Эпюры продольных сил и нормальных напряжений: Построение эпюры нормальных напряжений при растяжении-сжатии

Содержание

продольных сил и нормальных напряжений для ступенчатого стержня (бруса)

Приветствую, друзья! Сегодня дебютирует наш курс – «сопромат для чайников», Вы находитесь на сайте проекта SoproMats, который связан с сопроматом и не только. На этой страничке будет выложен первый урок из заявленного экспресс курса, который связан с таким простейшим видом деформации как растяжение (сжатие). В частности, будем учиться строить эпюры для бруса (стержня), который загружен растягивающей и сжимающей силой. Как правило, такое домашнее задание, одним из первых, дают всем студентам, которые начинают знакомиться с сопроматом. После изучения материалов данного урока вы научитесь строить следующие эпюры: продольных сил и нормальных напряжений. Не пугайтесь мудреных названий, на самом деле все эти эпюры строятся очень просто. Что же давайте приступим к изучению!

Построение эпюры продольных сил

Так как это курс для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику. Если вы хотите более детально изучить рассматриваемые здесь вопросы, то могу предложить Вам другие материалы нашего сайта. Например, что касается данного блока статьи, то у нас есть материалы про продольную силу, где представлено полное досье на данный внутренний силовой фактор: что эта за сила, зачем нужна и т.д. Но если Вам некогда залазить в эти дебри, и хотите по-быстрому освоить продольную силу, то оставайтесь здесь, сейчас покажу как строится первая эпюра!

Кстати, вот объект нашего сегодняшнего исследования:

Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить наш брус на несколько участков, на которых эта эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для продольной эпюры, границами участков служат те точки, где прикладываются силы. То бишь, для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:

Важно! На эпюру продольных сил, никак не влияет форма бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать и строить.

На первом участке сила F1растягивает брус на величину 5кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:

Откладываем это значение на графике. Эпюры в сопромате, принято штриховать перпендикулярно нулевой линии, а также для продольных сил, на эпюрах проставляются знаки:

На втором же участке, сила F2 сжимает брус, тем самым в уравнение продольных сил, она пойдет с минусом:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Вот так, достаточно просто, строится эта эпюра!

Построение эпюры нормальных напряжений

Переходим к эпюре нормальных напряжений. В отличие от продольных сил, нормальные напряжения зависят от формы бурса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений и вычисляются они, по следующей формуле:

То бишь, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на его площадь.

Для того чтобы построить эпюру нормальных напряжений, нужно рассчитать ее для любого сечения, каждого участка. В отличие, от продольной силы, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашего подопытного бруса, нужно наметить три участка и вычислить напряжение, соответственно, 3 раза:

Зададим брусу на первом участке (I) площадь поперечного сечения A1

=2 см2, а вторая ступень бруса, допустим, будет иметь площадь A2=4 см2 (II, III участки). В вашей домашней задаче, эти величины будут даны по условию. Также в задачах, часто, просят определить эти площади из условия прочности, с учетом допустимого напряжения, обязательно сделаю статью про это.

Вычисляем напряжения на каждом участке:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

Вот так, достаточно просто можно построить эпюры для бруса, работающего на растяжение (сжатие). В рамках статьи, была рассмотрена достаточно простая расчетная схема, если Вы хотите развить свои навыки по построению эпюр, то приглашаю Вас на страничку про различные эпюры, где можно найти примеры расчета более сложных брусьев с распределенными нагрузками, где о каждой эпюре подготовлена отдельная статья.

Если Вам понравилась статья, расскажите о ней своим друзьям, подписывайтесь на наши социальные сети, где публикуется информация о новых статьях проекта. Также, там можно задать любой интересующий Вас вопрос о сопромате и не только.

–аст¤жение и сжатие. Ёпюры продольных сил и нормальных напр¤жений

–аст¤жение и сжатие. Ёпюры продольных сил и нормальных напр¤жений

Растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, действующая перпендикулярно плоскости поперечного сечения.

Многие детали и узлы авиатехники в процессе эксплуатации испытывают деформацию растяжения или сжатия. Болты и шпильки при затяжке растягиваются. Тяги управления самолетом и двигателем, в зависимости от характера и режима полета, растягиваются или сжимаются. Растяжение и сжатие воспринимают полки лонжеронов, шатуны кривошипных механизмов, рама крепления двигателя к самолету, стойки шасси и т.д.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют силы 2F и 3F (рис. 2.4).

1. Разбиваем брус на участки, границами которого являются точки приложения сосредоточенных сил или изменение поперечного сечения.

                                                                2. Методом сечений на каждом участке определяем продольные силы N1 и N2, начиная со свободного конца. Во всех точках поперечного сечения бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса.

                                                                   Σ Z = - N1 + 3F = 0,    N1  = 3F.

      

 

 

 

 

Рис. 2.4

Аналогично находим продольную силу N2:   Σ Z =- N2  -2F + 3F = 0,  N2  = F.

В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Растягивающие продольные силы будем считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

3. Нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению определяются по формуле:

                                                      σ  =                                                       (2.5)

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется тоже правило знаков, что и для продольных сил (рис. 2.4).

Условие прочности при растяжении - сжатии:

                                               s

max = < [σ ]                                                (2.6)

Три задачи, решаемые из условия прочности:

1. Определение безопасной нагрузки, если известны размеры и материал                                                F =N < A [ σ ]

2. Проектный расчет - определение размеров поперечного сечения, если известна нагрузка и материал  A >

3. Проверка прочности σmax < [ σ ].

Деформации при растяжении, сжатии. Закон Гука. Английский ученый Роберт Гук (1635-1703) установил зависимость между напряжением и деформацией, которое формулируется так: н о р м а л ь н о е  н а п р я ж е н и е 

п р я м о  п р о п о р ц и о н а л ь н о   о т н о с и т е л ь н о м у   у д л и н е н и ю  или  у к о р о ч е н и ю.

Математически закон можно записать в виде равенства:

                                                σ = E ε .                                                          (2.7)

Коэффициент пропорциональности E характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости  первого рода.

Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах:

E = σ  / ε  (MПа).

Значения E, МПа, для некоторых материалов:

                    Чугун ...............(1,5...1,6) 105

                    Сталь................(1,96...2,1) 105

                    Сплавы алюминия......(0,69...0,71) 105

                    Титановые сплавыЕ..1,1 105

Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной деформации  и нормального напряжения , то абсолютная продольная деформация

                                               .                                                         (2.8)

Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: а б с о л ю т н о е  у д л и н е н и е  или  у к о р о ч е н и е  п р я м о  п р о п о р ц и о н а л ь н о  п р о-

д о л ь н о й  с и л е,  д л и н е   и  о б р а т н о  п р о п о р ц и о н а л ь н о  ж е с т к о с т и   с е ч е н и я  б р у с а.

Dl = l1 - l

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Δ l = Σ (Δ li).

При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b1 . Абсолютное сужение Δb = b Ц b1.

Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией 

ε' = Δb/ b


 

 

 

 

                      

                                             Рис. 2.5

 

Опытами французского ученого Пуассона (1781-1840) установлено, что отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации есть величина постоянная для данного материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона  μ =.

Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости первого рода, зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Коэффициент Пуассона величина безразмерная. Значения для некоторых материалов: Сталь Ц 0,24...0,30; Ал. сплавы Ц 0,3Е0,35

Эпюра продольных сил (сопромат)

Если продольные силы, возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил. Эпюра продольных сил необходима для оценки прочности стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).

Как строить эпюру продольных сил?

Для построении эпюры N используется метод сечений. Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).

Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении стержня.

Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.

Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что продольное усилие N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.

При этом применяем следующее правило знаков: силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».

Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.

Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.

Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат:

или

кН.

Теперь заменим действие отброшенной нижней части неизвестным внутренним усилием N, направив его, например, от сечения, что соответствует растяжению.

Уравновешиваем оставленную нами верхнюю часть стержня:

кН.

Знак «минус» сигнализирует, что мы не угадали направление продольного усилия N. Оно будет не растягивающим, как мы предполагали, а сжимающим.

Таким образом, мы получили тот же самый результат.

Последовательность выполнения расчета на прочность при растяжении или сжатии.

  1. Разбить брус на участки. Границы участков проходят там, где приложены внешние силы и там, где изменяются размеры поперечного сечения.

  2. Определить значение продольной силы на каждом участке.

  3. Строим эпюру N.

  4. Определяем значение нормальных напряжений в поперечных сечениях каждого участка и строим эпюру σ.

  5. Определяем удлинение (укорочение) бруса.

  6. Выполняем проверочный расчет на прочность по опасному сечению, , если брус не догружен на15 % и перегружен на 5 %, то условие прочности выполняется.

Примеры решения задач

Пример 1. На стальной ступенчатый брус (Е=2·МПа) действуют силы=20 кН иПлощади поперечных сечений равны800 мм2. Длины участков указаны, на рисунке : а= 0,2 м. Построить эпюры продольных сил и определить удлинение бруса.

Решение:

  1. Разобьем брус на участки ( три участка) и, применяя метод сечений, определим значения продольных сил ,, на каждом из них:(сжатие),(растяжение).

  2. Строим эпюру продольных сил.

  3. Определяем нормальные напряжения на каждом участке: .

Тогда ;

  1. Строим эпюру нормальных напряжений.

  2. Используя формулу для вычисления изменения длины бруса, состоящего из нескольких участков, получим, где, по формуле Гука, удлинение бруса на первом участке, аналогично,,, удлинение бруса на втором и третьем участках.

Следовательно,

Следовательно, брус укоротился на 0,015 мм.

Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса, изготовленного из стали марки Ст3 построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и выполнить проверочный расчет на прочность. Допускаемое напряжение принять

Решение

  1. Разбиваем брус на участки (пять участков) и, применяя метод сечений, определим значения продольных сил ,,,на каждом из них.(растяжение),(растяжение),(сжатие),(сжатие),(растяжение).

  2. Строим эпюру продольных сил.

  3. Определяем нормальные напряжения на каждом участке: .

Тогда ;

  1. Строим эпюру нормальных напряжений.

  2. Используя формулу для вычисления изменения длины бруса, состоящего из нескольких участков, получим, где, по формуле Гука, удлинение бруса на первом участке, аналогично,,,удлинение бруса на втором, третьем, четвертом и пятом участках.

Следовательно,

  1. Выполняем проверочный расчет на прочность по опасному сечению (участок 2). . Условие прочности выполняется.

Практическая работа № 6 «Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений при растяжении и сжатии»

Цель: Двухступенчатый стальной брус, длина ступеней которого указана на схеме, нагружены силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв МПа.

Задача: Числовые значения сил F1 и F2, а так же площадей поперечных сечений ступеней А1 и А2 взятьиз таблицы.

Вариант

схемы

F1, кН

F2, кН

А1, см2

А2, см2

Вариант

схемы

F1, кН

F2, кН

А1, см2

А2, см2

1

IX

22,0

30,6

2,7

2,1

18

VI

3,0

6,0

0,5

0,9

2

VII

16,0

8,0

1,4

0,4

19

IV

8,0

18,0

2,0

3,0

3

V

3,5

12,0

2,5

1,8

20

II

4,0

9,2

0,5

0,6

4

III

15,0

30,0

2,1

1,6

21

IX

12,0

34,0

2,2

1,8

5

I

10,0

20,0

1,2

0,8

22

VII

19,0

9,8

0,9

0,6

6

X

12,0

30,0

2,1

2,5

23

V

18,0

38,0

3,0

1,8

7

VIII

14,0

16,0

2,4

2,8

24

III

20,0

32,0

2,5

2,2

8

VI

6,0

3,0

0,4

0,8

25

I

12,0

20,0

0,7

0,9

9

IV

10,8

29,0

1,8

2,0

26

X

14,2

30,0

1,5

2,4

10

II

3,3

8,0

0,4

0,5

27

VIII

10,0

16,0

2,2

3,0

11

IX

10,8

30,0

2,8

2,4

28

VI

6,0

3,0

0,4

0,8

12

VII

8,3

30,5

1,5

0,8

29

IV

7,6

20,5

2,8

3,2

13

V

27,0

27,0

2,8

2,0

30

II

4,8

10,0

0,4

0,8

14

III

14,0

18,0

2,3

2,1

31

IX

11,0

24,0

2,0

1,6

15

I

12,0

10,0

1,2

0,8

32

VII

8,0

8,4

2,0

1,4

16

X

14,0

40,0

2,0

2,0

33

V

1,4

20,0

2,6

1,5

17

VIII

16,0

12,0

1,1

3,0

34

III

30,0

36,0

2,4

1,6

Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса | Интерактивное сообщество - Решение задач по инженерной графике

Двух ступенчатый стальной брус нагружен силами: F1=20 кН; F2=10 кН; F3=5 кН.{2}}{4} $

Находим диаметры ступеней бруса.

$ d = \sqrt{\frac{4S}{π}} $

$ d_{1}=15,14 мм; d_{2}=20,19 мм $

Делим брус на участки нагружения (части бруса между внешними силами) - участки 1, 2 и 3. Используем метод сечений для определения внутренних силовых факторов, действующих на каждом участке (при этом внутренние силы переходят в разряд внешних):

Участок 1. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия

$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}-N_{1}=0; N_{1}=F_{3}= -5 кН $

Продольная сила N1 Знак минус означает, что действительное направление N1 противоположно первоначально выбранному.. Участок 1 сжат.

Участок 2. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия

$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}-F_{2}-N_{2}=0; N_{2}=-F_{3}-F_{2}=-5-10= -15 кН $

Продольная сила N2 отрицательна. Знак минус означает, что действительное направление N2 противоположно первоначально выбранному.{3}}=0,016 мм $

Суммарное удлинение бруса (перемещение свободного конца)

$ ∆ℓ=∆ℓ_{1}+∆ℓ_{2}+∆ℓ_{3}+∆ℓ_{4}=-0,189 мм $

Пример решения задачи по сопромату

Ниже приведено условие и решение задачи. Закачка решения в формате doc начнется автоматически через 10 секунд.

                                                                          № 1

    Построить эпюры нормальной силы, нормальных напряжений и взаимного перемещения сечений. Определить работу внешних сил.

    Дано : F=10 Н ; l=1 м ; A=10 см2.

