Расчет неразрезной балки по уравнению трех моментов

Как рассчитать неразрезную балку. Уравнение 3-х моментов.

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

Схема неразрезной балки

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики. Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3)

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι_1,ι_2,ι₃)

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке, будем обозначать

с индексом «0», то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом,  — это поперечная сила и изгибающий момент для простой  балки.

Рассмотрим балку 1^го пролета

Определим фиктивные реакции для балки первого пролета по табличным формулам (см.таблицу «Фиктивные опорные реакции….»)

Балка 2^го пролета

Балка 3^го пролета

5. Составляем уравнение 3^х моментов для двух точек ­­– промежуточных опор ­– опора 1 и опора 2.  Это и будут два недостающих уравнения для решения задачи.

Уравнение 3х моментов в общем виде:

Для точки (опоры) 1 (n=1):

Для точки (опоры) 2 (n=2):

Подставляем все известные величины, учитываем, что

момент  на нулевой опоре и на третьей опоре равны нулю,  M₀=0; M₃=0

Тогда получим:

Поделим первое уравнение на сомножитель 4 при M₂ 

Второе уравнение поделим на сомножитель 20 при M₂   

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения вычтем второе, получим:

Подставляем это значение в любое из уравнений и находим M₂

Итак, нашли опорные моменты:

6. Построение эпюры поперечной силы Q для неразрезной балки

Формула для определения Q в любом сечении неразрезной балки:, где n – пролет

1) Построение эп. Q в первом пролете:

Эта запись означает, что поперечная сила в неразрезной балке в первом пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9 . 

На эпюрах должны прослеживаться скачки на величину сил.

2) Построение эп. Q во втором пролете:

Поперечная сила в неразрезной балке во втором пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9,5.    

3)Построение эп. Q в третьем пролете:

Поперечная сила в неразрезной балке в третьем пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на +15,3.  

Строим эпюру поперечных сил для неразрезной балки. 

7.  Построение эпюры изгибающего момента для неразрезной балки. Сначала откладываем на опорах значения опорных моментов,   соединяем их линией опорных моментов. Это эпюра опорных моментов.

Эпюру М для неразрезной балки можно построить:

1 вариант – методом «подвешивания».  К эпюре опорных моментов  «подвешиваем»  эпюру M⁰  по разницам ординат. К примеру, в середине первого пролета на эпюре M⁰  ордината равна 90,  а на эпюре опорных моментов -27. В итоге получим 90-27=63. Это значение и откладываем.

2 вариант – формула для определения изгибающего M в любом сечении неразрезной балки:

, где n-пролет , x — расстояние.

Для той же точки первого пролета, которую рассматривали в методе «подвешивания»:

Построение эп. М во 2^ом пролете, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

Определим положения т. К. по эпюре Q — это точка экстремума.

Определим М неразрезной балки во 2^ом пролете в этой точке: Теперь нужно определить в этой точке К изгибающий момент М в простой балке:

Таким образом, момент в точке К для неразрезной балки:

Строим эпюру М.

8. Выполним проверку опорных реакций. Покажем реакции   на схеме балки на опорах, направив их вверх. Значения этих реакций определим по скачкам эпюры Q. Таким образом получим:

Спроецируем все силы, приложенные к балке, и реакции на вертикальную ось, выполним проверку.

Подставим значения, получим 340-340=0

Проверка верна.

 

 

prosopromat.ru

Реакции, эпюры и перемещения в балках

Опорные реакции, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов а также линейные и угловые перемещения для простых балок при изгибе.

Консольные балки

Сосредоточенный изгибающий момент на конце консольной балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

---

Сосредоточенная сила на конце консольной балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Равномерно распределенная нагрузка по всей длине консоли

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Двухопорные балки

Сосредоточенный изгибающий момент на левой опоре двухопорной балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Сосредоточенный изгибающий момент в пролете балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

---

Сосредоточенная поперечная сила в пролете балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Сосредоточенная поперечная сила в середине пролета балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

---

Равномерно-распределенная поперечная нагрузка по длине пролета балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Обозначения в сопромате >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

isopromat.ru

Последовательность решения задачи на построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

1. Освобождаем балку от опор, а действие опор заменяем реакциями опор.

2. Определяем реакции опор балки (по двум уравнениям моментов: одно – относительно левой опоры, второе – относительно правой), а затем обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке;

3. Определяем характерные сечения балки (сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты, включая опорные сечения).

4. Строим эпюру поперечных сил, для чего вычисляем значения поперечных сил в характерных сечениях.

5. Строим эпюру изгибающих моментов, для чего определяем значение изгибающих моментов в характерных сечениях.

Нормальные напряжения при чистом изгибе.

При деформации изгиба:

• Поперечные прямые линии остаются прямыми, но повернуться навстречу друг другу;

• Продольные прямые линии и ось бруса искривятся;

• Сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью.

При чистом изгибе волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, а лежащие на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе лежит нейтральный слой, волокна которого только искривляются, не изменяя своей длины. Поэтому при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные

напряжения, неравномерно распределенные по сечению, из-за искривления волокон и оси бруса.

Относительное удлинение при изгибе прямо пропорционально расстоянию до нейтральной оси .

Для вычисления нормальных напряжений при изгибе используем закон Гука: . Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению балки. По ширине балки напряжения постоянны. Наибольшего значения они достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси. В точках нейтральной оси напряжения равны нулю.

Нормальные напряжения вычисляются по формуле: , гдеI- осевой момент инерции. Для сечения разных форм есть формула.

Максимальное значение нормальные напряжения возникают с волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси: , гдеW- момент сопротивления изгибу.

Единица измерения .

