Сопротивление материалов
Сопротивление материалов
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 2.1. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА. НАГРУЗКИ § 3.1. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ § 4.1. НАПРЯЖЕНИЯ § 5.1. ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ § 6.1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ НАУКИ О СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ Вопросы для самопроверки Глава 2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ § 1.  § 2.2. НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ И НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА § 3.2. ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ § 4.2. ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ § 5.2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ § 6.2. РАБОТА СИЛЫ ПРИ ЕЕ СТАТИЧЕСКОМ ДЕЙСТВИИ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ § 7.2. СОБСТВЕННЫЙ ВЕС БРУСА § 8.2. ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ § 9.2. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ § 10.2. МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 3. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ § 1.3. ВИДЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ § 2.3. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ § 3.3. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ § 4.3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ § 5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУГА МОРА § 6.3. ПОНЯТИЕ О ПРОСТРАНСТВЕННОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ § 7.3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА § 8.3. ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ § 9.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 4.  СДВИГ§ 1.4. ЧИСТЫЙ СДВИГ § 2.4. ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ СДВИГЕ. ЗАКОН ГУКА ПРИ СДВИГЕ § 3.4. ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ E, G и «мю» § 4.4. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ НА СДВИГ Расчет заклепочных соединений Расчет сварных соединений Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ § 2.5. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЙ § 3.5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ § 4.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ § 5.5. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ § 6.5. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ § 7.5. ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ § 9.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 6.  КРУЧЕНИЕ§ 1.6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ § 2.6. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ § 3.6. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ § 4.6. РАСЧЕТ БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ § 5.6. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН § 6.6. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ § 7.6. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ КРУЧЕНИИ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 7. ПРЯМОЙ ИЗГИБ § 1.7. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ § 3.7. ОПОРЫ И ОПОРНЫЕ РЕАКЦИИ § 4.7. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ § 5.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ, ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ И ИНТЕНСИВНОСТЬЮ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ § 6.7. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ § 7.7. ПРЯМОЙ ЧИСТЫЙ ИЗГИБ § 8.7. ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ § 9.7. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ § 10.  7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ§ 11.7. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ § 12.7. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРЕ ИЗГИБА § 13.7. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СОСТАВНЫХ БАЛОК § 14.7. ПОНЯТИЕ О БАЛКАХ РАЗНОРОДНОЙ УПРУГОСТИ § 15.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 16.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ § 17.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ § 1.8. КЛАССИЧЕСКИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ § 2.8. ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА § 3.8. ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 9. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ § 1.9. КОСОЙ ИЗГИБ § 2.9. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ БРУСЬЕВ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ § 3.  9. ЯДРО СЕЧЕНИЯ§ 4.9. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ БРУСЬЕВ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ § 5.9. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕЙСТВИЯ СИЛ НА БРУС КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ § 6.9. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ БРУСЬЕВ С ЛОМАНОЙ ОСЬЮ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 10. РАСЧЕТ КРИВЫХ БРУСЬЕВ § 2.10. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ § 3.10. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ § 4.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ § 1.11. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ § 2.11. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ § 3.11. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 4.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ МОРА § 5.11. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГИНА Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 12. РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ § 1.  12. СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ§ 2.12. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ § 3.12. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ § 5.12. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ § 6.12. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ ЭПЮР М, Q И N § 7.12. НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА Вопросы для самопроверки Глава 13. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ § 1.13. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ УПРУГИХ ТЕЛ § 2.13. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ § 3.13. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ПРЕВЫШАЮЩИХ ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ § 4.13. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ § 5.13. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 14. ДИНАМИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА § 2.14. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДИМЫЕ К ЗАДАЧАМ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СИСТЕМ § 3.14. УДАР § 4.14. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ НАГРУЗКИ § 5.14. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 15.  НАПРЯЖЕНИЯ, ПЕРЕМЕННЫЕ ВО ВРЕМЕНИ§ 1.15. ПЕРЕМЕННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. УСТАЛОСТЬ § 2.15. ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ § 3.15. ДИАГРАММЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД И ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ § 4.1. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ § 5.15. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ Примеры расчета Вопросы для самопроверки Глава 16. ТОНКОСТЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ОБОЛОЧКИ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ § 1.16. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК § 2.16. РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ Примеры расчета Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки Глава 17. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ § 2.17. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ § 3.17. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ § 4.17. ИЗГИБ БАЛОК § 5.17. МЕТОД РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ПО РАСЧЕТНЫМ ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ Задачи для самостоятельного решения Вопросы для самопроверки ПРИЛОЖЕНИЯ |
Тема 5 плоский поперечный изгиб.
