Момент консольной балки: Сопромат для чайников, основные расчетные формулы

Содержание

Расчет консольной балки (жесткая заделка справа), построение эпюр

Определение опорных реакций


Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
1. На балку наложена связь в точке A (справа) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (HA, RA, MA).
2. Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки: ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMA=0.
ΣFx=0:      HA=0
ΣFy=0:     

— (U1слева *4)/2 + P1 + RA=0;
ΣMA=0:      M1 + (U1слева *4/2) * (9 — 7 + (2/3)*4) — 4*P1 + MA=0;
3. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA=0 (кН)
RA=(U1слева *4)/2 — P1=(20*4)/2 — 40=0.00 (кН)
MA=- M1 — (U1слева *4/2) * (9 — 7 + (2/3)*4) + 4*P1=- 30 — (U1слева *4/2) * (9 — 7 + (2/3)*4) + 4*40=-56.67 (кН*м), так как момент отрицателен, на расчетной схеме направим его в противоположную сторону.
4. Выполним проверку, составив дополнительное моментное уравнение отоносительно свободного конца балки:
M1 — (U1слева *4/2) * (7 — (2/3)*4) + 5*P1 + 9*RA — MA=30.00 — (U1слева *4/2) * (7 — (2/3)*4) + 5*40 + 9*0.00 — 56.67=0

Построение эпюр


Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 3

Поперечная сила Q:
Q(x1)=0
Значения Q на краях участка:
Q1(0)=0 (кН)
Q1(3)=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x1)=- M1
Значения M на краях участка:

M1(0)=- 30=-30 (кН*м)
M1(3)=- 30=-30 (кН*м)

Рассмотрим второй участок 3 ≤ x2 < 5

Поперечная сила Q:
Q(x2)=- ([(U1слева — U1слева *(7 — x)/4)*(x — 3)]/2 + U1слева *(7 — x)/4*(x — 3))
Значения Q на краях участка:
Q2(3)=- ([(20 — 20*(7 — 3)/4)*(3 — 3)]/2 + 20*(7 — 3)/4*(3 — 3))=0 (кН)
Q2(5)=- ([(20 — 20*(7 — 5)/4)*(5 — 3)]/2 + 20*(7 — 5)/4*(5 — 3))=-30 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2)=- M1 + ([(U1

слева — U1слева *(7 — x)/4)*(x — 3)]/2*(x — 3)*(2/3) + U1слева *(7 — x)/4*(x — 3)*(x — 3)*(1/2))
Значения M на краях участка:
M2(3)=- 30 — ([(20 — 20*(7 — 3)/4)*(3 — 3)]/2*(3 — 3)*(2/3) + 20*(7 — 3)/4*(3 — 3)*(3 — 3)*(1/2))=-30 (кН*м)
M2(5)=- 30 + ([(20 — 20*(7 — 5)/4)*(5 — 3)]/2*(5 — 3)*(2/3) + 20*(7 — 5)/4*(5 — 3)*(5 — 3)*(1/2))=-63.33 (кН*м)

Рассмотрим третий участок 5 ≤ x3 < 7

Поперечная сила Q:
Q(x3)=- ([(U1слева — U1слева *(7 — x)/4)*(x — 3)]/2 + U1слева *(7 — x)/4*(x — 3)) + P1
Значения Q на краях участка:

Q3(5)=- ([(20 — 20*(7 — 5)/4)*(5 — 3)]/2 + 20*(7 — 5)/4*(5 — 3)) + 40=10 (кН)
Q3(7)=- ([(20 — 20*(7 — 7)/4)*(7 — 3)]/2 + 20*(7 — 7)/4*(7 — 3)) + 40=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)=- M1 + ([(U1слева — U1слева *(7 — x)/4)*(x — 3)]/2*(x — 3)*(2/3) + U1слева *(7 — x)/4*(x — 3)*(x — 3)*(1/2)) + P1*(x3 — 5)
Значения M на краях участка:
M3(5)=- 30 + ([(20 — 20*(7 — 5)/4)*(5 — 3)]/2*(5 — 3)*(2/3) + 20*(7 — 5)/4*(5 — 3)*(5 — 3)*(1/2)) + 40*(5 — 5)=-63.33 (кН*м)
M3(7)=- 30 + ([(20 — 20*(7 — 7)/4)*(7 — 3)]/2*(7 — 3)*(2/3) + 20*(7 — 7)/4*(7 — 3)*(7 — 3)*(1/2)) + 40*(7 — 5)=-56.67 (кН*м)

Рассмотрим четвертый участок 7 ≤ x4 < 9

Поперечная сила Q:
Q(x4)=- (U1слева *4)/2 + P1
Значения Q на краях участка:
Q4(7)=- ([(20 — 20*(7 — 7)/4)*(7 — 3)]/2 + 20*(7 — 7)/4*(7 — 3)) + 40=0 (кН)
Q4(9)=- (-20*4)/2 + 40=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x4)=- M1 + (U1слева *4)/2*(x — 7 + (2/3)*4) + P1*(x4 — 5)
Значения M на краях участка:
M4(7)=- 30 + ([(20 — 20*(7 — 7)/4)*(7 — 3)]/2*(7 — 3)*(2/3) + 20*(7 — 7)/4*(7 — 3)*(7 — 3)*(1/2)) + 40*(7 — 5)=-56.67 (кН*м)

M4(9)=- 30 + (-20*4)/2*(9 — 7 + (2/3)*4) + 40*(9 — 5)=-56.67 (кН*м)

Расчет произведен при помощи онлайн-сервиса SOPROMATGURU.RU

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение

ЗАДАЧИ НА ЭПЮРЫ

Задача

Для балки с жесткой заделкой построить эпюры Q и М.

Расставляем сечения от свободного конца балки — в этом случае можно построить эпюры, не определяя опорных реакций. Рассматривать в каждом случае будем правуючасть — справа от сечения. Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 2 участка, 2 сечения.

Сечение 2-2 проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Определяем поперечные силы в сечениях. Правило знаков см. — здесь.

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек. Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A), сосредоточенного момента (B), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — здесь.

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Теперь:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M. Участок АВпараболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВDпрямая наклонная линия.

Запись опубликована 13.09.2016 в рубрике Задачи на эпюры.

Задача на построение эпюр Q и M в балке

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М) и поперечных сил (Q).

  1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В.

Составляем уравнения равновесия.

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему.

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений. Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения.

сеч. 1-1 ход слева.

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка. Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см. здесь.

Строим по найденным значением эпюру Q.

сеч. 2-2 ход справа.

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q.

сеч. 3-3 ход справа.

Сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q.

3. Построение эпюры М методом характерных точек.

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В, С, D, а также точка К, в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум. Также в серединеконсоли поставим дополнительную точку Е, поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов. Правило знаков — см. здесь.

Участки NA, ADпараболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных ), участки DС, СВпрямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D. Сам момент в эти выражения не входит. В точке D получим два значения с разницей на величину mскачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q=0). Однако сначала определим положение точки К, обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х.

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы(см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0, а z 2 равняется неизвестному х.

Получаем уравнение:

Теперь, зная х, определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М. Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Запись опубликована 11.09.2016 в рубрике Задачи на эпюры.

Задача на построение эпюр поперечной силы Q, изгибающего момента M и подбор сечения (проектный расчет)

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции.

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

2. Строим эпюру поперечных сил.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0, в заделеке — величине реакции R A.

3. Для построения эпюры изгибающих моментов M составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на растянутых волокнах, т.е. вниз.

4.Проектировочный расчет, то есть подбор размеров поперечного сечения.

Максимальный изгибающий момент с эпюры М=14 кН·м. Определим осевой момент сопротивления сечения

Таким образом, подбираем сечение с диаметром 25 см.

Запись опубликована 02.04.2016 в рубрике Задачи на эпюры, Расчет на прочность.

Построение эпюр Q и М , проектный расчет (подбор сечения)

Требуется построить эпюры Q и M и подобрать стальную балку двутаврового поперечного

сечения при расчетном сопротивлении R=160 МПа.

1.Определение реакций:

Сумма моментов относительно опор:

Опора А:

Опора В:

Сумма проекций всех сил на ось У (проверка):

2.Записываем уравнения Q и M для каждого из участков в общем виде, при этом учитываем знаки.

1) Первый участок:

2) Второй участок:

3) Третий участок:

Консольная балка под действием сосредоточенной нагрузки

Цель: Расчет на изгиб в силовой плоскости под сосредоточенной силой, без учета деформаций поперечного сдвига. Проверяются значения максимальных поперечного перемещения, угла  поворота и изгибающего момента.

Файл с исходными данными: 4_1.spr

Формулировка задачи: Консольная балка нагружается на свободном конце сосредоточенной силой Р. Определить максимальные значения поперечного перемещения w, угла  поворота θ и изгибающего момента М.

Ссылки: Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В., Справочник по сопротивлению материалов. — Киев: Наук. думка, 1988, стр. 263.

Исходные данные:

E = 2.0·1011 Па — модуль упругости,
ν = 0.3 — коэффициент Пуассона,
L = 3 м — длина балки;
I = 2.44·10-6 м4 — момент инерции поперечного сечения;
Р = 5 кН — значение сосредоточенной силы.


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида, 10 стержневых элементов типа 5, 11 узлов.

Результаты решения в SCAD:

Эпюра изгибающего момента М (кН·м)

Значения поперечных перемещений w(мм)

Значения углов поворота θ (рад)

Сравнение решений:

Параметр

Теория

SCAD

Отклонения, %

Поперечное перемещение w, мм

-92.{2}}{2\cdot E\cdot I}; \quad M=-P\cdot L. \]

Задача №86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Задача №86.

Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки. Припять

Решение:

Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции и реактивный момент . Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия — два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки :

Из уравнения (3.23) получим

Из уравнения (3.24)

Из уравнения (3.25)

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки :

Или, подставив числовые значения, получим

Задача решена верно.

Значения составляющих и получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая направлена влево, a — вниз. Полная реакция опоры

Ответ:

Эта задача с решением взята со страницы решения задач по предмету «прикладная механика»:

Решение задач по прикладной механике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Задача №84. Однородная балка закреплена в точке с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается точке в стержнем (рис. 3.48, а). Найти реакции шарнирно-неподвижной опоры и стержня . Силой тяжести балки и стержня пренебречь.
Задача №85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным.
Задача №87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке
Задача №88. Для заданной консольной балки (рис. 3.52, а) определить опорные реакции заделки.

