Построить эпюру продольных сил и нормальных напряжений: Практическая работа № 5 Построение эпюр продольных и нормальных напряжений при растяжении и сжатии, определение перемещений

Содержание

Как строить эпюры

Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N.

Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями.

Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений: она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.

Правила построения эпюр продольных сил:

  1. Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.

  2. В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т.е. направлена от сечения — продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т.е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.

  3. Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.

  4. Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.

Правила построения эпюр нормальных напряжений:

  1. Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.

  2. На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле

N



А

  1. Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.

При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.

∆l = l – l0 — абсолютное удлинение.

∆l

относительное удлинение или продольная деформация.

l0

Закон Гука при растяжении – сжатии: 

Е – модуль упругости первого рода, характеризует жесткость материала.

Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:

Nl

∆l = ——-

EA

Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и

нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня

  1. Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.

  1. На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.

  1. Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность контролируется так: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.

  1. Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.

  1. На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле

N

 = ——

A

  1. Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.

  1. Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука.

  1. Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом: найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.

Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.

Методические рекомендации по их устранению

Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.

Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.

При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.

В формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.

Эпюра продольных сил (сопромат)

Если продольные силы, возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил. Эпюра продольных сил необходима для оценки прочности стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).

Как строить эпюру продольных сил?

Для построении эпюры N используется метод сечений. Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).

Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении стержня.

Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.

Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что продольное усилие N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.

При этом применяем следующее правило знаков: силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».

Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.

Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.

Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат:

или

кН.

Теперь заменим действие отброшенной нижней части неизвестным внутренним усилием N, направив его, например, от сечения, что соответствует растяжению.

Уравновешиваем оставленную нами верхнюю часть стержня:

кН.

Знак «минус» сигнализирует, что мы не угадали направление продольного усилия N. Оно будет не растягивающим, как мы предполагали, а сжимающим.

Таким образом, мы получили тот же самый результат.

Примеры решения задач

 

Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

 

Решение

1. Брус ступенчатый, по­этому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нор­мальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сумми­руем.

Примечание. Балка за­щемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

 

1. Два участка нагружения:

участок 1:

растянут;

участок 2:

2.

 
 

Три участка по напряжениям:
 
 

 

Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормаль­ных напряжений по его длине, а также определить пере­мещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р2. Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 • 105 Н/’мм3.

Решение

 

1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.

2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

для первого

для второго

для третьего

для четвертого

для пятого

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.

3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса опреде­ляется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Подставляя числовые значения, получаем

4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р2, определяется как алгебраическая сумма удлинений (уко­рочений) участков ///, IV, V:

Подставляя значения из предыдущего расчета, полу­чаем

Таким образом, свободный правый конец бруса пере­мещается вправо, а сечение, где приложена сила Р2, — влево.

5. Вычисленные выше значения перемещений можно полу­чить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р1; Р2; Р3

в отдельности и суммируя ре­зультаты. Рекомендуем учащемуся проделать это само­стоятельно.

 

Пример 3. Определить, какое напряжение возни­кает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l1 = 200,2 мм. Е = 2,1*106 Н/мм2.

Решение

 

Абсолютное удлинение стержня

Продольная деформация стержня

Согласно закону Гука

 

Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а) со­стоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F1 = 1 см2, площадь сечения подкоса F2 = 25 см2. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней под­вешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали Eст = 2,1*105 Н/мм2, дерева Ед = 1,0*104 Н/мм2.

Решение

 

1. Для определения продольных усилий в стерж­нях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стерж­ни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N1 и N2 от узла (рис. 2.10, 6). Составляем уравнения равновесия:

откуда

 

Усилие N2 получилось со знаком минус. Это указы­вает на то, что первоначальное предположение о направ­лении усилия неверно — фактически этот стержень сжат.

2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl1и укорочение подкоса Δl2:

 

 

где

Тяга АВ удлиняется на Δl1= 2,2 мм; подкос ВС уко­рачивается на Δl1= 7,4 мм.

3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если де­формированные стержни АВ1 и В2С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В1 и В2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В1В’ и В2В’, соответственно перпендикулярными к АВ1 и СВ2. Пересечение этих перпендикуляров (точка В’) дает новое положение точки (шарнира) В.

4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изо­бражена в более крупном масштабе.

5. Горизонтальное пере­мещение точки В

Вертикальное

где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;

Подставляя числовые значения, окончательно получаем

При вычислении перемещений в формулы подстав­ляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

7. Ответьте на вопросы тестового задания.


Узнать еще:

Растяжение и сжатие. Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений

Практическое занятие № 2

Растяжение и сжатие. Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений

Цель работы: овладеть методикой расчета продольных сил и напряжений, а также научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

1.1 Общие положения

Нагрузка – совокупность активных внешних сил, действующих на рассматриваемое тело.

Напряжение – мера распределения внутренних сил в сечении, их интенсивность.

Поперечное сечение – сечение стержня, перпендикулярное (нормальное) к его центральной оси.

Опасное сечение – поперечное сечение стержня, где возникают наибольшие напряжения.

Эпюра продольной силы – график изменения величины и знака продольной силы по длине бруса.

Эпюра нормальных напряжений – график изменения величины и знака нормальных напряжений по длине бруса.

Правило РОЗУ при методе сечений

Р — Разрезаем брус сечениями, перпендикулярными продольной оси бруса.

О – Отделяем одну часть бруса.

З – Заменяем действие внешних сил внутренними силовыми факторами.

У – Уравновешиваем внешние силы внутренними силовыми факторами.

1.2. Пример решения задачи

Дано: Внешние силы: F1 = 45 кH; F2 = 40 кH; F3 = 30 кH.

Площади сечений: A1 = 8 см2; А2 = 6 см2; А3 = 4 см2; А4 = 5 см2.

[pic 1]

Рисунок 1 – Схема нагружения бруса

Задание: рассчитать продольные силы, нормальные напряжения и построить эпюры нормальных сил и напряжений.

Порядок работы

1. Разрезаем брус сечениями, перпендикулярными продольной оси бруса. Традиционно, в таких типах задач продольная ось – это ось z. Линиями сечений будут границы участков бруса, которые продлеваем вниз. Кроме того, границами участков буду точки приложения сил.

Из этих точек также вычерчиваем вертикальные линии (см. рис.). Нумеруем участки римскими цифрами, начиная с участка противоположного линии закрепления бруса в опоре, то есть со свободного конца бруса. В нашем случае справа налево.

2. Определяем продольные силы на каждом участке.

Нормальные силы действуют вдоль оси z  и равны сумме проекций на ось всех сил т.е. Nz = ΣFi. При этом положительной считается растягивающая сила, отрицательной сжимающая.

Определяем нормальную силу на первом участке. Справа от проведенного первого участка отсутствуют точки, в которых приложены действующие силы. Точка, где приложена сила F3 будет видна только на втором участке. То есть, на участке I: Nz1 = 0.

На втором участке видна точка приложения и сила F3, которая стремится растянуть брус. Следовательно, NzII = F3 = 30 кH.

На третьем участке нет изменений NzIII = NzII = F3 = 30 кH.

На четвертом участке NzIV = NzIII = 30 кН.

На пятом участке видим две точки приложения сил, т.е. NzV = F3 + F2 =30 + 40 = 70 кН.

На шестом участке три точки приложения, следовательно, NzVI = F3 + F2 – F1 =30 + 40 – 45 = 25 кН.

Определили продольные силы на участках бруса.

[pic 2]

Рисунок 2 — Участки

3. Строим эпюру продольных сил. Эпюра – это график показывающий изменение нормальных сил бруса на участках. Строим по следующим правилам:

Примеры решения задач. Пример 1. Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами

Примеры решения задач. Пример 1. Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами ⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 15Следующая ⇒

 

 

Пример 1. Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус за­щемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, по­строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение:

— Определяем участки нагружения, их два.

— Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.

— Строим эпюру.

— Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном мас­штабе.

 

1. Определяем продольные силы.

 
 

В обоих сечениях продольные силы положительны.

2. Определяем нормальные напряжения

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения пло­щади, видим, что образуется 4 участка напряжений.

Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

 

Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.

Пример 2. Для заданного бруса (рис. 2.5, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение

Заданный брус имеет четыре участка I, II, III, IV (рис. 2.5, а). Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения.

Пользуясь методом сечений, строим эпюру продольных сил (рис. 2.5, б).

Для построения эпюры нормальных напряжений определяем их в поперечных сечениях каждого из участков:

Эпюра σ представлена на рис. 2.5, в.

 


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 489 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su — 2015-2021 год. (0.036 сек.)

1. Для данного ступенчатого бруса, нагруженного силами F1 = 130 кН и F2 = 45 кН, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить изменение длины бруса… 2. Фрикционная накладка приклеена к тормозной колодке клеем… Определить из условия прочности на срез клеевого шва требуемую ширину накладки b при наибольшем тормозном моменте МТ = 1,5 кНм. 3. Для равномерно вращающегося трансмиссионного вала построить эпюру крутящих моментов… — Контрольная работа #1501119 — Техническая механика

1. Задача №1 3
2. Задача №2 7
3. Задача №3 9
4. Задача №4 12
5. Задача №5 16
6. Задача №6 20
Список использованной литературы 23

В работе решены 6 задач:
1.Для данного ступенчатого бруса, нагруженного силами F1 = 130 кН и F2 = 45 кН, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить изменение длины бруса…
2. Фрикционная накладка приклеена к тормозной колодке клеем, для которого [cp] = 2 МПа. Определить из условия прочности на срез клеевого шва требуемую ширину накладки b при наибольшем тормозном моменте МТ = 1,5 кНм. Толщиной накладки пренебречь.
3. Для равномерно вращающегося трансмиссионного вала построить эпюру крутящих моментов, определить из условия прочности и жесткости требуемый диаметр, постоянный по длине вала…
4. Для заданной стальной балки двутаврового сечения №16 построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и проверить ее прочность, приняв…
4. Для заданной стальной балки двутаврового сечения №16 построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и проверить ее прочность…
5. Для заданной стальной двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить из условия прочности требуемый диаметр сечения балки, если F1 = 5 кН, F2 = 7 кН, М = 6 кНм, а = 0,6 м, [] = 160 МПа.
6. По условию и результату решения третьей задачи первой контрольной работы построить эпюру крутящих моментов, эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определить из условия прочности требуемый диаметр вала.
Расчет произвести по гипотезе наибольших касательных напряжений

1. Макеев А.П. Теоретическая механика. Уч.пособие для мех-мат. университетов. М.: Наука, 1990. – 416 с.
2. Попов В.С. Теоретическая механика. Учебное пособие. М.: Энергия, 1970. — 608 с
3. М.А. Павловский, Т.В. Путята. Теоретическая механика. Киев: Высшая школа, 1985. – 326 с.
4. Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М.: Физматлит, 1959. – 584 с.
5. Эрдеди. Теоретическая механика. М.: Высшая школа, 1964. – 354 с.