Расчет балок на прочность5.1. Понятие о чистом изгибе. Основные определения и гипотезы
При плоском поперечном изгибе в изгибаемом элементе возникают поперечная сила и изгибающий момент. При этом все внешние нагрузки лежат в продольной плоскости симметрии элемента, изогнутая ось балки представляет собой плоскую кривую.Чистым называется частный случай плоского поперечного изгиба, при котором в поперечных сечениях изгибаемого элемента возникает только изгибающий момент . Подобным образом, если пренебречь собственным весом, могут изгибаться отдельные элементы колесной пары железнодорожного вагона, расчетная схема которой представлена на рис.5.1.
Рис.5.1
Как видно из рис.5.1, на участке балки вс возникает чистый изгиб. На эпюре поперечных сил на этом участке отсутствует поперечная сила, на эпюре изгибающих моментовдействует постоянный момент.
Исследуя интегральные зависимости, приведенные в Теме №1 настоящего пособия, можно прийти к выводу, что нормальные напряжения являются функцией изгибающего момента:
. (5.1)
Касательные напряжения являются функцией поперечной силы:
. (5.2)
Таким
образом, при чистом изгибе в поперечных
сечениях возникают только нормальные
напряжения, что существенно упрощает
вывод формулы для нормальных напряжений
при изгибе. Как уже отмечалось ранее,
интегральные зависимости между
внутренними усилиями и напряжениями
не позволяют непосредственно получить
из них выражение для напряженийв
каждой точке сечения. Необходимо
знатьзакон распределенияэтих
напряжений по сечению. Условия равновесия
нам этого не дают, задача оказывается
статически неопределимой. В связи с
этим обратимся к экспериментальному
исследованию деформаций балки.
Рассмотрим результаты опыта с чистым изгибом балки парами сил, лежащими в плоскости симметрии балки (Рис.5.2).
Рис.5.2
Проведем до деформации на ее боковой поверхности близко друг к другу две линии и, перпендикулярно к оси балки на расстоянии. Между этими сечениями проведем линиии, параллельные оси балки. До деформации.
Наблюдения показывают, что после деформации (Рис.5.2,б):
линии иостались прямыми, но наклонились друг к другу и образуют угол;
отрезок укоротился, а отрезокудлинился;
ширина балки в сжатой зоне увеличилась, а в растянутой уменьшилась (Рис.5.2, в).
Проведенные
экспериментальные наблюдения позволяют
сделать следующие выводы о характере
деформаций балки при чистом изгибе. Так
как линии
и,
представляющие собой следы двух смежных
поперечных сечений балки на ее поверхности,
после деформации остались прямыми, то
можно предположить, что соответствующиепоперечные
сечения балки остались плоскими и лишь повернулись одно относительно
другого на угол
.
Судя по изменению длин отрезков и, можно заключить, что (при положительном изгибающем моменте) верхние волокна сжаты, а нижние растянуты. Так как деформации волокон меняется непрерывно, то на каком-то уровне по высоте балки находится слой волокон, не изменивших своей длины, так называемыйнейтральный слой. Отрезок , принадлежащий нейтральному слою, сохранил прежнюю длину.
Рассматриваемая балка симметрична относительно плоскости внешних сил. Поэтому обе ее половины деформируются симметрично относительно этой плоскости. Это позволяет сделать предположение, что деформация волокон любого слоя, параллельного нейтральному, не зависит от их положения по ширине балки.
Нейтральный слой
перпендикулярен к плоскости симметрии
балки и
пересекает плоскость каждого поперечного
сечения балки по прямой, которая
называется нейтральной
линией сечения. Эта линия также перпендикулярна к плоскости симметрии балки.
Повороты сечений происходят вокруг их нейтральных линий, изображенных на рис.5.2,б точками и. Если бы поворот сечений происходил не около линий, лежащих в нейтральном слое, то отрезокне мог бы сохранить своей первоначальной длины.
Так как сечения поворачиваются вокруг нейтральных линий, перпендикулярных к плоскости действия сил, точки этой плоскости останутся в ней и после деформации; следовательно, ось балки останется в плоскости действия сил, обратившись в плоскую кривую. Изгиб, при котором ось балки после деформации остается в плоскости действия внешних сил, называется плоским изгибом.
