Расчет балки на действие сосредоточенной нагрузки
Дано:
1. Однопролетная балка постоянного по длине сечения на двух шарнирных опорах А и В, без консолей, длиной l = 4.6 м. Балка расположена горизонтально.
2. Сосредоточенная нагрузка Q = 3.2 кН приложена перпендикулярно к нейтральной оси балки на расстоянии а = 1.8 м от опоры А (на расстоянии b = 2.8 м от опоры В).
Вот собственно и все, что следует знать на первом этапе расчета — определении максимальных напряжений в поперечном сечении балки. И да, длина балки может измеряться кроме метров в сантиметрах, миллиметрах, дюймах, футах и т.д. Нагрузка может также обозначаться заглавными литерами Р, F, измеряться в килограммах, грамах, тоннах пудах, фунтах и т.д. — принципиального значения это не имеет и на методику расчета никак не влияет.
Если теоретические основы расчета вас не интересуют, а вы просто хотите рассчитать свою балку, то можете воспользоваться калкулятором для данной расчетной схемы (впрочем этот калькулятор только для деревянных балок, со временем будет и для стальных).
Далее возможны 2 варианта расчета:
1. Упрощенный, по готовым формулам, которые приводятся буквально в каждом справочнике по сопромату. Для человека, занимающегося частным строительством и желающего просчитать ту или иную балку, такой расчет, самое то.
2. Классический, основанный на уравнениях равновесия системы и методе начальных параметров. Такой расчет чаще всего требуется от студентов. Но и людям, желающим узнать, откуда взялись те или иные формулы, пример такого расчета также будет полезен.
Рассмотрим эти варианты более подробно.
1. Упрощенный расчет (по готовым формулам)
Расчет производится по формулам расчетной схемы 1.2 для шарнирной балки.
1.1 Определение опорных реакций:
А = bQ/l = 2.8·3.2/4.6 = 1.9478 кН (658.1.1)
В = aQ/l = 1.8·3.2/4.6 = 1.2522 кН (658.1.2)
Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет «Q» = 1.9478 кН1.2. Определение максимального изгибающего момента:
Максимальный изгибающий момент будет действовать в поперечном сечении в точке приложения сосредоточенной нагрузки и он составит:
М = Аа = 1.9478·1.8 = 3.5061 кНм (658.2.1)
Проверяем:
М = Вb = 1.2522·2.8 = 3.5062 кНм (658.2.2)
Примечание: разница значений в четвертом знаке после запятой возникла из-за округления значений опорных реакций, так что все нормально.
1.3. Подбор сечения балки:
3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:
Wтр = M/R = 3.5061/13000 = 0.0002697 м3 (269.7 см3) (658.3.1)
Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:
W = bh2/6 (658.3.2)
Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 15 см требуемая ширина сечения составит не менее:
b = 6W/h2 = 6·269.7/152 = 7.2 см (658.3.3)
при высоте сечения балки h = 20 см:
b = 6W/h2 = 6·269.7/202 = 4.05 см (658.3.4)
И так далее. Если изначально задается ширина, например b = 5 см, то для определения требуемой высоты сечения используется следующая формула:
h = √6W/b = √6·269.7/5 = 18 см (658.3.5)
Впрочем все это не более, чем теория, на практике применяются деревянные брусья сечением 20х5 см или 15х10 см и дальнейшую проверку следует вести для одного из этих сечений. Далее будет рассматриваться сечение 20х5 см, как наиболее экономное по расходу материала. Момент сопротивления такого сечения составит:
W = 5·202/6 = 333.3 см3 (658.3.6)
Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.
3.2 Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 210 Мпа (210000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:
Wтр = M/R = 3.5061/210000 = 1.67·10-5 м3 (16.7 см3) (658.3.7)
Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.
Ну а подбор сечения ж/б балки — это отдельная большая тема.
1.4. Проверка по касательным напряжениям (для сечения 5х20 см или 0.05х0.2 м):
Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) Rск = 1.6 МПа.
Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:
т = 1.5″Q»/bh = 1.5·1.9478/(0.05·0.2) = 291.6 кПа (0.2916 МПа) < 1.6 МПа (658.4.1)
Требование по касательным напряжениям соблюдено.
Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.
Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.
1.5. Определение прогиба:
Для деревянной балки сечением 20х5 см момент инерции составит:
I = Wh/2 = 333.33·20/2 = 3333.3 см4 (0.00003333 м4) (658.5.1)
Модуль упругости древесины составляет Е = 1·104 МПа (107 кПа)
Так как сосредоточенная нагрузка к балке приложена не посредине пролета, то готовой формулы для определения прогиба в этом случае нет. Поэтому оценим прогиб приблизительно. Сначала определим прогиб в точке приложения сосредоточенной нагрузки:
f = Qb2a2/(3lEI) = 0.0177 м (1.77 см) (658.5.2)
Если бы сосредоточенная нагрузка была приложена посредине балки, то максимальный прогиб составил бы:
f = Ql3/(48EI) = 0.0194 м (1.94 см) (658.5.3)
Как видим, разница относительно небольшая и более точного определения прогиба на мой взгляд при упрощенном расчете не требуется. Ну а дальше все зависит от конструктивных требований по прогибу. В данном случае прогиб составляет 1/237 от длины пролета балки.
Вот собственно и весь упрощенный расчет. «Какой же он упрощенный, ежели тут одного только тексту на цельный лист?» — возразит придирчивый читатель. Все верно. Вот только когда считает специалист старой закваски, то он рисует на бумаге от силы 7-8 формул и занимает это 5-10 минут. Ну а если, как я уже говорил, сосредоточенная нагрузка, например 300 кг приложена посредине пролета длиной 6 метров, то максимальный момент составит М = 400 кгм, а требуемый момент сопротивления примерно W = 300 см
2. Классический расчет
Ну а теперь перейдем к классическому расчету. Но сразу скажу, от упрощенного он отличается только первыми двумя пунктами — определением опорных реакции и максимальных напряжений, принципы подбора сечения такие же, как и изложенные выше. Ну и добавится определение начального и конечного углов поворота, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, углов поворота и прогиба, куда ж без этого в классическом-то расчете.
2.1. Определение опорных реакций
Для определения опорной реакции А воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки В):
ΣМВ = Al — Qb = 0 (658.6.1)
тогда
Аl = Qb; (658.6.2)
A = Qb/l = 2.8·3.2/4.6 = 1.9478 кН
(658.1.1)Для определения опорной реакции В также воспользуемся третьим уравнением статического равновесия системы (уравнением моментов относительно точки А):
ΣМА = Вl — Qа = 0 (658.6.3)
тогда
Вl = Qа; (658.6.4)
В = aQ/l = 1.8·3.2/4.6 = 1.2522 кН (658.1.2)
Для проверки воспользуемся вторым уравнением статического равновесия системы:
∑у = Q — А — В = 0 (658.6.5)
3.2 — 1.9478 — 1.2522 = 0 (658.6.6)
Условие выполняется.
В точке А поперечные силы условно равны нулю.
Уравнение поперечных сил на участке от точки А до точки приложения сосредоточенной нагрузки будет иметь следующий вид:
«Q» = А = 1.9478 кН (658.6.7)
на участке от точки приложения нагрузки до точки В:
«Q» = А — Q = 1.9478 — 3.2 = — 1.2522 кН
в точке В:
«Q» = А — Q + В = 1.9478 — 3.2 + 1.2522 = 0 (658.6.9)
Этих данных достаточно для построения эпюр поперечных сил.
2.2. Определение изгибающих моментов:
Для определения изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки, используется метод сечений, согласно которому на участке от опоры А до точки приложения сосредоточенной нагрузки уравнение моментов будет иметь следующий вид:
М = Ах (658.7.1)
где х — расстояние от опоры А до рассматриваемого сечения балки, соответственно в точке А (в начале балки и в начале оси координат х):
М = А·0 = 0 (658.7.2)
в точке приложения сосредоточенной нагрузки:
М = Аа = 3.5061 кНм (658.2.1)
После точки приложения сосредоточенной нагрузки уравнение моментов для рассматриваемых поперечных сечений принимает вид:
М = Ах — Q(x — a)
(658.7.3)соответственно в точке приложения сосредоточенной нагрузки:
М = Аа — Q(a — a) = Aa (658.7.4)
в точке В (в конце балки):
М = Al — Qb = Qbl/l — Qb = Qb — Qb = 0 (658.7.5)
Примечание: так как значение изгибающего момента изменяется линейно, то в определении дополнительных значений момента для промежуточных точек по оси х нет необходимости.
2.3 Определение углов поворота и прогибов поперечного сечения.
Уравнение углов поворота — результат интегрирования уравнения моментов. А как известно, при интегрировании появляется постоянная интегрирования, в данном случае начальный угол поворота ΘА, который в данном случае не равен нулю. Кроме того на значение углов поворота и прогибов влияет жесткость рассматриваемой балки, выражаемая через ЕI, т.е. чем больше жесткость балки (модуль упругости и момент инерции) тем меньше в итоге углы поворота и прогибы.
