{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Изгибающий момент — балка — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Изгибающий момент — балка

Cтраница 1

Изгибающий момент балки определяется, считая ее свободно опертой по краям.  [2]

Изгибающий момент балки в сечении х равен сумме моментов сил Л и Р относительно центра тяжести названного сечения.  [3]

Максимальный изгибающий момент балки, свободно опертой на двух опорах и нагруженной силой Р посредине, равен Мх.  [4]

Отдельные линии осциллограммы обозначают: / — изгибающий момент балки моста в горизонтальной плоскости Ми г; 2 — то же в вертикальной плоскости Ми.  [6]

Приведенные материалы показывают, что, взяв изгибающие моменты балки постоянного сечения за координатные функции и проведя ортогонализацию, мы получаем распределение изгибающих моментов очень близким к фактическому. Естественно, что и прогибы, определенные по этим изгибающим моментам, также должны быть близки к их точным значениям; поэтому, вычислив кинетическую и потенциальную энергию для выбранных — таким образом прогибов и изгибающих моментов, мы должны получить очень близкие к истинным значения частот колебаний.  [7]

Тем же построением легко решается задача об изгибающем моменте балки для любого ее сечения. Изгибающим моментом балка или односторонним моментом для какого-нибудь сечения назы — вается общий момент относительно эгпаго сечения сил, расположенных по одну сторону от этого сечения. Так как балка находится в равновесии, то общий момент всех действующих на нее сил относительно любого сечения равен нулю; поэтому общий момент сил, расположенных по одну сторону сечения, равен по величине и противоположен по знаку общему моменту сил, расположенных по другую сторону сечения. Определим момент сил, расположенных, например, слева от сечения А ( черт.  [8]

В предельном равновесии — непосредственно перед разрушением — изгибающие моменты балки находят статическим или кинематическим способом.  [9]

Следует отметить, что при точном расчете всей рамы изгибающий момент балки 6 будет SAfe5735 кГ — м, что опять указывает на хорошее совпадение обоих методов.  [10]

Все поперечные сечения ниже сечения IV — IV работают только на изгиб. Эпюра изгибающих моментов балки приведена на фиг.  [11]

Каждая сила, действующая на балку ( например, нагрузка балки, регкция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от данного сечения. Сумма М ( х) моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от данного сечения, с абсциссой А, называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения.  [12]

Каждая сила, действующая на балку ( например, нагрузка балки, реакция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от данного сечения. Сумма М ( х) моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от данного сечения, с абсциссой х, называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения. В курсе сопротивления материалов доказывается, что изгибающий момент балки равен EJ / R, где Е — так называемый модуль упругости, зависящий от материала балки: J — момент инерции площади поперечного сечения балки относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести площади поперечного сечения; R — радиус кривизны оси изогнутой балки, который выражается формулой ( § 6, гл.  [14]

Каждая сила, действующая на балку ( например, нагрузка балки, реакция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от данного сечения. Сумма М ( х) моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от данного сечения, с абсциссой х, называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения.  [15]

Страницы:      1    2

Правила знаков поперечных сил и изгибающих моментов (сопромат)

Правила знаков для поперечных сил

Внешняя сила, действующая на отбрасываемую часть балки и стремящаяся повернуть ее относительно сечения по ходу часовой стрелки, входит в алгебраическую сумму для определения поперечной силы () со знаком плюс (рис. 7.5, а). Заметим, что положительная поперечная сила () «стремится вращать» любую из частей балки также по ходу часовой стрелки.

Говоря простым языком: в сечении балки возникает поперечная сила, которую нужно определить и изобразить на эпюре поперечных сил. Чтобы правило знаков для поперечных сил выполнялось, нужно запомнить:

Если поперечная сила возникает справа от сечения, она направлена вниз, а если поперечная сила возникает слева от сечения – вверх (рис. 7.5, а).

Поперечная сила является внутренней силой, поэтому поперечная сила противоположна равнодействующей внешних сил, действующих на рассматриваемую часть балки. Поэтому если внешняя сила P (рис. 7.5, а) направлена вниз, то интересующая поперечная сила, возникающая от действия силы P, направлена вверх (и наоборот). Значит, внутренняя сила положительна, если внешняя сила, породившая ее, направлена противоположно направлению поперечной силы по правилу знаков.

Допустим, рассматривается правая часть балки (рис.7.5, а). Действует сила P, направленная вверх. По правилу, поперечная сила положительна, если направлена вниз (или внешняя сила P, породившая ее, направлена вверх).

Правила знаков для изгибающих моментов

Правила знаков для изгибающих моментов: внешняя нагрузка, приложенная к отбрасываемой части балки, создает момент относительно рассматриваемого сечения, стремящийся изогнуть отбрасываемую часть балки выпуклостью вниз, то этот момент входит в алгебраическую сумму для определения изгибающего момента () со знаком «плюс» (рис. 7.5, б).

По правилу знаков для изгибающих моментов, положительный изгибающий момент () «стремится изогнуть» любую из рассматриваемых частей балки тоже выпуклостью вниз. Кавычки использованы потому, что внутренние силовые факторы не являются активными силами и не могут вызывать деформацию балки.

Для удобства определения знака изгибающего момента рекомендуется поперечное сечение балки мысленно представлять в виде неподвижной жесткой заделки.

Иными словами: по правилу знаков изгибающий момент положителен, если «гнет балку» вверх, независимо от исследуемой части балки. Если в выбранном сечении результирующий момент всех внешних сил, порождающих изгибающий момент (является внутренней силой), направлен противоположно направлению изгибающего момента по правилу знаков, то изгибающий момент будет положительным.

