ШАГ 5. Основные принципы построения эпюр

При решении метрических задач по начертательной геометрии, с заменами плоскостей проекций, часто возникает необходимость построения перпендикулярных и параллельных прямых. Например, необходимо провести новую ось Х₁, перпендикулярную фронтали или горизонтали, как это можно быстро сделать?  Да очень просто.

Рис.5.1

Итак, у нас есть проекции треугольника, и проекции горизонтали, нам необходимо сделать замену плоскостей проекции П₂ на П₄, чтобы спроецировать треугольник в проецирующую плоскость. Как известно, нужно провести новую ось перпендикулярно проекции горизонтали h₁.

Заходим в инструментальную панель “Геометрия” — ”Отрезок” (рис.5.1), мышью ставим начальную точку нашего будущего отрезка. Для осей лучше использовать стиль отрезка “Тонкая”,

поэтому выбираем тонкую синию линию. Далее наводим мышь на поле “Угол” и нажимаем правую кнопку мыши, из выпадающего списка выбираем кнопку “наклон нормали”, в качестве нормали указываем нашу горизонталь h₁ и проводим отрезок, который будет увеличиваться в длине в перпендикулярном направлении к проекции горизонтали.

Допустим нам нужно продолжить построения, чтобы построить проекции точек в новой плоскости П₄, нам нужно провести 2 луча для линий связи из точек В₁ и С₁ параллельно горизонтали h₁.

 

Рис.5.2.

Для этого также заходим в инструментальную панель “Геометрия” — ”Отрезок” (рис.5.2), мышью ставим начальную точку в точке В₁. Далее наводим мышь на поле “Угол” и нажимаем правую кнопку мыши, из выпадающего списка выбираем кнопку

“направление прямой/отрезка”, указываем направление горизонтали h₁ и проводим отрезок до оси Х₁.

Аналогично проводим отрезок до оси Х₁ из С₁.

 

Рис.5.3.

Отложим от оси Х₁, на продолжении луча из точки С₁ значение ординаты точки C₂, взяв его с фронтальной плоскости проекций – отрезок размером (z_С). Т.е. нам нужно быстро построить отрезок, равный по длине z_С. Для этого опять повторяем “Геометрия” — ”Отрезок” (рис.5.4), мышью ставим начальную точку на пересечении луча из С

1и оси Х₁. Далее наводим мышь на поле “Угол” и нажимаем правую кнопку мыши, из выпадающего списка выбираем кнопку “направление прямой/отрезка”, указываем направление горизонтали h₁. Потом еще наводим мышь на поле “Длина”  нажимаем правую кнопку мыши, из выпадающего списка выбираем кнопку “между 2 точками”, указываем 2-мя точками нужную нам длину z_С и нажимаем “создать объект”. В конце нового отрезка у нас будет проекция С₄.

Аналогично, построив ординаты z_A и z_В, получим проекции точек А₄ и В₄. Соединим 3 точки  и получим проекцию треугольника в новой плоскости П₄, которая будет проецироваться в виде отрезка, т.е. будет перепедикулярна

П₄(проецирующая плоскость).

Рис.5.4

Хочу рассказать про один полезный инструмент, как “Усечение отрезка или кривой”, который может пригодиться не только при построении по начертательной геометрии, но и при выполнении чертежей по инженерной графике.  Что это такое?!…Это инструмент, который просто одним нажатием позволяет удалить часть отрезка или кривой. Вот, например, у нас есть контуры пересекающихся треугольников (рис.5.5), нам нужно удалить части сторон (выделены красным), для этого заходим в инструментальную панель “редактирование” — ”усечь кривую”, левой кнопкой мыши указываем отрезки, и они удаляются автоматически. Может быть сейчас Вам еще непонятно чем он сможет вам помочь, но если им пользоваться, это может существенно экономить ваше время на выполнение эпюр.

Рис.5.5

 Для создания заливки определенной области необходимо зайти в верхнее меню “инструменты” — ”заливка”, выбрать нужный цвет заливки, левой кнопкой мыши указать область или области, ограниченные линиями со стилями “основная” или “утолщенная”. Нажать копку ”создать объект” или сочетание клавиш “Ctrl+Enter” (рис5.6).

Рис.5.6

 Для создания штриховки необходимо зайти в верхнее меню “инструменты” — ”штриховка”, выбрать стиль, нужный шаг и угол наклона в панеле свойств, левой кнопкой мыши указать область или области, ограниченные линиями со стилями “основная” или “утолщенная”. Нажать копку ”создать объект” или сочетание клавиш “Ctrl

+Enter”.

 

Рис.5.7

         Для создания размеров на чертежах необходимо зайти в инструментальную панель “Размеры”. Для создания обычного  линейного размера нужно выбрать кнопку “Линейный размер”, левой кнопкой указать начало (.)1 и конец отрезка (.)2 (рис.5.8). Автоматически на размерной линии указывается истинный размер отрезка, в нашем примере 84,08 мм, если вы хотите указать свое текстовое или числовое значение, нажмите в панеле свойств левой кнопкой мыши на поле “Текст”, появится окно “задание размерной надписи”, в поле “значение” вы можете вписать свой текст или цифры.

Рис.5.8

>>> ШАГ 6. Сохранение чертежей в разных форматах <<<

07.10.2021   Вниманию студентов ГНФ, имеющих академические задолженности!…    Вниманию студентов ГНФ, имеющих академические задолженности! Размещен график пересдач по ссылке ПересдачиГНФ

07.10.2021   Вниманию студентов IT-института, имеющих академические задолженности!…    Вниманию студентов IT-института, имеющих академические задолженности! Размещен график пересдач по ссылке ПересдачиIT-институт

01.10.2021   Вниманию студентов ТФ и IT-института, имеющих академические задолженности! …    Вниманию студентов ТФ и IT-института, имеющих академические задолженности! Размещен график пересдач по ссылке Пересдачи

10.09.2021   Вниманию студентов имеющих постоянную регистрацию в населенных пунктах за пределами Республики Башкортостан! …    В соответствии с Постановлением Правительства Российской Федерации от 17.07.1995 г. № 713 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию» и распоряжением по университету от 26.08.2021 № 01УМР-503/09 «О регистрации иногородних студентов по месту пребывания и выполнении рекомендаций по вакцинации студентов университета»: Иногородним студентам всех курсов очной и очно-заочной форм обучения и находящихся с 01.09.2021 на обучении в университете, получить временную регистрацию по месту пребывания в населенных пунктах Республики Башкортостан на весь период обучения. За дополнительными разъяснениями можно обращаться к заместителям деканов/директоров факультетов/институтов/школ по внеучебной воспитательной работе и директору студенческого городка.

02.09.2021   Вниманию первокурсников!…

построение на плоскую, наклонную, ломаную и горизонтальную стенку

Эта статья описывает, как правильно строить эпюру гидростатического давления. Этот материал полезен в первую очередь студентам, изучающим курс механики жидкости и газа (гидравлики).

Эпюра давления — это графическое изображение распределения гидростатического давления по стенке или по длине какого-либо контура

Как правило, эпюру давления строят от избыточного гидростатического давления. О видах давления подробно можно прочитать в этой статье сайта Проводу.рф.

Построение эпюры давления заключается в расчете давления в различных точках контура (стенки), на который давит жидкость, в и откладывании этой величины давления в виде отрезка перпендикулярно контуру в определенном масштабе.

Расчет давления выполняют по формуле (основное уравнение гидростатики):

Здесь Px — избыточное давление (превышение над атмосферным), Па; ρ — плотность жидкости, кг/м

3 ; g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с² ; h — глубина (высота столба жидкости над точной), м.

Далее рассмотрим различные случаи, связанные с построением эпюры гидростатического давления — от самого простого к наиболее трудному.

Эпюра давления жидкости на

вертикальную стенку

Когда мы имеем дело с вертикальной плоской стенкой, нам бессмысленно считать давление в каждой точке, достаточно всего в двух: сверху в месте, где находится свободная поверхность (уровень) жидкости — точка 1, и снизу на дне, точка 2.

В данном случае избыточное давление в точке 1: p1 = 0 Па,

Избыточное давление в точке 2: p2 = ρ g H.

Эпюра давления на

наклонную стенку

Практически ничем не отличается случай, когда рассматривается давление на наклонную стенку. Значение давления, рассчитанное по основному уравнению гидростатики, откладывается перпендикулярно стенке. Опять же достаточно определить давление в двух точках — сверху и снизу. Сверху, если резервуар открытый, до давление будет равно 0 Па. Снизу на дне — ρ g h.

Эпюра давления на

наклонную стенку + на поверхности жидкости есть избыточное давление

Если на поверхности жидкости есть избыточное давление p_{, то его величина, согласно основному уравнению гидростатики, будет добавлена во всех точках наклонной стенки. Тогда к эпюре-треугольнику добавится еще прямоугольник, ширина которого равна p .}

Итоговая эпюра будет иметь форму трапеции.

Эпюра давления на

криволинейную поверхность

Построение эпюры давления на криволинейную поверхность требует вычисления давления во многих точках этой поверхности, а значения давления откладываются по нормали к соответствующим точкам. То есть нужно выбрать несколько точек ( сколько — зависит от масштаба схемы, но чтобы была возможность изобразить по этим точкам именно криволинейную, а не ломанную линию), и вычислить в них давление по основному уравнению гидростатики.

Эпюра

двухстороннего давления, с двух сторон щита одинаковая жидкость

При наличии жидкости с двух сторон щита, необходимо строить отдельно две эпюры гидростатического давления (два треугольника — слева и справа). После этого эпюра справа вычитается из большой эпюры слева, и остается трапеция, которая учитывает давление и слева, и справа.

Т.е. наличие уровня жидкости справа частично компенсирует то давление, которое создает жидкость слева.

Эпюра

двухстороннего давления, когда с двух сторон щита находятся жидкости с разными плотностями

Здесь синим цветом показана эпюра для жидкости справа, которая «вырезается» из эпюры для жидкости слева. Т.е. во всех точках щита в той части, где вода находится с двух сторон, вычисляется разница давлений слева и справа. Эта разница и позволит построить результирующую эпюру давления (показана черным цветом).

Эпюра давления жидкости на стенку

сложной формы, содержащую вогнутую область

Принципиально данная задача ничем не отличается от предыдущих: в каждой точке контура мы вычисляем давление и в масштабе откладываем его значение по нормали к контуру.

С точки зрения графического построения, здесь возможно поступить следующим образом:

1. Сначала построить эпюру-треугольник. Он показывает, как увеличивается давление с глубиной. При этом он позволяет нам в виде отрезка получить давление в каждой точке.
2. И дальше останется только перенести эти отрезки в соответствующие точки нашего контура.
3. С верхней и нижней стенками при этом не должно возникнуть проблем.
4. Эпюру для вогнутой области строим по принципу случая 4.

Удобнее всего будет наметить несколько точек на этом вогнутом контуре, затем провести к ним касательные линии, и отложить значение давления, посчитанное заранее или взятое из треугольника в виде отрезка, перпендикулярно этим касательным. Эффект достигнут.

Инженерная графика (вариант 10). 1 Эпюр №1; Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника А АВС». Координаты взять из методички «Эпюр № 1» 2013 год. Стр. 14 . Выполнить на формате АЗ в масштабе 2:1. и т.д. #1204700

Расчетно-графические работки
1 Эпюр №1; Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника А АВС»
Координаты взять из методички «Эпюр № 1» 2013 год. Стр. 14 . Выполнить на формате АЗ в масштабе 2:1.
Литература: И.Н.Поникарова. «Эпюр№ 1» 2013г. Стр. 9-11
PFP-2 Проекционное черчение
2#дача (Призма): Построить три вида (спереди, сверху и слева). Вид слева совместить с профильным разрезом. Построить вынесенное сечение наклонной плоскостью А-А и аксонометрическое изображение призмы. Задание взять в Д-504.
Задачу выполняют на Формате АЗ в масштабе 1:1. В основной надписи написать:
7-ым строчным шрифтом «Черчение проекционное» и 10-ым прописным шрифтом «ИКГ 002.0ХХ.000», где 2 -номер работы, XX»- номер варианта.
Литература: 1. Методическое указание «Проекционное черчение»;
2. Кафедральный стенд по соответствующей теме.
РГР-3 Соединение шпилечное
Рассчитать размеры деталей, входящих в шпилечное соединение. По размерам в рекомендуемом масштабе построить шпильку, гнездо под шпильку и соединение шпилечное в двух изображениях (в разрезе и на виде сверху). Проставить все размеры у шпильки и гнезда. На шпилечном соединении нанести только пять размеров, указанных на примере (см. * [1] и стенд). Работу выполняют на Формате АЗ (297×420). Сверху (над изображениями) 10-ым прописным шрифтом написать заголовок «СОЕДИНЕНИЕ ШПИЛЬКОЙ». В основной надписи написать:
7-ым строчным шрифтом «Соединение резьбовое» и 10-ым прописным шрифтом «ИКГ 001.0ХХ.000», где I- номер работы, XX- номер варианта.
2. Кафедральный стенд по теме «Резьбовые соединения».
Тема 4. Сборочный чертеж: выполнить эскизы деталей входящие в
сборочную единицу. Оформить спецификацию. Литература: Методические указания «Эскизирование. Сборочный
чертеж»

Тема:	Инженерная графика (вариант 10). 1 Эпюр №1; Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника А АВС». Координаты взять из методички «Эпюр № 1» 2013 год. Стр. 14 . Выполнить на формате АЗ в масштабе 2:1. и т.д.
Артикул:	1204700
Дата написания:	31.03.2017
Тип работы:	Чертежи
Предмет:	Инженерная графика
Количество страниц:	5

Эпюр №1 — презентация онлайн

1. Эпюр №1

2. А(60,60,10) В(45,15,65) С(0,5,25) S(10,45,55)

0
z=10
a
0
х=60
y=60
А(60,60,10)
В(45,15,65)
С(0,5,25)
S(10,45,55)
a
b
А(60,60,10)
В(45,15,65)
С(0,5,25)
S(10,45,55)
c
a
0
b
a
c