θx = ∫Mdx/EI = ∫Axdx/EI = — ΘА + Ax2/2EI (658.8.1)
а на участке от точки приложения сосредоточенной нагрузки до точки В так:
θx = — ΘА + Ax2/2EI — Q(x — a)2/2EI (658.8.2)
Уравнение прогибов — результат интегрирования уравнения углов поворота на рассматриваемом участке:
fх = ∫ΘАdx = — θAx + Ax3/6EI (658.8.3)
Как видим, в данном случае постоянная интегрирования — начальный прогиб — равна нулю и это логично — на опорах прогиба быть не может (во всяком случае в теории). Это позволяет составить дополнительное уравнение прогиба для одной из опор, например для точки В уравнение прогиба будет иметь вид:
fВ = — θAl + Al3/6EI — Qb3/6EI = 0 (658.8.4)
тогда
θAl = Al3/6EI — Qb3/6EI (658.8.5)
θA = Qbl3/l26EI — Qb3/l6EI (658.8.6)
θA = Qb(l2 — b2)/l6EI (658.8.7)
или (более распространенная формула):
θA = Ql2(b/l — b3/l3)/6EI = 4.3242/EI (658.8.8)
Проведя аналогичный расчет с помощью уравнения прогибов на опоре А, получим значение конечного угла поворота:
θВ = Ql2(а/l — а3/l3)/6EI = 3.7398/EI (658.8.9)
Проверяем правильность вычислений:
θB = — ΘА + Ax2/2EI — Q(x — a)2/2EI = (- 4.3242 + 20.6077 — 12.544)/EI = 3.7395/EI (658.8.10)
Для построения эпюры углов поворота необходимо определить еще как минимум одну точку — место, где угол поворота поперечного сечения, относительно нейтральной оси балки будет равен нулю, а прогиб будет максимальным. Так как эта точка будет справа от точки приложения нагрузки, то для упрощения расчетов рассмотрим балку с конца, а не с начала:
θx = — ΘВ + Вx2/2EI = 0 (658.8.11)
тогда
ΘВ = Вx2/2EI (658.8.12)
3.7398 = 1.2522х2/2 (658.8.13)
х = 2.444 м (658.8.14)
или на расстоянии 4.6 — 2.444 = 2.156 от начала балки
Как видим, эта точка расположена относительно недалеко от середины пролета балки, так что при упрощенном расчете мы не сильно ошиблись. Прогиб в этой точке составит:
f2.444 = — θВ2.444 + В·2.4443/6EI = — 6.0934/ЕI (658.8.15)
Таким образом для рассматриваемой деревянной балки максимальный прогиб составит:
fmax = — 6.0934/(107·0.00003333) = 0.0183 м или 1.83 см (658.8.16)
Чтобы эпюры углов поворота и прогибов были универсальными и подходили и для деревянных и для стальных и для железобетонных и для каких угодно других балок, на эпюрах показываются не абсолютные значения, а относительные. Т.е. обе части уравнения умножаются на ЕI.
2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:
На основании полученных ранее данных строим эпюры:
Рисунок 658.1. Расчетная схема (а), замена опор на реактивные силы (б), эпюра поперечных сил (в), эпюра изгибающих моментов (г), эпюра углов поворота (д), эпюра прогибов (е).
На эпюре поперечных сил в начале координат (в точке А) откладываем вверх значение опорной реакции А, согласно направлению действия реактивной силы. Так как значение поперечных сил согласно уравнению не зависит от значения переменной х, то ведем прямую линию, параллельную оси координат, до точки приложения сосредоточенной нагрузки. В точке приложения сосредоточенной нагрузки откладываем значение нагрузки вниз, в результате чего получаем новое значение эпюры поперечных сил, равное значению опорной реакции В. Соединяем эту точку с точкой приложения опорной реакции В. В этой точке откладывается значение опорной реакции В, в итоге в конечном сечении балки поперечные силы условно равны нулю, как и в начале.
Так как у нас балка на шарнирных опорах, на которую действует только сосредоточенная нагрузка, то значения моментов на опорах равны нулю, как мы и определили ранее. На эпюре моментов в точке приложения сосредоточенной нагрузки откладываем вниз значение максимального момента. Соединяем эти точки прямыми линиями, как показано на рисунке.
Примечание: откладывать значение момента можно и вверх, как это принято у конструкторов машин и механизмов, принципиального значения это не имеет. Просто у строителей принято строить эпюры моментов на растянутой стороне сечения.
На эпюре углов поворота в точке А откладываем значение начального угла поворота, в точке В — значение конечного угла поворота. Соединяем эти точки квадратной параболой так, чтобы она проходила через точку, расположенную на расстоянии 2.156 м от начала координат.
На эпюре углов поворота откладываем значение максимального прогиба на расстоянии 2.156 м от начала координат. Проводим кубическую параболу через точку А, точку максимального прогиба и точку В. Если с этим возникают проблемы, то можно вычислить значения и прогибов и углов поворота для любых других поперечных сечений балки.
Вот собственно и весь расчет.
Пример расчета балки на изгиб
Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой двухопорной балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [ σ ]=160 МПа и [ τ ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]= l/400
Определение опорных реакций
Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь
А также в нашем видеоуроке:
Построение эпюр Q и М
По этим данным построены эпюры Q и М.
Подбор сечения двутавровой балки
Так как Мmах = 45 кНм, то
По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см 3 , Ix= 3460 см 4 , Smax = 163 см 3 , h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h = h-2t = 22,1 см.
Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.
Проверка сечения балки по касательным напряжениям
Так как Qmax = 68 кН, то
Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:
В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:
Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1
Проверка прочности балки по главным напряжениям
Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ 1=118 МПа и σ 3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ 1 — σ 3≤ [ σ ].
Так как 118 — ( -16) = 134 θ
откуда θ = -8,48∙10 -3 радиан.
Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.
Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.
Для заданной балки двутаврового сечения ( = 210 МПа, Е = 2 х 10 5 МПа) и нагрузок требуется;
1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. Определить нормальные и касательные напряжения в сечениях с наибольшим моментом и поперечной силой на расстоянии h/4 от нейтральной оси;
3. Определить прогиб конца балки точки В.
При построении эпюр Q и М необходимо соблюдать правило знаков. Положительное направление сил показано на схеме.
1. Определяем опорные реакции
2. Методом сечений определяем ординаты поперечной силы в характерных сечениях. Для этого балку разбиваем на два участка. Границы участков – места изменения нагрузки. Построение эпюры начинаем с правого свободного конца балки.
Максимум изгибавшего момента находится в сечении, где поперечная сила равна нулю. Положение этого сечения определяем из условия:
3. Методом сечений определяем изгибающие моменты в характерных сечениях и строим эпюру моментов. Экстремум в т. х = 2 м.
Наиболее нагруженным сечением в балке является сечение А у заделки, где Мmax = 120 кН м, Qmах = – 80 кН.
4. Из условий прочности по нормальным напряжениям определяем требуемый момент сопротивления сечения.
По сортаменту ГОСТ 8509-72 принимаем двутавр № 33.
Максимальные напряжения в опасном сечении будут равны
5. Определяем нормальное напряжение в точке Е сечения на расстоянии h/4 = 8,25 см от нейтральной оси (рис. 4.9.).
Для определения касательного напряжения в точке Е вычислим статический момент отсеченной выше точки Е площади относительно центральной оси Х.
6. Определяем прогиб балки в точке В, используя универсальное уравнение прогибов
Для заданной консольной балки граничные условия будут: угол поворота сечения А ; прогиб сечения А
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9122 – | 7289 – или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.
Что такое прогиб балки?
Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).
Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.
ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.
Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.
Метод начальных параметров
Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)
Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:
- в опорах прогибы равны нулю;
- в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.
Расчет прогибов балки
Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:
Реакции опор
Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.
Система координат
Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):
Распределенная нагрузка
Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.
Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:
То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:
Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.
Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:
Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:
Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:
Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:
Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:
Учет внешней нагрузки
И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. < 3 >>< 6 >]
- Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:
Формулы прогибов
С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:
В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.
Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:
Выражаем угол поворота:
Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:
Вычисление прогиба
Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:
Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.
| Однопролетные балки на двух шарнирных опорах | ||
| 1 | Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 2 | Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках | Смотреть расчет |
| 3 | Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 4 | Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 5 | Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента | Смотреть расчет |
| Балки с жестким защемлением на двух опорах | ||
| 6 | Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 7 | Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках | Смотреть расчет |
| 8 | Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 9 | Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 10 | Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента | Смотреть расчет |
| Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные) | ||
| 11 | Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 12 | Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 13 | Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке | Смотреть расчет |
| 14 | Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента | Смотреть расчет |
| Балки двухпролетные | ||
| 15 | Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке | Смотреть |
| 16 | Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузках | Смотреть |
| 17 | Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке | Смотреть |
| 18 | Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке | Смотреть |
| 19 | Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке | Смотреть |
1.5. Пример расчета прокатной балки
1.5.1. Материалы для прокатной балки
Согласно табл. 50 [4] ригель многоэтажного промышленного здания относится ко второй группе конструкций. По табл. 53 [4] для конструкций второй группы может быть использована сталь марки С235.
Расчетное сопротивление для первой группы предельных состояний для фасонного проката при толщине полок от 11 до 20 мм Ry = 230 МПа. Модуль упругости для всех строительных сталей одинаковый Е = 2,1 ∙ 105 МПа.
1.5.2 Предварительный подбор сечения прокатной балки
Расчетная схема конструкции – разрезная балка (рис. ), загруженная равномерно распределенной нагрузкой от плит перекрытия.
Расчетный пролет балки при опирании ее на консоли колонн
lo = l – hcol – с/2 = 7,2 – 0,4 – 0,475/2 = 6,56 м
где l – шаг колонн в поперечном направлении;
hcol – размер поперечного сечения колонн;
0,04 – зазор на свободную укладку ригеля на консоли колонн.
Вычисляем расчетную нагрузку на 1м длины ригеля. Подсчет нагрузок на 1м2 перекрытия приведен в табл.1.
Ширина грузовой полосы, с которой нагрузка передается от плит на ригель, равна шагу колонн в продольном направлении здания 5,6 м.
Расчетные нагрузки на ригель для расчета по первой группе предельных состояний (табл.1):
– постоянная нагрузка
q = 4,5 ∙ 5,6 = 25,2 кН/м
– временная нагрузка
ν = 9,0 ∙ 5,6 = 50,4 кН/м
Итого, с учетом коэффициента надежности по назначению здания γn = 1,0:
– расчетная нагрузка для расчета по второй группе предельных состояний
q = (25,2 + 50,4) ∙ 1,0 = 75,6 кН/м
Расчетные усилия:
– изгибающий момент для расчетов по первой группе:
кН ∙ м
14
1.5.2.1. Расчет прочности ригеля.
Требуемый момент сопротивления
где γc = 1 – коэффициент условий работы металлических конструкций в промышленных зданиях [4, табл.6].
По сортаменту [1, приложение 10] подбираем требуемый номер двутавра (№55), Wх = 2035 см3 > Wmp = 1768 см3 , момент инерции Iх = 55962 см4, масса единицы длины прокатного двутавра – 926 Н/м.
1.5.2.2. Расчет ригеля по второй группе предельных состояний.