Деформации балки в направлении ее ширины показывают, что волокна ее испытывают обычное растяжение и сжатие, при котором имеет место явление, учитываемое коэффициентом Пуассона: в сжатой зоне ширина сечения балки увеличивается, в растянутой – уменьшается (Рис.5.2,в).
Экспериментальные исследования изгиба балок дают основания для ряда гипотез:
1.
При чистом изгибе,
поперечные сечения, бывшие плоскими до
деформации, остаются плоскими и во время
деформации (гипотеза плоских сечений).
2. Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение и сжатие.
3. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:
1. Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.
2. Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.
3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Приведенные
выше гипотезы в обычных случаях изгиба
верны только приблизительно.
Однако
вытекающие из них погрешности теории
так невелики, что ими можно пренебречь.
Свойства поперечного сечения | МеханиКальк
База данных
Справочник по инструкциям
База данных поперечных сечений
ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.
Поведение элемента конструкции определяется его материалом и геометрией. Эта ссылка посвящена влиянию геометрии на поведение элемента конструкции. Поперечное сечение и длина элемента конструкции влияют на то, насколько этот элемент прогибается под нагрузкой, а поперечное сечение определяет напряжения, которые существуют в элементе под данной нагрузкой.
Свойства областей
Центроид
Центроид формы представляет собой точку, вокруг которой равномерно распределена площадь сечения.
Если область дважды симметрична относительно двух ортогональных осей, центр тяжести лежит на пересечении этих осей. Если область симметрична только относительно одной оси, то центроид лежит где-то вдоль этой оси (необходимо вычислить другую координату). Если точное местоположение центроида не может быть определено осмотром, его можно рассчитать следующим образом:
где dA представляет собой площадь бесконечно малого элемента, A представляет собой общую площадь поперечного сечения, а x и y представляют собой координаты элемента dA относительно оси интереса.
Центроидальное расположение общих поперечных сечений хорошо задокументировано, поэтому обычно нет необходимости вычислять местоположение с помощью приведенных выше уравнений.
Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центральные положения которых известны относительно некоторой контрольной точки, то центральное положение составного поперечного сечения можно рассчитать как:
где x c,i и y c,i — прямоугольные координаты центра тяжести сечения i th относительно опорной точки, а A i — площадь i th раздел.
Центральное расстояние
центроидальное расстояние , с, является расстоянием от центра тяжести поперечного сечения до крайней точки волокна. Центроидальное расстояние в направлении Y для прямоугольного поперечного сечения показано на рисунке ниже:
Общие способы использования центроидального расстояния включают:
- расчет максимального напряжения изгиба в поперечном сечении
- расчет значения первого момента площади Q над точкой в поперечном сечении для определения напряжения сдвига в этой точке
Первый момент площади
Первый момент площади указывает распределение площади относительно некоторой оси. Первый момент площади относительно интересующей оси рассчитывается как:
| Q x = ∫ y dA | Q y = ∫ x dA |
где Q x — первый момент относительно оси x, а Q y — первый момент относительно оси y.
Значения x и y указывают положение относительно оси интереса бесконечно малых площадей dA каждого элемента при выполнении интегрирования.
Если область состоит из набора основных форм, центроидальные положения которых известны относительно интересующей оси, то первый момент составной области можно рассчитать как:
Если вы сравните приведенные выше уравнения для Q с уравнениями для расчета центроида (обсуждаемыми в предыдущем разделе), вы увидите, что мы фактически используем первый момент площади при расчете центроидального местоположения относительно интересующего источника.
Первый момент также используется при расчете величины касательного напряжения в той или иной точке поперечного сечения. Напомним, что касательное напряжение в любой точке, расположенной на расстоянии y 1 от центра тяжести поперечного сечения рассчитывается как:
где Q — первый момент площади между точкой y 1 и крайним волокном (верхним или нижним) сечения.
Рассмотрим рисунок ниже. Нас интересует расчет касательного напряжения в точке, расположенной на расстоянии y 1 от центра тяжести поперечного сечения. Мы можем рассчитать первый момент площади выше или ниже этого местоположения. В этом случае точка интереса находится выше нейтральной оси, поэтому проще рассмотреть верхнюю область, которая на рисунке ниже заштрихована синим цветом. Эта область простирается от точки y 1 до крайнего волокна в верхней части поперечного сечения.
