Формулы эпюры моментов балки: Расчетные схемы для балок

Содержание

Расчетные схемы для балок — pouznaval.ru

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота. Данный метод решения проблемы называется методом начальных параметров.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θ_х = — θ_A + М_Ах/EI + Ax²/2EI — qx³/6ЕI (173.1)

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка отсутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

θ_х = — θ_A + Ax²/2EI = — Ql²/16EI + Qx²/4EI = Q(4x² — l²)/16EI

(173.2)

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

f_х = — θ_Ax + Мх²/2EI + Ax³/6EI — qx⁴/24ЕI (173.3)

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

f_х = — θ_Ax + Ax³/6EI = — Ql²x/16EI + Qx³/12EI = Qx(4x² — 3l²)/48EI (173.4)

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2 < x < l) уравнение будет иметь вид:

f_х = — θ_Ax + Ax³/6EI — Q(x — l/2)³/6EI (173.5)

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси

у.

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

Отдельно приводится пример расчета балки при общем случае загружения несколькими сосредоточенными нагрузками, приложенными несимметрично, по двум вариантам: упрощенному и полному. Сделал я это для наглядности, потому что устал каждый раз объяснять, что не всегда есть большая необходимость в точных расчетах.

Кроме того, для людей, оснащенных планшетами, айфонами и прочими современными гаджетами, всегда есть возможность скачать программу, значительно упрощающую расчеты. Често скажу, это не моя программа, тем не менее создателю этого програмного обеспечения я искренне благодарен.

Таблица 1. Балка на двух шарнирных опорах.

Таблица 2. Консольная балка.

Таблица 3. Балка на шарнирных опорах с консолями.

Расчет неразрезной (статически неопределимой) балки — КиберПедия

Расчет неразрезной (статически неопределимой) балки с помощью уравнений трех моментов и метода фокусных отношений.

Уравнение трех моментов

1) Ставятся шарниры над всеми промежуточными опорами.

2) Если одна из опор является жесткой заделкой, то вместо нее добавляется пролетL=0:

Неразрезная балка

3) Консольные части балки удаляются, а их влияние заменяется изгибающими моментами:

Неразрезная балка

4) Нумеруются пролеты (пролет нумеруется последующей за ней опорой) и опоры (начиная с 1).

5) Строятся эпюры изгибающих моментов для отдельных балок, на которые действуют внешние нагрузки.

6) Составляются уравнения трех моментов:

где М_n_-1, M_n, M_n₊₁– моменты в опорах n-1, n, n+1.

где ω_n, ω_n₊₁ – площади фигур, ораниченных эпюрами изгибающих моментов для отдельных (простых) балок;

a_n, b_n₊₁– расстояние от центра тяжести соответствующей эпюры изгибающих моментов простой балки до левой опоры n и правой опоры n+1.

7) Определяются площади и центры тяжести соответствующих эпюр изгибающих моментов простых балок.

Для прямоугольного треугольника:

Центр тяжести для треугольника

7) Решаются уравнения трех моментов:

8) Строится эпюра моментов в опорах М

оп.

9) Строится итоговая эпюра моментов М, равная сумме эпюр моментов в опорах М_опи всех эпюр M_р, построенных для отдельных балок.

10) Проверка – произведение единичной эпюры от действия единичной силы в крайней правой опоре на итоговую эпюру должно равняться нулю.

Метод фокусных отношений

1) Если есть заделка, то по аналогии с уравнением трех моментов вместо заделки добавляется пролет L=0.

2) Определяются фокусные расстояния (левые и правые).

Левые фокусные отношения определяются по формуле:

Правые фокусные отношения определяются по формуле:

При шарнирномопирании крайнего левого (правого) пролета фокусное расстояние для следующего номера опоры (крайней опоры) равно бесконечности (∞).3) Строятся эпюры изгибающих моментов для балки от действия заданной временной нагрузки.

Моменты в опорах определяются по формулам:

где A_n^ф, В_n^ф – левая и правая фиктивные опоры соответственно (n – номер пролета) – определяются как в способе трех моментов.

Моменты в остальных пролетах определяются по формулам:

4) Строится объемлющаю эпюра. Она строится при одновременном действии временной нагрузки во всех пролетах и постоянной нагрузки.

Максимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с положительными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках.

Минимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с отрицательными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках.

С. Задача 1

Построить эпюру изгибающих моментов для неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов.

Неразрезная балка

1) Составляется основная система неразрезной балки:

Основная система для способа уравнений трех моментов

2) Строятся эпюры изгибающих моментов для отдельных балок, на которые действуют внешние нагрузки:

Эпюры изгибающих моментов для отдельных балок

Распишем построение эпюры для пролета L₂:

и т.д. для остальных пролетов.

3) Составляются уравнения трех моментов:

4) Определяются площади и центры тяжести соответствующих эпюр изгибающих моментов простых балок:

5) Преобразуем уравнения трех моментов:

6) Решаем уравнения трех моментов:

7) Строим эпюру моментов в опорах М_оп.

8) Строим итоговую эпюру моментов М, равную сумме эпюр моментов в опорах М_опи всех эпюр M_р, построенных для отдельных балок.

9) Выполняем проверку. Строим единичную эпюру от действия единичной силы в крайней правой опоре. Если произведение единичной эпюры на итоговую эпюру равно нулю, то расчет выполнен верно.

Расчет неразрезной балки с помощью уравнений трех моментов

С. Задача 2

Построим для заданной балки эпюры изгибающих моментов способом фокусных отношений в результате последовательного загружения всех пролетов временной нагрузкой (например, q_вр=1,5 кН/м). Для пролета L₃ построим объемлющую эпюру для точек 2, 3, 0,5·L₃.

По аналогии с методом уравнений трех моментов, если есть заделка, то вместо нее добавляется пролет L=0 (на схеме балке не указан, т.к. схема аналогична задаче для метода трех моментов).

Расчет неразрезной балки способом фокусных отношений

1) Определяем фокусные расстояния (левые и правые):

1.1) левые:

При шарнирном опирании крайнего левого пролета фокусное расстояние для следующего номера опоры равно бесконечности (∞) в соответствии с формулой:

М_n_-1 =0, т.к. крайняя опора n-1 является шарнирной, т.е.:

1.2) правые:

При шарнирном опирании крайнего правого пролета фокусное расстояние для номера крайней опоры равно бесконечности (∞) в соответствии с формулой:

М_n =0, т.к. крайняя опора n является шарнирной, т.е.:

2) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиq_вр в пролете L

2.1) Определяем фиктивные опорные реакции от q_{вр (по формуле для способа уравнений трех моментов)}:

Для распределенной нагрузки может применяться следующая формула:

2.2) Определяем моменты в опорах:

Моменты в опорах определяются по формулам:

3) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиq_вр в пролете L₃:

3.1) Определяем фиктивные опорные реакции от q_вр:

3.2) Определяем моменты в опорах:

4) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиq_вр в пролете L₄:

4.1) Определяем фиктивные опорные реакции от q_вр:

4.2) Определяем моменты в опорах:

5) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиq

вр, действующей на консоли:

6) Строим объемлющую эпюру для пролета L₃ (точек 2, 3, 0,5·L₃). Она строится при одновременном действии временной нагрузки во всех пролетах и постоянной нагрузки.

Значения эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки берем из решения задачи 1 с помощью уравнения трех моментов.

Полученные значения для удобства записи заносим в таблицу 1:

Таблица 1

Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. 1960 г. Уманский А.А.