Решение Найдем продольные силы в каждой части стержня от заданных сил, раскрыв статическую неопределимость


Подборка по базе: Химия 10.1 Строение атома. Решение задач на тему вычисление сред, Олимпиадные задачи по математике (7 класс) с решением.doc, Численное решение нелинейных уравнений.doc, К теме 5 решение.docx, Итоговое задание для зачёта РЕШЕНИЕ.docx, КР по МС решение варианта.doc, план Силы.Сложение сил.docx, матрицы решение.pdf, 3. функция. решение.docx, 10 упражнений для тренировки силы воли.docx

Задание 1

Расчет стержня на растяжение-сжатие.
A=4, B=4, C=4, D=4.

Требуется:


  1. Построить эпюру продольной силы N.

  2. Подобрать размеры сечений , , из условия прочности.

  3. Построить эпюру нормальных напряжений.

  4. Найти перемещения сечений B и C и показать их на рисунке.

  5. Считая , построить эпюру нормальных напряжений, возникающих при монтаже неточно изготовленного стержня.

Дано: , , , , , , , , , , , .
Решение:


  1. Найдем продольные силы в каждой части стержня от заданных сил, раскрыв статическую неопределимость.

Разобьем стержень на 3 участка и запишем уравнения для продольных сил и удлинений на каждом участке.


I участок:

II участок:

III участок:

Составляем уравнение равновесия.

Таким образом, конструкция 1 раз статически неопределима, т.к. у нас 1 уравнение равновесия и 2 неизвестных реакции опор.

Для раскрытия статической неопределимости запишем условие совместности деформаций.


Полное удлинение всего стержня или перемещение сечения D относительно сечения A равно нулю:


Из уравнения равновесия

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.


  1. Запишем уравнения для продольных сил и нормальных напряжений на каждом участке.

I участок:

II участок:

III участок:


  1. Подберем размеры сечений из условия прочности.


Выбираем

-4-


  1. Запишем уравнения для продольных сил, нормальных напряжений и удлинений на каждом участке.

I участок:


II участок:


III участок:


  1. Построим эпюры для продольных сил, нормальных напряжений и удлинений на каждом участке.

-5-


  1. Найдем перемещения сечений B и C и укажем направо или налево они смещаются.

Сечение B перемещается налево на 0.03мм.

Сечение C перемещается налево на 1.76мм.


  1. Найдем продольные силы и нормальные напряжения в каждой части стержня возникающих при монтаже неточно изготовленного стержня, раскрыв статическую неопределимость.

-6-


Разобьем стержень на 3 участка и запишем уравнения для продольных сил и удлинений на каждом участке.

I участок:

II участок:

III участок:
Составляем уравнение равновесия.


Таким образом, конструкция 1 раз статически неопределима, т.к. у нас 1 уравнение равновесия и 2 неизвестных реакции опор.

Для раскрытия статической неопределимости запишем условие совместности деформаций.



Из уравнения равновесия


Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.


  1. Запишем уравнения для продольных сил и нормальных напряжений при монтаже неточно изготовленного стержня.

I участок:


II участок:


III участок:


  1. Построим эпюры для продольных сил и нормальных напряжений при монтаже неточно изготовленного стержня.

-8-

% PDF-1.3 % 1809 0 obj> эндобдж xref 1809 75 0000000016 00000 н. 0000003313 00000 н. 0000001836 00000 н. 0000003471 00000 н. 0000003499 00000 н. 0000003547 00000 н. 0000003673 00000 н. 0000004059 00000 н. 0000004144 00000 н. 0000004229 00000 н. 0000004312 00000 н. 0000004395 00000 н. 0000004478 00000 н. 0000004561 00000 н. 0000004644 00000 п. 0000004727 00000 н. 0000004810 00000 н. 0000004893 00000 н. 0000004976 00000 н. 0000005059 00000 н. 0000005142 00000 н. 0000005225 00000 н. 0000005308 00000 п. 0000005391 00000 п. 0000005474 00000 н. 0000005557 00000 н. 0000005640 00000 н. 0000005723 00000 н. 0000005806 00000 н. 0000005889 00000 н. 0000005972 00000 н. 0000006054 00000 н. 0000006136 00000 н. 0000006218 00000 н. 0000006300 00000 н. 0000006382 00000 п. 0000006745 00000 н. 0000010431 00000 п. 0000010978 00000 п. 0000011166 00000 п. 0000011806 00000 п. 0000011892 00000 п. 0000011919 00000 п. 0000012473 00000 п. 0000018402 00000 п. 0000019201 00000 п. 0000019589 00000 п. 0000019658 00000 п. 0000020148 00000 п. 0000021318 00000 п. 0000021664 00000 п. 0000022422 00000 п. 0000022686 00000 п. 0000023334 00000 п. 0000028354 00000 п. 0000028792 00000 п. 0000029204 00000 п. 0000029823 00000 п. 0000030993 00000 п. 0000031394 00000 п. 0000031939 00000 п. 0000032026 00000 п. 0000032066 00000 п. 0000033237 00000 п. 0000033324 00000 п. 0000033353 00000 п. 0000033452 00000 п. 0000034614 00000 п. 0000035778 00000 п. 0000036478 00000 п. 0000037185 00000 п. 0000037959 00000 п. 0000038616 00000 п. 0000039340 00000 п. 0000003100 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 1811 0 obj> поток xb«b`π

Напряжение

Напряжение

Авторские права на материалы на этой странице принадлежат © 2020 John W.Ф. Уолдрон

Динамический анализ касается силы и напряжения (силы на единицу площади).

Первое слово в борьбе со стрессом — осторожность! Новички в геологии, которых в некоторых случаях поощряют плохо сформулированные учебники, склонны делать динамические выводы, основанные на наблюдениях за геометрией. Несмотря на многие десятилетия исследований в области структурной геологии, необычно иметь возможность делать какие-либо количественные выводы о напряжении на основе наблюдений за обнажениями!

Частично проблема заключается в том, что скорости геологической деформации для пластической деформации очень медленные, поэтому мы не можем напрямую определить, какое напряжение создает какую структуру, если мы не готовы проводить наши эксперименты в течение 10 000 лет или более! Для хрупкой деформации экспериментальное моделирование структур проще, но экспериментальная структурная геология все еще остается сложной областью.

Тем не менее, понимание напряжения критически важно в областях структурной геологии и инженерии, которые имеют дело с напряжением в наши дни, таких как исследования землетрясений и поведение флюидов (воды, нефти, газа) в недрах, поэтому мы необходимо знать, как измеряется стресс, и как структуры могут быть связаны со стрессом.

Векторы и тензоры напряжений

Напряжение или тяга на 2D-поверхности

Сила концентрации на любой плоскости может быть выражена в Нм -2 или Па.Эта величина представляет собой вектор с тремя компонентами, широко известный как напряжение .

Примечание: слово ударение используется двояко. Он может описывать концентрацию силы на плоскости, также известную как тяга (или, в особом случае, когда сила перпендикулярна плоскости, как давление ). Однако его также можно использовать для описания набора сил, которые действуют на все возможные плоскости, проходящие через точку. Это трехмерное состояние напряжения нельзя описать одним вектором — это величина тензора .Некоторые учебники ограничивают слово напряжение этой тензорной величиной и используют слово тяга для вектора, который описывает концентрацию силы на одной плоскости. В этих примечаниях термин «напряжение» неформально используется как для тензорной величины, так и для ее векторного проявления. Если есть вероятность путаницы, мы будем писать «напряжение на плоскости» или «тензор напряжения», чтобы различать эти два понятия.

В формулах принято использовать греческую букву сигма σ для вектора напряжения.Тензоры обычно обозначаются полужирными прописными буквами, но сигма в верхнем регистре (Σ) используется для слишком многих других вещей! Мы будем использовать прописные буквы T , если нам нужно представить тензор напряжений алгебраически.

Нормальное напряжение

Составляющая напряжения σ n , перпендикулярная поверхности, является нормальным напряжением (или растяжением).

Напряжение сдвига

Часть напряжения σ с или τ параллельно поверхности называется напряжением сдвига (или тяговым усилием).Общее напряжение на поверхности равно векторной сумме нормального напряжения и напряжения сдвига.

Напряжение сдвига само по себе может быть разделено на составляющие, параллельные (например) простиранию и падению поверхности.

Соглашение о знаках

Обратите внимание, что в геологии мы обычно рассматриваем сжимающих нормальных напряжений как положительных , потому что сжимающие напряжения гораздо более распространены на Земле. (Это приводит к некоторым трудностям, когда мы связываем напряжение и деформацию, потому что мы рассматриваем растяжения как положительные, а сокращение — как отрицательные.)

Единицы напряжения

Единицей измерения напряжения в системе СИ является паскаль, равный одному Ньютону на квадратный метр. Однако даже легкий ветерок создает несколько паскалей напряжения на поверхности Земли, так что 1 паскаль мало влияет на среднюю породу. Геологи использовали множество альтернативных методов измерения напряжения, сбивающих с толку:

  • килопаскаль 1 кПа = 1000 Па
  • Мегапаскаль 1 МПа = 10 6 Па
  • Гигапаскаль 1 ГПа = 10 9 Па
  • Сгс (сантиметр-грамм-секунда) единица измерения напряжения — дин / см 2 , что равно 0.1 Па.
  • Строка чаще всего используется с единицами измерения cgs. 1 бар = 10 6 дин / см 2 = 10 5 Па
  • Отсюда 1 kb = 10 8 Па = 100 МПа
  • Атмосферное давление в среднем составляет около 101325 Па; следовательно, 1 атм близок к 1 бар или 10 5 Па
  • Имперская единица измерения — фунт-сила на квадратный дюйм или psi. 1 фунт / кв. Дюйм = 6894 Па

Чтобы дать общее представление о диапазоне напряжений земной коры, среднее напряжение (примерно эквивалентное давлению) в основании континентальной коры составляет около 1 ГПа, 10 кб, 10000 атм или 14500 фунтов на квадратный дюйм.

Напряженное состояние в 3D

Напряженное состояние в 3D

По мере того, как мы переходим к трехмерному изображению, все становится сложнее. В любой точке Земли есть бесконечное количество разнонаправленных поверхностей. В жидкости все эти поверхности испытывают одинаковое напряжение, и мы описываем состояние напряжения одним числом — давлением .

