Формула симпсона перемножение эпюр: Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Содержание

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила  , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару  .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

 — крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака

), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

  1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
  2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке    должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления

получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» (  ), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где  li – длина участка;

      EIi – жесткость балки на участке;

 MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

 –  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения

ординат эпюр изгибающих моментов:

, где

Задача 

Определить угол поворота сечения на левой опоре φА 

1)                 Находим опорные реакции действительного состояния  .

2)                 Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3)                 Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φА.

4)                 Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5)            Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

6)                «Перемножаем» эпюры 

Поскольку одна из них (а именно   ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента» 

Правило Верещагина»Метод Верещагина»Способ Верещагина

 

 

Заказать решение           Способ оплаты

 

 Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.


Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая  соответствует единичной нагрузке и является линейной.


Из рис.28 следует, что  Подставим значения  в выражение

где — дифференциал площади  эпюры  Mn.


Рис. 28


Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси О – О1, при этом:

где zc – абсцисса центра тяжести площади , тогда:


Учитывая, что  получим:
                                           (2.20)
 Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.

 

Основные варианты перемножения эпюр

 

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.


Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.


Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.30). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):


                               (2.21)

 



Рис. 29


По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид «перекрученных» трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.


Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:

                                   (2.22)


но значение  f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).



Рис. 30


Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной.
Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах.

 

Пример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.31,а), способом Верещагина.


Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.31,б), и два единичных состояния  — при действии силы  приложенной в точке С (эпюра , рис.31,в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис.31,г).


Прогиб балки в середине пролета:


.


Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (на рис.31,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра  ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.


А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (, рис.31,г), так как эпюра  ограничена прямой линией:



Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 13).

 


Рис. 31

 

Пример 16. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.32,а).


Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов MF, соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу , а для вычисления вертикального перемещения силу  прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры  и  показаны на рис.32,г,е.


Горизонтальное перемещение точки А:



При вычислении  на участке АВ трапеция (эпюра  MF) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры «умножен» на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована формула (2.21).


Знак » — «, полученный при вычислении , означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила ), а вправо.
Вертикальное перемещение точки А:



Здесь знак » — » означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.


Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы , имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента , являются безразмерными.

Рис.32

Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).



Рис.23


 Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоско-пространственной системы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy, изгибающий момент Mx и крутящий момент Mкр. Так как влияние поперечной силы на величину перемещения незначительно (см. пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора и Верещагина из шести слагаемых остаются только два.


Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов Mx,q и крутящих моментов Мкр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке А приложим силу  по направлению искомого перемещения, т.е. вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментов  и крутящих моментов (рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящих моментов показаны направления закручивания соответствующих участков плоско-пространственной системы.


Вертикальное перемещение точки А:



При перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется со знаком «+», если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны, и со знаком » — » – в противном случае.

 

Заказать решение

Перемножение эпюр по правилу, методу или способу Мора-Верещагина

Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем, это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.

Что нужно знать для успешного освоения материалов данного урока?

Обязательно нужно знать, как строится эпюра изгибающих моментов, т.к. в этой статье будем работать с данной эпюрой.

Верещагин и его метод, правило или способ

А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть любой. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем не важно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:​

\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \omega }_{ C }\cdot { \overline { M } }_{ C } \)​

Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C — центр тяжести первой эпюры, ωс — площадь первой эпюры, Mc — ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Площадь и центр тяжести эпюр

При использовании метода Верещагина, берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любую эпюру можно расслоить всего на три фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.

Поэтому именно с этими фигурами будем дальше работать. Напомню, как вычислить их площадь и где у них находится центр тяжести.{ 3 } }{ 12 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)​

Частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры

В этом блоке статьи покажу частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры, для возможности их перемножения по Верещагину.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника

Два треугольника и сегмент

Треугольник, прямоугольник и сегмент

Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину

Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.

Построение эпюры изгибающих моментов

В первую очередь, рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:

Построение единичных эпюр моментов

Теперь для каждого искомого перемещений необходимо приложить единичную нагрузку (безразмерную величину равную единице) и построить единичные эпюры:

  • Для прогибов, прикладываются единичные силы.
  • Для углов поворотов, прикладываются единичные моменты.

Причем направление этих нагрузок не важно! Расчет покажет верное направление перемещений.

Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой силы. Тоже самое касается и углов поворотов.

 

Перемножение участков эпюры по Верещагину

После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.

Как уже было написано выше, линейные эпюры можно перемножать в любом порядке, то есть брать площадь любой эпюры: основной или единичной, и умножать на ординату другой. Но обычно, чтобы не путаться в расчетах, площади берут основной эпюры изгибающих моментов, в этом уроке будем придерживаться этого же правила.{ 4 } } =-0.0004рад \]

Для закрепления пройденного материала рекомендую изучить примеры, где рассмотрены различные случаи расслоения и перемножения эпюр.

Универсальная формула для определения перемещений — Мегаобучалка

1.1.Начало возможных перемещений.

Теорема Кастильяно открывает принципиальный путь для определения перемещений. Но удобнее использовать другую возможность.

Для этого вспомним известное из курса теоретической механики начало возможных перемещений: если на тело действует уравновешенная система сил, то сумма работ всех этих сил на любых бесконечно малых возможных перемещениях равна нулю.

Начало возможных перемещений применимо как к недеформируемым, так и к деформируемым системам. Применяя начало к деформируемым системам нужно помнить:

1)равновесие должно быть обеспечено в каждой точке; поэтому вычисление виртуальных работ нужно проводить не для всего тела в целом, а в каждой точке;

2) в деформируемом теле работают не только внешние, внутренние силы;

3) возможны только те перемещения, которые допускаются как внешними, так и внутренними силами.

Итак, на основе начала возможных перемещений можно записать

V + W = 0 ((1.8)

1.2. Формула Мора

Не уменьшая общности постановки задачи, найдем прогиб в раме в точке 1 по направлению i – i от заданной обобщенной нагрузки Р (рис.8.1а).

Рассмотрим два состояния этой стержневой системы .

Первое состояние – это действительное состояние системы, которая под заданной нагрузкой деформируется и в ней возникают внутренние усилия. Будем придавать Рис.8.1

этим усилиям индекс p: Mp, Qp и Np . Искомому перемещению придадим два индекса : первый индекс i означает направление перемещения, второй индекс р – причину, вызывающую это перемещение.

Второе состояние системы, которое назовем вспомогательным, возникает от действия силы Р = 1 , приложенной в точке 1 по направлении. i – i. В этом состоянии в раме возникают внутренние усилия, которым придадим индекс i : Mi, Qi и Ni .

Рассматривая первое состояние как возможное для второго состояния, на основе начала возможных перемещений можно записать

= 0 (2.8)

Отсюда следует формула для определения искомого перемещения

(3.8)

Формула (3.8) носит название формулы Мора и служит основным инструментом для определения перемещений в стержневых системах.



Эта формула прекрасно “работает” и в случае, когда необходимо найти не линейное, а угловое перемещение какого либо сечения или узла расчетной схемы. В этом случае по направлению искомого угла поворота прикладывают не силу Р = 1, а единичный изгибающий момент М = 1.

В практических расчетах формула (3.8) в полном объеме обычно никогда не используется.

При расчете шарнирно стержневых систем, нагруженных в узлах,( в фермах, например,) возникают лишь одни продольные усилия, а моменты и поперечные силы отсутствуют. Поэтому перемещения в таких системах вычисляются по формуле

(4.8)

Так как продольные усилия в таких системах постоянны по длине стержней, а жесткость на растяжение-сжатие EA, как правило, тоже постоянна, то формула получает такой простой вид

(5.8)

В схемах, работающих в основном на поперечную нагрузку, перемещения связаны, главным образом, с изгибанием стержней. Поэтому для них с большой степенью точности можно пренебречь влиянием продольных и поперечных сил на перемещения.