                                                                  Решение.

    1. Вычислим продольные силы на участках стержня и построим эпюру N.

    Нормальная сила Nz зависит от величины внешних сил, поэтому границами участков будут сечения, в которых приложены эти силы.

    Пользуясь методом сечений, сделаем на каждом участке  сечение и рассмотрим равновесие отсечённых частей. Из уравнений равновесия получим :

    1 участок AB ;  0≤z1≤ℓ

                      N(z1)=-5F=-50 Н  ; 

    2 участок BC ;  ℓ≤z2≤2ℓ

                      N(z2)=-5F+7F=2F=-50+70=20 Н  ; 

   3 участок CD ; 2ℓ≤z3≤3ℓ

                      N(z3)=-5F+7F-2F=0

    По полученным значениям строим эпюры Nz. Для этого от вертикальной (базисной линии) откладываем значения N, причём положительные значения (со знаком «+») откладываем вверх, а отрицательные (со знаком «-») – вниз.

    Эпюра N построена на рисунке.

    2. Вычислим нормальные напряжения на участках стержня и построим эпюру σ по длине стержня.

    Нормальные напряжения вычисляем по формуле :

                              σ=

    На участке AB :

                              σ1= Па=-0.05 МПа

    На участке BC :

                              σ2= Па=0.02 МПа

    На участке CD :

                              σ3=

    Эпюра нормальных напряжений построена на рисунке.

    3. Вычислим деформации участков стержня и построим эпюру перемещений сечений стержня.

    Вычислим деформации участков.

    Участок AB :

                Δℓ1= м=-2.5×10-4 мм

    где Е – модуль упругости (в задаче не задан) ; для стали Е=2×1011 Па 

    Знак «минус» означает, что участок сжимается.

    Участок BC :

                 Δℓ2= м=1×10-4 мм

    Участок CD :

                 Δℓ3=

    Найдём перемещения характерных сечений стержня. Перемещение любого сечение стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между этим сечением и неподвижной опоры.

    Перемещение сечения D :  wD=0

    Перемещение сечения C :

                               wC=wD+Δℓ3=0

    Перемещение сечения B :

                                wB=wC+Δℓ2=0+1×10-4=1×10-4 мм

    Перемещение сечения А :

                                wA=wB+Δℓ1=1×10-4-2.5×10-4=-1.5×10-4 мм

    По вычисленным значениям w строится эпюра перемещений.

    4. Определим работу внешних сил.

    Для определения работы внешних сил воспользуемся формулой :

              A=

    где Ni – продольная сила в поперечном сечении бруса на участке i ; Ai и li - соответственно площадь поперечного сечения бруса на участке i и длина этого участка.

    В нашем случае эта формула примет вид :

               A=

               Дж=7.25 мкДж.

 

 

 

 

Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений по длине трехступенчатого стального бруса. Проверка на устойчивость сжатой стойки

Задача 19.Трехступенчатый стальной брус нагружен силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине  бруса. Определить удлинение бруса, приняв Е=2·105 МН/м2.

Дано:

F1=18 кН

F2=30 кН

A1=1,2 см2

A2=2,5 см2

A3=4 см2

λ - ?

                             

                             40     

        200                                                                                                                      

А2

200                                                  А1

200

А3

Решение

Освободимся от связей и рассчитаем значение реакции RA:

Ra                                                                                                                 N4

            40                                                                                               N3

     200                 F2

F2

       N2

     200

N1

200

                             F1                                 F1                         F1                                            F1                                                 F1

                                                                        F, кН                                  -4.8 σ,МПа

                    F2                                              -12                                         -72

 

                                                                                                                              -150

 

F1                                                 -18                                                                 -40

Мысленно разобьем брус на четыре участка AB,BC,CD,DE,расположив граничные точки в местах изменения диаметра бруса и в местах приложения сил. На каждом из  участков  мысленно проведем сечения I,II,III,I٧, и рассмотрим каждое из этих сечений.

I:   N1+F1=0                    N1=-F1=-18кН;

II:  N2+F1=0                    N2=-F1=-18кН;

III: N3+F1=0                    N3=-F1=-18кН;

IV: N4+F1-F2=0               N4=F2-F1=30-18=-12кН;

Как видим, усилие N4=RA, что подтверждает правильность наших расчетов.

Построим эпюру продольных сил, возникающих в брусе. ( См. рис. выше)

Определим нормальные напряжения σ, возникающие в сечениях.

Теперь построим эпюру нормальных напряжений, возникающих в сечениях  бруса ( см. рис. выше).

Судя по знакам посчитанных продольных усилий, можно утверждать, что стержень растянут. Определим его удлинение λ, которое найдем как сумму удлинений участков.

Ответ:

Задача 24. Для заданной двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения(круг или квадрат). Для материала балки (сталь Ст3) с учетом повышенных требований к её жесткости принять[σ]=130 МПа.

Дано:

F=50 кН

F1=100 кН

L1=20 мм

L2=50 мм

L3=30 мм

M=2 Н∙м

Сечение - квадрат

а - ?

                                   M

                                                  Rb                             F1                   Rd

                                                 

                  A                    B                                   C               D

                                                                                               

                               L1                                                  L2                                                  L3

Q,H

             50                         

                                             25.025

 

0                                                                          0

                                                       -74.975

M,Нм

                                   0,5                      0,25125

00

 

-2                           

Сперва найдем реакции RB и RC. Для  этого запишем уравнения моментов относительно точек B и C.

=-24,975 кН

Проверка: 

Построим эпюру поперечных усилий Q. Для это найдем поперечные усилия в критических точках A,C,D,B с учетом правила знаков.

Построим  эпюру изгибающих моментов Мх.

В данной задаче нам необходимо произвести проектный расчет для нахождения диаметра сечения бруса.

Ответ:

Задача  20. Для ступенчатого чугунного бруса построить эпюры поперечных усилий  и нормальных напряжений, найти из условия прочности требуемую площадь поперечного сечения, если [σ

p]=50 Н/мм2 и [σс]=120 Н/мм2.

2A         A                  2A          

Дано:

F1 = 10  кН

F2 = 4  кН

F3= 28 кН

р]=50 Н/мм2

с]=120 Н/мм2

А- ?

 

        Ra                                                          F1

 

N1

F1

 

N2

F1

 

N3        F2

                                                 

F1           

 

N4

F2                                    F1

N5

F3        F2                                    F1

N,кН

                         6               10                            10

 

                0                                                      0

           -22                               σ,кН/мм2

                                              45,45

22,7273

                                   27,2727

                        13,6364

                0                                                                  0

          -50

               Решение

Брус разбивается на пять участков (в местах приложения сил и местах изменения площади сечения).

    На каждом из участков проведем сечения 1, 2, 3, 4, 5. Будем последовательно рассматривать сечения, мысленно отбрасывая  правые их части.

Исходя из уравнений равновесия для каждого сечения, найдем усилия

N1, N2, N3, N4, N5:

Строим эпюру поперечных усилий. 

Теперь, зная усилия, возникающие в сечениях, можем определить напряжения  σ

1234 в брусе.

Отметим, что  максимальные  напряжения на участках удовлетворяют условиям прочности.

Ответ: А=220 мм2

Задача 23. Для  заданной  консольной балки построить эпюры поперечных сил и зигибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения в двух вариантах  ( двутавр или прямоугольник с заданным  отношением h/b высоты и ширины).

F1

Дано:

F = 15  кН

F1=40 кН

М = 15 кН·м

[σ]=160 МПа

h/b=2

L1=0,4 м

L2=0,3 м

L3=0,3 м

Cечение, эпюры ?

 

M

                  A                  B            F    C            D

                          L3                             L2                                 L1

                       

 

                             Ma             F1

                Ra

F                       M

Q, кН

      25

 

         0                                                                  0

      

                                                 -15                      -15

             36

 

                                                     M,кНм

 

                0                                                                          0

            

10,5

15                        15

Решение

Освобождаемся от связей, обозначая реакции. В точке A—глухая заделка, поэтому кроме реакции Ra, направленной вертикально, здесь будет еще и момент Мa.

Из уравнений равновесия  определим реакции:

Зная реакции, можно определить поперечные силы в балке:

Строим эпюру поперечных напряжений.

Определим изгибающие моменты в характерных точках:

Строим  эпюру изгибающих моментов.

Для того, чтобы подобрать размеры поперечного сечения, запишем условие прочности:

Рассмотрим  случай  двутавра:

По табл. находим ближайшее большее значение WX=232,0 см3, которому соответствует балка № 22.

Рассмотрим случай прямоугольника:

WX в этом  случае вычисляется по формуле:

Ответ: h= балка № 22.

 

Задача 25. Для заданной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и из условия прочности балки на изгиб определить допускаемую нагрузку, если [σ] = 100 МПа.

                                                             q=0,8F/l

Дано:

F =10  кН

L=0,3 м

RA   – ?

 

                                  M=6Fl

                                                                                            8F

A                  B                     C                                   D

0,3м           0,3м                    1,2м

 

M=6Fl                 q=0,8F/l

          Ra                                                                               8F

 

Q,кН

          0                                                                                      0

          48                                48

80

                                     М,кНм       

                     91,2                         76,8

      87,6

 

          0                                                                                      0

Решение

Для нахождения реакций составим уравнения равновесия:

Зная реакции, можно определить поперечные силы в балке:

Строим эпюру поперечных напряжений.

Определим изгибающие моменты в характерных точках:

Строим  эпюру изгибающих моментов.

По табл. берем Wx, затем определяем допускаемую нагрузку.

Ответ: 

Задача 22. Рассчитать на прочность провод

АВ, у которого длина l = 300                       полная площадь сечения А = 420 мм2, алюминиевая часть превосходит стальную в 7,5 раз; температура изменилась от t1 = 21° до t2 = -16°; удельные приведенные нагрузки отличаются в 3,2 раза, рекомендуемый запас прочности [S] = 2,5.

Решение.

1. Составляем таблицы механических характеристик составных частей провода и исходных данных.

Механические характеристики составных частей провода

Модуль упругости, Н/мм2

Коэффициент расширения, 1/град

Предел прочности,

Н/мм2 (МПа)

Удельные веса,

Н/см3 = Н/м×мм2

ЕА

ЕС

aА

aС

gА

gС

7×104

21×104

25×10-6

12,5×10-6

200

800

27×10-3

78×10-3

Исходные данные

Сечение

Длина

Температура

Отношение площадей

Отношение нагрузки

Запас прочности

Площади сечений

А, мм2

l, м

t1°

t2°

АА/AC

k1 = g2/g1

[S]

АА

АC

300

300

15

-12

7,5

1,75

2,5

260

40

2. Определяем приведенные величины биметаллического провода по формулам. Причем для ускорения вычислений эти формулы следует упростить, разделив числители и знаменатели некоторых формул на АС, а одну из  формул – на произведение ЕС×АС и вводя при этом коэффициенты

 

.

При вычислении приведенных величин особое внимание следует уделить их наименованию и размерностям.

;

;

;

.

3. По результатам приведенных величин и формулам последовательно получаем вспомогательные коэффициенты:

g2 = k1×g1 = 1,75× 33,8 10-3 = 59,15  10-3;

;

;

;

4. По результатам расчетов приведенных величин составляем табл.

Приведенные величины

Епр,

МПа

g1,

Н/м×мм2

[s],

МПа

aпр,

град-1

B1,

(МПа)3

С,

МПа

33,8×10-3

112

Найденные числа позволяют составить «уравнение состояния провода

Механика материалов: деформация »Механика тонких конструкций


Штамм

До сих пор мы сосредоточились на напряжении внутри структурных элементов. Когда вы прикладываете напряжение к объекту, он деформирует . Представьте себе резинку: вы тянете за нее, и она становится длиннее - она ​​ тянется . Деформация - это мера того, насколько объект растянут, а деформация - это соотношение между деформацией и исходной длиной.Думайте о деформации как о -процентном удлинении - насколько больше (или меньше) объект после его загрузки.

Как и напряжение, конструкция может испытывать два типа деформации: 1. Нормальная деформация и 2. Деформация сдвига . Когда сила действует перпендикулярно (или «нормально») к поверхности объекта, она вызывает нормальное напряжение. Когда сила действует параллельно поверхности объекта, возникает напряжение сдвига.

Рассмотрим стержень при одноосном растяжении.Стержень удлиняется под этим натяжением до новой длины, и нормальная деформация представляет собой отношение этой небольшой деформации к исходной длине стержня.

Деформация - это безразмерная мера того, насколько объект становится больше или меньше из-за приложенной нагрузки. Нормальная деформация возникает, когда удлинение объекта происходит в ответ на нормальное напряжение (т.е. перпендикулярно поверхности), и обозначается греческой буквой эпсилон. Положительное значение соответствует деформации при растяжении , а отрицательное - при сжатии .Деформация сдвига возникает, когда деформация объекта является ответом на напряжение сдвига (т. Е. Параллельно поверхности), и обозначается греческой буквой , гамма .

Механическое поведение материалов

Ясно, что напряжение и напряжение связаны. Напряжение и деформация связаны согласно основному закону , и мы можем определить их взаимосвязь экспериментально, измерив, сколько напряжения требуется для растяжения материала. Это измерение может быть выполнено с помощью испытания на растяжение . В простейшем случае, чем сильнее вы тянете за объект, тем сильнее он деформируется, а при малых значениях деформации это соотношение является линейным. Эта линейная упругая связь между напряжением и деформацией известна как Закон Гука . Если вы построите график зависимости напряжения от деформации, то для малых деформаций этот график будет линейным, а наклон линии будет свойством материала, известного как Модуль упругости . Это значение может сильно варьироваться от 1 кПа для желе до 100 ГПа для стали.Для большинства конструкционных материалов линейная область диаграммы напряжения-деформации возникает только при очень малых деформациях (<0,1%). В этом курсе мы сосредоточимся только на материалах, которые являются линейно-эластичными (т.е. они следуют закону Гука) и изотропными (они ведут себя одинаково независимо от того, в каком направлении вы их тянете).

Из закона Гука и наших определений напряжения и деформации мы можем легко получить простое соотношение для деформации материала.

