Расчет статически определимой многопролетной балки пример решения: Методические указания к выполнению контрольной и расчётно-проектировочной работы по дисциплине «Строительная механика», страница 2

Содержание

Методические указания к выполнению контрольной и расчётно-проектировочной работы по дисциплине «Строительная механика», страница 2

Известно, что определённый интеграл численно равен площади  графика подынтегральной функции в пределах , т.е. в нашем случае  и  могут быть вычислены через площади эпюр и Эпюру q не строят, но она повторяет схему внешней распредёленной нагрузки. Следует лишь помнить, что положительная qнаправлена вверх.

Таким образом, выражения (1.3) можно представить в виде

Q(ξ)           M(ξ).                                  (1.4)

и использовать их как для контроля, так и для построения эпюр Q и M.

Расчёт стержневых систем на постоянную и особенно на временную и подвижную нагрузки (последние два вида расчётов в данной работе не рассматриваются) эффективно выполняется с использованием линий влияния. Это – новоедля студентов важное в курсе «Строительная механика» понятие, и его изучению следует уделить особое внимание.

Линия влияния – это график, изображающий закон изменения какого-либо фактора (реакции, внутреннего усилия, перемещения) в фиксированном сечении, возникающего от действия «подвижной» безразмерной единичной силы , занимающей различные положения на сооружении. Значение исследуемого фактора на этом графике откладывается под соответствующим положением единичной силы.

Линии влияния реакций и внутренних усилий, которые определены заданием, могут быть построены с использованием статического (аналитического) или кинематического методов. Отметим, что при расчёте балок наиболее эффективным является кинематический метод, однако суть теории линий влияния может быть уяснена, если надёжно усвоена идея статического метода.

Вычисление исследуемых факторов (реакций, внутренних усилий), возникающих от заданной нагрузки, с использованием соответствующих линий влияния производится путём так называемого «загружения» линий влияния по правилам, в основе которых заложен принцип независимости действия сил.

2. ПРИМЕР РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ

МНОГОПРОЛЁТНОЙ БАЛКИ

Для балки (рис.1,а) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M, линии влияния реакций , поперечных сил

, и изгибающих моментов  (сечения 1 и 2 взяты бесконечно близко к опоре С слева и справа от неё). Используя линии влияния, вычислить указанные реакции и внутренние усилия.

Рис. 1. Расчётная и поэтажная схемы балки

Решение задачи производим в следующей последовательности.

1. Изображаем поэтажную схему балки (рис. 1,б), выделяя основную балку АВ, вспомогательную балку ВСD второго этажа и вспомогательную DEF третьего этажа. Чтобы случайно не учесть дважды силу Р, приложенную к шарниру, рекомендуется на поэтажной схеме приложить её к нижележащей балке, т.е в данном случае – к основной балке.

2. Определяем реакции опор и строим эпюры Q и M в отдельных балках.

В первую очередь рассмотрим самую верхнюю вспомогательную балку DEF (рис. 2,а).

Опорные реакции рассмотрим из условий равновесия:

;

             

Проверка:

т.е. реакции ,  найдены правильно.

Рис. 2. Расчётная схема и эпюры Q, M балки DEF

Эпюры Q и M (рис.2,б,в) строим по участкам.

Участок DE; ().

;             .

а) ;                  кН;                      ;

б)  м;                     кН;                          кН·м;

в)  м;                       кН·м;

г) м;                      

кН;           кН·м.

Участок EF;  м).

;         кН м .

Далее рассмотрим вспомогательную балку BCD, расположенную этажом ниже. Кроме заданной нагрузки эта балка «нагружена» также реакцией  найденной для вышерасположенной балки DEF, но направленной в противоположную сторону, т. е. вниз (рис. 3,а).

Рис.3. Расчётная схема и эпюры Q, M балки BCD

Определяем опорные реакции:

            

 кН.

;            

 кН.

Проверка:

 

Строим эпюры Q, M (рис. 3,б,в).

Участок ВС;  м).

 кН ;

;

а) ; ;                    б) м;  кН·м.

Участок CD; м).

;            ;

а) ;                 кН;            ;

б) м;           кН;             кН·м.

В последнюю очередь рассмотрим основную балку АВ (рис. 4,а).

решение задач. Пример решения задачи. Расчет статически определимой балки.

Меню сайта

Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.

Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!

Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.

Лекции — теория, практика, задачи…

Примеры решения задач

Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Форум сопромата и механики

Книги — разная литература по теме.

Заказать задачу

Друзья сайта (ссылки)

WIKIbetta

Разработчикам (сотрудничество)

Веб-мастерам (партнёрка)

О проекте, контакты

Подпроекты

Пример №1.

Расчет статически определимой балки, подбор сечения.

Необходимо определить минимальный диаметр круглого сечения d балки в точке С.

Решение.

  • Определяем реакции опор в точках A и C. Для этого составляем уравнения моментов относительно этих точек:
  • откуда:

  • Делаем проверку:
  • Проверка показала, что реакции опор найдены верно.

  • Строим эпюру изгибающих моментов:
  • 1) Участок 1 (от A до B)

    Mx = Ra · z;

    z = 0; Mx = 0;

    z = l; Mx = Fl;

    2) Участок 2 (от B до C)

    Mx = Ra · (l + z) + M;

    z = 0; Mx = 5Fl;

    z = l; Mx = 6Fl;

    3) Участок 3 (от D до C, подчеркиваю от D до С, т.к. балку на этом участке рассматривает справа налево):

    Mx = 3F · z;

    z = 0; Mx = 0;

    z = 2L; Mx = 6Fl;

  • Находим минимальный диаметр d в точке С:
  • где Мс – момент на эпюре моментов в точке С

    Все.

    Автор решения Алексей Большаков (The Боль).

    Копирование материалов допускается при наличии ссылки на первоисточник (на эту страницу).

    Полезные ресурсы

    1. Он-лайн программа (версия 2004 года), которая выдаст расписанное решение любой балки. Пример результата.
    Кроме построения эпюр эта программа так же подбирает профиль сечения по условию прочности на изгиб, считает прогибы и углы поворота в балке.

    2. Он-лайн программа (версия 2008 года), которая строит 4 вида эпюр и рассчитывает реакции для любых балок (даже для статически неопределимых).

    Сообщество

    Вход

    Решение задач

    Расчет редукторов

    Для Android (рекомендую)

    NEW Mobile Beam 2.0
    Программа для расчета балок на прочность на Вашем Android устройстве…
    Java 2 ME

    Статически неопределимые балки.

    Уравнения трех моментов

    1. Двухпролетная балка

    Рисунок 315.1. Приведение двухпролетной балки к основной и вспомогательной системам при методе моментов.

    1. Когда мы рассекаем балку на промежуточной статически неопределимой опоре (рис. 315.1.б)), мы получаем две статически определимых балки с общей опорой В (рис.315.1.в)). Рассчитать такие балки — не проблема, а для удобства расчетов даже созданы соответствующие таблицы, пример такой таблицы можно посмотреть здесь. Балки, показанные на рисунке 315.1.в), являются элементами основной системы. Балки, показанные на рисунке 315.1.г), являются элементами вспомогательной системы.

    2. Под действием приложенной нагрузки поперечные сечения балок не будут находиться в плоскости, перпендикулярной к основной оси (оси х), а будут иметь некоторый наклон. Другими словами, между плоскостью, перпендикулярной к основной оси, и поперечным сечением будет некоторый угол, называемый углом поворота поперечного сечения

    Θ. На рисунке 315.1.е) показаны углы поворота для крайнего правого сечения левой балки и крайнего левого сечения правой балки. Таким образом между указанными поперечными сечениями образуется угол наклона φ. Общая эпюра углов поворотов поперечных сечений для статически определимых балок основной системы будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке 315.1.д).

    3. Между тем балка-то у нас неразрезная, а это означает, что угол между двумя очень близкими относительно оси х сечениями будет стремиться к нулю, а так как мы рассекаем балку мысленно, то крайнее правое сечение левой балки и крайнее левое сечение правой балки — это одно и то же поперечное сечение неразрезной балки и для такого сечения угол наклона φ = 0.

    4. Если к рассматриваемым поперечным сечениям балок приложить изгибающие моменты (рис. 315.1.г), то при определенном значении моментов суммарный угол наклона поперечных сечений будет равен углу наклона между поперечными сечениями балок основной системы, только значение это будет иметь обратный знак (рис. 315.1.ж).

    5. Таким образом, если сложить угол наклона смежных поперечных сечений балок основной системы и угол наклона смежных поперечных сечений балок вспомогательной системы, то угол наклона φ на общей эпюре углов поворотов будет равен нулю (рис.315.1.и)), при этом угол поворота поперечного сечения Θ неразрезной балки может быть не равен нулю.

    6. Так как в действительности никакие внешние моменты на статически неопределимых опорах не прикладываются, а мы всего лишь заменяем внутренние напряжения внешними моментами, то на суммарной эпюре моментов (на рисунке 315 не показана) на статически неопределимых опорах не может быть скачков (могут быть только точки экстремума). Из этого следует, что значение момента, приложенного к крайнему правому сечению, должно быть равно значению момента, приложенного к крайнему левому сечению:

    Мл = Мп = М (315.1.1)

    Примечание: Самое трудное при работе с моментами и углами поворота — уследить за знаками. Сейчас считается, что если сила или момент приводят к растяжению нижней части сечения, то эпюра моментов рисуется снизу, но такой момент считается положительным, соответственно, если сила или момент приводят к растяжению верхней области сечения, то эпюра моментов рисуется сверху, но такой момент считается отрицательным. Дело в том, что вне зависимости от того, сверху или снизу рисуется эпюра моментов в поперечных сечениях рассматриваемых конструкций возникают нормальные напряжения и если рассматривать только нижнюю часть сечения, то положительный момент означает растяжение в нижней части и таким образом знак «+» символизирует увеличение длины в нижней части рассматриваемой конструкции, а отрицательный момент означает сжатие в нижней части сечения и знак»-» символизирует уменьшение длины конструкции в нижней части. Из этого следует, что если момент для рассматриваемого сечения (точки на оси х) направлен по часовой стрелке, то такой момент положительный, а если против часовой стрелки, то момент отрицательный. Таким образом знак момента зависит от точки (поперечного сечения), относительно которой данный момент рассматривается. Так для смежных статически определимых балок моменты, показанные на рисунке 315.1.г), будут отрицательными, а для поперечного сечения на опоре В неразрезной балки моменты будут иметь различный знак и в сумме дадут ноль. Приблизительно то же самое можно сказать и о углах поворота поперечных сечений. Если сечение наклонено вправо от оси у, то такой угол поворота можно считать отрицательным, если влево от оси у, то такой угол поворота будет считаться положительным, что и отражено на соответствующих эпюрах углов поворотов на рисунке 315.1. Между тем при определении прогиба знак угла поворота крайних сечений будет зависеть от направления интегрирования и от того, прогиб вверх или вниз будет считаться положительным. Так, если начальный угол поворота (угол поворота на одной из опор) будет приводить к растяжению в нижней области, то такой угол поворота может считаться положительным, например, для рассматриваемых нами статически определимых балок основной системы значения углов поворота на обеих опорах могут рассматриваться, как положительные.  При действии положительного изгибающего момента углы поворота на опорах также будут положительными.

