Формулы эпюры моментов балки: Расчетные схемы для балок — Доктор Лом

Содержание

Расчетные схемы для балок — pouznaval.ru

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота. Данный метод решения проблемы называется методом начальных параметров.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θх = — θA + МАх/EI + Ax2/2EI — qx3/6ЕI (173.1)

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка отсутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

θх = — θA + Ax2/2EI  = — Ql2/16EI + Qx2/4EI = Q(4x2 — l2)/16EI

 (173.2)

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

fх = — θAx + Мх2/2EI + Ax3/6EI — qx4/24ЕI (173.3)

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

fх = — θAx + Ax3/6EI = — Ql2x/16EI + Qx3/12EI = Qx(4x2 — 3l2)/48EI (173.4)

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2 < x < l) уравнение будет иметь вид:

fх = — θAx + Ax3/6EI — Q(x — l/2)3/6EI (173.5)

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси 

у.

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

Отдельно приводится пример расчета балки при общем случае загружения несколькими сосредоточенными нагрузками, приложенными несимметрично, по двум вариантам: упрощенному и полному. Сделал я это для наглядности, потому что устал каждый раз объяснять, что не всегда есть большая необходимость в точных расчетах.

Кроме того, для людей, оснащенных планшетами, айфонами и прочими современными гаджетами, всегда есть возможность скачать программу, значительно упрощающую расчеты. Често скажу, это не моя программа, тем не менее создателю этого програмного обеспечения я искренне благодарен.

Таблица 1. Балка на двух шарнирных опорах.

Таблица 2. Консольная балка.

Таблица 3. Балка на шарнирных опорах с консолями.

Расчет неразрезной (статически неопределимой) балки — КиберПедия

 

Расчет неразрезной (статически неопределимой) балки с помощью уравнений трех моментов и метода фокусных отношений.

Уравнение трех моментов

1) Ставятся шарниры над всеми промежуточными опорами.

2) Если одна из опор является жесткой заделкой, то вместо нее добавляется пролетL=0:

 

 

Неразрезная балка

 

3) Консольные части балки удаляются, а их влияние заменяется изгибающими моментами:

 

 

Неразрезная балка

 

4) Нумеруются пролеты (пролет нумеруется последующей за ней опорой) и опоры (начиная с 1).

5) Строятся эпюры изгибающих моментов для отдельных балок, на которые действуют внешние нагрузки.

6) Составляются уравнения трех моментов:

 

 

где Мn-1, Mn, Mn+1 – моменты в опорах n-1, n, n+1.

 

 

где ωn, ωn+1 – площади фигур, ораниченных эпюрами изгибающих моментов для отдельных (простых) балок;

an, bn+1 – расстояние от центра тяжести соответствующей эпюры изгибающих моментов простой балки до левой опоры n и правой опоры n+1.

7) Определяются площади и центры тяжести соответствующих эпюр изгибающих моментов простых балок.

Для прямоугольного треугольника:

 

 

Центр тяжести для треугольника

 

7) Решаются уравнения трех моментов:

8) Строится эпюра моментов в опорах М

оп.

9) Строится итоговая эпюра моментов М, равная сумме эпюр моментов в опорах Мопи всех эпюр Mр, построенных для отдельных балок.

10) Проверка – произведение единичной эпюры от действия единичной силы в крайней правой опоре на итоговую эпюру должно равняться нулю.

 

Метод фокусных отношений

1) Если есть заделка, то по аналогии с уравнением трех моментов вместо заделки добавляется пролет L=0.

2) Определяются фокусные расстояния (левые и правые).

Левые фокусные отношения определяются по формуле:

 

 

Правые фокусные отношения определяются по формуле:

 

 

При шарнирномопирании крайнего левого (правого) пролета фокусное расстояние для следующего номера опоры (крайней опоры) равно бесконечности (∞).3) Строятся эпюры изгибающих моментов для балки от действия заданной временной нагрузки.

Моменты в опорах определяются по формулам:

 

 

где Anф, Вnф – левая и правая фиктивные опоры соответственно (n – номер пролета) – определяются как в способе трех моментов.

Моменты в остальных пролетах определяются по формулам:

 

 

4) Строится объемлющаю эпюра. Она строится при одновременном действии временной нагрузки во всех пролетах и постоянной нагрузки.

Максимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с положительными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках.

Минимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с отрицательными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках.

С. Задача 1

 

Построить эпюру изгибающих моментов для неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов.

 

 

Неразрезная балка

 

1) Составляется основная система неразрезной балки:

 

 

Основная система для способа уравнений трех моментов

 

2) Строятся эпюры изгибающих моментов для отдельных балок, на которые действуют внешние нагрузки:

 

 

Эпюры изгибающих моментов для отдельных балок

 

Распишем построение эпюры для пролета L2:

 

и т.д. для остальных пролетов.

3) Составляются уравнения трех моментов:

 

 

4) Определяются площади и центры тяжести соответствующих эпюр изгибающих моментов простых балок:

 

 

5) Преобразуем уравнения трех моментов:

 

 

6) Решаем уравнения трех моментов:

 

 

7) Строим эпюру моментов в опорах Моп.

8) Строим итоговую эпюру моментов М, равную сумме эпюр моментов в опорах Мопи всех эпюр Mр, построенных для отдельных балок.

9) Выполняем проверку. Строим единичную эпюру от действия единичной силы в крайней правой опоре. Если произведение единичной эпюры на итоговую эпюру равно нулю, то расчет выполнен верно.

 

 

 

Расчет неразрезной балки с помощью уравнений трех моментов

 

С. Задача 2

 

Построим для заданной балки эпюры изгибающих моментов способом фокусных отношений в результате последовательного загружения всех пролетов временной нагрузкой (например, qвр=1,5 кН/м). Для пролета L3 построим объемлющую эпюру для точек 2, 3, 0,5·L3.

По аналогии с методом уравнений трех моментов, если есть заделка, то вместо нее добавляется пролет L=0 (на схеме балке не указан, т.к. схема аналогична задаче для метода трех моментов).

 

 

 

 

Расчет неразрезной балки способом фокусных отношений

 

1) Определяем фокусные расстояния (левые и правые):

1.1) левые:

При шарнирном опирании крайнего левого пролета фокусное расстояние для следующего номера опоры равно бесконечности (∞) в соответствии с формулой:

Мn-1 =0, т.к. крайняя опора n-1 является шарнирной, т.е.:

 

 

1.2) правые:

При шарнирном опирании крайнего правого пролета фокусное расстояние для номера крайней опоры равно бесконечности (∞) в соответствии с формулой:

Мn =0, т.к. крайняя опора n является шарнирной, т.е.:

 

 

2) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр в пролете L

2:

2.1) Определяем фиктивные опорные реакции от qвр (по формуле для способа уравнений трех моментов):

Для распределенной нагрузки может применяться следующая формула:

 

 

 

2.2) Определяем моменты в опорах:

Моменты в опорах определяются по формулам:

 

 

3) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр в пролете L3:

3.1) Определяем фиктивные опорные реакции от qвр:

 

 

 

3.2) Определяем моменты в опорах:

 

 

4) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр в пролете L4:

4.1) Определяем фиктивные опорные реакции от qвр:

 

 

 

4.2) Определяем моменты в опорах:

 

 

5) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиq

вр, действующей на консоли:

 

 

6) Строим объемлющую эпюру для пролета L3 (точек 2, 3, 0,5·L3). Она строится при одновременном действии временной нагрузки во всех пролетах и постоянной нагрузки.

