Уравнения равновесия плоской системы сил: Условие равновесия произвольной плоской системы сил

Содержание

Условие равновесия произвольной плоской системы сил

Условие равновесия произвольной плоской системы сил
  • При равновесии главный вектор системы равен нулю .

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

где и — проекции векторов на оси координат.

  • Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

где и — разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.

Получим основную форму уравнения равновесия:

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически доказано, что на плоскости можно составить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии.

Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений равновесия.

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:

Ось системы координат параллельна линии действия сил.

Эта теория взята со страницы решения задач по предмету «техническая механика»:

Примеры решения задач технической механике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил

Расположив центры моментов А и В на прямой, перпендикулярной направлениям сил, из уравнения (1. 35) получим вторую форму уравнений равновесия плоской системы параллельных сил  [c.45]

УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ  [c.49]

Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил  [c.96]

Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плоской системы параллельных сил (рис. 5.21)  [c.87]


Две величины А/ и На> для определения которых можно составить два уравнения равновесия плоской системы параллельных сил, неизвестны. Задача статически определимая.  [c.22]

Имеются две неизвестные величины На и Ма и два уравнения равновесия плоской системы параллельных сил. Задача статически определимая.  

[c.27]

Решение. Система один раз статически неопределима, так как неизвестных сил три, а статика дает два уравнения равновесия (плоская система параллельных сил). Рассекаем стержни и. составляем  [c.83]

В уравнениях для перемещений содержится шесть неизвестных величин Е , А, В, С, В. Для их определения имеем пять граничных условий плюс два уравнения равновесия (плоская система параллельных сил).  [c.535]

Каковы условия и уравнения равновесия плоской системы параллельных сил на плоск >-сти  [c.83]

При решении задач на равновесие системы тел недостаточно, как правило, рассмотреть равновесие этой системы в целом. Для всей системы условия равновесия сводятся или к трем уравнениям равновесия для плоской системы сил, или к двум уравнениям для плоской системы параллельных сил. В этом случае число неизвестных может быть больше числа перечисленных уравнений.  

[c.64]

Условия равновесия плоской системы параллельных сил. Если все силы системы параллельны друг другу, то одно из трех уравнений становится следствием двух других.  [c.84]

Условия равновесия плоской системы параллельных сил являются частным случаем условий равновесия, выведенных в этом параграфе. Если ось у расположить параллельно линиям действия системы параллельных сил, то уравнение равновесия = 0 обратится в тождество, а  [c. 43]

Применим условия равновесия плоской системы параллельных сил и составим два уравнения равновесия  [c.44]

Итак, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил — только два. Соответственно при- решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил — не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.  

[c.35]

Условия равновесия плоской системы параллельных сил. Если силы перпендикулярны к какой-либо оси (х), то уравнение 2Х = О превращается в тождество 0 = 0. Для определения неизвестных сил остается два уравнения равновесия, которые можно представить в двух формах.  [c.51]


Если плоская система сил состоит из сил, параллельных между собою, то задача составления уравнений равновесия делается. более простой, и мы легко получим, что для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы  [c.133]

Итак, для произвольной плоской системы сил мы имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил только два уравнения равновесия. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил — не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой. Статически неопределимые задачи могут быть решены, если принять во внимание упругие свойства тела и возникающие в нем деформации. Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.  [c.80]

Аналогично, горизонтальная балка, лежащая на двух опорах (рис. 66, а), будет статически определимой, так как и здесь две неизвестные реакции и V, входят в два уравнения равновесия (33) плоской системы параллельных сил.

Такая же балка на трех опорах (рис. 66, б) будет статически неопределимой.  [c.56]

Если данное тело находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил, то число неизвестных реакций не должно быть больше двух, так как в этом случае мы имеем только два уравнения равновесия [уравнения (23) или (24) .  [c.49]

Обратим внимание на то, что для плоской системы параллельных сил получаем два уравнения равновесия, т. е. для того, чтобы задача могла быть решенной, число неизвестных сил должно быть не больше двух. Вообще говоря, все задачи на равновесие системы сил, в которых число неизвестных не превосходит числа уравнений статики для этой системы, называются статически определимыми. Если же число неизвестных сил превышает число уравнений статики, которые возможно составить для данной системы, то задача называется статически неопределимой. Решение подобных задач рассмотрено во втором разделе учебника.  

[c.45]

На рис. 2.93, а показана балка, один конец которой защемлен, а другой оперт на шарнирно-подвижную опору. Такая балка является один раз статически неопределимой, поскольку число реакций три, а уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил можно составить только два. Для того чтобы превратить данную систему в статически определимую, необходимо устранить лишнюю связь. В качестве лишней связи выбираем шарнирно-подвижную опору. Устранив опору В, получаем статически определимую консольную балку (рис. 2.93, б). Такую систему принято называть основной.  [c.230]

Уравнения равновесия твердого тела под действием плоской системы параллельных сил имеют вид  [c.45]

На закрепленную балку действует плоская система параллельных сил. Сколько независимых уравнений равновесия балки можно составить (2)  

[c.29]

Решение. Рассмотрим равновесие составного рычага в целом. К нему приложены две активные силы G и Р. Отбросим связи, заменив их реакциями Re и Rd (рис. 46, б). Последние три силы—неизвестные. Но для плоской системы параллельных сил статика позволяет составить два уравнения равновесия. Следовательно, необходимо расчленить систему рычагов АВ и D. К рычагу АВ приложены неизвестные Р, Rb, Rb, к тяге B —Rb, R l к рычагу D — Rn и R . Всего пять неизвестных. Общее число уравнений также равно пяти по два для рычагов (плоские системы параллельных сил) и одно для тяги (силы, действующие по одной прямой). Задача статически определима.  [c.69]

Жесткая балка, шарнирно закрепленная в стеке и подвешенная на трех параллельных стержнях (рис. 2.38, в), представляет собой систему два раза статически неопределимую, так как неизвестных усилий четыре, а независимых уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил, можно составить только два.  

[c.217]


Задача является один раз статически неопределимой — для плоской системы параллельных сил статика дает два уравнения равновесия, а неизвестных усилий три вертикальная реакция шарнира А и усилия в стержнях и N2-  [c. 30]

Для плоской системы параллельных сил статика дает два уравнения равновесия неизвестны.х усилий грн, следовательно, заданная система статически неопределима.  [c.75]

Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид  [c.40]

Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид  [c.40]

Итак, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия а для плоской системы параллельных сил — только два. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллель-  

[c.41]

В. Неправильно. Для плоской системы параллельных сил одно из трех уравнений равновесия, которые можно составить для произвольной плоской системы сил, либо обращается в тождество, либо является следствием одного из двух других.[c.274]

Так как все данные силы параллельны оси у, то проекция каждой силы на эту ось равна модулю этой силы, взятому с соответствующим знаком. Следовательно, 2 ft = 2(=f ft)- Таким образом, уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил принимают вид  [c.96]

Вспоминая сказанное на стр. 90 о третьей возможной форме уравнений равновесия плоской системы сил и принимая за ось проекций ось, перпендикулярную к параллельным силам, уравнениям равновесия параллельных сил можно придать и другую форму, а именно  [c.97]

Пусть требуется определить усилия в стержнях, на которых подвешена невесомая весьма жесткая балка, нагруженная силой Р, как показано на рис. 2.61. Стержни изготовлены из одинакового материала и имеют одинаковые сечения. Система один раз статически неопределима для плоской системы параллельных Сил статика дает два независимых уравнения равновесия, а неизвестных усилий три.  [c.95]

Решение. Система один раз статически нео.пределнма, так как неизвестных усилий три, а статика дает два уравнения равновесия (плоская система параллельных сил). Рассекаем стержни и составляем уравнения равновесия сил, действующих на балку (рис. 2.67, б)  [c.100]

Для решения задач на равносесие произвольно расположенных на плоскости сил, приложенпых к твердому телу, можно пользоваться тремя уравнениями равновесия сил. Задача статически определенна, если число неизвестных не больше трех. Если к телу приложена плоская система параллельных сил, то можно воспользоваться только двумя уравнениями равновесия сил.  [c.67]

В этой главе будем рассматр Ивать балки, в которых силы направлены перпендикулярно к оси, а горизонтальная составляющая реакции (по оси балки) равна нулю. Поэтому во всех рассматриваемых случаях лагружения балок все внешние силы долж ны удовлетворять двум уравнениям равновесия, которые дает»статика для плоской системы параллельных сил -  [c. 184]

Для плоской системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия в виде системы (2.11) или (2.12). Для плоской системы сходящихся сил также имеем два уравнения равновесия в виде систем (2.6), (2.13), (2.14). Таким образом, при решении задач на плоскую систему параллельных или сходяшихся сил число нешвестных величин не должно быть больше двух. Если число неизвестных величин больше числа уравнений равновесия статики, ТО такие задачи рассматривают не в теоретической механике, а в сопротивлении материалов.  [c.40]

Решение. Предполагаем, что все усилия растягивающие и что бруе sai eT после деформации стержней новое положение, изображенное на рис. Л Кан известно, для плоской системы параллельных сил статика дает лишь два уран нения равновесия. Составим эти два уравнения  [c.28]


Уравнения равновесия для плоской системы сил

Задание для контрольной работы по теоретической механике (статика С3)

Найти внутренние напряжения в стержнях 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 плоской фермы, изображенной на рисунке, а также реакции в точках А и В. Значения сосредоточенных внешних нагрузок: Р1=2кН, Р2=3кН. Размеры указаны в метрах, весом стержней пренебречь.