Интуитивно этот экзамен имеет некоторый смысл: приложите больше нагрузки, получите большую деформацию; приложите ту же нагрузку к более жесткому или более толстому материалу, получите меньшую деформацию.Если конструкция меняет форму или материал, или по-разному нагружается в разных точках, то мы можем разделить эти множественные нагрузки, используя принцип наложения .

Обобщенный закон Гука

На последнем уроке мы начали узнавать, как связаны стресс и напряжение - через закон Гука. Но до этого момента мы рассматривали только очень упрощенную версию закона Гука: мы говорили о напряжении или деформации только в одном направлении.В этом уроке мы собираемся рассмотреть обобщенный закон Гука для однородных, изотропных и упругих материалов, подвергающихся воздействию сил по более чем одной оси.

Перво-наперво, даже простое вытягивание (или толкание) большинства материалов в в одном направлении на самом деле вызывает деформацию в во всех трех ортогональных направлениях . Вернемся к первой иллюстрации напряжения. На этот раз мы учтем тот факт, что при натяжении объекта в осевом направлении он сжимает в поперечном направлении в поперечных направлениях:

Таким образом, если потянуть за него в направлении x , он сожмется в направлениях y и z .Это свойство материала известно как коэффициент Пуассона и обозначается греческой буквой nu и определяется как:

.

Или, более математически, используя осевую нагрузку, показанную на изображении выше, мы можем записать это в виде уравнения:

Поскольку коэффициент Пуассона представляет собой отношение двух деформаций, а деформация безразмерна, коэффициент Пуассона также безразмерен. Коэффициент Пуассона - это свойство материала . Коэффициент Пуассона может находиться в диапазоне от -1 до 0.5. Для большинства конструкционных материалов, например стали или алюминия, коэффициент Пуассона составляет около 0,3, а у каучуков коэффициент Пуассона составляет около 0,5, и они называются «несжимаемыми». Несжимаемый просто означает, что любая сумма, которую вы сжимаете в одном направлении, будет расширяться на такую ​​же величину в других направлениях - следовательно, его объем не изменится.

За последнее десятилетие было проведено несколько очень интересных исследований по созданию структурированных материалов , которые используют геометрию и упругую нестабильность (тема, которую мы кратко рассмотрим в следующей лекции) для создания ауксетических материалов - материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона.Физически это означает, что когда вы тянете материал в одном направлении, он расширяется во всех направлениях (и наоборот):

Этот принцип может быть применен в 3D для создания расширяемых / складных оболочек:

Благодаря коэффициенту Пуассона у нас теперь есть уравнение, которое связывает деформацию в направлении y или z с деформацией в направлении z. Мы, в свою очередь, можем связать это со стрессом с помощью закона Гука.Это важное замечание: при натяжении объекта в одном направлении возникает напряжение только в этом направлении , а при - во всех трех направлениях . Итак, сигма y = сигма z = 0. Давайте запишем деформации в направлении y и z через напряжение в направлении x .

Помните, что до этого момента мы рассматривали только одноосную деформацию . В действительности конструкции могут быть одновременно нагружены в нескольких направлениях, вызывая напряжение в этих направлениях.Полезный способ понять это - представить очень крошечный «кубик» материала внутри объекта. Этот куб может иметь напряжений , которые по нормали к каждой поверхности , например:

Таким образом, приложение нагрузки в направлении x вызывает нормальное напряжение в этом направлении, и то же самое верно для нормальных напряжений в направлениях y и z . И, как мы теперь знаем, напряжение в одном направлении вызывает напряжение во всех трех направлениях .Итак, теперь мы включили эту идею в закон Гука и запишем уравнения для деформации в каждом направлении как:

Эти уравнения выглядят сложнее, чем они есть на самом деле: деформация в каждом направлении (или каждый компонент деформации) зависит от нормального напряжения в этом направлении, а коэффициент Пуассона умножается на деформацию в двух других направлениях. Теперь у нас есть уравнения того, как объект изменит форму в трех ортогональных направлениях. Что ж, если объект меняет форму во всех трех направлениях, это означает, что он изменит свой объем .Простую меру этого изменения объема можно найти, сложив три нормальных компонента деформации:

Теперь, когда у нас есть уравнение для изменения объема, или расширения , в терминах нормальных деформаций, мы можем переписать его в терминах нормальных напряжений.

Очень распространенный тип стресса, вызывающий расширение, известен как гидростатический стресс. Это просто давление, которое одинаково действует на весь материал. Поскольку он действует одинаково, это означает:

Итак, в случае гидростатического давления мы можем свести наше окончательное уравнение для расширения к следующему:

Это последнее соотношение важно, потому что оно является определяющим соотношением того, как объем материала изменяется под действием гидростатического давления.Префактор p может быть переписан как модуль объемной упругости , K .

Наконец, вернемся к идее «несжимаемых» материалов. Что происходит с K - мерой изменения объема материала при заданном давлении - если коэффициент Пуассона для материала равен 0,5?

Закон Гука о сдвиге

В предыдущем разделе мы разработали взаимосвязь между нормальным напряжением и нормальной деформацией.Теперь поговорим о сдвиге. Вернемся к этому воображаемому кубу материала. Помимо внешних сил, вызывающих напряжения, нормальные к каждой поверхности куба, силы могут вызывать напряжения, параллельные каждой грани куба. А, как известно, напряжения, параллельные поперечному сечению, составляют касательных напряжений

.

Теперь этот куб материала выглядит намного сложнее, но на самом деле это не так уж плохо. На каждой поверхности есть два напряжения сдвига, а нижние индексы говорят вам, в каком направлении они указывают и какой поверхности параллельны.Например, возьмем правую грань куба. Напряжения, нормальные к этой грани, являются нормальными напряжениями в направлении x . Есть два напряжения, параллельных этой поверхности, одно направлено в направлении y (обозначено tau xy ), а второе направлено в направлении z (обозначено tau xz ). Чтобы куб был в равновесии, tau xy = tau yx (в противном случае куб вращался бы). Таким образом, теперь существует шести напряжений (сигма x , сигма, сигмаз, тау xy, тау yz, тау xz ), которые характеризуют состояние напряжения в однородном, изотропном, упругом материале.

Итак, как эти напряжения сдвига связаны с деформациями сдвига? Закон Гука для сдвига очень похож на уравнение, которое мы видели для нормального напряжения и деформации:

В этом уравнении пропорциональность между напряжением сдвига и деформацией сдвига известна как модуль сдвига материала. Это уравнение в его общей форме, но мы можем переписать его более явно в терминах его компонентов: x, y и z . Это даст нам обобщенный закон Гука для однородных, изотропных, эластичных материалов.

В нашем обобщенном законе Гука есть шесть компонентов напряжения и деформации и три свойства материала. Возникает естественный вопрос: как эти три свойства материала соотносятся друг с другом? Это соотношение задается следующим уравнением:

Сводка

В этой лекции мы представили концепцию напряжения. Деформация - это деформация материала под действием напряжения. Это просто отношение изменения длины к исходной длине.Деформации, приложенные перпендикулярно поперечному сечению, составляют нормальных деформаций , а деформации, приложенные параллельно поперечному сечению, составляют деформаций сдвига . Для линейных упругих материалов напряжение линейно связано с деформацией по закону Гука. Пропорциональность этого отношения известна как модуль упругости материала . Используя закон Гука, мы можем записать простое уравнение, которое описывает, как материал деформируется под воздействием внешней нагрузки.

Кроме того, в этом разделе мы узнали о многоосном нагружении .В частности, мы узнали, что напряжение в одном направлении вызывает деформацию в трех направлениях . Это происходит из-за свойства материала, известного как коэффициент Пуассона - соотношение между поперечной и осевой деформациями. Деформации, возникающие в трех ортогональных направлениях, могут дать нам меру расширения материала в ответ на многоосную нагрузку. В частности, материал обычно может изменять объем в ответ на изменение внешнего давления или гидростатического напряжения .Это привело к определению сопротивления материала изменению объема под действием гидростатического напряжения - модуля объемной упругости . Изучив воображаемый кубический элемент в произвольном материале, мы смогли представить себе напряжения, возникающие нормально и параллельно каждой грани куба. Это дало нам шесть напряжений и шесть деформаций (три нормальных и три сдвиговых), которые мы связали друг с другом, используя обобщенный закон Гука для однородных материалов , изотропных и упругих материалов.Эти компоненты многоосного напряжения и деформации связаны тремя свойствами материала: модулем упругости , модулем сдвига и коэффициентом Пуассона .

Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы, выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда. Научный фонд.

Продольная сила

- обзор

2.7.1 Модель щетки

В этом разделе мы обсуждаем теорию установившегося комбинированного скольжения шины с помощью простой модели шины щеточного типа. Теория этого раздела не будет рассматривать изгиб и поворот (проскальзывание) колеса (см. [32], где подробно рассматривается модель щетки). Мы обращаемся к рис. 2.36 для схематического представления модели. Шина оснащена небольшими линейными балками (щеточными элементами), некоторые из которых касаются земли (зоны контакта) и в результате деформируются в виде линейной балки.Предполагается, что в зоне контакта действуют как поперечная, так и продольная сила. Следовательно, предполагается, что шина движется вбок с углом скольжения α в сочетании с продольным скольжением κ , т.е. мы предполагаем общий случай комбинированного скольжения. Каждый щеточный элемент в зоне контакта соединяет землю («кончик» щеточного элемента) с шиной («основание» щеточного элемента). Элемент щетки пытается следовать направлению скорости, что означает, что в случае ненулевого угла скольжения и до тех пор, пока наконечник прикреплен к дороге (сцепление), кончики последующих элементов щетки следуют линейному шаблону.Этот рисунок, очевидно, определяется этим углом скольжения. В условиях чистого бокового скольжения наконечник движется только вбок по отношению к шине. Продольное скольжение заставит наконечник двигаться назад в зоне контакта при торможении и вперед при движении. Когда предел трения на кончике щетки превышен, кончик начинает скользить. Эти явления обсуждались в предыдущих разделах, и мы пришли к выводу, что идентифицированы две области: ведущая область сцепления, где линия контакта (соединяющая концы элементов щетки) прямая, и область скольжения, где напряжение сдвига подчиняется закону Кулона

.

τ = τx2 + τy2 = μ · σz

для касательных напряжений τ x , τ y в зоне контакта, трение дороги μ и нормальное контактное напряжение σ z .Шина движется со скоростью V , которая складывается из скорости качения (см. Уравнение (2.35)) и скорости скольжения V s как с поперечной, так и с продольной составляющими.

Вид сверху шины при прогибе элементов протектора (щеток) показан на рисунке 2.38. На передней кромке контактной площадки общей длиной 2 a деформация все еще равна нулю. Основание и вершина элемента протектора совпадают. Когда шина движется со скоростью V и катится со скоростью качения V r , основание протектора прикрепляется к плоскости колеса и будет перемещаться внутри зоны контакта со скоростью качения, скажем, до точки B.При этом кончик элемента протектора переместится в точку А, противоположную скорости V . Рисунок 2.38 предполагает наличие положительного продольного (ведущего) скольжения, но это не ограничение, а сделано только для рисунка. Приведенные ниже обсуждения не зависят от знака скольжения κ .

Рисунок 2.38. Модель кисти, вид сверху.

Если принять интервал времени Δ t , это означает, что смещение w A в зоне фактического контакта вдоль деформированных ступеней может быть записано как

wA = V · Δt

Новые позиции ξ A (наконечник) и ξ B (основание) находятся из

ξA = V · cos (α) · Δt, ξB = Vr · Δt

из которых выражения для прогибы u и v (см.Рис. 2.38) можно вывести

u = (Vr − V · cosα) · Δt

v = V · sinα · Δt

Это означает, что смещения могут быть выражены в терминах любого положения в деформированной ситуации протектора ξ A или в координатах недеформированного протектора ξ B следующим образом:

(2,74) (uv) = (Vr − VxVxtanα) · ξA = (Vr − VxVrVxVr · tanα) · ξB

Вектор коэффициентов соответствует либо практическому, либо теоретическому скольжению, как определено ранее.Выражение (2.74) имеет общий вид

Смещение = скольжение × положение

, где скольжение определяется либо на основе положения ξ A относительно деформированной шины, либо положения ξ B в отношении недеформированной шины. Следовательно, практические величины скольжения связаны с количествами деформированной шины, тогда как теоретические величины скольжения выводятся на основе количества недеформированной шины.

Площадь контакта принимается как квадрат длиной 2 a и шириной 2 b . Обычно принимают параболическое распределение давления σ z ( x ), которое принимается однородным по ширине контакта 2 b

(2,75) σz (x) = σz0 · [1− (xa) 2]

с σ z 0 , следующим из условия, что

Fz = contactareaσz (x) · dxdy

и, таким образом,

σz0 = 3 · Fz8ab

Обратите внимание, что распределение параболического контактного давления (2.75) не является настоящим ограничением, и можно легко использовать другие дистрибутивы.

Теперь мы выведем выражения для полного смещения в области контакта, где делается различие между адгезией и скольжением. В области сцепления следует, что

(2,76) e = u2 + v2 = ρ · ξB = ξB1 + κ · κ2 + tan2α

с полным теоретическим скольжением ρ . В области скольжения , предполагая кулоновское трение с коэффициентом трения μ , напряжение сдвига τ ( x , y ) ограничено μ · σ ( x ).Таким образом, смещение e также ограничено и следует из жесткости протектора, обозначенной как k :

e = emax = τ (x, y) k = μ · σz (x) k = 3 · Μ · Fz8 · a3 · b · k · (a2 − x2)

Обратите внимание, что k не будет одинаковым в направлениях x и y . Рассматривая этот анализ для чистого скольжения в случае поперечного или продольного направления, можно различить разные жесткости k x и k y .Для комбинированного скольжения мы ограничиваем наш анализ равной жесткостью протектора k = k x = k y (изотропная модель).

Введем параметр шины θ на

(2,77) θ = 43 · a2 · b · kμ · Fz

, в результате получим

emax = ξB · (2 ​​· a − ξB) 2 · a · θ

.