Значения эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки берем из решения задачи 1 с помощью уравнения трех моментов.

Максимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с положительными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках.

 

 

Минимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с отрицательными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках.

 

 

Полученные значения для удобства записи заносим в таблицу 1:

 

Таблица 1

 

Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. 1960 г. Уманский А.А.

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА. Чл.-корр. АН УССР д-р физ.-мат. наук проф. И. Я. Штаерман 19
1.1. Алгебра 19
1.1.1. Степени и корни 19
1.1.2. Логарифмы 19
1.1.3. Прогрессии 20
1.1.4. Факториал 20
1.1.5. Соединения 20
1.1.6. Бином Ньютона 20
1.1.7. Определители (детерминанты) 20
1.1.8. Линейные уравнения 21
1.1.9. Матрицы (канд. техн. наук В. В. Новицкий) 22
1.1.10. Уравнения высших степеней 23
1.1.11. Приближенное решение уравнений 24
1.2. Геометрия 25
1.2.1. Плоские фигуры. Многоугольники .Круг и его части. Площади, ограниченные кривыми второго порядка 25
1.2.2. Тела. Тела, ограниченные плоскостями. Цилиндр и конус. Шар и его части. Некоторые другие тела. Тела вращения (теоремы Гюльдена). Призматоид. Рампа 26
1.3. Тригонометрия 27
1.3.1. Измерение углов 27
1.3.2. Тригонометрические (круговые) функции . . 27
1.3.3. Функции суммы и разности углов, кратных углов и половинного угла 29
1.3.4. Степени функций 29
1.3.5. Приведение к виду, удобному для логарифмирования 29
1.3.6. Зависимости между функциями трех углов, сумма которых равна 180° 29
1.3.7. Зависимости между обратными тригонометрическими функциями 30
1.3.8. Формулы, применяемые при решении треугольников 30
1.3.9. Гиперболические функции 31
1.4. Аналитическая геометрия 31
1.4.1. Точка на плоскости 31
1.4.2. Прямая линия 32
1.4.3. Окружность 32
1.4.4 Парабола 32
1.4.5. Эллипс и гипербола 33
1.4.6. Построение конических сечений 34
1.4.7. Цепная линия. Циклоида. Спираль 34
1.4.8. Точка в пространстве 34
1.4.9. Плоскость 35
1.4.10. Прямая в пространстве 35
1.4.11. Поверхности второго порядка 35
1.5. Дифференциальная геометрия 36
1.5.1. Плоские кривые 36
1.5.2. Пространственные кривые 38
1.5.3. Поверхности 39
1.6. Дифференциальное исчисление 39
1.6.1. Функция, предел, непрерывность 39
1.6.2. Производная и дифференциал 40
1.6.3. Раскрытие неопределенностей 41
1.6.4. Исследование функций 41
1.6.5. Функция двух переменных 41
1.7. Интегральное исчисление 42
1.7.1. Неопределенный интеграл 42
1.7.2. Интегрирование рациональных функций 43
1.7.3. Интегрирование иррациональных функций 44
1.7.4. Интегрирование трансцендентных функций 44
1.7.5. Определенный интеграл 46
1.7.6. Кратные интегралы 47
1.7.7. Криволинейные интегралы 48
1.8. Ряды 48
1.8.1. Числовые ряды 48
1.8.2. Степенные ряды 49
1.9. Дифференциальные уравнения 51
1.9.1. Основные понятия 51
1.9.2. Уравнения первого порядка 51
1.9.3. Уравнения второго порядка 51
1.9.4. Линейные уравнения второго порядка 52
1.9.5. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 53
1.9.6. Метод начальных параметров 53
1.9.7. Общие решения дифференциального уравнения четвертого порядка с биквадратным характеристическим уравнением (канд. техн. наук А. И. Тюленев) 54
1.9.8. Приближенные методы 54
1.9.9. Уравнения математической физики 58
1.9.10. Квазилинейные уравнения 59
1.10. Функции комплексной переменной 60
1.10.1. Комплексные числа 60
1.10.2. Комплексные функции 60
1.10.3. Конформные отображения 61
1.11. Вариационное исчисление 61
1.11.1. Постановка задачи 61
1.11.2. Основные случаи 62
1.11.3. Прямые методы 63
1.12. Разностное исчисление 63
1.12.1 Определение разностей 63
1.12.2. Разностные уравнения 63
1.13. Интегральные уравнения 64
1.13.1. Уравнения Фредгольма. Методы решения однородного уравнения. Методы решения неоднородного уравнения 64
1.13.2. Уравнения Вольтерра второго рода 65
1.13.3. Уравнения Абеля 65
1.13.4. Сингулярные уравнения 65
1.14. Специальные функции 66
1.14.1. Полиномы Лежандра 66
1.14.2. Полиномы Чебышева 66
1.14.3. Гамма-функция 66
1.14.4 Функции Бесселя 66
1.15. Операционное исчисление 67
1.15.1. Преобразование Лапласа 67
1.15.2. Применение операционного исчисления 68
1.16. Векторное и тензорное исчисления 68
1.16.1. Векторная алгебра 68
1.16.2. Векторный анализ 69
1.16.3. Тензоры 69
1.17. Приближенные вычисления 70
1.17.1. Общие положения 70
1.17.2. Приближенные формулы 71
1.18. Номография 71
1.18.1. Функциональная шкала 71
1.18.2. Номограммы из выравненных точек 71
1.18.3. Сетчатые номограммы 72
1.18.4. Номограммы для уравнений с числом переменных более трех 72
1.19. Приближенное представление функций 72
1.19.1. Постановка задачи 72
1.19.2. Интерполяционные формулы 72
1.19.3. Приближение функций по методу наименьших квадратов 74
1.19.4. Приближенное вычисление определенных интегралов 75
1.20. Ряды Фурье 76
1.20.1. Разложение функций в ряд Фурье 76
1.20.2. Интеграл Фурье 79
1.20.3. Приближенный гармонический анализ 80
1.21. Теория вероятностей 81
1.21.1. Понятие вероятности 81
1.21.2. Случайные величины 82
1.21.3. Обработка наблюдений 82
1.21.4. Основы теории корреляции 83
1.22. Математические таблицы 84
1.22.1. Степени, корни, натуральные логарифмы 84
1.22.2. Тригонометрические функции. Синусы и косинусы 92
1.22.3 Круговые, показательные и гиперболические функции 94
1.22.4. Некоторые постоянные 97
1.22.5. Соотношение между английскими и метрическими мерами 97
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Д-р техн. наук проф. А. Н. Обморшев. 99
СТАТИКА 99
2.1. Геометрическая статика 99
2.1.1. Основные положения 99
2.1.2. Сложение и разложение сил 100
2.1.3. Моменты сил и пар 100
2.1.4. Параллельные силы 101
2.1.5. Произвольная система сил 101
2.1.6. Правила прикрепления твердого тела 104
2.1.7. Системы с трением 104
2.1.8. Центр тяжести 105
2.2. Графостатика 106
2.2.1. Веревочный многоугольник 106
2.2.2. Применение веревочного многоугольника к определению опорных реакций 108
2.2.3. Определение усилий в стержнях плоских статически определимых ферм 109
2.2.4. Разложение силы по трем прямым, пересекающимся в одной точке и не лежащим в одной плоскости 110
2.2.5. Разложение силы по шести произвольно расположенным прямым 110
2.3. Аналитическая статика 111
2.3.1. Работа. Мощность 111
2.3.2 Потенциальная энергия 112
2.3.3. Принцип возможных перемещений 113
КИНЕМАТИКА 113
2.4. Кинематика точки 113
2.4.1 Прямолинейное движение точки 113
2.4.2. Криволинейное движение точки 114
2.4.3. Относительное движение точки 115
2.5. Кинематика твердого тела 115
2.5.1. Поступательное движение 115
2.5.2. Вращение вокруг неподвижной оси 115
2.5.3. Винтовое движение 116
2.5.4. Плоско-параллельное движение 116
2.5.5. Движение тела около неподвижной точки 117
2.5.6. Сложение скоростей или бесконечно малых перемещений при сложном движении твердого тела. Статико-кинематическая аналогия 117
2.5.7. Элементы кинематики механизмов 118
2.5.8. Кинематические пары, входящие в расчетные схемы сооружений 118
ДИНАМИКА 120
2.6. Механические единицы 120
2.6.1. Правило размерностей 120
2.7. Динамика точки 121
2.7.1. Основные законы 121
2.7.2. Прямолинейное движение точки 121
2.7.3. Криволинейное движение точки 122
2.7.4. Кинетостатика точки. Относительное движение 122
2.8. Динамика системы 122
2.8.1. Общие теоремы динамики 122