Решение задачи

    Из размеров конструкции видно, что треугольник, составленный из стержней 1,2 и 3 – равносторонний с углами 60°, а треугольник, составленный из стержней 5,6 и 7 – равнобедренный с углами 45°.

Добавим к внешним нагрузкам P1 и P2 реакции плоского шарнира A (XA, YA ) и реакцию опоры B (XB). Рассмотрим равновесие фермы как единого целого, находяшегося под действием этих пяти сил.

    Уравнения равновесия для этой плоской системы сил имеют вид:

              

Отсюда находим, что XA=7.6кн, YA=3кн, XB=5. 6кн.

              Для определения напряжений в стержнях фермы применим метод вырезания узлов. Будем последовательно вырезать узлы фермы и рассматривать равновесие вырезанных узлов под действием приложенных к ним сил и внешних реакций. Реакции разрезанных стержней направляем от стержней к узлам, то есть будем считать все стержни фермы сжатыми.

              Для узла B имеем сходящуюся систему сил R1,R2 и XB. Из уравнений равновесия этой системы сил

             

получаем: R2=6.47 кн, R1= — 3.23 кн (знак «минус» показывает, что стержень 1 на самом деле растянут).

              Для узла A имеем сходящуюся систему сил R1, R3, R4, XA и YA. Из уравнений равновесия этой системы сил

             

получаем: R3=0.46 кн, R4= — 8.0 кн (знак «минус» показывает, что стержень 4 на самом деле растянут). При вычислениях в эти уравнения подставляем ранее полученное отрицательное значение R1.

              Для узла С имеем сходящуюся систему сил R2, R3, R5, R6. Из уравнений равновесия этой системы сил

             

получаем: R5=4.24 кн, R6=3.0 кн.

              Для узла D имеем сходящуюся систему сил R6, R7 и P2. Из уравнения равновесия этой системы сил в проекции на ось X

       

получаем: R7= — 4. 24 кн (знак «минус» показывает, что стержень 7 на самом деле растянут).

 Собираем все результаты в одну таблицу (реакции и напряжения в стержнях указаны в килоньютонах):

XA

YA

XB

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

7.6

3. 0

5.6

-3.23

6.47

0.46

-8.0

4.24

3.0

-4.24

Произвольная плоская система сил — презентация онлайн

СТАТИКА
5. Произвольная плоская система сил

2. 5.1. Приведение произвольной плоской системы сил к простейшему виду

Опр. Произвольной плоской системой сил называется такая
система, линии действия которых лежат в одной плоскости.
Примечание. Частным случаем произвольной плоской системы
сил является плоская система сходящихся сил.
Теорема о приведении произвольной плоской
системы сил к простейшему виду.
Любая плоская система сил, действующих на абсолютно
твердое тело, при приведении к произвольно выбранному
центру О заменяется одной силой R равной главному вектору,
и приложенной в центре приведения О, и одной парой с
моментом М О , равным алгебраической сумме моментов всех
сил относительно центра О, то есть:
R Fk ,
M O mO ( Fk ).
Примечание. Главный момент М О , для плоской системы
сил заменен на алгебраическую сумму моментов всех сил
относительно центра приведения, так как все векторные
моменты сил будут параллельны.
5.2. Равновесие произвольной плоской системы сил
Необходимые и достаточные условия равновесия любой
системы сил ранее были получены в виде формул (*):
R 0 , M 0 0.
Из этих выражений вытекают аналитические условия
равновесия плоской системы сил. Их можно получить в трех
различных формах.
1. Основная форма условий равновесия
∑ Fkх
= 0, ∑ Fkу = 0, mO ( Fk ) 0.
(1)
Вывод Формулы (1) выражают следующие аналитические
условия равновесия: для равновесия произвольной плоской
системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма
проекций всех сил на две координатные оси и сумма
моментов относительно любого центра, лежащего в
плоскости действия сил, были равны нулю.
2. Вторая форма условий равновесия.
Для равновесия произвольной плоской
системы сил необходимо и достаточно,
чтобы сумма моментов всех этих сил
относительно каких-нибудь двух центров А
А
и В и сумма их проекций на ось Ох, не
перпендикулярную прямой АВ, были равны
О
нулю:
∑ Fkх = 0, m А ( Fk ) 0, mВ ( Fk ) 0.
В
F
х
(2)
3. Третья форма условий равновесия (уравнения 3-х моментов)
Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо
и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил
относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на
одной прямой, были
равны нулю:
(3)
mА (Fk ) 0, mВ ( Fk ) 0, mС ( Fk ) 0.
Равновесие плоской системы параллельных сил
В случае, когда все действующие на тело силы параллельны
друг другу, можно направить ось Ох перпендикулярно
силам, а ось Оу параллельно им.
Тогда первое уравнение в выражении (1)
обратиться в тождество вида 0 ≡ 0. В
результате для параллельных сил
останется только два условия
равновесия
∑ Fkу = 0, m А ( Fk ) 0 ,
у
F1
О
F2
х
Fn
Другая форма условий равновесия для параллельных сил,
получающаяся из равенств (2) или (3), имеет вид
m А ( Fk ) 0,
mВ (Fk ) 0.
5.3. Решение задач на равновесие произвольной
плоской системы сил.
Реакции неподвижной шарнирной опоры и жесткой заделки.
В технике часто встречаются задачи с тремя типами
опорных закреплений: подвижная шарнирная опора,
неподвижная шарнирная опора и жесткая заделка. Реакции
этих опор были рассмотрены ранее.
Рассмотрим опорные реакции неподвижной шарнирной
опоры и жесткой заделки подробнее.
1. Неподвижная шарнирная опора.
Реакция такой опоры
проходит через ось шарнира и
может иметь любое
направление в плоскости
чертежа.


В
А
RА /
Освободимся от связей.
Р
у
УА
Q

Неизвестную
по направлению реакцию
R А можно разложить
на две
составляющие Х А и У А
по координатным осям.
Вывод. Реакцию R А неподвижной шарнирной
ХА
Р
опоры представляют в виде двух составляющих Х А и У А ,
направленных по координатным осям.
q
RВ/