Допустим, рассматривается левая часть балки (рис. 7.5, б). Момент силы P относительно сечения направлен по часовой стрелке. По правилу знаков для изгибающих моментов для левой части балки изгибающий момент положителен, если направлен против часовой стрелки («гнет балку» вверх). Значит, изгибающий момент будет положительным (сумма моментов внешних сил и изгибающий момент по правилу знаков противоположно направлены).

4. Изгибающий момент в балках

Аэрокосмическая механика материалов

Домашние курсы Аэрокосмическая механика материалов Предметы 4. Изгибающий момент в балках

Исследование изгиба балок — несколько более сложное дело по сравнению с элементами, подвергающимися торсионной и осевой нагрузке. Одна из основных сложностей заключается в том, что изгиб фактически включает в себя два типа нагрузки. Вы уже сталкивались с этим в своем предыдущем курсе статики, где рисовали диаграммы изгибающего момента и поперечной силы, иллюстрирующие распределенную внутреннюю нагрузку.Возьмем простую задачу о пучке, показанную ниже. Приложенная нагрузка будет создавать внутренние поперечные силы и изгибающие моменты. Каждая из этих внутренних сил приводит к разному типу деформации и разному типу внутреннего напряжения.

В этом разделе мы исследуем напряжения, которые приводят к тому, что балка действует только на внутреннюю моментную нагрузку. Мы рассмотрим влияние внутреннего сдвига и общую деформацию балок в последующих разделах.

К концу этого раздела студенты должны уметь…

• Определение диаграмм поперечной силы и изгибающего момента для прямых балок с произвольной точкой и распределенной нагрузкой (обзор)
• Объясните концепцию нейтральной оси
• Опишите допущения, сделанные при выводе формулы изгиба, и обсудите их значение
• Примените формулу изгиба для расчета нормальных напряжений в прямых симметричных балках

• 4.1 Внедрение согласованной системы координат луча

• 4.2 Диаграммы изгибающего момента и усилия сдвига

• 4.3 Изгиб симметричных балок

• 4.4 Резюме и дополнительная литература

Этот сайт использует файлы cookie. Щелкните здесь для получения дополнительной информации

Политика конфиденциальности и использования файлов cookie

Внутренние силы в балках и каркасах »в разделе« Расчет конструкций »на манифольде @tupress

Глава 4

Внутренние силы в балках и каркасах

4.1 Введение

Когда балка или рама подвергаются поперечным нагрузкам, возникают три возможных внутренних силы: нормальная или осевая сила, сила сдвига и изгибающий момент, как показано в разделе k консоли Рисунок 4.1. Чтобы предсказать поведение конструкций, необходимо знать величины этих сил. В этой главе учащийся узнает, как определить величину силы сдвига и изгибающего момента в любой части балки или рамы и как представить вычисленные значения в графической форме, которая называется «силой сдвига». и диаграммы «изгибающих моментов».Диаграммы изгибающего момента и усилия сдвига неизмеримо помогают при проектировании, поскольку они показывают максимальные изгибающие моменты и усилия сдвига, необходимые для определения размеров элементов конструкции.

Рис. 4.1. Внутренние силы в балке.

4.2 Основные определения

4.2.1 Нормальная сила

Нормальная сила в любом сечении конструкции определяется как алгебраическая сумма осевых сил, действующих по обе стороны от сечения.

4.2.2 Сила сдвига

Сила сдвига (SF) определяется как алгебраическая сумма всех поперечных сил, действующих по обе стороны от секции балки или рамы.Фраза «с обеих сторон» важна, поскольку подразумевает, что в любом конкретном случае усилие сдвига может быть получено суммированием поперечных сил на левой стороне или на правой стороне сечения.

4.2.3 Изгибающий момент

Изгибающий момент (BM) определяется как алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих по обе стороны от секции балки или рамы.

4.2.4 Диаграмма силы сдвига

Это графическое представление изменения силы сдвига на части или на всей длине балки или рамы.Как правило, диаграмма силы сдвига может быть нарисована выше или ниже центральной оси конструкции x , но при этом необходимо указать положительную или отрицательную силу сдвига.

4.2.5 Диаграмма изгибающего момента

Это графическое представление изменения изгибающего момента на сегменте или по всей длине балки или рамы. Обычно положительные изгибающие моменты изображаются над центральной осью конструкции x , а отрицательные изгибающие моменты — под этой осью.

4.3 Соглашение о знаках

4.3.1 Осевое усилие

Осевое усилие считается положительным, если оно имеет тенденцию к выравниванию элемента в рассматриваемом сечении. Такая сила считается растягивающей, в то время как элемент, как говорят, подвергается осевому растяжению. С другой стороны, осевое усилие считается отрицательным, если оно стремится раздавить элемент в рассматриваемом сечении. Такая сила считается сжимающей, в то время как элемент находится в осевом сжатии (см. Рисунок 4.2а и рис. 4.2b).

4.3.2 Сила сдвига

Сила сдвига, которая имеет тенденцию перемещать левую часть секции вверх или правую сторону секции вниз, будет считаться положительной. Точно так же поперечная сила, которая имеет тенденцию перемещать левую сторону секции вниз или правую сторону вверх, будет считаться отрицательной поперечной силой (см. Рисунок 4.2c и Рисунок 4.2d).

4.3.3 Изгибающий момент

Изгибающий момент считается положительным, если он имеет тенденцию вызывать вогнутость вверх (провисание).Если изгибающий момент имеет тенденцию вызывать вогнутость вниз (коробление), это будет считаться отрицательным изгибающим моментом (см. Рисунок 4.2e и Рисунок 4.2f).

Рис. 4.2. Условные обозначения для осевой силы, силы сдвига и изгибающего момента.