Тогда для определения перемещений в формуле (3.8) можно ограничиться только вторым членом

(6.8)

Эта формула, которую в строительной механике называют интегралом Мора, и служит для определения перемещений возникающих под нагрузкой в различных стержневых системах (балках рамах).

Покажем, например, как воспользоваться интегралом Мора в известной задаче об определении перемещения конца равномерно нагруженной консоли (рис.8.2) (7.8)

Получен хорошо известный из сопротивления материалов результат. Техника определения перемещений.

2.1.Способ Верещагина

Вычисление перемещения по формуле (6.8) существенно затрудняется, когда система состоит из нескольких по-разному ориентированных в заданной системе координат стержней. Это связано с затруднениями в аналитической записи моментов на разных участках схемы.. Рис.8.2

Вычисление интеграла Мора значительно упрощается, если применить способ “перемножения эпюр”, предложенный студентом Верещагиным в 1925 году.

Пусть на каком-то участке системы заданы две эпюры: Мр и М1 (рис.8.3). Предположим также, что жесткость на изгиб стержня на этом участке постоянна :

EI = const.

Из чертежа видно, что

М1 = . (8.8) Рис.8.3

Интеграл (8.6) после подстановки примет вид

(9.8)

Здесь = Мз dx — дифференциал площади эпюры Мр , а произведение — статический момент этой элементарной площади относительно оси 0 – 0. Сам же интеграл — это статический момент всей площади эпюры Мр относительно оси

0 – 0, равный, как известно, всей площади эпюры Мр на участке , умноженной на расстояние xc от оси 0 – 0 до центра тяжести фигуры (точка ц.т.) Следовательно, результат интегрирования по формуле (9.8) можно представить в виде (10.8). В окончательной формуле использовано следующее из чертежа равенство .

(10.8)

Итак, результат перемножения эпюр на участке a – b равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной эпюры, взятую под центром тяжести площади криволинейной эпюры..

Так как строители строят эпюры моментов “со стороны растянутых волокон”,то указанное правило трансформируется в более простое: если площадь одной “перемножаемой” эпюры и ордината по ее центром тяжести другой эпюры лежат по одну сторону от стержня, то результат “перемножения” – с плюсом, если по разные стороны – с минусом.

Еще раз подчеркнем: если на каком- либо участке одна из эпюр криволинейна (а это может быть только на участке системы, на котором действует распределенная нагрузка), то обязательно нужно брать площадь этого участка. Это следует из вывода правила Верещагина. Если на участке обе эпюры прямолинейны, то площадь можно брать на любой из них.

Применяя способ Верещагина, нужно уметь определять площади сложных фигур и знать положение их центра тяжести. Самую сложную эпюру моментов от обычно встречающихся нагрузок (сосредоточенных сил и моментов, равномерно распределенной нагрузки) всегда можно представить в виде комбинации простых

фигур: прямоугольника, треугольника и квадратной параболы (см. таблицу 1).

На рис.8.4, например, показано, как представить эпюру в виде трех простейших составляющих. Результат умножения эпюры Мр на эпюру М1 (рис.8.4е) получается как сумма произведений площадей каждой из составляющих на ординаты под их центрами тяжести из эпюры М1.

 

= (11.8)

 

 

Рис.8.4

Перемножение эпюр на таких относительно сложных участках удобнее проводить, применяя формулу Симпсона для приближенного численного интегрирования, дающую точный результат, когда обе эпюры прямолинейны и если одна из эпюр очерчена по квадратной параболе (рис.8.5a).

(12.8)

Если на рассматриваемом участке обе эпюры прямолинейны (умножается трапеция на трапецию,рис.8.5b, то ,разбивая трапеции на простейшие фигуры и применяя способ Верещагина, можно получить удобную формулу

) (13.8)

Применяя формулы (12.8) и (13.8), следует помнить, что если ординаты перемножаемых эпюр лежат по разные стороны от оси стержня, то результат их перемножения нужно брать с минусом.

a)

 

 

b)

 

 

Рис.8.5

2.2 Порядок вычисления перемещений без применения ЭВМ.

1. Строят эпюру МР – эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки.

2. Строят эпюру Мi.

Если ищут линейное перемещение, то эпюру Мi строят от единичной силы Р=1, приложенной вдоль линии искомого перемещения. Направление выбирается произвольно. Если результат получается со знаком минус, то это означает, что перемещение имеет направление. обратное выбранному.

Если ищут угол поворота сечения или узла, то эпюру Мi строят от единичного сосредоточенного момента, приложенного в этом сечении или в узле. Направление момента также выбирается произвольно.

3.Вычисляют перемещение по способу Верещагина.

Сравнивая эпюру МР и эпюру Мi , разбивают раму на участки так, чтобы на каждом участке обе эпюры были бы прямолинейны или одна из эпюр – прямолинейна, а другая – гладкая кривая.

“Перемножают” эпюры по способу Верещагина или, применяя при необходимости формулы (12.8) и (13.8) на каждом из выбранных участков. Сложив результаты вычислений на всех участках, получают искомое перемещение.

Если результат получается со знаком минус, то это означает, что рассматриваемая точка (или сечение) будет перемещаться в направлении, противоположном принятому в начале расчета.

2.3 Вычисление перемещений при помощи матриц.

Определение перемещений в статически определимых системах – трудоемкая задача, связанная с утомительными алгебраическими выкладками. Применение ЭВМ существенно облегчает и ускоряет получение результата. Формулу Симпсона (12.8) легко представить в матричном виде , что особенно удобно при использовании стандартных программ.

Элементарные сведения о матрицах приведены в Приложении.

Используя правила перемножения матриц (стр. 3 – 4 Приложения), формулу (12.8) можно получить, проделав следующие действия над тремя матрицами

 

( 16.8 )

В компактном виде выражение ( 16.8) может быть записано так

( 17.8 )

(18.8)

= матрица-строка из ординат эпюры изгибающих моментов от единичного воздействия в начале, середине и конце участка соответственно,

( 19.8 )

— матрица податливости рассматриваемого элемента,

= (20.8)

— матрица-столбец (вектор) из ординат изгибающих моментов от внешней нагрузки в начале , середине и конце участка соответственно.

Если на участке рамы обе эпюры МР и М1 прямолинейны, то матрицы и имеют более простой вид

(21.8)

(22.8)

(23.8 )

Выражение (17.8 ) позволяет найти часть перемещения , как результат “перемножения” эпюр на участке рамы, где эпюра МР –гладкая кривая, а эпюра Мi прямолинейна ( как на рис.8.5а).

Если обе эпюры прямолинейны, то в формуле 17.8 матрицы имеют вид (20.8), (21.8) и (22.8).

Если ищут перемещение в системе, в которой можно указать n таких участков (или стержней), то оно определяется как сумма

(24.8 )

где Т = (25.8)

— матрица-строка из ординат эпюры Miна всех участках рамы,

(26.8)

— матрица –столбец из ординат эпюры MPна всех участках рамы,

квазидиагональная матрица податливости всей системы, имеющая вид

( 27.8 )

Порядок этой матрицы зависит от числа элементов ( участков), на которые разбивается рама.

Если в заданной раме от заданной нагрузки определяется несколько перемещений ( например, i=1,2), то матрица Т (25.8 ) будет иметь столько строк, сколько определяется перемещений

Т= (28.8 )

 

Поскольку элементы рамы связаны между собой, то можно понизить порядок матрицы податливости .