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА. Чл.-корр. АН УССР д-р физ.-мат. наук проф. И. Я. Штаерман 19
1.1. Алгебра 19
1.1.1. Степени и корни 19
1.1.2. Логарифмы 19
1.1.3. Прогрессии 20
1.1.4. Факториал 20
1.1.5. Соединения 20
1.1.6. Бином Ньютона 20
1.1.7. Определители (детерминанты) 20
1.1.8. Линейные уравнения 21
1.1.9. Матрицы (канд. техн. наук В. В. Новицкий) 22
1.1.10. Уравнения высших степеней 23
1.1.11. Приближенное решение уравнений 24
1.2. Геометрия 25
1.2.1. Плоские фигуры. Многоугольники .Круг и его части. Площади, ограниченные кривыми второго порядка 25
1.2.2. Тела. Тела, ограниченные плоскостями. Цилиндр и конус. Шар и его части. Некоторые другие тела. Тела вращения (теоремы Гюльдена). Призматоид. Рампа 26
1.3. Тригонометрия 27
1.3.1. Измерение углов 27
1.3.2. Тригонометрические (круговые) функции . . 27
1.3.3. Функции суммы и разности углов, кратных углов и половинного угла 29
1.3.4. Степени функций 29
1.3.5. Приведение к виду, удобному для логарифмирования 29
1.3.6. Зависимости между функциями трех углов, сумма которых равна 180° 29
1.3.7. Зависимости между обратными тригонометрическими функциями 30
1.3.8. Формулы, применяемые при решении треугольников 30
1.3.9. Гиперболические функции 31
1.4. Аналитическая геометрия 31
1.4.1. Точка на плоскости 31
1.4.2. Прямая линия 32
1.4.3. Окружность 32
1.4.4 Парабола 32
1.4.5. Эллипс и гипербола 33
1.4.6. Построение конических сечений 34
1.4.7. Цепная линия. Циклоида. Спираль 34
1.4.8. Точка в пространстве 34
1.4.9. Плоскость 35
1.4.10. Прямая в пространстве 35
1.4.11. Поверхности второго порядка 35
1.5. Дифференциальная геометрия 36
1.5.1. Плоские кривые 36
1.5.2. Пространственные кривые 38
1.5.3. Поверхности 39
1.6. Дифференциальное исчисление 39
1.6.1. Функция, предел, непрерывность 39
1.6.2. Производная и дифференциал 40
1.6.3. Раскрытие неопределенностей 41
1.6.4. Исследование функций 41
1.6.5. Функция двух переменных 41
1.7. Интегральное исчисление 42
1.7.1. Неопределенный интеграл 42
1.7.2. Интегрирование рациональных функций 43
1.7.3. Интегрирование иррациональных функций 44
1.7.4. Интегрирование трансцендентных функций 44
1.7.5. Определенный интеграл 46
1.7.6. Кратные интегралы 47
1.7.7. Криволинейные интегралы 48
1.8. Ряды 48
1.8.1. Числовые ряды 48
1.8.2. Степенные ряды 49
1.9. Дифференциальные уравнения 51
1.9.1. Основные понятия 51
1.9.2. Уравнения первого порядка 51
1.9.3. Уравнения второго порядка 51
1.9.4. Линейные уравнения второго порядка 52
1.9.5. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 53
1.9.6. Метод начальных параметров 53
1.9.7. Общие решения дифференциального уравнения четвертого порядка с биквадратным характеристическим уравнением (канд. техн. наук А. И. Тюленев) 54
1.9.8. Приближенные методы 54
1.9.9. Уравнения математической физики 58
1.9.10. Квазилинейные уравнения 59
1.10. Функции комплексной переменной 60
1.10.1. Комплексные числа 60
1.10.2. Комплексные функции 60
1.10.3. Конформные отображения 61
1.11. Вариационное исчисление 61
1.11.1. Постановка задачи 61
1.11.2. Основные случаи 62
1.11.3. Прямые методы 63
1.12. Разностное исчисление 63
1.12.1 Определение разностей 63
1.12.2. Разностные уравнения 63
1.13. Интегральные уравнения 64
1.13.1. Уравнения Фредгольма. Методы решения однородного уравнения. Методы решения неоднородного уравнения 64
1.13.2. Уравнения Вольтерра второго рода 65
1.13.3. Уравнения Абеля 65
1.13.4. Сингулярные уравнения 65
1.14. Специальные функции 66
1.14.1. Полиномы Лежандра 66
1.14.2. Полиномы Чебышева 66
1.14.3. Гамма-функция 66
1.14.4 Функции Бесселя 66
1.15. Операционное исчисление 67
1.15.1. Преобразование Лапласа 67
1.15.2. Применение операционного исчисления 68
1.16. Векторное и тензорное исчисления 68
1.16.1. Векторная алгебра 68
1.16.2. Векторный анализ 69
1.16.3. Тензоры 69
1.17. Приближенные вычисления 70
1.17.1. Общие положения 70
1.17.2. Приближенные формулы 71
1.18. Номография 71
1.18.1. Функциональная шкала 71
1.18.2. Номограммы из выравненных точек 71
1.18.3. Сетчатые номограммы 72
1.18.4. Номограммы для уравнений с числом переменных более трех 72
1.19. Приближенное представление функций 72
1.19.1. Постановка задачи 72
1.19.2. Интерполяционные формулы 72
1.19.3. Приближение функций по методу наименьших квадратов 74
1.19.4. Приближенное вычисление определенных интегралов 75
1.20. Ряды Фурье 76
1.20.1. Разложение функций в ряд Фурье 76
1.20.2. Интеграл Фурье 79
1.20.3. Приближенный гармонический анализ 80
1.21. Теория вероятностей 81
1.21.1. Понятие вероятности 81
1.21.2. Случайные величины 82
1.21.3. Обработка наблюдений 82
1.21.4. Основы теории корреляции 83
1.22. Математические таблицы 84
1.22.1. Степени, корни, натуральные логарифмы 84
1.22.2. Тригонометрические функции. Синусы и косинусы 92
1.22.3 Круговые, показательные и гиперболические функции 94
1.22.4. Некоторые постоянные 97
1.22.5. Соотношение между английскими и метрическими мерами 97
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Д-р техн. наук проф. А. Н. Обморшев. 99
СТАТИКА 99
2.1. Геометрическая статика 99
2.1.1. Основные положения 99
2.1.2. Сложение и разложение сил 100
2.1.3. Моменты сил и пар 100
2.1.4. Параллельные силы 101
2.1.5. Произвольная система сил 101
2.1.6. Правила прикрепления твердого тела 104
2.1.7. Системы с трением 104
2.1.8. Центр тяжести 105
2.2. Графостатика 106
2.2.1. Веревочный многоугольник 106
2.2.2. Применение веревочного многоугольника к определению опорных реакций 108
2.2.3. Определение усилий в стержнях плоских статически определимых ферм 109
2.2.4. Разложение силы по трем прямым, пересекающимся в одной точке и не лежащим в одной плоскости 110
2.2.5. Разложение силы по шести произвольно расположенным прямым 110
2.3. Аналитическая статика 111
2.3.1. Работа. Мощность 111
2.3.2 Потенциальная энергия 112
2.3.3. Принцип возможных перемещений 113
КИНЕМАТИКА 113
2.4. Кинематика точки 113
2.4.1 Прямолинейное движение точки 113
2.4.2. Криволинейное движение точки 114
2.4.3. Относительное движение точки 115
2.5. Кинематика твердого тела 115
2.5.1. Поступательное движение 115
2.5.2. Вращение вокруг неподвижной оси 115
2.5.3. Винтовое движение 116
2.5.4. Плоско-параллельное движение 116
2.5.5. Движение тела около неподвижной точки 117
2.5.6. Сложение скоростей или бесконечно малых перемещений при сложном движении твердого тела. Статико-кинематическая аналогия 117
2.5.7. Элементы кинематики механизмов 118
2.5.8. Кинематические пары, входящие в расчетные схемы сооружений 118
ДИНАМИКА 120
2.6. Механические единицы 120
2.6.1. Правило размерностей 120
2.7. Динамика точки 121
2.7.1. Основные законы 121
2.7.2. Прямолинейное движение точки 121
2.7.3. Криволинейное движение точки 122
2.7.4. Кинетостатика точки. Относительное движение 122
2.8. Динамика системы 122
2.8.1. Общие теоремы динамики 122
2.8.2. Общие принципы динамики системы 123
2.8.3. Моменты инерции 124
2.9. Динамика твердого тела 125
2.9.1. Вращение тела вокруг неподвижной оси 125
2.9.2. Физический маятник 125
2.9.3. Давление вращающегося тела на опоры 126
2.9.4. Плоско-параллельное движение 126
2.10. Удар 126
2.10.1. Основные положения 126
2.10.2. Удар двух тел 126
2.10.3. Действие удара на вращающееся твердое тело 127
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ. Д-р техн. наук И. И. Трапезин 129
3.1. Напряжения 129
3.1.1. Основные понятия 129
3.1.2. Одноосное напряженное состояние 129
3.1.3. Плоское напряженное состояние 130
3.1.4. Объемное напряженное состояние 130
3.1.5. Преобразование компонентов напряжения к новым осям координат 132
3.1.6. Интенсивность напряжений в данной точке 132
3.1.7. Круги Мора 133
3.2. Деформации 134
3.2.1. Компоненты деформаций 134
3.2.2. Определение угловой деформации и величин главных удлинений по удлинениям в трех направлениях в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния 135
3.2.3. Интенсивность деформаций 135
3.3. Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости 136
3.3.1. Закон Гука для изотропного тела 136
3.3.2. Закон Гука для анизотропного тела 137
3.3.3. Плоскость симметрии в отношении упругих свойств 137
3.3.4. Ортотропное упругое тело 137
3.3.5. Потенциальная энергия упругого тела 138
3.4. Связь между напряжениями и деформациями за пределами упругости 138
3.4.1 Условия пластичности 138
3.4.2 Напряжения и деформации при простом нагружении и при разгрузке 138
3.4.3 Диаграммы растяжения 139
3.4.4 Схематизация истинных диаграмм растяжения 139
3.4.5. Построение кривой зависимости 140
РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ. Кандидаты техн. наук доценты А. И. Коданев, В. Г.Чернашкин, Б. А. Дзержкович, чл.-корр. АСиА СССР канд. техн. наук С. А. Семенцов, канд. техн. наук Л. Н. Пицкель, д-р техн. наук проф. В. Н. Быковский, д-р техн. наук А. Б. Губенко, кандидаты техн. наук А. Г. Иммерман, Л В. Клепиков, В. А. Отставнов 141
4.1. Прочность материалов (А. И. Коданев) 141
4.1.1. Упругость, пластичность и разрушение 141
4.1.2. Влияние характера напряженного состояния 141
4.1.3. Влияние температуры 144
4.1.4. Влияние длительности нагружения 144
4.1.5. Влияние переменности нагрузки 145
4.1.6. Влияние концентрации напряжений 147
4.1.7. Влияние скорости приложения нагрузки 147
4.2. Строительные стали (В. Г. Чернашкин) 148
4.2.1. Основные понятия и обозначения 148
4.2.2. Физические свойства углеродистой стали 148
4.2.3. Химический состав и механические свойства углеродистой стали. Сталь углеродистая горячекатаная обыкновенного качества пс ГОСТ 380-50. Сталь углеродистая для мостостроения. Сталь углеродистая для армирования железобетонных конструкций 149
4.2.4. Химический состав и механические свойства низколегированной стали. Сталь низколегированная 10ХНДП (СХЛФ) с повышенным содержанием фосфора. Сталь низколегированная марки 10Г2СД (МК). Сталь низколегированная марок 14ХГС и 19Г. Сталь низколегированная марки 15ГС 156
4.3. Сплавы алюминия для строительства(Б. А. Дзержкович) 162
4.4. Бетон (С. А. Семенцов) 164
4.4.1. Прочность 164
4.4.2 Деформация 166
4.5. Каменные материалы (С. А. Семенцов) 171
4.5.1. Прочность 171
4.5.2 Деформации 173
4.6. Армированные материалы (Л. Н. Пицкель) 174
4.6.1. Общие сведения 174
4.6.2. Железобетон 175
4.6.3. Армоцемент 179
4.6.4. Армированные каменные конструкции 179
4.6.5. Армированный асбестоцемент 180
4.7. Древесина (В. Н. Быковский) 181
4.7.1. Общие сведения 181
4.7.2. Механические свойства 181
4.8 Пластмассы в строительных конструкциях (А. Б. Губенко) 183
4.8.1. Конструктивные пластмассы 183
4.8.2. Конструкции с применением пластмасс 185
4.8.3. Клеи и склеивание конструкций с применением пластмасс 186
4.9 Методы расчета конструкций 186
4.9.1. Метод расчета по расчетным предельным состояниям (Л. В. Клепиков, В. А. Отставнов) 186
4.9.2. Метод расчета по разрушающим нагрузкам (А. Г. Иммерман) 191
4.9.3. Метод расчета по допускаемым напряжениям (А. Г. Иммерман) 192
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ. Д-р техн. наук проф. А. А. Уманский 195
5.1. Основные положения технической теории бруса 195
5.1.1. Определения 195
5.1.2. Основные факторы работы бруса. Статико-кинематическая аналогия. Нагрузки и усилия. Деформации и перемещения. Статико-кинематическая аналогия 195
5.1.3. Интегральные соотношения между напряжениями и усилиями в поперечных сечениях 197
5.1.4. Соответствующие силы и перемещения, усилия и дислокации 197
5.1.5. Начальная, температурная и упругая распределенные деформации 199
5.1.6. Две системы координатных осей упругого бруса с несимметричным сечением 200
5.1.7. Упругое основание 200
5.1.8. Плоский неразветвленный упругий брус. Обобщенная статико-кинематическая аналогия 200
5.2. Определение нормальных напряжений 202
5.2.1. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев 202
5.2.2. Определение моментов инерции относительно исходных осей 203
5.2.3. Редуцирование площадей при вычислении моментов инерции 203
5.2.4. Общая формула нормального напряжения при растяжении-сжатии и изгибе. Нейтральная линия 205
5.2.5. Максимальные нормальные напряжения 206
5.2.6. Ядро сечения 206
5.2.7. Случай переменного модуля Е 207
5.2.8. Пользование центральными неглавными осями 207
5.3. Определение касательных напряжений и деформаций в брусьях. Особенности тонкостенных сечений 208
5.3.1. Расчет на срез (сдвиг) 208
5.3.2. Расчет на направленный срез (сдвиг). Формулы для погонных касательных усилий и напряжений 208
5.3.3. Касательные напряжения при изгибе. Центр изгиба 210
5.3.4. Деформация сдвига при изгибе брусьев с массивным сечением и двутавровых балок 212
5.3.5. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба открытых тонкостенных сечений 212
5.3.6. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба замкнутых тонкостенных сечений 215
5.3.7. Касательные напряжения и относительный угол закручивания при свободном кручении. Геометрические характеристики 217
5.3.8. Депланация при свободном кручении. Эпюры единичной депланаций при свободном кручении для тонкостенных сечений 219
5.3.9. Стесненное кручение 219
5.3.10. Сложное сопротивление тонкостенных брусьев. Приведение нагрузок к типам усилий 221
5.4. Классификация систем брусьев и общие методы строительной механики 222
5.4.1. Основные определения 222
5.4.2. Виды систем Балки. Арки. Рамы. Фермы. Комбинированные системы. Спаренные плоские системы (биконструкции) 223
5.4.3. Статический метод определения перемещений и кинематический метод определения усилий на примере балки. Инфлюенты (линии и поверхности влияния). Статический метод определения перемещения в статически определимой системе. Кинематический метод определения усилия в статически определимой системе. Обобщенная теорема о взаимности работ активных факторов, действующих на упругую систему. Формулы для перемещения в упругой с. н. системе. Формулы для усилия в с. н. системе. Теоремы о взаимности единичных перемещений и усилий 226
5.4.4 Метод потенциальной энергии. Выражение энергии деформации через обобщенные силы и обобщенные перемещения. Выражение энергии деформации через силы и единичные перемещения. Выражение энергии деформации системы брусьев через усилия. Теорема Кастильяно. Теорема о минимуме энергии деформации. Случай заданных (температурных или начальных) деформаций. Выражение энергии деформации через перемещения или дислокации. Теорема об экстремуме полной энергии. Случай нелинейно-деформируемой системы, когда энергия деформации не есть функция второй степени от нагрузок 229
5.5. Балки 231
5.5.1. Определение усилий и перемещений и построение эпюр в балках по методу начальных параметров. Общие положения. Обыкновенная балка постоянного сечения. Обыкновенная балка переменного сечения . «Графоаналитический» метод определения перемещений в обыкновенных балках. Концевые углы поворота сечений простой балки как фиктивные реакции 231
5.5.2. Абсолютно жесткая балка на упругом основании и обыкновенная балка с защемленными концами. Уравнения эпюр. Абсолютно жесткие балки со свободными концами на упругом основании. Обыкновенные балки с защемленными концами 238
5.5.3. Приемы, упрощающие построение эпюр и инфлюент статически определимых балок 240
5.5.4. Равнопролетные неразрезные балки на жестких опорах. Метод бесконечной основной системы. Полубесконечная балка. Бесконечная балка. Построение инфлюент. Конечная равнопролетная балка 241
5.5.5. Равнопролетные неразрезные балки постоянного сечения на упруго оседающих опорах. Метод начальных параметров. Бесконечная и полубесконечная балки. Расчет конечных равнопролетных балок по таблицам для бесконечных балок 243
5.5.6. Балка на упругом (винклеровском) основании. Общие данные. Уравнения эпюр. Однопролетная балка. Бесконечная двусторонняя балка. Полубесконечная балка. Использование бесконечной балки для расчета конечных балок (Метод компенсирующих нагрузок). Практические указания. Дополнительная литература 248
5.5.7. Общий метод расчета неразрезных балок на жестких опорах. Уравнение трех опорных моментов 253
5.5.8. Решение системы уравнений трех моментов и общих трехчленных уравнений. Аналитический способ. Графический способ. Определение чисел влияния. Построение инфлюент усилий Qu и Мu в промежуточных сечениях неразрезной балки и инфлюент реакций Vn 255
5.5.9. Неразрезная балка на упруго оседающих опорах. Уравнение пяти опорных моментов 262
5.6. Арки и простые рамы 263
5.6.1. Общие положения 263
5.6.2. Трехшарнирная арка. Реакции и усилия при постоянной нагрузке. Инфлюенты (линии влияния). Эпюры углов поворота и прогибов арки 263
5.6.3. Статически неопределимые арки. Универсальные формулы для усилий. Характеристики фиктивного профиля. Определение факторов Рф, Lx, Ly. Определение опорных моментов и опорных реакций. Инфлюенты усилий в бесшарнирной арке. Использование общих формул для расчета одно- и двухшарнирной арок. Упруго защемленная арка 266
5.6.4. Двухшарнирная арка. 269
5.6.5. Упрощенный расчет двухшарнирных и бесшарнирных параболических арок. Учет обжатия 270
5.6.6. Одноконтурные (простые) рамы. Статически определимые рамы. Статически неопределимые рамы. Упрощения в расчете геометрических характеристик гибкости и фиктивных нагрузок 272
5.6.7. Бесшарнирные арки и рамы под нагрузкой, перпендикулярной их плоскости 275
5.7. Сложные рамы 276
5.7.1. Классификация методов 276
5.7.2. Расчет рам по способу трех и четырех моментов. Закрепленная эстакада. Свободная эстакада. Простая балка переменного сечения как элемент основной системы. Ступенчатая стойка. Ломаная или криволинейная балка. Уравнение трех моментов для неразрезной балки с пролетами в виде параболических арок с затяжками. Зависимости между перемещениями и уравнения равновесия в сложных случаях 277
5.7.3. Метод перемещений. Общие положения. Формулы для усилий (реакций) защемлений от местной нагрузки или заданной деформации и перемещений торцов. Составление уравнений из условий равновесия. Стандартные формулы для составления уравнений метода перемещений. Канонические уравнения метода перемещений для свободной рамной эстакады 281
6.7.4. Метод сил. Общие положения. Выбор основной системы, составление и решение канонических уравнений. Специальные приемы упрощения и контроля расчета по методу сил. Дополнительная литература 287
5.8 Расчет рам методом последовательных приближений 291
5.8.1. Способ распределения моментов (инженеры А. Н. Газарян и Я. К. Канонов) . Несвободные рамы. Свободные рамы. Многоярусные рамы. Дополнительная литература 291
5.8.2. Способ распределения углов поворота (канд. техн. наук П. М. Сосис) 296
5.8.3. Расчет многоэтажных рам на горизонтальную нагрузку (канд. техн наук доц. Я. Б. Львин). Однопролетная рама. Применение однопролетной схемы к расчету многопролетных рам 298
5.8.4. Метод фокусов (фокусных отношений). Общие положения. Формулы и приемы метода моментных фокусов. Формулы метода угловых фокусов. Область применения метода фокусов 300
5.9. Расчет пространственных рам с взаимно перпендикулярными брусьями по методу перемещений 304
5.9.1. Основные зависимости и формулы 304
5.9.2. Пример 306
5.10. Тонкостенные брусья 307
5.10.1. Прямые тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и пренебрежимо малой жесткостью свободного кручения 307
5.10.2. Тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и конечной жесткостью свободного кручения 309
5.10.3. Кривые тонкостенные брусья и арки с жестким поперечным сечением 311
5.10.4. Рамы из тонкостенных брусьев и бирамы 312
5.10.5. Поперечные изгибающие моменты и учет деформации контура поперечного сечения в тонкостенных брусьях 312
5.10.6. Приближенный расчет тонкостенных брусьев и цилиндрических оболочек с открытым деформируемым поперечным сечением (д-р техн. наук проф. С. Н. Кан и канд. техн. наук доц. П. А. Школьный) 313
5.11. Специальные вопросы 316
5.11.1. Конструкции типа составных брусьев. Многоэтажные рамы под горизонтальной нагрузкой. Каркасно панельные стены. Составная балка с пенсами, работающими на изгиб, и стенкой, работающей на сдвиг. Многопоясные составные брусья 316
5.11.2. Комбинированные и предварительно напряженные конструкции. Комбинированные конструкции. Предварительно напряженные металлические балки 321
5.11.3. Гибкие нити. Общие положения. Провисание непологой нити под действием собственного веса. Пологая нить (канд. техн. наук Р. Н. Мацелинский). Примеры расчета (Р. Н. Мацелинский). Стальные канаты. Дополнительная литература 323
5.11.4. Пневматические конструкции (доц. В. Н. Архангельский и инж А. Н Глухарев). Определения и основные сведения. Особенности расчета ПК. Расчет оболочки, работающей на избыточное давление. Расчет аэробалки. Определение деформаций ПК. Материалы для ПК. Литература 329
РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Действ, член АСиА СССР д-р техн. наук проф.Б. Н. Жемочкин, д-р техн. наук проф.А. А. Уманский 339
6.1. Способ Гаусса 339
6.1.1. Схемы вычислений 339
6.1.2. Примеры 341
6.1.3. Решение трехчленных уравнений 344
6.1.4. Числа влияния и их определение по способу Гаусса 344
6.2. Способ последовательных приближений (способ итерации) 345
6.3. Решение уравнений с помощью настольных вычислительных машин (инженеры К. П. Вишневский и Б. Л. Тарнопольский) 348
6.3.1. Компактные схемы способа Гаусса 348
6.3.2. Метод квадратных корней 351
6.4. Механизация решений уравнений 351
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ. Канд. техн. наук доц. В. В. Новицкий 353
7.1. Геометрические характеристики при растяжении-сжатии и изгибе 353
7.2. Приближенные значения радиусов инерции 362
7.3. Положение центра изгиба некоторых сечений 363
7.4. Геометрические характеристики при свободном кручении 365
7.5. Положение центра изгиба и бимоменты инерции сечений составных профилей 367
7.6. Геометрические характеристики двутавров и швеллеров при свободном и стесненном кручении 368
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ. Инж. М. С. Волчегорский, инж. Д. Л. Шапиро, д-р техн. наук проф. А. А. Уманский 369
8.1. Балки 369
8.1.1. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от различных нагрузок 369
8.1.2. Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы и углы поворота концевого сечения 372
8.1.3. Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты, прогибы, углы поворота опорных сечений, грузовые члены 374
8.1.4. Однопролетные балки с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами. Опорные реакции и опорные моменты 384
8.1.5. Прогибы однопролетных балок с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами 389
8.1.6. Прогибы в сечениях с простой балки от сосредоточенного груза Р в сечении х 390
8.1.7. Коэффициенты приведения нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной интенсивностью Pэк для определения опорных моментов в неразрезных балках 393
8.1.8. Неразрезные равнопролетные балки. Изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузок а) Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки. б) Бесконечная балка с равными пролетами. в) Определение абсциссы (х0) максимальных пролетных моментов в неразрезных балках 394
8.1.9. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы в сечениях (через 0.1l) и опорные реакции от равномерно распределенной нагрузки: постоянной g и временной р (таблицы Винклера) 401
8.1.10. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы а различных сечениях и опорные реакции от сосредоточенных грузов: постоянных G и временных Р 403
8.1.11. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с одним защемленным концом 406
8.1.12. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с обоими защемленными концами 406
8.1.13. Прогибы в равнопролетных неразрезных балках (в середине пролета) 408
8.1.14. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках при осадке опор а) Двух-, трех-, четырех- ч пятипролетные балки. б) Полубесконечная балка. в) Бесконечная балка 410
8.1.15. Ординаты инфлюент (линий влияния) изгибающих моментов и поперечных сил для неразрезных равнопролетных балок 411
8.1.16. Данные для расчета однопролетных подкрановых балок под один кран 413
8.1.17. Данные для расчета неразрезных пятипролетных балок с равными пролетами под два одинаковых крана. Огибающие эпюры М и Q 414
8.1.18. Данные для расчета балок и ригелей рам с вутами а) Симметричная шарнирно опертая по концам балка с вутами. б) Симметричная с защемленными концами балка с вутами. в) Балка с левым односторонним вутом, шарнирно опертая по концам .г) Балка с левым односторонним вутом, защемленная левым концом и шарнирно опертая правым .д) Балка с левым односторонним вутом и обоими защемленными концами. е) Неразрезные равнопролетные балки с симметричными вутами 417
8.1.19. Ординаты инфлюент опорного момента бесконечной балки на упруго оседающих опорах 423
8.1.20. Ординаты инфлюент опорного момента Мг полубесконечной балки на упруго оседающих опорах 423
8.1.21. Данные для расчета перекрытий с перекрестными балками (кессонные перекрытия).а) Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках. б) Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане перекрытиях 424
8.1.22. Усилия в элементах шпренгельной балки. а) Статически определимый шпренгель. б) Статически неопределимый шпренгель 425
8.1.23. Данные для расчета балок с защемленными концами, с ломаной в плане осью 427
8.2. Арки 430
8.2.1. Геометрические данные осей параболической и круговой арок 430
8.2.2. Симметричные трехшарнирные арки любого очертания. Распоры, опорные реакции и изгибающие моменты от различных нагрузок 431
8.2.3. Трехшарнирные круговые и параболические арки. Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от равномерно распределенной нагрузки 433
8.2.4. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от сосредоточенного груза 435
8.2.5. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 435
8.2.6. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 436
8.2.7. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 437
8.2.8. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от действия вертикальной сосредоточенной силы 440
8.2.9. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции от симметричной равномерно распределенной нагрузки 441
8.2.10. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузки 442
8.2.11. Бесшарнирные параболические арки а) Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок. б) Инфлюенты распора, опорной реакции, опорного момента и момента в середине пролета 443
8 2.12. Дополнительные геометрические данные для параболических, круговых и эллиптических арок 447
8.2.13. Бесшарнирная параболическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 447
8.2.14. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной параболической арке переменной толщины 449
8.2.15. Опорные моменты от собственного веса бесшарнирных параболических арок переменной толщины 449
8.2.16. Бесшарнирная круговая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 450
8.2.17. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной круговой арке переменной толщины 452
8.2.18. Опорные моменты и распоры от собственного веса бесшарнирных круговых арок переменной толщины 452
8.2.19. Бесшарнирная эллиптическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 453
8.2.20. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной эллиптической арке переменной толщины 454
8.3. Рамы 455
8.3.1. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем. а) Ригель и стойка шарнирно оперты. б) Ригель шарнирно оперт, стойка защемлена 455
8.3.2. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и защемленной стойкой 457
8.3.3. Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и защемленной стойкой 459
8.3.4. Моменты в Т-образной раме с защемленными ригелем и стойкой 461
8.3.5. Моменты и реакции П-образной рамы с шарнирно прикрепленным ригелем. а) Стоики постоянного сечения. б) Стойки ступенчатого сечения 463
8.3.6. Моменты и реакции П-образной рамы. а) С шарнирно прикрепленными стойками. б) С защемленными стойками 465
8.3.7. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 467
8.3.8. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 468
8.3.9. Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 470
8.3.10. Моменты в Т-образной раме с защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 472
8.3.11. Простые симметричные рамы. Вспомогательные формулы к 5.6.6 а) Характеристики гибкости рамы, увеличенные в ЕI раз. б) Эпюры M и фиктивные нагрузки ломаного ригеля приведенные к точкам А, С, В. в) Эпюры М и фиктивные нагрузки левой ступенчатой стойки, увеличенные в ЕI раз. Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце 474
8.3.12. Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце 477
8.3.13. Коэффициенты k0 для определения в ступенчатых стойках: а) перемещения верха защемленной внизу стойки от силы Х=1. б) реакции Нb в случае стойки, защемленной внизу и шарнирно опертой наверху, от взаимного горизонтального смещения опор на =1; в) реакции Нb от поворота нижнего сечения на угол = 1 479
8.3.14. Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым верхним концом. а) Реакции Нb от действия момента Мв = Ра. б) Реакции Hb от действия момента Ми=Ран. в) Реакции Hb от действия горизонтальной силы Р. г) Реакции Нb от действия горизонтальной силы Pн. д) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рв. е) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рн. ж) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки по всей высоте стойки. з) Реакции Нb от действия горизонтальной треугольной нагрузки 480
8.3.15 Моменты и реакции ступенчатой стойки с защемленными концами 487
8.3.16. Ступенчатая стойка с защемленными концами. Моменты защемления при различных n и l.а) от поворота верхнего сечения на угол = 1; б) от поворота нижнего сечения на угол =1; в) от взаимного смещения опорных сечений на =1; г) от равномерно распределенной нагрузки; д) от сосредоточенной силы; е) от внешнего момента 488
8.3.17. Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми ригелями и ступенчатыми защемленными стойками. а) Горизонтальная сосредоточенная нагрузка. б) Горизонтальная равномерно распределенная нагрузка. в) Действие внешнего момента на стойку рамы. г) Примеры 491
8.3.18. Изгибающие моменты в одноэтажных многопролетных рамах. а) Двухпролетные рамы. б) Трехпролетные рамы. в) Четырехпролетные рамы. г) Примеры 495
8.3.19. Изгибающие моменты в ригелях многоэтажных рам с равными пролетами 503
8.3.20. Формулы для подсчета интегралов Мора 506
8.4. Балки на упругом (винклеровском) основании 508
8.4.1. Гиперболо-круговые функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров 508
8.4.2. Начальные параметры балок на упругом основании 513
8.4.3. Затухающие функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров 514
8.4.4. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенной силы Р= 1 (инфлюенты) 516
8.4.5. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенного момента L= 1 (инфлюенты) 517
РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА. Канд. техн. наук доц. Ю. П. Григорьев 519
9.1. Нагрузка в плоскости кривизны 519
9.1.1. Круговые брусья. Основные обозначения и общие указания. Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках. Общие формулы для усилий и перемещений. Усилия в ключевом сечении бруса, защемленного двумя концами 519
9.1.2. Круговые кольца. Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках. Расчет круговых шпангоутов. Формулы для расчета круговых колец, нагруженных произвольным числом сосредоточенных сил и моментов 524
9 2. Нагрузка, перпендикулярная плоскости кривизны 531
9.2.1. Круговые брусья. Основные обозначения и общие указания. Формулы для усилий и перемещений кругового бруса при простейших нагрузках. Общие формулы для расчета 6pуca, нагруженного сосредоточенными силами и моментами. Усилия в ключевом сечении тонкостенного бруса, защемленного двумя концами. Монорельс на трех и на четырех равноотстоящих опорах 531
9.2.2. Расчет массивных и тонкостенных круговых колец при статически определимом опирании 541
9.2.3. Расчет круговых колец на равноотстоящих опорах 546
9.3. Брусья большой кривизны. Напряжение при изгибе. Перемещения при изгибе в плоскости кривизны 551
Раздел 10. ФЕРМЫ. Канд. техн. наук А. Г. Иммерман 553
10.1. Плоские фермы 553
10.1.1. Элементы и классификация плоских ферм 553
10.1.2. Основные положения расчета 553
10.1.3. Определение усилий в статически определимых фермах при неподвижной нагрузке. Установление неработающих стержней и стержней, усилия в которых определяются местной нагрузкой. Аналитическое определение усилий. Графическое определение усилий. Определение усилий по готовым формулам, таблицам и графикам. Расчет ферм на внеузловую нагрузку. Расчет составных ферм. Фермы с гибкими пересекающимися раскосами. Фермы с «окном». Способ замены стержней. Тонкостенные фермы. Распорные и комбинированные фермы 555
10.1.4. Перемещения узлов статически определимых ферм. Исходные данные для определения перемещений. Аналитическое определение перемещений. Графическое определение перемещений. Построение эпюры прогибов пояса фермы по способу фиктивных грузов 560
10.1.5. Инфлюенты усилий и перемещений в статически определимых фермах. Статический способ построения инфлюент усилий. Кинематический способ построения инфлюент усилий. Инфлюента перемещения. Невыгодная установка грузов на инфлюенте 563
10.1.6. Определение усилий в статически неопределимых фермах при неподвижной нагрузке. Приближенные способы расчета. Метод сил. Метод заданных напряжений. Фермы с нецентрированными узлами. Учет жесткости узлов. Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннами. Работа нулевых стержней. Проверка расчета ферм 566
10.1.7. Определение перемещений в статически неопределимых фермах 569
10.1.8. Инфлюенты усилий в статически неопределимых фермах 569
10.2. Плоские фермы, соединенные связями (биконструкции) 570
10.2.1. Определение и классификация 570
10.2.2. Основные положения расчета 570
10.2.3. Определение усилий в биконструкциях 571
10.2.4. Статически неопределимые и многорядные биконструкции 572
10.3. Пространственные фермы 573
10.3.1. Классификация и основные положения образования и расчета 573
10.3.2. Общие методы определения усилий 574
10.3.3. Расчет куполов 576
10.3.4. Расчет башен и мачт 576
10.4. Предварительно напряженные фермы 577
10.4.1. Определение. Основные положения расчета и конструирования 577
10.4.2. Фермы с предварительно напряженными отдельными стержнями 577
10.4.3. Предварительно напряженные фермы с затяжками 578
РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. Д-р техн. наук проф. И. И. Гольденблат 581
11.1. Основные уравнения теории упругости 581
11.1.1. Уравнения равновесия 581
11.1.2. Уравнения совместности деформаций 582
11.1.3. Определение перемещений по заданным составляющим тензора деформаций 583
11.1.4. Схемы решения задач теории упругости. Уравнения Ляме 584
11.1.5. Потенциальная энергия деформации. Начало наименьшей работы 585
11.1.6. Некоторые частные решения 585
11.2. Плоская задача 585
11.2.1. Плоское напряженное состояние 585
11.2.2. Плоская деформация 585
11.2.3. Функция напряжений для плоской задачи 586
11.2.4. Плоская задача в полярных координатах 586
11.2.5. Сведение плоской задачи к задаче об изгибе пластинки 587
11.3. Вариационные методы решения задач теории упругости 588
11.3.1. Метод Ритца 588
11.3.2. Метод Галеркина 590
11.3.3. Метод Треффца (метод смягчения граничных условий) 591
11.4. Метод сеток 591
11.4.1. Тринадцатичленное уравнение 591
11.4.2. Применение метода конечных разностей к расчету балки-стенки 592
11.5. Сводка некоторых решений теории упругости 594
11.5.1. Чистый изгиб 594
11.5.2. Поперечный изгиб консоли 594
11.5.3. Поперечный изгиб балки 595
11.5.4. Изгиб кривого бруса (задача X. С. Головина) 596
11.5.5. Клин, сжатый сосредоточенной силой 596
11.5.6. Толстостенные цилиндры и сферический сосуд 596
11.5.7. Упругая полуплоскость и упругое полупространство 597
11.6. Концентрация напряжений 597
11.6.1. Концентрация напряжений при растяжении 597
11.6.2. Концентрация напряжений при изгибе (инж. Г. Ю. Ратновская). Балка с круглым отверстием. Балка с отверстием квадратной формы 598
11.7. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения 599
11.8. Балки-стенки 600
11.8.1.Однопролетная балка-стенка 600
11.8.2. Многопролетная балка-стенка 600
11.9. Панели крупнопанельных и каркасно-панельных зданий 605
РАЗ