4.4 Связь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом

Для вывода соотношений между w, V и M рассмотрим балку с простой опорой, подверженную равномерно распределенной нагрузке по всей своей длине, как показано на рисунке 4.3. Пусть поперечная сила и изгибающий момент на участке, расположенном на расстоянии x от левой опоры, будут составлять V и M соответственно, а на участке x + dx — V . + dV и M + dM соответственно. Полная нагрузка, действующая через центр бесконечно малой длины, составляет wdx .

Рис. 4.3. Балка с простой опорой.

Чтобы вычислить изгибающий момент на участке x + dx , используйте следующее:

Уравнение 4.1 означает, что первая производная изгибающего момента по расстоянию равна поперечной силе. Уравнение также предполагает, что наклон диаграммы моментов в определенной точке равен поперечной силе в этой же точке. Уравнение 4.1 предлагает следующее выражение:

Уравнение 4.2 утверждает, что изменение момента равно площади под диаграммой сдвига. Аналогично усилие сдвига на участке x + dx будет следующим:

V _{x + dx} = V — wdx

V + dV = В — wdx

или

Уравнение 4.3 означает, что первая производная силы сдвига по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки. Уравнение 4.3 предлагает следующее выражение:

Уравнение 4.4 утверждает, что изменение поперечной силы равно площади под диаграммой нагрузки. Уравнения 4.1 и 4.3 предполагают следующее:

Уравнение 4.5 подразумевает, что вторая производная изгибающего момента по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки.

Процедура расчета внутренних сил

• Нарисуйте диаграмму свободного тела конструкции.

• Проверьте стабильность и определенность конструкции. Если структура устойчива и детерминирована, переходите к следующему этапу анализа.

• Определите неизвестные реакции, применяя условия равновесия.

• Проведите воображаемое сечение перпендикулярно нейтральной оси конструкции в точке, где необходимо определить внутренние силы.Пройденный раздел делит структуру на две части. Рассмотрим любую часть конструкции для расчета требуемых внутренних сил.

• Для расчета осевой силы определите сумму осевых сил на детали, рассматриваемой для анализа.

• Для вычисления силы сдвига и изгибающего момента сначала запишите функциональное выражение для этих внутренних сил для сегмента, на котором находится сечение, относительно расстояния x от начала координат.

• Вычислите основные значения силы сдвига и изгибающего момента на участке, где находится секция.

• Нарисуйте диаграмму осевого усилия, усилия сдвига и изгибающего момента для конструкции, принимая во внимание условные обозначения, обсуждаемые в разделе 4.3.

• Для консольных конструкций третий шаг можно пропустить, если рассматривать свободный конец конструкции в качестве начальной отправной точки анализа.

Пример 4.1

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для консольной балки, поддерживающей сосредоточенную нагрузку на свободном конце, как показано на рисунке 4.4а.

Рис. 4.4. Консольная балка.

Раствор

Поддерживающие реакции. Сначала вычислите реакцию опоры. Поскольку опора на B является фиксированной, на этой опоре будут три реакции, а именно: B _y , B _x и M _B , как показано на диаграмме свободного тела. на рисунке 4.4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:

Сила сдвига (SF).

Функция сдвигающего усилия. Пусть x будет расстоянием произвольного сечения от свободного конца консольной балки (рис. 4.4b). Сила сдвига в этом сечении из-за поперечных сил, действующих на сегмент балки слева от сечения (см. Рисунок 4.4e), составляет V = –5 k.

Знак минус указывает на отрицательную силу сдвига. Это связано с тем, что в соответствии с соглашением о знаках силы сдвига, направленная вниз поперечная сила слева от рассматриваемой секции вызовет отрицательную силу сдвига в этой секции.

Диаграмма усилия сдвига. Обратите внимание: поскольку сила сдвига постоянна, она должна быть одинаковой величины в любой точке балки. Как правило, диаграмма поперечной силы наносится выше или ниже линии, соответствующей нейтральной оси балки, но должен быть указан знак плюс, если это положительная сила сдвига, и знак минус, если это отрицательная сила сдвига, как показано на рисунке 4.4c.

Изгибающий момент (BM).

Функция изгибающего момента.По определению изгибающий момент в секции представляет собой сумму моментов всех сил, действующих по обе стороны секции. Таким образом, выражение для изгибающего момента силы 5 k на сечении на расстоянии x от свободного конца консольной балки выглядит следующим образом:

Полученное выражение справедливо для всей балки (область 0 < x <3 футов). Отрицательный знак указывает на отрицательный момент, который на данный момент установлен из условного обозначения.Как видно на рис. 4.4f, момент, обусловленный силой 5 k, имеет тенденцию вызывать в сегменте балки на левой стороне сечения вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках. на изгибающий момент.

Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента линейна, диаграмма изгибающего момента представляет собой прямую линию. Таким образом, для построения диаграммы изгибающего момента достаточно использовать два основных значения изгибающих моментов, определенных при x = 0 футов и x = 3 фута.Как правило, диаграммы отрицательного изгибающего момента строятся под нейтральной осью балки, а диаграммы положительного изгибающего момента строятся над осью балки, как показано на рисунке 4.4d.

Пример 4.2

Изобразите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для консольной балки, подверженной равномерно распределенной нагрузке по всей ее длине, как показано на рисунке 4.5a.

Рис. 4.5. Консольная балка.

Раствор

Поддерживающие реакции.Сначала вычислите реакцию опоры. Поскольку опора на B является фиксированной, на этой опоре, возможно, будут три реакции, а именно: B _y , B _x и M _B , как показано в свободном теле. диаграмма на рисунке 4.4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:

Сила сдвига (SF).

Функция сдвигающего усилия. Пусть x будет расстоянием произвольного сечения от свободного конца консольной балки, как показано на рисунке 4.5б. Сила сдвига всех сил, действующих на сегмент балки слева от сечения, как показано на рисунке 4.5e, определяется следующим образом:

Полученное выражение действительно для всей балки. Отрицательный знак указывает на отрицательную силу сдвига, которая была установлена ​​из соглашения о знаках для силы сдвига. Выражение также показывает, что сила сдвига линейно зависит от длины балки.