Первый момент относительно оси x области, заштрихованной синим цветом на рисунке выше, рассчитывается относительно центра тяжести поперечного сечения (точка O на рисунке) как:
Если центроидальное расположение интересующей области известно, то первый момент области относительно центроида упрощается до (см. Рисунок выше):
Q сх = у с1 А 1
Следует отметить, что первый момент области может быть либо положительным, либо отрицательным в зависимости от положения области относительно оси интереса.
Следовательно, первый момент всей площади поперечного сечения относительно его собственного центроида равен нулю.
Площадь Момент инерции
Второй момент площади, более известный как момент инерции , I поперечного сечения, является показателем способности элемента конструкции сопротивляться изгибу. (Примечание 1) I x и I y — моменты инерции относительно осей x и y, соответственно, и рассчитываются по формуле:
| I x = ∫ y 2 дА | I y = ∫ x 2 дА |
где x и y — координаты элемента dA относительно оси интереса.
Чаще всего моменты инерции рассчитываются относительно центра тяжести сечения. В этом случае они обозначаются как центроидальные моменты инерции и обозначаются как I cx для инерции относительно оси x и I cy для инерции относительно оси y.
Моменты инерции обычных поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать их с помощью приведенных выше уравнений.
Свойства нескольких общих сечений приведены в конце этой страницы.
Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, все центроиды которых совпадают, то момент инерции составного сечения представляет собой просто сумму отдельных моментов инерции. Примером этого является коробчатая балка, состоящая из двух прямоугольных секций, как показано ниже. В этом случае внешняя секция имеет «положительную площадь», а внутренняя секция имеет «отрицательную площадь», поэтому составной момент инерции представляет собой вычитание момента инерции внутренней секции из внешней секции.
В случае более сложного составного поперечного сечения, в котором положения центров не совпадают, момент инерции можно рассчитать с помощью теоремы о параллельности осей .
Важно не путать момент инерции площади с моментом инерции массы твердого тела. Момент инерции площади указывает на сопротивление поперечного сечения изгибу, тогда как момент инерции массы указывает на сопротивление тела вращению.
Теорема о параллельных осях
Если известен момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси, то можно использовать теорему о параллельной оси для расчета момента инерции относительно любой параллельной оси:
I параллельная ось = I c +плюс; А д 2
где I c — момент инерции относительно центральной оси, d — расстояние между центральной осью и параллельной осью, а A — площадь поперечного сечения.
Если поперечное сечение состоит из набора основных фигур, центроидальные моменты инерции которых известны вместе с расстояниями от центроидов до некоторой контрольной точки, то теорему о параллельных осях можно использовать для расчета момента инерции составного поперечного сечения.
Например, двутавровая балка может быть аппроксимирована тремя прямоугольниками, как показано ниже. Поскольку это составное сечение симметрично относительно осей x и y, центр тяжести сечения может быть расположен путем осмотра на пересечении этих осей.
Центроид расположен в начале координат O на рисунке.
Момент инерции составного сечения можно рассчитать, используя теорему о параллельных осях. Центроидальный момент инерции секции относительно оси x I cx рассчитывается как:
I cx.IBeam = I cx.W + ( I cx.F1 + A F1 d 1 2 ) + ( I cx.F2 + A F2 d 2 2 )
где члены I cx представляют собой моменты инерции отдельных секций относительно их собственных центроидов в ориентации оси x, члены d представляют собой расстояния центроидов отдельных секций до центроидов составного сечения, а Термины – это площади отдельных секций. Поскольку центроид сечения W и центроид составного сечения совпадают, d равно нулю для этого сечения, и поэтому член Ad 2 отсутствует.
Важно отметить следствие теоремы о параллельности осей, заключающееся в том, что по мере удаления отдельной секции от центра тяжести составной секции вклад этой секции в момент инерции составной секции увеличивается в d 2 раз.
Следовательно, если целью является увеличение момента инерции секции относительно определенной оси, наиболее эффективно расположить область как можно дальше от этой оси. Это объясняет форму двутавровой балки. Фланцы вносят основной вклад в момент инерции, а перегородка служит для отделения фланцев от оси изгиба. Однако перемычка должна сохранять некоторую толщину, чтобы избежать коробления, а также потому, что перемычка принимает на себя значительную часть напряжения сдвига в сечении.