2.8.2. Общие принципы динамики системы 123
2.8.3. Моменты инерции 124
2.9. Динамика твердого тела 125
2.9.1. Вращение тела вокруг неподвижной оси 125
2.9.2. Физический маятник 125
2.9.3. Давление вращающегося тела на опоры 126
2.9.4. Плоско-параллельное движение 126
2.10. Удар 126
2.10.1. Основные положения 126
2.10.2. Удар двух тел 126
2.10.3. Действие удара на вращающееся твердое тело 127
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ. Д-р техн. наук И. И. Трапезин 129
3.1. Напряжения 129
3.1.1. Основные понятия 129
3.1.2. Одноосное напряженное состояние 129
3.1.3. Плоское напряженное состояние 130
3.1.4. Объемное напряженное состояние 130
3.1.5. Преобразование компонентов напряжения к новым осям координат 132
3.1.6. Интенсивность напряжений в данной точке 132
3.1.7. Круги Мора 133
3.2. Деформации 134
3.2.1. Компоненты деформаций 134
3.2.2. Определение угловой деформации и величин главных удлинений по удлинениям в трех направлениях в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния 135
3.2.3. Интенсивность деформаций 135
3.3. Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости 136
3.3.1. Закон Гука для изотропного тела 136
3.3.2. Закон Гука для анизотропного тела 137
3.3.3. Плоскость симметрии в отношении упругих свойств 137
3.3.4. Ортотропное упругое тело 137
3.3.5. Потенциальная энергия упругого тела 138
3.4. Связь между напряжениями и деформациями за пределами упругости 138
3.4.1 Условия пластичности 138
3.4.2 Напряжения и деформации при простом нагружении и при разгрузке 138
3.4.3 Диаграммы растяжения 139
3.4.4 Схематизация истинных диаграмм растяжения 139
3.4.5. Построение кривой зависимости 140
РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ. Кандидаты техн. наук доценты А. И. Коданев, В. Г.Чернашкин, Б. А. Дзержкович, чл.-корр. АСиА СССР канд. техн. наук С. А. Семенцов, канд. техн. наук Л. Н. Пицкель, д-р техн. наук проф. В. Н. Быковский, д-р техн. наук А. Б. Губенко, кандидаты техн. наук А. Г. Иммерман, Л В. Клепиков, В. А. Отставнов 141
4.1. Прочность материалов (А. И. Коданев) 141
4.1.1. Упругость, пластичность и разрушение 141
4.1.2. Влияние характера напряженного состояния 141
4.1.3. Влияние температуры 144
4.1.4. Влияние длительности нагружения 144
4.1.5. Влияние переменности нагрузки 145
4.1.6. Влияние концентрации напряжений 147
4.1.7. Влияние скорости приложения нагрузки 147
4.2. Строительные стали (В. Г. Чернашкин) 148
4.2.1. Основные понятия и обозначения 148
4.2.2. Физические свойства углеродистой стали 148
4.2.3. Химический состав и механические свойства углеродистой стали. Сталь углеродистая горячекатаная обыкновенного качества пс ГОСТ 380-50. Сталь углеродистая для мостостроения. Сталь углеродистая для армирования железобетонных конструкций 149
4.2.4. Химический состав и механические свойства низколегированной стали. Сталь низколегированная 10ХНДП (СХЛФ) с повышенным содержанием фосфора. Сталь низколегированная марки 10Г2СД (МК). Сталь низколегированная марок 14ХГС и 19Г. Сталь низколегированная марки 15ГС 156
4.3. Сплавы алюминия для строительства(Б. А. Дзержкович) 162
4.4. Бетон (С. А. Семенцов) 164
4.4.1. Прочность 164
4.4.2 Деформация 166
4.5. Каменные материалы (С. А. Семенцов) 171
4.5.1. Прочность 171
4.5.2 Деформации 173
4.6. Армированные материалы (Л. Н. Пицкель) 174
4.6.1. Общие сведения 174
4.6.2. Железобетон 175
4.6.3. Армоцемент 179
4.6.4. Армированные каменные конструкции 179
4.6.5. Армированный асбестоцемент 180
4.7. Древесина (В. Н. Быковский) 181
4.7.1. Общие сведения 181
4.7.2. Механические свойства 181
4.8 Пластмассы в строительных конструкциях (А. Б. Губенко) 183
4.8.1. Конструктивные пластмассы 183
4.8.2. Конструкции с применением пластмасс 185
4.8.3. Клеи и склеивание конструкций с применением пластмасс 186
4.9 Методы расчета конструкций 186
4.9.1. Метод расчета по расчетным предельным состояниям (Л. В. Клепиков, В. А. Отставнов) 186
4.9.2. Метод расчета по разрушающим нагрузкам (А. Г. Иммерман) 191
4.9.3. Метод расчета по допускаемым напряжениям (А. Г. Иммерман) 192
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ. Д-р техн. наук проф. А. А. Уманский 195
5.1. Основные положения технической теории бруса 195
5.1.1. Определения 195
5.1.2. Основные факторы работы бруса. Статико-кинематическая аналогия. Нагрузки и усилия. Деформации и перемещения. Статико-кинематическая аналогия 195
5.1.3. Интегральные соотношения между напряжениями и усилиями в поперечных сечениях 197
5.1.4. Соответствующие силы и перемещения, усилия и дислокации 197
5.1.5. Начальная, температурная и упругая распределенные деформации 199
5.1.6. Две системы координатных осей упругого бруса с несимметричным сечением 200
5.1.7. Упругое основание 200
5.1.8. Плоский неразветвленный упругий брус. Обобщенная статико-кинематическая аналогия 200
5.2. Определение нормальных напряжений 202
5.2.1. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев 202
5.2.2. Определение моментов инерции относительно исходных осей 203
5.2.3. Редуцирование площадей при вычислении моментов инерции 203
5.2.4. Общая формула нормального напряжения при растяжении-сжатии и изгибе. Нейтральная линия 205
5.2.5. Максимальные нормальные напряжения 206
5.2.6. Ядро сечения 206
5.2.7. Случай переменного модуля Е 207
5.2.8. Пользование центральными неглавными осями 207
5.3. Определение касательных напряжений и деформаций в брусьях. Особенности тонкостенных сечений 208
5.3.1. Расчет на срез (сдвиг) 208
5.3.2. Расчет на направленный срез (сдвиг). Формулы для погонных касательных усилий и напряжений 208
5.3.3. Касательные напряжения при изгибе. Центр изгиба 210
5.3.4. Деформация сдвига при изгибе брусьев с массивным сечением и двутавровых балок 212
5.3.5. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба открытых тонкостенных сечений 212
5.3.6. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба замкнутых тонкостенных сечений 215
5.3.7. Касательные напряжения и относительный угол закручивания при свободном кручении. Геометрические характеристики 217
5.3.8. Депланация при свободном кручении. Эпюры единичной депланаций при свободном кручении для тонкостенных сечений 219
5.3.9. Стесненное кручение 219
5.3.10. Сложное сопротивление тонкостенных брусьев. Приведение нагрузок к типам усилий 221
5.4. Классификация систем брусьев и общие методы строительной механики 222
5.4.1. Основные определения 222
5.4.2. Виды систем Балки. Арки. Рамы. Фермы. Комбинированные системы. Спаренные плоские системы (биконструкции) 223
5.4.3. Статический метод определения перемещений и кинематический метод определения усилий на примере балки. Инфлюенты (линии и поверхности влияния). Статический метод определения перемещения в статически определимой системе. Кинематический метод определения усилия в статически определимой системе. Обобщенная теорема о взаимности работ активных факторов, действующих на упругую систему. Формулы для перемещения в упругой с. н. системе. Формулы для усилия в с. н. системе. Теоремы о взаимности единичных перемещений и усилий 226
5.4.4 Метод потенциальной энергии. Выражение энергии деформации через обобщенные силы и обобщенные перемещения. Выражение энергии деформации через силы и единичные перемещения. Выражение энергии деформации системы брусьев через усилия. Теорема Кастильяно. Теорема о минимуме энергии деформации. Случай заданных (температурных или начальных) деформаций. Выражение энергии деформации через перемещения или дислокации. Теорема об экстремуме полной энергии. Случай нелинейно-деформируемой системы, когда энергия деформации не есть функция второй степени от нагрузок 229