5. Задача 1 — Построить следы плоскости заданной треугольником АВС

• 1. Определить горизонтальный след
прямой 1-I. (продолжаем фронтальный
след прямой аb до пересечения с ось
Ох, отпускаем перпендикуляр и на
продолжении горизонтальной проекции
отрезка найдем горизонтальную
проекцию следа прямой).
• 2. Определить фронтальный след
прямой.
Продолжаем фронтальный след прямой
AB до пересечения с ось Ох
b
c
a
0
1
b
a
c
Отпускаем
перпендикуляр
и на
продолжении
горизонтальной
проекции
отрезка найдем
горизонтальну
ю проекцию
следа прямой
b
c
a
0
1
b
1=I
a
c
b
Определить
фронтальн
ый след
прямой
c
a
0
1
b
1=I
a
c
2
b
Определить
фронтальный
след прямой
c
2=II
a
0
1
b
1=I
a
c
2
Определить
фронтальны
й след
прямой
b
c
2=II
a
0
1
b
1=I
a
2
3
c
b
Определить
фронтальный
след прямой
c
2=II
a
0
1
b
1=I
a
c
2
3
3=III
Рv
Построить
следы
b
c
2=II
a
0
1
b
a
1=I
Рн
c
2
3
3=III
Рx

13. Определить расстояние от точки С до плоскости треугольника АВС

• 1. Через точку S провести прямую
перпендикулярную плоскости
треугольника (в плоскости треугольника
провести фронталь и горизонталь)
Построить
фронтальну
ю проекцию
горизонтали
b
s
c
e
a
0
b
a
c
s
Построить
горизонтальную
проекцию
горизонтали
b
s
c
e
a
0
b
e
a
c
s
Построить
горизонтальную
проекцию
фронтали
b
s
c
e
a
0
b
e
a
d
s
c
Построить
фронтальну
ю проекцию
фронтали
b
s
c
e
a
d
0
b
e
a
d
s
c
b
n
Провести
прямую
через
фронтальну
ю проекцию
точки S
перпендикулярную
фронтально
й проекции
фронтали
s
c
e
a
d
0
b
e
a
d
s
c
n
s
c
e
a
d
0
b
e
a
d
s
c
n
Провести
прямую
через
горизонтальную
проекцию
точки S
перпендикулярную
горизонтальной проекции
горизонтали
b
n
Рv b
s
c
e
a
Рx
b
e
0
d
s
c
Рн
a
d
n
Прямую n
заключаем в
дополнительную
проецирующ
ую плоскость
перпендикулярную
горизонтальной
плоскости
проекций

21. Определяем точки пересечения плоскости заданной треугольником с проецирующей плоскостью

Определяем
точки
пересечения
плоскости
заданной
треугольнико
мс
проецирующе
й плоскостью
e
a
n
Рv b
s
c
Рx
b l
d
0
k
Рн
a
s
n
e
d
c
n
Рv b
s
c
e
a
d
0
Рx
b
l
k
e
s
Рн
a
d
c
n
Определяем
фронтальные
проекции
точек
пересечения
плоскости
заданной
треугольнико
мс
проецирующе
й плоскостью
и строим
линию
пересечения
плоскости
n
s
c
e
a
d
k
Рx
b
l
k
e
d
s
c
Рн
a
0
n
Находим
точку
пересечени
я
прямой n с
линией
пересечени
я
плоскостей
lk
Рv b l

24. На линии пересечения фронтальных проекций находим точку f` и проецируем ее на горизонталь-ную плоскость проекций

n
Рv b l
s
c
f
e
a
d
k
Рx
l
b
f
e
k
d
s
c
Рн
a
0
n
На линии
пересечения
фронтальны
х проекций
находим
точку f` и
проецируем
ее на
горизонтальную
плоскость
проекций

25. Определить натуральную длину отрезка SF. Определяем величину превышения над горизонталь-ной плоскостью проекций

n
Рv b l
s
c
f
e
a
d
k
Рx
l
b
f
e
k
d
s
c
Рн
a
0
n
Определить
натуральную
длину
отрезка SF.
Определяем
величину
превышения
над
горизонтальной
плоскостью
проекций
Определим
натуральную
длину
отрезка SF и
расстояние
от точки S до
плоскости
n
Рv b l
s
c
f
e
a
d
k
Рx
l
b
f
k
s
Рн
S0
d
c
n
e
a
0
n
Рv b l
s
c
f
e
a
d
k
Рx
l
b
f
k
s
Рн
S0
d
c
n
e
a
0

28. На расстоянии 20 мм от плоскости треугольника провести плоскость Q параллельно плоскости треугольника , плоскость задать следами

• 1) Провести в плоскости треугольника
фронталь и горизонталь (через проекцию
точки с` горизонталь с`d, через проекцию
точки b фронталь be)
b
d
a
c
0
b
a
e
c

30. Определяем положение недостающих проекций фронтали и горизонтали

Определяем
положение
недостающи
х проекций
фронтали и
горизонтали
b
d
a
c
e
0
b
d
a
e
c

31. Через горизонталь-ную и фронтальную проекции точки С проводим прямую перпендику-лярную горизонтали и фронтали

Через
горизонтальную и
фронтальную
проекции
точки С
проводим
прямую
перпендикулярную
горизонтали
и фронтали
b
f
d
a
c
e
0
b
d
a
c
e
f

32. На отложенном перпендикуляре f` откладываем произвольно проекции точки М

На
отложенном
перпендикуля
ре f`
откладываем
произвольно
проекции
точки М
b
f
d
a
c
m
e
0
b
c
e
m f
d
a

33. Определяем натуральную длину отрезка СF, для чего определяем превышение точки F над С

b
f
d
a
c
m
e
0
b
c
e
m f
d
a

34. Определяем натуральную длину отрезка СF

b
Определяем
натуральную
d
длину отрезка СF
f
c
a
m
e
0
b
d
c
e
Fо
a
f
m

35. На гипотенузе откладываем заданные 20 мм и получаем точку сK0

b
На гипотенузе
откладываем
заданные 20
мм и
получаем
точку сK0
f
d
a
c
m
e
0
b
d
a
c
e
Kо
f
m
Fо

36. Провести прямую K0k параллельную прямой F0f

b
Провести
прямую K0k
параллельну
ю прямой F0f
f
d
a
c
m
e
0
b
d
a
c
e k
Kо
f
m
Fо

37. Находим фронтальную проекцию точки K

b
Находим
фронтальну
ю проекцию
точки K
f
k m
c
d
a
e
0
b
d
a
c
e k
Kо
f
m
Fо

38. Провести через фронтальную проекцию точки K горизонталь искомой плоскости

b
Провести
через
фронтальну
ю проекцию
точки K
горизонталь
искомой
плоскости
f
k m
d
a
c
e
n=N
0
b
e
ck
Kо m f
Fо
d
a
n

39. Провести горизонтальный след плоскости параллельно Kok

Qу
b
Провести
горизонталь
ный след
плоскости
параллельн
о Kok
kfm
d
a
n=N
c
e
0
b
e
ck
Kо m f
Fо
d
a
Qн
n
Qх
Qу
b
kfm
d
a
n=N
c
e
0
b
e
ck
Kо m f
Fо
d
a
Qн
n
Qх

41. Через точку С провести плоскость R перпендикулярную стороне АВ

42. Продлить горизонтальную проекцию стороны ab, через горизонтальную проекцию точки с провести перпендикуляр к данной прямой

b
c
a
0
b
a
c

43. Поскольку горизонталь параллельна выставляем ее на фронтальной плоскости проекций через с`

b
Поскольку
горизонталь
параллельна
выставляем ее
на фронтальной
плоскости
проекций через
с`
l=L
c
a
l
b
a
0
c
b
Рv
c
l=L
a
l
b
a
Рх
0
c
Рн
b
Рv
c
l=L
a
l
b
a
Рх
0
c
Рн

Проекции точки

Лекция 2

Проекции точки.

2.1.      Метод проецирования.

            Для построения изображения предметов на плоскости пользуются методом проецирования. Слово «проекция» — латинское, от глагола projecere, что в переводе означает «бросать вперед».

            Следовательно, проекция – это изображение предмета, «отброшенное» на плоскость при помощи лучей. Спроецировать предмет на плоскость – это значит построить его изображение на плоскости. 

      Проекции разделяются на центральные и параллельные.

Рис. 2.1.

            2.1.1.  Идея центрального проецирования видна из рис. 2.1. Пусть заданы в пространстве точка S – центр проекции и плоскость П1 – плоскость проекции. Плоскость П1 и точка S составляют аппарат центральной проекции. Проецируемый треугольник АВС называется оригиналом, или натурой. Чтобы спроецировать заданный оригинал, нужно из центра проекции S через вершины треугольника провести проецирующие лучи до пересечения с плоскостью проекции П1. Точки пересечения А1, В1, С1, называются центральными проекциями вершин А, В, С, на плоскость П1, а треугольник А1В1С1 – центральной проекции треугольника АВС. Центральные проекции (перспективу) применяют в архитектурных чертежах, в аэрофотосъемке, рисовании и др. Вследствие трудностей при построении изображений и их измерении, а также при чтении чертежей, в машиностроительном черчении центральными проекциями не используются.

            2.1.2.  В начертательной геометрии используют метод параллельного проецирования (рис. 2.2.). Как и в предыдущем случае, выбирают плоскость проецирования П1, но вместо центра проекции S задают направление проецирования s, т. е. считают, что точка S – центр проекции – расположена в бесконечности и поэтому проецирующие лучи параллельны между собой. Плоскость П1 и направление s составляют аппарат параллельной проекции. Чтобы спроецировать треугольник АВС на плоскость П1, через вершины А, В, С проводят проецирующие лучи параллельно направлению проецирования s. Треугольник А1В1С1, образованный пересечением лучей АА1, ВВ1, СС1 с плоскостью П1, и будет параллельной проекцией треугольника АВС.

Рис. 2.2.

            Параллельные проекции разделяются на прямоугольные и косоугольные. Если проецирующие углы перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 2.3.), то способ проецирования называется прямоугольным, а полученные при этом проекции – прямоугольными, или ортогональными. Если же угол наклона лучей не равен 90º, то подобная параллельная проекция называется косоугольной. В черчении используют, главным образом, прямоугольные проекции.

Рис. 2.3.

2.2.            Задание точки на комплексном чертеже Монжа (эпюр Монжа)

2.2.1. Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций

2.2.2 Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства

2.2.3 Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства

2.2.4 Точки проекций общего и частного положения 

2.2.1 Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций

Вверх

В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексный чертеж) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрический чертеж).   

Рис. 2. 4.

Из рис. 2. 4.  видно, что проекции А1 отвечает бесчисленное множество точек (А, A’, A»), лежащих  на проецирующем луче, идущем из А1 перпендикулярно к плоскости проекции П1.

            Совокупность двух прямоугольных проекций на две взаимно перпендикулярные плоскости позволяет однозначно определить форму и положение предмета в пространстве. Однако в черчении при построении изображений чаще используют три плоскости проекции и потому рассмотрим законы проецирования на три плоскости проекции.

            Пусть заданы три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, образующих прямой трехгранный угол (рис.2.5.): П1 – горизонтальная, П2 – фронтальная и П3 – профильная плоскости проекций; линии Оx, Оy, Оz взаимного пересечения плоскостей проекций называются осями проекций, а точка О – началом осей проецирования.

Рис. 2.5.

            В пространстве трехгранного угла задана точка А и требуется построить ее проекции на плоскости П1, П2, П3 (точку можно рассматривать как вершину некоторого предмета, например параллелепипеда, изображенного на рис.2.6.). Для этого из точки А проводят проецирующие лучи АА1, АА2, АА3, перпендикулярные к плоскостям проекций, до пересечения с ними. В результате пересечения получают А1 – горизонтальную, А2 – фронтальную, А3 – профильную проекции точки А. Прямая АА1 называется горизонтально проецирующим, АА2 – фронтально проецирующим, АА3 – профильно проецирующим лучами. Проецирующие лучи АА1 и АА2 определяют плоскость перпендикулярную к оси Ох и ∩ плоскостям П1, П2 пересекает плоскости проекций по прямым А1Ах  и А2АХ, перпендикулярно к оси Ох. Точку пересечения этой плоскости с осью Ох обозначают Ах. рассуждая аналогично, получают прямые А1Ау и А3Ау, перпендикулярные к оси Оу, и прямые А2Az и А3Az, перпендикулярные к оси Оz.

Рис. 2.6.

2.2.2  Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства

 Вверх

Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 – горизонтальная плоскость проекций, П2 – фронтальная плоскость проекций делят пространство на четыре квадранта (четверти):

I октант – передний верхний,

II октант – задний верхний,

III октант – задний нижний,

IV октант —     передний нижний.П1

                Построим комплексный чертеж (эпюр) точки А, т.е. плоский чертеж точка А, состоящий из двух проекций точки А. Для этого мысленно удаляют точку А и проецирующие прямые АА1 и АА2, а затем вращают плоскости П1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью П2, вращая плоскость П1 так, чтобы передняя полуплоскость П1 оказалась под осью Х в совмещенном положении (см. стрелки рис. 2.1).

            Прямая линия А2А1, соединяющая две проекции точки на чертеже, называется линией связи.

            Проще начинать строить эпюр точки А с фронтальной проекции А2, т.к фронтальная плоскость совпадает с плоскостью эпюра, и поэтому расположение точки А2 относительно оси Х12 на эпюре будет таким же, как и на оригинале (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

             Отрезок А1Ах равен расстоянию точки А до фронтальной плоскости проекций П2, называемому ординатой точки А или глубиной точки А. А1Ах=АА2=УА.

            Отрезок А1Ах равен расстоянию точки А до горизонтальной плоскости проекций П, называемому аппликатой точки А или высотой точки А.

                          А2Ах=АА1=ZА

                Прочитать чертеж точки А, значит перегнуть его мысленно по оси Хх (ось абсцисс), восстановить перпендикуляры из проекций точки А, и тогда точка пересечения их будет точкой А, заданной комплексным чертежом. Таким же образом доказывается и то, что две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.

            Построение чертежей точек по координатам упрощается, если нанести координатные оси аппликат Z и ординат Y на наглядном рисунке плоскостей проекций П1 и П2 и на комплексном чертеже точки (рис. 2.9)

Рис. 2.9.

Таблица 1

            В начертательной геометрии принята левая система координат, когда влево направлена положительная полуось абсцисс Х. Обе проекции точки могут располагаться как над осью Х-ов в зависимости от того, в каком квадранте будет расположена точка.

            Построение эпюра (чертежа) точки по наглядному рисунку точки в пространстве, расположенной в той или иной четверти, проще начинать с построения фронтальной проекции точки, откладывая на эпюре по направлению линии связи размер высоты точки, а после этого надо представить себе и решить, куда – вниз или вверх будет перемещаться горизонтальная проекция точки с той горизонтальной полуплоскостью, на которой она расположена, и только тогда можно решить, где над осью Х-ов, или под осью Х-ов будет расположена горизонтальная проекция точки на эпюре.