Если на границе участков к и к+1 непрерывны как единичные, так и грузовая эпюры (значение ординаты эпюры моментов в конце одного участка равно ординате эпюры моментов в начале примыкающего участка, что может иметь место при стыковке только двух стержней) то нижняя строка матрицы совмещается с верхней строкой матрицы , а правый столбец матрицы совмещается с левым столбцом матрицы . Такой сдвиг матриц условно показан на схеме ( 28.8 )

( 29.8)

2.4 Порядок вычисления перемещений на ЭВМ.

1. Строят эпюру МР от заданной нагрузки.

2. Строят эпюры Мi от силы Р=1, приложенной по направлению искомого перемещения, или от единичного момента m=1, если ищут угол поворота сечения. Отдельно строят столько эпюр Мi ,сколько нужно найти перемещений.

3. Сравнивая эпюру МР и все эпюры Мi , разбивают раму на участки так, чтобы на каждом участке эпюры были гладкими кривыми или прямолинейными (без переломов и скачков). Нумеруют концы выделенных участков, определяют точки ввода данных.

На этом этапе устанавливают знаки для моментов. Все эпюры построены на растянутых волокнах. Знаки устанавливаются произвольно для того, чтобы дать команду машине с какой стороны стержня( слева или справа,сверху или снизу ) расположена эпюра в расчетной точке.

4. Составляют матрицы и , придавая значениям моментов в точках ввода те знаки, которые заданы при выполнении п.3.

5. Составляют матрицы податливости для всех выделенных участков, используя выражения ( 19.8) и ( 23.8 ).

6. Формируют матрицу податливости для всей рамы, помня о правиле (29.8 ).

7. Вводят матрицы и в ЭВМ, руководствуясь указаниями на дисплее.

8. Проверяют и корректируют (если необходимо) введенные данные, руководствуясь указаниями на дисплее.

9. Нажимают клавишу ENTER, получают на дисплее искомые перемещения.

Примечание: Программа составлена для учебных задач, в которых число расчетных точек не превышает 11.

 

12 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА-МОРА ИНТЕГРАЛ МОРА

12. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА-МОРА (ИНТЕГРАЛ МОРА)

Данный метод применяется ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ БРУСЬЕВ С ЛЮБОЙ ФОРМОЙ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ КАК С ПРЯМОЙ, ТАК И С КРИВОЙ ОСЬЮ.

12. 3. 1. Вывод формулы Мора Рассмотрим два состояния системы: первое состояние – на упругую систему (например, балку) воздействует произвольная система внешних сил (рис. а). второе состояние – в некотором сечении балки А приложена единичная сила (рис. б). В соответствии с теоремой Бэтти (12. 16, 12. 18): A 12 = A 21 и A 21 = P 2 Δ 21. По условию задачи Следовательно: A 21 = 1·Δ 21 = Δ 21.

Работа по направлению силы (во втором, единичном, состоянии) единичном от действия внешних нагрузок (от сил первого состояния) есть ПЕРЕМЕЩЕНИЕ в направлении ЕДИНИЧНОЙ силы (во втором состоянии) ОТ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНИХ СИЛ. При прямом поперечном (плоском) изгибе, с учетом равенства работ и в соответствии с формулой (12. 23): (12. 24)

Перепишем последнее выражение в другом виде, обозначив внутренние силовые факторы в произвольном сечении участка балки: а) в первом состоянии (от заданной нагрузки) MX 1 = MX; QY 1 = QY; б) во втором состоянии (от единичной нагрузки)

Δ 21 есть перемещение точки А (ΔА ) в направлении единичной силы Р 2 от действия внешних сил : (12. 25) При прямом поперечном (плоском) изгибе влияние поперечной силы на перемещения (прогиб и угол поворота) незначительно, поэтому второе слагаемое из записанной выше формулы можно исключить Получим следующую формулу: (12. 26) Интеграл, полученный в данном случае для плоского изгиба, называют интеграл Максвелла-Мора или интеграл Мора.

Аналогичные выражения можно получить для других простых видов нагружения, суммируя по участкам и интегрируя произведения уравнений силовых факторов, записываемых для грузовой и единичной схем, и характерных для рассматриваемого вида нагружения. В знаменатель подинтегральных выражений записывают жесткость сечения бруса, также характерную для рассматриваемого вида В случае сложного нагружения, используют нагружения. принцип независимости действия сил. Однако, определяя соответствующие перемещения, необходимо иметь в виду, что простое суммирование перемещений во многих случаях будет некорректным: например, угловые перемещения при изгибе и кручении происходят в разных

Для определения линейного перемещения (при прямом изгибе – прогиба) в исследуемом сечении в направлении этого перемещения прикладывают единичную силу Для определения углового перемещения (при прямом изгибе – угла поворота сечения) в его направлении прикладывают единичный момент

При растяжении (сжатии): При кручении: При сдвиге:

12. 3. 2. Порядок определения перемещений методом Мора 1. Изображается грузовая (заданная) схема с заданными нагрузками. Определяются опорные реакции. 2. Изображается единичная (вспомогательная) схема: по направлению искомого перемещения прикладывается единичная нагрузка. Определяются опорные реакции. Направление силы или момента, принимаемое в единичной схеме значения не имеет. Если в результате расчета получим минус, то это означает то, что действительное направление перемещения будет противоположно принятому в единичной

3. Грузовая и единичная схемы разбиваются на участки так, чтобы границы этих участков были ОБЩИМИ для обеих схем. При этом необходимо учитывать также возможное изменение размеров или формы сечения и свойств материала бруса. 4. При определении перемещений при прямом изгибе составляются уравнения изгибающего момента в произвольном сечении каждого участка от заданных нагрузок и от единичной нагрузки (для грузовой и единичной схем). схем 5. Выражения М и (без подстановки значений границ участков!) подставляются в формулу участков! интеграла Мора (12. 26) и определяется искомое перемещение. 6. Интегрирование ведется по участкам. Пределы интегрирования – значения длин этих

12. 3. 3. Пример Определить перемещение конца стержня А при его осевом растяжении центрально приложенной силой. При осевом растяжении в поперечном сечении N, которые вызывают осевое же перемещение сечения А стержня возникают продольные силы (абсолютную линейную деформацию стержня). В соответствии с законом Гука, эта деформация определяется по известной формуле: В соответствии с формулой Мора, для определения перемещения сечения А дополнительно к грузовой схеме изобразим единичную схему: Δℓ в сечении А приложим силу, равную единице и направим ее вдоль оси

Рассматривая совместно две схемы, запишем для произвольного сечения с координатой z, уравнения продольной силы: N = P;

Тогда Полученное выражение соответствует формуле закона Гука. Минус указывает на то, что сечение А будет перемещаться в сторону, противоположную принятому в единичной схеме направлению единичной силы.

12. 4. Способ Верещагина

Техника вычисления перемещений методом (интегралом) Мора может быть упрощена при использовании графо-аналитического приема, называемого «способ перемножения эпюр» или способ (правило) Верещагина. Этот метод назван в честь его автора – студента Московского института инженеров транспорта А. Верещагина, предложенного им в 1925 г. Метод Верещагина является частным случаем определения перемещений интегрированием по Мору и позволяет операцию интегрирования заменить перемножением эпюр в соответствии с зависимостью, называемой формула Верещагина. Ограничения: – жесткость бруса (при изгибе EI) на каждом участке его должна быть постоянной; – единичная эпюра всегда должна очерчиваться прямой линией (для бруса с прямой осью это будет всегда!). всегда! Если обе эпюры криволинейны, их перемножать по способу Верещагина нельзя.