Расчётные нарузки на ригель для расчёта по второй группе предельных состояий:
Нагрузка от веса панели и пола 4,0 ∙ 5,6 =22,4 кН/м.
Нагрузка от собственного веса ригеля 0,926 кН/м.
— постоянная нагрузка gn =22,4 + 0,926 = 23,326 кН/м;
— временная нагрузка νn=7,5 · 5,6 = 42,0 кН/м.
q = (23,326 + 42,0)∙1 = 65,326кН/м.
Расчетный изгибающий момент для расчетов по второй группе:
Проверяем достаточность высоты подобранной балки по формуле 7.1 [6].
Для балок междуэтажных перекрытий отношение допустимого прогиба fu к пролету балки lо не должно превышать fu =
Следовательно, fu = 16,4 мм.
Расчетный прогиб балки в середине пролета будет равен
13,4 мм < 16,4мм
Следовательно, высота подобранной балки достаточна.
15
Расчет балки на прочность, примеры расчетов металлоконструкций на изгиб, жесткости стальных конструкций
Подбор и проверка металлических конструкций в ПК ЛИРА 10.4 имеет ряд преимуществ и особенностей. Разберем подробно тонкости расчёта конструирования металлических конструкций.
В ПК ЛИРА 10.4 реализована функция автоматического определения характера работы элемента. В процессе расчёта производится внутрипрограммный выбор характера работы элементов стальных конструкций (центральное растяжение-сжатие; сжатие-растяжение с изгибом вокруг одной или двух главных осей; изгиб в одном или в двух главных направлениях). Данная функция программы освобождает пользователя от анализа работы элемента и, таким образом, снижает вероятность допущения ошибки, поскольку один и тот же элемент при различных комбинациях загружений может работать по-разному. Выбор производится в зависимости от соотношения действующих в рассматриваемом сечении усилий, которое определяется величиной относительного или приведенного относительного эксцентриситета (таблица 1).
Таблица 1.
В настоящей версии программы выполняются следующие проверки стальных конструкций, в качестве нормативного документа будем рассматривать СП 16.13330.2011.
Первое предельное состояние
Прочность
Таблица 2.
- Прочность по нормальным напряжениям может проверяться с учётом, или без учёта развития пластических деформаций. Возможность учёта развития пластических деформаций задаётя пользователем в параметрах конструирования. При этом можно руководствоваться разд. 8.1. Следует отметить, что в настоящей редакции СП 16.13330.2011, в связи с отсутствием коэффициентов учёта пластики для полного пластического шарнира, конструкции 3 класса по виду напряжённого состояния (полный пластический шарнир) считаются так же, как и конструкции 2 класса (ограниченное развитие пластики).
- проверка 1 – с учетом развития пластических деформаций;
- проверка 2 – без учета развития пластических деформаций.
Если прочность по проверке 1 обеспечивается, а по проверке 2 – нет, то элемент в данном сечении действительно работает с учетом развития пластических деформаций. И только в этом случае производится учет пластики в дальнейших проверках устойчивости и местной устойчивости.
Формулы для проверки прочности по нормальным напряжениям, указанные в таблице 2 и используемые в программе, учитывают все составляющие усилий в рассматриваемом сечении.
- Прочность по касательным напряжениям проверяется по формулам (42) в основе которых лежит формула Журавского.
- Прочность по приведенным напряжениям (совместное действие нормальных и касательных напряжений) проверяется по формулам теории прочности (44).
Общая устойчивость
Таблица 3.
| Проверки общей устойчивости | Обозначение | Формулы проверок |
| СП 16.13330.2011 | ||
| Устойчивость плоской формы изгиба | | (70) – без учёта стеснённого кручения. |
| Устойчивость по изгибной форме | | (109), (120), (121) |
| Устойчивость по изгибно-крутильной форме | | (111) |
| Устойчивость стержней, подверженных сжатию и изгибу в двух главных плоскостях | | (116) |
- Устойчивость плоской формы изгиба
Проверка устойчивости плоской формы изгиба (по φb) производится для открытых профилей следующих типов: двутавр симметричный, двутавр несимметричный, тавр, швеллер, а также для полосы. При определении коэффициента устойчивости при изгибе φb используется расчётная длина lef b, которая задаётся пользователем по указаниям пунктов 8.4.2 и часто равна расчётной длине элемента в плоскости минимальной жёсткости. Коэффициент φb определяется в соответствии с указаниями приложения Ж. Все задаваемые исходные данные соответствуют таблицам указанных приложений. Если заранее известно, что для рассматриваемого конструктивного элемента такая проверка не понадобится или вид нагрузки и загруженный пояс определить невозможно (например, колонна каркаса здания), рекомендуется для симметричных двутавров и швеллеров задать балочную схему работы, два и более боковых закреплений, а для несимметричных двутавров и тавров задать вид нагрузки, вызывающий чистый изгиб.
Для сечений из несимметричных двутавров или тавров в программе отсутствует проверка устойчивости плоской формы изгиба для консолей, по причине отсутствия указаний для такой проверки консолей в действующих нормах.
Поскольку для сечений из полосы в нормах отсутствуют указания для проверки устойчивости плоской формы изгиба, в программе определение коэффициента устойчивости при изгибе φb производится по формулам (Ж.1), (Ж.2).
- Устойчивость по изгибной форме.
Важным вопросом при выполнении этой проверки является определение расчётных длин элементов. Расчётные длины задаются пользователем. При этом он может руководствоваться разделом 10, или специальной литературой (например, С. Д. Лейтес «Справочник по определению свободных длин элементов стальных конструкций», Москва, 1963 г).
Для сечений из одиночного уголка пользователь должен задать радиус инерции, используемый для данной проверки. При этом следует руководствоваться п. 10.1.4, 10.2.2 и 10.2.3.
Следует отметить, что в соответствии со всеми рассматриваемыми нормами коэффициент продольного изгиба при внецентренном сжатии не может быть больше коэффициента продольного изгиба при центральном сжатии (см. примечание п. 2 к таблице коэффициентов в рассматриваемых нормах). Поэтому проверка устойчивости центрально сжатых элементов рассматривается как частный случай проверки устойчивости по изгибной форме сжато-изогнутых элементов.
Для коробчатых сечений и для сечений из сплошного прямоугольника (полосы) обозначение соответствует проверке по формулам (121), соответственно обозначение – по формулам (120).
Для сечения из одиночного швеллера при наличии изгиба в плоскости большей жёсткости значения коэффициента формы сечения принимаются как для симметричного двутавра, о чём выводится соответствующее предупреждение.
Для несимметричных двутавров общего вида с произвольным соотношением площадей большей и меньшей полок, в нормах отсутствуют значения коэффициента формы сечения
. В программе коэффициент определяется с помощью кубической интерполяции между приведенными в нормах типами сечений. Параметром для интерполяции служит коэффициент (осевой коэффициент асимметрии несимметричного двутавра), где Afc и Аft соответственно площадь сжатой и растянутой полки.
В программе определяется значение коэффициента для каждого из перечисленных типов сечений, после чего между этими данными производится кубическая интерполяция по фактическому значению аk рассматриваемого профиля. Об этом выводится соответствующее предупреждение.
Для сечений из круглой трубы или сплошного круглого сечения при проверке устойчивости по изгибной форме:
- Устойчивость по изгибно-крутильной форме
Проверка производится по формулам (111.
Для сечения из одиночного швеллера при наличии изгиба в плоскости большей жёсткости значения коэффициентов α и β принимаются как для симметричного двутавра, о чём выводится соответствующее предупреждение.
При относительных эксцентриситетах в плоскости большей жёсткости параметр с определяется по формуле (43) полученной из условия (имеется в виду, что плоскость большей жёсткости X10Z1). При этом, в соответствии с указаниями п. 9.2.4 [9.11коэффициент φb, входящий в эту формулу определяется как для балки с двумя и более боковыми закреплениями, независимо от заданных пользователем.
Программой предусмотрена проверка устойчивости также и для растянуто-изогнутых элементов. Проверка производится на основании формулы
(1)
Сила растяжения в этом случае оказывает разгружающее действие, но это не гарантирует устойчивость сжатого пояса элемента.
Для сечения из полосы в нормах нет указаний для проверки устойчивости по изгибно-крутильной форме. Коэффициент с к формуле (111) определяется по формуле (2), полученной из условия (3
)
(2)
(3)
При проверке местной устойчивости стенок учёт локальных напряжений не предусмотрен. Предполагается также отсутствие продольных рёбер жёсткости. Наличие и шаг поперечных рёбер жёсткости задаёт пользователь, руководствуясь п. 8.5.9, п. 9.4.4. Для изгибаемых элементов отсутствие поперечных рёбер жёсткости приводит к увеличению толщины стенки, которая в этом случае проверяется из условия по требованию п. 8.5.9. В то же время программа не контролирует необходимость постановки поперечных рёбер жёсткости для сжатых и сжато-изогнутых элементов по п. 9.4.4, поскольку эти требования являются конструктивными и не влияют на расчёт.
При проверке местной устойчивости коробчатых сечений, в общем случае, при наличии изгибающих моментов в обоих главных направлениях (Му ≠ 0, Мz ≠ 0), необходимо определить, какие из граней коробки считать стенками, а какие полками.
Таблица 4.