            Построение наглядного рисунка точки в пространстве, расположенной в том или ином квадранте по заданному эпюру точки, лучше также начинать с фронтальной проекции, откладывая размер А2Ах высоты точки А. После этого надо решить вопрос, на какой горизонтальной полуплоскости проекции, передней или задней, должна лежать горизонтальная проекция точки. Если на эпюре горизонтальная проекция точки лежит под осью абсцисс, то она на наглядном рисунке будет расположена на передней горизонтальной полуплоскости. Если над осью абсцисс, то – на задней горизонтальной полуплоскости.

2.2.3 Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства

Вверх

            В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций (рис., 2.10.).

Рис. 2.10.

Сохраняя неподвижной фронтальную плоскость проекций П2, горизонтальную плоскость П1 поворачивают вокруг оси Ох вниз на 90о, а профильную – вокруг оси Оz вправо на 90о до их совмещения с фронтальной плоскостью проекций. Направление изображения показано на рис. 1.6.. стрелками. Полученное изображение трех плоскостей проекций вместе с изображенными на них проекциями А1, А2, А3 точки А называют комплексным чертежом точки А. на комплексном чертеже ось Оу раздваивается и кроме вертикального положения Оу1 (вниз от точки О) занимает и второе – горизонтальное положение Оу3 (вправо от точки О).

            Прямую, соединяющую две проекции точки на комплексном чертеже, называют линией связи.

            Из анализа рис. 1.7.. вытекают следующие основные положения:

а) горизонтальная А1 и фронтальная А2 проекции точки всегда расположены на вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох;

б) Фронтальная А2 и профильная А3 проекции точки всегда расположены на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций ОZ;

в) горизонтальная А1 и профильная А3 проекции точки всегда расположены на линиях связи, пересекающихся на биссектрисе угла у1Оу3. Эта биссектриса получила наименование постоянной прямой чертежа (линия К), а линия связи А1А0А3 – ломаной или горизонтально- вертикальной линии связи.

            В начертательной геометрии часто приходится решать задачи на построение третьей проекции фигуры по двум данным. Для этого прежде нужно научиться строить третью проекцию точки, если известны две ее проекции. Выполнить это можно тремя способами.

            Проекционный способ (рис 1.7.). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 опускают перпендикуляр на ось Оу1,  получают точку Ау1, и при помощи циркуля или прямоугольного равнобедренного треугольника находят на оси Оу3 положение точки Ау3. из этой точки проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией связи, проведенной из А2. Точка А3 – профильная проекция точки А.

            Координатный способ.  Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Измеряют циркулем расстояние от проекции А1 до оси Ох (глубину точки, или координату уА) и откладывают этот отрезок на линии связи вправо от точки АZ. Получают профильную проекцию А3.

            Способ с использованием постоянной прямой чертежа. Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 проводят линию связи до пересечения в точке А0 с постоянной прямой К, т.е. биссектрисой угла у1Оу3. из точки А0 проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией, проведенной из фронтальной проекции А2.

            Предпочтительней второй и третий способы, требующие меньшего числа построений и позволяющие использовать чертежные приборы.

 

            В пространстве может быть взято множество точек, занимающих по отношению к плоскостям проекции различное положение. Например, пирамида и срезанный параллелепипед имеют 13 вершин- точек, различно расположенных относительно плоскостям П1, П2, П3. Чтобы определить положение каждой из этих точек в отдельности, нужно знать три ее измерения- широту, высоту, глубину.

Рис.2.11.

            Z – высота точки (рис. 2.11.) определяется ее расположением от горизонтальной плоскости проекций или удалением ее фронтальной проекции А2 от точки Ох (АА1 = А2Ах).

            У – глубину точки измеряют ее расстоянием от фронтальной плоскости проекций или удалением ее горизонтальной проекции А1 от оси Ох (АА2 = А1Ах).

            Х – широтой точки является ее удаление от профильной плоскости проекций или расстояние от точки АХ до начала осей проекции О (АА3 = АХО). Все эти утверждения вытекают из рассмотрения треугольников АА1АХА2 и АА1АУА3.

            Если принять плоскость и оси проекции за координатные плоскости и оси координат х  у, z, то положение любой точки пространства может быть задано тремя ее координатами. В этом случае отрезок АА3 = АХО выражает координату х, т.е. расстояние от точки до плоскости П3, отрезок АА2 = А1АХ – координату у, т.е. расстояние от точки до плоскости П2, и отрезок АА1 = А2АХ – координату z, т.е. расстояние от точки до плоскости П1. Запись типа А (10, 16, 8) означает, что координата х точки А равна 10мм, координата у=16 мм, координата z= 8 мм.   

             Рассмотрим на примере построение проекций точки по ее координатам (измерениям). Задана точки А (25, 15, 20), т.е. х = 25мм, у = 15мм, z = 20мм. Нужно построить комплексный чертеж точки в системе трех плоскостей проекции.

Рис. 2.12.

Проводят оси Ох, Оу, Оz (рис. 2.12.). По оси Ох влево от точки О откладывают координату х = 25мм и через полученную точку Ах проводят вертикальную линию связи. На этой линии вниз от Ах откладывают значение координаты у = 15мм и получают горизонтальную проекцию А1 точки А. на этой же линии вверх от Ах  откладывают значение координаты z = 20мм и получают фронтальную проекцию А2 точки А. Найденные проекции А1 и А2 определяют положение точки. Если нужно построить третью, профильную, проекцию, из проекции А2 проводят горизонтальную линию связи и откладывают вправо от точки Аz отрезок, равный значению координаты у (АяА3 = 15мм). А3 – профильная проекция точки А.

            На рисунке 2.13. построены комплексные чертежи точек В (20,0,5) и С (15,0,0).

Рис. 2.13.

2.2.4 Точки проекций общего и частного положения. 

Вверх

 

Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей:

П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций;

П3 – профильная плоскость проекций;

Ось х – ось абсцисс;

Ось у – ось ординат;

Ось z – ось аппликат;

О – начало координат.

Положительными направлениями оси считают: для оси х – влево от начала координат, для оси у – в стороны зрителя от плоскости П2, для оси z – вверх от плоскости П1, противоположные направления осей считаются отрицательными (рис. 2.14.).

Рис. 2.14.

Плоскости проекции делят пространство на 8 частей – октантов, каждый из которых представляет собой прямоугольный треугольник, где гранями являются части плоскостей проекций, а ребрами – оси координат.

Учитывая при отсчете координат направления осей х, у, z, получим знаки координат для каждого октанта (табл. 2).

Возможны следующие случаи.

Точка расположена в пространстве. В этом случае ее зададут тремя координатами (измерениями). Все три проекции точки удалены от осей проекций (рис. 2.9.).

Точка находится на одной из плоскостей проекций – П1, П2 или П3. В этом случае ее задают двумя действующими координатами, не равными нулю. Одна проекция совпадает с самой точкой, а две другие лежат на осях. На рисунке 1.10. изображены проекции точки  В (20, 0, 15), лежащей в плоскости проекций П2. В этом случае фронтальная проекция В2 совпадает с самой точкой В, горизонтальная проекция В1 лежит на оси Ох, а профильная В3 – на оси Оz.

Точка находится на одной из осей проекций – Ох, Оу, Оz. В этом случае ее задают одной действительной  координатой, не равной нулю. Две проекции совпадают с самой точкой, а третья находится в точке О – начале осей проекций. На рисунке 2.10 изображены проекции точки С (15, 0, 0), лежащей на оси Ох. В этом случае горизонтальная С1 и фронтальная С2 проекции совпадают с самой точкой С, а профильная проекция С3 находится в точке О.

К чтению чертежа  следует отнести решение таких вопросов:

а) определение третьей проекции точки по двум данным;

б) определение координат точки и ее положения относительно плоскостей проекции;

в) построение аксонометрического изображения точки по ее комплексному чертежу;

г) анализ взаимного расположения нескольких точек относительно плоскостей проекции и др.

На рисунке 2.15. заданы проекции точки А и В. Эти точки расположены в пространстве, так как ни одна из их координат не равна нулю. Широта точки А больше широты точки В, так как отрезок ОАх больше отрезка ОВх. Следовательно, точка А дальше отстоит от плоскости П3, чем точка В. Глубины этих точек равны  вследствие равенства координат у (А1Ах = В1Вх). Из этого следует, что точки одинаково удалены от плоскости проекции П2. Высоты у точек различны. Точка В дальше от плоскости П1 на величину, равную отрезку В2В0.

Рис. 2.15.

2.3. Обратимость чертежа

            Обратимость чертежа. Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А1 (см. рис. 2.4.) не определяет положение самой точки в пространстве, так как неизвестно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций П1. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображения дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ЭПЮР 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ЭПЮР 2 Методические указания к самостоятельной подготовке по дисциплине «Инженерная графика» Составитель Л. Л. Сидоровская Ульяновск УлГТУ 2015

УДК 514.1(076) ББК 22.151.3 я7 П 79 Рецензент доцент кафедры «Строительные конструкции» строительного факультета Ульяновского государственного технического университета Е. Г. Дементьев Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета П 79 Пересечение поверхности плоскостью. Построение разверток. Эпюр 2 : методические указания к самостоятельной подготовке по дисциплине «Инженерная графика» / сост. Л. Л. Сидоровская. Ульяновск : УлГТУ, 2015. 27 с. Разработаны кафедрой «Архитектурно-строительное проектирование» на основании ФГОС ВПО и учебного плана УлГТУ. Составлены в соответствии с рабочей программой курса «Инженерная графика». Содержат методику выполнения эпюра 2, требования, предъявляемые к оформлению чертежей, образцы выполненных работ и варианты индивидуальных заданий. Разработка включает также перечень контрольных вопросов по указанной теме. Предназначены студентам дневной формы обучения направления подготовки 270800.62 «Строительство», профилей подготовки «Промышленное и гражданское строительство» и «Теплогазоснабжение и вентиляция». УДК 514.1(076) ББК 22.151.3 я7 Сидоровская Л. Л. составление, 2015 Оформление. УлГТУ, 2015

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ… 4 1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ И ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ЧЕРТЕЖЕЙ… 4 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ… 5 2.1. Построение сечения призмы плоскостью… 5 2.2. Построение натуральной величины фигуры сечения… 6 2.3. Построение развертки призмы способом нормального сечения… 6 2.4. Построение развертки призмы способом раскатки… 7 2.5. Построение сечения и развертки пирамиды способом триангуляции… 8 3. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ… 10 3.1. Построение сечения и развертки цилиндра вращения… 10 3.2. Построение сечения и развертки конуса вращения… 11 4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ… 13 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК… 14 ПРИЛОЖЕНИЕ 1… 15 ПРИЛОЖЕНИЕ 2… 16 ПРИЛОЖЕНИЕ 3… 17 ПРИЛОЖЕНИЕ 4… 18 ПРИЛОЖЕНИЕ 5… 19 ПРИЛОЖЕНИЕ 6… 20 3

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В программу курса инженерная графика включено выполнение домашних графических работ. В состав эпюра 2 входят задачи, охватывающие разделы: Пересечение многогранников плоскостью. Пересечение поверхностей вращения плоскостью. Использование методов преобразования чертежа для построения проекций сечения и нахождения его натуральной величины. Построение разверток многогранников и поверхностей вращения. Приступая к выполнению эпюра 2, необходимо проработать по учебнику [1] соответствующие темы. Решение задач эпюра 2 дает возможность студентам ознакомиться с несколькими способами построения сечений многогранных и кривых поверхностей, а также построения разверток. Полученные знания могут быть использованы при проектировании и выполнении работ по сопряжению элементов конструкций, имеющих плоские сечения. Построение разверток необходимо при изготовлении какой-либо детали, изделия или конструкции, получаемой путем свертывания из листового материала. Точные графические построения, необходимые для выполнения эпюра 2, прививают студентам навыки работы карандашом, циркулем и линейкой. Оформлению чертежей предшествует изучение чертежных ГОСТов, стандартов ЕСКД. Все полученные при работе над эпюром 2 знания и умения будут использованы студентами при изучении последующих разделов инженерной графики, таких как начертательная геометрия, машиностроительное и строительное черчение. 1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ И ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ЧЕРТЕЖЕЙ При выполнении эпюра 2 требуется решить следующие задачи: Построить проекции сечения геометрического тела плоскостью. Определить натуральную величину фигуры сечения. Построить полную развертку поверхности усеченной части геометрического тела. 4

Исходные данные для решения задач приведены в приложении 6. Студент выбирает свой вариант в соответствии с порядковым номером, под которым стоит его фамилия в журнале учета посещаемости. Работа выполняется на листе чертежной бумаги формата А3 (297 420) в карандаше в соответствии с требованиями стандартов ЕСКД. Формат А3 возможно расположить как вертикально, так и горизонтально. Перед выполнением изображений необходимо тщательно продумать компоновку чертежа, нанести рамку, основную и дополнительную надписи, разместить изображения и обозначения так, чтобы они равномерно располагались на поле чертежа, не накладывались друг на друга, буквы и цифры не должны пересекаться никакими линиями. Сначала чертежи выполняются в тонких линиях и представляются преподавателю для проверки. После исправления замечаний необходимо выполнить обводку мягким карандашом с соблюдением толщины линий по ГОСТ 2.303-68. Линии видимого контура обводятся сплошной толстой, линии невидимого контура штриховой, линии построения сплошной тонкой, осевые и центровые штрихпунктирной, линии перегиба на развертках штрихпунктирной с двумя точками. Искомые элементы (проекции сечения, натуральная величина фигуры сечения) допускается обводить цветным карандашом или фломастером. При оформлении чертежа можно использовать отмывку акварельными красками и тушью. Точки отмечаются кружками диаметром от 1 до 1,5 мм. Надписи и обозначения выполняются шрифтом типа Б с наклоном около 75 высотой 5 мм по ГОСТ 2.304-81. Шрифты чертежные. Следует обратить внимание на написание прописных и строчных букв латинского и греческого алфавита. 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЙ Заданием эпюра 2 предусмотрено построение проекций сечения многогранников (призмы или пирамиды) и тел вращения (цилиндра или конуса) плоскостью общего положения, определение натуральной величины фигуры сечения и построение полной развертки усеченной части геометрического тела, находящейся между секущей плоскостью и основанием. 5