Диаграмма усилия сдвига. Обратите внимание, что поскольку выражение для силы сдвига является линейным, его диаграмма будет состоять из прямых линий.Сила сдвига при x = 0 м и x = 5 м были определены и использованы для построения диаграммы силы сдвига, как показано на рисунке 4.5c. Как показано на диаграмме, сила сдвига изменяется от нуля на свободном конце балки до 100 кН на неподвижном конце. Вычисленную вертикальную реакцию B _y на опоре можно рассматривать как проверку точности анализа и диаграммы.

Изгибающий момент (BM).

Выражение изгибающего момента.Выражение для изгибающего момента на участке на расстоянии x от свободного конца консольной балки выглядит следующим образом:

Отрицательный знак указывает на отрицательный момент, который был установлен из соглашения о знаках для момента. Как видно на рис. 4.5f, момент, обусловленный распределенной нагрузкой, имеет тенденцию вызывать в сегменте балки с левой стороны сечения вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту в соответствии с соглашением о знаках для изгибающий момент.

Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента является параболической, диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую. В дополнение к двум основным значениям изгибающего момента при x = 0 м и x = 5 м необходимо определить моменты в других промежуточных точках, чтобы правильно построить диаграмму изгибающего момента. Диаграмма изгибающего момента балки показана на рисунке 4.5d.

Пример 4.3

Изобразите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента консольной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.6а.

Рис. 4.6. Консольная балка.

Раствор

Поддерживающие реакции. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.6b. Сначала рассчитайте реакции на опоре B . Применение условий равновесия предполагает следующее:

Функции сдвигающей силы и изгибающего момента. Из-за неоднородности распределенной нагрузки в точке B и наличия сосредоточенной нагрузки в точке C три области описывают функции сдвига и момента для консольной балки.Функции и значения поперечной силы ( В, ) и изгибающего момента ( M ) в секциях в трех областях на расстоянии x от свободного конца балки следующие:

Сегмент AB 0 < x <2 футов

V = −3 x

Когда x = 0, V = 0

Когда x = 1, V = — 3 тысячи фунтов

Когда x = 2 фута, V = −6 тысяч фунтов

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 1 фут, M = -1.5 кип. футов

Когда x = 2 фута, M = −6 тысяч фунтов. футов

Сегмент BC 2 фута < x <3 футов

V = −3 (2) = −6 тысяч фунтов

Когда x = 2 фута, M = −6 тысяч фунтов . футов

Когда x = 3 фута, M = −12 тысяч фунтов. футов

Сегмент CD 3 фута < x <4 футов

V = — (3) (2) — 10 = −16 тысяч фунтов

M = — (3) (2) ( x — 1) — 10 ( x — 3)

Когда x = 3 фута, M = −12 тысяч фунтов.футов

Когда x = 4 фута, M = −28 тысяч фунтов. ft

Расчетное усилие сдвига можно частично проверить с помощью опорных реакций, показанных на диаграмме свободного тела на рис. 4.6b.

Диаграммы срезающего усилия и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента показаны на рисунках 4.6c и 4.6d. Важно помнить, что всегда будет резкое изменение диаграммы силы сдвига при наличии сосредоточенной нагрузки в балке.Числовое значение изменения должно быть равно значению сосредоточенной нагрузки. Например, в точке C , где сосредоточенная нагрузка в 10 тысяч фунтов находится в балке, изменение силы сдвига на диаграмме поперечных сил составляет 16 k — 6k = 10 тысяч фунтов. Диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую на участке AB и прямые линии на участках BC и CD .

Пример 4.4

Постройте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.7а.

Рис. 4.7. Балка с вылетом.

Раствор

Поддерживающие реакции. Реакции опор показаны на схеме балки со свободным телом на рис. 4.7b. Они вычисляются с применением следующих условий равновесия:

Функции сдвига и изгибающего момента. Из-за сосредоточенной нагрузки в точке B и выступающей части CD , три области рассматриваются для описания функций сдвигающей силы и изгибающего момента для выступающей балки.Выражение для этих функций в разделах внутри каждой области и основные значения в конечных точках каждой области следующие:

0 < x <3

V = 25-8 x

Когда x = 0, V = 25 тысяч фунтов

Когда x = 3, V = 1 тысячу фунтов

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 3, M = 39 тысяч фунтов.футов

3 < x <6

V = 25 — 14 — 8 x

Когда x = 3, V = −13 тысяч фунтов

Когда x = 6, V = −37 тысяч фунтов

M =

Когда x = 3, M = 39 k. футов

Когда x = 6, M = −36 тысяч фунтов. футов

0 < x <2

V = 10 + 8 x

Когда x = 0, V = 10 тысяч фунтов

Когда x = 2, V = 26 тысяч фунтов

M =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 2, M = −36 тысяч фунтов.ft

Диаграмма срезающего усилия и изгибающего момента. Определенная диаграмма силы сдвига и момента в конечных точках каждой области показана на Рисунке 4.7c и Рисунке 4.7d. Для точного построения кривой изгибающего момента иногда необходимо определить некоторые значения изгибающего момента в промежуточных точках, вставив некоторые расстояния внутри области в полученную функцию для этой области. Обратите внимание, что в месте сосредоточенных нагрузок и на опорах числовые значения изменения силы сдвига равны сосредоточенной нагрузке или реакции.

Пример 4.5

Постройте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.8a. Определите положение и величину максимального изгибающего момента.

Рис. 4.8. Балка с вылетом.

