Момент консольной балки – Расчетные схемы для балок — Доктор Лом. Первая помощь при ремонте

Типовые эпюры. Консольная балка | buildingbook.ru

Эпюра — это график, который показывает напряжения в элементе.

На основе эпюры мы можем проверить прочность элемента, подобрать нужный профиль.

В этой статье мы рассмотрим наиболее распространенные эпюры консольных балок, встречающихся в строительстве.

Типовые эпюры для однопролетной шарнирно-опертой балки можно посмотреть в статье Типовые эпюры. Однопролетная шарнирно-опертая балка.

Рассматривать будем только эпюры Q (поперечная сила), M (изгибающий момент).

Хочу отметить интересный момент, эпюра изгибающих моментов у строителей откладывается в сторону растягивающихся волокон, а у машиностроителей в сторону сжатых. Это не является ошибкой ни в каком из случаев, просто разные методы построения. Мы будем рассматривать построение эпюр как это делают строители.

Типовые эпюры консольной балки

В консольной балке один конец жестко закреплен, другой висит в воздухе.

Сила приложена в конце балки

Равномерно-распределенная нагрузка

Равномерно-распределенная нагрузка, приложенная не по всей длине консоли

Момент приложен в конце консоли

Переменная нагрузка по всей длине консоли

Переменная нагрузка, приложенная не по всей длине консоли

buildingbook.ru

Расчетные схемы для балок. Расчёт шарнирно-консольных балок на постоянную и подвижную нагрузки

Балка

— это стержень или брус, работающий
преимущественно на изгиб. Статически
определимые балки разделяются на
следующие типы (рис. 1.8):

    простые
    балки — балки на двух опорах по концам;

    консольные
    — балки на двух опорах со свешивающимися
    концами или консолями;

    консоли
    — балки, защемлённые одним концом;

    шарнирно-консольные
    балки, составленные из двух или нескольких
    последовательно расположенных балок,
    концы которых связаны между собой
    шарнирами.

Рис. 1.8. Различные типы
балок: а – простая балка; б – консольная
балка; в – консоль; г – шарнирно-консольная
балка

Расстановка
шарниров в многопролётной балке должна
быть произведена так, чтобы она была
статически определимой и геометрически
неизменяемой:

    в
    каждом пролёте должно быть размещено
    не более двух шарниров;

    пролёты
    с двумя шарнирами должны быть размещены
    не менее чем через пролёт;

    пролёты
    с одним шарниром могут следовать один
    за другим, если в системе есть одна
    неподвижная балка.

Консоль,
простая балка и балка с консолями — это
геометрически неизменяемые и статически
определимые системы.

Длина
консоли называется вылетом консоли, а
длина простой балки – пролётом.

1.6. Порядок расчёта шарнирно-консольных балок

    Подсчитывают
    степень свободы системы.

    Проводят
    анализ геометрической неизменяемости
    системы. Изображают схему взаимодействия
    элементов шарнирно-консольной балки,
    то есть поэтажную схему, для чего
    мысленно разъединяют элементы балки,
    разделив их на основные или главные,
    которые могут самостоятельно воспринимать
    внешнюю нагрузку, и второстепенные или
    присоединённые, которые не могут
    работать самостоятельно, а должны
    опираться на основные балки в соответствии
    с рисунком 9.

    Аналитический
    расчёт шарнирно-консольных балок
    начинают со второстепенной балки самого
    верхнего этажа. Построив для верхней
    балки эпюры изгибающихся моментов и
    поперечных сил, прикладывают реакцию
    опоры на нижележащую балку с обратным
    направлением и рассчитывают её. Последней
    рассчитывается опорная балка.

Признаки
основной и второстепенной частей:

    если
    разрушается основная часть, то разрушается
    вся система;

    при
    разрушении второстепенной части,
    основная или главная остаётся без
    изменения.

Рис. 1.9. Поэтажные схемы
шарнирно-консольных балок

Контрольные вопросы

    Почему
    недопустимы системы, близкие к мгновенно
    изменяемым?