Второе предельное состояние
Прогибы
Прогибы элементов или конструктивных элементов проверяются в направлении их локальных осей Y1 и Z1. Необходимость такой проверки при подборе или проверке стальных конструкций задаётся пользователем на основании приложения Е СП 20.13330.2011 или других нормативных документов. При этом используются нормативные (эксплуатационные) значения постоянных нагрузок и длительные нагрузки, или длительно действующая часть кратковременных нагрузок со своими коэффициентами сочетаний. Такой подход справедлив для конструкций, загруженных постоянными, полезными, снеговыми и другими нагрузками, имеющими длительно действующую часть. К таким конструкциям относятся, например, стропильные балки, ригели покрытия, прогоны покрытия, балки и ригели перекрытий, балки рабочих и обслуживающих площадок, лестничные косоуры и марши, балки балконов и лоджий. Опоры конструктивных элементов (места, где прогибы принимаются равными нулю) задаются с помощью раскреплений. Если заданы раскрепления конструктивного элемента, то его прогиб считается относительно прямой линии, соединяющей эти раскрепления. При отсутствии раскреплений принимается полное перемещение сечений конструктивного элемента в составе расчётной схемы. Необходимость задания раскреплений определяет пользователь. Следует обратить внимание, что в режиме подбора сечения конструктивного элемента принято, что величина его прогиба изменяется обратно пропорционально изгибной жёсткости ЕI рассматриваемого конструктивного элемента и не учитывает перемещение других элементов расчётной схемы. Если при наличии раскреплений это предположение справедливо, то при их отсутствии такой подход может привести к неправильному результату. Поэтому в случае обоснованного отсутствия раскреплений окончательный расчёт сечений должен быть выполнен в режиме проверки.
Предельно допустимые прогибы задаются пользователем. При этом в каждом из направлений он может задать как величину прогиба в миллиметрах или в долях пролёта, так и автоматический выбор предельного прогиба по п. 2 таблицы Е.1 СП 20.13330.2011.
Для конструкций, у которых ограничены горизонтальные прогибы и перемещения от ветра по п. Е.2.4.1, Е.2.4.3, Е.2.4.4 СП 20.13330.2011 следует выполнить дополнительную проверку таких прогибов по локальным эпюрам перемещений, либо проверку горизонтальных перемещений соответствующих узлов от нормативных (эксплуатационных) значений ветровых нагрузок. К таким конструкциям относятся, например, колонны каркаса, стойки фахверка, ригели фахверка, опоры конвейерных галерей.
Проверку прогибов сложных стержневых систем, например, стропильных ферм или структурных блоков покрытия, следует выполнять по перемещениям характерных узлов в различных комбинациях загружений (с помощью РСН).
Гибкость
Необходимость такой проверки задаётся пользователем. Проверка гибкости конструктивных элементов производится на основании п. 10.4.1, 10.4.2 СП 16.13330.2011. Величину предельно допустимой гибкости задаёт пользователь. При этом он может задать требуемую величину сам, либо воспользоваться подсказкой программы, выбрав нужную строку из предлагаемых таблиц действующих норм.
Следите за нашими новостями и задавайте вопросы на форуме.
Пример расчета железобетонной балки с расчетной арматурой в сжатой области сечения
Проектируется ж/б балка с шарнирным опиранием на концах, прямоугольного сечения с высотой h = 20 см и шириной b = 10 см, длина балки l = 4 м, расчетная линейная нагрузка q = 4000 кг/м. Максимальный изгибающий момент, действующий на балку, составляет М = ql2/8 = 1000·42/8 = 2000 кгм или 200000 кгсм. Расстояние а от центра поперечного сечения растянутой арматуры до низа балки примем равным а = 3 см. Тогда ho = 17 см. Для упрощения расчетов примем значение a’ = 3 см. Расчетное сопротивление растяжению для арматуры класса А400 (раньше обозначалась как АIII) согласно таблице 7 Rs = 3600 кгс/см2 (355 МПа). Расчетное сопротивление сжатию для бетона класса В20 согласно таблице 4 Rb = 117кгс/см2 (11.5 МПа).
Сначала определим с помощью формулы (220.6.6) значение коэффициента аm, пока только для определения необходимости арматуры в сжатой зоне:
am = М/(Rbbh2o) 2000/(0.1·0.172·1170000) = 0.5915
Примечание: если момент подставляется в кг·м, то и размеры поперечного сечения тоже удобно подставлять в метрах, значение расчетного сопротивления также было приведено к кг/м2для соблюдения размерности.
Полученное значение больше предельного для данного класса арматуры согласно таблицы 1 (0.5915 > 0.39/1.2 = 0.325), тогда согласно формулы (282.3) требуемая площадь сечения сжатой арматуры:
A’s = (2000 — 0.325·1170000·0.1·0.172) / (36000000·0.14) = 0.000178 м2. или 1.78 см2
Для армирования сечения в сжатой зоне достаточно 2 стержней диаметром 12 мм площадью сечения 2.26 см2. Тогда
As = 0.531·117·10·17/3600 + 2.26 = 2.933 + 2.26 = 5.19 см2
Таким образом для армирования балки в растянутой зоне можно использовать 2 стержня диаметром 20 мм. Площадь сечения арматуры в растянутой области сечения составит 6.28 см2. Подбор сечения арматуры удобно производить по представленной ниже таблице 2:
Таблица 2. Площади поперечных сечений и масса арматурных стержней.
Теперь определим значение высоты сжатой зоны, согласно формулы (281.5)
у = 3600(6.28 — 2.26) / (117·10) = 12.37 см
ξ = 12.37 / 17 = 0.73 > ξR = 0.531, значит для проверки прочности нужно использовать формулу (281.5.3).
0.325·117·10·172 + 3600·2.26 (17 — 3) = 223796.2 кгсм > М = 200000 кгсм
Таким образом необходимое требование по прочности нами соблюдено.
Если произвести расчет без заниженных значений, то получим
A’s = (2000 — 0.39·1170000·0.1·0.172) / (36000000·0.14) = 0.000135 м2 или 1.35 см2
Тогда для армирования сечения в сжатой зоне достаточно 2 стержней диаметром 10 мм площадью сечения 1.57 см2.
As = 0.531·117·10·17/3600 + 1.57 = 2.933 + 1.57 = 4.56 см2
Тогда для армирования балки в растянутой зоне можно использовать 2 стержня диаметром 18 мм. Площадь сечения арматуры в растянутой области сечения составит 5.09 см2.
Теперь определим значение высоты сжатой зоны, согласно формулы (281.5)
у = 3600(5.09 — 1.35) / (117·10) = 11.5 см
ξ = 11.5 / 17 = 0.68 > ξR = 0.531, такое сечение также проходит проверку на прочность:
0.39·117·10·172 + 3600·1.53 (17 — 3) = 208982.7 кгсм > М = 200000 кгсм
но запас уже явно меньше.
Для защиты арматуры в сжатой зоне от вспучивания следует использовать поперечное армирование стержнями диаметром не менее 5 мм, устанавливаемыми на расстоянии не более 15d = 15·10 = 150 мм, если будут использоваться вязаные хомуты, или на расстоянии не более 20d = 200 мм, если поперечная арматура будет привариваться. Больше подробностей в статье «Особенности конструирования сжатых железобетонных элементов».
Какой из вариантов вам ближе, решайте сами. Как обеспечить требуемый класс бетона при бетонировании — отдельный вопрос. Остается только добавить, что в данном случае у нас превышено рекомендуемое значение процента армирования для балок (3% > 2%), но именно поэтому нам и понадобилась арматура в сжатой зоне.
Пример расчета балки на ударную нагрузку
Обучение и техническая поддержка для проектировщика на Prof-il.ru
Расчет балки на ударную нагрузку
Данные:
Шарнирно закрепленная деревянная балка перекрытия длиной L = 410 см (4,1 м.) сечением 20 (h) х 15 (b) см.
С высоты 60 см падает груз весом P = 40 кг.
Требуется определить прочность деревянной балки при ударной нагрузке.
Решение:
1) Момент инерции поперечного сечения I = bh^3/12 = 15*20^3 / 12 = 15*8000 / 12 = 10000 см^4
2) Модуль упругости древесины при расчете по предельным состояниям второй группы (следует принимать равным: вдоль волокон
Е = 10000 МПа = 101972 кгс/см^2; поперек волокон 400 МПа.3
Вывод: балка не проходит при ударной нагрузке.
Статья дана для справки!
© PROF-IL.RU 2016 — | При использовании материалов сайта, пожалуйста, указывайте ссылку https://prof-il.ru | Информация на сайте не является публичной офертой. | Обо всех замеченных ошибках при работе сайта просьба сообщать при помощи формы обратной связи. | Настоящий ресурс может содержать материалы 18+
Компьютерная версия сайта
Напряжение и отклонение балки | MechaniCalc
ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.
Многие конструкции можно представить как прямую балку или как набор прямых балок. По этой причине анализ напряжений и прогибов в балке является важной и полезной темой.
В этом разделе рассматриваются поперечная сила и изгибающий момент в балках, диаграммы сдвига и момента, напряжения в балках и таблица общих формул прогиба балок.
Содержание
Ограничения и граничные условия
Чтобы балка оставалась в статическом равновесии при приложении к ней внешних нагрузок, балка должна быть закреплена. Ограничения определяются в отдельных точках вдоль балки, а граничное условие в этой точке определяет характер ограничения. Граничное условие указывает, является ли балка фиксированной (удерживаемой от движения) или свободной для движения в каждом направлении.Для двумерного луча интересующими направлениями являются направление x (осевое направление), направление y (поперечное направление) и вращение. Чтобы ограничение существовало в точке, граничное условие должно указывать, что в этой точке зафиксировано хотя бы одно направление.
Общие граничные условия показаны в таблице ниже. Для каждого граничного условия в таблице указано, является ли балка фиксированной или свободной в каждом направлении в точке, где определено граничное условие.
| Граничное условие | Направление | ||
|---|---|---|---|
| Осевой (X) | Поперечный (Y) | Вращение | |
| Свободно | Свободно | Свободно | Свободно |
| Фиксированное | Фиксированное | Фиксированное | Фиксированное | Штифтовое | Фиксированный | Фиксированный | Свободно |
| Направляемый по X | Свободно | Фиксированный | Фиксированный |
| Направляемый по Y | Фиксированный | Свободно | Фиксированный |
| Ролик по X | Свободно | Фиксированный | Свободный |
| Ролик по оси Y | Фиксированный | Свободный | Свободный |
Если граничное условие указывает, что балка зафиксирована в определенном направлении, тогда в месте граничного условия может существовать внешняя реакция в этом направлении.Например, если балка закреплена в направлении y в определенной точке, тогда в этой точке может развиться внешняя поперечная сила реакции (y). Аналогичным образом, если балка зафиксирована от вращения в определенной точке, то в этой точке может возникнуть внешний реакционный момент.