х
2. Жесткая заделка.
Ранее был сделан вывод о том, что

действие жесткой заделки
заменяется
наперед неизвестной
МА /
МА
реакцией R А, которая может
А
иметь любое направление в
RА /
плоскости действия сил, и парой
сил, с наперед неизвестным
у
моментом МА .
Освободимся от связи.
УА RА
ХА
Неизвестную по направлению реакцию R А
А
можно
разложить на две составляющие МА
Х А и У А по координатным осям.
F
В
F
В
Вывод.
Жесткую заделку заменяют двумя составляющими
Х А и У А , направленными по координатным осям, и парой сил, с
наперед неизвестным моментом МА.
х
Решение задач.
Применяют алгоритм действий, рассмотренный ранее.
Пример 1. Однородный брус АВ
весом Р опирается концом А на
гладкую горизонтальную плоскость и
выступ D, а концом В – на наклонную
плоскость, образующую с
горизонтальной плоскостью угол α.
Сам брус наклонен под углом β.
Определить силы давления бруса на
обе плоскости и выступ D.
R
D
N1
β
А
В
α
N2 Р
1. Выберем объект равновесия. Брус АВ.
2. Приложим к объекту равновесия заданные силы. Сила P.
3. Освободимся от связей.
3. Освободимся от связей.
В точке В свободное опирание.
Реакция связи R направлена по
общей нормали в точке
соприкосновения В.
R
D
N1
β
А
N2 Р
В других точках также свободное опирание.
Реакции связей N1 , N2 будут направлены перпендикулярно
соответствующим плоскостям.
4. Выберем систему координат.
В
α
К
у
5. Выберем моментную точку.
R
h
Удобно взять точку А, так как в ней
сходится большее число неизвестных
сил (реакций связей).
N1
D
А
β
N2 Р
6. Составим таблицу проекций и моментов.
Fk
N1
N2
P
R
Fkx
0
N2
0
— R sin (α)
Fkу
N1
0
-P
R cos (α)
mА (Fk )
0
0
— P a cos (β) R 2a cos ( γ )
Обозначим АВ = 2 а.
Найдем плечо силы R
относительно точки А: h = АК.
Введем угол γ = α – β. Тогда h = 2 a cos ( γ ).
В
α
х
7. Составим условия (уравнения) равновесия.
х: N2 — R sin (α) = 0,
у: N1 – P + R cos (α) = 0,
МА: — P a cos (β) + R 2a cos ( γ ) = 0.
Из последнего уравнения находим
R = (P cos (β))/ 2 cos ( γ )
или
R = (P cos (β))/ 2 cos (α – β ).
Подставляя значение R во второе уравнение, получим
N1 = Р [1 – cos( ) cos( ].)
2 cos( )
Решая первое уравнение, найдем
N2 = Р sin( ) cos( ) .
2 cos( )
Пример 2.
d
Симметричная арка загружена
системой сил, приводящейся к
силе Q = 40 кН, приложенной в
точке D, и паре сил с моментом
mD = 120 кН м. Вес арки Р=80 кН.
D
α
mD
P
А
Дано: АВ = а = 10 м, d = 2 м, h = 3
м, α = 600.
Q
В
а
Решение .
1. Выберем объект равновесия.
Арка.
2. Приложим к объекту равновесия заданные силы.
Силы P,
Q и пара сил с моментом mD .
h
3. Освободимся от связей.
В точке А подвижный шарнир,
который заменяется одной реакцией
УА , перпендикулярной плоскости, по
которой шарнир может
перемещаться.
у
d
D
mD
P
УА
А
h
УВ
Q
В
а
В точке В неподвижный шарнир, который заменяется двумя
реакциями
Х В и УВ.
4. Выберем систему координат.
5. Выберем две моментные точки для того, что бы
составить вторую форму условий равновесия.
Удобно взять точки А и В, так как в них сходится большее
число неизвестных сил (реакций связей).
х
ХВ
Удобно взять точки А и В, так как в
них сходится большее число
неизвестных сил (реакций связей).
6. Составим таблицу проекций и
моментов.
Предварительно разложим силу Q
на две составляющие Q1, Q2.
Модули составляющих:
Q1 = Q cos α , Q2 =Q sin α .
Fk
УА
ХВ
Fkx
0
mА ( Fk)
0
mВ (Fk) — УАа
УВ
P
ХВ
0
0
0
УВ а
0
0
Q1
Q cos α
у
d
D Q1
mD
Q2
P
УА
А
h
УВ
Q
В
х
ХВ
а
Q2
0
— — Q cos(α)h — Q sin(α)d
Рa/2/2
Q sin(α)(а-d)
-Q
Рa/2
cos(α)hh
mD
0
mD
mD
При вычислении момента силы Q была использована
теорема
Вариньона о моменте равнодействующей: m A (Q) m A (Q1 ) m A (Q2 ).
7. Составим уравнения равновесия.
∑ Fkx = ХВ + Q cos α = 0,
∑ mА ( Fk) = УВ а — Рa/2 — h Q cos α — d Q sin α + mD= 0,
∑ mВ ( Fk ) = — УАа + Рa/2 — h Q cos α + (а-d) Q sin α + mD= 0.
8. Решим уравнения
Из первого уравнения получим
ХВ = — Q cos α = — 20 кН.
Из второго уравнения найдем
УВ = Р/2 + Q (d sinα + h cosα)/а — mD /а ≈ 40,9 кН.
Из третьего уравнения вычислим
УА = Р/2 + Q [(а — d) sin α — h cos α] /а + mD /а = 73,7 кН.
Модуль полной реакции в опоре В найдется по формуле:
RB
Х В2 У В2 45,5 кН
9. Сделаем проверку
Составим уравнение проекций на ось Ау
∑ Fkу = УА + УВ — Q sin α – Р = 114,6 – 114,6 ≡ 0.

Равновесие плоской системы параллельных сил

1. Теоретическая механика Статика

Лекция № 3

2. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Пусть все силы лежат в
плоскости О1XY. При
приведении этой системы
сил к произвольному центру
(точке) О получим главный
вектор R // F1 , F2 ,. ..F
,n
приложенный в точке О, и
пару сил с моментом M O
//O1Z.
Y
O1
Z
F1
R
Fn
O
F2
MO
X
Расположим ось О1Y
параллельно силам F1 , F2 , Fn ,
тогда вектор M O
перпендикулярен
плоскости О1XY и его
можно считать величинойY
алгебраической
Из условия R 0; M O 0
следуют две формы
аналитических условий
равновесия
плоской системы
параллельных сил.
F1
R
MO O
F2
O1
Fn
X

4. Основная форма условий равновесия

Для равновесия плоской системы
параллельных сил необходимо и
достаточно, чтобы сумма проекций всех
сил на ось О1Y, параллельную им, и
сумма их моментов относительно
любой точки О, лежащей в плоскости
действия сил О1XY, были равны нулю.
F
kY
0; M O 0
точка О любая в плоскости О1 XY

5. Вторая форма условий равновесия:

Для равновесия плоской системы
параллельных сил необходимо и
достаточно, чтобы суммы моментов
всех сил относительно любых двух
точек А и В (причем прямая АВ не
параллельна силам), были равны
нулю
M
A
0; M B 0;
AB не паралльна силам
Y
Y
R
B
B
O
A
X
O
A
X
R 0, а M A 0, M B 0

7.

РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ равномерно распределенная
вдоль прямой нагрузка. Это система
параллельных сил, которая
характеризуется постоянной
интенсивностью q — значением
силы, приходящейся на единицу
длины нагруженного участка АВ
длиной а. Размерность
распределенной нагрузки [q] = H/м.
При статических расчетах эту
систему параллельных сил
заменяют равнодействующей ,
приложенной в середине отрезка
АВ, ее модуль равен
Q = q×a.
а
А
А
q
Q
а/2
В
В
Неравномерно
распределенная нагрузка.
Параллельные силы
увеличиваются от нуля до
qmax по линейному закону.
Равнодействующая таких сил
по модулю равна площади A
треугольника АВС,
Q = 0,5×qmax×a.
Линия действия
равнодействующей силы
проходит через центр тяжести
треугольника, т. е. на
расстоянии a/3 от точки В.
a
Cq
max
B
Q
a/3

9. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Связи между частями конструкции
называются внутренними (шарнир С),
скрепляющие конструкцию с другими телами,
— внешними (шарниры А и В).
Для определения внутренних и внешних
реакций связей трех шарнирной арки
расчленим конструкцию по
соединительному шарниру С на две части
и рассмотрим равновесие каждой из
частей в отдельности.
При действии на трех шарнирную арку
заданной произвольной плоской
системы сил для каждой части можно
записать по три уравнения равновесия:
для АС
дляСВ

12. Статически определимые системы тел

Системы тел (тело), для которых число
неизвестных реакций связей равно числу
уравнений равновесия, называются
статически определимыми. Если число
неизвестных реакций связей больше
числа уравнений равновесия (на одно, два
и т.д.), то системы тел называются
статически неопределимыми
(соответственно один, два и т.д. раза). Такие
задачи невозможно решить методами
статики.

14. Проверка решения задачи

Для проверки решения задачи
считают всю конструкцию отвердевшей
(принцип отвердевания, аксиома 5, §1).
В точке С две части конструкции
соединены жестко. Реакции в этой точке
отсутствуют.
Графическая
проверка
Строят в масштабе
силовой
многоугольник. Если
многоугольник
замкнут, то задача
решена верно.
Аналитическая
проверка
Составляют одно два уравнения
равновесия для
конструкции в
целом. Если
проверочные
уравнения
равновесия
обращаются в
тождества, то
задача решена
верно.

Техническая механика — Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

Вопросы для самопроверки:

— Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

— Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

— Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

— Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

— Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

— Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

— Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

— К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

— Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

— Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

— Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

— Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

— Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

— Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

— Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

— Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

— Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

— Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?

Геометрический способ сложения сходящихся сил (Реферат), стр.2

Спроецируем это векторное равенство на оси прямоугольных координат и найдем проекции равнодействующей:

(1.16)

Величина равнодействующей силы определится, согласно формуле (1. 14), так:

, (1.17)

а направление — по трем направляющим косинусам:

. (1.18)

Пример. В точке А к телу приложены три силы: F1=18H, F2=24H, F3=30H, лежащие в одной плоскости и образующие между собой углы 105°,135° и 120°. Определить величину и направление их равнодействующей (рис.1.23)

Решение

Направим ось y по линии действия силы F3, а ось х перпендикулярно к ней. Из рисунка 1.23 видно, что сила F1 образует с положительными направлениями осей углы 30° и 60°, сила F2 — 135° и 45° и сила F3 — 90° и 180°. Пользуясь формулами (1.16) получаем:

Следовательно, проекции равнодействующей равны:

Отсюда по формуле (1.17) находим

.

Для определения угла a между равнодействующей и осью х имеем:

Так как и косинус, и синус этого угла отрицательны, то угол лежит в третьей четверти. Находим a= 251,1°.

Решение

Сначала рассмотрим равновесие узла L, в котором сходятся стержни 1,2,3. На узел, кроме заданной силы P, действуют еще реакции S1, S2, S3, направленные от узла в предположении, что стержни растянуты. Составляем уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил:

Решив составленные уравнения при заданном значении силы Р и углов, найдем:

S1 = — 172 Н, S2 = — 200 Н, S3 = 83 Н.

Теперь рассмотрим равновесие узла М. На этот узел, кроме силы Q, действуют реакции S4, S5, S6 и S’1. При этом на основании аксиомы взаимодействия реакция S’1 направлена противоположно S1, но численно S’1 = S1 = — 172 Н.

Для узла М уравнения равновесия будут:

При проецировании силы S4 на оси x и y использовался метод двойного проецирования.

Из последних уравнений находим S4 = — 159Н, S5 = 399Н. S6 = — 179Н.

Отрицательные знаки у S1, S2, S4, S6 указывают, что эти стержни сжаты.