    Для
    чего проводится кинематический анализ
    систем?

    Как
    проверить статическую определимость
    и геометрическую неизменяемость
    многопролетной статически определимой
    балки?

2. Расчёт сооружений на подвижную нагрузку

При
расчёте сооружения на подвижную нагрузку:
движущийся поезд, автомобиль – пользуются
линиями влияния (лв).

Линия
влияния – это график, показывающий
закон изменения того или иного усилия:
реакции, момента, поперечной силы – в
определённом или фиксированном сечении
сооружения при перемещении по его длине
груза
F=1.

Ордината
линии влияния показывает величину
усилия, для которого построена ЛВ, когда
груз F=1

стоит над этой ординатой на сооружении.

Ординаты
линий влияния R

и Q

безразмерны, а линии влияния М

выражаются в метрах.

Сравнение
линий влияния и эпюр какого-либо усилия
J приведены в табл. 2.1.

Таблица
2.1

Сравнение
линии влияния и эпюр

Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких — приведены все формулы определения необходимых значений.

Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).

Оранжевые ячейки
— максимальные значения.

Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).

Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.

Синие ячейки
— ввод данных. (Белые ячейки — ввод координаты для определения промежуточного итога).

Зеленые ячейки
— расчетные, промежуточный итог.

Оранжевые ячейки
— максимальные значения.

Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.

Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке

Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух с

Представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х
от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах — для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.

Ось х
, относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I
следует определять относительно оси z
.

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI
и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θ х = — θ A + Мх/EI + Ax 2 /2EI — qx 3 /6ЕI

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка осутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0

θ х = — θ A + Ax 2 /2EI = — Ql 2 /16EI + Qx 2 /4EI = Q(4x 2 — l 2)/16EI

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

f х = — θ A x + Мх 2 /2EI + Ax 3 /6EI — qx 4 /24ЕI

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0

f х = — θ A x + Ax 3 /6EI = — Ql 2 x/16EI + Qx 3 /12EI = Qx(4x 2 — 3l 2)/48EI

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2

f х = — θ A x + Ax 3 /6EI — Q(x — l/2) 3 /6EI

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у
.

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

1. БАЛКА НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ

2. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА

3. БАЛКА НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ С КОНСОЛЯМИ

Расчетные схемы для статически неопределимых балок .

stroyew.ru

Определение опорных реакций в заделке консольной балки

Задача

Консольная балка, нагружена сосредоточенными силой F и моментом m, а также равномерно распределенной нагрузкой q. Определить величину и направление опорных реакций в жесткой заделке.

Пример решения

В данном случае имеет место случай плоского поперечного изгиба, поэтому реакции, очевидно, также будут располагаться исключительно в плоскости чертежа.

Для удобства обозначим характерные сечения балки точками A, B, C и D и установим систему координат с началом в т. A

Как известно заделка препятствует одновременно перемещению и вращению балки, поэтому в защемлении возникнут сила R и момент M.

Не зная истинного направления, направим их произвольно, например: реакцию R направим вверх, а опорный момент M против хода часовой стрелки

Для определения неизвестных усилий запишем уравнения равновесия системы (уравнения статики):

Правила знаков для сил и моментов.

из первого уравнения определяем опорную силу

из второго — момент в заделке

Положительный знак найденных реакций показывает, что произвольно выбранное их направление оказалось правильным.

В качестве проверки полученных данных запишем уравнение суммы моментов относительно любой другой точки балки, например точки D:

Ноль говорит о том, что опорные реакции определены верно.

Другие примеры решения задач >

isopromat.ru

Задача 4. Проверочный расчёт консольной балки Условие задачи

Для
стальной двутавровой балки (см. рис. 4.2,
а)
известна внешняя нагрузка, размер
сечения и длина балки даны в табл. 4.1.

Требуется:

1.
Построить эпюры внутренних усилий:
поперечной силы Qy
и
изгибающего момента Мx.