В твердом теле каждая плоскость испытывает различный вектор напряжений

Эллипсоид напряжений

Если мы нарисуем все векторы, описывающие напряжение в точке, они будут определять эллипсоид напряжений.Это графическое представление, но не очень удобный инструмент для расчета напряжений.

Тензор напряжений

Оказывается, мы можем полностью определить состояние напряжения . в точке внутри Земли можно рассматривать как действие на поверхности крошечного куба.

Пока куб неподвижен, силы на противоположных гранях должны быть равными и противоположными, поэтому необходимо учитывать три поверхности с девятью составляющими напряжения. Девять компонентов можно представить в виде матрицы, тензора напряжений

.

(σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33)

Аргументы, связанные с моментами, могут быть использованы, чтобы показать, что σ 12 = σ 21 и т. Д., Поэтому матрица симметрична и состоит только из шести независимых компонентов.

Тензор напряжений является гораздо более практичным средством представления напряжения, потому что его можно использовать для расчета силы тяги на любой произвольно ориентированной плоскости, если эта плоскость может быть представлена ​​единичным вектором . Расчет представляет собой матричное умножение.

σ =

Основные напряжения

Как правило, будут три специальные взаимно перпендикулярные плоскости, которые не испытывают напряжения сдвига, а только нормальные напряжения.

Полюса этих плоскостей — это оси напряжений , а напряжения, действующие вдоль них, называются главными напряжениями . σ 1 > σ 2 > σ 3.

Это означает, что напряжение на плоскости действует в том же направлении, что и полюс к плоскости. Следовательно, математически вектор напряжения является простым кратным вектору, представляющему плоскость:

σ = k â =

Где k — скалярная константа.Это уравнение на самом деле является определением собственного вектора — с концепцией, с которой мы познакомились в разделе о статистике.

Итак, оси напряжений соответствуют собственным векторам тензора напряжений.

Если оси напряжений 1, 2 и 3 совпадают с осями координат 1, 2 и 3, то тензор напряжений становится очень простым.

(σ1000σ2000σ3)

Если два главных напряжения равны нулю, то состояние напряжения описывается как одноосное.

Если одно из главных напряжений равно нулю, а два отличны от нуля, то напряжение будет двухосным.

Если все три главных напряжения не равны нулю (даже если два или три одинаковые), тогда напряженное состояние будет трехосным.

Среднее и девиаторное напряжение
Среднее напряжение

Если мы возьмем среднее значение трех основных напряжений, мы найдем среднее напряжение , которое эквивалентно нормальному понятию давления (например.грамм. в метаморфической петрологии).

Среднее напряжение σ м = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) / 3

Девиаторное напряжение

Остальная часть напряжения, которую мы получаем путем вычитания среднего напряжения из трех диагональных компонентов тензора напряжений, называется девиаторным напряжением или дифференциальным напряжением .

Девиаторное напряжение = (σ11 − σmσ12σ13σ21σ22 − σmσ23σ31σ32σ33 − σm)

Самый простой способ подумать о компонентах среднего и девиаторного напряжения — это учесть, что

  • среднее напряжение действует на изменение объема
  • девиаторное напряжение действует на изменение формы
Дифференциальное напряжение

Еще одна полезная мера части напряжения, которая влияет на изменение формы, — это просто разница между максимальным и минимальным главными напряжениями.

Дифференциальное напряжение σ d = (σ 1 — σ 3 )

Эта мера очень полезна при изучении образования трещин и любой ситуации, когда значение промежуточного главного напряжения менее важно, чем два крайних значения.

Эффективное напряжение

Иногда часть среднего напряжения в породе поддерживается давлением порового флюида. Это снижает влияние нормальных напряжений на минеральные зерна, эффективно уменьшая среднее напряжение, но оставляет напряжения сдвига неизменными.

Эффективное напряжение (или эффективное давление) определяется как напряжение за вычетом порового давления флюида.

(σ11 − Pfσ12σ13σ21σ22 − Pfσ23σ31σ32σ33 − Pf)
Напряженные режимы
Стандартные напряженные состояния

Стандартные состояния напряжения — это состояния, при которых напряжение полностью возникает из-за силы тяжести, действующей на породы литосферы.

Гидростатические и литостатические состояния напряжений являются наиболее простыми, в которых все три главных напряжения равны σ 1 = σ 2 = σ 3 .В этих условиях эллипсоид напряжений представляет собой сферу, а направления осей напряжений не определены.

Гидростатическое напряжение описывает ситуацию в водоеме в состоянии покоя. Поскольку вода практически несжимаема, все поверхности « чувствуют » одно и то же напряжение σ 1 = σ 2 = σ 3 = ρgz , где ρ — плотность воды , g — ускорение свободного падения , z — глубина. Если вода в пористой породе постоянно связана с поверхностью, давление в этой жидкости, вероятно, будет приблизительно гидростатическим.

Литостатическое напряжение аналогично, но из-за плотности вышележащих пород, а не воды. Это подходящее описание для частей земной коры, которые оставались стабильными под собственным весом в течение долгих периодов геологического времени; медленная пластичная деформация позволила им вести себя как тяжелая жидкость.

Состояние напряжения Одноосная деформация — это скорректированное состояние напряжения, которое напоминает литостатическое состояние, но принимает во внимание тот факт, что горные породы сжимаются.Следовательно, вес вышележащей породы вызывает уплотнение . Из-за уплотнения вертикальные поверхности не «чувствуют» столько напряжения, как горизонтальные поверхности.

Теоретически уменьшение горизонтального напряжения является функцией коэффициента Пуассона ν, показателя сжимаемости, с которым мы вскоре познакомимся.

σx = σy = ν1 − νσz = ν1 − νρgz

На практике состояние напряжения в большинстве осадочных бассейнов, подвергающихся уплотнению, находится где-то между состоянием одноосной деформации и литостатическим состоянием.

(Примечание: слово « одноосное » используется по-разному в исследованиях напряжений и деформаций. Одноосная деформация описывает ситуацию, когда две из основных деформаций равны , равным ; при одноосном напряжении два главных напряжения равны ноль .)

Тектонические напряженные состояния

В целом на Земле оси напряжений σ 1 σ 2 σ 3 не совпадают с пространственными осями, хотя на поверхности Земли одна из осей напряжений всегда примерно совпадает с вертикалью ось «z».Это связано с тем, что поверхность Земли приблизительно горизонтальна и представляет собой поверхность с нулевым касательным напряжением (без учета довольно малых касательных напряжений, создаваемых потоками воды и воздуха).

Этот принцип был впервые выдвинут Андерсоном, и состояние напряжения, при котором одно главное напряжение является вертикальным, часто описывается как Андерсон . Существует три режима напряжения Андерсона, каждый из которых характеризуется определенным распределением разломов.

  • Гравитационный или нормальный сбросовой режим: σ 1 вертикальный
  • Гаечный или сдвиговый режим: σ 2 вертикальный
  • Режим тяги: σ 3 вертикальный
  • Обратите внимание, что в каждом из этих режимов доминирующими разломами являются сопряженных разломов , которые лежат по обе стороны от σ 1 и пересекаются по σ 2 .

Расчет напряжения на поверхности

Умножение матриц

Можно вычислить напряжение на любой поверхности (известное как разрешенное напряжение , или тяговое усилие) с помощью геометрических построений, но если известен тензор напряжений, это проще сделать путем матричного умножения.

Для линейных алгебраистов, если состояние напряжения представлено тензором напряжений , а â — вектор, представляющий полюс к плоскости, то вектор напряжений σ на этой плоскости вычисляется умножением матриц

σ = â

Круг Мора для напряжений

Существует конструкция круга Мора для напряжения, которая эффективно выполняет вычисление тензора в графическом виде.

Если нормальное напряжение нанесено на ось x графика, а напряжение сдвига — на ось y, то все возможные комбинации нормального напряжения и напряжения сдвига попадают в круг, пересекающий ось x в точке σ 1 и σ 3

Если ограничиться плоскостями, параллельными σ 2 , то комбинации нормального напряжения и напряжения сдвига лежат на самой окружности. На эти плоскости всегда приходятся самые высокие напряжения, поэтому эта диаграмма полезна для прогнозирования трещин.

Его можно использовать для прогнозирования ориентации плоскости, которая сначала превышает прочность породы на разрыв.

Условия хрупкого разрушения представлены диапазоном разрушения . Когда дифференциальное напряжение становится достаточно большим, круг Мора пересекает границу разрушения и происходит разрушение.

Для других ориентаций плоскостей необходима трехмерная диаграмма Мора; он состоит из 3 окружностей Мора, по одному для плоскостей, параллельных σ 1 , σ 2 , σ 3 .

Реакция материалов на нагрузку

Нагрузочные испытания

Следующие разделы посвящены различным способам реагирования горных пород на напряжение. Существуют различные лабораторные установки для испытаний материалов под нагрузкой.

Лабораторная установка для стресс-тестов обычно настраивается так, чтобы:

  • Образец заключен в непроницаемую рубашку, которая является слабой по сравнению с образцом, но действует для отделения жидкости внутри пор от внешней жидкости, которая используется для контроля напряжения.
  • От
  • до укорачивают образец. , поршни, расположенные на обоих концах образца, укорачивают образец на измеренное расстояние (по которому можно рассчитать деформацию). Соответствующее напряжение σ 1 регистрируется датчиком в поршневом аппарате
  • .
  • Измеренное ограничивающее давление прикладывают к внешней стороне образца для контроля σ 2 и σ 3 . (В большинстве обычных устройств эти два значения имеют одинаковое значение).
  • Давление поровой жидкости e можно изменять, закачивая жидкость под измеренным давлением внутри рубашки для пробы.

Эластичный отклик

Упругое поведение — это простейшая реакция, при которой деформация пропорциональна приложенному напряжению.

В этом случае, если напряжение уменьшается, деформация также уменьшается, поэтому мы говорим, что упругая деформация восстанавливается . Этот тип деформации очень важен для понимания сейсмических волн и для инженерных геологических приложений. Естественные упругие деформации в породах невелики и в древних породах не сохраняются.Тем не менее важно понимать упругую деформацию, поскольку она помогает определить состояние напряжения в литосфере.

Зависимость продольного напряжения от деформации: модуль Юнга

Закон Гука: При упругой деформации конечная деформация пропорционально связана с напряжением .

Отношение напряжения к деформации в одном измерении для упругого материала равно

нормальное напряжение σ n = E.e

, где E — модуль упругости Юнга , а e — удлинение или частичное изменение длины .

Отношение длины к ширине: коэффициент Пуассона

Большинство горных пород, когда они подвергаются сжимающему напряжению в одном направлении, имеют тенденцию расширяться под прямым углом к ​​этому направлению. Эта тенденция выражается коэффициентом Пуассона ν, отношением утолщения к сокращению при таком напряжении.