Точка отрыва ξ s (указана на рисунке 2.38), в которой адгезия становится скользящей, находится, принимая e max равным выражению (2.76), что дает:

ξs = 2 · a · (1 − θ · ρ)

Следовательно, для ρ = 0 точка отрыва определяется как ξ s = 2 a и полная контактная площадка находится в состоянии сцепления. При увеличении ρ точка отрыва ξ s перемещается к значению ξ s = 0, достигаемому при ρ = 1/ θ . Другими словами, параметр θ > 1 - это обратное полное скольжение, при котором скользит вся площадь контакта.Когда общее теоретическое скольжение превышает величину 1/ θ , шина остается в состоянии полного скольжения. В случае чистого скольжения эта ситуация достигается либо для

αm = | α | = arctan (1 / θ)

, либо для

κm = 1θ − 1, в случае движения (κ> 0)

κm = −1θ + 1, в случае торможения (κ <0)

В области сцепления напряжения сдвига следуют из прогибов (2.76):

τ¯adh = k · e¯ = k · ξB · ρ¯≡k · ξB · (ρxρy)

В области скольжения касательные напряжения подчиняются правилу Кулона, предполагая, что вектор напряжения сдвига имеет ту же ориентацию, что и теоретический вектор скольжения,

τ¯sliding = μ · σz (x) · ρ¯ ρ = k · emaxρ · (ρxρy) = kρ · ξB · (2 ​​· a − ξB) 2 · a · θ · (ρxρy)

Ясно, что для чистого скольжения вектор касательного напряжения и вектор скольжения будут иметь одинаковые ориентация.В случае комбинированного скольжения эти ориентации не будут идентичными, но разница небольшая.

С помощью этих выражений теперь мы можем получить выражения для контактных сил F x и F y , а также центровочного момента M z по интегрируя (момент) касательные напряжения по площади контакта. Для вектора поперечной силы получаем

F¯shear [∫0ξsq¯adh (ξB) dξB + ∫ξs2 · aq¯sliding (ξB) dξB]

, а компоненты силы (поперечная и продольная сила) получаются из

(2.78) F¯shear = ρ¯ρ · F≡ρ¯ρ · Fx2 + Fy2

с F , как оказалось, определяется как

(2.79a) F = μ · Fz · [3 · θ · ρ − 3 · (Θ · ρ) 2+ (θ · ρ) 3] ρ <1 / θ

(2.79b) = μ · Fz; ρ≥1 / θ

где q¯adh и q¯sliding обозначают интегрированный сдвиг напряжение по ширине шины

(2,80) q¯ = (qxqy) = tirewidthτ¯.dy

Обратите внимание, что жесткость скольжения C ρ (где ρ относится либо к поперечному скольжению, либо к продольному скольжению ) находится путем линеаризации уравнений.(2.79a) и (2.79b) около ρ = 0:

Cρ = 4 · a2 · b · k

Выбор различной жесткости протектора в поперечном и продольном направлениях (без изотропной модели) позволяет получить разные значения для жесткость на поворотах и ​​продольном скольжении, как и ожидалось.

Продольная и поперечная силы показаны на рис. 2.39 для изменения скольжения тормоза и выбранных значений угла скольжения, где мы выбрали:

Рис. 2.39. F x и F y в зависимости от продольного скольжения, для переменного угла скольжения и нагрузки на колесо 4000 [Н], на основе физической модели щетки см.Уравнения. (2.79a) и (2.79b).

k = 2 × 10 7 [Н / м 3 ]

b = 0,1 [м]

μ = 1,0

Мы выбираем Радиус шины без нагрузки R = 0,32 [м], и предположим, что поведение радиуса шины под нагрузкой R l соответствует рисунку 2.5. Длина полуконтакта может быть приблизительно равна:

a = R2 − Rl2

или, исходя из радиального прогиба шины d

(2.81) a = 2 · R · d − d2≈2 · R · d = 2 · R · Fz / CFz

для жесткости шины C Fz . Это выражение переоценивает длину контакта. Шина на рисунке 2.5 имеет жесткость C Fz = 2,10 5 [Н / м]. Предполагая, что F z = 4000 [Н], мы получаем a = 0,11 [м].

Обратите внимание, что рисунки 2.31 и 2.39 очень похожи, где результаты на рисунке 2.31 основаны на эмпирической модели Magic Formula и результатах на рисунке 2.39 основаны на простой модели кисти. Однако можно заметить два отличия. Продольная сила согласно модели кисти достигает насыщения, не показывая типичного локального пика в характеристике продольной силы, с последующим уменьшением для большего скольжения κ . Следовательно, уровень насыщения тормоза или движущей силы достигается намного раньше и не изменяется за пределами этого значения скольжения. Неровности шины не учитываются в поперечной силе при малом угле скольжения.

На рисунках 2.40 и 2.41, мы показываем вид сверху отклонений щеток в случае чистой боковой скорости (Рисунок 2.40) и комбинированного скольжения с фиксированным углом скольжения и увеличивающимся тормозным скольжением (Рисунок 2.41). Скольжение увеличивается от изображения вверху к изображению внизу этих фигур. На рисунке 2.40 ясно показано расширение области скольжения. Сначала большая часть отклонения щетки развивается линейно от передней кромки области контакта. При увеличении угла скольжения точка пересечения между областями скольжения и сцепления перемещается вперед, что означает, что область сцепления уменьшается, а область скольжения расширяется.

Рисунок 2.40. Отклонения щеток вдоль контактной поверхности для чистого бокового скольжения с увеличением угла скольжения.

Рисунок 2.41. Отклонения щеток вдоль контактной поверхности для комбинированного скольжения с увеличивающимся тормозным скольжением и фиксированным углом скольжения.

На рисунке 2.41 поперечные отклонения щеток уменьшаются в размере, когда увеличивается проскальзывание тормозов. Из-за этого проскальзывания тормоза наблюдается значительное отклонение в плоскости, которое невозможно увидеть в проекции сверху вниз. При этом наблюдается изменение ориентации щеточных элементов от чисто латерального к отклонению назад.Элементы протектора, входящие в зону контакта, растягиваются из-за силы контакта тормоза, как объяснено в разделе 2.4.1. Явление, показанное на рис. 2.41, согласуется с общими физическими соображениями в разделе 2.4.1. Наконец, при увеличении тормозного скольжения увеличивается общее скольжение и скольжение, как показано на Рисунке 2.41. Вид сбоку для чистого продольного скольжения (торможения) показан на рисунке 2.42. Вертикальные щетки остаются вертикальными на передней кромке, при этом основание перемещается назад вдоль области контакта, и это отклонение исчезает на задней кромке области контакта.

Рисунок 2.42. Устранение отклонений щеток по поверхности контакта для чистого скольжения тормоза.

Таким же образом, как и для поперечных сил, получаем выражение в замкнутой форме для центрирующего момента M z :

Mz = −∫02 · aqy (ξB) · (a − ξB) dξB =

(2,82) = - ρyρ · μ · Fz · a · [θρ − 3 · (θρ) 2 + 3 · (θρ) 3− (θρ) 4]; ρ <1 / θ

В случае ρ ≥1 / θ , M z исчезнет. Обратите внимание, что это может быть результатом увеличения угла скольжения α или увеличения скольжения тормоза или привода | κ |.Пневматический след следует из отношения F y и - M z :

(2.83a) tp = 13 · a · 1−3 · θ · ρ + 3 · ( θ · ρ) 2− (θ · ρ) 31 − θ · ρ + 13 · (θ · ρ) 2; ρ <1 / θ

(2.83b) = 0; ρ≥1 / θ

Выравнивающий момент и Пневматический след в зависимости от угла скольжения показан на рисунке 2.43 для тех же значений сцепления с дорогой и параметров модели, которые были выбраны ранее. Нагрузка на колесо варьировалась от 1000 до 5000 [Н].

Рисунок 2.43.Согласование крутящего момента и пневматического следа в зависимости от угла скольжения в случае чистого скольжения для различных колесных нагрузок на основе физической модели щетки, см. Уравнения. (2.82), (2.83a) и (2.83b).

Центрирующий момент достигает пика при α = arctan (1 / (4 · θ )), после чего он уменьшается в абсолютном размере до нуля при α = arctan (1/ θ ). Центрирующий момент не меняет знак с увеличением угла скольжения в отличие от результатов, основанных на описании Magic Formula (см. Рисунки 2.24 и 2.28). Пневматический след является монотонной функцией в α , начиная с ненулевого наклона при α = 0. Оно стремится к нулю, что достигается при α = arctan (1/ θ ). Его значение при исчезающем угле скольжения

tp → a3; α ↓ 0

меньше, чем обычно (около a /2), см. Также Ref. [32].

Мы завершаем этот раздел некоторыми замечаниями, касающимися влияния тормозной / приводной силы на выравнивающий момент и приближениями для комбинированной контактной силы скольжения в соответствии с формулой.(2.71).

Замечания
1.

Полярный график F x по сравнению с F y , как показано на рисунке 2.30 для эмпирической магической формулы, также может быть получен для физическая модель кисти. Поскольку силовые характеристики, основанные на модели кисти, насыщаются без затухания при большом скольжении, этот график в полярных координатах будет аналогичен графику на рисунке 2.29. Мы определили этот полярный график для модели кисти для F z = 4000 [N] (см. Рисунок 2.44). Когда мы строим график выравнивающего крутящего момента относительно F x , выражение (2.82) приводит к графику, который является симметричным для F x , в отличие от рисунка 2.33. Это можно исправить, добавив модели кисти простую гибкость каркаса. Это означает, что весь каркас прикреплен к выступающему центру колеса посредством пружин, действующих в поперечном и продольном направлениях с разными значениями жесткости. Так же, как в обсуждении на рисунке 2.33, результирующие прогибы каркаса будут способствовать центрирующему крутящему моменту, что приведет к потере симметрии, как показано на рис. 2.33. Мы ссылаемся на Ref. [32] для получения дополнительных сведений.

Рисунок 2.44. Полярная диаграмма F x в сравнении с F y для постоянного угла скольжения для F z = 4000 [Н] и μ = 1,0 на основе модели кисти.

2.

Объединенные уравнения (2.79a) и (2.79b) показывают, что явное выражение контактной поперечной силы в зависимости от скольжения не меняется, если мы переходим от чистого скольжения к комбинированному. Единственное отличие состоит в том, что ρ равно α или - κ / (1+ κ ) в случае чистого поперечного или продольного скольжения, или полному теоретическому скольжению согласно формуле. (2,76). Это означает, что выражение (2.78) можно интерпретировать как

(Fx (ρx, ρy) Fy (ρx, ρy)) = (ρxρy) · Fpure (ρ) ρ

До сих пор мы обсуждали модель изотропной щетки.Предыдущее выражение было вдохновением для приближения (2.71), которое дало точные результаты, которых было достаточно во многих случаях, особенно если целью является качественный анализ (тенденции, чувствительность).

Продольное напряжение - обзор

7.3.3.1 Осевые напряжения внутри волокна

В этом разделе показано изменение продольных напряжений с распространением трещины вдоль оси волокна σ zz (0, z ).Для ясности, хотя по одной модели была создана для каждого из экспериментальных измерений, представленных в разделе 7.2.2, в этом разделе был выбран только набор из восьми моделей. Размеры и нагрузки, соответствующие этим моделям, можно найти в таблице 7.2. Выбранные модели примерно равномерно распределены там, где имеет место распространение трещины, в интервале 2% < ε <3%. Длина полуфрагмента, используемая в каждой модели, определяется средней длиной полуфрагмента L f ( ε ), определенной в уравнении (7.2). Наконец, значение, используемое для длины a дебондовой трещины, было выбрано из числа тех, которые соответствуют отдельным измерениям, представленным для каждого значения ε , и в то же время стараются поддерживать значение, близкое к среднему значению этих значений. измерения.

Таблица 7.2. Размеры и нагрузки, используемые в моделях, выбранных для описания эволюции осевых напряжений в волокне

Модель 1 2 3 4 5 6 7 8
ε (%) 2.00 2,15 2,31 2,50 2,69 2,77 2,85 2,99
L f (мкм) 9 500369 & gt ; 500 & gt; 500 363,2 291,2 250,3 221,6
a (мкм) 19,3 26,6 37,5 1 72,8 77,0 82,6

Обратите внимание, что когда фрагменты очень длинные, продольные напряжения вдоль оси волокна становятся нечувствительными к длине фрагмента, поскольку на определенном расстоянии от трещины волокна напряжения полностью восстанавливаются. и стать постоянным. Поэтому модели, имеющие длину полуфрагмента L f > 500 мкм, были усечены до z = 500 мкм, чтобы уменьшить количество узлов в модели.

Эволюция σ zz (0, z ) представлена ​​на рисунке 7.7 для восьми случаев, перечисленных в таблице 7.2, в диапазоне 0 < z <500 мкм, где z = 0 соответствует плоскости, содержащей трещину волокна, без учета эффекта трения вдоль берегов трещины (т. Е. С учетом μ = 0).

Рисунок 7.7. Эволюция продольных напряжений вдоль оси волокна σ zz (0, z ) для моделей, перечисленных в таблице 7.2 при отсутствии трения.

Как видно, результаты согласуются с качественным описанием, представленным в разделе 7.2.1. Осевое напряжение равно нулю в плоскости разрушения и увеличивается по мере приближения к центру фрагмента. Для длинных фрагментов (модели 1–4) ясно видно, что на определенном расстоянии от плоскости разрушения осевое напряжение достигает плато и остается примерно постоянным и равным напряжению, соответствующему неповрежденному волокну. Следовательно, увеличение нагрузки, прилагаемой к образцу, приводит к увеличению напряжения, воспринимаемого волокном, что приводит к появлению новых фрагментов.Как только длина фрагмента уменьшается (модели 5–8), это не позволяет осевому напряжению восстанавливать значение напряжения до разрушения. Следовательно, хотя внешняя нагрузка увеличивается, осевые напряжения внутри всего фрагмента ниже, чем те, которые вызвали предыдущее разрушение, и, следовательно, внутри этих коротких фрагментов не возникают новые разрывы волокон.