2.1. Построение сечения призмы плоскостью Для построения сечения многогранника плоскостью необходимо либо найти точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью, либо построить линии пересечения его граней с этой плоскостью. В вариантах заданий ребра и грани многогранников занимают общее положение относительно плоскостей проекций π 1 и π 2. Секущая плоскость α, заданная различными способами, так же занимает общее положение. Для решения задачи преобразуем чертеж таким образом, чтобы плоскость α заняла проецирующее положение. Используем для этого способ замены плоскостей проекций: π 2 π 1 x 12 x 14, где π 4 π 1 π 4 α X 14 h 1 0, либо X 14 απ 1. π 1 π 4 На плоскость проекций π 4 секущая плоскость α проецируется в прямую απ 4 f 4 0 (след плоскости α). Находим точки встречи ребер призмы с секущей плоскостью α: [АА’ ] α =1, [А 4 А 4 ‘ ] απ 4 =1 4, [ВВ’ ] α =2, [В 4 В 4 ‘ ] απ 4 =2 4, [СС’ ] α =3, [С 4 С 4 ‘ ] απ 4 =3 4. По принадлежности определяем проекции этих точек на плоскости проекций π 1 и π 2. Треугольники 1 1 2 1 3 1 и 1 2 2 2 3 2 являются искомыми проекциями сечения призмы плоскостью α. 2.2. Построение натуральной величины фигуры сечения Для построения натуральной величины сечения удобно использовать способ плоскопараллельного перемещения. Плоскость треугольника 123 располагаем параллельно плоскости проекций π 1. На чертеже его вырожденную проекцию 1 4 2 4 3 4 располагаем параллельно оси X 14 : 123 π 1 1 4 2 4 3 4 X 14, на плоскость π 1 треугольник будет проецироваться в натуральную величину, то есть: 1 1 2 1 3 1 123. 6

2.3. Построение развертки призмы способом нормального сечения На примере, рассмотренном в приложении 1, для построения развертки призмы использован способ нормального сечения. Он заключается в следующем: Пересекаем боковые грани призмы плоскостью, перпендикулярной ребрам. Строим проекции сечения и находим натуральную величину фигуры сечения. На прямой откладываем отрезки, равные НВ сторонам фигуры сечения. Через опорные точки проводим прямые, перпендикулярные этой прямой, и откладываем на них отрезки, равные натуральной величине боковых ребер призмы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. В рассмотренном нами случае секущая плоскость α, заданная на чертеже пересечением горизонтали (h) и фронтали (f), перпендикулярна боковым ребрам призмы α [АА’ ], [ВВ’ ], [СС’ ]. Следовательно, полученное сечение, треугольник 123, является нормальным (от слова «нормаль» перпендикуляр) сечением призмы. Преобразованная проекция 1 1 2 1 3 1 есть натуральная величина этого нормального сечения. Для построения развертки на произвольной прямой последовательно откладываем отрезки [12 ], [23 ], [31 ], равные сторонам фигуры сечения: [12 ] = [1 1 2 1 ], [23 ] = [2 1 3 1 ], [31 ] = [3 1 1 1 ]. Через точки 1, 2, 3 проводим перпендикуляры и откладываем по разные стороны от прямой 1 1 отрезки, равные натуральной величине ребер призмы. Натуральные размеры ребер усеченной части берем с проекции на плоскости π 4, куда они проецируются без искажения: [А1 ] = [А 4 1 4 ]; [В2 ] = [В 4 2 4 ]; [С3 ] = [С 4 3 4 ]. К полученной развертке боковой поверхности усеченной призмы достраиваем нижнее основание треугольник АВС и натуральную величину сечения треугольник 123. Полученная плоская фигура есть полная развертка усеченной части призмы. 7

2.4. Построение развертки призмы способом раскатки На примере, рассмотренном в приложении 2, для построения развертки призмы рационально использовать способ раскатки. Этот способ удобно применять в том случае, если боковые ребра призмы параллельны одной из плоскостей проекций, а основание проецируется в натуральную величину. Такое положение занимает призма в приложении 2: боковые ребра параллельны плоскости π 2, а основание АВС располагается в плоскости π. 1 Способ раскатки заключается в том, что мы последовательно вращаем грани призмы вокруг боковых ребер до положения, параллельного плоскости проекций. Вращаем грань АА’ВВ’ вокруг ребра АА’, как вокруг фронтали, до положения параллельного плоскости π 2. Точки В’ и В в пространстве будут перемещаться по окружностям, лежащим в плоскостях вращения β и σ, перпендикулярных оси вращения прямой АА’. На чертеже: βπ 2 [А 2 A 2 ‘ ] σπ 2 [А 2 A 2 ‘ ]. Натуральную величину радиуса вращения для точек В и В’ искать не надо, так как ребро [АВ ] проецируется на π 1 без искажения. Из точки А 2 и А 2 ‘ на следах βπ 2 и σπ 2 делаем засечки радиусом, равным отрезку [A 1 B 1 ], и получаем точки В и В’. После преобразования грань призмы АА’ВВ’ располагается параллельно плоскости π 2 и проецируется на нее без искажения. Аналогично строим на развертке натуральную величину оставшихся граней ВВ’СС’ и СС’АА’. Переносим на развертку опорные точки фигуры сечения 1, 2 и 3, пристраиваем способом засечек нижнее основание треугольник АВС и натуральную величину фигуры сечения треугольник 123. На эпюре: 123 1 1 2 1 3 1, АВС А 1 В 1 С 1. Проекции сечения призмы плоскостью α треугольник 123 и его натуральную величину находим так же, как и в предыдущем примере. 2.5. Построение сечения и развертки пирамиды способом триангуляции На примере, рассмотренном в приложении 3, построено сечение пирамиды плоскостью общего положения α четырехугольник 1234, найдена его натуральная величина и построена полная развертка усеченной части пирамид. Плоскость общего положения α способом замены плоскостей проекций преобразована в проецирующую, найдены точки встречи ребер пирамиды с этой плоскостью и построены проекции фигуры сечения. Способом плоскопа- 8

раллельного перемещения определена натуральная величина фигуры сечения четырехугольника 1234. Грани пирамиды представляют собой треугольники, поэтому развертка ее боковой поверхности будет составлена из треугольников (способ триангуляции). Построение развертки пирамиды сводится к построению натуральных величин треугольников граней пирамиды, совмещенных в одной плоскости. Находим натуральные величины боковых ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей оси, перпендикулярной плоскости проекций π 1 и проходящей через вершину пирамиды точку S: (i π 1 ) (i S). Вращаем боковые ребра пирамиды (прямые общего положения) до положения, параллельного плоскости проекций π 2 (прямые уровня). Их горизонтальные проекции будут параллельны оси X 12, а на фронтальную плоскость проекций боковые ребра проецируются в натуральную величину. Опорные точки фигуры сечения 1, 2, 3 и 4 в пространстве переместятся по окружностям, расположенным в плоскостях вращения βπ 2, β 1 π 2, β 2 π 2, β 3 π 2 вместе с соответствующими им боковыми ребрами пирамиды. Натуральная величина основания пирамиды квадрат АВСD находится на плоскости проекций π 1. По трем сторонам, используя способ засечек, строим натуральные величины треугольников граней пирамиды, последовательно пристраиваем их друг к другу, совмещаем в одной плоскости. Получаем полную развертку боковой поверхности пирамиды. Для построения развертки усеченной части переносим на боковые ребра точки 1, 2, 3 и 4 фигуры сечения: [А1 ] = [А 2 1 2 ]; [В2 ] = [В 2 2 2 ]; [С3 ] = [С 2 3 2 ]; [D4 ] = [D 2 4 2 ]. Достраиваем основание квадрат ABCD и натуральную величину фигуры сечения четырехугольник 1234 1 1 2 1 3 1 4 1. Строить развертку пирамиды рекомендуется начать с самого длинного ребра. В приложении 3 это ребро [АS ]. Располагать ребро [АS ] на свободном месте необходимо с учетом заранее продуманной компоновки чертежа. 9

3. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ В общем случае при пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская кривая линия. Ее проекции на чертеже начинают строить с определения положения опорных точек. К ним относятся верхняя и нижняя точки фигуры сечения, правая и левая, точки «видимости», разделяющие кривую на видимую и невидимую части. Если поверхность не является проецирующей, а секущая плоскость занимает общее положение, то для построения как опорных, так и промежуточных точек сечения используется способ вспомогательных секущих плоскостей. Решение задачи можно упростить, если одним из способов преобразования чертежа (например, заменой плоскостей проекцией) сделать секущую плоскость проецирующей. Проекция фигуры сечения на плоскости π 4 будет вырождаться в отрезок прямой, а проекции ее точек на плоскостях π 1 и π 2 находятся по принадлежности к заданной поверхности. 3.1. Построение сечения и развертки цилиндра вращения В приложении 4 требуется построить сечение цилиндра плоскостью общего положения α, определить натуральную величину сечения и построить полную развертку усеченной части цилиндра. Как и в ранее рассмотренных примерах, преобразуем чертеж так, чтобы плоскость α стала проецирующей. Используем способ замены плоскостей проекций: π 2 π 1 x 12 x 14, π 4 π 1 π 4 α X 14 h 1. π 1 π 4 Сечение боковой поверхности цилиндра представляет собой эллипс. На плоскости проекций π 4 проекция сечения вырождается в отрезок прямой, принадлежащей следу плоскости απ 4. Находим опорные точки сечения: начало и конец большой и малой осей эллипса, точки видимости. Поскольку ось вращения цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то проекция его боковой поверхности вырождается на плоскость π 1 в окружность. 10

Горизонтальная проекция фигуры сечения эллипс совпадает с вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра на плоскости π 1. Фронтальную проекцию сечения строим по принадлежности его точек образующим цилиндра. Большая ось эллипса сечения отрезок [15 ] располагается на линии ската плоскости α, малая ось отрезок [37 ] на горизонтали этой плоскости. Находим их проекции сначала на плоскости π 4, а затем строим проекции на π 1 и π 2 по принадлежности соответствующим образующим цилиндра. Точки 2 и 6, граница видимости, лежат на очерковых образующих цилиндра. Натуральную величину фигуры сечения определяем способом плоскопараллельного перемещения. Построение эллипса по большой и малой оси показано в приложении 4. Для построения развертки боковой поверхности цилиндра в него вписана восьмигранная прямая призма. Развертка призмы выполнена способом нормального сечения. Ребра призмы перпендикулярны плоскости π 1, основание представляет собой натуральную величину нормального сечения. На горизонтальной прямой откладываем отрезки, равные хордам дуг [1 1 2 1 ], [2 1 3 1 ],, [1 1 8 1 ], через полученные точки проводим перпендикуляры и откладываем на них отрезки, равные высоте точек 1, 2,…,8 над плоскостью π 1 (высота точки берется с фронтальной плоскости проекций). Полученные точки соединяются плавной кривой (синусоидой), используя лекало. Достраиваем нижнее (окружность) и верхнее (эллипс) основания усеченной части цилиндра. 3.2 Построение сечения и развертки конуса вращения В зависимости от положения секущей плоскости на поверхности конуса вращения может образовываться одна из кривых второго порядка окружность, эллипс, парабола, гипербола. На примере, рассмотренном в приложении 5, плоскость α пересекает все образующие конуса под некоторым углом. В сечении получается эллипс. Для построения проекций сечения преобразуем чертеж так, чтобы секущая плоскость α стала проецирующей. Используем способ замены плоскостей проекций: π 2 π 1 x 12 x 14, π 4 π 1 π 4 α X 14 h 1. π 1 π 4 11

На плоскости π 4 проекция сечения вырождается в отрезок прямой [1 4 5 4 ], лежащей на следе плоскости απ 4. Большая ось эллипса отрезок [15 ] лежит на линии ската плоскости α. Проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость β через вершину конуса точкуs перпендикулярно плоскости α: (β α) (β π 1 ) => βπ 1 h 1. Такая плоскость пересечет поверхность конуса ω по треугольнику, а плоскость α по линии ската: β ω = ISV, β α = [MN ]. На плоскости π 4 в пересечении следа απ 4 с очерковыми образующими [S 4 I 4 ] и [S 4 V 4 ] находим точки 1 4 и 5 4. Отрезок [1 4 5 4 ] = [15 ] является натуральной величиной большой оси эллипса сечения. Строим проекции линии ската (MN ) на плоскостях π 1 и π 2, по принадлежности находим проекции точек 1 и 5: 1 1 (M 1 N 1 ), 5 1 (M 1 N 1 ), 1 2 (M 2 N 2 ), 5 2 (M 2 N 2 ). Для определения положения малой оси эллипса сечения проводим горизонтальную плоскость уровня γ через середину отрезка [15 ] точку О (центр эллипса): γπ 4 x 14. Эта плоскость пересечет конус по окружности (параллели), а плоскость α по горизонтали h 1 : γ α = h 1. В их пересечении найдем точки 3 и 8. Для определения положения точек «видимости» 2 и 6 проводим фронтальную плоскость уровня σ через вершину конуса S. Она пересекает его поверхность по треугольнику IISVI, а плоскость α по фронтали f 1 : σ ω = IISVI, σ α = f 1. В их пересечении находим точки 2 и 6: [S 2 VI 2 ] f 2 1 = 2 2, [S 2 VI 2 ] f 2 1 = 6 2. Точки 1, 2,…, 9 соединяем плавной кривой, используя лекало с учетом видимости. Натуральную величину сечения находим способом плоскопараллельного перемещения. Развертка боковой поверхности конуса вращения представляет собой круговой сектор, центральный угол которого равен: φ = r l 360, где r радиус окружности основания конуса, l образующая конуса. 12