2.
Проверить прочность балки, используя
условие прочности по нормальным
напряжениям. Принять допускаемое
напряжение [σ]
= 200 МПа.

3.
Принимая схему балки как схему мостовой
балки подъёмного крана, найти наибольшее
нормальное напряжение σmax,
возникающее при торможении, при котором
за счёт сил инерции угол наклона нагрузки
составил 100
к вертикали.

Теоретические основы решения

Изгиб

это
часто встречаемый вид деформации
прямолинейных элементов машин, механизмов
и строительных конструкций, и поэтому
плоский изгиб является важнейшим
разделом сопротивления материалов, и
ему уделяется большое внимание.

а

б

Рис.
4.1

При
расчёте прямолинейные элементы изображают
в виде прямого бруса (рис. 4.1). Рассмотрим
нагрузку
(рис. 4.1, а)
в
вертикальной плоскости
бруса, совпадающей с его главной
плоскостью инерции. Пусть действуют
сосредоточенная сила
Р
,
момент
М
и распределённая нагрузка интенсивности
q.
Деформация бруса выглядит как искривление
(изгибание) бруса в плоскости нагрузки
(рис. 4.1, б).
При этом наблюдается следующая картина
деформирования продольных волокон:
имеем растяжение продольных волокон с
одной стороны от продольной оси бруса
и сжатие с другой, а продольная ось лишь
искривилась, и поэтому она называется
нейтральной
осью
.
Такой вид деформации носит название
плоский
изгиб
,
а брус, получающий изгиб, называют
балкой.
Итак, если воздействие нагрузки происходит
в плоскости, перпендикулярной продольной
оси бруса и проходящей через главную
ось инерции сечения, то имеем плоский
изгиб
.

Рассмотрим
расчёт балки для общего случая нагружения
при плоском изгибе (рис. 4.2): при наличии
распределённой нагрузки, сосредоточенной
силы и сосредоточенного момента.
Направление
нагрузок считаем положительным, если
нагрузка отгибает балку к верху и
вызывает растяжение нижних волокон.

Для
расчёта балки необходимо знать внутренние
усилия, вычисление
которых
производится
методом
сечений

по правилу РОЗУ
(рис
4.2). Последовательно выполняются следующие
действия:

1)
разрезать
балку на две части;

2)
отбросить
одну из частей;

3)
заменить
воздействие отброшенной части на
оставленную внутренними усилиями;

4)
уравновесить
внешнюю
нагрузку и внутренние усилия.

Рассмотрим
эту методику на примере консольной
балки (рис 4.2, а).
Так как схема нагружения не изменяется
по всей длине консоли, то имеем один
грузовой участок, и достаточно рассмотреть
один разрез балки на две части. На схеме
балки покажем положение разреза
координатой z
(рис.
4.2, а).

Далее
нужно рассмотреть одну из частей: либо
левую, либо правую. На рис 4.2, б
изображены
обе части. Из них для расчёта левой части
нужны значения опорных реактивных
усилий Rзад
и Мзад,
возникающих в заделке, так как реактивные
воздействия 
часть
внешней нагрузки, а в расчёт правой эти
усилия не войдут, поскольку они не
действуют на неё. Поэтому проще
рассматривать правую часть, т. е.
внутренние усилия в консольных балках
лучше вычислять со свободного края.
Итак,
рассмотрим отсечённую правую часть
длиною z.
Сечение с координатой z
называют
текущим
сечением
.

Имеем
0 ≤ z
l.
В текущем
сечении отсечённой части покажем
внутренние усилия: поперечную
силу Q
y
и изгибающий
момент M
x,
причём строго определённого направления.

а

б

в

д

Рис.
4.2

При
изображении Qy
и Mx
нужно пользоваться общепринятым правилом
знаков:
сила
Q
y
положительна, если вектор силы вращает
оставленную часть по часовой стрелке;
момент
M
x
положителен, если растягивает нижние
волокна (рис. 4.3).