Схема I. Консольная балка. 1. При расчете консольной балки рекомендуется начинать ее обход со свободного конца и

Схема I. Консольная балка. 1. При расчете консольной балки рекомендуется начинать ее обход со свободного конца и

1. При расчете консольной балки рекомендуется начинать ее обход со свободного конца и двигаться в сторону заделки. В этом случае опорные реакции на данном этапе расчета можно не определять, а их величины впоследствии взять с эпюр внутренних силовых факторов.

2. Поскольку в рассматриваемых нами задачах изгибная жесткость всех участков балки предполагается одинаковой, а ее ось – прямолинейной, то о начале каждого нового участка можно будет судить по изменениям характера внешней нагрузки. Так, двигаясь справа налево (в сторону заделки), мы видим силу P, что говорит о начале второго участка, и, далее, распределенную нагрузку q, которая продолжается до конца балки и заделки, тем самым определяя протяженность третьего, последнего участка (рис.1, а).

 

Рис.1

 

3. На протяжении каждого из указанных участков законы изменения изгибающего момента Mxи поперечной силы Qy будут неизменными и полученные нами уравнения будут справедливы для любой точки в их пределах. Таким образом, следует трижды рассечь балку (рис.1, а) и в каждом случае выписать выражения для поперечной силы и изгибающего момента (рис. 2).

Проводя последовательно сечения на первом, втором и третьем участках, рассмотрим равновесие правой отсеченной части, приложив к ней все действующие справа от сечения заданные нагрузки, и внутренние силовые факторы в положительном направлении.

Имеем:

Для первого участка ( ):

Qy= 0 (силы отсутствуют)

Рис.2

 

Mx= — m

Для второго участка ():

Qy= — P

Mx= — m + P z2

Для третьего участка ():

Qy= — P + q z3

Mx= — m + P( b + z3 )q/2

Определим теперь значения Qyи Mxв характерных сечениях (рассмотрим пока только точки начала и конца участков).

Первый участок:

Qy= 0

Mx= — m

Очевидно, что величины Qyи Mxот координаты zне зависят.

Второй участок:

При z = 0 Qy= — P Mx= — m

При z = b Qy= — P Mx= — m + Pb

Здесь Qy– константа ( не зависит от координаты z в пределах второго участка), а Mx — наклонная прямая ( параметр z входит в уравнение в первой степени ).

Третий участок:

При z = 0 Qy= — P Mx= — m + P b

При z = c Qy= — P + q c Mx= — m + P(b + c)q c 2/2

На этом участке сила Qy изменяется по линейному закону (её эпюра представляет собой наклонную линию), а момент Mx— по закону квадратной параболы (параметр z входит в уравнение во второй степени ).

Для построения параболической кривой двух точек может оказаться недостаточно. Однако, при решении рассматриваемой задачи нас будут интересовать только максимальные ( по абсолютной величине ) значения момента в пределах каждого из участков, поэтому, если эпюра Mx на рассматриваемом участке не имеет экстремума, то наибольшим будет одно из граничных значений функции Mx, если же такой экстремум существует, то его определением мы займемся ниже.

4. Для наглядности предположим, что входящие в уравнения величины имеют следующие числовые значения:



a = 1 м, b = 2 м, c = 3 м, P = 10 кН, m = 10 кНм, q = 10 кН/м .

Подставляя их в ранее полученные аналитические выражения, будем иметь следующие результаты:

 

№ участка z, м Qy , кН Mx , кНм
1 участок z = 0 z = 1 Qy= 0 Qy= 0 Mx= -10 Mx= -10
2 участок z = 0 z = 2 Qy= -10 Qy= -10 Mx= -10 Mx= +10
3 участок z = 0 z = 3 Qy= -10 Qy= +20 Mx= +10 Mx= -5

 

Анализируя характер изменения поперечной силы на третьем участке, можно заметить, что ее эпюра начинается в отрицательной области значений Qy, а заканчивается в положительной и, следовательно, пересекает ось абсцисс. Определим координату z* этой точки, приравняв Qyнулю. Имеем:

Qy= — P + q z = 0, откуда P = q z и, окончательно, z* = P / q = 1 м.

Поскольку изгибающий момент и поперечная сила связаны дифференциальной зависимостью dMx/dz=Qy, а в рассматриваемой нами точке Qy =0, то изгибающий момент Mxпринимает здесь экстремальное значение. Определим его, подставив z* = 1 в уравнение момента на третьем участке:

Mx= — m + P(b + z*)q z*2/2 = 15 кНм.

и получим третью (промежуточную) точку для построения эпюры Mx .

5. Построим теперь эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для этого отложим перпендикулярно к оси абсцисс ( для каждой эпюры это линии, параллельные оси балки ) в удобном для пользования масштабе вычисленные значения Qyи Mxдля граничных и промежуточных сечений участков и соединим концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Qyи Mx. При этом положительные ординаты эпюры Qy будем откладывать вверх, а отрицательные – вниз от оси абсцисс; ординаты же эпюры Mx будем откладывать со стороны растянутых волокон. При вычерчивании параболических участков эпюр изгибающих моментов форма линии эпюры должна соответствовать “правилу паруса”, что применительно к эпюрам, построенным на растянутых волокнах легко интерпретировать графически (см. рис. 3) то есть выпуклость линии эпюры соответствует направлению действия распределенной нагрузки. Знание этого правила особенно полезно при вычерчивании участков эпюр изгибающих моментов по двум точкам.

Рис. 3

 

После завершения построений на эпюре Qy нужно проставить знаки, на эпюре же Mxих обычно не ставят ( см. рис. 1, б и 1, в).

Полезно отметить, что из построенных нами эпюр Mxи Qyтеперь можно легко определить численные значения внутренних силовых факторов в заделке (опорную реакцию и момент), не определенные нами в начале решения задачи. Так, из рис. 1, б находим R = +20 кН (↑), а из рис. 1, в – изгибающий момент Mоп = -5 кНм (против часовой стрелке).

6. Проверим теперь правильность построения эпюр Mxи Qyи их соответствие друг другу. Из зависимости dMx / dz = Qyстановится очевидным, что порядок линии, описывающей закон изменения изгибающего момента всегда на единицу выше, чем порядок линии, описывающей эпюру поперечных сил. Следовательно, на участках балки между эпюрами внутренних силовых факторов должны существовать следующие зависимости:

 

Изгибающий момент Квадратная парабола Наклонная прямая Константа
Поперечная сила Наклонная прямая Константа Отсутствует

 

В местах приложения сосредоточенных нагрузок (сил и моментов) на эпюрах соответствующих им внутренних силовых факторов должны иметь место скачки, равные им по величине. Так, приложенная внешняя сила P будет вызывать скачок на эпюре Qy, а наличие сосредоточенного момента m будет говорить о скачке на эпюре Mx .

Нелишне еще раз убедиться и в наличие экстремумов на эпюре моментов, а также в соответствии их положений нулевым ординатам на эпюре Qy.

Как видим, в нашем случае все указанные свойства в эпюрах присутствуют.

7. Построим теперь изображение примерного вида изогнутой оси балки. Поскольку наши построения носят приближенный характер, то основой для проведения такой линии будут являться следующие положения:

Кривизна балки на участках должна соответствовать расположению эпюр изгибающих моментов. Так, если для какого-либо участка эпюра Mxпостроена на нижних волокнах (в данном случае они растянуты), то кривизна балки должна иметь вид, приведенный на рис.4, а. Если же эпюра моментов расположена на верхних волокнах (теперь они растянуты), то участок балки примет форму, представленную на рис. 4,б.

а) б)

Рис.4

 

Как видим, на левом рисунке растянуты (удлиняются) нижние волокна, а на правом – верхние.

В точке заделки вне зависимости от величины изгибающего момента поворот сечения отсутствует, следовательно, линия изогнутой оси балки должна выходить под прямым углом (в данном случае, к вертикали).

Участки с разными знаками кривизны упругой линии должны сопрягаться плавной линией (без изломов), а сечение, в котором кривизна меняет знак и которое называется точкой перегиба, должно быть показано на чертеже.

Построенная с учетом вышесказанного упругая линия консольной балки изображена на рис.1, г.

8. Подбор размеров поперечного сечения осуществляем по методу допускаемых напряжений, из которого следует, что в рассмотрение следует принимать лишь то сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. Однако при этом нужно иметь в виду, что данный прием можно использовать только в случае, когда изгибная жесткость балки EJx на всем ее протяжении одинакова, то есть вся балка изготовлена из одного материала и имеет неизменные по своей длине характеристики поперечного сечения. В нашем примере опасным является сечение, в котором Mmax = 15 кНм.

9. Прямоугольное сечение деревянной балки подбираем из условия прочности при допускаемом напряжении = 12,4 МПа и заданном соотношении сторон h / b:

,

откуда следует, что требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе должен быть больше или равен:

10. Момент сопротивления прямоугольного сечения относительно нейтральной оси X (см. рис.5, а) будет иметь вид:

.

Для конкретизации расчета предположим, что h / b = 1,5.

Имеем:

,

и, окончательно,

.

При назначении реальных размеров поперечного сечения следует округлить результаты расчетов в большую сторону. Полученные таким образом числовые значения указаны на рис. 5, б.

Рис.5

 


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 393 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Пример 1. | Решение. | Решение. | Решение. | Пример 10. | Решение. | Схема I. Консольная балка | Схема II. Двухопорная балка. | Пример 23. | Решение. |
mybiblioteka.su — 2015-2021 год. (0.042 сек.)

Консольная балка | SkyCiv Engineering

Определение консольной балки: Что такое Консольный Луч?

Консольные балки — это элементы, которые поддерживаются только из одной точки; как правило, с фиксированной поддержкой. Для того чтобы структура была статичной, поддержка должна быть исправлена; это означает, что он способен поддерживать силы и моменты во всех направлениях. Консольный луч обычно моделируется так:

Хорошим примером консольной балки является балкон. Балкон поддерживается только на одном конце, остальная часть луча распространяется на открытое пространство; нет ничего поддерживающего это с другой стороны.

Консольное отклонение луча

Консоли отклоняют больше, чем большинство другие типы балок так как они поддерживаются только с одного конца. Это означает, что поддержка для переноса нагрузки меньше. Отклонение балки кантилевера можно рассчитать несколькими способами, включая использование упрощенных уравнений пучка кантилевера или калькуляторов пучка кантилевера и программного обеспечения (больше информации об обоих ниже).

Консольный пучковый стресс

Напряжение консоли рассчитывается на основе изгибающей силы и зависит от поперечного сечения балки.. Например, если член совсем маленький, не так много площади поперечного сечения, по которой сила распределяется по, поэтому стресс будет довольно высоким. Напряжение балки кантилевера можно рассчитать с помощью нашего учебника по как рассчитать напряжение пучка или используя Программное обеспечение SkyCiv Beam – который покажет напряжения вашего луча.

