Рассмотрим шарнирную опору в конфигурации балки, показанной выше. Балка может вращаться на этой опоре, поэтому реактивного момента нет, но зато исключены смещения в вертикальном и горизонтальном направлениях, поэтому будут горизонтальные и вертикальные силы реакции. На роликовую опору действует только вертикальная сила реакции. Эти три силы реакции, а также приложенные распределенные и сосредоточенные силы показаны на диаграмме свободного тела.

Как нарисовать диаграмму поперечной силы и изгибающего момента

Для построения диаграмм поперечной силы и изгибающего момента необходимо выполнить три основных шага:

Шаг 1

Нарисуйте диаграмму свободного тела балки

Для правильного определения поперечных сил и изгибающих моментов вдоль балки необходимо знать все действующие на нее нагрузки, в том числе внешние нагрузки и реактивные нагрузки на опорах. Нарисовав диаграмму свободного тела, вы определите все эти нагрузки и отобразите их на эскизе.

Шаг 2

Рассчитать силы реакции и моменты реакции на опорах балки

Несмотря на то, что внешние нагрузки известны, силы реакции и моменты на опорах неизвестны – их необходимо рассчитать. Это можно сделать, учитывая тот факт, что все внешние нагрузки, как приложенные, так и нагрузки на опоры, должны уравновешивать друг друга. Если бы они этого не сделали, балка не находилась бы в статическом равновесии.

Это может быть представлено тремя уравнениями равновесия. Эти уравнения утверждают, что сумма сил в горизонтальном направлении, сумма сил в вертикальном направлении и сумма моментов, приложенных к любой точке, должны быть равны нулю. $$\сумма{F_x} = 0$$ $$\сумма{F_y} = 0$$ $$\сумма{М} = 0$$

С помощью этих уравнений можно рассчитать силы реакции и моменты на опорах.

Шаг 3

Определите внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в каждом месте вдоль балки

Теперь у нас есть вся информация, необходимая для определения поперечных сил и диаграмм изгибающих моментов.

Как уже упоминалось в предыдущей части этой статьи, если мы делаем воображаемый разрез балки в любом месте, внутренние силы и моменты, действующие на поперечное сечение разреза, должны уравновешивать внешние силы и моменты. Это означает, что мы можем еще раз применить уравнения равновесия для расчета поперечных сил и изгибающих моментов вдоль балки.

Начните с одного конца балки и переместите место воображаемого разреза на другой конец, применяя уравнения равновесия и вычисляя поперечные силы и изгибающие моменты при движении вдоль балки.

Выполнив это по всей длине балки, вы получите диаграммы поперечной силы и изгибающего момента.

Условные обозначения

При расчете поперечных сил и изгибающих моментов необходимо использовать постоянное условное обозначение. Наиболее распространенное соглашение о знаках выглядит следующим образом:

• Приложенные силы положительны, если они действуют в направлении вниз.
• Если балка находится слева от воображаемой секущей плоскости, поперечные силы, направленные вниз, положительны. Если балка находится справа от секущей плоскости, поперечные силы, направленные вверх, положительны.
• Если изгибающий момент вызывает провисание, то он положительный, а если вызывает заедание, то отрицательный.

Эти условные обозначения показаны на рисунке ниже.

Давайте рассмотрим пример, чтобы показать процесс определения поперечных сил и диаграмм изгибающих моментов от начала до конца.

Пример — свободно опертая балка

В этом примере мы определим диаграмму поперечной силы и изгибающего момента для свободно опертой балки, несущей две нагрузки.

Первым шагом является рисование диаграммы свободного тела. На шарнирной опоре действуют горизонтальная и вертикальная силы реакции (точка А), а на роликовой опоре действует одна вертикальная сила реакции (точка В).

Далее нам нужно применить уравнения равновесия для определения неизвестных сил реакции в точках A и B. Сумма сил в горизонтальном направлении должна быть равна нулю. $H_A$ — единственная сила в горизонтальном направлении, поэтому она должна быть равна нулю:

$$\sum{F_x} = 0$$

$$H_A = 0 \mathrm{kN}$$

сумма сил в вертикальном направлении должна быть равна нулю:

$$\sum{F_y} = 0$$

$$R_B + R_A = 15 + 6$$

И сумма моментов относительно любой точки должна быть равна нулю. Если мы решим взять моменты относительно точки B, мы получим следующее:

$$\sum{M_B} = 0$$

$$(-R_A \cdot 6) + (15 \cdot 5) + (6 \ cdot 2) = 0$$

Мы можем решить это уравнение, чтобы определить, что:

$$R_B = 9 \mathrm{kN}$$

Подстановка $R_B$ в уравнение вертикального равновесия дает:

$$9 + R_A = 15 + 6$$

$$R_A = 12 \mathrm{кН}$$

Все внешние нагрузки, действующие на балку, теперь определены, и можно обновить диаграмму свободного тела.

Теперь мы можем начать рисовать диаграммы поперечной силы и изгибающего момента, начиная с левой стороны балки. Мы можем нарисовать диаграмму свободного тела, показывающую сегмент балки, который был отрезан непосредственно справа от силы реакции 12 кН в точке A.