Дуга окружности сектора равна длине окружности основания конуса. Чтобы перенести на развертку точки 1, 2,…, 9 фигуры сечения, строим на развертке образующие, на которых лежат эти точки. Для этого на дуге сектора последовательно откладываем отрезки: [I II ] = [I 1 II 1 ]; [II III ] = [II 1 III 1 ]; [III IV ] = [III 1 IV 1 ] и т. д., полученные точки соединяем с вершиной сектора S. Откладываем на развертке отрезки образующих: [S1 ] = [S 4 1 4 ]; [S5 ] = [S 4 5 4 ]; [S2 ] = [S 2 2 2 ]; [S6 ] = [S 2 6 2 ], так как они проецируются без искажения на плоскостях π 2 и π 4. Точки 3 4 8 4 и 4 4 7 4 переносим на очерковую образующую [S 4 1 4 ], что соответствует вращению образующих, которым они принадлежат, вокруг оси конуса до положения, параллельного плоскости π 4. Откладываем на развертке отрезки: [S 4 3 4 ] = [S3 ], [S 4 4 4 ] = [S4 ] и т.д. Точки 1, 2,…, 9 соединяем плавной кривой, используя лекало, достраиваем нижнее основание конуса окружность и натуральную величину фигуры сечения эллипс. 4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Чем задается призматическая поверхность, поверхность пирамиды? 2. Что называется разверткой многогранника? Назовите способы ее построения. 3. Как построить натуральную величину сечения многогранника плоскостью? 4. В чем заключается построение развертки призмы способом нормального сечения? 5. В каком случае можно построить развертку призмы способом раскатки? В чем он заключается? 6. В чем состоит построение развертки пирамиды способом триангуляции? 7. Как найти натуральные величины боковых ребер пирамиды? 8. Как образуются конические и цилиндрические поверхности? 9. Какие линии получаются при пересечении цилиндрической поверхности плоскостью? 13

10. Как найти опорные точки сечения поверхности цилиндра плоскостью? 11. Как построить натуральную величину эллипса по большой и малой оси? 12. Как строится развертка боковой поверхности цилиндра вращения, наносятся на нее точки фигуры сечения? 13. Каково условие принадлежности точки поверхности? 14. Какие линии получаются при пересечении конической поверхности плоскостью? 15. Как используется способ вспомогательных секущих плоскостей для построения сечения конуса плоскостью общего положения? 16. Какие точки линии (фигуры) сечения поверхности вращения называются характерными, опорными? 17. Как построить развертку боковой поверхности конуса вращения и нанести на нее точки фигуры сечения? БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Короев, Юрий Ильич. Начертательная геометрия: учебник. 3-е изд., стер. М.: Кнорус, 2011. (Специальность «Архитектура»). 422 с. 2. Кузнецов, Николай Сергеевич. Начертательная геометрия: Учебник для студентов строительных вузов. 3-е изд. М.: БАСТЕТ, 2011. 262 с. 3. Строительное черчение : Учебник для вузов / Будасов Борис Васильевич [и др.] ; Под общ. ред. О. В. Георгиевского. 6-е изд., перераб. и доп. М. : Архитектура-С, 2007. 456 с. 4. Начертательная геометрия: Учебник для строительных специальностей вузов / под редакцией Н. Н. Крылова. 9-е изд., стер. М.: Высшая школа, 2010. 224 с. 14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Учебное издание ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ЭПЮР 2 Методические указания Составитель СИДОРОВСКАЯ Лариса Леонидовна Редактор М. В. Теленкова Подписано в печать 24.04.2015. Формат 60 84/8. Усл. печ. л. 3,50. Тираж 150 экз. Заказ 373. Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32

решающих треугольников (триггер без слез, часть 4)

решающих треугольников (триггер без слез, часть 4)

Триггер без слез Часть 4:

Авторские права 19972020 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: Треугольник состоит из шести частей, трех сторон и трех углов . Учитывая почти любые три из них, три стороны, две стороны и угол, или одну сторону и два угла, вы можете найдите остальные три значения. Это называется , решая треугольник , и вы можете сделать это с помощью любой треугольник, а не только прямоугольный .

Для всего этого вам понадобится всего два инструмента: Закон синуса и Закон косинусов. Закон синуса связывает любые два стороны и углы напротив них, и Закон косинусов связывает все три стороны и один угол.

См. Также:

• Как решать треугольники на TI-83/84 включает программу TI-83/84 для автоматизации вычислений, упомянутых в этой главе.
• Есть онлайн-решатель треугольников, пользователя Jesus SD, за проверку ваших ответов. Нажмите на подсказку о Хром; похоже, он отлично работает в других браузерах, которые я пробовал.

Давайте для начала рассмотрим конкретный пример. Предположим, у вас есть треугольник, у которого одна сторона имеет длину 180, прилегающий угол равен 42, а противоположный угол — 31. Вас попросят найти другой угол и две другие стороны.

Всегда полезно нарисовать грубый набросок, как этот. Нет только помогает лучше организовать процесс решения, но может помочь вам проверить вашу работу. Например, поскольку угол 31 самый маленький, вы знаете, что противоположная сторона также должна быть самый короткий.Если бы вы дали ответ, скажем, 110 на одного с другой стороны, вы сразу поймете, что совершили ошибку где-то, потому что 110 <180 и две другие стороны должны оба будут> 180.

Как бы вы подошли к решению этой проблемы? Это не сразу очевидно, согласен. Но, может быть, мы сможем получить помощь от некоторые полезные общие техники решения проблем:

• Можете ли вы нарисовать диаграмму?
• Можете ли вы использовать то, что уже знаете, чтобы решить эту проблему? проблема или связанная проблема?
• Если у вас конкретный случай, можете ли вы решить более общую проблему? (Иногда бывает и наоборот, когда берется конкретный пример указывает на хорошую технику для решения общей проблемы.)

У нас уже есть диаграмма, но давайте посмотрим, могут ли эти другие методы будет полезно. (Между прочим, у меня они не оригинальные, но из потрясающей книги о решении проблем методы, о которых, я думаю, вам следует знать.)

Можете ли вы использовать то, что вы уже знаете, чтобы решить эту проблему? проблема? Например, если бы это был прямоугольный треугольник, вы бы знали, что прочь, как записать длину стороны в виде синусов или косинусов.

Но, увы, это не прямоугольный треугольник.Есть ли способ повернуть это в прямоугольный треугольник? Не совсем так, но если построить линию на под прямым углом к ​​одной стороне и проходящим через противоположную вершину, у вас будет два прямоугольных треугольника. Может быть, решая эти правильные треугольники покажет, как собрать исходный треугольник.

На этой диаграмме показан тот же треугольник после того, как я нарисовал перпендикуляр. Я также использовал другой принцип (можете ли вы решить более общая проблема?) и заменил конкретные цифры на обычные буквы для сторон и углов.Падение перпендикулярного компакт-диска в диаграмма делит большой треугольник (который вы не знаете, как решить) на два прямоугольных треугольника ACD и BCD с общей стороной CD. И вы, , можете решить эти прямоугольные треугольники.

Мы собираемся использовать эту простую диаграмму для разработки двух важных инструментов. для решения треугольников: закон синусов и закон косинусов. Просто рисование этой перпендикулярной линии покажет вам, как решать не только треугольник, с которого мы начали, но любой треугольник .(Некоторые триггеры курсы преподают другие законы, такие как Закон касательных и Закон Сегменты. Я игнорирую их, потому что вы можете решать треугольники просто отлично без них.)

Закон синуса

Закон синуса прост и красив, и его легко вывести. Его полезно, когда вы знаете два угла и любую сторону треугольника, или два угла и площадь, или (иногда) две стороны и один угол. .

Давайте начнем с того, что запишем то, что мы знаем, что касается сторон и углы двух прямоугольных треугольников на диаграмме выше.Вы помните, как записывать длины катетов прямоугольного треугольника? В катет всегда равен гипотенузе, умноженной на или на косинус из соседнего угла или синус противоположного угла. (Если это кажется вам пустыми словами, или даже если вы не на 100% уверен в этом, пожалуйста, вернитесь и просмотрите этот раздел, пока вы не почувствуете себя уверенно.)

На схеме посмотрите на треугольник ADC слева: справа угол составляет D , а гипотенуза — b .Мы не знаем, сколько из исходный угол C находится в этом треугольнике, поэтому мы не можем использовать C , чтобы найти длины любых сторон. Что можно записать, используя угол A ? Используя его косинус и синус, мы можем записать длины обеих сторон треугольник:

AD = b cos A а также CD = b sin A

По тем же соображениям в другом треугольнике у вас

DB = a cos B а также CD = a sin B

Это поразительно: вы видите два разных выражения для длины CD.Но вещи, которые равны одному и тому же, равны друг другу. Это означает, что

b sin A = a sin B

Разделите на sin A , и вы получите решение для общего случая:

b = a sin B / sin A

Как это применимо к треугольнику, с которого мы начали? Хорошо, воткни значения, и вы получите длину стороны рядом с 31 угол (или противоположный углу 42):

b = 180 × sin 42 / sin 31 ≈ 234

А как насчет третьего угла C и третьей стороны c ? Хорошо, когда ты есть два угла треугольника, третий легко найти:

A + B + C = 180

C = 180 — A — B

В этом случае C = 180 — 31 — 42 = 107.

Что касается третьей стороны, есть несколько вариантов. Ты написали выражения выше для AD и DB, и вы знаете, что c = AD + DB, чтобы вы могли вычислить c = b cos A + a cos B .

Но это два умножения и добавление, немного сложнее, чем одно умножение и одно деление, чтобы найти сторону b . Я ленив, и мне нравится уменьшать количество нажатий на моем калькулятор. Есть ли способ попроще, хотя бы немного проще? Да, есть.Вернитесь на шаг назад к

a sin B = b sin A

Разделите левую и правую на (sin A ) (sin B ), чтобы получить

a / sin A = b / sin B

Но в двух углах A и B нет ничего особенного. Ты мог бы точно так же сбросили перпендикуляр с A на BC или от B до АС .Справа показан результат падения перпендикуляра с B на линия CD.

Поскольку C > 90, этот перпендикуляр оказывается вне треугольника и два прямоугольных треугольника ABD и CBD перекрываются. Но это не повлияет на алгебру. Кстати, угол в треугольнике CBD — это не C , а 180 — C , дополнение C . Уголок C принадлежит исходному треугольнику ABC.

Вы можете записать длину общей стороны BD как

BD = c sin A (в треугольнике ABD)

и

BD = a sin (180 — C ) (в треугольнике CBD)

Но sin (180 — C ) = sin C , поэтому у вас

BD = a sin C (в треугольнике CBD)

Установите две вычисленные длины BD равными друг другу, и разделить на (sin A ) (sin C ):

a sin C = c sin A

a / sin A = c / sin C

Но мы уже выяснили ранее, что

a / sin A = b / sin B

Комбинируя эти два уравнения, мы получаем Закон синусов :

(28) Закон синуса Первая форма:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Это очень просто и красиво: для любого треугольника, если вы делим любую сторону на синус противоположного угла , ты получишь тот же результат.Этот закон действует для любого треугольника.

При необходимости вы можете вывести закон синуса, поэтому я не буду специально рекомендую запомнить. Но это так просто и красиво, что довольно сложно не запомнить, если вы вообще его используете. Это тоже довольно трудно запомнить неправильно: нет чередующихся плюсов и минусов знаки или комбинации разных функций.

Возвращаясь к нашему исходному треугольнику, мы можем вычислить длину третья сторона:

a / sin A = c / sin C

a (sin C ) / (sin A ) = c

с = 180 × (грех 107) / (грех 31) ≈ 334

Закон синуса иногда приводится в перевернутом виде:

(29) Закон синуса Вторая форма:

(sin A ) / a = (sin B ) / b = (sin C ) / c

Конечно, это тот же закон, точно так же, как 2/3 = 6/9 и 3/2 = 9/6 — то же утверждение.Работайте с этим в любом случае, и вы придете с такими же ответами.

В большинстве случаев, когда вы используете Закон синуса, вы получите уникальное решение. Но иногда вы получаете два решения (или ни одного) в случае бокового угла, где вы знаете две стороны и угол, которого нет между ними. Пожалуйста, посмотрите Специальное примечание ниже, после таблицы.

Закон косинусов

Закон синуса прекрасен, когда вы можете связать стороны и углы. Но предположим, вы знаете три стороны треугольника, например a = 180, b = 238, c = 340 и вам нужно найти три угла.Закон синуса для этого не годится, потому что он связывает две стороны и их противоположные углы. Если вы не знаете углов, вы есть уравнение с двумя неизвестными, и вы не можете его решить.

Но треугольник может быть решен , если известны все три стороны ; вам просто нужен другой инструмент. И зная меня, ты можешь быть уверен, что я собираюсь помочь вам в разработке! Это называется законом косинусов.

Давайте посмотрим на общий треугольник с опущенным перпендикуляром. из вершины C .Возможно, вы помните, что когда мы впервые посмотрели на эту картинку, мы вытащили выводить информацию, используя как синус, так и косинус двух углов. Мы использовали синусоидальную информацию для разработки закона синусов, но никогда не пошел куда угодно с информацией о косинусе, которая была

AD = b cos A и DB или BD = a cos B

Давайте посмотрим, к чему это нас может привести. Вы помните, как мы подошли с законом синуса было написать два уравнения, в которых длину вспомогательной линии CD, а затем объедините уравнения, чтобы устранить компакт-диск.Можем ли мы сделать что-нибудь подобное здесь?

Итак, мы знаем две другие стороны этих прямоугольных треугольников, поэтому мы может написать выражение для высоты CD с помощью пифагорова теоретически, два выражения, по одному для каждого треугольник.

a = (CD) + (BD) ⇒ (CD) = a — (BD)

b = (CD) + (AD) ⇒ (CD) = b — (AD)

и, следовательно,

а — (BD) = b — (AD)

Заменить известные значения BD = на cos B и AD = b cos A , а у вас

a — a cos² B = b — b cos² A

Bzzt! Не хорошо! Здесь используются две стороны и два угла, но нам нужен уравнение с тремя сторонами и один угол , так что мы можем решить для этого угла.Вернемся на шаг назад, чтобы a — (BD) = b — (AD), и посмотрим, сможем ли мы пойти в другом направлении.

Может быть, проблема в том, чтобы рассматривать BD и AD как отдельные сущности, когда на самом деле они являются частями одной линии. С BD + AD = c , можно написать

BD = c —

нашей эры

BD = c — b cos A .

Обратите внимание, что это приводит к падению третьей стороны c и угла B . из.Подставив, у нас теперь

а — (BD) = b — (AD)

a — ( c — b cos A ) = b — ( b cos A )

Это выглядит хуже, чем другое, но на самом деле лучше, потому что это то, что искали: уравнение для трех сторон и одной угол. Мы можем решить это с помощью небольшой алгебры:

a — c + 2 b c cos A — b cos² A = b — b cos² A

a — c + 2 b c cos A = b

2 b c cos A = b + c — a

cos A = ( b + c — a ) / 2 b c

Мы долго шли туда, но наконец-то добрались.Теперь мы можем указать длины сторон, о которых я упоминал в первом абзац и придумайте значение для cos A , который, в свою очередь, сообщит нам угол A :

cos A = (238 + 340 — 180) / (2 × 238 × 340)

cos A ≈ 0,864088

A ≈ 30,2

Сделайте то же самое с найдите второй угол (или воспользуйтесь законом синусов, так как он работает меньше), затем вычтите два известных угла из 180, чтобы найти третий угол.