Эпюры моментов — Студопедия

(показан пример записи)

Таблица 8

Сечение	Момент от постоянной нагрузки, Т×м	Моменты от загружения временной нагрузкой, Т×м	Mмакс, Т×м	Mмин, Т×м
Левой консоли	Первого пролёта	Второго пролёта	Третьего пролёта	Правой консоли
i k	-18	-6	-6	-10	-10 -12	-9	-46

Для примера в указанной таблице приведены подсчеты ординат максимальных и минимальных значений моментов для точек i и к. Соединяя последовательно ординаты М_макс, получим объемлющую Эпюру М_макс Аналогично получим эпюру М_мин.

Обе объемлющие эпюры строятся на одной базе.

Пример 5. Для двухпролетной балки, показанной на рисунке 11, построить огибающую эпюру изгибающих моментов.

а)

б)

Рисунок 36

Расчет неразрезной балки на действие постоянной нагрузки, показанной на рисунке 36 а, производим, используя уравнения трех моментов. Расчет балки на последовательное загружение пролетов временной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью выполняем, используя метод фокусов. Принимаем, что жесткость балки для всех пролетов постоянна ( .) Для более точного построения огибающей эпюры изгибающих моментов ординаты будем определять в сечениях с интервалом пролета.

Построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил на действие постоянной нагрузки (рисунок 36, а).

Степень статической неопределимости для заданной балки определяем по формуле (1).

Пользуясь формулой (4) и основной системой (рисунок 36 б), составим уравнение трех моментов для опор 0 и 1; момент на опоре 2 известен.

(1)

В (1) , т.к. дополнительный пролет не загружен.