Консольный Калькулятор Луча

Получил сложную консольную балку? SkyCiv бесплатно калькулятор кантилевера позволяет моделировать и анализировать сложные балки для расчета отклонения балки кантилевера, а также многое другое.

Программное обеспечение чрезвычайно простое в использовании и не требует установки или загрузки. Добавьте свою длину члена, затем применить ряд различных точечных нагрузок, распределенные нагрузки, и моменты для вашей консольной балки, чтобы получить ваши силы реакции, диаграмма изгибающего момента, диаграмма поперечной силы, и результаты прогиба.

Бесплатный Калькулятор Луча

Консольные уравнения луча (прогиб)

Взято из нашего формула и уравнение прогиба балки страница:

Пример уравнения консольной балки можно рассчитать по следующей формуле, где:

  • W = нагрузка
  • L = длина члена
  • E = модуль Юнга
  • Я = Момент инерции луча

Бесплатный Калькулятор Луча

Сопротивление материалов i-exam ответы

Ravanda.ru
Стержень квадратного сечения со стороной b нагружен двумя силами F. Если изменить направление одной из сил на противоположное, то значение максимального нормального напряжения …
При данном варианте нагружения стержень прямоугольного сечения с размерами b и 2b испытывает …Размерность линейной деформации – …Стержень с круглым поперечным сечением, изготовленный из пластичного материала, работает на кручение. Опасным (предельным) напряжением для стержня является …
На рисунке показан стержень, работающий на кручение. Крутящий момент на среднем грузовом участке равен …
На консольную ступенчатую балку длиной  действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. Поперечное сечение левой ступени – квадрат с размерами  правая – имеет прямоугольное сечение с размерами  и . Максимальное значение нормального напряжения в балке равно …
(Концентрацию напряжений не учитывать).
Консольная балка длиной l нагружена моментом М. Значение допускаемого нормального напряжения  известно. Из расчета на прочность по нормальные напряжениям минимально допустимое значение диаметра поперечного сечения d равно …Критическим называется напряжение, возникающее в поперечном сечении сжатого стержня при значении нагрузки, вызывающей …Формула Эйлера для определения критической силы применима, если напряжения в сжатом стержне не превышают …Материал, у которого при переходе от одной точки к другой свойства, в зависимости от направления, изменяются по одному и тому же закону, является …В естественном состоянии (при отсутствии внешних сил) между частицами материала действуют силы взаимодействия, которые …Первым этапом при расчете конструкции является …Совокупность линейных и угловых деформаций по множеству направлений и плоскостей, проходящих через точку, называется ________ состоянием в точке.
Образец имел следующие размеры (см. рисунок):
а) до опыта
б) после испытаний на растяжение диаметр в месте разрыва  
Относительное остаточное удлинение к моменту разрыва и относительное остаточное поперечное сужение в месте разрыва , соответственно, имеют значения …
Однопролетная балка длиной l, высотой h нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Радиус кривизны нейтрального слоя балки в середине пролета равен . Жесткость поперечного сечения на изгиб  по всей длине постоянна. Максимальное нормальное напряжение в балке равно … (Влияние поперечной силы на изменение кривизны не учитывать).
Стержень длиной l квадратного сечения со стороной b нагружен как показано на рисунке. В точке «К», поперечного сечения расположенного вблизи заделки, напряженное состояние показано на схеме …
Схема нагружения рамы внешними силами показана на рисунке. Участок рамы I будет испытывать деформацию кручение, когда значение силы  равно …
Пусть значение касательного напряжения  в точке 1 поперечного сечения равно  тогда  касательное напряжение в точке 2 равно ___ МПа.При растяжении-сжатии прямого стержня дополнительные внутренние силы, действующие в поперечном сечении, образуют …
На рисунке показано клеевое соединение двух листов. Известно:   – допускаемое касательное напряжение на срез клеевого слоя. Минимально допустимое значение l из расчета на срез клеевого слоя равно ___ см.
Эпюра изгибающих моментов показана на рисунке. Неверным является утверждение, что поперечная сила …
Консольная балка прямоугольного сечения с размерами b и h нагружена силами F. Линейный размер . Отношение максимального нормального напряжения к максимальному касательному напряжению в балке  равно …Поперечное сечение сжатого стержня – равнобедренный треугольник шириной основания b и высотой b. При уменьшении высоты треугольника в два раза, при прочих равных условиях, значение критической силы …  При решении учитывать, что стержни, в обоих вариантах, имеют большую гибкость.
Поперечное сечение стержня состоит из четырех равнобоких уголков. Наиболее рациональная форма, с позиции устойчивости, показана на схеме …Большинство пластичных материалов при испытаниях на растяжение и сжатие …
Продольная линейная деформация стержня 1 равна  Модуль упругости материала Е и площадь поперечного сечения А стержня – известны. Значение силы F равно …
Стержень прямоугольного сечения с размерами b и 2b, длиной l нагружен внешними силами F1 и F2. Значение нормального напряжения в точке В будет равно значению нормального напряжения в точке С, когда отношение  равно …В опасном сечении круглого стержня заданы: изгибающие моменты   крутящий момент  Допускаемое напряжение для материала стержня равно  Минимально допустимое значение диаметра d, по теории наибольших касательных напряжений, равно …
Двухпролетная консольная балка с шарниром нагружена силой  Линейный размер . Максимальное значение изгибающего момента в балке по абсолютной величине равно … (кНм)При расчете балки на прочность по касательным напряжениям, когда форма и размеры поперечного сечения по длине не меняются, опасным считается сечение …  
Консольная балка длиной l имеет два варианта расположения прямоугольного поперечного сечения. Сила F, линейные размеры b и h заданы. В опасном сечении балки отношение наибольших нормальных напряжений  равно …
На рисунке показан стержень, работающий на кручение. Заданы величины:  предел текучести при чистом сдвиге  коэффициент запаса по текучести  Из расчета по допускаемым касательным напряжениям максимально допустимое значение момента М равно ____ 
На рисунке показан стержень, работающий на кручение. Крутящий момент в сечении С-С, по абсолютной величине, равен …
Стержень, показанный на рисунке, испытывает деформацию кручение.
Заданы величины: М, l, ,  – допустимый угол поворота сечения С. Условие жесткости имеет вид …
Напряженное состояние «чистый сдвиг» имеет место при нагружении тонкостенной трубки по схеме, показанной на рисунке …
Стержень длиной , диаметром  сжимается силой F. Материал стержня – сталь 3 (). Схема закрепления показана на рисунке. Значение основного допускаемого напряжения  Допускаемое значение силы F, которую можно безопасно приложить к стержню, равно ______ кН.
Стержень круглого сечения диаметром d нагружен на свободном конце силой F. На расстоянии l от свободного конца приложена, перпендикулярно оси стержня, пара сил с моментом Fl. Значение эквивалентного напряжения в опасной точке стержня равно … При решении задачи воспользоваться теорией удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности).
Стержень квадратного сечения с размерами , длиной  нагружен внешними силами 2F и F. Значение нормального напряжения в точке С равно …Оценку прочности материала при заданном напряженном состоянии в опасной точке стержня с круглым сечением проводят с использованием теорий прочности при:
а) внецентренном растяжении;
б) растяжении и плоском изгибе;
в) плоском поперечном изгибе;
г) кручении и изгибе.
При нагружении образца силами F стрелки тензометров А и В переместились на 10 делений, а стрелка тензометра С – на 3 деления. Базы тензометров – 20 мм. Цена деления шкалы тензометров – 0,001 мм. Коэффициент Пуассона материала образца по абсолютной величине равен …
Схема нагружения стержня внешними силами представлена на рисунке. Длины участков одинаковы и равны l. Третий участок стержня испытывает деформации …
Поперечное сечение стержня прямоугольник с размерами b и 2b. Плоскость действия изгибающего момента М расположена над углом  к главным центральным осям. Значение максимального нормального напряжения в данном сечении равно …
Ступенчатый стержень (см. рисунок) нагружен осевыми силами. Дано:  Максимально допустимое значение параметра F равно ____ МН.Размерность касательного напряжения …
На рисунке показан болт, нагруженный силой F. Дано:    – допускаемое касательное напряжение на срез головки болта. Минимально допустимая высота головки болта из расчета на срез равна ___ см.Стержень квадратного сечения со стороной b сжимается силой F. При замене квадратного сечения на прямоугольное шириной  и высотой  при прочих равных условиях, гибкость стержня …
Консольная балка длиной  нагружена силами  и  Сечение I–I расположено бесконечно близко в заделке. Изгибающий момент в сечении I–I равен нулю, если значение силы  равно …
Консоль длиной 2l нагружена двумя моментами. Жесткость поперечного сечения на изгиб  по длине постоянна. Прогиб свободного конца консоли равен  если значение момента М равно …Материал, у которого при переходе от одной точки к другой свойства не изменяются, называется …
В процессе деформации точки А, В, С деформируемого тела перемещаются в плоскости xoy, а прямолинейные отрезки АВ и АС поворачиваются по часовой стрелке на угол  Угловая деформация в точке А между направлениями АВ и АС, когда длины отрезков стремятся к нулю, равна …НазадДальше

Калькулятор изгибающего момента консольной балки

Калькулятор изгибающего момента консольной балки для расчета момента, прогиба, напряжения и наклона консольной балки с моментом на свободном конце.

Примечание. Используйте точку «.» как десятичный разделитель.

Примечание *: M положительно по часовой стрелке, как показано на рисунке.

Примечание **: Второй момент расчета площади несущих балок см. На странице » Калькуляторы сечений ».


РЕЗУЛЬТАТЫ
Параметр Стоимость
Сила реакции 1 [R 1 ] NkNlbf
Сила реакции 2 [R 2 ]
Поперечное поперечное усилие на расстоянии x [V x ]
Максимальное поперечное усилие сдвига [V max ]
Момент реакции 1 [M 1 ] Н * мкН * млбс * дюйм фунт-сила * фут
Момент реакции 2 [M 2 ]
Момент на расстоянии x [M x ]
Максимальный момент [M max ]
Наклон 1 [θ 1 ] радианградус, arcminarcsec
Наклон 2 [θ 2 ]
Наклон на расстоянии x [θ x ]
Максимальный наклон [θ макс ]
Концевой прогиб 1 [y 1 ] ммминчфт
Концевой прогиб 2 [y 2 ]
Прогиб на расстоянии x [y x ]
Максимальный прогиб [y max ]
Напряжение изгиба на расстоянии x [σ x ] МПапсикси
Максимальное напряжение изгиба [σ макс ]

Примечание *: R 1 и R 2 — вертикальные концевые реакции слева и вправо, соответственно, и положительны вверх.Сдвиговые силы и прогиб положительные в восходящем направлении и отрицательные в нисходящем. M 1 и M 2 — конечные моменты реакции слева и справа соответственно. Все моменты положительны при сжатии верхней части балки поперечное сечение. Все наклоны положительные, когда вверх и вправо.