Закон косинусов для других углов можно найти следуя тому же процессу, используя два других перпендикуляра.

(30) Закон косинусов Первая форма:

cos A = ( b + c — a ) / 2 b c

cos B = ( a + c — b ) / 2 a c

cos C = ( a + b — c ) / 2 a b

Ради интереса, давайте найдем два других угла этого треугольника:

.

cos C = ( a + b — c ) / 2 a b

cos C = (180 + 238 — 340) / (2 × 180 × 238)

cos C ≈ −0.309944

C ≈ 108,1

Обратите внимание, что закон косинусов автоматически обрабатывает тупые углы. Помните из диаграмма в функциях любого угла, которые cos A отрицателен, если A находится в диапазоне от 90 до 180. Поскольку косинус имеет уникальные значения от 0 до 180, вам никогда не придется беспокоиться о нескольких решениях треугольник, когда вы используете закон косинусов.

Есть еще одна хорошо известная форма закона косинусов, которая может быть немного легче запомнить.Начните с приведенной выше формы, умножьте на 2 a b , и изолировать c с одной стороны:

cos C = ( a + b — c ) / 2 a b

2 a b cos C = a + b — c

c = a + b — 2 a b cos C

Вы можете сыграть в ту же игру, чтобы решить две другие стороны:

(31) Закон косинусов Вторая форма:

a = b + c -2 b c × cos A

b = a + c -2 a c × cos B

c = a + b -2 a b × cos C

Обычно вы используете закон косинусов в первая форма для поиска угла и вторая форма для поиска стороны .

Наверное, ты не хочешь вспоминать об этом, но это не так сложно, как кажется. Я думаю об этом так: квадрат одной стороны — это сумма квадратов двух других, например Пифагора, но с поправочным коэффициентом в 2 раза выше те же стороны умножают на косинус противоположного угла.

Детективная работа: решение всех типов треугольников

Только с определениями синус, косинус и тангенс, вы можете решите любой прямоугольный треугольник . Если у вас есть закон синусов и закон косинусов под вашим пояс, вы можете решить любой треугольник, который существует .(Некоторые наборы данностей привести к невозможной ситуации, как треугольник со сторонами 3-4-9.)

На самом деле, это довольно просто. В любое время вам нужно собрать треугольник, подумать о том, что у вас есть, а затем подумать о том, какую формулу вы можете использовать, чтобы получить то, что вам нужно. (Когда у тебя есть два угла, вы всегда можете найти третий по A + B + C = 180.)

Дела

Многим людям легче думать об известных элементах треугольник как случай.Например, если вы знаете два угла и сторона между ними, это случай ASA; если ты знаешь два угла и сторону это не между ними, это случай AAS и так далее.

Im , а не , представляя вам следующую таблицу запоминать. Вместо этого я надеюсь показать вам, что между Закон синусов и закон косинусов можно решить в любом треугольнике, и что вы просто выбираете, какой закон использовать, исходя из того, какой только one unknown и иным образом использует уже имеющуюся у вас информацию.

Большинство случаев можно решить с помощью закона синусов. Но если у вас есть три стороны ( SSS ) или две стороны и угол между ними ( SAS ), вы должны начать с закона косинусов.

Если вы это знаете …		Таким образом можно решить треугольник …
три угла, AAA		Недостаточно информации. Без хотя бы одной стороны у вас есть форма треугольника, но нет возможности правильно его масштабировать.Для Например, те же углы могут дать вам треугольник со сторонами 7-12-13, 35-60-65 или любое другое кратное.
два угла и сторона, AAS или ASA		Найдите третий угол, вычтя из 180. Затем используйте Закон синуса (28) ★ дважды найти вторую и третью стороны.
с двух сторон и …	Уголок включенный, SAS	Используйте закон косинусов (31) ★ найти третью сторону. Затем используйте либо закон синуса (29) ★ или закон косинусов (30) ★ найти второй угол.
	угол без включения, SSA	Используйте закон синуса (29) ★, чтобы получить второй угол и закон синуса (28) ★ чтобы получить третью сторону. Но… В этом случае может не быть решений, одного решения или два решения. См. Подробности в Специальном Обратите внимание, ниже.
с трех сторон, SSS		Найдите один угол с помощью закона косинусов (30). Используйте этот угол и его противоположную сторону в закон синуса (29), чтобы найти второй угол, затем вычтите, чтобы найти третий угол.
два углы и площадь		См. Дано: Площадь и два угла ниже. Найдите третий угол. Затем найдите сторону, используя a = √2 × площадь × sin A / (sin B sin C ) Затем действуйте, как в случае ASA, описанном выше.
два стороны и площадь		См. Дано: Площадь и две стороны ниже. Найдите включенный угол с грех А = 2 × площадь / ( b c ) Затем действуйте, как в случае SAS, описанном выше.
★ Если задан угол 90, закон синусов и закон косинусов избыточны. Просто примените определения синуса и косинуса (уравнение 1) и касательную (уравнение 4), чтобы найти другой стороны и углы.

Особое примечание: Боковой угол

Для большинства наборов фактов существует уникальное решение. или они явно абсурдны. (Если вы не понимаете, почему треугольник со сторонами 50-60-200 абсурд, попробуйте его набросать.) Но случай SSA может быть непростым.

Предположим, вы знаете острый угол B и стороны a и b . Учитывая эти факты, есть два разных способа нарисовать треугольник, как показано на картинке. Как это может быть? Что ж, вы пользуетесь законом Синусы, чтобы найти синусы углов A и C . Допустим, вы нашли sin C = 0,5. Это означает, что C может быть либо 30, либо дополнение 150. Помните, что синус любой угол и синус его дополнения одинаковы.

Это печально известный двусмысленный случай . Вы можете увидеть Проблема с картинки: известная противоположная сторона b может принимать любую из две позиции, которые удовлетворяют заданным длинам a и b . Эти два положения приводят к двум различным значениям угла A , два разных значения для угла C и два разных значения для стороны c . Подумайте об этом немного, и вы увидите, что эта неоднозначность может возникнуть только тогда, когда известный угол острый, и соседняя сторона длиннее, чем противоположная сторона, и противоположная сторона больше высоты.

Вот полное изложение всех возможности с корпусом SSA:

Возможности в рамках SSA Case
	известный угол <90	известный угол ≥ 90
смежная сторона <противоположная сторона	одно решение	одно решение
смежная сторона = противоположная сторона	одно решение	нет решения (Углы, противоположные равным сторонам, должны быть равны, но у вас не может быть двух углов ≥ 90 в треугольнике.)
смежная сторона> противоположная сторона	Вычислить высоту треугольника h (умножение смежной стороны на синус известного угол). Противоположная сторона Противоположная сторона = h? одно решение (прямоугольный треугольник) Противоположная сторона> h? два решения	нет решения (Условия нарушают Теорема о том, что самая длинная сторона всегда противоположна самой большой угол.)

Ради всего святого, не пытайтесь запомнить эту таблицу! Вместо этого всегда рисуйте картинку.Если вы можете нарисовать два фотографии, которые соответствуют всем имеющимся фактам, у вас есть две законные решения. Если только одна картинка соответствует всем фактам, она будет покажет вам, какой угол (если есть)> 90. И если вы не можете сделайте любую картинку, которая соответствует действительности, треугольник не имеет решение.

Если у вас есть два решения, что вы будете делать? Если у вас нет другая информация для продолжения, конечно, вы сообщаете оба решения. Но внимательно проверьте ситуацию. Может быть, вам прямо сказали, что самый большой угол, или это подразумевается другими известными вам фактами.В этом если ваше решение ограничено, и вы отклоняете решение, которое не соответствует ограничениям.

Пример: Предположим, вас попросили решить треугольник с B = 36,9 a = 75,3, и b = 51,3. Как вы продвигаетесь?

Решение: Начните с эскиза, подобного показанному на Правильно. Это поможет вам присвоить номера нужным элементам треугольник.

Это случай с боковым углом: вы знаете две стороны a и b , а не включенный угол B .Прилегающая к угол B , a = 75,3, больше, чем противоположная сторона, a = 51,3, поэтому вы нужно вычислить высоту, h = 75,3 sin 36,9 ≈ 45,2. Противоположная сторона, a = 51,3, больше, чем this, поэтому есть два решения.

Используйте закон синусов, уравнение 29, чтобы получить вторую угол:

(sin A ) / a = (sin B ) / b

sin A = ( a / b ) sin B

sin A = (75.3 / 51,3) sin 36,9 ≈ 0,8813

A = 61,8 или 180 — 61,8 = 118,2

Если A = 61,8 …	Если A = 118,2 …
Угол C = 180 — A — B С = 180 — 61,8 — 36,9 = 81,3 Используйте закон синусов, уравнение 28, для третья сторона: c / (sin C ) = b / (sin B ) c = b sin C / sin B c = 51.3 грех 81,3 / грех 36,9 ≈ 84,5 Все шесть элементов треугольника по порядку A = 61,8, c = 84,5, B = 36,9, a = 75,3, C = 81,3, b = 51,3.	Угол C = 180 — A — B C = 180 — 118,2 — 36,9 = 24,9 Используйте закон синусов, уравнение 28, для третья сторона: c / sin C = b / sin B c = b sin C / sin B c = 51.3 sin 24,9 / sin 36,9 ≈ 36,0 Все шесть элементов треугольника по порядку A = 118,2, c = 36,0, B = 36,9, a = 75,3, C = 24,9, b = 51,3.

Решение треугольников из области

Дано: площадь и два угла

В апреле 2016 года Кэролайн МакКноу спросила меня, как решить треугольник , если у вас есть два угла и площадь . У меня не было сталкивался с этим раньше, но это выполнимо со стандартным уловка сброса перпендикуляра.

Напомним, что площадь треугольника равна основанию × высота / 2. Здесь база c , а высота (CD) равна b sin A . (CD также равно a sin B , но для этого решения это не так. независимо от того, какое выражение вы используете.) Это дает вам

площадь = ( c b sin A ) / 2

Мы знаем угол A , даже если A не является одним из двух данных, мы можем легко найти его, вычитая два других из 180, но есть две неизвестные стороны в это уравнение.Как мы можем устранить одного из них? Нам нужна секунда уравнение, которое включает b и c , но не другие неизвестные. Ответ находится в Законе Синуса:

.

b / sin B = c / sin C ⇒ b = c sin B / sin C

Подставьте это в уравнение для площади:

площадь = ( c b sin A ) / 2

площадь = ( c sin B sin A ) / (2 sin C )

Решить для стороны c :

с = 2 зоны sin C / (sin A sin B )

(32) c = √2 × площадь × sin C / (sin A sin B )

Наконец, воспользуйтесь законом синуса, чтобы найти стороны a и b .

Дано: площадь и две стороны

После решения треугольника с учетом площади и двух углов его Естественно задаться вопросом, сможешь ли ты это сделать с учетом площади и двух сторон . Ответ — да, и это даже немного проще, чем в случае, когда вы знаете местность и два угла.

В предыдущем разделе мы нашли формулу для площади в терминах двух сторон и включенный угол:

площадь = ( c b sin A ) / 2

Мы не могли использовать это напрямую, когда знали два угла и площадь, но если мы знаем две стороны и площадь, тогда эта формула именно то, что мы хотим.Просто решите грех A :

(33) sin A = 2 × площадь / ( b c )

Затем используйте Закон косинусов, чтобы найти сторону а . Наконец, используйте закон синусов или Закон косинусов, чтобы найти второй угол, и вычтите эти углы из 180, чтобы найти третий угол.

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их. без предварительного просмотра решений. Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя, действительно ли ты полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Не просто проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

1 У вас есть прямоугольный треугольник ( C = 90) с короткие стороны a = 88 и b = 37. Решите треугольник.

2 (Нарисуйте эту проблему, когда будете ее читать.) В государственном парке река течет практически прямо к 1800 м.Вы хотите построить монорельс из A , один конец этот участок до точки C на дальнем берегу. Вы также хотите построить пешеходный мост из B , на другом конце этого участка реки, до той же точки C на дальнем берегу. При A угол между линиями обзора к B и C составляет 67. При B угол между вашим прицелом линии на A и C — 38.

Какой длины должны быть монорельс и пешеходный мост?

Дополнительный вопрос: если река имеет одинаковую ширину на всем протяжении протянуть от A до B , насколько он широкий?

3 Найдите другие элементы треугольника с B = 117, a = 16 см и b = 25 см.

4 Очень современно выглядящая подставка представляет собой треугольную форму со сторонами 6 дюймов, 9 дюймов и 12 дюймов. Какие три угла?

5После того, как вы покрасите спальню, у вас будет достаточно краски осталось, чтобы покрыть 25 футов. Вы решаете нарисовать треугольник на стене другой комнаты, как акцент. Два угла должны быть 30 и 40. Найдите третий угол и длину с трех сторон.

6 Вы проезжаете 6,0 миль по прямому шоссе, затем съезжаете на съезд. Поворот направо, но угла не замечаешь.

Теперь вы едете по прямой проселочной дороге. Пройдя 9,8 миль по проселочной дороге, вы повернете 135 на правильно, на третьей дороге. (Если вы визуализируете это сверху, изменение направления на 135 соответствует углу 180 — 135 = 45 в треугольнике.)

Если предположить, что дорога идет в том же направлении, как далеко? вы должны ехать, чтобы добраться до отправной точки?

7Вы выкладываете треугольную грядку для своего сада. Две стороны 40 м и 60 м, а угол между ними равен 22.Какова длина третьей стороны и какие две другие? углы?

BTW: Великая книга по решению проблем

Я должен порекомендовать замечательную маленькую книгу, Как решить Это г. Г. Поля. Большинство учителей не очень хорошо учат вас как решать проблемы и делать доказательства. Они покажут вам, как они выполняйте их, и ожидайте, что вы освоите их техники своего рода осмос. Но большинство из них не очень хорошо объясняют свою мысль. процесс геометрического доказательства или решения ужасной история проблема.

Книга

Поляс отлично научит вас решать проблемы. Он показывает вам, какие вопросы вы должны задать себе, когда вы вижу проблему. Другими словами, он учит тебя, как справиться с самим собой. гул, мимо барахтаний, которые делают большинство людей, когда видят незнакомая проблема. И он делает это с множеством примеров, чтобы вы может развить уверенность в своих методах и сравнить свои методы с его. Упомянутые мною выше техники — всего три из многие в его книге.