    7. Если к одной из опор статически определимой балки, например опоре В, приложить положительный изгибающий момент, то в это приведет к изменению угла поворота поперечного сечения на опоре В на угол θB= Мl/3EI и к изменению угла поворота на опоре А на угол θА = Ml/6EI. На рисунке 315.1 для наглядности суммарного взаимодействия показаны отрицательные изгибающие моменты, которые приводят к отрицательным значениям углов поворота, но чтобы не путаться со знаками, изначально значения углов поворота для основной и для вспомогательной систем принимаются положительными.

    Например, для двухпролетной балки, показанной на рисунке 315.1, угол наклона между поперечными сечениями балок основной системы будет составлять:

    φВ = qa3/24EI +qb3/24EI = q(a3 + b3)/24EI (315. 1.2)

    значение угла наклона на смежной опоре при приложении моментов к балкам вспомогательной системы

    φВ = МВпa/3EI + MВлb/3EI = M(a + b)/3EI = Ml/3EI (315.1.3)

    φВ = φВ + φВ = q(a3 + b3)/24EI + Ml/3EI = 0 (315.1.4)

    M = — q(a3 + b3)/8l (315.1.5)

    после этого с учетом опорного момента определяются опорные реакции

    A = A + A = qa/2 + M/a = qa/2 — q(a3 + b3)/8la (315.1.6)

    C = C + C = qb/2 + M/b = qb/2 — q(a3 + b3)/8lb (315.1.7)

    B = Bп + Вл + Вп + Вл = qa/2 + q(a3 + b3)/8la + qb/2 + q(a3 + b3)/8lb (315.1.8)

    После того, как расчетные реакции определены, дальнейший расчет выполняется, как для обычной статически определимой балки, вот только необходимо выполнить дополнительные проверки, так прогиб на всех опорах при действующих нагрузках должен быть равен нулю.

    При равных пролетах, т.е. при а = b = l/2

    φВ = ql3/192EI + ql3/192EI = ql3/96EI = qa3/12 (315.1.9)

    φВ = ql3/96EI + Ml/3EI = qa3/12EI + 2Mа/3EI = 0 (315.1.10)

    M = — ql2/32 = — qa2/8 (315.1.11)

    Опорные реакции составят

    A = C = qa/2 — qa/8 = 3qа/8 (315.1.12)

    B = 2(qa/2 + qa/8) = 10qa/8 (315.1.13)

    Если однопролетная балка имеет одну жестко защемленную опору и шарнирную опору, то такую балку можно рассматривать как двухпролетную неразрезную шарнирно опертую балку, у которой один из пролетов равен нулю и соответственно момент на жестко защемленной опоре будет М = — ql2/8, согласно формулы (315.1.5). Это позволяет рассчитывать данным методом не только шарнирно опертые многопролетные балки, но и балки, имеющие жесткое защемление на концах.

    2. Трехпролетная балка

    При рассмотрении трехпролетной балки у нас появится еще одна неизвестная величина — момент на опоре С:

    Рисунок 315.2. Приведение трехпролетной балки к основной и вспомогательным системам

    То есть угол наклона между смежными сечениями на опоре В балок вспомогательной системы будет зависеть не только от значения моментов, приложенных на рассматриваемой опоре, но также и от значения момента, приложенного на опоре С. И тогда формула для определения угла наклона на опоре В будет выглядеть так:

    φВ = МВпa/3EI + MВлb/3EI — МСпb/6EI = MB(a + b)/3EI + MCb/6EI (315.2.2)

    φВ = q(a3 + b3)/24EI + MB(a + b)/3EI + MCb/6EI = 0 (315.2.3)

    Соответственно для опоры С:

    φС = MС(b + c)/3EI — MВb/6EI (315. 2.4)

    φС = q(b3 + c3)/24EI + MC(b + c)/3EI + MBb/6EI = 0 (315.2.5)

    Решая систему из двух уравнений (315.4.3) и (315.4.4), можно найти значения моментов на опорах. Например при равных пролетах a = b = c решение задачи значительно упрощается, так как и моменты МВ и МС, действующие на опорах, при этом будут равными из-за симметричности балки и равномерно распределенной нагрузки:

    φВ = φС= qa3/12EI + 2Ma/3EI + Ma/6EI = 0 (315.2.6)

    5Ma/6EI = — qa3/12EI (315.2.7)

    M = — qa2/10 (315.2.8)

    Когда мы решали подобную задачу методом сил, то получили следующие уравнения:

    Δ10 + Δ1У1 + Δ1У2 = 0 (314.4.2)

    Δ20 + Δ2У1 + Δ2У2 = 0

    Если мы угол наклона заменим греческой буквой Δ, а статически неопределимые опоры пронумеруем, то уравнения (315. 2.3) и (315.2.5) примут вид:

    Δ10 + Δ11 + Δ12 = 0 (314.4.2)

    Δ20 + Δ21 + Δ22 = 0

    т.е. мало чем будут отличаться от канонических уравнений метода сил.

    Если у балки будет 4 пролета, то в итоге мы получим систему из 3 уравнений, в одном  из которых будет 3 неизвестных члена, а в первом и последнем — по 2 неизвестных члена. Соответственно для расчетов 5 пролетной балки придется составить систему из 4 уравнений, в двух из которых будет по 3 неизвестных члена, а в первом и последнем также по 2 неизвестных члена, для 6 пролетной — из 5 уравнений и так далее, но при этом количество неизвестных членов в первом и последнем уравнении всегда будет равно двум, а в остальных уравнениях — трем, так как количество моментов, действующих на опорах смежных балок вспомогательных систем, не может быть больше 4. А так как моменты, действующие на рассматриваемой опоре, равны согласно (315. 1.1), то количество неизвестных в уравнениях сокращается до 3 и потому уравнения вида (315.2.3) и (315.2.5) называются уравнениями трех моментов.

    Для любой многопролетной балки уравнение трех моментов для n-ной опоры можно записать так:

    Mn-1ln/6EI + Mn(ln + ln+1)/3EI + Mn+1ln+1/6EI = — φn (315.3.1)

    А если обе части уравнения умножить на 6EI, то уравнение трех моментов будет выглядеть так:

    Mn-1ln + 2Mn(ln + ln+1) + Mn+1ln+1 = — 6φnEI (315.3.2)

    где φn — рассмотренный нами суммарный угол наклона между смежными сечениями на n-ной опоре.

    Произведение φnEI иногда для упрощения записи рассматривается, как суммарная фиктивная опора Rnф:

    φnEI = Rnф = Вnф + An+1ф = ωnan/ln + ωn+1bn+1/ln+1 (315. 3.3)

    Физический смысл этой формулы следующий: с точки зрения строительной физики сила, момент, угол поворота и прогиб — это не какие-то случайные понятия, а четко связанные между собой. Например, когда мы определяем опорную реакцию В при действии равномерно изменяющейся нагрузки (от 0 на опоре А до q на опоре В), мы умножаем площадь нагрузки (ql/2) на расстояние от опоры А до центра тяжести этой площади (2/3l) и затем делим это все на длину пролета (l), в итоге В = ql/3, соответственно А = ql/6. А если в качестве грузовой эпюры рассматривать эпюру моментов, также имеющую вид треугольника (например, при моменте, приложенном на опоре В), то значение фиктивных реакций составит Вф = Мl/3, Аф = Ml/6. В общем случае эту закономерность можно отобразить так:

    Рисунок 315.3. Определение суммарной фиктивной реакции по эпюрам моментов для балок основной системы.

    Однако в большинстве случаев чертить эпюры моментов для балок основной системы,  затем определять центры тяжести этих эпюр и расстояния до центров тяжести нет большой необходимости, так как для наиболее распространенных вариантов приложения нагрузки фиктивные опорные реакции давно известны и определить их можно по соответствующим таблицам. Пример такой таблицы представлен ниже.