5.5. Балки 231
5.5.1. Определение усилий и перемещений и построение эпюр в балках по методу начальных параметров. Общие положения. Обыкновенная балка постоянного сечения. Обыкновенная балка переменного сечения . «Графоаналитический» метод определения перемещений в обыкновенных балках. Концевые углы поворота сечений простой балки как фиктивные реакции 231
5.5.2. Абсолютно жесткая балка на упругом основании и обыкновенная балка с защемленными концами. Уравнения эпюр. Абсолютно жесткие балки со свободными концами на упругом основании. Обыкновенные балки с защемленными концами 238
5.5.3. Приемы, упрощающие построение эпюр и инфлюент статически определимых балок 240
5.5.4. Равнопролетные неразрезные балки на жестких опорах. Метод бесконечной основной системы. Полубесконечная балка. Бесконечная балка. Построение инфлюент. Конечная равнопролетная балка 241
5.5.5. Равнопролетные неразрезные балки постоянного сечения на упруго оседающих опорах. Метод начальных параметров. Бесконечная и полубесконечная балки. Расчет конечных равнопролетных балок по таблицам для бесконечных балок 243
5.5.6. Балка на упругом (винклеровском) основании. Общие данные. Уравнения эпюр. Однопролетная балка. Бесконечная двусторонняя балка. Полубесконечная балка. Использование бесконечной балки для расчета конечных балок (Метод компенсирующих нагрузок). Практические указания. Дополнительная литература 248
5.5.7. Общий метод расчета неразрезных балок на жестких опорах. Уравнение трех опорных моментов 253
5.5.8. Решение системы уравнений трех моментов и общих трехчленных уравнений. Аналитический способ. Графический способ. Определение чисел влияния. Построение инфлюент усилий Qu и Мu в промежуточных сечениях неразрезной балки и инфлюент реакций Vn 255
5.5.9. Неразрезная балка на упруго оседающих опорах. Уравнение пяти опорных моментов 262
5.6. Арки и простые рамы 263
5.6.1. Общие положения 263
5.6.2. Трехшарнирная арка. Реакции и усилия при постоянной нагрузке. Инфлюенты (линии влияния). Эпюры углов поворота и прогибов арки 263
5.6.3. Статически неопределимые арки. Универсальные формулы для усилий. Характеристики фиктивного профиля. Определение факторов Рф, Lx, Ly. Определение опорных моментов и опорных реакций. Инфлюенты усилий в бесшарнирной арке. Использование общих формул для расчета одно- и двухшарнирной арок. Упруго защемленная арка 266
5.6.4. Двухшарнирная арка. 269
5.6.5. Упрощенный расчет двухшарнирных и бесшарнирных параболических арок. Учет обжатия 270
5.6.6. Одноконтурные (простые) рамы. Статически определимые рамы. Статически неопределимые рамы. Упрощения в расчете геометрических характеристик гибкости и фиктивных нагрузок 272
5.6.7. Бесшарнирные арки и рамы под нагрузкой, перпендикулярной их плоскости 275
5.7. Сложные рамы 276
5.7.1. Классификация методов 276
5.7.2. Расчет рам по способу трех и четырех моментов. Закрепленная эстакада. Свободная эстакада. Простая балка переменного сечения как элемент основной системы. Ступенчатая стойка. Ломаная или криволинейная балка. Уравнение трех моментов для неразрезной балки с пролетами в виде параболических арок с затяжками. Зависимости между перемещениями и уравнения равновесия в сложных случаях 277
5.7.3. Метод перемещений. Общие положения. Формулы для усилий (реакций) защемлений от местной нагрузки или заданной деформации и перемещений торцов. Составление уравнений из условий равновесия. Стандартные формулы для составления уравнений метода перемещений. Канонические уравнения метода перемещений для свободной рамной эстакады 281
6.7.4. Метод сил. Общие положения. Выбор основной системы, составление и решение канонических уравнений. Специальные приемы упрощения и контроля расчета по методу сил. Дополнительная литература 287
5.8 Расчет рам методом последовательных приближений 291
5.8.1. Способ распределения моментов (инженеры А. Н. Газарян и Я. К. Канонов) . Несвободные рамы. Свободные рамы. Многоярусные рамы. Дополнительная литература 291
5.8.2. Способ распределения углов поворота (канд. техн. наук П. М. Сосис) 296
5.8.3. Расчет многоэтажных рам на горизонтальную нагрузку (канд. техн наук доц. Я. Б. Львин). Однопролетная рама. Применение однопролетной схемы к расчету многопролетных рам 298
5.8.4. Метод фокусов (фокусных отношений). Общие положения. Формулы и приемы метода моментных фокусов. Формулы метода угловых фокусов. Область применения метода фокусов 300
5.9. Расчет пространственных рам с взаимно перпендикулярными брусьями по методу перемещений 304
5.9.1. Основные зависимости и формулы 304
5.9.2. Пример 306
5.10. Тонкостенные брусья 307
5.10.1. Прямые тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и пренебрежимо малой жесткостью свободного кручения 307
5.10.2. Тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и конечной жесткостью свободного кручения 309
5.10.3. Кривые тонкостенные брусья и арки с жестким поперечным сечением 311
5.10.4. Рамы из тонкостенных брусьев и бирамы 312
5.10.5. Поперечные изгибающие моменты и учет деформации контура поперечного сечения в тонкостенных брусьях 312
5.10.6. Приближенный расчет тонкостенных брусьев и цилиндрических оболочек с открытым деформируемым поперечным сечением (д-р техн. наук проф. С. Н. Кан и канд. техн. наук доц. П. А. Школьный) 313
5.11. Специальные вопросы 316
5.11.1. Конструкции типа составных брусьев. Многоэтажные рамы под горизонтальной нагрузкой. Каркасно панельные стены. Составная балка с пенсами, работающими на изгиб, и стенкой, работающей на сдвиг. Многопоясные составные брусья 316
5.11.2. Комбинированные и предварительно напряженные конструкции. Комбинированные конструкции. Предварительно напряженные металлические балки 321
5.11.3. Гибкие нити. Общие положения. Провисание непологой нити под действием собственного веса. Пологая нить (канд. техн. наук Р. Н. Мацелинский). Примеры расчета (Р. Н. Мацелинский). Стальные канаты. Дополнительная литература 323
5.11.4. Пневматические конструкции (доц. В. Н. Архангельский и инж А. Н Глухарев). Определения и основные сведения. Особенности расчета ПК. Расчет оболочки, работающей на избыточное давление. Расчет аэробалки. Определение деформаций ПК. Материалы для ПК. Литература 329
РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Действ, член АСиА СССР д-р техн. наук проф.Б. Н. Жемочкин, д-р техн. наук проф.А. А. Уманский 339
6.1. Способ Гаусса 339
6.1.1. Схемы вычислений 339
6.1.2. Примеры 341
6.1.3. Решение трехчленных уравнений 344
6.1.4. Числа влияния и их определение по способу Гаусса 344
6.2. Способ последовательных приближений (способ итерации) 345
6.3. Решение уравнений с помощью настольных вычислительных машин (инженеры К. П. Вишневский и Б. Л. Тарнопольский) 348
6.3.1. Компактные схемы способа Гаусса 348
6.3.2. Метод квадратных корней 351
6.4. Механизация решений уравнений 351
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ. Канд. техн. наук доц. В. В. Новицкий 353
7.1. Геометрические характеристики при растяжении-сжатии и изгибе 353
7.2. Приближенные значения радиусов инерции 362
7.3. Положение центра изгиба некоторых сечений 363
7.4. Геометрические характеристики при свободном кручении 365