Есть даже удобный список вопросов, которые вы можете задать себе всякий раз, когда вы застряли на проблеме.

Как это решить был впервые опубликован в 1945 г. и его периодически издается и выходит из печати. Если вы не можете это получить из книжного магазина, пойдите в библиотеку и возьмите копию. Ты не будешь извиняюсь.

Что нового

• 19 февраля 2018 : Добавлена ​​ссылка на онлайн-решатель треугольников.
• (промежуточные изменения подавлены)
• 19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 5 / Функции любого угла

типов треугольников — объяснения и примеры

В геометрии треугольник является наиболее важной формой , определяемой как замкнутая двумерная диаграмма, содержащая 3 стороны, 3 угла и 3 вершины. Проще говоря, треугольник — это многоугольник с 3 сторонами. Слово «треугольник» происходит от латинского слова «triangulus», что означает треугольник.

В древние времена астрономы создали метод, называемый триангуляцией, для определения расстояний до далеких звезд.Они измеряют расстояние от двух разных мест, а затем измеряют угол, образованный сдвигом или параллаксом, образованным движением наблюдателя между двумя точками. Затем они применяли закон синусов для вычисления необходимого расстояния.

Египтяне создали пирамиды около 2900 г. до н. Э. Его форма на самом деле напоминает трехмерную пирамиду с треугольными гранями. Это идеально спроектированная модель, длина и углы которой одинаковы со всех сторон. Милет (624 г. до н.э. — 547 г. до н.э.), греческий математик, перенял геометрию Египта и был доставлен в Грецию.

Аристарх (310 г. до н.э. — 250 г. до н.э.), греческий математик, использовал вышеуказанный метод, чтобы найти расстояние между Землей и Луной. Эратосфен (276 г. до н.э. — 195 г. до н.э.) снова использовал тот же метод для определения расстояния вокруг поверхности Земли (называемого окружностью).

В этой статье будет обсуждаться значение треугольника , различных типов треугольников и их свойства, а также их практическое применение.

Что такое треугольник?

Треугольник — это двумерная замкнутая фигура с 3 сторонами.Это многоугольник с тремя углами, тремя вершинами и тремя углами, соединенными вместе, которые образуют замкнутую диаграмму. Мы используем символ ∆ для обозначения треугольника.

Рисунки A и B представляют собой треугольники.

Различные типы треугольников

Типы треугольников классифицируются на основе:

• Длина их сторон
• Внутренние углы

Классификация треугольников по величине внутренних углов

Согласно Что касается внутренних углов, мы можем разделить треугольники на три категории:

1. Острый угол
2. Тупоугольный
3. Прямоугольный

Острый треугольник

Треугольник с острым углом — это треугольник, в котором все три внутренние углы менее 90 градусов.

Каждый из углов a, b и c меньше 90 градусов.

Тупой треугольник

Тупой треугольник — это треугольник, в котором один из внутренних углов больше 90 градусов.

Угол a более тупой, а углы b и c острые.

Прямой треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен точно 90 градусам. Гипотенуза — это сторона прямоугольного треугольника с наибольшей длиной.

На рисунке выше угол a = 90 градусов, а углы b и c являются острыми углами.

Классификация треугольников по длине их сторон

Мы можем классифицировать треугольники на 3 типа в зависимости от длины их сторон:

1. Скален
2. Равнобедренный
3. Равносторонний

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны и два угла равны. Треугольники одинаковой длины показаны по дуге с каждой стороны.

На диаграмме выше , длина стороны AB = AC и ∠ ABC = ∠ ACB.

Равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника все три стороны равны, и все три внутренних угла также равны. В этом случае каждый внутренний угол равностороннего треугольника составляет 60 градусов. Равносторонний треугольник иногда называют равносторонним треугольником, потому что все три угла равны.

В равностороннем треугольнике стороны AB = BC = AC и ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ BAC

Обратите внимание, что углы равностороннего треугольника не зависят по длинам сторон.

Масштабный треугольник

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все стороны имеют разные размеры, и все внутренние углы также разные.

Свойства треугольника

Свойства треугольников широко используются. Многие математики использовали его при решении своих задач. Евклидова геометрия и тригонометрия широко используют свойства треугольников.

Вот несколько основных свойств треугольника:

• Треугольник — это двумерный многоугольник
• Треугольник имеет 3 стороны, 3 угла и 3 вершины.
• Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины оставшейся стороны.
• Сумма длин трех сторон дает периметр треугольников.
• Площадь треугольника равна произведению основания на высоту.

Примеры работы с различными типами треугольников

Пример 1

Найдите значение угла x в треугольнике ниже.

Решение

Это равнобедренный треугольник, в котором две стороны равны, а также два угла равны.Следовательно,

x = (180 ° — 70 °) / 2

x = 110 ° / 2

= 55 °

Пример 2

Найдите угол y в прямоугольном треугольнике, показанном ниже.

Решение

Один угол прямоугольного треугольника равен 90 °. Итак, мы;

y + 50 + 90 = 180

y = (180 — 140) °

y = 40 °

Пример 3

Классифицируйте следующий треугольник.

Решение

Это разносторонний треугольник, потому что все стороны и углы имеют разные размеры.Точно так же треугольник также можно классифицировать как тупой треугольник, потому что один угол тупой.

Пример 4

Классифицируйте треугольник, показанный ниже.

Решение

Это равнобедренный треугольник. Две стороны равны, а два угла равны по размеру.

Применение треугольников

Давайте рассмотрим некоторые из реальных приложений треугольников:

• Дорожные знаки. Большинство дорожных знаков отображаются на треугольных структурах.
• Пирамиды Египта: пирамиды — древние памятники, построенные египтянами. Пирамиды имеют треугольную форму.
• Ферма: Фермы крыш или мостов изготавливаются треугольной формы, потому что треугольник считается самой прочной формой.
• Бермудский треугольник: Бермудский треугольник — это треугольная область в Атлантическом океане, где считается, что любое судно или самолет, проходящие через точку, проглатываются. Считается, что 50 кораблей и 20 самолетов загадочным образом исчезли в Бермудском треугольнике.
• Глобальная система позиционирования (GPS) работает с алгоритмами триангуляции для определения долготы и широты объекта.
• Лестница, прислоненная к стене, имеет форму треугольника.
• Эйфелева башня имеет треугольную форму.
• Концепция треугольников рассчитывает высоту или высоту высоких объектов, таких как флагштоки, горы, здания и т. Д.
• Сэндвичи и кусочки пиццы имеют треугольную форму.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Математика 6 класс, Раздел 1 — Материалы для семьи

Рассуждения о поиске области

До 6 класса ваш ученик научился измерять площадь фигуры, находя количество единичных квадратов, которые покрывают фигуру без пробелов или перекрытий.Например, оранжевая и синяя формы имеют площадь по 8 квадратных единиц каждая.

В 6 классе учащиеся учатся находить области более сложных форм, используя две идеи:

• Две «точно совпадающие» формы имеют одинаковую площадь. Например, треугольники A и B имеют одинаковую площадь, потому что треугольник A можно разместить на треугольнике B, чтобы они точно совпадали.
• Мы можем разложить (разбить) фигуру на более мелкие части и найти ее площадь, складывая площади частей.Например, площадь фигуры слева равна площади прямоугольника A, плюс площадь прямоугольника B, плюс площадь прямоугольника C.

Иногда полезно переставить частей фигуры, чтобы найти ее площадь. Например, прямоугольная часть, которая составляет 2 единицы на 4 единицы в верхней части формы, может быть сломана и переставлена, чтобы получился простой прямоугольник, который составляет 8 единиц и 6 единиц. Мы легко можем найти площадь этого прямоугольника (48 квадратных единиц, потому что 8 \ умножить на 6 = 48).

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Площадь квадрата 1 кв. Найдите площадь всей заштрихованной области. Покажи свои рассуждения.

Решение:

4 \ frac12 кв. Пример рассуждения: остальную часть области можно разложить на квадрат и несколько треугольников. Два треугольника можно расположить так, чтобы они идеально соответствовали квадрату, так что каждый треугольник имеет половину площади квадрата (\ frac12 квадратных единиц). Во всей форме всего 2 квадрата (2 квадратных единицы) и 5 ​​треугольников (5 \ times \ frac12 или 2 \ frac12 квадратных единиц).2 + 2 \ frac12 = 4 \ frac12.

Параллелограммы

На этой неделе ваш ученик исследует параллелограммов , которые представляют собой четырехсторонние фигуры, противоположные стороны которых параллельны.

Мы можем найти площадь параллелограмма , разбив его на части и переставив части в прямоугольник. На схеме показано несколько способов перестановки частей параллелограмма. В каждом из них получается прямоугольник размером 4 на 3 единицы, поэтому его площадь составляет 12 квадратных единиц.Площадь исходного параллелограмма также составляет 12 квадратных единиц.

Использование этих стратегий позволяет учащимся замечать пары измерений, которые помогают найти площадь любого параллелограмма: основание и соответствующая высота . Длина любой стороны параллелограмма может быть использована в качестве основы. Высота — это расстояние от основания до противоположной стороны, измеренное под прямым углом. В показанном здесь параллелограмме мы можем сказать, что горизонтальная сторона длиной 4 единицы является основанием, а вертикальный сегмент длиной 3 единицы — высотой, соответствующей этому основанию.

Площадь любого параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту.

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Елена и Ной исследуют этот параллелограмм.

Елена говорит: «Если сторона, равная 9 единицам, является основанием, то высота составляет 7,2 единицы. Если сторона, равная 7,5 единицам, является основанием, соответствующая высота составляет 6 единиц ».

Ной говорит: «Я думаю, что если основание составляет 9 единиц, соответствующая высота будет 6 единиц. Если основание составляет 7,5 единиц, соответствующая высота равна 7.2 шт. »

Вы согласны с одним из них? Объясните свои рассуждения.

Решение:

Согласен с Ноем. Объяснения разные. Пример пояснения: Соответствующая высота должна быть перпендикулярна (нарисована под прямым углом) стороне, выбранной в качестве основания. Пунктирный сегмент, равный 6 единицам, перпендикулярен двум параллельным сторонам, длина которых составляет 9 единиц. Пунктирный сегмент длиной 7,2 единицы перпендикулярен двум сторонам, равным 7,5 единицам.

Треугольники

Теперь ваш ученик будет использовать свои знания о площади параллелограммов, чтобы найти площадь треугольников.Например, чтобы найти площадь синего треугольника слева, мы можем сделать его копию, повернуть копию и использовать два треугольника, чтобы образовать параллелограмм.

Этот параллелограмм имеет основание из 6 единиц, высоту 3 единицы и площадь 18 квадратных единиц. Таким образом, площадь каждого треугольника составляет половину 18 квадратных единиц, что составляет 9 квадратных единиц.

Треугольник также имеет оснований и соответствующих высот . Любая сторона треугольника может быть основанием. Соответствующая высота — это расстояние от стороны, выбранной в качестве основания, до противоположного угла, измеренное под прямым углом.В этом примере сторона длиной 6 единиц является основанием, а высота равна 3 единицам.

Поскольку две копии треугольника всегда можно расположить в виде параллелограмма, площадь треугольника всегда равна половине площади параллелограмма с той же парой основания и высоты. Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти площадь любого треугольника: \ frac12 \ times base \ times height

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Найдите площадь каждого треугольника. Покажи свои рассуждения.

Решение:

1. 12 квадратных футов. Пример рассуждения: треугольник — это половина прямоугольника размером 3 на 8 футов, который имеет площадь 24 квадратных фута.
2. \ frac {15} 2 кв. Пример рассуждения: треугольник представляет собой половину параллелограмма с основанием в 5 единиц и высотой 3 единицы. \ frac12 \ boldcdot 5 \ boldcdot 3 = \ frac {15} 2.

Полигоны

Знание того, как найти площадь треугольников, позволяет вашему ученику найти площадь многоугольников , которые представляют собой двумерные фигуры, состоящие из отрезков линий.Отрезки пересекаются друг с другом только в своих конечных точках. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т. Д. — все это многоугольники.

Чтобы найти площадь любого многоугольника , мы можем разбить его на прямоугольники и треугольники. Вот многоугольник с семью сторонами и одним из способов разбить его на треугольники. Нахождение площадей всех треугольников и их добавление дает площадь исходного многоугольника.

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Найдите площадь многоугольников A и B.Объясните или покажите свои рассуждения.

Решение:

A: 12 квадратных единиц, B: 18 квадратных единиц. Образец схемы и пояснения:

Многоугольник A можно разбить на два треугольника. Тот, что слева, имеет основание 6 единиц и высоту 3 единицы, поэтому его площадь составляет 9 квадратных единиц (\ frac12 \ boldcdot 6 \ boldcdot 3 = 12). Тот, что справа, имеет основание 6 единиц и высоту 1 единицу, поэтому его площадь составляет 3 квадратных единицы (\ frac12 \ boldcdot 6 \ boldcdot 1 = 3). Общая площадь 9 + 3 или 12 кв.

Многоугольник B можно разбить на прямоугольник и два треугольника. Площадь верхнего треугольника равна \ frac12 \ boldcdot 4 \ boldcdot 1 или 2 квадратных единицы. Прямоугольник составляет 8 квадратных единиц. Площадь нижнего треугольника равна \ frac12 \ boldcdot 4 \ boldcdot 4 или 8 квадратных единиц. 2 + 8 + 8 = 18

Площадь

Представьте себе раскрашивание всех сторон коробки. Количество поверхности, которую нужно покрыть краской, составляет , площадь поверхности ящика. Ваш ученик сосредоточится на поиске поверхностей различных трехмерных объектов, таких как призм и пирамид , показанных здесь.

Один из способов найти площадь поверхности трехмерного объекта — это нарисовать его net , который показывает все граней объекта в виде двухмерного чертежа. Сетку можно вырезать и сложить, чтобы получился предмет. Чтобы найти площадь поверхности объекта, мы можем найти площадь каждой грани (как показано в сети) и сложить их. Площадь шести показанных прямоугольных граней в сумме составляет 76 квадратных единиц, потому что 10 + 20 + 10 + 20 + 8 + 8 = 76, поэтому площадь поверхности этого прямоугольника составляет 76 квадратных единиц.

Вот задание, которое стоит попробовать со своим учеником:

Андре нарисовал сетку треугольной призмы и вычислил ее площадь. Он допустил ошибку как при розыгрыше сетки, так и в расчетах.