Из рисунка 7.7 ​​также видно, что по мере роста дебанда увеличивается протяженность зоны, в которой осевые напряжения ослабевают, что затрудняет появление новых фрагментов.Обратите внимание, что этот факт означает, что чем слабее интерфейс, тем длиннее будет окончательный средний фрагмент. Большинство исследований, содержащихся в литературе, анализирующих SFFT с целью определения свойств межфазного разрушения, пытаются определить эти свойства по окончательной средней длине фрагмента. Как будет показано в нижеследующем обсуждении, этот подход очень сложен, поскольку рост отложения контролируется не только свойствами разрушения границы раздела, но и трением между поверхностями трещины.Разделение обоих эффектов, только с учетом эволюции средней длины фрагмента в зависимости от приложенной извне нагрузки, требует использования сильных упрощающих допущений (обычно пренебрегающих эффектом трения), что затрудняет применение полученных свойств разрушения к другим задачам. с разными условиями загрузки.

На рисунке 7.8 (a) эволюция σ zz (0, z ) в отсутствие трения сравнивается с полученной при μ = 1 (для модели 5), что имеет промежуточную длину фрагмента.Как можно видеть, эффект трения может быть отчетливо оценен в зоне, близкой к трещине волокна, z <200 мкм, где увеличение напряжения происходит постепенно в случае трения и резко в случае отсутствия трения. С другой стороны, напряжения в средней части фрагмента, 200 мкм < z <500 мкм, в обоих случаях очень похожи. Следовательно, увеличение внешней нагрузки вызывает аналогичное увеличение осевого напряжения внутри волокна в зоне, где фрагмент может сломаться.Как следствие, наличие трения не имеет прямого отношения к конечной средней длине фрагмента.

Рисунок 7.8. Влияние трения на продольные напряжения вдоль оси волокна. (a) Сравнение фрикционного ( μ = 1) и бесфрикционного решений для модели 5. (b) Фрикционное решение ( μ = 1) для моделей, перечисленных в таблице 7.2.

Как показано в предыдущих исследованиях авторов (Graciani et al., 2009a, 2011a) и резюмировано в Разделе 7.3.4, трение явно влияет на распространение трещин отбойника.Следовательно, окончательная средняя длина фрагмента в SFFT зависит в основном от того, насколько быстро растет трещина отбойника, а рост трещины зависит как от свойств межфазного разрушения, так и от коэффициента трения, что очень затрудняет определение свойств межфазного разрушения на основе окончательного среднего значения. длина фрагмента.

По этой причине в этой главе характеристики межфазного разрушения определяются на основе измерений эволюции роста дебондовой трещины с приложенной нагрузкой с использованием метода, который позволяет одновременно определять коэффициент межфазного трения.

Для сравнения на рисунке 7.8 (b) показаны те же результаты, что и на рисунке 7.7, с той лишь разницей, что в расчетах используется коэффициент трения μ = 1. Можно ясно понять, что, как и в случае отсутствия трения, максимальное напряжение в фрагменте увеличивается пропорционально приложенной извне деформации, когда фрагменты длинные (модели 1–4), но для более коротких фрагментов (модели 5–8) увеличивается до приложенная извне деформация не вызывает увеличения максимального осевого напряжения внутри фрагмента.

Результаты, представленные на рисунке 7.8 (b), могут быть использованы для дальнейшей экспериментальной проверки представленной здесь методики с использованием уже существующих экспериментальных методов, таких как рамановская спектроскопия (см. Галиотис (1991, 1993) или Хуанг и Янг (1994). ), которые позволяют с достаточной степенью точности определять осевые напряжения вдоль стекловолокна в SFFT. Соответственно, напряжения, рассчитанные численно с использованием коэффициента трения, взятого из анализа распространения трещин, должны соответствовать напряжениям, измеренным экспериментально.Сравнение можно легко и точно провести, поскольку на наклон увеличения напряжения в зоне вблизи трещины волокна сильно влияет коэффициент трения.

Что такое участки и как их строить. Методика построения диаграмм изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. Система двух проекционных плоскостей

Рисунок: стержень 1.3

Порядок построения участков:

1.Определите реакции опор.

2. Разделите штангу на секции.

Участок - Часть штанги между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.

3. Записываем аналитические выражения для внутренних сил новых факторов.

4. Постройте график (диаграмму) (рис. 1.4).

Рисунок: 1.4 График нормальных сил

Диаграмма - график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.

При использовании метода ROSU часть с большей нагрузкой отбрасывается.

Внутренний фактор - равнодействующих внутренних сил.

Н з2 = П-3П = -2П

Nz2 = P-3P = -2P

Пример 2 (рис. 1.5).

Постройте нормальные силы N.

q - интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Опасный участок в окончании, потому что там самое большое значение N.

Рисунок: 1.5 Построение нормальных сил

Построим график нормальных сил

Нанесение моментов крутящего момента

Под

Под кручением понимается тип нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а остальные силовые коэффициенты равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения, принято следующее знаковое правило.

Рисунок: 1.6 Правила знаков крутящего момента

Если со стороны внешней нормали к сечению вращение против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).

Правило знаков - формальное (может быть задано произвольно).

Шатун, в основном торсионный, называется валом .

Рисунок 1.7 Схематическое изображение крутящего момента (против часовой стрелки).

Пример (K - 1)

Постройте диаграмму крутящих моментов (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9 График крутящего момента

Пример построения диаграммы крутящего момента (рисунок 1.10).

Рисунок: 1.10 График крутящего момента

График поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок

Балка - Пруток , в основном работающий на гибку.При расчете балки ее принято заменять осью, все нагрузки сводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Вал - стержень в основном торсионный.

Типы опор:

Поворотно-подвижная опора - опора, в которой может происходить только один компонент реакции, направленный вдоль опорной планки (рисунок 1.11).

Рисунок: 1.11 Поворотный подшипник

Шарнирно-сочлененная неподвижная опора - опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рисунок 1.12).

Рисунок 1.13 Встраивание

1.3.2 Правила знаков для M

График для M построен на сжатых волокнах.

Рисунок: 1.14 Расчетная схема

Рассчитаем реакции опор.

Освободим луч от ограничений и заменим их действие реакциями.

Y: R A - P - q 2a + R B = 0

Составим уравнения равновесия:

Сумма моментов всех сил относительно точки А равна

Сумма моментов всех сил относительно точки B равна

Разделите балку на четыре части.Применяем метод сечения к каждому из сечений и записываем выражения для внутренних сил

Внутренние усилия во второй секции равны

В третьем разделе

Внутренние усилия в четвертой секции равны

Строим диаграммы для M и Q (рисунок 1.15). Проверить правильность полученных диаграмм, последствия дифференциальных зависимостей между Q и M.

Рисунок: 1.15 Построение графиков Q и M

Дифференциальные ограничения изгиба

Пусть стержень закреплен произвольно и нагружен распределенной нагрузкой q = f (z), принятое направление q считается положительным (рис.2.1).

Рисунок: 2.1 Штанга с распределенной нагрузкой

Выберем из стержня элемент длиной dz и приложим моменты M и M + dM, а также поперечные силы Q и Q + dQ в нарисованных сечениях (рис. 2.2). В пределах небольшого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.

Рисунок: 2.2 Элемент длины стержня dz

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:

После упрощения получаем:

Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере диаграмм изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

Правила проверки участков

1. Если на сечение нет распределенной нагрузки, то есть q = 0, => Q = const = C 1; => M = C 1 × z + D 1, то диаграмма поперечных сил постоянна, а диаграмма изгибающих моментов M изменяется линейно (рис. 2.3).

Рисунок: 2.3 Диаграмма поперечных сил и изгибающих моментов

2. Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на диаграмме Q наблюдаются скачки по величине этой силы от начала предыдущего к началу следующего.А на диаграмме M есть излом, направленный навстречу этой силе.

3. Если первая производная положительна, то момент увеличивается слева направо, если отрицательный, то наоборот: + Q => M- -Q => M¯.

Если в сечении приложен сосредоточенный момент М i, то на диаграмме Q нет изменений, а на диаграмме M перескакивает на величину этого момента (рис. 2.4).

Рисунок: 2.4 Диаграмма поперечных сил и изгибающих моментов

Если на сечение приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q - наклонная прямая, а M - парабола, выступ которой направлен навстречу нагрузке (рис.2.5).

Рисунок: 2.5 Диаграмма поперечных сил и изгибающих моментов

6. Если график Q меняет знак и пересекает ось в сечении, то график M имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.

7. Если ветви Q-диаграммы сопрягаются без скачка на границах сечения, то ветви М-диаграммы на границе этих же сечений сопрягаются без разрывов (рис. 2.6).

Рисунок: 2.6 Диаграмма поперечных сил и изгибающих моментов

8. Если в сечении стержня Q равно нулю, то (рис. 2.7)

Рисунок: 2.7 Диаграмма поперечных сил и изгибающих моментов

Введем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарный участок DF в плоскости поперечного сечения балки (рис. 3.1). На него действует произвольная сила, которую можно разложить на составляющие DN (DNûëxOy) и DT (DTÎxOy).

Рисунок: 3.3 Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Деформации

Ни один из материалов, встречающихся в природе, не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной степени изменяют свою форму (деформируются).

Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само это изменение формы, как правило, незначительно и выявляется в большинстве случаев только с помощью чувствительных инструментов.

Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач прочности материалов.

3. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЭПУР ВНУТРЕННИХ СИЛ M, Q, N

Порядок построения ординат участка M

числовое значение изгибающего момента в сечении.

2. Отложите найденное числовое значение как ординату, перпендикулярную оси стержня со стороны растянутого волокна стержня.

Числовое значение изгибающего момента в сечении равно числовому значению алгебраической суммы моментов всех сил, действующих на стержневую систему по обе стороны от сечения, взятой относительно точки на оси сечения.

Способ укладки растянутого волокна в секции демонстрируется на примере кантилевера с ломаным контуром при нагружении тремя видами нагрузки (рис. 3.1). Ординаты соответствующих трех графиков M нанесены на расширенную сторону стержней, образующих консоль.

Признаки правильного внешнего вида участка М

При заданном правиле построения ординат графика M этот график имеет следующие свойства.

1. На свободном от нагрузки участке прямого стержня диаграмма прямая.

2. На участке распределенной нагрузки он очерчен изогнутой линией, выпуклой по направлению к нагрузке. Когда нагрузка распределена равномерно, кривая представляет собой параболу второй степени.

3. В точке приложения сосредоточенной силы диаграмма имеет излом, вершина которого направлена ​​навстречу действию силы.

4. В точке приложения сосредоточенного момента диаграмма имеет скачок по ординатам, равный величине момента.

5. В сечении, расположенном на границе ненагруженного участка стержня и участка, нагруженного распределенной нагрузкой, кривая линия диаграммы плавно (без излома) переходит в прямолинейную диаграмму, которая является касательной

в криволинейное сечение.

Эти свойства используются для управления построенными графиками M.

Знаковая линейка для ординат участков M

При построении ординат диаграммы M со стороны растянутого волокна стержня вручную знак ординаты не требовался.Однако при численных расчетах на ПК каждой ординате графика M присваивается знак. Сюжетный знак использовали М и при построении на нем диаграммы Q.

В данном учебном пособии приведены правила знаков, принятые для ординат М-диаграмм в программе SCAD.

Если «нижнее» волокно стержня растянуто, то ордината откладывается от оси стержня «вниз» и ей присваивается знак «+»

Если «верхнее» волокно стержня растянуто, то ордината откладывается от оси стержня «вверх» и ей ставится знак «-» (рис.3.3).

«Нижнее» волокно стержня в программе SCAD - это волокно конечного элемента стержня (КЭ) типа «Плоский каркасный стержень», расположенное со стороны отрицательных ординат оси Z1 локальной системы координат. (MCS), а «верхнее» волокно со стороны положительных ординат оси Z1 (см. Рис. 3.2, 3.3).

Примечание. При ручном вычислении алгебраической суммы моментов всех сил на одной стороне сечения для определения изгибающего момента в сечении стержня рекомендуется сразу ставить знаки членов моментов в соответствии с этим правилом приметы.Тогда ордината изгибающего момента получится со своим знаком в соответствии с принятым правилом и по этому правилу может быть отложена от оси стержня.

Построение M-диаграммы на ненагруженном стержневом элементе

Из приведенных выше свойств участка М (признаки правильного участка)

известно, что если на конечный элемент стержня отсутствует внешняя нагрузка, то диаграмма изгибающих моментов на нем будет прямолинейной. Для его построения достаточно вычислить ординаты только в конечных сечениях такого элемента.

Примечание. В программе SCAD для получения ординат изгибающих моментов КЭ, нагруженного распределенной нагрузкой, расчет «по умолчанию» может быть назначен для нескольких, например, трех поперечных сечений КЭ: в начале (n), в середине (s) и в конце (k) конечных элементов (начальный участок «n» связан с началом оси X1 в MSC).

Затем, чтобы уменьшить выходные результаты для КЭ без нагрузки в их пределах

в разделе «Подборки» на панели инструментов нажмите кнопку «Назначение промежуточных сечений для расчета сил».Откроется диалоговое окно «Рассчитать силы ... ..» (см. Справку программы SCAD для этого окна). В диалоговом окне введите цифру 2 в поле «количество секций». Далее закройте окно и отметьте на диаграмме стержневой системы конечные элементы, на которых ожидаются линейные диаграммы M. Как это делается, показано в руководствах.

На рис. 3.2, 3.3 концевые участки стержня обозначены узлами «n» и «k» MSC. После задания всего двух участков для расчета сил в отмеченных элементах программа SCAD в соответствующей таблице сил отобразит значения изгибающих моментов M n (M 1) и M k (M 2) только в узлов «n» (1) и «k» (2) (с их

знаков в MSC).

При оцифровке ординат моментной диаграммы, которая выполняется нажатием кнопки

Фильтр отображения, в каждом конечном элементе из двух указанных моментов (M 1, M 2) задается момент с максимальным значением.

Построение M-диаграммы на стержневом элементе, когда равномерно распределенная нагрузка действует по его длине

Если равномерно распределенная нагрузка расположена по всей длине КЭ, то диаграмма изгибающих моментов на ней будет иметь вид параболы с выпуклостью, направленной навстречу действию нагрузки.

Примечание. В программе SCAD, используя процедуру, которая только что была рассмотрена по прямому назначению для расчета изгибающих моментов только в двух секциях КЭ, можно назначить вычисление моментов в ряде секций между узлами "h" и «k» элемента в MSC.