Коэффициент Пуассона ν = — e x / e z

Где e z — удлинение, параллельное σ 1 , а e x — удлинение, перпендикулярное σ 1 .

Для образца, сохраняющего постоянный объем, коэффициент Пуассона будет 0,5. Большинство горных пород показывают отрицательное изменение объема при одноосном напряжении и, следовательно, показывают коэффициент Пуассона между 0.5 и 0.

Для изотропного эластичного материала оказывается, что модуль Юнга и коэффициент Пуассона — это все, что необходимо для описания упругих свойств. Хотя иногда используются другие модули, они могут быть получены из этих двух величин.

Хрупкое разрушение

Типы переломов

Большинство горных пород у поверхности Земли, подвергающихся возрастающим дифференциальным напряжениям, в конечном итоге разрушаются из-за хрупкого разрушения. Когда происходит разрушение, прочность породы падает до нуля в плоскости разрушения.Это называется потерей сплоченности.

Переломы могут образовываться по-разному. В некоторых случаях две стороны перелома расходятся. Такие трещины известны как трещины при растяжении, или при растяжении, ; в выходах горных пород соответствующие признаки составляют стыков . Обычно они образуют перпендикулярно минимальному главному напряжению σ 3 .

В качестве альтернативы мы можем увидеть трещины, в которых две стороны прошли друг мимо друга: i.е. движение параллельно плоскости излома. Они известны как трещины сдвига ; соответствующие особенности в обнажениях — разломов . Обычно они образуются в виде наборов зеркальных изображений, которые пересекаются по σ 2 и составляют некоторый угол θ по обе стороны от σ 3 . Чувство сдвига таково, что блоки породы в форме клина с их острым углом, разделенным пополам на σ 2 , проталкиваются внутрь к центру образца.Такие переломы известны как сопряженные переломы .

Развитие перелома

Трещины Гриффита — микроскопические трещины, в основном по границам зерен — присутствуют во всех геологических материалах. Экспериментальные работы показывают, что они важны для развития разломов, поскольку высокие концентрации напряжений возникают на концах трещин.

Трещины Гриффитса, ориентированные под большим углом к ​​σ 3 , имеют тенденцию открываться при увеличении дифференциального напряжения.В непористых породах первым признаком неизбежного разлома может быть небольшое увеличение объема, называемое дилатансией . На глубине этому увеличению объема препятствует ограничивающее давление, и развитие разлома более затруднено.

Напряжение сосредоточено на концах трещин Гриффитса, что вызывает их рост. Зона раскрытия трещины известна как зона процесса , или зона фрикционного разрушения .

В конце концов трещины Гриффита соединяются, образуя сквозную трещину, по которой может начаться скольжение.

После начала проскальзывания трещина распространяется чрезвычайно быстро: скорости сравнимы со скоростью сейсмических волн, измеряемых в километрах в секунду. Для распространения трещины в тестовом образце может потребоваться всего миллисекунды. Естественные разломы на Земле распространяются на гораздо большие расстояния. Природные землетрясения могут длиться несколько минут, поскольку трещина распространяется вдоль плоскости разлома.

В любой момент во время распространения трещина ограничена линией конца .

Трещины могут распространяться как

  • Режим 1 — трещина растяжения
  • Режим 2 — сдвиг трещины скольжения перпендикулярно линии вершины
  • Режим 3 — сдвиг трещины скольжения параллельно линии вершины
Критерии отказа

Условие отказа может быть представлено на диаграмме Мора для напряжения в виде диапазона отказов . Было предложено несколько различных формул для диапазона отказа.

Самая простая из них была предложена Кулоном и представляет собой прямолинейное соотношение между напряжением сдвига и нормальным напряжением, действующим на плоскость разрушения.

σ с = C + σ n tan φ

, где φ известен как угол внутреннего трения , а постоянная C — это когезия .

Конструкция Мора может быть использована, чтобы показать, что она предсказывает образование трещин сдвига так, что полюс трещины образует угол с σ 1 , определяемый по формуле:

θ = 45 ° + φ /2

Влияние давления жидкости

Высокое давление поровой жидкости снижает все нормальные напряжения; напряжения сдвига не затронуты.Оставшееся напряжение известно как эффективное напряжение.

На диаграмме Мора это можно показать, сдвинув круг Мора влево на величину, равную давлению жидкости.

В результате увеличения давления жидкости круг Мора может пересекать границу разрушения, что приводит к трещинам гидроразрыва.

Если круг Мора пересекает наклонную часть диапазона разрушения, образуются сопряженные сдвиговые трещины (режим 2 или 3)

Если круг Мора сначала пересекает часть огибающей разрушения в части диаграммы, связанной с растяжением ( σ n отрицательно), то трещины гидроразрыва относятся к режиму 1, трещины растяжения

Существовавшие ранее переломы

Байерли вывел эмпирическую зависимость движения на ранее существовавших трещинах

Обратите внимание, что в соответствии с «законом Байерли » зона разрушения не распространяется в поле растяжения слева на диаграмме.Это означает, что порода не может выдерживать растягивающее напряжение — у нее нет сцепления.

σ с = 0,85 σ n (для σ n <200 МПа)
σ с = 50 МПа + 0,60 σ n ( для σ n > 200 МПа)

Разломы против катакластического потока

Многие хрупкие трещины возникают в виде отдельных плоскостей, но в некоторых породах зерна движутся независимо, или имеется несколько анастомозирующих трещин, которые создают видимость непрерывной деформации.

  • Когда движутся независимые зерна (например, в плохо цементированном песчанике), деформация называется потоком гранул . Образовавшаяся полоса деформации может казаться пластичной в масштабе обнажения, но хрупкой в ​​микроскопическом масштабе.
  • Когда движущиеся частицы создаются путем дробления уже существующих зерен, этот процесс называется катакластическим потоком .

Эти типы течения могут иметь значительное влияние на пористость.

  • В слабоцементированных породах с высокой начальной пористостью катакластический и гранулированный поток может снижать пористость и проницаемость, создавая более плотную упаковку частиц. Разломы этого типа могут выступать в качестве препятствий для миграции флюидов в недрах.
  • С другой стороны, в сильно цементированных непористых породах катакластический поток может привести к созданию пористости, феномену, известному как дилатансия . Такие разломы могут действовать как каналы для флюидов и в результате могут стать минерализованными.

Измерение напряжения в настоящее время (неотектонический стресс)

Напрямую измерить напряжение сложно. Большинство методов измерения напряжения фактически измеряют влияние напряжения на какой-либо материал — деформацию. Обычно мы стараемся выбрать материал, для которого хорошо известна взаимосвязь между напряжением и деформацией (определяющее уравнение).

В настоящее время существует всего несколько методов прямого измерения напряжения на Земле.Однако текущее состояние напряжения важно при добыче нефти, потому что оно частично определяет, будут ли трещины оставаться открытыми.

Во всех этих методах мы фактически измеряем упругую деформацию. Мы можем использовать это для оценки напряжения, поскольку упругая деформация и напряжение обычно линейно связаны.

Вскрытия скважин

Скважины могут реагировать на девиаторное напряжение, показывая прорывы. Обычно при прорыве ствола скважина становится эллиптической, и ориентацию эллиптического контура можно определить по ориентированным каротажным диаграммам.Длинная ось эллипса представляет собой минимальное сжимающее напряжение, действующее на ствол скважины, тогда как короткая ось представляет направление максимального сжатия.

Ориентация прорыва часто используется, чтобы показать ориентацию двух главных напряжений. Однако это предполагает

  • скважина вертикальная; а также
  • стресс андерсонский

Строго говоря, прорывы указывают на максимальное и минимальное напряжения в плоскости, перпендикулярной скважине, которые не обязательно являются осями напряжений.

Перезагрузка

При забивке тензодатчик встраивается в забой скважины. Затем скважину углубляют долотой, при которой тензодатчик торчит из забоя скважины, окруженный кольцевым пустым пространством, снимая напряжение с окружающей породы. Регистрируется изменение формы керна (обычно очень небольшое изменение), а напряжение рассчитывается на основе упругих свойств породы (которые можно измерить, если керн поднимается на поверхность).

http://www.hydrofrac.com/hfo_home.html

Тестирование утечки

При испытании на герметичность часть ствола скважины герметизируется, а затем жидкость закачивается в герметичную часть. Когда давление жидкости превышает минимальное главное напряжение σ 3 , эффективное значение σ 3 становится отрицательным (растяжение), позволяя трещинам раскрыться. С помощью этого метода можно измерить величину и потенциально ориентацию σ 3 , если, например, можно визуализировать индуцированные трещины.

Механизмы очага землетрясения

Механизмы очага землетрясения определяют плоскость разлома и узловую плоскость и позволяют определять оси P (сжатие) и T (растяжение), которые определяют упругую деформацию, возникающую при землетрясении. Оси размещены так, чтобы пересекать узловые плоскости. Предполагая, что напряжение напрямую связано с упругой деформацией, ось P приравнивается к σ 1 , а ось T — к σ 3 , давая направления, но не величины для главных напряжений.

Карта мирового стресса

Эти типы результатов были включены в Мировую карту стресса.

Измерение палеонапряжений от разломов

Принципы

Информация о неисправностях

Неисправности дают информацию о

  • Общая деформация
  • Напряжение, вызвавшее разлом

Было разработано несколько методов для изучения совокупности разломов. Как правило, эти методы рассматривают ориентацию разломов вместе с линиями скольжения на этих поверхностях разломов.

Допущения

При анализе популяций разломов мы должны предположить, что линии скольжения сформировались более или менее в той ориентации, которую мы находим сейчас. Кроме того, часто приходится предполагать, что оси деформаций, связанные с деформацией разломами, совпадают с осями напряжений. Это справедливо только в том случае, если

  • порода изотропная и
  • деформация невращательная.

Следовательно, анализ сдвига разломов работает только в областях с низкой деформацией в относительно однородных породах, где не было больших вращений блоков во время деформации.

Сопряженные разломы

Геометрия

Многие общие конфигурации разломов являются вариациями на тему сопряженных разломов : множественные разломы в 2 семействах с углом между ними ~ 60 °.

Мы объясняем это динамически как трещины сдвига, возникающие в результате критического напряжения для хрупкого разрушения (модель разрушения Мора-Кулона), которые также можно воспроизвести в экспериментах.

Разрушение сначала происходит в плоскостях, ориентированных таким образом, что нормаль плоскости (или полюс) находится под углом <45 ° (часто около 30 °) по обе стороны от минимального напряжения сжатия σ 3 ; Другими словами, плоскости разломов находятся под углом от ~ 30 ° до σ 1 .