Сила
Qy
>
0
Момент М
х>
0

Рис.
4.3

Остановимся
на
составлении
уравнений

равновесия.
Оставленная часть балки нагружена в
одной и той же плоскости внешней нагрузкой
и внутренними усилиями
Q
y
и
M
x.
Имеем плоскую систему сил, для которой
существуют три уравнения равновесия;
в плоской системе координат (у,
z)
они имеют вид:

Заметим,
что за точку О
здесь
удобнее взять центр тяжести текущего
сечения.

При
плоском изгибе отсутствуют продольные
воздействия вдоль оси балки (вдоль оси
z),
и первое уравнение превращается в
тождество 0=0, поэтому при расчёте балок
оставляют лишь два уравнения:

.
(4.1)

Запишем
уравнения (4.1) для отсечённой левой части
рассматриваемой консоли:

,

,

из
которых получаем выражения:

,

.
(4.2)

Выражения
(4.2) представляют по сути формулы
для сил
Qy
и моментов
Мx,
в
них входят все виды нагрузок, и при
подстановке в эти формулы значений
реальных
нагрузок
получаем
значения Qy
и Мx
для реальной балки. По (4.2) видно, что в
общем случае для силы
Qy
имеем линейную зависимость, а для
моментов
Мx


криволинейную.
Заметим, что между Qy
и
M
x
существует соотношение,
которое известно как теорема Д.И.
Журавского: если взять производные от
функции Mx
по z
и от
функции Qy
по z,
то получим

,

.
(4.3)

Вычислим
значения Qy
и
М
x
в начале балки (при z
=
0) и в конце (при z
=
l).
Получим граничные
значения

Qy
и Мx:

при
z=0
Qy=,;

при
z=l
Q
y
=,.

Значения
сил Qy
и моментов
Мx
изменяются вдоль балки, для
выбора максимальных значений Qy
и
M
x
(т.е. расчётных
значений
)
изображают графики их изменения вдоль
балки, которые называются эпюрами
поперечных сил
Q
y
и изгибающих
моментов
M
x
(рис
4.2). Построение эпюр проводят, используя
найденные значения Qy
и Мx.
Для этого отложим эти значения от
базисной линии (эта линия, проведённая
под балкой параллельно оси балки). Далее
проводим наклонную прямую для Qy
и
параболу для Мx.

На
рис. 4.4 приведены эпюры поперечных сил
Qy
и изгибающих моментов Mx
в консольной балке отдельно от
сосредоточенной силы, сосредоточенного
момента и от распределённой нагрузки,
которые хорошо показывают зависимость
линий эпюр от вида нагрузки.

При
расчётах элементов машин и механизмов
положительные моменты откладываются
вверх от базисной линии, с этой стороны
расположены сжатые
волокна, поэтому говорят, что эпюру
изгибающих моментов строят со стороны
сжатых
волокон. Для строительных конструкций
построение эпюр обычно выполняют на
растянутых
волокнах. Этот факт связан с использованием
графоаналитических методов расчёта,
т. е. исторически закрепилось построение
на растянутых волокнах. Знак момента
на эпюре обычно не ставится, так как для
описания прочности используется модуль
момента, а не его направление.

От
изгибающих моментов
M
x
в
сечении балки возникают нормальные
напряжения σ, от поперечных сил
Q
y
─ касательные напряжения τ. Решающее
влияние на прочность балок имеют
нормальные напряжения, поэтому составляют
условие прочности по нормальным
напряжениям:

,
(4.4)

где
σmax

максимальное
напряжение в опасном
сечении балки,
в котором модуль изгибающего момента
M
x
принимает максимальное значение Mmax,
значение момента Mmax
называют расчётным;

осевой
момент сопротивления сечения,

допускаемое напряжение для материала
балки.

Согласно
с видом деформирования при изгибе балки
(рис. 4.1) со стороны растянутых волокон
возникают растягивающие напряжения,
со стороны сжатых волокон 
сжимающие, и те
и другие принимают наибольшее значение
в крайних верхних и нижних точках
сечения.
Поэтому, если
материал балки одинаково хорошо
сопротивляется растяжению и сжатию,
используют сечения, симметричные по
высоте: прямоугольник, двутавр, швеллеры,
круг и др. (рис. 4.5). Для симметричных
сечений эпюра напряжений σ по высоте
сечения линейна и симметрична.