Раствор

Поддерживающие реакции. Реакции на опорах балки показаны на диаграмме свободного тела на рис. 4.8b. Реакции рассчитываются с использованием следующих уравнений равновесия:

Функции сдвига и изгибающего момента.Из-за неоднородности оттенков распределенных нагрузок на опоре B , две области x рассматриваются для описания и функций момента, как показано ниже:

0 < x <4

V =

Когда x = 0, V = 6,10 кН

Когда x = 2, V = 1,1 кН

Когда x = 4, V = −13,9 кН

M =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 2, M = 8.87 кН. m

Когда x = 4, M = −2,3 кН. м

0 < x <1,5

V = 2 x

Когда x = 0, V = 0

Когда x = 1,5, V = 3 кН

M = — (2) ( x )

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 1,5 м, M = −2,3 кН. м

Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента.Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента показаны на рисунках 4.8c и 4.8d. Обратите внимание, что значения поперечной силы на опорах равны значениям опорных реакций. Также обратите внимание на диаграмму, что сдвиг в области AB, является кривой, а сдвиг в области BC является прямым, что соответствует параболической и линейной функциям, соответственно полученным для областей. Диаграммы изгибающего момента для обеих областей криволинейны.Кривая для области AB и более глубокая, чем кривая для области BC . Это связано с тем, что полученная функция для области AB является кубической, а для области BC и — параболической.

Положение и величина максимального изгибающего момента. Максимальный изгибающий момент возникает там, где сила сдвига равна нулю. Как показано на диаграмме усилия сдвига, максимальный изгибающий момент возникает в участке AB, . Приравнивание выражения для поперечной силы для этой части к нулю предполагает следующее:

Величину максимального изгибающего момента можно определить, положив x = 2.21 м в выражение для изгибающего момента для участка AB . Таким образом,

Пример 4.6

Изобразите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для составной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.9a.

Рис. 4.9. Составная балка.

Решение

Диаграмма свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.9b.

Классификация строения. Составная балка имеет r = 4, м = 2 и f _i = 2.Поскольку 4 + 2 = 3 (2), структура статически определена.

Идентификация первичной и дополнительной структуры. Схематическая диаграмма взаимодействия элементов балки показана на рисунке 4.9c. Деталь AC является первичной структурой, а деталь CD — дополнительной структурой.

Анализ комплементарной структуры.

Опорная реакция.

C _y = D _y = 25 кН, из-за симметрии нагрузки.

Сила сдвига и изгибающий момент.

0 < x <0,5

V = 25 кН

M = 25 x

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 0,5, M = 12,5 кН. м

Анализ первичной конструкции.

Поддерживающие реакции.

Отрицательный означает, что реакция на A действует вниз.

Функции сдвига и изгибающего момента.

0 < x <1

V = 25 + 14 x

Когда x = 0, V = 25 кН

Когда x = 1, V = 39 кН

M =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 1, M = −32 кН. м

0 < x <2

V = −2 — 14 x

Когда x = 0, V = −2 кН

Когда x = 2, V = −30 кН

M =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 2, M = −32 кН.м

Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для основной и вспомогательной частей составной балки показаны на рисунках 4.9d и 4.9e.

Пример 4.7

Нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.10a.

Рис. 4.10. Рамка.

Решение

Диаграмма свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рисунке 4.10а.

Поддерживающие реакции. Реакции на опоре балки можно рассчитать следующим образом, рассматривая диаграмму свободного тела и используя уравнения равновесия:

Функции сдвига и изгибающего момента балки BC.

0 < x ₁ <3

V = 0

M = 0

3 < x ₂ <6

V = 20 кН

M = −20 ( x — 3)

Когда x = 3, M = 0

Когда x = 6, M = −60 кН.м

Обратите внимание, что расстояние x до сечения в выражениях находится от правого конца балки.

Функции сдвига и изгибающего момента колонны AB.

0 < x ₃ <10

V

Когда x = 0, V = 0

Когда x = 10, V = 50 кН

M =

Когда x = 0, M = −60 кН.m

Когда x = 10, M = −226,67 кН. м

Обратите внимание, что расстояние x до секции на колонне находится от верхней части колонны и что аналогичный треугольник использовался для определения интенсивности треугольной нагрузки на секции в колонне, как показано ниже:

Диаграммы срезающего усилия и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для рамы нанесены на график, как показано на Рисунках 4.10c и 4.10d.

Пример 4.8

Постройте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.11a.

Рис. 4.11. Рамка.

Решение

Диаграмма свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.11b.

Поддерживающие реакции. Реакции на опоры рамы можно рассчитать, рассматривая диаграмму свободного тела всей рамы и части рамы. Вертикальные реакции опор в точках A, и E вычисляются с учетом равновесия всей рамы следующим образом:

Знак минус указывает, что A _y действует вниз, а не вверх, как изначально предполагалось.

Учитывая равновесие части CDE рамы, горизонтальная реакция опоры на E определяется следующим образом:

Опять же, учитывая равновесие всей рамы, горизонтальная реакция на A можно рассчитать следующим образом:

Сдвигающий и изгибающий момент колонн каркаса.

Сила сдвига и изгибающий момент в колонне AB.

0 < x ₁ <10 футов

V = 13-2 x

Когда x = 0, V = 13 тысяч фунтов

Когда x = 10 футов , V = −7 тысяч фунтов

M =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 10 футов, M = 30 тысяч фунтов.футов

Когда x = 5 футов, M = 30 тысяч фунтов. ft

Сила сдвига и изгибающий момент в колонне ED.

0 < x ₂ <10 футов

V = 7 тысяч фунтов

M = 7 x

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 10 футов, M = 70 тысяч фунтов. ft

Сдвиг и изгибающий момент балки каркаса.

Сила сдвига и изгибающий момент в балке BC .

0 < x ₃ <4 футов

V = −7,5 тысяч фунтов

M = −7,5 x + 13 (10) — 2 (10)

Когда x = 0, M = 30 тысяч фунтов футов

Когда x = 4 фута, M = 0

Сила сдвига и изгибающий момент в балке CD .