Для приближенного построения параболы достаточно вычислить ординаты диаграммы M в трех участках КЭ: в начале «n», в середине «c» и в конце «k».В итоговой таблице усилий программы SCAD эти участки обозначены соответственно 1, 2, 3. В программе SCAD расчет моментов в этих участках может быть предусмотрен по умолчанию. Однако, если по какой-то причине калькулятору известны только две ординаты диаграммы M на концах элемента (M n и M k), то легко вычислить

ордината M c в среднем сечении, применяя принцип независимости действия сил.

Пример.Вырежем (по узлам «n» (1) и «k» (3) MSC) из стержневой системы элемент, нагруженный равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 3.4, а).

Рассмотрим его как балку на двух опорах, находящуюся под действием внутренних сил на концах элемента и распределенной нагрузки (рис. 3.4, б). Добавление этих трех опорных связей не влияет на силы в элементе, так как в состоянии разреза он находится в равновесии, следовательно, силы (реакции) в добавленных связях будут равны нулю.+ M c o.

Обе суммированные ординаты в рассматриваемом примере положительны, так как расположены ниже оси луча. На рис. 3.5 показан вариант, когда ордината

M c (лом) = 0,5 (M n + M k) отрицательно (ордината M c o = ql 2/8 при указанном направлении нагрузки q положительна). Здесь графоаналитический метод построения параболической диаграммы задается ее тремя полными ординатами (M n, M s, M k) и тремя

по касательной к параболе на соответствующих концах ординат (отмечены крестиком).

Смысл этого графоаналитического метода станет понятен, если мы рассмотрим на рис. 3.4, d диаграмму M (R) треугольной формы, показанную пунктирными линиями. Схема

Растяжение - сжатие называется типом деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только продольная сила N.

Прямые стержни, работающие на растяжение - сжатие, называются стержнями .

Продольная сила называется равнодействующей всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Продольная сила в любом напряженном сечении балки определяется методом сечения: она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине стержня непостоянна, строится график «N». Диаграмма - это график изменения коэффициента внутренней силы по длине стержня.

Правила построения диаграмм продольных сил:

    Делим брус на участки, границами которых являются участки, на которые действуют внешние силы.

    Внутри каждого сечения используется метод сечения и определяется продольная сила. Причем, если внешняя сила растягивает левую часть стержня, т.е. направлена ​​из сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставшуюся часть стержня, т.е. направлена ​​в сторону сечения - продольная сила отрицательна.

    Откладываем полученные значения и наносим на карту продольные силы. Если на площадку не действует равномерно распределенная нагрузка, то диаграмма ограничивается прямой линией, параллельной нулевой линии.

    Правильность построения диаграмм продольных сил определяется следующим образом: на участках, где действует внешняя сила, на диаграмме наблюдаются «скачки», которые по величине равны приложенной силе.

Правила построения диаграмм нормальных напряжений:

    Делим брус на участки, границы которых являются точками приложения внешних сил, и участки, где площадь меняется.

    На каждом участке рассчитываем нормальные напряжения по формуле



    Строим диаграмму нормальных напряжений, по которой определяем опасный участок. При растяжении - сжатии опасен участок, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.

При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии все наоборот.

∆l = l - l 0 - абсолютное удлинение.

 удлинение или продольная деформация.

Закон Гука растяжения-сжатия: 

Е - модуль упругости первого рода, характеризует жесткость материала.

Абсолютное удлинение рассчитывается по формуле Гука:

Алгоритм решения задач построения продольных сил и

нормальные напряжения, расчет абсолютного удлинения стержня

    Разбейте нулевую линию на участки, чтобы построить график продольных сил. Проведите границы участков в участках, где действуют внешние силы.

    Рассчитайте продольную силу в каждом сечении, используя метод сечения.

    Отложите полученные значения и нанесите на график продольные силы. Правильность контролируется следующим образом: на участках, где к стержню приложены внешние силы, на диаграмме продольных сил наблюдаются «скачки», которые численно равны этим силам.

    Разбейте нулевую линию на участки, чтобы построить диаграмму нормальных напряжений. Границы участков - это участки, в которых изменяется площадь и действуют внешние силы.

    На каждом участке рассчитайте нормальное напряжение по формуле

    Отложите полученные значения и нанесите на график нормальные напряжения.Определите опасный участок детали по схеме. Участки сечения, где нормальные напряжения наибольшие, опасны.

    Для каждого участка диаграммы нормальных напряжений рассчитайте абсолютное удлинение по формуле Гука.

    Определите полное абсолютное удлинение для всей детали в целом: найдите алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех сечений. Более того, если общее значение положительное, стержень удлинился, если отрицательное - стержень укорачивается.

Анализ наиболее частых ошибок.

Следует помнить, что на диаграмме продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на диаграмме нормальных напряжений - в точках приложения внешних сил и на участках, где площадь изменения полосы.

Для того, чтобы правильно подставить значения в формулу для нормальных напряжений, нужно подняться с участка диаграммы напряжений, для которого производится расчет, на диаграмму нормальных сил и посмотреть, каково значение продольная сила в этом сечении.Затем подойдите к чертежу детали и посмотрите, какая площадь поперечного сечения стержня находится в этой конкретной области.

При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука следует подставить продольную силу из диаграммы продольных сил, а значение площади сечения и длины этого сечения - из чертежа детали.

В формуле для нормальных напряжений и в формуле Гука следует подставить значение продольной силы для данного сечения.

эпуре - чертеж) - чертеж, на котором пространственная фигура изображается методом нескольких (по ГОСТу трех, но не всегда) плоскостей. Обычно дает 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную (фасад, план, профиль). Рисунок проецируется на взаимно перпендикулярно, а затем разворачивается на одной плоскости.

Энциклопедический YouTube

  • 1 / 3

    Информация и методы построения, в связи с необходимостью получения плоских изображений пространственных форм, постепенно накапливались с древних времен.Долгое время плоские изображения выполнялись преимущественно как живописные. С развитием технологий вопрос об использовании метода, обеспечивающего точность и удобство использования изображений, приобрел первостепенное значение, то есть возможность точно определять положение каждой точки на изображении относительно других точек или плоскостей и, простыми приемами определите размеры отрезков линий и фигур.

    Как один из министров революционного правительства Франции Гаспар Монж много сделал, чтобы защитить ее от иностранного вмешательства и завоевать революционные войска.Начав с задачи точной огранки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и укреплению, Монж пришел к созданию методов, которые он впоследствии обобщил в новой науке - начертательной геометрии, создателем которой он по праву считается. Учитывая возможность использования методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство школы Мезьер не допускало открытой публикации до 1799 г. (стенографическая запись лекций была сделана в 1795 г.).

    Система двух плоскостей проекции

    В этом случае для построения изображения в двух плоскостях проекции горизонтальная плоскость проекции P 1 и плоскость фронтальной проекции P 2 объединяются в одну, как показано на рис. 1. На пересечении они задают ось абсцисс и делят пространство на четыре четверти (квадранта).

    epure - рисунок) - особый тип графика, показывающий распределение нагрузки на объект. Например, для стержня в качестве области определения берется продольная ось симметрии, и в зависимости от оси абсцисс строятся диаграммы для сил, напряжений и различных деформаций.

    Расчет графиков напряжений - основная задача дисциплины сопротивления материалов. В частности, только с помощью диаграммы можно определить максимально допустимую нагрузку на материал.

    Также график - это схематический рисунок или график. В этом смысле он практически не используется, см. Схему.

    Напишите рецензию на статью "Схема".

    Выдержка из схемы

    - Но ты не можешь ждать, князь, в такие моменты. Pensez, il y va du salut de son ame... Ах! c "est ужасно, les devoirs d" un chretien ... [Подумайте, это о спасении его души! Ой! это ужасно, обязанность христианина ...]
    Дверь открылась из внутренних комнат, и вошла одна из принцесс племянниц графа с угрюмым и холодным лицом и длинной талией, которая была поразительно непропорциональна ногам. .
    Князь Василий обратился к ней.
    - Ну что он?
    - Все равно. А как вы хотите, этот шум ... - сказала княгиня, оглядываясь вокруг Анны Михайловны, как будто она была незнакомой.
    - Ах, chere, je ne vous reconnaissais pas, [Ах, милый, я тебя не узнала,] - сказала Анна Михайловна со счастливой улыбкой, легко подходя к племяннице графа. - Je viens d "arriver et je suis a vous pour vous aider a soigner mon oncle. J`imagine, combien vous avez souffert, [я пришла, чтобы помочь вам следовать за вашим дядей. Я могу представить, как вы страдали]", - добавила она , с участием закатываю глаза.

Понятие деформации при растяжении и сжатии. Растяжение и сжатие

РАСШИРЕНИЕ И СЖАТИЕ

Имя параметра Значение
Тема статьи: РАСШИРЕНИЕ И СЖАТИЕ
Категория (предметная категория) Стандартизация

ВВЕДЕНИЕ

При сопротивлении материалов учитывают типичные конструктивные элементы: брус, плита, оболочка.Внешние нагрузки, действующие на элементы конструкций, делятся на сосредоточенные и распределенные, статические и динамические. Все реальные силы - это силы, распределенные в определенной области или объеме. При этом распределенную нагрузку на небольшой площади, размеры которой очень малы по сравнению с размером всего элемента, можно заменить сосредоточенной равнодействующей силой, что упрощает расчет. Распределенные нагрузки имеют единицы силы на единицу длины или единицу поверхности или объема.

Под действием статических нагрузок на конструкцию все ее части находятся в равновесии; ускорение элементов конструкции отсутствует или настолько мало, что им можно пренебречь.Если эти ускорения значительны, то есть изменение скорости элементов машины происходит за относительно короткий промежуток времени, то мы имеем дело с приложением динамических нагрузок. Примерами таких нагрузок могут быть внезапно приложенные нагрузки, ударные нагрузки и переменные переменные. Действие таких нагрузок сопровождается возникновением колебаний конструкций или конструкций. Из-за изменения скорости колеблющихся масс возникают силы инерции, которые пропорциональны (согласно второму закону Ньютона) колеблющимся массам и ускорениям.

Методы расчета элементов конструкции описаны на основе следующих упрощений и допущений: материал корпуса имеет сплошную (непрерывную) структуру, то есть не учитывается дискретная атомистическая структура вещества; материал корпуса однороден, то есть обладает одинаковыми свойствами во всех точках; материал корпуса изотропен, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях; До приложения нагрузки в теле отсутствуют внутренние (начальные) усилия; Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов действия тех же сил, приложенных к телу последовательно и в любом порядке.

РАСШИРЕНИЕ И СЖАТИЕ

В природе бывают упругие, упругопластические и вязкопластические твердые тела. Упругое тело после снятия внешней нагрузки восстанавливает свои первоначальные размеры и форму. В этом случае деформация тела называется упругой. Упругопластическое тело не полностью восстанавливает свой первоначальный размер и форму, т. Е. Имеет место остаточная деформация. В инженерных конструкциях и механических машинах не допускаются остаточные деформации.

В результате действия внешних нагрузок в поперечных сечениях возникают факторы внутренней силы, которые определяются с помощью метода сечения.Твердое тело под действием внешних нагрузок мысленно разрезают на две части и учитывают балансировку одной из частей. Действие выброшенной части на оставшуюся заменяется внутренними нагрузками, прилагаемыми к рассматриваемому сечению. Составив уравнение равновесия оставшейся части от действия внешних и внутренних силовых факторов, найдите последний.

Наиболее важные понятия - это напряжения и деформации.

При нагружении кузова растягивающими или сжимающими силами определяются напряжения, деформации и удлинения.Внутренняя сила взаимодействия, относящаяся к единице площади, расположенной вблизи любой точки поперечного сечения тела, называется напряжением в этой точке. Таким образом, величина напряжений в каждой точке поперечного сечения является мерой внутренних сил, возникающих в материале в результате воздействия внешних нагрузок. Нормальное напряжение σ при растяжении-сжатии в поперечных сечениях корпуса определяются из соотношения σ = N / S , где N - внутренняя продольная (нормальная) сила, действующая в поперечном сечении; S - площадь поперечного сечения.Напряжения и деформации в пределах упругой деформации связаны между собой законом Гука, т.е. σ = εE , где E - модуль упругости материала (модуль Юнга), ε - относительная продольная деформация.

Расчетные значения напряжений сравниваются с допустимыми [σ], , который определяется путем деления некоторых предельных значений на коэффициент безопасности с ( [σ] = σ пр / с ) . Предел прочности (для хрупких материалов) или предел текучести (для пластичных материалов), которые получают при испытании стандартных образцов на растяжных машинах, принимают в качестве предельных напряжений.При этом построить в координатах напряжение-деформацию условной диаграммы растяжения. Условная диаграмма называется потому, что напряжения и деформации рассчитываются соответственно относительно начальной площади поперечного сечения и длины образца. Используя обычную диаграмму растяжения, чрезвычайно важно иметь возможность определить механические характеристики материала: предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести и предел прочности на разрыв, а также относительное остаточное удлинение при разрыве.

Иногда для изучения значительных пластических деформаций чрезвычайно важно знать истинную диаграмму растяжения, полученную делением растягивающего усилия на истинную площадь поперечного сечения образца (с учетом уменьшения поперечных размеров поперечного сечения образца). раздел под напряжением).

Следует отметить, что закон Гука, который связывает напряжения и деформации через модуль упругости материала, действует только до предела пропорциональности.Продольные деформации растяжения связаны с поперечными деформациями с помощью коэффициента Пуассона.

При определении напряжений и деформаций в статически неопределимых системах чрезвычайно важно учитывать, что силы, возникающие в стержнях, зависят от жесткости стержня, .ᴇ. от площадей поперечного сечения и модулей упругости материала.

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ - понятие и виды. Классификация и особенности категории «РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ» 2014, 2015.

  • -

    При внецентровом растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью балки, как при растяжении, а смещается относительно оси и параллельно ей. Пусть равнодействующая сила в точке равна. Его координаты и. От этой силы в произвольном поперечном сечении стержня ....


  • - Растяжение и сжатие без вентиляции

    В случае эксцентрического растяжения равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении. , но смещен относительно оси z и остается параллельно ей (рис.53). Рис. 53 Пусть точка A приложения результирующих внешних сил находится в ....