Балка
1

В
текущем сечении z

Qy=0,
Mx=M=const

Балка
2

В
текущем сечении z

Qy=P=const,

Mx=
P·z.

При
z=0
Mx=0,

при
z=l
Mx=-P·l.

Балка3

В
текущем сечении z

Qy=q·z,

Mx=q·z2/2.

При
z=0
Qy=0,
Mx=0;

при
z=l
Qy=q·l,
Mx=-
q·l2/2.

Рис.
4.4

Рис.
4.5

По
условию прочности
(4.4)
можно выполнять
следующие три вида расчётов:

проектный,
когда определяют требуемые размеры
поперечного сечения балки;

проверочный,
при котором вычисляют напряжения и
сравнивают с допускаемыми;

определение
нагрузочной способности
,
когда находят допускаемые значения
внешней нагрузки.

studfiles.net

Расчет реакций опор в жесткой заделке консольной балки

Задача

Рассчитать величину и направление опорных реакций в жесткой заделке консольной балки нагруженной заданной системой внешних нагрузок.

Пример решения

Покажем значения нагрузок и продольные размеры балки, обозначим ее характерные сечения буквами A, B и C.

В случае плоского поперечного изгиба в жесткой заделке консольной балки могут иметь место только две опорные реакции:

На данном этапе решения задачи эти реакции можно направить в любую сторону.

Определим величину, а заодно и истинное направление опорных реакций.

Зададим систему координат y-z.

Для нахождения двух реакций нам понадобятся два уравнения равновесия.

Балка не перемещается вверх-вниз, поэтому сумма проекций всех сил на ось y должна равняться нулю.

Проецируя все силы на ось y получаем первое уравнение:

∑F(y)=0=-R-q∙1+F

Правило знаков для проекций сил.

Откуда находим величину реакции R

R=-q∙1+F=-100∙1+40=-60кН

Знак «-» в ответе говорит о том, что реальное направление реакции R противоположно выбранному вначале.

Поэтому изменим направление силы и соответственно ее знак на противоположные.

Второе уравнение статики получим из условия, что балка не вращается, так как сумма моментов приложенных к ней тоже равнв нулю.

Запишем уравнение суммы моментов, например, относительно точки A:

∑mA=0=M-m+q∙1∙(0,5+0,5)-F(0,5+1)

Правило знаков для моментов.

Отсюда находим опорный момент M

M=m-q+F∙1,5=70-100+40∙1,5=30кНм

Положительный результат показывает, что выбранное наугад направление момента М оказалось верным, то есть перенаправлять его не нужно.

Полученные значения опорных реакций можно легко проверить.

Для этого запишем уравнение суммы моментов относительно точки B или C:

∑mB=M+R∙0,5-m+q∙1∙0,5-F∙1

и подставив в него полученные значения, мы должны получить сумму равную нулю

∑mB=30+60∙0,5-70+100∙1∙0,5-40∙1=0

Так и есть! Значит опорные реакции определены верно.

Рекомендуем посмотреть видеоурок решения этой задачи.

Другие примеры решения задач >

isopromat.ru

6.3. Пример расчета консольной балки на прочность по нормальным напряжениям Пример

Для заданной балки
(рис. 6.3) из условия прочности по нормальным
напряжениям определить размеры различных
по форме поперечных сечений: двутавра,
прямоугольника (с соотношением сторон
=
1,8), квадрата, круга, кольца (при

= = 0,8) и оценить их рациональность.

a
= 1,0 м, b
= 1,4 м, F
= 18 кН, q
= 20 кH/м,
М =
16 кHм,

[]
= 160 МПа.

Решение

Составить
уравнения поперечных сил и изгибающих
моментов

по участкам и построить их эпюры.