0 < x ₄ <4 футов

V = −17,5 тысяч фунтов

M = 17.5 x — 7 (10)

Когда x = 0, M = −70 тысяч фунтов / фут

Когда x = 4 фута, M = 0

Расчетные значения сдвига сила и изгибающий момент для рамы показаны на рисунках 4.11c и 4.11d.

Краткое содержание главы

Внутренние силы в балках и рамах: Когда на балку или раму действуют внешние поперечные силы и моменты, в элементе развиваются три внутренних силы, а именно нормальная сила ( Н, ), сдвиг сила ( В, ) и изгибающий момент ( М, ).Они показаны на следующем рисунке.

Нормальная сила : Нормальная сила на любом участке балки может быть определена путем сложения горизонтальных нормальных сил, действующих по обе стороны от этой секции. Если равнодействующая нормальной силы стремится переместиться в сторону сечения, это рассматривается как сжатие и обозначается как отрицательное. Однако, если он имеет тенденцию отходить от секции, это рассматривается как напряжение и обозначается как положительное.

Сила сдвига : Сила сдвига в любом сечении балки определяется как сумма всех поперечных сил, действующих по обе стороны от сечения.Ниже приведены условные обозначения, принятые для поперечных сил. Диаграмма, показывающая изменение поперечной силы вдоль балки, называется диаграммой поперечной силы.

Изгибающий момент : Изгибающий момент в секции балки можно определить, суммируя момент всех сил, действующих с обеих сторон секции. Условные обозначения для изгибающих моментов показаны ниже. Графическое изображение изгибающего момента, действующего на балку, называется диаграммой изгибающего момента.

Взаимосвязь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом: Между распределенными нагрузками, поперечными силами и изгибающими моментами существует следующая взаимосвязь.

Практические задачи

4.1. Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балок, показанных на рисунках с P4.1 по P4.11.

Рис. P4.1. Луч.

Рис. P4.2. Луч.

Рис.P4.3. Луч.

Рис. P4.4. Луч.

Рис. P4.5. Луч.

Рис. P4.6. Луч.

Рис. P4.7. Луч.

Рис. P4.8. Луч.

Рис. P4.9. Луч.

Рис. P4.10. Луч.

Рис. P4.11. Луч.

4.2. Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рам, показанных на рисунках с P4.12 по P4.19.

Рис.P4.12. Рамка.

Рис. P4.13. Рамка.

Рис. P4.14. Рамка.

Рис. P4.15. Рамка.

Рис. P4.16. Рамка.

Рис. P4.17. Рамка.

Рис. P4.18. Рамка.

Рис. P4.19. Рамка.

Взаимосвязи сдвига, момента и деформации в балках

Взаимосвязь между сдвигом и моментом, определенная в уравнении. (3.72), то есть V = dM / dx,
указывает, что поперечная сила в сечении представляет собой скорость изменения изгибающего момента.Аналогичное соотношение существует между нагрузкой на балку и сдвигом в сечении. На рис. 3.26b показаны результирующие внутренние силы и моменты для части балки dx, показанной на рис. 3.26a. Обратите внимание, что когда внутренний сдвиг действует вверх слева от секции, сдвиг положительный; и когда сдвиг действует вверх справа от секции, он отрицательный. Для равновесия вертикальных сил:

Это уравнение показывает, что скорость изменения сдвига в любом сечении равна нагрузке на единицу длины в этом сечении.Когда сосредоточенные нагрузки действуют на балку, уравнения. (3.72) и (3.76) применяются к области балки между сосредоточенными нагрузками.
Отклонение луча. На данный момент установлены только отношения между нагрузкой на балку и возникающими внутренними силами и напряжениями
. Чтобы рассчитать прогиб в различных точках вдоль балки, необходимо знать взаимосвязь между нагрузкой и деформированной кривизной балки или между изгибающим моментом и этой кривизной.
Когда балка подвергается нагрузкам, она отклоняется.Отклоненная форма балки по нейтральной оси может быть представлена ​​упругой кривой (x). Если наклон отклоненной формы таков, что d / dx1, радиус кривизны R в точке x вдоль пролета связан с производными ординат упругой кривой (x) на

Эти соотношения предполагают, что поперечная сила, изгибающий момент, наклон балки и прогиб
могут быть получены путем интегрирования распределения нагрузки. Для некоторых простых случаев этот подход может быть удобно использован.Однако это может быть обременительным, когда на конструкцию действует большое количество сосредоточенных нагрузок. Другие методы предлагаются в ст. От 3,32 до 3,39.
Диаграммы сдвига, момента и прогиба. На рисунках 3.28–3.49 показаны некоторые частные случаи, в которых распределения сдвига, момента и деформации могут быть выражены в аналитической форме.
Рисунки также включают диаграммы, показывающие изменение сдвига, момента и деформаций по длине пролета. Диаграмма, на которой сдвиг нанесен вдоль пролета, называется диаграммой сдвига.Точно так же диаграмма, на которой изгибающий момент нанесен вдоль пролета, называется диаграммой изгибающего момента.
Рассмотрим свободно опертую балку, на которую действует направленная вниз равномерно распределенная нагрузка w (единицы нагрузки на единицу длины) на рис. 3.31a. Реакции носителя R1 и R2 могут быть определены из уравнений равновесия. Суммируя моменты относительно левого конца, можно получить

R1, тогда можно найти из равновесия вертикальных сил:

отклонение может быть выражено от x 0 до L / 2 и снова от
для x от L / 2 до L, как показано на фиг.3.28c, 3.28d и 3.28e соответственно.
На практике обычно неудобно выводить уравнения для диаграмм сдвига и изгибающих моментов для конкретной нагрузки. Как правило, удобнее использовать уравнения равновесия для построения графиков сдвигов, моментов и прогибов в критических точках вдоль пролета. Например, внутренние силы в четверти пролета равномерно нагруженной балки на рис. 3.31 могут быть определены из диаграммы свободного тела на рис. 3.50. Исходя из условий равновесия для моментов около правого конца,