12. 4. 1. Вывод формулы Верещагина Вывод формулы будем рассматривать на примере плоского изгиба Вычислим интеграл Мора для случая, когда эпюра MР от заданной нагрузки (грузовая эпюра) на i-том участке бруса имеет произвольное очертание, а эпюра от единичной нагрузки (единичная эпюра)

ℓ – длина i-того участка; МР – ордината грузовой эпюры в произвольном сечении z; – ордината единичной эпюры в произвольном сечении z; ω – площадь эпюры от заданной нагрузки; dω – площадь элементарного участка грузовой эпюры на длине dz; С – центр тяжести грузовой эпюры; zс – координата центра тяжести грузовой эпюры; – ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры; α – угол наклона единичной эпюры.

В соответствии с формулой (12. 26) интеграла Мора (при EI=const): Произведем некоторые преобразования полученного подинтегрального выражения. Рассматривая рисунок, видим, что MР dz представляет собой элементарную площадь dω грузовой эпюры МР (заштрихована). Тогда, с учетом замены переменной

Из единичной эпюры Тогда Вспомнив понятие о статическом моменте сечения, видим, что интеграл есть статический момент площади эпюры МР, определяемый относительно оси Y: Далее, из чертежа: Следовательно:

Окончательно формула для определения перемещений при изгибе по способу Верещагина имеет вид: (12. 27) Данное выражение носит название формула Верещагина. Результат перемножения положителен, если эпюры расположены по одну сторону от оси и отрицателен, если они расположены по разные стороны от оси. Для определения перемещений при других видах нагружения бруса необходимо перемножать эпюры (грузовую и единичную), построенные для соответствующих внутренних силовых факторов

12. 4. 2. Пример Определить осевое перемещение концевого сечения стержня. После построения эпюр продольных сил для грузовой и единичной схем, перемножив их, получаем:

12. 4. 3. Порядок определения перемещений по Верещагину 1. Изобразить заданную схему со всеми приложенными нагрузками. Определить опорные реакции, построить эпюру изгибающих моментов (грузовую эпюру). 2. Изобразить единичную (вспомогательную) схему. Определить опорные реакции, построить эпюру изгибающих моментов (единичную эпюру). 3. Рассмотреть построенные эпюры совместно и определить общие границы участков. При этом необходимо учитывать также возможное изменение от участка к участку размеров или формы сечения и свойств материала бруса.

4. Определить на каждом участке: • площадь грузовой эпюры; • положение центра тяжести площади вдоль оси эп • спроецировать центр тяжести на единичную эпюру; • определить ординату единичной эпюры. 5. Перемножить в соответствии с формулой Верещагина (12. 27) полученные значения (говорят: перемножить эпюры по способу Верещагина) и определить искомое Верещагина перемещение. Если балка состоит из нескольких участков, то эпюры перемножают по участкам и результат алгебраически складывают.

Если перемножаемые эпюры имеют сложные очертания, при которых затруднительно найти положение центра тяжести и площадь, то эти эпюры разбивают на простейшие фигуры (прямоугольники, треугольники, параболические сегменты), для которых легко определяются площадь и положение центра тяжести грузовой эпюры и соответствующие ординаты единичных эпюр.

12. 4. 4. Рекомендации по перемножению эпюр Рассмотрим подробнее особенности разбиения эпюр, наиболее часто встречающихся в расчетной практике. На произвольном участке балки эпюра изгибающих моментов может очерчиваться различными линиями На рисунках знаки ординат не проставлены, они соответствуют правилу знаков для изгибающих моментов.

ПАРАБОЛИЧЕСК ИЙ СЕГМЕНТ Площадь сегмента q – значение интенсивности равномерно распределенной нагрузки, Н/м, ℓ – длина участка балки, к которой приложена эта нагрузка. Центр тяжести площади располагается посередине участка, на котором приложена нагрузка.

ТРАПЕЦИЯ со сторонами Аи. В Разбивается на два прямоугольных треугольника (или прямоугольник и треугольник) Площади треугольников Центры тяжести площадей лежат на 1/3 длины треугольника. ℓ основания

ТРАПЕЦИЯ со сторонами А и В, очерченная выпуклым параболическим сегментом Разбивается на два прямоугольных треугольника и параболический сегмент Площади треугольников Площадь сегмента Положения центров тяжести площадей показаны на рисунке (комментарии см. выше).

ТРАПЕЦИЯ со сторонами А и В, очерченная вогнутым параболическим сегментом Разбивается аналогично предыдущему варианту, только значение вычисленной площади сегмента берется со знаком плюс Положения центров тяжести площадей показаны на рисунке (комментарии см. выше).

«ПЕРЕКРУЧЕННАЯ» ТРАПЕЦИЯ Те же два треугольника, только стороны А и В будут иметь разные знаки площадей треугольников Учитываем знаки ординат А и В.

«ПЕРЕКРУЧЕННАЯ» ТРАПЕЦИЯ, очерченная выпуклым (вогнутым) параболическим сегментом

На рисунке показаны грузовая (а) и единичная (б) эпюры для произвольного участка балки.

При их перемножении используются рекомендации, изложенные выше. При определении значений площадей грузовых эпюр и ординат единичных эпюр необходимо учитывать их знаки. Грузовая эпюра (а) – геометрическая сумма простых эпюр – 1, 2, 3; Единичная эпюра (б) – геометрическа я сумма простых эпюр 4, 5.

Для определения ординаты единичной эпюры центр тяжести площади грузовой эпюры проецируется на ось единичной и определяется соответствующая ордината. Для эпюр, изображенных на рисунке, перемножение даст следующее выражение:

В курсе «Строительная механика» широко используется формула, которая дает возможность определять перемещения перемножением эпюры, не проводя построений, показанных на рисунке (формула Симпсона): Симпсона (12. 28) Ординаты на границах участка (A, B, C, D) подставляются в приведенную выше формулу со своими знаками. Для выпуклого параболического сегмента ставят знак (–), а для вогнутого – знак (+). При перемножении эпюр также можно пользоваться данными, приведенными в таблице (следующий слайд).

№ п/п Фигура Площадь ω Абсцисса центра тяжести z 1 z 2 1 hl l /2 2 1/2 hl l /3 2/3 l 3 hl /3 l /4 3/4 l 4 hl /4 l /5 4/5 l 5 2/3 hl 3/8 l 5/8 l 6 2/3 hl l /2

Частные случаи применения формулы Мора

 

 

42.Техника вычисления интегралов Мора.

Основным недостатком формулы мора (техн. вычисл.инт.) явл. необходимость вычисл. интегралов для простых систем это несложно( сложно при большом числе участков). Однако имеются способы вычисления инт. Мора используя внутренние усилия называется способом перемножения эпюр. Они применяются к любому интегралу, однако рассм. их на примере эпюр изгибающих моментов.

 

Способы:

 

1. Верещагина.

EI=const участок прямолин.

,

Где Ω– площадь непрямолинейной фигуры.

ус — ордината прямолинейной эпюры, взятая под центром тяжести непрямолинейной фигуры.

 

2. Симпсона.

EI=const ;

Где а,b,c – ординаты эпюр

 

3. Частный случай сп. Симпсона.(2-х прямолин. эпюр)

; ; ;

 

4. Мюллера-Бреслоу.

;

– реакции услов. Балки от фиктивной нагрузки измен. По такому же закону что и эпюра МР.

d,c – крайние ординаты эпюр .

 

 

Замечание:

1. Если ординаты перемножения эпюр находятся по разные стороны от оси, то их произведения отрицательны.