Основываясь на приведенном выше обсуждении, мы можем видеть, что фиксированное граничное условие может создавать осевые и поперечные силы реакции, а также момент. Точно так же мы видим, что закрепленное граничное условие может развивать осевые и поперечные силы реакции, но не может развивать момент реакции.
Обратите внимание на граничное условие Free в таблице выше. Это граничное условие указывает, что луч может свободно перемещаться во всех направлениях в этой точке (т. Е. Он не зафиксирован и не ограничен в каком-либо направлении). Следовательно, на данный момент ограничения не существует. Это подчеркивает тонкую разницу между ограничением и граничным условием. Граничное условие указывает фиксированное / свободное состояние в каждом направлении в определенной точке, а ограничение — это граничное условие, в котором фиксируется по крайней мере одно направление.
Сила сдвига и изгибающий момент
Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при каждом ограничении. Например, консольная балка ниже имеет приложенную силу, показанную красной стрелкой, а реакции показаны синими стрелками при фиксированном граничном условии.
Внешние реакции должны уравновешивать приложенные нагрузки таким образом, чтобы балка находилась в статическом равновесии.После того, как внешние реакции решены, сделайте разрезы секций по длине балки и решите внутренние реакции на каждом разрезе секции. (Силы реакции и моменты в разрезах секции называются внутренними реакциями, поскольку они являются внутренними по отношению к балке.) Пример разреза разреза показан на рисунке ниже:
Когда балка разрезается по сечению, при решении внутренних реакций можно учитывать любую сторону балки. Выбранная сторона не влияет на результаты, поэтому выберите наиболее легкую.На рисунке выше выбрана сторона балки справа от разреза. Выбранная сторона отображается как синяя секция балки, а секция, показанная серым, игнорируется. Внутренние реакции на разрезе показаны синими стрелками. Реакции рассчитываются таким образом, чтобы рассматриваемое сечение балки находилось в статическом равновесии.
Конвенция о знаках
Знаки сдвига и момента важны. Знак определяется после того, как сделан разрез и решены реакции для части балки на одной стороне разреза.Сила сдвига в разрезе секции считается положительной, если она вызывает вращение выбранной секции балки по часовой стрелке, и считается отрицательной, если вызывает вращение против часовой стрелки. Изгибающий момент в разрезе секции считается положительным, если он сжимает верхнюю часть балки и удлиняет ее нижнюю часть (т. Е. Если он заставляет балку «улыбаться»).
Исходя из этого соглашения о знаках, поперечная сила в разрезе секции для примера консольной балки на рисунке выше является положительной, поскольку она вызывает вращение выбранной секции по часовой стрелке.Момент отрицательный, поскольку он сжимает нижнюю часть балки и удлиняет верхнюю часть (т. Е. Заставляет балку «хмуриться»).
На рисунке ниже показаны стандартные условные обозначения для поперечной силы и изгибающего момента. Силы и моменты слева положительны, а справа — отрицательны.
Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.
- Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
- Строит диаграммы сдвига и момента
- Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил
Диаграммы сдвига и момента
Сила сдвига и изгибающий момент в балке обычно выражаются диаграммами.Диаграмма сдвига показывает поперечную силу по длине балки, а диаграмма моментов показывает изгибающий момент по длине балки. Эти диаграммы обычно показаны сложенными друг на друга, и комбинация этих двух диаграмм представляет собой диаграмму момента сдвига. Диаграммы момента сдвига для некоторых общих конечных условий и конфигураций нагрузки показаны в таблицах прогиба балок в конце этой страницы. Пример диаграммы момента сдвига показан на следующем рисунке:
Общие правила построения диаграмм момента сдвига приведены в таблице ниже.Все правила в этой таблице показаны на рисунке выше.
| Диаграмма сдвига | Схема моментов |
|---|---|
|
|
Напряжения изгиба в балках
Изгибающий момент M по длине балки можно определить по диаграмме моментов.Изгибающий момент в любом месте балки затем можно использовать для расчета изгибающего напряжения по поперечному сечению балки в этом месте. Изгибающий момент изменяется по высоте поперечного сечения в соответствии с формулой изгиба , приведенной ниже:
где M — изгибающий момент в интересующем месте по длине балки, I c — центроидный момент инерции поперечного сечения балки, а y — расстояние от нейтральной оси балки до интересующей точки по высоте. поперечного сечения.Отрицательный знак указывает, что положительный момент приведет к сжимающему напряжению выше нейтральной оси.
Напряжение изгиба равно нулю на нейтральной оси балки, которая совпадает с центром тяжести поперечного сечения балки. Напряжение изгиба линейно увеличивается от нейтральной оси до максимальных значений на крайних волокнах вверху и внизу балки.
Максимальное напряжение изгиба возникает в крайнем волокне балки и рассчитывается как:
где c — центроидное расстояние поперечного сечения (расстояние от центроида до крайнего волокна).
Если балка асимметрична относительно нейтральной оси, так что расстояния от нейтральной оси до верха и низа балки не равны, максимальное напряжение будет возникать в самом дальнем от нейтральной оси месте. На рисунке ниже растягивающее напряжение в верхней части балки больше, чем сжимающее напряжение в нижней части.
Модуль упругости поперечного сечения объединяет центроидный момент инерции I c и межцентровое расстояние c:
Преимущество модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление сечения изгибу одним термином.Модуль сечения можно подставить в формулу изгиба для расчета максимального напряжения изгиба в поперечном сечении:
Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.
- Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
- Строит диаграммы сдвига и момента
- Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил
Напряжения сдвига в балках
Сила сдвига V по длине балки может быть определена из диаграммы сдвига.Сила сдвига в любом месте вдоль балки затем может использоваться для расчета напряжения сдвига по поперечному сечению балки в этом месте. Среднее напряжение сдвига по поперечному сечению определяется как:
Напряжение сдвига меняется по высоте поперечного сечения, как показано на рисунке ниже:
Напряжение сдвига равно нулю на свободных поверхностях (вверху и внизу балки) и максимально в центре тяжести. Уравнение для касательного напряжения в любой точке, расположенной на расстоянии y 1 от центра тяжести поперечного сечения, определяется следующим образом:
где V — поперечная сила, действующая в месте поперечного сечения, I c — центроидный момент инерции поперечного сечения, а b — ширина поперечного сечения.Все эти термины являются константами. Член Q — это первый момент области, ограниченной интересующей точкой и крайним волокном поперечного сечения:
Напряжения сдвига для нескольких общих поперечных сечений обсуждаются в следующих разделах.
Напряжения сдвига в прямоугольном сечении
Распределение касательного напряжения по высоте прямоугольного поперечного сечения показано на рисунке ниже:
Первый момент площади в любой заданной точке y 1 по высоте поперечного сечения вычисляется по формуле:
Максимальное значение Q приходится на нейтральную ось балки (где y 1 = 0):
Напряжение сдвига в любой заданной точке y 1 по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:
где I c = b · h 3 /12 — центроидный момент инерции поперечного сечения.Максимальное напряжение сдвига возникает на нейтральной оси балки и рассчитывается по формуле:
где A = b · h — площадь поперечного сечения.
Из предыдущего уравнения видно, что максимальное напряжение сдвига в поперечном сечении на 50% превышает среднее напряжение V / A.
Напряжения сдвига в круглых сечениях
Круглое поперечное сечение показано на рисунке ниже:
Уравнения для касательного напряжения в балке были получены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки является постоянным.Это предположение справедливо в центре тяжести кругового поперечного сечения, хотя нигде больше не действует. Следовательно, хотя распределение напряжения сдвига по высоте поперечного сечения не может быть легко определено, максимальное напряжение сдвига в сечении (возникающее в центре тяжести) все же может быть вычислено. Максимальное значение первого момента Q, возникающего в центроиде, определяется как:
Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:
где b = 2r — диаметр (ширина) поперечного сечения, I c = πr 4 /4 — центроидный момент инерции, а A = πr 2 — площадь поперечного сечения.
Напряжения сдвига в круглых сечениях трубы
Круглое поперечное сечение трубы показано на рисунке ниже:
Максимальное значение первого момента Q, возникающего в центроиде, определяется как:
Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:
где b = 2 (r o — r i ) — эффективная ширина поперечного сечения, I c = π (r o 4 — r i 4 ) / 4 — центроидный момент инерции, а A = π (r o 2 — r i 2 ) — площадь поперечного сечения.
Напряжения сдвига в двутавровых балках
Распределение напряжения сдвига вдоль стенки двутавровой балки показано на рисунке ниже:
Уравнения для касательного напряжения в балке были получены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки является постоянным. Это предположение справедливо для стенки двутавровой балки, но недопустимо для полок (особенно там, где стенка пересекает полки). Однако стенка двутавровой балки принимает на себя подавляющую часть усилия сдвига (примерно 90% — 98%, согласно Гиру), и поэтому можно консервативно предположить, что стенка несет всю силу сдвига.
Первый момент площади перемычки двутавровой балки определяется как:
Напряжение сдвига вдоль стенки двутавровой балки определяется по формуле:
где t w — толщина стенки, а I c — центроидный момент инерции двутавровой балки:
Максимальное значение напряжения сдвига возникает на нейтральной оси (y 1 & равно; 0), а минимальное значение напряжения сдвига в полотне возникает на внешних волокнах полотна, где оно пересекает фланцы y 1 & equals; & pm; h w /2):
Ознакомьтесь с нашим калькулятором балок, основанным на методике, описанной здесь.
- Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
- Строит диаграммы сдвига и момента
- Может указывать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил
Таблицы прогиба балки
В таблицах ниже приведены уравнения прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных конечных условий и нагрузок. Вы можете найти исчерпывающие таблицы в таких источниках, как Гир, Линдебург и Шигли.Однако приведенные ниже таблицы охватывают большинство распространенных случаев.
Консольные балки
Балки с простой опорой
Фиксированные неподвижные балки
Подпишитесь, чтобы получать обновления о последних улучшениях:
Список литературы
- Будинас-Нисбетт, «Машиностроительный проект Шигли», 8-е изд.
- Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
- Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.
- «Руководство по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.