    Таблица 315.1. Фиктивные опорные реакции для различных вариантов загружения балки основной системы

    4. Решение системы уравнений

    После того, как углы поворота на опорах (фиктивные опорные реакции) для всех балок основной системы определены, можно приступать к решению системы уравнений. Вот только, если пролетов у балки много, то запись окончательного уравнения, позволяющего определить один из неизвестных моментов, может занять не одну минуту и не одну страницу. В таких случаях можно воспользоваться следующей методикой:

    Для балки, имеющей k пролетов, потребуется составить k — 1 уравнений. Если значения выражений — 6Rnф заменить параметром ci, то уравнения будут иметь следующий вид:

     (315.4.1)

    Если умножить все уравнения на пока произвольные параметры αi, а затем сложить все левые и правые части уравнений системы (315. 4.1), то итоговое уравнение после соответствующих преобразований, позволяющих сократить запись, будет иметь вид:

      (315.4.2)

    Теоретически множители α могут иметь такие значения, при которых все выражения в квадратных скобках (множители для Мn в формуле (315.4.2)), кроме последнего, будут равны нулю. На основании этого предположения из уравнения (315.4.2) можно составить еще одну дополнительную систему уравнений:

      (315.4.3)

    Количество уравнений в такой системе будет k — 2, с — 1 неизвестными параметрами α. Так как число параметров α на единицу больше количества уравнений, то для решения системы значение одного из этих параметров задается произвольно. Наиболее удобным для дальнейших расчетов будет принять значение α1 = 1. Тогда значения остальных коэффициентов α можно определить, решая систему уравнений (315.4.3):

    (315.4.4.1)

    В общем виде:

    (315. 4.5)

    Примечание: Если придать абстрактным математическим коэффициентам α конкретный физический смысл, то коэффициенты αn есть не что иное, как такое соотношение моментов на соседних опорах , при котором суммарный угол наклона на рассматриваемой опоре будет равен нулю и тогда эти коэффициенты можно выразить так αn = Mn/Mn-1. Например, если первое уравнение системы (315.4.1) разделить на М1, то это уравнение c учетом вышесказанного можно записать так:

     (315.4.6)

    тогда

     (315.4.4.2)

    После подставления определенных вышеуказанным способом параметров α уравнение (315.4.2) примет вид

      (315.4.7)

    Соответственно значение Мk-1 будет составлять

    (315.4.8)

    После этого полученное значение Мk-1 подставляется в последнее уравнение системы (315.4.1) и определяется значение Мk-2. Из предпоследнего уравнения после подставления значений Мk-1 и Мk-2 определяется значение Мk-3 и т.д. Таким образом количество неизвестных в уравнениях системы (315.4.1) сводится к одному.

    Если на одном или обоих концах балки есть нагруженные консоли, то определить изгибающие моменты на крайних опорах — не проблема. Значения этих моментов подставляются в уравнение трех моментов, как известные величины, тогда в первом и последнем уравнениях также будет по 3 члена. Если один или оба конца рассчитываемой балки защемлены, то жесткое защемление рассматривается как дополнительный пролет с длиной l = 0, таким образом придется составить еще одно или два уравнения.

    5. Уравнение трех моментов для балки с переменной жесткостью:

    Когда мы умножали обе части уравнения (315.3.1) на 6EI, то тем самым задавали момент инерции I, как некую постоянную величину. Между тем момент инерции также может быть переменной величиной (например, когда многопролетная железобетонная плита имеет различное армирование в пролетах) и для таких случаев уравнение моментов можно записать так:

    (315. 5.1)

    где

     (315.5.2)

    Io — момент инерции одного из участков балки, принятый за основу.

    Вот, в принципе и все теоретические предпосылки для расчета статически неопределимых конструкций методом моментов. А как эту теорию можно применить на практике, рассказывается отдельно.

    Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

    В начале весны в НГАСУ (Сибстрин) пройдет фестиваль студенческого творчества «Звездопад», посвященный Году народного искусства и нематериального культурного наследия народов РФ

    С 14 по 22 марта 2022 года в НГАСУ (Сибстрин) в рамках регионального этапа фестиваля «Российская студенческая весна» пройдут мероприятия XIX межфакультетского фестиваля студенческого творчества «Звездопад». Тема фестиваля – «FOLK TIME» – приурочена к празднованию Года народного искусства и нематериального культурного наследия народов РФ. Одни из основных целей «Звездопада» – укрепление и расширение творческого контакта между студентами и факультетами и открытие новых имен среди творческой молодежи вуза, возрождение национальных духовных традиций, преемственности и связи поколений, привлечение студентов к процессу сохранения духовно-нравственного наследия народов России и сохранение памяти о важнейших событиях в истории государства, а также отвлечение молодежи от негативных процессов, происходящих в обществе и современной жизни.

    ВАЖНО! СРОЧНО! Перевод аккаунтов электронной почты сотрудников и студентов НГАСУ (Сибстрин) на сервисы Яндекс 360

    Уважаемые коллеги и студенты! По требованиям регуляторов необходимо актуализировать процесс импортозамещения облачных сервисов, таких как корпоративная электронная почта, диск, календарь и т.п. В НГАСУ (Сибстрин) будут использоваться сервисы Яндекс 360, которые во многом схожи с сервисами Google, используемые сейчас. Для осуществления перехода необходимо каждому пользователю выполнить определенные действия со своим корпоративным аккаунтом. Переход на новые сервисы будет осуществлен в два этапа: 1 этап – перенос электронной почты на новый сервис Яндекс 360 (с 09.03.2022 по 17.03.2022) 2 этап – окончательный переход на новый сервис Яндекс 360 (с 18.03.2022 по 20.03.2022)

    Стартовал новый сезон всероссийского конкурса «Моя страна – моя Россия»

    Уважаемые студенты! Стартовал XIX сезон всероссийского конкурса «Моя страна – моя Россия» – одного из проектов президентской платформы «Россия – страна возможностей». «Моя страна – моя Россия» – федеральный конкурс для инициативных жителей страны, которые заботятся о настоящем и будущем своего региона, готовы предложить идеи и реализовать проекты, направленные на улучшение качества жизни и решение социально-экономических проблем. Ежегодно тысячи людей в возрасте от 14 до 35 лет вместе с конкурсом «Моя страна – моя Россия» воплощают в жизнь свои задумки там, где они родились, учатся, работают, растят детей, заботятся о близких. Конкурс известен по всей стране. За 19 лет в нем приняло участие с проектами по развитию российских территорий и местных сообществ более 300 тыс. человек. По итогам заявочной кампании 2021 года участниками конкурса стали 91 147 участников из 85 регионов Российской Федерации и 24 иностранных государств.

    Неразрезная балка – обзор

    8.2.1 Метод испытаний и образцы

    Когда рассматривается железобетонная неразрезная балка или рамная балка, положительный изгибающий момент возникает в средней части пролета, а отрицательный изгибающий момент возникает вблизи служба поддержки. Если три поверхности балки подвергаются воздействию высокой температуры во время пожара, то высокой температуре подвергаются зона растяжения сечения в средней части пролета и зона сжатия участка вблизи опоры.Даже если сечение и арматура вдоль балки одинаковы, тепловое поведение этих двух сечений значительно различается.

    Балки с зонами растяжения и сжатия, подверженные воздействию высоких температур, имеют различные методы испытаний и нагружения (рис. 8-1 и 8-2). Образцы для обоих условий должны быть спроектированы и изготовлены отдельно, их размеры и конструкция показаны на рис. 8-5. Прочность бетона и продольной арматуры образца при комнатной температуре указана в таблице 8-1.

    РИСУНОК 8-5. Образцы для измерения поведения балок при повышенных температурах: (а) зона растяжения, подверженная воздействию высокой температуры [8-4] ; (б) зона сжатия, подверженная воздействию высокой температуры. [8-3]

    ТАБЛИЦА 8-1. Сила образцов при комнатной температуре

    8
    Specimen Бетон F CU (MPA) CU (MPA)
    продольный армиер
    диаметр (мм) F Y (MPA)
    Зона растяжения, подверженная воздействию высокой температуры 29.45 10 270 270 270
    зона сжатия воздействует на высокую температуру 39. 20 12 310

    Механическое поведение образца луча при разных температурах измеряется по пути нагрузки под при постоянной температуре, а метод и процедура таковы: образец изготавливают и отверждают в течение 28 дней, выдерживают в лаборатории и испытывают после старения в течение 60 дней, устанавливают образец, определяют продольное, поперечное и вертикальное положения экспериментальную печь регулируют таким образом, чтобы экспериментальная часть образца располагалась в середине печи.Устанавливают и подсоединяют к измерительному прибору различные преобразователи, электрифицируют экспериментальную печь и нагревают образец; опоры образца допускают свободную деформацию расширения. При достижении температурой в камере заданной температуры (20–950 °С) и выдержке в течение 10 мин образец непрерывно нагружают до разрушения, т. е. до потери несущей способности. При этом измеряются и регистрируются данные о температуре в камере, температуре, нагрузке и деформации образца.

    Термопары закрепляются в камере печи и внутри образца и могут измерять температуры и их изменение в соответствующих местах в процессе нагрева и загрузки. Используя эти данные, можно получить вертикальное и поперечное распределения температуры на среднем сечении образца в разное время (рис. 8-6).

    РИСУНОК 8-6. Распределение температуры по сечению образца. [8-5]

    Максимальная температура возникает на нижней и обеих боковых поверхностях балочного образца с тремя поверхностями, подвергаемыми воздействию высокой температуры, но она несколько ниже, чем у камеры, а температура на боковой поверхности постепенно уменьшается снизу вверх.Поэтому температура на сечении распределяется неравномерно как в вертикальном, так и в поперечном направлениях. Градиент температуры в пределах 20–30 мм наружного слоя секции высокий, но изменение температуры внутри секции невелико. На начальных стадиях нагрева температура не очень высока (например, <400 °С), но градиент температуры во внешнем слое значительно больше, хотя в дальнейшем он постепенно снижается. Верхняя поверхность образца не вступает в прямой контакт с высокой температурой и имеет самую низкую температуру.Однако по мере увеличения времени нагрева и повышения температуры внутри образца температура на верхней поверхности также постепенно повышается, поскольку тепло, передаваемое на верхнюю поверхность, превышает тепло, передаваемое воздуху. При температуре ( T ) в камере экспериментальной печи <600 °С температура на верхней поверхности <80 °С. Когда температура эксперимента достигает 950 °С, температура на верхней поверхности может достигать 200–300 °С.

    При одинаковых условиях нагрева балки с зонами растяжения и сжатия, подверженные воздействию высокой температуры, имеют одинаковое температурное поле на своих сечениях, но механическое поведение существенно различается. Существующие экспериментальные исследования [8-6–8-10] проводились для балок с зоной сжатия, подверженных воздействию высоких температур.