Стыки или Жилы также могут образовываться, если давление жидкости было высоким во время гидроразрыва. Обычно они перпендикулярны σ 3 .

Критерии сопряженных разломов

Чтобы идентифицировать нормальные неисправности как сопряженные, нам необходимо показать:

  • ориентация в два кластера под углом ~ 60 °
  • последовательное скольжение (узкий клин смещен внутрь)
  • оба набора неисправностей активны в один и тот же интервал времени

Сопряженные разломы указывают ориентацию главных напряжений, а не их величину

Средние оси P и T

Каждый разлом в объеме нарушенной породы вносит небольшой вклад в общую деформацию.Если мы «усредним» деформацию из-за разлома по объему литосферы, мы можем определить оси деформации S 1 и S 3 . Обе оси лежат под углом 45 ° к плоскости разлома, и они совпадают с направлениями осей T и P, выявленных при сейсмических исследованиях активных разломов.

Оси для одиночного разлома, в 2D

Оси для одиночного разлома в 3D

Таким образом, наиболее очевидный метод работы с данными по многочисленным разломам — это построить оси P и T для всех разломов и найти среднее значение каждого из них, чтобы дать оценку общих осей деформации, часто предполагаемых параллельными осям напряжений.

Дигедры P&T

Допущения относительно осей P и T лучше всего подходят для новых трещин в не трещиноватых породах. Если в породе существуют ранее существовавшие трещины, они могут подвергаться скольжению в ответ на состояния напряжения, которые не совпадают с идеальными направлениями. В этом случае кажущиеся оси P и T будут сильно разбросаны.

Метод «дигедры» пытается избежать этой проблемы. Мы берем на себя каждую ошибку по очереди. Предположим, у нас есть нормальный разлом с линиями скольжения в направлении и в направлении полустрелки, тогда мы можем в принципе сказать, что максимальное сжимающее напряжение σ 1 должно быть где-то в белом диэдре.Другими словами, мы можем исключить заштрихованные диэдры.

Диаграмма диэдров в 2-х измерениях

И наоборот, минимальное сжимающее напряжение σ 3 должно лежать в заштрихованных диэдрах.

В 3D диэдры немного похожи на механизм очага недавнего разлома.

Схема трехмерных диэдров

Вышеуказанное относится к одной неисправности. В методе P- и T-диэдров мы рассматриваем все недостатки. Каждое измерение от плоскости разлома может исключить ровно половину стереографической проекции из рассмотрения в качестве местоположения для σ 1 , иногда называемого осью «P».Обычно мы используем компьютерную программу, чтобы взять контрольные точки по стереосети, и для каждой точки мы определяем, сколько ошибок будет соответствовать оси P в этом направлении. Аналогичным образом проводим контур для σ 1 (или «Т»).

При благоприятных обстоятельствах, с хорошими, последовательными данными по разломам, которые образовались одновременно с рядом ориентаций разломов, мы можем определить «истинные» оси P и T в пределах довольно небольшой области стереографической проекции.

Пример готового решения

Инверсия напряжений

В общем, для данного напряженного состояния земли, представленного тензором напряжений T , мы можем рассчитать напряжение на любой плоскости.

Будут составлять нормальное напряжение и напряжение сдвига.

Нормальное напряжение и напряжение сдвига

В идеале, если мы можем выяснить состояние напряжения T , то разрешенное напряжение сдвига должно точно предсказывать ориентацию линий скольжения на всех различных поверхностях разломов.

Методы инверсии напряжения требуют большей мощности компьютера, чем предыдущие методы. Обычно компьютер принимает произвольное пробное состояние напряжения T и прогнозирует разрешенное напряжение сдвига на всех наблюдаемых поверхностях разломов.Вычисляется разница между прогнозируемым разрешенным напряжением сдвига и ориентацией линии скольжения.

Эта операция повторяется для огромного количества различных состояний напряжения T, , и в качестве решения выбирается состояние, которое минимизирует различия. На практике существует множество методов инверсии напряжений, которые различаются между собой:

  • как вычисляется ошибка
  • как суммируются ошибки
  • какие методы используются для оптимизации поиска; Если пробные значения T выбраны разумно, ошибки можно быстро минимизировать.

Обычно для каждого метода используются специализированные небольшие компьютерные программы.


ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ


изгиб балок с несимметричным сечением

Большинство конструктивных элементов самолета состоит из балок с несимметричной крестовиной. сечение, действующее при изгибе. По этой причине необходимо получить выражение, позволяющее определять напряжения, создаваемые изгибающими моментами в таких секциях.

ЗНАК ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Посмотрите на систему осей Oxyz с произвольным лучом, параллельным оси z:

Рис. 8: Обозначения и условные обозначения для положительных сил, моментов и смещений.

Где:

T = крутящий момент

M = изгибающий момент

S = поперечная сила

w

= Распределенная нагрузка

P = Осевая или прямая нагрузка

u, v, w = осевые смещения

Все эти внешние нагрузки положительны в направлении, указанном на рисунке.Внутренний момент и силы, приложенные к грани A, имеют то же направление и направление, что и внешнее приложение. нагрузки. Однако на грани B положительные внутренние моменты и силы противоположны.

РАЗРЕШЕНИЕ ИЗГИБНЫХ МОМЕНТОВ

Изгибающий момент M, приложенный в любой плоскости, параллельной оси z, может быть разделен на компоненты M x и M y по правилам вектора нормали.

Сделав это визуально, будет легче увидеть:

Рисунок 9: Разрешенный изгибающий момент относительно осей x и y.

Из рисунка 9 можно получить следующие соотношения:

M x = M sin θ

M y = M cos θ

и что эти моменты могут иметь разный знак в зависимости от значения θ. Например, если θ> π / 2, M x положительно, а M y отрицательно.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ (ETB-NonSym)

Рассмотрим балку произвольного несимметричного поперечного сечения, которая поддерживает изгибающие моменты Mx и My, изгибающуюся вокруг некоторой оси в поперечном сечении.Это плоскость без напряжения изгиба, называемая нейтральной осью (N.A.).

Рисунок 10: Определение положения нейтральной оси.

Пусть начало оси совпадает с центром тяжести G поперечного сечения, а нейтральная ось находится на расстоянии p от G.

Прямое напряжение s z на элементе d A в точке (x, y) и на расстоянии x от нейтральной оси составляет:

Посмотрите на балку в плоскости, параллельной нейтральной оси, с двумя сегментами ij и kl , которые имеют одинаковую длину, когда балка не отклонена:

Рис. 11: Вид сбоку неотклоненной балки с сегментами ij и kl с маркировкой.

После отклонения луча это сечение будет выглядеть так:

Рисунок 12:

Отклоненная балка.

где:

R = радиус кривизны

dq = угол между плоскостями ik и jl

Деформация в плоскости kl может быть определена как:

с

и

дает

Подставляя обратно в уравнение напряжений, получаем:

(3.2)

Теперь, когда уравнение напряжений получено, необходимо обеспечить как вращательное, так и линейное равновесие на концах балки. То есть сумма сил по глубине балки равна «0», а сумма моментов по глубине балки равна приложенным моментам Mx и My.

Поскольку балка поддерживает чистый изгиб, результирующая нагрузка на концевую секцию должна быть нулевой. Следовательно,

Подставляя уравнение 3.2 дает:

Это уравнение определяет положение центра тяжести сечения, из него следует, что нейтральная ось должна проходить через центр тяжести.

Вместо того, чтобы использовать это уравнение для определения местоположения центроида, гораздо проще определить местоположение центроида вокруг оси xy с помощью уравнения 3.3.

Для достижения равновесия моментов необходимо заново нарисовать рисунок 10, но с осью, проходящей через центроид.

Рис. 13:

Сечение балки с нейтральной осью, проходящей через центроид.

Чтобы увидеть это более подробно, на рисунке 14 крупным планом показана ось и область dA .

Рис. 14:

Деталь площади dA в поперечном сечении балки.

Если наклон нейтральной оси (N.A.) находится под углом к ​​оси x, то:

x

= x sin α + y cos α (3,4)

и замена в 3.2 дает:

(3,5)

Результирующие момента имеют тот же смысл, что и приложенные моменты, отсюда:

, г. (3,6)

и подставив уравнение 3.4 в уравнения 3.5 дает:

и

Члены sin α и cos α не являются функцией dA, поэтому их можно исключить из интегрирования. Остались термины, которые имеют отношение только к характеристикам форм поперечного сечения балки, а это всего лишь 2 и моментов площади балки.

Вторые моменты области вокруг осей xy:

, что дает:

решение одновременно дает,

Подставляя в уравнение (3.5) дает:

Определив термины Эффективный изгибающий момент , как:

и

Уравнение 3.8 можно переписать следующим образом:

Обратите внимание на , что если луч симметричен относительно оси x или оси y, то:

, а оси x и y — это основные оси .

ПОЛОЖЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ

Расположение нейтральной оси определялось уравнением (3.3) .

Для балки с симметричным поперечным сечением центр тяжести — это точка, определяемая уравнением 3.3, а нейтральная ось параллельна осям x и y. Для несимметричной балки крестовины Однако в сечении нейтральная ось проходит под некоторым углом a по отношению к оси x. Что нужно сделать, определите угол нейтральной оси.

В N.A. нормальные напряжения изгиба равны s z = 0, что дает:

где:

x Н.A. и y N.A. — координаты точек вдоль нейтральной оси, что дает:

Взяв величину, обратную тангенту угла «a», можно найти угол нейтральной оси по отношению к оси x, задаваемый уравнением 3.12.

Пример 1: Показанная балка подвергается изгибающему моменту 150 Нм вокруг оси x. Рассчитайте максимальное прямое напряжение из-за изгиба, указав, где оно действует.

Рисунок 15: Поперечное сечение балки с приложенным изгибающим моментом.

а) Определите положение центроида относительно точки A
а также

б) Сдвинуть ось к центроиду

Рис. 16: Поперечное сечение балки со смещением оси в положение центра тяжести.

c) Определение других свойств сечения

г) Расчет эффективных изгибающих моментов

Поскольку M x = 1500 и M y = 0, подстановка этих значений в уравнения (3.9) и (3.10) дает:

e) Определить уравнение напряжения изгиба и напряжения поперечного сечения

Подставьте вычисленные выше значения в уравнение (3.11) .

Подставив координаты всех угловых точек из рисунка 16, получим:

точка x (мм) y (мм) с z (МПа)
1 72 21,6 0,436
2 -48 21.6 5,1
3 -48 13,6 3,9
4 -16 13,6 2,66
5 -16 -66,4 -9,32
6 -8 -66,4 -9,63
7 -8 13.6 2,34
8 72 13,6 -0,76

Этот метод можно использовать для определения напряжений из-за изгиба в балке любого типа с любым типом поперечного сечения.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ

Из-за тонкости конструкции самолета можно сделать предположение, что напряжения постоянны по всей толщине t обшивки.Сказав это, можно пренебречь квадратом и более высокими степенями «t» при вычислении свойств сечения.