Примечание. Напряжения являются положительными числами, и это величины напряжений в луч.Он не делает различий между растяжением и сжатием конструкции. луч. Это различие зависит от того, с какой стороны нейтральной плоскости луча вход соответствует.


Наклон


Прогиб


Момент

Сила сдвига

Распределенная нагрузка: Нагрузка, которая действует равномерно на элемент конструкции или на поверхность, которая поддерживает нагрузку.

Фиксированная опора: Фиксированная опора может выдерживать вертикальные и горизонтальные силы, а также момент. Поскольку они ограничивают как вращение, так и поступательное движение, их также называют жесткими опорами.

Штифтовая опора: Штифтовая опора выдерживает как вертикальные, так и горизонтальные силы, но не момент. Они позволят элементу конструкции вращаться, но не перемещаться в любом направлении. Штифтовое соединение могло допускать вращение только в одном направлении; обеспечение сопротивления вращению в любом другом направлении.

Роликовая опора: Роликовые опоры могут свободно вращаться и перемещаться вдоль поверхности, на которой опирается валик. Результирующая сила реакции всегда представляет собой единую силу, перпендикулярную поверхности. Роликовые опоры обычно расположены на одном конце длинных перемычек, чтобы обеспечить расширение и сжатие конструкции из-за изменений температуры.

Консольная балка: Консольная балка — это балка, закрепленная только на одном конце.

Конструкционная балка: Структурный элемент, выдерживающий нагрузки и моменты. Общие формы: прямоугольные сечения, двутавры, широкополочные балки и С-образные швеллеры.

Определение изгиба балки кантилевера методом оптического рычага и его приложение к поверхностным напряжениям

Консольные балки, как микроскопические, так и макроскопические, используются в качестве датчиков в самых разных областях применения. Система оптических рычагов обычно используется для определения отклонения и, следовательно, профиля кантилевера под нагрузкой.Чувствительность оптического рычага должна быть откалибрована, и это обычно достигается приложением известной нагрузки или отклонения к свободному концу кантилевера. Когда операция измерения включает в себя другой тип нагрузки или комбинацию типов нагрузок, калибровка и полученные на ее основе значения прогиба становятся недействительными. Здесь мы разрабатываем основное уравнение, которое позволяет получить истинное отклонение кантилевера просто путем измерения кажущегося прогиба для равномерно распределенных нагрузок и нагрузок конечным моментом.Эти нагрузки имеют отношение к равномерной адсорбции или наложению материала на кантилевер или к приложению поверхностного напряжения к кантилеверу и должны помочь экспериментаторам, использующим оптический рычаг, например, в атомно-силовом микроскопе, для измерения отклонений кантилевера в большом количестве. сенсорных приложений. Затем мы применяем эту обработку для экспериментальной оценки поверхностного напряжения. Получены три формы уравнения Стони, которые связывают кажущееся отклонение с поверхностным напряжением, которое справедливо как для макроскопических, так и для микроскопических экспериментов.Также представлен анализ ошибок, возникающих из-за неправильного моделирования условий нагружения кантилевера, применяемого в настоящее время в экспериментах. Показано, что опубликованные в литературе значения поверхностного напряжения в микроскопических экспериментах обычно на 9% меньше их истинного значения. Для макроскопических экспериментов мы демонстрируем, что добавленная масса пленки или покрытия обычно преобладает над измеренным прогибом и должна быть учтена точно, если должны быть выполнены измерения поверхностного напряжения.Кроме того, в сообщаемых измерениях обычно используется форма уравнения Стони, которая ошибочна, что приводит к завышению оценки поверхностного напряжения более чем в 5 раз.

Propped Cantilever — обзор

9.5 Механизм Метод проектирования

Механический или кинематический метод может использоваться для определения модуля упругости, необходимого для элементов жестких рам 6 , 7 и решеток 8 .

Предполагается, что балка с фиксированным концом, показанная на рисунке 9.10, схлопнется, когда механизм, показанный в (i), сформирован. На механизм накладывается виртуальное смещение δ , как показано в (ii), и внутренняя работа приравнивается к внешней работе. Таким образом:

Рисунок 9.10.

4Mpθ = Wuδ

Диаграмма моментов для этого механизма показана в (iii) и является удовлетворительной, так как M p нигде не превышается.

Аналогичная процедура может быть принята для определения нагрузки на обрушение данной конструкции.Предполагается механизм обрушения, как показано в (iv), и нагрузка обрушения определяется в терминах пластического момента сопротивления элементов. На механизм накладывается виртуальное смещение, как показано в (v), и приравнивание внутренней и внешней работы дает:

8Mpθ = Wuδ

Моментная диаграмма для этого предполагаемого механизма показана в (vi) и является небезопасной, поскольку M p превышает центральную часть балки. Максимально возможная нагрузка обрушения соответствует правильному механизму, показанному в (ii), и составляет:

Wu = 8 МП / л

Таким образом, нагрузки обрушения, вычисленные с помощью метода механизма, равны или превышают правильные значения.То есть виртуальный рабочий метод обеспечивает верхнюю границу нагрузки при обрушении, а правильная нагрузка при обрушении — это та, которая дает диаграмму моментов, в которой M p равно , нигде не превышается.

Правильное расположение пластиковых петель — одно из приоритетных требований виртуального рабочего метода анализа. Шарниры обычно образуются в положениях максимального момента, которые возникают на концах элемента при сосредоточенной нагрузке, и в положении нулевого сдвига в призматическом элементе, подверженном распределенной нагрузке.В случае соединения двух элементов в суставе в более слабом элементе образуется пластиковый шарнир. В случае, если три или более элемента встречаются в месте соединения, на концах каждого из элементов могут образовываться пластиковые петли. Возможное расположение пластиковых петель показано на рисунке 9.11.

Рисунок 9.11.

Положение пластмассового шарнира в элементе, подвергающемся распределенной нагрузке, зависит от значений фиксирующих моментов M p 1 и M p 2 на концах элемента, как показано на рисунке 9.12. Уравнивание внутренней и внешней работы для виртуального перемещения показано в (ii):

Рисунок 9.12.

Mp1θ + Mp2θx / (лк) + Mp3θl / (лк) = Wuδ / 2

и:

Wu = 2 (Mp1l-Mp1x + Mp2x + Mp3l) / x (лк)

x составляет минимум W u , или ∂ W u / ∂ x = 0. Таким образом:

l2 (Mp1 + Mp3) -2lx (Mp1 + Mp3) + x2 ( Mp1-Mp2) = 0

, и значение x может быть определено в любом конкретном случае.Это значение также можно легко определить с помощью диаграмм 4 . В первом приближении шарнир можно принять в центре элемента и впоследствии при необходимости отрегулировать, если известен механизм складывания.

Положение пластиковой петли в непризматическом элементе, подверженном распределенной нагрузке, зависит от изменения пластического момента M x вдоль элемента в дополнение к моментам фиксации. Балка с фиксированным концом, в которой пластический момент сопротивления изменяется линейно с расстоянием от конца, показана на рисунке 9.13. Пластиковый шарнир находится в точке, где диаграмма статического момента касается диаграммы M x , как показано в (i). Приравнивание внутренней и внешней работы к виртуальному перемещению показано на (ii):

Рисунок 9.13.

Wu = 2 (Mp1l-Mp1x + Mp2x + Mpxl) / x (lx)

Таким образом, подставив M px и приравняв ∂ W u / ∂ x к нулю, значение x может быть получено.

Различные типы независимых механизмов, которые могут вызвать обрушение конструкции, показанной на Рисунке 9.11 перечислены на Рисунке 9.14. Они могут быть классифицированы как балочные механизмы B l, B 2 , B 3 , B 4 , B 5 ; механизм качания S; двускатный механизм G ; и шарнирные механизмы J 1, J 2. Кроме того, обрушение может происходить из-за комбинации любого из этих независимых механизмов, таких как ( B 4 + J 2) и ( B 4 + J 2 + S ). В механическом методе проектирования для определения максимально необходимого значения для M p , необходимо исследовать все независимые механизмы и комбинации, которые устраняют петлю и тем самым уменьшают внутреннюю работу.Чтобы гарантировать, что ни одна комбинация не была упущена из виду, диаграмма изгибающего момента для предполагаемого механизма сжатия покажет, что M p нигде не превышается, когда предполагаемый механизм является критическим.

Рисунок 9.14.

Независимый механизм соответствует состоянию неустойчивого равновесия в конструкции. Неопределенная до степени D конструкция становится стабильной и определяемой, когда сформированы пластмассовые петли D , и образование еще одной петли приведет к механизму разрушения.Таким образом, в конструкции, в которой имеется p возможных положения шарниров, количество независимых механизмов определяется следующим образом:

mi = pD

Пример 9.4

Подвесная консоль, показанная на рисунке 9.15, изготовлена ​​из двух 12 дюймов × 1 в фланцевых пластинах и тонкой перегородке, которой можно пренебречь при определении пластического момента сопротивления. Предел текучести фланцевых пластин составляет 36 тысяч фунтов / дюйм 2 . Определите нагрузку на обрушение.

Рисунок 9.15.

Решение

Пластические моменты сопротивления на конце 1, конце 2 и на участке на расстоянии x фута от 1 равны:

Mp1 = 12 × 12fy = 144fyMp2 = 24 × 12fy = 288fyMpx = 12fy (12 + 3x / 8)

Уравнивание внутренней и внешней работы для механизма, показанного на (i):

Mp2θx / (lx) + Mpxθl / (lx) = Wuδ / 2 = Wuxθ / 2

и:

Wu = 288fy (32 + 3x) / x (32-x)

Минимальное значение W u получается приравниванием ∂ W u / ∂ x к нулю.Таким образом:

3x (32-x) = (32-2x) (32 + 3x) 3×2 + 64x-1024 = 0x = 10,67 футов

Тогда:

Wu = 288 × 36 × 64 / (10,67 × 12 × 21,33) = 243 тысячи фунтов

Пример 9,5

Жесткая рама, показанная на рисунке 9.16, имеет колонны с модулем пластического сечения 15,8 дюйма 3 и балку с модулем пластического сечения 30,8 дюйма 3 . Коэффициент формы обоих сечений составляет 1,125, а предел текучести стали составляет 50 тысяч фунтов / дюйм 2. Пренебрегая влиянием осевых нагрузок и нестабильности, определите отношение W к H для всех возможных режимов. пластиковый развал каркаса.Определите значения W и H , когда W = 1,8 H .