Запишем уравнения
статики и определим опорные реакции:

:
;

;

:
;;

Проверка:
:.

Выражения для
внутренних усилий Qу,
М
х
получим с помощью метода сечений.
Поперечная сила в произвольном сечении
балки равна алгебраической сумме внешних
сил, приложенных по одну сторону от
сечения. При этом поперечная сила
считается положительной, если
равнодействующая внешних сил слева от
сечения направлена вверх, а справа –
вниз, т.е. стремится сдвинуть левую
отсеченную часть балки относительно
правой вверх.

Изгибающий момент
в сечении балки равен алгебраической
сумме моментов относительно данного
сечения всех внешних сил, приложенных
к отсеченной части. Момент считается
положительным, если сжатые волокна
находятся в верхней части сечения балки.

На рис. 6.3, а
показаны выделенные участки балки.
Запишем для каждого из них выражения
внутренних усилий и найдем их значения
на границах участков.

1.
м.

;
;.

;
;

.

2.
м.

;

;

;.

3.
м.

.

;
;

.

Рис. 6.3

Построение эпюр
Qу,
М
х
проводится по участкам на основе
полученных уравнений. Положительные
значения ординат откладываются выше
оси, отрицательные – ниже. На первом
участке поперечная сила линейно зависит
от координаты, возрастая от нуля в начале
участка до 40 кH
в конце. Эпюра Qу
на этом участке ограничена отрезком
прямой, проходящей через указанные
значения. Изгибающий момент имеет на
данном участке уравнение квадратной
параболы с вершиной в сечении z1= 0,
т.е.
там, где равна нулю поперечная сила,
являющаяся производной от Мх
по координате
z.
Эпюра изгибающего момента ограничена
кривой второго порядка, проходящей
через точки
с координатами 16 кHм
и –24 кHм,
соответственно на правой
и левой
границах участка. Парабола имеет
выпуклость, направленную навстречу
распределенной нагрузке.

На втором и третьем
участках поперечная сила имеет постоянные
значения, соответственно 40 кH
и 22 кH.
Изгибающий момент меняется по линейному
закону – эпюра Мх
ограничена на участках отрезками прямых,
проходящих через точки с ординатами
–24 кHм,
–80 кHм
на втором и –80 кHм,
–102 кHм
на третьем участках. Результаты построения
эпюр Qу,
М
х
приведены на рис. 6.3.

Наиболее опасным
является сечение А,
в котором изгибающий момент достигает
наибольшего по модулю значения
.

Произвести
проверку с помощью
дифференциальных
зависимостей
.

Построение эпюры
проводится в соответствии с формулой (6.1)
на основе известных дифференциальных
зависимостей между Qу,
М
х
и интенсивностью распределенной нагрузки
q.

В нашем случае на
первый участок действует распределенная
нагрузка q
= const,
следовательно, поперечная сила должна
быть линейной функцией координаты z1,
а изгибающий момент должен меняться по
закону квадратной параболы. Эпюра
изгибающих моментов не имеет экстремумов,
поскольку эпюра ее производной Qу
не пересекает ось (исключением является
сечение D).
Второй и третий участки свободны от
распределенной нагрузки, т.е. производная
функции Qу
тождественно равна нулю, следовательно,
сама поперечная сила должна быть
постоянна в границах каждого участка,

а эпюра изгибающего момента описывается
прямой наклонной линией.

В тех сечениях,
где балка нагружена сосредоточенными
внешними силами, на эпюре Qу
должно скачком меняться значение
ординаты на величину этой силы с учетом
ее направления. В нашем случае это
происходит в сечении А,
где возникает реакция RА,
и в сечении В,
где приложена нагрузка F.
На эпюре Мх
аналогичные скачки имеют место в сечениях
А
и D,
где действуют сосредоточенные внешние
моменты. Анализируя все перечисленное,
делаем вывод о правильности построения
эпюр.

Подобрать размеры
указанных выше сечений
из условия
прочности по нормальным напряжениям.