При сосредоточенной нагрузке, приложенной посредине первого пролета, равномерно распределенной нагрузке во втором пролете и пользуясь таблицей 1(см. приложение), находим:

Момент на опоре 2 определяется нагрузкой на консоли и равен:

тм.

Подставим значения углов поворота, пролетов и известное значение в систему уравнений (1):

Произведя преобразования, получим:

В результате решения этих уравнений находим значения опорных моментов:

Окончательные эпюры и для неразрезной балки строим, рассматривая каждый пролет в отдельности как простые однопролетные балки основной системы, загруженные местной нагрузкой и опорными моментами.

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 12).

Рисунок 37
В соответствии с полученным знаком значений опорным моментам придаем истинное направление (рисунок 37). Опорные реакции равны:
Участок №1
Участок №2
В силу симметрии нагрузки эпюра моментов для второго участка будет симметрична первому участку:

Эпюры М и Qдля пролета 0-1 показаны на рисунке 37 .
б) Пролет 1-2 с консолью.
Опорные реакции равны (рисунок 38):
Рисунок 13
Рисунок 38
Балку пролета 1-2 разбиваем на участки, и для каждого участка составляем уравнение изгибающего момента и перерезывающей силы.
Участок №1
Уравнение для первого участка
при
Участок №2
Эпюры и для пролета 1-2 показаны на рисунке 38 .
Эпюры и для неразрезной балки от действия постоянной нагрузки приведены на рисунке 39 .
Рисунок 39
По ординатам Q определяем опорные реакции:
Расчет неразрезной балки с размерами, указанными на (рисунке 36а), методом фокусов на последовательное загружение пролетов и консоли временной нагрузкой
Предварительно по формулам (6), (7) [7] определяем левые и правые фокусные отношения (рисунок 40).
Рисунок 40
а) Левые фокусные отношения:
б) Правые фокусные отношения:
Расчет балки на нагрузку в первом пролете (рисунок 41).
Значения углов поворота опорных сечений балки для первого пролета в соответствии с таблицей 1 равны:
.
Рисунок 41
По формулам (11), (12) [7] определяем и :
После определения опорных моментов строим эпюру так же, как и при расчете неразрезной балки от действия постоянной нагрузки.
а) Первый пролет 0-1 (рисунок 42)

Рисунок 42
Определяем опорную реакцию :
Составляем уравнение изгибающего момента:
По результатам расчета строим эпюру для пролета 0-1, которая показана на рисунке 42.
Для пролета 1-2 построение эпюры M не вызывает затруднений. Результаты вычисления ординат изгибающих моментов приведены в таблице 9 .
Эпюра для неразрезной балки от нагружения первого пролета приведена на рисунке 41 .
Расчет балки на нагрузку во втором пролете (рисунок 43).
Рисунок 43
Опорный момент определяем в соответствии с таблицей 2:
Момент M₀ определяем, используя левое фокусное отношение:
а) Первый пролет 0-1 (рисунок 44).
Рисунок 44
Определяем опорную реакцию
Значения изгибающих моментов в сечениях с интервалом определяем по уравнению (приведены в таблице 9). Эпюра показана на рисунке 44 .
б) Второй пролет 1-2 (рисунок 45).
Рисунок 45
Из уравнения
находим
Уравнение изгибающих моментов составляем, рассматривая балку справа:
В заданных сечениях определяем ординаты изгибающих моментов, подставляя в уравнение моментов значения Х в (м):
Эпюра для пролета 1-2 показана на рисунке 45.
Эпюра для неразрезной балки от нагружения второго пролета показана на рисунке 43 .
Расчет балки от загружения консоли (рисунок 46).
Рисунок 46
Момент на опоре 2 определяется от нагрузки на консоли и равен:
Моменты на опорах 0 и 1 определяем, используя левые фокусные отношения:
Построение эпюры M для неразрезной балки от загружения консоли временной нагрузкой не вызывает затруднений (рисунок 46).
Построение огибающей эпюры M.
Результаты расчета неразрезной балки от действия постоянной нагрузки, загружения каждого пролета и консоли временной нагрузкой приведены в таблице 9 .
На основании формул (15), (16) [7] в табличной форме вычисляем ординаты и (таблица 9).
По полученным данным строим огибающую эпюру М, которая показана на рисунке 47.
Рисунок 47
Таблица 9
Сечение Момент от постоянной нагрузки, Т×м Моменты от загружения временной нагрузкой, Т×м Mмакс, Т×м Mмин, Т×м
Первого пролёта Второго пролёта На консоли
0-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-6 2-7 2-8 2-9 3-10 3-11 -5 -5 0,25 2,5 1,75 -2 -0,63 -5,24 -0,25 2,52 5,86 -2,02 -1,52 -1,01 -0,5 1,03 0,26 -0,52 -1,3 -2,06 2,49 2,97 1,46 -0,13 -0,03 -0,06 0,16 0,26 -0,06 -0,37 -0,69 -1 -0,25 -3,97 0,26 7,58 4,02 -4,74 2,74 5,47 3,21 -2 -0,63 -10,37 -0,28 4,48 -1,30 -9,08 -1,33 1,12 0,56 -3 -0,88
На эпюре М в числителе даны значения , а в знаменателе – .
На графике указаны ординаты изгибающих моментов только в сечениях над опорами и в серединах пролётов.
Приложение
Таблица 1
Таблица 2