Рисунок 9.16.

Раствор

Пластический момент сопротивления колонн равен:

МП = 15,8 × 1,125 × 50/12 = 74,1 тысяч фунтов-фут

Пластический момент сопротивления балки:

МПб = 30,8 МПа / 15,8 = 1,95 МП

Количество независимых механизмов разрушения:

mi = pD = 5-3 = 2

, и они показаны на рисунке вместе с комбинированным механизмом ( B + S ).Повороты и смещения шарнира механизма ( B + S ) получаются как сумма вращений и перемещений механизма B и механизма S. Таким образом, шарнир в точке 2 исключается, поскольку есть вращение. θ закрытие в случае механизма B и θ открытие в случае механизма S Аналогично, петля на 3 поворачивается на 2 θ закрытие, так как вращение там составляет θ закрытие в случае механизма B и закрытие θ в случае механизма S .Кроме того, выполненная внешняя работа является суммой внешней работы, выполненной в корпусах механизма B и механизма S , поскольку смещения приложенных нагрузок являются суммой соответствующих смещений в механизме B и механизме . Шкафы S .

Для механизма B :

2Mp + 2 × 1,95Mp = 20WW / Mp = 0,295

Для механизма S :

4Mp = 20HH / Mp = 0,20

Для механизма (B + S):

4Мп + 2 × 1.95Mp = 20W + 20HW / Mp + H / Mp = 0,396

Эти три выражения могут быть нанесены на диаграмму взаимодействия, показанную на рисунке 9.17. Режим обрушения для конкретного отношения W к H определяется путем построения линии с наклоном, равным этому отношению. Выражение механизма, которое эта линия сначала пересекает, дает режим коллапса.

Рисунок 9.17.

Когда W = 1,8 H, механизм ( B + S ) управляет и:

W + H = 0.396 × 74,1 = 2,8H

Пример 9,6

Жесткая рама с двумя отсеками, показанная на рисунке 9.18, изготовлена ​​из элементов однородного сечения, имеющих коэффициент формы 1,15 и предел текучести 50 тысяч фунтов / дюйм 2 . Пренебрегая влиянием осевых нагрузок и нестабильности, определите требуемый модуль упругости пластического сечения, чтобы обеспечить коэффициент нагрузки от разрушения Н = 1,75.

Рисунок 9.18.

Решение

Количество независимых механизмов разрушения:

mi = p-D = 10-6 = 4

, и они показаны на рисунке вместе с рядом комбинированных механизмов.

Для механизма B 1:

4Mp = 12 × 2NMp = 6N тысяч фунтов на фут

Для механизма B 2:

4Mp = 6 × 4NMp = 6N тысяч фунтов на фут

Для механизма S :

6Mp = 12 × 2NMp = 4N тысячных фунтов на фут

Для механизма (B1 + S):

8Mp = 24N + 24NMp = 6N тысяч фунтов на фут

Для механизма (B1 + S + J):

9Mp = 24N + 24N + 0Mp = 5,33N тысяч фунтов на фут

Для механизма (BI + B2 + S + J):

11Mp = 24N + 24N + 24N + 0Mp = 6,55N тысяч фунтов на фут

и этот механизм управляет, поскольку M p нигде не превосходит по конструкции, как показано в Примере 9.11. Требуемый модуль упругости пластического сечения составляет:

S = 6,55 × 1,75 × 12 / (50 × 1,15) = 2,4 дюйма3

Пример 9,7

Элементы жесткой рамы, показанные на рисунке 9.19, имеют относительные пластические моменты сопротивления. показан в окружении, и рама должна разрушиться под показанной нагрузкой. Предполагая в первом приближении, что пластиковые шарниры возникают либо в соединениях, либо в середине пролета элементов, и пренебрегая эффектами осевых нагрузок и нестабильности, определите необходимые пластические моменты сопротивления.

Рисунок 9.19.

Решение

Количество независимых механизмов разрушения:

mi = p-D = 16-9 = 7

, и они показаны на рисунке вместе с несколькими комбинированными механизмами.

Для механизма B 1:

4Mp = 10 × 10 / 2Mp = 12,5 тысяч фунтов на фут

Для механизма B 2 и B 3:

8Mp = 20 × 10 / 2Mp = 12,5 тысяч фунтов на фут футов

Для механизма S 1:

4Mp = 3 × 12Mp = 9 тысяч фунтов на фут

Для механизма S 2:

12Mp = 9 × 15Mp = 11.25 тысяч фунтов на фут

Для механизма ( S 1 + S 2 + B 2 + J 1):

19 МП = 36 + 135 + 100 + 0 МП = 14,25 тысяч фунтов на фут

Для механизма ( S 1 + B 1):

6Mp = 36 + 50Mp = 14,33 тысяч фунтов на фут

Для механизма ( S 1 + S 2 + B 1 + B 2 + B 3 + J 1 + J 2):

26Mp = 36 + 135 + 50 + 100 + 100Mp = 16,2 kip-ft

и этот механизм управляет, поскольку моменты сопротивления пластика нигде не превышаются, поскольку показано в Примере 9.12.

Пример 9.8

Элементы балки Виренделя, показанные на рисунке 9.20, имеют относительные пластические моменты сопротивления, показанные в кружках. Коэффициент формы сечения составляет 1,15, предел текучести стали составляет 50 тысяч фунтов / дюйм 2 , а требуемый коэффициент нагрузки против разрушения составляет Н, = 1,75. Пренебрегая влиянием осевых нагрузок и нестабильности, определить требуемые модули упругого сечения.

Рисунок 9.20.

Решение

Количество независимых механизмов разрушения:

mi = p-D = 16-9 = 7

, и они показаны на рисунке вместе с несколькими комбинированными механизмами.

Для механизма S 1:

10Mp = 10 × 10NMp = 10N тысяч фунтов на фут

Для механизма S2:

8Mp = 10 × 10NMp = 12,5N тысяч фунтов на фут

Для механизма S3:

10Mp = 20 × 10 НМп = 20 Н тысяч фунтов на фут

Для механизма (S1 + S2 + 2J):

10 МП = 100 Н + 100 Н + 0 МП = 20 Н тысяч фунтов на фут

Для механизма (S3 + 2J):

10 МП = 200 Н + 0Mp = 20N тысяч фунтов-фут

, и этот механизм регулируется, поскольку моменты пластического сопротивления нигде не превышаются, как показано в Примере 9.13.

Требуемый модуль упругости сечения для элементов центральной стойки составляет:

S = 20 × 1,75 × 12 / (50 × 1,15) = 7,30 дюйма3

Пример 9.9

Изготовлена ​​ребристая портальная рама, показанная на рисунке 9.21. из элементов однородного сечения и должен разрушиться под указанной нагрузкой. Пренебрегая влиянием осевых нагрузок и нестабильности, определяют пластический момент сопротивления.

Рисунок 9.21.

Решение

Независимый и комбинированный механизмы показаны на рисунке.В случае двускатного механизма необходимо построить диаграмму перемещений, показанную для определения относительного поворота элементов. Элемент 23 вращается θ, и элемент 4 перемещается на расстояние 44 ‘по горизонтали. Точка 3 должна двигаться перпендикулярно исходным направлениям 23 и 34, и получится точка 3 ‘. Вращение элемента 45 составляет:

44 ′ / l45 = 20θ / 20 = θ

Вращение элемента 34 составляет:

3′4 ′ / l34 = θ

Таким образом, поворот шарнира в точке 4 равен 2 θ , а петли в точке 3 — 2 θ.

Для механизма B :

4Mp = 10 × 2WMp = 5W

Для механизма S :

4Mp = 20 × WMp = 5W

Для механизма G :

6Mp = + 10 × 2WMp = 6,67W

Для механизма ( G + S ):

8Mp = 40W + 20WMp = 7,5W

Для механизма ( G + 2 B ):

10Mp = 40W + 40WMp = 8W

Для механизма ( G + 2 B + 3 S ):

16Mp = 40W + 40W + 60WMp = 8.75W

и этот механизм управляет, так как это значение M p нигде не превышает.

Пример 9.10

Одноэтажная многоэтажная рама, показанная на рис. 9.22, состоит из ярусов по яруса, каждый высотой л . Пластический момент сопротивления каждой балки составляет M p , а стойки являются бесконечно жесткими. Коэффициент нагрузки Н 1 = 1,75 требуется против обрушения из-за только вертикальных нагрузок, а коэффициент нагрузки Н 2 = 1.4 требуется против обрушения, связанного с ветровыми нагрузками. Определите значение n в единицах W / H для всех возможных режимов свертывания рамы.

Рисунок 9.22.

Решение

Балка, качание и комбинированные механизмы показаны на рисунке.

Для механизма B :

4Mp = N1WlMp = N1Wl / 4 = 7 Wl / 16

Для механизма S :

2nMp = N2lH {1 + 2 + ⋯ + (n-1) + n / 2} = N2lH [(n-1) {1+ (n-1)} / 2 + n / 2] = N2lHn2 / 2Mp = N2lHn / 4 = 5.6lHn / 16

Для механизма ( B + S ):

4nMp = N2Wln + N2lHn2 / 2Mp = N2l (2W + Hn) / 8=2,8l (2W + Hn) / 16

Таким образом, механизм B управляет, когда n < W /2 H ; механизм S управляет, когда n > 2 W / H ; и механизм ( B + S ) управляет, когда W /2 H < n <2 W / H .

F320 Тензодатчик консольного кронштейна с отклонением момента

F320 основан на структуре обычного бинокулярного луча с восемью тензодатчиками, сконфигурированными для обеспечения высокой степени компенсации отклонения от оси и подавления момента.При таком измерении весоизмерительный датчик с бинокулярным лучом приведет к очень небольшим ошибкам даже при относительно больших изменениях точки приложения силы. Тензодатчик с консольным кронштейном в полной мере использует эту характеристику и специально предназначен для приложений, в которых используются большие моменты / рычаги момента как часть конструкции системы, а не просто для компенсации типичного смещения. Технический паспорт продукта дает общую схему для широкого диапазона нагрузок, основанную на разумном максимальном плече момента.Тензодатчики Standard F320 спроектированы так, чтобы выдерживать полную номинальную нагрузку при полной консоли 500 мм. Технические характеристики характеристики основаны на этом наихудшем положении плеча момента, хотя наша стандартная калибровка выполняется при минимальном плече момента, если не указано иное.