7.5. Положение центра изгиба и бимоменты инерции сечений составных профилей 367
7.6. Геометрические характеристики двутавров и швеллеров при свободном и стесненном кручении 368
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ. Инж. М. С. Волчегорский, инж. Д. Л. Шапиро, д-р техн. наук проф. А. А. Уманский 369
8.1. Балки 369
8.1.1. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от различных нагрузок 369
8.1.2. Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы и углы поворота концевого сечения 372
8.1.3. Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты, прогибы, углы поворота опорных сечений, грузовые члены 374
8.1.4. Однопролетные балки с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами. Опорные реакции и опорные моменты 384
8.1.5. Прогибы однопролетных балок с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами 389
8.1.6. Прогибы в сечениях с простой балки от сосредоточенного груза Р в сечении х 390
8.1.7. Коэффициенты приведения нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной интенсивностью Pэк для определения опорных моментов в неразрезных балках 393
8.1.8. Неразрезные равнопролетные балки. Изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузок а) Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки. б) Бесконечная балка с равными пролетами. в) Определение абсциссы (х0) максимальных пролетных моментов в неразрезных балках 394
8.1.9. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы в сечениях (через 0.1l) и опорные реакции от равномерно распределенной нагрузки: постоянной g и временной р (таблицы Винклера) 401
8.1.10. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы а различных сечениях и опорные реакции от сосредоточенных грузов: постоянных G и временных Р 403
8.1.11. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с одним защемленным концом 406
8.1.12. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с обоими защемленными концами 406
8.1.13. Прогибы в равнопролетных неразрезных балках (в середине пролета) 408
8.1.14. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках при осадке опор а) Двух-, трех-, четырех- ч пятипролетные балки. б) Полубесконечная балка. в) Бесконечная балка 410
8.1.15. Ординаты инфлюент (линий влияния) изгибающих моментов и поперечных сил для неразрезных равнопролетных балок 411
8.1.16. Данные для расчета однопролетных подкрановых балок под один кран 413
8.1.17. Данные для расчета неразрезных пятипролетных балок с равными пролетами под два одинаковых крана. Огибающие эпюры М и Q 414
8.1.18. Данные для расчета балок и ригелей рам с вутами а) Симметричная шарнирно опертая по концам балка с вутами. б) Симметричная с защемленными концами балка с вутами. в) Балка с левым односторонним вутом, шарнирно опертая по концам .г) Балка с левым односторонним вутом, защемленная левым концом и шарнирно опертая правым .д) Балка с левым односторонним вутом и обоими защемленными концами. е) Неразрезные равнопролетные балки с симметричными вутами 417
8.1.19. Ординаты инфлюент опорного момента бесконечной балки на упруго оседающих опорах 423
8.1.20. Ординаты инфлюент опорного момента Мг полубесконечной балки на упруго оседающих опорах 423
8.1.21. Данные для расчета перекрытий с перекрестными балками (кессонные перекрытия).а) Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках. б) Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане перекрытиях 424
8.1.22. Усилия в элементах шпренгельной балки. а) Статически определимый шпренгель. б) Статически неопределимый шпренгель 425
8.1.23. Данные для расчета балок с защемленными концами, с ломаной в плане осью 427
8.2. Арки 430
8.2.1. Геометрические данные осей параболической и круговой арок 430
8.2.2. Симметричные трехшарнирные арки любого очертания. Распоры, опорные реакции и изгибающие моменты от различных нагрузок 431
8.2.3. Трехшарнирные круговые и параболические арки. Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от равномерно распределенной нагрузки 433
8.2.4. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от сосредоточенного груза 435
8.2.5. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 435
8.2.6. Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 436
8.2.7. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 437
8.2.8. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от действия вертикальной сосредоточенной силы 440
8.2.9. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции от симметричной равномерно распределенной нагрузки 441
8.2.10. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузки 442
8.2.11. Бесшарнирные параболические арки а) Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок. б) Инфлюенты распора, опорной реакции, опорного момента и момента в середине пролета 443
8 2.12. Дополнительные геометрические данные для параболических, круговых и эллиптических арок 447
8.2.13. Бесшарнирная параболическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 447
8.2.14. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной параболической арке переменной толщины 449
8.2.15. Опорные моменты от собственного веса бесшарнирных параболических арок переменной толщины 449
8.2.16. Бесшарнирная круговая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 450
8.2.17. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной круговой арке переменной толщины 452
8.2.18. Опорные моменты и распоры от собственного веса бесшарнирных круговых арок переменной толщины 452
8.2.19. Бесшарнирная эллиптическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 453
8.2.20. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной эллиптической арке переменной толщины 454
8.3. Рамы 455
8.3.1. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем. а) Ригель и стойка шарнирно оперты. б) Ригель шарнирно оперт, стойка защемлена 455
8.3.2. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и защемленной стойкой 457
8.3.3. Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и защемленной стойкой 459
8.3.4. Моменты в Т-образной раме с защемленными ригелем и стойкой 461
8.3.5. Моменты и реакции П-образной рамы с шарнирно прикрепленным ригелем. а) Стоики постоянного сечения. б) Стойки ступенчатого сечения 463
8.3.6. Моменты и реакции П-образной рамы. а) С шарнирно прикрепленными стойками. б) С защемленными стойками 465
8.3.7. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 467
8.3.8. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 468
8.3.9. Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 470
8.3.10. Моменты в Т-образной раме с защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой 472
8.3.11. Простые симметричные рамы. Вспомогательные формулы к 5.6.6 а) Характеристики гибкости рамы, увеличенные в ЕI раз. б) Эпюры M и фиктивные нагрузки ломаного ригеля приведенные к точкам А, С, В. в) Эпюры М и фиктивные нагрузки левой ступенчатой стойки, увеличенные в ЕI раз. Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце 474
8.3.12. Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце 477
8.3.13. Коэффициенты k0 для определения в ступенчатых стойках: а) перемещения верха защемленной внизу стойки от силы Х=1. б) реакции Нb в случае стойки, защемленной внизу и шарнирно опертой наверху, от взаимного горизонтального смещения опор на =1; в) реакции Нb от поворота нижнего сечения на угол = 1 479