2. Сложные эпюры можно разбить на любое количество участков, перемножив эпюры на каждом участке любым способом, результаты сложить.

3. Если результаты, т.е. перемещение получается отрицательны, то перемещение противоположны приложенной силе.

 

Статически неопределимые системы и их свойства. Типы связей. Степень статической неопределимости.Особенности расчёта стат. Опр. систем.

Степень статической наопределимости-показывает сколько система содержит избыточных или лишних связей, это число также определяет необходимость, кол-во уравнений совместности перемещений.

Статически неопределимые системы(СНС) – системы, в которых уравнения статического равновессия недостаточно, дополнительно необходимо составить уравнение совместности перемещений (деформаций).

Существуют связи абсолютно необходимые, усилия в них можно определить только из уравнения равновесия. В лишних связях усилия находятся из уравнения совместности деформаций. Различают внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость. Если лишними являются опорные связи, то система внешне статически неопределима, а если связи самой системы, то внутренне.

nс может быть найдена:

1).как разность количества неизвестных реакций связей и количества независимых уравнений равновесия: 4 реакции, 3 уравнения равновесия, nс=4-3=1

2). Число степеней свободы с обратным знаком:

nс= -W; nс= -3Д+2Ш+Co – общая; nс= 3К-Ш – для рамы

Свойства статически неопределимых систем:

1).статически неопределимые системы более жесткие чем аналогичные статически определимые. При одной и той же нагрузке перемещения и деформации, а следовательно и внутренние усилия в них меньше

2).статически неопределимые системы сохраняют геометрическую неизменяемость после удаления лишних связей, а в статически определимых системах потеря хотя бы одной связи ведет к геометрической изменяемости системы, следовательно к неспособности нести нагрузку.

3).изменение температуры и осадка опор, а также неточность изготавления и сборки вызывают в статически неопределимых системах появление дополнительных усилий. В статически определимых системах указанные векторы вызывают только перемещения, силы и сосенты не вызывают

4)внутренние усилия в статически неопределимой системе зависят от жёсткости отдельных элементов, т.к. необходимо в процессе расчёта определитьперемещение.

 

Основная система и основные неизвестные метода сил

Основная система метода сил – статически определимая система полученная удалением лишних связей и заменой их реакций.

 

nс=3К-Ш

К=2, Ш=1,

nс=5

 

Приемы образования основной системы:

1)удаление опорных связей

2)рассечение элементов

3)введение шарниров в жесткие узлы и сечения конструкции

(основная система должна быть геометрически неизменяема.

Величины х1,х2,…,хn – основные неизвестные метода сил. Если в процессе расчета они «-», то их направления противоположны.

 

45 коля да

 

46. Канонические уравнения:

Для системы n раз кинематически неопределимой канонические уравнения имеют вид:

Формула Уайта (Верещагина)

Формула Уайта представляет собой инструмент, позволяющий расчитывать содержание ценного компонента в хвостах в зависимости от содержания в исходном материале и статистических или исследовательских данных.
Формула относится к расчетам качественно-количественных показателей технологических схем горно-обогатительных комбинатов и фабрик.
β 2 = β 1 ∗ β u c x.1 β u c x.2 {\displaystyle \beta _{2}=\beta _{1}*{\frac {\sqrt {\beta _{ucx.1}}}{\sqrt {\beta _{ucx.2}}}}}, где:
β u c x.1 {\displaystyle \beta _{ucx.1}} — содержание в исходном материале по данным исследований или статистики, г/т;
β 2 {\displaystyle \beta _{2}} — содержание в хвостах, которое необходимо определить, г/т;
β 1 {\displaystyle \beta _{1}} — содержание в хвостах по данным исследований или статистики, г/т;
β u c x.2 {\displaystyle \beta _{ucx.2}} — содержание в исходном материале, для которого производится расчет.
Расчет по данной формуле показывает относительно высокую точность прогнозирования технологических показателей.
Аналогичным образом можно пересчитывать содержание металла в концентрате при изменении его содержания в исходной руде исходном материале. В результате можно пересчитать выход концентрата и извлечение металла в концентрат при изменении содержания металла в исходном материале.

Союза. 17 апреля — Павел Луспекаев, киноактёр Белое солнце пустыни Верещагин 6 мая — Александр Родзянко, генерал — лейтенант 1919 один из руководителей

на творчество европейских художников примером является творчество Джона Уайта 1540 — 1593 В конце XVIII и начале XIX веков художники в основном рисовали

Дата публикации:
05-16-2020

Дата последнего обновления:
05-16-2020

Правило Симпсона — обзор

Отношения ɛ -NTU для типов устройств с перекрестным противотоком, по крайней мере, с одной несмешанной жидкостью, можно найти в Таблице 3 из Baclic (1990). Мы представляем примеры взаимосвязи ɛ -NTU для устройств с перекрестным противотоком BA м , 5 ( м = 1, 2,…, 5) и BA м , 6 ( м = 1, 2,…, 6) следующим образом. Для схемы потока BA m , n ( m > n ) мы можем поменять местами индексы жидкости «1» и «2» и найти соответствующую схему потока, перечисленную в последующем тексте.Те же символы Baclic используются в выражениях

(3.175) aA = NTU1, A, aB = NTU1, B

(3.176) bA = NTU2, A = R1NTU1, A, bB = NTU2, B = R1NTU1, B

(3,177) a = NTU1 / 2, b = NTU2 / 2 = R1NTU1 / 2

(3,178) ϕ = NTU1, BNTU1, A = aBaA = bBbA

(3,179) NTU1 = NTU1, A + NTU1, B

Пусть R 1 = 2, NTU 1, A = 0,4, NTU 1, B = 0,6; имеем

aA = 0,4, bA = 0,8, aB = 0,6, bB = 1,2, ϕ = 1,5, NTU1 = 1

KbA = 1bA1 − e − bA = 10,81 − e − 0,8 = 0,6883,

KbB = 1bB1 −e − bB = 11.21 − e − 1,2 = 0,5823,

ν ∗ aAbA = e − aAKbA = e − 0,4 × 0,6883 = 0,7593, ν ∗ aBbB = e − aBKbB = e − 0,6 × 0,5823 = 0,7051.

Специальные функции F n , h , μ 1 и μ 2 рассчитываются с помощью кода MatLab «Примеры двухходовых теплообменников поперечного потока (код MatLab ) »В приложении:

F1aAbA = 0,6063, νaAbA = 1bAF1aAbA = 0,60630,8 = 0,7579,

F1aBbB = 0,8407, νaBbB = 1bBF1aBbB = 0,84071,2 = 0,700ϕAb = 1 ∞AbbB = 0,84071,2 = 0,700ϕ6,

AbKa2 = 0,700 ϕAb Ab = 1 .2141,

hbAaA − ϕKbB = ∑n = 1∞ − ϕKbBnFnbAaA = −0,1532,

hbBaBKbA / ϕ = ∑n = 1∞KbA / ϕnFnbBaB = 0,1258

. уравнений. (3.159), (3.160), что дает

μ1aAbAbBϕ = 1aA∫0aAF0bBϕaA − x′F0bAaA − x′dx ′ = 0.20892

μ2aAbAbBϕ = 1aA∫0aAF0bBϕx′-F048dAa ′ , 5

(3.180) ɛ1 = 1 − ν ∗ aAbAν ∗ aBbB1 − bBKbAKbB1 − ν ∗ aAbAν ∗ aBbBKbA + ϕKbB = 1−0,7593 × 0,70511−1,2 × 0,6883 × 0.5823 × 1−0,7593 × 0,70510,6883 + 1,5 × 0,5823 = 0,3752