    %PDF-1.3 % 840 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 840 62 0000000016 00000 н 0000001609 00000 н 0000001706 00000 н 0000003957 00000 н 0000004117 00000 н 0000004670 00000 н 0000004722 00000 н 0000004774 00000 н 0000004826 00000 н 0000004878 00000 н 0000004930 00000 н 0000005160 00000 н 0000005724 00000 н 0000005776 00000 н 0000005817 00000 н 0000005869 00000 н 0000005921 00000 н 0000005973 00000 н 0000008203 00000 н 0000008724 00000 н 0000008940 00000 н 0000009271 00000 н 0000009508 00000 н 0000009732 00000 н 0000010290 00000 н 0000010514 00000 н 0000011091 00000 н 0000011236 00000 н 0000011605 00000 н 0000012150 00000 н 0000014229 00000 н 0000015181 00000 н 0000015721 00000 н 0000016084 00000 н 0000049974 00000 н 0000074939 00000 н 0000075018 00000 н 0000093427 00000 н 0000104232 00000 н 0000129560 00000 н 0000129787 00000 н 0000130034 00000 н 0000130242 00000 н 0000131055 00000 н 0000131393 00000 н 0000131731 00000 н 0000132181 00000 н 0000138301 00000 н 0000138515 00000 н 0000141194 00000 н 0000141487 00000 н 0000141877 00000 н 0000141997 00000 н 0000142326 00000 н 0000151337 00000 н 0000151918 00000 н 0000152493 00000 н 0000153086 00000 н 0000162116 00000 н 0000164599 00000 н 0000001862 00000 н 0000003934 00000 н трейлер ] >> startxref 0 %%EOF 841 0 объект > эндообъект 842 0 объект `Dz-#_m_}g) /U (C\\4=g滏\\\(HY\n,g) /П-60 /В 1 /Длина 40 >> эндообъект 900 0 объект > поток f3\5JQ$xqg1vwNR»\ƌ`v5L)P_, q]֣>_hT~HDgDNw\E&mJE%R9*yQe먡I]ssS TpAcR1/n7 `] uk’9sאBMt: v#»}f

    %PDF-1. 3 1 0 объект > эндообъект 2 0 объект > эндообъект 3 0 объект > эндообъект 4 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 5 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 6 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 7 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 8 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 9 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 10 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 11 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 12 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 13 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 14 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 15 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 16 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 17 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 18 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 19 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 20 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 21 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 22 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 23 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 24 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 25 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 26 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 27 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 28 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 29 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 30 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 31 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 32 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 33 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 34 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 35 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 36 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 37 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 38 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 39 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 40 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 41 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 42 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 43 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 44 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 45 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 46 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 47 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 48 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 49 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 50 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 51 0 объект > /ProcSet [ /PDF /текст ] /Шрифт > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 52 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 53 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 54 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 55 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 56 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 57 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 58 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 59 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 60 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 61 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 62 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 63 0 объект > /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 64 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 65 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 66 0 объект > >> /MediaBox [ 0 0 612 792 ] >> эндообъект 67 0 объект > поток x^Wn7ShrٛI۩5rr*\;3Fe p7g>9ϓ3ZI»K_J!^ȂVxXog MGlKbCz),4~_Ďwb!΋JYP>cyBXUxCjK+1(i·L22*WL{2WvlD²(xѝ=/];5Jq;»ohLƢZAcA7S ǻВ НД+&_ВКЖз{9к. HW=b

    Точные решения для статического изгиба балок Эйлера-Бернулли с использованием двухфазной локальной/нелокальной модели Эрингена: AIP Advances: Vol 6, No 8

    I. INTRODUCTION

    Section:

    ChooseTop of pageABSTRACTI.INTRODUCTION < 1–4 1. А. С. Эринген и Б.С. Ким, мех. Рез. коммун. 1 , 233 (1974). https://doi.org/10.1016/0093-6413(74)-62. AC Eringen, Int. Дж. Фракт. 14 , 367 (1978). https://doi.org/10.1007/BF000159903. А. К. Эринген, инженер. Фракт. мех. 12 , 211 (1979). https://doi.org/10.1016/0013-7944(79)-04. A.C. Eringen, C.G. Speziale, and B.S. Kim, J. Mech. физ. Твердые тела 25 , 339 (1977). https://doi.org/10.1016/0022-5096(77)

    -3 основан на гипотезе о том, что нелокальное напряжение в опорной точке зависит не только от деформации в этой точке, но и от всех других точек тела .

    Следовательно, в определяющем уравнении нелокальной упругости закон Гука (для классической упругости) заменяется интегрированием. Такие определяющие отношения интегральной формы учитывают силы между атомами и внутреннюю шкалу длины и применяются ко многим проблемам, включая распространение волн, механику разрушения, дислокации и т. д. В последние годы, с растущей потребностью в разработке или анализе материалов, зависящих от размера и структур, нелокальная эластичность Эрингена привлекла большое внимание в обзоре Араша и Ванга. 5 5. B. Arash and Q. Wang, Comp. Матер. науч. 51 , 303 (2012). https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2011.07.040 Поскольку обычно трудно иметь дело с интегро-дифференциальными уравнениями, в литературе однажды была предложена приближенная дифференциальная модель в Eringen 6 6. AC Eringen, J , заявл. физ. 54 , 4703 (1983). https://doi.org/10.1063/1.332803 для конкретного интегрального ядра широко используется для учета нелокальных эффектов. Однако признано, что, за исключением некоторых специальных подходов, в отношении этой дифференциальной модели существуют некоторые несоответствия. 5,7–11 5. B. Arash and Q. Wang, Comp. Матер. науч. 51 , 303 (2012). https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2011.07.0407. J. Peddieson, G.R. Buchanan и R.P. McNitt, Int. Дж. Инж. науч. 41 , 305 (2003). https://doi.org/10.1016/S0020-7225(02)00210-08. Q. Wang and K.M. Liew, Phys. лат. А 363 , 236 (2007). https://doi.org/10.1016/j.physleta.2006.10.0939. N. Challamel and C. Wang, Nanotechnology 19 , 345703 (2008). https://doi.org/10.1088/0957-4484/19/34/34570310.J.N. Reddy and S.D. Pang, J. Appl. физ. 103 , 023511 (2008 г.). https://doi.org/10.1063/1.283343111. C. Li, L. Yao, W. Chen, and S. Li, Int. Дж. Инж. науч. 87 , 47 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.11.006 Чтобы быть точным, для всех граничных условий, кроме кантилевера, модель оказывает смягчающий эффект (т. е. большие отклонения и более низкие основные частоты) по мере увеличения нелокального параметра. . В то время как для консольной балки с сосредоточенной нагрузкой нелокальный эффект отсутствует.Насколько известно авторам, такие несоответствия были дополнительно прояснены совсем недавно в трех важных работах 12–14 12. P. Khodabakhshi and J. N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.00613. J. Fernández-Sáez, R. Zaera, J. A. Loya и J. N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 99 , 107 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.10.01314. М. Туна и М. Кирка, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016).https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001, в котором использовались интегральные модели Эрингена. В литературе интегральные модели в основном включают чисто нелокальную модель 6 6. A. C. Eringen, J. Appl. физ. 54 , 4703 (1983). https://doi.org/10.1063/1.332803 и двухфазная локальная/нелокальная модель, 15 15. A.C. Eringen, Res Mechanica 21 , 313 (1987). а первый (с конкретным ядром ) можно рассматривать как исходную интегральную модель вышеупомянутой дифференциальной модели. 6 6. A.C. Eringen, J. Appl. физ. 54 , 4703 (1983). https://doi.org/10.1063/1.332803 In Khodabakhshi and Reddy, 12 12. P. Khodabakhshi and J. N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.006 представлена ​​единая интегро-дифференциальная нелокальная модель, напоминающая двухфазную локальную/нелокальную модель. Численное исследование нелокальной балки Эйлера-Бернулли показало, что, за исключением свободно опертого случая, который показал эффект жесткости, нелокальная балка оказывает эффект смягчения для большинства граничных условий.Что еще более важно, с помощью этой модели была решена парадоксальная проблема консольной балки. Кроме того, это было показано в Fernández-Sáez et al. 13 13. J. Fernández-Sáez, R. Zaera, J.A. Loya и J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 99 , 107 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.10.013 что в общем случае дифференциальная модель не эквивалентна своей исходной интегральной модели (т. е. соответствующей чистой нелокальной модели): решение исходной интегральной модели на самом деле получается путем сложения дифференциальной модели и двух других интегральных уравнений.Контрасты были проиллюстрированы с помощью анализа статического изгиба балки Эйлера-Бернулли, а парадокс, возникающий при решении задачи о консольной балке с помощью дифференциальной модели, также был разрешен численно. In Tuna and Kirca, 14 14. M. Tuna and M. Kirca, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001 с использованием чистой нелокальной модели, как в Fernández-Sáez et al. , 13 13. Х. Фернандес-Саес, Р. Заера, Х. А. Лойя и Дж.Н. Редди, Int. Дж. Инж. науч. 99 , 107 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.10.013 было заявлено, что с помощью преобразования Лапласа получены точные решения как для балок Эйлера-Бернулли, так и для балок Тимошенко, а аналитические результаты показали, что интегральная модель имеет согласованный смягчающий эффект. .Из-за несоответствий в дифференциальной модели и некоторых многообещающих результатов, полученных с помощью интегральных моделей, особенно для задачи о консольной балке, которая может иметь множество приложений в науке, существует большая потребность в исследовании интегральных моделей.Для структур с интегральными моделями Эрингена в литературе обычно применяются численные методы для решения полученных интегро-дифференциальных уравнений, 12,13,16–18 12. Ходабахши П., Редди Дж. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.00613. J. Fernández-Sáez, R. Zaera, J. A. Loya и J. N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 99 , 107 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.10.01316. A.A.Pisano and P.Fuschi, Int.J. Структура твердых тел. 46 , 3836 (2009). https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2009.07.00917. Р. Абдоллахи и Б. Бороманд, Int. J. Структура твердых тел. 50 , 2758 (2013). https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.04.02718. Р. Абдоллахи и Б. Бороманд, Int. J. Структура твердых тел. 51 , 1758 (2014). https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2014.01.016, которые требуют много времени, а числовые ошибки иногда трудно обнаружить для некоторых конкретных нелокальных ядер. 12 12.P. Khodabakhshi and J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.006 Что касается аналитических результатов, то существование и единственность полевых уравнений в нелокальной теории упругости (краевая задача и начально-краевая задача) были установлены почти десятилетиями назад. 19–21 19. S.B. Altan, Bull. Тех. ун-т Стамбул 37 , 373 (1984).20. С. Б. Алтан, Int. J. Структура твердых тел. 25 , 1271 (1989). https://doi.org/10.1016/0020-7683(89)