Задача 1. 2.1

Равнодействующая плоской системы сходящихся сил F1, F2, F3, F4 равна нулю. Определить модуль силы F1, если известны проекции трех других сил на оси координат:

F2x=4H; F2y=7H; F3x=-5H; F3y=-5H; F4x=-2H; F4y=0. (Ответ: 3,61 Н).

Задача 1.2.2

Известны проекции на оси координат Rx=18H и Ry=24H равнодействующей R плоской системы сходящихся сил F1, F2, F3, а также проекции сил F2, F3 на эти же оси: F2x=-9H; F2y=+7H; F3x=-12H; F3y=0. Определить модуль силы F1. (Ответ: 34,4 Н).

Задача 1.2.3

Два невесомых стержня АС и ВС соединены в точке С и шарнирно прикреплены к полу. К шарниру С подвешен груз 1 (рис.1.26). Определить реакцию стержня ВС, если усилие в стержне АС равно 43Н, углы a =60°, b =30°. (Ответ: — 24,8 Н).

Задача 1.2.4

Однородный шар весом 40 Н опирается на две плоскости, пересекающиеся под углом a =60° (рис.1.27). Определить давление шара на наклонную плоскость. (Ответ: 46,2 Н).

Задача 1.2.5

Три стержня AD,BD,CD соединены в точке D шарнирно (рис.1.28). Определить усилие в стержне CD, если сила F=8H находится в плоскости Oyz и угол a =20°. (Ответ: 0).

Равновесие тела под действием плоской системы сил.

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее алгебраический главный момент были равны нулю, то есть R = 0, LO = 0, где О — любой центр, расположенный в плоскости действия сил системы.

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:

Основная форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

Fix = 0; Fiy = 0; MO (Fi) = 0. (I)

Вторая форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:

Fix = 0; MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0. (II)

Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0; MС (Fi) = 0. (III)

Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.

С использованием понятия бивектора плоской системы сил условия равновесия в форме (I) могут быть сформулированы следующим образом:

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы бивектор этой системы сил был равен нулю: Wc = W (Fi) = 0.

На этом основании развит матричный метод составления уравнений равновесия плоской системы сил, ориентированный на применение компьютерных систем математических вычислений.

Во всех вышеизложенных формах условия равновесия плоской системы сил выражаются тремя уравнениями.

Задачи статики, в которых число скалярных неизвестных (обычно они представляют собой неизвестные реакции связей) равно числу уравнений равновесия, содержащих эти неизвестные, называются статически определимыми. В этом случае и саму конструкцию (одно твердое тело или систему тел) также называют статически определимой.

Задачи же (а также рассматриваемые конструкции), для которых число неизвестных больше числа уравнений равновесия, называют статически неопределимыми. Такие задачи не могут быть решены с использованием только уравнений равновесия.

Таким образом, чтобы задача статики на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил являлась статически определимой, число неизвестных должно быть равно трем.

Рассмотрим теперь частные случаи плоских систем сил, для которых условия равновесия выражаются двумя уравнениями.

Плоская система параллельных сил.

В этом случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно для удобства направить ось Ox перпендикулярно силам. Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из уравнений (I) обратится в тождество.

В результате для плоской системы параллельных сил остаются два уравнения равновесия:

Fiy = 0; MO (Fi) = 0.

Другая форма уравнений для такой системы сил, вытекающая из общих уравнений (II), имеет вид:

MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0.

При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.

Плоская система сходящихся сил.

В этом случае, когда линии действия всех сил пересекаются в одной точке, их моменты относительно этой точки равны нулю.

В результате получаем следующие уравнения равновесия:

Fix = 0; Fiy = 0;

то есть для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси Ox и Oy были равны нулю.

Задачи статики на равновесие тела под действием плоской системы параллельных или сходящихся сил будут статически определимыми, если в них содержится только две скалярных неизвестных. Подробное изложение матричного метода составления уравнений равновесия твердого тела под действием плоской системы сил, а также примеры и исходные данные для выполнения индивидуальных заданий, дано в учебном пособии (глава 2):

Пример. Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F = 60 Н, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = 15 Н/м и пары сил с моментом М = 40 Н · м; расстояние а = 1 м.

Решение. Введем систему координат Oxy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив осьOx вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: F, пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей Q, равной по модулю Q = q · 2a = 30 Н и приложенной в средней точке участка ее действия.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция RA неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим ее на две неизвестные по величине составляющие XA,YA, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует ее перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию RB следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: XA, YA, RB. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой. Составим уравнения равновесия балки под действием плоской системы сил, содержащей заданные активные силы и неизвестные реакции связей, в форме (II):

Fix = 0; MА (Fi) = 0; MВ (Fi) = 0.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

Fix = XA — RB sin 30° = 0; (1)

MА (Fi) = — Q · a + F · 2a + M + (RB cos 30°) · 3a = 0; (2)

MВ (Fi) = — YA · 3a + Q · 2a — F · a + M = 0. (3)

Эта форма уравнений в данном случае обладает тем преимуществом, что каждое из двух уравнений моментов не содержит реакций, приложенных соответственно к моментным точкам А и В (так как их плечи относительно этих точек равны нулю). Напомним, что алгебраические моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены против хода часовой стрелки. При вычислении момента реакции RB относительно точки А выделена ее вертикальна составляющая, равная RB cos 30° и имеющая плечо 3a, а горизонтальная составляющая имеет нулевой момент относительно точки А.

Из уравнений (2) и (3) находим

RB = (Q — 2F — M/a) / (3cos 30°) -50.0 Н;

YA = (2Q — F + M/a) /3 13.3 Н.

Полученное отрицательное значение RB означает, что сила RB направлена противоположно тому направлению, которое показано на рисунке.

Для проверки можно составить уравнение проекций сил на ось Oy, которое должно удовлетворяться при найденных значениях YA и RB:

Fiy = YA — Q + F + RB cos 30° = 13.3 — 30 + 60 — 43.3 = 0.

Из уравнения (1) находим

XA = RA sin 30° -25 Н.

Знак минус означает, что составляющая XA в действительности направлена в отрицательном направлении оси Ox.

Модуль реакции RA = (XA2 + YA2) 28.3 Н.

Пример задачи о равновесии системы

Пример задачи о равновесии системы





Лекция 7


Пример задачи Уравнения равновесия
Дано:
две системы сил, как показано выше.
Определите:
, было ли достигнуто равновесие.

Решение:
Чтобы система находилась в равновесии, она должна удовлетворять всем трем уравнениям равновесия:
Sum Fx = 0, Sum Fy = 0 и Sum M = 0.

Начните с суммы уравнений сил. Самый простой способ решить эти системы сил — разбить диагональные силы на составные части. Судя по наблюдениям, каждая диагональ является стороной «5» треугольника 3-4-5. Поэтому сторона с пометкой » 3″ имеет значение 3/5 значения диагонали, а сторона, отмеченная цифрой 4, равна 4/5 значения диагонали.

Теперь, используя компоненты, решите уравнение суммы сил.

Сумма Fx = 4/5 (60k) — 3/5 (80k) = 48 — 48 = 0
Сумма Fy = 100k — 3/5 (60) — 4/5 (80) = 100 — 36 — 64 = 0
Обе системы удовлетворяют уравнениям суммы сил для равновесия.

Теперь решим уравнение суммы моментов. Система слева находится в моменте равновесия, потому что это система параллельных сил. Возьмем сумму моментов в точке их пересечения. Для каждой силы плечо момента равно нулю. Когда-то равный ibrium было установлено с использованием этой единственной точки, сумма моментов для этой системы сил будет равна нулю для любой точки на этой плоскости.

Силовая система справа равна , а не в моменте равновесия. Взяв сумму моментов вокруг той же точки, что и раньше, плечо момента двух диагональных сил равно нулю, но сила 100 # вызовет вращение по часовой стрелке.Эта система не может быть p ut в равновесие с единственной силой, потому что это нарушило бы уравнение суммы сил. Самым простым решением был бы приложенный момент, равный по величине моменту, вызванному силой 100#, но противоположный по смыслу.


Copyright 1995, 1996 Крис Х. Любкеман и Дональд Питинг
Copyright 1997 Крис Х. Любкеман

Равновесие трех сил

Очень простая концепция при работе с силы это идея равновесия или равновесия .В общем случае на объект может действовать несколько сил. в то же время. Сила — это векторное количество что значит что он имеет как величину, так и направление, связанное с Это. Две силы с одинаковой величиной, но разными направлениями не равные силы. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, единая сила, называемая чистой силой . Если результирующая сила равна нулю, говорят, что объект находится в равновесии .Поскольку на объект, находящийся в равновесии, не действует результирующая сила, затем из Ньютона первый закон движения, объект продолжает переехать с постоянной скоростью.

На другой странице мы показываем простейший пример равновесия с Две силы, действующие на объект. На этой странице мы рассмотрим случай планер, на который в полете действуют три силы. А на другой странице мы рассматриваем случай летательный аппарат в крейсерская, где на самолет действуют четыре силы.

