованием условий равновесия. Подробная процедура анализа этим методом представлена ​​ниже.

Порядок анализа ферм по методике раздела

• Проверьте устойчивость и определенность конструкции.Если ферма устойчивая и детерминированная, то переходите к следующему шагу.

• Определите реакции опоры в ферме.

• Сделайте воображаемый разрез в конструкции, чтобы он включал элементы, осевые силы которых требуются. Воображаемый разрез делит ферму на две части.

• Приложите силы к каждой части фермы, чтобы удерживать ее в равновесии.

• Выберите любую часть фермы для определения сил стержня.

• Примените условия равновесия для определения осевых сил стержня.

Пример 5.3

Используя метод сечения, определите осевые силы в элементах CD , CG и HG фермы, показанной на рисунке 5.12a.

Рис. 5.12. Ферма.

Решение

Поддерживающие реакции. Применяя уравнения статического равновесия к диаграмме свободного тела на рис. 5.12b, опорные реакции можно определить следующим образом:

Анализ методом сечения.Сначала воображаемый участок проходит через ферму так, что он прорезает элементы CD , CG и HG и разделяет ферму на две части, как показано на рисунках 5.12c и 5.12d. Все силы стержня обозначены как силы растяжения (т. Е. Отрывающие от соединения). Если это первоначальное предположение неверно, расчетные силы стержня будут отрицательными, показывая, что они находятся в состоянии сжатия. Для анализа можно использовать любую из двух частей. Левая часть будет использоваться для определения сил стержня в этом примере.Применяя уравнение равновесия к левому сегменту фермы, осевые силы в элементах можно определить следующим образом:

Осевая сила в элементе CD . Чтобы определить осевую силу в элементе CD, найдите момент относительно соединения в ферме, где только CD будет иметь момент относительно этого соединения, а все остальные отрезанные элементы не будут иметь момента. Внимательное изучение покажет, что соединение, отвечающее этому требованию, — это соединение G . Таким образом, если взять момент около G , можно предположить следующее:

Осевая сила в элементе HG .

Осевая сила в элементе CG . Осевое усилие в элементе CG определяется с учетом вертикального равновесия левой части. Таким образом,

Краткое содержание главы

Внутренние силы в плоских фермах: Фермы — это структурные системы, состоящие из прямых и тонких элементов, соединенных на концах. Допущения при расчете плоских ферм включают следующее:

1. Элементы ферм соединены на концах бесфрикционными штифтами.

2. Элементы прямые и подвергаются действию осевых сил.

3. Деформации элементов небольшие и незначительные.

4. Нагрузки в фермах действуют только на их стыки.

Элементы фермы могут подвергаться осевому сжатию или осевому растяжению. Осевое сжатие элементов всегда считается отрицательным, а осевое растяжение всегда считается положительным.

Фермы могут быть внешне или внутренне детерминированными или неопределенными. Внешне определенные фермы — это фермы, неизвестные внешние реакции которых могут быть определены с помощью только уравнения статического равновесия.Внешне неопределенные фермы — это фермы, внешняя неизвестная реакция которых не может быть полностью определена с помощью уравнений равновесия. Чтобы определить количество неизвестных реакций сверх уравнения равновесия для неопределенных ферм, необходимо сформулировать дополнительные уравнения, основанные на совместимости частей системы. Внутренне определенные фермы — это фермы, элементы которых расположены так, что образуется ровно столько треугольных ячеек, сколько предотвращает геометрическую нестабильность системы.

Формулировка устойчивости и определенности в фермах выглядит следующим образом:

м + r <2 j Конструкция нестабильная

м + r = 2 j Структура определенная

м + r > 2 j Структура неопределенная

Методы анализа ферм: Два общих метода анализа ферм — это метод соединения и метод сечения (или момента).