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки | Интерактивное сообщество — Решение задач по инженерной графике
Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки:
Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M
По предложенному в задании описанию вычерчиваем расчетную схему балки. Чтобы построить эпюры необходимо прежде всего определить реакции опор. Левую опору обозначим A, правую — B. В левой опоре возникают реакции вертикальная RA и горизонтальная HA. В правой опоре только вертикальная реакция RB. Для нахождения значений опорных реакций составляем уравнения равновесия. Так как на балку не действуют горизонтальные силы, то горизонтальная реакция в опоре равна нулю.{2}}{3a}=-qa $
Опорная реакция найдена со знаком минус. Знак минус означает что направление RA противоположно принятому при составлении уравнения равновесия. Исправим это на расчетной схеме.
Проверяем правильность определения опорных реакций, спроецировав все силы на вертикальную ось y:
$ ΣF_{y}=0=-R_{A}+P-q2a+R_{B}=-qa+2qa-2qa+qa $
Далее, разбиваем балку на характерные участки. Границы участков проходят в местах расположения опор, а также точках приложения внешних сил или изменения закона их действия. Нагружение данной балки разбивается на два участка I и II. Поперечная сила, в каком-то сечении балки на каждом участке, равна сумме всех вертикальных сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения. Общепринято что: если слева от сечения рассматривается поперечная сила направленная вверх, то она положительна и наоборот если вниз; если справа от сечения рассматривается поперечная сила направленная вниз, то она положительна и наоборот если вверх. Возьмем произвольное сечение балки на участке I и найдем для него значение поперечной силы.
Если рассматривать силы слева от сечения тогда:
$ Q_{л}=-R_{A}=-qa=3×0,425=-1,275 кН $
Если рассматривать силы справа от сечения тогда:
$ Q_{п}=-R_{B}+q2a-P=-qa-2qa+2qa=-qa=-1,275 кН $
Таким образом, значение поперечной силы не зависит от того с какой стороны от сечения рассматривать действующие силы. Построим эпюру поперечных сил на I участке балки. Так как значение поперечной силы не зависит ни от каких переменных, то ее эпюра будет представлять собой горизонтальную прямую, удаленную от нулевой линии на координату -1,275 кН. Возьмем произвольное сечение балки на участке II и найдем для него значение поперечной силы.
Если рассматривать силы слева от сечения тогда:
$ Q_{л}=-R_{A}+P-qz=-qa+2qa-qz=qa-qz=q(a-z) $
Если рассматривать силы справа от сечения тогда:
$ Q_{п}=qz’- R_{B}=qz’-qa=q(z’-a) $
Как видно из уравнений, значение поперечной силы будет зависеть от координат z и z’, характеризующих удаление сечения от концов участка. Поэтому, эпюра поперечной силы будет представлять собой наклонную прямую. Для ее построения необходимы две точки. Чтобы их получить рассмотрим сечения на концах участка.
Когда сечение на левом конце участка
$ z=0; Q_{л}=q(a-0)=qa=3×0,425=1,275 кН $
Когда сечение на правом конце участка
$ z’=0; Qп=q(0-a)=-qa=-3×0,425=-1,275 кН $
На эпюре строим горизонтальную прямую для участка I и найденные для участка II точки Qл=1,275 кН, Qп=-1,275 кН и соединяем их прямой линией. Таким образом, эпюра поперечных сил по длине балки построена. Далее, действуя подобным образом, для построения эпюры изгибающих моментов M по длине балки. На каждом участке балки проводим произвольное сечение и составляем уравнение равновесия для левой или правой частей балки. Если нижние слои балки растянуты, то найденный момент положительный, если наоборот — отрицательный. Это правило знаков при нахождении изгибающих моментов в сечениях балки.
Сечение на участке I.2/2=0,27 кН×м, Mп=0, соединяем их плавной кривой линией — параболой. Таким образом, эпюра изгибающих моментов по длине балки построена.
Просто поддерживаемая диаграмма моментов балки
Результаты листинга Диаграмма моментов простой опоры балки
Глава 4 Сдвиг и момент в балках
8 часов назад Web.ncyu.edu.tw Показать подробности
просто поддерживала балку дюйм Рис. (A) нагружен парой C 0 по часовой стрелке в точке B. (1) Выведите уравнения момента сдвига и изгиба . И (2) начертите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента . Весом балки пренебречь. поддерживают реакций A и C, и их значения показаны на рис. (А). Решение Часть 1 Из-за наличия
Диаграмма моментов изгиба Простая опора балки с UDL и точечной нагрузкой. Нарисуйте поперечную силу и изгибающий момент , диаграмму балки с простой опорой , несущей равномерно распределенную нагрузку и точечные нагрузки.Как показано на рисунке. Решение. Сначала найдите реакции R1 и R2 простой опоры балки . Реакции будут равными. Поскольку, балка симметрична.
и диаграммы моментов с сопутствующими формулами для расчета балки при различных условиях статического нагружения.Диаграммы сдвига и момента и формулы взяты из 4-го издания Western Woods Use Book и предоставлены здесь как любезно предоставленные Western Wood Products Association. Введение Обозначения относительно «диаграмм сдвига и моментов »
Сила сдвига и изгибающий момент Диаграмма для балки с простой опорой с равномерно распределенной нагрузкой. Сила сдвига и изгибающий момент Диаграмма для балки с простой опорой с равномерно изменяющейся нагрузкой от 0 (ноль) на одном конце до w (вес) на другом конце. Ссылка: Учебник сопротивления материалов РК Бансал.
Калькулятор для Ers Изгиб Момент и усилие сдвига Балка с простой опорой и опорами At. Луч просто поддерживает на одном конце и фиксирует другой Scientific Диаграмма . Простая балка , равномерно увеличивающая нагрузку на один конец. Решение проблемы 660 прогибов в балках с простой опорой Анализ прочности материалов в компании Mathalino.
О калькуляторе Beam Calculator. Добро пожаловать в наш бесплатный онлайн-калькулятор: изгибающий момент , момент и поперечное усилие , диаграмма , который может генерировать реакции, диаграммы усилия сдвига (SFD) и диаграммы изгиба моментов (BMD) консольной балки балки или с простой опорой . Используйте этот калькулятор пролета балки для определения реакций на опорах, начертите сдвиг и момент
изгибающего момента для балки с простой опорой . Изучите этот метод, поскольку он очень универсален (и может быть адаптирован для многих различных типов задач. Способность рассчитать момент балки является очень распространенной практикой для инженеров-строителей и часто используется в колледжах и старших классах школы.
усилие сдвига диаграмма . Изгиб Момент . В случае свободно опертой балки изгибающий момент будет максимальным, когда сила сдвига меняет знак, а изгибающий момент на опорах будет равен нулю. Изгибающий момент в точке b, ∑M b = R a * 4. ∑M b = 3 * 4. ∑Мб = 12 кН-М. изгибающий момент диаграмма . Случай 02.
Горизонтальная балка, свободно опирающаяся на на концах и имеющая пролет 9 м, выдерживает равномерно распределенную нагрузку 20 кН / м, проходящую по всему пролету. Нарисуйте изгибающий момент и усилие сдвига на диаграмме балки. Решение = заданные значения, w = 20 кН / м. L = 9 м. Реакции R1 и R2 на концах A и B. Несущая балка показана на рисунке.
Балка с простой опорой с моментом в точке .В этом случае момент накладывается на единственную точку балки , в любом месте пролета балки . На практике это может быть силовая пара или элемент на кручение, соединенный из плоскости и перпендикулярно балке .
Следующая процедура может быть использована для определения реакции поддержки на таком балка , если ее напряжения находятся в диапазоне упругости.Считайте, что балка представляет собой с простой опорой , как показано на Рисунке 1-34 (b). Найдите диаграмму моментов для этой балки без опоры , как показано на Рисунке 1-34 (c). A — это область диаграммы моментов , а C — центр тяжести этой области.
два места, в которых силы применяются для проведения этого эксперимента .Рисунок 4 — Диаграммы сдвига и момента для балки с простой опорой Уравнение 3 — Прогиб балки с простой опорой δ 11 = PL 3 48 EI δ 22 = 3 PL 3 256 EI P: сила, приложенная в точке E: модуль уравнения упругости 4 — Прогиб консольной балки 2.
Изгиб Момент Формула и уравнения Skyciv.Луч просто поддерживает на одном конце и фиксирует другой Scientific Диаграмма . На балку с простой опорой длины L воздействует пара моментов м на расстоянии 3 от ее левого конца, как показано на рисунке с использованием теоремы Кастильяно S. Балка Калькулятор прогиба.
Диаграммы моментов изгиба для балки с простой опорой , подчиненные научным исследованиям диаграмма расчет поперечной силы диаграммы skyciv ering Excel расчеты для поперечной силы и изгибающего момента момент значения научная диаграмма как нарисовать поперечную силу изгиб диаграмма моментов балка с простой опорой exles ering intro балка формулы со сдвигом и мамой.
Максимальный изгиб Момент Для Просто поддерживаемая балка . Максимальный прогиб изгибающий момент и балки, закрепленные на обоих концах непрерывная простая балка точечная нагрузка в центре изгиба момент вычислитель для простой поперечной силы и изгибающих моментов. Каковы условия прогиба и изгиба Момент в Просто опертой балке Quora.
Сила сдвига и изгибающий момент и условные обозначения для усилия сдвига и изгибающего момента в наших последних публикациях. Мы также обсуждали диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для балки с простой опорой с точечной нагрузкой, действующей в средней точке нагруженной балки , во время наших предыдущих публикаций. Сегодня мы увидим здесь концепцию построения диаграмм поперечного усилия и изгибающего момента для балки с простой опорой
Просто поддерживаемые Лучи :. В частном случае балки с простой опорой чрезвычайно важна точка обратного изгиба. Если BM меняет знак в какой-либо точке, изгибающий момент должен быть равен нулю, и эта точка называется точкой обратного изгиба.
Описание лекции. Цели этого видео — дать вводный обзор того, как использовать диаграммы свободного тела для вывода поддержки реакций с последующей комплексной тренировкой на примере поддержки реакций. Сначала видео иллюстрирует данную диаграмму балки с простой опорой , имеющей опору для штифта на левом конце и роликовую опору на
Диаграмма моментов изгиба . ПРОСТО ОПОРНАЯ БАЛКА С UDL И ПРИМЕР ТОЧЕЧНОЙ НАГРУЗКИ. Нарисуйте поперечную силу и изгибающий момент , диаграмму балки с простой опорой , несущей равномерно распределенную нагрузку и точечные нагрузки. Как показано на рисунке. Решение. Сначала найдите реакции R1 и R2 простой опоры балки . Реакции будут равными. Поскольку, балка симметрична.
— Диаграмма изгибающего момента для балки с простой опорой показана выше. Формула, используемая для расчета изгибающего момента при центральной точечной нагрузке, имеет следующий вид: M = W / 2 x (L / 2) = WL / 4 Дано: Нагрузка (W) = 600 Н, длина балки (L) = 20 м Формула: изгибающий момент (M) = WL / 4 Решение: подставляя данные значения, получаем изгибающий момент (M) = WL / 4 = (600 x 20
Пример диаграммы сдвига и момента показан на рисунке 3. Рисунок 3: Диаграмма сдвига и момента для балки с простой опорой [6]. Путем реализации метода жесткости матрицы внешняя опора , силы реакции и смещения рассчитываются для балки , это дает нам всю информацию, необходимую для построения диаграмм , которые будут
Рассмотрим балку с простой опорой на рис. 20. Если балка была разрезана, как показано на рисунке, то для удержания левой секции на месте потребуется не только вертикальная сила. приложено (усилие сдвига), чтобы остановить его. 3.2 ИЗГИБ ДИАГРАММА МОМЕНТА A Диаграмма изгиба Момент — это просто график изгибающего момента , построенный по вертикали в зависимости от расстояния x слева
Несущая балка подвергается внезапному удару груза P, падающего с высоты h. Прогиб балки в случае удара равен Y dyn = k dyn Y st. Отклонение от динамической силы равно статическому отклонению от силы P, умноженной на динамический коэффициент k dyn = υ2h / Y dyn. первое приближение для внезапного удара, k dyn = 2.
Момент на кузове и на балке с простой опорой . Рассмотрим тело на полу без трения, на которое действует сила F, как показано на рисунке. Сила действует на его центр масс. (Центр масс и центр тяжести в этом случае совпадают, т.е. оба лежат в одной точке) ЦТ отмечен на рисунке. СЛУЧАЙ 1 Объект ускоряется и не отображает никаких
1 . Рис. 1 Справа показаны формулы для расчета балок с простой опорой, имеющей равномерно распределенную нагрузку.
2 . Рис. 2 Диаграмма поперечной силы и изгибающего момента для равномерно распределенной нагрузки на свободно опертой балке. Рисунок 2. Рисунок 1.
3 . Рис. 3 Формулы для расчета балок с просто опорой, имеющей равномерно распределенную нагрузку в среднем пролете.
4 . Рис. 4 SFD и BMD для несущей балки UDL с простой опорой в середине пролета.Рисунок 4. Рисунок 3.
5 . Рис. 5 Диаграмма поперечной силы и изгибающего момента для легко поддерживаемой равномерно распределенной нагрузки на левой опоре.
6 . Рис. 6 Формулы для определения моментов и реакций на различных участках балки с простой опорой, имеющей UDL на правой опоре. Рисунок 5. Рисунок 6.
7 . Рис. 7 SFD и BMD для UDL на обоих концах.
8 . Рис. 8 Формулы для расчета балки с SFD и BMD на обоих концах. Рисунок 7. Рисунок 8.
9 .Рис. 9 Сборник формул для анализа свободно опертой балки, имеющей равномерно изменяющуюся нагрузку по всей ее длине.
10 . Рис. 10 Диаграмма поперечных сил и диаграмма изгибающих моментов для балки с простой опорой, имеющей UVL вдоль своего пролета. Рисунок 10. Рисунок 9.
Категория : Номер поддержки Показать еще
BEAMGURU.COM — это онлайн-калькулятор, который генерирует диаграммы изгиба моментов (BMD) и усилия сдвига (SFD), Диаграммы осевого усилия (AFD) для любых статически определенных (большинство просто поддерживает и консольные балки) и статически неопределимых балок, рам и ферм. Калькулятор полностью настраивается для работы с большинством балок, рам и ферм; который представляет собой…
Дополнительный момент для переноса балки из стадии b в d составляет в среднем около 12% от выхода момента , My, для W-образных профилей. После достижения стадии d любое дальнейшее увеличение нагрузки приведет к обрушению. Пластиковая петля сформирована в центре балки . Момент пластмассы , который представляет собой момент , необходимый для формирования пластмассового шарнира, рассчитывается как: Mp
Допустим, приложенные моменты равны значению M против часовой стрелки, а длина балки равна L. Концы балки с простой опорой не могут обеспечить момент реакций, а поскольку общая приложенная сила равна 0, концевые реакции равны просто общая приложенная мама
(a) Балка с простой опорой с пролетом 14 м подвергается точечной нагрузке 150 кН в средней точке. Нарисуйте расположение балки и определите реакции на опорах. Вычислите и нарисуйте поперечную силу на диаграмме и диаграмме момента изгиба , проходящей вдоль балки . (b) Балка с простой опорой имеет пролет 8 м.
Балка , фиксированная на одном конце, поддерживается на другом — равномерно распределенная нагрузка Балка , фиксированная на одном конце, поддерживается на другом — сосредоточенная нагрузка в центре Балка , фиксированная на одном конце , Поддерживается в других местах — Концентрированная нагрузка в любой точке Балка Свешивается Одна опора — Равномерно распределенная нагрузка
Рассчитайте и нарисуйте поперечную силу , диаграмму и диаграмму момента изгиба , проходящую вдоль балки .(b) Балка с простой опорой имеет пролет 8 м. Он несет точечную нагрузку 65 кН на расстоянии 2 м от левой опоры . Нарисуйте схему балки и рассчитайте реакции на обеих опорах. Также определите и начертите усилие сдвига и изгибающий момент
моментов длинной балки верна и аналогична диаграмме моментов двухпролетной непрерывной балки , поддерживаемой на гибкой опоре в центре.Гибкость опоры равна гибкости балки с простой опорой , нагруженной по центру.
Балка — соединение колонны должно передавать силы, такие как момент , сдвиг и кручение, передаваемые балкой на колонну, так что конструкция может сохранять свою целостность и выдерживать нагрузки, на которые она рассчитана.Другая функция соединения балки
сдвига и момента , рассчитанные с помощью Optimal Beam для свободно опертой балки с равномерно распределенной нагрузкой.Рисунок 6: Оптимальная диаграмма сдвига балки и момента Выходной сигнал . Сценарии PHP: Optimal Beam имеет систему входа и регистрации, что позволяет настраивать параметры для каждого пользователя.
Требование, чтобы момент момент был равен нулю, означает, что концы балки могут свободно вращаться.Однако, если вы имели в виду, что, если существует ненулевой момент , переданный на опоре (s) фактической балки , ответ просто , что тип анализа, используемый для « просто поддерживает » класс проблемы больше не будет применяться.
Подпираемая балка с простой опорой представляет собой балку , которая просто поддерживается с обоих концов, а просто поддерживается в какой-то другой точке, например, в центре, для уменьшения прогиба под нагрузкой.Опорные балки
Простая опора балка : Свес на одну сторону: Точечная нагрузка: (Рис. 3.20) Простая опора — балка с опорой на концах, которые могут вращаться и не имеют сопротивления момента Переповешивание — простая балка выходит за пределы ее опоры на одном конце.Точечные нагрузки — это сосредоточенные нагрузки, приложенные вдоль пролета…
поперечного усилия и изгибающего момента для балки с простой опорой пролетом L, несущей UDL на единицу длины по всему пролету. 3. Попробуйте выполнить любые ТРИ из следующих действий: 12 a) Найдите момент инерции твердого прямоугольного сечения 40…
Балка с простыми опорами — одна из самых простых конструкций.У него всего две опоры, по одной с каждой стороны. Одна — это опора с штифтами, а другая — роликовая опора. В этой конфигурации лучу запрещается любое вертикальное движение на обоих концах, в то время как он может свободно вращаться. Благодаря роликовому опору он также может расширяться или сжиматься в осевом направлении, хотя свободному горизонтальному перемещению препятствует другая опора.
Удаление любой из опор при вставке внутреннего шарнира приведет к превращению балки с простой опорой в механизм, то есть без ограничений перемещается в одном или нескольких направлениях.Очевидно, это нежелательно для несущей конструкции. Следовательно, балка с простой опорой не обеспечивает избыточности в плане опор, и в случае локального отказа вся конструкция рухнет. Структуры такого типа, которые не предлагают избыточности, называются критическими или детерминантными структурами . Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного перемещения, называется избыточной или неопределенной структурой.
Определение опорных реакций — это только часть статического анализа конструкции. В большинстве случаев очень важно определить силы и моменты, возникающие внутри балки в результате приложенной нагрузки. Обычно для плоской конструкции, нагруженной в своей плоскости, могут возникать следующие внутренние воздействия:
Чтобы найти эти внутренние воздействия, при В любой конкретной точке конструкции необходимо выполнить разрез.Проще говоря, структура делится на две части в определенном месте, представляющем интерес. Затем, применяя уравнения равновесия к любой из двух частей, можно определить внутренние действия. Процедуру можно описать следующими шагами:
. Назначьте внутренние действия переменным (например, N для осевой силы, V для поперечной силы и M для изгибающего момента \) и поместите их в конструкцию в точке разреза с их положительные направления (подробнее об этом позже)
На следующем рисунке показан разрез в произвольной точке балки с простой опорой. Выберем левую часть для работы. Неизвестные внутренние воздействия N, V и M были вставлены в разрез с их положительными направлениями. На данный момент примите показанные направления как правильные. Позже мы более подробно остановимся на соглашении о позитивных направлениях.
Из первого уравнения мы получаем N = 0, что означает отсутствие осевой силы в определенной точке. Но поскольку эта точка случайна, можно утверждать, что вдоль пролета балки нет осевой силы. Нетрудно доказать, что, если отсутствует горизонтальная составляющая приложенных нагрузок, осевая сила в свободно опертой балке всегда равна нулю.
Определение поперечной силы и изгибающего момента в точках, на которые действует сосредоточенная сила или изгибающий момент, требует дополнительного рассмотрения. В частности, в месте приложения точечной нагрузки результирующая сила сдвига отличается слева и справа от точки приложения.
Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим следующую балку с простой опорой. Мы должны определить поперечную силу в точке приложения приложенной нагрузки. Таким образом, выполняется разрезание сечения слева от точки приложения. Так же выделяем левую часть. Равновесие сил на оси y становится:
Мы не включили сила F в равновесии, потому что разрез был сделан слева от точки приложения, таким образом, оставив F в правой части разреза.Теперь давайте сделаем разрез немного правее силы F. Мы снова выбираем левую часть, но на этот раз сила включается. Равновесие принимает следующий вид:
Шаг 2. Помещаем внутренние силы и моменты в разрез с их положительными направлениями. M — изгибающий момент, (V \) — поперечная сила, N — осевая сила.Обратите внимание, что даже несмотря на то, что вычисление N не требуется, и мы можем не включать его в равновесие без вреда, в более общем случае такое упущение приведет к неверным результатам.
Шаг 3. Обеспечиваем равновесие вырезанной детали. Перед написанием уравнений заменим распределенную нагрузку эквивалентной точечной нагрузкой. Он должен иметь величину wL / 2 и точку приложения в середине детали, то есть длину четверти от конца A.
Чтобы найти взаимосвязь между внутренними силами или моментами в зависимости от расстояния x, все, что нам нужно сделать, это разрезать на этом расстоянии x, с левого конца. Порядок остается прежним. Мы выбираем левую часть выреза и вводим неизвестные величины как M (x для изгибающего момента, V (x) для поперечной силы и N (x) для осевой силы. Также мы заменяем наложенные на вырезанную часть , распределенная нагрузка с эквивалентной точечной нагрузкой.2 \ справа)
Знание внутренних сил и моментов в определенной точке полезно, но не может дать полного представления о том, что происходит во всей конструкции. Чтобы получить эту информацию, необходимо сделать большое количество разрезов по всей конструкции. Таким образом можно определить критические точки в конструкции, в которых изгибающий момент, или поперечная сила, или осевая сила достигают своих пиковых значений.
В этом контексте очень полезно проиллюстрировать, как изгибающие моменты меняются внутри конструкции.Диаграмма изгибающего момента, или сокращенно BMD, представляет собой диаграмму, нанесенную поверх конструкции, которая отображает значение изгибающего момента в любой точке. Точно так же диаграмма поперечных сил, или SFD, отображает значение поперечной силы в любой точке конструкции, а диаграмма осевых сил, или AFD, отображает значение осевой силы.
Для построения любой из этих диаграмм желательно знать аналитическое выражение (я) соответствующей величины (например, изгибающий момент для BMD) вдоль конструктивного элемента (ей).Для балки с шарнирно опертой опорой такие аналитические выражения довольно легко вычислить, как показано в последнем примере.
С педагогической точки зрения, я не знаю, почему они решили изменить систему отсчета (для меня единственное преимущество — более простые вычисления). Однако со временем все становится довольно сложно (с точки зрения логистики), когда вы пытаетесь нарисовать диаграмму, потому что вам нужно каждый раз учитывать разные системы.
Диаграмма изгибающего момента
— обзор
3.5 Взаимосвязь нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента
Из Exs 3.6–3.11 ясно, что нагрузка, поперечная сила и изгибающий момент взаимосвязаны. Так, например, равномерно распределенные нагрузки создают линейно изменяющиеся поперечные силы, а максимальные значения изгибающего момента совпадают с нулевой поперечной силой. Теперь мы рассмотрим эти отношения математически.
Длина балки, показанная на рис. 3.21 (a), несет общую систему нагрузки, состоящую из сосредоточенных нагрузок и распределенной нагрузки w ( x ).Элементная длина балки δ x подвергается действию системы сил и момента, показанной на рис. 3.21 (b); поскольку δ x очень мало, распределенную нагрузку можно рассматривать как постоянную по длине δ x. Для вертикального равновесия элемента
Рисунок 3.21. Взаимосвязь нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.
S + w (x) δx− (S + δS) = 0
, так что
+ w (x) δx – δS = 0
Таким образом, в пределе δ x → 0
( 3.1) dSdx = + w (x)
Из уравнения. Из уравнения (3.1) видно, что скорость изменения поперечной силы на участке балки, другими словами, градиент диаграммы поперечных сил равен значению интенсивности нагрузки на этом участке. На рис. 3.14 (c), например, поперечная сила изменяется линейно от — wL в точке A до нуля в точке B, так что градиент диаграммы поперечной силы на любом участке балки составляет + wL / L. = + w , где w — интенсивность нагрузки.Уравнение (3.1) также применимо к участкам балки, подвергающимся сосредоточенным нагрузкам. На рис. 3.15 (а) интенсивность нагрузки в точке B теоретически бесконечна, как и градиент диаграммы поперечных сил в точке B (рис. 3.15 (d)). На практике диаграмма поперечных сил будет иметь конечный градиент в этом сечении, как показано на рис. 3.16.
Теперь интегрируя уравнение. (3.1) относительно x получаем
(3.2) S = + ∫w (x) dx + C1
, где C ₁ — постоянная интегрирования, которая может быть определена в конкретном случае. из граничных условий нагружения.
Если, например, w ( x ) представляет собой равномерно распределенную нагрузку с интенсивностью w , то есть это не функция x , уравнение. (3.2) принимает вид
S = + wx + C1
, что является уравнением прямой линии градиента + w , как показано для консольной балки на рис. 3.14 в предыдущем абзаце. Кроме того, для этого конкретного примера S = 0 при x = L , так что C ₁ = — wL и S = — w ( L — x ) как прежде.
В случае балки, несущей только сосредоточенные нагрузки, тогда в отсеках между нагрузками w ( x ) = 0 и уравнение. (3.2) уменьшается до
S = C1
, так что поперечная сила остается постоянной по длине балки без нагрузки (см. Рис. 3.13 и 3.15).
Предположим теперь, что уравнение. (3.1) интегрируется по длине балки между секциями X ₁ и X ₂. Тогда
∫x1x2dSdxdx = + ∫x1x2w (x) dx
, что дает
(3.3) S2 − S1 = ∫x1x2w (x) dx
, где S ₁ и S ₂ — поперечные силы в сечениях X ₁ и X ₂ соответственно. Уравнение (3.3) показывает, что изменение поперечной силы между двумя секциями балки равно площади под кривой распределения нагрузки по этой длине балки.
Аргумент может быть применен к случаю сосредоточенной нагрузки W , которую можно рассматривать как равномерно распределенную нагрузку, действующую на чрезвычайно малую элементарную длину балки, скажем δ x .Площадь под кривой распределения нагрузки будет тогда w δ x (= W ), а изменение поперечной силы от участка x к участку x + δ x будет + W. . Другими словами, изменение поперечной силы от участка, расположенного непосредственно слева от сосредоточенной нагрузки, к участку непосредственно справа, равно значению нагрузки, как отмечено в Прим. 3.8.
Теперь рассмотрим вращательное равновесие элемента δ x на рис.3.21 (b) о B. Таким образом,
M − Sδx − w (x) δxδx2− (M + δM) = 0
Член, включающий квадрат δ x , является членом второго порядка и им можно пренебречь. Следовательно,
−Sδx – δM = 0
или, в пределе δ x → 0
(3.4) dMdx = −S
Уравнение (3.4) устанавливает для общего случая, что может наблюдаться, в частности, в диаграммы силы сдвига и изгибающего момента Exs 3.6–3.11, т.е. градиент диаграммы изгибающего момента в сечении балки равен минус значению силы сдвига в этом сечении.Например, на рис. 3.18 (e) изгибающий момент в AB является математическим максимумом на участке, где поперечная сила равна нулю.
Интегрирующее уравнение. (3.4) относительно x имеем
(3.5) M = −∫Sdx + C2
, в котором C ₂ — постоянная интегрирования. Подставляя S в уравнение. (3.5) из уравнения. (3.2) дает
M = −∫ [+ ∫w (x) dx + C1] dx + C2
или
(3.6) M = −∫∫w (x) dx + C1x + C2
Если w (x) — это равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью w , уравнение.(3.6) принимает вид
M = −wx22 − C1x + C2
, что показывает, что уравнение диаграммы изгибающего момента на длине балки, несущей равномерно распределенную нагрузку, является параболическим.
В случае балки, несущей только сосредоточенные нагрузки, тогда между нагрузками w ( x ) = 0 и уравнение. (3.6) сводится к
M = −C1x + C2
, что показывает, что изгибающий момент изменяется линейно между нагрузками и имеет градиент — C ₁.
Константы C ₁ и C ₂ в уравнении. (3.6) для данной балки можно найти из граничных условий нагружения. Таким образом, для консольной балки на рис. 3.14 мы уже показали, что C ₁ = — wL , так что M = — wx ²/2 + wLx + C ₂. Кроме того, когда x = L, M = 0, что дает C ₂ = — wL ²/2 и, следовательно, M = — wx ²/2 + wLx — wL ²/2 как и раньше.
Теперь интегрируя уравнение. (3.4) по длине балки между секциями X ₁ и X ₂ (рис. 3.21 (a))
∫x1x2dMdxdx = −∫x1x2Sdx
, что дает
(3.7) M2 − M1 = — ∫x1x2Sdx
, где M ₁ и M ₂ — изгибающие моменты на участках X ₁ и X ₂ соответственно. Уравнение (3.7) показывает, что изменение изгибающего момента между двумя секциями балки равно минус площади диаграммы поперечных сил между этими секциями.Опять же, используя консольную балку на рис. 3.14 в качестве примера, мы видим, что изменение изгибающего момента от A до B составляет wL ²/2, а площадь диаграммы поперечных сил между A и B равна — WL ²/2.
Наконец, из уравнений (3.1) и (3.4)
(3.8) d2Mdx2 = −dSdx = −w (x)
Установленные выше соотношения могут быть использованы для более легкого построения диаграмм поперечной силы и изгибающего момента для некоторых балок. чем при использовании методов, проиллюстрированных в Exs 3.6–3.11 используются. Кроме того, они могут использоваться для более простых решений некоторых проблем с пучком.
Пример 3.13
Постройте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для балки, показанной на рис. 3.22 (a).
Рисунок 3.22. Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента балки Ex. 3.13.
Первоначально реакции опоры рассчитываются с использованием методов, описанных в разделе 2.5. Тогда для момента равновесия балки около E
RA × 4−2 × 3−5 × 2−4 × 1 × 0,5 = 0
, из которых
RA = 4.5kN
Теперь, учитывая вертикальное равновесие балки
RE + RA − 2−5−4 × 1 = 0
, так что
RE = 6.5kN