В примере 1 мы показываем компьютерный рисунок планер при снижении. На планер действуют три силы; лифт (L), перетащить (D), а также вес (Вт). Вес всегда направлен к центру земли, подъемной направлен перпендикулярно траектории полета, а лобовое сопротивление – вдоль траектории полета дорожка. Траектория полета наклонена к горизонтали на угол и . Когда самолет находится в равновесии, векторная сумма этих трех сил равен нулю.Поскольку это векторная сумма, есть два компонент уравнения, одно вертикальное и одно горизонтальное, которые показано под графиком.

W — L * cos(a) — D * sin(a) = V = 0

D * cos(a) — L * sin(a) = H = 0

где sin и cos тригонометрические функции синуса и косинуса, V — чистая вертикальная сила, а H — чистая горизонтальная сила. Поскольку мы рассматриваем состояние равновесия, H и V равны нулю.

Самолет имеет постоянную скорость вперед и вниз по траектория полета. Обратите внимание, что подъемная сила, сопротивление и вес продолжают действовать на самолет. В состоянии равновесия действие некоторых сил равно уравновешивается или компенсируется другими силами.

В примере 2 спойлер размещается на верхней части крыла планера, уменьшая подъемную силу и увеличивая сопротивление.Вес остается прежним. Планера больше нет равновесие. Уравнения для сил остались прежними, но теперь чистые горизонтальные и вертикальные силы; В и Н не равны нулю. Согласно Ньютону второй закон движения, самолет начнет разгоняться вниз и вправо. В примере 2 силы не уравновешены, и самолет не находится в равновесии.


Навигация..


Домашняя страница руководства для начинающих

Совпадающие силы

А. СИЛЫ И СТАТИКА
Сила
Параллельные силы
Коллинеарные силы

Аппаратные приспособления Разрешение
сил
консольный
Простой Ферма
Мост Башня

B. СВОЙСТВА РАЗДЕЛА
Секция Характеристики

С.АНАЛИЗ ФЕРМ
Ферма Анализ

D. АНАЛИЗ ПУЧКА
Луч Анализ















Дом

В система параллельных сил, все силы проходят через общую точку.в предыдущий случай, связанный с приложением двух сил к телу, был необходимо, чтобы они были коллинеарны, противоположны по направлению и равны по величина, при которой тело находится в равновесии. Если приложены три силы к телу, как показано на рисунке, они должны проходить через общую точку (O), либо условие, SM o = 0, не будет выполнено и тело будет вращаться из-за неуравновешенности момент. При этом величины сил должны быть такими, чтобы уравнения равновесия сил,
СФ х = 0, СФ у = 0, довольны.Параллельно Силы Это довольно легко увидеть обоснование первого условия. Рассмотрим две силы, Ф 1 и Ф 2 , пересекающиеся в точке О на рисунке. Сумма моментов этих двух силы относительно точки 0, очевидно, равны нулю, так как обе они проходят через 0. Если F 3 не проходит через 0, с другой стороны, у него будет какой-то ненулевой момент об этом моменте. Поскольку этот ненулевой момент заставит тело вращаться, тело не будет находиться в равновесии.

Следовательно, не только три непараллельные силы, приложенные к телу, должны действовать одновременно чтобы тело находилось в состоянии равновесия, но их величины и направления должно быть таким, чтобы выполнялись условия равновесия сил (SF x = СФ г = 0). Обратите внимание, что нет необходимости в уравнении равновесия моментов в этом случае, так как он автоматически выполняется.

Равновесие параллельных сил – объяснение, пример решения и забавный факт

Если вы хотите получить более высокий уровень ясности в конкретном предмете, Vedantu – идеальная платформа.Он предоставляет учебные пособия и решения для студентов по всей стране. Vedantu предлагает решения и объяснения по теме, упомянутой выше. Эксперты Веданту ответят на ваши вопросы и развеют сомнения относительно Равновесия одновременно действующих сил. Эти объяснения, ответы и решенные примеры помогут вам лучше понять концепцию и улучшить свою производительность. Считается, что в Vedantu обучение становится захватывающим. Если у вас есть сомнения относительно других предметов, таких как математика, английский язык, история, химия, у нас также есть решения для них.Теперь давайте начнем с темы.

 

Что такое равновесие действующих сил?

Чтобы понять Равновесие системы параллельных сил, прежде всего нужно понять, что такое равновесие. Равновесием можно назвать состояние тела, при котором все силы, действующие на тело, уравновешены. Это отменяется, что делает чистый эффект нулевым.

Совпадающие силы относятся к тем силам, которые пересекаются через общую точку. Когда дело доходит до параллельных сил, мы можем сложить их вместе как векторы, и это даст результирующую.Важно помнить, что ускорение равно нулю, когда тело находится в состоянии равновесия. Это одно из условий равновесия действующих сил.

 

Какие существуют типы равновесия действующих сил?

Существует два основных типа равновесия действующих сил. К ним относятся статическое равновесие и динамическое равновесие. В статическом равновесии состояние тела таково, что сумма всех равнодействующих сил равна нулю. Ускорение и скорость равны нулю.

В динамическом равновесии чистый результат равен нулю, а скорость — нет. Например, можно сказать, что блок, лежащий на полу, находится в статическом равновесии. Блок, прикрепленный к струне в простом гармоническом движении, может быть примером динамического равновесия.

Это простой способ определения типов равновесия действующих сил.

 

Копланарные силы в равновесии

Копланарные силы можно определить как силы, действующие в одной плоскости.Существуют определенные условия, при которых копланарные силы находятся в равновесии. К ним относятся:

  1. Сумма сил должна быть равна нулю.

  2. Сумма моментов сил относительно точки в направлении против часовой стрелки равна сумме моментов сил относительно той же точки в направлении по часовой стрелке.

Важно отметить, что существуют различные виды копланарных сил. В параллельных копланарных силах равновесия силы в одной плоскости должны пересекаться в одной точке.Его можно рассчитать с помощью графических и алгебраических методов.

Другими типами копланарных сил являются неконкурентные и параллельные копланарные силы. В несовпадающих компланарных силах векторы не пересекаются в одной точке и не параллельны. В случае параллельных копланарных сил все силы параллельны друг другу.

Надеюсь, вы получили базовую информацию о Равновесии действующих сил.

 

Как Vedantu поможет с физическими решениями?

В Vedantu работают опытные преподаватели и преподаватели, которые с энтузиазмом относятся к обучению и предложат вам лучшие и понятные решения.Это поможет вам получить знания по предмету и получить более высокие оценки. Наряду с решениями он также предоставляет вам вопросы на основе MCQ и готовит вас ко всем ответам. Получайте заметки и ответы по таким темам, как копланарные силы в Equilibrium и другим темам.

 

Как наши эксперты помогут вам стать лучше?

Помимо понимания тем, которые чрезвычайно важны для всех предметов, вопросы предыдущего года помогут вам ознакомиться с бумажным шаблоном. Профессиональные эксперты Vedantu дают подробные разъяснения. Наряду с этим они также отвечают на вопросы, если таковые имеются. Есть также варианты решить ваши сомнения вживую и провести сеансы один на один. Используя эти методы, вы можете узнать, что три параллельные силы одинаковой величины находятся в равновесии, и лучше понять такие темы в физике.

 

Решенный пример

1. Какие условия необходимы для копланарных сил в равновесии?

  1. Сумма всех сил в направлении X должна быть равна нулю.

  2. Сумма всех сил в направлении Y должна быть равна нулю.

  3. Оба A и B.

  4. Ни A, ни B.

используя первый закон Ньютона и второй закон движения.

Равновесие параллельных сил (ECF) — это термин, введенный Эрве Ланжевеном. Он появляется в статье Ланжевена 1911 года «Applications des équations de la Dynamique Statistique», где он вводится как новое понятие, обобщающее понятие силы.Теория объясняет силы как стремление системы изменить свой путь наименьшего действия, так что ее движение становится непрерывным, а не последовательностью скачков.

Позднее эта концепция была развита Ланжевеном, Ильей Пригожиным и другими физиками, что привело к формулировке концепции диссипативных систем. В этой формулировке равновесие достигается только тогда, когда общее количество энергии в системе становится постоянным. В настоящее время эта концепция стала повсеместной в физике.

Равновесие совпадающих сил (ECF) можно использовать для доказательства второй теоремы Лагранжа. Простой способ сформулировать это так: две частицы могут приблизиться к стационарной точке действия только в том случае, если силы, действующие на частицы, равны и противоположны. (См. статью Ланжевена 1911 г.) Причина в том, что силы заставляют частицы двигаться по пути наименьшего действия. Если силы не равны, две частицы могут приблизиться к стационарной точке действия, но они будут разорваны, когда достигнут точки стационарного действия.

 

История

В статье Ланжевена 1911 года впервые используется новый термин «равновесие действующих сил» или «равновесие сил». В статье впервые движение было описано как путь наименьшего действия. Эту концепцию можно проследить до ранней работы Лагранжа (1736 г.), который использовал фразу «путь наименьшего действия». Лагранж также писал о пути наименьшего сопротивления, фраза, которую позже использовали Ампер и Якоби.

 

Обобщения

Равновесие действующих сил — гораздо более широкое понятие, чем равновесие в ньютоновской механике, и эту теорию иногда называют лагранжевой механикой или (реже) теорией Лагранжа.