Настоятельно рекомендуется связаться с нашим инженерным отделом при рассмотрении тензодатчика с консольным кронштейном, поскольку F320 сильно зависит от приложений. Мы можем предложить как специальные варианты дизайна, так и варианты калибровки в зависимости от ваших требований.Например, важно, чтобы мы знали не только о силе, которую нужно измерить, но и о диапазоне рычагов момента, при котором может быть приложена любая заданная нагрузка. Это может повлиять на наши процедуры калибровки, например, на положение калибровки по умолчанию. Ниже подробно описаны несколько типичных приложений.

В обоих случаях, описанных выше, оптимальной точкой калибровки является не поверхность тензодатчика, что является нашей стандартной практикой. Путем калибровки среднего диапазона ожидаемого отклонения в плечах момента можно значительно уменьшить общую ошибку для отдельной точки.В частности, в случае применения волнового резервуара изменение плеча момента очень мало. Однако даже самое короткое плечо момента очень велико. Ошибка калибровки, выполненной на лицевой стороне тензодатчика по сравнению со средней точкой плеча минимального и максимального момента, будет значительной.

Хотя стандартная конструкция основана на плече максимального момента, на самом деле именно индуцированный момент является ограничивающим фактором для емкости датчика нагрузки. Следовательно, пропорционально меньшая нагрузка может быть так же легко приложена к большему моменту плеча без повреждения датчика.Однако в этом случае ошибка может составлять больший процент от приложенной нагрузки. Роботизированная рука, например, может поднимать меньший вес на большем расстоянии, но точность может быть немного снижена.

Оценка ошибок

Оценка ошибок при разработке продукта проводилась в соответствии со строгой методологией. Прототипы весоизмерительных датчиков были откалиброваны в соответствии с нашими обычными высокими стандартами для получения контрольных данных, прежде чем подвергнуться полной нагрузке на момент в 12 этапов, чтобы полностью охарактеризовать их поведение.Данные для различных приложенных нагрузок при разном моменте рычагов были сведены в таблицу и обработаны с использованием прямой математики. Следующие графики относятся к нагрузочному элементу 5 кН при испытании консольного момента.

F320 Результаты прототипа 5 кН для ошибок, вызванных приложенной нагрузкой и моментом плеча

График ошибки плеча момента (вверху) отображает ошибку приложенной нагрузки в зависимости от увеличения длины плеча момента для выбора приложенных нагрузок. Можно видеть, что изменение приложенной нагрузки имеет очень небольшой эффект, так как все четыре линии почти идеально наложены друг на друга.График ошибки приложенной нагрузки (справа) более четко показывает преобладание эффекта увеличения длины плеча момента. Оба графика показывают, что ошибка в процентах от приложенной нагрузки линейно связана с длиной плеча момента, в то время как эффекты изменения приложенной нагрузки при фиксированном плече момента и сами увеличивающиеся моменты незначительны. Такой же характер результатов был обнаружен для внеосевых нагрузок до 250 мм по обе стороны от центральной линии плеча момента. Следующие параметры являются типичными для всех диапазонов, указанных в технических паспортах:

Проще говоря, мы можем ожидать не более 1% погрешности AL для любой приложенной нагрузки при любой длине консоли с моментом в пределах проектных 500 мм.Мы также можем ожидать не более 0,25% погрешности AL для любой приложенной нагрузки на любом расстоянии, смещенном от центральной линии плеча момента в пределах ± 250 мм. Эти ошибки не зависят друг от друга, и поэтому их следует комбинировать, если присутствуют обе ситуации. Это дает максимальную ошибку AL 1,25% для нагрузки, расположенной в любом месте в пределах плоского квадрата 500 мм, как упоминалось ранее.

Тот факт, что длина плеча момента более важна, чем величина самого момента, предполагает, что большая часть ошибки связана с жесткостью плеча момента, используемого в нашей установке.Это подтверждается по сравнению с более низкой индуцированной ошибкой от внеосевых нагрузок, поскольку плечо момента, используемое в наших испытаниях, имеет более высокую жесткость на кручение, чем осевая жесткость. Это не означает, что используемое оборудование является плохим или нерепрезентативным для типичного реального приложения. Просто в идеальном мире мы использовали бы балку бесконечной жесткости, поскольку изгибающие эффекты, вызванные отклонением моментного плеча, будут создавать посторонние силы, как показано на диаграмме ниже.

Трудно дать точное значение погрешности для нашей установки консольного момента.Полученные на его основе оценки ошибок будут, по крайней мере, консервативными, и тензодатчики, вероятно, будут работать даже лучше в реальных приложениях. С моментным плечом повышенной жесткости погрешность будет в несколько раз больше, чем указано. Однако такое плечо момента, вероятно, будет чрезвычайно тяжелым, а масса тары будет довольно большой. В любом случае погрешность приложенной нагрузки менее 1% на половине метра является исключительной при рассмотрении характеристик погрешности датчика нагрузки ручного тормоза F319, который дает номинальную погрешность приложенной нагрузки менее 1% по ширине ладони человека.Геометрия балочной конструкции F320 также обеспечивает превосходную естественную устойчивость к боковым нагрузкам. Это сопоставимо с характеристиками активной компенсации датчика F300, например:

При установке тензодатчика F320 следует учитывать, что 8 крепежных отверстий с обеих сторон являются глухими отверстиями с ограниченной глубиной резьбы. Следовательно, для обеспечения характеристик, указанных в паспорте, следует использовать правильное резьбовое зацепление (номинальное значение 10 мм). Также следует использовать правильные значения крутящего момента для винтов.Это 46 Нм при использовании винтов с покрытием или 61 Нм для винтов без покрытия. Обычно мы рекомендуем использовать винты класса 10.9 или выше. Размер и количество этих креплений намеренно завышены для того, чтобы можно было использовать полное плечо консольного момента 500 мм, при этом болты не были самым слабым звеном, даже при перегрузке в безопасных пределах. Таким образом, тензодатчик всегда будет отображать нулевой сдвиг задолго до приложения критической нагрузки. Это стандартная функция безопасности для этого типа тензодатчика.

Имейте в виду, что любой момент, превышающий указанный максимум, может вызвать необратимое смещение нуля. Здесь тензодатчик не возвращается к идеальному нулю при снятии приложенной нагрузки. Наши инженеры будут рады обсудить специальные варианты, когда полная нагрузка на полметра недостаточна для вашего предполагаемого применения или где требуются специальные калибровки. Учтите, что даже очень небольшая осевая нагрузка на большом расстоянии может вызвать чрезмерный момент. С нашей установкой для консольного рычага с моментом вращения мы можем предложить калибровку в любой момент на длине руки до одного метра.Это полезно, если тензодатчик должен использоваться на плече с фиксированным моментом или центрироваться вокруг точки, как в примерах, показанных на диаграммах на стр. 1. Мы также рады предложить тензодатчики, рассчитанные на большую длину плеча момента, но мы не сможем предложить полную количественную калибровку на длине более одного метра.

Рабочий пример

Весоизмерительный элемент на кронштейне F320 5 кН используется для поддержки вертикальной стойки и лопастной конструкции для приложения силы сопротивления волнового резервуара (см. Диаграмму на стр. 1).Когда вода находится на минимальной глубине, сила сопротивления 1 кН действует через центр давления, который находится на расстоянии 1100 мм от поверхности тензодатчика. (Это приемлемо, поскольку комбинация не превышает номинальную нагрузку тензодатчика или максимально допустимый момент). Когда вода находится на полной глубине, сила сопротивления 1,75 кН действует через центр давления, который находится на расстоянии 800 мм от поверхности тензодатчика. Максимальные возможные ошибки для двух экземпляров показаны ниже.

На минимальной глубине:

Следовательно, тензодатчик может показывать всего 978 Н для приложенной нагрузки 1 кН.

На максимальной глубине:

Следовательно, тензодатчик может показывать 1722 Н при приложенной нагрузке 1,75 кН.

Фактическое отклонение от приложенной нагрузки больше во втором варианте нагружения. Однако с точки зрения погрешности в процентах от приложенной нагрузки тензодатчик по своей природе более точен при меньших плечах момента. И это несмотря на то, что сам момент больше для второго варианта нагружения.

Если бы датчик веса F320 был откалиброван в среднем диапазоне возможных рычагов момента, в данном случае 950 мм, воспринимаемые ошибки были бы значительно меньше.(Обратите внимание, что 950 мм — это как раз в пределах нашей калибровочной емкости).

На минимальной глубине:

Следовательно, тензодатчик может показывать всего 997 Н для приложенной нагрузки 1 кН.

На максимальной глубине:

Следовательно, тензодатчик может показывать 1755,25 Н при приложенной нагрузке 1,75 кН.

При калибровке среднего диапазона процент ошибок приложенной нагрузки становится примерно равным этой средней точке. Ошибки в этом случае также, как правило, намного меньше.Вот почему мы всегда стремимся точно воспроизвести реальное приложение с помощью наших калибровок. Перед покупкой рекомендуется обсудить механику с нашими инженерами, чтобы мы могли предложить наилучшее обслуживание.

Диаграмма усилия сдвига и изгибающего момента консольной балки

NEWS | ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ | ЛИСТ

Итак, в этом уроке мы собираемся объяснить вам, как нарисовать диаграмму поперечной силы и изгибающего момента в случае консольной балки, несущей равномерно распределенную нагрузку и точечную нагрузку.

Он несет равномерно распределенную нагрузку «UDL» 0,8 кН / м на расстоянии 1,5 м от свободного конца, а также точечную нагрузку 2 кило ньютон на расстоянии 1,5 м от свободного конца.

Теперь, из-за особого правила нисходящего действия, в точке A реакция является прямой прямой, и мы должны выяснить эту реакцию.

Согласно расчетам диаграммы поперечных сил, восходящие силы заданы отрицательными, а нисходящие — положительными.

Поскольку на последнюю точку «B» действует сила, в результате сила сдвига в точке B = 0 кН
Кроме того, сила сдвига в точке C справа = 0,8 x 1,5 = 1,2 кН ​​(без учета точечной нагрузки)
Сила сдвига при C = 1,2 + 2 = 3,2 кН ​​
Сила сдвига при A = сила сдвига при C = 3,2 кН ​​
В результате реакция RA = 3,2 кН ​​

В результате в точке B он равен нулю, а в точке C справа — 1,2. Следовательно, будет наклонная линия.После этого возникает точечная нагрузка, которая представляет собой прямую линию 2 кН. Таким образом, общая нагрузка составит 3,2 кН. Нет никакой дополнительной силы, действующей между C и A. Следовательно, это будет горизонтальная линия. Кроме того, поперечная сила в точке A составляет 3,2 кН.