Кроме того, сумма вертикальных сил должна равняться нулю:

В предыдущих примерах продемонстрировано несколько важных концепций:

Сдвиг на сечении — алгебраическая сумма всех сил по обе стороны от сечения.
• Изгибающий момент в секции представляет собой алгебраическую сумму моментов относительно секции всех сил и приложенных моментов по обе стороны секции.
• Максимальный изгибающий момент возникает там, где сдвиг или наклон диаграммы изгибающего момента равен нулю.
• Изгибающий момент равен нулю, если наклон кривой упругости максимален или минимален.
• Если вдоль пролета нет распределенной нагрузки, диаграмма сдвига представляет собой горизонтальную линию. (Сдвиг — это постоянная величина, которая может быть равна нулю.)
• Диаграмма сдвига резко меняется в точке приложения сосредоточенной нагрузки.
• Разница между изгибающими моментами в двух секциях балки равна площади под диаграммой сдвига между двумя секциями.
• Разница между сдвигами в двух секциях балки равна площади под диаграммой распределенной нагрузки между этими секциями.

DoITPoMS — Библиотека изгиба и кручения балок TLP

Изгибающие моменты возникают при приложении поперечных нагрузок к балкам. Самым простым случаем является консольная балка , широко встречающаяся на балконах, крыльях самолетов, трамплинах и т. Д.Изгибающий момент, действующий на секцию балки из-за приложенной поперечной силы, определяется произведением приложенной силы и расстояния до этой секции. Таким образом, он имеет единицы Н · м. Он уравновешивается внутренним моментом , возникающим из-за возникающих напряжений. Это получается путем суммирования всех внутренних моментов, действующих на отдельные элементы внутри секции. Они задаются силой, действующей на элемент (напряжение, умноженной на площадь элемента), умноженной на его расстояние от нейтральной оси, y .

Уравновешивание внешнего и внутреннего моментов при изгибе консольной балки

Следовательно, изгибающий момент M нагруженной балки можно записать в виде

\ [M = \ int {y (\ sigma dA)} \]

Концепция кривизны балки, κ, является центральной для понимания изгиба балки. Рисунок ниже, который теперь относится к сплошной балке, а не к полой опоре, показанной в предыдущем разделе, показывает, что осевая деформация, ε , определяется соотношением y / R .Эквивалентно 1 / R («кривизна», κ) равна градиенту осевой деформации по толщине. 2} {\ rm {d}} A \]

Единицы измерения I — м ⁴ .Значение I зависит исключительно от формы сечения балки. Щелкните здесь , чтобы увидеть, как I рассчитывается для двух простых форм.

Момент теперь можно записать как

M = κ E I

Эти уравнения позволяют рассчитать распределение кривизны по длине балки (т. Е. Ее форму) и распределение напряжений внутри нее для любого заданного набора приложенных сил. Следующее моделирование реализует эти уравнения для управляемой пользователем формы балки и набора сил.Конфигурации нагрузки на 3-точечный изгиб и 4-точечный изгиб нагружения в этом моделировании являются СИММЕТРИЧНЫМИ, с направленными вверх силами, обозначенными стрелками, за пределами направленной (ых) силы (-ей), обозначенных крючками

Эффективный подход к проектированию легких и жестких балок — сделать их полыми. Расчет второго момента площади для полых балок очень прост, так как он получается простым вычитанием I недостающего сечения из общего сечения.4}}} {{64}} \]

статиков — Как интерпретировать явные моменты в балках?

Как интерпретировать такие моменты?

Момент 20 кН.м называется «парой» или «парой сил». Пара сил создается равными и противоположными параллельными силами (результирующая сила = 0) вокруг точки в центре между ними. Пара вызывает чистое вращение без перевода.

Пара имеет следующие объекты недвижимости:

1. Это эквивалентно одному вектору момента.

2. Чтобы достичь равновесия для всей балки, пара может противодействовать только другой равной и противоположной парой.

3. Вектор момента пары и ее можно переместить в любое место, не влияя на требования статического равновесия.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Ниже приведены ответы на ваши конкретные вопросы.Они предполагают, что вы учитываете только требования статического равновесия для балки, потому что четвертое свойство применяется только к статическому анализу (например, установка суммы сил и моментов равной нулю для определения реакций на опорах). Для механики материаловедения расположение пары сил имеет решающее значение для определения изгибающих моментов и изгибающих напряжений.

Здесь стрелка огибает точку на расстоянии 2 м от A. Значит ли это, что вокруг этой точки есть дополнительный момент?

Да.Но вам не нужно принимать во внимание точку, где находится пара, из-за четвертого свойства. Вам нужно учитывать только расположение пары при определении изгибающих моментов и напряжений в балке, другими словами, для задач механики материалов. Для задач статики, где вы только пытаетесь определить реакции на опорах для статического равновесия, расположение пары не имеет значения.

Но как этот момент влияет на момент, видимый из других точек, например, A? Или Б? Более конкретно, если бы я хотел сформировать уравнение моментного равновесия из A, я бы просто добавил / вычел (в зависимости от моего определения положительного направления) 20 кНм из / в сумме моментов вокруг A?) И если бы я должен был сформировать моментное равновесие уравнения вокруг другой точки, например B, что мне тогда делать с 20 кНм?

Если вы хотите суммировать моменты, относящиеся к A, вы можете представить себе пару, находящуюся в A, и просто добавить / вычесть это из других моментов относительно A.