Полярный момент инерции
Полярный момент инерции , Дж, поперечного сечения является показателем способности элемента конструкции сопротивляться кручению вокруг оси, перпендикулярной сечению. Полярный момент инерции сечения относительно оси можно рассчитать по формуле:
Дж = ∫ r 2 dA = ∫ (x 2 + y 2 ) dA
где x и y — координаты элемента dA относительно оси интереса, а r — расстояние между элементом dA и осью интереса.
Хотя полярный момент инерции можно рассчитать с помощью приведенного выше уравнения, обычно удобнее вычислять его с помощью теоремы о перпендикулярной оси , которая утверждает, что полярный момент инерции площади представляет собой сумму моментов инерции относительно любые две ортогональные оси, проходящие через интересующую ось:
Дж = I x + я г
Чаще всего ось интереса проходит через центр тяжести поперечного сечения.
Модуль упругости сечения
Максимальное изгибающее напряжение в балке рассчитывается как σ b = Mc / I c , где c — расстояние от нейтральной оси до крайней оси, I c — центроидальный момент инерции, а M — изгибающий момент. Модуль сопротивления объединяет члены c и I c в уравнении напряжения изгиба:
S = I с / с
Используя модуль сечения, напряжение изгиба рассчитывается как σ b = M / S. Полезность модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление поперечного сечения изгибу в одном выражении. Это позволяет оптимизировать поперечное сечение балки для сопротивления изгибу за счет максимизации одного параметра.
Радиус вращения
Радиус вращения представляет собой расстояние от центра тяжести сечения, на котором вся площадь может быть сосредоточена без какого-либо влияния на момент инерции. Радиус вращения формы относительно каждой оси определяется выражением:
Полярный радиус вращения также можно рассчитать для задач, связанных с кручением вокруг центральной оси:
Прямоугольные радиусы вращения также можно использовать для расчета полярного радиуса вращения:
r p 2 = r x 2 +плюс; р у 2
PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации, основанный на этой справочной странице поперечных сечений.
Этот курс можно использовать для выполнения кредитных требований PDH для поддержания вашей лицензии PE.
Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, заработайте за это признание!
Просмотреть курс сейчас:
Просмотреть курс
Свойства общих сечений
В таблице ниже приведены свойства обычных поперечных сечений. Более подробные таблицы можно найти в перечисленных ссылках.
Свойства, рассчитанные в таблице, включают площадь, центральный момент инерции, модуль сечения и радиус вращения.
| Форма | Представительство | Свойства | ||
|---|---|---|---|---|
| Прямоугольник |
| |||
| Круг | ||||
| Круглая трубка | ||||
| Двутавровая балка |
Примечания
Примечание 1: Прогиб балки
Прогиб балки при изгибе определяется моментом инерции поперечного сечения, длиной балки и модулем упругости материала.
Более подробная информация приведена в этом обсуждении отклонения луча.
Каталожные номера
- Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
- Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена PE», 13-е изд.
Изгибающий момент: лучшие уравнения, которые нужно знать (бесплатный калькулятор)
В этой статье мы обсудим концепции, связанные с изгибающим моментом. Мы также предоставляем уравнения и калькуляторы для распространенных конфигураций балок.
Почему важен изгибающий момент?
Конструкция конструкций учитывает воздействие нагрузки. Поэтому для сохранения устойчивости конструкций решающее значение имеет сопротивление изгибающему моменту . Примерами нагрузок могут быть, например, динамическая нагрузка (люди или объекты в здании), статическая нагрузка (вес самой конструкции) и нагрузки от окружающей среды (снеговая нагрузка, ветровая нагрузка и землетрясения).
Повреждение может произойти из-за изгиба, когда напряжение изгиба превышает предел прочности элемента.
Грузоподъемность в зависимости от спроса
Постоянные и временные нагрузки действуют на конструкции одновременно, изменяя взаимодействие всех их компонентов. В результате, проектируя структуру для обеспечения оптимальной устойчивости, инженеры должны учитывать и то, и другое. Способность балки выдерживать нагрузку — это вычисление, которое помогает определить общую прочность конструкции здания. Поскольку ни один материал не может выдержать бесконечную нагрузку, инженеры рассчитывают «изгибающий момент» с учетом внешних сил .
Внешние силы
На расчётные параметры конструкции нагрузок влияют три силы:
- Сжатие происходит, когда частицы вещества прижимаются друг к другу, укорачивая или сжимая их. Сжатие обычно применяется сверху конструкции. Узнайте больше о сжатии и его последствиях в этой статье: Потеря устойчивости колонны
- Растяжение — это полная противоположность сжатия; при растяжении материал тянется силами тяги.