8.3.14. Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым верхним концом. а) Реакции Нb от действия момента Мв = Ра. б) Реакции Hb от действия момента Ми=Ран. в) Реакции Hb от действия горизонтальной силы Р. г) Реакции Нb от действия горизонтальной силы Pн. д) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рв. е) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рн. ж) Реакции Нb от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки по всей высоте стойки. з) Реакции Нb от действия горизонтальной треугольной нагрузки 480
8.3.15 Моменты и реакции ступенчатой стойки с защемленными концами 487
8.3.16. Ступенчатая стойка с защемленными концами. Моменты защемления при различных n и l.а) от поворота верхнего сечения на угол = 1; б) от поворота нижнего сечения на угол =1; в) от взаимного смещения опорных сечений на =1; г) от равномерно распределенной нагрузки; д) от сосредоточенной силы; е) от внешнего момента 488
8.3.17. Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми ригелями и ступенчатыми защемленными стойками. а) Горизонтальная сосредоточенная нагрузка. б) Горизонтальная равномерно распределенная нагрузка. в) Действие внешнего момента на стойку рамы. г) Примеры 491
8.3.18. Изгибающие моменты в одноэтажных многопролетных рамах. а) Двухпролетные рамы. б) Трехпролетные рамы. в) Четырехпролетные рамы. г) Примеры 495
8.3.19. Изгибающие моменты в ригелях многоэтажных рам с равными пролетами 503
8.3.20. Формулы для подсчета интегралов Мора 506
8.4. Балки на упругом (винклеровском) основании 508
8.4.1. Гиперболо-круговые функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров 508
8.4.2. Начальные параметры балок на упругом основании 513
8.4.3. Затухающие функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров 514
8.4.4. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенной силы Р= 1 (инфлюенты) 516
8.4.5. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенного момента L= 1 (инфлюенты) 517
РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА. Канд. техн. наук доц. Ю. П. Григорьев 519
9.1. Нагрузка в плоскости кривизны 519
9.1.1. Круговые брусья. Основные обозначения и общие указания. Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках. Общие формулы для усилий и перемещений. Усилия в ключевом сечении бруса, защемленного двумя концами 519
9.1.2. Круговые кольца. Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках. Расчет круговых шпангоутов. Формулы для расчета круговых колец, нагруженных произвольным числом сосредоточенных сил и моментов 524
9 2. Нагрузка, перпендикулярная плоскости кривизны 531
9.2.1. Круговые брусья. Основные обозначения и общие указания. Формулы для усилий и перемещений кругового бруса при простейших нагрузках. Общие формулы для расчета 6pуca, нагруженного сосредоточенными силами и моментами. Усилия в ключевом сечении тонкостенного бруса, защемленного двумя концами. Монорельс на трех и на четырех равноотстоящих опорах 531
9.2.2. Расчет массивных и тонкостенных круговых колец при статически определимом опирании 541
9.2.3. Расчет круговых колец на равноотстоящих опорах 546
9.3. Брусья большой кривизны. Напряжение при изгибе. Перемещения при изгибе в плоскости кривизны 551
Раздел 10. ФЕРМЫ. Канд. техн. наук А. Г. Иммерман 553
10.1. Плоские фермы 553
10.1.1. Элементы и классификация плоских ферм 553
10.1.2. Основные положения расчета 553
10.1.3. Определение усилий в статически определимых фермах при неподвижной нагрузке. Установление неработающих стержней и стержней, усилия в которых определяются местной нагрузкой. Аналитическое определение усилий. Графическое определение усилий. Определение усилий по готовым формулам, таблицам и графикам. Расчет ферм на внеузловую нагрузку. Расчет составных ферм. Фермы с гибкими пересекающимися раскосами. Фермы с «окном». Способ замены стержней. Тонкостенные фермы. Распорные и комбинированные фермы 555
10.1.4. Перемещения узлов статически определимых ферм. Исходные данные для определения перемещений. Аналитическое определение перемещений. Графическое определение перемещений. Построение эпюры прогибов пояса фермы по способу фиктивных грузов 560
10.1.5. Инфлюенты усилий и перемещений в статически определимых фермах. Статический способ построения инфлюент усилий. Кинематический способ построения инфлюент усилий. Инфлюента перемещения. Невыгодная установка грузов на инфлюенте 563
10.1.6. Определение усилий в статически неопределимых фермах при неподвижной нагрузке. Приближенные способы расчета. Метод сил. Метод заданных напряжений. Фермы с нецентрированными узлами. Учет жесткости узлов. Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннами. Работа нулевых стержней. Проверка расчета ферм 566
10.1.7. Определение перемещений в статически неопределимых фермах 569
10.1.8. Инфлюенты усилий в статически неопределимых фермах 569
10.2. Плоские фермы, соединенные связями (биконструкции) 570
10.2.1. Определение и классификация 570
10.2.2. Основные положения расчета 570
10.2.3. Определение усилий в биконструкциях 571
10.2.4. Статически неопределимые и многорядные биконструкции 572
10.3. Пространственные фермы 573
10.3.1. Классификация и основные положения образования и расчета 573
10.3.2. Общие методы определения усилий 574
10.3.3. Расчет куполов 576
10.3.4. Расчет башен и мачт 576
10.4. Предварительно напряженные фермы 577
10.4.1. Определение. Основные положения расчета и конструирования 577
10.4.2. Фермы с предварительно напряженными отдельными стержнями 577
10.4.3. Предварительно напряженные фермы с затяжками 578
РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. Д-р техн. наук проф. И. И. Гольденблат 581
11.1. Основные уравнения теории упругости 581
11.1.1. Уравнения равновесия 581
11.1.2. Уравнения совместности деформаций 582
11.1.3. Определение перемещений по заданным составляющим тензора деформаций 583
11.1.4. Схемы решения задач теории упругости. Уравнения Ляме 584
11.1.5. Потенциальная энергия деформации. Начало наименьшей работы 585
11.1.6. Некоторые частные решения 585
11.2. Плоская задача 585
11.2.1. Плоское напряженное состояние 585
11.2.2. Плоская деформация 585
11.2.3. Функция напряжений для плоской задачи 586
11.2.4. Плоская задача в полярных координатах 586
11.2.5. Сведение плоской задачи к задаче об изгибе пластинки 587
11.3. Вариационные методы решения задач теории упругости 588
11.3.1. Метод Ритца 588
11.3.2. Метод Галеркина 590
11.3.3. Метод Треффца (метод смягчения граничных условий) 591
11.4. Метод сеток 591
11.4.1. Тринадцатичленное уравнение 591
11.4.2. Применение метода конечных разностей к расчету балки-стенки 592
11.5. Сводка некоторых решений теории упругости 594
11.5.1. Чистый изгиб 594
11.5.2. Поперечный изгиб консоли 594
11.5.3. Поперечный изгиб балки 595
11.5.4. Изгиб кривого бруса (задача X. С. Головина) 596
11.5.5. Клин, сжатый сосредоточенной силой 596
11.5.6. Толстостенные цилиндры и сферический сосуд 596
11.5.7. Упругая полуплоскость и упругое полупространство 597
11.6. Концентрация напряжений 597
11.6.1. Концентрация напряжений при растяжении 597
11.6.2. Концентрация напряжений при изгибе (инж. Г. Ю. Ратновская). Балка с круглым отверстием. Балка с отверстием квадратной формы 598
11.7. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения 599
11.8. Балки-стенки 600
11.8.1.Однопролетная балка-стенка 600
11.8.2. Многопролетная балка-стенка 600
11.9. Панели крупнопанельных и каркасно-панельных зданий 605
РАЗ