    -721. К. Полиццотто, Int. J. Структура твердых тел. 38 , 7359 (2001). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(01)00039-7 Из-за сложности работы с интегро-дифференциальными уравнениями аналитических решений задач нелокальной упругости очень мало. Большинство аналитических решений были связаны с нелокальной проблемой стержня, впервые предложенной Пизано и Фуски. 22 22. A.A. Pisano and P. Fuschi, Int. J. Структура твердых тел. 40 , 13 (2003). https://дои.org/10.1016/S0020-7683(02)00547-4 Было показано, что решение в закрытой форме имеет значительную ошибку, и затем для этой задачи были представлены более точные аналитические решения. 23,24 23. X. W. Zhu and H. H. Dai, Sci. Китай физ. мех. Астрон. 55 , 1059 (2012). https://doi.org/10.1007/s11433-012-4745-224. E. Benvenuti and A. Simone, Mech. Рез. коммун. 48 , 46 (2013). https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2012.12.001 Следует отметить, что до того, как будет достигнут какой-либо прогресс в этом направлении, вышеупомянутые аналитические решения действительны только для некоторых конкретных нагрузок и, следовательно, не могут быть применяется к более сложным случаям (скажем, граничным условиям и нагрузкам).Точные решения для чистой нелокальной модели в Tuna and Kirca 14 14. M. Tuna and M. Kirca, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001, как они утверждали, однако, приведет к некоторым неизвестным ошибкам, и мы обсудим это в разделе . Подводя итог, можно сказать, что очень мало точных решений ни для двухфазной локальной/нелокальной модели, ни для чисто нелокальной модели. Поэтому желательны более полные аналитические исследования интегральных моделей Эрингена применительно к нано- и микроструктурам.Это стало мотивацией работы. В этой статье мы принимаем двухфазную локальную/нелокальную модель. AC Eringen, Nonlocal Continuum Field Theory (Springer, New York, 2002). и направлены на поиск аналитических решений задачи изгиба нелокальных балок Эйлера-Бернулли. Путем сведения интегрального уравнения к дифференциальному уравнению со смешанными краевыми условиями удается получить точные решения задачи о балке при нескольких типичных краевых условиях, особенно для парадоксального консольного случая.Анализ решений показывает, что в рассмотренных примерах двухфазная локальная/нелокальная модель имеет устойчивый смягчающий эффект. Также с полученными аналитическими результатами мы находим, что численные решения в Khodabakhshi и Reddy 12 12. P. Khodabakhshi and J. N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.006 обнаружил некоторые численные ошибки для свободно опертой балки, решения в Tuna и Kirca 14 14.М. Туна и М. Кирка, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001 можно рассматривать как «предельные решения» наших точных решений, и можно обсуждать возможную ошибку в этих решениях, а как побочный продукт — когда-то спорный нелокальный бар задача 22 22. AA Pisano and P. Fuschi, Int. J. Структура твердых тел. 40 , 13 (2003). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00547-4 хорошо разрешается проверенным здесь методом редукции. Схема оставшейся части следующая.В разделе 2 мы кратко рассмотрим нелокальную теорию Эрингена и предложим ключевой метод в наших последних выводах. В разделе мы устанавливаем основные уравнения для статического изгиба нелокальной балки Эйлера-Бернулли с использованием двухфазной локальной/нелокальной модели Эрингена и обсуждаем применимость метода. Точные решения получены для различных типов граничных условий и нагрузок в разделе . В разделе будет проведен некоторый анализ полученных точных решений, и будут проведены сравнения с существующими аналитическими и численными результатами.В разделе делаем выводы и обсуждаем дальнейшую работу.

    II. НЕЛОКАЛЬНАЯ УПРУГОСТЬ ПО ЭРИНГЕНУ И ОПИСАНИЕ МЕТОДА

    Раздел:

    ChooseTop of pageРЕЗЮМЕ.ВВЕДЕНИЕII.НЕЛОКАЛЬНОЕ УПЛОТНЕНИЕ ЭРИНГЕНА… < 25 25. AC Eringen, Nonlocal Continuum Field Theory (Springer, New York, 2002). дальнодействующая сила в линейном однородном и изотропном упругом материале как следствие поля деформации выражается следующим определяющим соотношением
    t(x)=∫Vα(|xx′|,τ)σkl(x′) dx′, (1)
    где t(x) — тензор нелокальных напряжений, σ kl — классический тензор напряжений при x ′, тело. Константа τ = e 0 a / l , где a — внутренняя характеристическая длина (например, параметр решетки, длина связи СС), l — внешняя характеристическая длина (например, , длина трещины, длина волны), а e 0 — постоянная материала, которую можно определить экспериментально или аппроксимировать путем сопоставления некоторых надежных результатов. Скалярная функция α (| x x ′|, τ ) называется ядерной функцией или функцией влияния , которая является положительной и быстро убывает с увеличением | х х ′|.Еще одно ограничение на функцию ядра состоит в том, что для τ → 0 мы получаем дельта-функцию Дирака. Благодаря этому свойству нелокальная упругость возвращается к классической упругости в пределе τ → 0. Первое определяющее уравнение обычно называют чистой нелокальной моделью. Другая конститутивная модель в литературе 15,20,21,25 15. A.C. Eringen, Res Mechanica 21 , 313 (1987).20. С. Б. Алтан, Int. J. Структура твердых тел. 25 , 1271 (1989).https://doi.org/10.1016/0020-7683(89)

    -721. К. Полиццотто, Int. J. Структура твердых тел. 38 , 7359 (2001). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(01)00039-725. AC Eringen, Nonlocal Continuum Field Theory (Springer, New York, 2002). принимает следующий вид > 0, ξ 2 > 0 и выполняется ξ 1 + ξ 2 = 1.Уравнение (2) можно рассматривать как определяющее соотношение двухфазного упругого материала, в котором фазе 1 (объемной долей ξ 1 ) соответствует локальная упругость, фазе 2 (объемной долей ξ 2 ) соответствует нелокальной эластичности. Обычно ее называют двухфазной локальной/нелокальной моделью. В качестве первой попытки в этой статье мы принимаем двухфазную локальную/нелокальную модель (2) и посвящаем ее получению аналитических решений задач изгиба нелокальной балки Эйлера-Бернулли. Рассмотрим балку длиной L с однородным поперечным сечением S , модулем Юнга E и подвергнутую распределенной поперечной нагрузке q ( x ) в верхней части. Вводится система координат: координата х берется по длине балки и z координата берется по высоте балки, а z обозначает поперечное смещение средней плоскости (т.е. z = 0). Для балочной задачи мы делаем допущение, что нелокальным поведением в направлении толщины можно пренебречь.Как обычно используется в литературе, взяв нормализованное биэкспоненциальное ядро ​​в Eringen, 6 6. A. C. Eringen, J. Appl. физ. 54 , 4703 (1983). https://doi.org/10.1063/1.332803 нелокальное напряжение в направлении x затем может быть выражено его локальным аналогом как
    txx(x)=ξ1σ(x)+ξ22τ∫0Le−|x−s| τσ(s)ds, (3)
    где L – длина балки. Для начала приведем следующее положение, являющееся ключевым в нашем методе. Предложение 2.1. Рассмотрим следующее линейное интегральное уравнение второго рода
    y(x)+A∫abeλ|x−s|y(s)ds=f(x). (6) (6)
    IF F ( x ) ∈ C 2 [ A , B ] (т. Е. Дважды дифференцируемые) и параметры λ A > 0 , то решение y ( x ) интегрального уравнения также принадлежит следующее дифференциальное уравнение
    y″(x)+λ(2A−λ)y(x)=f″(x)−λ2f(x) (7)
    со смешанными краевыми условиями
    y′(a)+λy(a)=f′(a)+λf(a),y′(b)−λy(b)=f′(b)−λf(b). (8)
    Доказательство приведено в Приложении A. С помощью этого «метода редукции» для любых исходных данных, удовлетворяющих предположениям, можно решить дифференциальное уравнение вместо интегрального уравнения. Следует отметить, что метод взят из книги Полянина и Манжирова, 26 26. Полянин А. и Манжиров А., Справочник по интегральным уравнениям (CRC Press, Нью-Йорк, 2008). и подходит для рассматриваемой проблемы. Такая процедура также применялась для получения аналитического решения нелокальной задачи о стержнях ранее, 24 24.E. Benvenuti and A. Simone, Mech. Рез. коммун. 48 , 46 (2013). https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2012.12.001 без дополнительных обоснований его применимости. По поводу предложения сделаем следующие комментарии в соответствии с задачами нелокальной эластичности.1. Метод редукции требует f ( x ) ∈ C 2 [ a , b ]. Таким образом, для случаев, когда f ( x ) не равно C 2 [ a , b ], кажется, что метод не может быть применен напрямую, и были проведены некоторые связанные численные исследования. Готово. 17 17. Р. Абдоллахи и Б. Бороманд, Int. J. Структура твердых тел. 50 , 2758 (2013). https://doi. org/10.1016/j.ijsolstr.2013.04.027 Как сообщается в приложении, f ( x ) ∈ C 2 [ a , b ] бы Подразумевая y ( x ) ∈ C 2 [ A , B ], и можно даже вывести, что y ( x ) делится ту же регулярность с F ( х ).Это верно для принятого ядра, но не всегда верно для нелокальной упругости, особенно для чисто нелокальной модели (1). Например, определяющее уравнение с ядром Гаусса
    t(x)=12τ∫abe−(x−s)2τσ(s)ds. (9)
    Поскольку интегральное ядро ​​имеет эффект смягчения, то для любой интегрируемой функции σ ( x ) нелокальное напряжение является гладким. Следовательно, для любой заданной гладкой функции t ( x ) мы не можем утверждать, что σ ( x ) является гладкой.Или, для задачи, в которой t ( x ) недостаточно гладко, не будет решения для σ ( x ). Этот вопрос также рассматривался ранее. 21 21. C. Polizzotto, Int. J. Структура твердых тел. 38 , 7359 (2001). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(01)00039-72. Результат уникальности y ( x ) зависит от выбора параметров. Хотя для рассматриваемой задачи этого достаточно, условие λ A > 0 математически можно усилить.Поскольку это было исследовано для общей теории корректности в нелокальной теории, 19,20 19. S. B. Altan, Bull. Тех. ун-т Стамбул 37 , 373 (1984).20. С. Б. Алтан, Int. J. Структура твердых тел. 25 , 1271 (1989). https://doi.org/10.1016/0020-7683(89)