Пример BA

1,6

(3,181) ϕ ≠ 1: ɛ1 = 1 − ν ∗ aAbAν ∗ aBbB1 − bBKbAKbAKbBν ∗ aBbB − ν ∗ aAbAK −ϕKbB

(3,182) ϕ = 1: ɛ1 = 1 − ν ∗ 2ab1 − abK2bν ∗ ab

Так как ϕ = 1,5, имеем

ɛ1 = 1−0,7593 × 0,70511−1,2 × 0,6883 × 0,5823 × 0,7051 −0,75930,6883−1,5 × 0,5823 = 0,3768

Пример BA

2,5

(3,183) ɛ1 = 1 − νaAbA1 + hbAaAϕKbB = 1−0,75791 + 0,2141 = 0,3758

Пример BA

2,6

(3.184) ɛ1 = 1 − νaAbAν ∗ aBbBν ∗ aBbB − hbAaA − ϕKbB = 1−0,7579 × 0,70510,7051−−0,1532 = 0,3774

Пример BA

3,5

(3,185) ɛ1 = 1 − νaBaB1 + ϕ = 1−0,70071 + 0,1258 = 0,3777

Пример BA

3,6

(3,186) ɛ1 = 1 − νaBbBν ∗ aAbAν ∗ aAbA − hbBaB − KbA / ϕ = 1−0,7006 × 0,75930,7593−−0,0976 = 0,3792

Пример BA

4,5

(3,187) ɛ1 = 1 − R1νaAbAνaBbB1 − R11 − νaAbA − νaBbB − μ1aAbAbBϕ = 1−2 × 0,7579 × 0,70061−2 × 1−0,7579−0,7006 = Пример BA 4,6

(3.188) ɛ1 = 1 − R1νaAbAνaBbB1 − R11 − νaAbA − νaBbB − μ2aAbAbBϕ = 1−2 × 0,7579 × 0,70061−2 × 1−0,7579−0,7006−0,20485 = 0,3798

Пример BA

57 9,50002 900 = 1R11−1aA∑n = 0NαnFn + 1bAaA = 1−1bB∑n = 0NβnFn + 1aBbB

, где α n и β n определяются с помощью

αvAb (3.190) + BmnbBβn = 1m = 012… N

(3.191) ∑n = 0NBmnaAαn + AmninvaBaAbBβn = 1m = 012… N

(3.192) Amninvpqr = m + 1! Qm + 1∫0qGnp1′ − q ′ / drqq ′ = −1mm + 1! Pm + 1∑k = 0m − pkk! ∑j = 0m − km − kjrn + j + 1n + j + 1! −mkFn + k + 1pr

(3.193) Bmnx = m + 1n + m + 1xnn!

Baclic et al. (1988) показали, что результаты с N = 1 достаточно точны для практических целей в любой комбинации значений NTU, R и ϕ . N = 3 даст ɛ значений с точностью до шестой значащей цифры.

Для данных данных, R 1 = 2, NTU 1, A = 0,4 и NTU 1, B = 0,6, имеем a A = 0,4, b А = 0.8, a B = 0,6 и b B = 1,2. Возьмем N = 1 в качестве примера и вычислим A mn inv и B mn с уравнениями. (3,192), (3,193) соответственно, что дает

AmninvbAbBaA = 0,242120,055050,268320,05641, BmnbB = 10,610,8,

BmnaA = 10,210,26667, AmninvaBaAbB = 0,598870,41189078,630790,439

Пусть A = AmninvbAbBaABmnbBBmnaAAmninvaBaAbB; его обратная матрица может быть получена как

A − 1 = −0.42074-0.171614.12743-2.979510.12388-0.69757-14.867615.024794.06472-2.94894-0.18479-0.008104-4.948525.04292-0.10497-0.049999

Мы можем решить уравнения. (3.190), (3.191) и получаем α n и β n :

α0α1β0β1 = A − 11111 = 0,55556−0,416510.92288−0.06057

( b A , a A ) можно оценить с помощью уравнения. (3.167) или (3.172):

F1bAaA = 0,20630

F2bAaA = 0,039560

В итоге получаем

ɛ1 = 1R11−1aA∑n = 0NαnFn + 1bAaA = 121−10.40.55556 × 0.20630−0.41651 = 0,30,2630−0,41651 × 0,03 5,6

Для типа устройства потока BA 5,6 , соотношение ɛ -NTU выражается уравнением. (3.189), однако, в котором α n и β n определяются как

(3.194) ∑n = 0NAmninvbAbBaAαn + BmnbBβn = 1m = 012… N

(3,195) ∑n = 0NBmnaAαn + AmnidaBaAbBβn = 1m = 012… N

(3,196) Amnidpqr = m0 ′ ′ Mm! Dq ′ = m + 1! Pm + 1∑k = 0mmkrn + k + 1n + k + 1! −pm − km − k! ∑j = 0kkjFn + j + 1pr

Функции A mn inv ( p , q , r ) и B mn ( x ) определяются уравнениями. (3.192), (3.193) соответственно.

Для данных, приведенных в примере BA 5,6 , мы имеем

A = AmninvbAbBaABmnbBBmnaAAmnidaBaAbB = 0.242120.0550510.60.268320.0564110.810.20.598870.4118910.266670.566950.38401

Его обратная матрица может быть получена как

A − 1 = −0,37169−0,447824.17985−2.96969−0.123470.69527−15.131914−2.968029438−0.123470.69527−15.131914−2.96952949048 −0.10409−0.049834

, что дает

α0α1β0β1 = A − 11111 = 0.3

.415140.92243−0.06334

ɛ1 = 1R11−1aA∑n = 0NαnFn + 1bAaA = 121−10.40.39064 × 0.492.206.0 6,6

Для типа устройства потока BA 6,6 , соотношение ɛ -NTU выражается уравнением.(3.189), однако, в котором α n и β n определяются как

(3,197) ∑n = 0NAmnidbAbBaAαn + BmnbBβn = 1m = 012… N

29

∑n = 0NBmnaAαn + AmnidaBaAbBβn = 1m = 012… N

Функции A mn id ( p , q , r 0004) и B 0003 x ) определяются по формулам. (3.196), (3.193) соответственно.

Для данных, приведенных в Примере BA 5,6 , мы имеем

A = AmnidbAbBaABmnbBBmnaAAmnidaBaAbB = 0,242120.0550510.60.215920.0446910.810.20.598870.4118910.266670.566950 -6.98870.4118910.266670.566950 -8401, матрица -6401 = 9002, а в качестве матрицы A -6 −0.441064.16148−2.97849−0.13780.68478−15.103414.98894.12564−2.−0.30562−0.065989−5.051524.962290.102520.049083

, что дает

α0α1β0β1 = A − 11111 = 0,379470.432490 = 0NαnFn + 1bAaA = 121−10.40.37947 × 0.20630 + 0.43249 × 0,03956 = 0,3808

Расчет площади с использованием правила одной трети Симпсона для объема

Правило Симпсона 1/3 — один из самых популярных методов определения площади для заданного набора точек методом численного интегрирования. Основная идея состоит в том, чтобы разделить ось X на равные части, как показано, и завершить верхнюю часть этих полос области таким образом, чтобы мы могли вычислить площадь, сложив эти полосы.