Метод соединения : Этот метод включает изоляцию каждого соединения фермы и учет равновесия соединения при определении осевой силы элемента. Для определения осевых сил стержня используются два уравнения: ∑ F _x = 0 и ∑ F _y = 0. Соединения последовательно изолированы для анализа на основе принципа, согласно которому количество неизвестных осевых сил стержня должно никогда не должно быть больше двух в рассматриваемом стыке в трасте самолета.

Метод секции: Этот метод подразумевает пропускание воображаемой секции через ферму, чтобы разделить ее на две секции. Силы стержня определяются с учетом равновесия части фермы по обе стороны от сечения. Этот метод выгоден, когда осевые силы в определенных элементах требуются в ферме с несколькими элементами.

Практические задачи

5.1 Классифицируйте фермы, показанные на рисунке P5.С 1а по рисунок P5.1r.

P5.1. Классификация ферм.

5.2 Определите силу в каждом элементе ферм, показанных на рисунках P5.2 — P5.12, используя метод соединения.

Рис. P5.2. Ферма.

Рис. P5.3. Ферма.

Рис. P5.4. Ферма.

Рис. P5.5. Ферма.

Рис. P5.6. Ферма.

Фиг.P5.7. Ферма.

Рис. P5.8. Ферма.

Рис. P5.9. Ферма.

Рис. P5.10. Ферма.

Рис. P5.11. Ферма.

Рис. 5.12. Ферма.

5.3 Используя метод сечения, определите силы в элементах, помеченных X ферм, показанных на рисунках P5.13 — P5.19.

Рис. P5.13. Ферма.

Рис. P5.14. Ферма.

Фиг.P5.15. Ферма.

Рис. P5.16. Ферма.

Рис. P5.17. Ферма.

Рис. P5.18. Ферма.

Рис. P5.19. Ферма.

РЕШЕНИЕ: На рисунке изображена треугольная ферма. Найдите угол \ theta.

Стенограмма видео

Итак, нам нужно найти угол fada на этой диаграмме. Так что они дают нам. Предполагается, что это доверие, и нам говорят, что это угол Фада.Это угол бета, которого не удалось найти в этой задаче. Предполагается, что это будет 20 футов. Предполагается, что это будет 16 футов, а это должно быть 13 футов, поэтому я определенно не рисовал это в масштабе. Это на самом деле выглядит длиннее, и должно быть наоборот. Таким образом, любому делу были даны стороны, стороны, стороны, и мы хотим, чтобы закон был подписан. Да, в любое время, когда у нас есть боковой, боковой, боковой или боковой угол. Вот где легче всего работать со знаками Log Co. И мы хотим найти угол, противоположный 13.Итак, у нас будет 13. В квадрате равно 16 в квадрате, плюс 20 в квадрате минус два раза, 16 раз по 20 раз. Совместный знак этого включенного угла, и мы знаем, что этот угол является острым углом, потому что он противоположен. Это наименьший угол в треугольнике. Итак, я бы вычитал 16 квадратов с обеих сторон, и я бы вычитал 20 квадратов с обеих сторон, и это оставило бы меня с отрицательными два раза, 16 раз, 20-кратным косинусом данных, а затем сделало бы деление. Итак, если мы разделим эту сторону на отрицательные два раза по 16 умножить на 20 и разделим эту сторону на отрицательные два раза, 16 умножить на 20.А теперь я возьму его в свой калькулятор, потому что мы хотим узнать, что это за береговая линия этого угла. И опять же, я знаю, что это значение положительно, потому что я знаю значение этого количества. Этот угол будет острым. Так что когда я положил это в свой калькулятор, я уже проверил. Я нахожусь в режиме градусов, и я начал с левых скобок, а затем 13 в квадрате минус 16, в квадрате, минус 20 в квадрате. Затем я закрываю скобки e и делю на. И если ваш калькулятор складывается, это к лучшему.Но у меня нет. У меня есть t I A. До этого не складывается. Итак, я собираюсь убедиться, что мой знаменатель находится в левой скобке, e, а затем дважды отрицателен, умноженный на 16, умноженный на 20, и я собираюсь использовать здесь только времена, а не большинство скобок.