Бесплатный калькулятор луча | ClearCalcs
Как использовать бесплатный калькулятор балки
Калькулятор балки ClearCalcs позволяет пользователю ввести геометрию и загрузку балки для анализа за несколько простых шагов.Затем он определяет изгибающий момент, диаграммы сдвига и прогиба, а также максимальные требования, используя мощный механизм анализа методом конечных элементов.
Регистрация учетной записи ClearCalcs откроет дополнительные расширенные функции для проектирования и анализа балок и множества других структурных элементов. ClearCalcs позволяет проектировать из стали, бетона и дерева в соответствии со стандартами Австралии, США и ЕС.
Лист разделен на три основных раздела:
- «Ключевые свойства», где пользователь вводит геометрию выбранного сечения и опор балки.
- «Нагрузки», где можно вводить распределенные, точечные и приложенные моментные нагрузки,
- «Сводка», в котором отображаются основные выходные данные и диаграммы.
Раздел «Комментарии» также включен для того, чтобы пользователь мог оставить какие-либо конкретные примечания по дизайну. Щелчок по любой из меток ввода / свойства дает описательное справочное объяснение.
1. Свойства входного ключа
Свойства балки и сечения задаются путем ввода непосредственно в поля ввода.
Длина балки — это общая длина балки, включая все пролеты балки, в мм или футах.
Модуль Юнга установлен на значение по умолчанию 200 000 МПа или 29 000 фунтов на квадратный дюйм для конструкционной стали, но может быть изменен пользователем.
Площадь поперечного сечения зависит от выбранного сечения балки и по умолчанию соответствует значениям для обычной стальной балки.
Второй момент области (или момент инерции) также зависит от выбранного сечения балки и снова по умолчанию соответствует свойствам обычной стальной балки.
Свойства E, A и Ix для других секций балки можно получить из библиотеки свойств секций ClearCalcs.Кроме того, вы можете создать свой собственный раздел, используя наш бесплатный калькулятор момента инерции.
Положение опор слева позволяет пользователю вводить любое количество опор и указывать их положение по длине балки. Тип опоры может быть закрепленным (фиксированный в перемещении, свободный поворот) или фиксированным (фиксированный как при перемещении, так и при повороте) и выбирается из раскрывающегося меню. Требуется минимум одна фиксированная опора или две штифтовые опоры.
Вычислитель балки также учитывает пролет консолей на каждом конце, поскольку положение первой опоры не обязательно должно быть равно 0 мм, а положение последней опоры не обязательно должно быть равно длине балки.
Реакции на каждой из опор автоматически обновляются по мере добавления, изменения или удаления опор в зависимости от указанной нагрузки.
2. Входные нагрузки
Калькулятор поддерживает различные типы нагрузок, которые можно применять в комбинации. Каждой загрузке может быть присвоено имя пользователем.
Знаковое обозначение, используемое для нагружения (показаны положительные значения):
Распределенная нагрузка указывается в единицах силы на единицу длины, кН / м или плс, вдоль балки и может применяться между любыми двумя точками.В калькуляторе можно использовать два разных типа:
Равномерная нагрузка имеет постоянную величину по всей длине приложения. Следовательно, начальная и конечная величины, указанные пользователем, должны быть одинаковыми.
Линейные нагрузки имеют разную величину по длине приложения. Различные начальные и конечные величины должны быть указаны пользователем, и они могут использоваться для представления треугольных или трапециевидных нагрузок.
Точечные нагрузки указываются в единицах силы, кН или тысячах фунтов, и площади, приложенной в дискретных точках вдоль балки.Например, они могут представлять реакции других элементов, соединенных с балкой. Пользователь вводит имя, величину и местоположение слева от луча.
В приведенном ниже примере диаграммы из сводного раздела показана двухпролетная неразрезная балка с линейно распределенной нагрузкой на участок и точечной нагрузкой.
3. Выходные данные сводки вычислений
После задания нагрузки и геометрии калькулятор автоматически использует механизм конечно-элементного анализа ClearCalcs для определения моментов, поперечных сил и прогибов.Максимальные значения каждого из них выводятся как «Требуемый момент» , «Требуемый сдвиг» и «Отклонение» вместе с диаграммами по длине балки.
Положительные значения означают отклонение вниз, а отрицательные значения — отклонение вверх. Знаковое соглашение, используемое на диаграммах поперечной силы и изгибающего момента, следующее (показаны положительные значения):
Использование курсора для наведения курсора на любую точку на диаграммах изгибающего момента, поперечной силы или прогиба дает конкретные значения в этом месте вдоль балки.В приведенном ниже примере показаны выходные параметры для двухпролетной неразрезной балки с линейно распределенной коммутационной нагрузкой и точечной нагрузкой.
Расчет напряжения изгиба секции балки
Как рассчитать напряжение изгиба в балках?В этом руководстве мы рассмотрим, как рассчитать изгибающее напряжение балки, используя формулу изгибающего напряжения, которая связывает распределение продольных напряжений в балке с внутренним изгибающим моментом, действующим на поперечное сечение балки. Мы предполагаем, что материал балки линейно-упругий (т.е.е. Применяется закон Гука). Напряжение изгиба важно, и, поскольку изгиб балки часто является определяющим результатом при проектировании балки, это важно понимать.
1. Расчет напряжения изгиба вручнуюДавайте посмотрим на пример. Рассмотрим двутавровую балку, показанную ниже:
На некотором расстоянии по длине балки (ось x) она испытывает внутренний изгибающий момент (M), который обычно можно найти на диаграмме изгибающего момента. Общая формула для изгиба или нормального напряжения в сечении:
Для конкретного сечения балки очевидно, что напряжение изгиба будет максимальным на расстоянии от нейтральной оси (y).Таким образом, максимальное напряжение изгиба будет возникать либо в ВЕРХНЕ, либо в НИЖНЕЙ части секции балки, в зависимости от того, какое расстояние больше:
Давайте рассмотрим реальный пример нашей двутавровой балки, показанной выше. В нашем предыдущем руководстве по моменту инерции мы уже обнаружили, что момент инерции относительно нейтральной оси равен I = 4,74 × 10 8 мм 4 . Кроме того, в учебнике по центроиду мы обнаружили, что центроид и, следовательно, расположение нейтральной оси находятся на расстоянии 216,29 мм от нижней части секции.Это показано ниже:
Очевидно, что очень часто требуется МАКСИМАЛЬНОЕ напряжение изгиба, которое испытывает секция. Например, предположим, что мы знаем из нашей диаграммы изгибающего момента, что балка испытывает максимальный изгибающий момент 50 кН-м или 50 000 Нм (преобразование единиц изгибающего момента).
Затем нам нужно определить, находится ли верх или низ секции дальше всего от нейтральной оси. Ясно, что нижняя часть секции дальше на расстояние c = 216.29 мм. Теперь у нас достаточно информации, чтобы найти максимальное напряжение, используя приведенную выше формулу напряжения изгиба:
Точно так же мы можем найти напряжение изгиба в верхней части секции, поскольку мы знаем, что оно составляет y = 159,71 мм от нейтральной оси (NA):
Последнее, о чем следует беспокоиться, это то, вызывает ли напряжение сжатие или растяжение волокон секции. Если балка прогибается в форме буквы «U», то верхние волокна испытывают сжатие (отрицательное напряжение), а нижние волокна — растяжение (положительное напряжение).Если балка провисает, как перевернутая буква «U», то все наоборот: нижние волокна сжимаются, а верхние — растянуты.
2. Расчет напряжения изгиба с использованием балки SkyCivКонечно, вам не нужно выполнять эти расчеты вручную, потому что вы можете использовать SkyCiv Beam — калькулятор напряжения изгиба, чтобы определить напряжение сдвига и изгиба в балке! Просто начните с моделирования балки с опорами и приложите нагрузки. Как только вы нажмете «Решить», программа покажет максимальные напряжения из этого калькулятора напряжения изгиба.На изображении ниже показан пример двутавровой балки, испытывающей напряжение изгиба:
Начните расчет напряжения изгиба с помощью SkyCiv Beam Calculator:Бесплатный калькулятор луча
Консольная балка | SkyCiv Engineering
Определение консольной балки: что такое консольная балка?Консольные балки — это элементы, которые поддерживаются только в одной точке; обычно с фиксированной поддержкой. Чтобы конструкция была статичной, опора должна быть закреплена; это означает, что он способен поддерживать силы и моменты во всех направлениях.Консольную балку обычно моделируют так:
Хороший пример консольной балки — балкон. Балкон опирается только на один конец, остальная часть балки выходит на открытое пространство; с другой стороны его ничто не поддерживает. Прогиб консольной балкиКонсоли отклоняют больше, чем большинство других типов балок, поскольку они поддерживаются только с одного конца. Это означает, что нагрузка, на которую будет передаваться, меньше поддержки. Прогиб консольной балки можно рассчитать несколькими различными способами, в том числе с использованием упрощенных уравнений консольной балки или вычислителей консольной балки и программного обеспечения (более подробная информация по обоим приведена ниже).
Напряжение консольной балкиНапряжение консоли рассчитывается на основе изгибающей силы и зависит от поперечного сечения балки. Например, если элемент довольно мал, площадь поперечного сечения для распространения силы невелика, поэтому напряжение будет довольно высоким. Напряжение консольной балки можно рассчитать либо из нашего руководства по расчету напряжения балки, либо с помощью программного обеспечения SkyCiv Beam, которое покажет напряжения вашей балки.
Вычислитель консольной балкиЕсть сложная консольная балка? Бесплатный калькулятор консольной балки SkyCiv позволяет моделировать и анализировать сложные балки для расчета прогиба консольной балки и многого другого.
Программа чрезвычайно проста в использовании и не требует установки или загрузки. Добавьте длину стержня, затем примените к консольной балке несколько различных точечных нагрузок, распределенных нагрузок и моментов, чтобы получить силы реакции, диаграмму изгибающего момента, диаграмму силы сдвига и результаты прогиба.