Правило Симпсона основано на параболической модели интегрируемой функции (то есть вместо соединения двух соседних точек простой линией, парабола выбирается так, чтобы кривая, образованная соединением этих точек, была чрезвычайно гладкой и, таким образом, помогала в вычислении площадь).
Если сумма нечетных и четных членов не включает первое и последнее слагаемые
При применении правила Симпсона следует учитывать следующие важные моменты:
  1. Количество интервалов должно быть четным.
  2. Требуется минимум 3 балла
  3. Ожидаемые интервалы равны
Пример 3:

Зона резки
Sl. № Истинг Начальный уровень Заключительный уровень Глубина резания Расчет — Площадь (кв.метров)
1

345

20,70

20

0,70

Simpsons 1/3 rd Правило = h / 3 (первое значение + последнее значение + 4 * (сумма нечетных значений) + 2 * (сумма четных значений) Н = 21/3 = 3 = 3/3 (0,70 + 0 + 4 * 0,5 + 2 * 0,1)
2

348

20,50

20

0.50

3

351

20,10

20

0,1

4

354

19,80

20

0

5

357

19,40

20

0

6

360

19.10

20

0

7

363

19,00

20

0

Итого = 2,9

Зона заполнения
Sl. Нет . Истинг Начальный уровень Заключительный уровень Глубина резания Расчет — Площадь (кв.метров)
1

345

20,70

20

0

Simpsons 1/3 rd Правило = h / 3 (первое значение + последнее значение + 4 * (сумма нечетных значений) + 2 * (сумма четных значений)
H = 21/3 = 3
= 3/3 (0 + 1,00 + 4 * 1,1 + 2 * 0,4)
2

348

20,50

20

0

3

351

20.10

20

0

4

354

19,80

20

0,20

5

357

19,40

20

0.60

6

360

19.10

20

0,90

7

363

19,00

20

1,00

Итого = 6,6

Сводная таблица

Служебный номер

Раздел

Метод трапеции

Площадь нетто

Правило Симпсонов

Резка

Наполнение

Резка

Наполнение

Резка

Наполнение

1

729

2.75

6,50

2,75

6,50

2,9

6,6

2

732

15,75

15,75

15,9

3

735

78.90

78,90

79

4

738

126,90

126,90

125,8

5

741

72,00

72,00

72.4

6

744

29,55

29,55

30,1

Раздел
— Раздел метода площади нетто — Резюме

Индекс разнообразия Симпсона: определение, формула, расчет

Статистические определения>

Что такое индекс разнообразия Симпсона?

Индекс разнообразия Симпсона (SDI) измеряет разнообразие сообщества.Хотя он обычно используется для измерения биоразнообразия, его также можно использовать для измерения различий в разнообразии популяций в школах, общинах и других местах.

Диапазон от 0 до 1, где:

  • Высокие баллы (близкие к 1) указывают на высокое разнообразие.
  • Низкие баллы (близкие к 0) указывают на низкое разнообразие.

Еще одним полезным аспектом индекса является сравнение двух наборов данных, чтобы увидеть, какой из них более разнообразен. Например, если SDI равен 0.5, а другой имеет SDI, равный 0,35, то набор с SDI, равным 0,5, более разнообразен.
Посмотрите видео для обзора или прочтите ниже:


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Расчеты

Где:

  • n = количество особей каждого вида
  • N = общее количество особей всех видов

Следующие шаги объясняют, как решить проблему вручную. Я действительно использовал Open Office Math для решения этой проблемы.Вы можете скачать таблицу ODS с формулами здесь.

Пример вопроса: Что такое индекс разнообразия Симпсона для следующей таблицы из 5 видов?


Шаг 1: Вставьте общее число в наборе (89) в формулу N (N — 1) и решите :
N (N — 1) = 89 (89-1) = 7832
Отложите это число для момент.

Шаг 2: Вычислите n (n — 1).

  1. Вычтите 1 из каждого отдельного счета (см. Третий столбец в таблице ниже).
  2. Возьмите каждый ответ из (1) и умножьте на каждое n (см. Четвертый столбец).
  3. Сложите все значения из (2), чтобы получить 6488.


Шаг 3: Вычислить D:

  1. Разделите свой ответ из шага 2 на свой ответ из шага 1,
  2. Вычтите ваш ответ из 1.

D = 1 — (6488/7832) = 0,17.

Индекс разнообразия для этого конкретного набора равен 0,17.

Индекс разнообразия Симпсона не может быть отрицательным. Если да, проверьте свои вычисления на наличие арифметических ошибок.

Список литературы

Бейер, В. Х. Стандартные математические таблицы CRC, 31-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 536 и 571, 2002.
Dodge, Y. (2008). Краткая энциклопедия статистики. Springer.
Левин Д. (2014). Даже вы можете изучить статистику и аналитику: простое для понимания руководство по статистике и аналитике, 3-е издание. Pearson FT Press
Wheelan, C. (2014). Голая статистика. W. W. Norton & Company

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые решения на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


численные методы — Расчет средних точек при использовании правила Симпсона

Поскольку вы не включили сюжет, я могу только догадываться, что вы хотите. И я считаю, что вам действительно нужен хороший способ изобразить то, что делает правило Симпсона.

Правило Симпсона представляет $ f $ с квадратичным многочленом $ p $ на каждом интервале.2 $.
Каков смысл этого заговора? Как вы это интерпретируете?

Поэтому более интуитивно понятно построить график $ f $ и многочлен $ p $. Поскольку интеграл в основном представляет собой область между $ f $ и осью $ x $, вы можете непосредственно увидеть связь действительного интеграла $ ∫f \ mathrm {d} x $ и приближения $ ∫p \ mathrm {d} х $.


Формула перекрытия:
Я никогда такого не видел, но на бумаге это можно сделать. Что вам нужно сделать, так это изучить вывод правила Симпсона.Не знаю, получится ли у вас хорошая формулировка, но вот примерная идея.

На интервале $ [x_0, x_2] $ со средней точкой $ x_1 $ многочлен читает: \ begin {align *} P_ {012} (x) = & \ f (x_0) \ underbrace {\ frac {(x-x_1) (x-x_2)} {(x_0-x_1) (x_0-x_2)}} _ {a_0} \\ & + f (x_1) \ frac {(x-x_0) (x-x_2)} {(x_1-x_0) (x_1-x_2)} \\ & + f (x_2) \ frac {(x-x_0) (x-x_1)} {(x_2-x_0) (x_2-x_1)} \ end {align *}

Это просто квадратичная интерполяция Лагранжа $ f $ с использованием узловых точек $ (x_0, x_1, x_2) $.{x_3} P_ {123} (x) \ mathrm {d} x $$


Изменить: Может быть, это просто опечатка в вашем вопросе: в правиле Симпсона есть фактор $ \ frac {1} {6} $, а не $ \ frac {1} {3} $.

6. Правило Симпсона

М. Борна

Интерактивное исследование

См. Апплет, в котором можно изучить правило Симпсона и другие численные методы:

Аплет сумм Римана

В последнем разделе, Правило трапеции, мы использовал прямых линий для моделирования кривой и узнал, что это улучшение по сравнению с использованием прямоугольников для поиска областей под кривыми, потому что у нас было гораздо меньше «пропущенных» из каждого сегмента.

Мы ищем еще лучшее приближение для площади под кривой.

В Симпсонов Правило , мы будем использовать парабол , чтобы аппроксимировать каждую часть кривой. Этот оказывается очень эффективным, поскольку в целом он более точен, чем другие численные методы, которые мы видели. bf (x) dx`

`~~ (Deltax) / 3 (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + 2y_4 +` `{:.3 (dx) / (x + 1) `с использованием правила Симпсона с` n = 4`.

Мы еще не видели, как интегрировать это с помощью алгебраических процессов, но мы можем использовать правило Симпсона, чтобы получить хорошее приближение для значения.

Ответ

Вот ситуация.