Из
условия прочности при изгибе
определим требуемое значение момента
сопротивления сечения балки:

.

Определим размеры
указанных сечений, обеспечивающие
прочность балки.

1. Подбираем по
ГОСТ 8239–72 номер двутавра, момент
сопротивления которого наиболее близок
к расчетному. В данном случае подходит
двутавр № 36, у которого Wx
= 743,0 см3,
площадь сечения А
= 61,9 см2.

Определим наибольшее
значение возникающих при этом напряжений:

.

2. Определяем
размеры прямоугольного сечения с
отношением сторон
= 1,8.

;

;

.

Окончательно
выбираем размер по ГОСТ 6636–69: b
=
110 мм, А
=
bh
= 217,810–4
м2.

Вычисляем наибольшее
напряжение:

.

3. Определяем размер
квадратного сечения.

;

;.

Окончательно: а
= 160 мм, А
=
a2
= 25610–4
м2.

Определяем
наибольшее напряжение:

.

4. Определяем
размеры круглого сечения.

;
;

Принимаем по ГОСТу
d
= 200 мм, площадь
сечения
.

Определим наибольшее
напряжение:

.

5. Определяем
размеры кольцевого сечения с отношением
внутреннего и внешнего диаметров
.

;
;.

Принимаем D
= 250 мм, d
= 200 мм.

Площадь сечения
.

Вычисляем наибольшее
напряжение:

.

Оценить
рациональность подобранных сечений
.

1. Двутавр:
.

2. Прямоугольник:
.

3. Квадрат:
.

4. Круг:
.

5. Кольцевое сечение:
.

Как
видим, наиболее рациональными при изгибе
являются тонкостенные сечения, двутавр,
кольцевое сечение.

Построить эпюру
нормальных напряжений в опасном сечении
(для двутавра, кольца)
.

Напряжения
в опасном сечении меняются по линейному
закону

,

достигая максимума
в наиболее удаленных от оси точках.

На
рис. 6.4 показаны эпюры напряжений для
указанных сечений.

6.4.
Пример расчета на прочность двутавровой
балки
по нормальным и касательным
напряжениям.
Расчет по теориям
прочности

Пример

Для заданной стальной
балки
(рис. 6.5) из
условия прочности подобрать номер
двутавра по ГОСТ 8239–72
и произвести полную проверку прочности.

а =
0,4 м, b
= 0,6 м, l
= 2,4 м, F
= 150 кH,
q
= 200 кH/м,

М =
20 кHм,
[]
= 160 MПа,
[]
= 0,6·[]
= 96 МПа.

studfiles.net

Проверка на прочность консольной балки

Проверим на прочность консольную балку, закрепленную в жесткой заделке.

Приложим к балке систему внешних нагрузок:

Укажем величину заданных усилий и продольные размеры участков балки.

Это расчетная схема для решения задачи.

Проверим эту балку на прочность при следующих данных:

Прежде чем приступить к решению проанализируем задачу.

Чтобы проверить балку на прочность надо определить величину максимальных напряжений σmax в ее сечениях и сравнить их с допустимыми [σ].

В случае если максимальные напряжения окажутся меньше, либо равны допустимым (т.е. σmax≤[σ]) прочность балки будет обеспечена.

Если же найденные напряжения превысят величину допустимых (т.е. σmax>[σ]) значит балка не прочная.

Условие прочности при плоском поперечном изгибе:

Здесь
Mx – внутренний изгибающий момент,
Wx – осевой момент сопротивления сечения балки.

У балки постоянного сечения, форма и размеры сечения одинаковы по всей ее длине, следовательно, Wx=const.

Тогда очевидно, что наибольшими напряжения окажутся в сечении, где будет максимальный изгибающий момент Mx.

Определить максимальный изгибающий момент Mx max в балке можно только по его эпюре.

Для построения эпюр сначала надо определить опорные реакции.

Ниже приведены ссылки на каждый этап решения данной задачи.

Порядок проверки балки на прочность при изгибе:

isopromat.ru