При построении диаграммы поперечных сил мы можем использовать Факты о том, что, как установлено выше, поперечная сила постоянна в ненагруженных отсеках балки, изменяется линейно, когда нагрузка равномерно распределена, и изменяется в положительную сторону, когда направленная вертикально вниз сосредоточенная нагрузка пересекает в положительном направлении x величиной нагрузка.Таким образом, на рис. 3.22 (b) поперечная сила увеличивается отрицательно на 4,5 кН при движении слева от A вправо от A, постоянна между A и B, изменяется положительно на 2 кН при перемещении слева от B. справа от B и так далее. Обратите внимание, что между D и E поперечная сила изменяется линейно от +2,5 кН в точке D до +6,5 кН в участке, расположенном непосредственно слева от точки E, другими словами, она изменяется на +4 кН, общее значение действующей вниз равномерно. распределенная нагрузка.
Диаграмма изгибающего момента также может быть построена с использованием вышеуказанных соотношений, а именно, изгибающий момент изменяется линейно по длине балки без нагрузки и параболически по длине балки, несущей равномерно распределенную нагрузку.Кроме того, изменение изгибающего момента между двумя секциями балки равно минус площади диаграммы поперечных сил между этими секциями. Таким образом, на рис. 3.22 (a) мы знаем, что изгибающий момент на шарнирной опоре в точке A равен нулю и что он изменяется линейно в отсеке AB. Изгибающий момент в точке B тогда равен минус площади диаграммы поперечных сил между A и B, то есть — (- 4,5 × 1) = 4,5 кНм. Фактически это представляет собой изменение изгибающего момента от нулевого значения в точке A до значения в точке B. В точке C площадь диаграммы поперечных сил справа или слева от C составляет 7 кНм (обратите внимание, что изгибающий момент в точке E тоже равен нулю) и т. д.В отсеке DE форму параболической кривой, представляющей распределение изгибающего момента по длине равномерно распределенной нагрузки, можно найти с помощью части уравнения. (3.8), т.е.
d2Mdx2 = −w (x)
Для равномерно распределенной нагрузки, направленной вертикально вниз, это выражение принимает вид
d2Mdx2 = −w
, что из математической теории показывает, что кривая, представляющая изменение изгибающего момента, является выпуклой в положительное направление изгибающего момента. Это можно наблюдать на диаграммах изгибающих моментов на рис.3.14 (d), 3.17 (d) и 3.18 (e). В этом примере диаграмма изгибающего момента для всей балки показана на рис. 3.22 (c) и снова нарисована на стороне растяжения балки. Пример 3.14
Сборная бетонная балка длиной L должна быть поднята с станину и транспортируют так, чтобы максимальный изгибающий момент был как можно меньше. Если балка поднимается двумя симметрично расположенными стропами, покажите, что каждая стропа должна находиться на расстоянии 0,21 L от соседнего конца.
Внешняя нагрузка на балку складывается исключительно из ее собственного веса, который равномерно распределяется по ее длине.Таким образом, проблема решается в балке с простой опорой, несущей равномерно распределенную нагрузку, в которой опоры расположены на некотором расстоянии — от каждого конца (рис. 3.23 (a)).
Рисунок 3.23. Определение оптимального положения опор в сборной бетонной балке Ex. 3.14.
Диаграммы поперечной силы и изгибающего момента могут быть построены в терминах a с использованием методов, описанных выше, и будут иметь формы, показанные на рис.3.23 (б) и (в). Изучение диаграммы изгибающего момента показывает, что существует два возможных положения для максимального изгибающего момента. Сначала в точках B и C, где изгибающий момент слишком большой и имеет равные значения из-за симметрии; во-вторых, в средней точке пролета, где изгибающий момент имеет значение поворота и прогибается, если опоры в точках B и C расположены на достаточном расстоянии друг от друга. Предположим, что B и C расположены так, что значение изгибающего момента в точках B и C численно равно изгибающему моменту провисания в средней точке пролета.Если теперь B и C сдвинуть дальше друг от друга, момент в середине пролета увеличится, а момент в B и C уменьшится. И наоборот, если B и C приблизить друг к другу, момент захвата в B и C увеличивается, а момент в середине пролета уменьшается. Отсюда следует, что максимальный изгибающий момент будет как можно меньше, если момент провисания в точках B и C численно равен провисающему моменту в середине пролета.
Решение будет упрощено, если использовать соотношение в формуле. (3.7). Таким образом, когда опоры находятся в оптимальном положении, изменение изгибающего момента от A до B (отрицательное) равно минус половине изменения изгибающего момента от B до точки середины пролета (положительное).Отсюда следует, что площадь диаграммы поперечных сил между A и B равна минус половине площади между B и средней точкой пролета. Тогда
+ 12awa = −12 [−12 (L2 − a) w (L2 − a)]
, что сокращается до
a2 + La − L24 = 0
, решение которого дает
a = 0,21 L (отрицательное решение не имеет практического значения)
4.4: Связь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом
Для вывода соотношений между \ (w \) , \ (V \) и \ ( M \), рассмотрим свободно опертую балку, подверженную равномерно распределенной нагрузке по всей своей длине, как показано на рисунке 4.3. Пусть поперечная сила и изгибающий момент в секции, расположенной на расстоянии \ (x \) от левой опоры, равны \ (V \) и \ (M \) соответственно, а в секции \ (x + dx \) быть \ (V + dV \) и \ (M + dM \) соответственно. Полная нагрузка, действующая через центр бесконечно малой длины, равна \ (wdx \).
\ (Рис. 4.3 \). Балка с простой опорой.
Чтобы вычислить изгибающий момент на участке x + dx , используйте следующее: \ [\ begin {align}
& M_ {x + d x} = M + V d x-w d x.{2} / 2 \ right) \\
& \ begin {array} {l}
M + d M = M + V dx \\
\ text {или} \ quad \ frac {d M} {dx} = V (x)
\ end {array}
\ end {align} \]
Уравнение 4.1 подразумевает, что первая производная изгибающего момента по расстоянию равна поперечной силе. Уравнение также предполагает, что наклон диаграммы моментов в определенной точке равен поперечной силе в этой же точке. Уравнение 4.1 предлагает следующее выражение: \ [\ Delta M = \ int V (x) d x \]
Уравнение 4.2 указано, что изменение момента равно площади под диаграммой сдвига. Точно так же сила сдвига в сечении \ (x + dx \) составляет:
\ (V_ {x + d x} = V-w d x \)
\ (V + d V = V-ш d x \)
или \ [\ frac {d V} {d x} = — w (x) \]
Уравнение 4.3 подразумевает, что первая производная силы сдвига по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки. Уравнение 4.3 предлагает следующее выражение: \ [\ Delta V = \ int w (x) d x \]
Уравнение 4.{2}} = — w (x) \]
Уравнение 4.5 подразумевает, что вторая производная изгибающего момента по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки.
Порядок расчета внутренних сил
Нарисуйте схему свободного тела конструкции.
Проверьте устойчивость и определенность конструкции. Если структура устойчивая и детерминированная, переходите к следующему этапу анализа.
Определите неизвестные реакции, применяя условия равновесия.
Проведите воображаемое сечение перпендикулярно нейтральной оси конструкции в точке, где необходимо определить внутренние силы. Пройденный раздел делит структуру на две части. Рассмотрим любую часть конструкции для расчета требуемых внутренних сил.
Для вычисления осевой силы определите сумму осевых сил на детали, рассматриваемой для анализа.
Для расчета поперечной силы и изгибающего момента сначала напишите функциональное выражение для этих внутренних сил для сегмента, на котором находится сечение, в зависимости от расстояния \ (x \) от начала координат.
Вычислите основные значения силы сдвига и изгибающего момента на участке, где находится секция.
Изобразите диаграмму осевого усилия, усилия сдвига и изгибающего момента для конструкции, принимая во внимание условные обозначения, обсуждаемые в разделе 4.3.
Для консольных конструкций шаг три можно пропустить, если рассматривать свободный конец конструкции как начальную отправную точку анализа.
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для консольной балки, поддерживающей сосредоточенную нагрузку на свободном конце, как показано на рисунке 4.4а.
\ (Рис. 4.4 \). Консольная балка.
Решение
Поддерживающие реакции. Сначала вычислите реакцию опоры. Поскольку опора в \ (B \) зафиксирована, на этой опоре будет три реакции, а именно \ (B_ {y} \), \ (B_ {x} \) и \ (M_ {B} \), как показано на диаграмме свободного тела на рис. 4.4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:
\ (\ begin {array} {c}
\ sum M_ {B} = 0: \ quad (5 \ mathrm {k}) (3 \ mathrm {ft}) — M = 0 \\
M = 15 \ mathrm {k}.\ mathrm {ft} \\
\ sum F_ {y} = 0: \ quad-5 \ mathrm {k} + B_ {y} = 0 \\
B_ {y} = 5 \ mathrm {k} \\
\ sum F_ {x} = 0: \ quad B_ {x} = 0
\ end {array} \)
Сила сдвига (SF).
Знак минус указывает на отрицательную силу сдвига. Это связано с тем, что в соответствии с соглашением о знаках силы сдвига, направленная вниз поперечная сила слева от рассматриваемой секции вызовет отрицательную силу сдвига в этой секции.
Диаграмма усилия сдвига. Обратите внимание: поскольку сила сдвига постоянна, она должна быть одинаковой величины в любой точке балки. Как правило, диаграмма поперечной силы наносится выше или ниже линии, соответствующей нейтральной оси балки, но должен быть указан знак плюс, если это положительная сила сдвига, и знак минус, если это отрицательная сила сдвига, как показано на рисунке 4.4c.
Изгибающий момент (BM).
Функция изгибающего момента.По определению изгибающий момент в секции представляет собой сумму моментов всех сил, действующих по обе стороны секции. Таким образом, выражение для изгибающего момента силы \ (5k \) на сечении на расстоянии x от свободного конца консольной балки выглядит следующим образом:
\ (\ begin {array} {l}
M = -5 x \\
\ text {Когда} x = 0, M = — (5 \ mathrm {k}) (0) = 0 \\
\ text {Когда} x = 3 \ mathrm {ft}, M = — (5 \ mathrm {k}) (3 \ mathrm {ft}) = — 15 \ mathrm {k}. \ Mathrm {ft}
\ end {array } \)
Полученное выражение справедливо для всего пучка (область \ (0
Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента является линейной, диаграмма изгибающего момента представляет собой прямую линию.Таким образом, для построения диаграммы изгибающего момента достаточно использовать два основных значения изгибающих моментов, определенных в \ (x = 0 \) ft и в \ (x = 3 \) ft. Как правило, диаграммы отрицательного изгибающего момента строятся под нейтральной осью балки, а диаграммы положительного изгибающего момента строятся над осью балки, как показано на рисунке 4.4d.
Пример \ (\ PageIndex {2} \)
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для консольной балки, подверженной равномерно распределенной нагрузке по всей ее длине, как показано на рисунке 4.5а.
\ (Рис. 4.5 \). Консольная балка.
Решение
Поддерживающие реакции. Сначала вычислите реакцию опоры. Поскольку опора в \ (B \) зафиксирована, возможно, будет три реакции на этой опоре, а именно \ (B_ {y} \), \ (B_ {x} \) и \ (M_ {B} \). , как показано на диаграмме свободного тела на рис. 4.4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:
\ (\ begin {array} {c}
\ sum M_ {B} = 0: \ quad (20 \ mathrm {kN} / \ mathrm {m}) (5 \ mathrm {~ m}) (2.5 \ mathrm {~ m}) — M = 0 \\
M = 250 \ mathrm {kN} \ cdot \ mathrm {m} \\
\ sum F_ {y} = 0: \ quad- (20 \ mathrm { kN} / \ mathrm {m}) (5) + B_ {y} = 0 \\
B_ {y} = 100 \ mathrm {kN} \\
\ sum F_ {x} = 0: \ quad B_ {x } = 0
\ end {array} \)
Сила сдвига (SF).
Функция сдвигающего усилия. Пусть x будет расстоянием произвольного сечения от свободного конца консольной балки, как показано на рисунке 4.5b. Сила сдвига всех сил, действующих на сегмент балки слева от сечения, как показано на рисунке 4.5e, определяется следующим образом:
\ (\ begin {array} {l}
0 V = -20 x \\
\ text {When} x = 0, V = 0 \\
\ text {When} x = 2.5 \ mathrm {~ m}, V = -50 \ mathrm {kN} \\
\ text {When} x = 5 \ mathrm {~ m}, V = -100 \ mathrm {kN}
\ end {array} \)
Полученное выражение справедливо для всей балки. Отрицательный знак указывает на отрицательную силу сдвига, которая была установлена из соглашения о знаках для силы сдвига. Выражение также показывает, что сила сдвига линейно зависит от длины балки.
Диаграмма усилия сдвига. Обратите внимание, что поскольку выражение для силы сдвига является линейным, его диаграмма будет состоять из прямых линий. Сила сдвига при \ (x = 0 \) м и \ (x = 5 \) м была определена и использована для построения диаграммы силы сдвига, как показано на рисунке 4.5c. Как показано на диаграмме, сила сдвига изменяется от нуля на свободном конце балки до 100 кН на неподвижном конце. Вычисленную вертикальную реакцию \ (B_ {y} \) на опоре можно рассматривать как проверку точности анализа и диаграммы.{2}} {2} \\
\ text {Когда} x = 0, M = 0 \\
\ text {When} x = 2,5 \ mathrm {~ m}, M = -62,5 \ mathrm {kN}. \ mathrm {m} \\
\ text {Когда} x = 5 \ mathrm {~ m}, M = -250 \ mathrm {kN}. \ mathrm {m}
\ end {array} \)
Знак минус указывает на отрицательный момент, который был установлен из условного обозначения момента. Как видно на рис. 4.5f, момент, обусловленный распределенной нагрузкой, имеет тенденцию вызывать в сегменте балки с левой стороны сечения вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках для изгибающий момент.
Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента является параболической, диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую. В дополнение к двум основным значениям изгибающего момента при \ (x = 0 \) m и при \ (x = 5 \) m, моменты в других промежуточных точках должны быть определены для правильного построения диаграммы изгибающего момента. Диаграмма изгибающего момента балки показана на рисунке 4.5d.
Пример \ (\ PageIndex {3} \)
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента консольной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.6а.
\ (Рис. 4.6 \). Консольная балка.
Решение
Поддерживающие реакции. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.6b. Сначала вычислите реакции на опоре \ (B \). Применение условий равновесия предполагает следующее:
\ (\ begin {array} {c}
\ sum M_ {B} = 0: (3 \ mathrm {k} / \ mathrm {ft}) (2 \ mathrm {ft}) (3 \ mathrm {~ m }) + (10 \ mathrm {k}) (1) -M = 0 \\
M = 28 \ mathrm {k}. \ Mathrm {ft} \\
\ sum F_ {y} = 0: — \ left (3 \ frac {\ mathrm {k}} {\ mathrm {ft}} \ right) (2 \ mathrm {ft}) — 10 \ mathrm {k} + D_ {y} = 0 \\
D_ {y} = 16 \ mathrm {k} \\
\ sum F_ {x} = 0: D_ {x} = 0
\ end {array} \)
Функции сдвигающего усилия и изгибающего момента. {2}} {2} \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 1 \) ft, \ (M = -1.5 \) кип. футов
Когда \ (x = 2 \) ft, \ (M = -6 \) kip. футов
Сегмент \ (BC \) \ (2
\ (V = -3 (2) = -6 \) тысячу кип
Когда \ (x = 2 \) ft, \ (M = -6 \) kip. футов
Когда \ (x = 3 \) ft, \ (M = -12 \) кип. футов
Сегмент \ (CD \) \ (3
\ (V = — (3) (2) -10 = -16 \) тысяч фунтов
\ (М = — (3) (2) (х-1) -10 (х-3) \)
Когда \ (x = 3 \) ft, \ (M = -12 \) кип. футов
Когда \ (x = 4 \) футов, \ (M = -28 \) кип.футов
Вычисленное усилие сдвига можно частично проверить с помощью опорных реакций, показанных на диаграмме свободного тела на рис. 4.6b.
Пример 4.4
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.7a.
\ (Рис. 4.7 \). Балка с вылетом.
Решение
Поддерживающие реакции. Реакции на опорах показаны на схеме балки со свободным телом на рисунке 4.7b. Они вычисляются с применением следующих условий равновесия:
\ (\ begin {array} {l}
+ \ curvearrowleft \ sum_ {M_ {A}} = 0 \\
— (14) (3) — (10) (8) — (8) (8) ( 4) + B_ {y} (6) = 0 \\
B_ {y} = 63 \ text {kips} \ quad \ quad B_ {y} = 63 \ uparrow \\
+ \ rightarrow \ sum F_ {x} = 0 \ quad A_ {x} = 0 \ quad A_ {x} = 0 \\
+ \ uparrow \ sum F_ {y} = 0 \\
63 + A_ {y} -14-10- (8) ( 8) = 0 \\
A_ {y} = 25 \ text {kips} \ quad \ quad A_ {y} = 25 \ text {kips} \ uparrow
\ end {array} \)
Функции сдвига и изгибающего момента.Из-за сосредоточенной нагрузки в точке \ (B \) и выступающей части \ (CD \), три области рассматриваются для описания функций поперечной силы и изгибающего момента для выступающей балки. Выражение для этих функций в секциях внутри каждой области и основные значения в конечных точках каждой области следующие:
\ (0
Когда \ (x = 0 \), \ (V = 25 \) тысяч фунтов
Когда \ (x = 3 \), \ (V = 1 \) тысячу кип
\ (M = 25 x- \ frac {8 x ^ {2}} {2} \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 3 \), \ (M = 39 \) тыс. Фунтов.{2}} {2} \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 2 \), \ (M = -36 \) тыс. Фунтов. футов
Диаграмма усилия сдвига и изгибающего момента. Определенная диаграмма силы сдвига и момента в конечных точках каждой области представлена на рисунках 4.7c и 4.7d. Для точного построения кривой изгибающего момента иногда необходимо определить некоторые значения изгибающего момента в промежуточных точках, вставив некоторые расстояния внутри области в полученную функцию для этой области.Обратите внимание, что в месте сосредоточенных нагрузок и на опорах числовые значения изменения силы сдвига равны сосредоточенной нагрузке или реакции.
Пример 4.5
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.8a. Определите положение и величину максимального изгибающего момента.
\ (Рис. 4.8 \). Балка с вылетом.
Решение
Поддерживающие реакции. Реакции на опорах балки показаны на диаграмме свободного тела на рис. 4.8b. Реакции рассчитываются с использованием следующих уравнений равновесия:
\ (\ begin {array} {l}
+ \ curvearrowleft \ sum M_ {A} = 0 \\
— \ left (\ frac {1} {2} \ right) (4) (10) \ left ( \ frac {2} {3} \ times 4 \ right) — (2) (1.5) (4.75) + (4) B_ {y} = 0 \\
B_ {y} = 16.90 \ mathrm {kN} \ uparrow \\
+ \ uparrow \ sum F_ {y} = 0 \\
A_ {y} + 16.90- \ left (\ frac {1} {2} \ right) (4) (10) — (2) (1 .5) = 0 \\
A_ {y} = 6.10 \ mathrm {kN} \ uparrow \\
+ \ rightarrow \ sum_ {x} = 0 \\
A_ {x} = 0
\ end {array} \)
Функции сдвига и изгибающего момента. Из-за неоднородности оттенков распределенных нагрузок на опоре \ (B \) две области \ (x \) рассматриваются для описания и функций момента, как показано ниже:
\ (0
\ (V = 6.10- \ left (\ frac {1} {2} \ right) (x) \ left (\ frac {10 x} {4} \ right) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (V = 6,10 \) кН
Когда \ (x = 2 \), \ (V = 1.1 \) кН
Когда \ (x = 4 \), \ (V = -13,9 \) кН
\ (M = 6,10 x- \ left (\ frac {1} {2} \ right) (x) \ left (\ frac {10 x} {4} \ right) \ left (\ frac {1} {3 } x \ right) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 2 \), \ (M = 8,87 \) кН. м
Когда \ (x = 4 \), \ (M = -2,3 \) кН. м
\ (0 <х <1,5 \)
\ (V = 2x \)
Когда \ (x = 0 \), \ (V = 0 \)
Когда \ (x = 1,5 \), \ (V = 3 \) кН
\ (M = — (2) (x) \ left (\ frac {x} {2} \ right) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 1.5 \) м, \ (M = -2,3 \) кН. м
Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента показаны на рисунках 4.8c и 4.8d. Обратите внимание, что значения поперечной силы на опорах равны значениям опорных реакций. Также обратите внимание на диаграмму, что сдвиг в области \ (AB \) является кривой, а сдвиг в области \ (BC \) — прямой, что соответствует параболической и линейной функциям, соответственно полученным для областей.Диаграммы изгибающего момента для обеих областей криволинейны. Кривая для области \ (AB \) более глубокая, чем кривая в области \ (BC \). Это связано с тем, что полученная функция для области \ (AB \) является кубической, а для области \ (BC \) — параболической.
Положение и величина максимального изгибающего момента. Максимальный изгибающий момент возникает там, где сила сдвига равна нулю. Как показано на диаграмме усилия сдвига, максимальный изгибающий момент возникает на участке \ (AB \). Приравнивая выражение для поперечной силы для этой части к нулю, мы получаем следующее:
\ (\ begin {array} {l}
V = 6.{3} \ right)} {24} = 8.98 \ mathrm {kN} \ cdot \ mathrm {m} \)
Пример 4.6
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для составной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.9a.
\ (Рис. 4.9 \). Составная балка.
Решение
Схема свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.9b.
Классификация строения. Составная балка имеет \ (r = 4 \), \ (m = 2 \) и \ (f_ {i} = 2 \).Поскольку \ (4 + 2 = 3 (2) \), структура статически определена.
Идентификация первичной и дополнительной структуры. Схематическая диаграмма взаимодействия элементов балки показана на рисунке 4.9c. Часть \ (AC \) является первичной структурой, а часть \ (CD \) — дополнительной структурой.
Анализ комплементарной структуры.
Поддержка реакции.
\ (C_ {y} = D_ {y} = 25 \ mathrm {kN} \), из-за симметрии нагрузки.
Сила сдвига и изгибающий момент.
\ (0 <х <0,5 \)
\ (V = 25 \) кН
\ (M = 25x \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 0,5 \), \ (M = 12,5 \) кН. м
Анализ первичной структуры.
Поддерживающие реакции.
\ (\ begin {array} {l}
+ \ curvearrowleft \ sum M_ {A} = 0 \\
2 B_ {y} — (14) (3) (1.5) — (25) (3) = 0 \\
B_ {y} = 69 \ mathrm {kN} \ uparrow \\
+ \ uparrow \ sum F_ {y} = 0 \\
69 + A_ {y} -25- (14) (3) = 0 \\
A_ {y} = — 2 \ mathrm {kN}
\ end {array} \)
Отрицательный означает, что реакция в \ (A \) действует вниз.
\ (\ begin {array} {l}
+ \ rightarrow \ sum F_ {x} = 0 \\
A_ {x} = 0
\ end {array} \)
Функции поперечной силы и изгибающего момента.
\ (0
\ (V = 25 + 14x \)
Когда \ (x = 0 \), \ (V = 25 \) кН
Когда \ (x = 1 \), \ (V = 39 \) кН
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 1 \), \ (M = -32 \) кН. м
\ (0
\ (V = −2 — 14x \)
Когда \ (x = 0 \), \ (V = -2 \) кН
Когда \ (x = 2 \), \ (V = -30 \) кН
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 2 \), \ (M = -32 \) кН.м
Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для основной и вспомогательной частей составной балки показаны на рисунках 4.9d и 4.9e.
Пример 4.7
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.10a.
\ (рис. 4.10 \). Рамка.
Решение
Схема свободного тела.Схема балки со свободным телом показана на рисунке 4.10a.
Поддерживающие реакции. Реакции на опоре балки можно рассчитать следующим образом, рассматривая диаграмму свободного тела и используя уравнения равновесия:
\ (\ begin {array} {l} + \ uparrow \ sum F_ {y} = 0 \\ A_ {y} -20 = 0 \\ A_ {y} = 20 \ mathrm {kN} \ uparrow \\ + \ rightarrow \ sum F_ {x} = 0 \\ -A_ {x} + \ left (\ frac {1} {2} \ times 10 \ times 10 \ right) = 0 \\ A_ {x} = 50 \ mathrm {kN} \ leftarrow \\ + \ curvearrowleft \ sum M_ {A} = 0 \\ M_ {A} -20 (3) — \ left (\ frac {1} {2} \ times 10 \ times 10 \ right) \ left (\ frac {1} {3} \ times 10 \ right) = 0 \\ M_ {A} = 226.67 \ mathrm {кН}. \ mathrm {m} \ curvearrowleft \ end {array} \)
Функции сдвига и изгибающего момента балки \ (BC \) .
\ (0
\ (V = 0 \)
\ (М = 0 \)
\ (3
\ (V = 20 \ mathrm {kN} \)
\ (M = -20 ( x — 3) \)
Когда \ (x = 3 \), \ (M = 0 \)
Обратите внимание, что расстояние \ (x \) до секции в выражениях находится от правого конца балки.
Функции сдвига и изгибающего момента колонны \ (AB \) .
\ (0
\ (V = \ left (\ frac {1} {2} \ times x \ times x \ right) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (V = 0 \)
Когда \ (x = 10 \), \ (V = 50 \ mathrm {kN} \)
\ (M = -20 (3) — \ left (\ frac {1} {2} \ times x \ times x \ right) \ left (\ frac {x} {3} \ right) \)
Когда \ (x = 10 \), \ (M = -226,67 \ mathrm {kN} \) кН. м
Обратите внимание, что расстояние \ (x \) до секции на колонне находится от верха колонны и что аналогичный треугольник использовался для определения интенсивности треугольной нагрузки в секции колонны, как показано ниже: \ ( \ frac {x} {10} = \ frac {w} {(10)} \ text {или} w = \ frac {(10 x)} {10} \).
Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для рамы нанесены на график, как показано на рисунках 4.10c и 4.10d.
Пример 4.8
Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.11a.
\ (рис. 4.11 \). Рамка.
Решение
Схема свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рисунке 4.11b.
Поддерживающие реакции. Реакции опор рамы можно вычислить, рассматривая диаграмму свободного тела всей рамы и части рамы. Вертикальные реакции опор в точках \ (A \) и \ (E \) вычисляются с учетом равновесия всей рамы следующим образом:
\ (\ begin {array} {l}
+ \ curvearrowleft \ sum M_ {A} = 0 \\
-2 (10) \ left (\ frac {10} {2} \ right) -10 (4) + E_ {y} (8) = 0 \\
E_ {y} = 17,5 \ text {kips} \ quad E_ {y} = 17,5 \ text {kips} \ uparrow \\
+ \ uparrow \ sum F_ {y } = 0 \\
A_ {y} +17.5-10 = 0 \\
A_ {y} = — 7.5 \ text {kips} \ quad A_ {y} = 7.5 \ text {kips} \ downarrow
\ end {array} \)
Знак минус указывает, что \ (A_ {y} \) действует вниз, а не вверх, как предполагалось изначально.
С учетом равновесия части \ (CDE \) рамы горизонтальная реакция опоры в точке \ (E \) определяется следующим образом:
\ (\ begin {array} {l}
+ \ curvearrowleft \ sum M_ {C} = 0 \\
17,5 (4) -E_ {x} (10) = 0 \\
E_ {x} = 7 \ mathrm {kips} \ leftarrow \ quad E_ {x} = 7 \ mathrm {kips} \ leftarrow
\ end {array} \)
Опять же, учитывая равновесие всего кадра, горизонтальная реакция в \ (A \) может быть вычислена следующим образом:
\ (\ begin {array} {l}
+ \ rightarrow \ sum F_ {x} = 0 \\
-A_ {x} +2 (10) -7 = 0 \\
A_ {x} = 13 \ text {kips} \ leftarrow \ quad A_ {x} = 13 \ text {kips} \ leftarrow
\ end {array} \)
Сдвиг и изгибающий момент колонн каркаса.{2}} {2} \ right) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 10 \) футов, \ (M = 30 \) тысяч фунтов. футов
Когда \ (x = 5 \) футов, \ (M = 30 \) тысяч фунтов. футов
Сила сдвига и изгибающий момент в столбце \ (ED \) .
\ (0
\ (V = 7 \) тысяч фунтов
\ (M = 7x \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 0 \)
Когда \ (x = 10 \) футов, \ (M = 70 \) тысяч фунтов. футов
Моменты сдвига и изгиба балки каркаса.
Сила сдвига и изгибающий момент в балке \ (BC \).
\ (0
\ (V = −7,5 \) тысяч фунтов
\ (M = -7,5 x + 13 (10) -2 (10) \ влево (\ frac {10} {2} \ right) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = 30 \) тыс. Фунтов · фут
Когда \ (x = 4 \) ft, \ (M = 0 \)
Сила сдвига и изгибающий момент в балке \ (CD \).
\ (0
\ (V = −17,5 \) тысяч фунтов
\ (М = 17,5 х-7 (10) \)
Когда \ (x = 0 \), \ (M = -70 \) тыс. Фунтов · фут
Когда \ (x = 4 \) ft, \ (M = 0 \)
Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для рамы показаны на Рисунке 4.11c и рис. 4.11d.
Краткое содержание главы
Внутренние силы в балках и рамах: Когда балка или рама подвергаются воздействию внешних поперечных сил и моментов, в элементе развиваются три внутренних силы, а именно нормальная сила (\ (N \)), поперечная сила (\ (V \)) и изгибающий момент (\ (M \)). Они показаны на следующем рисунке.
Нормальная сила : Нормальная сила в любом сечении балки может быть определена путем сложения горизонтальных нормальных сил, действующих с обеих сторон сечения.Если равнодействующая нормальной силы стремится переместиться в сторону сечения, это рассматривается как сжатие и обозначается как отрицательное. Однако, если он имеет тенденцию отходить от секции, это рассматривается как напряжение и обозначается как положительное.
Сила сдвига : Сила сдвига в любом сечении балки определяется как сумма всех поперечных сил, действующих по обе стороны от сечения. Ниже приведены условные обозначения, принятые для поперечных сил. Диаграмма, показывающая изменение поперечной силы вдоль балки, называется диаграммой поперечной силы.
Изгибающий момент : Изгибающий момент в секции балки можно определить, суммируя момент всех сил, действующих с обеих сторон секции. Условные обозначения для изгибающих моментов показаны ниже. Графическое изображение изгибающего момента, действующего на балку, называется диаграммой изгибающего момента.
Взаимосвязь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом: Между распределенными нагрузками, поперечными силами и изгибающими моментами существует следующая взаимосвязь.{2}} & = W
\ end {align} \)
Практические задачи
4.1. Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балок, показанных на рисунках с P4.1 по P4.11.
\ (Рис. P4.1 \). Луч.
\ (Рис. P4.2 \). Луч.
\ (Рис. П4.3 \). Луч.
\ (Рис. П4.4 \). Луч.
\ (Рис. П4.5 \). Луч.
\ (Рис. P4.6 \). Луч.
\ (Рис. P4.7 \). Луч.
\ (Рис. P4.8 \). Луч.
\ (Рис. P4.9 \). Луч.
\ (Рис. P4.10 \). Луч.
\ (Рис. P4.11 \). Луч.
4.2. Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рам, показанных на рисунках с P4.12 по P4.19.
\ (Рис. P4.12 \). Рамка.
\ (Рис. P4.13 \). Рамка.
\ (Рис. P4.14 \). Рамка.
\ (Рис. P4.15 \). Рамка.
\ (Рис. P4.16 \). Рамка.
\ (Рис. P4.17 \). Рамка.
\ (Рис. P4.18 \). Рамка.
\ (Рис. P4.19 \). Рамка.
ebook — Формулы расчета балки с диаграммами сдвига и момента
Формулы расчета балок с диаграммами сдвига и момента | Американский совет по древесине | Американская ассоциация лесной и бумажной промышленности, Inc.| 2007 | Английский | 20 п | pdf | 425,9 КБ | На рисунках с 1 по 32 представлена серия диаграмм сдвига и момента с соответствующими формулами для расчета балок при различных условиях статической нагрузки. Диаграммы и формулы сдвига и момента взяты из книги Western Woods Use Book, 4-е издание, и предоставлены здесь как любезно предоставленные Western Wood Products Association.
Список рисунков
Рисунок 1
Простая балка — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 2
Простая балка — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 3
Простая балка — равномерно распределенная нагрузка частично на одном Конец
Рисунок 4
Простая балка — равномерная нагрузка, частично распределенная на каждом конце
Рисунок 5
Простая балка — равномерное увеличение нагрузки на один конец
Рисунок 6
Простая балка — равномерное возрастание нагрузки до центра
Рисунок 7
Простая балка — сосредоточенная нагрузка в центре
Рисунок 8
Простая балка — сосредоточенная нагрузка в любой точке
Рисунок 9
Простая балка — две равные сосредоточенные нагрузки симметрично размещены
Рисунок 10
Простая балка — два равных Сосредоточенные нагрузки несимметрично размещены
Рисунок 11
Простая балка — две неравные сосредоточенные нагрузки несимметрично размещены
Рисунок 12
Консольная балка — равномерно распределенная нагрузка
Свободная нагрузка Конец
Рисунок 14
Консольная балка — сосредоточенная нагрузка в любой точке
Рисунок 15
Балка, закрепленная на одном конце, опора на другом — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 16
Балка, закрепленная на одном Конец, поддерживаемый на другом конце — сосредоточенная нагрузка в центре
Рисунок 17
Балка, закрепленная на одном конце, поддерживаемая на другом — сосредоточенная нагрузка в любой точке
Рисунок 18
Балка, свисающая с одной опоры — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 19
Балка нависает над одной S опора — равномерно распределенная нагрузка на свес
Рисунок 20
Балка, свешивающаяся на одну опору — сосредоточенная нагрузка в конце свеса
Рисунок 21
Балка, свешивающаяся на одну опору — сосредоточенная нагрузка в любой точке между опорами
Рисунок 22
Балка, выступающая за обе опоры — неравные вылеты — равномерно распределенная нагрузка