  • - Безвентиляторное растяжение и сжатие

    Пример Для данной схемы нагружения стержня (рис. 52) постройте поперечные силы Qy. (z) и изгибающий момент Mx (z) со следующими начальными данными: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН / м, l = 1 м. Рисунок 52 Решение Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента: Qy (z) = Qy (0) & ....


  • - Растяжение и сжатие без вентиляции

    Бесцентровое сжатие и растяжение, а также наклонный изгиб относятся к сложный вид сопротивления балки.При нецентральном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил не совпадает с осью балки, как при простом растяжении, а смещена относительно оси z и параллельно ей ...

    Построить вдоль длины балки, согласно схеме нагружения (рис. 1.1), диаграмм действия продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Сделайте вывод о прочности древесины, сравнив значения нормальных напряжений в опасном сечении с допустимыми, если материал древесины -....


  • - Экспериментальное исследование механических свойств материалов. Испытание на растяжение и сжатие

    Экспериментальные исследования сопротивления материалов проводятся с целью изучения механических свойств материалов, проверки точности расчетных формул и оценки характеристик спроектированной конструкции на лабораторных моделях. В ходе сопротивления ....

  • Тип деформации называется центральным растяжением или сжатием в арматуре, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила N, а все остальные силы равны нулю.

    Продольная сила N является равнодействующей внутренних сил в поперечном сечении стержня. В сопротивлении материалов оно определяется из состояния равновесия отрезанной части и численно равно сумме проекций на продольную ось стержня всех внешних сил, находящихся на одной стороне сечения.

    При растяжении продольная сила направлена ​​от сечения и считается положительной. При сжатии он направлен в поперечное сечение и считается отрицательным.

    График продольных сил - график величин этих усилий для всех сечений стержня.

    Пример раствор копрома растяжение - сжатие. Постройте график продольных сил для стержня, показанного на рис. 4, а.

    Решение. Выполните секцию 1-1 внутри первой секции и выбросьте правую сторону стержня. Мы прикладываем неизвестную силу N1 к оставшейся левой части, предполагая, что она положительна и направлена ​​от секции. Из уравнения равновесия отсеченной части получаем N1-3P = 0 => N1 = 3P

    Через участки 2-2, 3-3 и т. Д.на остальных участках и составляя уравнения равновесия отрезанных частей, определяем продольные силы (рис. 4, б).

    2-я секция N2 - P - 3P = 0 N2 = 4P

    3-я секция N3 + 6P-P-3P = 0 N3 = -2P

    4-я секция N4-4P + 6P-P-3P = 0 N4 = 2П

    Для контроля определим N4 с учетом правой части стержня.

    2P - N4 = 0 N4 = 2P

    Согласно найденным значениям N на рис. 4 построен график продольных сил.Из графика следует, что на участках 1, 2 и 4 сердечник растянут, а на участке 3 - сжат. Таково решение проблем растяжения и сжатия по прочности.

    Напряжения и деформации. Растяжение и сжатие. Решение проблемы совмещения

    Когда стержень растягивается и сжимается с постоянными поперечными размерами, нормальные напряжения возникают в любом поперечном сечении, равномерно распределены по поперечному сечению и равны

    , где N - продольная сила в сечении;

    A - площадь поперечного сечения.

    Эта формула действительна только для поперечных сечений, удаленных от точки приложения нагрузки на расстояние не менее поперечного размера стержня (принцип Сен-Венана).

    Вблизи точки приложения нагрузки напряжение распределяется

    неравномерно.

    В случае однородного стержня, растянутого или сжатого под действием сил, приложенных к концам, напряжения остаются постоянными как по поперечному сечению, так и по длине, т. l = Nl / EA - закон Гука

    где EA - жесткость сечения.Эта формула очень важна при изучении сопротивления материалов в целом и при решении проблем железа и стали в частности.

    Ростовский государственный колледж радиоэлектроники,

    информационные и промышленные технологии.

    Растяжение - сжатие

    самостоятельная работа студентов по дисциплине

    « Техническая механика»

    по специальностям 220301 «Автоматизация технологических процессов» и

    производство »1« Автомобилестроение »

    « Согласовано »

    Цикл комиссии

    «Промышленные технологии»

    Председатель

    Самохин А.С.

    «_____» ______________ 2009 г.

    «Одобрено»

    Начальник

    Учебный отдел

    Филеева Л.М

    «___» _____________ 2009 г.

    Развитый учитель

    Смирнова Л.Ф.

    «_____» ___________ 2009

    Ростов - на - Дону

    Введение

    I. Методические указания по решению прочностных задач по теме «Растяжение-сжатие»

    II. Вопросы для самопроверки.

    Iii.Порядок решения типовых проблем.

    IV. Задачи для самостоятельных решений.

    Библиография

    Введение

    Внеклассная самостоятельная работа студентов осуществляется с целью:

    Консолидация, углубление, расширение и систематизация знаний, полученных на занятиях;

    Формирование умений и навыков самостоятельного умственного труда;

    Развитие самостоятельного мышления.

    В данном пособии представлены методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов дисциплины «Техническая механика» по теме «Растяжение - сжатие.«

    Все знания и навыки, полученные студентами при изучении данной темы, найдут применение в расчетах в разделе «Детали механизмов и машин».

    Первый включает информационный материал, составленный на основе рабочей программы дисциплины, изучая которую студент получает возможность определить количество материала, необходимого для усвоения.

    Третья часть - инструкция по решению конкретных задач, в которой уделяется внимание последовательности выполнения каких-либо действий, использованию рациональных решений, применению установленных методик обучения.

    В четвертом предложены задачи, требующие переноса известного метода решения задач на аналогичную ситуацию, и ответы на задачи, которые позволят студентам осуществлять самоконтроль за качеством своей учебы. В случае не подтверждения правильности ответа ученик обращается за советом к преподавателю.

    Задания выполняются в тетради для самостоятельной работы.

    Выполнение студента в период самостоятельной работы учит ответственности, трудолюбия, аккуратности, воспитывает трудолюбие.

    I. Методические указания по решению задач по теме: «Растяжение-сжатие»

    По результатам изучения темы студентам необходимо:

    Методика расчета силы задач

    Постройте график нормальной прочности и напряжения;

    Рассчитайте прочность и подберите сечение стержня.

    Растяжение или сжатие называется видом деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает один фактор внутренней силы - продольная сила N.

    Величина последней равна алгебраической сумме выступов на продольную ось внешних сил, действующих на усеченную часть стержня.

    Поскольку величина продольных сил в разных сечениях стержня неодинакова, строится график продольных сил, т.е. график, показывающий изменение величины продольных сил в поперечном сечении стержня по его длине. .

    Под действием продольных сил в поперечном сечении стержня возникает нормальное напряжение, которое определяется по формуле:

    где А - площадь поперечного сечения стержня.

    При решении первого задания от ученика требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определить удлинение или укорочение стержня.

    Последовательность нанесения продольных сил:

    Делим стержень на участки, ограниченные точками приложения сил (нумеруем участки с незакрепленного конца).

    Методом сечений определяем величину продольных сил в сечении каждого сечения.

    Выбираем масштаб и строим график продольных сил, т.е. под изображением стержня проводим прямую линию, параллельную его оси, и от этой прямой проводим перпендикулярные отрезки соответственно в выбранном масштабе к оси. продольные силы (положительное значение ставим вверх (или вправо), отрицательное - вниз (или влево).

    Последовательность построения нормального напряжения.

    Разделим стержень на участки, ограниченные точками приложения сил, и где площадь сечения изменяется

    Построить график нормальных сил

    по формуле 1 определяем нормальные напряжения на каждом участке

    По полученным значениям на шкале строим график нормальных напряжений.

    Удлинение (укорочение) стержня определяется по формуле Гука.


    ∆l = Nl = σ l (2)

    AE
    E

    где E - модуль Юнга (для стали E = 2 · 10 5 МПа).

    На каждом участке стержня определяется удлинение (укорочение), а затем находится алгебраическая сумма полученных значений.Это будет стержень ∆l. Если ∆l положительно, то полоса удлиняется, если ∆l отрицательна - укорачивается.

    При решении ряда задач необходимо четко понимать значение прочности на разрыв - сжатие, знать, что по условию прочности можно сделать три вида расчетов:

    а) проверка, при которой проверяется выполнение условия прочности σ≤ [σ] (или n≥ [n]);

    б) определение допустимой нагрузки;

    в) конструкция, определяющая требуемые размеры поперечных сечений балки, обеспечивающие заданную прочность.

    Студенты также должны уметь использовать все необходимые формулы, вычисленные зависимости и правильно выполнять вычисления во время решения.

    II. Вопросы для самопроверки

    2.1. Как нужно нагружать прямую балку, чтобы она работала на растяжение - сжатие?

    2.2 Как определяется напряжение в любой точке поперечного сечения при растяжении (сжатии)?

    2.3. В чем физический смысл модуля продольной упругости E?

    2.4. Какое допустимое напряжение и как оно выбирается в зависимости от механических свойств материала?

    2,5. Сколько разных видов расчета и какие расчеты можно провести с условием прочности?

    Iii. Порядок решения типовых задач

    Задача № 1

    Двухступенчатый стальной стержень нагружается усилием F1 = 30 кН F2 = 40 кН.

    Постройте графики продольных сил и нормальных напряжений по длине балки.Определите перемещение ∆l свободного конца балки, приняв E = 2 ∙ 10 5 МПа. Площадь поперечных сечений A1 = 1,5 см2 ?; A 2 = 2 см2?

    Первое задание требует от учащегося построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определить удлинение и укорочение балки.

    Последовательность решения задач

    Разделите брус на секции, начиная со свободного конца. Границы сечений - это участки, в которых действуют внешние силы, а для напряжений также место изменения размеров сечения.

    Используя метод сечения, определите продольную силу для каждого сечения (ординаты графика N) и нанесите на график продольные силы N. Проложив базовую (нулевую) линию эпюра параллельно оси балки, отложите значения ординат перпендикулярно оси балки. это в произвольном масштабе. Через концы ординат проведите линии, проставьте знаки и заштрихуйте участок линиями, параллельными ординатам.

    Для построения графика нормальных напряжений определяют напряжения в поперечных сечениях каждой из секций.Внутри каждого участка напряжение постоянно, т.е. участок в этой области изображен в виде прямой линии, параллельной оси луча.

    Перемещение свободного конца балки определяется как сумма удлинений (укорочений) секций балки, рассчитанная по формуле Гука.

    Разбиваем штангу на секции.

    Определить ординаты участка N на участках бруса:

    N1 = - F1 = -30кН

    N2 = - F2 = -30 кН

    N3 = -F1 + F2 = -30 + 40 = 10 кН

    Постройте график продольных сил

    Рассчитаем ординаты диаграммы нормальных напряжений

    σ1 === –200 МПа

    σ2 === –150 МПа

    σ 3 === 50 МПа

    Постройте график нормального напряжения.

    4. Определите перемещение свободного конца балки.

    ∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3

    ∆l1 == = - 0,5 мм

    ∆l2 == = - 0,225 мм

    ∆l3 == = 0,05 мм

    ∆l = - 0,5 - 0,225 + 0,05 = - 0,675 мм

    Балка укорочена до 0,675 мм

    Задача № 2

    Из условия прочности определить размеры поперечного сечения стержня, удерживающего балку в равновесии, если предел текучести материала σ t = 320 МПа, заданный запас прочности [n] = 2.5. Расчет ведется для двух случаев:

    1. Сечение стержня - круг;

    2. Сечение стержня - квадрат.


    Вторую задачу могут решить студенты, если они четко представляют значение прочности на разрыв (сжатие).

    Последовательность решения проблемы:

    Луч, остаток которого считается, освободить от связей и заменить действия связей их реакциями;

    Составить уравнение равновесия и принять за точку, относительно которой определены моменты, точку, в которой установлена ​​опора, и определить продольную силу N;

    Определить по условию прочности площадь поперечного сечения стержня;

    Для двух случаев определите размеры поперечного сечения стержня.

    Для круга - диаметр d;

    Для квадрата сторона a.

    Составим уравнение равновесия и определим продольную силу N

    N ∙ sin30 ° ∙ 3 - 3q ∙ 1,5 + F 1 = 0

    N == 53,3 кН

    2. Определите допустимое нормальное напряжение

    4. Определите размеры поперечного сечения окружности - диаметр d

    A = → d === 23 мм

    5. Определите размеры поперечного сечения квадрата - сторона a

    A = a2 → a === 20.4 мм.

    IV. Задачи для самостоятельных решений

    Задача № 1

    Проверить прочность стали на тягу ВВ диаметром d = 20мм, если предел текучести σт = 240 МПа. Требуемый коэффициент безопасности [n] = 1,5


    Ответ: 58,75% перегружен

    Проверить прочность стальных стержней, если [σ] = 160 МПа

    Ответ: а) с перегрузкой на 4,4%

    б) 7,5% недоиспользованы

    Определите требуемую площадь A поперечного сечения стального стержня, если [σ] = 160 МПа,


    Ответ: а) A = 188мм2

    б) А = 90.6 мм2

    Задача № 4

    Определите допустимую нагрузку на стальной стержень, если σт = 250 МПа, [n] = 1,6


    Ответ: [F] = 31,2 кН ​​

    Задача № 5

    Определить размеры поперечного сечения стержня кронштейна, если [σп] = 160 МПа, [σсж] = 120 МПа

    Ответ: a = 10мм, d = 10мм.

    Библиография

    Юкович Г.М. «Сопротивление материалов» М. «Высшая школа» 2004

    Юкович Г.М. «Сборник заданий на сопротивление материалов» М. «Высшая школа» 2001.

    Мовнин М.С. и др. «Пособие по решению задач технической механики» М. «Высшая школа» 2006г.

    Похожие эссе:

    График внутренних сил, основанный на данных о реакции заделки и фактических нагрузках. Скачки напряжения из-за резкого изменения площади в местах изменения сечения. Направление реакции левого и правого уплотнения, уравнение равновесия.

    Кручение как один из видов нагрузки на стержень, при котором на его участках возникает только один фактор внутренней силы - крутящий момент. Состояние прочности на кручение. Правило определения крутящего момента в произвольном сечении вала и правило знаков.