Для расчета изгибающего момента UDL преобразуется в точечную нагрузку. Следовательно, 0,8 x 1,5 — это нагрузка UDL.

Расчет изгибающего момента
Изгибающий момент в точке B равен 0, поскольку это конечная точка.
Изгибающий момент при C = — 0,8 x 1,5 x 0,75 = — 0,9 кН м

Таким же образом, изгибающий момент при A = — 0,8 x 1,5 x (0,75 + 1,5) — 2 x 1,5 = — 5,7 кН м

Будет парабола и наклонная прямая. Значения будут 0,8 кН м и 5,7 кН м.

Для расчета воспользуйтесь приведенными ниже ссылками: civilengineer.webinfolist.com

Для получения дополнительных сведений см. Следующий учебный курс.

Лектор: CHINMAYACADEMY

Изображение предоставлено: Civilengineer.webinfolist.com

7.4 Консольный метод | Узнайте о структурах

Консольный метод очень похож на портальный метод. По-прежнему ставим петли посередине балок и колонн. Единственное отличие состоит в том, что для метода кантилевера вместо того, чтобы сначала находить сдвиги в колоннах с использованием предположения, мы найдем осевую силу в колоннах, используя предположение.

Предположение, которое используется для определения осевой силы колонны, состоит в том, что вся рама будет деформироваться в поперечном направлении, как одна вертикальная консоль. Эта концепция показана на рисунке 7.8. Когда консоль деформируется в поперечном направлении, она имеет профиль деформации по всей своей толщине, где одна грань кантилевера находится в состоянии растяжения, а противоположная сторона — в сжатом, как показано в правом верхнем углу рисунка. Поскольку в общем случае можно предположить, что плоские секции остаются плоскими (см. Главу 5), профиль деформации является линейным, как показано.Относительные значения деформации растяжения и сжатия зависят от положения нейтральной оси изгиба, которая, в свою очередь, зависит от формы поперечного сечения кантилевера.

Рисунок 7.8: Консольный метод приближенного анализа неопределенных кадров

Консольный метод предполагает, что вся рама будет деформироваться в поперечном направлении так же, как и вертикальный консоль. Расположение нейтральной оси всего каркаса определяется с учетом площадей поперечного сечения и расположения колонн на каждом этаже:

\ begin {Equation} \ boxed {\ bar {x} = \ frac {\ sum_i (A_ {i} x_ {i})} {\ sum_i A_ {i}}} \ label {eq: frame-нейтральная-ось } \ tag {1} \ end {формула}

, где $ \ bar {x} $ — горизонтальное расстояние между положением нейтральной оси и нулевой точкой, $ A_ {i} $ — площадь столбца $ i $, а $ x_i $ — горизонтальное расстояние между столбцом. $ i $ и нулевая точка.Нулевое положение не имеет значения, но обычно устанавливается как положение крайнего левого столбца.

Как только мы узнаем расположение нейтральной оси, исходя из предположения, что рама ведет себя как вертикальный кантилевер, мы знаем, что осевая деформация в каждой колонне будет пропорциональна расстоянию этой колонны от нейтральной оси, точно так же, как деформация в любом расстояние $ x $ от нейтральной оси кантилевера пропорционально расстоянию $ x $. Поскольку мы предполагаем, что все наши материалы являются линейными (напряжение линейно относительно деформации), это также означает, что осевое напряжение в каждом столбце пропорционально его расстоянию от нейтральной оси рамы.Кроме того, колонны с одной стороны от нейтральной оси будут в растяжении, а колонны с другой стороны от нейтральной оси будут в сжатии. Профиль линейного осевого напряжения для образца конструкции показан в нижней части рисунка 7.8. Если мы предположим неизвестное значение напряжения в левом столбце ($ \ sigma_1 $ на рисунке), то можно использовать метод кантилевера, чтобы найти напряжение в двух других столбцах как функцию их относительного расстояния от нейтральной оси как показано на рисунке. По этим относительным напряжениям мы можем определить силу в каждой колонне как функцию напряжения $ \ sigma_1 $.Затем, используя глобальное равновесие моментов, мы можем решить для $ \ sigma_1 $ и, следовательно, для осевой силы в каждом столбце. С этого момента структура снова разбивается на отдельные диаграммы свободного тела между шарнирами, как это было сделано для портального метода, и все оставшиеся неизвестные силы на шарнирах находятся с использованием равновесия.

Поскольку этот метод основан на поведении рамы как изгибаемой консольной балки, он обычно должен быть более точным для более тонких или более высоких конструкций, тогда как портальный метод может быть более точным для критически важных для сдвига рам, таких как приземистые или короткие конструкции.

Пример

Детали процесса метода кантилевера будут проиллюстрированы с использованием того же примера структуры, который использовался для метода портала (ранее показанного на рисунке 7.4).

Наиболее важной частью анализа консольного метода является определение осевых сил в колоннах на каждом этаже. Мы начнем с главного сюжета, показанного в верхней части рисунка 7.9.

Рисунок 7.9: Пример метода кантилевера — определение осевых сил колонны

Во-первых, мы должны найти положение нейтральной оси для рамы при разрезе на верхнем этаже, используя уравнение \ eqref {eq: frame-нейтраль-ось} (площади поперечного сечения колонны одинаковы для обоих этажей и показаны на рисунке 7.4):

\ begin {align *} \ bar {x} & = \ frac {\ sum_i (A_ {i} x_ {i})} {\ sum_i x_ {i}} \\ \ bar {x} & = \ frac { {10 \, 000} (0) + {20 \, 000} (5) + {15 \, 000} (10)} {{10 \, 000} + {20 \, 000} + {15 \, 000 }} \\ \ bar {x} & = 5.555 \ mathrm {\, m} \ end {align *}

, где положение левого столбца выбрано в качестве нулевой точки.

Зная положение нейтральной оси (как показано на верхней диаграмме рис. 7.9), мы можем определить осевое напряжение во всех колоннах верхнего этажа. Мы сделаем это с точки зрения напряжения в левом столбце, которое мы назовем $ \ sigma_2 $, как показано.Напряжение в среднем столбце будет равно $ \ sigma_2 $, умноженному на отношение расстояния от второго столбца до нейтральной оси к расстоянию от первого столбца до нейтральной оси:

\ begin {align *} \ left (\ frac {0.56} {5.56} \ right) \ sigma_2 = 0.1 \ sigma_2 \ end {align *}

Аналогично, напряжение в правом столбце будет:

\ begin {align *} \ left (\ frac {4.44} {5.56} \ right) \ sigma_2 = 0.8 \ sigma_2 \ end {align *}

По этим напряжениям мы можем определить силу в колоннах, умножив напряжение в каждой колонне на ее площадь поперечного сечения, как показано на верхней диаграмме на Рисунке 7.9. Кроме того, левая и средняя колонки находятся на стороне растяжения нейтральной оси, поэтому стрелки осевой силы колонны будут указывать вниз, как показано (натяжение колонны), а правая колонка находится на стороне сжатия нейтральной оси, поэтому стрелка осевой силы колонны для этой колонны будет указывать вверх, как показано.

Теперь мы можем использовать моментное равновесие на диаграмме свободного тела верхнего этажа на рис. 7.9, чтобы найти неизвестное напряжение. Воспользуемся моментом около точки f:

.

\ begin {align *} \ curvearrowleft \ sum M_f & = 0 \\ -100 \ mathrm {\, kN} (2 \ mathrm {\, m}) — A_ {col2} (0.2} & \ end {align *}

Это результирующее напряжение в левом столбце можно снова включить в уравнения для силы в каждом столбце, показанном на рисунке, чтобы получить силы $ 18.2 \ mathrm {\, kN} \ downarrow $ в левом столбце, $ 3.6 \ mathrm {\ , kN} \ downarrow $ в среднем столбце и $ 21.8 \ mathrm {\, kN} \ uparrow $ в правом столбце.

Для нижнего этажа области столбцов такие же, поэтому нейтральная ось будет расположена в том же месте, как показано на нижней диаграмме на рис. 7.9. Это означает, что относительные напряжения также будут такими же.Чтобы снова найти напряжения в левом столбце для нижнего этажа ($ \ sigma_1 $), нам нужно взять диаграмму свободного тела всей конструкции над шарниром в середине нижнего столбца (как показано на рисунке). 2} & \ end {align *}

Это результирующее напряжение в левом столбце можно снова включить в уравнения для силы в каждом столбце, показанном на рисунке, чтобы получить силы в 63 доллара.6 \ mathrm {\, kN} \ downarrow $ в левом столбце, $ 12.7 \ mathrm {\, kN} \ downarrow $ в среднем столбце и $ 76.4 \ mathrm {\, kN} \ uparrow $ в правом столбце.

С этого момента метод решения такой же, как и для метода портала. Разделите каждый этаж диаграмму свободного тела на отдельные диаграммы свободного тела с вырезами в местах шарниров, а затем методично поработайте, используя равновесие, чтобы найти все неизвестные силы в прорезях шарниров. Этот процесс показан на рисунке 7.10.

Рисунок 7.10: Пример консольного метода — анализ внутренних сил стержня в местах шарниров

Как и в примере с портальной рамой, диаграммы свободного тела на рис. 7.10 помечены цифрами в серых кружках, чтобы показать предлагаемый порядок решения всех неизвестных сил. Конечно, как и раньше, шаг 0 и шаг 1 состоят из известных значений, вызванных либо внешними силами, либо предыдущим этажом (для шага 0), либо осевыми силами колонны, которые были решены с использованием допущений метода кантилевера (для шага 1).Остальные неизвестные решаются с использованием вертикального, горизонтального или моментного равновесия.

После того, как все неизвестные силы на шарнирах найдены, диаграммы сдвига и момента для рамы могут быть построены с использованием тех же методов, которые использовались для ранее описанного примера анализа портального метода. Окончательные диаграммы сдвига и момента для этого анализа показаны на рисунке 7.11. На этом рисунке показаны оба значения из этого анализа кантилеверного метода в сравнении с результатами предыдущего примера анализа портального метода (в квадратных скобках).Это показывает, что с существенно другим набором допущений для этого примера рамы, мы получаем аналогичные диаграммы сдвига и момента, используя два разных метода.

Рисунок 7.11: Пример метода кантилевера — Полученные диаграммы сдвига и момента рамы

Частотное уравнение изгибной вибрирующей консольной балки с учетом вращательного инерционного момента прикрепленной массы

Основная цель данной статьи — обратиться к выводу частотного уравнения изгибной вибрирующей консольной балки с учетом изгибающего момента, создаваемого дополнительной массой в свободный конец балки, а не только усилие сдвига.Это трансцендентное уравнение с двумя однозначными параметрами физического смысла. И влияние двух параметров на характеристики частоты и формы моды было сделано. Результаты показывают, что инерционный момент массы оказывает значительное влияние на собственную частоту и форму формы. И более разумно использовать это частотное уравнение для анализа вибрации и измерения модуля.