`Δx = (b — a) / n = (3 — 2) / 4 = 0,25`

`y_0 = f (а)`

`= f (2)`

`= 1 / (2 + 1) = 0,3333333`

`y_1 = f (a + Δx) = f (2.25)` = 1 / (2.25 + 1) = 0.3076923`

`y_2 = f (a + 2Δx) = f (2.bf (x) text [d] x`

`приблизительно 0,25 / 3 (0,333333 + 4 (0,3076923)` +2 (0,2857142) +4 (0,2666667) « {: +0,25) `

`= 0,2876831`

Банкноты

1. Фактический ответ на эту проблему — 0,287682 (до 6 знаков после запятой), поэтому наш Ошибка приближения правила Симпсона составляет всего 0,00036%.

2. В этом примере кривая очень близка к параболе, поэтому две параболы, показанные выше, практически сливаются с кривой `y = 1 / (x + 1)`.

Не пропустите…

Существует интерактивный апплет, в котором вы можете изучить правило Симпсона, здесь:

Исчисление из апплета «Первые принципы»

Предпосылки и доказательства правила Симпсона

Мы стремимся найти площадь под следующей общей кривой.

Делим его на 4 равных отрезка. (Для работы правила Симпсона должно быть четное число сегментов.)

Затем мы строим параболы, которые почти совпадают с кривой в каждом из 4 сегментов.Если нам даны 3 точки, мы можем пропустить через эти точки уникальную параболу.

ПРИМЕЧАНИЕ: На самом деле нам не нужно строить эти параболы при применении правила Симпсона. Этот раздел предназначен только для того, чтобы дать вам некоторое представление о том, почему и как это работает.

Начнем с первых двух сегментов слева. Берем конечные точки и среднюю точку, как показано:

Мы можем провести измерения (используя наложенную сетку) и увидеть следующие три точки:

`(x_0, y_0) = (−1.2 + 0,858x + 1,93`

Примечание: Конечно, мы используем всю точность калькулятора, но окончательные результаты округлены.

Вот как выглядит эта парабола:

Мы можем видеть, что парабола проходит через 3 точки, и она близка к нашей исходной кривой, так что это хорошее приближение для кривой в этой части графика. Как обычно, чем больше делений мы сделаем, тем точнее будет.

Мы проделываем тот же процесс для последних двух сегментов и получаем параболу, которая проходит через 3 показанные точки и выглядит следующим образом:

Между исходной кривой и нашими параболами есть заметные промежутки.2 + 6c) `

`= h / 3 (y_0 -2y_1 + y2 + 6y_1)`

`= h / 3 (y_0 + 4y_1 + y_2)`

Парабола, проходящая через следующий набор из 3 точек, будет иметь площадь:

`A = h / 3 (y_2 + 4y_3 + y_4)`

Складывая 2 области, получаем:

`A = h / 3 (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + y_4)`

Допустим, у нас есть 6 подинтервалов. Мы просто находим площади под тремя результирующими параболами и складываем их, чтобы получить:

`A = h / 3 [y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 +` 2y_4 + `4y_5 +` « {: y_6] `

Мы могли бы продолжать, создавая все больше и больше сегментов и добавляя области по мере продвижения.bf (x) dx« ~~ (Deltax) / 3 (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + `2y_4 … +` `4y_ (n-1) +` `{: y_n)`

Методик расчета площадей при межевании | Правило Симпсона

Расчет площадей при межевании | Правило Симпсона

В одной из своих предыдущих статей я подробно обсудил правила средней ординаты и правило средней ординаты на примере и перечислил различные важные методы, используемые для расчета площадей в геодезии. В этой статье мы рассмотрим следующий важный метод (правило) i.е. Правило Симпсона вместе с числовым примером, используемым для расчета площадей в области геодезии.

Вот пять важных правил (методов), используемых для расчета площадей в геодезии:
  1. Правило средней ординаты
  2. Правило средней ординаты
  3. Правило Симпсона
  4. Трапецеидальная линейка
  5. Графическая линейка
Правило Симпсона

Заявление

В нем указано, что необходимо суммировать первую и последнюю ординату.Добавьте двойную сумму оставшихся нечетных ординат и четырехкратную сумму оставшихся четных ординат. Умножьте эту общую сумму на 1/3 rd общего расстояния между ординатами, которое дает требуемую площадь.

Где O 1 , O 2 , O 3 ,…. O n — длины ординат

d = общее расстояние

n = количество подразделений

Примечание:

Это правило применимо, только если ординаты нечетные, т.е.е. четное количество делений.

Если количество ординат четное, площадь последнего деления может быть вычислена отдельно и добавлена ​​к результату, полученному путем применения правила Симпсона к двум оставшимся ординатам.

Даже если первая или последняя ордината равна нулю, их нельзя исключать из правила Симпсона.

Следующие смещения берутся от линии цепи до неровной границы по направлению к правой стороне линии цепи.

Цепь 0 25 50 75 100 125 150
Смещение ‘m’ 3. ((4)) (c) | #
Примечание 1: для этого требуется, чтобы наша функция была дифференцируемой 4 раза на # [ a, b] #, и эта регулярность не гарантируется.{-x} # (который непрерывен на # [0,2] # и, следовательно, интегрируется на # [0,2] #) и # n = 10 #, поэтому # h = (2-0) / 10 = 1 / 5 #. Получаем # x_0 = 0 #, # x_1 = 0.2 #, # x_2 = 0.4 #, # x_3 = 0.6 #, # x_4 = 0.8 #, # x_5 = 1 #, # x_6 = 1.2 #, # x_7 = 1.4 #, # x_8 = 1.6 #, # x_9 = 1.8 # и # x_10 = 2 #.

, если обозначить # y_j = f (x_j) # для всех # j = 0, …, 10 #, то # y_0 = 0 #, # y_1 примерно 0,3661 #, # y_2 примерно 0,4239 #, # y_3 примерно 0,4251 # , # y_4 приблизительно 0,4019 #, # y_5 приблизительно 0,3679 #, # y_6 приблизительно 0,3299 #, # y_7 приблизительно 0,2918 #, # y_8 приблизительно 0,2554 #, # y_9 приблизительно 0,2218 # и #y_ {10} = 0.(7/2)) = + infty #

Используя приведенную выше оценку (учитывая супремум вместо максимума), мы получаем, что # | epsilon | le + infty #, что не является большим открытием. Таким образом, мы не можем сделать никаких выводов о точности нашего результата, используя эту оценку (в общем случае никакие оценки, включающие производные, не могут работать, поскольку все производные этой функции расходятся от #x до 0 #).


Однако мы не должны сдаваться. Ниже приведен график функции #f (x) # (черная кривая) и интерполяционных парабол #P_k (x) # (красные кривые), используемых для аппроксимации #f (x) # на интервалах # I_k # в диаграммах Симпсона. формула.{x_ {2k}} | E_k (x) | dx le 2h max_ {xi in [x_ {2k-2}, x_ {2k}]} | E_k (xi) | #
где последнее неравенство получено с учетом того, что площадь прямоугольника, ограничивающего график # | E_k (x) | # на # I_k #, превышает значение интеграла (который представляет область, ограниченную графиком и осью # x #).

Как уже упоминалось выше, составное правило Симпсона — это сумма (простого) правила Симпсона, примененного к # I_k # s. Итак, ошибка # epsilon # — это сумма ошибок # epsilon_k #
# | epsilon | = | сумма_ {k = 1} ^ {n / 2} epsilon_k | le sum_ {k = 1} ^ {n / 2} | epsilon_k | #, где # k = 1, ldots, n / 2 #

В нашем случае проблемы возникают только в (правой) окрестности # 0 #, поэтому при оценке # epsilon_1 #.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

[an error occurred while processing the directive]