    Практические рекомендации по расчету сложных электрических цепей постоянного тока методом наложения токов и токов контура. Особенности баланса мощности для электрической цепи. Методика расчета реальных токов в ветвях электрической цепи.

    Понятие баланса. Сбалансированная система сил. Эквивалентная система сил. Силы внешние и внутренние. Аксиомы статики. Ссылки, ссылки реакции.

    Определение реакции опор и нанесение моментов, поперечных и продольных сил для статически неопределимой E-образной рамы с одной скользящей и двумя неподвижными опорами с использованием уравнений метода сил, формулы Мора и правила Верещагина.

    Понятие о растяжении как виде нагружения, особенности действия сил и основные характеристики.Различия между сжатием и растяжением. Суть напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.

    Принципы работы мотор-редуктора с механическим приводом. Кинематические и силовые расчеты привода, его мощность, выбор электродвигателя, расчет его основных характеристик. Расчет зубчатой ​​передачи тихоходной и высокоскоростной зубчатой ​​ступени.

    Нахождение параметров основных точек цикла газотурбинной установки, состоящего из четырех процессов, определяемых индикатором политроп.Определение работы на газе за цикл и среднего давления цикла. Постройте масштаб цикла в координатах.

    Расчет прочности статически определяемых систем при растяжении и сжатии. Последовательность выполнения задания. Подбор размера сечения. Определение потенциальной энергии упругих деформаций. Расчет прочности и жесткости древесины.

    Выбор трансформатора и типа магнитопровода, его индукции, плотности тока в обмотках.Определение токов, сечений стержня и ярма магнитопровода, количества витков. Укладка обмотки на стержни. Напряжение на выводах вторичной обмотки под нагрузкой.

    Методические указания по вопросам расчета прочности при различных нагрузках и видах деформации. Определение напряжения при растяжении (сжатии), определение деформации. Расчеты на прочность на изгиб, кручение. Расчетно-графические работы, задания.

    Проект ЛЭП, расчет на ее опору при заданном ветровом районе на льду.Расчет проводов ЛЭП на прочность. Расчет ветровой нагрузки, действующей на опору. Подбор безопасных размеров поперечного сечения анкерных стержней.

    Абсолютное и избыточное давление в точке, график избыточного давления. Определение силы избыточного давления на участок смачиваемой поверхности. Режим движения воды в каждом участке короткого трубопровода. Скорость в секции сжатого сопла.

    Кривая напряжение-деформация | Как читать график?

    Кривая "напряжение-деформация" - это один из первых графиков прочности материала, с которыми мы сталкиваемся, когда начинаем свой путь к изучению материалов.

    Хотя на самом деле это не так уж сложно, поначалу это может показаться немного устрашающим. В этой статье мы узнаем о кривой напряжения и деформации, чтобы лучше понять ее.

    Но прежде чем мы дойдем до этого, мы попытаемся объяснить несколько ключевых понятий для лучшего понимания.

    Загрузка

    Металл в процессе эксплуатации или во время производства подвергается воздействию различных сил. В зависимости от величины этих сил металл может менять или не менять свою форму.

    Акт приложения силы известен как нагрузка.Есть пять различных способов приложения этих сил к металлической детали.

    Пять форм загрузки:

    1. Сжатие
    2. Напряжение
    3. Ножницы
    4. Торсион
    5. Гибка

    Металлы в определенной степени эластичны по своей природе. Под воздействием нагрузки металл деформируется, но она может быть слишком маленькой, чтобы ее можно было различить без специальных инструментов.

    Когда эта приложенная сила снимается, металл восстанавливает свои первоначальные размеры (если сила не превышает определенной точки).Так же, как воздушный шар, например, восстанавливает свою первоначальную форму после снятия силы после приложения.

    Что такое стресс?

    Напряжение определяется как отношение приложенной силы к площади поперечного сечения материала, к которому она прилагается.

    Формула для расчета напряжения материала:

    σ = F / A, где

    F - сила (Н)

    А - площадь (м 2 )

    σ - напряжение (Н / м 2 или Па)

    Например, сила 1 Н, приложенная к площади поперечного сечения 1 м 2 , будет рассчитана как напряжение 1 Н / м 2 или 1 Па.Единицы измерения могут отображаться как Н / м2 или Па, оба из которых представляют давление.

    Под напряжением

    можно понимать внутреннюю силу , индуцированную в металле в ответ на приложенную извне силу. Он будет пытаться противостоять любому изменению размера, вызванному внешней силой.

    Когда площадь поперечного сечения изменяется, та же сила вызывает большее или меньшее напряжение в металле. Меньшая площадь поперечного сечения приведет к большему значению напряжения и наоборот.

    Что такое штамм?

    Деформация определяется как отношение изменения размера к исходному размеру металла . У него нет подразделения.

    Существует три типа деформации: нормальная, объемная и сдвиг.

    Нормальная деформация (или продольная деформация) связана с изменением только одного измерения, например, длины.

    Формула для расчета деформации:

    ε = (l-l 0 ) / l 0 , где

    l 0 начальная или начальная длина (мм)

    l длина в растянутом состоянии (мм)

    Например, если определенная сила изменяет длину металла со 100 мм на 101 мм, нормальная деформация будет (101-100) / 100 или 0.01.

    Нормальная деформация может быть положительной или отрицательной в зависимости от направления внешней силы и, следовательно, влиять на исходную длину.

    Для простоты в нашей статье мы будем говорить только о нормальных деформациях. Таким образом, каждый раз, когда мы используем слово «напряжение», оно будет относиться к нормальному напряжению. Как только мы поймем нормальное напряжение, легко распространить то же понимание на два других.

    Напряжение и деформация

    Всякий раз, когда на тело действует нагрузка, она вызывает напряжение, а также деформацию материала.

    Возьмем, к примеру, футбольный мяч. Когда вы пытаетесь сжать его, он оказывает сопротивление. Предлагаемое сопротивление представляет собой индуцированное напряжение, в то время как изменение размера представляет собой деформацию.

    Напряжение вызывает стресс. При приложении силы, которая приводит к деформации, материал пытается сохранить структуру своего тела, создавая внутренние напряжения.

    Как строится кривая напряжения-деформации?

    Наиболее распространенный метод построения кривой напряжения и деформации - это испытание стержня образца для испытаний на растяжение.

    Это делается с помощью универсальной испытательной машины. У него есть два когтя, которые удерживают два конца стержня и тянут его с одинаковой скоростью.

    Приложенная сила и возникающая деформация регистрируются до тех пор, пока не произойдет разрушение. Затем два параметра наносятся на график X-Y, чтобы получить знакомый график.

    Кривая растяжения

    Кривая напряжения-деформации - это график, показывающий изменение напряжения по мере увеличения деформации. Это широко используемый справочный график для металлов в материаловедении и производстве.

    На кривой напряжения и деформации есть различные участки, которые описывают различное поведение пластичного материала в зависимости от величины индуцированного напряжения.

    Тест на растяжку

    Кривые напряжения и деформации для хрупких, твердых (но не пластичных) и пластичных материалов различаются. Кривая для этих материалов проще, и ее очень легко узнать. Мы сосредоточимся на кривой напряжения-деформации пластичных материалов. Но прежде чем мы углубимся в это, давайте взглянем на еще одну важную концепцию - закон Гука.

    Закон Гука

    Этот принцип физики говорит об упругости и о том, как сила, необходимая для растяжения или сжатия упругого объекта на определенное расстояние, пропорциональна этому расстоянию. Чем больше сила, тем больше расстояние.

    Формула закона Гука для расчета силы в пружинах:

    В случае металлов закон Гука гласит, что для большинства металлов большие изменения длины создают большие внутренние силы . Это означает, что напряжение прямо пропорционально деформации.Это связано с тем, что металлы обладают упругостью до определенного предела.

    Проще говоря, если растягивающая / сжимающая нагрузка удваивается, увеличение / уменьшение длины также удваивается, пока металл находится в пределах пропорционального предела.

    Предел пропорциональности

    Почти все металлы в определенном диапазоне ведут себя как упругие объекты. Этот диапазон варьируется для разных металлов и зависит от таких факторов, как механические свойства, атмосферное воздействие (коррозия), размер зерна, термическая обработка и рабочая температура.

    Когда испытательная машина начинает тянуть за образец, он испытывает растягивающее напряжение. Изначально материал соответствует закону Гука.

    Напряжение будет пропорционально напряжению. Это означает, что отношение напряжения к напряжению будет постоянным. В материаловедении эта постоянная известна как модуль упругости Юнга и является одним из наиболее важных механических свойств, которые необходимо учитывать при выборе подходящего материала для применения.

    Остаточной деформации тоже нет.Металл будет вести себя как пружина и вернется к своим первоначальным размерам при снятии нагрузки.

    Точка, до которой наблюдается это пропорциональное поведение, называется пределом пропорциональности. С увеличением напряжения деформация увеличивается линейно. На диаграмме выше это правило применяется до тех пор, пока не даст индикатор силы .

    Модуль упругости Юнга

    Определяется как отношение продольного напряжения к деформации в пределах пропорционального предела материала .Также известный как модуль упругости, он аналогичен жесткости пружины. Вот почему закон Гука включает в себя постоянную пружины.

    Допустим, у нас есть 2 материала одинаковой длины и поперечного сечения. Чтобы изменить размеры в равной мере, материал с более высоким значением модуля Юнга требует большей силы.

    Предел упругости и предел текучести

    По мере того, как испытуемый образец подвергается растягивающему усилию с возрастающей силой, напряжения превышают пропорциональный предел.

    Взаимосвязь напряжения и деформации отклоняется от закона Гука. Деформация увеличивается быстрее, чем напряжение, что проявляется в умеренном сглаживании кривой на графике напряжений и деформаций.

    Это часть графика, где начинается первая кривая, но еще не повернула вниз. Несмотря на то, что пропорциональность напряжения и деформации теряется, свойство упругости отсутствует, и при снятии нагрузки металл все равно возвращается к своим первоначальным размерам.

    Таким образом, изменение размера в пределах предела упругости является временным и обратимым.Предел упругости материала определяет его устойчивость при нагрузке.

    Вот причина, по которой в инженерных расчетах используется предел текучести материала для определения его способности противостоять нагрузке. Если нагрузка превышает предел текучести, результатом будет нежелательная пластическая деформация.

    Поведение пластика

    При дальнейшем вытягивании образца на испытательной машине свойство эластичности теряется. Это совпадает с началом области деформационного упрочнения на графике напряжение-деформация.

    Предел текучести - это точка, в которой впервые наблюдается пластическая деформация материала. Если материал не будет зажат на испытательной машине за пределами этой точки, он не вернется к своей исходной длине.

    Считается, что деформационное упрочнение происходит, когда количество дислокаций в материале становится слишком большим и они начинают препятствовать движению друг друга. Материал постоянно перестраивается и имеет тенденцию к затвердеванию.

    Шейка

    Пластическая деформация продолжает происходить с увеличением напряжения.Со временем на стержне будет наблюдаться сужение поперечного сечения. Это явление известно как сужение. Напряжение настолько велико, что приводит к образованию шейки в самом слабом месте стержня. Вы можете увидеть это на видео выше.

    Кривая напряжения-деформации также показывает область образования шейки. Его отправная точка также дает нам предел прочности материала на разрыв.

    Предел прочности на разрыв показывает максимальное напряжение, которое может выдержать материал.Достижение этого значения толкает материал к разрушению и разрушению.

    Перелом

    Оказавшись в области сужения, мы видим, что нагрузка не должна увеличиваться для дальнейшей пластической деформации.

    Перелом происходит на шейке, как правило, с образованием чашечек и конусов на обоих концах стержня. Эта точка известна как точка излома или разрыва и обозначается буквой E на графике напряжений и деформаций.

    Почему кривая растяжения-напряжения важна?

    Кривая напряжения-деформации предоставляет инженерам-проектировщикам длинный список важных параметров, необходимых для разработки приложений.График напряжение-деформация дает нам множество механических свойств, таких как прочность, ударная вязкость, эластичность, предел текучести, энергия деформации, упругость и удлинение при нагрузке.

    Также помогает при изготовлении. Независимо от того, хотите ли вы выполнить экструзию, прокатку, гибку или другие операции, значения, полученные на этом графике, помогут вам определить силы, необходимые для индукции пластической деформации.

    Что такое деформация, напряжение и коэффициент Пуассона?

    Тензодатчик
    Типы тензодатчиков
    Как выбрать тензодатчики
    Деформация, напряжение и коэффициент Пуассона
    Принципы тензодатчиков
    Принципы измерения деформации
    Тензорезисторные системы
    Самокомпенсация температуры
    Система кодирования названия модели тензодатчика
    Основные характеристики тензодатчиков KYOWA
    Тензорезисторы
    с предварительно присоединенными кабелями с выводами

    Когда к материалу прикладывается растягивающая сила P, он имеет напряжение σ, соответствующее приложенной силе.Пропорционально напряжению поперечное сечение сжимается, а длина удлиняется на ΔL от длины L, которая была у материала до воздействия растягивающего усилия (см. верхний рисунок на рис. 1.) ниже.

    Отношение удлинения к исходной длине называется деформацией растяжения и выражается следующим образом:
    См. Нижний рисунок на рис. 1. Если на материал действует сжимающая сила, он испытывает сжимающую деформацию, выраженную следующим образом:

    Например, если растягивающая сила заставляет материал длиной 100 мм удлиниться на 0.01 мм, возникшая в материале деформация:
    Таким образом, деформация является абсолютным числом и выражается числовым значением с суффиксом x10 -6 деформация, με или мкм / м.
    На основании закона Гука связь между напряжением и деформацией, инициированной в материале приложенной силой, выражается следующим образом:
    Таким образом, напряжение получается путем умножения деформации на модуль Юнга. Когда на материал действует растягивающая сила P, он удлиняется в осевом направлении, сжимаясь в поперечном направлении.Удлинение в осевом направлении называется продольной деформацией, а сжатие в поперечном направлении - поперечной деформацией. Абсолютное значение отношения продольной деформации к поперечной деформации называется коэффициентом Пуассона, который выражается следующим образом:
    Коэффициент Пуассона различается в зависимости от материала.