Если вы хотите суммировать моменты, относящиеся к B, вы можете представить себе пару, находящуюся в B, и просто прибавить / вычесть это из других моментов, связанных с B.

В любом случае вы получите одинаковые результаты.

ПОМНИТЕ — Это относится только к требованиям статического равновесия. Когда вы анализируете изгибающие моменты и напряжения в балках, расположение пары имеет решающее значение.

Кроме того, как такой момент может происходить в реальном мире? Это момент без силы или расстояния, просто момент.Как я мог произвести что-то подобное? Спасибо!

Это не момент без силы. Это момент, вызванный двумя параллельными равными и противоположными силами. Так что это момент без чистой силы.

Подумайте о рулевом колесе вашей машины. Чтобы повернуть правую руку, вы прикладываете вертикальную силу вверх левой рукой и равную и параллельную вертикальную силу вниз правой рукой. Поскольку ваши силы равны, параллельны и противоположны, вы создаете пару моментов на колесе.То есть вы создаете крутящий момент (момент) относительно центра рулевого колеса без какой-либо чистой силы на колесо.

Следующая ссылка с сайта MIT описывает пары более подробно и дает примеры (например, рулевое колесо), в том числе один, связанный с мостом.

http://web.mit.edu/4.441/1_lectures/1_lecture12/1_lecture12.html

Надеюсь, это поможет.

StructX — Формулы расчета балок

Формулы расчета балок

Просто выберите изображение, которое больше всего соответствует конфигурации балки и условиям нагрузки, которые вас интересуют, чтобы получить подробный обзор всех структурных свойств.Уравнения балки для результирующих сил, поперечных сил, изгибающих моментов и прогиба можно найти для каждого показанного случая балки. Для проектирования и оценки балок в метрических и дюймовых единицах предусмотрены удобные калькуляторы.

Сборник электронных таблиц по проектированию конструкций для расчета балок с использованием Excel доступен для покупки и может быть найден под каждым типом балки.

Дополнительную информацию о теории проектирования балок и сделанных допущениях можно найти здесь.

Простая балка с UDL

Простая балка с UIL

Простая балка с центральной УИЛ

Простая балка с PDUL

Простая балка с PDUL на одном конце

Простая балка с PDUL на каждом конце

Простая балка с PL в центре

Простая балка с PL в любой точке

Простая балка с одинаково разнесенными пластинами

Балка с неравномерно разнесенными пластинами

Балка с неравномерно разнесенными ВИП

Простая балка с UDL и EM

Простая балка с PL и EM

Фиксированная торцевая балка с UDL

Фиксированная торцевая балка с центральным PL

Фиксированная торцевая балка.PL в любой точке

Неподвижная балка с UDL

Фиксированная балка с центральным PL

Неподвижная балка с PL в любой точке

Консольная балка с UIL

Консольная балка с UDL

Консольная балка с UDL и EM

Консольная балка. PL в любой точке

Консольная балка с PL на свободном конце

Консольная балка с PL и EM

Балка навесная с UDL

Свисающая балка с UDL на конце

Балка навесная с PL на конце

Свесная балка с деталью UDL

Свисающая балка PL в любой точке

Балка с двумя свесами и UDL

Двухпролетная балка с частичным UDL

Двухпролетная балка с PL

Двухпролетная балка.PL в любой точке

Двухпролетная балка с UDL

Двухпролетная балка с двумя PL

Два неравных пролета с UDL

Два неравных пролета с PL

Трехпролетная балка с частичным UDL

Трехпролетная балка с концевыми UDL

Трехпролетная балка с UDL

Четырехпролетная балка. Незагруженный пролет

Четырехпролетная балка.Разгрузочные пролеты

Четырехпролетная балка с UDL

Критическая оценка процедур эквивалентного момента для балок без боковой опоры

• Член

  БЕСПЛАТНО

• Не член

  10 долларов.00

Вонг, Эдгар; Драйвер, Роберт Г. (2010). «Критическая оценка процедур эквивалентного момента для балок без опоры в поперечном направлении», Engineering Journal , Американский институт стальных конструкций, Vol.47, стр. 1-20.

В этой статье сравниваются многочисленные подходы к определению эквивалентных моментов, используемых при оценке упругого критического момента балок, не поддерживаемых в поперечном направлении, для самых разных распределений момента. Исследование показало, что процедура, используемая в настоящее время в канадском стандарте проектирования, дает неприемлемые результаты для большинства рассмотренных распространенных распределений изгибающего момента.Значительные резкие изменения значений Cb при лишь незначительных изменениях формы диаграммы моментов наблюдались в шести из 12 сравнений распределения моментов, что в целом приводит к плохой производительности процедуры. Исследование также выявило недостатки, присущие другим методам. В целом, уравнения момента четверти точки, разработанные для общих распределений моментов, достаточно хорошо отражают тенденции численных данных. Однако, например, оценки показывают, что уравнение AISC 2005 года дает неконсервативные результаты в некоторых ситуациях, тогда как британское уравнение, хотя и в целом консервативное, дает сравнительно менее точные результаты.Другие изученные уравнения отражают тенденции числовых данных более последовательно за счет реализации формата квадратного корня в методе момента четверти точки. Однако в некоторых случаях они дают результаты, которые превышают числовые данные, что означает, что они слишком агрессивны для целей проектирования. предлагается уравнение момента с использованием формата квадратного корня.Он не только точно моделирует тенденции численных решений, но также дает разумные и консервативные эквивалентные факторы момента, даже в тех случаях, когда другие методы этого не делают. Как и все методы четвертьточечных моментов, предложенное уравнение не дает хороших результатов в некоторых ситуациях, когда применяются сосредоточенные моменты. Тем не менее считается, что он подходит для подавляющего большинства типовых случаев проектирования.

• Опубликовано: 2010, Квартал 1

Автор (ы)

Эдгар Вонг; Роберт Г.