1. Определите ошибки Андре.
2. Найдите правильную площадь поверхности призмы. Покажи свои рассуждения.

Решение:

1. Сетка: треугольники в треугольной призме должны быть идентичными, но сетка показывает два разных треугольника. Расчет: есть несколько ошибок.Площадь каждого треугольника должна составлять \ frac 12 \ boldcdot 8 \ boldcdot 3 или 12 квадратных единиц. Андре не стал вдвое умножать базу и рост. Неправильный расчет повторяется для обоих треугольников. При расчете площади поверхности Андре удвоил площадь самого большого прямоугольника (который составляет 16 квадратных единиц), в то время как существует только один прямоугольник с этой площадью.
2. Площадь поверхности должна быть 60 квадратных единиц. Общая площадь двух треугольников должна составлять 2 (\ frac 12 \ boldcdot 8 \ boldcdot 3) или 24 квадратных единицы.10 + 10 + 16 + 24 = 60. Пример скорректированной сети:

6 правил треугольника, которые необходимо знать

Правила и теоремы треугольника позволяют нам понять свойства этой формы. Как один из важнейших элементов тригонометрии, треугольники имеют множество геометрических правил. Помимо прочего, они помогают нам отличать прямоугольные треугольники от равносторонних и равнобедренных треугольников.

Давайте рассмотрим некоторые из наиболее известных правил тригонометрического треугольника.

Правило внутренних углов

Правило внутренних углов гласит, что три угла треугольника должны равняться 180 °.Как вы можете видеть ниже, три угловых измерения тупого треугольника ABC складываются в 180 °.

Стороны треугольника

Правило сторон треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. См. Длины сторон острого треугольника ниже. Сумма длин двух самых коротких сторон, 6 и 7, равна 13. Эта длина больше, чем длина самой длинной стороны, 8.

Правила сравнения треугольников

Конгруэнтные треугольники — это треугольники, соответствующие стороны и углы которых равны.Тригонометрическим способом равные стороны и равные углы доказываются конгруэнтностью с помощью четырех правил сравнения треугольников. Мы рассмотрим их по очереди.

# 1: Правило SSS

Правило стороны-стороны (SSS) гласит, что когда измерения трех сторон треугольника совпадают с измерениями трех сторон другого треугольника, эти две формы совпадают.

См. Прямоугольные треугольники ниже. Стороны треугольника DEF имеют такую ​​же длину, что и треугольник GHI, что делает их конгруэнтными.

# 2: Правило ASA

Правило угла-стороны-угла (ASA) гласит, что когда два угла и одна сторона треугольника равны стороне другого треугольника, они являются конгруэнтными треугольниками.

См. Треугольники JKL и MNO. Углы J и M, K и N (углы, противоположные длине гипотенузы) и катеты гипотенузы обоих треугольников равны. Следовательно, треугольники JKL и MNO конгруэнтны.

# 3: Правило AAS

Правило угол-угол-сторона (AAS) утверждает, что когда два треугольника имеют следующие свойства соответствия, они должны быть конгруэнтными:

• Два угла
• Длина одной противоположной стороны без вершин

# 4: Правило SAS

Правило стороны-угла-стороны (SAS) гласит, что если включенный угол и две включенные длины сторон треугольника равны длине сторон другого треугольника, то они совпадают.См. Ниже треугольники CDE и FGH. Прямой угол C и угол F, длина d и g и длина гипотенузы c и f равны. Следовательно, треугольник CDE = FGH.

Важность правил треугольника

Расширение ваших знаний о правилах треугольника облегчит изучение других тригонометрических идей, таких как теорема Пифагора и правила косинуса, тангенса и синуса. Эти знания также помогут вам освоить площадь треугольника и многоугольника.

Дополнительная помощь в домашнем задании по математике:

Треугольник с двумя углами и включенной стороной (ASA)

На этой странице показано, как построить треугольник указана одна сторона и угол на каждом конце с помощью циркуля и линейки или линейки.Работает сначала копирование сегмента линии чтобы образовать одну сторону треугольника, тогда скопируйте два угла на каждом конце, чтобы завершить треугольник. Как указано ниже, есть четыре возможных треугольника, которые можно нарисовать — все они правильные.

Возможно несколько треугольников

Можно нарисовать более одного треугольника с заданными длинами сторон и углами. В зависимости от того, на каком конце линии вы рисуете углы, и находятся ли они выше или ниже линии, возможны четыре треугольника.Все четыре верны в том, что они удовлетворяют требованиям и являются конгруэнтны друг другу.

Примечание: это не всегда возможно

Не всегда получается построить треугольник из заданной длины стороны и двух углов. См. Рисунок справа. Если два заданных угла в сумме составят более 180 °, стороны треугольника разойдутся и никогда не встретятся. См. Внутренние углы треугольника.

Пошаговая инструкция для печати

Вышеупомянутая анимация доступна как распечатываемый лист с пошаговыми инструкциями, который можно использовать для изготовления раздаточных материалов или когда компьютер недоступен.

Проба

Изображение ниже — это окончательный рисунок выше с добавленными красными элементами.

.

	Аргумент	Причина
1	Отрезок JL конгруэнтен AB.	Нарисовано с той же шириной циркуля. Для подтверждения см. Копирование линейного сегмента
2	Угол KJL равен углу A	Скопировано с использованием процедуры, показанной на Копирование угла.Смотрите эту страницу для доказательства.
3	Угол KLJ конгруэнтен углу B	Скопировано с использованием процедуры, показанной на Копирование угла. Смотрите эту страницу для доказательства.
4	Треугольник JKL соответствует указанной длине стороны и двум углам.

— Q.E.D

Попробуйте сами

Щелкните здесь, чтобы распечатать рабочий лист, содержащий две задачи построения треугольника ASA.Когда вы перейдете на страницу, используйте команду печати браузера, чтобы распечатать столько, сколько хотите. Печатная продукция не защищена авторскими правами.

Другие конструкции, страницы на сайте

линий

Уголки

Треугольники

Правые треугольники

Центры треугольника

Окружности, дуги и эллипсы

Полигоны

Неевклидовы конструкции

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Геометрия

— Доказательство площади трапеции разделением на два треугольника?

Я пытаюсь выяснить, как выводится формула для определения площади трапеции с двумя параллельными сторонами.В моем учебнике сказано, что формула площади трапеции получается путем деления трапеции на два треугольника, один с основанием a и высотой h, а другой — с основанием b и высотой h.

$ A = {a \ times h \ over 2} + {b \ times h \ over 2} = {a \ times h + b \ times h \ over 2} = {h (a + b) \ over 2} $

Я нарисовал эту диаграмму в GeoGebra. Возможно, она не нарисована в масштабе (не соответствует) схеме в моем учебнике, но на самом деле она похожа. Я действительно отсканировал диаграмму из своего учебника, а затем нарисовал эту диаграмму поверх нее.В учебнике вершины не отмечали. Но я назвал вершины (синие), чтобы упростить объяснение, чтобы нам было на что ссылаться.

Вышеупомянутая формула — это та, которая приводится в учебнике.

Судя по всему, имеет ли это хоть какой-то смысл? Они нарисовали эту диаграмму и назвали ее стороны как a, b, c и d. Они также нарисовали высоту h и диагональ DB.

Я не могу установить связь с формулой. И я видел фактическое доказательство площади такой трапеции на веб-сайте.Есть как минимум два разных доказательства площади трапеции. Возможно, наиболее распространенным доказательством является то, что вы разделите трапецию на два треугольника и прямоугольник. Но два треугольника ?? …

Я прошу кого-нибудь предоставить мне доказательство того, что формулу для площади трапеции можно вывести, разделив трапецию на два треугольника, как показано на этой диаграмме.

Я знаю, что площадь треугольника равна основанию, умноженному на высоту, деленному на два, или 1/2 основания, умноженному на высоту.По сути, это половина площади прямоугольника. Итак, если я рассмотрю первую часть приведенной выше формулы, я получу следующее.

(Загрузка изображения в Imgur в настоящий момент не работает. Я вернусь к этому.)

Обновление:

$ [DBE] = {a \ times h \ over 2}

$

Я ограничил высоту пеленга. Площадь треугольника DBE составляет половину площади DFBE.

$ [BGA] = {b \ times h \ over 2} $

Я построил высоту AH.Площадь треугольника BHA составляет половину площади BEHA.

Но это дает мне перекрывающийся треугольник GBH. Он перекрывается треугольником DBE. Равна ли площадь GBH площади AGD?

А что с треугольниками EBC и DFA?

Обновление:

Я думаю, что понял прямо сейчас. Итак, вот еще раз вторая диаграмма.

И еще раз третья диаграмма.

На этот раз они не того же размера. Я думаю, что неправильно настроил масштаб при экспорте в PNG-изображение.Но здесь вы можете видеть, что я закрасил и измерил площади прямоугольников и треугольников, чтобы показать, как они взаимодействуют с площадью трапеции.

Я знаю, что это не совсем формальное доказательство площади трапеции. Но я думаю, что теперь это имеет для меня смысл. Меня смущало то, что треугольник ABD не имел ни высоты, ни высоты. Или это не было внутри самого треугольника, это было вне треугольника . А также мне было трудно увидеть, как эта перекрывающаяся часть GHB «трансформируется» (или как вы хотите это называть) в это другое пустое пространство.Но теперь я это вижу более ясно.

Значит, это действительно происходит из формулы площади треугольника? Или, может быть, мы можем сказать, что площадь треугольника используется как постулат для доказательства площади трапеции?

Создать древовидную диаграмму

Примечание: Перед выполнением этих шагов убедитесь, что функция AutoConnect активна. На вкладке View в группе Visual Aids должен быть установлен флажок AutoConnect .

1. Щелкните File > New > Templates > General , а затем откройте блок-схему .

2. Из блоков Блоки и Поднятые наборы элементов перетащите формы блоков на страницу документа, чтобы представить этапы в древовидной структуре.

3. Чтобы добавить текст к фигуре, выберите фигуру и введите текст.

4. Укажите отношения между блоками, соединяя фигуры:

   1. Перетащите фигуру из набора элементов на страницу документа и поместите ее рядом с другой фигурой.

   2. Удерживая кнопку мыши нажатой, наведите указатель на один из синих треугольников.Треугольник станет темно-синим.

   3. Отпустите кнопку мыши. Фигура помещается на страницу документа, соединитель добавляется и приклеивается к обеим фигурам.

5. Используйте древовидные формы для представления иерархических этапов в древовидной диаграмме:

   1. Из блоков перетащите фигуру дерева на страницу документа.Если вам нужны две ветви, используйте фигуру «Двойное дерево» . Если вам нужны две или более веток, используйте фигуру Multi-tree .

   2. Перетащите конечные точки на фигурах дерева к точкам соединения на фигурах блоков. Концы становятся красными, когда они приклеиваются.

   3. Перетащите маркеры управления на фигурах дерева, чтобы создать больше ветвей или изменить длину или положение ветвей.

      1 Перетащите маркер управления на стволе вправо, чтобы создать больше ветвей.

      2 Перетащите маркер управления на конце ветви по горизонтали или вертикали, чтобы изменить его положение.

См. Также

Создавайте схемы Visio с помощью сенсорного экрана

Примечание: Перед выполнением этих шагов убедитесь, что функция AutoConnect активна.На вкладке View в группе Visual Aids должен быть установлен флажок AutoConnect .

1. Щелкните File > New , щелкните General под Категории шаблонов , а затем откройте блок-схему .

2. Из блоков Блоки и Поднятые наборы элементов перетащите формы блоков на страницу документа, чтобы представить этапы в древовидной структуре.

3. Чтобы добавить текст к фигуре, выберите фигуру и введите текст.

4. Укажите отношения между блоками, соединяя фигуры:

   1. Перетащите фигуру из набора элементов на страницу документа и поместите ее рядом с другой фигурой.

   2. Удерживая кнопку мыши нажатой, наведите указатель на один из синих треугольников.Треугольник станет темно-синим.

   3. Отпустите кнопку мыши. Фигура помещается на страницу документа, соединитель добавляется и приклеивается к обеим фигурам.

      Совет: Чтобы изменить направление стрелки на соединителе, щелкните линию правой кнопкой мыши, щелкните Стрелки на появившейся мини-панели инструментов, а затем выберите новое направление или стиль стрелки.

5. Используйте древовидные формы для представления иерархических этапов в древовидной диаграмме:

   1. Из блоков перетащите фигуру дерева на страницу документа. Если вам нужны две ветви, используйте фигуру «Двойное дерево» . Если вам нужны две или более веток, используйте фигуру Multi-tree .

   2. Перетащите конечные точки на фигурах дерева к точкам соединения на фигурах блоков. Концы становятся красными, когда они приклеиваются.

   3. Перетащите маркеры управления на фигурах дерева, чтобы создать больше ветвей или изменить длину или положение ветвей.

      1 Перетащите маркер управления на стволе вправо, чтобы создать больше ветвей.

      2 Перетащите маркер управления на конце ветви по горизонтали или вертикали, чтобы изменить его положение.

Примечание: Перед выполнением этих шагов убедитесь, что функция AutoConnect активна на стандартной панели инструментов.

1. В меню Файл наведите указатель на Новый , укажите на Общий , а затем щелкните Блок-схема .

2. Из блоков Блоки и Поднятые наборы элементов перетащите формы блоков на страницу документа, чтобы представить этапы в древовидной структуре.

3. Чтобы добавить текст к фигуре, выберите фигуру и введите текст.

4. Укажите отношения между блоками, соединяя фигуры:

   1. Перетащите фигуру из набора элементов на страницу документа и поместите ее рядом с другой фигурой.

   2. Удерживая кнопку мыши нажатой, наведите указатель на один из синих треугольников. Треугольник станет темно-синим.

   3. Отпустите кнопку мыши.Фигура помещается на страницу документа, соединитель добавляется и приклеивается к обеим фигурам.

      Совет: Чтобы изменить направление стрелки на соединителе, в меню Форма наведите указатель на Операции , а затем щелкните Обратные концы .

5. Используйте древовидные формы для представления иерархических этапов в древовидной диаграмме:

   1. Из блоков перетащите фигуру дерева на страницу документа.Если вам нужны две ветви, используйте фигуру «Двойное дерево» . Если вам нужны две или более веток, используйте фигуру Multi-tree .

   2. Перетащите конечные точки на фигурах дерева к точкам соединения на фигурах блоков.