Эпюры моментов — Студопедия

(показан пример записи)

Таблица 8

Сечение Момент от постоянной нагрузки, Т×м Моменты от загружения временной нагрузкой, Т×м Mмакс, Т×м Mмин, Т×м
Левой консоли Первого пролёта Второго пролёта Третьего пролёта Правой консоли
i k -18 -6 -6 -10 -10 -12 -9 -46

Для примера в указанной таблице приведены подсчеты ординат максимальных и минимальных значений моментов для точек i и к. Соединяя последовательно ординаты Ммакс, получим объемлющую Эпюру Ммакс Аналогично получим эпюру Ммин.

Обе объемлющие эпюры строятся на одной базе.

Пример 5. Для двухпролетной балки, показанной на рисунке 11, построить огибающую эпюру изгибающих моментов.

а)

б)

Рисунок 36

Расчет неразрезной балки на действие постоянной нагрузки, показанной на рисунке 36 а, производим, используя уравнения трех моментов. Расчет балки на последовательное загружение пролетов временной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью выполняем, используя метод фокусов. Принимаем, что жесткость балки для всех пролетов постоянна ( .) Для более точного построения огибающей эпюры изгибающих моментов ординаты будем определять в сечениях с интервалом пролета.


Построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил на действие постоянной нагрузки (рисунок 36, а).

Степень статической неопределимости для заданной балки определяем по формуле (1).

.

Пользуясь формулой (4) и основной системой (рисунок 36 б), составим уравнение трех моментов для опор 0 и 1; момент на опоре 2 известен.

(1)

В (1) , т.к. дополнительный пролет не загружен.

При сосредоточенной нагрузке, приложенной посредине первого пролета, равномерно распределенной нагрузке во втором пролете и пользуясь таблицей 1(см. приложение), находим:

Момент на опоре 2 определяется нагрузкой на консоли и равен:

тм.

Подставим значения углов поворота, пролетов и известное значение в систему уравнений (1):

Произведя преобразования, получим:

В результате решения этих уравнений находим значения опорных моментов:

Окончательные эпюры и для неразрезной балки строим, рассматривая каждый пролет в отдельности как простые однопролетные балки основной системы, загруженные местной нагрузкой и опорными моментами.

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 12).


Рисунок 37

В соответствии с полученным знаком значений опорным моментам придаем истинное направление (рисунок 37). Опорные реакции равны:

Участок №1

Участок №2

В силу симметрии нагрузки эпюра моментов для второго участка будет симметрична первому участку:


Эпюры М и Qдля пролета 0-1 показаны на рисунке 37 .

б) Пролет 1-2 с консолью.

Опорные реакции равны (рисунок 38):

Рисунок 13

Рисунок 38

Балку пролета 1-2 разбиваем на участки, и для каждого участка составляем уравнение изгибающего момента и перерезывающей силы.

Участок №1

Уравнение для первого участка

при

Участок №2

Эпюры и для пролета 1-2 показаны на рисунке 38 .

Эпюры и для неразрезной балки от действия постоянной нагрузки приведены на рисунке 39 .

Рисунок 39

По ординатам Q определяем опорные реакции:

Расчет неразрезной балки с размерами, указанными на (рисунке 36а), методом фокусов на последовательное загружение пролетов и консоли временной нагрузкой

Предварительно по формулам (6), (7) [7] определяем левые и правые фокусные отношения (рисунок 40).

Рисунок 40

а) Левые фокусные отношения:

б) Правые фокусные отношения:

Расчет балки на нагрузку в первом пролете (рисунок 41).

Значения углов поворота опорных сечений балки для первого пролета в соответствии с таблицей 1 равны:

.

Рисунок 41

По формулам (11), (12) [7] определяем и :

После определения опорных моментов строим эпюру так же, как и при расчете неразрезной балки от действия постоянной нагрузки.