Однако равновесие сил изначально предназначалось для применения к вынужденному движению, и в этом смысле оно не является обобщением более ранней теории. Это не обобщение более поздней гамильтоновой механики.

В лагранжевой механике два тела могут двигаться в пространстве ограниченным образом, потому что существуют определенные ограничения на их движение, которые позволяют определить действие или путь наименьшего действия и показать, что это путь, по которому движется тело. тела.Этот метод был изобретен Даламбером и Лагранжем и используется в первых двух главах механики Лагранжа.

В случае лагранжевой механики сила ограничивает движение тел, чтобы дать четко определенную и вычислимую концепцию действия. Например, струна, прикрепленная к стене с каждого конца, может свободно двигаться, но при условии, что ее движение происходит вдоль стены. Таким образом, его движение ограничено.

Единственным свободным параметром является общее расстояние, на которое перемещается струна.Путь наименьшего действия — это тот, для которого это расстояние минимально. Это путь, по которому следует струна, а стена — это «действие» (или путь) струны на стене.

Во многих классических механических системах, таких как твердое тело, одна сила отсутствует, и на систему действует только одна сила. Для этих систем трудно вычислить путь тела или действующую на него силу, и это было проблемой для Ньютона и Лейбница, которые не определяли и не вычисляли пути тел или сил в своей теории.

Третье лицо может наблюдать за движением и сделать вывод, что это путь, но такой вывод сам по себе не является доказательством того, что на тело или силу действуют силы, отличные от движения, как это требуется для того, чтобы понятие действия было верным. мера силы.

В ньютоновском анализе движения планеты (а позже и в лагранжевом) тела и силы не определялись таким образом, чтобы их можно было измерить другими, кроме как путем наблюдения, а траектория движения тела была выведена ньютоновской теория как путь, по которому следует тело в отсутствие каких-либо сил, кроме гравитации.Теория Ньютона неприменима к таким системам, где на систему действуют силы, отличные от гравитации.

 

Закон Ньютона о действии и противодействии

В классической системе классической механики все силы действуют на тела в равных и противоположных направлениях, так что полная работа, совершаемая системой, равна нулю. Таким образом, ньютоновская концепция действия дает четкое определение силы. Второй закон Ньютона можно записать, где m — масса тела, а F — сила, действующая на него.Для простоты действие Ньютона считается положительным. В формулировке классической механики этот закон применяется к телам, движение которых описывается положениями r (вектора) тела в любой момент времени. Мгновенное изменение положения тела эквивалентно работе, совершаемой над телом силой, а величина равна где — смещение точки массы тела в направлении . Знак работы произволен, поскольку в классической механике нет выделенного направления.

Работа силы F, приложенной к телу в точке r. Это ньютоновское определение действия. В этой постановке работа силы (изменение кинетической энергии системы) является функцией мгновенного положения тела и приложенной силы; в этом смысле работа не является функцией времени.

Первый член представляет собой увеличение кинетической энергии, а второй — работу, совершаемую силой F. Определение действия можно обобщить на механические системы, отличные от систем классической механики.В гамильтоновой формулировке состояние системы определяется положением и скоростью тела, а полное действие — это работа, совершаемая над системой силой.

Статика: системы в равновесии | SpringerLink

Глава

Первый онлайн:

Абстрация

Статика — это область в области прикладной механики, которая занимается анализом твердых тел, находящихся в равновесии. В механике термин равновесие подразумевает, что рассматриваемое тело либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. Предполагается, что твердое тело не подвергается деформации под действием внешних сил. На самом деле жесткого материала нет, и концепция является приближенной. Для некоторых приложений степень вовлеченных деформаций может быть настолько мала, что включение характеристик деформации материала может не повлиять на желаемый анализ.В таких случаях материал можно рассматривать как твердое тело.

Ключевые слова

Силы равновесия Диаграммы свободного тела Механические системы Законы механики Ньютона Статика

Исправления к этой публикации доступны в Интернете по адресу https://doi.org/10.1007/978-3-319-44738-4_16

Это предварительный просмотр содержимого подписки,

войдите в систему

, чтобы проверить доступ.

Информация об авторских правах

© Springer International Publishing Switzerland 2017

Открытый доступ Эта глава распространяется в соответствии с условиями некоммерческой лицензии Creative Commons Attribution, которая разрешает любое некоммерческое использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии, что автор оригинала( s) и источник указаны.

Авторов и принадлежности

  1. 1. Новый Йоркский университет Медицинские центры IREEUSA

равновесия сил, действующих в пункте

Нажмите здесь, чтобы просмотреть обновленные инструкции для этой лабораторной работы.

Введение

Сложение сил

Силы являются одной из групп величин, известных как векторов , которые отличаются от обычных числа (известные как скаляров ) тем фактом, что с вектором связаны две величины: величина и направление (связанное с координатными осями системы, с которой вы имеете дело). Эти свойства полностью характеризуют вектор. В качестве альтернативы вектор может быть описан путем определения компонентов его вектора . В случае декартовой системы координат (система, с которой мы в первую очередь будем иметь дело) есть две компоненты: x-компонента и y-компонента . Эти два свойства также полностью характеризуют вектор. Векторы, а в случае данной лабораторной работы векторов силы , можно изобразить (см. рис. 1) стрелкой, указывающей в направлении действия силы, с длиной, пропорциональной силе (величина) силы.

Рисунок 1

Компоненты

F x  

и

F y  

в направлениях x и y вектора F связаны с величиной F соотношением 3 θ F
1 и углом 3 θ

( 1 )

F x = F cos θ и F y = F sin θ  

и наоборот:

( 2 )

F =
F x

 

Когда на точку действует несколько сил, их сумму можно получить по правилам векторной алгебры. Графически сумма двух сил

F = F 1 + F 2  

может быть найдена с помощью правила параллелограмма , показанного на рис. на рис. 3.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сумма векторов также может быть получена аналитически путем сложения их компонентов:

( 3 )

F x = F 1x + F 2x и F y = F 1y + F 2y  

Условие поступательного равновесия

Объект находится в поступательном равновесии, когда векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю .В этом эксперименте мы изучим поступательное равновесие маленького кольца, на которое действует несколько сил, на приборе, известном как силовой стол, см. рис. 4. Этот прибор позволяет вызывать силы тяжести, действующие на несколько масс ( F = мг ) на маленькое кольцо. Эти силы регулируются до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие кольца. Затем вы будете добавлять силы аналитически, добавляя их компоненты, и графически, рисуя векторы и определяя, складываются ли они с нулем, используя правила сложения векторов сил, перечисленные выше.

Рисунок 4

Процедура

Равновесие с тремя силами

Сначала изучим равновесие маленького кольца, когда на него действуют три силы. Две из сил

(F 1 и F 2 )

будут фиксированы, а третья

F 3  

будет регулироваться до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие.
  • 1

    При необходимости выровняйте силовой стол с помощью небольшого пузырькового уровня, помещенного на поверхность стола.
  • 2

    Выберите любые две гири весом от 100 до 300 г, которые вам нравятся, и поместите каждую гирю на груз. держатель. Используйте электронные весы для измерения каждой массы, включая держатель. Обозначьте измеренные массы как

    m 1 и m 2 .

    Неопределенность этих измерений должна быть ограничена точностью весов.
  • 3

    Поместите штифт в середину силового стола и наденьте кольцо на штифт.Прикрепите два из четыре шкива, прикрепленные к силовому столу, в любом положении, отличном от нуля градусов. Запишите значение θ 1 и θ 2 . Неопределенность в этих углах должна быть ограничена точностью до которые вы можете прочитать углы на таблице сил.
  • 4

    Пропустите две струны (прикрепленные к кольцу) по шкивам и подвесьте грузы, которые вы выбрали соответствующие углы

    1 на θ 1 и м 2 на θ 2 ).

    Натяжение двух струн действует на кольцо с силами

    F 1 и F 2 ,

    каждая с величиной, равной весу соответствующей массы и обоймы

    (m 1 г и m 2 г)

    , подвешенной на конец каждой строки.
  • 5

    Потяните одну из оставшихся струн в разных направлениях, пока не найдете направление, в котором кольцо освобождается от штифта при приложении нужного усилия.Прикрепите третий шкив на этой должности. Натяните струну на шкив и прикрепите к струне держатель груза. Добавлять гири к держателю гири до тех пор, пока кольцо не оторвется от штифта, чтобы штифт не необходимо удерживать кольцо на месте. Эта последняя добавленная сила является (уравновешивающей) силой

    F 3 3 г).

    Для получения точных измерений может потребоваться небольшая корректировка угла. Убедитесь, что струны натянуты радиально, а штифт находится в центре кольца.Оцените неопределенность уравновешивающей силы, регулируя массу и угол до тех пор, пока система больше не находится в равновесии.

Равновесие с четырьмя силами

  • 1

    Теперь выберите три массы (чтобы получить три силы с суммой

    F 1 + F 2 + F 3 )

    в трех углах (один из них ноль) и определить, какая четвертая единичная масса и угол устанавливают равновесие на таблица сил (равновесная сила

    F 4 ).

  • 2

    Запишите все углы, массы и их погрешности, как в Равновесие с тремя силами .