Рисунок 23
Балка, закрепленная на обоих концах — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 24
Балка, закрепленная на обоих концах — сосредоточенная нагрузка в центре
Рисунок 25
Балка, закрепленная на обоих концах — сосредоточенная нагрузка в любой точке
Рисунок 26
Непрерывная балка — два равных пролета — равномерная нагрузка на один пролет
Рисунок 27
Непрерывная балка — Два равных пролета — сосредоточенная нагрузка в центре одного пролета
900 06 Рисунок 28
Непрерывная балка — два равных пролета — сосредоточенная нагрузка в любой точке
Рисунок 29
Непрерывная балка — два равных пролета — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 30
Непрерывная балка — два равных пролета — Две равные сосредоточенные нагрузки, размещенные симметрично
Рисунок 31
Непрерывная балка — два неравных пролета — равномерно распределенная нагрузка
Рисунок 32
Непрерывная балка — два неравных пролета — сосредоточенная нагрузка на каждом пролете
Насколько симметрично размещена
Расчет и построение изгибающего момента и создание диаграммы BMD за четыре шага
Эта статья прояснит ваши представления о диаграммах изгибающего момента (BMD).Вы будете знать пять важных шагов, необходимых для расчета и построения диаграммы изгибающего момента.
Для простоты понимания мы обсудим тот же пример, который мы обсуждали в учебном пособии по диаграмме поперечных сил.
Проблема SFD / BMD Схема
Диаграмма усилия сдвига в приведенном выше примере выглядит следующим образом:
SFD проблемы
Теперь, чтобы создать диаграмму изгибающего момента балки с опорой, вы должны выполнить пять шагов:
Шаг-1: Получите силы реакции: При создании диаграммы поперечных сил балки вы уже рассчитали вертикальные силы реакции в различных точках, как показано ниже:
Rc = 60 кН
Re = -20 кН
Эти силы реакции будут полезны для расчета изгибающих моментов в разных точках балки.
Шаг-2: Условные обозначения: Изгибающий момент, который вызывает «провисание» балки, будет считаться положительным, а изгибающий момент, который вызывает «закручивание» балки, будет считаться отрицательным. Мы рассмотрим это соглашение о знаках до конца этой статьи.
Шаг 3: Расчет изгибающих моментов: Вам необходимо рассчитать изгибающие моменты в различных точках балки. Для расчета этого вам нужно начинать с крайнего левого угла (точка A) и постепенно приближаться к правой опоре (точка A).Вы воспользуетесь следующей формулой:
Изгибающий момент (M) = ( Сила) X (D расстояние между точкой приложения силы и точкой, в которой необходимо рассчитать изгибающий момент (BM))
BM @ A:
млн лет = -20 * 0
= 0
BM @ B:
Мб = -20 * 1
= — 20 кН-М
BM @ C:
Mc = изгибающий момент от силы 20 кН + изгибающий момент от 10 кН \ M UDL
= — 20 * (1 + 1) — (10 * 1 * 0.5)
= — 45 кН-М
BM @ D:
Md = BM из-за силы 20 кН + BM из-за 10KN \ M UDL + BM из-за силы реакции Rc
= — 20 * (1 + 1 + 1) — (10 * 2X1) + (60 * 1)
= -20 кН-М
BM @ E:
Me = BM из-за силы 20 кН + BM из-за 10KN \ M UDL + BM из-за силы реакции Rc
= — 20 * (1 + 1 + 1 + 1) — (10 * 2X2) + (60 * 2)
= 0
Шаг 4: Постройте изгибающие моменты: Только что вы рассчитали значения BM в разных точках балки, теперь нанесите значения, и вы получите диаграмму изгибающего момента, как показано ниже:
BMD проблемы
В приведенной выше BMD, которую вы могли заметить, для диаграммы изгибающего момента точечной нагрузки это прямая линия, а для изгибающего момента UDL — кривая.Но как решить, должна ли кривая быть выпуклой или вогнутой? Обсудим в следующей статье.
Итак, теперь вы готовы рассчитать изгибающие моменты и построить диаграмму БМ для свободно опертой балки. Создание BMD — важный первый шаг к проектированию элемента конструкции
.
Привет, я Шибашис, блоггер по страсти и инженер по профессии. Я написал большинство статей для mechGuru.com. Более десяти лет я тесно связан с технологиями инженерного проектирования и моделирования производства.Я любитель кода-самоучка, в настоящее время влюблен в Python (Open CV / ML / Data Science / AWS -3000+ строк, 400+ часов)
.