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 42)


Рисунок 42

Определяем опорную реакцию :

Составляем уравнение изгибающего момента:

По результатам расчета строим эпюру для пролета 0-1, которая показана на рисунке 42.

Для пролета 1-2 построение эпюры M не вызывает затруднений. Результаты вычисления ординат изгибающих моментов приведены в таблице 9 .

Эпюра для неразрезной балки от нагружения первого пролета приведена на рисунке 41 .

Расчет балки на нагрузку во втором пролете (рисунок 43).

Рисунок 43

Опорный момент определяем в соответствии с таблицей 2:

Момент M0 определяем, используя левое фокусное отношение:

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 44).

Рисунок 44

Определяем опорную реакцию

Значения изгибающих моментов в сечениях с интервалом определяем по уравнению (приведены в таблице 9). Эпюра показана на рисунке 44 .

б) Второй пролет 1-2 (рисунок 45).

Рисунок 45

Из уравнения

находим

Уравнение изгибающих моментов составляем, рассматривая балку справа:

В заданных сечениях определяем ординаты изгибающих моментов, подставляя в уравнение моментов значения Х в (м):

Эпюра для пролета 1-2 показана на рисунке 45.

Эпюра для неразрезной балки от нагружения второго пролета показана на рисунке 43 .

Расчет балки от загружения консоли (рисунок 46).

Рисунок 46

Момент на опоре 2 определяется от нагрузки на консоли и равен:

Моменты на опорах 0 и 1 определяем, используя левые фокусные отношения:

Построение эпюры M для неразрезной балки от загружения консоли временной нагрузкой не вызывает затруднений (рисунок 46).

Построение огибающей эпюры M.

Результаты расчета неразрезной балки от действия постоянной нагрузки, загружения каждого пролета и консоли временной нагрузкой приведены в таблице 9 .

На основании формул (15), (16) [7] в табличной форме вычисляем ординаты и (таблица 9).

По полученным данным строим огибающую эпюру М, которая показана на рисунке 47.

Рисунок 47

Таблица 9

Сечение Момент от постоянной нагрузки, Т×м Моменты от загружения временной нагрузкой, Т×м Mмакс, Т×м Mмин, Т×м
Первого пролёта Второго пролёта На консоли
0-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-6 2-7 2-8 2-9 3-10 3-11 -5 -5 0,25 2,5 1,75 -2 -0,63 -5,24 -0,25 2,52 5,86 -2,02 -1,52 -1,01 -0,5 1,03 0,26 -0,52 -1,3 -2,06 2,49 2,97 1,46 -0,13 -0,03 -0,06 0,16 0,26 -0,06 -0,37 -0,69 -1 -0,25 -3,97 0,26 7,58 4,02 -4,74 2,74 5,47 3,21 -2 -0,63 -10,37 -0,28 4,48 -1,30 -9,08 -1,33 1,12 0,56 -3 -0,88

На эпюре М в числителе даны значения , а в знаменателе – .

На графике указаны ординаты изгибающих моментов только в сечениях над опорами и в серединах пролётов.

Приложение

Таблица 1

Таблица 2


Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки | Интерактивное сообщество — Решение задач по инженерной графике

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M, действующих в сечениях балки:

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M

По предложенному в задании описанию вычерчиваем расчетную схему балки. Чтобы построить эпюры необходимо прежде всего определить реакции опор. Левую опору обозначим A, правую — B. В левой опоре возникают реакции вертикальная RA и горизонтальная HA. В правой опоре только вертикальная реакция RB. Для нахождения значений опорных реакций составляем уравнения равновесия. Так как на балку не действуют горизонтальные силы, то горизонтальная реакция в опоре равна нулю.{2}}{3a}=-qa $

Опорная реакция найдена со знаком минус. Знак минус означает что направление RA противоположно принятому при составлении уравнения равновесия. Исправим это на расчетной схеме.

Проверяем правильность определения опорных реакций, спроецировав все силы на вертикальную ось y:

$ ΣF_{y}=0=-R_{A}+P-q2a+R_{B}=-qa+2qa-2qa+qa $

Далее, разбиваем балку на характерные участки. Границы участков проходят в местах расположения опор, а также точках приложения внешних сил или изменения закона их действия. Нагружение данной балки разбивается на два участка I и II. Поперечная сила, в каком-то сечении балки на каждом участке, равна сумме всех вертикальных сил действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения. Общепринято что: если слева от сечения рассматривается поперечная сила направленная вверх, то она положительна и наоборот если вниз; если справа от сечения рассматривается поперечная сила направленная вниз, то она положительна и наоборот если вверх. Возьмем произвольное сечение балки на участке I и найдем для него значение поперечной силы.

Если рассматривать силы слева от сечения тогда:

$ Q_{л}=-R_{A}=-qa=3×0,425=-1,275 кН $

Если рассматривать силы справа от сечения тогда:

$ Q_{п}=-R_{B}+q2a-P=-qa-2qa+2qa=-qa=-1,275 кН $

Таким образом, значение поперечной силы не зависит от того с какой стороны от сечения рассматривать действующие силы. Построим эпюру поперечных сил на I участке балки. Так как значение поперечной силы не зависит ни от каких переменных, то ее эпюра будет представлять собой горизонтальную прямую, удаленную от нулевой линии на координату -1,275 кН. Возьмем произвольное сечение балки на участке II и найдем для него значение поперечной силы.

Если рассматривать силы слева от сечения тогда:

$ Q_{л}=-R_{A}+P-qz=-qa+2qa-qz=qa-qz=q(a-z) $

Если рассматривать силы справа от сечения тогда:

$ Q_{п}=qz’- R_{B}=qz’-qa=q(z’-a) $

Как видно из уравнений, значение поперечной силы будет зависеть от координат z и z’, характеризующих удаление сечения от концов участка. Поэтому, эпюра поперечной силы будет представлять собой наклонную прямую. Для ее построения необходимы две точки. Чтобы их получить рассмотрим сечения на концах участка.

Когда сечение на левом конце участка

$ z=0; Q_{л}=q(a-0)=qa=3×0,425=1,275 кН $

Когда сечение на правом конце участка

$ z’=0; Qп=q(0-a)=-qa=-3×0,425=-1,275 кН $

На эпюре строим горизонтальную прямую для участка I и найденные для участка II точки Qл=1,275 кН, Qп=-1,275 кН и соединяем их прямой линией. Таким образом, эпюра поперечных сил по длине балки построена. Далее, действуя подобным образом, для построения эпюры изгибающих моментов M по длине балки. На каждом участке балки проводим произвольное сечение и составляем уравнение равновесия для левой или правой частей балки. Если нижние слои балки растянуты, то найденный момент положительный, если наоборот — отрицательный. Это правило знаков при нахождении изгибающих моментов в сечениях балки.

Сечение на участке I.2/2=0,27 кН×м, Mп=0, соединяем их плавной кривой линией — параболой. Таким образом, эпюра изгибающих моментов по длине балки построена.

Просто поддерживаемая диаграмма моментов балки

Результаты листинга Диаграмма моментов простой опоры балки

Глава 4 Сдвиг и момент в балках

8 часов назад Web.ncyu.edu.tw Показать подробности