Балка находится под растягивающей нагрузкой, когда балка выходит из строя в верхней части. - Скручивающая сила, действующая на конструктивную часть, известна как кручение.
Вышеуказанные три напряжения всегда присутствуют в конструкциях. Например, предположим, что вы прогуливаетесь по второму этажу дома. Затем ваш вес будет сжимать балки, поддерживающие пол. Следовательно, балки вверху сжимаются, а внизу растягиваются. Это создает изгибающий момент. Кроме того, срезное полотно удерживает балки вместе. В заключение, структура дома должна быть в состоянии сбалансировать все эти нагрузки, чтобы сохранить структурную целостность.
Что такое изгибающий момент?
Мера эффекта изгиба из-за приложенной к элементу конструкции поперечной силы называется изгибающим моментом. Таким образом, в проектировании конструкций изгибающий момент является важным элементом при проектировании конструкций. В противном случае было бы трудно понять поведение элементов конструкции при приложении поперечной нагрузки.
Как упоминалось ранее, конструкция конструкции удерживает максимальные пределы изгиба конструкции в допустимых пределах. Однако при превышении пределов изгиба или сдвига конструкция не сможет сохранить свою устойчивость и в конечном итоге приведет к ее разрушению.
Как рассчитывается изгибающий момент
Когда поперечная сила прикладывается к секции балки, возникающие напряжения называются напряжениями изгиба. Следовательно, приложенные силы вызывают изгибающий момент, который обычно измеряется как сила x расстояние (кН-м). При измерении изгиба сила должна быть перпендикулярна плечу момента . Балка является наиболее распространенным конструктивным элементом, подверженным изгибающим моментам, так как под нагрузкой она может изгибаться в любой точке по своей длине. Несмотря на различия в процессах, балка может разрушиться из-за касательных напряжений до разрушения изгиба.
В этом случае изгибающая сила заставит балку вращаться вокруг точки поворота, если точка поворота не ограничена должным образом. Таким образом, точка, в которой возникает максимальный изгибающий момент, важна для расчета конструкции на изгиб.
Вывод уравнения изгибающего момента
Чтобы полностью понять контекст изгибающих моментов, мы должны изучить поперечное сечение балки при изгибе.
Дискретная полоса напряжения изгиба
Иллюстрация распределения напряжения по сечению при изгибе. Источник: Университет АризоныИз рисунка видно, что внутренние напряжения статически эквивалентны внешним силам и моментам. Во-первых, рассмотрим силу dF , действующую на полосу площадью дА . Развиваемое напряжение σ будет равно
. Следовательно, момент M будет задан как
Здесь y — расстояние силы от нейтральной оси (т. на луче). Следовательно, чтобы получить максимальное напряжение в крайней точке волокна, fb , мы можем использовать тригонометрический прием:
Напряжения изгибающего момента, возникающие в поперечном сечении.
Из подобия треугольников на рисунке выше мы можем получить
Преобразование приведенного выше уравнения
Где c — расстояние от нейтральной оси до вершины поперечного сечения, fbmax — максимальное напряжение на краю волокна, а σ — изгибные напряжения на полосе на расстоянии.
Интегрирование напряжения изгиба
Теперь мы можем подставить это в первое уравнение. Однако в начале вывода уравнения предполагалась одна полоса поперечного сечения. Чтобы включить все сечение, берется интегрирование;
Здесь мы определяем, что определение второго момента площади I можно использовать для упрощения уравнения.
Переставить для fbmax (Напряжение при изгибе)
Таким образом, напряжение fb на любом расстоянии, y от нейтральной оси будет
Мы также можем написать
I section 3/3 9 Y .
Допущения
Обратите внимание, что приведенный выше вывод уравнений изгибающего момента основан на следующих допущениях:
- Во-первых, балка является линейной и имеет однородную площадь поперечного сечения до приложения напряжений.
- Во-вторых, изгибающий момент возникает внутри продольной плоскости симметрии балки.
- В-третьих, балка подвергается чистому изгибу (изгибающий момент не изменяется по длине).
- Наконец, материал, используемый в балке, является однородным и изотропным.
Вам понравился этот пост? Подпишитесь, и каждый месяц мы будем присылать вам еще больше таких замечательных постов.
Уравнения для изгибающего момента
Разделы ниже содержат конфигурацию балки вместе с приложенной нагрузкой и формулы для расчета максимального изгибающего момента .