Убедитесь, что ваша работа заверена, ваши данные инициализированы, и ваш ассистент инициализирует ваши данные.

Анализ

Графический анализ

Составьте точные диаграммы на обычной прямоугольной миллиметровой бумаге, показывающие сумму действующих сил. на кольце для обеих частей эксперимента выше.
  • 1

    Нарисуйте диаграммы силы в масштабе. Например, 5 ньютонов = 1 см. Используйте все, что лучше всего подходит для дать вам наибольшую точность построения графика.
  • 2

    Используйте метод «голова к хвосту», чтобы найти сумму сил графически. Будьте максимально точны. Качественно проверьте, что сумма равна нулю . Если это не так, определите по вашему графику величину отклонения от нуля.

Аналитическая сумма

Рассчитайте результирующую силу на кольце,

F T = F 1 + F 2 + F 3 ,

аналитически для Равновесие только с тремя силами . Выберите нулевой градус в качестве оси + x и 90° в качестве оси + y . Раздел «Аналитическая сумма» вопроса WebAssign для этой лабораторной работы поможет упростить анализ ошибок.
  • 1

    Используйте таблицы в вопросе WebAssign, чтобы ввести данные о силах, действующих на кольцо. Для каждой силы укажите величину F, ее неопределенность u F , направление θ и ее неопределенность

    u θ .

    Значения

    u θ  

    должны быть выражены в радианах.
  • 2

    Вычислите x — и y -компоненты каждой из сил вместе с их ошибками. Обратите внимание на знак каждого компонента . Включите в последнюю строку таблицы 90 392 суммы 90 393 компонентов и их ошибки.
  • 3

    Вычислите модуль и направление равнодействующей силы

    F T .

    Вычислите также неопределенность величины.

Обсуждение

Выполняется ли условие статического равновесия

F T = 0,

для обеих частей эксперимента? Как ваша неопределенность

F T  

соотносится с точностью ваших измерений силы и угла? Обсудите источники систематических ошибок и то, как они влияют на ваши результаты. Что является основным источником ошибки в этом эксперименте? Обсудите попытки, которые вы предприняли, чтобы уменьшить как систематические, так и случайные ошибки.Что вы узнали или узнали в этой лаборатории? Когда вы могли бы применить навыки, полученные в этой лабораторной работе?

Copyright © 2011 Advanced Instructional Systems, Inc. и Университет Северной Каролины | Кредиты

Равновесие – Инженерная механика – Статика

3.1 ВВЕДЕНИЕ
3.2 СВОБОДНОЕ ТЕЛО
3.3 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

А: РАВНОВЕСИЕ В 2D

3.4 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ (2D)
3.5 ДИАГРАММЫ СВОБОДНОГО ТЕЛА (2D)
3.6 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ (2D)
3.7 СВЯЗИ И РАВНОВЕСИЯ (2D)
3.8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (2D)

B: РАВНОВЕСИЕ В 3D

3.9 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ (3D)
3.10 ДИАГРАММЫ СВОБОДНОГО ТЕЛА (3D)
3.11 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ (3D)
3.12 СВЯЗИ И РАВНОВЕСИЕ (3D)
3. 13 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (3D)

C: РАВНОВЕСИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ

3.14 ДВУХСИЛЬНЫЕ ЧЛЕНЫ
3.15 СТРОЙНЫЕ ЧЛЕНЫ

3.16 ОБЗОР

3.1 ВВЕДЕНИЕ

3.1.1 Концепция равновесия

Понятие равновесия вводится для описания тела, находящегося в покое или движущегося с постоянной скоростью. На тело в таком состоянии действуют только уравновешенные силы и уравновешенные пары. На него не действует неуравновешенная сила или неуравновешенная пара. В статике понятие равновесия обычно используется при анализе неподвижного тела или, как говорят, находящегося в состоянии статического равновесия.

Концепция равновесия является самой основной и самой важной концепцией в инженерном анализе. Концепция должна быть действительно понята каждым студентом. Способность понимать механику и многие другие инженерные дисциплины зависит от овладения концепцией равновесия.

3.1.2 Частицы и твердые тела

Частицы.  Частица — это тело, размер которого не оказывает никакого влияния на результаты механических анализов над ним и, следовательно, его размерами можно пренебречь.Размер частицы очень мал по сравнению с размером анализируемой системы.

Жесткий корпус.   Тело состоит из группы частиц. Размер тела влияет на результаты любого механического анализа на нем. Тело называется жестким , когда взаимное расположение его частиц всегда фиксировано и не изменяется при воздействии на тело какой-либо нагрузки (будь то сила или пара). Большинство тел, встречающихся в инженерных работах, можно считать жесткими с точки зрения механического анализа, поскольку деформациями, происходящими внутри этих тел под действием нагрузок, можно пренебречь по сравнению с другими эффектами, вызываемыми нагрузками.Все тела, которые будут изучаться в этой книге, являются жесткими, за исключением пружин . Пружины испытывают деформации, которыми нельзя пренебречь при воздействии на них сил или моментов. При анализе в этой книге рассматриваются только эффекты деформаций пружин на твердое тело, взаимодействующее с пружинами, но сами пружины не будут анализироваться как тело.

3.1.3 Воздействие сил на частицы и твердые тела

В общем случае сила, действующая на частицу, заставляет частицу перемещаться.Кроме того, сила, действующая на тело, не только имеет тенденцию заставлять тело перемещаться (как в случае с частицей), но также имеет тенденцию заставлять тело вращаться вокруг любой оси, которая не пересекается с линией или не параллельна ей. действия силы. Эта склонность к вращению называется «моментом» и количественно измеряется методами, описанными в главе 2.

3.2 СВОБОДНЫЙ КОРПУС

Механический анализ конструкции обычно начинается с применения закона Ньютона ко всей конструкции или к ее части.Чтобы увидеть, что на самом деле происходит с какой-либо конкретной частью структуры, эту часть нужно изолировать от других частей тела. Концепция выделения детали, которая является целью анализа, является очень важной концепцией в механическом анализе. Изолированная часть называется свободным телом .

В этом разделе мы увидим, как изолируется целевая часть и как графически отображается свободное тело, сформированное в процессе изоляции.

3.2.1 Механическая система

Механическая система определяется как система тел, которая может быть изолирована от других тел.Система может быть образована одним телом, частью тела или группой связанных тел. Тела, образующие систему, могут быть как жесткими, так и нежесткими. Механическая система может быть твердой, жидкой или даже комбинацией твердого тела и жидкости.

3.2.2 Диаграмма свободного тела (FBD)

Изоляция механической системы достигается путем разрезания и изоляции системы от окружающей среды. Изоляция позволяет нам увидеть взаимодействие между изолированной частью и другими частями.Часть, которая была вырезана (воображаемо), образует свободное тело. Диаграмма, которая изображает свободное тело вместе с системой внешних сил, действующих на него за счет его взаимодействия с удаленными частями, называется диаграммой свободного тела (СБТ) изолированной части.

FBD системы тел показывает все нагрузки, действующие на внешнюю границу изолированного тела. К нагрузкам относятся активные силы, действующие на свободное тело удаленными от него частями. Обратите внимание, что внутренние силы, действующие на конструкцию, становятся внешними силами, когда подвергаются воображаемому процессу «разрезания», выполняемому для формирования свободного тела.

В качестве примера рассмотрим конструкцию стрелы погрузчика, рис. 3.1. Предположим, что необходимо провести анализ всей конструкции рычага, когда он несет нагрузку, как показано на рисунке, при этом вес составных частей рычага можно не учитывать по сравнению с весом груза. Предположим также, что все суставы руки не препятствуют вращению вокруг соответствующих суставов, т. е. каждый сустав создает только реактивную силу и не создает никакого реактивного момента. Поскольку направление и смысл каждой реактивной силы неизвестны, следует принять направление и смысл.

Рычаг может быть отделен от кузова погрузчика в точке А, где он прижат к кузову грузовика, и в точке С, где на него действует активная сила штока гидравлического поршня. Изолированная рука показана на рис. 3.1(b). На диаграмме FA — сила, создаваемая взаимодействием между точкой A на стреле и кузовом грузовика, FC — сила взаимодействия между точкой C на стреле грузовика и гидравлическим поршнем, м г — вес груза, а   G — центр тяжести груза.Рисунок 3.1 (b) представляет собой FBD для всей руки для указанных условий.

Если анализу подлежит только грузовой контейнер, рисуется FBD, показанный на рис. 3.1(c). Если член BC — это то, что нужно проанализировать, FBD показан на рисунке 3.1 (d).

Обратите внимание, что в показанных FBD направление и смысл всех реакций нарисованы произвольно, поскольку предполагается, что они неизвестны. Позже мы научимся определять направление некоторых типов реактивных сил путем наблюдения.

3.2.3 Процедура рисования FBD

FBD рисуется в следующем порядке:

1. Покажите тело, которое было изолировано от своего окружения, нарисовав его контур.

2. Покажите на чертеже все нагрузки, действующие на тело. Нагрузки состоят из пар активных сил (вызывающих стремление к движению) и реактивных сил и пар (вызванных какими-либо ограничениями и стремящихся предотвратить движение).