    -7 уникальность y ( x ) здесь по существу зависит от соотношений между λ A > 0 и собственными значениями κ 1 соответствующего интегрального оператора
    ∫abeλ|x−s|y(s)ds=κy(x). (10)
    3. В некоторых случаях, рассматриваемых в литературе численно, 12,16,17,22 12. P. Khodabakhshi and J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.00616. A.A.Pisano and P.Fuschi, Int. J. Структура твердых тел. 46 , 3836 (2009). https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2009.07.00917. Р. Абдоллахи и Б. Бороманд, Int. J. Структура твердых тел. 50 , 2758 (2013). https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.04.02722. A.A.Pisano and P.Fuschi, Int. J. Структура твердых тел. 40 , 13 (2003). https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00547-4 дифференциальное уравнение может быть решено явно для заданных функций f ( x ). Таким образом, мы можем получить аналитические решения, что когда-то было очень сложной задачей. Что касается смешанных краевых условий (8), то их можно рассматривать как непротиворечивые требования. А с другой точки зрения, построив функцию Грина (Tricomi 27 27.FG Tricomi, Интегральные уравнения (Dove Publications, New York, 1985). можно проконсультироваться) дифференциального оператора в уравнении (7) с граничными условиями (8), интегральное уравнение (6) можно восстановить. Таким образом, граничные условия можно рассматривать как внутреннее условие в интегральном уравнении, что, в свою очередь, говорит нам о том, что граничные условия (8) являются реквизитами для неизвестного решения y ( x ) в задаче.

    III. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

    Раздел:

    ChooseВерх страницыРЕЗЮМЕ.ВВЕДЕНИЕII.НЕЛОКАЛЬНОЕ ЭЛА ЭРИНГЕНА…III.Основные уравнения < εxx(x)=−zd2w(x)dx2. (11) По определяющему уравнению (3) нелокальное напряжение t xx можно выразить как
    txx(x)=E(ξ1εxx(x)+ξ22|τ−x−Le |τεxx(s)ds), (12)
    и соответствующий изгибающий момент равен
    M(x)=∫Stxx(x)zdS=−EI(ξ1d2w(x)dx2+ξ22τ∫0Le− |x−s|τd2w(s)ds2ds), (13)
    где I = ∫ S z 2 90Отметим, что принцип виртуальных перемещений 28,29 28. Редди Дж. Н., Энергетические принципы и вариационные методы в прикладной механике , 2-е изд. (Джон Уайли и сыновья, Нью-Йорк, 2002 г.).29. Дж. Н. Редди, Int. Дж. Инж. науч. 45 , 288 (2007). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2007.04.004 не зависит от определяющих моделей, уравнения, выраженные через результирующие напряжения, действительны для локальных или нелокальных моделей. Таким образом, мы можем применить его для получения основного уравнения и граничных условий для неизвестного поперечного смещения w ( x ).Внутренняя виртуальная работа из-за δw ( x ) равна
    δWI=∫0L∫Sσxx(x)δεxx(x)dxdS=−∫0LM(x)d2δw(x)dx2dx. (14)
    Внешняя виртуальная работа
    δWE=−∫0Lq(x)δw(x)dx. (15)
    Тогда принцип виртуальных перемещений дает, что можно выразить как
    −∫0LM(x)d2δw(x)dx2dx−∫0Lq(x)δw(x)dx=0. (17)
    Интегрируя первое слагаемое дважды по частям, получаем (x)+q(x))δw(x)dx=0. (18) По основной лемме вариационного исчисления уравнение Эйлера имеет вид или в терминах смещения (ср. (13))
    s|τd2w(s)ds2ds+q(x)=0. (20)
    Граничные условия включают задание одного элемента каждой из следующих двух пар при x = 0 и x = L : Для заданной внешней нагрузки после интегрирования обеих частей основного уравнения (20) мы можем получить следующее интегральное уравнение для y ( x )( y ( x ) = w ″ ( x )) как y(x)+ξ22τξ1∫0Le−|x−x′|τy(s)ds=−1EIξ1(C1+C2x−∫0x(x−s)q(s)ds), (23) , где C 1 ,   C 2 – константы интегрирования, подлежащие определению.Как только y ( x ) получено, неизвестное смещение w ( x ) может быть получено как
    w(x)=C3+C4x+∫0x(x−s)y(s)ds , (24)
    где C 3 , C 4 фактически являются значениями для w (0), w применимости соответственно метода приведения к нашей задаче. Сравнивая уравнение (23) с интегральным уравнением (6), в нашем случае имеем λ=−1τ<0, A=ξ22τξ1>0.Таким образом, требуется только, чтобы правая часть функции
    f(x)=−1EIξ1(C1+C2x−∫0x(x−s)q(s)ds) (25)
    находилась в C 2 [0, L ], и, следовательно, q ( x ) должно принадлежать C [0, L ] (т. е. непрерывно), что в общем случае может быть выполнено. Итак, если q ( x ) непрерывно, то согласно предложению 2.1 уравнение (23) однозначно решается соответствующим дифференциальным уравнением
    y″(x)−k2y(x)=f″(x )−1τ2f(x), (26)
    со смешанными краевыми условиями
    y′(0)−1τy(0)=f′(0)−1τf(0),y′(L )+1τy(L)=f′(L)+1τf(L), (27)
    , где k=1ξ1τ.Общее решение уравнения (26) может быть выражено как
    y(x)=C5ch(kx)+C6sinh(kx)+f(x)+k(1−1k2τ2)∫0xsinh(k(x−s) )f(s)ds, (28)
    , где C 5 , C 6 однозначно определяются из краевых условий (27). То есть, если из граничных условий известны C 1 , C 2 , то можно получить единственную пару C 5 , C 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 6 , 5 , 5 , 5 , 5 , 6 ,Итак, фактически имеем четыре неизвестных C 1 , C 2 , C 3 , C 4 которые определяются как обычно, и из всех заданных граничных условий.

    IV. РЕШЕНИЯ ПО ИЗГИБУ

    Раздел:

    ChooseTop of pageРЕФЕРАТ II. ВВЕДЕНИЕ II. НЕЛОКАЛЬНОЕ УПЛ ЭРИНГЕНА… III. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ IV. РЕШЕНИЯ ПО ИЗГИБУ < В этом разделе , получим аналитические решения задачи статического изгиба нелокальной балки Эйлера-Бернулли с различными граничными условиями.Во всех примерах внешние нагрузки q ( x ) ∈ C [0, L ].

    (1). (SS) Свободно опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой q 0

    w(L)=0,M(0)=M(L)=0. (29) Используя граничные условия на момент, сначала получим Подставляя значения для C 1 , C 2 в уравнение (25) и используя уравнения (26) ( 27), мы можем получить C 5 , C 6 AS 6 AS
    C5 = Q0 (ξ1-1) τ-lcosh (L2ξ1τ) + 2τξ1sinh (l2ξ1τ) 2eiξ1cosh (L2ξ1τ) + ξ1sinh (l2ξ1τ ),С6=ξ1С5. (31)
    Из полученного решения для y ( x ) = w ″( x ) и граничных условий по перемещению можно получить )+ξ1sin(L2ξ1τ)2ξ1ch(Lξ1τ)+(1+ξ1)sh(Lξ1τ) (32)
    1)ξ1τ3sв(L2ξ1τ)12EI.
    По уравнению (24) точное решение для поперечного смещения w ( x ) может быть выражено как 12(ξ1−1)τ2x24EI+q0τ3ξ1(ξ1−1)(L+2ξ1τ)sh(L−x2ξ1τ)sh(x2ξ1τ)EIξ1ch(L2ξ1τ)+sh(L2ξ1τ). (33) Дифференцируя по х (или симметрии решения), мы можем найти, что максимальное отклонение происходит при х = л /2, и оно определяется выражением
    wmax=q0L45+48(1−ξ1)τL2384EI−q0L4(1−ξ1)ξ1τL3+2ξ1τL4sinh3(L4ξ1τ)EIξ1cosh(L2ξ1τ)+sinh(L2ξ1τ). (34)
    Чтобы более четко выявить нелокальный эффект, мы можем провести асимптотический анализ точных решений для w ( x ),   w max .Поскольку L / τ относительно велико, а членами 0 ξ 1 O(e−L/(ξ1τ)) можно пренебречь. Тогда асимптотический анализ дает −xξ1τ−e−L−xξ1τ)+EST, (35)
    wmax=q0L45+48(1−ξ1)τL2−384ξ1(1−ξ1)τL3+2ξ1τL4384EI+EST (36)
    Далее « E ». С . Т .” обозначает члены O(e−L/(ξ1τ)). Легко проверить, положив ξ 1 = 1 в точном решении, что классическое решение полностью восстанавливается.