Бесплатный калькулятор луча
Уравнения консольной балки (прогиб)Взято из нашей формулы и страницы уравнения прогиба балки:
Пример уравнения консольной балки можно рассчитать по следующей формуле, где:
- Вт = нагрузка
- L = длина стержня
- E = модуль Юнга
- I = момент инерции балки
Бесплатный калькулятор луча
Балки — поддерживаются с обеих сторон
Напряжение в изгибаемой балке можно выразить как
σ = y M / I (1)
, где
σ = напряжение (Па (Н / м ) 2 ), Н / мм 2 , psi)
y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)
M = изгибающий момент (Нм, фунт дюйм)
I = момент инерции (м 4 , мм 4 , в 4 )
Калькулятор ниже можно использовать для расчета максимального напряжения и прогиба балок с одной одиночной или равномерно распределенной нагрузкой.
Балка, поддерживаемая на обоих концах — равномерная непрерывная распределенная нагрузка
Момент в балке с равномерной нагрузкой, поддерживаемой на обоих концах в положении x, может быть выражен как
M x = qx (L — x) / 2 (2)
где
M x = момент в положении x (Нм, фунт дюйм)
x = расстояние от конца (м, мм, дюйм)
Максимум момент находится в центре балки на расстоянии L / 2 и может быть выражен как
M max = q L 2 /8 (2a)
где
M макс = максимальный момент ( Нм, фунт-дюйм)
q = равномерная нагрузка на единицу длины балки (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)
9058 1 L = длина балки (м, мм, дюйм)
Максимальное напряжение
Уравнения 1 и 2a могут быть объединены для выражения максимального напряжения в балке с равномерной нагрузкой, поддерживаемой на обоих концах на расстоянии L / 2 как
σ max = y max q L 2 / (8 I) (2b)
где
σ max = максимальное напряжение (Па (Н / м 2 ), Н / мм 2 , psi)
y max = расстояние до крайней точки от нейтральной оси (м, мм, дюйм)
- 1 Н / м 2 = 1×10 -6 Н / мм 2 = 1 Па = 1.4504×10 -4 фунтов на кв. Дюйм
- 1 фунт / дюйм (фунт / дюйм 2 ) = 144 фунта на квадратный дюйм (фунт на / фут 2 ) = 6 894,8 Па (Н / м 2 ) = 6,895×10 — 3 Н / мм 2
Максимальный прогиб :
δ max = 5 q L 4 / (384 EI) (2c)
где
2
δ 90 макс = максимальный прогиб (м, мм, дюйм)E = Модуль упругости (Па (Н / м 2 ), Н / мм 2 , psi)
Прогиб в положении x:
δ x = qx ( L 3 — 2 L x 2 + x 3 ) / (24 EI) (2d)
Примечание! — прогиб часто является ограничивающим фактором при проектировании балки.Для некоторых применений балки должны быть прочнее, чем требуется при максимальных нагрузках, чтобы избежать недопустимого прогиба.
Силы, действующие на концы:
R 1 = R 2
= q L / 2 (2e)
где
R = сила реакции (Н, фунт)
Пример — балка с равномерной нагрузкой, метрические единицы
Балка UB 305 x 127 x 42 длиной 5000 мм несет равномерную нагрузку 6 Н / мм .Момент инерции балки составляет 8196 см 4 (81960000 мм 4 ) , а модуль упругости стали, используемой в балке, составляет 200 ГПа (200000 Н / мм 2 ) . Высота балки 300 мм (расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм ).
Максимальное напряжение в балке можно рассчитать
σ max = (150 мм) (6 Н / мм) (5000 мм) 2 / (8 (81960000 мм 4 ))
= 34.3 Н / мм 2
= 34,3 10 6 Н / м 2 (Па)
= 34,3 МПа
Максимальный прогиб балки можно рассчитать
δ макс = 5 (6 Н / мм) (5000 мм) 4 / (( 200000 Н / мм 2 ) ( 81960000 мм 4 ) 384)
= 2,98 мм
Расчет балки с равномерной нагрузкой — метрические единицы
- 1 мм 4 = 10 -4 см 4 = 10 -12 м 4
2 4 22 1 см 4 = 10 -8 м = 10 4 мм - 1 дюйм 4 = 4.16×10 5 мм 4 = 41,6 см 4
- 1 Н / мм 2 = 10 6 Н / м 2 (Па)
Расчет балки равномерной нагрузки — Британские единицы
Пример — балка с равномерной нагрузкой, британские единицы
Максимальное напряжение в стальной широкополочной балке W 12 x 35 дюймов, 100 дюймов длиной , момент инерции 285 дюймов 4 , модуль упругости 2
00 psi
, при равномерной нагрузке 100 фунтов / дюйм можно рассчитать какσ max = y max q L 2 / (8 I)
= (6.25 дюймов (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) 2 / (8 (285 дюймов 4 ))
= 2741 (фунт / дюйм 2 , psi)
Максимальное отклонение может рассчитывается как
δ max = 5 q L 4 / (EI 384)
= 5 (100 фунтов / дюйм) (100 дюймов) 4 / ((2
00 фунтов / дюйм
2 ) (285 дюймов 4 ) 384)= 0,016 дюйма
Балка, поддерживаемая на обоих концах — нагрузка в центре
Максимальный момент в балке с центральной нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов :
M max = FL / 4 (3a)
Максимальное напряжение
Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:
σ max = y max FL / (4 I) (3b) 900 12
, где
F = нагрузка (Н, фунт)
Максимальный прогиб можно выразить как
δ max = FL 3 / (48 EI) (3c)
Силы, действующие на концы:
R 1 = R 2
= F / 2 (3d)
Калькулятор балки с одним центром нагрузки — метрические единицы
Калькулятор балки с одним центром нагрузки — британская система мер Единицы измерения
Пример — балка с одной центральной нагрузкой
Максимальное напряжение в стальной широкополочной балке «W 12 x 35», 100 дюймов длиной , момент инерции 285 дюймов 4 , модуль упругости 2
00 psi
, с центральной нагрузкой 10000 фунтов можно рассчитать какσ max = y max FL / (4 I)
= (6.25 дюймов) (10000 фунтов) (100 дюймов) / (4 (285 дюймов 4 ))
= 5482 (фунт / дюйм 2 , psi)
Максимальный прогиб можно рассчитать как
δ макс = FL 3 / EI 48
= (10000 фунтов / дюйм) (100 дюймов) 3 / ((2
00 фунтов / дюйм
2 ) (285 дюймов 4 ) 48 )= 0,025 дюйма
Некоторые типичные пределы отклонения по вертикали
- полное отклонение: пролет / 250
- отклонение под нагрузкой: пролет / 360
- консоли: пролет / 180
- балки деревянного перекрытия в домашних условиях: пролет / 330 (макс. 14 мм)
- хрупкие элементы: пролет / 500
- подкрановые балки: пролет / 600
Балка, поддерживаемая на обоих концах — эксцентричная нагрузка
Максимальный момент в балке с одиночной эксцентрической нагрузкой в точке нагрузки:
M макс = F ab / L (4a)
Максимальное напряжение
Максимальное напряжение в балке с одноцентровой нагрузкой, поддерживаемой с обоих концов:
σ max = y max F ab / (LI) (4b)
Максимальный прогиб в точке нагрузки можно выразить как
δ F = F a 2 b 2 / (3 EIL) (4c)
Силы, действующие на концы:
R 1 = F b / L (4d)
R 2 = F a / L (4e)
Балка, поддерживаемая на обоих концах — две эксцентрические нагрузки
66 Максимальный момент (между нагрузками) в балке с двумя эксцентрическими нагрузками:
M max = F a (5a)
Максимальное напряжение
Максимальное напряжение в балке с двумя эксцентрическими нагрузками, поддерживаемыми на обоих концах:
σ max = y max F a / I (5b)
Максимум прогиб в точке нагрузки можно выразить как
δ F = F a (3L 2 — 4 a 2 ) / (24 EI) (5c)
Силы, действующие на концы:
R 1 = R 2
= F (5d)
Вставьте балки в свою модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension
Балка поддерживается на обоих концах — трехточечная нагрузка
Максимальный момент (между нагрузками) в балке с тремя точечными нагрузками:
M max 90 191 = FL / 2 (6a)
Максимальное напряжение
Максимальное напряжение в балке с тремя точечными нагрузками, поддерживаемыми с обоих концов:
σ max = y max FL / (2 I) ( 6b)
Максимальный прогиб в центре балки можно выразить как
δ F = FL 3 / (20.22 E I) (6c)
Силы, действующие на концы:
R 1 = R 2
= 1,5 F (6d)
Отклонение луча
Балка — конструктивный элемент, способный выдерживать большие нагрузки при изгибе. В случае небольших прогибов форму балки можно описать линейным дифференциальным уравнением четвертого порядка.
Рассмотрим вывод этого уравнения.Для изгибающейся балки угол \ (d \ theta \) появляется между двумя соседними секциями, расположенными на расстоянии \ (dx \) (рисунок \ (1 \)).
Рис. 1.Деформация \ (\ varepsilon \) в каждой точке пропорциональна координате \ (y, \), которая отсчитывается от нейтральной линии. Длина нейтральной линии не изменилась.
Из геометрии рисунка \ (1 \) следует, что
\ [\ varepsilon = \ frac {y} {R}, \]
где \ (R \) — радиус кривизны балки.
Величина нормального напряжения \ (\ sigma \) в поперечном сечении также будет зависеть от координаты \ (y. 2}}} {2}} = {0.4}}} = q. \]
Это уравнение при соответствующих граничных условиях определяет прогиб нагруженной балки.
Решенные проблемы
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1
Определите прогиб балки, жестко зажатой с обоих концов и нагруженной равномерно распределенной силой (рисунок \ (4 \)).Пример 2
Тонкий цилиндрический вал длиной \ (L \) вращается с угловой скоростью \ (\ omega.\) На какой скорости \ (\ omega \) вал разрушается? Модуль упругости материала \ (E, \), масса вала \ (M, \) и радиус секции \ (a. \)Расчет нагрузок на заголовки и балки | Строительство и строительные технологии
Обратите внимание: Эта старая статья нашего бывшего преподавателя остается доступной на нашем сайте в архивных целях. Некоторая информация, содержащаяся в нем, может быть устаревшей.