Чтобы увидеть это, посмотрите раздел каналов:

Рисунок 17: Секция тонкостенного канала.

1) Поскольку сечение симметрично относительно оси x, то I xy = 0 2) Второй момент области I xx определяется как: Расширение RHS дает:

за счет исключения t 2 степеней и выше становится:

и аналогично

Это означает, что свойства сечения могут быть рассчитаны так, как если бы сечение было представлено тонкой линией, как показано на рисунке 18, без учета любых t 2 или более поздних членов.

Рисунок 18: Приближение сечения канала.

Для этого дискретного тонкостенного профиля характеристики сечения будут следующими:

1) Определите местоположение центроида

2) Сдвинуть ось к центроиду

Рисунок 19: Ось в центре тяжести

3) Определение моментов инерции

Эти результаты точно такие же, как и для сечения с учетом толщины материала обшивки и без учета всех членов t 2 и выше.

Поскольку не все участки кожи будут лежать параллельно оси x или y, локальные моменты или площадь участка кожи под углом q по отношению к оси x задаются следующими уравнениями.

Рисунок 20: Срез тонкой кожи, наклоненный под углом θ относительно оси x

ОБЩИЕ ОТНОШЕНИЯ ПО НАГРУЗКЕ

Рассмотрим элемент длиной dz из балки с несимметричным поперечным сечением со всеми видами нагрузок, приложенных в плоскости y-z, рисунок 21.

Рисунок 21:

Равновесие обычно нагруженного элемента балки в плоскости zy.
Равновесие элемента в направлении y дает:

делением на dz и в пределе dz0 это уравнение упрощается до:

Рассмотрение моментов об А дает:

делением на dz и в пределе dz0 это уравнение упрощается до:

Объединение этих двух уравнений дает:

Точно так же про плоскость x-z:

Теперь рассмотрим элемент длиной dz из балки с несимметричным поперечным сечением только с приложенным крутящим моментом вокруг оси z, рисунок 22.

Рисунок 22:

Уравновешивание крутящего момента секции балки длиной dz.
Принимая моменты относительно оси Z:

делением на δz и в пределе δz0 это уравнение упрощается до:

Предполагая, что параметр имеет такое же отношение к , как S y имеет к M x , тогда путем дифференцирования уравнений (3.9) и (3.10) дает:

Также параметры и связаны с интенсивностями нагрузки w y и w x таким же образом, что путем дифференцирования уравнений (3.16) и (3.17) дает:

Параметры ,, и называются ЭФФЕКТИВНЫЕ СДВИГАТЕЛЬНЫЕ СИЛЫ и НАГРУЗКА .

… Вернуться к началу

Графики «бычий глаз» продольной деформации у пациентов с кардиомиопатией и концентрической гипертрофией левого желудочка

Получение графика «бычий глаз» продольной деформации

График «бычий глаз» может быть получен либо алгоритмом AFI, либо стандартным двумерным (2D) алгоритм деформации. Оба метода основаны на 2D STI, с количественной информацией, полученной путем измерения продольной деформации с трех апикальных проекций (апикальный вид по длинной оси, 4- и 2-камерные виды) с частотой кадров от 50 до 80 кадров в секунду.

AFI выполняется на апикальных проекциях в следующем порядке: апикальная длинная ось, 4-х камерная и 2-х камерная проекции. Область интереса (ROI) определяется методом трехточечного щелчка, когда две точки размещаются на каждой стороне митрального кольца, а третья точка — на верхушке, с последующим автоматическим отслеживанием границ эндокарда и эпикарда. После подтверждения качества отслеживания необходимо определить время закрытия аортального клапана. Обычно это делается путем определения конца зубца Т соответствующей электрокардиографической записи [6].

Чтобы получить график «яблочко» с помощью стандартного метода 2D деформации, время закрытия аортального клапана следует сначала определить с помощью непрерывно-волнового допплера через аортальный клапан в апикальной 5-камерной проекции. Затем ROI создается путем ручного нанесения последовательных точек вдоль эндокардиальной границы на трех апикальных проекциях на конечном систолическом кадре [6].

Для обоих методов система автоматически отслеживает ткань в пределах ROI на протяжении сердечного цикла. LV разделен на шесть сегментов в каждой апикальной проекции, всего 18 сегментов, покрывающих весь LV от основания до вершины [7].После проверки автоматического отслеживания при необходимости можно вручную настроить ROI для каждого сегмента, чтобы обеспечить наилучшее качество отслеживания. Большинство рабочих станций обработки предлагают автоматическую оценку качества отслеживания. По нашему опыту, автоматическая оценка качества отслеживания не всегда корректна. Таким образом, отслеживание каждого сегмента должно визуально контролироваться и подтверждаться оператором. При необходимости оператор должен проверить отслеживание от кадра к кадру. Правильное определение рентабельности инвестиций имеет решающее значение для хорошего отслеживания.Неправильное размещение базальных или апикальных точек при определении области интереса, а также слишком узкая или слишком широкая ширина области интереса являются частыми причинами плохого отслеживания. Шум или реверберация из-за качества изображения также являются одной из причин невозможности отслеживания. Кроме того, некоторым пациентам Фабри и гипертоникам с выраженной выпуклостью перегородки требуется техническое внимание. Поскольку у некоторых пациентов на конечной стадии Фабри может наблюдаться асимметричное ремоделирование ЛЖ, а боковая стенка стала тоньше, чем стенка перегородки, поэтому ROI на боковой стенке следует отрегулировать, чтобы она соответствовала толщине более тонкой стенки.Тем не менее, ROI должен быть «увеличен», чтобы соответствовать выступающей перегородке у пациентов с гипертонией.

Пиковая систолическая продольная деформация для каждого сегмента, общая деформация для каждого вида и средняя деформация для всего ЛЖ могут быть получены обоими методами. График «яблочко» можно настроить для отображения 18 или 17 сегментов. Величина и однородность продольной деформации для каждого сегмента отображаются на карте полярных координат с интуитивно понятной цветовой кодировкой (красный – розовый – синий), где внутреннее кольцо представляет вершину ЛЖ, среднее кольцо представляет средние сегменты и внешнее кольцо. представляет собой базальные сегменты.Ярко-красный цвет обозначает нормальные значения деформации (<−16%), светло-красный обозначает пониженное значение (от −16 до −11%), светло-розовый (от −10 до −6%) и бледно-розовый (от −5 до 0%) обозначает сильно пониженное значение. значения, а синий означает положительное значение, предполагающее парадоксальное систолическое расширение. У здорового субъекта равномерно красный узор на графике "бычий глаз" представляет собой нормальный диапазон значений деформации (т.е. варьируется от -16 до -22%, рис.) [8].

Пример графика продольной деформации, полученного из двумерной визуализации с отслеживанием спеклов у здорового субъекта (50-летняя женщина)

В настоящее время существует несколько коммерческих программных продуктов для постобработки, доступных для анализа изображений с отслеживанием спеклов и график продольной деформации, включая EchoPAC Healthcare от устройства GE и QLAB (количественная оценка сердечных движений, CMQ) от Philips Medical Systems и т. д.Графики «яблочка», представленные в этом обзоре, созданы с помощью программного обеспечения EchoPAC от GE Vivid E9. Предыдущие исследования показали, что значения глобальной продольной систолической деформации, полученные с помощью эхо-систем Philips и GE, имеют хорошие корреляции как у здорового населения, так и у пациентов [9–11]. Лучшее согласие наблюдается у кардиологических пациентов, чем у здоровых людей [11]. Мета-анализ глобального систолического напряжения у здоровых взрослых показал, что значения, измеренные с помощью программного обеспечения EchoPAC, были аналогичны значениям с помощью программного обеспечения, отличного от EchoPAC (19.65 ± 1,78 против 19,67 ± 1,80%) [12]. Недавний отчет показал, что глобальная продольная систолическая деформация, полученная с эхо-станций Philips и GE, была сопоставима, но значения деформации базального сегмента, полученные с эхо-станций Philips и GE, не были сопоставимы; таким образом, следует проявлять осторожность при интерпретации «бычьих глаз» от двух продавцов [11].

График продольной деформации у пациентов с гипертрофической кардиомиопатией

Сердце спортсмена

Физиологическая гипертрофия может быть обнаружена в сердце спортсмена.Слегка увеличенная левая камера сердца, увеличенная масса ЛЖ и умеренно увеличенный корень аорты можно визуализировать с помощью обычной эхокардиографии. ГЛЖ у этих пациентов обычно симметрична, а толщина перегородки ЛЖ обычно <13 мм у мужчин и <11 мм у женщин [13]. Фракция выброса (ФВ) ЛЖ и диастолическая функция остаются в норме. У некоторых спортсменов может наблюдаться повышенное раннее диастолическое наполнение ЛЖ [14]. Таким образом, оценка диастолической функции может быть ключевым фактором для дифференциации физиологической ГЛЖ из-за переноса физических нагрузок от патологической ГЛЖ [15].

У спортсменов без ГЛЖ (рис. А) апикальная и средне-продольная деформации нормальны (ярко-красный), но базальная продольная деформация несколько ниже (светло-красный) по сравнению со здоровыми испытуемыми. Следовательно, градиент деформации между верхушкой и базальной частью более выражен у спортсменов без ГЛЖ по сравнению со здоровыми людьми. У спортсменов с физиологическим ГЛЖ можно обнаружить умеренно сниженную среднюю глобальную продольную деформацию и гораздо более низкие значения продольной деформации в области основания (розовый) (рис. B) [16].

Примеры прямолинейного графика продольной деформации у профессиональных баскетболистов. a Спортсмен без ГЛЖ, мужчина 30 лет; конечная диастолическая толщина задней стенки левого желудочка (LV) (LVPWd) и толщина стенки перегородки (IVSd) составляет 9 мм, а фракция выброса LV (EF) составляет 70%. b Спортсмен с ГЛЖ, мужчина 25 лет; LVPWd и IVSd составляют 12 мм, а ФВЛЖ — 62%

Артериальная гипертензия

Концентрическая гипертрофия ЛЖ с толщиной стенки> 12 мм является типичной чертой у пациентов с гипертонией [17]. Некоторые пациенты с гипертонией все еще имеют нормальную массу ЛЖ и толщину стенок. , особенно на ранней стадии заболевания [18].Локализованное утолщение перегородки в базальной части (выпуклость перегородки) служит ранним эхокардиографическим индикатором «пути гипертонической болезни сердца» [19, 20]. У большинства пациентов с АГ и ГЛЖ также имеется умеренно расширенный корень аорты и увеличенное левое предсердие [21, 22]. ФВЛЖ обычно остается нормальной на ранней стадии заболевания и снижается на поздних стадиях. Диастолическая дисфункция — частая эхокардиографическая находка у пациентов с АГ, даже при отсутствии ГЛЖ [1, 23].