Консоли
В этом подразделе мы рассмотрим различные конфигурации нагрузки консольных балок.
Консоль – Точечная нагрузка на конце
Защемленная балка с вертикальной точечной нагрузкой на конце будет иметь максимальный момент на опоре. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента консоли – точечная нагрузка на концеКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой точечной нагрузке P в конце.
Консоль – равномерно распределенная нагрузка
Как и в приведенной выше конфигурации, защемленная балка с равномерно распределенной нагрузкой будет иметь максимальный момент на опоре. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента консоли – равномерно распределенная нагрузкаКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой точечной равномерно распределенной нагрузке д .
Консоль – треугольная распределенная нагрузка
Как и в приведенной выше конфигурации, защемленная балка с треугольной распределенной нагрузкой будет иметь максимальный момент на опоре. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента консоли – треугольная распределенная нагрузкаКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой точечной треугольной распределенной нагрузке д .
Консоль – конечный момент
Защемленная балка с моментной нагрузкой на конце будет иметь постоянный момент по всей балке. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Консоль – конечный моментКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой мгновенной нагрузке M0 в конец.
Просто поддерживаемые балки
В этом подразделе мы рассмотрим различные конфигурации нагрузки свободно опертых балок. Другими словами, балки с одним концом на штифтах, а другой конец на ролике.
Просто поддерживаемая – промежуточная нагрузка
Теперь, если мы рассмотрим свободно опертые балки, общей конфигурацией является конфигурация с точечной нагрузкой на расстоянии a от первой опоры.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – промежуточная нагрузкаКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки общей длиной a + b , подверженной точечная нагрузка P расположен на расстоянии a от опоры.
| П: | |
| а: | |
| б: |
Простая опора — центральная точечная нагрузка
Просто опертая балка с точечной нагрузкой в центре. Максимальный момент возникает там, где приложена точечная нагрузка.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Свободно опертый — нагрузка в центреКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подвергаемой точечной нагрузке P в центре.
Просто опертая – две точечные нагрузки на равном расстоянии от опор
Просто опертая балка с двумя точечными нагрузками на равном расстоянии от опор. Максимальный момент возникает между двумя точечными нагрузками.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента свободно опертой балки – двухточечные нагрузки на равном расстоянии от опорКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L две точечные нагрузки на равном расстоянии и от опор.
Просто опертая – равномерно распределенная нагрузка
Просто опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой. Максимальный момент возникает в центре балки.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – равномерно распределенная нагрузкаКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подвергаемой равномерно распределенной нагрузке нагрузка q .
Просто опертая – момент на каждой опоре
Просто опертая балка с двухточечной моментной нагрузкой на каждом конце. Момент постоянен по длине балки.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – момент на каждой опореКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной действию двух моментов нагрузки M0 на концах.
Просто опертая – момент на одной опоре
Просто опертая балка с моментной нагрузкой на одну опору. Диаграмма момента имеет треугольную форму, где максимальный момент возникает там, где приложен момент.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – момент на одной опореКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной одному моменту загрузите M0 с одного конца.
Просто опертая, момент в средней точке
Свободно опертая балка с моментной нагрузкой, приложенной в центре. Максимальный момент будет в центре.
Уравнение и диаграмма
Диаграмма изгибающего момента Просто опертая, момент в средней точкеКалькулятор
Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной одному моменту нагрузки M0 в центре.
Заключение по изгибающему моменту
В заключение, изгибающий момент — это реакция, возникающая в элементе конструкции, когда на него действует внешняя сила или момент, вызывающий его изгиб. Балка является наиболее типичным или простейшим элементом конструкции, подверженным действию изгибающих моментов.
Чтобы проиллюстрировать это далее, рассмотрим момент (силу) на локте. Как упоминалось ранее в статье, момент прямо пропорционален плечу рычага. Точно так же он играет важную роль в определении параметров конструкции консольных конструкций. Если момент превышает расчетную прочность конструкции или любого другого компонента из-за чрезмерной нагрузки, она может разрушиться. Разрушение башен Всемирного торгового центра произошло из-за увеличения количества соединений, вызванных сильным жаром пожаров. При изменении моментов в конструкции передача усилий на другие элементы, соединения и узлы общей системы становится неуправляемой, что может привести к отказу.
Наконец, в настоящее время инженеры проектируют конструкции с помощью программного обеспечения для получения точных и быстрых результатов.