поперечная сила V(x) должна уравновешивать силу реакции 12 кН:

$$V(x) = 12 \mathrm{кН}$$

Аналогично, изгибающий момент должен уравновешивать момент, создаваемый реактивной нагрузкой 12 кН:

$$M(x) = 12x$$

Сила сдвига будет постоянной, пока мы не достигнем следующей приложенной силы, поэтому мы можем изобразить это на диаграмме силы сдвига. А полученное уравнение для М(х) есть уравнение для прямой линии, которую можно изобразить на диаграмме изгибающих моментов.

Затем процесс повторяется, перемещая место воображаемого разреза дальше вправо. На этот раз разрез делается сразу после силы 15 кН, и рисуется диаграмма свободного тела. Силу сдвига и изгибающий момент можно рассчитать, применяя уравнения равновесия.

Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента могут быть обновлены.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока вся длина балки не будет покрыта. Готовые схемы показаны ниже.

См. также

Фермы — это конструкции (например, мосты или крыши), состоящие из элементов, способных воспринимать только растягивающие или сжимающие осевые нагрузки.

Подробнее

Момент инерции площади описывает, как материал поперечного сечения распределяется относительно определенной оси изгиба.

Узнать больше

Определение, уравнение, диаграмма [Примечания GATE]

Что такое круг Мора?

Комбинация напряжения сдвига и нормального напряжения, действующего в разных плоскостях в напряженном теле. Нормальное напряжение представлено напряжением сдвига, представленным τ. Круг Мора необходим для экзамена GATE. Различные концепции, связанные с этим, помогают получить высокие баллы на экзамене. Посмотрите на диаграмму, показанную ниже:

По моменту равновесия в напряженном теле τ _xy =τ _yx

_{Скачать формулы для GATE Civil Engineering — Fluid Mechanics}

Мора Уравнение окружности

И, согласно равновесию сил, напряжения на противоположных сторонах плоскости равны и противоположны по направлению. Следовательно, касательное напряжение будет одинаковым в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Диаграмма круга Мора

Вариации значения нормального напряжения и напряжения сдвига относительно угла Θ представляют собой форму круга, известного как круг Мора. Круг Мора — это круг, в котором каждая точка представляет собой плоскость в напряженном теле, в которой координата x точки представляет собой нормальное напряжение, а координата y представляет напряжение сдвига, действующее на плоскость. Круговая диаграмма Мора может использоваться для создания различных вопросов в опросном листе GATE, и ее использование наблюдалось на протяжении многих лет.

Загрузить Формулы для GATE Civil Engineering — Environmental Engineering

Круговая диаграмма Мора для системы плоской деформации

Круг Мора также можно использовать для определения нормальной деформации и деформации сдвига для системы плоской деформации. Для определения напряжения с помощью круга Мора его можно использовать аналогично кругу Мора для стресса. В случае круга Мора ордината максимума деформации на оси деформации сдвига составляет γ _max /2, тогда как максимальная ордината круга Мора для напряжения составляет τ _макс .

Круговая диаграмма Мора для штамма приведена ниже.

Круг напряжений Мора

Чтобы определить нормальное напряжение и напряжение сдвига на плоскости с помощью метода круга Мора, используется несколько терминов. Эти термины заключаются в следующем.

Главное напряжение: Главное напряжение — это максимальное или минимальное нормальное напряжение, действующее на плоскость, при которой касательное напряжение равно нулю. Максимальное нормальное напряжение известно как главное основное напряжение, а минимальное нормальное напряжение известно как второстепенное главное напряжение, которое представлено как σ ₁ и σ _2, соответственно.

Максимальное напряжение сдвига: Максимальное напряжение сдвига — это максимальное напряжение сдвига, действующее на плоскость всего двумерного напряженного тела. Он представлен τ _max и равен радиусу круга Мора. В плоскости максимального касательного напряжения нормальное напряжение не равно нулю.

Представление напряжения в круге Мора Для плоского напряжения и деформации

Круг Мора представляет напряжение в двумерной плоскости. Здесь показана взаимосвязь между плоским напряжением и деформацией. Круг Мора представляет собой нормальное напряжение и касательное напряжение в любой плоскости находящегося под напряжением тела. В круге Мора нормальное напряжение представлено по оси x, а касательное напряжение представлено по оси y.

Некоторые важные факты о круге Мора

Круг Мора является очень важным инструментом для определения напряжения или деформации на любой плоскости для находящегося под напряжением тела. Круг Мора — это графический метод определения стресса. Кандидаты могут проверить предыдущие вопросы GATE и понять тенденцию вопросов, заданных кругом Мора на экзамене. Круг Мора помогает визуализировать нормальные напряжения и напряжения сдвига, действующие на плоскости, и помогает определить главные напряжения и максимальные напряжения сдвига вместе с их плоскостями.

• Максимальное напряжение сдвига (τ _max )=(σ ₁ -σ ₂ )/2
• Координата круга Мора обозначается σ _{x 9 0255 , τ xy}
• Центр Круг Мора (C)=((σ ₁ +σ ₂ )/2, 0)
• σ _x +σ _y =σ ₁ +σ _{2 90 255}
• Угол между максимальные плоскости сдвига и главного напряжения 45 ⁰ .