Картина продольного «яблочка» у людей с гипертонией без ГЛЖ может быть очень похожа на таковую у спортсменов без ГЛЖ, показывая нормальную среднюю глобальную продольную деформацию со слегка уменьшенной продольной деформацией в базальных сегментах.У гипертоников с выпуклостью перегородки «яблочко» характерно значительно уменьшенное продольное напряжение (светло-красный) в базальной части перегородки (рис. А) [24]. У пациентов с гипертонической болезнью с концентрической ГЛЖ и нормальной ФВ средняя общая продольная деформация обычно остается нормальной или близкой к норме, но значительно сниженные модели продольной деформации могут быть обнаружены на нескольких сегментах на базальном и среднем уровнях (рис. B). В случаях с концентрической ГЛЖ и сниженной ФВ обычно наблюдается снижение средней глобальной и сегментарной продольной деформации (рис.в).

Примеры графика продольной деформации у пациентов с артериальной гипертензией. a Пациент с гипертонической болезнью, выпуклостью перегородки и нормальной массой ЛЖ, женщина 61 года; LVPWd составляет 9 мм, толщина стенки базальной перегородки — 13 мм, а ФВЛЖ — 65%. b Больной гипертонической болезнью с концентрической ГЛЖ, но нормальной ФВ, женщина 49 лет; LVPWd и IVSd составляют 15 мм, ФВЛЖ — 75%. c Пациент с гипертонической болезнью с концентрической ГЛЖ и сниженной ФВ, женщина 58 лет, LVPWd и IVSd 15 мм, ФВЛЖ 48%

Потенциальный патологический механизм локализованного утолщения стенки в базальном сегменте перегородки может быть связан с региональным Напряжение стенки ЛЖ.Напряжение стенки наиболее высоко в базальной перегородке из-за наибольшего локального радиуса кривизны ЛЖ [25]. Поскольку гипертрофия миокарда напрямую связана с напряжением стенки, базальная перегородка обычно имеет характерную выпуклость. Возможные причины, лежащие в основе гетерогенного снижения продольной деформации, могут быть множественными, включая снижение эффективности миокарда и резерва перфузии [26] и активацию путей передачи сигнала, связанных с фиброзом и апоптозом [27].

Гипертрофическая кардиомиопатия

Идиопатическая гипертрофическая кардиомиопатия (ГКМП) — наиболее частая генетически обусловленная кардиомиопатия у взрослых, характеризующаяся несимметричной ГЛЖ при отсутствии других сердечно-сосудистых или системных заболеваний [28].Типичные эхокардиографические находки при ГКМП включают асимметричную гипертрофию перегородки и систолическое переднее движение митрального клапана. Обычно конечная диастолическая толщина стенки ЛЖ ≥15 мм часто наблюдается в одном или нескольких сегментах миокарда ЛЖ [29], но также описаны изолированные апикальные и другие атипичные распределения [30]. В случаях с меньшей степенью утолщения стенки (13–14 мм) диагноз ГКМП требует всесторонней оценки других клинических признаков, включая семейный анамнез, некардиальные симптомы и признаки, электрокардиографические аномалии, лабораторные и генетические тесты и мультимодальные кардиологические исследования. визуализация [31].Чрезвычайная толщина стенки (≥30 мм) присутствует примерно у 10% пациентов с ГКМП, и было показано, что они несут особенно высокий риск внезапной смерти [32]. Обструкция выводного тракта ЛЖ (LVOT) вследствие асимметричной гипертрофии обнаруживается примерно в 25% случаев [33]. LVOT или субаортальная обструкция определяется как мгновенный доплеровский градиент давления LVOT ≥30 мм рт. Ст. В покое или во время физиологической провокации, такой как маневр Вальсальвы, стояние и упражнения. Градиент ≥50 мм рт. Ст. Считается порогом для инвазивного или хирургического лечения [31].Глобальная систолическая функция ЛЖ, измеренная с помощью ФВ, обычно остается нормальной или повышенной у большинства пациентов с ГКМП, но региональная функция (особенно в сегментах с выраженной гипертрофией) может быть снижена [1].

Типичный образец графика продольной деформации у пациентов с ГКМП с асимметричной гипертрофией характеризуется пониженной средней глобальной продольной деформацией со значительно уменьшенной деформацией в гипертрофических областях (рис. А) [4]. В более редком фенотипе с изолированной апикальной гипертрофией график в виде яблочка показывает синий или бледно-розовый цвет на вершине, что указывает на отсутствие продольной деформации, окруженный красными областями с нормальными значениями деформации на базальном и среднем уровнях (рис.б).

Примеры графика продольной деформации у пациентов с гипертрофической кардиомиопатией (ГКМП). — пациентка HCM с асимметричной гипертрофией, женщина 76 лет; LVPWd составляет 12 мм, IVSd — 18 мм, LVEF составляет 70%. b Пациент HCM с изолированной апикальной гипертрофией, мужчина 59 лет; LVPWd и IVSd у основания составляют 9 мм, максимальная толщина стенки у апикальной перегородки — 20 мм, а ФВЛЖ — 60%. c Пациент с ГКМП с концентрической ГЛЖ, мужчина 70 лет; LVPWd и IVSd составляют 17 мм, ФВЛЖ — 60%

Концентрическая гипертрофия встречается примерно у 42% пациентов с HCM [34].Эта концентрическая форма ГЛЖ чаще встречается у пожилых пациентов с ГКМП [35]. График продольной деформации у пациентов с ГКМП с концентрической гипертрофией и нормальным ФВ характеризуется умеренно сниженной средней глобальной и заметно уменьшенной продольной деформацией нескольких сегментов (рис. C).

Гетерогенная гипертрофия миокарда, беспорядок и замещающий фиброз вносят вклад в глобальные и региональные нарушения функции миокарда ЛЖ при ГКМП. Недавнее исследование с использованием трехмерной (3D) ИППП и магнитно-резонансной томографии сердца (КМРТ) продемонстрировало, что глобальная продольная деформация миокарда ослабляется у пациентов с ГКМП, а уменьшенная продольная деформация коррелирует со степенью гипертрофии.Кроме того, фиброз, обнаруженный с помощью CMRI, предположительно связан с увеличением степени гипертрофии [36]. В этих тяжелых фиброзных областях продольная деформация в основном заметно снижается при значениях деформации ниже 5%.

Амилоидоз

Амилоидоз — мультисистемное заболевание, характеризующееся отложением амилоидных фибрилл в межклеточном пространстве различных органов [37]. Поражение сердца, а именно кардиальный амилоидоз (СА), встречается почти у 50% пациентов с первичным амилоидозом и почти всегда указывает на тяжелый прогноз.Обычные эхокардиографические признаки, связанные с КА, включают концентрическое утолщение левого и правого желудочков, нормальный размер полости ЛЖ, расширенные предсердия и выпот в перикард. Текстура миокарда часто имеет отчетливое «зернистое сверкание» [38]. Диастолические нарушения обычно считаются самым ранним проявлением КА [39]. Общая систолическая функция ЛЖ остается нормальной до поздней стадии заболевания [40]. При STI CA характеризуется региональными вариациями продольной деформации от основания к вершине.Постоянно наблюдается продольный градиент деформации с сохраненной систолической деформацией в апикальных сегментах и ​​значительно сниженной систолической деформацией в средних и базальных сегментах [41, 42]. Предыдущие исследования показали, что этот паттерн специфичен, что позволяет дифференцировать пациентов с КА от пациентов с другими причинами ГЛЖ [41, 43].

Эту специфическую относительную апикальную сохранность можно легко наблюдать с помощью картирования «бычий глаз» с продольной деформацией у пациентов с СА. График в виде яблока у пациентов с CA с нормальным ФВ показывает нормальное или немного сниженное среднее продольное деформирование, нормальное значение продольного деформации на вершине ЛЖ (ярко-красный) и значительно сниженное напряжение во всех базальных сегментах всего ЛЖ ( от бледно-розового до светло-красного).Продольная деформация в средних областях также снижена у некоторых людей (рис. А). Следует отметить, что этот градиент деформации значительно выше при СА, чем у пациентов с другими причинами ГЛЖ [43]. Тем не менее, с развитием заболевания наряду со снижением ФВ ЛЖ пациенты с ХА имеют сниженную среднюю глобальную продольную деформацию с постепенным ухудшением продольной деформации верхушки в течение периода наблюдения (рис. B). В результате разница градиента деформации от основания к верхушке имеет тенденцию к уменьшению на поздней стадии заболевания при СА.

Примеры графика продольной деформации у пациента с подтвержденным биопсией сердечным амилоидозом (СА). a Пациент с СА, мужчина 56 лет; LVPWd и IVSd составляют 13 мм, ФВЛЖ 65%. b График «Бычий глаз» у того же пациента через год: LVPWd и IVSd составляют 14 мм, LVEF составляет 50%

Болезнь Фабри

Болезнь Фабри — редкое Х-сцепленное заболевание, вызванное наследственным дефицитом фермента α-галактозидазы A. Недостаток этого фермента приводит к накоплению гликолипидов в миокарде, что связано с прогрессирующей ГЛЖ и диастолической / систолической дисфункцией ЛЖ.У большинства пациентов с кардиомиопатией Фабри наблюдается концентрическая гипертрофия ЛЖ с конечной диастолической толщиной стенки до 16 мм [1, 44]. Асимметричный фенотип может наблюдаться на поздней стадии кардиомиопатии Фабри, представляя концентрическую гипертрофию ЛЖ с региональным истончением стенки в базальном и среднем заднебоковых сегментах из-за замещающего фиброза миокарда. Этот замещающий фиброз может быть подтвержден либо непосредственно с помощью CMRI с поздним усилением (LE), либо косвенно с помощью визуализации скорости деформации [45, 46].Кроме того, гипертрофированная сосочковая мышца часто выявляется у пациентов с кардиомиопатией Фабри [47, 48]. Общая систолическая функция обычно сохраняется до поздней стадии заболевания, при этом диастолические индексы нарушаются [49].

В поперечном исследовании нашей группы, снижение продольной деформации было доказано в областях миокарда, демонстрирующих замещающий фиброз (т. Е. В базальных задних и боковых сегментах ЛЖ) [46]. Снижение продольной систолической деформации в базальной боковой стенке также было обнаружено на очень ранних стадиях кардиомиопатии при отсутствии замещающего фиброза [44].