Определим моменты сопротивления изгибу наиболее распространенных сечений:

сечение	рисунок	формула
Прямоугольник
Прямоугольник
Круг диаметром d
Кольцо

Расчеты на прочность при изгибе.

Проверку прочности и подбор сечений балок обычно проводят исходя из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превышать допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь и дерево), следует выбирать сечение, симметричное относительно нейтральной оси. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид: .

С помощью условия прочности при изгибе можно решить три задачи:

• Проверочный расчет на прочность производится в том случае, если известны размеры поперечного сечения, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение;

• Проектный расчет на прочность производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки и необходимо определить размеры поперечного сечения для определенной формы сечения.

• Определение наибольшей допускаемой нагрузки.

Наиболее выгодные такие сечения, которые дают наибольший момент сопротивления при наименьшей площади.

Последовательность решения задач при расчетах на прочность:

1. Освобождаем балку от опор, а действие опор заменяем реакциями опор.

2. Определяем реакции опор балки (по двум уравнениям моментов: одно – относительно левой опоры, второе – относительно правой), а затем обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке;

3. Определяем характерные сечения балки (сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты, включая опорные сечения).

4. Строим эпюру поперечных сил, для чего вычисляем значения поперечных сил в характерных сечениях.

5. Строим эпюру изгибающих моментов, для чего определяем значение изгибающих моментов в характерных сечениях.

6. По эпюре изгибающих моментов определить расчетный (наибольший по абсолютному значению) изгибающий момент, выразив его в Нмм;

7. В выражении условия прочности принять = [] и определить требуемый осевой момент сопротивления поперечного сечения балки;

8. Выразить значение W_x в мм³ (при подстановке в расчетную формулу значенияM_x выражаются в Нмм, а значения [] – в Н/мм², результат получим в мм³) и с помощью таблиц соответствующих ГОСТов по найденному значению W_x подобрать необходимый номер профиля швеллера (ГОСТ 8240-72) или двутавра (ГОСТ 8239-72 «Швеллеры»), или по формулам для определенного сечения вычисляем размеры поперечного сечения балки.

Примеры решения задач.

Задача 1. Для балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если сосредоточенные силы F₁ = 4 кН и F = 8 кН, момент M = 11 кНм, расстояние a = 2 м, b = 4 м, c = 3 м.

Решение.

1. Определим опорные реакции:

(1)

(2)

Из уравнения (1) кН;

Из уравнения (2) кН.

Проверка:

2. Строим эпюру поперечных сил

В сечении K: кН.

В сечении A: кН;

кН.

В сечении D: кН;

кН.

В сечении B: Q_yB = —R_B = -5 кН.

3. Строим эпюру изгибающих моментов по характерным сечениям K, A, D, В В сечении K: M_xK = 0, так как в этом сечении нет сосредоточенного момента.

В сечении A: кНм.

В сечении B : кНм.

В сечении D: кНм.

Задача 2. Для балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если сосредоточенные силы как показано на рисунке.

Решение:

1. Строим эпюру поперечных сил по характерным сечениям О,А,В, С.

В сечении O: кН.

В сечении A: кН;

кН.

В сечении B: кН;

кН.

В сечении C: Q_yCлев = —F_{1 +}F₂= -10+20=10 кН.

2. Строим эпюру изгибающих

моментов по характерным сечениям О, A,В,С. В сечении О: M_xО = 0, так как в этом сечении нет сосредоточенного момента.

В сечении A: кНм.

В сечении B : кНм.

кНм

В сечении С: кНм.

Задача 3. По условию задачи 1 из условия прочности подобрать размеры сечения балки в виде прямоугольника с размерами , где , круга с диаметромd и двутавра, если . Определить отношение масс выбранных балок.

Решение:

1. Определяем опасное сечение: это сечение, где возникаем максимальный момент – это сечение В и .

2. Из условия прочности определяем W_х (момент сопротивления изгибу).

3. Вычисляем размеры сечений балки:

двутавр — в соответствии с ГОСТ 8239 выбираем двутавр № (ближайшее большее значение) . W_х = 118см³ — двутавр № 16 А₁ = 21,5см²

• круг —

_{Принимаем d=90 мм.}

_{Принимаем b=47 мм, h=2·47=94 мм.}

4. Отношение масс равно отношению площадей сечений:

Вывод. Балка прямоугольного сечения в 2,7 раза тяжелее двутавровой балки, а балка круглого сечения в 3,8 раз тяжелее двутавровой балки.

studfiles.net

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.

Перед определением иопределяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения иприменим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянииот левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиямии.

Установим следующие правила знаков для и:

• Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке;

• Изгибающий момент в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

Рис. 6.3

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1. ;;.

2. ;

;

Таким образом,

а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечениявсех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для она дает положительное слагаемое.

2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для в этом сечении она дает положительное слагаемое.

Рис. 6.4

Построение эпюр ив балках.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а). На балку действует в точкесосредоточенный момент, в точке- сосредоточенная силаи на участке- равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.

Определим опорные реакции и(рис. 6.5, б). Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точеки.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянииот точки А(рис. 6.5, в). Расстояниеможет изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения , следовательно, во всех сечениях участкапоперечные силы одинаковы и эпюраимеет вид прямоугольника. Изгибающий момент изменяется по линейному закону Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участка. При : При

Рис. 6.5

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянииот точки(рис. 6.5, г).Расстояниеможет изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения , следовательно, во всех сечениях участкапоперечные силы одинаковы и эпюраимеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянииот точки(рис. 6.5, д).Расстояниеможет изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

.

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения :

Отсюда

Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов(рис. 6.5, ж).

studfiles.net