1. Введение

Консольная балка представляет собой простую конструкцию и является важной упрощенной моделью для решения многих инженерных задач в области машиностроения, гражданского строительства и т.д.Однако существует огромное количество работ, посвященных определению собственных частот консольной балки при различных граничных условиях, которые можно найти в классической книге [1]. И все больше и больше вопросов консольной балки со сложными граничными условиями [2] или условиями внешней нагрузки [3, 4] изучается теоретическим выводом [5] или численным методом [6], или это приложение для определения модуля Юнга [7 ].

Модель консольной балки также используется в инженерно-геологическом проектировании землетрясений в качестве упрощенной модели [8] для реакции грунта на землетрясение.Это также основной принцип измерения динамического модуля сдвига грунта, который является незаменимым параметром для анализа реакции площадки на землетрясение, вызванное грунтом в дальней зоне. Аппарат, используемый для получения динамического модуля сдвига, хорошо известен как аппарат с резонансной колонной. Столб грунта, установленный в этом устройстве, приводится в движение электромагнитной силой на свободном конце [9], вызывая его крутильные колебания. Если возникает изгибная вибрация столба грунта, можно получить динамический модуль Юнга, который также является важным параметром для динамического анализа площадки, подверженной колебаниям грунта в ближней зоне.По сути, необходимо частотное уравнение изгибно колеблющейся консольной балки с дополнительной массой. Однако на частоту колебаний и режим формы столба грунта влияет не только сила сдвига, но и сила момента, создаваемая движением дополнительной массы, прикрепленной к свободному концу столба грунта. Таким образом, необходимо обсудить влияние этих двух сил на колебания столба грунта. Cascante et al. [10] получили частотное уравнение этой колебательной задачи, используя метод Рэлея, предполагая, что форма моды является полиномом третьего порядка.Лаура [11] вывела частотное уравнение консольной балки, присоединяющей дополнительную массу, которая рассматривается как поперечная сила, действующая на свободный конец балки, но не учитывает моментную силу, создаваемую массой. А недавно Gürgöze [12–14] изучает собственные частоты консольной балки, несущей концевую массу или пружинную массу.

В работе предпринята попытка вывести частотное уравнение консольной балки, чтобы получить более точное решение для столба грунта и проанализировать частотные характеристики этой системы, на которые влияет изгибающий момент, создаваемый дополнительной массой.

2. Уравнение изгибного движения консольной балки с дополнительной массой

Рассматриваемая изгибная консольная балка представляет собой прямую однородную балку с дополнительной жесткой массой, прикрепленной посредством неподвижного соединения. Предполагается, что важными физическими свойствами этой балки являются жесткость на изгиб и масса на единицу длины, которые постоянны по длине пролета. Реакция на поперечное смещение является функцией положения и времени. Уравнение движения свободной вибрации для системы, показанной на рисунке 1, легко сформулировать, напрямую выражая равновесие всех сил, действующих на дифференциальный сегмент балки.И это становится [15] Поскольку и являются постоянными, одна форма решения этого уравнения может быть получена путем разделения переменных с использованием, что указывает на то, что свободное колебательное движение имеет определенную форму, имеющую зависящую от времени амплитуду. Подставив это уравнение в (1), можно получить два обыкновенных дифференциальных уравнения, в которых, и — круговая частота. Эти уравнения имеют следующие решения по отдельности: в которых константы и зависят от начальных условий смещения и скорости; и действительные константы должны быть оценены так, чтобы удовлетворять известным граничным условиям на концах балки.


Рассматриваемая консольная балка имеет фиксированный конец, поэтому два известных граничных условия: Использование (5) и его первая частная производная по отношению к, из (6) получается и, Таким образом, (5) становится дополнительным жестким Масса, имеющая вращательный момент инерции, прикреплена к ее свободному концу посредством неподвижного соединения, как также показано на рисунке 2. Эти компоненты внутренней силы находятся вместе с поступательной и вращательной составляющими инерционной силы и, соответственно. Таким образом, силовое и моментное равновесие дополнительной массы требует, чтобы граничные условия использовали (5) и его первую, вторую и третью частные производные по и подставляли их в (8) yieldFor, чтобы коэффициенты и были отличны от нуля, определяющий фактор Квадратная матрица в этом уравнении должна быть равна нулю, что дает частотное уравнение, которое может быть приведено к следующей форме с использованием параметра Setting — степенная функция частоты изгибающейся вибрирующей консольной балки.И настройка представляет собой отношение момента инерции вращающейся массы для дополнительной массы и для жесткой массы, имеющей длину поворотного плеча; и — отношение массы дополнительной массы к балке консоли. Таким образом, частотное уравнение становится трансцендентным уравнением, содержащим два параметра с однозначным физическим смыслом. Решение этого уравнения, которое представляет собой частоту системы изгибно колеблющейся консольной балки, пока может быть получено только численным методом.


3. Решение частотного уравнения

Чтобы решить частотное уравнение, член правой части (13) можно переместить в левую часть, а затем предположим, что левая часть равна. И эквивалентен (13). Предположим, что параметры и являются постоянными, а затем можно вычислить и построить взаимосвязь между и, как показано на рисунке 3, на котором параметры и. Однако значение резко возрастает. Таким образом, ось -ax изменяется на, чтобы показать, что кривая, очевидно, идет вверх и вниз по оси -ax.Точки пересечения кривой и оси, отмеченные на рисунке 3 кружками, являются корнями уравнения, а его приближенные корни могут быть получены с использованием численных методов решения системы нелинейных уравнений, таких как метод деления пополам и метод Ньютона.


Для конкретной системы, где определены и, можно получить решение частотного уравнения (13). И корни параметра меняются с параметрами и. На рисунках 4 и 5 показаны их эффекты.С увеличением параметра корень увеличивается идентично сигмовидной функции, как показано на рисунке 4. Это означает, что частота системы будет увеличиваться, если момент инерции вращающейся массы для дополнительной массы увеличивается. И скорость прироста вокруг больше, чем у других. Например, приращение в диапазоне от 0,1 до 10 является самым быстрым в то время как. С увеличением параметра корень уменьшается, как показано на рисунке 5, что означает, что частота системы будет уменьшаться с увеличением дополнительной массы.



4. Собственные частоты и характеристики форм формы

Собственная частота изгибных колебаний консольной балки с учетом изгибающего момента, создаваемого присоединенной массой, может быть рассчитана с использованием преобразования (12). В таблице 1 приведены результаты первых пяти собственных частот этой системы с варьируемыми значениями параметров и. Собственная частота увеличивается с уменьшением параметра, что означает качество дополнительного уменьшения массы по сравнению с консольной балкой.Это согласуется с результатами других [7, 16]. И частота также увеличивается с приращением момента инерции вращающейся массы для дополнительной массы по сравнению с балкой, которая определяется как параметр. Для сравнения приведены результаты частот, когда параметры и также указаны, что означает, что свободный конец балки не имеет моментной силы, создаваемой дополнительной массой. Как и ожидалось, эти значения собственной частоты такие же, как полученные из [11], в котором рассматривается только сила сдвига, создаваемая присоединенной массой.И большее значение вызывает более высокую частоту кантилевера, как показано в Таблице 1.

63.41161150 63.41161150 63.41161150

Число частоты (i) Безразмерная собственная частота
= 100
= 1
= 10
= 1
= 1
= 100
= 1
= 10
= 1
= 1
= 1
= 0,1
= 1
= 0,01
= 1
= 0.001
= 1
= 0
= 1
(ссылка [11])

1 0,1749603 0,6054297 2,950242 2, 2, 1.55867 1.557298 1.557298
2 22.30366 22.47413 23.93841 23.93129 23.86031 23.17405 19.13831 16.57872 16.25009 16.25009
3 61.66046 61.83822 63.43232 63.42955 63.42955 63.42955
4 120. 121.0850 122.7265 122.7251 122.71062 122.5668 121.2014 113.2826 105.1983 105.1983
5 199.86943 200.0480 201.7208 201.71991 201.71107 201.6229 201.71107 201.6229

201.6229115
Примечания . Значения этого столбца были рассчитаны авторами с использованием частотного уравнения из [11].
И результаты были тщательно проверены путем сравнения значений (с использованием символа в этой ссылке).

Однако интервал между двумя частотами, равными нулю и неравными нулю, является значительным, особенно между двумя более высокими частотными числами. Таким образом, игнорируемый момент инерции вращающейся массы может быть слишком идеальным для инженерной задачи и вызвать очевидную ошибку.

Мода формы колебаний также может быть получена путем подстановки отношения и в уравнение формы (7).На рис. 6 (а) показаны первые четыре формы колебаний балки кантилевера с учетом моментной силы с параметрами и. Первые четыре формы колебаний балки кантилевера показаны без учета моментной силы в [11]. Отчетливо видно, что на форму колебаний существенно влияет моментная сила от дополнительной массы. Однако наличие дополнительной массы сдерживает развитие смещения на свободном конце балки.

Для того, чтобы проанализировать влияние на форму колебаний, представлены формы колебаний с 3-й по 5-ю с учетом моментной силы с учетом и без учета ситуации, как показано на рисунке 6 (b).Даже если параметр имеет очень маленькое значение, 5-я форма моды этих двух ситуаций явно имеет расхождение, хотя чем меньше порядковый номер формы моды, тем менее очевидным становится расхождение.

5. Заключение

Частотное уравнение консольной балки с дополнительной массой, возбуждающей изгибные колебания, было получено с учетом вращательного инерционного момента инерции присоединенной массы, включая поперечную силу. Это трансцендентное уравнение, и оно содержит два параметра с однозначным физическим смыслом, которые можно определить как отношение момента инерции вращательной массы и отношение масс соответственно.

Эти два параметра влияют как на собственную частоту, так и на форму формы балки. По мере увеличения отношения момента инерции вращающейся массы собственная частота увеличивается. Даже небольшое увеличение отношения может привести к большему расхождению между учётом и не учётом момента инерции вращающейся массы, особенно для высокой собственной частоты. И отношение момента инерции вращающейся массы также влияет на форму колебаний этой системы. Чем выше порядковый номер исследуемой формы моды, тем более очевидным становится расхождение.

Конкурирующие интересы

В отношении этой статьи нет конкурирующих интересов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

[an error occurred while processing the directive]