    (2). (CC) Защемленная балка с равномерно распределенной нагрузкой q 0

    w'(0)=0;w(L)=w'(L)=0. (37) Определение неизвестных коэффициентов для краткости опущено, выражения для этих коэффициентов в дальнейшем приводить не будем, а приведем только решения.Точное решение для поперечного смещения w ( x ) выражается как L3ξ1ch(L2ξ1τ)24EI(L−2(ξ1−1)τ)sh(L2ξ1τ)+Lξ1ch(L2ξ1τ)−q0L(ξ1−1)τL2+6Lτ+12τ2sinh(L2ξ1τ)x12EI(L−2(ξ1−1) τ)sh(L2ξ1τ)+Lξ1ch(L2ξ1τ)+q0L(ξ1−1)ξ1τ2L2+6Lτ+12τ2sinh(x2ξ1τ)sh(L−x2ξ1τ)6EI(L−2(ξ1−1)τ)sh(L2ξ1τ)+Lξ1cosh (L2ξ1τ). (38) Максимальный прогиб происходит при x = L /2, что можно выразить как
    L4ξ1τ)+LL3−10L2(ξ1−1)τ−48L(ξ1−1)τ2−96(ξ1−1)τ3sinh(L2ξ1τ)384EI(L−2(ξ1−1)τ)sh(L2ξ1τ)+Lξ1cosh( L2ξ1τ). (39) (39)
    После принятия асимптотического анализа до W ( x ) и W MAX , мы получаем
    W (x) = q0x424ei-q0lx312ei + q0x2l3 + 12l (ξ1- 1)τ2+24(ξ1−1)τ324EIL+2(1−ξ1)τ+q0L(1−ξ1)L2+6Lτ+12τ2τx12EIL+2(1−ξ1)τ−q0Lξ1(1−ξ1)L2+6Lτ+ 12τ2τ212EIL+2(1−ξ1)τ(1−e−xξ1τ−e−L−xξ1τ)+EST, (40)
    wmax=q0L4(1+101−ξ1τL+162ξ1−5ξ 3(τL)2)384EI1−2ξ1−1τL+q0L4(962ξ1−3ξ1+1(τL)3+384ξ1−ξ1(τL)4)384EI1−2ξ1−1τL+E. С.Т. (41)

    (3). (CP) Защемленная балка с равномерно распределенной нагрузкой Л)=0. (42) Длинное выражение для точного решения w ( x ) приведено в Приложении B, а асимптотическое решение может быть выражено как

    w(x)=q0x424EI+q0L− 5L3 + 12L2ξ1-1τ + 12Lξ1-1τ2-24ξ1-1ξ1-1τ2-24ξ1-1ξ1τ3x348eil3-3l2ξ1-1τ + 3Lξ1-12τ2 + 6ξ1-ξ1-12τ2 + 6ξ1-ξ1-3ξ1 + 2τ2 + 24L2ξ1-1τ3 + 2τ2 + 24L2ξ1-1τ3 + 24Lξ1-13ξ1 + 1τ4 + 48ξ1-12ξ1 + ξ1τ5x216ei ( L3−3L2ξ1−1τ+3Lξ1−12τ2+6ξ1−ξ1τ3)−q0τξ1−1L5+5L4τ−4L3ξ1−3τ2−12L2ξ1−1τ3+24Lξ1−1ξ1ξ1+1τ4+48ξ1−1ξ13/2τ5x8EIL3−2τ6x8EIL3−3L2ξ1ξ1−1τ1+3L −ξ1τ3+q0τ2ξ1−1ξ1(L2L3+5L2τ−4Lξ1−3τ2−12ξ1−1τ3+ξ1L5+5L4τ−4L3ξ1−3τ2+24Lξ12−1τ4+48ξ1−1ξ1τ5−L2L3+5L2τ−4Lξ1−3τ2−12ξξ1−1Lτ3+ξξ1−1Lτ3+ξξ1−1Lτ3 −4L3ξ1−3τ2+24Lξ12−1τ4+48ξ1−1ξ1τ5e−xξ1τ+Lτ−3L3+4L2ξ1−3τ+12Lξ1−12ξ1+1τ2+48ξ1−1ξ1τ3+ξ1τ−3L4−8L3ξ1τ−24L2ξ1−1τ2−ξ1τ4τ14ex −Lξ1τ)/(8EIξ12L3−3L2ξ1−1τ+6ξ1−1τ3+L3ξ1+1−3L2ξ1−1τ+3Lξ1−12τ2+6ξ1−1ξ1τ3)+E.С.Т. (43)
    Прогиб w м при x=(15−33)L/16 (что является максимальным положением в локальной теории) может быть выражен как
    wm=q0L465531EI1−3ξξ −1τL+3ξ1−12τL2+6ξ1−ξ1τL3(39+5533+2484,671−ξ1τL−ξ1−1−3626,83ξ1+10474,91τL2+ξ1−112612,34ξ1+36451,74ξ1−23970,246τL3−4ξ192/6−3ξ164/6−36164τL3−36,164 ξ1-122274. 77ξ1 + 23970.7771 + 23970.77113730.81ξ1 + 657830.81ξ1 + 65789.28ξ1146245.54τl5 + ξ1-12ξ1196608ξ1-227461.63ξ1ξ1227461.63ξ1ξ1 + 196608τl6 + 393216ξ12ξ1-12τl7 + Est, (44)
    , где используется дробное представление .

    (4). (CF) Консольная балка с сосредоточенной или распределенной нагрузкой

    Случай A (CFP) : Для консольной балки с сосредоточенной нагрузкой P на свободном конце граничные условия равны
    w(0)=w′ (0)=0;M(L)=0,dM(x)dx|x=L=P. (45)
    Точное решение для поперечного смещения:
    ? +τsinh(x2ξ1τ)+ξ1τcosh(x2ξ1τ). (46)
    Максимальный прогиб происходит при x = L , что можно выразить как
    τ)+L3ξ1+1−3L2ξ1−1τ+3Lξ1−12τ2+6ξ1−1ξ1τ3sв(Lξ1τ)3EIξ1+1sв(Lξ1τ)+2ξ1ch(Lξ1τ). (47)
    Асимптотические решения для w ( x ) и w max : τ)τxEI−P(1−ξ1)ξ1τ2EI(1+ξ1)L+τ−(L+τ)e−xξ1τ+(1+ξ1)τe−L−xξ1τ+E. СТ, (48)
    wmax=PL31+31−ξ1τL+3ξ1−12τL2+6ξ1−ξ1τL33EI+E.S.T. (49)
    Насколько нам известно, впервые с помощью интегральной модели Эрингена получены точные решения задачи о консольной балке. Вариант B (CFT) : Консольная балка с треугольно распределенной нагрузкой (1 − x / L ) q 0 . Нагрузка явно неравномерная, 12 12. П.Ходабахши и Дж. Н. Редди, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.006, но его вторая производная равна нулю (для сравнения со случаем C). Граничные условия:
    w(0)=w′(0)=0;M(L)=0,dM(x)dx|x=L=0. (50)
    Точное решение для поперечного смещения:
    ξ1ch(Lξ1τ)−6ξ13/2τ3x6EILξ1+1sinh(Lξ1τ)+2ξ1ch(Lξ1τ)+q0ξ1−1ξ1τ26EILξ1+1sinh(Lξ1τ)+2ξ1ch(Lξ1τ)−csinh(Lξ1τ)ξ1ch(xξsin)−1c−1τh)−1c−1τh (Lξ1τ) ξ1sinh (xξ1τ) -cosh (xξ1τ) + 1 + 6ξ1τ3ξ1sinh (xξ1τ) + cosh (xξ1τ) -1, (51)
    Далее, C Обозначения L 3 + 3 L 2 τ + 6 + 6 1 τ 2 + 6 ξ 1 τ 3 . Максимальное отклонение происходит при х = L , который может быть выражен как
    Wmax = q0L4 + 10L2ξ1-1τ230EI + q0ξ1-1τ-csinhLξ1τ + ξ1coshLξ1τ-6ξ13 / 2τ36HTξ1 + 1sinhLξ1τ + 2ξ1coshLξ1τ + q0ξ1-1ξ1τ2csinhL2ξ1τ6EILξ1sinhL2ξ1τ + coshL2ξ1τ . (52) (52)
    После принятия некоторого асимптотического анализа до W ( x ) и W MAX , мы получаем
    W (x) = — q0x5120eil + q0x424ei-q0l2 + 2ξ1-1τ2x312eil +q0L2+6ξ1−1τ2x212EI+q01−ξ1c τx6EIL−q01−ξ1ξ1τ26EILc−ce−xξ1τ+12ξ1τ3ξ1+1e−L−xξ1τ+E.S.T., (53)
    WMAX = Q0L430EI1 + 51-ξ1τL + 5L333ξ1-4ξ1 + 1τl2-15L222ξ13 / 2-3ξ1 + ξ1τl3 + 30Lξ1-12ξ1τl4 + 60ξ1-1ξ13 / 2τl5 + e.s.t. (54)
    Случай C (CFE) : Консольная балка с экспоненциально распределенной нагрузкой Нагрузка неравномерна, и ее вторая производная отлична от нуля. 11 11. C. Li, L. Yao, W. Chen, and S. Li, Int. Дж. Инж.науч. 87 , 47 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.11.006 Граничные условия такие же, как и в случае B. Можно получить точное решение для поперечного смещения, а длинные выражения перечислены в Приложении B. Асимптотика выражения могут быть выражены как 1ex/L+ξ12+1+(e−1)L2ξ1−1ξ1τ3−eξ1−1ξ12τ5+ξ12L5ex/L−1−L3τ22ex/L−ξ1−1+(e−1)L2ξ1−1τ3−eξ1−1ξ1τ5−ξ1− 1ξ1ξ1eτ4e(L+τ)1+ξ1ex−Lξ1τ−ξ1−1ξ1τ2L3+(e−1)L2τ−eξ1τ31+ξ1e−xξ1τ)+E.ST, (55) и максимальное отклонение происходит при x = L , что может быть выражено как
    д)ξ1−6eξ1+6τL2+6(e−1)ξ1−ξ1τL3−6eξ1−12ξ1τL4−12eξ1−1ξ13/2τL5)+EST (56)

    V. АНАЛИЗ И СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ

    Раздел:

    Выбрать.. < Нормированные прогибы w¯ (относительно максимального прогиба местной балки) балки для τ / L = 0,01, 0,03, 0,05 при ξ 1 = 0.1 в каждом случае показаны на фиг. 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно (обозначены как Группа I ). Нормированные максимальные прогибы w¯max (относительно максимального прогиба местной балки) для различных значений τ / L и ξ 1 в каждом случае показаны на рисунках 7,8,9, 10,11,12 соответственно (обозначаются Группа II ). Обратите внимание, что максимальное отклонение локальной балки в каждом случае составляет 10–12 10. J. N. Reddy and S.D. Pang, J. Appl. физ. 103 , 023511 (2008 г.). https://doi.org/10.1063/1.283343111. C. Li, L. Yao, W. Chen, and S. Li, Int. Дж. Инж. науч. 87 , 47 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.11.00612. P. Khodabakhshi and J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci. 2015.06.006
    SS:wmax=5q0L4384EI;CC:wmax=q0L4384EI;CP:wmax=q0L465536EI39+5533;CFP:wmax=PL33EI;CFT:wmax= q0L430EI;CFE:wmax=(5e-12)q0L46EI. (57)
    1. Нелокальные эффекты и граничные условия. Из рисунков в Группа I видно, что во всех случаях отклонение нелокальной балки больше, чем у местного, и увеличение τ / L приведет к увеличению отклонения луч, т. е. смягчающий эффект. Это можно найти и из решений, особенно асимптотического: дополнительные члены, входящие в состав параметра τ / L , вносят свой вклад в нелокальный эффект, особенно член положительного главного порядка, относящийся к O (( τ / L ) 2 ) при максимальном отклонении сильно проявляет смягчающий эффект.Соответствующая кривая для τ / L = 0,01 для случая S-S очень близка к локальной, и мы приводим частичный увеличенный вид, чтобы показать поведение вблизи середины пролета. Следует отметить, что эффект смягчения, предсказываемый аналитическими решениями, в этом случае противоположен эффекту Ходабахши и Редди. 12 12. P. Khodabakhshi and J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.006 В этой статье проведен анализ МКЭ, и обнаружено, что нелокальная балка немного жестче, чем локальная.Это может быть связано с числовой ошибкой (также можно провести некоторые другие сравнения 13,14 13. J. Fernández-Sáez, R. Zaera, JA Loya, and JN Reddy, Int. J. Eng. Sci. 99 , 107 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.10.01314. M. Tuna and M. Kirca, Int. J. Eng. Sci. ://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001). Сравнение цифр в группе I показывает, что нелокальный эффект для каждого граничного условия от наибольшего до наименьшего обычно будет следующим: CC, CP, C-F, S-S.Из рисунков в Группа II видно, что уменьшение ξ 1 привело бы к увеличению прогиба балки. При этом зависимость максимального прогиба от ξ 1 для S-S близка к линейной, а для остальных случаев — нелинейной. Это также видно из первых членов порядка в максимальных прогибах. Таким образом, как правило, более высокие τ / L и более низкие ξ 1 обозначают более сильный эффект смягчения в нелокальном пучке для всех граничных условий. 2. Консольная балка: действие нагрузок. Здесь мы рассмотрели консольную балку с тремя типами нагрузок: сосредоточенная нагрузка на свободном конце, неравномерно распределенная нагрузка, вторая производная которой либо равна нулю, либо отлична от нуля. Во всех случаях модель демонстрирует устойчивый эффект смягчения. Следует отметить, что, хотя результаты здесь не представлены, для консольной балки с равномерно распределенной нагрузкой также имеет место эффект смягчения. Нелокальные эффекты в случаях CFP и CFT согласуются с численными результатами Ходабахши и Редди, 12 12.P. Khodabakhshi and J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 95 , 60 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.06.006, где принята аналогичная модель. Нелокальный эффект CFE противоположен эффекту Cheng et al. 11 11. C. Li, L. Yao, W. Chen, and S. Li, Int. Дж. Инж. науч. 87 , 47 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.11.006 (последнее обсуждение Preethi et al. 31 31. K. Preethi, A. Rajagopal и J. N. Reddy, Int.J. Нелинейная мех. 76 , 100 (2015). https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2015.06.006 в сочетании с эффектами поверхностных напряжений), где используется дифференциальная модель (5) и обнаруживается эффект жесткости. Частично это может быть связано с выбранным здесь интегральным ядром. 3. Предельные решения при ξ 1 = 1,   ξ 1 → 0. . локальные решения могут быть восстановлены во всех случаях.Полагая в решениях ξ 1 → 0, мы можем получить набор «предельных решений». Например, для случаев SS и CFP, если в решениях положить ξ 1 → 0 (ср. уравнения (35) (48)), то получим
    w0(x)=q0x424EI−q0Lx312EI− q0τ2x22EI+q0LL2+12τ2x24EI,
    w0(x)=−Px36EI+PLx22EI+P(L+τ)τxEI. (58)
    Приведенные выше «предельные решения» совпадают с решениями в Туне и Кирке 14 14.М. Туна и М. Кирка, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001 (уравнения (29) и (34) в этой статье). Для случая S-S уравнение (58a) также совпадает с решением Reddy и Pang 10 10. J.N. Reddy and S.D. Pang, J. Appl. физ. 103 , 023511 (2008 г.). https://doi.org/10.1063/1.2833431 с использованием дифференциальной модели (5). Чтобы проверить, являются ли такие «предельные решения» w 0 ( x ) точными для чисто нелокальной модели (4), мы можем просто вычислить результирующий нелокальный изгибающий момент.То есть нам нужно проверить, соответствует ли соответствующий вариант для чистой нелокальной модели (4) уравнения (23) (т.е. положив ξ 1 = 0)
    12τ∫0Le−|x−x′| τy(s)ds=−1EI(C1+C2x−∫0x(x−s)q(s)ds), (59)
    удовлетворяется равенством y(x)=w0″(x). В качестве примера можно взять случай S-S. Обратите внимание, что из уравнения (29) правая часть (23) (59) должна быть такой же, т. е. изгибающий момент, рассчитанный непосредственно из граничных условий, равен M ( x ) = q 0 ( люкс х х 2 )/2.После подстановки y(x)=w0″(x) (т.е. уравнения (58a)) в левую часть уравнения (59) результирующий нелокальный изгибающий момент M 0 ( x ) может быть выражен как
    M0(x)=−EI12τ∫0Le−|x−s|τd2w0(s)ds2ds=q02(Lx−x2)+q0Lτ4e−xτ+e−L−xτ. (60) (60)
    Очевидно, м 0 ( x ) ≠ м ( x ), особенно на границах x = 0, л , а также неразмерный ошибка O ( τ / L ).То есть граничные условия не выполняются точно, поэтому точные решения для чистой нелокальной модели (4) не могут быть восстановлены по «предельным решениям». Так как w0″(x)=limξ1→0w″(x,ξ1) и w ″( x , ξ 1 ) удовлетворяет уравнению (23) для любого ξ

    1 , используя уравнения (60) и (23), мы можем окончательно выразить «

    M 0 ( x ) ≠ M ( x )» как 1 τ ) . Следовательно, граничные условия точно не выполняются.На самом деле, поскольку численное решение в Fernández-Sáez et al. 13 13. J. Fernández-Sáez, R. Zaera, J.A. Loya и J.N. Reddy, Int. Дж. Инж. науч. 99 , 107 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2015.10.013 показало, что для случая S-S относительная ошибка такого аналитического решения при x = л /4 составляет около 0,1 процента. Более того, мы считаем, что в таких аналитических решениях можно пренебречь некоторыми экспоненциальными членами, которые могут повлиять на поведение вблизи границ.Таким образом, относительная ошибка вблизи границ будет еще больше. Подводя итог, мы заключаем, что «предельные решения» (или решения в Tuna and Kirca 14 14. M. Tuna and M. Kirca, Int. J. Eng. Sci. 105 , 80 (2016). https). ://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001) не являются точными решениями для чистой нелокальной модели (4). Однако для относительно небольших τ / L они могут быть хорошими приближениями к внутренней части луча, и это было показано в Туне и Кирке. 14 14. М. Туна и М. Кирка, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001

    VI. ВЫВОДЫ И БУДУЩАЯ РАБОТА

    Раздел:

    ChooseTop of pageРЕФЕРАТ II.ВВЕДЕНИЕII.НЕЛОКАЛЬНОЕ УЛЭ ЭРИНГЕНА…III.ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯIV.РЕШЕНИЯ ПО ИЗГИБУ V.АНАЛИЗ И СРАВНЕНИЕ…VI.ВЫВОДЫ И БУДУЩЕЕ… <<ССЫЛКА НА СТАТЬИ

    В этом В работе метод редукции в литературе строго обоснован и применяется для исследования задачи изгиба нелокальной балки Эйлера-Бернулли с различными граничными условиями.Принята двухфазная локальная/нелокальная модель Эрингена. По рассмотренным примерам можно сделать следующие выводы:

    1. Получены точные решения для нелокальных балок с помощью интегральной модели, особенно для парадоксальной задачи о консольной балке.

    2. Для локальной/нелокальной модели, принятой здесь, путем изучения нескольких типичных граничных условий и нагрузок наблюдается устойчивый эффект смягчения.

    Аналитические решения проверяются путем сравнения с существующими аналитическими и численными решениями.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    [an error occurred while processing the directive]
    ∫0Le−|x−s|τd2w0 из которого следует Основная причина заключается в том, что биэкспоненциальное интегральное ядро ​​здесь не допускает обмена между пределом ( ξ 1 ) и интегрированием. С точки зрения интегрального уравнения это означает, что предел решения интегрального уравнения второго рода (23) не является решением его варианта первого рода (59), явление, обычно встречающееся в области интегральных уравнений. Такая же ситуация для случая CFP (вероятно, для всех других случаев). Как и аналитические решения Tuna и Kirca 14 14. M. Tuna and M. Kirca, Int. Дж. Инж. науч. 105 , 80 (2016). https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2016.05.001 имеют те же выражения, что и «предельные решения», они также не являются точными решениями чистой нелокальной модели (4).Например, для случая SS в этой статье, хотя выражение в уравнении (25) для изгибающего момента удовлетворяет граничным условиям, однако, если подставить уравнение (29) в уравнение (7), чтобы вычислить результирующий изгибающий момент либо при x = 0 или x = L , тогда значения отличны от нуля, а ошибка равна O ( τ / L ) ( κ в этой статье имеет то же значение, что и