Понимание того, как нагрузки передаются через конструкцию и действуют на элементы конструкции, является первым шагом к определению размеров коллекторов и балок
Пол Физетт — © 2005
Большинство строителей автоматически выбирают двойные заголовки -2 x 8 или -2 x 10 для обрамления окон и дверей в каждом доме, который они строят.Эти коллекторы работают для поддержки большинства жилых помещений и по совпадению удерживают верхние части окон на одинаковой высоте. Красивое решение, но эффективно ли это и экономически выгодно использование материала? То же самое верно и для балок, таких как конструкционные коньковые балки и центральные балки. Слишком часто строители собирают брус размером 2 дюйма, чтобы выдержать нагрузки на крышу и пол, не рассматривая другие варианты. Вы не сможете превзойти пиломатериалы для большинства небольших оконных коллекторов, но по мере увеличения пролетов и нагрузок более прочные материалы становятся лучшим выбором.Пиломатериалы ограничивают возможности дизайна и в некоторых случаях просто не работают. Parallam, Timberstrand, Laminated Veneer Lumber и Anthony Power Beam — примеры альтернативных материалов, которые предоставляют строителям захватывающий выбор.
В этой серии из двух частей мы рассмотрим, как пиломатериалы и эти инженерные материалы подходят для использования в качестве коллекторов и балок. Часть I покажет вам, как отследить структурные нагрузки до коллекторов и балок. В части II будут рассмотрены процедуры определения размеров, характеристики и стоимость этих материалов для нескольких приложений (см. «Определение размеров проектируемых балок и коллекторов» для части 2).
Выполнение работы
Работа коллекторов и балок проста. Они передают нагрузки сверху на фундамент снизу через сеть конструктивных элементов. Идея определения размеров коллекторов и балок проста: сложите все временные и статические нагрузки, действующие на элемент, а затем выберите материал, который будет противостоять нагрузке. Балка должна быть достаточно прочной, чтобы не сломаться (значение Fb), и достаточно жесткой, чтобы она не прогибалась чрезмерно под нагрузкой (значение E).Однако процесс определения размеров этих структурных элементов может быть сложным, если вы не инженер. Вот упрощенный подход, который поможет вам указать подходящий материал для многих приложений.
Первый шаг такой же для пиломатериалов и конструкционных древесных материалов: сложите все нагрузки, действующие на жатку или балку, и затем преобразуйте эту нагрузку в значение , какую нагрузку будет ощущать каждая прямая опора жатки или балки . Говоря лучевым языком, вы говорите: этот заголовок должен нести X-фунтов на линейный фут.Этот перевод является ключом к любой проблеме определения размеров конструкции. Вооружившись этой информацией, вы можете определить минимальный размер, пролет или силу балки (кредит джулио). Размеры инженерных деревянных компонентов определяются с помощью таблиц пролетов, которые соответствуют различным пролетам и фунтам на фут балки. Для пиломатериалов необходимо произвести математические расчеты.
Нагрузки считаются либо распределенными , либо точками нагрузками. Слой песка, равномерно распределенный по поверхности, является примером чистой распределенной нагрузки.Каждый квадратный фут поверхности испытывает одинаковую нагрузку. Текущие и статические нагрузки, указанные в строительных нормах и правилах для крыш и полов, являются приблизительными значениями распределенных нагрузок. Точечные нагрузки возникают, когда груз накладывается на одно место в конструкции, например на колонну. Нагрузка на опорную конструкцию распределяется неравномерно. Анализ точечной нагрузки лучше доверить инженерам. Мы будем рассматривать только распределенные нагрузки. Это позволит нам определять размеры балок для наиболее распространенных приложений.
Рисунок 1Давайте проследим распределенные нагрузки для нескольких разных домов.Предположим, что все они расположены в одном климате, но имеют разные пути загрузки из-за конструкции. Эти примеры показывают, как распределенные нагрузки распределяются между элементами конструкции. Наши образцы домов находятся в районе, где снеговая нагрузка составляет 50 фунтов на квадратный фут площади крыши (снег рассматривается как временная нагрузка). Само собой разумеется, что в более теплом климате снеговая нагрузка, вероятно, была бы меньше, поэтому вам необходимо проверить свою кодовую книгу на предмет временных и статических нагрузок в вашем регионе. Все нагрузки указаны в фунтах на квадратный фут горизонтальной проекции (площадь пятна контакта).(СМ. РИСУНОК 1)
Заголовки
Пример заголовка № 1
Рисунок 2Здесь каждый квадратный фут кровельной системы обеспечивает 50 фунтов динамической нагрузки и 15 фунтов статической нагрузки (всего 65 фунтов на квадратный фут) на систему несущей конструкции. Помните, что эти нагрузки равномерно распределяются по всей поверхности крыши. Наружная стена (и коллекторы внутри) будут нести все нагрузки от средней точки дома (между опорными стенами) к внешней стороне дома (включая свес крыши).Расстояние в этом случае составляет 12 футов + 2 фута = 14 футов. Таким образом, каждый линейный фут стены должен выдерживать нагрузки, создаваемые полосой шириной 1 фут в этом районе 14 футов. С технической точки зрения стена имеет ширину притока 14 футов. Отсюда мы легко можем видеть, что каждая линейная опора стены поддерживает:
Условия:
живая нагрузка (снег):
50 фунтов на квадратный фут x 14 футов = 700 фунтов на линейный фут
Собственная нагрузка на крышу:
15 фунтов на квадратный фут x 14 футов = 210 фунтов на линейный фут
общая нагрузка:
= 910 фунтов на линейный фут
Важно перечислить временную нагрузку, постоянную нагрузку и общую нагрузку отдельно, поскольку временная нагрузка используется для расчета жесткости, а общая нагрузка используется для расчета прочности.
Пример заголовка 2
Рисунок 3Этот дом идентичен нашему первому примеру, за исключением того, что он построен из палки. В результате временная нагрузка, статическая нагрузка и распределение сил различны. В отличие от стропильной крыши, временная нагрузка и собственная нагрузка на стропила и балки перекрытия должны учитываться как отдельные системы. Поскольку чердак можно использовать для хранения, временная нагрузка на чердачный этаж в соответствии с нормами установлена на уровне 20 фунтов на квадратный фут.
Условия:
живая нагрузка (снег):
50 фунтов на квадратный фут x 14 футов = 700 фунтов на линейный фут
Собственная нагрузка на крышу:
10 фунтов на квадратный фут x 14 футов = 140 фунтов на линейный фут
перегрузка потолка:
20 фунтов на фут x 6 футов = 120 фунтов на линейный фут
статическая нагрузка потолка:
10 фунтов на квадратный фут x 6 футов = 60 фунтов на линейный фут
общая нагрузка:
= 1020 фунтов на линейный фут
Пример заголовка 3
Рисунок 4Опять же, у этого дома такая же ширина, но у него 2 уровня.Нагрузки на нижний коллектор создают крыша, верхние стены и система 2-го этажа. В Стандартах архитектурной графики вес внешней стены размером 2 × 6 составляет 16 фунтов на фут 2 . Таким образом, стена высотой 8 футов весит 8 футов x 16 фунтов / фут 2 = 128 фунтов на линейный фут. На жатку доставлено:
Условия:
живая нагрузка (снег):
50 фунтов на квадратный фут x 14 футов = 700 фунтов на линейный фут
Собственная нагрузка на крышу:
15 фунтов на квадратный фут x 14 футов = 210 фунтов на линейный фут
стена верхнего уровня:
= 128 фунтов на линейный фут
Живая нагрузка 2-го этажа:
30 фунтов на фут x 6 футов = 180 фунтов на линейный фут
Собственная нагрузка 2-го этажа:
10 фунтов на фут x 6 футов = 60 фунтов на линейный фут
общая нагрузка:
= 1278 фунтов на линейный фут
Балки
Пример коньковой балки
Рисунок 5 — На этом рисунке показаны 2 конструктивных элемента: несущая балка конька и центральная балка.У обоих есть приток площадью 12’0 ″. Нагрузка на фут балки определяется так же, как и для жаток.Условия коньковой балки
живая нагрузка (снег):
50 фунтов на фут x 12 футов = 600 фунтов на линейный фут
Собственная нагрузка на крышу:
10 фунтов на фут x 12 футов = 120 фунтов на линейный фут
общая нагрузка:
= 720 фунтов на линейный фут
Пример фермы
Центральная балка несет половину нагрузки на пол, нагрузку на перегородку и половину нагрузки на второй этаж.Текущие и статические нагрузки указаны в строительных нормах и правилах. Вес перегородки указан в Стандартах архитектурной графики как 10 фунтов на квадратный фут.
B) Состояние балок первого этажа
Живая нагрузка 1-го этажа:
40 фунтов на фут x 12 футов = 480 фунтов на линейный фут
Статическая нагрузка 1-го этажа:
10 фунтов на фут x 12 футов = 120 фунтов на линейный фут
Перегородка высотой 8 футов:
= 80 фунтов на линейный фут
Живая нагрузка 2-го этажа:
30 фунтов на фут x 12 футов = 360 фунтов на линейный фут
Собственная нагрузка 2-го этажа:
10 фунтов на фут x 12 футов = 120 фунтов на линейный фут
общая нагрузка:
= 1160 фунтов на линейный фут
Резюме
Эти примеры являются типичными для типов расчетов, которые вам необходимо выполнить для определения равномерной нагрузки, которая распределяется на балку или коллектор.Вы должны установить, какую нагрузку принимает каждая прямая опора жатки или балки. Следующим шагом является использование технической литературы любой из компаний, производящих деревянные компоненты, для определения пролета и размера балки. Все они соотносят допустимые пролеты с нагрузкой на фут балки. Списки пролетов основаны на допустимом прогибе, динамической нагрузке и статической нагрузке, которые перечислены в вашей книге строительных норм. В части 2 «Определение размеров инженерных коллекторов и балок» мы сравниваем стоимость и характеристики некоторых деревянных изделий с пиломатериалами.
Все иллюстрации любезно предоставлены Journal of Light Construction.
.