3. Укажите величину и смысл каждой нагрузки.Используйте буквы для обозначения неизвестных величин. Для неизвестного направления выберите значение произвольно, но каждая пара взаимодействующих нагрузок должна подчиняться третьему закону Ньютона.

4. Показать все размеры, необходимые для расчета моментов.

Здесь следует подчеркнуть, что только правильно построенный FBD даст правильное решение. Самый важный шаг, предпринятый для решения задач в механике, — это рисование FBD.

—————————————————————————

ПРИМЕР ЗАДАЧИ

ЭП3.1     На рисунке MC3.1 показан ковш трактора, который содержит груз массой м и рычажный механизм. Соединение в точке А является штифтовым соединением. Нарисуйте FBD ковша, изолированного от всех остальных элементов механизма ковша.

Обратите внимание, что штифтовое соединение может создавать только реактивную силу, но не может создавать реактивную пару. Предположим, что сила, действующая на гидравлический цилиндр в точке B, действует вдоль линии стержня. Для сил, направление которых неизвестно, их можно представить двумя перпендикулярными составляющими.

Весом ковша и весом звеньев пренебречь.

Рисунок MC3.1

Раствор

Вес груза действует вниз в центре тяжести G . Реактивная сила в точке В действует вдоль оси гидроцилиндра. Его смысл неизвестен, но можно предположить, что он действует в любом смысле. Реакция в точке А неизвестна ни по направлению, ни по смыслу. Следовательно, он представлен двумя перпендикулярными компонентами с произвольно заданным смыслом.

FBD показан на рисунке MC3.1(1)

——————— УЧЕБНЫЕ ПРОБЛЕМЫ TP3.1-TP3.5 ———————

3 . 3 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Твердое тело, на которое воздействует любая приложенная нагрузка, будет стремиться к поступательному перемещению и вращению вокруг определенной оси. Тенденция к перемещению обусловлена ​​действием равнодействующей силы на тело, а тенденция к вращению обусловлена ​​действием равнодействующей пары. На теле наступит равновесие, если равнодействующая сила и равнодействующая пара равны нулю.Математически равновесие определяется условиями:

Ф = 0

                                                                              (3.1)

М = 0

, где ∑ F — результирующая сила, а ∑ M — результирующий момент.(1)

Первое выражение уравнения 3.1 говорит, что для равновесия сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Второе выражение говорит о том, что сумма моментов относительно любой оси должна быть равна нулю. Два условия, представленные уравнением 3.1, являются необходимыми и достаточными для равновесия. Говорят, что это необходимо, потому что выполнение только первого условия приведет к неравновесию с точки зрения вращения. Точно так же, если выполняется только второе условие, возникает неравновесие с точки зрения перевода. Два условия называются достаточными, потому что равновесие имеет место, когда оба условия выполняются без необходимости каких-либо дополнительных условий.

В целях обучения изучение равновесия в этой книге будет разделено на два этапа:

(1) равновесие тел, на которые действуют плоские системы сил, и

(2) равновесие тел под действием общей пространственной системы сил.

В разделах 3.4-3.8 обсуждается равновесие в двух измерениях (системы плоских сил), а в разделах 3.9-3.11 обсуждается равновесие в трех измерениях (системы пространственных сил).

А: РАВНОВЕСИЕ В 2D

3. 4 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ (2D)

3.4.1 Общие уравнения

Результирующий вектор силы для плоской системы сил действует на область действия исходной системы сил. Результирующий вектор момента действует перпендикулярно этой плоскости. Следовательно, результирующий вектор силы может быть представлен двумя его перпендикулярными компонентами, действующими на плоскости. С другой стороны, результирующий вектор момента может быть представлен круговой стрелкой, которая указывает на его смысл действия. Например, если поверхность этой книги принять за плоскость действия данной системы сил, скажем плоскость x-y, то получатся следующие соотношения:

Ж = ∑ Ж x + ∑ Ж у

М О = ∑| г × F | = ∑ Fd

, где d — расстояние по перпендикуляру между любым центром момента O и линией действия F .

     Второе выражение в этом уравнении дает величину результирующего момента. Направление вектора ∑ M O перпендикулярно этой странице; его направление действия обозначено круговой стрелкой, которая действует по часовой стрелке или против часовой стрелки, в зависимости от направления r и F , рисунок 3.2.

Рисунок 3.2

Используя приведенные выше соотношения, уравнение равновесия для двумерного случая можно записать в скалярной форме:

F х = 0

F x = 0                                                        (3.2)

М О = 0

Первые два уравнения в уравнении (3.2) утверждают, что сумма компонентов силы в направлениях x и y равна нулю. Третье выражение утверждает, что момент относительно любой точки O (т. е. относительно любой оси, перпендикулярной плоскости x-y и проходящей через O ) равен нулю.

    Все три выражения уравнения (3.2) необходимы для равновесия. Кроме того, если тело поддерживается таким образом, что все силы, действующие на тело, можно определить с помощью уравнения (3.2) в одиночку, то уравнение считается достаточным. На этом раннем этапе обучения студенты должны решать только задачи, которые можно решить с помощью уравнения (3.2). Таким образом, уравнение (3.2) необходимо и достаточно для анализа равновесия всех тел в этой книге.

     Обратите внимание, что для описания равновесия на плоскости существует только три независимых уравнения. Следовательно, можно решить только три неизвестных значения. На начальном этапе обучения студенты часто совершают ошибку, добавляя число к уравнению, принимая во внимание дополнительные моменты.Здесь подчеркивается, что такие усилия бесплодны, поскольку они приведут к уравнениям, которые не являются независимыми и дублируют одно из трех основных уравнений, данных в уравнении (3.2).

     В общем случае выражения в уравнении (3. 2) должны решаться одновременно. Однако этого можно избежать, приняв за центр момента O точку пересечения двух неизвестных сил. Делая это, третье неизвестное может быть решено напрямую. Кроме того, процесс получения решения можно упростить, задав ориентацию системы осей x-y таким образом, чтобы получить простейшую равнодействующую систему сил в направлении осей.

3.4.2 Альтернативные уравнения

Уравнение (3.2) является исходным уравнением, наиболее часто используемым для решения задачи о равновесии тел. Однако есть еще две комбинации из 90 330 трех 90 331 других выражений, которые можно использовать для представления условий, проявляемых уравнением (3.2). Эти комбинации можно использовать в качестве альтернативы уравнению (3.2).

     Первое альтернативное уравнение:

F x = 0 или F y = 0

M A = 0                                                                               (3. 3)

М В = 0

Это уравнение включает одно выражение для силы и два выражения для момента. Чтобы использовать это первое альтернативное уравнение, точки A и B не должны лежать на линии, перпендикулярной направлению суммирования сил. (Например, его нельзя использовать для решения механизма на рис. 3.3(а), если для суммирования сил выбрано направление x).

Второе альтернативное уравнение включает в себя выражение момента tiga i.эл.:

М А = 0

M B = 0                                       (3.4)

М С = 0

Уравнение (3.4) можно использовать при условии, что точки A , B и C не лежат на одной прямой. Его нельзя, например, использовать для решения механизма на рис. 3.3(b).

Можно доказать, что уравнение (3.3) и уравнение (3.4) удовлетворяют тем же условиям, что и уравнение 3. 2 при условии соблюдения условий, связанных с их применением. Следовательно, любое из альтернативных уравнений можно использовать в качестве замены уравнения (3.2). Если используются три и не более трех из приведенных выше уравнений области (т. е. два уравнения силы и одно уравнение момента, или одно уравнение силы и два уравнения момента, или три уравнения момента), комбинация формируется из независимых уравнений. .

Обратите внимание, что

 

 

3.5 ДИАГРАММЫ СВОБОДНОГО ТЕЛА (2D)
3.6 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ (2D)
3.7 СВЯЗИ И РАВНОВЕСИЯ (2D)
3.8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (2D)

B: РАВНОВЕСИЕ В 3D

3.9 УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ (3D)
3.10 ДИАГРАММЫ СВОБОДНОГО ТЕЛА (3D)
3.11 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ (3D)
3.12 СВЯЗИ И РАВНОВЕСИЕ (3D)
3.13 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (3D)

C: РАВНОВЕСИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ

3.14 ДВУХСИЛЬНЫЕ ЧЛЕНЫ
3.15 ЧЛЕНОВ ТРИ СИЛЫ

3. 16 ОБЗОР

В этой главе вводится понятие равновесия . Условия равновесия и уравнения равновесия частиц и твердых тел приведены в скалярной и векторной формах. Даны способ записи этих уравнений с помощью диаграммы свободного тела (ДСТ) и способ решения уравнений.

     Задача о равновесии делится на две части: во-первых, равновесие под действием плоской системы сил и во-вторых, равновесие под действием пространственной системы сил.Задачи равновесия плоских сил решаются с помощью скалярного анализа, а задачи, связанные с системами пространственных сил, решаются с помощью векторного анализа.

     Последняя часть этой главы описывает равновесие элементов конструкции с особыми характеристиками с точки зрения анализа равновесия, а именно двухсиловых элементов и трехсиловых элементов .

     Самый простой, но очень важный вопрос , обсуждаемый в этой главе, — это концепция свободного тела .Разработан метод построения ФБР и использования их при решении задач равновесия.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

[an error occurred while processing the directive]