Динамика. Основные законы и уравнения динамики
Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение. Основными законами динамики являются законы Ньютона. При решении задач по динамике следует уделить особое внимание силам, вызывающим равнопеременное движение, и ускорению, которое всегда направлено в сторону действия результирующей силы. В случае равномерного движения тела по окружности нужно принять во внимание, что скорость тела направлена по касательной к окружности, а результирующая сила и ускорение всегда направлены вдоль радиуса к центру окружности.
Основное уравнение динамики – второй закон Ньютона:
,
где m– масса тела,– векторная сумма всех действующих на тело сил.
Второй закон Ньютона в импульсной форме:
,
где – импульс тела.
Закон всемирного тяготения: ,
где mиM– массы взаимодействующих тел,r– расстояние между ними,G= 6,67∙10-11(Н∙м2/кг2) — гравитационная постоянная. Принявr, равное радиусу Земли, М – массе Земли, получим:
Это сила, с которой Земля притягивает находящееся на ее поверхности тело массой m.g– ускорение свободного падения,g= 9,81 м/с2.
При деформации тел возникает сила упругости, имеющая направление, противоположное направлению деформации
,
где k- жесткость деформируемого тела, Δx– изменение линейных размеров тела при деформации.
При движении тела по поверхности между ним и этой поверхностью возникает взаимодействие, которое обусловливает появление силы трения: ,
где μ – коэффициент трения, N- сила нормального давления.
На тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости (газа) в объеме погруженной части тела
.
Основной закон динамики вращательного движения:
,
где М — момент силы, I –
момент инерции тела. М =F∙l,
гдеl – плечо силы.
Момент инерцииI зависит
от формы тела:Iполого
цилиндра =mR
I стержня = 1/12 mR2; I шара = 2/5 mR2. Ось вращения в этих случаях проходит через центр тела.
Закон динамики вращательного движения может быть еще записан в виде:
,
где L– момент импульса,.
Законы сохранения
Системы отсчета, в которых отсутствуют внешние воздействия и тела системы взаимодействуют только друг с другом, называют замкнутыми или изолированными. В таких системах выполняются следующие законы.
Закон сохранения импульса: в отсутствие внешних сил в изолированной системе полный вектор импульса внутри системы с течением времени не изменяется
,
где mi,υi– масса и скорость отдельного тела системы.
Закон сохранения энергии: механическая энергия изолированной системы не изменяется, если работа внешних сил, действующих на тела, входящих в систему, равна нулю и отсутствуют силы трения .
Для поступательного движения ,
Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения
,
где – скорость центра масс,Ic– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
Потенциальная энергия тела, поднятого над землей на высоту h:.
Работа А – это мера изменения механической энергии системы под влиянием приложенных к ней внешних сил: .
ΔЕ – изменение полной механической энергии изолированной системы, Е и Е0— конечная и начальная энергия системы.
Механическая работа также равна скалярному произведению действующей на тело силы Fи перемещенияS:,
где - угол между направлением силы и перемещения.
Быстрота совершения работы силой Fописывается мощностью Р:
,
где υ – модуль средней скорости движения.
Отношение энергии, затраченной на выполнение полезной работы, к полной использованной энергии, называется коэффициентом полезного действия КПД:
.КПД можно также выразить через полезную и затраченную работу и мощность:
.
studfiles.net
Формулы по динамике
Здесь хранятся формулы по разделу «динамика» из курса «сопротивление материалов».
Формула для определение динамического напряжения:
где σд — динамическое напряжение, σст — статическое напряжение, kд — динамический коэффициент.
Формула для определение динамического перемещения:
где δд — перемещение, при динамическом действии нагрузки, δст — перемещение, при статическом действии нагрузки,
sopromats.ru
1. Элементы кинематики Основные формулы и законы
21
где — перемещение точки за время,- радиус-вектор, определяющий положение точки.
,
где – путь, пройденный точкой за время .
где — тангенциальная составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории;- нормальная составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории (- радиус кривизны траектории в данной точке).
где — начальная скорость, «+» соответствует равноускоренному движению, «-» — равнозамедленному.где — угол поворота тела,– период вращения;- частота вращения (– число оборотов, совершаемых телом за время).
где — начальная угловая скорость, «+» соответствует равноускоренному вращению, «-» — равнозамедленному.
; ;;
где – расстояние от точки до мгновенной оси вращения.
2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Основные законы и формулы
,
где -масса материальной точки,- скорость движения.
,
где — тангенциальное (касательное) ускорение,
— нормальное(центростремительное) ускорение.
где — коэффициент трения скольжения;— сила нормального давления.
,
где — величина деформации;- коэффициент жесткости.
,
где – гравитационная постоянная,и– массы взаимодействующих точек,- расстояние между точками.
где — число материальных точек (или тел), входящих в систему.
,
где и- массы тел,и- их скорости до взаимодействия.
; .
,
где — проекция силы на направление перемещения;— угол между направлениями силы и перемещения.
,
где – работа за промежуток времени .
, или .
.
Потенциальная энергия тела массой , поднятого над поверхностью земли на высоту,
,
где — ускорение свободного падения.
.
.
studfiles.net