Обычный образец графика деформации «бычий глаз» у пациентов с Фабри — это немного сниженная средняя глобальная продольная деформация, несмотря на нормальную ФВЛЖ (рис. А) [43]. Снижение продольной деформации в среднем сегменте боковой и задней стенок может быть обнаружено из-за присутствия преобладающей папиллярной мышцы (рис. B). На поздней стадии средняя глобальная продольная деформация снижается, и отсутствие продольной систолической деформации (бледно-розовая) может быть обнаружено в базальном и среднем заднебоковых сегментах с прогрессирующим локальным истончением миокарда из-за замещающего фиброза (рис.в). Интересно, что, несмотря на схожие эхокардиографические морфологические изменения, характерные для пациентов с Фабри с ГЛЖ и истончением заднебоковых сегментов, и пациентов с ГКМП с асимметричной гипертрофией перегородки, характерная для этих двух кардиомиопатий картина продольной деформации заметно различается. Пораженная область со сниженной продольной деформацией в основном расположена в перегородке у пациентов с ГКМП, а при поздней стадии кардиомиопатии Фабри — на боковой и задней стенках.

Примеры графика продольной деформации у генетически подтвержденных пациентов с кардиомиопатией Фабри. Пациент Фабри с концентрической ГЛЖ, мужчина 48 лет; LVPWd и IVSd составляют 13 мм, ФВЛЖ — 70%. b Пациент Фабри с выраженной папиллярной мышцей, женщина 44 лет; LVPWd и IVSd составляют 14 мм, ФВЛЖ 67%. c Пациентка с поздней стадией кардиомиопатии Фабри, женщина 74 года; IVSd — 18 мм, LVPWd — 13 мм, толщина базальной боковой стенки — 11 мм, EF — 72%

Атаксия Фридрейха

Атаксия Фридрейха (FA) — аутосомно-рецессивное нейродегенеративное заболевание, вызываемое триплетом гуанин-аденин-аденин. экспансия в первом интроне фратаксина [50].Интронное расширение приводит к дефициту специфического железо-серного белка (фратаксина), что приводит к накоплению железа внутри митохондрий. Помимо неврологических проявлений, часто встречаются поражение сердца и эндокринной системы [43]. Концентрическая ГЛЖ с конечной диастолической толщиной стенки менее 15 мм является обычным признаком эхокардиографии [51]. Около 40% пациентов с FA демонстрируют концентрическое ремоделирование, 35% — концентрическую гипертрофию и только 5% — эксцентрическую гипертрофию [52].Общая систолическая функция и диастолическая функция остаются нормальными у большинства пациентов с ФА, и только у пациентов с терминальной стадией ФА снижается ФВ с глобальной гипокинезией и слегка расширенной камерой ЛЖ [1].

Электрокардиографические аномалии (изменения ST-T) часто являются самым ранним признаком кардиомиопатии FA. На этой ранней стадии результаты эхокардиографии, как правило, нормальные, а график продольной деформации похож на образец для здоровых субъектов (рис. А). У пациентов с ФА с концентрической ГЛЖ и нормальным ФВ на графике «яблочка» наблюдается умеренно сниженная средняя глобальная деформация (рис.б) [53, 54]. Фиброз миокарда развивается постепенно, приводя к истончению стенки ЛЖ и дилатации ЛЖ по мере прогрессирования заболевания, при этом ФВ сохраняется в течение длительного времени до конечной стадии заболевания [51]. Следует отметить, что истончение стенки ЛЖ при ФА кардиомиопатии является диффузным, что отличается от типичных результатов при кардиомиопатии Фабри. График «в яблочко» показывает значительное снижение средней глобальной продольной деформации при снижении ФВЛЖ (рис. C).

Примеры графика продольной деформации у генетически подтвержденных пациентов с кардиомиопатией с атаксией Фридрейха (FA). — пациентка FA с отклонениями ST-T на ЭКГ, женщина 34 лет; LVPWd и IVSd составляют 9 мм, ФВЛЖ — 74%. b FA Пациент с концентрической ГЛЖ и нормальной ФВ (64%), мужчина 21 года; LVPWd и IVSd составляют 11 мм. c FA Пациент с концентрической ГЛЖ и сниженной ФВ (46%), мужчина 20 лет; LVPWd и IVSd составляют 11 мм.

Кроме того, кардиомиопатия FA имеет общие с СА некоторые эхокардиографические особенности в отношении морфологии, включая концентрическую ГЛЖ со сверкающей зернистой текстурой миокарда.В отличие от СА, диастолическая функция может быть нормальной или умеренно нарушенной при кардиомиопатии с ФА. Более того, продольный градиент деформации от основания к верхушке, который часто проявляется при СА, редко выявляется у пациента с FA [43].

Основные механизмы дисфункции миокарда у пациентов с кардиомиопатией FA могут быть связаны с клеточной гипертрофией миоцитов, отложениями железа, очаговым некрозом и диффузным фиброзом [55]. CMRI с визуализацией LE свидетельствует о фиброзе на поздней стадии этого заболевания, предполагая, что фиброз может быть связан с последующей дисфункцией миокарда [51].

Технические ограничения

Основным техническим ограничением для получения изображений продольной деформации «в яблочко» является необходимость получения высококачественных эхокардиографических изображений в стандартных апикальных проекциях. При анализе пациентов с неудовлетворительной визуализацией возникает значительный риск ошибочного диагноза. По нашему опыту, 2–3 часа интенсивной тренировки достаточно, чтобы получить удовлетворительный анализ в случае оптимальной визуализации. Тем не менее, экспертное ноу-хау необходимо для работы с неудовлетворительными изображениями.

Кроме того, одинаковая частота сердечных сокращений и подходящая частота кадров во всех трех апикальных проекциях являются важными предпосылками для настройки графика «яблочко».Таким образом, применение этого диагностического инструмента на основе 2D ИППП у пациентов с аритмией остается ограниченным. Трехмерная эхокардиография с получением изображения в трехплоскостном режиме позволяет более точно оценить деформацию миокарда путем визуализации различных апикальных изображений одного и того же сердечного цикла одновременно с достаточным временным и пространственным разрешением [56]. Хотя трехплоскостной режим с 3D-эхокардиографией улучшает различные проблемы с частотой сердечных сокращений, потребность в высоком качестве изображения остается проблемой даже в эпоху 3D-эхокардиографии для получения точных результатов.

Дополнительные ограничения STI включают сглаживание, зависимость частоты кадров и зависимость кривизны [46].

Кривые окрашивания и скорости деформации на основе STI зависят как от пространственного, так и от временного сглаживания, а функция сглаживания сплайнов позволяет получить более гладкие кривые. Однако чрезмерное сглаживание может привести к недостаточной дискретизации. Регуляризация функции пространственного и временного сглаживания доступна в большинстве коммерческих приложений. На значения сегментной деформации можно повлиять при настройке параметров сглаживания [57].Таким образом, рекомендуется ограничить сглаживание до необходимого минимума при анализе деформации [7]. Иногда реверберации отслеживаются или мешают покадровому отслеживанию, что может привести к дрейфу или неправильному расчету деформации миокарда.

Клиническое значение

График «в яблочко» предлагает интуитивно понятный визуальный обзор глобального и регионального статуса функции миокарда ЛЖ при различных кардиомиопатиях с ГЛЖ. Картирование продольной деформации по методу «бычий глаз» возможно с клинической точки зрения, а графические схемы, полученные в результате дальнейшего расширения этого метода в клинической практике, дают ключ к разгадке этиологии кардиомиопатий.

Из 2D STI можно извлечь три информации. Сначала исследователь получает информацию об общей функции ЛЖ по усредненному напряжению. Глобальная продольная деформация тесно связана с тяжестью ГЛЖ и ФВЛЖ. Значительная концентрическая ГЛЖ с конечной диастолической толщиной стенки более 16 мм уже показывает снижение средней глобальной деформации на графике «в яблочко» даже в случае сохраненной ФВ ЛЖ. Среднее глобальное продольное систолическое напряжение снижается вместе со снижением ФВЛЖ при всех типах кардиомиопатии.

Во-вторых, может быть обнаружен типичный паттерн деформации, связанный с заболеванием, и карта «бычий глаз» может дать ценную подсказку для окончательного диагноза у некоторых пациентов с неясной гипертрофией ЛЖ. Принято считать, что сердце спортсмена связано с физиологической гипертрофией, часто при нормальном напряжении. Тем не менее, составление карты «бычий глаз» неожиданно демонстрирует умеренное снижение продольной деформации базальных сегментов у некоторых спортсменов даже при отсутствии ГЛЖ.Значимость этого открытия требует будущих исследований для изучения потенциальной клинической значимости этого изменения штамма. Изолированная выпуклость перегородки с локализованной аномалией продольной деформации служит ранним признаком у пациентов с артериальной гипертензией. Образец графика «бычий глаз» у пациентов с ГКМП тесно связан с локализацией и тяжестью гипертрофии миокарда. Следует отметить, что пациенты Фабри на поздней стадии иногда также демонстрируют асимметричную гипертрофию с толстой перегородкой и тонкими боковыми и задними стенками из-за замещающего фиброза.В отличие от HCM, значительно сниженная продольная деформация на графике «яблочко» обнаруживается на боковой и задней стенках при кардиомиопатии Фабри, но не столь значима при гипертрофированной перегородке. Кроме того, у пациентов с Фабри часто наблюдается значительно уменьшенная деформация средней боковой и задней стенок из-за гипертрофированной сосочковой мышцы. Выраженный продольный градиент деформации от основания к вершине служит отличительной чертой у пациентов с CA. Образец «бычьего глаза» при FA-кардиомиопатии, по-видимому, неспецифичен, и оценка диастолической функции может помочь дифференцировать FA-кардиомиопатию от CA.

В-третьих, у пациентов, у которых известен диагноз, сочетание усредненного напряжения вместе с типом «бычьего глаза» позволяет определить степень тяжести сердечного поражения.

На наш взгляд, отображение в яблочко обеспечивает более прямой обзор, и врачи могут легко произвести прямое впечатление на то, что он / она видит, одним словом, работая более непосредственно, просматривая изображение, а не считывая числа классического штамма. Тем не менее, «яблочко» получается на основе классических измерений деформации.Этот дисплей не может заменить классическую деформацию, но дает больше преимуществ, позволяющих узнать характер распределения деформации путем непосредственного просмотра изображения «в яблочко». Автоматическая компьютерная диагностика и методы статистического анализа могут помочь пациентам с хорошими условиями визуализации и обеспечить их быстрое отображение.