Расчетные схемы для балок — pouznaval.ru

Расчет неразрезной (статически неопределимой) балки — КиберПедия

Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. 1960 г. Уманский А.А.

Эпюры моментов — Студопедия

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки | Интерактивное сообщество — Решение задач по инженерной графике

Просто поддерживаемая диаграмма моментов балки

Результаты листинга Диаграмма моментов простой опоры балки

Глава 4 Сдвиг и момент в балках

ДИАГРАММЫ И ФОРМУЛЫ ЛУЧЕЙ

Сила сдвига и изгибающий момент Схема просто…

ФОРМУЛ ДИЗАЙНА БАЛКИ СО СДВИГОМ И…

Диаграмма силы сдвига и изгибающего момента для Simply

Просто поддерживаемая балка с моментом на одном конце…

Калькулятор свободного луча Изгибающий момент, поперечное усилие…

Как рассчитать диаграммы изгибающего момента? SkyCiv

Диаграмма поперечного усилия и изгибающего момента для Simply

Как просто рассчитать изгибающий момент…

Диаграмма поперечного усилия и изгибающего момента для простого

Калькулятор балки с простой опорой calcresource

Инженерная библиотека сил и моментов луча

Линия влияния для пучка с простой опорой…

Просто поддерживаемый Beam ShapeDiver

Рисунок 4 Диаграммы сдвига и момента для простого…

Как найти момент в просто поддерживаемой балке…

Как рассчитать силу сдвига и изгибающий момент…

Максимальный изгибающий момент для просто поддерживаемого…

ДИАГРАММА СИЛЫ СДВИГА И ИЗГИБА…

Балки с простой опорой , Усилие сдвига и изгиб…

Лекция 22: Свободное тело просто поддерживаемых лучей…

МОМЕНТ ИЗГИБА НА СДВИГ СИЛЫ ПРОСТО…

Числовой изгибающий момент, учитывая просто поддерживаемый…

Theory Optimal Beam

ОБУЧЕНИЕ ПО МЕХАНИКЕ ТВЕРДЫХ БАЛКОВ 2…

Просто поддерживаемый луч обзор ScienceDirect…

Конструкция композитных балок с простой опорой для…

Момент на теле и на балке с простой опорой

Просто поддерживаемые формулы пучка UDL Изгиб…

Добавить комментарий Отменить ответ